Taller AMPL 1

ICS1113 Optimización

Taller 3:

Introducción a AMPL

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1. ¿Qué es AMPL? A Mathematical Programming Language Es un lenguaje de programación especializado en la formulación de modelos de optimización y programación matemática. Permite formular los modelos con notación común y conceptos matemáticos familiares. Permite resolver distintos tipos de problemas de optimización (lineales, no lineales, enteros, cuadráticos, etc.) mediante solvers especializados para cada caso. Traduce la formulación del modelo matemático y los datos del problema a lenguaje de máquina, que es el que utilizan los solvers y el computador.

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2. ¿Cómo Opera AMPL? Archivo de Modelo Archivo de Datos

Lenguaje

Solver

AMPL

(Minos / Cplex o Neos Server)

Archivo de Instrucciones

Salida Resultados

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3. ¿Cómo Obtener AMPL? AMPL Línea de Comandos: Versión estudiantil (limitada a 200 variables y 200 restricciones) disponible en: www.ampl.com

AMPL Servidor Neos Online Subir los archivos de modelo, de datos y de instrucciones al Servidor Neos en: www-neos.mcs.anl.gov/neos/

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4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? Archivo de Modelo Archivo de Datos

Lenguaje

Solver

AMPL



Primero debemos escribir tres archivos: .mod

Salida Resultados

.dat .run

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4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? Archivo de Modelo .mod

Contiene los modelos (función objetivo y restricciones) a usar.

Archivo de Datos .dat

Contiene los datos del problema.

Archivo de Instrucciones .run

Llama al modelo contenido en .mod y a los datos contenidos en .dat, y configura opciones de entrada y salida

Todos estos archivos pueden ser escritos en cualquier editor de texto (WordPad, NotePad, etc.) 6


Lenguaje

Solver

AMPL



Los archivos deben ser escritos en el lenguaje apropiado

Salida Resultados

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4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? Lenguaje AMPL

Max F(X) s.a. gi ( X ) ≤ bi ∀i ∈ I Comandos de declaración de elementos del modelo en AMPL: • set: Define y declara un conjunto de elementos del problema. • param: Define y declara un conjunto de parámetros del problema. • var: Define las variables del problema. • maximize o minimize: Se utiliza para declarar la función objetivo. • subject to: Se utiliza para declarar las restricciones del problema.

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4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? Lenguaje AMPL

Max ∑∑ ( Pit − Ci ) X it i

X it :

Cantidad de producto i producida en tiempo t

t

Declaración de elementos del modelo en AMPL: • set: Dos conjuntos: 1) Productos, 2) Tiempo • param: Precio, definido sobre los conjuntos de Productos y Tiempo Costo de venta, definido sobre el conjunto Productos

• var: Variable x definida sobre los conjuntos Productos y Tiempo • maximize: Estamos maximizando • subject to: No hay restricciones 9

4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? Lenguaje AMPL Expresiones aritméticas: Existen muchas expresiones aritméticas que se pueden utilizar en el lenguaje AMPL, algunos ejemplos … + * /

= > != <=

sum min max prod

or o || and o && not o !

Funciones matemáticas: Existen muchas funciones matemáticas que se pueden utilizar en el lenguaje AMPL, algunos ejemplos …

abs(x) cos(x) sin(x) tan(x)

acos(x) asin(x) atanh(x) sqrt(x)

round(x) exp(x) log(x) log10(x)

max(x,y,…) min(x,y,…) ceil(x) floor(x) 10

4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? Lenguaje AMPL Reglas léxicas: • Cada línea de instrucción debe finalizar con un punto y coma (;) • Cada línea de comentario debe comenzar con un #, varias líneas se delimitan por /* y */ • AMPL considera que las letras mayúsculas y minúsculas son distintas (case sensitive) • Las constantes con punto decimal se escriben como en este ejemplo: 1.23E-45

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4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? Lenguaje AMPL Otros comandos: • reset: limpia la memoria de AMPL para comenzar un nuevo problema. • model: se utiliza para ingresar el archivo de modelo al compilador AMPL.

• data: se utiliza para ingresar el archivo de datos al solver. • solve: resuelve el modelo (el solver predeterminado es el MINOS). • options: se utiliza para cambiar algunas opciones de AMPL. • display: se utiliza para ver los resultados después de resolver. • include: se utiliza para ejecutar un archivo de instrucciones .run

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Lenguaje

Solver

AMPL



Una vez escritos los archivos se resuelven usando el Solver apropiado

Salida Resultados

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4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? Se puede utilizar AMPL con distintos solvers de acuerdo a las características del problema a resolver.

Solvers de AMPL versión estudiantil: • CPLEX: • DONLP2: • LOQO: • LPSOLVE: • MINOS:

Resuelve problemas lineales y no lineales cuadráticos, continuos o enteros. Utiliza Simplex, métodos de Punto Interior y Branch and Bound. Resuelve problemas de optimización no lineales. Utiliza Algoritmo Secuencial Cuadrático y Dense-Matrix Linear Algebra. Resuelve problemas de optimización lineales y no lineales en variables continuas. Utiliza métodos de Punto Interior. Resuelve problemas lineales y lineales enteros. Resuelve problemas lineales y no lineales en variable continua. Utiliza Simplex Primal y Gradiente Reducido respectivamente.

Solvers del Servidor Neos: El servidor Neos tiene una lista de solvers para resolver todo tipo de problemas de optimización. 14


Lenguaje

Solver

AMPL



Una vez resuelto el problema se obtienen resultados e información adicional (como la necesaria para análisis de sensibilidad)

Salida Resultados

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4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? ¿Cómo ver los resultados del problema? • Comando display se utiliza para visualizar los resultados. • Se puede ver el valor de la función objetivo, el valor de las variables y el valor de las restricciones con la siguiente sintaxis:

display nombre_función_objetivo; display nombre_variable; display nombre_restricción;

• Comando show se utiliza ver los nombres de variables, parámetros, etc.

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4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? ¿Cómo ver los resultados del problema? • Se puede ver información adicional para las variables y las restricciones con la siguiente sintaxis: display nombre_variable.sufijo_variables; display nombre_restricción.sufijo_restricción; donde sufijo_variables puede ser, entre otras: .init: valor inicial .val: valor actual

.ub: cota superior .rc: costo reducido .lb: cota inferior .slack: holgura

y el sufijo_restricción puede ser, entre otras: .body: valor actual .ub: cota superior .dinit: valor inicial variable dual .slack: holgura .lb: cota inferior .dual: valor actual variable dual 17

4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? ¿Cómo configurar las opciones? • Comando para cambiar el Solver utilizado por AMPL y sus opciones: option solver nombre_solver;

# Cambia solver utilizado por AMPL.

option nombre_solver_options ‘opción=XX’

# Cambia opciones de solver utilizado.

• Comando para activar/desactivar el presolve: option presolve 0;

# desactiva presolve

option presolve 1;

# activa presolve (predeterminado)

Nota: El presolve es un algoritmo que busca reducir el n° de re stricciones o el n° de variables, cuando se pueda, para reducir el tamaño del problema original. 18

4. ¿Cómo Resolver un Problema Usando AMPL? ¿Cómo configurar las opciones? • Comando para activar/desactivar información estadística: option show_stats 0;

# desactivar (predeterminado)

option show_stats 1;

# activar

Nota: Activado muestra más información sobre el número de variables y restricciones del problema. • Comando para activar/desactivar display de variables con valor cero: option omit_zero_rows 0; option omit_zero_rows 1;

# desactivar (predeterminado) # activar

Nota: Si está activado omite mostrar variables con valor cero. 19

5. Ejemplo 1. Crear documento de texto en Notepad o Wordpad. 2. Escribir archivo de modelo y guardar con extensión .mod

Comando set define los conjuntos de restricciones (Restr) y variables (Var) Comando param define los parámetros del modelo, que dependen de los conjuntos Restr y/o Var Comando var define la variable X y, además, la especifica como no negativa Se maximiza la función objetivo llamada Total que es una suma. Se declaran las restricciones del modelo llamadas Restricciones con subject to. Hay tantas restricciones como elementos en el conjunto Restr, donde cada una es una suma.

Si no se desea utilizar un archivo de datos, se pueden ingresar los datos abajo 20 del comando data.

5. Ejemplo 1. Crear documento de texto en Notepad o Wordpad. 2. Escribir archivo de datos y guardar con extensión .dat

Comando data para ingresar los datos, no es necesario en el archivo .dat Comando set declara y enumera con nombre los conjuntos en archivo .dat Comando param declara los parámetros a utilizar en el problema, enumerados de acuerdo a los elementos de los conjuntos del problema.

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5. Ejemplo 1. Crear documento de texto en Notepad o Wordpad. 2. Escribir archivo de datos y guardar con extensión .run 3. Se ejecuta en AMPL con el comando: include archivo.run

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5. Ejemplo 1. Extraer archivo amplcml.zip a un directorio conocido. 2. Ejecutar sw.exe en windows o abrir línea de comando en DOS. 3. El archivo de modelo y el archivo de datos deben estar en directorio AMPL.

Versión Windows con sw.exe

Versión línea de comando DOS

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6. Ejercicio Barriles de Petróleo Problema: Petrolera debe determinar su producción de barriles de petróleo para los próximos 3 años.

Variables de decisión: x = Producción en millones de barriles de petróleo para el periodo i. i

Datos: P = ( 28 – x ), Precio en dólares para barriles vendidos en periodo 1. P = ( 30 – x ), Precio en dólares para barriles vendidos en periodo 2. P = ( 32 – x ), Precio en dólares para barriles vendidos en periodo 3. 1

1

2

2

3

3

2

C = x , Costo de extracción en millones de dólares para periodo 1. 2 C = 1.5x , Costo de extracción en millones de dólares para periodo 2. C = 2x 2, Costo de extracción en millones de dólares para periodo 3. 1

1

2 2

2

3

Tasa de descuento por periodo = 4% 24

6. Ejercicio Barriles de Petróleo Problema: Petrolera debe determinar su producción de barriles de petróleo para los próximos 3 años.

Objetivo: Maximizar las utilidades totales (valor presente) para los 3 periodos: 2

2

2

Max P x - x + (P x -1.5x )/1.04 +( P x -2 x )/1.04 2 1

1

1

2

2

2

3

3

3

{x1,x2,x3} ≥ 0

Restricciones: R : x + x + x ≤ 30, Cantidad máxima de extracción en 3 periodos. 1

1

2

3

R : C + C + C ≤ 350, Máximo gasto en extracción para los 3 periodos. 2

1

2

3

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6. Ejercicio Barriles de Petróleo Archivo de modelo: petro.mod Declara los parámetros del modelo

Declara las variables de decisión del modelo

Declara la función objetivo

Declara las restricciones del modelo

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6. Ejercicio Barriles de Petróleo Archivo de datos: petro.dat

Define los valores de los parámetros

Archivo de instrucciones: petro.run

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6. Ejercicio Barriles de Petróleo Resultado en AMPL

Ejecuta archivo petro.run en AMPL

Valor óptimo función objetivo Valor de las variables en el punto óptimo Valor de los costos reducidos de las variables Valor y holgura de las restricciones en punto óptimo 28

7. Ejercicio Empresa de Computadores Problema: Empresa debe determinar sus cantidades óptimas de producción de dos tipos de computadores, que llamaremos modelo A y modelo B.

Variables de decisión: q = Cantidad de computadores modelo i a fabricar, con i={A, B}. p = Precio de venta de computadores modelo i, con i={A, B}. i

i

Datos: Modelo A: • Requiere de 3 horas de trabajo y de 2 chips como insumos. • Función de demanda dada por: qA = 6.000 – 8pA + 2pB. Modelo B: • Requiere de 2 horas de trabajo y de 4 chips como insumos. • Función de demanda dada por: qB = 5.000 + pA – 5pB. Se dispone de 8.000 horas de trabajo y de un inventario de 7.000 chips. 29

7. Ejercicio Empresa de Computadores Problema: Empresa debe determinar sus cantidades óptimas de producción de dos tipos de computadores, que llamaremos modelo A y modelo B.

Objetivo: Maximizar las utilidades totales variando el precio y la cantidad producida: Max

pq +pq A

A

B

B

{p1,p2,q1,q2} ≥ 0

Restricciones: R : qA = 6.000 – 8pA + 2pB , demanda modelo A. 1

R : qB = 5.000 + pA – 5pB, 2

demanda modelo B.

R : 3qA + 2qB ≤ 8.000, restricción de recurso horas de trabajo. 3

R : 2qA + 4qB ≤ 7.000, restricción de recurso chips. 4

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7. Ejercicio Empresa de Computadores Archivo de modelo: comp.mod Declara los conjuntos del modelo

Declara los parámetros del modelo

En la declaración de parámetros y variables se le pueden dar otras opciones, como que sea integer, binary, >=0, default 10, etc.

Declara las variables de decisión del modelo

Declara la función objetivo

Declara las restricciones del modelo

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7. Ejercicio Empresa de Computadores Archivo de datos: comp.dat

Nótese la diferencia en el uso de : y := en la declaración de vectores y matrices 32

7. Ejercicio Empresa de Computadores Archivo de instrucciones: comp.run

• ¿Cómo puedo cambiar interactivamente los valores? • ¿Cómo puedo fijar el valor de una variable? • ¿Cómo puedo guardar los resultados en un archivo? • ¿Cómo puedo medir el tiempo de resolución?

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7. Ejercicio Empresa de Computadores Archivo de instrucciones: comp2.run

Ingreso de datos interactivo

Cambiar valores de datos (condiciones iniciales o parámetros)

Muestra más cifras significativas de los resultados Muestra tiempos y memoria utilizada

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7. Ejercicio Empresa de Computadores Archivo de instrucciones: comp2.run Ejecuta comando MS-DOS Guarda datos en .txt

Fija el valor de una variable Deshace la fijación de una variable

Nótese el uso de > para crear y guardar en un archivo .txt nuevo y de >> para guardar en un archivo .txt ya existente

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7. Ejercicio Empresa de Computadores Archivo de resultados: comp.txt Parte 1 (todas las variables libres)

Parte 2 (Producción de A fijo en 0)

Nótese el valor de las condiciones iniciales de las variables

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8. Ejercicio Empresa de Manufactura Problema: Empresa debe determinar nivel de producción y de inventario en cada periodo para maximizar sus beneficios.

Variables de decisión: Qjt = Cantidad de producto j a producir en periodo t. Iit = Inventario de materia prima i en periodo t.

Datos: • • • • • • • •

3 productos: clavos, pernos y tornillos. 2 tipos de materia prima: níquel y fierro. T periodos a planificar. Máxima cantidad a producir por periodo. Unidades de materia prima para producir por producto. Inventarios iniciales de materia prima. Beneficio de cada producto por periodo. Costo de inventario y valor residual de materia prima. 37

8. Ejercicio Empresa de Manufactura Problema: Empresa debe determinar nivel de producción y de inventario en cada periodo para maximizar sus beneficios.

Objetivo: Maximizar beneficio total estimado sobre todos los periodos, menos los costos totales de almacenaje sobre todos los periodos, más el valor de la materia prima restante después del último periodo

Restricciones: • • •

•

Cantidad producida total en cada periodo no debe exceder el máximo permitido Unidades de cada materia prima almacenada al comienzo del periodo 1 no puede exceder el inventario inicial máximo Unidades de cada materia prima almacenada al comienzo de cualquier periodo t+1 debe ser igual a las unidades en almacenaje al comienzo del periodo t, menos las unidades utilizadas para producción en el periodo t Debe cumplir cantidades mínimas de producción requeridas por el cliente 38

8. Ejercicio Empresa de Manufactura Archivo de modelo: manuf.mod

Parámetro adicional que me obliga a producir una cantidad mínima de cada producto en cada periodo

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8. Ejercicio Empresa de Manufactura Archivo de modelo: manuf.mod

Restricción adicional de producción mínima, puede ser por requerimiento de los clientes

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8. Ejercicio Empresa de Manufactura Archivos de datos: manuf1.dat y manuf2.dat

• Puedo resolver distintos archivos de datos con el mismo archivo de modelo. • Nótese que los archivos de datos pueden contener distintos conjuntos y n°de elementos. 41

8. Ejercicio Empresa de Manufactura Archivos de instrucciones: manuf1.run

¿Cómo puedo ingresar valor de producción mínima requerida interactivamente? 42

8. Ejercicio Empresa de Manufactura Archivos de instrucciones: manuf1.run Ingresando cantidades mínimas de producción interactivamente.

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8. Ejercicio Empresa de Manufactura Interfaz AMPL Ingresando cantidades mínimas de producción interactivamente.

44 Resultados con y sin restricciones de cantidad mínima de producción difieren

8. Ejercicio Empresa de Manufactura Archivos de Resultados: manuf1.txt

Cantidades a producir e inventarios para cada producto y para cada periodo de tiempo con y sin restricciones de producción mínimas 45

9. Modelo de Programación No Lineal

Queremos calcular el círculo de mayor área inscrito en un polígono definido por 4 rectas. Por lo tanto, sea: R : Radio de la circunferencia. (x0,y0) : Centro de la circunferencia.


Problema: Encontrar el círculo de mayor área inscrito dentro de las curvas.

9. Modelo de Programación No Lineal P ) Max πR 2 s .a

3x 0 + 4y 0 ≤ 24 5x 0 − 2y 0 ≤ 30 y0 + 4 ≥ 0 - 3x 0 + 5y 0 ≤ 15

3x 0 + 4y 0 − 24 5 5x 0 - 2y 0 − 30

≥R ≥R

29 y0 + 4 ≥ R - 3x 0 + 5y 0 − 15

El radio se debe encontrar al interior del polígono

≥R

34 R ≥ 0, x 0, y0 ∈ ℜ

La distancia desde el centro a cada una de las rectas no puede ser mayor al radio

9. Modelo de Programación No Lineal En este caso sólo utilizaremos el .mod para correr el problema en AMPL

Definición de variables

Definición de π

Restricciones Lineales

Restricciones No Lineales


Opciones de resolución

Estadísticas del Solver

Tiempos de resolución

Minos encuentra solución

Resultados con display


Solución: Área = 44.1188 Radio = 3.7474 Xo = 1.86285 Yo = -0.25254

Links de interés

www.ampl.com http://www-neos.mcs.anl.gov/ www.informatica.us.es/~calvo/ampl/amplavanzado.html

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Taller AMPL 1

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