UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO MATEMÁTICA 2 Nombre: Cristhian Roldán Curso II – Paralelo: Paralelo: 1
Fecha: 06/10/2017
Investigacion #: 1
Docente: MSc. Jenny Morillo
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN FORMATIVA SUPERFICIES CÓNICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA INTRODUCCIÓN Las secciones cónicas constituyen uno de los conjuntos de curvas más importantes de la geometría, las cuales son comúnmente utilizadas en distintas ramas de la ciencia e ingeniería. Se denomina sección cónica a los cortes en los conos que generan figuras geométricas como son: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. A lo largo de la historia de la arquitectura las cónicas se han utilizado muy favorablemente para el diseño de edificaciones a gran escala, siendo así, que una de las superficies sup erficies que más se han aplicado es la bautizada con el pomposo nombre de paraboloide hiperbólico. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominaron como superficies regladas. Así mismo, todas las demás tienen una gran importancia en la Arquitectura, ya que la misma forma tiene una buena resistencia estructural, y estética se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica. Este uso se ve dado en puentes, anfiteatros, en escaleras, cúpulas, estadios, etc. Las formas cónicas no solo se aplica en la arquitectura como composición de volúmenes, sino también como limitador de espacios arquitectónicos, los cuales son al igual que las edificaciones y otros factores lo que forman lo llamado como Arquitectura. En fin, podemos ver el gran y fascinante uso de las superficies cónicas que podemos utilizar en la Arquitectura.
SECCIONES CÓNICAS Se denomina sección cónica, o simplemente cónica, a la curva resultante de la intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en 4 tipos: Circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.
Circunferencia Círculo
( x – h ) 2 + ( y – k ) 2 = r 2
El centro es ( h, k ). El radio es r .
Si el plano realiza sobre la superficie cónica un corte perpendicular al eje, la sección resultante es una Circunferencia.
Elipse Si inclinamos un poco el plano, de manera que quede oblicuo con el eje y corte las generatrices del cono, la sección resultante es una E lipse.
Elipse con el eje horizontal mayor
El centro es ( h, k ). La longitud del eje mayor es 2 a. La longitud del eje menor es 2 b. La distancia entre el centro y cualquier foco es c con c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0.
Elipse con el eje vertical mayor
El centro es ( h, k ). La longitud del eje mayor es 2 a. La longitud del eje menor es 2 b. La distancia entre el centro y cualquier foco es c con c 2 = a 2 – b 2 , a > b > 0.
Parábola Si continuamos inclinando el plano hasta que quede oblicuo con el eje y sea paralelo a una de las generatrices, la sección lograda es una Parábola.
Parábola ( y – k ) 2 = 4 p ( x – h ), p ≠ 0 con el eje horizontal
El vértice es ( h, k ). El foco es ( h + p, k ). La directriz es la recta x = h – p. El eje es la recta y = k.
Parábola con el eje vertical
( x – h ) 2 = 4 p ( y – k ), p ≠ 0
El vértice es ( h, k ). El foco es ( h, k + p ). La directriz es la recta y = k – p . El eje es la recta x = h.
Hipérbola
Si se sigue inclinando el plano, de manera que sea paralelo a dos generatrices, el corte resulta en una curva con dos ramas llamada Hipérbola. Hipérbola con el eje horizontal transversal
El centro es ( h, k ). La distancia entre los vértices es 2 a La distancia entre los focos es 2 c . c 2= a 2+ b 2
Hipérbola con el eje vertical transversal
El centro es ( h, k ). La distancia entre los vértices es 2 a La distancia entre los focos es 2 c . c2=a2+b2
APLICACIONES EN LA ARQUITECTURA Circunferencia
El uso de la circunferencia en la arquitectura es excelente ya que permite el ahorro en superficies de muros y cerramientos, ya que se la considera como la forma más eficiente de todas. Una obra reconocida a nivel mundial por su belleza y gran tamaña es: El ojo de Londres.
La circunferencia es comúnmente utilizada en redondeles, estadios, cúpulas. La ecuación empleada en el ojo de Londes es la siguiente: X2 + y2 = r2 , en la cual el radio es 60 metros. Por lo tanto la ecuación final es: X2 + y2 = 120
Ojo de Londres Parábola
La parábola es un lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta llamada directriz. Para la arquitectura tiene una gran importancia, ya que su forma tiene una gran resistencia para las construcciones ya sea de manera estética o estructural. A ésta se la encuentra en reconocidas obras arquitectónicas las cuales nos prueban que son aptas para grandes obras entre estas tenemos: Paraboloide hiperbólico en Valencia, Gateway Arch, Puente de ventas.
Puente de ventas
Paraboloide hiperbólico en Valencia E lipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. En la arquitectura se le ha encontrado una gran utilidad ya que se la encuentra en anfiteatros y estadios. Entre los más reconocidos están: Stade de France, The Cybertecture Egg, Anfiteatro de Capua.
Anfiteatro de Capua
Stade de France
The Cybertecture Egg Hipérbola
Es un lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos siempre es constante y menor que la distancia entre los focos. La hipérbola al igual que la parábola presenta una buena resistencia estructural, por lo que su forma tiene un grado de complejidad. Oscar Niemeyer realizo una de sus más grandes obras como es la Catedral de Brasilia la cual basándose en el uso de las hipérbolas. Ésta tiene una pureza desde cualquier punto que se la observe, ya que presenta una gran religiosidad. Otras obras que también son reconocidas por su forma son: la Torre de Koba, torre de control del Aeropuerto de Barcelona, Puente hiperbólico de Manchester.
Puente hiperbólico de Manchester
Torre de control del Aeropuerto de Barcelona
La Torre de Koba
CONCLUSIONES Las secciones cónicas tienen una gran participación en las obras arquitectónicas ya que permiten proporcionar belleza a diferentes obras. Es importante que los jóvenes estudiantes de Arquitectura aprendan a aplicar las secciones cónicas en sus diferentes proyectos, ya que eso proporciona belleza a los mismos.
BIBLIOGRAFÍA
http://arquitecturafauunfv.blogspot.com/ https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/3/1487.p df https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics /conic-sections-and-standard-forms-of-equations http://www.monografias.com/trabajos82/secciones-conicas-oconicas/secciones-conicas-o-conicas2.shtml
