EAFIT Escuela de Ciencias - Departamento de Matem´ aticas Taller de Matem´ aticas aticas II para Econom´ Econom´ıa y Finanzas, 01-2017
Temas Segundo Parcial: Problemas Problemas de optimizaci´ optimizaci´ on de funciones en una variable. on Extremos locales de funciones en dos variables. Criterio de la segunda derivada para funciones en dos variables. Multiplicadores de Lagrange. Valores M´ aximo aximo y M´ınimo ınimo de una u na funci´on on en dos variables. Antiderivadas o integral indefinida. Sumas de Riemann y la integral definida. Problemas de Optimizaci´ on on
1. Si C Si C ((x) es el costo de producir x producir x unidades unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad unidad es de C de C ((x) = C ( C (x)/x. /x. Demuestre que si el costo promedio es un m´ınimo, entonces el costo marginal es igual al costo promedio. 2. Si C (x) = 16000 + 200x 200x + 4x3/2 , en d´olares, olares, encuentre i) el costo, el costo promedio y el costo marginal a un nivel de producci´on on de 1000 unidades; ii) el nivel de producci´on on que minimizar´ a el costo promedio y iii) el costo promedio m´ m´ınimo, e interprete cada uno de estos datos. 3. Demuestre que si la utilidad P ( P (x) es un m´aximo, aximo, entonces el ingreso marginal es igual al costo marginal. 4. Si C (x) = 16000 + 500x 500x
2
1 ,6x − 1,
+ 0,004 004x x3 es la funci´ on o n costo y p(x) = 1700
demanda, encuentre el nivel de producci´on on que maximiza la utilidad.
7 x es la funci´on on − 7x
5. Un equipo de beisbol juega en un estadio con capacidad capacidad para 55000 espectadores. espectadores. Con el precio de las entradas a $10, la asistencia promedio hab´ıa ıa sido de 27000. Cuando los precios se redujeron a$8, la asistencia promedio subi´ o a 33000. a) Encuentr Encuentree la funci´ on demanda, suponiendo que es lineal. on b) ¿C´ omo se deben establecer los precios de las entradas para maximizar los ingresos? omo 1
6. Un fabricante ha estado vendiendo 1000 televisores de pantalla plana a la semana a $450. Un estudio de mercado indica que, por cada $10 de descuento ofrecido al comprador, el n´umero de televisores vendidos se incrementar´a en 100 por semana. a) Encuentre la funci´ on demanda. b) ¿Qu´ e tan grande debe ser el descuento que ofrezca la compa˜ n´ıa al comprador a fin de maximizar sus utilidades? c) Si la funci´ on costo semanal es C (x) = 68000 + 150x, ¿c´ omo deber´ıa el fabricante establecer el tama˜ no de la rebaja, a fin de maximizar sus ganancias? 7. El administrador de un complejo habitacional de 100 apartamentos sabe por experiencia que todas las unidades ser´an ocupadas si el alquiler es de $800 al mes. Un estudio de mercado sugiere que, en promedio, una unidad adicional permanecer´ a vacante por cada incremento de $10 en el alquiler. ¿Qu´ e renta debe cobrar el administrador para maximizar los ingresos? 8. Un pozo petrolero marino se encuentra a 2 kil´ ometros de la costa. La refiner´ıa est´ a a 4 kil´ometros por la costa. La instalaci´ on de la tuber´ıa en el oc´eano es dos veces m´ as cara que sobre la tierra. ¿Qu´e trayectoria debe seguir la tuber´ıa para minimizar el costo? 9. La cadena de caf´e Juancho Vald´ e1 tiene sucursales en (0, 0), (0, 3) y (3, 3) Un estudiante adicto al caf´ e (politicamente correcto: amante) desea rentar un apartamento en un locaci´ on, donde la suma de los cuadrados de las distancias f (x, y) a todos estas tiendas sea un m´ınimo local. La funci´ on es: f (x, y) = (x a )
2
− 0)
+ (y
2
− 0)
+ (x
− 0)
2
+ (y
− 3)
2
+ (x
2
− 3)
+ (y
2
− 3)
= 27
2
2
− 6x + 3x − 12y + 3y .
Donde debe vivir el estudiante para minimizar localmente f (x, y)?
b)
Para cada m´ınimo local responda: Es este m´ınimo local un m´ınimo global ?
c )
Existe un m´ aximo global para este problema? si s´ı, hallarlo. Si no, explique por qu´e?
10. Halle los puntos cr´ıticos de la funci´ on f :
2
R
−→ R definida por f (x, y) = (x + y)(xy + 1), y
determine cuales son puntos de m´ aximo, m´ınimo o puntos silla.
11. Encuentre los valores m´ aximos y m´ınimos de la funci´ on f definida por f (x, y) = x 2 +8y en la regi´ on cerrada y acotada dada por D = (x, y) : x2 + 4y2
{
1
Este problema fue patrocinado por Juancho
c
Vald´ e
2
≤ 5}.
12. Hallar el m´ aximo y el m´ınimo valor de 4
2
2
f (x, y) = x + 2x y + x en D = (x, y) x 2 + y 2
{
|
2
|
√ − 2x + y − 2 3y
en D = (x, y) x 2 + y 2
{
≤ 1}.
f (x, y) = 2x2 + y 2
{
f (x, y) = x 2
3
14. Hallar el m´ aximo y el m´ınimo valor de
en D = (x, y) x 2 + y 2
13. Hallar el m´ aximo y el m´ınimo valor de
|
2
≤ 25}.
15. Hallar el m´ aximo y el m´ınimo valor de f (x, y) = x2 + 2y2
−y
− 4xy en D = {(x, y) | x
2
+ 2y 2
2
≤ 1} .
≤ 1}.
Nota. Para hallar los puntos cr´ıticos de esta funci´ on en la frontera usando Lagrange, tal vez sea necesario usar algo
de a ´lgebra lineal (valores propios) o usar alg´ un software como MatLab o Mathematica para solucionar los sistemas de ecuaciones.
3
16. Calcule los valores m´ aximo y m´ınimo locales, y punto o puntos sillas de la funci´ on. Grafique la funci´ on (usando wolfram alpha) para revelar todos los aspectos importantes de la funci´ on. a )
2
f (x, y) = 9
− 2x + 4y − x − 4y b ) f (x, y) = x + y − 4xy + 2 4
2
4
17. Encuentre la antiderivada m´ as general de cada una de las funciones siguientes: a )
f (x) = sin(x) 1 b ) f (x) = x n c ) f (x) = x , n = 1 x4 4x3 + 3x2 + 2x 5 d ) f (x) = x3 20 18. Encuentre f si f (x) = ex + y f (0) = 2. 1 + x2
−
−
−
19. Encuentre la antiderivada m´ as general de la funci´ on. (Compruebe su respuesta mediante la derivaci´ on.) a )
f (x) = 8x9 + 3x6
b)
h(θ) = 2sin(θ)
c )
3
− 12x 2
− sec (θ)
f (x) = (x 1)(2x + 1) 2 + x2 d ) f (x) = 1 + x2 θ e ) r(θ) = sec(θ)tan(θ) + 2e
−
20. Evalu´e los siguientes l´ımites interpret´ andolos como integrales definidas:
b)
c )
n
3
i n i 1 l´ım 1+ n n 1 1 l´ım
1 ım a ) l´ n→∞ n n→∞
n→∞
i=1 n
4
i=1 n
n
i=1
1 + (i/n)2
21. Eval´ ue las siguientes integrales interpretando cada una en t´erminos de a´reas: 4
) 16 − x dx. ) 3 − x dx. ) 1 + 9 − x dx. 2
a
0
5
b
0
3
2
c
−3
3
d )
2x
0
− 2 dx.
4
