Introdu¸c˜ cao a˜o ao Processamento Digital de Sinais Solu¸c˜ coes ˜ oes dos Exerc Exe rc´ ´ıcios ıcio s Propo Pro posto stoss — Cap´ Cap´ıtulo ıtul o 5 Jos´ e Alexand Alex andre re Nalo Nalon n
1.
Consid Con sidere ere a sequˆencia enci a x[n] = cos
π n 4
encontre todos os sinais cont´ cont´ınuos que poderiam gerar essa sequˆencia encia e as respectivas resp ectivas taxas de amostragem. Solu¸ c˜ ao: Para solucionarmos esse problema, supomos um sinal cont´ cont´ınuo dado por
xc (t) = cos ωt Como a amostragem exige a substitui¸c˜ cao a ˜o de t de t por p or nT nT a , temos π ωnT a = n 4 o que leva a ω = π/4 π/4T a rad/s. rad/s. Note Note que s˜ ao ao infinitas as rela¸c˜ coes o ˜es desse tipo, o que significa que existem infinitos sinais que levam levam ao mesmo mesmo resultado resultado,, desde desde que se utilize utilize a taxa de amostragem amostragem correta. correta. Note tamb´ tamb´em em que essa solu¸ c˜ cao a ˜o n˜ ao ao leva em considera¸ c˜ cao a ˜o a existˆencia encia de aliasing . Para tanto, tanto, fazemos ωnT a = o que leva a ω =
π + 2kπ 2kπ n 4
π + 8kπ 8 kπ rad/s 4T a
1
2
2.
Seja a fun¸c˜ao definida por xc (t) = sen(2πt)
Esboce a fun¸c˜ao amostrada e sua transformada de Fourier se o per´ıodo de amostragem ´e dada abaixo. Em quais desses casos ocorrer´a aliasing ? Qual o efeito do aliasing em cada caso? a) T a = 1/4 s Solu¸ c˜ ao: Sem aliasing
b) T a = 1/2 s Solu¸ c˜ ao: No limite do crit´ erio de Nyquist para a existˆ encia de aliasing
Jos´ e Alexandre Nalon
c) T a = 3/4 s Como 2πT a = 3π/2, h´ a aliasing . frequˆencia aparente ´e ω = π/2 rad/s. Solu¸ c˜ ao:
A
d) T a = 1 s Como 2πT a = 2π, h´ a aliasing . frequˆencia aparente ´e ω = 0 rad/s. Solu¸ c˜ ao:
A
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3
Dadas as frequˆencias de amostragem abaixo, encontre as frequˆencias de tempo discreto correspondentes. Algumas dessas frequˆencias est˜ao em aliasing : 3.
Solu¸ c˜ ao: As frequˆ encias em aliasing est˜ ao com as frequˆencias aparentes marcadas com o s´ımbolo de equivalˆ encia ( )
≡
a) f a = 15 kHz f = 10 kHz
d) f a = 7, 5 kHz f = 10 kHz
Solu¸ c˜ ao:
ω =
4π 3
≡ π3 rad/s
Solu¸ c˜ ao:
b) f a = 44, 1 kHz f = 18, 3 kHz Solu¸ c˜ ao:
ω = 0, 83πrad/s
c) f a = 10 kHz f = 20 kHz
ω =
3π 2
≡ π2 rad/s
e) f a = 5 kHz f = 4, 5 kHz Solu¸ c˜ ao:
Solu¸ c˜ ao:
ω =
ω = πrad/s
20π 9
≡ 2π9 rad/s
Dadas as frequˆencias de amostragem abaixo, encontre as frequˆencias de tempo cont´ınuo correspondentes. Encontre pelo menos uma frequˆencia em aliasing al´em da frequˆencia fundamental: 4.
a) f a = 15 kHz ω = π/4 rad/s
d) f a = 7, 5 kHz ω = π/2 rad/s
Solu¸ c˜ ao:
f = 1, 875 + 15k (kHz), k inteiro
Solu¸ c˜ ao:
b) f a = 16 kHz ω = π/5 rad/s Solu¸ c˜ ao:
f = 1, 6 + 16k (kHz), k inteiro
c) f a = 20 kHz ω = 0 rad/s
f = 1, 875 + 7, 5k (kHz), k inteiro
e) f a = 18 kHz ω = π rad/s Solu¸ c˜ ao:
Solu¸ c˜ ao:
f = 20k (kHz), k inteiro
5.
f = 9 + 18k (kHz), k inteiro
Se a frequˆencia de amostragem para x c (t) ´e f a , ent˜ ao qual deve ser a frequˆencia de amostragem para
a) yc (t) = x c (2t) Solu¸ c˜ ao: A opera¸ c˜ ao feita sobre o sinal x c (t) ´e uma
compress˜ a o no tempo por um fator 2, o que implica na expans˜ ao no dom´ınio da frequˆencia pelo mesmo fator. Assim, se a frequˆencia de amostragem para x c (t) ´e f a , a frequˆencia para y c (t) deve ser 2f a .
c) yc (t) = x c (t) ∗ xc (t) Solu¸ c˜ ao: A convolu¸ ca ˜o de dois sinais no dom´ınio do
tempo corresponde ao produto das respectivas transformadas de Fourier. Se X c (Ω) ´e limitada no intervalo Ω < Ωa /2, o produto tamb´ em ser´ a . Assim, a frequˆencia de amostragem de y c (t) tamb´em ´ e f a .
| |
d) yc (t) = b) yc (t) = x c (t − τ )
d xc (t) dt
Solu¸ c˜ ao: A transformada de Fourier da derivada no Solu¸ c˜ ao: A opera¸ ca ˜o do deslocamento no tempo al-
tera apenas a fase da transformada de Fourier, o que significa que a frequˆ encia m´ a xima de um sinal limitado em frequˆ encia n˜ ao ´e alterada. Portanto, a frequˆencia de amostragem para y c (t) ´e tamb´em f a .
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dom´ınio do tempo de um sinal cont´ınuo ´ e dada por
F
d xc (t) dt
= j ΩX c (Ω)
Assim, se o sinal original ´e limitado nas frequˆ encias Ω < Ωa , sua derivada tamb´ em ser´ a . Portanto, a frequˆencia de amostragem de y c (t) ´e tamb´em f a .
| |
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4
Um sinal de 20 kHz de largura de banda deve ser filtrado para eliminar as frequˆencias abaixo de 7,5 kHz e acima de 12,5 kHz. Encontre a taxa de amostragem do sistema que processar´a esse sinal e quais devem ser as frequˆencias de tempo discreto do filtro. 6.
Solu¸ c˜ ao: A frequˆ encia de amostragem deve ser pelo menos duas vezes maior que a largura de banda do sinal. Assim, f a > 40
kHz. Supondo que a amostragem seja feita sobre a frequˆ encia cr´ıtica, ent˜ ao: f = 7, 5kHz
→ ω = 3π8
rad/s
e f = 12, 5kHz
→ ω = 5π4 rad/s
Um sinal amostrado a 15 kHz tem uma interferˆ encia causada por um ru´ıdo de 20 kHz. Esse ru´ıdo se sobrep˜oe numa frequˆencia determinada de tempo discreto. Descubra qual ´e essa frequˆencia. 7.
Solu¸ c˜ ao: A frequˆ encia po de ser encontrada por uma rela¸ca ˜o simples, resultando em ω = 8π/3 rad/s. Essa ´e uma frequˆencia
em aliasing , pois ω > π. Para encontrarmos a fr equˆ encia aparente, subtra´ımos 2π at´e que a condi¸c˜ ao ω < π seja satisfeita. O resultado ´e ω = 2π/3 rad/s.
| |
′
8.
Um sinal senoidal com frequˆencia angular Ω = 5π ´e amostrado com uma frequˆencia Ωa = 50π.
a) A que frequˆencia de tempo discreto corresponde a frequˆencia de tempo cont´ınuo do sinal original? Solu¸ c˜ ao: Por propor¸ c˜ ao simples, ω = π/5 rad/s.
b) Se o sinal ´e contaminado por uma fun¸ c˜a o senoidal de frequˆencia 120π, em que frequˆencia do tempo discreto essa componente ser´a percebida? Esboce o sinal resultante, se a amplitude desse ru´ıdo ´e 0, 4. Solu¸ c˜ ao: Por propor¸ ca ˜o simples, ω = 24π/5 rad/s. Essa ´e uma
frequˆencia em aliasing . Subtraindo 2π sucessivamente, encontramos a frequˆ encia aparente como sendo ω = 4π/5 rad/s. ′
c) Se o sinal ´e contaminado por uma fun¸ c˜a o senoidal de frequˆencia 150π, em que frequˆencia do tempo discreto essa componente ser´a percebida? Esboce o sinal resultante, se a amplitude desse ru´ıdo ´e 0, 4. Solu¸ c˜ ao: Por propor¸ ca ˜o simples, ω = 6π rad/s. Essa ´e uma
frequˆencia em aliasing . Subtraindo 2π sucessivamente, encontramos a frequˆ encia aparente como sendo ω = 0 rad/s. ′
9.
A energia de um sinal cont´ınuo x c (t) ´e dada por ∞
E x =
|xc (t)|2 dt
−∞
Qual ´e a rela¸ca˜o da energia do sinal amostrado x[n] = x c (nT a ) com o sinal cont´ınuo original? Solu¸ c˜ ao: A energia de um sinal discreto x[n] pode ser encontrado segundo a rela¸ca ˜o de Parseval, ou seja,
E =
1 2π
π
π
−
|X (ω)|2 dω
O espectro X (ω) pode ser encontrado do sinal amostrado. Aqui, ignoramos os efeitos do aliasing , supondo que o sinal x c (t) foi amostrado de acordo com o crit´ erio de Nyquist. Se o crit´ erio foi respeitado, ent˜ ao 1 ω X (ω) = X T a T a
Assim, 1 E = 2π
π
π
−
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1 ω X T a T a
2
dω
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5
O intervalo de integra¸ca ˜o se justifica por que o sinal ´e assumido como sendo nulo fora dessa faixa (pois o crit´ erio de Nyquist ´e satisfeito). Fazendo w = ω/T a , temos E =
π/T
1 2πT a
a
X (w) dw = π/T
−
a
1 2πT a
Ω /2
a
X (w) dw Ω /2
−
a
E, portanto, E =
1 E c T a
Para os sinais abaixo, encontre a menor taxa de amostragem poss´ıvel. Se o sinal n˜ao for limitado em frequˆencia, encontre a taxa de Nyquist de forma que apenas 5% da energia seja perdia pela filtragem anti- aliasing . 10.
a) xc (t) =
1 u(t) 2t
Solu¸ c˜ ao: A transformada de Fourier de tempo cont´ınuo deste sinal pode ser encontrada de forma simples atrav´ es da equa¸ ca ˜o
de an´ alise: X c (Ω) =
− 0, 69311 + jΩ
Esse sinal ´e ilimitado em frequˆencia. Sua magnitude ´e dada por 1 X c (Ω) = 0, 4805 + Ω2
|
|
Como esse sinal ´e sim´etrico em rela¸ca ˜o ao eixo vertical, para descobrir em que ponto sua energia, dada pela integral abaixo (atrav´es da rela¸ c˜ ao de Parseval para a transformada de Fourier de tempo cont´ınuo), atinge 2,5%: 1 E = π
Ω0
0
1 1 dΩ = arctg 2 0, 4805 + Ω 0, 4805π
Ω 0, 4805
Essa integral atinge o valor m´ aximo quando Ω0 , e o resultado ´e E = 1/(2 valor de Ω0 a energia atinge 0, 975 desse valor, ou seja,
→ ∞
1 arctg 0, 4805π
Ω 0, 4805
× 0, 4805) = 1, 0407. Basta calcular para que
= 1, 0147
O resultado ´e Ω0 = 12, 2445 rad/s. Portanto, a taxa de amostragem deve ser Ωa > 24, 4891 rad/s, o que equivale a f a = 3, 8976 hertz.
b) xc (t) = sinc(Ω0 t) ´ bem sabido que a transformada de Fourier da fun¸c ao sinc Ω0 t ´ Solu¸ c˜ ao: E e dada por X c (Ω) =
1 , 2Ω0 0,
se Ω < Ω 0
| |
caso contr´ ario
Essa fun¸ca ˜o ´e claramente limitada pela frequˆencia Ω0 , portanto, a taxa de amostragem ´e Ωa = 2Ω0 , o que corresponde a f a = Ω0 /π Hz.
c) xc (t) = sen(πt) + cos(2πt) Solu¸ c˜ ao: Como essa fun¸ca ˜o tem ap enas duas componentes em frequˆencia, uma em Ω = π rad/s e outra em Ω = 2π rad/s, ´ e
limitada em frequˆencia. A frequˆ encia de amostragem deve ser Ωa = 2π rad/s, o que equivale `a frequˆencia c´ıclica f a = 1 Hz.
d) xc (t) =
cos(10πt)sen(πt) 2t
Solu¸ c˜ ao: Com alguma manipula¸ ca ˜o com identidades trigonom´etricas, chega-se a
11π 9π sinc(11t) sinc(9t) 4 4 Como a transformada de Fourier ´e linear, e a fun¸ c˜ ao sinc ´e limitada em frequˆencia, esse sinal ´e limitado na frequˆ encia Ω 0 = 11 rad/s, o que faz com que a frequˆ encia de amostragem seja Ωa = 22 rad/s, f a = 3, 50141 Hz. xc (t) =
e) xc (t) = e
−4t
u(t) ∗
−
senΩt πt
Solu¸ c˜ ao: A transformada de Fourier da convolu¸ ca ˜o ´e o produto entre as transformadas dos sinais envolvidos, ou seja,
X c (Ω) =
F
e
4t
−
u(t)
F
sen Ω0 t πt
A transformada da exponencial ´e ilimitada em frequˆ encia. O seno amortecido, por sua vez, ´e limitado a` frequˆencia Ω0 . O produto de ambas, portanto, tamb´em ser´ a limitado ` a frequˆencia Ω0 , o que faz com que a frequˆencia de amostragem seja Ωa = 2Ω0 rad/s, e f a = Ω0 /π Hz.
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As equa¸co˜es de diferen¸cas abaixo processam os sinais de tal forma que n˜ao existe aliasing no processamento. Encontre, em fun¸ca˜o de T a , a frequˆencia m´axima dos sinais envolvidos, e encontre a resposta em frequˆencia do sistema cont´ınuo 11.
a) y[n] = x[n] − x[n − 1] Solu¸ c˜ ao: A resposta em frequˆ encia desse sistema ´e
H (ω) = 1
−e
jω
−
o que corresponde a ` seguinte resposta em magnitude:
|H (ω)| = |2 cos(ω/2)| Essa ´e uma resposta p ositiva e diferente de zero no intervalo em que ω vai de frequˆencia m´axima do sinal ´e metade da frequˆencia de amostragem, ou
−π a π , o que significa que a frequˆencia que a
f 0 =
1 2T a
A resposta em frequˆ encia do sistema cont´ınuo correspondente po de ser encontrada fazendo a substitui¸ ca ˜o ω = ΩT a , e multiplicando a fun¸ca ˜o por T a , portanto H c (Ω) =
T a (1
−e
0,
jΩT
−
a
)
π T
se Ω <
| |
a
caso contr´ ario
b) y[n] − y[n − 1] = x[n] Solu¸ c˜ ao: A resposta em frequˆ encia desse sistema ´e
H (ω) =
1 1
−e
jω
−
o que corresponde a ` seguinte resposta em magnitude: 1 |H (ω)| = |2 cos(ω/2) | Essa ´e uma resposta p ositiva e diferente de zero no intervalo em que ω vai de frequˆencia m´axima do sinal ´e metade da frequˆencia de amostragem, ou
−π a π , o que significa que a frequˆencia que a
f 0 =
1 2T a
A resposta em frequˆ encia do sistema cont´ınuo correspondente po de ser encontrada fazendo a substitui¸ ca ˜o ω = ΩT a , e multiplicando a fun¸ca ˜o por T a , portanto H c (Ω) =
T a 1 0,
−e
se Ω <
| |
jΩT
−
a
π T
a
caso contr´ ario
c) y[n] = x[n] − 21 y[n]
Solu¸ c˜ ao: A resposta em frequˆ encia desse sistema ´e
H (ω) =
1 1+
1 −jω e 2
o que corresponde a ` seguinte resposta em magnitude:
|H (ω)| = √ 5 + 24cos ω Essa ´e uma resposta p ositiva e diferente de zero no intervalo em que ω vai de frequˆencia m´axima do sinal ´e metade da frequˆencia de amostragem, ou
−π a π , o que significa que a frequˆencia que a
f 0 =
1 2T a
A resposta em frequˆ encia do sistema cont´ınuo correspondente po de ser encontrada fazendo a substitui¸ ca ˜o ω = ΩT a , e multiplicando a fun¸ca ˜o por T a , portanto H c (Ω) =
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1+ 0,
T a 1 −jΩT e 2
a
se Ω <
| |
π T
a
caso contr´ ario
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7
Um retentor de ordem zero ´e um dispositivo que produz uma reconstru¸c˜ao aproximada do sinal cont´ınuo atrav´es de pulsos retangulares com largura T a , a partir das amostras da sequˆencia discreta x[n]. Se a resposta ao impulso de um retentor de ordem zero ´e 12.
h(t) =
1, se 0 ≤ t < T a 0, fora do intervalo
esboce a resposta de um retentor de ordem zero a uma sequˆencia qualquer, e encontre o espectro resultante. Avalie as distor¸c˜oes obtidas e como solucion´a-las. Solu¸ c˜ ao: Uma discuss˜ ao completa de retentores de ordem zero e primeira ordem pode ser encontrada na literatura, eg.: Oppenheim, A. V. & Schafer, R. W., “Discrete-Time Signal Processing” , Prentice-Hall, 1989. Esta quest˜ ao tem, na verdade,
a inten¸ca ˜o de incentivar a pesquisa, pois h´a muitos detalhes que precisam ser estudados e desenvolvidos. Retentores de ordem zero s˜ ao bastante estudados e estimula-se o estudante a procurar os resultados e compil´a-los em um documento completo. A transformada de Fourier desse pulso retangular ´e uma senoide amortecida, dada pela express˜ ao abaixo: ωT a H (Ω) = T a sinc 2π A figura abaixo mostra o resultado da an´ alise. Em (a), a reconstru¸ca ˜o das mesmas sequˆencias dos exerc´ıcios anteriores; em (b), a resposta ao impulso do filtro de reconstru¸ca ˜o, em (c) a magnitude da transformada de Fourier da resposta em frequˆ encia.
Um retentor de primeira ordem ´e um dispositivo que produz uma reconstru¸ ca˜o aproximada do sinal cont´ınuo atrav´es de pulsos triangulares com largura T a , a partir das amostras da sequˆencia discreta x[n]. Se a resposta ao impulso de um retentor de primeira ordem ´e 13.
h(t) =
1 t + 1, T a 1 − t + 1, T a 0,
se − T a ≤ t < 0 se 0 ≤ t ≤ T a fora do intervalo
esboce a resposta de um retentor de primeira ordem a uma sequˆencia qualquer, e encontre o espectro resultante. Avalie as distor¸co˜es obtidas e como solucion´a-las. Solu¸ c˜ ao: Uma discuss˜ ao completa de retentores de ordem zero e primeira ordem pode ser encontrada na literatura, eg.: Oppenheim, A. V. & Schafer, R. W., “Discrete-Time Signal Processing” , Prentice-Hall, 1989. Esta quest˜ ao tem, na verdade,
a inten¸c˜ ao de incentivar a pesquisa, pois h´a muitos detalhes que precisam ser estudados e desenvolvidos. Ainda que hajam alguns textos que tratem de retentores desta natureza, o estudante provavelmente conseguir´ a maiores resultados seguindo a linha pesquisada na quest˜ao anterior e obtendo suas pr´ oprias conclus˜ oes. Esse sinal pode ser obtido pela convolu¸ca ˜o de um pulso retangular de largura T a /2 consigo mesmo. Isso significa que sua transformada de Fourier ´e obtida pela terceira p otˆ encia do sinc de largura adequada, ou seja, 2 T a ωT a H (Ω) = sinc 2 4π A figura abaixo mostra o resultado da an´ alise. Em (a), a reconstru¸ca ˜o das mesmas sequˆencias dos exerc´ıcios anteriores; em (b), a resposta ao impulso do filtro de reconstru¸ca ˜o, em (c) a magnitude da transformada de Fourier da resposta em frequˆ encia.
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14.
Baseado nos problemas anteriores, crie e analise um retentor de segunda ordem, baseado em um pulso parab´ olico. Solu¸ c˜ ao: Veja a observa¸ ca ˜o na quest˜ a o anterior.
Como quest˜ ao adicional, o estudante pode desenvolver uma teoria de retentores de ordem N quaisquer, generalizando o visto aqui. A resposta no dom´ınio do tempo de um retentor baseado em um pulso parab´ olico pode ser definido pela seguinte express˜ao. 1 (t + T a )2 , se T a t < T a /3 2 2 T t2 + a , se T a /3 t < T a /3 h(t) = 3 1 (t T a )2 , se T a t < T a /3 2 0, caso contr´ ario
− −
− ≤ − − ≤ − ≤ −
Esse sinal pode ser obtido por duas convolu¸co ˜es consecutivas de um pulso retangular de largura T a /3. Isso significa que sua transformada de Fourier ´e obtida pela terceira p otˆ encia do sinc de largura adequada, ou seja, H (Ω) =
T a sinc 3
ωT a 6π
3
A figura abaixo mostra o resultado da an´ alise. Em (a), a reconstru¸c˜ ao das mesmas sequˆ encias dos exerc´ıcios anteriores; em (b), a resposta ao impulso do filtro de reconstru¸ca ˜o, em (c) a magnitude da transformada de Fourier da r esposta em frequˆ encia.
Determine o fator m´ aximo de decima¸ca˜o que o sinal representado pela transformada de Fourier na figura (dada no exerc´ıcio) pode sofrer sem que ocorra aliasing . 15.
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9
Solu¸ c˜ ao: Esse sinal ´ e limitado na frequˆencia discreta ω = π/6. Como, na subamostragem por um fator M , o espectro se
expande do mesmo fator, ´e poss´ıvel manter uma a cada 6 amostras.
16.
Seja a transformada de Fourier de um sinal cont´ınuo dada pela figura (dada no exerc´ıcio)
a) Qual deve ser o maior per´ıodo de amostragem admitido para esse sinal? Solu¸ c˜ ao: Seguindo o teorema da amostragem, a frequˆ encia de amostragem deveria ser duas vezes a mais alta componente
do sinal, portanto Ωa > 2Ω.
b) Metade do espectro desse sinal n˜ao cont´em informa¸c˜ao. Seria poss´ıvel amostrar esse sinal com um per´ıodo maior que o encontrado no item (a)? Caso isso seja poss´ıvel, encontre a taxa de amostragem m´ınima e mostre como o sinal original poderia ser recuperado. Solu¸ c˜ ao: N˜ ao ´e poss´ıvel amostrar esse sinal abaixo da frequˆ encia de Nyquist sem que ocorra aliasing . No entanto, neste
caso, o aliasing pode ser usado de forma u ´ til. A largura de banda do sinal ´e Ω/2. Amostrando esse sinal a ` taxa Ωa = Ω, o l´ obulo direito replica-se do lado esquerdo do eixo vertical, e o l´ obulo esquerdo replica-se do lado direito do eixo vertical. Um sistema de processamento para esse tipo de sinal deve levar em considera¸c˜ ao a modifica¸c˜ ao das frequˆencias. Um sistema para a recupera¸ c˜ ao do sinal original deve levar em considera¸ca ˜o que os l´ obulos devem ser levados `as suas posi¸co ˜es originais.
Encontre os sistemas discretos de convers˜ ao de taxa de amostragem para as frequˆencias abaixo, sendo f 1 a frequˆencia original de amostragem do sinal, e f 2 a frequˆencia desejada. 17.
a) f 1 = 480 Hz f 2 = 630 Hz Solu¸ c˜ ao: O sinal resultante deve ter 630 amostras para cada 480 amostras do sinal original. Isso significa que o sistema
deve realizar a opera¸ca ˜o y[n] = x
480 n 630
o que pode ser simplificado para y[n] = x
16 n 21
A superamostragem deve ser realizada antes da subamostragem, e o filtro intermedi´ario deve ter frequˆ encia de corte ωc = π/21.
b) f 1 = 5, 4 kHz f 2 = 8, 1 kHz Solu¸ c˜ ao: O sinal resultante deve ter 8100 amostras para cada 5400 amostras do sinal original. Isso significa que o sistema
deve realizar a opera¸ca ˜o 5400 y[n] = x n 8100
o que pode ser simplificado para y[n] = x
2 n 3
A superamostragem deve ser realizada antes da subamostragem, e o filtro intermedi´ ario deve ter frequˆencia de corte ωc = π/3.
c) f 1 = 16 kHz f 2 = 14, 7 kHz Solu¸ c˜ ao: O sinal resultante deve ter 14700 amostras para cada 16000 amostras do sinal original. Isso significa que o sistema
deve realizar a opera¸ca ˜o 16000 y[n] = x n 14700
o que pode ser simplificado para y[n] = x
160 n 147
A superamostragem deve ser realizada antes da subamostragem, e o filtro intermedi´ario deve ter frequˆ encia de corte ωc = π/160.
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10
d) f 1 = 44, 2 kHz f 2 = 48 kHz Solu¸ c˜ ao: O sinal resultante deve ter 48000 amostras para cada 44200 amostras do sinal original. Isso significa que o sistema
deve realizar a opera¸c˜ ao 44200 y[n] = x n 48000
o que pode ser simplificado para y[n] = x
221 n 240
A superamostragem deve ser realizada antes da subamostragem, e o filtro intermedi´ario deve ter frequˆ encia de corte ωc = π/240.
e) f 1 = 16 kHz f 2 = 2 kHz Solu¸ c˜ ao: O sinal resultante deve ter 2000 amostras para cada 16000 amostras do sinal original. Isso significa que o sistema
deve realizar a opera¸c˜ ao y[n] = x
16000 n 2000
o que pode ser simplificado para y[n] = x[8n] A superamostragem deve ser realizada antes da subamostragem, e o filtro intermedi´ ario deve ter frequˆencia de corte ωc = π/8.
f) f 1 = 960 Hz f 2 = 600 Hz Solu¸ c˜ ao: O sinal resultante deve ter 600 amostras para cada 960 amostras do sinal original. Isso significa que o sistema
deve realizar a opera¸c˜ ao y[n] = x
960 n 600
o que pode ser simplificado para y[n] = x
8 n 5
A superamostragem deve ser realizada antes da subamostragem, e o filtro intermedi´ ario deve ter frequˆencia de corte ωc = π/8.
g) f 1 = 1, 63 kHz f 2 = 2, 17 kHz Solu¸ c˜ ao: O sinal resultante deve ter 2170 amostras para cada 1630 amostras do sinal original. Isso significa que o sistema
deve realizar a opera¸c˜ ao 1630 y[n] = x n 2170
o que pode ser simplificado para y[n] = x
163 n 217
A superamostragem deve ser realizada antes da subamostragem, e o filtro intermedi´ario deve ter frequˆ encia de corte ωc = π/217.
Um sistema de mudan¸ ca de taxas sempre tem a superamostragem acontecendo antes da subamostragem. Mostre que o procedimento inverso, isto ´e, a sub-amostragem sendo feita antes da superamostragem, s´o corresponde ao sistema original sob condi¸c˜oes especiais, e determine quais s˜ao essas condi¸c˜oes. 18.
´ poss´ıvel realizar a subamostragem antes da superamostragem se pudermos garantir que n˜ Solu¸ c˜ ao: E ao haver´ a aliasing . Para que isso aconte¸ca, o sinal deve ser limitado em frequˆencia: se o fator de subamostragem ´e M , ent˜ a o o sinal n˜ a o deve ter componentes em sua transformada de Fourier para ω > π/M .
| |
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11
A superamostragem de um sinal ´e uma an´alise bastante semelhante a` reconstru¸ca˜o de um sinal, por´em ´e feita no dom´ınio do tempo discreto. Podemos fazer alguns paralelos entre as t´ecnicas de reconstru¸c˜a o de sinais e a superamostragem. Por exemplo, se o sinal ´e superamostrado com um fator L, poder´ıamos definir um “retentor discreto” de ordem zero como 19.
h[n] =
1, se 0 ≤ n < L 0, fora do intervalo
Solu¸ c˜ ao: Mostramos aqui alguns detalhes do “retentor” de ordem zero. Racioc´ınio semelhante ao desenvolvido nos exerc´ ıcios
13 e 14 p ermite encontrar as outras formas solicitadas. Assim como aquelas quest˜ oes, esta tem a inten¸ca ˜o de incentivar a pesquisa. Como no enunciado, a resposta ao impulso ´e dada por h[n] =
1,
se 0
0,
fora do intervalo
≤n
A transformada de Fourier dessa sequˆ encia po de ser encontrada diretamente pela defini¸ ca ˜o, e ´e dada por H (ω) = e
jω(L−1)/2 sen(ωL/2)
−
sen(ω/2)
Note que essa resposta corresponde a um atraso de (L 1)/2 amostras. A figura abaixo mostra em (a) a resposta ao impulso para L = 5 amostras, em (b), a superamostragem de uma sequˆencia qualquer, e em (c) a magnitude da resposta em frequˆ encia para alguns valores diferentes de L.
−
Processamento Digital de Sinais
Jos´ e Alexandre Nalon
