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A n á lis is M a te m á tico III
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ANÁLISIS MATEMÁTIC011I PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA {1ER EDICIÓN)
m
X
E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S LIMA - PERÚ
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ÍNDICE 1. CAPITUL01 1.1. SUPERFICIES CUADRÁTICAS......................................................................................1 I.S. FUNCIONES DE VARIABLE VECTORIAL................................................Efi 1.3. LÍMITES DE ‘FUNCIONES VECTORÍALES................................................. 2? E. CAPITULO 2 B.1. FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL......................................34 3. CAPITULO 3 3.1. FUNCIONES DE VARÍAS VARIABLES.................................................... -.59 4. CAPITULO 4 4.1. LÍMITES..................................................................... ......................W 4.2: C O N T IN U ID A D .................................................. ,....... ,...,......... 164
4.3. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.... ............................................................................................................................................. 4.4. M ÁXIM OS Y M IN IM O S ............................................................33E 4.5. GRADIENTE V ROTACIONAL................ ,...,......... ......... ................_351 5. CAPITULO 5 5.1. INTEGRALES DOBLES.......................................... .............. .............359 5.2. V O L Ú M EN E S .................................................................................419 5.1. COORDENADAS POLARES..................................................................*4B 5.2: A r e a de u n a s u p e r f i c i e ................................................... mi
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-
b) Lasliazas sobre las planas coondEnadcs:
E5eY:y=*^ =>M +
•
=*M 4 |y|=t-zSi hay
Sobre el plano XY, se haoE: z=k
9x,+4yt=k
Familiade elipses con centro en el origen y eje focal paralelo al ejeV. -
EgeZ:z=»^z =» M + lyI=&<-*) =» 1*1 + Irl = & « No hay
* -
c) Límenlas: Sihay
PlanoX {-x,y,z) =» {-x,y,-z) = »l-id + hH = fi— 3t=t ld + hH=fi+i
»
En el orisen: ( w > =* C*,-y,-s> =*. ■9r;-x>i++r-y;ji=1B(-z) =» !bí+4y*=-1Eii
No hüy
No hay •
Graficanriüs;
se hace: y^=0=í. 12z=9bí*
Familia de parábalas con vértices en e1 crinen y eje focal paralelo al eje Z.
Plano í (xjf) =!■(-^ y ) = »|-H + I - V I - 6 — i= »W + M=fr*
-
e)
• Sobre el plano
En los planas cacndenajdaa:
En tosejes coordenados: Ej e X;k =»-x => -
-
+4/=1 Ez =t ftí ■ +4/=12z
Si hay
=t :'1+4í-yj1=l Ez =!■'5x1+4yi=iaz
Si hay
Eje Y :y=t^
Eje Z: z =t- -z =t » í ' W ^ I S(-z) =t qjí+4y*=-1fe
• 9x1+4y -12z = H
-
Con el cíe Y: x=st=Ü=»y^Q Con el e¡E Z: x=^Ü =tz=(J
Si hay
Plano X: (s.y.z) =t- (x .-Yj-z)
• Coneleje!fcyi=zí=0^>ííi •
Plano Z: {*,*)=* (-x-y) =a q<-x)1++(-y^=12z =t 9bí+V=1 Ez
J H 2 E D ID B Í a)Interacciones con Ira ejeEcoondenadoa:
•
No hay
En los planes coordenados;
=t S h V íí-y^l Ef-z) =t- 1 >
No hay
Plano V: (-x,y£l =*■( x,y,-z) =t
9)?+4y*=-1 Ez
No hay
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EDUARDO E5P1NOZARAMOS j
1
(
BWUmPOESPWaZABAMOS «
• Graficamos:
c) Las trazas sobre los planos coordenados: • Sobre el plano XY, se hace: z=k =»/x+-/y W k = 1 Familia de curvas con vértice en C(0,0) • Sobre el plano XZ, se hace: y=k =» i/x -t-Vz +Vk = 1 Familia de curvas con vértice en C(0,0) • Sobre el plano V^. se hace: x=k =» V z + V y +Vk = 1 Familia de curvas con vértice en C(O,0) o
d) Simetrías: • En los ejes coordenados:
*l+z*=Ts(y) a) Extensión. El dominio:
-
EjeX:x=*-x, x/^x+Vy W z = 1
No hay
-
E^ey:y=>-y, x/x+,/y-i-/^z=1
No hay
-
E je z :z ^ -z , >/x-*-^yW^s = 1
Nohay
y£0=* D = {(x,y)e9í*/yaO} El rango:
b) Intersecciones con los ejes coordenadas: • Con el
•
Bn los planos coordenados: -
Plano Z: (x,y,z) => (-x,-y, z)
R = {zeiR}
eje X: y=0
z=0=>x=0
•Con el eje Y: x^)
z=0=>y=0
•Con el eje Z: x=y=0
z=0
Nohay c) Las trazas sobre los planos coordenados: -
J x * n fy+ J^z = \
-
• Sobre el plano XV, se hace; z=k => x*+k=Tg(y)
Plano X (x,y,z) =*■(x,-yt-z)
Familia de curvas con vértice en C(0,0)
Nohay
• Sobre el plano XZ, se hace: y=k => x?+z*=k
Plano Y: (x,y^> =» (-x,y,-z)
Familia de circuios con centro en C(0,0) V ^x+ V y+ V -z = l
Nohay • Sobre el plano YZ, se hace: x=k^k+z*=Tg(y) Familia de curvas con vértice en C(0,0)
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
«■«wedukaeruoom
SOLUCIONAfbOANALISIS MATEMATICO III
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• Con el eje Y: y=0 En los planos coordenados:
z=0
=>y=0
• Con el eje Z: x=y=0 =>zxO
Plano xz: y=» -y => x*+j?=Tg(-y) => xVz^-TgCy) No hay Plano xy: z=> -z =» x*+(-z)*=T8(y) => x'+z^TgCy) Si hay -
Plano yz x=>-x =* (-x)*+z*=T!j(y) => j¿+^=Tg(y) S hay
c) Las trazas sobre los planos coordenados: • Sobre el plano XV, se hace: z = k=» x* =2x+4k • Sobre el plano XZ, se haoe: y = k => X1 =2x-t-4z
E)eZ:(x,y)=í.(-x,-y)
xí+^=Tg(-y)
No hay
EJeX:(y,z)=*<^-z>
x*+^=Tg(-y)
Nohay
Eje Y: (x,z) => (-x,-z>
x*+z*= Tg(y)
Si hay
• Sobre el plano YZ, se hace: x = k=> k*=2x+4z d) Simetrías: •
En los planos coordenados: Plano xz: y => -y => x*+2x+4z -
Si hay
Planoxy: z => -z =* xi+2x+4(-z>=2x^z =* No hay Plano yz: x => -x => (-x)*=2(-x)+4z =s- x=-2x+4z
Nohay
• En los ejes coordenados: -
Eje Z: (x,y) => (-x,-y); (-x)*=2(-x)+4z
=>xí=-2x+4z
Nohay
-
EjeX:(y,z) =>(^ ,-z ); x‘ =2x+4(-z)
=***=2x-4z
Nohay
-
Eje Y: (x¿¡) => (-x,-z); (-x)*=2(-x)+4(-«)z =*x*=-2x-4z
Nohay
Graficamoe: 4z=(x-l)*-1
a) Extensión. El dominio: *z=x*-2x => D = {(x,y)í 9&) El rango:
R = {zeSR}
Con el eje X y=0
z=0
T
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a) Extensión. El dominio: z=2-y*=»D = {(x,y)€M*} H. Rango:
R={ze9tfeá2}
b) Intersecciones con los ejes coordenados, • Con e) eje X: y = 0; z = 0
=>
No hay
• Con e) ejeY: x = 0 ; z = 0 =>
y=W2
• Cone)ejeZ:x = y = 0
=»
©
4x*+9yV=36
z =2 a) Extensión. El dominio:
c) Las trazas sobre loe planos coordenados: •
Sobre el plano XY, se hace: z=2+k => rectas
•
Sobre el plano XZ, se hace: y=2+k => rectas
•
Sobre el plano Yl, se hace: no existe
z*=4x*+9y*-36=>4x*+9y*-36a0=s D = {(x .y )««4^* + ¿ s l}
d) En los planos coordenados: -
Con el ejeX:
y = 0 ,z = 0 =>x=±3
Plano xy. y => -z =» y*-z=2 => No hay
Con el eje Y:
x = 0 ;z = 0=>x=±2
Plano yn x =* -x => Si hay
Con el eje Z:
Plarvo xz: y => -y => y*+z=2 => Si hay
x=y=0Nohay
En los ejes coordenados: -
Eje Z: (x,y) => (-x,-y) ; yi+z=2
Si hay
-
HjeX(y,z)=*(-y,-z);y»-z=2
No hay
-
Eje Y: (x¿t) =* (-x,-z); y*-z=2
I SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
Sobre el plano XY, se hace: z=k
No hay
wwwodutam; oom
I
=> 4x*+ 9y*-36=k=> elipses
Sobre el plano XZ, se hace: yak
=> 4x*-z*=3ó hipérbolas
Sobre el piano YZ, se hace: x=k
=» 9y>-z*=36 hipérbolas
w w o d u k p o w . c c m SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMÁTICO III I
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En los ejes coordenados:
G
-
Eje Ti (x,y> => (-x,-y) 3x*-6y*+2z?=6 =s
-
EjeX(y,z)=*(-y,-z)3x*-6y*+2z?=6=í
-
Eje Y: (x,z) =» (-x,-z) 3xi-6yi+2z*=6 =s
3x*-6y,+22?=6 a) Extensión. El dominio: El rango: R={zeíR}
0
b) Con el ejeX: y=0
z=0=>x=±v2
Con el eje Y: x=0
z=0 =» -y*=6
No hay
Con el eje Z: x=y=0 =>z=±V3 c) Las trazas sobre los planos coordenados: • Sobre el plano XY, se hace: z=lc ; 3x* -íry1= 6 - 2k* =
z+y*-2y=0 a) Extensión. El dominio: D = {(x,y)e«*} Q rango: R= {zeSK} m los ejes coordenados: Con el eje X: y=0 ; z=0
• Sobre el plano XZ, se hace: y=k => 3x*+2zs =6+6^=* elipses
Con el eje Y: x=0; z=0
• Sobre el plano YZ, se hacer x=k =» 2z* - 6 / = 6-31^ => hipérbolas
Con el eje Z: x=y=0
=> no hay => y=0 y=2 ^ z=0
d) Simetrías: • En los planos coordenados:
Sobre el plano XY, se hace: z=k ;
-
Plano xz: y =* -y =* 3xí-6yí+2zi=6 =>Si hay
Sobre el plano XZ, se hace: y=k
-
Plano xy: z =» -z => 3x,-6y*+2zi=6 =» Si hay
Sobre el planoYZ, se hace-. x=k
Piano yz: x =» -x => 3x?-6/+2z*=6 => Si hay
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•s s s s s ^
j s s l
.(■
).......
d) Simetrías: • En los planos coordenados:
c) Las trazas sobre los planos coordenados:
Plano xz:y=s>-y=» z+ys+2y=0 =» No hay
• Sobre el plano XY, se hace: z=k ;(x+2)*+(y-3)!+9=k circuios
Plano xy: z =» -z => -z+)?-2y=0 => No hay Plano yz: x = »-x ^ z+y*-2y=0 => Si hay •
En los ejes coordenados: -
• Sobre el piano XZ, se hace: y=k=>(x+2)*+k+9=z
parábolas
• Sobre el plano YZ, se hace: x=k =» k+(y-3)*+9=z
parábolas
d) Simetrías: Eje Z: (x,y)(-*,-y)
z+y*+2y=0 => No hay
• En los planos coordenados:
-
Eje X (y ¿) =» (-y,-z) z+y*+2y=0 =» No hay
-
PlanoXZ:y=*-y=>zKx+2)l +(-Y-3)M
No hay
-
Eje Y: (x,z) => (-x,-z) -z+y*+20=0 => No hay
-
Plano XY: z =» -z => -z=(x+2)4+{y-3/+9
=>Nohay
-
Plano YZ: x =» -x =» zs(-x+2)*+(-y-3^+9
=>Nohay
• Graficamos: • En los ejes coordenados: -
O
Eje Z: (x,y) =*■(-x,-y) => z=(-x+2)*+(jy-3/+9 =» No hay
-
EjeX(y,z)=»(-y,-z)=> -z^x+tf+0y3)ta =» No hay
-
Eje Y. (x^) => (-X.-Z) => -z=<-x+2)Vjy-3)*+9 => No hay
z=(x+2)*+ El rango:
R={zeWz£9}
B==i_ b) Intersecciones con los ejes coordenados: .
Con el eje X y=0 ,
• Con el eje Y: x=0,
• Con el eje Z: x=y=Q
z=0 =» 0=(x+S),+9+9
No hay
z=0 => 0=4+(y-3)*+9
No hay
=> z=4+9+9=22
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y -\ *
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l-Sen(t| l-Cos(2t)
H
/ p -s « (t )P
'
■ N
n/I-S ^’ O)
LHopital derivando en cada término d
£_t
i
■M
=(0,0)
{2 ~ \ t ^Cos(t)
/ D -S e n W T '^ W ^ -,] L L= ,:_ [vf'|-Sen(t)>/USen(t) *4
^[l-Se^it)]*
£ *^Ul-Sen(t)
2 J
-1
-Sen(t)
'- C k 'W*
"2
s r f f 'l Ü Í í ]
Aplicamos L'HopiraJ derivando en cada (Érmino e)
numerador y denominador en la primera y segunda función.
e’ -e •*>£) _ t-1 ' 1-t ’
-N ) C
L~'*FÜ
= (e -l,2 )
r, Í SeflC7t) Stn(St) TS(3t) to [—
L-g sfe ? 1- Cos(2t) ° “ <*>
zi
i -i
SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMÀTICO III
«vwebutpeni m r
............
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III I
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kMOS «
SOLUCION L=
L = lim^Ln(t),VÍ"+t\j^-p J
' ^ ( a t l j Apl*camo3 L’HoPital derivando en cada término Limites laterales:
ei numerador y denominador de cada fmción f 7Cos(7t) 5Cos(5t) 3Sec’ (3t|] 1 ’3Cos(3t)’ 2Ccs(2t)J
L,= ^ [ ü , ( t ) ty i 7 ? ,^ L ] = [ L n ( 2 ) rV Í T ? / ¿ _ ]= [ li .(2 )tV s ,« ] U= l | m ^ lii(t),y r i7 ,-^ j= ^ L n (2 ),V ÍT 7 ,-A ¡ j= [ü »(2 )tV5,«>]
I 7Cqs(o) 5Cos(0) 3Sec1(0)1 [_ 5 3l ■[ 1 '3Cos(0)’ 2Co6(0) J- [
Luego: lim f(t)* lim f (t) => L = lim f(t) no existe
O
Aplicamos Hópital en cada límite: L = jim|^
11‘l~c °B( t)
j Aplicamos L Hopital derivando en cada término el
[l-CosfSt) ^1+tSen(t)-ll L' S [
t*
•
f
. Fssen(5t) Sen(t)+«Cos(t) 1
J"ü 5 [
St
' 2t(2)y 1•+tSen(t) J
numerador y denominador de cada función.
l
. s [£ s ^ .¿ = É í,;],[£ = a ,í= f e ),£ ].H V )
SOLUCIONARLOANAUStS MATEMATICO III
H
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M 7 .V J » ™
UNCIONESVECTOWALE 0
Calcular ¿6, si a = (2,-4,1) y bJ^’[te, ,tCh(2t),2te-s]dt
Desarrollamos la integral: b =J4'[te,‘rtCh(2t),2te-*}lt Integramos por partes en las tres fondones: u=t =» du=dt v=| e**dt = — 2 u=t
u=t=> du=dt
v=ÍCh(2t)dt = 1 Sh(2t) 2
du=dt v=2Íe"ildt = e41
, J e +1 2Sh(2)-Ch(2)*1 l-3e~*l
Ahora el producto escalar:
b=(?, i t)^-,1gSh(2)-Cli(2Kl 1-3T» -2 S h (2 )+ C h(2)-1 + Iz2 l! = £ 2 -e SOLUCIONAFHOANALISIS MATEMÁTICO Bl
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Hallar la función vectorial
f continua en el
intervalo <
f(x) = xe'Á+-l| f (t)dtVx > 0, siendo A un vector fijo no nulo. Q
Calcular las siguientes integrales: a) J[4Sen(t)i + 3Co6(t)j]dt
b) f]t^i + gl dt d) JJJ,[Sen(t),Co8(t),Tg(t)]dt
x f(x ) = x*e*A+íf(t)dt
e) J4,(Vt1VftT¡)d t x f '(X) + f (xX = (xie‘ +2xe‘) A + f (x) xf '(xMx'^+Zxe’ ) Á =>f '00 = (xe*+2e*) A f (x) = Á j(xe*+2e*)dt = (xe*-e*+2e*) A = (xe+x**x? A =e*
f
[4Sen(t)i+3Cos(t)j]dt=-4Cos(t)+3Sen(t)+C
b )J [ te-*,i + í ] d t = - ^ - ¡ +^ j + C
Una función vectorial f , que nunca es cero y
le derivada continua f ’(t), Vt, siempre
es paralela a su derivada, demostrar que exis
in vector constante y una función real
positiva H' tal que f (t)= ’F(t) A , Vt.
d )f >'"[S B i(l),O i»(t ),lS (l)]i».{* -C i»(l),S o 1(t),-ü (C b i(>)]||l
1■HíMíWKi®-^
Debemos probar que las funciones vectoriales cumplen la condición de paralelismo para
Según lo definido: f '(t) = kf(t)=»Si 'F(t) A = f '(tyk Se cumple: f (t) = H*(t) A , Vt Demostrado.
f) £ (e',te')dt =(e‘,te* -e')|^= (e -l,e -e + l)= (e-1,1)
Una función vectorial f satisface la ecuación t f '(t) = f (t)+t A , Vt t>0, donde A es un vector fijo. Calcular f T O y f (3) en función de A si f (1) = 2 Á . SOLUCtONARIOANÁLISIS MATEMATICO Hl
H -----
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a) En laexpresión: tf’(t)= f(t)+ tA derivamos:
f(t)+«r(t)= f(t)+A=*f-(t)=^ parat=1
El ángulo entre vectores se obtiene de: a.b =|sJ|bJcos((>) Derivando laexpression: f (t). V*t=> |a||tj|Cas(;7) = I
= » f (l) = A
f '(t). V =1 =» f ICtX V =0 Esto indica f "(QXV b) Parat=3: 3f'(3) = f(3)+3A
Además f '(ty/ V , luego f "(tJXf '(t) demostrado.
En laecuación: tf'(t) =f(t)+tA=*f'(tj = - ^ + A = > f ' ( t ) - ^ = A
^
Sea una curva C descrita por una partícula móvil en 9t\ Dar una demostración o poner un contra ejemplo.
Esta es una ecuación diferencial lineal:
+p
De donde:
e ^ q íx J d K + k ]
c) S el vector velocidad es perpendicular al vector aceleración la curva es plana.
f(t)=eK j/e'1* Adt+kJ=e“<« [fe“«Ádt +k] a) Para que lavelocidad sea constante: f(t) = t [ j ^ d t . k ] = t[A ln (,)+ k]
f ’(t) = ai + bj donde a y bson constantes Laecuación de la trayectoria: f (t) = J(ai-bj)dt = ati + btj + k x=t y=t
y=x+k
Si f(l) = 2Á, hallamos le f(l)=ÁLn(l)+k=>k = 2A=>f(t)=t[ÁLn(t)+2A] f(3)=3[Aln(t)+2A]=»f(3)=3A[Ln(3)+2]
b) Pataque laaceleración sea constante f "(t) = ai + bj
donde a y bson constantes
La ecuación de latrayectoria: Dado un vector V*0 y una función vectorial f , tal que f (t). V =t, VtsiR y tal que el
f '(t) = í(aM») dt = ati + btj + k
ángulo formado por f '(t) y V es constante. Demostrar que f "(t) es ortogonal a f '(t). c) Para que la aceleración sea perpendicular a lavelocidad: f 1(t) = ai+bj I SOLUCIQMARIQAt
f (t)=ari*btj
=>aV+b*t=0
=> a*^b*
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO
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Laecuación de latrayectoria:
í'(t)=JWWi®dt=-Y+T Í+k Puesto que la ecuación depende de t en términos de x e y, la expresión hallada corresponde a una curva plana en z=k.
O
Determine una función f : IcjK-tdi* que parametñce la curva indicada a) La recta y=2x, recorrida del tercero al primer cuadrante. b) La cuarta parte del círculo x'+y*^ que se encuentra en el segundo cuadrante,
l, = f
Osfcd
I,= J
Osfcsl
c) El cuadrado bd + lyl = I recorrido en sentido anohorario. d) El segundo de la curva y=lt-bd comprendido entre x=-2 y x=2 recorrido de El segmento de lacurva ytx*-l I comprendido entre x=-2 y x=2 recorrido derecha d) Y = 11-1x11-5 Para IxJ = i 3
a) f(t)= ]
b) f(t)=
te <-eo, *>
fW -
1+x -1 -x
1 -^
xkO
l+>4
x<0
1sxs2 0Sx<1 -l £ x < 0 -2 S x <-1
íx = -v''3Sen(t) . . t£[0r^2> [y=V5cos(t} ftf-1 H x )= Jl-x * j¿ -1
l£ x S 2 -ÍS x < 1 -2 S X S -1
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Determine una lunciún f : I c 3t -> 9^ que parametrice la cuva ¡ndicada. a) La parte de la rectay =¿b&3z que se encirentra en el primer octante. comenzando b) La parte- de la necia, que resulta de la intensecdfin de Ira dos planee x+2y-z=0,
C = jy = 3CoBt , Dsts&r
3ky +í>i =0, correspondí ente a z£fi, connenzando en el origen. Ei dnculü que- resulta de la intersección del paraboloide
con plano &4
ccmtemandü en el plano (0,2,4) oon el sentido de recorrido {0A4) -►
O
(ür-SW->(2,0,*)-KQA-l)-
Encuentre unaTe bJCKt+y1= '9Jz=a
fe
d)C;j¿ = 4y,^=B4z
a) ^=2)rfz dividimos entre
e) G (x-1)1+ 4ty-E)1 =■4 z=Q
C=Jy = fit „ tfc» [z=at b) Los planos; x+S¡¡r-z=(}r3x-y+5z=Q n^fl.Sr-'l)
11 J nt = (3,-L^)=> n=n,xi^ = 1 2 3 -L
ti - i = (9,-ar-7) 5
El punto inicial de la recia: Pt = (Q.O.ff) con n = O^AT) P = Pt+ tn => P = rOAtl) + ^ A 7 ) = (-l?t^tr'7*) De donde: k = -9t, y=Bt. z=7t, t£i
I” " »
C = j y =6t , t£ [} [ z = 7t c)
con plano z=4 comenzando en el punto (0,E,+)t
b)c:3¿ + y*=9,1=0 rSix = 3Cos(t)Jy = 33en(07 z=Ü,ü:StsSn c>C:y=3si rz = 0J z = 0,x = t,y=3t1 r z = 0 , taü d) C; 5^ = 4y, jí=B4zx=t, y=t*H r z=t*fl34 r teO e) C: (x -lí + 4^-E? = 4
z = 0 r x-1=!CaBtfr* x=1+3Cas(t>
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y=B+BSen(t} i=0
O sts Br
0
Sea a la trayectoria n (t) = [at,t1rLn(t)] definida para feft. Encontrar Ib lo (fe a entre lospunt™{£,1,[})y[4,4,Ln(2}]
x = 1-nSCost C =|y = S + £Sent,
U longitud de aico de una curva paramèdica: ^1
Dadas las siguientes -curvas, encontrar au a)îi +■/-ío t-4 y + IS =0 c )^ + i ‘ =ÍE, x*+ y*= 10
b)x1+ y1+ j t = 4 x + y - z = Ü tuegís i
H>{X-1/+ 4{y-E) = 4 y-3 = ESenít)
z=0
j s s ts *
*-1 = SCos* x = 1 + ECcafl:)
=* y^3+E5en(t) „ &Ü
ÜSt^üc
= 1-i-eCD5t C:|y = S+aSent , ÚStsEír z=0
L=
O
dt = J*^at
j dt = t1■+Ln(t)j* >= 16-4+1/1(4}- Ln(2) = 12 + Ln(2}
Hallar la lentitud de arco de las líneas que se indican: a) Ï © = [lC ^ t),1 W t),tL te [0,2]
b ^ i + y t+ zt =4
b) f {t}=í[1+ÍXK(t)] Cos(Or [1+Coeít)]SenCt)}rtEe [0.Ï] z= xiy= n 1+>! +z1=4=íJ? +l^ + {* + r f = ^
e) y = Araaai
«eate(0A ü) h « ^ | ,¿ í rÍ ln(3)j
3?+ y* + xy = 2 dedonde: x = h/ËCœ(9)y= J í Sen(6>
i a^3 Bx'â a
z= Js [Coa(6} + 5en(0)]
x = ’JSCoat/ y = VÜSenií c= VsfCcufl -i- Sen(/]
a) La longitud de arco de una curva paramétrica:
L=0 MN= SOÜÜCßMABIO AMAüSIS MATEMATICO III
1
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Luego: f (t) = [tcos(t), 1Sen(t), t] = te [0,2] f '(t) = [Cos(t) -tSen(t>, Sen(t) + tCos(t), 1] L= J*^[Coa(t)-tSen(t)J +[Sen(t)+tCos(t)]* + 1dt
a) La longitud de arco de una curva paramétrica:
L=0wKJlViywT+[vwj («íT*
L = £'v Cos’ (t) —2tSen(t) Cos( t}+Sen’ (t )+ Sen1{ t) +>|/2tSen(t)Cos(t)+Cos, {t)+1dt
Luego: f (t) = [2Sení(t), Sen(2t), 2Ln(Cos(t)],t e f (t) = [4Sen(t) Cos(t), 2Co9(2t), -!Ts(t)] = [2Sen(2t), 2Cos(2t), -2Tg(t)]
L= jV T7 T T Id t= 7 5 ^ = 2 ^
L = J>v[2Sen(2t)J ^[2Co8(2t)jI +4Tjf (t)dt
b) f (t) = {[1+Cos(t)}Co8(t), [1+Cos(t)]Sen(t)}, t € [0,2]
L=
í U b W
L= j* y'4+4Ts'(t)dt =2JJ ^ S ^ d t =2^ Sec(t)dt
(*)]'*
f *(t>= [-Sen(t)-Sen(2t), Cos
U 2ü>[Sec(t)+TS( t ) | = 2 U ,[s e c g )+T8g ) ] -2 ü , [ s ec g ) +T8g ) ]
L = J ,v'Sen’ (t)+2Sen(t)Sen(2t)+Sen*(2t)+Sen*(2t) ^ 2Sen(t)Sen (2t)+ Cos' (2t)- dt = Jo,/TfÍdt=v'2tj* = 2/Í { T ) Hallar la longitud de arco de la curva descrita por f (t) = {Serf(2t), Sen(2t), 2Ln[Coa(t)]} O
Hallar la longitud de arco de las siguientes curves: a) f (t) = [2Sen*(t), Sen(2t), 2LnCos(t)], t e ^ , | j
desde el punta
hasta el punto j | ^ , 2 U l ^ J j j
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EBUHOZARAMOS #
L=
( 4 * =tif r W w W + F Í* f *
Lue^: f W = {¡Sen1®, Sen(2t), Sin [Co^t)]), te J f ffl= [JSenCtJCosCft ¡¡GosíSt), -ET^] = [25en(at)rSCo^St), -SfTaCt)]
L = JJ^a‘ai LCl=, (t} 2£m(t)ÜH(t) i CtBJ(t)Cflí(t) i SÍHi([)Cos(t) i C t a » 11j± L=
G CalcuLar L
para lafunción vectorial definida pon a (t) = [aCceftj, aSen
L= J ^ [ í 5h i ( » ) J 4-[íCDB(2t) J +41^ (t>*
L=
Jlt =J^oe'í/adt =aErjs |1Ü =aj3
'[1 +1 + 1
= aj^ ;SECs(t>* = Bp Sec (t )dt La longitud de « r o d é una curva paramétiica:
UELn[Sec(t)+Tg(t)]
KíWíHHíWí)]
l =ÍM*=W[*'W LuesJü: a {t} = [aCc^t), aSan(t), ct], 0 £ t £ ji/2
L= g Ln [B -H ^3]-2Ln^+i/3j = 2Ln^ ' ^ + 3j
tí '(t)= [-a5en(t), aCo^t), c]
Hallarla longitud del aroo de la hélicE cünicaO: ¡r {*} = [aEtraít), ae'Senfl'), a£*] desde el
L= J =^[aSer(t)J 4- [ bCob (t Jíf 4-c*dt = Va1+ c= J;dt =— 2 -Í £ -
punto (0,0,0) hasfa el punto A^ajOta)
e
Oranrrar la longitud ¡Je la curva definida por f(t) = |^£ -^l^d¡yjJ ^ ^ ^ d í ? r+i/t j Entra fcl y fc=t1r Eahiendo que f (t) es el punta donde
l=í:^p =f W Luego:
E » -
a {t} = [aEtoa(t), ae'Senfl), aE1], t e (-«, 0} a = [aetoa(t) — ae'Senít), ae'SenCt) + a¿ feoé®, a¿\
Cl
La longitud de arco de una curva paramétrica
es paralelo plano YZ
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l=11^ ConEidere la cuns descrita por f(t) = ^t,ath^-J ra5h^— j j demuestTE que Ib di luaSff f {*}=
Oütfiti la curva deade (ü,a,ü) hasta ?jen la curva e
CD Una partícula se mué™ en el plano XV según la ee
a la distancia -de Pi
lueso: f(t) = ¡ t,,aCh^jJ ra5h^lJ|
encuentre la longitud de latrayectoria desde t=Gat=j
f»=KM3]
La longitud dearcü de una curva pairainStrica
L= Luegp: f ffi = [S*CDe(3t5, H^SentSt}]
f (t) = [-^-^CoBÍat^Stf^SeníStX -2í*Sen(3t> + 3e^toafat)] L= J ‘J[-Ee"aCtB(3*)-3c*Beni(3t)]t 4 {-& f”Sen(3t)-i-3e“ CtB(3*)]!dt
Sea lafunciún r=g(0) con derivada condnua en t e
L= J ’ j r “ [4CiH, (3t)+1SSEn(3t)Cas(3t)+QSGn, (3 t)+ }»
h=J[ v
pt) 11*Sfcn{Jt)C>3Cpt) I 56hi‘ pt Jtóai1
JSj'"ShpJdt = aj2ShpJ^I=a-g,^ i^— J
0£ t S n
)üi i{3t) i ‘JO*1pt]fji La longitud de arco di ~
p -* * )
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+
Luego; y = iSen(fi) , ;e= iCoe(B)
(*? + & f = ¿ - a e W ( t ) = E¡tl -e’ Cnfy)]
V = Sen(fl) + iCos(0) ; x '= Cos(a) - iSentíl)
Luego: 4 regiones ai ae conaidera 0 ¿ t £ jtfS i ^ f + ( y rf = [r'CosCB) - FSen^e}]1+- [rSern;0} + rtoafOO]*
L= J.V[x-(t}J 4 y ^ )T d t = 4 j : > ‘ [ l - eW ( É ) >
(O* +
+ rerSíix'9;:tCos:;&;) + Luego: L=
0
Demostrado.
Hallar la longitud de anco de la línea C: x1 = 3^ 2xy = 9z desde eí punto (0,0,0) hasta el
J vl/’T+trí dt=/ i/s^+ís'J*
punto (3¿3,EJ. Demostrado-.
Se la elipse descrita por K=aCoe(tí), y^t¡Sen(t)r tep.flii]. Ü
:X=1
La longitud de arco de una <
l =iw=í:V 5w ^ w * Luego: >^=bSen(t)
;
y^— , z =— 3 3(9) !7
J . X + - M - ’WT *[>"(<))■-[>■(<)]'■»
2(1
Z=---- ; 0S tá 3
*
=1 ; V=T
;
-■=—
x = aCoa(t)
y'=bCoe(1í , x’=-aSen(t5
, Peroe=-
a W V t b 's
, c^ea
,
^cVb1
bi = á^l-e1} L = f S l ± 2 d t =^ +t|3 =E+g=5 Jn 9 27 1&
Arreglando aegím la Expresión dada: « ? + W ? = [bCo^OJ* + [nfien©]* ()¿ f + (y rf = tteoe^t} + a’W í O = a’tT-eVaAfl + a * W {t)
O
Hallar la longitud de anco de la linea C: z*= 5hx, 9y*= 1ékz desde el punta hasta el punto
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a * ™
* ™
™
)
a) à (t) = (ii[t-Sen(t)L *1-Cos
0 S t £ S*
(t 1(t) = fb[1iœ (t)]r aSen©! 0 S t S Et La longitud de ancode una cuna paramétrica:
L= r j[* ,(tff+[v’(*)Tdt L=
Ja, [ l - C Da(t)], H-a, [Sen(t)]1dt
L = aJ* ^'1- Cog (t)-i-CoG1(t)+ Sen’ (tjtít Laicngitijd de arco de una curva paramèdica: L = a'/sj’ J -Coa ft V* = sjs JT P ..
L= I t N *
L= J"r ^ fl t = ^27 J lü3=s+3=5 EnconiiarlalLJngiituddeareQdelaasisuientescurvaa
L= * P § } h m o F =^ p ^ f ] c) ÍT (t) = |^t- eíTsJi ^i J,-aSech|
desde fc-a liasta teil
a) a (t) = {a[t-5en(t}], a(1-Gas(t)]}, a>Û Longitudtotal b) ^ t ) = l é c i t i e W t ) l t e [Ü. SO c) a (t) = -(arcs t, asertït), a&ô longitud focal d) n (t) = j^t-áTgti^-J,aSech^lj j desde t=a hasta t=2 e) a (t) = {a[Sh«H]: a[Shft) - 1]>, 0 £ t s Tr a > 0
l L= J ^ i 'l - Sectf
i-
+ SbcH1^ j +■Sech1
(^ j*
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c
□.. L= £
=£ dt= j ^ = ee
b )ii[t) = [c'CcoCt), e’Sen©! t e [ti S] a' (t) = [et ne© — elSen(t)3eLSen© -4-e’ CcB©]
0
Encontrar la longitud de anco de las curvas:
La longitud de anco de una ciMvaparamétrica:
a) à (t) = ft Ln [Sec©], Ln[Seo® 4- TW)]'U e
L = rv R *)T +[ v 'W ^ ) i d t
b} ¿ (t ) = [B'Ccota e'Sentf)], t e [Ü, 20
L= J1
c )ä (t) = ft Ln [Saettali [0,31
[Coe(t)-Sen(t)J +e,1[Cbs(t) + Sen(t)]1di
L = £ e‘ ^i'Cog’ (t )+ Ser“ (t J-hCog1(t )+Sens (t )jt
ri) tí (t) = ft a© = «æ n h t - t), a(cQsht -1 )), en [OrSrf] e) S (t) = ft a© = «aenht - tX a (cceht - 1)), en [ ürE*]
L= £ e ‘Jid t = jBe‘ £= Vs(e T- l )
c) i (t ) = {ajaiCtKl, aftliiö-l]}, 0£ t ¿ Tra > 0 = {a[;Ch©-1]rJiSh©> a)c= ft Iji [Sec©], Ln [Sec© + Tg©]}, t e |o ¿ J L= i Í T t ) = [ljm S c i(0 ]
La Longitud de anco de una curva paramétrici
»
f
^ [0 .(t )-l]V [S h (t )T *
L= aJ^Ch* (t)-ach(t}+1 ■+9i=(t)dt L= a£ Jctf (t) -ECh(t) ■r-Qt’ (t)dt
L = I .-J [x 1(t ) T + [y W j 4 .[ z '( t )], dt
ta£^2Cti*(t)-SCh(t)dt = a Æ £ jc h (t)jc h (t)-1 d t
L= Jn" ‘j l + V ( ‘ KSec‘ (t>* L = J ' J\'Sec, (tJ+Sec1(t)dt =
£ '“ sBc(t)dt
L= J iL i[S e c (t )4 -T ï(t )^ M
'■--‘H l
L = J h ji ^Sbc^ J+ T g ^ j j->/sin[Sec (û) + Tg(ù}] = VäLn(Ji + '
MUUCBHAHOAHAUSIS MATEMATICO III I
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Q
Sea C la curva descrita por la función vectorial f (t)=a[t-Sen(t), 1-Cos(t)t 4Sen(t/2)] con a>0. Hallar la longitud de arco de C desde el punto a^'T ^
La longitud de arco de una curva paramétrica
| hasta el punto L=
**&4>
Í.V[X'(*)]*+[y'(‘ )]’ <*= £ >/Scn' (th [l-C o s (t)J d t L= J^l-2Cas(t)+Cos, (t)+Sen'(t)dt
f (t)=a[t-Sen(t), 1-Cos(t), 4Sen(t/2>]
t€ ,
f '(t) = a [1-Cos(t), SenCt), 2Coa(ü2)]
V 2 jlií[T S(t/2)]-Ii,[Sen(t)]|¡) = ^ ( ^ [ T g{l/2)]-lx,[Sen(l)]
La longitud de arco de una curva paramétrica:
L=flf+[y’(t)T+[z,(t)J<* L = J7-, a^' 1- 2Cos(t)+ Cos' (t)+ Sen*(t)+ 2* 2Cos(t)dt
L=
l +1 +2dt =2a*[^/4 = Y
£ ) La porción de una partícula en el instante t es: = t-Sen(t) recorrido de lapartícula entre tsOy tal.
ÍC0 = [1-Cos(t),t-Sen(t)]
te[0,1]
f(t ) = [Sen(t)J l-Cos(t)]
SOLlICtONARJOANALISIS MATEMATICO III
i -----
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x£0 r\ (l-x£y£x+1) u xSO n (1-x2yax+1) O
n
fl&y) = Ln (36-*x* - 9/)
36-4x*-V>0 =» 36>4x*+9y*=» — +-L. < 1
\
D = {(x,y)cM4/[xS0r<1-xáyáx+1)] u [x£0 r\ (l-x2y£x+l)]} O
f(x,y) = Ln(xy)
Sabemos que el argumenta de la función logaritmo debe ser mayor que cero, xy > O=> x>0 a y>0 \j x<0 a y<© O
f(x,y) = >/-xyLr'(y-+x’ )
Debemos tomar los valores reales a ambas funciones, es decir, la cuadrada y la función logaritmo deben ser mayores que cero. y-43¿>0 n -xy£ O ^ y >
nxyá 0
y > 4x* n (xSOa yaOw x20 a ySO D = {(x,y) e 94*/x>0 a y>0 o x<0 a y<0}
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Consideramos: f(x,y) = s(x,y) + hOc,y)
De donde: Se obtiene el dominio: D = {(x,y) e 91*/y >
O
n x S 0}
«x,y)=^Sen[T(x, + y*)]
S(x,y) = Aresen I x *y \ hCx,y) = Arasen ( A / )
Cts— - Z - s 1 n x*+/ s 1=» 0
si n x8+y* kl
0S)^ + yt S2r>x*+^2l 1s^ + y*s2
Sen[*(xs+/)] s 0 =* 2n* £ * £ (&*+!) n para ntZ* Sx*+y*á2n + 1paran eZ* D = {(x,y) e «* /2n S x*+ y* S 2n +1
Di = {(x,y) e iK4/ l£x*+y*S 2}
para n e Z*}
JH 2 E E L IW O
f(x,y) = Aresenj ** ^
j+Araen (x*+/)
Debemos evitar la división por cero puesto que la función arcoíangente n< mayor restricción. 1+xV * 0 =» (x,y) e R*
I SQUJCIOMARIOANAUSIS MATEMATICO III
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O
■&»*> =
+Vz
De donde: D, = {(x,y) e * 4/x£0 o yaO}
La raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero; j<20n yaOnzaO
Sabemos que el argumento de la fundón arcseno debe ser mayor a -1 y menor a I. Es decir.
Di = {(x,y,z) e 91 /x 20 ^ yaO n z2t>} xaO o (-x-yáxsx+y) xaO n (-x-y£x r>x£x+y)
0
x20n(-2xáyriy20)
u u w
xSOr\ (-x-y2x2x+y) xSOr\ (-x-y2x rx xsx+y) xáOn(-2x2yr>ySO)
f(x,y) = g(xly) + h(xIy) La raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero: xsOnxyiO X20 n [x20 o yaO) u (xSO n yá))]
SOLUCtONARtOANALISIS MATEMÁTICO I
1
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D = {(x,y,z) £ 31*/z £ 2}
D = {(x,y) 6 St*/[(x£0 r>>eO) u (x£0 n ySO)] r\ (x;y) * (0,0)} O
f(x,y) = Arcsen(x) + Arcsen(y) + Arcsen(z)
Sabemos que el argumento de la función anseno debe ser mayor a -1 y menor a I. Es decir - l £ x £ t n -l s y á lr»-1 S zS t
La raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero, mientras que e Dedonde;
denominador debe ser diferente de cero. Es decir 2S-x*-y*2 0A»e0
=*
D = {(XfYjZ) e 9? !-\ SxSl n -1S z á l}
x*+/<25ax*0
©
f(x,y) =
O D = {(j^y) e 3ii /(x* + yí £25A>«0)}
©
f(W ) =(x + y )y n
O
la raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir z -2 * 0
=>
z¿2
D = {(x,y) e
25 a x*0)}
SOLUCtONARtOANALISIS MATEMÁTICO I
I
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O
Kx,y¿) = Ln (x,z)
0
f(x,y) = ln [xLn (y-x)]
Sabemos que el arsumento de la función logaritmo debe ser mayor que ce xyz > O
=* x>0 n, y>0 r\ z>0 (primer octante) u
Sabemos que el argumento de la función logaritmo debe ser mayor que ce
x >0 r\ y<0 n z<0 (tercer octante) u
xLn (y-x) > 0 ny-x > 0
x<0 n y>0 r> z<0 (sexto octante) \J
{[x>0 n Ln(y-x) > 0] u [x<0 r\ Ln (y-x) < 0]¡ n y > x
x<0 r\ y<0 n, <>0 (séptimo octante)
[(x>0 n y * > 1 )u (x<0 r\y-x < 1)] n y>x [(x>0 r ,y>x +1) o (x<0 o y < x+1)] ny>x
,
y/ t-
D = {(x.y£) s íts/(x>0 r>y>0 n z>0) w (x>0 r\ y<0 n z<0) u }
/
(x<0 n y>0 r\ z<0) u (x<0 n y<0 o z>0)} D = {(x,y) e 91 / [(x>0 r\ y>x+1) w (x<0 n, yx} 0
Kx,y) = Arcsen(x) + Arcsen(y) + Arctg(z) O
Sabemos que el argumento de la función arcseno debe ser mayor a -1 y
Kx,y) = Ln(x y -x , -y* + 3 V )
Sabemos que el argumento de lafunción logaritmo debe ser mayor que cero.
I. La función arctg(z) no tiene restricciones. Es decir: x y -x * -y * + x V > 0 -lá x s ln -ls y s l
x (y-x»)-y* (y-x4) > 0 =» (y-x*) (x V ) > 0 (y-j^ > 0 n x - y*> 0) w (y - 3^ < 0 o x - y* < 0)
D = {(x.y.2) ê Ms/-1S x S 1 r> -1 á y S 1}
(y >
n x > y*) u (y <
n x < y*)
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0
f(x,y) = Ln(x)-Ln[Sen(x)]
Sabemos que el argumento de lafunción logaritmo debe ser mayor que cero. x>0 n Sen(x) >0=>x>0nxe [2n*, (2n+1)n] AneZ D = {(x,y) « SR4 /y»^nx>y*)u(y<>?nx0 r\ xe [2nii, (2n+1)it] AneZ}
o fiXy)=
Consideramos: <(x,y) = S(x.y) + h(x,y)
O gCx,y) = V x - 4
;
Kx,y)
h(x,y)= V*-y*
x* -4 S O o 4 -/ 2 0 =» x*a4^4a/=>-2£>ca2^2Syfe-! P,= {(x ,y )e «4/-2 2xS2}
Dh = {(x,y)€9t*/-2£yi-2}
Dx= {(x,y)e9t^bd a2} ; Di, = {(x,y) eJl4 / lyt£2}
Sabemos que el argumento de la función logaritmo debe ser mayor que a También la raíz cuadrada debe ser mayor que cero. x-2y>0ny-2x>0=>x>2yny>2x
I>= D ,n Dk = {(x,y) e « 4tí bd * 2^ lyí s 2}
r
V *I
D = {(x,y)fi9t4/2x < x < x « }
H
SOLUCtOMARIOANALISIS MATEMATICO III
SOLJUCIONARJOANALISIS MATEMATICO III I
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0
ffxry) = Arcsen[2y(1+x*)-)]
Sabemos que el argumento de la función arcseno debe ser mayor a -ly m 1. Es decin -1 S 2y (1+j¿) -1 Si => Os2y (l+x*> S 2 =^0£y(1+x*)£l =^Osys—
D = {(x,y)eít4 /x2y ny£>x) u (xsy nyS-x}
©
1 0 W )- ( [x lW Í = 7
Larafz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir: l - y ^ O ^ / á l =*-lSy£l D={(x,y)eSHi /Osy s —
O
fiXy) = Arcts
-/ )
La raíz cuadrada debe tener argumentas mayores que cero. Es decir: x* - /¿O =» (x-yXx+y) S O (x-yaO n x+y 20) u (x-y s n x+y s 0) (x 2 y n y 2 -x )u ( x í y n y s -x )
D={(x,y)ÉMV-lsySl}
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O
«X y¿)= ^ ‘ - x ’ - y ' - z 1
Sabemos que el argumento de la función rafe debe tener un argumento mayor o igual a cero. aP- i f -v*-z*i0=»3^+>^ + í s a '
Sabemos que el argumento de la función logaritmo debe ser mayor que cero; además que debemos evitar la división por cero. 1- x V -z 4> 0 n Ui (1 -x V -z4) «0 => x4+y4+ ^ <1 r\
*1
X*+y4+z*<1 n ^+y*+2* * 0 De donde: D = {(x,y,z) «=** /A-y*+z*z<1 n x*+y'+z*0}
x'+y'sz* D = {(x,y,z) E$f/x*+y4^ ^
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMÁTICO MI
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f(x,y) = s(x,y) + h(x,y) D= {(x,y)eSR /-ISySl} 8(x,y)= d y ^ - V ] ]
h (x .y )= [[^ ]]
D, = {(x.y^wVxsO o xáys-x u xaOr\ -xsysx} D* = {(x,y)6M'/x20 n yaO u xsDn yüO}
Di = D, n Dh= {(x,y) e«*/ xsO n xsysO w xsO n Oáyáx}
La rafz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir:
(x*+/ - 25>0 o y^xaO) u (x*+y*-25<0 o y^xsO) =» (x*+/>25 o y*2x) w ( j¿ + y4< 25 n y*Sx)
0
ftXy) =
La raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir: 1-y*aO=>y*Sl =»-1áyál
□I
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMATICO III
D = {(x,y)6«*/{x1+/>25 n y* 2x) w (x*+y*<25 r. y*fix)}
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ftx,y) = Ancsentx) + Arcsen(y)
Sabemos que el argumento de la fundón arcseno debe 9er mayor a 1y menor a 1. -isxát n-lsyfil Se obtiene el dominio: D= {(x,y)eS#4/4x2y*n x*V<1 r, (x,y)*(0,0)}
ÍI.
Determinar las curvas de nivel y graficar lasfunciones siguientes:
D= {(x,y,z)«Sll*/-1 áxsl n-1áyá1)
Hacemos k=*(x,y); de donde k=— =>ky = Vx Para k=0,±l, ±2, ±3, etc. k=0 Debemos tomar los valores reales a ambas funciones, es decir, la función raíz cuadrada y lafunción logaritmo deben ser mayores que cero.
=> x=0
k=l
=*y= Vx
k=-1
=»y=-Vx
k=2
=>2y= >/x
k=-2
=>-2y=Vx
4*y* *0 n 1-xV>0 n In (l-x V ) * 0 => *iay* n x*+y*<1 n 1-x*-y**1 =» 4x*y*r. x*+y*<1 n (x,yV(0,0) Graficamos:
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMÁTICO III
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O
fCx,y) =
lnU^ I
Hacemos k=f(x,y); de donde k=7xÿ =>k* = xy Hacemos k= f(x,y); de donde k =Ln ( I
H
ks-O; Para k=0,1,2£ etc.
-
^ £ = e“ =>y = x ^
Para k=0, ±1, ±2, ±3, et
O
k= 0
=>y=0
k= 1
=>xy=1
k= 2
=>xy = 4
k= 3
=>xy = 9
flCx,y)=», 1-1XI - 1y I
Hacemos k = f(x,y>, de donde k=l - 1X I - 1y I
O
=>lxl + ly 1= 1-k ; 1-kaO=> ksi ksO; Para k=l,0, -I, -2, -3, etc.
Hacemos: k =f(x,y); de donde k= v 'x '-y ’ => k*=x*-/
k= 1 k= 0
kaO; Para k=0, 1,2,3 etc. k=0
=>y=±x
k=1
=>x*-y* = 1
k=2
=>x*-y*=4
k=3
=>xV=9
= »lxl + ly l = 0 = »lxl + ly l = 1
k = -1
=>lxl + ly l = 2
k = -2
= > lx l+ lyl = 3
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Para k=l,0,-1,-2,-3, etc O
flXy) = LnOc*+y)
k= 0
=>¿+f =0
k=1
=*(x-1)*+y* = 1
k=-l
=>(x-1)*+y* = 1
Hacemos k=f(x,y); de donde k=Ln(x +y) — Para k=0, ±1, ±2, ±3, etc.
o Hacemos k=f(x,y>, de donde k=ei ~f Si £ 1, Para k = 1,2,3 etc. f(xry) = Arcsen(xy) Hacemos k=f(x,y); de donde k=Ansen(xy) =>
k= 1
=>x*+y» =0
k =2
=s>x*+/ =Ln(2)
k= 3
=>x*+y* = Ln(3)
Para k=0,±n/2 0
O
k = n/2
=>xy=l
k = -n/2
=>xy = -1
f(x,y)= ^100-SSx1-4y*
Hacemos k=f(x,y>; de donde k=^100-25x*-4y' , k£0
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Determinar las superficies de nivel de las funciones siguientes. =>xV =±
u=x+y+3z
=>X*+y*= : =>xi+yi=±
Hacemos t*=k¡ de donde k=x+y+3z Familia de planos. Para k=0,1,2,3, etc k =0 =» x+y+3z = O
o .*fe E 2 2 )
k = 1 => x+y+3z = 1 k=2 k = -t
=>x+y+3z = 2 =» x+y+3z = -1 Hacemos u=k; de donde k=ln.
u=(x*+y*+zV
e* = l - ^ x ’ +y’ +z*
Hacemos u=k; de donde k=(x*+yj
- e 'J 7 7 7 ^ ? = i W T T 7 T ?
Para k=0,1,2¿3, etc. k= 0
=s>x*+/+z* = 0
k=1
=» x*+/+z* = 1
k= 2 k= ♦
=>e‘-1 =Vx1+y* + z* (l+ek) - k20 Familia de esferas.
=J2 ^x'+Z+z* = 2
Para k=0,1,2,3, etc. k= 0
Hacemos u=fc de donde k= Para k=0,l,2,3, etc.
^ e * (W x * + y*+ z*) = t ' 1
=>x*+y*= kz, familia de paraboloides.
=>x*+yW = 0
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0
u=S¡stSen(x*+y*+z*)] Dominio: Debe cumplirse: 2x+2y*0 Hacemos u=k; de donde k=Sig[Sen(x*+y*+z?)]: k=-l,0,1 Familia de esferas de radio unitario:
D = {(x,y)eSRV-x}
k = 1 =>Sen (i¿+yi+zt) = 1=> 2nn<3^+/+z4<(2»*+l)* k= 0
Rango: D={ze*}
=> Sen(x4+y*+z*) = 0 » x*+y»+^=nn
k = 1 => Sen(x*+y*+^) = 1=> (2n+0«<^+y*+z!<(2»+ 2)ii X*+y*=2kx+2ky => (x-2k)* + (y-2k)* = 8k*
Familia de circunferencias, con centro en C(2k,2k) y radio r=2 k=0,±l,±2,±3,... k=O=>x*+y*=0
O
u=*V-z* k = ±1 => (x±2)* + (ylS)* = 8 k = ±2 =>(x±4)* + (y±4)‘ = 32 k = ±3 =t.(x±5)* + (y±6)‘ = 72
Hacemos u=k; de donde fc ^ + y V : k=0,±l, ±2, ±3 Familia de esferas de hiperboloides k=0
= » » +y* = 2*
k= 1
=>x' + y*-z*=±1
k= 2
=>^ + y* - ^ = i2
k=3
+ Q
^
Analizando dominio, rango y curva de nivel, bosquejar e
^ y )= 2x+2y ? ±£ I SOUUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
Bosquejar lasuperficie de nivel de: fl&y,z) = Arcsen(«-xV>-
k,
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Hacernos u=k; de donde k+z=4-x*-y*. k=0 r*+y^4-z. Paraboloide circular.
Ck-
Para z=a =s x*+y‘=a, la normal a esta circunferencia pasa por su centro y es racfial. El valor mínimo que una suma de cuadrados permite es (0,0), por tanto el vértice del cono es V{0,0) 0
Indicando dominio, rango y curvas de nivel, bosquejar el gráfico de z=f(x1y)=tn4-Vxr +yr
O
Indicando el dominio, curvas de nivel y trazos, bosquejar el gráfico de la función: ^ y) = 2-1 ? 7 7 7 8
• Dominio: Debe cumplirse: 4-vx‘ +y’ >0 y jx '+ y ' <4=»x*+y*<16 D = {(x,y) eSR*/x*+y*<16}
• Dominio: Debe cumplirse: xi+y*+8s0 • Rango: D = (ze9t>
D={(x,y)E«*}
• Curvas de nivel: Hacemos u=fc de donde
• Rango: D = {zeSR} • Curvas de nivel: Hacemos u=k; de donde:
k = u ,(4 -V 7 T 7 )
4 . J Z 7 7 =e*=>x*+y*= (4-e*)1
x '+ z + s
k= 0 =»3Í+^ = (3)* k= 1 =5.
= (4-e)*
k= -l k=2
O
En cada punto de la curva de intersección de las superficies: S l:z=xi+y*, S¡: z (para a>0) se traza la normal a S,. Demostrar que las recias están sobre un coi y hallar su vértice.
=»x*+/ = (4-eV
k = -2 =>x, V = (4*-e‘Í )Í
Familia de ciicunferenciaa O
Dada la fundón f(x,y)= ^
J, , bosquejar su gráfica indicando, 0
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K=1 => x*+z*-(y+z)4= 3x*+(z+2)4-4+1 2xi + (y+2)i +4z+1 =0
Hacemos u=k; de donde: .
O
4x-1
■577
„
,
y
4x—1 f
4?
.
16-k
k -H x_k J+ /= —
«x,y¿> =
O
le nivel y trazos bosquejar el gráfico de:
'
Sea f(x,y,z)=k de donde: -
3>¿+ (z+2)*-4 = ktx*+^-Cy*-4y)-6] 3x*+(z+2)1- 4 = kx*+kz* - k<^-4y) - 6k... (I) Damos valores a k en laecuación (1): k=-1 3x*+(z+2)M = -)¿-zí-(y4-4y)+6
Dominio: Puesto que x*+y* *0 =» (x,y>e0 => D={(xry)sW*/(x,y)#0} Rango: R={z6¡H/z2jO} Curvas de nivel:
4x*+2(z+2)í-(y+2)i-3 = O => 4x*+2(z+2)i
K=0 3x*+(z+2)i=4 cilindro elíptico
&
L
r
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O
b) ^ = ^ 7 5
=>D = {(x,y) eSK*/(x,y)*0>
f(x,y,z) = z*-xy4V+yz-2 k = ¿ -xy+ys+yz-2 k = z,-y+yí+yz-2
Puesto que xl+/<0 => (x,y>0 => D ={(x,y)<=M*/(x,y)*0} Derivamos: 3ziz'-1+3yi+yzl+z=0 z’(3z*+y) = 1-3y‘
El rango; R ={zeM} ©
Bosquejar las superficies de nivel (si existen) al nivel fijado.
z, (3+1) = 1-3=»zl = - l 2
*> ■ i » » » -
z-z« =
(y^t) => z-1= -1 (y+1)
b) F(X,Y,Z) = X*-4V*+Z?+2$ n= {±1,0} N=2
=> (x+2)*+(y-1)*
a) Sea f(x,y,z) = N :
b) f(x,y,z) = x*-4y*+z*+2z N = (±1,0)l .
x*+y<+ 2 y -z* -4 z _ 2x-2y+z
f(x,y,z) = N =» x*= 4y*+ z*+2z = N ^ - 4 y , + (z+1)* = N+1
X V - ¡ ? t M z = 2Nx-2Ny+Nz N=0
(x-N)i+(y+N+1)í-(z+2-N«)i = N*+(N+i;?+CN/2-2/
=»^-4y*+(z+1)*=1 =>x*-4y*+(z-l/ = 0 => P(0,0,-1)
(x-N)*+(y+N+1)t
=>x* -4y* + (z+1)*= 2
Para diversos valores de N-. N=0
=> x*+
N=1
=>x‘+(y+l/-(z+2), = —
r 15 15 , , .. T =T esferas
0
Expresar el volumen V de altura *x" y de su arista lateral V
I SOLJUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
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Probar que lafunción z=F(x,y)=Ln(x) Ln(y), satisface a Laecuación: F(xv5uv)=F(x,u)+F(xrv)+F(yJu)+F(y,v),xtytu,v>0
En lafunción: f(x,y>=Ln(x)Ln(y) F'Cxy,uv)=Ln(xy)Ln(uv)=[Ln(x>+Ln(y)][in(u)+Ln(v)] 0 lado de la base:
F(xy,uv)=tn(x)Ln(u>fLn(y)Ln(u)+Lr>(x)ljf>(v>Ln(y)Ln(v) L=21 L |=yi-x‘ =»L* = 2(yi-x*) Pero: F(x,v)=ln
El volumen de lapirámide estádado pon
De donde: F{xy,uv)=f(x,u)+f(y,u)+f(xtv)+fi;y,v) Demostrado V = i AauEH = ÍL*H=i(2Xy‘-x V =| xC^-x*) ( ) Q
Expresar el área S de la superficie lateral de un tronco de la pirámide hexagonal
Hallar los valores que tomar la función f=l+x-y, en los puntos de la parábola y=x*y construir lagráfica de lafunción Ffx^fíx.x*)
regular en función de los lados x e y de las bases y de laaltura z.
Kx) = flCxpc*) = l+x-x*= l-(x*-x) =
+ 3 " f - ( x- g )
Probar que lafunción z = F(x,y)=xy satisface a la ecuación. FXax+bu,cy+dv)=ac F(x,y)+beF(u,y)+adF(x,y)+bdR(u,v).
Construir las curvas de nivel de lafunción Z=F{x,y)=xyF=acFlCx,y)+beF(uIy)+adl!t(x,v)+bdF(u,v) F(ax+bu,cy+ctv)=axcy+bocy+adxv+bdiiv F(ax+bu,cy-«fv)=acf(x,y)+bcft;u,y)+adíCx,v)+bd(ulv) demostrado
-
4
^
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o I.
Mediante la definición de límite demostrar: O
2ay T
j T t f O O + 'l
j
í
x,+[y_^I=
2ay í
Sen*(k)
( J ¡ ? v *(A fc l') “ 4
Js ^O O l
I
Se debe hallar 8>0-, siempre que exista £>0, tal que se cumple: Ix*+2x-y4l
«
,/ (x -2 )'+ (y -4 )s
Ix*+2xjy-41SI xi-4+4+2x-4+4-y-4 I S |(x-2Xx+2>+2(x-2>(y-4) IS £ lx-211x+21+21x-21+ 1y-41...(1) Acotamos con &£l: I x-2 I < 1 => -1 3
Ix-211x+2I +21x-21+ Iy 4 1= 58+28+8 = e => 8 =£
Por lo tanto, existe <>„, jl,^ J
O «Jju <*-*>-• SOLUCHDMARIOANALISIS MATEMATICO III I
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Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple:
I x*+y*-21 á I x*-1 + /-1 1s I (x-1Xx+1My-')(y+1) I£
£ lx-11tx+ll + ly-11 ly+ll ...(1)
13x*V+4 I < í « - ^ (x -2 )' + (y +2)' < S Acotamos con 8£l
13x*-12+12-4y*+4 I á 13(x*-4>4
tx-ll-l
=>1
l¡f-1l < 1s*-1
=» 1
£ 13(x-2Xx+2H(y-2Xy+2) IS s 3 1x-211x+21 +4 ly-211y+21 ...(1)
En (I* lx-11 lx+11 + ly-11 ly+H = 38+38 = s =* 8 = |
Acocamos con 8 Si I
x-21 -1 3
Por lo tanto, existe d = minJ
L
ly+2 k l =>-1-5
3 1x-211x+21+41y-211y+21= 3(5)« + 4(5)8 = a => Por lo tanto, existe
| Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple: Ix*-y*+2x-4y-IOI< a«> ,/(x-3)’ + (y -l / <8
O
lim
(x*+y*)=2 I
xV+2x-4y-101S lx*-9+9-y*+2x-6+¿4y-10l
s Kx-3Xx+3}+2(x-3K/+4y5)l £ Kx-3Xx+3)+2(x-3My+5(>-l)l Se debe hallar 8>0; siempre que exista £>0, tal que se cumple:
ix V - 2i<í
S lx-31 lx+31 +2 ix-31+ V+5I ly-11 - ( 1 )
«>V(x-1)M y-i)'< » SOLUCtOkARtOAMAUStS MATEMATICO DI
c
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k-a < 1
=> -1
=*&q £+3<7
ly-ll < 1
=* -1í y - ld
=» 5*y+5<7
bt-31 Ik+31 -i- he-31-h lyl Ijr+TI = 7B+4S+3ñ = Pür lütanto, existe B= inin \
>
Ení1> l§í-3Xx+3>+a(x-3>+ t)'+a ly^ll = 7&+3S+7B = e =* 8=
O Plor lo tanto, e*Í5*eJi = min-h,— f Se debe hallar fi>0; siempre que exista s&tt, tal -q^e se cumple Bx1V + 1 I d » ^ (x -2 )l + (y+3}: c J
DEmastramoa: l&^-E+S-yi+11£ B v V K y 1-^!! £ ISCx-aKx+3Hy-3)üf+3[H £ £ 2 lx-21 lx+21 + ly-31 ly+31 ... (1)
Se debe hallar fi>Ü; siempre que exista £>0, ral que se cumple: l^+^-fec+y+ai > a « . ^ (x-3 )l + (y + l)’
t¡ lx-51 í l = t-1 «-!í1 (+4)=»3
=t -1
(tó) =t 5
bí+yUx+y+SI i k'-í+í+y^+IS-ia+y+SI £ l(x-3>;x+3>4(x-3)+y1+’r'l ££ l(x-3XK+3H<:í-3>Yfy+1 ?
En {!): S lx-21 Ix+BI +- Iy3l ly+31 = E(5)S+7Ji = s =!■S=
5 bc-31 lx+31 +4 bc-31+ lyl ly+11 ...fl) Por lülanto. mate fl = mEn\1r-í- l lx-31 <1 =!■-1
=>Q
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ty*+y*+4x-8y-5l S lxi-4+4+yi+2x-4+44y-5l <£l(x-2Xx+2>+2(x-2>+yt-4y+3l s l(x-2)(x+2)+2{x-2)-Ky-1 Xy-3)l
Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0. tal que se cumpla:
S bc-SI lx+21 +2 bc-2l+ ly-31 ty-11 ...0 ) lx*+y*+2x-2y-2l
Acotamos con 8£l bc-2kl
=>-1
(+4)=>1
ly-lkl => -1 3+y*-2y+ll s l(x-lXx+l>2(x-1)+
En<1>
i, bt-11 bc+11+2 lx-11+ ly-ll ty-11 tx-2l lx+21 + lx-21 + ly-31 ly-31 ly-31 » 55+28+38 = e=»8=-^ Acotamos con 8S1: bc-lcl =>-1
=» 1
Por lo tanto, existe 8 = miti i 1,— - ^
ly-1l<1
O
^
)V 7 ^ = ' / s
lx-11 bc+11+2 bc-11+ly-ll ly^ll = 38+28+8 = e=* 8=^ J B 2 H E L IW
Por lo tanto, existe 8bJ w
Se debe hallar S>0; siempre que exista e>0. tal que se cumple |Vy*-x*-Vs}<4 ^ ( x - 2 ) , + (y-3 )*
O (,.^ (e‘r )^ u,í,')+4x-8v)=5 +e“ (/) + 4 x -8 y ) =5
=» (j^(x*+y*+4x-ay) = 5
Se debe hallar 8>0; siempre que exista k>0, tal que se cumple:
1 ./v*-x*+J5
vJ vy ’--x*+V5 x’
J y » - 9 - ( x » -4 |
|y-%+3|+|x-SÍx+S|
~ J7 ^ 7 7 s ~
„ y -x* Z7s
lxí+y*+4x-8y-5l ^ (x -2 )’ + (y -1 )’ <á SOUICIONARIOANALISIS MATEMATICO III
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO MI
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Acotamos con Sst/2 bc-2l<— 2
=* - -
2
i
tc-SK
...(2) W
Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple: | ^ - é | < ¿ <*y¡{x-l), +(y -4 )! + (z -9 )’ « S
+(2)= * | < x < | ^ .? < x ‘<.
=>-— <-x*<-~ ...(3) 4 4 |vx^-é ) s|Vxyz-V^+ > /^-< j á | V ^ -V y z + V y z -^ ¿ ty-3l<- => - - —
- f ^ - 7
- (5)
s|f y z (J x - i ) +,/yz
+ * T z -\ s | V y z ^ i j +7z (Vy - 2) +2(Vz
(5 )+ (3)
Acotamos con 851: V5/5<>/lÓ-i->/5=> — 1 T io W s
— ;= < -p — (< v V - x ’ W S V5
bc-lkl s» -l0
(2), (4) y (6) en (1> |y - 3 j y -t-3|+|x-Sj|x+5j . (9+13)rf 5
SN/5
W5
ly-4l<1
=»-1
<1 ...(2) +<4)=»3
11 = »V 3 + 2 < Jy + 2 < 7 5 + 2 = > -J— 7¡Tf2 7 y+ 2
[Wlft4anín aviett^-min J l l %J 1
lz-9l<1
=»-l
>/3+2
...(3)
+(9)=>8272 <'7z<'/Í0
»2 >/2-t-3<'^z+3<'/Io+3=>-^— < -— l— < — J — ...(3) v ió T i 7 T ¿ 3 i T J T i W
^ 7^ +,/ií r r 2+2^ l =^ ^ & +w f a
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO H I Í~g
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1 En (I* í>+íí+ s =£
1 (W l-^ + 2 > / T o + fi)j
O
■
= ts = £ 3
Por lo tanto, existe S = irñn j 1,“ j
©
=3
(« ^ - i . i . í F * ^ j = «
^ K E E E L iIW Se debe hallar Ü>D; siempre que exista £>0. ral que se cumple
Se debe hallar Ái-Ü; siempre que exista s&0, tal que se cumple | ^ + J / + ^ - 3 j < í « ^ ( x - l ) l + ( y - l ) ’ + (z - l )’
| ^ T í-J y ^ < s » ^ f x + l f + Í Y - i y + f z - l ) ’
DEnwatiamas:
Demostramos: i zi -m^
j s
- sI s
1 i/x+1
*¡y+1
Ve+1
.(i>
1
n
1
Acotamos con &£l
1 V^x+i
tf-x+1
l+Jyz
i+Jy=
V -k + i
1+vyz
1+yyz
fc(-lkl=* -l
Acotamos con Bíl: Ix+lkl =»-1
ly-lkl=>-1íy-l
-í
=tSí^-íV2
1 <1 3TS
(bj
ly-llíl =»-1
+(1)
=s-0
...0)
Iz-lkl =»-1
+(1)
=t(kz<2
...(4)
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ly-4l<1
Multiplicamos (3) y (4):
=>-l
+(4)=*3
V I
01 -1 < - — I— < 3 >/yz + l
" 7 1 7 . " 7 5 7 . " T S T i ~ (3) lz-9l<1 M Jd |H V-x+1 1+yyz
=>-l
+(9)=>8
Ja < Jz =>V8+1
4 1 Tá+i
I , 1 -( 4 ) V2+1 T ió + i
Por lo tanto, existe 8= min j 1,—
^z+3+V y + 2 +>/x+1 .
+v10+1 +V3+1+
1&7+20/15+971
Se debe hallar 8>0; siempre que exista £>0, tal que se cumple: | ,/ «-,(/y+Vx-2|<£<=>^(x-1)*+(y-4)1!+ (z -9 ), <¿¡
x+1
V Í+ 3 Vy+2 vx-’- l
Vx+1
Por lo tanto, 3 8= m
ife 1 7+20/15+9/3.1
V2+3 Vy+2 Vx+1 Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple:
Acotamos con S£l: bc-1l<1
=> -I
+ (l) =»0
0-=Í— < -fJ— <1 ...(2)
y2 + l Vx+1
T
V
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RAW05
L 1<>/x+1< 1/2+1
l^ - y j | x! +y*|
x*+y*
1 . I V2+1 V x+i
X * + v ‘ í* + (* ~ v * W x’ +y!
x*+y*
£ 21x1+ lyl á 28+8 = e
=* Ss'§
t
1 1 . 1 V5+2 V y+2 V3+2
En laec. <1> SSí/Stf+Vsí.
Por lo tanto, existe 8= min |l,||
~
2+V3
_
4>/&5 +
V3+2
(9 -V 5 )d = ,
4>/5rf+(3-&/5+6)¿'=ir Por lo tanto, existe 8= min |l,^—
Se debe hallar 8>0¡ siempre que exista e>0, cal que se cumple | x * ^ _ y ^ _/y(x* - i )-y (V x -i)+ (V y -2 )(V y -3 )| s
Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0. tal que se cumple | V -* / ^ -^ < e
~
^(x+l)*+{y+1)’ < í
J - / 7 - 1 I.J -x V ^ y -V ^ y + V -y -1 Acotamos can 8<1:
1 bc-1l<1 -1
0<’j x < j 2
v ^ T T --
1
ly-4l<1 -1
■j3<.jy
=»
3
1
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m -
V W ^ y -il
Se debe hallar 5>0; siempre que exista e>0. tal que se cumple: I U x ?+Sy' y+V c+2y ^
Acotamos con S<1: Ix+lkl
=*-1
=>
-2 0<-x<2
...(2)
ly+ll
=»-1
=»
-20<-y<2
...(3) !J 5 + S / | x+2y
En laecuación (3): 0 < -y< 2 =»0<,/^y<>/2=>l<,/^+1
J ] ^ + 5 y » -2 x -4 y j l^/xy-1-t-l+5y* -S + 5 -2 x + 2 -2 -4 y | ^ | x+2y x+2y
...(4)
V ^ _ l +5(y* -l)-2 (x -l)-4 (y -l)| _ x+2y - = — < _ _ — <1 V 2 Í i V ^y +1
^
+5(y-1)(y+1 )-2 (x-1)-4(y-l) x+2y
•••(5)
Multiplicamos (4) y (2): 0 < -x ^ y < »/ 2 = > 0 < >/-x>Pí<>/272 !< 1+^-xV ^y <1+
Luego los valores acotados en (1> (1) (V5tf +/»)=£ = - ^ — | Demostrado
Acotamos con S < ^:
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j De(2)y(3> .5 2
14x(z-l) + 14x-42 + 4 2 -7 y-8 yz-8 x’|
2 _______ 1 5 ^ +1 3
| | l4 x (z-t)+ 1 4 (x -3)+ 4 2 -7 y-14 + H -8 yz-8 x, | 7(yz+ x>) |S
t>e(3): |y-l| <-5 = 4 < y - i
De (2) y (3):
9 <2
1
2 . 1 .2 9 x+ 2 y< 3
r
114x(z - 1) + 1 4(x-3)+5 6 -7(y+2)- 8 y ( z - 1) - 8y-Sx*| ^
1
y
^?)
I
114x(z-1) + 1 4 (x -3 )+ 5 6 -7 (y + 2 )-8 y (z-l) -8 y - 16+16-8x' I
K i> H -
1
1
| l4 x (z -l)+ 1 4 (x -3 )-7 (y + 2 )-8 y (z -l)-8 (y + 2 )+ 7 2 -8 x ’ |
I
Por lo tanto, existe 5= min j 1,— |
I
|l4x (z-l) + !4 (x -3 )-7 (y + 2 )-8 y (z -l)-8 {y + 2 )+ 8 (x * -9 )j
1
|l4M|z-l|+14|x-3|+7|y+2|+a|y||z-<+8|y+S|+8|x-3||x+a(|
---------------- r
1 Se debe hallar S>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple Acotamos S<1: bc-3l<1 ly+211 lz-1l<1 12xz-y aj ll4xz-7y-Byz-8x* I l4xz-l4x+14x-7y-8yz-8x’ l lyt+ x* “ ^ | 7 (^ ¡V ) | | 7(yz+x*)
~
r
W y (»
=>-l-1
=>25
...(3)
=»-3
...(5)
=>CKZ<2
_(6)
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O
t«, )Ü¡Ji ^ ( ’^ - 2xz-'/ 2xy - '^ y z +a/2x+'/sy +a^ z ) = 8^
Acotamos 8<1: tx-11<1 en (1): 8(1)=* De donde: 8= min {1,s}
Se debe hallar S>0; siempre que exista r>0. tal que se cumple: |xyz-2xz—V2xy-V3>z+2/2x+V6y+a/lz-a/íj
O
lim i=O (x.y^Ha
Se debe hallar 8>0; siempre que exista £>0, tal que se cumple: L £ £ £ j < c => J 7 7 7 7 ? < ¿
|x)*-2xz—Tlxy-VSyz+a/ax+Téy+a/áz-a/iJ £ | x z (y -2 )-V 2 x (y -2 )-V 3 z (y -2 )W 6 (y -2 ^ á
saw«'
|y-S^xz-75x->/3z+V6js|y-S||x(z-V2)-^(z-V2](á
| x + y +z|
x +y +z
shh(»~7‘:-')siH x +y +z
1
|y-^ | zW ^ | x-V ^ S Jf= c
Por lo tanto, existe 8^, = e
O
O
ltm xy=l
Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0; tal que se cumple:
|xy-1 <* =*V(x- 1),-*-(y-1)’«*
Se debe hallar 8>0; ► 0; siempre que exista s>0, tal que se cumple:
h * -* 4 Ixy-IIS lxy-y+y-11 S ly(x-l)+y-1l * fy-ll lx-11 ...(1)
I
SOLUCIQNARIQANÁLISIS MATEMÁTICO III
I
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x + y-z
I
^+vT777^ - 3|5 ^
k/x’ - y ’ +z* - 2 + 2 - x - y J+z
x‘ +y’ + z + 3 -9 j
f ----- ----------- ^ xVyC3J ¿
-<1>
L - < ( y-
-
y, _
Vx - y +z +2 x+y3- z Acoramos S<1: Ixkl
=>-1
^x‘ +y'+z+3+3
=> l
,
8(1>fi(t>fS(1)+8(l) = « =»a=| De donde: 8= min | l - ¿ J
jr|x-S|x+2)+|y-.|y+l|+|z-,||:Z+^+lx
sUlv Ílv’ +v + ll +
z-1+x-2x+2+y-1y+2+z-1x2+y2+z+3+3s Acotamos ¿k1: Ix-2I<1 =*-1
© , ^ 4 ^ ' ^ x,+y,++z+3)=4
=*3
ly-lkl =>
-l
Iz-lkl =>
-11
Arreglamos las expresiones c:on raíz cuadrada: Se debe hallar S>0; siempre que exista e>0; tal que se cumple:
r ^ 7^
l +Vx, + y ' ++z + 3 --| < i =>V(=‘ -2 )1-
Ix-2k1 =>
-1
=>1
=» l
ly-1l<1 =>
-1
=>l
=> 1
Iz-lkl =>
-1
=> 1
=> l
/Ti o
x1+2x+xy+2y =3 — 77?—
Se debe hallar 8>0; siempre que exista t>0, tal que se cumple: SOLUCIQNARIQANAUSIS MATEMATICO III
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMATICO III
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1
I
Entonces: j I|X', í x ^ v í y - . a ^ - 3/|r |x‘ ^ .S K -2+x )-y +y <íy-aK'*3- 3-V | W
«"> c '^Se n l —= ^ = l =0 („ H w ) U ~ J
l ( x - 1)(x +l ) +a (x -1) 4. y ( x - l ) +3( y - 1) - 3( ^ - ! ) - { / - 1)1
.|X- 1|x+ ^ 2j x - H y | M + 3|y-1 + 3|x-<|x’ + x+ ^ y - < / ^
^
Se debe hallar fi>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple:
" Acocamos 8<-J :|x- 1 <-i 2 i i 2
=>- ^ < x - l < i= > i < x+ 1< | ...(2) 2 2 2 2
ly-lkl =>
-1
=>
0
bc-1ld =>
-1
=>
0
ly-lkl =»
-1
=»
0
J7 77<í
Entonces:
Se debe hallar fi>0; siempre que exista e>0, tal que se cumple: i f u
y
*
SOLUCIONARK) ANALISIS MA1LMAl luu iii §
—
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I Entonces: &=- Dedonde:8=m in|lr—i © „ÍV” -“ Sedebehalar8>0;siem prequeexistae>0,talquesecum ple 1Vil ___ Uer^V^+y*<#
Loquedem uestraque: lim«**“’'*—J777).=1 O (^ ( X,+Xy*)ü,(7777)=o SedebehalarS>0:siem prequeexista£>0:talquesecum ple: |(x1+xy*)Ln(Vx’+y*j<£=>Jx'+y*<¿
/ T} limíe^-=^=! vy v'777J=1 Sedebehalarfi>0;siem prequeexistae>0,talquesecum ple:
|(x>+*/)üi(v/7^] s|x(x*+/)üi(v/777] sH|(x*+y»)lJ,(v7T7|Sí(l)ta(í)=£ Loquedem uestraque
+x/)Ln¡>¡yf-*-/J=0 SOLUCIONAR» ANÁLISIS MATEMATICO III
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tJ£h **+/ = Sen(x1-t-m V ) *•*
(3x* -t-amx’ )Cos (x3t m V )
x’ + m V
2x+2m*x
(Sx+amx^Cosfx^+mV)
u5r—
hé----- m =°
Tomaremos cammce que pasen por (0,0)
„ _ Coa (be» )-Cos[Sen Cos^Sen (gkx1 (2kx! )J s ,= M
d M
* - j a u 8"
^
)
Sen(x’ + k V )
(3x*-i-6lc,x, )Cos(x, +m,x5)
x* + k V
2x+4kV
Aplicamos teorema de H'opital para el cálculo del límite. Para ello derivamos por separado el numerador y denominador. -2kxSen (lot*)+ Sen[Sen(akx1)] [Sen (2kx! )]
- ¿S * - { ^ y ) * i * W > =>1- (^ U lim *-*
+ c V ) .T n x*-*-c"x* *-
5eni y
)
41cV
-2kxSen(kx*) + 4kxCos(2kx* )Sen[Sen(2toc*)]
simplificamos 2kx
+ * V M » * +c V ) 2x +6c’x'
Í3x+9c1x, )Co6(x5+c,x*) U lim------------------ L _ i ------------ i = 0(1)=0 2-t-6c V
i _-Sen(kx*)+2Cos(2loc, )Sen[Sen(2loc*)] 2kP Por H’opital nuevamente-,
Seníx’ +y1) lim ------1-----------' =0 (» W x*+ys
|_-gtaCm|tx-j-itaSeníaot1]gei[s.ai(»»*)]+«:«(««*)Co^Sai(ga¿jj[Sai|'a¿ j]
2Coe(2kxi)Cos [Sen(2kxi)]Coe(2kxtX2kxi)
-----
SOLUCtONARtOANALISIS MATEMÁTICO III
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1
1
= 81®Cos[Sen(2lo¿)]Co6?(2kx*)
Puesto que el último término: 2Cos{2kxí)Co.i[Sen(2lcc')]Cos(2loc'X2kx,)= =12kxiCosi(2kx*X^Qs[Sen(2locs)]
-2kxCaa(kx’ )-4kxSen(2kx‘ }Sen[Sen(2la*)]+ BkxCui1!»*1)Cos[Sen(2kx4)]
( ^ -3la,Co6|W)-12toc,Sen(2loí! |Ser[sen(2kxJ)]+12oc,Cos(2locI)CQs[SeTi(2kx’ |] Simplificamos 2tcc l . Nm- ^ ( ° ) - 2Sen(<>)Sen[ Scn(0) ] +4C“ , (0)C“ [Sen(0)] *♦« 2 U llm ± ± ^ H —> 2
Simplificamos 3kx*: (be1) - 4Sen(2kje)Sen[Sen(Skx1)]+4Ccs(&X1)Ca¡ [Sen(21a1)] L 52
2
2
2 Sustituyendo x=0 -CosfOj-4Sen(0)Sen[Sen(0)]+4Cos' (0)Ccs[Sen(0)]
s ,. « C W . W I U “
Aplicamos teorema de H'opital para el cálculo del límite. Para ello derivamos por separado el numerador y denominador. L_ ]im-31ot'Ser>(kx, |+sen[sen( 2kx,)][Sen(2kx1)]
! L -1-0+4Cos(0) -1+4 3 2 2 2
xW De donde:
|jm Cos(xy)-Cos[Sen(2>cy)] 3 («H*í
x*y*
"2
6k V -Slot’Sen[loe5)+61o^C os(2Ioí* |Sen[sen|21oí'1)] «-»
U !S¡
-Sen (loe1)+ 2Cos(2kx* )Sen[Sen(2IOC3)] 2kx’ Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
Por H'opital nuevamente: ,
4te>C«|W| -1^to(lta>)tofím(W)]»lC«(»/)Cc«fs»(4bíl)1[S»(Stal>l M
g
SüLUülOMARIOAMAUSIS MATEMÁTICO III
Si= {(x,y)eH*/y=0} =* U ^Bm^(l+x*y,)e7*j’ =(1+0)e" =(0)e- =0
U0f
—
a
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Mediante limites laterales: L,= lim - = « L,= lim— =-<«, de donde: lii
u^
O
x,+y,H i ] =o
lrm f-^-¡ M -M x '+ y *
©
=[<^4,+ÿ ] =
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) S'=
= ' ¿ I ^ o =S2(0)=0
S*=
Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
L=lim.-m , = .■™ ■ puesto que estasolución depende de m. «-wn+m 1+m
S, = {(x,y)€**/y=0> = U
El límite no existe, (también S, * S¿)
x1- / St= {(x,y)6«V=nw>==»L=1_ lim (u 'i^ lJ Î + y 1 ‘ « « ' t m Y
x+ y
Puesto que Si » St El límite no existe. Tomaremos caminos que pasen por (0,0) S,= {(x ,y )* «V 0 > = > U (
= ¡ ™£ = ¡ j ¿
Lim
= limlim(1)=
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-
t
-
—
1
<
1
1-Cos(r*) L= Lim— —
jr w i.v r n F
-i
-i
aS“ (r’ ) Ll Sen('1' Lin l LIlLl «* to*Caí‘{tt)Sen‘[c/) '*> 3r’Co9‘ (rf)Sen‘ (d) ia'IGoss(c>)Sen‘ (¿) Cos(r') i L=L¡m----------------1— — _ = ! = * 6r“Cos (í>)Sen (0) 0
S, = {(xty)€'Jl,/yf=0}=>U (>jHlM)x, Lrm \ +y t4 = L^ i my.¿
-Sbf-e?
e?
U L im --^ -= t im -4 -= - = 0 ” * -2 x ^ 7 " í? * S»={(x,y)e*i/y=x}
derivamos el numerador y denominador respecto a r
=Ü?gr
Sen [Sen(3xy)] m r- t h o t t Tomaremos caminos que pasen por (0,0) ¡ s-
Mediante L’HopItafc U
L=Lim ~8X~’ =Lim— —
=— =0 De Donde:
Llm
e***, =0
1- CosPSen (4x* L=Lim------- -J=— r— -p Mediante L’Hôpital: Sen [sen(3x )] l
l¡
Sen[Sen(4x1)]Cos(4x*)(4x*) 2Sen[sen (3x* )]cos [sen (3x*)]cos (3x*)(3x* )
1-Cosfx1 +y*) ©
1—Coe[Sen(4xy)1 ■ » ■ -a ie . w [ L < U ) i
= L im -d £ l_ = L j m í ^ *** 2e*’ -if W *** e**1
fcWJU x*y* (x* +y*)
8xSen[sen(4x, )]Cos(4xs)
4Sen[Sen(4x*)]cos(4x*)
6xSenj^2Sen|3xI jijeos(3x’ )
3Sen[2Sen(3x’ )JCos(3x*)
Aplicamos L’Hôpital nuevamente: En coordenadas polares: ri=x*+y* 1-Coe(x, +y1) t _ U k Í A « J x V (x* + y* ) J
^
SOLUCIONADO ANALISIS MATEMATICO III
x=rCos(ft)
y=rSer>(0)
1-Cos(r*)
u Llm 4O»[sm(4^j][C0S(4 ^ )J(4 ^ )'-4 S «[s en(4^)]Sai(4)f)(4x‘ )«• 3Cos[2Sen(3)?)][2Sen(3jí)]'Coa(3x’)-3sá»[2Sen(3*! }]sen(3)f )( ¿ í )'
r’Cos’ (0)r’Sen’ SOLUCIONAR» ANALISIS MAibMAIKJUH
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35yCuS[Steli [4Jta)~|[~Cts(4Jta
16QMj"Sen(Aita)"||"tüa(4ïa)"|' -1à5ai|"Sen(4aa)"|Seii(4it')
-3fcl5gi fen (4a1)]aHi (4Jt*)
J « ^ [¡^ (ïï^ JJiH û ^ a v * )] Uû^ax*) - ijainfasinfaii JJssiisx*)
us[2S&1 (a**)][2Q» (a*1)Ja*’ )ü B (a*1) -lfiaSen [asen^aï* )^ai ^ïii )
1«:oe(0^CDs(0)t-16Sen['Sen(-D)]Sen(a)
1fiCoe[seri(4*1)][coh(+X1)]*- IÛ3en[sen(4«*)] Ben
_ Sen' [Sen(3xy)]
1-fiCoo(Q)|"Coa (0)J* —l&Sen[5oi{0 )]Sen (0)
lb 9
) *
(
ifi_ 0
;[EBen (Ü )][2Cos (0)]Cos (Q) -Çfien [2Sen (0)]5en (0 } "" fl-0
¡i^ìjì^Lscìj^ a*1)J cos{ a*13)- i*jiS&ij_3Se^ a*1) J aai(3jiE)
if,_Q
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9Cos[ESen{üjJpCoE(0)]C oe (0 )-flSen[2Sen (0)]Sen(0) " fl-0 “ 9
G
Lini 1-C«[Sh(x4-y)] Sen ’ |_Sh{2x + 2y )]
1-Coa|~Sen(4>y)~| (■Jh w ) Ben1[Sen(3xy^ caminas que pasen por(Ü,Q)
1—Coel"SenÎ4i{3il L= Lim---------J=— / Mediante L'Hopital — • Sen, [Sen(33f')]
1—CoefShÎ2x)l sm*[sh(4x)]
L TJ_ ^
S e n ^ n ^ )]^ ^ )^ )' ÌSÈn[Beti(SK3)]Cos[£en(Sx1)](ÌB (Sir,J(3xa)1
1Ex’Sem [Sen (4k3)"|Caa (tx3)
4Sen [Sen [4x3}")Coa (ix3)
Mediante L’Hôpital: k= '{wMiHHSen [Sh (4x )]cba [3h (+x )][Sh (4x)]’
■ I-,J iiK’Sén.'EBcn (3k 1)]C eb (3xn} “ " " 3Sen [SEen (3xn) J ï h £xn) L= Lim = Lin ^ ' H » ) Sen[aSh (4x )]Ch (4k) (4) ^hffl)3Ser [SSIi (4x )]Ch (4x ) L Llr.i Aplicamoa L'Hôpital nueranwtE: x^Sétì fan(4Ji’ l"|stai (**
""
3tua [2Sai (a^ )][2an(3ii' )|a^
) ) -??ji&ai[2ati(3^ )]stti (a*1)
4SjÎQB|"sai(4*aJ][Cüs(4ïaJ"j1-48Va5&l[ssd(4Ji’ ) îTifCtx [ss&i(3x?):J[aDüa^j? )]qs(3jî* ) -OTi'5«ii[îS!n^>i' )]sen (Sii J
^
Cca[ ^ ( 2K)]Ch-(Ex){Ex)'+ESen[ ^ ( Bx )]St,(a .) 4Cca[2Sti(4x)]Ch’ (4x)(4| -i-aSen [2Sh(4x)}5h (4x) ECoa[Sli (2x)]Cti‘ (2x)+ ESen [Sh (Sx}]Sli (fcjt) " ( ■ A 4Gos[25h (4x)j Ch’ (4x)+ 3Sen[2Sh (+x )]S»i (4x} r g
-
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1
l L 2Cos('Sh(0)]Ch,(0)+2SEnfSh(0)]Sh(0) 2+0 1 l6Cos[2Sh(0)]Ch’(0)+8Sen[2Sh(0)]Sh(0) 16+8(0) 8
r ihnx+1 ü+ ’(1 x-8 ,-2x>-1+ 22=3 2 X++X Ljmx+Ln(l+xy)_2 «■«M l+x+y 3
O ^ .=_ Ancsen(xy-2) I ® Arctg(3xy-6)
Tom arem oscam inosquepasenpor(0,0) M edbraeLHopM afcuW) Llm-S"[=»'W]“* SxM*S“W Aplicam osL'Hôpitalnuevam ente: b.KrLH lm iv» 2 ^ü¡T¡2¡¿y Tom arem oscam inosquepasenpor(2,0)
H—
2
Tom arem oscam inosquepasenpor(2,1) *-(•— Hi-iAplicam osL'Hopitai: .•I-Ix-'2|’ U>j5* 3" 1 1+(3x-6) O Llm*+*/+«V W W) (x*+/) Mr
| -
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L=Ljm Cm<
i » )5^
(« )
UCcs\8>+3Coety)Sen^e>f2Cos(8)Sen,(e) Puesto que esta expresión depende de 0:
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) S, = {(x,y)e« V x } => U
Lim^(x+ y)S e n^ jse n JJj
x*+3xV+fc*> (x' + y*)’
L= Lim (x+x)Scn^j = Lim2xSen^j Por teorema de Sándwich
©
IxÍ m Mx* ' -t-y* —2x - 4 y +5
-IS S e n ^ j S i
=>-2xí23fSen|^js2x
Lim(-2x)S Lim2xSen]^ j S Lim(2x)=>0s Lim2xSenQjsO Tomaremos caminos que pasen por (1,!) = Lim 2xSen(^j =0
Si= {(x,y)e*V=xtí =* L= {J jim ^ (x + y )S e n ^ js e n ^ j
St= {(x,y)e«*/y=2x) => ULim-
2(x’ -2 x +1)
n««oW.s ,.s ,. i ; ; -
UL¿m(x+x«)Seng}sen(-ij
2x*-2x-2x+2 2
g
-¡-y* -2 x -4 y +5
m[l| Senf J. j ál =»0¡3(x+x*)Senj ^j SenQ, j S(x+x*)
B
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1 ^ ’-V117’,'7W lim (0) £ lim (x+x*) Sen j - |
s lim(x+x^ Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
asjim(x+x*)Scn^jsen^-i|áO
S, = { ( x , y ) e 3 l => ^ (|
lim (x+x^Scn ^ j S e n ^ j =0
S,= {(x,y)e«*/x=0} => L= lim = lim -?- = 0 (wH»j»)*y+y y-»0+y
y)S e n ^ js e n jj j
S»= {(x,y)eítVy=x} => U lim = lim -^ L = lim— = 0 1 <*,Hw)xy+y *-«x, +x « x + 1
1= lim(x+x*)Sen ^ j s e n|-^ j Lueso: lim — — =0 M ^xy+y
Por teorema de Sándwich: - I s S e n ^ j s l y -lsS en^-ljsl
Multiplicamos ambos términos: OtsSen{-!j Sen^-iJSi => Osfx+x^jSen j ^ j s e n j ^ j s(x+x*)
Tomaremos caminos que pasen por (0.0) u
ljm(0)slmi(x+x, )s e n ^ ]s e n ^ js lim (x + x 1) ftslim (x+x4)Sen j^- j Sen^-j-j 30
lim
S, = {(x ,y ^ )€ «V 0 > => U De donde:
g
SÜLUCIQMARIQ ANAUSIS MATEMATICO III
lim / l + J ! Ü x+ z)
j n J l + J L j.lm (l).1
Sj = {(x,y^)€!N1/y=xrz=0} =*U1fa^1+2|j=2
Puesto que S ,^ ,
o Jtuái
2112« x+z
lim (x+xs)Senj^— | Sen^-1 j =0
Hm
X + y+Z =g x +2
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kYSen - + k ’x* +k‘x” ULim------------ ^ ----- -J----------*-« L n (H -k Y )
St={(x,y)e9lV*} =* U Ljm x’Sen ^ j = 16Sen^ j=8V? S4= {(x,y)e«Viix/4} => U Limx,S c n í-^ l = 16Sení-} = 0&
5k’x*Senf— +k*X* ]+4k‘ x*Cos| - + k Y |+ 10k*x“ UL^
3 k v / (l+ t v )2
xy7Sení|+Z*]+ x V z
O
— x>rfen ó +zI (w Li"> 'H W ) -------------------------ln(l+xyz)\--------- = Tomaremos caminos que pasen por (0,0,0) Si = {(x,y)e3t4/ytemx, z=mx} => mx’Seml — + m V W m V L = Lim---------------------------- 1---------Ln |lW x\,
M 7w ; \ ” W
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) 3mx'Sen — + m V !-*-2mVCas — + m V l+7m4x* U Lim --------------1*------------L — --------i f ----------- 2-----------"" 3m*xV(l + m V ) (l+ m V )f 3Senf^+mYj+2mVCasf-|+rrf'xl' j+ 7 rn V 1 U Lim ' ^ ^ i .J ¡
S, = {(xty)eMV=«oc*, »*<*} =» I SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
Si = {(x,y)«SR*/y=mx} => lim
rVx’ + m V -1 [x '^ -1
x’ - x m V ] ' x ^m ^J-
.. T xVl+iti* - I 1+xm' 1 0 -0 = 2 = 'r^"^x*(l+m,x’ ) - 1 + l+m’x J =
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S,= {(xIy )é «i/y=kx*}=> Li
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x* + xk*x< x* + kV :
O
LJ _ » 5 ^ L a L g 4 l = ( H i ) = : — [x*(t+kfx4)-1 l-*-kVj v ’
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) Si = {(x,y)e9J*/y=mx} => U m - ^ - y ^ L = L i n 3 ^ =0 ** x +(mxj -«1 + m S,= {(xry )e «,/ H D Í} =» Lim-
, 3xV Lim 7 = kvHWx1+Y
^SESÜkf Calculamos el limite mediante teorema del sándwich: -t s & n f ils l
-t iC o .f e ]s 1
0 w
Lim -------* £ — fc yhM xV + (x -y )
""" x*m*x’ +(x-m x)
" " m V '^ l - m ) 1
a s , t w )-o
Sen(xy-z*) O
( J íLT*a»>= (xy . 2.)' É m v r .'v
Os ^ Lm i^x1+ y, ) S e n ^ J c o a ^ j s 0 , +0 de donde:
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) S, = {(x,y)e«*/y=mxr z=mx} =»
I SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
17”
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Sen(¡roe1- r a V )
Aplicamos H’opital n por (0,0) S, = { ( ^ « V O } = » U
Í2mx-2m'x)Cos(mx* - m V )
=L'1"—-------1--------- L
= L n T » 5 ^ = LJm(0) = 0
'■ * 3 ( m V -m V ) (4 m V -4 m V ) (l-mJCosJmK’ - m V )
Si = {(x,y)e»V>nx*, h i r *¡ => U
S* =
i_ m
•*(m V - m 4x*)(2mx’ -2 n i V )
=* L=
0
Sen(xy-z‘ ) ( x V - z 4)1
Puesto que Si* Sí. El limite no existe
Aplicamos H’opital I-Cosí*1- y 3)
(r a V - m V ) ’ (3mx' -4mV)Cos(mxJ - m V )
©■
x8+ yt
gmirww
3 (m V - m V ^ f a i V -8mV )
■*H#
=3^¡= -m V )* (6mx’ -4m!xsj
0
l-Ccefx’ -y M L%
. ^
«¿ y
En polares: x=rCos(e) ; y=rSen(0) ; 5^+y*=r* L= Lim 1- C0S[ rJC0S(<>) - rlSen(tf)3
Llm
Aplicamos Hopital
O
Sen[r'Cos(0)-r5Sen(«)](3r*)[Cos(tí)-Sen(fl)] = Lim2r en[r'Cos(0)-r1Sen{í?)][Cas(íí)-Sen(¿»)] ^
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1
s,= y= c^ ^
O
.
xn/Cx’ , . ±Vo7 „ W +W k r ^ T ^ 7 = °
L M Luego; >í=mx=i Lime
= e "= c * = ® á ( * ^ P ^ =0
A U/
= ______ V ^ ^ L, ,_ !mm-V_ -3 F_m x1-!r+x* _ -3 m + l 1+m*
Lim
x! +y
j
m’ -3m -1 l+m!
=*
=-«o Á
Puesto que depende de m O
(,.!^ 7 v LJm ^ ^ = U m - ^ L = 0
s»=y=x5
=»
Um£ [ 4 =Lim4 =J x +x 2x 2
Puesto que: Si * Sí=>
SOÜJCIONARIQAMAUSIS MATEMATICO III
i
^
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO di ^
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La luncitìn es continua en (^#<0,0). Debemos determinar la comtinuidad gì Q
(0.0). a) flftQHJPtrdefiniciótL
Detiimiiwsifescontìnuaen(10i,0}, dDotfe:
o
fry H a o )
JM H ^yTT S, : y^0
a) fl]0r0>= 0 Por definición
siy = > =>
Lim
e»H<*
Sen*fx-y) . Sen* (x -x 1) i l ai =Lim ?'
M+H
Ben1fx - 3^ 1 = Lim--------i-----r - Lim. . ) Por tanto, Lim— = no esdste, de- donde
«■
x f l-x Ì . ,/= Lim
=
Lim ft)i,y)= no ex PQrlBn*a'
ci PUesto que Lim 1FkV)= nocréte, la lui ( ' « c) PUestn que ^ Q
DEtem-iinar si latunciim f ea continua o no, donde:
» ■ (W ;
*« ** 0
f(x,y^=flT0,0>=ar la fimctón es continua en (0,0). Luego la
función es continua En 31* Q
AvEriguar ai ea contìnua lafimción:
H H ìI = q = j V l-K ’ -Y 1 xs+y=£l ft*,y)=
SDLUCIOMARIOAHÀUSIS MATEMATICO III |
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c) Puesto que ^ l^im^ f(x,y)=f(0,0)=0, lafunción es continua en (0,0) c) Puesto que ^ Uin^ f(x,y)=no existe, la función ea discontinua en (0,0) Q ^
Determinar si lafunción f es continua en todo
Determinar si lafundón f es continuaen (0,0), donde:
M -M l
l
o
I
(x ,y )= {0,0)
(^y)=(o,o)
I - ' * 1“ ' " ! xy es continua Falta probar la si la función es continua en la región (x,y)=(0,0). b>
Determinamos la continuidad en (0,0). a) f(0,0)=1 Pbr definición
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) Si = {(x,y)€«,/y=0} =>
=
«
Mf»» Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
w w ]
xy
mx*
S» = {(x,y)eMVy^mx} =»L = Um j f t l = L i m f ™ 1' (t,>Hoi
-» S -S -
u » S S S Ú .u J S f c a .i xy *-» loe1
S»:y=cx
Sí = {(x,y)€?K*/y=lof*}=>L=
, = Umx* ^ y Portamo,
Um f(x,y)= I
ULJyT^=Tn%=0 c) Puesto que ^ im^ f(x,y)=f(0,0> 1, la función es continua ei tanto en 91*. 1 SQLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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1
3" 3Scn x w ^ u - .. --------J -íl lL2£]J
- 5 ÍS J] _»I!5ÍS->,[£^ íi T ? ] ~h -i
3 -3 S « p | £ l L=Lm----------------------- £ Aplicamos H'oprtal:
-a a * [¿ ± £ ]
*-vsp—
^ C o s(^ ) — i —
3 Puesto que SiaSt ^ ¡m ^ f(xy) no existe:
— fc— ^
3Senfíl±£l
c) la fundón es discontinua.
u y ¡r —*5— ' 8
,
Lim
3 -3 Senf X- - ^ - Z- - ^ ) -------------¿ ¿= -
(x.+y.+z*)*
£)
Analiza la continuidad de lafunción f en (0,0) donde:
8 l
3 c) Puesto que ^ Lim^^ f(x,y,z)=- Ib función es continua.
0
(x ,y)= (0,0)
m t' iiyyry a) f(0,0)=0 Por definición.
Determinar la región de discontinuidad si:
b> Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
[
o
(x ,y)=(0,0)
ULjm|x+0+ £ ^ j =0 a) f(0,0)=0 Por definición
b> K ^ .)^ y)
S, = {(x,y)€ÍK,/y=x}
=>
1= ( L im ^ x + y i
j
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) B
_
SOLUCIOMARIOANALISIS MA.1m ía i iw m
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DERIVADAS PARCIALES ir di
81
d fV - y * l d y U '+/ J y* k Y * -/
& = Sy 2J x '+/ - x ' +/ ! Hallamos primero “^derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
(« * ).)
8z Vx'+y’ í (x*+ys)(xB~yt)1“
3y
2/2y* |[
(x*+y*)’
(x*+y*)((x*+ y*)(-2y)-2y(x*-y*))
J2 v,'\x'+ y* ty|(x, + y ')7 x‘,- y '
-2xV(x:Vy*) W V (x * +y
a V v (:
-x-y
-x*W?37
Nf2/(x*+y*)Vx‘ -y*
>/2M
0Z i/x* +y‘ If(x-+/)(-2y)-(2y)(x*-y*)] 1 —2x*’*/777
V?xy* |y)Vx‘ + y \ V - y ‘ / g x / y x * -/ -x ^ W T ^
7¡H(777j7?T b) z=Ln |xy'+yx’ +^1+(xy*+yx*)’ j J f v n .V 'T W & Ahora — ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
H
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO III
Hallamos primero — , c
SOUJCtOMARWANALISIS MATEMATICO DI
■:
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„ [x y ’ +yx’ ^ x y ’ +yx*)*]
=>g =
V+yx*+Ji^y*+y?7 *y* +yx* +^i+(xy*+yx’ f *
L »»> K ^ n az ñx
(/ c3z
2^ 1+ (xy*+ yx*;
u
^1 + (xy»+ yx»]'
J
*
’
[ V + y ^ i + K + y * ’ )1]
^ ( x y ’ +yx')*
^xy* +yx* + ^ 1+(xy* +yx*), j
xy*+yx*+^í+(xy* +yx*)1
■ 4 t * 6 iI
| v * y x , ^ fM v 7 ^ 7 j
(y* + 2x y ) ^ 1+(xy*+yx, )f +x/+yx*
C) z=xyea^ ’**) j r T T r ; *.*7y Hallamos primero
, derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
z=xy —
=y e ^ ” *’ + xy
= > ^ = x V e*ní” '>xye®"6“» [Sen(*xy>]' Cos(xxy) (nxy)' = y ea"fc",) + «xy* e^^Cosfiocy)
xy’ +yx* + ^ 1+(xy* +yx’)* T Z=xy
s=Ln^xy* + yx* +| l +( x / +yX’ )’ ] = 3
=> ^ = y ’ x e ^ ” ” + xye5"*"» [Sen(*xy)]'
xj^+yx’ +V H V +yx’) ’ J 51=xea^ w,+ xyea^ ” >)Coa(trxyXiixy) = xe*^“,’+xyxiea”fc“,t o 9(iDcy) f ,
o_
2(xy»+ yx‘ )(x «+ ixy )l
8^ i +(xy, +yx*)* |
ajl-^xy'+ yx*)’
J d) z=(x* + yt) l
xy, +yx, +^l+(xy, +yx’ )'J
j xy* +yx*
I +(xy* + yx*)* J
1
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Hallamos primera — , derivamos parcialmente respecto a x (y constante): 8x Z= (x'+y*) 1~ yiXf +y]
(i+ ,/7 77 )
*
í,-2y(«#+y*)-4y/x! +yí *
(iW * + y '|
(t*/x*+y*)
*
2-Sx(x*+y* )+()£•+y’
ex . **-('•'■«■-»te]
Hallamos primero — t c
|t+Vx*+y*J
[ (1^
j
■ f é S M S ')
ñz 9 \Rr
(u T O f
(1+7777)’
ra — , derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
'-£ 5
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+ Arcsenl í i H |
¡2 :) tW ) T ü I
***$*■
x ^ [x y -x -y ]
(x y -x -y )'
1 J^-x -y
^ \ (x y -* -y )(x y + x + y )
x»Yxy+x+y
^ y » - (x + y f
| I
dz Ahora — r derivamos parcialmente respecto ay (x constante):
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO NI
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g=Sen[2Ln(xy’ )]h lj- 3 C o SI (e’ -V)Sen(e' -e*)(-e*)
»
(V -V x -')'
*
f(^ )' dz
y ^ j x y - x - y j ___ 1_ I
Jx V -(x + y )
(x y -x -y )*
— = - SenlSLnCxy^l+ae'Cos^-e'JSeníe’-^)
V
^
y*ì|(xyr-x-y)(xy+x+y)
| j x y -x -y
y^xy+x+y
Ahora — , derivamos parcialmente respecto ay (x constante}-. 8y V =2Sen(Ln
Hallamos primero ^ , derivamos parcialmente respecto a x (y constante): £ = 2xSen* (y)+ye**^ -(-2x*ye**^
52 Ahora — , derivamos parcialmente respecto a y (x constante): dy £? = 2x'Sen(y) Coe(y) -t-xe‘"', ‘ + 2 x y V ^ '
| = -^Sen[2I|,(xy«)]-3e'CoS, ( ^ - e ^ e * -e>) | =!sen[2U,(xy’ ) ] - 3 e W ( e ’' -e ‘ )Sen(e* - e‘ )
h) z=1^ (e ^ -€ í* )
Hallamos primero — ¡ derivamos parcialmente respecto a x (y constante): | =3T8*( e - -e ^ )[ T s (e ^ -e ~ )] ', = 3TS’ (e** -e'-}Sec*(e^ -e*»)(e*" -e**)',
I z=Seril[Ln(xy^]+CoeV-e‘) J? = 3TS*(e-'-é * * )Sec> (e*1*- e*1*)[c»* (x /y). -e '* (yx")J Hallamos primero ^ , derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
| = 3 T 8« ( e - -e - ) S e c * ( e * - - e - ) [ ^ : +£ ^ ]
£ =2Sen[ln(xyi)]CoGfLn(xyi)] rWxyi )]x'W(e>-e-)Ser>(e>-e*Xe>-e*) -
B
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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1
l
|? =Sen[2ü,(Xy’ )]^ j -3 C o s * (e’ -e* )Sen(e' -e «)(-e * ) I —
{ ^ )
*
(“
*
f
( ^
í
£
£
) w *
£ =-i Sen[2Ln(x/)]+3e*CosV-e')Sen(e’-e^
v*
&
*
* Ahora ^ , derivamos parcialmente respectoa y (x constante):
Di
y~*fxy-x-y] v' x V - ( x + y)'
0
1 I
( x y - x - y )'
y * )((x y -x -y )(x y + x + y )
i jx y -x -y y'Y x y +x + y
£ =2Sen(Ln(xyi)}Cosi[Ln(xyi)][Ln(xyí)}/aCosi (e>-e*)Sen(e'-e1Xe’-e1) dy ^=Sen[2üi(xy*)]^j|-3Cos*(e»-e'')Sen(e'-e«)(e»)
z=x*Scn*(y)+xye”‘ v g v ’T r y y r g
| = | se n [2 U ,(x/ )]-3 ¿ W (e > ' -e ‘ )Sen(e> -e ‘ )
£ = 2xSen* (y )+ ye**v + 2x’ye***T*
dZ Ahora — r derivamos parciaJmente respecto ay (x constante); dy £? = 2x, Sen(y)Cos(y)+XE'v,,, + 2x y V '*’'1
1
h> z=Tg>(e^-e^) # y i iy v ,'y Hallamos primero
¡ derivamos paroaJmente respecto a x (y constante):
g =3TS' (e*^-e’-)[T g (e ”> -é**)]', =31fc*(e«* -e --)s e c * {e ^ -c"»)(e«'» -e"*)'. g) zsSerfpiiíxy^l+Cos^e'-e*) | = 3Tg* (e»> - eT<*)Sec* (e,ly - e,"‘ )[c’,r (x / y ),-e ^ (y=r>)J Hallamos primero * , derivamos parcialmente respecto a x (y constante): || =2Sen[Ln(xyi)]Co6[Ln(xyi)] [W V )K t o G í (€?-e*>Sen(^-e*Xe'-€*) g
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMÁTICO III
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMÁTICO 111
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Ahora ■— , derivamos parcialmente respecto ay (x constante) dy j)
z=Ln(xV) + A rctsg ]
| = V ( e - - e - ) [ T 8( e - - e - ) } T i | = 3TS« ( e --e -) S e c * (e- - e - ) ( e - - e - ) ' y
Hallamos primero — : derivamos parcialmente respecto ax (y constante): ax
^=3Tg, ( ^ ,í-e^,)See(e'ív-e'rt) ^ ( x / - ’)^ -é"* (y/x)yJ & = (x+y’ )-; +_ [ ^ _ =_ i _ +
_____ i__________
^ x+yI ,+[yJ X*y' x*^y' *+yl x,+y* Ahora
£ =£^Üu
z=Arctg(xy)+Arasen^J L j
=_?y_+_L_ =_2l.+_ í _
Sy x+y’ i+ ^íj x"'y’
M '/ V y ''T W
X' +Y'
x+y* x,+y’
Hallamos primero ^ ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante): k) z=5xY-2xy5
a
(«v)- . f e ) ' _ y .
** 1 + k V
h
~
1+XV
0+y)_ _ _ _ V . (l + y)^(1 + y)! -x s ' + *V
'
J ^ T t r r ’.T g
v'(i+y)’ -x* Hallamos primero ^ ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
dz Ahora — f derivamos parcialmente respecto ay (x constante>.
^ = S(43í/>-2ys= 20^
- 2/
Ahora ^ ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
\
( f y )1
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
— = 2x*y- acsxy4) = 2x*y- 1Oxy* Sy ■J
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f a>UA*DOESBOZARAMOS I)
^-viiyyrw
2=x?+3y*+Ln(x+y) Hallamos
, derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
Hallamos primero — ; derivamos pí
1/y 3z_ c- ^ g(x/y) | ( x / y ) __e*» | 1+(x/y)* " y (/+x*)/y* &e~*^ (
y
Ahora — ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante): Ahora; derivamos parcialmente respecto a y (x constante)-.
&= 5y e
9(x/y)
o) z = (SxV-y*+7)*
(x/y) +1+(x/y)’
xe~^ | -x/y* & xe~^y x yk +(y*+x‘ )/y’ ac y* x’ +-y* _______
Hallamos primero — - derivamos parcialmente respecto a x (y constante).
8x
g =3(Sx!y -y >. 7 ) * £ í ^ - ^ =3(5xV-y' +7/ (lüxy)
B - tM tH ' ) ]
=30xy(5x,y- y ’ +7)*
Ahora — ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante): J 5 = Coa(x* )^sec1í ^ ¥ - - ] = - * y* U A /J
S. /
0y
y* ^ = 3(5x * y -/ +7)* a(Sx'V ~ S +7) =3(5x*y _ y>+7)*(5x» _ 3y*)
Hí ) SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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c) fCx,y,z)=e*+Aras e s Hallamos primero - y ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante): d) f (x ,y ,z )= x '-~
— = 4x3-8xy’
8x
1
e) f(x,y,z) = xs+yA-3yz-x+z
Ahora ^ ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante): — = 4yI -8x*y
m v w . i 'r m a) f(x,y,z)= e*" Sen(xy)Cos(2xz) i)
Derivada respecto a x (producto triple):
#-* v
=v“ x”Sen(xy)c“ <2xz> y El'’Co6 -2xe*” Sen(xy)Sen(2xz)
Hallamos primero — ; c ii)
Derivada respecto a y: £ f| ^ z )
*” Sen(xy)Coa(2xz)+xe‘"Co6(xy)Ccs(2xz)
Ahora — ; derivamos parcialmente respecto a : iii)
Derivada respecto a z: « M
. =xye*"Sen(xy)Cos(2xz>2xe*”Sen(xy)Sen(2xz)
a) f(x,y,z) = e***Sen(xy)Cas(2xz) i) b) f(W )=
, "V
,
Derivada respecto a X: «(x ,y,z)
f** -t-y* +z*-x(2x)]
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1
1
ñ« (x+yjVx'+axy + y^-x’ +aty-y*
(x+y)V4xy
(x+1)\xy
(x + l)^ " ®
Derivamos respecto a x:
Luego con (!) y (8), la demostración
s
Í K
t
H
Derivamos respecto a y: x - ^ + y ^ 1 ' [7*?-V ^ y ]= > x -^ + y ^ = 0 demostrado. Sx Sy (x + y )L Ox «V J Derivamosrespecto a z: Q
Sfcz=x*-3xV-2y,,verifiqueque: x -^ + y -^ = 3 z
Ahora verificamos con (l), (2) y (3):
Derivamos respecto a x: £ = 3 i í-6 x y
...(1)
Derivamos respecto a y: ^ = -3x«-6y* ...(2) sy Ahora verificamos con (1) y (2): x | + y ^ =x(3x*-6x-6xy)+y(-3x, -6y*)=3x,-6xV^x V V = 3 x '-9 x V V = 3(x’-3 x V V ) x— -t-y— + z— = 0 demostrado Sx By 8z x— +y— = 3z demostrado Sx dy ®
W
S: ; % V y ' - | rVtrilÍqUeqUg Xf +Yf
~ M 1+1)
Si u =Se n í^l^\ verifique que: x— -t-y— -t-z— =0 V z / 8k df dz SOLUCIONARLOANALISIS MATEMATICO III
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+y— +z— =0 Xñx+ y ay'f"Z&
Ahora probamos la expresión esión dada:
y z x __ . rXi tXi «Tu Si u= - h— + - . probar que: x— +y— •*-"------x x y Se fly
_ X8x*yñy*Zdi= Av
ftv
Demostrado
Sw
a i _ y z _1 acx1 x* + y " _
Ai Ai Ai „ •.prabarque: x— +y— +z— + u =0 E & ty Dz jf v H .y y r w ft, _
£u _ 1 ^ S y "x y*
-z (y + z )
Sx (xy+yz+xz)’
'
Derivamos respecto a y: Ahora verificamos con (I), (2) y (3> <5y (xy+yz+xz)
*!*”s *‘£- x(-3-7*¿Mí -7M í )
A i _ (x y + y z+ x z )-z(y + x )_ xy (xy+yz+xz)' (xy+yz+xz) "
x£ ¡ + y£ ¡ +z— E* 8y ìn.
Ahora verificamos con (1), (2) y (3):
c+y^+ Sy : in
Í2x
Ai (V
1
(xy+yz+xz)* Ai (V
<3u «k
SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
(xy+yz+xz)’
y_z x y_x x x y x y
■e)
Xac+ y Sy+ Z 0z ~
x x y x y x
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1
Q
1
Si: u=y*+Tg(ye
probar que: x' ^
Derivamos respecto a z:
= 2y*
Ai
(e‘ +e’'+e*)ew (x y )-e V w
e^íxye1+xye'+xye*-e ‘ )
*
(«*+eT + e*)*
(ex+c’r+c*)*
^TiTur^r-TW Ahora verificamos con (1), (2) y (3) g =Sec* ( y e « * ) f ^ D = ^ (xJ ySec* { y f f i Z p = ^ S e c ’ (y e «» )..* )
1
Aj (u Ai e » ( y » 'i yTe'. >»•-«f) e1*, | y « • -« " ) e*'1Ixytf . *yt> . xye’ «*) ***** («¡■♦«’ ♦¿■r ’ («“♦ «'w y a x ^ + e.
(e*+e'+e*)‘
Derivamos respecto a y: ^ = 2y-Sec* (ye**
ai Ai Ai " S +^ ' KS
= 2y+cw Sec* (y*’" ) . ..(2)
Ahora verificamos con (1) y (2): x * ^ + y g = - y 6,'*sec‘ (ye,,“) + V ^ s ee ( ^ )
eW[(Vz+xz+xy)(e*+eT+e')-(«* +er +e1)] (e’, +eT+e>,)k
Ai A i, ai
e**r(e*+e>'+e>)(yz+xz+x y -1)]
At+^ + *
(e'+e’r+e*)‘
Ai ^ +A i Sx ay flz (e* +é' +e*)(ex+er +e*)
Demostrado
x’ - ^ + y -^ = 2y* Demostrado ñc
>-r\ e”“ Aj Ai Cu , & StU=F 7 ? T ? , Probar q u e : - ^ +- = U(xy+ x2+y z - l) ^TiTTTRT.rg Derivamos respecto a x_
Derivamos respecto a x:
a,
(e* +€>- +e*)e»* (yz)-e*e**
e«* (yze* +yze* +yze* -e » )
<**
(«f + 6” +«f )*
(e* +c» +e« j
5u _ f x -y + z Y " 15 ( x -y + z ^ dx ( x + y - z j S x^x+ y-zJ
Derivamos respectoa y. ñu (e'+ey +e*)e<” (xz)-e'e*'’ ^
H—
(e”+tf'+€f, )‘
e«* (xze* +xze' +xze‘ -e ”)
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1
1 Luego;
£ £ ) . Demostrar que lafunción z=— + - +— — - satisface la ecuación: w 2y 2 x y ( ac
*
*)
1*+*
,f„au . a , . . ^ _ l de ¿v &J
M V H V V .'J
3f , ¿ ! + y ^ + z ^ l = - ^ + ^z ( & 1 7 + 7 7x^7
•
3Í x— + y— + z— I= Z u Demostrado { S*. Sz) $ y + / x—y y -z
|M Siu =x+-------, probar q
w
x*g+y*g=£
g(x, +y*)z 3z f(x«+y*)4 *V+y*
Derivada respecto a« ^ = 2x+ ' — i = X+'%—
ñ< 2y 2 x* y 2 x*
• Derivada respecto a y: — =-2— +-L
¡V 2/ y*
Ai Ai Ai u e =1 & ÍV &
x « ^ + y * ^ = x * í í + 2 -l l + y * f 4 + 4 l = ¿ + í l - 1 - ^ + l ñu «V (y 2 x’ j y1] y 2 2 1 8z i tu. x1 x ^ +y ^ = 7
M '.'ii v.'TW Derivamos respecto a x: ac-
y -Z
ÍV -
(y _ z )«
a> - ( x- y ) ( - i ) ^ (y-z?
( y . xf
oj Su ( ai da n ( 1
z -x ( x -y )( y -z + z -x + x -y SL at+ay+ ai 1V * +(y-z)*+(y -z )’ 1 (y_ z)*
"
B
—
Demostrar que la función z=y‘‘'S e n ^ j , satisface laecuación:
x -y (y -z f
ai |ai |a j _ 1 ac+ ay+ ñz
x’ — +xy— = yz at
, (0 1
0y
A M IIÍÍV .W Las derivadas parciales:
s
-
^
b
w
m
í o
b
)
— ----------------------------------------------------- E
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Si (f) es cftferenciabley R(x,y) = f(x-2y). Probar que: g = y** [ ^ ( y ) + l ] Q c o s g ) + y ^ S e n g ] ( i )
2F.(x,y)*Fr(x,y) = 0
J T -T n T V T T
Luego en laexpresión:
F(x,y) = f(x-2y) =* F, (x,y) = f (x-2y) ; F, (x,y) = -2f(x-2y)
+xyy^*[Ln(y) + l]^ jc o s ^ J +x y y ^ S e n g j^ 2F,(x,y) + F/x,y) = 2f(x-2y) -2T(x-2y) = O ©
Sea z=f(x,y), x=u+v, y=u-v. Demostrar que:
(£H£H£X£)
+yy'rf*[Ln(y)+l ]C o s ^ j + yy^SenJyj x - | . x y | = -y y > -C o s g )-yy"«Ln(y )Se n g )+
g -v u r ^ n r +yy"*Ln(y)C o s ^ j +yy«^CoS^
+ y ^ '1'S e n ^ j
Las derivadas parciales: =f’(x,yX»+l)=2f’(x,y) ...Cl)
= 2f(x,yX0M>
□ SOLUCIONARIAANALISIS MATEMATICO III
Z I
...(6)
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* PISÍEX h£S)] = 10(3fl)e = 3£ Q Supongamos que ffx.y^-EV1'y que g, h son üincicnea rales: que s(5)=3,
Si *x,y) = x + y - J 7 T 7 rcalcular
h=&.
Hallar FfS) al F(t) = f[gft}r hft)] * T .1HW M ¥ DErivanra nespedioa t lafunción F:
Las derivadas parciales:
F -O ^ f K U h O lK ít ^ h ’CÍ] & De donde fl^y) = ^ [ - ^ + ^ 1
« fry ) , ¿V
ÍJ x ’ +y1
a ^ +y 1
( ^ +y1 ) 1
ay
í j x ’ +y1
Sj'xS y’
^xV y1
.
y ^uVy1
F'(2>f KS), hí^lCgTaHh'ÍS)] a¡9(3>^hCK>5 =¡- PM2), h(S)] = FÍ3,5X4-h6>= 10F{3¿). ..<1)
« ÍM ) , ¿K
Puesto que Kx,y) = £**', logaiicmandoc
3 “T í T F
. 3
s afta,*) .
5 5
^t)| Si Ü(K,y)= e* Sen (x+ay), decentiTriar
£V
4 "V F TF
, 4 5
y (.r O,«,^
Derivando respecto a t Las derivadas parciales:
$$
-'S " *
-« h -W
S -m
«
KSK. 5 - t o - s
L¡ =e^Sen(x+2y)+e1Cí3a0t+2y> ÍÍÍM 3 =í£*Co<)£+Ey}
f(K,v) = f{* ,y )J ¿ | + * ± ] => f(3j5) = H3,S) [5(4)ta$)] F \ 3 í)= ^ <5>(3B> = 3ae’s
W (* W 4 )
'SeníO+síKe^oaCQ+^ía^l+fe-l
i £
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if (O,.?/4) •y Q
w
gf(x,y)_ (xy+xy^)v
y+y-!
Z^xy+xy“1 a^xy+xy"1
S ir=Lnfx+X IhaJIar^l y^j I 2xJ ac|^) eÿ|^t)
af(x,y) _ (x y + x y )v _ •V
z=u,[x+i;)=ü,(2x’+y)“ü,(2x)
a ( 2;1) _ Sx
«(^y)_(glc,+y). Sx
(2x*+y) »(x ,y ) ßy
( « * ) , _ 4x 2x 2xI +y
(2x> * y j (Six* +y)
S^xy+xy"’
2y,xy+xy'<
En cl punto F(2tI): l-l 2>/2+2
_1
« ( 2,1) _ 2-2
2
a/a TI
g_
4x 2x 2x*+y
©
Si z=etxCos(y>ySen
1 2>f +y
En e) punto P(1,2):
^ =e*[xCos(y>-ySen(y)] + e*Coa(y>= e> [xCos(y>ySen(y)+Co6
1 _1 2 +3= 5
X = e*t*xSen(y)-Sen(y)-yCas(y)]
a f(x,y>= ^ x y + i c a la ila r ^ 2] y ^ ^
Q
■0
[xCos(y)-vSen(y)+Cos(y)] + e* Cos(y)
J 'T V Ï .W Arreglamos la función:
=e*[xCos(y>ySen(y)+2Cos(y)] f(x,y)=Jxÿ+^ = V x ÿ + x p
I
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMÁTICO III
| 4 = e* [-xCos(y)-Coa(y)-Cos(y)-ySen(y)]
1
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D ....... ¿>«2 2(x, + y » )-(2y -x ) ( 2y) - H = e* [-xCos(y)-2Coe(y>ySen(y)]
(x*+y*)’
d'z
= e'CxCosCyhiSeniyHSCoaôr)]«* (-xCos(y>2Coe(y>ySen(y)]
S'z
2y ’ -gx*-t
ax* ^y*
Q
Si V=Aras| ^
2x »-g y‘ +gxy ‘
(x*+y*)’
| 2yll- 2x!!+2xy
(x'+y*)*
Q
(x*+y*)s
i I. Demostrar que:
S'z Íí'z _ ° ÖX1 ' ¿Vs " "Sx
'ô y
' Sx*
3y* “
z = In Vx*+y1+^Arcts^-j # v 'n y v T w
JE2EHF
la derivada respecto a » B y ( x » - / ) -2xy(gx)
(Ä1 *Hftí
z = L n V ^ + y ’ -^ A r a 8^ j = J u . ( x , +y*)+ÌAirt8^ j
2x*y+2y1
(x, - / ) S
a .
K -.J T W /
ï(x*+y*)_ x* + J Derivada respecto a y: 2x(x’ - / ) + 2xy(2y)
*
(»•*»')
6 ).
gy
,4
* s(x‘+y’>«f.+gj] 2K+y*)
ÿz ^
____________
*t+>‘ «*+*■> x’+y’
g (x »+ y »)-(g x -y )(2x)
gy» - 2x- + 2x,
(*, + V*y
(x*+y*)T
I SQLUCIQNARIQAftóUSIS MATEMATICO III
*y+»
uv
( 2*y Ì - y jy
* = 1+^
8x
)
* )’ ______ (x’ -y -y\________ ‘~
Of(x* —y*)* +4x*y’
gx*y+2xJ üx^y-j-^x "(x * -y * ), +4x'y*
(x, - / ) , + 4 x V
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&v . — . Demostrar ___ . que .laecuación ., —tfV— +— Í5*V „ , pc+: — +— - = Ü r satisface &fC
T ír
öjr
dr
l V _____ Ek'y+SV3
g,v
[ ( * - V" F + 4 * Y ] (4xy)-(at- + Ey3)[s
jf y
- y* )(S*)+By= ]
Derivamos respecta a k
gy(g/-x*-Bxy*)
La Begjmda derivada respecto a y By [Cx* -
=— =
=
aV
J (x* + y1’+ z*)J - x (5 /zy¡ x1+y* + z1(gx)
# l+yl+z=)3
(s * _ / )‘ +**?y ¿j*y
e*v
-fr+ ^ r»
« y
)’ +4k^ s] C2* ’ ) - 13**^+âyJ)[s ( ï 1- y’ )(-äy)+ex’y]
Jx1-ny1+z! |~x! -Hys-HZ! —Se1"]
&l =
(x-+y V z= )r
y^ + z^-Ex* '
(x V y ^ r
[(x " -y = f + * x V ^ ,i¡y
2ifía n '-xg-eKy')
^ ' “ [(x ’ - y - ^ ^ V ] 1
-y p ja f rV + y ^ p y ) giv **
v
ByfSbJ -x a-Bxy*']
Exfax1 -x^Sxy*)
[(^ -/ f + ^ y -J
[ ( * - / ) ’ +4 * v J
^
& ¡?v _ V
(x’ + y ^ z 1)1
y j* +y, +zt [jí-4-y1-t-3“ —3 ^ ] _
x^+ z'-Ey1
(ní-i-y’ -hz1)3
(í?+yí + ^)V1
SOLJUCIONARIOANÁLISIS MATEMATICO III
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c .. k’Ac’’* kAe"^ • p = ------— Sen(pt)Sen(qx) — — Cce(pt)Sm(qx)-
2
£v te’ =
V(x*+y* +»')’ [x*+y'+z‘ -3z‘]
(x*+yf+z*)’
2
. Sen(pt)Sen(qpO
ÍL| _ (k~l' 2p) kAe— Sen(pt)Sen(qx)-kpAe“ * Cos(pt)Sen(qx) ...(2)
x*+y*-2zt =_(x*+y * « * f
Cos(pt)Sen(qx)+
' Arreglamos laexpresión:
Ahora verificamos con (1,), (2) y (3): 8'v 8'z # v _ y»+z*—2x* x* h-z*- 2 / ftt* ay’ + a z* "(x» +y» +z*)M (x' +y*+z«)M
¡fá ÍW Í4p, -klkAe'i ^4- + k ^ =i--------------------------------------------- ¡-Sen(pt)Sen(qx)
x*+y*-2z* (x1+ y '+ z ')M
~TT‘,~ ? ‘hC t =0 Demostrado a ?
Demostrar que ^=AeuflSen(pt)Cos(qx) satisface la ecuación g j
Su<1+x)SI*5x-2y), comprobar que 4 ^ + 2 0 ^ - 2 5 ^ = 0
Derivamos respecto a xey: u= (1+x)Sh(5x-2y) ^-qAe-^Sen(pt)Sen(qx) =>
= -q4Ae-*MSen(pt)Coa(c|x)...(I) =Sh(5x-2y)+S(1+x)Ch(5x-2y) • Jj!=-2(l+x)Ch(5x-2y)
Ahora derivamos respecto a t Las derivadas de orden superior: ^ = _ Í Í L ¿ SenfptlSenfcpO+pAe^CostptíSeryqx)
H
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
S*u
=5Ch(5x-2y)+5Ch(5x-2y)+25( I+x)Sh(5x-2y)
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
H
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1
1
1
Hallamos
. Si f(x,y) es una función de x e y donde x=Ch(u+v), ySh(u-v), demuestre que
d'v
M ü l!Ü ü 3 í En la función dada:
Pero — = Sh(u-t-v) — = C h(u -v), de donde: ftj au v ’
M íM í)
£ ^ l = f ( x , y ) [ S h ( u +v )+ Ch(U- v ) ]
La segunda derivada: 5í ^ 2) . r ( « , y | [ » ( u » v ) . a . ( 1i- v ) ] , *f(>t y)[c i.(u* v ) . a ( » - v ) ]
a m . £ ! Í H Í ^ 5 íZ > sx¡>f
Luego:
'3 - S * ^ - * - ( í K '- f iK '£ H 'K í > ^
- < l w ) ( í *1 ) — £ g a . q w ) [ s h ( ü « ) - a , (u- , ) ]
í ^
2) , r ( « , y ) [ » ( u . y ) - C l . ( u - . ) ] , . f ( x ,,| ( C h ( u « « ) » a ( o -» ) ] SOLUCtONARJOANALISIS MATEMATICO DI P 5
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Ahora arreglamos según la expresión pedida: Q J lM
Si
® =“[f(BJC+y)+s(a)c-y)]- nr>o«Tar
-g = 7 ^ (y * f )
= f,(x ,y )[a i(u + v)+ C h (u -v )J +f'(xry)[a i(u + v)-t-S h (u -v)]-
J2¡EE£F
^■(x,y)[Sh(u+v )- a , ( i i - v ) ] , -f ( n y )[ C h (U+v )+Sh(U- v ) ] ¿F(x,y) g‘F(x,y) £ ^ y ) _ < f^ y ) = f.(Xfy )[a ,(u+v )+ C h (u -v )]' -f'(x,y)[S h(u + v )-C h (u -v )/ 3
^ J ^ y ) =fi(Xiy)[2sh( u+v) ch{u_ v )]_ f.(Xry) [2Sh (u + v )0 .(ü -v )] g*f(x,y)
[rff (ax+y) -t-aFg' (ax - y ) ]
...(t)
.4 P (^ y )a (a +v )+Ch(i.-v)..
¿Ffcy) 8F(x.y) ax yy Sy ^ ^ [f ^ + y j+ g ía x -y ^ itf ía x + y j-g ^ -y )]
4^(x‘ - l ) ( y ‘ + , ) = 4^[ch, (u+v )-l ][a ,* ( u -v )+ l] ^ ( x , -l)(y * + l) = 4VSh*(U+v)Ch*(U- v ) = 4Sh(U+v)Ch(U- v )
-f(a x + y)-s (a x -y )+ y f'(a x + y }-y s'(a x -y) Derivamos respecto a y esta última expresión:
4V' ^ ¡ ) ( 7 T } ^ ^ = 4 S h ( U+v )a ,(u -v )f -(x >y)
Comparando (1) y (2):
...©
-I----- f^ax+yJ+^ax-yJ+ftax+yJ+yl^ax+yJ-g^aK-yJ+yg'íax-y} ,£F( m O] syfía x + y j+ y g ^a x-y)
SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III
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V
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CJUTliim1
r EDUARDO EEP1NDZAHJUÏ1DE4
De{1)y
^ = £ = f'(x:^B a ,y -fc ]a ,z-c u )
ai
y1
1
* By
J
DemoBtiajdD
^ =,E = f '
y_
“ Jt ( x -
+
■*■C1- ™ L ]
f, = ^ = f ,(x-awJy-tKifrz -C E f)(-a -b -c ) a'fiiL,’/] t 'i v- £ L f f . +f=f. S ilf r y H i,d e r ™ ^ ~ -^ = W ^ » J*
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* ©
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O . V W
V tj
ôT(x,y) [f(x,y )]3
«*’
^ a-r(^y) ^(«,y){[i-(«,J')]i - 2*(»,v)^>y)+p(xy)]'} n ^ r f r A - r i p u r } } ' P fry )]'
^
aajL^bfg -i-cap = ^
-h------------ +-------------=1 a+b+c a-i-b+c
a + b+c
„
j T 'i i i ^ r w Dérivâmes respecto a x
^ = ^ = f ,(x -a » Jy -t w ,i-c w ) ; ^
H
= f'(x-a)
Demostrado
j , satisface a laecuación: -U H * — = - y — ï =° ffi:= iy=
% 1^ =t
Hallamos las dErivadaE pardales anteriores:
a+b+c
L(-j - b- c) fl(K- ^ y - tte'z - b“ )J
[ f,(x -a*,y-tM ji2 -b*i) "I c [(-a -b -c )f '(x -a a îJy-bejrz-bflî)J a+b+c
Demostrar que la ÜMidän: z=l(xy)+
Mediante denración implícita: % *T " ■ T ; " ,= T “
a a+b+ c
Finalmente:
P M T
Rrobair que si tx-an^ y^bE. z-bn)=0 entonces aaii+ bEk4-cok= 1
r( L ÎiJ
I f ( * - ^ ry - W - M 1 T _ (-a- tj- c) í '(3í_flflíjV_tto'I _ t 'aí)J
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Ahora lasegunda derivada:
Aplicando la resla de la cadena se tiene: ^ t-L —— — sr~ax'sr
flz ay ay'ar
Denvamce respectoa y: s ( d i \ s (í>t ííx dz gys a-la rJ a l & a ¿y'a rj
Ahora lasegunda derivada: S?
_ en #x | ac a | &y az t ay a f az'j flx'a* + a ' a ( , ñ j + a ? 0y''~ á'al, 0yj
Ahora verificamos con (1) y (2)
SN Aplicando la regla de la cadena para calcular —
jL (i£)=j L f í k ^ . tJ L Í£ ')£ ñrlñtj a x U x /* + 3n a
^ í ^ l - a* ftc!
8 faz Vi* ; a ( azsiay . a fa z]
a’z ñx f a'z ay
ar^ayj ax^ayJft+ ayr[ayj&=>arLatJ a tfy a +'¿yI ar Dada lafunción z=fCx,y)
donde x=e“Cos(v) , y=e“Sen(v). Calcular
+■ Reemplazando (2). (3) en (1) se tiene: |dxíífz ñc | ffz a y ]
a 1 = a* ax+ a ( a c * 'a ' aysx’ a J' a»1 'ay+ a(a>
H
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMATICO III
£ i - £ i f ^ T + — í ^ í + 2 - ^ i ** +£í ^ £y &
i
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Sumando {3) y (ü) se tiene:
En forma similar para el taso de — r
&z
frz.
, ífz ñe , i?1* & fi^y ñz 'ayai'aj "& + £^" at'a= ^ ^z ai
^ zfa c Y | |„ a^g at gy |az ac ¿'y « x * U u j +íiyH a jJ ^ e¡rt5x'aj'ñu + & 'a í 'f l y ’ aj*
■ Sa[^ i ^ U d o nd e , - g ^ =e* f c ^ ' l # J a^ l.aí }
Sea la ftjiwifin FiXy.z) = w ^+ ÍK -S ^y+ íftz-l)11. Hallar ^
y _ 4 en los prnitos de la
superficie de nivel que pasa par el punto {3, -2, "l).
a— — a¡* ‘ S f .¿V
K w á * = >V + 5fx-3)* (y+2)7(ü-1)11=* Fl(3r-^1)±= 4 íOawfc = 'brrz + 7(x-a;r íy+af
ti (1)se tiene:
1
íu
-
FC3,-2Ji )r=-i2
F f w X = 3*A* + 11(í-3f (y+af (z-1)1“ => FC3,-E,1)i = 36 (
¡y )
F„=H)Cx-3>l (yt-2f(z-l)11 =t
«m
= Bxz*+ 48(x3f
En lamisma forma país
0"z a tY | 0y Y av1 _ a:l VsrJ í v ljESj
1
F„ = ty*? + E5fK-3/ (yfr2f íz-1)1“ 0
St áyfilK's/Sp
> t_ „ Jx = e’ cosí' |y = e'seni'
ÜZ = e’senv
flz a*x | Bz g*y E fe i3y! í*y 3k =
a'x -j ai'1 “ ay
OQSl'
F„<3,-^1i = 0 =» —
F,x = toyz1+ 77(x-3r (y+ai4(z-IJlü =*■
fe _ Fk a í- - ^ fe
F
F^. (3,-^1^ = 6 F„ Í3r-2,1i = 12 F^(3,-^11 = -36
fl’z _ FkF= -F,Fm _ 1 = í& ? _ (¡Tj5 _ 1Ü8 fl’z
FF - F F
1
C7.)1 Reemplazando (5) en (4}ae Si y^i(x-ajt)+iJ()e-Bt); mostrar que ^ ¡- = a1
Zi
!ff| íiÜUIJ^IQMAñlQANALISIS MJlTHüIATICQIII
r cualquiera sean laEfunciones f y 3
1Z
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dz ÙL thC £(z ¿V y a i^ a i^ A i- ^*?
; 2 = f ( x - at) +S-(x+ai)
X x’ +y”
_ «te ¿be cte «3y y x Ti " á x l v "7 7 ? V + /
St*'.V'
a£v£y.
§ = a V ( x - a ) + a V (x +- )
f
§ = f ( x - a t) +S-(x +at) 2 (ii-v ) u '+ 2uv+v1+ u! - 2uv+v!
rando las últimas ecuaciones: ■ ^ = a' - 0
2(“ - v ) 2 (uf-t-v*)
Demostrado
. Mostrar que la fundón: z=Arctgj^- |; donde x=u+v, y=u-v satisface la relación:
^
u -v u*+v*
Si u=Sen(x)+f[Sen(y)-Sen(x)]; mostrar que: gcoa^gcos^cos^co^y) Cualesquiera sea la fundón derivable u.
Y ac x*+/
Sy’ñx' ■^ = f'[Sen(y)-Sen(x)]Cos(y) ; ^=Co9(x)-f[Sen(y)-S en(x)]C os(x)
^Coa(x)+-2-Cos(y) =f'[Sen(y)-Sen(x)]Coe(y)Coa(x) + +Cos(y)Cos(x) - f[Sen(y>Sen(x)]Cos
B
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMÁTICO MI
1Z
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1
1
Hallamos el gradiente: (l 3 ) « n ( 1 ^ . | ? = - W 4 u J - 2 v | ; U 8z ^ í*i) Ahora
£ í^ ):
Eh(13)
8z
1+ 8uv«w
E n d li
tmdt
1 1 +8uvw
a oa
f c ) , ” -'“ ’* * "
00
£ífi ----- ¡_ t “— — 04) 1+Suvíu
f c J = uv± J +uw| + w | ...(1 5 )
F=1
.^ p r - ^ _ Y + 3 v j Z + 7
^
4VÚ'
El ángulo secalcula de: VF.Z=JVF))2| =Casd
x+3xjx' +y*
_ < ,» *
v is ?
y+3y/x*+y* , ■ jifc ? --» W
H » )
|VF|2tCos(fl)=-l
¡fu
_ j,4n/+4uvs+16v5tó)* (1 +8uva>)J
V 2 ^ X«+ y«+ 9 (X, +y*) Finalmente
Sea la superficie & z=/x* +y* +(x* ♦y*)1* y N=N(x,y,z) un \®Oor normal a la («■«H***
superficie S en cualquier punto (x,y.z)=(0.0,0). Si 6 es el ángulo formado por el vector N y el eje Z, hallar ^
£ j
V
lx’" H w ^ vf276^x*+/ + 9(x*+y, j
V5
Si:f(xltv . j O ------------------ ------------ — , calculan (x?+ x ^ + _ .< ) -
Sea: F=Vx’ +y, *(x, +y, )M - z Sea. ^
SOUUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
(*í+ *?+ *?+- O í ^ ) (=*.) =»
SOLUCIONARLOANALISIS MATEMATICO Bl ^
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^ -(1 -n)X.(x? + xj+x5 +
En lamisma forma para
-(l-n)x,(*f+*í+j<1 , +..jí)‘t » )
, es decir
!?z _ ífz í ftcV . a’z í «yV [ ^ ífz ex &f t Oz &x ¿te a*y rV _ < v (< v j + (V U 'v J + tyñx'Sv ÍV*
U - ( 1- " K ( * f +s4 * 14 * - < ^ +
„
luego: = (i-n )x > (x í+ ^ + * ;+ Reemplazando (5) en (4) setiene: ■-•+ ( i - nK ( 3í + *i+>i5+ "j í ) ^ De donde: Sumando (3) y (6) se tiene: .fa V a V l
bvJ
Dada la función z=f(x,y), donde x=e“Coa(v), y=e‘Sen(v). Calcular
+-^|
£ E n Z I£ F B 'z _ d 'z (o >cV É ^fay)* 2_sX £ í m ñx8y'au'í!u + Sx'Ba*' dy d u *'"
Su’ at’ ^aij +V U J +
£ )
Si: u=F(x,y), x=rCh(s), y=Sh(s), calculan u„-u„ iü rra ry
= e"seni'
en (1) se tiene: ¡fz
rífz )
I SOLUCIONAR®ANAUSIS MATBiIATICO III
u=F(x,y) u=F(x,y>
=> u, = Fu,= F(x,y)(r,+sO
pero 1=rjCh(s)+rSh(s)s, pero 1=Ch(s)s,
las segundas derivadas parciales u» = F’(x,yXr.+sl/ + F(x,yX r„+0 pero O= r„Ch(s) + r£h(s)s, + r,Sh(s}+rCh(s)s„ •V = F(x,yXrr+s,)*+F(x,yXr„+^,) pero ft=Sh(sXs,?+Ch(sXs„>
SOLUCIONARtOANALISIS MATEMATICO III
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Sumando (3) y (6) se Cene: ff'z | flV ^ .í g 'z | g*z | Su* ’ a»'1 6 [ñx* ' ¿y*J
Sean u=e'Coe(y), y=e'Sen(y) y ®=
ay'
__ ._ . aVy a'<ü „faVü aV|
=0
Dedonde:^r + ^ - r = e
JE 2 ¡2 IÚ * F Si z=f(x,y) es solución de la ecuación F(x+y+z, Ax+By>=0, A y B a af
a c * l> J + ay*UiiJ + fyex'daa i+ á { ' a í + 0yai*
'
el valor de c.
JrT'lTTT^.ÜW fe 8z 8z a x ^ 'ax-
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
F,(x+y+z.Ax+By)(l-fA) F,(x+y+z,Ax+By'|( i)
g*z F.(x+y+z,Ax+By)(l+B) ay = F,(x+y+z,Ax+By)(l)
En la misma forma para
, es decii
&z _ i f z í ftcY | tfzfay V | . <íz 8x dy dz tfx & tfy = (V U > J 1a/ "* tyax' ^ ' a - + ¡?x' a i’ + ^ ' a 11 Q
Sea G(x,y) =
Sen[ ^ ' l' y^t] dt. Halle
}
f t »
£ ___
-•
Reemplazando (5) en (4) se tiene:
Aplicando las condiciones del primer teorema del cálculo para derivar una integral: 3G(x,y) ac
A - ^ f - r i V § +00s V ^ ) +e-sen2v ^ _ e° (c o s ,^ ¡ ...(6; 3»l at* ?h ) l &) SOLUCIONARIOAMALISIS MATEMATICO III
H
/at’.cdukparu.i
Sen[~(xH-y)(x+y)](x,y)i (x + y)
Senr(xH-y)(xy)l(x.y)> (xy)
SOLUCIONARLOANALISIS MATEMATICO Hl
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¿Sfoy) at
S e n ^ y ) 1] (x+y)
ySeïf ( k + y )(xy^ [ ( x + y ) 1] Sai|~(x,y)(xy)] sy (x+y)
_
fu+vf 4-(ii-v)n
-= f ^ y )
ai Hallamos ' : &
-= f (* y )
£ = f ^ y ) ( x , + yT) ^
X = ^ * V «T
[u + v f - { n - v f
x
_ = f ( ^ = f " ( Kjy)
= f ^ y ) ( x I +yT)S+f ^ y ) ( x „ ^ y „ )
zW i+j^-iffïV +z, y*z+x, A+yXäny+1 +Z1)
Dü^de x„ = ^ " i
s ^
_ ti{ u + y ] T - n ( ü - y f
; y. =~¡
a
n(n 1>(uiv)"iFfy+zr yVi-x, ^x+y)+xy2fí^y+zr y^z+x, íx+yX¡í+B>n-1 )
JÍ,+yu= Ti(u+v)'v1 ; x^+y^nfn-IXu+v^ _ n(LH v r - n ( U- v r *v = e
c) Halam os^:
_ ,(u + v f + n ( , - v r y,= 2
= xyflxV+z, ifz+x. rW i+>y^f(iV+z, y W , zVyXI+y'+fco:) *v+W= ni:u+v:r1 ; y^ + y^TiCn-IXu+v}"4
©
SI x+y^íu+vy, xyt=(u^v^ pruebe que: / s
./ 0 1
û=fi
„ s
r*f
¿“f'l ■0 - ^
= m .v X ^ + y j1+ nXyXïuu+YiO - rot,¥x*+ytf + + f’(ï ;yXxlV+y j
#* '1 IV?'ÏÏT Las VBriablesx e y en términos de uyv: x+y^fu+y)" ;
x^=(LJ-Y;r
- 0 - 0 = f^ v X ^ + y j1 + f ^ ï Kw ï u .) - i"0¡,yX*+wf + =*
2K=(-u+y)n-K;u-v)"
+ f(5-yXxlV+y j
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c*f t*f = f(x1y)n,(u+v^>4+ f(x,y)n(n-1Xu+v)”4+ f"(Xy)n,0>+v)**>4+ tto' ¿Va
azbf'(ax-i-by+cz)-bocf(ax-hby+cz}-2afyz^2cxy 2z-cf'(ax+by-t-cz)
+ f(x,y)n(n-1Xu+v)r<1
(cy-b zl— +íaz-cxV— w ’ d* ' ty
2z-cf'(ax+by+cz)
(cy-bz^+taz-cx^^ - ^2z-cf'|ax+by+cz) f ^ ^ 'y '^ 't!x v v
w
/ . / .ífe 2z(xb-ay)-(bx-ay)cT(ax+by+cz) (cy-btz)— + (a z -c x )^ = -------- ------------------------------------------- !
Sea la función z dada por la ecuación x*+y*+z*= í(ax+by+cz) donde f es una función cualquiera diferenciare y a, b, c constances. Demostrar que:
( c y - b z ^ +(a z-cx> £ 17 rftc V 'ay
2z-cf(ax+by+cz)
g -v ’ iiv-rTW Mediante derivación implfcita: F=x*+y*+z?-f(ax+by+cz) Las derivadas parciales: F,=2x-af(ax+by-t-cz) F,=2y-bf(ax+by+cz)
O
Demostrar que la función z; determinada por la ecuación F(x-az, y-bz)=0. donde F es una función diferenciabie cualquiera satisface a la ecuación: a ^ + b ^ = 1 # -:o n .v :'7 g
Luego: 2x-af'(Bx+by+cz) ¿te__ F ;_ 2y-bf(ax+by-t-cz) Sx. ~ F, “ 2z-cf'(ax+by+cz) By~ F, ~ 2z-cf'(ax+by+cz)
luego en laexpresión dada:
17 'a*1 'iÿ17 'íi cf'|axtby.a) ' (T (T 1
_ )» ■ / rSc v
r .)*
F '(x -a z ,y -b z )_ F (x -a z ,y -b z )(-a -b )~ a + b
& <5y_
F '(x -a z,y -b z) 1 F (x -a z ,y -b z )(-a -b ) " a+b
¿te . ite
Ft F,
a
b
a+b
.
at _cyaf'(aK+by+ç2)-b 2 a f(ax+by+cz)-2xCy+gxlg » 'i * 2z-cf'(ax+by+cz)
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMATICO III
1
Las derivadas pardales:
SOLUCIONARLOANALISIS MATEMATICO III
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£>
Demostrar que la fundón z, determinada por la ecuación y=xf(z)+g(z) satisface a la Paratener derivada diferendable, la función debe ser o a) f(0,0)=0
& ¿>«z a h ít o )'
b> Js!SU/C^.y)
% ^ 7T77=4%7“ = flz
P,
f(z)
ac= F„_ xf'ízj+s'íz)
(O.
F,
1
1
0y= F ," Jrf'(z)+S,(z )"rf'(z )+ g ,(z)
IL
f(z)
[f(x) + xf(x)J
c) Puesto que f(0,0)= ( Lim ^f (x,y) =0; la función es continua. Para determinar si es diferendable, hallamos las derivadas pardales D,f(x,y) y MOWÍ
* z ( Í ? í —2— ^ h - + Ú ( - ' i 5 ? U rJ d x f y d f i& c )
M 0 ¿Es diferendable en (0,0)?
[f(x)+xf(x);f
2f(z)f(z) [f(x )+xf'(x)J
y Chf(x,y)= -
yx +y
x’+y'
y3
“ (x*-y*r
(x,y)*(0,0) (x,y)=(0,0) Paratener derivada direcdonal, la función debe ser. «(x ,y )
Z I
SOLUCiONARIOANÁLISIS MATEMATICO III
SOLUCtOMARJOANÁLISIS MATEMÀTICO I" i ~ g
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« M
(x ,y )* (0,0)
.
(x ,y )= (0t0)
c) Puesto que St*S¡, la función no es continua y por tanto n dtferendableeny.
<*(0,0)
Lafunción no es diferenciabieen x ni eny. Lim
«5x
w
ScysO
Demuestraque D,f(0r0) y DjffO.O) existeny que f no es diferendable en (0,0) ,,
Lim -
0
(x,y)=(0,0)
a) Kx,y) = f e l 0
M * (0 ,0 ) (x,y)=(0,0)
- 5; = Lim(l)= ^ (0 + / )
c) Puesto que S,*Sh la fundón no es continua y por tanto no cfiferenciable
«M
omy).fe
(«•’-» -(« ." I
l St-.x=0
[
0
M * M
(x,y)=(0,0)
M r ^ r r r ,'jw
Hallamos D,fc0,0)
¡>xy
9*
(x*+ys)1
ek
; (x,y) * (0,0)
*-«
x 5x
^«x* +y
r-x, o + y
n i,jg a ,f t gfa±!fr«),u
»(x .y )^ ay
De donde D, f(0,0)=0
S0UUCI0NARI0ANAUSIS MATEMATICO III
x
af(Q,y) , . 2/ ( 0)
; (x,y) = (0,0)
S';V-\Í¡¡U 0(x*+y*)M '«-(x»+y*)M
*-*
= Lim(l) = 1
*SÜ2)_o
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y (f
:
j =y**’(x+y)-^*'(x+y)-yi
n-x'+y'+z»
•(g -g n **
, (l+x'+y'+z*) l+x’ +y'+z1
2y l+xI +ys+z'
« [*
2(l-t-1+l + t) 1+1+1+t
,_ (l+x»+y«+z*) ** 1+x'+y, +z! l+x'+^+z’
J I =2x«3x+y),+xV(3x+yiX3x+/)-=2>i+(3x+^H3^'(3x+y*)
Ai 2(l+1+. +1) di 1+1+1+!
£ =xV(3x+ylX3x+/)'=2yx,*’(3x+/)
Arreglamos la expresión pedida:
l+x’ +^+z*
£u 2(, +.+1+1) 8* 1+1+1+1
¿L
Si wa^+Z+z*, x=rSen(iiKosc0). y=rSer>(ip)Sen(6), z=>Cte(q>). Calcular ^ if Sp 00
x=rSenOp)Co6(0) |=Sen(o)Cai(e>
6x ty
y=rSen()Sen(0)
z=rCos(i>)
S-0-»
d) f(x,y) = xfcxy1) 3x^- -y— =3z * =rCos((p)CQs(0)
^ =rCo9(9)Sen(0)
£ =>rSen(«)Sen(0)
& =rSefi(o)Cosi0)
e) lfcy)=^*
I
SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
*=0
T
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g -v iiv y ^
«Xy) =
~ \ te'Si'az.; ~ en P(1,4,2):
Vf=(es, e2*t 4e»)
Vfeyz''1> En P(2,1,1):
Vf = <2°+0,1+0,2Ln(2>2+0+1> Vf = <1,1r2Ln(2>+3>
d)
fl[x,y^)=Sen(3x)Co^(y]Ts(z)
P^0,£,£j
f) Hallar Vf(4,2) si f(x+y,x-y)=xy+y*
MTi:ilT?!'TTÌ Hacemos u=x+y
Gradiente: S fCx,y,z) = SenOxiCos'CyyrsCz) =>
v=x-y
fly «z/
vf=<3Coa(3xX^tCyXrs(z), -2Sen(3x)Sen(y)Co0(y)Tg(z)rSen(3x)CoG*(y)Sec4(z):
-Sen(0)S€n(n)Ts^j ^ ( 0 ) 0 * * ^ ] S et*^j Vf = (3(1X0X1),-(OXOXD,(0X0)(2)) = (0,0,0) e)«x,y,z) = x*+2>+y,+z* P ftl,!)
Vf = en P<4,2):
Vf(4,2) = <4-2, -4>=<2,-«>
3) Si f(x-y-z, y-x-z, z-x-y) = xy+/+yz- Calcular Vf=(2,2,2)
SOLUCIOMARIOANAUSIS MATEMATICO III
1Z
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1 r u+v-Dr Eu+2v + 3r 11u-5v-3r ! 13 J y ^ ^ U 13 13 Hacemos u=K-;y^z r v^hc-z , r=ü-v-y Sumamos v a u y t; para eliminar y: u+v=-üz 1 r+v^2x r v^+{r+vys+{u+v)ffi
la faraón es: r )&(r+iiy2
Luego 1:
■tSr3+ EEu3- 4V3- 144r"u + 1ÓQu+ lÉflv—S4£r 2197 las derivadas parciales:
„ „ r^+’i/r-i-ur + uv+T*-i-Sru+ij1+iu + iv-i-u*+uy fl&w) ------------------------ ^---------------------Er*-i-ívT-i-euv+4ru-i-2ul
a 6óuT-144rs-i-1ífl Bf 'S í au iv n
r1+vr + uv-i-2m.+us
1ó-12v* vvn
£f_
Vf_ / jf _Sf M \ bu ' &/'¡kf En Pt^EjS):
/tH-ftJ+ Eu r + v Br + r+Bu\ \ S J 2 J 2 /
En d punto PflA^-S) 3 _ 91 Í5f _ 121 _ a _ 341 a_Q Ai E197 ' Br S1OT ' 3t 3107 J Bt
V*C2,E,20 = <£,E,5>
h> Sí f(x-+y, x-Sy+3z, 3x-Ez, w-1 >=xy*n. Hallar el gratíentE dE f en (1AV®)Hacemos u=x+y r v=x-y*3z i f^=3k-2z , t=w-1 Eliminamos y de todas las variables anteriores: u+v^=2x-+3z , ü3x-2z , :=w-1
Luego el gradiente: / a 3f Sf SfV 1 71 1E1 341 fl\ \ a T& fJa-'at/ \ 2197’ 2197'2197J /
1 ^
En cada ejercicio calcular Ehh-4 en el punto P para el cual p es un VEatar unitario en b dirección de PQ
Ahora z: 2u+2v^'ix+ÍE=t 3r=9x-¿í =t 2u+2v+3r= 13x “
H> f f w ) = ¥ ^ 4
PClAOj; « A
1)
Eu +2v -h3t ,, , fam-Sv+Sr^ , 13 ■ss- * - ' - 3[ ,3 J -' SOÜÜCIOMABIOAHiLISIS MATEMATICO III
1 ~
¡
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1
e) flCx,y)= e’Arctg(y), *0.2); Qí-2,5)}
Vector unitario F=^+y*-2x=0 =>VF=¡'— =<2x-2,2y> \hk ty!
M v \ y y ' TW Determinamos el gradiente: => Vf=
> en P: Vf=
« ( #
)
¡ ^ -( 4 1 )
Derivada direccional:
PQ (-8 ,$ Vector unitario: PQ =(-2¿) => M=|p^ =^ T ” _
D- = V Ahora la derivada drreccional: vM3
V13
^
z 1\ U Q * \ 2 '2/ \ 2' 2
= V 3 ± ^ = V3 4 2
Calcular la derivada de la función w=Arcsen | - j i , ¡ en el punto M(1,1,1) en la dirección del vector MN siendo N(3^3).
Hallar la derivada de la función z=ARctj, ( Í | en el punto
^
i
O perteneciente a lacircunferencia x V y ^ s O en la dirección tangente a ésta.
Vector unitario: MN <3,2,3X1, U ) = (2,1,2) => M= j ^ j =
’ :n i " 'T Í Gradiente: ^
J i U W
v
w
g \¡>xdY!
Gradiente:
1 ,,,C ) \ , + ( y ^ ) ‘ U (y rc*}:
= (* " ,* " & ) \ax a? a*)
Las derivadas parciales:
\
Trftt.irt-’ _y/x* I/X '•- / _y * \ (x* +y*) /x*' (x*+ y*) /x*/ '..x’ +y’ x’ +y*/ w Í1 T S ] / >/3/2 1/2 1— ¡ 7
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMATICO III
/
0w
l\
“— 11 ■':4.t:;eruOTm
1
í Z [x* +y* J.
,
" 2XZ (x*+y*f
2xz
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ñw =
l* ’ +ysJs
* "
_
(x * + / f
_
2yz
~ v ( x '^ r - z ' ~ f r + y ^ f r + y » ? -; o
-■ 4
* d
ÍEp
- w ^ - / - i t- 4 r¿ \ Ja i a =^ = i ± ! = i \ V3 V3 V3.' 3 v3 v3
^
AE Vi\ M ¿0+«) \ 8 ’ 2 /'Vl+e*
fr/l+e*
Calcular la derivada de la fundón z=x*-y* en el punto M(1,1) en la dirección que forma un ángulo de 60° con el sentido positivo del eje x.
ti = = -
Hallar la derivada de lafundón z=Ln(e1+e’) en el punto (1,2) perteneciente a la parábola y*=4x, en la dirección de esta. Vz= <2x, -2y> en M = Vz=<2,-2> Derivada direcdonal: la pendiente de la parábola en el punto (1,2)
h J5 \_
2y/=4 =* y'=Tg(8)=2/2=1 => 9= ^
¡JaJo'
Veccor unitario: Vi =: Gos(0),Sen(0): = f— ,— i
Hallar la derivada direccional de z=3x*-xy-y‘' en el punto (1,2) siguiendo la dinecdón que forma con el eje X un ángulo de 60°, latangente de ésta.
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Ahora la normal a estos gradientes:
La dirección donde onece más rápidamente la temperatura es el vector
« J «el n = VTycVG= I 6 2 3 =29i+63j+16k 1 3 -10
Vf, —
(2,1,3)
(2A3)
1 ^ -7 7 7 1 7 5
Ju
El vector unitario: Si C es la curva de intersección de las superficies S|2=x*+2y* z=2x*-4y4+2. ^= n = -
Hallar la derivada direcdonal de f(x,y,z)=x4+
y*+ z*+Cos(iDcy), en el punto
(2,1,6)a lo largo de la curva C.
El gradiente de lafunción: Vf=<>*«$12xy+2yzs,3yizt+3xzs>
en P(l,2,3):
V Í =<4+27,6+108,108+162>=<31,114,270>
Los gradientes de las curvas que 9e intersecan: =»
Vf =<2x,4y,-1<
G=2x*-4/-z+2 =>
F = x*+2y*-z
VG =<4x,-8y,-1>
D f (1,3,2)= Vf .(-31,114,2701-.-
En el punco dado: P(2,1,6) VF, =<2(2),4(l)t-l>=<4,4,-1> VG, =<4(2),-8(1),-l>=<8,-8,-1>
La temperatura en el punto (x,y,z) en un trazo de metal viene dada por la fórmula f(x,y^)=eK*"'s‘ gradas. ¿En qué dirección, en el punto (0,0,0), crece Ahora la normal a <
p j «I = VTyxVG = 4 4 -1 =-12i-4j-64k 18 -8 - i l
I
yox
s z)
Las derivadas parciales:
El vector unitario: _ n _ -12i-4j-64k ■jíj z jm Vi,
1
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i
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s¿ F=S +3¡ÍCdgx+kí -z 7F =í-3>'15enx+3^ró;CcaxJ-^ Vi (j^y) = ^
rJ^jf =<-fiSen(x}Cce(y> fiSen(2x),-ítQ 5K5eny^ E5en(3y)
V il ,Tl—
= <3nV*n*,l}
, z„1
En * punto p g ' ) I í ’ + iiííV i
VsüítV 1
VF <6ji*y+3^) w f— - 1' ^ l.3fa i “ \ 2
CrJs 3i/gV _/ 9MI3 3^3\ 2 r 2 /"\ í ' 3 /
En Pfl ,1,1) => VF(1,1,1 far*—4J1.—1) _ 13b-1-4 f * -4
La dlifeetiúiii de mflixlmoaumento de tempenlua en { Wa 3/a'l 2
m
■de la derivada direocToral de la función &Ln(s+y|), según la m de la pendiente mÍE pronunciada que caracteriza la superficie & b) La dineetlCíi de mínimo aumenLü de La-npeialura en
vrv
"NI Q
~jL
= Ln(e1 -+e?' j cuando z =1. gTillirariTW
(o Ja aJa"! ( a r a J fa^i)
s
L&c ñy Oz.)
Hallarla dertvadidtieiaelünal de flpy^Q-gsí+yi+z1en el punto (1 jl,l)*esün la direuJún de la retía de pendiente enla pmnuniJada (mayor pendiente^ que íafatteriia Usupeífide i-2+3y’Cú4(*>-H;‘ en el punlü ^
j
Peroz=1
-B
K)t,VX> - a^+yt+e1
Pf! ,1,1J -■ i - í S+ay’tcsk+K1) =* P^)
soüjciomarioamAusis nutrí Atico iii
J
L*+y K+y
La direodórt 2z=ln(el-+e>') =t-
x=1
G=hCí+^>2i: entónese
y^=l
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,0 . D ^ V G = g , i , - 2j = 2 ( u - » )
Conx=l =>y=0 , x = - =*y*~ »1= (1,0); D jjfe V G .V F = 2 (U 4 ).^ {H -* ) (1+1+ 16) =3/5
Sea f(x,y) = x*y ¿Qué ángulo forma d vector dirección con el eje X positivo,
©
El potencial eléctrico es V voltios en cualquier punto (x,y) en d plano XV y V=e“Cos<2>-). La distancia se mide en pies. L
Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el punto 10, — j en la
si la derivada direodonal con el eje X positivo, si la derivada direcdonal en dirección dd vector unitario u = C o a ^ j i+ Sen^^jj
P(-1,-1)es2?
MZISZZf
iL Encontrarla dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de Ven Í0 ,4]
En *-1,-1), Vf = (2,l)
W=(-2-bCos2y-2e'í’-Sen2y)
Sea d wrtor dirección |i=(x,y) => Sffji =2=> {2,1)/x,y)=2 2x+y=2 =>y=2-2x Pero ^|=s.x+y*=
=»
A<2-2x)=1 xW -8x+4=I
=IN | = 2 Gradiente: IIWHWo+2* =2
B
¡JJ SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
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Si f(x,y) = 4x*+ Qy*. encuentre la dirección en el punto (2,1) para la cual la derivada direcdonal de f tiene el valor cero. ^-•yn.yyTW
¡)
f C x .y ^ x W
ii)
y=x ^L>r^^'/xSgi(x) -
iii)
ys=x* { ^im^'/)áen(x*)+1= 1
Vf=C8x,18y)
P(2,l) =»
Dfif
=0
=»
=0
Vf=<16,18)
Vector unitario: ^ =(x.y)=»x*+y*=1 Pero
=L^S ?=0 , =Um
-d ) sto que 1(0,0)* ^
(16,18).(x,y)=0
f(x,y); la fundón no es continua y por tai
8x
16x+18y=0
Un avión se mueve según su plano de equilibrio con la función flXy^'+y*
■HSh
Bl(1):
J í JV \ Si hay un viento cuya dirección es ( —
l 2 2J
i) ii)
¿Cuál es la velocidad del avión con dirección a) viento? Si el viento cambia de dirección en 45° en sentido horario. ¿Cuál es ahora su nueva veloddad con respecto al viento?
Si f(x,y) = x * V =* Vf=<2z_2y> (
0
(x,y)=(0,0)
Vector unitario:
Htt
En qué dirección existe la derivada direcdonal en el punto (0,0). griTfrr-ü'UF Paratener derivada direcdonal, la función debe ser continua, a) f(0,0)=0
b> :
ü .'.MMlSIS MATCy/..TCÚ II
Ahora la derivada direccional:
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Recta normal: x -x .
5(x-1>2(y-1>2(z-1)=0
y —y,
z -z „
x -a S / S
x -b J Ï/ 2
x -c J Ï/ 2
=>
5x-2y-2z-1=0
Recta normal: x -x . _ y - y . _ z -z„ _ x - 1_ y -1 _ z-1 F, Fr F, 5 -2 “ -S
f)
(zi->*)xyz-y5=5 en el punto P(l,1,2)
d) xs+y5+z5+xyz=6en el punto P1,2,-1)
F=(z*-x*)xyz-y5-5=xyz,-xsyz-y5-5 Gradiente: VFXx,y,z)=<3x*+yz¿y*+xz,3z*+xy>
VF(x,y,z>= VF(1,I,2) = <2,1,11>
VF<1A-D = <-1.t1^> Plano tangente: F.Cx-x^KF/y-y^iz-z^M)
»
F.(x-x«J+F/y-y^F .(z-zjJsO
11y-x+5z=16
Recta normal:
2(x-1Xy-1>l l(z-2)=0 =» 2x+y+1 tz=25 Recta normal:
x -x , _ y - y , _ z -z„ F ~ F F
x - l _ y -2 _ z + l V f ~~S~
e) 3x4-4>?z-»-4xy^-4xz3+1=0ene)punto(1,1,1)
8) 4+^x1+y* +z* = x+ y+ z en el punto P(2,3,6).
Æ ^iiw r< rw F=3x<-4y!z+4xyz*-4xz*+1=0 M-Vx’ + y '+ z '- x - i VRXy,z)=<12x5+4yzi+4zs,4xzi-y4z,8xyz-«ys-12xz*> VF(1,1,1) = <20,-8£>~4<5,-2,2> t*y= ■
Plano tangente:
F,«-F,(y-yí>F1(z-zí,>=0 I SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
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El piar» tangiente FjK-^H-F^y-yíH-Fxiz-zs tO
V R £ 3 »=
-3ív+fi>+Eiy-iÍ7)-Ht=Q nano tangante
_
Ey-3x+6tfi4=0
. x -x . v —y z -z l x+E y —E7 z -1 Larecta normal: ^ = 11= =>— — =— — =——
5{K-2)+4{>f-3>4-(z-l)=0
=»
5k+*/+ i -S3=ü
x -S 5
y -3 4
Uecta normal:
j) x -x . F,
y-y . Ft
E-Jb F.
z-1 1
xi+/-3z=2 ÉnPC-2,-4» Sea W & y.z^+ yf-3z-S
J V N V ’/7T P{-2r-1,ú)
Gradiente VF=: h) En el punto dado: VFP={-4,-fi,-3) = {+,3^}
BeaFK)t,Y,z)=/x+^¡y+Jz-4 l’ftljl) Gradiente:
-
/8f í f M
f I
1
El plano tangente: FjK-x^F^y-yfj+Fjz-z^ )=0 j
W|“ “ =*■
, . x -x . y -Y t Z~A¡ y+4 z-fi Larecta ncfmal: _ = _ = _ =>— — = _ =— —
Flallar la ecuación del plano tangente al elipsoide ■>?+Ey,+zt=1 de tel modo
a plano cánsente F ^ x -^ F ^ y -y ^ F ji-Z íH J ÍK-*>t-a^i>+ECz-i)=o
4í<+E>+3
t I
K+E>H-2K-a=a
que seaparalelo al plano x:-y+fc=0
rLarecta ^ normal:. — x~ -4 = —5y - 1=—5z- 1 = ^ = r -¡;y a =—g-^ = i =*. x t— Sea F(xryIz)=Kt+By, +ít-l Gradien«!: V Í
i) X“ +z"=UenPi;-a,?7/i:) Sea ^ y . iH ^ + y ^ + z * 1- ^
«■Tilim V T* ; P^OT/I)
„ ™ : SF J7F 3F*. f 2 5 2 ’l Gradienoe: VF = — ,— = — — ,— — ,— — '. Sí Í5y dzJ { 3xvl Sy1 3¿ ‘n J En el punto dada VF, = ^ 2 , | , | j = (-3;2,ó) SOUUCIONAFtIOANALISISMATEMATICO III
\fií 8y &,■
=f2x,+yjEz) k ’
Con el plano dado: VFf ={V1,S) Plorccntficián de planos paralelos; VFp=tWp (2K^y,fa)=kiClr-t,E>=»E>^k k x=-
y =—
k
4y^-k
2z=21c
i 1 z = k en laecuación de la Híperfirie: x +Ey+z-1=Q
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(aH-U*'-—-J?
En el punoo dado: VF = - ^ La ecuación del plano tangentH
Ahora, determinamos la. ecuación del plana:
P/x-XíH-F/y-ytH-F^Cz-ZíM)
F,
-4 -^ = ^ i — Jb + Jc Si hacemos Jk = Jan-Jb + Je Sea S una superficie de ecuación x,+yi+zi-4y-S!z:+E=C|J porel piMito(1.r1,E) de S pma el plmox+y-zrfy la superficie 3xi+Eyi-E&l que originan Isa curvas
tW é^
de intersección con £ respectivamente. Hallar la ecuación del planD que pam por las tangentESa dichas curras en eIpunto dado.
=ve
Ahora las inbemeccionescon los (Vá¡trVb¡£,J5t) la suma: 3= -/k (Va +Vb +Vc J = 'Ji’J k = k
x+y-z=0
3^+í>?-Ez=l
Pür tanto, el plano tangente a la ajperficie será tangente también ; n cualquier puntD de S, Sene ui punto en común.
superfidea dadas. El gradientE de la función: tff = (2x;ay-4,Ez-$J en 0(1,1#:
Vf| ^ - S ^ X V U )
jL -.iiv r T g
. .
F ¿ x -x ^ y * > F ¿ :t í¿ N >
*s
(x-1Hy-V)+{z-í>=0 => x-y+z-E=D Qtauentre una ecuación del plano tangente en cualquier punto (Bjb.c) de las
"I,y’
superficies S: x1™+y1™+j1s=k1™ y luego muestre que la suma de las a de este plano tangente con los ejes coordenados es una.
y ’ y1
v 'J
"M *3
M -TI. i.V a T F (3 ^
2kd -2 x 1 Ú
e lafunción: W = . — y— . = — z - ^ .— = ■.a* i5y ais a/f a ^ ij SOLUCIONAR®ANALISIS MATBÍATICO III
I
SOUUdOHAHO AHAUSIS MATEMATICO III
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EDUARDO EEPINOZAHAhflDE "}
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MHTUUHlf El plano:
Luego: VF( ,PnT> = 0
2x+y-z-2=0
l
>í
Trazar un plana tangente b la superficie x*V=3Zj de tal modo que pase por el punto A(0,QP-1) y que seaparalela a la recta:
y j
l - í s á +¿ l y - z y j U y\)
Lv ¡
34
s x ;| axg|x;
vi
vj
y.
e
Sea el gradiente de la superficie F=jíy*-32í=0
+^ + ^ = ü V . Y. f3*;
&c_1 Í'Ek!
* [ y! ^
Kn
JU
W |X y rz)=<2K,-S>,,-3> 2x¡¡ xj
“ ri
Sea el plano buscado:x + Ay+Bz-i-C^)
3x*
BiPCQA-1) 0+ít+B;-1>tC=a=»C=BVP=<1AB> Este plano es tanganee-a la superficie *í!x,-5y,-3>=<1„A,Bs-
y / y=
Escribir la ecuación dei plano tangentE pErpEndicular a la recta: x+E ”T ~
Vara, la ajierficie: z=xy
y+E
De donde: Sx = 1 =» x=1ffi - 2¡*=A =s B=-3 =*■C=-3
z-1
Paralelo a la recta:
£ ¡ ¡ ¡ 2¡ü ~ 2 -T ' z=Ky =;■ F=xy-z
<1AB>
(y x -l) = 1411,-1}
= ; ; = =
y 21c
=»
3&k
-
^ =-|
=t V l^ rfJ ,2>
2+A+-2B=Ü =i a+A+í(-3)=0 A=4
Ahora el plano tangente: K+4y-3z-3=Q
VF=(k v 1)
^
El gradiEnte es paralelo al VEctardE la recta:
Luego x=l j y=S
“T “ e
vn
1
En la superficie jí+y1+zí-óy+4&1 E. Hallar loe puntos en los cuales los planos tangentes sean paraleles a Ira planos coordenados.
k=l
z xy 2
0 gradiente de lasuperficie: F=x'+yi+z'-óy+*t-1fi
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1
1
y + 8 -2 x x
x
1 2
. '
2= x z
x=2z
Si son ortogonales se cumple: VF. VG = 0
’
=> VF . VG = (2x-a, 2y, 2z) . (2x, 2y-b, 2z)
Luego y+8-2x=—
VF. VG = 2y+16-5x^)
;
z=í 2
-2ax-4y*-2ytw-4z4
VF. VG =4(x,+y*+zt)-2ax-2by VF.VG = 2(x*-4-y*+z*) - 2ax+ 2(x*+y* + z’ )-2 by
y = 5x-l6 2
VF.VG=2ax-2ax-t-2by-2by=0 V F. VG = 0-0
En la superficie:
VF.VG = 0
x* x * - x ^ _ J - S 8x+x x ^ + +5G-- 00
Demostrado
2x*-5xl+16x-16x+x+l0=0 -3x*+x+10=0 3x*-x-10=0
Trazar el plano tangente al elipsoide í , - p + p =1, de tal modo que corte segmentos de igual longitud en los semi ejes positivos.
3x + 5 -» x = -| x -2 -» x = 2 x=2
^Tj
-»
y=
v-
y=-3 ; z=1
2—
-73 -« T : 2=T
Demostrar que las superficies xt+yt+i?=ax y x*+yf+z*=by son ortogonales
Seael plano
— -t-— -t-— =1 k k k
El gradiente VF=
.i. =! . 7’
—»
VP=Í— ,-1 l^k k k j
j v* u* ^
yf+yl+zt=ax ; x*+/+z*=by
a'm : y = -----b*m : z = -----c*m X ------2 2 2
Vf=(2x-a, 2y, 2z) ; VG=(2xt2y-b,2z)
j
SULÜCIÜNARIOANALISIS MATEMATICO III
«
.
m
. |
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IAHOOESPINOZARAMOS El gradiente de lasuperficie dada: F=x*+(y-1)*+4(z+2)M
=>
VF=<2x,2(y-1),8(z+S>
VF =(x,y-l,4z+8) Este gradiente es paratelo al gradiente de la esfera: VF = kVGp De donde:
=»
(x,y-1,4z+8)=k(lf0r4 -H ^ )
En el punto P(a,b,l): Vfp= El plano tangente en el punto P(a,b.1>: Vfp. P,P =.
x=k ; y=1 ; z+2=k|\+^j
a(x-l)+3b(y-b)+4(z-1)=0 la intersección con el plano XY sucede cuando z=0
i .v ^ I - A
a(x-a)+3b(y-b)-4=0 ax+3by=a*+3bi+4 =%'13+4V,2
=>
=>
x+3y=8
x+3y=8 Luego a=1
b= l
P(l,3,1)
de donde laecuación del piano es x-1+3y-3+4z-4=0 => x+3y*4z=8
luego los planos tangentes: F,(x-x0>tF)(y-yt>.F.(z-zfi)=O
Hallar el plano tangentey normal al hiperboloide xi+yi-z!=18 en (3,5,-4)
F.(x-xo>+F^y-y{,>+F,(z-zt,)=0
rizzn j
En la superficie: F=x,+yí-3?-18
x+&/2z+a/2=0 ; x+a/2z+&/2=0
Gradiente: V F = : ^ t^ , £ ; =(2xr2yr-2z)=(x,y,-z)
Sea P un piano tangente a la superficie x!+3y*+42?=8 en el punto (a,b/l) y
En el punto dado: VFp==(3,5,4)
sea x+3y=8, la ecuación de la intersección del plano P con el piano XV, 9e
El plano tangente: FJ(x-Xb)+F,i-F«(z-zo)=0
pide hallar el punto(a,b,l)y la ecuación del plano P. *f»:nrar«1:0
3(x-3)+5(y-5>t-4(z+4)=0
=>
3x+5y+4z-18=0
x -x ._ y - y _ z -z D F, Fy &
La superficie: f=xi+3y*+4zi-8=0
I SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
¥
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H-fc í j- ^ x Q
Determinar los valores extremos relativos de F si existen, Por tanto, P 0,-
es punto silla
a) flfcy)=l8¿-3a/-3&c-128y-110 Hallamos f(x,y),=36x-36=0
=»
f(x,yX=-64y-128=0 =>
x=1 y=-2
Ahora la matriz Hessiana:
Por tanto, P 0,—
es punto silla.
f(x,y)ut=36 f(x,y)rt=-64 ; f(x,y).^0 J
4k
M -l“ g I»
°|.=36(-ó4)-0=-23Q+<0 -h
c) F(x,y)=---------+xy
Por tanto, P(t,-2) es punto silla. Hallamos f¿x,y); ffit,yy. b) fCx.y^x^-ZxVx F (x ,y )^ -l+ y = 0
=>
Con(1 )en(2):
64x4+x=0
y = ^ -..{1 ) ; «x,y),= ^ + x = 0 ...<2)
Hallamos ft(x,y); Wx,y): Kx,y)k=4y*-bcy-l=0 ...fi) fC^y), = 8xy-2xi=Q =*
x=0
=>
x=0 ; x=—1
x=4y De donde: P ^ " . 16)
En(1):V-1=0
=»
y=±\
En lacondición de extremos relativos:
°”H) 1•NI-4;K)„-° ; 'NI-4 Ahora la matriz Hessiana: ®(xry)1»=-4y ; flíx.yX^ax ; f(xIy),v=8y-4x
H
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
(x=0 no puede ser, para evitar ladivisión por cero) Ahora fJx,Y>, f»íx,y> f(x ,y)^-|
; f lx y ) ^ —
; fíx,y)„^1
En la condición de extremas relativos:
H í tH
— i / J =4-, =3>° J
-
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g(x1+ / + il-ax(ax-f3y-l-i } ** =
(* > V + i)'
a + a y^a x’ - ^ - B x =
=> S-Es?+Eyí4xy-2x=0
Púnante!, P — -,16 i
..jfl)
e ( x» 4 -^+1)-By(ExH-By-!-l)
B-Sy* +Üx? - 4xy -ä y
(** -i-y1+ ') '
(x^+y' + l)’
*
p
( * V / +i)‘
Q
=s.äfE^-Ey^xy-äj^Ü ...(S) Si amamoe (l ) y (E): Hallamos f¿x,Vh M = 3 * '-1 E fO
=>
y=xto
fiXy)»=3AieM)
.(1)
...{2D
S-^+ííi-li -+x(JL-il-Sx=ü
Confi) en (S) 648x*-1Sx=0=t
v=0
x=é
De donde: PÇOL.Ü) 0(6,6) Ahora fjX y fc y X y ):
U x + lJ
fl&y)„=úx ; flfcy)^=«y ;
-32x‘-16¡t*+ait*+lÉx+a+ibt'-Ex+e-16j?+2BxV
En la ccmdiciún de extremos relativos: ConP(öjCD FQifll*=Ci
Ux+V
(^Ex*'X*<+1) ,+S<2-k),-í <2-kX*»[+1>äx<4>+1>1=Ü
+ax-3axt-iújí-2x^o 32¡í*+64xt44xí-1+x-10=C
ÍC0,Q>^=Ü De donde J&5/2
H- k
f „ \ -U s
o]
Con PCfi.fr)
A h m f ^ v D t V * ,* [a* + y =-f 1)*(-4 x -4 y -B )-4 x (3 + By=- Ex1-4 x y - gx)(x‘ +y* +1 )
; W V=36 ; ^ y V ^ A H ^ Y ^ f= 3 * ^ 3 S 4 rffja > 0
PuestoqueR(6i£)kl=3Éü- => Pf^)esm ínim o. , „ , íx + 2y+1 e) ^ y)= xi +yJ+1
r ^ l) ’ F^yXv=*v T M .H
; fOwv=-iß
j w v=o
; m o )^ -ie
H=|tt H=I“S I t U 1-18
Hallan03 f£*,y)t f / x f r R>1 ÜÜLJUCIOM*RIQAMAUSISM*TaiATlCOIII
SOUUCIOMARIOAMAUSIS MATEMATICO III
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...c
D... f) ffx,y)=x'+y4+3yt-3x+9y+2 Hallamos f,(x,y);«x,y): F(x,yX=3x*-3^)
=»
x=±1 ; f(x,y\=3y*+6y^W>
(y+3Xy-i)=0
=>
=»
Hallamos f.(x,y);V:^y> F(x,y),=3ay-3xi=0
=*ay=x* ...<1)
F(x,y),=3ax-3yi=0
=>ax=y* ...(2)
a x = _ =>x*
; x=0 => x=0 ; x=a
y*+2yConfi) en (2>
y=-3 ; y=l
Ahora f„(x,y); ^>(x,y) para determinar lanaturaleza de los puntos hallados: F(x,y)«=6x ; ffcy^&y+ó ; f(x,yXy=0 La matriz Hessiana:
"i tur ü
Ahoraf«(x,y);frt(x,y): Fl(x,y)»=-6x j Kx,y)yy=-(ef ; f(x,y)„=3a
Evaluamos cada punto hallado: P(-1,-3) ; Q(-1,1)
; R(l,-3) ;
En la condición de e>
M (U )
Con 0(0,0) F(0,0)„=0 ; f(0,0)„=0 ; f(0,0)„=3a
"■tí
°h
H = f6 H =0-
f«=-6<0Por tanto P(-1,-3) es máximo
P(0,0) es P. Silla
Con P(a,a) F(a^)1J<=-6a ; ff a ^ -ó a ; f(a,a),,=3a
QC-1.1) -6 OI
F(x,y)^(x,yV[f(x,y).v]i=36a, -9a*=27a*>0 ; P(a¿> es P. Máximo Por tanto Q(-l,1) es punto silla ^
Por tanto Q(l,-3) es punto silla
O -1^
F(x,y)=(x-yXxy-1))=xVx-x/+y
M(l,1) H=j" ^ =72>0
Determinar los extremas relativos de lafunción f(x,y)=(x-yXxy-1) Hallamos f,(x,y); f,(x,y>
=»
f„=-6>0Por tanto P(1,1) es m
Ftxry)r=2xy-1-y*=0
...(1)
F(x,y)^x*-2xy+l=0
...(2)
Calcular las valores extremas de lafunción f(x,y)=3axy-xs-ys
i
SOLUCIONARIOANALISIS MAT&lATICO III
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO HI
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1
1
1
y=x => 2y*-1-y*=0
=»
y=±I
;
QC-V1)
=>
x=±1
En la condición de extremos relativos: Con P(3/2,1>
De donde P(1,1)
F(3S,1)„=2 ; f(3«,1)^=6 ; f(3«r1)«y=-6
Ahora fJM k tn fa fr F(x,y)tt=2y ; f(x,y)„=-2x ; 1(x,y)^2x-2y En la condición de extremos relativos;
FíX-yX.^yVWx-V)«]*»18^ 2^ ¡ P(3/2,1) es P. Silla Con P(27/2,5) F(27/2,5)„=2 f(27/2^)í)F30 f¡(27/2,5 )^-6
Con R(1.1)
Rx,y>tJ(x,y)nrlf(x,y)w]*=6(K3fciM>0 Puesto que f(27/2,5)o=2>0 => P(27/2,5) es mínimo
FC1,1)„=2 J f(1,1)*=-2 ; 1(1,1)^=0 p(x,yX1/(x,y)„-[f(x,yXvI,=-+-0=-4<0 P(1,1)€sP. Silla
I
Con B(-1»-1> F(-1,-1 )^-2
f(a^)„=2
f(a^),y=0
fíxry)n#(x,y)r^(f(x,y)w]*=-4-0=-4<0 PC-1,-1) es P. silla
Hallar los valores extremos relativos o puntos de ensilladura de las siguientes funciones: a) i(x,y)=xs+éixt-y1+9x+S c) f(x,y)=2x,-2xy+y,+5x-3y
b) f¡¡xty)=x1-3xy'+2y* d) fi(x,y)=x, +xy+y*-Éix+2
e) f(x,y)=x!+3xVy5-y S)fi(x,y)-x*+/-xy+xs
0 í(x,y)=2xy-x*-3y*-x+2y
Hallar los extremos de la fundón si existen. F(x,y)=x*+y,-6xy+3x+6y-2 m
a) f(x,y)=xVÉix*-y1+9x+8 Hallamos yx,y)¡
v~i
Hallamos
F(x,y)«=3x*+12x+9=0 F(x,y)1=2x-6y+3=Q ...(1) ¡ fi& y ^ S y ^ + fc O ...®
=»
x*+4x+3=0 => x=-l ; x=-3
F(x,y^=-3y=0 =»
y=0
De donde: Con (1) + (2):
P(-1,0) ; Q(-3,0) y*-6y+5=0
=»
y=1 ; y=5
De donde; P(3/2t1) ; P(27/2,5) Ahora t J x ft ; ^ P(x,y)„=2 ; f(x,y)^6y ¡ «toO ^-é
Ahora fatxj/y, V x ,y y. F
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ZL H=3&3=1S>0
fta=
Con
) RC-IrD-pH; «(-1j-1)n=ü; H-l,-l>y=1
a mínimo relativos en la función.
-I* « Por tambo, PÍ-1,-1) es punto-silla. Con loe puntee dados: 1) FfrJy)=2xy-ií-3y1-x-2y HallarnosídXy); f|íx,y) Frxry>=íif-2K-1=0..jfl)
í & y ^ -t y -f c O .. (S)
AC1,B>
=t
f(l,2)=a+1+E=5
0(5,2)
=t
f(2,2)=++E+2= S
B(1,3) =fr
«(1,3>^-1+3=7
;D(2,3)
=**<2J3)=6tSi-3=l1
Luego el máximo y mínimo ce A (l&
j 13(2,3)
A h c c a U ^ f^ y ): Determinar el maiyar y menor valor de la función z=A: en el d
Fíx,y>„=-2
cerrado ouyo borde son las rectasTe=Ü, y^O, 2x+3y-12=G |=lE-^=3>0
f„=-3í
Estas puno»oonesponden a máximo relativo en lafunción.
FTx,y)i=Sx:-y-*=0 F(x^y)v=2y-x=o =»
Determinar d mayor y nranor valor de la función z=xy+x+y en d büfdE son las redas 3&1, k=S, y =2, y¿3
4 y -y = +
3^=4
=s
y=4/3
AltorafJj;x,y>; f1^x,y>:
Hallamos « x j * yx,j*
F(x,*>=E; ftx,y^=2; fíx .y ^ -l Ffx,y)±=i'+i=ci =
En lacondición de-extremos relativos:
F(x,y),=x+1=a :
Con P(S/3,*3)
AliciaWMOsV*,*
F@Q,V3)w=*; RXyXi =0, HXyV ^
En laoondiciín -deextremos relativos:
HXj V 1
F 'X y}-; K \ y \ ri Puesto que flp3J*3)ti=E>0; PÍB/3,4/3) es mínimo.
; flC3S,*3)v^-1
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p fJS / L [ 2 ’2)
F Í-Ü ,ii= i^ _ i =3 { 2 2) 2 A 2 4
mas
P(0,-1) máxima
de
la función
j
z=x4+y* en
el
círculo
,±-j« | son máximos P(0,0) es mínima.
Si latemperatura en cualquier punto de la esferaxVyVz^M está dado T=3x‘V flzl<’. Hallar los purat» más fríosy más calientes de la esfera.
( x -y 2 )'+ (y - ^ ) * s 9
F(x,y,z)=3xl9yiazla+^(x*+Yi+zi-4)
It (x -V i)’ +(y-'/l)!15 9
F(x,y^,>.)=x-wytaztfl+2xi=0
Función objetivo:
Rx,y,zA)=2xlV iazl,3+2yX=0 Rx.y^.^x1+/-l.^(x-V2 )' +(y->/2)’ - « ]
F(x,yA i.)=x,V flz“ +2yX=0
TCx,y,z)=xYz4 -4=0 -
F,(x,yA)=2x-2J.(x-V2)=0
=»
(x -^ )= |
-
F,(x,yA)=2y-2x(y-V2)=0
=»
(y -> / 2 )= I
-
F ^ y A > (x -V 8 ), +(y+'/2)’ -9=o...<3)
...(1) P(±1,±^2,±l)
q (±1,W2,±i )
R(±l,i/2,±l)
...(2) P(±1,W2,±l) ; T=fr/5 Los puntos más calientes 9e dan en P(±1,W2,±1)
D e (1 )y (2 ):| = j => En{3>
Lo6puntosm ásfríossedanen:
y = * -W
(x -i/2), +(y+V2), - 9 = 0
»
x -J ? = ± ^
C¡(±1,W2,±1) ; R(±l,W2,±l)
La temperatira en gradas centígradas en cualquier punto de la región limitada por x=0, y=0, x+y=3, está dado por f
1 SOUUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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—
£fei g(xt-y)
O
a(x-t-y)
a(x+y)
i o o| i 1 o i 1 1
j[f(x,y rz )] =
SL »M O
1+y’
(i+y*)*
2x(z+y*) 2y(z+x‘)
2z+x’+y‘
f : R* -►R/f (x,y)=[Sen(x)^en(x)Coa(yXSen(y)) en p j o ^ j f : R-> tf/f (t)= (t/ ,tV )e n P(t) jr r iiv v T r
Las derivadas parciales: c;(Senx)
¿(SenxCosy) g(SenxCosy) g(SenxCosy)
0(S *V)
O(Sery) ¿y
*(Se»y)
Cos(x) O J [ f(x.y)] = |co3{x)Cas(y) -Sen(x)Sen(y) O [ O -Cbs
f : R*- » R*íf (x,y,z>= [Ln(x*-y,-z)pcyz*] en P(-3,l,2) J ? * n ? r? W
f : t? -»R*/f (x,y,z)=
L n (x '-y * -z )
).(z+y»)j en P(1,1r1) Jp (x,y,z)] =
Las derivadas parciales: a T i - x 1^ J[f(x,yrz)]=
a fi-x M ¿ v lw j
-|(z+x*)(z+/ ) | ( z +x*){z+/ ) | ( z +x-)(z+y*)
-
a(xyz')
2Ln(x?-/-z) e(xyz’ ) flx ay
r_i 41 I2 =12-M/3=4(V3
j[f(-3 ,t,2 )] = l l
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ti.
a(x/y) 3(x/y) a(x/y) Bx. Sy Bz 3(gy+i) g(gy-i) g(gy-»-i>
Demuéstrese que fes diferenciable en toctoslos puntas (x,y,z) de D, y determínese D .t W )
O
f(xryJz)={xz,y+z)
¿)
£[£]
El valor de la matrizJacobiana de f en cualquier punto (x,y,z) es dado pon
j [f («;%*)]=
flx
Sy
" a(y+z)a(y+z)
£ ¿ = )" Oz
I* 0 xl
La matriz jacobiana es continua en (x,y,z)€9tJ/ysO, por tai
a(y-t-z) "Lo 1 iJ
La matrizjacobiana es continua en (x,y,z)e9t5, entonces f es diferenciable en (x,y,z)
(x,y^) siempreque y*0.
Q
f(x,y,z)=(xV,ze“,x+ z)
f(x,y,z)=(xy,y*,xIz) El valor de lamatriz Jacobiana de f en cualquier pinto (x,y,z) es dado pon m
F(x,y^>=()cVze'.x+z)
El valor de lamatriz Jacobiana de f en cualquier punto (x,y,z) es dado por. ¿(xy)
j[f(x,y,z)]=
=£(/)£(/) £(/) : a(x«z) a(x’z) a(x-z) Ox
Oy
j[f(x,ytZ}] = 0 2y 0 íxz 0 x‘
Sy a(ze*)
g(x*y) i a(ze*)
■Xx+z) ¿(x+z) Sy
Sjx+z) Sz
a(zE“)
flz
La matrizjacobiana es continua en (xty^)e9ts, por tanto f es diferenciable en (x,y,z)
O
a(A) flH
g(xy) a(xz)' dy
f(x,y,z)=Ji,2y+1.xz*j
[2xy x* O J[t(x,y.z)]= ze* O e" [1 O 1 La matriz Jacobiana es continua en (x,y,z)EX* Hl(XjWt).
El valor de la matrizjacobiana de f en cualquier punto (x,y,z) es dado pan I SOUUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
1Z
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u = x ; du = dx : v= [e^dx =— J 2
=5*w|¡)_Kdx~í
Integramos primero con la variable y haciendo cambio de variable u = 1+xi+yí =>du = 2ycty
=H=
o (t+x’ +y*JM
■■I.'’•['•(l+x-’ I; +y*)“
_í?+1+1=2
j T f M Sen(y>d*dv'
De donde I06 limites sort 15x53 0 s y5 2 IW 2
- 1W 2 I= U f - ^ | I 1+y3 l+>/2
1= r[ío (2- x) - t - j r ( x -2 )dxjseníy)dy = £ j ^ 2 x - 2 x £ ¡Sen(y)dy
l={[(4-2)-(2-5)+I_6_(i!"4)]s“ (y>ly=CSen(y)dy=“c“ (y|o=1"c“ (2) O
Calcular la integral JJx’ yeI'dxdy t donde D es la región 0 á x £l, fe y£S
b ) £ j > * + y)dydx
x, ye"dydx u = y =» du = dy ; v = Je wdy=— +y)dydx=j;[x»y+¿ ]* d x » ¿ ’[íx* +2 -x « J ] d *
-
B
SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO til
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+— 11- - + - = — ‘ +i j ~ 3 + 2 |0_ 3 + 2 6 =4-t*+^ldx=—
c>rr(8x!+2y)dydx Integramos por partes: u=Ln(y+2)-Ln(y-t-1)=*du = d) £ £ e’ Cos(y+cK)dydx
T=£*£ exCoa(y+e<) dydx= J*e“Sen(y-e*) |^dx= £[e*Sen( 1+e*) + eI Sen|ex) Jdx
r_ ¡ ____ 1_
,x+2 y+1,
dy ; V= Jdy =
I=ln(l)-í>+2í ^ +/>-íl^í=u,(l)+a,,(y+í)-u,(y^]|J
l=[(Cos(l+e, )+Cosc, )-(Cos2+CQsl)J
1=ü,(l)+2Ln^ _Ln^ _2Ln+ln^^=Ln(lp])=LnTS
I = Cos2-Cos (I+é J-Cose* -Cosí 8) Jt'/J|c°a(xyjjdxdy
e) ££ **[°“ (y)+038(c*)]dyd,t £ £ Cosíxy jdxdy Graficamos para determinar las condiciones del valor absoluto. ■ = £ £ «* [Cos(y) + Cce(e*)}jyebc= £ £ [e xCos(y) +e'Ccs (e* )£ydx I= £ [e»Sen(y)+yEf Cos(e>)]* = e*Sen(l) -Sert( i)+Sen(e! )-Sen(l)
Caa(xy)
= 0=»xy = n/2
Coa(xy) = 0 => xy = 3n/2 Cos(xy) = 0 => xy = 5n/2
I= e*Sen(I) - 2Sen( l) -Sen(e’ )
F
g
-
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I =Jo', jf Cos(xy)dydx + J” [j^ C o s (xy )dy - £cos(xy )dyjix +
^
Calcular la integral doble JJ|x+y|d>rtc, donde D:
+J«[c^(x)^-í^c“ íxy)dy+í^ c“ (x>r)dy-/l,.ci*^r)dy] El valor absoluto se define según; >>.rSen(xy)1»/2it Sen(xy)|3x/2x [ Sen(xy)|x |Sen(xy)|* J -L x x |«/2 x p«/2x x |sk /2ii
Jo
fiJSen|>/2) Sen(3n/2) Sen(it/2) Sen(xx) Sen(3n/2)1
r .,[ t'1* I
Sen(it/2) Sen)In/2) Sen(5it/2) X X X
Sen(3«/2) Sen()c) Sen(5/2n) X X X
De donde los limites son: -1áxá1 = Ü , ° (- x-> ,) ^
-I s y á l
+ í-.í '(x + y )<^
Kí-,{ - xy - 7 ] l í dx+fax>'+i-| _ xd>;
y* | x’ h *~2 ^ T l - I h) JJ jT Sen’ (x)Sen* (y)dxdy
t .,.£ r . w j j 3H 3 3
Calcular la integral doble: JJ,)i|y-x,|dydx donde D
á I ; Oáy á2
SOLUCtONARtOAMAUSIS MATEMÁTICO HI
r
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* j j f (x.y)d»dyt*>tide D: [-n,6]x[-2,2]
Determ inam oslafunción,desdeelgráfico:
y-Sen(x) ; -n s x s «/ \ -fi£ y á 2 x+y ; xá 5 + y’ x>5+y*
Í
^ J x - y * y*x’ (x * -y y
f(x,y) =
l=íí^y-x,|dxdy=í.,[í.,'(x’-yr•*+£(y-x*r
.
1==■H rLg(x,-y ) >|o . 2(y-y,r i|2id x= r, 3 3 x* Intégrame«: x=vf2Sen(e)=>dx=v'2Cce(e)de 2-x1=2Cos*(B)
x=1=>fc»=ir/4 x=-1
l=JJf(*,y)(^ = £ [ f 7 \ s ^ X) - y > +/ ^ [y -S e n (x )^ > +/ X i(x+ y)íí ^ ] +
=>0=*/4
(x+y)dy+í^(l)dv+íjU(x+y)dy]dx
1= | J . T [' ^ 2Cos( 20)J +Ccs’ (28) dfll = | £ ¡^ 1 + 2Cos( 2») ■ U C ” ( 46) jjg
sM* SOUUCIOMARJOANALISIS MATEMATICO III I
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ímJh Lí*
'-£.[**■ (x )-
0
Calcular JJ(3x* -2xy+y|dxdy, si laregión D esta limitada por las líneas x = 0, x=y* y=2
+ 2 x -2 + a / x -5 + 2 x + 2 -W x -5 —Ï ^ J d x
1=£[S e n ‘ (x )+ 4 ]d x -2x’|^+|a*[-2W x+5+ 4x+a/x^ÊJlx u £ ,[ 1-
^
]dx+4xj^+50 - ^ - gr>
i - t f (3x’ -2xy+y)dxdy u f t x ’ -x 'y + x y ^ d y
- S, 5Wx - S ^ , 2xl, i ( x - B r | ;
■ = £ (/ -/ + / )< * l= ^ x -
t )J
+ 8x+50-2x*-2£(x-S),‘, ik-1o£(x-B),', dx + 2(36-!B)-t-j
1=£ _ 2 +£ | 2= i ® _ ^ + 4 = l i l 7 6 4 |û 7 3 21
Q
Calcular J 0 - j d x d y donde D esta limitada por y = 4 -x * ,y =0
= 72-— 2x* +8* = 61+— -2n! +8n 15 15
©
Calcular la integral doble JJ(x*+y’ )dxdy, si la región D esta limitada por
Graficamos la región
=nr
y = x,x=0,y=1,y=2
£ H
Æ
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c_. Recta AB: Pendiente: m = iiH —2 = 1 y - y A = m (x -x A) l = J > ’ - 8)dx+20í l ^
= T -8 x +20AtcT6(x )|2 _ y - 0 = (x -* / 2 )= » y = x -|
1= 2^ - 8(2)+2{20)AreTs(2) = -40ArcTS( 2 | - ^
Recta BC: y = 2 RectaCD: m=
O
Calcular j j ^
dxdy, donde D={(x,y)/0sxs*/2,0iíy:sx}
—n+it/2
— —1
recta: y -y „ = m (x-x„) ' '
y -0 = -(x -* / 2 ) = > y = | -x
1=í',/^.Co3(x+y)dxdy=CScn(x+y)|^y
Graficamos la región: f. , fv,Sen(x|dxdy J» 4-Sen*(y) r »: £ «(n / 2 )tC c s (y )
J°
4—Sen* (y)
-Cos(x) U/2 4-Sen‘ (y)|y **
1=J‘"*[Sen(y+ y+ «/2)]dy= ^ [ S en(2y+)i /2)+Sen(it /2)]dy l = j^[Sen(2y)Cos(*/2)+Sen(it/2)Coa(2y)+l]dy= £'",[Cos(2y)+ l]dy
| -_C o s|y )
4-Sen’ (y p .=jse n(2 y)+ y|*/2= ¿ s en( « )+ í = í
1
^
=4 ü<3> 0
O
Calcular JJ^xy-y'dxdy donde D es un triángulo de vértices en k>spuntos 0(0,0), A(0,1)
Calcular JJCca(x+y)dxdy, donde Des un trapezoide limitado mediante segmentos de yB (i,i) recetas de los puntos (*/2,0),(*,ic/2),(-n/n/2),(-*/2,0)
i=JJV*y-y*d»*y •=JJJJ(xy-y*),"'cboc»y
u!^('»-v)”|v 1 SOLJUCIONARIQANALISIS MATBMTICO III
SOLUCtONARtOAMAUSIS MATEMÁTICO «I
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l= Í V ----- y
0
^ =i Í ^ ( 1 -y ) V’ dy = 6
Calcular JJe*"rdxdy , donde D es un triángulo de vértices en los puntos (-7,-6), (5,3) y
^
Calcular
JJ
yLn(x) dxdy, si la región D esta limitada por las líneasxy = 1, y = -Jx ,x=2
(0,0)
kt recta: y - y , = m (x -x „ ) y -3 = 2 (x -5 )= * y = £ -f
I = jj yOi(x)dxdy=[*J^ yüi{x)dydx
J*y*Ln(xj ^ d x
u=u,(x) *=?
RectaAG m =| Recta BC: Pendiente: m =—
a: y = mx => y = - —
|= J ‘ (ete^ - c“ « ' 4” )dx+JaS(e1‘- * " - e ,*M-i,M**)dx l=|* (e“*7- e ™ " ) dx+£ (e*1’*- e™4-** )dx
I
SOUUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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Calcular JJ(2xy-3)¿ (dxdy donde D es limitado por. y = Ln)jj,y = 0,y = !
l = | (x+ y ) d A = q | J 7 (x+y)dyjdx
\\ (2XV-3X1)dxdy =/’ £'. ((2xy-3x? )d>t)jy
0
Calcular JJ(3x+y)dA si la resión D se define por las desigualdades x, + y* s9 ; y¿2x/3+3
=J0 *-Se*dy=-2e‘yJ*=-íe“ Hallamos las limites: O
Calcular JJ(x+y)dA donde la región D está limitada por xy = a*, 2(x+y) = 5a
xs+y! s9Aya2x/3+3=>x! +(2x/3+3), s9 ^ + 4 x = 0 = > x = 0 ; ys±3 ; x=—
xy=a* ; 2(x+y)=Ga
Graficamos;
’■ - í - ' H h 2(x’ +a*) = 5ax 2x’ -5ax+2a’ =0
/
(2 x -a )(x-2 a ) = 0=*x=a/2 x = 2a x(Sa/2-x)=a* 2x' -5ax+2a’ =0 (x -2 a )(2x -a )= 0 x=2a, x = a/2
'=L,{3kJ^
+1t -
3),]dx
, = _ Í9_ xn ~ 3 - ^ - * - 3(2x/3+3) > V * I 2 2 2 4(3) 1-36/13
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO III I
— V
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• :
,=_U(9r_6í+ 4 (f»— \tfí)
13 2(13)
2(13/
4 (j3
)
t _ g? 27 | 225a* 9639 [ 2S0047 _ 1377 4 + 13* ~ 2197 + 8788 ” 169 l=£(2x+2+2)dx+£|2(4-x), -x (8 -2 x)+ 8 -2 x}b c+ Q
Calcular |||xj -|y| - ^dA, donde D=D,UDi siendo D,= [0,3]U[-2,2] y D* el triángulo + j | x ( l +1 - x + 2x+ 2-..2jdx+
formado por las recias x = O, y=2, y = 8-2x
+/ | - x ( l - x ) - í ^ + 1 - x J l x +j | x ( x - l ) - - ^ - - x +ljd x+
Graficamcs la región de integración, sabiendo que los si¡ según el a
+ J * | - x ( 8 - 2 x ) + 8 - 2 x - ^ - + x (x -l)-x -ljlx
=x*+H^fl2(4_x)‘“,0x+2x*+8]*t*í
j1*1
+r[x-2x-í^-+ljk+f [x*-2x-Í^Uljdx+ +j|x* - 2 x - Ü - + ljdx+j j ^ - 2 x - ¿ l 2 I + ljdx+
,=Jjlm>i^dA=j;£(X-y+1)dxdy+Ji;|iM *(y-x+.)d)dX+ +f*|^2(4-xy-I2x+3x’ + 7 -— ^ +ljdx
+nr(x_y+,)dyd)c+í1£(x+y“1)dydx +r r ( - y ^ ,)d^
+ r n ( - v - . ) ^ f / > - v + ')d^
+r r j - y - . ) ^
l=J"(Xy“^+Vj-2d>t+J”(^_Xy+y]to_2XtbC+ ]
SOLUCIONADO ANAUSIS MATEMÁTICO III
i
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1= 5 -1 8 -5 + -+ 8 + — * l + - — - I + - + 9 — + 3 -9 — -1 + 1 3 3 3 3 +9—Í - 9 + 3 - — +1-1— i-54+27+21-—+ 18+6-1-7=—
Calcular la integral doble JJSgn(x, - y ’ +2jdxdy, donde D es la región limitada por
+£i(Vx‘ + 2 -V 4 -x * )d x + / V 4 -x ’ dx
T= W4-x*+4Anaení^J~^Wx*+2+2ln(x+Vx’ +2|^|-»/4-x* -4Arcsen^||' ( - Wx* +2 -2Ln (x+Vx5+2)j1t+W4-x* +4Arcsen|jj|® 1= -75 +0+4Arcaen^1j-4Arcsen(-1)+&/3+ 2 Ln (l+ V l)-
x*+y*s4
-2 Ln (V 3-l)-2 y3 -8 A rcse n^j-2 73 -2 ln {V 3 + l ) + 2 i i i ( ^ - l ) Graficamas la región de integración, sabiendo que los limites 9c x1+y* -4 = 0
xs-y*+2=0=>2x*-2=0=>x=
Calcular JJ^¡y-x*|dxdy, donde D:x* á y s 4
m Graficamos laregión de integración:
f l y’ -x*<2 La función signo: f(x,y)=| 0 y*-x*=2
1=11
£ dyftf+íJ£ (-|)dyrf>c+
£12 La función mayor entero: f(x,y)=
l= J^2V4-x’ dx+J’ (v'x, + 2 - 1/4+x, )d x -j'i2Vx, +2cbc +
I SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
0 1 2 3
O S y -x V l l s y = x*<2 2 Sy-x* <3 3 Sy-x* <4
ÍZ
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1
^
l 0
Demuéstrese que si f(x,y) = g(x)h(y) entonces:
fj.f(x,y)dydx=[jaís(x)d)c][^H(x)
En laexpresión dada:
íaVo^(x’y)dydx=í.0í>(X)h(y)<^X=í>(x>dx
Demostrado
Hallar el s'alor de JJxV/l- *1- y ’^x^y 1donde D es la región limitada por las lineas
fr.t-s-íp,.
x^O.x’ +y’ s l Ld6 limites: X20, ySO, x*-iy*Sl Jjx 'y íl-x '-y 'd x d y
=
x’y f l -x ^ -y ’dxjdy
<* =-j;y[o-(,-y»r)nr -£y(wr “y l=3V3-3V5+^-^-4+W2+|-^-1+>^+6-2+2+1 +8+1-h/5-1+471- 4-í^ +|+3n/I-W2-V3 =|(4+4^3-WI) _
—
_ B
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^ -1SXS1 1-1-X* 5XS1+1-X*
Hallar el valor JJx*y* (a’ -x '- y * ) '’1 dxdy, donde D es la región limitada f x^O.ysO.x’ +y1 Sa*
loa límites: x2:0,y £0,x* +Y15 a1
i = l j ^ [ i +a>/nj? +i -x* - i + a / T j? -1 +x* ]dx
1=íí x*y*(a>~x’-yl )V,(baiy=íolf"7*V I'-*,-y,di Hacemos u = l-x*V y derivamos respecto a x: 1= 2j O-tJ Arcsen(l)— ! Arcsen(-1)l=- + - =it
Q
Q
Calcular jjydxdy donde D es el recinto dado por: x1+y* -2 y SO
Calcular JJx/dxdy, donde D es el recinto dado pon x* +y* -2 x5 0
E3gráfico: los límites: 0 5 x52
m
r
Graficamos: x* + / -2 y S 0 = > xt + ( y - i y St V ^ y. , Mi T ^ i 7
I SOLUCIONARIOAWAUSIS MATEMATICO III
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dx+lí.tV,-(x-,),J* t x-1=Scn(a)
=>
dx = Cos(fl)dft
d) J^,*J^Sen(x)dwly
e) ¿'J^dydx
S)
h> ¡l j/f“ xriy*
J) r r ^ / S e n W « * *
k) i ? L , x)y4d>dx
f) JJ^x + y Jíy d x i) j* j/ Sech*^ jd y d x
I) J^ ^ x 'S en ^ y Jd x d y
1 - (x -1 )’ = 1- Sen' (e)= Cas» (fl) Los limites: x = O ; 0-1=Sen(8)=s.fi = | ¡ x=8 ; 2-1=Sen(8)=>6 = |
,=J,T<^ = ry|r * =í',(^ _x)* =í x* =T|?=ir =! b) 0 ‘ )«en(«)dydbt
1-k(°-°)-i4Cos3
WÎde
1
= £ j > " ( « ) < * * = /?£ Sen(* c) ^ dx = Í.'Y Sen(«x)dx
Integramos por pattes:
■=!4[1+C“ (-6)J
u=^=>du
= xrix;
v=
JSen(xx|dx=—lcos(jDt)
Integramos por partes: I 2Sen(n) _6
Sen^a) u = x=»du=dx v=JCos(ax)dx=J Sen(nx)
'=~^COe «jx * *
b>í:i> n( - ^
I SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO til
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J.'Sen(’“)dx
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c)j ’j ’ e'-’dxdy , = j;| W d y d x = |i’€ ^ dy ^ ( e ^ - e ' j d y = f > ’, - e ’')dy = ^ - e ^ ,
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En Laintesral: I =
r. , r _e ‘ -3¿*+ Se 2
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t=r x sen(x)dxdy=-r ’c“ (x])iyrdy=C[c“ (y)_c“ (y)]dy=t> e)
I 1■=0-— n e*- (!- i1)\+e1 1 - + -® -*_
£jj*dydx
•>U," (x+y)d»rt£ '=j;r
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+ r , - 0 = - - + — +— + -+ e ” - i = - + — - j + r 1
1
Por partes en la primera integrai: u=x =*du = dx v=Je*dx =eT 1 - “I1 i’ « i -XE |o J»C
c** _ ** *)’ _ 2 — 2|o 6
*~4
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* |o+
e*-l _1 1 . e*-1 4 2 2 -e _ € + 4
*
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e*-1 4
Los cambios de variable u = x’ =>du = 2xdx ; t=4-x’
dt = -2xdx
S jJ ^ e -d y d x
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os(«)=o v
i = i r u> H u ) = - ^ | ° = o ^ = i 3J* v is|s 12 3
k)£Cce(x)y4dydx
1=J?jl* / ^ =j/^.(xf
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Í= £ £ ■ i Sedi’ g jdydx = J j g h ^ J ’ cbt
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fl> (x )-T j* (1 )]d b c
l=ln[Csch(x)]-xTgh(x)|^=Ln[CBdi(4)J-l/i[Csch(2)]-(4-2)‘ISh(x)
'=51*" ÍÍ t0“ ’ (x)]’
=*^-Ìft1_Sen'(x)]’c"(x)d“
Hacemos u=Sen(fi)=»u = Coe(0)dS
,=ü,[SH]"2t^(x) j j) ]^|t’,“ ,l,,)y’Sen(x)dydx
H if "10 ö l“
"|1 it 1r , 2 | 1'l _ 1 5«-I6 3 +T Jo ~ 1 0 - 5 ( 3 +i J = 150
8) £;JJ“ <^xsSen,!(y)dxdy
u {¡Z t+ a 4 S ¡* 4 4 * u=t+Coe(x) du=>Sen(x) x=0=> u=1+Cos(0)=2 I S0ÜJCI0NARI0 ANAUSIS MATEMATICO III
x’Sen* (y)|3Co6(y) 1= £ . JJ1“ 1'' x'Sen" (y)dxtly = ¡\-
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[t - Sen*(y)jSen’ (y)Cas(y)dy-
if _ a / S ) _ V s 15* 32 120
J
Hacemos: u=Sen(y)=>du = Cos(y)dy O
Q
Calcular J|o(2x+2y)dxdy, donde D es la región acotada por y = xs, x= y*
i-£j£(**+sy)«
Calcular la integral doble JJx^ycbcdy donde D es la región encerrada pory = x*t y=l-x*.
-ÍH s — ^
^
Calcular las siguientes integrales dobles ») £ j f = ,(’‘ *v)
SOUUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
í ) 0 'u i ( x ) d n l x
SOUÜCIONARJOAMAUSIS MATEMATICO III I
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[ * - * f ,BS= *»!■ 3 S fi LasigjüentE gjdfica: 0£x£l
OiySK+1
»JTf lnDegramoE par partee u = Ln(y) du. =—
v=J dy = y
1=¡'.¡r (x+1■)sen I = J ^ x ’L n ^ 5j -xLn ( x ) - j ; dyjdx = |^2x*-3c]Ln(x)-yj^ Jdx
íntegamos por partea: u = Ln(x^du=—
=/,-(*+’i0™
idK
1= -J^ ( k-h’)[Coa (x-n 1) - c^g (O)Jtí
v=J^2x! -xJdK Integramos por partee u = x-i-l du=dx
■ =(¥-T K f-J.tf4)T Í.v-^
v = J [i -Coe(x -Hl)]dK = x-Sen( x + l)dx T= E [ a - M 2 ) ] ^ ( t ) - C 7 C « ( * + l)|¡)-J J [* -S Bn (* + 'í]*
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0 0
.. Calcular JJn(i+ x)Seri(y)dxdy donde D es d trapajüide de vérticc ([},[});
P 3 ÜÜLJUCIÜNARIÜANALISIS MATHdATICO III
= B-SSen (B) + Sen (1)1 O jb{S)-i- Coa (1) = | +Gns(1) -t-Sen{l)-Cm (&)-25en (S)
.Calcular JJ^c"*'dMdyr donde D = {(x,y) j|i| +|>|¿
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b>i=jàr‘(x"y)c^ =jài^|o~x,dx=^ x+l~2,>'***
La siguiente gráfica: Los límites:
-\is
-IS x S O
l = i £ ( x ‘ -2 x ’ - x , +2x+l-x*)dx
- x —lS y S x + 1 ; OáxrSl ; x-1 S y£ l—: l = £ £ e ~ d y d x + £ £ e w d>*lx
'X '»
X
2^5 2 3
i-j> —
O
)
60
>*+/>—
Calcular las siguientes integrales dob4es:
■í! Í - ' i
.(« 6 -1 )
21
21
b> f f x y * d y d x = j ; ^ | ^ d x = | ; ^ d x = ] ; | d K = ^ g = ^ = |
a) I ’J^x V + xy^d yd x
b) J J J ^ (x+y)dydx
O J’ jfíy x ’ ) tfcriy
d) J*£ (y** )dy*f
*) £'JJvScn(*x,dydx
c)U„ySenl1«)«1^ =J„-— —>|odX=-íc~Í^~'1^ Cos)»
2*
|0 Jo
2«
Integramos por paites: u = x du=xdx v=JCos(joc)dx=’ 6
6 1-1
i 1 ü .'.fv\LlilS MATCyATCÜ II
6
3 “ ........ •.rru aom
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En el esquema:
■— (-)■" 2f*1i f|oJi a2« .°*W 2* rc|_ * 2¡l*
2x>
2s 2x» 2*1 2t>
|= E Í > H ^ i= ]T » s « (x + y )f d x
d) £ j V ’dxdy = £ e ^ d x
(e™ -e ’ )dx I = £ x[Sen (x +x) -Sen(x)]dx
I = r ! ( e * - e ' ^ = — -e í |2=— -e* — + e =— - — -h J’ V “ 2 |l 2 2 2 2
* r r — í ¥ l”
l=j;x[Sen(2x)-Sen(x)}dx
* - c ^ =>du = dx v=J[Sen(2x)-Sen(x)]cbc=-^Cos(2x)+Cos(x)
■HMK-iMh !( ¥ ) l = -? c o a(2x).xcoa(x)|o * - j f-[cos(x)-icos(2x)]dx I = - * Cos(2«)♦«C c 8 (* )-[s «n< x)-l S«<2x)]* I=
I = £ [Sen (x )+ Arcsen (Sen (x))]dx = Jf [Sen(x)+x]dx
♦<*■<•>-'*T"!7!
(| )
*—Jsen(ii)
Sen(2*)l *
Calcular JJDCoa(x+y)dxdy, sobre el trapezoide definido al conectar mediante re los puntos: (±*,f}y(±f,C>)
©
Calcular JJDxCoe(x-t-y)dxdy donde D esel triánguto cuyos vértices son (0,0), (*,0),(n,*)
r 11 S0LUCI0NARI0 ANALISIS MATEMATICO III
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En la gráfica: \
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jrj(x, + y )d x d y = j^ ¿ i (x*+y)dyjdx
L '
l.
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” 2
La segunda recta: y = ^x
l = |^, j^*TCos(x+y)dxdy=J^i,Sen(x + y )2
- í H
- t
)*
- M
- s
l
dy
2 _y
(2 1 3 ] . 1,7 4 loj
|= r [ sen( v - V y ) - Sen(y+| - y ) } i y
1S 3 28 JO
_ 150-8« _ 66 _ 33 280 280 " 140
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= r [ sen( 2y+i ) - sen( i ) ] dy - n
^ H
j v
,- í [ K H W
á * “ ( i >
*
#
l’K
H
- n
r
I = 2sen(2y )-y | 2 = 0- í = - | Calcular la integral doble |J^|y-x*|cb(dy, donde D:|xjs1; 0 s y s 2 Calcular || ^x* tyjdxdy. donde D es un dominio acotado por
parábolas:
M a r~ rrr " ■
y=x\ x = / [x - y ; s i y < x
B
-----------------------------------------------------
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-y d y + J’ >/y-x, dyjix
o
Evaluar Jj)x’ +/|dxdy, dondeD: Oáx ; OSy ; x+y=1
-ín -H ^ r^ -íL ^ íM T -
r
,=IT(x,+y,)d^,{
Calcular la integral J£ y1e*dxdy, donde Resta limitado por x= y*, x=4/, x=4
i = j ; ( x , - x 1+Í
©
1 ^ ) :1x = ^ - 3 L J Í ^ 1 o = 1 - I - o +1L = 2
í
a) JJo(x> + / jdxdy donde la región D está limitada por las rectas y = x; x+y=2a; x=0
N ; JJ/ e wd x d y = | ^ 0 y ^ d x jdy+J*jj'¿1y Ie’"dx]dy
Los limites: y = x ; x+y=2a ; x = 0
*
=j^(y*cv - y ’e’' )dy+J’ (yse*’ - y seV }dy
_e^_e+ 1+25g,_e M_3e4 12 3 + 4+ 32C
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=25e'_5Ü_£l_£+I 32
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| SOLUCIONARIOANALISIS MATEMÁTICO III
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SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO NI |
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0 £ x£ 2 ; x* M á y S I l = ío íí(4- y )dydx ame» 7X4 (Za-x^la aa< 7a« (2a-a)* I6a‘ 2a‘ 7a* (2a-a)* | 16a- 4a* 3 12 12 |o 3 12 12 + 12 “ 3 12 12 12 " 3
b) JJo(x+2y)dxdy donde la región D está limitada por las recta y = x* y = x1*
0 gráfico:
H
2
32J
v. 2
160^0
3
J()Va, +x’ dxdy donde la región D esta limitada por las curvas: y* -X a =a’ , : Los limites:
0£x£l ; x’ S y íx "
=0 (y>0)
Calculamos la integral:
l=jjí(x+2y)<*líx
Hh+vf>
OSxSa 0 s y iV a ' + U j o* J ^ V 7 7 7 d y d K
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.s + i-i-i-i 5 |o 5 2 3 5 20
c) JJo(4-y)d xd y, donde la región D está limitada por las curvas x* = *y
= Io' l = J^VaJ +xIVa' +x'dx = £(a’ +xI )dx = a,x+-^-|“ = aí +-^- = -^ -
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Q
Calcular la integral J^Jydxdy, donde D es un triángulo con vértices 0(0,0), A(1,1), B(0,1) A = 0 - 4 A r e s e n (0 )-^ p ------4Aresen(-1)=^2n-^ ju* O
Calcular el área de la región limitada por las líneas x = y*-2y,x+y = 0
los limites: lá y á x ; O s x á l Integramos: |= j ’j ’ydydx=|^|\tc Los límites para integrar en y: O S yS l / -2 y á x £ 0
A= -yl-y)<*y=£(y-y*)dy A = ii-¿ r = i-i= 2 u * 2 3 10 2 3 6 £ ) - Calculare) área limitada por la línea y* = 4 x-x, ry’ = 2x (fuera de laparábola) ^ T ] Encontrar el área de la región en el primer cuadrante acotada por las parábolas x*=4y , x*=8-4y Limites: 4x-x*=2x x ( x - 6 )= 0 ^ x = 0 x=2 V5x £ y S ■jAx-x' (2 regiones)
SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
Gráfica: 4y= x* => 4y= 8-x* => x* = 8 x -)
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Límites: Integración sobre el eje X.
A=íl/y dxdy=2L,ííftdxdy=2f'y| ^ r A = 2|o,^ - y ! - 1 ^ ] d y = W 4 - y ’ +4 A rcs e nQ -2 y+X-|*
A =0+4ArcSen(1)-2 +| = 4(|)-4+i = ( 2,-| )u '
1^) Hallare! área de la región encerrada por las gráficas de x* =4y,y! =4x,x+y=3,y=3 0
Hallar el área de la región limitada por las líneas y ’ = 4 (l-x ),x '+ y ’ =4 (fuera de la parábola) y*=4x x+y=3 => 4y+y* =12=»y=2 ys>6 y=3=>x+y=3=>x = 0 x'=4y y=3 => x=±2>/3 A = ^ d y d x +^ d > r t c
A=í^(34 )dX+í"(3-X-ft/í)dlt
“K L rH m y* = 4(l-x)=*x? +y* = 4 =>x*+4-4x=4=>x(x-4) = 0=>x=0 x
-[-6 ^ 3 + W 3 ] +[ 3 - ; - i ) - 0 = [ - la^ +2]u -
x = 0 = »y = ±2 ; x= 4 no es posible Limites: Integración sobre el eje Y: -í£ y £ 2
0
Hallar el área de la región acotada por las líneas: a) y=x*+2,y = x+4
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SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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A=e?-e-2Ln2-ln1 + ^ A =e1-e -2 lji2 + i-1 =e“-e -2Lnfi+1 y = e’ y+1S = j¡* .
y==.-x’
x=i_-2
x =2
A=^CdídK
y=;nj
A=jICG “+s,)d!t=e’+T|i
LoGlímitES; xl -12=|xj=>|^'I-| s(-1 2 = íl^ x = U l-; y -A El área Calculamos el lado derecho y duplican™ par simetría:
A = ¿ + * - * V * = e * J$-e-=
A = e £ £ _ ijdyifc =Ejj|*_11dx = s£ (k - x1 +ls)d¡E
Hallar el área de laregiAn plana limitadapar la parte de arriba por í í + y ^
3
= i &J ® +4a= « , í n , 3 3
parte debajo por y = ií
^ + y t =a=»3Í + it! - 2 = & (3Í + £)(3t*-l} = 0=» X = ±1 A = £jJ
^
dydx
Cumiar el Srea dE la regián del plano XV, acotada por loa gráficos de la a = yí rx + y = 2 r y =0
T
J Q -
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v = 2ja7 e'( x’ - y !)dydx >í 1 1 1 1 'i-ol'" 210-63-15'|
Q
Calcular el volumen del solido cuya base de la región en el plano XY acocada por las curvas y = 4 - x \ y = 3x y cuyo techo es el plano z = x+4 / , el cilindro
x* +3 x-4=0
y = V x ,y los planos x
y = Vx, x+y=2
(x + 4 )(x -1 )= 0 = »x = - 4 ; x=1
v=j;r (x+4)dydx V = £ ,(x + 4 )(4 -x ’ -3x)dx
V
=íl(4x+16_xl_4x*-3x' “12x)dx
V= j l( l6 - 8 x - x a- 7 x * ) d x = [l 6 x -4 x '-^ -| x 3j ^ = ^ u 3
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraleioide hiperbólico z planosz = 0 ; x=3
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v=/:rxydydx
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(£ )
Hallar el volumen del sólido en el primer ociante limitado por x+z* =1 x= y,
0
Calcular el volumen del cuerpo limitado por lassuperficies x*+4y*+z*1, z = 0
Como
x*+4y’ +z=1, z = 0
^ x ’ +4y*=1
x+z* =1 x = y , x=y*
7^! v = t f (V n -x )d ^ V = 2j'V Tó c(V x-x)dx Cambio de variable: x= Sen(fl) ^ dx=Coe(0)d0
V = < [( ^ )-x ^ } u* = l - x
=>
X= l-lí
:= l u = 0 = 0 U si
v=a®-(x,-xH_2^(1“u,)^?(_2udu)
x=1 =» é/= n/2; x = 0 =* <¿=0 V = i|^',(Cos,fl)3'1 Ccs0d0 = Í£ " (C rf0 )* do
V=13J»r I,í ^2 JJd°=i f( ' +2Co62"+CQ9’20)d0 v ' \ 0+,
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SOUJCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
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SOLUCIOMARJOANALISIS MATEMÁTICO DI
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O b)
Hallar el volumen del sólido indicado e¡ tetraedro acotado por los planos coordenadas ye) plano 3x-i-4y+z-2=0
0áyS-ÍV30-9>í .« ¿ s is v = J ? í r (2 - 3x- 4y)
» -rp í v=í:
3x* 9x> 4-l2x+9xg]
■f8-12x-l2x’ ♦ISx3-4+12x-9x* 1
=30-9x'=» du = -18xdx ..0 .U .3 0
( ” )-0
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, fc3yü(' diA 5 JÍO iflO Í ÍÍÓ u« S HÓ S /To J” 4 { 18/21 3 4 U J ” V 3 "s 4 p 7 Í)L + 2\ 3 4 ^3 J 6V? 30^0 5 fÍQ 5>/5) , 36 + 2 \ 3 " 3 “ c)El sólido del primer octante limitado por la superficie g*1+ 4/ -30 y el plano 9x-i-4y=6z
Hal lar el «¡Jumen del solido limitado por las superficies z = 4-y* ; y + z = 2 ; x=0 ;x=2
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
1
SOLUCIONARtOANALISIS MATEMATICO III
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v = J .Í« + f + 5 ü ílf T - — ííf i -J L u 1 4&{* 2 8 i ~ 4 « U J"32 v ^ -y -a -y )« * *
Hallar el volumen entre las superficies x! +3y’ = z ; z = 4 -y ’
i: x*+3y, = 4 - y , =*^-+ys=1 = »-1 á y á l ; S y j l-y ' á x s a / l -/
JÍ + / - 4 r’ =rSenrt =»r = Sen0
f -
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v -rrV ^ H * - r n - -rsenö)rdnw=/»(7j i senö]7dö
V = < [ 4(1- y ‘) x - j ] i
dy -4 j|s(i -y*)1"
J*y ~ f Jfti -y*)w <*
Hacemos: y=Sen(0)^dy =Cos(tf)d0 ; ,/1-y* =Cos(í?) Siy =1 t* 0 =3 ; y=0=» 0=0
v=j.^-S^2)dfl=:i|(Serfí).dfl v"T
I SOUJCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
JTt' *ac“ (2"
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O
Calcular el volumen del solido limitado por las superficies z = x* ; z=4-x* ; z = 4 -2 y ;y = 0 s y= 2 x, y=2x*
=»2x = 2x, =»x=0x=1
Oáxál=» 2x’ í y í 2 x = » 3 - x - y £ z s 4 - x - y
v=JX(4-x-y-3+x+y)dydx=íóCd>rt{ x* áz£ 4-x *
Q
Calcular el volumen del sólido en el primer octante acotado por loe planos coordenados y el plano 2x+y+z=6
V=J^*^16-4x*-8 + 4 ^ ~ y - 4 x* + -^ J dx
v=
£ )
S: 0SXS3 »O á y S 6 -2 x = »0 á y á 6 -2 x -y
Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies y = 2x, y = 2x*, x+y+z=3t
n
£r*(8-4x,)dx=8,1
x+y+z=4
SULUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
SOLUCtONARtOANALISIS MATEMATICO III
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j^’j ’ líjídydx ,
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Integramos por partes: u=x+1
O sxs- x íy s 2 2
=> du=dx ;
**
l=J^senydy = -Cosy{* =0+1 =1
v= J e“*dx=—é“*
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u _ ü i ^ y )_ a íi^ j +Sy| e _ _ U i^ £ j_ Sifl^ ) +2e+U ^ Ó }+ íü )() >^2 12 8
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t=j;Sen(x)dx=Co8(x)|o=1-Co8(1)
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l=0>11,dx^=JÒTc>dx=Tt
Cambiar los limites de integración
a)£jfffay)«*“*Oàysl,yàxsVŸ |= j ; j ; , (xty)dydx
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SOLUCIOMARJOANALISIS MATEMATICO HI
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y*“ lfix S T -V S s x s V a
OSysVl-x’ -l£x£ x*y*=1
,=í.'iSf(x'y)
y* = ,= J L 2y’ =2=y* —»y = W 5
l=íX^f^y) ^ +DvTf^ y)dydx+0 ^ f(x'y)dy*c Loslímites: v'4x-x’ S'/ l6 -xs , Oáx:£4 f(x,y)dxdy+|’J ^ ^ f ( x ry)dxdy
xáyáV2x-x*
; 0SXS1
(x - y f +y«=x* u J T j^ M d x *
h) J' e) £ £ “f(x,y)dydx
,
£
f(x,y)dydx
2 x á y á 6 -x ; Oáxá2 -3 -V l2 + 4 x -x* syá3+Vl2+4x-x* -1 £ x £6
h> Í Í 0 - . f (x-y)d)aly
SOUUCIONARIOANALISIS MATEMÁTICO III
1
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De donde: I=J'"£
£ )
J x '+ y’dydx
Representar en una sola integra) iterada a la suma de las integrales | 7 jj f (x, yjdydx +
(
*
,
y )dydx
O á y á x ; R ^ y á ^ y ’ +x*
* nuevos límites para integrar en y: 1s y £ 2 ysxsy*
u = y => du = dy ; v * J C o s J ^ d y = | s e n ^ )
1 1 jdydx+^ sen(f 1SXS2 V x £ y £ x
2 £xá4 V x S y s 2
Graficamos las regiones: Cambiar el orden de integración escribiendo la expresión dada en forma de ur integral iterada de segundo orden. SULUCIUNARIOANÁLISIS MATEMATICO III
1
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WROOESPINOZARAMOS ;
b) ]t’ji'‘f(x,y)dydic+j’ |i’ - ‘f(x>y)dydx
a>
l= 0 / f (x ,y )d y d x + 0 / f(x ty)dxdy Los límites son:
Los nuevos límites para integrar en y- O á y s l
yáxs2
0 £ y £ t ; ^ £ x £ y ; 1 íy í3 ; ¿ í x s l Graficamos las regiones: c)
L X f(x,y)dydx+^|t « f(x,y)dydx Los límites soit OSxfil ; O á y s x’ ; láx £ 3 ; O s y s -
Los nuevos límites paia irvtegjar en » I sxá-^ ; x í y í 3 J x ±Sx«£l ; i s y s a ^ ^ u j ^ f ^ y j d x d y
b>
í^ y ^ íT ^ y )^ Los límites son: Oá xá í ; O á yá x ; l£ x £ 2 ; 0á y-£ 2 -x
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93.
Hallar el vak* de
(x* +y')dxjáy+|i^ | ^ ( x ' +ys)dxjsy
, - ^ 4 . y » ) v + i ^ î ÿ l + y* (* -y )]ir
1=í^ Los nuevos límites en y: 0 á y S De donde I =
(x,y)dxdy
+i.V-y1)^
l= ¿ _ o + - L + i ¿ - ¿ | 1 = J ! + - L - 3 - + ? + ^ - o - J = 5 - 4 - i = 3 12 3 4 |o 3 12 3 3 3 4 12
0 ä x S ^ y , +4 jm. (J l
r*Sen(x)
Sea M=£-— dx, calcular en función M, el valor de:
e>
los límites: O s x s l; OSySxM ¡ l£ x £ 2 ; OSy £1-V4x~x* - 3
s: y+läx2A0äySl 2sxá4 AO syál y+1áx<4 a lSyS3
l=í.’Cf(^y)^+niíc^ff^,y)dxdy I SQLUCIQMARIQAUAUSISMATEMATICOIII
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, = j ,r
Scn(x) j , j , =
,= j;
^(x-|)sen(x)Jj'
<*=j - ^ x y x - x ) ^ .
■ --< M * )£ = C «(1 )-C o .(2 )
o
,.c-(,)-c-(4)-f5=aí O
Calcular
í*Sy,d)rfx+ríry,dydx
. jV Í^ f e íiM r Las Kmrtes: W 9 Í9 x 5y5V9+9x x-3sy£v9+9x -IS x á O
O á yS 2 ; 1 á x£ y ;- £ á x á 2 ;
0SXS15
2áys:4
k is nuevas límites al cambiar laregión de integración hacia el eje y: -1 s y s 1 2 ; y + 3 s x s ^ ?
Ahora se integra en V los nuevos Ifmites; 1 s x í2 xáy£2x I SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
;
-1SXS12 ;0 S yá 1 5
, = 5184+2 3 0 4 - ü +36-iZ =7524-5535-«
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De donde los limites sort Q
Evaluar la integral doble jJe''*T'dA, donde D es la región encerrada pon x* +y* £ 4
0
á
r s
2
C
o
s
; dA=rdrdí>
I= - J ,^ 4 _ 4 C o s , (í?) - 2]dO =
ic*+y* =^x* +y* S4 =*r* = 4 ^ r = 2 De donde los Ifmites so 0srs2=»0á
,=n.v,* w=ir*“Ud<,4íe<' e‘)<'lr=i((e'"i^ )=;ríe4‘ 1^
Q
[2 - 2^/l-Cos*(0)jdí7
Calcular JJ e*'***dydtx, donde D es la región acocada por las circunferencias: x*+y* = 1y x*-t-y*=9
Si transformamos a coordenadas polares:
x*+y'= r* =*x*-t-y*= 1=>r* = 1=» r =1 Calcularjj------
— , donde D es el reónto dado pon x* +y* -2xáO
-y*)’
Si transformamos a coordenadas polares;
De donde los limites son:
x* +y*= r* z* x*+ y ' S 2x
1Sr£3 => 0 ¿ i) z 2jt ; dA=rdrdtf
r* =2iCos(0)=>r=2Cos(¿?) x, +y, s 2 x = » (x -l)’ +y, s l
I SQUJCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
x*+ y' = r! => x!+y ! = 9 => r* = 9 => r = 3
B-
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]Z j I
Calcular
’W )
De donde los limites son:
, donde D es el anillo: 1Sx*+y, á4
___
O á rSl =»0
dA=abcdrdtf
rr / rVCos’ (0) r’b'Sen'fo) ,r ,------l = Jj J t ----------■^~L J ---------^r -^abrdrd
■— T
xt + y * = r* ^ l£ x ’ +y*£4s*1sr*s4=>ls;r£2 De donde los límites son:
O
^ —-fC -H r-T ^ '-T
Calcular la integral doble jjxydxdy donde D es el dominio limitado por laelipse:
1SrS2=»0Stfá2.T ; dA=n*dtf
1= ff
í y +-5L = I y situado en el primer cuadrante
= ("
JJ(x*+y’ )*
(r*)*
= raCos(0) y=tbSen(0}=
De donde los límites son: O Evaluar la integral doble j j J Í - ^ j d x d y a>0,b>0 donde D es la región limitada por
O£rá1=»O£0 S t /2 dA=abrt*dy
= JJ[raCos(0)][nsSen(0)] abrdrdo = abjj r’Sen^dr& J = - y - j | r'Sen^Jdrdtf
Si transformamos a coordenadas polares: , = j £ £ h _ 1)=¿ ¿ 16 k ' R
SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
1
SOUUCtONARJOANALISIS MATEMATICO III |
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De donde los límites son: -,a > 0 , b>0y D es la región limitada por laelipse:
Osr£1 =*• 0S(/S,t /2 ; dA=abrdrd^
,
rfxy/dxdy _ rf rCoe(íJ}rSen(í/)abrdrdr.' ~
Vxs- y ’ ~
, abj-t“ 3 •VCos1^ ) x = raCos( OI y=tbSen(fl) =>r a
Cos(í/)Sen(í»)d
-*
HCos^JSen^dd
|l
T ^ C o ^ í p ^ S e ñ ^ T ) _a *" 3^a’Cos (íí)+b Sen*
ab|-< ,= ^ J »
Oárá'l=> Oá0á2x ; dA=abrdrdf>
^ 14
r'Cos(tf)Sen(tf)drd(/
r'bsSen’!(¿>)
De donde los límites son:
■= f] , "
-
y aVCos*(í/)-*-bVISen*(tf) ” 3 " ^ ^ [a ’Cos^tfJ+b’Sen' (<>)j
Cos((/)Sen(tí)díV ^ .A t n 'l^ b W ^
i=i(^ > /a,+{tf-a,)^ H o /2- i ( ^ ) ^ +(b,-a,^ n,Hw2+
= jj . aMrd°______ ° i'aVCm^iy) ¡ bVSen’ (f<) ^^
/2^ b ) ^ +'b’-a,)Seí',(í/t/2
1= abjf ,
rdn^ > — = abJj- 2 2 = = abí*V T + ? P dtf D ^r, [Cos'(í>) + Sen* (
iL, donde D es el disco acotado pon
4+4=< 4ab(b-a) 4ab ' = 3
Q
Calcular Jj(x*+ys)dA, donde D es la región limitada pon x*+y*= 2x. x* +y* = 4x,x* + / =2y,x* +y* =6y
H
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
¡ T g --------------
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a u « ,X , « * » « « o s ;
De donde los límites son:
= rCos(0) ;
y=rSen(ö)
¡ x*+y*= r*
x*+y*=2x=>(x-1)*+/=1
;
x*+y*=4x=>(x-2)4+y*=4
^ +yt =2y=»^-K y-1 )* =í
;
*?+yi =(tx=>x, +(y-3f = <)
Si restamos:
+y* = 2x ;
x*+y*=2y =>
X*+y* = 4x
; x*+y* = 6y=»
x’ +y*= 2x
;
x*+y*=*x;
j? + f = by
x*+y* = 2y=»
2Cos(8) £ r £ 6Sen(6)
=> ArctsC1/3) £ Ô£ Arcts(2'3)
2Cos(8)ár£4Co5(6)
=s- Arctg(2í3) á 8 í x/4
2Sen(ß) S r á 4Coa(0)
=> n/4 S 6 á Arctg(2)
1■Q'ícr,1''"” »*íLfi¡Ci,'‘d,°"* *rc > *
y = x => ü
3y =2x=»TS(tf)=| =»
3y=x=» Ts (ef)=i
r C
! *
y=2x=*Tg(tf) = 2 1= J^^3 2 4 S e n * (0 )- 4CoB‘ (tf)]dö+
-JiLgf640“ 4^)-40”4^
I.
- ltfiCos(S#)+81Cos'(S^—1+ 2Cas{2c<)-Coa22*tí^J
+Alttg(23).T41S1+20o«a*+CQsai2«lf>+|,'TO|,,15[l+2Cas^)+Cû8,(2ii)]dÿ
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□
G -15Ajttg(2|-
I= J ^ V [ 80- 160Cos(a?)+ SOCos*(a?)] dtf+
2 is.? 15Sen(^)Coa(^)[CQ5, (<0-Sen8(tf)]|Ajrq:(2)
-y » ) +150+15Sen(2tf)p ^
+Cos(4¿>) jdi>
'T , 2260 11 45Arots(2) 15Aras(-T/4) - 1 169+T + 2 2
0
,-— - « j
Calo.larjjv'a'-x’ -y'dydx, d (x«+ / )= a -(x '-y * )1x Ä 0
(x’ -t-y*) =a’ (x‘ - y ‘ ) ; Osxsa ; x=rCos(rf) ; ysrSen(tf) ; r!=x! -t-y*
De donde lo6 limitesson: I= £
-i5 A itt* f-l - Æ 13
'‘ M 8
l)
i^ M c o - W f c t r f W - s r f M l 2
SULUCIOlNiARIOANAUSIS MATEMATICO III
2
- r ’ldrdW
(3C3 ’ 1
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j l- a ^ c°s(#^ ) ^ =-cc- (^ . (»)vr7|^(g)
= ^£ (& /2 S e n 7 > -l)d 0
i.4 í/a -c ^ s 2 U
I = - £ Coe(¿/)Sen* (
( Q Evaluamos
W
------- _
donde F es la región limitada por la ci
J.J V4-x*-y*(x*+y* f ©
Calcular
^¡dy; D es una parte del anillo elíptico limitada por las
iCos(o) y=rSen((/) r’ ^c'+y* x*+y* = 2y => x '+ (y —i)* =1
Si transformamos a coordenadas polares:
Límites: r*=2rSen(t/) r =2Sen(0)
/ . r'a’Cos* (O) rVSen’ (0) x = raCos(0) y=rtfien((?)=> , ' + ^ = I =* r = 1
; 0Sr£2Sen(6)
r » a W ( 0) , r - a W ( g) _ ^ r _ g
fetfs* ; dA = rdrd»
l£ rá 2
rCtas(tf )[rSen(tf)]’ rdrdí/
U
,
4t?{*r— =ÍA
g f ll SÜUJCIONARIOAMAUSIS MATEMÁTICO III
r,Co6(í>)drd0
TT^v“
=>
0 s w s ,t /2 ;
dA =
ííf 4_“í— (/**(fSen<>;rCas«)abrdr|d¿ =abJ^||*f(rSenO,iCos0)nlrJd0
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EEPINDZAHAJV1DB "
©
- r r ^ — rrvR—
I jnj£
Ln^1-1- 3f" -i-v^ ^fydK Calcular Jn'J^1"V Vsí+y’ dxdy
Los límifea: Ü£ x í í
yW R '-x* =*>? + yl =R* =tOSr£ R jtlá r^ H ; O s A i i 1=
y=i/+-y1 fisysa B=fCos((í) y=iSen(¡y); i^^+y1 OedondEkKlím itesaan:
Jn Ln(l+ r5} rdrdfl Integramos por partea:
F
J
J
ÜSrSE
=t
S ; dA= Fdrdfl
I=
= j ‘ " J "Vdntf
3|ü
o
Calcular
y = Jí -jí
; O ix S a ; k = rGas(fl J ; y = iSen^jí J ; i 1 =3Í+yt
De donde loa límites son:
3 |Q
e"^"1 -'cixif/
y = t j i - y 1 ; O s y sS j x=rCbs(tfJ; ¡^=rSeri(fl)j r W ’ +y*
De donde los limites mrt Ü S riS
Q S rS a ^ -
3
_
Qzt i í x/ S
- dA= pdrdÜ
O:S0£W2 ; dA=ndrdíí i =£ , £ J 7 - ? r
i
M
S
ÍE = ^§ ( i - O
í
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©
Calcular
-x*-y'dxdy
=J''*^-Secfljdö=Vl-1
Graficamos y transformamos a coordenadas polares:
O c^ |H T ^ Sen(x,+y’)dxdy
y = ^4 -y* ; Os y £ a ; x=»Cas(0) ; y=»Sen{¿v) ; i’ sx* +y*
x = -/ l8 -y ’ =»x’ +y! = 18 ; x = -y ; 0sy¿3 De donde los limites son: O£rá2=»O£0£*72
;
De donde los límites son:
dA = rdrdO
0 sráVÍ8
;
; x^Cos(tf)
y = rSen(y) ; i>=x*+y* ¡ dA=rdrd//
+^)dxdy=14/»^ ^
l= G
1.)]
Calcular/;]^ * ± .
Ç
Calcular
dydx
Graficamos y transformamos a coordenadas polares: y = J y x=y ;0 £ y S l ; xaCœ (í>) ; y=rSeni) ;
r 's x ’ +y*
Graficamos: 0Sxá2a ; 0 S y Z < /2 a x~
De donde las límites son: 0 s rs 2 ; y=x* =»iSenfa)=r*Cos!lto)=> r=
Cos’ (0)
; dA =
û T Â -rtC I SQUJCIONARIOANÂUSIS MATEMATICO III
SOLUCIONARLOANALISIS MATEMATICO III |
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=2arCosW =>r =2aCosf>
M limites en: y ' =2ax-x*
I= £
>/l6-x*-y’ dycbc = £ j ^ ' V l ô - r ’ rdrdtf
,=f^2|rn(0)d"=ift,6-i6serf^r-«M H ,=-fir{[cQs‘(®)r-,)dB=fi:[|-coa,(8)]d9
=
_ £ [Costf- SenVJCosô] dôj
Graficamos: -2 S x á 2 ; 2-V4-X* S y S 2 + V 4 -x ’
£ > Calcular JJJJVx’ +y’ dydx
Graficamos: 0 £ x £ l ; O s yâ x
» (y -2 )‘ = 4 -x ’ =>x*+(y-2)' =
Los limites en polares: x* +y* =4y r = 4Sen(tf)
; OSi/S/r
SQLUCIQNARIOANALISIS MATEMATICO III
~~cJuyjm t-aam
SOLJUCIONARiOANALISIS MATEMATICO NI |
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lites en polares: x = 1 =* rCosfO) = I
: OSr S— : OS CoB(e)
i= r* rV drde = f'^|1de=-?|,,= ^ J dJ» J» 9 0 90 9
,= j,'/*'/*' V*d y d x = V ? n*d0 Q
Calcular la integral doble JJr—
- sobre el disco circular
(a*+x* ■► y’ )*
■ - r r w r ^ fe - - jr s J H -
F={(xry)/x, + y 't R '¡ Determinar los valores de V paia los cuates J(a,R) tiene límite 1=J £ Sec*tfd0 =-i|^Sec¿?Ts¿7^i Lr|Secí( + T ^ |
cuando R->-kc
j(-R) = r(as^+r*)" = r -2(l-a)(a«+r * f I»
fc/5+Ln|V2 + l| =
6
«■j'jf* V(5c*+y,)d>dx Si R -> +«: 1-a¿0 =>a£l Graficamoa:_lsxSl jO S y á V l-x* Evaluar la integral SOLUCIÓN
s b '-x ’ s^x’ +y’ sb* ;0£x£b OS0á— ; 0 á r
%
-C ^ X
'=/’jf7>í(x,+y*)7 =Jo7a’>/öTrrd,de=L7ÒrTl SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICOiI T g
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i»
3Sen* (0) fO)
b1 r;CosJ(8)-1 3 J “ Ser’ (0)
»*■
3Sen’ (0) í0t
^
2xy(l-* ]F j j p
^
2tJSen(0)Cos(0)(l^Co6» ( e ) ^ j
b3 ¿ d0 bJ p, Cos*(e)Cos(8)dt " 3 * Sen'(0)_ 3 *> Sen*{0) I= J¡*£ 2Sen(0)Cos(0)( I - r^Cos* (0)p rdnri»
,.j£ ^ .¡£ ítf !iS £ !!te f i2 3 3" Sen (8) Hacemos u=l -i*Co^(0) ^ Sen(0]fi =
b1 b3[1-Coa*(0)] b1 b5 Sen(0) [ i b3 b’ 2b’ “ 3 ' 3 Sen(e)[l+Ccs(0)]= 3 ' 3 l+Cos(9)r = 3 + 3 = 3
„ 2yxrSen, (x)-x*+Cos’¡íx)TI Evaluar la integral JJr---------------x’ Ty*------------ - ^ — dK siendo F la región ai por la curva x £ 0 ; yaO y x '+ y ’ - l s O
^ E 2 ¡2 ¡d J W
Los limites s» xsO, y £ O=» primer cuacfrante „ * _*f,2yxrSen, (x)-x*+Co8'(x)T* O S 0 S - ; OSrál ; |=pr — _L------- L± ----- ----------- — =-rdi 2 ’ Jí J. x '+ v ’ I SOLUCIONARIOANAUSIS MATCMAHCO III
du = -2rCos’^dr
Sen(0) |;
_ J rfSen(0)[Sen»(e)J» 3J« Coa(B) Cosío)
“ c^Sf Ln[Sen(0) +Tg (
g r f Sen(8)SenJ (0) 3'» 31° Cosío)
2 - [Sen*(8)^ 3J" Cosío] Cos(0)
2 r f[1-2C°a*(0 )+Cos4(0)] ^ 3 '" Cos(0) 'Cos! (
Cos(0)
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i — t O b M " 3 Sen(tf) a: l-C o s » 3 Sen(tí)Ll+Coa(6i)] Los limites: y = V l -x ’ ^ x ’ + y ’ ^ O s r s I ; O s x s -= v2
; O á rá l ; I=Jj£Vr*rclrd¿l
Q
Calcular JJfLn[xy+ x*+y*+ xyCos (n )]dxdy, siendo F la región en el primer cuadrante entre las circunferencias: x* +y* =a\x* +y* = b*,con 0
■ = jJjV < w *
t"í L^"í {h Q
H
Calcular la integral doble £ £
v a*-^ d y d x
-y * = »x t +y*=a*=»Oáráa ¡ ^ + y , = a’ tx’ -t-/ = b*=»asr sb ; 1= J* |‘^a! -r*Sen* ('i) )rdrd0 = - j*
3*
Sen’ (
y -r w p r f u
x1+y* =i* ¡ x=rCoa(tf); y=iSen(0); Cos(n)=-1
3Sen*(
,* - ¿ p A0 á0 aJ p C o s V )C o s M 3* Sen’ lVl 3 *•Sen’ ítf'l {« )
1 = j'ui^xy+x* +y*-xyydrd¿> = j^J^Ln^x'+y’ ^W O l= j^ j'bln(r, ydrdí/ = 2|^Jhln(r)dTd¿/ integramos por partes:
p 1-Cob* (o) 3J» Sen*(tf) 3 --------------J
3 J*
¿ p_d£_ 3 « Sen*(tí)
_ £ r ;c° 3t (/y)Co6fí) 3 JSen*(tí)
u=ln(r)=»du = * v*Jrdr=.£
Sen5(y)
SOUJCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
SOLUCIONAR« ANALISIS MATEMATICO III
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1 = -^ f Sen* (fl)Sen(6P)dfl=-^ [ ‘[l-Coa* (fl)]Sen{o)d0
f t orno una 9ola integral y evaluar (a > 0)
Hallar el volumen de sólido limitado por las superficies z =x+y,xy=1, xy=2,y = x,y=2x,z=0(x>0,y> 0)
JXmrf* +y,)',d«Jy+fJCT(*+y*)’ < *”* Determinamos cambiando las funciones dadas. Paia ello efectuamos las si;
La ecuación del circuito: (y-a)* -t-x* =a* 1 OSxSa ; Mía' -x* S yáa OS xáa; a£y£a+Va*-x* Pasando a coordenadas pola
=j_ _L=_L
O
x*+ y* = 2ay => r! = 2aiSen(0) 0srá2aSen(/>); 0 s
Una 9ola integral: I = J*Jo"a"*l '\/7'rdrda
WS-l a/2-l~L fft/á-Q2 „/-Í2V2-1>|2 15r =1 3 j ^ +a^[ 3 J.
-rp - r e
SOLUCIONARLOANALISIS MATEMATICO III
T
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(T t
Hallar el volumen de sòlido limitado superiormente por el cono: z = a-yx*Ty*,
(f t
Hallar el volumen del sòlido limitado superiormente por la superficie x" +y* +z* = 4 , inferiormente por el plano XY y lateralmente por el cilindro x* +y* =1
inferiormente perei plano por el cilindro x* +y* =ax
x* +y*+z’ = 4,en coordenadas polares:
; O S rS l
V = 2 £ '£ V 4 -r ! rdrd0
V=|(8-^/3)(2«)=±i(8-3V3) V=2Iaia
v=2j i r ‘")(ar-r,)dfd"
j
fTT
m
X1 Hallar el volumen del cuerpo limitado por las cilindros x + y = R ; z = _ ; yel plano2=0: xSO
= 0 , pasando a polares:
v=Cí> = «
(rcosfl)1
v - r fi- r r ^ V = 2 j"’ £ j C c s I0drd0
^j^c o s ’ 000
v=S 5a ^
B
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3 Jo
5a ^
3,1 15a
1
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j Xa z* Hallar el wJumen del cuerpo limitado por el cilindro elfptico +¿~ = I ; y lea ’ a’ +7 = planos y=—
V = i J V +2x’ + x + x - y +2x^l-(x-1)*dx
; y=0 ; z=0 (x sO)
v=s[l
Polares elíptica
V = j | l ~ ^ l ( X ¡ 1^
+
( *
- ' ) +arcsen(x-l)|
=>0árs1 OS tfá 2 Oá y ábreos y V=
J ’ btCosÖacrcWiV = 2abcJ‘ '^ C o s d tf
Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies x’ +y* =2x ; z=2-x’ -y* ;
(T t Hallar el volumen del sólido comprendido dentro de la superficiez =xy ; x* +y* =1 ; ( x - y f + (y -l]T «=1; z=0 x’ +y’ =2x-»r* =2roos
V=í.’lS^T
=Íaí GW *
4^1
v=í.’l v = i f l x - xl - ^ W
i
, - ( x - t), - x+x( x - ' ) , ]* £
SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMATICO III
A'.vv.*c:!UOcnxcam
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Cos'O 39 Sen2O Savttf 1 9 8 ■* 4 32
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z = a« - ^ - 4 y » - >z = 0
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a, _ x, _ 4yl=0
v = 4 j;r - Í!^ V
Hallar el volumen del sólido comprendido por debajo de z = 8 -y 1, por encima de z Oy dentro de las superficiesy*= 2x y y1= 8 - 2x
^f
|y, =2x [y* = 8 -2 x
2
-* T 8
v=áí.v-*sr *
v =2/’j y (8 - y ’ )d »ly =2j*(8x - y V ) J ^ dy
V = 2 j; 4 ( 8 - / ) V
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í
x=a4sentf =>
dx = aCoarJ&J
32-4y*-4y*+X.-4y*H X= ° ^ = - 2 V=2j*(32-12y*+y', )dy = 2 ^32y-4y+-^j V
V = ¡ ar
= ^ J»(a’ eos*g f " ’fcCosfldfl = ^ - J Í CcefW
( ' +T
°) d- Í í T (' +2Cos2°+Cos’ 2ff)i0
3 1,2 4 i (2
Hallar e) volumen del sólido limitado por el paraboloide z
12
-« * -4 / ------------— v
z =O I SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
3
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO III
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u= Serví/ ; v=J du = Casttóü ;
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íLn(Senfl-t-Tg0)+-§2^- _J ( ^ ÍL F 1 ’ 2Cosfl aJCosfl],
óV5L
M, = J J y/xbody = f„‘ ( j ” y (x*+y*)dy )dx
v “.-rp T 1''(7 r } - c ( ^ T ^ Calcular la masay el centro de la masa de la lámina indicada para la densidad que se u
proporciona. a) Lámina: triangular con vértice (0,0) ,(0,a),(a,0); densidad í)(x1y)=x*+y’
i f a* a» a’ a»] a^lO-IS+fe+n ’ ~ 2|_ 3 ' 2 + 5 T o J 2 ^ 30 J M =£ * 30
My = JJ xfx(x, y )dxdy= J *
M=i:r(x*+y,)dydx
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x (x* + / )lydx
M ) u=x
I SQLUCIQNARIOAftóUSIS MATEMATICO III
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„f2 ^ 2 I n_6k [7 15 *5 21J 35 ^
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M, = ¡¡ypdxdy = JJ j^ y (x* +y» )dydx
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60
15
M y = JJx^xíydx = |t’J^“kx (x* + y ' )dydx
(^ H r!) b) Lámina: Región limitada por y = s í, y* = x, densidad proporcional al cuadrado de la dstancia al origen
Datos:
J2 xw y" ( 9
k(x* +ys)dydx ~
I SOUUCIONARIOANALJSIS MATEMATICO III
6
21
24
m» =kfi-J^-_LÍ= ÍLk (9 6 21 24J 504
y = X*; y ’ = x ; ^ = k(V^r ^ y r)‘ M
x» 2xT'* x‘ V
55k My _ 504 275
55k -_ M x _ 5Q4
275
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(TT
Encontrar el centro de masa de una lamina que tiene la forma de una región limitada por lacurva; x* +yi = M de densidad >)(x,y) = x1+y” en cada punto (x,y)
P ü -S ® Calcular la masa de una placa cuadrada de lado "a cuya densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la distancia >nutre este punto y uno de los
La masa; M =J^jVV frdfl = J ^ ^ d í ; -
=2048«
vértices del cuadrado Encontrar la masa de una región plana acotada por un arco de la curva y=Senx,yel eje X, si ladensidad es proporcional a la distancia desde el eje X.
/>(*,y)=ky « = 0 ; ( x * +/)dydx=|o,k ^ y + ^ jdbc
M= í : (r
^ ) d x = kJ ^
dx
/j(x,y)=k(x* +y*) M=jí f Sen2xdx = ^ f 1~C°g2xdx 8 J« 2'° 2 k[
r tj
Sen2x1
br
Calcular la masa de una placa de radio r, si su densidad es
Ehcontrar la masa y el centro de masa de la reglón de la forma de un cuadrado de
la distancia entre un punto y el centro y es igual a ¿> en la base de la placa
vértices 0,1), (1,-1), (-1,*U (-1 l)y de densidad ^(x,y)=|>|
p = — ; k =¿r
M=r(í.Trdr)d<,=<«r^=2«‘'R’ I SOUJCIONARIOAMAUSIS MATEMATICO III
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M=f,[X‘ (*- 'y)dy-j; (y-
(*- y * H l M * ] *
Mx= J^jVj-.drdíy =
J VsenOdrdíV
* =JÍi|¡,Sen0
J Vjdrdfl = |^r’ costfdrdo=
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« -C(> -««)*»í s«*i)*-»-'•'I” , *«■♦*£ M =0+1+1+1+1—0=' =
“l =Í =±
. y =^
=I =
Determinar la masay el centro de masade la lámina si la densidad de área es como se indica. La masa se mide en kilogramos y ladistancia en metras.
“■<"*,1
a) Una lamina en forma de la región limitada por la parábola x’ =84, la recta y = 2, y el eje X, ladensidad de área varia con la distancia desde la rectay = -t
Lueso: x=-j^.= 0 ; y = ^ = 0 => (V y ) =(0,0)
Encuentra la masa y el centro de nasa de la reglón comprendida por las lineas y * 0 . x * + /s1
x 1 SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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3(51!) S(64) M=fcf4 (—--—---—lix )
3
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/f(xTy )= k (y + l)
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3(51B) 123
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xT ^ “ |ZT _ si (sis)_ 5x1(1sa)^Y * l-t íj? M - r f 56s f [_3 El (SIS) 5(1SS)J
[3 Si 5J _
-1
b) Una lamina en fornia de la regifin en el ¡primer cuadrante, limi M" i J .( 8 _ 5 “ 7 ) ± ‘ " i ( * c^ 5 i j ‘ í ; ) í
circunferencia x1+y* = a* y loa ejes oocrtenadoe. La densidad d
E^ 64(5) 12J 15 M ,= xp(x,y)dA=£ l«(y+-1)dydx=|J*x(y+1)j^dx m
=¿ Í s _ 4 _ _ ^ 1 =2ZL^
con lasuma de las distancias, deade lasaristas a rectas.
M= JT j^kCrcDa^ + raEníJ) relFdíJ
x'l + yJ =a*r ^ ( xjv) = k(i!,y)
M=J^-^-| (cos-fl +sen{t)d(t
“■-ií[fc-^T-’J],"in(g-s n r-“}fc
2J% 64 4j E^ 64(6) l&Jü
Mx= - J l a x ^ ¿ - — ']d x = -Í4 x ’ —
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* 4 H(6) 16J 3 M*= Í?Jn 3Í 1<1^ = J?|r( rt™ ^ ) l<í r'c™ iJ+ !Ber,
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V = 2Jo’[ ( 4 - y ,) x-^ ] | V 1- (y- 0 , dy
V=2Í.‘
V = j'ie 'V x
v = f j 0V 1- ( y - ' ) ' ( « + 2 / - l + / - 2 y + l ) d y
dx + |*e''/x^y|^dx
V = ^ V * - ( y - 1f (48+ 3y*-2y)dy V
= J ' (Sx'e* -2x6* )dx+£ (WSVxe* -x c ‘ )dx
v = 8 | ^ l - ( y - ,)d y -| j;, y>/ l - ( y - |), dy-(- | £ y^ l - ( y - 1), dy
Integramos por partea: y= 2 =>6=— y=0 =>0 =
v=e*(x, -3x4-3)j' + j'^ V íV x e 1- xe^dx = e*- e +■J*|aJ Î J x -x^e'dx Hallar el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide z = 4
— ys V = 4 (y - l W l ‘- " (ÿ -, )|o+4arcsen(y-1^ - ^ ( y - I ^ , - ( y - 1/dy
i x*+(y-1)*£l +sene)* Veos* fleos 8dy Proyectando el plano XV ; z = 0; — + / =4 ¿ * ¿ -1 16 4
+2sen0+sen,0)coe* W0
- V l - ( y - ' ) ’ ¿ x á v'l - (y - 1 )’
w r r ( ‘ -T-,')w I SOUUCIONARIOANALISIS MATBMT1CO III
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SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO III
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v = ^ l(2 « )= | (8 -3 y 3 )u >
4 ¿*[1-0« (29)11+008 (2ft)]d0 €
Hallar el volumen del sólido limitado superiormente por z = 1- (x*+y* ), inferiormente con el plano xy,y lateralmente por el cilindro x*+y*-x=0.
v
— J + -L " 24 3 lò [
S e n tili 91« 1 1 \n * 2Sen(«)] 4 J l n ~ 24 3 1ó[2 2 4 J
= 1-(x‘ +y>) ;
x*+y*=x-,[x-lj +
r* =arccs(>-+0 srscostf OS z s l-r* ( £ ■ Hallar el volumen del 9 inferiormente por el disco x*+ (y_i) Si
-M
e por la esfera: x '+ / + z * = 4 , v -* J? i.-
('
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v -r S — -¥ ] •
Hallar el volumen del sòlido limitado superiormente por el cono z*=x*+y*e inferiormente por la región del pian XV interior a la curva x4+v* = 2ax
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(¡y
Hallar el área de la superficie x" +y* +z* =8y y que estádentro del paraboloide y*= ^
^.(O-4)0|jn = 16<2«)=;
+ z* Hallar d área de lafundón dd cilindro x*♦ y*= 4 comprendida entre el plano z = 5x el plano XV. y*=x*+z? ;
x'+ y* + z! = 8 y ^ y ! +yI = 8y=*y=0 ;
Luego: x*+y*+z* =8y=»x, + (y -4 ), +z* =16 La fundón cuya área a evaluar es:z = 5x La función cuya área a evaluares:
=> x =— en una función de y = f(x^).
y = 4+Vl6-x*-z* x’ + y '= 4 ; -2<¡xá2 ; O S z S 5x 2 regiones las derivadas pardales: » a*
x &f_ z V l6 -x ’ - z ’ 'az v'16-x’ - z ’
los límites, pasamos a coordenadas polares: +y* =16; r^4=>0srs4 ; O<í0S2it ; x’ +z’ =r4
Las derivadas parciales: — = ÍX
; — =0 Di
‘- ifF E -
A=8^7fe|.dx A =40f‘-= ¿= dx iaJ T T * A = -4 0 V 4 -x '[ A = -40(0-2)=80u' 3
SÜLUCIOMARIOANALISIS MMEMAT1C0 III
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Hallar el área de la superficie y = 3? -i-i 1conada por el cilindro x1+ z* = 1y situada en el
O
Hallar el área de la superficie del paraboloide ■/ +- z1 = Ey, interceptada per el cL parabólico / = 2x y el plano x = fi
Lajráfica: y* = Ex
La gráfica: y = x*+ zI ; íí+z3 =1 La función cuya área a evaluar es: y =
x1+ yl = 1
x = fc
Los llrnices; -Jtx
£ JíSc ; O i x i í t
+ z*en unafanción de y =
;
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;
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OáBSEit
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7C A = 2 ^ ^ 7 Í J a™ ( - ^ J ^ d x = f l j S j ; j r ^ A n » , ^ | j d *
El área: a = J ^ '1+ ( 2 ] + ( 1 )
|>
a
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T z ! j i . ^ [Ejt)=£ £ d _ V 12 ya ie w ó
A=
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f tx + s ) “ dx = ^
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^ _ W a f s f ’ - í 1!] _ W Í[ l& /s - a / i ] _ E04n-Í 5
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SOLUCIOHARIOAHAUSIE MATEMATICO III
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A=c S v E @ 5 ^ dydx=c S 7 r ^ 7 dydx A = 4 £ A ^ [^
h ^ * , = 4 / > A rc^ [ j Z ¿ . ] * = I
2
A . -2a'J^CosfB)- 1^» - - 2 a ' [ S e ^ 0 | . -2 a '[0 - ti). S a W
Q
Hallar e) área de la pane de la esfera x* + f + z4= 4 cortada por el cilindro x*/4+y*=1 o
Hallar el área de la porción de la superficie que se forma al cortar la esfera x’ +y’ +z’ = 4x por una hoja del cono y* +z* = x*
La función cuya áreaa evaluar es:
En el siguiente esquema: x*+ys+z, =4x=^ (x -2 )' -t-y’ +z* = Los limites La función cuya área a evaluar es
x’ /4+y'=1=*-2sx<£2 -í> / 4 ^ 7 á y s J > / 4 ^ 7
at
M _x«_y*
El área: Dos regiones:
'
¿y
r-t-x1-•
m
Las derivadas parciales: Sx_ y £x= _ z & ;'4 -y ’ - z ' ’ Jl-y * -* *
s. pasamos a coordenadas polares: x=2=»y*+x’ =4=>r=2=>0SrS2 ; 0ses2n ; x*+z*=
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
SOLUCtONARJOANALISIS MATEMATICO III I
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A° a v ; , , z.^ = n : ¿ i ^ A = -S J J '-Z T V
d8 = -2 (O- 2) » ^ = ♦(2it)= 8«U* La función cuya área a evaluar es: z = x*
0
Hallar el área de la parte del plano z = x encerrado dentro del cilindro x* + y* = 4 por Las derivadas parciales:
encima del plano z = O
La función cuya área a evaluar es: z
Los límites en coordenadas polares: 0£ xá ^2 ; O á y s V S -x
* =t ; *=0
Los límites en coordenadas potares: 0 á rá 2 ; OáOáit A = | ^ W Í 7 4 7 | ^ _X dx = ^ {J Z -x y T Ü Z F d x
* ■ % * 0
Hallar el área de la paite de la superficie del cilindro z = x* cortada por los planea x+y=V§ . x=0 ; y = 0
R f l SOLUCIONARIOANÁLISISMATEMATICOIII
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En el esquema se muestra el área a determinar. La fundón cuya área a evaluar es: y= v,2ax—x'
En el esquema se muestra el área a determinar. La función cuya área a evaluar es:
¿¥_
2 a-x
. £y=0
Las derivadas pardales: ^ ñt 0 £ x£2
“
£=0
; O á y S ^ -x * ; 8 regiones
Los límites: x*+y> = 2ax=>0áxS2a ; 0 SzS>// +x* 0 SzsV2ax-x, +x* =>0ázsV2ax
- ifÜ IU — rrfb & J . O
Calcular el área de la parte de la superfide del cilindro x4+ y*= 2axcomprendida entre el plano XY y el cono
f = z*
- t- r r a
=c
i ^ d z
A< r ^ ^ ^ - w = o r ^ * - c Los limites: x, + y, =2ax=*(x-a)t +y*=a!
I
A =a /H Jo'V ,'5z k 2aXdx = S - j l a j ^ ^ d x = 4a|“ dx = 4a(2a) = 8 a V
SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
T
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La función cuya área a evaluar e
• Los límites: OS xá2a ; O S y í^ a '-(x -a * ) (4 regiones) •
El área
Los limites: o sxs aI ; 0 S y S b ^ 1 -^ j; O S z S C ^ I+ ^ j-jjj A = 4 V 2 n f ^ d y d x = W 5 / > '- ( * - ) ’<*
El área:
A = VaV +b*+c2+a* Calcular el área de la parte de la esfera x* +y’ +z’ = as cortada por el cilindro A
O
V a y + b V - t - a V f x^Ja v 'a'tb ' +c* f a r ~ 2 a jlo " a V
a') V a V -t-b'c* +a'c* bJ " 2
Hallar el área de la parte de la superficie del cono x1 =y’ , situado dentro del ci x* +y* =2ax
Puesto que lasuperficie a determinar es de la esfera:
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&
•Jx' +y'
’ <5y ^x’ +y*
losHmices:-asxáa; — -Ja'-x* S y S -V a '-x * (2 regiones) Los límites: OSíKn/4 ; OSr' 5 asCos(2e) cuatro regiones
A = SaJ'Arcsenj -p _ ÌL _ |~^a - x dx=8aJ’ Arcsen|
~X* \ix
A = 8aJ" Arcsen|^— Jdx = SaArcsen^- Ja=8a*Arcsen^-j A = 2 V Í£ r’ Iv'aCoS' 20J dO=2V5pa!Cos(2ffjd0 =V2?Sen(26) 4 = V to V 1° “ |0 Hallar el área de la parte del (x«+y‘ )’ = a’ (x * -y«)
ele
O
Hallar el área de la parte de la esfera x* +y* +z* = 4z y que está dentro del paraboloide 3z = x*+y*
Las limites:
(x*+y, ), = a*(x*-y, )= »r4=a*[r*Cos(O)-r,Sen(0)] => r>=a*Cos(2B)
H
x*-t-y*+z’ = 4z ; 3z=sx! + y , =>3z+z, = 4z=>z=0 ; z=l Dedonde: 3z=z, +y, =*r* = 3 =»0á Üírt ; O s rS ^3 Las derivadas parciales:
SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO III
z= J7 7 7
5 5
El área a determinar es de la esfera: X +y” +Z = 4z=>x* + y* + (z-2 )’ =
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y'4-x’ -y* ’ ¿V •
' ’ !t i ’£ £ rá‘■2Í
^ 4 -x* -y*
-8Í
El área: .
* - r f * - r t 1jq T T f " 8 A = 0 ; ‘,^ L . < w e = ^ T 7 ?| ^ «£*=2(1 -2 )(2«)=4m *
,6( „ i) -;| , » [ « * ] » ( « - i ) 3 |0 3 3 U
Hallar el área de la parte del
cono z* = x' +y' situada por encima del plano XY y
recortada por el plano z =J i — +1 I 0
Hallar el área de la parte de la superficie z* = 4x recortada por el cilindro y* = 4x y el
Umtes:
=x*+y’ =>^-+2x+2=x*+y’ =>3Í-4x-4+2y*=0 (x -2 )% 2 y , = 8 = > -2 sy s2 ; 2-V8-2y, fixs2+VS-2y*
Para la superficie: z = -Jx'+y', las derivadas parciales: & _
x
& _
y
B x~ylx'+ y' ' a y '^ x ’ +y*
El área a determinar es de la superficie: z = 2-Jx (2 regiones)
_& : ; Sy=
• Las derivadas parciales: -
__ 1_
jte_
"£ £ »
H ^ ív ) ‘Wy
Los límites: OS xS l ; y’=4x=>-2>/x SxS2vx El área: A =■/!£ (2 +v'8-2y’ -2 +V8-2y* )dy
=ü +( l j +(|) " =2£ SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
+(¿J
=2jC SOLUCIONARIOANAUStS MATEMATICO III
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En el esquema se muestra el área a determinar
Los límites en polares: x* + y’ =ax=»rs = arCos(0) r = aCos(0)
La función cuya área a evaluar es: x=Vy*+x* (2 regiones) Las derivadas parciales: ’ «fe
-2Á r"^=?
Los límites: x’ +y’ =2ax=»0áxS2a; 0 S yS ^ a * -(x -a )‘ A = -2a£>/a' - r '
= -2ap„[ya* -a ’Cos’ (8 )-V ? ]d e El área:
A = - 2 a a|y l-Cos' (0) - 1Jdf)= -2aE£.[vSens(e) - l]de A = ^a*|J[Sen(e )-l})e = 4a*[e+Cos(ft)]Í=4a* j | - l j = 2a»(*-2)
0
Hallar el área de la parte de la superficie del cono x* = y!+zs situado dentro del
A ^ jf ^ d y d x
cilindro x* -t-y*=2ax A = &/2j“ ,/a*-(x-a)*dx = 2v^2^ X~ a^ V ~ ( >llf !L + £ a r c S e n ^ j tos límites; x* +y* = 2ax=>(x-a)* +y* =ai*
Z I
SOUJCIONARIOANAUSIS MATEMÁTICO III
A=V5a’.TU* SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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O
Encuentre el área centrada dentro de un pétalo de la rosa r = 12Cos (39)
Encuentre el centroide de la región encerrada por lacardiode r=1+oos9
A =2
A=
rdrdB = 3 ^ r*^200^ 30^ » = 3 £ ( 144) Cas*(39) dB
M» = JJ ydA = ¡ “ I*'*'“(raen9)rdnd9 M, = f’ — I
3lo
Sen
Encuentre el área de la región cortada del primer cuacante por la c r=1+Sen(fl)
..
('*')■ ('*')■
.
My = jJxdA= JJ*j * “ *r oosOrdiflc»
£i=aL My = -i J* (l-t- 2cas9+3 coa18+oos' 0)cos0d8
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SQLUCIQNARIQANALISIS MATEMATICO III
SOLUCIONADOANALISIS MATEMATICO DI
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1
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My=-i Jo**(coeJ+ 3oqs‘ 0+3cos*fl cosfl+cos*0 )dB
A =| Í [ ( ,+2y)V’ - ( ,+y)V’]dy Mv = - 3 [ ^ t +i n ,+^ “ ) ^ +r 3(,+aE^)°osed9+í r (i±? ?!) ,d9
2 h ( l + 2y)M
4 4 [ f +^
2e], **[** ~ y ? j o ^ n c +2ras2e+c“ !2eH
2 8^
/*
J
^
M,
tlíi/2
x=X = — T
^9 ^+ 2 —8^2 Ju’
“ 11 - 0 „ =11 : y = Á =0
r -v ( 11 \ r ;y) = l l2 ; J
,
^
- H
- i H
* -r í < 4>f Q
Halle el área de lasuperficie descrita: a) La porción de la superficie z =^ (x ’1’ +yvl) situada encima del triángulo
iL“ - i
(? )* (? )« ■
jW .V +ac*+a V f ab ^ . ;
Z. =yfx ;
O áxS y
;
0 S y £l
ZT=Vy
* -5
I— r T r f A =JTVl+7 +‘? b(1+a)dX
F = {(x ,y )/ 0 í¡x s y ;0 s y s ^
z = | (x M +y**)
i
b) La porción del plano-+^--»--=1 en el primer ociante (a > 0 ,b> 0 ,c> 0 )
M -ÍÍ55 + « ! - ” « 3[ 2 8 -
5
A = -^ [W 3 -1 -2 (W Í)+ 2 ]
A =^
3[
2(y+ . r l ’
5
x’ ja 2aJO
Va'+b’ + a V + a V S
c) La parte del cilindro x" +z* =a’ que esto dentro del cilindro x* +y* = a*
ydXdy
A =í.’(í.yv1+(Z*)*+(Zr )*dX) ly = l X ' ,1+X+
SOLUCtOkARJOANAUSS MATHMATICu hi
|
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1
L> Laparte del cono jî *= y 1-4-zs que está, dentro de la esfera s?-i-y1+ ^
limites:
ic(5-x)a atU & % | l“
y1-i-iI + y 1-i-zs=2z y*-t-z==Ez
-
=>
;
y * + (z -l)l =1
^ =? 7 ^
M
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Í ± Í -4 t 6
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+Sk “
a
El momento en k Mx = JJ yf (x^yJdA
A - . j r r v i + ( * , ) , +í*.)i,BWfl « , - r r i ,N
A=
d>dx=f ^ | i
^ J* sen’ edö
El momento-en y: Mx = JJ^xf (x,y)dA
a
= Æ 2
71]. Hallar el rentra de masa de la placa Pque estádescrita h)1:£ x £4
; Ís y í5 -K
v
i
f
t
^
H
í
T
^
í
; p=ky *V = | [ S M - Í j + M - I f i l i < * } - | . 3 - j + lO ^ t }]
La masa: M = J*
= j^ J^l^lyd x
---------------------------------------------------------
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Los límites de la integra) están dados:
,=n.T(x,+yt+z')d^=0«(x^+y^+7jod>dx +r)d>rtc=í.'(oc’y+í +^]odx [ ( x*cb | xcb] xcJb 1a a^cb acta1 af'b ={ 3 + 3 + 3 J o " 3 3 ' 3
Q
abe(a* +b* +c*) 3
1=Í5 ( » ) J» l900*1~36x1" 5850x+11SS0)dx
Fvaluar la integral triple Jjjydxdydz, si S es la región limitada por el tetraedro formado
I s - L ^ x 5-9x* -2959x* +112S0x^
por el plano I2x + 20y+15z = 60 y loe planos coordenados.
I= _ L[3 ° ° (5/ -9 (5 / -2959(5)* + 11250(5)]
^
Calcular JjJxydxdydz, si el término T esta limitada por la esfera x* +y* +z* =1 y lo planos x = 0, y = 0 , z = 0
0 sx á 5 ; 0 s y s(l5 -3 x)/5 0szs(60-12x-20y)/15 l = JJJi[ydxdydz = j ^ p r
Z I
SOUJCIOIMARIOANALISIS MATEMATICO III
ydzdydx SOLUCIONARLOANALISIS MATEMATICO III I
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'- r f T
I =Jo,r x « y « dyd x = £ ^ - Xdx
H t.
l=J>-^ -^ -^ -it(= J j|>x*(l-3x+3x*-xi)dx=^J|(x, -3x* +3x‘ -x*)ebc 1_1 ('x> 3x* | 3xa xM|1_ 1 Q _ 3 + 3_1'| __ 1_ 3^3 4 + 5 6 J|o~3U 4 + 5 6 /1 8 0
x W l-x '-y 'd y d x
Q
Calculai- JJfyCos(x+z) dxdydz, donde D es un dominio limitado por el cilindro y = Jx ylœ pianos y = 0, z=0, x +z = -î
Calcula JJJ xydxdydz, donde D es un domrnio limrtado par et paraboloide hiperbôtico z = xy, y los pianos x + y = 1 ; z = 0 (z 2: 0)
0 S x £ - ; O S y iV x : 0 £ z £ - - x 2 2 > = r i f r > ^ ( - z) < W
= r i f >«en(x+z)|^/2~Xdvdx
- C C y [s e n (x ^ -x j-s e n (x )jd yd x = j ; ^ [ s e n( | j - sen(x )| dx
artes: u = x=>du = dx
Los limites sort
0£X£1 ; OSySl-X ; OSzSxy
'=J; r r ^ = r r SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
v = J[l -Sen(x)dx= x+Cos(x)]
I.i[xVxCoi(x)j|'/2- l j ^ x +Ccs(x)j«k SOLUCIOMARIOANAUSIS MATEMATICO III if*
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OSOSfcl
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-2^Sen(e)-iJ —i rCos{9)+ HrSen0+12rdrd0 A (0,3*0) =» 0+ 3A+0+C =0 => C = -3 A B(3y2,0)=»3+2A+0+C = 0 = »3 + 2 A + 0 -3A = 0 = »A = 3 ; C=>J9 14«Cose+14tSen0+l2reW8
C(0,0,2)=»0+0+2B+C=0=>2B=9=>B=| De donde: 2x+6y+9z-18=0
. i 109/”109
1 f 109V1J2n 748 503n =“ T ”
Calcular JJ[e*-"*dxdydz, donde Dea el tetraedro de vértices (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0) y
(0,0,2)
n tc v ~ I =J(]'(3eTx,' ^ ,w - e T 1)|g~^/3dx =ja'(3eT" 'r" -3 e” w
I souucionarioanAüsis matemático III
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l = £(3e*‘,;w -3e"4* I = 3e’*'3**-3e— +
0
+e'“” )dx = jjfïe ’*'1-1-3 e '" +e5" )d x - 5|3 = 3e3-3e’ -3e1+3e* + - e» - - e "
Calcular JJJx'ydxdydz, OSzSn/2, OSzSn/2, Osysa, 0 £ x £ >Cos(z)
0SxS2 ¡
2 -y = 4 -y 1 =>y' -y -2 = 0 = > y =2 ;y=-1
Puesto que los límites están definidos, integramos: -l á y £ 2
; & y s z s 4 -y ‘
=Í.XC/c',dzdyrtt=££e* t * ** '
j T Cos,(z)Coe(z>dz
j r ’ L1-S e n'(z)]^s(z)d z Integramos por partes: u = 2+y-y* => du=(l-2y)dy ; v=|e*dy = e"
I"S[a"W"ï 5^f =^H )=f G Hallar JJJe®dxd>dz
donde D es el sólido limitado por las superficies / +
y + z = 2 ; Z = 0 ; Z=2 u = l-2 y du=-2dy v=Je*dy = —
U B I SULUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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Calcular j J x d z r i n k
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-Ç^ J=¿(3*-+3aE- +B-}
^eüeüw ■=rrr^=rr i=jr xCt+^~2^)di,dx=j„jtx(y_i)sdydx '-Í ' s"'"fi “'-ï^--"/ ^ d‘-íÍ(,‘ - I*
donde D es d sílido limitado pw ESv:l3, O sysx, 0 £ z £ y
i^EEEIW 1=HXv??=IT'Hä**=í=/*^ [jl^ '-jrc^^-îf »t^-ï ä -t t-^T3=! Calcular
zdidxdy
Calcular
£J*
(x+y 4-z)dzidydx
^EEELHW ■=!□nrtx+y+z>d2dytfe=!□jr[(x+y)1+\]|ry,iyd*
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zSen|^— jdxdz = £"* ' zSen( x) dxdz = -J n*
'■I1r{/zd";I(''-;)d"í(ír-ü]s •=-jr[2c“ (i)-zc“ (z)]dz Intégrâmes por partes: u=z=>du=dz ; v=|Cos(z)iz = Sen(z) a)
C) L 7 ;íorx>Sen(yz)*dydx ©
« —
b) J#7 X ( z - -yjdzdxdy
d) J X J S ^
f i r ye’dzdxdy
,= r a ^ ^ = í .T ^ ir (x)d^ = a T ^ ,^ ‘] ^ y* y« 12 3
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l í J f xydxdydz
SOLUCIONARIQANALISIS MATEMÀTICO 111
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a)ía'j„’í>VdXdi 1=] Y tL dydz=r’^ | z d z = i ; ^ d z = dz = ¿ | 1 = - i 2 10 |o * 10 * 10 90|0 go b) £ íó f l * - y )dzdxdV = £
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u=U,(x+y)=>du=-^- ; v=Jdy=y '=í X f i V -
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|=Jo[2xLn(2x+x) xLn(x-x) {, L — l J — jfc
^ 1 ° =0+l +i *1 U = ZL 3 |-l 60 8 6 3 120
t= j t [ ^ ( v c) J J £ £ xySen(yz)dzdydx
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+v* +2xy)-Ln(x* + / +1-X* -y* )]<*ydx
SOLUCIONAR«)ANALISISM AlblAiiuuhi
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Integramos por parces; l - j ! [ ( 4- * > í T L - ( 4- is‘ ) } s r « ,d,,* | (.t (4x- ib,') W - ( ’,' - !x ) *
u = Ln(x’ + z* )^d u = -?2 Ë L - v=Jdz = z
x -1 = Sen(e) => cbc=Cos(e)dö l-(x-l)=Coe*(e) x = 0=>-1 =Sen|6) • 0=--R ; x = 2 1=Scn( 6| ' 0=-— l=|
Sen* (e)>/co8, (0)co8(e) d0
£ Serf (6) Cos' (O) d9
*+**’ £ * u
V5x*ü ,(4 )|J-J j*[* * ( Æ ) ) k + f 1 = 7 3 (4 -l)ln (4 )-7 3 jo,x’dx+J*^xArct8(\/3|Jdx
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"l y a ' - x '- y ’ dzdydx
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' www.edlitpam.cxvn
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- X*- y 1^ - X - - y - d y d x SOLUCtOkARtOAHALISlS MATEMÀTICO III
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- ¿ - 'f à y d x
= £ J ^ Ca’
- y ' H ^ = r ( ^ - x V ^ j ^ a=
T=ridKJcr v r11 " (*JIJ-el(zK:/~Y )^ * + v -* ) rTiteÿaincû por partes: : x = aSen(0)=»dx = aCca(e}d9 u = L n ( z -x -y } ^ * = ( = a=ta = a5en(8)=*0=| ; x=0 =* Û ^ e n (e ) =*0 = 0
:=| ^[a’C™1(A)]311aCoa(tì)dfl = ^ - J^Coc1(fl)Cos(fl)da 3a* r r ,, n i 3a* fíri+CLMfaaiT l = - J ? [ ^ - ( 9)] * = — J?[— 1=JL J^‘[l + ECoa(a0) + Coi (39)]d9
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p j p.-1-i [~x+ y+g—x—y— e - (x+ y)ln (x+ y + e - x - y }+ (a + y)Ln (x+ y)] - J . J.
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i = r r [ - ( ^ N # t y )M » y )]^ J" J» (x -e )(x4 -y-E j r
r ^ r(y+y)Ln(x+ y ) -( x + y ) ] ^ _ ( * - fi){* + y -e )
= J. J.
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SOLUCßHARUD AHÄUS15 MATEMATICO III I
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i=i4*“M)T**>4='iseft^^dy=’5<=D a^d&
UU.(*+y)=xta = J L F ^ r i ^ 2 ^ = i h L 2 ^ 1 f l ± =y + eU1(x + y - e) v ' x+y J x + y -e * x + y -e ' '
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ZileLnix+ y-e)k-K-1Í—-'Y+e\n(x+y-e) 1
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J C [ V4 -a c»(!0 )+Ü ^ Í ^ ] dB if , , e S e n te }!, | = _ ^ +san(s*)+ r _ i - ! | _
I =Ln(e-l)ln(e-1 - e )-(e -l)ln (e -l)-L n (e -l)ln (e )-£ ~ ------^ ^
^dx +
,n= -^ *+fl+T + C
eJar JJj(Ex-i-3y-.z)d>!ri>dz1donde C = {(x,y,z) fO £ x £ bvO£ y £ b-x^O £ z £ a} ^ E n n s t iÄ
-r--r^ -r[r Calcular la integrai triple;
1=!□iS
*]*=5
1■Í.T (E“*3'*4 ]
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T=J,|(>r-f.) ^ - 7 -^Y~y p
1=in"r j"t®*■ i"3y-z)dzibriy=cr f2” h'3>t Jodydx
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a'tf Gab1 Jb= atf fl0b-3a) 4 _ É 4 “ IS
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Calcular Jj j (x+y +z jdxdydz, donde T es un tetraedro limitado por los planos x+y+z=a, x=0; y=0 ; zMX ( ? ) Calcular JJJxyzdxdydz, donde la región T esta limitada por las superficies y =x* , x=y* , z=xy
, z=0
En la gráfica: y=x*,x=y\z=xy,z=0 Limites: OSxSI ; 3C*SysVx; OSzSxy
j|J(x+y+z)dxdydz Limites: O S x ía ; O S y S a -x
'= i r
dy«k= \ ' £ ^ i d y t f c c
■=^xVd>rtc=l j ; ^ [ ^ d x = ^ V (x*-x')dx =
O á z á a -x -y
1=riTÍT'(x +y +z)dzd«ly=j>* J ^ ^ +yz+^ j | j " X_ydyd)!
, =i r v - x " ) d x = i í ¿ - ¿ l t = i r i - L V i a i = ± 8*' ’ 8\ 6 12 J|o 8 U 12/ 8 U 2 J 96
I = j ; r [ a x - x ’ - x y + a y - x y / i ^a~ X~ Y) Idydx
r ÍJKX +y +z)dxrfydz- <
ay- y3 (a -x -yn
la por: 1 sx s3 ; 1 syá 3 ,
= r (« v -A -
Integramos en la región dada: I = f , = n a (a x- x 1)-a,<»+ x1- x ( a -x )!
a( a -x )1 (a-x)~
^( x+ y+ z) dzdydx
(a - x f )
,< í :( « ^ 4 ]V - f f( 3x+3y+l- x-y-i)dydit
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I = Ji1JiJ(2x+2y+4)dycfc - / ’(Sxy+y* +4y)|^dx 1= J1(6x+9+12-2x-1-4)dx = ||:,(4x+16)dx = 2x! + I6x|^ = 48 Los límites: 0s:xs:2 0
; O á yS l
Calcular j jj xdxdydz donde T es laregión comprendida entre los planos coordenadasy l= £ £ £ (x + y + z + 2 ), dzdydx = 2ja’jo’(x+y-i-z+2}, |4 dydx el plano x+2y +z = 4 en el primer aladrante. I = 2j* J’ (>/x+y+6-Vx+y+l fdydx
,°gJ:[g(Xl +6^ 8(X7 +l^ dx Oáx£4 1 -f
0 S y S ± (4 -x )
4|2(x , 7^ 3, 5
0 S zS 4 —x -2 y
-< x+ 6^
+(x+ljpjdx
2(x ,6 )f _ 2 (x ^ 5 5
^ (x ^ p L 5 lo
l = - i [ (9 ) - í- (8r*-(4)í +(3)* - ( 7 j í +(6 jí+(2 r* -l] x(^ - ®y~x)dydx= j*x(4y-y*- xy)| i~dx T= -^ (243-12&/2-3 2 + W 3-4W7+3fr/6+4/2-1) 1= -^ (2IO - 12éní^ / 3 -49^7 +36«/6)
^
Encontrar el volumen del sòlido acotado inferiormente por el paraboloide z = superiormente por el plano z = 2y
I SOUICIONARIOANALISIS MATEMATICO III
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO MI
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e
+3y* = 4 -y s= > i+ y * = 1 = > -1 S y £ l -fi^l-y* s x sa yi-y*
x*+ys=2y=*x*+(y-l)* = l=*C(q,1), =» r=1
En cilfndricas:
x* +y’ = 2y => r* = 2rSen(6) =*•0 S r 5 2Sen(e)
=>OS0Sn/2(2 regiones)
;
r* Szfi2rSen(0)
( 4 - / - x , -3y’ )dxdy-4j'j^P5{4-4y' -x*)d«iy V = S £" j p ' l[2r’Sen(e)-r*]drd0 =
e>d8 V = 4 i ; [ . 1- y * K r d y = 4 ^ B ( t - y » r
y-=r[16ST (0)
i r [1"
Hacemos; y = Sen(0)=»d>' = Cos(9)dB ;
J l-y '
jfr = f f l l - y ^ d y =Cos(e)
Si y=l=>6=- ; y= 0 => 8=0
« e Sgn(4e)U/2 n x x , 24 |o “ 3 + 6+ = 2 U
v - i n ^ o r ^ i - T n ^ w r - f r f ^ 3]-«
= 2+ 3 +
0
V=-fr,[1+2Cos(2e)+C°s*(2»)]d» Hallar el volumen del sòlido S limitado superiormente por el cilindro parabòlico z = 4-/ e inferiormente por el paraboloide elfpòco z = x*+3/
t ^ l SULUUONARIOAMAUSIS MATEMÀTICO III
V = — 0-fSen(2e)-
8 Sen(4fl)1|«y
SOLUCIOMARKDANAUS1S MATEMATICO MI
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O
9 Sen(4fl)|n/2
Hallar el volumen del sólido limitado superiormente por el plano z =y e interiormentepor z=x*V
Hallar el volumen encebado entre las superficies z = x1+ 3 /, z =4 - y*
Limites: z = x*+3y’ ; z=4-y, =*x, +3y, = 4 -y*=» ^ + y’ = 1
x*+y*=y=»x*+(y—1/2)f=1/4=*c(o,l/2)r=1/4
—l£ y s 1
;
S ^ l-y ’ S xS 2 ^1 -ys
Volum en: +y! =y=*r! = rSen(O)=>0¿ráSen{8) =>0á6£n/2 (2 regiones}
V-2 J[ zJ^T ; J^díílxdy -2j2¿’>'7 (4-y*-K*-3yI)di«ly
; r* SzárSen(B)
v=2r r r ^ = 2r v=sn ; W
K
] « =
<*
Hacemos: y=Sen(e)=>dy=Cos{®)d0; yVy*=Cos(8) Siy=l
v = 2 r | - ^ ) - S g ^ ) j de=, r
=>0 = | ;y=0=>0=0
p - c^ 2 a )| de
v- iH 1-2cos(2e)+coa’(2e)>*e
-lJT["* y] de=|/f[i+2a»(20)+coa*(2e)]de 6|Sen(40)T>116[~«(«1 V = - f 0+Sen(20).
3 S0LUCI0MARI0 ANALISIS MATEMÁTICO III
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Jp = 3L2 + 4J =
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v=í>tík=í’c2x-2x,}ix=x*-T|’ H = irf v= n ; r ^ v=L’Jj(1+3x+2y)dy(t(
Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies z=x* +y' y z= x’ +2y* y los planos y = x, y=2x,x=1
V = £ (y +3xy+y*¿dx ' =J#’(x* +3x> +x*-x1-3x*-x*) dx= J’(x*+ 2X5-2x4-x* )dx
x* t * . xT «»■f ..1 ,1 ,1 » 61 j 7 5 |D_ 3 5 210 = 3 +T ■'
\ f' V '**
Volumen v =r
c r c
w
=a
>
w
- x
- - y
=j^ v a y «*
Hallar el volumen en el primer octante, del solido acotado por: ; 3x-t-4y-24=0, x=0,y=0,z=0
a :-8 á xá 8 ; 0SyS6-3x/*¡ 0£z£64-x* 0
Hallar el volumen del solido acotado por los cilindros y=x*, y=xJ y los planos z z=1+3x+44-24
v- j r r - ^ v=rjr>-*>*
=x\ y = x'
=>
2x' Sy S’2x ;
z=l +3x + 4y-24 ; Oáxál 3 - x - y S z á 4 - x -y
V = £ (M y-x’y f ^ d x = j^384-48X-ÓX1
jdx
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o
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide z=x*+y* yel dlindroz=4-x*
V=384 -24 xs -2 x>- 3 h V
= 384(8+8)-24 (64-64)-2(512)+<^1875(4096— KWó) = 2048uJ
[imites
z=x, +y‘ ; z=4-x* => -J ìix z J i
Q
x*+y* =4-x* =>
^ ^
; - J i - J i - x ' áyá^2V2-x*
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide (x-l)*+y* = z yel plano2x+z=2 Grafica
f
M - y » i y : 'r y
V=2iT2r^'í,Vdzd>dx
(x-1)’ +y5= 2-2x =*x' -2x+l+y* =2-2x =ax'+y* =1 Eh cilindricas: OS0 S2* ;
O s rà l
z=x*-2x+l+y*^0 szS r’ -2rCos(0)+1
Hacemos x =V2Sen(y)=»dx=/2Cos(y) Si X=J1=>
r- n o - — =nò[2-2rc“ W-ri
B
SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
V=
0=2
;
X=0
=90=0
^ [T Í C o s 1(tf ^ ’VsCosJíf) dt) = - ^ 1 { ‘’ [eoe1(tf)]’dtf
SOUJCtONARiOANÁUSÍS MATEMATICO
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INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE COORDENADAS CILINDRICAS V ESFÉRICAS En el gráfico Q
Calcular la integral tripte JjJVx* +y*dxdytb, donde D es el sólido limitado por z= V x V y ’ ,z=l.
Los limites, pasamos a coordenadas cilindricas: z=1 »x '+ y * =1 » r = 1=»0srs1 ; 0stf£2n l=J|jVxT37dxdydz
^ + / = 2 t j^ + / = 4 ^ V i s r s 2
;
Ostfsa*
; 0áz¡£4
I = J^£jV?ntaWé> I
■-rw —
= JjJ Coa(x* + y* + z j dxdydz= J**j^ £ Cas (r* + z jrdzdrdí?
1=n x ri- ) > =nAi>n(r!+4)-scn(r* , - C ei [ Ca" (r' ^ 4) - c“ ( ,' ) ¿ d<í = ^ [cas(8 )-cos(4)_Co6(6) + CoB(2)]0|;-
- r t M — c tH l- 6 - 3 f- S - s 0
Calcular JjJCciB^ +y* +z)dxdytte, donde D es el sólido acotado por las superficies *+y* =2, x*+y*= 4 ,z = 0tz = 4
I = *[Cos(8)-Coe(4) -Coe(6)+ Cas( 2)]
0
Calcular JJJ(x* + / ) dxdydz, donde la región T está limitada por las superficies: z=(x* +y*)/2tz = 2.
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Uh límites, pasamos acoordenadas cilindricas: z = (x’ +y*);S
;z=3
CalcularJJJ(x^+y’Jdxdydz,dondeeldom inioüvienedadopor z +y1 2 0, r ^ S ^
SR1
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M-7' nr^r-rw
r*/2s:zí2 1=J ]j f v 1 + y’ Jdxdydz =
j*J^,
r^rdzAdíl=f*J'
1
1=Q V (a - r1 S^frdfJ = /“ /"(Sr1- ^ Vs)drdíJ
Los límites, pasamos a coordenadas cilindricas: OSrüR
,J W F ? Calcular JfJ xdxdydz, dande D es d necrnto de todos los puntos que cumplen: DS z S3, ÜS jí 4-y1Sz
; QStfSSa: ;
r iz i^ R ’ - r 1
1= Ÿ)dxdydz= ££ r^ndzdrdfl 1=JJ“J¡V:ij " t*i»= tVr1-r’didfl [ 5
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Calcular JJJdKdydz,donde la regiùn T es la esfera x1-ny1 +Z1 S R“ i ' . ' IIV j^TW J - V l.rjjíT F
c s r s ja ; OS^SSe ; f í z í S í=]J[fKílK[l>tlz = J^'^fi J^iCos (a)idn*d3
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MIJUCIDNARID ANALISIS MATEMATICO III
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'alcular |JJ(x* +y* +z’ )dxdydz, si e) dominio T está limitado pof el cilindro x* +z* = 1 ) 1= JjJ(x+y+z)’ dxdydz = |o j* J*,t" [rCos(0)+rSen(ö)+zJ, rdzdrdö los planos y = O, y = 1 l ^
M 7y* íy .'rJW Los límites de la integral
I
n
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[ rCo3(^ )+rSef'{^ )+zJ fdzdrd//
J^*"{[rCoe(fl)+rSen(fl)J +2z[rCos(O)+rSen(0)]+zsjrdzdrdi'V
En coordenadas cilindricas: 0á(>:S2x; O á rá l
;0 £ y £ l
,=Í//K+v* ) dx^ z = + y S )rdydrd<'
7*
z+z’[rt:“ (ö)+,Sen(ö)]+-f| I= Jo*/.*n | [,Cos(í,)+ rS e n (»)]* |v Ü ^7 —
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|rdrdö+
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’alcular |||(x+y+z)1dxriydz, donde la región T es la parte común del paraboloide » - i f { [ ^ ( ô ) + S e n (ô )J p Æ r V - £ j j r d r d i>+ z i*
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y de la esfera x'-t-y* +z* S3as. M ’. ' Il W 7 W
Los límites de la integral Lo6 límites: 2az+ z1=3a*
x, +y*+z* á3as
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=* x*+y! s2a*
SOUUCtONARJOANALISIS MATEMATICO III |
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}<& 1= “ ‘T i r l ' T 00®1(8 )+fi:Sen^ ) CoB^J+ -53,1 ^ )] dfl+ Calcular JJj^l + (x1+ / + Z1J^dxrtydz rai Tea lacaftia x^+y’ +z’ Si
Los limites de la integrai, e
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Ìtzdxriydz , dondeT està liiritada por las auperfiriea 3Ì + y*
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^ ‘Senfijtiadidfil
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© En cnordenadaB E9fiÉricaa 0 5 0 S 2 a ;0 S ÌS JtM ; 0 ^ / JS -^
rjlrmlar tff
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* : i1hv" h,7W Los limioes de la integrai, en coefdenadra esfèricas con estera initaria: 0S(fS2tC
sa LUCIOMARIOANAUSIS MATEMATICO III
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-*l-Cos(^)+5
Hacemos: u = p' -4pCaa («>)+5 =» du = VSen (
| =J 4^5
_ln(Vto+&/I +3^2 +3)1
dJdí> Calcular J^dxJ^*^** dy£zi/x' +y’ dz
-n i
>y¿7' +4p +5
/.TyV* -4 ,’ +5 á lV .ityy.7W Desarrollamos la integral empezando en ladiferencial de z:
1
> -2 J ^ jf ^ z ^ T T / d z
,= - 5 n : [ ^ +2W (^ +2), + , - ^
+2) , + i - ^ - ^ - 22+i- ^ - 22+,] ^ dí' * -fd
[ =J
Vx5 +ysdy
J__ _ _ (,,+ 2 )^ (í.+2), +1 - U ^ íj +2+V/’, + V + 5) Pasamos acoordenadas polares: OáyáVSbc-x* ; 0áxS2 y=VST^7=»(x-1)*+y*=1 x*+y* =2x =>r' = 2rCos(0) OSr i 2Cos((>) ;0 SO S */2
, = : [ 1 2 ^ - 3 ( io ) ^ - u , ( 3 ^ ) - ^ +V « - u ,(V 2 - i ) - ^ +
+ í(2 ) J 5 -U i (2 + V s ) + ^ + íV S -l n (7 5 -2 )J ¿ f
- T r r ^ ^ - T r C ^ - T r 5^
S0LUCK3NAR10ANALISIS MATEMATICO III 1
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j4 R ^ r
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Calcular J "
£ **"V ' r' dzdydx
Desarrollamos la intesral empezando en la diferencial de z:
I= j "
-x* -y*dydx
Pasamos a coordenadas cilindricas; -VHbt-x* áysJíftx-x* =» / =2Rx-x, =» (x-R)*+y* =R’ 16R1( n a') s r V 3 b 3J 3 i’
© .
Calcular
” 1 dxdvdz, donde D es laesfera unitaria con centro en el origen MVJW.
En coordenadas esféricas:
I = r j r j ^ 1 A’*Sen(^)d^d*id^ =jC‘ jT|¡erV ’Sen(í!iM ^di«^ x*+y* =2Rx=»r' =2RtCos(0)=»r = 2RCds(0) OSr s2RCoa(0) =*-|<£0á|
I SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
1=reí >"MC*d*=~^r
J>
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O
+y*H
En coordenadas esféricas: OStíSit/2
lí f r f r í ) x1 y* z"
¡ 0 s ^ s n ;2 ; O SpSl ; x*+y*+z’ = />! ; dV=
1=r
Sen(*>)d*t
n :^
=r' =» OárSl Ostfsfct ;
=- i j ^ C o r f d *
x=ArcCos(tf) ;
'= n : h i ] eCTabrtdtf l=a0 | r W r ? +.C ,f,- ,í i r
JÍJ-r“~ r ~ J >donde D es la región limitada por las esferas x‘ +y*+z* =a’ ,
I = 2cJ*" j' r V l - r ’ rabdrdfl + -^ j ^ '£ ( l -r ’ jf^rabdrctó
x*+y>+z*= b*, Octxa. M w iK f i r F
Ahora u = l - r ’
En coordenadas esféricas: O£fVs2rt ; CK
y = ArcSen(t>) ; dV=iab*dfl
,=r íe S ^ ) - * » =r ££5^-^)“ ““ ®
,=- ir [ct*(i)-c“ (°)]jtf=-iH)c=i Calcular
, donde D es el sólido limitado por el elipsoide:
.
=»
du=Srdr
r= 1 => -
aá/iSb j x '+ y '+ z 1= /o* ;
Cambiamos loe limites:
u=O
;
r= 0
■=r r £>p*sen^^od^ctg=^ £•j*sen(#)tipd^d^ j do
i = - [ c o s ( , ) - c * ( o ) > g ) í t = - H - 1>ül( ; ) ( ! *)=4"ln( | )
I SOUJCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
u= 1
‘■“ í M - í K ' f H - í ) * I = -abcJ^H (u1* -tf* )dud»
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dV = ,>'Sen(<í)4>(tydtf
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S0LUCt0NAR»0 ANALISIS MATEMATICO III I
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Calcular fjfyj^
-t-^jdxdydz, donde D está definida pon p . + -^
abc[0fc|f'{o' +Sen(a)Cos(a)[Co8, (or) -Sen’ (a )]|’sen(¿)d*d0
S1
x = a^iSen (ÿ)Cos (0) ; y= *>Sen(*)Sen(ff) ; z=a¿>Coe(*) dV=/j*atxâen(ÿ)dld0
; Oá0£2x ; O á ^ S u ;
Integramos; 1=
(*)*>cdpd
Mediante sustitución trigonométrica: /■= Sen(ar) ; d¿> =Cca(«)da 1-/»’ =1 -Sen* (¿>) = Cos’ (/>) I=
J^Coa* {a ]Sen*(a )Cos(« )6en(<>)abcd«d*d0
^
Calcular JJJe- ’“ dxdydz, donde D es el sólido interior a la superficie z Bmitado por losplanos x + y = 0,z = a7a>0
1= £"*££Sen' (a)Cos* (a }Sen(ÿjabcdnrdÿd0
jre iire ïT g
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s ; Oáráa; rázSa £j £ J'e'rdzrd/J = JQ £e’£tdrdfl = £♦ J^(e‘ -e ' jrdrdry Integración por partes
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CalcularJJ[(x*H-y1-+z1J^dxdyidz,dondeDestálim itadopony?
H f f l f'jCoal>)1 '/Sen(^) <^jd^
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Loa límites, en cmrdenadaE eEtöricaa elípticas K=^3Soi(^)Coa(ö}
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Calcular JJJJx* + y’ + z*idKdyïir, donde D et el aúlido limitado por Ibe auperfieiea z=Vj?Tÿ* , zs¿3
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En coordenadas cilindricas; x’ +y'+z* = 16 ;
6z=x*+y*
6z+z, = 16=»z=2; e =18
La ecuación del cilindro:
x*+yJ,-2 y = 0 ^x*+(y-1)*=1
0*052*; OSzáVÍS; r’ / ó á z W ló -r ' I
iCos(tí)rctzdWtf - í « 4
Is jrjT * r’ Cos^)^,
,=r r
-
4
x * + / -2 y = 0 => r’ =2iSen(0)
dzdrdíJ
r= 2Sen(
£jirdtf
r* -1 2 s zs r 1=
^iCos(0)i/r*id2drd0
l = J^, Cos((/)^r>^ l^~ '1 -2 t> /l6 -t»+ 3 2A rcse n ^j-^J" do
= r*c-w [^. •2>/Í2-«/4+32Arc9en| '2 ^ ) _ i W T | j d
*= í ! j : £*"* *Cos(o) (r4- r ' +12^ Jdrd0
= S e n ((í]j| ^ 6 / !2 -4 / Ü + 3 2 A rcs e n | ^ -? ^ l
£]
Calcular J jjJ xyx' +y'cbcdycb, donde D es el sólido exterior al cilindro x5+y* -2 y = O y
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32Sen*(tf) 32SenT(0) 4aSen» (ojj1*'* 30 " 21 + 5
limitado por las superficies z=^x* +y* , x'+y* = z+t2, x + y iO
1
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y = ±3/4- 3? » x*+y* =4 &
Calcular la integral j j j ^ j ^ ^ ^ d y d x
,=Lwrr^(r!+z’)rdzdrdÈ'
, pasando.
'- r c t w f « -r*-r<)drd" ¿ (« ■ • y 'ls .s t .
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Calcular la intestai
Jj j c ? Í,' " ” ”* ^ dycbt, pasando a coordenadas esféricas:
Calcular la intEsral J ^ J ^ ^ j ^ 7 (x'+ y*+z')d7jdyjdx Los limites de la integrai: -R S xS R
Los Ifmites de la integrai:
ÍIíSJS7(x‘ V
I SOLUCIQNARIQANAUSIS MATBMT1CO III
-VR’ - x ’ ^ysV R ’ - x 1 ; 0SZSVR, -X s-Z*
+ z*)dzdydx
S0LUC10MARJ0ANALISIS MATEMATICO III I
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[(4b* -4 b W t f )M -(4bsf 1}w
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Calcular la integral J“ £ ^ ^ L I £ ‘* ’'"’y' dzdydx b>0 z* =4tf -x? - y ”
x, +y*+z*=4b*
y=V2hx-x*
(x -b )’ +y» =b* —
2
2
r*= 2bfCosí>
a) Evalúe jfj(x' +y*)dxdytfe, donde T es la región limitada por el cilindro x' +y* =
O á r í 2bCosí/ los planos z= -l,z= 2
O ír s / íb C -i1
m-.-: h v n ^ w 1= I = J*” J**°"
rdzdrdS 4b* - r^drdtf Oár¿4 ; 0á«ys2ii ; -1 S Z S 2 ; dV=l
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SOLUCIONARiOANALISIS MATEMATICO Hl I
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EHjnnw eepindza hamde í r = J .f #+Ä T = S M}{ 2 ), 5
b) Eralúe JJJ>riHdydzr en dónete T es el quese enüHEfitra comprendido entre- loa alimi™ 3Í + y" =1y xl + yI =4 aabre d planoXyydEbajodd plano z= x + 2 1
rf} Evalúe JJJ^x1+y* en donde T es el sólido limitado por el paraboloide z = fl-x l - y s
M :-' Il V V ( yel plano XV. En coordenadas cilindricas,, los limites son: TSrSE
ÚS í í ^S ít
Ù £z£x + S
dV=nfcdnd{V xl 4-yI =Ts
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z = fl-x 1- /
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z =0
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Q£t)Z2x ; QSrSS - D£z£9-r* 1=
c) Evalúe JJJy?dxdydz r en donde T es el eúlido que se encuentra, dentin- del cilindro
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l = Jn jj^ z ^ didú =Ja
^-r°^kda
5Í + / = 1 , aniha del plano z = 0 y debajo del cono z‘ = x s-i-ys
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-( » -fIC - T
Z' = l t + Ÿ ÜSÍ^&i: J Q á rSl t t s z íj x ’ +y*
z = fl-r’
1
e) Evalúe JJJioifcdydz en donde T es el sdlido limitado por los planos z = 0, z = yj y el
ís z s r 1= jj" jj
*** (iCosfl)* rdzíWi?
u J^ jV c c a W d rd í?
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cilindra X* + / =1 en El semiplano y
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* .viir¿ ? 'rw O Srát ; ÚáfS&c
■ D S z íy
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Utilice coordenadas esféricas en las integrales triples:
a) Evalué j jj (x*+y*+ z’ )d>£dydzt en donde S es las esfera unitaria x’ +y1+z* S i
l = ¡ " C tC 0* { & nfi'f drdí? 1= £
i=H
I r*SenVCosrtdrdfl
^ dSw ,*Co8'*w ^ r r t
M ’y j r r . 'j w
■ = rn v ^ i-n :*
j,isen^
I = i(l+ l)(2 » )= ^
b) Evalúe fíjy'chcdydz en donde S es la porción de la esfera unitaria x*+y! +z* = 1
y=±>/l-x)
^ H .y y r y
=> x* +y* =1 =» O S rS l O s ys& i
+ / S r S Z - j í- y *
« r ’ sz s a -r*
.-jr íjr c r —
En el primer octante O áftS - ; Ck ¿S- ; O S p á l 2 2 - r n
: /j’sen’OsenVí'^sen^jdOdS
■-ír-í—
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1= n .* ™ ! f *c°s®sen!<’d^,d9
-f r r í^ t " — c) Evalúe JJJ (x* + y1)dxtfydz, en donde D es la región hemisférica situada arriba del plano XV, y debajo de la esfera x* + y* +z* S1 l=
# ' 'n y v ? w
e)
16
zVx’ +y’ +z'dzdydx
j 'v i r r -. T T Z =>/9-(x*+y*)-*x*+y*+z* =9
y = ±>'9x’ —>x’ +y’ = 9 —»O50S* d) Evafúe JJj xe'r ‘ '*'‘,'dxcty’dz, en donde S es el sólido comprendido entre las esferas x’ +y’ + z ' - l y x1+y* +z* =4 en el primer ociante
I=jn^Ji(/5C08eK^(/>^en**xV
OSflá| I=
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243 9EnV|«/2Jn 5 2” |0 %
^
\ ^ — .donde T está limitada por las superficies x*+y*=z, 1
x '+ y ’ sSz* y x*+y, +z*=4
#7H.7V7W Los limites de la integrai En coordenadas esféricas:
Os0£2n ; xJ2£¿S«/3 ; 0S ^S 2 «f
*-yn>.-T7W
0£ y £ 3
En cilindro: 0£&£n ; 0 á r£ 3 ; r s 2 s V l8 -r J
I=ío'ía
(r’ -t-z'jrdzckdB
" j . - r K p 1I » J J J ^ r V lS -r 1 \J9
(IS - r ’ )” jjrdfl
6(9)V9 216/?
SQLUCIQNARIOANAUSIS MATEMATICO III
¿>*Sen*(¿)¿>*Sen(¿)
•=n;j:£
Vx+y* S z à V l8 -x s-y* ; O S x S ^ - y 1
18"s
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c ti. PROBLEMAS DE APLICACIÓN Q
(4- ^ ^
r* |p2(v^-i)dft
Calcular el votumen del cuerpo limitado por el plazo z = 0, la superficie cilindrica (4 -2 /S + 2 )' -8
z=-2(x' -i-y1) y la esfera x’ +y’ -t-z’ = 4 (en el interior del cilindro).
,-2 J s f
Encontrar el volumen del sólido acotado por la esfera x, +y*+zI =4a y el cilindro * *V=a*
t= J(x* + y*)=>x*+y*+z*=4
2z+ z* =4=*z = ,/s-1
x’ -t-y*+zt = 4a; Oáráa
z = V 5 -1 ^ x , + y * s 2 ( ^ - l )
;
x, +■)f=a, 0<:(>s 2.t
En coordenadas cilindricas: V = 2j^TJ" 0*6*2« ; 0árS^2(>/5-l)
*" "* rdzdrdíy
S zs V n ? V = s £ rV 4a? -r*drdB = 2J.‘ °
v= n ; ^ i f rdzdrde=J*
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v = - f [ ( 3a* r - ( - * r ] í n= ! H — V = i 2 l( 8 -3 ^ 3 ) u 1
I
SOLUCIONAFaOANALISIS MATEMÁTICO III
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Encontrar el volumen del sólido en el primer ociante acotado par el paraboloide z = x* -t-y*, el cilindro y =
y los planos y = x, z = 0
É T T W r .™
^
Hallar el volumen del sólido bajo la superficie ; x*+y*=1 y sobre el plano xy.
y = x ; y=x* =>x = 0 ; x=1; x’ +y' =1 =>r='l y = x' =»rSen(fl)= r’Cos*í®)=»r = — —íír\ ; 0 ¿ r¿ — ; 0s6s*/4 w w Cos'(e)' Coe’ (ft)
V =j r ^ f —
x* + / = l= »r= 1 = > 0 S rá l; 0 s :z£ 4 -r* ; 0s8á2n
= {„‘"jp ^rr'd rd e
V = Jo'iaJa”^ rdzdrd9 =
(4 “ r ’
v-ríp ^-írt^g }» Q
Hallar el volumen de la región D limitada por los paraboloides z = x* -t-y1, z = 3 6 -3 x '-3 y ’
V =| Í ; T TS‘ (0)+TS* (»)]Sec* ( » )« vwoduVjieruCTJin
i r j -
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gTiTTTr?!'nr
Los límites, pasamos a z = 12-X* - / =>12-x* -y » = 8 = »JÍ + / =4 0 s rs 2 ; 8ázs12-r* ; 0Sfii2n
V=ÍTi« J»*"' rdzd,dó= /rio r(12-r*-8 )*tíe V=(2r*-rV4)|*0|®n = (8-4)(2i,)=8*
^
Determine el volumen del sólido limitado por el paraboloide x1+y* + z = 1 y el plano XY
X* -i-y ' z=36-3xs-3 y ' =>36-3x! -3 y s=x*+y* => x! + y s= 9 0 s r s 3 ; i, ä zs3 6 -3 i, ; 0*0*2*
v=L**0r*"refedrda=ci.3r(36_3r>-r')drdB V = O8'* - ' ‘ tfo tfo - («Û2-81)(2*)=1û2.Tu’
Obtenga el volumen del sólido limitado por el paraboloide x’ +y* +z = 12 y el pl z =8.
En cilindricas, los límites son: 0á8s2n ; Oárál jy r'T«ir^r
v- n
r —
j*
©
= r (7 - 7
- r ^ c
{3
4 Jo
U
4J 0 |o
4
2
Determine el volumen del sólido acotado por el cilindro x* +
= 2y, el paraboloide
X* + / =2z y el plano XY.
ZI
I
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S0UUCK>NAR»0ANALISIS MATEMATICO OI
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O
Obtenga e) volumen del sólido que está en el interior de la esfera x' +y* +z* = arriba del paraboloide x* +y* = z
=x, +y’ =>x* -t-y5+z’ =2z=»z+z*=2z z = 1 ; z=0
=c
O s rs i
En cilindricas, las limites son: OS 8 Su ; 0árs2Sen(ft) 0£z£r*/2 V=
rdzdrdS = 2 J "
dide
v = r H |Sen(e)d t = r W ( e ) do J. 4 |0 Jo 4
v=
de= f
[ ' - 2Cos(2e) +Co8' (se)]de
v = r [ , -2 c os(28) +^ ) ] d
V = 0-Sen(2O)+-r
I SOUUCIONARIOANALISIS MATBMTtCO III
e
rd7dTd0= iT íi'(rJ' ~ , * V í-r 5jrdrde
V = J T JoiZíw*
v=rrp— . í i ' «
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Hallar el volumen del sólido comprendido entre las superficies z = 5x*+5y’ y
En cilindricas, las límites son:
z=ó - 7x* -y* 0¿¿r£2it
j 0 á r¿ 2
j ; o
=O0,(ar’-r1)^ -C(t "7 ^
; R’ Sz£2r
M ' ' V T ' rrW v=
; «
Limites; z = 5x*+5y* =>z=6-7x’ - y ’ =>5x’ +5y" = 6 -7 x '-y *
v-(t
2x*+y*=1 (Polares elípticas)
- 4K - T
0á6á2x ; x=^LiCos(e); y=tSen(B)=»OárSl Hallar el volumen común de las esferas: j í + y ’ +z, =9 V=r C
/
™
v= rí m
*
y x*+y*+(z-2)‘ =4
= f |;(6 -7 x*-y2- 5 x » - 5 y - } ^
v
))^ 6
r
6 f , 31-^1 J2X 3 W Í v - 7 5 r ~ J o1 o
s:x, + / + z ’ =9
Z
= W4
y x*+yI + (z—2/ =4 => 9 - z ’ +(z-2 )* = 4
=» x V / r í - i 1
;* > + / = “
Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies z = x*-t-y* y z ’ =4(xs+ y ')
límites: z =
X<
+•/ =*z* = 4 ()f + / )= »V =4z •z=4 ; z=0
OS0<;2n
B
;
O S rS ^
; 2-
SOLUCIOMARtOANALISIS MATEMATICO Hl I
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v= rrT^rdz**'=rí^v517 v- í t T - l l * - r { - £ :T i— , - ¿ T L f •
v - J [- 3 í1-,1í6J" -S16_ 3 ! ^Í1J6.fJ 3J ^96) 48 Hallar d momento de inercia del cilindro circular que tiene por altura h y por radio de la base a, con respecto al eje que sirve de diámetro de la base del propio cilindro.
o
Hallar el momento de inercia del cono circular que tiene por altura h y por radio de la base ay densidad p, con respecto al diámetro de la base.
^■Wl.VV'TW
r
Momento de inercia respecto al eje X !=JJf(z*+ y*)dxdydz
Momento de inercia respecto al ge X I = íljf(z‘ +y*)dxdydz
Limites OS0£2¡r; O áráa; O á z s -(a -r| a '
i* = Vtxdydz J
OáP £2n; O á r á a ; Oázáh
y=iSen(<9);r*=x*+y* (z!+r*Sen1(O) O )rdzckd
y=iSen(0); i*=x*+yt I = JJJ (z* +y* jdxdydz = jj*J*J ’ (z*+ r'Sen* (<7)jrdzdrd o SOLUCKDNARtOANALISIS MATEMATICO HI
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^rr
hlía1r-3r1H+3rV
~rJ) , (ar3-T'*)5en1
M J.Unlir -j* d 6
Calculai
la
Integral
curvilínea
>0
jc(x’ 4-y s)dS,
donde
C
es
la
x = a[Cos(t) 4-tSen(t)] ; y = a[Sen(t) - tCos(t)],Ü S t i 2n.
- s r t « - ( i ^ i r î J ^ i f e a h ’ +aa1) 60 ’ x = a[Coa( tJ 4-tSçn(tJ] Fy = a ^ t ) ©
BTeuentrE la masa dE un hemisferio sfilido H de radio a ai la densidad en cualquier punto
Hallamos dS, al:
es proporcional a au diatanda al centro de labase.
dx = a£-Sen(t) +Sen(t) + *0oa(t)]dt = riOc»(t)dt dy = a[Coa (t)—Cos(t)-i-tSen(t)] dt = atSen(t)dr
£ ¡¡T T £ a F Densidad: ,¡ = \sj^ + ■/ -hz* = fcr -
dS = J{< kf + (dyj1dt =J[atCùs (t f + [alSen (t)]1] *
limites en coondenadas ŒfêritBS: O iÿfian
;
O i^ n / e
;
I^Coa*[tj+Cüs1
Ds z S h
dS = Ja’ ts M= JjJ/ï (x,y) dxdyiiE =
l?3p sSen(ÿ
= kj^J"™Sen
(Wl?
(t)Jdt = atefc
Ahora laInte^al de línea ( * » (f H
+a’ (S^1(t)- tlCûa(t)/ J313* =
J^[Coal (t) + atSen (t)Cos(t)H-t’Ben1(t) + t’Cos1(t)-StSen (t)CcB(t) 4-Sen1(t)^*tiit
■■■(.- (<•+ < » ■*’ [7
ICalcular la integral curvilínea JtVË5*+z*dSl
]-« ■ ■ k
: la circunferencia:
x, +y, + zs =¿, ry = i£.
-----
I
« )
..™-.KlLkp.rj.cD-n--------------------------------------------------------SOLUCIONARA ANALISIS MATEMATICO III
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dx = ->/3sen(t)dt
¡ dy =-V3cos(t)dt
Lacurva en forma paramélrica está dada pon x'+ y'+ z* = íy = x
=>
x1+ / +z* = a’
=>2x*+z! =a’
Lueso: dS=>/(dx), + (dy), dt=^[V3Cos(t)J + [^ 3 S ^ t }J d t =>/3dt Ahora la integral de linea:
x = ^ Cbs(t ) ; Y = j* C ta (t) , 2=a9a>(t) Je(x’ + y '+z* dx = — -¡L Sen( de)
= r t 3^ * W + 3Sen’ (t)+ l}/ 3dt= V5J*’( 4) dt = 4^3 i|’ *= 8 ^ 3
; dy = — |L Sen(dt) ; dz = aCos(t |dt Calcular |^x"yzdSt donde C recorre la intersección de los planos coordenados con el
dS=>/ ( ^ 7 ( d ^ 7 ( d ¡ 7 * = J - J Serf ( t ) + ^ Sen*(t)+ÍC orf { t)dt dS=
plano 2x+y+z = 1
[Sen* (t )+ Sen’ (t )]+a’Cos*(t )dt = ^a'Sen* (t) + a'Coa' (t)dt dS = adt I = JcV2x* -«-z’dS = J“ Va*adt= a’t|* = 2¡ra'
Calcular la integral de linea J |x* + y* - z! |dS, donde C recorre una s intersección de la esfera: x*+/+ z* =4 ,con el planoz=1.
Si z = 1en la esfera: x, +y’ +z’ =4
,
X* +y* +1=4 x*+y* =3
= v‘3Cos(t) ; y=
1 SOUICIONARIOANALISIS MATCMAnCO III
l, = jx = (l - t )/2 =3.
=0
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-= ^ c =j
15=^(djt)' +(dy)‘ + (dz)'dt
l , = ^ = l- t = » dy=-dt x=a \
CaloJa-J^xïndË dande C es la paire de la recta K+y+z=lr y=z que se encuentra en d
dS=VTTÏ7Ôdt=s/âdt => I, =J xVdS=JVjradS = J'(0)(L-t)tV2dt = 0 rx = t;a [,= z = 1-2t [ Y=a
[dx = dt/E dz = -dt dy = 0
primEr octante: ; Q s ts l ■ d5 = ^(dx)1+(dy)‘ -+(dz)’ dt
JS= j 4 + 1/4+0dt I= T, -i-T^-HL, =O+0+Ç=O
Déterminé J^x^ + y 1JdS r donde C ®e Laaemidricunferenrïa formait por el eje X y la mirad auperior de ladreunferenria x1+ y1= 4 . la recta: A( 1,0,0) AB=<-1rl/SrlÆ) => x = li - yi=t)3 ¿
T
B(0,1/Srl /S) P= {1,0,0) + i{-1
■ z=tî
:
dx=dt
;
dy=dtÆ
d S=j{ftsf +(dy]T-i-(dz']idt=-/l + 1 / 4 + l/ 4 t it= ^ !
A
x = aCos(t) ; y = 2Sen(t)
Ahora laintEgral de hnea, donde 0 £ t£ l
Û StSa Hallar™sdS,ai: j dx =-2Sen(t)dt : dy = 2Coa(l)dt Luego: dS = i/(dxf +{dyf dt =^2Coa(t)]' -i-faSenft^dt =Edt EndejeXy = 0 ; x = t=> dS=dt ¡ - S i t s 2
£ (x= 4- y1 ! )dS=
O
Calojlar la intégral curviMnea J^ndE raiendo r el radio vector. a) A lo lar^o de una vuelta compléta de la hélice cinica de
Ahora laintEgral de linea: +Cha=(*)+. 4Sen=(t)]2dt+- j^tdt
x = ai£os.(t)
;
y = alSen(t)
;
:
dz=±)1a
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b) A lo larga de la reda x = at
y = at z = C t:
La curva en fanniaparamÉtrkseatittoda por: x: = aECa&(t)
;
y = aáSen(t)
;
z=ct La ajTva en forma paramèdica está dada por
Hallamos dñ, si:
z= d
x=at ;
dx = B^-íSen(t)+ Coa(t)]dt ; dy = a£flCca(t)-i-5ei^ t)] dt ; dr=cdt
dS = J (dx)1
-+(dz/cfc
ai: dx = adt ;
dz = cdt
d£ = J(dx'f +{dy f + (dzf dt = v af +c*dt = i/a* + c*dt Ahora la integral de Unea, donde û S t S 2ai para una vuelta;
dS = Ja 1[Cas (t ) - «Sen (t)]" + h1[tCoa (t)+5en (t)]“ + c?dtd5 = [ cüs?(t) -21Sen(t)cttí(ii) + t’seii1(r) + 5«? (t) +21Sa>(t)Ctja(i:) + ["ctis?(t)] +t?dMS
1=JrndS=J^ti/a*+c1Va*+c'dt=-í--^^ =2j^a’+c1}
= / 7 [i 7 7 p ? d t Hallamos r:
Calcular la intesral curvilínea
d3r donde C es el anco de I
r =1/ki + ■/ +z’ = ^ t ,€o¿! (t)+BVSen’ (t)+ c V = tVa° +c° logarítmica r = ae"'r (m > 0} r desde el punto A(0,a) hastael punto E(-í(\.Oj. Ahora la integral de línEa, donde Û£ t ¿ 2n para una vuelta de lahélice:
J^rdS=JJ‘tJâ*+c“^â^îTt^^c*dt Si hacemos u = a*
P&ra una curva polar:
1’ )+c’ =tdu = Eta’dt
Nuevaa límitea:
t=0
d i donde
- ¡ r = ™ = " ? E*S#S*ir
=* u = al 4-cs ; t = 2n => u = a1(i + iit1) +t?
.
_ i
da = ^ {veT* )' +- (eme"" )°dfl = ae^dfl
[ = lL‘'f1riJK va‘ -*-c°vürtl1 va1-hc1!]111 J-’- ï 2a= aa’ f a y a j l ^ I = jjx* +Y1)l dS = j j r 1)' dS = JVdS = j*aJ|e^” ,*/Í7mrdfl
1_ SÛUUCIÛNABIÛANÁLISIS MATajATICO III
-A’.MVüJutjenij
Sm
e^ C _
“
(e _e
)
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Calcular la integrai curvilinea a lo largo de la cueva en el espacio J^ x 1+y* +z*)dS, donde Cesia parte de la hélice circular x=aCos(t); y = aSen(t); z = bt, OátsSit
2tdt
;
dy = dt
;
(2t’ +a,t)dt
(2t*+rf)dt
(í’ +a*)’ d S - 4t ■+1 a '(t«+ a'}d
Hallamos dS, si: x=aCos(t) =»dx = -aSen|(t)dt ;
y = aSen(t) => dy = aCos (t )dt
z=bc =>
dz=bdt
|St* + 2a‘ — QaV
i *(*+*) 1
Luego: dS = ^((hc)’ + (dy)* ^-(dzfdt = ^[-aCoa(t)j' +[aSen(t)]' + b'dt = Va' + Ahora la integral de linea: I
=jc(x’+y*
+z! )dS = |n’‘ [a'Coa* (t )+a’Sen* (t )+bV]>/a* +b’dt
t = V J 7 t f £"(á* + tfí')d t= V 7 7 tf
j 16 ' L ._
0
Calcular la integral curvilínea J^zdS, donde C es el arco de la curva x*+y* = ^ , y* = ax desde el punto 0(0,0,0) hasta A ( a, a, av 2 1. ÍjiV " '
256 " ? ( ¿ j lJ' ( U+\|U’
2S6 ] ] J
| V5 f 25a1 1625a' 17a" | 17a"A 25a' | J62Sa< 17a*Ì 2a’ I 16 V 256 256 + 256 [ 256 +V 256 256J _V|[9a^ /81a* 17a* 117a* 2a’ | 16 256 256 + 256
V
SOLUCIONADO ANALISIS MATEMATICO III
9a8 | 181a1 17a* 256 \~256 256
il
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO HI
1“
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| Js fS5a\ 60S |17aJ 2a’ [ 2S& + E5Û
35a*+ J â Ba1'|1 [ S56
JJ
7a T asaba) iva4 j as^+sa1 ’il Sa? [
556 + 2E6
[
JJ
256
dS = ^ a ’Sen' (tJCas^t^Sen1(t) + Coas(t)]± = 3aSen(t)Coa(t) dt En la integral: I = fl* “ + ï - ) d S = f “ [. « 5 » * (t)+^ ^* (t)](3 a )S e n (t)C o ,(t}d t
a
ES6
356
^
33
J
1=
©
Calcular la integral curvilínea
J ^ l _ SCoa (Et)+ Cca1 ( 2t)4- 1+ ECcaEc-nCos“ (2t) Ben (St)]dt T=
±mde C es la circunferencia 3^-i-y' +21 = i r
Jo' ![E + ECoa1 (Et)]Sen(2t) dt
l = 2 i _ J^"[l+Cm*[g»l>n{2t)dt = ^ | - ^ C a 3(gt)-f Cofl^ B0 j "
0
C ^ l a r la integral curvilínea 'J
-+y"1)dS, donde C es cl amo de la astroide
| , - i - | c c ( „ ) <2 Ç Î - C c . ( 0 ) - 2 Î Ü l J
x“ + y“ =aa,J. , - E
La parametrzadon de la astnoide:
^ - i . u
g
j ç ^ - , - g
=
, .
Calcular la integral curvilínea: J_Vx +y cE r donde C es la circunferencia
x = aSenJ(tJ
=>
dx = 3aSan* (t)Cos(t)dt ¡
Osti-reVa
y = aCcff1(t)
=>■
dy = -3aGos? (t)5en(t}dt =>■
xW =a*
dS=J(dît)1 +(dy)“dt
dS = ^ a ’Sen* ft ^Cos1ft l-'îa ’Sen’ (cjCos“ (t)± SOUUCBHAHO AMALISIS MATEMATICO III
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EEP1N D ZA.H JUKD E»« f
'+ y1 = a*(x' - y1) -» En laográfica: x1-4-y* =ax=* (x-a/Sjf -ty1=ál ti
o-
(i?
)]
\ \A,. w V S m-H
V = | ^ C ‘) : * = f[,_C!os(‘B dy=|cos(t)dt ; dx=|sen(t)dt
Ì= J (dx)’ + (dy f =
)' =a=[r W
(r1
r* =a=[Ctfi1(ff)-Sen ((?)] =a’Cos(3ii)
feramEtrizamoE
Cœ (t }J + [| Sen (t)] dt =|di
/
Ahora la intégral de línea;
1= j j r V1_2cqs t*)+ q h :1(*) +Sen 1(*p *=7 c j aD - ° Qs(*)}jt
- ï n * » r o — 5 [a c «(w s )]r
t
I = -a’ Coa(*)+ i Cos(O) = Sa’
G) “
la integrai curvilinea JJyjdS, donde C ea d arca d
(* W )l = a V -/ ) rj«,taJCQ5(Bfl)Sen(fl) adfl ^
,a a^¡Gos(W)Sen(íf)x¡0
^Ccs(iô)
^CoE(ay)
Païametriiamoa en polares; x’ +y1=r*
;
dy = rCoa(t)dt
y = iSen(t) ;
x = iCo£(t)
dx = -r5en(t)dt
I = a’ J^*Sen(tf)d +as£^Sen(Cl) d 0 - a’ J^Seti (fl)dfl - a 1j^Sen (tf)d(V I = -a 1[coa ( í £* + Coa{o
- Cœ{0 J"*
J|^ J
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I--V[&*(iiM)-Cos{0)+Q*(ji}-Q«(a
Ahora la integral de Ifnea:
l«=
©
“ “
" t í * +y*)dS, a lo largo de los caminos indicados.
a) El triangulo can vértice (0,0) y (0.1) recorrido en sentido contrario al de las agujas dei reloj. b) El círculo x'+y" =1 desde (1,0) a (0,1) recorrido en sentido contrario a las
En la recta x = 0 y = 1-t
;
x=0
;
dx = 0
;
dy = -dt
¡
O á tá l
dS =^(dx)' +(dy)! =dt
agujas del reloj. Ahora la integral de Ifnea: l3= Jc(x, +y , )dS = |o'[(1- t), +o]dt = - £ - i l | =0+i
X<0,1]: y=0 ;
l.a / 3 ,1 3 +~ T + 3
:
2(U ^ ) 3
b) x*+y’ = l desde (1,0) a (0,1) dy = 0 ;
dx = dt ;
O s ts l
Cts=^(dx)’ +(dy)* =
Ahora la integral de Ifnea:
i=^(dx)’ +(dy), d t= ^ 1 + (-l),dt = V5dt
I SOÜJCIOMARIOAMAUSIS MATaiATICO III
y=Sen(t)
■
x=Cos(t)
dy = Coe(t)dt
;
dx = -Sen(t)dt
OstSit/2
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O dS=;'(dx)' + (dy)'dt
^
Calcular J (xy )dS, donde C es el contorno del cuadrado |xj +|y) = 2
dS = ^Scn’ (t)+Cos, (t)dt = dt
íora la integral de Ifnea:
r*-c-í \
ir Jc(/ )d S , dondeC: u (t)= (a [t-Sen(t)],a[l-Cos(t)]} ;
OSt S2jt .
/ C « y v 1*'
X -..
,
\ / 7 * . Jc(y’ )dS
;
« (t)= {a[t-Sen(t)],a[l-Co a(t)]j ;
0*1*2*
Hallamos dS, si: da (t) = a[l -Cos(t) dt, aSen( t) dt] = a '(t) = a[l - Cost,Sent]
Parametrízamos en cuatro regiones:
dS = ^Sen’ (t)+Cos! (t)dt
dS =||«' (t )|dt = b^ [1-Cos (t)]’ +Sen* (t )dt = a^2[l -Coa (t)]dt I =J*a‘ [t - Cos(t)]’ */2v'1-Co6(t)dt = a V 2 j* 4Sen*Í .JSsenldt I= 8 a ^ ^ 1 -C c s 'ijs e n íd t I =8a,J* ^1-2Coe!Í +Cos‘ Í^emdt
I =8a3[ -2Cos- + - Cos5- - i Cos“- 1 [ 2 3 2 5 2 Jj
14=
X = t => £JX= at ; 0 S t* 2 ¡d S W TT íd tW S d t
[y = t- 2
\dy=dt
l=l1+1, +ls4-I4= Jc(xy)dS = j;,t(2-t)V2dt+ |i, (-4)(2-t)72dt *Ia,( - t)(‘ - 2^
+/o , t(t-2)V2dt
l=-/2£ (2t - t ,)dt+'(/2 J'(t' - 2t^t+V2^ (2t-t* )* + & J*(t* - 2t)dt SOLUCIONAR« ANALISIS MATEMATICO III I
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0
Calcular la integrai curvilfnea J^xydS, donde C es la cuarta parte de la elipse
l= V 2 £ (2 t-f +? -2t+2t-t* +t* -2t)dt =>/lj[i"(0)dt =0 — G
= l situada en el pi
Calcular JcVx* +y*dS, donde C es e) arco de la envolvente de la circunferencia x=a[Cos(t)+tSen(t)]; y=a[Sen(t)-tCos(t)j, OàtsSn. x=aCoe(0)
; y = bSen(0) ;
dx = -aSen(V/|di’>
; dy =bGos(0|dtf
u = a’Sen’ (0) +a*Cos*{
Lacurva en forma paramétrica està dada pon x=a[Cos(t)+tSen(t)]:
du= [2a*Sen(
y = a[Sen (t) - tCos(t)]
x=0
*
x=i
*
Hallamos dS, si:
u= a' Sen1(0) +a*Coi f 0) = a?
dx = af-Sen( t)+ Sen(t)+tCoe(t)]dt = a»Cos(t)dt dy= a[Cos (t )-Cos (t )+ tSen (t )Jdt= atSen(t )dt
1=abf‘Vu !ab(a' - b 1 ’)'
dS =^[atCas(t)J +[atSen(t) J dt =^rf t*[eoe? ( t)+ Serf ( t)]dt dS=atdt
dU =^
f
L' ~3(2)(a’ - b ’
» (■ )(* -* ) 2ab(a-bj(a! +ab+b*) 6(a+b )(a -b )
ab(a*+ab-t-b‘ ) 3(a+b)
Ahora la integrai de linea 1= Jc^x! -y 'd S = l^yfa' (Cos(t)+tSen(t))S+a, (Sen(t)-tCos(t))'atdt I -£yCoa’ (t }+2tSen(t)Coa(t)+t'Seri» (l) + t*Cos>(t) -2tSen(t)Co»(t)+Serf (tjrftdt
Evaluar la integrai curvilfnea J^x5+xyjdx+|y! -x y jd y , donde C es dado por x* =2y del origen al punto (2,2).
Si 2y=x*
=>
dy = xdx
;
0áxá2
En la integrai: I SOUJCiONARIOANAUSIS MATEMATICO III
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMÁTICO III I
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|= |i(x*+ xy)dK+(y * -xJr)dy-| .,[x*+^ + ^ - ^ ) ( x)|t c
i-fi****3* **L-x>+£ -é' -8+2+a_!?-62 ~ J »[
!
4
2J
~3
8
24‘ T q ,
3
3 15
15
0
Calcular la integrai curvilinea Jc(x’ -2y)dx+(2x+y, )d y , dande C es et arco de: y* = 4x-1 de A|— ,ol hasta b Ì - ^ Ì
Evahie la integrai curvilinea Jc(yx*)dx-t-(x+y)dy, donde C es dado por y = -X1 del origen ai punto (l,-l)
; dy=dt; dx = - - - ;0 S tS 2
x=t
; y= ~ e ; dx =dt ;
1= j V !dx+(x+y)dy =
(T\
dy = -3t’ dt
; PfO.O) ; Qf1,-1)
+ (t - e)(-3t*)]dt
Calcular la integrai curvilinea
Jy +xdy 'dx
, donde C es la curva
y*=
O
Calcular la integrai curvilinea J^yzdx-xzdy+xydz, donde C es un arco de la hélice x=RCos(t); y = RSen(t); z = | Ì , desde d punto de interaección de la
A<0,0) hasta B(l,2). hélice con ei plano z=0 hasta el punto de interaección con ei plano z=a_
ydy = 2dx; 0 s ts 2 =
; 0 £ t£2 ; dy = dt ; dx =
S x = RCoB( t ) ; y = RSen(t): z = 2!t z = 0 =» t = a ;
z = a =» t=2n
;
0sts2n
SOLUCKDNARtOANALISIS MATEMATICO HI
E
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; dx = RSer(t)dt
¡
dy = HEcïi(t)dt
j
I= £ (2 + at -t-Bt1+ 2+ 12t + 1 3*=+3 + 1 Üt -HlEt* ^Jt
dz=JLdt
En la integrai:
.= F'[ 7 4 3 5 t ^ W = 7 t 4 ^ J S t f = 7 4 ^ ^ ■' 3 3 |„ 2
J ■yudx— Kzdy + xydz r= «.f BatSHi(t)['KKn(t)'] J“ [
<
RaCoa(t)['HC0G(t)] | ^ a B e ^ C o sft)!
SK
Sit
^
3
=M 6
Calcular la integral curvilínea J"t(x + y)dx4 (x-y)d y Sit a) Alo ™ largo I de I
OA y QB donde 0(0,0), A(2,0), 3(2,1)
b) A lo largo dEl
.-g
u = t i d u = dt
;
Y = J c c a (2 t )d t = - ^ ^
r ^|D £ )
Ci,l>
aB‘|~CM(4»).Cce(0)j f
Qtcontiar la ¡ntesral curvilíneaJ^x* + y’ )dx 4-x>idy , ä el camino que une A{1.,L)y
1 y = Q ; dx = dt
- [ 0 jE] ;
; dy = 0 ;
O stsS
B(3,4) es un segmento de recta. I, = ¿ (* 4 ¥)d*4.(*-y)d¡, = £ [t4 0 (t -Q )(0 )> = ^
=2
ira la necta ye[t>,l] El vector AB=(3J* }- ( l rl ) = ^ 3 ) La ecuación vectorial de larecta: P= (lJl)+t(2,3j La paramemzadùn: x = 1+ St ; y = 1+3t ; Ù S tS l ; dx=2dt ; d>tiid: 1= jj[(l4 Et’)+ {l +31*)](& #) +(l 4 St)(l +3t)(3dt) SÜLIJCIÜMAHIÜANALISISMATHÀT1CO III
X= 1 ;
y=t
;
dx = 0
¡ dy = t ;
0 £ t£ l
1la integral :
+ y)dy=0{l^K°) +C-*)>t = t—Ï|’=1- r ^
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Finalmente 1= 1. +1 = 2 + - = ’ * 2 2
K2- » ) > -x r [ ° - o - ( 2-* )’](©)
1= /„K21-
I= J ‘ (2t -t* - 4t+4t’ )dt = |*(3t* - 2t )dt = i ' - t = 8 -4 = 4 A lo largo del segmento OB y = x/2
=*
x=t
;
y=t/2 =» dx = t ; dy=t/2 ; 0 stá 2
Calcular el valor de la integral de línea dado por
y)dy _donde C
es la circunferencia x* + y* = a*, recorrida en sentido contrario al de las agujas de) En la integral
reloj.
lj =Jc(x+y)dx+(x-y)dy=£,[(t+t/2)+ (t-t/ 2)(l/2)jdt
x=aCos(t)
;
y=aSen(t)
;
0sts2tt
la integral curvilínea J y d x-(y+ x')d y, si C es el arco de la parábola dx = -aSen (t) ; y = 2 x -x ’ situada 9obreel eje Xy recorrida en sencido de lae agujas del reloj.
dy = aCos(t)
Ahora la integral de línea., (x-t-y)dx-(x-y)dy Je x*+y> ^^ j,.« |~aCos(t )->-aSen(t )][-^aSen (t)] -[aCos 11) - aSen (t Tj^aCos (r ^
l = £*[-Sen(t)Cos(t)-Sen, (t)-Cas, (t)+Sen(t)Cos(t)]dt
l=JT [Cos,(t)+Sen,(t)]dt =_C =~2x Calcular la integral curvilínea J (x -y)'dx+ (x+ y)* d y, si C es una línea quebrada OAB donde O (0,0), A(2,0) y B(4,2). dx = - dt; dy = 0 SOLUCIOMARIOAMAUSIS MATEMATICO III
oduWru-oom
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c En la integral: I, = J^xydx+x*dy = £'[t(O )- ljdt =
-tj =J
- 1= _ i
x = 0: x = 0 ; y = 1 -t ; O á tá l ;dx = 0 ; dy = -dt A«,0)
En la integral: l4= Jtx>rtc+x,Üy = jj0 (l-t)+ 0 ]d t = 0
La integral tiene dos regiones OátS2 ;
X=t
0 StS2 ;
x=t+2
y=0 ; dx=dt ; dy=0 y=t ; dx=dt ; dy=dt
l=1,+ l,= Ja‘[ ( t - 0 )! dt+ (t+0), (0)]+ í ; [( t +2 -t ), + (t+ 2+t), ]dt O 4 (t+ í)1 ' 8 4 136 = -+ 8 + 3 6 — - =— = Ía't'Ck+ r [ 4+4(t + ,), ] t* = | [ + t+ A
Acular la integral curvilínea J^x* -2xy)dx+(y* -2xy)dy, donde C es la parábola y = x* (-1 S x á l)
s (0,0); (1,0); (1,1) y
Evaluar Jxydx+x'dy, (1,0) en ese orden.
En la integral: l= J”i[(t*-2t:l)dt+(t4-2 t:,)(2t)dt] x e frl] x = t; y = 0 ; O á tá l ;dx = d t:d y = 0 ti n
Q
En la integral: I, =£xydx+x’ dy = 0
a) la curva C:X=y*, z= 0 desde A hasta (1,1,0)y la recta L x=l Ay=l desde
Y «[0,1] y = t ; x=1
Calcular £yzdx-xydy+xzdz entre los puntos A(0,0,0) y B(1,1,t) a lo largo de los siguientes caminos:
; O á tá l ;
SOLUCIONAR» ANALtSISMATEMATICO III
dx
(1,1,0) hastaB.
1
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b) Siguiendo el segmento rectilíneo AB = H ,- H = í1_x+' ; x n * \1-1+X ; X a)
x=y*t z=0 desde A hasta (1,1,0) y =t
; x=t*
; z = 0 => dx = 2tdt ; dy = dt ; dz = 0
;
O s ts l
I, = J[ yzdx+xydy+xzdz = £(0+t3-i-0 ^ Jt= ^ =•! xe[0,l]: x=t ; y=t Ahora en la recta L x=1 Ay=l desde (1,1,0) hasta B y = 1 ; x=1 ¡ z = t ^ d x = 0; dy = 0
; dz = dt ;
O s tá l ; dy=dt :dx=dt O s ts l -£[(•* *<■)*(<■-<■)>
lt = £yzdx-Hxydy+xzriz = £'(0+0+l)(Jt =-^j = i
x=c+1 ; y =1-t
¡
O á tá l ; dy = -dt ; dx=dt
i, = j ; ( [ ( t +i)‘ + (i -t )* ] d t -[(t+ i)* -(i - t ) * } d t b)
Desde A(0,0,0) hasta (1,1,1) y=t
; X =t ; Z= t
=» dx = dt
; dy = dt ; dz = dt ;
1= Jyzdx-xydy + xzriz =
f (Utf (t + lf 3
3
(1 -t r f 3 I
8 3
1 S 12 3 3 3 3
+t5+ ts)dt = ^ | =1
Calcular la integral curvilínea Jc(x*+y, )dx+(x, - y ,)dy donde C es la curva: y:1—|l-xj, 0áxS2
I SOUJCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
(t+ l 3
O á tS l
O
Calcular la integral curvilínea Jc(x + y)d x+ (x-y)dy donde C e y* ^ -+•~ = 1, recorrida en sentido contrario al de las agujas del reloj
»•«/edukperuajm
w«'.c-jLktcr j .cotí
SOLUCIONARÍOANAUStS MATEMATICO di
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En ct esquema, con d desarrollo correspondiente a las expresiones de valor
x=aCos(t)
;
y = aSen(t) ■ 0áts2n
dx = -aSen(t)dt;
dy=bCos(t)dt
Ahora la integral de línea: 1= ^(x + y jd x + íx -y jd y I = £* ([aCoa(t)+ bSen(t)][-aSen(t)]+[aCos{ t) -bSen( t)][bCos(t)]}dt I = J’*[-á,Sen(t)Cos(t)- abSen*(t)+ abCos’ ( t ) - b'Sen(t)Cos(t)]dt
l=-2||’dt+8^dt = 0
Calcular la intesral curvilínea J^x’ydx-X^dy, si C es el contorno limitado por las , ^ (a1♦b*)Co6(4n) (a‘ +b‘ )CoB(0)
parábolas y* = x , x* = y , recorrido en sentido Inverso a las asujas del reloj.
donde C es el contorno del cuadrado ABCD, siendo A<1,0), B(0,1), C(-l,0)y D<0,-1)
Las rectas que conforman este cuadrilátero: x + y =1
; x + y =-1
'<¿L
; x -y = 1 SOLUCKDNARtOANALISIS MATEMATICO HI
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[y=t*
(dx = 2tdt x=t=»dx=dt ; y =— =>dy = tdt ;
V = 1 -t
fdy=-c
Desarrollando la integral i = f t t v - t * (2t)]<*+ } ; [ - ( i - t )4( i - t ) 1(2)+ ( i - o ‘ )*
^
Calcular la integral curvilínea
+y) dy, donde C es el are» de lacurva
x -y *= 0 desde(1,1) a (0,0)
O
Calcular el valor de la integral curvilínea J^yx’dx+ydy, siendo C la ecuación y*+2x*-2Rx=0
Parametrizamos: y = 1 -t
x = ( l - t ) 4 => dy = -dt ; d x = -4 (l-t )1 dt y1+2x* - i V*
£ )
CalcularJc(tf-yz)dx+(y*-xz)dy-xyife, donde C es la curva dada por las ecuaciones x = t , y = ^ : z = í- desdeA(0,0,0)a b |1,— ,— I
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Parametrizando la curva x=2Cos(0) 2
2
=>
Y = j2Sen(o) =>
'= V l— Sent
— RSent 2
dx=-2Sen(/?)d# dy =v'2Cos(0)d0 ;
OSÉ»£2*
Sustituimos en la integral: 1= £**[2005(0)>/!Sen(¡y){-2)Sen(#)+[4Cas' (0)_2Serf (0)]V2Cos(0)]d
c—
I=J0W[-+/2Cos(0) Sen’ (0 )+ 4^200®' (0) - a/aSen*(0) Coe(0)]íty kyx'd x+ y* = ¿ J ^ R S e r * g
J* I =J0’*[W5 [i -Sen'(0)]Cos(0) -6Vl2Sen'(0)Cos(0)]d0
=
| R4
Sent(l+ Cost)’ Sent+-1 ScmCostJdt
I = 4J 2|^Sen(g)
j - a/isen* ( 0]]* = O
5R4-/g.r 64 O ^
Calcular J xydx+ (x*-y1}dy, a k» largo de la elipse x*+2y* =4 recorrida ei
Calcular JJx* - 2y)dx+(2x+y *)d y , donde C es el arco de la parábola y* =4x-1 desde (1/4,0) a (5/4,2)
1
. . i ^¡ rdxa=—r y =4x-1 => y=t i => x =—i —+ i; ^dyj= dt Sustituimos en la integral:
;
0 stá 2
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.=l[£+ 8+i2 +.6Jl=*!L 32|_6 1536
Sustituimos en la integral: | = j V ( 3 t * - « +2 )A = j;(3 í‘ -6t>+ ! t * ) d t = ^ - | l +S ! j
O
Calcular J ydx+ (x* +y' |dy, donde C es el arco de la circunferencia y = v U -x '
t 3(32) 3(16)
16
8
de (-2,0) a (0,2) O
y= V 4-x*
Calcular J<_(y-x)dx+x’ ydyra lo largo de la curva y‘ = x\ desde (1,-1) a(1,1)
=> x* +y* =4 =»
fx = 2Cbst Jdx=-2Sentdt { y = 2Sent ^ [dy = 2Coetdt Jcydx+(x’ + y ’ )d y = J^[2Sent(-2Sent)+ 4_2Cost]dt= *+8 y = t =» ©
Calcular J V d y , a lo largo de la curva y=x* -3x* +2x, de (0,0) a (2,0)
dy=dt ; x = t M =» dx=(2r*'J /3)dt ;
-1 S t S 1
Sustituimos en la integral: , = j ’ [( t - t - ) ( 2 t - « / 3 ) + ^ ] d t = j ’ [ ^
- ^
U 210J t. 52I0J 5 dx=dt ; y =t’ -3 t” +2t
=» dy = (3t'-6t+2)dt ; 0 s ts 2
+ t -)d t
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r i
0
Calcular Jc— ^
. f*
- donde C es el arco de la curva x* -y* =9 de
|=j[*£flSen( t > - h t ] ( ^ ^ ) +[b*-í Cc8(t)]aC ^ ^ )+[iOai(t)-«S «^ )]b )*
cW x '-y ’ yx’ - y '
= jJ'[-a*Sen’ (t }+abtSen (t)+abtCoe (t) -atos* (t) +abCos (t) -abSen (t)jdt I = Jo“ [- a ’ + ab*Sen(t}+ abcCos(t)+ abCos(t)- abSen(t)]dt
x = 3Ch(t)
=»
dx=3Sh(t)dt ; y=3Sh(t)
=> dy = 3Ch(t)dt v = j ‘*[abSer(t)+ abCos(t)] = -abCos(t)- abSen(t)
O s ts Arcch(5/3)
=>
e’ =3 I- -»*t -*tCc*(t) t ab(&»(t)[* iJ“[abCos(t)]it |"[*Scr(t)]* J **[^abCos(t) -abSoi(t)]dt l = - 2 » , -2®b+2abSen(t)+2abC06(t])*' =-Sit(a+b)
G
Calcular la integral
J^ydx+xdy+xdz, donde C <
x=RCos(a)Cos(t)l y = RCos(«)Ser(t), z=RSen(«), («u = 2AmS(e, )= 2Anrtg(3)
en el sentido del crecimiento del parámetro.
C h F)= O
Calcular la integral Ji (y -z )d x + {z -x )d y + (x -y )d z , donde C es wa es hélice circular x=aCds(t), y = aSen(t), z=bt, correspondiente a la variación del parámetro t, desde 0 hasta 2«.
x = RCos(u)Cos(t)
=>
dx= —RCos( « )Sen(t)dt
y = RCos(«)Sen(t)
«
dy=RCos(a)Cc6(t)dt
z = RSen(
dz = 0 ;
0átá2it
Sustituimos en la integral: x=aCos(t) z = bt
=> dx = -aSen(t)dt ; y = aSen(t) =» =»
dz = bdt
;
O £ t á 2it
dy = aCos(tjdt
l= | ’ ‘[-RCos(íi)RCos(«)Sen(t)Sen(t}-RSeii|>/)RCos(«)Co6(t)+0]dt I =/ “ [-R to s *(a )Sen1(t) +RsSen! (a)Cos(a )Ccb (t)}*
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» BXAÀUDOESf'WOZARAMOS J
CAPÍTULOv«
ewnuoyn
' - í : [ ^ ' (" )1 C” (2t) +R’Sen{«)Cos(«)C<»(t)j* (= . ^ f c | t _ £ ^ ) J +R.Sen
£
Hallar £ydx+zdy+xdz, donde C es la intersección de las superficies x+y = 2, x1+y* +z? = 2 (x+y). La curva es recorrida de tal manera que mirando desde el
)Cos{„ )Sen
origen el sentido es el de las agujas del reloj.
Calcular la integral curvilínea
>donde C es el lazo derecho de la
x+y = 2
=>
x’ +y, + z, = 2 (x +y)
*
x*+y, +z, =4
9
dx = -/2Sen(t)dt
y=2Cas(45°)Sen(t)
=s
dy=V2Coa(t)dt
z = 2Sen(45°)
=»
dz=0 ;
x = 2Cos(45,I)Cos( t )
Lemniscata r* = asCas(S¿?), que sigue en el sentido contrario de las agujas del
0át£2it
Sustituimos en la integral:
x=aCos(t) => dx = -aSen(t) ;
y=aSen(t) =»
dy = aCos(t)dt l = J‘0,'[-2Sen, (t)+2Cos(t)]dt=j’ *[-1+Cos(2t)+2Cos(t)]dt
-*/4S«£*/4 I=-t+Jsen(2t)~2Ser
aCoS(t)aSgn(t )[^ a>Sen»(t)-a»CQS»(t)]dt 0
Calcular JcF(x,y,z).dr, F(x,y,z)= "* i - ¡ ^ j - ~ k donde C es la curva de
H M H =t (í 4 ) =o
intersección de la superficie esférica x* +y* +z’ =4 y el cilindro x*+2y* = 4 , recorrida de manera que, mirando desde el eje Z*, el sentido es antihorario.
SOLUCIONARLOANALISIS MATEMATICO III
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l=Jcxdy=J(]1(a-atJbdi:=atot— =ab^ x'l+ y ’ + z’ =4 x’ +Sy* =4
naiainea'izamos en ooonderiadas polares: x
z =±y
=i 4-y*
=BCos(t) =>
dx=-2Sen(t)dt ; y=>/2Sen(t)
Calcular la integral de línea J^F (K,yrz)* dr r donde F(x,yrz) = (xy,y,z) ylacuva
=> =
dy V£cos(t)dt
ÜSt¿2it ; z = 0 I= £ f ( x y
C está forma por las interaeodones de las superficies 5 ,:* '+ / = ? con 5 , : x1+Y1-4-z* =6k ry 5 ,: Kl +y1=9 mn S, : k = ^ '^
, de manera que ai ae
gCQatt) ^ Sen(t^ ,|-| -3Sen(t)rj8 C a i(t)ro].at
La interaecrifin dE laEdosprimEras OMvas; c
(ÜjoulHr J^xdy r donde C es un segmento de reata —
= I desde el punta d
el ejE de abscisas hasta el punto de intersección cor el eje di
5 , : ^ + ^ =9 Faiaitietriiamoa:
A
S1:3i*4-y14-z*= 6k
z=t
=*
Z1 = 6x-9
; x = (t*+<)) /6 ; &£ts3 ; y = 0 dz = dt ; dx = trltí3
iiy v t t
í, = £ Ffx.y,!) •dr =
k,z) *{ dx, dy, di) = £ ( xytfc 4-xrijr + zdz)
^ = j > ^ = í [ =l La interaeocifin dE las dos siguientEa aivas; 5 -x*4 -^ = 9
A
SL:k = J — +^~ ^ > 3 3
3/ÍSK S3
ÜSZS373
=>
4jí =9+a?
y=0
t=X_Írí=P=(a,í})-M :(-a,b) ; Ostsl x=a-at => dx=Hdt ; y=tb =>dy= ^jÜUU^IQMARIQANALISIS MJlT B üIATICO III
=T SOLUCIOHARIOANALISIS MUQfATlCÜ III |7
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D...
=p(x,y,z) O
Evaluar J(^
% 2 Í= ^ a »(z )
)yE*,rCos(z)dx+ xe»Coe(z) d y - e*Sen( z)
^ .'n v -.n r ^ x’M ) = xC*'Cos(z)+ ^ (y'2) <5y
Verificamos si es una diferencial exacta: P(x,y,z)=yewCoa(z) =
g = e"Co8(z )+ xye«’CoS(z) £ = -yewSen(z)
Q(x,y,z) = xewCoa(z) =
Esta expresión es igual a Q(x,y,z): xe»Co,(z)+^ l = x ^ C o s ( z )
^ = e"Cos (z )+ xye"Cos (z )
S(x,y) = h(z)
*
...
Al reemplazar (2) en (1): f(x,y,*)=«wCos(z)+h(z) R(x,y,z)=
* (z )
g=-ye "S e n (z)
Derivamos respecto a:
S— Esta expresión es igual a R(x,y,z):
De donde: í? -Ü 2 dy ¿be
— =—
Sz dx ’
£Q_SR
dz dy
Por tanto es independiente de la trayectoria. Como es una diferencial exacta, entonces 3f: R1- » R tal que:
-e "Cos(z)+^ = - e " C c 8 ( z )
=>
^ = 0
De dórate h(z) = C,en(1> f(x,y,z)=e*'CoS{z)+ C Finalmente la integral: Í w ) ')'* ',<^QS( z) ^ +xb1*cos(z) dy -e ’'Sen( z)dz = e*Coa(z)
+cj^
SOLUCKDNARIOANALISIS MATEMATICO HI
s:
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Wdx+3ffi"c°s(zj'*■ -e‘>5en(z**=-"cos
(°)
J j " ^ 1ye^Cos (z)dx+ xe^C qs (z)dy -é^Sen (z)dz = -er! - 1
O
Evaluar
Evaluarlas inoegralea de línea;
a)
+ 2>¡>Sec(i}]*:+[Sec1(y) +>*Sec(i}]dif+Sec(z)[x,y1S(z) -5ec( z)]dz
deAH°) »
. (l + yl ldK íy+x’ W ---------— — rdonde C es:
e(4§J
b) J|_[EHCoe(y)-3}±e-[V5en(y)-HZ, }dy-(2 yz-E )dz de A (-1,(^3) alpunfci
a} O: Desde (1,(15 hasta cualquier curva b }G Desde (-3,0) hasta (-1,4) cualquier curva
a (l* Q ) g - 'i n j ^ 'T F ai> Jc[Tg(x) 4-2xySec (z)]dK+[Sec’ (y)+x*Sec(z)]dy+Sec(z}(jí'yTi(z) -Sec (z)]dz a) Paiametrizamca en una recta: y =t dy = dt
=> x = at+1
=>
Tg (xj + 2xy5fecfi )
dx = 2dt — =S3¡Sec(z) df a+st - t - 4 t - 4 t - i
(Bt+ l)P
=
J
—=2>SBCfZ) rtv
J*Lm r sJ*
;
k’
T ixySec (i )Tg |z) ;
2L 2J"j_(ít-.-l)=J
r =S^ ( z ) T g í z )
■
Sccl (y)+3í!SBc(z}
f
= x ^ (z )r g (z }
Í*(«4-1)= iP _ ¿Q
,= _ ,^ r _ i — 2 _ f = _ i ^ M 2 t+ i f - 1 ^ E-^Bt+1 2(S!t+Jl)(( 4 I . 10
SP_.BR
SQ_at
Per lo tamo es independiente déla trayectoria. Como una diferencial exacta, entonces existe
tal que:
íf c p iU c ™ ,)
y
.« * » ,)
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«DO ESBOZA RAMOS -T S(0)-Kln[Co8(2)]-4{*/6)Sec(0)-HB(*/6) Si ^ J ^
I=V3-Ln[Cos(3)]+9n/2+1+Ln[Coa(2)]-2*/3-^
= P(x,y,z)=TS(x )+ 2xySeC
a/3 , [Cos(2) f (*.y,z)= ][Ts{x)+2xySec(z)]*c+s(yfz )= -Ln[CQs(x)]+x»ySec(z)+s(y,z) ...0 ) b) Ji_[2j¡Cos(y)-3]dx-[x,Sen(y)+z*Jdy-(2yz-2)
B(l,tt,0).
= x>Sec(z)+Slr (y)=Q(x,y,z)=Sec*(y)+x*Sec(z) sT(y)=sec’ (y)
S(y,z)=JSec*(y)dy+h(z)=Tg(y)+h(z)
... (Z)
P(x,y,z) = 2xCos(y)-3
- =-2xSen(y)
Q(x,y^) = -x ’Sen(y)-z* =
B = -2xCos(y) =
Rfx,y,z>= 2-2yz
( 1> f(x,y,z)=-ü>[Cos(x)]+ x,ySec, (z )+Tg(y)+ h(z)
Como-
£ = £9 ñx
£Q = SR Sz ~ Di
• i ? =¿5 ’ flz Sx
Por lo tanto es independiente de la trayectoria. Como una diferencial exacta, f M ^ ' y S e c ( z ) T 3(z)+h-(Z)=R(xIyrz ).S ec (z)[xV g(í ) - Sec(z)] De donde
g'(z)= -S e c'(z)
=»
h(z)=Tfc(z)
entonces existe: f
tal que:
í ^ i )-p (w
)
,
Por lo tanto: f(x.y,z)=Tg(z)-Ln[Cos(x)]+x, ySec(z)+Tg(y)
f(x,y,z)=J[2xCc^y) -3]dx+S(y,z) = x*Coe(y) +g(y.z) ■■■(D ^Tstn/SJ-lnfCospg+^irM jSectn/SJ+'llgtit/*)-
i
SOLUCIONARIOANALISIS MATatÁTICO III
SOLUCIONARJOANALISIS MATEMÁTICO III
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D Ahora derivando respecto a y:
.
CKx,y,z)=6xy*+1
=»
g = 6y*
;
g=0
.
R (w )=
=»
— = -16xz dx
;
— =0 dy
=-x-Sen(y)+8> (y,z)=Q(x,y,z)=-x«S en(y)-z’
S,(y,z)=-z’ Como-
Integrando respecto ay; 8 (y ,z )= J (-z , )<*y+h(z)=-*V+h{z) ...{?)
8y
0x
'
dz
Í2 = ® 8x ’ Oz 8y
Por lo tanto es independiente de la trayectoria. Como una diferencial exacta, entonces existe: f : 9t' - » W tal que:
Reemplazando (2) en (1> f(x,y,z)=x*Cca(y)-z»y+ h(z)
£ í g ± U ( „ ,l)v
2 ^ Ü . 0 ,w
)
,
Ahora derivando respecto a z: «(*■**) De donde:
h'(z)=2
y+h'(z) = R(x,y,z) =-2yz-r2
S I ^ Í H ^ = P (K .y ,i) = 2 y ’ - 8 a ’ Integrando respecto a x:
h(z)=2z
f (^y»z) = /(^y1-8xz*)dx+g(y,z)=Sxy* -4 x’z*+g(y,z)... (1)
Por lo canto: f(x,y,z) = >ÍCoS]= f(X'y' ZC
Ahora derivando respectoa y: f Í H d = 6xy* +Sy(y»z) =Q(xIytz) = 6xy* +1
) =f ( U O ) - f ( - W )
l= C o s (it)-C o s (0 )-6 = -1 -l-6 = -8
s,(y.zH Incegrando respecto a y:
S(y,z) = Jdy+h(z)=y+h{z)
c) £(2y> -8xz*)dx+(6xy» +l)dy-(8¡íz+32?)dz,desdeA(2,0t0)has«aB(3,2I1)
...<2)
Reemplazando (2) en (1> f(x,y,z)=2xy1-4x*z> +y+h(z) Ahora derivando respecto a z: J^Sy1-8xz*)dx+(6xy*+ l)dy -(8x*z+3z* )dz ef^ P(x,y,z) = 2yí -8xz!
i
= 6y*
De donde:
’- = -8x,z+h'(z)=R(x,yrz)= -8 x ,z-3z* g'(z)=-3z*
=>
h(z) = -z*
1
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*(x,y,z)
f(x,y,z) = 2xyI -Aaté +y-¿* |= C d[f(x,y.z )]= f(x tyJz]q
= f (W
P(x.y.z)
y
i í § l ) =Q(x,yrz)
) - f ( ^ 0) = R|x,yrz)
l = 2(3)(2)1-4 (3 )’ + 2 -0 = 12 P(x,y,z)=e'Sen(y)+yz d) Jc[é'Sen(y)+>z]dx+[e, CoB(y)+zSen(y)+xz}jy+[xy-Ccs(y)]z]dX+s{ y,z) = e'Sen( y) + *yz+S(y ,z )... (1)
A(2,0tI) hasta B(0, * ,3)
Ahora derivando respecto ay: M'r. ^ T ” rJW
¿f(x,y,z)
;e*Cos(y)+ xz+s, (y,z)= Q (x,y,z)= e,‘Cos(y)+ zSen(y )+ ¡
Jc[é'Sen(y)+yz]dx+[e*Cos(y)+2Sen(y)+xz]dy+[xy-Coa(y)]dz • PCx,y,z) = e*Sen(y )+yz
Sr(y,z)=zSen(y) Integrando respecto a y;
g -c -o -t » ).,
•
5 ‘*
g(y,z) = JzSen(y)dy+h(z)=-zCoa(y)+h(z)
• Q(x,y,í)= e’ Cos(y)+zSen(y)+xz
f(x,y,z)=e’Sen(y)+xyz-zCcs(y)+h(z) 5
g = s e n (y )+x
Ahora derivando respecto a z: —
• R(x,y,z) = xy-Cos(y)
De donde: x= y Como-
i? = ü 2 8x
di fix
!
'
x
= ~ * " (y)
I
^=xy-Co8(y)+h,(z)=R(xry,z)=xy-C os(y) h'(z)=0
»» h(z) = C
Por lo tanto:
3Q_oR az ¿y
Flor lo (aneo es independiente de la trayectoria. Como una diferencial exacta, entonces existe: f : 9F -»91 tal que:
... (2)
Reemplazando (2) en (1>
f(x,y,z)=é*Sen(y)+xyz-zCos(y)+C
,=C
d[f (^y'2)3=f( w < 3
I = Sen(n>+0-Cos(it)+C-e,Sen (0)+0-Cca (0 )-C = 1+0-1 = 0
1 “
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C_. e) Jt[2xln(yz)-5yi!*]dx-[5e* -x* /y]dy-t-(x*/z+2z)dz , desde A<2,1,1) hasta Ahora derivando respecto a y: =^Cos
Integrando respecto a y. S(y,z)=JzSen{y)dy+h(z)=-zCoa(y)+h(z)
... (2)
• P(x,y^) = e*Sen(y)+ yz Reemplazando (2) en (1> ^ =eTCos(y)+y .
| =y
f(x,y,z)=e*Sen(y)+xyz-zCce(y)+h(z)
Q(x,y,z) = e”Ccs(y)-t-2Sen(y)+xz = xy-Cos(y)+ h'(z) =R(x,y,z) = xy-Cos(y) g = e-Cai(y)
{
•g=Sen (y )+ x De donde:
h'(z)=0
=> h(z) = C
• Ríx,y,z) = xy-Cos(y) Por lo tanto:
S=y m°=
SP = 5Q Sy_ Sx ;
£P = é« fe - ax
* f =x+So,(y) £3 = ®R J
=e*Sen(y)+xyz-zCos(y}+C l = C ; d [ f(x,y,z)]= f (x ,y ,z )(^ = f(0,«r,l)-f(2t0,l)
ñz~ Sy
Por lo tanto es independiente de la trayectoria. Como una diferencial exacta,
l = Sen(»)+0-Cos(n)+C-e*Sen(0)+0-Coa(0)-C = 1-t-0-l = 0
entonces existe: f-.Vf -* ü tal que:
S*^ “
^ «P (x .y ,l).e 'S e n (y )+ y l
f(x,y,z)= |^eISen(y)+yz]dx+g(y,z)=e“Sen(y)+xyz+s(y,z)... (1)
-----
1
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Determine el trabajo efectuado por lafuerza É,(V yj —(P a -y v) que mueve una partícula sobre un arco de la cicloide: ür(t)=[at-aSen(t),a-aCas(t) ] , ÜStSSit
PSra el trabajo 1—XL-t-1 = 2 -X X¿1 W = Ji F(t)üat = J ^ ( & -y jK) [ a-a ^ a {t),a S a .it)> íy = 1 -t t =r[x = 1+t
W = Ju"^Sa-a+- aGos(t),at- aSen(t)J.[a- aCos(t) j3en(t)^Jt
fdy = -dt [dx = dt
= *L ^ JD s ts l
W = ^ Ju" [ l + Ctis(t)rt - Sen^tJK1- Cas (t)Sen(t)] dt w = Jcf fc y H r = fu'(y'rx)W =a“JJ‘ [l -Cr*! (t)+1Sen(t) -Se n^t)]* W =asJu''tSeii (t }dt
■
u= t
^
du = dt
;
w = j ;(t'dt+tdt)+| ;[(i-t )sd t-(i-,t)d t]
v=JSen(t}dt =-Cos(t) T J J ^ - t - 4
V! = as[ - t Cas (tj|“n+ J^*CaB(t)dt] = as[-fin + Sen(t£*] = -fia1*
Q
rfy)= J,1(Z * 1+
^3 s |
3
=U
s i s a
- 0- i - i +: =-2
2 3
3
Determine el trabaja efectuado por una panícula que se mueve de (D,Ü) hasta(2,0) sobre
Hallar el trabajo total realizado por desplazar una panícula en un campo de fie
una curva Ctjje recome el conjunto s = {(x,.y) e ít* /y = 1-|l - jj j Ella fuerza es
F(^y,z) = 3xyi-5zj + 1Gxlc a |D larjo de la curva: x = t*+1, y =21?, z = i desde t =
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»a u -P Q B H N ozaBa» oO
w = J#'[(xy)dx+(yz)dy+(xz)dz)it x = t*+1, y = 2t’ ,z = e
=>
dx=2tdt ; dy = 44dt ; dz = 3t*dt; 1Stá2 W = j:[(, +t )(4 -3t)d t+(4-3t)(, +2t)(-3dt}+(l+t)(l+2t )(2dt)]
r=xt+»+zk
=*
r=dxi+dvj+dzk=(2ti+4q'+3t'k)c# W =£(4-41-31-3** -I2+9t-24t+18t‘ +2+2t+4t+4t, )dt
W = ¿ F(x,y )jdr = £ (3xyi-5zj+ lOxk). (2ti +4tj +3t*k)
W =J’(-6-8t+19t? )dt =-tt-4t* + ^ j ^ = -6( l ) - 4(l )+ -^ U = _1J
W = J’ [3(^ +1){ 2t?) i-5 Í3j +10(t* +l)k].(2ti+4tj+3t’k)dt W ^ l S t 1+12^ -2KK* +30t4+30t*)dt Q W=
+ 12Í1+10t4+30t’ )dt
W=2t*+3t, +2tJ + 10t,[ =2(64)-2+48-3+64-2+80-10= 300
Hallar el trabajo realizado al desplazarse una partícula en el campo de fuerza F(x,y,z)=3x*i+(2xz+1)i+zk a lo largo de: a) Larecta que \me los puvtos (0,0,0) y (2,1,3) b) La curva x = 2^, y = t , = 4t*-l desdet = 0at=1
Q
Si F(x, y, z )= (xy, yz,xz), determine el trabajo efectuado por esta fuerza que mueve una
J'^TTT.’r ' T T
partícula sobre una recta (1,4,1) hasta (2,1,3). a) Hallamos la recta en su forma vectorial: a =(U 3)-()=(2,t,3)
dx = 2dt; a = (U 3 H U 1 )= (V -4 ! ) Ahora la parametrización:
*
=»
P= P,+at = (0i0,0)+t(2,l,3)
Ahora la parametrización: x = 2t ; y = t ; z=3t
Hallamos larecta en su formavectorial: P=P,+at=(l,4,1)+t(l,-3,2)
x= 1+t ; y = 4 -3 t ; z=l+2t
dy=dt
;
dz=3dt;
0 sts1
□ trabajo: W = j ’[3x!dx+(2yz + l)dy+zdz}lt
dx = dt ; dy = -3dt ¡ dz = 2dt ; 1 sts2 w = j;[3(2t), (2)+(6t, -l)+3t(3)]dt
SOLUCIONARIOAMAUSIS MATEMATICO III
SOLUCtOkARtOANALISIS MATEMATICO III
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□
L
W =Jt'[aM* +6**
W = 3jj ‘[-SCos(t)Sen(t)+3Sen* (t)]dt+¡ 3Cos‘ (t)+3Sen(t)Cos(t)]dt
+l+9t]dt
w=ioe+t+—2l= 10+1+ 2 -=is^
W=30Cos(t)Sen(t)+ 3]dt =
b) Lacurva x= 2 t',y = t, z = 4t*-l dx = 4tdt
;
^ dy = dt ; dz = 8tdt ;
fí-l+<*£‘ =18n
Un campo de fuerza está dado por F(^y,z) =[yz,xz,x(y+1)], calcular el trabajo realizado
O s ts l por F al mover una partícula sobre el concomo del triangulo C de vértices (0,0,0), (1,1,1) y
El trabajo:
c -u -i) W=Jt'[3x*dx+(2yz+l)dy+zdzJlt W = Ji’|3(2t, )j, (4t)+8c, -2t+1+32t, -8t]dt W =J4'[48ts+40t:,-10t+l]dt=8t*+10t4-5 t, + l|’>=8+10-5+1 = l4
a = (U l ) L, =(0,0,0)+t(1,1,1)=t(1,1,1)
y
=.
Halle el trabajo realizado por el campo F(x,y,z) = (2 x -y + z,x + y -z’ ,3x-2y+4z)l al
En el segundo tramo: (1,1,1) y (-1,1,-1)
desplazarseen sentido antihoraño tina partícula alrededor de una circunferencia C del plano
a=(-1,1,-1)-(U1)=(-2,0,-2)=(-l,0,1)
XV, cuyo centro es el origeny de radio 3.
X= 1—t y=
Parametrizamos: x = 3Cos(t) ¡ y = 3Sen(t) ; z=0 ; 0 £ t S 2x En el tercer tramo: (-1,1,-1) y (0,0,0) dx = -3Sen(t)dt
; dy = 3Cos(t>dt
;
z= 0 a=(0,0,0)-(-1 ,1,-1)=(1,-1,1)
El trabajo +(x+y-z")dy+(3x-2y+4z)dzj W= J^aCos (t)-3Sen (t)] (-3}Sen (t)dt+[3Cos (t)+ 3Sen’Cost] dt
1 SOUUCIONARIOANA1JSIS MATCMATTCO III
L> = (-lf1j-1)+t(l-1,l)=Jy=1-t
O s ts l
X=t ; y=t ; Z=t ;
; OStSl
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W = £[fri)dx 4 (xz)dy 4x(y -l)dz]
x = Sen(t) ;
y -l= -O B (t)
; O ít f i* ; dx = Chs(t)dt ;
dy=Sen(t)dt
W, =J^Fr±t4Fd}' W = £[(yz)dx 4 (xi)rfy 4x(y -l)dz] W, = JJ (tay1! 4 W=
Jd* 4 (q ^V z + 8 5 ^ 4Z4)dy
4 t’ +11-t)d t+ J ’(-1 +t)dt -1-£(t* -1 -1 4 11+11-
W = r'f3t? -t| d t-t+ — + f —3tf =t* - J l -1 + 1 + 1 - 3 = 1-2-2 = — M > 3 * S 3 2 3 &
J'[üSent(l-Cos*)J + 4 (l-C ™ t)’ (ü)dt^*+[ífienIt{l-C iB l), (o)4BSfert(l-Coat)Jdt = JJ úSentCcet (l -Cost/ dt =8
) Sea r(j;y,z) = (6«yJz + + y V r9n?yí z + Sit>z3+z113jíy> + 1íxyV t+yz3)un campo de fuerza. Hallar el trabajo que realiza F al mover una panícula desde el origen hasta el punto
en el plano XV que une los puntea {QAfl) mn (0,e,0>rx2:Ü . C, :Sem¡ circunferencia en el plano Xy que ime loa punnoc (0^,0) con CSr+jO), z2G;Cj: la recta ¡jue une (0,4,0) con au>
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0 ^
ApHcando el Teorema de Green, calcular la integral J^x’ +y’ Jdx-r^x+y'jdy ,si C esel
Aplicando el teorema de Green, calcular la integral J - x ’ydy+xy^dy, donde C es la circunferencia x*+y* = R1 recorrida en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
contorno del triángulo con vértices A
de las agujas del reloj. SOLUCIÓN Jc(x*+ y»)dx+ (x+ y*)dy
Los limites en pt
De la integral
O£0£2n P = Xa -t-y5 ; Q = x+y*
=»
P=-x*y
; Q = xy*
=>
Aplicamos el teorema de Green
Q
Aplicando
la
fórmula
de
Green.
para
calcular
la
integral
JVx*+y*dx+y|xy+ln|x+>lx, -y* jdy, donde C es el contomo del rectángulo l£ x £ 4 , 0 £ y£ 2 ■ = r (y -/ f * = r [4 -x -(4 -x ^ > I = ^’ [í-a x -ló + B x -x * +x*)ix=£[<>x-12]dx = 3X1-12x£ «=3(4)-1Si(í)-3+12=-3
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...M Límites:
1<£x£4 ; 0 £yS2 De la expresión dada: P = ( l-x ‘ )y
Las derivadas parciales; p = V 7 T7
■»
Q=x(l+y*) Luego en la integral:
Q=xy*+ yLn(xW xV y*)
«
r..yM M .Á ^ f i
r ..
1- n : ( H i“« " ■ r i i I®* ■ t 1 ” ‘ ^ 1' ■ t Luego en la integral:
Q
Aplicando el Teorema de Green, evaluar la integrai J(2 x-yJ)dx-xyrfy, donde C es el contorno dado por x1+y* =R'
|=Ji4J4V d y d x= J]‘^ d x = ^ | i = ^ ^ = 8
Q
M ' ' ' W " ' rW
Aplicando el Teorema de Green, calcular la integral j(l -x* )ydx + x (1+ y! }dy , < C es el contorno dado por x* +y‘ =R*.
De la expresión dada: P= (2 x -y 1)
O
Q = -x y
SOLUCtONARtOANALISIS MATEMATICO HI
r
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■............ ..... . Luego en la integral:
x+ y x+ y W + lv M y - x x -y
Los límites en coordenadas polares: 0 £ r£ 3 ; 0Stfáfci
1
; y=iSen(0)
=J^j^Si^Sen*(0)-rSen(ff)]rdrd0
1=£*£ [31aSerf (
_ r*sCT>(^)| ^
£2 £ -8 £2 £2
De donde:
-
; =0
;
Q=xy =¡
Luego: '■ « m
:
,= ^ 3 (8 1 -1 )^
= 30p-15Sen(2ff) + aáC” ^ I = 30(2*)-15Sen(4it) i 26Ct^ ( 2”) -300-15Sen(20) +3ÉE2Í21 = 60u
1=£ M
^ +¡ ; M ± i =0
Aplicando el teorema de Green, calcular la integral | [* U ,(l+ / )-* !,(y -1 )]« k +| ^ r + / (x + l)J ly
^
Aplicando él teorema de Green, calcular la Integral J eTdx+xydy, siendo la a definida por
Siendo C la porción de la circunferencia xf+ yft=af en el primer cuadrante y en el sentido del punto (a,0) hasta el punto (0,a) M ' . 'w r r w De la expresión dada: P= xLn(t+y, )-x * (y -l )
" +^ x +1) i+y*
=»
-
~
^
S -i S *
OSy S Va*-x1
SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMATICO III
1“
-x*
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I=a-(a*
+ * -(a s + 1) Ln(a* - 1) +•“
l= a -(a , + l)A m S(uJ*<+a, -(a V l)ü i(a , - l ) + ^ I = Ja" [2 x A ic tg (y )-«^ (y 8+ l ) ] ^ ? dx+
J ‘( x*+ y”) dydx I
= a + (í +l)Ancts(a)+í -(a 1-l)Ln(rf -l)+ i£ jí
I = JJ^2xArct®/a*- x1- 2xLn(a’ - x*+ 1 ) J*' £ (r1) rdrdtf y
Utilice el teorema de Green para calcular la integral JJ(2 xJ-y -1)dx+(x1-t-y-1)dy,
Integramos por partes: donde C es la circunferencia x* +y* = 1.
-2xrix W a'-x* | 2xdx W -x * l+a’ -x*
í a*-x* -Ln(a*-x*+l)
De la expresión dada: P=2x1- y 3
= J(2x)dx =
Q.X V » .
**
-£?=-3y'
.
f .3 .
Los limites en polares; , . 0 - í W í - í . . ) * r -----------¡f á s ______ [ 1 1(l+ a f- x 1)Va’ - x 1
x* +y* = 1 ^
1 + í-x * 3|d
Oáxáa ;
OSySVa’ - x ’ ;
O* 0 * ^
; OSrSa
• r á l ---------------— Ja (1+a*-x*),/a’ - x ’
-S TÍ-H -S ^
Utilice el teorema de Green para calcular la integral J -ycbc + xdy, donde C es anillo a* fi x’ + y* S b’ , para O< a < b.
u* = a*-x*
=> +aF - ( í + l)Ln(a* - l ) + ‘ Jo ( i + ü”)V 7
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0Sí/£2n P = -y
-
£ = -1
a s rá b Q =x
.
^
=,
# ’ 'n .y y 7 F
P = 4y-eTCosy =» f* = 4+e*Se sy
l= J -y d K+x d y = / } ^ ^ | jd y d x = J o,fcj ; ( t +l)dydK
Q=y*+exSeny =>-^ =e'Seny l = J ^ [ í 2rdrd0=jVdff=(br*-á')<'/[' = 2*(tf -a*) u jr H j^ ^ U x f d y 6
Utilice el teorema de Green paro calcular la integral: l = - i J i,^ + 2 -y )d y = -a yt = -8 r/ ( 3 x V -* V -£ j* c + [x V + C c * (y )]d )r el teorema de Green, calcular la integral |(Sen, x+e,1'}dx+(Coe1y -e ^ d y
Alrededor de x* +y* = 1.
donde Cea lacurva x4-l-y‘*= l6 M y n v r.'T W
De donde:
P= 3 x V - x * y - ¿
P=Sen*x+efc
=>
— =0
l=JJ(0)dydx=0
-r íH í-í
O
Calcular la integral aplicando el teorema de Green J ( e '-x ’y)dx+3x*ydy, donde C es lacurva cerrada determinada por y=x* ; x=y*
©
Aplicando el teorema de Green, calcular la integral J(4y-e’Cosy)dx+(y' +e*Seny)dy , en sentido antihorario y alrededor del paralelogramo cuyos vértices son (0,0) , (2,0), (3,1)y (1,1) SOUUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
« to odufa>»u.«im
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M \ ' i r r , rTV
P=e*-x*y
=»
Q = 3x'y
=>
¿P= -x ’ sy
©
i9 = 6 x y
Calcular la integral aplicando el teorema de Green |(x + y)‘ dx+x’ ydy en el s> positivo, donde S es la región limitada por la curva x = y1 , |y| =2x-1
Sx
^TrTTT?T.T7W -V 5
d .
, ^ 1= /oí3^ *+ xSy 1/ ^ = í . (3X8+xM “ 3kS“ X<^
P=x+y*
l=x. +i ^ _ ^ _ 4 = 1+ 2- i _ i 7 6 5|d 7 2 5 . 70+20-35+14
=>
Q=x*y |(x + y )’ dx+x»ydy =
51
— = 2y
=>
^ = 2xy tbc
jlxdy = JJ(2xy-2y)dxdy
(Zxy -2x>*£^y Aplicando el teorema de Green, calcular la integral j 2(x, +y, )dx+(x+y)*dy , = j ;(A -2 x y | J d y
donde C es el contorno de un triángulo, cuyos vértices están en los puntes A(1,1); B(2,2) yC (1,3) y que se recorre en sentido positivo.
M r’’rTT” r'rW
P = 2(x*+y*) Q = (x + y )’
I SOLUCIONARIOANÁLISIS MATBUTTCOIII
»
£ = 4y
J * _ ¿ _ 2 £ T J ÍJ _ J U _ J 2 1 16 6 8 I 1,16 6 8 ) 48
£ = 2 ( x + y)
f::u.::itrv ojrr
l-Ji v*-::iJ.M.t
SOLUCIONADO ANÁLJSÍS MATEMÁTICO NI I
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b) JJxdS en donde S es la superficie y =x*+4z.
0áx£2 ; 0 á z£ 2
z=y+3 Luego:
s(x,y) =» s ,(^ y )= o ; S ,(x,y)= l
y/i+[s« (x,y)]*+[s, (*.y)]' = Vl+0+1 =75
l = JJxdS = JjW5dxdy
.=vi.4¿’j f : , xd>dx = 4 y 2 £ v r 7 xdx = ~
d) JJ(x,z+ /z)d S en donde S es el hemisferio x* + /+ z* = 4 , z iO 0Sxá2 ; 0 á z*2
Luego:
+[s„ (^y)]* +[s,(x.y)]* =^l-t-(2x)’ +(4)! =V17h-4x‘
Ahora la integral de superficie: 33'/33-1?/Í7 *
c) JJxdS en donde S es la porción del plarm z = y+3 quese encuentra en el interior
Ahora la integral de superficie:
i-|(x»z+/z)ds=n; z(2^ y^
del cilindro x* +y* =1 e) JJ^z+Zz^cIS en donde S es el hemisferio x* +y* =9, comprendidos entre los
=
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1=JJ yzdS=£ * £ ( 11+ v )(u - v)V 4+ 2ií + 2v*dudv I= JJ yzdS = £'“£ (u1-v* )V 4+2u'-2vsdu<ív
l= £" JJjVCos*(tfJ-PSeri*(¿>)]VTT2?rdnW x*+y’ =4
1=JT í t 0“ ’ )-Sen’ (
=»
OáráS ;
0áfls;2ii
Ahora la integral de superficie
l= JJ zdS= !’*£(* +y*yi+4x* + 4ysdydx hacemos u* = l+4r* Nuevos limites: r = 2
=> u=VÍ7
r=0
=> =>
' ■ r r ( sf ! ) í 3 r á 2 - ¿ í . T ( " ' - “ >
16J* 1,5 3 ^ g)
16(
5
3
u u= 1 «
5 3 j\
JjzdS en donde S es la porción del paraboloide z = x*+y* que se encuentra bi
]_2ní'7827Í7+2'|_n/'39lVÍ7 +l'|_ ("391717+ Ti
. '5 P { 15 J=*l 60 J _16V
el plano z = 4 .
h) JJ(j^z+y*z)dS en donde S es laporción del plano z = 4+x+y que En lasuperficie: z = x>+/
en el interiordel cilindro x*+ / =4 «
£^ = 2 x ; ftc
g=2y
Sx
Luego: dS = ^ 1 + ( z +(*,)* dydx =Vl+4j^ +4y, dxdy
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...c Q En lasuperficie
Evaluar la intesral de superficie j|FxIS del campo vectorial F dado y la superficie orientada S indicada. En otras palabras encuentre el flujo de F a través de S para superficies cenadas utilice laorientación positiva (hada fuera).
'
I ”
1 5 *'
tlS =^1+(zlt)’ +(zy)*dydx = Vl+1+ldxriy = V3dxdy
a) F(x,y,z) = e'i+ ye'jt-x’Vk; S es la porción del parabeloide z= x‘ +y5 que se encuentra arriba del cuadrado U S x S l, Oáy £ ly tiene orientación hacia arriba.
I= £ x* + / =4
=>
+ V*’j + x*yk) •(-2x1 - 2yj+k) dydx
0 s rs 2 ; 0£
Ahora la integral de superficie:
l= 0 J (-2 x e » -2y*e* +x*y)dydx=J^-2xey
+^ ~ j ^
l=J^(x*z+y*z)dS
1=ay (x+y)'»/3rt*d(/=■^jrín'ri[,c“^)+rsen
b) F(>^y,z) = xi-t-)j+2k ; Ses laesfera:
+y* +z* =9
l=V5j^“|V[Cos((/)+Sen((í)]*dtf 1 = 7 3 ^ 1 [Cos(tf)+Sen(¿V)]dtf •=J p -[ -& (x ,y)i+^.(x,y)+k}lA
I=^[Sen(^)-C“(«)r=^(0-1+l)=0 I SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO III
•*)**•- !r r ( ; ^ ^ «)**■ SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
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¡wnuoviii
(
sL
'-•n.’fodr
Eduardo espinoza ramos a
2 j, 8 2
d) F(x,y,z) = xi +2yj+3zk; S es el cubo con vértice (±1t±1,±l). I = -18(0-3 )fij" =54(2*) =10Bn Para calcular JJ F.ndS directamente, evaluamos esta integral sobre las seis caras y
c) F(x,y,z) = yj-zk¡ S consta del paraboloide y = x ’ +z*t 0 £ y s i y el diaoo
sumemos los resultados. Sobre la cara x=l, n=¡ y F.n = x = I, por lo que jjF.ndS = JJdydz = 4. Mediante cálculos semejantes podremos construir la siguientetabla:
'= j F [ - S . M i+ S ,M -* -k > A ; x*+z*=y * O S rS l ; O i O i í n
1 = Ja'ía' (Y)-z'<).(-2xi-27k^j>lzdx=/*'£(y + 2z, )dzdx Pero y=x*+z* x=iCas(0)
l=Jo**|o,(x, + z, + 2zI)re*n[»
y=«Sen(
=»
l=J^‘ J¡j,[r,Cos! (<»)+3i'Sen*(ff)}drdÉi
Cara
N
x— 1
i
x
X --I
-i
'*
£, f ,
y -l
j
2y
J X »ydydz =
j',(2) dydz = 8
J^J^-ídxdz=
J^(2)dydz =8
y— 1
F.n
-2y
z -l
k
3
z « -i
-k
-3z
||F.ndS J^j^xdydz = J ^ t O d y d z = 4 = £, f.COdv* =4
j X 3zdVdx= J']1£ 1(3) dydz= 1“ C U 008’ (tf)+3Sen’ ( « ) } 3did0 I =
[Cos'(
12
f j 13adydx= J X (3) dydz =12
En consecuencia: F.ndS = 4-t-4-t-8-t-8+12+12 = 48
l = i Í P [ - S , M ¡ + S r ( x . y H } l A ; x*+z*=y =» O S rS l ; OS0£2>t
SOLUCKDNARtOANALISIS MATEMÁTICO I
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á f -S +| M í _ J ! ^ f ^ +S4sen2íK^ 4 C o Saf,(2)0Q»(v)d^t?
e) F(x,y,z) = xzi- 2yj+3xk; S es la esfera x* +y* +z* =4 , con orientación hacia
I = £*|4Cos'(0)+2^4u
j^en'(fl) +48Sen2*
I- j;|s 42Cm (to) *
J í (i*)
donde z = & (x ,y )= jA -S - / I =20 +Sen(2tf)()‘ +¿’* ^ 0 -4^2) -0 g . M = ^4 J
y,
j +121-Cos2¡*£as<**»d<'
; S ,M = -= = ^ =
I = R [-& (^ y )i+S,(x ,y)+ k ] = («i-2yí+3)dc)|-1= ¿ = = - - = = ^ = f + kJ
l = 4 ir + 2 ^ ^
Sen* (2í>)Cos(0)d*>}i0
F - K (x,y)¡+gy (x,y)+ k ] = - ¿ ^ + 3xz
F .[-3,(x,y)if S >(x ,y)+ k 3 = x«- ^ 2y<^ + 3 x ^ 4 - x , -y » Loe limites en cilindricas:
OS rál ; (Kfl£2n
'■r4x,'7A7*^,r7r7h’
I= J ” J^j t^Ccs*
f) F(x,y,z)= x*i -i-xyj+ zk; S es la porción del paraboloide: z = x’ +y’ que se encuentra debajo del plano z =1 con orientación hacia afuera.
+ 3fCos(»)V 4 ^ 7 jrdrd<9 ' = J f P [ - S . M i+ í , M + k >
- = r f [ r'c° ^ (o ) En lasegunda integral: i/ = 4 -r* En latercera integral:
+ 3 r > 4 _ r > Jn***9 => udu = -fdi
r = 2Sen(«>) => dr = 2Cos(«>)d«?
SOLUCIONARIOAMALISIS MATEMATICO III
donde: z = g(x,y)=x*+y*
g,(x,y)=2x ;
s,(*.y) = 2y
Los Ifmites en cilindricas: z = 1 ; 0Sr¿1 ; 0 S 0 £ 2ji
l=íí(X*Í"'XXÍ+zk)(-2)d-2yí+k)dA SOLUCIONARLOANALISIS MATEMATICO III
4-4*1-Goc&.H ,Co«<
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EBUHOZARAMOS i
[= (x1!-+xy]■+zk).[-2xi-2yj-+kJdrdW =J^"j[|,(-Si,-!KyI-Hzjndndfi1
^
Hállen El flujo de la función F(j^yrz^= >?í-HyJ!J+ zJl: a davÉs de una pame de la ajierlicie dd paiaboloidE rj^(xl + y, ) = z rz£ K ren diiEccifin dE lanormal intErior.
l
l = J^*Jn,[-2 r,Ccfi1(£')-a^CosfíyJSen1(fl) 4-x1+ y*Jrdrdff ' = J T Jl [ “^ C o a 1(0 ) - Br,Cas(0)Sen’ (fl)+11JrdrcaS ■^ J L T - . r W (0 ) - Er*Goo(0) Sen1
,
J « j E rW (tf )
JJ =JJJdlv^Fjdv dondedivf 2x+ Flujoc
JchiJO
F.NdS
F) =— +-2? ■+— =
E r ^ g )W (tf ) , r * ^
Ey -nüz
z I=JS‘|"!j"(2x+-2y+2z)ndz*d(/=|1‘|E[Sr!jCos((/)+aJzSEn(fl)+z 1
Si = H
=>^ + ^ = 1 ? D ífíF t D í f l í 2n
= O : [Sr'HCQS i0 )+2»-’HSeri (¿7) +.HV]l!d Q Er^HlCcafj?) Sr^lSEnf^ H V l
,= ^
O
j c
^
+ v y = j s ^ ) +^
= 0 + & = fc
el flujo dE la función fl(x,y,z) = 2xi - ^ ¿ tu xt + y1=R1rx ^ Ú r y £ 0 r 0-íz
íHren
parte dE la superficie dd
H*
a|~ER^HCosf^) SR'HSerfí^ H'R“] ■ |_ 3 3 S J
EfPHSeníí1) 2RnHCoG{í/| 3 3
H'R’d 2 |
diiEcciún dE la normal
Hállese el flujo de F ^y ^z) =K,1+ y1j + zk a través de una. parte de la Rujo: JjFÍHS = JJJ'dtv[íJ dv paraboloide z = ^ ( x 1- y J) cortada par d cilindra x*+y, =R1 y
■I J
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-5 .W -»
Flujo: JJ f .SHS = JJJdlv(F¡dv donde divÍF^=— 4-— +— = 2x+Ey +1 > & ¿V ¿5z Si z = i }
- y 1)
=f
* + y '= f ?
^
D ífS H
Hállese el flujo de F(x,yrz)= ( x ^ ^ z 1) a través de una parte de la esliera x1 + y ’ + z*=R1r x ¿ O ry £ O rz&OrEi
Q S z ü J i ^ - y 1)
■=> O s is -^ -[C o a ! (fl)-Seii1{ j ) ]
0 ¿ z ¿ ^ -C o s (& í)
1=Jo'C/c~Q^'í(2:t4_£y+
niijoc J] F.NdS = JJJdiv(F)dv
I = _ [ , " * ] £ ( ^) + 2r3en(íj}+1 ]rd2riüd p
1= C JÜ2,JC™ (°'K 2|,asEnC0)+■O3! *^ I =0
* di7
(í)+ r]^ C o a ( 2í ) * d í
1 = JJ*J"[&- 4Cob [ff) -^Er^Sen ( í ) +r3jJS Cbs(E¿i)drd (i
donde div(l^=— +— ■+— = Sx-Ey + 2z U &t df Sz SÍ5Í + y, +z, =R*r * ¿ 0 ry2:Qrz 5 0 r-enooortenEdaaesféricas
; Üfifís| ; ;x=/)Sen(í)CoG(S); y=/iScn(jí}Sen(&) 1=J1,1[■" (Ex-íy+azJ^SenfíftVídiídtf 1-nnct^xHw-a^ n(^) + ■= r r
- r f
[
5R
1■
I = £* J^fíSer (¿jCce {&) -2 S e n (¿ )^ (0 )+ 2 C o 6 (¿ )]^ 5En(¿)d¿d0 5fl
4R^J R
'
J
H1 .4raHCoE(í?)Coa(ffl?) aHScn(í?)CoG(a?) Chs(ffi?)l ' " ‘¡¡''J'1 [ SR* 5H* * _p
1= r
r [ HrCQ3(^ ) + C Q3(¿j)l Hr5en(3P)-Sen(tf)] R"J< | 51? FP
1:= T J T f t 1'- c™ =C^)][c™ *(^)-:s «(fl)]+ s ™ ( ^ ))1 "*
CoaflM^ 4
n
^
í*)0“
) - 2Be"s(fl)
^
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SOLUCIOHARIOAHAUSIE MATEMATICO III
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,_ r r | ,
*
,~ 7 j r " { i [ ° D,(tf) _Sw4e) ] +,} dfl
Q
Hállese d flujo de F(x,y,z) = xi + yj -2zk a través de toda la superficie del cubo x=±a, en dirección de la normal exterior.
Hállese el flujo de F(x,y,z) = xi+yj+zk a trawés de una parte de la superficie del paraboloide: z = ^ ( x ’ - y , ) 1cortada por los planos z = 0, x = R. x = O y orientada
Para calcular JjF.ndS directamente, evaluamos esta integral sobre las seis caras y sumemos los resultados. Sobre la cara x =1, n = i y F.n = x = 1 , por lo que JjF.ndS =
según la dirección de) versor k.
Cara
l= J/ F [-S .(x ,y )i-g f(xty )j+ k]dA
s ,(x< y ) = ^ ¡limites:
0£x£R
JJd>dz
= 4 . Mediante cálculos semejantes podremos construir la siguiente
• •
-x á y á x
S rM = ^ T
II
»
F.n
i
x
£i£i xdydz = j ' j ' t(1)dytb = 4
donde z = g(x ,y )= ÍL(x *-y * )
FndS
-i
‘x
£ £ -x d yd z = -£ £ (1 )d y d z = -4
y= i
j
2y
£)£.xdyife = £ £ i (2)dxtfe=8
y = -1
-j
-2y
£, £,- 2ydxdz=—£ £, (2)dxdz= -8
k
3
£j^3zdydx = £ £(3)dydx =12
-k
-3z
r , £ , - 3zdydx= -f -1i (3)dydx=-12
aa: F.ndS = 4 -4 + 8 -8 + 12-12 =0
I
1
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(u )*l
Hállese el flujo de F(5£,y,z)=2x*i+3y*j+zska través de toda la superficie del cuerpo v 7 7 7 £ z SV 2R* -x* - / , en dirección de la normal exterior. I = 4R*
Jd u = R‘ |[1 +2¡Cos(2u)+Coa* (2u )]* j
U ^ ^ U 2 C m (2U) + U C “ (^ ) Jfa = R<^ + S e n (2 U) +^ ^ j
1=¡IF[-^(».y)5-«»(*.y)j+k]dA l= R | f +Sen(2u)Co6(u )+ Sen(u)CO!i(u)^ =s(x,y ) = Los Ifmites:
^ ! ¡v
,(u )- Sen,(u)J j
=> & (* y ) = En ladefinición: r = \/2RSen(u) ; Cos(u) = , ^
0 ¿ x S R ; -x á y á x
^
U jJ(2x S + 3 y* j+ A ). w2R,í R^2(2R*-r*) Í rJ Í 0/2R*-x, - y I
p T 7 ) ( 2R*-'* a**)]
^ = + z*]dA j /s*’'-x*-y*
” 1l>/2rRV2+2RV2l ~5jJ,
gx1-t-i
W
[iw
| I
__ R 1
R^2 *4R>/2J
Luego en la integral I
I= n ; [ í ^ Para la intesrat J" _1__ . dr
^
í f } . 8RV- r^
r = v^RSen(u |
I SOLiUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
dr = s2RCoe|u)du
■ j j
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1 ._.4rM,) *»’<*)].x ' , i y*f Il L 3 \ l 4 J][s Rj! 4ÆJ *j. '=r^ +c)(|+^ +-^]+|]=£|-
+XX,- K-+X-H — u r 1i^r E 1121 T=^+l-i+±=^
1j 1
daide
x-i-y + z = es ei piano que pasa por (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1)
■s’M'VS^7 Los límites:
D í x i l ; OS y :S l-x
1
J
£
= J|(xyl.+■yzj ■+zxJt)_(-l- + k)dA = £ " (-x y
-yx+
1 1=SX‘1-**+(’-*-*)(*-y)><* 1=rrï[“Ky+x_y_ _^)]tí!,i3ít Ç -^ r -
Pleno z = 1 - x - y
xz)d>dx
= j ’j'^f-xy-yz+xz^iydje
(i -* )3
|= r{3 x -3 x 1- x 1- 1 +xl+ ¡ r - x £ L = 3x* J.t a I 4
Utilice el teorema de STOKES para evaluar JV.dr r en donde F(x,y,z) = xyi+yzj+zxk y C es el triángulo con vértices (1,0,0), (0,1,0) y (Qt0,1) con orientación contraria a la de las maneti lias del reloj cuando se observa desde arriba.
1=IPr-[-s* y)■-a,i^y)J4 1
a
J -x + a e -r f -i+ s * -*
i
pi
2 S S 13
a
a
x a
24
Aplique el teorema de STROKES para evaluar jF.dr en cada, caso, C estí orientada en sentido opuesto al de las manecil las del neloj cuando se observa desde amha. a) F(x,yrz) = xzi + 2)(yj+33íyli r C es la frontera de la porción del plano 3x contenida en el primer actante.
+r
++= =
b) F(x,y,z} = Szi + 4)q 5yfc C es: la curva de intersección del plano z
y
z
3
x+ 4y,
4-y* =4yEl cilindra.
c) F^Yr1)=
+,
¡¡’ yi +4,iq üyfc C es la curva de inoeraecición del paraboloide
hiperbólico z = y l - x = y el cilínckD
x*+
y’ =1
Utilice el teorema de STOKES paia evraluar JJrot^FjdS : a) F(x,yrz} = xyzi-H39H-e”rCoe(z)k r S ce el hemisferio
>?
-ny*-hz1 =1 r z ïf i
orientado haoa amiba.
ibJW iAicjuin
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■ = Í M ^ = Í M v *f ) , « s Por el teorema de STOKES I
J
JL
JL
xyz
x
I =£*|ii'[-xyCos(xyz),3yz* -3x’ ,yzCos(xyz)-z1]{2x,y,2z)idrd0 I = J^*|o’[-8x*yCos(xyz)+3y’zt -3yx* +2yz,Cos(xyz)-2z5
ac ay
=—
e"Coa(z
VxF=xewG B (z)i+[xy-ye ’*Coe(z)]j+(l-xz)k Ñ = (2x,2y,2z) Siz = 0=» x*+y* =1 ; O s rá l ; OS0£2n •- J f
c)
F(x,ytz) = __, S consta de la cara superior y las cuatro caras laterales (pero ra base) del cubo con vértices (±1,±1,¿t) orientada hada fuera.
=JJ ^ ( V xF>f*tS
1“ jrjL D “ *100* (z
- xz] (2x,2y,2z |rdrd(V
1= Jn*'|o'[2x,e>*Coa(z)+2xy, -2 y ,e”,Cos(z)+2z-2xz*Jdrdtf = «
b) F(x,y,z) = yzIi-t-Sen(xyz)j+x’k, S es la pordón del parabeloide y = 1-x‘ -z*, que se encuentra a la derecha del plano XZ orientado hada el plano XZ
Por el teorema de STOKES
yz* Sen(xyz) Xa Vx F= -xyCoe (xyz)i+(3yz*-3x*) +[yzCos(xyz)-z5Jk Ñ=(2x,y,2z) Siy = 0 SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICO III
= 1 ; o s rá l ; O 4 0 ÍÍJI
w
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Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura Catedrático de tas principales Universidades de la Capit.
E n c u e n t r a é s t e lib r o y s u s o l u c io n a r l o e n v e r s ió n d ig ita l e n w w w O f e r O O O K .c o i
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