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j
Sigue practicando
El trabajo de extracción es:
1. Un fotón de luz roja de 700 nm de longitud de onda tiene una energía igual a 2,842·10 –19 J. ¿Cuál es la energía de un fotón de luz verde de 550 nm? La relación entre la longitud de onda y la frecuencia viene dada c por la ecuación λ = , y la energía de un fotón por la ecua f ción E = hf . Si despejamos f en la primera ecuación y sustic tuimos en la segunda, queda E = h . Sustituimos los valores λ
de la energía y de la longitud de onda del fotón de luz roja: 2, 842 · 10−19 J = h
Wextr
c
=
h
c λ
=
1, 99 ⋅ 10−25 J ⋅ m 550 ⋅ 10−9 m
=
Una varilla, que tiene una longitud de 1 m parada, está colocada a lo largo del eje X de de un sistema de coordenadas y se mueve en esa dirección con una velocidad de 0,8c . ¿Cuál será la longitud de la varilla que medirá un o bservador situado en reposo sobre el eje X ? 1−
v . c 2
En este caso la longitud propia es expresión anterior, resulta =
1 m⋅ 1 −
(0,8c)2 c 2
=
0 =
1 m. Sustituyendo en la
0, 6 m
3. El umbral fotoeléctrico del cobre viene dado por una longitud de onda λ 0 = 320 nm. Sobre una lámina de este metal incide una radiación ultravioleta de longitud de onda λ = λ = 240 nm. Hallar: a) El trabajo de extracción. b) La energía cinética máxima de los electrones liberados. Datos: Constante de Planck = 6,62·10–34 J·s; velocidad de la
luz = 3·108 m/s. a) Calculamos la frecuencia umbral. Como se cumple que c , se tendrá que: λ0 = f 0 =
c λ0
=
3 ⋅ 108 m/s 320 ⋅ 10−9 m
=
Wextr
áx , + Ec,m
queda la expresión: =
6, 21 ⋅ 10−19 J + E c,máx
Despejando la energía cinética máxima, obtenemos: E c,máx
=
2,, 07 ⋅ 10−19 J 2
Si pasamos a m/s la velocidad de 72 km/h, obtenemos 20 m/s. La masa expresada en kg es 0,5 kg. Sustituyendo en la expresión h de la onda asociada, λ = , resulta: mv λ =
6, 6 · 10−34 J ⋅ s 0,5 kg kg ⋅ 20 m/s m/s
=
6, 6 · 10−35 m.
5. El principio de indeterminación de Heisenberg establece
9, 38 ⋅ 1014 s−1
h
donde h es 2π la constante de Planck. Se tiene un láser que emite impulsos de luz cuyo espectro de longitudes de onda se extiende de 783 nm a 817 nm. Calcula la anchura anchura en frecuencias frecuencias ∆ν y la duración temporal mínima de esos impulsos. Tómese c = 3·108 m/s. La anchura del láser en longitud de onda es:
La longitud medida es 0,6 m, menor que la longitud propia.
f 0
=
ΔEE Δ para la energía y el tiempo la relación ∆ ∆t ≥
2
= 0
1, 25 ⋅ 1015 Hz.
Datos: Constante de Planck (h) = 6,6·10–34 J·s
3, 62 ⋅ 10−19 J
2. Escribe la ecuación matemática que nos nos da la longitud de un un objeto que se mueve a velocidades próximas a la de l a luz.
La expresión es
=
4. Calcule la longitud de la onda de materia asociada a un balón de fútbol de 500 g de masa, que se mueve a una velocidad de 72 km/h.
λ
Si sustituimos los datos, queda: E
6, 21 ⋅ 10−19 J
=
3 ⋅ 108 m/s f
6, 62 · 10−34 J ⋅ s ⋅ 1, 25 ⋅ 1015 s−1
La energía del fotón de luz verde viene dada por la ecuación h
6, 62 · 10−34 J ⋅ s ⋅ 9, 38 ⋅ 1014 s−1
Sustituyendo en la ecuación del efecto fotoeléctrico,
m
hc = 2, 842 · 10−19 J ⋅ 700 ⋅ 10−9 m = 1, 99 ⋅ 10−25 J ⋅ m
=
=
El valor de f es es f = 1, 25 ⋅ 1015 s−1
El valor de hc será: será:
E
hf 0
240 ⋅ 10−9 m =
hf
700 ⋅ 10
=
b) La frecuencia que corresponde a una longitud de onda de c 240 nm la calculamos a partir de la ecuación λ = . Susti f tuyendo los valores, resulta:
c −9
99
=
9, 38 ⋅ 1014 Hz
817 nm – 783 nm = 34 nm La anchura en frecuencias la calculamos a partir de la expresión ∆λ =
c ∆ f
Tenemos que: 34 ⋅ 10−9 m =
3 ⋅ 108 m / s f
De ahí obtenemos: ∆ f =
8,82 ⋅ 1015 Hz
La indeterminación en la energía será: ∆E =
h∆f
=
h ⋅ 8,82 ⋅ 1015 J
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100
FÍSICA RELATIVISTA Y FÍSICA CUÁNTICA
De la relación de incertidumbre 15
h 8,82 ⋅ 10
J ∆ t ≥
∆E ∆t ≥
h
2π
, obtenemos:
4
h
Despejando ∆t, el resultado es: =
j Actividades
v
1,80 ⋅ 10−17 s
propuestas
1> Una persona está situada en el interior de un tren que se mueve rectilíneamente a una velocidad de 120 km/h. La persona lanza por el suelo una bola que sigue una trayectoria rectilínea con una velocidad de 5 m/s en sentido contrario al del movimiento del tren. Calcular la velocidad de la bola con respecto a un sistema de referencia en reposo y situado fuera del tren. ¿Qué velocidad se mediría desde ese sistema de referencia si la bola se moviera en el mismo sentido que el tren? La velocidad del tren expresada en m/s es v = 120 km/h =
120 km/h ⋅ 1000 m/km 3 600 s/h
= 0
1−
v 2 c 2
Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad y despe jando la velocidad, obtenemos:
2π
1 ∆t ≥ 2π ⋅ 8,82 ⋅ 1015 J
0
=
15c 2 16
=
0,97c
4. ¿Qué velocidad debe tener un rectángulo de lados x e y , que se mueve en la dirección del lado y, para que su superficie sea 3/4 partes de su superficie en reposo? La superficie en reposo del rectángulo es S0 = xy , y corresponde a la superficie propia. Cuando el rectángulo se mueve en la dirección del eje y, el lado de ese nombre parece más corto para un observador que lo ve en movimiento, pero el lado x permanece constante. Por tanto, la superficie en ese sistema de referencia es: S
=
xy
=
xy 0 1 −
v2 c2
=
S0 1 −
v 2 c 2
.
De acuerdo con el dato del problema, S = 3/4S 0. Sustituyendo en la expresión anterior, resulta:
=
33,33 m/s
3 S0 4
=
S 0 1 −
v 2 c 2
Se sitúa un sistema de referencia ( S ) fuera del tren y otro ( S ’) en su interior. Si se utiliza la transformación de Galileo de las velocidades u’ = u − v , y suponemos que el sistema S ’ se mueve con respecto al S en la dirección positiva del eje X , se tendrá:
Si se elevan los dos miembros al cuadrado y despejamos v , obtenemos:
5 m / s = ux
v
−
33,33 m/s
=
7c 2 16
=
0,66c
Por tanto, u x = 38,33 m/s. Si la bola se mueve en sentido contrario al del tren, u x = –5 m/s. Sustituyendo en la expresión de la transformación de Galileo: −5
m / s = ux
− 33,33
m/s
De ahí obtenemos que ux = 28,33 m/s.
2. Un vehículo espacial se aleja de la Tierra con una velocidad de 0,5c . Desde la Tierra se envía una señal luminosa cuya velocidad es medida por la tripulación, obteniendo un valor de: a) 1,5c
De acuerdo con la ley de Wien, que, para el Sol:
λmáxT =
2,9 ⋅ 10−3 m K , tenemos
Por tanto, la temperatura del Sol es T = 5 776,89 K.
c ) 0,5c
En el caso de la estrella Antares, se cumple que:
De acuerdo con el segundo postulado de la teoría especial de la relatividad, la velocidad de la luz en el vacío es siempre c y no depende de la velocidad del observador. Por tanto, la respuesta correcta es la b).
3. ¿Cuál debe ser la velocidad de una varilla para que su longitud sea la cuarta parte que en reposo? 0 ,
se cumplirá que
4 . Sustituyendo en la expresión de la contracción de la v 2 longitud, = 0 1 − 2 , resulta: c = 0 /
Para enunciar y explicar la ley de Wien, consultar el apartado 11.2.A de la Unidad.
502 ⋅ 10−9 m T = 2,9 ⋅ 10−3 m ⋅ K
b) c
Si la longitud propia de la varilla es
5. Enuncia y explica la ley de desplazamiento de Wien. Basándote en dicha ley, deduce qué estrella tiene más temperatura superficial: el Sol cuyo pico de emisión se produce para una longitud de onda λ máx = 502 nm, o la estrella supergigante roja Antares, cuyo pico de emisión se produce para λ máx = 880 nm.
880 ⋅ 10−9 m T = 2,9 ⋅ 10−3 m⋅ K
La temperatura de la estrella será T = 3 295,45 K. En consecuencia, la temperatura del Sol es superior a la de la estrella Antares.
6. Un fotón se mueve a la velocidad de la luz c y con una energía E. Deduce su longitud de onda. La energía de un fotón viene dada por E
hf . Por otra parte, la c relación entre la longitud de onda y la frecuencia es λ = . f =
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FÍSICA RELATIVISTA Y FÍSICA CUÁNTICA
Si despejamos la frecuencia en la primera expresión y sustituimos en la segunda, obtenemos la siguiente expresión: c
λ =
=
E h
ch E
7. Un horno de microondas doméstico utiliza radiación de frecuencia 2,5·103 MHz. La frecuencia de la luz violeta es 7,5·108 MHz. ¿Cuántos fotones de microondas necesitamos para obtener la misma energía que con un solo fotón de luz violeta? La energía de un fotón de luz violeta es Ev y la de un fotón de microondas Em = hfm mos plantear la ecuación Ev = nE m .
hfv = h ⋅ 7,5 ⋅ 1011 J, = h ⋅ 2,5 ⋅ 106 J. Pode-
=
Sustituyendo los valores de E v y E m, y despejando n, obtenemos n = 3·105 fotones.
8. La frecuencia de la luz roja es de 4,5·10 14 Hz. Determinar la energía y la cantidad de movimiento de los fotones que la constituyen. Datos: Velocidad de la luz c = 3·108 m/s. Constante de Planck (h): 6,6·10–34 J·s.
101
b) Con luz ultravioleta.
Razone la respuesta. a) La frecuencia de la luz anaranjada es menor que la frecuencia de la luz azul. Por tanto, la frecuencia umbral para la producción del efecto fotoeléctrico es la correspondiente a la luz azul. Como la frecuencia de la luz roja es menor que la de la luz azul, no se producirá efecto fotoeléctrico con luz roja. b) La luz ultravioleta tiene una frecuencia mayor que la luz azul. Por tanto, sí que se producirá el efecto fotoeléctrico con dicha luz.
11. Se ilumina una placa metálica con luz ultravioleta de cierta intensidad, observándose los electrones emitidos y midiéndose su energía cinética máxima. ¿Cómo varía esta energía si se duplica la intensidad de la luz? ¿Y si se duplica la frecuencia? Si se duplica la intensidad de la luz aumentará el número de fotones que llegan al metal, pero no su energía. Por tanto, la energía cinética máxima de los electrones emitidos no cambia.
En este caso, sustituyendo los valores, obtenemos:
Si se duplica la frecuencia de la luz, se duplica la energía de los fotones, dado que viene dada por la ecuación E = hf . Si se aplica la ecuación del efecto fotoeléctrico ( hf = Wextr + E c ,má x) a este caso, el resultado sería:
E = 6,6 ⋅ 10−34 J ⋅ s ⋅ 4,5 ⋅ 1014 s−1
h(2 f ) = W extr
La energía de un fotón viene dada por la ecuación E
=
=
hf .
2,97 ⋅ 10−19 J.
Su cantidad de movimiento es: p
=
E
−19
=
c
2,97 ⋅ 10 J 3 ⋅ 108 m/s
=
9,9 ⋅ 10−28 kg ⋅ m/s
9. a) Enunciar y explicar brevemente la hipótesis de Planck. b) Sobre un lado de una placa incide un haz de rayos-X for-
mado por 100 fotones; por el otro incide un haz de luz roja. ¿Cuántos fotones tendrá que tener el haz de luz roja para que la energía que recibe la placa sea la misma por ambos lados?
b) La energía de un fotón de luz roja es: Er
=
h
νr =
h ⋅ 4,5 ⋅ 1014 J
La energía de los rayos X es: EX
=
h
νX =
h ⋅ 3 ⋅ 1018 J.
Como la energía de un fotón de rayos-X es mayor que la correspondiente al fotón de luz roja, podemos plantear la ecuación E x = nE r. Sustituyendo los valores, obtenemos: n = 6,67·103 fotones.
10. Un metal emite electrones por efecto fotoeléctrico cuando se irradia con luz azul, pero no emite cuando se irradia con luz anaranjada. Determine si emitirá electrones cuando se irradie: a) Con luz roja.
E c,máx2
La energía cinética máxima vendría dada por la expresión: Ec,máx2
=
h(2 f ) − Wextr
≠
2(hf
− Wextr )
Por tanto, la energía cinética máxima aumenta, pero no es el doble de la que se tenía anteriormente.
12. a) Describe brevemente en qué consiste el efecto fotoeléctrico y la explicación que dio Einstein. b) Si iluminamos la superficie de un metal con luz de λ = 512 nm, la energía cinética máxima de los
electrones emitidos es 8,65 ·10–20 J. ¿Cuál será la máxima energía cinética de los electrones emitidos, si incidimos sobre el mismo metal con luz de λ = 365 nm?
Datos: rayos-X ( ν = 3·1018 Hz), luz roja ( ν = 4,5·1014 Hz)
a) Consultar el apartado 11.2.A. de la Unidad.
+
Datos: c = 300 000 km/s, h = 6,626·10–34 J·s. a) Consultar el apartado 11.2.B de la Unidad. b) La frecuencia correspondiente a λ = 512 nm la obtenemos c a partir de la expresión λ = . Sustituyendo los valores, f
resulta: 512 ⋅ 10−9 m =
3 ⋅ 108 m/s f
De ahí obtenemos que: f
=
5,86 ⋅ 1014 s−1
=
5,86 ⋅ 1014 Hz
Calculando de igual forma, la frecuencia de la luz de 365 nm es 8,21 ⋅ 1014 Hz . Si se aplica la ecuación del efecto fotoeléctrico, hf = W extr + E c,máx , siendo f = 5,86 ⋅ 1014 Hz , obtenemos:
11
102
FÍSICA RELATIVISTA Y FÍSICA CUÁNTICA
6,626 · 10−34 J ⋅ s ⋅ 5,86 ⋅ 1014 s−1
8,65 · 10−20 J
= W + extr
Por tanto, el trabajo de extracción es 3,02 ⋅ 10−19 J . 14
Para la luz cuya frecuencia es 8,21 ⋅ 10 efecto fotoeléctrico es: 6,626 · 10−34 J ⋅ s ⋅ 8,21 ⋅ 1014 s−1
=
Hz, la ecuación del
Como la energía cinética máxima y el potencial de frenado están relacionados por la expresión Ec ,má x = eV fren , obtenemos que: 3,02 ⋅ 10−19 J = 1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ V fren Por tanto V fren
3,02 ⋅ 10−19 J + E c,máx
Despejando la energía cinética máxima, obtenemos el valor de 2, 42 ⋅ 10−19 J.
13. La energía de extracción del cesio es 1,9 eV.
=
1,89 V
14. Un láser de helio-neón de 3 mW de potencia emite luz monocromática de longitud de onda λ = 632,8 nm. Si se hace incidir un haz de este láser sobre la superficie de una placa metálica cuya energía de extracción es 1,8 eV: a) Calcule el número de fotones que inciden sobre el metal
a) Hallar la frecuencia umbral y la longitud de onda umbral
del efecto fotoeléctrico.
transcurridos 3 segundos. b) La velocidad de los fotoelectrones extraídos y el poten-
b) Hallar el potencial de detención de los electrones para
una longitud de onda incidente de 300 nm.
cial que debe adquirir la placa (potencial de frenado) para que cese la emisión de electrones (1,5 puntos). a) La frecuencia de la luz monocromática la calculamos a partir c de la expresión λ = . En este caso, sustituyendo los datos, f resulta:
1 nm = 10–9 m Constante de Planck: h = 6,62·10–34 J·s Carga del electrón: e = 1,6·10–19 C 1 eV = 1,6·10–19 J
632,8 ⋅ 10−9 m =
a) La ecuación de la energía o trabajo de extracción es W extr = hf 0, donde f 0 es la frecuencia umbral. El trabajo de extracción expresado en julios será:
El valor de f es:
W extr
=
1,9 eV
=
1,9 eV ⋅ 1,6 · 10−19
J eV
=
3,04 · 10−19 J
−34
3,6 ⋅ 10
J ⋅ s ⋅ f 0
J = 6,62 ⋅ 10
5,44 ⋅ 1014 s−1
=
=
4,59 ⋅ 1014 Hz
3 ⋅ 108 m/s 5,44 ⋅ 1014 s−1
=
6,53 ⋅ 10−7 m
E
=
hf
=
6,6 · 10−34 J ⋅ s ⋅ 4,74 ⋅ 1014 s−1
=
f = 1 ⋅ 10
s
−1
9, 58 ⋅ 1015 fotones/s ⋅ 3 s = 2, 87 ⋅ 1016 fotones
b) La energía (o trabajo) de extracción, expresada en julios, es: =
1,8 eV = 1,8 eV ⋅ 1,6 ⋅ 10
=
1 ⋅ 10
6,62 · 10
J ⋅ s ⋅ 1 ⋅ 10
De ahí obtenemos: E c,máx
=
15
3,58 ⋅ 10−19 J
J/eV = 2,9 ⋅ 10 19 J −
Sustituyendo los datos en la ecuación del efecto fotoeléctri , obtenemos: co, hf = Wextr + Ec,máx 6,6 ⋅ 10−34 J ⋅ s ⋅ 4,74 ⋅ 1014 s−1
E c,máx
=
=
2,9 ⋅ 10−19 J + E c,máx
2,28 ⋅ 10−20 J.
La energía cinética es E c
Hz.
La ecuación del efecto fotoeléctrico, hf dará en este caso −34
19
−
El valor de la energía cinética máxima es:
3 ⋅ 108 m/s f
15
3,13 ⋅ 10−19 J
9,58 ⋅ 1015 fotones/s
De ahí obtenemos que: 15
=
Si la potencia del láser es 3 mW, el número de fotones que inciden en la superficie cuando ha pasado un segundo es:
W extr
b) A una longitud de onda de 300 nm le corresponde una fre c cuencia que obtenemos a partir de la expresión λ = . Si f sustituimos los valores, se tiene que:
300 ⋅ 10−9 m =
4,74 ⋅ 1014 Hz
En tres segundos, el número de fotones será:
La longitud de onda umbral la obtenemos aplicando la exc presión λ = . Así pues: f λ =
=
3 ⋅ 10−3 J/s 3,13 ⋅ 10−19 J/fotón
De ahí obtenemos que: f 0
f = 4,74 ⋅ 1014 s−1
La energía de un fotón la calculamos con la expresión:
Sustituyendo este valor en la expresión del trabajo de extracción, obtenemos: −19
3 ⋅ 108 m/s . f
−1
s
=
− 19
3,6 ⋅ 10
=
Wextr
, + Ec,máx
que-
mv 2
. Como la masa del electrón 2 es 9,11·10–31 kg, podemos calcular su velocidad a partir de =
la siguiente ecuación: J + E c,máx 2,28 ⋅ 10−20 J =
9,11 ⋅ 10−31 kg ⋅ v 2 2
Despejando, su valor es v = 2,24·105 m/s
11
FÍSICA RELATIVISTA Y FÍSICA CUÁNTICA
El potencial de frenado cumple que E c,máx = eV fren. Sustituyendo los valores, obtenemos la siguiente expresión: 2,28 ⋅ 10−20 J = 1,6 ⋅ 10−19 C V Por tanto, el valor del potencial de frenado es V = 0,14 V.
15> Se ilumina cierto metal con una radiación electromagnética cuya longitud de onda es de 500 nm, produciéndose el efecto fotoeléctrico. Si la mayor longitud de onda para la que se produce dicho efecto es de 700 nm, calcula: a) el trabajo de extracción (función de trabajo) de un elec-
trón perteneciente a ese metal. b) la energía cinética máxima de los electrones que pueden
ser extraídos del metal al ser iluminados de este modo. –34
Datos: h = 6,65·10
.
a) Calculamos en primer lugar la frecuencia correspondiente a c una longitud de onda de 500 nm. De la expresión λ = , f obtenemos:
Despejando, f = 6 ⋅ 1014 s−1
=
=
6 ⋅ 1014 Hz
4,29 ⋅ 1014 Hz
Este valor corresponde a la frecuencia umbral. El trabajo de extracción es: Wextr =
=
hf 0
=
6,65 · 10−34 J ⋅ s × 4,29 ⋅ 1014 s−1
=
b) Para calcular la energía cinética máxima, se aplica la ecua . ción del efecto fotoeléctrico hf = Wextr + Ec,máx
Sustituyendo los datos, obtenemos la expresión: =
2,85 ⋅ 10−19 J + E c,máx .
Despejando la incógnita, obtenemos: E c,máx
=
=
5,86 ⋅ 1014 Hz
Por la ecuación del efecto fotoeléctrico: hf
=
Wextr
, + Ec,máx
se tiene que:
6,63 ⋅ 10−34 J ⋅ s ⋅ 5,86 ⋅ 1014 s−1
= W + extr
El trabajo de extracción será W extr Pero Wextr
=
=
8,60 ⋅ 10−20 J
3,03 ⋅ 10−19 J .
hf 0 , es decir:
3,03 ⋅ 10−19 J = 6,63 ⋅ 10−34 J ⋅ s f 0 Despejando f 0: f 0
=
4,57 ⋅ 1014 s−1
4,57 ⋅ 1014 Hz
=
Se aplica la ecuación del efecto fotoeléctrico cuando la energía cinética máxima de los electrones es 6,40·10 –20 J. Así, obtenemos la siguiente expresión:
=
5,54 ⋅ 1014 Hz
17. Se trata de medir el trabajo de extracción de un nuevo material. Para ello se provoca el efecto fotoeléctrico haciendo incidir una radiación monocromática sobre una muestra A de ese material y, al mismo tiempo, sobre otra muestra B de otro material cuyo trabajo de extracción es ΦB = 5 eV. Los potenciales de frenado son V A = 8 V y V B = 12 V, respectivamente. Calcule: a) La frecuencia de la radiación utilizada. b) El trabajo de extracción ΦA.
2,85 ⋅ 10−19 J
6,65 ⋅ 10−34 J ⋅ s ⋅ 6 ⋅ 1014 s−1
Despejando, f = 5,86 ⋅ 1014 s−1
Despejando, f = 5,54 ⋅ 1014 s−1
Se procede de la misma forma con la longitud de onda de 700 nm: f = 4,29 ⋅ 1014 s−1
3 ⋅ 108 m/s f
6,63 ⋅ 10−34 J ⋅ s f = 3,03 ⋅ 10−19 J + 6,40 ⋅ 10−20 J.
3 ⋅ 108 m/s f
500 ⋅ 10−9 m =
512 ⋅ 10−9 m =
103
1,14 ⋅ 10−19 J
16. a) Explica en qué consiste el efecto fotoeléctrico. ¿Qué es y por qué existe la frecuencia umbral? b) Si iluminamos la superficie de un metal con luz de
h = 6,6·10–34 J·s; e = 1,6·10–19 C a) Si el potencial de frenado del material A es 8 V, la energía cinética máxima de los electrones arrancados valdrá: Ec,máx,A
eV A
=
1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ 8 V
=
1,3 ⋅ 10−18 J.
De forma análoga, la energía cinética máxima de los electrones emitidos por el material B la calculamos mediante la expresión: Ec,max,B
=
eV B
=
1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ 12 V
=
1,9 ⋅ 10−18 J
El trabajo de extracción del material B expresado en julios será:
λ = 512
nm, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es de 8,60·10–20 J. Determina la frecuencia umbral del metal. ¿Con luz de q ué frecuencia deberemos incidir sobre el metal para que emita el ectrones de energía máxima 6,40·10–20 J?
=
ΦB =
5 eV
=
5 eV ⋅ 1,6 ⋅ 10−19
J eV
=
8 ⋅ 10−19 J
La ecuación del efecto fotoeléctrico, hf da al material B, es:
= Φ+
Datos: h = 6,63·10–34 J·s; c = 3·108 m s–1; 1 nm = 10–9 m.
6,6 ⋅ 10−34 J ⋅ s ⋅ f = 8 ⋅ 10−19 J + 1,9 ⋅ 10−18 J
a) Consultar el apartado 11.2.B. de la Unidad.
De ahí se deduce que:
b) Si la longitud de onda es 512 nm, se aplica la expresión c para calcular la frecuencia: λ = f
f
=
4,09 ⋅ 1015 s−1
=
E c,máx, aplica-
4,09 ⋅ 1015 Hz
b) Para calcular el trabajo de extracción ΦA, utilizamos la ecuación del efecto fotoeléctrico aplicada al material A:
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104
FÍSICA RELATIVISTA Y FÍSICA CUÁNTICA
6,6 ⋅ 10−34 J ⋅ s ⋅ 4,09 ⋅ 1015 s−1 Despejando, Φ A
=
= Φ A + 1,3 ⋅ 10−18
J
1,4 ⋅ 10−18 J .
18. Calcular la longitud de onda asociada a una pelota de golf de 100 g de masa que se mueve con una velocidad de 250 m·s–1 (h = 6,63·10–34 J·s). Comenta el orden de magnitud del resultado obtenido. La masa de la pelota de golf es de 0,1 kg. La longitud de onda h asociada viene dada por la expresión λ = . Sustituyendo los mv datos, obtenemos: λ =
6,63 ⋅ 10−34 J ⋅ s 0,1 kg ⋅ 250 ms−1
=
2,65 ⋅ 10−35 m
La longitud de onda obtenida es tan pequeña que no la podemos detectar.
20. Consideremos una partícula y un protón que poseen la misma energía cinética, moviéndose ambos a velocidades mucho menores que las de la luz. ¿Qué relación existe entre la longitud de onda de De Broglie del protón y la de la partícula? Sea E c la energía cinética de la partícula y del protón. Se cum p2 plirá que E c = 1 , siendo p1 la cantidad de movimiento de 2m1 la partícula y m1 su masa. Para el protón podemos escribir que p2 E c = 2 , donde p2 y m2 son la cantidad de movimiento y la 2m2 masa del protón. Despejando la cantidad de movimiento en la primera ecuación, obtenemos: p1
2Ec m1
=
Análogamente, de la segunda ecuación obtenemos:
19. A una partícula material se le asocia la llamada longitud de onda de De Broglie, a) ¿Qué magnitudes físicas determinan el valor de la longi-
tud de onda de De Broglie? ¿Pueden dos partículas distintas con diferente velocidad tener asociada la misma longitud de onda de De Broglie?
p2
La longitud de onda de De Broglie para la partícula viene dada por la expresión: λ1 =
b) ¿Qué relación existe entre las longitudes de onda de De
Broglie de dos electrones cuyas energías cinéticas vienen dadas por 2 eV y 8 eV? a) Las magnitudes que determinan la longitud de onda aso-
ciada son la masa y la velocidad de la partícula, según la h expresión λ = . mv Si la cantidad de movimiento de las dos partículas es la misma, su longitud de onda asociada también será la misma.
b) La energía cinética y la cantidad de movimiento de una
partícula están relacionadas de acuerdo con la expresión p2 E c = . De ahí se deduce que la cantidad de movimiento 2m es p = 2mE c .
2Ec m2
=
h p1
λ =
h p2
λ2
=
λ1
=
2 m
Y para el electrón 2: p2
2m ⋅ 8
=
=
16m
=
4 m
Las longitudes de onda asociadas son, respectivamente, λ1 =
λ2 =
h
=
p1 h p2
h
2 m =
λ2
=
h
h 4 m
=
2
.
h
2Ec m2
h
2Ecm1
=
m1 m2
La indeterminación de la cantidad de movimiento es: m∆v = 1,6726 ⋅ 10−27 kg ⋅ 0, 08 m/s
=
1,34 ⋅ 10−28 kg ⋅ m/s
Aplicando la relación de indeterminación de Heisenberg, h , resulta: ∆ x ∆p ≥ 2π ∆ x ⋅ 1,58 ⋅ 10−28
∆ x ≥
4 m
h2 m
2Ec m2
kg ⋅ m/s ≥
Despejando:
La relación entre ambas la obtenemos de la forma siguiente: λ1
h
Masa del protón = 1,6726 ·10–27 kg; h = 6,6·10–34 J·s
=
4m
=
21. La indeterminación de la velocidad de un protón es 0,08 m/s. Calcular la indeterminación de su posición.
p1
=
2Ec m1
La relación entre las longitudes de ondas asociadas para el protón y la partícula será:
∆ p =
2m ⋅ 2
h
y para el protón por la expresión:
Para el electrón 1 se cumplirá que: =
=
7,85 ⋅ 10−7 m
6,6 ⋅ 10−34 J ⋅ s 2π
