Solucionario demidovich Analisis Matematico 1 - ByPriale

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«¡HgBMBaaB—i i 11

ANALISIS MATEMATICO I SOLUCIONARIO DEMIDOVICH TOMO I OO

y ! |

i n— 1

n

|♦

INTRODUCCIÓN AL ANALISIS

\

\♦

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES

j

|

I

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APLICACIÓN DE LA DERIVADA

I I í "-

i

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i *

EDUARDO ESPINOZA RAMOS 1

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IMPRESO EN EL PERÚ 15-02-2004

4ta EDICIÓN

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no p u e d e reproducirse to ta l ó p a rc ia lm e n te p or ningún m é to d o gráfico, e le c tró n ic o o m e cá n ico , in clu yen d o los sistemas d e fo to c o p ia , registros m a g n é tico s o d e a lim e n ta ció n d e datos, sin expreso consentim iento del a u to r y Editor.

RUC

N ° 10070440607

Ley d e Derechos del Autor

N ° 13714

Registro co m ercia l

N ° 10716

Escritura Publica

N °4484

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PROLOGO

Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto nace aún antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como la vida misma.

El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes conquistas.

La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este primer tomo, en su cuarta edición del solucionado del libro problemas y ejercicios de análisis matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a la captación de los diferentes problemas.

Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su avance y desarrollo intelectual.

E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S

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INDICE

CAPITULO I INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS Concepto de Función

1

Representación G ráfica de las Funciones Elementales

31

Limites

88

Infinitésimos e Infinitos

143

Continuidad de las Funciones

155

CAPITULO II DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES Cálculo Directo de Derivadas

173

Derivación por M edio de Tablas

187

Derivadas de Funciones que no están dadas explícitamente

259

Aplicaciones Geométricas Mecánicas de la Derivada

276

Derivadas de Orden Superior

306

Diferenciales de Primer Orden y de Orden Superior

333

Teorema del Valor Medio

349

Fórmula de Taylor

354

Regla de L ’Hospital - Benoulli para el Cálculo de Limites indeterminados

361

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CAPITULO III EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES _______ GEOMÉTRICAS DE LASD E R IV A D A S _____ 3.1.

Extremos de las Funciones de un Argumento

374

3.2.

Dirección de la Concavidad - Puntos de Inflexión

423

3.3.

Asíntotas

435

3.4.

Construcción de las Gráficas de las Funciones por sus puntos Característicos

445

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Introducción a l Análisis

C A P IT U L O I

INTRODUCCION AL ANALISIS 1.1.

CONCEPTO DE FUNCIÓN.Demostrar que si a y b son numero reales. I ¡ a | - | b | | < | a - b | < | a | + |b| D esarrollo Escribiremos: a = (a - b) + b, tomando valor absoluto | a | = | ( a - b ) + b | < | a - b | + | b | , por la desigualdad triangular: Luego: | a | < | a - b | + | b |

=>

|a|-|b |< |a-b |

... (1)

Además: | a - b | = | b - a | > | b | - 1a |, es decir: | a - b | > | b | - 1a | ... (2) Por tanto de (1) y (2) se tiene: por otro lado:

||a|-|b ||< |a-b |

... (3)

| a - b | = | a + (-b) | < | a | + | - b | = | a | + | b |

de donde: | a - b | < | a | + | b | Luego de (3) y (4) se tiene:

... (4) | | a | - | b | | < | a - b | < | a | + |b|

Demostrar las siguientes igualdades:

b) | a | 2= a 2

a)

| a.b | = | a 11 b |

c)

l?l= b T?T’ | b | b *° www.FreeLibros.me

d)

2

Eduardo Espinoza Ramos D esarrollo a)

1er Caso: Sí a y b > 0 => | a ¡ = a,| b | = b por definición del valor absoluto de donde | a 11 b | = ab Como a >0, b > 0 => a.b > 0 => | ab | = a.b Por definición del valor absoluto j •%f ¿4.,? ¡L«,J > ! : wr ’ I Luego | a 11 b |

= ab = | ab |

2do. Caso: Sí a > 0

a

-■, •

ab |

b<0

Como: b < 0 Como: - b > 0

| a 11b | = |

X%*. />'f

=> -b > 0 =>| a b | = | -(ab) | = | a(-b) |

=> por la parte Ira se tiene:

I ab | = | a(-b) | = | a 11 -b | = | a 11 b | => | a b | = | a | | b | 3er. Caso:

Si a < 0

a

b > 0 es en forma análoga al 2do caso y se tiene

| ab | = | a U b | 4to, Caso:

Sí a < 0

a

b < 0 => - a > 0

a

-b>0

entonces (-a)(-b) = ab aplicando el 1ro y el 2do caso se tiene: | ab | = | (-a)(-b) | = | -a 11-b | = | a 11 b | b)

por lo tanto | ab | = | a 11 b |

|f l |2=<72

\ a \ 2= a 2

Sí a > 0

=> | a | = a =>

SíacO

=$ | a | = -a => | a |2= ( - a ) 2 = a 2

Por tanto | a | 2= a 2

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C)

3

|£ |= i £ l V 1*1

¡7

1 = 1

b

a.(j-)

b

1=1

a || -í- 1 por la parte (a)

b

además | - | = | * l 1 por la parte (b)

b

LueSo:

Como | Í H « | | l N „ | ¡i ¡ = j£j,porlot»nu, \ Í \ M

d) J a 2 = | a \ Sí a > 0 =>

-Ja2 = a a )2 = —a

Sí a < 0 => - a > 0 =>

=>

a 2 = —a

Luego por lo tanto sja2 = \ a | Resolver las inecuaciones. a) | x —1 | < 3

b) | x + 1 | > 2

c) | 2x + 1 | < 1

d) | x - 1 | < | x + 1 | D esarrollo

a)

Sí | x - 1 | < 3 =>-3 < x de donde - 2 < x < 4

1<3

=* x e <-2,4>

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4

Eduardo Espinoza Ramos b)

| x + 1 | > 2 => x + l > 2

v

x+l<-2

==> x > l ó x < - 3 I -3 La solución es x e c)

< -o o t- 3>

-1

U

| 2x + 1 ) < 1 <=> -1 < 2x + 1< 1 <=> -2 < 2x < 0 o

-1 < x < 0

La solución es x e <-1,0>

d)

| x —1 | < | x + 1 |

=$

| jc—112< |x + l | 2 x 2 - 2x + l < x 2 + 2x +1

=>

4x > 0 => x > 0

Luego la solución es x e <0,+°°> Hallar f(-l), f(0), f(l), f(2), f(3) y f(4) sí:

f ( x ) = x 3 - 6x 2 + 1 \ x - 6

D esarrollo Como

f ( x ) = x -6jc~ + l l x - 6 / ( - 1 ) = ( - 1 ) 3 - 6 ( - l ) 2 + 11(-1) - 6 - -2 4 /(O ) = (O)3 - 6(0)2 +11(0) - 6 = - 6 /( 1 ) = ( l) 3 ~ 6(1)2 +11(1) - 6 = 0

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5

/ ( 2 ) = (2 )3 - 6 ( 2 ) 2 + 11(2) - 6 = 0

/(3 ) = (3)3 - 6(3)2 +11(3) - 6 = 0 /( 4 ) = (4)3 - 6(4)2 +11(4) - 6 = 6

5

Hallar f(0), / ( - | ) , f ( - x ) , / ( - ) , - I - S í f ( x ) = y ¡ ü ^ 4 x f(x) D esarrollo Como

f ( x ) = >/l + .v2 entonces

/(O ) = V 1+ 02 = 1 ¡25 = 5

4

V

4

V

16

V 16

4

f ( - x ) = y¡\ + ( - x f =

/ ( >) = c i 7 =4 ± ? x 1 /(•* )

6

\

x

|x |

1_ y¡] + X 2

Sea f(x) = arc.cos(log x). Hallar / ( ~ ) < f (l) y f(10) D esarrollo Como f(x) = arc.cos (log x) entonces / (— ) = arccos(log — ) = arccos(- log 10) = arccos(-l) = n

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Eduardo Espinoza Ramos

6

/(1 ) = arccos(logl) = arccos(O) =

n

f(10) = árceos (log 10) = árceos (1) = 0 La función f(x) es lineal. Hallar dicha función sí: f(-l) = 2 y f(2) = -3. D esarrollo , »\ ■ .\ 1,\ Como f(x) es lineal => f(x) = ax + b, donde a, b e R

Luego

2 = - a +b I [ - 3 = 2a + b

[/(-!) = 2 1/ ( 2 ) = -3

Resolviendo el sistema se tiene los valores de: i . ---------- ------r,

>

f(x) =

5x

3

, Ai*f

1

+3

5 a= 3

1 — , 3

b- —

o¡

Hallar la función entero y racional de segundo grado f(x) sí f(0) = 1, f( 1) = 0 y f(3) - 5. D esarrollo Si

f(x)

es

función

entero

y

racional

de

segundo

grado

f ( x ) = a x 2 + bx + c , donde a, b y c son constantes por determinarse. /(0 ) = 1

1= c

/(D = 0

0 = a+h +c

/ (3) = 5

5 = 9a + 3b + c

\a + b = -1 Como

i 9fl + 3fc = 4

7 13 Resolviendo el sistema se tiene a = —, b = -----

6

Luego como / ( x ) = ax~ + bx + c , se tiene

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6

6

o

entonces


7

Se sabe que: f(4) = -2 y f(5) = 6. Hallar el valor aproximado de f(4.3), considerando la función f(x), en el segmento 4 < x < 5, es lineal, (interpolación lineal de funciones). Desarrollo f(x) es lineal =* f(x) = ax + b Í4a + b = - 2 => < resolviendo el sistema se tiene a = 8, b=-34 [/(5 ) = 6 [5a+b = t

[ / ( 4) = - 2 Como

Como f(x) = ax + b =>

f(x) = 8x - 34

Luego f(4.3) = 8(4.3) - 34 = 0.4

10

Escribir una sola fórmula que exprese la función:

í0 si x < 0 /(* ) = • r si x > 0

empleando del signo del valor absoluto. Desarrollo 0 si x < 0 Como / ( x) = x si x > 0 Si x < 0 => para f(x) = 0 se tiene

Si x > 0 => para f(x) = x se tiene

Luego:

11

x+\x\

2 x+\x\

2

I 4-Y _. . ¡1xY I+x f ( x ) = — ----

2

Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones: a)

y=ú +l

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8

Eduardo Espinoza Ramos D esarrollo El campo de existencia de una función también se conoce con el nombre de dominio de la función. Luego como y = sfx +1

para que esté bien determinado debe cumplirse

que x + l > 0 de donde x > -1

=> x e [-l,+°°>

El campo de existencia de la función es -1 < x < °° b)

y = s /x + í D esarrollo Como

y = yfx + l

=>

x + 1 puede ser positivo, negativo o cero, luego

el campo de existencia es:

12

y=

-<» < x < +°°

1 — 4-x2 D esarrollo

Los valores de x para que y = — 4-x 4 - x 2 *0

est é bien determinado es:

=*■ x * ± 2

Luego el campo de existencia de la función es: <-°°,-2> U <-2,2> U <2,+°°> 13

a)

y = 4x2-2 D esarrollo Para que y = \ l x 2 - 2 esté bien determinada debe cumplirse: x2 - 2 > 0

x2 > 2

x >\¡2 v x < -y¡2

Luego el campo de existencia es:

< - ° ° , —j2]U[>l2,+°o >

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Introducción al Análisis

b)

9

>■= x \ ]x 2 - 2 Desarrollo Para que y = xy¡x2 - 2 esté definida: 4.

A:2 —2 > 0

=>

X>yÍ2 v x < - y ¡ 2

‘

también para x = 0, y = X ' lx 2 - 2 está definida x = 0, | x \ > y¡2

Luego el campo de existencia es: 14

y = y¡2 + x - x 2 Desarrollo Para que

y = yfe + x - x 2

2 + x - x 1 > 0 , es decir:

esté

bien

x2 - x - 2<0

definida debe

(x-2)(x+l)<0

-1

2

Luego el campo de existencia es: [-1,2] 15

1= -J -x -

1 y/2 + X Desarrollo

Para que y = \ [ - x + - p L = esté definida, debe cumplirse que: V2 + jc -x >

0 a

2+x>

0,

de donde:

x<

0

a

x > -2

1

-2

cumplirse que

0

Luego el campo de existencia es [-2,0]

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10

16


y = yjx —x 3 D esarrollo Para que esté bien definida debe cumplirse que: x - x 3 > 0 => x(x - l)(x + 1) < 0 de donde:

-1

0

luego el campo de existencia es: 17

1

<-°°,-l] U [0,1]

y = log(-~— ~—) 2 —x D esarrollo Para que y = log(

2+x

2 ~hx ) esté bien definida debe cumplirse que: — >0 2- x 2- x

de donde (2 + x)(2 - x) > 0, pero x * 2 => (x + 2)(x - 2) < 0, de donde se tiene:

-2

2

Luego el campo de existencia es <-2,2>

18

i

,x 2 - 2 >x + 2

y = log(

jc + 1

) D esarrollo 2

^

^^

Para que y = log(---------------) esté bien definida debe cumplirse que: JC+1

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A-2 - 3a + 2 A+ l

li

> 0 de donde ( a - 3 a + 2 )( a + 1 ) > 0 para x * - l

(x - 2)(x - l)(x + 1) > 0, entonces:

-1

1

2

Luego el campo de existencia es: <-1,1> U <2,+°°> 19

>’ = a rc c o s ( - ^ - ) 1+ A

D esarrollo y = arccos(

2a

)

=>

eos y

1+ A

2a 1+ A

pero se conoce que: -1 < eos y < 1 , de donde -1 <

2x

<1

1+ A

■1 S - 2 Í . S 1

„

-1<—

1+ A

1+ A

<=> 0 <

2x

„ if -s l 1+ A

2.x

+ 1A ------------1 < 0 1+ A 1+ A

,, 3 a +1 A -l <=> 0-< --------- A <0 1+A A +l

<=>•■ 0 < (3x + 1)(1 + x)

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a

(x - l)(x + 1) < 0, x * - l


12

Luego

( < —« > ,—i > t / [ —- i , +00 >

a

<

—1, 1J

JC y = arcsen(\og — )

20

10

D esarrollo

v = arcsenflog— )

como - l < s e n y < l

y

Luego

seny = log—

=>

1 x —< — e 10

=>

JC

JC

—l < l o g — <1

además — > 0

10

10 — < jc < 1 0 e e

=>

x>0

10

10 jc e [ — ,10e] e

y = ^¡sen 2x

21

D esarrollo Para que y = yjsen 2x esté bien determinado debe cumplirse que: 1 > sen 2x>0 Como 0 < sen ?x < 1 => arcsen 0 < 2x < arcsen 1 7T

0 < 2x < — de donde se tiene: 2 *■ kit < x < k n + — , donde k = 0, ±1, ±2. ± 3 ,...

2

22

,

Sea f ( x ) = 2 x 4 - 3x3 - 5 x 2 + 6x - 10. Hallar:

Desarrollo

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13

/( .v ) = 2 .y4 - 3 a 3 - 5 a 2 + 6 A"- 1 0

Como

. Luego: / ( - a ) = 2 a 4 + 3 a3 - 5 a 2 - 6 a - 1 0

<¡9(a ) = Í - [ / ( a ) + / ( - a ) ] = 2 a4 - 5 a 2 - 1 0

I / ( a ) = 2 a4 - 3 a3 - 5 a 2 + 6 a - 1 0 [ / ( - a ) = 2 a 4 + 3 a 3 - 5 a 2 - 6a - 10

¥ ( * ) = | [ / U ) - / ( - * ) ] = \ í ~ 6x 2 + 12a) 23

La

función

f(x),

determinada

en

el

=>

y/(x) = - 3 x 3 + 6x

campo

simétrico -1 < x < 1, se

denomina par sí f(-x) = f(x) e impar sí ff-x) = -f(x). Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cuales impares: a)

f ( x ) = ^ { a x +a~x$ Desarrollo 1. , Como / ( a ) = —(ax +a x) Luego f(x) = f(-x) =>

b)

/(a ) =

Vi +

a + a 2

1 f ( - x ) = —( a * + a x )

=>

1

f ( x ) = —( ax + a x ) es par

- y ] 1 -A + A2 Desarrollo

/ ( a ) = s/l + a + a 2 - - y / l - A + A2

/( - A ) = V l- A + A2 —s I l + X

+ X2

= -(> / 1 -A + A2 - -\/l + A+ X2 ) = - / ( A )

como: f(-x) = -f(x ) => f(x) es impar

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14

C)

f ( x ) = l ] ( x + l)2 + l j ( x - l )2

D esarrollo Como / ( a ) = yj(x + 1)2 + y¡(x - 1)2 , entonces:

f ( - x ) = í ¡ ( - x + 1)2 + V ( - J f - D2

+ l j ( x + l )2 = / ( x )

Luego f(-x) = f(x) entones la función f(x) es par. d)

/ ( jc) = log(-|——) 1-JC Desarrollo

Como / ( x ) = lo g (Ü ^-) 1—A

/( - A ) = l o g ( ~ - ) = - l o g ( |Í ^ - ) = - / ( x ) 1+X 1-X

Como f(-x) = -f(x) => la función es impar 24

Demostrar que cualquier función f(x), determinado en el intervalo -1 < x < 1, puede representarse como la suma de una función par y otra impar. Desarrollo A la función f(x) escribiremos así: / ( x) = / ( a ) + —/ ( - a ) ——/ ( -a )

/ W = ^ /(•*) + ^ / ( - * ) + ^ / ( * ) " / ( - ■ * )

/(* ) = | ( / W

+ / (-* ))+ r ( / w - / ( - * »

definiremos la función:

/ ^ a ) = ~ ( / ( x ) + / ( - a ) ) que es par, es decir:

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15

f \ (- * ) = - ( / ( * ) + / ( - a ) ) = - ( / ( a ) + / ( - a ) ) = / ,( a )

=> / , ( * ) espar

f 2(~x ) = - ( / ( - * ) - / ( - ( - * ) ) = ~ - ( / U ) ~ / ( - * ) ) = ~ f 2(x)

=>

/ 2(a)

es

impar por lo tanto / (a) = / , (a) + / 2(a) es la suma de una función par y otra impar. 25

Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una función impar. Desarrollo Sea

/ ( a ) = / j ( a ) . / 2( a ) donde / | ( a ) y / 2( a ) son funciones pares por

demostrar que / ( a ) = / i ( a ) . / 2( a ) es par como / , ( a ) y / 2( a ) son pares. í/i(-J c ) = / i W

[y*2(“ -^)= y*2(-^) /( - • * ) = ( / i - f 2 ) ( - x ) = f \ ( - x ) - f 2 (“ *) = f \ (x )- f i (*) = / ( * ) entonces / W = / i ( 4 / 2W

es par.

Si g(x) = ^ i(a ).^ 2(a) donde ^ ,(a ) y g 2(x) son funciones impares por demostrar que g(x) = g l (x).g2(a) es par g,(-A ) = -^ ,(A ) Como £ ((a ) y g 2(x) son impares => g 2( - x ) = - g 2(x) g ( - x ) = (g\ g 2) ( -X ) = £1 ( x )'g? ( a) = [-# ,(a )1 [~ £ 2(a)]

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16 g ( - x ) = g i ( x ) . g 2(x) = g( x) 26

=>

g ( x ) ^ g l ( x) .g2( x) es par

La función f(x) se llama periódica, si existe un número positivo T (periodo de la función) tal que f(x + T) = f(x) para todos los valores de x pertenecientes al campo de existencia de la función f(x). Determinar cuales de las funciones que se enumeran a continuación son periódicas y hallar el periodo mínimo T de las mismas. a)

f(x)=10sen3x D esarrollo Como f(x) = 10 sen 3x => f(x + T) = 10 sen (3x + 3T)

Como sen x = sen (x + 2n) => 3T = 2n =$

2n T =— 3

Luego f(x) = 1 0 sen 3x es periódica y T =

b)

f(x) = a sen(A,x) + b cos(3,x) D esarrollo Sea f(x) = a sen (3.x) + b eos (3.x) entonces: F(x + T) = a sen (3.x + 3.T) + b eos (3.x + 3.T) Como sen x = sen(x + 2ti) y eos x = cos(x + 2n) de donde 3.T = 2jt =>

2n T =— A

por lo tanto f(x)=a sen(3.x)+ b cos(3,x)

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es periódica, donde el periodo


C)

17

/ ( * ) = yJtgX Desarrollo f ( x ) = yftgx =>

f ( X + T) = y]tg(X+T)

Como tg x = tg(x + Jt) => T = it Para que f(x) = f(x + T), luego:

d)

f ( x ) = y[tgx es periódica con T = Jt

f ( x ) = sen2x Desarrollo Se conoce que sen (x + 7t) = sen x. eos Jt + eos x. sen Jt = - sen x De donde s en2 (jc + n ) = sen2x de donde:

f(x) = f(x + 7t) entonces la función/ (x) = s en2x es periódica con periodo T = Jt. e)

f { x ) = sen(-Jx) Desarrollo Se conoce que

J x * yfx + \¡T para T * 0

Luego f (x) = sen(yfx) =>

f ( x + T) - sen(y/x + T)

Por tanto f(x) ^ f(x + T) la función:

27

f (x) = sen( x ) no es periódica

Expresar la longitud del segmento y = MN y el área S de la figura AMN como función de x = AM construir las gráficas de estas funciones.

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18 D

Desarrollo En el A ADE, “x” varia desde A hasta E, es decir: 0 < x < c, por semejanza de triángulos tenemos: bx y - — para 0 < x < c, ahora —= — c b c veremos para los “x” que varia desde E hasta B, c < x < a se tiene y == b,

A AMN - A ADE, de donde:

b -x para 0 < x < c luego:

y = b

para c < x < a

ahora veremos para el área S de la región sí 0 < x < c b xy Pero y = —x , reemplazando se tiene: 5 = — c 2 Sic
=>

be

S = b x ~ — , para c < x < a

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=>

S=

síO
La gráfica es:


Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de longitud) de una barra

AC = /,,

AB = 1, en sus porciones

CD = l2

y

DB = /3,

(/, + l2 + lj = /) son respectivamente iguales a: q x , q 2 , q2, expresar la masa m de una porción variable AM = x de esta misma barra, como función de x, construir la gráfica de esta función. Desarrollo /

1

/

7

A ^------ ■ Y

I2 - \ s

v\

¿ \ M

X P = ~j~ ^

Consideremos primero:

m - lp

Luego sí 0 < jc < /, entonces m = x.ql

*1

M

Sí / , < * < / , + / 2 => m = l¡q¡ + q 2( x - l \ )

1,

C

^1

N—

M

X ---------- M

Sí l x + l 2 < x < l { + l 2 + l 2 entonces:

»B

Q2 m = l xq¡ + l2q 2 + ( x ~ ( l x + l2))q3 ~ ~ i m = l lq l + l2q 2 + ( * - / , - l 2 )q2

A ♦— 5------• ——• -

28

19

o

H -------------------- X

a

•

Resumiendo se tiene: g

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• B H


20

29

xqy

si 0
liq ] + ( x ~ l l)qi

si /| < at < /, + /2

/ , ^ i + / 2 <72 + ( . « - / [ ~ / 2 ) ^ 3

•''í

/ ] + / 2 < x < / , + / 2 +/■) = /

Hallar: tp(\|/(x» y \|/(
06

-♦---

Desarrollo

Como y/(x) = 2 X y (p(x) = a 2 entonces:
Hallar f(f(f(x») sí f ( x ) =

^C«p(x)) = 2
l-x-Desarrollo

Como / ( a ) =

1—x

/(/(* )) =

1 1-/(JC ) !-/(* )

=» / ( / ( / ( * ) ) ) = !-/(/(* ))

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!

1 !-/(* )

-/(* )


21

es decir: / ( / ( / ( * ) ) ) =

31

=— X ~TJL = ~ ^ x - LueI ° f(f(f(x))) = x -/( • * ) 1_ -1 1—jc

Hallar f ( x + l ) sí y (jr —1) = jc2

v

D esarrollo I I -..- ...........

**■*

i. Como /(jc -1 ) = jc2 =* / ( * +1) = f [ ( x + 2) -1] = (jc + 2 )2

32

Es decir:

f ( x + 1) = jc2 +4jc + 4 = (* + 2 )2

Sea

la

f(n)

suma

de

n

miembros

de

una

progresión

aritmética.

Demostrar que f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0. D esarrollo Como f(n) es la suma de n términos de una progresión aritmética. Entonces:

/ ( n ) = (2a + ( m - l)r ) ~ donde “a” es el primer término y “r” la razón

f i n + 3) = [2a + (n + 2 ) r ] ^ ^ 2 / ( n + 2) = [2a + (n + l ) r ] ^

f l n + \ ) =[ 2a + n r ) r^ 2

>

calculemos f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) (2a + (n + 2 ) /- ) ^ Í ^ - 3 ( 2 a + (n + l) r ) ^ ~ ^ + 3(2a + H r)-—- - ( 2 a + ( n - l ) r ) — 2 2 2 2

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22

= —[(2an + 6 a + n 2r + 5 nr + 6 r) - 3(2 an + 4 a + n2r + 3nr + 2 r) +

2

+ 3(2an + 2a + n 2r + nr) - (2an + n 2r - m )] = —[(0) + (0) + (0)] = 0 En consecuencia: f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0 33

Demostrar que, si f(x) = kx + b y los números x , , x 2 y x 3 constituyen una progresión aritmética, también formaran una progresión aritmética los números / ( * i ) . /(■*2 ) y /(■*3 )Desarrollo x ¡ , x 2 y x 3 constituyen una progresión aritmética

=>

X j, x 2 = x x + r ,

x 3 =X | + 2 r donde r es la razón, probaremos que / ( * , ) , f ( x 2 ) y f ( x 3) constituye una progresión aritmética. Como f(x) = kx + b entonces f ( x l ) = k x] +b f ( x 2 ) = / ( * , + r) = ArfjCj + r) + b = kx¡ + b + kr f ( x 3 ) = /(-*i + 2 r) = ¿(a-! + 2r) + b - k x x + b + 2 kr Luego:

kxx +b

kx{ +b + kr

kxx+b + 2 kr

7?5 constituye una progresión aritmética, donde kr es la razón. 34

Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir f ( x ) = a x , (a < 0) y los números x ¡, x 2 y x 3 constituyen una progresión aritmética, los números / ( * i ) , f ( x 2) y f ( x 3) fonna una progresión aritmética. Desarrollo

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23

Como x , , x 2 y x 3 constituye una progresión aritmética jc, , x 2 = x, + r . x 3 = x, + 2 r donde r es la razón

Como f ( x ) = a x entonces:

f ( x 2) = / ( x , + r) = a x'+r = a r x¡x' f ( x $) = f ( x x + 2r) = a x’+2r - a 2r x¡x'

Luego:

a * , a .a 1 , a~ m fí*i)

/0 ¡ ¡ )

7(^)

Constituyen una progresión geométrica cuya razón es a ' . 35

Sea f ( x ) = log(— ~— ) . 1- x

Demostrar que / ( x ) + / ( y ) = /(-^— ^—) 1+ xy Desarrollo

Como / ( x ) = l o g ( | Í í ) , / ( y ) = l o g ( |Í ^ ) 1 -x 1- y

r, , r, . , + , , l + ) \ , ,(l + x)(l + y) f ( x ) + / ( y ) = log() + log() = log(— — 1 -x 1- y (l-x )(l-y ) 1+

x+ y

/<£♦£> = i„g(_ L ± 2 >= 1+ xy

t

( 1)

x+y 1+ xy

1+ x y - x - y

, (l + x) + (l + x)y (l + x)(l + y) = log( - ) = log -------------- — 6 (l-x)-(l-x)y (1 —x)(l —y)

comparando (1) y (2) se tiene:

... (2)

jc +

y

/ (x) + / ( y ) = / ( --------) 1+ xy

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24

36


Sea / ( * ) - —(ax +a *) y yr(x) = —(ax - a x ) . Demostrar que: f(x + y) = f(x).f(x) + \|/(x).\|/(y) y

v|/(x + y) = f(x).\|/(y) + f(y).\|/(x)

D esarrollo

f ( x + y ) = ^ ( a x+y+ a - x- y ) = ^ ( a x.ay + a - x.a-y)

a x+y

a~x~y

a~xa y

a~xa y

a xa~y

a xa~y

2

1 = - ( a x.ay + a~x .ay + a'.a~y + a~x .a~y ) + 4 +—{ax.ay - a ~ x.ay - a x .a~y + a~x .a~y) 4

= - ( a x + a - x ) - ( a y + a~y ) + - ( a x - a - x ) - ( a y - a ~ y ) 2

2

2

2

= f(x).f(y)+\|/(x).\|/(y) íarcsen x , para - 1 < x < 0 37

Hallar f(-l), f(0) y f(l) sí: f ( x ) = \arctag x , para 0 < x < +°<= D esarrollo / ( —1) = arcsen(-\) = -arcsen(l) = |7 ( 0 ) = arcsen(0) - 0

/ ( 0) = 0

/( 1 ) = arctag( 1) = ^ 4

f a ) = 74

=> / ( —1) = ——

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25

Introducción al Análisis 38

Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores negativos de la función y; si: a)

y = 1+ x Desarrollo Para que y = 0 se tiene que 1+ x = 0 => x = -1, luego y = 0 cuando x=-l El campo de valores positivos es cuando y > 0, es decir 1+x > 0 => x > - l y el campo de valores negativos es cuando y <0 es decir 1+x < 0 => x < -1 Luego y < 0, cuando x < -1

b)

y = 2 +x - x2 Desarrollo Para que luego: tiene:

y = 0 se tiene que 2 + x - x 2 = 0 , de donde: x = -1, x = 2,

y = 0, cuando x = {-1,2} y para los valores positivos y > 0 se 2 + x - x 2 >0

x2 - x - 2 < 0

(x - 2)(x + 1) < 0, de

donde se tiene:

-1 Luego x e < -l,2 > . Entonces:

2 y > 0 cuando x e < -l,2 > y para los

valores negativos y < 0 se tiene: 2 + x - x 2 < 0 => x 2 - x - 2 > 0 (x - 2)(x + 1) > 0, de donde se tiene:

+

+

-1 www.FreeLibros.me

2


26 Luego x e <-°°,-l> U <2,+°°> entonces: y < 0 cuando x e < -o o ?- l>U<2,+oo> c)

y = 1- x + x 2 Desarrollo

Para que y = 0 se tiene que 1 - x + x 2 = 0 de donde x = —

—, luego 3

x e R tal que y = 0. Como las raíces no son reales entonces: l - j c + jc2 > 0 , V x e R d)

=> y > 0 para -°o< x < +°°

y = x3 -3x Desarrollo Para que y = 0, se tiene x 3 —3x = 0 . de donde: x = —\¡3 , x = 0, x - \ ¡ 3 Luego y = 0 cuando x = {—*¡3,0, \ Í3) Para y > 0, se tiene .v3 - 3x > 0 =>

-S

x ( x - \¡3)(x + y¡ 3 ) >0

0

75

Luego x e < - \ ¡ 3 , 0 > V < \¡3, +<» > , entonces: y > 0 cuando x e < —y¡3,0 > U < -j3,+°° > para que y < 0, se tiene que x 3 - 3x < 0 => x e < —o®, y/3 > U < 0, y¡3 >

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x ( x - ^ ) ( x + \Í3) < 0


27

S

> U < 0 ,7 3 >

xe <

Luego

0

73 entonces:

y < 0 , cuando x e < -«>,73 > U < 0 ,7 3 >

e)

y = log(-———) 1+ jf Desarrollo Para que y= 0, debe ocurrir:

1+ JC

= 1 de donde x = 1, luego: cuando x =1

2x

Para que y > 0 ocurrirá c u a n d o

2x

>1

x +l

x+1 x-l x+l

>0

- 1 > 0 de donde:

=> (x - l)(x + 1) > 0

luego x e <-«>,-1 > U

< l,+ o o >

para que y < O debe ocurrir que O <

2x

<1

1+ * de donde 0 < 2 x ( l + x ) < ( l + x)

.

luego

x e

0 < 2 x ( l + x)

-1

<0,1 > entonces:

a

x

<1

O

y < 0 cuando

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x e

<0,1 >


28 39

Hallar la inversa de la función y, sí: y = 2x + 3

b)

y -

c) y = yj1 - a 3

d)

y = log(~)

a)

e)

a2 - 1

y = arctag(3x)

¿En qué campo estarán definidas estás funciones inversas? Desarrollo a)

Como y = 2x + 3, esta función está definida en -<*> < x < +00, despejamos x es decir: 1 jc = —( y - 3 ) ,

1 < x < °° como x = —(y —3) =>

2 =>

-OO < y — 3 < + 0 0

Entonces: b)

=>

t

-oo < y < + 0 0

A = - ^ ( y - 3 ) , - o o
y = x 2 - 1 está definida en -=» < x < +°° a 2 = y +1 => O < - J y +1 ^ para

a

luego

c)

- ( y - 3 ) < +00

2

00

a

= ±y]y + 1

de donde

= -y/y+T se tiene a

para

a

= -^ y + 1 se tiene:

< x < +°° < —yjy + l 5 O de donde:

.1 < y

< +00

= -y/y + 1 y x - -Jy + l para -1 < y < +<*>

y = v /l-A 3 , en forma análoga al caso anterior:

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a

= ^/T- y3 , -® o < y < +00


d)

29

x x y = log(—) está definida para x > O como y = log(—) =>

x = 2.10' como x > 0 => 2.10v > 0 => 10v >0

-oo < y < +00 entonces: x - 2 . 10' para r°° < y < e)

+00

y = arctg 3x, en forma análoga a los casos anteriores.

.

•

n

1

y = arctg3x => x = -ta g y ; para - —

n

y < --

{ x si x < 0 x~ si jc>0 Desarrollo Sí x < 0

=> y = x

Si x > 0

=* y = x 2 => x = yfy para í y

=> x = y para

si -

00

0

< y <0

Luego x = [ ,/y si 0 < y < 41

Escribir las funciones que se dan a continuación en forma de cadena de igualdades, de modo que cada una de los eslabones contenga una función elemental simple (potencial, exponencial, trigonométrica, etc.). a)

y = ( 2 x - 5 ) 10 Desarrollo Como y = (2a - 5)10 => y = u 10 d o n d e u = 2 x - 5

b)

y = 2COSJr Desarrollo

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30


Como y = 2cos' => y = 2 ", donde u = eos x c)

>’ = log(/a,g^) Desarrollo X

Como y = log(tog —) => y = log (u) donde u = tg(v) y v =

d)

X

y = arcsen(3~x ) Desarrollo

Como y = arcsen(3~x ) 42

=> y = arcsen u de donde u = 3 ’ y v = - x 2

Escribir en forma de una igualdad las siguientes funciones compuestas, dadas mediante una cadena de igualdades. a)

y = u 2 ; u = sen x Desarrollo Como u = sen x, y = u 2 => y = sen2x

b)

y = arctg u, u = \ [ v , v = log x D esarrollo Como u - y f v

=>

y - arcig \fv donde v = log x

Entonces y = arctg(sjíogx)

c)

Í2 h si « < 0 y =< [ 0 si u > 0

, u = x “ —1 Desarrollo

Para u < 0 = >

x2- l < 0

=> x 2 < l

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-1 < x < 1 => | x | < 1


31

para u > O => x 2 > 1 => | x | > 1

luego como u = x 2 - 1

se tiene:

2(x2- l ) si | jc | < 1

y =

O 43

si | x | > 1

Escribir en forma explícitas las funciones y, dadas por las ecuaciones: a)

x 2 - árceos y = n

c)

x + | y | = 2y

b)

10* + 10y = 10

Hallar los campos de definición de las funciones implícitas dadas Desarrollo a)

x 1 - árceos y = n

=> árceos y = x 1 - k

y = cos(x2 - k ) = e o s x 2. cosn + senx2.sentí < \ x \ < y Í 2ñ

y = - c o s x 2 para b)

1.2.

1 0 ' + 10y = 10

=>

10y = 1 0 - 1 0 JC =>

y = lo g (1 0 -1 0 JÍ) ,

-o o < x < l

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES.-________________________ _____________ La construcción de las gráficas se hace mediante una tabulación y enseguida uniendo dichos puntos. Si partimos de la gráfica y = f(x) con ayuda de construcciones geométricas elementales obtendremos las gráficas de las funciones: 1

y] = - f ( x ) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.

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32 2

y 2 = / ( - * ) . que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.

3

y i = f ( x - a ) , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OX en la magnitud a.

4

y 4 = / ( * ) + b , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OY en la magnitud b.

Haremos una representación de todo esto.

Construir las gráficas de las funciones lineales (L. Recta) 44

y = kx sí

k

=0,l, 2 ,-, 2 Desarrollo

Como y = kx Para k = 0 =s y = 0 k= 1

X

II

k = 2 =>

y=x

X

2

V~ 2

k = -1

y = -x

k = -2 => y = -2x

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Introducción a l Análisis 45

33

y = x + b, sí b = O, 1, 2, -1, -2 Desarrollo Para

b = 0 => y = x b = 1 => y = x + 1 b = 2 => y = x + 2 b = -l => y = x - 1 b = -2 => y = x - 2

46

y = 1.5x + 2 Desarrollo

X

y

0

2

1

3.5

2

5

Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2do grado (parábola).

47

y = a x 2 , sí a = 1, 2, —, —1,—2,0

2

Desarrollo Para a = 1 => y = x 2

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34

48

X

y

0

0

± 1

i

±2

4

y = x2 +c

sí c = 0 ,l,2 ,-l Desarrollo

49

v = (Jr —-x0) 2 , sí *0

I- 2.-1 Desarrollo

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50

35

y = y 0 + ( * - l ) 2 , si y 0 = 0 , 1, 2,-1 Desarrollo

51

y = a x 2 + bx + c sí:

1 2

a= 1

b = -2

c=3

a = -2

b=6

c=0

Desarrollo 1

Para

a = 1,

b = -2,

c = 3

se tiene

y = x 2 - 2 x + 3 de donde

y = U - l ) 2 +2

2

Para a = -2, b = 6, c = 0 se tiene y = - 2 x 2 + 6x y = - 2 ( x 2 - 3 j c + —) + — => 4 2

y =- 2 ( x - - f + 2 2

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36

52


y = 2 + x - x 2 . Hallar los puntos de intersección de ésta parábola con el eje OX. Desarrollo Para encontrar los puntos de intersección con el eje X debe ocurrir y = 0 es decir 2 + x - x 2 = 0 de donde x 2 = - x - 2 - 0 los puntos de intersección con el eje X es:

=> (x - 2)(x + 1) = 0 luego

x = -1, 2

CONSTRUIR LAS G RÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES ENTERAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO 53

y = x 3 (parábola cúbica) Desarrollo

X

y

0

0

1

i

-1

-i

2

8

-1

-8

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54

37

y = 2+ U -l)3 Desarrollo

55

X

y

0

i

1

2

-1

-6

y = xi -3 x + 2

56

X

y

0

2

1

0

2

4

-1

4

-2

0

-3

-15

3

20

X T

Desarrollo

y=x Desarrollo

X

y

0

0

± 1

i

±2

16

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38

57

y = 2x2 - x 4 Desarrollo y - 2 x 2 - j r 4 => y = - ( x 4 - 2 x 2 +1) + 1 => y = 1 - (* 2 - 1)2

HOM OGRAFICAS SIGUIENTES (Hipérbolas) 58

1 3 '= “ x Desarrollo

59

y=

X

y

-1

-i

1

i

l-x Desarrollo X 0

y i

1

2

2

3

-1

1 2

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60

y =

jc- 2

x+ 2 Desarrollo

>’ =

x -2

=>

x+2

, 4 y = l-

x +2

m

61

X -X q

Desarrollo

62

2x-3 3jc -+- 2

2x-3 3x + 2

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40

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS. 63

1 y = jch— x Desarrollo y = x + —, su dominio es R - (0) y una asíntota vertical es en x = 0 no tiene x asíntota horizontal.

X

i

-1

y

2

-2

64

-3

3

1

1

2

2

5

5

10

10

2

2

3

3

x+l Desarrollo

y = x - l + —— , una asíntota vertical es en x = -1, no tiene x+l

y=x +\

asíntota horizontal.

X

1

0

1

2

0

1

1

9

2

2

2

3

2 y

1 2

65

-2

2

3 2

-4

9 2

y=Desarrollo

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Introducción al Análisis En x = O, se tiene asíntota vertical, en y = 0, se tiene asíntota horizontal.

66

X

± i

y

i

i +— 2 4

±2

+ 3

1

1

4

9

y=-

Desarrollo En

x = 0

se tiene una asíntota vertical, en

horizontal.

10

67

^

± 1 ± 1

±2

±1 8

±3

H-

y

+1 2 ±8

iá h

X

(curva de Agnesi)

x2 +l Desarrollo

68

X

0

± i

±2

y

10

5

2

y =— (Serpentina de Newton) x +1

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y = 0,

se1tiene una así

Eduardo Espinozu Ramos

42 Desarrollo 0

± i

y

0

± i

±2

±3

-H

X

5

69

1 y = x + ~r

x

Desarrollo En x = 0 se tiene asíntota vertical

70

X

i

-1

2

-2

y

2

0

9

7

9

2

2

2

+1 2

2 1 y —x H— (Tridente de Newton) x Desarrollo

En x = 0 se tiene asíntota vertical X

i

-i

2

-2

3

-3

y

2

0

9

7

28

2

2

3

±12

1

1

1

2

3

2

26

9

7

28

28

3

4

4

9

3

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Introducción a l Análisis CONSTRUIR LAS GRAFICAS IRRACIONALES SIGUIENTES: 71

y = y[x Desarrollo y = 4x

72

está determinado para x > 0

X

0

i

4

9

',6

y .

0

i

2

3

4

y = lfx Desarrollo

73

X

0

± i

±8

±27

y

0

± i

±2

±3

y =t[7

(parábola de Neil) Desarrollo

74

X

0

± i

±8

y

0

i

2

y,= ±xy[x (parábola semi-cúbica) Desarrollo

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DE

LAS

FUNCIO


44

75

X

0

1

y

0

± 1

y¡9 ±2

±3

y = ± —V 2 5 - * 2 (elipse) Desarrollo

76

j = ±-Jx2 - l

(hipérbola) Desarrollo

±2

y

0

/= 1

±3 1+

± 1

+1

77

X

a-2 -

$n

’ = ± \lx 2 - 1

y =

Desarrollo

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78

y =± x

14 —x

(Cisoide de Diócles)

Desarrollo X

y 79

0 0

i

■N|

2

3

±2

y = ±xsl 25 - x 2 (para el estudiante) CONSTRUIR LAS GRAFICAS DF. LAS SIGUIENTES FUNCIO TRIGONOM ÉTRICAS

80

y = sen x Desarrollo

81

y = eos x Desarrollo

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46 82

83

y = ctg x Desarrollo

±n

0

X

+— 2

2 oo

y

84

oo

0

0

y = sec x

X 0

y

i

+£ 2 oo

± n

± 2rc

-1

1

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y = esc x Desarrollo

86

y = A s e n x , sí ¿4 = 1, 10, —, - 2 2 Desarrollo Si A = 1 => y = sen x, su gráfico es: 0

y

0

+ 2 ± 1

± Jt 0

-H

X

± 1

± 2 ji 0

Si A = 10 => y = 1 0 sen x, su gráfica es:

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48 X

y

87

0 0

± 7t 0

n

+— 2 ± 1

3Jt

±— 2 ± 1

y = sen (nx), sí n = 1, 2, 3, ^ Desarrollo Si n = 1 => y = sen x es similar al ejercicio 86, Si n = 2 => y = sen 2x su gráfica es: X

0

fe; 1 +i

y

0

± 1

+— 2 0

± 71 2

± 1

0

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En forma similar para n = 3, —

88

y = sen(x-
4

Desarrollo y = sen (x - y = sen x. eos tp - eos x. c para
n , y = - c< Para cp = —

X

Su gráfica es:

1

0

± te 2

y

-i

Y

0

/ / /

± 1

i i 1 ~n

\

K

VI

rt / 2(

i i

_J

\

\

1

K

3n n —n - — 2 4 y = 5 sen (2x - 3) Desarrollo Sea x ' = x ~ — =>

N) | U>

89

y' = 5 se n2x ' donde el origen del nuevo sistema es (

Y el gráfico se hace en forma similar al ejercicio 87.

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50 90

y = a sen x + b eos x, sí a = 6, b = -8 Desarrollo Para a = 6, b = -8, se tiene y = 6 sen x - 8 eos c. Su gráfico es: 0

±

± 2

y

91

-8

8

± 6

K

±2n

+i

X

-6

-8

y = sen x + eos x Desarrollo X

0

n 4

y

i

7t

4

2

1

y¡2

3/r

0

57T

i 3;r

In

2

4

2

-1

-V 2

-1

Y

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0

2rc

9n

n 4

4

1

V5

0


92

y = eos" x Desarrollo

X

0

± 71 2

i

y

93

0

1

y = x + sen x Desarrollo

X

0

y

0

71

7T

~2

~2 7t

n , —+1

2

94

-7t

7T

-71

-* -1

2

y = x sen x

y

0

±71

2

95

±£ 2

0

+— 2 l

0

.. 1e*i

X

1 1s=í

D esarrollo

± 2ti

371 T

0

y = t g 2x Desarrollo

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52 X

0

K

0

96

5n

+— 2

±—

1

+

1

4

y

n

+_

°°

±

n

4 0

y = 1 - 2 eos x Desarrollo

X

y

0

-i i 2

±n

+1 4

97

3 -0.41

y = sen x — sen 3 x 3 Desarrollo

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-0.717

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54

99

y = cos(—) x Desarrollo X y

i

i

3

3

-i

1

1 -1

-1 -1

1

1

4

4

1

1

4

4

Desarrollo y = ±yjsen x , sen x > 0 => x e [0,nj U [2tc,33x] .... [-27t,-7i]

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Introducción a l Análisis CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC EXPONENCIALES Y LOGARÍTM ICAS 101

y = a x sí a - 2 ,

e Desarrollo

Sí a = 2 => X

y =2 ' v 1

0 1 -1

2

2 -2

4 1

1

3

4 1

2

y

= Desarrollo

102

X

y

0 1

i 1

-1

2 2

2

1

-2

4 4 sí a = Desarrollo

0 =>

y =

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56 X

y

1

0

10

i

1

-i

10

103

y = sen hx, donde senhx = —(ex - e x ) 2 Desarrollo X

y

0

0

1

e-e1 2 7

-1

1 2

104

y = c o sh x ; donde co sh x = —(ex +e x ) 2

Desarrollo X

y

0

i

1

e - e -1

2 -1

e + e~x 2

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105

senhx

,

y = tg hx, donde tghx - —-----coshx Desarrollo

106

i y = 10x Desarrollo

y

X 1

10

-1

i 10 100

1 2 1

1

2

100

2

107

y =e

(curva de probabilidades) Desarrollo

01y ii ±2 1 4 X

±

e

e

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58

108

y = 2 *' D esarrollo —T 1 y = 2 x = —— =>

1

y = —— , cuando x —» 0 , y —» 0 2/

2? X

y

0 0

± i i

2

109

±2 i

±3 i

*2

y ¡2

±4 i ]y ¡ 2

y = lo g x 2 D esarrollo x2 >0

=)

X E

<-oo,0> U <0,+oo>

X

± i

+2

±3

±4

y

0

Log 4

Log 9

Log 16

+1 2

+1 3

+i 4

- log 4

- log 9

- log 16

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110

y = log2 * D esarrollo y = (lo g * )2 está definida para x > 0

111

X

i

2

y

0

(log 2 ) 2

3

1 2

3

(log 3)2

(log 2 ) 2

(log 3)2

1

.

y = log (log x) D esarrollo y = log (log x) está definido para log x > 0 => x > 1

log* D esarrollo v = —-— está definida para x > 0, x

log*

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1


60 x

y

113

0.2 -0.625

1

0.5 -3.325

-O O

2 3.32

3 2.09

4 1.66

y —lo g (-) * D esarrollo

y - log(—) está definido sí — > 0 => x > 0 x x

114

X

i

2

y

0

-0.3

3 -0.47

4 5 0.5 -0.60 -0.69 0.3

y = log (-x) D esarrollo y = log (-x) está definido sí -x > 0 => x < 0

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0.4 0.9

Introducción a l Análisis X

1

y

-0.3

0

-1

-2

-3

-oo

0

0.3

0.48

2

115

y = log2(l + x) Desarrollo log2(l + ;t) = log2 10. log10(1 + x) -i

y

-oo

0 0

1 0.9

2

3

4

1.5

1.9

2.3

5 2.5

x í

X

116

y = log (eos x) Desarrollo

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62

y = log (eos x) está definido sí eos x > 0. entonces . 2 n+ l rr 2 n + l „ x e < 2n n , n > U < — — n , 2n n > n n

w,

2>n 5n

r,

x e < — , — > U < — , — >U...

2 2

11)

2

2

y —2 * sen x Desarrollo X

0

y

0

K

7t

2

0 .3 3

0

+ 37r 2 -0 .0 3 8

2n

n

-Ti

-2 ,9 7

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-2 n

2

2 0

37T

0

0 .0 3 8

0

Introducción al Análisis CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC TRIGONOM ETRICAS INVERSAS 118

y = arcsen x Desarrollo El dominio de y = arcsen x es [-1,1]

El rango de y = arcsen x es [—

Z K, ]

x

1

2 2

y

119

-i

0 n 2

2 n 4

0

ñ .2 n 4

7T 2

y = árceos x Desarrollo El dominio de y = árceos x es [-1,1] El rango de y = árceos x es [o,7t] X -1 0

V Jt n

1

2 0

En forma análoga para las demás funciones el cual damos su gráfico. 120

y = arctg x Desarrollo

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64

1 2 1

Eduardo Espinoza Ram os

y = arctg x

X 0

y

n 2

CX>

0

OO

K

1

n 4

122

y = arcsen — x D esarrollo

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1

123

y - arcsen-

sen y ■

-1 < sen y < 1

- 1 < —< 1

x

=> x e

U [l,+°°>

y = árceos— * Desarrollo 1

y = árceos-

124

eos v = — como -1 < eos y < 1 *

y = x + arctg x Desarrollo

X

y

0 0

X —» +oo

X —> -oo

y —» +oo

X —> + 0 0

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66

CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES 125

y= |x| Desarrollo

Se conoce que:

126

X

y

0

0

± 1

i

+ 2

2

±3

3

. . í x , x >0 | x |= 0

=> | x | = x, Luego y = -^(jc+ |jc|) = ^(jc + x) = jí

Six<0=»

=> y = x

| x | = -x, Luego y = -^(jc+ | x |) = ^ ( x - x ) = 0 => y = 0

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a)

y=x |x| Desarrollo Si x > 0 =* | x | = x, pero y = .v |x |= x ( x ) = x 2 => y = x 2 para x > 0 y =x \x \-x (-x ) =- x 2

b)

=> y = - x 2 p a r a x < 0

y = lo g ^ | x | Desarrollo y y = l o g ^ | * | <=> x = (y¡2 )y => | x |= 2 2 y para x > 0 = » | x | = x =¡> x - 2 1 y_

x < 0 => | x | = -x => - x - 2 2 X

±

:....

í 1

fv

0

± 2

2

±3

0 ln3 ln 2 -2

+ 1 2 ± 1

1

-4

4 128

a)

y = sen x + | sen x | D esarrollo Se conoce que y = sen x tiene por gráfico:

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\

o


68

Si x e [0,7t] => | sen x | = sen x Como y = sen x + | sen x | = 2 sen x para x e [0,7t] Sí x € [7t,27t] => | sen x | = - sen x => y = O Generalizando para n 6 Z consideramos el intervalo [n7t,(n +l)rt] Si n es par | sen x | = sen x Si n es impar | sen x | = - sen x

{

2senx para n par cuando r e [nn,(n + l)7r] 0

b)

para n impar- cuando x e < n n ,(n + 1)7T]

y = sen x - 1sen x | en forma similar el ejemplo (a).

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7>-x2 para ¡ x | < l 129

y =

2

para | x | > l

M D esarrollo Si | x | < 1 => -1 < x < 1 | X | > 1 => x > l v x < - l además x > l => I x | = x a

3 -x Luego y =

2 x

2

130

a)

x

< - 1

=> | x I = -x

para - 1 < j c < 1 para

x>1

para jc < —1

y = [x],

b)

y = x - [x]

donde [x] es la parte entera del número x, es decir, el mayor numero ei menor o igual a x. D esarrollo a)

y = [x] = [n] =» n < x < n + 1, n e Z

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70 Sí 0 < x < 1 => 1
=>

y= 1

2
=>

y=2

-1 < x < 0

b)

y=0

y = -l

-2 < x < -1

=>

y = -2

-3 < x < -2

=>

y = -3

y = x - [x], [x] = n => n < x < n + l , n e Z Sí 0 < x < 1 => y = x l
=> y = x - l

-3

y=x+3

-4

y=x+4

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EN EL SISTEM A DE COORDENADAS POLARES (r, q>) (r > 0) 131

r = 1 (circunferencia) Desarrollo Se conoce que x = r eos 0 , y = r sen 0

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r = yjx2 + y 2 ,

6 - arctg — x

como

r = 1 y

r - ^ x2+ y2 ,

luego:

-Jx2

(circunferencia)

132

r=^

(espiral de Arquímedes) D esarrollo Y

9 0 1

R 0 1

n

2 n

2 -n

4

n

K

Tí 2 2

133

r - e 9 (espiral logarítmica) Desarrollo

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72

134

n r = — (espiral hiperbólica)

4

r

135

±

+ ÍL 6 6

H-

•M íi

Desarrollo

+— i

±4

±2

±n ± 1

r = 2 eos (p (circunferencia) Desarrollo Se sabe que:

x 2 + y 2 = r 2 , x = r eos (p, e o s(p = — r

2x 2 Como r = 2 eos (p => r = — , de donde r - 2 x r

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x 2 + y 2 = 2x


Luego x (a :

136

- 1)2 +

-2x+ y v

=0

=> (x~ - 2x + 1) + y = 1

2 = 1 circunferencia de C(1,0) y radio 1

r=sencp Desarrollo sencp = — r

Se conoce que y = r sen cp =>

n 1 Como r = ------sencp

1 r => r = — =$ r = — y y

Como r * 0 => y = 1 137

i cp r - sec — (parabola) Desarrollo 2 <¡P 1 sec — = —— 2 eos 2
V de A A A

i cp 1 1 r como r - sec — => r = ---------- = —- de donde r = — 2 cos2 ^ * 2

r2

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x2 - r

74


para r *

0

A

luego:

, además r = yjx2 + y 2 => x 1 + y 2 = r 2 O

- jc = y . Sea: x, = x

A

=$ x¡ = x

O

además y

O

= y¡

Entonces: x 2 - a-, = y,

i

Completando cuadrados se tiene:

(*i -

138

:~)2

1

1

- x í +—= y i +—

= ( » + ^-) parábola de vértice V ( - i. - ~ ) y se abre hacia arriba

r = 10 sen 3cp (rosa de tres pétalos)

r

0

0

o 15° 7.05

195°

2 1 0

-7.05

-10

30°

45°

60° 75°

10

7.05

0

° 225° -2.60

-7

-10

O L/to

0

O O oo

9 r

9

SO Oo

D esarrollo

-2.60

12 0

°

0

240°

255°

270° 285° 300°

0

7.05

10

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7.05

0

135°

150°

165°

7.05

10

7.05

330°

345°

360°

-10

-2.60

0


r = a(l + eos

9

) (a > 0) (Cardioide) D esarrollo

0

o

15°

R

2

a

1.97a

O O m

9

45°

60°

75°

1.87a

1.71a

1.5a

1.26a

9

90°

105°

r

a

0.74a 0.5a

0.29a

0

195°

210°

225°

240°

0.3a

0

CX O 0

139

9 r

0

9

285°

300°

r

1.26a 1.5a

12 0

°

.1 a 315°

135°

150°

165°

.1 a

0.03a

0.29a 0.5a 330°

1.71a 1.87a

255°

270°

0.74a a

345°

360°

1.97a

2

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a

76


r 2 = a 2 eos 2(p ( a > 0 ) (Lemniscata)

140

r

a

a y¡3

a

42

42

45° 0

a

75° a

O Cn

15°

o

0o

O O sO

O o m

a

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O L /lo

D esarrollo

a

120°

135°

150°

165°

a

a

a

a

Introducción al Análisis CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO DADAS EN FORMA PARAM ÉTRICA 141

x = t 3, y = t 2 (parábola Neil) Desarrollo

142

t

X

y

0

0

0 i

1

1

-1

-1

2

8

-2

-8

x=10cost,

i

4 4

y = sen t (elipse) Desarrollo

x=

1 0

2 X c o s t => eos t = ----100

y = sen t

=>

s e n 2t = y 2

eos2 1 + sen21 - ^ — + y 2 100

de donde

+ y2 100

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'

= 1

(elipse)


78

143

x - lO cos 3 Z, y = 10senY (astroide) D esarrollo

eos 2 / =

(—

10

)3

2

sen2t =

2

sen2/ + eos2 1 =

(—

)3

10 2 1

144

=

(—

)3

)3

10

)3

2

+ (—

de donde

)3

10

2

+ (—

(—

2

=>

2

x 3 + y3 =

x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t -

1

eos t) (desarrollo del circulo)

D esarrollo

x = íj(cosf + tsent) y = a(sent - t eos t)

i _ + i _ = l +t2 a a

=>

x" a2

eos2 1 + 2 r eos/ sent + í 2 sen21

y2 jf

sen2t —2t co sí sent + t 2 eos 2 1

x 2 + y 2 = o 2(l + r 2 )

íx = a(cos r + íiení) envolvente (desarrollo de la circunferencia ( [ y = a(sent —t eos í)

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at

14 5

+ r3 ’

1

D esarrollo at

1

Ü 73

y=-

a t2

1

a

t

x

+r

at

at

«A

iT ? 1

14 6

jc :

sl\ + t 2

a at Luego: — = — x y

=>

t

\7 ?

Como: jc =

+ r1

+

y= Desarrollo

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ax2y *(.c 3 +;y3)

Eduardo Espinoz.a Ramos

80 at

x=

y =

VTTT3' t

0

±1

X

a

a

0

x =

2

+ a

' +

',

2

Vio

s

+ 3a Vio

+ 2a

V5 . 147

a

a

&

y

± 3

± 2

s/5

y - 2 ' - 2 '

(ra m a d e u n a h ip é rb o la )

Desarrollo

t

0

X

2

1

5

-1

2

5

2

y

148

0

- 2

17

17

4

4

3

3

15

15

2

2

4

4

x = 2 eos 2 t ; y = 2se n 21 (segmento de recta) Desarrollo

|* =

2

x i — = eos t 2

cos t

y = s e n2t —

[y = 2 sen^t

1 2

x y 9 9 —+ — = sen~t+ cos t

2

2

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=>

jc

y

2

2

—+ — =

1

=>

x+y=

2


149

2

y -t

x=/- r ,

2

-t

3

D esarrollo

150

t

0

1

-1

2

-2

3

-3

X

0

0

-2

-2

-6

-6

-1 2

y

0

0

2

-4

12

-18

27

x = a ( 2 co sí - co s“ 2 r ) , y = a ( 2 sen t - sen 2 t) D esarrollo

t

0

X

a

y

0

n 4 a\J2 a \!2

- ..... ♦ K 2 a 2

a

C O N ST R U IR LA G R A FIC A DE LAS FU N C IO N ES DADAS EN FO IM P L ÍC IT A 151

x 2 + y 2 = 2 5 (circunferencia) Desarrollo

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82

152

xy = 12 (hipérbola) D esarrollo X

±

153

y 1

± 12

± 2

± 6

±3 ±4

+4 ±3

± 6

± 2

0

OO

y 2 = 2x (parábola) D esarrollo X

>

0

0

1

2 2 9 2 8

154

± i

±2 ±3 ±4

—— h — = 1 (elipse) 100 64 Desarrollo

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155

y 2 = jc2 (100 —jc2 ) D esarrollo Sea w = y 2 , z = x 2 y 2 = IOOjc2 - x 4

iv = 1 0 0 z - z 2 => w = - ( z 2 -1 0 0 z )

completando cuadrado se tiene: vv - 2500 = —(z + 25) 2

2

156

2

2

jr 3 + y 3 = a 3 (astroide)

•a

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V(-25,250(


84 157

x + y = 10 log y Desarrollo Para y > 0, log y está definida: x=

10

x

-i

log y - y, aquí damos valores arbitrarios para y donde y > 0 .

10

-

10 1

i

y

og2 - i

log

2

-

2

2

1 2

158

x 2 = cos y Desarrollo

x 2 = eos y

[~Z

159

yjx + y

y

=> y = árceos x 2

a r c tg -

-e

x (espiral logarítmico) Desarrollo

x - rc o s d

(— ) 2

= eos 2 0

(— ) 2

= sen20

y = rsenO r

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tgd = — => 9 = arctg — x x f l

Como \¡x + y

T

—e

arctg-

x

r = e 0 en coordenadas polares 160

jc 3

+

y 3 - 3xy

=

0 (folio de Descartes) D esarrollo

Pasando a coordenadas polares se tiene:

x = r eos 0 , y = r sen 0

r 3 eos 3 9 + r 3s e n 39 - 3 r 2sen9 eo s9 = 0

r 3 eo s 3 9 + r 3 se n 29 = 3 r2s e n 9 c o s9

r=

161

3sen9 eos 9 í---------eos 9 + sen 9

Hallar la formula de transición de al escala de celsio (C) a la de Fahrenheii si se conoce que 0°C corresponde a 32°F y 100°C a 212°F- Construir la gr de la función obtenida. D esarrollo Para 0°C => 32°F 100°C => 212°F => (0,32), (100,212) Sea F = me + k

=>

32 = m(0) + k => k = 32

212 = lOOm + 32 => lOOm = 212 - 32 =* lOOm = 180 =» m = 1 . 8

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Eduardo Espinoza Ramos f = 1 .8 c+ 32

En un triángulo, cuya base es b = 10 y su altura h =

6

, esta inscrito un

rectángulo. Expresar la superficie de dicho rectángulo y como función de x. Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo.

D esarrollo La figura dada en el problema ubicaremos de la forma siguiente: Area del rectángulo Y es:

Y = Bx

También en el área del rectángulo “y” se puede expresar:

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... (1)


y=

bh

1

2

2

(xh - 2Bx + Bb) como b = 10, h =

6

se tiene:

y = 3 0 - - ( 6 x - 2 f í x + 10fi)

...(

de (1) se tiene B - —, reemplazando (2) se tiene: x

y - 3 0 - —( 6 x - 2 y + - í ^ - ) , de donde y = 0.6(10 - x) 2 x como y = 0.6x(10 - x) =>

y = -0 .6 x

+ 6x

La gráfica de la función es:

El valor máximo es cuando x = 5, max y = 13 164

Resolver la ecuación:

2a2 -5 x + 2 = 0 D esarrollo

2x 2 - 5x +

2

=

0

x 2 ——jc+ 2

1

=

0

completando cuadrados se tiene:

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=»

y - 1 3 = - 0 .6 ( x - 5 ) '


88 165

Resolver el sistema de ecuación:

xy = 10, x + y = 7

D esarrollo Como x + y = 7 => y = 7 - x, además:

xy = 10 => x ( 7 - x ) = 1 0

7 x - x 2 - 1 0 = 0 => x 2 - 7 x + 10 = 0

(x - 2)(x - 5) = 0,

de donde se tiene:

x, = 2 , x 2 = 5

1.3.

LIMITES.-

Io

L IM IT E S D E UNA SU C ESIÓ N .-

E1 número “a” recibe el nombre de limite de la sucesión x j , x 2 ,...,x n ,..., es decir:

• 2o

lim x„ = a n— >°o

o

V s >0, 3 N > 0 / | x „ - a | < e V n > N

L IM IT E DE UNA FU N C IÓ N .lim / ( x ) = A <=> V e > 0, 3 8 > 0

tal que: |f(x) - A| < e para 0 < |x - a| <

8

x ->a

3o

L IM IT E S L A T E R A L E S.Si x < a y x —» a, escribiremos convencionalmente x —> a - 0, de la misma manera si /(a -

0

x > a

y

x —> a, escribiremos x

=> a +

0

y a los números

) = lim / (x) y f ( a + 0 ) = lim / ( x ) se llaman limites laterales por X—>¿7— 0 X— >í7+0

la izquierda y por la derecha en el punto “a” respectivamente. Para que exista lim / ( x ) es necesario y suficiente que se cumple la igualdad f(a - 0 ) = f(a+ 0 )

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Introducción al Análisis P R O PIE D A D E S DE L IM IT E S Si existen los lim / , ( x ) x->a

y lim f 2 ( x ) . Entonces se tiene: x—

1

lim ( / , (x) ± f 2 (x )) = lim / , (x ) ± lim f 2 (x) x— x—>a x—*a

2

lim / , (x ) . / 2 (x) = lim / , (x). lim f 2 (x) x~>a x—

3

fíxl lim / | W lim — — = -------- donde lim (x)¿0 x^>a f 2(x) lim / 2 (x) '■ x -* a

N O T A : Los limites siguientes se usa continuamente. . i lim SenX = 1 y lim ( 1 + —)* = lim ( 1 + a ) a = e jt- > 0 X jt-*~ x o-»o

166

Demostrar que, si n -» °o, el limite de la sucesión 1, — 4 9

... es i

V

cero. ¿Para qué valores de n se cumple la desigualdad - - < e (siendc n~ número positivo arbitrario)?. Efectuar el cálculo numérico para: a)

e=

0.1

b)

e=

0.01

D esarrollo Probaremos que

lim - y = 2 , es decir:

dado un e > 0, E N = ? / | — - 0 | < £ V n > N n

| - T - 0 |= | J - | = - t < £ => n 2 > —, 77> J Í = A n2 n2 n2 £ Ve

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c)

e=

0.001


90

lim -^- = 0 n

4

3 N

<=> V e > 0 ,

|-V-0|<£ V n por lo tanto la desigualdad n~

167

< e se cumple V n > .!— V£

se tiene n > ,. — = V 10 => n > 4 VÍO V o.i

a)

Para e =

b)

Para e = 0.01 se tiene n >

c)

Para e =

0.1

0.001

se tiene n > J \

Demostrar que el limite de la n |xn -

í— = 10 (0 . 0 1

= VlOOO => n > 3 2 0.001

sucesión: x = — , ( n = l,2 ,...) , cuando n+1

es igual a 1. ¿Para qué valores de m > N se cumple la desigualdad 1 1

< e (siendo e un número positivo)?.

Hallar N para

a)

e = 0.1

b)

e = 0.01

c)

e = 0.001

D esarrollo lim x n = lim —— = n— n— H+ 1

1

es por demostrar.

Dado e > 0 , 3 N = ? / | j c „ - l | < £ , V n > N

U n - M = | ——r - 1 l = l ----- n r l := - ^ T < e

n+1

n+l / i +1

=*

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n+ l> -

£

=>

n > - - —1 = N

£


Luego:

lim ■n =1 <=> V e > 0 . 3i V = —- 1 »-»«> n + 1 e

V n

|— n+1

168

> — —1

e

a)

Para e = 0.1, N = - - 1 = 9 E

b)

Para e = 0.01, N = — - 1 = 99 £

c)

Para e = 0.001, N = - - 1 = 999 £

Demostrar que lim x 2 = 4 . ¿Gomo elegir para el número positivo dado i .t — » 2

número positivo

8

de modo que de la desigualdad |x —2 | <

6

se deduzc

desigualdad | x 2 - 4 1< £ . Calcular 5, para: a)

e=

b)

0.1

e=

c)

0.01

e=

0.001

D esarrollo limjr=4

<=> V e > 0 , 3 8 > 0 / | j t 2 - 4 | < e

x-* 2

Siempre que 0 < |x - 2| < \ x 2 - 4 |<|(.v + 2) (x -

2

8

) |= |x +

2 1

|x —2 1 < £

Sea |x - 2| < 1 ==> -1 < x -2 < 3 => l < x < 3 => 3 < x+2 < 5 => |x + 2| <

L u e g o :|x 2 - 4 | = | x

+

2||x-2|<5|x-2|<£'

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=>

| jc — 2

1< — = 5


92

Luego es suficiente tomar 8 = — (e < 1)

169

a)

£ 1 Para £ = 0.1 se tiene 8 = — = — = 0.2 5 5

b)

Para e = 0.01 se tiene 8 - — = 5 5

c)

p 0 001 Para £ = 0.001 se tiene 5 = —= — = 0.002 5 5

= 0.02

Dilucidar el sentido exacto de las notaciones convencionales: a)

l i m l n x = ~°°

b)

lim

2

' = +°°

c)

l i m / ( x ) = °°

Jt— >■»

D esarrollo i

Y /y

=

log x

/ lim lo g x

= -<

x- » 0

j.

0 170

X'

1

Hallar los limites de las sucesiones:

a)

i,

~ ,t - Í 2 3 4

c)

>/2 , V ^ , V

( - i r 1- - - n 2

V 2 V 2 ,...

b)

d) Desarrollo

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2 4

6

1 3 5

2;i 2« + l

0.2, 023, 0.233, 0.2333,


a)

( - 1)""1 Sea xn = -----------, entonceá:

1

Si n es par lim x n = lim — = 0

n

n

—>°°

n

—>=»

fl

Si n es impar lim xn = lim —= 0 n— >°° fi

Luego lim x„ = lim ( - l) /J—>00

b)

„ Sea x„ =

2n 2

c)

„ -i

1

=0

W_ >00

w+ l

2n .. litn — = lim n->~ 2 n + l

, entonces:

2 +

2 , —= ------- = 1 2 +0 n

i_ a, = V 2 = 2 2 j_ ji

1 ^

a 2, = J 2J 2 = 2 2 .2

4

/— p—^=— a 3 = V2 V 2 V 2 =

t1 i1 *1 . . *=

1

fl.n =

1

1

=

2 2+4

2 2 2 4 2

t

11 1 1 1 2 2+4+8

1

-+-T+-T+-+-21 2 2”

2 2

L.1 +-+—+...+—p) 1 1 1 . -( Luego an = 2 2 2 2 2

entonces

1

1 1 1 .. , . + —+ — + ... + —^ - es una progresión geométrica r =

’-é " es igual a:

... (1

------— = 1 _ I

2 (1

, --------) 2 "

...

2 Reemplazando (2) en (1) tenemos:

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1

an = 2 2

2

=2

2

(2


94

Como para hallar la suma de una sucesión es suficiente calcular el limite del término n-esimo cuando n —» es decir:

lim an = lim

n—

d)

0 2

—) r =

2 1 0

=

2

n—

0.2, 0.23, 0.233, 0.2333, 0.2333...3,

...

el término n-esimo es

X- =0.23333...3 x„ = 0.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ...0.000...3 „„ , 3 3 3 3 x —0 .2 + (------ 1--------- 1----------- K..H--------- -) 100

x —0 . 2 H 100

1000

10000

7 0.2

+ ----- . 100

= lim [0 .2 + — (1 — — )] = 30 10n

0.2

H A L L A R LO S L IM IT E S : 1 2 3 h -1 171--------- l i m(— + — + — + ...H--- —)

n

n

n

“ '

( 1 -t-------1— — + ...4-------r) 10 lo 2 1 0 "”'

i - í - 1-)" xn = 0.2 + -— - ( ...... .1 0 — ) = 100 j _ 1 10

lim

100"

n

Desarrollo

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10

(1 — i - ) 9

=

0.2

+— =— =— 30 30 30

+ — (1 —-----) 30 10"

Introducción a l Análisis 1 2 3 n- 1 l + 2 + 3 + ... + ( n - l ) l mi ( — + — + — + ... + ——) = lim ------------- — n n n n n~ i-i i „ « (« -!) , -n n 1-0 1 = lim 5— = l i m -0 = lim — — = ------= — tt-»oo ^ n-A°° 2.n~ /t— >oo 2 2 2 ,72

l i m ( ü ± ' X « + ' 2 X » + 3)

D esarrollo lim n->»

(n + l)(n + 2)(n + 3)

n+1 n + 2 n + 3 = lim (------ )(-------)(-------) n-»«. n n n

= lim ( 1 + -XI + -XI + - ) = (1 + 0 ) ( 1 + 0X1 + 0 ) = n n n _ 173

lim (

l + 3 + 5 + 7 + ... + ( 2 n - l ) n+1

2n + l ----- — ) 2

D esarrollo Se conoce que l + 3 + 5 + ... + ( 2 n - l ) = n 2 l + 3 + 5 + 7 + ... + (2n —1) 2n + l n2 2n + l lim (---------------------------------------------) = lim-(----------------- ) «-»«• n+1 2 n-»~ n + 1 2

' 2n 2 - 2n 2 - 3n —1 3n + l 3 + ñ 3+ 0 = lim — = - lim -------- = - lim ------ —= --------n->~ 2 (n + 1 ) n-»~ 2 n + 2 2 +— 2 + 0

174

lim-

n -(-l)” Desarrollo

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96

_1

Si n es par se tiene:

■• ------« + 1 = ,•lim ------n = -------= 1 +0 1, lim

_. Si n es impar se tiene:

i- i n- 1 n 1 - 0 lim ------- = lim ----- —= ------ = 1 n->“ n + 1 j 1 + 0

Luego:

2

175

lim «-*»

n—>°° tí —1

n—

^

1

1 —0

lim /l + ^ ^ = 1 n->~n _(_})"

',+i + 3 n+l 2

" +3 Desarrollo

2 n+I + 3 " + 1 2.2" +3.3" . . . . . . f lir a --------------- = lim -----------------, dividiendo entre 3 w->oo 2 ” + 3 " 2 ” + 3”

o+ i

176

' ,•lim (— A i- — 1 1 x + -1 + ... + — ) 2

4

8

2" Desarrollo

U sando la suma de una progresión geométrica: primer término y r la razón.

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S = —— 1 -r

, donde a es el


lini 4 + 4 + ^ + . . . + 4 r ) = lim ( 1 - ( i ) " ) = n—>°° 2 4 8 2 />->« 2

1 - 0

=

1

r, 1 1 ( - 1 )"-1 , 177-------- ,h• m [l —1 + --------+ ... + ------;—] 3 9 27 3

D esarrollo De acuerdo al ejercicio anterior 5 e tiene:

. ----i , 1----------' i K..H--------;— . . ( - i » - ' —--------------—-------------‘ - ‘- l ’” 3 - 3 (4 r 3 9 27 3 1 + i 4 3

1

i i lim [l — + 3 9

178

i 27

3 " -1

3 -3 (-V 3 -3 (0 ) _ 3 ] = lim -----------¿— = 4 4 ~ 4

I 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 lim -----n3 D esarrollo l 2 + 2 2 + 3 2 + ...+ n 2 = - ( / i + l)(2« + l)

I 2 + 2 2 + 3 2 + ... + /1 2 n(n + l)(2n + l) lim ------------------------ t— = lim -------------------«-*“ n *-*« 6 n 1 n +l 2n + [ 1 = lim - (------)(-------- ) = - lim ( 1 «-><*>6 n n 6 n-»~

179

lim (>/« +1 ~ sfñ )

n—>oo

Desarrollo

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1 + - ) ( 2

n

1

+-) = i(l + 0)(2 +0 ) = | n o 3


98

r

, f— 7

V

( a / « + 1 - > /« ) ( V w + 1 + \ f ñ )

lim(V« + l —>Jn) = lim ------------T==---- r ---------n->~ n— y]n + \ + \ / n rt + l - n 1 1 lim p = lim —= = — j= = — = O "-»“ >/n + l + v n yjn + \ + \jn °°

180

n->~ n

+ 1

D esarrollo

V n € Z + , -1 < sen (n!) < 1, como —^ — > 0 n~ + 1 n nsen(n!) n — -— < — -------- < n2 + 1 n2 + 1 n2 + 1

Entonces:

lim — n-»« n 2

0

n + 1

nsen(nl) n < lim — < lim n2 + 1 "- >~ n : + l

< lim n~+l

< o de donde Iim í í 2 í í 2 ñ-»~ n + 1

= 0

Para hallar limite de la razón de dos polinomios enteros respecto a x, cuando x -+ oo, se divide los dos términos de la razón por x " , donde n es la mayor potencia de estos polinomios. También en muchos casos se emplea este procedimiento cuando se trata de fracciones que contienen expresiones irracionales.

181

,. (x + l f lim Desarrollo

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( x + 1 )" x2 + 2 x + l lim — = hm dividimos entre x +1 »-»“ x + 1

2 ,• = lim n~i°°

182

x

x2

i + __ x2

1 +0 + 0 - — = 1 + 0

1

lOOOx lim — ----x -1 Desarrollo lOOOx lim — =

n —>oo

|

1000

. x lint ——— , dividiendo entre

n—>oo

_ j

i =

183

1000

lim — í — = »->«, 1 x2

1000

(—

)=

0

1 - 0

lim ^ i± i n-*~ 3x + 7 Desarrollo Dividiendo entre x 2 tenemos: 5 J_ x 2 - 5x +1 x + x2 1 -0 + 0 1 lim = lim — ---- = ----------------- = — , n-»~ 3x + 7 n~n*> 0+0 0 *

184

X2

2x 2 - x + 3 l i m —------------n~*°° x - 8 x + 5 Desarrollo Dividiendo entre x 1 se tiene:

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100

lim2£ l z í ± 3 = H m Í 4 n->°° x

n~¥o°

— 8jc + 5

^ ¿ =± ± ^ = 0=0

i ____r _ . _

2

185

1 -0 + 0

1

3

X

X

lim i * + 3) (^'v 2)' n->oo JC5 + 5 D esarrollo (2x + 3)3 (3 jc -2 ) 2 72jc5 - 2 0 4 x 4 -562.v3 -261jc2 -174jc + 9 lim ----------—— ---- = lim -------------------------- ----------------------------«-»“ a: + 5 jc + 5

üm «— >03

204 x

562 a- 2 j

261 x3 5

174 9 a4 V

72-0-0-0-0 +0 1 + 0

7

186

lim

2x2 - 3 x - 4

=====— yjx 4 + 1 D esarrollo

Dividiendo entre x 2 el num erador y denominador se tiene:

lim ^ f^ n_>“ v x 4

10_ 187

lim

+ 1

.4 = 1 i m - .7 ¿ n^°° j, + 1

=^

°

=

v1+

0

2

2x + 3 D esarrollo

Dividiendo el num erador y denominador entre x se tiene:

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_

? 2


2+

2x + 3 lim - = = lim n->°°x + yjx »-*»

1+ 3

-

*

2 + 0 „ = ------- = 2 1 1 + 0

'

* 2

188

lim 10 +

Xy/x

Desarrollo Dividiendo el numerador y denoi tinador entre x 2 se tiene: x2 lim =r = lim n- » ~ 1 0 + x \fx « - > “

1

1' lim

^

íl

10

*2 + IKO 189

1

= —= oo 0

£

+ 1

X+ 1

n->°°

Desarrollo Dividiendo el num erador y denominador entre x se tiene: 1

lim n-»“

190

^

2 + 1

X+ l

1

* + jc3 _ ^ Ó + 0 =

= lim ^ n->~ j + J

1 + 0

0 = 0 1

lim

tt—»oo

y x + \¡X+ \fx Desarrollo

Dividiendo entre Vx al denominador y num erador se tiene:

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102

Eduardo Espinoza Ramos Cuando P(x) y Q(x) son polinomios enteros y además P(a) * 0 o Q ( x ) * 0 , él limite cuando x —> a

de

P(x) P (x ) ------Q(x)

es

A . decir

P(x) lim lim------------x^>a Q(x)

se

encuentra

P(x) directamente. Cuando P(a) = Q(a) = 0, se simplifica la fracción ^ ^ por el binomio (x - a), una o varias veces.

191

lim

x3

x -> -\ x

+ 1

+ 1

D esarrollo x3 + l ( - 1)3 + 1 - 1 + 1 0 „ lim .....= ------ -— = ------- = - = 0 *-»-i*2 + l ( - 1 ) 2 + 1 1 + 1

192

lim *-*5

x 2 - 5 x + 10 ---------x -2 5 D esarrollo

hm x~*s

193

x 2 - 5 x + 10 5 2 -5 ( 5 ) + 1 0 0 + 10 10 ■ ....... = -------------------= ----------= — = °° x -2 5 (5) - 2 5 0 0

x2 - l lim x-»-i x 2 + 3 x + 2 D esarrollo

lim —

X2

-1

+ 3 jc + 2

194

,. (x -l)(x + l) ,. x —1 - 1 - 1 „ = l i m ------------------ = l i m ------- = ----------= - 2

*-*-i(x+l)(x+2)

x -> -\

x 2 —2 x lim *-»2 x - 4x + 4 Desarrollo

I

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x-2

-1 + 2


x - 2x lim — x -4 a + 4

*->2

a

195

lim *-»t

a (a -2 )

,

.

= l i m ------------------= lim * - * - 2 ( a - 2 ) ( a —2)

2

1

=—

* -> 2 a-2

O

^ — 3 jc + 2

x4 -

4a

+3 Desarrollo

196

a3 - 3 a + 2 lim-—----------- = l i m—

( a: + 2 ) ( jc —l ) 2

-»->1a

+2x + 3)(x-l)

lim -

- 4 a + 3

= li m— x- * \ x 2

x +2

3

1

6

2

= —= —

+2x+ 3

x 2 ~ ( a + l)x + a Desarrollo

lim

x~ ~{a + X)x + a x - a x - x +a j c ( j c — 1) — a ( j c — 1) -= l i m ------------- ^----- ------ = lim — — ------ --------

x->a

x

- a

x - ,a

x

- a

* -* «

x

- a

(x-a )(x-l) x-l a- 1 =l i m — = lim —------------ = — — *-*a ( x - a ) ( x + a x + a~) x + ax + a 3a

,9 7

A-»o

h Desarrollo

(x + h)3 - x 3 x 3 + 3 x 2h + 3xh2 + h 3 - x 3 l i m------------------= l i m-----------------------------------/i-»0

h

h-tO

h

3a h + 3xh +h~ 2 -.i .2x = hm— — = lim(3A +3xh + h ) = h~*0 h h-*0

198

lim(— *-* 1 - x

1

^ -r) —A ’ Desarrollo

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-7 2

3a"

104


x 2 —x + 1 - 3 x 2 + x —2 - ) = lim ----------= lim 1 — jc3 *-»« 1 -x 3 jc-»! 1 -x 3

1 lim(-—

3'

* - » i 'l - x

= lim < ^ ? X J - 1 V = - l i m ^ t ¿ ^ = - ¿ = - l * -» (l-x )(l + x + x ) *-»>l + x + x 3

199

lim -^*

1

•*-»! X — 1

Desarrollo Sea x = y 2

=> Vx = y , además cuando x —> 1 , y —> 1 , luego tenemos:

a/ x - 1 y —1 . y-1 . 1 lim ---------= lim —-— = lim = hmx—>1 x —1 y —>1 y1- -‘l y—>1 (y —IXy + l) y— »ly + l

200

lim ^ 8 J - » 64 y¡X - 4 Desarrollo Vx = y 2

Seax = y 6

Vx = y 2

a

Cuando x —> 64, y —> 2, luego tenemos: Um £ z í = 1¡m ¿ = » = _ | im Q - 2 X y ^ 2 y + 4 ) x —>64 %Jx —4

y-*2y~-4

y->2

( y - 2 ) ( y + 2)

y* + 2 y + 4 4 + 4 + 4 = lim — - ----- = =3 y—*2 y+2 .4

20 1

Vx-1 lim* -* iV * -i Desarrollo S e a x = y 1 2 =>

Vx = y 4

a

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1

2

Introducción a l Análisis cu an ao lim ^ jt— »i V

= ,im 4 ^ >'->•

x - l

y

= lim

-1

v ^ l ( V _ l ) ( y 2 + y + l)

= iim í z ± i K z l ± l > = <2 X2> = í y-*>

-»»•>

202

y2 + y + l

3

3

>•m u---------------f á - Z l f x -+ l lim *->i (a —1 ) D esarrollo

lim * -> '

Sea

V a 2 ’-

2

^ /I + 1 { V x -1)2 —— - -- lim —

( a — 1)

a = _v3

* -*

=>

^Jx- = y

( a — 1)

cuando x - + l , y

—> ! ,

s /? - 2Î +l ( 3 / I - 1 ) 2 ,, ( y - 1)2 lim ------------= lim ---------- — = lim -^ ------ x-> i

(a - 1 ) "

* -> '

( x - 1)

y - n ( y - l ) 2

lim —= lim 1 T =y - + ¡ ( y - l ) ( y + y + l)~ y-*t(y + y + 1) 9

203 X-*1

x 2 -4 g

D esarrollo

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luego tenemos:


106

204 *-** v x ~

2

Desarrollo Sea x = y 3 => ifx - y

l i m - ^ - = l i m (-V 2

205

lim ^ Jt- * 1 tfx

>-*2

2

cuando x -»

8

, y •-> 2, luego tenemos:

) ( r + 2 ^ i ) = l i m( y 2 + 2y + 4) = 4 + 4 + 4 = 12 y- 2 y- * 2

^ - 1

Desarrollo Sea jc= y 6 => 7 x = y 3

\fx = y 7

a

Cuando x -+ 1, y -+ 1. luego tenemos: 7 1 -1 y 3 -1 ( y - l ) ( y 2 + y + l) y2 + y + l 3 hm —f=— = lim d—— = hm = lim — =— x - ^ y x —1 ,v->i y - 1 y-*i ( y - l ) ( y + l) y->i y + 1 2

206

.. 3 —yj5 + X hm '- 4 1 - 7 5 3 ^ Desarrollo

hm

3 -\¡5 +x , (3 —7 5 + x)(3 + 7 s + x)(\ + 'J5 —x) 7 = = ----, , 7----- = h m

*-*>1-75-* = lim

'-*4 ( 1 - 7 5

+ x )(1 + 7 5 + x)(3+75 + x)

( 9 - 5 - x) ( 1 + 7 5 - x )

t¡_ ( 4 - * X l + 7 5 ^ )

(1 - 5 + jc)(3 + >J5 + x )

-v~*4

. 1

- = l i m ----------------- r —

(jc - 4 )(3+ v 5 + x )

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i:_ 1 + 7 5 ^ 1

= —l i m

r—

X~+A 3 + v 5 + a:


207

1¡

x

x -> 0

Desarrollo Vi + X —Vi —X (Vi + X —VT—X)(-Jl + X + -Jl —x) lim ---------------------= lim ----------------=====-----= = ---------- -

X

*-*0

x—*0

x(y]l + X+y¡l-x)

l+x-l+x 2 2 = lim - = = ---- = = = lim —¡ = -----===• = ------ = V l + x + v /l - X

208

*->0 V i + X + sil - X

1

1+ 1

lim J x + h - J l h->0 h Desarrollo yjx + h - y j x (yjx + h - y[x)(yjx + h + yfx) lim ----------------- = lim -------------= ---------h-*0 h o h(y¡X + h + y /x ) (x + h ) - x = lim = = = - = lim h~*° h(yjx + h + yfx) * - >0 VX + h + \[x

io n 209

y/x + 0 + \[x

yfx + h - s í x lim ■ h->o h Desarrollo yjx + h - y f x (y jx+ h - \ f x ) { y l ( x + h ) 2 + %lx(x + h) + yfx2 ) lim ------------------ = lim -------------- . = ---------h~*° h h~*° h ^ l ( x + h )2 + }jx(x + h )+ V ? )

= lim A->0

x + h —x 1 ,---------= = - = lim h(%j(x+h)2 + $jx(x + h) + V ? ) h^ ° \l(x + h )2 + l]x(x + h) + yj 1

yJ(x + 0)2 + ljx(x + 0) + yfx2

1

sfx 2 + V ? + yfx2

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1

3yfx2


108

210

Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 4 - 2 x - 6 l i m-----*-»3 x 2 - 4x + 3 Desarrollo Vx 2 - 2 x 4 - 6 - Vx 2 4 - 2x —6 (Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 + 2 x - 6)(Vx2 —2x + 6 + yjx2 + 2 x - 6 ) \Jx2 - 2 x + 6 + \[x2 + 2x - 6 ( x 2 - 2 x + 6) - ( x 2 + 2 x - 6 )

-4at + 12

Vx2 - 2 x 4 - 6 + \ l x 2 4-2.V-6

Vx2 - 2x4-6 4- yjx2 4- 2x - 6

Vx2 - 2 x 4 - 6 - Vx2 4 - 2 x - 6 =

, ~ ~4 ^ - 3) s/x2 - 2 x 4 - 5 4-s/x2 4- 2 x - 6

-v/x2 - 2 x 4 - 6 —Vx2 4 - 2 x-"ó lim —— *->3 X2 - 4 x 4 -3 .. nm A' ~*3

- 4 ( x —3) (x - 3)(x - 1)( Vx 2 - 2x 4- 6 4- Vx 2 + 2x -

6

)

-4

= lim

JC~>3 (x - 1)(Vx2 - 2 x 4 -6 4- V x 2 4- 2x —6)

-4 " ( 3 - 1 X V 9 - 6 4 - 6 4 -V 9 4 -6 -6 ) 211

2(34-3)

lim (-Jx + a - Vx)

* —>+oc.

Desarrollo . /-----r\ .. (V x T á - V x ) ( V x + a 4-Vx) lim (yjx + a - v x ) = lim ------------ . p ---------■Jx + a 4-Vx

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12

3


- lim

x+a~x _ a _ °_q yfx + a + yfx yjx + a + yfx °°

lim (ylx(x + a ) - j x ) X—>+°o

2 1 2

Desarrollo

lim

r - —

(yjx(x + a )- x )(y ¡x (x + a )+ x )

■

x(x + a) - x) = lim —

7 ----------------

^Jx(x + a ) + x x{x + a ) - x 2 = lim jr_>+~ yjx(x + a ) + x

ax a = lim — 'y.... ....... = lim x-J>+~‘y¡ x ( x + a ) + x *-»+~ I a

V 213

lim ( V ? - 5 a + 6 -

a ------2

a

a)

X —> + o o

Desarrollo r / / 2 7 T 7 ,• ( v a 2 - 5 a + 6 - x)(\Jx2 - 5 a + 6 + a ) - ■ ■ ■ -----------------lim (v a - 5a + 6, - a ) = lim .

'

'

X- M**

V a2 - 5a +

a

6+

a

2 - 5 a + 6 - a2

- 5 a+ 6

= lim - = = = = = ------= lim V a 2 —5 a + 6 + a

--------

6 A-

= lim

-1

,

214

lim

a (-\/ a

5 6 , í +7

-5 + 0

-

Vl -

2 +1 - a)

D esarrollo n —

lim a (V a x ._>4-oo

í

+ 1 - a)=

lim .t—>+■>=

( V a 2 + 1 - A X V ^ + 1 + A) + 1 + JC

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....

m +" v a 2 - 5 a + 6 + a

0

+0 +1

5 2


110

x(x2 + 1 - x2 )

= hm —

■

yjx2 + l + x ,

.

1

11IT1

*-*+-

1

215

* - * W x 2 + l+ -r

= —¡ =

■■■■--------

l

X

......... = lim

1 , + —T + 1

1

1 ------= —

Vl + o + l

2

lim ( x + >J 1— jc3 )

X—*+oo

D esarrollo i/;

( x + y j l - x 2 ) ( a : 2 - x y j l - x 2, + ^ / ( l - . v 3 ) 2 )

j\

lim ( jc+ Vi —jc ) = lim --------------------=====--------------------------- X \ ] l - X 2 +y]( 1 -A '3)2

= lim

r’+ l-r3 ,.2 _ x ^ 7 7 + 3//(1_ Jf3)2

= lim ---------- , 1 -----i ¡ — - =—= t-**" X 2 - x l l l - x 2 + y j ( l — X 3 ) 2 °°

0

senx

,

En muchos casos en él calculo de limites se emplea la formula lim = i.y x—>0 JC además se supone que: lim serve = seria y lim eos x - eos a x —>a

216

^

a)

i

hm Jt->2

senx X

D esarrollo hm x-*2

b)

s enx

s en2

= ------

x senx

h m -----x

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x —*a

Introducción al Análisis D esarrollo 1

SCtlX

X

X

Se conoce que -1 < sen x < 1 además: — <

de donde:

l i m - — < lim senx < |im — x -> “> x

x -» ~

X

x -> °° X

senx

lim — — =

217

0

sen3x l i m-------x —>0

X

D esarrollo sen3x 3sen3x . lim ---------= lim — —— = 3(1) = 3 x~>o x *->o 3x

218

sen 5x lim -------*->o s e n lx D esarrollo 5sen5x senSx

lim = lim „ x— >o sen2x x-*u 2sen2x 2 x ” 2 1

»

5(1) 2

(1 )

5 =_ 2

lim ■ x->o sen{3nx) D esarrollo t sennxs sen(Kx) *( 1 ) 1 lim ------------- = lim --------- — — = -----------1 = x-Msen(3nx) x->o ^ senQ n x ) 3^(1) 3 3;rx

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==>

0

1

<—

X

< lim SenX <

0

112

220


lim(n.sen —)

/l—»oo

11

D esarrollo

Sea x = — , cuando n —» °° <=> x —> 0 n

lim (usen - ) = lim — «-»■>» n x—>o x

2 2 1

lim ,->0

1

=1

-c o sx — X2 D esarrollo

lim x -* o

1 -c o sx (1 -c o s x ) ( l + cosx) 1- eos 2 X — = lim = lim x2 x 2(l + cosx) - * - » 0 x 2(l + cos.v) s e n 2x

s e n 2x

= lim — -----—

= lim — -— . *->0

• t-^ O x O + C O Sx)

222

x"

1

1+

C O SX

,,

1 .

1

1+ 1

2

=-1 (----- ) = —

se n x -se n a

lim ---------------x -* a

x -a

D esarrollo se n x -se n a =

2

cos(

,x - a x

x+aN 2

).s e n (

2

,x + a s

)

,x - a s

,x + a.

.x - a .

cos( ).sen( ) cos(— — ).sen(-------) se n x -se n a 2 2 <• 2 2 lim ---------------- = lim ----------- --------------- — = lim -------- ---------------— 2

x->a

X —a

x-*a

.x + a lim cos( ). lim x-*a

I •

2

x —ü

x->a

,x - a sen ( )

2 a + a nx — — = eos — :— ( 1 ) = eos a

x ~ a

2

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x —a


223

co sx -c o sa lim -—— — x-a

x-*<¡

Desarrollo ,x + a , ,x - a s eos x - eos a - - 2sen{ ).sen( ) 2 2 . , x + a. ,x -a . —2sen( ).sen( ) c o sx -c o s a 2 J h m ----------------- = h m -------------~.......... — x -* a x —a x-> 0 x —a ,x + a fx - a -s e n (— - ) .s e n (—- —) = lim ---------- 2 ------------- 2 _

x -a ) x+a 2 = - hm xen( ). lim -------- —— x -* a 2 x~*a X —a

= -se n (—

224

2

).(1) = -s e n a

hm ^H +2

x -t-2 X

D esarrollo lim ——— = lim 2 jt+2->0

Jf—*—2 X +

*-> -2 X +

2

X+

2

* + 2 -i0 X +

.

2

Sea y = x + 2, cuando x —y -2, y —>0

V—>0

t g n y + tg 2 n

t g n y + tg 2 n

lün i ± i * £ Z Z « 2 l „ |¡m < H 0 + y- » 0 y~ » 0

2

) |¡m l + » W y —»0

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g

2

» = ]¡m w >->0

y

114

Eduardo Espinoza Ramos senizy n se n jty . 1 ...... = lim — = lim - .( ) = tt(1)(1) = n y-»o y e os n y y-*o n y cosny

225

lim /i—>0

sen(x+ h ) - senx h Desarrollo

, 2x + h^ ,x + h - x . sen(x + h ) - senx = 2 cos(-— ■— ).sen(------------)

2

,

lim A— »0

2

, 2 x + /i,

,

s e n ( x + h) —senx

h

.x + h -x .

c o s (------- ).sen(------------) 2 2 = lim -----h-*0 h 2

+ 2

).

2x + h senf y ---- - = lim cos(-— — ). lim ---------n *->o 2 s->o •s I rs

= lim cos( a— »o

2* + 0

= cos(— - — )(1) = eos X ... 226

senx - eos x lim ---------------1 -tg x 4

Desarrollo senx —eos x senx —c o s j c lim -----------------= lim ----------------* 11 —tex K 1, ______________ senx t- > — ‘ o -1 *- > — 4 4 * eos* eos x ( s e n x - eos*) .. - e o s x(senx —eos x) lm i-------------------------- = lim ---------------------------eos x —senx senx - eos * 4

rlim - e o s * = eo s— * -= —1 n 4 V2 x —>— 4

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4


227

lim xsen —

a)

X

x —>0

D esarrollo Sea z = —, cuando x —>0, x —» x lim xsen — = lim —senz = lim

senz

1 senz 1 Pero - 1 < sen z < 1, además — < ------- < —, de donde z z z 1

1

lim — = lim —= Z~ >°°

?

0

senz , por lo tanto lim —— = ’ —>oo

Z—*°° Z

0

£

1 .. senz n lim xsen — = lim =0

x-»0

x

z

lim xsen — x->~ x

b)

D esarrollo Sea y = — , cuando x —> x lim xsen(—) = lim - = x y->o y

228

y —> 0

1

>• /i x n x lim(l - x)tg — x->i 2

D esarrollo

„

.

KX

x->i

2

„

KX

lim(l - x)tg —— = - lim (x - l)fg — = - lim ( x x -* i

2

x - i- » o

Sea y = x - 1, cuando x —» 1, y —> 0

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1

KX

)tg — 2

116


- lim(l - A ) í g ^ - = - lim ( x - \ ) t g ^ .r->l

2

*-l-»0

n =- l i m ytg — (y + l) = - l i m 2

2

tn y n , ysen(— + —) 9 9 — e o s (^ + *) 2

2

, ny n n n. y (se n —^ eos —+ eos —sew—) lim --—. ... - ................— — 2 _ y—»o ny n ny n eos — .e o s----- sen — .sen — 2

C0S

lim y— >o

2

.ny.

sen(

1 2

229

2

=

2

2

ffy. , 7ry y ( 0 + e o s— ) y eos(— ) jim -------------- 2 — _ jim — _ — 2 v-*o „ ny v-»o ,nj 0 -se n — sen(—

2

2

2

cos( 0 ) 1 2 — =—=— ^ ^ n —( 1 ) —

2

2

ny 2

'

lim c /g 2 x r/g (—- a ) *->0

2

D esarrollo ^ Ctg(— - x) = -/gA => 2

. c/g "Jt-1 Ctg(2x) = — -----------------2 cígx

= lim ctg 2x.ctg( *-»o 2

a)

c te ‘r - 1 . = lim ------------ .( - / g A ) *->o 2cfg*

= - i lim (c/g2jc - l)íg 2.v =

2

230

I

»o

- 2

1 - s e n (-) lim ----------

jt->*

lim (l - f g 2 x) = - ^ ( 1 -

2 *->o

n —x

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2

0

)=

2

Introducción a l Análisis D esarrollo

1

lim jc-WT

-se n (-) 1 - s e n (-) — = lim — jt - X jc-jt-K) n —x x = y + 7t, además cuando x —>n, y —» 0

Sea y = x - jt

lim x—*it

l-se n (-) 1- sen(-^ 1- s'en(—+—-) — = lim — = lim --------------- — n —x x-it-t o n - x y~»o n —y ,

y

n

1

2

\ - s e n — .e o s

= - lim v—>0

n

y

2

1 -co s —

= -lim v->0

y

(1

- eos —)( 1 + eos —) 2

= - lim y- » 0

2

y(l + eos —) 2

sen

1

lim y—>0

-c o s2

y(l + cos

■

sen 1

2. „

y

e o s — .s e n —

2 _ > = _ I ( 1 X -^ -) = - I ( 0 ) = 0 2 1 + 1 2 -f eos y

|¡m ! r 2 “ í í ” -3 n

i- i3

D esarrollo l - 2 cosx l - 2 cosx lim --------------= lim ------------x-+* x - l * ~>o ti - 3 x 3

Sea y = x

3

3

=>

x = y + — . Cuando x —> — => y -y 0 3 3

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2. y

118


i -> 1 o ll - 2 cos;t l - 2 cos* lim — ----- = lim = lim

2

n cos(y + —) 3

-

l - 2 cos(y + —) , l - 2 (cos v. eo s----- seny.sen —) ■lim -........... •*- = — l im ------------------ —---------------- — y-»o 3y 3 y-»o y

l

2

J

(cos

— lim 3 y-» 0

seny) l - eos y \fise n y ---------= — lim (--------- - + - ------ - ) 3 y—>0 y y

— y

l , l —eos 2 y pr seny^ = — lim (— — — — + v 3 — - ) 3 y-*o y(l + c o sy ) y

1

seny

seny

1

p- seny

r-

1

— lim[(— - ) ( - ------— ) + V3 — - ) ] = ——(1(0) + V3) = — T 3y-»o y 1 + co sy y 3 V3 ... 232

lim

c o s tn x -c o s n x ---------

x ~*°

a;2

D esarrollo eos m x - co&nx = -

lim x —>0

2

m+n m —n )x sen(-------)x.sen( 2 2

c o sm x -c o sn x 2

X

,m + n . ,m —n. sen(— — )ac sen(------- ).r 2 2 lim . -----X

j;->0

=

- 2

lim j< - > 0

m +n 2

X

,m + n s , m —n. sen( ) , sen( )x o m +n 2 ....... --— .-------- .---------------m +n 2 m~n x

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o /m + Wx/,x , m ~ n ^ ,m = - 2 ( — —)(l).(—- —) = - ( 2 2 2 ,,, 233

X K 2 2 x ) = -(« ~m ) 2

tgx —senx lim —— ----x -> 0

x

Desarrollo senx - senx tg x - s e n x eos x ,• senxil - c o s x ) - = lim ------------ í—-------- lim —— r------= lim x-->0

*"*0

x

= lim

ím x (l-

■*->0

jc-*0

x

X

x

e o s x ) ( l + cosx) .v e « x ( l - e o s 2 x ) -----------------------= lim — ----------------(1 + COS x ) •*->0 X" (1 + eos x )

senx.sen x ,senx 3 1 3 1 „ 1 = lim - Y '- -- -'-- l i m ( ^ ^ - ) J (-— ) = ( 1 )J (-J—) = T x->0x (1 + cosx) *-*0 X 1+ co sx 1+ 1 2

234

.. aresenx lim — x~>o x Desarrollo Sea z = arcsen x => x = sen z ; cuando x —» 0. entonces z -+ 0 .. aresenx z 1 1 , lim ----------- = lim ------- = lim ------- = - = 1 x- » 0 x z-*0 senz z-+) senz 1

235

lf a ,2 S S M x— »o sen(3x) Desarrollo arctg( 2 x)

||m « i M x— »o sen( 3 x)

= ljm

x

x->o sen(3x) x

arctg 2x

_ s e iü x lim x— »o x

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120

Eduardo Espinoza Ramos _ ' , , sen3x Calculando lim — =3 t ->0 x arete 2x _ _ lim ------------= 2 , donde z = arctg 2 x => j— >o x

lim

1

x = —tgz 2

a r c tg lx z ... z — = lim ----- = 2 lim — - = 2

x-->0

X

z- >0 í g Z

z—>0 t gZ

T Luego, lim *- >0

sen3x JC

„ a r c tg lx . = 3 ; lim — =2 Jr—>0

... ...(2 )

JC

arctg( 2 jc) arctg (2x) Reemplazando (2) en (1) se tiene: lim — :----------= lim *->o ,ce«(3jc) j-»o seit(3x) JC

236

lim jc—* 1

1 -

jc2

í e n ( 7 T .r )

D esarrollo I - a-2

( l - x ) ( l + jr )

lim ----------- = lim ----------------*-»i s e n ( n x ) x - i-* o s e n ( t r x ) Sea z = x - 1 =>

x = z + 1 ; Cuando x —> 1 => z -> 0, luego:

1 - x 2 ( l - x ) ( l + x) ( l - z - l ) ( l + z + l) lim ----------- = lim ------------------ = lim -------------------------

x-*\ s e n ( n x )

jc—i—*o

s e n (ttx )

z->o

s e n t z ( z + 1)

= - l i m ------------ 2 ( 2 t i ) -----------z-*o s e n t í z eos n + s e n n . eos n z .. z ( 2 + z) 2 + z 2 +0 2 = - lim ----------- = lim -------- -— - = — =—

z-»o —s e n t í z

>o t i s e n ( t c z ) ttz

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n (X )

tt


237

l i m - * - " * 2*»

*-»o x + sen(3x)

D esarrollo sen(2x) x — = lim * ->o [ f sen(3x)

-

x - s e n ( 2x) hm — - = hm

jr->0 x + íen(3x)

238

sen(2x) 2x 1 _ 2 1 — = ------- = — x-*o } + ^ sen(3x) 1+ 3 4 3x ,■

nx cos(— ) hm -*L•*-*» 1 —v x D esarrollo cos(— ) (l + 7 x ) c o s ( ^ ) (l + >/x)cos(— ) hm t =~~ 7=---- F=~ = l»ni ------------------ — *->' 1 -V x X-1 -K) (1 —v x )(l + v x ) *-l- » 0 1 -X Sea z = x —1 =>

x = z+l

; Cuando x -> 1, entonces z —> 0

c o s (-~ ) (1 + a/ x )C 0 S ( — lim t =~~ ^ JC—*1 l —yjx JC-l-tO 1 —x

)

(1 + 7 z + l ) C 0 S ?r- ( ¿ + l )

=-lim --------------------- ---------z—>0 —z

I ' 7. . T t 7 t (l + v z + l)(co s Js e n — 2 = - hm z- > 0 xz

(1

-lim z->o

7T

.s e n —)

21

-sen ( — + V z+ T ) ( 0 - sen — ) — = - lim ( l + 7 z + l)(-

se n (-) 0 7C I------' K K 2 - . - = a + 7 o T T )(i) (-) = 2 (—) = * lim (l + Vz + 1 ) z—>0 n . . 2 2 2

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)


lim *->0

1 - V cosa

x

----D esarrollo

lim * -» o

1 - Veos A'

= lim

x2

( 1 - Vcosa)(1 + Veos a ) ,-----= lim -

*->0

1 —eos X

x~>° a 2 (1 +V eos a )

a 2 (1 + V c o s a )

( 1 - c o s a ) ( 1 + COS a )

1—e o s 2 A

__ = limA 2 (1 + Veos A )(1 + eos A ) A 2 (1 + V COS A )(1 +

lim —

sen2x ,senx i = lim —------- 7 = ---- ■--------- = lim (------- -) . a -^ O jc

ü )(

( l + V c O S A ) ( l + C O SA )

a ->0

1

1

1

(1 + VT)(1 + 1)

(2)(2)

4

COS a )

-------

1

(1 + V c o s a )(1 + c o s a )

a

Vi + senx - Vi - senx lim ----------------------------x—>0 X D esarrollo Vi + senx —Vi - senx (Vi + senx —Vi —senx)(\¡\ + senx + Vi - senx) lim-----------=-lim ------ -— - p :—7^7=-— ■_ .......----------------*-*0 x *->0 a ( Vi + senx + v i - senx)

= lim

1 + senx —(1 - senx) ,---------r--------- = lim (V i + senx + V1—senx ) *->o a ( V i

2senx +

senx

+

Vi — senx)

= 2 ( l ) ( - _ = J - _ ) = 2 (1 ) = 1

'J\ + 0 +yj\ —0 Para hallar los limites de la forma:

2

liml = c

se debe tener presente:

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... (a)


lim cp(x) = A ; x—>a

Si existen los limites finitos: c

lim i¡f(x) = B , entoi x-Aa

=a b

2

lim tp(x) = A * 1 y lim i/r(x) = ±°° , en este caso él limite de (a x-Aa x—>a halla directamente.

3

Sí lim (p(x) = 1 ; lim t//(x) = °o, se supone que (p(x) = 1 + oc(x), de X~Aü X-ACl a(x ) —> 0 , cuando x —> a y por consiguiente:

Si

i n t r\ n ír im ír í

C = lim [(l) + a ( x ) ( *] ( )9( x-Aa

lim a(jr).w(jc)

Siendo e = 2.718... él número de NEPER. 241

lim (^ V 3 -x

*->0

D esarrollo ,. 2 + x
2

=> hm tp(x) = —* x->o 3 2 + X .v

,.

1

.2 + X .lim x

2 x0

,

Luego lim (-— —) = lim ( y - 0 = (—) = 1 x->o 3 — x *- > 0 3 — x 3

242

l i m ( 4 - i ) * +1 x2 - l D esarrollo lim ( - ^ — ) JC+1 = lim( — ----- ) * + 1 = lim (— )x+l X—>1 —1 ( x -l)(X + l) H lx + l

:( h m

1

lim (jc+l)

-)x—>\ x +1

1 ?

1

= (-)= 2 4

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Hm[<¡»(jc)—llv't-v)

' = e~‘

= e™


124

243

1 — lim ( - y ) * * 1

Desarrollo 2x

1

2 X

ll im - -

~

lim (— )x+l = ( lim — y^~x+i = ( 0 )“ = A'—> ° °

... 244

X

A *—

_

2

.

0

X

senx

/ jt~ -2 .v + 3N— lim (—----------- ) x a -> o

x

- 3 j c

+

2

Desarrollo 7

_

_

j r -2 .v + 3 —-

h m ( — ---------------- ) *

*-*o x —3jc+ 2

245

senx o _

_

senx

x 2 - 2 * + 3i™ —

= ( l i m —-----------------) ” ° *

'

_

0 -0 + 2

2

Jf2 + 2 , 2 lim (— ^— )x Desarrollo

246

=

. 0

l i m ( l - —)"

n—*°o

y\

Desarrollo lim ( 1 - —)" = lim ( 1 H— -)" = [(i + - i ) - n](- 1) = e-* = i n—>oo fi n—>oo n n £

247

lim (1 + —)* X

Desarrollo 2 2 1011( 1 + - ) * = lim [(1 h— ) 2 X-*°o X X^>oo X

]2

= e2

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_

3

*-*>;c2 - 3 j t + 2

, X +2 ^ 2 , x 2+ 2 \m x 2 1 lim (— -— )+- = (lim = (-) x-*™ 2x + 1 2x + 1 2

_

0 -0 + 3 ,

Y = -

= (


248

lim ( - i - ) ' at+1 Desarrollo .

X

—1

Iim ( ) = lim[(lH ) x-H- x + l x->~ x+l

249

x+\ , - x 4 — --(----- ) _ 1 ] Jt+1

—X lim-----

=ze"~x+i - e

.

-■

lim (-------) *+3

jt-*~

Desarrollo _.

,

.

x+3 -4(x-t-2)

lim (—— )x+2 = lim (l + ------)x+2 = lim f(l + — —) "4 i x+3 aí+ 3 ■*-*»> a;+ 3 a:+ 3 ,

-4(x+2)

lira-----------

= e‘ " x+i

250

.

=e

lim (l + —)" n-W” n Desarrollo

lim(l+—)" = [ l i m ( l + - ) J']x = e x n

251

n-»~

n

limO + senA:)* jr- > 0 Desarrollo 1

1

senx

senx

lim (l +íenAr)^ = lim[(l + .se/u')1CT“ ] •* = e'~° x - e *-»() t— >o

252

a)

lim (eos a:) ^ X —kO

Desarrollo

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Eduardo Espinoza ¡

126

Como lim y/(x) = 1, donde v|t(x) = eos x, entonces .t— >o \j/(x) =

1

+ a(x), donde a(x ) ->

l|f(x) = 1 + (eos

X -

, cuando x —> 0 es decir:

0

1) 1

c o sa

lim ícosx)* = lim[l + ( c o s x - l) ] * = lim[[l + ( c o s x - 1 )] c08* -']

a—>0

x —>0

l i meos a—l

b)

a—>0

- i ..i m 1-cosa

=e

-I

*

senx senx - lM im U I--------- .. --------------------------------(!)(-)

x J+cos-v —£

2 =e =

lim (co sx )v A—> 0

D esarrollo Análogo al caso anterior se tiene: I

lim (c o s x )* .*-►0

I

= lim [ l + ( c o s x —1)]' x -»0

= e'~° *'

253

I

= lim ([1 + ( c o s a —l) ] 00**- 1 ) -r-»0

= e '~*x d+co*4T) _ e

lim [ln( 2 x + 1 ) - ln(x + 2 )] X— >oo D esarrollo

lim[ln(2A + l) -ln (A + 2)] = lim l n ( + S X— >oo A—>°° X + 2

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2

—___ Je

C U S -T -I

*


254

l i m l o S ( 1 + 1° J) x - >0

X

Desarrollo

logUjflOx) _ iim j0 g(j + jQx)x = [lo g lim (l + 1 0 x )jr] x-»0

X

x->0

x-»0 1

= log[ lim ((1 +1 Ox)>0* ]>° = log <."0 = x->0

255

1

o

log e

l i m - l n /— x->0 X

\ 1- X

Desarrollo .. 1 , / 1 + X 1 1 + X^X 1 1+ X ~ 1, ... 1+ x . - . lim —ln /------- = lim —ln( - ) 2 = lim —ln(——-)•* = —ln[lim ( )•*] *0 X \ 1 —X x —»0 X 1 -X x—>0 2 1 -X 2 x->0 1 — X

lim (l + x (! +------)] * ) * « _= —ln[lim 1 1 w x-iO = —ln[lim (— (0 + r ] = — lnl 2 x—>o I 2 x—>o i 2 (1 —x)* (1--*)* lim(l-x x~»0

= ^-ln(- 4 ¡-) ~ ^ \ n e 2 = ln e = 2 e - ' 2 e~ 256

1

lim x[ln(x + 1) - lnx] Desarrollo lim x(ln(x + 1 ) - ln x] = lim x ln(

x —>°°

x—>°°

Jt~b 1 x

)

= lim ln(l + —)x = ln( lim ( 1 + —)*) = ln é = í X .r— >oo X

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128

2 5 7

U m !í<££?í> x 2 0 -* ■<

Desarrollo

Hm lníeosx) _ jjm in^cos x -> 0

= [ln(lim (cosjt)*')]

Je—*0

x

x

—>0

y de acuerdo al ejercicio 152 b se tiene

lim x —>0

258

ln(cosjc) , rl. . A , , -4 1, 1 — = ln[hm(cos.x)* ] = ln e 1 = — ln e = — x >o

x~

2

2

ex - \ lim — x -> 0

X

Desarrollo Sea y = e x - 1 => e x = y + \ => x = ln ( l+ y ) . cuando x —> 0 entonces y —» 0

hm x-»o

259

ex - l y = lim ------------ = lim x >-»oln(l + y) y->o

1

, —lnU + y) 1

r l 1 1 , = lim ------------ —= =- =1 y->o I lnc 1 ln(l + y )y

lim x- - >0 x Desarrollo

Sea a = a

lim jr- * 0

a —1 x

x

. - 1

x

ln (a + l) „ ------------ . Cuando x —»0, entonces a —>0 ln a

a ln a ln a ln a = lim —— = lim - — — = hm - — - = ln a a-»o ln(l + cr) a-»o 1 , ,, , a-*0 1 Ine - j— -ln (l + a ) in ( l+ a ) “

I

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260

lim n { y [ a - \) , k >

n —>©o

0

D esarrollo Sea y = — => n

n = — . Cuando n —> y

| ^v lim n(y]a~ 1) = lim —(a y - 1 ) = lim v->0 y

v—>0

r ay lim n(yja - 1 ) = lim y—>0 y

261

lim*-»()

1

entonces y -> 0

1

de acuerdo al ejercicio 259

y

= lila

- e bx X

D esarrollo eax- e bx lim ------------ = lim x- » 0 x *->o

e ^-l eb x - 1 = lim --------- -- lim --------t—>0 x x->0 x

x

(e a ) x - 1 (ee ) - l = lim ------------- 1 lim ----------t- * 0 x x—*0 x y de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:

r

e ^ - e 0*

(ea)x - 1

(*V-1

lim ------------ = lim -------------lim ------------t-* 0

X

>0

.V

Jc—>0

X

= In e" —ln e h = a \ n e - b \ n e = a - b

262

lim 1 —— se/ur

j-“>o

Desarrollo

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130

ex - 1 l-e ~ A ex - l elim = hm = lim — — x->o senx -f— >oexsenx x~>0ex senx ey- l de acuerdo al ejercicio 258 se tiene:

,,, 263

. a)

lim -—-— - lim — = —^— = 1 x->0 senx a >o , senx

.. senhx lim A >0 x D esarrollo

Se conoce que senhx = —

lim

a-ao

senhx x

1

= —h m

ex —e

a-->o

2

1

x

—

e x —l

I

= —lim ---------2

x-*o xex

de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:

lin t a ^0

b)

senhx

1 ,. (e )x —1 . 1 , 1 , 2 , 1 . 1 , . = —lim — --------(— ) =■—lne (— ) = —( 2 lne) = 1

x

2

lim

coshA - 1 -----

x -* 0

x‘

a —> 0

x

2

ex

e°

2

D esarrollo e +e Se conoce que cosh x = —— —

hm

jt-*o

cosh .r-1 x

-1

hm

a >0

x

,• e + e ~ 2 ------- = hm — ----------a -)0

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2x


1 . ex +e~x - 2 1 ,. e2x - 2ex + = —lim --------= —lim --------2 >o x 2 -«-*0 x~e't

1

1

1 ,. (e * -l)2 1= — lim — -----2 *-»o xex

,ex ~ U) 2.—1

= -lim ( 2 ■*—>0

a:

g-*

de acuerdo al ejercicio 258 se tiene:

= —(1)‘ — = 2

2

e°

H A LLA R LO S SIG U IE N T E S L IM IT E S L A T ER A LE S. 264

a)

lim iJ x 2 +

1

D esarrollo

lim

.

x

_v . - = lim —¡—:— = lim + 1 X^~ °°yjx2 + 1 - a:

b)

- 1

,

- 1

, = -= = = i +JL ^ 1 + 0 V a: 2

- 1

lim D esarrollo

lim = lim — = lim , ^ ■ ■■■ = ■ X~”~ 4 x 2 + 1 ^ +°° 7 x 2 + 1 x_>+~ í1 + j l a y x~ 265

a)

lim fg/ur Desarrollo

t§hx —

ex - e ~ x

e2x- \

ex +e~x

e2x + 1

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=

1


132

' e 2x- l 0 -1 lim tg h x - lim —------= ------- = -1 x-+ ~ e2x + i 0 + 1 b)

lim tglix X— >+°° Desarrollo 2 1 e2x -1 lim tghx = lim — = lim jr-»+~ *-»+«• g2x + 1 x— J ^

266

a)

lim

— 2x

1

1 -0 — = ---- = 1 1 + 0

^ l +ex Desarrollo 1

lim -----

.r— >-oo

1+ e b)

1

1 1 1 , = ---------- = ------ — = ------ = 1 l+« 1 + . 1 1 + 0

lim ----\+ e x Desarrollo lim X —» + © o

1

1 1 - = ---------=— =A 0 _

] -f- g + ° °

OO

\ +ex 267

, a)

ln(l + e*) lim -----------Desarrollo lim !^ÍLL£_2- |jm in(l + e t )-t = ln[ lim (l + e*)*] 1

= ln( lim

[(1

ex

.. ex lim —

+ e x )e' ] x ) = ln(e‘” x ) = lne° = ln l =

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0


b)

x

x-»+~

Desarrollo Análogo al ejercicio (a) es decir:

, „ xx ln(l + e )

lim

ln ex(l + - - ) ln ex = lim------------- -— = lim

jd n £ + ln(l + — ) px = lim ------------------ — = lim X

X->+oo

268

v

a)

.•

\senx\

lim ------- -

x —>0“

Desarrollo \senx\

senx

lim ------- = lim ----------= X

x -» 0 “

..

b)

..

\senx\

-

lim ¡

x-»0*

- 1

x-tC T

x

Desarrollo I to lf ü d .lb n iS í.i x-»0*

269

a)

X

x-»0*

X

lim ——— x -» r | x - 1 1

Desarrollo

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134

b)

lim

jc -

1

D esarrollo

lim

—í- = lim — - = lim

x -* v \x —1

270

a)

jc —1

1

=

1

Ar-»r

b)

lim -t—>2" JC —2

c lim — _ 2 x-> 2 x ■

D esarrollo

a)

lim ——

x —>2 X — 2

X b)

lim *->2

JC-

2

C O N S T R U IR LA G R A FIC A D E LAS FU N C IO N ES 271

y = lim (eos2" jc) n —> 00

D esarrollo y - lim (eos2" jc) = lim (eos 2

Sí x * n, k = 0,±1 ,±2

Sí x = k ji,

c o s ' jc

jc)"

eos 2 x < 1 entonces y = lim (eos 2 .c)" /Í-»oo

= 1 entonces

y = lim (eos 2 ,c)n = 1 => y =

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O

y=O


272 Desarrollo Sí 0 < x <

1

=>

lim x n = 0 Luego: I,— »*»

Cuando x = 1 =>

y = lim

+1

« -* -1

Cuando x > 1 =>

1

Resumiendo

y=

2

y n-i o = lim — = -----+ x" n->“ _L + ] 0 + 1 xn

1 SI X = 1 — 2

0

273

0

si x > 1

y = lim \jx 2 + a 2 a->0 Desarrollo

y = lim \lx 2 + a 2 - y¡x2 + «->0

0

= |x |

=> y = x

y=—

x

y = lim

x si

=»

y = lim --------= —— 11— »=o1 + x" 1 + 0

y=|

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y=o

Eduardo Espinazo Ramos

136 274

lim a rctg(nx)

n—

Desarrollo Sí x < 0

lim a rctg (n x) - a rctg (-o °) = ---/i— »» 2

Sí x = 0 =>

lim a rctg (n x) = 0

Sí x > 0

lim a rc tg (n x ) - a r c t g (°°) = — n— 2

=>

;r

=> y = 0 t; |
27

=>

y = lim yj\ + x n , (x > 0 ) Desarrollo Sí 0 < x < 1 =>

lim

fj—yao

1

< lim yjl + x" < lim n —>00

n —>«>

y = lim yjl + x"

Resumiendo:

2'

1 < 1 + x" < 2

0 < .v" < 1 =>

= 1

y=

2

"

=> y =

1 si 0 <

jc

1

<

1

x si X > 1

Convertir en ordinaria la siguiente función periódica mixta: Desarrollo

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a = 0.13555..

Introducción a l AAálisis

277

¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación cuadrada a x 2 + bx + c = 0 . ■ coeficiente “a” tiende a cero y los coeficientes “b” y “c” son constantes, sie b*

0

? D esarrollo

2 , „ ~ h ± y]b2 - 4 a c ax + bx + c = 0 => x = --------------------2a

- b + yjb2 - 4 ac Para x. = --------------------2 a

=>

.. .. - b + 'Jb2 - 4 ac hm x. = lim ---------------------a->o a—to 2 a

( - b + y]b2 - 4ac )(b+ \fb 2 - 4a c ) b2-A a c -b 2 lim x, = lim --------------------- , = lim a_>0 «-*0 2a(b + yjb2 - 4 a c ) a^ ° 2a(b + \¡b2 - 4 a c ) 2 ac - lim a~,0 a(b. + 'Jb2 - 4 a c )

c b

Luego cuando a —> 0, jc, —> —— b

- b —^Jb2 - 4 ac Para x , = --------------------2a

=>

.. - b - y j b 2 - 4 ac hm x-, = hm o-> o o 2 a

(b + \ b 2 - 4 a c ) ( b - \ b 2 - 4 a c ) h m x , = - h m -----------------------------O_*o a-*> 2 a ( b - \lb 2 - 4 a c )

4ac c = hm = = = = = a-*) 2a(b+yjb2 -4 a c ) 0

Luego cuando a —» 0, x 2 —» 278

Hallar él limite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n —>< Desarrollo

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138

Eduardo Espinoza Ramos La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es: S¡ = n (n - 2) S Como nos piden él limite de un ángulo interno cuando n —» °° es decir: i = — n . r t( n - 2 ) O sea: i = n

279

. 7 r(« -2 ) lim i = lim ------------= n ;»—>«» //— >°° n

Hallar él limite de los perímetros de los polinomios regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor, sí n —> D esarrollo Para el caso de los polinomios inscritos se tiene:

IR n sen — .

4

Luego

n

lim IR n se n — para calcular este limite haremos n - — n— >“> n x

Luego cuando n —> <*>, x —» 0 tenemos: _ . „ n 2R .. seim x Entonces: lint IR n se n — = lim -— sen n x = 2R n lin t = 2R n oo fl n-> ©o X— >«» 7TJC

Para el caso de los polinomios circunscritos se tiene: 2Rntg — n

Luego lim 2Rn tg — «-»•» «

haciendo n = —. n —» x

x —>0

lim 2/fn tg — = 2R lim —rg 7rx = 2 R n lim ,^ n x - iR n »->“ n x->°° X x -* 0 7 r x

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Hallar él limite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la c y = e~x e o s ® trazadas en los puntos x = 0 , 1 ,2 ,....n, sí n —> D esarrollo Para x = 0,l,2 ,...,n los valores de 1_ J b

’

e e

1_ 2 ’

e

3

J e

y - e

x e o s tdc son:

1_ 4 ’

e

5

Sea S„ = l - I + - L - i - + -L— L + ... + ( - 1) " - L + ... e e~ e e e e es la suma de una progresión geométrica.

Además Sn = — —— 1 - r _ Luego:

donde “a” es el primer termino y r es la razón.

fl(l - r" ) 1 S„ = ------------ donde r = — 1 - r e

S „ = — ---------- — r"-reemplazando se tiene: S - —i - -----í— l ~ r 1~ r 1 + 1 1 + 1 e

S = lim S n = - ! t — 0 = — n-><* i+ -

281

e

e

lim S .

6

Hallar él limite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordena de la curva

y

= 2 * x como bases, donde x =

que n —> °° Desarrollo

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, ,3,...,n, con la condición

1 2

140

Eduardo Espinosa Ramos

El área de cada uno de los cuadrados son: 12— o2 3 — 4 — 5 — -4 2

_ 2 3 4 --- r iS„ —1 "i 1--- H 2

2

2

- n 2 " +

1

n -------2 " - 1

_ _ , 1 2 3 4 n, 5 —2 (— i— —H——4— - + . . . — ) 2 2 2 2 4 2 "

„ = 2

1. w(—) 2

J. lim 5„ = lim 2 « ( i ) n = 2(— 2— ) = 4 /!—»«> «— 2 1 ^2

_2 282

Hallar él limite, cuando n —> M q,

M

del perímetro de la línea quebrada

n inscrita en la espiral logarítmica r = e~(p si los vértices de esta

n quebrada tienen, respectivamente, los ángulos polares.
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a)

En la espiral r - e 9 , r es un radio vector, V valor de (p.

b)

La quebrada inscrita en la espiral significa que a cada vértic corresponde un vector.

c)

Cada segmento de al quebrada esta obviamente entre 2 vén consecutivos.

d)

Cada segmento es el lado de un triángulo cuyos otros dos lados son radios vectores correspondientes a estos vértices consecutivos. Entoi c 2 = a 2 + b 2 - la b eos 6

se aplica la formula: e)

A cada vértice M k le corresponde un radio vector

rk = e Vl donde

f)

ipk

S k esta comprendida entre

El k-ésimo segmento de la quebrada

radios vectores rk_x y rk , los cuales forman el k-ésimo: g)

(
Sk :

Calcularemos el k-ésimo segmento

Simplificando los exponentes y efectuando operaciones n 2 kn , i Sk = yJe-k* ( e * + l)

=>

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: (3)

142


h)

Calculo del perímetro de al quebrada finita: n

n e" +1

Pn=Pn(M o'.A#,

= k=\

P" = y

_ n

P

k=I

Sk = Ve* + I (v—g + - 42>r- + - J3;r- + ... + —nn + ...)' y

*=1

g

e 2

V ^+l „ k . e2

1

1

2

— ------------------------- _j---------- — ---- -----------------

k

2n e2 e 2

f

2

1

nn e2

(4)

ekn

...(5 )

2

h ...)

Pero la suma de una progresión geométrica. Sn = — —— l-r

/>„ n

i)

\leK + 1 , x■ e2 ^

7T/1 eí ' Ve* + 1 1 - e 2 ^ = ^ i ( A Z f J _ ) e 2 = Z l _ t l a _ e- T } ] ' X X n v ' ÍT e2 e2 —1 e2 - 1

calculo del perímetro llevando él limite para n —» °°

P = lim Pn = lim W—

n —><*>

- e ~ ) = ~~e +- - ( l - 0 ) E

e2

EL - 1

n e2 - l

I,

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e2

- 1


1

1 4.

INFINITÉSIMOS E INFINITOS.-

m)

IN F IN IT É S IM O S .- Si 0

lim a(jc) = 0 X—

es decir:

Si|
< |x - a| < 5(e), la función a(x ) se llama infinitésii

cuando x —» a, en forma similar se determina la función infinitésima a ( cuando x -> oo O B SE R V A C IO N .-

La suma y el producto de

un número limitado

infinitésimo, cuando x —> a, es también un infinitésin cuando x —» a. Si a (x ) y p(x) son infinitésimos, cuando x —> a y lim

ct(jc)

= c donde c es

p (x ) núm ero distinto a cero las funciones a (x ) y (3(x) reciben el nombre infinitésimos de un mismo orden, si c =

0

, se dice que la función a (x ) es i

infinitésima de orden superior respecto a f)(x). La función a (x ) se denom GC(x) infinitésima de orden n respecto a la función B(x), sí: lim ----------- = c , dor [P(x)]n cx(x} 0 < | c | < +o°; Si lim —— = 1 las funciones a (x ) y P(x) se lian *->a p {x ) equivalentes cuando x

a: a (x ) ~ (3(x).

Él limite de la razón de dos infinitésimos no se altera, si los términos de misma se sustituyen por otros, cuyos valores respectivos sean equivalentes, acuerdo con este teorema, al hallar él limite de la fracción: lim — — , dor *->a P (x) a(x ) —> 0

y P(x) —> 0

cuando x —> a, el numerador y denominador de

fracción pueden restársele (o sumársele) infinitésimos de orden super elegidos de tal forma, que las cantidades resultantes sean equivalentes a anteriores.

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144 b)

Eduardo Espinoza Ram os\ IN FIN IT O S.-

Si para un número cualquiera N, tan grande como se desee existe tal

8

(N) se verifica la desigualdad | f(x) | > N.

La función f(x) recibe el nombre de infinito, cuando x —> a, análogamente f(x)| se determina como infinito cuando x

288

senx Demostrar que la función / O ) = -----x x

en infinitamente pequeña, cuandd

oo. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < £?

Si e es un número arbitrario? Hacer los cálculos para a)

£=

b)

0.1

£=

c)

0.01

£=

0.001

D esarrollo Por definición se tiene: Si

lim a ( x ) = 0 o x —>a

lim a (x ) = 0 a (x ) se 11;amj

x —>°°

infinitésimo. Es decir que debemos dem ostrar que lim —— = 0 , pero se conoce que: x

-1

< sen x <

1

senx ■ :=> — < < — y además sabemos que: X X X

lim - —< lim - ---- < lim — => x

lim

senx JC

x —>°°

>°°

x

= 0 ==>

/(

jc)

=

0

< lim SenX < 0

X

senx

x —>°°

de donde:

x

, es infinitamente pequeña. Veremos los valon

JC

de x para que | f(x) | < e com o /

( jc) =

senx ----------- =»

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JC

|

senx 1

X

1 i < | —1 < £ de dom

X


289

=$

a)

para e =

0.1

b)

para e =

0.01

c)

para e =

0.001

|x |>

10

=> | x | >

100

=> | x | >

1000

Dem ostrar que la función f ( x ) - \ - x 2 , es infinitamente pequeña cuai x —> 1, ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e. Si e es un número positivo arbitrario?. Hacer los cálculos numéricos para: a)

e=

b)

0.1

e=

c)

0.01

6

=

0.001

D esarrollo Para que f(x) sea infinitamente pequeña cuando x —> 1 se debe de demosl lim f ( x ) = lim (l - x 2 ) =

que: es decir

X —>1

=> f(x) es infinitamente peque

0

X —>1

determinaremos los valores de x para que se cumpla |f(x)| < e |/ ( x ) | = | l - x 2 | = | l - x | | l + x |< e |x— 1 1 |x + l| < e pero | jc —1 1 <

290

£ |x + l |

de donde | x

- 1 1

£ < —, puesto que x 2

a)

para e = 0.1

=> | x —1 | < 0.05

b)

para e = 0.01 => | x —1 | < 0.005

Demostrar que la función / ( * ) = — — es infinitamente grande cuando x —» x -2 ¿En qué entorno |x - 2| <

8

se verifica la desigualdad |f(x)| > N.

Si N es un número positivo arbitrar; >? Hallar 8 , sí

a)

N = 10

b)

N =100

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c)

N =100i

Eduardo Espinoza Ran

146 Desarrollo Se procede en forma similar a los casos anteriores.

Luego: |/ ( x ) |> ./ V

a)

Sí N = 10

=>

=*

|— | > ./V => | x - 2 | < -[- = <5 x -2 N

8 = — = 0.1 10

291

b)

Sí N = 100

=>

c)

Sí N = 1000 =*

5 = — = 0.01 100

8 = - i - = 0.001 1000

D eterminar el orden infinitesimal: a)

De la superficie de una esfera.

b)

Del volumen de la misma, si su radio r es un infinitésimo de la Ira o r d í ¿Cuál es el orden infinitesimal del radio y del volumen, respecto al áre aj esta esfera? Desarrollo

Se conoce que: si y es infinitesimal de orden “n” se escribe y = knx" + (¡>(x^ y

de donde — = k n . Luego “n” es el orden infinitesimal. xn a)

Superficie de la esfera y = 4 n r2 , x = r 4 n r_2

2

-4 n

=> — =

1

=> r 2 = r n

Luego n = 2, la superficie es de segundo orden respecto al radio.

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b)

47rr

4 r — = —K => — = 3r" 3 rn

Volumen de la esfera:

1

=>

3

r =>

de donde n = 3, el volumen de la esfera es de tercer orden respe radio. Además tenemos que:
— = ((4 ? r)T l (4 n r )

r” 7

4nrL

i = (4 * r‘

4n 3 4 — r - n 3 _ 3 (4n-r2)" (4'c)n

■nsl« 4 n )nr '

!l(47tr2)n

1

n —— 2 " ~4 n V3

V S r7 2)"

\[(4 k)h

3 r" = r 2 de donde n = —

292

Sea a el ángulo central de un sector circular ABO cuyo radio R tiende a c Determinar el orden infinitesimal: a)

De la cuerda AB

b)

c)

Del área del AABD, respecto al infinitésimo a .

B

O

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De la flecha del arco C

148

Eduardo Espinoza Ram os D esarrollo a)

A C = Rsen

En la figura se observa que AB = 2AC además

2 Rsen

a 2

a

a

sen

2R

a

tx

2 ■_= — 1 cuando a —> 0

a"

2

2

>0 de donde

a a a sen — = —

2

b)

n=

a =a

2

an

En la figura se observa que: CD = R( 1- J 1- sen2 y ) de donde

R(\-

V

1

1 1 - sen —) t ----------------9 1 4 n" = K(— + 4 .. a a" L ■>a 1- s e n — 2

11

- sen

2a 2 _ 1 +

a

sen

a"

1

1

4

a”

, -se n 2 — a . . 2_ = ¿ _ J _ an 4 an

1

[ Ta jl-s e n -

2a

a"

2 =— 1 pero s e n a —> 0n — 4 2a « » .y

=>

se n a 2

,a 2 <2 > _

|

Por lo tanto: a c)

1

2

a"

4a”

Área del AABC = AB.CD = 2/?2sen — 2

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4

n

> 0

A

A í a ^ a de Adonde sen(—) =— . 2 2


«■

.2

( l - J l - s e n —) Entonces:

2R 2sen — ( l ~ .

2

V

2R ¿

a

a , 11 sen —( 2

8(1 +

i + sen 2 —) «> . 2 _1 cr

293

2

_

1 8

2

,

3

8a

2

a"

a a seni— ) = —

además a —» 0

sen3 — —a"

Sen

- 1

'1

=>

a 3= a"

=> n = 3

8

Determinar el orden infinitesimal respecto a x„ cuando x -+0, de las funcic siguientes:

a)

d)

2

x

l+ x 1

- eos x

b)

J x + \fx

e)

tg x. sen x

c)

yfx2 —yfx'

D esarrollo 2 x i |

a)

Sea f ( x ) = — — de donde se tiene que: 1 + jc

cuando x

—» 0

=* x +

1

2x —> 1 entonces — =

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= — -------= 2 (l + x )x n

xn

2

=>

xn =x

=> n -

150


b)

Sea

/ (jc ) =

de donde se tiene que:

yjx+ yfx

\jy](x + yfx)2 yjx(x + l + 2yfx) —------------------ = —— ———--------= 1 cuando Xxn 4r iíx , n i1 1 entonces — = 1 => x = x 4 => n - — xn • 4 c)

r~

x + \ + 2y/x

/ (x) = yfx2 -y fx * de donde se tiene que: 2

3

2

X3 - X 2 _J

cuando x

d)

x —» 0 ,

5

JC3 ( l - J C 6 ) _ j

0

,

1

- x 6 -»

1

X3 — =

entonces

2

n =—

=>

1

-S-en- - = 1

f(x) = 1 - eos x de donde se tiene: -—C° SA = -—^

r — yjl —s e n x ~

, ademas

\-s e n

2

x

l ~ l + se«2x

=>

=

1

x 2 cuando x —> 0 se tiene se n 2x —* x 2 => — = e)

f(x) = tg x - sen x de donde se tiene: t g x - s e n x _ se n x ^1 -

yfí

- s e n 2x

^

eos x cuando x —» 0

=>

y ¡ l - s e n 2x ~ 1- s e n 'x

1 g x ( \ - \ + s e n 2x ) _ t g x ( s e n 2x ) _ jc "

jc "

sen * x jc "

eos x

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_

1

=> n =

2

—> 1


cuando x —»0, sen x —» x, eos x —> 1

294

x3 — =1

n=3

Dem ostrar que la longitud de un arco infinitesimal de una circunferenc radio constante, es equivalente a la longitud de la cuerda que tensa. D esarrollo

Se debe de considerar a (x ) = lrngitud del arco infinitesimal y (3(x) = Ion de la cuerda tensa; para que a (x ) y P(x) sean equivalentes se debe proba a (x) , . ,, lim = 1 y esto es inmediato. j;-*a P (x) 295

Son

equivalentes

un

segmento

infinitésimo

y

la

semi circunfei

infinitésima construida sobre el como diámetro? D esarrollo _ oc(x) • nd k n Se conoce que lim = 1 entonces lim = lim — = — x—>a P(x') J-+0 2d d— *o 2 2 Como | ¿ 1 => no son equivalente.

... 296

sen3x.sen5x lim — jr~ > 0 ( x - X 3)2 D esarrollo sen3x.se/i5x senx.sen5x 3sen3x 5sen5x lim ----------——- = lim = lim . = 3(1) .5(1) = 15 *->o ( x - x 3)2 x 2) ^->o 3.v 5x

arcsen(,—f J L = ) 297

limx-*o

il-x 2 ln(l - x)

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152 D esarrollo arcsen(—¡=?==) lim ------£ 3 *-»0 ll'l(l - x)

298

lim

. = un, JE-*0 - X

Como ln x = x

y

= ijm ------ = iim _x^ _ x2

= _j .t->0

_ ^2

1 - x = -x

Jt—> 11 - X

D esarrollo hm

Inx

•*->11 — X

299

x = lim — =

- 1

Jt—>i —x

c o sx -c o s2 x lim -----------------X~*0 1 - c o s x D esarrollo c o s x - c o s 2 x ,, eos x - e o s 2 x + s e n 2x lim — — — — = lim *-»o 1 - c o s x *->o 1 -c o sx

-

,.¡imeos x(l - ---------------------------------------------------------------------eos x) + ( 1 - eos x)(l + eos x)

x—>0

1

- eos x

= lim (cos x +1 + eos x) = 3 . *- >0

300

Demostrar que cuando x —>0, las magnitudes — y -v /í+ x -1 son equivalentes, entre sí, empleando este resultado, mostrar que, cuando | x | es pequeño, se verifica la igualdad aproximada >/l + x = 1+ — (1). Aplicando la formula (1) hallar aproximadamente: a)

VTOÓ

b)

V 097

c)

D esarrollo

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VÍ 0

d)

VÍ 2 0


Para que a ( x ) = ^

que:

lim —— = *->o ¡3(x)

y j3(x) = Vl + x

- 1

sean equivalentes se debe de prc

es decir: lim — — = —.lim * - * 0 Vl + x - l 2 *->o J \ + x

1

- 1

Luego a (x ) y (i(x) son equivalente es decir: a (x ) - P(x) de donde:

2

301

~ \¡\ + x - l

y —+ 1 ~ \IT + x

es decir

2

= 1 + 0.03

Vl + x ~ 1 + —

2

a)

V l 06 = >/l + 0 .6 =1 + — 2

b)

V o97 = V i-0 .0 3 = 1 +

c)

VÍO = V Í+ 9 = ^9(1 + i ) = 3^1 + i = 3(1 + 0.556) = 3.167

=

>

=>

Vl 06 = Vi + 0.6 = 1.03

Vo!97 =1.0296

Demostrar que, cuando x —» 0, se verifican las igualdades aproxima siguiente, con precisión hasta los términos de orden x 2 . 1

Va + x

= a + — , (a > 0 ) 2a

a)

------» 1 —x 1 + x

c)

(1

d)

log (1 + x) ~ Mx, donde M = log e = 0.4342944 partiendo de e:

b)

+ x ) ” » 1 + nx (n, es un # natural)

fórmulas calcular aproximadamente. )

— 1— 1 - 0 .2

-2 ) . 1

5)

1.04 3

6

1

3)

0.97

)

0.93

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— 105

7)

lo g (l.l)

4)

Vlí


154 D esarrollo

1

se debe probar que : lim i ü = .t-»o 1- x

Para demostrar que — - ==1 - x 1+ x

0

1

Luego:

1 1 y

1

hm ------ = lim *->o 1 - x *->o i _ x

=1

En forma similar con los demás ejercicios. 302 .

Demostrar

que,

cuando

la

p (x ) = a 0x n + a lx n^ + a 2x n ' 2 + ... + a n

función

(a 0 *

0

)

racional

es

una

entera magnitud

infinitésimo, equivalente al término superior a 0x n . D esarrollo Para que sea equivalente se debe probar que:

lim

= 1 , es decir: a0x n

a nx " + a , x n~[ + a -}x " ~ 2 + ... + a n

lim -9 -------- !---------- 1--------------- -2.= *->°° a0x n = lim(l+-^-+— O o*

+

a 0x -

) = 1 + 0 + 0 + ... + 0 = 1

a 0x n

Luego P(x) y a 0x" son equivalentes. 303

Supongamos que x —x °° tomando a x como magnitud infinito de 1er o rd en j determinar el orden de crecimiento de las funciones: a)

* 2

-

1 0 0 * - 1 0 0 0

b)

c) x+ 2

d)

\jx-2x2 Desarrollo

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yfx + 7

x

Introducción al Análisis De acuerdo al ejercicio 293 se tiene que: a)

el orden de crecimiento 2 .

b)

el orden de crecim iento< ■

c)

el orden de crecimiento — 2

d)

el orden de crecimiento

1.5.

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES.-

le ra .

D E F IN IC IÓ N D E C O N TIN U ID A D .-

La función f(x) es contim x - x 0 (o en el punto jc0 ) sí:

1

Dicha función está determinada en el punto x 0 es decir que existe /

2

Existe y es finito él limite lim f ( x ) x-yxn

3

Este limite es igual al valor de la función en el punto l i m / ( x ) = / ( x 0)

jc0 ,

es

... ( 1 ) haciendo la sustitución ;t = ;to + A x 0 d

A.v0 —> 0 , se puede escribir la condición (1) de la siguiente forma: lim A f( x ) = lim [ / ( x 0 + A x 0 ) - / ( x 0 )] = 0 Aa'q—>0 —>0 Si la función es continua en cada uno de los puntos de un campo determii se dice que es continua en este campo. 2do.

PU N TO S D E D ISC O N TIN U ID A D DE UNA FU N C IÓ N .Si dice que una función f(x) es discontinua en punto x 0 , que pertenei campo de existencia de la función f(x) tiene finitos: lim f ( x ) = f ( x 0 x—>.xr0— 0

0

) y

lim / ( * ) = f ( x 0 + 0 ) •jc— >jco-e0

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156

Eduardo Espinoza Ramos Pero los tres puntos f ( x 0 ) , / ( ; t 0 - 0 ) y / ( x0 + 0) son iguales entre sí, entonces x ü recibe el nombre de discontinuidad de Ira. Especie. En particular, si / ( x 0 -

0

) = f ( x 0 + 0 ) , x 0 se llama punto discontinuidad evitable para que

la función f(x) sea continua en el punto x 0 , es necesario y suficiente que: f ( x 0) = f ( x o 304

Demostrar que la función

0

)= f(x0 + 0)

y =x2

es continua para cualquier valor del

argumento x. Desarrollo y = f(x) =x 2

i)

f(x) está definida para todo x e R

ii)

3 lim f ( x ) = x?¡ x->.x0

iii)

lim f ( x ) = f ( x 0) = Xq luego / ( x ) = x 2 es continua en todo valor del argumento x.

305

Demostrar que la función racional entera p( x ) = a 0x" + a 1 x"~I + ... + a n es continua para cualquier valor de x. Desarrollo

i)

P(x) está definida V x e R

ii)

3 lim p ( jc)= lim a 0x" + a lx n~l + ... + an x—*x0 X-*X0

iii)

lim p ( x ) = p ( x 0 ) = a 0XQ + a ,.rS _ 1 + ... + «„

Luego p ( x ) = a 0x n + a lx n~l + ... + «„ es continua para cualquier valor de x.

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Introducción al Análisis '06

Demostrar que la función racional fraccionaria. afíx " + a .x n '+ ... + a„ R( x) = ------------!---------------- —. l .i, 1 . b0x +bxx + - +. blm

Es continua para todos los valores dt

excepción de aquellos que anulan el denominador. Desarrollo i)

R(x) está definida para todo x e R, a excepción de aquellos valore anulan a b0 x m + btx m~l + ... + bn = 0

¡i)

¡ii)

anx n + a ,x n l +... + a„ a,y\n + a ,xñ 1 +... + a„ = - O ------ O ----------------¡ l 3 lim R(x) = lim-- 2 ---------- !-----*-*>V " +bix m l +... + bm b0x £ +b¡X™ x+... + bm n- 1 ■+ Q|—- ■ + V o + ¿ l* 0 + -" + fem

lim R(x) = ^

luego R(x) es continua a excepción de aquellos valores de x que anuí denominador. 307

Demostrar que la función y = yfx es continua para x > 0. Desarrollo i)

y = / ( x ) = Vjc está definida para x >

ii)

3 lim / ( jc) = J x f ■X-Mfe

iii)

308

lim

/ (jc ) =

/ ( j^ ) =

donde

jc0 6

0

[0 ,+°° >

yfxff =* y =

/ (jc )

= yfx es continua V x e [0,+c

Demostrar que la función f(x) es continua y no negativo en el intervalo (a,l función / ( jc) = y j f ( x ) también es continua en este intervalo. Desarrollo

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158

•)

/(-*) = \ J f ( x ) está definida que: f(x)

ii)

lim f ( x ) = I lim f ( x ) = y j f ( x 0)

¡ii)

309

> 0

V x e (a,b)

lint f ( x ) = / ( ^ ) = J f ( x 0) => f ( x ) = y j f ( x ) es continua V x e (a,b)

Demostrar que la función y = eos x es continua para cualquier valor de x. Desarrollo a) f(x) = eos x está definida para:

b)

| eos x | < 1, - oo < x < °°

lim f ( x ) = f ( x 0) = J f ( x 0 ) = lim x—

= lim A i-> 0

sen(X + 2

2

Ax sen — j + Av — .sen(— )A x = (-1) sen x (0) = 0 x 2 2

Luego y = eos x es continua en 310

- 2

Ax —>0

Para qué valores de x serán continuas las funciones: a)

tg x

b) Desarrollo

a)

tg x es discontinua en los puntos donde tg x = senx Como tgx = -------

, _ tg x = °o cuando eos x = 0

COSJC

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ctg x


Cuando x *■ hn ± — , 0 0

tg x es continua en x * h ± —

b)

co s(x

senAx _q + Ax) eos X

donde h = 0 , ± 1 , ± 2 ,...

ctg x es discontinua en donde ctg x = °° como ctgx =

eos x senx

= oo

<=> sen x =

0

pero sen x = 0 <=>. x = hrc, h e Z lim A.ctgx = lim (ctg(x + A x ) - ctgx) = 0 A*—>0

Ax—>0

entonces ctg x es continua en donde x * hit, h e Z 311

Demostrar que la función y = | x | es continua, construir la gráfica de función. D esarrollo y = |* | =

x si jc > -x

si x

0

< 0

Para que sea continua debe cumplirse: i)

y = | x | está definida en x =

ii)

3 lim | x | para esto se tiene lim | x | = lim | x | = 0

0

x -tO

x —>0

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=> lim 3 1 x \ x —>0


160 iii)

lim | x | = /(O ) jc—>0

=>

0=0

Por lo tanto es continua V x e R 312

Demostrar que la magnitud absoluta de una función continua es también una función continua. D esarrollo Sea f(x) = | f(x) | está definida para todo f(x) y por ser f(x) continua, está también definida para todo x. Af(x) = | f(x) + Af(x) | - | f(x) | Af ( x ) = J ( f ( x ) + A /( x ))2 - y j f ( x )2

lim Af ( x ) = Af(x)—*0

yJ(f (x) + A f ( x ))2 - y ¡ f ( x )2

lim 0

lim 4 f ( * ) [ 2 /( * ) + A /(x)l &f(x)-*o 2f ( x ) + A f ( x ) x~ - 4 313

Una función está dada por la formula / (x) =

, cuando x # 2 x -2 A , cuando x = 2

¿Cómo debe elegirse el valor de al función A = f(2), para que la función f(x), completado de está form a sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de la función y = f(x). D esarrollo A = f ( 2) = lim

x 2- 4

x->2 X — 2

= lim (x + 2 ) = 4 x -» 2

Luego A = f(2) = 4 es com o debe de elegirse para que sea continua.

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Luego / U ) =

-— x-2 4

x

f* + 2 , x de donde f ( x ) = \

# 2

, X= 2

* 2

* “ ' X= 2

Su gráfico es:

314

El segundo de la igualdad

/ ( x ) = l - x s e n — carece de sentido cuando x x

¿Cómo elegir el valor de f(0) para que la función f(x) sea continua en punto?. D esarrollo Para esto tomamos él limite de f(x) cuando x / ( 0 ) = lim (l - xsen —) j: - » 0 x

—1

—0 =

0

1

Luego elegiremos a f(0) de la siguiente manera: f(0) = 1. Es decir:

1

/(* ) =

315

- x s e n — para x * x 1 para x =

La función / (x) = arctg

0

0

x -2

carece de sentido cuando

x = 2, ¿Pu

elegirse el valor de f( 2 ) de tal forma que la función completada sea contir cuando x = 2 ?

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162 Desarrollo ( 2 ) = lim a r c t g — í— *-»2 jc - 2 continua. /

316

3

; luego no se puede elegir f( 2 ) de tal manera que sea

La función f(x) es indeterminada en el punto x = 0. Determinar f(0) de tal forma que f(x) sea continua en este punto, sí:

a)

(n es un # natural).

/ (jc ) =

Desarrollo

/ ( 0 ) = lim ^ + x->0

r/nV

— I

JC

a + JC)"-l

sea

1

+ x = a , x = a - 1 , cuando x —> 1 ; a —> 1

a"-l

/(O ) = lim ---------------= lim ---------= x-» 0 jc a->i a —1

n

= lim ( a n '"1 + a " 2 + ... + 1 ) = 1 + 1 + ... + 1 = rt a-> 1

Luego /(O ) = lim /( jc ) = lim x~*0

b)

CCn — 1

=n

a -» ! a - 1

1 —eos X f(x) =x2

Desarrollo / ( 0 ) = lim

/ (jc )

= lim

1 -C O S J C

— = lim

1 - c o s 2 jc

sen x 1 1 1 = lim — — .(------------) = (1).(— ) = *->0 jc 1 + eos jc 1 + 1 2

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Introducción al Análisis En forma similar para: i-

r,

v

,•

l n ( l + j c ) — l n ( l — j c)

„

c)

/ ( 0 ) = l i m / ( jc) = I n r i ----------------------------------- = 2 A — >0 A ~ » (l JC

d)

/(O ) = lim / ( x) = lim ------x —>0'

e)

/(O ) = lim *-»0

a —>0

/(jc )

■=

2

JC

= lim A^íen —= O >0 A'

/(O ) = lim x ctgx = 1

f)

*-♦0

A V E R IG U A R SI SON C O N TIN U A S LAS SIG U IE N T E S FUNCIONE!

317

y=

x -2 D esarrollo

La función y = ------ es continua en todo R, menos en x = 2, es decir que x -2 x=

318

es discontinua de 2 da especie.

2

1

y=-

+A

1+ A

Desarrollo

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164

y=-

+x

1 1

+ x)(l - x + x )

(1

\+ x

+x

y =1-

jc

, de donde para x

^ - 1

+ x 2 , luego la función tiene una discontinuidad en x =

-1

evitable.

Su gráfica es:

319

yJ l + X - 3 y= JC2

-4 D esarrollo

v 7 + x —3

(-n/V + x —3)(>/7 + x + 3)

l + x —9

x2 - 4

( x2 - 4 )(y ¡ l + jc + 3)

U 2 -4 )(V 7 + x + 3 )

y= -

x -2

1

(x - 2)(x + 2 )(\ll + x + 3)

(x + 2)(V7 + x + 3)

para x *

± 2

Luego en x = -2 es un punto de discontinuidad segúri especie y en x = 2, es un punto de discontinuidad evitable. 320

y=

M Desarrollo

wt t

Sí x > 0 x<

0

|x |= x

y=

| x | = -x => y =

1

-1

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Introducción a l Análisis Luego la función en el punto

x = 0

tiene una discontinuidad de pri

especie. 321

y = sen — x Desarrollo La función

y = sen — cárece de sentido cuando x n lim sen — 3 x-+0 x

discontinuidad de 2da especie, puesto que

322

x = 0, pero es

y=- X sen x D esarrollo La función en x -- 0 carece de sentido, pero es una discontinuidad evit puesto que:

X

1

y( 0 ) = lim --------= lim ------- = *-»o sen x j(-í0 senx x

1

Además en x = krr (k = ±1, ±2,...) son puntos discontinuidad infinita. 323

y = ln(cos x) Desarrollo Para que la función y = in(cos x) esté definida debe cumplirse que eos x Luego quitaremos los puntos donde eos x = 0, y además eos x < 0, es dei x = 2 k n ± — (k = 0, ±1, ±2,...). Luego los puntos de discontinuidad son:

2

x = 2k n ± -

2

324

(k = 0 , ± 1 , ± 2 ,...)

y = ln(/g Desarrollo

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166 En forma similar el

ejercicio

323

se

obtiene

que

los

puntos de

discontinuidades x = kn (k = 0 , ± 1 ,...) (infinita). 325

1 y = arctg — x

Desarrollo La función y = arctg— carece de sentido cuando x - 0, luego la función es x discontinua en x = 0 , de la especie. 326

y = (1 + x).arctg (------- ) l-x Desarrollo La función tiene en x = -1 un punto de discontinuidad evitable y en x = 1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.

327

i y = ex+1 Desarrollo La función en x = -1 carece de sentido, luego en x = -1 es un punto de discontinuidad de segunda especie. i

328

y =e Desarrollo La función en x = 0 carece de sentido, luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad evitable.

329

1

i l + e ]~x Desarrollo

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Introducción al Análisis La función en el punto x = 1 carece de sentido, en este caso es un punt discontinuidad de primera especie, es decir que / (jr0 -

0

) y f ( x 0 + 0 ),

diferentes.

330

X

y =

. Construir la gráfica de esta función

2 jc+ 1 , * > 3

D esarrollo

4

X

Sí x < 3 => y ~ x 1 x>3 331

=> y = 2 x + l

Demostrar que

la

irracional e igual a

función 1

de

Dirichlet X(x), que es igual a cero >

cuando x es racional, es discontinua para cada uno de

valores de x. D esarrollo

Í0, x e I X (x) = ( . Supongamos que es continua; luego [1, x e Q V e > 0,

8

> 0 tal que 0 < | x —a | < 5 = > | f(x) - L | < e

tomamos x, e / (Irracional), x, e < 0 - 5 , a + 5 > =>

| f(x )- L | < e

=> 10 —L | < e => | L | < e

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=> L = 0


168 además como x 2 e Q y x 2 e < a - S, a + 8 > =>

| f(x) - L | < e

=> 11 - L | < e => 1 - L = 0 es discontinua.

Luego L = 1. Llegamos a una contradicción.

A V E R IG U A R SI SON CO N TIN U A S Y C O N ST R U IR LA G R A FIC A DE LAS SIG U IE N T E S FU N C IO N E S

332

y = lim (x > 0) n-*~ ] + x " D esarrollo

Luego lim

=0 1

333

+ xn

y = lim (xarctg nx) D esarrollo y

-

lim (xarctg nx) = x a r c l g ( ° ° ) =

n—

nx 2

Como y = — la función es continua en todo x.

2

334

a)

y = sig(x)

b)

y = x Sig(x)

c)

y = Sig(sen x) 1

donde la función Sig.x se determina por la formula:

s ig (x )-

0

, x>

- 1, Desarrollo

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0

, x =0 * < 0


Y 1

<

0

X >-1

La función en x = O es un punto de discontinuidad de la primera espt

335

a)

y = x - E(x)

b)

y = x E(x), donde E(x) es la parte entera del número x. D esarrollo

Sí x e [0, l>

=> E(x) = 0

=> y = x

xe[l,2>

=> E(x) = 1

=> y = x - l

x e [2,3>

=> H(x) =

=> y = x -

x e [-1,0>

=> E(x) = -1 => y = x + 1

2

2

x e [-2,-2> => E(x) = 2 => y = x + 2 E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de la primera especie.

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170


336

Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos funciones discontinuas puede ser una función continua. D esarrollo

Consideremos las funciones / ( a ) =

a2 - 9

, .

a —3

a2 -4 a + 3

que están án

a-3

definidas en x = 3. x2-9 x -4 a + 3 Pero si sumamos: / ( a ) + g (x ) = ---------+ a —3 a-3

t,

, ,

,

,

f ( x ) + g( x) =

( a - 3 ) ( a + 3)

— (a - 3 )

+

( a —1 )( a —3 )

a- 3

,

= ( a —3)(

x + 3 + a - 1

a- 3

) = 2a + 2

f(x)+g(x)=2x+ 2 está definida V x, por lo tanto (f+g)(x) es continua V xeftl 237

Sea a una fracción propia positiva que tiende a cero (0 < a < 1) ¿se puede i

poner en Ja igualdad E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1, que se verifica para todos los valores de a , él limite de la cantidad a ? D esarrollo E(1 + a ) = E(1 - a ) + 1 donde E(1 + a ) = E(x) donde x = 1, lim a = 0 a -* 0 entonces reemplazando: lim a , por el valor de a . a->o

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Introducción a l Análisis lim £ ( 1 + a ) = lim E ( 1 - a ) + 1 = a->0 a~>0

£ ( 1

-

0

)+

= £ (1) +

1

1

=

1 + 1

=

2

Luego £(1) * lim £(1) entonces E(x) es discontinua en x = 1 en el inter a-*0 [ 1 ,2 > entonces no se puede reemplazar a por lim a a-» 0 338

Demostrar que la ecuación a 3 - 3 a + 1= 0 tienen una raíz real en el inter (1,2). Calcular aproximadamente esta raíz. D esarrollo Por fórmula de Cardano se tiene:

4-'4

w

además x 3 + px +

Luego: 339

a

X = A + B, donde

+(!> 2 y 1=0

de donde

a3

-

3a +

1 = 0 , reemplazando se tiene

e (1,2)

=

Demostrar que cualquier polinomio p(x) de grado impar tiene por lo menos i raíz real. D esarrollo Si n = 1 => p (x ) =

a 0x

+

a,

= 0 , aa ¿ 0

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=>

a

a. =— «o

e sra íz d e P (x )


172

Si n > 3 rx = a + i(3 , ( 3 ^ 0 es una raíz de p(x) =>

r2 - iP también es raíz

de p(x). Luego por el teorema del factor se tiene. p ( x ) = ( x - r,)(jc —r2) ,

R(x) = ( x 2 - 2 a x + P 1 + a 2 )

R(x) donde

grado

de R(x) = n - 2 > 1 siendo n - 2 impar. Por ser n impar. si razonamos por inducir opinamos de que R(x) tiene una raíz real y que también es raíz de P(x). 340

Demostrar que la ecuación tag x = x tiene una infinidad de raíces reales. D esarrollo Si: x e [0,1 > x e [ l,2 >

E(x) = 0 => y = x => E(x) = 1 => y = x - l

x e [2,3> => E(x) = 2 x e [ - l,0 > = >

E(x) = -1

y=x- 2 => y = x + l

x e [-2,-l> => E(x) = -2- => y = x + 2

E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de primera especie.

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Diferenciación de Funciones

CAPITULO II

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES 1 , 2.1.

CÁLCULO DIRECTO D E DERIVADAS.a)

IN C R E M E N T O D EL A R G U M E N T O E IN C R E M E N T O DE FU N C IÓ N .Si x, y x 2 son valores de x, mientras que

los correspondientes valores de la función

y

llama

el

Ay =

incremento y2 - y

llama

i

O

del sea

incremento

argumento

e y2

y, = / ( a , )

x en

=

f ( x 2)

= f(x), Ax = x 2 - x segmento

[ x ,, x 2

Ax = / ( x 2 ) - / ( x , ) = / ( x , + A v ) - / ( x , ) de

la función

y

= f(x) en el mismo segn

Ay [x ,, x 2 ]. (En la figura donde Ax = MA y Ay = AN) la razón — = representa el coeficiente angular de la secante MN de la gráfica c función

y = f(x)

y se llama velocidad media de la función y. e

segmento [ x ,, x, + A x ].

X

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174

b)

D ERIV A D A .-

dy Derivada y ' - — de la función y = f(x) con respecto dx Av al argumento x se llama él limite de la razón ——, Ax Av . . . . y ' = lim — si dicho limite existe. v->o Ax

cuando Ax tiende a cero, es decir:

La derivada y' = f ' ( x ) representa la velocidad de variación de la función en el punto x. c)

DERIV A D A S L A T E R A L E S.,lm / < * + * » ) - / ( * > A*-»-0 Ax

Las expresiones fU x ).

y

lim Aí-^+0

Av

Se llama derivadas a la izquierda y derecha respectivamente de la función f(x) en el punto x. Para que exista f ' ( x ) es necesario y suficiente que /_/ (x) = f l ( x ) . d)

D ERIV A D A IN FIN IT A .-

jr Si en un punto deteiminado tenemos que / ( x + Ax) - f ( x ) lim ---------------------- = Ar—>-*-0 AV

se dice que

la función continua f(x) tiene derivada infinita en el punto x. 341

Hallar el incremento de la función

y - x 2 , correspondiente al paso del]

argumento. a)

de x =

c)

dex = l a x | = l + h

1

a x, = 2

b)

D esarrollo a)

Ay = f(x + Ax) - f(x) donde y = / ( x ) = x 2

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de x,

= 1

a x2 =

1-1

Diferenciación de Funciones además Ax = X( - x = 2 - 1 = 1 => Ax = 1

f ( x | + Ax) = /( x , + 1) = (jc, +1)2 / ( x + Ax) = (x + Ax) , reemplazando se tiene: /(I + l) - /( 2 ) = 22 = 4 y f(l)= l Ay = f(l + 1) - f ( l) = f(2) - f( l) = 4 - 1 = 3 . b)

Luego Ay = 3

Ay = / (x, + Ax) - / ( x , ) donde Ax = 1.1 - 1 = 0.1 Ay = f(l + 0.1) - f ( l) = f ( l .l ) - f(l) Ay = ( l . l ) 2 —1 = 1.21 —1 -0 .2 1

.'42

Hallar Ay para la función y = $[x sí: a)

x = 0. Ax = 0.001

c)

x = a, Ax = h

b)

x = 8 , Ax = -9

D esarrollo a)

Ay = f(x + Ax) - f(x) Ay = / ( 0 + 0 .0 0 1 )- / ( 0 ) = f (0.001) = 3/0.001 = 0.1. Luego Ay = 0.1

b) Ay = f( 8 - 9) - f( 8 ) = f(-l) - f( 8 ). Luego Ay = - 1 - 2 = -3 343

¿Por qué para la función y = 2x + 3, se puede determinar el incremento , conociendo solamente que el incremento correspondiente es Ax = 5, mient que para la función y = x 2 no puede hacerse lo mismo? D esarrollo

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176

Eduardo Espinoza Ramos Ay = f(x + 5) - f(x) donde f(x) = 2x + 3 f(x + 5) = 2(x + 5) + 3 = 2x + 13 por lo tanto f(x) = 2x + 3, luego: Ay = f(x + 5) - f(x) = (2x + 13) - (2x + 3) = 10 y mientras que para la función y = x 2 se tiene: Ay = f ( x + 5 ) - f ( x ) = (x + 5) 2 - x 2

Ay = f(x + Ax) - f(x) => de donde se tiene:

Ay = -10x + 25

Av Hallar el incremento Ay y la razón — para las funciones: Ax

a)

b)

c)

y = —— — —, cuando x = 1 y Ax = 0.4 (x —2 ) y = y f x , cuando x

=

0 y Ax = 0.0001

y = log x, cuando x = 100,000 y Ax = -90,000 D esarrollo

a)

Ay = f(x + Ax) - f(x) =>

f(x ) =

Ay = f(l +0.4) - f(l) = f( 1.4) - f(l)

=> / a .4) =

= / ( 1-4) = t(l -4) 2 —2 ] 2

/(!) =

(-0 .4 ) 2

= 1 , reemplazando y efectuando tenemos: ( 1-

2)2

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0.16

Diferenciación de Funciones 21

21

Av 25 _ Ax 0.4

345

^5 21 ■= ------- , en forma similar para b) y c). 2 10

Av Hallar Ay, — , correspondiente a la variación del argumento desde x 1 Aa x + Ax, para las siguientes funciones:

a)

y = ax + b

b)

3

-

y =xi

1

y

c)

x d)

y -y fx

e)

y = 2*

f)

y = ln

D esarrollo a)

Ay = f(x + Ax) - f(x) Como f(x) = ax + b => f(x + Ax) = a(x + Ax) + b; Ay = f(x + Ax) - f(x) = ax + aAx + b - a x - b

=>

Av de donde se tiene: — = a Ax

Ay = a Ax, Ay — =a Ax

en forma similar para las demás funciones. 346

Hallar el coeficiente angular de la secante a la parábola

y =2 x -x

. Si

abscisas de los puntos de intersección son: a)

x¡ = 1 , x 2 = 2

b)

x¡ = 1 , x 2 - 0 . 9

c)

x, = 1, x 2 = 1 ■+

Hacia que el limite tiende el coeficiente angular de la secante en el ultimo c si h —» 0 ? Desarrollo

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178 Ay Coeficiente angular de la secante = — Ax Ay = / ( ; c, + A x ) - f ( x {) donde Ax = x 2 ~ x \

Ay = f(l + 1) - f(l) donde Ax = 1 entonces: Ay = f(2) —f( 1) Como / ( * ) = 2 x - x 2 => f(2) = 4 - 4 = 0

yf( l) = 2 - 1 = 1

Luego Ay = f(2) —f(l) = 0 - 1 = -1 Ay 1 Coeficiente angular de la secante = — = — = -1 Ax 1

Ay — = -1 Ax

en forma similar para los demás. 347

¿Cual es la velocidad media de variación de la función y = x 3

en el

segmento 1 < x < 4? D esarrollo Ay La velocidad media de variación es = — Ax Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 4 - 1 = 3 como / ( x ) = x 3 => f(l + 3 ) = f(4) = 64 y f ( l ) = l Ay = f(4) - f(l) = 64 - 1 = 63 reemplazando se tiene:

348

— = — = 21 Ax 3

La ley del movimiento de un punto es S - 2 t 2 + 3t + 5 donde la distancia se daj en centímetros y el tiempo t en segundos. ¿A que será igual la velocidad medial de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 y t = 5? i Desarrollo

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Diferenciación de Funciones AS La velocidad media = — At AS = S(t + At) - S(t) y At = t 2 - t ¡ es decir At = 5 - 1 = 4 => At = 4 AS = S(1 + 4) - S (l) = S(5) - S ( l ) = 70 - 10 = 60 . Luego:

349

A5 60 , cm — = — = 15— Al 4 seg

Hallar la pendiente de la curva y = 2 X en el segmento 1 < x < 5 D esarrollo Pendiente media de la curva = — Ax Ay = f(x + Ax) - f(x), donde Ax = 5 - 1 = 4 Ay = / ( I + 4 ) - / ( 1 ) = / ( 5 ) - / ( 1 ) = 2 5 - 2 = 2 ( 2

4

-

1

)

2(2 4 - l ) 24 - 1 15 pendiente media de la curva = ------------= = — = 7.5 4 2 2 350

Hallar la pendiente media de la curva y = f(x) en el segmento fx, x + Ax] Desarrollo Ay Pendiente media de la curva = — donde Ay = f(x + Ax) - f(x) Ax i i.• . , / ( x + A x )-/(x ) Luego pendiente media de la curva = ----Ax

351

¿Qué se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x? Desarrollo

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180

Se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x ai limite de la pendiente media de la curva Ax —> 0, el cual denotaremos por /'( jc ) , es j ■ decir:

352

Definir:

ív , ,f(x + A x ) - f ( x ) f (x) = l i m ------------— — Av-»o Ax a)

La velocidad media de rotación.

b)

La velocidad instantánea de rotación. D esarrollo

Sea (p(t) la magnitud del ángulo de rotación en el instante t.

a)

La velocidad media de rotación

b)

La velocidad instantánea de rotación = l i m

At

a /-> o

353

A(p(t) Ai

3
Un cuerpo calentado e introducido en un medio, cuya temperatura sea menor, se enfría. ¿Qué debe entenderse por:? a)

Velocidad media de enfriamiento.

b)

Velocidad de enfriamiento en un momento dado. D esarrollo

Sea T = la temperatura en el instante t. a)

Velocidad media de enfriamiento =

b)

Velocidad de enfriamiento en un momento dado = lim

Át

a

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/ -> o

At

=—

dt


¿Qué debe entenderse por velocidad de reacción de una sustancia en reacción química? D esarrollo Sea
355

Sea m = f(x) la masa de una barra heterogénea en el segmento [Q,x] que entenderse por: a)

Densidad lineal media de la barra en el segmento: [x, x + Ax]

b)

Densidad lineal de la barra en el punto x? D esarrollo

En forma similar' al ejercicio anterior se tiene que:

356

a)

Am La densidad lineal media = Ax

b)

La densidad lineal en el punto x =

dx

= lim *->o Ax

Hallar la razón — , para la función y = — en el punto x = 2: Ai x a)

Ax = 1

b)

Ax = - 1

c)

Ax = 0.C

¿A que será igual la derivada y' cuando x = 2? D esarrollo Ay = f(x + Ax) - f(x) => 1 Ay = 2 + Ax

1

Ay = f(2 + Ax) - f(2) donde f ( x ) ~ ■ x

1

-A x

2

2(2 + Ax)

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182 —Ax , a)

Ay 2(2 + Ax) 1 , , A , , , — = —-1 = ----------------- donde A x = l reemplazando tenemos: Ax Ax 2(2 + Ax)

— = Ax

b)

= -0.166 6

— = --------?------donde Ax = 0.1. — = - — = -0.238 Ax 2(2 + Ax) Ax 21 , Ay J 1 1 ademas y = lim — = lim----------------- — Ax— >o Ax Ax—>0 2(2 + Ax) 4

357

Hallar la derivada de la función y = tg x D esarrollo

y ' = lim — , donde Ay = f(x + Ax ) - f(x) A i - » o Ax Ay = tg(x + Ax) - tg x Ay tg (x + A x ) - t g x senAx y — lim — = lim - 2 - 1 2 - = lim Ax— >o Ax Ax->o Ax Ax— >o Ax eos x. cos(x + Ax) Ay senAx 1 1 . 1 2 y — lim — = l i m .------------------------=-1 (-------------- )-= ------~— = sec x Ax— >0Ax Ax-xO Ax cosx.cos(x +Ax) eos x. eos x eos X

358

Hallar y '= lim — para las funciones: Ax->0 Ax a)

y' = x 3

b)

y =\ x* Desarrollo

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c)

y -sfx

d)

c tg x

diferenciación de Funciones Ay = f(x + Ax) - f(x) Ay = f ( x + A x )3, - x 3 = 3 x 2 (Av) + 3x(Ax ) 2 + (Ax ) 3 Ay 3x“Ax + 3xAx2 + AxJ y ' = lim — = lim -----------:----------- — , en forma similar para los dem¡ a a - » o Ax a *->0 Ax 359

Calcular / ' ( 8 ) sí f ( x ) - ^ í x Desarrollo

/•(8),

im ,

lim Ax

A t ->0

A í-» 0

Ax

( W + Ax - 2)(V(8 + Ax) 2 + 2^/8 + Ax + 4) = l i m --------------p====k__---------------------------A x(y ( 8 + Ax) 2 + 2^/8+ Ax + 4) Ax 1 = lim ; ' . = lim A*r ~ >0 Ax( ^ / ( 8 + Av) 2 + 2 W + A x + 4) Ajr~ >0 ^ / ( 8 + Ax) 2 + 2^/8 + Ax + 4

\^64 + 2\/8 + 4 360

4+4+4

12

Calcular / '( O ) , / ' ( l ) , / '( 2 ) sí / ( x ) = x ( x - l ) 2 ( x - 2

)3

Desarrollo /X 0 ) = hm Ax—>0

Av

lim /JAjOz/CO) Ax

A *-*0

A x (A x -l)" (A x -2 ) - 0 = l i m ---------------------------------- = lim (Ax - l)"(A x - 2) = A»—>0 Ax Ax >0 361

-8

En que puntos la derivada de la función / ( x ) = x 3 coincide numéricamc con el valor de la propia función es decir:

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f ( x ) = / ' (x)


184 D esarrollo ^ y / ( x + A x )-/(x ) (x + Ax) 3 - x 3 / (x) = l i m ----------------------- = l i m -------------------A.V—>o Ax a.t-> o Ax

= lim

a*3 + 3 x 2A x + 3 x A x 2 + A * 3 - a 3

Ax—>0

_ o

como / ( x ) = / '( x ) entonces

.

.

a 2

*>2

= lim 3a + 3 a.Aa + Aa = 3a

Aa

Ax—>0

x3 =3x2

=> x 2 ( x - 3 ) = 0 => x = 0, x = 3

Luego la función coincide numéricamente en los puntos x = 0.3, x = 3 362

La ley de movimiento de un punto es S = 5 t2 , donde la distancia S viene dado en metros y el tiempo t, en segundos. Hallar la velocidad del movimiento en el instante t = 3. D esarrollo dS y S(/ + A 0 - S ( / ) S (t)V ( t) = — = l im -------------------di A(— >o At

5(1 + A t)2 - 5(t)2 5 t2 +\0t.At + A t2 - 5 t 2 V{t) = li m ------------------------ = lim A/ - > 0 At A/—>o At V(t) = lim 10/ + At = 10/

=>

V(3) = 30 m/seg

Aí->0

363

Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = 0 .1 x 3 , trazada en el punto cuya abscisa es 2 . D esarrollo

Coeficiente angular de la tangente es = lim — = y ' | a*->o Ax

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2


y ' = ,im a * -» o

/ ( 2

+ A x ) - / ( 2 ) = ]im 0 . 1 ( 2 + Ax) —( 0 . 1 ) 8 Ax aa-->o Ax

= lim 1.2 + 0.6Ax + A x 2 =1.2 A i—>o

364

Hallar el coeficiente angular de la tangente a la curva y = sen x en los pu (tt.O). D esarrollo , sen{x+ Ax) —senx senx.eos Ax + eos x.senísx- senx y = l i m -------------------------- = lim A t-> 0 Ax A r-» 0 AX senx(co$ Ax - 1 ) = lim [A x -» 0 Ax y' = senx(0) + e o sx

365

=>

eos x.senAx, Ax y '= c o s x

por lo tanto y'l^ ^ co sT T =

- 1

Hallar el valor de la derivada de la función: / ( x ) = — en el punto x = x ( x 0 y- 0 ). D esarrollo 1

l

1- ——--------------------f ( X0 + A x ^ ~ f ( . Xo ) Xn + A x “I /f V(x0)1 = lim = vlim-— ------------Xn2 - = ,• l i m ---------------A v -»0 Ax A x -»0 Ax A i - > 0 x 0 ( x 0 + Ax)

A-0(.X()+0) 366

X¿

A que son iguales los coeficientes angulares de las tangentes a las c u r

1

2

y - — y y = x , en el punto de intersección?. Hallar entre estas tangentes, x Desarrollo

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186

1

7

1

Como y = — e y = x , entonces el punto de intersección es: —= x x x

1

y ’U

x= 1

- 1

Ay — = - 1 = k\

= a Alim .v— >0-

7

y y' L i = aAlim0 ¡c->o

Ay — ~ = 2 = k*

tg e = h z h . = ± ± = 3

l + *,lt2 367

1 -2

i 1 Demostrar que las siguientes funciones no tienen derivadas finitas en los, puntos que se indican:

a)

y = \[x* en el punto x = 0

b)

y = \ / x - 1 en el punto x = 1

c)

2k + \ | eos x | en los puntos x = — - — n

(k = 0 ,± l,...)

D esarrollo S

,■

% 0 + A.x)2 - 0

f e ?

= lim /Vx— >0 Ax

1

= lim —= = <=° Ax->0 ijAx

a)

/ ( 0 ) = hm — A*—>0

_ b)

5/(l + A x ) - l - 0 5 / S .. 1 / ( 1 ) = lim — = lim = lim - 7 = = °° Ax— >0 At Ax-*0 Ax Ax-»0 2 /^ -4

c)

, 2* + 1 | cos( / J ( --------n ) ~ lim 2 Ax—>0

At

1

,

+1

-

. .

7t + Av) |

Ax

IsenAxI -se n A x , = lim J 1 = lim = 1 Ax—>0 Ax Ax—>0 Ax

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Diferenciación de Funciones i ,2*+1 |co s(—— 7t + A í)|

.o t + i

f j ( —— jt) = lim 2

Ax

Ar->0

I senAx I senAx , = lim ---------- - - h m =1 Ax-»0 Ai Ax—>0 A i ,2 * + l , „| 2k + \ Como /_'(■— - — Jt) * f f (—- — Jt)

=>

y = | eos x | no tiene deriva

2k + 1 en los puntos x = ---------, k = O, ± 1 ,

2.2.

DERIVACION POR MEDIO DE TABLAS.a)

REG LA S P R IN C IP A L E S PARA H A LLA R LA DERIV A D A : Sea k una constante, entonces:

u = f(x) y v = g(x) dos funciones derivab

(k)' = 0

2

3)

( « ± v ) ' = m' ± v'

4)

(hu)' = ku'

5)

(«»') = uv

)

(—) = ■

1

)

+ vm

6

) (x )’= l

V

7)

b)

k s, ( - ) '= v

kv' y

7

, v*

TABLA DE LAS PR IN C IP A L E S.1

)

3)

v2

0

D ERIV A D A S

DE

LAS

Cx n )' = n x n

2

(senx)' = eos x

4)

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)

FU N CIO N

(V Í)' = _ J _ (eos x )'= -sen x

Eduardo Espinoza RamoS

188

(tgx)' =

5)

7 = se c " x

1

6

1 2 (ctgx) = -------- — - - e o s ec x sen x

)

eos x

(aresenx)' ■

7)

x <

1

x

< 1

VTV 8

(a rc q sx )' = -

)

Vi - JC2 1 10

)

(arcctg x ) ' = — -----• x +1

( a x ) '= a x \na

1 2

)

(ex )' = e x

13)

(ln x ) 1 = — , x > 0 x

14)

(logfl x ) ' —

15)

(senhx)' - cosh x

16)

(cosh x)' - - se n h x

17)

(tghx)' = cosh" x

18)

(ctg hx)'■

19)

(aresenhx)' =

(arctg x ) ' - ■

9)

1

1 1

)

+X"

1

)

1

senh~x

í \ +x

2 0

x ln a

(are cosh x )' = -

<1

X

V xM 2 1

)

(arctg hx ) ' = l-x ¿

2 2

)

(arcctgh x ) ' = — x2 - l

Ix | <

=>

1

IX I> 1

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l°g a e x

Diferenciación de Funciones c)

R E G L A PA RA C A L C U L A R LAS FU N C IO N E S C O M PU ESTA S. Sea y = f(u) donde u = g(x), Es decir: y = f(g(x)) donde “y” y “u” derivables, entonces y'x = y'u ,u'x en otras notaciones: dy _ dy du dx

du dx

esta regla puede aplicarse a cadenas de cualquier numero finito funciones. 1

368

FU N C IO N E S A LG EB R A IC A S.

)

y-- x 5 - 4 x

3

+ 2x- 3 D esarrollo

dy dx 369

- y ' = 5x 4 - 1 2 x 2 + 2

y = — ~ — + x 2 - 0 .5 x 4

4

3

D esarrollo y = -

dx

370

= - - + 2x - 2x } 3

y = a x 2 + bx + c

D esarrollo dy y '= — = dx 371

2

ax + b

5x y= -

a Desarrollo dy__ dx

15x a

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190

372

y = at'" + b tm+" Desarrollo y ' = ^ l = amt'"~x + {m + n)btm+"~l dt

373

ax6 +b y=f a 2 +b2 Desarrollo ,_ d y _

ax

J a 2 +b2

* 374

6

y = — + ln 2 * Desarrollo

v’_ dy _

71

2

375

5

y = 3xi - 2 x 2 + x ^ Desarrollo / — y ’ = — = 2x 3 - 5 . * 2 - 4 j T 5 í/jc

376

y = x 2 yfx2 Desarrollo 8

y = x 2sjx2 —x 2x 2 —x 2 , derivando tenemos:

y ' = — = —jc dx 3

2

377

y = —^ = ----Desarrollo

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8

Diferenciación de Funciones u

a b y = -7 = —

xlTx

u

a =—

b

2

4

-z -r . y = ax 1 - b x i , derivando tenemos:

4

r3

v3

, dy 2 -4 4/> - r y = — = — ax 3 + — x 3 rfjc 3 3

378

2

=>

=*

, dy 2a 4b y = — = -------------------dx 3x yfx 2,x247 ~

y « fl + fa c + dx Desarrollo , _ dy _ (c + dx)(a + b x ) ( a + bx)(c + d x ) ' (c + dx) 2

di

, _ dy _ (c + dx)b - (a + bx)d _ be - ad di

379

y=

(c + dx ) 2

(c + dx ) 2

2x + 3 x2 - 5 x + 5 Desarrollo dy _ (x - 5 x + 5)(2x + 3 ) '- ( 2 x + 3)(x" - 5 x + 5)' di

,

(x 2 - 5 x + 5 ) 2

dy

2(x 2 - 5 x + 5 ) - ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 5 )

dx

(x 2 —5 x + 5 ) 2

dy _ (2x 2 —10x+10) —(4x 2 —4x —15) di

380

(x 2 - 5 x + 5 ) 2

y = — ----- -2 x -l x Desarrollo

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, ^

dy

- 2 x 2 - 6 x + 2í

dx

( x2 - 5 x + 5)


192

.•-¿ y _ dx

2

í 2 jr~ i) ' ( 2 jc —l ) 2

,_ d y _ y

381

dx

1 _ -4 x 2 +4x2 -4 x + l

4

x2

(2 x - l ) 2

_ dy _

1 - 4x

dx

x2 (2 x - l ) 2

y=

1

+ Vz

1

-V i-

-(•*)' x2

x2 (2 x - l ) 2

D esarrollo

dz

. dy dz

2)

382

(1 - V z ) 2 1- yfz

1+ \fz

2ylz

i'I z

(1 -V z)2

FU N C IO N E S INVERSAS.-

.

^

1

*

V z (l-> /z )2

T R IG O N O M E T R IC A S

Y

C IR C U L A R E S

y = 5 sen x + 3 eos x D esarrollo ,d y y = — = 5 eos A' - 3senx dx

383

y = tg x - ctg x D esarrollo , dy 1 1 sen2x + eos2 x y =— = r— + r- = 5 5— cía; eos x se« x sen~x.eos x

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=>

dy 4 y = — = ---------- 7 dx (se n lx )

Diferenciación de Funciones .... 384

senx - eos x y - senx - eos x Desarrollo , _ dy _ (senx - eos x)(senx + eos x) dx

(senx + eos x)(senx - eos x) ’

( s e n x - eos x)

2

, _ d y _ (senx - eos x)(cos x - senx) - (senx + eos x)(cos x + senx) dx

y =

(senx - eos x)

dy

- (s e n x - eos x ) 2 —(senx + eos x)*

dx

(senx - eos x ) 2

v ' _ d y _ - s e n x + 2s e n x . c o s x - c o s ~ x - s e n ~ x —2senx.cosx —c os''x dx

(se n x -e o s x ) 2

_ dy _ - 2( s e n 'x + cos x) dx

385

( s e n x - c o sx ) 2

-2 ( s e n x - c o sx ) 2

y = 2tsent - ( t 2 - 2) eos t Desarrollo y' = — = 2sent + 2t c o s t - 2tc o s t + (t~ - 2)sent dt

y ' = — = 2sent2 + t s e n t - 2sent = t 2sent dt 386

y = arctg x + arcctg x Desarrollo

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— = t 2s dx


194 387

y = x ctg x Desarrollo , dy y = — = c tg x dx

388

x

— sen x

y = x arcsen x Desarrollo , d\ e jt M A + i v = ——— = w# arcsenx *

x

...... —

_ (\ + x 2) a r c t g x - x y

2 Desarrollo

, d\ 1 1 y - — - xarctg x + --------= xarctg x dx 2 2 3) 390

=>

, dv y = — - xarctg x ■ í¿v

FU N C IO N E S E X PO N E N C IA L E S Y L O G A R IT M IC A S.-

y=*V Desarrollo y ' = — = 7 x 6ex +X1e x —e xx b( l + x) í/x

391

=>

y = ( x - l)e x Desarrollo y ' = — = ex + ( x - l ) e x — xe dx

392

y = 6 x2 Desarrollo

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y ' = — = x V ( x + 7) rf.v


dy _ x 2(ex ) ' - e x( x 2)' _ x 2e x - 2xe x V ~~dx~ 393

7

dy _ ex ( x - 2)

7

^

} ~~ dx~

I2

y =— Desarrollo , _ dy_ _ ex (x5) ' - x 5{ex y _ 5 x V l - x ' e x dx

394

q2x

, _ dy _ x 4 ( 5 - x)

e2x

V

dx

ex

f ( x ) = e x cosx Desarrollo / '( x ) = e* (co sx )' + (e x )'c o sx = e x co sx - e x senx , de donde se tiene: f ' ( x ) = e x (eos x - senx)

395

_v = ( x 2 - 2x + 2)ex Desarrollo

y' = — = ( 2 x - 2 )c* + ( x 2 ¿v 396

2

x + 2 )c r

=>

v' = — = x2ex
y = e x are senx Desarrollo . dy X/ 1 y = — = e (aresenx + —7= ) dx V l-x 2

. ^ .V = — = e aresenx + —¡----y l-x 2 397

y=— ln x Desarrollo , _ ¿/y _ (ln x ) 2 x - x dx

(ln x ) 2

,_ ¿y _ x( 2 1 n x - l ) ^

dx

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(ln x ) 2


196

398

x3 y = a 3 ln a -----3 D esarrollo , dv _ 2 * 2 2 y = — = 3x l n j r + r - r dx

399

=>

i dy . 2 1 y = — = 3a ln.v ' dx

1 „, ln a y = — i- 2 ln A*------r x x

D esarrollo ,

dy

1

x(lnjc)'-(ln.v).v'

2

y ~ T x ~ ~ ^ + ~x ,_d y _ dx 400

^

1

2

1

ln x

x1

x

x1

x2

, _ dy _ 2 dx

’V

x

2

ln x

x2

x2

y = ln.v. l o g x - l n a .l o g a x D esarrollo , _ d y _ log a¿/.x 4)

401

x

ln jc

ln«

dy _

(lnlO)A'

.vino

d.v

ln.v

1

a

FU N C IO N E S H IP E R B Ó L IC A S E H IP E R B Ó L IC A S INV ERSA S.-

y = x senh (x) D esarrollo y 1 = — = senhx + cosh a dx

402

2

xlnlO

y=

* cosh A D esarrollo

, _ dy _ 2 a cosh a —x~senhx dx

cosh 2

a

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y = tgh x - x Desarrollo , dy 1 y = -j- = dx c o s h 'x

,

l - c o s h 2 .v — cosh x

=

1

=>

, dy senh2x y = - f - = --------- z— = -tgh~> dx cosh x

y J j!É E

404 In x

Desarrollo n, / 1 s Ictghx 31nx.(-------- r - ) ------ — >■' = — = ??nh.x ------- í — t dc Jonde se tiene: dx (lnx )2 , _ d y _ -3(.vln x + senhx. cosh .v) dx 405

x ln 2 x.senil2x

y = arctg x - arctgh x Desarrollo

y 406

dy

1

dx

l + x2

( l - x 2) - ( l + x 2)

1 1

-x

2

(l + x 2 ) ( l - x 2)

^

,

dy

- 2x 2

V

dx

1

-x

4

y = (aresen x)(arcsenh x) Desarrollo dy y = — = (aresenx)'arcsenlvc + arcsenx.(arcsenhx)', de donde se tiene: dx ,

dy

arcsenlix

aresenx

dx

sjl-x 2

V I+ x 2

y ' = -X - = —

407

árceos hx y = -----------Desarrollo

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198

- ■:=■==■ —- árceos ¿uttu» hx r—--X , _ d y _ y A-2 - l _ x - \¡x - 1 . árceos hx dx , y

408

x2

dy _ x - six2 -

1

xl 4 x2- \ . árceos hx

X2>Jx2- 1

dx

y = arct*hx l-x D esarrollo 1

dy y

' - j

dx

E)

409

- x2

- — —

- ( - 2x)(arcctghx) (1

t ~ 2 --------1 —

—x )

1

=> -v ' = - f

FU N C IO N E S C O M PU ESTA S.-

y - ( 1 + 3 a - 5 a: 2 ) 30

D esarrollo

y ' = —

dx

y 1= —

= 3 0 ( 1 + 3 a — 5 a 2 ) 29 (1 + 3 a - 5 a 2 ) ’

= 3 0 ( 1 + 3 a — 5 a 2 ) 29 ( 3 - 1 0 a )

dx

y = (—

410

f

C

Desarrollo

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dx

+ 2xarcclgh x (I-A 2

)2


411

f ( y ) = (2a + 3by) 2 D esarrollo f ' ( y ) = 2(2a + 3b y)(2a+ 3by)'

412

f ' ( y ) = 6b(2a + 3by)

=>

y = (3 + 2 x 2 ) 4 D esarrollo

y ' = — = 4(3 + 2x2)3(3 + 2x2) ' dx 413

3

=>

>’’ = — = I6x(3 + 2x 2 ) 3 dx

1________________ 1

5 6 ( 2 x - l) 7

24(2x —l ) 6

4 0 (2 * - l ) 5 D esarrollo

y = ¿ ( 2* - i r 7 - ¿ ( 2* 56

24

y '=y - = <¿x

y

, = dy = dx

1)-6 -

i - ( 2* - i r 5 40

(2 x ~ D " 8 - 2 - ¿ (-6 X 2 * - 1)”7.2 - i - (-5 )(2 * 24 40

56 -3

1

1

4 (2 * - l ) 8

2(2* - l ) 7

4 (2 * - l ) 6

----------------------------- 1------------------------------ 1---------------------------

, _ d y _ —3 + 2(2* - 1 ) + (2* - 1) 2 _ ^

414

<¿*

4 (2 * - l ) 8

4*2 - 4

Desarrollo

2

=

(1

x2 - l

4 (2 * - l ) 8 ~ ( 2 * - l ) 8

y = 4 1 -x 2

y = V1 - x

_

- x 2 ) 2 , derivando tenemos:

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200

y ' = — = - ( 1 - a 2 ) 2 (1 —jc 2 ) ’ => dx 2

y' =— = dx

~V 2(1-

dy

x

dx

J í^ x 2

por lo tanto '

a

2)2

* 415

y = yja + bx 3 Desarrollo i y = \ a + bx 3 = (a + bx3)3 , derivando tenemos: , dy 1 3 3 y = — = —(a + foc ) 3(a + bx ) dx 3 ,_ d y _ dx 2

416

y = (a 3

,

dv

3 ¿>a 2

=> >> = — = — ------dx 3(a + (?A3 ) 3

bx2 \l a + bx3 2

3

- a3)2

Desarrollo 2

y 1 = — - = —■(a 3

dx

2

2

f~2 y

,

dy

417

va3 -

= - Z . = -------------—

dx

1

—A^) 2

yjx

a

2

(a

3

2

/ 2

— A 3 ) ■ =>

7

r~2

3

Va3 -

=

y' =

2

1

— = — V a 3 - a 3 ( - —a

dx

2

3)

3

7 a

3

=>

-

y

,

=

dy dx

,ja ^

= -3 —

- l

,

VX

y = (3 —2senx)5 Desarrollo y 1 = — = 5(3 - 2íe«A ) 4 (3 - 2seux)' dx

=> y ' = - = - l 0 c o s x ( 3 - 2 s e n x )4 dx

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418

y = t g x ~ t g 3x + j t g 5x Desarrollo

>’'= — = — ~2------ls 2x(tg.x)' + tg4x(tgx)' dx eos — ¿X

y ' - dy 1 dx eos 2 x 419

tg2x | t8¿>X eos 2 x eos 2 x

l - t g 2x + tg4x

y ’- ü L d:

eos 2

X

y = yjctgx —-Jetgee Desarrollo 1

y = d l = (ctg xy_ 0 dx

420

2

^

cfy _ sen1x dx lyjctgx

yjctgx

1 2

sen2Xyjctgx

y = 2x + 5 c o s3 x Desarrollo

y ' = — = 2 + 15cos2 x (co sx )' dx 421

=> y ' = ^ - = 2 dx

15 eos 2 x.senx

x = c o se c 2í + sec2 1 Desarrollo x\t) = — = dt

2

eos m .(c o s ec t)'+ 2 sec /.(sec / ) '

x '(/) = — = dt

- 2

eos err. eos ect.ctg t + 2 sec t. sec t.tag t

www.FreeLibros.me


202

dx X (t) = — =

oí

• „ a

. dx 2 ( c o n * t - s e n 41 ) X ( D = — = -------------- 3-------- 3-----dt s e n t . eos t

=»

dx

2(cos2 í + sen2t){cos2 t —sen2t)

dt

sen^t. eos3 1

(/) = — = —

dx X (/) =

2c tg t 2 tg t V + — 1“ eos t

dt

2

(cos t - s e n " t )

16cos2í

= -------------------------------------------- = --------------- 7—

, sen2t 3

seo32/

2 422

/(* ) = 6 ( l- 3 c o s a ) 2 D esarrollo 1

/ (a ) =

( 1 - 3 cosa) 2

6 (1 -3 c o s a )

,

.

= ------------------- , derivando se tiene: 6

2(1 - 3 eos a ) 3( 1 - 2 c o s a ) ’ , , / ( a ) = ---------------------------------------------------- , de donde se tiene:

/ ’(*) =

AAA

(1 - 3cos a ) 4 (3.yena )

(l-3 c o s a )3

1

3— eos T a~ ~

4 23

senx

1 cosa

D esarrollo

y

eos 3 a , ,_ i , . -------------(eos a ) , derivando se tiene:

, - 3 eos 4 a ( c o s a ) ' y = ------------------------ + eos * a ( c o s a ) 3

=>

www.FreeLibros.me

, senx senx y = ----- ----------- ,— eos a eos x


se/ix(l - eos 2 x) 4

eos x

424

sen^x eos 4 x

3senx- 2 c o sx

y=

5 Desarrollo 13senx - 2 eos x

5---------- =<-------- 5------->

y "V 1

,3 senx - 2 eos x - r 3senx - 2 eos x .,

y - 5 (

y

, 3senx - 2 eos x -z

I

1 2'

, _ 1 3senx - 2 eos x ~ -5 ,

dy

i

>

3 eos x + 2senx 5

1 3 c o sx + 2senxs 1 :--------- )5 ¡3 sen x-2 cosx

y = .---------

dx

2

y, _ d y _ dx

425

3 eo sx + 2senx 2 \¡ l 5 s e n x - l0 c o s x

y = si sen2x + eos x Desarrollo 2

y = sen ^ x + eos - 3 x , derivando se tiene:

, dy 2 — _4 y = — = —sen i x .(se n x )- 3 c o s x(cosx) dx 3

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•=>

dy 2 co sx y =— =— dx 3

3xei ----eos2


204

246

-

y = V í + aresenx Desarrollo

, dv ( 1 + aresenx)' , , y = — = — = = = = = , de donde se tiene: dx 2 v l + aresenx 1

v.

_ d*

427

sjl-x 2 2

________ j________

VT+ aresenx 2s l \ - x 2 s¡\

+ aresenx

y = y¡are tgx —(aresenx)' Desarrollo , dy (arctgx)' ,2 . y = — = — r ....-2___ —3(aresenx) (aresenx) dx 2yjarctgx 1

y ' - — = —^ *- 3(
428

3(aresenx)2

1

+ .v2 ) j arctgx

2(1

\J \-x 2

v = — -— arctgx Desarrollo 1

,_ d y _ dx

429

(arctgx)'

y , _ dy _

(arctgx)2

'

dx

y = sjxe* + x

Desarrollo

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1

+ x2

(arctgx)2

1 (1

+ x 2)(arctgx)2


, _ dy dx

430

(xex + x )' _ e x + xe' 24 x e ' + x

+ 1

2 'J~xex + x

y = 4 2ex - 2 x +l + ln 5 * D esarrollo ji y = (2e x - 2X + 1 ) 3 +

y'=

y

,

dx dy

= _

dx

431

ln 4

x , derivando se tiene:

- 1 (2ex - 2X + 1) 3

3

(2ex - 2X + 1) '+ 5 ln 4 .v(ln x ) '

2e x - 2x

51n4 x

3^/(2x _ 2 jr + 1 ) 2

*

= — —

= = = s s ^ + .

y = sen3x +eos ^ + t g 4 x D esarrollo

y ' = ~ r = e o s 3x(3x) - $ « 1 (7 X7 ) ’+ — ^ - 7= ( 4 x ) '

dx

5 5

eos f x

4y = 3 c o s3a x —1 sen — x +1 y .= — 5 5 2yfx eos 2 V* 432

y = sen(x2 —5x4- \) + tg — x Desarrollo

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Eduardo Espinoza R am os

206

, dV .. , 2 .s 0 ■y = — (2 a - 5)cos(x —5 jc+ 1)--------------dx

433

f(x)

x

= eos

(a x

•>

eos

2 a

—

X

+ [})

D esarrollo f \ x ) = - s e n ( a x + P ).(a x + P )'

434

f(x) =

s e n t. s e n

=>

f'(x) = -asen(ax+ (5)

(t + (p) D esarrollo

/ ' (í) = (sent)' sen(r + (p) + sent.[sen(t + (p)]' / ’(í) = e o s t.s e n (t +

(p) +

se n t. e o s (t +

s e n ( 2 t + (p) s e n ( 2 l + tp) f \ t ) = ------ 1 r J + 2 y

435

(p)

=>

f ' ( t ) = s e n ( 2 t + cp)

1- eos 2 x

y = ------------

1+ eos 2 a

D esarrollo ,

dy

_ (1 - e o s 2 x ) ( l + e o s 2 a )

dx

’

(1 + e o s 2 a ) ( 1 - e o s 2 a ) '

( 1 - eos 2 a )2

, _ d y _ - 2 s e n 2 x ( l - e o s 2 a ) - (1 + e o s 2 x ) 2 s e n 2 x

dx

(1

—c o s 2 x ) 2

dy -4sen2x -4 se n 2 x , , , y = — = --------------------- —— = ------- -— , de donde se tiene: dx (1 -c o s x + sen x) 4 sen x

y

, = dy = ----------------- 2senx.cos x ax

sen x

=

- 2

eos x ^

sen x

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|


436

f ( x ) = a.ctg(~) a Desarrollo f \ x ) = a.(

437

y

í )(-)' = — 1 2/ x \ a 2/ x \ sen (—) sen (—)

= — —cos(5x2) - —c o s a :2 20 4 Desarrollo

y ' = — = — sen(5x2 )(5 x 2)'+ —senx2(x 2) dx 20 4 , dy 1 0 * .. 2x 2 y ~— = sen(5x ) + — xe«x dx 20 4 438

=*

, dy x 2 * 2 y = — = —sen5x 4 —senx 2 dx 2

y = arcsen 2x Desarrollo y , _ dy_ __ ( 2 * )' ^

439

_

\J\-4 x2

2

'J1- 4 x 2

y = arcsen - ~ JC~

Desarrollo 1

,

2

, rfy (p } y = —— — ■■■■• ------ =

r x.4 JC

440

2 * 2

-• -— = ------,____

v*4-i

*3v* i

,2

/ ( x ) = arccos(Vx) Desarrollo

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=*

-2 , dy y =— =■ :>/x 4 —1


208

. (^ j _ ’

/ '( * ) =

=_ t¿ L

441

=>

f X x) = -----------

Jl-x

a/i-íTI)2

2yfxJ\^X

2\[x^.

y = arctg — x D esarrollo 1 , 1 (-) 2 x y =— r =— f— => 1 . J _ X 1 +1 X x2 r~ 2~~

... 442

y = arctg(

dy dx

,

y

x1 +1

l + -^s ) \-x D esarrollo l +x

(1

—-t ) —(i+-y)(—l)

y '- dydx

O - ^ 2) i+( i^ ) 2

i + íl± £ )l (1 — jc )2

l ~ x

, dy y =— = dx , y ~

443

1

1

+*

( 1 —JC)2 + ( 1 +

dy dx

- x+

jc) 2

2 , , = ------------------------------ . de donde se nene:

1 — 2 jc -4- JC -4- 1 + 2

1

~

1

+ x2

v = 5e~*2 Desarrollo

y ' = — = 5é~* { - x 2)' = - 1 Oxe- * dx

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jc - i- jc


444

y =- 1 5 D esarrollo , dy (5X ) ' 2 *5*'ln 5 y - — =---------- ----------T— dx (5*' f 52x'

445

, dy 2*ln 5 „ y =— = — = 2x.5 dx 5X~

=>

e ln 5

y = x 2102x D esarrollo

y ' = ^ = ( x 2) ' 102x + x 2(102x)' dx

y ’= —

=>

y' = — = dx

2 x . l 0 2* + * 2 1 0 2jt2 1 n l 0

= 2 A .1 0 2 l (l + A l n l 0 )

dx 446

f{t)-tse n 2 ' D esarrollo

f ' ( t ) = sen2 ' + t s e n 2 ' ( 2 ' y 447

=>

/ '( O = sen2 ' + 2 ' t ln 2.sen 2 '

y = are sene* D esarrollo y '= ± =-. dx

448

É’ •e2*

y = ln (2x + 7) D esarrollo y , _ d y _ _ { 2x + 7Y _ dx

449

2* + 7

2 2x+7

y = log (sen x) Desarrollo

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210 , dy (senx)', cosx, v =— = -log
y = ln(l -

, dy , y = — = c tg x. loge ' dx

) D esarrollo

dy y =

451

(1

dx

- 2x

—jc2 ) ’ l-x 2

'

- 2 ■X

y = ln 2 x - ln(ln x) D esarrollo 1

dy y =— = dx ,

y >_

dy _

2

2 ln

dx 452

dy 1 y v = — = 2 1 n x ----------dx a: ln x

(ln ln Jt(ln x ) -------------- => ln x x

x

,

1

x ln x

y' = \n(ex + 5 senx - 4 a resenx) D esarrollo ex +r 5 eos x -

4

c

,

dy

(ex + 5 senx —4a re senx) ’

dx

e x + 5senx - 4arcsenx

y ' = ^ - = --------------------------------------------------------

453

,

=>

dy

y. \- -x ex + 5 s en x -4 a rc se n x

y = --------= ----------------------------------------------------

'

, _ dy _

(ex + 5 eos x)sjl —x 2 - 4

dx

J \ - x 2 (ex + 5senx - 4aresenx)

dx

y = arctag (ln x) + ln (arctag x) D esarrollo 1

y

,

dy

(ln x)'

. (arctgx)'

,

= ------ = ---------------------_ H -----------------------------= >

dx

1

+ (ln x)

,

dy

x

dx

l + (inx)

y = ---------

arctgx

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, l +x2

- H -----------------

arctgx

Diferenciación de Funciones , y ~

454

dy dx

~

1

1

x(l + (lnx) )

(1 + x )arctg x

--------------— 1------ i----------

y = V lnx + 1 + ln(>/x + l) D esarrollo , dy (ln x + 1 )' 1 y - — = —r L + --------dx V2 ln x + 1 2 ( x + l)

=>

,

dy

1 x

1

dx

f21nx + l

2(x + l )

v ' = ^L = - _ ¿ =— + ---------

, dy 1 1 y = — = — /■ ■ + --------dx 2 x v ln x + l 2 (x + l)

6

455

)

FU N C IO N E S D IV ERSA S:

2* * y = sen 5x.cos — 3

D esarrollo dy 9 x i x x y ' = — = 3sen~5x(sen5x)'cos — + sen 5x.2cos—(eos—) ’ dx 3 3 3 y ' = — = 15.9«?25x.cos5x.cos2(—) — s « r 3 5x.2cos — s e n 2 dx 3 3 3 3 456

11

y=2

(x -2 )

x —2 D esarrollo

dx

dx

2

2

(x -2)

( jc —2 )

(x -2)

(x-2)

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212 dy

,

y

457

11

4

— rr+ —

dx

(x -2)3

dy

,

i :?

(x -2)2

11 + 4 (

y = -r = -

=>

dx

'

x - 2)

(x -2)3

15 ___________ 1 0 ____________ 1 _

y-

4(.v - 3 ) 4

3 (x -3 )3

2(x -

3 )2

D esarrollo

y

=

- ^ (x -

3F 4

-

4

{x -

~

3 )-3

—i

3

(x

-

3)-

2

y ' — —— = 1 5 ( a ' — 3 ) - 5 + 1 0 ( a - 3 ) ~ 4 + ( a - 3 ) ~ 3

dx ,

dy

15

10

y ~ — —-------------,

dx

(x -3 )

dy

l5 +

(a - 3 )

(a - 3 )

1 0 (x -3 ) + ( x - 3 ) 2

y ~ • ~ ------- — dx

458

1

r H------------ ?

-----------------

(x -3)3

, =>

dy

-v = - r r‘

dx

v«

y

8(1- a 2)4

D esarrollo , _ d y _ _ l [(1 - a 2 ) 4 . 8 a 7 - a 8 .4 (1 - a 2 )3 ( —2 a ) ]

~ dx~ ,

459

( I - a 2 )8

&

dy

x7( l- x 2)+ x9

dx

( I - a 2 )5

a

7

( 1 - x 2 )5

\¡2x 2 - 2 a + 1 y = -----------------A

Desarrollo

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x2 + 4 x (x -3 )5

4a + 3 (a - 2 ) 3


, _ d y _ x(y¡2x 2 - 2x + 1 ) dx

\¡2x 2 - 2x + \

x~2 x (4 x —2)

■4Íx 2 - 2x + l

y ' - dy - 2\¡2x 2 - 2x + \ dx x2 dy

x (2x —l ) - ( 2x - 2x + l)

y ~ ~ r~

------ ...............=— x 2^ 2x 2 - 2

460

=>

dy

x —1

y — , ~

* + l

dx

x 2y¡2x 2 - 2x + \

y=

a 24 4 2 4 4 D esarrollo , dy 1 4 a 2 + x 2 - x ( \ / a 2 + x2) ’ y =— =— ( ) , de donde se tiene: d* a ~ a '+ x '

4a

dy

y ~ ~r~ — dx

461

+

*

*2

a2 + x2 —x2

1

t(

a

2

f= = )

^

(a 2 + x 2 )s]a2 + x 2

dy

y —~~r~— d x

X

v=

34 4 + 4 4 D esarrollo

, ¿y y

¿A

4” 4 4 7 4 3.v2 1

3

,

* 3

(^ ]±/ x4 j :*»2fo l 2 ^ ( 1 + .v2 ) 3 ,

--------------------- r — 2 ^ ------------------------ > (1

+ * 2 )3

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1 i

— -

4 ( 4 4 - x 2 )2

214


t, _ d y _ _ 1 3jc2(1+ jc2)3 -3.y4(l + jc2)2^ y ~ dx~ 3

,

dy

^ ^ 7 7 7

x 2 ( 1 + .t2) - x 4

dx

462

(i + ., 2 ) 3

,

(l + X 2 ) 3

(\ + X 2

^

dy

xz

dx

7 ( 1 + ^ 2)3

y = —yfx2 + — x y f x x y f x 2 + — x 2yfx 2 7 5 3 D esarrollo 1

7

5

13

3 = 18 ¿ 9 | 6 -4 y = —x h— a '1 + —x í + — a , derivando se tiene: 2 7 5 13 _1

y' = ^ - ^ x • dx

3

i

+ 3*

í

6

7

+3x3 +

1

=>

2

I 2 ¿/y _ 1+ 3*2 + 3X + X2 ^

463

1

v3

y = —yJ(l + x 2) * - f ¡ ] ( \ + x 3)5 8 5 D esarrollo i y = —(l + x 8

)3

i ,5 — ( 1 4 -x )3 , derivando se tiene: 5

y . = d ¿ = ¿ (1 + r 3 ) 3 3 x 2 _ 1 ( , + v.3 y

dx

3

7

y ' = — = —- + 3 a 6 + 3 a 3 + jc6 dx i *3

3x2

3

y ’ = — = (l + jr3) 3[(l + * 3 )jt 2 - j t 2] dx

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y - ^ = A5 7 íT + r 3 ) 2 dx


... 464

4 Jx-1 y —— 4i 3 Vx + 2 Desarrollo 4 ^ — ü r , derivando j . , y = —( se tiene: 3 x+2

v•= É L = 1 rjr~ 1W ((-v+ 2)~ ( x ~ l \ dx

3 x+2

(x +

2 )2

x+2 465

y = x 4 ( a —2 x 3 ) 2 Desarrollo , ¿y y ' = J L = 4x 3 (a - 2x 3 ) 2 + 2x 4 (o - 2x 3 ) ( - 6 x 2) dx

y ' = —

= 4 x 3( í j - 2 x 3 ) ( « - 2 x 3 - 3 x 3 )

=»

dx

v ' = — = 4 x 3( a - 2 x 3) ( a - 5 .i dx

466 ü -b xn Desarrollo

dx

>- d y _ dx

a -b xn

a —bxn

*

a + bxn ,„_i (o - ¿>x" )«¿>x" 1 - (a + ¿jx” )(-nfax" 1 ) a - bx”

(a - bx" ) 2

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216


, dy ,a + b x ' \ m_X/ 2a n b x " ~ \ , dy , y ’ = — = m(---------- ) ( - ) => y - — = 2anmbx dx a -b xn (a —bxn)~ dx

467

9 5 (x + 2)

— - T —;

y = -

3

2

-

(x + 2)

(a + bx")m~l ----------------(a ~ b x " )"'

1

( x +2 Y

2(x + 2f

Desarrollo v=-(

x

+ 2r

5

- 3(JC+ 2

+ 2(x + 2 ) - 3 - -

)^

5

( jc + 2 ) ~ 3

2

v' = — ——9(jc + 2 ) ~ 6 + 1 2(x + 2 ) - 5 dx

6

(x + 2 ) ^ + (x + 2 ) “ 3

, dv 9 12 6 1 y = - r = -T — 7 ^ + -— T T - 7 — T T + dx (x + 2 ) (x + 2 ) 5 ( x + 2 ) 4 (x + 2 ) 3 , dv y dx

- 9 + 12(x+ 2 ) - 6 ( x + 2) 2 + (x + 2 ) 3 (x +

, _ dy_ _ - 9 + 1 2x + 24 -

6

2)6

x 2 - 24x - 24 + x 3 + 2x 2 +12 + 8

dx y

468

(x +

2)6

' _ dy _ x 3 - 1 dx (x + 2)6

y = (a + x)\Ja —x D esarrollo ' = Va 7 x +

(G + x )(-l) 2

\la -x

g+ x

l

= vg2

y ja -x

2(a -

x) - (g +

x)

2 yja -x

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,

“* M i

¿v

dx

“

g -3 x

2s ¡ a - i

Diferentiación de Funciones

469

y — yj(x + a)(x + b)(x + c ) D esarrollo (x + a )(x + b)(x + c) = x 3 + (a + b + c ) x 2 + (ab + ac + bc)x + abe [(x + a)( x + b)(x + c)]' = 3 x 2 + 2 (a + b + c)x + ab + ac + bc y = yj(x + a)(x + b)(x + c ) , derivando se tiene: , dy [U -t-aK x + fcXAr + c)]' y = — = — t:==z==== t: = = = = = - , de donde se tiene: dx 2^ ( x + a)(x + b')(x + c) , _ dy

3x2 +2(a + b + c)x + ab + ac+ b a

dx

470

2y](x + a)(x + b)(x + c)

z = Zjy + J y D esarrollo

z = ( y + s f y ) 3 , derivando se tiene: 2

dy riz _

3

2

(y + s[y) H y + y fy Y

2

=>

< Y =\( y +Jy) dy 3

-y/y + 1

6 \ ] ( y + \[>')2 J y

471

/ ( r ) = (2r + l)(3r + 2)^/3t + 2 D esarrollo 4

/ ( / ) = (21 + l)(3r + 2 ) 3 , derivando se tiene:

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3

U + tV = -) 2^/y

218

Eduardo Espinoza Ramos I

4

f'(t) = 2(3f

+ 2 ) ’ + 4 ( 2 f + l)(3 / + 2 ) 3

i_ i / '( / ) = 2(3r+ 2)(3í + 2 ) 3 + 4 (2 í + l)(3/ + 2 ) 3

472

=>

/ ’(/) =

2 (7 f + 4 )3/3/

+2

jc \jla y - y2 D esarrollo dx 1 — — = — ( 2 a y - y 2) 2 ( 2 a v - y )' dy 2

— x = ( 2 a y - y 2) 2 , derivando se tiene:

— ( 2 ay —y ) 2(2a - 2 y) = dy

473

2

y j ( 2 a y - y 2)

y = \n (sh + e* - l ) - l n ( V l + e A +1) D esarrollo

, Jv (V ñ v " - i )' y = — = •■■■-----dx \j\ + ex —\

(V h v - d '

. . , , derivando se tiene:

Vl + e ' + l

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474

1 , , y = — eos x(3cos x - 5 )

D esarrollo

y=

eos 5 x

eos 3 x

, . . derivando se tiene:

y ' = — = eos 4 x(cos x ) e o s 2 x(cos x ) ' de donde se tiene: dx , dy 4 2 y = — = - eos x.senx + eos" x.senx dx , dy 2 ,, 2 \ y = — = cos x.xe«x(l - eos x) dx

■

dy

3

i

2

dy

/

2

y = — = sen'x. eos x dx

475

_ (/g 2 x - l ) ( / g 4x + 1 0 fg 2x + l) 3 /g ^ D esarrollo Efectuando el producto se tiene: tg6x + 9tg4x - 9 t g 2x - l 1 3 „ „ _i 1 ’= * 3 = —t g x + 3tgx - 3tg 1 x - - i 3tg x 3 3 o

^

^

y ’= tg x . sec x + 3sec x + 3tg

y -

xen2x

3

3

eos x

eos x

sen x

2 \

y = — = eos x .se n x (se n x ) dx

O

O

s.sec x + tg

A

. cos2 x

— — + — — + — 2~ + — — sen x

, sent>x + 3 s« i 4 x.cos 2 x + 3.v
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x

*1

. sec x

+ eos 6 x

3


220

, _ (sen2x + eos 2 x ) 3 _ 1 y ~ 4 4 4 4 sen a . e o s x sen a . c o s x 476

y = tg 25 x D esarrollo dv o y ' = — = 2tg5x.(tg5x)' = 2tg5x.sec" 5 a ( 5 ) dx

477

y'

=>

— = 1 0 íe 5 A .sec ‘ 5 a ¿A

y = —senx2 ' 2 D esarrollo

y

478

,

dy

= —

1

= —co sa

dx

2

(a

2

vi

cosa2

) = ------------ ( 2 a )

2

=>

2

y

,

¿y

= —

2

:

dx

y -se n ~ t3 D esarrollo y ’ = — = 2sent3(sent3)' = 2sent3 e o st 3(t3)' dx dv i y ' = — = 6 1 sent co sí = 3t sen2t ' dx

479

2 y = 3senx. eos" a

+ sen

3

a

D esarrollo

y' =

dy

—

=

3 eos

4 a

+

3senx.2 cos(-senx)

+

* 2 3sen~x.cos x

dx

y'

=

—

= 3 eos3 a

- 6 í c / í 2 a . c o s a + 3 í
dx

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A COS A~


dy y.= — = 3o eos 3 * - 3o sen 2a eos * dx

y ' = — = 3 eos *(cos2 a - sen2x) = 3 eos x. eos 2 a dx

480

1

3

y = -tg x -tg x + x D esarrollo . dy 2 m 1 , y = — = tg - x ( tg x ) y - +\ dx eos a , _ dy _ tg2x - 1 + eos 2 dx

eos 2

,

=>

=

dv dx

=

tg 'x cos~

a

A

j 2 2 , _ ay _ /£ 2 x —sen 2 x _ se/i 2 x —sen".r.cos a:

dx , y

481

eos 2

dy =

~ 7 ~ =

dx

eos 4

a

íe/TAÍl —eos 2 '

a

)

---------- 4 -------------------- =

eos

cosa

4

osen x

3

a

a

sen4x eos

—

4 =

tS

x

a

y = - - — j- + - « ía D esarrollo , —1 sen 3 * (co s* )'—cos*.3sen 2 *(sen*)' 4 y = — (------------------------ 2 -------------------------------5“ ) 3 íen a 3sen a 1 - s e n 4 A -3 c o s 2 x.sen2x. 4 y = - - ( -----------------c--------------)3 sen x 3sen x 1 sen2a + 3cos 2 a s y = ~ ( ----------- 2 -------3 sen4x

4 3sen2x

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a

1

eos 2

a

222

Eduardo Espinoza Ramoé

1 sen2x + 3cos 2 x - 4 s e n 2x , ( ) 3 senx

482

, 3cos 2 .v -3 sen2x cos2* y = = — 3sen x sen x

=*

y = \]a .sen2x + ¡icos2 x D esarrollo ( a sen2x + p eos2 x)' _ 2 a senx.eos x - 2 p senx.eosx

2y]asen2x+ P e o s 2 x

y =

48 3

2

yja se n 2x + P eos 2 x

(a - P)senx.eos x I sen~x+ ^ yja p~ñeos 2 x 2

y = aresenx + árceos x

^ D esarrollo

y -=

=

_________ — —

Vi—jc Vi-*4 vi-*4 vr 4

4! 1

1

=*

y = 0

* 4

2

y = —(aresenx) árceos* D esarrollo y ' = arcsenx(arcsenx)' árceos * + —(aresenx)2 (árceos * ) '

2

, aresenx.árceos * (aresenx)2 . y = ........... —---------------, --- => y = síi^ x 2 i S ^ 2 ■

1 2

. 2 árceos * - aresenx,. —arcsenx(------- =====-------- ) v rv 2

y = arcsen(^—^ —) *

Desarrollo

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22

, Vi —-X2 + a' árceos .t y = ---------- r - 7 = T ( l - x 2) y l l - x 2

48!

, x árceos x - s l l - x 2 >’ = ------------------ 3 —

=»

y - -j=-arcsen(x.l—) yjb Va D esarrollo yfb

\[b

L_ x2b

j ^ > J2a--Xx Á 2b

E= Jb

48

• J a - x 2b

vJ nr

a

»

\ I a - x 2b

y = V a 2 —x~ 2 +a aresen — * a D esarrollo a ( —) ’

y = -r

V a2 - j:2

a —x _

V 9

—

[

?

=> y - - r

9

=

a

+

- 1

yja - x 2

yja - Xy¡a —x

a-2

JC =

(a -x)(a

+ x)

9

JC

\¡a2 - x 2

la —x Va

--------

, ¡a-x y = j \a +x

+ jf

para a >

.

0

a —* + a aresen — a

D esarrollo

n 2 = Va - jc -

x

a (—) a

2

s/a 2 -

A'2

ll-(-)2

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,

2

a -x

2

V a2 -

-x je2

2

a

2

s la 2 - x 2


-

y _

491

2a2-2 a2

■— -

r j —

2

Va —x

2

; a>

r, 0

y = arcsen(l —x) + y ¡ 2 x - x 2 Desarrollo , _ d y _

y —— — dx

y

,

dy

(2x-x-)' H-----.-■■■■- ——

fl-(l-x)2

Isjlx -x 1

-1

=

^

492

(1 -a )'

• - - +

yj\-l + 2 x - x 2

r—

,

1 -A ‘ -

■

dy

-x

dx

sj 2 a - a 2

y =— =■

= >

yjlx-x2

y = ( x - —) ar cs en ( y [ x ) + —y ] x - x 2 2

2

Desarrollo

y ’=

Q i - ( a - — ) ' a rcs e n yfx + ( a - —)(arcs en V a ) ' + — ( ^X- J L 2 = ) dx 2 2 2

dy— = a r c s e n frx +,w( a y•= —

K

/

,--------- + - ( ---,----------- ) 4 V T -v 2

2 V T-Tv

, dy /— y = — = arcsenfah dx

493

1 l ~ 2x y

,

—— )

dx

2

a- 1 ¡. ■■■■ H

4 V a -a 2

1

.

2

a ■■

=>

y

,

dy r= — = a r c s e n fx

4 V a -a 2

y = ln(arcsen 5x) Desarrollo

_ d y _ (arcsen5x ) ' _ ¿a

arcsenSx

25a2

^

arcsenSx

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dx

25 a

" .a re sen 5 x


226 494

y = arcsen (ln x) D esarrollo 1

dy _ d-x

495

(ln x)'

_

^ ¡ l - ( l n x )2

x

. , _ dy

^

dx

1—(ln x ) 2

1

X iJ \-( \n x )2

xsena

‘

y = arc/g (----------------) 1

- jc c o s a

D esarrollo xsena

(1

.., _ dy = ( l- .Y c o s a J dx ^ t xsena

2

- -*eos a)scna. - xsena(~ eos a )

y ' = ^ l = __________( l - x c o s a ) 2 _________ dx ( 1 - x c o s a ) 2 + x 2sen2a

l-x c o s a

( l - .v c o s a ) 2

, _ dy _ sena - xsena. eos a + xsena. eos * dx

l - 2 x c o s a + x 2 eos2 a + x 2sen2a

2

496

y = —arctg 3

. _ dy _

sena

dx

l - 2 x c o sa + x2

»*§ +4 ----3 D esarrollo J_ 5/4

y ' = *L = l dx 3

(

+4 ,

3 } 5 ;g - + 4

=>

y' =^ = - ( — 2 dx 3 9 + (5tg — + 4 ) 2

l + (----- 2----- )-

2 --------

3

9

5(9)

y = dy_= 2 (_ ^'v

3

^

j L )

9 + 5 (rg ~ + 4 ) 2

^

y ' = — = —( ^

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3

I * ----------2 co s2 | ( 9 + ( 5 r g | + 4 ) 2


y ' —dy — dx

^ eos 2 ~ (9 + 25 tg 2 ~ + 40tg | + 16)

y' = — , de donde se tiene: dx eos 2 ^ (2 5 (1 + /g 2 ~) + 4 0 tg ^ )

y ' = dy

dx

eos2 —(25sec2 —+ 40/# —)

2

2

2

, dy 1 y = — = --------------------- => dx 5, +l0osen — x e o s— x

2

497

, dv 1 y = -f' dx 5 + 4senx

2

y = 3b 2arctg. — ----- (3b + 2 x )\¡bx~: Vb —x D esarrollo

( /_*_)•

_____

yb -x 0 [, 2 ■o \ (bx —x)' y =3b ---- --------------- 2 \ ] b x - x - ( 3 b + 2 x ) — * \2 2s j b x - x 2 ,

q [ _2

tlX L i

2n£T 7

b -x b (b -x) [J (3¿ 2 + 2 6 x -6 fc v -4 x 2) y =3¿> (-— =====--------- , = - ) - 2\ l b x - x ---------------------T-.-;-------2b f b - x ( b - x y [ x ) 2f b x - x 2

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228

------------------------------------------------------------------------- — 3b2

4(bx - a 2 ) + 3b 2- Abx - 4 a 2

3 s /b - x y [ x

l'J b x -x 2

3b2 3

8a2

y jb -x jx

2

r-

= 4a

3b2 + 8 a 2 - 3b2

8a2

2- j x s J b - x

2s j b x - x 2

’ x

Va -

\fx\Jb -x

498

.

2s i b x - x 2

4 a2 y =

-3b2

--------- —

.---------- = 4 a ,

\jb -x

\ b —x

y = -y¡2arcctg ^¡= - ; V2 D esarrollo (« )’ y' = -V 2 (

) -l

=>

y' = ^ (

l+( & y¡2

'

2 see 2 a

.

, - 1

2 c o s 2 a + 5 é?m 2 a

eos 2 499

■

2

y

V2CO S2 A ) - !

=-

1+ cos2 a

2

+ ' s 2-*

1 -co s2a 1+ cos2 a

s c h 2a 1+ cos2 a

A

y = Ve“ D esarrollo , y

500

(em ) '

aeax

a

2y[?*

2s¡7*

2

= — r = = — F = = —ve'

y=e D esarrollo

y ' - e stn x (sen2x)' = 2senx. eos x.esfn * => y'=sen2x.esen '

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s


501

F ( x ) = (2tna,nx + b ) p D esarrollo F \ x ) = p i l m a + b)p~l {2m a,nx + b ) ' . derivando se tiene: F ’(x) = p i l m a ™ + b ) p~' 2m 2a"LX ln a F '{ x ) = 2 m 2p i l m a ™ + b ) p- ' a ™ \ n a

502

F(t) - e m eos p t D esarrollo F '(t) = a e ca eos p t - P e m senp t

y

=>

F' (/) = e a ( a eos p t - P senP t)

_ ( a senP x - P eos p x)eax i Tin D esarrollo , _ ( a eos p x + b 2sen p x)ea* + a eax (a sen p x —¡8 eos x p .*)

504

v=

e- X 10

( 3 s e n 3 x -c o s3 x ) D esarrollo

e -X y =

10

e (3sen3x - eos 3x) H-------(9 eos 3x + 3sen3x)

e y = ----- i~3sen3x + eos 3a + 9 eos * + 3sen3x)

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230

y ' = — (10cos3x) - e Acos3x 10

505

y = x"a x D esarrollo y'=nx"

506

'a

* + x " a x (-2 x ) ln a

y' = a x x" '(

=>

y = Veos x.a'^°s~' D esarrollo 1

= _(cos

2 vcosjc senx.a^C0SX y =— 2 Veos x

senx.yj eos x .a ^cos 1 ln a 2>/co 5sx

\

1 i Jôix.senx senx ¡------- . . y = — v c o sx .a [—------1-------- .-v/cosxlna] 2 eos x eos x

y ' = - ^ Veos x.a ',/cosA(tgx + tgx.yfco sx lna)

1

= — Veos a ^ cos t í^x(l + V cosx. ln a)

c tg -

507

y =3

* Desarrollo

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-

2

x 2 ln a )


1

-c's -

, y

= 3

*

3 r =

2

*” i

2 1

1

/

x sen —

508

i x ln 3

ctg-

ln3

(xsen—)

y = ln(ax" + bx + c) D esarrollo

y

,

-

509

(ax~+ bx + c)'

2ax + b

ax2 +bx + c

a x 2 + bx +

ln(x + \¡a 2 + x 2 )

D esarrollo X

1 ). ( x + sl a 2 + x 2 ) ' _ x + sj a 2 + x 2

x +

yL 2 + x 2 -\l1a 2 + x 1

si a 2 + x 2 + x

1

si a 2 + x 2 (x + \ la 2 + x 2 )

Vfl2 + x 2

v =

x - 2 \[x + 2 ln(l + sfx)

510

D esarrollo

, :1

i , 2(1+ s ¡ I y _+ \¡X

V =

511

=>

, , )> =1

\ + \¡X

i s/x

yj~X + X —(1 + sfx ) 4- 1 F=

X . F=-----------= —r=------- r=~ =>

V x(l + V x)

1

sfx(\ + y[x)

y = \n(a + x + yj2ax + x 2 ) Desarrollo

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1

-7= + —F=Jx + x

V

'

,

^ 1

+ sfx

232


. (a + x + s¡2ax+ x 2 )' y =~ a + xy¡2 a x + x 2 a +x

1+

2 ax + x 2

y =

_

a + x + j2 a x + x 2

V 2ax + x~ + x + a \¡2ax + x 2 (a + x + 'J2ax + x 2 )

si2ax + x 2

1

512

ln 2 x D esarrollo

y ' = —y - - (ln x) ln x

=>

y' = - 2 (ln ;c)

(ln x ) ' , de donde se tiene

y ' = - 2 k T 3 jc(—) =

x 513

jcln 3 x

y = ln(cos ——-) x D esarrollo

.

x —1 -)]' x ,x -l cos( )

X —1 X —1 -sen( )(------ )' ______ x x

[cos(

cos(----- )

X

X

, ; c- l . .. 1. , x —\. 1 . y = tg (------ )( 1 — ) = -? # (------ )(— ) => X

514

X

X

, 1 ,X -\. y = — T-tgi------- )

x -

x~

X

5 v —l, n U - 2 ) --

(JC + 1)3

D esarrollo U - 2 )5 y = ln ——-2—= ln(.c —2)3 —ln(jv + 1 ) 3 (x+l )

=>

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y = 51n(x —2 ) —31n(jt+-l)


3

2x + \ \

x-2

x+l

x -x-2

y =■

5 ,5

,

2x + l 1 x -x-2

y = l n ^ 1)3(jC- 2) x -3 Desarrollo y

- in í í — H i f — 11 - l n ( x - l ) 3 ( x - 2 ) - l n ( x - 3 ) x -3

y = ln(x - l ) 3 + ln(x - 2) - ln(x - 3) => y = 3 ln (x - 1) + ln (x - 2 - ln (x 3

1 1 -H x —1 x - 2 x - 3

516

, y =-

=>

3x 2 +16x + 19 (x -l)(x -2 )(x -3 )

y = ------ —r—+ ln(ígx) 2 se n 'x Desarrollo

y

sen 2x

= ----- — + ln(rgx) => y = 2

cosx sec2 x y ' = — r - + -------sen x tgx

y =

, =>

cosx

1

sen3x

senx.co sx

2sen 3x(senx)' (tgx)' -i L + AAjL 2 tgx

co sx

1

y’= — r +

sen x

,

cos“ x jg x

eos 2 x + sen2x sen3x c o sx

V =

sen 3 x. cosx

517

y = ^ - J x 2 - a 2 - - ^ - l n (x + slx2 + a 2 ) Desarrollo

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s e n x.cosx


234

l~2 2 v.g V jL z « .+ .

2 ' 2 l~2 2* x------- _ — ( 2 y f^ - a 2 2 x +J J ^ á 2

2

2

, _ ;t —a + x 2

^

a

V* 2 - a 2

2

^

\¡x - a

^

+x

^

V * 2 ~ a 2 (x + \l x 2 - a 2 )

lx 2- a 2

a2

2x2 - 2 a2

2sjx2 - a 2

2slx2 - a 2

2slx2 - a 2

>-' = — ---------------------

518

2

—

,

/“ J

7

=>y = > /* - a "

y = ln(ln(3 - 2 jt3)) Desarrollo c

62 2

ln (3 -2 jc3) 519

^

6.r2

_

3 - 2jc3

. [ln(3-2.r3) ] ' _

(3 - 2*3) ln(3 - 2 x 2)

In (3 -2 jr3)

y = 51n3(aA‘ + b) Desarrollo

y'= 151n2(íir + ¿)[ln(a.í + Z>)]'

=> y' = 151n2(ax + ¿>).— - —

ax + b

15flln2( a r + fo) y = -------------: ax + b— Cin 1 . s í x ^ + a 2 +X 520--------- y = l n ( - = = = --- ) \Jx~+ a —x Desarrollo

v = lrt( * + ° + JC ) = ln ( s j x 2 + a 2 + x ) - \ n { \ l x 2 + a 2 —x) 2 2 y] x~ + a —x

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.

, (>Jx2 + a 2 + x )' (yjx2 + a 2 - a ) ’ . ................. r ......... , derivando se tiene: y = — 7- slx2 + a 2 + x s¡x2 + a 2 - x

=

y

yjx1 + a 2

Va2 + a 2

\¡x 2 + a 2 + x

y f x t + a 2^ —x

a +V a2 + a2

x-yjx^+ a2

Va 2 + a 2 (Va 2 + a 2 + a)

(Va 2 + a 2 - a)Va2 + a 2

=

y

1

1

r+

Va2 + a 2

521

Va2 + a 2

Va2 + a 2

, 2 - a 2\) + — n ln------, y = — ln(A 2 2 a A+ fl D esarrollo y = — ln(A2 - a 2) + — (ln (A -o )-ln (A + a)]

2

,

2a

2a

m .

1

n

1

.

v = —(—5----- —) + — (-----------------) , de donde se tiene: 2 x~ -a 2a A - a A + a wa n ,A + a - . v + a , y = —— t + t ' (— ^ a -a 2a a —a"

V = —

A

522

a

mx

2

n

— H------------------ =>

-a

2

a

2

-a

2

.

V =■

mx + n

a

2

-a

y = A.jen(ln a - —) 4 Desarrollo

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2


236 TC

TC

TC

4

4

4

y ' = s e n (\n x —- ) + jccos(lnx---- )(ln x

71

y ' - sen(\n x

) + cos(ln x

4

Tí

) ', derivando se tiene:

)

4

y ' = sen(lnA) eos — -- cos(ln x)sen — + cos(ln x) eos —■+ venOn x)sen — 4

4

4

4

n/ 2 y¡2 y jl s¡2 y ' = — sen(ln x) - — -cos(ln x) + — cos(ln x) + — 5¿/i.(ln x ) , por lo tanto

2

2

2

2

=s/2sen(ln a) 1 ,

523

X.

,

y = -ln (/g 2

2

1

COSA

sen2x

2

D esarrollo 1

(í? —)

2

6 2

2

£

1

se n ~ x (-s e n x )-c o s x .2 se n x c o s x

2

sen4x

2 1

? -X 3 . ^ 2 i x + 2 cos x.senx , , , de donde se tiene: éi-4 .----------------£ 2sen4A

. — COS“ —

y -

1

2

i

2

_ o A’ , 2 COS —

1 y

2

~

2

2

2 cos x + sen x

9

2sensx

£ * ? 2A

sec —

y =

O

4

A

COS

2

, 1 A + l

- + T— £ 2sen a 6 T

=*

,

sec — 2

COS

2

, ,

A + l

y = ----- —-+ -------- x— 45í;i£ 2sen a

■)

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1 eos 2 X + 1 -------------- + ---------t — 4 eos - . s e n 2sen x

y

2

, y

2

sen3x

2 sew'x

2

524

2

sen x + c o s ' x + \

=*

=>

, 1 eos 2 X + 1 y = ---------+ 2senx 2senx

sen}x

\ I 2.1 i 1 + V x' + 1 / ( x ) = Vx +1 - ln -------------x D esarrollo Aplicando propiedad de logaritmo / ( x ) = Vx2 +

1

- ln(l + v x 2 + 1 ) + ln x , aplicando la derivada se tiene: x

/tx > .

,

* v/x 2 + l

.

- £ ¡ L +i l + vx2+l *

X

X

1

Vx 2 + l ( l + Vx 2 +1)

*

./ (x) = - j =

= = = ------= = - + -

v/x2 + l

~, .

x '( l 4 - V x ' + 1 ) ~ X' + V x '

/

W (1

+ Vx 2

+ 1

+ 1 (1

+ V x ' ■+■1 )

^ ^ T u T - 1 ) + Vx 2 + 1 ( 1 + V x 2 + 1 )

/ ’( * ) = — xV x 2 + í(l + Vx 2 + l )

f\x ) = x

- Vx 2

+ 1

+ Vx 2 + l ( l + V x 2 + 1 )

xv/x2 + l ( l + V x 2 + l)

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238

,,

/ ( at) =

x2+ 1+ Va2 +1 sfx2+ 1(1+V*2+1) w

= -------------- f= = = -----

a(1 + V a 2 +1)

=>

/ '( * ) =

V a 2 +1

a(1 + V a 2+1)

A

D esarrollo y = -[ln(A 2 - 2 x + 1 ) - ln(jr2 + a + 1 )] , aplicando la derivada se tiene.

1 ^(a2 - 2 a + 1 ) ' *

3

,

1r2(a

v =_[ 3

.

(a2 + a + 1 ) ' ^

x 2 - 2x + 1 - 1)(a2 +

.v + 1 )

( a- - 2 a + 1 X a

1 3

^ 2 x - 2 _____ 2a:+ 1 ^ x2 -

2a:

+1

2 a + 1).

]

+ a+ 1)

l r 2(A3 - l ) - ( 2 A 3 -3 .T 2 + l ) 1

3

526

’

- (2a + 1)(jc2 -

y =_[

'

_

x2 + x + 1

]

(a - I X a3 - ! )

,_1^

3a2 - 3

~ 3

(a - 1 ) ( a3 - 1 )

a 2 -1 ( a - 1 ) ( a 3- 1 )

_ a3

A + l -1

a

—1

A3 - 1

y = 2 "rcsenix + (1 - árceos3a)2

D esarrollo

y '-

2

(arcsen3a )' ln 2 + 2(1 - árceos 3a )(1 - árceos 3a )’ 31n2 v r^ c

y ’=

3

+ 2(1-á rc e o s 3a ) 2

V i - 9 a2

V-— ( 2arc'm3 r ln 2 + 2(1 - árceos 3a )) V1 - 9 a 2

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a2

+ a +1

Diferenciación de Funciones i

senax

527

3

sen ax

1

y — 3cosax h—

3 e o s 3 bx

D esarrollo senax

y -

ym ax

3

.

+

sen ax — , aplicando la derivada se tiene: e o s bx

1

3 senax

y =3^

ln X — eos

i

,

.

y = (3cosfc* ln 3 +

bx

) *+ (—

U v \ vw , o sen2ax — )(

J C Íl

e o s 2 fox

, 528 y = —p ln (— ^

eos

bx

eos

)2 (— eos

bx

)'

foxe o s a x + bsenax senbx, eo s2

í g - + 2 -V 3 ) ,g í + 2 + 73 D esarrollo

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fox


240

. sec 2 - í ( f g ! + y ■= - i —[------- —

+ V 3 )-se c 2 ^ ( / g ^ + 2 -V 3 ) 1-------1-]

2

(tg& * 2)2 - 3

y

_ rz

, '

T X

2 x

2>/3sec“ b

2

sec _]

=*

y = ------------- 2 _

2V3 (tg± + 2)2 - 3

sec 2 — 9 = ----------- - ......., por lo tanto: , i X . X 2 x x ( t g ~ - + l) + 4 t g ~ sec - + 4ig 9

a

y =

I

= ------ 1------

x +, 4atg . — x 1i +, 4a sen — 2

529

1

+ 2 senx

2

y = arctg (ln x) D esarrollo l ~x

(ln x )' _ l + ln 2 x

l + ln 2 * 1

530

_ _____ 1

y = ln(arcsenx) + —ln

x(l + ln 2 x)

2

jc

+ arcsen(ln x) D esarrollo

, (arcsenx)' , „ , (ln .r)' y = ------------ —+ ln x (ln x ) + arcsenx * J l- \ n 2 x 1

sjl - x 2 , ----In x +, ---------1 v , = _i---------+ arcsenx x .^ 1 - ln2 x

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2

= ------------------------------

(tg^ + 2)2 - 3

sec 2 —

y'=

sec

íg2^ + 4rg- + 4 - 3

Diferenciación de Funciones ln x - + —— + V i - x 2arcsenx x xV1—ln2 x

531

y = arcfg(ln —) x D esarrollo ( ln - ) ' X

y> 1

i>32

y =

+ (ln i ) 2

\Í2 3

, , v _ (-in x ) 1+ ln2 *

,x(l + ln2 ;t)

x 1. x - l arctg —==+ —ln V2 6 x +1 D esarrollo

3 ¡ + x2 +

6

■ -_ L , * -1 x + \

.

533

x2- \

6

~T ~

2

, V2 ^ 2 1 y = — (-?r — T )-' 3 V2(2 + * 2) 3(* 2 - l )

y '_

2+x2

3

1 , 2 ^ - 2 + 2 + x2, ( ^ ) => 3 (x + 2 )(x - 1 )

,

2

1

3(2 + j:2)

3(;c2 -1 )

, 1 3* 2 y '- - h , 3 jt4 +Jr

. )- 2

y = ln 1 + + 2a/rí£ V ^ 1- f s e n x D esarrollo y = In(l + 'Jsenx) —ln(l —f senx) + 2 arctgsfseñx

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x2 /+ jc

2 - 2


242

(1

+ yjsenx)' + yjsenx

1

yjsenx | + y/senx

1

eos x

y/senx | yjsenx - -Jsenx 1 + sewx 1

K p = -+ y/senx 2 ( 1 + yfseñx)

1

c o sx \ , \ - y f s e ñ x + \ + y[señx, 1 . [ ~ ( --------- :-------- :--------- )+ yjsenx 2 1 - senx 1 + senx

c o sx

. ?34

.

1

......................... ) 2 ( 1 - y js e n x ) \ + senx

co sx 1 1 y = - = = [ - --------- + ---------- ] yjsenx 1 - s e n x 1 + senx 2

= —? = = [

y

+ sertx

2 1

eos*

y =

2 ( J senx)'

- ' + -----------

eos x

2 1

1—

- yjsenx

1

eos x ■_

—yjsenx)'

(1

------ 7 =

y

yjsenx

1

H

,

=>

- s e n 2x

=>

, eos x r 1 + senx + 1 - senx , y = --------- [ — -] yjsenx ( 1 - senx)(l + senx)

co sx „

„

2

y = ■/— (— x -) = yfseñx eos 2 x

yjsenx cosx

3, x2 - 1 1 , .x — 1 1 y = - ln( ------ ) + - ln(---- -) + - arctgx 4 x‘ + l 4 x+1 2 D esarrollo y = ^ [ln (x 2 + l ) - l n ( x 2 —l)] + ^ l n ( x - l ) - ^ l n ( x + l) + —arctgx ,

y

3r

2

x

2

x

1 , 1

1

3 rx 3 - x - x 3 —x ,

1 ,x + l - x + l

4‘

4

„

'= ■?[------ t— — ]+ T C— r— — )+ ,

3, 2

x4 - l

2x , x4 - l

x2 - l

1 2

(x - 1 )

1

1

1 2(x 2 +1)

1 2

,

(x + 1 )

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„


, V

-3a =

---------------------

1

a4 - 1

+ a 2 —1

. V—

3a a2 a2 - 3 a — -H--------------------= ----------------------a4 - 1 A4 - 1

----------------

2( a4 - 1)

/ ( a ) = —l n ( l 2

+ A )-

a4 - 1

—ln ( A 2 - x + \) + ^¡=arctg(^ Xr ^) 6 V3 V3 D esarrollo _ 2_

f ' ( x ) = ---- ------------- ^ ---------------------------------2(1 + a ) 6 ( a 2 — A +l) ^ [ 1 ! ( ^ 4C~ ^ ) 2 ] V3 3 ( a 2 - a + 1 ) - ( 2 a - 1 ) ( a + 1)

/ (•*> = ---------------

T ~~------------ +

6(a3 +1)

3 + 4 a 2 —4 a + 1 (

f'(x ) =

3a2 - 3 a + 3 - 2 a 2

-A

6(a3 +1)

a2

- 4 a + 4

}

2 4a2 - 4 a + 4

1

v

/ ’( * ) = — -T--------+ . "■ 6( a3 +1) 2a2 - 2 a + 2

. (a - 4 a + 4 ) ( a + 1 ) + 3 a + 3 / ( * ) = ----------------- i-----------------6 (a + 1 )

/ '( * ) =

3

+ l

-

535

a2 +1

a

2 - 4 a +

4

1

=>/ ' ( A)= 6 ( a 3 + 1)

v

a

- 3 a

2 ( a 2 - a + 1)

+ 4 + 3 a + 3

=> / ( * ) = ------------- -------------6 (a + 1 )

a3- 3 a 2 + 3a + 7

6( a3 +1)

Desarrollo

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\l

(arcsen x + —=JL=) y j l - x 2 L \[Í-

—a 2

/'(■*) = -

1

Í\X ):

-a 2

\I\-X 2

n r/ arcsen x+x

■v/l ■Jl — -x

.2

l-x 2

-x ( l - x 2)

, , , . \]l —x 2 arcsenx / ( * ) = ------------ ^------( l - x 2)

=>

... . \ J \ - x 2 are senx f ( x ) = ------------- -------l-x 2

y = senil2 2x Desarrollo y'= 3senh2 2x.cosh2x(2) = 6se«/i 2 2A.cosh2A y = e™ cosh ¡ix Desarrollo y ' - e™ cosh Px + P e™ senhp x

=>

y ' = e ax ( a cosh Px + P senh Px)

y - t g 2h 2x Desarrollo

y ' - 3tgh2 2x.----- \ — = 6 tg lr 2 x ( l - tgh22 a cosh" 2a

y = ln (se n h 2 x )

Desarrollo , (senh2x)' 2cosh2A ' y = ------------- = -------------- —2ctgh 2 a sen h lx senh2x

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)


541

x2

y —a r c s e n h ( ~ ) a Desarrollo 2

y'=

x

0

2x

2

a_ 2

a 542

2x

y = arccosh (ln x) Desarrollo 1

,

dy

y =-r=

dx 543

(ln * )'

,

,

,

t

sj(lnx)2 - l

=>

dy

y =^-=-

y¡(\nx)2 - l

dx

xy¡(lnx)2 - \

y = arctgh (tg x) Desarrollo 1

y ' - dy ~

rf*

_

te*)'

1- (tgx)

COS2 X

l-(tgx)

cos2 x a ^ s e n x ) eos

X

1

eos 2 x - s e n 2x 544

eos 2 *

eos 2 a

y = arcctgh (sec x) Desarrollo ,_ d y _ dx

545

i/ y = orctgh{

(se c a )' _ sec 2

a -1

seCA f#A _ tg2x

sec a _ tgx

2 a -) 1+ A

Desarrollo

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1

senx

< _dy _ dx

1

sei


246

2x V y' = ^L =

dx

l + x2

.

,

§46

dy

.

dx

(1+ r )

-

( 2x í

y ~

(l + x - ) 2 - 2 X(2x -i /

2

(\ + x 2)2 - 4 x 2 “ (\ + x 2)2

- * 2

2 + 2x 2 - 4 x 2 —.

1

~

2 -2 x2

.

a

~

+ 2x2 +x4 - 4x2

, ¿

^

1 - 2 x2 + x4

y

2(1

(1

- jc2 )

—j t 2 ) 2

\-x 2

y - ^ ( x 2 - \)arctghx + ^ Desarrollo . dy , .¿ -K , 1 „ 1 y = — = xarctgh x + (— — )( j) +~ dx 2 l-x 2 2 ,

arctghx

547

1

1

f — => 2 2

,

dy

y = — = xarctghx dx

x2 1 „ , x\¡l + x 2 y —(:— h —)arcsenhx —2 4 4 Desarrollo

, ,x 2 K y = x arcsenhx + ( 1- —) 2

,

3

4

1

sl\ + x 2

- 2

4

4 yfl + x 2

2-V" 4-1

1

14- x 2 — JC2

4

V l + AT2

4sl\ + X2

’ = .t arcsenhx 4- (----------) -

V = x arcsenhx 4- (

v i-

2 x “ 4- 1 4

)

1

2a:

4- 1

===.= 4 s /Ü 7

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,

=> y - x arcsenhx


Hallar y' sí: a)

y= |x | Desarrollo ■ x si x > 0 Si y = | jc |= ^ derivando y - x si * < 0 Luego y '= 1 , cuando x > 0 y / =

- 1

Cuando x < 0 y y' (0) no existe b)

y=x |x| Desarrollo

y = x |x |= 0

derivando y'

| - x 1 si x < 0 549

Hallar y' sí: y = ln | x |, (x * 0) Desarrollo jc’ y = — X

1

=-

=>

X

,

1

y =— X

1

550

- x cuando x

e~x cuando x Desarrollo 1

/ '( * ) =

551

< 0

Hallar f ' ( x ) si: / ( x ) =

cuando x < 0

- e ~ x cuando x >

Calculo /'( O ) sí:

0

f ( x ) - e * co s3 x Desarrollo

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> 0


248

f ' ( x ) = e x (~3sen3x) - e * co s3 * / '( 0 ) = -e °(3 se n 0 + cos0) = - l

552

=> f ' ( x ) - = e A(3sen3x + eos 3*)

=>

/ '( 0 ) = - l

f ( x ) = ln(l + x) + arasen— . Hallar / '( 1 ) Desarrollo 1 9 f \ X) = +-F ± = = l+ x *

/-(i)= i+ -L 2 S

553

=>

=»

f \ x ) =—

1

1

.~r = \ 4 ~

/ x i ) = —+ — 2 3

y ^ t g * — .H allar ^ 6 dx

x -2

Desarrollo , ^ iK x ->nx n n , nx /ta \ 2 y = 2>!g- — .sec“ -— .— = —(/* — .sec— )6 6 6 2 6 6 .i dy 4 ( r ^ .s e c ^ 4 ( ^ .2 ) y 1^ 2 = 7dxx=2 2 3 3 2

554

2

4 (3 )(4 ) = 6^ 2

Hallar //( O ) y /^(O ) para la función / (a) = -
’' •

h

.v 7/. ?.(.)■>'■'

.( :• i ;

Como f (x) = ■<]senx2 , f(0) = 0, f ( 0 + h) = yjsenh2

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, el/ns i- \ s e n h 2 -O sj senh2 Luego: / ' (0) = h m ---------------- = h m ----------fc- > + 0 h h-* o /i senh / / ( 0 ) — lim h—>+0

V

= 1

f L (0 ) = hm ~ A- * - 0

1 = 1 1

= A—>o

senh‘

'\jsenh2

/.'(O ) = lim — — = lim ^ h h-*~O /i— o - l ~h 555

h

= —

/_/ (0) = - l

Dada la función / ( x ) = e * . Hallar /(O ) + x / '( O ) D esarrollo Como f { x ) = e~x / ' ( 0) = - l

556

=5»

- 1

.j,

derivando se tiene f ' ( x ) = - e ~ x Luego /(O ) + x / ’(0) = 1 - x

y f(0) = 1.

Dada la función f ( x ) = Vi + x . Hallar: / ( 3 ) + ( x - 3 ) / ' (3) D esarrollo Como / ( x ) = Vl + x

derivando se tiene / ’(x) = — 2 Vl + x

Luego f(3) = 2 y / '( 3 ) = 4 / (3) + (x - 3 ) ./ '(3) = 2 +

x -3

x+5

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250

557

Dadas las funciones f(x) = tg x y / '( x ) = sec2 x

(p(x) = ln(l - x) =>

2

f ' ( x ) - sec x j (p \x ) = -----Jt - 1

558

=>

* l-x

x-

1

f / '( x ) = l f • Luego: [<¡P'(x) = — 1

/'(O ) 1 —— - = —- = -1 (p (0 ) - 1

JÍX

X

^

/ '( x ) = - l

=>

/ '( 1 ) = -1

cp(x) - \ - sen(— ) =>
' 2

2

2

=>

2

0

- 1

Demostrar que la derivada de una función par es una función impar y la de una función impar, es par. Desarrollo Sea f(x) una función par, entonces: f(-x) = f(x) / '( - x ) ( - x ) '= f ' ( x ) - f ' ( - x ) = f ' ( x )

=> / ' ( - x ) = - / ' ( x ) .

Luego f ' ( x ) es impar.

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Diferenciación de Funciones Si g(x) es impar g(-x) = - g(x) => g ' ( - x ) ( - x ) ' = - g ' ( x )

=>- g '( x ) = - g '\

g '( ~ x ) = g '( x ) . Luego g '(x ) es par 560

La derivada de una función periódica es una función periódica. D esarrollo Sea f(x) una función periódica cuyo periodo sea T, es decir f(x + T) = f(x), f ( x + T )(x + T ) ' = f ' ( x ) f(x )

561

=> f ' ( x + T ) = f ' ( x )

es periódica

Demostrar que la función y = xe~x , satisface a la ecuación x y ' = { \ ~ x ) y . y Desarrollo Como y - x e ~ x => y' = e~x - x e ~ x x y '= xe~x

562

- x) =*

=> y ' - e ~ x (l - x)

x y '= { \-x )x e ~ x = { \ - x ) y

=>

x y '= (\-x )y

e~ x 2 Demostrar que la función y = — satisface a la ecuación xy' = { \ - x 2 )y Desarrollo e~ * 2 . Como y = — derivando se tiene:

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252

563

Demostrar

que

la

función

y = -----------1 + x + ln x

satisface

a

la

xy'= y ( y l n x - l ) D esarrollo 1

y = --------------1 + x + ln x

, ( 1 + x + ln x ) ' =5> y = ----------------- 7 ( 1 + x + lnx)

1

.

+ X

y =

—

(1

+ x + ln x )

7

■

* + !

= ------------------- 7 x(l + x + ln x )

.

* + 1

=> y = --------- -y x

2

xy' = —(x + l ) y 2

—(1 )

Como y =

=* y( 1 + x) = 1

y2

(1

1

- y ln x, de donde se tiene:

+ x + ln .v

+ x) = y(l - y ln.v)

...( 2 )

Reemplazando (2) en (1) se tiene: xy'= - y ( l - y ln x ) .% xy' = y (y ln x —1 ) 7)

564

D ER IV A D A L O G A R IT M IC A .-

V* f '(x) Sea y = f(x). Entonces (ln y )' = — = . Hallar y ' , sí: y /(* ) 3f ~ 2 y = Vx

^—x 1

- s e n 3 x.cos 2 x

+x D esarrollo

2

5

ln y = —ln x - ln(l + x ) + ln(l - x) + 31n senx + 2 lncos x

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ecu

2


y'

2

2x

3 cosa: 2 senx - + -------------------l +x senx eos x

-1

—=— + y 3x l - x 2 1 y . = y ,(-— 3x l - x 565

2x + 3ctgx , - ,Itgx)X l + j^

Hallar y ' , sí y = (senx)* Desarrollo Tomando logaritmos se tiene: y x eos x — = ln( senx) + y senx

Ln y = x ln (sen x)

=>y ' = y (ln senx + x ctgx)

y ' = (senx)* (ln senx + x c t g x ) 566

y = (x + l)(2x + l)(3x + 1) Desarrollo Ln y = ln (x + 1) + ln (2x + 1) + ln (3x + 1) y’ y

1

+

A+

l

2

3

2x + \

3x + 1

---------- + _ ---------

=>

y

,

1

2

3

x+ l

2x + l

3x + l

= y ( --------- - + - ---------- + - --------- - )

’

y' = (2x + l)(3x +1) + 2(x + l)(3x + 1) + 3(x + l)(2x + 1)

567

(x + 2)2

y=

(x + 1)3(x + 3) 4 Desarrollo ln y =

2

ln (x + 2) - 3 ln (x + 1) - 4 ln (x + 3)

y' = 2 — y x +2

3

4

x+1

jc + 3

. donde , a se tiene: ,• , de

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254


2 ( x + ! ) ( .* + 3 ) - 3 ( jc + 2 .) ( x + 3 ) - 4 ( x + 2 ) ( x + 1) ( jc + 2 ) ( jc + 1 ) ( x + 3 )

-5 x2 - \ 9 x -2 0

•= y

y (* + 2 )(* + l)(* + 3)

,

-=

5 jc 2 + 1 9 * + 2 0

(jc + 3 ) 4 U + 1 )3 ( a + 2 ) ( x + 1 ) ( j: + 3 )

U + 2 ) ( 5 jc2 + 1 9 a: + 2 0 )

y =

568

(x + 2 )2

(a + 1)4(jc + 3 ) 5

p E - j 1) V x-2 D esarrollo

Ln y = -^[ln x + ln(x - 1 ) - ln(jc -

y'

1 ,/! ,

y

2

— — — f-

1

¡x (x -l) V x-2

x-l

)]

1 , _

H------------------------ ;

x

2

=?

y

x-2

,

y / U - l X J C - 2) +jc(jc- 2) - x ( a c - l ) x

= — í ------------------------------------------------------------- )

2

x(x-\)(x-2 )

1

x 2 - 3x + 2 + x 2 - 2x - x 2 + j;

’2

jc U -l)U -2 )

y j x ( x - l ) ^ x2 —4 x + 2 ^ 3

569

2y fx ^2

y = x¿-

* 2

.r ( * - I) U - 2 )

^

y

- 4 .v + 2

2y¡x(x-l)(x-2)

x2 x 2 +1 D esarrollo

ln y = ln x + i[ ln x 2 - ln(j ; 2 + 1 )] y' 1 1 2x 2x . — = - + t ( — ---- 2 — } => y x 3 x x +1

y' y

1 1 2 2x . = - + - ( ------- 5 -----) x 3 jc x +1

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y'

1

y

a

—

,

2

2x

3a

3(a2 +1)

1----------------------------------= >

3 a :2 + 5

y = y ( ----- 5— 3a(a

+1)

,

2x

, 5

3 a:

, 5 a:2 + 5 - 2 a 2 „

3 (a2 +1)

J x2 . 3a2 + 5 )=■*? —— (— ^— ) => Va

,

= y ( ------------------------------------ ) = y ( ---------------------------— )

y

+1

3a(a

+1)

3 a ( a 2 + 1)

,

y -

3a 2 + 5

— 5—

Desarrollo ln y = 9 1 n (A -2 )-^ [5 1 n (A -l) + 11 ln(A -3)]

i ^ = — — I(_ L .+ _ L L ) y a - 2 2 a —1 a - 3 18 ( a - 1 ) ( a - 3) - 5 ( a - 2 ) ( a - 3) - 1 1( a - 2)( a - 1) y = y(----------------------------------------------------------------- )

(a - 2 ) 9 ^

y

,

V (a - 1 ) 5(a - 3 ) “

y=

2

2(a -1 )(a - 2 ) ( a - 3 )

(a - 2 ) 8(a 2 - 7 a +1) = : ------------------------— ■■■ ( a - 1)(a - 3 ) ^ ( a -

570

2a2 -1 4 a +

l)5 (a

-

—

3) 1 1

Va -1

, , y/(x + 2)2 y/(x + 2)3 Desarrollo

ln y = ^ l n ( A - l ) - j l n ( A + 2 ) - ^ l n ( A + 3 )

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v

a2

—

3 (a " + 1 ) \ a ~ + 1

\ Z( a - 1 ) 5 ( a - 3 > "

2(a -1 )(a - 2 ) ( a - 3 )

I


256

= y

( 2 (x -l)

y

-

3 (x -2 )

)

2 x+3

. 3(x + 2)(x + 3) - 4( x - 1)( x + 3) - 9(x - l)(x + 2) )

y(

6

( x - l ) ( x + 2 )(x + 3 )

•-

- 5 x 2 - x + 24 ^Cx + 2) 2 >/ u + 2

)3

)

3 ( x - l) ( x + 2)(x + 3)

5x2 + x - 2 4

3 ( x - l ) 2(x + 2)3(x + 3) 2 572

y = x*

Desarrollo ln y = ln x x = x ln x , derivando y'

— = lnx+l

=> y'= y(lnx + 1) => y'=x*(lnx + l)

y 573

y=

Desarrollo 2 ^ ln y = ln x * = x ln x , derivando se tiene: — = 2 x l n x + x => y' - y ( 2 x l n x + x) = x x ( 2 x ln x + x ) , de donde se tiene: y / = x * 2 +l( 2 1 n x + l) i 574

y = ífic = X*

Desarrollo

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ln y = ln x x

y'

1 -ln x 2

y

575

=>

JT

ln y =

x

, derivando se tiene:

, 1i - m ln x sy = y ( — 2r ~ )7 =>

, xrx¡~ r1 - il n x . Jy = v x (' — 2r— ) X¿

v = x^ Desarrollo ln y = ln x ^ = Vx ln x y' ln x Vx — = — 7= + y 2Vx x

y' = x

576

=>

, ln x 1 . y '= y (— —+ _ ) 2Vx Vx

=>

, x . 2 + ln x . V' = XVJ(----- = - ) 2Vx

sTx-X i 2 ( 1 + —lnx)

y = xJ D esarrollo ln y = ln x * = x * ln x , derivando se tiene:

— = x^í—) + (x x) ’ln x = ( x A)' = x J'(ln x + 1 )

y

- x*(—) + x’t(lnx + l)ln x x

=>

y ’ = y[x*(—+ ln2 x + lnx)] x

y ' = x x' x x(— + ln2 x + ln x) x 577

y = x smx

Desarrollo

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258

ln y = ln x senx = senx. ln x , derivando se tiene: y = cos.v.lnjM . senx — y x

y

578

= a

s e n x ,s e n x ( --------- + X

/ i a + -----senx ) , de donde se tiene: y . = y(cosA.ln x .

.

eos X ln a )

y = ( c o s a ) 1*"*

Desarrollo ln

y =

l n ( c o s x ) senx = s m A . l n ( c o s a

SCfí X

V

— = eos x. ln(cos a ) ------------------- = > y eos x

),

d e riv a n d o se

tiene:

y' = y [eos x. ln(cos x) - senx.tgx ]

y '- ( e o s a ) 1*"* (eos .v. ln(cos a) - senx.tgx)

579

y=

(1

+ 1)* A

Desarrollo ln >’ = ln(l + —)* = a ln(l + —) , derivando se tiene: A

A

1

( - -=•) -v = ln(l +

1

)+

=>

A

y '= y[lri(l +

1

A

1

A H----X

y = y tln (l

580

+ --) + A A

( A( A +

) + a *“ ] X + 1 A

-

1)

=*

y ’= ( l + 1 )" ln[(l + 1 ) -

y = (arctgx)*

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A

A

-1- ] 1

A +

Diferenciación de Funciones D esarrollo ln y = ln(arctgx)x = x\n(arctg x ) , derivando se tiene:

y = \n(arctgx) + x - - - - - arctg x

=>

y' - y[ln(arcfg Jt) + x —+ — ] arctgx

y' = (arctgx)x [ln(arctg x) + (1

2.3.

+ x )arctg x

DERIVADAS DE FUNCIONES QUE NO ESTAN Di EXPLICITAMENTE.a)

D ERIV A D A S DE LA FU N C IO N IN VERSA.Si la derivada de la función y = f(x) es y[ . , (y ) será.

inversa x = /

b)

0 , la derivada de la

/ I dx 1 x v = — , o sea — = y y'x dy dy dx

D ERIV A D A S DE FU N C IO N E S EN FO R M A P A R A M E T R IC

Si la dependencia entre la función Y y el argumento x viene d< í x =
i Se tiene y{ =

c)

x

dy en otra notación es:

— ■dx dx dt

D ERIV A D A DE LA FU N CIÓ N IM P L ÍC IT A : Si la dependencia entre x e y viene dada de forma implícita F(x,y)= para hallar la derivada y'x = y' en los casos mas simples, bastará:

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260 1)

Calcular la derivada con respecto a x del primer miembro

de la

ecuación (a ) considerando a y como función de x.

581

2)

Igualar esta derivada a cero, es decir, suponer que:

3)

Resolver la ecuación obtenida con respecto a y ' .

Hallar la derivada x y , si: 3x + x 3 ~ y

a)

Desarrollo dx _ dy

y=x

b)

1

3 + 3x 2

senx

.

2

Desarrollo / _dy

eos x

y ' = - ¿ - = 1 ---------

'

dx

2

dx • dy

2

2 - eos x

X

c)

y = 0 .lx +e 2 Desarrollo

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— F (x, y) = 0 dx

Diferenciación de Funciones ,,d y C A L C U L A R LA D ERIV A D A y ' = — de las funciones siguientes dad dx forma paramétrica.

582

a = 2/3 y=t

1

Desarrollo a = 2/ - 1

y =r

M =2

* . , , derivando tenemos:

3

dv y¡ 312 — = —V = — dx

A = - + l

t

583

Desarrollo

A = - + l

( t+ i r

I

2t

y = (— Y t+

y,

1

2

(f+ 1 )

1

dy _ y ' _ (t + l)3 _ dx

derivando se tiene:

2í t +1

2at A= -

584

1

+r

a(i - t 1)

y=-

i+ r

Desarrollo

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262

x=-

2a(l -_ñ

2 at

a + t 2f -Aat

a ( \ - t 2) y=-

y',=

+, 2

1

(1 + r

)2

-Aat dy

,

yj

dx

x

x[

(1 +V2 ) 2 2

a ( l(1

_

2

21

1 dx

I-f2

/ 2 )2

\ - t 2

+ f2 ) 2

3at x=■

ñ 7

585

3 a í2

y= 1

+,3 Desarrollo

jc

3ar

= -

=

3 a /(l-2 / )

í7 7

(1

3 a í2 y =1

/

+ r3

+ / 3 )2

3 a t(2 -t )

y' “ d + .! >! 3 a t(2 -n

^ = , y'

=

(l + < 3 ) 2

r( 2 - / 3)

3«(1—2/ 3 ) 2

1 - 2 /3

(1

+ í3 ) 2

586 Desarrollo

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dx

Vx

l - 2 í3


\x = J \y = t í

y[~ ~ w 1

d y = v ¡ = y ¡ _ _ 3 tft* _

_1 _ 2

.v = V ^ 587

ty=

2yft 3

_ _2_

#

3^

>/f

+1 1

V¡r +

i D esarrollo x, =

r2 + l

,v =

t

+1

í^ l

y' = _ i l L _

+1

(r + 1)2 1

+f

/(1

(r+ dy _

/ _

1

1)2

+1

d x ~ y* ~ t ( \ + r )

588

1

aí = a (c o s / + ts e n t) y = a ( s e n t - t cost) Desarrollo

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+/ + / 2)

264


x = a(cost + t sent)

I jc, - a t eos t

y = a ( s e n t - t eos t)

[y, = a ts e n t

dx

589

x

x¡

a tse n t _____

sent

at eos t

eos t

í =yx=tgt dy

= tg t

/

L r= a c o s t [ y = bsen t

Desarrollo X

= ÍJ C O S ' /

I y = bsen t

*y = y ' = 2 l dx Vx xf.

590

\x¡ = - 2 a sent eos t [y ,7 = 2bsen t eos t I b ts e n t eos t

b

- 2 a sent eos t

a

^ = v / =dx

.x - a eos t [y = bsen t D esarrollo x = ¿reos t [y = bsen t

I x[ - - 3 a eos 2 t.sen t [y ,7 = 3b sen21.eos t

3b sen tc o s t l l = y l = *- = dx yx XÍ -3 a eos2 1sent

x= 591

tg t

eos3 1 Veos 2 / sen3t Veos 2 / Desarrollo

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dy i b - f = y'x = — t g t dx a


x=

y=

592

eosi t Veos 2/

/ eos 4 t.sen t —3cos 2 t.sen3t x, = ------------------= = -------eos 2/.vcos 2í

sen3t

/ _ 3cos 3 t.sen2t - sen41.eos /

Veos 21

eos 2r.Vcos 2/

x = árceos V i+ 7 2 y = arcsen D esarrollo

x, = zJ.

V T w 5’

y = arcsen

_ y,

y, = -

v r+ í2

dx

, de donde se tiene: v W

= -i

sil + r

593

í'= [y =

Desarrollo

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266

594

x = a(\ntg — + cost - sent) y = a(sent + cosí) D esarrollo x = a(ln tg — + cos t - s e n t )

x[ =•

a - cos 2 — - a s e n t - a cos t í 2 sen — O

=>

/ .1 / , x. = a(—ctg — sent - cos t ) '

y = a(sen t + cos t), derivando se tiene: dy _ y,7 _ V '

595

2

2

y ,7 = a(cost - sení)

a ( c o s í- s e n í) /I ' a(—c t g — s e n t - cos f)

2

2

dy n Calcular — para / ----- , si: dx 2

(x = a ( t - s e n t ) < ly = a ( l- c o s ? ) D esarrollo

x = a(t —sent)

f a ,7 = a (l - cos t )

y = o ( l- c o s f )

[yr =asent

asent *L=y' = 2 l = x¡ a (l-c o s f) d* - 7

1

-co s/

x = /ln r 596

Hallar — para t = 1, si: dx

sen

sent

v_

*

Desarrollo

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dx <—“z

2 _ ,1 —cos — n 2

-= 1 1 - 0


x = l ln /

x¡ = ln / + l

_ ln i '

/

1

dy = y /

¿V

_

- ln t

l)l£

-ln /

_

r

_

1+ lnr

dy

597

y,

Jr

l-ln (l)

dx t=i

1

y< = — 5 -

i

/ 2(l + lní)

1 - 0

l(l + ln(l))

u „ dy Hallar — dx

i- h »

1

dy dx i=i

= 1

+0

n . \ x - e eo st para I = — , si: < 4 I y = e'sent D esarrollo

\ x - e ' eo st

I xt - e ' eos t —é sen i

I y = e sent

[y ,7 = e'sent - e ‘ eos/

dy _

i _ y, _ e ' ( s e n t - e o s t ) _ s e n t - c o s t

dx

*

, dy

sen

dx 7l> 598

eo s

x\

n 4

n 4

e' (eos t - s e n t )

n

e o s— 4

V2

— -----------„ 2 0 0 — ** - ~ —=r OO k 7 2 yÍ2 0 se n — 4 9 - 7

Demostrar que jc = 2f + 3 r

s¡2

eos t - s e n t

la función

y, dada por

satisfacen a la ecuación:

[y = t + 2 t Desarrollo

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las ecuaciones dx

dx

param étr


268

\x = 2t + 7>t2

jx¡ = 2+ 6f

[y = / 2 + 2 / 3

[y,/ = 2 / + 6 / 2

dy _ y j

2f(l + 3í) _ f

<¿c

2(1 + 3/)

Á dx 599

Para

^

2

+ 2 ( ^ ) > = ,2 + 2, J = y dx . x = 2

se cumple la igualdad x 2 = 2 x , ¿se deduce de esto que

( x 2 ) '= ( 2 x)' para x = 2 .

Desarrollo Si ( x 2)'= (2x)'

=>

2x = 2,

para

x = 2, se tiene que 4 = 2, es falso.

L u e g o p a ra x = 2 se tiene x 2 = 2 x no se cumple que ( x 2)' = (2x)' para x = 2.

600

Sea y = \Ja 2 - x 2 . Se puede derivar miembro a miembro la desigualdad de x2 + y 2 = a 2. D esarrollo

Com o x 2 + y 2 - a 2 => 2x + 2y' = 0 de donde y ' = ——

Ahora como y = y f a ^ - x 2 => — =

.de donde — = \¡a —x 2

3!

% dy Luego se cumple, puesto que es una identidad. Hallar la derivada y ' = — de las siguientes funciones implícitas y. 601

2x - 5y + 10 = 0 Desarrollo

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2 x -5 y + 1 0 =

602

x2 v2 — + -¿=- = a 2 b2

0

=>

2 -5 y ' = 0

de donde y '

1

Desarrollo 2 x 2 y' — a + ~bá r = 0

603

y =*

,

b

b2

x =*

a

>

= "

a2

x3 + y 3 = a 3 Desarrollo

x 3 + y 3 = í* 3

604

=>

3 x 2 + 3 y 2 y' = 0

=>

y 2 y'

x 3 + x 2y + y 2 = 0 Desarrollo 3 x 2 + 2xy + x 2 y 'x + 2 y y ' = 0

=»

( x 2 + 2 y )y'

, 3x*+ 2xy y =— x2 + 2 y 605

\[x + yfy = y/a Desarrollo

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270

606

sfx* + ^/y2 = sfa2 D esarrollo

1

1

1

jc3 + y 3 = a 3

y

y 43y . = -4x 3 =>

607

--

2

—

_i

—x 3 + ^ y 3y ' = 0

=>

y' - - —=r i —= tfy tl x

=>

=>

-1

jc 3 + y

3

-

y' =

0

y y .= - ?J/ — \x

y3 - * ^ jc+ y D esarrollo -j

2

,

3y y =

U + y X l - y ’) - ( * - y X l + y ' )

;

3 --------------

U +y)

3 y 2 ( jc +

y ) 2 y'=

3y (jc + y ) “ y' =

V=— 3y

2

(jc +

. , Luego y -

y =

y

jc

y - (* +

+

2 jc -

2.ry'

+2

=>

-

jc

2

y

3 y 2 (jc + ■>’)( jc + y) + 2jcy

-

- y)y*

( jc

(3 y (jc + y )

i J-y como y' - — Jc + y

z

y)

y ) y ’—( jc - y )

+-2jc)y'=2.y

=>

2

3 / \ v ( x + y) = jc - y

y2

3(.x - y ) ( x + ty) + 2xy

2y 1

2y2

3y3(x + y)(jc+y) + 2xy

3 {x - y )(x + y) + 2xv

2

y2

3(x 2 - y 2) + 2xy

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y - 0.3 sen y = x D esarrollo y '- 0 .3 c o s y .y '= l ,_

y '( l - 0 .3 c o s y ) = l

_

1

l - 0 .3 c o s y

609

=>

10

1

,

1

3 1 0 -2 c o sy eos y 7 10

,_ _ ^

10 3 eos y

a c o s 2(x + y ) = b D esarrollo 2a cos(jc + y)[—sen(jr + y)(l + y ' )] = 0 , de donde se tiene: - 2 a cos(x + y)sen(x + y)(l + y ') = 0 -asen2(x + y)(l + y') =Q

610

=>

l+y'=0

tg y = xy D esarrollo sec2 y .y' = y + x y’ . => y

_

sec2 y - *

611

(sec2 y - x ) y ’= y

y eos 2 y 1- . ícos 2 v

X

x \ = arctg(~~) y

Desarrollo

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=> y' = - l

10


272

xy y xy+ — T =— 2 ~y x ¿ + y ¿ x ' + y~

x y '(l + x 2 + y 2) = y ( l - x

612

, A + x *+ y2 , ,i-x -y , 2 ) = -v (— 1 2 ) x ¿+ y ¿ x¿ + y '

=*

2

•*?(—

- y 2)

i 2 y ' = ^ ( — V 1^ ) x 1 + x“ + y

=>

arctg (x + y) = x Desarrollo

1 + > ,,=I l + (x + y )“

613

=>

l + y '= l + (x + y ) 2

=>

y '= ( x + y ) 2

ey =x + y Desarrollo

e y .y' = l + y'

614

=>

e y , y '- y '=

1

=>

y '( e ;v- l ) = ]

=>

y' = ey - l

_r \ nx + e x =c Desarrollo i - 1 — + e x ( - X~V■■■■■—) = x x _í e y ( - x y '+ y) = - x

xex + y y =

615

=>

0

-x + e x ( - x y '+ y )

1

=>

- x y '+ y = - x e *

= 0

2

=> x y ’ = x e x + y

=> y ’- e x +-

ln v + — = c y Desarrollo

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— + —— y y*

=

( y - x ) y '= - y

616

y

=>

0

y y '+ y - x y ' =

=>

i ■/ 2

(y - x )y '+ y =

0

0

==> y ' = - y x-y

y' = — — y-x

2\

arctg — - —ln(x~ + y ) x 2 Desarrollo

x y '-y x y '-y

v2 x + y .y ' — = - Z2 - iLTZ >\2 x +y \+ (-y ~ x x y '- y y ' = x + y

617

íx

2 +2y

=*

=>

L

x +y ~

Z

x + y .y ' =

Z

x +y ' "

(x -y )y ' = x + y

L

=>

=>

xy - y - x + yy'

x y ' = ---- — x-y

y = c.arctg — x Desarrollo

x y'-y x + yy'

a:2

x+yy'

_ ^ x y '- y

l+(^ )2 x

\Jx2 + y 2

* 2

- r

yjx + y 2

x y '- y x+yy = c .- p = = r ■Jx2 + y 2

=>

yy[x2 + y 2 - e x

+ y2

, cxy' cv y y — = = = = — .— i - ^ - x yjx2 + y 2 Vx 2 + y

cy + xyjx2 + y 2

y (.---------------------- ■----- ) = —( -------- P - -------------- )

y[x^+ y2 v

n

7

sjx2 + y 2 .

,

n

~x

yiy y jx +y -c x ) = -(cy+x-sjx + y ) => -+■

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. cy + x J x 2 + y y" -= ---------y cx-y-Jx2 + y


274

618

xy = yx

Desarrollo l n x v = ln y x , derivando se tiene: vi , , xy' - + y ' l n x = ln y + — x y

=>

=>

— + y 'ln x = ln v + — x ' x y ln x -x ^ y

619

y + y 'x l n x x

y ln y + xy'

-

x

y 'l n x - — y ' = ln y - — y x

x \n y -y x

y,

Hallar y' en el punto M ( l,l) sí:

y^x ln y - y j x y ln x -x

2y = l + xy 3

Desarrollo 2 y ,= y 3 + 3 x y 2y'

> _

620

2

- 3 xy 2

=> 2 y '-3 x y 2 y '= y 3

^

=>

(2 - 3xy 2 )y '= y 3

^

yV u )~

1

Hallar las derivadas y' de las funciones y, que se dan a continuación en los puntos que se indican: a)

(x + y ) 3 = 27(x - y) cuando x = 2 e y = l . Desarrollo

3(x + y ) 2(1 + y ') = 27(1 - y ')

=*

3

(x + y ) 2 + 3(x + y ) 2 y '= 27 - 27y’

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,

(3(x + y ) 2 + 2 1)y '= 2 1 - 3(x + y ) 2

2 7 -3 (x + y )2 3 (x + y ) 2 +27

_ 2 7 - 3 ( 2 + 1) 2 _ 2 7 -3 (9 ) _ O =* y 'U z j )

y P(2,1)" 3(2 + 1) 2 + 27 " 3(9) + 27 " 54 ~

b)

y e y = e x+ , cuando x =

0

* 0

e y=l

D esarrollo r x+l

4. ye ™ y y »'= e x+l y' e,yy +

e

ey + yey •I y W » - e+e ~ 2e~ 2

c)

2

-i

_

^

1

2

y

y = x + ln — , cuando x = l e y = l

D esarrollo

xy-y 2

y y ' = l-i— ----y

=>

2

y y '- l + ^ V l Z xy

=*

2

X

^ 1 _=> 2 y y . y = ,1 -------y

x

y 'U i.D - i( 2 _ i ) ~ i

_ 0

- K) = ------*-i y „iy (--------y x

^

y 'U i ) - °

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-

y*

yy' = l + — - —

jt( 2 > . 2 - n


276

2.4.

APLICACIONES GEOMÉTRICAS MECÁNICAS DE LA DERIVADA.a)

E C U A C IO N D E LA TA N G E N T E Y DE LA N O R M A L.La ecuación de la tangente a la curva y = f(x) ó f(x,y) = 0 en el punto M U o J o ) es:

y ~ y p - y o ^ ~ x o)

donde

es el valor de la

derivada y' en el punto M ( x 0, y 0 ). La recta perpendicular a la tangente, que pasa por el punto de contacto de esta con la curva recibe el nombre de normal a dicha curva y su ecuación es: ■y-ô + y ó ( y - y o > = ° b)

A N G U LO E N T R E CURVAS.E1 ángulo formado en las curvas y = / , ( * ) e y =

/ 2

(■*) en su punto

común M ( x 0, y 0 ) está dada por la fórmula:

tgw

c)

SE G M E N T O S, R E L A C IO N A D O S CO N LA T A N G EN TE Y LA NORM AL, PA RA EL C A SO DE UN SISTEM A DE C O O R D EN A D A S CARTES1ANAS.La tangente y la normal determinan los cuatro segmentos siguientes (En la figura). t = TM , llamado segmento tangente

S, = T K , sub tangente

m = NM, segmento normal

S„ = KN , subnormal

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Como K m = |y 0 | y

tg

M = N M =\ y J l + i y t f |

5, =7XT|ífe-| ;

s H= |y 0yól

?0

d)

SE G M E N T O S R ELA C IO N A D O S CO N LA T A N G E N T E Y NORM AL PARA EL CA SO DE UN SIST E M A C O O R D EN A D A S PO LA R ES: Si la curva está dado en coordenadas polares por al ecuación r = f((f ángulo j_t, formado por la tangente MT y el radio polar r = OM (fi 14) se determina por la fórmula tg/i = r ^ - - — . dr r‘ La tangente MT y la normal MN en el punto M, junto con el radio p

del punto de contacto y la perpendicular a dicho radio trazado por el ] O, determinan los cuatros segmentos siguientes: t = MN, segmento de la tangente polar m = MN, segmento de la normal polar S, = O T , subtangente polar

S n = ON , subnormal polar; do

m = M N = s j r + i r ' ) 2 , S„ = MN = r 2

I =MT -

y]r + (r ' ) 2 \r I

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S,=°T =f ~

\r I

278


621

¿Qué ángulos

a)

b)

x= 0,

x—

1

c)

X =

1

D esarrollo a)'í

¿y tg(p = — dx

b)

tg(p =

c)

dx tg

= ( l - 2 x ) | x=0= l

=>

tg tp = l

=*

tp = 4 5 °

x=0

=

(1

- 2x) |

,=

1 - 1

=

0

=>

(1 - 2x )x . ==1 —2 = —1 => x=\

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tg(p =

0

tgcp = - l

=> tp = 0 °

=> (p= 135°


¿Qué ángulos forman con el eje de abscisas, al cortarse con este en el orig coordenadas, las sinusoides y = sen x e y = sen 2 x? Desarrollo Sea y = f(x) = sen x y = g(x) = s e n 2 x Luego

/ '( x)-co sx

=> .?'(*) =

tgcp = / ' (0) = 1 =*

’gtp - g'( 0) = 2 623

=>

2

co s2 x

=>

lg tg

=>

=>

/ '( 0 ) = 1 g '( 0

) - 2

(p = 45°

=> tp = arctg 2 =>

¿Qué ángulos forma con el eje de abscisas, al cortarse con este en el orig coordenadas, la tangentoide y = tg x? Desarrollo dy :sec 2 x|_(=0 = se c 2 0 = l tg(p = — dx -4=0

624

=> tg tp = 1

cp = 45°

¿Qué ángulos forma la curva y - e° 5x con la recta x = 2, al cortarse con i Desarrollo Sea tgtp - y |v=2= 0.5ea5j 1 ^ ,= 0.5
t g ( p - — =>

625

(p = arctg ~ « 36°21'

Hallar los puntos en que las tangentes a la curva y = 3x 4 + 4.v 3 - I 2 x 2 sean paralelas al eje de abscisas. Desarrollo Sean L, la recta tangente y L el eje de abscisas

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280


Como L, IIL => m L , - m L \ pero mL, = 12x 3 + 12x 2 - 24 xy Como m L ,= m L ,

1 2

=>

jc(jc2 + j c - 2 ) = 0

=>

mL = 0

12x3 + 1 2 x 2 - 2 4 x = 0

=>

1 2

x(x + 2 )(x -

1

)=0.

Luego: Para x { = 0 , y¡ = 2 0 => P ,(0,20)

626

P ara.v 2 = - 2

=> >’2 = 4

Para x 3 =1

=>

=> P2 - ( - 2 , 4 )

y 3 = 15

=>

P3(l,15)

¿En qué punto la tangente a la parábola y = x 2 - l x + 3 es paralela a la recta 5x + 7y - 3 = 0? D esarrollo Sea L, = ? y L: 5x + y - 3 = 0, tal que L, IIL

„ z ,= £ dx

o)

mL = -5, luego como: L , I I L

=>

m L ,= m L

=>

2x0 —7 = - 5

como 2x 0 = 2 => x 0 —1 , y 0 = - 3 Luego P( 1,-3) es el punto pedido. 627

Hallar la ecuación de la parábola y = x 2 + bx + c que es tangente a la recta x = y en el punto ( 1 , 1 ). Desarrollo L, : x — y

=> mL, = 1

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!p < i.

1

dy = (2x + b) |^=]= 2 + b = )‘ dx P(i.i)

Luego y = x 1

628

=

1

-

1

+c

Determinar

1

=> b = -l

- x + c , pero como es tangente en el punto (1,1) es decir: => c = el

y = x“ - *

1

coeficiente

x 3 + y 3 - xy - 7 =

0

angular

, en el punto

de

la

tangente

a

+ 1

la

(1 ,2 ).

D esarrollo Coeficiente angular de la tangente,

lim — - ^ Ar—+0 A x

dx

( 1. 2 )

Como x 3 + y 3 —xy —7 = 0 , entonces: 3a 2 + 3 .v 2 y '-y

,

y - 3 a"

y = — =— 3y - a 629

-x y '= 0 dy => — dx

=>

( 1, 2 )

(3y2

- * )/= y -

2 -3

1

12-1

1!

3a 2

¿En qué punto de la curva y ¿ = 2 x 3 la tangente es perpendicular recta 4x - 3y + 2 = 0? D esarrollo Sea L: 4x - 3y + 2 = 0 => inL = — 3 Como

y2 = 2 x 3

=>

2y.y' = 6 A 2

Sea L,, la recta tangente mL, = y ' =

=>

3a

-

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y' =

3a -

(


282

Com o L, ± L

1 3x 2 1 3x 2 3 . => mL, = --------= > ------- = —- => —— = — => y = 4a mL y 4 y 4

( - A x 2 ) 2 = 2.x3

Como y 2 = 2 x 3

2 a 3 ( 8 a - 1 ) = 0 , de donde:

x{= 0,

Para:

y] =0

Ai = —, - 8 630

a

=>

2

16a4 = 2 x 3

= 0 , x2 = —

,

8

=> Px(0,0)

P2 (—, ——) 2 8 16

y 2 = — — => 2 16

Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la parábola y = Va en el punto cuya abscisas es x = 4. D esarrollo r

= \¡x

,

1

=> y = — 2 Va

=>

i

1

dy

m L ,- — dx

4

L '■ y - y o ~ mL , ( x - x 0 ) como x0 = 4 => y 0 : 'rt '>¿17; ’ ;}- ■ Luego Lt : y - 2 = —( a

Como mL, - — => ' 4

-

Escribir las ecuaciones y=

a

3

+ 2 a2 - 4a -

=>

L, :

a

- 4y + 4 - 0

mL,v = - 4 N

Ln : y - A = - 4 ( x - 4 ) 631

4)

= 2

3

=>

LN : 4a + y - 18 = 0

de la tangente y de

, en el punto (-2,5). D esarrollo

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la normal

a la curva


y '= 3 x 2 + 4 x - 4

=> m L ,= — dx

= 3 (-2 ) + 4 (-2 ) - 4 = 0

=>

mL,

(- 2 , 5 )

Luego: L, : y - y 0 = mL, ( x - x 0) L, : y - 5 = 0(x + 2) Como mL, = 0

=t> L, : y - 5 = 0

=> mLN = °°

L n : y - 5 = m LN ( x + 2 ) => LN :

632

y —5 x +2

= co

LN : x + 2 = 0

=>

H allar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y = 11x - 1 punto ( 1 ,0 ). D esarrollo ' = U x-

=>

1

L, : y - y

0

y ’ = —r L g como 3
= oo entonces X=\

= m L , ( x - x 0)

L, : y —0 = °o(x —1)

633

mi.. = — dx

=?

L, : ———= oo x- 1

=>

L( : x —1 = 0

Hallar las ecuaciones de las tangentes y de las normales a las siguientes cu en los puntos que se indican: a)

y = tg 2 x en el origen de coordenadas.

b)

y = arcsen(X

c)

y = árceos 3x en el punto de intersección con el eje OY.

d)

y = ln x en el punto de intersección con el eje X.

) en el punto de intersección con el eje OX.

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284


y = e'~x en los puntos de intersección con la recta y = 1 .

e)

D esarrollo a)

y = tg 2 x

=i> y '= 2 s e c 2 2x =>

mL/ = y'¡x=0= 2

L, : y - y 0 = mL, (x - x0 ) => Lt : y - 0 = 2 (x - 0) => L, : 2x ■ y =

y = arcsen(—— ) =>

b)

para y =

=> arcsen(

0

o

1

m L ,± y U = -

L , '■ y - y

0

x -1 ,

)=

,

. 0

=>

y = y jlx —x 2 + 3

x -1

^

1

= m L , ( x - x 0 ) => L, : y -

y

1

en el punto ( 2 ,2 ).

Desarrollo Para x = 2 => t = 1 y=

2

=> t =

1

0

= —( x - 1 ) , de donde

LN : 2 x + y - 2 = 0

+r 3

=> x =

1

Escribir las ecuaciones de la tangente y de x=■

„ = 0

™ L ,= -

=>

L, : x - 2 y - 1 = 0 634

y ' = ¡— =ÜL u -ir 1-

0

1

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la

normal

a

la

curva.

Diferenciación de Funciones -3 -2 1 y, =■

y'x = ^-j de donde 2

r

_ >; _ 2(3 + 2/) ya=2=4

f ( 6 + í)

L, ■ y - y

r=l

'

10

0 = r n L , ( x - x 0) => L, : y - 2 = — ( x - 2 )

L, : l x - \ 0 y + 6 = 0 y 635

7

L N : l y - r ' r> x -3 5 = 0

Escribir la ecuación de la tangente a la curva x = t eos t, y = t sen t ei origen de coordenadas y en el punto t - — . D esarrollo y[ = sent + t c o s t ,

x¡ =cos t - t s e n t

y, sent + tc o s t mL, = -¿- = x co st-tsen t

=0

reemplazando se tiene:

(=0

L, : y - 0 = 0 ( x - 0 ) => L, : y = 0

mL, =

sent + tco st

4+n

c o s t - t s e n t jk

4-n

4

para t= -

n n , x —— , y - — reemplazando se tiene:

n 4 +n , n. 4 : y » — = ------- ( * -----) n 8 4 -n 8

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286 636

Eduardo Espinoza Ramos Escribir las ecuaciones je3 + y 3 + y 2 + 2x -

6

de la tangente y de la normal a la curva

= 0 en el punto cuya ordenadas es y = 3. D esarrollo

Para y = 3 =>

;t 3 + 2x + 3 = 0 , de donde x ^ - 1

Luego el punto de tangencia es P(-l,3). « Como mL, = — entonces: 3x~ + 2 y .y +2 = 0 dx ix-1,3) -2 -3

i - — dy mL, dx

, 2 - 3x => y = ---------2uy

5

'■ y — yo = mLt (x - * 0) =>

: y - 3 = - - ( . r + l) de donde se tiene: 6

L, : 5:t + 6 y - 1 3 = 0 Si

.

Luego:

5 =—

6

,

L N : y - y 0 = m h N (jc - .c0 )

L n : y - 3 = —(jc + 1)

63)

6

=> wLjy = — 5

=*

LN : 6 jc - 5 y + 21 = 0

Escribir la ecuación de la tangente a la curva x 5 + y 5 - 2xy = 0 , en el punto ( 1, 1). D esarrollo Como

* 5

+ y 5 -2 x y = 0

=>

5 x 4 + 5 y 4 y ’- 2 y - 2xy' = 0

2 y —5x4 De donde y 1 = — , además:

5y - 2 x

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mL _ dy,

_ 2 y-5 x

dx Pili)

_2-5__]

5 y 4 - 2 x \ p(i_d

5

2

Luego L, : y - y 0 = m L , ( x - x n) L, : _ y -l = - ( x - l ) 638

Escribir

las

=>

L, : x + y - 2 = 0

ecuaciones

de

las

tangentes y

de las normales

a

curva y = (x - l)(x - 2)(x - 3) en sus puntos de intersección con el eje abscisas. D e sa rio ’lo Hallaremos para

los

puntos

de

intersección

con

el

eje

X

de

y = 0 => (x - l)(x - 2 )(x -3 ) = 0, de donde: x , = l , x 2 = 2 , x 3 ='.

Luego se tiene los puntos P,(1,0), P2 (2 ,0 ), P 3 (3 ,0 ). y = (x - l)(x - 2)(x - 3) => y '= 3 x 2 -1 2 x + l l Li -

es

y = x 3 - 6 x 2 + 1 \x -

6

mL, = y '\ x~i=2

=>

y además

mL, = 2

y - y o =mL, ( x - x 0)

L, : y - 0 = 2 ( x - l )

Como mL, - 2

=>

Ln : y - 0 = - i ( x - l )

=*

L, : 2 x - y - 2 = 0

mLN = - — y L N : y - y 0 = m L N ( x - x 0 )

=>

Ln : x + 2 y - l = 0

en forma similar para los demás puntos.

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2

K8

639

Eduardo Espinoza Ramos Escribir las ecuaciones

de la tangente y de

la normal a la curva

y 4 = 4 x 4 + 6 xy en el punto ( 1 ,2 ). D esarrollo 4 y 3 y' = 16,y3 + 6 y + 6xy'

y 4 = 4 a 4 + 6 xv

(4 y 3 -

6

.v)y’= 16*3 + 6 y =>

y ’= 2

8 y 3 + 3y 14 =— mL, ~ y l(i.2 )= . 3 , 2y - 3 * (1 .2 )

U

:

y ~ 2

14 = — ( jc -

Como mL, '

: y - y 0 = m L l ( x - x „)

y

=> L, : 14.v - 13y + 12 = 0

1 )

13 mLN = ~ — y

13

Ln : y - 2 = ~ ( j c - l ) 14 640

y -3.v

=>

Ln : y - y 0 = m L N ( x - x 0 )

L n : 13x + 1 4 y - 4 1 = 0

Demostrar que el segmento de tangente a la hipérbola xy = a 2 , comprendido entre los ejes de coordenadas, esta dividido en dos partes por el punto de contacto. D esarrollo Por dem ostrar que p es punto medio de A y B para esto hallaremos los puntos A y B, primeramente encontraremos la recta tangente. Como xy = a 2 =>

y' = ~

=*

mL, = y ' |

■ y ~ y o ~ mL, (x - x 0 ) reemplazando se tiene

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= -fj.


V

y - y o=~ (* -x o )

xo Hallaremos el punto A para esto y = 0 =>

x = 2x 0

=>

A(2x 0 ,0)

Para x = 0 =>

y = 2y0

=> B(0,2x0 )

_ A(x,0) + l?(0,y) _ A(2xo,0) + B (0 ,2y0)

Pô>v0) :

=

2

2

( 2 xx + 0 . 0 + 2 " ' —= t-ô>.V * => 2

641

2

P(x 0, y Q) es punto medio

2

Dem ostrar que el astroide x 3 + y 3 - a 3 el segmento tangente, comprend entre los ejes de coordenadas, tiene magnitud constante e igual a: a. D esarrollo Por demostrar que d(A.B) = a 2

2

2

Para esto hallaremos la recta tangente. Como x 3 + y3 = a 3 entonces:

—x 3

3

+ —y _3y ’ = 3

0

=> y ' = Vx.

= y ’ U w 0) = ,3/—

y Lt ■ y - yo =

(* - * 0>

*0

A : y - y o = 3 — ( x - x 0) 1 Xn

Determinaremos el punto A para esto y = 0 se tiene:

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290

Eduardo Espinoza Ramos ¿ 2 x = x 3 (x03 + .y3 ) = x g a 3 1

2

12 A (x¿ a 3 ,0)

2

=>

Ahora determinaremos el punto B para esto x = 0 1

2

= >'o O o +

y

12

2

)= yo°3

\_ 2 B (0 ' y o a 3)

=>

I I 1 2 n 3 ’l)~ ”+ -i- (( y v ^3 na 33)^ d ( A ,B ) = y(.Vga3

I

2

2

T

- ~ - ~ = \\¡x$.a3 r.3 n 3 X = + yv $3as i 3

/"~2

i"

= y ( x 3 + y¿ )a 3 = \ a 3.a3 = \ f a ^ - a 642

Demostrar que las

normales

a

la

envolvente

de la circunferencia

x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - t eos t) son tangentes a la circunferencia x

2

+y

2

2

=a . Desarrollo

x

?

+y

2

2

=a~

y' = - c t g t

=>

x

y =— y m L ,= -c tg t

... ( 1)

Ahora calcularemos la pendiente de las normales a la envolvente de la circunferencia:

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x = a(cos t + t sen t)

dx — = at eos t dt

. y = a(sen t -

dy — = at sen t dt

1

eos t)

dx dx at eos / m l N = — - = — — = ------------ = - c tg t . Luego dy ay at sent dt

mLN = - c t g t

... (2)

De (1) y (2) queda dem oc,rado que las normales a: • x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t -

1

eos t)

son tangente a la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 643

Hallar

el

ángulo

de

intersección

de

las

parábolas

y - 4 + 6x - x 2 . Desarrollo Hallaremos los punto - de intersección como: y - ( x - 2 ) 2 e y - 4 -r 6 .v - x 2 , completando cuadrados

{x - 2)1 = - 4 + 6 x —x 1 =>

de donde

X i = l y, = 1

x2 -

^

x 2 = 4, y , = 4

\y(= 6 ~ 2 x

y[ (1) = 4

[yl1 = 2 x - 4

y í( l ) - - 2

5x

+4=0

Pj (1,1) p 2 (4,4)

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y = ( x - 2 )1

292


(1) L—

Luego tg a = —4—

-2 -4 - 6 6 = ---------= — = _

=>

1+ 3>Í(1)04(1) 6

tg a = —

644

> -8

-7

7

6

=>

a - arctg(—) —40°36'

¿Qué ángulo forma entre si las parábolas >’ = x 2 e y =

a 3

al cortarse?

Desarrollo Encontraremos los puntos de intersección como: y -x a-,

2

e y = xJ

= O, y t = O

0

p ] (0 ,0 ) p 2{Id)

x , = l , y2 = l U (x)= 2x

=> x 2 = x 3 => x 2 ( x - l ) =

^

[ y '( x ) = 3x 2

U (0) =

0

|^ ( 0 ) = 0

,g a = j M ^ ¡ m i + y ¡( 0 i.y ¡( 0 )

^

=0

=

a=0.

1 + 0

esto quiere decir que son tangentes entre si, ahora para el punto p 2 (l,l) U ( x ) = 2x

^

| y( ( 1 ) =

j y '( x ) = 3x 2

^

1 ^ (1 ) = 3

2

'*/? = ,v2 ( l ) - v í ( l ) = l z l = 1 ^ 1+ y¡ (l ) - > ’2 (1) 1 + 6 7 645

Dem ostrar que las curvas y =

4a2

r¿ /? = -

=> 7

+

2a

-

8

¡i =arctg — ~S°&' F 7

e y = x3 - a +

entre si en el punto (3,34). Ocurrirá lo mismo en (-2,4)? Desarrollo

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10

son tangentes

Diferenciación de Funciones 1 -----------------------------Para que sean tangentes entre sí debe ocurrir que tg a = 0.

í

‘Ctirí $'ni> • irr • ¡idu? y oJnognfildtn; .itumon

Como yq = 4 x 2 + 2 x —8 y 2 = jt3 - . r +

=>

y [ = 8 .v + 2

=> ^ = 3 x 2 - 1

10

>2(3)- y (3) tga = — 2 — ------ 1-— l+ iV Í(3 ).^ (3 )

=

26-26

—= 0

y¡

^ 3

= 26

y '2 1 3 = 2 7 - 1 = 26

=>

=>

=>

tg a = 0

1+ 26

Luego son tangentes entre sí. En el punto (-2,4) no son tangentes sí, por que tg a / 0 646

Demostrar que las hipérbolas . . y - a

y x

—y

—b~ se cortan er

formando un ángulo recto. D esarrollo Para que las curvas que se cortan forman un ángulo recto sus tangentes ser perpendiculares. Es decir: Si L[ y L, son las rectas tangentes. Luego l!t _L L, demostrar

=s

ml!r L, = -1

<

Como xy = a 2 => mil, =

= y'

r2

x 2 - y 2 = bI 2

=>

r x mLj = y t=— a~

x o a2 donde y ' = — pero x y - a “ => y = — y xV a 2

x2

- (— - ) ( — ) = -1 => x a“

l!t _L Lt

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=>

x x2 y y- — - — - mLt ' as i l as i 1

■=> forma un ángulo recto.

294

647


Sea la parábola

>>2

= 4 jc, calcular la longitud de los segmentos: tangentes,

normal, subtangente y subnormal en el punto ( 1 ,2 ). D esarrollo

Longitud de la tangente = t =| — >j\ + ( y'0 )2

y'o Corno y

2

=4x

=>

2yy' = 4

=>

y' = —

. V |(io) —1

=»

y

’

sj____ Reemplazando en la longitud de la tangente se tiene: / =| y v T + 1 1= 2y¡2

n = longitud de la normal - | yoy¡l"+ (y/, ) 2 |

=>

Longitud de la subtangente S, = | — ■|

S, = | —¡= 2

=>

>0

Longitud de la subnormal = S n = | y 0-.vo I =>' 648

n - | 2yf\ +T |= 2 ^ 2

1

= 12(1) ¡= 2

Hallar la longitud del segmento subtangente de la curva y = 2 / en cualquier punto de la misma. D esarrollo S, = Subtangente f = | — | como y = 2* => >'o

y ' = 2 x \n2

=> y 0, - 2 x° \ n 2

s .I -Ü - I — L

'

649

2M n2

In2

Demostrar que la longitud del segmento normal de cualquier punto de la hipérbola equilátera x 2 - y 2 - a 2 es igual al radio de dicho punto. Desarrollo

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n = longitud de la normal =| Como

x 2 - y 2 = a 2 =>

yoyj\ +(.\q)2 | y ' —~

y

-

=1

V

d i + %

1

= %

=

Luego la longitud del segmento nonnal es igual al radio polar de dicho p 650

Demostrar que

la longitud del segmento subnormal de

la hij

x 2 - y 2 = a 2 , en un punto cualquiera de la misma, es igual a la absi dicho punto. D esarrollo S„ - longitud de la subnormal = | y 0.y 0 ¡ /-*

Como

2

2

2

x - y = a =>

, X

y = — =>

/

yo -

y

=1

Xn

v0

% (— ) 1 = vo >'o

651

x2 y2 Demostrar que los segmentos subtangente de la elipse — + — = 1 y a~ b

circunferencia x 2 + y 2 = a 2 en los puntos de abscisas iguales, son i entre sí. ¿Qué procedimiento de construcción de la tangente a la eli desprende de lo ante dicho? D esarrollo Los puntos de abscisas iguales tanto para la elipse como para la circunferencia son p f a f i ) y p 2( - a , 0 ) .

Por lo tanto se

tiene que:

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296


a)

de la ecuación de la elipse se tiene:

además y'Po = Po

b)

b /

y Po- ~ \ j a

2

2

~ xo

^ , p 0 (A0 , y 0) 2 / 2 a y/fl '•*o

De la ecuación de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 se tiene:

y = yja2 - x 2

=>

y'p¡¡ = ¡ 2 -y/fl —Xq2

El segmento subtangente de la elipse es:

5

/

- I y f t |_

i / I yvy Po

I ( fl2 ~ -* q ) i

I

/7V ax0

II

i

-* o 2

ax0

Sea p 0( x 0, y 0 ) = p \(a,0) =>

S, = 0

El segmento de la subtangente de la circunferencia

s¡

=, | Za. |= _ | (cr y Po

~ A°~]

|=| a ‘. z

xo

Sea p 0( x 0, y 0 ) = p¡ (a,0)

$

|

xo =>

S¡ = 0

En forma similar se hace para p 2 ( - a , 0 ), concluyendo que S t = S ' . De todo lo obtenido se concluye que la tangente a la elipse se obtiene, trazando por los puntos de abscisas iguales una recta paralela al eje

Yy

puesto qué como S, = 0 , esto nos indica que no hay proyección de la tangente sobre el eje X; por lo tanto la tangente es vertical.

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Hallar la longitud de los segmentos tangente, normal, subtangente y subnoi a la cicloide x = a(t - sen t), y = a(l - eos t), en un punto cualquiera t = t0 D esarrollo \x, - a - eo st

x = a(t - sen t)

; y = a( 1 - cost)

1

- c o s t0 sent,o

2 | _| f l ( l ~ C O S / 0 )

j, | ^ l - C O S / Q ' 2

a(t0 - s e n t 0)

t=

653

l-c o s r0

eos t,o

t0 - sent,o

y, —a sen i \y, - a s e n

[y, = a - a c o s t 0

j _ y,0 _ a ( l - c o s / 0) _ yx — x'•n • asent0

=>

sentn

r=

( l- c o s ín ) 2 2

t0 ~ sentó

Hallar el ángulo que form an entre sí la tangente a la espiral logarítr r = a e k<í> y el radio polar del punto de contacto. D esarrollo El ángulo formado entre la tangente y el radio polar está dado por:

tgu = r

dtp dr

r

km

como r —ae r

=— r'

dtp dtp _ dr

dtp tgu = r —- dr

, r{

„ ae — )= ---- — = — akekq>k a e ^ k

1

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1

akek(f)

1 => tgu = — k

y = arctg (—) k

298

E duardo E spinoza R am os

654

H allar el ángulo entre la tangente y el radio polar del punto de contacto para la lem niscata r 2 = a 2 e o s 2 (p . Desarrollo d (D o 2 Com o tgu = r —— y como r —a eos 2(p derivando se tiene: dr „ 2

r

dr

„ 2 = - 2 a l sen2(p =*

dr

a 2senl(p r d ( p r

drn , r tgu = r - r = >( s— 1----- ) -~ dr a sen2(p 2 o eos 2(p — “ a sen2cp 655

^ ctg 2(p

d(p r dr

r a"sen2(p

r2 a sen2(p =>

tg u = - ctg 2 (p =>

k

U= — 2

H allar las longitudes de los segm entos polares: tangente, normal, subtangente, subnorm al y el ángulo que form a entre sí la tangente y el radio polar del punto de contacto para la espiral de A rquím edes r = atp en el punto de ángulo polar

d(p

— a reem plazando se tiene:

t = — \j a 2(p2 + a 2 = (pa^](p2 +1 => a

t = 2na^¡4K 2 +1 para tp = 2tc

r2 Longitud de subtangentes 5, = | —- ¡ 2

St

2

= -f— = I r '\

2

= acp2

para

cp= 2tt

reem plazando se tiene:

a

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S, =4a n 2

D iferenciación de F unciones

2

Longitud de la normal = n = \¡r2 + ( r ' ) 2

« = yja2(p2 + a 2 = a\¡47i2 + 1

Longitud de la subnorm al = S„ = | r '| de donde S n = a para r' = a dtp tgu = r — pero r = acp dr reem plazando se tiene:

656

y

dr — -a d(p

d(p _ ! dr

a

tgu = (a tg u = tp ; tg u = 2 n a

H allar las longitudes de los segmentos polares, subtangentes, subnorm tangente y normal; y el ángulo que forman entre sí la tangente y el radio po para la espiral hiperbólica r = — en un punto arbitrario tp =

=*

i

r0 ~

a

2

^ a . a Com o r = — para ( p - ( p 0 se tiene r0 = —

9

r

(Po

a_

(Po

¡= -r 7]yjr2 + ( r ')2 n ^ y]r2 + ( r ' ) 2

t-

a-ijí +
+
(po adem ás tgO ■

tgO = -<¡p0 de donde 0 = arctg(-(p0 )

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Eduardo Espinazo Ram os

300

657

-

La ley del movimiento de un punto sobre el eje OX es x = 3r - í 3 . Hallar la velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes t 0 = t2 =

2

0

, /, =

1

y

(x se da en centímetros y, t en segundos). Desarrollo

V(x) = — = 3 - 3 r dt V(t0) = V( 0) = 3 — seg

;

V (í,) = V (l) = 3 - 3 = 0

V(f2) = V(2) = 3 - 3 ( 4 ) = - 9 — seg 658

Por el eje OX se mueve dos puntos que tienen respectivamente las leyes del r . . . movimiento x = 100+5t y x = — donde t > 0. ¿Con qué velocidad se alejaran estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro (x se da en centímetros y t en segundos)? Desarrollo Para el tiempo del encuentro se tiene que V, = V2 ~ , dx Donde: V, = — = 1 dt

=>

5

dx , , V0 = — = r , d e donde t = 5 seg. 2 dt

z = íVj + tV2 = 5 t + r velocidad con que se aleja = — = (5 + 2í) dt ,=5

tv ,

z

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|,= 5

tv 2

dz =—

dt

= 5 + 10 = 15 — 1=5

SeS

Diferenciación de F unciones 659

Los extremos de un segmento AB = 5 m. Se deslizan por las reí perpendiculares

entre

si

OX

y

OY

(ver

figura).

La

velocidad

desplazamiento del extremo A es igual a 2 cm/seg ¿Cuál será la velocidad desplazamiento del extremo B en el instante en que el extremo A se encuei a una distancia OA = 3 m del origen de coordenadas.

Por pitágoras en el AOBA se tiene: ■x~ + y , de donde para x = 3, z = 5, entonces y - 4. Como z 2 = x 2 + y 2 , derivando se tiene: dz dx dy 2z— = 2x— + 2 y — dt dt dt por lo tanto

660

dy y— =dt

dy_

3 cm

dt

2 seg

dx x

—

dt

= >

t dy „ . 4 — = -3 (2 ) dt

La ley del movimiento de un punto material , lanzado en el plano vertical 1 Y (ver figura), formando un ángulo a respecto al horizonte, con una velocá inicial V0

viene dada por las formulas (sin tomar en consideración

t,2 resistencia del aire), x - V Qt c o s a , y = V0t s e n a - g — , donde t es el tiemp y la aceleración de la fuerza de gravedad. Hallar la trayectoria del movimie y su alcance, determ inar también la magnitud de la velocidad del movimient su dirección.

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302

Eduardo Espinoza Ramo.

Para calcular la trayectoria eliminaremos el parámetro t de las ecuaciones. x = V0t c o s a

x

=> f =

V0 c o s a

y = V 0i s e n a - — t 2 2

=>

y = (rg a )x

y = V0se n a (— —— /)- *rs* . , 7 X I U y- . , V ocosa 2 Vq eos" a

J

x2 2V0 eos a

Su alcance es el punto A y para esto se tiene y = 0: O ga)x

W ’ c o s ' - a j s c . u - e c ’ =<¡ 2V0" eos" a

=o = 2V0 eos “ a

l

2 / 02

T, 2

eo s 2 a .f g a - gx =

V0 s e n l a — g x -

„ 0

0

=>

2

V02 eos a .s e n a - gx = 0

V'n2se/z2a

x = —2 ---------

dx Ahora veremos las proyecciones de las velocidades sobre los ejes, es decir — dt dv * , . dx dy „ y — , de donde: — = V0 c o s a , — = V0 s e n a - g t dt dt dt

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Diferenciación de Funciones Calcularemos la magnitud de la velocidad, es decir:

^ ( ~ ) 2

+ ( ~ ) 2 = JVq2 eos 2 a + Vq sen2a + y 2t2 - 2V0sena

= s]Vo + S 2 ? 2 ~2V0sena 661

Un punto se mueve sobre la hipérbola v = — de tal modo, que su abscis x aumenta uniformemente con al velocidad de una unidad por segundo. ¿Con velocidad variará su ordenada, cuando el punto pase por la posición (5,2)? D esarrollo Por dato se tiene — = 1 dt dy 10 dx dy — =— ) para x = 5, se tiene: — dt x 2 dt 1 dt

1 0

25

,,. 2 (1) = — = -0 .4 5

Luego decrece a una velocidad de 0.4 por segundo. ¿En qué punto de la parábola y 2 = 18* la ordenada decrece dos veces má prisa que la abscisa? D esarrollo Debe cumplirse que: _ dy „ dx Como — = 2 — dt dt i— 3 = 3v2jc

=»

— = 2— dt dt

=*

9 = 8x

de donde y = 3\Í2x

=>^ L = —^= — dt yf2x dt

3 dx ^ d x - = — = 2— sj2x dt dt =?>

9 x = — entonces 8

y y=— 2

el punto que cumple las condiciones del problema es:

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9 9 8 2

)

304


663

Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 10 cm mientras que el otro b, es variable y aumenta a la velocidad constante de 4 cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el instante en que b = 30 cm? Desarrollo Z = diagonal del rectángulo Z = yja2 +b2

=>

z = VlOO + b 2 , derivando se tiene:

dZ

db

dZ

30

dt

/lOO + b 2 dt

dt

Vi 0 0 + 900

A A A de donde se Ctiene:

(4) =

120 10

VlÓ

d Z 1 O Cm — = —1=2= = 3.8----dt V1 0 seg

la diagonal crece a una velocidad de 3.8 cm/seg.

A = ab =»

dA d b ..... ,A dA Ancm— = a — 10(4) = 40 => — = 4 0 -----dt dt dt seg

El área crece a una velocidad de 40

664

cm seg

El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 5 cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán el área de la superficie de la esfera y el volumen de la misma, cuando el radio sea igual a 50 cm? Desarrollo Área de la esfera = A = 4 w dA — = dt

87

dr rr— dt

2

íiA

— = 87t(5)(50) dt

dt

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=2000* ^ seg


Volumen de la esfera = V = —n r * , derivando se tiene: 3

— = 4nr2— dt dt 665

=>

— = 47T(50)2(5) = 6 0 0 0 7 r ^ dt seg

Un punto se mueve sobre la espiral de Arquímedes r = atp (a = 10 cm m odo

que la velocidad angular de rotación de su radio polar es constan

igual a 6 o por segundo. Determinar la velocidad radio polar r en el instante que r = 25 cm.

con que

se alarga

d

!

D esarrollo dr dtp dtp 6 o n, — —a — donde ——= ------- — /seg dt dt dt seg 30 dr — = dt 666

10

(— ) 30

=»

dr n cm — * -------dt 3 seg

U na baira heterogénea AB tiene 12 cm de longitud. La masa de la parte de

de la misma crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia del pi móvil respecto al extremo A y es igual a 10 g, cuando AM = 2 cm. Hall:

m asa de toda la b a ñ a AB y la densidad lineal en cualquier punto M d misma. ¿A qué es igual la densidad lineal de la barra en los puntos A y B? D esarrollo

Condición del problem a m = k x 2 , donde m es la masa y k el factoi proporcionalidad. , Cuando AM = %= 2 cm, m = 10 gr. De donde 10 = k ( 2)

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5

=>

k = —.

306


Luego m { x ) - k x 2 =>

m (x) = —x 2

La masa de la barra AB es cuando x = 12 y m = 360 gr. y la densidad en ■ , ... din , er cualquier punto de M es: ----- = 5.x2 — dx cm Ahora veremos la densidad en los puntos A y B dm — =0 dx

para el punto A: x = 0 =>

™ „ dm „ er para el punto B: x = 12 => — = 6 0 — dx cm

2.5.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.P R IM E R O :

D E F IN IC IO N D E LAS D ERIV A D A S DE O R D E N E S S U P E R IO R E S .-

A la derivada de la derivada se llama derivada de segundo orden o derivada segunda de una función.

y = f(x), es decir y " = ( y ')'

La derivada segundo se designa así:

Si

x = f(t)

d 2y y " o — £ - ,o f " ( x ) dx

es la ley del m ovim iento rectilíneo de un punto

es la dt

aceleración de dicho movimiento. En general, la derivada de orden enésimo de la función y = f(x) es la derivada de la derivada de orden (n -

1

), la derivada enésima se designa por:

y (n) ’ o

dx

’ / W w

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31

Diferenciación de Funciones SEG U N D O :

F Ó R M U L A DE L E IB N IZ .-

Si las funciones u = f(x) y v = g(x) tienen derivadas hasta de orden enésir inclusive, para calcular la enésima derivada del producto de estas funciones pueden emplear la formula de Leibniz:

( h v )"

TERCERO:

= u ny'+ nu n~lv +

(n -l)n 1.2

,(n -2 )

V + ... + U

v(n)

1

D ER IV A D A DE O RD EN S U P E R IO R DE FU N CIO N ] DADAS EN FO R M A P A R A M É T R IC A .-

\ x = (p{t) Sí < sus derivadas v = i¡r{t)

y 1 - — , y'l = dx - Á d x 2

/=

yx

// =(\yx>

/ * yxx

.

puede calcularse sucesivamente por las fórmulas

/ Jt,

/// = 0 ^¡)2

* yxxx

»

te.

Para la derivada de segundo orden se cumple al formula:

a)

D ER IV A D A S D E O RD EN E X P L IC IT A S .-

S U P E R IO R

DE LAS FU N CIO N

Hallar las derivadas de segundo orden de las funciones siguientes: 667

y = X8 + 7 * 6 - 5a + 4

Desarrollo

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Eduardo Espinoztt Ram o^

308

y = jc8 + 7 x b - 5.V.+ 4 , derivando se tiene: / = 8 a' 7 + 42jc5 - 5

668

=>

y " = 56jr6 + 2 1 0 * 4

y = ex*

Desarrollo y =e

x2

=>

.

„

y =2xe

t 2

y " = 2 e x + 4 x 2e x 669

y " = 2e x (1 + 2 x 2 )

y = sen~ x Desarrollo y = sen2x , derivando se tiene: y'= 2senxcos x = sen2x

670

=> y " = 2 eos 2 *

y = ln yj\ + x 2 Desarrollo

1

= ln %/Tt-*2" = ln(l + *

2x

671

„

2 )3

2

= —ln(l + x2) 3 1

+ a: 2 - 2 x 2

y - ln(x + 'Ja2 + x 2 ) Desarrollo y = ln(a: + \¡a2 + x 2 ) , derivando se tiene:

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„

2(1

-

jc2 )


y =

1

¿ x 2 + a-

/ ( x ) = (1 + x 2 )arctgx

672

D esarrollo / ( x) =

(1

O

1 + JC**

+ x )arctgx

f ‘(x) = 2x arctgx + 1

=> f ' ( x ) = 2x.arctgx + \+ x ¿ / “(x) = 2arctgx +

=>

2x l + x2

y = (aresenx)2

673

D esarrollo =>

y ' = 2arcsenx(

2

,

2

aresenx

y

674

1

+ 2x aresenx \ll-x 2

„ ^

y =

1

-x

2

„ "

-v =

2 \ l l - x 2 + 2 a arcsen tu Iw

y = (aresenx)

(l-x ‘)

v = acosh — D esarrollo x y = a cosh —, derivando se tiene: a y ' = senh — => a

675

v " = —cosh(—) a a

Demostrar que la función

y =

jc **

+ 2 jc + 2

1 + y '2 = 2 y y ,%

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satisface a la ecuación diferenc

310

Eduardo Espinoza R am os j D esarrollo x 2 + 2x + 2 y = —-—

,

, , ■ y = x +1 => y = 1

y + y '2 = \ + ( x + l ) 2 = ( x 2 + 2 x + 2) = 2 y ' y "

676

1

+ y'2 =

2

yy"

x2 y - — ex satisface a la ecuación diferencial

Demostrar que la función y "-2 y '+ y = e x .

D esarrollo 2

X r y = — e =>

2

2

, t * r y =are + — e 2

x1 y" = ex + x e x + x e x + — ex

7

2

=>

x1 y ” = ex + 2xex + — ex

2

a: 2 2 jc2 y " - 2 y ,+ y = eA+ 2 *ex + - < ? * - 2 » * - x V + — e* = ex ‘ 2 2 y ”- 2 y ' + y = ex 677

Dem ostrar que la función y = c¡e~x + c 2e~2x para cualquier valor de las constantes c, y c 2 satisface a la ecuación y " + 3 y '+ 2 y = 0 . D esarrollo y = c¡e~x + c2e~2x =>

y' = —c¡e~x —2 c 2e~2x

=>

y ” —c¡e A+ 4 c 2e 2x

y "+ 3y'+ 2y =c¡e x + 4 c 2e~2x —3c¡e~x —6c2e 2x +2c¡e x + 2 c 2e 2x = 3c¡e~x - 3c¡e~x + 6c2e~2x y ''+ 3y'+ 2y = 0

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6

c 2e~lx = 0 + 0


678

Demostrar

que

y = e 2xsen5x,

la , función

satisface

la

ecuac

y " -4 y '+ 2 9 y = 0 . .i

¡ ■

D esarrollo y = e " xsen5x

y ' —2 e 2x senSx + 5e2x cos5x

=>

y " = 4 e 2xsenSx + ]0e2x cos5x + I0 e 2x cos5x - 25el x sen5x y " - 20e: ' c o s 5 .r - 2 1 e 2 'cien5x y"-4y’+29y = 2 Oí?2'' c o s 5 x - 2 \ e 2xs e n 5 x —S e 2xs e n 5 x - 2 0 e 2x c o s a + 20 e 2xsent y " - 4 y ’+29y = 20e2x c o s 5 a

-

20e2x e o s 5 a

+

7a

-

2 9 e 2xs e n 5 x + 2 9 e lx s e n x = 0 -

y "-4 y '+ 2 9 y = 0 679

Hallar y " ' , sí y =

a

3 - 5a2

- 2

D esarrollo y=

a 3

-

5a2

y " - 6 a - 10

680

+

2

7 a -

=*

=> y' = 3 a 2

—10a

+7

y " '= 6

Hallar / ’"(3 ) sí / (

a

) = (2 a -3 )5

D esarrollo / ( a) = (2 x -3 )5

= * / ’( a ) = 5 ( 2 a - 3 ) 4 (2 )

/ " ( a) = 8 0 (2 a -3 )3

=> / ’" (a ) = 4 8 0 ( 2 x - 3 ) 2

/" '( 3 ) = 4 8 0 (6 - 3 ) 2 = 480(4)

=>

/'" ( 3 ) = 4320

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3 12

681

Eduardo Espiitoza Ramos , Hallar y v para la función y = ln(l + x) Desarrollo

y ' = —— x+ 1

y = ln(l + x) =>

yv = — — (l + .t ) 3 682

= > -y' = — (1

^ + x) 2

=* '

(1

+ x)5

Hallar y v para la función y = sen 2x Desarrollo ,y' = y = sen 2 x

2

y ” = -4sen2x

cos2 x

y " ' - - 8 cos2 x

=>

y v ~ 32 eos 2x 683

y ‘v = \6sen2x y v = -6 4 se n 2 x

Demostrar que la función y = e x eos jc , satisface a la ecuación diferencial y iv + 4 y = 0 . Desarrollo y ~ e ~ x co sx

=>

y ' - —e~x c o sx - e~xsenx

y " = e~x e o s x +e~*senx + e~xs e n x - e ~ x e o s x

y " = 2 e~xsenx

y " ' = - 2 e ~ xsenx + 2e~x c o sx y 'v = - ( - 2 e~xsenx + 2e~x co sx ) - 2e~x co sx -

2

e~xsenx

y'" =2e~xs e n x - 2 e ~ x c o sx —2e~x c o s x - 2e~x senx y iv + 4 y = - 4 e ~ x c o sx + 4e~x c o sx = 0

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=$

y ' v = - 4 e ~ x co sx y ,v + 4y = 0

Diferenciación de F unciones

684

Hallar / ( 0 ) . / '( 0 ) . / " ( 0 ) , / " ' ( 0 ) , sí f ( x ) = e xsenx D esarrollo f ( x ) - 4%senx

=>

/ ( 0 ) = e °(0 ) = 0

■ti}* f ' ( x ) = e xs e n x + e x c o s x

=>

/ '( 0 ) =

1

f " ( x ) = e*senx ■¥ e x c o s x + e x c o sx - e xsenx f " ( x ) = 2 e x cos.x

=>

/ " ( 0) = 2

f ( x ) = 2 e x c o s x —2 e xsenx 685

La

ecuación

del

=>

movimiento

/ '" ( O ) = de

un

2

punto

sobre

el

eje

OX

x = 100 + 5r - 0 .0 0 I r ’ . Hallar la velocidad y la aceleración de dicho punto ¡ los instantes r0 -

0

-

0

= 1 , t2 =

1 0

.

D esarrollo

y (*<)) = — = 5 —0.003/2 => V (/0 ) = V(0) = 5 di V ( t i ) = V (l) = 5 - 0.003 = 4.991

V (r2) = V(10) = 5 —(0.003)(10)2 = 5 - 0.3 = 4.7

—~~~x~= —0.006/ dr

=>

tí(í0 ) = a ( 0 ) =

a (í,) = «(!) = -0 .0 0 6

=>

a(t 2) = a( 10) = -0.006(10) = -0 .0 6

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0

114


6X6

Por la circunferencia x 2 + y 1 = a 2 se mueve un punto M con una velocidad angular constante W . Hallar la ley del movimiento de su proyección M , sobre el eje OX, si en el momento t = 0, el punto ocupa la posición M 0(a,0) (según figura). Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento del punto M , . ¿A que es igual la velocidad y la aceleración del punto M¡ en el momento inicial, y en el momento en que pasa por el origen de coordenadas? ¿Cuáles son los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración del punto M , ? D esarrollo x dx En el AO M xM se tiene cos(vví) = — , de donde x = a eos wt, V = — = - aw a dt es la velocidad en el momento t.

a = — —= - aw 2 eos h'í es la aceleración en el momento t. dt2 V

¡,_ 0

= 0 , velocidad inicial

a |,=0= - a w 2 , la aceleración inicial.

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Diferenciación de F unciones

687

3

Hallar la derivada de orden n-esimo de la función y = (ax + b )" , donde n es numero entero. D esarrollo y = (ax + b )n =>

y '= n a ( a x + b) n-l

y " = ( n - 1 )na2(ax + b)'1 y " ‘- ( n -

2

)(n - l)/ia 3(ax + b)n

3

y (n> = 1.2.3. ...(n —2)(n —l)na n (ax + b)° 688

=>

y (n> = n ! a n

Hallar las derivadas de orden n-esimo de las funciones:

a)

v = —í— 1 -x

b) D esarrollo

a)

y=- 1 1 -x

=>

y •=

1 (1 - x

y =

y"'

)2

2 (i-x

)3

23

-

(I-A )4

,<•> =

ni (1 -x )" -1

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y = yfx


316 689

Hallar la derivada n-esima de las funciones: a)

y

= sen

d)

y

= ln (l+ x )

g)

b)

x

y =

eos

2x

e) y = — — 1 + A

y = sen x

h)

y = ln (a x + b )

D esarrollo a)

y

= sen x

=>

y ' = eos a = sen(x + y = - s e n x = sen^x -t n ) y

= -c o sjc = sen(x + — )

y

- senx = sen(x H

)

y (n) = s e n ( x + ^ )

b)

y = co s2 x

=>

K y ' = - 2 s e n 2 x - 2 c o s ( 2 x + —) 2 y " = - 2 2 eos 2 a -

y ”=

2 3

2 2

(cos( 2 a + 2 (^ )))

sen 2 a = 2 J cos( 2 a + -^-)

y (n> = 2n cos( 2 x + -^ -) en forma similar para los demás casos.

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c)

y = e~3‘

0

1 +A y —-—


690

Empleando la formula de Leibniz. Hallar v (n) sí: a)

y = xex

b)

y = x 2e~2x

e)

y = x 3 lnjc

d)

c)

y = (1 - j c 2 ) c c

V-v D esarrollo

(uv)M = uM v + roi("_,V + n(n~ 1)u(n- 2)v "+... + uv(n) 1.2

a)

y (n) = { e xx ) (n) = ( e x ) (n) x + n (e x ) (n- ' \ x ) '

b)

/ " > = ( e - 2x.x2 )(n) =

y (n) = x e x + n e x

=>

(e~2x)w x 2 + n { e - 2x)(n~[) 2 x +

, « ( H - l)

2

x)(n- 2 ) 2

1.2 y ("> =

(e~2x.x2 ){n) = ( - 1 ) " 2" e~2xx 2 + (- 1)" n 2 n e~2x + + (-1)”

= 2"- ' e - 2x[ 2 ( - \ ) n x 2 + 2 a ( - 1 ) ' ' + / , ( , , ~ 1 ) ( - i n

2

En forma similar para los demás ejercicios. 691

H a l l a r /
)

l-x

D esarrollo /(jc ) = ln(—i—)

=> f(x) = -ln( 1 - x )

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n(n - 1)"~2 2e~2x


318

f '(•*) = —— 1 - A

f"(x)=

1

(1 - a

)2

23

f ' v(x) =

(1 - a :) 4

r\x )= (\-x )n Luego / (/,) (0) = (« —1)! b)

692

D ERIV A D A S D E O R D E N E S SU P E R IO R E S , D E FU N C IO N E S DADAS EN FO R M A P A R A M E T R IC A Y DE FU N C IO N E S IM PL IC IT A S--

d 1y Hallar — — para las funciones siguientes: d.x~ \x = ln i a)

3

fa

b)

= arete t

2 [y = ln(l + / )

Desarrollo

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,

c)

í a = aresent

(

1y

= s¡\-t2

i


II

"V

( x - ln /

t

=*

i

i

\

=>

ii

y! - 3/ 2

x" = - — r vi = 6 ,

■

- , 6 í —(— v )3 í 2

^

=

-------- ¡ J —

*

d"\

= ,><6 + 3) = 9 ,’

->

— f = 9 /3

dx2

(í)! t 21

.v = arc/g t

X'

1+ r2

b)

21

y = ln(l + / 2)

..// _ ^-y » ~ x»-.v// _ >’« =■

1

+'2

2 -2 t2 0

+ t 2)2

/ ,i z 3 d ' n + / 2 )2

1+ r 1

(1

- 2/

+ ' 2 )2

..

2

/

( (l + r ) 2 )(l + r )

( r V

i+ /

2 -2 / „ = Gí

4/

í ^

(1

= 2 _ 2 í2 + 4 ( 2 = 2 ( 2 + 2

+ / 2 )3

en forma similar para la c).

693

a)

c)

í* = a c o s /

b)

[>> = a.rent

\x = a eos 3 / V

a' = a(t - sent)

d)

>>= a ( l - c o s f ) Desarrollo

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= asen t

x = a(sent - t eo s/) y = a(co s/ + / sent)


320

a)

x = a eos t

Ijc/ = - a sen t

I x't't = - a eos t

>’ = asen!

j yJ - a cos ¡

j y" = - u sen ¡

n _x/l .y '„ -x „ .y , _ - a s e n t ( - a s e n t ) - ( - a cos t)a cos t (x't ) 3

( - asent ) 3

// _ a 2sen2t + a 2 eos2 1 3;xt “ " - a 3sen3t b)

1

asentí

A' = ci eos 3 1 => x[ = -3 a eos 2 t.sent => x¡¡ = 6a c o i t.sen21 - 2 a eos2 t y = asen2t

h

y¡ = 3asen2t.cost

y " = 6a sent. eos2 t - l a s e n 31

_ 4 - y í- 4 - y ', (x¡f 2

3

// •_ -3 a c o s“ t.sent(6asent.cos t - l a s e n t) yxx ~ (-3 a eos 2 t s e n t f 2 o 3 lasen t.cost(6acost.sen~t - l a c o s t)

( - l a eos 2 t.sent ) 3 n

-\% a 2sen21.eos4 1 + 9 a 2 eos 2 t.sen4t

----

- 2 7 a 3 eos 6 t.sen3t 18a 2sen4t - eos2 1 - 9 a 2sen21.eos 4 í -2 7 a 3 eos 6 t.sen3t

n

- 9 a 2sen21.eos4 1 - 9 a 2sen41.eos2 1 - 2 7 a 3 eos 6 t.sen3t

y" -'Xt

=-

- 9 a 2sen21. eos 2 í(cos 2 f + ie n 2 í)

1

- 2 7 a 3 eos6 t.sen3t

la eos4 r.jenf

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x = a(t - sent)

^

[y = a ( l - c o s t )

\x[ - a - a eos t

j x ¡:t - a sen t

\y '= a s e n t

[ y /1, = a eos t

u _ x[.y1 , ,1 —x[[.y¡ _ (a - a eos t).ae o st - asent.asent (x¡)3

(«( 1 - c o s / ) ) 3

// a 2 eo st - a 2 eos2 1 - a 2sen21 >'« = a ’( l - c o s / ) 3

// _ a 2 eos t - a 2

( 1 - c o s t)

y rr ~

a 3 (l-c o s /) 3

v" = ---------

¿ ¡(l-c o s r ) 2

=_ ±

- XX

,

f l ( l- c o s r ) 3

2 1 n2

1 «sen 4 —

a(sen —)

2

2

En forma similar para el siguiente ejercicio: 1

d)

y » = -

at sen3t

x = eos 2 1 694

a)

b) 1

y = sen t

x[v=

D esarrollo

a)

f x = eos 2t 2 [y = sen t

\x[ = - 2 s e n l t

=»

|

1[y,, - s e n 2 t

=>

\[y ,

-

2

eos 2t

n _ x ^ .y1/ - x 1/. y ¡ _ (-2 .v e/j2 í)-2 co s2 f-(-4 co s 2t).sen2t 'V“ _

(x / ) 3

~

( - 2sen2t ) 3

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Eduardo Espinoza Ram os I

322 í a, J = - a e„~at i [y, = o*

II

b)

i

=> II

J! —a„ 2 e -af Í xlt i y i : = a 2e°'

=*

J ,,// „2 a r ¡¡ _ xt .yt - x..//t .yt _ ( -a_e - 0 / \)a e —a 2e a i —a e

y“

ó??

-at

.ae a

( - » « -* /

- a 2- a 3 >« =

=>

—7>at

a 3e - ia'

- = e- 3a,

= arctg t i t ; ~ 2

a- = ln /

a

695

a)

b)

1

y= 1

-/

D esarrollo a

= arctg t

a)

a

=>

r

=*

,2

■

y = ~2

2/

= arctg t -

(1

, =7 1

2

SL = ^ - 4 Á = y + . ! l

(¿ )3

r

1

Ü ± C )2 =

b)

1

=>

1

1

-

y“

(1 — 0 1

_

2

d -/r (

// _ x[.y'¡ ~ ^ . y [

(*/)3

.(!.i.f. i - = ( 1 + /2)(3/2 + 1)

x•*/"

H

= ln/

+ f +2t

( 1 -+ V / 2

( - ^ ) 3 1 2

+í

a

+ / 2 )2

K (_ L . s2 f2

1

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1 -f

2t + ( l - t ) / 2( - / ) 3

_ /(/ + !)

1

"(l-O 3


696

d 2x Jc = e 'c o s / Hallar =— ~ sí \ dy Iy = e 'se n t D esarrollo d 2x _ y j - 4 -y¡¡jcj dy2

de donde se tiene:

(y!)3

x - e ' cosí

y = e 's e n t

x[ = e ‘ c o s t - e ' sen t =>

=> y¡ = e 1sent + e 1 co sí

x¡¡ ~ —2 e ‘sen t

y /1, = 2e‘ cosí

d 2x _ (e'sent + e' c o st).(-2 e 'se n t)- 2 e ' eo st(e' e o st - e ' sent) dy2

(e' cosí + e'sent)3

d 2x _ —2e2' (sen2t +.sentcost + eos 2 t - s e n t cosí) dy2 d x _ dy 2

697

e3' (eos t + sent)3

-2

_

-2 e2

e3'(co st + sent)3

'

e' (cost + sent)3

d"y x = ln(l + í ) Hallar — — para t = 0, sí < dx ¿ \y = t2 D esarrollo ( ■) Lx = ln(l + / ) 1

[y = r 2

^

'

2t / X' = ,l + r 2 y

=>

-

x*»" = ■

=2t

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2-2t (1

+ t 2)2


324

41 d ¿x

2 /(2

y ¡ . x ¡ í - y í í _ l +r

¿V

(y! y

(1

-

+r

/ ) )2

< rV 1 +/

2

rf2y , => — f = l + / “ dx

¿ 2>' = =f — £ d x ' (=0

Demostrar que y, determinada como función de x por x = sen t e ~ d 'y

py py y = aeN '+ b e ~ dy

( l - x “) — £ - x — = dx' dx

2

satisface

la

1

las

ecuaciones

ecuación

diferencial

v , cualquiera que sean las constantes a y b . D esarrollo

x - sent

x, = c o s /

l y ^ a e ' ^ - +be-,'r*

, derivando se tiene:

y, = yÍ2ae'^' - b y l 2 e ^

x ‘¡ = - s e n / •

y '/= 2 a e ^ + 2 b e - ^ -

dy__ dx

_ y¡ _ h a e ' 41 - b ^ 2 e ~ ' '/i 'x

x'.

eos /

d ' y _ x '.y '1 -x!¡.y[ _ c o s/( 2 «e ' ^ 2 +2be~,sl2) + sent(y¡2aels^ - - J i b e ,^2 ) dx 2

(1

(x' ) 3

eos3 /

2 kd y dy „ - x ) — T ~ x ~~ ~ 2 y dx1 dx

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(1

2 cost(2ae,sÍ2 +2be~"ñ ) + sent(2ael'ñ - I b e ^ ) - s e n ^ t ) -------------------------eos3 1

sent(y/2ae1'12-by¡2e ' ^ ) --------------------------------------= ¿ae eos t eos t(2ae,'j2 + 2be~"J i ) + s e n t i j i a é ^ - •j2be~,'J Í ) eos t = 2 (oc,j5 +be- , r i )=¡2y eos / dy (/,I - a T ) — -y - 2 C— = 2-i y ¿/x'' «a*

699

J 3y Hallar y " '= — — para las siguientes funciones: dx

íx ^ s e c r < 1 y = tg t

D esarrollo /// = ( j í r ¿ yxxx / x,

donde // uc yxx

Jl f\x¡¡.y/ t¡ + x, ( II / ___( xv-7 7 í"tt'SU ' 'l1.yl" '-'líf

. / i (x¡ y

- x"tlt /".y/ l /l .y/ ’-'ll - x"lt '-'tt 1] ,_ K ^ . y " - ^ ^ ) ^ ) 2- ^ ] U' ) 3

( ^ ) 6

„ , _ ( ^ Q t '. y f f - - C y , ') - X x ¡ ) 2x'í(x¡y!¡ - x " . y ¡ ) ^

(

y _

^ ,

'

v// y _

x

¡

)

6

- 3 ^ - ^ . y " + 3 ( ^ ) 2y (x!)4

-3 y ^ .y ;+ 3 u "ry ,/

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326

,,,i ¿ yl " “

. g U -3 a,'4

X A ); j

(* !f

"

x = sect

=>

x 1/, = sec 2

?(1

x¡ —sec t.tg t + tg t)

=¡>

x['t = s e c 3 1 + sec 2 t.tgt

= sec4 1 + 2 sec 2 t.tg ? ( 1 + tg t)

=>

y = tg t => y¡ = s e c 2 t

y¡¡ =

=>

y't'l - 4 se c 2 t.tg t + 2 sec 4 t

=>

2

sec 2 t.tg t

y® = 2 se c 2 r(2rg ? + sec 2 f)

/// = x ! ( x ! - y " ! - x " ! ) - 3 * "(* ,'. y " - * " . / ) ”

<-v')!

(le donde al simplificar: y '^ =

700

4-

I

sen ?

jc = e- ' cosí y = e~'sent

x = e ~ 'c o s l

D esarrollo => x{ = - e ~ ' e o s t - e~'sent

x \ —- e ’ (sent + cosr) =s y -e ~ 's e n t

=>

jc^ = 2 e~' sent

y ry= - e _ísent + e~' eosf

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- e ' (sent + e o s t)(-2e ' c o s í) --2e 'sent.e '( e o s t —sent) -e~3t (sent + eos t) // _ 2 e

' [(sentco$t + cos~ t ) - sentco st +sen t] -e ~ 3' (sent + eos í ) 3

" sy xx

=

- 2
(sent + cosí)

, // _ ore '(sen í + co s / ) 3 -3 ( s é n t + eost) 2(eost - s e n t)e ', (yxxh —~ A -g j (sent + cosí) , // ^ _ -2 e '( íe /j/ + c o s / - 3 c o s / + 3iert?) {y¡a't ~ 7 72 (sent + cosí) // / _ - 2 e ' ( 4 s e n t - 2 cosí) (Xtx'f — 7 ~4 (sent + eos t)

_ ^

/ j ¡ j _ - 4 c '( 2 íe n í- c o s í) v^xr'/ 7 72 (sent + eos/)

../// _ (} » )/ _ - 4 e '( 2 i e n r - c o s í ) y xx x ~

7

i

x.

7~

-e

7777

_/// _ 4e 2 '( 2 s e n í- c o s í)

TT

X a* —

(sent + co sí)

7

701 X = r3 D esarrollo jc/ = - e ~ ' y = t 3 =>

y ,1 = 3 r

=> =*

x'h = e ' y(¡ = 6 t

vn _ -r/-y//--r//-y/ .. - g “

i-.,')3

"

'.3?

3r

- e - 3'

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75

(sent + eost)

+ ^ = ( 3 r + 6 í)e 2' -2f


328

(yíc)', = ( 6 / + 6)e2' + 2 (3 12 + 6t)e2' = e 2 ' ( 6 f 2 + 18r + 6 ) w = (3 ¿ )í. = ¿2<( 6 r + 1 8 f + 6) = _ c3, (6f 2 + ! 8f + 6) XXX

j

_f

y ^ = - 6 e 3 '( r 2 + 3 / + 1 )

702

d ny [x = \nt Hallar ------ sí < dxn l y = r" Desarrollo Como

y x = me™

=> y " = m V “

y (n)= m " ena 703

t = e x;y = / m => y = e mx

x= ln t =>

^

=*

y ' L = m \ mx

y%> = m " ( e x )m =*

Conociendo la función

y t f = m nt m

y = f(x), hallar las derivadas de x " y x "

función inversa x = / " ' (y ) Desarrollo . dy y= dx

r/ x =* y = f(X)

d 2x _ - f ' \ x ) dy2

[ fX x ) ] 2 dy

d ' x _ d_ d ^ x ¿y 3

dx _

dy dy 2

x f ( X)dx — = => dy /" (* ) [/-(jc)1 3

_ d

1 — = f (x)

d 2x _ dy2

f'X x ) [ / ’(x)l 3

/" (x )

dy [ /'( jc ) ] 3

[ ( / ’( x ) ) 3 /

" U ) ~ / " U ) . 3 ( / ’U ) ) 2 ■ / " U ) l

[ / '( x ) ] 6

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dr

'dy

de la


[ / 'U ) 2 ( / ’( U ) / " ’U ) - 3 / " ( x ) 2)]

1 'f\x )

[ / '( x ) ] 6

¿ 3 x _ 3 [ / " ( x )}2 - / ’( x ) . / ' " ( x )

dy 3 704

[f\x )f

Hallar y " sí x 2 + y 2 =1 D esarrollo x2 + y 2 = l

=>

d

„ y

y = v l-x

X2 - 1 - X 2

D E T E R M IN A R

derivando se tiene y ' = — . X J l^ x 2

- ( - x) - ^ L

„

-- ----------------------

( 1 - X 2 )2

2

^

y

■

1 =

3

( 1 - X 2 )2

LAS

D ERIV A D A S

y"

DE

LAS

FU N C IO N E S y = f(x) DADAS D E FO R M A IM P L IC IT A .705

y 2 - 2 px D esarrollo 2yy' = 2 p

=>

y' = — y

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S IG U IE M


330 D esarrollo 2a

2y , +^ y =0 a b

■■__ b y

b2x . ( y - x ( -------)) b__________ ya 2 * 2 a y

y-xy 2

a

, b~x => y ' = — ya

y

2

2

bx2 a2

,2 , 2 2 ,

2 y + ~ r'

„

2

.2

b* y j f + a r y -

y = - — (-------3— ) = - — (------- 5-------)

a

^ 707

a

y

4

a

3

y

y

3

2

ay

y = x + arctg y Desarrollo

y' = l + - i _ 1

=>

+y

-i

-

( 1

----- i — )y' = l 1 +y

y .í± £

l + y2

„

y» = - 2 y-3/ = - ^

+,

y2

^ ^ = _4

y3

708

, U

y2

(1 ± | 1 ) = _ 1 ± 2 Z 1

y

y

y

d2 ¿/2;t Desde la ecuación y — x + ln y. Hallar — ^ y — dx2 dy2 Desarrollo y = x + ln y

=> y ' = 1 H

y* y

=>

(1

i y

---- )y' = l

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=>

_

y

y = -----y-1


,.« = d 2 y = ( y ~ r> y ' - y - y \

dx2 d 2y _

dx 2 709

( y - 1)2 i

-y'

( y - 1)2

( y )=

( y - 1)2 y

y ( y - l)3

- 1

Hallar “y” en el punto (1,1), sí: x 2 + 5xy + y 2 - 2 x + y - 6 = 0 D esarrollo 2 x + 5 y ,+5xy'+ 2yy'-2 + y ’= 0 => ,_ 2 —2 x - 5 y 5x+2y + l

^

(5x + 2y + l)y '= 2 - 2x - 5y

(5x + 2 y + i ) ( - 2 - 5 y ') - ( 2 - 2 x - 5 y ) ( 5 + 2 y') '

(5x + 2y + l ) 2

Al simplificar y hacer la evaluación en el punto (1,1) se tiene:

710

y " |(1 1 >- ~

Hallar y ” en el punto (0,1) sí x 4 - x y + y 4 = l D esarrollo

4 x 3 - y - xy'+ 4y 3 y' = 0

(4 y 3 - x ) y '= y - 4 x 3

=>

„ _ (4 y 3 - x ) ( y 12x2) - (y - 4x 3 )(12 y 2 y •V “

(4 y 3 - x

=í> y ' = - ■■- — 4y - x

1)

)2

y —4x 3 Reemplazando y ' = -— en y " y evaluando en el punto p (0 ,1) se tiene 4 y - jc

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332 711

a)

La

función

“y”

está

dada

implícitamente

x 2 + 2jcy + y 2 - 4 x + 2 y - 2 = 0 . Hallar

por

la

ecuación

en el punto (1,1). dx

b)

ii d 2y , 2 Hallar — — si x dx

+y

2

= a" D esarrollo

a)

2

x + 2 y + 2xy'+2yy'-4 + 2 y' = 0

=>

(2x + 2 y + 2 ) y ' = 4 - 2 x - 2 y

,_ _ 4 -2 x -2 y _ y ~ (2x + 2y + 2)2

. ^ ”

( 2 x + 2 y + 2)2(—2 - 2 y ') - (4 - 2x - 2y)2(2.r + 2y + 2)(2 + 2 y ) ' (2 x + 2 y + 2 ) 4

„

(2x + 2 y + 2)(—2 - 2 y " ) - 2(4 - 2x - 2y )(2 + 2 y ')

^ "

( 2 .t + 2 y + 2 ) 3

Simplificando y calculando y " ' , y evaluando en (1,1) se tiene:

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2.6.

DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE ORDE SUPERIORES.a)

D IF E R E N C IA L DE P R IM E R O R D E N : Se llama diferencial (de prim er orden) de una función y = f(x) a la principal de su incremento lineal con respecto al incremento Ax = i la variable independiente x, la diferencial de una función es ig producto de su derivada por la diferencial de la variable indepen dy = f ' (x ) d x , de aquí, que y ' = — .

Si MN es el arco de la gráfica de la función y = f(x), MT la tangei el punto M (x,y) y PQ = Ax = dx. Tendremos que el incremento de la coordenada de la tangente AT = el segmento AN = Ay. b)

P R O PIE D A D E S FU N D A M EN TA LES DE LAS D IFER EN C IA L 1

de = 0 , donde c = constante

2

dx = Ax

3

d(cu) = c du

4

d(u ± v) = du

5

d(uv) = udv + vdu v

7

d (f(u )) = f'(u )d u

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v2

334

Eduardo Espinoza Ramos c)

A PL IC A C IO N E S D E LA D IFE R E N C IA L PA RA LOS C A L C U L O S A PR O X IM A D O S.Sea y = f(x) la diferencial dy y el incremento Ay de dicha función es aproximadamente iguales entre sí Ay ~ dy. Es decir f ( x + Ax) - f ( x ) ~ f ' ( x ) A x, de donde: f ( x ) + f ( x ) A x = f ( x + Ax)

d)

D IFE R E N C IA L E S DE O R D EN ES SU PE R IO R E S.Se llama diferencial de segundo orden a la diferencial de primer orden d 2y = d ( d y ) , en forma similar se define de tercer orden si y = f(x) y “x” es la variable independiente, se tiene: d 2y = y " ( d x ) 2 d 3y = y " ' ( d x )3

d ny = y in\ d x ) n Cuando y = f(u), donde u = \(/(x) se tiene: d 2 y = y " (du)2 + y ' d 2u d 3y = y ' i'(d u ) 3 + 3 y " d u .d 2u + y ' d 3u 712

Hallar el incremento Ay y la diferencial dy de la función y = 5x + x 2 para x = 2 y Ax = 0.001 D esarrollo Ay = f(x + Ax) - f(x)

=»

Ay = f(2 + 0.001) - f(2)

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Ay = /(2 .0 0 1 ) - / ( 2) = 5(2.001) + (2.001 ) 2 - 1 0 - 4 Ay = 2 .0 0 1 (5 + 2 .0 0 1 )- 14 => Ay = 2.001(7.001) - 14 = 0.009001 dv = y 'd x = (5 + 2x)A x

713

=> dy = (5 + 4)(0.001) = 9(0.001) => dy = 0.C 1

Sin calcular la derivada, hallar d(\ - x 2) , para x = l1 y Ax Ar = —^ Desarrollo í/(1 —x 3) = —3 x 2dx = —3.v2Av

714

=>

¿ ( l - x 3) = - 3 ( l ) ( - - ) = l 3

El área S de un cuadrado cuyo lado es igual a x, viene dada por la foi S - x 2 , hallar el incremento y la diferencial de esta función y determir valor geométrico de esta ultima. Desarrollo dS = 2x.Ax y AS = S(x + Ax) - S(x)

715

&S = (x + A k) 2 —jr 2

=>

AS - x 2 + 2x.Ax + (A x )2 - x 2

por lo tanto se tiene:

AS = Ix .A x + (Av ) 2

Dar la interpretación geométrica del incremento y de la diferencial d( siguientes funciones: a)

del área del circulo S -tv c 2 .

b)

del volumen del cubo v = x

Desarrollo a)

El incremento de la función es: AS = S(x + Ax) - S(x) AS = n ( x + A x 2) = Irtx.Ax + n .A x 2 Calculemos la diferencial es decir:

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336 dS —S '(x ) d x => dS = 27TX.dx = 2 k x .Ax

Como AS = 2nx.Áx + n .A x 2 y dS = 2jt.x.Ax y como Ax -> 0. entonces: AS « dS b)

El incremento de la función es Av = v(x + Ax) - v(x) Av = (x + A x ) 3 - x

3

de donde se tiene:

=>

Av = x 3 + 3 x 2.Ax + 3x.Ax 2 - x

3

Av = 3x 2.Ax + 3x.Ax 2

Calculemos la diferencial es decir:

716

dv = v '(x)dx

dv = 3x " d x

Como Ax —>0,

=> Av « dv

=>dv = 3x2.Ax

.Dem ostrar que cualquiera que sea “x”, el incremento de la función y = 2 x , correspondiente al incremento de “x” en una magnitud Ax, es equivalente a la expresión 2 x Ax. ln 2 , cuando Ax -> 0. D esarrollo Ay = dy como dy = y' d x = y'.Ax y = 2x

y' =

2

t ln 2

Ay = dy = y'.Ax = 2 X ln 2.Ax 717

¿Para qué valor de “x”, la diferencial de la función y - x 1 no equivale al incremento de esta misma función cuando Ax —> 0? D esarrollo Como y - x 1 => dy = 2x.Ax

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Ay = (x + Ax) 2 - x 2 = 2x.Ax + Av 2 para que Ay * dy el valor de x debe ser cero es decir x = 0. 718

¿Tienen diferencial la función y = | x |

para x = 0?

Desarrollo Como dy = y 'd x luego y = | x | no es diferenciable en x = 0, por lo tanto no tiene diferencial. 719

720

Empleando la derivada, hallar la diferencial de la función n . n x - — y Ax = — . 6 36 Desarrollo Como y = c o s x

=>

dy = y'd x

dy = - s e n — .— 6 36

=>

d y - —— = -0.0436 72

y = eos x {

=> dy = - sen. Ax

2

Hallar la diferencial de la función: y - —f= para x = 9 y Ax =-0.01 vX Desarrollo

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338

721

Calcular la diferencial de la función y = tg x para x = — y Ax = ----6 y 3 180 D esarrollo y = tg x =>

dy - sec 2 x.dx = sec 2 x.Ax

dy = sec2( - ) . — = — = 0.0698 3 180 45 H A L L A R LAS D IFE R E N C IA L E S DE LAS SIG U IE N T E S FU N C IO N E S PA RA C U A L Q U IE R V A LO R DE LA V A R IA B LE IN D E PE N D IE N T E Y D E SU IN C R E M E N T O .

722

.m X

D esarrollo

=>

y=x

=>

dy = - m x

-m

- 1 .

dx

x

723

rnuA

xm +l

x D esarrollo

Como dy = y 'd x entonces y

,_ (l- x )-x ( -l) (l-x )2

Luego d y = y ' d x -

(l-x )

724

,

=> dy —----------

X

y = aresen — a Desarrollo

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x => y = arcsen —

1

-

dx

como dy = y 'd x =

725

a

y .=

v = arctg — a D esarrollo

X

y = ---i+ (

A como dy = y ' Aax

726

n

,

y = arctg — =>

=>

y

,

— >2

& « 2 + * 2

ü d X

-> 2 a +x

y = e~x D esarrollo _

Como y - e x

_

2

=>

_

_

2

Además d y = y ' d x = - 2 x e x dx 727

2

y' = -2 x e *

y = x ln x - x D esarrollo y = x ln x -x

=> / = ln x + l - l = ln x

dy = y'í/x = ln x.rfx

2

=> dy = —2xe x dx

=> dy = ln x.dx

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340

728

y = ln — 1 + jt D esarrollo y = ln -— —= l n ( l - j r ) - l n ( l + .r) l+ X 1 1 -l-x -\ +x y = ------------------= ----------- -----1 x 1+ x 1 —x como dy - y' dx

729

, 2 y = ------1 -j

=>

dy = -

=>

r = ctg (p + esc (p D esarrollo 2

r= -c sc

(p - e s c (p.ctg(p

r.=

=>

1

sen como dr = rd(p

730

+ cos (p sen 2 (p

l + coscjt) , — d(p sen"(p

j

=>

9

1

C0S

ar =

S = a r c tg e ‘ D esarrollo

5 = arc/g

como

731

=> S ' - —— — 1+ e

dS = S 'd t

dS = S ' d t =

e'dt — 1 + e2’

Hallar dy sí x 2 + 2 x y - y 2 = a 2 D esarro llo 2

xdx + 2 xdy + 2 ydx -

2

ydy =

0

=> ( 2 x + 2 y)dx = ( 2 y -

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2

x)dy

Diferenciación de Funciones , 2x + 2 y d y - -----------dx 2 y-2x

=>

x+ y , , x+ y , dy = ------- dx => dy ---------- dx y-x x-y

H A L L A R LAS D IF E R E N C IA L E S D E LAS SIG U IE N T E S FU N C IÍ DADA DE F O R M A IM P L IC IT A S 732

(x + y ) 2 ( 2 ;c + y ) 3 =1 D esarrollo 2(x + y)(2 x + y ) 3{dx + dy) + 3(x + y ) 2( 2x + v ) 2 (2 dx + dy) = 0 2(2x + y)(dx + dy) + 3(2dx + dy)(x + y) = 0 2(2x + y)dx + 2(2x + y)dy + 3(x + y)2dx + 3(x + y)dy = 0 (lOx + 8 y)dx + (7x + 5y)dy = 0

=> dy _ _ ^ v + ^-v l x + 5y

X

733

y =e y D esarrollo y ydx-xdy d y - e y( )

=>

v dx x v, dy = —e • i" ~ y e dy

y

y

( l - - ^ —e y )dy = ~ - — dx y

, dy =

734

=>

y

( y 2 - x e y )dv = - v e ydx

y

ye ydx

y.ydx = — r------y -xy y -x .y

=>

y y dy = ------- d x = - ^ — dx y-x x-y

ln
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342

I ^

y

ln J x~ + y~ = arctgc— x xdy - ydx xdx+ydy_ x2 2 2 ~ 7, ^ +y i+( - ) 2 x

1

2

2

V

=> —ln(x + y ) - a r c t g c — 2 x

xdx + ydy _ xdy - ydx 2 2 ~ 2 ’ v +;y * +>'

xdx + ydy = xdy - ydx => (y - x)dy = -xdy - xdx

(x - y)dy = (x + y)dx =>

dv =

X+ V

x-

735

dx

V

Hallar dy en el punto (1,2) sí y 3 - y = 6 x 2 . Desarrollo Como y 3 - y = 6 x 2 =s> 3 y 2dx - dy = 12xdx \2x , d y - — -— dx 3y - 1

736

=>

=>

(3y

- l ) d y = l2x.dx

J 1 2 dx 12 . ay = -------- = — dx 12-1

11

Hallar el valor aproximado del sen 31° Desarrollo

Sea x = arcsen30° = — y Ax = arcsetú ° = ----6 180 Pero / (x + Ax) = / ( x ) + / ' (x)dx

íe«31° = í£-n30° + cos30(— ) => 180

sen31° = 0.500 + 0.017 — = 0.515 3

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Sustituyendo el incremento de la función por la

diferencial, cale

aproximadamente: a)

cos 61°

d)

log 0.9

b) tg 44°

c)

e 02

e) arctg 1.05 D esarrollo

a)

cos 61°

=>

x = 60° y x = 1 ° =

180

/ ( x + Ax) = / ( x ) + /'( x ) d x

cos61° = cos 60° - se/i60°----180

b)

tg 44 =>

=>

cos61° =

i

R

2

2

. - ^ - = 0.485 180

Sea x = 45° y Ax = 1° = — — 180

f ( x + Ax) ~ f ( x ) + f ' ( x ) d x

;?44° = re450- s e c 2 45°(— ) 180 738

=> te44° « l - 4 ( — ) = 0.965 180

¿En cuanto aumenta aproximadamente el volumen de una esfera, si su r¡ r = 1 5 cm, se alarga en 2mm? D esarrollo 4 i V ——n r 3

=>

, dv = 4jcr dr

dv = 4^(1 5 )2(0.2) = 180^ =565 c m 3

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344


739

Deducir la fórmula aproximada para valores de | Ax | pequeños en comparación con x. yfx + Av = yfx + - ^ - y con ella, hallar los valores aproximados de \¡5 , 2 V-v y f ñ , y/Í0 y \¡640 . D esarrollo Sea / ( x )

=

yfx

=>

/(.v

+

Ax) = J x + A x

como f ( x ) = \fx => f \ x ) = — = 2 va*

luego f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' ( x ) d x

yJx + Ax = yfx + --- = . Como y fí = y¡4 + l

=>

X

=4

2yfx

f ( x + Av) = / ( x ) + f ' ( x ) d x

\Í5 = y ¡ 4 + - ^ = 2Vx

740

=>

> / 5 = 2 + i = 2.25 4

Deducir la fórmula aproximada:

IIx + Ax ~ yfx H— í= r y hallar los valores 3 y]x 2

aproximados de y¡\0 , yflO , yj 200 . D esarrollo Sea f ( x ) = y[x

=> f \ x ) = —^==: 3\lx

Como f ( x + A x) = f ( x ) + f ' ( x ) d x . Como

pero %/Í0 se tiene yJ&+ 2 => f ( x ) = y[x

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yJx + Ax = y f x + — fy jx 1


Luego s/\0 ~ y & + 2 ~ \ ¡ 8 + —

y/ÍO ~

741

2

ry + —— 3(4)

1

=* ^/Í 0 =

2

+- =

2

+ 0.16 => UÍO ~ 2.16

6

Hallar los valores aproximados de las funciones: a)

y = x 3 ~ 4 x 2 + 5x + 3 para x = 1.03

b)

f ( x ) = y/x + 1 para x =

0 .2

c)

d)

y ~ e {~x

para x = 1.05 D esarrollo

Usando la fórmula f ( x + Ax) = f ( x ) + f \ x ) d x Como x = 1.03 = 1 +0.3 => Ax = 0.03 f ( x ) = x 3 - 4 x 2 +5jc + 3

=>

f '( x ) = 3x2 -

/( 1 0 3 ) = / [ I + (0.3)] - / ( l ) + 7 '( l) A r f( 1.03) = 5 - 0(0.03) = 5 => f ( l .03) = 5 742

Hallar el valor aproximado de tg 45°3'20' ’ D esarrollo Sea f(x) = tg x donde x = 45°, Av = 3’20"

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8

x+5

346

Eduardo Espinoza Ramos t f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' { x ) d x tg 45o3'20'' = tg45° + sec 2 45(3'20’’) =>

743

rg45°3'20” = 1.0019

Hallar el valor aproximado de arcsen 0.54. D esarrollo

Sea f(x) = aresen x donde x = 0.5 y Ax = 0.4 además f '(x) - —= = V\ - x 2 f(x+ A x)= > f ( x ) + f ' ( x ) d x

arcsen 0.54 ~ arcsen 0.5 + —= . ? . ' £ ■ arcsen 0.54 = 0.54 sj l - ( 0 . 5 ) 2 744

Hallar el valor aproximado de y j í í D esarrollo Sea f ( ¡x) = s[x donde x = 1 6 , Ax = 1

f ( x ) = \[x

=>

/ '(*) = — 7 = , reemplazando a la ecuación: 4 ^ /7

f ( x + Ax) = f ( x ) + f ' ( x ) d x

t f n «
745

E Dem ostrar basándose en la fórmula de la ley de ohm I - — , que una pequeña R variación de la intensidad de la com ente, debida a una pequeña variación de la resistencia, puede hallarse de manera aproximada por la fórmula AI =

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R

AR

Diferenciación de Funciones D esarrollo £ Como / = — aplicando la diferencial de un cociente con respecto a R.

Jr R d E - E d R a/ = R t Luego:

746

di =

JT, n pero dE = 0

EdR E dR — = — (— ) R2 R R

=>

A7

A I-

/

AR

R

Demostrar que un error relativo de 1% cometido al determinar la longitui radio, da lugar a un error relativo aproximado de un 2 %, al calcular el áre circulo y la superficie de la esfera. D esarrollo Área del circulo - A = jrr2

Usar la formula siguientes:

Superficie de la esfera = S = 4/rr 2 747

Calcular d 2 y , sí y = eos 5x D esarrollo y = eos 5x

=> dy = -5 sen 5x dx d 2 y = —25 eos 5x(dx)2

748

u = Vi —ec2 , hallar d 2u Desarrollo

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348 749

y = árceos x, hallar d 2y D esarrollo dx y = árceos x => dy = — si Y - x 2

750

, => dy = -

x(dx)2 l j ( l - x 2)2

y = sen x . Ln x, Hallar d 2y Desarrollo dy - eosx.ln x.dx + l ¡ú )'?:>, ,2 , . d y —(-senx. ln

senx , , senx dx => dy = (cosx.lnxh )dx x x

cosa: .2 ,x c o s x - s e n x 2 -------- )(dx) + (--------)(dx) X x~

j2 / , 2 co sx senx 2 d y = (-senx. ln x + ----------------r—)(dx) X X 751

z=— x

, hallar d 2z Desarrollo

, 1 - l n x , dz = — dx x 752

=$

,2 2x-3 2 d z = — x— (dx) x

z = x e x , hallar d z Desarrollo dz. = (2xe~x - x 2e~* )dx

=> d 2z = - e ~ x ( x 2 - 6 x + 6)(dx)2

„4

753

z ———— «hallar d 4z 2 -x Desarrollo En form a similar a los anteriores d z =

384 (2 - x

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r(dx) )5


754

u = 3 sen (2x +

5),

Hallar d nu

Desarrollo du = 3cos(2x + 5 )dx = 3.2sen(2x + 5 H— )dx 2

d 2u = 3.22 cos(2x + 5

+

—){dx)2 = 3.22 j
2

d 3u = 3.23 sen(2x + 5 + 3(—))(dx')

2

d nu = 3.2” sen(2x +

755

5 + n ( — ))(dx)n

2

y - e XQOSXs e n ( x c o s a ) , hallar d ny

Desarrollo dy = (co sa.excosase n (x c o sa ) + c o s a e xcosa co s...(x co sa))dx

d " y - e xcosasen(xsena + n a )(d x )n

2.7.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO.a)

T E O R E M A D E ROLLE.Sea y = f(x) una función continua en a < x < b y que existe f ' ( x cada x e (a,b) y f(a) = f(b) existe z e (a,b) tal que f ' ( z ) = 0

b)

T E O R E M A D E LAG RAN G E.Sea y = f(x) una función continua en [a,b] y que existe

/'

para cada x e (a,b) => f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) f ' ( z ) donde a< z<

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350


c)

T E O R E M A D E CAUCHY.Sean f(x) y F(x) funciones continuas en a < x < b y existe F'(x) para cada x e (a.b) y síf(b)*f(a). f(b)-f(a)

f\z)

.

/ ' ( jc)

y

Entonces:

.

-------------- = --------, donde a < z < b F(jb)~ F (a) F'(z) 756

Verificar que la función

/ ( jc)

=x-

jc3

de Rolle en los segmentos -1 < x

satisface a las condiciones de teorema

<0 y 0 < x < 1. Hallar los valores

correspondientes de z. Desarrollo La función

f(x)

es continua y derivable para todos los valores de x, y

además f(-l) = f(0) = f(l) = 0 Luego el teorema de Rolle se puede aplicar. Ahora hallaremos z para esto /■' ( jc ) = 1— 3jc2 => /'(z ) = l - 3 z 2 =0, de donde: z, = Siendo - l < z 2 <0 y 0
La función /

(jc )

= y ¡ ( x - 2 ) 2 en los extremos del segmento [0,4] toma valores

iguales / ( O) = f ( 4 ) =

. ¿Es valido paia esta función el teorema de Rolle en

el segmento [0,4]? Desarrollo 2

Comp

/ ( jc )

= (jc -2 )3

f'(2) 3

Es decir que f(x) no es derivable en (2,4). Luego no es valido el teorema de Rolle.

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¿Se cumple las condiciones del teorema de Rolle para la función f(x) = el segmento [0,rc]? Desarrollo No se cumple, porque f(x) = tg x no es continua en (0,7t) es decir discontinua en x = — . 2

759

Sea f(x) = x(x + l)(x + 2)(x + 3). Demostrar que la ecuación /'(x ) = tres raíces reales. Desarrollo Como f(x) = x(x + l)(x

+

2)(x + 3)

=>

/ (

x) = x4 + 6x3 + 1lx 2 + 6 x

/'(x ) = 4x3 + 18x2 + 22x + 6 Como /'(x ) = 0 => . 4x3 +18x2 +22x + 6 = 0 De donde 2x3 + 9x2 +1 lx + 3 = 0 y por la formula de Cardano se obtiene las tres raíces reales. 760

La ecuación e x = l + x , evidente tiene una raíz x = 0. Demostrar qi ecuación no puede tener otra raíz real. Desarrollo Sea /(x ) = e x - (1 + x) es continua en todo R. Además es derivable => existe ze R, de tal manera que f ' ( z ) = 0 Como /(x ) = e x - (1 + x ), derivando se tiene:

f'(x)

= ex - 1

pero f ' ( z ) = 0

=*

=>

f ’(z) =

ez -1

ez -1 = 0

=>

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e z = 1 => z = 0

352


761

Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange para la función f ( x ) - x - x 3 en el segmento [-2,1] y hallar el correspondiente valor intermedio z. Desarrollo La función es continua y derivable, entonces: / '( * ) = l - 3 * 2 como f ( b ) - f ( a ) - ( b - a ) f ' ( z ) / ( l ) - / ( 2 ) = [l-(-2 )]/'(z )

l- 3 z 2 = -2

=>

=> -3 z 2 = -3

=>

0 - ( - 2 + 8) = 3 /'( z )

=>

f' (z) = -2

z = ±1

se toma solamente z = -1 puesto que -2 < z < 1 762

Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange y hallar el 4

correspondiente punto intermedio z para la función / (x) = x 3 en el segmento l-U ]

Desarrollo 4

f(x) = x3 =

x

es continua V x e R

f ( l ) = l y f ( - l) = l

además f ' ( z ) =

/(!) — / ( - ! ) _ 1-1 _ Q l-(-l)

2

como

como -1 < z < 1, luego se cumple para z = 0

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763

En el segmento de - la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1 B(3,9). Hallar un punto cuya tangente sea parábola a la cuerda AB. Desarrollo Sea / '(z) =

/'(z) =

donde a = 1, b = 3

b-a

= 4 como /(z) = z2 =»

como /'(z ) = 4

f ' ( z ) = 2x

=> 2z = 4 => z = 2

Luego el punto será (z, f(z)) = (2,4) 764

Aplicando

el

teorema

de

Lagrange,

demostrar

la

fóm

sen(x + h) - sen x = h cos^ donde x < £ < x + h Desarrollo Sea f(x) = sen x, es continua en [x, x + h] por el teorema de Lagrange tiene:

/ ' (* + h ) - f ( x ) = (.x + h - x ) f ' (£)

f ( x + h ) - f ( x ) = hf'(^) donde f \ ^ ) - c o s ^ . s e n ( x + h ) - s e n x = hcos^

donde ^ = a + 0(x - a) y 0 < 0 < 1 caso particular para a = 0, se tiene la formula de Machaurin.

/(* ) =

/(O) = xf '(0 )+ ¿

21

/ "(0) +... +

(« -!)'

donde£ = x y O < 0 < 1

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f in~l) (0) + ^ f (n) ( I ) ,

ni

354

765


-------------------------------------------------a)

Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones f ( x ) = x 2 + 2 y /(x ) = x3 - 1 , en el segmento [1,2] y hallar £

b)

Idem para f(x) = sen x y F(x) = cos x en el segmento [0, Desarrollo

, a)

„ J ^ u f (b) - f (a) / ' ( £ ) Por el teorema de Cauchy se tiene:-------------- = -----— F{b)-F(a)

F\Z)

, _s ^ 1 < c, < l

f(2) = 6, f(l) = 3 y /•(§) = 2§ f(2) = 7, F(l) = 0 y /'(5 ) = 35 /'(£ ) _ 6 -3 _ 3 F ’(%) 7 - 0 7 b)

f(x) = senx =*

_2_= 3 3¿; 7

^

—

9

/ '( * ) = cosx

F(x) = cosx => F'(x) = - s e n x , 0 < q < ^

0-1

2.8.

4

FÓRMULA DE TAYLOR.Si una función f(x) es continua y tiene derivadas continuas hasta de grado (n - 1) inclusive en el segmento a < x < b (o b < x < a) y para cada punto interior del mismo existe una derivada finita / (Jc) , en este segmento se verifica la fórmula de Taylor.

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/ ( x ) = f i a ) + (x - a ) f \ a ) +

^

f \a) +

—

f '"(a) -

(n-1)! 766

n\

Desarrollar el polinomio / ( x ) = x 3 - 2.x2 + 3x + 5 en potencias entera positivas del binomio x -2 . Desarrollo /(x ) = x 3 - 2x2 + 3x + 5 => /'(x ) = 3x2 — 4x + 3 /"(■*) = 6x — 4 ,

/" '(x )

= 6, / (n)(x) = 0

para n > 4 de donde f(2)= 11, /'(2 ) = 7, / ’"(2) = 8, / " '( 2 ) = 6 /(x) = x3- 2x2 + 3x + 5 = / ( 2 ) + / ’(2)(x - 2) +

(x - 2) +

(x - 2;

- 2x2 + 3x + 5 = 11 + 7(x - 2) + 4(x - 2) +... + {x - 2)3 767

Desarrollar la función f ( x ) = e x en potencias del binomio x + 1, hast¡ termino que contenga (x + 1)3. Desarrollo

Como f ( x ) = e x => f (n)(x) = e x y / (”>(—1) = — e

ex = f ( - l ) + f \ - l ) ( x + l ) + £ ^ - ( x + l ) 2 - ^ ( x + l ) 3+ / ^ > ( x + 1)4

2!

x 1 1 , l ( x + l) 2 ex = - + - ( x + l) + — ■^ e e e 2!

3!

l ( x + l)3

(x + 1)4 £ -----— + ------ ’— e 4

e

3!

donde ^ = -1 + 0(x + 1), 0 < 9 < 1

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4!

4!

356


768

Desarrollar la función f(x) = ln x en potencias de x - 1, hasta el término con

Desarrollo f(x) = ln X =*

/

'( a )

=-

=> /

"(x )

=\

X

=> f m(x) = ^ r X-

X

f(l) = 0, /•(!) = !. / ”(1) = -1, / " ' ( 1) = 2

= G+

+

ln x = (x -1) - (*

769

2!

donde J.

Z.

+ 2{X |)3 3!£3

= £

donde ^ = 1 + 0(x - 1) y 0 < 6 < 1

Desarrollar la función f(x) = sen x en potencias de x, hasta el término de x 3 y hasta el término x5. Desarrollo

*

f(x) = sen x , derivando se tiene: /'(x ) = cosx, f " ( x ) = - s e n x , / '" ( x ) = -cosx , f n (x) = senx f v(x) = eos x , / Vl (x) = - senx

f(0) = 0, /'(0 ) = 1, / " ( 0 ) = 0, / '"( 0 ) = - l , / ,v(0) = 0, / v(0) = l

a)

x3

xs

senx = x - — + — / v(¿j) donde / v(¿¡) = cos¿;,

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=0¡x, O<0,<1


x5 5!

jc3

b)

x7

senx = x - — + — - — f w (£) donde / " "( £ ) = -c o s í

3!

7!

donde
Desarrollar la función f ( x ) = e x en potencias de x hasta el término de x n~ Desarrollo f(x) = ex

=> f (n)(x) = e x => / (n)(0) = l

2! 2 -

f ( x ) = e x = l + xHK..H—

2!

771

(n -1)!

w-1 n h— e1’ («-!)! ni

n!

donde
Demostrar que la diferencias entre sen(a + h) y sen a + h eos a, no es mí 1 de — — ih2 2

Desarrollo Sea “(x) = sen x haciendo el desan'ollo en potencias de x - a ,,

,

( x -a ) 2 2!

( x -a ) 3 3!

senx = sena + (x - a) eos a ----------- sena ------------ eos a -

haciendo x =a + h, de donde se tiene:. sen(a + h) = sena + heos a

h2 h3 sena cosa + ... 2! 3!

h2 , sen(a + h)~ sena - h eos a - — ( - s e n a

2

h

3

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a

h2

12

sena +...+)

...(1)


358

h h h2 , , h2 . , h h3 . -sen a — cosan— c o sa+— sena + ... = sena(- 1h------ K..)+cosa(— n— +...) 3

3

12

donde-1+ — + ... <1

12

=>

3

20

—— K..<1

12

3

20

además 0 < sen 0 < 1 y 0 < eos 0 < 1 y además cuando sen a —> 1, eos -n a y cuando eos a —> 1, sen —> a se n a {-\ + — + ...) + e o sa (~ —+ — + ...) < 1 12

3

20

ft2 + ...)x+ eos a(— / h +— h* + . ..) < — -h[2s,e n a ,( - ,1+ — 2

12

3

reemplazando (2) en (1) se tiene: 772

20

s ... n (2)

2

sen{a + h ) - s e n a - h e o s a < ^ -

Determinar el origen de las formulas aproximadas: a)

yj\+x = 1

, |x |< 1 2

b)

8

3

y valorar el error de la fórmula Desarrollo a)

lj\ + x ~ 1+ —

Mediante el desarrollo de Taylor se tiene:

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, |x |< 1 9


b)

yjl + x - l + ——— + — (— - — —) el error es:

3

9

81

*

(1+ S)3 x

5x3

x2

0 + 3_ t +

,

x

x2,

5x3

r > - (1+3 - T > ■ 81(1 + ¿|)3 81(l +
donde 1; = 9x y 0 < 9 < 1 773

Valorar el error de la fórmula:

e = 2+ — + — + — 2! 3! 4!

Desarrollo *

, x2 x3 x4 x5 = 1+ x + — + — + — + — t ( í ) 2! 3! 4! 5!

e x - e cuando x -1 entonces se tiene: ex = 2 + — + - + - + - f v(¿) donde / v(S) = e*

2!

3! 4!

5!

Luego el error será: —

’

donde ^ = 9x = 9(1) = 9

Pero 0 < 9 < 1, el máximo error que puede tener ex = 2 + — H---- h— 2! 3! 4!

t

cuando se toma el mayor % es decir que debe tomarse el máximo valor de ( pero el máximo valor 9 aproximado y siempre menor que 1, entonces tomand e

9 = 1, el error < — donde e < 3. 5! 3 1 Luego redondeando se tiene error < — = — = 0.025 5!

40

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360


11A

Un hilo pesado, bajo la acción de la gravedad, se cambia formando la catenaria y = a cosh — . Demostrar que para valores pequeños de |x |la forma que toma a X

2

el hilo puede representarse aproximadamente por la parábola: y = a + —

2a

Desarrollo

Como |x|es pequeño utilizaremos la formula de M ACLAURIN. Sea

/ (jc ) =

y = acosh(— )

f(0) = a

=>

a

x

x2

a

2a 4!a

/(x) = acosh — = a +

Luego

x4

1

x4

x6

- + ---- - + ... 4!a 6!a X

=■+ ... como |x |es pequeño entonces |x |- 0

o puesto que

x2

x4

xn n'.an~1

=> o para |x | => 0

x2

Luego acosh— = a-\------1------ - + .. .~ a + — - y a 2a 4 \a 2a x

x2

a

2a

Por lo tanto a cosh — = a H----

115

Demostrar que cuando |x |< a, con una precisión hasta de (—)2, se verifica la a

igualdad aproximada e a =,

"a-x Desarrollo

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multiplicando ambos miembros se tiene que:

X

—

x

ahora haciendo el desarrollo de e a en potencias de — : a

... I

de (1) y (2) se tiene que:

2.9.

REGLA DE L’ HOSPITAL - BERNOULLI PARA CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS.a)

CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS DE LAS FOR 0

OO

Consideremos f(x) y g(x) dos funciones derivables para 0 < |x - a sin que la función g(x) se reduzca a cero, si f(x) y g(x) son infinitai pequeño o infinitamente grandes cuando x f(x)

a, es decir si la fra

representa en el punto x = a, una expresión indeterminada

g(x) 0

OO

forma — o — , tendremos que: 0 °°

lim

f(x)

x~*a g( x)

= lim

f\x)

a condición que este limite de las derivadas e>

*-*<• g \ x )

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362


También esta regla se aplica cuando x => <*>, si la fracción

g\x)

es una

expresión indeterminada se vuelve a aplicar esta regla. b)

O TR A S F O R M A S IN D ET E R M IN A D A S.Para hallar los limites de expresiones indeterminadas de la forma 0,

se transforma los correspondientes productos j \ ( x ) . f 2 (jc) donde

lim / |( x ) = 0 y lim / 2(x) = <*> en la fracción.

/lW — 1

,c ^— ) o. también u-' / 2 W— ,f(forma — ) (forma 0 1 00

/ 2W

fi(x)

Para el caso de las indeterminadas de la forma 00 - 00 se transforma la (x)

diferencia /, (x) - f 2(x) en el producto f t (,v)[l— *— -] y se calcula él / 1U ) f (x) f (x) * —— = 1, esta expresión se limite de la fracción —---, si él limite—^ fi( x) /,(*) reduce a la forma: 1- f 2(x ) /iW 0 (forma — ) 1 0 /iW Los limite cuyas expresiones de las determinadas son de la forma 1” , 0° y 00o. Se calculan primero tomando logaritmos y después se levanta el logaritmo.

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H A L L A R LO S L IM IT E S Q U E SE IN D IC A N D E LA S FU N C IC SIG U IE N T ES: 776

x3- 2 x 2 - x + 2 lim- , *-»i x _7x + 6 Desarrollo hm

___

777

,.

x3 -2 x 2 - x + 2 x - 7x + 6

= lim x->i

3x2 —4x — 1 3x2 - 7

=

3 -4 -1 3 -7

=

-2 -4

1 _ 2

x eos x —.renx

lim *-*0

------JC3 Desarrollo

xcos x - s e n x lim---- — -

hm

•*->0

x —>0

X

= lim *->o 778

eos x - x s e n x -cosx ---------3x

1 senx 1 — = — lim — =— 3x2 3 x->o x 3

xsenx

lim- 1 X >1 1 KX l - sen — Desarrollo l-x -I 2,. I 2 I lim— = lim------------= — lim = — (—) = < JTX x —Al K T tX J t x —Al KX jt 0 l-sen— — eos— eos — 2 2 2 2

x —íl -

779

coshx — l lim *->o l-c o sx Desarrollo coshx-l senhx e -e e+e 2 hm----------- = lim------- = lim----------- = lim =- =l *->o l —cosx *—>o senx *->o 2senx *->o 2cosx 2

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364

*->o x - senx Desarrollo tgx-senx sec x -co sx lim------------ = lim---------------jt-»o x - s e n x *->o 1-cosx

l-co s3x 1+ cosx+cos2x „ = lim— ------------- = lim--------=3 * - » o eos x(l-cosx) *-»° eos X 781

lim X^ 1

l + cos4x

4

Desarrollo

sec2x - 2 tgx 2sec2 x/?x-2sec2x „ ? .• tgx-l — = lim ---------- 2--------------= 2 lim sec x. lim ---------x * l + cos4x x * -4sen4x x_*_ x_il -4sen4x lim 4

4

4

4

pr 2 .. t gx - 1 .. t g x - l sec2x (V2)2 1 = 2(v2) lim — --------= - lim ------= - lim ----------= -------- - = x_>E - 4 s e n 4x *-x_>* se n4 x x 4cos4x 4(-l) 2 4

782

lim x-¿2

4

4

tgx 1 5x ,8

Desarrollo

eos x.eos 5x - 5senx.sen5x 0 -5 = lim -------------------------------- - = ----- — = 5 x ^ eos x - sen5x x_ £ -senx.sen5x + 5eos x.cos 5x -1 + 0

tgx

lim — — = lim

x * tg5x 2

783

2

senx. eos 5x

2

lim ^ r *->” x Desarrollo

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784

li m 1" * ->” l[x Desarrollo

1

2

= lim ——- - 3 lim — = 3 lim

lim ylX

X~>°° 1 —— -X 3

-X-+00 X

Jt->oo

= 3(0) = 0 i X3

3

n

785

lim — — jc-.o nx cts —

Desarrollo n nx K2 2 2TX — ntg— — sec — 2 2 lim— - — = lim — =lim — --------— = — (1) — —— jr-»o n x x— *o x *->o 1 2 2

786

x->o ln(senx) Desarrollo

«icosmx ln(sentnx)i = lim lim — x-»o Int .senx) *-»o

senmx Ss nnu

eos x

,• senx._ eos mx m lim-x-,o eos x.senmx

senx

= m lim x- m

787

tgx tgmx

sec2x 1 , = lim — =- =1 x~>o m s c c mx Ôsec iiw 1

= m lim

lim(l-cosx)cígx *->0 Desarrollo

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sec2x


366

(l-cosx)cosx

lu T id x -fO

1-cosx

- eo sxjctgx = lim -------- —----------= lim -------- — .limcosx x —*o

sen x

sen x

jc-^0

x~>0

= lim — --. lim eos x =(0)(1) = 0 .r-»0eos X Jf—»o 788

lim(l - x)tg —

je—>1

2

Desarrollo 7TX

j_ x

sen—

x Y-x .lim sen — = lim ----------(1)

lim (l - X) ---------- — = lim je—>1

’

je.—>1

KX

eos— 2

2

>1

KX

eos— . 2

x —>1

KX

eos — 2

-i 2 1 2 .1 2 = hm-------------= — lun---------- = - ( - ) = — *->1

—

n

2

789

nx sen —

n

k x

sen —

2

n

l

n

2

. lim arcsenx.ctgx *-->0 Desarrollo eos x are senx lim arcsenx.ctgx = lim aresenx.— = lim--------- .lim eos x x->o jc—>0 senx *->o senx * - > o aresenx . . . . . 1 1 , = lim----------.(1) = lim —¡ = = -------= - 7= — = 1 * - » o senx ^ V I - x 2 cosx V i - 0 ( 1 )

790

lim x"e x , n > 0 A"—

>0

Desarrollo lim x ne x - lim x ".lim e x = 0".e 0 = (0)(1) = 0 x—>0 JT-»0 J—>0

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791

lim xsen{—) x

Desarrollo a seni —

a

— 2 cos

a

lim xsen(—') = lim — — = lim — - — -— — = a lim eos — = a.cos 0 = a.l = a A -> « J

JC

JC—

1

A

I

* 792

A' —

x2

lim xnsen— , n > 0 X

Desarrollo a „ a a a sen— a cos— cos— j lim sen—= lim — — = - lim — -— — = na lim-------= —(—) = 00, para n >

x— >°°

JC x—

x-*oo 2 1~

1

I" Sí 1 1 = 1

=3

Sí n < 1 =>

793

* ~V

x— tl-\~1

n 0

~F

lim xsen—- a

lim xnsen— = 0

lim lnx. ln (x -l)

jc->i

Desarrollo lim ln x. ln(x -1) = lim X—»1

X—>1

ln x

= 0, por la regla de L ’Hospital

1

ln (x -l) 794

lim(— ------— ) x-*i x -1 lnx Desarrollo

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368

, x 1 x ln x -x + 1 lnx lim( ) = hm--------------= hm jc-»i x —1 lnx Jt-»1 (x -l)ln x ^ 'l n x l * x

= lim — — — = lim - - - ■-■■■ = — = — *~>I ln x + 1 - — +\ 1+ 1 2 x

795

x

x

lim(———.— y ~ ----- > *-»3 x - 3 x — x —6 Desarrollo hm( * -> 3

1

5

x -3

x —x —6

x2 - 6x + 9 (x-3 ) ) = lim---------= hmjí-*3(x-3Xx - x - 6 ) *-*3(x-3Xx - x - 6 ) x -3 1 1 1 = lim— = hmx —>3x — x —6 *—*32x — 1 6 — 1 5

796

lnn(

1 i—

1 — )x 3(1- l l x )

*-* 2(1- V x )

Desarrollo l + >/x hm( *->i 2(1- x )

1+ yfx + s[x* 3 + 3x[x - 2 - 2x[x - 2sfx? ) = hm-----------------------------3(1- x ) x-*\ 6(1 - x)

-

T

- lim 2 jc— 797

1

- -

—6

_

2

_

4

2

_

- 2 3 3 ~ 2___= —6 —6

lim (— ------- — ) x ,* ctgx 2cosx 2

Desarrollo

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2- 1 —6 12

Diferenciación de Funciones ..

. .. Ixsenx - n ) = lim ------------2cosx 2cosx

.xsenx

n

lim (

x_yE cosx 2

2

2 s e n x + 2x c o s x 2(1) + 7T(0) = lim -------------------= ------------x ,* -2senx -2(1) 2

798

lim x" A—>0 Desarrollo ln* T* lim'x* = lim e1"*' = lim e*1"-1= lime x *—>0 x—>0 x-»0 *—»0

lim x— >0 —7

*

lim -

— g i— *0

l

799

lim x-1 A —>oo

Desarrollo 1

lim x* = lim e X —> o o +

800

* —»oo +

i ln* VT------------------------

1

ln * lim -------

lim —

n

= lim e x - e'"~ x = e'"~x = e = 1 jc —>=<,+

lim —7— ---x~>o x + ln x

Desarrollo 3

3«

, 3 in — —

31nx ——-—

hm

31n*

lim — = lim e x +lnj: — lim e e +ln* = e ‘~M4+lnx - e *-*o x + ln x -*->0 *->0 801

lim x senx *—>0 Desarrollo

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LílS 1 _

x


370

l ,

lim x SÍ',ur = lim e ,nx ;r—>0

,

lim J f ii-

> i« ----------

= lim e senxlax = <>-««*«* = e« ° -c o s «

x ->0

x —>0

sen x senx -h m - lim -tgx . m n o *-*°xcosx — e *-*o x —e~ ~~ €

1

KX

802

lim(l-;t) JC->I

cos—

2 Desarrollo

lim (l-*) a:—>1

803

cos—

, ,«

nx

.«“t

2 -lim e'n(1-Jc) *-*1

KX . , ,

=lime jc—>!

.

cos— .In(l-jt)

2

..

1im (1 + x 2) x

x—>0

Desarrollo

lim[(l + * 2) r> ] = e™X - e° = 1

*-»0

804

lim jc1-* *->i Desarrollo

i

i-*

lim *1-* = lim e n* X—>1

X—>1

ln *

.. 1 hm - -

= lime,_j: = e ~ ' x - e X — >1

KX

805

lim(/£— )'* 2 x-»i 4 Desarrollo

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.

.

=—

K X . ..

.

límeos— .ln(l-jc)

= «"*

2

n

=e°=l


EX

T tX tg—

hm(fg— ) 2 =lime x —>1

2

xx ln(/*— ) 2 KX ' I r r

4

Ki:

7 tx , ,

tg— W tg — )

= lime 2

JC-»1

4 =e

ln(tg —-) lim -----------4— *-.1 E x ctgx-—

JC—>1 sec 2(— ) lim -----------------------4--------------,E x

,e

,

,EX\

í

2C0“ C ( 2 )Jg( 4 } = e 2 ( lX l) = e ~ l _ £ - \ _ I

£ 806

l i m ( c / g x ) lnj:

x—>0

Desarrollo -cosecx.crgx 1

j_

lim(c/gx)ln;t = lim

x —>0

x —>0

lim-xcosecx

?x-+o

807

lncfgx

j.^ In cr^x

= lim e lnjc = e ’~*° lnj: = e x —>0

lim

.

*-*o

1

x

1

— e*-*° senx — g 1= __

l i m ( —)'** x-> 0 x

Desarrollo

1 tnr l i m ( — )® x -»0 x

ln lnx 1 x in(—)tgx — = lim e * = l i m e c,gx = l i m e c,gx = x —>0 x -»0 x -»0

lim _ e *-».ccosec.clgx _

808

lim — x

1 1i m—(- cos ecx.ctgx)

tex g _ J ( 0) _ o 0

lim (c íg x ) 5 jc —> 0

Desarrollo l i m { c t g x ) senx = l i m e Xn(ctgx)Senx = l i m e senxAn(c,gx) - i im e - « « . i n < * * ) x —>0 x —>0 x ->0 x -*0

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372


lim senx.ln(rgx) ln(,g^ —e - x~ *° —e -lim cosecx

ItoJEL

= e x- ° c o s e c x = C

809

—£

S S - c o s ecxctxx eos ecx.ctgx

5

ôs2 x — e * -* c o s x — £> 1 _ ^ 0 = j

Demostrar que los limites:

a)

x 2sen — r —=0 x— *o senx

.^

lim

b)

x -se rv e , =1 x— *°° x + senx

lim

No pueden hallarse por la regla de L ’Hospital - Bemoulli. Hallar estos limites directamente. Desarrollo 1 x 2sen — a)

iim

senx

x -* o

1 xsen—

— = lim x-*o senx x

1 n lim xsen — í- = - = 0 lim senx 1 x— >0

donde lim xsen — = 0, puesto que z= — ,cuandox —» 0, z —» x —>0

X

X

1 „ . , 1 senz 1 lim —senz = ? =¡> -1 < sen z < 1 => — < <— Z

Z

Z

1 .. senz . .. 1 _ . senz lim — < lim < lim — => 0 < lim <0 Z

b)

2 -» °°

Z

. . lim

senz

Z

.. x - s e n x lim ---------- = 1 x->~ x + senx senx x-senx r 1-0 ■ , senx « lim = lim----- =— = = 1 donde lim = 0, ver parte a) x~»~ x + senx | senx 1+0 x

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_

=0


Demostrar que el área de un segmento circular con una ángulo cer pequeño, que tiene la cuerda AB = b y la sagita CD = h (según figu aproximadamente igual a: S = — Con un error relativo tan pequeño como se desea, cuando a —> 0 Desarrollo Sea R el radio de la circunferencia, el área del segmento esta dada exact; Ra2 2 por la formula: 5 = — (a - sena ), para demostrar que: S ~ —bh

Calculemos lim

a-»0 2

y esto debe ser aproximadamente igual a 1. bh

Según la figura b = R eos a H = R - b = R (l-e o s a) 2 2 —bh = —R 2 cosa(l-cosa)

3

3

O (a-sena)

Luego lim o2 3

- lim

“^ A c o s a d - c o s a ) 3

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= lim— (-

a-sena

« -*4 cosa(l-cosa)

)


374

CAPITULO III

EXTREMO DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMETRICAS DE LAS DERIVADAS ___ Ja.

e x tr e m o s de" la s fu n c io n e s de jsñ ARGUMENTO.-___________________________________ _____

a)

C R E C IM IE N T O Y D E C R E C IM IE N T O D E LA S FUNCIONES.Diremos que la función y = f(x) es creciente en un intervalo determinado sí para cada par de puntos x, y x 2 de dicho intervalo. Se cumple que sí JCj < x 2 =>

f ( x ,) < f ( x 2)

Diremos que la función y = f(x) es decreciente en un determinado intervalo si para cada par de puntos cualesquiera jc, y x 2 de dicho intervalo se cumple que sí x x < x 2 => / ( * , ) > f ( x 2)

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Aplicación de las Derivadas

Si la función f(x) es continua en el segmento [a,b] y / '( * ) > 0 para a < : la función es creciente.

En el segmento [a.b]. Si la función f(x) es continua en el segmento [a, / ' ( x) < 0 para a < x 

y ’= 0 para los puntos críticos, es decir:

-4 - 2x = 0 => x = -2 punto critico.

-2 Como y = f(x) Si x < -2, y' > 0

=>

y '= / '( x ) = - 4 - 2 x

=> y ’= - 2(x + 2)

=> f(x) = y, es creciente en <-°°,-2>

Si x > -2, y ’< 0 => f(x) = y, es decreciente en <-2,«>>

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376

812

y = (x-2)2

Desarrollo y = ( a -2 ) 2

=*

y'=2(x-2)

Como y’=0 para obtener los puntos críticos entonces: 2(x - 2) = 0 => x = 2 punto critico.

2 y'= 2(.r - 2) Si x < 2 =>

v'<0 => y =f(x) es decreciente en <-°°,2>

Si x > 2 => y’> 0 = >

813

y = f(x) es creciente en <2,oo>

y = (x + 4)3 Desarrollo y = (x + 4)3 =*

y'=3(x + 4)2

Como y'= 0. para obtener los puntos críticos es decir: 3(x + 4)2 = 0 , de donde x = -4 S ix < -4

=> y'<0

=> f(x) = y es crecimiento en <-°°,-4>

y'=3(x + 4)2 Si x > - 4 =s

y '> 0

=> f(x) = y es crecimiento en <-4,°°>

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814

y = x 2(;c-3 ) Desarrollo

y = a2(x — 3) = x 3- 3 a 2 =$

y' = 3x2 - 6x => y' = 0

para obtener los puntos críticos es decir: 3a2 - 6 a =

0

=*

3x(x-6) = 0 => x={0,6} puntos críticos

e ----------------- e --------0

6

y'=3x(x-6)

Si x < 0, y ' > 0

f(x) = y es creciente en <-°°,0>

Si 0 < x < 6, y' < 0 => y = f(x) es decreciente en <0,6> Si x > 6 815

y' > 0

=» y = f(x) es creciente en <6,°o>

v = —-—

x-2 Desarrollo

(.x— 2) — x —2 V' = —-------— = -----:=- — como y' = 0, para obtener los puntos críticos. ( a - 2 )2

Es decir:

-2

( a - 2 )2

=0 . Luego 3 x tal que y' = 0

(■*—2) Además x = 2 es punto de discontinuidad

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378


Si x < 2 =*

y'<0

Si x > 2 '=>

y'< O

y = f(x) es decreciente en <-od,2> => y = f(x) es decreciente en <2,°°>

1

816

(*~3)2 Desarrollo -2

V' = ---------^ , para obtener puntos críticos debe ocurrir que y'' = 0

(•*— 3) -2

Como y' — r-,no 3 x, falque y' = 0 (x-3) Además x = 3 es punto de discontinuidad

3

S ix < 3

=*

y'< 0 => y = f(x) es decreciente en <-~,3>

Si x > 3 => y'< 0 => y = f(x) es decreciente en <3,°°>

817

y= jc2

* —6 x - 1 6 Desarrollo

,

,

( x 2 - 6 x - \ 6 ) ( x ) ' —x ( x 2 - 6 x - l 6 )

(x2 - 6 x - 1 6 ) 2

—x 2 - 1 6 ( x2 - 6 x ~16)2

Para hallar los puntos críticos debe ocurrir que: y' = 0 Para que y '- 0

=> - x 2 - 1 6 = Q =4>

x2 =-16

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Ix e R


Además x = -2, x = 8 son puntos de discontinuidad

,

rv ,

(X2+16)

(•*) = — ó—

y —f

(x~ —6x —16)

t

< x<

-2

-2

8

8

< X < oo

/=/’(*)<0 0 o y' = f ' ( x ) <

y'=f'(x)<

Luego la función y = f(x) es decreciente en: 818

<-2,8>,

y = ( x - 3 )\[x

Desarrollo Calcularemos su derivada y' = ( x - 3 ) 'y [ x + (x - 3 ) ( s [ x ) '

=>

y' = yfx + ^ —^r 2\¡x

=>

y '2-Jx

Hallaremos los puntos críticos para esto debe cumplirse que y '- 0 V 3 y' Si y'= 0 => 3x~3 = 0 => a,=1 puntos críticos Sí 3 y'

=> 2y[x = 0 => x 2 = 0

0

3(jc —1) "

24~x

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1


380

x < 0, y = (x - 3)V a; no esta definida

0 < x < l , y'<0 => y = * J* es decreciente en <0,1; Vx 1 < x < «>, y' > 0

819

=> y - —-=¿- es decreciente en <1 ,°°> Va

> = --V A Desarrollo 1 1 Calcularemos la derivada y ' = ------- ¡ = = 3

3V 7

1 3V 7

Ahora hallaremos los puntos críticos, para esto hacemos que y'=0 y 3 y' Si v'=0

Si 3 y'

=» yfx* - 1=0 => x = ± l

=> 3\[x* = 0 => x = 0

Puntos críticos

, _ # r * - l _ (#s + l X # t - l ) y ~ 3V ?

"

-oo < x < -1, y '< 0

3V ?

’

y = — ~^J~x

es creciente en <-«>,-1 >

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- l< x < 0 ,

v'< O

y = f(x) es decreciente en <-l,0>

0 < x < l , y’> O => y = f(x) es decreciente en <0,1 > l< x < ° ° => 820

y'>0

=> y = f(x) es creciente en <1,°°>

y = x + sen x Desarrollo

Calculando la derivada y' = 1+ eos x , ahora encontraremos los puntos críi pjua esto debe ocurrir y' = 0 ' ' 3 y' vSi y ' = 0

l+ c o s x = 0 -■* cosx = -l => x = TC(2n+l)

ahora veremos si y' > 0 v y' < 0 pero se conoce que -1 < eos x < 1, V x e R sumando 1 se tiene 0 < 1 + eos x < 2, V x € R luego y' > 0 V x e R, por lo tanto y = x + sen x es creciente en: 821

y = x ln x Desarrollo y" = ln x + 1, luego y' = 0 se tiene: ln x = -1 => x = e~l = — e

y para que 3 y ', se tiene x = 0 como la función esta definida para x > 0 entonces:

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382

Como y' = lnx +1 se tiene:

0 < x < - , y'<0

=> y = x ln x, es decreciente en < 0 ,-> t

1

1 =s> y = x ln x, es creciente en [—,oo >

e

—< x < ° ° , y ' > 0 e "

822

e

y = aresen (1 + x) Desarrollo Calculando la derivada y' =

de donde y ' = •y/T—(1 + x)2

sjx2 - 2x

para hallar los puntos críticos hallaremos los valores de x de tal manera, que a y .

Luego -J—x 2 - 2x = 0 => - jc‘ — 2x = O => -x(x + 2) = O => Xj = O, x 2 = —2 puntos críticos

y/-(*2 + 2x) , J - x ( x + 2) -oo < x < -2, 3 y'

es decir que no es y'>0 ni y'<0, por lo tanto no hay

intervalo de crecimiento y de decrecimiento. -2 < x < O, y'> O => y = aresen (x + 1) es crecimiento en: <-2,0> 823

y = 2 e x¡~4x Desarrollo

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Calcularemos su derivada y ' - 2 e x 4x (2x - 4), luego para hallar los pu: críticos haremos y' = 0 , es decir: 2 e(x ~4jt)(2x - 4) = 0, de donde x = 2

2 y' = 4 e xix- 4>( x - 2 )

- oo < x < 2, y'<0

2 0

S24

=>

y = 2 e x ~4r es decreciente en: <-°°,2>

=> y = 2ex ~ix es creciente en: <2,°°>

i y = 2-t_fl Desarrollo -1

—

Calcularemos su derivada y 1= e *~a (

—) ln 2

(x-a)2

1

\,

O A— rt

y 1= —

- ln 2 , ahora halaremos los puntos críticos, para esto veremos (x-ay

valores de “x”, de tal manera que 3 y’. Luego x - a = 0 => x = a punto critico

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384


- °° < x < a, y'< O =*

y = 2 x~a es decreciente en: <-°°,a>

a y - 2 x~a es decreciente en:

825

y=-

Desarrollo

Calcularemos su derivada y ' =

cx (x —1)

—

ahora hallaremos los puntos críticos,

x~

para esto debe ocurrir que: y'=0 V 3 y' Sí >>'= 0

Sí 3 v'

=>

=> x=1

e*(x-l) = 0

x = 0 ==> x = 0

y =-

-oo < x < 0, y'<0

=> y = —

x

0 < x < 1, y'< 0 =>

l< x < ° ° . y'>0

v=—

es decreciente en: <-°°,0>

es decreciente en: <0,1>

x

=> y = —

x

es creciente en: <1,°°>

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Aplicaciones de las Derivadas

Averiguar los extremos de las funciones siguientes: 826

y - x 2 +4x + 6

Desarrollo y ' = 2 x + 4 => y' = 0, para obtener los puntos críticos

es decir: y"=2

2x + 4= 0 => y " (-2 )> 0

=>

x = -2 => x = -2

se tiene un punto mínimo de donde y = 2 827

v= 2+ x -x 2 Desarrollo y' = 1- 2x

y” = -2

=> y' = 0

=>

v"(—) <0

2

=> 1 - 2x = 0 de donde x =

punto critico

=> en el punto x = — se tiene en máximo

2

9 9 1 de donde y = — , es decir: v = — es un máximo cuando x = — 4 4 2 828

v = * 3- 3 x 2 +3x + 2 Desarrollo y'- 3.v2 - 6x + 3 => y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir: 3.r2 - 6 v + 3 = 0 => x = 1, punto critico y'” = 6.r-6

=> y "(l) = 0 => y = a3 - 3x2 + 3x + 2

no tiene máximo ni mínimo por lo tanto no tiene extremos

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386

829


y = 2x3 +3x2 -12x + 5 Desarrollo y' = 6x2 + 6x -12

=> y' = 0 para los puntos críticos

6x2 + 6 x -1 2 = 0 de donde: x, - - 2 , x2 = l y"=12x + 6 => y "(-2 )< 0 => en x4 = -2 se tiene un punto máximo de donde y = 25 y " (1)= 18> 0 ^ en x2 = l se tiene un punto mínimo de donde y = -2 830

y = x 2(x - 12)2 Desarrollo y = x 2(x2 - 24x +144)

=>

y = x4 - 24x3 + 144x2, derivando se tiene:

y’= 4x3 -7 2 x 2 +288x, hacemos y' = 0 para obtener los puntos críticos es decir:

4x3 - 72x2 + 288x = 0 =s

x x =0, x2 =6, x3 =12

y "= 12x2 - 144x + 288 y '' (0) = 288 >0

=> en Xj = 0 se tiene un mínimo de donde y = 0

y' ’(-6) = -144 <0 y"(12) = 288>0 831

=> en x2 = 6 se obtiene un máximo de donde y = 1296 => en x3 =12 se obtiene un mínimo de y = 0

y = x(x - 1 )2(x - 2)3 Desarrollo Hallaremos su derivada y'= (x — 2)2(6x3 - 16x2 + 12x - 2)

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ahora hallaremos los puntos críticos y para esto: y ' - 0, es decir: (x - 2)*(6x3 - 16x2 + 12x - 2) = 0

de donde: x, = 1, x 2 = 0.23, x3 = 1.43, x4 = 2 y" = 2 ( x - 2 ) ( 6 x 3 - 1 6 x 2 + 1 2 x - 2 ) + ( x - 2 ) 2(18x 2 -3 2 x + 12)

y " = 2(x-2)[6x3 -1 6 x 2 + 12x - 2) + (x - 2)(9.v2 -16x + 6)] y"=2(x-2 )(15 x3 -5 0 x 2 +50x-14) v'' (1) = -2 < 0

=> hay un punto máximo en: x = l, de donde y = 0

y” (0.23) >0

=> hay un punto mínimo en x = 0.23 de donde y = -0.76

y"(1.43)>0

=> hay un punto mínimo en x=1.43 de donde y = 0.76

y '' (2) = 0, no hay máximo ni mínimos.

832

y:

r3 x+3 Desarrollo

, . . , , (x2 +3)3x2 -2 x 4 3x4 +9x2 - 2x4 Calculando su derivada y = = ---(x + 3) (x + 3) . A2(x2 + 9) u y =— — hacemos y = 0 (x-+3)2 para obtener los puntos críticos es decir, A2 (x2 + 9) = 0 de donde x = 0 y "= 2x(x2 + 3)(—x4 - l x \ + 9) y" (0) = 0 => no hay máximos ni mínimos por lo tanto no hay extremos.

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388

v, , 833

y -

x2 - 2 x + 2 x-\

Desarrollo Calculando la derivada se tiene: y'

x2 — 2x

— , hacemos v' = 0 para obtener ( * -l)2

los puntos críticos, es decir: .v2 - 2x - 0 => *, = 0, x 2 = 2 2 (* -l)(-x 2 + 3 x -l) ^

(-v-1)4

y' ’(0) = -2 < 0 y ' ' (2) = 2 > 0

S34

y=

.

=> en

jc ,

= 0 hay un punto máximo de donde y = -2

=> en x 2 - 2 hay un punto mínimo de donde y = 2

(*-2 X 8 -*) x

Desarrollo Calculando su derivada y =

*

, haciendo y'= 0

para obtener los puntos críticos es decir: -(10x - 32) = 0 => x = 3.2

y=

-(10*-32) *

3—

y''(3.2)<0

835

y =

„ 20*-96

=*■ y = — 4 *

9 => hay un máximo en el punto x = 3.2 de donde y = —

16

* ( 4 - * 2) Desarrollo

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y '=

, hacemos y' = 0 para obtener los puntos críticos, es deci x (4-x y

— 4 ) = 0 => x, = — =r, x2 - —f=

1 6 (3 a ^

£ ' „

y =-

2

£

1 6 (-1 2 a 7 + 2a 5 -1 2 8 a 3 + 1 2 8 a)

A4(4- A 2)4 2

,— )) < - n 0 => — r Jy — \ n . j ttiene i v i i v uun n imáximo u u a u u u cen - h a¡ — y "(— p = if(x) = — =¡ = r 1de donde y = —3\ £ £

8,6

y ‘ T T ~ s/a +1

Desarrollo

Calculando su derivada y ' =

—4*

— , haremos y'= 0

( a 2 + 8)2

para encontrar los puntos críticos. Es decir: -4x = 0 => x = 0 4 ,1 l2* , y = --------------- 7 ( 1 — ^— ) 2

,

(a +8)2

a 2 +8

y "(0) = — - c 0 => en el punto x = 0 hay un máximo de donde y = V 2 85

837

y-

* x/ a 2

-4

Desarrollo

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390

x -1 2

Calculando su derivada se tiene: y' = ------------ — , haciendo v' = 0 para 3(.r2-4)2 obtener los puntos críticos, es decir: x*2 —12 = 0

=>

a,

= 2-73 , x2 = -2-73

a(28 -a2) y

5

3(a 2 - 4 ) 2 y"(2>/3)>0

=> hay mínimo en xi =2y¡3 de donde y = -73

y "(-273) < 0 => hay un máximo en el punto x2 = -2^3 , de donde y = —73

838

y = lj(x2 - l ) 2 Desarrollo Calculando su derivada se tiene:

4x

y ’= ---------------- haciendo y = 0 para 3(x2- l ) ^

obtener los puntos críticos, es decir: 4x = 0 ==> x = 0 4(a 2 -3) y " = ------------ => y"(0) < 0

hay un máximo en x = 0, de donde y = l

9(x 2-1)3 además

a

2 - 1= 0

x = ± l son puntos críticos

y "(+ l)> 0 => enx = ± I hay un máximo de donde y = 0 839

y = 2 sen 2x + sen 4x Desarrollo y '= 4 eos 2a + 4 eos 4a = 4(cos 2a + eos 4a)

y1= 8 eos x eos 3a , haciendo y’= 0 para los puntos críticos, es decir:

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8 eos x. eos 3x = 0, de donde: eos x = 0 v eos 3x = 0

O' Si eos x = n 0

nK + n =^s> x = i( n —K )n => x = — 6 2

eos 3x = 0 => x = (n + — ), n = 0,±l,±2 6 y''' = -4 senx. eos 3x - 12 eos x.seiúx

6

)>0

hay un mínimo en: x = —

y "(n + — ) < 0

2

-

de donde y = —-

¿

=s> hay un máximo en: x = n + — de donde y = 6

6

840

3

KJ |U>

7t

y "(n

y = 2cos— + 3cos—

2

3 Desarrollo

De igual manera que el ejercicio 839 De donde x = 12k7C, hay un máximo; de donde y = 5 y en x = \2(k ± 2n Hay un máximo de donde y = 5eos:

Cuando x = 12(A- ±~)7r hay un mínimo de donde: y = - 5 eos — Cuando x = 6(2k + l)n, hay un mínimo de donde y = 1 841

y = x - ln(l + x) Desarrollo I

X

1+ x

1+ x

Calculando su derivada se tiene: y ' = 1---------- => y '

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392

haciendo y' - 0, para obtener los puntos críticos es decir: x = 0

y " = — -— -

=> y ' ' (0) > 0 => en x = 0 hay un punto de donde y = 0

(1 + A-)2

842

y = x ln x Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y'= ln jc+ 1, haciendo y’=0 , es decir:

ln x + l= 0

=> x —e 1 =$ x - —

y " = — => x

y "(—) = e > 0 => en el punto x = — hay un mínimo de donde:

e

e

y' = — ln— = — e

843

e

e

e

cuando x ~ — e

y = .vln2x Desarrollo y' = ln 2 x + 2 ln x , haciendoy' = 0 para obtener los puntos críticos ln2 * + 21n.r = 0 =*lnx(lnx+2) = 0 de donde se tiene:

ln x = 0 => x = 1 lnx + 2 = 0 => x = e~2

„ 21nx 2 y = ------- + X

X

y" (1) = 2 > 0 => en x = 1 hay un punto mínimo de donde y = 0 cuando x = 1

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y"(e

_2

4

2

1

e ~

e"

) = — — + — y < O => en x = — hay un punto máximo de donde e

y = -^(lne-2)2 = 4 844

=>

y - cosh x Desarrollo € —€

Calculando la derivada y' = senhx = ---------- , haciendo y' = 0 2

para obtener los puntos críticos, es decir: t

e— = 0

y" =

=> e 2x -1 = 0 =* x = 0

=>

y"(0) = l> 0

=> en x = 0 hay un punto mínim<

donde y =1. 845

y - xe

Desarrollo Calculando su derivada y ' - e x + x ex - e xl\ + x) haciendo y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir: e x(l + x) = 0 => e x = 0 v l + x = 0, de donde x = -1 y " = e x + e x + xex y" =(2 + x)ex

=>

de donde: y = —

y "(l) = e_ I>0

=> en el punto x =-1, hayunmíni

cuando x = -1

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394

846

y = x 2 2~x

Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y'= 2xe x - x 2e x = xe x ( 2 - x ) haciendo 3’’= 0, para obtener los puntos críticos es decir: xe~x (2 - x) = 0 de donde: x ] - 0, x 2 = 2 y " = 2 e ~ x - 2 x e ~ x ¿-2xe~x + x 2e~x

y '' (0) — 2 > 0

=>

y" = ( 2 - 4 x + x 2 )e~x

=> en el punto x = 0

hay un mínimo de donde y = 0 cuando x = 0

y " ( 2) = (2 -8 + 4)e

,

2 => >'"(2)-— r-<0 => en el punto x = 2 hay un

máximo de donde: y = 4e 2 cuando x = 2

847 x

Desarrollo

Calculando su derivada se tiene: y ’=

ex( x - l )

haciendo y' - 0 para obtener los puntos críticos, es decir:

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Aplicación de la Derivada

y

„ ex (x3- 2x2 + 2x) ----------- 41---------

=>

X

„ e*(x2 - 2 x + 2) y =3 X

y ’(i) - £Í !—2 + 2) _ g > Q

en ej punt0 x _ j hay un mínimo de d

y = O cuando x = 1 848

y = x arctg x Desarrollo y ' = arctgx + —

1+ x2

arctgx + —

l + x*

haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos, es de

= 0 => (1 + x 2)arctgx + x = 0 => a r c t g x -

1

1+ x2 - 2.r2

1+ x2

(1 + x2)2

.. 1 1 -x 2 y" = x+ TT ' 1+x2 (1 + x2)2

1+ x2

=> x -

=> y”(0)=0

no hay máximo ni mínimo. Determinar los mínimos y máximos absolutos de las siguientes funcione los segmentos que se indican (cuando los segmentos no se indican, mínimos y máximos absolutos, de las funciones deben determinarse en toe campo de existencia). 849

y=

*

1+ x2 Desarrollo _ . , , , . , . Calculando s*u derivada se tiene:

, (l + x“) - 2 x “

y =

(1+ x2)2

—

1 -x (1+x2)2

haciendo y'~ 0, para obtener sus puntos críticos, es decir: 1 - x 2 = 0 => x=

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396

_ (l + * ) 0 - * ) (1+ x2)2 -oo < x < —1, y' < 0| i- =í> existe en x =-1 un mínimo. -1 < jc < 1, y ’ > 0 j

Por lo tanto el valor mínimo es

y = —

- l < K l , y ' >01 , , . , . 1 > => existe x = 1 un máximo y el valor máximo es y —— l
850

y = yjx(\0-x) Desarrollo

Calculando su derivada se tiene:

y'= ,

'■

haciendo y' = 0 , para

yfx{10- x ) obtener los puntos críticos es decir: 5 - x = 0 de donde: es decir: ^jc(IO-x) =0 =» x 2 = 0 y x3 = 10

0 Como

y

= y[x(l 0 -

jc)

5

10

su campo de existencia es:

x(10 - x) > 0 => x(x - 10) < 0

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jc ,

= 5 , además 3 y'


O

10

Luego esta definida para el intervalo [0,10] y' = , 5~ * yjx(lO~X)

0 < jc< 5, y '> 0 ]

^ => 5 < a:< 10, y ' < OJ

existe en x = 5 un mínimo de donde y = 5 2

además en los extremos, es decir en x = 0 el valor de y = 0 y en x = valor de y = 0. Luego el valor mínimo cuando x = 0, 10 es: y = 0 y el valor máximo ci x = 5, es: y = 5 851

y = sen x + eos4 x Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y' = 4sen3xcosjr-4cos3x.senx

=>

y '=4 s en xe os x( s e n2x - eos2 x)

haciendo y' = 0 , para obtener los puntos críticos se tiene: 45e;u cosx(íen2x - c o s 2 x) = 0 de donde se tiene:

=>

-4sen x. eos x. eos 2x = 0

sen 2x. eos 2x= 0

de donde: x —( 2 k + \ ) ^ y x = k

(k = 0, ±1, ±2,...)

para x = (2k + 1)^~ hay un mínimo y su valor mínimo es: y = — , y ct x = k — hay un valor máximo y su valor es: y = 1

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398

852

y = árceos x Desarrollo Calculando su derivada se tiene:

y '= -7— —

haciendo que 3 y' para

obtener los puntos críticos es decir: \ ¡ l - x 2 =0 de donde x = ±1, evaluando en la función y(l) = 0, y(-l) = 7t Luego cuando x = 1, hay un valor mínimo y = 0 y cuando x =-1, hay un valor máximo y = Jt 853

y = x 3 en el segmento [-1,3]

Desarrollo y' = 3 x 2

tiene:

==> x = 0, punto critico haciendo la evaluación en la función se

y(0) = 0, y(-l) = -1, y(3) = 27

Luego cuando x = -1, se tiene un valor mínimo en y = -1 y cuando x = 3, se tiene un valor máximo en y = 27 854

y = 2 x 2 + 3a'2 - 12* + 1

a)

En el segmento [-1,5]

b)

En el segmento [-10,12]

Desarrollo y'=6a:2 + 6 x -1 2 , y haciendo y' = 0 , se obtiene los puntos críticos, es decir: 6x2 +6x~12 = 0 => x 2 + x - 2 = 0 de donde x\ = -2 , x 2 = 1, para

a)

consideremos x 2 = 1, como puntos críticos.

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Luego evaluando se tiene: y(l) = -6, y(-l) = 14, y(5) = 266 Luego cuando x = 1 se tiene un valor mínimo en y = -6 y cuando x = 5 se tiene un valor máximo en y = 266 855

Demostrar que para los valores positivos de “x”, se cumple la desigual x+-> 2

x

Desarrollo Por hipótesis se tiene x > 0 => ~Jx y —=

están bien expresado, luego:

\lx ( \ ¡ x — p ) 2 >0 yjx

x - 2 + —> 0 X

856

=> x —2 \ f x ( - £ ) + — > 0 V-V X

=> x + — > 2 X

Determinar los'coeficientes “p” y “q” del trinomio cuadrado y = a 2 + px de forma que y = 3, será un mínimo de este trinomio cuando x = 1, d: explicación geométrica del resultado obtenido. Desarrollo Calculando su derivada se tiene: y ' - 2x + p , haciendo y' = 0 para obtenei , puntos críticos se tiene: 2x + p = 0 => x = - — por dato se tiene que y cuando x = 1, es decir: —— = 1 =* p = -2 Sí y = 3 cuando x = l => en y = x 2 + p x + q

=>3=l-2 + q=>q =

Luego los valores de “p” y “q” son: p = -2 y q = 4

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400

857

Demostrar la desigualdad: e* > 1+ x para x * 0. Desarrollo Consideremos la función f ( x ) = e x - (1 + x) de esta función se tiene: f(x) > f(0) para x * 0 Como f ( x ) = e x - (1 + x) => ft0) = 0 Como f(x) > f(0)

=> e* - (1 + x) > 0 => e x > l + x para x * 0

Demostrar las desigualdades: 858

x - — < senx < x para x > 0 6

859

cosx>l-—

860

X~2 x - — < ln(l + jc) < x para x > 0

861

Dividir un número positivo dado “a” en dos sumandos, detal forma que su

para xÔ

producto sea el mayor posible. Desarrollo Sean “x” e “y” los dos sumandos. Luego a =

x + y de dondey =a -

Además p(x) - xy = ax - x 2 producto de los sumandos Luego p'(x) = a ~ 2x de donde p'(x) = 0 „ . a Se tiene x = — como y = a - x 2

a

=> y - — ' 2 a

Luego cada uno de los sumando debe ser igual a: —

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x


862

Torcer un trozo de alambre de longitud í, de manera que forme un rectái cuya área sea la mayor posible. Desarrollo = 2x + 2y ; área = xy

como t = 2x + 2y

i

y= -

l-2x

A Xl Luego A( x)\ - x y - x {— -— ) = — - x2 1

=* A'(:r) = 0 para obtener los puntos críticos, es decir:

A'(x) = - - 2 x

/

/ 4

-2 x = 0

x=—

/ 4 / v —— 4

x=— A"(x) = - 2

=> zT(-) = -2 < 0 4

se obtiene el área mayor posible. 863

¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado igual a 2p, tiene m area' Desarrollo 2p = x + y + z,

donde z = \]x2 + y 2

x + y + yjx2 + y 2 = 2 p

=>

J x 2 + y 2 = 2 p - ( x + y)

x2 + y 2 =4p2 -4p(x+y) +x2 +2xy+y2

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0 -4 p 2-4px-4py +2


402

de donde y ■

2

A'(x) =

2px-2p~

2

x-2 p

x-2p

x-2 p

2 p x 2 —8p~ x ■+■4 p''

A'( jc) = 0

(.v-2 pi

para los puntos críticos, es decir: 2 p x 2 -8/>2x + 4p3 => x = 2 p ± y ¡ 2 p es decir x = 2 p + \¡2p , y ~ 2 p - s ¡ 2 p , son los triángulos isósceles 864

Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus lados con tela metálica y lindante por el cuarto con una larga pared de piedra, ¿qué forma será más conveniente dar a la superficie (para que su área sea mayor), si se dispone en total de 1m. lineales de tela metálica? Desarrollo Pared de piedra 2x + y = f => y = £ - 2 x A(x) = xy - x(l —2x) = xl - 2 x 2

A '(x)-I-4x

como y = l - 2 x

/4'(jc) = 0, es decir: x ~ —

=> y = — 2

Luego las dimensiones debe de ser una el doble de la otra.

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865

De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja recta abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cua en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en de cruz, así obtenido. Desarrollo Área base = ( a - 2a ) 2 Vol

(a -

= V (a ) =

V(.x) = ( a 2 -

2a)2a

4 a + 4 a 2 )a

V ( a ) = 4 a 3 - 4 a 2 + o 2a

V^'(a) = 1 2 a 2 - 8 A

+a

1 2 a 2 - 8 a + <32 = 0

2

=>

=>

a,

= — , a2 = —

1

V "(a) = 2 4 a - 8

=>

es decir:

V '(a) = 0 ,

6

2

V " ( —) = - 4 < 0

2

e n a, = — h a y u n m á x i m o

6 V "(—) = 4 2

> 0

6

enA = — hay un mínimo 2

Luego el lado del cuadrado que se corta debe ser igual a — 6

866

Un deposito abierto, de hoja delata con fondo cuadrado, debe

ten

para V litros. ¿Qué dimensión se debe tener dicho deposito

par

fabricación se necesita la menor cantidad de hoja de lata? Desarrollo El área lateral = a 2 + 4Ay

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..0


404 V = x y = Volumen

y = —V

-

( 2)

, 4V luego A(x)X= x - + —

X

X

A'(x) = 2 x - ——= 0 => x = l¡2V x

por lo tanto y =

V

y¡2V

y x = ------

1Í4V2

867

¿Cuál de los cilindros de volumen dados tienen menor superficie total? Desarrollo Vc = nr^h , derivando se tiene: Vc (r ) = x(2rh + r h' )

r

pero V/(r) = 0 por ser constante

=> . 2rh + r"h ' - 0 => h ’ = -

2/2

.. ( 1)

r

A, = 2jtrh + 2Jtr2 , derivando se tiene ... (2)

Af (r) = 2 túi + 4 tct + 2Ttrh'

reemplazando (1) en (2)

2 /í

At { r ) - 2nh + n r + 2n r ( ----- ) r 2h

igualando a cero se tiene: 2nh + 2nr { -----) + Anr - 0 r

h - 2h + 2r = 0 => h = 2r. Los cilindros cuya altura es igual al diámetro d(| la base.

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Aplicación de la Derivada 868

Inscribir en una esfera dado un cilindro de volumen máximo Desarrollo Sean r = radio de la base del cilindro 2h = altura del cilindro R = radio de la esfera dh__r

pero r 2 + h 2 = R 2

... (11

~h

y = 2jtr-h dV dr

... (2)

2 dh = 27t(r~---- h2r h ) , reemplazando (1) en (2) dr

dv , r „ , dV „ =.2 k ( f- 2rh) como — = 0 dr h dr

—

2k ( ----- + 2rh) = 0 h

=» r = 2h

Como r 2 + h 2 = R 2 => 2h 2 + h 2 = R 2

h = - ^ = => 2/i = ^

^

x/3

2/? 12 Luego el volumen será máximo cuando 2h = —= y el radio r = R.¡— V3 V3 Hfi't

Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie latei posible. Desarrollo

Altura del cilindro = 2h

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Eduardo Espin >za Ramos

406

r = radio del cilindro r~ + h 2 = R 2 =>

r = s] r 2 - ¡

A, = 4 nrh =4rchy¡R2 - h 2

Al {h) = 4n(y¡R2 - h 2 — T= = )

=>

A¡(h) = 47r(

y¡R2 - h 2 '

4

w

= w 2 - 2* 2) \[ r 2-/

"

'

'

R2 - h 2 - h 2 yjR 2 - h ¿

=> A¡ (h) = 0, para obtener los puntos críticos

Luego 47T(/? 2 — 2/i2) = 0 => h =

4Í

R => 2h = y¡2R

Luego la altura del cilindro en <¡2R para que tenga la mayor superficie lateral posible. 870

Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo. Desarrollo Sea h = altura del cono , r = radio del cono x2 = R2 - r2

además x = ( h —R) = h ~ - 2 l i R + R~ x 2 = R 2 - r 2 => R 2 - r 2 = h 2 - 2 h R + R 2

í> r —y]R2 - h 2 por otro lado se tiene: := yjh2 + 2 h r ~ h 2 =>

z = y¡2Rh

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AXc-Ttrz

=> A]c =TCy¡2hr- R2 .\¡2Rh

dA] c

'IRyjlRh-h1

y¡2Rh(2R-2h)

dh

2yj2Rh

2 y ¡2 Rh- h2

<^ lc =0

V

dAlc _ ¿h

4Rzh - 3 R h 2

I

I

(2Rh)2( 2 R h - h 2) 2

es decir Rh(4R - 3h) = 0 => h = —R 3

dr

Luego el volumen es máximo cuando la altura h = —R donde R es el radi< la esfera. 872

Circunscribir en tomo a un cilindro dado un cono recto que tenga el me volumen posible los planos y centros de sus bases circulares coinciden? Desarrollo

H-

Sean

H = altura del cono R = radio del cono h = altura del cilindro r = radio del cilindro

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408 H-h _H r

~ R

Vc = - R 2H c- 3 n c

Hr

R-

Vc = - H ( - ^ — )2 c 3 H -h

H 3r2

dVc _ n r 2 3h2(H - h ) 2 - H 32(H - h ) dH

3 (H -h)2 dVc

- ( 1)

H -h

(H -h)4

K r2 3h2( H - h ) 2 - H 32 ( H - h )

n

como — - = 0 => -----.-------------------- ;-----------= 0 dH

3

(H -hy

de donde H = 3h

... ( 2)

reemplazando (2) en (1) se tiene R -

3r

3-1

Se tendrá el menor volumen posible cuando el radio de la base del cono es ~-r donde “r” es el radio del cilindro dado. 873

i

¿Cuál de los conos circunscritos en tomo a una esfera tiene el menor volumen?

m

D esarrollo

Por semejanza de triángulo se tiene:

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Ir R 2 R

x2 =

h- - 2 h R

, í h ^ : \hr

hRh~2R

A ' \T - -1 n x 2 h , - -1 n h, (, --------kRl ademas V„ f 3 3 h-2R

V =

n h 2R 2

dVr

3(h-2R)

dh

n h2R2 - 4 h R 2 ^ . 1 ' 3 (h-2R f

dV„

Luego — — = 0 =£■ h 2R 2 - 4 h R 2 = 0 de donde h = 4R dh

Por lo tanto el cono circunscrito en una esfera de menor volumen es cuandt altura “h” es igual a 4 veces el radio de la esfera, es decir: h = 4R S74

Una faja de hoja de iata de anchura “a” debe ser encorvada longitudinalmc

en forma de canelón abierto (fig. N° 26) ¿Qué ángulo central debe tom< para que el canelón tenga la mayor capacidad posible? 0

A - área de la parte sombreada es = ? A = área del sector circular

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410 Área del A AoB

A = - R 2 - R ( ^ ^ - ) - — ((p-sen(p) 2

2

2

dA R1 „ s „ — = — (l-c o s (p ) = 0 d(p 2

=> c o s< p = l

Luego como 0 < ip < tc Por lo tanto para detener la mayor capacidad posible se tiene cp= 7t 875

De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos dé un | embudo de la mayor capacidad posible. D esarrollo

Se observa que la generatriz del cono es el radio del circulo R = g Además r = /f‘ - h~

Volumen del cono =Vh =

ir r h como r = R 3

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-h


=> h =

V' = - ( R 2 - 3 h 2) = 0 3

876

v3

Un recipiente abierto esta formado por un cilindro, terminado por su p

inferior en una semi-esfera; el espesor de sus paredes es constante ¿

dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidac geste en hacerlo la menor cantidad de material ? D esarrollo A, = 2nRh + 2nR2

(1 ) 27zRi

c = R~h +

h=

2nRi

h=-

3c-2nR-

... (2)

3nR

reemplazando (2) en (1) . 3c-2nRi 2 2c 2 n o2 Aj — 27t R( ---------— )-\t2kR —— h R 37tR2 R 3

/ 2c 4nR A¡ = — + — = 0 R¿

,

h=

3c-2nRs

— 3rtR2

=

6c + 4nRi = 0 => R*

3c-3 c „ — =0 3k R 2

3c

reemplazando en

, „ => h = 0

La altura de la parte cilindrica debe ser igual a cero, es decir, el recipiente d tener forma de semi-esfera.

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412


877

Determinar la altura mínima h = OB que puede tener la puerta de una torre ABCD, para que a través de ella se puede introducir en la torre una barra rígida MN, de longitud i, cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal AB. La anchura de la torre d < í

Haciendo rodar la barra por ambas paredes a una distancia “d”, desde la paredj vertical, la barra se levantara una longitud H del suelo. El problema nos pide este máximo levantamiento, para esto por semejanza de triángulo se tiene: /eos© H

=

, , , 7J I c o s O - d s de donde H = -------------- = (/c o s 6 - d ) t g Q IsenG ctgd

/c o s 0

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i

Aplicación de la Derivada dH de

4

= (/ cos0 - í / ) s e c _ 9 + tg9(—lsen9) = O

lcos6-d eos 2

0

lsen2G

3

¿

eos 9 = — , de donde se tiene:

eos 9

C O S0 = 3/

H = (J\[d - d )

Jl-ij)1 ‘

f,

simplificando se tiene que: 878

H =(sfc2 -yfd2)2

En un plano de coordenadas se da un punto, M 0 (jc0, y 0) , situado en el prim cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángu formando entre ella y los semi ejes positivos coordenados tenga la m enor ári posible. D esarrollo Sea L : y - y 0 - t g9( x —x0 ) donde mL = tg 0 Haciendo las intersecciones con los ejes coordenados. y=0

=>

x —xq —y 0ctg9

;

x=0

=*

Y

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y - y 0 ~ x 0tg9


414

_ (x0 - y0ctg6)(y0 - x0tt>9) _ 2 7

7

2

x0 y0 - x$tg9 - y¿ctgO

2

~

7

7

dA xn se c ' 6 yñ eos ec~6 . — = — 2 -------- + Z2 =0 d0 2 2

7

=>

7

vá .sen 9 ^ r -= -----— jkj eos ' 6

de donde tgO = ± — reemplazando en la ecuación de la recta L, se tiene: xo

L : y - y0 =

(x - x0) puesta que tgO = ± —

x0 L : x y0 + xy = 2 x 0y 0

879

Ad =>

L : — +— = 2ô 2>'0

1

j Inscribir en una elipse dado, un rectángulo de la mayor área posible que tenga los lados paralelos a los ejes de la propia elipse. Desarrollo

La ecuación de la elipse es:

x y~ — + ——= 1 de donde a2 b2

A = xy = — si a 2 - x 2 derivando tiene que: a

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b I 2 2 y = —\ a - x a


dA b I 2 2 — = —y a - x dx a

como y

bx

-a

- a

aSa¡~¿

*

b I 2 i" ya - x

X=^

72

Luego las dimensiones del rectángulo son: 2 x =

880

72

=

7 2

a , 2y = — = = \

72

Inscribir un rectángulo de la mayor área posible en el segmento de la pará y 2 = 2 px cortado por la recta x = 2 a. D esarrollo 1 y2 y3 A = (2a - x) y, como y = 2 / « s e t i e n e : A = ( 2 a - — ) y = 2 a v - ~

2p

— -2a- — = dy 2p

0

=>

y=

± 2

7— V 3

com o v 2 = 2 px

Luego los vértices deben estar en (2 -j,± 2

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2p

2n

416

881


Hallar el punto de la curva y = — 1+ x ángulo de mayor absoluto posible.

, en el que la tangente forme el eje OX el

Desarrollo La gráfica es simétrica por lo tanto el ángulo esta en el primer cuadrante entonces el ángulo varia entre 0o, 90°. Luego a mayor ángulo será la tangente del mínimo. dx y = — (tangente del ángulo) dx d 2v Luego — — = 0 dx mencionado.

nqs da las coordenadas del punto de tangencia del ángulo 1

2x .V =

d 2y r y

(1

+x )

=>

—

or

1

y = _ 2 t------- 7

d x2

a

8 :2

\ +x 2

=

2(1

+ x 2)

4x2

n

(l + x 2 ) 3

=> x 2 = -

1 3 para x - ± - j = , y = — , por lo tanto el punto es:

882

,

7 t] = 0

=> x = ±

£

1 3 P ( ± - ^ —)

Un corredor tiene que ir desde el punto A que se encuentra en una de las orii de un río, al punto B, que se halla en la otra, sabiendo del movimiento por la orilla es k veces mayor que la del movimiento por el agua, determinar bajo que ángulo deberá atravesar el río, para llegar al punto B en el menor tiempo! posible. La anchura del río es h; la distancia entre los puntos A y B (por la orilla), es d. Desarrollo

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Como e = v.t =>

t=— V.

donde V,„ = velocidad del movimiento

V = velocidad del agua

Reemplazando t = ——

dt — = 0

=>

d9

883

dt —

kv

— calculando valores críticos

h -2 a a = —(-l)s e n 0 .C O S &

dd eos 9

1

sen 6

ksetrO

h ,

1

\

r,

( --------- — ) = 0

kv

v

co s 0 = — => k

sen 8

0

= árceos — k

En el segmento recto AB = a, que une entre sí dos focos luminosos A i intensidad p) y B (de intensidad q). Hallar el punto de menos iluminado M iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al fe luminoso). D esarrollo

A I, = p

M

-

a-x

E, = iluminación total = / , + 12

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418 dE, _ 0 ¿A-

884

~ 2 p | «?(2) A3 (a - A - ) 3

Una lámpara esta colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r ¿A qué altura deberá esta la lampara sobre la mesa para que la iluminación de un objeto que se encuentre en el borde sea la mejor posible? (la iluminación es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos é inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de luz). D esarrollo

3

1

= ( r 2 + x 2) 2 - 3 x 2( r 2 + x 2) 2 - 0 = ( r 2 + x 2)[r2 + x 2 - 3x2] =

0

r

885

de un tronco redondo de diámetro d, hay que cortar una viga de sección rectangular. ¿Qué anchura “x” y altura “y” deberá tener esta sección para que la viga tenga la resistencia máxima posible? a)

b)

a la comprensión.

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a la flexión

L

Aplicación de la Derivada O bservación:

La resistencia de la viga a la comprensión es proporciona, área de su sección transversal, mientras que a la flexión es producto de la anchura de esta sección por el cuadrado de altura. D esarrollo

y = \ ¡d 2 - x 2 a)

R c = k A 2 = lcxy = k x \ l d 2 - x 2 i Rc = k ( d 2x 2 - x

ÍL =

0

4 )2

= J fc (I)(rfV -J c 4) 2( 2 d 2x - 4 x 2) =>

0

= -ifc (2¿2jc 4r1)

2

2 d 2x - A x 3 =

0

2

=>

2

r/2jc = 4a: 3

, ,

x = -^=, y = -^

por lo tanto

4 i' b)

R F - x y 2 del gráfico se tiene: y 2 = d 2 ~ x 2 R F = k x ( d 2 - jc2) =>

^ — - k { d 2 - 3x2) dx

=>

75

...( a )

/?F = k(zí2x - jc3 ) , derivando se tiene:

d 2 - 3 x 2 de donde x =

En (a ) / = d 2 - ( ^ ) 2 => y 2 = d 2 - ^ -

886

„1

( d 2x 2 - x 4) 2

73 =>

y =^ d

Una barra AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una carga de i kg. a la distancia de a cm. del punto A y se mantiene en equilibrio por medi de una fuerza vertical P, aplicada en su extremo libre B. Cada uno de longitu

de la barra pesa q kg. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que 1 fuerza P sea la mínima posible y hallar P mínimo.

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Eduardo Espinoza Ramo

420 D esarrollo

P ^

A

i

w 1

1 Q

Densidad lineal d = q — de donde d - -pe5° T cm long T MA=0

X

Cf

=> P( = Qa + w(—) , donde w = qx por lo tanto Px = Qa + — x

P = Q l +Í x

... (a)

.V= dr

x2

2

x2

9

2

... (P)

reemplazando (P) en (a) tenemos: Pmin -

Qa

2A

887

id 2

Los centros de tres esferas perfectamente elásticas A, B y C están situadas en las línea recta. La esfera A, de masa M, choca a una velocidad “v” con la esfera B, ¡a cual, recibiendo una determinada velocidad, choca a su vez con al esfera C, cuya masa es m. ¿Qué masa deberá tener la esfera B para que la velocidad de la esfera C sea la mayor? D esarrollo A con B:

Luego B con C

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Vn =

2Mv

—

... (a)

x +M 2xv

vc = --------------------- •••(P) m +x

rse (,a )sy ( p/Qx D ):

vc =

m +x x +M

AxM.

4 M..

(m + x) (M + a )

x 1 + (m + M )x + mM

JVC _ ^ dx

17 = -------2 -r 7( 2mv Vc

4 M v(x + x ( m + M ) + m M —x ( 2 x + m + M ) ) (.v2 +{m + M ) x + m M ) 2

jc2 + x(m + M ) + m M = 2 x 2 + (m + M ) x 888

=>

m M - x 2 => x = \¡Mm

Si tenemos N pilas eléctricas idénticas, con ellas podemos formar baterías procedimientos distintos uniendo entre sí grupos de “n ” pilas en serie N después los grupos así formados, (un número — ) en derivación. La intensic n de la corriente que proporciona una batería de este tipo se determina por NnE formula: I = --------- — , donde E es la f.e.m. de una pila, r su resisten . NR + n - r externa. Determinar para que valor de “n” es mayor la intensidad de corriente que proporciona la batería. Desarrollo d i _ q _ (NR + n 2r ) - n 2 n r dn

N E ( NR + n ' r )

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422 NE „ E M . 2NR 889

,

=> 2

, . * J " 2 \R r

Determinar que diámetro “y” deberá tener la abertura circular de una presa, para que le gesto de agua por segundo Q sea el mayor posible, si Q = c \ J h - y donde “h” es la profundidad del punto inferior de la abertura (tanto g, como el coeficiente empírico C, son constantes). D esarrollo

^ Q = C y j h - ^ y = C(hy2 - y 3 ) 2

— = 0 - C —( h \ 2 - y3) ^(2/iy - 3 y 2) => 2/iy = 3 y 2 => — = y dy 2 3

890

Si x l , x 2,—, x n , son resultados de mediciones igualmente preciso de la magnitud “x”, su valor más probable será aquel para el cual la suma de los n cuadrados de los errores 5 = V ( x - j c , ) 2 , tenga el valor mínimo. Demostrar i=i que el valor más probable de la magnitud “x” es la media aritmética de los resultados de las mediciones. D esarrollo n S = V ( x - x ¡ ) 2 , derivando se tiene: i=i jc n — = 0 = ¿ 2 ( x - x ,.) dx U

=>

n S = ¿ ( x - x ,) 2 í=i

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n 0

3.2.

-xn-^x¡

n

=>

xn = ^ x ¡

DIRECCIÓN DE INFLEXIÓN.Ir a .

LA

=>

x

CONCAVIDAD.- PUNTOS I __________________________

CO N CA V ID A D DE LA G R Á FIC A D E UNA FU N C IÓ N .Consideremos una función y = f(x) diferenciable en (a,b) diremos c y = f(x) es cóncava hacia arriba en (a,b). Si f " ( x ) > 0 , V x e (a,b) es cóncava hacia abajo en (a,b) sí f " ( x ) < 0 , V x s (a,b).

2do.

PU N T O DE IN FL E X IÓ N .E1 punto (x0, f ( x 0)) es punto de inflexión sí / ” (* 0) = 0

H A L L A R LO S IN T E R V A L O S DE CO N C A V ID A D Y LO S PU N TO S I IN FL E X IÓ N D E LAS G R Á FIC A S D E LAS FU N CIO N ES 891

y = x 3 - 6 x 2 +l2x + 4 D esarrollo y'---3x2 - I 2 x + 12

=>

y' = 0

para obtener los puntos críticos, es decir: 3 x 2 - I 2 x + 12 = 0 >•" = 6 x -

12

=>

de donde x =

y " ( 2 ) = 0 , no hay máximo ni mínimo, hallaremos li

puntos de inflexión. _y"=0 es decir 6x - 12 = 0 => x = 2

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424

Eduardo Espinoza Ramos Intervalos X

x>

12

2

Luego en:

/" (-v )

Conclusión

+

-

0

0

+

+

Cóncava hacia abajo Puntos de inflexión Cóncava hacia arriba

/ ’U )

2

II to

-« < x <

f(x)

<-<»,2> es cóncava hacia abajo

-v>

< 2 ,
892

y=

( jc +

<-°°,2 > y < 2 ,°°> es creciente

1) 4 Desarrollo

y' = 4(jc + 1) 3

=>

y' = 0

para los puntos críticos es decir: 4(;c + 1) 3 = 0 y' = 4(jc + l ) 3

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=> x = -l

Aplicación de la Derivada -o o < x < -l, y' < - l< x < ° c , y’ >

0

0

existe un punto mínimo en x = punto

-1

y su valor es: y = 0 , es decir que (-!,(

mínimo y los intervalos <-<*>,-1 > es decreciente y en <-l,eo>

creciente. Sea y " = 12(x + 1 )“

y"> 0, V x e R

893

=>

(-r + 1) = 0

-1

la gráfica es cóncava hacia arriba en:

y = -

x+3 D esarrollo

y =-

x=

=> x = -3 (x + 3)-

punto critico no existe máximos ni mínimos

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426


-3

< x < -3, y'< O

-3

< x < «o, y '<

^

(x + 3 ?

-oo
=>

=¡>

0

y"< 0

en -3 < x < oo

v" > 0

y = ------ es decreciente en <-°°,-3> x+3

y = ------- es decreciente en <- 3 ,oo> ' x+3

=> es cóncava hacia abajo en

=>

y=

< - o o ,- 3 >

es cóncava hacia arriba sobre <-3,o°> x +3

Luego en:

<-oo,-3 > cóncava hacia abajo <- 3 ,oo> cóncava hacia arriba

x = -3 punto de discontinuidad no hay punto de inflexión.

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894

y=-

r +12 D esarrollo x 2( x 2

,

+36)

y '= 0

(x +12) para los puntos críticos es decir: x " ( x 2 + 36) = 0 de donde x = 0

< x < 0 , y ’> 0 0

v

< x < °°, y’> „

=> es creciente en: => es creciente en: < 0 ,<»>

0

2 4 jr ( 3 6 - jr ) ----- — ( jc + 1 2)3

, . ■ y ~ o , para los puntos de inflexión es decir:

24+(36 - x 2 ) = 0 de dondg¿ .v, = - 6 , x 2 = 0 , .v3 =

para

9 a, = - 6 , y t = - x2 = 0, y 2 = 0

=> P2 (0,0)

9 *3 -

6

, >’3 =

2

9

=>

^

9 ^3 ^’2 ^

puntos de inflexión

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6


428 Si -oo < x < -6 , y " > 0 -6 < x < 0 , y ' ' < 0

895

0

< x < 6 , y"

6

< x <«», y " <

es cóncava hacia arriba sobre <-°°,-6 >

=> es cóncava hacia abajo sobre <- 6 ,0 > => es cóncava hacia arriba sobre < 0 ,6 >

> 0

0

=> es cóncava hacia abajo

y = x/4x 3 -I2 jc Desarrollo

(4x 3 - 1 2x ) 3 para los puntos críticos, es decir:

4 (x 2 - 1 ) = 0 de donde

= 1, x 1 - - \

3

y también sí 3 y' es decir (4x 3 - 1 2 x ) 2 = 0 _ 4(x + 1)(jc —1)

y

2

(4.í 3 -12x)3

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=> x 3 = 0 , ,r4 = —y¡3 , x5 =y¡3


no existe máximo ni mínimo -y¡3 < x < -

, y ’> 0

1

existe un máximo en x = -l -1

< x < 0 , y' <

0

-1

< x < 0 , y' <

0

0

< x < 1 , y'<

y = 2 =>

3

0

y su val

/?i (—1,2)

no existe máximo ni mínimo existe un mínimo ei x = 1 y su valor es y = - 2 =* p 2 ( l ,- 2 )

i

l < x o V

K x< j3 ,

y'>0

y¡3 < x < °° , y ’> 0 „

y =-

-3 2 (x 2 +1)

3

3 máximo ni mínimo

de aquí los puntos de inflexión son:

(4.r3 - 1 2 x ) 3 x¡ = 0 , x 2 = -y¡3 , x 2 - y ¡ 3

-3 -~ < x< -j3 , -\Í 3 < x < 0 ,

y"> 0 y" < 0

de donde (0,0), (—J 3 , 0 ) , (a/3,0)

0

3

=> es cóncava hacia arriba sobre < -°°, - \¡ 3 > => es cóncava hacia abajo sobre <

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0>


430

y">0

0 < ,< V 3 ,

V 3 < ;c < o ° , v " <

896

=> es cóncava hacia abajo sobre < 0 ,

>

=> es cóncava hacia abajo sobre

0

y = eos x D esarrollo y' = senx

y' = 0

=>

para los puntos críticos es decir:

sen x = 0 => x = 0, ± 7t, ±2tc, ±3ji, ... y " = - c o s x => y "

= 0

para los puntos de inflexión:

x = (2k + l ) - ,

k = 0 , ± 1 , ± 2 ,...

de donde y =

=>

2

0

n (( 2 k + 1 ) —, 0 ) punto de inflexión si

(4Jt + l ) — < * < (4 fc + 3)— , 2 2

y"> 0

=>

.

< (4k + 1 )—, (4A: + 3) — > 2 2

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es cóncava hacia arriba sobn


4

(4/c + 3 ) — < x < (4k + 5 )— ,

y"< 0

=>

es cóncava hacia abajo sol

< (4 ¿ + 3 )-,(4 fc + 5 ) - > ^ 2

897

y = x - sen x D esarrollo y' = 1 - cos x

=>

y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:

1 - cos x = 0 de donde cos x y"=senx

=>

Además para

y"(2kn) = 0

2

y ' ' —sen x

decir sen x =

x = 0 , 2tc, 4 ít, ...

no existe máximos ni

(2k - 2)jc < x < 2krc, y' > 0

intervalos <( 2 k Como

=>

1

0

)rc, 2 kn> para k =>

y" = 0

= 0,

± 1 , ±2 ,

para

los

mínimos.

es creciente en 1

=> ...

puntos de

inflexión

=> x = ±Jt, ± 2 i t , ...

luego para x = 2 krc, y = 2 k;t => p( 2 kn, 2 k 7t) punto de inflexión

-2 tc

-jc

0

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k

2n

432


2

k < x < (2 k +

1

) n,

y " > O =>

es

cóncava

hacia

arriba

en los

intervalos < 2 kjt, ( 2 k + l)rc> ( 2 k + l) n < x< ( 2 k +

2

)n, y " < 0

=>

es cóncava hacia abajo en los

intervalos. <( 2 k + l) 7t, ( 2 k + 2 )tc>

y = x 2 lnx

898

D esarrollo y' - 2 x ln x + x

2

x ln x + x =

0

=>

y' = 0 para los puntos críticos es decir:

=> x ( 2 ln x + 1 ) =

0

==> x, =

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0

no esta definido en:


y "(- 7 =) = 2 > O => hay un mínimo en x = Ve ve 2 de donde y - — e

=>

1

2 — ) Ve e

y "(— 1=) 3 máximo ni mínimo Ve como y " = 2 ln x + 3 => y " = 0 para los puntos de inflexión tenemos 3

2 1 n x = -3 =>

x 2 = e ~ 3 => x - e 2

y =e - \ - l ) « ¿>2 899

y = arctg x - x D esarrollo

y = arctg x - x =>

x2 y =— 1 + x2

y " - ------- —Y Y = 0 =* x = 0 (1 + * 2)2

0 x < 0, y " > 0

es cóncava hacia arriba

x > 0, y " < 0

es cóncava hacia abajo

x = 0, y = 0 luego p(0,0) punto de inflexión

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434

900

y = (l + x 2) e x D esarrollo y ' = 2 x e x -t- (jc2 + l)e* y ’= e x(:r + 1)2 ,

haciendo

y '= 0 ,

para los puntos críticos, es decir

e x ( x + l ) 2 = 0 de donde: x = -l

1 Si

x < -1, y '> 0

la función no tiene máximo ni mínimos y además es

creciente en los intervalos: < - « v l> y <-l,°°> x > -l,

y ’> 0

como

y' = e x (x + \ ) 2

=>

y " = e x ( x + l)(.r + 3)

haciendo v” = 0 ,

obtiene los puntos de inflexión, es decir e x(x + l)(x + 3) = 0 jc ,

=

de donde:

—1, x 2 = - 3 .

2 10 Luego p . ( - l , —) , P t ( - 3,— ) punto de inflexión e ~ e5

-3 Si x < -3 , y " > 0

-1

=> es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-°°,-3>

Si -3 < x < -1, y " < 0 Si x > - 1 , y " > 0

=> es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-3,-1 > es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-l,°°>

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3.3.

ASÍNTOTAS.a)

D E FIN IC IO N .Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una curva y = f(x) de forma que por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infin mientras que la distancia entre este punto y una recta determinada tiene cero, esta recta recibe el nombre de “asíntota” de la curva.

b)

A SÍN TO TA V E R T IC A L E S .-

(paralelos al eje OY).

Si existe un número a tal, que lim f ( x ) = 00, la recta x = a es asínt vertical. c)

A SÍN TO TA O B LIC U A S.-

Si existen los limites

(respecto a los ejes coordenados)

f (-'O lim — =

x —>+00

x

y

lim [ / ( x ) '- ¿ 1jc] = ¿j, la reí

x —>+°°

y - k ix + bi será asíntota (oblicua a la derecha o bien, sí k t = horizontal derecha, paralela al eje OX).

Si existen los limites

f (x) lim — — - k 2 y

lim [ / (x) - k2x ] = b2 la rec

y = k 2x + b2 es asíntota (oblicua a la izquierda o bien, cuando k 2 = horizontal izquierdo paralela al eje OX).

La gráfica de la función y = f(x) (que se supone uniforme) no puede ten más de una asíntota derecha (oblicua u horizontal) ni más de una asínto izquierda (oblicua u horizontal).

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436 H A L L A R LAS A SIN TO TA S D E LA CURVA:

901

1

y=

Cx - 2 ) 2 D esarrollo Para obtener las asíntotas verticales haremos el denominados igual a cero, es decir:

(x - 2 )2 = 0 => x = 2 es una asíntota vertical.

Ahora buscaremos las asíntotas oblicuas cuando x —>+°° y 1 fc, = lim — = lim ---------- T = 0 *->+<» x x->+™x( x —2)~

bx =

lim [ y -/:,jt] = lim -----— 7 = 0 *-*+“> x->+“ (x —2)

por lo tanto la asíntota horizontal es y = 0

902

y = -T - i -----x - 4x + 3 D esarrollo Para obtener las asíntotas verticales se tiene: x 2 —4 x + 3 = 0

de donde

x¡ =1

y

x 2 =3

asíntotas verticales, ahora

buscaremos las asíntotas oblicuas cuando- x -» y

1

kl = lim — = lim — ------------= 0 *->+■» x *-»+- x 2 - 4 x + 3

►

x 6, = lim ( y - ¿ j x ) = lim —— ----- 7 = 0 *-»+*" 1 x-»+- x 2 - 4 x + 3 como y = k lx + b] entonces y = 0 es una asíntota horizontal.

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D esarrollo Para

obtener

las

x¡ = - 2 , x 2 - 2

verticales

tiene:

jc 2

- 4=0

de

x — =0

x —>+°° x*" — 4

¿>! = lim [y - ktx] = lim X —> + o o

=1 a

como y = k lx + bl

904

se

asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas.

y = lim — = lim x —»+°o x

asíntotas

-4

=> y = 1 asíntota horizontal.

v=-r— a-2 + 9 D esarrollo Para obtener las asíntotas verticales se tiene: que

x2 +9 = 0

a 2 +9 = 0

pero

por lo tanto no hay asíntota verticales, para obten*

asíntotas oblicuas se tiene: k, = lim — -------= lim — ■ — =1 (x + 9)x x +9 x^ b, = lim (— x +9

x) = lim

como y = k lx + bl 905

3 xe l

v2 —x 2 —9 x --------x +9

=> y = x asíntota oblicua a la derecha.

y = yjx2 - 1 Desarrollo

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438

No tiene asíntotas verticales. Veremos para las asíntotas oblicuas: / = lim r y = rlim -----------= V *2-1 kx — 1, *->+«» X .r-»+oo x

bx = lim ( y - k xx) = lim (slx2 - 1 - jc) = 0 X—

* _ » +c o

Como y = k xx + bx => y = x es asíntota oblicua a la derecha

i

^2

iy — lim x

iyJx2 - l — lim x-+-°o x

,

—1

b2 = lim (y - &2x) = lim ( v ? —1 + * ) = 0 X — >—oo

como y = k 2x + b~,

4 :- 4 - 0 0

=^> y = -x es asíntota oblicua a las derecha.

D esarrollo Para las asíntotas verticales se tiene que: x 2 + 3 = 0 pero 3 are R tal que jc2 -t-3 = O por tanto no hay asíntotas verticales, para las asíntotas oblicuas se tiene: y 1 kx = lim — = lim - j =0 *->+~y¡x 2 +3 X

bx = lim ( y - k xx ) ~ lim , , x- >+°° \lx 2 + 3 como y = k¡x + bl

=>

y=l

asíntota oblicua a la derecha.

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y = lim —j =i = = O k2 - lim — x -* -~ X ’í x ¿ +3 b2 - lim l y - k 2x) = lim

x ( - 7

2+2

C o m o y - k 2x + b2 => y = - l

907

y=

—0 ) = —1

asíntota oblicua izquierda.

x 2 +\ D esarrollo

Para las asíntotas verticales se tiene x 2 - 1 = 0 de donde x = -1 son asíntotas verticales ahora'calcularemos las asíntotas oblicuas.

k\ = lim - = »+ o o x

lim x —

* + -■■ = I 2 1,

Xy X

1

—

X2 +1

= lim ( y - k{x) - lim ( .■ * -> + « •

Como y ^ j j c + í?,

, y .. k2 = lim — = hm ■x

J T -> + » 9

- / ^2 _

-x ) =

0

J

=> y = x asíntota oblicuas a la derecha.

* 2

+l

, = -1

x2+ 1 b2 = lim (y —k2x ) — lim ( ¿.......... + x) = yjx 2 - \

0

como y = k2x + b2 => y = -x asíntota oblicua a la izquierda.

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440

908

y =x - 2 + - ^ = \lx z + 9 D esarrollo Para las asíntotas verticales se tiene x 2 + 9 = 0 pero como i r e f i x 2 + 9 = 0 , por lo tanto no tiene asíntotas verticales. Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas: k¡ = lim — = lim (-Í—- + —= L = ) = 2 x x—>+°° x J x - +g 4 x -2 bl = lim ( y - k {x) = lim ( a : - 2 + , ■■~-- 2 x ) = - 2 *-*+~ \¡x2 + 9 como y =

k ]x + bl => y = 2 x - 2 asíntota oblicua a la derecha.

k2 = .lim — = lim (———+ X

b2 =

lim *-*—

*-»—

JC

. X

^ 2 +9

) = 1 -1 = 0

x —'Z x (y -k->x)= lim ( ¥—= = ) = - 2 . '-»-*• x Va:2 + 9

como y = k 2x + b2 => y = -2 asíntota horizontal a la izquierda.

909

y=

+2 D esarrollo

Como V x e R, e - *2 + 2 > 0 , entonces no tiene asíntotas verticales. Para las asíntotas oblicuas se tiene: v e~* + 2 = lim — = lim (---------- ) = 0 x— >+°° X

x— >+°°

x

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tal que


4

b¡ = lim ( y -& ,* ) = lim (e x +2) = 2 X —> + °°

x —» + ° o

Como y = k lx + b[ => y = 2 asíntota horizontal a la derecha.

i

i-

y

i*

€

kn = lim — = lim (-----------) = 0 x *-»-»> x b2 = lim (y - k 2x) - lim (e~x + 2 ) - 2 X —> - o o

como

.

X —> -«>

y = k 2x + b2

=>

y = 2

asíntota horizontal a la izquierda, por 1

tanto en y = 2 se tiene una asíntota horizontal.

910

v=- J \-ex D esarrollo Para las asíntotas verticales se tiene: \ ~ e x = 0 =>

ex =i

=> x = 0 asíntota vertical, para las asíntotas oblicuas.

k, = lim — = lim (----)=0 *-»+•» x ¿ (l-e * )

¿>! = lim ( y - /:,* ) = lim (--------- ) = 0 A '~ > + ° o

como y = k ix + bl

JC— > + o o

\ — £ X

=> y = 0 asíntota horizontal a la derecha.

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442 como y = k 2x + b2

==>

y=0

asíntota horizontal a la izquierda, por lo

tanto en y = 0 se tiene una asíntota horizontal.

911 Desarrollo

Para obtener las asíntotas verticales — = x vertical. Para obtener las asíntotas oblicuas.

=> x = 0, que es una asíntota

I k ] = lim — = lim (— ) = 0 *—»+«> x

x —>+«»

X

\_ />, = lim ( y - k {x) = lim (ex ) = 1

como y = k xx + bx

y = x asíntota oblicua a la derecha. i

k2 = lim — = lim (— ) = 0 x x l b2 - lim ( y - k 2x) = lim ( ex ) = 1 X —>—o o

X—

como y = k 2x + b2 => y = 1 asíntota horizontal a la izquierda.

Desarrollo Para obtener la asíntota vertical se tiene x = 0 y para calcular las asíntota^ oblicuas se tiene:

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Aplicación de la Derivada , .. y .. senx k\ - lim — = lim (— —) = O r —> —* + ocoo XV X

yJC—>-K»o —^4-00

x

senx b} = lim ( y - k lx ) = lim (■ )=1

como y —k y X

=> y = 1 asíntota horizontal a la derecha

+ by

senx b2 = lim ( y - k 2x ) ~ lim (• )=1

como

y = k 2x + b2

=>

y=l

asíntota horizontal a la izquierda, pt

tanto en y = 1 se tiene una asíntota horizontal. 913

y = ln(l + x) D esarrollo Para las asíntotas verticales se tiene 1 + x = O de donde x = -1 es una asín vertical, para las asíntotas oblicuas.

■*->+“ x

*->+<=»

x

by = lim ( y - k y x ) = lint (ln(l +

jc))

=

por lo tanto no tiene asíntota oblicua ni horizontales. 914

x = t, y = t + 2 arctg t D esarrollo Como x = t => y = x + arctg x Como esta definida para todos los reales no tiene asíntotas verticales.

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444

Eduardo Espinoza Ramos Ahora calcularemos las asíntotas oblicuas. i¡ra X —» + o o

it a (i í Í 2 t E ! E ) = , X

X

-V— >4-00

b{ = lim ( y - k ¡ x ) = \\m { x - l a r c t g x - x ) - n X—>+°°

X—>+oo

•como y = k ]x + b¡

=> y = x + 7 t , asíntota oblicua a la derecha.

. y .x + 2 arctgx k-, = lim — = hm (------------— ) = 1 *->—» x *-*— x í >2 = lim (y - k 2x) = lim ( x + larctgx —x ) = - n como y - k 2x + b2 => y = x asíntota oblicua a la izquierda.

915

a Hallar la asíntota de la espiral hiperbólica r = —

y = — sen(p = P((p) '
cuando x —> <*>, (p —» 0

o

a(cp)

eos cp

b - lim (/J(0 (p como y = kx + b entonces y = a que es una asíntota horizontal.

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3.4.

CONSTRUCCION DE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES POR SUS PUNTOS CARACTERÍSTICOS. Construir las gráficas determinando el campo de existencia de cada funció puntos de discontinuidad, los puntos extremos, los intervalos de crecimie decrecimiento, los puntos de inflexión de su gráfica la dirección < concavidad y las asíntotas de la gráfica.

916

y =x3 -3 x 2 D esarrollo Como y = x 3 - 3 x 2 es un polinomio, su campo de existencia es todo números reales R.

y - x 2-3 x2

=>

y'~ 3x2 - 6 x = 0

para los números críticos

números críticos.

y' = 3 x ( x - 2 ) para x < 0, y ’> 0

Jí

0
4*

3 máximo en x = 0, (0,0) v’< 0

3 mínimo en x = 2, (2,-4) 20 es creciente en <-°°,0> y <2,°°> y decreciente en < 0 ,^ >

y' = 3x2 - 6 x

=>

y " = 6jc - 6 = 0

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=> {(


446 para los puntos de inflexión =>

x = 1,

6x - 6 = 0

(1,-2) punto de

inflexión.

/ ’= 6( jc- 1 ) Para x < l , y " < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,l> Para x > l , y ” > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1,<*» No tiene asíntotas.

917

6x2- x4 y=D esarrollo ,

.

.

,

El campo de existencia de y = s 2 4 OX — X

y=

9

y =

6x2 - x4

12x-4x

'

=0

.

es el conjunto de los números reales.

para los números críticos de donde

9

{0,-V 3,V 3} son los críticos.

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4‘

y ' = - - x ( x - 3 ) ( x + 3)

para x < - \ ¡ 3 , y ’> 0 + => 3 máximo en x = y/3, (-3,1) —\¡3 < x < O , y'< 0~ O < x < \¡3 , y ’> 0 +

)

=> 3 mínimo en x = 0, (0,0)

=> 3 máximo en x = J l ,

( J 3 , 1)

■v/3 < x < o° , y'< Oes creciente en los intervalos

<0,3>

es creciente en los intervalos < —v/3,0 > , <3,°°> ,

I2x-4x

y - — ^— 1 2 para obtener los números críticos, es decir —( 4 - 4 x ) = 0 de donde ' * 3 ■ '" 'V

i t 5 .. 5. . . 5,

x = i, V « = - , n , - ) , ( - i , - ) m 9 * 9 9

x = -1 , y = —, puntos de inflexión *

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448


para x < - l , y " < 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <

-v 3 >

para -l< x < 1, y " > 0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < —\¡3, y¡3 > para x > 1, y " < 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < \Í3 , °° > no tiene asíntotas.

918

y = ( x —1)2 ( jc + 2) D esarrollo y = x 3 - 3x + 2

su campo de existencia es y ' - 3 x 2 - 3 = 0 para los númerosj

críticos de donde {-1,1} son los números críticos.

-1

1

y ’= 3 (x + l ) U - l ) para x < 1, y ’> 0 +

-v.

-1 < x < 1. y' < 0 ~

vf

x > 1, y '> 0 +

V

1 ]

=> máximo en x = -1, (-1,4) => mínimo en x = 1, (1,0)

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Aplicación de la Derivada Los

intervalos

donde

es

creciente

son

<-°°,-1>, < 1 ,°°>

y dond

decreciente es <-1,1 > Como

y'=3x2 - 3

=>

y " = 6x = 0

para los puntos de inflexión,

decir x = 0, (0,2) es un punto de inflexión.

0 y ' ' = 6x para x < 0, y " < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0> para x > 0, y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°> no tiene asíntota

919

( x - 2 ) 2( x + 4)

" =

¡------D esarrollo

Su campo de existencia es todo los números reales

y=

x3 - 1 2 x + 16

-------

4

=>

y

,

3x2 - 1 2

= — -A— = o

4

para los números críticos, es decir {-2,2} números críticos.

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450

y' = - ( x + 2)(x -2) 4 para x < -2, y' > O4 3 máximo en x = -2, (-2,8) -2 < x < 2, y '<0~ 3 mínimo, en x = 2, (2,0) 2 < x < oo, / > 0 + la gráfica es creciente en los intervalos

< -o o ,-2 > , < 2 ,oo>

y es decreciente en el

intervalo <-2,2> , 3x - 1 2 como y =

y" = — = 0 2

para los puntos de inflexión, es decir

x = 0

de donde

(0,4)

punto de

inflexión.

y" = — = 0 2 para x < 0 , y " < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-o°,0> para x >

0,

y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre e intervalo

no tiene asíntotas.

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< 0 ,oo>


920

U 2-4 )3 y=-

125 D esarrollo

Su campo de existencia es todo los números reales (JC2 —4)3 125

124

para los números críticos de donde: {—J s , 0, \/5 } son números críticos

, 6 x( jc2 - 5 ) 2 y =125 para ■ x
-v => 3 máximo ni mínimos en x = —JE

-y¡5 " v < x < 0 , y'<0~

d => 3 mínimo en x = 0, (0,-1)

0 < x < 5, y ’> 0 +

* => 3 máximo ni mínimos en x = \Í5

< x < oo, y ’> 0 +

*

La gráfica es creciente en < 0,>/5 > , < -j5,°o > y decreciente en los interval < -° ° ,- V 5 > , < - V 5 ,0 >

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452


, 6x(x2 - 5 ) 2 Como y = --------------125

y" = - ^ ( jc 2 - 5 ) ( * 2 - l ) = 0

Para los puntos de inflexión se tiene: {—>/5, —1,1,-v/5 > de donde (—\/5 ,0 ), ( _ 1

64 64 ------- \-( i -------- ) 125 125

r (V 5.0) puntos de inflexión.

y" = — ( x + y [ 5 ) ( x - \ [ 5 ) ( x + \ ) ( x - \ )

para x < -\Í 5 , y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < ~«=, —V5 > para

-\¡5 < x < - l ,

y ” < 0,

la gráfica es cóncava hacia abajo sobre:

< -7 5 ,- 1 > para -1 < x < 1, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobe < -1,1 > para \ < x < \ ¡ 5 , y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < 1, yfs > para

< °° , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <

no tiene asíntotas.

-1

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>


921

x-2x+ 2

y =-

x-l D esarrollo

Su campo de existencia es R - {1} _a'2 - 2 x + 2

,

x(x-2)

y =-

x-l

=0

para los puntos críticos es decir {

U -l)2

números críticos.

x(x-2)

y =-

(x-l)2

para x < 0, y ’> 0 + 3 máximo en x = 0, (0,-2) 0 < x < 1, y'< 0~ => 1 < x < 2, y ’< 0 _

^

2 < x < oo, y' > 0 +

«

3 m áximo ni mínimo en x = 1 3 mínimo en x = 1, (2,2)

la gráfica es creciente en los intervalos <-o°,0>, <2,oo> y decreciente en intervalos <0,1 > y < 1,2>. , x(x-2) Como v = (jc -ir

y =-

■= 0 , 3 x e R

(x-i y

Por lo tanto no hay püfito de inflexión, y " - (x-ly para x < l , y ” < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-oo,l>

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454

para x > 1, y " > O , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°> Calculando las asíntotas para las verticales se tiene: x-l=0

=> x = 1 asíntota vertical.

Para las oblicuas se tiene: y x2-2 x + 2 kx = lim — = l i m ---------------= 1 *-»+ “ > X

* -> + »

x ( x - 1)

bx = lim (_y-£,jc) = lim ( JT-»+~

—2 x + 2 x —1

x) = - l

com o y = k xx + bx => y = x - l es una asíntota oblicuá.

«2

y=

^

X

D esarrollo Su campo de existencia es todo los reales R - {0} Jt4 - 3 , 3(x4 +1) n 4 , n y = -------- => y ' = — — = 0 para los números críticos, como x + 1 = 0 X X 3 x e R ; no tiene punto críticos, por lo tanto no tiene máximos ni mínimos.

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, _ 3(x +1)

*

*2

para x < 0 , y ' > 0 , x > 0 , y ' < 0 Luego la gráfica es creciente en los intervalos: <-°°,0>, <0,<*» como: , 3(x4 +1) y = — x

. =>

y

„

6(x4 -1 ) n — =0 x

para obtener los puntos de inflexión de donde {-1,1} Luego (-1,2), (1,-2) puntos de inflexión

„ _ 6(x2 +l ) ( x + l ) ( x - l )

^

x3

para x < - l , y ' ' < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,-l> para - l < x < 0 , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -l,0> para 0 < x < l , y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <0,1 > $ .. -i para 1 < x <

y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba <1,°°>

Calculando las asíntotas se tiene: Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 para las asíntotas oblicuas.

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456


y x 4 +3 x, = lim — = lim — -— x —>+« X

x

no tiene asíntotas

923

y=

x4 + 3

D esarrollo Su campo de existencia es todo los reales R - {0}

y=-

x 4 +3

,

3(jc4 -1 )

y =-

= 0 para los números críticos, es decir:

numero críticos.

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{-1,1}


para x < -1, y ' > 0 + -1 < x < 0, y ' c O 0 < x < 1, y ’< 0

) )

=> 3 máximo en x = - l, (-1,-4) => 3 máximo ni mínimo en x = 0 => 3 mínimo en x = l , (1,4)

1< x < oo, y ' > 0 +

La gráfica es creciente en los intervalos <-<»,-1>, y decreciente er los intervalos <-l,Q>, <0,1 >

Para los puntos de inflexión, pero como 3 x e R tal que y " = 0 , 1 gráfica tiene puntos de inflexión.

0 „ 6(x4 +1) >’ = ------i— parr x < 0, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°«,0> para x > 0, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,oo> Calculando las asíntotas se tiene: Para las asíntotas verticales, se tiene tenemos:

x = 0

y y y X4 + 3 ky — lim — = lim — -— = ©o x —> + o o X

X—>+oo

X

no tiene asíntotas oblicuas.

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y para las asíntotas oblici

458

924


2 2 y =x + x D esarrollo Su campo de existencia es todo R - {0} 2(x -1 ) =0 y =■

2 2 y = x +— x

,

para los números, es decir x = 1

2(x + jc + 1)(x - 1) =—

-i..............

para x < 0, y'< 0 + 3 máximo ni mínimo en x = 0 0 < x < 1, y ' < 0 ” 3 mínimo en x = 1, (1,3) 1 < x < oo, y'> 0 + La gráfica es creciente en el intervalo y decreciente en los intervalos

< - o o ,0 > ,< 0 ,1 >

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4

, 2(x3- l )

„ 2(*3 + 2 ) y = — 5— = 0 x

Como y ' =

x

Para los pantos de inflexión, es decir: x = - \Í 2 , (-3 /2 ,0 ) punto de inflexic

-4 / 2

„

2(x2 - y¡2x + 4)(x +'3/2)

para x < -3 /2 , y ” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < —<», -3 /2 > para -3/2 < x < 0 , v "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < —3/2,0 para x > 0, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°> Ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene x = 0 y

2

para las asíntotas oblicuas: kl = lim — = lim (x + — ) = °° x no tiene asíntota oblicuas.

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460

925

i

y=

x2 + 3

D esarrollo El campo de existencia es todo los números reales

a

1

-2x

2 + 3

0 r + 3y

■= 0

para obtener los números críticos, es decir x = 0

-2 a

y =• (a¿ +3

Y

para x < 0, y' > 0 + =» 3 máximo en x = 0, (0,—) 3

x > 0, y < o como y -

-2 a

=>

(a2 + 3 ) 2

„ 6( a - 1 ) A v =— - =0 ( a2 + 3 )3

para obtener los puntos de inflexión es decir: {-1,1}. Luego

( -1 ,—) , (1,—) 4

son los puntos de inflexión.

6( a +1)( a - 1 ) ( a 2 + 3)3

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4


4

para x < - l , y " > O , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-<*>,-1> para

- 1 < x < 1 ,

>’" <

0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-1, 1>

para x > 1, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1,°°> ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales

x 2 + 3 = 0,

existe. y

1

Para las asíntotas oblicuas se tiene: kx = lim — = lim — ■= 0 x (x + 3)

= lim ( y - / : 1x ) = lim x2 +3

=0

como y = k ix + b] => y = 0 asíntota horizontal.

Y Jk 1

3

-1

0

1

> X

x2 - 4 D esarrollo El campo de existencia de la gráfica es: R - {-2,2}

8

-1 6 x

= 0 , para los números críticos es decir: x =

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462


-2

2

O

—16*

para x <- 2, y ’> 0 + =>

3 máximo ni mínimo en x = -2

-2 < x < 0, y ’> 0 + => 3 máximo en x = 0, (0,-2) 0 < x < 2, y ' < 0 => 2 < x < oo, y'< 0

3 máximo ni mínimo en x = 2

*

La gráfica es creciente en los intervalos <-°°,-2> <-2,0> y decreciente en los intervalos <0,2> <2,°°>

Para los puntos de inflexión => 3 x 2 + 4 = 0, S x e R punto de inflexión

-2

2

x < -2, y " > 0 , cóncava hacia arriba <-«>,-2> - 2 < x < 2 , y " < 0 , cóncava hacia abajo <-2,2>

x > 2, y ’'> 0 , cóncava hacia arriba <2,°°>

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por lo tanto no hay

Aplicación de la Derivada ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene: x = ± : Para las asíntotas oblicuas se tiene:

y 8 k = lim — = lim =0 .v-í-h» x x ( x —4)

b¡ = lim ( y - k ¡ x ) = lim —-1— = 0 X —A + o o

X —>+oo x "

- f- 3

com o y .= kx + b => y - 0, es una asíntota horizontal.

927

4x D esarrollo Su campo de existencia es todos los números reales 4.v

,

16- 4 x 2

y = ----- 7 => y = ------ r r 4 +x

(4 + x" )

co m o y ' = 0 para los números críticos 1 6 - 4 x 2 = 0 de donde x = ±2 número críticos

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464

para x < -2, yy'
A 3 mínimo en x = 2, (-2,-1)

-2< < xa ^< 2, a., y y*’> > 0O

a

=> 3 máximo en x = 2, (2,1) < x < «o, y'< 0~

«

La gráfica es creciente en el intervalo <-2,2> y decreciente en los intervalos <-°°,-2>,<2,°°> 1 6 -4 x 2 como y = — — (4 + x )

=>

„ -8 x (x 2 - 2 x - 1 2 ) y = — -----(4 + )

como y " = 0 para los puntos de inflexión, entonces: -8x(jc2 - 2 x - 1 2 ) = 0

=> x x = 0 , x2 = - l - v / Í 3 , x3 = - l + %/l3

Luego ( 0 , 0 ) , ( - l - V l 3 , - 2 + 4V l3) ,( - 1 + Vl3,11 + 5V13) puntos de inflexión.

-1 -V 3

0

- 1 + V5

—8jc( jc+1-1- >/l3)(.x:-t-1—>/l3^) y "

(ÍT T ?

para jc < —1 —%/l3 , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo < - o o ,-l

-V Í3 >

para -1 - V I3 < jc < O , y '' < O, la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <-l-VÍ3,0> para

0 < jc< - 1 + VÍ3 > , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el

intervalo < 0 ,-1 + %/l3 >

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para

- 1

+

intervalo <

- 1

y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo ei

+ VÍ3. OO>

ahora calcularemos las asíntotas verticales se tiene: 4 + ,v2 = 0 , 3 x e /? k = lim — = lim — ^—5- = JT->+~ x jc->+~ 4 + x~

0

A

y

b = l i m ( y - L \ ) = lim .......... X —> + » =

com o y = kx + b => y =

928

=0

. r —> + 0 = ¿j. _|_ y f

0

asíntota horizontal.

4 x -1 2 y = ---------- 7 (x-12) D esarrollo El campo de existencia es R - {2} Luego el campo de discontinuidad es x = 2 4 x -1 2 y = ---------- r(x -1 2 )

=>

, -4 (x - 4) y = -----------— => (x-2)3

, „ „ , y = 0 se tiene x = 4 numero criticc

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466


ira x < 2, v ' < 0 _ 3 x = 2 por punto de discontinuidad. < x < 4, / > 0 +

* => 3 máximo en x = 4, (4,1)

< x < o®, y < o en

los

*

intervalos

<-=*>,2>, <4,°°> es creciente

y decreciente

en

el

intervalo <2,4> , —4 (x - 4 ) y = t(x-2)3

„ 8 (x -5 ) => y = ---------— => y = 0 (x -2 )4 '

8^ => x = 5, ( 5 ,- ) punto de 9

inflexión

„ y

8(x —5) — T (x-2)4

para x < 2, y' ’< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <-°°,2> para 2 < x < 5, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo <2,5> para x > 5, y ” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en el intervalo <5,°°>

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46

A p lic a c ió n d e la D e r iv a d a

929

y=

x2-4 Desarrollo

El campo de discontinuidad es R - {2,2} Los puntos de discontinuidad es x = -2, x = 2 x + 4

y -

x2-4

( x 2 —4)2

=0

para los números críticos, es decir x 2 - 4 - 0 , I x e fí

tal que x 2 - 4 = 0

por lo tanto no hay números críticos.

x +4 (x 2 - 4 ) 2

para x < - 2 , y ' < 0 , - 2 < x < 2 , y ' < 0 para x > 2, y'< 0 ,

luego

la gráfica es decreciente en

<-°°,-2>,<- 2,2>,< 2 ,°°> x +4 y

= —

2—

(x*-4 Y

„ 2x(x + 12) v ={xr-4 Y

y " = 0 para los puntos de inflexión => x = 0, (0,0)

2x(x + 12)

y -■

(*2 - 4 ) 2

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los intervalo;

468

E d u a r d o E s p in o z a R a m o s

para x< -2, y " < O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-°°,-2> para -2’" < ( ) , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-2,0> para 0 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <0,2> para x > 2, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <2,«=> Asíntotas:

Verticales se tiene x = + 2 y i Oblicuas k = lim — = lim — ------= 0 x —y+oo x

jc-»+oo

_ 4

b = lim ( y - k x ) = lim - ^ — = 0 X--J>+CX>

como y = kx + b => y = 0 asíntota horizontal

Desarrollo El campo de existencia es R - {0,4} Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 4

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X

—4


4

16

y=-

,

x 2( x - 4 )

com o

y

y' = 0

=>

1 6(3x-8) ~

x 3( x - 4 )

x =—

3 x -9 = 0

p u n to critico

16(3 x -8 ) x3(x

p ara

-4 )

x < 0,

y '< 0

a

, •

8

8

27

3

3

16

3 máximo en x = - , ( - , ------ ) 8 < x < 44 , — 3

4<

X

v '
< oo, y'< o

en los intervalos <-°o,0>, < —, 4 > , <4,->=> la gráfica es decreciente y en

8

intervalo < 0 , - > es creciente. 3 „

-1 6 (3 x -8 )

-5 1 2 (x -3 )

y x2( x - 4 ) 3

y " = 0 => x = 3, ( x , ~ ^ ) punto de inflexión

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470


0

3

4

_ —512(jy —3) * 20 - 4 ) 3 para x < 0, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <°°,0> para 0 < x < 3, y' '< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,3> para 3 < x < 4, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <3,4> para x > 4, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <4,°°> para las asíntotas: Oblicuas:

Verticales se tiene x = 0, x = 4

y 16 k - lim — = lim — =0 jc-»+~ x *-»-*» x (x - 4) lim ( y - f c c ) = lim x —>+o°

jc—>+o° jc** ( jc ~ 4 )

Como y = kx + b = ^ > y = 0 A síntota horizontal.

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=0


931

y =

3.r4 +1 x Desarrollo => el campo de existencia es: R —{0}

y = 3x + 4

luego el punto de discontinuidad es x = 0 1

y = 3.r + —

y' = 0

=>

=»

jc4

y

,

- 3 —

-1=0

3

3(.r4 -1 )

x 4

X 4

- = -------- - —

=> {-1,1} puntos críticos

-1 y '= 3( jc2 + l)(x + !)(* - 1 ) para x < 1, y ’> 0 + > B máximo en x = - l, (-1,-4) -1 < x < 0, y ’< 0 “

*

0 < x < 1, y '< 0 ”

-v

1
*

.=> 3 mínimo en x = 1, (1,4) yy ’> 0 +

La gráfica es creciente en <-°°,-l>, <1,°°> y decreciente en < -l,0> , <1,°°> • 3 Como y ' —3 — x 3

xe R

12 => y" = 4 x

tal que y " = 0 , por lo tanto no hay punto de inflexión.

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472

E d u a rd o E s p in o za R a m o s

para x < 0 , y " < O, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0> para x > 0, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°> para las asíntotas:

Oblicuas:

Verticales se tiene x = 0 V 3jt4 -f-1 k = lim — = lim-------— = 3 .l - H » X

.«-> + “

X

b — lim ( y - f c t ) = lim (— - i — —3x) = lim —r = 0 X-^+co

A —)+0°

como y = kx + b => y = 3x Asíntota oblicuas

932

y - \fx + \ J 4 - x Desarrollo

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X

*

X


Para determinar el campo de existencia se tiene: x

> 0 a

=> x > 0

4 - x > 0

a

x

< 4

0

4

Luego el campo de existencia es [0,4] y’ == V y fx x+ + \Vl 44--Xx

1

=¡> y =

2yfx ,

y jA -ü C -y fx

y = — ■=—= = - = 0

1 2\¡4 -

X

para los números críticos

2 y J X y l4 - X

como y ' = 0

=>

sj4-x-^fx =0

=> x = 2 números críticos

0 para 0 < x < 2, y ’> 0 + máximo en x = 2, (2,2\¡2) 2 < x < 4, y ' < 0 La gráfica es creciente en el intervalo <0,2> y decreciente en el intervalo <2 ,

y¡A-X-y[x

y =— = -= = - = 0 2j x j 4 - x y"= 0

=>

„

y = '

1

4 ^

1

4 ^ (4

para los puntos de inflexión.

- i - i ( 4 - x ) 3 + \/r 3) = 0 4^ ^(4 - jc)3

==>

\¡ (4 -x

3) = —

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xe

R tal que y " = 0

474


Para x e [0,4], y " < 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre [0,4] No tiene asíntotas

Desarrollo Para determinar el campo de existencia se tiene: 8 + x>0

a

8-x>0

=> x e [-8,8]

Luego el campo de existencia es el intervalo [-8,8] y = y/ñ + x —-\/8 —jc

y —

1

2

1

t= + + x 2 \'8 —x

. \ S —x -t- sjs f x , y = -------= = = = = — = 0 , para los números críticos 2\¡6x-x2 es decir \ / 8 - x + \/8 + x - 0 =* 3 x e R por lo tanto no hay números críticos para x e [-8,8], y’> 0 la gráfica es creciente V s —

X+

>/8 +

X

„

—

yfs —X )

y = ------ ,.................■ =» y = ------------------- 5— 2\/64 2(64 ~ x 2) 2

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i


y ' ' para los puntos de inflexión, es decir: \ l S - x + n/8 + x = 0

=>

-8 y

x = 0, (0,0) punto de inflexión

0

8

„ _ 8(^8 + x —\/8 —x ) _

j

2(64 - x 2) 2 para - 8 < x < 0 , }>” < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <-8,0> para 0 < x < 8, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <0,8> asíntota no tiene

934

y = x\[x~+ 3 Desarrollo Para determinar el campo de existencia se tiene: x + 3>0

=> x > - 3

= > x e [-3,°°> es el campo de existencia

I , 3 ( x+2 ) , y - x \ j x + 3 => y = 0 para los números cnticos. . 2V x+3

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476


Es decir 3(x + 2) = O => x = -2

y .s * £ ± 2 2 \/x + 3 para - 3 < x < - 2 , y'<0 3 mínimo en x = -2, (-2,-2) -2 < x < oo, y'> 0 * La gráfica es decreciente en <-3,-2> y es creciente en <-2,°°> , _ 3(x + 2)

„ 3( x + 4) n y = r =0

2 y Jx + 3

4(x + 3)2 para los puntos de inflexión, es decir: x = -4 i [-3,°°> Luego no hay punto de inflexión Para x e [-3,°°>, y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-3,°°> No tiene asíntotas.

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4


935

3.t DesarroHo Para determinar el campo de existencia se tiene que: x3 -3x> 0

.

jc(jc —s/3)(jc -+- 7 3 ) > 0

3(x + l ) ( * - l ) 2-Jx-3x

para -3 < x < -1, y'> 0 + 3 máximo en x = -l ( - 1 ,7 2 ) -1 < x < 0, y'< 0 3 < x < oo, y'> 0 + La gráfica es

creciente

en los

intervalos

< - 7 3 ,-1 > y < 7 3 , ° ° >

decreciente en < -l,0 > ,

3(x -1 ) 2\¡x3 - 3 x

„

y =

(x - 6 x - 3 ) 3

n

4(x3 - 3 x ) 2

inflexión como y" = 0 => x

x

= ±,

,

.

r—= 0 , para calcular los puntos i

- 6 x “ - 3 = 0 de donde se tiene;

e [73,0] U [7 3 ,- >

por lo tanto no hay’puntos de inflexión

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1

O -2x ^

3yJ(l~X2)2

para - ° ° < x < - l , y ’> 0 2 máximo ni mínimo x = -l -1 < x < O, y ’> O

^

0 < x < 1, y '< O

V

1 < x < oo, y’< 0

^

3 máximo en x = 0, (0,1) 3 máximo ni mínimo x = 1

La gráfica es creciente en -2x y = — = = = = = => 3^/(1- x 2)2

< -l,0 > y decreciente en <0,1> y <1 ,°°>

, 2(3.v - 4 x - 3 ) „ p = ------—0 y — V l-x2

para determinar los puntos de inflexión, es decir:

3x2 —4x - 3 = 0

=>

x, = 2 3

Luego

, 2 - V ñ ,4>/Í3-8x p2

Son los puntos de inflexión

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.2 + VÍ3 J - ( 4 + 4 j Í 3 ) \ --------------------------------)

480


¿[3

2 Para x < 2 - Vl3 3 abajo

3

Para x >

2^/3 , y " > 0 , es cóncava < ~ °°,-------> hacia arriba. 3

2+J ñ

2 + VÍ3

3

„ n , 2 - V Í 3 2 + VÍ3 , y < 0 , es cóncava en < -----------,----------- > hacia 3 3

„ „ , 2 + n/ B , y > 0 , es cóncava en <

, . > hacia arriba.

No tiene asíntotas.

937 Desarrollo El campo de existencia es todos los números reales ■ = $ /n 7

y'= ■ ■ *— = o

para los números críticos => x = 0, además 3 y ' , es decir 1 - x por lo tanto los números críticos son {0,1}

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=0 = x= 1

41


para x < 0 , y ' < 0 0 < x < 1, y ' < 0

3 máximo ni mínimo

1 < x < oo, y ' < 0 La gráfica es decreciente en <-°o,0>, <0,1>, <1,°°> x2

1- x 3)2

2x ^

x /l-.r 3

de donde los puntos de inflexión son (0,1), (1,0)

para x < 0 , y " > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en <-°°,0> para 0 < x < 1, y " < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo en <0,1 > para x > 1, y” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba en < l , ° o no tiene asíntotas

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482

938


y —2 x + 2 - 3 \ j ( x + \)2 Desarrollo El campo de existencia es todos R y = 2x + 2-3^¡Oc + Í f

y' = 2 -

2

. =0
2 - ■■p—

=> y ' = 2 - ^ X+1^~

para determinar los números críticos.

=* x = 0 además 3 y ' , es decir l + x = 0 => x = -1

slx + l

por lo tanto los números críticos son ( - 1,0 )

para x < - 1, y '> 0

>. => 3 máximo en x =-1,

-1 < x < 0 , y ’>0

* => 3 máximo en x = 0

0 < x < oo, y '>0

V

La gráfica es creciente en <-oo,-l>, <0 ,oo>, < -l,0 > = y ' ~

2

y iri

0

y" = 3^/(1+ jc)4

Para los puntos de inflexión pero 3 r e í !

tal que y" = 0 por lo tanto los

puntos de inflexión son en x = - l y e n x = 0 es decir (- 1,0 ) y (0 ,- 1).

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Asíntotas no existe.

939

y - ^/x+T —%/x-T Desarrollo El campo de existencia es todos los reales

3 r~ 7 3/----7

y =y x + l-\J x -l

=>

. íl( x -l) 2 -ti(x + 1)2 v

y =-

n

=0

ll¿ ~ 1 determinar los números críticos. Es decir: t f ( x - 1)2 - t ] ( x + \)2 = 0 => ( j t - 1)2 = ( x + l )2 => x = 0 además 3 y' es decir x 2 - 1 = 0

x=± 1

Luego los números críticos son {-1,0,1}

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484


para para x < - i, 1, yv ’>0 -> u 3 máximo en x = -l

-1 < x < 0 , y". y ’>0“

*^ 3 mínimo en x = 0, (0,2)

0 < x < 1, y'< 0

«

1 < x < °o, v’c O

^

3 máximo en x = 1

La gráfica es creciente en <-«>,- ¡>, <0,1 > y decreciente en los intervalos < -l, 0 > y < 1,°°>

1__________1____ lj(x + 1)2

y

como 3 x 6 / ? ,

ij(x -l)2

2 (l¡(x + l)5 - l j { x - l ) 5 ) }

3

lj( x 2 - l ) 5

tal que y" = 0 por lo tanto para x = ± 1 3 y' entonces en

x = ± 1 hay puntos de inflexión, es decir: ( 1, ?/2 ) , ( - 1, 3. 2 )

„ ^

2 (^/(x + 1) 5 - ^ / ( x - 1)5 ) 3

l¡(x2 - l )5

para x < - 1, y ' ' > 0 , es cóncava hacia arriba

-1 < x < 1, y ''< 0 ,e s cóncava hacia abajo para x > 1, y"> 0 , es cóncava hacia arriba Asíntotas Verticales no tiene para las oblicuas se tiene que:

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b - lim (y - L e ) = \im(y[x + Í - x / x - l ) = 0 X —> ° °

X — >°o

Luego y = kx + b => y = 0 es asíntota horizontal.

940

>’ —\j(x + 4)" - l J ( x - 4 ) 2 Pesarrollo El campo de existencia es todo los números reales R 7ÑT 7T 3// y = lJ(x + 4)¿ - l ] ( x - 4 y

i 2 \J x -4 -sJx + 4 =* y ' = - ( ............. ) 3 V x2 - 1 6

3 y' para x = ±4 puntos críticos

,

2 y [ x - - 4 - yfx + 4

y = 3(

h t t

*1

para x < -4, y'< 0 -4 < x < 4, y'> 0 + 4• < ■x<

y'< 0

3 )

3 mínimo en x = -4, (-4,-4) 3 máximo en x = 4, (4,4)

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486


Es creciente en <-4,4> y decreciente en los intervalos, <-°°,-4>, <4,«=> , 2 ,# ¡^ 4 -^ + 4 , v = - ( ------ ............ — ) ' 3 ^ 1 6

=>

,

„ 2\j(x + 4)* ~ y j ( x ~ 4 ) 4 y =-( . 9 ^ 2 -1 6 )4

)

luego y" = 0 se cumple para x = 0, ( 0 ,0 ) es el punto de inflexión

para x < 0 , y" > 0 es cóncava hacia arriba

0 < x < <*>, y" < 0 es cóncava hacia abajo Asíntotas verticales no tiene, para las oblicuas.

k = lim

y¡x + \ —yjx —1

=0

b = lim (y -fc c ) = lim(^/(jr + 4 )2 - l] ( x - 4 )2 ) = 0 X—)oo

x—>°°

Luego y = kx + b => y - 0 asíntota horizontal

941

y = t](x -

2)2 + ^ /(.v -4 )2 Desarrollo

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Dominio es todo los números reales 3r 2 T,r 773" y = ÍJ(x-2) + yj(x-4 ) =>

, 2 A /x —4 +• \Jx —2 y = - ( - 7F= = r7¡= = - ) 3 y J x -2 \/x -4

y'= 0 , 3 y’ para los puntos críticos de donde 2,3,4 son los números críticc

para x < 2, y '<0

-v = > 3 mínimo en x = 2, (2,-\/4)

2 < x < 3, y / > 0 + 3 máximo en x = 3, (3,2) 3 < x < 4, y'< O3 mínimo en x = 4, (4 ,y¡4) 4 < x < oo, v' > 0 +

¿

La gráfica es creciente <2,3> y < 4 ,°o> y decreciente en <-«=,2> y <3,4>

,

V

2 3

y fx ^ -4

+•a/x - 2

3==rr7====~) ^x-2yJx-4

=>

,

y =0

para los puntos de inflexión 3 .ve J? tal que y " = Ü, por lo tanto no hay pun de inflexión.

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488

942


v=

4

V4 - j t 2 Desarrollo

El campo de existencia 4 - x y = ..... V

4

i

4* y ' - ----- .— 2

=> x e <2,2>

>0

=> y ’= 0 para x = 0

( 4 - x 2)2

-2

0

2

para -2 < x < 0 , y'< O)

0 < x < 2, / > 0 +

=> 3 mínimo en x = 0 , ( 0,2)

*

en <- 2 ,0 > es decreciente y en < 0 ,2 > es creciente.

>-= j-=> 4x

( 4 - x 2)2

-

4(2;t2 + 2 )

„

y =

( 4 - .v 2)2

como B x e R,y" = 0 entonces no tiene puntos de inflexión Luego para x e <-2,2>,y " > 0 . la gráfica es cóncava hacia arriba. Tiene como asíntotas verticales: x = -2, x = 2

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4f


943 vyjx 2 - < ■ Desarrollo El campo de existencia es <-°°,-2> u <2,°°>

2(a 2 - 2 ) x -4

A'2(A“ -4 )2

Luego para a = ±\¡2 , y' = 0 no son puntos críticos porque +V2 no están e el campo de existencia.

2 (x2 - 2) a

como 3

(

a

a

- 4 )2

„

16(3a 4

- 1 0

A3(A 2

a

2

+ 16)

- 4 )2

e R tal que >■"= (), no hay punto de inflexión, tiene como asíntot

vertical a x = ± 2 y como asíntota horizontal a y - 0 .

944

y= Desarrollo El campo de existencia es R -{-1,1)

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490


x y=sjx2 - \

, '

x 2 —3 3^/(x - l )4

para x = ± 3, y' = 0 , que son los puntos críticos

3 máximo en

jc

= V 3,

( —s /3 , — r ¿ )

v2

—>/3 < x < - 1 , y'< 0 3 máximo ni mínimo

-1 < x < 1, y '<0 3 máximo ni mínimo l < x < y ¡ 3 , y'< 0 =* 3 mínimo en x = y¡3, (>/3,^(E) y¡2 jc

> >/ 3 , y ' > 0

es creciente en < - ° ° , - \ Í 3 > ,

y decreciente en

< - 7 3 ,- 1 > ,

< -1,1>, < l s Í 3 > x2-3 y

3\¡(x2 - l )4

-2x(x2 -9 ) 'V

9y](x2 - l )7

3 3 entonces para x = 0, x = ±3, y ” = 0 de donde (0,0), (3,—) , ( - 3 ,— ) son los 2 2 puntos de inflexión. Com o asíntotas verticales tiene a x = ± 1 y como asíntotas oblicuas no tiene.

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945 ^ / u - 2)2 Desarrollo El campo de existencia es <-°°,2> u <2,°o> x V ( x - 2 )2

x -6

, '

para x = 6, y'= 0

3 ^ (x -2 )

para x < 2 , y ’> 0

2 < x < 6 , y'< 0 => 3 mínimo en x = 6 , ( 6 ,—-j=^) n x > 6 , y ’> 0 es creciente en <-°°,2> y < 6,°°> y decreciente en < 2 ,6>

*-6 3 tj(x -2 f

- 2( x - 12) y

9 \¡ {x ~ 2 )

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para x = 12,

492


v" - 0

=> ( 12, ,,

12

) punto de inflexión.

3/100

2

12

Para x < 2, y " > 0 , cóncava hacia arriba

2 < x < 12, y " > 0 , cóncava hacia arriba x > 12, y " < 0 , cóncava hacia abajo

946

y = xe Desarrollo Su campo de existencia todos los números R. y = xe~x

y' = e~x ( l - x )

p a r a x = l , y' = 0 punto critico

para x < 1, y' > 0 3 máximo en x = 1, (1,—) e 1 < x < , y ’ < 0

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4'


es creciente en y '= e 'r( l - x )

y decreciente en < 1,"°> para x = 2 , y" = 0

=» y " ~ e \ x - 2 )

2 Luego: ( 2 .-44) punto de inflexión e~

2 Para x < 2, y " < 0 es cóncava hacia abajo x > 2 , y ’' > 0 es cóncava hacia arriba tiene como asíntota horizontal a y = 0

947

2 * y — (a + ~ )ea a Desarrollo Su campo de existencia es R.

2 i v - ( a + — )e“ a

£ 2 p => y' = e a ( ^ - + — + 1) a~ a

Luego para x = -a, se tiene y' = 0

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494


Pero en x = -a no hay máximo ni mínimo.

,

e a {x + a)2 a2

para x " < -a, yy' " >0 u máximo ni mínimo x > -a, y '>0

*

¡a curva es creciente en <-°°,-a> y <-a,°°> X

,

e a (x + a )2

X

„

e a (x + a)(x + 3a)

para x = -a, x = -3a, se tiene y" = 0

2a x . „ 10a^ , . _ Luego ( - a , — ) y ( - 3 a ,——) son puntos de inflexión

-3a

-a

Para x < -3a, y" > 0 , es cóncava hacia arriba sobre <-°°,-3a> Para -3a < x < -a, y " < 0 , es cóncava hacia abajo sobre <-3a,-a> Para x > -a, y " > 0 , es cóncava hacia arriba sobre <-a,°°> No tiene asíntotas verticales Tiene como asíntota horizontal a y = 0

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-3a

948

y =e

-a

14

Desarrollo Su campo de existencia es R. y = e Sx~x ~H => y' = (8 - 2x )e Sx~x -14, para x = 4, y' - 0 punto critico

para x < 4, y' > 0 => 3 máximo en x = 4, (4,e ) x > 4, y'< 0

«

La gráfica es creciente en <-°°,4> y decreciente <4,°°> / = ( S - 2 x ) e Sx~x ~14 =e> y" = (Ax1 - 32x + 62)eSx~x^ 14

8 + V2

8-V 2

2

2

y = 0 , cuando x, = ----------, x-, = ----------

. .8 + 7 2 | 8-V 2 | Luego (— - — , e ¿ ) y (— - — , e ¿) punto de inflexión

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496


8-V 2

8 + V2

2

2

Para x <

, y ” > O , es cóncava hacia arriba

-V 2

8 + V2 „ n , . . . . . y < O, es cóncava hacia abajo 2

2

x > ----------, y" > 0 es cóncava hacia arriba no tiene asíntotas verticales en y = 0 , tiene asíntota horizontal.

949

y = {2 + x 2 )e~xl Desarrollo

t Su campo de existencia es todo R y = (2 + x 2)e~t

=> y'= - 2 x ( x 2 + 2)e~x

' para x = 0 se tiene y'= 0 punto de inflexión

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4'


para x < O, y' > O 3 máximo en x = 0, (0,2) x > O, y' < O A’ La gráfica es creciente en <-<*>,0> y decreciente en <0,°<>> y ’= - 2 x ( x 2 + 2)e~x~ => y ' ' = 2e~x' ( 2x 4 - x 2 - 1) 3 3 de donde para x = ± l, y " = 0 punto de inflexión (1 ,-) , ( - 1 ,- ) e e

-1

1

para x < -1, y " > O , es cóncava hacia arriba -1 < x < 1, y " < 0 , e s cóncava hacia abajo x > 1, y " > 0 , es cóncava hacia arriba no ti :ne asíntotas verticales, pero en y = 0 tiene asíntota horizontal.

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498

950


v —2 1jc | - x 2 Desarrollo El campo de existencia es todo R Para x > 0 , y = 2 x - x 2 => y ' = 2 - 2 x = 0 se tiene x = l x < 0 , y - - 2 x - x 2 => y' = - 2 - 2x = 0 s e t ie n e x = -l Luego los puntos críticos son {-1,0,1}

Para x <-1, y ’> 0 >. => 3 máximo en x = -1, (-1,1)

-1 < x < 0, y '<0

#

0 < x < 1, y '>0

V

=> 3 mínimo en x = 0, (0,0) => 3 máximo en x = 1, ( 1, 1)

1 < x < oo, y '<0

«

es creciente en <-°°,-l>, < 0,1 > y decreciente en < -l, 0 >, < 1,°°> y ’= 2 - 2x = 0 , para x > 0 y' = - 2 - 2x - 0 , para x < 0

=> y ” = 0 , 3 x e R => y" = 0 , 3 x e R

por lo tanto no tiene punto de inflexión. Pero en x = 0 no es diferenciable, entonces

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A p l i c a c i ó n d e la D e r i v a d a

Para x < O, y"< O, es cóncava hacia abajo x > 0 , y" < 0 , es cóncava hacia abajo no tiene asíntotas

9sl

y=

lnx slx Desarrollo

El campo de existencia es <0,°°>

para x < e 2 , y ’> 0

>.

1 x > e , y '<0

, , 2 => 3 máximo en x - e ~ , (e ,—)

1

es creciente en el intervalo < 0, e 2 > y decreciente en < e 2,°o > , 2 -ln x y = — rr~ 2y¡7

,r(31n x-8) =* y = — — 4x 3

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500


para x - e ^ , y " = 0 entonces (e 3, — —) punto de inflexión 3e 3

8

8

para x < e 3 , y" < 0 , es cóncava hacia abajo 8

x > e 3 , y" > 0 , es cóncava hacia arriba tiene asíntota vertical en x = 0 y tiene asíntota horizontal en y = 0

2

a Desarrollo

El campo de existencia es todo R y = — ln — => y ' = x(ln—+ —) para x = -^¡=, y' = 0 2 a a 2 de

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para x < —= , y' < O ye

x ' . a n a , => d mínimo en x = —= , (—p , ------ ) y/e yje Ae

x > —= , y > O es creciente en < —p ,° ° > , y decreciente en < ye

p > ye

/i —+ x —) ^ => y .. = .ln —+ x — 3 y = x(ln a 2 ' a 2 _3

_3

2

para x = ae 2 , y" = 0 , (ae 2, ---- —) punto de inflexión 4e

3a_

4e3 3a para x < - :— Ae3 3a_¿ Ae 3

y ” > 0 , es cóncava hacia arriba

y" < 0 , es cóncava hacia abajo

en \ = 0 es asíntota vertical no tiene asíntota horizontal. Y

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502

953


lnx Desarrollo El campo de existencia es todo R ' x y = ----Inx

=>

ln jc—1 _ y = — — = 0 , para x = e ln jc

para 0 < x < 1, >'<0 => 3 máximo ni mínimo en x = 1

1 < x < e , y '<0 para x < e, y'< y '<00

*

-x 3 mínimo x = e, (e,e)

x > e,, yy':> o

«

es decreciente en < 0,1 >, < l,e> y creciente en 2 -ln x

ln x - l >’ =-

ln 2 x

y

x ln 3 x

para x - e 2 , y" = 0 , Luego (e2, — ) punto de inflexión

para x < e 2 , y ' '> 0 , es cóncava hacia arriba x > e 2 , y ''< 0 ,e s cóncava hacia abajo

en x = 1, se tiene asíntota vertical, no tiene asíntota horizontal.

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954

y —(jc + 1) ln (x + l) Desarrollo El campo de existencia es x > - l es decir x e <-l,°°> y = (x + 1)ln2(,v + 1) => y'= ln(x + l)[ln(x + 1) 4- 2]

1

para x = 0, x = —l + — se tiene y' = 0 punto críticos e~

< x < - l + — , / > 0+ P

x '

, . , 1 , 1 4 ==> d máximo en x = -1 + — , (-1 + — ) e* e2 V

-1 + — < x < 0 , y ' < 0 _ e

3 mínimo en x = 0, (0,0) 0 < X<

OO,

y'> 0+

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504


La gráfica es creciente en

< - l,-l + — > , e~

<0,°=> y decreciente en

< - l + 4 r ,0 > e y'= ln(.v + l)[ln(a: + 1) + 2 ] => >"= 2^ln('r+ 1 ) + 1] x +\

para * = - ! + - se tiene _v” = 0 luego (-1 + - , —) es punto de inflexión e e e

-1 < x < -1 + —, v " < 0 , es cóncava hacia abajo e

-1 + —< x < ° ° , v " > 0 ,e s cóncava hacia arriba e

955 Desarrollo

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El campo de existencia es x e <-°°,-l> U <1,°°>

1

y = ln(x' - 1) + —----x2 - l

, 2x(x - 2 ) => y ' = ----- -U --l)z

para x = 0 , x = ± 2 se tiene y' = 0 puntos críticos x = ±y¡2 N

para x < - V 2 , y '<0 3 mínimo en x = —J 2 , ( - \ ¡ 2 , 1) —>¡2 < x < - 1 , y ’> 0 *

1 < x < \Í2 , y'< 0 ~ 3 mínimo en x = \¡2 , (V 2 ,l) \¡7 < x <

, v' > 0 +

La gráfica es <

- -O O, - y ¡ 2

, y

>

y

2x(x - 2)

— 0— — U " -i r

creciente en <

1, V 2

>’

< —n/ 2 ,—1 >,

< V 2 ,° ° >

>

„

-2 (.r - 3 x - 2 ) (x 2 - l )3

Sí para jc= ± — = ±1.89 se tiene y" = 0 Luego (1.89, 1.33) y (-1.89, 1.33) puntos de inflexión

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y decreciente

506


Para x < -1 .8 9 , y " < 0 , es cóncava hacia abajo - 1.89 < x < - 1, y ” > 0 , es cóncava hacia arriba y " < 0 , es cóncava hacia abajo

1.89 < x <

1 < x < 1.84, y ' ' > 0 , es cóncava hacia arriba tiene asíntotas verticales en x = - l, x = l

x

Desarrollo El campo de existencia es , Vx 2 + 1-1 y = ln -------------x

- (0)

, sjx2 + 1-1 =* y = ----------------. x ( x 2 +1 - v x 1 + 1)

Luego y' = 0 para x= 0, pero x = 0 e R + - (0) por lo tanto no hay punto de inflexión Para x > 0, y ' > 0 , la gráfica es creciente.

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x/x 2 + 1 -1

x/x 2 + 1 —3 - 2 x 2

x(x 2 +1 - x/x2 + 1)

x / 7 + l(.v2 + l - x / x 2 + 1)2

.

3 x e /? tal que y"= O por lo tanto no hay puntos de inflexión. Luego para x > 0, y"< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo. Para x = 0 es una asíntota vertical. , x/x2 + l - l ln -------------A: = lim — = lim — =0 y -> o o

X

X -A o o

X

b - lim( v-A x ) = lim ln

x—

v—

X~ + ^— - = 0

JC

como y = kx + b => y = 0 es una asíntota horizontal

957 Desarrollo El campo de existencia es todo R. v = ln(l -t-e r)

=> y ' - ----- — e x +1

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508


3 x e R , y'-f.)

por lo tanto no hay punto de inflexión para x e R. y '< 0 , la

gráfica es decreciente.

1

, 3 jce R , y" = 0 (ex + 1)2

e +1

por lo tanto no hay punto de inflexión. Para x e R, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba. No tiene asíntotas verticales. Cuando x —»

y=0

y ln(l+ e ' A:) I* I 1VI = 0 k, = lim — = Ilim X

X

b¡ = lim (y - kx) = lim ln(l + e x ) = 0 X—

x —>°°

luego y = 0 , x —» +°° y .

k2 = lim — = lim x x-*-

ln (l + e - )

= -1

= lim - l+el

b2 - lim ( y - k 2x) = iim [ln (l + e *) + x] = 0

Luego y = k 2x + b2 => y = -x asíntota oblicua

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958

y = ln(e + —) x Desarrollo

El campo de existencia es < - o o ,- —> U < 0,°° > es decir que no esta defii e pero [ - - , 0 ] e

w + —) l - =s y • = — 1 y - ln(e x ' x(ex + 1) 3 x e R tal que y ' - O , no hay puntos críticos

,v< — , v ’<0 es decreciente e x > 0, y ’< 0 es decreciente

x{ex+ \)

y "=0

2ex +1 y "= — para ,v = x '( e x + l)

pero — —e < 2e

e

> U < 0 ,°° > ,

inflexión para x < ——, y ”<0 es cóncava hacia abajo e x>0

,

y ' ' > 0 , es cóncava hacia arriba

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2e

por lo tanto no tiene punto

510


asíntota vertical es x = 0 , x = — e

y k = lim — = lim •*-*“ x

x

x — = 0 para L'Hospital

b - lim (y - k x ) = lim ln(e + —) = 1 x —>°°

x —>°°

Luego como

959

X

y = kx + b => y = l

asíntota vertical

y = sen x + cos x Desarrollo El campo de existencia es todo R Como y(x) = y(x + 2rt) la función es periódica con periodo x = 2n y = sen x + c o sx

de donde

x = —+

=>

y ' - cos x - senx = 0 => cos x = sen x i

2kK ,

x=—

+ 2kn ,

k = 0, ± 1 ,...

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O< x < — , y' > O 4

Tí

5k

—
-v \ -i

- •

5n

5n

r-

=> 3 mínimo en x = — , (— ,-V 2 ) 4 4 5;r —

4

< x <2n , y > O

*

3/r y ' - c o s x - s e n x => y " = - s e n x - cos x = O => senx = - cos x => x = :— + 4 3K para x < — , >"<0 es cóncava hacia abajo 4 3/r x > — , y" > 0 , es cóncava hacia arriba 4 37T para (— + Á-;r.O) puntos de inflexión

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512

960


senlx y = senx + Desarrollo El campo de existencia es todo R Como y(x) = y(x + l n ) la función es periódica con periodo x = 2n y = senx H

senlx

y = eos x + eos I x

=>

y '=0 => eos x = -eos 2x => x = — + 2kn , x = — + l k n para k = 0 , ± 1, ± 2 ,... 3 3

3 x = - + 2 k j r , ( ~ + 2kK,— ) 3 3 4 n 5k , — < x < — , y <0 3 3

* -v A d mínimo en x —

,

„ +

x > — , y >0 3

y '= c o s x + c o s 2x y"= 0

=>

y ' ' = - s e n x - 2sen2x

=s> -sen x - 2 sen 2 x = 0 => x = kir

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.5k . , 2\Í3. h 2k n , (— + 2k n , -------- ) 3 3 4


961

y = c o sx -e o s2x Desarrollo El campo de existencia es todo R y = c o s x - e o s 2 x =>

y ' - - s e n x -\-2senx.c o s x

y' = 0 => - sen x + 2 sen x. eos x = 0 =>

x = ± — , x = ± 7t 3

como y(x) = y(x + 2t i ) la función es periódica para x < ±it, y' < 0

\ =s en x = ± 7t 3 mínimo (±tc,-2)

+ y '> n x > ±71, 0

*

x < ± — , y '>0 3 ‘ , 7T . 7T 1 =í> x = ± — 3 máximo ( ±— ) 3 3 4

71 , y <0 x> r — 3 y' = - s e n x + 2senx.e o s x

=> y"= - c o s x + 2 c o s 2x

y" —0 => -eos x + 2 eos 2x = 0 => x = ± 0 . 5 7 , x = ±2.2

Luego f(±0.57) = 0.13

:=> (±0.57,0.13)

f(±2.2) = -0.95 => (±2.2,-095) con los puntos de inflexión

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514

962


y = sen*x + eos 3 x Desarrollo El campo de existencia es todo R.

y = sen^x + cos 3 x

=>

y' = 3sen¿x . c o s x - 3 c o s ¿ x.senx

y' = 0 => 3sen2x c o s x - 3 c o s 2 x.senx = 0

3 sen x. cos x (sen x - cos x) = 0

. K K 5k 3k de donde x = 0 , x = — ,jc = — , x = rt, x = — , x = — , x = 2Jt 4 2 4 4 como y(x) = y(x + 2n) la gráfica es periódica con periodo x = 2rc

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x < O, >■’> 0

*\ j

0 < x < — , v '<0

=> 3 máximo en x = 0, (0,1)

V A

4

=> 3 mínimo en x = — , 4

4

,— ) 2

=> 3 máximo en x = —, (—,1) ? o — < x < n , v'< 0 ~>

k

< x < — , v ’>0

^

4

5/r

\

3n

— < x< — , v < 0 4 4

, . 5 n 5n \Í2 , => 3 máximo en x = ——, (— , -------) 4 4 2

J

* A

, . 37t 3n => d mínimo en x = — , (— , - 1)

2

2

— < x < 2n , y’>0

5 x > 2n,

’ y '<0

Î *

= > 3 mínimo en x = 2 rc, ( 2n,l)

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516

963


i y =senx + eos x Desarrollo Como y(x) - y(x +2tt) la función es periódica con periodo x = 2n luego los puntos de discontinuidad es — 4

1

para:

4

eos x —senx y =— (senx + eos x)

>' = senx + eos x 7t para x = — + 2k n 4

también en x =

. A se tiene y = 0 ; x =

3 TZ 4

, r 2kzt se tiene y = °°

3;r x < -------, y ’>0 \ 4 máximo en x =

3n 4

3n s¡2 , (-------+ 2k n , ------- ) 4 2

3tt , ¿ x > -------, y < 0 4 n x < — , y'< 0 4

\ — . , , ir jt . - s/2 => 3 mínimo en x = — , (— + 2k n .— ) 4 4 2

* > - , y'>0 4

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964

senx

y=

sen(x + —) 4 Desarrollo Como y(x) = y(x + 7t) la gráfica es periódica con periodo x = rc adema puntos de discontinuidad son x = —— , x - — 4 4 senx

v=

\¡2(senx + cosx)

=> y = ' 2(senx + eos x)

3 x e R , tal que y' = 0 por lo tanto no hay puntos críticos

2 (senx + eos x)~

y" = 0

y =

x/2 (cos x - s e n x ) „ -\¡2 co s2 x — => v = (senx + eos x) (1 + seti2x)~

=> eos 2x = 0 => 2x = — 2

x = — => x = — + k n 4 4

K y¡2 Luego los puntos de inflexión: (— + k n , — )

\

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518 965


y = sen x. sen 2x Desarrollo El campo de existencia es todo R. Como y(x) = y(x + 2n) la gráfica es periódica cuyo periodo es x = 2tc Calculando los extremos en el intervalo [0 ,7t] se tiene: y' = 4senx. eos 2 x - 2se n 3x = 0 de donde:

2

2se/u (3cos x - l ) = 0

=*> x = 0, x =

t i,

x

1

= arccos(±- 7=) 73

para x < 0 , y' < 0

0 < x < arccos(—7= ), y' > 0

3 mínimo en x = 0, (0,0)

)

73 3 máximo en x = arccos(—= ) ,

73

1 1 M. arccos(—=■) < x < arccos(— = ) , y ' > 0 \ J3 .Ix \

1 4 (árceos - 7= , — = ) . n x .n 3 mínimo en x = arccos(— 7= ).

73

arccos(— j = ) < x < n , y ’>0

1 4 (arccos(— = ) , — = )

\

73 373

73

3 máximo en x = jt, (7t,0 ) x > tc, y '<0 y ’= Asenx. eos

x — 2sen x

=>

y ” = 2 c o sx (2 - 9sen

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x)

5


n

y j2

para a = — , x = arcsen(-^-)

=> x —K —arcsen(

s il

) se tiene y" = 0 por

n V 2 \y ¡ l V 2 4^7 tanto: (—, 0 ) , (arcsen{— ),------ ), ( n - a r c s e n — , -------- ) son los puntos 2 3 27 3 27 inflexión.

966

y = cos x. cos 2x Desarrollo El campo de existencia es todo R. Además y(x) = y(x + 271) la función es periódica x = 2tt Calcularemos los extremos en el intervalo [0 ,7t] y = c o sx . cos 2x => y '= s e A u ( l- 6 cos 2 x) luego para y' = 0 => senx{l - 6 cos x) = 0

de donde: x = 7t,

jc

= arccos(-4=), x = arccosf— j= ), x = 0 V6

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V6

520


Si x < 0, y ’> 0

0 < x < arccos(-7= ), y '<0

3 máximo en x = 0, (0,1)

)

A

Vó

3 mínimo en x - árceos 76’ árceos -7= < x < arccos(— , y’> 0 V6 Tó

(árceos—Lr, — %=) \Í6 3v6 3 máximo en x = arccos(— = ) , 7ó

1

arccos(— = ) < x < n , y'< 0

2

(arccos(— 7=),-— =) V6 3V6

&

arccos(— = ) < x < n , y' < 0 76

)

x > n, y '> 0

2

y '= s e n x ( l - 6 cos x) x = arccos,

13 - , v 18

(árceos I— 18 9 V18

=> 3 mínimo en x = 7t, ( 7t,-l)

y" = c o sx (1 3 - 18cos“ x)

x = a r c c o s(-' (arccos(-

18

)

se

tiene

13 _ 4 113 18 ’ 9 V18

Y

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y" = 0.

para

^ x = —,

Luego:

(—, 0) ,

2

) son los puntos de inflexión.


967

y = x + sen x Desarrollo El campo de existencia es todo R y = x + sen x => y ' = l + cosx de donde y' = 0

1 + eos x = 0

x = 71

como x < 7t, y'> 0 , x > 7t, y ’> 0

nohay máximo ni mínimo, la gráfñ

creciente. y' = 1 + co sx => y " = - s e n x = 0 => x = k7t, k = 0, ±1, ±2,... Luego (k7t,k 7t) puntos de inflexión Para x < 7t, y ” < 0 , es cóncava hacia abajo x > 7t, y '' > 0 , es cóncava hacia arriba

968

v = areseni 1 - \[x*) Desarrollo El campo de existencia [-2s¡2,2y¡2]

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522


1 V*2")

y = arcsen( -

-

*

' % V 7 V 2 -V 7

Luego y '= °° cuando x = 0, x = ±2sJ2 Luego x ~ ± 2 \ ¡ 2

son los extremos del campo de existencia de donde

(±2n/2,-1.57) Para x < 0,’ yX’> 0

-s

x > 0 , v '<0

V

=> 3 máximo en x = 0, (0,1.57)

2 2(3*3 - 4 ) >’ = --------------- r ~ 9 ^ 7 ( 2 - * 3 )3

-2

v =

llx 2 s ¡ 2 -s jx 2 y" = 0

=> 3*3 - 4 = 0

=>

x = ± 1.54 de donde

puntos de inflexión.

969

y =

Vi - * 2 Desarrollo

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(+ 1.54, -0.34) son los


aresenx y =—

,

=> y =

V i-.

\[ { ~ x 2 - xare.senx

tal que y' = 0 además y'= "o cuando x = ± l pero estos valore;

3 x e í

pertenecen al campo de existencia por lo tanto no tiene máximos ni mínimo

,

y =

Vl

y”= 0

- x 2 -

xarcsenx „ x(l - .i 2 - arcsenx(3x + J ( \ - x 2 )3 )) =------ => y = --------------------------- — —ü------------3 ( l - x 2)3

V o - * 2)

cuando x = 0 de donde ( 0 ,0 ) es punto de inflexión, tiene asín

verticales en x = ± 1

1

970

X

y = 2x - tg x Desarrollo y = 2x - t g x

=>

y' - -se c x de donde:

y' = 0 => 2 - s e c 2 x = 0 => secx = ±V 2 entonces: x = — + k n , x - — + A 4 4 i r

-,

^

2k + \

,

no esta definida para x = — , x = —^— tt para k = 0, ± 1, ± 2 ,...

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524


no esta definida para

=

Para k = 0, ± 1, ± 2 ,...

n , y i> 0 n n para x < — —,

,

TC

.

,71

.

71

3 máximo en x = — + k n , (— hA:7r,— h2 a: —1) 4 4 2 n 3x , „ m. —< x< — , y < 0 \ 4

4

'

■ 3a- , ,3n , 3tt • 3 mínimo en x = — + k n , (— + ktt, — +1 + 2kK) 4 4 4 3?r , „ .v > — , y > 0 4 y ' = 2 - sen2x => y " = I s e n 2x.tgx para y” = O se tiene x = krc, donde k = 0 , ± 1, ± 2,... por lo tanto (k7t, 2krt) son los puntos de inflexión.

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Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura. Catedrático de las principales Universidades de la Capital

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