Cours de : Conception Mécanique
I/- Généralités : I-1/- Définition : - La liaison hélicoïdale entre deux corps solides permet un mouvement relatif composé : D’une rotation autour d’axe fixe par rapport aux deux solides, D’une translation rectiligne parallèle à cet axe et proportionnelle à la rotation. - Les deux solides en liaison hélicoïdale doivent ê tre guidés en translation et en rotation. I-2/- Fonction : - La liaison hélicoïdale étant généralement associée à d’autres liaisons, les fonctions principales qui lui incombent sont la transformation des mouvement et la transmission des efforts. I-3/- Transformation de mouvement : Assur ur er la r otation de la vis et la translation de l’écrou : I-3-1/- Ass
I-3-2/- Assurer la rotation Assurer rotation de la l’écrou et la tran slation de vis : Chariot
Chariot
Support
Fig144
Vis
Moteur
Vis
Moteur
Support
Fig145
Assurer Assurer l a rotation et la t ranslation del’écrou : I-3-3/-
Assurer Assurer l a rotation et la translation de la vis : I-3-4/-
Chariot
Chariot
Vis
Moteur
Support
Fig146
Vis
Moteur
Support
Fig147
II/- Identification de la liaison hélicoïdale parfaite : II-1/- Schématisation :
Exemple
Représentation plane
Perspective
Y
X
M
2
1 2 1
Fig148
Transmission de puissance
98
M
Cours de : Conception Mécanique II-2/- Modélisation : I I -2-1/ - T orseur cin é mati que :
s a P
α
Périmètre =2.π.Rm
w v v 0 0 Avec : V x = f (w x ) 0 0 O x
2 /1
x
Fig150
α : Angle d’inclinaison de l’hélice. Rm : Rayon moyen de la vis.
O
Fig149
α
Rmoy
On a
tg
Pas
2. . Rm
x .Rm
alors
x
Pas 2.
w v o 0 0
x
v x
D’où
Pas 2.
Pas
Dérivation x
w x
2.
avec
x v x w x
0 0 o
Pas w x 2.
2 /1
I I -2-2/ - Torseur statique :
X o Y Z
M N o L
1/ 2
2 /1
1/ 2
1/ 2
1/ 2
1/ 2
Avec : L = f ( X 1/ 2
1/ 2
)
1/ 2
- L’hypothèse de la liaison parfaite traduise que la puissance interne P i dissipée dans la liaison est nulle. D’où : P Watt. i = 0 P i =
v o . o = 0 2 / 1
2
/
w
1
x
. L 1/ 2
X o Y Z
+ Pas 2.
1/ 2
D’ou
L1 2
Pas 2.
X 1 2
2 /1
1/ 2
1/ 2
w . X x
1/ 2
Pas
2.
X 1 / 2
M 1 / 2 N 1 / 2
o
Etude d’une liaison hélicoïdale Réelle : III-1/- La vis progresse contre la charge axiale :
III -
I I I -1-1/ - Cas de filetage carr é : ( = 0 ) => Le contact est
avec
frottement : f = tan
Fig151 Fig152
Transmission de puissance
99
= 0
Cours de : Conception Mécanique Di agramme
y1
des eff orts :
R
- A l’équilibre, les efforces appliqués sur une développée d’un tour de la vis (au niveau du cercle de diamètre moyen D m ) sont donnés par le diagramme ci contre.
Fig153
y0 N
Fa X1
Ft X0
o
s a P
T Bi lan
des eff orts :
Dm
F a : Charge axiale ; F t : Charge tangentielle tel que C = F t . Rmoy R : Action de contact avec l’écrou ; ) R = N + T (à la limite d'adhérence on a T = f.N N : Action normale de contact ; T : Action tangentielle de contact ;
Appli quant le PF S à l’écrou :
f : coefficient de frottement
F t F a T N 0
Projection sur
F t cos F a sin f .N 0 (1) F t sin F a cos N 0 (2)
l’axe (O, X 1 ) l’axe (O, Y 1 )
(1) + (2) x f
F t cos f .sin F a sin f . cos
(3) / cos α
F t 1 f . tan F a tan f
F t F a
D’ ou
(3)
f tan 1 f . tan F t F a . tan
[N]
Coupl e né cessaire pou r dé pl acer la ch ar ge F t : C F t
avec T = f . N
Dm 2
Dm
F a .
2
. tan
[N.m]
Pui ssance motri ce : D P m C m F a . m . m . tan 2
[Watt]
I I I -1-2/ - Cas de fi letage tri angulai re : ( 0 et N ' N . cos ) f T tan ( ’ ) = T N ' N . cos cos D’ou :
F t F a . tan
Transmission de puissance
y1
o
[N]
Fig154
100
m
avec
. N m 30
y2 N'
z1 z2
Cours de : Conception Mécanique III-2/- La vis progresse dans le sens de la charge axiale :
- Pour faire cette étude, il suffit de reprendre la (figure 150) en changent le sens de F t et celui de T . On démontre dans ce cas que :
F t F a . tan
[N]
III-3/- Rendement du système vis écrou :
-
I I I -3-1/ - Cas du moment moteur : La puissance d'entrée (moteur) est : P m = C . La puissance de sortie (utile) est : P u = F a. V
P u P m
F a V C m
F a
F a
Pas
Dm 2
2
Pas
m
tan
D’où
Pas
Avec
.Dm
. Dm
tan
tan
tan tan
- On retrouve dans le cas ou le frottement est négligé ( φ = 0) η = 1 - Pour , ne peut plus avoir lieu, le système est bloqué. 2 I I I -3-2/ - Cas de F orce axiale motri ce : - La puissance d'entrée (moteur) est : P m = F a . V - La puissance de sortie (utile) est : P u = C . On démontre dans ce cas que la vis progresse dans le sens de la charge axiale : Alors
C F t
Dm 2
Dm
F a .
2
. tan
Le rendement de la liaison hélicoïdale est donc :
tan tan
- Pour , le mouvement est impossible et le système est bloqué. III-4/- Réversibilité du système vis écrou : - L’étude de rendement dans le deux cas permet de mettre en place la réversibilité ou l’irréversibilité du système vis écrou en fonction de la valeur de l’angle . Angle d’inclinaison de l’hélice M oment moteur
F orce axial e motri ce
0
Rendement
R versibilit
I rré versible
Rendement
0
Ré ver sibi lité
/2-
’
tan
0
tan Ré versibl e
Bloqu e
B loqu e
tan
Ré versibl e
- Le système vis écrou est réversible pour les angles d’inclinaison de l’hélice : Transmission de puissance
/2
’
101
tan I rré versible
2
Cours de : Conception Mécanique
IV – Résistance et déformation : IV-1/- Résistance du noyau : (Traction ou compression + T orsion) - La vis est sollicitée principalement en traction ou compression et torsion, avec éventuellement de la flexion. - Dans le cas le plus simple, les efforts internes dans une section droite de la vis se composent de : - Un effort normal N - Un moment de torsion M t
- La vis étant modélisée par une tige pleine, de diamètre équivalent : d éq = d noyau - La contrainte normale équivalente maximale dans la vis est calculée à partir du critère de Von M ises :
éq
4 N 2 .d éq
Avec :
3 2
2
R pe Contrainte normale équivalente ; Contrainte de cisaillement ; : : Contrainte normale ; R pe : Résistance pratique en traction ;
: é q
Mt 16 .d
et
3 éq
Remar que : La concentration des contraintes au fond du filet dépend des formes et dimensions du filet, du procède d’obtention et des traitements de surface. La contrainte maximale devient :
max = k. éq R pe
k : coefficient de concentration de contraintes.
IV-2/- Résistance au flambage :
- Une vis longue par rapport à son diamètre, soumise à une charge de compression doit être vérifiée au flambage. La charge critique d’Euler ne doit jamais être atteinte. Il faut donc chercher une charge admissi ble F adm sur la poutre pour quelle reste stable en toute sécurité :
Avec : F ad m
R pc .S
c
2
;
2.
Et :
F C
2 . E . I GZ L2
;
L
;
I GZ
I GZ S
; c
2
. E Re
4 .d noyau
64
F adm : Charge admissible par la vis F c : Charge critique de flambage R pc : Résistance pratique à la compression R e : Résistance élastique du matériau E : Module d’élasticité longitudinal S : Air de la section droite L : Longueur libre de flambage : L = . l I GZ : Moment quadratique ρ : Rayon de giration de la section λ : Elancement de la vis λc : Elancement critique de la vis
[N] [N] [MPa] [MPa] [MPa] [mm²] [mm] [mm 4 ] [mm]
Fig155
Transmission de puissance
102
F adm ≤ F c
Cours de : Conception Mécanique IV-3/- Résistance au matage :
- La répartition des pressions au niveau des filets est supposée uniforme le long de la surface de contact. P
F a S 1
P ad m
S 1
Avec
d d 3
.d ² d 3 ² .n 4
: Diamètre nominal de la vis d d 3 : Diamètre intérieur du filetage (diamètre du noyau)
Fig156
IV-4/- Cisaillement des filets :
- La contrainte moyenne tangentielle au cisaillement est donnée par la relation suivante :
F a S 2
adm
Avec
S 2 d 3 Pas n
(voir fig 154)
F a : Effort axiale S 2 : Section cisaillée : Diamètre de noyau de la vis d 3 n : Nombre des filets en prise
- Pour les autres types des filets, le calcul se fera de façon analogue en tenant compte de la forme de la surface cisaillée.
N° de fi le ts
d 3
- Les filets ne sont pas sollicités de façon identique. Les premiers filets supportent la majorité de la contrainte de cisaillement.
s a P
6 5 4 3 2 1
%A
Fig157
V – Filetages : V-1/- Type du filetage : V-1-1/ - F iletage mé tr ique I SO àfilet tr iangu laire : - Ce filetage est le plus utilisé en visserie- boulonnerie. Son profil est défini à partir d’un triangle équilatéral.
Fig158
V-1-2/ Transmission de puissance
103
Cours de : Conception Mécanique
- F iletage tr apé zoï dal : - Il permet de réaliser des vis de manœuvre ou de transmission d’efforts et accepte mieux les traitements thermiques que le filet triangulaire. Les vis à un filet sont généralement irréversibles. Exempl es de dé signation (NF I SO 2901) : Tr 24 x 5 – 7e : Vis à un filet, d = 24mm, qualité moyenne. Tr 24 x 5 LH – 7e : Idem avec pas à gauche. Tr 24 x 15 (P5) – 7e : Vis à 3 filets Ph = 15 et p = 5, qualité moyenne.
Fig159
Fig160
V-1-3/ - F il etage rond : - C’est le plus résistant au choc. Il peut supporter des efforts importants et sa forme arrondie limite le phénomène de concentration de contraintes. - Les diamètres nominaux (de 12 à 110 mm) sont les mêmes que ceux du filet triangulaire ISO. Le pas est un nombre entier (préférer les pas de 2 – 3 – 4 et 6mm). Exemples de dé signation : Rd 36 x 4, à gauche, 3 filets : Pour vis d = 36, pas de 4 mm, 3 filets à gauche.
Fig161
V-2/- Filetage à droite – Filetage à gauche – Vis à un ou plusieurs filets :
Filetage et filet à gauche
Filetage et filet à droite
Fig162
Fig163
Transmission de puissance
104
Cours de : Conception Mécanique
VI – Application : - On donne le système mécanique de levage, utiliser pour faire monter une charge Q = 1800 daN représenté par le schéma cinématique suivant :
Ecrou Charge
Moteur M Fig164 Hypothèse Données
: La charge est repartie symétriquement par rapport à l’axe de la vis.
:
et d - La vis de diamètre d = 30 mm Avec d moy = d – 0,5 . Pas noy = d – Pas – 2a - Filet carré - Pas = 6 mm 2 = 50 daN/mm - Résistance pratique en traction : R pe
Coefficient de frottement : f = 0,1 Ecrou de hauteur : H = 72 mm Résistance pratique au cisaillement : R = 10 daN/mm 2 pg 2 Pression maximal admissible : P adm = 12N /mm
Travail demande :
1) Vérifier la réversibilité du système vis écrou. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 2) Déterminer le couple nécessaire pour déplacer la charge vers le haut. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Transmission de puissance
105
Cours de : Conception Mécanique 3) Calculer le rendement du système vis écrou. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 4) Vérifier la résistance de la vis pendant la phase de montée. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 5) Vérifier la résistance d’un filet au cisaillement. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 6) Vérifier la résistance d’un filet à la pression spécifique. ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… 7) Calculer la longueur du flambage de la vis pour = 1 . (L= . l) ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Transmission de puissance
106
