GEOMECÁNIC A & GEOTECNIA APLICADA A LA MINERÍA FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA
SEGUNDO SEMESTRE 2006 PREPARADO POR: MAURICIO DOMCKE
CAPÍTULO 5: SOLUCIONES CLÁSICAS EN ELASTICIDAD 1
SOLUCIÓN ELÁSTICA ELÁ STICA DE KIRSCH
Figura 1
Donde: σr , σθ y τr θ θ
a r σx, σy
: Estado tensional inducido. : Medido desde la horizontal y en sentido antihorario positivo. Define la orientación del punto sobre el cual se desea conocer el estado tensional inducido. : Radio de la excavación. : Distancia a la cual se desea conocer el estado tensional inducido. : Estado tensional in situ.
Esta solución permite conocer el estado tensional inducido ( σr , σθ y τr θ) a una distancia r (medida desde el centro de la circunferencia) circunferencia) por el efecto de realizar una excavación circular de radio a (considerada de largo semi infinito), conocido el estadio tensional pre minería ( σx y σy). Las ecuaciones para obtener los valores de los esfuerzos inducidos son los siguientes
REFERENCIAS
:
GOODMAN R., INTRODUCTION TO ROCK MECHANICS. BRADY B., BROWN E,. ROCK MECHANICS FOR UNDERGROUND MINING, THIRD EDITION, 2004 LLEDÓ P. CAPÍTULO 3, CURSO FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA, USACH, 2º SEMESTRE 2006
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Ecuación 1
Ecuación 2
Ecuación 3
Los desplazamientos u r y vθ provocados por la acción de los esfuerzos inducidos son:
Ecuación 4
Ecuación 5
REFERENCIAS
:
GOODMAN R., INTRODUCTION TO ROCK MECHANICS. BRADY B., BROWN E,. ROCK MECHANICS FOR UNDERGROUND MINING, THIRD EDITION, 2004 LLEDÓ P. CAPÍTULO 3, CURSO FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA, USACH, 2º SEMESTRE 2006
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CILINDRO DE PARED GRUESA
Figura 2
Donde: po pi b a b-a
: : : : :
Presión externa a la que está sometida la excavación. Presión interna a la que está sujeta el cilindro de pared gruesa Radio de la excavación. Radio interno, que define el borde de la pared gruesa Espesor elástico de la pared gruesa
Se asume un campo de esfuerzos hidrostático (p o) alrededor de la excavación. Al igual que en la solución de Kirsch, se pueden obtener los esfuerzos inducidos σr , σθ y τr θ, a una distancia r del centro del cilindro, mediante las siguientes ecuaciones:
Ecuación 6
Ecuación 7
Ecuación 8
El desplazamiento radial generado en el cilindro de pared gruesa
Ecuación 9
REFERENCIAS
:
GOODMAN R., INTRODUCTION TO ROCK MECHANICS. BRADY B., BROWN E,. ROCK MECHANICS FOR UNDERGROUND MINING, THIRD EDITION, 2004 LLEDÓ P. CAPÍTULO 3, CURSO FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA, USACH, 2º SEMESTRE 2006
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EJEMPLO DE APLICACIÓN 1
Se desea realizar una excavación circular de radio 2 m a una profundidad de 400 m. La excavación se realizará en una andesita primaria, la cual posee las siguientes propiedades. Tabla 1
Parámetro σci
GSI Em ρ ν
Valor 120 MPa 55 - 65 23.000 MPa 2,78 ton/m3 0.,25
Considere, para efectos de cálculo, que el macizo rocoso se comporta de manera isotrópica y elástica, y que el largo de la excavación, es el suficiente como para ser considerado semi infinito, y que el macizo se comporta bajo un campo hidrostático de presiones. Se requiere determinar el radio de influencia de la excavación:
SOLUCIÓN La excavación influirá hasta que los valores de los esfuerzos inducidos, sean similares a los valores del estado pre minería: Estado tensional: Campo hidrostático: σy = σx = σi σy = ρgh
= γh
Ecuación 10
σy = 2.780 Kg/m3*9,8 m/s2*400 σy = 10,9 MPa = σx = σ
m
Luego, se comprueban los valores de los esfuerzos inducidos a distintas distancias r, y se comparan estos valores con los obtenidos para el estado in situ. Se puede notar que para un campo de presiones hidrostático, los esfuerzos de corte inducidos son 0 para cualquier orientación. Por otro lado, se aprecia que los esfuerzos radiales y tangenciales inducidos, son independientes de la orientación. De esta forma, se obtienen los valores para los esfuerzos inducidos a distintas distancias r (Tabla 2). Se observa (Figura 2) que aproximadamente a partir de la razón r/a = 6 la curva de estabilización de esfuerzos (esfuerzo inducido / esfuerzo in situ) se vuelve asintótica. De esta forma, se puede establecer que una excavación circular, provoca efectos en el estado tensional hasta una distancia r aproximadamente: r < 6a
REFERENCIAS
:
GOODMAN R., INTRODUCTION TO ROCK MECHANICS. BRADY B., BROWN E,. ROCK MECHANICS FOR UNDERGROUND MINING, THIRD EDITION, 2004 LLEDÓ P. CAPÍTULO 3, CURSO FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA, USACH, 2º SEMESTRE 2006
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Tabla 2
σ (MPa)
10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9 10,9
a (m) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
r (m) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
σr (MPa)
σθ (MPa)
σr / σ
σθ / σ
0,00 6,06 8,18 9,16 9,69 10,01 10,22 10,36 10,46 10,54 10,60 10,64 10,68 10,71 10,73 10,75 10,77 10,78 10,79 10,80 10,81 10,82 10,82
21,80 15,74 13,63 12,64 12,11 11,79 11,58 11,44 11,34 11,26 11,20 11,16 11,12 11,09 11,07 11,05 11,03 11,02 11,01 11,00 10,99 10,98 10,98
0,00 0,56 0,75 0,84 0,89 0,92 0,94 0,95 0,96 0,97 0,97 0,98 0,98 0,98 0,98 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 0,99
2,00 1,44 1,25 1,16 1,11 1,08 1,06 1,05 1,04 1,03 1,03 1,02 1,02 1,02 1,02 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01 1,01
r/a 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50 10,00 10,50 11,00 11,50 12,00
2,00 1,80
σθ / σ 1,60 1,40 1,20 1,00 0,80 0,60
σr / σ
0,40 0,20 0,00 0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
Figura 3
REFERENCIAS
:
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12,00
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EJEMPLO DE APLICACIÓN 2
La figura muestra la ubicación de dos piques de diámetro cuatro metros cada uno, los cuales se desean excavar en una riolita bastante competente, la que posee una resistencia a la compresión no confinada para la roca intacta de 117 MPa y una densidad de 2,8 ton/m 3. El estado tensional pre minería es tal que el esfuerzo principal menor es igual al esfuerzo vertical, el cual está definido por la carga litostática. El esfuerzo principal intermedio es horizontal, actúa en dirección norte, y está definido por una razón de esfuerzos κ = 1,2. Finalmente, el esfuerzo principal mayor también es horizontal, actúa en dirección este, y está definido por una razón de esfuerzos κ = 1,5. Se desea determinar el estado tensional inducido, producido por realizar ambas excavaciones en el punto A. Suponga el análisis a 200 m de profundidad.
Figura 4
SOLUCIÓN: Estado tensional: Interesa conocer los esfuerzos σE y σN, los cuales corresponden a σx y σy respectivamente. De esta forma: σV = σ3 = ρgh = γh
= 5,48 MPa
κ = σH / σV Ecuación 11
REFERENCIAS
:
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Por lo que: σ1 = σE σ2 = σN
= 1,5σV = 8,23 MPa = 1,2σV = 6,59 MPa
Esfuerzos inducidos: Excavación 1: INPUT OUTPUT r a θ σX σY σr σθ τr θ 8,23 6,59 7 2 0º 7,37 7,18 0
Se puede apreciar que para esta orientación, los esfuerzos inducidos σr y σθ para el ángulo θ, corresponden a σX y σY respectivamente.
Figura 5
Excavación 2: NPUT OUTPUT r a θ σX σY σr σθ τr θ 8,23 6,59 7,43 2 -114º 6,47 8,50 -0,69
En esta ocasión, los valores de esfuerzos obtenidos se encuentran en una orientación distinta de los ejes coordenados X e Y, por lo que para poder conocer el efecto combinado de las excavaciones, se debe conocer los esfuerzos inducidos por la excavación 2, pero en términos de σX y σY. Para esto, se utilizan las siguientes ecuaciones:
σθ
(
σ θ
=
σ x
+ σ y 2
+ 90 ) =
τθ
σ x
+
σ x
+ σ y 2
− σ y 2
−
σ x
= τ xy cos( 2θ ) −
REFERENCIAS
:
cos( 2θ ) + τ xysen ( 2θ )
− σ y 2
σ x
Figura 6
cos( 2θ ) − τ xysen ( 2θ )
− σ y 2
sen( 2θ )
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Para las cuales: σθ = σr = 6,47 σ(θ + 90º) = σθ = 8,50 τθ = τr θ = -0,69 θ = 66º Esta solución, arroja los siguientes resultados: σX σY τXY
8,67 6,29 -0,29
Principio de superposición: Para evaluar los efectos en un mismo punto de realizar una serie de excavaciones, se deben obtener los efectos que provoca cada una en la misma orientación (es conveniente en X e Y) y luego sumar al estado in situ inicial las diferencias entre el estado in situ y el inducido por cada excavación (Ecuación 6 )
Ecuación 12
Para el ejemplo anterior: σX = 8,23 + (8,23 – 7,37) + (8,23 – 8,67) = 10,14 MPa σY = 6,59 + (6,59 – 7,18) + (6,59 – 6,29) = 6,30 MPa τXY = 0 + (0 - 0) + (0 – (-0,29)) = 0,29 Mpa
REFERENCIAS
:
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EJEMPLO DE APLICACIÓN 3
Considere un túnel de sección circular de radio igual a 2 m, el cual contiene un anillo de hormigón en su contorno (resistencia a la compresión hormigón igual a 30 MPa). El cilindro será construido a una profundidad de 100 m, medidos desde la superficie del terreno. El campo de esfuerzos se puede considerar como hidrostático y el esfuerzo vertical está definido por la carga litostática. La roca en la que será realizada la excavación tiene las siguientes propiedades: E = 25.000 MPa, ν = 0,20 y una densidad ρ de 3,0 ton/m3. Se pide determinar el espesor de la pared de hormigón, para tener un factor de seguridad de 1,5.
SOLUCIÓN: Lo primero es conocer el estado tensional p o que actúa inicialmente en el contorno de la excavación: σV =
po = ρgh = 3,0·9,8·100 = 2,94 MPa
Debido a que no existe presión interna, el valor de p i es igual a 0. Luego, se evalúan los esfuerzos inducidos en el borde de la pared gruesa (r = a), arrojando los siguientes resultados:
Entonces el esfuerzo aplicado sobre el hormigón es igual a σθ. Se debe conocer la distancia b-a, la cual define el espesor de la pared gruesa, en este caso de hormigón. Para esto, se define la idea de factor de seguridad. Un factor de seguridad, es la razón entre la resistencia que presenta un material, y la solicitación o aplicación de esfuerzos a la que se verá sometido. Claramente, si los esfuerzos aplicados son menores a los que resiste este elemento, el factor de seguridad será mayor a 1, por lo que el elemento, en teoría, no debe fallar. De todas formas, cuando se trabaja en roca, existe una incertidumbre asociada al tipo de material relacionado con la actividad minera, por lo que se suele definir un factor de seguridad mayor a 1. Generalmente se utilizan valores iguales a 1,3 o 1,5. Luego, FS = ( σresistido/σaplicado) = 1,5 Luego, el esfuerzo aplicado corresponde a σθ, el esfuerzo resistido corresponde a la resistencia a la compresión del hormigón, igual a 30 Mpa, por lo que:
Resolviendo la ecuación, se tiene:
REFERENCIAS
:
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5,88b2 = 20b2 – 20a2 0 = 14,12b2 – 20a2 0 = 14,12(b2/a2) – 20 20/14,12 = b2/a2 1,416 = b 2/a2 1,19 = b/a a = 2/1,19 a = 1,68 Luego, dado que el espesor de la capa de hormigón es de b – a = 2 – 1,68 = 0,32 m. se concluye que para obtener un factor de seguridad de 1,5, la excavación cilíndrica debe tener una capa de hormigón de 32 cm.
REFERENCIAS
:
GOODMAN R., INTRODUCTION TO ROCK MECHANICS. BRADY B., BROWN E,. ROCK MECHANICS FOR UNDERGROUND MINING, THIRD EDITION, 2004 LLEDÓ P. CAPÍTULO 3, CURSO FUNDAMENTOS DE GEOTECNIA, USACH, 2º SEMESTRE 2006