CURSO: CÁLCULO II Antiderivac Antiderivacion ion e inte inte ral indefinida indefinida
Tema :
ANTIDERIVADA
Un ingeniero que puede medir la razón variable a la cual fuga el agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto tiempo. Un administrador que conoce el costo marginal de una producción puede interesarse en deducir el costo total de la producción. En cada caso, el problema es hallar una función cuya derivada sea una función conocida. Si existe tal función F, se le denomina una ANTIDERIVADA de f .
Definición: Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si: F '( x) f ( x) x I
Ejemplo: Sea f ( x )
2 x
. Una antiderivada es F ( x ) 4 x porque F '( x)
2 x
f '( x) .
Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada más general de f en I es: F ( x) C ; Donde C es una constante arbitraria.
Ejemplos: 1. La antiderivada más general de f ( x ) sin( x ) es F ( x) C cos( x ) C . 2. La antiderivada más general de f ( x) x 2 es F ( x) C
2 3
x x 2x C .
Definición: Al conjunto de todas las antiderivadas de se le llama INTEGRAL INDEFINIDA de y se representa por:
f ( x)dx F ( x) C Ejemplos: 1. 2.
cos( x)dx sin(x) C 1
x dx ln(x) C
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Semestre 2013-I
FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Sean f , g funciones derivables, además k , C constantes, entonces tenemos: 1.
kf (u)du k f (u )du
2.
f (u) g (u) du f (u)du g (u )du
3.
0du C
4.
du u C
5.
kdu ku C
6.
u du n 1 C n
du
u n1
7.
u
8.
e du e
9.
a du ln(a) C, a 0, a 1
10.
sin(u)du cos(u) C
11.
cos(u)du sin(u) C
12.
cos(ku )du
13.
sin(ku)du
14.
tan(u)du ln cos(u) C
15.
c tg (u)du ln sin(u) C
16.
17.
csc(u)du ln csc(u) ctg (u) C ln tan 2 C
u
u
ln u C u
C
au
sin(ku) C k cos(ku) C k
u C 2 4
sec(u )du ln sec(u ) tan(u ) C ln tan
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u
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18.
sec (u)du tan(u) C
19.
20.
sec(u) t an(u )du sec(u) C
21.
csc(u)ctg (u)du csc(u) C
22. 23.
2
csc2 (u )du ctg (u ) C
u
u
du 2
a2
du
du 2
1
a2 du
2a 1
u arctan C a a
1
ln
ua ua ua
C
a
2
25.
u arcsin C a a2 u2
26.
27.
28.
24.
u2
2a
ln
ua
C
du
du u a 2
2
du u a 2
2
ln u u 2 a2 C ln u u 2 a2 C a2
u arcsin C 2 a
a u du
u
29.
u a du
u
30.
u a du
u
31.
u 1 arcsin C, a 0 u u 2 a2 a a
32.
2
2
2
2
2
2
2 2
2
a u 2
2
u a 2
2
u a 2
2
a2
2 a2
2
ln u u2 a2 C
ln u u2 a2 C
du
u
du a u 2
2
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1 ln(a) a2 u 2 a
u
C
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TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN INTEGRACION DIRECTA: Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos algebraicos y las
propiedades
señaladas.
Algunas
veces,
antes
de
realizar
la
integral
correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de integrales más elementales.
Ejemplos: x
6
1.
6 x dx 6 x dx 6 6 C x
2.
3 x
3.
5
3
5
5x 3x 4 dx 3 2
x 3
2
4.
x 2
dx
x x 1
x 2 2
4 3 3
x 1 dx
x4
6
5
4
C x3
3
3
x2
2
4x C
3 x 3 dx xdx 2 3 x
3
2
x
xdx 3 xdx
3x C 3
2
2
5
1 dx x 2 x C 5
2 x3 7 x 2 4 5. dx x 2 Solución: Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:
2 x 3 7 x 2 4 2
x Por tanto:
2 x3 x
2
7x2 x
2
4 x
2
2 x 7 4 x 2
2 x3 7 x 2 4 2 dx 2 x 7 4 x dx x2 2
x 2 2
7 x 4
x 1
1
C
4
x 2 7 x C x
2 x 3 7 3 x 5 4 x dx . 6. Determinar 5 2 3 x Solución: Facultad de Ingeniería
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Transformando las raíces en potencia, descomponiendo en suma de fracciones y simplificando, tenemos:
2 x3 7 3 x5 4 x
2x
3
5
7x 3 4x
2
3 5 x 2
3x
11 10
2 x
2
3x
5 19
2x
7x
15
3 3 Por lo que la integral nos queda:
4x
3
3 2
2
7x 3x
5
5 2
3
4x
3x
5
2
5
5
3
2 x1110 7 x1915 4 x 3 5 2 x3 7 3 x 5 4 x dx dx 5 2 3 3 3 3 x
11 10
2 x
3
20
63
x
21 10
19
dx
105 102
7x
15
3 x
34
15
dx 5
4x
3
5
3
dx
8
x 5 C 6
3 x5 2 x2 x6 7. Determinar dx . 3 2 x Solución: 3 x5 2 x 2 x 6 x5 x2 x6 3 x2 dx 3 x 23 dx 2 x 2 3 dx x 23 dx 13
16
4
3 x 3 dx 2 x 3 dx x 3 dx 8. Determinar
1
x
5
9 16
16
x
3
6
7
x 3 7
3 19
19
x
3
C
dx .
Solución: 1
x
5
5
dx x dx
9. Determinar
x 51
5 1
x 2 25 x 16 2
C
1 4 x4
C
dx .
Solución:
x 2 25 x 2 16
dx
x 2 16 9
x 2 16dx 9
x 2 16
dx
x 2 16 x 2 16
dx 9
dx x 2 16
dx x 2 16
1 x x 2 16 16 ln x x 2 16 9 ln x x 2 16 C 2
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EJERCICIOS PROPUESTOS En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas: x
e3 x 10. 2sin x dx 3
5
1.
2.
3 x 2x 5dx 2 4 y y 2dy
3. 4.
3
dx 3
11. e0.02t e0.13t 4 dt
12.
1
y 3 dy
2
x 3cos x dx
2 13. 2sin 2 x dx x
x 2 3 x 2 5. dx x 2 6.
3 x
7.
4 t e 5 dt t
8.
5 1 x /2 e dx 3 x x
9.
2
tan
14. t 1/2 t 2 t 2 dt
15.
5x 2dx
x
3
1 2 x 2 5 dx x
1 3 2 x 2 x 16.
2
y e 1 dy
Resuelve los siguientes problemas
1) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q unidades de cierto artículo es R '(q ) 4q 1.2 q 2 dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el ingreso esperado por la producción de 40 unidades?
2) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de cierto bien es C '( q ) 3q 2 24 q 48 dólares por unidad. Si el costo de producción de 10 unidades es de $5000, ¿cuál es el costo de producción de 30 unidades?
3) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será R ' (q ) 200q 1/2 dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q
unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de 0.4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000
cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades?
4) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol crece de tal forma que su altura h(t ) después de t años cambia a una razón de h '(t ) 0.2t 2/3 t pies/año
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Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años? 5) CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha determinado que la población P(t ) de una cierta colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene un razón de cambio dP
200e0.1t 150e0.03t
dt Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la población 12 horas después? 6) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el
tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea M (t ) el número de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se determina como M '(t ) 0.4t 0.005t 2
a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos? b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 minutos (del tiempo t 10 al t 20 )?
7) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la temperatura de la carne era de -4°C, y t horas más tarde se incrementaba a una tasa de T '(t ) 7 e 0.35t o C/h
a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t horas. b) ¿Cuál es la temperatura después? c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a 10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne?
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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE: El método de integración por sustitución o cambio de variable consiste en transformar la integral dada, mediante un cambio de variable en otra inmediata o más sencilla de integrar. Si se tiene
f (u)du
(una integral no inmediata), se trata de hacer un cambio:
u g ( x) , entonces du g '(x)dx para llegar a:
f (u)du f g( x) g '( x) dx Ejemplos: 1. Determinar
1 y 2 2 ydy .
Solución: 2 Hacemos el cambio u 1 y , entonces du 2 ydy . Sustituyendo en la
integral, tenemos:
1 y 2 2 ydy
1
udu u 2 du
2 3
3
u 2 C
Reemplazando u por 1 y , tenemos: 2
1 y 2 ydy 2
2
1 y 3 2
3
2
C
2. Determinar x 5 5 x2 dx . Solución: Haciendo u 5 x 2 du 2 xdx
du
2
xdx
Luego, reemplazando en la integral:
x 5 5 x 2 dx
3. Determinar
5
u
5 12
du
2
5 x 2
1
2
6
5
1
u 5 du
5 12
u
6
5
C
C
4
x3 1 3x2dx .
Solución: Hagamos u x3 1 du 3x2 dx . Reemplazando en la integral, tenemos:
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x
3
4
u5
1 3x dx u du 2
4
x
5
C
5
1
3
C
5
4. Determinar sin( x )cos(x)dx . Solución: Hagamos u sin( x) du cos( x)dx . Reemplazando en la integral, tenemos:
sin( x)cos(x)dx udu 5. Determinar
u2
sin( x)
2
C
2
2
C
xdx
cos x dx . 2
2
Solución: Hagamos u x 2 du 2 xdx
du
xdx 2 Reemplazando, tenemos: xdx
cos x 2
2
dx x sec 2 x 2 dx
1
1
2
2
1
sec (u )du 2 2
tan(u) C tan x 2 C 6. Determinar
dx
2
x 1 1
dx .
Solución: Hacer u x 1 du dx . Entonces:
dx 2
x 1 1
dx
du u 1 2
ln u u 2 1 C
2
ln x 1 x 1 1 C 7. Determinar
x
dx 1 ln 2 ( x )
.
Solución: Hagamos u ln(x) du
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dx x
. Entonces, tenemos:
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x
dx 1 ln ( x) 2
du 1 u
2
arcsin(u ) C
arcsin ln( x) C
EJERCICIOS PROPUESTOS Usando el método de cambio de variable halle las siguientes integrales:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
a bx dx 2 x 2 x dx x 2x 1dx x
( x 1)2 3 x
2
8. 9.
dx
1 e x
10. 3
x
dx
( a x )2 dx x
1 1 1 x 2 x 3
2/3
dx
1 ln x x
10 x3 5 x
11.
12.
( x cos x)2 dx
(2 ln x) dx
4
2
x x 6
dx
1 sen x
x ( x 2 1) dx x3 3 x
1) VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de t años, el valor V (t ) de una hectárea de tierra cultivable crecerá a una tasa de 0.4t 3
V '(t )
0.2t 4 8000
dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea.
a) Determine V (t ) b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años? 2) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de x años este crecía a una tasa de 1
1
x 1
2
metros por año. Después de 2 años el árbol
alcanzó una altura de 5 metros. ¿Qué altura tenía cuando se trasplantó?
3) CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentración C (t ) en miligramos por centímetro cúbico (mg/cm 3) de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente es de 0.5mg/cm 3 inmediatamente después de una inyección y t minutos más tarde disminuye a la tasa de C '(t )
0.01e0.01t
e
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0.01t
2
1
mg/cm3 por minuto.
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Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05 mg/cm3. a) Determine una expresión para C (t ) . b) ¿Cuál es la concentración después de 1 hora?
4) CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una forma aproximadamente circular, con radio R(t ) pies, t minutos después del inicio del derrame. E radio crece a una tasa de R '(t )
21
pies/min 0.07t 5 a) Determine una expresión para el radio R(t ) , suponiendo que R 0 cuando
t 0 .
b) ¿Cuál es el área A R 2 del derrame después de 1 hora?
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