Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Mathematicas
Correcci´ on Primer Parcial de C´ alculo III
28 de abril de 2008
1, 2, 3, 4
Tabla de Respuestas 1. (25 puntos )Hallar y(1), sabiendo que y es soluci´on del problema a valor inicial x
y − 2y + y = e , y(0) = 0,
y (0) = − 12 .
Respuesta:
La ecuaci´on diferencial asociada al problema a valor inicial es una ecuaci´on diferencial lineal de segundo orden no homog´ enea. Por consiguiente, la soluci´on de este problema pasa primero por determinar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial
y − 2y + y = 0, ecuaci´ on diferencial lineal a coeficientes constantes. Esta se resuelve hallando las ra´ıces del polinomio caracter´ ıstico p(λ) = λ2 − 2λ + 1 = ( λ − 1)2 . Este polinomio tiene como ra´ız λ = 1 de multiplicidad 2, de donde el sistema fundamental de soluciones est´ a dado por SF = {ex , xex }. Para determinar la soluci´on general de y − 2y + y = ex ,
hallamos una soluci´on particular, mediante el m´etodo de variaci´ on de constantes. Planteando y = c1 (x)ex + c2 (x)xex , se obtiene el sistema lineal x
xex (1 + x)ex
e
x
e
c 0
1
c2
=
ex
,
que resolvemos a trav´es de la regla de determinantes, obteniendo:
0 e e
x
c1
=
x
ex
c2
=
xex (1 + x)ex 1 −xe2x = = −x ⇒ c1 = x2 , e2x 2 xex (1 + x)ex
e 0 e e xee = ee e (1 + x)e x x
x x
x
x
2x 2x
= 1 ⇒ c2 = x,
x
La soluci´on general est´a dada de la ecuaci´on diferencial asociada al problema est´a dada por 1 1 y = c1 ex + c2 xex − x2 ex + x · xex = c1 ex + c2 xex + x2 ex . 2 2 Determinemos la soluci´on del problema, remplazando las condiciones iniciales. y(0) = y (0) =
Por consiguiente,
1 1 1 c1 = 0 ⇒ c1 = 0, c2 = − ⇒ y = − xex + x2 ex . c1 + c2 = − 12 2 2 2
1 1 y(1) = − e + e = 0. 2 2
2. (25 puntos ) Hallar la soluci´on general de x
−
xy = y + 2xe
y
.
Respuesta:
Dividimos la ecuaci´on por x y obtenemos
y =
y + 2e x
x/y
−
,
Ecuaci´ on de tipo homog´ eneo, planteamos z = y/x, lo que da
xz + z = z + 2e
1/z
−
1/z
−
⇒ xz = 2e
⇒ e1/z z =
2 . x
Integramos, obtenemos dF (z) = e1/z dz La respuesta al ejercicio correspond e a ninguna de las alternativas. F (z) = 2ln x + c, donde
3. (25 puntos ) Resolviendo hallar la soluci´on general de dx + x cot y = sec y. dy Respuesta:
En esta ecuaci´on hay que observar que la variable independiente es y, mientras que x es la funci´on inc´ ognita. La ecuaci´on en cuesti´on es lineal no homog´enea de primer orden. Hallamos la soluci´on de (LH) asociada, x = −(cot y)x ⇒ x = ce lnsin y = c csc y.
−
La soluci´on particular es hallada por variaci´on de constantes, planteando
x = c(y) csc(y) ⇒ x = c csc(y) − c csc(y) cot(y), remplazando
c csc(y) − c csc(y)cot( y) = −c csc(y) cot(y) + sec y ⇒ c = tan y ⇒ c = ln(sec y). De donde la soluci´on particular encontrada es x = ln(sec y) csc(y), Y la soluci´on general de la ecuaci´on es x = c csc y + ln(sec y) csc(y).
4. (25 puntos ) Hallar la soluci´on del problema a valor inicial y
y = y e , = 0, y(0) y (0) = 2.
2
Respuesta:
La ecuaci´on diferencial del problema es de segundo orden, reducible a una de primer orden, planteando y = u(y). Remplazando en la ecuaci´on se obtiene:
u
du du = uey , ⇒ = ey ⇒ u = ey + c. dy dy
Remarcamos que se ha simplificado u de la ecuaci´on por que y (0) = u(0) = 2 = 0. Determinemos c, se tiene u(0) = e0 + c = 2 ⇒ c = 1,
de donde y = ey + 1
ecuaci´ on de tipo separable y e yy =1⇒ y = 1 ⇒ − ln(e +1 e +1
−
y
−
ey
−
+ 1) = x + d.
Despejamos y y calculamos d utilizando y(0) = 0, se obtiene y
−
e
x
−
+ 1 = de x
−
por consiguiente y = − ln(2e
⇒ e0 + 1 = d ⇒ d = 2 ⇒ − y = ln(2e
x
−
− 1).
3
− 1),
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Matem´ aticas
Primer Parcial de C´ alculo III
28 de abril de 2008
1
Nombre y Apellido .................................................................................... Carnet de Identidad ...................
Firma ............................
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´
a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
e
3.
b
4.
c
1. (25 puntos ) Hallar y(1), sabiendo que y es soluci´on del problema a valor inicial x
y − 2y + y = e , = 0, y(0) y (0) = − .
1 2
Respuesta:
a) y(1) = 12 ,
b) y(1) = 1,
c)
y(1) = − 12 ,
e)
Ninguna de las anteriores.
d) y(1) = 0,
2. (25 puntos ) Hallar la soluci´on general de
−
xy = y + 2xe
x y
.
Respuesta:
a) y = x ln(ln(cx2 )), c)
y = ex ln y ,
e)
Ninguna de las anteriores.
b) y = x ln(cx), d) y = ln(ln(cx)),
3. (25 puntos ) Resolviendo hallar la soluci´on general de dx + x cot y = sec y. dy Respuesta:
a) y = c csc x + ln(sec(x))csc( x),
b) x = c csc y + ln(sec(y)) csc(y),
c)
y = c sec x + ln(sec(x))sec( y),
d) x = c csc y + ln(csc(y)) sec(y),
e)
Ninguna de las anteriores.
4. (25 puntos ) Hallar la soluci´on del problema a valor inicial y
y = y e , = 0, y(0) y (0) = 2.
Respuesta:
b) y = ln(ex + 1),
a) y = x2 + ln x − 1, x
c)
y = − ln(2e
e)
Ninguna de las anteriores.
−
− 1),
d) y = 0 o y = 2x,
2
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Matem´ aticas
Primer Parcial de C´ alculo III
28 de abril de 2008
2
Nombre y Apellido .................................................................................... Carnet de Identidad ...................
Firma ............................
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´
a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
c
2.
e
3.
a
4.
b
1. (25 puntos ) Hallar y(1), sabiendo que y es soluci´on del problema a valor inicial x
y − 2y + y = e , = 0, y(0) y (0) = − .
1 2
Respuesta:
a) y(1) = 1,
b) y(1) = − 12 ,
c)
y(1) = 0,
d) y(1) = 12 ,
e)
Ninguna de las anteriores.
2. (25 puntos ) Hallar la soluci´on general de
−
xy = y + 2xe
x y
.
Respuesta:
a) y = x ln(cx),
b) y = ex ln y ,
c)
y = ln(ln( cx)),
d) y = x ln(ln(cx2 )),
e)
Ninguna de las anteriores.
3. (25 puntos ) Resolviendo hallar la soluci´on general de dx + x cot y = sec y. dy Respuesta:
a) x = c csc y + ln(sec(y)) csc(y),
b) y = c sec x + ln(sec(x)) sec(y),
c)
x = c csc y + ln(csc(y)) sec(y),
d) y = c csc x + ln(sec(x)) csc(x),
e)
Ninguna de las anteriores.
4. (25 puntos ) Hallar la soluci´on del problema a valor inicial y
y = y e , = 0, y(0) y (0) = 2.
Respuesta:
a) y = ln(ex + 1),
b) y = − ln(2e
x
c)
y = 0 o y = 2x,
d) y = x2 + ln x − 1,
e)
Ninguna de las anteriores.
−
2
− 1),
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Matem´ aticas
Primer Parcial de C´ alculo III
28 de abril de 2008
3
Nombre y Apellido .................................................................................... Carnet de Identidad ...................
Firma ............................
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´
a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
d
2.
e
3.
b
4.
c
1. (25 puntos ) Hallar y(1), sabiendo que y es soluci´on del problema a valor inicial x
y − 2y + y = e , = 0, y(0) y (0) = − .
1 2
Respuesta:
a) y(1) = 12 ,
b) y(1) = 1,
c)
y(1) = − 12 ,
e)
Ninguna de las anteriores.
d) y(1) = 0,
2. (25 puntos ) Hallar la soluci´on general de
−
xy = y + 2xe
x y
.
Respuesta:
a) y = x ln(ln(cx2 )), c)
y = ex ln y ,
e)
Ninguna de las anteriores.
b) y = x ln(cx), d) y = ln(ln(cx)),
3. (25 puntos ) Resolviendo hallar la soluci´on general de dx + x cot y = sec y. dy Respuesta:
a) y = c csc x + ln(sec(x))csc( x),
b) x = c csc y + ln(sec(y)) csc(y),
c)
y = c sec x + ln(sec(x))sec( y),
d) x = c csc y + ln(csc(y)) sec(y),
e)
Ninguna de las anteriores.
4. (25 puntos ) Hallar la soluci´on del problema a valor inicial y
y = y e , = 0, y(0) y (0) = 2.
Respuesta:
b) y = ln(ex + 1),
a) y = x2 + ln x − 1, x
c)
y = − ln(2e
e)
Ninguna de las anteriores.
−
− 1),
d) y = 0 o y = 2x,
2
Universidad Mayor de San Sim´on Facultad de Ciencias y Tecnolog´ıa
Hans M¨ uller Santa Cruz Departamento de Matem´ aticas
Primer Parcial de C´ alculo III
28 de abril de 2008
4
Nombre y Apellido .................................................................................... Carnet de Identidad ...................
Firma ............................
Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est´
a respondiendo, indicando claramente
a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci´ on que considere correcta. El examen esta dise˜nado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de transcripci´ on puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opci´ on y si el desarrollo de la pregunta es correcto tendr´ a una bonificaci´on adicional de 5 puntos por la pregunta. Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.
Tabla de Respuestas 1.
a
2.
e
3.
c
4.
d
1. (25 puntos ) Hallar y(1), sabiendo que y es soluci´on del problema a valor inicial x
y − 2y + y = e , = 0, y(0) y (0) = − .
1 2
Respuesta:
a) y(1) = 0,
b) y(1) = 12 ,
c)
y(1) = 1,
d) y(1) = − 12 ,
e)
Ninguna de las anteriores.
2. (25 puntos ) Hallar la soluci´on general de
−
xy = y + 2xe
x y
.
Respuesta:
a) y = ln(ln( cx)),
b) y = x ln(ln(cx2 )),
c)
y = x ln(cx),
d) y = ex ln y ,
e)
Ninguna de las anteriores.
3. (25 puntos ) Resolviendo hallar la soluci´on general de dx + x cot y = sec y. dy Respuesta:
a) x = c csc y + ln(csc(y)) sec(y),
b) y = c csc x + ln(sec(x)) csc(x),
c)
x = c csc y + ln(sec(y)) csc(y),
d) y = c sec x + ln(sec(x)) sec(y),
e)
Ninguna de las anteriores.
4. (25 puntos ) Hallar la soluci´on del problema a valor inicial y
y = y e , = 0, y(0) y (0) = 2.
Respuesta:
b) y = x2 + ln x − 1,
a) y = 0 o y = 2x, c)
y = ln(ex + 1),
e)
Ninguna de las anteriores.
d) y = − ln(2e
x
−
2
− 1),
