Solucionario Primer Pracial de a Semestre I-2010

CURSO PREFACULTATIVO DE INGENIERIA

SOLUCIONARIO PRIMER PRACIAL DE MATEMATICA SEMESTRE I/2010

Primera Parte (Cada pregunta vale 5%)

x 3 x  2 x 2    2 3 2 2 3 b) x  2 c) x  4

1) Resolver: a) x  2

d)

x  2

e)

x2

f) ninguno

2) Conocido el grado absoluto del monomio P es 10 y el grado relativo respecto a

“y” es 4, calcular “a+b” a) 5

b) 6

x 2  a y 3b P ( x , y )  2  b 3 a x y

c) 4 5

d) –6

3) Sabiendo que 3 x  2 x encontrar el valor de “a” a) 5

b) 6

c) 4

4) Uno de los factores de : a) x  y  2

b)

x  y 1

4

e)-5

 4 x 3  7 x 2  ax  16 d) –18

e)18

f) ninguno es divisible por

x 1,

f) ninguno

x  y  x 3  x 2 y  y 3  xy 2 es: c) x  y  2 d) x  y e) x  y  1

f) ninguno

Segunda Parte (Cada pregunta vale 20%) 5) Dos estudiantes (A y B) apuestan 10Bs. a que aprobaran el examen de matemáticas, el dinero de ambos tiene una relación de 10 a 13 inicialmente, luego del examen solo A aprueba y la nueva relación del dinero de ambos es de 12 a 11. ¿cuánto dinero trajeron A y B al momento de la apuesta? 6) En el C.N.

x 4 m  x 4b x 2  x 3

, el tercer término es una constante, hallar el número de

términos. ______________________________________________________________________


Tercera Parte (cada pregunta vale 20%) 7) Simplificar.

 2x   2x

2

2

4x 1



2

2  2 4 x2  1  4 x2  2x  4x2  1   1  1  2 x2  2 x2 

8) Resolver

   

1

 3 a 2  3 b2  8  3 ab  2   3 1 3 2( ) a b    1  3 ab  1 


_____________________________________________________________________________________________________

1) Rpta: a)

x 3 x 2 x 2    2 3 2 2 3 4 1  x   1   3 3  2 x  4 x2 ___________________________________________________________________ 2) Rpta: b)

x a  b y a b  a  b  a  b  10  a  b  4 a  5, b  1,  a  b  6 ___________________________________________________________________ 3) Rpta: e)

3  2  4  7  a  16  0 a  18 ___________________________________________________________________ 4) Rpta: e)

( x  y )  ( x 3  y 3 )  xy ( x  y ) ( x  y )(1  x 2  2 xy  y 2 ) ( x  y )(1  x  y )(1  x  y ) ___________________________________________________________________ 5) Rpta. A=50, B=65

 A 10  B  13   A  10  12  B  10 11  11*10   12   10 *11  10 *12 B  13  A  50 B  65


___________________________________________________________________ 6) Rpta. n = 6

T3   x 2 

n 3

3 31

x 

 x 2 n 6 6

 2n  12  0  n  6 7)

 2x  2x 

2

2

4x  1



2

2  2 4x2  1  4x2  2x  4x2  1   1  1  2x2  2 x2 

   

1

2x  4x2  1 4x

2

1 

2

4x 1



2

1  4 x2  1 2 x  4 x2  1 2

(2 x)  4x2 1 4x2





2

4x 1 2

4x  1





2

2

1 4 x 2

1 __________________________________________________________________


8) El sistema se reescribe

x3a y3b   x  y 2  42  0  2 x  2 y  xy  1  0  x  y  4  x  y  4   0  2 x  2 y  xy  1  0  x  y  4  0 x  y  4  0    2 x  2 y  xy  1  0 2 x  2 y  xy  1  0 2 x  2( x  4)  x( x  4)  1  0  2 x  2( x  4)  x( x  4)  1  0 9  x 2  0   x2  8 x  7  0   a  33 , b  73 x  3  y  7   a  33 , b  1 x  3  y  1  x  7  y  3   a  73 , b  33 x  1 y  3   a  1, b  33


Primera Parte (Cada pregunta vale 5%)



9) Resolver: a) x

 2

x2 x 2 x3   2 2 2 3 3 b) x  2 c) x  4 d) x  2

e)

x2

f) ninguno

10) Sabiendo que el grado absoluto del monomio Q(x,y) es 10 y el grado relativo

respecto de la variable “y” es 4, calcular “d+c” a) 5

b) -6

c) 4

11) Sabiendo que

d) 6

x 2  c y 3 d Q ( x , y )  2  d 3 c x y e)-5

16   z  7 z 2  4 z 3  2 z 4  3z 5

f) ninguno es divido exactamente por

z  1 , halla el valor de “μ” a) 5

b) 6

c) 4

12) Uno de los factores de : a) x  y  0

b)

x  y 1

d) –18

e)18

f) ninguno

x  x 2 y  x 3  y  xy 2  y 3 es: c) x  y  2 d) x  y  2 e) x  y  1

f) ninguno

Segunda Parte (Cada pregunta vale 20%) 13) Si

y2  y    0

el valor de 14) En el C.N.

y

3y   

m  0 tienen las mismas raíces, determinar y

2 m

x  x  x 3  x 6

, el sexto término es una constante, hallar el número de

términos. ______________________________________________________________________ Tercera Parte (cada pregunta vale 20%) 15) Simplificar al máximo.


2 x  2 x 

2

2

4x 1



2

4 x 2  2  2 4 x2  1  4 x2  1  2 x     1  2 x2  2 x2  1   

16) Resolver

1

 3 b2  3 a 2  16  2 3 ba  3 1  b3a  2  3  ab  1


2) Rpta: d)

x 3 x 2 x 2    2 3 2 2 3 4 1  x   1   3 3  2 x  4 x2 ___________________________________________________________________ 2) Rpta: d)

x cd y cd c  d  c  d  10  c  d  4 c  5, d  1,  c  d  6 ___________________________________________________________________ 3) Rpta: e)

3  2  4  7    16  0

  18 ___________________________________________________________________ 4) Rpta: a)

( x  y )  ( x 3  y 3 )  xy ( x  y ) ( x  y )(1  x 2  2 xy  y 2 ) ( x  y )(1  x  y )(1  x  y ) ___________________________________________________________________ 7) Rpta. 0 La segunda ecuación se puede escribir como

y2 

y 3



m  0 entonces si 3

ambas ecuaciones tienen las mismas raíces entonces los coeficientes también lo    1  3   3 son, se tiene el siguiente sistema:  con y se obtiene  2  m  0  m m  9    3 ___________________________________________________________________ 8) Rpta. n=16


T6   x 3 

n 6

6 6 1

x 

 x 3n1830

 3n  48  0  n  16

7)

 2x  2x 

2

2

4x  1



2

2  2 4x2  1  4x2  2x  4x2  1   1  1  2x2  2 x2 

   

1

2x  4x2  1 4x

2

1 

2

4x 1



2

1  4 x2  1 2 x  4 x2  1 2

(2 x)  4x2 1 4x2





2

4x 1 2

4x  1





2

2

1 4 x 2

1 ___________________________________________________________________


8) el sistema se reescribe

x3a y3b   x  y 2  42  0  2 x  2 y  xy  1  0  x  y  4  x  y  4   0  2 x  2 y  xy  1  0  x  y  4  0 x  y  4  0    2 x  2 y  xy  1  0 2 x  2 y  xy  1  0 2 x  2( x  4)  x( x  4)  1  0  2 x  2( x  4)  x( x  4)  1  0 9  x2  0   x 2  8 x  7  0  x  3  y  7   a  33 , b  73 x  3 y  1   a  33 , b  1  a  73 , b  33 x  7  y  3   a  1, b  33 x  1 y  3 


Parte I. En las siguientes preguntas encierra en un recuadro la opción correcta: 1.- (5 puntos) Al resolver la inecuación: a) x  13

18

x  1 3x  1 2x  1  4 , el conjunto solución es: 3 2 6

b) x  13

18

c) x  18

d) x  18

13

2.- (5 puntos) Si n pertenece a los naturales, la simplificación de: a) 5

b) 10

E

e) Ninguno

13

225 2 n 4

2 n 3

4 * 5 2 n 5  25 n 3

c) 20

d) 40

es:

e) 45

3.- (5 puntos) Si el polinomio x 3  3x 2  2 x  6  a es divisible por x  2 . ¿Cuál es el valor de a?. a) -10

b) 8

c) 6

d) -8

e) 10

4.- (5 puntos) La Uno de los factores de: x 3  2 x 2 y  xy 2  2 y 3 es: a) x +2y

b) y-2x

c) x-y

e) x 2  y 2

d) 2x +y

II. Desarrolle completamente los siguientes problemas 5.- (20 puntos) Para la construcción de una carretera se compro 8000 (m3) de piedra partida, pero cuando se recibieron ya se habían terminado diez kilómetros, entonces se asigno 40 (m3) mas a cada uno de los kilómetros restantes. Calcular la longitud de la carretera.

a 4x  b4x 6.- (20 puntos) Sabiendo que el quinto termino del cociente notable:

a

será el número de términos de su desarrollo.

7.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

1 1  1    2 x  y 2 x  y 15   2 2 15 x  y  15 x  y  8 x  y

5 y 9

b

5 y 9

es a 48 b 64 . Cual


8.- (20 puntos) Simplificar la expresión irracional:

2

2

R x 

x2 R 2  x2

R

2



R2  x2  x2 R 2  x2   R2  x2 R 2  x 2 1     x 







1 / 2

   

2

   


1.- Multiplicando la inecuación por 6 se tiene: 2( x  1)  3(3 x  1)  24  2 x  1 2 x  2  9 x  3  24  2 x  1  0 13 x 18 x  1813 Respuesta: Inciso c) 2.- Operando con las bases se tiene:

5 3 

2 2 2 n4

E  2 n3

4*5

2 n5

2 n 3

 (5 )

5 4n 8 3 4 n8  2 n  3 2 n 5  2 n  3 5 2 n 3 3 4 n  6  2 n  3 5 * 3 2 5 (4  5)





2 n3

 45

Respuesta: Inciso e) 3.- Aplicando el teorema del resto se tiene: R  23  3 * 2 2  2 * 2  6  a  0 a  10 Respuesta: Inciso a) 4.- Asociando se tiene: x 2 x  2 y   y 2 x  2 y 

x  2 y x 2  y 2  x  2 y x  y x  y  Respuesta: Inciso c) 5.- Llamando: x  Longitud de la carretera en km. Entonces la asignación real por kilómetro fue: 8000 3 m km  x Si ya se habían terminado 10 kilómetros, entonces la longitud restante será de: x  10 , cuya asignación de piedra será la misma pero más 40, entonces se tiene:  8000   40  x  10   8000   x  8000  40 x x  10  8000 x

8000 x  40 x 2  80000  400 x  8000 x x 2  10 x  2000  0 x  50x  40  0 x  50  x  40 Respuesta: La longitud de la carretera es de 50 km. 6.- Llevando la expresión a la forma general del cociente notable se tiene:


4x 5 y 9 5 y 9

a4x  b4x a5

y

9

 b5

y

9

a  

a5

Entonces:

y

9

4x 9 5 y  9

 

 b5  b5

y

y

9

4x n 5 9 y

Aplicando la formula del término de lugar k, se tiene:



y

   n 5

y

t 5   a 5 9 b 5 9 Igualando exponentes se tiene: n  55 y  9   48 48 n y 5  9  5 48 n 5 8 25  9 Entonces el desarrollo tiene ocho términos.

51

 a n 55 

y

9

b 4 5 9   a 48b 64 y





4 5 y  9  64 5 y  25

7.- Realizando los cambios de variable en el sistema se tiene: x y u  x y v 1 1 1   2u 2v 15 vu 1  En la primera ecuación se tiene: En la 2da. 15v  15u  8uv ( 4) 2uv 15 15v  15u  2uv (3) Sumando las ecuaciones (3) y (4), se tiene: 30v  10uv u  3 Por lo tan to en (3) 15v  45  6v v5 Con estos resultados se tiene: 2 x  34 x y 3 x y 9 x  17 Elevando al cuadrado Sumando x  y  25 y  25  17 x y 5 y 8 Conjunto solución: x  17 , y  8


8.- Operando se tiene: 2

2

R x 

x2

R

R 2  x2



R2  x2  x2 R 2  x2   R2  x2 2 2  R  x 1    x 

2





  x2   2 2 R x    2 2 2 2 2 R x x   R x  R2 *  2   R2  x2    2 x 2    R  x 1   2 2       R  x   



2

R  2x

 R2  x2  x2   R2  x2  R2 * 2 2 2  R 2  x 2  R  x  x  R2  x2    2 R  R2  x2

2

R2  x2



R 2  2x 2 R2  x2 2 R2  x2







R2  x2 2 R2  x2



       



1 / 2

   

2

   


Parte I. En las siguientes preguntas encierra en un recuadro la opción correcta: 1.- (5 puntos) Al resolver la inecuación: a) x  11

18

b) x  11

19

x  1 3x  1 2x  1  4 , el conjunto solución es: 2 3 6 c) x  13 d) x  13 e) x  18 19 19 11

2.- (5 puntos) Si n pertenece a los naturales, la simplificación de: a) 45

b) 40

E

225 2 n 4

2 n 3

4 * 5 2 n 5  25 n 3

c) 20

d) 25

es:

e) 5

3.- (5 puntos) Si el polinomio x 3  3x 2  2 x  6  a es divisible por x  2 . ¿Cuál es el valor de a?. a) 12

b) 10

c) 8

d) 6

e) 4

4.- (5 puntos) La Uno de los factores de: x 3  2 x 2 y  xy 2  2 y 3 es: a) x +2y

b) y-2x

c) 2x-y

e) x 2  y 2

d) x +y

II. Desarrolle completamente los siguientes problemas 5.- (20 puntos) si m y n son números reales de manera que las ecuaciones: 7 m  2 x 2  5m  3x  1  0 , 8 x 2  4n  2x  2  0 , admite las mismas raíces, entonces se pide encontrar el valor de: E  m  n

x 25 m  y 25 m 6.- (20 puntos) Sabiendo que el segundo termino del cociente notable: será el número de términos de su desarrollo.

7.- (20 puntos) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

1 1  1  2 x  y  2 x  y  15   2 2 15 x  y  15 x  y  8 x  y

x

3n 1

y

3n 1

es  x16 y 8 . Cual


8.- (20 puntos) Simplificar la expresión irracional:

b2



a2  b2  b2 a2  b2 a b  a   2 a2  b2 a  b2 a 2  b 2 1     b  2

2

2







1 / 2

   

2

   


1.- Multiplicando la inecuación por 6 se tiene: 3( x  1)  2(3x  1)  24  2 x  1 3 x  3  6 x  2  24  2 x  1  0 11x  18 x  18 11 Respuesta: Inciso e) 2.- Operando con las bases se tiene:

5 3 

2 2 2 n4

E  2 n3

4*5

2 n5

2 n 3

 (5 )

5 4n 8 3 4 n8  2 n  3 2 n 5  2 n  3 5 2 n 3 3 4 n  6  2 n  3 5 * 3 2 5 (4  5)





2 n3

 45

Respuesta: Inciso a) 3.- Aplicando el teorema del resto se tiene: R  23  3 * 22  2 * 2  6  a  0 a  10 Respuesta: Inciso b) 4.- Asociando se tiene: x 2 x  2 y   y 2 x  2 y 

x  2 y x 2  y 2  x  2 y x  y x  y  Respuesta: Inciso d) 5.- Como las raíces son idénticas, entonces deben cumplir idénticamente las propiedades de las raíces: 5m  3 4 n  2  (1) x1  x 2  7m  2 8 1 2 x1 * x 2   ( 2) 7m  2 8 6 5   3 4  7m  2 2n  1 7  De la ecuación (2) se tiene: Reemplazando en (1): 6 m 4 6 7 7   2 7 1 n 7 6 1 Entonces el valor de: E  m  n    1 7 7 6.- Llevando la expresión a la forma general del cociente notable se tiene:

x

25 m

x3

n

1

y

25 m 3n 1 3 n 1

25 m

 y3

n

1



x 

x3

n

1

25 m 3 n 1 3n 1

 

 y

 y3

n

1


Entonces:

25m N 3 n 1

Aplicando la formula del término de lugar k, se tiene:

  y  n

t 2   x 3 1

N 2

3n 1

21

Igualando exponentes se tiene: N  2 3 n  1  16 16 N n 2 3 1 16 N 24 9 1 Entonces el desarrollo tiene cuatro términos.









 x  N 2 3 1 y 3 1   x16 y 8 n



n

3

n



1  8

3n  9

7.- Realizando los cambios de variable en el sistema se tiene: x y u  x y v 1 1 1   2u 2v 15 vu 1  En la primera ecuación se tiene: En la 2da. 15v  15u  8uv ( 4) 2uv 15 15v  15u  2uv (3) Sumando las ecuaciones (3) y (4), se tiene: 30v  10uv u  3 Por lo tan to en (3) 15v  45  6v v5 Con estos resultados se tiene: 2 x  34 x y 3 x y 9 x  17 Elevando al cuadrado Sumando x  y  25 y  25  17 x y 5 y 8 Conjunto solución: x  17 , y  8


8.- Operando se tiene: 2

2

a b 

b2

a

a2  b2



a2  b2  b2 a2  b2   2 a  b2 2 2   a  b 1   b 

2





  b2   2 2 a b    2 2 2 2 2 a b b    a b 2  a * 2  2 2   a b    2 b 2       a b 1   2 2    a b      



 a2  b2  b2   a2  b2 2  a * 2 2 2  a 2  b 2  a  b  b  a2  b2    2 a  a2  b2

a 2  2b 2 a2  b2



a 2  2b 2 a2  b2 2 a2  b2



2

a b





2

2 a2  b2



       



1 / 2

   

2

   


5x  2 x 2  x 7 x  2     4(5 x  2)  2 x  3( 2  x)  3(7 x  2)  3 6 4 4  22 x  8  6  3x  21x  6  4 x  8  x  2

1.- Resolver:

b

2.- Si a b  5 entonces ba

a

ab

a b

a

ba

ab

 

ab  b ab b  b ab La otra fila es d) 3

b

ba

ab

es: b

 ab  5

d) 5

3.- factorizar: 4 x 3 y  12 x 2 y 2  9 xy 3  xy 4 x 2  12 xy  3 y 2   xy 3x  3 y  el mismo resultado para ambas filas (a)

2

4.- Sea P( x )  x 3  2 x 2  x  k  2 , si Q( x)  x  2  0  x  2 P(2)  23  2(2) 2  2  k  2  0  k  0 e) 0 3 2 La otra fila P(2)  2  2(2)  2  k  4  0  k  2, e) 2 5x  2 x 2  x 7 x  2     4(5 x  2)  2 x  3( 2  x)  3( 7 x  2)  3 6 4 4  22 x  8  6  3 x  21x  6  4 x  8  x  2

4.- Resolver:

5.- Sea la ecuación: x 2  kx  8  0, por condición del problema x1  x2  2 

2

b 2  4ac a

 k 2  4(8)  4  k 2  32  k  6

5.- Sea x es el número buscado 2( x + 7 ) el doble de esta suma y 3( x – 10 ) tres veces esta diferencias Por condición del problema: 2 x  7   3 x  10  2 x  14  3 x  30  x  44

xa  yb 6.- El cociente notable: 3 y su término central es x c y 231 7 x y

 

El término central es T n1   x    2 

 n 1  3 n  2   

 n1  7  2 1  

y 

x

 n1  3   2 

y

 n 1  7   2 

 x c y 231 

 n  1  n 1  3   c  7   231  n  67 el número de términos  2   2   n 1  67  1  3   c  3   c  c  99  2   2  a b a b   67   67  a  201   67  b  469 3 7 3 7 E  a  b  c  201  469  99  769


E  m  n  q  769 2

   1 2  7.- Simplificar:     x  4  x 4   x 2

2

x  4 

2

 x 2  4 x     x  4 x  4

2

 ( x  4)  4 x 

2

 x  2  ( x  4)( x  2)   x4   x  4  4 x     x44 x      x44 x    x  2  x4   ( x  2)( x  2)  ( x  4) 2 ( x  2) 2  x44 x  x4 x 4 x44 x 0 ( x  4) 1 1 8.- Cambiando de variables: u  luego el sistema queda definido como: v 2x  y 2x  y u v 1   (1) 2 2 15 1 1 8   (2) v u 15uv 2 2 uv (1) 15 15  sumando 2u  10  u  1  res tan do  vu 8 8 15 3  (2) u  v  uv 15 15uv 6 1 2v   v  ahora en la variable del sistema: 15 5 1 1 1 1 u   3  2x  y  2x  y  9  v    5  2 x  y  2 x  y  25 3 5 2x  y 2x  y Sumando y restando miembro a miembro las ecuaciones obtenidas: 17 4 x  34  x   2 y  16  y  8 2 17  y  8 La otra fila es: x  2 u v 

Solucionario Primer Pracial de a Semestre I-2010

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