Wahyu8
BUKU MATEMATIKA SMP KELAS VIII KURIKULUM 2013
Soal dan Pembahasan Uji Kompetensi 3 (Semester II)
BAB III Pokok Bahasan LINGKARAN
Wahyu8
Uji Kompetensi 3 1. Suatu kue berbentuk lingkaran padat dengan jari-jari 14 cm. Kue tersebut dibagi menjadi 6 bagian berbentuk juring yang sama luas. Tentukan: a. Sudut pusat masing-masing potongan. b. Luas potongan kue tersebut. Jawab:
Misal a = sudut pusat dan n = banyak juring a. Sudut pusat masing-masing potongan
a
360
n
360
a
→
→
6
a = 60°
b. Luas potongan kue tersebut (luas juring) Luas juring
=
=
=
a 360 60 360 1 6
=
=
3
r 2
22 7
22
14 14
11
7
2
14 14
11 2 14 6 308 6
Jadi, luas potongan kue tersebut adalah
308 6
cm2.
2. Tentukan keliling daerah yang diarsir pada bangun berikut.
a
b 14 cm
14 cm
Jawab:
26 cm
14 cm
26 cm
Wahyu8
a. Keliling daerah terarsir = setengah keliling lingkaran besar + keliling lingkaran kecil =
=
1 2
2 r1 2 r 2
22 7
14 2
22 7
7
= 22 2 + 2 · 22 = 44 + 44 = 88 cm Jadi, keliling daerah terarsir adalah 88 cm b. Keliling daerah terarsir = keliling persegi + keliling setengah lingkaran = 4 s
1 2
2 r
= 4 26 +
22 7
14
= 104 + 22 2 = 104 + 44 = 148 cm Jadi, keliling daerah terarsir adalah 148 cm 3. Amati gambar di bawah ini. Tentukan keliling dan luas daerah yang diarsir. 10 cm
5 cm 14 cm
10 cm
14 cm
5 cm
Jawab:
Keliling daerah terarsir
= (14 + 14 + 14) + keliling setengah lingkaran = 3 14
1 2
2 r
Wahyu8
= 42
22
7
7
= 42 + 22 = 64 cm Jadi, keliling daerah terarsir adalah 64 cm Luas daerah terarsir
= Luas persegi + Luas setengan lingkaran = s 2
1 2
= 142
r 2
1 22
2
7
77
= 196 + 11 7 = 196 + 77 = 273 Jadi, luas daerah terarsir adalah 273 cm2 Keliling daerah terarsir
= keliling persegi + keliling lingkaran = 4 s d = 4 5 + 3,14 × 10 = 20 + 31,4 = 51,4
Jadi, keliling daerah terarsir adalah 51,4 cm Luas daerah terarsir
= Luas persegi + Luas setengan lingkaran = s 2
1 4
d 2
= 196
1
= 196
314
4
3,14 10 10
4
= 196 + 78,5 = 274,5 Jadi, luas daerah terarsir adalah 274,5 cm2
Wahyu8
4. Perhatikan gambar di sebelah ini. Besar sudut pusat AOB adalah 90, kemudian jari jarinya = 21 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.
Jawab:
Diketahui AOB = 90 AOB merupakan
Luas diarsir
segitiga siku-siku
= Luas juring AOB – Luas AOB =
=
90
1
360
r 2 a t 2
1 22 4
7
1
212 212 2
1 22 1 4 7 2
= 212
11 1 14 2
= 212
11 7 14 14
= 212 = 212
4 14 3
= 21 21
2 7
1
= 126 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 126 cm 2
Wahyu8
5. Perhatikan gambar berikut. Pada gambar di samping, panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm. Titik O merupakah titik pusat lingkaran. Hitunglah:
a. Jari-jari lingkaran O b. Luas daerah yang diarsir Jawab:
Perhatikan bahwa sudut BOC adalah sudut pusat (sekaligus diameter) dan sudut keliling BAC menghadap diameter sehingga segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku (sikusiku di A) BC =
AB2 AC 2
=
12 16
=
144 256
=
400 = 20
2
2
Panjang BC = 20 cm, maka panjang jari-jari lingkaran samadengan setengah panjang BC r =
1 2
BC
1
→
2
20 10 cm
(Jari-jari lingkaran O = 10 cm)
L. daerah terarsir = L. setengah lingkaran – L. segitiga ABC =
=
=
r2
2
a t 2
3,14 10
2
2 314 2
12 16
192 2
= 157 – 96 = 61 Luas daerah yang diarsir = 61 cm 2.
2
Wahyu8
6. Diketahui OAB = 55 dan AB = BC . Pada gambar di samping, panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm. Titik O merupakan titik pusat lingkaran. Hitunglah:
a. Jari-jari lingkaran O b. Luas daerah yang diarsir Jawab:
Misal perpotongan AC dengan OB adalah D. Perhatikan bahwa AC adalah tali busur dan OD adalah apotema tali busur (apotema). Ingat bahwa apotema membagi tali busur sama panjang sekaligus tegak lurus. Maka, AD = DC = 8 cm dan segitiga ADB juga segitiga ADO keduanya merupakan segitiga siku-siku. Dengan demikian, untuk menemukan panjang jari-jari lingkaran O kita gunakan teorema Pythagoras. Pada segitiga ADB
BD
AB 2 AD 2
BD 122 82
BD 144 64 BD 80 Pada segitiga ADO
OA2 AD 2 OD2
r 2 82 r 80
2
r 2 64 r 2 2 80 r 80
2 r
80 r 64 80 r r
144 2 80
2
→
r
2
72 80
80 80
→
r
72 80 80
→
r
9 80 10
Wahyu8
9
Jadi, jari-jari lingkaran O adalah
cm.
80 10
Per tanyaan ( b) ku r ang jelas. Tetapi, jika yang dimaksud luas yang diarsir adalah luas
tembereng AB dan tembereng BC , maka: L. arsiran = L. juring AOC L. layang layang ABCO =
=
140 360 7 18
=
=
=
11 9
9
d1 d 2
r 2
22 7
r 2 8r
2
11
r2
16
r
2
11 r 8 r 9
→
11 9 80
2
9 80
8 9 10 10
11 3 6 5
→
=
11 6480
9
→
5
=
5
5
36 11 80
Jadi, luas arsiran termaksud adalah
36 80
100
36 11 80
36 80
5
cm
2
7. Diketahui segitiga ABC yang ketiga titik sudutnya berada pada lingkaran O. Jika panjang sisi segitiga 14 cm, tentukan luas daerah yang diarsir.
Jawab:
1 L. ∆ ABC = s 2
2
14 3 = 2
2
Jari-jari lingkaran luar segitiga =
3 = 7
abc 4 L
=
2
3 = 49 3
14 14 14 4 49 3
=
196 14 196 3
=
14 3
3 3
=
14 3 3
Wahyu8
L. terarsir = L. lingkaran – L. ∆ ABC =
=
22 14 3
=
=
=
49 3 3
7 22 7
2
1
588
84
49 3
9
22 12 7 9 22 4 7
49 3
147 3
3
3
616 147 3 3
616 147 3 2 cm 3
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah
8. Perhatikan gambar di samping ini. Diketahui AEB = 62. Hitunglah besar ADB, ACB, dan ABC .
Jawab: Besar
sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar.
Pada gambar, AEB, ADB dan ACB adalah sudut keliling yang menghadap busur AB sehingga AEB = ADB = ACB = 62° Besar
sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah 90° (sudut siku-siku) .
Pada gambar, ABC = 90°.
ABC adalah
sudut keliling yang menghadap diameter AC sehingga
Wahyu8
9. Perhatikan gambar di samping ini. Bila diketahui maka tentukan besar AOB.
APB
+
AQB
+
ARB =
1.440,
C D
E
Jawab: APB + AQB + ARB =
3 AQB = 1.440 AQB =
1.440
kedua ruas dibagi 3
480
Perhatikan bidang ACBREQDP Maka, AQB = 60 10. Perhatikan lingkaran O di samping. Diketahui m BOD = 110, tentukan m BCD.
Jawab:
Perhatikan bahwa m BOD sudut pusat dan m BAD sudut keliling yang menghadap busur BD m BOD = 110 m BAD =
=
1 2 1 2
mBOD 110 = 55°
Wahyu8
ABCD merupakan segiempat tali busur, jumlah sudut yang saling berhadapan sama dengan 180° maka: m BAD + m BCD = 180° 55° + m BCD = 180° m BCD = 180° – 55° m BCD = 125° Jadi, m BCD = 125° 11. Suatu pabrik membuat biskuit yang berbentuk lingkaran padat dengan diameter 5 cm. Sebagai variasi pabrik tersebut juga ingin membuat biskuit dengan ketebalan sama namun berbentuk juring lingkaran dengan sudut pusat 90 . Tentukan diameter biskuit tersebut agar bahan produksinya samadengan biskuit yang berbentuk lingkaran. Jawab:
Misal: Biskuit lingkaran penuh =
L1
Biskuit seperempat lingkaran = 1
L1 1
4
4
L2
L2
d 12
1 4
1 4
d 2 2
kedua ruas dikali 4
d 2 2
2
4d1
45
2
d 2 2
d 2 2 4 25
d 2 100 10 Jadi, diameter biskuit tersebut (bentuk juring) adalah 10 cm. 12. Pak Santoso memiliki lahan di belakang rumahnya berbentuk persegi dengan ukuran panjang sisi 28 m 28 m. Taman tersebut sebagian akan dibuat kolam (tidak diarsir) dan sebagian lagi rumput hias (diarsir). Jika biaya pemasangan rumput Rp 50.000,00/m 2. Sedangkan biaya tukang pemasang rumput Rp 250.000,00.
Wahyu8
a. Tentukan keliling lahan rumput milik Pak Santoso tersebut. b. Tentukan anggaran yang harus disiapkan oleh Pak Santoso untuk mengolah lahan tersebut. Jawab:
K . terarsir = K . lingkaran = πd =
22 7
28 = 88
Jadi, keliling lahan rumput milik Pak Santoso adalah 88 cm. L. terarsir = L. persegi – L. lingkaran = s2 – πr 2 = 282
22 7
14 14 = 784 – 626 = 158
Biaya yang dibutuhkan: (158 × Rp 50.000) + Rp 250.000 = Rp 7.900.000 + Rp 250.000 = Rp 8.150.000 Jadi, anggaran yang harus disiapkan adalah Rp 8.150.000. 13. Diketahui bahwa luas daerah yang diarsir setengah dari luas daerah yang tidak diarsir. Tentukan AB AC .
Wahyu8
Jawab:
Misal: Luas daerah terarsir = x Luas daerah yang tidak terarsir = 2 x 1 4 1 4
π AB 2 π AC 2
1
3
AB2 AC 2
1 3
2
AB 1 AC 3 AB AC
AB AC
AB AC
1
3
1
3
3
1 3
3
3
Jadi, panjang AB dibagi panjang AC adalah
1 3
3.
14. Diketahui persegi ABCD tersusun dari empat persegi kecil sama ukuran dengan panjang sisi = 10 cm. Tentukan luas daerah yang diarsir berikut. J elaskan.
Jawab:
Luas daerah yang diarsir samadengan luas segitiga. (mengapa?) L. terarsir =
20 10 2
= 100 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 100 cm 2.
Wahyu8
15. Diketahui dua lingkaran yang isosentris (pusatnya sama di O). Jika AB = 70 cm, tentukan luas daerah yang diarsir. Petunjuk: ingat kembali teorema pythagoras.
Jawab:
Misal: Jari-jari lingkaran kecil = r dan luas lingkaran kecil =
L1
Jari-jari lingkaran besar = R dan luas lingkaran besar = R2 = r 2 + 352
L2
R2 = r 2 + 1.225
→
L. arsiran = L1 – L2 = π R2 – πr 2 = π( R2 – r 2) = π(r 2 + 1.225 – r 2) = 1.225π = 1.225
22 7
= 1.925 Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 1.925 cm 2 16. Suatu pabrik biskuit memproduksi dua jenis biskuit berbentuk cakram dengan ketebalan sama, tetapi diameternya beda. Permukaan kue yang kecil dan besar masing-masing berdiameter 7 cm dan 10 cm.
Wahyu8
Biskuit tersebut dibungkus dengan dua kemasan berbeda. Kemasan biskuit kecil berisi 10 biskuit dijual dengan harga Rp 7.000,00 sedangkan kemasan kue besar berisi 7 biskuit dijual dengan harga Rp 10.000,00. Manakah yang menguntungkan, membeli kemasan biskuit yang kecil atau yang besar? Tuliskan alasanmu. Jawab:
Misal 10 7
d 1 =
1
4 1
4
10 d 1
d 12
2
2
100d1
d 2 2
2
7 d 2
7 cm dan
d 2 =
10 cm
7.000 10.000
7 10
49d 2 2
100 × 72 = 49 × 10 2 100 × 49 = 49 × 100 4.900 = 4.900 Jadi, keduanya sama-sama menguntungkan (jika dianggap menguntungkan) 17. Suatu ketika anak kelas VIII SMP 1 Malang mengadakan study tour ke Kebun Raya Pasuruan. Guru menugasi siswa untuk memperkirakan diameter suatu pohon yang cukup besar. Erik, Dana, Veri, Nia, dan Ria berinisiatif untuk menghitung diameter pohon tersebut dengan mengukur keliling pohon. Mereka saling mengaitkan ujung jari seperti terlihat pada gambar. Rata-rata panjang dari ujung jari kiri sampai ujung jari kanan setiap siswa adalah 120 cm. Jika tepat lima anak tersebut saling bersentuhan ujung jarinya untuk mengelilingi pohon tersebut, bisakah kalian menentukan (perkiraan) panjang diameter pohon tersebut?
Wahyu8
Jawab:
K = 5 × 120 = 600 cm = 6 m K = πd 6 =
22 7
d
d
→
6 7 22
→
d ≈ 1,99 m
Jadi, taksiran panjang diameter pohon tersebut adalah 1,99 m. 18. Suatu ban mobil berdiameter 60 cm (0,6 m). Ban tersebut bergaransi hingga menempuh 70.000 km. Sampai dengan berapa putaran ban tersebut hingga masa garansinya habis? (1 km = 1.000 m) Jawab:
K = 2r
K
T =
22 6
7 10 70.000.000
K
=
70.000.000 70 4.900.000.000 = 70.000.000 = 132 132 132 70
37.121.212,12..
Jadi, diperlukan setidaknya 37.121.212 putaran 19. Suatu setelit beredar mengelilingi bumi pada ketinggian 2.000 km dari permukaan bumi. Jika perkiraan diameter bumi adalah 12.800 km, tentukan panjang lintasan yang ditempuh satelit tersebut untuk satu kali mengorbit mengelilingi bumi. Jawab:
K = 2πr = 2 × 3,14 × (2.000 + 6.400) = 2 × 3,14 × 8.400 = 2 × 314 × 84 = 52.752 km Jadi, panjang lintasannya adalah 52.752 km.
Wahyu8
20. Perhatikan gambar berikut. Sebutkan sebanyak mungkin (jika ada) bagian yang disebut:
a. Jari-jari b. Diameter c. Juring d. Tali busur e. Busur f. Tembereng g. Apotema h. Sudut keliling Sebagai latihanmu.
