216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale

WWW.SO WWW. SO LUCIO LUCIO NA NARI RIO O S.N ET Solucio narlo de Análisis Matemático Matemático por Demino vich tomo I, lli lli Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. Solucionarlo de Leithold 2da. Parte. Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3

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ANALISIS MATEMATICO II S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H

SOLUCIONARIOS UNIVERSITARIOS

T O M O II CO

W

n

n - \


♦

IN T E G R A L IN D E F IN ID A

♦

IN T E G R A L D E F IN ID A

♦

IN T E G R A L IM P R O P I A

♦

A P L IC A C I O N E S

E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S

INDICE C A P Í T U L O IV

INTEGRAL INDEFINIDA

Pag.


1.1.

Reglas Principales para la Integración.

1.2. 1.2.

Integración mediante la Introducció n bajo el Signo de la Diferenc ial.

1.3.

Métodos de Sustitució n.

45

1.4.

Integración por Partes.

57

1.5. 1.5.

Integrales Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado.

79

1.6.

Integración de Funci ones Racionales.

88

1.7. 1.7.

Integrales de algunas Funcion es Irracionales .

116

1.8.

Integrales de las Diferenc iales Binómicas.

129

1.9.

Integrales de Funcion es Trigonom étricas.

134

1.10.

Integración de Funci ones Hiperbólic as.

15 1577

1.11. 1.11.

Empleo de de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el Cálculo de Integrales de la forma

’

J

R(x , Vax1 Vax1 +bx + c) dx .

1 8

161

1.12.

Integración de diversas Funcion es Trascend entes.

16 1677

1.13.

Empleo de las Fórmul as de Reducción.

176

1.14.

Integración de distintas Funciones.

180

1

Integra l Indefinid a

C A P ÍT U L O

C A P ÍT U L O V

IV

LA INTEGRAL DEFINIDA 2.1.

La Integral Definida como Limite de una Suma.

2.2.

218

2.3.

Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. Integrales Impropias.

223

2.4.

Cambio de Variable en la Integral Definida.

2.5.

Integración por Partes.

2.6.

Teorema del V alor Medio.

234 248 261

4. 4.1.

INTEGR AL

I N D E F IN I D A .

REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEGRAC ION.

0

F '(je) = / ( x) entonces j" f (x ) d x = F(x ) + c , c constante.

(2)

J kf(x) dx = k j / ( x) dx, * es una constante.

@

J(/(jc)±g(x)<¿x = j f ( x ) d x ± ^ g ( x ) d x .

268

CAPÍTULO VI .31,.

[ A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N ID A © 3.1.

Areas de las Figuras Planas.

3.2.

Longitud de Arco de una Curva.

3.3.

Volumen de Revolución.

3.4.

Area de una S uperficie de Revolución.

3.5.

347

Momentos, Centros de Gravedad, T eorema de Guldin.

3.6.

357

Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas de Física.

276

y

u = yW .

se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )

TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.

310

Sea u una función de x.

325

377

Si J / ( x > k = F ( x ) + c

©

J ^ = 1 „ | „ | +C

©

J ^ T = r rc ,8 ,7 ) + c

2

Edua rdo Es pinoz a Ram os J

J u 2 +a

= ln(w + y¡u2+a) + c , a ? í 0

f u '

J y[a2 - u 2■= are. sen audu = -

^szn(u)du

1032

(i6x2 + 8jc + 3 )dx. Desarrollo

du

J

3

Integ ral Ind efinida

-+c

+ c = -ar e. eos

, a> 0 ln(fl)

+ c, ;a > 0

(6x2 + 8* + 3 )dx = 6 J x 2dx + 8J xdx + 3J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x + c

10) \ e u d u = e u + c

J (l2)12) j"Ieosu du = senu +c

= -cos(m ) + c

1033

x( x + a)( x + b)d x

Desarrollo

?

+y *

C i x a + b 3 ab 2 í x( x + a) (x + b)d x = \ ( x 3 +( a +b )x 2 +a bx )d x = — + - — x +c

í<

j t g u d u = — ln|cosw| + c = lnjsecMj + C!

^4)

tgu.du = ln |sen m|+ c 1034

Jsec u.du = tgu + c

Desarrollo

J c s c 2 u.du = -c tg u +c

Jcscu.du = lnjsec¿¿ + tgu\ + c

(l^ jc sc u .d u = Ln \c sc u -c lg u \ + c

Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c

@ Jcosh(M)¿K =senh(«) ) + c

(a + bx3)2dx = I (a2+2abx3+b2x6)dx = a2x + Y x* +^ -j - + c

=I<

1035

Hallar las siguientes integrales, em pleando las siguientes reglas de integración: I5a 2x2dx J

Desarrollo

J 2 p x dx.

Desarrollo

@ Jsec2h(u)du = tgh(n) ) + c

j c s c 2 h( u) .d u = ct g h (u )+ c

1031

(a + bx^)2dx.

\ ¡ 2 7 x d x = V 2 ^ J x U2dx = ^ 3/2 y¡2p +c =

1036

Desarrollo

x j l f x +c

4

Eduar do E spinoza Ramo s

Integ ral Inde finida

\-n

1037

= — X4y¡X ----- x 2\f x ~ 6 y jx + c 13 7

(nx ) n dx.

I

Desarrollo 1041

i Tx

j p l l í i P P I (nx) n dx = \ u n — = —I m" du = (nx)n+ c

1038

í

Desarrollo

„n \2 ,f jc2"1- 2jtm+n + *2n 2« f U .m m- xn)2

----7i -- dxi

J—

(a2,3- x 2/3)3dx.

2x2m4~x 4m +1

Desarrollo J ( a 2/3 —x2/3 )3dx = j (a 2 — 3a4/3x2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx

2

9 4/3 5/3

= a x — a 5

1039

x

9

+—a 7

2/3 7/3

x

X 3 -----

1042

+c

Axm+n4~x 2m + 2n +1

2xln4~x +c 4« +1

4x f_ dx

\f - yjax

Desarrollo

f(Va-Vjc)4 d _ f fl2 -4ayfax + 6ax-4x \[ax + x2 ^ \[ax 4a x J J

J (yfx + 1) ( x - \ [ x + \)dx. = J [a2(axy in - 4 a + 6-Jax -4 x + x2 (ax )“1/2 ] dx

Desarrollo

J"(%/3c-H1)(x -\ fx + \)dx = jí * 3'2 +i)dx = ^ x 5/2 +X + C= —^ - J x + x + i 1040

£2=* fr (x íü2d - 2 a:2m+2n~1 2 + jc 2

2x 3 = 2a Jax - Aax + Ax^f ax - 2x 2 +— = + c 5 yfax

( x 2 + \ ) ( x 2 - 2 ) j

J--------3^7-------- dx

JU

+l)^ _

2)dx =

1043 Desarrollo

J (*10/3 -X 4'3- 2 x-2,3)dx

~ l ^ 2dx =

J í ! +7

Desarrollo

6 1044

Eduar do E spinoza Ram os

Í

dx jr2—10

1048

í \¡4 + x2

b)

| J (x +4 )

Desarrollo

I tgh2 Desarrollo

Desarrollo

Por la fórmula 7 se tiene:

1046

1tg2 J

r r J , 8! A»fe = J< Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .

1 x + Vio ln +c C-VÍO 2V10

¡ T T o ' Í T - - (Vio)2

1045

a)

Desarrollo dx

1

Integ ral Indef inida

Jtgh2 xd x =

= In I x + \l x 2 + 4 I+ c

1049

I V8-JC2

a)

J(l-sec! Ax)iír

=

x-tgh+c.

1 c tg" xdx. *

Desarrollo

tVv *

Desarrollo [ c t g 2 x d x - J(csc2 x - \ ) d x

X

CtgX-j:

•---------------= o re. sen (— =■) + c , resulta de la fórmula 8.

t e

- / 7(272)2 -* 2

2 V2

b) 1047

J í

■ s/2 +x 2 - J 2 - X 2

1c tgh xdx. w

Desarrollo

dx

•Ja-x*

J,,g

Desarrollo

yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 JC =/J 2f + x 22 - * 2 ( ^X 22 y / 2 -V dx dx » V^4-X4 V 4 - r4

1050

¡3xexdx

Desarrollo = f ~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2 por fórmulas 7 y 8.

Ln x + y¡2 + x 2 + c Í3xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ ln(3e) J

J

+ C.

8

4.2.

Eduar do Es pinoza Ramos

Desarrollo

INTEGRACION MEDIANTE LA INTRODUCCIÓN BAJO EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL. J ax + l3

Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:

J* f(y /(x )). y/' (x )d x = J f( u )d u , don de u = y/(x)

1056

a

a

a

\ ^ d x

2

f X + 1dx = f( x + l + — — 1 )dx = — + x + 21n |x -l |+ c

J

x -l

X

------

1057

Desarrollo

f x 2 + 5x + 7 , I --------------dx J x+3 Desarrollo

sea u = a - x —>du = -d x —>dx = -du

f ad x f dx f du , , c aLn + aLn - aLn \ -----I ------ = a I ------- = - a I — = — J a - x Ja- x J u a -. 1052

a + ¡i

J x - l

J x -l

adx - x JJ a-

Ja

Desarrollo

a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la diferencial.

, , 1051

9


f 2 x + I3dx

)dx = — + 2x + In| x + 31+c — -— f x +^ X + '! dx = j*(x + 2 h J x+3 J x+3 2

1058

J 2x+l

J

x -l

Desarrollo

Desarrollo -----------[ l—^ d x f (- —+— (—í— ))dx —— x + — Ln | 2x + 3| J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 4 2

1054

[ x U x 2 + 1 d x = f ( x 3 + x 2 + 2 x + 2 + - Í - )dx x-l x + l J J

+c

f xdx

r4

r3

= — + — + x 2 + 2x + 3 1 n | x - l |+ c 4 3

J a +bx Desarrollo f xdx f 1 a, 1 , x a , . I --------= I [------- (-------- )]dx — ------ —L n \a

J a + bx J b b a + bx 1055

1

I — + b dx ax+ ¡5

b b

,

.

+ bx \+ c

1059

í

(a + -~-)2dx X-fl

Desarrollo

b Yi d x f a 2- 2ab b~ . , 2 rI (a + -----o /1 1 i ^ ----- T)dx - a x + 2aMn | x - a | + c = ( + ----------------------------+ x - a J x - a (x-fl)“ x ~ a J

10

1060

Eduar do Esp inoza Ramo s

11

Integr al Indefi nida

J (jt + X1)2 dx

f - ¡ J L = d x = í( x2 + i r 1/2^ =

\u~U2 — = yfu+C = J x 2+l+c

JV77T

J

J

2

Desarrollo 1064

sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l \ ~ T du= f ( ~— i (JC+ 1)2 J u2 J U u 2

1061

u

x + l

J Vw Desarrollo

J 1062

X

Desarrollo

= ln | w| +—+ c = ln|* + l|+ —— + c Cyfx+lnx, f . 1 ln * \, 0 r , ln x - ----------dx = l(-pr + ----- )dx = 2 ^ x + —— + c J X J yjx X 2

f bdy

Sea

f y /x + lnx -d x

J

1065

Í — J 3x2 + 5

Desarrollo

u = 1 - y => dy = - du

=—J —¡=ar ctg C^ -) + c =-^= arctg (x í^) + c í — t — = í r f X — V5 J 3x + 5 J (J3x)2+(J5 )2 S S %/I5 \¡5

=b ~ y^ll2(iy=~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = -2 b y] l- y + c 1066

JVa-bxdx.

f

J

dx 7*2+8

Desarrollo

Desarrollo Sea

f s¡ a -b x dx = fwl/2(-^-) = - - \ u m du = - — u>f ü+c = - — ( a - b x ) J a - b x +c J J b bj 3b 3b 1063

dx 1 x 2 -8

u - a - bx => dx = ~— b

_ , dx --------------------- - ; 0 /2 +c J (V7x)2-(2>/2)2 y¡l 4V2 J l x + 2 ^ 2

dx

=r

dx

J (a + b)- (a~ b)x 2 J (Ja +b)2 -( J a -b x )2

11

yf a—b d x f f __________________ J (Ja + bj2 -( - J a - b x )2

Desarrollo 1 . yj a+ b + sj a —bx . ~ln ,----- ---- f = = - \+c 2yja-b.\¡a + b \la + b - y/a- bx

12

Eduard o Es pinoza Ramo s

1 2yja2 - b 2

1068

r

. . yfa + b + y j a - b x . In | ------ ----- — | +c Ja + b --> J a - b x

x 2dx

= 1 Ln 12- 2 x + 7 + 8 jc2 | +c , por la fórmula 7 2v 2

1072

x 2 + 2

Desarrollo

dx

Í yj l - 5 x 2 r

1069

dx

Desarrollo _ j* ______ dx

1073

'¡5dx------- =-^=arcsen(^í) + c

i

J 3* -2

Desarrollo

2 2 2 f / x v f x a t o. (* + ~ -----= - (— + — In | jc - a |) + c J x~ - a 2 2

f x3dx

yft dx

Jt2 - 5 x + 6

dx

x 2 +4

f

5x-2

J

x + 4

C x 2 - 5 x + 6 j J

I —

x +4 1

~

7

~

=

f

( 1 —

r ~

2

f J

; ) d x = I * 1 —

5x

,

1,

2

.

5 . .y ¡3 x- y ¡2 , 2>/3.V2 \¡3x + yj2

oHonr,a»q = —In - 2 l - 2^ ln l ^ + V 2

2

* +4 x + 4 2—

+

~ i —

In | *2 + 4 1+arc.tg(—) + c

2

) d x

1074

I,

T I

^

i„

| 'fix

+c

3 - 2x ,

Í 5x +7

dx

Desarrollo

dx

J yJl + Zx2

f

dx

j yl l + Sx 2

f j yj l + ( 2y ¡2 x) 2

-

1 f 2\¡2

=2 f

J 5jc2+7 SJ .X

Desarrollo

r

1 , 3

= - l n 3jc2 - 2 ----- r - r 'n H r ---- /x l+c

Desarrollo

1071

_ 1 |*

x3dx

I a~2 - x F Desarrollo

1070

13

Integra l Indefin ida

2yfldx

J y¡7 + (2^/2x)2

f 5

ÜÜL =

5Jí! +7_ 5V7 5

3 ar ctg (^ x) - ^ In 15x2 + 7 | +c >/35

- i l n 15 ^ + 71 +c

^7 5

14

1075

Eduard o Espinoz a Ram os


3.x:+ 1

J \lsx2 +1 dx

) a 2x 2 +b 2

J a2x2 +b2

) a" x +b"

Desarrollo ( - * 2 L dx. 3 [ ' tb+ ( * =1 f J y j 5 x 2 +l J s]5x2+l J yj5 x2 +l 10 J y¡5x2 +1

i f

1 , 9 o »? i 1 = — l n | a ' j r + ¿ r | + —a rc .t g( — ) + c 2a a b

Vm.

S J ^(y¡5x)2+1

1080 - j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \ yÍ 5x +y ¡5 x2 + 1 1+c 5 \5

1076

f

jcdx

J4 7 ^ 7 (* xdx

x + 3

Desarrollo

_ 1 f

2 xdx

2

_ J_ = -ârc. sen(— ) + c úT

J Va4-*4_2j^4_;c4"2

I s ¡ J ^ 4 -dx Desarrollo 1081 i r ? ' dx + 3 í ------- = V-*2- 4 + 31n | x + yjx 2 - 4 |+c , por la fórmula j \ x - 4 J yj x 2 - 4

J i« 6

Desarrollo „2 ,

1077

f iL * L = f A
í x 2 - 5

Desarrollo 1082 f ^ - = i f— J a:2- 5 2 J x —5

1078

—ln |x 2 —5 |+ c 2'

J 2jc2 +3

j" x 2dx

J VTm f x j V* 6 - l

Desarrollo 1083

Desarrollo 1 f 3a = -ln | x3+ \¡xb - l | + c , por la fórmula 7 3 J V(;t3)2 -1 3

arcsen* , f jares' dx

J vT : x 2

Desarrollo 1079

J a x +b Desarrollo

J S p * = |
dx

Eduar do Espinoz a Ra mos

16

donde u = arcsen x => du =

donde u = ln(x + vi-+ x 2) => du

\¡\ —X 2

2 2 u 2du = —u 2 +c = — (arcsen x)2 +c 3 3 í

1084

f arctg(^)

1085

dx \ll + x 2

2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl + x 2 ) + c

1087

f arctg(~) -------- é~dx 4 + x2

17

Integr al Indef inida

J ae~mxdx Desarrollo

Desarrollo j f 2arctg(^)

j f

du Sea u = -mx => dx = ----m x

2d x

arctg2(

f e“ ( - —m ) = - -m J\ e udu = - -me u + c = -m- e ~mx+c

” t C

\a e- mxdx = a J J

1088

l + 4x2

\

42~3xdx

Desarrollo

Desarrollo f Jr -7 a r ct g 2 Jr d,j = 1 f j £ * 8 J 1+ 4* J 1+ 4x 2

du J 4 2 3^<íjc = 16J"4 3xdx, sea u = -3x => dx = -'-

i f ( arclg 2 f ) 3 - i * l + 24x2 J

16 4“ 3 ln(4)

3

= -l n |l + 4jt2 I--(arc tg2 x)2 +c 8 3

1086

)dt

1089

dx

Desarrollo

h yj(l + x 2) ln(x + Vi + x2) Desarrollo

f ■

^

,

____

J y/(l + x 2) ln (x + J l + x2 )

- ¡ IM x + J u x 1 )] J

J ( e ' ~ e ~ ' ) d t - j e ' d t - j e ~ ' d t - e ’ +e~' + c -----

vl + x

m -

1090

*

I (ea +e a)2dx

Desarrollo

- 4 2.4~3* 31n4

42~3* -+c 31n4

Eduar do Espinoz a Ram os

18 m

x

x

m

2x

2x

2x

2x

i (ea +e a )2d x - I (e a +2 + e a )dx = ^ e a + 2 x - ^ e a +c

Sea u —x~ => du = 2xdx => xd x = — 2

x ~ b,_^2 x)2 f (a-x -d x J axbx

1 7 +c í x . lx dx = [ 7 ^ ^ = Í7 “ — = - Í 7 "d « =- — - + c = ---------2 ln(7) 21n(7) 2 2J 21n(' J J J

2

1091

2

Desarrollo

l

1095

f(( a-b y - 2 + £ aY ) d x

2 (■ 2* ^ „ x < x . . 2 x \ ^ x - b± d x = dx= a'bx J axbx J J

X

„

y

X

dx

1I5 ^ — T x

Desarrollo

x 2 o y

r Sea u = yjx

J e~ ^+l)xdx = J e \ ~ ) = — fe ^d u = ~ \ eU + c = _ ^ " (Jrí+1> + c

dx dx => d u - —=• => 2d u = —j= 2\¡x s¡x

{ 5J~xdx = \ 5“.2du = 2 ( 5“du= — + c = — 5 ^ + 0 ln(5) ln(5) ln(5; Vi J J

J

Desarrollo

Sea u = -( a '2 +1) => du = -2x dx => xd x = ~ — 2

X

\_

f _a _ -r1f * = f , (a- = — - j= )d x= \ ( a 2 - a i ) d x = - . ~ — 1, + ------f . y + c - § w 2a In a In a 3 lr j ¿ Y J y fc 7 7 J

Je + ^ x d x

Desarrollo

J —e dx = j e u( -d u) = - J eudu = — + c = -e 1 + c 1096

3x ix

7dx

X

[alX~XA J- J T *

Desarrollo

1093

1I

1 dx dx Sea u = — => d u = — ■? => — = -d u

¿Y i-)x j fl b - b _ +^ — - 2 x +c = ± r - ( £ ) x + (- ) x) - 2 x + c 'n a ~ h l b b a ln(—) ln(—) b a

1092

19


1097

f — — dx J ex - \

Desarrollo

Sea «=£*-1 => du = exdx

1094

I

*.7* <£t

í C> — - = f — = In | m| +c = In | e* - 1 1+c

Desarrollo

J ex- l

J «

Eduardo Espino za R amo s

20

f axdx 1 f du 1 1 , ------ — = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c maj\+u J l+a lna lna

bexdx

1098

21


Desarrollo Sea u = a -b e

,

[ ( a - b e x ) ^ e xd x - [ u ^ J J X

1099

I

e~fa¿jc I+ e~2hx J 1-

f-

X . dU . r. => du = -be dx => e dx — ----b

b

Desarrollo

Sea u = e hx => du=-be~hxdx => e~bxdx = - —

[ u ^ du = —— u^ +c =-^- -J( a- be x)3+c b J 3b 3b

f
1 X

(e a +1 y >ea dx

lf á 1 , x 1 , — w2’ = _ 7:arcts (M)+t: = - Tb arctg(^ ) +c b ¿ Jh 1+

Desarrollo

¿ - dx Sea u = e a + 1 => du = e a— => ad u = ea dx a

1103

dt

f-

J 1-«-e2' Desarrollo

Sea w= e' => du = e‘dt

* * 3a 3a — f - — f f I (ea +l)3eadx = I u3adu = a \ u3du =- ^-u i +c = — (e a -1 ) 3 + c

f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ . I — = I ----- í- = -ln ----- +c = —l n -------1+c

1100

J

dx 2X+3

f— J 2* +3

J l —e

Desarrollo

1104

J l-u 2

2

1-M

2' l - e ' '

J sen(a + bx)dx Desarrollo

—f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X+ 3 1)+ c 3J 2* +3 3 ln2

Sea u = a + bx => du = b dx => d x - — b

110.

l-a™

J \ + a

Desarrollo

f 1 f r du J sen(a + bx)dx = J sen(w)— = —I sen(u) du

= - — cos(«) +c = -ic os( « + kO+ c

6

fe

Eduard o Esp inoza R amos

22

1105

J

23


Jt COS(~ 7 =)dx

J senflog x )—— = J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J*sen (u)du

v5

Desarrollo

Sea u - -—= =>

= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c

1109

\¡5

i sen2 xd x

Desarrollo

J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen( «) + c = . 5 sen( * ) + c

., ,

?

1 - cos2jc

Usar la identidad: sen x = ----- ------

1106

J (cos(oa) + sen(ax))2dx

- cos(2jc) ,

(cos(a.v) + sen(
(ax) + 2 sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx

x sen(2x)

Jsen2.xí¿t = j i ------------d x - ---------------+ c

Desarrollo

2

1110

2

4

j e o s 2 xd x

Desarrollo = I (1 + 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2
1107

2

2

Jcos(Vx). dx

4~x

J*cos2jc
Desarrollo r dx dx _ , Sea u = y/x => du =— -¡= => —¡= = 2du 2 \Jx y X

1111

j* co s(V x) .-^ - = J*cos(u).2du = 2 J eos(u)du = 2sen(w) + c = 2sen (\fx) + c

1108

1+ cos(2jc)

Usar la identidad eos x = --------------

í

4

Desarrollo

[ see2 (ax + b)dx = f se c 2u — = - | see2udu = -tg n + c = -tg(ox + fc) + c a a J a a J

J

Desarrollo => — = ln(10)í/w a-

í secz(ax+b)dx

2

du Sea u = ax + b => dx = — a

sen(log x) .— x

Sea u = log x => d u - ——— ln(10)x

2

1112

j c t g 2(ax)dx

24


Desarrollo Usar la identidad:

je tg2(ax).dx = 1113

f

1114

1+ c tg 2 x = ese 2 x

J (csc2(ax) -1 )dx =

_*+c

dx K 3cos(5 x-—) 4

Desarrollo

dx 1 i 5x JT. i " ------ = — l n |t g [— + - ] | + c o /« * * 1 5 2 8 3cos(5x ---- ) 4

dx sen(-)

Desarrollo

25


1115

dx sen(ax + b)

Desarrollo _ x _ , x „ ,x , Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— ) a 2a 2a

Se conoce sen(ax + b) = 2 sen(

sec(^) 2a dx i— - \ ' sen(-) J 2sen(— ).cos(— > 2 ¡ sen(— ) 2a 2a 2a dx

f ■ J sen(ox + b)

X ) see2,(— 2a

du = see (— ).— 2a 2a

? JC De donde se tiene: see (— ) dx = 2a dx 2a

dx

,a x + b s

ax + b J 2 sen(—-— ).cos(—)

—- — ) , [>sec > , , a x + b . . =12, Jf. -sec( - - 2 — dx = - i - - - - h r dx = - l n ltg(— ) ! + c s n ,(£ £ ± * ) .g(H ±í, “ 2 ,

j f sec2( ^ ) -dx = -1 ‘f 2a dx - l i sen(— ).sec(— ) 2j 2a 2a Sea u = tg(— ) 2a

f

ax + b ax + b — ).cos( ^ )

1116

J

xd x cos2(x2) ~)

rsec=(í^>

Desarrollo

26

1117

Eduar do Es pinoza Ramo s

J *sen(l-jr)í£c

1121

Desarrollo

1‘W^r b )dx Desarrollo

Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —

J*.í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2 )x dx = J sen

27

Integ ral In definida

Sea u = — a -b

=* dx = (a-b )du

J c tg (—^-j-)dx = J e tg a.(a - b)du =(a- ¿?)J cigudu

f»

1 Jf $enud 1 j 1 u = —cosu+c -X 2) + c = —cos(l

1118

X = ( a - b ) In Isen u | +c = (a - b )ln | sen( ------) | +c a -b

r - \ ) 2dx I sen(;t sen(xv2)

1122 Desarrollo

I

dx ,x . W j)

Desarrollo J (¡enxv^ ~ 1)2 ^dX = J (CSC^

~ 1)2 ^dX = J (CS° 2^(Xs^ ) " 2 csc(;cV2 ) + IWjc

= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | ln |,g(^

1119

r , r f cos(|) )dx = I -------- dx = 51n | sen(— ) | +c I — — = I ctg(— J t tgCj) gíí) J 5 J s en A 5

)|+ c 1123

/ tgxdx

J tg(\fx). dX VI

Desarrollo Sea

f * * * = f — dx = -ln eos * +c J J eos Jf 1120

Desarrollo

i i dx dx ~ , — z = \ x => dz - — => —¡ = - 2 d z 2yjx yjx

J tg(VÍ).-^ = Jtg z. 2d z = 2j tg zd z = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c

tg xd x

Desarrollo \cigxdx = J J senjr

= ln | sen jc| +c

1124

v" +1 )dx JxCtg(A'2

Desarrollo

28

Eduardo Espino za Ra mos

=> x dx ——2—

p o s t a d La*«,))-*.**«)*. J J sen (ax) J

J xc t g(x 2 + 1 )dx = J r tg(x2 +l)x dx = j c l g u . ~2du

donde u = sen (ax) => cos(ax)dx - —

Sea u = x 2 +1

1129

dz

íc os (—).sen(—) -)dx a

a

f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I l n l z l+ c = - i l n | 3 + COS(3x) |+ c 3J z 3 3

J 3 + cos(3jc) 1130

Desarrollo fco s(—).sen(— )dx = —sen 2(—

J

1127

Desarrollo

Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3 x)d x = ——

f f secx , f see x , , , , dx I ------------- = I ------- dx = I -------- dx = ln tg x \ +c J sen xcos .r J senx J tg jc

J

a

a

2

sen*, eos jc

.

rdx

I Veos2Jt-sen2 x

Se conoc e que: sen x.cos x = — ^—

Desarrollo

f sen xcos x = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx J Veos2Jt.sen2x ~ >/cos(2x) 2J

I sen3(6x).cos(6x)í¿v

J* sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju i du6

y e os x — sen x — cos(2.r)

yJcos(2x)

u4

sen4(6jc)

24

24

— = —

J

Desarrollo

a

Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx

1128

+c = — J-+ C = --------!,¡ u a a sen (ax)

sen(3x)djc

I 3 + cos(3 jc)

dx í sen x. eos x

Desarrollo

1126

a

du a

= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) | +c

1125

29

Integr al Inde finida

2~

+ c - --------- — - + C

cos(ax) , dx sen5( ax )

Desarrollo

1131

V

1+ 3 eos2 x sen(2*)dx

Sea u = l + 3cos2 x

Desarrollo => du = - 6 eos x . sen x dx

30



f l + sen(3.t)¿jr_

du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2 x)d x

J*(l + 3cos2 x )2 ,sen( 2x) dx = — i j u 2du = ~ u 2 +c = -^ yj (l + 3cos2 jc)3 +<

1132

J cos2(3x) 1136

,sec 2(—)dx Desarrollo

(cos(üx) + sen(ax))2 sen(ax) Desarrollo

J

Sea u ~ tg( ~) => 3du = scc2(^)d x

sen(cijc)

f l + 2sen(ax).cos(flx) ^ J

sen(ox)

J (cs c(ax) + 2 cos(ax))dx = —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c

1137

f csc3(3x) _ ^ J b - a c tg(3x) Desarrollo

eos2 X x Desarrollo

f ^ ^ J eos" x

Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x

J

3

í sen (x)

1138

J (2senh(5x) - 3 cosh(5x))t/x Desarrollo f

c c t s 3 ( x ) r ~ ^ ~ I r---- |ctg3(x).csc ( x) dx = — c t g 3( x) + c J sen (x) J 5

+ sen(3x) ,

cos2(3.y)

V1

f _ £ ! £ ! 2 í L . ^ = _L f = _L | +c . ln | u | +c = J-ln | b-- a Ctg(3x) 3a J u 3a 3a J /?-actg(3x)

Desarrollo

J1

dU 2 ~^¡~csc

= f(tgx)2.sec2 x d x = — tg2(x) + c

2

1135

_

dx

1133

1134

J

r (cos ( ojc) + sen(ax))

3

. X Jtg3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = û 4 + c = -3t g a( - ). + c 4 3

í

c f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx = tg(3x) | sec(3x) |

1139

dx

Desarrollo

2 3 (2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c

1

senh2 x d x

Desarrollo

32

Eduard o Espinoz a Ram os

cosh(2*)N, x senh(2x) Jsenh2 x d x = J (—i H------------- )dx — ----- 1-------------- 1-c 2 2 4 1140

33


í c tgh( x) dx = f C°Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c J J senh(x) Hallar las siguientes integrales indefinidas:

í senh(jc)

1145

Desarrollo

í'^

■x2dx

Desarrollo d'X = ln | tghí^) | +<~ senh(x) 2 J x\¡5 - x 2dx = J*(5 - X 2 )5 xd x = —^ j*(5 - x 2 )5 (-2 x) dx = dx cosh(jt)

1141

1146

Desarrollo

f — —— = f ------- d x - 2 f e— - d x - 2 arctg(g*) + c J l + e2* JcoshU) J \ + e2x 1142

i senh(jc).cosh(jc) f

dx

Csech2( x ) ,

J tgh(A‘)¿V

, .

,,

.

1147

1A + 5 f x 3dx _ f

= (x3-l)dx

Desarrollo x 3dx

J ^ 5 _ J (a4)2 +(y¡5)2

Desarrollo

J" tgh(x)dx = J* Senj^ *| dx = ln | cosh(x) | +c

4

f — - — — í dx = — f — = —ln |m |+ c = —ln | a 4 -4 x + \ \ +c J x 4 — 4jc + 1 4J u 4 4

I -------------------- = ------- — dx = -------- — dx - ln | tgh(x) | + c J senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x) 1143

Desarrollo

Sea u = x 4 - 4 x + l =$ -

Desarrollo

f seeh(x) J

J x - 4* +1

1148

1 , x A tg(.-!=)+ C 4^5 Js

í xe x dx Desarrollo

1144

\ctgh(x)dx

Desarrollo

a2)6

+C

34

Eduardo Espino za Ra mos j xe x d x = j e x xd x = —i j e udu

= —21 e« +c = — 21e

+c

35


1152

f 1-sen*

J * + cos*

dx

Desarrollo 1149

J 3 - > / 2 + 3.í 2 dx 2 + 3*2

Seaz = Desarrollo

fj—sen. x_ ¿x = í — = ln | z | +c = ln | * + eos * | +c

J * + cos*

dx J

2 + 3*

J 2 + 3*

J 72 + 3*‘

1153

Usando las formulas 4 y 7, se tiene:

f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx J 2 + 3* J 2 + 3* =

f jg(3*)—ctg(3*) _ f (Sec(3^ _ c tg(3x)csc(3*))d* J sen(3*) = - [ln | sec( 3*) + tg(3*) | + ---- ——] + c 3 sen(3*)

ln | \¡3x + y¡2 + 3x 2 \ +c

f¡L±dx J *+1 Desarrollo (* -* + 1

f tg(3*)-ctg(3*)^ sen(3*) J

J

1154 1150

J z

Desarrollo

f Jx J V2 + 3*2

arc tg(* ^-) -

x + cosx =» dz = (1 - sen x)dx

— )dx = - (-*—21n * + 1 +c *+1 3 2

J

dx *ln2*

Desarrollo x

donde u = ln x =>

dx d u - — *

---

Desarrollo

1155

= f«

- du = 2 . 1— + c u

f d\ - = f(lnx) J *ln' * J

J

1 -c ----------1 ln(*)

see2 xd x

J y¡ig2 x - 2

Desarrollo

Sea u = tg x => d u = se e2 x d x f see2 xd x

f

J s]tg2 x - 2

J yju 2- 2

I

—- I

du

, , r —In Iu + \lu 2- 2 | +c = ln | lgx + \jtg2x -2 l+ c

36

1156


J (2h-----2x —+1 )-2x* +1 f

x

dx

f xd x 1 f 2 xd x 1 2\ = = = = = = —aresen( x ) + c I , ____ = —I — JV ÍI7 2 2

Desarrollo C dx

f

xd x

1160

J *"+ 2x2 + 1 2x 2 + 1 ~ J 2x 2 + 1+ J (2x2+ 1)2 = \Í2 arctg(W2)-------- —— + c 4(2x“ +1) 1157

J sen2('(^r)dx 2 Desarrollo

In a

« , , 1-cos(2jc) i Por la identidad se n' x ---------------- se tiene:

= asenx eos xd x

J sen2(-^)ífa = J - —eos x dx . = x 2 ---------

f sen* f du 1 a senx la cos xdx = I ----- = ------ u + c - ------- + c J J \n a lna lna

1162

J* x 2dx

JW T \

Desarrollo

dU ■y „ 3 , Sea u = x +1 => — = x~dx 3 du 1 f -r 2 . I — ...-..... - I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = — u J 3 2

J

3

1159 x 4

Desarrollo

2

J \¡4-tg2x f see*2 xd x

f

sen*

---------------

see2 xd x

Desarrollo

f X d x

Desarrollo

Desarrollo

Sea u - a sen x => du - a scnx cos x. In a dx =>

1158

í Xg2(ax) dx

¿(ax)dx= ' x + c I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ a x >J"tg = J*( tg2(ax)dx

1161

í asenx eos x dx

37


1163

f

= aresen(-----) + c

dx

^ eos(—)

Desarrollo

hc

38

1164

Eduar do Es pinoza Ramos y¡\ + In x

1168

---------- dx

1

sen x-e os x ,

dx sen x + eos x 1---------------

Desarrollo

, , . f sen x - eos x , f du , --------------- dx = I ------ = - l n w + c = - l n | s e n x + co s x |+ c J senx + cosx J u

3 3 J Vi + ln x — - J*“ 3d u - —u 3’ + c = —(1 + lnx)3 +c 4 4 l

x-1). J y fxx -- l

J

1169 Desarrollo

Sea z - y j x - l

dx „ , => dz= J í — => 2 dz = 2yjx~l

(1 - sen (-~))2 --------í se„<-|) Desarrollo

dx

, ( l -s e n ( ™ ) ) 2 f ----------- — — = í ( ---- -------- 2 + sen{-^=))dx

yjx-l

sen(-^=)

J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tg zd z = -2 1n(cos z) + c = —2 ln | eos Vx- 1 | +c 1166

i

sen(x2))

f x dx 1, , , r %l

1

,,

I

x dx x 2 - 2

Desarrollo dx - 1(1 + —^ — )dx = x + -^= ln j —— | +c x —2 V2 x+V 2

e ^ '+ x ln ü + x V l dx 1+ x2 Desarrollo

1171

Ce ^ + x W + x ^ + l ^ . = ,f . e aMgv x ln(l + x 2 ) 1 w dx = | (- ----- - + --------- - + -------- ) d x

J

"72

2

1170

I------- j - = -In Itg(— ) | +c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + c sen(x) 2 2 2 J sen(x

J

sen(^=)

= V2 ln | fg(~ = ) | -2x - yj l eos (-j=) + c

xd x

Desarrollo

1167

Desarrollo

Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx

Sea u = 1 + ln x => du = l~ x

1165

39


1+x2

X ~ J

=e

1+ X

1+ x~

1+ X

arctot ln (1 + X ~ ) ° + ------ ------- + arctg * + c

f (1 + A-)2 -dx x¿) J x(l + x2 Desarrollo

40

1172

Eduard o E spinoza Ramo s

Integra l Indefinid a

j"esen* se n lx d x 1176

Desarrollo

£ í , e — - dx s¡e2x - 2

Desarrollo

Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx

f J 4elx -2 e 'd x

1173

5 f - .5 3A dx J Vi"-3^ J 4 - 3 r 2

1177 Desarrollo

f 5-3* f I ~~r ' ti* = 5 I J V4 - 3* 2

1174

d* .....

f x d x 5 V3* I ------- 7 -3 I = -=arcsen(——) + V4 -3* +c JV 4-3 7 V3 2

1178 Desarrollo

dx sen(fl.v). cosía*) ¡

1 2tt? , sen(— + yf0)dt i '

eos 11 T , 2tt/ = - r ------ + c = ------ cos(-— +v^0) + c 2n 1 27T

Desarrollo

f _____ * ____ _ = _ L f _ dx

a - b j aa + b |a - b

Desarrollo

j s e n ( - ^ + 1/ 0 )dt = J sen u.T — = ~ J sen u du

h (a + b) + (a -b )x ~

J (a + b) + ((a-b)x~ a-b)x1

m |^ + V ¡ 2^ 2 | + c

2n ., rj. du 2 Kt Sea u — -----+ i//n => d u = — dt => dt = T — ~ T T ¿n

J l+e

= -[ln |l + eJC|-* ] + c = * -l n |l + e* |+c

1175

=

f = f sec(^2
f dx f , I — ---- = I ------- -í/* = - l n 1+ e ■* +c = -{\n(} + ex) -l n e x] + c

J e +1

f - 7=¿ £ = J J ( e A) 2 - 2

Desarrollo

f ¿*

J e*+1

-

1 1 ¡a + b

t = arctg (~ t ) + c " ¡a+b

1179

r rf* J *(4-ln2. *(4-ln~ *) Desarrollo

a~b. 1 -arctg(* / ------) + c ■Ja2 - b 2 Vfl + ¿

Sea u = !n x => du

= —dx

42

Eduardo Espinoza Ramos

f .f _ * J x ( 4 - l n ' x ) J 4 -u ~

sen 2* sen x.cos * = --------

1, , 2 + ln x , l |„ |i± ü +c- — l n --------- +c 4 2-lnx 2-u 4

f -------—-------= 4 f — ^ = 4 f csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + c J sen“(2x) J

. arccos(—)

J sen2x.cos2x

1180 Desarrollo

1184

dx Sea u = arc cos (—) => du = — — / l_ ( |) 2 2

í

V^ X2

¡ ^

1185

x +

x

l

f _

^

+c

2.......

J vsec x + 1 Desarrollo

J* e~tg' .sec2 x d x = -J* eV « = —e" + c = -e _tgA + c

fI secx.tgx—
cos(2x)

I 4 + cos2(2x) dx Desarrollo

f senx. eos .v , dx J V2 - sen4 x

Desarrollo ,------ ----- -dx = — arcsen( — =—) + c

V2-sen4*

dx= ^

f secx.tgx , J i

e~lg 1see2xdx

Sea u = - tg x =» du= — sec2xdx

1183

aresen x + x , dx •x2

Desarrollo

Desarrollo

1182

í

du=-

-arccos(-) f «2 1 I — -j— 2 d x = - \ u d u = - — + c - — (arccos(—))2 + c J V J 2 2 2 V44 -r 2 1181

43


2V2

dx

sen2.v.cos2* Desarrollo

1187

f cos(2x)
f

J 4 + cos2(2x)

J 4 + 1—sen2(2x)

f— í i J 1+ cos

cos(2x)

f cos(2x)rfx

J 5-sen2(2x1

Desarrollo

1 ^ i ^+ sen dx ) +c 4^5 V5-sen(2x)

44

1188

Eduard o Esp inoza Ramos

f

4.3.

¡n(x + -Jx2 +1)

MET ODO DE SUSTITUCION.PRIM ERO.-

Desarrollo dx

Sea a = ln( x + yfx2 +1) => du =

na;- l

45


SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRACION INDEFINIDA.

Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función continua diferenciable,

x 2

J

f ( x ) d x = f( \f /( t)) xi f\ t) dt { N I

f ln(.v + n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^, i ------ d x - I (\n(x + \¡x + 1))2 —p------ = I u du — i+x2 j v j J 7 ,^ 7

I r * i

—■\](ln(x + y¡x2 + l))^ + c

1

1189

í jc2cos h(;t3 + 3)<£c

( 1)

La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) tome una forma más adecuada para la integración. SEGUNDO.-

3

...

SUSTITUCION TRIGONOM ETRICA

Si la integral contiene el radical \[a2 - x se toma: sen 0 =

a

; x = a sen 0

x dx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—) a

Desarrollo

o du , Sea = x 2 dx u — x 3 +3-> => —

, , 3 f 2 f , , . du senh(n) senh(x3 +3) I x cosh(x +3 ) d x - I cosh(«)~— = ------ — + c = ------ ------- J 3 3 3 J

2

^tgh(A)

1190

+ C

, dx í cosh“(jc)

Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: se c0 = —, x= a see 0 dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-) a

Desarrollo Sea u = tgh x => du = see l r ( x ) d x j*

-jtglUjr)

/•

»

\/x2 - a2 ~u

I - 1— , dx = I 3'gb*.see hx 2dx = 13“du = --------- + c

J cosh“(.v)

J

J

ln3

itghx

-------- + c

ln3

a

46

Eduardo Espinoz a Ram os 3

47

Integra l Indefinid a dt

Si la integral contiene el radical 4 a2+ x2 se toma: tgd = — J e '+ l

x = a tg 0 ; dx = a see26 d6 ; 9 ~ arctg(—) a c)

J e " ln ,+1

L+ / l+c = -ln \ \ + e~x I+c

J l +í

I x(5x2 - 3)7dx , 5x2 - 3 = t i ‘ Desarrollo

? , dt 5x -3 = t => jcí/x = — 10

1191

(5x -3) \ x ( 5 x 2 - 3 ) 1 d x = f /7- = 4 + c = ---------- — +c 80 J 10 80

Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.

J a)

i*

1

dx

J x J T ^ . ' x ~~>

d)

Desarrollo x —-

1

t

A

-1

t = yjx +1 => dt = ---- 7

J2r2

J V l - 2r 2

V2

1

x = - ln t

Desarrollo

t = y ¡ X + 1 =>

X=

f2-1

arccos(v 2 ?) + c (V2í)-

1 V2 /- 7=arccos(— ) + c, x> \J 2 V2 x

J

= = i

2y¡X + \

-dt xy jx 2 - 2

f dx ex +1

Desarrollo

=> dx = —— ademas t = — x r A d t

dt

b)

i---- r f xd x I , t = Jx + \ J Vx + 1

e)

f eos xd x / ’ 1= sen x J VI + sen a Desarrollo t = sen x => dt = eos x dx f eos xd x

J Vi + sen2 x

f

dt

J \¡\+t~

=_ In I?+ Vl + r I+c = ln | sen x +

+ sen 2 x | +c

48

1192


49

Integ ral Inde finida i------Sea t = yj 2.V + 1

I x( 2x + 5)w dx

+c [+c = ln | i * + 1 f dX - f -y—— = 2 f -y— - In 1 J x \ j 2 x + 1 J r -1 V2 a + 1 - 1 í-1 -i 2

=>

r

i

2 . t — 1 ; x = ------ => dx = td t

Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas.

= 2

a +

1

yj2 x + 1+ 1

Desarrollo 1195

t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^ 2

2

.

dx

í •je* -1 Desarrollo

f x( 2x + 5)}0dx = f — J 2

J

2

= - f(/n - 5 t w ) d t = - [ - ----- — í“ ] + c 4j 4 12 11

; i í a * ± s F _ ± (2x+ 4 12 11

1193

1 + X

I l + yfx

Sea t = \Je' -1

t~ —ex — 1

e x —t +1

2tdt e cdx = 2id / => dx = t 2 + 1

n

2tdt dx

f

Desarrollo Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt

—I— = f ? ± 1 = 2 f f ' = 2 arctg t + c = 2arctg(V?7 ■l) + c

J V ^ -l 1196

J

f

Jr+l

fln(2x) dx

J ln(4x) a Desarrollo

J 1+ yJX

' J 1+ t

J

í+ 1

ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2

T 2 /3 t 2 2J ( r - t + 2 - — )d f = 2 [ - — + 2 / - 2 1 n | f + l |] +
fln(2x) J ln(4x)

= ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c

= 2[— -----— + 2\[x -2\ n | \ + \[x |] + c

1197 1194

f dx J x\J 2x + l

Desarrollo

dx _ j* lnA + ln2 ^ dx _ f ^ ln2 ^dx x J l n x + 2ln 2 a J l n A + 21n2 x

f (a rc s en x )2 ,

J

Desarrollo


50

Integr al ind efini da

51

dx

Sea t = arcsen x => d t -

vr

1198

f (arcsenr f

f 2

J JVlT- x 7 -

1

dt t.-zf - 7 ^ = = í -? == == = - f “ 7 = == = “ In I r + V í ^+ T | + c

/ + c = -(arcsen*)3 -------------- í-c ■

j

j

e2xdx

í Vex +] r e2xdx

.i

Vi+*2 1,

*

Desarrollo

Cf_-

J V77I J

I

r r

, , i +V i+ *2 ,

. ,

- - t ) + c =^-í(r2 -3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x - 2 ) + c 1 ltd t = 2(t

*

*

1 +V 1 + * 2

Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas. 1201

r

I" x 2dx

J VHv Desarrollo

sen xd x Desarrollo

Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; com o t 2 = eos * => í4 = eos2 * - 1-sen* *; sen~* = l - í 4

cos0 = V i-* 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d0

j W « f a = f l z í l . (_2 „ d, = - 2 f (1- , < v , = - 2 ( , - 4 ) + <' = 7'(> 4 5) + c J v cosx J t J

J V i-* 2

= y Veos *(cos2* - 5) + c

fW O . c o s I ) ^ j cose

f y J *Vi+*~

1202

Desarrollo

¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’) de J 2

J

0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi :------------------- hC= ------------ * ------2

1200

*

.

= — ln | —h ----------1-t-c = — ln ¡-------------- ¡+c = l n | ------ = = ¡ + c

Sea t 2 = e x + 1 => ex =t2 -1 => exdx = 2rdt

1199

*vt t 7

í

x ' dx

&

2

2

2

52

Eduar do E spinoz a Ram os

Desarrollo \Í2 eo s 8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡ 2s en 9

53

Int eg ral In de fin ida f \j x2 - a 2 x

_ j>aíg 0.íisec 0.tg0 í/0 _ asec0 J

J

=> dx = \Í2cos9 d9

f ^ 2 6 d 6

J

= « | (see2 0 - 1 )d 9 = a tg 9 - u9 + c - \ jx 2 - a 2 - a.are see( —) + c a J

= 7 ^2 - «2 -a.arecos(—) + c x 72 -X2

x dx

í y¡2-

1204

f

dx

JxTTTÍ Desarrollo

f 2V2 sen30.V2 eos 6 d 0 V2cos0 J ctg0 = -¡= L = ; 777 1

2>/2 J scn}OdO sen30 d 6 == 2V2 ( l - c o s ¿ 9 ) s e n 9 d 9 = 2a/2(-cos0 + 2V 2JI (1

cos0= —

9=

x

árceos— a

~"-) + c

x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0 = 2\¡2(-

1203

I

7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 ) + c

V2

2

f—

' 3V2

— = fc os 0r tg 9. sc c0 .t g0 dO - f d 9 - 0 + l -a icc os (—) + t J ~ ~ J

JxT^T 1205

Desarrollo

7 x2+1 , — dx

Desarrollo tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7x2 +1

x2 - a2

a.tg # = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0

1

54

Eduardo Espino za R amos

J

X

f í £ i . sec= í )< » = r

J tg0

J

55


sec0(l + tg~0)úí0 t2 0

J (see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d 6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd ] _ e os f)

= ln ¡csc 0- ctg 0 | + sec0+ c = ln| — ------ -|+sec0 + c sen0 - _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2+ 1 - ln | 1 + C OS0

l + Vx^ + l

J \ ¡ l - x 2 d x = J +c

0

sen 0. eos 0

2

2 +* 1206

f ----- p- ---- x 2y ¡ 4 - x 2

1208

aresen x -+c=-

Calcu lar la integra! I

JVIVTI

Desarrollo

x \ ¡ l

- x2

2

+c

valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .

Desarrollo x = 2se n0 => dx = 2c os 0d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0

Sea x = se n2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt, como x - sen / => sen t ■ J x

t = aresen VI

- 2 t + c - 2 aresen VI + c f — * L _ = f - 2 sen ' -i — - 1 = 2 f J VIVICI J sen rVi -se n2 / J sen/.cosí

1209 J 4 - X 2 1f 2 ctg0 f— = f — 12c°s0 ------------- d o = - e se 6 dO = ----- — + c = ------------ +c 4J 4 4x J x2y¡ 4- x2 J 4 sen2 0 - 2 c o s 0

j V ? + x 2dx Desarrollo Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:

1207

x 1dx

Desarrollo x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2

Va2 + a'2 = V«2 + «2 sen2 ht = aco sh f ; dx = a cosh t. dt

, senh2f J Va2 +x2dx = a2J cosh2f dt = «22 Jf 1+ cosh 2í-rfí, = —a22 (/+2

)+ r


56

= — (t + senhí.coshO + í' = — ln(x + yja2+ x2) +—4a 2 + a2 + c 2 2 2

4.4.

»

1211

x = a cosh t => dx = a senh t. dt f a2 cosh2í.senhí dt 7f , = I ------------------------= a I cosh t dt senhí

2

J

a2 . senh2í, a2 dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c 2 2 2

como x = a cosh t => cosh t = —, además

V

Desarrollo dx u = ln x =» d u - — x dv —dx => v = x

I arctg xd x Desarrollo

+x"

V

Va 2 + x“ e = senn i + cosn i = ---------------- =»

vdu

ln xd x -= A‘ln l n xx— - J | x — — Jt + c J* \nxdx — - -= jc.ln* .

1212

a

^ L , x x "> senhf = „ l + ( ~ y

J- xd x Haciendo

+ cosh2í , = ° f

•

Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por partes.

2 x~dx Hallar I r -------- ; haciend o x = a cosh t í ; J T ^ a 2 Desarrollo

J

»

u dv = u v~

x + yf a2 + x 2

e' = cosh t + senh t

J y j x 2 - a 2

INTEGRAC ION POR PARTES.Fórm ula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v =
t

, , x v « “ + X“ donde, senh t - —, cosh t = -----------a a

f x ' d x

57


Haciendo

2 I í , . x + vx~ +a

t = l n ---------------a

dv = dx =>

f x~dx _ a 2 , x + 4 x 2 + a 2 . xy ja2 + x 2 [ln i---------------- 1+--------r---- ] + c 1 a„2 J Ii x o2 - a 72 o L 1

J

i

i2 = — ln | .v+ \[x~ + a 2 | +—yja2 + x~ +k

u - arctg x => du =

1213

v =

dx

(1 + JC2)

a-

r x ¿x i . ,, ?, arctg a*dx = x. arctg x - I ----- = X arctg x - —ln 11+ x~ | +c 14" X~

J are sen a dx

Desarrollo


58

dx

u = arcsen x =$ du =

Haciendo

Integ ral Inde finida 2~* xln 2 + l L 2- ^ = - x . 2I - f - 2I ^ = - x . ^ . + c = --------- r— + c ln2 J in 2 ln2 In-2 2jr ln2 2

J

dv = dx => v - x arcsen x d x - x. arcsen x -

1214

59

x d x

í

r. 2 = x arcsen x + v i - x +c

1218

xsen xd x

P

Desarrollo

Haciendo

Desarrollo

u = x_ => <ím= 2xáx ,3* c/v = e3xc/x V = ■

u - x => d u - d x Haciendo

í 1216

dv = eos 3xdx

xsen3x xcos 3x dx = -

í

xsen3x

cos3x

u = x => d u = d x 3x Haciendo - j . => v = — e dv - e 3r' dx

-+ c

r 2 „3j 0 X x 2„3* W x> = — eJJC- - [ 3 3

1

u = x => du = dx i dx I I — => ex x

1

ex

ex+C~

Desarrollo u = x => du= dx dv = 2 xdx => v = —ln 2

3

<*-.3* 2x 2e 3x - d x \ = - e 3 x~ e3* + -------+ c 3 3 9 27

-P

e3x 2 - — (9x‘ - 6x + 2) + c 27

x+1 -+c

1219

2x + 5)e Xdx Desarrollo Haciendo

x.2 ' dx

Haciendo

x e ’xdx

Desarrollo

dx - - IJ “ 7 ~

í

sen3x

fsen3 x , -dx

I; -dx Haciendo

1217

v=

ju = x - 2 x + 5

du = 2(x-X)dx

\dv = e~xdx => v = -e~ x

60

Eduard o Esp inoza Ramo s

« = * -1 => du = dx

Haciendo

1221

dv = e~xdx => v = -e~

61


(x¿-2 x + 5)e Xdx = -e X(x2 - 2 x + 5) + 2(x -l)(-e x ) - 2 e x +c

Jxsen x. co sx dx

Desarrollo

Usar la identida d sen 2x = 2 sen x. eos x

= -e~x(x2 +5 ) + c

í x sen 2x dx 2J í x sen x. eos x d x ~ —

X

1220

x3e 3dx

J

Desarrollo

u=x

Haciendo

u = x3 => du - 3x2dx

Haciendo

X

du = dx

eos 2x

dv = sen2xdx => v -

X

dv = e 3dx => v = —3e 3

f

1 f

N,

1, x

.

sen2xN

j xsenx.cosxdlx = — J xsen(2x )dx = —(——cos2x h ----- — ) + c 2

2

e 3dx = -3 x3e 3 - J*(3x2)(-3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx . sen2x x = — cos(2x) + ----------ve 4 8

u = x" => du = 2xdx

Haciendo

X

X

d v - e 3 d x => v = -3 e 3

1222

J'

í (x2+ 5x + 6)cos2xdx

J’ u = x => d u - d x

Haciendo

u = x 2 + 5x + 6 => du = (2x + 5 )dx

Haciendo

X

Desarrollo

dv — eos 2 x d x => v =

sen 2x

dv = e 3dx => v = -3e 3 m

_X

X

X

\x 3e 3dx = -3x2e 3(x + 3) + 54(-3x
--

X = -3x2e 3(x + 3)-5 4e 3(3x + 9) + c = -e ~3 (3x3+ 9x2 + 162x + 486) + c X

= —3e 3(x3 + 3 x 2 + 54x + 162) + c

i

(x‘ + 5x + 6) eos 2x dx =

x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx 2 2a

u = 2x + 5 => du = 2í/x

Haciendo

dv = sen2xdx => v =

eos 2x

i

i

62

Eduar do E spinoz a Ra mos

i

(x2 + 5X+6)co&2xdx = ^ 5 ± l sen 2 x A {. ^ l l cos2x +^ l ) +c 2

2

2

1225

2

flnj

J x 3

dx

Desarrollo

„ 2x + 5 2x2+lOx + l\ = — -------------- sen 2x + ---------- cos2x + c

4

1223

63


_ ¿x X 1 8 => v = 1 2x2 ^

u = lnx => du

4

Haciendo

j x 2 ln xd x

- l l 1

Desarrollo lnx 2x2

u = ln x => du ——

dx _ . ! 2x2 X

-+ c 4x

Haciendo dv = x 2dx => v = —

1226

dx

Desarrollo f i 1.. / lu >u/<

1224

** iIn r - fI** dx * — x3 ,ln jc-----jr3 -------

’

J 3 x 3

9

+c

dx

Haciendo

J ln 1x dx

u = ln x => d u = — x dv =

\l x

=> v = 2VI

Desarrollo Haciendo

M= ln*x => du = 2lnx.

dx = 2 V i ln x - 1 2V i

dx

d v - d x => v = x

1227

í

m= ln x => d u = — x

d v - d x => v —x

ln 2 x. dx = xln2x-2xlnx+2x+c

J

= 2 V I ln x - 2 V i y

=

ln ^+ ‘

xarctgx
j l n 2 x. dx = xl a 2 x - j x . 2 l n x.— = x \ n 2 x - 2 J*ln xd x

Haciendo

^

Haciendo

Desarrollo . dx u = arctg x => du ------- 1+ x2 d v - x d x => v —

2

Jxarctgx

64

f ln(* ln(* + Vi + *2)d* *2)d* = *ln(* *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx] n( x+ 'h +x 2) - 'J \ + x~ +c

x 2 x 1 * *+1 , - — arctg* arctg*H— H— atc tg* — + c = --------arctg * - —+ c 2 2 2 2 2 1228

1 * arcsen* dx

Vi+ *2

1230

Desarrollo

u - arcsen x => du =

Haciendo

65


x d x en2*

í

Desarrollo

dx s í i ^ x 2

*cos ec2xdx

dv = xd x => v = — Haciendo

X1 2 dx c If x arcsen x arcsen x d¿ x = — a rc rc se se n* n* —l C —¡ —X¡ =

J

2

= - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c J- A j sen * J

““se sen2O.cosOdd = jf« fsen" « n ’ t) # «dt) , » = = jí í---^ — í" ,» V i-sen 2 9 9

sen 20

9

2

4

2

1231

sen 9 eos9

J

f xc o sx dx sen2*

J

1 arcs arcsen en** * arcsen xd arcsen xd x = — arcs arcsen en * - —( 2 2 2

*Vl- * 2

f * c o s * ^ _ f x c o s e c x c Xgx dx J J sen"*

) +c

Haciendo arcsen*

1229

Desarrollo

arcsen* * v l - * 2

2

Luego:

líiv = cos ec2xdx =£ v = -c tg *

2 J ^ Z x 2

Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0 -2

íw = * =i> du = dx

* r , T + - V 1 - * +c

u = x => du

dv = cosec x.ctg xdx => v = - c o s e c x

f.vcosx , f , —d x = - e o s ecx- I - e o s ecxdx J J sen * I

J ln(* + Vi + *2 W*

X x = -xc os ecx + ln Ieos Ieos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡tg— | +c

Desarrollo Haciendo

= dx

u = ln(*+ Vl + *2 =>

=

sen*

dx

V1+*2 dv = dx => v = *

1232

í

ex sen xd x

Desarrollo

2

Ed ua rd o Espi noza Ram os

66

Haciendo

u = sen = sen x => du = du = eos x dx

In teg ral I nd ef in id a

1234

dv = e dx => v = e

í

67

eax sen (bx)dx

Desarrollo I

exsen x exsen x d x - e x s e n x - j - j e * cosxdx

Haciendo

I

m= sen( ¿x) ==> du = b cos(bx)dx

Haciendo d v - e * d x => v = e*

f eax sen(bx)dx =sena bx -

e * sen xd x = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)d x)

J‘

•*

J‘

13* eos xd x

Haciendo

Desarrollo

dv = 3xdx => v

eos xd x = 13X eos

3* eos x

ln3 ln3

3*

dv = 3xdx

,

3X

eos 3X eos

sen xdx = -------- í + — f ln3j ln 3 ln 3 I- ——

3X sen sen xd x

(1 + —r ) I e“*sen bxdx = bxdx =

7>J

, 3 cosxdx

ln3 ln3

ln3 - ¡ y

3* (sen (sen x + ln3c osx)

aeax sen aeax sen bx - beax beax eos bx

, dx , = e°* ax.asenbx-bcosbx, Jl e ax sen bx (--------- — — ------ ) + c a2 +b2

3X

v=-

, 3* co sx 3* sen x 3 cos x d x - --------- -H---------—

ln3

e™senbx b .e ^ cosbx b + — f e sen bxdx) --- (■ a a a e“*sen e“*sen bx b m b2 f „ —e eos b x — - l e sen bxdx ----- —e a a a~ J

ln3 ln3

w=senx => du = eos xd x Haciendo

f a J

e“* e“* dv = dv = eaxdx => v = a

eax sen bx dx = J eax sen

eo s x => du = - s e n x d x u — eo Haciendo

\ b — e co sb xd x = e- ^ ^ - b J a a

u = eos bx => du = - b sen bxdx

= e* sen x - e* cos x - I ex sen sen xd x = — (se n x - e o s x) + c 2

1233

dv = emdx =* v = ---a

u = eos x eos x => du = du = - sen sen xd x

\-c

eos xd x 3X eos

1235

sen(ln x) dx J sen(ln x)

Desarrollo

eos bxdx

68

Eduard o Esp inoza Ramos f

f

e z sen sen ^— e" eos 7

J sen(ln x)d x = I ez sen zd z = -------- — ----------+ c , e njrsen(ln njrsen(ln x)-e

por el ejercicio ejercici o 1234.

1238

cos(lnx) cos(lnx) x sen(l sen(lnn a) - xcos(ln x) x) ---- - + c = ------- ---------------- ------- + c 2

2 í sen(ln x)d x = ---------- --------------------

J (x - 2 x + 3 ) l n x d x Haciendo

JI xa e~x - ' ,dx '

Desarrollo

u = ln x => d u = — x

i— . x2 + 3x dv = ( x 2 - 2x + 3)dx => v = — 3

Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos: 1236

69


jc+ 3 )dx J*(jc2 - 2 x + 3) 3) ln ln xd xd x = ( ^ - - x 2 + 3x 3x )I )I n —J * — jc+ Desarrollo r3 h

= x 2 => du = 2xdx

Haciendo • dv = xe~* xe~* dx => v = ■

3

2

= ( ------ x2 + 3x)lnx ------- ¡-------3x + c

3

e- *

1239

9

2

- )dx fxln(|—:-)dx J 1+ x

Desarrollo j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ - e

1237

-X1

e

x

e

x

■>

---------- i-c = -------- (x~ + 1) + c 2

2

= J"jcln(l — - )dx = x)d x - J x ln(l + x)d x J x ln(|— -)dx

( 1)

Ie^dx Desarrollo

integrando Jxln(l-x)dx

Sea z2 = x => dx = 2zdz J" e ^ d x = 2 f ze zdz

u = ln(l - x ) => du = -

Haciendo

dx \ - x

d v - x d x => v = —

2

Haciendo

u = z => du —dz dv = ezdz => v = ez

^ e ^ d x = 2J zezd z = 2(z ez - e z) + c = 2(yfxe'^ -l) + t 2(yfxe'^xx - e ^ ) + c = 2e'^x(\[x -l)

I

xln(l xln(l - x)d x = — ln(l ln(l - x) + ^

2

2 J 1 - x

x2 2

dx = = — ln (l -x )+ [

12 Jf ((__ x _ l + 1-J -; )dx] (2)

Edua rdo E spino za Ra mos

70


integrando I xln( l + x)í/x

i

u = ln x => du= — x . dx 1 d v - — =* V — --- x ¿ X

Haciendo

u = ln(l + x)

du =

Haciendo

dx

í+ x

dv = xd x => v = —

ñ

2

x-

x2 x2 x ln(l + x) dx - — ln(l + x) _ I f . — dx = — ln(l + x)- - f ( x - l + — ■)dx 2J 1+ ; + x 2 2J 1

I

X

X

1

X

= — ln(l + x ) - — + ------- ln(l + x) 2 4 2 2

1241

71

f dx .

ln2 x lnx -dx = — — + 2(— x

ln2x

í

2 lnx

2

f ln(ln x) -dx

y

Desarrollo u = ln(ln x) => du =

... (3) Haciendo

reempla zando: (2), (3) en (1) se tiene: ln(in jc)

fxln(-—-)<£t= — ln (l- x) -—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H--------- H—ln(l+x) 4 2 2 4' " 2 " 2 J 1+x 2 "

dx xln x

i i — — dx => v = ln x dv x dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.-

dx

xlnx

J

= ln x. ln(ln x) - ln x + c

= (ln(ln x) - 1) ln x + c x 2 , 1 - x 1 , , 1 - x . x2 - l . , 1 - * . = — ln--------- x — ln( ) + c = ---------- l n |-------1-x + c 1+ x 2 1+ x 2 \+x --

1240

I

\n¿x

1242

x arctg(3x)í£c

Desarrollo dx

Desarrollo u = ln x => d u - 2l nx .

Haciendo dv

dx

u = arctg(3x) => du =

Haciendo

3dx l + 9x 2

jdv = x2dx , => v = — -x -

dx

1 ,

x3

x arctg(3x)dx = — arctg(3x) -

J

J

f x dx

_ x'

J l+9x x

1

18x

-)dx - f ( - — — J 9 162 1+ 9x2

- — arctg(3x) -------1----- ln 11+ 9x2 | +c 3 18 162

72


1243

73

Integral Indefin ida Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz

I x(arctg x) 2dx

J (arcsen x) 2dx = J z2 cos z dz

Desarrollo

Sea z = arctg x =* x = tg z => dx = sec2 z dz Haciendo

J A(arctg x) 2dx = J z 2 tg z. sec2 z dz

u = z2 =* du = 2z v = senz

J (arcsen x) 2dx = z 2sen z - 2J z sen z dz

u - z 2 => du = 2zdz

Haciendo

7

t g 2 Z

Haciendo

dv = tgz.sec zd z => v = —— 2

i ■

J (arcsen x) 2dx = z2 sen z - 2(- z cos z - J - cos zd z)

j*x (ar ctg x)2í¿x = ^ - t g 2 z - J z t g 2 zd z =~~tg2 z - j"(z sec2 z~ z )d z

72

integrando

z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x) 2 + 2V1- x2 arcsen x - 2 x + c

-2

= — tg2 z + ~ - I zsecz zd z -I '

J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes

I'm= z => d u = d z \d v = sen z */z => v = -c os z

1245

f arcsen x IX „ -dx x 2

J

Desarrollo

Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz Jx(arctg x ) 2dx = -y (tg2 z + 1) - z tg z - In | cos z | +c

farcsenx^_ f /- Cosz dz= f zctgz.coseczcfz x J sen z J

J z 2 = — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c

= i arct§AL ( Ar2+ l)-jcarctgA + 2ln(l + x 2) +c

Haciendo

fI»arcsen f -coss ecz , ------z +, if------ x . = -zcos dz ---------- I -co az = ---------------- dx = + >---dx -zcos ecz — eczdz

J

1244

Í

=

U - z => du dz dv = c tgz.cos eczdz => v = -cosecz

x2

J

(arcsen x) 2dx

Desarrollo

senz

+ ln | t g ( - ) | + c 2

sen z

J sen z


74

x , z farcsen I ---------- dx = --------- + ln|cosé,c z -ctg z| = ------------- + ln¡ ------ - | + c

J

1246

*

sene

*

1+ V 1-*

, ,.,arcsen*,,*L , 1248

sen2 x ,

-------- dx

I

Desarrollo

f arcsen

J

jr r x dx

i 2 x x , f 1f -l -cos c o s2x 2* f sen" 1f 1f I -------- dx = I ------------ dx =— \e dx ---- l e J 2ex ex 2J 2j

Desarrollo Sea

J

[ z = arcsen V* => V* = sen z

e ~2

* = sen2z => í/* = 2senz coszd z

f arcsen V* , f z-2senz.cosz , „f, -dz = 2 I zsenzaz I — ------- dx - I — J J V i-sen 2 z J vi-* Haciendo

4 1 -e JCcos2 xd x

,

... (1)

1

u = z => d u = d z

Haciendo

dv = senzdz => v = -c os z

u = eos 2x => du = -2 sen 2x dx dv = e~xdx

—e x v —

j e ~ x co s2 xd x = e ' ' c o& 2x +2 je ~x se al xd x

= -2arcsen V*Vl~* + 2 \ f x + c

J x tg

eos 2 x dx

integrando le *cos2 x d x , por partes se tiene:

f arCên - * dx = 2(-z eos z - f -eo s z dz) = -2z eos z + 2 sen z + c J Vl~ * J

1247

75


integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)

2*rf*

(*sec22 x - x ) d x u = x => du =dx

Haciendo

reemplazando (2) en ( 1) se tiene:

Desarrollo

dv = sec2 2xdx => v = ^

1249

J

f sen2 x , e~x / c o s 2 * - 2 s e n 2 * - l | ------— dx = —r - (---------------------------- ; --) + < ■

y

eos2(ln x)d x

Desarrollo

2 , J 1+ eos 2* Usar la identidad eos x = ------------

J eos2 (ln x) dx = J 1+ COS^2 ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)d x

... (1)

Eduar do Esp inoza Ram os

76

Integr al Indefin ida

=

Sea z = ln x => x — e l => dx — e ' d z

Haciendo

J cos(2 ln x)d x = J e z eos 2z dz

Haciendo

u = x => du dx xd x 1 dv = => v = — (1 + Jr2)2 2(x +1) dx

« = ez => du = ezdz dv = cos2 xdx => v = -

77

— f - + ( J ( l + x2)2 2(x +1) J 2(x +1)

sen2z

1251

í

x 1 ^----- + —arctgx + c 2(x +1) 2

dx

(x2+a2)2

Desarrollo

J cos(2 ln jc)í/jc = y sen 2z - — J e~ sen 2 zd z

Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 d d u - e z =$ du = ezdz.

Haciendo

d v - s t n l z d z =* v = -

cos2z

f

_ f

dx

a3 J

... (2)

1252

2(«‘ + x ) a

2a 2

a

-

a + x

J J a 2 - x 2dx Desarrollo

‘l + cos(21nx) x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x) -d x = —+ j*eos2 (ln x)d x = J -

2

I

2a3,

arctg(-)

reemplazando (2) en (1) se tiene:

1250

----

2a3

/7 1 /i CL\ X --------- r — + ------- r ------- ------- + C = ----- -----------------------h — ------- ^ ) + C

2a '

1

2a3J

arctg(-)

= - sen 2(ln x) + - cos(2 ln x) - - f eos 2(ln *)cfx 2 4 4J 2x sen(2 ln x) + x cos(ln x)

f a ssee2Odd

sen 9 cos 9 9 ■+ ---- - + c = 4r [cos2Od d = -2 - f(l +cos26)dd = -—

Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - -2 Jf ( - —2 c os 2z + -2 J( V co s2 2< fe ) cos(2 ln x)d x -

a sec~ 9 d 9

J (a2tg: 0 + a2)2 J a 4 sec4 9

J ( x 2 + a 2 )2

x dx (1 + *2)2 Desarrollo

10

+c

Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0 X

X

se n9 = — => 9 = arcsen(—) a a J*'Ja2~—x2dx = j y f a 2 - a 7 sen2 9.acos9d9 - a2jco s29 d9

¡ 7g

Eduard o E spinoza Ramo s a" 0H a"s e n 0 c o s 0a+ í + cos20 ¿Q = — = a22 Ifl----------------

J

2

2

2

Integral In definida

79

x 2dx

1254

1 y ¡ 9 - x 2 Desarrollo

« arcsen(—) + —v * 1a -•* 2 2 +c , =— 2 a 2

x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9 X

x

3

3

sen 0 = — => 0 = arcsen(—) 1253

|V a + ;c2
f x 2dx (*9sen 20 f , I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = 9 I sen' 0 ¿0 J V9-.Ï2 J 3eos0 J

Desarrollo Sea x = VÁtg 9 => d x = V Â see2 9 d9

=11-

tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^= )

Va

Va

2

2

9 -v 9 x y ¡ 9 - x 2 9i jc r 7 = —aresen(—) — ( - ) ----- + c - - a r c s e n ( - ) — yJ 9- x~ +c 2 3 2 3 3 2 3 2

J yjA + x 2dx = J s¡A +A ig 29 .y fÁ sec2 dO = J A see39 dO 4.5.

INTEGRAL ES ELEM ENTAL ES QUE CONTIENEN TRINOMIO CUADRADO.-

se integra por partes:

J A see30 d 9 = AJ (1 + tg2 9 ) see 9 d9 = AJ (sec0 + tg2 9 see 9)d9

90 9 2 eos 9)d9 = — - — sen0eos0 + c

0

IN TE G RA LE S D EL T IP O.

r

171X + Yl

,

J ax +bx + c

= A l n |s e c 0 + tg 0 | + A t g 0 s e c 0 - A j s e c 3 0 ¿ 0

UN

.

dx , el procedimiento es el siguiente: El trinomio de

segundo grado a x 2 + b x + c , se reduce a la forma 2 "y ax +bx + c = a( x+ k) + L , donde k, L; son constantes y esto se

= y[ln |see 0 + tg0 | + tg0sec0] + c

consigue completando cuadrados. JV Â 7 7 d x -= |[ l n I

I+ ^ V Á ^ 7 ] + c

©

INTEGRALES DEL TIPO.mx + n

í \fax 2+bx + c d x , — 1n I a: + y fÂ + x 2 \ + — VÁ+~? + k 2

2

integrales inmediatos.

los caiculos son analogos del 1) y después son


80

©

Inte gral Inde finida

INTEGRALES DEL TIPO.

(mx ++ n) n)\¡ax2 +bx + c

©

f

_ 1

xd x

J x 2 - 7 x + 13

, se usa la sustitución inversa -------- = t ,nx + n

2'

1259

de las integrales principales.

4

3x —2 j* 3x -dx J x 2 - 4x + 5

Desarrollo

dx x2 + 2.x + 5

I

Desarrollo

x +2 x + 5

J

(x + 1) + 4

x -4 x + 5

2

1260

Desarrollo dx

f

J x 2+2x

_ f

dx

2 j x 2 - 4 x +5

J x 2+2x + 1-1 J(x+1)2-1

x + 1+ 1

2

*

J x 2 - 4 x +5

= |ln |x2-4x + 5|+4arctg(x-2) + c

f ( x - 1 )2dx

J x2 + 3x+ 4 Desarrollo

_ 1 1 | x +1 —1

dx

_ f

- i f - î ï = i _ * + 4 f

x~ - 4 x +

=-¡n lx2-4 x +5j+4j—

dx x 2 + Ix 2x

1256

7

2x~l

2 ] x 2 - l x + \ 3 + ~x2 - 7 x + l 3 )dX

INTEGRALES DEL TIPO.ax1 +bx +c d x, se completan cuadrados y la integral se reduce a una

1255

81

2

x +2

f ( x - 1 Ÿ dx _ f

5x + 3

5 f

9 2x + 3 Ô

J ^ + í «+4 - J <1" ?T 5 7 rï>& =I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1 1257

3 x2 —x + 1

f^ - 3 ^ + 3 ^+ 4

Desarrollo dx

dx

1f

dx

3

3x2 —x + 1 3

1258

J

3

6

xd x

6x-l. U n

Desarrollo

+í f— ± — 2 J u + 3)¡+ 7 2 4

- x - - ln | x2 + 3x + 4 1+ ~ a r c t g ( - ^ Í l ) + c 2 V7 V7

36

1261

x 2 - 7 x + 1 3

a

f

J

x2dx x 2 - 6 x + 10

Desarrollo

82

Eduar do Es pinoza Ramo s 6x-10 w f x 2dx f f f 6x-10 J I í— ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx + - T- ~ --------- dx J x -6 x + 10 J x -6 x + 10 J J x~ - 6x + 10

1265

f

3x-6

I ------ dx J \ [x 2 - 4 x +h5.‘ Desarrollo

dx f 2x-6 f = x + 3 — ----------- dx +8 ------- J x -6 x + 10 J (x-3) ( x - 3 ) ¿+1

J ’í i S — J y¡x - 4 x + 5

= x + 31n | x 2 -6 x + 10|+8arctg(x-3) + c

1262

83

Integra l Indefini da

dx s L f ~ 2 — w * \l x - 4x + 5

/------------x —2 Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx Vx2 -4 x + 5

dx

J y¡2 + 3 x - 2 x 2 Desarrollo f

(*

dx \ ¡2 + 3 x - 2 x 2

1 f

dx

J j 2(l + 3 x _ x 2}

-j2~^L=J t=dx = 3 f - — L=^===rdx = 3 Id u = 3u +c = 3-v/*2 -4 x + 5 + < f — J \¡x 2 - 4 x + 5 *v x2-4 x + 5 J

dx

4 2 J J 1 + 3 x _ x2

1266 r I i ~ 72 í

1263

x

J

,4x-3, 1 -------= —¡= arcsen(--------- ) + c

Desarrollo

f

J y j l - x - x 2

í y j x - x 2

Desarrollo dx

= arcsen(2x -1 ) + c

dx

*=9Jf = Jf >jl—x e * + 1)--x ? y = *f j- 7\ J- £x Ü- _ x2

« f ) 2 - U + 2-) , )5

= -2-v /l-x-x 2 -9 arcsen(—Í - ) + c yf5 1267

1264

2x-8 2X 6...- dx Vi - x —x”

===J====dx íI -V5x2 -2 x+ l

Desarrollo

¡ f s + px + q

Desarrollo

' J \ X

=f~j-------- ~ X

~

+ DX + a

J

l

r> ^

f, - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx » v5x2 -2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1 =\n \x + £ + 4x 2 + px + ql+ c

n

^ ..... * + l f . ^Jv 5x2 -2 x + l V5 x2 - 2 x + 1

84

Eduar do Es pinoza Ram os = -- >/5 jc2 —2x +l h — í= f - . =

1270 -)2+(-)2 5 5

4 1268

^

7

^

f ___ dx

J ((xx -— l)y¡x2-2 Desarrollo

+ J _ t o U _ i t ^ T | 7 J | +c

1 => -1 = x - li => j dx = —dt Sea t - ---- x - l t t2

dx

_d t

J x \ J l - x 2

— ) + c í ____ * ____ , r y , . = j = -arcsen( J í(jc-I)Vjc2-2 r _ n J J I 2 J il ^ [li +.„2 JJ Vl + 2 í- í2 1)2_2„ J 2 ( x - D

Desarrollo Sea x = - => dx = —~ t t2

1271

dt

J-

Desarrollo i

1 di Sea x +1 = - => dx - — — í í2 dt

r _ _ _ ¿ __________ r * — ' - J ( ~ - l ) 2 + 2 ( - - l ) ^ í Vt t

d;c

1 x\ ¡x 2 + JC+1 Desarrollo

i

1272

Sea x = - => dx = ~ — t t2

J

dx

1(x + l) 4 x2 + 2x

- 1 1+c

= - ln |i + ——— | +c = ln |----- vX | +c . * * Í+ V i^ ^ 1269

85


dx

= f

dt_ 12

y x 2 +2 x + 5d x

1 -. arcsen t + c = ~ arcsen( ------ ) + c x + l

Desarrollo

* J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í) 2 + 4d x = _ f

dt

_ _ r

dt X +l

4 / 2 í- ^ + c - ~ arcsen( , 2 - jr) + c = - arcsen(—=-) v5 V5x

2

yj(x + l)2 + 4 + - ln | jc+ I + Ví-í + I)2 + 4 l+c

2 v

2

= £ ± I V x 2 + 2 x + 5 + 21n|x + l + >/x2+2x + 5|+ c 2

'

86 1273


S ' / * - * 2

dx

87

Integral In definid a

1277 Desarrollo

exdx

T

J y¡Vve*~+e2x

Desarrollo

1

2 1 2 x - l I - — -— \ x - x + -arcsen(2A-l) + c 4 8

1274

- + yjl + ex + e2* I+c

—í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c ( x - —)2dx = —

j \ f x x~d x - j

1278

-ji1 dx Desarrollo

senjedx

í Veos2x + 4cos.x + l f

sen a ¿y

dx =— - 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(-^-í-í-)+c -(*+ —)z 2 2 4 3

{'fa-x-x dx= íj— J V4

_ 2x + l £ 7 92 * + l ------- — \ 2 - x - x +-arcsen( ------- ) + c 4 8 3

1275

;

J

x d x

11

x 2 - 2 - 1 .

I

eos x d x sen2x- 6s en jcí+ 12

lnjcrtx

J *Vl-41nx-ln 2 x

J

Sea

f

• Desarrollo

Desarrollo

f ____ Jln | xd x x \ ¡ l - 4 \ n x - l n 2 x J Xy¡ 5- (ln x + 2)2

_

(a2 - 2 ) 2- 1 i2 -2lnITTiTI1 2 ' x 2- 2 + 1' + !~" 4i ln1 ' x 2 —1 +c J - 4^+3- J Í7TÍ7TT= 7T71

1276

f

f

Desarrollo

_ f

sen .ydx

= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c

1279

xd x x4 - 4x 4 x22 +3

f _ xd x

_ f

J Veos2 x + 4cos.x + l J y[(c osx + 2 y - 3

l

J

Desarrollo

ln xd x

dx , t u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2 x

lnAdt

j"

ln xd x

_ |‘(m-2)¿m _ |* udu

^ j* du

J vVl-4ln;c-ln2a J xy ¡5 -( \n x+ 2) 2 J yj 5 - u2 J y¡5 -u^ J y ¡5 -u 2 - -y¡5 - ii' - 2 arcsen( -^=r) + c = -V 1- 4 ln

a

-

,lnA + 2x ln" - 2 arcscn( ) +c a

j -

Eduard o Espi noza R amos

88

4.6.

SEG UND O CAS O:

INTEGRAC ION DE FUNCIONES RACIONALE S. ®

veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.

Consideremos dos funciones polinómicas:

AP c — —A— + -----A, 3 _ + ... + ----- x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p

P( x) =b nx" +bn_]x n~i +... +blx+ b0 y Q(x)=amxm+amAxm~{ +...+alx+a0 Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x ) decir Q(x)

donde A,, A2 , A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar. TE RC ER CAS O: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor

Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función racional se denomina función racional propia, en caso contrario se denomina impropia.

cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma: Ax + B x2 +bx + c

Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se puede representar la función dada como la suma de un polino mio y de una función racional.

CU AR TO CAS O: Cuando los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.

P(x ) R(x ) Es decir: ------ = C(x) + ---- ^ , donde el grado de R(x) es menor que el Q(x ) Q(x) grado de Q(x).

Si x 2 +b x + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:

Nuestro interés es la inte gración de las funciones racionales propias:

PRIMER CASO:

Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y distintos.

A|X+P|

ax2 + bx + c (2 )

x-a2

que se van a determinar.

x-an

donde Al , A 2, .. ., An , son constantes]

A2 x + B2

^

(ax2 +bx + c )2

j

(ax2 + bx + c)m

METODO DE OSTROGRADSKI.Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:

Es decir: Q( x) = ( x - a y) ( x - a 2 ) . . . ( x - a n ) , para este caso escribiremos: P(x ) Q( x) x - a ¡

Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y

algunos se repiten, suponiendo que ( jc -a ,) es el factor que se repite P

METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-

P(x ) d x , para esto consideremos los siguientes casos: í Q(x)

89


\ P^ d x = X M + Qx(x) J Q2( x ) • Q(x)

... (a)

donde Qt(x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su derivada Q'(x).

90


& (*) = -“ : * 0 i W . X(x) e Y (x) Qi(x)

1282

dx (jc —1)(jc+ 2)( jc+ 3)

1

Desarrollo

son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son

1

menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x), respectivamente, los

( jc- 1 ) ( jc+ 2)(.x + 3)

coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la identidad (a).

J

A + B + C —0 5 A + 2 B + C = 0 6 A - 3 B - 2 C = 0

dx (x + a)(x + b)

Desarrollo

C x + a) (x + b)

x +a

J

^ , efectuando y agrupando: x +b

A = — ; B = - ~ ; C = 12 3 4

dx (jc-l)(;t+ 2)(x + 3)

_L f dx A + B = 0 } 1 Ab + Ba = l!

A h— — + — — , efectuando y agrupando: x + 2 x + 3

jc — 1

1= (A + B + C) x2 + (5 A + 2B + C)x + (6 A - 3B - 2C)

Hallar las integrales:

1280

91


J

i i A = -------- , B = a —b a —b

12 jc -l

B 1------C )dx u + ------ x + 2 x + 3

1 f dx +J_ f dx 3 J x + 2 4

J „t+ 3

| x + 3| +c 1 ln !jc — 1 i1---In ! x + 2 |+ —ln i i 4 3

f, *

12

- M —x +i-*---L. f J Ü - + - L . fjdxTb ba - b J x + a a - b j a

J ( x + a)( x + b ) J x + a

= - | - [ l n | x - l ¡ - 4 1 n | x + 2 | + 3 1 n | x + 3 |] + c 12

\ x + b¡,+ c , a ^ b 1 - >ln |ijc + « |ih------l . \n\x i + b\+c ,i = -------ln | \------a-b a-b a-b x +a

1283 1281

I

x 2 - 5 jc + 9 dx x 2 - 5 jc + 6

1 , . (jc-I X jc+3)3 12

l n|-

(x+ 3)

|+c

r 2x 2 + 4 U - 9 1 -dx J ( x - i 1)( ) jc+ 3 ) ( jc- 4 ) Desarrollo

Desarrollo

2 jc + 41jc —91 + 3)(x-4)

( x - 1 ) ( jí

A B C h------- +.------ , efectuando y agrupando se obtiene: x - l x + 3 x - 4 -

2 x 2 +41jc-91 = (A + B + C)x2 +(- A -5 B + 2C )x- l2( A- 4B + 3C)

92

Eduardo Espino za Ra mos A + B + C = 2 de donde se obtiene: - A - 5 B + 2 C - 4 1 -(12A -4B + 2C) = -91

1285

1284

■

1 x ( x + l )2

M r x-+ 3 + x - 4 3 , n | í i t ^

J

JC—1

X +

(x + 3)

A+B = 0 2A + B + C = 0 A = 1

Desarrollo .

25.x2-2 0* + 2

,

= — h — — + — —— , efectuando la operación A' X + l (x + l)‘

l = A ( x + l ) 2 + B x ( x + l) + Cx => 1 = ( A + B) x2 +(2A + B + C)x + A , de donde:

- 4)5 |+c

5x +2 dx x 3+ 5x 2 + 4x

5x3+2

dx

í x(x + l) Desarrollo

resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5 2x 2 + 41x-91 -dx (x -l) (x + 3)(x + 4)

93


,(_A + -------+ B dx . C ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^ )dx J X x 1 (x + l)" J x(x + l )2 J * X+l (x + l)

J

25x2-2 0* + 2

— ------- - ------- = 5 + — -------- - ---------= 5 + ----------------------- x - 5 x +4 x x - 5x“+ 4x x(x 4)(.\ I) 25x2- 20x + 2

A

B

x(x-l)(x-4)

x

x-1

C c-4

= l n x - l n Ix + l I+ —— + c = ln | ----- ¡+ ------- + c 1 1 x+l x+ l x+l

de donde

25 .v" — 20 x + 2 —{A + B + C)x~ + (5 A —

resolvie ndo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1

1286

dx 4x 3- A Jf —

Desarrollo

( )x ■+4 A

A + B + C = 25 - 5 A - 3 B - C = - 20 , resolviendo el sistema: A 4A = 2

x 3 — 1 1 2

.11

„7 ^ 161 . C = — 3 6

*_i 1 4 -= - + - ^

4x 3 x

4

de donde

4x'

x -4 x

A

B

C

1. ~ x + x + — 1 + x —1 x(x + 2)( x_ ^) 2 2

B C\ A x -4 = (A+B + C)x2+ (- — + —)x—— 2 2 A

A + B + C = 0

C =1 2+2

_ B

resolviendo el sistema: A =16, B =-9 , C =-7

Eduard o E spinoza Ramos

94


95

IV

x -4 A B C w .ti H----- 1------ —-i------ 7~)dx —— i— í| . í/x 1 \-^T^dx= 4 x , 1 „ 14 1 6J , l v 1, J 4x-x J x (x + ) ( x ) x+— x— 2 2 2 2 x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti , —h— I (— +-— -------- r)dx = —h— [16lnx-9ln(x+ —)-7 ln (x -~ )] 4 16 J x 4 16 1 1 2 2 xH— x— 2

x 1 . = —+ — ln 4 16

1287

11 ( x - 2)2 C

f (5x 2 + 6x + 9 )dx J (x- 3)2(x + 1)2

Desarrollo

2

„16

5x 2 +6x + 9 _ A B C D (x- 3) 2(x + 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2 + x + 1+ (x + 1)2 5x 2 + 6x + 9 = (A + C)x 3 + (-A + B- 5C + D)x2 + +(-5 A + 2B + 3 C - 6 D) x + ( -3 A + B + 9C + 9D )

Desarrollo

x4- 6x 3+ 12x 2 + 6 8x + 6 :x + x 3- 6x 2 + 12x -8 x - 6x‘ + 12x -

í

1288

| +c = —+ — ln | y \ + c 4 16 (2x + l) (2 x -l ) (x + i ) 9 ( x - i ) 7 2 2

f x 4- 6x 3+ 12x ‘ + 6 dx x3- 6x2 + 12x -8

J

___ 8 2 x-2

8

=x+-

8x + 6

A + C = 0 -A + 5-5 C + D = 5 -5 A + 2Z? + 3C - 6D = 6 -3 A + B + 9C + 9D = 9

(x~ 2)3

x 4- 6x 3+ 12x 2+6 8x + 6 )dx dx = I (x + x 3 - 6x 2 + 12x -8 ( x - 2)3

í‘

__x1 + 2

resolvi endo el sistema se tiene:

B )dx ( x - 2)2 ( x - 2)3

f 5x 2 + 6x + 9 J ------------ ------------r- d x j ( x - 3 )2( x + 1)2

8x + 6 A + — ! L _ + _ C _ =>s x + 6 = A x 2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C ( x - 2)3 x - 2 ( x - 2)2 ( x - 2)3 A=0 .B-4A = 8 , resolv iendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22 2A -2 B + C = 6 x 4- 6x 3+ 12x 2 + 6 , x 2 f \ 8 22 w — ------ -------------- dx = — + (-------- - + ------ — )dx

1289

f

9 l A = 0, C = 0, B = — , D = — 2 2

9 C dx 1 f dx 9 1 1, 1, ------------T + - I ----------------------------------------------------------— = 2 J ( x - 3 ) 2 J (x + 1) 2 x - 3 2 x + 1

= -

+7

J (x 2 - 3 x - 1 0 )2 X Desarrollo f x 2 - 8x + 7 J f x 2- 8 x + 7 , I —i-------------^rdx— I ---------- --------- dx J ( x - 3 x - 1 0 ) J ( x - 5 ) 2( x + 2 )2

( ---------- ) ( ----- -

Eduar do Espinoz a Ram os

96

Integ ral Indefin ida

, A B t C | D x - 5 + (x - 5 ) 2+ x + 2 (x + 2)2

A + B = 0] de donde: C = 0 resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0 A = 1

x 2 - 8 jc+ 7 = A( x + 5){x + 2) 2 + B(x + 2 )2 + C(.x + 2)(x - 5)2 + D( x - 5)2

fAT3 +JC+l

J

,

30, ,

c, ,

8

*= ln1' 5 1 543

1

-

30 - - 3 «

,

ln1A+21 "

2 jc—3 —rd — dxx J (x~ — (aT 3 a:+ 2) 2)

1291

I

2U2 -3

at+ 2 ) 2

Desarrollo

("

1 w

f

d.V

----- r------dx = I (H—=--- )dx = x + ------- ---- x 3 + x J x(x ~ + 1) J J x(x~ +1 )

! = A + Bx + C = (A + B)x -+C x+A JC(.V2 +1) * X2 + l Af(A-2+1)

___ ___

\+c

Desarrollo ' ) d x =x + JC4 —1 J a4 -1

A

B Cx+D - + ----- + x2 +1

* - 1 JC- 1

1= (A + B +C)x3 + (A —B + D)x 2 + (A + B +C)x + A — B —D A + B + C =0 A - B + D = 0 , resolviendo el sistema: A= —, B = — , C = 0, D 4 4 A +B - C = 0 A - B - D = 1

X3+ AT+1 dx a:(a:2 + 1)

fAT3 +JC+l

Va:2+1

J x 4- 1

(ac- 1)(a. + 1)(at + 1)

1 2m / r 2 + C

x

f x 4dx

1

Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x- 3) dx Como

J «w33

1292

\ s dx=L J*4-l J

Desarrollo

- 33ac+ jc+ 2 )3~' ( ac2 — ) J1 (x

= x + ln |

,

= _ » ________ - — + ü L i„ | — j * 49( jc -55)) 49U a:+ 2 49 U + 2) 343 ~~ jc —

1290

f 1

| ---- r----- dx = x+ |( ------ — )dx = x+ ln x — ln(jc +l) + c J X X2H J x( x2 +1) 2 +1

8 , CC =- -- — 30 Un -- - _27 i 30 ! B« -= -_ A _ agrupan do y resolvie ndo se tiene: A = ——, — ——, 343 ’ 49 ’ 343 ’ 49 f x 2 - S x + 1

97

^

f A 1 f dx 1 f dx 1 f dx B Cx + D —— dx = x+ |( ----- + ------+ — ------ )dx = x + - ---------- ------------- I - —

f ac4

J x —1

l = x 2 (A+C) + Cx +A

J x

1 x +1

x

1 , . JT- 1 . 1

+1

= x + -ln | ---- -1- - a r c t g x + c 4

AC+ 1

2

4 J x -1

4jx+\

2 J x -+ l

Edua rdo Es pinoz a Ram os

98

f _______ * _______

Int eg ral Ind efi nid a

1294

J (x 2 —4x + 3)(x 2 + 4x + 5) Desarrollo

99

f dx

J77T

Desarrollo

1 _ A + B + Cx+D ( jc2 - 4 x + 3)(x 2 + 4x + 5) x - 3 x - \ x 2 +4x + 5

i

i

A

Bx + C

x3+ l

( x + l ) ( x2 - x + l )

*+l

X2 - X + l

efectuando operaciones y simplificando se tiene:

1—(A + B)x~ + (“A + B +C)x + A + C

A(x 3 + 4x + 5x) - A (x2 + 4x + 5) + fí(x 3 + 4 + 5x) - 3fi(x 2 + 4x + 5) +

A + B = 0 1 „ 1 „ 2 -A + ¿f + C = 0 , resolvie ndo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = — 3 3 3 A + C = 1

+ C(x 3 - 4x 2 + 3x) + D (x 2 - 4x + 3) = 1

x

(A + B + C)x3 +(3A+B + 4C + D)x2 +(A -7B + 3C -4 D )x -5 A- l5 B + 3D = l

\ ^ - = f ( - ^ - + B2X +C )d x = ] - [ — + f 3 3 dx J X +1 J x + 1 x ~ - x + l 3 j x +1 J x - x +1

A + B + C = 0 3A + B -4 C + D = 0 A - 7 B + 3C - 4 D = 0 -5A -15 B + 3D = 1

= —ln(x + l )~ —ln(x 2 - x + 1) + —^ arctg(-:~ -) + c 3 6 V3 V3

1 ,ln ,.-(x- + 1)2 , , =—

1 1 2 3 resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D = — 52 20 65 36 f dx f , A B Cx+D — ---------------- ------------ = (------ + ------ + — ----------- )dx J ( x - 4 x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5 -

= _L5 2 j x - 3

2

f_* L + f 65 I j L d x 20 j x - 1 J x 2 +4x + 5

dx 1 1 1 f 2x + 4 7 f = — l n ( x -3 ) ----- ln(x-l)H ----- I — ------------ dx + ~— I —-----------52 65 J x + 4x + 5 1 3 0 jx 2+4 x + 5 20 = — ln(x -3) —— ln(x — 1) + — ln(x2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2) 52 20 65 130

6

1295

x“ - x +1

f dx J x 4+1

x4+l

1

2x - l

v3

Desarrollo (x 2 +\J lx + l)(x2 - V2x + 1)

Ax + B C x+ D -+ +y[lx + \ x2 -y¡ lx + 1 X2

l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y ¡2A)x 2 +(A + C + y¡ 2A- yÍ2 B)x +B+ D A+ C = 0 B + D + \¡2C - \Í 2A = 0 A + C + y¡ 2D -y ¡2 B = 0 B + D = 1

Eduardo Espino za Ram os

100

integral Indefinida resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = —, C = ——, D = 2 2 2 2

resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = — , C - — 27 2 2V2 ’ 2’

1 f dx

Ax + B

i*

1

X+—

1 ----- 1

T=X+ -

Cx +DC 2V2 2

Jx4+l“J x2+V2x+l+x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l 1

f X + SÍ 2

'íT íj

_

1

+ yfl x + 1

f

X - y ¡ 2

1296

J

I (l + .v2)27 Desarrollo

Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO

dx ! +1 x4 + x 2+1

í — ^ r T = f - e+c tg‘ 2 y -0~)"= f -s e^ c _“ 0 = fc o s 2 0 d O

Desarrollo

A x + B + X2 +1

dx

1-x2

J (l + x“ )~

x4+x2+l =x4+2x2+l-x2=(x2+1)2-x2 x4+x2+1=(x2+x+l)(x2—x+1) X4

x -x +

.

x +T1 * 2\/2 J .Y“ — yfl I?—

4

x

x -l 1 , . x +x + l . 1 = - ln | — ---------1+ — j= arctgí — -=-) + c x x —x+ 1 2V3 x%/3

■ + y fl ,X + 1 * V2 X y fí . I n I — ------- = --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c

X2 - y í l x + \

x+ , x 2 x‘ x 2 x' x+

f dx f . A x + B C x+ D N, 1f 1 1f —1 —------ 5 — = (— ---------------------------------------------------- + -3 --------- )dx = - ,d x - + x +1 J x ' + x + l J + +1 J 1 1

2\¡22, J

1297 2 4V2

101

X~ + X +

Cx +D -+ 1 X —X + 1

J(l

=

1298

r

J

J

J

2

2

2

2 2(1+x )

3 x +5

I —r ---------- r—^dx J (x“+ 2x + 2)

Desarrollo

1— (A x + fí)(x —x + 1) + (Cx + D)(x ~ + x +1)

(x 2 + 2x + 2)2 = (x + 1)2 + 12 => z = x + l => dz = dx 1= (í4 + C) x 3 + (B -A + C + D)x 2 + (A -B + C + D)x +B + D A + C = 0 B - A + C + D = 0 A - B + C + D = 0 B + D = l

x

fl + cos209 sen0eos 9 arctgx ------------ d G = - + --------------- + c = - — — + --------r -

— 2 = 3 í — T ~ ~ — ~ t^x+ f f — J (x2 + 2x + 2) J (x2 + 2x + 2)‘ J (x2 + 2x + 2)~ = _______ 2 _____ + 2 f _____ * _____ 2(x2+2 x+ 2)

J (x2+2 x+ 2)2


102

3

+ f

2( x 2 + 2 x + 2)

dx

_______ 3 _____ +2 f

_

J((x+1)2+1)2

Integra l Indefi nida

103

dx

+2) J(z2+1)2

2(x2 + 2x

agrupando y por entidad de polinomios tenemos: = -----32ax..... + 2) 2(a~ ( x 2' + 2

+2Í( J (z

+ 1)

(z + 1)

+2arctgz—21—--- -~J ( z 2 + 1)2 2(x2 + 2x + 2) ”

■J;:

resolv iendo el sistem a se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0

... (1)

f - _____

J

-— integrandoporpartes; 1' — ----- =--- ---- h-arctg; (z2 +l) 2 2(z +1) 2 ,

„

,

z 2dz

A + B = 0 2A+2B+C=0 3A + 2B + 2C' + D = 0 2A + B + 2C + D + E = 0 A + C + E = 1

+

( A ++ 11))(( xa ”2 + A + l1))2“

J

Bx + C Dx + E -+ — --------- + — ---------- -]dx A + ll

A + A+ 1

( A ^ + A + 1)

Z

í

Luego reemplazando en (1) se tiene:

* * W/x (t ----1 ------ --------------------------_)£ A + l X~ +X+ l (x~ + X+ 1)

, . ; ln | x + 1

„ 2x+2 3a + 5 3 — ----------- dx =------ ----- — + 2 arctg( a + 1) + — -------------- arctgU + 1 )+ c (x~ +2x +2) 2(x +2x+2) 2(a2 + 2 a + 2 )

J

i

: In 2x + \ = ---- ,------------+ arctg(.v + 1) + c 2(x~ + 2x + 2)

1300

i

a

. i

2a+ i

i

2 J

X + A + 1

X + A+ 1

l .

i 2

i r

ii

w

5

i r , 2 a + 1 1 ( --------d x --~----- --------- - )dx I (— - ---------- ) 2 J ( A

+X + 1)

2a+ 1

+ i j— ln x + A + l + — =rarctg(— ?=^-) + ------------------- ;-------- + c 2 3V3 v3 3( a + a + 1)

x3+1 l! ----------------- d x ( a 2 —4 a + 5 ) 2

1299

í

dx

Desarrollo

( a + 1 ) 2 ( a 2 +Hax + + i1)) 2

Desarrollo

a

(a

+ 1) ( a 2 + A + l )2

Dx + B (x 2 + x + l )2

efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene: 1=

A(x 2 + a + 1)

+ (Bx + C )(a + 1 )(a2

+x + l) + (x + l)(Dx +E)

Ax + B

3+1

( a 2 - 4 a + 5 ) 2

A Bx + C -+ A + l X 2 + A ' + 1

a

2 - 4 a + 5

Cx +D ( a 2 - 4 a + 5 ) 2

efectuando operaciones y eliminado denominadores: a 3+

a

3

a + 2

(a + A + 1 ) “

l = (Ax+i? )(x2 + x + 1) + C x +Z>

+ 1= A*3 + (- 4 A + B) x 2 + ( 5 A - 4 B + C)x + 5B + D

104

Eduard o Es pinoza Ram os

por ide ntidad se obtiene:

J (x~ -4x + 5)-

=

,

A = 1 -4A+fí=0 5 A- 4B + C = 0 5B + D = l

A = 1 B = 4A => B = 4 C = 11 D = - 49

. Ax+i? Cx+D , ( - ----------- + —5------------ 7)dx J x 2 -4 x + 5 (x —4x + 5)

105


(x + l) 2(x 2 + l )2

Dx 5 +( E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3 + (x + l) 2(x 2 + l )2 +(A + E + F - B + D- 3C )x‘-+(2A + E + F- 2C )x +B + F -C (x + l) 2(x 2 + l )2

de donde se tiene: 1= Dx +( E + D - A ) x 4 + (E + D + F - 2B) x +(A + E + F —B + D —3C)x~ +

, x + 4 llx-19 H — ------ + - T — - ---- - r ) d * x 2 - 4x + 5 (x2 - 4x + 5)2

1«

1 f , 2x —4 12 J = - (-5-----------+ 2 J x -4 x + 5 x~ -4x + 5

+( 2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C 11 f 2x-4 J r dx — ------------ -¿ v + 3 I — ------------( x~ -4x + 5)" J( x "- 4 x + 5)

2J

-

------ )+ —arctg(x-2)H ----- ~ — ----= —In lx 2 -4 x+ 5|+ óa rctg (x- 2)- —(—-—— 1 5 + 5 2 6V 2 2 ;c2 _ 4jc 2(x - 4x + 5)

D = 0 E + D - A = 0 E + D + F - 2 B = 0 A + E + F + D - B - 2 C =0 2A + E + F - 2C = 0 B + F - C = 1

1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x -17 = —ln x -4 x + 5 h— arctgíx-2 )-1------ -------------- he 2 ' 2 2(x -4 x + 5)

1 3 1 1 resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - —, C = 0 , E = — , F = — 4 4 4 4

Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:

Como:

f

J

dx (x + l) 2(x 2 + l )2 Desarrollo

f

dx (x 1)2(x2

J +

+1)2

_ Ax2 + Bx + C ^ f Dx 2 + Ex + F (x l)(x2 + 1) (x l)(x2 1)

+

+ J +

derivando y agrupando se tiene:

__________________ dx

i (x + l) 2(x 2 + l )2

+ Bx + C |* Dx 2 + E x + F (x + l)(x 2 +l) (x + l)(x 2 + l /

Ax2

J

r __________ -X2 + X 4(x + l)(x 2 +l) 4 - X +x 4(x + l)(x 2 +1)

J

x —3 dx (x + l)(x~ + 1)

1 f -2 -I i ------dx + 1 7 h * - ¡ 4 'Jx +l

------^+ —In Ix + l| ~ —ln |x 2 + 1 | +—arctgx + c 4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4

6

106

1302

Eduard o Es pinoza Ramos f

I _I 1 , ------ 1 — + Í - 4 - * = -------í ------- 2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx 4(x - 1) 4 J x + l x - \ x + 1 4(x — 1) Jx4-1

dx Desarrollo

í

dx

A x ’ + Bx 2 +C x +D (x4 - l ) 2 x4 - l

107


X 3 f 11 w 3 f dx ----- + — I (-------- — )dx + ~ I — ----4( x ' - 1) 16 J x + l x - 1 8J jc +1

f E x ’ + Fx 2 +G x + H x 4 +l

-----

+J

x 3 ,i x+l , 3 - + — ln | ----- |+-arctgx + c 4(x 4 - 1) 16 x -1

derivando, simplificando y agrupando se tiene: 1_ 3A(x 6- x 2) + 2B( x 5 ~ x ) +C( x 4 - l ) -4 A x 6+ 4B x 5 - 4 C x 4 - 4 / l r 3 (x 4- l )2 (x4-\)2

3 x 3 ,x -l - a r c t g x ------- - ----------- ln -----8 4(x - 1) 16 x + l

Ex3 + Fx2 + Gx + H x4 —l 1303 1= E x 7 + (F - A)x6 +(G- 2B)x 5+ ( H - 3C)x4 + (- 3 D - E ) x 3 + + (—3A —F) x2 + (—2 B - G )x -C —H E = 0 F - A = 0 G- 2B =0 H - 3 C = 0 , resolvi endo el sistema se tiene: -3 A - E = 0 -3A-F=0 - 2 B - G = 0 - C - H = 1

í (x 2 + l )4)4 Desarrollo Sea x = tg0 => dx = sec 2 ,Od d f dx f sec"d dd _ f sec~ 9 d 9 _ f d0 J(x2+1)4 J(tg20+1)4 J see89 J see60 JcOS 60í/0 = J(cos 20 ) 3d0 =

■¿J(1+ 3c os 2 29 + 3cos29 + eos329)d9

A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - 4 4 Ax 3 + Bx 2 +C x + D

dx

f Ex 3 + Fx2 + Gx + H x 4 - l

■¿J(1+ -(2 1 +cos40 ) + 3cos20 +cos 229 eos 29)d9 + 3cos20 + (l-s en 20)cos201

108


1r59 3 3sen 26» sen 326 . :_ [— -+—sen 4 0 + —sen 29 h— ------------------ ] + c 8 2 8 2 2 6

4x -lOx +8x--2 - Cx 3 + ( D - 2 C - A ) x ¿ + (2 C - 2 D - 2 B ) x + 2 A + 2 B + 2 D C —4 D - 2 C - A = -1 0 2C - 2D -2B =8 2A + 2B + 2D = -2

— sen3 9 eos3 9] + c = —[— + —sen9 eos 9 (2eos2 9 - 1) + 4 sen 9 eos 9 — 8 2

2

3

1.5 3 x 2 4x 4x3 = - [ - arctg x + ----- (— ------- 1) + — ------------------------2(x "+l ) x +1 x~ +1 3(x~ + l) 82

109

--

-] + c

4x-3 x -3 4x 3 —10x2 + 8 x - 2 dx = — ------------- 1-dx x 2 ~ 2x + 2 IJ -x z - 2 x + 2 (x 2 - 2 x + 3)2

1

15 15x5+40x3+33x =— arctg * + ----------- - ---------- + c 48 48(x +1) 1304

x - 3 - + 21n |x 2 - 2 x + 2 |+arctg(x-l) x" - 2x + 2

x - 2x + 2 ,

(2)

reemplazando ( 2) en ( 1) se tiene:

------------- - d x í —r (x -2 x +2) Desarrollo

í

r 4x3 -10x 2 + 8 x - 2 )dx f —2 2X +22 dx = f(l + J ((x~ x --2 2 xx + + 22)) JJ (x - 2 x + 2)

f 4x 3 —1Ox2 + 8x - 2 , =x+ ------------------- — dx J (x - 2 x + 2)

x- 3 + 21n ¡, x 2 - 2 x + 2 | + a r c t g ( x - l ) +c x - 2x + 2

Hallar las integrales siguientes empleando diversos procedimientos.

...( 1 ) 1305

I

x5dx (x + l)(x + 8) Desarrollo

Sea z = x 3

derivando, simplificando y agrupando se tiene: -A x2 -2 Bx +2A + 2B (x 2 - 2 x + 2)3

‘4x 3 - 10x" + 8x - 2 x 4- 2x 2 + 2 dx dx = * + J ‘ (x - 2x + 2) (x 2 - 2x + 2)2 : X —-

A x + B f 4 x - l O x + 8x + 2 , f Cx+D ------ r ------------ ~z— dx = — --------- + — --------- — dx x -2 x +2 J x - 2 x +2 J (x - 2x + 2)

4x 3- 1 0 x 2 + 8x —2 (x 2 - 2 x + 2)2

resolviendo el sistema se tiene: A= -l, B=3, C = 4, D = -3

Cx + D x 2 - 2x + 2

Cx3+ ( D - 2 C - A ) x 2 + (2C -2 D -2 B )x + 2A + 2B + 2D (x 2 - 2 x + 2)2

dz = 3x 2dx

f x 5dx I (x 3 + l)(x 3+ 8) (z + l)(- + 8)

— = x 2dx 3

x 3.x2 dx j (x 3+ l)(x 3+ 8)

A B z+ 1 z +8

1f

zd z _ 1 f (/ ------A 1------ B )dz ¡ (z + l)(z + ) 3 z + 1 z +8 8 3,

(A +B )z + 8A + B (z + l)(z + 8)

J

•v 110

Eduar do Es pinoza Ram os z = (A + B)z + 8a + B por igualdad se tiene:

resolv iendo el sistema se tiene: A = 2, B = -2, C = -3

A+ B = l ) 1 n 8 > entonces A = — , B = — 7 7 8A + £ = 0

.x7 + x 3

f

f x5dx 1 f A B 1 . . , . — 3 — -------------------- i-----= o I ( T+ ----------ñ ^ z ~ t81n U + 8 -ln z + 1 ] + c 3J z+ l z +8 21

f x l + x ¡

2z + 3

-)dz

z‘ +Z -1

r^-*— 2 Jz " + z - l

-

Desarrollo 1307

„3 , „4

J x - 2 x +1

Sea z = x 4 =* dz = 4x 3dx

J x 12 - 2x4+1

2

l , i 2x 4+1 — *J5 , 1 . ¿i , 1 i k 4 t = —ln x - 1 — ln x + x - 1 ------------------------pi n — -------------- j= +c 4 2^5 2 2x +\ + \¡5 r

J x -2 x +1

1f

ii i i 2z + 1— y¡5 . 1 1 , 1 .i 1 - i 2 = - ln z - 1 — ln z ' + z - l t=- l n -------------------------- ■== 2 1 ' 4 ' 2>/5 2z + l+ V 5

J

í xI2 - 2x 4 + l dx yP _L v- 3

Bz + C _

- ¿ t a u - i i- i 4 Jz + z-l 2

= ~[8 1n | -v3+ 81-ln | x3 + 11] + c x 7+*3

1 f A

.

4 j
J (x 3 +l)(.r 3+ 8)

1306

111


J x = l f 4

z + l j

. =

1

f

(z + l)
J z3 _ 2z+ l " 4J ( z - l ) ( z 2 + z — 1)

_ 1 f A

z+l

A

( z - l ) ( z 2+ z - l )

z-1

-

Bz + C )d z z2 + z - 1

Bz + C +z2 + z - l

efectuando operaciones y agrupando se tiene: A+ £ = 0 z + l = (A + B)z 2 + ( A - B + C ) z - A - C , de donde A ~ B + C = 1 —A —C = 1

í;

x 2 —x +14

-d x

( x - 4 ) ( x —2)

Desarrollo B C D -H----------—H--------- + x -2 (x - 4 ) 2 (x - 4 )

jr2 - x + 14

A

( x - 4 ) 3 (x - 2 )

(x - 4 ) 3

efectuando operaciones y agrupando se tiene: x 2 - x + l4 = (C + D) x3 + ( B - \ 0 C - \ 2 D ) x 2 + ( A - 6 B + 32C + 48 D )x -2A-8B-32C-64D C+D=0 B -10 C —12D = 1 A - 6 B + 32C + 48D = -1 - 2 A + 8 B - 3 2 C - 6 4 D = 14 resolvie ndo el sistema se tiene: A = 13, B = -3, C = 2, D = -2

r Eduard o Esp inoza Ram os

112

fJ ( x' --44)) r((xx"- 2) ,,, J Jf, ( x A- 4 )3

B C D H---------1------- )dx (x-4)- x-4 x -2

Ix4(x 2 + l )2

13 3 ,x -4 , + -------+ 2 In I------- 1+c 2(x-4)~ x- 4

I

3

dx x4(x 3+ l )2

1309 Desarrollo f

dx

1:

J

x3+l i! )dx x 4(x 3+ l )2 x 4(x 3+ 1)2<

r dx f dx J x 4(x 3 + 1) ,J x(x 3 + 1)2 A

dx 4x 2 + 5 x - 2

3x 2

1„ . ,a + 1 , 1 1 ) + c - - [ 21n | -- d x — 1 xJ x3 3* x"

Desarrollo

1

1

i 3- 4 x 2 + 5x -2

(x —l) 2( x - 2)

(------------------- ------ )dx ———- -l n x + -ln(x + 1) 3x 3

" I x(x +1) x(x +1)

í ____ *

____

, f(

J x 3 —4x 2 +5x — 2 J

—- = — —r + —ln(x 3 +1) —In x 3x3 3 I:x4(x 3+l)

A = I

Luego:

1

A B C - H-------- f*( x - 1)2 x - 1 x - 2

B + C = 0 A - 3 B - 2 C = 0 ■ resolviendo el sistema: A = -l, B = -l, C =1 -2 A + 2B + C = \

X3

)dx - i , *J+I J x (x + 1) x (x + 1)

f

x 3 ' 3 x3+ l

1

3x

1= A ( x - 2 ) + B( x 2 - 3 x + 2 ) + C ( x 2 -2 x + l), de donde se tiene:

B

dx 1 , , 3 ,, 1 , 1 B = I ---- —— 7 = — In | x + l | + - ( —---- ) + lnx x(x +1) 3 ' 3 x3 + l

3(x +1)

efectuando operaciones y agrupando se tiene:

( 1)

(x‘ + 1)

■ Í 7

= - ( l n x - - l n ( x 2 + 1) + — ^ — —) - l n x + ^ l n ( x 3 + 1)

1 , ,x 3+ l , 1 - + -1l,n I,x 3 + l . = ” ln I —5 —I■ 3 ' x 3 ' 3(x 3 +1) 3 **' x 3

= 13 j* — - —— - 3 f ———^+ 2 — 2 J ( x - 4 )3 J ( x - 4 )2 J x - 4 J x-2

1308

113


f

( x - 1 )2 dx

X-1

i* dx

x -2 j* dx _

j (x-1)2 J x - 1 J x - 2 1310

f _ dx J x(x 7 +■ 1) d X

Desarrollo

1 - + lnj — j \ f c x -1 1

x-

+c

1] 4

115



f ________ _________ = f( M+ J - + ^ x + D - )dx J ( x 2 + 2 x + 2 ) (x 2 + 2 x + 5) J x 2 +2x + 2 x 2 +2 x + 5

1311

1f

3

Desarrollo r

dx dx 1f x 2 + 2x + 2 3 x + 2x + 5

1

1

,* + l\ , c 3662

= - I --------------------- I ----------------- = -ar ctg (x + l )— arctg(--------- ) +

dx í *(x 5 + l )2 dx

f x5+i

x*

f

d x _ r

dx

r

x4

J x( x5 +1)2 J x( xs +1) J (at5+1)2 J x(x 5+1) J (x 5 +1)2

1313

±x

J

J

f x 2dx -------- -

J (* -l )10 Desarrollo Sea z = x --1 => x = z+ l = > dx = dz

=

f - ^ * - í /+

J x(x + 1) 4

----- ;--------------- + c = l n x — ln | x + 1 |+ 5 5(x + 1) 5 +1) ■Jf-J x5+l dx + 5(x 1312

J

7 +c -

A x + B

(x 2 +2x + 2)(xz+2 x + 5)

x l +2 x + 2

^

' J z8+z9 9z9 + C

4z

.10

)dz

_1 ________ 1 + c 7 ( x - l )7 4 ( x - l )8 9 ( x - l ) '

Desarrollo

Cx + D x ¿ +2 x + 5

f. dx .. = f __ *

1= A(x 3 + 2x2 + 5x) + B(x 2 + 2x + 5) + C(x 3 + 2x 2 + 2x) + D (x 2 +2 x + 2)

___

L— f f . p - d x + \ - 4 — dx

5x's

A + C = 0 2A + B + 2C + D = 0 de donde se tiene: ___ __ 5A+2B+2C+2D=0

1

5A + 2D -1 A •* 0. II ^ , C' O , /)

__ = í ( - í l ± i ------------ % ----- )dx

Jx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l)


KchiiIvIpihIo pI ilvtriiim k" (tone

2

1314

Desarrollo 1

1

1 I z 1

dx (x 2 + 1x + 2)(x 2 + 2x + 5)

f

2dx _ f( z + l)~ 10 iJ “U - l ) !ü J

^

J x (x_ + 1) J x (x +1) 1

f

3x

*

x 2 +\ , _f X2dx

“Í7 +Í7 +J x2(x2+1)íiA J x2(x2+l) 1r + — 1-------1arctg x + c = ----

5x

I ihuiiilii ! spinoza Ramos

4.7.

INTEGRALES DE IRRACIO NAL ES.(7)

ALGUNAS

FUNCIONES

1316

cx + d

xd x yj ax +b

, 3 2 Sea z =a x + b => dx = —z d z a Como z 3 =ax +b => z = sa x +b además x =

cx + d

z3 - b a

z3 - b

donde R es una función racional y p¡ . q l p 1. q 2 ... son números enteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución. ax + b ex + d

J

Desarrollo

INTEGRALES DEL TIPO.-

J

117


i

x d x yjax + b

í

i

a z

3 z2 a

z)dz

„

= JL ( i i - - z 2) + c = - 1 - (2^(ox + b f - 5bl](ax+b)2) + c a 5 2 10o

donde n es el mínimo común múltiplo de los números q { , q 2

1317


dx

f * Vx +1 +

(.x + 1)3

Desarrollo Sea z2 =x + l => z = Vx + 1 => zi =y j( x +\ Ÿ

Desarrollo Sea z 2 = x -1

Como z 2 = x+ l => x = z2 - l

=> dx = 2z dz

dx = 2zdz

f dx —-—= = f ^ ^ - = 2 [ ^ Z = 2 arctg(z) + c = 2 arctg(Vx + l) + c J V x + I + ^ x + l )3 J z + z‘ J z "+1

Como z 2 = x — 1 => z = Vx — 1

1318

I Vx-+ Vx Desarrollo

=

2 (z + 3: + 3z" + \)dz ■■2(— + - z 5 + z 3 + z) + c

í

7

5

= 2z(— + - z 4+ z 2 +l ) + c = 2V x - l( ————+ —(x —l )2+x) + c 7 5 7 5

118


A+ fí = 0 de donde: A - B + C = \ A - C - 2

z 3 z2

= 6(— ---- — + z- ln (z + l)) + c

1319 J f r r “

f— # i ^ =

J (x+ l)2-VITl

Desarrollo

6 | ( z6 - z 4 - z 3 - z 2 - z - 1 — -) dz z +1

*

75 74

73

72

1

7

5 4

3

2

2

1320

Desarrollo

Z +Z + 1

Z -1

Z-1

Z2 + Z+ l

z + 2 = A (z 2 + z + l )+ (z -V )( Bz + C) = >z + 2 = A( z2 +z + \ )+ B( z 2 - z ) + C ( z - l )

+- ^ - c-)dz

Z +z:+l

J z + z +1

V l z + -1sT y + -3, 2 4

2

2z + l arctgí— -j~~) + c

1321

f VI dx

V3

y¡3

(\ fx + \ —Y)~ 2■2\ Jx+ 1 +1 = ln - ----- -¡= ? — -f=arctg( — — ■).+ c X + 2 + v x +1 . V3 . . a/3

J x+2

Sea z 2 = jc+1 => dx = 2z dz f Vx+T + 2 fz +2 o f z -*-2 ,„ f , A Bz + C , I— t---- j = = d x = I— )dz 2 zdz = 2 I—— dz = 2 (------ + - T— J(x + 1)2 - V I Í T Jz 4-z J z 3- 1 J z - 1 z + z +1

z-1

, ( z - 1)2 - 2z + 1 2 = ln—------------- 7=-arctg(— -r - ) + x

V I - ^ V ? - V ? + 2V I + 3\f x - 6\¡x - 3 ln(V I + 1) + 6arctg yfx + c

| — ±jL=dx yj X + 1 h (a + 1) —

f

J

z + z +1

■? = 2 ln(z - 1) - ln(z ‘ + z + 1) -

= 6(---------------- + — + —— z— ln(z2 +l) + arctgz) - “

J

= 21n ( z - l ) - l n ( z 2 + z + l ) - J

J z +1

77

f z —1

J Z-1

[ ^ j h ± d x = í - y - ^ - 6z5dz = 6 \ —y — dz

J z +1

resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1

=2 j*(—----- 2Z+1- ~)dz = 21n(z-D- f -2c + 1- dz- f-

Sea x = z 6 => sfx = z? => Hx = z2 aaemás dx = 6z5dz

J #t +l

119

Integral I ndefinid a

'

.

Desarrollo

Sea z 2 = x =$ dx = 2zdz

2

\ ^ - d x = f - ^ - d z = 2 ( - ^ - d z = 2 Í ( l — 2 ■)dz z‘ + 2 J x + 2 J z +2 J z +2 J = 2(z - -JL arctg(-^=)) + c = 2V I -

272 a r c t g ( ^ ) + c

dz

J z +Z + 1

120

1322


121

Integral Indefin ida integrando por partes I see 30 dO se tiene:

dx f (e2 ~ x ) y j l - x

Desarrollo

Jsec3 9 d 9 = ^[ ln | sec0 -rtg0 ¡+ sec0 tg0]

Sea l - x = z 2 => 2 - x = z2 +1 => dx = -2z dz dx

f -2zdz

—~í£t = —[In I se e # tg 0 | + s e c 0 t g 0 ] - t g # + c ! x. — jc+ 1 2

2arctg(z) + c = —2 arctg(Vl —x ) + c

= —[In I x + yfx2 - 1 I+ W x2 - \ ] - \ ¡ x2 - \ + c 2

1323 Desarrollo

= i l n |x + V 7 ^ l | + £ ^ -( x —2 ) + c 2

7 X2 - 1 -dx

1324

Desarrollo

J V*+i see 0 = x

Sea z

JV T Î

z3+l , -6 z 2dz 3 x + \ ------- => x = —5 — => dx = — ----- x - l z3-l ( Z3 -1 )2 -

dx, = see 9. tg 0 d0

eosec9 = 4 J....... , => TX

dz f x. ——- dx = f ,. X

J v*+ i

J

l )2

, { x -l )d x f ______ M ______

=Jcos
J (z -l )2(z2 + z + l)2 J z - í

=Jsec39 dQ - Jsec29 d 9 ix-1 x^j — —dx:== J 9 - J| ssee“ 9 d6 | see3 sec- 96 ddO

r, A |

z3

A

B

(z l)2 z2 + z + l

B C z+ D Ez + F - + --------------------- + -T ---+

z - i

(a )

1 Cz + D | Ez + F


(z2+z+l)


122

z3 =( A +C )z 5 + ( A + B - C + D)z4 + ( A + 2 B - D + E ) z i + ( B - A - C - 2 E + F) z2

123

Inte gral In definid a z2 - | + 3

f 2 X+ l ^ d x = f- ----- ^ ---- zd z = 2 Í v 2x + 3

+ ( 2 B - A + C — D + E - 2 F )z + B - A + D + F

A + C = 0 A + B - C + D = 0 A + 2 B - D + E = l B - A - C - 2 E + F = 0 2B-A +C-+ E-2 F =0 B - A + D + F = 0 ^

a

dz =

resolviendo el sistema se tiene:

z +3

Cz + D Áz + S (— 7----- 7 + --7 — -) dz ( z2 - 3)2 z 2 - 3

Az —2Bz —3A + Cz + D (z 2 - 3 )2 z2- 3

Cz3 +( D -A ) z + (- 2 B -3 C )z -3 A - 3 D (z 2- 3 )2

z + 3 = Cz + (£>- A)z + (-2 S - 3C)z - 3 A - 3 D

.A B C z + D E z + F , (_ --- h---------H----- ---- — H---- -----------)dz z - 1 (z — 1) z +z + l (z +z + \y -

11

.

dz

derivando, simplificando v agrupando:

(z2- 3)2

, b = ^ c = - ^ , d = - ^ , E = J - , f = ^ 81 9 81 81 27 27

j é ? * - 6!

* (z 2 ^ 3 )2

J ^22 ——-)2^

por identidad de polinom ios se tiene:

z 2 +3

1 11 31 7 11 — Z + — ZH ,+ 9 — 81 81+. —27----------27 )dz ........ 7w . -------- 7 ( z - 1)z~ +z + l (z" + z + l)~

C=0 -2 8 - 3C = 0 D - A = l -3 A -3 D = 3

resolviendo se tiene: A = -1, B = 0, C = 0, D = 0

-----

-4 *

Az + B z2- 3

integrando cada termino y simplificando se tiene: x +1 , 1 , z2+ z + l 2 2z + l 2z -3/:----- dx = - ln--------— + —¡=arctg( — = -) + — ------ 1- c 1 3 (z —1) yfc * J3 z3-l

Jé? 1325

x +3 ~dx x 2\J 2x + 3

J

Desarrollo

2

Sea z = 2x + 3

z2 - 3 z dz = dx => x = -------

, , J- í + 1 donde z = h Vx-1

C z+ D )dz = z2 - 3 ( z 2 - 3 )2

(2)

reemplazando (2) en (1) se tiene: x+3 L itL = * = x~V2x + 3

©

z+3

. 2z dz = -----,----- + C=

(z2-3)2

z -3

2f -

V2x + 3

---------------he

INTEGRALES DEL TÌPO. pn(x )dx

1 yjax2 +bx +c

donde p n (x) es un polinomio de grado n, se supone que

124

Eduard o Esp inoza Ramo s dx f _ Pn^x ~ = d x = Qr '_x( x)' Jax2 +bx + c + A f -?= » y a x 2 +b x + c J \¡a ax ‘ + bx +1

— — Vx2- x + l - - l n | 2 x - l + 2 Vx2-x + l|+c

... (3)

donde Qn_ ,(x ) es un polinomio de grado (n - 1) con coeficientes

1327

indeterminados y X es un numero. Los coeficientes del polinomio Q n-1 (•*) Y ®

la sustitución:

------

x - a

x5 = sf l-

, se reduce al 2° tipo de integrales valiéndose de

= t

x 2dx

x + l

i ? ^ /T 2 x(Ax4 +Bx*+Cx2+ Dx+E) A = (4Ax3+ 3Bx + 2Cx+D )y¡l -x2 — - ----------- = = ----------- - + ~ r = sf l - x

-5A = 1 -4B = 0 1 4 4A-3C = 0 • resolviendo se tiene: A = - - , C = _ ^ > D = 0, E = 3 B - 2 D = 0 2C -E = 0 D + A = 0

Desarrollo

- x +l

= ( Ax + B) sj x2 - x + l + A í —j=~- -L= , d erivan do se tiene: •* V x 2 - x +1 2A( x 2 - x +1) + A (2 x 2- x) + B ( 2 x - 1) + 2

dx

2yfx2^ x + l

VÍ^X 2

2x 2 = 4Ax 2 + (2B -3 A)x + 2A -B + 2Á, dedonde: A = - , B = - , A = — 2 4 8

J

4 x2-x + l

— derivando se tiene

x 5 = -5Ax 5 - 4 f l x 4 + ( 4 A - 3 C ) x 3 + ( 3 B - 2 D ) x 2 + ( 2 C - £ ) x + D + A

í;4 x ^ - x + l X

Desarrollo

X5 = (4Ax 3 +3 Bx 2 + 2 Cx + D)( 1- x 2 ) - ( A x 5 + B x 4 + C x 3 + D x 2 + £x) + A


x 2dx

j ^ / w 2

f x dx - = (Ax4+ Bx 3 + Cx2 +Dx+ E)y jl-x 2 + A f J J i - x 2

I NT E G RA L E S D E L T IP O .-

I (x -a ) n\fax2 +bx +i

í

r x^ dx

numero A, se hallan derivando la identidad (3).

dx

1326

125


2 4 8 1 xj

dx - x + l

= (_ £ _ _ ± ^ _ A ) V í r 7 = - 8 + 4 * + 3 x .^ 7 + c 5 15 15 15

1328

x.’dx

8

, A. = 0


126

127


Desarrollo

dt 4

i - , —*-

dt

dx dx = ( Ax 4+ Bx 3+Cx2 + Dx + E)\ll + x2 + A f —p 2 Vi + x2

JJlTx

J

tf \ t 2

derivando y agrupando se tiene: x6

= (At3 + Bt2 + Ct + D) \J l-t 2 -A

_ 6A x6 + 5Bx5+ (5A + 4C)x4 + (4 B + 3 D) x3 +

\ i i + x 2

f

^ J V I-?.

derivando y agrupando se tiene:

vr+ x2" +(3C + 2£ V2 + (2D + F )x + E + A

Ví +

- , 4 = — 4f 4- 3 S í 3+ (3 A - 2C)t2 +( 2B -D )t + C +X 3 3 1 de donde: A = —, B = 0, C = —, D = 0 , A = — 4 8 8

X*

x6= 6Ax +5 B x 5 + ( 5A+ 4C)x4+ (4fí + 3D)x 3+ (3C +2 E)x 2 +(2D+ F)x + E + X

f

p = = - [ - ^ L , = (A t3 + Bt2 +Cí J x’ V ^ M j V T ?

de donde: A = - , B = 0, C = ~— , D = 0, £ = — , A = - — 24 16 16 6

4

f _ í = ^ = = (A x5 + Bx 4 +C x 3 + Dx 2 + £x+F)Vl + *2 + A f , ¿X J V i T 7 J ViT? /7~

6

24

16

7 5 f 16 J

l+ x2

8

+ D )Vl-í2 + a [-7¿L

* = ( 44 4 8) V ^ f

SjJZS

= (—i—+ — -)V *2-1 - - arcsen(—) + c 4x x 8x 8

dx

=^ 6 Y ~ ^24d +T16¿ ^ l +x 2 ~ 16 y 7 ln \ x+ ^ ] +x l l+c

1329

1

1330

í (x +1 )3V *2 + 2x Desarrollo

1 / => x+1 ,= - 1 => dxj = — Hacemos ------= x +1 / r

J x5 * Desarrollo

j Vw

— arcsení + c

Eduard o Esp inoza Ram os

128

4.8.

t~dt r-í +l-l i i , / donde x + 2x = (x + 1\2) - ] = - f1 = I — 2 í//

j

129


INTEGRA LES DE LAS DIFERENC IALES BINOM ICAS. xm( a+ b xn )p dx

J

J VÍ Z7

- arcsen í - arcsen í + c

2

donde m, n y p son números racionales.

2

CONDICIÓN DE CHEBICHEC.-

t rr~2 i I. i i ) +c = —V l-í —i are.* arcsent + c = --------— i arcsen( ,----- 1-----------x+l 2(x + l)V (A+ l )2 2

La integral (1), puede expresarse por medio de una combinación finita de funciones elementales, únicamente en los tres casos:

----- - — —Vx 2 +2 x - — arcseni— —) + c 2 x +\ 2(x + l)

1331

x 2 + X +

1

:Vx2 - x + +l

Cuando p es entero.

-(lx

m+1 es número entero, aquí se emplea la sustitución nn a +bx n = zs , donde “s” es el divisor de la fracción p.

©

Cuando

©

C uando

Desarrollo f x2 +x + l

— 1 = = = d x =

j xVx - x + l

f

x(x + l)

( — ?=•: ■

^ + - -7=.=

J x vx 2 - x + l

1

x vx 2 - x + l

1 f 2 jc—1 + 1 f i* 2J yjx 2 - X 1f

2 x -l

+ l

m +1 + p , es número entero, en este caso se emplea la n sustitución ax~n + b = z

■ = )< &

=i~r===i£ï+f - r fr J xy¡ x‘' - x + 1 •W x"-x+l _

dx

3 f x + 2

Hallar las integrales: 3

f

J XW\¡ ^X 2 X ++ l -JC

... ( 1 )

1332

fifx

J

x 3(1

+ 2 x 2 ) 2d x Desarrollo

JJ yj x2 - x + l

f

¡ 4 7 ^ ¡ + I W

dx

?:x+l

m + 1

3+ 1

4

------ = ------= — - 2 es un entero n 2 2

integrando y de acuerdo a las integrales anteriores se tiene:

Z2 - l => x jd x = — Zdz entonces: l + 2 x“2 - z 2‘ => x 2 = ------— 2 2

= -\/x2—x+ l+ ln | x|+-^ln | x-- ^ + Vx 2 - x + l | - I n

J x3(1 + 2 x2) 2dx = J x 2(l + 2x2) 2xdx = J 2 ^ *.(z2) 2 3

11 —-^ + Vx 2 -x + l |+c

= ^ J ( 1 - z ’ )tiz

130

Eduard o Esp inoza Ramo s K K 1 z +1 1 2 + 2x N 11+ = - ( z + - ) + c = - ( ------- ) + c = — (—== = ) + c = —(—== =? ) + c 4 z 4 z 4 J 1+ 2x 2 2 V! + 2.v2

1333

I

131

Integ ral Inde finida x

.

Jí —4 /—n V— = - Ji -z—“—1 = ~ ( ~4ln | —z—-+ 1| + —a rc tg z )+ c = —l

n | | — a rc tg z+c 24Z - l 2

dx 7

a , „ | ^ S ± I | - I a re,g ^ 4 'V ^ T l - l 2

Desarrollo 5

Sea x 4 + l = z 4 => .v4 = — ? -i

j c=

1. Vz4^ !

=> dx = - z 3(z 4-1) 4¿z

1334

+c

dx

I - X Xí'Jl\ + xX' 2

Desarrollo

dt 1 Sea x = - => dx = — t r dt

J Z - 1 J Z + 1 Z~1 z 2 z4-l

A Z+

i í -----$ = = f ---- p = = - [ - 4 ^ = = - [ / (1 + í ) 2dt J x4^ / i í 7 J i C Z J J ,4 V t2

Z +1

B Cz + D _ - H---------i- —r ---- , efectuando operaciones y agrupando

1

Z -l

z2 +l

S ea z 2 = l + / 2 => z dz = t dt

z~ = (A + B + C) zi + ( B - A + D) z2 +( A + B - C ) z + B - A - D de donde se tiene: A + B + C = 0 B - A + D = 1 A + B - C = 0 B - A - D = 0

.3

f ----- ^ ==r = - j ' - i = d f = - f( z 2 - l ) z .zdz resolviendo el sistema se tiene: A = —-, fí = —,C = 0, D = — 4 4 2 = - J ( z 2 - l) dz = - ( y - z ) + c = - | ( z 2 - 3 ) + c =

f z2 , f , A B Cz +D 1, .1, .. 1 — — dz = (— + ---- - + ■ )dz = —- l n | z + l | + - l n | z - l | + - a r c t g z + c J z -1 J z + 1 z - l z +1 4 4 2

1

1+^ V T - 2 . } 0 ± L (ti - 2 ) + c = - ' ' x ' -( - A r- 2 )+ c = ^— ^ -( 2 x 2 - l ) + c 3 V 3x3

i, Iz-l I 1 = - - l n — - |+ - a r c tg z + c 4 z+ 1 2

Luego:

i l i - ( l + , 2- 3 ) + C

1335

J:

dx

f l + x


132

Desarrollo Sea l + ;t 5 = z 3

= fjc_,(l + jc5) 3dx = f(z 3 - l )

f—

J X\Jl r\/l ++X' r5

1336

i =* x 5 = z3 - l => x = (z 3 - l ) 5 ,

J

5(z3)

3

_í d x = - - ( z 3 - l ) 5 z 2d z

3 - ( z3 - 1 )

J5

133

Integra l Indefinid a dx

f

5

x 2(2 + x3)3 Desarrollo

5 z2dz

Sea 2x

-

l / l 2 1 3 3 +1 = z => x =—— => x = --------- - => dx = -- l f2 (z 3 - l i 3 z 2dz (z 3- l )3

* zdz = - í ( z 3 -i r ' z d z = - [ - 5^ - * = - f - ---5J 5J z -l 5 J ( z - l)(z 2 + z + l) a-2 = ( ^ 2 )2(z 3 - l )

Bz + C :)dz w = - f (— + — ------5 J z - 1 z +z + l A z3- l

Z -l

5

j ------ —— - = J jc _2(2 + jc3)

Bz + C - + — -------- de donde se tiene:

jc2(2 + a 3)3

Z2 + Z + l

z = (A + B) z2 + ( A - B + C) z + A - C A + fl = 0 A - B + C =1 A-C = 0

3 => x 2 = (Z y } ] - = >2 + a 3 - 2 j:3(z 3 - l )-1 3é/jc

2

= J í i i j l i ( 2z3(z2- ir ') 3(-^/2)(z3-1) 3z2dz

resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = , C = — 3 3 3

2 3^2. j (z3_ f t

z- 5 (z3_ {)i z 2 dz = - I J ( z3 -l )z ~ 3
\ - r - ~ f l - £ - - < ^ - ) l * = -[ f — * J jc^/i + x5 5 J z - l 3 z +z + l 5 J z-l J z +z + l

1+ c

= ^ [ln(z- 1) --^ \n(\lz 2 + z + l) + \/3 arctg(2^ -)] 1ln-------------(z -l )2 -ln -(z-------------2 + z + l) +V3 /2z +? l.r ) + c _ are,g(_ 1337 = — ln-^f——— l-^ -arc tg( 2~ ^ -) + c 10 z 2 + z + l 5 V3

donde z = yjl + x5

I

dx

Desarrollo

134

Eduardo Espino za Ram os Hacemos 1+ —L= = /3 , t = J 1 +

135

Integra l Indefin ida SEG UND O CAS O.-

1

Cuando n es un entero positivo impar dentro del integrando se saca el factor común sen x dx o eos x dx, respectivamente, luego se usa la identidad:

-7.V3

1

- V = ^ i - = » í / í = 31 . 1 r 3- 1 3- l

se n 2 x + cos” x = l 0

4/ U = -------* - , 4/77 1 — V.v v* = — ----, (r -D" t (f 3- l )3 de 1+ .— = r’ => —

P AR A L O S I NT E G RA L E S D E L A F O R MA .f tg” xd x y c tg" xd x J J

-At dt = 3t~dt => dx = ---- , Luego:

si n es par o impar se usan las identidades: 1

f

f - 4 r g 3 - i ) 2 d{ 'lxi\l\+i[7

( P _

f r V - u V - l )3

1)3 J

jL . Vi - 1

2/

+C =

( i 3 -

- 2( 3/1 + — r=

)2

@

sen "1 x.cos" x dx

t

PR IM ER CAS O.- Si m o n es un entero positivo impar y el otro cualquier numero.

+c — —2(]l(l + x 4 )2) + c

Se procede de la siguiente manera:

INTEGRALE S DE FUNCIONE S TRIGONO MET RICAS.(I)

Si m es impar se saca factor sen 2 x + eos 2 x = 1

INTEGRALES DE LA FORMA.-

Jsen” jtí/jt , y J cos" xdx

PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.»

1)3

V 4.9.

+ tg 2 x = se£ 2 x , 1+ ct g2 x = csc2x

SEG UND O CAS O.donde m y n son números enteros.

PR IM ER CASO .- Cuando n es un entero positivo par se usan las identidades siguientes: •> o 1 - eos 2x 1 + eos 2.v -------------sen- x = —— ----- , eos" x

•>

sen x dx

y se usa la identidad:

Si m y n son enteros positivos pares se usa la fórmula:

l -c o s 2 x

2

i + cos 2 x

sen“x = ----------- , eos x = ------ ----- __________ 2 ________________2 @

PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-

• f ígmx.sec" x d x , rtg"' x.csc" x d x J J

136


137


PR IM ER C ASO.- Cuando n es un entero positivo par y m es cualquier número, se saca el factor.

dx - 2JIcos2x.senx dx + Ieos4 x.senx dx = J*Isenx sen x dx

2 eos 3x eos5 x

see 2 x d x o ese 2 x d x

= -C O SX + ---------------------------------l-C

y se usan las identidades: l + tg 2 x = see2 x , 1 + ctg 2 x = csc 2 x

1340 SEG UND O CASO .-

Cuando m es un entero positivo impar, n es cualquier número, se saca como factor.

sen 2 x.cos3 xd x Desarrollo

J sen 2x.cos3 x d x = J sen 2x.cos2 x.cos xd x

sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx y se usa la identidad:

i

J* sen 2 x(l - sen2 x) cos x dx = J sen 2 Xcos x dx - J sen 4x. eos x dx

1 + tg 2 x = sec 2 x , 1 + etg 2 x = csc 2 x ’

Hallar las integrales

1338

sen 5x sen 5x ----------he

/ eos 3 x dx Desarrollo

1341

J*cos x d x —J eos* x.cos x d x = f (1 —sen" x) eos x d x

I

Desarrollo

j* sen 3(^).cos 5(~~)dx = J co s5(^).sen 2(^).sen(^)dx

sen 3x = J cos x d x - J sen“ x.cos x dx = senx --------I-C

1339

2 Jsen 3(—).2 eos 5(-)dx

= Jeos 5(^).(l - eos2(-)) sen¿ ) d x

sen 5 xd x Desarrollo

J

J*| sen 5 x d x = J* x = Jj((1 - e o s 2 x )2sen x d x = | sen 4x.sen x x.sen x ddx =

J

( l - 2 cos~ x + cos 4 x)senxdx

eos (—)

= eos 5(^) sen(^)dx -

1342

f eos 5X , ---- r - d x J sen x

eos (

-rt, J eos7(—) sen(—)dx - - -------3 2 _ + ---------4

Desarrollo

138

Eduard o Esp inoza Ram os f e os 3 * , f ( l - s e n “ *) I — t — dx = I ------ -------- eos xd x J sen' x J sen *

Integral Inde finida

1345

f l - 2 sen 2 * + sen 4 x , f, I -------------t ----------eos xd x = (( c tg x c s c * - 2ctg * + senxcos*)d* J sen x J sen2 x 2

1343

139

J sen2xcos4 xd x

Desarrollo

2 1- eos 2* 2 1+ eos 2* sen * = -------------, eos * = --------------2 2

1

fI sen 2 xc os 4 xd .x = f l-------------.( - c o s 2 * ------------1+ c o s 2 x y2d x ,

--21n Isen I+c 2 sen“*

j

J

2

2

= - J(1 - eos2 2*)(1 + eos 2 x) dx = ~ J sen2 2*(1 + eos 2 x)d x

1sen4 xd x Desarrollo

■ &

1- eos 2* sen“ x = ------------2

J* sen4 * dx = J*( - -

~^s

- x

* 16

I

= i J*(l —2eos 2x + eos2 2 x)d x

)2C¡X

sen 4* 64

8 2

8

6

sen32* 48

1346

I eos0 3 xd x

Desarrollo

1+ eos 6* t „ eos “3* = -------------

sen2 xc os 2 xd x

sen*, eos* =

2

-----------------------1------------------ j_ Q

lr . x sen(4*) 3* sen(2*) sen(4*) = —[x - sen(2*) + — + ----- — -] + c = -------- — — - + ---- — - + c 4 2 4 32 8 8

1344

2 o -eos 4* tu l rA' sen4* sen32*, ---------- +sen 2x c o s 2*]J* = - [ --------------+ ----------l + c

2

Desarrollo

J c o s 63xdx = J ( c o s 23x)3dx

sen(2*)

f ,1 + cos6 jcx* , 1 f /4 , , 3 = J ( ----- ----- ) dx = —J (l + 3cos6x-f3eos ójc + cos 6x)dx

J sen2*cos2 x dx = J (sen *cos x f d x = J (—■-l ^ X )dx = i j s e n 22xd x

4J1

-eos4* ,

1

sen 4*, * sen 4* ] + c = ------------- + c

----------- dx = - [ * -----------

2

8

4

8

32

140

Eduard o Esp inoza Ramo'. _ 1 ,5 x sen 6a sen 12 a sen 6.v sen3 6v = 8(T + ~ +~ T - +^ --------Ì 8~ , + C _ 5 a | senÓA 16 12

1347

I

sen 12a 64

sen3 6 a 144

o 2 C tg 3 X C tg 5 X 7 4 (ctg A.CSC*A + Ctg A.CSC x) dx = ----- ---------- ---- + C

■J 1350

dx sen4 x x

-

I sen2 a cos4 x

Desarrollo

f __ * __ =f”

Desarrollo / s è n^ I= J CS° 4 XdX = | CS° 2JCCSC2 x d x = |

141

Integral I ndefin ida

J sen2 a. eos4 a

2 (1 + <****)cscZ xd x

J sen2 a eos4 a

=

f(-L- + J eos a

, 1 y )dX sen a. eos a

= J (se c4 a + 4 csc2 2x)dx = J*[(1 + tg2 a) sec2a + 4 csc2 2x)]dx

3

-J 1348

J

(csc2 x + ct g2x. cs c2 x) dx = - c t e x - - ~ — + c 3

dx cos6 X x

= t gx +—^ - 2 c t g 2 x + c

1351 Desarrollo

J

dx sen5 a eos3 x

Desarrollo «6 v

í ---- — = f sec6 x d x = f sec 4a. sec 2 xd x COS° X J J

f __ ÉL __ = í ___ csc6/ J sen5 acos 3a J csc6 A.sen5 acos

J

= J*(l tg2a (1 + tg x))2sec 2 x d x == J I (1+ 2 tg2 x + tg4 a) see2 x dx

r

a

= f CSCV ^ J csca.cos a

í í-l+ctg f i - dx = [tg a sec 2 a(1 + 3c tg 2 a + 3c tg 4 x + c tg 6 x)d x A J

J Ctg A. COS

-J(sec- x + 2 tg 2 a se c“ x+ tg4 a. see2 x) dx = tg x + — 3 tg3 x + ^ 5' A + c i 1349

= J(tgA.sec 2 A+ 3 ) ^ - ^ + 3tg tgA

cos 2 A ,

J sen r —x dx ----

=

Desarrollo 1352

I

t 2^ x 3 1 + 3 ln(tg A) - — — ■- — — -+c 2 2tg a 4tg a

dx X

3 X 2

sen-.eos 2

3x s e c 2 A+ tg

5 x.sec2 x)dx

142 142

Eduar do Es pinoza Ramo s Desarrollo f

dx dx se n c o s3^ ¿ ¿

, ü ++ctg2(|))d* c t 2‘ í , |.(l

2

J c sc sc 2A 2A . s e n ( | ) . c o s 3( 3( J )

2

2

análoga mente

J c t g ((- ) .c .c o s 2( 2( * )

2

2

2 •* x x r see — y = tg(-)sec2(-)(l + ctg2-)í/* ctg2-)í/* = (tg-.sec2- + ------ ^)dx J ¿ 2 2 J 2 2 * tg2 2 X , , x x x see — o = I (sec--.tg-.sec - + ------ ±-)dx . a ■/< 2 2 2

1354

f

,.sen(* + —) ---------- 1 - d x J sen*.eos*

J* ese 3 * dx = f

»sen*, eos——+ sen—. —.eos* »sen *. eos f- sen eos *

J

sen*.cos*

J

J

pr . jen* + eos * dx 2 J -------------- senx. eos* senx. eos*

d x = V2

_ V 2 f, l l w V2 f - “ r - I v--------1- ------ )dx = —— I (sec* + csc *)J * 2 J eo s* .ve/!* .ve/!* 2 J

—(l)

integrando se tiene:

J

Desarrollo

J sen*.cos*

dx —~ —~ íese 5 x d x = f (l + c tg 2 *) ese 3* dx = fcsc3*dx fcsc3*dx + Jc tg 2 *.cse 3*d*

2

4—

Desarrollo

J sen *

= sec 2J + 21n ||tt g^ g ^ -| - | + c = — — + 21n | t g - | + c x 2 2 2 eos 2 —

.sen (* + »SCIHX - ;) 1- —

7T

dx

I sen5 x*

2

f ---------- 4_rfi= r ----------- 4 —

A

In | see * + tg * |= ln | tg(—+ —) |

2

f

1353

l - c o s * = l - ^ o s * _ _ l j -e -e o s * _ —l ------ £2 £2£j £jL L = CSc ^ - c tg * Vl + cos* V i-e os 2* senj senjcc s¿r‘ s¿r‘A‘ sen*

* 2

2y*\ ax csc 2( 2 )dx

f

143 143


[In | esc * - c tg * | - c tg *. esc *]

i eos eos * , 1 , 1 1 r, . 1 —eos * .1- c tg *csc*], ese 3 x d x = —[ —[ ln ---------------- 1- c tg *csc *J = —[ln —[ln | ------------1 -----------sen * 2 sen * sen * 2 = —[ln |||| - c tg *.csc *] = ^-fln ^-fln | tg^ | -c tg *.csc *] ...(2) Vl + cos* 2 2 2

integrando integrando por partes partes J e tg2*.csc 3* dx u = c tg * 3 . , . dv = dv = csc x.c tg x.c tg x x d x

—■>

du = -e = -e sc“ xd sc“ xd x i CSC X v = ------------------

f , , , Ctgxcsc3* 1 f 5 , j c tg" *.csc x d x = -----SL-^ ----- SL-^--------- 3 j CSC X

144

Eduar do Es pinoza Ramo s reemplazando (3), (2) en (1) dx , J sen x f I

-

f

I CSC CSC

5

J


1356

I . , x . 1 ctgxcsc3* 1 f s , dx = - l n j tg tg —I —I — c t g x c s c x ----- ---------------csc' --------------- csc' xd x 3 3J 2 2 2

J tg 25 x d x

1357 sec 54 x dx

1

Desarrollo

tg ¿ 5jcdx 5jcdx = | (secz 5 x - 1 )dx =

3 . jc 3 eos x eos x 1 eos x eos x 5 = I csc x d x = —ln | tg ——— ---- ------ ----- — he 2 8 sen 2 x 4‘ r sen 8 ™ 4 x i

1355

145

I ct g 3 xd x

— - x + c

Desarrollo

Desarrollo j c i g 3 x d x = j (csc 2 x - l)ctg x l)ctg x dx = J (ctgxese 2 x - c tg x)d tg x)d x

J s e c 54xdx = J*(l + tg 2 4x)sec 34xdx = Jsec 34xdx +J +J t g 24xsec 34xdx ... (1) ct g 2 x , . . ----------- ln sen x sen x +c integrando por partes: Js e c 34xdx = 4xdx = ^[sec 4x. tg 4x. tg 4x + ln | sec 4x + tg + tg 4x |] 1358 integrando por partes: J tg 2 x. sec x. sec34x dx = dx = — — ' ^ C

- i Js J s e c 54xdx

í ct g 4 xd x

J e tg 4 x d x = J = J ( c s c 2 x - l)c tg 2 x dx - J í c s c 2 x c t g 2 je - c s c 2 x + Y)dx

reemplazando en ( 1) se tiene: J sec 54 x d x = J s ec ec 34 x d x + x + J t g 2 4xsec 34 xd x

ctg’ x --------- + ctg jc + jc + c

s e c 4 x tg 4 jc 1 tg 4 x .s e c 34x 1 f , , = ------------- -------- + in sec4jc + tg4 x + — ------------------------------------- sec 54 xd x

8

8

12

—f sec 5 4x< 4x<¿t = -ln |s ec 4 jc+tg jc+ tg 4 jc|H jc|H—sen —sen 4x + _ sen4x 3 J

8

Desarrollo

8eos 4x 12eos 4*

fsec 54 x ^ = - l l n | s e c 4 A + ^ 4 x |+ |+ ^ +^ +e J 32 12 16

3j

1359

í (tg - + tg

-)dx Desarrollo

Jtg 3^dx = J(sec J(s ec22^ - l ) tgt g j d x = - jtj t g 2^2 ^ + 31n |cos^ | J

tg 4^

=

J (sec2^ - 1) tg 2~~dx ~ J (sec2~3 tg 2^3 - sec2~ +1 )dx

... ... ( 1 )

... ( ... ( 2)

146 146

Edua rdo Espino za Ra mos - tg3——3 tg — tg — + X + 3 3

147 147

Integ ral Inde finida 16

C

3 t 3 t 3 e o sx sx 3 x : — e o s 3 x + —eo s 3 x --------------------------------- 1-c -c 4 5 16

remplazando de (1) y (2) en la integral: = - —Veos Veos4x + --veo s'% —— ——Veo Veoss 16x + < 4 5 16

C, 3 x X. 4 x . 3 2x 3 x . x , , , —- 3 t g — + 31 31nn ¡eos—|+x + c J (tg 3 +tg - ) d x = - t g - + t g —1363 1360

x sen2 x sen2 x 2dx

J

Desarrollo

secxdx dx j* j* _ f _____ _ j* ______ _ dx ______ ______ _ Vsenx.c osx J V ^ ,x. c oeos s 33xx “ J eos c os os xV xx\/sen V s en enxZ. eos co co sx sx Jj -Vsenx.c Vsen

sen2x 2 1 f ,-2 x+ 2csen2x

=f

eos2 x eos2 x , ---- T~“x sen x

se f

xdx. . . . ~

J seexVsenx.cosx

1

Desarrollo

1364

f

f dx Desarrollo 2 j 2zdz « 9 Sea z - t g x => x = arctg arctg z , dx = ----- ^ 1+ z

J s e n 5 x.l 5 x.l jeos x eos xx dx eos

Desarrollo

J v/ í g l

j* j*sen5 x.yjc os x d x = j sen4x.cos3 x senxdx = j* j*(1 -eos2x)2eos3x.senxdx

=J*(l - 2eos2x+eos4x)eos3x.senxdx 1

I

7

sec2x^

13

(eos3x sen x - 2 eos3 x. sen x + eo s3 x.sen x)d x

Jzl

+ Z

f sec^dx ^ 2^

x.cosx ■» VlSx VlSx J Vsen x. see 2 x.cosx

•» V tgi

eos2 x c tg3* f eos2 x f 2 2 , I ---- :— d x= Ictg x.csc x d x = ------ — + c J sen x J 3 1362

í Vsen x.cos3x Desarrollo

, cos 2 x2 fI xsen 2 x 2dx f 1- cos = \ x ------------- dx = dx = — | ( x - x c o s 2 x )dx = ----2 2J 4 J J 1361

dx

J z +1

de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:

+c

148

Eduar do Es pinoza Ram os reemplazando ( 2) en ( 1) se tiene: f

— o f di

1 . i Z~ + y¡2z +1 | y¡2

J V é í " J ? 7 I : W? ©

1367 z- Jl

' T - V S T T ^ T “'“ 8 ?

^

149


i ----

feos —.eos— dx 3 2

J

x x j l f / x 5 x) dx = —(6se fI eos—eos —dx = 1 — I (eos—+ cos— nx—+6—sen 5— x) + c J 2 3 2J 2 6 5 6 6 6

INTEGRALES DE LAS FORMAS.-

x 3 5x = 3sen —+ -sen — + c 6 5 6

j* sen mx. cosnx d x, J sen mx. sen nxdx , J eos mx .eos nxdx en estos casos es emplean las fórmulas siguientes:

1368

©

sen(rax).cos(nx) = ^-[sen(w + rt)x + sen(/w-n)x]

©

sen(mx). sen(nx) = i[cos(w - n )x - eos(m + n)x]

©

c o s( w x ) .c o s( h x )

x

Desarrollo

, fI sen x—. cos 2x , = 1— I r,[ sen x + sen(— . — dx )jdx 3 3 3 2J

J

x, 1 = — (- co sx + 3co s—) + c 2 3

1369

J sen 3x. eos 5 xd x

2.x

dx 3 3 i sen—.eos —-

= —[cos(m - n) x + eos(m + n) x]


1365

Desarrollo

d“ “^ = ^

í eos(ax + b).cos(ax - b)dx

co sx 3 x ----------- v — e os— + c 2 2 3

Desarrollo

*. ,xcos 2b se n 2ox cos(ax + b).cos(axb)dx = — I J cos(ax +b).c os(ax- b)dx “ ^ J (eos2b + e o s2ax)dx = ■— - — + — ------ + c ~ 2 4a

Desarrollo

Jsen3x.cos5xdx - J * - [sen 8x + sen(-2 x)]dx = ^ J (sen 8x - sen 2x)dx

1370 co s 8x eos 2x — —— + --------- + c

1366

i

16

í

sen w/.senívvr + \¡f )dt

4

Desarrollo

1f s , tcosw sen(2wt + i¡/) I sen wt.sen(wt+\¡f)dt = - I (cos(- i//)- cos( 2w/+y/)dt = — ------------- — ------ + c 4w f

senl0x.senl5xdx

Desarrollo

J sen 1Ox. sen 15x dx = ~ j * (eos 5* - eos 25x)dx = sen105x

sen 25x 50 ~+C

1371

í cosx. eos" 3 xd x

Desarrollo

150

Eduard o Esp inoza Ram os COS

2 Jt = ------------------1 + cos 6x

©

1+ COSÓJC , 1 f -----dx = — I (eos x + eos x. eos 6x)dx eos cos 2 -,i x d,x - Jf eos x. -----

f,™ „ J x.

4 / (eos * + - 2 ( eos 5a + eos lx))dx = 2 1372

28

1373

í sen x. sen 2x. sen 3x dx

sen 2x. sen 3* = —2 (eos x — eos 5a)

r . eos

X -

1 - r 1 +t 2 2 dt

= i f(sen2*-eos4* + eos6*)í¿c 4 J

cosa

8

16

24

1374

3 + -------- z — 1 + í2

í

-----

—

-----

J sen a + eos a

Desarrollo

INTEGRALES DE LA FORMA.donde R es una función racional.

Valiéndose de la sustitución.t g ^ = f , d on de s e n x ^ - ^ - , c o sa = ^— — t , dx = -2 dt

1

2 + tg x

donde t = tg x — 2

++c

sen 6x sen 4x eos 2 a-+ c 24 16 8

©

Desarrollo

í _ — — = Jf _ l±5(1£ -Íí _ )_ , Jf 4 *- / ' = 4i i n |l2 -í t l +c = — In I- - - — J 3+5

j * sen x. sen 2 x. sen 3* dx = — J*(sen x. eos x - s en x. eos 5 x) dx

/ /?(senx,cosx)<ÍA

dx

13 + 5 eos x 2 dt dx = -----1+ r

Desarrolio

©

Si se verifica la identidad para reducir la integral a la forma racional se puede emplear la sustitución tg x = t.


+ ----5a + _ n7_ + c

20

151

Integral Inde finida

1

1

La integral se reduce a integrales de funciones racionales de la nueva variable.

4

2- H i

l+ c

132

Eduar do Es pinoza Ram os

J

f

1+ COS X

J

Desarrollo

J 1+ eosx

f a - —1 + eos!—

J

2 dt X

wx=x-

= x - j d t = x - -t + c = 1376

J 1 + eos X

x-tg— +c 2

J

1- t 2 1 + - — 1 + r

dx cosx + 2senx+3

Jf ?79

+2í+2

1

f3senx + 2cosx , I ------------------- dx

J 2senx + 3cosx

3 sen x + 2 eos x = (2a - 3Bx)sen x + (3a + 2B)cos x

x(l+ senx) fsen x + sen2x J 1-senx J i -sen2 x -dx= J \- eos2x =J*(tgxseex+tg2 x) dx = seex+tgx— x+c

2a -3.f i = 3] 12 _ 5 > =£ a = ----- , fi = -----3a + 2fi = 2j 13 13 j*3se nx + 2co sx ^ 2sen x + 3cosx

J

J 8 -4 sen x+ 7 eos x =íJ

2 dt 1+ t 2 _+ 7 _ It -

8í 1+í2

1+í2

12 f ^ 13

J

5 f( 2 se n x + 3co sx)í/ x 13 2senx + 3cosx

J

= — x ——ln !2senx + 3cosx I+c 13 13

Desarrollo

I

dt f ______ dt_

3 sen x + 2 eos x = a(2 sen x + 3 eos x) + B(2 sen x + 3 eos x)

f _ s e n j c _ ^ = T*sen sen

1378

4t j 2 í 2 + 4í + 4 Jr J 1 -------t2 j + ----7 + 3

... 2 f + 2,

Desarrollo

J 1-s x

f

f

— —— =arctg(í+1)+c =arctg(tg-f2 +1)+c (í + 1) +1 I—

f se senx - sen

J 8---- 4 s e n --x +----7 e os x

2 dt 1+ r

1

Desarrollo

1377

153


dt = 2 Í t - 8 í + 15

dt , 11 —4 —1 , , ,/- 5 , , , tg? 5 _ o f +c ■ 2J ¡ T l i T T I = ln 17 ^ 7 1+c = ln 1 1+í = ln 14 182 ~ dx cosx + 2senx + 3 Desarrollo

380

f 1 + tg.-.dx

J 1-tgx

Desarrollo dt j Sea tg x = t => dx = i + r

f i t a ñ * . J 1-í 1+/2 Jf -±.% É L =_in(í_i) +Iin(í2+l) +c 1-/ Jf 1 I ± ++í" í2 2

J 1-tgx

j

=- ln|tgx-11+— ln|tg2x+1¡+c=-2 In|see2x|-In|tgx-11+c 2

\

154


1381

/

dx 1+ 3cos 2 x

155

Integral Indef inida 1384

dx

í sen2 x - 5sen xcos x

Desarrollo f

J 1382

f see ' xdx see2 x + 3

dx 1+3cos2 x

Al igual que los casos anteriores.

tgx f sec2 x dx 1 tg2 x + 4 ~ 2 drag(~^T) +(

J

Desarrollo

J

dx I* J sen2jtsen2 x —5sseen x co s xn xcosji

¡ 3sen2 x + 5cos2 x

xd x f sec2 sec xd J tg2x-5tgx

ff

sec 2 xd x

J ,

-(-)2

_ 5_5 1 tg ^ t j i 1 . tg x —5 , = —In |------- i r I +c = —ín | ----- !+c 5 5 tg x tg a — + a

Desarrollo

-

Dividiendo el numerador y denominador por eo s2 a . dx

f

f sec2 x d x a +5

J 3cos2x + 5cos2 J 3tg2 a

1383

5

1V3tgx he

ar°tg

1385

. sen a | -------------- -d x (1-cos a )

J;

dx

/ sen* x + 3sen xco sx- co s2 x Al igual que el ejercicio anterior dividir por e os2

_ f sen a dx _ f du _ ___ 1 _ ______ j + c eos a) 2u 2 * C ~ 2(1 - c<

J (1 - c o s a )3 ~J m3 ~

a

1386

f ___________ dx ____________ f sec2 xd x J s e n ' x - 3 s e n x c o s x - c o s 2 x t g2 x + 3 t g A - l

J

f

2 * sec' x d x

„

T

> * v f ■ « *+ !-” _

1 2t gx + 3- V Í3 , ln I — ------------------ 7= +C v 13 2tg x + 3 + Vl3

- ~ 7=

Desarrollo

Sea u = 1- eos x => du = sen x dx

Desarrollo

r

2 2

sec2 xd x

l

x+~——

lS

3 VÍ3

tg I+ ^ + ^ p l+c

i sen 2a , | --------- «—dx l + sen x

ir

Desarrollo

f sen 2xdx _ f 2 se n x. COSA dx si a J 1 + sen 2 a J 1 +sen2 Sea u = l + sen2 a => du = 2 sen x. eos x dx , ,, f sen2A<¿* f du , , . 2 i, I — = I — = In Iu j+c = ln 11+ sen a | +c J l + sen a J u

1s,)

1387


157

Integral Indefinida

dx f — C° S2* J cos x + sen x

J;

2 r arctg ", (—« =¡= f "—)1 — j= arctg( 1 ----3 t« -=—) f * 1 +c

Desarrollo

3 z 2 - 2 z + 3 - £ '

S

V2

2V l

eos 2 xdx

Icos4 x + sen4x + 2x sen2x cos2x - 2 sen2x cos2x

1390

f __________ cos 2x 2 xddxx __________ ^ ff cos cos22 xd xdxx J (cos2 x+ se n2 x) 2 - 2 s e n 2x co s2 x J 2 -sen 2 2x

1388

f —

^2 + | 11 , ,V2+sen2A +c 2^2 V2 - sen2x

cos xd x

,r iij^senx + c o sx ^ =¡

J l + sen x s — eos x

Desarrollo

Efectuando la división de: 1- sen x + eos x entre 1 + sen x - eos x 1- sen x + eos X -= -l + 1 + sen x - eos x 1 + senx-co sx

J sen x -- 6sen x + 5 Desarrollo I*_______cos xd x ______ f

J

sen 2x - 6s en x + 9 - 4

J

_

1,1 i sen x - 3 - 2 , +c ( s e n x - 3 ) 2 - 4 ~ 4 n ' se n j c - 3 + 2 cos xd x

-

sen x -1

4

2 dz 1+ z2 1+ Z’

1 , sen-v-5 , 1 , , 5- s e n x , 7 ln I --------- 1+c = —In ----------- +c 4

1389

f -----------------i 0 f 1-senx+cosx dx = f(-1, + ------------------- )dx 2 = -x + 2 I J 1+ senx-cosx J 1+senx-cosx J

1+ Z"

= —x +4 f■ —------------- = -x + 2 í - ^ 1 ----- j -~— ------- 7 = - x + 4 í ----- ^ J 1+ z + 2z - l + z " J 1+ z " + 2z -l + z" Jz" + z

1-senx

dx

X

J l a(2- -- sen x)(3 - sen x)

tg ±— \+c , = -x + 2 í ( - ---- — )dz = -x + 21n |—— |+c = -x + 21n | ---- 2 x , J z z +1 z+ \

Desarrollo

lg2

Sea z = sen x de donde se tiene: 1—

------------ í________ = A (2 - sen x)(3 - sen x) 2 - z

B 3 -z

4.10. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBOLICAS.-

- z) + B(2 - z) => 1 = -(A + B) + 3A + 2B, de donde se tiene:

A - B = 0 3A + 2B = 1

La integración de las funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las funciones trigonométricas. Se debe tener presente las

=> A = 1, B = -1

fórmulas siguientes:

2 í ----------- —-----------= f( ------í------------- \ j 2 -senx 3-senx

J (2-senx)(3-senx)

-

f

J

1 + z2

2z

1+ z2

dz 2 dz f 1 + z2

J

2z

1+ z2

(T)

cosh 2 x - s e n h 2 x = 1

( 3)

senh 2 x= *(cosh( 2x )- l)

cosh" x = —(cosh( 2x) + l)

(T)

senhx.coshx = -^senh( 2x)

158

Eduardo Espinoza Ramo s Hallar las integrales.

1391

í senh3 xd x

159

Integ ral Ind efinida | senh2x.cosh2x,dx =

= i[J(^(cosh(4x) + l)-l]dx

Desarrollo

J s e n h 3 x d x ~ J s e n h 2 x.senh xd x = J(cosh' x-l)senh xd x

= í (cosh2 x.senh x - senh x) dx = C0--

(cosh(2x) - 1)^ (cosh(2x) + \)dx =

1395

- cosh x + c

I

dx senh x.cosh2 sh2 x

(cosh2(2x) - 1 )dx

cosh(4x) 1, , senh 4x x —— ¿— )dx = -------------- + c 2 2 32 8

Desarrollo

f _____ — ------- = f sec h dx = í 1 + tgh ... - dx = í (ese hx + tgh x.sec hx)dx senhx J senhx J

J senh x. cosh 2 x J 1392

J cosh4 x dx

x x = In Itgh (-) I+ sec hx + c = ln | tgh(—) | + ---- — + c 2 2 coshx

Desarrollo

J cosh 4 x d x = J [-^(cosh(2x) + l)]2dx = ^ J (cosh 2( 2x) + 2 cosh(2x) + Y)dx

1396

1------- hC

1393

1397

1tgh3 xd x

J

Desarrollo

r , , i , * tgh2 x = J (sec h -. tgh x + tgh x)d x = ln | cosh x | + —- — + c

senh3x.cosh x d x = SCn^ X + c

1398 Desarrollo

— = 4 íese h22 xd x = —2c tgh 2x + c

J tgh3 xd x = J tgh2 x. tgh xdx = J (s ec /)2x +1) tgh x dx

senh3x.cosh xd x

senh2x.cosh2 x d x

Desarrollo

J senh2x.cosh2x J senh22x

Desarrollo

1394

1

í ____------------- = f —

- (cosh(4 x) +1 )dx + senh(2x) + x] + c senh(4x) 3x senh(2x) -------------i-----32 8 4

dx >sh2 x senh2 x.cosh2x

le tgh-*xdx Desarrollo

160

Eduardo Espinoza Ramo s


J e tgh 4 x d x = J (csc/z2x + l)ctg h2 x d x = J (ese/i2x.c tgh2 x +ese/ z2x + l)dx

161

= - |rsenhx.coshx + i(co sh 2x + l)]í/x = J

ctgh’x - c tgh x + x + c 3

1399

1402

í

dx senh 2x + cosh 2 x

I

1400

I f

J

senh xdx _ j* senh xdx

see h2xdx = arctg(tgh x) + c JJ tgh x + 1

¡ 4

J

_ 1 j*

2senh xdx

y cosh2x +1 ^2 J yj(y¡2coshx)2 + 1 J ]2

: —\= ln | \¡2 cosh x + V2 cosh ' x + 1 +e v2

dx 2senhx + 3coshx

ln | \Í2 cosh x + Vcosh 2x | +c

Desarrollo dx _ 2senhx + 3coshx

dx

j*

_

f

J 2ex -2e ~x- + -----------3ex+3e~x J

2 dx _ 2 f 5ex +e~x J 5e2 x+ \

4.11. EMPLEO DE SUSTITUCION TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS PARA EL CALCULO DE INTEQRALES DE LA FORMA.-

2 f Sex 2 , r- Xs = - p — r— —dx = —¡=arctg(V5e ) + c V5 J 5e +1 75 1401

senh2x x -----------------hC

senh xdx \j cosh 2x

''/cosh 2x

f

2

Desarrollo Desarrollo

J senh" senh x + cosh“ cosh x

senh2x

2

R(x, \ la x2 +bx + c)dx

Donde R es una función racional, transformando el trinomio de segundo grado

dx tghx - 1

ax~ +bx + c , en una suma o resta de cuadrados, reducimos la integral (1) o uno de los integrales de las formas siguientes:

Desarrollo

© J*(z,Vm —z

coshx -dx Jf— tghx - 1 =í J senh x - cosh x

© senh x-c osh x

- ( 1)

) R ( z ,l z 2

)dz

© J/? (z ,V m

+ ; )dz

m2)dz

(senh x +cos h x) , entonces:

f — —— = f ---------------------------------------------------- C j tghx - 1 J senhx-coshx J

Estas integrales se resuelven valiéndose de las sustituciones: X -dx = -

f cosh(senh x + cosh x) dx

(T )

z = m sen t o /. = m tgh t

( 3)

z = m sec t o z = m cosh t

( 2 ^ z = m tg t o z = m senh t


162 Hallar las integrales 1403

163

Integra l Indefi nida 1406

IV x2-2 x + 2dx Desarrollo

3 - 2 x - x 2dx

Desarrollo

J ^ / x 2 - 2 x + 2 d x = J* >/(x — 1) “ +

1 í/ x

3 - 2 x - x 2 = 4 -( x + l)2 x+1 |V 3 - 2 x - x 2dx = J ^ 2 2 ~ ( x + \ ) 2d x = ^ ( x + \ ) ^ 3 - 2 x - x 2 + 4arctg ---------- hC

1404

—— - a / a 2 - 2 x

2

1407

2 + x2dx

Desarrollo jV x 2 - 4 d x = -^[xy¡x2 -4 -41n | x + Vx2- 4 1] =-^Vx2- 4 -21n | x + 7x 2- 4 |+c

J y¡2 + x 2dx = y¡2 + x 2 + 2 ln | x + ^2 + x 2 \ +c

I

x2

1408

,d x

|

V x2 +

x dx

Desarrollo Desarrollo J V x 2 + x d x = j

Sea x = 3 tg t =» dx = 3sec2 tdt f x 2dx f 9t g2r.3sec2íí/r f o , . I = — . =— = 91 tg" t . s e c t d t , integrand o por partes: J V 9 + X2 J V9 + 9tg 2 t J

9

f tg" f.sec" td t J secí

9r 2

Jx2+x + ^7-^d x = 4

4

f

J(x +i) 2-i-dx JV 2 4

= —((x + —)%/x2 + x - - l n [ x + - + Vx 2 + x]) 2 2 4 2 _ 2 x + 2 ^ x 2 + x - —ln 12x +1 + 2-\/*2 + * I+c 4 8

= —[tg/.s ecr -ln |secf + tgr |]+ c f x ' d x I —■■■ J a/9 + x2

2 |+ c

|V x -4 dx

Desarrollo

1405

+ 2 + —l n |( x - l ) W * 2 - 2 x + 2

.

. = 9 I ---- = —[tg r.s ec í-ln | sec/ + tg? ||1409| Vx - 6x - 7 dx

Desarrollo

164


165

Integr al Indef inida du = see2 OdO

u = tg 0

= X ^ 'J x2 —6x —l -81n | x - 3 + j x 2 -6 .x —7 | +c

see30

dv = see3 O.lgO dO 3

1410

(x„2 +x + \)2dx

J<

í

Desarrollo

J

(3)

te, o tg sec0.- - — see5 0 dO ,3 aa ¿a - dO = see30 .tg20

reemplazando (3), (2) en (1):

j ( x 2 + x + \) 2d x = J V 2 +x+l)\j x2 +x+ld x = J*KX+ "^ + —]^( x + ~)2 +~^dx

tgfl.see30

]+ c

16 4 2 Sea x + —= ^ - t g G => dx = ^ - s e c 2OdO 2

2

2

27 [tg 9. se eg (-+ SeC ^~) + ~ln Isee0 + tg0 |] + c =— 64 2 3 2

J*( x 2 + x + l) 2 dx - J [(jc + —)“ + —]^ (x + —)2 + ~d x = -L (2x + l)(8x2 + 8* + 17)V ?+ x + l + In 12x + 1 + 2\íx2+x -f 1 1+c 64 1"° = | [ T t g 20 + | ] J | t g 20 + ^ s e c 2 0 d 0

1411

dx

1( x - l ) J x 2 - 3 x + 2 Desarrollo

— fs ee 20 .— secO. — see2 OdO 4 ) 2 2 9_ - fsee50d 0 = — | (see30 + see3 0.tg20)d0 16.>J 16 J

... (1 )

—se c 0 .t g 0 = d x ' , x - 1 2

integrando por partes I see3 0 dO , es decir:

J

1

1

see OdO = —[tg0.see0 +ln | see# + tg0 |]

JS

integrando por partes I see3 0. tg2 9 dO

x2 - 3 x + 2 = ( x - - ) 2 ; see 0 = 2x - 3 2 4

—(2)

sec 0 + \ 2

3 see 0 2 2

166

Eduar do Espinoza Ram os f

dx

f ___________ d x _____________ i*

d x

(x —l)\j x2 —3x + 2 (x l)y[x 3x+2

» ,

I~ V de

2 sec 0 tg O * sec 0 + l Isee2 0 - 1

_ f

3 2

4

J l + sec 0

h

dx

1414

I \ .l - ,x 2)y¡l , , -+x2

dx

J

1 1 rV2sec2OdO V2 J1 (y¡2tg0)2 +1

1 i-----1 V2x = -j=arc tg(yj 2tg0) + c = -j= a r c t g ( - j = = ) + c -x 2

_ x - 2 1 -cosfl l + cos 0 ^ ^ y/x-1 +
2

1412

r see 26 d d í dd -I J 2 sen 20 + cos 20 J* 2 tg 20 + l

2 - LT JJ ((xx -_ l ) y j x 2 - 3 x + 2

CsecOdO

167

Integral I ndefinid a

Desarrollo

3

( x 2 - 2 x + 5)i

tg 0 = x => dx = sec2 6 d 0

Desarrollo dx

j"

x 2 ~2 x + 5 = ( x - 1 ) 2 +4

2 see 2OdO j ~ ~ F = J ~ — J =j ( x - 2 x +5 ) 2 {{ x -1)2+A)2 (4tg ‘ 0 + 4)2 donde x - l = 2 t g 0

sec2 0 dO

j*

_ j*

sec20d0

J ( l - x 2)yjl +x2 J (l-tg20)y¡\ + tg20 J Cl-tg2ejseç0 fsec 0 d 0 f cos0d O _ j* c osOdO J l - t-tg g 20 0 J cos eos 200-sen - s e n 20 0 J l — - 22sse n 0

J

; dx = 2sec20 d6

_ f 2 s ec2OdO

J

(2sec20)2

= ± 1 [ f J yfí cOsO d 0

V2J 1-- (V 2 se n0 )2

Ç2sec20 . „ l f

Q

UseCG

J1

i cos0d0 =-s en0+c 4J 4

=7 I

4.12.

INTEGRACION TRASCENDETES.-

DE

+ y[2x‘, 1 ,In I yj\, + x 2-------+c sj\ + x 2 - j l x

2V2

DIVERSAS

FUNCION ES

x - 1

= +c 2x + 5

1413

f

dx

Hallar las integrales.1415

(l + X2)y /l -x 2

Desarrollo

j"(

je 2

+ l)2e2xdx

Des:; rrollo it = (x2+ 1)2 => du = 4x(x2+1 )dx Integrando por partes y haciendo

, = e 2xjdx dv

2.v

e => v = ---2


168

J

( a 2 - l ) 2 e2xdx =

(x2 + 1 ) 2 -

J x( x + \)e 2xdx

2

169

Integr al Indefi nida reemplazando en (2)

( 1)

p^x p^x r I a ( a 2 + \)e2xdx = a ( a 2 + 1) ~ ------_ 6x + 5) =

p^x

-^-(2

a3

-3

a

2 + 4

a

-

integrando j x (x 2 +l) e2xdx por partes

> / -> I i n

reemplazando en (1) se tiene: u = x( x 2 +1) => du = (3x~ +1 )dx haciendo:

f( x 2 +\)2e2xdx

J

e 2x

dv = e2xdx

=> v = ----

= - — ( a 2 + 1 ) 2 — —— ( 2

2

2x = -------- ( a 4 - 2

J *(*2 + \)e2xdx = x( x 2

j ~~ Y~ ~e2X(ÍX

2

(2) 1416

integrando

!

3a +1 e 2xdx por partes 2

I

2

l , x 3

= - ( — + 2 3

3

2

J

xe 2xdx

xe 2x

e2x

2

4

reemplazando (4) en (3):

F r 1e2xdx = ?

a

—) +

c

- —) +

2

c

-j a3

+5

a

2 - 4

a +

2

Desarrollo

J2x

I xe lx dx =

+ 4

c o s 2 ( 3 a ) c?a

dv = e2xdx

integrando

a2

a

2

s \ j coso x)a x

du = 3a dx

haciendo

2

3

» + C OS 6 A 1 f, 2 Jfa 2 cos 2 ^3xdx = fI x 0 ,(1----- ----- )dx = — J (a +

3 a-2 + 1

J

a3-

2

^ e 2x- - x e 2 x+ - e 2x

(3)

(4)

integrando

Ja2 eo s

f

JA

eos 6xdx) = 2a í/a

U = A 6 a í /a

se tiene: ■ dv =

f 2 - , a 2se n 6a Ta I a eos 6a dx = -------------- I — sen 6 a J a

J

( 1)

6

J3

=

cos( 6 a

a2 6

)¿a

sen 6 a 6

=> v =

a

-H------COSÓA 18

reemplazando (2) en (1)

í

. sen 6 a 2 „ o , a3 a 2 sen 6 a a a ‘ c o s 3 x d x = -------1------------------ H-------- C O S Ó A ---------------- + c 6 12 36 432 1 , 3 (a 6

a

,

a

.

sen6A N

+ — sen 6 a + —eos 6 a ----- — -) + c 2

6

sen6x

72

6 sen6x 216

. ( 2)

170

1417

Eduard o Espi noza Ramo s x sen x. eos 2xdx

i

171

Integral Inde finida 3xd x = — JI e x ( e o s 2 x - c o s 4 A ) d A s e n aa.. sen sen 3 ex sen J ex a dx =

-

( 1)

Desarrollo u —ex => du = exdx sen x eos 2x = ^ [sen 3 a + sen(-x)] = i (sen 3* - sen x)

J x sen x. eos 2xdx ~ u=x

Sea

x( s en 3 a - sen x)d x

sen 2 a dv = eos 2 a dx => v = -

. , ex sen 2 aa f C ex sen 2 a dx f , I e eos 2xdx — ----- -------I

du =dx

=>

dv = (sen3A-sen x) dx =>

v

= cosa- -

eos 3 a

£ ^ £ + £ l COs 2A - - | ^ C O S 2AdA 2

J 1418

a

sen a . eos x d x = - [ 2

acosa

- — eos 3 a ] - s e n x + £ £Ü ÍL ?. + C

3

2

18

1419

2

4

j e x sen a . sen 3xdx

Desarrollo

sen a .sen 3a = (eos 2a - eos 4a )

... ( 3 )

ex 2 sen 2 a + eos a 4 sen 4 a + eos 4 a ex sen a . sen 3 a dx = — (--------- ---------------------- 7Z >+ c

= i [ I V ' * - f e 2' eo s 2 * 1* e2x = —— (2 - s e n 2a - e o s 2x) + c O

l e x eos 4 a dx = — ( 4 sen 4 a + eos 4x )

5

reemplazando (3), (2) en (1):

-dx = - | (el x - e2x eos 2x)dx

J

...( 2)

5

en forma análoga para:

Desarrollo

J

4 j | e*eos 2xdx = — ^ 2 se n 2a + eos 2a ) — = — ( 2 se n 2a + eos 2a) 4

1e2x sen2 xd x

2

4

8

5

8

1420

Ae* eos xd x Desarrollo

17

172

Eduar do Es pinoza Ramo s r £X integrando J ex sen x d x = ~ ( sen x - c o s x )

Integ ral Inde finida = - —+-\n(e x + 2) + -ln(e jr-l ) + c

... (1)

. f * , u = x e x => du = (xex +ex )dx integrando i x e s e n x d x , se tiene: < [dv = sen xdx => v = -cosx J

173

2 6

1422

3

dx

I yje2x +e x +1 Desarrollo

j x e x se n x dx = -x e x cos x + J*e* eos x dx + j x e x eo s xd x

I* ex r = -xe x eos x + — (cos x + sen x + I xe x eos x dx)

i*

dx

J y¡e2x +e x +1

... ( 2)

1.7

&

2 I xe x eos x dx = xe x (sen x + eos x) - ex sen x

=—ln| 1423

JJ /

1 ,3 4

2ex

Desarrollo . 1+ x , 2 dx u = ln ------ => du = ------1- x 1 —x dv = x 2dx

Desarrollo 1 f 3 J ((ex + 2

ex-l* **

)d x —— -ln(l + 2ex) H——ln( 1— e x) + c \~é~x 3 1 + 2e 6 ■4J (------------- - ----

| +c = x - ln | ex + 2 + 2\¡e2x +ex + 1 1+c

1 —x

Haciendo

j* dx J (ex (e x - l ) ~ J( ex ++2) 2)(ex-1

2

f x 2 l n ^ dx

J

J

f dx J eeL 2x + ef ex —2 -2 X+

3

2x e* +2 + 2\[e^x + e x +1

6 xe x eos x d x = — [x(sen x + eos x) - sen x] +c

J1 e 2 x +dxe x - 2

yf, ~2x +e~x + 1 JJ Je

e~xdx

■J ( e- <+ - ) 2 + r = - ln | e ^ + —+ \]e 2x +e x + 1 1+c

——(eos x + senx ) - | xe x eos x dx i

1421

_ j*

e 'dx

-e x dx

xe x eos xd x = xe xsenx - — (senx - eos x) + xe x eos x -

I

x\¡e2x +ex J e~x\¡e2x +ex ++1{

f

2

reemplazando (2), (1) en (a) x

e~xdx

l 1'

1—x

3

x 3 ,1 + x , 2 f , x 1 + x 2 f x 3 ---------- ----- - d x = — ln ----- — I ( - x + ---- -)dx 3 3J 1-* 3 J l- x l —j 1- x

= £ _ i , i |i ± £ | + ^ _ + i i n ¡ i - x2 l +c = i [ x 3 ln | 3

l-x

J

J

3

\-x

| + ln 11 - x 2 |] + <


174 1424

J ln2(x + Vi

x -2

xln(x +V 1 + *“) dx + x^ V lT

... ( 1 )

integrando

5 j"

x2dx

í Vl - ( 5 x - 2 )2

... ( 1 )

tomando sen 0 = 5x - 2 => dx = cos^ d0 sen 0 + 2

como sen9 = 5 x -2

Vl + JC2

ln(jc+Vi+x2)

x d x dv = Vi + x 2

dn=

(sen 0 + - ) 2 ^ d 5 5

dx J y ¡ l - ( 5 x - 2 r

Vl + x 2

v = Vl VT'+ x- 2

= — [(125 J

J -eos 2

V1 - s e n 20

0

* —125 Jf (sen

0+ 4se n0 + 4)d0

20 /i a 1 ,90 sen 20 4cos0) + c + 4 s e n 0 + 4 ) d 0 = — - ( — -------125 2

4

----

= (—arccos(5x-2 ) — X+ J l - ( 5 x - 2 )2 ) 125 2 2

... (2)

V1 + JC2

(2)

reemplazando ( 2) en ( 1).

í

Jln 2(x +Vl + x2 )dx = xln 2(x + Vl + *2 )- 2 ' J \ + x2 ln(x + yj\ + x 2 ) - 2 x + c

í

x ' d x

cos0 = y [ \ - ( 5 x - 2 ) 2

reemplazando ( 2) en ( 1):

1425

2

I x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + ^2 J V l - ( 5 x - 2 ) 2

=> v = x

[ x \ n ( x + J ^ ) d x = J — í in{x + J — í ) _ : J

=> v = —

Vi+*2

: ln(x + Vl + x 2 )x dx

u=

haciendo

dv = xd x

2 ln(x + Vl + x 2 )t¿x

Jl n 2(x + Vl + x2 )dx = x ln 2(x + V l ^ 5" ) - 2 j

J

V l - ( 5 x - 2 )2

Haciendo

u = ln2(x + Vl + x2 ) => du = dv = dx

integrando

5d x

u = arccos(5x - 2) => du = Desarrollo

Haciendo

175


x arccos(5x - 2)dx

Desarrollo

, x~ ,, „ 1 9 ar cs en (5 x - 2) x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + — ( --------------------2 50 2 5x + 6

1426

í

sen x. senh x dx Desarrollo

V20 jx- 25 x" —3) + c


176

f

C —6~X f 1f v F sen x. senh x dx = I sen*. ---- ---- dx = —J (ex s e n x - e %e.nx)dx

J

-

_ 1 sen .v —eos x ~2 2 g

( sen x- co s

2

x 2í¿c _ (x2 +a2)n

x dx f 2( n-l )(x 2 +a2)"~l + J 2(n - \)(x2 +a2)n~l

reemplazando ( 2) en ( 1)

^

2

_

ex -e * . 1 e x +e ~x - —(---------- sen x ------------- eos x) + c

2

177


1 f a2

”

dx

J (x2 + a2

>í

L =

f

dx

J (x 2 + a2 )"

_

x

2n-3

2 a 2 ( n - l ) ( x 2 + a 2)"-1 + 2a2(n-1 )

Deducir las fórmulas de reducción de las integrales I*

dx

f

1 ________ x _______

J (x2 + a2)n ~ a2

n * 1 Hallar

(2n - 2)(*2 + o 2T 1

2«-3

( 2« - 2)a 2

f

/n “

J

(X2

J

"

a 2 J ( x 2 + a2 r l

1 , f *2+«2 a 2 U 2 + )"

1(* 2 +a2)"

por partes

J

fl2

*2(lx

■

... ( 1)

a 2 ) (x2 +a2)"

1428 it —x => du = dx x d x dv =

(x2 + a2)"

+

2a2(x2 +a2)

1 C

dx

2a2 J (x2 +a2 )

dx x 3 f _ f 3 ~ J ( x 2 + a 2 Ÿ ~ 4 a 2( x 2 + a 2 )2 + 4 ¿ ) ]

■ f J («2 + ** )"

calcular la integral x 2dx

x

J

, 2 — r + v a g i - ) + c 2a (x +a ) 2a a

dx

/ =_L f ___^ ____

_

dx

f

1

/2 e /3

dx _ 1 fjc2^ 2 -^ 2 . + a2 r a2 (x 2 + a2 )"

dx

J (x2 +a2)2

dx

J (x2 + a 2T

Desarrollo f

J 2(n - l)(x2 + a 2

— (a 2 2a2(n > i - l\)) JJ (x2 +a2)n~' + 2a2(n- l)( x2 +a2)n~l

4.13. EMPLEO DE LAS FÓRMULAS DE REDUCCION.

""

a2

2

= —(sen x. cosh x - eos x. senh x) + c 2

1427

dx

1 f

+ x + 2a(n - l)(;t2 + a2

1( x 2 + a 2 Ÿ

x

3 .

4a 2( x2 + a 2)3

x

4a 2 2a 2( x 2 +a 2)

„ - f sen" x d x = _ sen” x. co sx + n_J_ f sen„_2 ^ n n J J

Desarrollo

2(n -l)(jc2 + a2)'1-1

dx

1

x

2a ¡ ^


178

1429

du = ( n - 1) sen" 2 x c o s x d x v = -c os x

« = sen'! l x dv = senxdx

179


„ /3, /4 , » = JfI—eosdx7T~x = -(n-1 7T)--eos+ - - -n-- -2 . 2 »Hallar. - sen* (n-l)cos x

n -1

7 n-

Desarrollo

xdx = -sen"

xeo sx + (n —-l)i »|Jsen" S

x.eos x d x

I„ =

, coS, + , „ - W J s , n - , 0 - s e » = ^ ]

=

f — — - = Jfsen" x d x = J í (1+ tg2 x ) see" 2 x d x

J eos" x

= Jf —eos" x + J f tg2 xsec"-2 x d x

J*sen"xdx=-sen"_lx.eosx+(n-l)Jsen"-2xd x - (n-1)Jsen" xd x

integrando njsen" xdx = -se n "-1 x.eosx + (n -l)J se n "~2 x dx

{

K = tgX

n_2,

f „ , sen"~‘ xco sx n - 1 f /„ = I sen x d x = --------------------H--------I sen J n n J

x d x

f sen 3 x.eosx 3 f 4 , 2 7d = I sen xd x = ------------------- I sen xd x J 4 4J

dv = see

x.lg xd x

4

2

c

2

sen3xeosx 3 3x ------------------- sen xeos x + — + c 4 8 8

f

5= JI sen

í

=>

v = —.^n-n-2 -2- v

--------------- I --------

J 4

J

n -2

reemplazando

n-

xd x

ä x + t £x.secr~l x _

J eos" x Jf s e c " , * » Jf —eos" x f see" x d x + —-— i see" xdx = —— — + Í n - 2 J ( n - 2)cos x J eos x J n-1 f . . senx — — see" xdx = ----------------— + — — n -2 J (n-2)eos" x J eos ~ ) eos x n -2 f d. fI see„ xdx, = ( n - 1senx J (n-Dcos"- — + n-1 j —eos -----

sen 4x.eos x 4 / sen 2 x.eos x 2 . -------------------- (------------------ + —I senxdx) 5 5 3 ~1

\i

sen 4x. eos x 4 28 ---------------------- sen x.cosx ----- -eosx + c 5 15 15

d x

--------------

(2)

f see" J

(2) en (1) se tiene:

í| =

, sen 4xcos x 4 f , xdx = ------------------h— I sen xd x 5 5J

( 1)

p or partes J tg 2 xsec"~2 x d x du = sec2 x d x

x f.I tg2 x.secxdx n-2 = ,tgx.secn_l —

sen3xcosx 3, senxcosx 1 ------------------ + _ ( --------------------+ _ x ) +

...

------

dx

n - 2 n-


180

j

sen x íjvha

r dx

Integra l Indefi nida

181

^ "n —2 —i

= -^ln | x 2 - 2 .x+ 2 1-4arctg(x-l) + c

" J eos" x ( n - l ) c o s " 1 x « - I 1430

1433

l n = | x ne~xdx = - x ne~x + n J xn~'e~xdx . Hallar I

J

X

Xsdx 2

1

+X + -

Desarrollo In = J x" e Xdx , int egrando por partes:

Desarrollo u = xn => du — nx"~]dx

„3,

j [ ( * - l) + V

dv = e~xdx => v = —e x

X* + X H—

2

l n = j x ne - xd x = - x ne - x + n j x n 'e~xdx

*

X + l { ))dx x } + X H—

2

U - l) 2 . i r _ 2x + l _ ^ + , r -+ 4 J

jc2

+

jc +

4

*

J JC2 +JC + -1 2

7io = J x i0e~xdx = - x we~x +loJ x9e~xdx = - x ,0e x +10 (- x9e x + 9 j x 9e Xdx)

( * - ! ) 1 . , ■» „ , 1 arctg( 2 jr + l)... = ---------- — +c 1 In h r + jc + —1 h— 2 4 22

= -x i0e~x -I 0 x 9e~x +90 + j x 9e~xdx = -x ' ° - 1 0 *9-9 0x 8-7 20* 7 + ... + C 1434

4.14. 1431

INTEGR ACIÓN DE DISTINTAS FUNCIONES. dx 2 x 2 - 4 x +9

í f

I f— í —

J 2.x2 - 4x + 9 2 J v2 _ 2j c+ 9 1432

1

I —r ~— dx x2 - 2.X+ 2

f dx f A Bx + C^ . 1 I -----^------= (— + —5-------------- )dx ; ---- — J x( x +5) J x x +5 jc(jc +5) x

= _ L a rc .8( ^ i ^ ) + í

2 J u _ 1) 2+ 7

Desarrollo

5) Desarrollo

Desarrollo

- 1 f dx -

J

dx

VÍ 4

>/7

efectuando operaciones y simplificando

x +5


182

x 2 1 In x 2 - \n( x2 + 5) 1 = - ( ----------- ----------------- -) + c = —In. — -+ c

se tiene: A = — , B = ~ —, C = ——, D = 0 2 2 2

dx

dx f f A B Cx+£) -------- ^ 7----- = (------ + -------- t + —ó----- )dx J( x + l)(x~ + l) J x + \ (x + l)~ x + l

5

1435

I

(x +

183


2

5

\ x2+5

2 ) 2 ( x + 3 ) 2

Desarrollo Sea u = x + 2 ; u + 1 = x + 3

(x +l) ----- ’- - ^ l n U 2 +l)) + c = 24 Jf (— + - j _ - - £ _ ) í£c = ± (ln xx4+ l (x+l) x2 +\ 2 x+l 2

=> du = dx

j = f 2 du 2 = Mr+— — [ — Jf -(x--+2r ) — (x +3)2 J u^(u + 1) J («+ 1)

1 U

r — Wu

1 iu l+c i = 21- n, I ------i m+ 11i-------------1 1 +c -— 2 In I-----

U + 1

U

W+l

U

U + 1

1437

,x+3, 1 1 = 21n ------ --------------------+ r x + 2 x + 2 x +3 1436

1 . , x+l , 1 = —(l n l-7= r— I — - r ) + c 2 sjx 2 + 1 X+l

u +u

í

dx (x 2 + 2)2 Desarrollo

dx

Í (x + l) 2(x 2 + l) Desarrollo f

dx

_ f A

B

Cx + D

J u+i)2u2+i)~J ^T+u+d2+ x2 +\ I ( x + l ) 2(x 2 +l)

A

B Cx + D - + -------- r + (x + l )2 x 2 + l X + \

efectuando operaciones y simplificando 1= (A + C)x 3 +(A + B + 2C + D) x2 +( A +C + 2D) x+ A + B + D

resolviendo el sistema

A + C = 0 A + B + 2C + D = 0 A + C + 2D = 0 A + B + D = 1

SÍ2

x = \ Í2 t g 0

=> dx = y¡2 see2OdO

f dx i*a/2 sec 2d d d y f l f 2 n j n V2 |*l+cos 20 I — ------ = I ------ —= -— cos Od d = — I -------------------- dO 4 J 4 J 2

J (x +2) J 4(tg20 + l)2

y ¡ 2 sen 0 cosí) \¡2 x xy¡2 = -7rê + ------ ;------) + c = - ¿ - ( arctg ( - r ) + —— ) + c 4 V2 x + 2 8 8

184

1438

Eduardo Espinoz a Ram os

í

Desarrollo

dx x 4 - 2x 2 +1

I*

dx

185


Desarrollo _ j*

dx

J (x 4- 2x 2 +l) "J (x 2 - l )2 n/

Vx2- 1

f

J

_ 1 r „ 2 x - \ 1 )dx (— ----------- + (JC2—JC+1)3 2 (x2- x + l)3 x 2 - x + l )3 x d x

J

1

see0=x => dx=see0.tg0d0 f dx _ f dx J x 3 - 2 x 2 +\ (x 2

J -1)2 J(sec20-1)2

J tg40

J tg30 J sen3

dx

(1)

jc+1)3 4(x 2 —x + 1)2 2 J (jc2—

_ Csec8tg8d8

Csec8tg8d8 _ f s ecOdO _ j"eos 20 ^ _ 8

£ 2

f l - s e n 28 dd = J (ese38 -ese 8 )dd sen 38

J

dx integrando i f — f 2 (x~ ( x 2 -- X + 1)

J

2 12 3 completando cuadrados se tiene: x - x +1 = (x - —)“ + — 1

x —

= —[ln | ese8 —c tg8 \ -ctgé>csc 0]-ln | csc 0 - c t g d | +c

1

[ln | ese8 —ct g8 | +c tg 0.csc 0 ]+ r

tg# = — V3 2

73

r dx 2 J (x - x + 1)

^ ; d x =^ - s e c 2 8 d 8

2

1 r

V3 f 2 sec~6 d e _ 73 I* see2 8 dd

dx

J(x2-x+l)3 2 j [u_l)2 +3]3 2J (3^20+3)3 4j22sec60 2 , 1673 f 27 J

4

4

4

64

1673 f l + co s 20 2 27 J

8 sen 48 473, _ 4 73 f ]+c (l + 2 co s 20 +cos‘ 28)dd = —— [0+ sen 20 + —+ 27 27 J


186

3 -4 x , x(3 + 2Vx) , rfx = ---------- 7=—+ k (1 -2 Vx)2 l- 2 v 'j

4>/3r30 sen20cos20 4y¡3 36 ™/4+c°s20 - — + sen 2 0 + --------------- ]+c = ------ [— + sen 2 0 (------------ )] + c 27 2 4 27 2 4 4 ■ — -[ 30 + se n0 co s0 (3 + 2c os 20)] + c 27

9

9

27

73

6(x -x+ 1)

12(x - x + 1)

----- T---------- r r •••(2) 1442

1 2 á i t f - x +l ?- ~ 4( x 2- x + l)2 + 3 S

2x - l

Desarrollo

f ( V I + i )2 . fx+277+ i r 1 2 4 1 1 1 ------ r— í /x = ------- — dx = (- T + - r + -r )d x = --------------------* --------- — x x 5 x x xVx J J 3 X3 3 2 3 2. v

J

remplazando ( 2 ) en ( 1 ) se tiene: f

( n/I + 1)2 - T —-ax dx

J| -

2

2 2 jc—1 ,2 x - l . 2x-l ... = — -=arctg(—= - ) + — T------------------------------------------------+

23^3

- Ja! 1441

2\Í3 Q Q 4>/3 . 2V3 _ = ----- 0 h-------s en 0 co s 0 + -------sen 0 cos 0 cos 6

187


J

¿A V x 2 + X + 1

Desarrollo

2x-\ 2x-\ 6(x 2 - x + l ) I2(x2 - x + 1)2

[-= £ = = xdx x —2 2x-\ 2 2x -l —5-------- — = — ;------- — + — ------- — + zr ¡z aicXB(.— ¡r -) +c 6(x2- x + l)23^3\¡3 J ( x2 x ~-- xJ + l )3 6(jc2 — jc -Hl)2 f

1440

(3-4x) J í (1- 2yfx)2

f = ln | x + —+ V ?+ ~v-M +c J I,( x + 1,2 3 2 -r+-

2

1443

I — = ^ d x JJ v'2 x

Desarrollo

Desarrollo

,2 fJ (13~4* 2 = f (3 4 z ,) 2z
=

,

2 o

1 ^

l-2z

-(Z -2z ---- — 3x + 2xy[x l-2 \[x

1

j*^

Sea z 2 = x => dx = 2z dz

) =

(~3x-2xy[x + 2y[x-\) , _ ------------------------------------------------------ 7 =-rC \-2s[x

1-2 Vx

= ------------- --------1-------------p=- + C =

\ —2\¡x

x(3 + 2\[x ) 1-2 Vx

--------------- j= —

1-1 + c

1444

f

4

i

dx = j*l( 2 x) 2 -(2 x)6 ]dx = \Í2x ~^y [(2 xf +í

Jx

J(V7+7I)2 Desarrollo Sea

|x = z 6 => dz = 3z 2dz

Ix = zJ => V ? = z 2 :


188

f 3 z 2dz _ 3 r dz

dz,

r

dx

j ( s f x 2 + y f x ) 2

1445

í

+ — ,................. = +c

+ C

Z + 1

-

189 4 x - l

j (7?+7x)2 J ( z 2 + z ) 2 J í


yfx +1

2 y¡ 4x 2 - 2 x + \

x +

\

4x- 2

+c

^

2 s ¡ 4 x 2 - 2

2y¡4x2 -

7 x + l

1446

(2x + \)dx s¡(4x2 - 2 x + \ f

2 x —1 = + C= -T = +c xz - 2 x + l 2x + l

d x

í ií^X+yf^-

Desarrollo

Desarrollo

Sea 5-x = z 4 => dx = -4 zi dz \ ¡ 5 - x = z y 7 5 - x = z 2 f

J 4x2-2x

d x

f

+ \ = 4(x -

= -^-sec 2 9

d 6

(2x + l)dx

j yj( 4x2 - 2 x + l)3

—)2 + — ; tgO = 2< * 4 > 4

V5 2

4

;

2x + l = -^ -(tg 0 + 73)

_

f

J

"

3V3

3ser 9

z+1

J

=

4,-1

= ^ ( T ^ x - 1)2 - 4 l n | T ^ x + 1 1+/t

73

J

sec 0

CO S0

+ sen 9 + c , efectuando la función trigonoméetrica tenemos:

z+1

- z + ln | z + 1 |) + c = - 2 z ~ +4 z-41 n | z + 11 + c

x 2d x

I V (»2 - o 3 Desarrollo

= -4= I senQ+ \¡ 3c os Qd 6 =-^¡= Í(sen0 + y¡3co s6)d9 73 J 73 J

"7T

J

= - 2 7 5 - x + 4 \ / 5 - x - 4 1 n 1 7 5 - x + 11+c

1447 -----

dx f z3dz . f z 2dz . f, , *1 . , =====---- = = = - 4 —---- = -4 ------- = - 4 ( z - l + ------ )dz z +z J 75-x +75-x

7 x2-1 1


190 Sea x = sec 0

dx = see 0. tg 0 d0

1 f l -s e n0 1 f l- s e n 0 1f 2 = — I -------- — d0 = — ----- t— d 9 = — I (see 0-íg0 .sec0 )cí0 2 J 1 - s en 0 2 J c os 20 2 jV

sec20.sec0.tg0 dO _ f see Q.tgO -d e J V(sec20-1)3 J

= Csj¿ecw = r ,

J

2 = —(fg0-se c0) + c - — (se c0 -tg0 ) + c = — (■■■; ..... — — ¡X )+ c 2 2 2 yj l- x* y ]\ - x4

tfedBm\j«fde

J

tg 9

191


J sen

1 1-JC2

0

= Jsec0.csc20í/0 = Jsec0(l + ctg‘0)¿0

1 1-jc2

1 1- x 2

r + C = ------<

= ~ 2 ' J Z 7 + C = ~ 2 ^ I T 7 7 +C = ~ 2 \ 7 7 7 + c

1449

xd x

1V í- 2 jc2 - x4

Desarrollo

= J(se c0 + sec0.ctg2 9 ) d 6 = J (sec0+ C0Sy -) d9 sen 0 l - 2 x 2 - x 4 = 2 - ( x 2 +1)2

= In I x + J x - l I— , f=— + c

j*

_ j*

xd x

_ 1 |*

xd x

j y j \ - 2 x 2 - x 4 j j 2 - ( x 2 + l ) 2 2 J 1448

2 x dx í _______

1 .x ‘ + l. = —arcsen(—= -) + c y¡2 ^ 2 -U 2+l)2 2

xd x

í (l +x2)sjl-x 4

1450

Desarrollo Sea

a:

2

J—

U 2 + l)2

Desarrollo

C°s0 =sen0 ; xd x --------- dO

Sea x = tg 0 => dx = se c' 0 rf0 f (jr + 1)¿/jc _ f (tg 0 + l )se c2 0 ¿ 0 _ 1*(tg 0 + l) sec 20 ^ sec30 (x +1)2 (tg"0 + l)2

J COS0

f

J

x d x (l l-x 4 íl + Xx2)\¡ 1 — JC4

_ f

2J

_ ! t g0 + l J sec0 d9

JJ (l + sen 0)V l-sen 20

d9

■iji 2 J l + sen0

2 J

_ f (c ()S 0+ S en 0) í/0 =S en 0_ COS0+C J

x

1

y j x 2 + 1

y jx 2 + 1

jc —1

: + C = —I

\lx2 +\

+ C

v


192

.451

193


dx J (. x2 + 4x)\J4 —x2

f

1f

dx

J (x 2 + 4 x ) V 4 - x 2

1f

dx

dx

4 J x ^ 4 - x 2 4 J (x + 4)y¡ 4-x2

Desarrollo „2

'

+ 4x

f

1, , \¡4-x2 + 2 . 1 2(x + l) = — ln -------------- ------- = arcsen(--------- ) x 8^3 x+4 8

-±<±--U 4 x x + 4 _ 1f

dx

dx 1f 4 J ( x + 4 ) \ ] 4 - x 2

dx

J (x2 + 4 x ) \ l 4 - x 2 4J x y ¡ 4 - x 2

(1)

1452

Desarrollo J V x 2 - 9 dx = i( x \ / x 2 - 9 - 91n|x + >/x2-9 |+c

integrando I — , ^ . Sea x = - => dx = — lí - x j ^ x 2 1 t2 .. .

I Vx - 9 dx

..

dt

f

[*

dx

f

t2

= ^ ^ 9 - U n | x + Vx2 - 9 l+ c

dt

= - l n | ^4

J WH?” J MTjl ~~'

,

J;(x + 4 ) y ¡ 4 -x 2

J Vx - 4 x 2 d x Desarrollo

11

_dt_ f _______ r

J (x + 4 ) y ¡ 4 - x 2 J i j .1

1453

Sea x + 4 = - => dx = - ^ r

integrando I --------dx.

dx

.. .( 2)

~ 2

7V ~ , 2

f

*2 — |

_

(1 l - 4^2

-JlT

f

dt

J V-12í3+8r-l

=

((2x - ~ ) \ ¡ x - x 2 + ~ arcsen(8x -1))]

2

2

4

16

= i ( ——-V x-x 2 + — arcsen(8x - 1 )) + c 4

2^ 3

4

16

= ——-V x- x 2 + — arcsen(8x - 1 ) + c

1 arcsen( (2 * + 2 )) = J L a r c s e n ( ^ ^ )

2>/3

X+

reemplazando (3), (2) en (1)

4

2>/3

X+

4

16

. .. (3 )

1454

1

dx

xVx2 +X + 1

64

Eduar do Esp inoza Ramos

194 Desarrollo

1

X = t

=>

(je2N+2x+2)>Jx U 2. v + í W . V ++2x+2 2.( + 2 3

—dt

.. .

dx = -r t 2

dx

f2

= r

=_ r

j x jx 2+x + l Jl J, 2+t +l

<&

J Ví2+r + 1

Desarrollo

J J (í + i )2 + |

1

x = -

/

.2 I + -1+ Ví‘ 7I —ln 1 |I1 + JC+1 I|+c í~2 + f+ 1|= = -l n |í —+ —+ -------------

2

i

2 ,

+ 2 + 2 y J x 2 + --------- -----------

-

=>

dt

dwx = — —

r

dt

x

. i x + 1. x |+c = ln|----------l+ c

, x

= -!„ I

-+2JC+ 2 -^-ln Ijc+1 +Va :2 + 2 jc+ 2 |+ c

..

h

dt

=_ r

Sea

,

x +1

dx

* f

195


.

x +2 + 2Vx" + Jc+ 1

í ■ - f A~ = f ----- = - f ] dt ; sea t = sen J x 44 x ^ \ J i J V í^ í4 í

0 ; dt = eos 0 d 0

J x ' J x 2 + 2 x + 2 d x

Desarrollo J W

Sea

7

+ 2 jc + 2 í/jc = j* x y j ( x + ] ) 2 + 1 d x

v/1 - t 2 see tí =

z = X +1 => dx = dz z = x + 1

==> j r - z - 1

f

J* x y j x 2 +2 x

+ 2 dx

=J

x y j ( x

+1)2+1 í/jc= j*(z - l)Vz2- 1 dz

J

2

J

3

f r3dr _

T sen30.eostíí/tí

J Vw7 J

-— —Vz 2+1

2

= (z +1): -~V z2+ l-- ln | z + Vz2+l I+C 3

2

2

- 1 sen 30 d 6

-i

eos 30

2

ln | z + a/z 2+1 l +c

■J

=cos 0

eos

3 .2

eos 0

=- (1-cos 0 )sentí¿0 = -(-co stí + -------,) + c

3

f zVz 2+ 1 ¿ z - Í V z 2+1 í/z = —

J

*

(x2 -----l f + C :------------- yl1-----3*3

+C

196 1457

Eduardo Espin oza R amos dx

4

1 -xv :Vli - x

Sea

f

dx

2 z dz 3-3z _ T

1

r (z 3 - l )3

1 - x3 = z2 =$ dx - 2 zd z 3x 2 dx x

4

= - J * * * — flfe= - J z( z 3- 1)~3(z 3 - l ) 3 d z

Desarrollo

~ f X * ~ r — — -ft-ij. 2 Jz3-1J (z-l)(z2+ z + l) J z - 1 r + Z+ 1 dx

2 f dz

z

Í J z 2-l

z3-l

_ j* -2 z dz

J x j l - x 3 J y ¡ ( l- x 3) x J z ( 3- 3 z2)

2 . z - \ . 2 . V l-x 3- 1 = —ln | ----- 1+c = —In I— .... — | +c 3 z +1 3 xJ +1

_ A(z2 + z +1) + B( z2 - z ) + C ( z - l ) ( z - l ) ( z 2 + z + l)

z = (A + B) z2 + ( A - B + C)z + A - C

.

1458

197


A + B = 0 A - B + C = 0 A-C = 0

dx

í f l + Jt

resolvi endo se tiene: A = ■-, B = - —, C = — 3 3 3

Desarrollo f

dx

f

z

,

f, A ^ Bz + C

J 1¡Í+X3 J z 3 + l ' J : - l z 2 + z + l

(1+ x 3) 3rfx; m = 0, n = 3, /? = —

l f ¿ xl f

'

z-1

3 J Z -1 3 j ; : + z + l

y¡ l + X

m+1 - + p = es un entero, entonces n , i _ X- 3 +1 = 2 3 __ =>.

v3 X

= — -1--- => Z = n / i + z 3- 1

f ^ — { f~2~~

= ——ln IZ— 1| + — 3

= ——ln | z — 1 1+ —ln| z 2 + z + l | — ^ a r c t g —■i ~ + c 3 V3 %/3 6

X '’

_i 4 3 => dx = - z 2(z 3- 1 ) 3dz

además * = (z 3 - l )

6 J z “ + z + l6 J z “ + z + l 3J z +z + l

1459

J

5xdx

Desarrollo

Ít ? <~~~t = f I ----- 1 = r( -z 2( z3 - l ) 3)¿Z j ^/l + x 3 J i . A Z i '

[ 5xdx _ 5 j* 2xdx J ^ 7

2- \ W

_5

)2 2

2

^

donde z =

Ví+7

198

146«

Eduardo Espinoz a Ra mos

199

Integ ral Indefi nida

J c o s 4x¿x

|*1 + -y/c,tg x dx Desarrollo

J

sen x

_ f (csc2 x + y]ct gx esc 2 x) dx

I cos 4 x dx = I (cos2 X f d x = J (~ C° s 2 a )2
~ 2 2 / = - C t g X - - C t g 2 X + C=-CtgX---y/ctg 3X+C -----------

1463

3x 1----------sen 2x 1---------sen 4.v (. (• :---4 32 8 1461

Veos 3x

j Veos 3X

Desarrollo

J

Veos 3X

- jsec x.csc5 x d x = f (1 + c tg 2 x )2see x. ese xd x

J

1464

= J*(l + 2c tg 2x + c tg 4x) see x.csc x dx

J

I csc 55x¿x

Desarrollo

J CSC55xí£c = J(1 + c tg25x)csc35xdx = J esc35x áx + J e tg25x.cos35x dx ... (1 )

= J*(see x.csc x + 2c tg" x .see x.csc x + c tg 4x. see x.csc x)d x

/<

integrand o I csc 35xdx por partes

f secx cosx cos3x , = (--------------------------------------------------+ 2 ------- — + ---- — )dx J sen x sen' x sen x

J' s(+etgx2cc 2tgx x.csc* x + c tg9 f!

Æ

,

,

X.CSC" x)d x =

a

J sen"x Desarrollo

x )d x

= - —eos 5 x + — e o s 5 x + c = — (eos 2 x - 6)Vcos2 x + c 2 12 12

Desarrollo í

sen 3 xd x j*se

f sen^Sfáx _ f sen x(l - eos 2 x) dx = [ { se nx (c os x) Í _ s m x.cJ

f - - £ _ J eos x sen x J eos x. sen x J

J

In Itg x I- c H: c - ~ — + c

.„4

4

J*

200

Eduardo Espin oza R amos integrando I c tg2 5x. esc 35x dx por partes

1466

f‘

u=c tg5x

d u = —5es c 25xdx

|“"(T

K -x) sen(— h x)dx 4 Desarrollo

n nn V2 sen( ---- x) = sen —.eos x —sen x.cos—= — (eos x -s en x) 4 44 2

dv = ese 35x .ctg 5x dx => v = - CSC— 15 f Ctg5x.CSC„3 5, l 1 f < , 2c 3r , I c tg 5x.csc 5 x dx = ----- ------------------I ese 5 x dx J 15 3J

201


71

71

J e sc 55xd x = J*ese 35xdx + J*c tg 2 5x.csc 2 5 xd x

cos5x 20 sen 45x 1465

I

f sen(—-x).s en( —+ x)dx = f cos 2x dx = i-sen 2x + c J 4 4 J 2 4 1467

3cos5 x 3 , , 5x. + — ln | tg —- l+c 40 sen 2 5x 40 2

f

i,X

7t. -)dx

J tg(r T }

J t g ( | + ^ )d x = j tg 2( | +

sen 2 x , —— dx eos x

Desarrollo tg (| + ^)dx =

J (sec2( f + ^ ) - 1 ) tg (f + j ñ d x

= f ( se c2 ( ^ + ^ ) t g ( í + ^ ) d x - í t g ( ^ + ^ ) d x J 2 4 2 4 J 2 4

Desarrollo

- tg2(—+ —) + 21n Icos(—H— )|+ c 5 2 4 2 4

f S en " X , f 2 4 , ¡ * 2 / . 2 , 2 , I -—dx = Itg'x.sec x d x ~ I tg x (l+ tg“ x)sec x dx J eos X J J f 2 f 5 tg X tg 5X 2 = J tg“ xse c“1 xdx = I tg x.sec" xdx = 3—+ ■- —- + c

,,

1 2 2 ^ eos 2x = —(eos x -s e n x) = -------2 2

1 .. 5 x , ctg5x.csc5x ctg5x.csc 35x 1 f <„ , = — ln tg— 2------------------ e--------- - -------I ese 5xdx 15 3J 10 2 10 f 5 c t 3 , 5 x. 3 , , 1 , 3 I ese 5xdx = — ln tg— ----- ctg5x.csc5x------ctg5x.csc 5x + c 40 2 40 20

y¡ 2 .

. .n . y¡2 , 1/2 sen( ----- x).sen(—+ x) = — (eos x - sen x)— (eos x + sen x) 4 4 2 2

reemplazando (2), (3) en (1) se tiene:

J

7t

sen(—+ x) = sen—. eos x + eos —.sen x = — (eos x + sen x) 4 4 4 2

... (3)

1468

r dx -----------------------J 2senx + 3co sx-5

Desarrollo


202

f

2t 1 - í 2 Se conoce que: sen a = ----- — ; eos x = 1 + t2 ' ’ 1 + í 2

J

dx eos2x +- 2 senxeosx + 2 sen2x

1

1469

2dt 1 + í 2 J 413-3i J12~ Jl„ 1+ í 2 1+ í 2 f

4 /-1

dx 2 + 3cos>2 x

J

see 2 xdx _ 2 tg2x + 2 tgx +l

1 f sec 2 xdx 22 JJ 2 x + tg x + _

_ 1 f — sec * dx = I . i - a r c t g ( ----- — - ) + c = arctg ( 2 tgx + l) + c 2 j ( ttggx+ 2 i 1 x +-I' -)2 r + i 2 4 2 2 6

í

J 2senx + 3cosx -5

j*

1 _

x 2d t l ~ = t => d x = 2 1 + 2

f _______ ^

203


f

dt

_

f ____ dí_

J 4r2 — 2r + 1 J Aít J 4(l->f -2—)2 + — 4

= _ _1 arctg(_

_

1471

4

dx senxsen 2x

1

Desarrollo

„„„2 f dx f sen, 2 x„ +. cos x , f, 1 cosx _ , I -------------= I ------------------- dx = I (--------- + ---------- )dx J senxcosx J 2 sen2xcosx J 2 cosx 2 sen2x

)+c

1 f ,(secx + ctgx.cscx)dx = ~ ln Isecx 1 + tg x| 1 = —I

1

1 cscx + c

Desarrollo

1472

2 + 3eos 2 x ~ 2 se n 2 x + 5cos 2 x

r _______ dx _______ J (2 + cosx)(3 + cosx)

Desarrollo f j 2

_ f

dx + 3cos2 x

J

dx _ f sec° xdx 2 sen2x + 5cos2x j 2 tg¿x + 5

1 f \Í2 sec" xd x

1

: v f J (V5 tgx )2+5 1470

1

dx

i eos 2x + 2 senxcosx + 2 sen 2x

\¡2tgx

1 1 A B Sea z = eos x ; entonces ------------------------ = ---------------- = -------- 1-(2+cosx)(3 + cosx) (2+z)(3+ z) 2 + z 3 + z

1

, 2 tgxN

v^)+c

1 = (A + B)z + 3A + 2B de donde se tiene:

1

1

1

(2 + cosx)(3 + cosx)

2 + cosx

3- co sx

A + B = 0 , [ 3A + 2B = 1|

A = l, B = -l

Desarrollo f ------------ -----------= f —

Dividiendo entre eos x se tiene:

J (2 + cosx)(3 + cosx)

—

f

J 2 + cosx J 3 + cosx

...a )

204

Eduar do Es pinoz a Ram os

Sea u = sen ax => du = a eos ax dx

, Ç dx 2 2 integrando: ----------- = - = arctg(— -£-) J 2 + cos x V3 V3 ,

f

1

dx

... ( 2)

1 f acosaxdx 1 , ax + \ a[~ cos axdx --------- = _ _ ^ _ _ _ = = . == —In sen —InIIs enax Vfl2 +sen 2 ax I +c J sj a2 + sen2 ax a J \Ja2 +(sen ax)2 a

f

•",3>

1475

reemplazando (3), (2) en (1)

J 1473

-

tg 2

8

f

205


x d x

í eos 23x

Desarrollo

f x d x _ f xsec 23 x d x , integrando por partes y haciendo: J eos 23x J

dx 2 tg2 1tg2 c ^ - w o _____ , = “/? arctg(- 7r ) - — a r c t g ( ^ ) + c (2 +-cosx)( 3 + cos.*) 73 y¡3 y¡2 \Í2

u =x

sec 2 x dx

J 7 tg 2x + 4 tg x +1

du = dx

o j => v = -----të 3* dv = sec 2 3xdx

Desarrollo sec 2 xrfx

f

f

J 7 tg2x + 4+ tgx + l

f x dx _ r xs ec 2 3x dx = - t g 3 x - —— dx + c = - t g x + - l n | c o s 3 x | + c 3 3 3 9 J 3 cos 2 3x

J

sec2 xd x

1476

Sea u = tg x + 2 => du = sec2xdx |* j

sec 2 A g2

j*

sec2 xd x _ f

4tg JC-J-1 j yf( tgx + 2 f ^ 3

cosar

J æ2 +sen 2ax f

eos axdx

* V«2 +sen 2 ax

dx

j x sen1 xd x

Desarrollo dw

J Vm2- 3

= ln |m+ V «2 - 3 I+c = ln | tgx + 2 + -y/tg2 x + 4tg x + l |+c

1474

J

J y]( tgx + 2)2 - 3

J x s e n 2 xd x = J x .1 C°^ ~X dx = Ì J ( x -x c o s 2 x) dx

= - [ f x d x - \ x c o s lx d x \ = — - — í x co s 2x££x J 4 2J 2J integrando

J x eos 2 x d x

haciendo:

u = x => du = dx „ , sen 2x dv = cos lxd x => v = --------

por partes

Desarrollo _ j*

eos axdx

J y¡a2 + (se n ax )2

... ( 1 )

206

Edua rdo E spinoza Ram os * .

•*

-

c os 2x

2 x + -------2 4 1 jceos 2x dx = —sen

... (2)

Sea

reemplazando (2) en (1) x 2 xsen 2 eos 2 2 , JEsen xd x = -----------------he J

1477

--------------

je

207

Integ ral Inde finida u

= ln(l - ) =>

du =

je

dx JE—1

.3

, X' dv = x 2 dx => v = — 3

je

l n ( l - x ) - — í ------dx) f je2 l n \ J \ - x d x = —(— 2 3 3 J jc— 1

J

2 x*dx

í x e

3

Desarrollo r

Sea « =

x3

______

i

= — lnVl-Jt

3

p

i

I (x 2 + X+ 1H------- )dx 6J jc —1

*

du = 3x 2dx => x 2dx = — 3

V du = — eu + c = -e + c fI x 2e i 1dx = . f e u — J J 3 3

= — In V i-j E -- — —— ———ln | jc—11+c

3

1480

18

12 6 6

xarctg x dx,

í J ü x 2

Desarrollo

1478

xe 2xdx

J

u = Sea

u = arctg x

Desarrollo je

=> du =

dx \l 1+ x 2

=> d u - d x

e^x dv = e2xdx => v — ----2x

í xe 2xdx = - e 2x - ~ í e2xdx = - e 2x- — •fe J 4 2 2 j 2 1479

f x a r c t | x J VÍT 7

J x 2 ln yfí — x d x

<±e =

f ^ ^ d x = J 1+ *

= \ll + x 2 arctg x - ln | x + V1 + x2 | +c

Desarrollo J x2 ln Vi -j e

^

i

Jje2 ln(l - x)dx

1481

í sen2(—).cos(— 2

2

)dx

Desarrollo

arctgx - f - * J V1 + x 2

208


J sen 2(

)c o s ( ~ ) d x =

i J (1 - eos x) cos(^f)dx

1484

1 1 f , ,3x ,3x 3x 1 f 5x ,x.. , = — (cos(—) —eosxcosí — ))dx = - s e n -------- I (cosí— ) + cos(—))ax 2J 2 2 2 4J 4 2 3

I senh x.cosh xdx

Desarrollo

Sea u = senh x

du = cosh x dx

(senh x) Jse nh x.cosh xdx = j u d u = — + c = -------- — + c 2 2

1 3x 1 5x 1 x. = - sen(— ) ------ sen(— ) — sen(-) + c 3 2 10 2 2 2 1482

209


-

dx (sen x + cos x )2 )Sx

1485

1

f senh Vi - * -d x

J VT^

Desarrollo

Desarrollo

,-----d x Sea u = V1 — x => du - - —-, 2 Vi - x

f___*___=íJ (sen x + (senx + eos x) cosx )2

dx JJ ssen 2 x+ 2 sen xcos x + cos 2 x

_ I* _ j* see 2 x d x f sec2 x d x J t tg g 2 x + 2 t g x + l J (tgx + 1)

1483

=>

0 , _ dx

2du — Vi-*

| !el^ V ^ . dx = j senh u.(-2 dw) = J senh u du -2

1 tgx + 1

= - 2 cosh u + c = - 2 cosh Vi- * + c

dx (tgx + 1) sen 2 xx en 2

1

Desarrollo f _____ dx _____ _ fcsc 2 x d * _ f e s e 2 x.ctgx^ J (tgx + l)sen 2x J 1+ tgx J 1+ ctgx sc -----------------------------x + csc x + csc xct gx dx - i|-e -----1+ Ctg X

1486

í* senh x.cosh x ^ J senh 2 x + cosh 2 x

Desarrollo

Sea u = senh2 x + cosh 2 x , derivando se tiene: du = (2 senh x cosh x + 2 cosh x senh x)dx => du = 4 senh x cosh x dx

-

_ 2 f ese2 xd x f(l + ctgx)esc 22 x. ,f - c s rc 2 _ xdx f 2 = — - ---------- + -------- — --------dx = ------------- + e s e ' x d x J 1 + ctgx J 1+ ctgx J l + ctgx J

= ln | 1 + ctg x | - ctg x + c

f senhxeoshxdx _ 1 f * = I l n|H|+c = i ln | senh 2 x + cosh 2 x |+c 4J u 4 4

J senh2 x + cosh2 x

= iln|cosh 2 x|+c 4

210

1487

Eduar do E spinoza Ramo s f x d x J senh 2 x

1489 Desarrollo

f x d x _ f x c sc h ' x d x J senh 2 x J sea

J 1488

u =x dv = ese h2xdx

s e n h 2 a- =

j*

211

Integra l Indefin ida exdx _

i-13 I e2x - 6ex +13

Desarrollo

exdx exdx 1 eex* - 3 f f ----------------- = I ---------- -----= —arctg-------- + c J e 2x - 6 e x +l 3 J ( e * - 3 ) 2 + 4 2 2 -

ídu =dx [v = -ctghjc

J ACSC hxdx =

~ x c t g h x

+ J c tghxdx = ‘x ctgh x + ln lsenh

1490

e2xdx

i (ex + 1)4

\_

Desarrollo x +c Sea

dx

J e2x - -2ex

fe x +l = z4

^ p = z 4 - l

\exdx = 4t ' d z

i e2xdx = (z 4 -1)4 z3dz

Desarrollo (
e* - l = z => ex = z + l Sea

dz = exdx =>

Z + l

= —■z4 — z 4 + c = —\J(ex + 1)7 - - $ l ( e x + 1)3 + c 7 3 1 3

= dx

= ¡ - dx J ee¿x 2x -2 - 2ex ( ex JJ(
1491

f—*

r dx J e 2x - 2 e x

r

J

dx (z 2 -i)(z + l)

r dz J (z + l) 2( z - l )

I

J_

l

= í J z + l (z + l )2 Z—1

= --jln | z + l| +— }— + —ln | z 4 2(z + l) 4 '

f 2 Xdx 1-4* —4 X

J

Desarrollo

x f 2 Xdx f 2 Xdx I ------- = I ---------- - ; sea u = 2 J 1-4* J i --(r 2*)2

r 2 ^ = p ^ _ =_L f * ln 2 j 1 -M

J 1- 4* J l - ( 2*)2

11 1 1492

= - j l n | ^ - l + l |+ - L + i l n | ^ - l | + c = - - + — +-]n\ex-2\+c 4 2e 4 4 2ex 4

, du = 2 ln 2 dx

21n 2

J t f - 1). 10~ 2*í¿c Desarrollo

1- u

= _!_b i|l± 21 |+ c 21n 2 1 - 2 *

212

Eduar do E spinoz a Ram os u = x 2 ~ 1 => du = 2xdx Sea ■ . n-2x j K T 2* dv = ,10 dx => i 21n l 0

1494

í (x 2 — 1). 10 2xdx = - ~ — L l 0' 2 jt + - i - fjc. 10~2xdx

J

21nl0

Integral In definida

InlOj

...( 1 )

dx

1

Desarrollo u = arctg x dx dv = — x2

Sea

u = x => du =dx , , n -2 x , dv = dx => 10

f arctg x ,

10"2*

.2

“I — )10-2jr + c 1 + - 4 — + 21n l 0 21n 210 22 ln 310 21nl0

lnlO

21n210

ex +1 dx

Desarrollo Sea

\z 2 =ex + l Iexdx = 2 zdz

z 2 - l = ex , 2 zdz dx = — ---;2-l

du =

dx l + x1

i* dx J x(\ + x 2)

arctg x | f i_ -)dx x J x \ + x

arctg x , I, ,, arctg x , , r 7 21 = ------------ t -l nx — l n | l + A | + c = ------- h l n x - l n v l + A +< x x 2 arctg x + ln I +c x y j l - x 2

... (2)

reemplazando ( 2) en ( 1), se tiene:

1493

arctg x

21n l 0

r 2jt ¡ x . 10~2xdx = - f - 10- 2* + J r : ' 22ln 210 21n l 0 "

J V - 1 )10-2xdx =

213

1495

í

,

1

x arcsen(— )dx

Sea

Desarrollo u = arcsen(—) x dv = x'dx

du = -

dx vV x 2 — 1

v=-

I X3arcsen í—)dx = — arcsen(

... ( 1 )

integrando I --------- dx por sustitución J x — 1

j*Ve ‘ +1 dx - J — ~ ^dz = 2J*(1 + — .. )dz \/x2 - 1

= 2(z +-^-ln |- —í-|) + c = 2yjex + 1 + Ih | -^==¿2 — - 1+c 2 Z + 1 yj ex +1 +1

1

214

Eduar do E spinoza Ram os sec


0 = x => dx = sec 0 tg 0 d 0

j* x dx _ j*see 6.seed.tgOd6 _ fsee„440.t g 0 J yjx 2-

1 J

'/see 2 9 -

1

J

tg0

cos(ln x) dx = J cos(ln x)d x = J\ e z eos z dz = ez sen z + ez eos z - \ e z eos z d: J*

_ f

de = Isee e d e

J

= \ e z eos z dz = — (sen z + eos z) + c = —(sen(ln x) + eos(ln x)) + c

1

= J({\+tg-0 l + íg 20)sec¿ )see 20 6 dé? de == j*\ (sec¿0 + tgz Osee29)d9 = lg9+ ^ ^ ~ 1497 (x¿+ 2)

3

...( 2)

reemplazando ( 2) en ( 1) 3

J*

J (x

—3x)s en5 xáx Desarrollo

\u = x* - 3x dv = sen 5x dx

, 1 , 1 V a2 - 1 2 *4arcsen(—) aresen(—)dx = — H— . ---------- (x + 2) + c x 4 x 4 3

I'"2-

1.4 1 Va - 1 , 2 = —( —(xjc aresen arese n —+ —H----------- (x + 2)) + c 4 xjc 3

1496

215

x 2 —3x 2x-3 3x) sen 5 x d x = - :------- —eos 5x + eos 5x dx 5

I

x“ -3x eos 5x + 5 5

cos(ln x) dx

1

DesarroHo

íu = 2x - 3

Sea z = ln x => x = e z => dx = ezdz

Jv = eos5x£?x

J*Icos(ln x) eos(ln x) dx dx == jIeez eos z dz

dv = cos z dz

du = (2x - 3 )dx cos5x

,

o s J , 2 -3x)sen5xax

í (x

du = ezdz Iv = sen z

3) eos 5x dx

du = 2 dx sen5x

x -3x

= -----------------

2 x - 3 s e n 5 x - —2 f sen5xdx I 25 25 J

c o s 5 xh --------------

x - 3 x 2 x -3 eos 5x + — — sen 5x + ----- eos 5x + c 5 25 125 2 2 3 = —(- x 2 eos 5x + —sen 5x + 3x eos 5x + — eos 5x — sen 5x) + c 5 5 25 5

Jcos(ln x) dx = j e z eos zd z = ez s e n z - j e z sen zd z

1498

I

x arctg(2x + 3 )dx Desarrollo

Eduar do Espinoza Ramo s

216

u = arctg(2x + 3)

dx

du =■

=> dv = a dx

2 a 2 + 6a + O x~ v=-

u = arcsen Sea

5

2

J a a r c t g ( 2 A + 3)d* = ~

arctg(2A

» 3a H— = — arctg(2A + 3) — ( I dx + I — ------- - ----- dx) 4 J J 4a + 12a + 10 2

-2

t í ü J Vi— 72

Luego:

í

2

4

8

J A 22 +' ,3 a + —

dx

1499

J arcsenV*dx > Sea

a

Desarrollo

= z 2 => dx = 2z dz

j*arcsen 7a dx = 2j* z arcsen z dz

f

1 2

1 2

eos 29)d9 0 d8 =-~ f (1 — J•*

J

arcsen Va

2

2

--

4

1 sen z-^ Vi-z 2 z- —arc

= arcsen Vx(x — )--------(V i-* ) + 2 2

1500

z- zv1- z")/ +Tc

dx= 2( — arcsen z — - (arcsen z- zV1 - z )

52 ^ J A 2 + 3 a + —

=Í[(a2-2)arctg(2A+ +^-ln| +6a+5|~ ^ ] + c 2a 2

sen 2 9. eos 9 dO fsen ^V1- s en 2 9

= z‘ arcsen

A* 3 5 jc = :— arctg(2A + 3 ) - —+ —ln ( a 2 + 3 a + —| - arctg(2A + 3 ) 2 2 4 8 3)

7^ | p 72 arcsen z — I . 2(— dz) 2 2 J -y/i-Z 2

= - (0 - sen 9 eos 6 ) = —(arcsen

a2 ! f bxdx dx . i 5 f < ■ « «gO x+ S - J + - j — — T + i j / 1 a 2 + 3 a + — a 2 + 3 a + | < N

2

Ví ^ 2

0 => dz = eos 0 d0

a2 , i 1 f 6a + 5 = —-arctg(2A + 3 ) - - + - — ---- - — — dx 2 4 2 J 4a +12a+10

a2 x 4 f 2 a + 3 1 f = — arctg(2A + 3 )- —+ —— ---------- — d x — I

dz

du =

dv=zdz

z = sen

5

1 (*

z

í* I arcsen \fx dx = J

+ 3) - J* 4 a 2 + 12a + 10

2

217


JW Desarrollo

c

- arcsen(z 2 - — ) - ^ y J l - z ~

+c

218


C A P IT U L O V

Integr al Defin ida

1502

219

(V0+ gf

I

Jo

, donde V0 y g son constantes Desarrollo

Sean f ( t ) = V0 + g t , Ar, =

5.

L A IN T E G R A L D E F I N I D A

5.1.

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO LIMITE DE UNA SUMA

& = l +i, A* = -¿

;

n

^ = — n

/ ( í ) = / ( 6 ) »V 0 + — «'

- 7-

n-1w-1 I (V0+ g O * = lim V / ( £ , )Ax,. = lim V (V + g - i ) Jo Ax ô Á—t A x , ^ o JL j n n

DEFINICIÓN.-Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f de a a b, denotada por: f b f ( x ) d x , está Ja

donde x¡ <

(=0

T f ' K T g T 2 gT2 = lun > (- 2- + ÍE— i) = l im(V0r + ^ — > i)

dada por: I f (x )dx = lim f h'ST' > / (£i)Ax- , si 3 el límite Ja

1= 0

i=0

Ax ( —>0 A m m i

'

ti

ft

< x M , Ax, = x M - x ¡, i = 0,1,..., n - 1

1;_ g7 2 (B-lXn)

1503

•b I dx

s

r2

x l dx

j :\

Desarrollo

y a

Desarrollo

r/ . . b -a „ , . . b-a . i(x) = 1, Ax¡ = ------ , g. tomamos de las siguiente manera: g¡ = a + i; £i =a + iAx¡, como f(x )= l => f (^¡) = 1

I dx = lim J a Ax,->0

.

- lim — --------------- = V^y + p —&x¡—>o n 2 2 0 * 2

Calcular las integrales siguientes, considerándolos como límites de las correspondientes suma integrales: 1501

^2

n —>°°

¿ 1. 1/

i=0

f(L ¡)Ax ¡ = lim ———= lim n ——— = b -a Ax,->0 n A r ( —*0 Z u /i i=0

Sean f ( x ) = x 2 , Ax¡ = —

n

n

= -2 + —= a + í'Ax, n

f ( x ) = x ¿ => /( £ ) = (-2 + - ) 2/ ( £ ) = 4 ------ «+n 72

[ *2<¿x= lim y /(I , ) Ax¡ = lim V ( 4 - — + ^ - ) . J _2 n->°° ¿m j n n n i=0 i=0


220

lim( 12 - — n2 1504

f 10 J o

+ — (W 1)n(2n — ) =12 - 18 + 9 = - 6 + 9 = 3

2

«3

6

1505

I

x 3dx

Desarrollo

2*dx

Sea /( x ) = x3 , Ax(- = ——- = —, £, = a + /Ax, = 1+ — n n n

Desarrollo

Sea / (x) = 2

221

Integr al Defin ida

Como f ( x ) = x 3 => /(!, -) = 0 + — )3 n

10 , 10/ y A x,=— ; £• = — n n

[ % 3dx= lim Y / ( ^ J, Ax— >0ia J i=0

10 Como f ( x ) = 2x =* / ( £ ) = 2 »

10

n-1 w-1 10 f 2 " dx = lim Y / ( £ • ) Ar, = lim Y 2 " / — I„ Ax—>°°£¡mmí n—*°°'■■■ W

J0

' i

10

_

= lim —(1 + 2 " n —>°° n

2.10

------

3.10

,

------

1506

10

10 —

donde r = 2 "

10

1'l = 0 - 2 10)lim = li m ( l - 210)— — ' n'->~ 12 '* 12 1 - 2 ” 1 - 2 "

10 2

210 — 1

por L ’HOS PIT AL = (1 - 210) lim — —*■------- = — — ^ „_>» 12 ir> m2 2 " ,-^ln 2 n

w2 ( n - l ) \

Hallar el área del trapecio mixtilíneo, limitada por la hipérbola y = —, el eje X, x y las dos ordenadas x = a, x = b, (0< a < b)

Desarrollo

10

256

= lim(4+24 — +32.(" ~ 1)l,2 ,'~ 1>+ 62(”r 1)i) = 4<.24t64+64=156 n-*~ « n
,,1 0

(n-1).—

+2 " + 2 " +... + 2

10 1 — (2~n 1„ = lim — ( 1 n-»°= n _ 1 - 2 "

192 (n- l)n(2n-1)

“ i ! f. (4 + - 7 T - + T ' -------- i -------- -----------------2

<=o

'= 0

i«

„ 48(w-l)w

(1 + ^ + 1 ^ - + ^ - ) n n rt nz 1=0

= lim V

J?, * = -----b ~ a ; q¡£ = a - i ------b~a /( x )s = -1 => Ax,. x n n como f ( x ) = - =* / (£ •) = - ----- - -----a + í(------ ) n n- 1 A = l im V / ( £ , ) Ax¡ A l , - » 0 Ám J 1=0


222

n- 1 V" 1 .b-a A — lim > (------ ---- ) ----.b-a n i=o a + 1 n n-1 A= lim y — — -— ,en forma análoga el ejercicio 1505; se tiene: A = ln — Ax,->o Á^ an +i (J b- a) a i=0

Integral D efinida

5.2.

-

1507

CÁLCULO DE LAS INTEGRAL ES MED IO DE INDEFINIDAS.-

DEFINIDAS

Io

L ÍMITE

INTEGRAL DEFINIDA VARIABLE.-

^(x)~

J.

f ( t ) d t es una Ja F' (x ) = f ( x ) p a r a a < x 0. ¿^

0

Ai —>0 jLmM

1=0

n

1508

n

1=0

n —1 x x x x = lim —(sen( 0. —) + sen 1 . —+ sen 2. —+ ...+ se n------- x) ai, —>0 n

n

n

n

n

= lim —(----- ------ (eos — -eo s (/i- —)—)) x 2n 2 n Ar(->o n ~ 2 sen — n 2 x x 1 x = li m ----- ----- . lim (eos ------- cos(n — ) —) n — X . n— 2n 2 n 2 sen(— )

Sea /= f — ,(b > a> 1). Hallar: Ja InAr Desarrollo a)

/=

b)

I

J a lnx

dx J b ln. x

h dx - J a ln x

di db

di _ da

1509

= 1 - eos x, aplicando L’HOSPITAL

1 , « 1, . sen a + sen 2a + ... + sen n a = ----------- (eos —-cos(n + —)a) 2 sen — 2

1 In a

1 ln b

F( x )= I \ n t d t , x > 0 Desarrollo

„ a

a)

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

2n

NO TA .-

SUPE RIOR

Ja

como f(t) = sen t => /( £ ,) = sen —

x n-1 «-1^ / (x) = | se nt d t = lim y /(£)Aí- = lim y^ sen(—).— In

EL

FÓRMU LA DE NEWTON - LEIBNIZ.Si F' (x ) = f ( x ) se tiene

At¡ = —, L = —

CON

POR

Consideremos la función f(t) continua en el segmento [a,b], la función

f ( x ) = I sent dt 'o

f ( x ) =

223

2

2

F( x) = I ln td t => F'(x ) = lnx

— da


22 4

1510

F(x ) =

f yjl +t4 dt J

Integr al Def inida

1513

X

Desarrollo F ( x ) = J sj\ +t4 dt = - j

V T ^ tAdt =>

F'( x) = - V

225

f x SCYlt Hallar los puntos extremos de la función: y = I ----- dt en el campo x> 0. J o { Desarrollo f x sent set , , sen x , „ dt => y = ------ => y = 0

=J„"

i + X4

para los puntos críticos =» sen x = 0 => x = njt donde n = 1,2,3... ti los 1511

e~' dt

F (x )= I

ju nt os extremos de la fu nción es x = mr, n = 1,2,3...

v X

Desarrollo

Utilizando la fórmula de Newton - Leibniz.-

c x~ r. o 2 rx 2 F( x )= I e~' dt = I e~1dt+ I e~‘ di J x

J x

Jo

F(jc) = —I e~r dt+ I e~r dt entonces: Jo Jo 1512

1= I

Ji.

Hallar las siguientes integrales:

F'(x) = —é

y'1

+ 2x e

_r 4

1514

í

1 dx ) 1 + X

Desarrollo T1 n —

II 1 = ln(l + ;c) = ln 2 - In 1 = ln 2

J01+*

eos (t2)dt

lo

X

Desarrollo r> -Jx

í» a

7 = 1 eos(t2)dt=

1515

(• \fx

i eos t2dt+

1 dx

1-2 x 3 Desarrollo

eos (t2)dt -i

X

E í- il

sTx

/ = -- I1 x* eos co stt¿dt 2dt ++ I eos t2dt entonces: J a Ja dI = - COS(— , 1—X/ — ).( --- -1) X+ COSx(/-----1 —X) dx

x~

X"

2vx

x*

1516

J> dt

x“

f

J - X

_2

= -( —- —) = 8

2

8

Desarrollo

2y[x

di 1 1 , 1. — = — -= eos x + — cos( —) dx

i i -i

e'dt = e‘ I I - X

=£>*-

226

1517

Integ ral De finida

_L_)«

Sea S„ = —— H— !— r... + —!— => j = i ( _ i _ + _ i_ + n +1 n + 2 «+n « 1 1 + -2 1 + n n

í o cos t dt Desarrollo

mi

n —>°°

J n

n -1 n*

2

n -1 n~

n

)Ax, = lim y

- ( - ----—

aí—>oo

/i i

=0

1+

í

-

n

n-l . I .! = u m y _ l = f ‘j L = to a + x)| = ln 2 » - * - n + i J o 1 + X Io

Desarrollo

1

/

1=0

——)

Sea S„ = — + — n~ n

—

I

i f( x ) d x = lim y

Valiéndose de las integrales definidas, hallar los límites de las sumas.

.. . 1 lim n->°° n ¿

1 +

Luego Ax,- = — es la “n” participación en [0.1 ] y f ( x ) = —— ; <¡? = — n n 1+ x

I eos t dt = sent\ = senx => I eos t dt - senx Jo lo Jo

1518

227

1= 0

1,1

2

n n

n

n -1 ) n

1520

-----

lp +2 p +... + np li m --------------------n— np

Desarrollo Consideremos: Ax, = ^ y f(x) = x n

_ _ lp +2p +... + np 1 ,l p +2P +...+np s Sea S„ = --------------------- = —(----------------------) n p+1

Luego el límite es igual a la integral - 1

I / (x)dx

Jo

s n =

n

n

n

nP

n

n

j

"-I

: / (x)dx = lim V f( £¡) áXi donde £ = - como f(x) = x => /(£,■) = Jn M «

Luego: Ax, = —, que es las “n” particiones en [0,1] y f ( x ) = x p

f 1

Luego: lim Sn = íI f( /(x)d x ) d x= x = I[ x; pdx = ------ 1 = --------- 0 = ------/? + llo p + 1 p +1 Jo Jo

u

n

i=0

p+ i ■ i

Jn Û

1519

■i-4 -r-i 1 (n-l)n 1 /(x)d* = lim \ /(£, )Ax,. = lim > — = lim — — = n n->~ 2« n— Z-W n->~ ¿

,=0

<=0

,• 1 h-------1 1--------1 K..H-------1 )^ lim (,------»->“ n + 1 n + 2 n +3 «+n

Desarrollo

Calcular las integrales: i2

1521

J

(x2 -2 x + 3 )dx

Desarrollo

, p +1

-

228

Eduardo Espino za Ram os 2

3

i 2

( x2 - 2x + 3)dx = (—— x 2 + 3x)

1i

3

= (—- 4 + 6) - ( —-1 + 3) = — - —= — h 32333

229

Integ ral Defin ida

1526

3 dx

j -:2

X2 - l

Desarrollo

1522

f

8

I (V2 x + \¡x)dx Jo

3—

1 .2 *2 - 1

Desarrollo

= —ln2 ~ —ln3 = —ln — 2 2 2 3

f ( y f ^ + \ f x ) d x = (—3 - j 2x + —4 y[x) Jo 1527 1523

| U- ^ - d y

J,

Desarrollo

f 41+ J y f 4 1 l — ^ d y ^ \ + —y-)dy J iy Ji / -

1

y

J

2 14 1 -5 7 = -(-j + l) + (l + 2) = — + 3= — ^ y 11 4 4 4

2J

6

2 2

J \ l x - 2 dx

= [—ln(x 2 +3x + 2 ) - —ln | -

2

2 2 _ „ i „ 16 f yf x—2d x = —( x - 2 ) 2\ = - ( 6 - 2)2 - 0 J 2 3 3 | 2 3'

I

3

J

3 1 3 X+9 ~9 '* 1 =[—ln(x2 + 3x + 2) — ln |------ — 2 31 2 ¿ x + - + -o

Desarrollo

1525

dx 3 f1 .2 2 o x2 + 3x + 2

f 1 * dx _ 1 f 1 2x + 3 ^ o x 2 + 3x + 2 o x~ + 3x + 2

--------- j= )\

y2

r

xd x

I 'o x 2 + 3x + 2 J

y

Desarrollo

1524

= —ln |——- 11 3= —ln|-^—Í-I-—ln|-^— 2 1 x + 1 'I _2 2 -3 + 1 2 -2 + 1

1528 Desarrollo

f " ^ = = i v s í 3 j r 3= í - í “ = _ i Jo \¡25 + 3x 3 lo 3 3 3

x +o

= (—ln 6 - —ln —) - (—ln 2 - —ln —) = 2 ln 3 - 2 ln 2 = 2 ln -^ = ^( 7 ) 2 2 3 2 2 2 2 4

dx

V25 + 3x

2

1 y 2dy I -1 y +2 Desarrollo V - f — d y = í 1 ( y - 2 + ^ - - ) d y = [ ( ^ — 2 y + 4 \n (y + 2) Í J -i ' l- i y + 2 2

J _i y + 2

230


231

Integr al Defi nida = (—- 2 + 41n 3)- (—+ 2 + 41nl) = 41 n3 -4

2

1529

2

1531

dx

1 z3dz

oz8+1

Jo z

Desarrollo

í o x 2 + 4jc +5 +5

f '_ 4 z ^ = l 4

Desarrollo

Joz8+l Jo(z4)2+l 4 J o (z ) +1

dx dx 1 f f | —;----------- = I --------- ---- = arctg(x + 2)1 = arctg 3 - arctg 2 = arctg — J o * + 4 *+ 5 J o ( j f + 2) +1 lo 7

NOTA: Sea z = arctg 3 y = arctg

z.

3 -2 1+ 6

K 1532

I 1see 2 a d a 1 1 '

6

1 7

Desarrollo

K 4

1

tg(z-y ) = y =* z - y = arctg(-~)

6

K t f t sec" a d a = tga\ = tg f — tg — = i1 — ■=1 IZI 4 V3 6

75

arctg 3 - arctg 2 = arctg y

2

1533

2

í

I4

6

dx J l - x 2

0

1530

lo

n n 1 ,1 ■ —arctg 1 — arctg O= — 4 4 16

tg z = 3

2 => tg y = 2

tgz-tgy tg(z-y) = 1+ tg tg y

4 |'

Desarrollo

dx

J3x 2 -33xx + 2

V2 2

Desarrollo 0

3

I = arcienxl

sfi.

r-

v2 7T 2 = arcsen-----arcsenU = —

\ll-x2

1

x ~ z — z

( x ----Y ---2 4

dx

I 4

X ---- + 2 2

x - 2 ! 4 2 1 = In | ------ Il = In — ln —= ln 2 - ln3 + ln2 = ln4 - ln3 = ln x —l 13 3 2

>3.5

1534 2

dx \¡5 + 4x

Desarrollo

f

^

J 2 j5 +4 x - x 2

= f- ----- - = arcseni— J J2 ^ 9 - ( x -2 ) 2

= arcsen - - arcsen 0 = -

3 >2 26

232

1535


J.

1 y 2 jay

1539

y6+4

233

Integr al Defin ida sen( ln x) , — -------- dx

í;

Desarrollo

Desarrollo r 1 y2dy _ i f 1 3 v2dv 0 V>’6+ 4 3 *'í V(y 3 ) 2 + 4

1 - l n | y 3 + > / y6 + 4 3

f "í ew(lnX1 dx = - cos(ln x)| = -(c os( lne )—cos(lnl)) = -(cosl-co sO) = 1- cosí Ji x 11

= - l n | l + V5 |- i l n 2 = - l n | Ü ^ 3 ' '3 3 2

1536

4

í,

1540

I 4 tgxdx J -*

e o s2 a Jia

Desarrollo n_ £ | % gx dx = - ln(cos x)| 4n = -(ln(cos

Desarrollo , « senla 4 _ n 1 í 4eos 2 a d. a = \ f í l—  ■eos2a ---------- d a = (—+ ---------- ) 2 2 4 o ~ ”8 + 4 Jo Jo

1537

- ln(cos(- -) ))

= - ln(cos —) - ln(cos —)) = 0 4 4

sen \¡í di¡t

í

1541

Desarrollo

f

3 ctg4\f/ d\¡/ 6

3

.

1 2 , ,

i

,

I 2 setv'xj/ dì// = !I (1-c os- \f/)sen\i/d\j/ = (-cosi/m --------- —)r sen y/di//Jo Ji

I“ 3 I" f 3 ctg4y/d\j/= í 4 (eos2 y /- l) c tg 2\ i / d y f = - ^ ^ y K+(c tgi i/+ y/) \ ^ =

= (0 - 0)- (- l + I) = | 3

1538

í;

dx

1542 Desarrollo

í;

dx

xlnx

6

3

xln x

= InOn x)

\e

= ln(ln e2) - ln(ln 3) = ln( ----- ) ln 3

Desarrollo

C OS ' W I 2

6

«

r 1 exdx j o l + e2* Desarrollo f 1 ------ — = arcíge^, 1 ’ = a rcfg , e - — * Jol+e lo 4

6

8 K

23 4

1543


JI o cosh x dx

235

Integra l Defin ida

(T )

Si “f” es continua en <-°°,b] y si lim í f( x ) d x

DEF INICIÓ N.-

existe, entonces definimos:

Desarrollo f cosh dx — \r ' — e +eI ' dx = e_ * - e " \ ' J o J o 2 1544

■In 3

J„

1 2

e - e- '

1

b

------- = - ( e — )

2

í

e

rb

f{ x )d x = lim I f ( x ) d x a->-°°Ja

,

dx

(T )

DEF INICIÓ N.-

Si “f ’ es continua en

<-°o,+oo>

entonces:

' In 2 CO Sh2 X

/•+00

Desarrollo f '"3 dx

J in2 ^ 1545

f in3

J

|l"3

BJ „, “Cb d X ' H „3=Win 3)- .ghdn2),

mO f ( x ) d x = lim J f( x ) d x + lim í f (x ) d x />->+“ J Q

NO TA .- Estas integrales son conv ergente s. Cuando existen estos límites en caso contrario se dice que es divergente.

I[ senh se nh2jx d x

J

(? )

DEF INICIÓ N.-

Desarrollo

Si “f” es continua en /.ft (•&-£ / (x)dx = lim f (x ) d x

°Ja

J u

f sen h2xd x = ^ f (g2t -

J«

4J o

2 + e~2* )dx = - (- 2.y + — ■ e

4

2

2 4

lo

4

‘

|o (? )

DEFINICIÓN.-Si

“f ’

es

Sea “f ’ es continua en [a,+°°>, existe, entonces definimos:

• •

» <2

f (x)d.x = lim I f (x ) d x b—¥+oo I

siempre que este

en

/ ( x ) d x , siempre

definimos que este

e ~ * ° j a +e

límite exista.

INTEGRALES IMPROPIAS . DEF INICIÓ N.-

continua

f (x ) d x = lim

2

J a

(T )

definimos

límite exista.

)| *

Jt 1 1^ 1 : (- —+ — senh 2x)\ = —cosh 2 k - —

[a,b>

b ijm f f (x ) d x , b — >+ooJ a

(ó )

DEF INICIÓ N.-

Si “f” es una funciónen [a,b] exce >i.) en x = c donde a < c < b, entonces:

*b i»c-£ rb f (x ) d x = lim I f( x) dx +Y \m I f ( x ) d x , siempre que existan Ja £_>0Ja £_>0Jc+£ estos límites.

236

Eduard o E spinoza Ram os Calcular las siguientes integrales impropias (o determinar su convergencia).

... 1 ¡l , £ + lim -------1 1I 3 = - lim( 1 ---------1 ) - lim A(---------------) 1 = lim -------lim( ------(---------------)

dx

1546

237

Integ ral Defi nida

£->o

f Joo v *

x-l|o x-l|o £— >o x—1 x—1li+£

£-*o 1—e—1 0-1

1

Desarrollo

= -(-oo) -1 — + +oo +oo = ° ° . Luego: Luego:

2

í —f= = üm f = lim 2Vx| = lim( 2 - 2 Ve) = Jo vx £ ~ * ° J e Vx £~>0 le f_>0

^ dx j ---------—, ---------—, es divergente divergente

Jo (x -l) 2

2 1550

f 2 2 dx

1547

£— >o

J-i x

dx rJo Vi-*2 *

Desarrollo Desarrollo

c2dx_r°dx [ 2 dx dx r e dx dx h I — - limi — + lim — J X J () X e— J - 1 x »0J _J x E - + Ü X

=

f 2 f 2 dx lim In x| £->0 |_J

+

f‘

dX.... dX.... = lim f E— jÉ?L = = limarc sen xj ' *

j oVl-x2 oVl-x2

, r £i : lim ln jcj £->0 £->0 ¡¿

£-*0

por tant o la integral es diverge nte.

1548

yfl-7

£^°

lo

n = lim (arcsen(l - e ) - arcsen arcsen(O)) (O)) = arcsen 1= — £-»o 2

= lim[ln(-e )-ln(-l)] + lim (ln2 -lne ) => 3

£->0

£^°Jo

1551

dx

r

dx x

Desarrollo

i

Desarrollo f

f *

, f dx 1 I1 i £i-p j ¿~ P I 1 — = hm — = l im -----------= lim ------ = lim(— ---- - — ) = — J o x p £->0 J e X p £-* 0 (l -p )x p~l p~l \e \e *->° l-p|£ £->0 ->0 1-/7 1- /7 1 - p 1 - j si p <

1549

1552 Desarrollo

/iv

J r ^ = J o ( * - 1)

/jv

Jo (x- l)

j..

J l ( X - l )2

a i — e —

í — = li m ln x |

— = lim X />-»“ />-»“ J i

X

11

=

lim (In b - ln 1)

6 -* “ 1

rdx Luego la integral I — es divergente. divergente. Ji x

1 es divergente, y si p > 1 es convergente.

Jo( x - l Ÿ 3

J]

j

»3

dx - lim f 1 6 — — y + lim f J o ( X - l )2 e->oJ,+ e->oJ,+e (X -l )2

r

dx ~~2

Desarrollo

=

lim ln b = ln(°°) =

í> -»~

21+e - l

238

Edua rdo E spino za Ram os

x +2 1¡= ; lim —¡=a ar ct g( —

r

a

Desarrollo

f •— = lim f —xdxp = lim —¿~p — —/?I|Iifc=1-/7l i m( ,b—1—l~pl~- pp —1 ) 1=- 0^p - - p-i -- 1- - -i - - - — s¡r»l Ji x p 1 —/? r dx Luego: I — es conver gente si p > J¡i x yp

1554

239

Integra l Defini da

5

x +2 I 1 —= arctg(—=^) + lim —= \a

V5

h~>°° h~>°° V 5

V5

I 2

\= arctg(O)) : lim ( ~ s arct arctg( g(O) O)— -r- ar ct g (^ ¿) + lim ( ~ arctg( arctg(-^= -^=~~ ) — ) — \= arctg(O))

- S

S

S

b- ~ s

s

s

1 arctg(-oo)x+ — 1= arctg(oo) -=■ + —=

1 divergente si p < 1

S

S

K 2 - 7=rarctg(oo) = — = —j= . Luego la integral integral es convergente. convergente. n/5 n/5 S

dx > í >1+ x 2 Desarrollo

f - ^ = f

J -o J -oo 1+ ^

A

J-oo l + X

t f A

Jo l +

, It a f 0- V » f J( 1+ x 1+1 +X X Jo J-

X

dx

1556

por lo tanto la integra l es divergente

K

= arctg (~) + arctg(oo arctg(oo)) = —+ — = n . Luego la integral es convergente.

L

dx x2 + 4 x + 9

Desarrollo r

dx

r

dx

r

Desarrollo

/» I .b P ibO senxdx=lim j se n x d x = lim -co sx = lim lim (eos (eos b - e o s 0). Jo b^°°Ja b~,°° 10 b^°°

= lira (arctg 0- arcíg arcíg a) + a) + lim (arctg (arctg b - arete 0)

1555

sen x dx

MOO

= limarctg x| + limarctg x| |a |0

71

L o

2

dx ___ + r ~ ____ ____ dx_

J-«, x 2 + 4x + 9 J-~ (x + 2)2+ 5 J—(x +2)2 ( x+2)2+5+J + 2 r ++5+J5 J--2 (x+2)

+5

1557

’2 dx

i xlnx

Desarrollo

í 2 dx = lim f 2 2 — = lim ln (ln x) |" Jo xl nx c->oJ£ c->oJ£ xl nx ee->o |£ ln = l im[ln(ln —) —) - ln(ln e)] = lim ln(— —) = +°° e-> 0

2

Luego la integral es divergente.

£-»0 ln£

2


240

i

1558

2

dx

1561

L o x ln 2 x

241

I 2 c tg xd x

Jo

Desarrollo

Desarrollo

i In e —ln — í dx f 2 2 ----dx — = l,.im -- —1 \~2 = - h m ,(—1 -— -— 1 ,) = h m --------- — 2 ----- —= lim --------- — £_>0 Jo xln ~ x £-*°Je x\ n x £_>0 ln jc |£ £->0 ' 2 2 ]_ ]_ ln e + ln 2 e 1 1 1 1 = lim ------------= lim — ---- = - lim ------------ = - lim £->o £-»o 1 1 £->o 1 ln l —ln 2 ln 2 1 1 ln e .ln l n -.— ln ln p

Integ ral Def inida

n I2 r2 7Ü |2 lim(ln(sen— I c \ g x d x = \ \ m I c tgx dx = lim !n(senx)| = lim(ln(sen—)-ln )-ln (se ne ))

i

£_>0Je

Jo

£— £— >0

= lim (lnl-lnO ) = 0 -l n 0

£->0

3. Luego la integr integral al es diverg divergent entee

-

le

2

2

2

1562

f Jo

e^dx

Desarrollo

Luego la integral integral es convergente 1559

|

í

Jo Jo

- É L ., a > jcln x

bx - 1 ) = — í e kxdx — lim(e bxkxdx = lim í e kxdx= li m -^ —— I = — Jo ¿j— >°°J >°°Joo b-*~ k lo k

1

La integral es divergente

Desarrollo pi> pi>

f = lim f -ÉL— - ijm ]n(ln jc)I jc)I = lim fln(ln b) - ln(ln a)] = lim ln(— —) Jo jcln* jcln* xln x b-**> \a b->°° b->°° lna

1563

’arctg x r2 dx Jo 1 + X IX

Desarrollo

= ln(—) = ln °° = oo oo . Lueg o la integral es d ivergent e a

1560

(•“ (•“ arctg* = ,.m f ” arctg* Jo 1 + * 6~*°°Jo 1 + JC.

f " dx i -----, -- ---, a > 1 Ja Jtln2*

arctg 2(°o)

Desarrollo

arctg 2(0) _ n 2

i a

d x .. r dx d — x - = hm -----------= i f ..im. ( -----------i i ,) = -l im ln..— b — -— = hm [ ----------- = - l im h~*°° lnxla b->~ \n b lna f>->~lna. lnfc Ja Jtln * h-^°°Ja x \n~ x h~*°° rI

? " , b b = ^ arctg2b arctg 2b arctg 2(0)^ = üm arctg_£| b — > ° ° b~*°° 2 2lo b->°°

----

-----

l• n b-1 j = lim ----- — = lim lim ~ -— = ------ . L a integral es convergent e. lna.lnb ¿>->~ 1 lna —ln —ln a b

1564

dx

) 2 I2 U 2 - l )2

Desarrollo f°° dx Cb dx — ----- 7 = llm “ i ----- t

J2

( X 2 - 1)2

J 2 ( X 2 - 1)2

inte integr gran ando do

f

dx

— —

J (X2 - l ) 2

242


n/x 2 -

243

Integra l Defin ida

2 ;t-l

1

„ ,

•= —ln ------------— j=arctg —■==-, por ta nto se tiene: *3+ 1 6 6 rx

í

1

1 , (* + l )2

dx

dx

j*fc dx rl, U + l)2 1 t 2jc-1 —— = li m [- ln — ---------+ - = a r c t g — ■=Jo x +1 *-»“ Jo x +1 *->“ 6 x - x + 1 V3 V3 r

—— = lim

Es decir: sec0 = x ; dx = se c0 tg 0d 0 f

fsecfl. tgOdd fsec 0.tg 6>¿0

dx

f

„

,

f

1, (*+D b ~— K p A 1 2ctg = lim (—ln—r - ) - 01 — pa rc tg (— W r ) --------- + -¡= ar i->~ 6 (fo2 -¿> + l 73 V3 V3 V3

,

1

1

» O ^ a rc tg W integrando por partes:

1566

= - f e +ta|^ é ;

: L

2

f'

Jo

2 k

Desarrollo

V T Iíl

f - 3^ -

i

1

1

1

2 = lim f ~ J ~ ~ 2 = lim f ( - 2 5 - 4 + - ^ ) d x

Jo x 3 - 5 ;t2 eôJe

eôJf

x

JC-5

li m [ ( - ^ — + l n - /L _ L ) - ( - + 1„ _ L ) j

2*-*“ ¿>2- l

V3

1 1

V5

= lim(——ln x + — + — ln | x - 5 1) e-*o 25 5x 25 £

1 1

- - - r( 0 - —+ ln>/3) = --i-ln> /3 = - - —ln 3 2 3 3 2 3 4

1565

n

Í¿C 5jc2

= - - l i m (—— - + -

(x2- l) 2 b->~J2 (x2- l ) 22*— V - l

=

7T

= - -[ c s c 0.c tg 0 + ¡n | csc 0 - c t g 01|

í Luego

1

^ a re tg ^ ^ ^ ^

I

= 0 + + — in(-4) + — lnO + —- + — ln(0-5) 5 25 25 5(0) 25

10 JT +1

dx por lo tanto la integral impropia es divergente. 3 lim If — -----e->oJ£ »Je jc - 3- 5x 2

Desarrollo f " dx Cb dx . f dx I ~ 5 —- = Iwn I —-— integra ndo I Jo x +1 J x 3 +1

Jo *3+l

-

í

.100

1567

0

de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:

dx

y[x + 2\f x + X 3

Desarrollo

244


Sea /( * ) = _

---

1——

Vx + 2^ + x3

245

Integr al Defin ida

Sea /(x ) = ------- -L== =<—L -, V x > -1

1— V x > O

x 2 + í [ 7

x2+l

f '00 ___ dx i”00 dx Jo yfx + 2 \f x + x 3 ~ J 0 x2+l

7\

Luego f ------ < í - ~x— , de donde J - . x 2+ ^ / 7 7 i

f 100 dx I100 f 100 dx — = arctg x| = arctg 100 => — ---- , es convergente, por lo l Jo * +1 lo Jo x 2 + l

r

J - 1 A- + 1

1“ n . , k n dx — - = arctg xl = --a rc tg (-l) = - + - = —

J-i x"+1

l-i 2

2 4

4

,

100

dx

tt= ---- -t= ---- t , es convergente o <]x + 2 y x + x s

r~ dx

r

dx

entonces I — ---- es convergente por lo tanto I -------- —....- es convergente J - , a 2 + V 7 T I

dx

1568

i

1570

2x + yjx2+] + 5

Desarrollo

1

xd x

f 'o 4 x 5 + \i Jo Desarrollo

1

Sea / (x) = ------- r = = ---- ---------- • puesto que 2x + \fx2 + 1 +5 4* + 5 F

Sea /( x ) = -= ■■*.... — , V x > 0 VTTí

yj x2 + 1< 2x => 2x + >/x2 + l + 5 < 4 x + 5

------ r 2x + vx

dx f°° f ” dx ---- -- ----- r => I -------¡ = ------ ^ I ---------, Pero: +1+5 4*+ 5 Ji 2 jc+ V +1 + 5 Ji4x + 5

f~ dx f~ dx Luego I -------- es divergente, por lo tanto I --------=====---- es divergente j> 4 j c + 5 J. 2 * + ^ n + 5

f ----J-i x 2 + Vx 4 + 1

Jo Vx5+1

Jo x2+l

Jo x2+ l

lo

2

f dx , f°° xd x Luego I — ---- es convergente, por lo tanto: I ------ , es convergente. Jo x~ +1 Jo yjx 5 +1

1571

f 1 dx

Jo

x4

Desarrollo

Sea f ( x ) = - j J = r = Desarrollo

*2+i

dx r n n n f ” xd x ^ (*“ dx , J I ,.... — < I —r---- de donde se tiene: I — ---- = arctg .vi = ----- 0 = —

1

1

f — = -í-ln|4* + 5||°° = o = -—ln3 = <» Ji 4x + 5 4 ' 'I, 4

1569

x + i

Vl-x4

1

i¡( l- x 2)(l + x2)

< J - ----- luego: y¡\ + x 2

2

246

Eduar do E spinoza Ramos

J oÿ T T?

J.ÿ ïT ?

f 1 xí/x ",/ ■

3

h x1

2

2

f 1 • /

lo 4

Jo¿A+ v2

..

í

2 n

n

, . . rdx I — es convergente, de donde

J - x "

sen.x , — — dx es convergente. ~ - ( l + .V )3= — ( 23 - 1) entonces l -| X ^ A es convergente, 2

. r ¿A por lo tanto I es convergent e. Jo Vi - * 4

1572

i r x\ E 2

r dx

de donde -I1 3

J'Wl +JC2 4

247

Integ ral Defi nida

1574

Demostrar que la integral de Euler de primer especie (función Beta). B (p , q) =

dx x ln x

Jo Jo

x p~l( \ - x ) q~ld x , es convergente cuando p > 0 y q > 0. Desarrollo

Desarrollo

lnx

í

Sea f ( x ) = x p \ \ - x ) q

x Ir, a

dx

d B( p, q) = í ; f (x ) d x + j* f{ x ) d x , por el criterio de comparación se tiene:

f

2

f " dx I■ = lim I -------= lim ln(ln x)| e->o J l+e xln x £->o Il+£

lim f(x)x'~ p = 1 y lim( 1 - x )l~q f ( x ) = 1 x— x— ^0 »0

= lim(ln(ln 2) - ln(ln(l - e)) = ln(ln 2) - ln(ln 1) = ln(ln 2) - ln 0 = -=o

esto cuando

1 —p < 1 y 1 —q < 1, de donde p >0 y q >0 en este caso las

J 2/ (x)dx y -

integrales

i r dx i*2 dx Luego I —-— es divergente, por lo tanto I ----- es divergente. Ji *lnx Ji lnx

1573

/:

i f( x ) d x son convergentes, por tanto: 2

B( p ,q )= I x p~](1- x) q~xdx es convergente cuando p> 0 y q > 0.

senx , -dx

Jo

1575

Desarrollo Sea

f (x )d x

2

Entonces j ------- > | ~ d x de donde se tiene: j] In.r J, .xlnx xlnx r —-—

1 luego: Z?(¿>,g) = J f( x )d x = j 2f (x )d x +

/ (x ) = ~

< *

- L X2

de ¿onde

f ^ ^ d x < Jf l J? XT

Demostrar que la integral de Euler, de segunda especie (función Gamma). V(p)= I x p le Xdx es convergente cuando p > 0.

~ entonces X 2

Jo

Desarrollo


248

En T(p )= I x p le Xd x, el factor e 1 — >0 cuando

Je

ío

t —>

Luego:

Integra l Defini da

»2 ___ Jo

x p le Xdx converge en el límite superior para cualquier valor de P, en el

límite inferior el factor e~‘ —» 1 , cuando t —» 0 y el factor

/p'1

°° cuando

p < 1 y, para que sea converg ente e n el lím ite sup erior P d ebe ser p ositivo.

24 9

/»arccos2

5.4.

r(p ) =

f x p~le~xdx = lim í x p~le~xdx

Jo

'-»“ Jo

CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL DEFINIDA.Consideremos f(x) una función continua en [a,b] y x = \j/(t) continua y i ( t )

rh rP f (x )d x = f[y/{ t)]. \i/ ’(t)dt Ja Ja 1576

sen 3tdt no se puede calcular

Transformar las siguientes integrales definidas valiéndose de las sustituciones que se indican. J* \ / x + \ d x , x = 2t - l

Desarrollo .3

£ -Jx +Íd x = 2J y]2t - 1 + 1 dt = 2J V2 sit dt = 2V2 ^ V? dt

1

j*1i dx

Ji Vi

Desarrollo

continua en a < t < (3 donde a = y( a) y b = \|/([i) y además la función f(\j/(t)) continua en [a,(3], Entonces:

»arccos2 5 2

2

(El límite se obtiene por el Teorema deL’HOSP ITAL) NO TA .-

2

(sen f) 3(-sen(Wí = - l

\J\-x2dx= i

Sea x = sen t => dx = eos t dt

fi

_ 1*2 eos td t

2V i- * 4

Se puede calcular la integral i \¡\- x 2dx v aliéndose de las sustitución

_

Jo

x = eos t?

6 Vi -se n4 í 7T

*

costdt

(*2 eos td t J*oV( y l-se n2 r)(l + sen2r) 7£

^ r 2

dt

yjeo s2 í(l + sen2/) ’J^. Vi + sen2f

Desarrollo 4

Sea f ( x ) = \l 1 - x 2 =>

= yj\ — cos 2 1 = (sent)

donde \|/(t) = eos t y ij/' (t) = - s e n t / ( y /( t )) y / \ t ) d t , donde x = eos t

, x = senh t 3 L 3 V 7 7 I > .

Desarrollo H f In3 coshrdí f ln3 . I = .. .. ■ ■„=■ = 1 d t , donde J—V*2 +1 J'n2 Vsenh2 1+ 1 Jin2

25 0

Eduar do Es pinoza Ram os e' -e~ ‘ x = senil t => dx = cosh t dt jc = senh t = ---------

para t =

3 4 para x = —, t = ln2, x = — , t = ln3 4 3

i 2 f ( x ) d x , x = arctg t Jo x = arctg t => dx =

para x = Ü =>

1582

dt 1 + t2

0 = arctg t => t = 0

í

4 dx

0

\ + síx

Desarrollo

Como x = t 2 =$ x = t 2 71

x ~~2 ^

Tí

— = arctSí

adem ás para x = 0 => t = 0 ; x = 4 => t = 2

t = °°

Luego: f / (x)dx = f /(arctg t) dt 1 + t2 Jo Jo

x = at + p que de por resultado que los límites de integración se hagan respectivamente iguales a: 0 y 1 . Desarrollo b

f ( x ) d x , como x = at + (3, la sustitución lineal entera entonces buscaremo s

a y P para que los límites de integración sean 0 y 1 . Luego: a = at + P ==> t = ——— a b = a t + p => t = - —— a

f 4 d x f 22t d t ----- ■==

0 f = 22

----

Jo 1 + Vx Jo 1 + f

1

Jo

, ,

(1- - — )dy l + t

12= 2(2 - ln 3) - 2(0 - ln 1) = 4 - 2 ln 3 o'

Para la integral i / ( x ) d x, (b > a) indicar una sustituc ión lineal entero Ja

í

a = b~a

Utilizando las sustituciones que se indican, calcular las siguientes integrales:

Desarrollo

1581

o , a=b-P ; t = 1 =» -----------0 => a = B

por ta nto: x = a t + p ; x = (b - a)t + a

K 1580

251

Integra l Definid a

4 dx

I t yfx = 4-21n3 1583

I

x -2 = z 3 U - 2)3 +3 Desarrollo

Como x —2 = z 3 => dx = d>z2dz Para x = 3 => z = l ; x = 29 => z = 3 (x —2)^d Luego; Jf 29-------= x ( x - 2 ) 3 +3

f 3 z 23 z 2dz =

z4dz

252


253

Integr al Defin ida 2dz

= 3 f (z2- 3 + - ^ — ) dz = 3(—— 3 z + - i a r c t g - ^ ) | Ji z +3 3 V3 V3 I

2 - 2 z + 1+ z 2

Jo 3+2cosf Jo = 3(9 -9 + ^ a r c t g - | ) - ( I - 3 + ^ a r c t g ( ^ ) )

1584

2

+8 = A - 8

,

2j3

"

J * J3

J í z ^ , 8+_ U

í 1586

Desarrollo

z

Luego:

•In2 ,

1585

i

Jo

I

«o

y--

dt 3 + 2co sí o

V5 o

n ^¡5

dx

1

a i 2 x o 1 + a 2 +sen

Desarrollo

1+ t2

+1

i

t

Vl+í2

2

il

\lex —ld x = I —^—- = 2 I (1 — -— )dz = 2 (z -a rc tg z) = 2 - — z +1 Jo z ' + l Jo lo 2

r

1+7

— _ r _ _ * _ = _ J L _ iim f

Jol+a2sen2x Jo a2f2 Jo(l+a2)í2+l

____

Jex - l d x = 2 - ?

* dt o 3 + 2c osí

fc->~V5

Para x= 0, t = 0 ; x = K —, t = °°

H

9

*-*-Jo z +5

, dt , Como tg x = t => dx = ----- - ademas senx =

^

Para x = 0. z = 0 ; z = ln 2 , z = l

pln2

K

Cx-2 )3 +3

f ln2 ------ ylex - \ d x , e x - l = z 2 Jo

Como e x - l = z 2 => e*dx = 2zdz. ; dx =

Jo z +5

= 2 l im ( 4 = a r c t g — j= arctgO ) = \ arctgc*-Q = Z L V5 V5 V5 5 V5

2 ^

ib

r ~ ± — r ~ » ± ¿ T -

\[\ + a2

Jo(l+a“)r +1

1 + f 2

=■limarctg(Vl+a2í)||o =Vl■1 - lim(arctg\l\ + a 2b - arctg0) + a2

t ®2

yfl + a 2 Desarrollo

Como tg —= z => dt = ■ y eos t = -— — 2 1+ z '

Para t = 0, z = 0 ; t = rc, z = °o

1

—7= =L r[arctg(oo) tuv v5v vv/ - arctg(O)] = Vl + a 2

1+ z2

n 2

-

dx

f 0 1+ a2 sen2 a

K 2\]l + a2

7T r2v l

254

Edua rdo E spinoza Ramo s

255

Integr al Defin ida

Valiéndose de sustituciones adecuadas, calcular las integrales:

Vsec2 0 - 11secg tggdg = f 3tg20J0 f, 22.V ^ *2-1 - U , = ff l3Vsec20 * Jo Jo sec0

Ji

£2

1587

= f 3(sec 20 - l ) í /0 = (tg 0 - 0)|3 = ( - j 3 ~ ) - ( 0 - 0 ) = > ¡ 3 ~

Desarrollo

Jo

lo

3

3

Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0 í 2^ ± d x = J Í - -

/. Para x = — 2

=* B = — \ x = 1 => 0 = — 4 2

1589 Luego:

J: fl

x2

J I

sen

0

J l sen

4

=(-ctg 0-e)

4

1

J 2i

-

1588

X2

2

4

2

4

1

ex+3

Desarrollo

F ' d E l « .

Jo

4

ex +3

Jo z~+ 4

1 + z

Jo z" +4

Jo

z +4

= 2(z - larctg - ) | = 2(2 - 2 arctg ( 1) ) - 2(0 - 2 arctg ( 0)) = 4 - n 2' o

dx = 1 ----

4 1590

, 2V ^ ?

Ji

ln5exy[e*—Í

para x = 0 = » z = 0 ; x = ln5 => z = 2. Luego:

T

2= ( - o - * ) - ( - i- - ) = i - - + - = i - -

lí

3

, . . 2zdz 2 e - l = z => í/x = ----- 1 + z

= J^2c tg2e de = J 2(ese20 - 1)¿0 = (-£■tg0 - e )|2 4

X

0

n

k

Ji

r ------ % = Jo 2x + y]?>x + \ Desarrollo

x Desarrollo

Sea x = see 0 => dx = see 0 tg 0 d0

Para x = 1 => 0 = 0 ; x = 2 => 0 = j . Luego:

256


Para x = O => z = 1 ; x = 5 => z = 4. i»5

*4 —zd z

j

Luego:

,

1

+ ~’z 2

1592

4

1

4

1

dx

j; (1 + *2)!)22 -1

2

[-ln( 2z-l)+-ln(z+ 2)J - 2 f ------ — ----- = 2 j* (— + - ^ - ) d z = J, (2z-l)(z + 2)J, 2z- l z + 2 55|

1

7 + 2V7 . 9 , , 7 + 2^

= ln------------ ln—= l n ---------2 2 9

*

f ___ ÉL ___ = f _ _J ______ _ 2 I Jo 2x + \¡3x + l Ji 2 /_ _ 1n) +, z Ji1 (z 22 —

257

Integ ral Defin ida

4

4

Desarrollo

í — ÉL — =

J (1+ x2)2 2(1 + x )

4

¿e acUerdo al ejercicio 1297

2

= (—ln7 + —ln 6)- (—lnl + —ln3) = -ln7 + -ln3 + -l n 2 -- ln 3 f arctgx lI1 dx x 1 arctg(l) 1 arctg(-l) -)| = (—+ — - — ; - ( —- + -— - — ; 4 2 4 2 + xjc2)) + 2 J-ii(1 (l ++jcjc2)2 2(1 +

I

1 4 1 = -ln 7+ —ln2 = —ln ll 2 5 5 5

1

1591

1 n

= —+ arctg(l) = —+ — 2 2 4

Calcular las integrales: dx

1593

i x\ l x ¿ + 5x +1

Jo

x" dx

Desarrollo

Desarrollo

Sea x = - => dx = - É t

f ']ax-x2dx= f j - — (x-~)2dx = - [ ( x - —) \ la x - x 2 +— Jo Jo V4 2 2 2 4

t2

Para x = 1 => t = 1 ; x = 3 => t = 3 i . É /2 f ____ él ____ = fa _ Ji xs I x 2 + 5 x +\ Ji l O “

n

, 2 x - a I

2

°2

a I > n | arcsen(—

a

2

2* - a I a

= (------------ v a x - x + — arcsen--- ) 4 a lo 8 di dt ____ = r ' 1_ - U 5,2 21 Vr2 +5í +l 3 'I 2 —~4

2

ln

- l n | ( - + í) + Ví 2 + 5 í + l | j j = l n | - + >/7 | - l n | ^ - + ^ y - 1

2

2

2

= (0 + — arcsen(l))-(0 + — arcsen(-l)) = — arcsen(l) = ——-

1594

í

dx

sx o 5-3cosx

Desarrollo

-; j

lo

258

Eduar do Esp inoza Ramos c . x 2dz sean tg —= z , dx = ----- cosx = 1+ z dx

f

r

2 dz 1+ 722

Integ ral Defin ida 0O <•0 por lo tanto I f {x ) d x = I f (x ) d x

1 - z 2 1 2

i

+.

J- a

i*

i

i2® i if-* 2dz

„ 1„¡2” 2 1x j

1596

Demos trar que: If “ e -*2J dx = 2„f " e

J-o=

J-oo

JO

J-eo

■i

j»a

J -a

f ( x ) d x

/(x)dx +

J-a

dx = fI “ —p —

Jo V*

•0 1 ee~xx dx = I eé~xx dx + I ee~xx dx = I ee~xx dx + I e x dx

/•a /•a ! f( x ) d x = 2 j / (x)dx . Si por el

Desarrollo 1*0

Jo

_ 2

contrario f(x) es una función impar L f (x ) d x = 0

f ( x ) d x = \

Jo

/(x) = e x es simétrica respecto al eje “Y”.

J a

rr>

J- a

*a / (x)dx = 2 j f ( x ) d x en forma análoga para

Desarrollo

. 7T _ 7T - arctg oo - arctg(O) = — - 0 = —

Demo strar que si f(x ) es una funció n par

*a

f(x) impar.

l+z2 v In Jt = —arctg (2 tg(-))| = arctg2tg(-)-arctg(2tg{0))

... (2)

Jo

reemplazando ( 2) en ( 1 ):

o

1595

25 9

Jo

Jo

JO

Jo

e x dx ; por la simetría ahora demostrare mos que:

2 i e~x dx = i e~x

...( 1 )

Jo

Jo

V*

. Sea z 2 = x => dx = 2z dz Como z 2 = x => \fx = z

como f( x) es par => f(x) = f(-x) ~ xdx = rI e — =-

Sea x = -y => dx = -dy I / (x)dx = - I

Jo

J- a

f j - a

f ( x ) d x = -

f Jo

Jo Vx

/ ( x ) d x , para x = 0 => y = 0; x = -a => y = a. Luego:

f (x )d x= -

f/ (- y X - y ) = - f f ( y ) - ( d y ) Jo Jo -

= Í f ( y ) d y = í /(x)dx

Jo

Jo

1597

= 2 I, eo f ”dx = 1r e—-dz 2=z2. I en ~r ífe -z2 Jo 2 Jo Jo

J.C1 dx C 2 sen x , _ Demostrar que: | ---------- = I ------ -d x

J()arccosx J() x

Desarrollo Sea arccos x = z => x = eos z ; dx = sen z dz K Para x= 0 => z = — ; x = 1 2

z=0

260

Edua rdo Es pinoza Ram os

1

o

re

o

k

5.5.

dx [ -sen zd z _ f senz ^ _ j*2 senz ^ _ f 2Sen;c¿t f Jo árceosx J* z J í z J0 z Jo x 2 2

Luego:

1

-

£

1598

INTEGRA CION POR PARTE S,Calcular las siguientes integrales, empleando ía fórmula de integración por partes:

f 2 sen x , C dx ------------- = ---- -dx Jo árceos x J 0 x I

261

Integr al Definid a

1599 £

Demostrar que: I 2 /(senx )rfx = j ~f (eos x)dx Jo Jo

x eos x dx Desarrollo u = x => du = dx

Haciendo

Desarrollo

dv = cosxdx => v = senx

n

Sea z = senx =$ V l - z 2 = eosx dz = eos x dx =>

i,

í

— = dx Vl- z

k

x c o sx d x = x sen jdp - f sen xd x = xsenx i 2 + eos xl le !c lo Jo \l 2

.

( 7Z

TZ

TT.

■(jesen a' + cosjc)| = (—sen— i-eos —) lo 2 2 2

para x = 0 => z = 0 ; x = -~ =s> z = 1

_ . 7t = (0 + 1. ) = 7t - + 0-1 1 2 2 ----

2

1600

<•1 í 2 / (senx)dx = í f ( z ) - r ^ = Jvi1~ Jo Jo - z 7 2

... (1 )

sea y = eos x => dy = - sen x dx

í

ln xd x

Haciendo

Desarrollo

K= lnx => du = — x

dv = dx => v = x

como J l - y 2 =senx =? — r¿ L = = dx

J* lnx dx = xin x| - J* dx = (xlnx-x)J = ( e - e ) - ( O - l ) = 71

para x = 0 => y = 1 ; ■*= — =^ y = 0 Tí

f 2/(C0Sx)dx= f f ( y ) ( - ! É = ) ) = Í lf ( y ) - Í L = = f ' / ( z ) - ^ = . . (2)

Jo

Ji

y j l—y '

í.

de ( 1 ) y (2 ) se obtiene:

*'°

y ¡ l - y 2

*

| 2 /(senx)dx = i 2 f( co sx )d x

Jo

Jo

*'°

1601

f x3e2xdx

Jo

Desarrollo

v i- z 2

u=x

Haciendo

du =3 x 2dx

dv = e2xdx => v = -

1

262

Eduar do Es pinoz a Ram os

263

Integr al Defin ida f x 3e2xdx = ~ - e 2x\ ¿

Jo

lo

x 2e2xdx 2 J 0

1603

u. = x

Haciendo

=$ du = 2x dx „2x dv = e2xdx => v = -

Io

xe~xdx

Desarrollo

u = x => du = dx dv = e~xdx => v = -e~ x

í x 3e 2xdx = ( ~ e 2x - ~ x 2e2x)¡ + - f xe 2xdx Jo 2 4 ¡o 2 Jo (— e2*

A 2*)! o

e2x (X 2

------

1602

f Jo

xe~xd x = -xe ~r + i e 'xdx = -e_Jt (x +1),

í

4

3 2 3 3 1' e2 3 ¿>2 +3 3------- X + — X ------- )| = -----+ - = -----------2 2 4 lo 8 8 8

Jo 1604

í ,o

i >+1 xe~xdx + lim f xé~xdx = lim - e x(x + 1)1 = - lim (—-— 1) =

i-»00Jo

h~>°°

u = e x => du = exdx

‘

—(0 - 1) = 1

e_flJtcos bxdx, (a > 0)

Desarrollo

sen xd x Desarrollo

Luego:

k = e_ du = ~ ae axdx sen ¿x dv = cosbxdx => v = -

dv = senxd x =» v = —cos x

J

e* sen xdx = - e* eos x + | ex eos xd x í ‘

| u = ex => du = exdx [dv = eos xdx => v = sen x

I ex sen xdx - ~e x cos+ ex sen x -

f“ , . e~“ seniw a f “ _ai , , I e cos bxdx = ---------------- 1 — j
Jo

¿>

¿Jo

u = e-“

=> du=-ae-axdx eos ¿x dv = sen bx dx => v = -

ex sen xdx = — (sen x - eos x)

n _ ¡ > r* ex ¡- e 2 i s t x Luego: J ex sen xdx = — (senx-cosx)l = — ( 1) — ( 0- 1) = e Jo 2 lo 2 2

f°° -a* , j e “ senfcx a - e ^ c o s b x | e cosbxdx = --------------+ —( ----------- —

Jo

b

= £e “

b

sen b x - a e

b

a f” I e

^Jo

c o s b x 3 2 /•00 — —| e r'^Jo

------------------------- 1

cosbxdx)

cosbxdx

264

Eduard o Esp inoza R amo s

b2

f e - eosbxdx =

senb x-ae ~ax cosbxl~

fV a*eos b xd x = L l i b s e a b x - a c m b x ) |°° _ 0 - ( 0 - fl )=; Jo

1606

¿ 2lo

Jo

lo

b2+a~

a2+ b2

265

Integr al Defi nida

Demostrar que para la función Gamma es válida la fórmula de reducción: T(p + 1) = PI \p) , p > 0, se deduce que F(n + 1) = n! Si n es un número natural.

a a 2 +b 2

Desarrollo La f u n c i ó n Gamma por definición es: T(p)= I e 14u p ldu para u > 0

1605

l 0

Jo

, e ■ax ‘“ senbxdx, a >0

sustituyendo p por p +

Desarrollo

1 T(p + 1)=

u = e ai => du = -a e ‘“dx

j w = u p => dw=pup~'du

eos bx dv = senbx dx ==> v = — b

\dv = e~udu => v = -e~“

f

| e Jo

-a x

I

e “ c o s í íj r

.

r( p + \) = -e~u.up\ + p [

f l f °°

lo

senfaxdr = ---------------------I e “ cos bxdx b b Jo

como p >

u = e ax => du = - a é axdx jdv = eos bx , dx , => v = --------- se nb x

f

Jo

T(n + 1) = nl\(n -

= -0 +

b

b

a2 +b 2

a2 + b2

~

e

Jo

e "up ldu

2)... 2.1

... ( 1 )

T(n + 1) = n!.

_ax /b eos bx + a sen bx *-------- ---- 9-----a +b |0 i

+

1) + 1) = n(n - DR n - 1 )

r(n + 1) =,n(n - l)(n -

.6 cos fox + a se nt o a 2 f~ ' = -e " ( ---------- ----------- ) — - e sen fotdx fo2 Jo ~

e~uup~ldu

T(p + l) = pHP ) de esto se obtiene:

¿Jo¿>Jo

ax/be osbx + asen bx^ ' a 2 +b722

e~uupdu , integrando por partes:

0 => e~" - * 0 , cuando u -> «> puesto que p es fija, e~“up - > 0 ,

cuando u L u e g o :

senfrxdr = - f _ T c os^ ü r ^ s e n f o + £ f* H— I eac se nb xd x

_

Jo

Jo

t

K 1607

7T_

Demos trar que para la integral /„ = I 2 sen" x d x = I eos" xdx es válido la

Jo

Jo

fórmula de reducción: /„ = ----- /„_2 • Hallar I n , si n es número natural, n

utilizando la fórmula obtenida. Calcular / 9 e / ,0

266


Desarrollo 1608

K Se conoce:

2sen" dx =

J

,#1-1 " ' x 'c os x ,

X(¡X

f

267

Integr al Defini da

Calcular la integral siguiente empleando reiteradamente la integra! por partes: #(
*/’_1(1 - a )9-1 d x , donde p y q son enteros y positivos.

Jo

Desarrollo J

n

u = x p~] => du = (p -l )x p~2dx

n J

(l-x)q dv = ( \- x )q 1dx => v = —

K

Luego:

/ , , P W x dx -

f f ^ ' ^

Jo

n

f?

n J0

lo

B( p , q) = í xp~l( l - x ) q~ld x = - - — (1 A) I + ^ —!- f vp 2(1 - x f d x

' ■ = J . 2 ” n " x d x ‘ t

1/,2sra"'2*

n

lo

«

-

«i

B( p, q) = ——- f x p l { \ - x ) q dx <7 Jo

<7 + 1

c° s" x d x = t

1 j ? ' “ 8""1 x i x = » = p e » ' ■ > * = —

u

Jo

n

v 2... (2 ) B( p , q ) = p - L [ ( - x p-2 {l )| + ^ - 4 f q<7+ 1 lo <7+ 1 Jo

de ( 1) y ( 2) se obtiene:

/„ =

lo

u = x p 2 => d u = ( p - 2 )x p 3d x Haciendo •! ñ-xf^ dv = (1 - x) q dx => v = -------------

n J0

* '• ‘ r

<7

Jo

-

f§ £ " sen" xd x = i 2cosn xdx= f 2 cosn;r¿r

B ( p , q) = P - l . P — ^ f x p- \ \ - x ) q+xdx

q + 1 a + 1 Jo

*'°

n ^ I - f 2«Pn" yiffr Jo

u =xp 3

1 -3- - ( « - 3 ) ( / l - l ) Jt 2 A . . ( w - 2)« - 2

2.4...(n-3)(n-l) Í X ^ - 2)n ’n impar y

n>1

"P“ y ” >>

Haciendo

du = ( p - 3 ) x p 4dx

a - x ) q+2 dv = (l - x) q+l dx => v = — c¡ + 2

268


4a - * r 2 d*

B( P, q ) = J L 2 ' P z 2 ' P z l | V q +1

q

í + 2Jo

269

Integr al Defi nida

donde m es el valor mínimo absoluto y M es el valor máximo absoluto de la función f(x) en el segmento [a.b]. El particular cuando y(x ) = 1. se tiene:

continuando con este procedimiento se llega B( p , q) = (P + q-l) '

1609

Expresar^

/"'"1

por

medio

de

B

(func.ón

Beta)

la

... (2)

m ( b - a ) < I / (x)dx < M (b - a)

integral

De (1) y (2) se puede sustituir por sus respectivas igualdades equivalentes.

=J0sení” XC0S” x dx ’ Si m y n son números enteros no negativos. Desarrollo

f( x) y/ (x )d x = f ( c ) í iff( x)d x y j* f ( x ) d x = f{ $ ) ( b - a ) donde c y Ja *a Ja ¡;, son números que se encuentran entre a y b.

f

Sea / = sen 2 x => l - t = c os 2 x dt = 2 sen x. eos x dx => dx = ~ ___ — © para x = 0, t = 0 ; x = -

t=

2

1— |Ch f ( x ) d x se llama valor medio de la función f(x) El número u = — =-----I b-a Ja en el segmento a < x < b.

1 m

tt

n

In, m= i 2senmx.cos" x d x = f — ^ ~ tÍ í dL

Jo

1f * m~* = 4 1 t 2 2 Jo

5 .6 .

Jo

.(1

-

-

1610

2 / 2(1 _ 0 2

«-1 2

2

í X3dx J-i

b)

r x eos x d x Jo Desarrollo

TEOREMA DEL VALOR MEDIO (T )

Determinar el signo de las integrales siguientes sin calcular las: a)

2

VALOR MEDIO DE LA FUNCION.-

a)

Graficando f ( x ) = x

ACOTACIÓN DE LAS INTEGRALES.Si f(x) < F(x) para a < * < b, se tiene f f ( x ) d x < f F( x) dx ; Si f(x)

Ja

Ja

y vj/(x) son continuas para a < x 0, se tiene: w j y / ( x ) d x < j f (x ) y /( x ) d x < M j

y( x )d x

...( 1 )

Luego I x d x , tiene signo más (+).

r

c)

f 2n sen x

Jo

------

x

dx

270

Eduard o E spinoza Ramo s NO TA :

Para determ inar el signo de la integra l sin calcular, se hace el gráfico en el segmento indicado.

Desarrollo V x e [0,1] => x 2 < x , luego x 2 se n 2 x < Jrsen '2 x

La región de la parte superior del eje X es positiva, y la parte inferior del eje X es negativa.

b)

271

Integ ral Def inida

tomando integrales

I x 1sen ~xdx x 2 > x , de donde e x ~ > e x , integrando de 1 a 2 J ex dx > J exdx , luego el primero es mayor. Hallar los valores medios de las siguientes funciones en el segmento que se indican.

para c) tiene el signo mas (+). 161!

Determ inar (sin cálculos), cual de las siguientes integrales es mayor.

1612

f ( x ) = x 2 , 0 < x <

1 Desarrollo

a)

í yj 1+ x" o j" xd x

Jo

El valor medio de la función es:

Jo

Desarrollo X3 !1

V x e R , \+ x2 > x 2 ; yjl + x 2 > x tomando integrales

b)

Jo

x~ sen 2 xd x o

I \j\ + x~dx > f x d x . Luego el primero es mayor

Jo Jo

x sen 2 xd x

Jo

1 I f ‘ x l dx = u = ----3 lo 1-0 Jo

i

3

1 f* u = ------ I / (x)dx , luego: b —a J a i

u = — 3

i r u = ----- f (x ) d x b-a ja f* Iff 1 1 u = ----------- I (a + ¿eos x) dx = — (ax + bsenx)I 7C-(-7t)J-„ 2 k \-n

272

Eduar do Es pinoza Ram os H= -í-[(OT + 0) - (-flTT + 0)] = — 2n 2 k

1613

273

Integral D efinida sen4x 1 f ’rl-c os2 x + 2cos 2 2x dx, = —1 (. x- se n 02x + x—+ — -—) . . i r1 4 4 k 2

8

“ Jo

f(x) = a + b eos x, -7t < x < n „=j_w, 4n

Desarrollo El valor medio de la función es:

1616

u r (a +bcosx )dx

L f ‘ / (x)dx, luego »-
n - ( - n ) J_„

0+ í + o ) = ^ 4 2 8?r 8 ^ <ÍX

Demostrar que la integral í

Jo j 2

está comprendida entre

+x -x 2

~ = 0.70 s[2 Desarrollo

1

1

9 u = -- (a x + b senx) = — {(a +0 ) - ( - a n + 0)] = — . Luego u = l-jt ¿Tt 2n 1614

I*

1

f (x) —sen í x , 0 < x < n Desarrollo E! valor medio de la función es:

1 f

1 i I s, u = ------sen x dx

b -a Ja

n Jn

1615

2 + x - x 2 = — ( x — ) , para x e [0, 1] => 4 2

1 7r 7r'"2

=*

-

=* 4 s - ( t4 ,2 s o

„ - I + £ < £ - (¡t- I ) i < 2 =, 2 S í- ( x - i , » S i 4 4 4

1 r El valor medio iio de la función es: u = ------ f ( x ) d x . Luego sse tiene: b-aja ir* l CT ii = ------ | sen 4 x d x = — I f I ^ ¡ 2 x j , dx * - O j 0 ffJ 0

2 4 .

4

2 4

=> 2 < 2 + x - x 2 < — => V2 < yj l + x - x 1 < ^ 4 2 ¿ — —¿X< |

V2

dx

3 loJo y¡2 + X - X 2 - < f

dx

3 Jo v2 + x —x^

2

Jo 3

,

dx

..... = < | —7= Jo -\/2 + x —x 2 Jo x/2 .. .

< x ■' V2 I0 <_L

V2

1

luego la integral [ , ^

■ esta comprendida

Jo v2 + x -x 2

entre —= 0.67 y —= = 0.70 ahora el valor exacto es: 3 V2

27 4

Eduar do Esp inoza Ramo s x -= arcsen(——

r - r f i ^ . Jor

I

"0\2 +x -x

Desarrollo = arcsen(——-)|

Se oonoce que: -1 < cos x < 1 ; -3 < 3 eos x < 3 7 < 10 + 3 eos x < 13 ; — < ------ ------- < 13 10 + 3eo sx 7

1 1 1 = arcsen(-) - arcsenf— ) = 2 arcsen. 3

3

3

r 2Kdx

2n

•i

i,

Desarrollo

1620 V x e [0,1] => 0 < x < 1 => 0 < x 2 < 1

1618

4 < 4 + x 2 <5 => 2 < V4 + x 2 < Vs

Jo

Jo

G [-1,1] => -1 <

f 1 dx

Jo

X <

f ‘ dx

Jt_

0
1 £

A-3 + 8

<7

f 1 dj

1621

Jo

_______ _______ ;luego: 0 < I < —

32

Jo

9

n_

2 lo 2 _2

32

n i4

11 .1

X

Desarrollo

dx. < £ [ x* j 12 I* , s f, _ ;*----< —I 91i -ii J- i!xxj3+8 7 1., +8 7|_,

Jt

2n ^ ^ 2n

Desarrollo

Jo

»-

1

Luego:

1619

K j 4 xy jtg x dx Jo

n_

- l < x 3 < l => 7 < x 2+8 <9 =>

2 re

2n

0 < í 4 x^tgxdx< í 4xdx ; 0 < | 4 x^tgxdx < — |4

Desarrollo X

dx

0 < x^ tg x < x tomando integral

dx í , 8+ x 3r Si

„ r K dx

Como la función crece monótamente 0 < ^/tgx < 1 para x e [0 ,^:

í 2dx< í \¡4 + x 2 < f \¡5 d x . Luego 2 < 1 < \f s

Jo

dx

— 

r n

Luego tomando integrales se tiene: I — < ------------- S J0 13 Jo 10 + 3cosx Jo y

Acotar las integrales:

1617

275

Integ ral De finida

dx

10 + 3eosx

f 21 < dx f 9 9 jJ_i xJ +8

2 7

V2 1 „ , 2 , 2 forma a los demas —< 1< — => —< J — ------- < —. Por lo tanto: En—< /< análoga — 97 1622

r • 200n eos x Integrando por partes, demostrar que: 0< j ------ dx < Jilooít x ejercicio 1609, por tanto dejamos para el lector.

100;r

análoga al

27 6

Eduard o Espin oza Ra mos

277

Aplica ciones de la Integr al Defini da

C A P IT U L O V I

▲y Y = f 2(x)

6 . _____ A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A

Y= f1(x)

6.1. __ AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS.0

Para a < x 0, que es Ja el área del trapecio mixtilíneo, limitado por dicha curva, dos verticales

S = f i¡/(t)(p\t)dt, donde tx y t2 J'i

en los puntos x = a y x = b y el segmento a < x < b.

se determinan de las ecuaciones: segmento [tx,t2] (2 )

a = tp(t i) y b = (p(t 2) (tp > 0) en el

AREA EN COORDENADAS POLARES.Si la curva continua, se da en coordenadas polares por una ecuación r = f(\|/), el área del sector AOB, limitado por el arco de la curva y los radios polares OA y OB, correspondientes a los valores
B_ r En un caso más general, cuando el área S de la figura limitada por dos curvas continuas y = f ¡( x ) e y = f 2 (x) y p or do s v erticales x = a y x = b, donde / , (x) < f 2 (x)

278

Eduar do E spinoza Ramo s [f(V)]2dy/

1623

279

Aplica ciones d e la Integr al Defin ida Luego: para y = 0 ; l n x = 0 => x= l S = J y d x = ^ \n xd x = ( x l n - jc)|

Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4 x - x 2 y el eje de abcisas.

S = (e ln e - e) - (1 ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1); luego S = 1 u 2

Desarrollo y = 4 x - x 2 la intersección con el eje X es: para y = 0 => 4 x - x 2 = 0 ; x = 0 ; x = 4 como y = 4 x - x 2 => y — 4 = —(x —2) 2, es una pará bola

\

y = 4 x - x2 1625

Hallar el área de la figura limitada por la curva y= x(x - l)(x - 2) y el eje OX.

Desarrollo

= f y d y = f (4 x- x 2)dx = (2x2 Jo Jo

3 lo

= ( 3 2 -— ) - 0 = — 33

iLuego: c5 = 32 — u2~ 3

1624

Calcular el área de la figura limitada por la curva y = ln x, el eje OX y la recta x = e.

Desarrollo Hallarem os la intersección con el eje X de y = ln x.

4

11

v4

12

5 = (------ x ' + x H + (------+ x3- x 2 ) 4 lo li 4

280


S = ( I - l + l ) - ( 0 ) + ( J £ +8 _ 4 ) - ( - I + i - i ) 4

1626

4

281

Aplic acione s de la Int egral De finida

.•.5 = i + I = I = I ¡<2

4

4

4

2

2

Halla r el área de la figura limitada por la curva y 3 = x , la recta y = 1, la vertical x = 8.

Desarrollo

1628

Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje OX, n las rectas x = —

3

Desarrollo

,i y = tg x

Y J y 3 =

-V

y = 2fx

A ( y - l ) ¿ x = J ( < / I- l W x = | j c 3 | X- x j 8

/ t í l S S= 2(16-1)-(8-l)= — 4 4

1627

- i 4l ;

lueeo:

S

4

/

u2

-

í

y d x =

r

Jo

2

1629 sen x dx = c o s J = - (eos 71- eos 0) = lo

Por lo tanto: S = 2 u 2

—

S =-(ln —-lnl ) = -( -l n2 ). Porlotanto: 5 = ln2M 2

Desarrollo

Jo

c

r X

= Jo J 3tg xd x = ln(cos x)|lo’ = -(l n( co s^3) - ln(cosO))

Calcular el área de la figura c omprendida entre una semionda de la sinusoide y = sen x y el eje OX.

'=

s i l | X j

i i i 1 K 2

-(-1 - 1) = 2

Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX.

Desarrollo El grafico de xy = m

es:

xy = m 2 , los

282


283

Ap lica cio nes de la In teg ral De finid a = 0 - a 2 arctg(-°°) + a 2 arctg(°°)-0 = 2 a 2arctg(°°) = a 2n

S

por lo tanto: 1631

O O S =a~K u~

Calcular el área de la figura limitada por la curva y = x 3, la recta y =

8 y el

eje OY. Desarrollo 3 El gráfico de y = a es: y

/y =

I I 0 0 <

/ y

S - m" (\n?>a - \n a) = m2 ln 3 porlo lanto : 1630

S = w 2 ln 3 « 2

/

Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi. y =

Como y = x

x 2 + a 2

y el eje de abcisas. Desarrollo

5=

El gráfico de y = — ------ es: x 2 +a 2

J—

f J-~ a +íz

S = lim i — a

a~’~™Ja x~ + a

1632

X

=> x = ^Jy

~3 -I 4■8 3 f .8 í*8 r8 Aífv= l [ y d y = - y 3 \ = - ( 1 6 - 0 ) . Jo Jo ' 4 ’ lo 4

Por lo tanto: S =

Desarrollo f ”_ f L . A+ J ^ x +a Jo x~+a

Y , y-, = 7 2 px L _ ( 2 p , 2 p) x f /

2 dx + lim f - - ^ É L = lim arctg— I + li m a arctg-

o X +13“

a-»-«

aV™ (a atcíi=¿7 a ~arctg(G))+ lim (a 2 a r c t /] g - - a 2 arctg(O))

12 u ‘

Hallar el área de la figura limitada por las parábol as y “ = 2p x y x~ = 2py

^ ^

0

X2

2p

X y2 = 2 px

284


285

Aplica ciones d e ¡a Integ ral Defi nida

Buscaremos la intersección entre las curvas y 2 = 2 p x , x 2 = 2p y como x X4 V

- 2 py =>

- Reemplazando en y 2 - 2 p x

•> 3 ' ~ ‘-Px => x ' =8 p~ => x = 2 p y x =

0 y = 2x - x2

p a r a x = 2 p = > y 2 =2 p x = 4 p 2 =*. y = 2 p ? x = 0 =>y = 0

f 2? r 2p 2 ( : V i = I ( y ¡ 2p x - — )dx Jo Jo 2n

* p 6

3jc2 r \ | 3 27 27 „ 81 -54 27 9 n „ 1 2 = (-----------) = ( ----- — ) - 0 = --------- = — = - . Por tanto: S = A - u ¿ 2 3 ¡o 3 3 6 2 2 6

0) 1634

„ _ 8 /r

3 1633

4 /> 2

4

,

Calcular el área del segmento de la parábola y = x 2 que corta la recta y = 3-2x

4

3 ~ ~ 3 P ' Porlotanto: S = ~ P u 2

Desarrollo Los puntos de intersección son:

Calcular el área de la figura limitada por ia parábola y = 2 x - x 2 y la recta y = -x

Desarrollo Buscaremos la intersección de: y = 2 x —x 2 , y = -x Luego: - x = 2 x - x 2 => 3-t-jc2 =0 => x = 0, x = 3 Como y = 2 x - x 2 => y - l = - ( x 2 - 2 x + l) => y - i = _ ( ^ _ i )2 Es un parábola de vértices V(l ,l ). Su gráfico es:

y = x 2; y = 3 - 2 x => x 2 = 3 - 2 x => x 2 + 2 x - 3 = 0 para x = -3, y = 9 ; x = 1, y = 1. Su gráf ico es:

x = -3 => x = l

28 6

Eduar do Es pinoza Ramo s S-J

[(3-2x)~ x 2]dx = (3 x- x2

)J

1636

x2 y = — -

Desarrollo Las intersecciones entre las parábolas son:

Calcular e! área de la figura comprendida entre las parábolas y = x 2 , y = — 2 y la recta y = 2x. Desarrollo

— = 4 - - x 2 => x 2 = 4 => x = - 2 o x = 2 3 3

Las interseccione s de las rectas y = 2x Con la parábola y = x 2 s o n *2 = 2* =* x = 0 o x =

Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = 4 - - x 2 3

>

$ - O 1 —) - ( - 9 - 9 + — ) = —-( -9 ) = —+ 9 . Por tanto S =—~u 2 = 10 K | > J 3 3 3 3 U 1635

287

Aplic acione s de la Int egral D efinida

4 4 Luego los puntos de intersección (- 2,—), (2, —). Su gráfico es:

2 4 - ^ x 2

x2

X 5 = [ ' ( 4 - - x 2 - — )dx= f ‘ ( 4 - x 2)d x

J -2

Luego los puntos de intersección son (0,0), (2,4), las intersecciones de la recta

^

^

J -2

*2

y = 2x con y = — son (0,2) y (4,8). Luego: S = S, + S 2 .3 |4

1637

Calcular el área de la figura comprendida entre las curva de Agnesi:

2

y = — —- y la parábola y = — . l +x 2 ~ ^ 33 -66 ^_ 0 + ( 1 6 - ^6 “ ^_ 4 _ ^6 =3 T 3+ T ‘ Po rta nto : S = — 3 =4 u 2

Desarrollo

288


ii

'= JoloÍ (ex ~<-e~x)dx = (ex +e~x )f

x ■ 1 Las intersecciones entre la curva y = ----- - y la parábola y = :— , son:

1+ *2

2

S

1639

= (e + e 1) - 2 =

Luego los puntos de intersección son: (—1,—) , (1,—) f* 1 x 2 S= (— r i — ~) dx = arctg J j - i l + x ¿ 2

+ -^- = 1 ; b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2b 2

a 2 b2

, Vb2x2- a2b 2 2 -y , 2 2 2, 2 a y = b x - a b ; y = ± ------------------

2

Io x 3!1 1 1 — ~ \ = arctg (l) —arctg (—!) —[—+ —] |_i 6 !_[ 6 6

„ C2a \lb2 x 2 - a 2b 2 J , b C 2 a r ^ a2dx 5=2 ---------------- - d x = 2 V* a ajn J a

5 = 2 a r c t g Q ) - - = 2~ - . P ortanto: S = ( - - - ) u 2 3 4 3 2 3 1638

portanto: S = ——— m2

x 2 y 2 Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola — + ~ = 1 y la recta x= 2a a~ b Desarrollo Como:

2

289

Aplic acion es de la Inte gral Def inida

S - — (—\jx2~-a~ln \ x + y[x2 a 2 |)j a 2 2

Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = ex , y = e~x y la recta x = 1 . Desarrollo

| 2a

S = —[ ( x j x 2 - a 2 - a 2 ln | x + x 2 - a 2 |)]| a

la

La región comprendida po r las curvas y la recta es: S = — [ ( 2 a \ ] 4 a 2 -

a 2 - a 2 [n (2 a + y ¡4 a 2- a 2

)) + In a 1

5 = —[2a 2V 3- a 2 l n( 2 a + a ^ )] = ab[2sj3 - ln(2 + 73 )]u2 a a 2

1640

2

2

Hallar el área limitada por la astroide: x 3 + y 3 = a 3

Desarrollo

290


291

Aplica cione s de la In tegral D efinida

3 2 f ^ r 1 - eos 49 + sen" 20.eos 2 9]d9

= 2 J„ [-

r _ 3 2^6 sen 29 eos 29

1641

Como las cuatro regiones son simétricas se tiene: pa

ña _ 2 _2 _3 5 = 4 >>ÉÍr = 4 | (a 3 - x 3 ) 2 d x. Sea x = a z 3 => dx = 3az 2dz Jo Jo

sen 32 9 1 2 _ 3 ^2^

3a~n ^2

Hallar el área de la figura comprendida entre la catenaria y = a cosh(—) , el eje a ü 9 OY y la recta y = — (e~ +1). 2e Desarrollo El gráfico de y = ac os h(—) es: a

2 2 3 5 = 4 JoIr*(a32 - a 3z2)23az2dz = 12a2 j Jo(l*»>- z 2)2z2dz z = sen 0 => dz = eos 0 d0 para z = 0 =* 0 = 0 ; z = l

K => 9 =■ 2

^

r 1 f3 3 S = 12a25 I ((1l-- z 2)2 z2dz = z)2(sen z.cos zd z) 2)2z2dz = 12a 12a 2 iI " ((1-sen 1 - s e n 2 z)2( Jo Jo K

*1X 2 4 Z _r i o Z 1 0..1"^ CO S20 5O -1 120 « Z2 IIí ¿“ cos z.sen“ z d z a I ( )(------------ )d , 6. ----------- 12 eos4 z.sen 2 zd z = 12 2 f ^ ( — Jo Jo

' = — a

2

2

í 2' (sen 2 29 + sen 2 29.cos29)d0

Jo

-r* 1 it 1 _ a re 2 + 1i ~* J a £ 2 .+1 _i S =■— í—----- x - a e a +a e a ]\ = —[a - a e + a e + a - a J lo 2 2 2 e

,

a r e2 + l 1 a 2 e2+l 1 a" 1 1 2a~ 2 -i S = - [ ------ - ~e + - ] = — [----------- e + -] = — [e + — e +-] = —- = a~e e 2 e e 2 e e 2 e 2e Por tanto:

S = 2a2e

1u

292 1642

Edua rdo Es pinoza Ram os

293

Aplica ciones de la Integr al Defi nida

Hallar el áreadela figuralimitada por !a curva a2y2=x2(a2-x2) Desarrollo

Com o la curva es simétrica, se tiene: y = ---- (2 5 - x 2) 2 luego: ' 125

Sea x = 5 sen 0 => dx = 5 eos 0 d0 Para x = 0 => 0 = 0 ; x = 5 => 9 = —

2

i6 r5 — i6 r l — S = — (25-A:2)2d x = - — (25 - 25 sen 2 9 )2 5 cosí» d9 125 Jo 125 Jo

Como la figura es simétrica y = ± — yja 2 - x 2

a

4l

y dx ~

~ Va ~ ~ x d x . S ea x = a sen 0

dx = a eos 0 de

= 80 f 2 eos 49 d9)\6x 5 = 80 í 2 ( ^ ^ - ) 2d9 Jo Jo -

K S = 4J ' senQyfa2- a 2 sen2 9 a eos 9 <19 = 4a 2 f 2 eos 29 sen 0 dO

a

—

Jo

= 20 í 2 (1+ 2c os 29 + eos 2 29)d9 = 20(9 + sen 29 + - +

Jo

2

= - | a 2cos30|2= - l a 2(O-l) => S = i aV J lo 3 3 1643

Calcular el area de la figura comp rendida dentro de la curva

Desarrollo

8

2 lo

n = 20(— + sen 29 + 2

(~)2 + (2 ,3 5

4

1644

8

2 = 20(— —0) = 15tt por lo tanto: S = 15* u 2 4 lo

Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola equilátero a 2 - y 2 = 9, el eje OX y el diámetro que pasa por le punto (5,4).

Desarrollo Y


294

m = — => y = - jc ; la intersecci ón es: x 2 - — x 2 =9 => 9x 2 =225 =¡>x= ± 5 5 5 25

295

Aplica ciones de la Integ ral Def inida

1646

H all ar el á rea de la fi gu ra li mit ad a p or la c is oi de y x = 2a, (a> 0).

2 ay - x

su as ín to ta

Desarrollo

como la curva es simétrica se tiene: -52) = 2lJ ~a.ííx: + J j x - y j x 2 - -9 )dx] í

|3

5 = 2(— + — 15- [ - j x 2 - 9 - -\ n [x + J x 2 -9]]|5) 5 lo 5 |3 2 2 |3 1O

1O

Q

O

5 = 2f(— + 10 ---- )~(10 — ln9) — ln3]. Por tanto: S= 91 n3 « 5 5 2 2 1645

~

Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = —, el eje OX y la recta x = 1, (x > 1 )

Por la simetría se tiene: /»2a

— - — dx = 2 lim j 2a-x

Desarrollo

Hallamo s la integral

f \~~X ~ } X\ 2 a - x Sea z r

5 = i " y d x = Ji

= limp^=lim--r=lim¿-l) Ji x*-x”Ji x b-*°° -xli í’~>“ b

S = -(0 - 1) = 1 por tanto 5 = 1

f I x J 2a ~

- [ z 2-z-2zdz >/2a - z 2

J

d x'

Se3 * Z ^ d x 2 z á z

? f Z*dZ J ^ 2 a - :

7\¡2asend => dz = \l2ae os9 d9 ~

f

di

74

x J - ^ - d x \2a x

f 4a 2 sen 49.y¡2a cos9 dO

f e r 2J— ^

296


297

Aplic acione s de la Inte gral De finida f 2 fl

= 2a2f (1-2 eos20+ eos226)d6 = 2a2(- -- se n20 +—— ) J 2 8

= 21

Jfl

í«V2 a ( x - a ) —¡ = = d x = 2 | y ¡ 2 a - X ' Jy fZ

(z 2 - a) - ¡ = L = 2 z dz \¡ 2 a - z 2

*2a 2-£

como 5 —2 lim1 I

£-»°J •*Joo

x. j--------dx cambia ndo los limites se tiene: \ 2a - x

S = 2.2a2 ( ^ - sen 20 + 2 por tanto:

8

A = 4

2 = 4 a 2( ^ - 0 ) = 3 a2*

J.■Ja

sen 0 =

lo

: = V ía sen 0 derivando se tiene: dz = -Jla cosOdO

\¡ 2 a

I — sen = —¡=, u = — 1 Tí z = \¡a, 0

S = 3a2n u 2 tg 0 =

1647

... ( 1 )

v2a -

Hallar el área de la figura comprendida entre la estrofoide su asíntota a > 0.

y 2 = — —— , y 2a - x

2

-¡2 a - z 2

= 4 f

Desarrollo La grafica de la estrofoide y 2 = ———— 2 a —x

V 2

tt

z = V2 a, sen0 =l, 0 = —

(72 - a) z —

es:

4

-—

t

=4

| 2 (2asen 20-a>'/2asen0.tg0.\/2acos0d0

71

„ „ „ l - c o s 20 eos 20 -1 ) ------------ dO

A = 8a I ( 2 s e n ~ 0 - a ) s e n 0 d 0 = 8 a

'J ¿

4

n

«4-

eos 20( 1 - e os 29)d9 = 4a

-eos 40

- e o s 2 0)d9

X A = 4«*<® _ ü í i i _ 2 2

.v = (. x - á ) - ¡ J L = ; V2a - x

sea x = z 2 => dx = 2zd z, para x = a, z = 4 a ; x = 2 a= > z = y¡2a

J í = V [ ( í -- 0) - ( | - 1)] I* 4 8 2

A = a (—+ 2)m

2

[ 2a (x-a) 2va ( ■J 2 a

2

1648

Calcular el área de las dos partes en que la parábola y = 2x divide el circulo X2 + y 2 = 8 .

Desarrollo

298

Eduar do E spino za Ra mos

299

Aplicaci ones d e la I ntegra l Defin ida

1649

Calcular el área de la superficie comprendida entre la circunferencia x 2 + y 2 = 16 y la parábola x 2 = 12( y - l ) . Desarrollo

Buscaremos los puntos de intersección x 2 + y 2 = 8 x 2 + 2 x - 8

= 0 => (x + 4) (x -2 ) = 0 => x = 4 o x

=2

Buscaremos los puntos de intersección: jt 2 + y 2 = 16 => .v2 =16 - y 2 => * 2 = 12( y - l )

Luego x = -4 no se toma en cuenta, por tanto los puntos de intersección es: (2,2), ( 2,-2), por la simetría se tiene: -

r 2 B =

Jo

v>

.y ¡2 _____ r 2'/2 -2 +j ydx ] = 2[J s¡2xdx + j y j s - x 2dx

=> 1 6 -y 2 =

12 _y—12 => y2 +12 y-28 = 0

de donde y =

2 => x = ± 2y¡3 ; por la simetría se tiene:

ir 2>/3

b

= 2 í ^ | í i | ! + ( £ V ¡ r 7 + 4 arcsen^ =)| 2V' ] 3 lo 2 2V2 I2 !

B = 2[—+4arcse n(l) J

5 =2

3

- -------------

S = 2 l 2 j 3 + - - - S ] = —

3

3

3

|2>/3

3

3

- - S = ( - ^ - - V 3 )u2

3

3

3

. 16 4 /— 32 4 rr 2 2 para la parte A se tiene: A = x r - s = lb 7t - ( — n — V3) = (— n +—\l3)u 3

para la parte A se tiene: A = n r 2 - B = %n - (2n + - ) = (8n -2 n - - ) u 2 3 3

1650 Por tanto: A = ( 6n - - ) u 2 3

2

.

(2 + 4arcsén 4= )] = 2[ - + 2 n - n ] = (2* + - ) u 2 V2

Jo

.-------------

[V1 6 - x 2 ------------------------ \]dx = 2[—V16 —jc2 +8arcsen--a]| 12 9 4 36 lo

3

3

3

Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = a eos 3 1 , y = b sen 3 1 .

Desarrollo

)0

Eduardo Espino za R amos

Aplic acion es de la Inte gral De finida

301

y/(f) = a cos 3 1 => para x = 0 =* i, = —

* sen 2í I2* 2fa , , 2 x . 2/ o S = a I (l-2 eo sí + eos t)dt = a (t- 2s en t + —+ -------- )| Jo 4 lo 2

=> x = a => t 2 = 0 => \¡t(t) = b sen 3 r

sen 2r | 2,r „ 2 _ 2 3í „ „ „ 2 2 5 = í j “ (------ 2se ní + -—-— )| = a ( 37T—0) = 3 a n . Por tanto: S =3a~n u"

como y/(t) = ac o si t

y/' (t) = -3 a c o s 2 t . s t n t d t 1652

. C 2 <*° i//(/).v/'(Od/‘= 4 | ¿>scn f(-3a cos t.sen t)dt

5=4

Hallar el área de la figura limitada por una de la trocoide x = at - b sen t; y = a - b eos t,

(0< b < a) y la tangente a la misma en sus puntos inferiores. Desarrollo

«Q * ^0 5 = - 12afc f sen 4/cos 2 i Ji = — y - I s en 22r(l - cos 2i)df

2

Como x = (p(t) = at - b sen t

2

x = \j/(t) = a - b eos t

o , 3ab ,t senAt sen 32/!° 1 i- c o s 4 í (i— 12 _ _ _ Sen 2 t. cos 2 t)dt = — — [ - ----- ----------— I 7T

2 J"2

3abr„ n , 2 4

2

2

*

"

3o/?*

2

8

6

"2

c 3abn 2

5 = ------- [0-----] = ------- por tanto: 5 = — - — u 651

8

8

Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide: x = a(t - sen t ) ; y = a(l - eos t). Desarrollo Para x = 0 => /, = 0 ; x =2na => t 2 = 2 n

S = j \ff{t)\¡f\t)dt-A\ hallaremos: f, y t 2 J',

Como: \|í(t) = a(l - eos t)

0 = y/(tl) = atl -b se nt l =>

V|f(t) = a(t - sen t) =* y/' (t) = ( a - a e o s t ) d t C2rc

5=J

l C2” 2 o(l - eos t ) ( a - a eos t)dt = a 2 j (1 - c o s t) dt

0 = a/, -bse nf,

2 aK = 2 an = at 2 - b s e n t 2

como la tangente en los puntos inferiores es paralela al eje X decir:

=> y '= 0 , es


302 y'z=\fi'(t) = -b s e n t = 0 => /, =0 enx = 0

-i

y'= y/ '(?) = - b sení = 0 => t 2 = 2 n en x = 2na. Luego:

S = 8a | (sen t - eos t sen /)(2 sen t eos t - sen t)dt í

i»2 jt 5= I (a 2 - 2 abeo st + b2 eo s2 t ) d t - 2 a2n + 2 ab n

f° 5 = 8¿r I sen /(l-cosf )(2c os/- l)df = - 8a 2 j sen / ( l - 3 c o s f + 2 cos“ t)dt Jjl

Jo

í

_

. 2 „ , ¿>2 sen 2 f.|2,c - 2 . S = (a t - 2 a b s e n t + — + ---------- ) - 2 a +2abn 4

„ 2,3r senícosf „ 2/ft 3?r. , 2 2 3 sen2f eos2r /° 5 = - 8a 2(------------------------------------------------------------------------------- sen í -- ) / = 4 2 /* 4 8

lo

S = 2a 2n + b 2 K - 2 a 2n + 2ab n portanto: S = n ( b 2 +2ab)u 2 1654

1653

Hallar el área de la figura limitada por la cardiode x = a(2 eos t - eos 2t);

a (2 sen í - sen 2í)a( 2 sen 2t - 2 sen t)dt

r° = 2a 2 i (2 sen t - 2 sen t eos t )(4 sen t eos t - 2 sen t)dt

f 2* S = { \ f ( t ) ( p \ t ) d t - A = I ( a - b e os t ) ( a - b e o s t ) d t - ( a - b ) 2 K Jo J'i

2

303

Aplica cione s de l a Inte gral D efinida

Hallar el área de la figura limitada por el lazo del folium de descartes 3a/ 3at 2

y = a (2 sen t - sen 2t)

Desarrollo

Desarrollo S=

y/(t)(p'(t)dt , donde y = y( t), x =
3at 3at siendo \¡/(t) = ------ — y
S = f y/(í)i// \t)dt donde \j/(t) = a (2 sen t - sen 2t) J»,

\j/(t) = a (2 cost - cos 2t) ; y/' (t) = a (2 sen 2t - 2 sen t )


304

3a?

305


3a(l-2í )

S = 2 .— f r 2dy/ = f [a(l + cosi^)] 2í/i/^ 2 Jo Jo

Como: 9 (0 = -— j => V (0 = n <3" i + r (l + r )

5 = a 2J (l + 2 cosy/ + cos 2 \¡/)d\¡/ = a 2( ^ + Jo

(1 + í3)

por tanto:

S = 9 a2[ f ” — ^ y y ¿ / - 2 f 4 ± Í T íÍí1 Jo

(1+ f3)2

Jo

(r3+l)3

1656 S=9a¿[-

l+ rr3) 2(1+ r 3)2 3(1+ ) 7/ 0o

S = 9a2(—) = ^ — por lo tanto: 6 2 1655

2 sen 0 + sei^~ ^ ) j

Jo (1 + f )

_ 3a 2* S = -------

1

2

Hallar el área comprendida entre la primera y

segunda espiral de

Arquímed es: r = avy

9a 2f 0 - [ - - + - ]]

2 3

Desarrollo De acuerdo al gráfico se tiene:

S = ^ —u~ 2

Halla r el área de la figura limit ada por la cardioide r = 0 (1 + eos \|/)

Desarrollo •P Se conoce que : 5 = 1 f r d y , dond e r = f(\|/) 2 Ja

1 f 2*

El gráfico de r = 0 (1 + eos vj/) es:

S = —

2 Jo

(r22 - rf )d\ff , donde r, = a y/ ; r 2 = (y/ + 2*)

1 f 2,1 S = —I ([a(i//+ 2*)]2 - a 2\¡/ 2 ]d\f/ por lo tanto: 5 = 8 a 2* 3M2 2 Jo

1656

Hallar el área comprendid a entre la primera y segunda espiral de Arquímedes: r = ay

Desarrollo

De acuerdo al gráfico se tiene:


306

Aplic acion es de la Inte gral Def inida a2 , sen4w / t = — (v^ + 2 4 /o a

( r 2 - r 2 )di¡/ , donde r, = a y ; r 2 - (y + 2 n)

S=- f

2 Jo

1658

K

307

2 ¿r/t

2

8

Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 4i^ Desarrollo

s= I

Jo

( 2 a 2 y/n + 2a 2 Jt 2 )d y = {a 2 y 2K + 2 a 2n y ) j ^

por tanto:

2

3

S = 8a K u

2

= 4.—f 2 Jo

1657

Hallar el área de las hojas de la curva. = - 2 a 2(—

Desarrollo De acuerdo al gráfico se tiene:

4

1659

4

) = a 2 por tanto:

S = a 2u 2

Hallar el área limitad a por la curva r = a sen 3\|/ Desarrollo


308

5 = —.3 f 3 r 2dy/ = —f 3a 2 sen 2 3t//dy/ = - a 2 f

2 Jo

2 Jo

2

Jo

3(1 L°S ^ -)d\f/ 2

3a 1 , sen 6yr 3a2tn _ = -----(w ---- —) / 3 = ----------(-----0) . Por tanto: 6 / 0 4 3 4 1660

309

Aplic acion es de la Inte gral Defi nida

„ a2n 2 5 = ------u 4

Hallar el área limitada por le caracol de Pascal r = 2 + eos \|/

Desarrollo El área es el doble del área desde 0 a tc,

luego

5 = 2.—I r 2d\)f= I (2 + cosif/)2d\f/ =I (4 + 4cos y/ + cos? 2 Jo

Jo

1662

Jo

Hallar el área e la figura limitada por la elipse

r=

1 + ecosi^

,

(0 < e < 1)

Desarrollo w sen 2u/ i n _ = (4w + 4senu/ + —+ ------ —) / . Por tanto: r r 2 4 / o 1661

Hallar el área limitada por la parábol a

9 S = — ttm~ 2

r = a sec*

?

_

1 | *2 2 .

y * '= 2 ; S = 2 j í

4

Desarrollo

f 2 r 2d\¡/ = 2 f 2

5 = 2/?

— -— ■ —

1663

2

------

--------- d y

Jo (1 + ecosyO

2 Jo

* y las sennrec tas W ~ ~

n 71

5=4.-

dljf

1o(1+ecosr)

,

Ttp

integrando se tiene: 5 = --------- - u

2

(1+e2)2

Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 3\|/ que esta fuera del circulo r = a Desarrollo

Eduardo Espino za Ram os

310

Aplica ciones de la Integr al Defin ida

Sean r, = 2a eos 3i¡/ y r 2 = a

5

©

n £ = 6. - f 6( r 2 - r 2 )d\¡f = 3 j*^ (4a 2 eos 2 3 y - a 2 )d\¡/

2Jo

LONGITUD DE LA CURVA DADA EN FORMA POLAR.Si r = V|/(9) es la ecuación de la curva en coor denadas po lares r y vj/, la longitud L del arco es:

Jo

'

2

L - I \Jr2 + r ,2d y

Ü TC u 2 por lo tanto S = ----2 1664

J a ________________

Hallar el área limitada por la curva

donde a y P son los valores del ángulo polar en los puntos extremos del arco.

x 4 + y 4 = x~ + y " . Sugerencia: pasar a

coordenadas polares; por tanto 5 = K\¡ 2 u~

6^2.

1665

LON GITU D DE ARCO DE UNA CURVA .©

311

LONGITUD DEL RECTANGULARES

ARCO

EN

Calcular la longitud del arco de la parábola semicubica y 2 = x 3, desde el origen de coordenadas hasta el punto, cuyas coordenadas son x = 4; y = 8. Desarrollo

COORDENADAS

Consid eremos y = f(x) una curva, la longitud L del arco de la curva comp rendida entre dos puntos x = a; x = b es:

L = í x/l + y' 2dx ____ Ja __________ ©

LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA DADA EN FORMA l'ARAMETRICA.Sea x = \|/(t), y = vj/(t) ecuacio nes de la curva en forma paramétrica , la longitud L del arco de la curva: L = f V Í T y ¡ d x = Jo

L = ( yjx 12+ y ,2dt ____ ¿í, ____________ donde r, y i, son los valores del parámetro correspondiente a los extremos del arco.

1666

Jo V

4

=

27

4 X

/ 4= ± (io S ó -i)

/ o

27

Hallar la longitud de la catenaria y = acosh (—) desde el vértice A(0,a) hasta a el punto B(b,h). Desarrollo


312

f V* + l , £ ) = a(£l ± f_ l) de donde e '

313

Aplica cione s de l a Int egral Def inida

+ 1 = 0 , despejando

f z l z d z

) ^ r d x - ) w

f z 2dz

r r 2)

^

z = see 0 => dz = see 0 tg 0 d0 4y 2

2 y.

,y + E -* = ,ln(— a

-4

Z

f see d.secB.tgOdG f 3 Q ,a I ------ = ........ . ----- = I see 0 du , integrando por partes J Vz~ — 1 J Vsec 20 - 1 J C z dz

y ± \¡y 2 -<■

-

x = aln(

.)

y+

■= |

J & -J 1

a

dx

a

dy

^ y 2 - ó 2

t d x s2 W dy

^

a y2 - a 2

OdO = —[ln | see# + t g0 | + tg 0 .sec0 ]

f - 5-^.... = l[l n |z + Vz 2 - l | + z V z 2 - l ]

(2)

2

JV ¡ M

reemplazando ( 2) en ( 1) se tiene: í f W

dy ‘ 1 f ^

d y = 1

5

dy

v

J

'V-jf + 1

dx ~ 2 J

r *2

= ln | z + Vz2 - 1 1+zVz2 - 1

= V ^2 - a 2 “ O lo ng it ud L = \ h ~ - a 2

1667

j* ~ j = J - d x = ln|V *+ l+ Vx | +Va.V* + 1 j

Calcular la longitud del arco de la parábola y = 2 ^ desde x = 0 hasta x = 1.

Desarrollo

L = f -

Jo V*

=■

dx = (In | yjx + \ + \l~x | +\¡x.yjx+ 1) /

o

y '2

Por lo tanto L = V2 + ln(l + V2)

2

I

I l ^ X d x fx

1668

Calcular la longitud del arcó de la curva puntos ( 0, 1) y (l,e).

f‘VITÍ calc ulando | — — j= — d x , se tiene z Jo V* Vi '

x +1

Desarrollo

y = e x =* y'- e* => y'2= e 2jr

y = e* , comprendido entré los


314

315

Aplic acione s de la Inte gral Def inida y = ln x => y , =1 - => >' ,2 = —1 x x

+ e2x dx calculamos J \f\ + e2xdx para es to z 2 = \ +e2x => zd z = e 2xdx pero l +e 2 x = z 2 => e 2x = z 2 -1 Luego zd z = e2xdx = ( z 2 - l ) d x de donde dx =

z dz

z2- 1 para es to x = tg 9 => dx = se c 2 9 dO N x ~ + l . f yjtg2 e + l f 2 --------- dx = - sec 6 dd = I sec d.— J x J tg 6 J

I -- 1 . y]e2x +1 - 1 í, 57 1. +1 -1)“ = Vl + e2* + -ln ■= = = — =V l + e2x + —ln------- ^ -------2 V ¡ ^ +1 2

3 C°S0 dd sen 9

_ f sec 0 ^ _ f (cosccq + tg£ sccd)d 9 = ln | cosec 0 - ctg 9 |+sec J sen# J ex , . y]\ + x 2 1 . r j ,n/i + jc2- 1 í. = l n | — ---- - — I+VI + a: = ln -------------- + Vl + x x x x

L = J yl \+ e2xd x = [y¡l + e2x + ln ^ e ^ ~ ~ ]/Q

L=^

+ 7 +

L = í JÍ J M

y¡ 2 - ln(V 2 - 1 )

e

0

L = ^ - J ~ 2 + t a Í ^

NO TA : in ^

1669

- ^

^

>/2+1

M e ^

1

i

£

1

= l n ^ + ln v/3 + l = l n ( ^ ) + l = l + - l n V2 2

i n - J — = -l n( x/ 2 + l) v 2 +1

Desarrollo

X

L = (ln-yr + 3) -(ln -r +2) = ln-7= + l + ln>/3 v8 V3 v 2

±2

Hallar la longitud del arco de al cuya y = ln x desde x = \¡3 hasta x = -s/8

dx = lln

X

1670

2

Halla r la longitud del arco y = arcsen e”* desde x = 0 hasta x = l .

Desarrollo

2

9


31 6

y = arcsen e

=> y = — f=> y

_ 757 ,2 =-—

317

Aplic acione s de la Inte gral De finida

•e - 2 . 1

-2 1 4 2

r« e2 1 1 e2+l 2 4 4 / 11 4

L = f 2 _ t l ^ = ( 2L + I i n y ) r = -

** * I - * '

Ji

1673

22yy

Hallar la longitud del arco de ^ ^ r 2

la

curva

derecha de

tractriz

2"

x = -â 2 - y 2 + o ln | ——— ---- — | desde y = a hasta y = b (0 < b < c.) y

= f ' eX
1671

1

-1 [ / ’ = ln(é’+ V ¡ M ) - l n ( l + 0) = ln(e + V ¡M ) 'o

Calcular la longitud del arco de la curva x = ln sec y, comprendido entre n = 0 a y = —

y

3

Desarrollo x = ln sec

L =

y

dx sec y tg y => — = ------------= tg v dy sec y

n_ _______ it _ J l + ( ~ ) 2 d y= f 3 n/i + tg 2 yd y = í sec y dy Jo V dy Jo Jo

a = ln(sec y + tg y ) j 3 = ln (2 + \¡3 ) - ln 1 = ln(2 + >/3)

1672

1 2 1

Hallar la longitud del arco de la curva x = —y* - —ln y desde Desarrollo _ 1 2 1 J‘ _ 4 'V ~ 2 n y

^

dx y _ 1 _ d y _ 2: 2y

dx _ y 2- 1 dy~ 2 y

y = 1hasta y = e

Desarrollo

318

1674



31 9

Hallar la longitud de la parte cerrada de la curva 9ay 2 = x ( x - ' i a ) 2 . , x , v , x ea +e a y = ln(ctgh—) => e^ = ct gh —= ----------a a í -~ e a —e “

Desarrollo 9a y 2 = x ( x - 3 a )2 =» — = (x - 3 a ) 2 +2x(x~3a) dx

e a +e

a

e X + 1

y = ln -----------= l n -------£ _£ ex - 1 e a —e a

¿y = 3o/( x - 3oa w a — d y = -----------------(x-3a)(x-a) 10 18ay— ) ( x - a ) ; dx dx 6ay

dy _ e x - 1 d ( ex +l dx ex + 1 dx ex —1

e x - l ( - 2 ex ) ex + 1 (ex - 1)2

- f

Como 9a y 2 = x (x ~ 3 a )2

y = -

Luego ¿ U Í f Z f W ? dx 2a\lx

dx

(x -3 a)J~x 3\[a

(*)

e2x- \

dx

(e2x -Y )2

esta expres ión sigue del asterisco.

( * ) 2 = < ÍZ 2> ! dx 4ax

)dx -e-2x

Como la curva es simétrica respecto al eje y, se tiene: = [x + ln(l - e~2x)\ ¡ h = b - a + ln(l - e~b) - ln(l - e ~2b) L - 2 \ J 1 + (^ y d x = 2 r j l +^ d x dx Jo V 4ax Í to

/

3a 'u + 2)2 dx Jn Jo V 4<3A“

=2J

e2b - 1 e2a e2b e2a 1 - e~2b = b - a + ln ------ - = b - a + l n - ----- .— = b - a + l n - ------ + ln^— e2a-l e2b l- e - 2fl e2f l- l e 2¿

L = [ a \± ± ¿ d x = -^=(—x2 +2ax2) l “ = 4y¡3a

Jo \' V^

1675

3

hasta x = b,

(0 < a < b)

2h _ , 2b _ | = b - a + ln — ----- + ln e2a - \ n e 2b = a - b + ln——— e -1 e -1

7o

Hallar la longitud del arco

de la curva y = ln( ctg h—) desde a

Desarrollo

a

x=a

1676

Hallar la longitud del arco de la evolvente del circulo sen t); y = a (sen t - 1 eos t) desde, t = 0 hasta t = T.

Desarrollo

x = a(cos t + 1

320

Eduar do Es pinoz a Ram os dx x = a (eos t + 1 sen t) => — = at cos t dt

4

2

9c2

4

->

,

. f 2»

2

I C OS 2 /

« TI2/

tsen t + ——sen tc o s ' td t = 41 3c sen tco sí .¡^=~~— i-----— a/ Jo V a ¿>2

d\ y = a (sen t - 1 eos t) =» — = at sen/ dt

1 -s e n 2t sen2t , 22 — +^ b~2 dt ,

L = \ J( ~—)2+ (— )2dt = f Va 2/2 eos 2 / + a 2t 2 sen 2t dt J, V dt dt Jo

\b~ +(a~-b" )sen"t , 6c f 2 . /Ti 2~ j = 41 3c sent co s t . ---------- —;— ------------------------------------------------ dt = ----- j Jo a2b2 ah \ Jo

f T. at 2 ,T aT 2 = I at dt = ---- / = -----Jo 2 / o 2 2

1677

321

Aplica cione s de l a In tegral De finida

= _ L . Í £ ^ 2 Í ¿ / L J _ , » 2 ^ 2 ,5 _ J _ „ 3 aZ?c 3 / 0 aZ?c

2

Hallar la longitud de la evolvente de la elipse x = — eo s / ; y = — sen /, a b í (c„2 =_ a 2—b. 2)-. Desarrollo

2 :_ í _ ( a2) f _ J _ fc3 = 4 a l_ 4 ^ = ^ - ¿ » c = ^ (a 3 -Z>3) a¿>c abe be ac abe ab

1678

Hallar la longitud de la curva x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t). Desarrollo x = a (2 eos t - eos 2t) => x'= a( 2 sen 2 t - 2 eo s/) => x' = 2 a(sen 2 t — sent) y = a (2 sen t - sen 2t) => y' = 2a ( c o s r - c o s 2/) Z- = 2 f J (—)2 + ( — ) 2d/ = 2 f J 4 a 2 (senlt - sent )2 + 4 a 2(eos / - eos 2t )2 dt dt Jo V dz J0

y=

c

b

sen 3 t

Jo V d t

dy 3c 2 — = ----- sen icos/ d/ b

dt

= 4a J sen 2 2t-2sent.sen2t+eos 2 /-2c os/co s2/ + cos 2 2/ dt Jo = 4 a f ^ : 4 sent cos / - 2 cos / + 2 cos tsen t dt Joo


322

Aplic acion es de la Int egral D efinid a dr = -asemif r = a (/i1 + eos y)a => — dy/

= 4a í V2 - 2 eo st(sen2t + eos 2 t)dt = 4a f V 2 - 2 c o s tdt

Jü

Jo r_ ñ>¡ _____ _ t K - t C” t = 4a\¡2\ jl - eos t dt = 4 s ¡ 2 a I y¡2se n—dt =% a\ se n—dt Jo

Jo

= 8a(-2cos—) /

2 /o

1679

2

Jo

como la curva es simétrica con respecto al eje X, la longitud total de la cardioide es:

2

= -16a(cos7T -cosO) = -1 6a( 0- l) = 16a

¿ - 2 f \¡r 2 + r '2 dr = 2 ^ yja2(l+cosy )2 + a 2 sen 2 y/ dy / = 2a ¡ y¡2 +2 cosy/dy/ Jo

Hallar la longitud de la primera espiral de la espiral de Arquimides r = a \j/.

Desarrollo S i r = a \u

L = 2V2a

dr = > ---- = a dy/

= 4a

»0 .---------

f 2n .—- --------*2re .— -------- L = I s r 2 + r,2dyf = i \¡a 2 y / 2 + a2dy/ = a y¡y/ 2 + l d y / Ja

=l ~

Jo

r

Jo

Jo

Jo

ñK _______ yfl+cosy/dy/ = 2\Í2a

Jo

Jo

%/2cos(—)dyr

2

y/ w / 71 tc cos— dy/ = 4a.2sen(—) / = 8a.ve/?------ SasenO = 8a 2 2/0 2

Jo

1681

1 ln! ¥ +y¡¥2+1 il/

= ^(2*V4*2+l + ln |2* + >/4*2+1 1)

Hallar la longitud dei arco de la parte de la parábola

Desarrollo

2

Desarrollo

•••(*)

2

= aK\¡4n'’ +1 +^ !n ¡ 2k + \[4k 2 +1 ¡ Hallar la longitud total de la cardioide r = a (1 + eos \|0

r = a sec2(—), cortada de

la misma por la recta vertical que pasa po r el polo.

2 r = as ee (—) =>

1680

323

L = 2 ¡

Jo

=

2 j*

dr ----

a 2 = —sec (—)tg(—)

dy/ 2

22

r 2 + Á 2 dy ,

V

dy/

‘ ^ J a 2 sec4 y +

a 2 see4

J 2 sec3 % ¡d y /

X j.tg 2~ d y / = 2a

2a[ln \tg~ - + scc~-\ + tg •—sec —] / 2 = 2afln | íg —+ see — \+tg —.sec —] 2 2 4 4 2 2 / 0 4 4 —2¿z(ln(l + V2 ) + V2 )

324 1682


Aplic acione s de la Inte gral De finida

Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica r \\i = 1 , desde el punto

r = y/± -Jy / 2 - 1 como r >

( 2,i ) hasta el punto (^ , 2).

=yi +Jy/2-1

Desarrollo

1 => yr =1 -

rvj/ = ry=l

1 \¡/\= — 1 => 2 2

para „ r,= 2

r

de donde

325

1 se tiene:

——= 1h—

— además como

yjy/2 - 1

dV

„ ;r, = —=* \\fi =2

l^ = Z (r + -) r 2

dr 1 1 => r = — => ---- = ----- W dyt y/-

para r ,= l, \|/ , = 1, r 2 = 3 , y/, = ^ ’ 3

L = [ ¡ r 2 + ( ^ - ) 2 d y / = í 3 ¡(y/ + -Jy/2 -l)2+(1 + - j ^ = ) 2 dy/ Ji¡/, V J¡ y - i dyt l ’ C

d v ' / i

" I i t " = Í \

r,

i r,-------- 2

= [ln | -y/l + i/A +

1683

I

^

\

,

2

, ,3 + v 5 ,

J i \

yÍ 5

-------- ] / , = ln (— — ) + — y/ / 2 2

Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica encuen tra dentro del circulo r = a.

d y/

1684

y/~ - 1

dyr

5

VV7'2-1

1

w

2- 1

-y= i V t V v '2_1 + ~ l n IV + 'Jy 2 “ 1 ll/

- ame”'v

6.3.

f aemsja + m 2 dy/ =— en"t>\l\ + ni2 / ' 71 • m

*

Hallar la longitud del arco de la ciu vn

Ji

= pO/' +Vv'2-!) - r~r—dy/ = f 3(V'+ —X= )dy/

/ , que se

i/'

*

»'<

• *i

f

■■

I

Ih i m u

i

=3.

3 po rlo ta nt o Z. =

VOLUM ENES DE CUERPOS SOLIDOS. ©

L =

y/ ' -1

5

Desarrollo r = aem

+ \/y/T^ 7 )2 + ^ l É I l L d y r = f ’ L +

VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN.Los volúmenes de los cuerpos engendrados por la revolución de un trapecio mixtilíneo , limitado por una curva y = f(x), el eje X y dos verticales x = a, x = b, alrededo r de los ejes OX y OY, se expresan respectivamente por las fórmulas.

Dr&lUI ollu De y/ = —(r + -—) despejamo s i • >il«m r 2

Ja

©

Vv = [ x y d x Ja


326

en el caso mas general, los volúmenes de los cuerpos engendrados por la rotación de una figura, limitada por las curvas.

1686

e y 2 = f 2W (siendo /, (x) < f 2 (x ) ).

>’i - / ] W

Ja

1685

Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la rotación de la elipse x 2 y 2 — + alrededor del eje OX. a~ b Desarrollo 2

2

~ Z + ~ T ~ 1

a

Y por las rectas x = a, x = b, alrededor de los ejes de coordenadas OX, OY ; serán respectivamente:

r b

327


b

2

; y 2 = V - ~ ) b 2 a~

Ca

Ca

x2

x3h2 I a

Jo'

Jo

a2

3a~ * °

V = 2 n I y 2dx = 2 n I (1 — -)b 2dx = 2n(b2x -------- ) /

*b

(>2 - >f >dx y K = 2k I x (y'2 - >'¡ )d x

ob )x - = =2n ( a,2b ------0 ----- b 2

Ja

Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX, de la superficie limitada por el eje OX y la parábola \ y = a x - x 2 (a > 0). Desarrollo 1687

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la X

superficie limitada por la catenaria y = a cosh(—) , el eje OX, y las rectas x =±a a Desarrollo X

y = a cos hí—) = a. a

f a o ra r , ^ v. 4, V = n \ y ~d x = n \ (iax { a x~ —x x ¿Yd Y d x = n IJ (a 2 x 2 - 2 a x. 3i + x* )dx Jo

Jo

Jo

a ^ x3 ax4 x5 :Tí( -------------- -f ----

3

2

a / 5 0

a5

= 7T(-

a5

a5

n a_ s _

X

ea +e a

2

2x_ _2x 2 y 2 = — (e a +e a +2 ) 4

328


329

Aplic acion es de l a Inte gral De finida

Desarrollo »a

r a

^

2

V = 2n I 2n I y^ dx = 2 n \ — (e a + e

Jo 4

na

a 2 a -2

*

a

2*

_ 2 x

0 + 2 ) d x = ^ —(—e a ——e a +2 x) / 2 2 2 /

a

— ( - < r — e ¿ + 2a — + - + 0)

2

2

2

2 2

tffl2( _fle 2— a e~-2 + 2a) - ■= ----n a *-(e , i —e-2 +4 ) : ----2 2 2 4 1688

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva y = y = se n 2 x , en el intervalo x =

0 hasta x = jt

Desarrollo

Y < 1690 ^ (

V = n I n Ir y"2dx = dx = n Jo

^ riv AV n " .X 0

\

r(sen 2x ) 2dx = n Ir sen x dx Jo Jo

r ( i z c o s i x 2 d x = 1 r 4 Jo 2

Jo lo

(1 — 2 co s 2x + cos 2 x) dx

,3 x se rc x se nAx„ nAx „ ¡ n 3 3n~ = n ( --------------------------- + -------- ) / = n ( — 0) = 4 32 / o8 8

1689

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la paráb ola semicú bica y 2 = x 3, el eje OX y la recta x = 1, alrededor del eje OX.

Hallar el volumen de! cuerpo engendrado al girar la misma superficie del problem a (1689 ), alreded or del eje OY. Desarrollo

330 1691


Haiíar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar las superficies limitadas por las líneas y = e x , \ = 0 ey = 0 alrededor. a)

Del eje OX

b)

331

Aplica ciones de la Integ ral Defi nida Y

1

2a

Del eje OY

Desarrollo ¡ C n ...... i .......................... : \0 i / / ✓ ¡ ✓ i ^ j - - " i -2a

= 2n f V - ( f ) 2 » = 2 * ( * Jo

1693

4n

a

X

= 2*2«’ - f 4 ) SICin

/ 080/2

Hallar el volumen volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a, la parte de la par ábola y 2 = 4a x , que se intercepta po r la misma recta.

Desarrollo

1692

Hallar el volumen del cuerpo engendrado a! girar alrededor del eje OY la parte de la parábola y 2 = 4a x que intercepta la recta x = a.a.

Desarrollo

El volumen de la región cortada al al girar alrededor de x = a, a, es:

332

Eduard o Es pinoza Ramos

x)2]dx = n ' 4 p ^ 2 p x dx V = 7T 2[(p + y¡2px )2 -( p- y[ 2p x)2]dx Jo Jo

V = 2n f (a (a - x:)( y, - v-, )dx )dx Ja Luego para nuestro caso se tiene:

3

f

=8

3 2

1 5

P

_ °1 =

= j t j 2 J 2 2 p x 2 p d x = 2 n [ ^ ( 2 px ) 2 ] j 2 =

V = 4tt 4tt f [a-x)(\Í4ax — [a-x)(\Í4ax — 0)dx = 4n (a —x)2-Jax —x)2-Jax dx Jo Jo 3

33 3

Apl ica cio nes de la Inte gra l De fin ida

3

3

^ - ) / " = Sk ( 2 ^ ~ 5 /o 3 2

1695

47T /r

Hallar el volumen del cuerpo engendrado ai girar alrededor del eje OX, la superficie comprendida entre las parábolas y = y = .v2 e y = \¡x

1 5

Desarrollo

- 2 — — ) / “ 5 / o

, t o ( 3 ¿ _ í l „ 8T (1 (1 0 ? ! z 6 f Í l = S £ V 3

1694

5

15

15

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor de la recia y = -p, la figura limitada por la la parábola v 2 = 2 px y por la recta x = x =

Desarrollo

2

= 7r 7r Jo l 1696

5 /0

2 5

10

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girara alrededor del eje OX, el lazo de la curva ( x - 4 a ) y 2 = a x ( x - 3 a ) . Desarrollo (x —4 —4 a) y = ax (x- 3a )

2

y =

ax(x-3a) dx = n If 3“ y 2 jdx = n fI 3ü Jo

Jo

x —4 —4 a

a x ( x - 3 a) a) -----. Luego: x - 4 a •3a 10 Jo

J 4 a* (ax + (ax + a~ H a~ H---------- )dx ---------- )dx x - 4 a

334


335

Aplicac iones d e la In tegral D efinida

, ÜX 2 9 i i 1 -x /j = ^ ( - z - + a * +4« l n( jc -4 a )) / = * ( — + 4 o 3l n ( - — )) • o 2 4a = n ( ~ — 4a 3I n4 ) = ^ - ( 1 5 - 1 6 1 n 2 ) 1697

Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide y alrededor de su asíntota x = 2a.

2 2 = — — 2a - x

Entonces para nuestro caso se tiene:

Desarrollo

H V = n \ ( ^f xy )2dy = K [ ky dy = nk — I -=nk 2 Jo Jo 2 • o

t = R como k — ~ H

HR H 2 R 2 V = n — (— ) = n 2 H 2

1699

V - 2 n \ ( 2 a - x ) y d x ; para nuestro caso por simetría se tiene: Ja r 2a

IT.

/»2a

V = 4n \ ( 2a - x ) x - = = d x = 4n Jo Jo \' 2 a - x

j(2a-x).xjxdx

calculando la integral, completando cuadrados se tiene: 1698

V = 2n V 3

Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es R y su altura es H.

Desarrollo La ecuación de la parábola es x~ =k y de donde x = yjky cuando x = R, R 2 y = H, luego k = — como:

eb V = n \ [ f( x ) ] 2dx Ja

Un segmento parabólico recto de base igual a 2a y de altura h gira alrededo r de su base. Determinar el volumen del cuerpo de revolución que se engendra (“Limón” de Cavalieri). Desarrollo 4 2

Cuando y =h, x = 2a; Luego k = - ^ — como: x" = ky => x = yfk y = g ( y ) ; h por el método de la corteza cilindrica al hac er rota r alre dedor de la rect a x = h, •b se tiene: V = 2t t Í ( k - y )g (y )d y, por lo tanto: Ja

336


337


i f — - 7- 2- i h16i 4a 2 V = 2tc I ( /i - y)y¡ky d y = 2 n k 2 (—hy 2 — v2 ) / = — ^ a / r donde k = — — 3 5 h Jo / o 15 1700

Demo strar que el volumen de la parte del cuerpo de revolució n, engen drado al girar la

hipérbola

equilátera

x~ - y 2 = a 2

alrededor del eje OX que

intercepta al plano x = 2a, es igual al volumen de una esfera de radio a. b)

Al ha cer girar el tubo cilindrico alrededo r del eje Y se tiene: V = 2irjxy dx; de donde para x = 0, t = 0 ; x = 2rta, t = 2n

Luego:

^= 1 In x y dx = 2/r Jo Jo

a(t-sent)a{ 1 - eo st Y a d t

• 2 n

V = 2ira 3 I (1 -e o sí) 2(/ - sent )dt = 6n i a i ’o

í

V

ñ 2a p 2a = ;r i y 2dx = n I

Ja

r, 8fl3

~3

Ja

3

V

2

c)

(x 2 - a 2 )d x = n ( x i - a 2 x ) /

'a

3

2fl3 2fl3

alrededo r de la figura es dV = 27i(7ta - x) y dx, de donde: n V = f " dV = 2ain f (n -t + sent)( 1 -eos t)~ dt Jo Jo

4 ^0 3

T ~ " n = «— +~ r , = —

que es el volumen de una esfera de radio a. 1701

Del eje OX.

b)

c)Del eje de simetría de la figura.

Desarrollo

.3 _ 2

eos 2 1 ^ , 2

V = 2
J o

Hallar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar la figura limitada por un arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX alrededor de: a)

El eje de simetría es x = Tra, y el volumen de este rectángul o rotado

Del eje OY.

V= 1702

n a 3(9 n 2 -16)

1 + cos 21 ; sugerencia: cos"2 t = -----------

Halla r el volume n dei cuerpo engendrado al girar la astroide _y= asen^t , alrededor del eje OX.

Desarrollo

x = a eos ’ t ,

338


339

Aplica ciones de la Inte gral Defi nida 1704

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva

r = ac o s‘ \|/

alrededor del eje polar.

Desarrollo Í tt X

x —a eos 3 t , eos 3 t = x—; y = asen 3 t , sen 3 t = y— a a eos 2 1 =

-

-

1

(—)3 , sen 2t = (—)3 entonces sen2í + eos 2/ = (—)3 + (—)3 = 1 a

2

2

2

2

1

La variación de la integral desde y = 0 hasta y/ =

a

2 3

de donde jc3 +>, 3 = a 3 ; y = (a 3 - jc 3)2

(27rf

2

, . 47T f: 2?r f í 3 (r}seny/ dy/) = — 2a 3eos 6 y/ senyr d y/ luego V = 2(— ) 3 Jo 3 Jo

2 3

ÍV) == — n a 2 V = 2(2tc\ x( a 3 - x 3 ) 2 dy) 105 Jo

1703

V = W 3

Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotación de cardioide r=a

K

(1 + eos y) alrededor del eje polar. Desarrollo

27r ^ Como V = — | r send d 6 . entonces 3 Jo Jo \4 27raJ (1 + cosi //)4 /“ 3 2n r 3 V = — I «’ (1 + cosi//) íe/¡y/ dy/ = — ---------- -■■■■/ 3 Jo 3 4 /o

1705

cos 7 y/ p = W 7 / 0 21

=W 21

Hallar el volumen del obelisco, cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A, B y a, b y la altura es igual a h.

Desarrollo A

34 0


La ecuación de !a recta L:

A a a ~92 ~ 9 y —- = —— —( x - 0) 2 h

341

Aplicac iones d e la I nteg ral Defi nida

A - a a y = --------- x -i — 2 2h

La ecuación de la recta L ': A

2

b a

B-b -(.v- 0) 2h

B - b b z = ---------- x + — 2h 2

Área del rectángulo, MNOP es: A = (2y).(2z) = f

Jo

V

i/

V

1706

A d x =

f

Jc

(2y)(2 z)dx

y zd x = 4 [

( A

- a ) ( B - b ) x

( A - a ) b x~

* 41 Jo‘ h

= —

3

Ah

Ab Ba (AB H------- + —

2

- +

2

2

(B -b )a x

+-

Ah

2

a b n Ch 2 , abn .x3 ¡ h abnh 3 fhaxbx, V = 7 t \ — .— dx = —T- \ x-dx = —^-(— ) / = 3h¿ J 0 h h h h~ Jo 3/0

ab i I ■at>

4A

/ c

V=

h , An Ab + aB ab) = —(AB + --------------- i- ab)

3

2

Hallar el volumen del cono elíptico recto, cuya base es una elipse de semi ejes a y b, y cuya altura es igual h.

1707

abnh

3

2 1 Sobre las cuerdas de la astroide x 3 + y3 = a 3 paralelas al eje OX, se han

construido unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las

Desarrollo

cuerdas y los planos en que se encuentren son perpendiculares al plano XOY.

El i - e simo disco elíptico de la figura tiene por volum en donde A y B son los semi - ejes.

dV = rcAB dx,

Hallar el volumen del cupero que forman estos cuadrados.

Desarrollo

Luego por semejanza de triángulos se tiene:

Para el volumen del i - esimo sólido se tiene dV = área base x altura

A a

pero área base = ( 2a ) 2 y la altura es dy, luego:

x h

B b

X h

ax h

bx h

— = —, — = — de dond e A = — , B = —

34 2


343

Aplicacio nes de la Inte gral Def inida El volumen de i - esimo disco circular de la figura es 2

dV = n y 2 d x ; donde

2

iL+ Z_ = i «2 b 2 Luego el volumen será cuatro veces el volumen de la región comprendida por le arco de AB es: ■> -> f a r rab V = 4 I dV = 41 n y 2d x = 4 n \ — ( a2 - x 2)d x Jo Jo Jo a" V = 2 f Jo pq

2

2

ma

4

2

2

, b 2 , 2 I . I a 4b 2n , 3 8/?V;r 8 Jtab 2 = 4 - ( a 2 x - x 2) J = — — ( a ^ - a 2) ^ - — — = — — a~ • o a" 3a“ 3

4

V = 8 j (a 3 —_y3)dy = 8 I (a 2 — 3a 3 y 3 + 3a 3;y3 — y 2)dy

Jo

Jo

4

2

v 2 9 a 3 | 9«3 I # " 128 3 V =8 ( a y -----------------------— yJ + ---------- y 3) / = ---------5 7 / o 105

1708

Un círculo deformable se desplaza de tal forma que, uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY, el centro describe la elipse x 2 y 2 . ~¿2 + ^ 2 =1 , m ientras que el plano del círculo es perpendicular al plano XOY,

1709

El plano de un triangulo móvil permanece perpendicular al diámetro fijo de un círculo de radio a. La base del triángulo es la cuerda de dicho círculo mientras que su vértice resbala por una recta paralela al diámetro fijo que se encuentra a una distancia h del plano del círculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado conoide) engendrado por el m ovimiento de este triángulo desde un extrem o del diámetro hasta el otro. Desarrollo

hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicho círculo. Desarrollo

A =

2

= y.h

A(x ) = j a 2 - x 2h


344

1711

V = J A(x)dx = J \la 2 - x 2hdx = 2 h j \¡a 2 -x2dx a reseni JL+ = 2 a h[-

1710

— 7

] / a = 2a 2h(—) a lo 4

2a

\plicaciones de la Integral Definida

V =

na'h

2

2

2

z < x , interceptado Hallar el volumen dei segmento parabólico elíptico y ----- f-— 2 p 2 q por el plano x = a. Desarrollo La sección del sólido determinado por un plano paralelo al plano >'z a una distancia x del origen, es una elipse cuya área es:

-> 2 _ 2 Hallar el volumen de! cuerpo limitado por los cilindros x~ + z - a e 2

345

A = n zy com o y = yj 2p x , z = y¡2qx

2

y + z = a ¿ .

luego: A = n^2px.^¡2qx = 2nx*Jpq . Por lo tanto:

Desarrollo 2

2

2

Las ecuaciones de los cilindros es: x + z ■—a~ y 2 +Z 2 = a 2 de ( 1) se tiene: x = y¡a2 - z 2

;

...

( 1)

... (2)

de (2) se tiene: y = Va2- r

además el área de la sección es: xy, es decir el área = x y = a — z Luego. a3. 16a3 V = s f (a 2 —z2)dz = 8 ( a 2z - 4 —) ^ = 8(a 3 ——) Jo mo r— a V = I 2n x j p q d x = 2 yf p q 1— ■/ = n a 2 J p q

2/ 0

Jo

1712

Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja X 2 a

2 V z2 — ----- - = 1 ; y losplanos z

b

c~

=0 y z = k.

Desarrollo Para cada valor z en [0,h] se tiene una sección plana elíptica al plano XY 2

anotada por la elipse — ■+ a" b

2

,2

2

c

el área de la sección plano es = n.

Eduard o Es pinoza Ramos

346

6.4.

x 2 y 2 c 1 + z 2 (producto de semi - ejes), como — + = \—

X =

a lc1 2¿ + Z 2 -\ luego: V =

y = —yfc2 +Z 2

Aplica ciones de la Integra l Definida

347

AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOL UCION.E1 área de una superficie engendrada por la rotación alrededor del OX, del arco de una curva regular y = f(x) entre los puntos x = a y x = b, se expresa por la formula:

rh nxydz

Jo

Sx = 2 j" y ^ - d x = 2;r j* yyj l + y ,2dx

C

donde ds es la diferencial del arco de la curva.

V = n \ —>Jc2 + z 2 —Ve2 + z 2dz = - j - í (c 2 + z2)dz c Jo Jo c C

Cuando la ecuación de la curva se da de otra forma, el área de la superficie S x , se obtiene la formula ( 1), efectuando los correspondientes cambios de variables, es decir:

ab n i zJ i h abn , 2, h3 , n = — (c 2z + — ) / = — (c A+ — ) = a¿tor(l + —y) r 2 3 I o c¿ 3 3c 1713

... ( 1 )

V

*> 2 z7 x “ y Hallar el volumen del elipsoide — + — + — = 1 a b2 c 2

1714

Desarrollo Una sección plana elíptica al plano xy

, x~ y 2 c 2 -2z anotada por la elipse — + — - , a b c

se obtiene para cada valor de z en

[-c,c] donde el área de dicha sección es:

dy

En la figura se dan las dimensio nes de un espejo parabólico AOB. Halla r la superficie de este espejo. Desarrollo

">

a = n por el producto de sus semi - ejes de la elipse, donde se tiene:

x = -y Jc 2 - z 2 y y = b-y jc 2 - z 2 luego: c c V = J A dz = j

na b 2 '

3

sea y 2 = 4 px el punto a(a,4a), de donde 1 6a2 = 4ap entonces p = 4a

—z2 ■'Je2 - z 2 dz = —y - J* (c 2 - z 2)dz

^

/ -c

C

3

Ó

- \ nabc D

por l o tanto i = 2n

y 2 =1 6ax => y ' = 2.

J*^ y yJl + y ’2dx = 2n J

£

4a 4 \[ax. 1+ — dx = 8na I yfx + 4a dx Jo X


348

Aplic acione s de la Inte gral De finida 2 du , . sea u = tg x => du — see x dx => — ---- = dx u~ +1

3

= 8ttV^ -X-+*ay ¡ Q a = ~ - ^ [ ( 5 a )2 - ( 4 a) 2 ] = ^ j - a 2 (5^5 - 8)

2 1715

du 1 ' i= 2n j 4tgx-J 1+ sec4 x d x = 2n u-J(u 2 + l ) 2 + l u 2 +1 Jo Jo

I

Hallar el área de la superficie del “huso” que resulta al girar una semi - onda de la sinusoide y = sen x, alrededo r del eje OX. Desarrollo

dz , 2 , sea z —u +1 => — = u du 2

. .2 . _ f 1 f. 2 " +1 , 7 du = 2. |f 2' /z--------- A = 2n I u J ( u ~ + l Y + l ——dz Ji Jo u +\

Un arco co mpleto de la curva y = sen x se obtiene ha ciendo v arias x desde x = 0 hasta x = n como: A = 2n í ysj \ + y '2dx = 2n j senx\ ¡\ + eos 2 x d x = 2/r í s e n x j1+ cos 2 x dx Jo

34 9

Jo

A = 2 n \ — — — dz efectuando la integral, se tiene:

Ji

Jo

consid eremo s u = eos x => du = - sen x dx

A = n ( S - S - ) + n \ n ^ ^ V5+1

cuando x = 0, u = 1; x = n, u = -l . luego:

1717 A = 2n j* senx\J l +cos 2 x dx = ~K j

>/l + w2(-du) = 2 n j yj\ + u2du

z

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX, del arco de la curva y = e~x comprendido entre x = 0 y x = +°°.

Desarrollo = 2 Jt[—-ju 2 +1 + —ln(u + yju 2 + 1) ] / = 7t[(uju 2 + 1 +ln(u + \l u 2 + 1) ) ] / / -i / -i 2 2 = 7t[(J2 + ln(l+ V2) + y¡2 - ln(—1+ V2)] = k( 2^2 + ln ^ 1 ) = 2 k ( S + In(>/2 + 1)) V2- 1

1716

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de tangentoide y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededo r del eje OX. 4 Desarrollo

y = e~x =* y '= -e ~ x => y '2 = e~2x A = 2J y j l + ^ f d x = 2J

e~x Vi+ e~2xdx

u = e x => du= e Xdx , para x = 0, u = 1 ; x = +°°, u = 0

sea A =2 í

Jo

e~x\¡l + e~2xdx = e f yj\ + u2 du = Ji Jo

=2n (—y¡\ + u 2 + —ln(M+1 +a 2 ) /

2

2

2 j* sj\ + u 2 da

= 7T(V2 + ln(l + V2 )) /o

350 1718


Aplica ciones de la Integr al Defini da i

Hallar el área de la superficie (denominada catenoide), engendrada por la

12n a 3 ,

X

rotación e la catenaria y = a cosh — alrededor del eje OX, entre los a limites x = 0 y x = a. Desarrollo

351

1720

, x dv ,x y = acosh — => — = senh — a dxa

12*a2

»2 i Hallar el área de la superficie de revolución de la curva x = ^ - - —\n y y alrededor del eje OX, comprendida entre y = 1 e y = e.

Desarrollo A — 2*1" y. II + ( ~ ) 2dx = 2 n \ acosh — . 1+ senh2 —dx Jo V dx a\ a J0 -)2dy ra x x ra x Ca 2 x A = 2* I a co sh—.cosh —dx = 2a n I cosh 2 — = n a \ (cosh — +1 )dx Jo a a Jo « Jo a 2, sen h 2 x n a 2 , 2-2 r a , 2x , I a = n [ a - s e n h -— + x]/ =na (---------+ 1) = ------(e~-e +4) 2 a / o 2 4

a

2

1719

2

2

=- K *

r )f ¥

¥

dy

=l í , (y í ■2,n ^ 2+y!+7 *

= — I (------------Xy'+lVfy =— I (y - 2 y l n y - 2 — )dy

Hallar el área de la superfici e de revolución de la astroide x 3 + y 3 = a 3

4Ji

y

4J,

y

alrededor del eje OY. Desarrollo

2, 7 , ? , #£ * . e 4 - 2 9 n( e 4 - 29) = —(y 4 - y l ny + y - h r y ) / = - ( — ) = ----- ----4 / i 4 4 16 1721

Hallar el área de la superficie del tuvo engendrado por la rotación del círculo x 2 + ( y - b )2 = a 2 alrededor del eje OX (b > a).

Desarrollo Como x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 => y = b ± \ ¡ a 2 - x 2 Primero calcula el área ,4, de la superficie engendrado por la rotación del arco CB, como el arco CB esta definido por la ecuación: y = b + yja 2 - x 2 , 0< x < a de donde


353

Aplica ciones de la Integr al Defi nida Luego por simetría calcularemos el área A de la superficie del tubo, es decir: A = 2(A, + A2) = 2[7T2a¿7 + 27T¿r + 7T2ab -2 7 ra2] = 4a¿OT 2

1722

-> 0 jT y“ Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse: — + — = 1 a~

b"

alrededor: 1)

Del eje OX

2)

Del eje OY (a > b)

Desarrollo dy

-x

d*

\¡ a2 —X2

A, = 27T j*

Jo

(b + a2 -

X + 2 _ = i a2 b2

x = a eos t, y = b sen t para x = 0, t = —: x = a, t = 0

x2\¡ 1+ —2T-—-dx a —x2

, ---- = 2 k \ (b + J a 2 x„ 2) Jo

dx = 2/r j (

además: A = 27T í y(t )yj [x' (t )]2 + [y '(/)]'di Ja

Je 'Ja2

-2a¿arcsen—/ + 2 jcclx / =2abn(arcsen(X)-arcsenQi) + 2na2 = ab n2 +2 k ü 2 a>o lo

ahora calcularemos el área A2 de la superficie engendrada por la rotación del arco AB donde el arco AB es definido por la ecuación y = b —yja 2 —x 2 ;

0 < x < a de donde dy —

a 2-*

2

Jo

*

i

2

•o = 2nb f eost\¡b 2 + V («2 - b 2 sen t )2 dt

yj a2 - x 2

-> 2ua b A = 2 ^¿ " + ——— a re sen E

haciendo el calculo de la integral se tiene: a~ - x

= 2 í (b —yja2 - x 2)

---------------------------------------------------/•O ^0 A = 2tt| bsentâ 2 sen 2i + b 2 eo s 2 1 dt = 2n I bcostyjb 2 + {a 2 - b 2 )sen -t dt

-------------

y^l + (~^-)2dx = 2J ( ¿ - V a 2 - x 2 )J l + - ^ j d x

Ai ~

>’= —Va 2 - x 2 , parametrizando la ecuación se tiene

^

- 2 a x l = n 2a b - 2n a 2 0 0 ’ 0

= 2n ab aresen—/

I 2 _fo 2 donde E = ------------en forma similar para la otra parte se obtiene:

n b 2 , 1+ E ¿ A V o 2 ln ------- donde Ax = 2na + ---- E =

E

1- E

a


35 4

1723

Aplica ciones de la Integ ral Defin ida

b)

Hallar el área de !a superfici e eng endrada al girar uno de los arcos de la cicloide x = a (t - sent t); y = a (1 - eos t), alrededor: Del eje OX

c)

De la tangente a la cicloide en su punto superior.

2„2 En forma similar cuando es alrededor del eje Y, de donde A = 16n~a

c) Un arco completo de la cicloide se obtiene haciendo var iar t en el intervalo [0,2 ti] y además el punto mas alto es en t = ti puesto que:

b)

a)

dy _ y '(0 _ asent dx x '(0 a ( l - c o s í )

Desarrollo Y iL

s (

0 = 2-t

Luego la pendient e en t = n es:

dy dx

, por lo tanto la ecuación de la t=n=0

tangente es y = 2a.

A

2a

355

1 11

V*

X

na

2na

Luego la distancia del punto p(x,y) déla cicloide a la recta tangente es (2 jta - y) de donde el área p edida es:

X

A = 2. t Í Jo

í y(t)yJ[xX,' ( . t ) f + [ y W d t

Jo

(2 a-y)y J[x \t)] 2 +[yXt)]2dt

de donde al simplificar se tiene:

x = a ( t- sen t) =* x'(r) = a(l -co sr) , o 2 f 2* 2t t \6na 2 3 / r * 7>2na2 A = Una I eos ' —sen —di = — ------ - e o s — / = -------3 3 Jo 2 2 2/ o

y = a ( l - c o s t ) => y'(t) = asent A = 2x ¡ a(l - eos t)>Ja2 ( Ì- eos t )2 + a 2 sen2td t = 2Jta2 f Jo

Jo

t 1-COSÍ sen" 2 —= --------i "> A = 2 na 2

( l - c o s í ^ V l - c o s ? dt

f 1- eos .t = o2 sen 2 — 2

1724

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX de la Cardioide x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t).

Desarrollo

.

f 2*

. t r 2* t 2 sen 2 - M M s e n ( - ) d t = 8*«" rc «3 J0 2 2 Jo 2

= 8* a 2( - 2 e os - + - e o s 3 - ) / ^ = 8* o 2( 2 + = 64^ — 2 3 2/0 3 3

x = a (2 eos t - eos 2t) => x - a (- 2 sent + 2 sen 2t) y = a (2 sen t-sen

2t) => y '= a( 2c o s í - 2 co s 2r)

A = 2 ¡ y(t)y¡[x'(t )]2 +[y\t)]2dt Jo


356 l*Æ

Se tiene: A = - 22n , 1I ' ,rseny Ir 2 + ( - ^ ) 2 d y Jo

i = AKy fl a2 I lisent ~ sent eos t)\¡\ -eos.' dt = 8n\Í2a2 (1 - c o s t )2 sent dt Jo Jo « / o

128 5

-1/, sí 16 v R2wa“(l-cosí 1/5 na A. =— )2 //" = — 5

1725

357

Aplica ciones de la Integ ral Definida

2

A = 2;r | 2a(l + eos y )se nyy ¡4a 2( 1+ eos i//)2 + 4a2sen 2y d y Jo

Halla r el área de la superficie engendrada al girar la Lemi scata alrededor del eje polar. Desarrollo

A = 8;rfl2 [ (l +cosy)sen yyJl + 2c os y +COS2 y + sen 2y d y

r 2 = a ° cos2\|/

Jo

= 8^rt2 l se ny ( 1+ eos y )\Í 2

Jo

+ cosy dy

K ^ = Sn a 2 \Í2 j (1+ + COSI//)2 se ny d y = -%Jta2 \¡2 Jo 5

16 /t 2 .. a I n A = ----- \[ 2n a 2 (l +c os y )1 1

6 .5 . 0 7T >= 47M 4 Jo

-

Hallar el área de la superficie engendrada cardioide r = 2a (1 + eos y) alrededor del eje polar.

Desarrollo

por la rotación

.

1287ra

A = -

MOM ENTOS, CENTROS DE GRAVEDAD, TEOREM AS DE GULDIN. M O ME NT O E ST ÁT IC O. Se llama momento estático de un punto material A, de masas m, situado a una distancia d, del eje 1, con respecto a este mismo eje 1, a la magnitud M, = md .

a"sen~ 2 y , , , eos l y s e n y ^ a " eos 2i/a + — — ---- d y

f4 t y¡2 A = 47r«J 4aseny dy = -Ana 2 c o s y J 4 = -4;ra 2[ - ^ - - l ] = 2(l--V 2 );ra 1726

5

~ ■/ /o

de la

Se denomina momento estático de un sistema de n - puntos materiales, de masas m] , m 2 ,..., mn situados en el mismo plano que el eje

1, con respecto al

cual se toman y separados de el por la distancias d x, d 2,..., d n la suma es: M x = 2 ^ m idi

i=i

...(a)


358

Aplica ciones de la Integ ral Definid a

debiendo tomarse la distancia de los puntos que se encuentran a un lado del eje 1, con signo mas (+), y los que están al otro lado con signo menos (-), en forma similar se determina el momento estático de un sistema de puntos con respecto a un plano. Si la masa ocupa continuame nte toda una línea o una figura del plano XOY , los moment os estáticos M x y M y , respecto a los ejes de coorden adas

OX y OY en lugar de la suma (oc), se expresa por las

35 9

donde d{, d2, ..., d n son las distancias desde los puntos al eje 1 , cuando la masa es continua en lugar de la suma, obtendremos la integral correspondiente. ©

C E N TR O D E G RA VE DA D .-

correspondientes integrales. Cuando se trata e figuras geométricas, la densidad se considera igual a la

Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana (ya sea arco o superficie) de masa M, se calcular por la formula:

unidad en particular:

©

Para la curva x = x(s); y = y(s), donde el parámetro s es la longitud del

M y

M ' y

Mx M

arco, tenemos: donde M x, M y son los momen tos estáticos de las masas, cuando se trata de figuras geométricas, la masa M es numéricamente igual al correspondiente arco o al área. Para las coordenadas del centro de gravedad donde ds = \](dx )2 + (dy )2 es la diferencial del arco. ©

Para una figura plana, limitada por la curva y = y(x), el eje OX y dos verticale s x = a e y = b, obtenemos :

M x ©

de curva plana y = f(x), (a < x < b), que une los puntos A(a), f(a) y B(b), f(b) tenemos: í -*■ds f xyj l + (y ') ~d x _ * A ____ J a __________

My =

M O M E NT O D E I NE RC IA .Se llama momento de inercia, respecto a un eje 1, de punto material de masa m,

s

"

'

Ja

m¡, m2 , •••, mn a la suma:

}’\J\+

{yds y —Ja "

5

f (y')2dx J a _________ ‘ J T n + ( y T d x Ja

Las coordenadas del centro de gravedad (X ,7 ) del trapecio mixtilíneo a
0 < y < f(x) se puede calcular por las fórmulas:

situado a una distancia d, de dicho eje 1, a un número I¡ = >nd 2 . Se denomina momento de inercia a un eje 1 de un sistema de n puntos materiales, de masa

( X , Y ) de un arco

J

y * s

y

Í

Tb y 2dx a S

360

Eduardo Espin oza Ra mos

donde ds = I y dx es el área de la figura. Ja

V

Jo a

En forma similar se emplea para hallar las coordenadas del centro de gravedad de los cuerpos sólidos. 4

361

Aplic acion es de la Inte gral Defi nida

a2

a2

/ o

b'Ja2+b 2 byja 2 + u2 t - - [0 - a 2 ] 2a

M. = - "

TEOREM A DE GULDIN. M

TE OR EM A 1.- El área de la superficie engendrada por la rotación del arco de una curva plana a lrededor de un eje situado en el mismo plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al produ cto de la longitud de dichos arcos por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad del mismo. TE OR EM A 2.- El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano que la figura, pero que no se corte con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la misma.

M

Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes de coordenados, del segmento de la línea recta. Desarrollo x

y

a

b

—+ —= 1 , comprendidos entre dichos ejes de coordenados Los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados es:

b

1 y í * X

y

a

b

como —+ —=

W

dx

• " • =i

x f ^ W

dy

1 =» y = b- /( a - x ) „, —dy= -----b a

dx

a

dy

b

a U b 1
=I t

a-ja2 +b 2 I b 2

1728

Hallar los momentos estáticos del rectángulo de lados a y b, respecto a estos mismos lados. Desarrollo x =a

y=a

b

0

a

X

Para el eje y = b, se tiene: M b = 1 bxdx = Jo

f

u - ‘

=>

)2d y , donde x = - ( b - y )

Y 1727

2

a 2b

rb ab 2 Para el eje x = a se tiene: M a = I ay dy = ----Jo 2 Luego los momentos estáticos respecto a los ejes x e y respectivamente son:


362 M

1729

ab

M

363

Aplica ciones de la Integr al Definid a

ab

Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas del centro de gravedad x + y = a, x = 0, y = 0. Desarrollo

I I I l dy (J 11 x 3 + y 3 = a 3 ; v = ( a 3 - J r3)3 derivando — = --------- - ------ se sabe que dx i

*3

r Area = A = I (a Jo

2

M x = \ í Jo /o

Af _ f° x ( a - x )d x = a y — = I y ( a - y ) d y = a 6 x Jo

J Jo

M

los momentos estáticos

1730

M x

M y

2

. 2

-dx

■I

M,

1

las coordenadas del centro de gmvedad son:

M M x = — - , y = —- , donde M es la masa total para nuestro caso, para el arco M ' M 2

a 6

Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas 2

2 3

(a 3 - a 3 )2 (— )3d x = —a 2 x 5

realizando el mismo procedimiento se obtiene:

, y = —1 donde M es la masa y para este caso, M M - Ai, — — a Mv es el área; es decir: M = A luego x = ——, y = —— de donde x = y = — y A A 3 Para encontrar x =

1 11 (a 3 — ,*3)2 1 + -

2

2

del centro de gravedad del arco de la astroide: x 3 + y 3 =-a3 situado en el prim er cuadran te. Desarrollo

2

2

vade (0,a) y (a, 0) de la curva: x 3 + y 3 = a 3 nos piden hallar i _I dx = a ' .V :' d x .

(x, y ) , como

3a i i l — I a3x 3dx = ~ a Luego: x = - ~ —= ^ a en forma similar y = ^ a

Jo

A 2a

5


364

1731

Aplica cione s de la Inte gral Defi nida

Hallar el momento estático de la circunferencia r = 2a sen 0, respecto al eje polar. Desarrollo

365

r a x ¡a Sea L = longitud del arco indicado = I ds = asenh — /

J-a

a! -a

L = a senh (1) - a senh (-1) = 2a senh (1) M x = í y d s= í acosh2*dx = a\ J ~ a

j ~a

d

(cosh — + \)d x

J — q

a

M x = a(—senh — + x) / = [ (— sen h2 + a )- (—senh(- 2 )- a ) ] a • -a 2 2 2 M x = a(asenh( 2 )+ 2 a) = a 2(2 + senh( 2 )) pa M = I xd s = I xcosh - -dx= (axsenh — a 2 cosh—) / « a a / J-a J-a

-a

M y = (a 2 senh (\) - a 2 c o s h ( l ) - ( -a 2i e n / j ( - l ) - o 2 cosh(-l))

M =A =

= 2a2 1732

M y = a 2 (senh(\) - cosh(l) + se nh (- 1) + cosh(-l)) =

fiJT

(l-cos20)dfl = 2a2( Q

a/j

- Ma 2(2 + senh( 2 )) ~ M y 0 luego: x = —- = — ——— = 0 ;y = —- = — ---------------.

jr

) / = 2a2(n -0) = 2a2n 2 / o

--

L

Desarrollo

2asenh (l)

- _ a (2 + senh( 2 )) - - _

Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria y = ac osh — comprendido entre x = -a y x = a. a

0

2 senh(l )

1733

’

'

L

2asenh(X)

a (2 + senh( 2 ))

2 senh(\)

Hallar el centro de gravedad del arco de circunferencia de radio a, que subtiene el ángulo 2a. Desarrollo Si x coincide con al abscisa del centro de gravedad de la mitad superior e — . dx y dx 2 a2 y = 0 , tenemos: Si — = — , y, l + (—)= — dy x dy x


366

Aplica ciones de la Inte gral Defi nida *2n j i *2 x M x = I y d s= I a(\- cos t)las en —dt= 4a 2 \ sen3(—)dt Jo Jo 2 J0

Puesto que x 2 + y 2 = a 2 para la mitad superior del arco se tiene: S = T - a. aax | Jo

í

{aserta dr x
aax-a sena

-

367

32 M x = — a 2 en forma similar para M y = 8a zJt.

aseria

x = ----- — a

Luego el centro de g ravedad es: 31a2 - M a2n - M 4 8 3 x = - + = — — = a n ; y = - ± = — 2 — = - a L Sa L Sa 3

1735

=>

4 ---(x,y) =(an ,-a) 3

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la x 2 2y elipse — + — = 1 y por lo ejes de coordenadas OX y O Y: (x > 0, y > 0 ) a~ b '

Por lo tanto el centro de gravedad esta sobre la bisectriz a una distancia se na a. ------ del centro de la circunferencia. Entonces el centro de gravedad del a arco de circunferencia esta:

1734

Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer cado de la cicloide: x = a (t - sen tj, y = a (1 - eos t). Desarrollo Se conoce que ds = \j(dx )2 +(dy )2 = asen Xdt puesto que (dx )2 - a 2 ( l - e o s t ) 2 (d t )2 => ( dy )2 = a 2 sen 2t(dt )2 yj(d x )2 + (d y )2 = íj^/(1-cosí)2 +sen 2t dt = a\ Í 2 y fl -c o st dt = lasen —dt [ 2iz

[ 2k

t

t ! 2 k

= JJo d s =Jo :la se n—dt = —4a eos —/ \ 2/

o

=8 a

(0 < t < 2k ).

Desarrollo

368

Eduardo Espinoz a Ra mos

1737 M

X

=

y f ( y ) d y = Ja

^-yyjb2 - y 2dy = ^~ JO &

369


Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por el prim er arco de la ci cloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y p or el eje OX.

3

Desarrollo Las coordenadas del centro de gravedad son:

1736

x = ——= — ; y = = — M 3n M 3n

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las curvas y = x 2, y = \[jt . Desarrollo x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) pina

r»¿>

f f M = J y d x = J

y d x , (0,0) si t = 0, ( 2rca,0) si t = 2 ji

Ahora encontrando el área se tiene: pin 1k .2 n M = f y d x = f a( 1 - cos t)a( 1 - eos t)dt = a 2 I (1 - eos t )2dt Jo Jo Jeo M = 3a n , ahora calcularemos M x , M y A- = y

' \fx + x 2 f~ 2 3 ---- ----- ( y ¡ x - x - ) d x = — o 2 20

1

a 2 (1 - eos í)2fl(l~ eos t)dt

M.

3 p2n ,, c _3_ .3 . tí 5a (1 - c o s / ) dt = ------

— M — M — g y = ~r r i x - —— '■ luego: y = - ~ = — M M

4 i: b

para x se tiene A 3 A=— 1 20

: A~x~ J X<^~X~ x 2 )dx

- 9 9 ; ILuego: x = y -= — => x = -— 20 20

M

fin

=f x f ((xx )d)dxx == JefIo

a(t-sen t)a(\-eos t)a(l-eo s t)dt

J a

r 2

=a3f Jo

(t - sent)(\ —cos t)2 dt = 3 Jt2a3

37 0

Eduard o Es pinoza Ramo s 5ain - _ M v 3a ' n - M 2 ' 5 x - - ¡ r r ~ - — Y ~ n a ' y ~ ~ Tr ~~ T T~ = 7 a M 3n a M 3a n 6

1738

Por simetría se tiene que el centro de gravedad se encuentra en el eje Y; luego: j c =z = 0

- 5 (x,y)-(na,-a)

6

Calcularemos M xz = momento estático del cono, respecto del plano XZ. El disco de la figura de base paralelo al plano XZ., tiene volumen dv = na~ dy, r ■ donde el radio a, por semejanza de triangulo se tiene: a = —(h-y)-, Luego h

Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a con el centro en el origen de coordenadas sobre el plano XOY.

Desarrollo

tenemos que: Se conoce que ds = 2nr dz, donde r = a por hipótesis y dz es la altura de la

f

zona esférica.

2k azdz z = — — --------= — I z d z - — lúa1 a Jo 2

Luego el centro de gravedad esta a la distancia de

2

Hallar el centro de gravedad de un cono circular recto homogéneo, si el radio de la base es r y la altura es h.

Desarrollo

_ 2»2 fñ h . 7ir 2 fp h . h . _ \2 j M xz = yd v = —— I y ( n - y ) ay = 12 'J o h' Jo

h ,, nr 2h Luego y = —— = — puesto que V = y 4 3

como x = y = 0 => el centro de gravedad es ( 0, 0,—) 1739

371

Aplic acion es de la Integ ral Def inida

3

a partir de la base del

cono. 1740

Hallar el centro de gravedad del hemisferio de una bola homogénea de radio a, con el centro en el origen de coordenadas situado sobre el plano XOY.

Desarrollo Determinaremos z para esto se tiene lo siguiente: la masa de una de las caras elementales (dividido el hemisferio) por medio de planos paralelos se tiene: dm = P nr 2dz , donde P es la densidad, z la distancia entre el plano secante y

la base del hemisferio, r = s]a 2 - z 2 , el radio de la sección, tenemos:

f

n ( «2 - z2 )dz 3 z = J o----------------= — a ; L uego por simetría se tiene: x = y = 0 2 -„3 8 —na 3 3 El centro de gravedad es: C.G. = (0,0, - a)


37 2

1741

Hallar el momento de inercia de una circunferencia de radio a, respecto a su propio diámetro. Desarrollo

Aplica ciones de la Integ ral Defin ida 1743

373

Hallar el momento de inercia de un segmento parabólico recto, respecto a su eje de simetría si la base es 2 b y la altura es h.

Desarrollo

r 2 I 7 v 7 Se conoce que: 7 = 41 y .11 + (— y d x Jo V dx

_ 4h b3 15

Donde la ecuación de la circunferencia de radio a, es:

2 2 =2a

X + y

, ‘ 4l

2

2

=> y = a —x

( a 2 ~ x2 )i

+ 7 dx

2

dy dx

1744

X y

y — = —

= 4 Jof \ C

2

je

Hallar el momento de inercia de la superficie de la elipse —- + — = 1, b a respecto a sus ejes principales.

Desarrollo

2dx

n 2 /1 .« 3 , ^ 3 I2 . 3 , 0 sen d.c os d ¡ K , . 3 .*. / = 4a I eos = 4a (—+ ------------- ) / =» I = 2a (—) = Ka 2 2 / 0 2 Jo

f

1742

0¿0

Hallar el momento de inercia de un rectángulo de lados a y b, respecto a estos lados: I a , l h .

Desarrollo dm

Se conoce que / = I r dm I ' /a = T y 2dm = a f y 2dy Jo Jo

/ ' =-

3 ' o

dy

De acuerdo a la figura, el momento de inercia del tubo cilindrico generado por rotación alrededor del eje X, del rectángulo R de la figura que tiene por base dy, y altura 2x. Es decir: dl a = y 2dv = y 1 (2ny)(2x)dy dla =4ny3xdx Luego Ia = I dla = 4n I y 'x d y Jo

I, = I x“í/m , donde dm = b dx Jo

r

4=1

f Jo

Jo

para est o param étrizamo s haciendo:

o =* 4 =

¿o 1

»ft x = a eos t, y = b sen t; Ia = 4 n \ b 3 sen 3t.a eos íi> eos t dt

Jo


374

n

n calculando la integral se tiene: I = — —— donde r es la densidad del cono.

Ia = 4 rtab4 I “ sen?t eos 2 / dt = 4nab4 I " (1 - eos 21)eos 2 t.sent dt Jo Jo 1747

,4. cos3í cos5r / r . 8na b 4 . - 4nab (--------- + -------- ) / = --------- en forma similar para el otro caso. 3 5 / o 15 1745

Hallar el momento polar de inercia de un anillo circular de radios /?, y R 2 (Rl < R 2), es decir el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro del anillo y es perpendicular el plano del mismo. Desarrollo

uno de estos anillos será dm = r 2r k dr y el momento de inercia es: C

I = 2 n \ r ' d r , donde r = l entonces Jr,

Hallar el momento de inercia de una bola homogénea de radio a y masa M, respecto a su diámetro. Desarrollo Escogemos un disco delgado paralelo al plano XZ y suponiendo que la densidad es P, el momento de inercia de un disco delgado de radio x, respecto al eje Y es ~ x 2 para hallar el momento de inercia I y de toda la esfera se suman los momentos individuales que acabamos de hallar en donde:

Dividimos el anillo, en anillos elementales concéntricos, donde la masa de cada

1746

315


dM = Pd v = Pn x2dy entonces í v = - ( P n x 2dy)x 2 = — Px4dy y 2 2

4 R jr I = 2 n .— / 2= — ( R%-R?) 4 / r, 2 21

Hallar el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su eje, si el radio de la base es R, y la altura es H. Desarrollo

Dividimos en una serie de tubos cilindricos elementales paralelos al eje del cono. El volumen de uno de estos tubos elementales será dv = 2rtrhr dr, donde r es el radio del tubo; es decir la distancia hasta el eje del cono.

La ecuación de la sección de la esfera en el plano XY (circulo) es x 2 + y 2 = R 2 , donde R = a.

r

h = H( 1 ----- ) es la altura del tubo, en este caso el momento de inercia es:

R

rR / = r I 2nH(\--)r'dr Jo ^

Luego: /„ = — f (o 2 - y 2)dy = — nP R 5 como la masa es m = —n a 3P ; * Z J-a 15 3 4 - 2a 2 2 7 se tiene: I „ = ( - t t a P \ ----- ) = -M a y 3 5 5

2 ■> Respuesta: I = - M a ~ -v 5


376

1748

Aplicac iones d e la Integra l Definida

Hallar el área y el volumen de un tubo engendrado por la revolución de un círculo de radio a, alrededor de un eje situado en el mismo plano que el círculo

Al girar la figura genera un cono cuyo

a)

volumen es:

y que se encuentra a una distancia b (b > a) del centro de este.

1749

a)

S=4n2ab

Determinar la posición del centro de gravedad del arco de la astroide 2

2

„

Área de la circunferencia =

Hallar el centro de gravedad de la figura limitada por la curvas: y 2 = 2 px y x 2 = 2 py . Desarrollo - - 2a - - 9p

j* x d x

a)

J x, ]\+ y '1 dx

rcR¿

compar ando y efectua ndo se tiene:

; longitud de la circunferencia =

2n y

^ ( 2n y) = — JtR 3

írs4 R , . , - 4 R , de donde y = — por lo tanto ( 0,-—) 3tt 3/r

b)

j" x J l + (—) 3dx

Al girar el triangulo alrededor de su base genera un cono cuyo volumen Jtbh2

x =

es: V = ------- donde b es la base y h es la altura del triangulo , según el f

+y'2dx

f y¡l + y' 2dx

J a

JO

teorema de guldin este mismo volumen seria: V = 2

3 f /‘

2

7/ o

b)

En forma similar el caso desarrollado de a)

a)

Hallar el centro de gravedad del semicírculo, aplicando el teorema de guldin.

b)

Demostrar aplicando el teorema de guldin que es el centro de gravedad de un triangulo dista de su base a un tercio de la altura.

Desarrollo

donde x es

la distancia del centro de gravedad a la base, luego comprobando se tiene: „ bh x „ nbh" - h 2 t t ( ——— ) = — - — = > x - — 2 3 3

- 5 * / o 2a . , - — 2 a x = ——-—- = — ; luego por simetría se tiene: x = y = — 3 - .a 5 5

1750

según el

2

x 3 + y 3 = a 3 situado en el primer cuadrante.

b)

4n 3 V =— R

teorema de guldin el producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad, es igual al volumen entonces:

Desarrollo V = 2it 2a 2b ;

377

6.6.

(T )

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE FISICA.

TRAYECTORIA RECORRIDA POR UN PUNTO.Si un punto se mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad v = f(t) es una función conocida del tiempo t, el espacio recorrido por dicho punto en un intervalo de tiempo [tl,t2\ ser igual a:


378

379

Aplica ciones de la Integr al Definid a 1751

- f

La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial v0 , despreciando la resistencia del aire, se expresa po r la formula: v = v0 - g t , donde t es el tiempo transcurrido y g es la aceleración de

©

TRABAJO DE UNA FUERZA.-

la gravedad, a que distancia de la posición inicial se encontrara este cuerpo a los t seg. de haberlo lanzado? Desarrollo

Si una fuerza variable x = f(x) actúa en la dirección del eje OX, el trabajo de esta fuerza es el segmento [x¡,x2] será igual a:

A = ©

r

f( x )d x

datos:

ENERGIA CINETICA.-

v = v0-g t t = tiempo g = aceleración de la gravedad

cálculo de la distancia recorrida a los t seg.

Se da el nombre de energía cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a la siguiente expresión:

ds v « - = v0 - s ,

=>

Jo

f '( v 0 - gt) dt Jo

La energía cinética de un sistema de n puntos materiales de masas m¡ , m2,..., mn , cuyas velocidades respectivas sean v ¡, v 2 ,..., v„ es igual a:

s = v0t - g 1752

Para calcular la energía cinética de un cuerpo, hay que dividirlos convenientemente en partes elementales (que juegan el papel de puntos materiales) y después, sumando la energía cinética de estas partes, y pasando a limites, en lugar de la suma ( 1) se obtendrá la correspondiente integral.

©

La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0, contando la resistencia del aire, se expresa por la fórmula v = cJg (~— y + arctg —) donde t es la tiempo transcurrido, g es la aceleración c c de la gravedad y c es una constante, hallar la altura a que se eleva el cuerpo.

Desarrollo

PRESION DE LOS LIQUIDOS.Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de pascal, según la cual, la presió n que ejerce n los líquidos sobre una área s sumergía a una profundidad h es igual a: p = yhs, donde y es el peso especifico del liquido.

v = c / g ( - g - + arctg (— )) datos:

t = tiempo c = constante g = gravedad

381

Aplic acion es de la Inte gral De finida


380 dh , t v0 v = — = cl g ( - g - + arctg — ) dt c c

1754

f dh = f [c.tg (-g- +arctg — ))dt Jo Jo c c

. hallar el seg camino recorrido por dicho punto desde que com enzó a moverse hasta qu e paro por com pleto. Desarrollo La velocidad del movimiento de un punto es:

v = te~°mu

dato: v = te~°'ou h = ~ — ln|sec(-g — + arctg — ) | / g c c >o 2

h=

2

ds = te -oon , •integrand. o rI ,ds = fI ' te-ooir dt = e“° ol'( 0.01f - l ) / / ' v=— --------------- -----dt Jo Jo ( 0.01)2 / o

2

ln | see(- g —+ arctg — | + — ln(l + -y) g c g C C¿ 2

2

h = -h +— ln(l+^-) => g e 2 1753

calculo del camino recorrido por un punto desde que comenzó hasta que paro.

2

-

2

2 h = — ln(l + ^ -) de donde g e -

2

_ g -0-01' (1 - 0.0ir)

2

h = — ln(l + ^- ) 2 g e

0.0001 el punto para que se pare por completo es cuando v =

Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con una velocidad que viene dada por la fórmula v = v0 cosco?, donde t es el

para t = 0, s = —

Desarrollo v = v0coscor, t = 0, x = 0

a)

calculo de la ley de vibración del punto. v = — = v0cos©í => dx = v0 cos(ütdt vn cos cot d t , de donde x = — sencot / =— sencüt (0 1 0 0 ) Vq

x = — sencot (O

-m = \ 04m

(íor4

tiempo y v0 y co son unas constantes, hallar la ley de la vibración del punto, si para t = 0, tenia una abscisa x = 0. a que será igual el valor medio de la magnitud absoluta de la velocidad del punto durante el periodo de la vibración.

0 => t = 0.

1755

s=

104m

Un proyectil cohete se levanta verticalmente, suponiendo que, siendo constante la fuerza de arrastre, la aceleración del cohete aumenta a causa e la disminución de su pero según la ley: j = ------- , (a - bt > 0). hallar la longitud a-bt del cohete en cualquier instante t, si su velocidad inicial es igual a cero, hallar también la altura que alcanza el cohete en el instante t = tx.

Desarrollo a)

Calculo de la velocidad del cohete: Datos:

v0 =0 ; j = ------- » a - b t > 0 a-bt

dv A , A dt j = — = ------- => dv = dt a - b t a-bt


382

Aplica ciones de la Integra l Definida

Ad t , x /' fI vdv = f' A I ------- => v = ------ln( a - b t ) I

Jo

Jo a - b t

b

T

/ o

A A A a A, a v = ---- \n(a -bt) + — lna = — ln(-------------------------------------------------- )v= b b b a- bt b a-b t

H

—ln(---- —)

383 co-Fds=E„

E p - mgh , y =

m g

yv m = — donde y = peso especifico g

b) Calcu lo de la altura en el instante t. — = v = —ln(—-—) = —l n a - — \ n(a-bt) => d s = - ( \ n a - \ n ( a - b t ) ) d t dt b a- bt b b b

V = itR~H , de rivand o se tiene: dV = nR dh

f ds = — f (ln a - ln(a - bt))dt Jo b Jo

( 1)

dE p = d (mgh) s = —[/ ln a - 1 ln(a - b t ) + 1 + — ln(a - bt)]/ b b I o

calculando dm:

s = A r [bt lna - bt ln(a - bt) + bt + a ln(a - b t ) ] l lo bh 2

yv m ~ — 8

s = — (bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln(a - bt) - a ln a) b2

ahora (1) en (2) se tiene:

1756

s = A r ( b t - ( a - b t ) ln(

Jo

■)) a-¿í

Calcular el trabajo necesario para sacar agua que hay en una cuba cilindrica vertical, que tiene un radio de base R y una altura H.

Desarrollo

... (2)

y d E = ( y n R - — )g h

ch

s = -4 -(bt - (a - bt) ln a + (a - bt) ln(a - bt )) b2 s = Ar (b t + ( a - b t ) ln( a ■- -)) fe2 a

dm = yrcR —

, dv => d m - y — 8

t

1757

Jo

i 1

gh dh - y nR 2 I hd h Jo

yrrR2 H 2 = ----------- pero E = a) por lo tanto

JtyR2 H 2 co = — ---------

Calcular el trabajo necesario para sacar el agua que hay en un recipiente cónico, con el vértice hacia abajo, cuyo radio de la base es R y la altura H.

Desarrollo

384


Aplica ciones de la Inte gral Defi nida 1758

E p = F d s =m

Calcular el trabajo necesario para sacar el agua de una caldera semiesférica, que tiene un radio R = 10 m.

donde to = trabajo

Desarrollo

mg yv Y = — => m = — — v 8

(1)

0

y = peso especifico

dm
E„ = mgh

dv

jK r ~3 g

=> r =

—> —> [x, x+dx] => dW = F .d r = p n (R 2 - x 2 ) x d x , integrando en ambos miembros:

yjcr dm = ------ dh 3 g

Ó

.

Jo

_ ^ / / 12 p

f*

Jo

Jo

R 2 x 2

x4

3//

Jo

4*o

jz R

/.

Ep =-

2

(ú = p = (0.79)10 3 xl O4 , siendo p el peso de 1 dm i de agua 4

Rh H

/2

f“

I dco = I p n (R 2 - x 2)xdx = Pn (—1------------) /

( gh) dh , ahora cambio de r a R

h A 2 h2dh

p d V = p n (R 2 - x 2 )dx

La distancia en el cual actúa esta fuerza es:

.(3)

1759

Ep = g ~ \

La fuerza F requerida para bombear el agua de este dV es igual a su peso.

X' r

=> dE = d(mgh)

f M "Jo Jo h R —= — r H

■(2)

dV = tiy2dx = n(R 2 - x 2)dx

X

/ dx

dV = —Jtr2dh 3

reemplazando (2) en (3) se tiene:

El disco comprendido entre x y x + dx tiene un volumen.

R

x

1 roH V = —n 3

dm = y

385

12

(0= 0.79JtlO 7 k g - f Im

Calcular el trabajo necesario para sacar, por el orificio superior, el aceite contenido en una cisterna de forma cilindrica con el eje horizontal, si el peso especifico del aceite es y, la longitud de la cisterna H, y el radio de la base R.

Desarrollo

Eduard o E spin ola Ramo s

386 m8 y=—

Yv => m = —

387

Aplica ciones de la Integ ral Defin ida

=* m 8 = y —mM > v = -gRrM r2 R-r =

... /(i1\)

- (2)

H

de (2) en (1) se tiene: W = gm~- si hay que expulsar el cuerpo al infinito h->°° 1+

. .( 2)

-

R

mM R

w = y----.. (3) 1761

... (4)

1760

Desarrollo

dcü = d(gmh)

E p = co = mgh

Jo

Dos cargas eléctricas e0 = 100 CGSE y e¡ = 200 CGSE, se encuentran en el eje OX en los puntos xQ = 0 , xi = 1 cm , respectivamente. ¿Que trabajo se realizara si la segunda carga se traslada al punto x 2 = 10 cm ?

Ídh

£c dinas, por consiguiente, x el trabajo necesario para trasladar la carga e, desde el punto x x al punto x 2 La fuerza de acción m utua de las cargas será F =

(ù = yn R H

Jo

Jo.

Que trabajo hay que realizar para levantar un cuerpo de masa m, de la superficie de la tierra, cuyo radio es R, a una altura h?. A que será igual este trabajo si hay que expulsar el cuerpo al infinito.

sera:

C *2 dx .1 1 . . o , ft4 -T = e0e¡( ---------) = l. 8.d 0 ergios w = e0et , Jx, JC2 x, X2 »vÎ.SaIO 4 ergios

■

Desarrollo

1762

Según la ley de gravitación universal, la fuerza F que ejerce la tierra un cuerpo , , „ mM de masa m esta dado por: F = y — — donde y = constante de gravitación R 2

Desarrollo

M = masa de la tierra, m = masa de un cuerpo cualquiera R = radio de la tierra i w

CR^h mM

-J.

^

mM / R+h

dR- y^ L

como la fuerza atracción es igual peso (mg)

w - y m M ( - ------ - — ) ' R R +h

Un cilindro con un embolo móvil, de diámetro D = 20 cm., y de longitud i = 80 cm., esta lleno de vapor a una presión de p - 1 0 kgf Icm2. ¿Qué trabajo hace falta realizar para disminuir el volumen del vapor en dos veces si la temperatura es constante (proceso isotérmico)?

... ( 1)

Para el proceso isotérmico pv = p 0v0. El trabajo realizado en al expresión del gas desde el volumen v 0 hasta el volumen v, es igual a: v w= I p d v = p 0v0 ln— = 800* ln2 kgf / m JV2 vo

.\

w = 800jtln2 kg f/ m

388 1763

Eduar do Es pinoza Ram os Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabática del aire, hasta ocupar en volumen v ,= 10 m3, si el volumen inicial es v 0 = 1 m 3 y la presión

El trabajo de la fuerza de frotamiento, sobre estos anillos, durante una vuelta

p 0 =1 k g f / c m 2 .

completa es:

Desarrollo w= Para el proceso adiabático es valida la ley de Paisson p vk = p 0V q , donde k = 1.4, de donde:

Jj 2

k

1755

[ l - ^ - 1] V[ k -1

de donde al reemplazar sus valores se tiene:

1764

389

Aplica ciones de la Inte gral Defin ida

w = 15,000 kg - f / m

dw ■

4nu p f"

a2 Je

dr , por lo cual el trabajo total

2

r~dr = —Jtupa

Calcular la energía cinética de un disco, de masa M y radio R, que gira alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco con una velocidad angular co. Desarrollo La energía cinética de un elemento del disco:

Un árbol vertical, de peso P y radio a, se apoya en una zanja AB la fricción entre una parte pequeña o de la base del árbol y la superficie del apoyo que esta en contacto con ella es igual a F = upo donde p = constante es la presión del árbol sobre la superficie del apoyo, referida a la unidad de superficie del mismo , y u es el coeficiente de función. Hallar el trabajo de la fuerza de fricción en una revolución del árbol.

„ v2dm pr 2ío 2 , , , , , , d k = -------= ------- d a . donde da = 27irdr 2 2 es el elemento de superficie, r, su distancia al eje de giro; p, la densidad ^ ^ 2 superficial p = ---- —de esta for ma dk = ---- — r2dr , de donde: 2 k RnR--

k 1766

Meo 2 f Ä MR 2( 02 r3rfr = R 2

MR 2( 02 w=-

Jo

Calcular la energía cinética de un cono circular recto, de masa M, que gira alrededor de su eje con una velocidad angular ©. El radio de la base del cono es R, la altura H. Desarrollo

Cdm) disco = P d V Si a es el radio de la base del árbol, la presión s sobre la unidad de superficie de apoyo será P = ——-, la fuerza de frota miento de un anillo de anch ura dr, que n a ' se encuentra a una distancia r del centro, será igual a

a

r dr .

„2 , i :vi ¿dz ' /VI M 3 Mx KX dz = ■ R 2H k R2H

(dEc)disco =

w2 x 2 3Mx 2 3Mw 2 x*d z dz = 4 R 2H R2H

Z =— H -----R-x R

=» dz; = — -d x R

216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale

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