Svodjenje Na i Kvadrant

SVODJENJE NA I KVADRAT

Kao što smo videli do sada, trigonometrijske funkcije uglova I kvadranta izračunavaju se na isti način kao trigonometrijske funkcije oštrih uglova pravouglog trougla. Pokazaćemo da se preko formula, trigonometrijske funkcije proizvoljnog ugla mogu izraziti preko trigonometrijskih funkcija odgovarajućeg ugla I kvadranta. Taj postupak se zove svodjenje na I kvadrat.

1) Iz II u I kvadrant Važe formule za: 0   

 2

  sin      cos  odnosno sin  900     cos  2     cos       sin  odnosno cos  900      sin  2 

sin(   )  sin 

  tg      ctg 2 

odnosno

tg  900     ctg

odnosno :

  ctg      tg 2 

odnosno

ctg  900     tg

cos(1800   )   cos 

cos(   )   cos  tg (   )  tg ctg (   )  ctg sin(1800   )  sin  tg (1800   )  tg ctg (1800   )  ctg

Primeri: a) sin 115 o  sin(90 o  25 o )  cos 25 o a može i:

sin115o  sin(180o  65o )  sin 65o Naravno, već smo videli ‘’veze’’ u I kvadrantu i znamo da je cos 25o  sin 65o . Tako da možete upotrebiti bilo koju formulu iz ove dve grupe. 3 2     cos      cos   4 4 4 2  o o o o v) tg141  tg 180  39   tg 39 g) ctg101o  ctg 90o  11o   tg11o b) cos

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

1

2) iz III u I kvadrant

Opet imamo dve grupe formula:  3  sin       cos   2   3  cos       sin   2 

sin(   )   sin  cos(   )   cos  tg (   )  tg ctg (   )  ctg to jest:

 3      ctg tg   2   3      tg ctg   2 

sin(1800   )   sin  cos(1800   )   cos  tg (1800   )  tg

tj. sin  2700      cos  tj.

cos  2700      sin 

tj.

tg  2700     ctg

tj

ctg  2700     tg

ctg (1800   )  ctg

Primeri:

4   3  3     sin     sin       sin   3 3 3 2  3 3  o o o o b) cos 207  cos180  27    cos 27 v) tg 263o  tg 270o  7 o   ctg 7 o 7    g) ctg  ctg      ctg  3 6 6 6  a) sin

3) Iz IV u I kvadrant

 3       cos  sin   2   3      sin  cos   2   3      ctg tg   2   3      tg ctg   2 

tj.

sin  2700      cos 

tj.

cos  2700     sin 

tj.

tg  2700     ctg

tj.

ctg  2700     tg

Ako posmatramo negativan ugao ( ) : sin(-  ) = - sin  cos(-  ) = cos  tg(-  ) = tg  ctg(-  ) = -ctg  Ovo nam govori da je jedino cos  parna funkcija (jer ‘’uništava’’ minus a sve ostale su neparne) www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

2

Primeri:





a) sin 307 o  sin 270o  37 o   cos 37 o





b) cos  30o  cos 30o  v) tg

3 2

 11 3    tg     tg   6 6 3  6

 3   g) ctg     ctg   3 3  3 Što se tiče periodičnosti funkcija sin x i cos x već smo uočili da važi:

sin(  2k )  sin 

odnosno

cos(  2k )  cos 

odnosno

sin(  3600  k )  sin  cos(  3600  k )  cos 

za k koji je bilo koji ceo broj. Dakle: osnovni period finkcija sin x i cos x je T  2 odnosno T  360o Primeri: a) sin 1170o  (oduzmimo od 1170o po 360o dok se ne dodje ‘’ ispod’’ 360o )

1170o  360o  810o 810  360o  450o 450o  360  90o Pa je: sin 1170o  sin 90o  1 ili možemo zapisati: sin 1170o  sin(90o  3  2 )  sin 90o b) cos 780o  (sličan postupak)

780o  360o  420o 420o  360o  60o Pa je cos 780o  cos 60o 

1 1 tj. cos 780o  cos(60o  360o )  cos 60o  2 2

Za tangense i kotangense važi: www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

3

tg (  k )  tg

odnosno

tg (  k 1800 )  tg

ctg (  k )  ctg

odnosno

ctg (  k 1800 )  ctg

Dakle: osnovni period funkcija tgx i ctgx je T   odnosno T  180o Primeri: a) tg 750 o  (odavde od 750 o oduzmemo po 180 o dok se ne ‘’ spustimo’’ ispod 180 o ) 750 o  180 o  570 o

570 o  180 o  390 390 o  180 o  210 o 210 o  180 o  30 o 3 3 o b) ctg  1110  ctg1110o  ctg 30o   3 tg 750 o  tg 30 o 





jer je

1110o  6 180o  30o

ZADACI: sin 750 o  cos 390o  tg1140 o 1) Uprostiti izraz: ctg 405o  sin 1860 o  cos 780 o Rešenja: Najpre ćemo upotrebom formula sve prebaciti u I kvadrant!!!

1 2 3 cos 390o  cos(30o  360o )  cos 30o  2 o o o o tg1140  tg (60  6 180 )  tg 60  3

sin 750o  sin(30o  2  360o )  sin 30o 

_________________________________________________________

ctg 405o  ctg (45o  2 180o )  ctg 45o  1 3 2 1 cos 780o  cos(60o  2  360o )  cos 60o  2 Vratimo ova rešenja u početni zadatak: sin1860o  sin(60o  5  360o )  sin 60o 

sin 750  cos 390  tg1140  ctg 405o  sin1860o  cos 780o o

o

o

1 3  3  2 2 3 1  1 2 2

 3

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

4

2) Uprosti izraz:

17 7 17  sin  tg 6 3 4 10 7 8 ctg  cos  sin 3 4 3

cos

Slično kao u prethodnom zadatku, sve prebacujemo u I kvadrant. 17 17 180o 3 cos  cos  cos 510o  cos150o  cos(180o  30o )   cos 30o   6 6 2 sin tg

7   6  sin   3 3 3

 3    o   sin   2   sin  sin 60  3 2  3 

 17   16    o  tg     tg   4   tg  tg 45  1 4 4 4 4 4    

_________________________________________________________________________

ctg

10   9  ctg   3 3 3

 3    o   ctg   3   ctg  ctg 60  3 3  3 

7 7 180o 2  cos  cos 315o  cos(45o )  cos 45o  4 4 2 8 2 2 180o  2 6   2  sin  sin    2   sin  sin  sin120o  sin(90o  30o )    sin  3 3  3 3  3  3  cos

 cos 30o 

3 2

Zamenimo ove vrednosti u zadatak: 3 3 17 7 17  1   sin  tg 3 3 2 3 2 2 2 6 3 4      10 7 8 2 2 2 2 3 2 3  cos  sin ctg   3 4 3 3 2 2 3) Dokazati indetitet: cos

sin   2 sin(   ) 1  tg cos(   )  cos  2 Kod indetiteta krenimo od jedne strane i transformišemo je, dok ne dodjemo do druge strane. www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

5

Važi: sin(   )  sin  cos(   )   cos  sin   2sin(   ) sin   2sin   sin     cos(   )  cos   cos   cos  2 cos  1 sin  1   tg 2 cos  2 4) Dokazati indetitet:  3      ctg     cos( ) cos  2  2    sin  cos(2   )tg (   )

Važi:   3 cos      sin    2   ctg      tg 2  cos( )  cos  cos(2   )  cos  tg (   )  tg Pa je:  3    cos     ctg     cos( ) ( sin  ) (tg ) (cos  )  2  2     sin  cos(2   )tg (   ) (cos  ) (tg )

www.matematiranje.com www.matematiranje.com/en.html

6