Parciali-Lectura 5 - Derivabilidad y Gradiente

Módulo 2: Vectores, Derivabilidad y gradiente Unidades 5 y 6 Lectura 5

Materia: Cálculo Avanzado Profesor: Carlos Leonardo Di Prinzio

“Las Matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación

para la Filosofía.” Isócrates (436 AC-338 AC) Orador ateniense.

5 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción: Una función vectorial es una regla que a cada vector x de Rn le asigna como imagen otro vector f (x) de Rm.

Ejemplo:

f ( x, y )  ( x  y ,  x, y ) f (1,2)  (3,1,1)

Ejemplo: Hallar el dominio para la siguiente función vectorial

Para hallar el dominio de f (x) tenemos en cuenta: 1. -No debe existir la división por cero 2. -No se admite raíces complejas 3. -No se admiten logaritmos complejos

Cálculo Avanzado – Carlos L. Di Prinzio | 2

Por lo tanto, el dominio es:





Domf  ( x, y)R  ( y 2  x  0)  ( y  x)  0





Domf  ( x, y)R  ( y 2  x)  y  x

5.1 Gráficas y curvas de nivel Sea una f (x) de Rn en R se denomina conjunto de nivel con c constante. Cuando n = 2 hablamos de una curva de nivel Cuando n = 3 hablamos de una superficie de nivel Si

f ( x) : R 2  R f ( x)  ( x  y  1) x  y  1  c c0 c 1 c2 c3

x  y 1 x y 2 x y 3 x y 4


LÍMITES Y CONTINUIDAD Si D  R n se dice que D es un conjunto abierto si para todo z 0

r tal que

una esfera centrada de radio r centrada en z 0 esta contenida en D

D  xy / xy  4

Ejercicios: Encontrar los siguientes dominios: a) D  xy / xy  4 b) D  xy / xy  4


LÍMITE Sea una función f : R n  R m se define el límite de esa función en un punto

x 0 igual a A como: lim f ( x) A x  x0

Cuando:

  0   0

x  x0  

 f ( x)  A  

Propiedades. a) Si

lim f ( x)  A y c es una constante entonces: x  x0

lim cf ( x) lim f ( x) c  cA x  x0 x  x0

b) Si

lim f ( x) lim g ( x) Ay  B entonces: x  x0 x  x0

CONTINUIDAD Se dice que una función vectorial es continua en x 0 si lim f ( x)  f ( xo ) x  x0


5.2 Derivadas Parciales La derivada parcial f u de f (x) con respecto a u se define mediante la siguiente notación fu 

lim f (u  u, v, w)  f (u, v, w) f  u u  0 u

Si f  f1iˆ  f 2 ˆj  f 3 kˆ

Entonces:

 f1 (u  u, v, w)  f1 (u, v, w)   f1    u    u lim  f 2 (u  u, v, w)  f 2 (u, v, w)   f 2 f fu      u u u  0  u  f 3 (u  u, v, w)  f 3 (u, v, w)   f 3    u    u

       

La derivada parcial f v de f (x) con respecto a v se define mediante la siguiente notación fv 

lim f (u, v  v, w)  f (u, v, w) f  v v  0 v

La derivada parcial f w de f (x) con respecto a w se define mediante la siguiente notación f

w



lim f (u, v, w  w)  f (u, v, w) f  w w  0 w


Las derivadas parciales segundas de:

Propiedades: f ( x)

y

g ( x) son funciones vectoriales,  es función escalar

1)

   f ( x) ( f ( x))  ( f ( x))   u u u

2)

  f ( x)  g ( x) ( f ( x)  g ( x))   u u u

3)

  f ( x)  g ( x) ( f ( x)  g ( x))   ( g ( x))  f ( x)  u u u

4)

  f ( x)  g ( x) ( f ( x)  g ( x))   ( g ( x))  f ( x)  u u u

Ejemplo:

Hallar:


5.3 Derivabilidad y Gradiente Gradiente El gradiente de una función escalar es un vector

“

” Operador Nabla

Ejemplo:

Hallar el gradiente de

en el punto

TEOREMAS Y PROPIEDADES Sea f y g dos funciones esclares y c una constante 1) (cf ( x))  c( f ( x)) 2) ( f ( x)  g ( x))  ( f ( x))  ( g ( x)) 3) ( g ( x) f ( x))  g ( x)f ( x)  f ( x)g ( x)


4) (

f ( x)

)

g ( x)f ( x)  f ( x)g ( x) g ( x) 2

g ( x)

5.4 Ejercicios Curva de nivel: 1) Graficar las curvas de nivel, para las funciones z=f(x,y) donde f(x,y) está dado por: a. x2+2y2 b. y-x2 c. y-3x2 d. x-y xy x  y2

e.

2

Derivadas parciales: 1) Si f  X ,Y  

xy demuestre que DYX (0,1) = -1 x  y2 2

2) Si f  X ,Y   x sec y   aeY demuestre que DXY = DYX = sec (y) . tg (y)





2 2 2 3) Si f  R , S ,T   ln r  4s  5t demuestre que DRTS (rst)=  320rst

r

2

 4s 2  5t 2

4) SI =



3

4  2x 2  2 y 2

x= r cos  y= r sen 


Halle las posibles derivadas parciales de”  ” e identifique a cuál corresponden los siguientes valores: a. a)

 2x cos   ysen  4  2x 2  2 y 2

b. b) 2r

xsen  y cos   4  2x 2  2 y 4

5) Si Z  f  X ,Y  y x 2  2 yz  z 2  1 demuestre que las derivadas “cruzadas” son iguales entre si y dan resultado

xy  y  z 3

6) Si Z  f  X ,Y  y y  senx  z   0 probar que Z XY  Z YX

7) Si z  e X senY demuestre que

8) a) Si z 

2Z 2Z  0 X 2 Y 2

2Z 2Z 1 Y  0 e  e Y .sen X  demuestre que 2 X 2 Y 2





 2u  2u X Y  b) Si u  X ,Y   tg 1    2 demuestre que  0 2 X 2 Y 2  X  X Y

9) Si P.V=NRT siendo R una constante, demuestre que

V T P . .  1 T P V

10) Si f  X ,Y ,Z   X 2Y  YZ 2  Z 3 demuestre que: XD X  YDY  ZDZ  3f X .Y , Z 


Derivabilidad y Gradiente: 1) Se va a construir una caja rectangular de 15cm de alto, 20 de ancho y 50 de largo. Las tablas tienen un error en su longitud de ± 0,01cm calcule: a) error disperso en el cálculo de volumen b) error relativo en el cálculo de volumen

2) En un instante dado la longitud de uno de los lados de un triángulo rectángulo es de 10 cm y está aumentado a la rapidez de 1 cm /min y la longitud del otro cateto es de 12 cm y está disminuyendo a la rapidez de 2 cm/min. Encuentre la rapidez de cambio de la medida del ángulo agudo opuesto al cateto de longitud 12 cm en el instante mostrado.

3) El radio de un cilindro circular recto está creciendo a razón de 6 cm/min y su altura decrece a razón de 4 cm/min ¿cuál es el ritmo de cambio de su volumen y su área cuando el radio es de 12cm y la altura de 36 cm?

4) El radio “r” y la altura “h” de un cilindro circular recto se miden con un posible error del 4% y del 2% respectivamente. Estime el valor máximo del error relativo que se podría cometer en el cálculo del volumen.

5) La potencia eléctrica viene dada por P=E2/R, donde “E” es el voltaje y “R” la resistencia. Estime el máximo porcentaje de error al calcular la potencia si se aplican 200 voltios a una resistencia de 4000 ohmios con un posible error del 2% y 3% para “E” y “R” respectivamente.


6 REGLA DE LA CADENA Y GRADIENTE 6.1 La regla de la cadena Sea una función de f (x) en R  R n .

definida en R n  R y  (t ) es función definida

Podemos hacer una función compuesta de f (x)

y  (t ) como:

f ( (t ))

Su derivada se calcula mediante la regla de la cadena como sigue:

df ( (t )) d  f  dt dt

Ejemplo: Sea una función de f ( x)  x 2  2 xy

definida en R 2  R y

 (t )  (r sen , r co ) es función definida en R 2  R 2 .

Calcular

df ( (t )) d

Empecemos calculando el gradiente de f: f  (2 x  2 y,2 x)  2(r (cos   sin  ), r cos  )

Luego calculemos sólo la

d entonces: d


d  (r sin  , r cos  ) d Luego:

df ( (t )) d  f   2r 2 (sin   cos  ) sin   2r 2 cos 2  d d

6.2 Plano tangente Sea f (x) : y con f(x,y,z) = c donde c es una constante. Esta función forma una superficie. Veremos que el gradiente es normal a la superficie en cada punto y el mismo define un plano que es tangente a la superficie en cuestión.

Diferencia total de f (x) o diferencial de la función f (x) es:

Ahora un punto sobre la superficie r (t )  x(t ) iˆ  y(t ) ˆj  z (t ) kˆ


 f f f  f   , ,   x y z 

Un vector tangente a la función f(x) es: v(t ) 

x ˆ y ˆ z (t ) i  (t ) j  (t ) kˆ t t t

 f x f y f z  df   Si hago f  v(t )      x t y t z t  dt Sabemos que si f ( x)  c su derivada será cero por lo tanto según propiedades del producto escalar los vectores f y v(t ) son ortogonales, por lo tanto, el gradiente es perpendicular a la superficie.

6.3 La derivada direccional Sea f (x) con conjunto abierto de la función f (x) en

una función escalar, una función definida en el un punto de D se define la derivada de , en la dirección del vector unitario denotado por:

Ejemplo: Calcular la derivada direccional para:


Teorema

 f f f  Si f (x) tiene f   , ,  se cumple que la derivada direccional va a  x y z  estar dada por:  f f f  De f ( x)   , ,   e  x y z 

Teorema El valor máximo de la derivada direccional es igual al modulo del gradiente

6.4 Ejercicios Derivada y gradiente: 1) La ecuación de la superficie de una montaña es Z=1200-3X2-2Y2 donde la distancia se mide en pies, el eje X apunta al este y el eje Y apunta al norte. Un montañista se encuentra en el punto correspondiente a las coordenadas (-10, 5, 850) calcule a. ¿Cuál es la dirección más pronunciada de la ladera? (Rumbo)


b. Si el montañista se mueve hacia es norte ¿está ascendiendo o descendiendo? c. Si el montañista se mueve en dirección nor-oeste ¿está ascendiendo o descendiendo? d. ¿En qué dirección recorrería una trayectoria a nivel?

2) La temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por T(X,Y)=20-4X2-Y2, midiéndose “X” y “Y” en cm, desde el punto (2,-3) ¿en qué dirección corre la temperatura más rápidamente? ¿A qué ritmo se produce este crecimiento?

3) La temperatura en el punto (X,Y) de una placa viene dada por: T 

X 2 X Y2

Hallar la dirección de mayor crecimiento del calor desde el punto (3,4)

4) Si “V” es el potencial eléctrico en cualquier punto (X,Y,Z) en el espacio tridimensional y V  X 2  Y 2  Z 2 . Encuentre la rapidez de cambio de  “V” en el punto (2,2-1) en la dirección del vector 2i  3 ˆj  6kˆ y la dirección de mayor rapidez de cambio de “V” en (2,2,-1).

5) Supongamos que la superficie del cerro de las adyacencias de la UEsiglo21 se define por la ecuación Z=900-3XY. Donde la distancia se mide en metros. El eje “X” apunta hacia el oeste y el eje “Y” apunta hacia el sur. Un estudiante se encuentra en el punto (50,4,300): a) ¿Cuál es la dirección de mayor pendiente? b) Si el estudiante avanza hacia el norte, ¿asciende o desciende? c) ¿En qué dirección recorrería una trayectoria a nivel? d) Si sigue un rumbo S30°E ¿está ascendiendo?


Plano tangente: 1) Halle la ecuación del plano tangente y la recta normal en el punto dado a) XYZ  Ln XYZ   Z  0, P1,1,1

2X+2Y+Z-5=0

X 1 Y 1 Z 1   2 2 1

b) Z  Xe 2Y , P1,0,1

X 1 Y  0 Z 1   1 2 1

X  2Y  Z  0

c) YX 2  ZY 2  XZ 2  18, P2,0,3

9 X  4Y  12Z  54  0

X 2 Y Z 3   9 4 12

d) X 2  Y 2  Z  9, P1, 2, 4 

2 X  4Y  Z  14

X 1 Y  2 Z  4   2 4 1

e) Z  tg 1 Y X , P1,1, / 4 

X  Y  2Z   2

X 1 Y 1 Z   4   1 1 2

f) X  e 2Y  Z , P1,1, 2 

X  2Y  Z  1

X 1 Y 1 Z  2   1 2 1

2) Halle el ángulo de inclinación  del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado.

X 2 Y2 Z2    1, P2, 2,1 12 12 3

=35,3°

b) 3 X 2  2Y 2  Z  15, P2, 2,5

=86°

a)

c) X 2  Y 2  Z  0, P1, 2,3

=77,4°


3) Halle un punto de la superficie X 2  2Y 2  3Z 2  12 donde el plano tangente es perpendicular a la recta X= 1+2t Y= 3+8t Z= 2-6t

4) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva intersección del elipsoide X 2  4Y 2  2Z 2  27 y en hiperboloide X 2  Y 2  2Z 2  11 en el punto (3,-2,1)

5) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva intercepción entre las superficies

f  X ,Y ,Z   9 X 2  4Y 2  4Z 2  41  0 y

f  X ,Y ,Z   2 X 2  Y 2  3Z 2  10  0

en el punto (1,2,2 )

6) Encuentre los puntos del hiperboloide X 2  2Y 2  4Z 2  16 en los cuales el plano tangente a la superficie es paralelo al plano 4X-2y+4z=5

7) Encuentre el punto en el que el plano tangente a la superficie Z=X2+2XY+2Y2-6X+8Y es horizontal.


Bibliografía Lectura 5 1. Brinton, George – De Oteiza, Elena - Hass, Joel - Ibarra Mercado, Victor - Giordano, Frank - Palmas, Thomas - Palmas Velasco, Oscar - Velasco, Alfredo, - Weir, Maurice. Cálculo: Varias variables. Edición: 11. Publicado por Pearson Educación, 2006. 2. Lang Serge. Cálculo I - S/D - Fondo educativo interamericano S.A. México (D.F.) - 1976 3. Lang Serge. Cálculo II - S/D - Fondo educativo interamericano S.A. México (D.F.) - 1976

Sitios de Internet http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ (mayo 2011) http://www.matematicas.net/ (mayo 2011)


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