Examen Examen T1 Soluci´ on on
Universidad Privada del Norte/ Cajamarca Prof. Alan Guzm´an an1
1.- * MAS: Movimiento Arm´onico onico Simple. Simple. Caso ideal, donde NO existen existen fuerzas externas2 que impidan impidan el libre libre movimie movimiento nto del objeto. La consecuenci consecuenciaa mas importan importante te de esta ausencia de fuerzas externas, es que la amplitud A es constante en todo el movimiento. * MOA: Movim Movimien iento to Oscilato Oscilatorio rio Amorti Amortiguad guado: o: Caso Real, dond dondee SI existen existen fuerzas fuerzas externas externas.. La amplitud amplitud A ya no es constante como en el MAS, si no que mas bien, esta amplitud tiene la forma A0 exp γt . Evidenc Evidenciam iamos os que esta nuev nueva amplitu amplitud d ya no es constante y que va decayendo en el transcurso del tiempo.
{− }
2.- a)
∗
∗
ω =
∗
f =
ω 2 = 2π π
∗ ∗
T =
16 rad rad =4 1 s s
k = m
1 f
≈ 0.64Hz.
≈ 1.56 s.
A = 10c 10cm = 0.1m.
X (t) = 0.1 sin( sin(ωt + φ) m
Condiciones iniciales: X (t = 0) = 0.1sin(ω
× 0 + φ)m
= 0.1m
sin(φ) = 1 φ =
⇒ X (t) = 0.1sin 1 2
4t +
π
2
π
2
m = 0.1cos 4t m
[email protected] Fuerzas externas tales como; la fuerza de rozamiento, viscosidad, fuerza de rozamiento del aire, etc
1
b) v =
±ω
√
A2
2
− X
vmax = ωA vmax = 4
∗
a =
∗
amax
rad s
× 0.1m = 0.4 ms
2
−ω X
rad 2 = ω A = 16 2 s
× 0.1 m = 1.6 ms
2
2
c)
X (t ) = 0.1sin 4t +
π
m = 0
2
sin 4t +
π
2
⇒ 4t + π2
t
= 0 = nπ =
(2n
Primera vez que pasa por la posici´on de equilibrio, n = 1 t1 =
(2
× 1 − 1)π ≈ 0.39s 8
Segunda vez que pasa por la posici´ on de equilibrio, n = 2 t2 =
(2
× 2 − 1)π ≈ 1.18s 8
Tercera vez que pasa por la posici´on de equilibrio, n = 3 t3 =
(2
× 3 − 1)π ≈ 1.96s 8
Sexta vez que pasa por la posici´ on de equilibrio, n = 6 t6 =
(2
× 6 − 1)π ≈ 4.32s 8
2
− 1)π 8
3.- P´ endulo
de Torsi´ on.
Din´amica Rotacional:
F restauraci´on
×2
dt L d2 θ = I 2 K S 2 dt d2 θ L L = I 2 K θ 2 2 dt 2 L d2 θ K θ = I 2 4 dt 2 KL2 d θ = θ 4I dt2
−
−
τ = I α L d2 θ = I 2
× ×
−
⇒
−
De esta u ´ ltima ecuaci´ on identificamos la frecuencia angular para nuestro p´endulo de 3 torsi´on ω=
KL 2 = 4I
KL2 = 1 M L2 4 12
×
3K M
= 10
rad s
Periodo 2π
T =
ω
≈ 0.63 s
Frecuencia f =
1 T
≈ 1.59Hz
4.- Frecuencia angular natural de oscilaci´ on (Frecuencia del Oscilador Arm´ onico Simple -MAS) ω =
T =
25.00 rad rad k = =5 1.00 s s m 2π 1.26 s ω
≈
Frecuencia angular del Movimiento Oscilatorio Amortiguado - MOA ω =
2π
T T = 0.5
3
2 π rad rad =4 0.5 π s s π = 1.57s
=
×
El momento de inercia para una varilla cuyo eje de rotaci´on pasa por su centro de masa es 1 /12M L2
3
Vemos que el periodo ya no es el mismo, T = T , como si al oscilador le tomara mas tiempo realizar una oscilaci´ on completa. Entonces, nosotros podemos inferir que se trata de un MOA. Ahora calcularemos el factor de amortiguamiento λ de la relaci´ on
− ω2
ω =
λ2 4m2
⇒
λ =
− 4m2 ω2
λ = 0.6
5.- Conservaci´ on
ω2
=6
N.s m
N.s m
del Momentum Lineal:
P antes = P despues
P antes = P despues mV m + M V M = (M + m)V M +m mV m = (M + m)V M +m V M +m =
m V m M + m
V M +m =
10g 100g
× 160 ms = 16 ms
Esta velocidad V M +m es la velocidad m´axima del MAS. Entonces, tenemos: vmax = V M +m = ω
⇒ ⇒
A =
×A √
V M +m V M +m = = 16 10 m ω K
M +m
ω =
K = M + m
√ 110 rad s
Finalmente
√
X (t) = 16 10 sin
√
√
1 π m = 16 10cos t+ 2 10
4
√
1 t m 10
