Aplicaciones Al Área de Arquitectura

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Matemáticas Aplicadas a la Arquitectura Héctor Manuel De León Filguerez

B

b

a

70  70 

A

C

c=2

2m

tan70° =

 2

 = 2 t a n 7 0 ° = 2( 2(2.7475) 2.7475)  = 5.50  =  5.50 5.50 + 2 = √ 34.25

∴

 = 5.85

El extremo superior de la escalera se encuentra a 5 .50 m y la longitud de la escalera es de 5.85 m Ejemplo 3

Aplicación de triángulo no rectángulo

Un Topógrafo hace un levantamiento de un terreno triangular, del punto A observa el punto C con  37° 28  y una distancia AC de 83.35 , de este mismo punto A se observa el punto B con  52° 18  y una distancia de 30.8 . a) Calcular el perímetro del terreno para adquirir los metros de malla que se requieren para circular, b) Calcular el área del terreno.

N

O

A

S

c = 30.8 52 18' 18'

B 37 29' 29' E

a

b = 83.35

C

∠  = 52° 18 18 − 37° 37° 28 28 = 14° 14° 50 50

∴

∠  = ° 

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Unidad II. Trigonometría Sección 2.6 Aplicaciones al área de Arquitectura

Se aplica la ley de los cosenos

 =  +  − 2 cos = (83.35) 83.35) + (30.8) 30.8) − 2(83.35)( 83.35)(30.8 30.8)) cos14° 50′  = 7,895 7,895.8 .866 − 5,13 5,134. 4.36 36((0.9667) 0.9667) = 7,89 7,895. 5.86 86 − 4,96 4,963. 3.39 39 = 2,93 2,932. 2.47 47  =  2,932 ,932.4 .477 = 54.1 54.155

∴

 = . .  

Perímetro

 = 54.15 + 83.35 + 30.8 = 168.3

∴

 = . 

Área

 =

   (83.35)( 83.35)(30.8 30.8))  14° 50′ 2,567.18( 2,567.18(0.2560) 0.2560) 657.2 = = = = 328.6 2 2 2 2

∴

 = . 

El perímetro del terreno triangular es de 168.30 m y el área del terreno es de 328.36 m 2 Ejemplo 4

Aplicación de triángulo no rectángulo

Se va a construir un túnel a través de una montaña desde el punto A hasta el punto B. Un punto C que es visible desde A y B se encuentra a 384  de A y 555  de B. ¿Cuál será la longitud del túnel si el ángulo  = 35° 45′?

c

A Túnel

A

b = 384 m 384 m

B

B

a = 555 m

555 m 35 45' 45' 35 45'

C C

  =  +  − 2 cos = (555) 555) + (384) 384) − 2(555)( 555)(384 384)) cos35° 45′   = 455, 455,48 4811 − 426, 426,24 2400(0.8116) 0.8116) = 455, 455,48 4811 − 345, 345,93 936.3 6.388 = 109,5 109,544 44.62 .62  = 109 109,5 ,544 44.6 .622 = 330 330.97 .97

∴

La longitud del túnel es de Ejemplo 5

Aplicación de la ley del pa ralelogramo

 = . .  . 

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114


Q = 60 N

25

P = 40 N 20

A

B

F2 = 60 N 25 A

F2 = 60 N

R

C

F1 = 40 N

∠  = 180° − 25° = 155° ̅  )( ̅  ) cos = (40) )(  = ̅  + ̅  − 2(  40) + (60) 60) − 2(40)( 40)(60 60)) cos155°  = 5,20 5,2000 − 4,80 4,8000(−0.9063) −0.9063) = 5,20 5,2000 + 4,35 4,350. 0.24 24 = 9,55 9,550. 0.24 24  = 9,550.24 = 97.72

∴

 = .  

La magnitud de la resultante es de 97.72 N

2.6.1

Ejercicios

Ejercicios propuestos para resolver en el Aula. I.

Resolver los siguientes problemas de aplicación usando los triángulos rectángulos 1.

Un cierto día de primavera, un edificio de 100 m de altura proyectó una sombra de 16,50 m de largo. ¿Cuál era el ángulo de elevación del sol?

2.

Una carretera tiene la inclinación de 6° respecto de la horizontal. Después de viajar 10,000 pies a lo largo de la carretera, se pide calcular, con aproximación a la decena más cercana, a) el aumento de altura del móvil, b) la distancia recorrida horizontalmente.

3.

Para determinar la altura de una torre de transmisión de televisión, un agrimensor camina alejándose 300 metros de la base de la torre. Luego mide el ángulo de elevación y encuentra que es de 40º. Si el teodolito está a 2 metros del piso cuando la observación se realiza, ¿cuál es la a ltura de la torre?

4.

Un tramo de carretera forma un ángulo de 15 ° con la horizontal. Al recorrer 200 m por la carretera,




6.

II.

Un topógrafo mira la cima de un edificio, bajo un ángulo de elevación de 21° 35’. El piso es horizontal. El teodolito (con que mide el ángulo) está a 1.5 m por encima del piso y a 61.96 m (horizontalmente) del edificio. Hallar la altura del ed ificio.

Resolver los siguientes problemas de aplicación usando los triángulos no rectángulos 7.

En un lote de terreno de forma triangular ABC, AC = 326 m apunta al S 82°30' E y CB = 222 m tiene un rumbo N 61°20'W, 61°20'W, Halle la longitud y el rumbo de AB. (Sugestión: trace la altura relativa al lado AC).

8.

La base de una torre de microondas, tiene un ángulo de elevación de 24°19' respecto a un observador situado a 200 m cuesta abajo de la base. Dic ho observador también ve que una sección de la torre necesita reparación. Si los ángulos de situación de los extremos de la sección son 48°37' y 63 °21', calcule la longitud de la sección por reparar.

9.

Un punto B es inaccesible e invisible desde un punto A, se escogen dos puntos C y D que están alineados con A por los costados costados y que son son visibles desde desde B, de tal manera que se miden miden los ángulos ADB B  55 ACB B  41  AD 5518' y  AC 4136' . Si AD  432.3 m y AC  521.8 m, cual es la longitud del segmento AB.

III.

Resolver los siguientes problemas de aplicación usando la ley del paralelogramo 10. Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores (momo muestra la figura). Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5 000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón, determínense la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que  = 45°. A

30 B

C

11. Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas (como se muestra en la figura) determine la magnitud de la resultante usando la ley del paralelogramo. 800 lb

60

35

115



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12. Un cuerpo es arrastrado por dos cuerdas (como se muestra en la figura). La tensión en AB es AB es de 500 lb. lb. Si se sabe que la resultante de las dos fuerzas aplicadas en A está A está dirigida a lo largo del cuerpo arrastrado, determínese a) la tensión de la cuerda AC y y b) la magnitud de la resultante resultante de las dos fuerzas aplicadas en A en A.. B

30 A

25 C

Ejercicios propuestos para resolver extra clase. I.

Resolver los siguientes problemas de aplicación usando los triángulos rectángulos 13. Cuál es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 150 m de altura cuando el sol se ha elevado 20° sobre el horizonte. 14. Para medir la altura de una montaña, un topógrafo toma dos observaciones de la cima desde dos puntos separados una distancia de 1000 metros en línea recta hacia la montaña. La primera observación tiene como resultado un ángulo de elevación de 47º, la segunda tiene un ángulo de elevación de 35º. Si el teodolito está dos metros del piso, ¿cuál es la altura de la montaña? 15. Una antena de TV está sostenida por tres tirantes de acero sujetos a anclas situadas a 67 m de la base de la antena, espaciadas equidistantemente alrededor de ella. Halle el ángulo que forma cada tirante con el piso y la suma de sus longitudes, si sus retenes están, respectivamente, a 67, 100 y 125 m de altura sobre el suelo. 16. Un camino recto con inclinación uniforme lleva desde un hotel a 2640 metros hasta un mirador situado a 3663 metros. Si la longitud del camino es de 4653 metros. ¿Cuál es la pendiente del camino? 17. Desde la parte superior de un edificio de 18.5 m de altura, el ángulo de elevación de la punta de un poste es de 14°. En la base del edificio el ángulo de elevación de la punta del poste es de 28°. Hallar la altura del poste y la distancia del poste a partir del edificio.

II.

Resolver los siguientes problemas de aplicación usando los triángulos no rectángulos 18. Para determinar la distancia a través de un río recto un topógrafo elige dos puntos P y Q en la ribera, donde la distancia entre P y Q es de 200 m. Desde de estos puntos se observa un punto R en la ribera opuesta. El ángulo entre los lados PQ y PR mide 63° 06’ y el ángulo entre los lados PQ y QR mide 80° 24’. ¿Cuánto es la longitud del ancho del río? 19. Tres aldeas A, B, y C distan entre si AB = 32 km, B C = 18 km y AC = 2 0 km. La carretera (recta) de A a C, va a prolongarse para que un nuevo ca mino que parte de B la encuentre en ángulo recto en el punto D.




21. Un poste vertical de 60m de longitud está colocado al lado de un camino inclinado. Proyecta una sombra de 138m de largo directamente colina abajo a lo largo del camino, cuando el ángulo de elevación del sol es de 58°. Encuentra el ángulo de inclinación del camino.

III.

Resolver los siguientes problemas de aplicación usando la ley del paralelogramo 22. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas (F 1 y F2) las cuales forman un ángulo de 34° 32’ y la resultante tiene una magnitud de 28 kg, F 2 de 15 kg. Hallar el ángulo que forma forma F 1 con la resultante, así como la magnitud de F 1. 23. Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas (como se muestra en la figura) determine la magnitud de la resultante usando la ley del paralelogramo.

45 25 300 lb

200 lb

24. Un cuerpo es arrastrado por dos cuerdas (como se muestra en la figura). Si se sabe que la tensión en la cuerda AB cuerda AB es es de 750 lb, determínese la tensión en la cuerda AC y y el valor de β tal que la resultante ejercida sobre A sea una fuerza de 1,200 lb dirigida a lo largo del cuerpo arrastrado.. arrastrado..

B

30 A

C

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