Aksiomi statike Aksiomi statike su tvrdnje koje nije potrebno posebno dokazivati a na kojima počivaju sve teoreme i dokazi statike. Navest ćemo 5 aksioma: 1. Ako na neko tijelo koje je u stanju ravnoteže djeluju samo 2 sile tada te sile leže na istom pravcu, suprotnog su smijera i istog intenziteta. F2=-F1 2. Ako nekom krutom tijelu koje miruje ili se kreće dodamo ili oduzmemo uravnoteženi sistem sila tada se stanje mirovanja ili kretanja tog tijela neće promjeniti. 3. Rezultanta dviju sila čiji se pravci sijeku leže na dijagonali paralelograma kojeg formiraju te dvije sile i jednaka je Fr=F1+F2 4. Aksiom o akciji i reakciji. Dva tijela djeluju jedno na drugo silama koje leže na istom pravcu suprotnog smijera i istog intenziteta. F2,1=-F1,2 5. Ukoliko se deformabilno tijelo koje je u stanju mirovanja ukruti tada se njegovo stanje ravnoteže neće promjeniti.
Veze i njihove reakcije Veze su prepreke koje spriječavaju pomjeranja posmatranog tijela u određenim pravcima. 1. Glatka veza je ona kod koje se može zanemariti trenje. Kod takve veze je reakcija okomita na zajedničku tangentu u ravni između dva tijela u njihovoj tačci dodira. 2. Uže (konopac) U slučaju užeta kao veze čija je težina zanemariva u odnosu na vanjske sile koje djelu na njega reakcija veze je u pravu užeta i može biti samo istežuća. 3. Štap čija se težina može zanemariti u odnosu na vanjske sile koje na njega djeluju i u slučaju da nema drugih sila između krajnjih tačaka štapa ima reakciju veze u pravcu samog štapa i ona može biti zatežuća ili pritiskajuća. 4. Cilindrični zglob Cilindričnu vezu čine osovina i čaura pri čemu se osovina može obrtati u čauri ili obrnuto a može se i aksialno pomjerati. Reakcija cilindrične veze ima radialni pravac, može imati bilo koji pravac okomit na podužnu osu. U ovom slučaju nepoznata nam je reakcija veze i njen položaj. Još je praktičnije nepoznatu reakciju veze prikazati preko njenih projekcija na 2 ose okomite na podužnu osu zgloba. 5. Podupirač U slučaju podupirača kao veze reakcija veze je prostorna sila koju je mnogo pogodnije prikazati preko projekcija na 3 ose. 6. Sferni zglob Reakcija sile je takođe prostorna sila.
Aksiom o vezama Nepoznate sile u statici se mogu određivati na osnovu aksioma o vezama koji glasi: Ravnoteža vezanog tijela se može posmatrati tako što ćemo ukloniti veze kao prepreke a tom tijelu priložiti reakcije veze (reaktivne sile veza) Sistem sučeljnih sila je takav sistem čiji se pravci sijeku u jednoj tački.
Geometrijski način slaganja sila će imati za osnovu aksiom o slaganju dvije sile čiji se pravci sijeku u jendoj tački, to pravilo paralelograma se može posmatrati kao pravilo trougla. Rezultanta sučeljnih sila jednaka je
vektorskom zbiru svih sila posmatranog sistema, a pravac rezultante prolazi kroz tačku sučeljavanja sila. Razlaganje sile na dvije sile: U tom slučaju postupa se obrnuto od redoslijeda korištenog u aksiomu o slaganju po pravilu paralelograma. Projekcije sila projekcija sile na osu je skalarna veličina koja je jednaka proizvodu intenziteta i cos ugla koji sila zaklapa sa tom osom.
Analitički način prikazivanja sile Silu je najpogodnije prikazati analitičkim načinom preko njenih projekcija na osu dekartovog pravoulgog desno orijentiranog koord. sistema.
Analitički način slaganja sile Slaganje suč. sila u rezultantu počiva na sljedećoj teoremi: Projekcija glavnog vektora nekog sistema sila na datu osu jednak je zbiru projekcija sila na tu osu. Glavni vektor predstavlja vektorski zbir datih vektora. Teorema o 3 sile Ako su 3 neparalelne sile u ravnoteži tada su one sućeljne sile u istoj ravni. Ako su sile F1, F2 i F3 neparalelne sile koje su u ravnoteži tada rezultanta sila F1 i F2 prema aksiomu 1 leži na istom pravcu sa silom F3 jer je sa njom u ravnoteži. Iz tog slijedi da se sile F1, F2 i F3 sućeljavaju u istoj tačci npr. A i leže u istoj ravni. Statički određeni i neodređeni problemi Ako je broj uslova ravnoteže jednak broju nepoznatih veličina koje se traže u datom problemu tada kažemo da se radi o statički određenom problemu a ukoliko je broj nepoznatih većih od broja uslava ravnoteže tada se radi o statički neodređenom problemu. SBcosβ-SAcosα=0 SAsinα-SBsinβ-G=0
Varinjon-ova teorema Neka je zadat sistem sućeljnih sila u ravni F1,F2...Fn. Neka je rezultanta ovog sistema F=∑Fi Dokazat ćemo teoremu koja glasi: Moment rezultante sućeljnih sila u ravni za proizvoljnu tačku kao pol u istoj ravni jednak je sumi momenata pojedinih sila za isti pol. Dokaz: Ustanovit ćemo osu x koja je okomita na duž koja spaja tačku 0 sa tačkom sučeljavanja datih sila A. SLIKA STR 40 Uslovi ravnoteže ravnog sistema sućeljnih sila možemo napisati i u obliku dvije momentne jednačine. ∑MBFi=0 ∑MCFi=0 Tačke ABC ne smiju ležati na istom pravcu jer se može desiti da su takvi uslovi zadovoljeni a da se ipak ne radi o ravnoteži.
Sistem paralelnih sila i spregova u ravni slaganje 2 paralelne sile istog smijera: Neka su zadate dvije paralelne sile istog smijera F1 i F2 Potrebo je naći rezultantu tavkih sila u tom cilju datim silama dodajemo uravnoteženi par sila F1' i F2' u tačkama A i B. Sile F1 i F1' daju svoju rezultantu Fr1. Ponovo ćemo ih rastaviti na
komponente od kojih su sastavljene. Sile F1' i F2' će se poništiti i kao rezultat dobit ce se sile F1 i F2 na istom pravcu OC. Spreg sila Čine dvije paralelne sile istog intenziteta i suprotnih smijerova Moment sprega sila se definiše kao skalarna veličina u obliku m=+-F1*h=+-F2*h ovdje je h krak sprega koji je jednak rastojanju pravaca sila F1 i F2. Znak + vrijedi ako spreg nastoji da obrće tijelo na koje djeluje u smijeru suprotnom od kazaljke na satu. Očito je da nepostoji neka sila koja može da zamjeni dejstvo sprega, to znači da spreg nema svoju rezultantu. Slaganje spregova u ravni m1, m3...mn potrebno je vidjeti dal se taj sistem spregova može zamjeniti jednim rezultujućim spregom i ako može vidjeti koji je njegov moment. Zadane spregove ćemo zamjeniti odgovarajućim parovima sila Fi' Fi'' pri ćemu sila Fi' leži na pravcu koja prolazi kroz neku tačku A. a sila Fi'' na njemu paralelnom pravcu koji prolazi kroz neku tačku B mora biti zadovoljen uslov MBFi=m*i Sila Fi' će dati galvni vektor Fr'=∑Fi' koja prolazi kroz tačku A a sila Fi' dat će glavni vektor Fr''=∑Fi'' koja prolazi kroz tačku B. Sile Fr' i Fr'' čine spreg sila čiji je glavni moment mR=∑mi Prvu silu svakog sprega ćemo ucrtat iz neke tačke A na istom pravcu a preostale sile ćemo iscrtati iz neke tačke B na pravcu koji je paralelan prvom pravcu. Pri tome mora biti zadovoljen uslov MBFi=MAFi''=mi Sve sile na prvom pravcu koje prolaze kroz tačku A će dati galvni vektor Fr' a sile koje prolaze kroz B dat će glavni vektor Fr''
Proizvoljni sistem sila u ravni Redukcija sile na tačku:
Neka sila F djeluje u tačci A . U tačci B dodat ćemo uravnoteženi par sila F' i F'' (Fi'=F=-F'') Sile F i F'' čine spreg sila čiji je moment m=MBF Kao rezultat Transformacije dobit ćemo paralelno pomjerenu silu F iz tačke A u tačku B i spreg čiji je moment dat izrazom (1). Ovakva transformacija naziva se redukcijom sile na datu tačku pri čemu paralelnim pomjeranjem sile iz jedne tačke u drugu tačku (tačku redukcije) moramo dodati i spreg čiji je moment jednak momentu zadane sile za tačku redukcije kao pol.
Redukcija ravnog sistema sila na tačku: Neka je zadan proizvoljni sistem sila u ravni F1,F2,...,Fn
Zadane sile ćemo njihovu redukciju za pol ''0'' pri čemu ćemo u tačci ''0'' dobit sistem suć. sila čiji je glavni vektor FR=∑Fi...(1) Pored toga redukcijom ovih sila na tačku ''0'' dobit ćemo i spregove m=M0Fi pri čemu svi ti spregovi daju glavni moment m0=∑M0Fi (2). Prema tome proizvoljni sistem sila u ravni se redukcijom za proizvoljni pol svodi na glavni vektor dat izrazom (1) i glavni moment dat izrazom (2) Redukcija ravnog sistema sila na prosti oblik: U zavisnosti od glavnog vektora FR i glavnog momenta m0 za ravni sistem sila mogu nastupit sljedeći slučajevi. a) FR≠0, m0=0 U tom slučaju sistem sila u ravni svodi se na rezultantu koja prolazi kroz tačku ''0'' i čija je vrijednost Fr=∑Fi b) FR=0, m0≠0 U ovom slučaju sistem sila u ravni svodi se na glavni moment koji je jednak
m0=∑M0Fi c) FR=0, m0=0 U ovom slučaju se radi o ravnoteži ravnog sistema sila. d) FR≠0, m0≠0 U ovom slučaju ćemo odabrati sile F' i F'' koje čine spreg m0 pri čemu je F'=-F'' =-FR i pri čemu sila F' djeluje u tačci ''0'' u tom slučaju sila F'' djeluje u nekoj tačci A. Tako da je zadovoljen uslov M0F''=m0 Sila FR i F' se poništavaju tako da na kraju dobijamo silu F'' u tačci A koja predstavlja rezultantu Fr=∑Fi
Uslov ravnoteže proizvoljnog ravnog sistema sila Kao što smo vidjeli uslovi ravnoteže ravnog sistema sila su FR=0, m0=0 iz ovog dobijamo FRx=0 , FRy=0, m0=0 pri čemu su x i y okomite ose u datoj ravni. Uslovi ravnoteže ravnog sistema sila mogu se napisati i u sljedećem obliku: ∑Fix=0, ∑MAFi=0, ∑MBFi=0 (2) Pri tome mora biti zadovoljen uslov AB┴x jer u tom slučaju mogu biti zadovoljeni uslovi (2), a da se ipak ne radi o ravnoteži kao na predhodnoj slici. Mogu se napisati i kao: ∑MAFi=0, ∑MBFi=0, ∑MCFi=0 ... (3) Pri tome tačke A,B i C ne smiju ležati na istom pravcu jer se u tom slučaju može desiti slučaj da su uslovi (3) zadovoljeni a da se ipak ne radi o ravnoteži. Uklještenje kao veza U opštem slučaju imaju 3 reakcije veze. Uklještenje kao veza se koristi tamo gdje treba sprječiti rotaciju tjela oko ose upravne na ravan djejstva sila. SLIKA STR 45 Uklještenje ne samo da prenosi kosu silu cije su komponente xA i yA reakcije u dva okomita pravca, a MA – moment uklještenja.
Gredni nosači u ravni (tipovi) Veliki dio elemenata konstrukcija u tehnici se može
posmatrati kao greda (vratila, osovine itd) Grede su elementi čije se poprečne dimenzije mogu zanemariti u odnosu na podužnu (uzdzžnu) dimenziju i koje mogu da trpe različite oblike vanjskih opterećenja. 5: Prosta greda - greda sa propustima – Ram- Konzola - Gerberova greda
Vrsta opterećenja greda Greda moze biti opterecena koncentrisanjim silama i kontinualnim opterecenjima koja mogu biti ravnomjerna ili promjenljiva.Vise međusobno povezanih greda na jednom pravcu cine tzv. kombinovanu gredu.
Moment savijanja, transfersalna sila i aksialna sila
Sila zove se poprečna ili transverzalna, otuda index T, sila zove se uzduzna , ili aksijalna-otuda indeks A, moment M zove se moment savijanja grede na odgovarajucem mjestu. Transverzalna sila nastoji da smakne jedan dio grede u odnosu na drugi i zato je opterecena na
smicanje, aksijalna sila je opterecuje na istezanje ili pritisak a moment M nastoji da savije gredu.
Veza između momenta savijanja I transverzalne sile Transverzalna sila u nekom presjeku grede jednaka je algebarskom zbiru projekcija spoljašnjih sila na osu upravnu na gredu-sa lijeve ili desne strane od tog presjeka Moment savijanja u nekom presjeku grede jednak je algebarskom zbiru momenata spoljašnjih sila koje djeluju na gredu sa lijeve ili desne strane od tog presjeka.
PITANJA I ODGOVORI IZ STATIKE (ZAVRSNI ISPIT GRUPA A; JEDAN DIO) 1:Varinjonova teorema o momentu rezultante sile u ravni
Neka je zadat sistem sućeljnih sila u ravni F1,F2...Fn. Neka je rezultanta ovog sistema F=∑Fi Dokazatćemo teoremu koja glasi: Moment rezultante sućeljnih sila u ravni za proizvoljnu tačku kao pol u istoj ravni jednak je sumi momenata pojedinih sila za isti pol.moment rezultante ravnog sistema suceljnih sila za proizvljnu osu uspravnu na ravan dejstva tog sistema,jednak je algebarskog zbiru momenata.SLIKA Neka je njihova rezultanta Fr=∑Fi odabrati cemo u ravni neki pol o na duza OA,puvucemo neku osu yokomito. Moment proizvoljne sile ce biti jednak: FORMULA Slicno je i za rezlutantu Fr FORMULA Izraz 3 predstavlja variouvu teoremu o momentu rezultante suceljnih sila u ravni iz koje se vidi da je moment te rezultante za neki pol u istoj ravni jednak sumi momenata datih sila za dati pol.
2.Veza izmedu momenata savijanja i transferzalne sile
predpostavimo da smo gredu na proizvoljnom mjestu presjekli poprijecnim presjekom.posto su oba dijela grede u ravnotezi onda dio grede djeluje na drugi i obrnuto.Taj se utjecaj moze sresti na jedan glavni vektor i glavni moment. Pri tome se glavni moment tog djelovanja moze razloziti na transferzalnu komponentu.moment savijanja u presjeku grededefinise se kao suma momenata svih sila denso ili lijevo od presjeka za prosjecno tacku kao pol.predznak momanata savijanja ce biti u skladu sa slikom:Transferzalne sila u nekom presjeku grede se definise kao suma proekcij svih sila sa jedne ili druge strane presjeka na poprijecnu osu grede sa odredenim znakom kao na sl.slici: SLIKA Aksialna sila FA u nekom presjeku grede definiše se kao suma projekcija na pravac grede svih sila koje djeluju lijevo ili desno od presjeka grede sa određenim predznakom. Ukoliko aksialna sila isteže gredu tada važi znak plus (+).
3. -Veza između momenta sile za tačku i momenta sile za osu Moment sile za tačku O kao pol je kao što smo definisali
ako uspostavimo koordinatni sistem x,y,z tako da se njegovo izhodište nalazi u tački 0. tada če biti Tada izraz (1) možemo napisati u obliku determinante FORMULA Projekcija vektora na pojedine ose će biti FORMULA Prema tome vidimo da je projekcija momena sile za tačku na neku osu koja prolazi kroz tu tačku jednaka momentu sile za tu osu.
PITANJA I ODGOVORI IZ STATIKE (ZAVRSNI ISPIT GRUPA B; JEDAN DIO) 4.Slaganje spregova u prostoru :
Neka je zadan sistem spregova u prostoru: SLIKA Svaki od ovh spregova se moze rastaviti na odgovarajuce parove sila pri cemu po 1 sila iz svakog sprega polazi iz neke napadne tacke a preostale sile iz neke tacke B pri tome mora biti zadovoljen uslov: FORMULA Suceljne sile Fi u tacki A ce dati glavni vektor Fr= Fi u tačci B ce dati glavni vektor : FORMULA Ova 2 glavna vektora cine rezultujuci spreg:FORMULA Njegova vrijednost je: FORMULA Vidimo da je pri slaganju spregova u prostoru glavni moment= sumi momenata pojedih spregova
5.Sistem paralelnih sila i spregova u ravni slaganje 2 paralelne sile istog smijera:
Neka su zadate dvije paralelne sile istog smijera F1 i F2 Potrebo je naći rezultantu tavkih sila u tom cilju datim silama dodajemo uravnoteženi par sila F1' i F2' u tačkama A i B. Sile F1 i F1' daju svoju rezultantu Fr1. Ponovo ćemo ih rastaviti na komponente od kojih su sastavljene. Sile F1' i F2' će se poništiti i kao rezultat dobit ce se sile F1 i F2 na istom pravcu OC.
6.Veza između momenta savijanja I transverzalne sile:
Transverzalna sila u nekom presjeku grede jednaka je algebarskom zbiru projekcija spoljašnjih sila na osu upravnu na gredu-sa lijeve ili desne strane od tog presjeka Moment savijanja u nekom presjeku grede jednak je algebarskom zbiru momenata spoljašnjih sila koje djeluju na gredu sa lijeve ili desne strane od tog presjeka.
