A. Teori Stabilitas Stabilit as Lereng Sebuah uah permukaan tanah yang terbuka yang berdiri memben membentuk tuk sudut sudut terten tertentu tu terhad terhadap ap horiso horisonta ntall disebu disebutt sebuah sebuah lereng lereng tanpa tanpa perkuata perkuatan. n. Lereng Lereng dapat dapat terjadi terjadi secara secara ilmi ilmiah ah atau buat buatan an manu manusi sia. a. Jika Jika tana tanah h tida tidak k hori horiso sont ntal al,, suat suatu u kompo ompone nen n gravitasi gravitasi akan akan cenderung cenderung untuk menggera menggerakka kkan n tanah tanah ke bawah sebagaimana secara skematik ditunjukkan dalam Gambar 1.1. Jika kompoen ompoen gravit gravitasi asi cukup cukup besar, besar, kega kegagal galan an lereng lereng akan akan terjad terjadi, i, yakni massa tanah dalam zona ABCD dapat meluncur jatuh. Gaya yang meluncurkan mempengaruhi ketahanan dari kuat geser tanah sepanjang permukaan keruntuhan. Insi nsinyur teknik sipil sering diminta untuk membuat perh perhitun itunga gan n untuk untuk memeri memeriksa ksa keam keamana anan n dari dari lereng lereng alamia alamiah, h, lereng lereng galian galian,, dan dan lereng lereng timbun timbunan. an. Pemeri emeriksa ksaan an ini termas termasuk uk menentukan kekuatan kekuatan geser yang terbangun sepanjang permukaan keruntuh keruntuhan an dan membedak membedakannya annya dengan dengan kekua kekuatan tan geser geser tanah. tanah. Proses ini disebut analisa stabilitas lereng. Permukaan keruntuhan itu itu bias biasan anya ya adal adalah ah per permu muk kaan aan krit kritis is yang yang memi memili liki ki fakt faktor or keamanan minimum. Analisa stabilitas lereng adalah hal yang sulit untuk dilakukan. Evaluasi variabel-variabel seperti stratifikasi tanah dan parameterparam paramete eterr tanahn tanahnya ya bisa bisa menja menjadi di suatu suatu pekerj pekerjaa aan n yang yang berat berat.. Rembesan embesan pada pada lereng lereng dan pemilihan pemilihan suatu permuka permukaan an gelincir gelincir potensial menambah kompleksitas dari pemasalahan ini. 1. Faktor aktor keama keamanan nan Tugas ugas seor seoran ang g insi insiny nyur ur tekn teknik ik sipi sipill dala dalam m menga engana nali lisa sa stabil stabilita itas s lereng lereng adala adalah h menen menentuk tukan an faktor faktor keamana eamanan. n. Secara Secara umum, faktor keamanan keamanan didefinisikan sebagai: Fs
=
τ f τ d
...........................(1.1)
Keterangan: Fs = Faktor keamanan τ f = Kuat geser tanah rata-rata τ d = Tegangan geser tanah rata-rata disepanjang permukaan keruntuhan potensial
Kuat geser tanah terdiri ari dua komponen, yakni kohesi dan sudut friksi atau sudut geser, dan bisa ditulis sebagai τ = c + σ tan φ .............
Keterangan c = kohesi φ = Sudut friksi (sudut geser) σ = tegangan normal pada permukaan keruntuhan potensial
2. Anal Analis isa a stab stabil ilit itas as lere lereng ng terh terhin ingg gga a permukaan keruntuhan lingkaran
deng dengan an
a. Model keruntuhan lereng terhingga secara umum, keruntuhan lereng terhingga terjadi pada salah satu dari model-model di bawah ini: 1. Ketika etika kerunt keruntuha uhan n terjad terjadii pada pada sebuah sebuah cara diman dimana a permukaan gelincir berpotongan dengan lereng tepat pada atau di bawah kaki lerengnya, maka ini disebut suat suatu u kerun eruntu tuha han n pada pada ler lereng eng (A slop slope e fail failur ure) e) (gamb ambar 1.2a .2a). Ling Lingk karan ran kerun erunttuha uhan dise diseb but sebagai suatu lingkaran kaki lereng (A toe Circle) jika ia melewati kaki lereng dan sebagai suatu lingkaran lereng (A slope Circle) jika ia melewati bagian atas kaki ler lereng eng (1.2b 1.2b). ). Di bawah wah ling lingk kup tert terten entu tu,, keruntuhan lereng dangkal dapat terjadi, sebagaimana sebagaimana ditunjukkan dalam gambar (1.2c). 2. Ketika etika kerunt keruntuha uhan n terjad terjadii pada pada sebuah sebuah cara diman dimana a permukaan gelincir melewati beberapa jarak di bawah kaki lere ereng, maka ini disebut sebagai sua suatu keruntu eruntuhan han dasar dasar (A base base failur failure) e) (gam (gambar bar 1.2d). 1.2d). Lingkaran keruntuhan dalam kasus ini disebut suatu lingkaran lingkaran tengah (A midpoint failure). failure). b. Tipe prosedur-prosedur analisa stabilitas lereng prosedur prosedur-pr -prosed osedur ur analisa analisa stabilita stabilitas s lereng lereng yang bermaca bermacammmacam secara umum dapat dibagi menjadi dua macam: 1. Pros Prosed edur ur Mas Massa sa
Dala Dalam m kasu kasus s ini, ini, mass massa a tana tanah h di atas atas perm permuk ukaa aan n geli gelinci ncirr diambil sebagai satu kesatuan. Prosedur ini berguna apabila tanah yang membentuk lereng diasumsikan homogen, walaupun ini tidak sesuai untuk lereng-lereng lereng-lereng alami. 2. Meto Metode de iris irisan an Dalam prosedur ini, tanah di atas permukaan gelincir dibagi menjadi beberapa buah irisan vertikal yang paralel. Stabilitas setiap irisan irisan dihitu dihitung ng secar secara a terpis terpisah. ah. Ini adalah adalah teknik teknik analis analisa a yang yang ampuh ampuh dimana dimana ketida etidak-h k-hom omoge ogenan nan tanah tanah dan tekana tekanan n air air pori pori dapat dipertimbangkan. Metode ini juga memperhitungkan variasi tegangan norman sepanjang permukaan keruntuhan potensial.
3. Analisa Analisa Slope Slope menggunakan menggunakan metode metode irisan irisan Sangat banyak lereng-lereng alami dan banyak lereng buatan manusi manusia a terdir terdirii lebih lebih dari dari satu satu jenis jenis tanah tanah,, atau atau prop propert ertis is tanah tanah sangat sangat bervariasi bervariasi sehingga sehingga beberap beberapa a tipe solusi solusi elemen elemen hingga diperlukan. Metode elemen hingga secara umum biasa digunakan untuk membagi bagian keruntuhan ke dalam suatu seri-seri irisan vertikal sebagaimana diilustrasikan pada gambar 1.3a. Lebar Lebar irisan irisan sebaiknya sebaiknya kecil sehingga sehingga garis garis aktualny aktualnya a dapat dapat digan diganti ti oleh oleh suatu suatu trapez trapezoid oid,, sebag sebagaim aimana ana ditunj ditunjukk ukkan an dalam dalam gambar 1.3b. Diasumsikan bahwa berat irisan Wi berlaku pada titik teng tengah ah area area iris irisan an.. Deng Dengan an asum asumsi si ini ini hubu hubung ngan an di bawa bawah h ini ini dibuat:
= (W i + V i ) cosα i T i = ( W i + V i ) sin α i
N i
Fs = N i tan φ + cb = ((W i + V i ) cos α i tan φ + c
α i
= arctan(
∆ x cos α i
∆ y ) ∆ x
Dalam prakteknya biasa untuk mengabaikan gaya-gaya antar elemen dari Xi dan Pi. Beberapa orang telah menggunakan gayagaya ini, tapi titik aplikasi dan garis aksi dari gaya P tidak dapat dite ditent ntuk ukan an di tana tanahh-ta tana nah h yang ang ter terstra strati tifi fik kasi asi atau atau di mana mana prop propert ertis is tanah tanah (ф, c, γ) berva bervaria riasi si terhad terhadap ap kedala edalaman man tanah. tanah. Dalam kasus ini, mengenai semua yang diketahui untuk ketentuan
adalah lah bahwa hwa garis aris aksi ksi gaya aya P ada di dalam perm ermukaan kerun eruntu tuha han. n. Gaya Gaya vert vertik ikal al ber bergant gantun ung g pada ada baik baik P maup maupun un prop proper erti tis s tana tanah. h. Bebe Bebera rapa pa pene peneli liti ti tela telah h menu menunj njuk ukka kan n bahw bahwa a mengabaikan gaya X dan P hanya mengakibatkan penyimpangan atau atau gala galatt yang yang kecil ecil.. Juga Juga perl perlu u dik diketah etahui ui bahw bahwa a di geli gelici cira ran n prop propert ertis is tanah tanah di batas batas lingk lingkara aran n percob percobaan aan semuan semuanya ya adala adalah h dapat dapat tepat tepat diten ditentuk tukan. an.—se —sedan dangk gkan an yang yang ada ada di bagian bagian dalam dalam zona adalah lah suat suatu u tana anah yang sang sanga at remo emolded lded dan tid tidak diketahui. Kesei eseimb mban anga gan n mome momen n di seki sekita tarr titi titik k O, meng menggu guna nak kan penjumlahan semua irisan yang ada di dalam lingkaran keruntuhan memberikan:
∑ RFs − ∑ R(W + V ) sin α = 0 i
i
i
Momen penahan adalah F =
∑ RFs , dan faktor keamanan adalah
∑ Resisting Momen = ∑ RFs ∑ Overturning Momen ∑ R(W + V ) i
i
Eliminasi R dan substitusi untuk u ntuk kuat geser Fs, menentukan F =
∑ (cb + (W + V ) cosα tan φ ) ...................(1.3) ∑ (W + V ) sin α i
i
i
i
i
i
Kita bisa menggunakan baik tegangan total maupun tegangan efektif dan dengan c dan ф yang sesuai dalam persamaan (1.3). Tegan Tegangan gan efektif sering sering secara secara konvension konvensional al ditentukan ditentukan dengan dengan meng engguna unakan γ dan γ’ seb sebaga agaim iman ana a yang dip dipakai akai dalam lam perhitungan berat vektor W. Karena b =
∆ x cos α i
, kita mempunyai sudut α yang menghasikan
peran penting dalam persamaan (1.3) .3). Bishop (1955) menyarankan bahwa efek dari α dapat dikurangi dengan sebuah metode alternatif , yakni metode penentuan gaya normal. Merujuk Fv pada elemen (tanpa pada pada gambar gambar 1.3b, (tanpa mengabai mengabaikan kan Xi) adalah
∑
Wi + ∆ Xi
Ni tan φ cbi = Ni cos α i + F .sin α i = Ni cos α i + + sin α i F F
atau
Ni
Wn + ∆T −
=
cos α i
+
cbi sin α i
F .........................1.3.a tan φ sin α i F
karena (W i + V i ) cos α i dala dalam m pers persam amaa aan n 1.3 1.3 adal adalah ah Ni, Ni, maka maka dengan substitusi N dalam persamaan tersebut menghasilkan
∑ (cb +
(Wi + Vi + ∆ Xi) −
i
F =
=
∑
∑
(cbi
+
+
cos α i
cbi sin α i
F tan φ sin α i
tan φ )
F (W i + V i ) sin α i
F tan φ (Wi + Vi + ∆ Xi) − cbi sin α i tan φ ) F cos α i + tan φ sin α i
∑ (W + V ) sin α i
i
i
+ Vi + ∆ Xi) − cb sin α tan φ ) ∑ (cb ( F cosα + tan φ sin α ) + F tan φ (Wi F cos α + tan φ sin α = ∑ (W + V ) sin α φ (Wi + Vi + ∆ Xi) − cb sin α tan φ ) ∑ (cb ( F cosα + tan φ sin α F )cos+ F α tan+ tan φ sin α = ∑ (W + V ) sin α ∑ (cb cosα + tan φ (Wi + Vi + ∆ Xi)) F cosα + F tan φ sin α = ∑ (W + V ) sin α i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
Karena bi
∆ xi
=
cos α i
, ∆ Xi
i
i
= 0, maka
∑ (c∆ x + (Wi + Vi) tan φ ) cosα + tan1φ sin α / F ..........................(1.3b) F = + W V ( ) sin α ∑ i
i
i
i
i
i
Suatu Suatu analisi analisis s iterat iteratif if diperl diperluk ukan an untuk untuk menent menentuk ukan an F alam alam persa rsamaa maan (1.3 (1.3b b) di ata atas, karena ena F terdapa apat di kedua sisi sisi persamaan.
Pemro Pemrogram graman an pada pada komput komputer er akan akan memberik memberikan an pemecaha pemecahan n yang cepat setelah beberapa putaran (biasanya 2 atau 3 kali). Cara itera iterasin sinya ya yaitu yaitu denga dengan n mengas mengasums umsik ikan an F =1 (F bagian bagian kanan kanan persamaan) pada mulanya untuk menentukan nilai dari F sebelah kiri persamaan. Kemudian nilai ini dibandingkan dengan nilai yang diasumsikan; ini tidak memadai, diperlukan perhitungan berikutnya dengan menggunakan nilai F yang telah didapat. Proses ini diulang terus hingga nilai F paa ruas kiri dan kanan persamaan persamaan (nilai F yang ditentukan dan nilai F yang diasumsikan) sama atau hampir sama satu sama lain. Suatu Suatu progr program am komput omputer er harus harus dibuat dibuat untuk untuk menent menentuk ukan an busu busurr yang yang dida didasa sark rkan an pada pada koor oordina dinatt titi titik k O dan dan area area yang yang memiliki koordinat-koordinat. Suatu analisis penghampiran dapat dilakukan dengan tangan. Peker ekerja jaan an seca secara ra um umum um terl terlal alu u proh prohib ibit itiv ive e untu untuk k iter iteras asii atau atau membuat sebuah pencarian lingkaran kritis yang ekstensif.
B. Analisa Geometrik Lereng 1. Perumusan Perumusan persamaan persamaan garisgaris-gari garis s utama Perumusan persamaan garis-garis utama perlu dilakukan dilakukan untuk mendapatkan mendapatkan fungsi-fungsi dengan variabel independent x. Apabila kita melihat sketsa lereng sederhana, maka kita akan mene menemu muk kan bebe bebera rapa pa gari garis s yang yang meng mengga gamb mbar ark kan kondi ondisi si geomterik lereng tersebut. (lihat gambar 1) a. Garis Garis perta pertama ma adalah adalah garis garis lurus lurus yang melewat melewatii kaki kaki lereng (Y1). b. Garis berikutnya adalah garis yang mengapit sudut sehingga merupakan suatu garis miring (Y2). c. Gar Garis ketiga iga adala alah garis aris lur lurus yang yang merup erupa akan batasan bagian atas lereng (Y3). d. Gari Garis s yang yang tera terakh khir ir adal adalah ah gari garis s yang yang meru merupa pak kan bidang longsor yang membentuk garis lingkaran (Y4). Untu Untuk k memp memper ermu muda dah h peru perumu musa san n pers persam amaa aan n gari gariss-ga gari ris s utama tersebut, kita perlu menggunakan sistem koordinat kartesian dengan pemposisikan titik pusat absis-ordinat (0,0) pada awal garis miring miring (Y2) (Y2) atau atau tepat tepat pada pada perpo perpoton tonga gan n Y2 denga dengan n Y1. (lihat gambar 2) Setelah kita memposisikan garis-garis utama ke dalam sistem koordinat koordinat kartesian maka maka kita mendapatkan mendapatkan persamaan garis-garis garis-garis utama tersebut sebagaimana berikut: a. Garis Garis Y1 merupakan merupakan garis garis sejajar sejajar sumbu X dan melewati melewati titik titik (0,0) sehingga dapat ditentukan bahwa garis Y1 adalah garis lurus linier dengan fungsi nol atau dalam notasi matemtisnya:
Y1 = 0 ..............................................(1) b. Garis Garis Y2 merupakan merupakan garis miring yang yang mengapit mengapit sudut .Garis Y2 juga melewati titik Q (0,0). Kita mengetahui bahwa garis miring memiliki bentuk persamaan sebagai berkut: Y = m (X-a) + b ..............................(2) Dimana m adala Dimana adalah h tangen tangen dari dari sudut sudut yang yang diapit diapit oleh oleh garis garis miri mi ring ng ters terseb ebut ut,, seda sedang ngk kan a dan dan b masi masing ng-m -mas asin ing g adal adalah ah koordinat x dan y dari suatu titik yang dilewati oleh garis itu. Dengan menyesuaikan sifat-sifat garis Y2 dengan persamaan (2) maka kita mendapatkan: Y2 = tan (X ...............................(3)
– 0)
+ (0)
= tan
X
= X
tta an
c. Garis Y3 merupakan garis sejajar sumbu X dan memotong sumbu Y di h. Maka persamaan garis Y3 adalah: Y3 = h ................................(4) d. Garis Y4 adalah adalah suatu garis lingkaran lingkaran yang berpusat berpusat di O (A,B) dengan jari-jari R. Maka berdasarkan persamaan lingkaran: (X-c)2 + (Y-d)2 = R2 .........................................(4) Dimana c dan d berturut-turut adalah koordinat x dan y dari titik pusat lingkaran, sehingga kita mendapatkan persamaan garis Y4 sebagai berikut: 2 2 2 2 2 (X - A) + (Y - B) = R atau Y4 = B − | (R − (X - A) ) | .................(5)
X4 = A ± (R 2
− (Y - B) 2 )
....................(5.a)
X4 = A − | (R 2
− (Y - B) 2 ) | ......................(5.b)
X4 = A + | (R 2
− (Y - B) 2 ) | ........................(5.c)
2. Absis dan dan Ordinat Ordinat Titik-titi Titik-titik k potong utama utama
Kita Kita sudah sudah memil memiliki iki suatu suatu gamba gambaran ran geomt geomtrik rik lereng lereng yang yang telah dirumuskan dalam bentuk persamaan-persamaan garis. Dari persa persamaa maan-p n-pers ersama amaan an ini kita kita juga juga menemu menemuka kan n perpo perpoton tonga gannperpotongan (interception) yang menghasilkan titik P, Q, R, S dan T (Li Liha hatt ga gamb mbar ar 3) 3).. Untu Untuk k keper eperlu luan an anal analis isis is dan dan pemr pemrog ogra rama man n komp omputer uter,, koordina dinatt dari ari titik itik-t -tiitik tik perp perpo otong tonga an ini ini har harus ditentukan. Cara menentukannya adalah sebagaimana berikut. a. Titik P Titik P dan titik T merupakan suatu perpotongan dari Y1 dan Y4, maka dengan dengan mempersa mempersamak makan an Y1 dan Y4 dapat dapat ditentuk ditentukan an koordin oordinat at titiktitik-tit titik ik terseb tersebut. ut. Adap Adapun un detail detail analis analisisn isnya ya sebag sebagai ai berikut.
Y1 = Y4 .............................................(6) Maka Maka,, deng dengan an mensu mensubt btit itusi usika kan n pers persam amaa aan n (1) (1) dan dan (5) (5) ke dalam persamaan (6) kita dapatkan: 0 = B − | (R 2
− (X - A) 2 ) |
......................(6.a)
dan bila persamaan (6.a) kita eliminasi secara berulang maka kita mendapatkan mendapatkan bahwa variavel X adalah : X = A ± (R 2
− B 2 ) ................(6.b)
persamaan (6.b) ini memiliki dua nilai, yakni dalam kasus ini adalah nilai absis dari P dan T: xp = A − | (R 2
xt
= A+ |
(R 2
− B2 ) |
.........................(6.c)
− B 2 ) | .....................(6.d)
keterangan: xp = absis P xt = absis T sedangkan ordinat dari P (yp) dan T (yt) adalah: yp = Y1 = 0 .............(6.e)
yt = Y1 = 0 ..............(6.f) b. Titik Q Titik Q merupakan perpotongan antara Y1 dengan Y2. Dengan melihat gambar 3, maka kita langsung dapat mengetahui bahwa titik Q memiliki absis 0 dan ordinat 0. c. Titik R Titik R adalah hasil dari perpotongan antara Y2 dengan Y3. Berdasarkan cara yang sama dengan a, maka kita peroleh: Y2 = Y3 ..........(7) Substituiskan persamaan (3) dan (4) ke dalam persamaan (7), maka: X tan β = h ...............(7.a) Dengan Dengan mengel mengelimi iminas nasii tan tan dari dari si sisi si kiri kiri persam persamaan aan (7.a) (7.a) maka kita dapatkan nilai absis (xr) titik R: xr =
h tan β
.....................(7.b)
sedangkan ordinat (yr) adalah.. yr = h ...............(7.c)
d. Titik S Perpotongan Y3 dan Y4 di titik S menghasilkan absis (xs) dan ordinat (ys) dari titik S sebagaimana berikut: Y3 = Y4 ........................................(8) Substi Substitus tusik ikan an persam persamaa aan n (4) dan dan persam persamaan aan (5) ke dalam dalam persamaan (8), maka kita peroleh: h
=B−|
(R 2
− (X - A) 2 ) |
................(8.a)
dengan dengan elimin eliminasi asi yang yang berula berulang ng untuk untuk memisa memisahk hkan an X yang yang merupakan absis (xr) dari R maka kita akan mendapatkan: xr = A + | (R 2
− (h - B) 2 ) |
....................(8.b)
dan ordinat (yr) adalah: yr = h ..........................(8.c).
Semua titik perpotongan utama, yang terdidi dari P, Q, R, S, dan dan T tela telah h kita kita tent tentuk ukan an koord oordin inat at-k -koo oorrdina dinatt nya, nya, sehi sehing ngga ga dapatlah kita tabulasikan sebagai berikut.
3. Perumu Perumusan san Bera Beratt Pias Pias a. Persama ersamaan an Berat Berat pias pias (Wi) (Wi) Di dalam dalam analis analisis is stabil stabilita itas s lereng lereng metod metode e irisan irisan,, masing masing-masi masing ng pias pias memi memili liki ki bera beratt send sendir irii (l (lih ihat at ga gamb mbar ar 10 10)). Dala Dalam m pembahasan ini penentuan berat masing –masing pias itu dilakukan dengan cara mengalikan berat jenis tanah pias tersebut dengan luasannya. Persamaannya adalah sebagai berikut: Wi
= L i x γ i .........................(9)
Keterangan: Wi = Berat pias ke-i Li = Luasan pias ke-i i = Berat jenis pias ke-i Berdasarkan persamaan (13), untuk menentukan luasan pias (Li) maka kita perlu merumuskan persamaan luasannya. Caranya sebagai berikut.
4. Persam Persamaan aan Luas Luas Pias Pias (Li) (Li) Bishop (1955) menggunakan metode irisan dalam menganalisis stabilitas lereng. Metode ini mengasumsikan tedapat sejumlah (n ) pias dengan lebar yang sama untuk tiap pias (b) pada bida bidang ng long longso sorr. As Asum umsi si ini ini berm bermak aksu sud d untuk untuk memp memper ermu muda dah h perhitungan stabilitas lereng (Lihat ( Lihat gambar 4). Deng Dengan an maks maksud ud yang yang sama sama,, yakn yaknii untu untuk k memp memper ermu muda dah h perhitungan menggunakan pemrograman, pemrograman, maka asumsi ini in i dirubah. Dalam analisa ini, geometri bidang longsor dibagi menjadi tiga bidang bidang longsor, longsor, yakni yakni bidang bidang I, II dan III (Lihat gambar 5). 5). Masingmasi masing ng bida bidang ng long longso sorr memi memili liki ki juml jumlah ah dan leba lebarr pias pias yang yang berbeda-beda, sesuai dengan yang kita inginkan. Tapi dianjurkan total jumlah pias tidak mencapai lebih dari 25 pias, karena akan mengurangi akurasi perhitungan (Zhang, 2000). Selanjutnya, dapat kita saksikan pada gambar 5, 5, bahwa setiap bida bidang ng long longso sorr memi memili liki ki luas luasan an yang yang diba dibata tasi si oleh oleh gari garis-g s-gar aris is utama. utama. Bidang Bidang longsor longsor I dibatasi dibatasi oleh garis garis Y1, Y4 dan sumbu Y. Bida Bidang ng long longso sorr II dib dibatasi tasi oleh leh garis ris Y2, Y4, dan sumb sumbu u Y. Sedangkan Sedangkan Bidang longsor III dibatasi oleh garis Y3 dan Y4. Oleh karena itu kita bisa menarik kesimpulan bahwa luasan bidang-bidang longsor tersebut merupakan fungsi integral tertentu dari persamaan-persamaan garis yang membatasinya. membatasinya. Jika persamaan luasan bidang longsor dapat ditentukan, maka luasan pias-pias yang terdapat pada tiap bidang longsor dengan sendi sendirin rinya ya dapa dapatt ditent ditentuka ukan n pula, pula, kare karena na pias-p pias-pias ias itu adala adalah h bagian dari tiap bidang longsor. Adapun secara detail penentuan fungsi integral luasan bidang longsor l ongsor adalah sebagai berikut. a. Persam ersamaan aan Luas Luas pias pias-pi -pias as pada pada bidan bidang g longsor longsor I Persamaan luasan bidang longsor I diberi notasi L1. Dengan menentukan Persamaan luas L1, kita dapat menentukan luas piaspias di bidang longsor I. L1 dibatasi oleh Y1 dan Y4 serta sumbu Y (lihat gambar 6) dari xq sampai xp. Oleh karena itu fungsi integral yang mewakili luasan itu adalah:
∫
L1 = ( Y1 - Y4) dx .............................(9.a)
Dengan substitusi persamaan (1) dan persamaan (5) ke dalam persamaan (9), maka kita dapatkan:
∫
L1 = (0 − (B − | (R 2
− (X - A) 2 ) | ) dx
∫ ( (R − (X - A) ) - B) dx = ∫ (R − (X - A) ) dx - ∫ B dx = ∫ (R − (X - A) ) dx - BX.............................(9.b) 2
2
2
2
2
2
untuk menyelesaikan integrasi persamaan (9.b) di atas, maka perlu dimisalkan, (X-A) = R.Sin u ........................................(9.c) Sehingga, d(X-A) /dx = d (R. Sin u)/dx dx/dx = R. cos u du /dx dx = R. cos u du .......................................(9.d) Substitusikan persamaan (9.c) dan (9.d) ke dalam persamaan (9.e), maka:
∫ (R − (X - A) ) dx = ∫ (R − (RSin u) ) R. Cos u du. = ∫ (R − (R Sin u )) R.Cos u du = ∫ (R (1 − Sin u )) R.Cos u du 2
2
2
= ∫
2
2
2
2
2
∫
2
∫
(R 2 Cos 2 u ) R. Cos u du = R . Cos u .R.Cos u du = R 2 Cos 2 u du
dimisalkan dimisalkan lagi, k = Cos u .................................. dk = - Sin u du .......................... dan dimisalkan juga, dl = Cos u du..............................
∫ dl = ∫ Cos u du l = Sin u .......................
maka
∫ Cos u du = ∫ Cos u . Cos u du = ∫ k dl ........... 2
dan dengan menggunakan metode integrasi parsial,
∫ k dl = k.l - ∫ l dk ................................
..........(9.e)
kita dapatkan,
∫ Cos u du = Cos u. Sin u - ∫ Sin u (-Sin u)du = Cos u.Sin u + ∫ Sin u du ∫ Cos u du = Cos u.Sin u + ∫ (1 - Cos u) du = Cos u.Sin u + ∫ 1 du - ∫ Cos u du ∫ 2.Cos u du = Cos u.Sin u + u Cos u.Sin u + u Cos u du ..........................................(9. f ) = ∫ 2 2
2
2
2
2
2
2
maka maka kita kita mendap mendapatk atkan an nilai nilai L1 denga dengan n mensub mensubsti stitus tusik ikan an kembali embali semua semua varia variabel bel yang yang kita kita perm permisa isalk lkan an di sebelu sebelumny mnya a sehingga:
2
∫
2
R Cos u du R 2
=
=
R .(Cos u.Sin u + u) 2
2
− (X - A) 2 .(X - A) + R 2 ArcSin(
R 2
2
R .(
− (X - A) 2 R
=
.
(X - A) R
+ ArcSin(
2
X-A R
2
) ...........................................(9. g )
Sehingga persamaan luasan pias di bidang longsor I adalah:
L1i = R 2
=
R
− (X - A)
2
.(X - A) + R ArcSin( 2
X-A R
2
− (X i+1 - A) 2 .(X i+1 - A) + R 2 ArcSin( − (X i - A) 2 .(X i - A) + R 2 ArcSin( 2
Xi +1
) − BX Xi
X i +1 - A R
2 R 2
−(
2
Xi - A R
...................
)
− BX i +1
)
− BX i )
(9.h) Keterangan: L1i = luasan pias ke –i pada bidang longsor I. Xi+1 = Absis pias ke i+1 Xi = Absis pias ke i Dimana, X i+1 ≤ 0 b. Persam Persamaan aan Luas Luas pias-pi pias-pias as pada bidang bidang longsor longsor II
X-A R
))
Persa ersama maan an luas luasan an bida bidang ng long longso sorr II dibe diberi ri nota notasi si L2. L2. L2 dibatasi oleh Y2 dan Y4 (lihat gambar 7) dari xr sampai xq. Oleh karena karena itu fungsi integral yang mewakili luasan itu adalah:
∫
L2 = (Y2 - Y4) dx .....................(10)
Dengan substitusi persamaan (3) dan persamaan (5) ke dalam persamaan (9), maka kita dapatkan:
∫
L2 = (X.tanβ − (B − | (R 2
− (X - A) 2 ) | ) dx
∫ X.tanβ dx + ∫ ( (R − (X - A) ) - B) dx = ∫ X.tanβ dx + ∫ (R − (X - A) ) dx - ∫ B dx 1 = .X .tanβ + ∫ (R − (X - A) ) dx - BX.............................(10.a) 2 2
2
2
2
2
2
2
Untuk Untuk menyel menyelesa esaik ikan an integr integrasi asi yang yang masih masih terdap terdapat at pada pada persamaan (10.a), kita gunakan cara integrasi yang sama dengan cara penyelesaian integrasi persamaan (9.a) sehin hingga menghasilkan menghasilkan persamaan (9.l). Lalu subtitusikan persamaan (9.l) ke dalam persamaan (10.a) maka kita peroleh:
L2 =
1 2
R 2 .X .tanβ +
− (X - A) 2 .(X - A) + R 2 ArcSin(
X-A
2
R
) - BX
2
............
(10.b)
sehingga luasan pias pada bidang bidang longsor II adalah:
1 L2i = .X 2 .tanβ + 2 =
1 2 1
2
R
.X i+1 .tanβ +
- ( .X i .tanβ + 2
X-A R
− (X i +1 - A) 2 .(X i +1 - A) + R 2 ArcSin(
− (X i - A) 2 .(X i - A) + R 2 ArcSin( 2
Xi +1
) - BX Xi
X i+1 - A R
2 R 2
2
.(X - A) + R ArcSin( 2
2
R 2 2
− (X - A)
2
Xi - A R
) - BX i+1
) - BX i )..................(10.c)
Keterangan: L2i = luasan pias ke –i pada bidang longsor I. Xi+1 = Absis pias ke i+1 Xi = Absis pias ke i c.
Persam ersamaan aan Luas Luas pias pias-pi -pias as pada pada bidan bidang g longsor longsor III III
Pada bidang longsor III terdapat persamaan Y3 dan Y4 yang membatasi mulai dari Xs sampai dengan Xr ( Lihat gambar 8). 8). Oleh kare karena na itu, itu, pers persam amaa aan n luas luasan an pias pias-pi -pias as di bida bidang ng long longso sorr III III mengikuti persamaan:
∫
L3 = (Y3 − Y4) dx ..........................(11)
Dengan substitusi persamaan (3) dan (5) ke dalam persamaan (11), maka kita perleh:
∫
L3 = (h − (B − | (R 2
− (X - A) 2 ) | ) dx
∫ h dx + ∫ ( (R − (X - A) ) - B) dx = ∫ h dx + ∫ (R − (X - A) ) dx - ∫ B dx = h.X + ∫ (R − (X - A) ) dx - BX.............................(11.a) 2
2
2
2
2
2
Untuk Untuk menyel menyelesa esaik ikan an integr integrasi asi yang yang masih masih terdap terdapat at pada pada persamaan (11.a), kita gunakan cara integrasi yang sama dengan cara penyelesaian integrasi persamaan (9.a) sehin hingga menghasilkan menghasilkan persamaan (9.l). Lalu subtitusikan persamaan (9.l) ke dalam persamaan (11.a) maka kita peroleh: R 2 L3 = h.X +
− (X - A) 2 .(X - A) + R 2 ArcSin( 2
X-A R
) - BX
............(11.b)
sehingga luasan pias pada bidang bidang longsor II adalah:
L3i = h.X +
2
R
.( X - A) + R ArcSin( 2
X-A R
2
R 2
= hX i +1 +
− (X i+1 - A) 2 .(X i +1 - A) + R 2 ArcSin(
+
− (X i - A) 2 .(X i - A) + R 2 ArcSin(
Xi +1
) - BX Xi
X i+1 - A R
2 R 2
- (h.X i
− (X - A)
2
Xi - A R
) - BX i +1
)
2
- BX i )..................(11.c)
Keterangan: L2i = luasan pias ke –i pada bidang longsor I. Xi+1 = Absis pias ke i+1 Xi = Absis pias ke i
5. Perumusan Perumusan persam persamaan aan Sudut Sudut Pias Pias a. Persama ersamaan an titik titik berat berat pias pias Tit Titik ik bera beratt pias pias meru merupa paka kan n titi titik k tang tangka kap p gaya gaya bera beratt pias pias.. Dala Dalam m meto metode de iris irisan an,, titi titikk-ti titi tik k tang tangka kap p ini ini digu diguna naka kan n untu untuk k menent menentuk ukan an titik titik poton potong g antara antara garis garis gaya gaya berat berat denga dengan n garis garis lingkaran lingkaran keruntuhan (lihat gambar 11). Kemudian titik-titik potong tersebut digunakan untuk menentukan sudut kemiringan titik tekan garis gaya Normal yang terjadi pada dasar pias, yang merupakan gaya kunci dalam sistem keseimbangan keseimbangan momen persamaan bishop. Dalam Dalam pemba pembahas hasan an ini, ini, titik titik berat berat pias pias ditent ditentuk ukan an dengan dengan cara cara analisa geometrik. 1. Persam Persamaan aan titik berat berat pias-p pias-pias ias bidang bidang longsor longsor I
Kita ketahui bahwa titik berat pias setara dengan titik pusat luas luasan an pias pias ters terseb ebut ut.. Sed Sedangk angkan an pers persam amaa aan n luas luasan an yang yang membatasi bidang longsor I adalah Y1 dan Y4. Maka persamaan titik berat pias di bidang longsor I adalah sebagai berikut: Xi +1 0
Xi
=
∫ ∫ X dy.dx
Xi Xi Y 4 Xi + i
−
∫ Y4 dx
Xi
..........(13)
Untu Untuk k meny menyel eles esai aika kan n pers persam amaa aan n persamaan (5) ke dalamnya, sehingga: Xi +1
Xi
∫ [ XY]
=
Xi +1 0 Y 4
=
Xi + i
−
Xi +1
Xi + i
−
Xi
=
=
Xi
∫ Y4 dx
Xi +1
kita kita
subs substi titu tusi sika kan n
Xi +1
∫ (X(0) - X(Y4)).dx ∫ X(Y4).dx ∫ X(B- |
.dx
Xi
(13) (13)
∫ Y4 dx
Xi Xi + i
=
− (X - A) 2
| .dx
Xi Xi + i
∫ Y4 dx
Xi
R 2
∫ (B- |
Xi
R 2
− (X - A) 2 ) | dx
Xi
Xi +1
∫ BX dx − ∫ X |
Xi Xi +1
R 2
− (X - A) 2
| dx
Xi Xi + i
∫ B dx − ∫ |
R 2
− (X - A) 2
| dx
Xi
Xi
1 2
=
2 Xi +1 Xi
[ BX ]
Xi +1
−
∫ X |
R 2
− (X - A) 2
| dx
Xi
Xi +1
X-A 2 2 2 | R ( X A) | .( X A) R ArcSin( ) − + R BX 2 Xi Xi +1 1 1 2 2 = [ BX xi+1 ] − [ BX Xi ] − ∫ X | R 2 − ( X - A) 2 | dx 2 2 Xi /
| BX xi +1 | − BX xi
R 2
− (X xi+1 - A) 2
| .(X xi +1 - A) + R 2 ArcSin(
X xi +1 - A R
2
R 2
− (X xi - A) 2
| .(X xi - A) + R 2 ArcSin(
X xi - A R
2
)
.........................(13.a)
)
Dalam Dalam persa persamaa maan n 13.a 13.a kita kita perlu perlu menyel menyelesa esaik ikan an integr integrasi asi yang tersisa di dalamnya, yakni
∫ X |
R 2
− (X - A) 2
| dx …………………………….(13.b)
Penyelesaiannya dapat menggunakan metode integral parsial. Caranya sebagai berikut: Misal,
| R 2
∫ |
− (X - A) 2
R 2
| R 2
| dx = dk
− (X - A) 2
− (X - A) 2
∫
| dx = dk
| .( X - A) + R 2 ArcSin(
X-A R
2
)
= K
dan, X=m dx / dx= dm/dx dx = dm Sehingga, menggunakan konsep integral parsial,
∫ m dk = m.k - ∫ k dm maka persamaan (13.b) menjadi:
∫ X |
| R 2
= X.
− ( X - A) 2
− (X - A) 2
| .(X - A) + R 2 ArcSin(
X-A R
| .(X - A) + R 2 ArcSin(
X-A R
)
)
2 | R 2
= X.
| dx = m.k - k dm
2
| R 2
− ∫
∫
− (X - A) 2
R 2
− ( X - A) 2
| .(X - A) + R 2 ArcSin( 2
X-A R
dx )
−|
R 2
− (X - A) 2
Deng Dengan an mens mensub ubst stit itus usik ikan an pers persam amaa aan n (13. (13.c) c) ke persamaan (13.a), maka kita dapatkan penyelesaiannya:
| ................(13.c)
dala dalam m
1 [BX 2 ] − 1 [ BX 2 ] − xi +1 Xi 2 2 Xi = | R 2 − (X - A) 2 | .(X - A) + R 2 ArcSin( X - A ) R − | X. 2
R 2
− (X - A) 2
xi +1 | xi
/
X - A | R 2 − (X xi +1 - A) 2 | .(X xi +1 - A) + R 2 ArcSin( xi +1 ) R BX xi +1 2 X xi - A 2 2 2 | R − (X xi - A) | .(X xi - A) + R ArcSin( ) R − BX xi 2 1 [ BX 2 ] − 1 [ BX 2 ] − xi +1 Xi 2 2 X xi - A 2 2 2 | R ( X A) | .( X A) R ArcSin( ) − + xi + 1 xi + 1 R − | R 2 − (X x + i - A) 2 X xi+1 . 2 = − X xi - A 2 2 2 | R ( X A) | .( X A) R ArcSin( ) − + xi + 1 xi + 1 R − | R 2 − (X x + i - A) 2 X xi+1 . 2 X - A | R 2 − (X xi +1 - A) 2 | .(X xi +1 - A) + R 2 ArcSin( xi +1 ) R BX xi+1 2 / X A | R 2 − (X xi - A) 2 | .(X xi - A) + R 2 ArcSin( xi ) R BX − xi 2
| |
1 1 [ ] [ BX ] BX − 2 2 X -A | R − (X - A) | .(X - A) + R ArcSin( ) R - | R − (X - A) | = + X . 2 X -A | R − (X - A) | .(X - A) + R ArcSin( ) R + | R − (X - A) | −X . 2 X -A | R − (X - A) | .(X - A) + R ArcSin( ) R BX 2 / .........................(13.d ) X A | R − (X - A) | .(X - A) + R ArcSin( ) R BX + − 2 2
2
xi +1
Xi
2
2
2
xi
xi
xi
2
2
xi
xi
2
2
2
xi +1
2
xi +1
2
xi +1
xi +1
2
2
xi +1
2
xi +1
xi +1
xi +1
2
2
xi
2
xi
xi
xi
2. Persam ersamaan aan titik titik bera beratt pias pias bidang bidang longs longsor or II Garis fungsi x yang membatasi bidang longsor I adalah Y2 dan Y4. Y4. Maka Maka persam persamaan aan titik titik berat berat pias pias di bidang bidang longso longsorr I adalah adalah sebagai berikut:
Xi +1 Y 2
Xi
∫ ∫ X dy.dx
= Xi + Xii
Y 4
....................(13.e)
∫ (Y2 - Y4) dx
Xi
Dengan substitusi persamaan (3) dan persamaan (5) ke dalam pers persam amaa aan n (13. (13.e) e),, maka maka inte integr gras asii pers persam amaa aan n (13. (13.e) e) seba sebaga gaii berikut:
xi +1
Xi +1
∫ [ XY]
Xi +1 Y 2 Y 4
X i = Xi + Xii
=
∫ (Y2 - Y4) dx
Xi Xi + i
Xi + i
Xi
Xi
Xi
Xi Xi + i
∫ Y2 dx − ∫ Y4 dx
Xi
Xi
Xi
R 2 − ( X - A) 2 |) dx
Xi
Xi +1
∫ tanβ X
R 2 − (X - A) 2 |) dx
Xi Xi + i
Xi + i
∫ tanβ X dx − ∫ (B- | Xi +1 2
dx. +
Xi
∫ (X |
R 2 − (X - A) 2 | −BX) dx
Xi Xi + i
Xi + i
∫ tanβ X dx + ∫ (|
Xi
R 2 − ( X - A) 2 | −B) dx
Xi
1
=
Xi Xi + i
Xi +1
∫ X(tanβ X).dx − ∫ X.(B- |
=
=
∫ Y2 dx − ∫ Y4 dx
Xi
=
Xi +1
∫ (X(Y2) - X(Y4)).dx ∫ XY2.dx − ∫ XY4 dx
.dx
Xi +1
Xi +1
3
3 Xi +1 Xi
[ tanβ X ]
Xi +1
+
∫ X |
Xi
R 2 − (X - A) 2 | dx −
1 2
2 Xi +1 Xi
[BX ]
Xi +1
X-A 2 2 2 | R ( X A) | .( X A) R ArcSin( ) − + 1 R − BX [ tan β X 2 ] Xi Xi +1 + 2 2 Xi
.....(13. f )
Pada ada persam persamaa aan n (13.f) (13.f) ini masih masih terda terdapat pat persam persamaan aan yang yang belum lum ter terinte integ grasi, si, yakni akni persa ersam maan aan yang ang sam sama denga ngan pers persam amaa aan n (13. (13.b) b),, sehi sehing ngga ga deng dengan an subs substi titu tusi si hasi hasill inte integr gras asii persamaa persamaan n (13.b) (13.b) yakni yakni persamaa persamaan n (13.c) (13.c) ke dalam dalam persamaa persamaan n (13.f) ini, maka kita dapatkan ia menjadi:
Xi +1
Xi =
=
X-A 2 2 2 | R ( X A) | .( X A) R ArcSin( ) − + 1 3 R tanβ X + X. 2 3 1 2 2 2 − | R − (X - A) | − 2 BX Xi
Xi +1
X-A 2 2 2 | R ( X A) | .( X A) R ArcSin( ) − + 1 2 R − BX tan X β + 2 2 Xi 1 3 tan X β + + Xi 1 3 X A 2 2 2 | R − (X Xi+1 - A) | .(X Xi +1 - A) + R ArcSin( Xi+1 ) R X . + Xi 1 2 1 2 − | R 2 − (X BX 2Xi +1 + Xi +1 - A) | − 2 1 1 2 3 2 BX Xi − 3 tanβ X Xi − X Xi - A 2 2 2 | R − ( X Xi - A) | .(X Xi - A) + R ArcSin( ) R X Xi . 2 + | R 2 − (X Xi - A) 2 |
X -A | R 2 − (X Xi +1 - A) 2 | .(X Xi+1 - A) + R 2 ArcSin( Xi +1 ) 1 2 R tan β X Xi +1 + 2 2 − BX Xi+1 + 1 2 β BX tan X − Xi Xi 2 X A | R 2 − (X - A) 2 | .(X - A) + R 2 ArcSin( Xi ) Xi Xi R + 2
...........(13. g )
