TALLER – PRÁCTICA 1 CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES – FC
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA 1. Redacte un texto en el que justifique la falsedad de la siguiente afirmación: , se cumple que ⃗ Para una función f unción diferenciable diferenciable , con . Si es el ángulo que forman los vectores y entonces el valor máximo de la derivada direccional es y ocurre cuando el vector unitario tiene la misma dirección que , es decir, cuando .
=
∇
: ⊂ ℝ → ℝ ∇ ⃗
= ∇ ∇ ∙⃗
⃗
∈ ∇
: ⊂ ℝ →
2. En las siguientes figuras se muestra la curva de nivel de una función diferenciable . Si es el ángulo que forman el vector y el gradiente
ℝ
∇
a. En la Figura 1:
es agudo u obtuso? Partiendo del punto y siguiendo la dirección del vector , ¿la función tiende a crecer o
¿El ángulo áng ulo
decrecer? b. En la Figura 2:
es agudo u obtuso? Partiendo del punto y siguiendo la dirección del vector , ¿la función tiende a crecer o
¿El ángulo áng ulo
decrecer?
funció n diferenciable diferenc iable en el punto punt o tal que < 0 ; > 0 y : : → una función = 2 . Explique la razón por la cual la función , a partir del punto , es 1;11. decreciente en la dirección del vector = 1;
3. Sea
4. Identifique el error en en cada uno de los siguientes razonamientos y proponga una corrección adecuada:
; ; = ln ln + ; ; = ln ln + =2 ln + = 2l2 ln + + +
, primero se debe a) Para determinar el mapa de contorno de la función determinar el dominio de y para ello se procede como sigue: entonces . En segundo lugar, se iguala y y todo número elevado al se le asigna valores positivos a dado que originalmente cuadrado es positivo.
{, = { , ∈ ℝ / + + > 0}
b) La derivada parcial
, equivale a la derivada direccional de en la dirección del eje positivo
, puesto que el vector ⃗ = 0;0;1 se tiene ;0)∙ 0;0;1 = ⃗ ; = ∇; ∙ 0;0;1 = ( ; c) Si las curvas de nivel con ≥ 0 de una función : ⊂ ℝ → ℝ tiene por ecuación + = entonces la gráfica de es la superficie llamada paraboloide. d) Sea = , una función diferenciable en todo su dominio con vector gradiente no nulo en un punto = , ∈ . La derivada direccional de en el punto y en la dirección de un vector unitario⃗ es nula si se verifica que los vectores ∇ y⃗ son paralelos. MATEMATIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN
, 1. Sean las funciones y . a) Grafique el sólido limitado por el conjunto de nivel cuatro, dos y cero de las funciones respectivamente. b) Grafique la proyección de sobre el plano . c) Determine las ecuaciones del borde o contorno de la proyección resultante en el ítem b)
,, = + ,, = + 2 − 2 ℎ,, = − 4
ℎ
, y
2. Sean las funciones ; y . a) Grafique el sólido limitado por el conjunto de nivel 6, 0 y 5 de las funciones y respectivamente. b) Grafique la proyección de sobre el plano . c) Determine las ecuaciones del borde o contorno de la proyección resultante en el ítem b)
,, = + ,, = + − 6 ℎ,, = − 5
, ℎ
y 3. Sean las funciones . a) Grafique el sólido limitado por el conjunto de nivel dos y de nivel cero de las funciones y respectivamente. b) Grafique la proyección de sobre el plano . c) Determine las ecuaciones del borde o contorno de la proyección resultante en el ítem b)
,, = + + ℎ,, = + + − 2
ℎ
NOTA: Recuerde que para una función de 3 variables, los conjuntos de nivel recibe el nombre de superficies de nivel
, = || − ||
4. Sea la función a. Grafique el mapa de contorno de la función b. Esboce la gráfica del dominio de la función c. Encuentre una expresión para la derivada direccional de la función en un punto del primer cuadrante y en la dirección del vector . ¿En alguno de los puntos del primer cuadrante la derivada direccional hallada no existe? Justifique su respuesta.
⃗ = 2;1
,
. 5. Sea la función a. Si . Modele la ecuación que permite generar las curvas de nivel. b. ¿Existen curvas de nivel para ?. Justifique su respuesta. c. ¿Qué valores debe tomar , para generar las curvas de nivel?
= ; = 9 − 4 + = <0
ESTRATEGIAS Y CÁLCULO 1. La siguiente afirmación es falsa, encuentre el error y corríjalo. en el punto de coordenadas Dada la función si nos dirijimos en la dirección del vector el valor de la función crece ya que la derivada direccional de la función en el punto y la dirección unitario √ es igual a √ el cual es positivo.
,; = 2 + 3 + , 1;0;−2 2;1;3
2;1;3
1;0;−2
2. El peso específico de un sólido está dado por la formula
=
=8 =1
Donde es el peso en el vacío y w es el peso de un volumen igual de agua. ¿Cómo afecta al peso específico calculado un error de en el valor de y en el valor de , suponiendo que y ?
0.1
0.05
3. La superficie exterior de un volcán viene modelizada por la función
, = 1200− 0,002 − 0,005
300;100 cuando éste
Un excursionista se encuentra en el punto del volcán de coordenadas entra en erupción. - ¿A qué altura se encuentra el excursionista? - ¿En qué dirección debe correr para comenzar a bajar al mayor ritmo posible?.
4. Una partícula se mueve en el espacio tridimensional de manera que sus coordenadas en función del tiempo son , y , para . Encuentre la razón de cambio de la distancia de la partícula al origen, para segundos.
= 4 = 4 = 5 = 5
≥0
5. Una empresa desea diseñar un tanque de almacenamiento para gas líquido, las especificaciones del cliente piden un tanque cilíndrico con extremos semiesféricos hacía afuera, que debe contener 8000 de gas. El cliente también quiere usar la menor cantidad de material para construir el tanque. ¿Qué radio y altura recomendaría para la parte cilíndrica del tanque?.
6. En un supermercado se venden dos productos que compiten entre sí a precios de y euros respectivamente. El ingreso obtenido debido a la venta de estos productos está dado por:
; = −7 − 4 + 2 + 10 + 14 a. Calcule los precios para que el ingreso sea máximo b. Si los precios y cumplen la siguiente relación −2 = 0, determine el máximo ingreso bajo estas nuevas condiciones. Justifique sus cálculos y conclusiones con el hessiano orlado
7. Francisco es un estudiante graduado y su trabajo semanal lo comparte entre su proyecto de investigación y dictando clases de matemáticas para ingeniería. Él estima que su función utilidad para ganar soles por dictar clases y gastar horas en su trabajo de investigación es . Él está cobrando 50 soles por hora por enseñar y trabaja un total de 40 horas cada semana. ¿Cómo podría dividir su tiempo para maximizar su utilidad?.
, =
8. Un fabricante de papel planea producir un papel de fibras de celulosa y uno de fibras sintéticas para confeccionar cuadernos especiales. La cantidad de papel que puede producirse está dada por donde denota el número de libras de fibra de celulosa en bruto y es el número de libras de fibra sintética en bruto. La fibra de celulosa cuesta $ 10 por libra y la fibra sintética $ 5 por libra. a) Si el fabricante puede gastar $ 2 000 en materias primas y planea maximizar la cantidad de papel usado, modele el problema de optimización condicionado (explicite la función objetivo y la restricción). b) Determine la cantidad de insumos (libras de fibras de celulosa y sintéticas) para producir la máxima cantidad de papel. Justifique sus cálculos y conclusiones con el hessiano orlado.
, = 5 − 6 − 8 + 3
$5000 $9 ; = + 2 + 210
9. Una organización extranjera debe decidir cómo gastar que se le ha asignado para aliviar la extrema pobreza en el departamento de Puno. Esperan dividir el dinero entre comprar trigo a el saco y Quinua a el saco. Para el número de personas que se alimentaran se compraran sacos de trigo e sacos de Quinua. Si está dada por:
$6
Determine el número máximo de personas que pueden alimentarse. Justifique sus cálculos y conclusiones con el hessiano orlado.
10.
Una empresa productora de materias primas, tiene la siguiente función de producción
, = 100//
Donde es la fuerza laboral medida en días -trabajador, pagándose por cada día 150 soles y es el capital invertido en unidades de 250 soles. El costo total de trabajo y capital está limitado a 50 000 soles. ¿Cuántas unidades de cada una se debe tomar para maximizar la producción? Además calcule el nivel máximo de producción. Justifique sus cálculos y conclusiones con el hessiano orlado.
11. La empresa HPR.SAC , vende dos productos A y B. La utilidad, en Euros, al vender unidades de A e unidades de B es : .
; = 20 + 40 − 0,1 +
Si la empresa puede vender un máximo de 400 unidades de los dos productos, ¿qué combinación le producirá la máxima utilidad?
