UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Facultad de Ingeniería – Proyecto Curricular de Ingeniería Industrial Teoría de Colas y Simulación Prof. Germán Andrés Méndez Giraldo
Tarea N° 1 Nombr es
Yudy Paola Pineda Suárez
Cód. 20101015014
1. Un vendedor atiende el mostrador en una tienda de helados. Los clientes llegan de acuerdo con un proceso poissoniano, con una tasa media de llegadas de 30 por hora. Se les atiende siguiendo un orden tipo FIFO, y debido a la calidad del helado, aceptan esperar si es necesario. Aparentemente el tiempo de servicio por cliente se distribuye exponencialmente, con una media de 1 1/2 minutos. Determínese: MODELO MM1
λ=30
cl cl ' μ=40 W s=1, 5 h h
a) El número promedio de clientes en espera de servicio
Lq =
( 30 )2 λ2 900 = = =2,25 μ(μ−λ) 40 ( 40−30 ) 400
Respuesta: El número promedio de clientes en espera del servicio son 2,25 personas b) La cantidad de tiempo de espera por el servicio que un cliente debería estimar
W q=
λ 30 30 = = =0,075 h=4,5' μ( μ−λ) 40( 40−30) 400
Respuesta: El tiempo de espera por el servicio que un cliente debería estimar es de 4,5 minutos c) La probabilidad de que un cliente tenga que permanecer más de quince minutos en la línea de espera
W=
1 1 1 = = =0,1 h=6 ' μ−λ 40−30 10
W (t ) q
30 =ρ ( e )= ( e )=0,06156 ≈ 6,16 40
−t w
−15 6
Respuesta: La probabilidad de que un cliente tenga que permanecer más de quince minutos en la línea de espera es de 6,16%
d) La probabilidad de que el dependiente esté ocioso.
π 0=1− ρ=1−
30 1 = =0,25 40 4
Respuesta: La probabilidad de que el dependiente este ocioso es del 25% 2. Una pastelería tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender a 30 clientes por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan a la pastelería de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora. Determínese: MODELO MM2
μ=30
cl cl λ=40 S=2 h h
a) La fracción de tiempo que un cierto dependiente está ocioso.
π 1=ρ ( 1−ρ ) =
40 40 2 2 2 1− = 1− = 3 9 2(30) 2(30) 3
(
) ( )
Respuesta: La fracción de tiempo que un cierto dependiente este ocioso es de 2/9, ya que equivale a la fracción de tiempo que haya un cliente en la pastelería. b) La probabilidad de que haya más de dos clientes esperando servicio en un momento dado. http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/procesosestocasticos/cap5_pdf/teoria %20de%20colas%20seccion%209.pdf https://matematicasaplicadasapi.files.wordpress.com/2012/02/documentode-teorc3ada-de-colas1.pdf 3. Un peluquero atiende él solo un negocio. No acepta citas, pero atiende a los clientes conforme llegan. Debido al prestigio del peluquero, los clientes están dispuestos a esperar por el servicio una vez que llegan; las llegadas siguen un patrón poissoniano, con una tasa media de llegadas de dos por hora. Aparentemente el tiempo de servicio del peluquero se distribuye exponencialmente, con una media de 20 minutos. Determínese: MODELO MM1
λ=2
cl cl μ=3 W s =20 ' h h
a) El número esperado de clientes en la peluquería
L=
λ 2 = =2 μ−λ 3−2
Respuesta: El número promedio de clientes en la peluquería es de 2. b) El número esperado de clientes que esperan el servicio.
2
Lq =
2
λ 2 4 ´ = = =1, 33 μ(μ−λ) 3 (3−2) 3
Respuesta: El número promedio de clientes que esperan por el servicio es de 1,33. c) El tiempo promedio que un cliente permanece en la peluquería.
W=
1 1 = =1 h μ−λ 3−2
Respuesta: El número promedio que un cliente permanece en la peluquería es de 1 hora. d) La probabilidad de que un cliente permanezca más del tiempo promedio en la peluquería. −t
( )
W t = e w =( e−1) =0,3678 ≈ 36,78 Respuesta: La probabilidad de que un cliente permanezca más del tiempo promedio en la peluquería es del 36,78% 4. La sección de maternidad de un hospital tiene cinco salas para atender a las pacientes. Estas llegan al hospital de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 12 por día y se les asigna una sala si hay alguna disponible; de otro modo, se las envía a otro hospital. En promedio, una paciente ocupa la sala durante 6 horas, aparentemente el tiempo real se distribuye exponencialmente alrededor de esta media. Determínense: MODELO MMSK
cl cl λ=12 μ=4 W =6 h S=5 día día s a) La tasa promedio de ocupación de las salas (esto es, el porcentaje de salas en uso a largo plazo)
π 0=
1 S ρ s+1 ❑ s
b) La tasa promedio a la cual las pacientes de maternidad son enviadas a otros hospitales. 5. Aparentemente el patrón de llegada de automóviles a la fila única de una ventanilla bancaria de atención a automovilistas es un proceso poissoniano, con una tasa media de uno por minuto. Aparentemente los tiempos de servicio del cajero se distribuyen exponencialmente, con una media de 45 segundos. Considerando que un auto que llega esperará tanto como sea necesario, determínese: MODELO MM1
λ=1
Auto 4 Auto μ= W =45 seg min 3 min s
a) El número estimado de autos en espera de servicio
2
Lq=
2
λ 1 9 = = =2,25 autos μ(μ−λ) 4 4 4 −1 3 3
( )
Respuesta: El número estimado de autos en espera de servicio son 2,25. b) El tiempo promedio que un automóvil espera por el servicio
W q=
λ 1 9 = = =2,25 min . 4 μ ( μ− λ ) 4 4 −1 3 3
( )
Respuesta: El tiempo estimado que un auto espera de servicio es de 2,25 min. c) El tiempo promedio qué un automóvil permanece en el sistema
W=
1 1 = =3 min μ−λ 4 −1 3
Respuesta: El tiempo estimado que un auto permanece en el sistema es de 3 min. d) La probabilidad de que haya automóviles esperando en la calle, si en los terrenos del banco puede haber un máximo de cinco automóviles.
P ( Autos Calle ) =1−π 0−π 1−π 2−π 3 −π 4−π 5 P ( Autos Calle ) =1−( 1− ρ )−ρ ( 1−ρ ) −ρ2 ( 1−ρ )−ρ3 (1−ρ)−ρ4 (1−ρ)−ρ 5 (1−ρ) 3 3 3 3 − 1− − 4 4 4 4
2
1−
3 3 − 4 4
3
1−
3 3 − 4 4
4
1−
3 3 − 4 4
5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1− 34 )
P ( Autos Calle ) =1− 1−
1 3 9 27 81 243 P ( Autos Calle ) =1− − − − − − 4 16 64 256 1024 4096 1 3 9 27 81 243 729 P ( Autos Calle ) =1− − − − − − = ≈ 0,17797 4 16 64 256 1024 4096 4096 Respuesta: La probabilidad de que haya automóviles esperando en la calle es de 17,8% 6. En un aeropuerto de una sola pista, un promedio de un avión cada 5 minutos solicita permiso para aterrizar; aparentemente la distribución real es poissoniana. Los aeroplanos reciben permiso para aterrizar de acuerdo al orden de llegada, quedando en espera aquellos a los que no se les puede dar permiso de inmediato debido al tráfico. El tiempo que toma al controlador de tráfico ayudar a que un aeroplano aterrice, varía de acuerdo con la experiencia del piloto; se distribuye exponencialmente, con una media de 3 minutos. Determínense: MODELO MM1
λ=12
Aviones Aviones μ=20 W s=3 min h h
a) El número promedio de aeroplanos en espera
Lq =
λ2 122 9 = = =0,9 μ(μ−λ) 20 (20−12) 10
Respuesta: El número promedio de aeroplanos en espera es de 0,9. b) El número promedio de aeroplanos que han pedido permiso para aterrizar, pero que aún se encuentran en movimiento c) La probabilidad de que un aeroplano que llega esté en tierra menos de 10 minutos, después de pedir por primera vez permiso para aterrizar −t
−10
W (t )=e w =e 7,5 =0,263597
P (t <10 ) =1−0,263597=0,7364 Respuesta: La probabilidad de que un aeroplano este en tierra en menos de 10 minutos es de 73,64% d) La probabilidad de que haya más de tres aeroplanos esperando servicio. 7. Un cirujano contrata un servicio de recados para manejar sus llamadas telefónicas. El servicio de recados es atendido por un operador y tiene capacidad para conservar en espera dos llamadas si el operador está ocupado con otra. Si las tres líneas están ocupadas (una por el operador y dos por las llamadas en espera), quien realiza una llamada recibe una señal de ocupado. El cirujano recibe llamadas de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 20 por hora. Una vez que se logra contacto con el operador, la duración de una llamada se distribuye exponencialmente, con una duración media de 1 minuto. Determínese: MODELO MMSK
Llamadas Llamadas λ=20 μ=60 W s=3 min S=1 K=3 h h a) La probabilidad de que una persona que realiza una llamada reciba señal de ocupado
1 3
3
( ) ( 2740 )= 401 =0,025
π 3=ρ3 π 0=
Respuesta: La probabilidad de que una persona que realiza una llamada reciba la señal de ocupado es del 2,5% b) La probabilidad de que una persona que llama, permanezca en espera
1 3
27 1 + 40 3
2
( )( ) ( ) ( 2740 )= 103 =0,3
π 1+ π 2 =
Respuesta: La probabilidad de que una persona que llama, permanezca en espera es del 30% c) La probabilidad de que una persona que llama, hable de inmediato con el operador.
λ< μ :
Debido a que
π 0=
1 s
k−s
S ρ (1− ρ s ! (1− ρ)
)
s
( sp)i +∑ i! i=0
1
π 0= 11
π 0=
s+1
2
2
( )( ( )) ( ) ( ) 1 1! ( 1− ) 3 1 3
1 3
1−
1 8 81 1 +1+ 2 3 3
=
1 0 1 1 3 3 + + 0! 1!
1 27 = =0,675 40 40 27
Respuesta: La probabilidad de que una persona que llama, hable de inmediato con el operador es de 67,5% 8. Una mecanógrafa recibe trabajo de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa promedio de cuatro trabajos por hora. Los trabajos se mecanografían de acuerdo al orden de llegada, y el trabajo promedio requiere de 12 minutos de tiempo de la mecanógrafa; aparentemente el tiempo real del trabajo se distribuye exponencialmente alrededor de esta media. Determínense: MODELO MM1
λ=4
trabajo trabajos μ=5 W s=12 min h h
a) La probabilidad de que un trabajo quede concluido en menos de 45 minutos después de su llegada
W=
1 1 = =1 μ−λ 5−4 −t
W (t )=e w =e
−45 60
=0,47236
P (t < 45 )=1−0,47236=0,5276 Respuesta: La probabilidad de que un trabajo esté concluido en 45 min es de 52,76% b) La probabilidad de que la mecanógrafa concluya todos los trabajos al final del día. (Probabilidad de vacío)
4 1 π 0=1− ρ=1− = =0,2 5 5 Respuesta: La probabilidad de que la mecanógrafa concluya los trabajos es de 20% c) La probabilidad de que el trabajo le lleve a la mecanógrafa menos de 12 minutos. 9. Conforme los mecánicos necesitan partes para los autos que están reparando en un taller, se dirigen al departamento de refacciones del taller y solicitan el material necesario. El dependiente único del departamento de refacciones atiende a los mecánicos de acuerdo al orden de llegadas. Los mecánicos llegan siguiendo un proceso poissoniano con una tasa media de 35 por hora y esperan su turno siempre que el dependiente esté ocupado con alguien más. En promedio, el dependiente de refacciones tarda 1 minuto para atender a un mecánico, con el tiempo real de servicio distribuido exponencialmente alrededor de esta media. ¿Cuál es el costo esperado por hora para el taller por hacer que los mecánicos obtengan las refacciones, si a un mecánico se le pagan $12 por hora? MODELO MM1
mecanicos mecánicos λ=35 μ=60 W s=1 min h h W=
CE=0,04
1 1 = =0,04 h 60−35 25
h $ ∗12 ∗35 mecanicos=$ 16,8 mecánico h
Respuesta: El costo esperado por hora para el taller, por hacer que los mecánicos obtengar las refracciones es de $16,8 10.Los autobuses llegan a ciertas instalaciones de servicio de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 10 por día. Las instalaciones pueden dar servicio a uno por uno, el tiempo de servicio se distribuye exponencialmente alrededor de una media de 1/12 por día. A la compañía de autobuses le cuesta $200 diarios operar las instalaciones de servicio y $50 por cada día que un autobús permanece en las instalaciones. Comprando equipo más moderno, la compañía de autobuses puede disminuir el tiempo medio de servicio a 1/15 por día, pero esto aumentaría los costos diarios de operación de las instalaciones de servicio a $245. ¿Resulta conveniente desde el punto de vista económico hacer este cambio? MODELO MM1
λ=10
W=
buses buses 1 μ=12 W s= día día día 12
1 1 = =0,5 día 12−10 2
CT= ( 0,5∗50∗10 ) +200=450 ---------------
λ=10
W=
buses buses 1 μ=15 W s= día día día 15
1 1 = =0,2 día 15−10 5
CT= ( 0,2∗50∗10 ) +245=345 Ahorro =450−345=105 Respuesta: Si resulta conveniente desde el punto de vista económico que la empresa haga el cambio, pues tendrá un ahorro de $105 11.Los trabajos llegan a una estación de inspección de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de dos por hora, y son inspeccionados de uno en uno siguiendo un orden tipo FIFO. El ingeniero de control de calidad inspecciona y realiza ajustes menores, si esto es todo lo necesario para que un trabajo termine esta fase. El tiempo total de servicio por trabajo aparentemente se distribuye exponencialmente, con una media de 25 minutos. Los trabajos que llegan pero no pueden ser inspeccionados de inmediato por el ingeniero, deben almacenarse hasta que el ingeniero pueda encargarse de ellos. Cada trabajo requiere 10 pie2 de espacio mientras está almacenado. ¿Cuánto espacio deberá proporcionarse, si el objetivo es tener suficiente espacio de almacenamiento dentro de la sección de control de calidad 90% del tiempo? 12.Una estación ferroviaria suburbana tiene cinco teléfonos públicos. Durante las horas de más movimiento en la tarde, las personas que desean realizar llamadas llegan a las casetas telefónicas siguiendo un proceso poissoniano, a una tasa de 100 por hora. La duración promedio de una llamada es de 2 minutos, con la duración real distribuida exponencialmente. Determínense: 13. MODELO MM5
λ=100
persona personas μ=30 W s=2 min . S=5 hora hora
14.a) la cantidad de tierno estimada que un individuo deberá esperar para hacer uso de un teléfono, una vez que llega a las casetas; b) la probabilidad de que
esta espera dure más de 1 minuto, y c) el número esperado de personas que hacen uso o esperan un teléfono. 15.Un pequeño banco tiene dos cajeros, uno para depósitos y uno para retiros. El tiempo de servicio para cada cajero se distribuye exponencialmente, con una media de 1 minuto. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora; se considera que las personas que vienen a realizar depósitos y retiros, constituyen procesos poissonianos diferentes, cada uno con una tasa media de 20 por hora, y que ningún cliente realiza tanto un depósito como un retiro. El banco está considerando cambiar el arreglo actual para permitir que cada cajero se encargue tanto de depósitos como de retiros. El banco esperaría que el tiempo medio de servicio de cada cajero aumentara a 1.2 minutos, pero desea que el nuevo arreglo impida que se formen largas líneas frente a un cajero, mientras que el otro permanece ocioso, situación que se presenta de tiempo en tiempo bajo el actual arreglo. Analícense ambos arreglos en lo que respecta al tiempo promedio ocioso de un cajero y al número estimado de clientes esperados en el banco en cualquier momento dado. 16.Un restaurant de comida china para llevar tiene espacio para un máximo de cinco clientes. Durante los meses de invierno, sucede que cuando los clientes llegan y el restaurant está lleno, prácticamente ninguno espera por la fría temperatura exterior y se va a otro establecimiento. Los clientes llegan al restaurant de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa media de 15 por hora. El restaurant atiende clientes a una tasa promedio de 15 por hora, con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. El restaurant es atendido sólo por su propietario, quien se ocupa de los clientes de acuerdo al orden en que llegan. Determínense: a) el número promedio de clientes en el restaurant en cualquier momento dado; b) el tiempo estimado que un cliente deberá esperar por el servicio, y c) la tasa esperada a la cual se pierden ingresos debido al espacio limitado del restaurant, si la cuenta promedio es de $10.00. 17.Una compañía de autobuses envía sus vehículos a sus instalaciones de servicio para mantenimiento de rutina cada 25000 millas. Las instalaciones de servicio están abiertas las 24 horas del día y las atiende una sola cuadrilla capaz de trabajar en un autobús por vez. El tiempo que toma dar servicio a un autobús se distribuye exponencialmente, con una media de 4 horas. Los autobuses llegan a las instalaciones siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 12 por día. Sin embargo, los conductores tienen instrucciones de no entrar a las instalaciones si ya hay ahí cuatro o más autobuses, en cuyo caso regresan con el despachador para recibir nuevas instrucciones. Determínense: a) el tiempo esperado que un autobús pasa en las instalaciones de servicio, cuando se queda ahí; b) la pérdida diaria en dinero para la compañía de autobuses debido a las limitaciones de las instalaciones de servicio, si el costo de enviar un autobús a las instalaciones y que regrese sin servicio es de $80. 18.La compañía de autobuses descrita en el problema 15 está considerando aumentar su cuadrilla de servicio a dos grupos igualmente eficientes. El costo diario de la cuadrilla adicional sería de $300. ¿Es conveniente tal expansión? 19.Una tienda tiene dos dependientes, cada uno de ellos es capaz de atender a los clientes a una tasa promedio de 60 por hora; los tiempos reales de servicio se distribuyen exponencialmente. La capacidad de la tienda es de cinco clientes, no permitiéndose la espera en el exterior. Los clientes llegan a la tienda de acuerdo a un proceso poissoniano, con una tasa promedio de llegadas que depende del número de personas que está en la tienda, de la manera siguiente:
Numero en la tienda Tasa promedio llegadas h-1
de
0 100
1 110
2 120
3 140
4 170
5 200
Determínense: a) el número esperado de clientes simultáneos en la tienda; b) el tiempo estimado que un cliente deberá esperar por el servicio y c) la tasa estimada a la cual se pierden los clientes, debido a lo limitado de las instalaciones. a) 2.90 b) 46.4 s c) 50.4 cl/h 20.Una estación de lavado de automóviles tiene espacio sólo para tres unidades en espera y tiene dos líneas para el lavado. Cada línea puede aceptar sólo un automóvil cada vez. Éstos llegan de acuerdo a un proceso poissoniano, con tasa media de 20 por hora, pero se les niega la entrada siempre que el lavado esté lleno. El lavado y la limpieza se realizan manualmente y parecen seguir una distribución exponencial. Bajo condiciones normales, cada línea de servicio a un automóvil durante un promedio de 5 minutos. Sin embargo, cuando dos o más automóviles están esperando por el servicio, el procedimiento de lavado se acelera, reduciendo el tiempo promedio de servicio a 4 minutos. Determínense: a) el número esperado de automóviles en el lugar, y b) el tiempo estimado que un automóvil permanece en el sitio si no se le niega la entrada. 21.Los clientes llegan a una pequeña tienda de manjares delicados siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 30 por hora. En el establecimiento caben cuando más cuatro clientes; 'siempre que está lleno, los clientes que llegan no pueden entrar y se pierde su compra. El propietario de la tienda es el único que atiende, y su tiempo de servicio se distribuye exponencialmente siempre que haya sólo un cliente en la tienda, con tiempo promedio de servicio de 5 minutos. Sin embargo, el propietario se vuelve más eficiente conforme la tienda se llena, disminuyendo su plática con los clientes y aumentando por lo tanto el tiempo promedio de servicio en 1 minuto por cada cliente que esté formado esperando servicio. Determínense: a) el número estimado de personas que estarán simultáneamente en la tienda (sin incluir al propietario), y b) el tiempo promedio de servicio por parte del propietario.
22.
En un curso de cableado eléctrico por correspondencia, se acepta a los estudiantes tan pronto como se inscriben y después concluyen el curso a su propio ritmo. Aparentemente los tiempos para terminar el curso siguen una distribución exponencial, con una media de 7 semanas. Las nuevas inscripciones al curso siguen un proceso poissoniano, con una tasa media de 50 por semana. Determínese a) el número de estudiantes que se espera estén inscritos simultáneamente en el curso, y b) la probabilidad de que un estudiante tarde más de 7 semanas en concluir el curso.
