Solucionario Demidovich Tomo II - ByPriale.pdf

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ANALISIS MATEMATICO II S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H

SOLUCIONARIOS UNIVERSITARIOS

T O M O II CO

W

n

n - \


♦

IN T E G R A L IN D E F IN ID A

♦

IN T E G R A L D E F IN ID A

♦

IN T E G R A L IM P R O P I A

♦

A P L IC A C I O N E S

E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S

INDICE C A P Í T U L O IV

INTEGRAL INDEFINIDA

Pag.


1.1.

Reglas Principales para la Integración.

1.2. 1.2.

Integración mediante la Introducció n bajo el Signo de la Diferenc ial.

1.3.

Métodos de Sustitució n.

45

1.4.

Integración por Partes.

57

1.5. 1.5.

Integrales Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado.

79

1.6.

Integración de Funci ones Racionales.

88

1.7. 1.7.

Integrales de algunas Funcion es Irracionales .

116

1.8.

Integrales de las Diferenc iales Binómicas.

129

1.9.

Integrales de Funcion es Trigonom étricas.

134

1.10.

Integración de Funci ones Hiperbólic as.

15 1577

1.11. 1.11.

Empleo de de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el Cálculo de Integrales de la forma

’

J

R(x , Vax1 Vax1 +bx + c) dx .

1 8

161

1.12.

Integración de diversas Funcion es Trascend entes.

16 1677

1.13.

Empleo de las Fórmul as de Reducción.

176

1.14.

Integración de distintas Funciones.

180

1

Integra l Indefinid a

C A P ÍT U L O

C A P ÍT U L O V

IV

LA INTEGRAL DEFINIDA 2.1.

La Integral Definida como Limite de una Suma.

2.2.

218

2.3.

Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. Integrales Impropias.

223

2.4.

Cambio de Variable en la Integral Definida.

2.5.

Integración por Partes.

2.6.

Teorema del V alor Medio.

234 248 261

4. 4.1.

INTEGR AL

I N D E F IN I D A .

REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEGRAC ION.

0

F '( ' (je) = / ( x) ( x) entonces j" f j" f (x ) d x = F(x ) + c , c constante.

(2)

J kf(x) dx = k j j / ( x) dx, dx , * es una constante.

@

J(/(jc J(/(jc)±g( )±g(x)<¿x x)<¿x = j f ( x ) d x ± ^ g ( x ) d x .

268

CAPÍTULO VI .31,.

[ A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N ID ID A © 3.1.

Areas de las Figuras Planas.

3.2.

Longitud de Arco de una Curva.

3.3.

Volumen de Revolución.

3.4.

Area de una S uperficie de Revolución.

3.5.

347

Momentos, Centros de Gravedad, T eorema de Guldin.

3.6.

357

Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas de Física.

276

y

u = yW .

se se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )

TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.

310

Sea u una función de x.

325

377

Si J / ( x > k = F ( x ) + c

©

J ^ = 1 „ | „ | +C

©

J ^ T = r rc ,8 ,7 ) + c

2

Edua rdo Es pinoz a Ram os J

J u 2 +a

= ln(w ln(w + y¡u2+a) y¡u2+a) + c , a ? í 0

f u '

sen J y[a2 - u 2■= are. sen audu audu = -

^szn(u)du

1032

(i6x2 + 8jc + 3 )dx. Desarrollo

du

J

3

Integ ral Ind efinida

-+c

+ c = -ar e. eos eos

, a> 0 ln(fl)

+ c, ;a > 0

(6x2 + 8* + 3 )dx = 6 J x 2dx + 8J xdx + 3J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x + c

10) \ e u d u = e u + c

J (l2)12) j"Ieosu du = senu +c

= -cos(m ) + c

1033

x( x + a)( x + b)d x

Desarrollo

?

+y *

C i x a + b 3 ab 2 í x( x + a) (x + b)d x = \ ( x 3 +( a +b )x 2 +a bx )d x = — + - — x +c

í<

j t g u d u = — ln|cosw| ln|cosw| + c = lnjsecM lnjsecMj + C!

^4)

tgu.du = ln ln |sen m| + c 1034

Jsec u.du = tgu + c

Desarrollo

u.du = -c tg u +c J c s c 2 u.du

Jcscu.du = lnjsec¿¿ + tgu\ + c

(l^ jc sc u .d u = Ln \c sc u -c lg u \ + c

Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c

@ Jcosh(M Jcosh(M)¿K =senh(«) ) + c

(a + bx3)2dx = I (a2+2abx3+b2 (a2+2abx3+b2x6) x6)dx dx = a2x a2x + Y x* +^ -j - + c

=I<

1035

Hallar las siguientes integrales, integrales, em pleando las siguientes reglas de integración: integración: I5a 2x2dx 2x2dx J

Desarrollo

J 2 p x dx.

Desarrollo

@ Jsec2h(u)du = tgh(n) ) + c

j c s c 2 h( u) .d u = ct g h (u )+ c

1031

(a + bx^)2dx.

\ ¡ 2 7 x d x = V 2 ^ J x U2dx U2dx = ^ 3/2 y¡2p +c =

1036

Desarrollo

x j l f x +c

4

Eduar do E spinoza Ramo s

Integ ral Inde finida

\-n

1037

X4y¡X ----= — X4y¡X ----- x 2\f x ~ 6 y jx + c 13 7

(nx ) n dx.

I

Desarrollo 1041

i Tx

j p l l í i P P (nx) n dx = \ u n — = —I m" du = (nx)n+ c I (nx)

1038

í

Desarrollo

m xn)2 „n \2 ,f f U .m,f jc2"1- 2j 2jtm+n + * 2n 2«

----7i -- dx i

J—

(a2,3- x 2/3) 2/3)3d 3dx. x.

2x2m4~x 4m +1

Desarrollo J ( a 2/3 —x2/3 )3dx = j (a 2 — 3a4/3 3a4/3x2/3+3a2/ x2/3+3a2/3x4/33x4/3- x 2)dx

2

9 4/3 5/3

= a x — a 5

1039

x

9

+—a 7

2/3 7/3

x

X 3 -----

1042

+c

Axm+n4~x 2m + 2n +1

2xln4~x +c 4« +1

4x f_ dx

\f - yjax

Desarrollo

f(Va-Vjc)4 d _ f fl2 -4ayfax + 6ax-4x \[ax + x2 ^ \[ax 4a x J J

+ \)dx. J (yfx + 1) 1) ( x - \ [ x x + = J [a2(axy [a2(axy in - 4 a + 6-Ja 6-Jaxx -4 x + x2 (ax )“1/2 ] )“1/2 ] dx

Desarrollo C= —^^ - J x + x + i J"(%/3c-H1)(x -\ fx + \)dx = jí * 3'2 +i)dx = ^ x 5/2 +X + C= —

1040

fr (x íü2d - 2 a:2m+22n~1 + jc£2=2*

2x 3 Aax + Ax^f ax - 2x 2 + — = + c = 2a Jax - Aax 5 yfax

( x 2 + \ ) ( x 2 - 2 ) j

J--------3^7-------- dx

JU

+l)^ _

2) d x =

1043 Desarrollo x-2,3)dx )dx J (*10/ (*10/3 -X 4'3- 2 x-2,3

~ l ^ 2dx =

J í ! +7

Desarrollo

6 1044

Eduar do E spinoza Ram os

Í

dx jr2—10 jr2—10

1048

í \¡4 + x2

b)

| J (x +4 )

Desarrollo

I tgh2 Desarrollo

Desarrollo

P o r la fórm ula 7 se tiene:

1046

1tg2 J

r r J , 8! 8 ! A»fe = J< J< Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .

1 x + Vio ln +c C-VÍO 2V10

¡ T T o ' Í T - - (Vio)2

1045

a)

Desarrollo dx

1

Integ ral Indef inida

Jtgh2 xd x =

= In I x + \l x 2 + 4 I+ c

1049

I V8-JC2

a)

J(l-sec! Ax)iír

=

x-tgh+c.

1 c tg" xdx. *

Desarrollo

tVv *

Desarrollo [ c t g 2 x d x - J(csc2 x J(csc2 x - \ ) d x

X

t e

- / 7(272)2 -* 2

2 V2

b) 1047

J í

CtgX-j:

•-------------------- ---------= = o re. sen (— =■) + c , resulta de la fórmula 8.

■ /2 s/2 +x 2 - J 2 2 - X 2 2

1c tgh xdx. w

Desarrollo

dx

•Ja-x*

J,,g

Desarrollo

yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 JC =/J 2f + x 22 - * 2 ( ^X 22 y / 2 -V dx dx » V^4-X4 V^4-X4 V 4 - r4

1050

¡3xexdx

Desarrollo = f ~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen J y í ^ x 2 J J 2 V2 2 Í X 2 2 por fórmulas 7 y 8.

Ln x + y¡2 y¡2 + x 2 + c Í3xej Í3xejrdx= f(3e)* f(3e)*¿c ¿c = - ^ ln(3e) J

J

+ C.

8

4.2. 4.2.

Eduar do Es pinoza Ramos

Desarrollo

INTEGRACION MEDIANTE LA INTRODUCCIÓN BAJO EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL. J ax + l3 l3

Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:

J* f(y /(x )). y/' (x )d x = J f( u )d u , don de u = y/(x)

1056

a

a

a

\ ^ d x

2

f X + 1dx = f( x + l + — — 1 )dx = — + x + 21n |x -l |+ c

J

x -l

X

------

1057

Desarrollo

f x 2 + 5x + 7 , I --------------dx J x+3 Desarrollo

sea u = a - x —>du = -d x —>dx = -du

f ad x f dx f du , , c aLn + aLn - aLn \ -----I ------ = a I ------- = - a I — = — J a - x Ja- x J u a -. 1052

a + ¡i

J x - l

J x -l

adx - x JJ a-

Ja

Desarrollo

a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la diferencial.

, , 1051

9


f 2 x + I3dx

)dx = — + 2x + In| x + 31+c — — -— f x +^ X + '! dx = j*(x + 2 h J x+3 J x+3 2

1058

J 2x+l

J

x -l

Desarrollo

Desarrollo -----------(—í— ))dx [ l— l — ^ d x f (- —+— (—í— ))dx —— x + — Ln | 2x + 3| J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 4 2

1054

[ x U x 2 + 1 d x = f ( x 3 + x 2 + 2 x + 2 + - Í - )dx x-l x + l J J

+c

f xdx

r4

r3

= — + — + x 2 + 2x 2x + 3 1 n | x - l |+ |+ c 4 3

J a +bx Desarrollo f xdx f 1 a, 1 , x a , . ------ —L —L n \a I --------= --------= I [------- (-------- )]dx — ------

J a + bx J b b a + bx 1055

1

I — + b dx ax+ ¡5

b b

,

.

+ bx \+ c

1059

í

(a + -~-)2dx X-fl

Desarrollo

b i 2ab b~ . , o /1 1 ^ | x - a |+ c - a x +i 2aMn Ir (a + ------ Y d x = f (a 2- + ------------------------------------------------------+ -+ 2----- T)dx x - a J x - a (x-fl)“ x ~ a J

10

1060

Eduar do Esp inoza Ramo s

11

Integr al Indefi nida

J (jt + X1)2 dx

f f - ¡ J L = d x = = í( í ( x2 x 2 + i r 1/ 1/2^ =

\u~U2 \u~U2 — = yfu+C = J x 2+l+c

JV77T

J

J

2

Desarrollo 1064

sea sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l \ ~ T d u = f ( ~— i (JC+ 1)2 J u2 J U u 2

1061

u

x + l

J Vw Desarrollo

J 1062

X

Desarrollo

= ln | w| +—+ c = ln|* ln|* + l|+ —— + c Cyfx+lnx, f . 1 l n * \ , 0 r , ln x - ----------dx = l(-pr + ----- )dx = 2 ^ x + —— + c J X J yjx X 2

f bdy

Sea

f y /x + lnx -d x

J

1065

Í — J 3x2 + 5

Desarrollo

u = 1 - y => dy = - du

=—J =—J —¡=ar ctg C^ -) + c =-^= arctg (x í^) + c í — t — = í r f X — V5 J 3x + 5 J (J3x)2+(J5 )2 S S %/I5 \¡5

~2bu1'' 2 +c = -2 b y] l- y + c y^ll2(iy=~bj u~ll2(lu = ~2bu1 =b ~ y

1066

JVa-bxdx.

f

J

dx 7*2+8

Desarrollo

Desarrollo Sea

s¡ a -b x dx = fwl/ ü+c = - — ( a - b x ) J a - b x +c f s¡ fwl/2(-^-) 2(-^-) = - - \ u m du = - — u>f ü+ J J b bj 3b 3b

1063

dx 1 x 2 -8

u - a - bx => dx = ~— b

_ , dx --------------------- - ; 0 /2 +c J (V7x)2-(2>/2)2 (V7x)2-(2>/2)2 y¡l 4V2 J l x + 2 ^ 2

dx

=r

dx

b)2 -( J a -b x )2 J (a + b)- (a~ b)x 2 J (Ja +b)2

11

yf a—b a— b d______ x __ ____________ ________ f f ________ J (Ja + bj2 -( - J a - b x )2

Desarrollo 1 . yj a+ b + sj a —bx . ~ln ,----- ---- f = = - \+c 2yja-b.\¡a 2yja-b.\¡a + b \la + b - y/a- bx

12

Eduard o Es pinoza Ramo s

1 2yja2 - b 2

1068

r

. . yfa + b + y j a - b x . In | ------ ----- — | +c Ja + b --> --> J a - b x

x 2dx

= 1 Ln 12- 2 x + 7 + 8 jc2 | +c , por la fórmula 7 2v 2

1072

x 2 + 2

Desarrollo

dx

Í yj l - 5 x 2 r

1069

dx

Desarrollo dx _ j* ______ ______ dx

1073

'¡5dx------- =-^=arcsen(^í) + c

i

J 3* -2

Desarrollo

2 2 2 f / x v f x a t o. (* + ~ -----= ----- = - (— + — In | jc jc - a |) + c J x~ - a 2 2

f x3dx

yft dx

Jt2 - 5 x + 6

dx

x 2 +4

f

5x-2

J

x + 4

C x 2 - 5 x + + 6 j J

I —

x +4 1

~

7

~

=

f

( 1 —

r ~

2

f J

; ) d x = I * 1 —

5x

,

1,

2

.

5 . .y ¡3 x- y ¡2 , 2>/3.V2 \¡3x + yj2

oHonr,a»q = —In - 2 l - 2^2 ^ l n l ^ + V 2

2

* +4 x + 4 2—

+

~ i —

In | *2 + 4 1+arc.tg(—) +arc.tg(—) + c

2

) d x

1074

I,

T I

^

i„

| 'fix

+c

3 - 2x ,

Í 5x +7

dx

Desarrollo

dx

J yJl + Zx2

f

dx

j yl l + Sx 2

f j yj l + ( 2y ¡2 x) 2

-

1 f 2\¡2

=2 f

J 5jc2+7 SJ .X

Desarrollo

r

1 , 3

= - l n 3jc2 - 2 ----- r - r 'n ' n H r ---- /x l+c

Desarrollo

1071

_ 1 |*

x3dx

I a~2 - x F Desarrollo

1070

13

Integra l Indefin ida

2yfldx

y¡7 + (2^/2x)2 J y¡7

f 5

ÜÜL =

5Jí 5Jí! +7_ 5V7 5

3 ar ctg (^ x) - ^ In In 15x2 15x2 + 7 | +c >/35

- i l n 15 ^ + 71 +c

^7 5

14

1075

Eduard o Espinoz a Ram os


3.x:+ 3.x:+ 1

J \lsx2 +1 dx

) a 2x 2 +b 2

J a2x2 +b2

) a" x +b"

Desarrollo ( - * 2 L dx. 3 [ ' tb+ ( * =1 f J y j 5 x 2 +l J s]5x2+l J yj5 x2 +l 10 J y¡5x2 +1 y¡5x2 +1

i f

1 , 9 o »? i 1 = — l n | a ' j r + ¿ r | + —a rc rc ..tt g( g( — ) + c 2a a b

Vm.

S J ^(y¡5x)2+1

1080 - j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \ yÍ yÍ 55xx +y +y ¡5 ¡5 x2 x2 + 1 1+c 5 \5

1076

f

jcdx jcdx

J4 7 ^ 7 (* xdx

x + 3

Desarrollo

_ 1 f

2 xdx

2

_ J_ J-ârc. sen _ sen(— = -ârc. (— ) + c úT

J Va4-*4_ -*4_2j^4_;c4"2

I s ¡ J ^ 4 -dx Desarrollo 1081 i r ? ' dx + 3 í 3 í ------- = V-*2V-*2- 4 + 31n 31n | x | x + yjx 2 - 4 |+c , por por la la fórmul fórmulaa j \ x - 4 J yj yjx 2- 4

J i« 6

Desarrollo „2 ,

1077

f iL i L * L = f A
í x 2 - 5

Desarrollo 1082 f ^ - = i f— J a:2- 5 2 J x —5

1078

—l n | x 2 —5 | + c 2'

J 2jc2 +3

j" x 2dx

J VTm f x j V* 6 - l

Desarrollo 1083

Desarrollo 1 f 3a = -ln | x3+ \¡xb - l | l | + c , por la fórmula 7 3 J V(;t3)2 V(;t3)2 -1 3

arcsen* , f jares' jare s' dx

J vT : x 2

Desarrollo 1079

J a x +b Desarrollo

J S p * = |
dx

Eduar do Espinoz a Ra mos

16

donde u = arcsen x => du =

donde u = ln(x + vi-+ x 2) 2) => du

\¡\ —X 2

2 2 u 2du = —u —u 2 +c = — (arcsen x)2 +c 3 3 í

1084

f arctg( arctg(^) ^)

1085

dx \ll + x 2

2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl + x 2 ) + c

1087

f arctg(~) arctg(~) -------- é~dx 4 + x2

17

Integr al Indef inida

J ae~mxdx Desarrollo

Desarrollo j f 2arctg(^) 2arctg(^)

j f

du Sea u = -mx => dx = ----m x

2d x

arctg2(

f ee““ ( - —m ) = - -m J\ e ududu = - -me u + c = -m- e ~m~mx+c

” t C

\a e- mxdx = a J J

1088

l + 4x2

\

42~3xdx

Desarrollo

Desarrollo f Jr -7 -7 a r ct ct g 2 Jr Jr d, d,j = 1 f j £ * 8 J 1+ 4* J 1+ 4x 2

du J 4 2 3^<íjc = 16J"4 3xdx, sea u = -3x => dx = -'-

i f ( ar arclg 2 f ) 3 - i * l + 24x2 J

16 4“ 3 ln(4)

3

= -l n |l + 4jt2 4jt2 I--(arc tg2 x)2 +c 8 3

1086

)dt

1089

dx

Desarrollo

h yj(l + x 2) ln(x + Vi + x2) Desarrollo

f ■

^

,

_ ____

J y/(l + x 2) ln (x + J l + x2 )

- ¡ IM I M x + J u x 1 )] )] J

J ( e ' ~ e ~ ' ) d t - j e ' d t - j e ~ ' d t - e ’ +e~' + c -----

vl + x

m -

1090

*

I (ea (ea +e a)2dx

Desarrollo

- 4 2.4~3* 2.4~3* 31n4

42~3* 42~3* -+c 31n4

Eduar do Espinoz a Ram os

18 m

x

x

m

2x

2x

2x

2x

)2d x - I (e a +2 + e a )dx = ^ e a + 2 x - ^ e a +c i (ea +e a )2d

Sea u —x~ => du = 2xdx => xd x = — 2

-xx ~ b,_^2 x)2 f (a-x -d x J axbx

1 7 +c x . lx dx = [ 7 ^ ^ = Í 7 “ — = - Í 7 "d í x "d « = =-- — - + c = ---------2 ln(7) 21n(7) 2 2J 21n(' J J J

2

1091

2

Desarrollo

l

1095

f(( -ab y - 2 + £ aY ) d x

2 (■ 2* ^ „ x < x . . 2 x \ ^ x - b± b± d x = dx= a'bx J axbx J J

X

„

y

X

dx

1I5 ^ — T x

Desarrollo

x 2 o y

r Sea u = yjx

^+l)xdx = J e \ ~ ) = — fe ^d u = ~ \ eU eU + c = _ ^ " (Jrí+1> + c J e~ ^+l)xdx

dx dx => d u - —=• => 2d u = —j= 2\¡x s¡x

{ 5J~xdx = \ 5“.2du 5“.2du = 2 ( 5 5“du= — + c = — 5 ^ + 0 ln(5) ln(5) ln(5; Vi J J

J

Desarrollo

Sea u = -( a '2 +1) => du = -2x dx => xd x = ~ — 2

X

\_ _

f _a _ -r1f * = f , (a- = — - j= 1, + ------f . y + c - § w 2a j= )d )d x= x= \ ( a 2 - a i ) d x = - . ~ — In a In a 3 lr j ¿ Y J y fc 7 7 J

Je + ^ x d x

Desarrollo

eudu = = — + c = -e 1 + c J —e dx = j e u( -d u) = - J eudu

1096 1096 3x

ix

7dx

X

[alX~XA J- J T *

Desarrollo

1093

1I

1 dx dx Sea u = — => d u = — ■? => — = -d u

¿Y i-)x j fl b - b _ +^ — - 2 x +c = ± r - ( £ ) x + ((-)x) -2 x +c 'n a ~ h l b b a ln(—) ln(—) b a

1092

19


1097 1097

f — — dx J ex - \

Desarrollo

Sea «=£*-1 => du = exdx

1094

I

*.7* <£t

í C> — - = f — = In | m| +c = In | e* e* - 1 1+c

Desarrollo

J ex- l

J «

Eduardo Espino za R amo s

20

f axdx 1 f du 1 1 , ------ — = -— ----- ? = -— arctgM tgM + c = -— arct arctg(a g(a ) + c maj\+u J l+a lna lna

bexdx

1098

21


Desarrollo Sea u = a -b e

,

[ ( a - b e x ) ^ e xd xd x - [ u ^ J J X

1099

I

e~fa¿jc J 1I+ - e~2hx

f-

X . dU . r. => du = -be dx => e dx — ----b

b

Desarrollo

e~bxdx = - — Sea u = e hx => du=-be~hxdx => e~b

[ u ^ du du = —— u^ +c +c =-^- -J( a- be x)3+c b J 3b 3b

f
1 X

(e a +1 y >ea dx

lf á 1 , x 1 , — w2’ = _ 7: 7b:arcts (M (M)+t: = - Tb arctg(^ ) +c +c ¿ Jh 1+

Desarrollo

¿ - dx Sea u = e a + 1 => du = e a— => ad u = ea dx a

1103

dt

f-

J 1-«-e2' Desarrollo

Sea w= e' => du = e‘dt

* * 3a 3a — f - — f f I (ea +l)3eadx = I u3adu = a \ u3du =- ^-u i +c = — (e a -1 ) 3 + c

f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ . I — = I ----- í- = -ln ----- +c = —l n -------1+c

1100

J

dx 2X+3

f— J 2* +3

J l —e

Desarrollo

1104

J l-u 2

2

1-M

2' l - e ' '

J sen(a sen(a + bx)dx Desarrollo

—f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X+ 12X+ 3 1)+ c 3J 2* +3 3 ln2

Sea u = a + bx => du = b dx => d x - — b

110.

l-a™

J \ + a

Desarrollo

f 1 f r du J sen(a + bx)dx = J sen(w)— sen(w)— = —I sen(u) du

cos(«) +c = -ic - ic o s( « + kO+ c = - — cos(«)

6

fe

Eduard o Esp inoza R amos

22

1105

J

23


Jt COS(~ 7 =)dx

J senflog senflog x )—— = J sen(«).ln(10).dM sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* ln(10)J*sen (u)du

v5

Desarrollo

Sea u - -—= =>

= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c

1109

\¡5

i sen2 xd x

Desarrollo

J"cos(-JL) J"cos (-JL)í£t'= í£t'= J*cos(m J*cos(m)\^5 )\^5í/m í/m = V5j"cos(w)ài/ V5j"cos (w)ài/ = 5 sen( «) + c = . 5 sen( * ) + c

., ,

?

1 - cos2jc

Usar la identidad: sen x = ----- ------

1106

J (cos(oa) (cos(oa) + sen(ax))2dx sen(ax))2 dx

- cos(2jc) cos(2jc) ,

(cos(a.v) + sen(
(ax) + (ax) + 2 sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx

x sen(2x)

------------ d x - ---------------+ --------------- + c Jsen2.x Jsen2 .xí¿ í¿tt = j i ------------d

Desarrollo

2

1110

2

4

j e o s 2 xd x

Desarrollo

(1 + 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — — —cos( cos(2< 2
2

2

Jcos(Vx). dx

4~x 4~x

J*cos2jc< J*cos2 jc
Desarrollo r dx dx _ , Sea u = y/x => du =— -¡= => —¡= = 2du 2 \Jx y X

1111

j* co s(V x) .-^ - = J*cos(u).2du J*cos(u).2du = 2 J eos(u)du eos(u)du = 2sen(w) = 2sen(w) + c = 2sen (\fx) + c

1108

1+ cos(2jc)

Usar la identidad eos x = x = --------------------------

í

4

Desarrollo

[ see2 (ax + b)dx = f se se c 2u 2u — = - | see 2udu = -tg n + c = -tg(ox + fc) + c a a J a a J

J

Desarrollo => — = ln(1 ln(10) 0)í/ í/w w a-

í secz(ax+b)dx

2

du Sea u = ax + b => dx = — = — a

sen(log x) sen(log x) .— x

Sea u = log x => d u - ——— ln(10)x

2

1112

j c t g 2(ax)dx

24


Desarrollo Usar la identidad: identidad:

je tg2(ax).dx tg2( ax).dx = = 1113

f

1114

1+ c tg 2 x = ese 2 x

(csc2(ax) -1 )dx = J (csc2(ax)

_*+c

dx K 3cos(5 x-—) x-—) 4

Desarrollo

dx 1 i 5x JT. i " ------ = — l n |t|t g [— [— + - ] | + c o /« * * 1 5 2 8 3cos(5x ---- ) 4

dx sen(-)

Desarrollo

25


1115

dx sen(ax + b)

Desarrollo _ x _ , x „ ,x , Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— ) a 2a 2a

Se conoce sen(ax + b) = 2 sen( sen(

sec(^) 2a dx i— - \ ' sen(-) J 2sen(— ).cos(— ).cos(— > 2 ¡ sen(— sen(— ) 2a 2a 2a dx

f ■ J sen(ox + b)

X ) see2,(— 2a

du du = see see (— ).— 2a 2a

? JC De donde se tiene: see (— ) dx dx = 2a dx 2a

dx

,a x + b s

ax + b J 2 sen(—-— sen(—-— ).cos(—).cos(—- )

— —- — ) , [>sec > , , a x + b . . =12, Jf. -sec( dx = - l n l t g ( — )!+ c - - 2 — dx = - i - - - - - h r dx s n ,(,(£ £ ± * ) .g(H ±í, “ 2 ,

j f sec2( ^ ) -dx = -1 ‘f 2a dx - l i sen(— sen(— ).sec(— ).sec(— ) 2j 2a 2a = tg(— Sea u = tg (— ) 2a

f

ax + b ax + b — ).cos( ).cos( ^ )

1116

J

xd x cos2(x2) ~)

rsec=(í^>

Desarrollo

26

1117

Eduar do Es pinoza Ramo s

J *sen(l-jr)í£c

1121

Desarrollo

1‘W^r b )dx Desarrollo

Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —

J*. í sen(l sen(l - x~ )dx = J sen(l sen(l - x2 )x dx = J sen

27

Integ ral In definida

Sea u = — a -b

=* dx = (a-b )du

(—^-j-)dx = J e tg a.(a - b)du =(a- ¿?)J cigudu J c tg (—^-j-)dx

f»

1 Jf $enud j 1 cosu+c = —1cos(l -X 2) + c u=—

1118

X = ( a - b ) In Isen u | +c = ( a - b )ln | sen( ------) | +c a -b

r - \ ) 2d 2 dx I sen(;t sen(xv2)

1122 Desarrollo

I

dx ,x . W j)

Desarrollo dX = J (¡enxv^ ~ 1)2 ^dX = J (CSC^

~ 1)2 ^dX dX = (Xs^ ) " 2 csc(;c = J (CS° 2^(Xs^ cs c(;cV2 V2 ) + IWjc

= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ c t g ( ^ ) _ _ | ln l n | , g(^

1119

r , r f cos(|) )dx = I -------- dx = 51n | sen(— ) | +c I — — = I ctg(— J t tgCj) gíí) J 5 J s en en A 5

) |+ c 1123

/ tgxdx

J tg(\fx). dX VI

Desarrollo Sea

f * * * = f — dx = - l n eos * +c J J eos Jf 1120

Desarrollo

i i dx dx ~ , — z = \ x => dz - — => —¡ = - 2 d z 2yjx yjx

2 j tg zd z = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c J tg(VÍ).-^ = Jtg z. 2d z = 2j

tg xd tg xd x

Desarrollo \cigxdx = J J senjr

= ln | sen jc| +c

1124

v" +1 )dx JxCtg(A'2

Desarrollo

28

Eduardo Espino za Ra mos

=> x dx ——2—

p o s t a d La*«,))-*.**«)*. J J sen (ax) J

du )dx = J r tg(x2 + l)x dx = j c l g u . J xc t g(x 2 + 1 )dx ~2

donde don de u = sen (ax) => cos(ax)dx - —

Sea u = x 2 + 1

1129

dz

íc os (—).sen(— (—).sen(—) ) -)dx a

a

f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I l n l z l+ l + c = - i l n | 3 + COS(3x ) |+ |+ c 3J z 3 3

J 3 + cos(3jc) 1130

Desarrollo fco s(—).sen(— s(—).sen(— —sen 2(— = —sen )dx =

J

1127

Desarrollo

Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3 sen( 3 x)d x = ——

f f secx , f see x , , , , dx I ------------- = I ------- dx = I -------- dx = ln tg x \ +c J sen sen xcos .r J senx J tg jc

J

a

a

2

sen*, eos jc

.

rdx

I Veos2Jt-sen2 x

Se conoc e que: sen x.cos x = — ^—

Desarrollo

f sen sen xcos x = ¿ f sen sen(2 (2*) *) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx J Veos2Jt.s Veos2 Jt.sen2x en2x ~ >/cos(2x) 2J

I sen3(6x).cos(6x)í¿v

J* sen3(6x).cos(6A)¿x sen3(6x).cos(6A)¿x - J u i du 6

y e os os x — sen x — cos(2.r) cos(2.r)

yJcos(2x)

u4

sen4(6jc)

24

24

— = —

J

Desarrollo

a

Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx

1128

+c = — J-+ C = --------!,¡ u a a sen (ax)

sen(3x)djc

cos(3 jc) I 3 + cos

dx í sen x. eos x

Desarrollo

1126

a

du a

= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) | +c

1125

29

Integr al Inde finida

2~

+ c - --------- — - + C

cos(ax) , dx sen5( ax )

Desarrollo

1131

V

1+ 3 eos2 x sen(2*)dx

Sea u = l + 3cos2 x

Desarrollo => du = - 6 eos x . sen x dx

30



sen(3.t)¿jr ¿jr__ f l + sen(3.t)

du = - 3 sen (2x)dx (2x)d x ; — y = sen(2 x)d x

3cos2 jc)3 J*(l + 3cos2 x )2 ,sen( 2x) dx = — i j u 2du = ~ u 2 +c = -^ yj (l + 3cos2 jc)3 +<

1132

J cos2(3x) 1136

,sec 2(—)dx Desarrollo

(cos(üx) + sen(ax))2 sen(ax) Desarrollo

J

Sea u ~ tg( ~) => 3du = scc2(^)d x

sen(cijc)

f l + 2sen(ax).cos(flx) ^ J

sen(ox)

J (cs c(ax) + 2 cos(ax))dx = —(ln —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) sen(ax) + c

1137

f csc3( csc3(3x 3x)) _ ^ J b - a c tg(3x) Desarrollo

eos2 X x Desarrollo

f ^ ^ J eos" x

Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x

J

3

í sen (x)

1138

J (2senh(5x) - 3 cosh(5x))t/x Desarrollo f

c c t s 3 ( x ) r ~ ^ ~ I r---- |ctg3(x).csc ( x) dx = — c t g 3( 3( x) x) + c J sen (x) J 5

+ sen(3x) ,

cos2(3.y)

V1

f _ £ ! £ ! 2 í L . ^ = _L f = _L | +c . ln | u | +c = J-ln | b-- a Ctg(3x) 3a J u 3a 3a J /?-actg(3x)

Desarrollo

J1

dU 2 ~^¡~csc

= f(tgx)2.sec2 x d x = — tg2(x) tg2(x) + c

2

1135

_

dx

1133

1134

J

r (cos ( ojc) + sen(ax))

3

. X X Jtg3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = û 4 + c = -3t g a( - ). + c 4 3

í

c f ( sec2(3jt)+tg(3.x sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3 ).sec(3jr))dx jr))dx = tg(3x) | sec(3x) |

1139

dx

Desarrollo

2 3 (2 sen(5 sen(5x) x) - 3 cosh(5x) cosh(5x))dx )dx = - cosh(5x) cosh(5x) - - senh(5 senh(5x) x) + c

1

senh2 x d x

Desarrollo

32

Eduard o Espinoz a Ram os x senh(2x) cosh(2*)N, x ----- 1 Jsenh2 x d x = J (—i (—i H----------- ------------- )dx — ------------------------------- 1-c 2 2 4

1140

33

Integ ral Inde finida tgh( x) dx = f C°Sh(A) í c tgh( x) °Sh(A)^ ^ = ln | senh(jc) | +c J J senh(x) Hallar las siguientes integrales indefinidas:

í senh(jc)

1145

Desarrollo

í'^

■x2dx

Desarrollo d'X = ln | tghí^) | +<~ senh(x) 2 J x\¡5 - x 2dx = J*(5 - X 2 )5 xd )5 xd x = —^ j*(5 j*(5 - x 2 )5 (-2 x) (-2 x) dx = dx cosh(jt)

1141

1146

Desarrollo

f — — —— = f ------- d x - 2 f e— - d x - 2 arctg(g*) + c J l + e2* JcoshU) J \ + e2x 1142

i senh(jc).cosh(jc) f

dx

C s e c h 2( x ) ,

J tgh(A‘)¿V

, .

,,

.

1147

1A + 5 f x 3dx _ f

= (x3-l)dx

Desarrollo x 3dx

J ^ 5 _ J (a4)2 +(y¡5)2

Desarrollo

J" tgh(x)dx tgh (x)dx = J* Senj^ *| dx = ln | cosh(x) | +c

4

—ln |m |+ c = —ln —ln | a 4 -4 x + \ \ +c f — - — í — dx = — f — = —ln J x 4 — 4jc + 1 4J u 4 4

— dx - ln | tgh(x) | + c I -------------------- = ------- — dx = -------- — J senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x)

1143

Desarrollo

Sea u = x 4 - 4 x + l =$ -

Desarrollo

f seeh ( x ) J

J x - 4* +1

1148

1 , x A tg(.-!=)+ C 4^5 Js

í xe x dx Desarrollo

1144

\ctgh(x)dx

Desarrollo

a2)6

+C

34

Eduardo Espino za Ra mos —i j e udu j xe x d x = j e x xd x = —i

= —21 e« +c = — 21e

+c

35


1152

f 1-sen*

J * + cos*

dx

Desarrollo 1149

J 3 - > / 2 + 3. 3.í 2 dx 2 + 3*2

Seaz = Desarrollo

f j —sen. sen. x_ x_ ¿x ¿x = í — = ln | z | +c = ln | * + eos * | +c

J * + cos*

dx J

2 + 3*

J 2 + 3*

J 72 + 3*‘

1153

Usando las formulas 4 y 7, se tiene:

f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx J 2 + 3* J 2 + 3* =

f jg(3*)—ctg( jg(3*)—ctg(3*) 3*) _ f (Sec( (Sec(3^ _ c tg(3x)csc(3 tg(3x)csc(3*))d *))d** J sen(3*) = - [ln | sec( 3*) + tg(3*) | + ---- ——] + c 3 sen(3*)

ln | \¡3x + \¡3x + y¡2 y¡2 + 3x 2 \ +c

f¡L±dx J *+1 Desarrollo (* -* + 1

f tg(3*)-ctg(3*)^ tg(3*)-ctg(3*)^ sen(3*) J

J

1154 1150

J z

Desarrollo

f Jx J V2 + 3*2

arc tg(* ^-) -

x + cosx co sx =» dz = (1 - sen x)dx x)dx

— )dx = )dx = - (-*—21 21nn * + 1 +c *+1 3 2

J

dx *ln2*

Desarrollo x

donde don de u = ln x =>

dx d u - — *

---

Desarrollo

1155

= f«

- du 2 = . 1— + c du = u

f d\ - = f(lnx) J *ln' * J

J

1 1-c ----------1 ----------c ln(*)

see2 xd see2 xd x

J y¡ig2 x - 2

Desarrollo

Sea u = tg x => d u = se se e2 e2 x d x f see2 xd see2 xd x

f

J s]tg2 x - 2

J yju 2 - 2

I

—- I

du

, , r \jtg2x -2 l+ c —In Iu + \lu 2- 2 | +c = ln | lgx + \jtg2x

36

1156


J (2h-----2x —+1 )-2x* +1 f

x

dx

f xd x 1 f 2 xd x 1 2\ = = = = = = —aresen( ____ = —I — I , __ —aresen( x ) + c JV ÍI7 2 2

Desarrollo C dx

f

xd x

1160

J *"+ 2x2 + 1 2x 2 + 1 ~ J 2x 2 + 1+ J (2x2+ 1)2 1)2 = \Í2 arctg(W2)-------- —— + c 4(2x“ +1) 1157

J sen2('(^r)dx 2 Desarrollo

In a

« , , 1-cos(2jc) i Por la identidad se n' x ---------------- se tiene:

= asenx eos xd x

eos x . x = dx = J sen2(-^)ífa = J - —eos 2 ---------

f sen* sen* f du 1 a senx senx la cos xdx = = I ----- = ------ u + c - ------- + c J J \n a lna lna

1162

J* x 2dx

JW T \

Desarrollo

dU ■y „ 3 , Sea u = x +1 => — = x~dx 3 du 1 f -r 2 . I — ... I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = — u ...-..... J 3 2

J

3

1159 x 4

Desarrollo

2

J\¡4-tg2x f see*2 xd x

f

sen*

---------------

see2 xd x

Desarrollo

f X d x

Desarrollo

Desarrollo

Sea u - a sen x => du - a scnx scnx cos x. In a dx =>

1158

Xg2(ax) dx í Xg2(ax)

¿(ax)dx= ' - x + c I (sec~ (sec~ (a*) -1 )dx = í^ a x > J"tg = = J*( tg2(ax)dx

1161

asenx eos x dx í asenx

37


1163

f

= aresen(----aresen( -----)) + c

dx

^ eos(—)

Desarrollo

hc

38

1164

Eduar do Es pinoza Ramos y¡\ y¡\ + In + In x

1168

---------- dx

1

sen sen x-e os x ,

dx sen x sen x + + eos x eos x 1---------------

Desarrollo

, , . f sen x - eos x , f du , --------------- dx = I ------ = - l n w + c = - l n | s e n x + co co s x |+ |+ c J senx + cosx J u

3 3 J Vi + ln x — - J*“ J*“ 3d u - —u 3’ + c = —( 1 + lnx)3 +c 4 4 l

x-1). J y fxx -- l

J

1169 Desarrollo

Sea z - y j x - l

dx „ , => dz= J dz= J í — => 2dz = = 2yjx~l

(1 - sen (-~))2 --------í se„<-|) Desarrollo

dx

, ( l -s -s e n ( ™ ) ) 2 f ----------f ----------- — — = í ( ---- -------- 2 + sen{-^=))dx

yjx-l

sen(-^=)

J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tg zd z = -2 1n(cos z) + c = —2 ln | eos Vx- 1 | +c 1166

i

sen(x2))

f x dx 1 , , , r %l

1

,,

I

x dx x 2 - 2

Desarrollo dx - 1(1 + —^ — )dx )dx = x + -^= l -^= lnn j —— | +c x —2 V2 x+V 2

e ^ '+ x ln ü + x V l dx 1+ x2 Desarrollo

1171

Ce ^ + x W + x ^ + l ^ . = ,f . e aMgv x ln(l + x 2 ) 1 w dx = | (- ----- - + --------- - + -------- ) d x

J

" 72

2

1170

I------- j j - = -In Itg(— Itg(— ) | +c = - ln(csc(x ln(csc(x ) - c tg(x2)) tg(x2)) + c en(x) 2 2 2 J ssen(x

J

sen(^=)

= V2 ln | fg(~ = ) | -2x - yj l eos (-j=) + c

xd x

Desarrollo

1167

Desarrollo

Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) x) dx => -du = (sen x - eos x)dx

Sea u = 1 + ln x => du = l~ x

1165

39


1+x2

X ~ J

=e

1+ X

1+ x~

1+ X

arctot ln (1 + X ~ ) ° + ------ ------- + arctg * + c

f (1 + A-)2 -dx x¿) J x(l + x2 Desarrollo

40

1172

Eduard o E spinoza Ramo s

Integra l Indefinid a

j"esen* se n lx d x 1176 1176

Desarrollo

£ í , e — - dx s¡e2x - 2

Desarrollo

Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx

f J 4elx -2 e 'd x

1173 1173

5 f - .5 3A dx J Vi"-3^ J 4 - 3 r 2

1177 Desarrollo

f 5-3* f I ~~r ' ti* = 5 I J V4 - 3* 2

1174

d* .....

f x d x 5 V3* I ------- 7 -3 I = -=arcsen(——) -=arcsen(——) + V4 -3* +c JV 4-3 7 V3 2

1178 Desarrollo

dx sen(fl.v). cosía*) ¡

1 2tt? , sen(— + yf0)dt i '

eos 11 T , 2tt/ = - r ------ + c = ------ cos(-— cos(-— +v^0) +v^0) + c 2n 1 27T

Desarrollo dx _____ * ____ _ = _ L f _ f _

a - b j aa + b |a - b

Desarrollo

— = ~ J sen u du j s e n ( - ^ + 1/ 0 )dt = J sen u.T —

h (a + b) + (a -b )x ~

J ((a a + b) b) + (a-b)x~ (a-b)x1

m | ^ + V ¡ 2^ 2 | + c

2n ., rj. du 2 Kt Sea u — -----+ ---- -+ i//n => d u = — dt => dt = T — ~ T T ¿n

J l+e

= -[ln |l + eJC|-* ] + c = * -l n |l + e* e* |+c

1175

=

f = f sec(^2
f dx f , -{\n(} (} + ex) -l n e x] + c ---- = I ------- -í/* = - l n 1+ e ■* +c = -{\n I — ----

J e +1

f - 7=¿ £ = J J ( e A) A) 2 - 2

Desarrollo

f ¿*

J e*+1

-

1 1 ¡a + b

t = arctg (~ arctg (~ t ) + c " ¡a+b

1179

r rf* J *(4-ln2. *(4-ln~ *) Desarrollo

a~b. 1 -arctg(* / ------) + c ■Ja2 Ja2 - b 2 Vfl + ¿

Sea u = !n x => du

= —dx

42

Eduardo Espinoza Ramos

f .f _ * J x ( 4 - l n ' x ) J 4 -u ~

sen 2* sen x.cos * = --------

1, , 2 + ln x , l |„ |i± ü +c- — l n --------- +c 4 2-lnx 2-u 4

f -------—-------= 4 f — ^ = 4 f csc2(2x)dx csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + c J sen“(2x) J

. arccos(—) arccos(—)

J sen2x.cos2x

1180 Desarrollo

1184

dx Sea u = arc cos (—) (—) => du = — — / l_ l _ ( |) |) 2 2

í

V^ X2

¡ ^

1185

x +

x

l

f _

^

+c

2.......

J vsec x + 1 Desarrollo

J* e~tg' .sec2 x tgA + c .sec2 x d x = -J* eV « = —e" + c = -e _tgA

If secx.tgx— <,/r= If secx.tgx 0 — d x - In jser r + vsec x + l| +C./2„.,1,„ J Vs Vsee2 x + 1 J y (s (s ec ec x) x) 2+ 2+1 1186

cos(2x)

I 4 + cos2(2x) dx Desarrollo

f senx. eos .v , dx J V2 - sen4 x

Desarrollo ,----- — = —) + c ------ ----- - dx = — arcsen( arcsen( —

V2-sen 2- sen 4*

dx= ^

f secx.tgx , J i

e~lg 1see2xdx

Sea u = - tg x =» du= — sec2xdx

1183

aresen x + x , dx •x2

Desarrollo

Desarrollo

1182

í

du=-

-a r c c o s (- ) f «2 1 I — -j— 2 d x = - \ u d u = - — + c - — (arccos(— (arccos(—))2 + c J V J 2 2 2 V44 -r 2 1181

43


2V2

dx

sen2.v.cos2* Desarrollo

1187

f cos( cos(2x 2x)< )
f

J 4 + cos2(2x)

sen 2(2x) J 4 + 1—sen2(2x)

f— í i J 1+ cos

cos(2 cos(2x) x)

f cos( cos(2x 2x)r )rfx fx

J 5-sen2(2x1

Desarrollo

1 ^ i ^+ sen dx ) +c 4^5 V5-sen(2x)

44

1188

Eduard o Esp inoza Ramos

f

4.3. 4.3.

¡n(x + -Jx2 +1)

MET ODO DE SUSTITUCION.PRIM ERO.-

Desarrollo dx

Sea a = ln( = ln( x + + yfx2 +1) => du =

na;- l

45


SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRACION INDEFINIDA.

Se hace poniendo poniendo x = y(t), donde t es es una variable variable y f es una función función continua diferenciable,

x 2

J

f ( x ) d x = f( \f /( t)) xi f\ t) dt { N I

f ln(.v + n/a" n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^, i ------ d x - I (\n(x + \¡x + 1))2 —p------ = I u du — i+x2 j v j J 7 ,^ 7

I r * i

—■\] —■\](ln (ln(x (x + y¡x2 + l))^ + c

1

1189

)<£c í jc2cos h(;t3 + 3)<£

( 1)

La función \\i \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) tome una forma más adecuada para la integración. integración. SEGUNDO.SEGUNDO.-

3

...

SUSTITUCION SUSTITUCION TRIGONOM ETRICA

Si la integ integral ral contie contiene ne el el radi radical cal \[a2 - x se toma: sen 0 =

a

; x = a sen 0

x dx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—) a

Desarrollo

o du , Sea = x 2 dx u — x 3 +3-> => —

, , 3 f 2 f , , . du senh(n) senh(n) senh(x3 +3) I x cosh(x +3 ) d x - I cosh(«)~— = ------ — + c = ------ ------- J 3 3 3 J

2

^tgh(A)

1190

+ C

, dx í cosh“(jc)

Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: se c0 = —, x= a see 0 dx = a see 0. 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-) are sec(-) a

Desarrollo Sea u = tgh x => du = see l r ( x ) d x j* -jtglUjr) -jtglUjr)

/•

»

\/x2 - a2 ~u

3'gb*.see hx 2dx = 13“du = --------- + c I - 1— , dx = I 3'gb

J cosh“(.v)

J

J

ln3

itghx

-------- + c

ln3

a

46

Eduardo Espinoz a Ram os 3

47

Integra l Indefinid a dt

Si la integral contiene el radical 4 a2+ x2 se toma: tgd = — J e '+ l

x = a tg 0 ; dx = a see26 see2 6 d6 ; 9 ~ arctg(—) a c)

J e " l n ,+ ,+1

L+ / l+c = -ln \ \ + e~x I +c

J l +í

I x(5x2 - 3)7dx 3)7dx , 5x2 - 3 = t i ‘ Desarrollo

? , dt 5x -3 = t => jcí/x = — 10

1191

(5x -3) \ x ( 5 x 2 - 3 ) 1 d x = f /7 / 7 - = 4 + c = ---------- — +c 80 J 10 80

Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.

J a)

i*

1

dx

J x J T ^ . ' x ~~>

d)

Desarrollo x —-

1

t

A

-1

t = yjx + 1 => dt = ---- 7

J 2r 2

J V l - 2r 2r 2

V2

1

x = - ln t

Desarrollo

t = y ¡ X + 1 =>

X=

f2-1

arccos(v 2 ?) ?) + c (V2í)-

1 V2 /- 7=arcco =arccos(— s(— ) + c, x> \J 2 V2 x

J

= = i

2y¡X + \

-dt xy jx 2 - 2

f dx ex +1 ex +1

Desarrollo

=> dx = —— ademas ademas t = — x r A d t

dt

b)

i---f xd x ---- r I , t = Jx + \ J Vx + 1

e)

f eos xd x / ’ 1= sen x J VI + sen a Desarrollo t = sen x => dt = eos x dx f eos xd eos xd x sen2 x J Vi + sen2 x

f

dt

J \¡\+t~

=_ In I?+ Vl + r I+c = ln | sen x +

+ sen 2 x | +c

48

1192


49

Integ ral Inde finida i------Sea t = yj 2.V 2.V + 1

I x( 2x + 5)w dx

+c [ + c = ln | i * + 1 f dX - f -y—— = 2 f - y — - In 1 J x \ j 2 x + J r -1 V2 a + 1 - 1 x + 1 í-1 -i 2

=>

r

i

2 . t — 1 ; x = ------ => dx = td t

Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas.

= 2

a +

1

yj2 x + 1+ 1

Desarrollo 1195

dx , x = -- ^ t = 2x + 5 => — = dx , 2

2

.

dx

í •je* -1 -1 Desarrollo

f x( x( 2x + 5)}0dx = f — — J 2

J

2

= - f(/n - 5 t w ) d t = - [ - ----- — í“ ] + c 4j 4 12 11

; i í a * ± s F _ ± ( 2x + 4 12 11

1193

1 + X

I l + yfx

Sea t = \Je' -1

t~ —ex — 1

—t +1 e x —t

2tdt e cdx = 2id / => dx = t 2 + 1

n

2tdt dx

f

Desarrollo Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt

—I— = f ? ± 1 = 2 f f ' = 2 arctg t + c = 2arctg(V?7 ■l) + c

J V ^ -l 1196

J

f

Jr+l

fln(2x) dx

J ln(4x) a Desarrollo

J 1+ yJX yJX

' J 1+ t

J

í+ 1

ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2

T 2 /3 t2 2J ( r - t + 2 - — )d f = 2 [ - — + 2 / - 2 1 n | f + l |]|] +
fln(2x) J ln(4x)

= ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ 2¡ + c

= 2[— -----— + 2\[x -2\ n | \ + \[x |] |] + c

1197 1194

f dx J x\J 2x + l

Desarrollo

dx _ j* lnA lnA + ln2 ^ dx _ f ^ ln2 ^dx ^dx x J l n x + x + 2ln 2 a J l n A + 21n2 x

f (a (a rc rc s en en x )2 )2 ,

J

Desarrollo


50

Integr al ind efini da

51

dx

Sea t = arcsen x => d t -

vr

1198

f (arcsenr f

f 2

J JVlT- x 7 -

1

dt t.-zf - 7 ^ = = í -? == == == == = - f “ 7 = == == = “ In I r + V í ^+ ^+ T | + c

/ + c = -(arcsen*)3 -------------- í-c ■

j

j

e2xdx

í Vex +] r e2xdx

.i

V i + * 2 1, 1,

*

Desarrollo

Cf_-

J V77I J

I

r r

, , i +V + V i + *2 *2 ,

. ,

2(t - - t ) + c =^-í(r2 -3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x - 2 ) + c 1 ltd t = 2(t

*

*

1 +V 1 + * 2

Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas. 1201

r

I" x 2dx

J VHv Desarrollo

sen xd x Desarrollo

Sea t 2 t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; com o t 2 = eos * => í4 = eos2 * - 1-sen* *; sen~* = l - í 4

cos0 cos0 = V i-* 2 ; sen sen 9 = x => => dx = cos0d0

j W « f a = f l z í l . (_2 „ d, = - 2 f (1- , < v , = - 2 ( , - 4 ) + <' = 7'(> 4 5) + c J v cosx J t J

J V i-* 2

= y Veos Veos *(cos2* - 5) + c

fW O . c o s I ) ^ j cose

f y J *Vi+*~

1202

Desarrollo

¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’ ) de J 2

J

0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi :------------------- hC= ------------ * ------2

1200

*

.

= — ln | —h ----------1-t-c = — ln ¡-------------- ¡+c = l n | ------ = = ¡ + c

Sea t 2 = e x + 1 => ex =t2 -1 => exdx = 2rdt

1199

*vt t 7

í

x ' dx

&

2

2

2

52

Eduar do E spinoz a Ram os

Desarrollo \Í2 eo s 8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡ 2s en 9

53

Int eg ral In de fin ida f \ j x2 x2 - a 2 x

_ j>aíg 0.íisec 0.tg0 í/0 _ asec0 J

J

=> dx = \Í2cos9 d9

f ^ 2 6 d 6

J

jx 2 - a 2 - a.are see( —) + c = « | (see2 0 - 1 )d 9 = a tg 9 - u9 + c - \ jx a J

= 7 ^2 - «2 -a.arecos(—) + c x 72 -X2

x dx

í y¡2-

1204

f

dx

JxTTTÍ Desarrollo

f 2V2 sen30.V2 eos 6 d 0 V2cos0 J ctg0 = -¡= L = ; 777 1

2>/2 J scn}OdO sen30 d 6 == 2V2 2V 2JI (1l - c o s ¿ 9 ) s e n 9 d 9 = 2a/2(-cos0 +

cos0= —

9=

x

árceos— a

~"-) + c

x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0 = 2\¡2(-

1203

I

7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 ) + c

V2

2

f—

' 3V2

— = fc fc os o s 0r 0r tg tg 9. 9 . sc sc c0 c0 .t .t g0 g0 dO - f d 9 - 0 + l -a icc os (—) + t J ~ ~ J

JxT^T 1205

Desarrollo

7 x2+1 , — dx

Desarrollo tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7x2 +1

x2 - a 2

a.tg # = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0

1

54

Eduardo Espino za R amos

J

X

f í £ i . sec= í )< )< » = r

J tg0

J

55


sec0(l + tg~0)úí0 t2 0

J (see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d 6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd ] _ eos e os f)

= ln ln ¡csc 0- ctg 0 | + sec0+ c = ln| — ------ -|+sec0 + c sen0 - _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2+ 1 - ln | 1 + C OS0

l + Vx^ + l

J \ ¡ l - x 2 d x =x = J +c

0

sen 0. eos 0

2

2 +* 1206

f ----- p- ---- x 2y ¡ 4 - x 2

1208

aresen x aresen x -+c=-

Calcu lar la integra! I

JVIVTI

Desarrollo

x \ ¡ l

- x2

2

+c

valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .

Desarrollo x = 2se n0 => dx dx = 2c os 0d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0

Sea x = se = se n 2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt, como x - sen / => sen t ■ J x

t = = aresen VI

- 2 t + c - 2 aresen VI + c f — * L _ = f - 2 sen ' -i - i — - 1 = 2 f J VIVICI J sen sen rVi -se n2 / J sen/.cosí

1209 J 4 - X 2 1f 2 ctg0 f— = f — 12c°s0 ------------- d o = - e se se 6 dO = ----- — + c = ------------ +c 4J 4 4x J x2y¡ 4- x2 J 4 sen2 0 - 2 c o s 0

j V ? + x 2dx Desarrollo Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh senh t tenemos:

1207

x 1dx

Desarrollo x = sen sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2

Va2 + a'2 = V«2 + «2 sen2 ht = = aco sh f ; dx = a cosh t. dt dt

, senh2f J Va2 +x2dx = a2J cosh2f dt = = «22 Jf 1+ cosh 2í-rf-rf,í = —a22 (/+2

)+ r


56

= — (t + + senhí.coshO senhí.coshO + í'í' = — ln(x + yja2+ x2) +—4a 2 + a2 + c 2 2 2

4.4. 4.4.

»

1211

x = a cosh t => dx = a senh t. dt f a2 cosh2í.senhí a2 cosh2í.senhí dt 7f , = I ------------------------= a I cosh t dt senhí

2

J

a2 . senh2í, a2 dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c 2 2 2

como x = a cosh t => cosh t = —, además además

V

Desarrollo dx u = ln x ln x =» d u - — x dv —dx => v = x

I arctg xd x Desarrollo

+x"

V

Va 2 + x“ e = senn i + cosn i = ---------------- =»

vdu

ln xd x -= A‘ln ‘llnn xx— - J | x — — Jt + c J * \nxdx — - -= jc.ln* .

1212

a

^ L , x x "> senhf = „ l + ( ~ y

J- xd x Haciendo

+ cosh2í , = ° f

•

Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por partes.

2 x~dx Hallar I r --------------- ; haciend o x = a cosh t í ; J T ^ a 2 Desarrollo

J

»

u d v = u v~ v~

x + yf a2 + x 2

e' = cosh t + senh + senh t

J y j x 2 - a 2

INTEGRAC ION POR PARTES.Fórm ula para la integración por partes: si u = vj/(x vj/(x)) y v =
t

, , x v « “ + X“ donde, senh t - —, cosh t = t = -----------a a

f x ' d x

57


Haciendo

2 I í , . x + vx~ +a

t = = l n ---------------a

dv = dx =>

f x~dx _ a 2 , x + 4 x 2 + a 2 . xy ja2 + x 2 [ln i---------------i ---------------- 1+--------r---- ] + c 1 a„2 J Ii x o2 - a 72 o L 1

J

i

i2 \[x~ + a 2 | +—yja2 + x~ +k = — ln | .v+ \[x~

u - arctg x => du =

1213

v =

dx

(1 + JC2)

a-

r x ¿x i . ,, ?, arctg a*dx = arctg x - - —ln 11+ x~ | +c = x. arctg x - I ----- = X arctg 14" X~

J are sen a dx

Desarrollo


58

dx

u = arcsen x arcsen x =$ du =

Haciendo

Integ ral Inde finida 2~* 2~* xln 2 + l L 2- ^ = - x . 2I - f - 2I ^ = - x . ^ . + c = --------- r— + c ln2 J in 2 ln2 In-2 2jr ln2 2

J

dv = dv = dx => v - x arcsen x arcsen x d x - x. x. arcsen x rcsen x -

1214

59

x d x

í

r. 2 = x arcsen x + v i - x +c

1218

xsen xd xsen xd x

P

Desarrollo

Haciendo

Desarrollo

u = x_ => <í <ím= 2xáx ,3* c/v = e3xc/x V = ■

u - x => d u - d x Haciendo

í 1216

dv = dv = eos 3xdx 3x dx

xsen3x xcos 3x dx = -

í

xsen3x

cos3x cos3x

u = x => d u = d x 3x Haciendo - j . => v = — e dv - e 3r' dx

-+ c

r 2 „3j 0 „3* x> = — X x 2W eJ eJJC- - [ 3 3

1

u = x => du = dx i I dx I — => ex x

1

ex

ex+C~

Desarrollo u = x => du= dx dv = 2 xdx => v = —ln 2

3

<*-.3* 2x 2e 3x - d x \ = - e 3 x ~ e3* + -------+ ------- + c 3 3 9 27

-P

e3x 2 - — (9x‘ (9x‘ - 6x + 2) + c 27

x+1 -+c

1219

2x + 5)e Xdx Desarrollo Haciendo

x.2 ' dx

Haciendo

x e ’xdx

Desarrollo

dx - - IJ “ 7 ~

í

sen3x

fsen3 x , -d x

I; -dx Haciendo

1217

v=

ju j u = x x - 2 x + 5

du du = = 2(x-X)dx

\dv = e~xdx e~xdx => v = -e~ x

60

Eduard o Esp inoza Ramo s

« = * -1 => du = dx

Haciendo

1221

dv = e~xdx => v = -e~

61


Xdx = -e X(x2 - 2 x + 5) + 2(x -l)(-e x ) - 2 e x +c (x¿-2 x + 5)e 5)e Xdx

Jxsen x. co sx dx

Desarrollo

Usar la identida d sen 2x = 2 sen x. x. eos x

= -e~x(x2 +5 ) + c

í x sen 2x dx 2J í x sen x. eos x d x ~ —

X

1220

x3e 3dx

J

Desarrollo

u=x

Haciendo

u = x3 => du - 3x2dx 3x2dx

Haciendo

X

du = dx

eos 2x

=> v dv = sen2xdx =>

X

dv = e 3dx => v = —3e 3

f

1 f

N,

1, x

.

sen2xN

j xsenx.cosxdlx = — J xsen(2x )dx = —(——cos2x h ----- — ) + c 2

2

e 3dx = -3 x3e 3 - J*(3x J*(3x2)(2)(-3e 3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx . sen2x x = — cos(2 cos(2x) x) + ----------ve ---------- ve 4 8

u = x" => du = 2xdx

Haciendo

X

X

d v - e 3 d x => v = -3 e 3

1222

J'

í (x2+ 5x + 6)cos2xdx

J’ u = x => d u - d x

Haciendo

u = x 2 + 5x + 6 => du = (2x + 5 )dx

Haciendo

X

Desarrollo

dv — eos eos 2 x 2 x d x => v =

sen 2x

dv = e 3dx => v = -3e 3 m

_X

X

X

\x 3e 3dx 3dx = -3x2e 3(x + 3) + 54(54(-3x 3x
--

X = -3x2e 3(x + 3)-5 4e 3(3x + 9) + c = -e ~3 (3x3+ 9x2 + 162x + 486) + c X

= —3e 3(x3 + 3 x 2 + 54x + 162) + c

i

(x‘ + 5x + 6) eos 2x dx =

x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx 2 2a

u = 2x + 5 => du = 2í/x

Haciendo

dv = sen2xdx => v =

eos 2x

i

i

62

Eduar do E spinoz a Ra mos

i

( x 2 + 5 X + 6 ) c o &2 x d x = ^ 5 ± l s e n 2 x A {. ^ l l c o s 2 x +^ +^ l ) +c 2

2

2

1225

2

flnj

J x 3

dx

Desarrollo

„ 2x + 5 2x2+lOx + l\ = — -------------- sen 2x + ---------- cos2x + c

4

1223

63


_ ¿x X 1 8 => v = 1 2x2 ^

u = lnx => du

4

Haciendo

j x 2 ln xd x

- l l 1

Desarrollo lnx 2x2

u = ln x => du ——

dx _ . ! 2 x 2 X

-+ c 4x

Haciendo dv = dv = x x 2dx => v = —

1226

dx

Desarrollo f i 1lu .. >u/< /

1224

** iIn r - fI** dx * — x3 ,ln jc-----jr3 jr3 -------

’

J 3 x 3

9

+c

dx

Haciendo

J ln 1x dx

u = ln x => d u = — x dv = dv =

\l x

=> v = 2VI

Desarrollo Haciendo

M= ln*x => du = 2lnx.

dx = 2 V i ln ln x - 1 2V i

dx

d v - d x => v = x

1227

í

m= ln x => d u = — x

d v - d x => v —x

ln 2 x. dx = xln2x-2xlnx+2x+c

J

= 2 V I ln x - 2 V i y

=

ln ^+ ‘

xarctgx
j l n 2 x. dx = xl a 2 x - j x . 2 l n x.— x.— = x \ n 2 x - 2 J*ln xd x

Haciendo

^

Haciendo

Desarrollo . dx u = arctg x => du ------- 1+ x2 d v - x d x => v — v —

2

Jxarct Jxarctgx< gx

64

f ln(* ln(* + Vi + *2)d* *2)d* = *ln(* *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx] n( x+ 'h +x 2) - 'J \ + x~ +c

x 2 x 1 * *+1 , - — arctg* arctg*H— H— atc tg* — + c = --------arctg * - —+ c 2 2 2 2 2 1228

1 * arcsen* dx

Vi+ *2

1230

Desarrollo

u - arcsen x => du =

Haciendo

65


x d x en2*

í

Desarrollo

dx s í i ^ x 2

*cos ec2xdx

dv = xd x => v = — Haciendo

X1 2 dx c If x arcsen x arcsen x d¿ x = — a rc rc se se n* n* —l C —¡ —X¡ =

J

2

= - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c J- A j sen * J

““se sen2O.cosOdd = jf« fsen" « n ’ t) # «dt) , » = = jí í---^ — í" ,» V i-sen 2 9 9

sen 20

9

2

4

2

1231

sen 9 eos9

J

f xc o sx dx sen2*

J

1 arcs arcsen en** * arcsen xd arcsen xd x = — arcs arcsen en * - —( 2 2 2

*Vl- * 2

f * c o s * ^ _ f x c o s e c x c Xgx dx J J sen"*

) +c

Haciendo arcsen*

1229

Desarrollo

arcsen* * v l - * 2

2

Luego:

líiv = cos ec2xdx =£ v = -c tg *

2 J ^ Z x 2

Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0 -2

íw = * =i> du = dx

* r , T + - V 1 - * +c

u = x => du

dv = cosec x.ctg xdx => v = - c o s e c x

f.vcosx , f , —d x = - e o s ecx- I - e o s ecxdx J J sen * I

J ln(* + Vi + *2 W*

X x = -xc os ecx + ln Ieos Ieos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡tg— | +c

Desarrollo Haciendo

= dx

u = ln(*+ Vl + *2 =>

=

sen*

dx

V1+*2 dv = dx => v = *

1232

í

ex sen xd x

Desarrollo

2

Ed ua rd o Espi noza Ram os

66

Haciendo

u = sen = sen x => du = du = eos x dx

In teg ral I nd ef in id a

1234

dv = e dx => v = e

í

67

eax sen (bx)dx

Desarrollo I

exsen x exsen x d x - e x s e n x - j - j e * cosxdx

Haciendo

I

m= sen( ¿x) ==> du = b cos(bx)dx

Haciendo d v - e * d x => v = e*

f eax sen(bx)dx =sena bx -

e * sen xd x = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)d x)

J‘

•*

J‘

13* eos xd x

Haciendo

Desarrollo

dv = 3xdx => v

eos xd x = 13X eos

3* eos x

ln3 ln3

3*

dv = 3xdx

,

3X

eos 3X eos

sen xdx = -------- í + — f ln3j ln 3 ln 3 I- ——

3X sen sen xd x

(1 + —r ) I e“*sen bxdx = bxdx =

7>J

, 3 cosxdx

ln3 ln3

ln3 - ¡ y

3* (sen (sen x + ln3c osx)

aeax sen aeax sen bx - beax beax eos bx

, dx , = e°* ax.asenbx-bcosbx, Jl e ax sen bx (--------- — — ------ ) + c a2 +b2

3X

v=-

, 3* co sx 3* sen x 3 cos x d x - --------- -H---------—

ln3

e™senbx b .e ^ cosbx b + — f e sen bxdx) --- (■ a a a e“*sen e“*sen bx b m b2 f „ —e eos b x — - l e sen bxdx ----- —e a a a~ J

ln3 ln3

w=senx => du = eos xd x Haciendo

f a J

e“* e“* dv = dv = eaxdx => v = a

eax sen bx dx = J eax sen

eo s x => du = - s e n x d x u — eo Haciendo

\ b — e co sb xd x = e- ^ ^ - b J a a

u = eos bx => du = - b sen bxdx

= e* sen x - e* cos x - I ex sen sen xd x = — (se n x - e o s x) + c 2

1233

dv = emdx =* v = ---a

u = eos x eos x => du = du = - sen sen xd x

\-c

eos xd x 3X eos

1235

sen(ln x) dx J sen(ln x)

Desarrollo

eos bxdx

68

Eduard o Esp inoza Ramos f

f

e z sen sen ^— e" eos 7

J sen(ln x)d x = I ez sen zd z = -------- — ----------+ c , e njrsen(ln njrsen(ln x)-e

por el ejercicio ejercici o 1234.

1238

cos(lnx) cos(lnx) x sen(l sen(lnn a) - xcos(ln x) x) ---- - + c = ------- ---------------- ------- + c 2

2 í sen(ln x)d x = ---------- --------------------

J (x - 2 x + 3 ) l n x d x Haciendo

JI xa e~x - ' ,dx '

Desarrollo

u = ln x => d u = — x

i— . x2 + 3x dv = ( x 2 - 2x + 3)dx => v = — 3

Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos: 1236

69


jc+ 3 )dx J*(jc2 - 2 x + 3) 3) ln ln xd xd x = ( ^ - - x 2 + 3x 3x )I )I n —J * — jc+ Desarrollo r3 h

= x 2 => du = 2xdx

Haciendo • dv = xe~* xe~* dx => v = ■

3

2

= ( ------ x2 + 3x)lnx ------- ¡-------3x + c

3

e- *

1239

9

2

- )dx fxln(|—:-)dx J 1+ x

Desarrollo j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ - e

1237

-X1

e

x

e

x

■>

---------- i-c = -------- (x~ + 1) + c 2

2

= J"jcln(l — - )dx = x)d x - J x ln(l + x)d x J x ln(|— -)dx

( 1)

Ie^dx Desarrollo

integrando Jxln(l-x)dx

Sea z2 = x => dx = 2zdz J" e ^ d x = 2 f ze zdz

u = ln(l - x ) => du = -

Haciendo

dx \ - x

d v - x d x => v = —

2

Haciendo

u = z => du —dz dv = ezdz => v = ez

^ e ^ d x = 2J zezd z = 2(z ez - e z) + c = 2(yfxe'^ -l) + t 2(yfxe'^xx - e ^ ) + c = 2e'^x(\[x -l)

I

xln(l xln(l - x)d x = — ln(l ln(l - x) + ^

2

2 J 1 - x

x2 2

dx = = — ln (l -x )+ [

12 Jf ((__ x _ l + 1-J -; )dx] (2)

Edua rdo E spino za Ra mos

70


integrando I xln( l + x)í/x

i

u = ln = ln x x => du= — x . dx 1 d v - — =* V — --- x ¿ X

Haciendo

u = ln(l + x)

du =

Haciendo

dx

í+ x

dv = xd x => v = —

ñ

2

x-

x2 x2 — ln(l + x)- - f ( x - l + — ■)dx x ln(l x ln(l + x) + x) dx - — ln(l — ln(l + x) _ I f . — dx = — ln(l 2J 1+ ; + x 2 2J 1

I

X

X

1

X

= — ln (l + x ) - — + ------- ln(l + x) 2 4 2 2

1241

71

f dx .

ln2 x ln2 x lnx -dx = — = — — + 2(— x

ln2x

í

2 lnx

2

f ln(ln x) ln(ln x) -dx

y

Desarrollo u = ln(ln x) => du =

... (3) Haciendo

reempla zando: (2), (3) en (1) se tiene: tiene: ln(in jc)

fxln(-— fxln(-—-) -)< <£t= — ln (l- x) -—— — ln(l— ln(l—x)—— ln(l ln(l+x +x)H )H--------- H— ln(l+ ln (l+x) x) 4 2 2 4' " 2 " 2 J 1+x 2 "

dx xln x xln x

i x i — — dx => v = ln x dv ln x dx = dx = ln x.ln(ln x.ln(ln x) - I ln x.-

dx

xlnx

J

= ln x. ln(ln x) - ln x + c

= (ln(ln x) - 1) ln x + c x 2 , 1 - x 1 , , 1 - x . x2 - l . , 1 - * . = — ln-------ln---------- x — x — ln( ) + c = ---------- l n | -------1 ------- 1-x + c 1+ x 2 1+ x 2 \+x --

1240

I

\n¿x

1242

x x arctg(3x)í£c

Desarrollo dx

Desarrollo u = ln x => d u - 2l nx .

Haciendo dv

dx

u = arctg(3x) => du =

Haciendo

3 dx l + 9x 2

jdv = x2dx , => v = —— -x -

dx

1 ,

x3

x arctg(3x)dx arctg(3x)dx = — arctg(3x) -

J

J

f x dx

_ x'

J l+9x x

1

18x

-)dx - f ( - — — J 9 162 1+ 9x2

- — arctg(3x) -------1 11+ 9x2 | +c ------- 1----- ln 11+ 3 18 162

72


1243

73

Integral Indefin ida Sea z = arcsen x => x = sen z, z, dx = cos z dz dz

x(arctg x) 2dx I x(arctg x)

(arcsen x) 2dx = J z2 cos z cos z dz J (arcsen x)

Desarrollo

Sea z = arctg x =* x = tg z => dx = sec2 z dz Haciendo

J A(arctg x) 2dx = J z 2 tg z. sec2 z dz

u = z2 =* du = 2z v = senz

J (arcsen x) (arcsen x) 2dx = z 2 sen z sen z - 2J z sen z sen z dz

u - z 2 => => du du = 2zdz

Haciendo

7

t g 2 Z

Haciendo

dv = tgz.sec zd z => v = —— = —— 2

i ■

(arcsen x) 2dx = dx = z2 sen z - 2(- z cos z - J - cos cos zd z) J (arcsen x)

j*x (ar ctg x)2í¿x x)2í¿x = ^ - t g 2 z - J z t g 2 zd z =~~tg2 z - j"(z sec2 z~ z )d z

72

integrando

sen z + c = jc(arcsen jc(arcsen x) 2 + 2V1- x2 arcsen x - 2 x + c z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z

-2

= — tg2 z + ~ - I zsecz zd z -I ' z sec2 z z dz = dz = z tg z tg z z + + In | cos z cos z | | es por partes J z sec2

I'm= m= z => d u = d z \d v = sen z */z => v = -c os z

1245

f arcsen x arcsen x IX „ -dx x 2

J

Desarrollo

Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz Jx(arctg x Jx(arctg x ) 2dx = 2dx = -y (tg2 (tg2 z z + 1) - z tg z tg z - In | cos z cos z | | +c

farcsenx^_ f /- Cosz dz= f zctgz.coseczcfz x J sen z J

J z 2 = — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c

= i arct§A arct§AL L ( Ar2+ l)-jcarctgA + 2ln(l + x 2) +c

Haciendo

. fI»arcsen f -co s ecz , --------z , if------ x dx = dz ---------- dx = - I -cos az = -------zcos ecz — = -zcos -------+ >---eczdz

J

1244

Í

=

U - z => du dz dv = c tgz.cos eczdz => v = -cosecz

x2

J

(arcsen x) 2dx

Desarrollo

senz

+ ln ln | t g ( - ) | + c 2

sen z

J sen z


74

x , z farcsen I ---------- dx = --------- + ln|co ln|cosé, sé,cz c z -ctg z| = ------------- + ln¡ ------ - | + c

J

1246

*

sene

*

1+ V 1-*

, ,.,arcsen*, arcsen*,,*L , 1248

sen2 x ,

-------- dx

I

Desarrollo

f arcsen

J

jr r x dx

i 2 x , f 1f -l -cos co c os s2x 2* f sen" 1f 1f I -------- dx = I ------------ dx =— \e dx ---- l e J 2ex ex 2J 2j

Desarrollo Sea

J

[ z = arcsen V* => V* = sen z

e ~2

* = sen2z => í/* = 2senz coszd z

f arcsen V* , f z-2senz.cosz , „f , -dz = 2 I zsenzaz I — ------- dx - I — J J V i-sen 2 z J vi-* Haciendo

4 1 -e JCco s2 xd x

,

... (1)

1

u = z => d u = d z

Haciendo

dv = senzdz => v = -c os z

u = eos 2x => du = -2 sen sen 2x dx dv = e~xdx

—e x v —

j e ~ x co s2 xd x = e ' ' c o& 2x +2 je ~x se al xd x

= -2arcsen V*Vl~* + 2 \ f x + c

J x tg

eos 2 x 2 x dx

integrand integrandoo le *cos2 x *cos2 x d x , por partes se tiene:

f arCên - * dx = 2(-z eos z - f -eo s z dz) dz) = -2z eos z + 2 sen z + c J Vl~ * J

1247

75


integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- -------------- ... (2)

2*rf*

(*sec22 x (*sec22 x - x ) d x u = x => du =dx

Haciendo

reemplazando (2) en ( 1) se tiene:

Desarrollo

dv = sec2 2xdx => v = ^

1249

J

sen2 x , e~x / c o s 2 * - 2 s e n 2 * - l f sen2 x | ------— dx = —r - (---------------------------- ; --) + < ■

y

eos2(ln x)d eos2(ln x)d x

Desarrollo

2 , J 1+ eos 2* Usar la identidad eos x = x = ------------

(ln x) dx = J 1+ COS^2 ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)d ln x)d x J eos2 (ln x)

... (1)

Eduar do Esp inoza Ram os

76

Integr al Indefin ida

=

Sea z = ln x => x — e l => dx — e ' d z

Haciendo

J cos(2 ln x)d x = J e z eos 2z dz

Haciendo

u = x => du dx xd x 1 dv = => v = — (1 + Jr2)2 2(x +1) dx

« = ez => du = ezdz dv = cos2 xdx => v = -

77

— f - + ( J ( l + x 2)2 22(x (x +1 + 1) J 2(x +1) +1)

sen2z

1251

í

x 1 ^----- + —arctgx + c 2(x +1) 2

dx

(x2+a2)2

Desarrollo

jc)í/ í/jc jc = y sen 2z - — J e~ sen 2 zd z J cos(2 ln jc)

Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 d d u - e z =$ du = ezdz. ezdz.

Haciendo

d v - s t n l z d z =* =* v = -

cos2z

f

_ f

dx

a3 J

... (2)

1252

2 (« ‘ + x ) a

2a 2

a

-

a + x

J J a 2 - x 2dx Desarrollo

‘l + cos(21nx) x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x) x) -d x = —+ j*eos2 (ln x)d x = = J -

2

I

2 a 3,

arctg(-)

reemplazando (2) en (1) se tiene:

1250

----

2a3

/7 1 /i CL\ X --------- r — + ------- r ------r ------- ----------- + C = ----- -----------------------h — ------- ^ ) + C

2a '

1

2a3J

arctg(-)

= - sen 2(ln 2(ln x) + - cos(2 ln ln x) - - f eos 2(ln *)cfx 2 4 4J 2x sen(2 ln x) + x cos(ln x)

f a ssee2Odd see 2Odd

sen 9 cos 9 9 ■+ ---- - + c = 4r [cos2 Od d = -2 - f(l +cos26)dd = -—

os 2z 2z + - ( V co co s2 s2 22< < fe fe ) — sen 2z - - f ( - — c os 2J 2 2J Icos(2 ln x)dx = — sen

cos(2 ln x)d x -

a sec~ 9 d 9

J (a2tg: 0 + a2)2 J a 4 sec4 9

J ( x 2 + a 2 )2 )2

x dx (1 + *2)2 Desarrollo

10

+c

Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0 X

X

n9 = — => 9 = arcsen(—) se n9 a a 'J a2~—x 2dx = j y f a 2 - a 7 sen2 J*'Ja2~ sen2 9.acos9d9 - a2jco s29 d9

¡ 7g

Eduard o E spinoza Ramo s a" 0H a"s e n 0 c o s 0a+ í + cos20 ¿Q = = a22 fl I -----------¿Q = — -----

J

2

2

2

Integral In definida

79

x 2dx

1254

1 y ¡ 9 - x 2 Desarrollo

« arcsen( * v1a -•* 2 2 +c , =— arcsen(— —) + — 2 a 2

x = 3 sen 0 => dx d x = 3 eos 0 d9 X

x

3

3

sen 0 = — => 0 = arcsen(— arcsen(—) 1253

|V a + ;c2< ;c2
f x 2dx (*9sen (*9sen 20 f , I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = dO = 9 I sen' 0 ¿0 J V9-.Ï2 J 3eos0 J

Desarrollo => d x = V Â see2 9 d9 Sea x = VÁtg 9 =>

=11-

tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^= )

Va

Va

2

2

9 -v 9 x y ¡ 9 - x 2 9i jc r 7 = —ares —aresen(— en(—) — ( - ) ----- + c - - a r c s e n ( - ) — yJ 9- x~ +c 2 3 2 3 3 2 3 2

fÁ sec2 dO = J A see39 see3 9 dO J yjA + x 2dx = J s¡A +A ig 29 .y fÁ sec2

4.5. 4.5.

INTEGRAL ES ELEM ENTAL ES QUE CONTIENEN TRINOMIO CUADRADO.-

se integra por partes: see3 0 d 9 = AJ (1 + tg2 9 ) see 9 d9 = AJ (sec0 + tg2 9 see 9)d9 J A see30

90 9 2 eos 9)d9 = — - — sen0eos0 + c

0

IN TE TE G RA RA LE LE S D EL EL T IP IP O. O.

r

171X + + Yl

,

J ax +bx + c

= A l n |s |s e c 0 + tg tg 0 | + A t g 0 s e c 0 - A j s e c 3 0 ¿ 0

UN

.

dx , el procedimiento es el siguiente: El trinomio de

segundo grado a x 2 + b x + c , , se reduce a la forma 2 "y ax +bx + c = a( x+ k) + L , donde k, L; son constantes y esto se

= y[ln |see 0 + tg0 | + tg0sec0] + c

consigue completando cuadrados. JV Â 7 7 d x -= |[ l n I

I+ ^ V Á ^ 7 ] + c

©

INTEGR INTEGRALE ALES S DEL TIPO.TIPO.mx + n

í \fax 2+bx + c d x , — 1n I a: + y fÂ + x 2 \ + — VÁ+~? + k 2

2

integrales inmediatos.

los caiculos son analogos del 1) y después son


80

©

Inte gral Inde finida

INTEGRA INTEGRALES LES DEL TIPO. TIPO.

(mx ++ n) n)\¡ax2 +bx + c

©

f

_ 1

xd x

J x 2 - 7 x + 13 13

, se usa la sustitución inversa -------- = t ,nx + ,nx + n

2'

1259

de las integrales principales.

4

3x —2 j* j* 3x -dx J x 2 - 4x + 5

Desarrollo

dx 2.x + 5 x2 + 2.x +

I

Desarrollo

x +2 x + 5

J

(x + 1) + 4

x -4 x + 5

2

1260

Desarrollo dx

f

J x 2+2x

_ f

dx

2 j x 2 - 4 x +5

J x 2+2x + 1-1 J(x+1)2-1

x + 1+ 1

2

*

J x 2 - 4 x +5

= |ln |x2-4x + 5|+4arctg(x-2) + c

f ( x - 1 )2dx 1 )2dx

J x2 + 3x+ 4 Desarrollo

_ 1 1 | x +1 + 1 —1 —1

dx

_ f

- i f - î ï = i _ * + 4 f

x~ - 4 x +

=-¡n lx2-4 x +5j+4j—

dx x 2 + Ix 2x

1256

7

2x~l

2 ] x 2 - l x + \ 3 + ~x ~x2 - 7 x + l 3 )d )dX

INTEGR INTEGRALE ALES S DEL TIPO.TIPO.ax1 +bx +c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una

1255

81

2

x +2

f ( x - 1 Ÿ dx _ f

5x + 3

5 f

9 2x + 3 Ô

J ^ + í «+ 4 - J <1" ?T ? T 5 7 rï r ï > & = I - [l[l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1 1257

3 x2 x2 —x —x + 1

f^ - 3 ^ + 3 ^+ ^+ 4

Desarrollo dx

dx

1f

dx

3

3x2 —x + 1 3

1258

J

3

6

xd x

6x-l. U n

Desarrollo

+í f— ± — 2 J u + 3)¡+ 7 2 4

- x - - ln | x2 + 3x 3x + 4 1+ ~ a r c t g ( - ^ Í l ) + c 2 V7 V7

36

1261

x 2 - 7 x + 1 3

a

f

J

x2dx x 2 - 6 x + 10 10

Desarrollo

82

Eduar do Es pinoza Ramo s 6x-10 w f x 2dx f f f 6x-10 J I í — ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx + - T- ~ --------- dx J x -6 x + 10 J x -6 x + 10 J J x~ - 6x + 10

1265

f

3x-6

I ------ dx [x 2 - 4 x +h5.‘ J \ [x Desarrollo

dx f 2x-6 f = x + 3 — --------------------- dx +8 + 8 ------- J x -6 x + 10 J (x-3) ( x - 3 ) ¿+1

J ’í i S — J y¡x - 4 x + 5

= x + 31n | x 2 -6 x + 10|+8arctg(x-3) + c

1262

83

Integra l Indefini da

w s L f ~ 2 — dx * \l x - 4x + 5

/------------x —2 Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx Vx2 -4 x + 5

dx

J y¡2 + 3 x - 2 x 2 Desarrollo f

(*

dx \ ¡2 ¡2 + 3 x - 2 x 2

1 f

dx

J j 2( l + 3 x _ x 2} 2}

-j2~^L=J t=dx = 3 f - — L=^== L=^===rd =rdxx = 3 Id 3 Id u = 3u +c = 3-v/* 3-v/*22 -4 x + 5 + < f — J \¡x 2 - 4 x + 5 *v x2-4 x + 5 J

dx

4 2 J J 1 + 3 x _ x2

1266 r I i ~ 72 í

1263

x

J

,4x-3, 1 -----------= -= —¡= arcsen(--------- ) + c

Desarrollo

f

J y j l - x - x 2

í y j x - x 2

Desarrollo dx

= arcsen(2x -1 ) + c

dx

*=9Jf = Jf >jl—x e * + 1)1 ) - y = *f j- 7\ J- £x Ü- _ >jl—x -x ? x2

« f ) 2 - U + 2- ) , )5 )5

= -2-v /l-x-x 2 -9 arcsen(—Í - ) + c yf5 1267

1264

2x-8 2X 6...- dx —x” Vi - x —x”

===J====dx íI -V5x2 V5x2 -2 x+ l

Desarrollo

¡ f s + px + q

Desarrollo

' J \ X

=f~j =f~j-------- ~ X

~

+ DX + a

J

l

r> ^

f, - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx » v5x2 -2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1 =\n \x + £ + 4x 2 + px + ql+ c

n

^ ..... * + l f . ^Jv 5x2 -2 x + l V5 x2 - 2 x + 1

84

Eduar do Es pinoza Ram os = -- >/5 jc2 —2x +l h — í — í = f - . =

1270 -)2+(-)2 5 5

4 1268

^

7

^

f __ dx ___

J ((xx -— l)y¡x2-2 Desarrollo

+ J _ t o U _ i t ^ T | 7 J | +c

1 => -1 = x - li => j dx = — = —dt Sea t - ---- x - l t t2

dx

_d t

J x \ J l - x 2

— ) + c í ____ * ____ , r y , . = j = -arcsen( J í(jc_I)Vj nVjc2-2 Jc2-2 J I 2 J il ^ [li +.„2 JJ Vl + 2 í- í2 (jrc-I) 1)2_2„ J 2 ( x - D

Desarrollo Sea x = - => dx = —~ t t2

1271

dt

J-

Desarrollo i

1 di Sea x +1 = - => dx - — — í í2 dt

r _ _ _ ¿ ______ _________ ____ _ r * — ' - J ( ~ - l ) 2 + 2 ( - - l ) ^ í Vt t

d;c

1 x\ ¡x 2 + JC+1 Desarrollo

i

1272

Sea x = - => dx = ~ — t t2

J

dx

1(x + l) 4 x2 + 2x

- 1 1+c

= - ln |i + ——— | +c = ln ln |----- vX | +c . * * Í+ V i^ ^ 1269

85


dx

= f

dt_ 12

y x 2 +2 x + 5d x

1 -. arcsen t + c = ~ arcsen( ------ ) + c x + l

Desarrollo

* J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í) Í ) 2 + 4d 4d x = _ f

dt

_ _ r _ r

dt X +l

4 / 2 íí - ^ + c - ~ arcsen( , 2 - jr j r) + c = - arcse arcsen(—=-) n(—=-) v5 V5x

2

yj(x + l)2 + 4 + - ln | jc jc+ I + Ví-í + I)2 + 4 l+c

2 v

2

= £ ± I V x 2 + 2 x + 5 + 21n|x + l + >/x2+2x >/x2+2x + 5|+ c 2

'

86 1273


S ' / * - * 2

dx

87

Integral In definid a

1277 Desarrollo

exdx

T

J y¡Vve*~+e2x

Desarrollo

1

2 1 2 x - l I - — -— -— \ x - x + -arcsen(2A-l) + c 4 8

1274

- + yjl + ex + e2* I+c

—í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c ( x - —)2dx )2dx = —

j \ f x x~d x - j

1278

-ji1 dx Desarrollo

senjedx

í Veos2x + 4cos.x + l f

sen a ¿y

—)- dx =— - 2 . y j 2 - x - x 2 +—arc -(*+ —) +— arcsen(-^-í-í-) +c z 2 2 4 3

{'fa-x-x dx= íj— J V4

_ 2x + l £ 7 92 * + l ------------ — - — \ 2 - x - x +-arcsen( ------- ) + c 4 8 3

1275

;

J

x d x

11

x 2 - 2 - 1 .

I

eos x d x sen2x- 6s en jcí+ 12 12

lnjcrtx

J *Vl-41nx-ln 2 x

J

Sea

f

• Desarrollo

Desarrollo

f ____ ____ J| Jln | xd x x \ ¡ l - 4 \ n x - l n 2 x J Xy¡ 5- (ln x + 2)2

_

( a 2T - 2Í7T 22-- 2iTI1 + 1' 1+ ! ~" 4i ln1 ' x —7 1 1+c J - 4^+ 4^+33- J Í7T Í7 Í7) 2-2T- 1T=i2 -22lnITT 2lnI' xTTi TI 72T—1

1276

f

f

Desarrollo

_ f

sen .ydx

= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c

1279

xd x x4 - 4x 4 x22 +3

f _ xd x

_ f

J Veos2 x + 4cos.x + l J y[(c osx + 2 y - 3

l

J

Desarrollo

ln xd x

dx , t u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2 x

lnAdt

j"

ln xd x

_ |‘(m-2)¿m _ |* udu

^ j* j* du

J vVl-4ln;c-ln2a J xy ¡5 -( \n x+ 2) 2 J yj 5 - u2 J y¡5 -u^ J y ¡5 -u 2 - -y¡5 - ii' - 2 arcsen( arc sen( -^=r) -^=r) + c = -V 1- 4 ln

a

-

,lnA + 2x ln" - 2 arcscn arcscn(( ) +c a

j -

Eduard o Espi noza R amos

88

4.6. 4.6.

SEG UND O CAS O:

INTEGRAC ION DE FUNCIONES RACIONALE S. ®

veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales. parciales.

Consideremos dos funciones polinómicas:

AP c — —A— + -----A, 3 _ + ... + ----- x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p

P( x) =b nx" +bn_] +bn_]xx n~i +... +blx+ b0 y Q(x)=amxm+amAxm~{ +...+alx+a0 Q(x)=amxm+amAxm~{ +...+alx+a0 Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x ) decir Q(x)

donde A,, A2 A,, A2 , A3,..., A3,..., Ap Ap , son constantes que se van a determinar. TE RC ER CAS O: Los factores factores de Q(x) son son lineales lineales y cuadráticos irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor

Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función racional se denomina función racional propia, en caso contrario se denomina impropia.

cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma: Ax + B x2 +bx + c

Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se puede representar la función dada como la suma de un polino mio y de una función racional.

CU AR TO CAS O: Cuando los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.

P(x ) R(x ) Es decir: ------ = C(x) + ---- ^ , donde el grado de R(x) es menor que el Q(x ) Q(x) grado de Q(x).

Si x 2 +b x + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:

Nuestro interés es la inte gración de las funciones racionales propias:

PRIMER CASO:

Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y distintos.

A|X+P|

ax2 + bx + c (2 )

x-a2

que se van a determinar.

x-an

donde Al , A 2, .. ., An , son constantes]

A2 x + + B2

^

(ax2 +bx + c )2

j

(ax2 + bx + c)m

METODO DE OSTROGRADSKI OSTROGRADSKI..Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:

Es decir: Q( x) x) = ( x - a y) ( x - a 2 ) . . . ( x - a n ) , para este caso escribiremos: P(x ) Q( x ) x - a ¡

Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y

algunos se repiten, suponiendo suponiendo que ( jc -a ,) es el el factor que se repite P

METODO DE LOS COEFICIENT COEFICIENTES ES INDETERMINADOS INDETERMINADOS..-

P(x ) d x , para esto consideremos los siguientes siguientes casos: í Q(x)

89


\ P^ P^ d x = X M + x ) Qx(x) J Q2( x • Q(x)

... (a)

donde Qt(x) es el máximo común divisor del del polinomio Q(x) y de su derivada Q'(x).

90


& (* (*) = -“ : * 0 i W . X(x) e Y (x (x) Qi(x)

1282

dx (jc —1)(jc+ 2)( jc+ 3)

1

Desarrollo

son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son

1

menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x), Q2(x), respectivamente, los

( jc- 1 ) ( jc+ 2)(.x + 3)

coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la identidad (a).

J

A + B + C —0 —0 5 A + 2 B + C = 0 6 A - 3 B - 2 C = = 0

dx (x + a)(x + b)

Desarrollo

C x + a) (x + b)

x +a

J

^ , efectuando y agrupando: x +b

A = — ; B = - ~ ; C = 12 3 4

dx (jc-l)(;t+ 2)(x + 3)

_L f dx A + B = 0 } 1 Ab + Ba = l!

A h— — + — — , efectuando efectuando y agrupand agrupando: o: x + 2 x + 3

jc — 1

1= (A + B + C) x2 + (5 A + 2B + C)x + (6 A - 3B - 2C)

Hallar las integrales:

1280

91


J

i i A = -------- , B = a —b a —b

12 jc -l

B 1------C )dx u + ------ x + 2 x + 3

1 f dx +J_ f dx 3 J x + 2 4

J „t+ 3

1i1---In | x + 3| +c 1 ln !jc — 11---In ! x + 2 |+ —ln i i 4 3

f, *

12

- M —x +i-*---L. f J Ü - + - L . fjdxT b ba b a - b J x + a a - b j a

J ( x + a)( x + b ) J x + a

= - | - [ l n | x - l ¡ - 4 1 n | x + 2 | + 3 1 n | x + 3 |]|] + c 12

\ --ln | \ x + b¡,+ c , a ^ b 1 - >ln |ijc + « |ih------l . \n\x i + b\+c ,i = -------ln ----------a-b a-b a-b x +a +a

1283 1281

I

x 2 - 5 jc + 9 dx x 2 - 5 jc + 6

1 , . (jc-I X jc+3)3 12

l n| n|-

(x+ 3)

|+c

r 2x 2 + 4 U - 9 1 -dx J ( x - i 1)( ) jc+ 3 ) ( jc- 4 ) Desarrollo

Desarrollo

2 jc + 41jc — —91 + 3)(x-4)

( x - 1 ) ( jí

A B C +.------ , efectuando y agrupando se obtiene: obtiene: h------- +.----- x - l x + 3 x - 4 -

2 x 2 +41jc-91 = (A + B + C)x2 +(- A -5 B + 2C )x- l2( A- 4B + 3C) 3C)

92

Eduardo Espino za Ra mos A + B + C = 2 de donde se obtiene: - A - 5 B + 2 C - 4 1 -(12A -4B + 2C) 2C) = -91 -91

1285

1284

■

1 x ( x + l )2

M r x-+ 3 + x - 4 3 , n | í i t ^

J

JC—1 JC—1

+ X +

(x + 3)

A+B = 0 2A + B + C = 0 A = 1

Desarrollo .

25.x2-2 .x2-2 0* + 2

,

= — h — — — + — + — —— , efectuando efectuando la operaci operación ón A' X + l (x + l)‘

l = A ( x + l ) 2 + B x ( x + l) + Cx => 1 = ( A + B) x2 +(2A + B + C)x + A , de donde:

- 4)5 |+c

5x +2 dx x 3+ 5x 2 + 4x

5x3+2 5x3+2

dx

í x(x + l) Desarrollo

resolviendo se tiene: tiene: A = 4, B = -7, C = 5 2x 2 + 41x-91 -dx (x -l) (x + 3)(x 3)(x + 4)

93


,(_A + -----dx ---B----+ -+ . C ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^ )dx J X x 1 (x + l) l)" J x(x x(x + l )2 J * X+l (x + l)

J

25x2-2 25x2-2 0* + 2

---------= 5 + ------------------------------------------- — ------- - ------- = 5 + — -------- - ---------= x - 5 x +4 x x - 5x“+ 4x x(x 4)(.\ I) 25x2- 20x + 2

A

B

x(x-l)(x-4)

x

x-1

C c-4

= l n x - l n Ix + l I+ —— + c = ln | ----- ¡+ ------- + c 1 1 x+l x+ l x+l

de donde

25 .v" .v" — 20 x + 2 —{A + B + C)x~ + (5 A —

resolvie ndo el sistema: A = 1, 1, B = -1, C = -1

1286

dx 4x 3- A Jf —

Desarrollo

( )x ■+4 A

A + B + C = 25 - 5 A - 3 B - C = - 20 20 , resolviendo resolvi endo el el sistema: sistema: A 4A = 2

x 3 — 1 1 2

.11

„ 7 ^ 16 1611 . C = — 3 6

*_i 1 4 -= - + - ^

4x 3 x

4

de do dond ndee

4x'

x -4 x

A

B

C

1. ~ x + x + — 1 + x —1 x(x + 2)( x_ ^) 2 2

B C\ A x -4 = (A+B + C)x2+ (- — + —)x—— 2 2 A

A + B + C = 0

C =1 2+2

_ B

resolviendo resolviendo el sistema sistema:: A =16, B =-9 , C =-7

Eduard o E spinoza Ramos

94


95

IV

x -4 A B C w .ti H----- 1-----| . í/x ------ —-i------ 7~)dx —— i— í1 \-^T^dx= 4 x , 1 „ 1 4 1 6J 6 J , l v 1) , J 4x-x J x (x ( x + ) ( x x+— x— 2 2 2 2 x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti , —h— I (— +-— -------- r)dx = —h —h— [16lnx-9ln( [16lnx-9ln(x+ x+ —)-7 ln (x -~ )] 4 16 J x 4 16 1 1 2 2 xH— x— 2

x 1 . = —+ — ln 4 16

1287

11 ( x - 2)2 C

f (5x 2 + 6x + 9 )dx 9 )dx J (x- 3)2(x + 1)2 1)2

Desarrollo

2

„16

5x 2 +6x + 9 _ A B C D (x- 3) 2(x 2(x + 1)2 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2 + x + 1+ (x + 1)2 1)2 5x 2 + 6x + 9 = (A + C)x 3 + (-A + B- 5C + D)x2 + D)x2 + +(-5 A + 2B + 3 C - 6 D) x + ( -3 A + B + 9C + 9D )

Desarrollo

x4- 6x 3+ 12x 2 + 6 8x + 6 :x + x 3- 6x 2 + 12x - 8 x - 6x‘ + 12x -

í

1288

| +c = —+ —+ — ln | y \ + c 4 16 (2x + l) (2 x -l ) (x + i ) 9 ( x - i ) 7 2 2

f x 4- 6x 3+ 12x ‘ + 6 dx x3- 6x2 6x2 + 12x - 8

J

___ 8 2 x-2

8

=x+-

8x + 6

A + C = = 0 -A + 5-5 C + D = 5 -5 A + 2Z 2Z? + 3C - 6D = 6 -3 A + B + 9C + 9D = 9D = 9

(x~ 2)3

x 4- 6x 3+ 12x 2+6 8x + 6 )dx dx = dx = I (x + x 3 - 6x 2 + 12x - 8 ( x - 2)3 2)3

í‘

__x1 + 2

resolvi endo el sistema se tiene:

B )dx ( x - 2)2 ( x - 2)3

f 5x 2 + 6x + 9 J --------------r---r- d x ------------ ----- j ( x - 3 )2( x + 1)2

— ! L _ + _ C _ =>s x + 6 = A x 2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C 8x + 6 A + — ! ( x - 2)3 2)3 x - 2 ( x - 2)2 2)2 ( x - 2)3 2)3 A=0 .B-4A = 8 , resolv iendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22 2A -2 B + C = 6 x 4- 6x 3+ 12x 2 + 6 , x 2 f \ 8 22 w ------ -------------- dx = — + — -----(-------- - + ------ — )dx

1289

f

9 l A = 0, C = 0, B = — , D = — 2 2

9 C dx 1 f dx 9 1 1, 1, -------------------T ---T + - I -------------------------------------------------------------------------------------------------— -— = 2 J ( x - 3 ) 2 J (x + 1) 2 x - 3 2 x + 1

= -

+7

J (x 2 - 3 x - 1 0 )2 X Desarrollo f x 2 - 8x + 7 J f x 2- 8 x + 7 , I —i---------—i---------------^rdx— I ---------- --------- dx J ( x - 3 x - 1 0 ) J ( x - 5 ) 2( x + 2 )2

( ---------- ) ( ----- -

Eduar do Espinoz a Ram os

96

Integ ral Indefin ida

, A B t C | D x - 5 + (x - 5 ) 2+ x + 2 (x + 2)2

A + B = 0] de donde: donde: C = 0 resolviendo resolv iendo el sistema: A = 1, 1, B = -1, C = 0 A = 1 = 1

x 2 - 8 jc+ 7 = A( = A( x + 5){x + 2) 2 + B(x + B(x + 2 )2 + C(.x + 2)(x 2)(x - 5)2 + D( x - 5)2

fAT3 +J +JC+l

J

,

30, ,

c, ,

8

*= ln1' 5 1 543

1

-

30 - - 3 «

,

ln1A+21 "

2 jc—3 —rd — dxx (x~ — (x~ — 3 a:+ 2) J (aT 2)

1291

I

2U2 -3

at+ 2 ) 2

Desarrollo

(" ("

1 w

f

d.V

r------ dx = I (H—=--- )dx = x + ------- --------- r------dx x 3 + x J x(x ~ + 1) J J x(x~ +1 ) ! = A + Bx + C = (A + B)x -+C x+A JC(.V2 +1) * X2 + l Af(A-2+1)

___ ___

\+c

Desarrollo ' ) d x =x + JC4 —1 J a4 -1

A

B Cx+D - + ----- + x2 +1

* - 1 JC- 1

1= (A + B + B + +C)x3 (A —B + B + +C)x C)x3 + (A — B + D)x 2 + (A + B C)x + A — B —D A + B + C =0 C =0 A - B + D = 0 , resolviendo el sistema sistema:: A = —, B = — = — , C = 0, D 4 4 A +B - C = C = 0 A - B - D = 1

X3+ AT+1 dx a:(a:2 + 1)

fAT3 +J +JC+l

Va:2+1

J x 4- 1

(ac- 1)(a. + 1)(at + 1)

1 2m / r 2 + C

x

f x 4dx

1

Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x- 3) dx Como

J «w33

1292

\ s dx=L J*4-l J

Desarrollo

- 33ac+ jc+ jc+ 2 )3~' ( ac2 — 3a ) J1 (x

= x + ln |

,

= _ » ______ i„ |— j * ________ __ - — + ü L i„ 49( jc -55)) 49U 343 a:+ 2 49 U + 2) 34 ~ ~3 jc —

1290

f 1

| ---- r----- dx = x+ | ( ------ — )dx = x+ ln x — ln(j ln(jcc +l) +l ) + c J X X2H J x( x2 +1) 2 H1 X2+

8 , CC =- -- — 30—, Un -- - _27 i 3!0 B« -= -_ A _ agrupan do y resolvie ndo se tiene: A = ——, — —— — 343 ’ 49 ’ 343 ’ 49 f x 2 - S x + 1

97

^

f A 1 f dx 1 f dx 1 f dx B Cx + D —— dx = x+ | ( ----- + ------+ ------ + — ------ )dx = x + - ---------- ------------- I - —

f ac4

—1 J x —1

l = x 2 (A+C) + Cx +A

J x

1 x +1

x

1 , . JT- 1 . 1

+1

= x + -ln | ---- -1- - a r c t g x + c 4

AC+ 1

2

4 J x -1

4jx+\

2 J x -+ l

Edua rdo Es pinoz a Ram os

98

f __ _______ * _______

Int eg ral Ind efi nid a

1294

J (x 2 —4x + 3)(x 2 + 4x + 5) Desarrollo

99

f dx

J77T

Desarrollo

B + Cx+D 1 _ A + B + 3)(x 2 + 4x + 5) x - 3 x - \ x 2 +4x + 5 ( jc2 - 4 x + 3)(x

i

i

A

Bx + C

x3+ l

( x + l ) ( x2 x2 - x + l )

*+l

X2 - X + l

efectuando operaciones y simplificando se tiene:

1—(A + B)x~ + B)x~ + + (“A + B +C)x + A + C

A(x 3 + 4x + 5x) - A (x (x2 + 4x + 5) + fí(x 3 + 4 + 5x) 5x) - 3fi(x 2 + 4x + 5) +

A + B = 0 = 0 1 „ 1 „ 2 -A + ¿f + C = 0 , resolvie ndo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = — 3 3 3 A + C = 1 = 1

+ C(x 3 - 4x 2 + 3x) + D (x 2 - 4x + 3) = 1

x

(A + B + C)x3 +(3A+B + 4C + D)x2 +(A -7B + 3C -4 D )x -5 A- l5 B + 3D = l

\ ^ - = f ( - ^ - + B2X 2X +C )d x = ] - [ — + f 3 3 dx J X +1 J x + 1 x ~ - x + l 3 j x +1 J x - x +1

A + B + C = 0 3A + B -4 C + D = 0 A - 7 B + 3C - 4 D = 0 -5A -15 B + 3D = 1

= —ln(x —ln(x + l )~ —ln(x 2 - x + 1) + —^ arctg(-:~ -) + c 3 6 V3 V3 , , (x + 1)2 1 ln =— .- ,,

1 1 2 3 resolviendo el el sistema se tien tiene'. e'. A = — , B = B = ----- , C = — , D = — 52 20 65 36 f dx f , A B Cx+D — ---------------- ------------ = (------ + ------ + — --------------------- )dx J ( x - 4 x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5 -

= _L5 2 j x - 3

2

f_* L + f 65 I I j L d x 20 j x - 1 J x 2 +4x + 5

dx 1 1 1 f 2x + 4 7 f = — l n ( x -3 -3 ) ----- ln(x-l)H ----- I — ----------------------- dx + ~— I — —-----------52 65 J x + 4x + 5 1 3 0 jx 2+4 x + 5 20 = — ln(x -3) —— ln(x ln(x — 1) + — ln(x2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2) 52 20 65 130

6

1295

x“ - x +1

f dx J x 4+1

x4+l

1

2x - l

v3

Desarrollo l)(x2 - V2x + 1) (x 2 +\J lx + l)(x2 1)

Ax + B C x+ D -+ +y[lx + \ x2 -y¡ lx + 1 X2

l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y ¡2A)x 2 +(A + C + y¡ 2A- yÍ2 B)x +B+ D A+ C = 0 B + D + \¡2C - \Í 2A = 2A = 0 A + C + y¡ 2D -y ¡2 B = 0 B + D = 1 = 1

Eduardo Espino za Ram os

100

integral Indefinida resolviendo el sistema se tiene: tiene: A = A = —, B = B = —, C = ——, D = 2 2 2 2

resolviendo el sistema se tiene: A = A = —^=r, B = D = — , C - — 27 2 2V2 ’ 2’

1 f dx

Ax + B

i*

1

X+—

1 ----- 1

T=X+ -

Cx +DC +D C 2V2 2

Jx4 Jx4+l“J l“ J x2 x2+V2x+l+x2 +x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x -V2x++l 1

f X + SÍ 2

'íT íj

_

1

+ yfl x + 1

f

X - y ¡ 2

1296

J

I (l + .v2)2 2)7 2 Desarrollo

Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO

dx ! +1 x4 + x 2+1

í — ^ r T = f - e+c tg‘ 2 y -0~)"= f -s e^ c _“ 0 = f c o s 2 0 d O

Desarrollo

A x + B + X2 +1

dx

1-x2

J (l + x“ )~

x4+x2+l =x4+2x2+l-x2=(x2+1)2-x2 x4+x x4+x2+1=(x2+x 2+1=(x2+x++l)( l)(x2— x2—x+1) X4

x -x +

.

— 2 \ / 2 J .Y“ — yfl I?x + +T1 *

4

x

x -l 1 , . x +x + l . 1 = - ln | — -----------------1+ — j= arctgí — — -=-) + c x x —x+ 1 2V3 x%/3

■ + y fl ,X + ,X + 1 * V2 X y fí . I n I — ------- = --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c

X2 - y í l x + \

x+ , x 2 x‘ x 2 x' x+

f dx f . A x + B C x+ D N, 1f 1 1f —1 —------ 5 — — = (— ---------------------------------- )dx = - , d x - ---------------------------------------------------------------------------- + -3 --------- )dx + x +1 J x ' + x + l J + +1 J 1 1

2\¡22 2\¡2 2, J

1297 2 4V2

101

X~ + X +

Cx +D -+ 1 X —X + 1

J(l

=

1298

r

J

J

J

2

2

2

2 2(1+x )

3 x +5

I —r ------------------- r—^dx J (x“+ 2x + 2)

Desarrollo

1— (A (A x + fí)(x —x + 1) + (Cx + (Cx + D)(x D)(x ~ + x +1)

(x 2 + 2x + 2)2 = (x + 1)2 + 12 => z = x + l => dz = dx 1= (í4 + C) x 3 + (B -A + C + D)x 2 + (A -B + C + D)x +B + D A + C = = 0 B - A + C + D = 0 A - B + C + D = 0 B + D = l = l

x

fl + cos20 cos209 sen0eos 9 arctgx ------------ d G = - + --------------- + c = - — — + --------r -------- r -

— — 2 = 3 í — T ~ ~ — ~ t^ t^x + f f — J (x2 + 2x + 2) J (x2 + 2x + 2)‘ J (x2 + 2x + 2)~ = __ _____ _____ __ 2 _____ _____ + + 2 f _____ ____ __ _____ * ___ 2(x2+2 x+ 2)

J (x2+2 x+ 2)2


102

3

+ f

2( x 2 + 2 x + 2)

dx

______ _______ _ 3 _____ _____ +2 +2 f

_

J((x+1)2+1)2

Integra l Indefi nida

103 103

dx

+2) +2) J( J(z2+1)2

2(x2 + 2x

agrupando y por entidad entidad de polinomios tenemos: = -----32ax..... + 2) 2(a~ ( x 2' + 2

+2Í( J (z

+ 1)

(z + 1)

+2arctgz 2arctgz—21—--- -~J ( z 2 + 1)2 2(x2 + 2(x2 + 2x + 2x + 2) ” 1)2

■J;:

resolv iendo el sistem a se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, 0, D = -1, E = 0

... (1)

f - _____

J

-— integrandoporpartes; 1' — ----- =--- ---- h-arctg; ( z 2 +l +l) 2 2(z +1) 2 ,

„

,

z 2dz

A + B = 0 = 0 2A+2B+C=0 3A + 2B + 2B + 2C' + D + D = = 0 2A + B + 2C + D + E = 0 A + C + E = E = 1

+

( A ++ 11))(( xa ”2 + A + l1)) 2“

J

Bx + C Dx + E -+ — ----------------- + — ---------- -]dx A + ll

A + A+ 1

( A ^ + A + 1) 1)

Z

í

Luego reemplazando en (1) se tiene:

* * --_)£ W/x (t ----1 --------------------------------_ --------)£ A + l X~ +X+ l (x~ + X+ 1)

, . ; ln | x + 1

„ 2x+2 3a + 5 3 — ----------- dx =-----= ------ ----- — + 2 arctg( rctg( a + 1) + — -------------- arctgU + 1 )+ )+ c (x~ (x~ +2x +2) 2(x +2x+2) 2(a2 + 2 a + 2 )

J

i

: In 2x + \ = ---- ,------------+ ------------ + arctg(.v + 1) + c 2(x~ + 2(x~ + 2x + 2)

1300

i

a

. i

2a+ i

i

2 J

X + A + 1

X + A+ 1

l .

i 2

i r

ii

w

5

i r , 2 a + 1 1 ( -------- ) d x --~----- --------- - )dx ---------I (— (— - ---------- ) 2 J ( A

+X + 1)

2a+ 1

+ i j— ln x + A + l + — =rarctg(— ?=^-) + ------------------- ;-------- + c 2 3V3 v3 3( a + a + 1)

x3+1 l! ----------------- d x ( a 2 —4 a + 5 ) 2

1299

í

dx

Desarrollo

( a + 1 ) 2 ( a 2 +Hax + + i1)) 2

Desarrollo

a

(a

+ 1) ( a 2 + A + l )2

Dx + Dx + B B (x 2 + x + l )2

efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene: 1=

A(x 2 + a + 1 )

+ (Bx + C )(a + 1 )(a2

+x + l) + (x + l)(Dx +E)

Ax + B

3+1

( a 2 - 4 a + 5 ) 2

A Bx + C -+ A + l X 2 + A ' + 1

a

2 - 4 a + 5

Cx +D ( a 2 - 4 a + 5 ) 2

efectuando operaciones y eliminado denominadores: a 3+

a

3

a + 2

(a + A + 1 ) “

l = (Ax+i? )(x2 + x + 1) + C x +Z>

+ 1= A*3 + (- 4 A + B) x 2 + ( 5 A - 4 B + C)x + 5B + D

104

Eduard o Es pinoza Ram os

por ide ntidad se obtiene:

J (x~ -4x + 5)5)-

=

,

A = A = 1 -4A+fí=0 5 A- 4B + C = 0 5B + D = l

A = 1 = 1 B = 4A => B = 4 C = 1 = 111 D = - 49

. Ax+i? Cx+D , ( - ----------- + —5------------ 7)dx J x 2 -4 x + 5 (x —4x + 5)

105 105


(x + l) 2(x 2 + l )2

Dx 5 +( E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3 + (x + l) 2(x 2 + l )2 +(A +(A + E + F - B + D- 3C )x‘-+(2A )x‘-+(2A + E + F- 2C )x +B + F -C (x + l) 2(x 2 + l )2

de donde se tiene: 1= Dx 1= Dx +( E + D - A ) x 4 + (E + D + F - 2B) x +(A + E + F —B + D —3C)x~ —3C)x~ +

, x + 4 llx-19 H — ---------- - + - T — ----- ---- - r ) d * x 2 - 4x + 5 (x2 - 4x + 5 + 5)2

1«

1 f , 2x —4 12 J = - (-5-----------+ 2 J x -4 x + 5 x~ -4x + 5

+( 22A A +E + F - 2 C ) x + B + F - C 11 f 2x-4 J r dx — ------------ -¿ v + 3 I — ------------( x~ -4x + 5)" J( x "- 4 x + 5)

2J

-

--------- )+ —arctg(x-2)H ----- ~ — ---= —In —In lx 2 -4 x+ 5|+ óa rctg (x- 2)- —(—-—— 1 5 4jc + 5 2 6V + 5) 2 2 ;c2 _ 4jc 2(x - 4x --

D = 0 = 0 E + D + D - A = 0 = 0 E + D + F - 2 B = 0 A + E + F + D - B - 2 C =0 2A + E + F - 2C = = 0 B + F - C = C = 1

1 c 15 , .. -17 a = —1ln 1x 2 -4 x + 5 1hh— — arctgíx-2 )-1 )-1------3x -------------- he 2 ' 2 2(x -4 x + 5)

1 3 1 1 resolviendo el sistema sistema se tiene: tiene: D~0, A = — = — . B - —, C = 0 , E = — = — , F = — 4 4 4 4

Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:

Como:

f

J

dx (x + l) 2(x 2 + l )2 Desarrollo

f

dx (x 1)2 1)2(x2

J +

+1)2 1)2

_ Ax2 + Bx + C ^ f Dx 2 + Ex + F (x l)(x2 + 1) (x l)(x2 1)

+

+ J +

derivando y agrupando se tiene:

__________________ dx

i (x + l) 2(x 2 + l )2

+ Bx + C |* Dx 2 + E x + F (x + l)(x 2 +l) (x + l)(x 2 + l /

Ax2

J

______ ___ _ r - X 2 ______ + X____ 4(x + l)(x 2 +l) 4 - X +x 4(x + l)(x 2 +1)

J

x —3 dx (x + l)(x~ + 1)

1 f ------2--dx dx + -I i ---1 7 h * - ¡ 4 'Jx +l

—In Ix + l| ~ —ln |x 2 + 1 | +—arctgx + c ------^ ------ ^ + —In 4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4

6

106

1302

Eduard o Es pinoza Ramos f

I _I 1 , ------ 1 — + Í - 4 - * = -------í ------- 2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - ) J x 4(x - 1) 4 J x + l x - \ x + 1 4(x — 1) Jx4-1

dx Desarrollo

í

dx

A x ’ + Bx + Bx 2 +C x +D ( x4 - l ) 2 x4 - l

107


X 3 f 11 w 3 f dx ----- + — I (-------- — )dx + ~ I — --------4( x ' - 1) 16 J x + l x - 1 8J jc +1

f E x ’ + Fx + Fx 2 +G x + H x 4 +l

-----

+J

x 3 ,i x+l , 3 - + — ln | ----- |+-arctgx + c 4(x 4 - 1) 16 x -1 - 1

derivando, simplificando y agrupando se tiene: 1_ 3A(x 6- x 2) 2) + 2B( x 5 ~ x ) +C( x 4 - l ) -4 -4 A x 6+ 4B x 5 - 4 C x 4 4 - 4 / l r 3 (x 4- l )2 (x4-\)2

3 x 3 ,x -l - a r c t g x ------- - ----------- ln -----8 4(x - 1) 16 x + l

Ex3 + Fx2 + Gx + H x4 — x4 —ll 1303 1= E x 7 + (F - A)x6 +(G- 2B)x 5+ ( H - 3C)x4 + (- 3 D - E ) x 3 + + (—3A —F) —F) x2 + (—2 B - G )x -C —H E = 0 F - A = 0 G- 2B =0 H - 3 C = 0 , resolvi endo el sistema se tiene: -3 A - E = 0 -3A-F=0 - 2 B - G = 0 - C - H = 1 = 1

í (x 2 + l )4)4 Desarrollo Sea x = tg0 => dx = sec = sec 2 ,Od d f dx f sec"d dd _ f sec~ 9 d 9 _ f d0 J(x2+1)4 J(tg2 J(tg20+1)4 J see89 J see60 JcOS 60í/0 = J(cos 20 ) 3d0 =

3cos 29 + + eos 329)d9 ■¿J(1+ 3c os 2 2929 + + 3cos29

A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - 4 4 Ax 3 + Bx 2 +C x + D

dx

f Ex 3 + Fx2 + Gx + H x 4 - l

eos 29)d9 2 9)d9 ■¿J(1+ -(2 1 +cos40 ) + 3cos20 +cos 22929 eos + 3cos20 + (l-s en 20)cos2 20)cos201

108


1 r59 3 3sen sen 26» sen sen 326 . :_ [— -+—sen -+—sen 4 0 + —sen 29 h 29 h— — ------------------ ] ------------------ ] + c 8 2 8 2 2 6

4x -lOx +8x--2 - Cx Cx 3 + ( D - 2 C - A ) x ¿ + ( + (22 C - 2 D - 2 B ) x + 2 A + 2 B + 2 D C —4 D - 2 C - A = -1 0 2C - 2D -2B =8 2A + 2B + 2D = -2

— sen3 9 eos3 9] + c = —[— + —sen9 eos 9 (2eos2 9 - 1) + 4 sen 9 eos 9 — 8 2

2

3

1.5 3 x 2 4x 4x3 = - [ - arct arctgg x + ------- 1) + — ----------------------------- (— ------------------------------2(x "+l ) x +1 x~ +1 3(x~ + l) 82

109

--

-] + c

4x-3 x -3 4x 3 —10x —10x2 + 8 x - 2 dx = — = — ------------- 1-dx x 2 ~ 2x + 2 IJ -x z - 2 x + 2 (x 2 - 2 x + 3)2

1

15 15x5+40x3+33x =— arctg * + ----------- - ---------- + c 48 48(x +1) 1304

x - 3 - + 21n |x 2 - 2 x + 2 |+arctg(x-l) x" - 2x + 2

x - 2x + 2 ,

(2)

reemplazando ( 2) en ( 1) se tiene:

------------------------- - d x í —r (x -2 x +2) Desarrollo

í

r 4x3 -10x 2 + 8 x - 2 )dx f —2 —2 2X +22 dx = f(l + J ((x~ x --2 2 xx + + 22) 2) JJ (x - 2 x + 2)

f 4x 3 —1Ox2 + 8x - 2 , dx =x+ ------------------- — dx J (x - 2 x + 2)

x- 3 + 21n ¡, x 2 - 2 x + 2 | + a r c t g ( x - l ) l ) +c x - 2x + 2

Hallar las integrales siguientes empleando diversos procedimientos.

...( 1 ) 1305

I

x5dx (x + l)(x + 8) Desarrollo

Sea z = z = x 3

derivando, simplificando y agrupando se tiene: -A x2 -2 Bx +2A + 2B (x 2 - 2 x + 2)3

‘4x 3 - 10x" + 8x - 2 x 4- 2x 2 + 2 dx dx = * + J ‘ (x - 2x + 2) (x 2 - 2x + 2)2 : X —-

A x + B f 4 x - l O x + 8x + 2 , f Cx+D ------ r -------------------- — dx --------- + — --------- — ------------ ~z— dx = — --------x -2 x +2 J x - 2 x +2 J (x - 2x + 2)

4x 3- 1 0 x 2 + 8x —2 (x 2 - 2 x + 2)2

resolviendo el sistema sistema se tiene: tiene: A= -l, B=3, C = 4, D = -3

Cx + D x 2 - 2x + 2

Cx3+ ( D - 2 C - A ) x 2 + (2C -2 D -2 B )x + 2A + 2B + 2D (x 2 - 2 x + 2)2

dz = 3x 2dx

f x 5dx I (x 3 + l)(x 3+ 8) (z + l)(- + 8)

— = x 2dx 3

x 3.x2 dx j (x 3+ l)(x 3+ 8)

A B z+ 1 z +8

1f

zd z _ 1 f (/ ------A 1------ B )dz ------¡ (z + l)(z + ) 3 z + 1 z +8 8 3,

(A +B )z + 8A + B (z + l)(z + 8)

J

•v 110

Eduar do Es pinoza Ram os z = (A + B)z + 8a + B por igualdad se tiene:

resolv iendo el sistema se tiene: A = 2, B = -2, C = -3

A+ B = l ) 1 n 8 > entonces entonces A = — , B = — 7 7 8A + £ = 0

.x7 + x 3

f

f x5dx 1 f A B 1 . . , . — 3 — — -------------------- i-----= -----= o I ( T+ T+ ----------ñ ---------- ñ ^ z ~ t81n U + 8 -ln z + 1 ] + c 3J z+ l z +8 21

f x l + x ¡

2z + 3

-)dz

z‘ +Z -1

r^-*— 2 Jz " + z - l

-

Desarrollo 1307

„3 , „4

J x - 2 x +1

Sea z = x 4 =* dz = 4x 3dx

J x 12 - 2x4+1

2

l , i 2x 4+1 — *J5 *J5 , 1 . ¿i , 1 i k 4 t ------------= —ln x - 1 — ln x + x - 1 ------------------------pi -----------pi n — -------------- j= ----------- j= +c 4 2^5 2 2x +\ + \¡5 r

J x -2 x +1

1f

i i 2z + 1— y¡5 . 1 1 , 1 .i 1 -ln i z 2' + z - ili t== - ln z - 1 — ln t=- l n ----------------------------------------------- ■== 2 1 ' 4 ' 2>/5 2>/5 2z + l+ V 5

J

í xI2 - 2x 4 + l dx yP _L v- 3

Bz + C _

- ¿ t a u - i i- i 4 Jz + z-l 2

= ~[8 1n | -v -v3+ 81-ln | x3 + 11] + c x 7+*3

1 f A

.

4 j
J (x 3 +l)(.r 3+ 8)

1306

111


J x = l f 4

z + l j

. =

1

f

(z + l)
J z3 _ 2 2z+ l " 4J ( z - l ) ( z 2 + z — 1)

_ 1 f A

z+l

A

( z - l ) ( z 2+ z - l )

z-1

-

Bz + C )d z z2 + z - 1

Bz + C +z2 + z - l

efectuando operaciones y agrupando se tiene: tiene: A+ £ = 0 z + l = (A + B)z 2 + ( A - B + C ) z - A - C , de do donde A ~ B + C = 1= 1 —A —C = 1

í;

x 2 —x —x +14

-d x

( x - 4 ) ( x —2 —2)

Desarrollo B C D -H----------—H--------- + x -2 (x - 4 ) 2 (x - 4 )

jr2 - x + 14

A

( x - 4 ) 3 (x - 2 )

(x - 4 ) 3

efectuando operaciones y agrupando se tiene: x 2 - x + l4 = (C + D) x3 + ( B - \ 0 C - \ 2 D ) x 2 + ( A - 6 B + 32C + 48 D )x -2A-8B-32C-64D C+D=0 B -10 C —12D —12D = 1 A - 6 B + 32C + 48D = -1 - 2 A + 8 B - 3 2 C - 6 4 D = 14 14 resolvie ndo el sistema se tiene: A = 13, 13, B = -3, C = 2, D = -2

r Eduard o Esp inoza Ram os

112

fJ ( x' --444)) r((xx"- 2) , , , J Jf , ( x A- 4 )3

B C D H---------1------------- )dx (x-4)- x-4 x -2

Ix4(x 2 + l )2

13 3 ,x -4 , + -------+ 2 In I------- 1+c 2(x-4)~ 2(x-4)~ x- 4

I

3

dx x4(x 3+ l )2

1309 Desarrollo f

dx

1:

J

x3+l i! )dx x 4(x 3+ l )2 x 4(x 3+ 1)2< )2<

r dx f dx J x 4(x 3 + 1) ,J x(x 3 + 1)2 1)2 A

dx 4x 2 + 5 x - 2

3x 2

1„ . ,a + 1 , 1 1 ) + c - - [ 21n | -- d x — 1 xJ x3 3* x"

Desarrollo

1

1

i 3- 4 x 2 + 5x -2

(x —l) 2( x - 2)

(------------------- ------ )dx — )dx —— ——- -l n x + -ln(x + 1) 3x 3

" I x(x +1) x(x +1)

í ____ *

____

, f(

J x 3 —4x 2 +5x — 2 J

—- = — —r + —ln(x 3 +1) —In x 3x3 3 I:x4(x 3+l)

A = I

Luego:

1

A B C - H-------- f*( x - 1)2 1)2 x - 1 x - 2

B + C = 0 resolviendo el sistema: sistema: A = -l, B = -l, C =1 A - 3 B - 2 C = C = 0 ■ resolviendo -2 A + 2B + C = \

X3

)dx - i , *J+I J x (x + 1) x (x + 1)

f

x3 ' 3 x3+ l

1

3x

1= A ( x - 2 ) + B( x 2 - 3 x + 2 ) + C ( x 2 -2 x + l), de donde donde se tiene: tiene:

B

dx 1 , , 3 ,, 1 , 1 B = I ---- —— 7 = — In | x + l | + - ( —---- ) + lnx x(x +1) 3 ' 3 x3 + l

3(x +1)

efectuando operaciones y agrupando se tiene: tiene:

( 1)

(x‘ + 1)

■ Í 7

= - ( l n x - - l n ( x 2 + 1) 1) + — ^ — —) —) - l n x + ^ l n ( x 3 + 1) 1)

1 , ,x 3+ l , 1 - + -1l,n I,x 3 + l . = ” ln I —5 —I■ —I■ 3 ' x 3 ' 3(x 3 +1) 3 **' x 3

= 13 j* — — 2 — - —— - 3 f ———^+ 2 J ( x - 4 )3 J ( x - 4 )2 J x - 4 J x-2

1308

113 113


f

( x - 1 )2 dx

X-1

i* dx

x -2 j* dx _

j (x-1)2 J x - 1 J x - 2 1310

f _ _ dx J x(x 7 ■+ 1) d X

Desarrollo

1 - + lnj — j — j \ f c x -1 1

x-

+c

1] 4

115



_________ ___ = f( M+ J - + ^ x + D - )dx f ________ ______ J ( x 2 + 2 x + 2 ) (x (x 2 + 2 x + 5) J x 2 +2x + 2 x 2 +2 x + 5

1311

1f

3

Desarrollo r

dx dx 1f x 2 + 2x + 2 3 x + 2x + 5

1

1

,* + l\ , c 3662 662

= - I --------------------- I ----------------- = -ar ctg (x + l )— arctg(-arctg(------------- ) +

dx í *(x 5 + l )2 dx

f x5+i

x*

f

d x _ r

dx

r

x4

J x( x5 +1)2 J x( xs +1) J (a (at5+1)2 J x(x 5+1) J (x 5 +1 +1)2

1313

±x

J

J

f x 2dx -------- -

J (* -l )10 )10 Desarrollo Sea z = x --1 --1 => x = z+ l = > dx = dz

=

f - ^ * - í / x(x + 1) JJ U( ' + i r J x(xr>+

J x(x + 1) 4

| x + 1 |+ ----- ;--------------- + c = l n x — ln | x 5 5(x + 1) 5 +1) ■Jf-J x5+l dx + 5(x 1312

J

7 +c -

A x + B

(x 2 +2x + 2)(xz+2 x + 5) 5)

x l +2 x + 2

^

' J z8 z8+z9 +z9 9z 9 + C

4z

.10

)dz

________ __ 1 _ 1 ______ 1 + c 7 ( x - l )7 4 ( x - l )8 9 ( x - l ) '

Desarrollo

Cx + D x ¿ +2 x + 5

f. dx .. = f __ __ *

1= A(x 3 + 2x2 + 5x) + 5x) + B(x 2 + 2x + 5) + C(x 3 + 2x 2 + 2x) + D + D (x 2 +2 x + 2)

___

L — f f . p - d x + \ - 4 — dx

5x's

A + C = = 0 2A + B + 2C + D = 0 de donde se tiene: ___ __ 5A+2B+2C+2D=0

1

5A + 2D -1 A •* 0. II ^ , C' O , /)

__ = í ( - í l ± i ------------ % ----- )dx

Jx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l) (x-+l)

efectuando operaciones y agrupando se tiene:

KchiiIvIpihIo KchiiI vIpihIo pI ilvtriiim k" k" (tone

2

1314

Desarrollo 1

1

1 I z 1

dx (x 2 + 1x + 2)(x 2 + 2x + 5)

f

2dx _ f( z + l)~ l)~ 10 iJ “U - l ) !ü J

^

J x (x_ + 1) J x (x +1) 1

f

3x

*

, _f X2dx x 2 +\ _f

“Í7 +Í7 +Í7 +J x2(x2+1)íiA J x2(x2+l) 1r + — 1-------1arctg x + c = ----

5x

I ihuiiilii ! spinoza Ramos

4.7.

INTEGRALES DE IRRACIO NAL ES.ES.(7)

ALGUNAS

FUNCIONES

1316

cx + d

xd x yj ax +b

, 3 2 Sea z =a x + b => dx = —z d z a Como z 3 =ax +b => z = sa x +b además x =

cx + d

z3 - b a

z3 - b

... son números donde R es una función racional y p¡ . q l p 1. q 2 ... enteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución. ax + b ex + d

J

Desarrollo

INTEGRALES DEL TIPO.-

J

117


i

x d x yjax + b

í

i

a z

3 z2 a

z)dz

„

= JL JL ( i i - - z 2) + c = - 1 - (2^(ox + b f - 5bl](ax+b)2) + c a 5 2 10o

donde n es el mínimo común múltiplo de los números q { , q 2

1317


dx

f * Vx +1 +

(.x + (.x + 1)3 1)3

Desarrollo Sea Sea z2 =x + l => z = Vx + 1 => zi =y j( x +\ Ÿ

Desarrollo Sea z 2 = x -1

Como z 2 = x+ l => => x = z2 - l

=> dx = 2z dz

dx = 2zdz

f dx —-— —-—= = = f ^ ^ - = 2 [ ^ Z = 2 arctg(z) + c = 2 arctg(Vx + l) + c J V x + I + ^ x + l )3 J z + z‘ J z "+1

Como z 2 = x — 1 => z = Vx — 1

1318

I Vx-+ Vx Desarrollo

=

2 (z + 3: + 3z" + \)dz ■■2(— + - z 5 + z 3 + z) + c

í

7

5

= 2z(— + - z 4+ z 2 +l ) + c = 2V x - l ( ————+ —(x —(x —l —l )2+x) + c 7 5 7 5

118 118


A+ fí = 0 de donde: A - B + C = \ A - C - 2

z 3 z2

= 6(— ---- — + z- ln (z + l)) + c

1319 J f r r “

f— # i ^ =

J (x+ l)2-VITl l)2-VIT l

Desarrollo

6 | ( z6 - z 4 - z 3 - z 2 - z - 1 — -) dz z +1

*

75 74

73

72

1

7

5 4

3

2

2

1320

Desarrollo

Z +Z + 1

Z -1

Z-1

Z2 + Z+ l

z + 2 = A (z 2 + z + l )+ (z -V )( Bz + C) = >z + 2 = A( z2 +z + \ )+ ) + B( B( z 2 - z ) + C ( z - l )

+ - ^ - c-)dz

Z +z:+l

J z + z +1

V l z + -1 syT+ -3, 2 4

2

2z + l arctgí— arctgí— -j~~) + c

1321

f VI dx

V3

y¡3

(\ fx + \ —Y)~ 2■2\ 2\ J x+ 1 +1 = ln - ----- - ¡ = ? — — -f=a f=arctg( — — ■).+ c X + + 2 + v x v x +1 . V3 . . a/3

J x+2

Sea z 2 = jc+1 => dx = 2z dz f Vx+T + 2 fz +2 o f z -*- 2 ,„ f , A Bz + C , I — t---- j = = d x = I — I—— dz = 2 (------ + - T— )dz )dz 2 zdz = 2 I—— J(x + 1)2 - V I Í T Jz 4-z J z 3- 1 J z - 1 z + z +1

z-1

, ( z - 1)2 - 2z + 1 2=-arctg(— = ln—------------- 7=-arctg(— -r - ) + x

3\f x - 6\¡x \¡x - 3 ln(V I + 1) + 6arctg yfx arctg yfx + c V I - ^ V ? - V ? + 2V I + 3\f

| — ±jL=dx yj X X + + 1 h (a + 1) —

f

J

z + z +1

■? = 2 ln(z - 1) - ln(z ‘ + z + 1) -

= 6(---------------- + — + —— —— z— ln(z ln(z2 +l) + arctgz) - “

J

= 21n ( z - l ) - l n ( z 2 + z + l ) - J

J z +1

77

f z —1

J Z-1

[ ^ j h ± d x = í - y - ^ - 6z5dz = 6 \ —y —y — d z

J z +1

resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1

=2 j*(—----- 2Z+1- ~)dz = 21n(z-D- f -2c + 1- dzdz- f-

Sea x = z 6 => sfx = z? => Hx = = z2 aaemás dx = 6z5dz

J #t +l

119 119

Integral I ndefinid a

'

.

Desarrollo

Sea z 2 = x =$ dx = 2zdz

2

\ ^ - d x = f - ^ - d z = 2 ( - ^ - d z = 2 Í ( l — 2 ■)dz z‘ + 2 J x + 2 J z +2 J z +2 J = 2(z - -JL arctg(-^=)) arctg(-^=)) + c = 2V I -

272 a r c t g ( ^ ) + c

dz

J z +Z + 1

120

1322


121

Integral Indefin ida integrando por partes I see 30 dO se tiene:

dx f (e2 ~ x ) y j l - x

Desarrollo

Jsec3 9 d 9 = ^[ ln | sec0 -rtg0 ¡+ sec0 tg0]

Sea l - x = z 2 => 2 - x = z2 +1 +1 => dx = -2z dz dx

f -2zdz

—~í£t = —[In I se ! x. — se e # tg tg 0 | + s e c 0 t g 0 ] - t g # + c jc+ 1 2

—x ) + c 2arctg(z) + c = —2 arctg(Vl —x

= —[In I x + yfx2 - 1 I+ W x2 - \ ] - \ ¡ x2 - \ + c 2

1323 Desarrollo

= i l n |x | x + V 7 ^ l | + £ ^ -( x —2 ) + c 2

7 X2 - 1 -dx

1324

Desarrollo

J V*+i see 0 = x

Sea z

JV T Î

z3+l , -6 z 2dz 3 x + \ ------- => x = x = —5 — — => dx = dx = — ---------- x - l l z3-l ( Z3 -1 )2 -

dx, dx, = see 9. tg 0 d0

eosec9 = 4 J....... , => TX

dz f x. x. ——- dx = f ,. X ,. X

J v*+ i

J

l )2

, { x -l )d x f ______ ______ M ______ ______

=Jcos
J (z -l )2(z2 + z + l)2 J z - í

=Jsec39 dQ - Jsec29 d 9 ix-1 see x^j — —dx:== J 9 - J| ssee“ 9 d6 | see3 sec-3 69 ddO

r, A |

z3

A

B

(z l)2 z2 + z + l

B C z+ D Ez + F - + -------------------------------------- + -T ---+ ---+

z - i

(a )

1 Cz + D | Ez + F

efectuando operaciones y agrupando se tiene:

(z2+z+l)


122

z3 =( A +C )z 5 + ( A + B - C + D)z4 + ( A + 2 B - D + E ) z i + ( B - A - C - 2 E + F) z2

123

Inte gral In definid a z2 - | + 3

f 2 X + l ^ d x = f- ----- ^ ---- zd z = 2 Í v 2x + 3

+ ( 2 B - A + C — D + E - 2 F )z )z + B - A + D + F

A + C = 0 = 0 A + B - C + D = 0 A + 2 B - D + E = l B - A - C - 2 E + F = F = 0 2B-A +C-+ E-2 F =0 B - A + D + F = 0 ^

a

dz = dz =

resolviendo el sistema se tiene:

z +3

Cz + D Áz + S (— 7----- 7 + --7 — -) dz ( z2 z2 - 3)2 z 2 - 3

Az —2Bz —3A + Cz + D (z 2 - 3 )2 z2- 3

Cz3 +( D -A ) z + (- 2 B -3 C )z -3 A - 3 D (z 2- 3 )2

z + 3 = Cz + (£>- A)z + (-2 S - 3C)z 3C)z - 3 A - 3 D

.A B C z + + D E z + + F , (_ ----- h---------H --------- H----- ---- — H---- -----------)dz z - 1 (z — 1) z +z + l (z +z + \y -

11

.

dz

derivando, simplificando v agrupando:

(z2- 3)2

, b = ^ c = - ^ , d = - ^ , E = J - , f = ^ 81 9 81 81 27 27

j é ? * - 6!

* (z 2 ^ 3 )2

J ^22 ——-)2^ -)2 ^

por identidad de polinom ios se tiene:

z 2 +3

1 11 31 7 11 — Z + — ZH ,+ 9 — 81 81+. —27-------27 w. ------------- 7 )dz ........ -------- 7 ( z - 1)z~ +z + l (z" + z + l)~ l)~

C=0 -2 8 - 3C = 0 D - A = l -3 A -3 D = 3

resolviendo se se tiene: A = -1, B = 0, C = 0, D = 0

-----

-4 *

Az + B z2- 3

integrando cada termino y simplificando se tiene: x +1 , , z2+ z + l 2 1 ln---2z + l 2z -3/: 3/:----- dx = dx = - ln----------— -— + — + —¡=arctg( ¡=arctg( — — = -) + — ------ 1- c 1 3 (z —1) yfc * J3 z3-l

Jé? 1325

x +3 ~dx x 2\J 2x + 3

J

Desarrollo

2

Sea z = 2x + 3

z2 - 3 z dz = dx => x = -------

, , J- í + 1 donde z = h Vx-1

C z+ D )dz = z2 - 3 ( z 2 - 3 )2

(2)

reemplazando (2) en (1) se tiene: x+3 L itL = * = x~V2x + 3

©

z+3

. 2z ----- + C= dz = -----,-----

(z2-3)2

z -3

2f -

V2x + 3

---------------he

INTEGRA INTEGRALES LES DEL DEL TÌPO.TÌPO. pn(x )dx

1 yjax2 +bx +c

donde p n (x) es un polinomio de grado n, se supone que

124

Eduard o Esp inoza Ramo s dx f _ Pn^x ~ = d x = Qr '_x '_x( x)' Jax2 +bx + c + c + A f -?= » y a x 2 +b x + c J \¡a ax ‘ + ‘ + bx +1

— — Vx2Vx2 - x + l - - l n | 2 x - l + 2 Vx2-x + l|+c

... (3)

donde Qn_ ,(x ) es un polinomio polinomio de grado grado (n - 1) con coeficientes coeficientes

1327

indeterminados y X es un numero. Los coeficientes del polinomio Q n-1 (•* (•*)) Y ®

la sustitución:

------

x - a

x5 = sf l-

, se reduce al 2° tipo 2° tipo de integrales valiéndose de

= t

x 2dx

x + l

i ? ^ /T 2 x(Ax4 +Bx*+Cx2+ Dx+E) A = (4Ax3+ 3Bx + 2Cx+D )y¡l -x2 — -x2 — - ----------- = = ----------- - + ~ r = sf l - x

-5A = 1 -4B = 0 1 4 4A-3C = 0 • resolviendo se tiene: A = - - , C = _ ^ > D = 0, E = 3 B - 2 D = D = 0 2C -E = 0 D + A + A = 0

Desarrollo

- x +l

= ( Ax ( Ax + B) sj x2 - x + l + + A í —j=~- -L= , d erivan do se tiene: •* V x 2 - x +1 2A( x 2A( x 2 - x + 1) + A + A (2 x 2- x) + x) + B B ( 2 x - 1) + 2

dx

2yfx2^ 2yfx2^ x + l

VÍ^X 2

2x 2 = 4Ax 2 + (2B -3 A)x + 2A -B + 2Á, dedo dedonde: nde: A = - , B = - , A = — 2 4 8

J

4 x2-x + l

— derivando se tiene

x 5 = -5Ax 5 - 4 f l x 4 + ( 4 A - 3 C ) x 3 + ( 3 B - 2 D ) x 2 + ( 2 C - £ ) x + D + A

í;4 x ^ - x - x + l X

Desarrollo

X5 = (4Ax 3 +3 Bx +3 Bx 2 + 2 Cx + Cx + D)( 1- x 2 ) - ( A x 5 + B x 4 + 4 + C x3 + D x 2 + 2 + £x) + A


x 2dx

j ^ / w 2

f x dx - = (Ax4+ Bx 3 + Cx2 +Dx+ E)y jl-x 2 + A f J J i - x 2

IN NT T E G RA RA L E S D E L T IP IP O .-.-

I (x -a ) n\fax2 +bx +i

í

r x^ dx

numero A, se hallan derivando la identidad identidad (3). (3).

dx

1326

125


2 4 81 j x

dx - x + l

= (_ (_ £ _ _ ± ^ _ A ) V í r 7 = - 8 + 4 * + 3 x .^ 7 + c 5 15 15 15

1328

x.’dx

8

, A. = 0


126

127


Desarrollo

dt 4

i - , —*-

dt

dx dx = dx = ( Ax ( Ax 4+ Bx 3+Cx2 + Dx + E)\ll + x2 + x2 + A f —p 2 Vi + x2

JJlTx

J

tf \ t 2

derivando y agrupando se tiene: tiene: x6

= (At3 + Bt2 + Ct + D) \J l-t 2 -A

_ 6A x6 + + 5Bx5+ 5Bx5 + (5A + 4C)x4 + 4C)x4 + (4 B + 3 D) x3 +

\ i i + x 2 2

f

^ J V I-?.

derivando y agrupando se tiene: tiene:

vr+ x2 x2"" +(3C +(3C + 2£ V2 + (2D (2D + F + F )x + E + + A

Ví +

- , 4 = — 4f 4- 3 S í 3+ (3 A - 2C)t2 +( 2B -D )t + C +X 3 3 1 de donde: A = —, B = 0, C = —, —, D = 0 , A = — 4 8 8

X*

x6= 6Ax +5 B +5 B x 5 + ( 5A+ 4C)x4+ (4fí + 3D)x 3+ (3C (3C +2 + 2 E)x 2 +(2D+ F)x + E + X

f

p = = - [ - ^ L , = (A t3 + Bt2 +Cí J x’ V ^ M j V T ?

de donde: A = - , B = 0, C = ~— , D = 0, £ = — , A = - — 24 16 16 6

4

f _ í = ^ = = (A (A x5 + Bx 4 +C x 3 + Dx 2 + £x+F)Vl + *2 + A f , ¿X J V i T 7 J ViT? /7~

6

24

16

7 5 f 16 J

l+ x2

8

+ D )Vl-í2 + a [-7¿L

* = ( 44 4 8) V ^ f

SjJZS

= (—i—+ (—i—+ — -)V *2-1 - - arcsen(— arcsen(—) + c 4x x 8x 8

dx

=^ 6 Y ~ ^24d + T16¿ ^ l +x + x 2 ~ 16 y 7 ln l n \ x+ x + ^ ] +x l l+c

1329

1

1330

í (x +1 )3V *2 + 2x Desarrollo Hacemos ------= ----1--= / => x+1 ,= - 1 => dxj = — x +1 / r

J x5 * Desarrollo

j Vw

— arcsen arcseníí + c

Eduard o Esp inoza Ram os

128

4.8. 4.8.

t~dt r-í +l-l i i , / donde x + 2x = (x + 1\2) - ] = - f1 = I — 2 í//

j

129


INTEGRA LES DE LAS DIFERENC IALES BINOM ICAS. xm( a+ b xn )p dx

J

J VÍ Z7

- arcsen í - arcsen í + c

2

donde m, n y p son números números racional racionales. es.

2

CONDICIÓN DE CHEBICHEC.-

t Vrr~2 i I. i i =— l-í —i aarcsent re. re.* + c = --------— i arcsen( ,----- 1----------------- ) + c x+l 2(x + l)V (A+ l )2 2

La integral (1), puede expresarse por medio de una combinación finita de funciones elementales, únicamente en los tres casos:

----- - — — —Vx 2 +2 x - — arcseni— —) —) + c 2 x +\ 2(x + l)

1331

x 2 + X +

1

:Vx2 - x + +l +l

Cuando p es entero.

-(lx

m+1 es número entero, aquí se emplea la sustitución nn a +bx n = zs , donde “s” es el divisor de la fracción p.

©

Cuando

©

C ua uando

Desarrollo f x2 +x + l

— 1 = = = d x =

j xVx - x + l

f

x(x + l)

( — ? =• : ■

^ + - -7=. =

J x vx 2 - x + l

1

x vx 2 - x + l

1 f 2 jc—1 + 1 f i*i* 2J yjx 2 - X 1f

2 x -l

+ l

m +1 + p , es número entero, en este caso se emplea la n sustitución ax~n + b = z

■ = )< )< &

=i~r===i =i~r= ==i££ï+f - rx‘'f-r x + 1 J xy¡ x‘' •W x"-x+l _

dx

3 f x + 2

Hallar las integrales: 3

f

J XW\¡ ^X 2- -J C X ++ l

... ( 1 )

1332

fifx

J

x 3(1

+ 2 x 2 ) 2d x Desarrollo

JJ yj x2 x2 - x + l

f

¡ 4 7 ^ ¡ + I W

dx

?:x+l

m + 1

3+ 1

4

------ = — - 2 es un entero ------ = ------= n 2 2

integrando y de acuerdo a las integrales anteriores se tiene: tiene:

j Zdz 2 2 2 Z2 - l entonces: l + 2 x“ x “ - z ‘ => x = ------- => x d x = —— 2 2

= -\/x -\/x2— 2—x+ x+ l+ ln | x|+-^ln | x-- ^ + Vx 2 - x + l | - I n

J x3(1 + 2 x2) 2dx = J x 2(l2(l + 2x2) 2x2) 2xdx = J 2 ^ *.(z2) 2 3

11 —-^ + Vx 2 -x + l |+c

)tiz = ^ J ( 1 - z ’ )tiz

130

Eduard o Esp inoza Ramo s K K 1 z +1 1 2 + 2x N 11+ = - ( z + - ) + c = - ( ------- ) + c = — (—== = ) + c = —(— —(—== =? ) + c 4 z 4 z 4 J 1+ 2x 2 2 V! + 2.v2

1333

I

131

Integ ral Inde finida x

. —“ = ~ ( ~ ln l n | ——- | + —a rc r c tg t g z )+ )+ c = —l —l Jí —4 /—n V— = - Ji -z—“ 4 —1 z+1

n | | — a rc rc tg t g z+ z+ c 24Z - l 2

dx 7

a , „ | ^ S ± I | - I a re r e,g ^ 4 'V ^ T l - l 2

Desarrollo 5

Sea x 4 + l = z 4 => .v4 = — ? -i

j c=

1. Vz4 Vz4^ !

dx = - z 3(z 4-1) 4¿z => dx =

1334

+c

dx

I - X Xí'Jl\ + xX' 2

Desarrollo

dt 1 Sea x = - => dx = — t r dt

J Z - 1 J Z + 1 Z~1 z 2 z4-l

A Z+

i í -----$ = = f ---- p p = = - [ - 4 ^ = = - [ / (1 + í ) 2dt J x4 ^ / i í 7 J i C Z J J ,4 V t2

Z +1

B Cz + D _ - H----- ---------i-i- —r ------- , efectuando operaciones y agrupando

1

Z -l

z 2 +l +l

S ea ea z 2 = l + / 2 => z dz = t dt

z~ = (A + B + C) zi + ( B - A + D) z2 +( A + B - C ) z + B - A - D de donde se tiene: A + B + C = C = 0 B - A + D = 1 A + B - C = C = 0 B - A - D = 0

.3

f ( z 2 - l ) z .zdz f ----- ^ = = r = - j ' - i = d f = - f( resolviendo el sistema sistema se tiene: tiene: A = —-, fí = —,C = 0, D = — 4 4 2 = - J ( z 2 - l) l) dz d z = - ( y - z ) + c = - | ( z 2 - 3 ) + c =

f z2 , f , A B Cz +D 1, .1, 1, .. 1 — — dz = (— + ---- - + ■ )dz = ——- l n | z + l | + - l n | z - l | + - a r c t g z + c J z -1 J z + 1 z - l z +1 4 4 2

1

1+^ V T - 2 . } 0 ± L ( t i - 2 ) + c = - ' ' x ' -( - A r- 2 )+ c = ^— ^ -( 2 x 2 - l ) + c 3 V 3x3

i, Iz-l I 1 = - - l n — - |+ |+ - a r c tg tg z + c 4 z+ 1 2

Luego:

i l i - ( l + , 2- 3 ) + C

1335

J:

dx

f l + x


132

Desarrollo Sea l + ;t 5 = z 3

= fjc_ , (l + jc5) 3dx 3dx = f(z 3 - l )

f—

J X\Jl r\/l ++Xr' 5

1336

i =* x 5 = z3 - l => x = (z 3 - l ) 5 ,

J

5(z3)

3

_í d x = - - ( z 3 - l ) 5 z 2d 2d z

3 - ( z3 - 1 )

J5

133

Integra l Indefinid a dx

f

5

x 2(2 + x3)3 3)3 Desarrollo

5 z2dz

Sea 2x

-

l / l 2 1 3 3 f2 (z (z 3 - l i 3 z 2d 2dz +1 = z => x => x = —— => x = --------- - => dx = dx = -- l f2 (z 3- l )3

* zdz = - í ( z 3 -i -i r ' z d z = - [ - 5^ - * = - f ----- ---5J 5J z -l 5 J ( z - l)(z 2 + z + l) a-2 = ( ^ 2 )2(z 3 - l )

Bz + C :)dz w = - f ( — + — ------------5 J z - 1 z +z + l A z3- l

Z -l

5

j ------ —— ------ —— - = J jc _2(2 + jc3)

Bz + C - + — -------- de donde se tiene:

jc2(2 2(2 + a 3)3

Z2 + Z + l

z = (A + B) z2 + ( A - B + C) z + A - C A + fl = 0 A - B + C =1 C =1 A-C = 0

3 => x 2 = (Z y } ] - = > 2 + a 3 - 2 j:3(z 3 - l )-1 3é/jc

2

= J í i i j l i ( 2z3 2z3(z2(z2- ir ') 3(-^/ (-^/2) 2)(z (z3-1) 3-1) 3z2 3z2dz

resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = , C = — 3 3 3

2 3^2. 3^2. j (z3_ (z3_ f t

z 3 -l )z ~ 3
\ - r - ~ f l - £ - - < ^ - ) l * = -[ f — * J jc^/i + x5 5 J z - l 3 z +z + l 5 J z-l J z +z + l

1+ c

= ^ [ln( [ln(z- 1) --^ \n(\lz 2 + z + l) + \/3 \/3 arc arctg tg(2^ (2^ -)] -)] 1ln-------------(z -l )2 -ln -(z-------------2 + z + l) +V3 _ are,g/2z (_ +? l.r ) + c 1337 = — ln-^f——— l-^ -arc tg( 2~ ^ -) + c 10 z 2 + z + l 5 V3

donde donde z = yjl + x5

I

dx

Desarrollo

134

Eduardo Espino za Ram os Hacemos Hace mos 1+ —L= = /3 , t = J 1 +

135

Integra l Indefin ida SEG UND O CAS O.-

1

Cuando n es un entero positivo impar dentro del integrando se saca el factor común sen x dx o eos x dx, respectivamente, luego se usa la identidad:

-7.V3

1

- V = ^ i - = » í / í = 31 . 1 r 33- 1 3- l

se n 2 x + cos” x = l 0

4/ U = -------* - , 4v* /77 = — ----1 — V.v ----, (r -D" t (f 3- l )3 de 1+ .— = r’ => —

P AR AR A L O S I N NT T E G RA RA L E S D E L A F O R MA MA ..-f tg” xd tg” xd x y c tg" xd x J J

-At dt = 3t~dt 3t~dt => dx = dx = ---- , Luego:

si n es par o impar se usan las identidades: 1

f

f - 4 r g 3 - i ) 2 d{ 'lxi\l\+i[7

( P _ _

f r V - u V - l )3

1)3 J

jL . Vi - 1

2/

+C =

( i 3 -

- 2( 3/1 + — r=

)2

@

sen "1 x.cos" x dx

t

PR IM ER CAS O.- Si m o n es un entero entero positivo impar y el otro cualquier numero.

+c — —2(]l(l + x 4 )2) + c

Se procede de la siguiente manera:

INTEGRALE S DE FUNCIONE S TRIGONO MET RICAS.(I)

Si m es impar se saca factor x = 1 sen 2 x + eos 2 x =

INTEGRALES INTEGRALES DE LA FORMA.FORMA.-

Jsen” jtí/jt , y J cos" xdx

PARA LAS INTEGRALES INTEGRALES DE LA FORMA.FORMA.»

1)3

V 4.9. 4.9.

+ tg 2 x = se£ 2 x , 1+ ct g2 x = csc2x

SEG UND O CAS O.donde m y n son números enteros.

PR IM ER CASO .- Cuando n es un entero positivo par se usan las identidades siguientes: •> o 1 - eos 2x 1 + eos 2.v x = —— —— ----- , eos" x -------------sen- x =

•>

sen x dx

y se usa la identidad:

Si m y n son enteros positivos positivos pares se usa la fórmula:

l - c o s 2x

2

i + cos 2 x

sen“x = ----------- , eos x = ------ ----- _________ __________ _ 2 ________________ ________________2 @

PARA LAS INTEGRALES INTEGRALES DE LA FORMA.FORMA.-

• f ígmx.sec" ígmx.sec" x d x , rtg"' x.csc" x d x J J

136


137


PR IM ER C ASO.- Cuando n es un un entero entero positivo positivo par y m es cualquier número, se saca el factor.

dx - 2JIcos2x.senx dx + = J* Isenx + Ieos4 x.senx dx sen x dx

2 eos 3x eos5 x

see 2 x d x o ese 2 x d x

= -C O SX + --------------------------------------------------------l-C l-C

y se se usan las identidades: identidades: l + tg 2 x = see2 x , 1 + ctg 2 x = csc 2 x

1340 SEG UND O CASO .-

Cuando m es un entero positivo positivo impar, impar, n es cualquier número, se saca como factor.

sen 2 x.cos3 xd x Desarrollo x.cos xd x J sen 2x.cos3 x d x = J sen 2x.cos2 x.cos xd

sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx y se usa la identidad:

i

dx = J sen 2 Xcos x dx dx - J sen 4x. eos x dx J* sen 2 x(l - sen2 x) cos x dx =

1 + tg 2 x = sec 2 x , 1 + etg 2 x = csc 2 x ’

Hallar las integrales

1338

sen 5x sen 5x ----------he

/ eos 3 x dx Desarrollo

1341

—J eos* x.cos x d x = f (1 —sen" x) eos x d x J*cos x d x —J

I

Desarrollo

j* sen 3(^).cos 5(~~)dx = J = J co s5(^).sen 2(^).sen(^)dx

sen 3x = J cos x d x - J sen“ x.cos x dx = senx --------I-C I-C

1339

(—). eos e os 5(-)dx 2 2 Jsen 3(—).

= Jeos 5(^).(l (^).(l - eos2(-)) sen sen ¿ ) d x

sen 5 xd x Desarrollo

J

J*| sen 5 x d x = J* x.sen xx ddx = | sen 4x.sen x dxx == Jj ((1 - e o s 2 x )2sen x sen x d x

J

( l - 2 cos~ x + cos 4 x)senxdx

eos (—)

= eos 5(^) sen(^)dx sen (^)dx -

1342

f eos 5X , ---- r - d x J sen x

eos (

sen (—)dx - - ------- 2 _ + ---------- -rt, J eos7(—) sen(—)dx 3 4

Desarrollo

138 138

Eduard o Esp inoza Ram os f e os os 3 * , f ( l - s e n “ *) I — t — — dx = dx = I ------ -------- eos xd eos xd x J sen' x J sen *

Integral Inde finida

1345

f l - 2 sen 2 * + sen 4 x , f, I -------------t -------------t ----------eos xd x = (( (( c tg tg x c s c * - 2ctg * + senxcos*)d* J sen x J sen2 x 2

1343

139 139

J sen2xcos4 xd x

Desarrollo

2 1- eos 2* 2 1+ eos 2* sen * = -----------------------, -, eos * = --------------2 2

1

fI sen 2 xc os 4 xd .x = f l-------------.( - c o s 2 * ------------1+ c o s 2 y x 2d x ,

--21n Isen Isen I+c 2 sen“*

j

J

2

2

= - J(1 - eos2 2*)( 2*)(11 + eos 2 x) dx = = ~ J sen2 sen2 2*(1 2*(1 + eos 2 x)d x

1sen4 xd x Desarrollo

■ &

1- eos 2* sen“ x = = -----------------------2

J* sen4 * dx = J*( - -

~^s

- x

* 16

I

= i J*(l J*(l —2eos 2x + eos2 2 x)d x

)2C )2C¡X

sen 4* 64

8 2

8

6

sen32* 48

1346

I eos0 3 xd x

Desarrollo

1+ eos 6* t „ eos “3* = -----------------------

sen2 xc os 2 xd x

sen*, eos* =

2

-----------------------1------------------ j_ Q

lr . x s e n (4 * ) 3 * se n ( 2 * ) se n (4 * ) = —[x —[x - sen(2*) + — + ----- — -] + c = -------- — -------- — — - + ---- — - + c 4 2 4 32 8 8

1344

2 o -eos 4* tu l rA' sen4* sen32*, sen32*, ---------- +sen 2x c o s 2*]J* = - [ -------------------------+ -+ ----------l ---------- l + c

2

Desarrollo

J c o s 63xdx = J = J ( c o s 23x)3dx

sen(2*)

f ,1 + cos6 jcx* , 1 f /4 /4 , , 3 = J ( ----- ----- ) dx = dx = —J (l + 3cos6x-f3eos ójc + cos cos 6x)dx

J sen2*cos2 x dx = J (sen *cos x f d x = J (—■-l ^ X )d)dx = i j s e n 22xd x

4J1 4J 1

-eos4* ,

1

s e n 4*, * sen 4* ] + c = ------------- + c

----------- dx = - [ * -----------

2

8

4

8

32

140 140

Eduard o Esp inoza Ramo' Ramo'.. _ 1 ,5 x sen 6a sen 12 a sen 6.v sen3 6v = 8 (T + ~ +~ T - +^ --------Ì -------- Ì 8~ , + C _ 5 a | senÓA 16 12

1347

I

sen 12a 64

sen3 6 a 144

o 2 C tg tg 3 X C tg 5 X 7A + Ctg 4 ( c tg A.CSC* A.CSC*A Ct g A.CSC x) dx = ----- ---------- ---- + C

■J 1350

dx sen4 x x

-

I sen2 a cos4 x

Desarrollo

f __ * __ =f”

Desarrollo / s è n^ n ^ I= I = J CS = | CS° 2 JCCSC2 x d x = | CS° 4 XdX =

141 141

Integral I ndefin ida

J sen2 a. eos4 a

2 < ****)cscZ xd xd x (1 + <****)cscZ

J sen2 a eos4 a

=

f(-L- + J eos a

, 1 y )dX sen a. eos a

= J (se c4 a + 4 csc2 2x)dx = J*[(1 J*[(1 + tg2 a) sec2a + 4 csc2 2x)]dx

3

-J 1348

J

(csc2 x + ct g2x. cs c2 x) dx = - c t e x - - ~ — + c 3

dx cos6 X x

= t gx gx + — ^ - 2 c t g 2 x + c

1351 Desarrollo

J

dx sen5 a eos3 x

Desarrollo «6 v

í ---- — = f sec6 x d x = f sec 4a. sec 2 xd x COS° X J J

__ ÉL __ = í _ ___ csc6 f _ / J sen5 acos 3a J csc6 A.sen5 acos

J

= J*(l tg2a (1 + tg x))2sec 2 x d x == J I (1+ 2 tg2 x tg2 x + tg4 a) see2 x dx

r

a

= f CSC CSCV ^ J csca.cos a

í í-l+ctg f i - dx = [tg a sec 2 a(1 + 3c tg 2 a + 3c tg 4 x + c tg 6 x)d x A J

J Ctg A.A. COS + 2 tg 2 a se c“ x+ (sec- x + 2 c“ x+ tg4 a. see 2 x) dx = tg x tg x + — tg3 x tg3 x + + ^ ' A + c -J(sec- x 3 5 i

1349

= J(tgA.sec 2 A+ 3 ) ^ - ^ + 3 t g tgA

cos 2 A ,

— dx J sen r — x ----

=

Desarrollo 1352

I

t 2^ x 3 1 + 3 ln(tg A) - — — ■- — — -+c 2 2tg a 4tg a

dx X

3 X 2

sen-.eos 2

3x s e c 2 A+ tg

5 x.sec2 x)dx x)dx

142 142

Eduar do Es pinoza Ramo s Desarrollo f

dx dx se n c o s3^ ¿ ¿

, ü ++ctg2(|))d* c t 2‘ í , |.(l

2

J c sc sc 2A 2A . s e n ( | ) . c o s 3( 3( J )

2

2

análoga mente

J c t g ((- ) .c .c o s 2( 2( * )

2

2

2 •* x x r see — y = tg(-)sec2(-)(l + ctg2-)í/* ctg2-)í/* = (tg-.sec2- + ------ ^)dx J ¿ 2 2 J 2 2 * tg2 2 X , , x x x see — o = I (sec--.tg-.sec - + ------ ±-)dx . a ■/< 2 2 2

1354

f

,.sen(* + —) ---------- 1 - d x J sen*.eos*

J* ese 3 * dx = f

»sen*, eos——+ sen—. —.eos* »sen *. eos f- sen eos *

J

sen*.cos*

J

J

pr . jen* + eos * dx 2 J -------------- senx. eos* senx. eos*

d x = V2

_ V 2 f, l l w V2 f - “ r - I v--------1- ------ )dx = —— I (sec* + csc *)J * 2 J eo s* .ve/!* .ve/!* 2 J

—(l)

integrando se tiene:

J

Desarrollo

J sen*.cos*

dx —~ —~ íese 5 x d x = f (l + c tg 2 *) ese 3* dx = fcsc3*dx fcsc3*dx + Jc tg 2 *.cse 3*d*

2

4—

Desarrollo

J sen *

= sec 2J + 21n ||tt g^ g ^ -| - | + c = — — + 21n | t g - | + c x 2 2 2 eos 2 —

.sen (* + »SCIHX - ;) 1- —

7T

dx

I sen5 x*

2

f ---------- 4_rfi= r ----------- 4 —

A

In | see * + tg * |= ln | tg(—+ —) |

2

f

1353

l - c o s * = l - ^ o s * _ _ l j -e -e o s * _ —l ------ £2 £2£j £jL L = CSc ^ - c tg * Vl + cos* V i-e os 2* senj senjcc s¿r‘ s¿r‘A‘ sen*

* 2

2y*\ ax csc 2( 2 )dx

f

143 143


[In | esc * - c tg * | - c tg *. esc *]

i eos eos * , 1 , 1 1 r, . 1 —eos * .1- c tg *csc*], ese 3 x d x = —[ —[ ln ---------------- 1- c tg *csc *J = —[ln —[ln | ------------1 -----------sen * 2 sen * sen * 2 = —[ln |||| - c tg *.csc *] = ^-fln ^-fln | tg^ | -c tg *.csc *] ...(2) Vl + cos* 2 2 2

integrando integrando por partes partes J e tg2*.csc 3* dx u = c tg * 3 . , . dv = dv = csc x.c tg x.c tg x x d x

—■>

du = -e = -e sc“ xd sc“ xd x i CSC X v = ------------------

f , , , Ctgxcsc3* 1 f 5 , j c tg" *.csc x d x = -----SL-^ ----- SL-^--------- 3 j CSC X

144

Eduar do Es pinoza Ramo s reemplazando (3), (2) en (1) dx , J sen x f I

-

f

I CSC CSC

5

J


1356

I . , x . 1 ctgxcsc3* 1 f s , dx = - l n j tg tg —I —I — c t g x c s c x ----- ---------------csc' --------------- csc' xd x 3 3J 2 2 2

J tg 25 x d x

1357 sec 54 x dx

1

Desarrollo

tg ¿ 5jcdx 5jcdx = | (secz 5 x - 1 )dx =

3 . jc 3 eos x eos x 1 eos x eos x 5 = I csc x d x = —ln | tg ——— ---- ------ ----- — he 2 8 sen 2 x 4‘ r sen 8 ™ 4 x i

1355

145

I ct g 3 xd x

— - x + c

Desarrollo

Desarrollo j c i g 3 x d x = j (csc 2 x - l)ctg x l)ctg x dx = J (ctgxese 2 x - c tg x)d tg x)d x

J s e c 54xdx = J*(l + tg 2 4x)sec 34xdx = Jsec 34xdx +J +J t g 24xsec 34xdx ... (1) ct g 2 x , . . ----------- ln sen x sen x +c integrando por partes: Js e c 34xdx = 4xdx = ^[sec 4x. tg 4x. tg 4x + ln | sec 4x + tg + tg 4x |] 1358 integrando por partes: J tg 2 x. sec x. sec34x dx = dx = — — ' ^ C

- i Js J s e c 54xdx

í ct g 4 xd x

J e tg 4 x d x = J = J ( c s c 2 x - l)c tg 2 x dx - J í c s c 2 x c t g 2 je - c s c 2 x + Y)dx

reemplazando en ( 1) se tiene: J sec 54 x d x = J s ec ec 34 x d x + x + J t g 2 4xsec 34 xd x

ctg’ x --------- + ctg jc + jc + c

s e c 4 x tg 4 jc 1 tg 4 x .s e c 34x 1 f , , = ------------- -------- + in sec4jc + tg4 x + — ------------------------------------- sec 54 xd x

8

8

12

—f sec 5 4x< 4x<¿t = -ln |s ec 4 jc+tg jc+ tg 4 jc|H jc|H—sen —sen 4x + _ sen4x 3 J

8

Desarrollo

8eos 4x 12eos 4*

fsec 54 x ^ = - l l n | s e c 4 A + ^ 4 x |+ |+ ^ +^ +e J 32 12 16

3j

1359

í (tg - + tg

-)dx Desarrollo

Jtg 3^dx = J(sec J(s ec22^ - l ) tgt g j d x = - jtj t g 2^2 ^ + 31n |cos^ | J

tg 4^

=

J (sec2^ - 1) tg 2~~dx ~ J (sec2~3 tg 2^3 - sec2~ +1 )dx

... ... ( 1 )

... ( ... ( 2)

146 146

Edua rdo Espino za Ra mos - tg3——3 tg — tg — + X + 3 3

147 147

Integ ral Inde finida 16

C

3 t 3 t 3 e o sx sx 3 x : — e o s 3 x + —eo s 3 x --------------------------------- 1-c -c 4 5 16

remplazando de (1) y (2) en la integral: = - —Veos Veos4x + --veo s'% —— ——Veo Veoss 16x + < 4 5 16

C, 3 x X. 4 x . 3 2x 3 x . x , , , —- 3 t g — + 31 31nn ¡eos—|+x + c J (tg 3 +tg - ) d x = - t g - + t g —1363 1360

x sen2 x sen2 x 2dx

J

Desarrollo

secxdx dx j* j* _ f _____ _ j* ______ _ dx ______ ______ _ Vsenx.c osx J V ^ ,x. c oeos s 33xx “ J eos c os os xV xx\/sen V s en enxZ. eos co co sx sx Jj -Vsenx.c Vsen

sen2x 2 1 f ,-2 x+ 2csen2x

=f

eos2 x eos2 x , ---- T~“x sen x

se f

xdx. . . . ~

J seexVsenx.cosx

1

Desarrollo

1364

f

f dx Desarrollo 2 j 2zdz « 9 Sea z - t g x => x = arctg arctg z , dx = ----- ^ 1+ z

J s e n 5 x.l 5 x.l jeos x eos xx dx eos

Desarrollo

J v/ í g l

j* j*sen5 x.yjc os x d x = j sen4x.cos3 x senxdx = j* j*(1 -eos2x)2eos3x.senxdx

=J*(l - 2eos2x+eos4x)eos3x.senxdx 1

I

7

sec2x^

13

(eos3x sen x - 2 eos3 x. sen x + eo s3 x.sen x)d x

Jzl

+ Z

f sec^dx ^ 2^

x.cosx ■» VlSx VlSx J Vsen x. see 2 x.cosx

•» V tgi

eos2 x c tg3* f eos2 x f 2 2 , I ---- :— d x= Ictg x.csc x d x = ------ — + c J sen x J 3 1362

í Vsen x.cos3x Desarrollo

, cos 2 x2 fI xsen 2 x 2dx f 1- cos = \ x ------------- dx = dx = — | ( x - x c o s 2 x )dx = ----2 2J 4 J J 1361

dx

J z +1

de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:

+c

148 148

Eduar do Es pinoza Ram os reemplazando ( 2) en ( 1) se tiene: f

— o f di

Z~ + y¡2z +1 1 . i Z~ +1 | y¡2

J V é í " J ? 7 I : W? ©

1367 z- Jl

' T - V S T T ^ T “' “ '“ 8 ?

^

149 149


i ----

feos feo s —.eos— .eos — dx 3 2

J

x x j l f / x 5 x) dx = —(6se 1 (6se nx—+ If eos—eos —dx eos—eos —dx = = — I (eos—+ (eos—+ cos— — —+6—sen —sen 5— x) + c J 2 3 2J 2 6 5 6 6 6

INTEGRALES INTEGRALES DE LAS FORMAS. FORMAS.--

x 3 5x = 3sen —+ -sen — + c 6 5 6

j* sen mx. mx. cosnx d x , J sen mx. sen mx. sen nxdx , nxdx , J eos mx .eos nxdx en estos casos es emplean las fórmulas siguientes: siguientes:

1368

©

sen(rax sen(rax).cos ).cos(nx) (nx) = ^-[sen( ^-[sen(w w + rt)x rt)x + sen(/w-n)x]

©

sen (mx). s mx). sen( en(nx) nx) = i[cos(w - n )x - eos(m + n)x]

©

c o s( w x ) .c o s( h x )

x

Desarrollo

, fI sen x—. , = 1— I . —. cos 2x — dx — r,I [ sen x sen x + s + sen en(— (— )jdx )jdx 3 3 3 2J

J

x, 1 = — ((- co sx + 3co s—) s—) + c 2 3

1369

5 xd x J sen 3x. eos 5 xd

2.x

sen—.eos —- dx 3 3 i sen—.eos —-

= —[cos( —[cos(m m - n) x + eos(m eos (m + n) x ]


1365

Desarrollo

d“ “^ “^ = ^

b).cos(ax - b)dx í eos(ax + b).cos(ax

co sx 3 x -------------------- v — eos— e os— + c 2 2 3

Desarrollo

*. ,xcos ,xcos 2b se n 2ox cos(ax + b).cos(ax b).cos(axb)dx = b)dx “ = — — I (eos 2b + + e o s2ax)dx s 2ax)dx = ■— - — + — ------ + c J cos(ax +b).c os(ax-- b)dx “ b)dx ^ JI (eos2b ~ 2 4a

Desarrollo

Jsen3x.cos5xdx - J * - [sen 8x + sen(-2 x)]dx x)]dx = ^ J (sen 8x - sen 2x)dx

1370 co s 8x eos 2x — —— + --------- + c

1366

i

16

í

sen w/.senívvr + \¡f )dt

4

Desarrollo

tcosw sen(2wt + i¡/) i¡/) 1f s , tcosw wt.sen(wt+\¡f)dt wt+\¡f)dt = I sen wt.sen( = - I (cos((cos(- i//) i//)- cos( 2w/+y/)dt w/ +y/)dt = = — ------------- — ------------ — ------ + c 4w

f

senl0x.senl5xdx

Desarrollo

x. sen 15x dx = ~ j * (eos 5* - eos eos 25x)dx = sen 5x J sen 1Ox. sen 10

sen 25x 50 ~+C

1371

3 xd x í cosx. eos" 3 xd

Desarrollo

150

Eduard o Esp inoza Ram os COS

2 Jt = ------------------1 + cos 6x

©

1+ COSÓJC , 1 f -----dx ----- dx = — I (eos x + x + eos x. eos 6x)dx eos cos 2 i-,x d,x - Jf eos x. -----

f,™ „ J x.

4 / (eos * + - 2 ( eos 5a + eos lx))dx = 2 1372

28

1373

sen x. sen 2x. sen 2x. sen 3x dx í sen x.

sen 2x. sen 3* = —2 (eos (eos x — eos 5a)

r . eos

X -

1 - r 1 +t 2 2 dt

= i f(sen2*-eos4* + eos6* eos6*)í¿ )í¿cc 4 J

cosa

8

16

24

1374

3 + -------- z — 1 + í2

í

-----

—

-----

J sen a + eos a

Desarrollo

INTEGRALES INTEGRALES DE LA FORMA.FORMA.donde R es una función racional.

Valién Valiéndos dosee de la sustit sustituci ución.ón.t g ^ = f , d oonn ddee s e n x ^ - ^ - , c o sa sa = ^— — t t , dx = -2 dt

1

2 + tg x tg x

donde t = = tg x — 2

+ +c

sen 6x sen 4x eos 2 a-+ c 24 16 8

©

Desarrollo

í _ — — = Jf _ l ±5(1£ -Íí _ )_ , Jf 4 *- / ' = 4i i n |2l -í t l +c = — InIn I- - - — J 3+5

j * s e n x. sen 2 x. sens en 3* dx = — J*(sen x. eos x - s ene n x. eos 5 x) dx

/ /?(senx,cosx)<ÍA

dx

13 + 5 eos x 2 dt dx = -----1+ r

Desarrolio

©

Si se se verifica verifica la identidad identidad para reducir reducir la la integral integral a la forma racional racional se puede emplear la sustitución tg x = t.


+ ----5a ----5a + _ n7_ + c

20

151

Integral Inde finida

1

1

La integral se reduce a integrales de funciones racionales de la nueva variable.

4

2- H i

l+ c

132 132

Eduar do Es pinoza Ram os

J

f

1+ C CO OS SX

J

Desarrollo

J 1+ eosx

f a - —1 + eos! —

J

2 dt X

wx=x-

= x - j d t = x - -t + c = 1376

J 1 + eos X

x-tg— +c 2

J

1- t 2 1 + - — 1 + r

dx cosx + 2senx+3

Jf ?79

+2í +2í+2 +2

1

f3senx + 2cosx , I ------------------- dx

J 2senx + 3cosx

3 sen x + 2 eos x = (2a - 3Bx)sen x + (3a + 2B)cos x

x(l+ senx) fsen x + sen2x J 1-senx J i -sen2 x -dx= J \- eos2x dx = see =J*(tgxseex+tg2 x) dx = x+tgx +tgx— x+c +c

2a -3.f i = 3] 12 _ 5 > =£ a = ----- , fi = -----3a + 2fi = 2j 13 13 j*3se nx + 2co sx ^ 2sen x + 3cosx

J

sen x+ 7 eos x J 8 -4 sen

=íJ

2 dt 1+ t 2 _+ 7 _ It -

8í 1+í2

1+í2

12 f ^ 13

J

5 f( 2 se n x + 3co sx)í/ x 13 2senx + 3cosx

J

= — x —— ——ln ln !2senx + 3cosx I +c 13 13

Desarrollo

I

dt f f ______ ______ dt_

3 sen x + 2 eos x = a(2 sen x + 3 eos x) + B(2 sen x + 3 eos x)

f _ s e n j c _ ^ = T*sen sen

1378

4t j 2 í 2 + 4í + 4 J r J 1 -------t2 j + ----7 + 3

... 2 f + 2, 2,

Desarrollo

J 1-s x

f

f

— —— =arc rctg tg(í(í+1)+c =arctg(tg-f2 +1 +1)+c (í + 1) +1 I—

f se senx - sen

J ----8---- 4 s e n --x +----7 e os os x

2 dt 1+ r

1

Desarrollo

1377

153 153


dt = 2 Í t - 8 í + 15

dt , 11 —4 —4 —1 , , ,/- 5 , , , tg? 5 _ o f +c ■ 2J ¡ T l i T T I = ln ln 17 ^ 7 1+ c = ln 1 1+í = ln 14 182 ~ dx cosx + 2senx + 3 Desarrollo

380

f 1 1 + tg.-.dx

J 1-tgx

Desarrollo dt j Sea tg x = t => dx = i + r

-±.% É L =_in(í_i) (í_i) +Ii +Iin(í n(í22+l) +c f i t a ñ * . J 1-í 1-í 1+/2 Jf 1-/ Jf 1 I ± ++í" +íí2 " 2

J 1-tgx

j

=- ln|tgx-1 -11+— ln|tg2x+1¡+c=-2 In|see2x| 2x|-In|tgx-1 -11+c 2

\

154


1381

/

dx 1+ 3cos 2 x

155

Integral Indef inida 1384

dx

xcos x í sen2 x - 5sen xcos x

Desarrollo f

J 1382

f see ' xdx see2 x + 3

dx 1+3cos2 x 1+3cos2 x

Al igual que los casos anteriores.

sec2 x dx 1 tg x f sec2 x tg2 x tg2 x + 4 ~ 2 drag(~^T) +(

J

Desarrollo

J

dx I* J sen2jtsen2 x —5sseen x enn xxcosji co s x-

¡ 3sen2 x + 5cos2 x 5cos2 x

xd x f sec2 sec xd J tg2x-5tgx

ff

sec 2 xd x

J ,

-(-)2

_ 5_5 1 tg ^ t j i 1 . tg x — x —55 , = —In |------- i r I +c = —ín | ----- !+c 5 5 tg x tg x tg a — + a

Desarrollo

-

Dividiendo el el numerador y denominador por eo s2 a . dx

f

sec 2 x d x f sec2 a +5

J 3cos2x + 5cos2 J 3tg2 a

1383

5

1V3tgx he

ar°tg

1385

. sen a | -------------- -d x (1-cos a )

J;

dx

/ sen* sen* x + 3sen xco sx- co s2 x s2 x Al igual que el ejercicio ejercicio anterior dividir por e os2

_ _ f sen a dx _ f du _ ___ 1 _ ______ ______ j + c < a) 2u 2 * C ~ 2(1 - ceos

J (1- c o s a )3 ~J m3 ~

a

1386

f ________ dx ________ ____________ ____ ff sec2 xd sec2 xd x ___________ ___ dx J s e n ' x - 3 s e n x c o s x - c o s 2 x t g2 g2 x + 3 t g A - l

J

f

2 * sec' sec ' x d x

„

T

> * v f ■ « *+ !-” _

1 2t gx + 3- V Í3 , l n I — ----------------------------------- 7= +C v 13 2tg x + 3 + Vl3

- ~ 7 ~ 7=

Desarrollo

Sea u = 1- eos x => du = sen x dx

Desarrollo

r

2 2

sec2 xd x

l

x+~——

lS

3 VÍ3

t g II+ + ^ + ^ p l+ c

i sen 2a , | --------- «—dx l + sen x

ir

Desarrollo

OSA dx f sen 2xdx _ f 2 se n x. CCOSA si a J 1 + sen 2 a J 1 +sen2

Sea u = l = l + sen2 a => du = 2 sen x. x. eos x dx , ,, f sen2A<¿* f du , , . 2 i, I — = I — = In I u j+c j +c = ln 11+ 11+ sen a | +c J l + sen a J u

1s,)

1387 1387

Eduard o Es pinoza Ram os dx f — C° S2* J; J cos x + x + sen x

157

Integral Indefinida

2 r arctg ", (—« =f ¡="—)1 — j= 1 arctg(----3 t « -=—) f * 1 +c — j= arctg(

Desarrollo

3 z 2 - 2 z + 3 - £ '

S

V2

2V l

eos 2 xdx

Icos4 x + sen4x + 2x sen2x cos2x - 2 sen2x cos2x

13 1390 90

f ________ __________ __ cos 2x __________ __ ^ ff cos 2 xddxx ________ cos22 xd xdxx J (cos2 x+ se n2 x) 2 - 2 s e n 2x co s2 x J 2 -sen 2 2x

1388

f — f —

^2 + | 11 , ,V2+sen2A +c 2^2 2^2 V2 - sen2x

cos xd cos xd x

,r iij^senx + c o sx ^ =¡

J l + sen x sen s x — eos x eos x

Desarrollo

Efectuando la la división de: 1- sen x + eos x entre 1 + sen x - eos x 1- sen x sen x + + eos X eos X -= -l + sen x - eos x eos x 1 + sen x 1 + senx-co sx

sen x -- 6sen x J sen sen x + + 5

Desarrollo I*_______cos xd I*_______cos xd x ______ f

J

sen 2x - 6s en en x + 9 - 4

J

_

1,1 i sen x sen x - 3 - 2 , +c ( s e n x - 3 ) 2 - 4 ~ 4 n ' se se n j c - 3 + 2 cos xd x

-

sen x sen x -1

4

2 dz 1+ z2 1+ Z’

1 , sen-v-5 , 1 , , 5- s e n x , 7 ln I --------- 1+c = —In ----------- +c 4

1389

f -----------------i 0 f 1-senx+cosx dx = f(-1, + ------------------2 ------------------- )dx )dx = -x + 2 I J 1+ senx-cosx J 1+senx-cosx J

1+ Z"

= —x + 4 f----■ -~— ------—---------------------- = -x + 2 í - ^ 1 ----- j -~— ------- 7 = - x + 4 í --------- ^ J 1+ z + 2z - l + z " J 1+ z " + 2z -l + z" Jz" + z

1-senx

dx

X

J x)(3 - sen x) sen x) l a(2- -- sen x)(3

tg ±— \+c , = -x + 2 í ( - ---- — )dz — )dz = = -x + 21n |—— |+c = -x + 21n | ---- 2 x , J z z +1 z+ \

Desarrollo

lg2 lg 2

Sea z = sen x de donde se tiene: 1—

------------ ________ í________ = A (2 - sen x)(3 x)(3 - sen x) sen x) 2 - z

B 3-z

4.10. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBOLICAS.-

- z) + B(2 B(2 - z) => 1 = -(A -(A + B) + 3A + 2B, de dond dondee se tien tiene: e:

A - B = 0 3A + 2B = 1

La integración de las funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las funciones trigonométricas. Se debe tener presente las

=> A = 1, B = -1

fórmulas siguientes:

2 í ---------- ----------- —-----------= f( ------í------------- \ j 2 -senx 3-senx

J (2-senx)(3-senx)

-

f

J

1 + z2

2z

1+ z 2

dz 2 dz f 1 + z2

J

2z

1+ z 2

(T)

cosh 2 x - s e n h 2 x = 1

( 3)

senh 2 x= *(cosh( 2x )- l)

cosh" x = —(cosh( 2x) + l)

(T)

senhx.cosh senhx.coshxx = -^se -^senh nh(( 2x)

158 158

Eduardo Espinoza Ramo s Hallar las integrales.

1391

senh3 xd x í senh3 xd

159 159

Integ ral Ind efinida | senh2x.cos senh2x.cosh2x, h2x,dx dx =

= i[J(^(cosh(4x) + l)-l]dx l)-l]dx

Desarrollo

J s e n h 3 x d x ~ J ~ J s e n h 2 x.senh xd x.senh xd x = J(cosh' x-l)senh xd x

= í (cosh (cosh2 x.senh x - senh x) senh x) dx = C0-C0--

(cosh(2x) - 1)^ (cosh(2x) + \)dx =

1395

- cosh x cosh x + c

I

dx senh x.cosh2 sh2 x

(cosh2(2x) - 1 )dx )dx

cosh(4x) 1, , senh 4x x —— ¿— )dx = -------------- + c 2 2 32 8

Desarrollo

f _____ sec h dx = dx = í 1 + tgh ... - dx = dx = í (ese (ese hx + hx + tgh x.sec hx)dx _____ — ------------- = f sec senhx J senhx J

J senh x. cosh 2 x J 1392

cosh4 x dx J cosh4 x

x x = In Itgh (-) I+ sec hx + c = ln | tgh(—) tg h(—) | + ---- — + c 2 2 coshx

Desarrollo

l)]2dx = ^ J (cosh 2( 2x) + 2 cosh(2x) + Y)dx J cosh 4 x d x = J [-^(cosh(2x) + l)]2dx

1396

1------------- hC

1393

1397

tgh3 xd x 1tgh3 xd

J

Desarrollo

r , , i , * tg h 2 x = J (sec h -. tgh -. tgh x + tgh x)d tgh x)d x = ln | cosh cosh x | + —- — + c

senh3x.cosh x senh3x.cosh x d x = SCn^ X + + c

1398 Desarrollo

2c tgh 2x + c — = 4 í e s e h22 xd x = —2c tgh

J tgh3 xd tgh3 xd x = J tgh2 x. tgh xdx = J (s ec /)2x /)2x +1) tgh x dx

senh3x.cosh xd senh3x.cosh xd x

senh2x.cosh2 x d x

Desarrollo

J senh2x.cosh2x J senh22x

Desarrollo

1394

1

í ____-------- ____---------------- = f —

- (cosh(4 x) +1 )dx +1 )dx + senh(2x) + x] + c senh(4x) 3x senh(2x) -------------i------------------i-----32 8 4

dx >sh2 >sh2 x senh2 x.cosh2x

l e tgh-*xdx tgh-*xdx Desarrollo

160 160

Eduardo Espinoza Ramo s


J e tgh 4 x d x = J (csc/z2x (csc/z2x + l)ctg h2 x h2 x d x = J (ese/i2x.c (ese/i2x.c tgh2 x +ese/ z2x + l)dx

161 161

= - |rsenhx.coshx + i(co sh 2x + l)] l)]í/ í/xx = J

ctgh’x - c tgh x tgh x + + x x + + c 3

1399

1402

í

dx senh 2x + cosh 2 x

I

1400

I f

J

senh xdx _ j* senh xdx

see h2xdx = arctg(tgh x) + c JJ tgh x + 1

¡ 4

J

_ 1 j*

2senh xdx

]y 2cosh2x +1 ^2 J yj(y¡2coshx)2 + 1 J ]2

: —\= ln \= ln | \¡2 cosh \¡2 cosh x + V2 cosh cosh ' x + 1 +e v2

dx 2senhx + 3coshx

ln | \Í2 cosh \Í2 cosh x + Vcosh 2x | +c

Desarrollo dx _ 2senhx + 3coshx

dx

j*

_

f

J 2ex -2e ~x- + -----------3ex+3e~x 3ex+3e~x J

2 dx _ 2 f 5ex +e~x J 5e2 x+ \

4.11. EMPLEO DE SUSTITUCION TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS PARA EL CALCULO DE INTEQRALES DE LA FORMA.-

2 f Sex 2 , r- Xs = - p — r— r— —dx = —¡=arctg(V ¡=arctg(V5e 5e ) + c V5 J 5e +1 75 1401

senh2x x ----------------- hC

senh xdx \j cosh 2x

''/cosh 2x

f

2

Desarrollo Desarrollo

J senh" senh x + cosh“ cosh x

senh2x

2

R(x, \ la x2 +bx + c)dx

Donde R es una función racional, transformando el trinomio de segundo grado

dx tghx - 1

ax~ +bx + c , en una suma o resta de cuadrados, reducimos la integral (1) o uno de los integrales de las formas siguientes:

Desarrollo

© J*(z,Vm —z —z

coshx -dx Jf— tghx - 1 =Jí senh x - cosh x

© senh senh x-c osh x

- ( 1)

) R ( z ,l z 2

)dz

© J / ? (z(z ,V m

+ ; )dz

m2)dz

(senh x +cos h x) , entonces:

f—— —— — = f ----------------------------------------------------------------------------------------------------- C j tghx - 1 J senhx-coshx J

Estas integrales se resuelven valiéndose de las sustituciones: X -dx = dx = -

f cosh(senh x + cosh x) cosh x) dx

(T )

z = m sen t o /. = = m tgh t

( 3)

z = m sec t o z = m cosh t

( 2 ^ z = m tg t o z = m senh t


162 162 Hallar las integrales 1403

163 163

Integra l Indefi nida 1406

2dx I V x2-2 x + 2dx

Desarrollo

3 - 2 x - x 2d x

Desarrollo

J ^ / x 2 - 2 x + 2 d x = J* = J* >/(x — 1) “ +

1 í/ x

3 - 2 x - x 2 = 4 -( x + l)2 x+1 | V 3 - 2 x 2 x - x 2dx = J ^ 2 2 ~ ( x + \ ) 2d 2d x = ^ ( x + \ ) ^ 3 - 2 x - x 2 + 4 arctg ---------- hC

1404

—— - a / a 2 - 2 x

2

14 1407 07

2 + x2dx

Desarrollo jV x 2 - 4 d x = -^[xy¡ -^[xy¡x2 x2 -4 -4 -41n | x + Vx2Vx2- 4 1] =-^Vx2=-^Vx2- 4 -21n | x + 7x 2- 4 |+c

J y¡2 + x 2dx = y¡2 + x 2 + 2 ln | x + ^2 + x 2 \ +c

I

x2

1408

,d x

|

V x2 +

x dx

Desarrollo Desarrollo J V x 2 + x d x = j

Sea x = 3 tg t =» dx = 3sec2 tdt f x 2dx f 9t 9 t g2 g 2 r.3 s e c2 í í / r f o , . I = — . =— = 91 tg" t . s e c t d t , integrand o por partes: partes: J V 9 + X2 J V9 + 9tg 2 t J

9

f tg" f.sec" td t J secí

9r 2

J x 2+x + ^7-^d 7- ^d x = 4

4

f

J(x +i) 2-i-dx JV 2 4

= —((x + —)%/x2 + x - - l n [ x + - + Vx Vx 2 + x]) 2 2 4 2 _ 2 x + 2 ^ x 2 + x - —ln 12x +1 +1 + 2-\/*2 2-\/*2 + * I+c 4 8

= —[tg/.s —[tg/.s ecr -ln |secf + tgr |]+ c f x ' d x I —■■■ J a/9 + x2

2 |+ c

|V x -4 dx

Desarrollo

1405

+ 2 + —l —l n |( x - l ) W * 2 - 2 x + 2

.

. 14099| Vx - 6x - 7 dx = 9 I ---- = —[tg —[tg r.s ec í-ln | sec/ + tg? tg? ||140

Desarrollo

164


165 165

Integr al Indef inida du du = = see2 OdO

u = tg = tg 0

= X ^ 'J x2 —6x —6x —l -81n —l -81n | x - 3 + j x 2 -6 .x —7 —7 | +c

see30 see3 0

dv = dv = see3 O.lgO dO 3

1410

(x„2 +x + \)2dx

J<

í

Desarrollo

J

(3)

¿a 0- dO = te, te, =o tg sec0.- - — see5 0 dO ,3 a0a .tg20 dO see30 see3 .tg2

reemplazando (3), (2) en (1):

= J V 2 +x+l)\j x2 +x+ld x = J*KX J*KX+ + "^ + —]^( x + ~)2 +~^dx j ( x 2 + x + \) 2d x = J

tgfl.see30 tgfl.see3 0

]+ c

16 4 2 Sea x + —= ^ - t g G => dx = ^ - s e c 2OdO 2

2

2

27 [tg 9. se eg (-+ SeC ^~) + ~ln Isee0 + tg0 =— tg0 |] + c 64 2 3 2

x 2 + x + l) 2 dx - J [(jc + —)“ J*( x —)“ + —]^ (x + —)2 + ~d x = -L (2x + l)(8x2 + 8* + 17)V ?+ x + l + In 12x + 1 + 2\íx2+x -f 1 1+c 64 1"° = | [ T t g 20 + | ] J | t g 20 + ^ s e c 2 0 d 0

1411

dx

1( x - l ) J x 2 - 3 x + 2 Desarrollo

— fs ee 20 .— secO. — see2 OdO 4 ) 2 2 9_ 0.tg2 0)d0 - fsee50d fsee50d 0 = — | (see3 (see30 + see3 0.tg20)d0 16.>J 16 J

... (1 )

—se c 0 .t g 0 = d x ' , x - 1 2

integrando por partes I see3 0 dO dO , es decir:

J

1

1

see OdO = —[tg0.see0 +ln | see# + tg0 |]

JS

integrando por partes I see3 0. tg2 9 dO

x2 - 3 x + 2 = ( x - - ) 2 ; see 0 = 2x - 3 2 4

—(2)

sec 0 + \ 2

3 see 0 2 2

166

Eduar do Espinoza Ram os f

dx

___________ d x _______ f ___________ __________ ______ ___ i* i*

d x

(x x2 —3x —3x + 2 + 2 (x —l)\j l)y[x l)y[x 3x+2

» ,

I~ V de

2 sec 0 tg O * sec 0 + l Isee2 0 - 1

_ f

3 2

4

J l + sec 0

h

dx

1414

2) I \ .l - ,x 2)y , y,¡l -+x2

dx

J

rV2sec 2OdO 1 1 rV2sec2OdO V2 J1 (y¡2tg0)2 +1

1 i-----1 V 2x = -j=arc tg(yj 2tg0) + c = -j= a -j= a r c t g ( - j = = ) + c -x 2

_ x - 2 1 -cosfl l + cos 0 ^ ^ y/x-1 +
2

1412

r see 26 d d í dd -I J 2 sen 20 + cos 20 J* 2 tg 20 + l

2 - LT JJ ((xx -_ l ) y j x 2 - 3 x + 2

Cse c OdO

167

Integral I ndefinid a

Desarrollo

3

( x 2 - 2 x + 5)i

= sec2 6 d 0 tg 0 = x => dx = sec2

Desarrollo dx

j" j"

x 2 ~2 x + 5 = ( x - 1 ) 2 +4

2 see 2OdO j ~ ~ F = J ~ — J =j ( x - 2 x +5 ) 2 {{ x -1)2+A)2 -1)2+A)2 (4tg ‘ 0 + 4)2 donde x - l = 2 t g 0

sec2 0 dO

j* j*

_ j* j*

sec20d0

J ( l - x 2)yj 2)yjll + x2 J (l-tg20)y¡\ + tg20 J Cl-tg2ejseç0 fsec 0 d 0 f cos0d cos 0d O _ j* c os os OdO J l - t-tg g 20 0 J cos eos 200-sen - s e n 20 0 J l — - 22sse n 0

J

; dx = 2sec20 d6

_ f 2 s ec2OdO

J

(2sec20)2

= ± 1 [ f J yfí cOsO d 0

V2J 1-- (V(V 2 sese n0n0 )2)2

Ç2sec20 . „ l f

Q

UseCG

J1

i cos0d0 =-sen 0+c 4J 4

=7 I

4.12. 4.12.

INTEGRACION TRASCENDETES.-

DE

+ y[2x‘, 1 ,In I yj\, + x 2-------+c sj\ + x 2 - j l x

2V2

DIVERSAS

FUNCION ES

x - 1

= +c 2x + 5

1413

f

dx

Hallar las integrales.1415

(l + X2)y X2)y /l -x 2

Desarrollo

j" j"(

je 2

+ l)2e2xdx

Des:; rrollo it = (x2+ 1)2 => du du = = 4x(x2+1 4x(x2 +1 )dx )dx Integrando por partes y haciendo

, = e 2xjdx dv

2.v

e => v = ---2


168

J

( a 2 - l ) 2 e2xdx =

(x2 + 1 ) 2 -

J x( x + \)e 2xdx

2

169

Integr al Indefi nida reemplazando en (2)

( 1)

p^x p^x p^x p^x r \)e2xdx = a ( a 2 + 1) ~ -----I a ( a 2 + \)e2xdx = ------_ _ 6 6x + 5) =

p^x p^x

-^-(2

a3

- 3

a

2 + 4

a

-

integrando j x (x 2 +l) e2xdx por partes

> / -> > I i n

reemplazando en (1) se tiene: u = x( x 2 +1) => du = du = (3x~ + 1 )dx haciendo:

f( x 2 +\)2e2xdx

J

e 2x

dv = e2xdx

=> v = ----

= - — ( a 2 + 1 ) 2 — —— ( 2

2

2x = -------- ( a 4 - 2

J *(*2 + \ ) e 2xd x = x ( x 2

j ~~ ~ ~ Y~ Y ~ ~e ~ e2X(ÍX

2

(2) 1416

integrando

!

3a +1 e 2xdx por partes 2

I

2

a

—) +

c

- —) +

2

c

-j a3

+5

a

2 - 4

a +

2

Desarrollo

l , x 3

J2x

= - ( — + 2 3

3

2

J

xe 2xdx 2xdx

xe 2x

e2x

2

4

reemplazando (4) en (3):

F r 1e 2xdx = ?

+ 4

c o s 2 ( 3 a ) c?a

dv = e2xdx

integrando I xe lx dx =

a2

a

2

\ j coso x)a coso s x)a x

du = 3a dx

haciendo

2

3

» + C OS S6A 1 f, 2 Jfa 2 cos cos 2 ^3xdx = fI x 0 ,(1-----O----- )dx ---- )dx = — J (a +

3 a-2 + 1

J

a3-

2

^ e 2 x - - x e 2 x+ x+ - e 2x 2x

(3)

(4)

integrando

Ja2 eo s

f

JA

eos 6xdx) = 2a í/a

U = A 6 a í /a

se tiene: ■ dv =

f 2 - , a 2se n 6a Ta I a eos 6a dx = dx = -------------- I — sen 6 a J a

J

( 1)

6

J3

=

cos( 6 a

a2 6

)¿a

sen 6 a 6

=> v =

a

-H------H------COSÓA COSÓA 18

reemplazando (2) en (1)

í

. sen 6 a 2 „ o , a3 a 2 sen 6 a a a ‘ c o s 3 x d x = -------1------- 1------------------ H-------- C O S Ó A ---------------- + c 6 12 36 432 1 , 3 (a 6

a

,

a

.

sen6A N

+ — sen 6 a + —eos 6 a ----- — -) + c 2

6

sen6x

72

6 sen6x 216

. ( 2)

170

1417

Eduard o Espi noza Ramo s x sen x. sen x. eos eos 2xdx

i

17 1711

Integral Inde finida 3xd = — JI e x ( e o s 2 x - c o s 4 A ) d A s e n aa.. sen sen 3 ex sen sen dxx = J ex a dx =

-

( 1) 1)

Desarrollo u —ex => du = exdx sen x sen x eos eos 2x = ^ [sen ^ [sen 3 a + sen(-x)] = i (sen (sen 3* 3* - sen x) sen x) x sen x. eos 2xdx ~ J x sen u=x

Sea

x( s en en 3 a - sen x)d sen x)d x

sen 2 a dv = dv = eos 2 a dx => v = -

ex sen 2 a dx . , ex sen ex sen 2 aa f C ex sen f , I e eos 2xdx — 2xdx — ----- -------I ------- I

du =dx

=>

dv = (sen3A-sen x) (sen3A-sen x) dx =>

v

= cosa- -

eos 3 a

£ ^ £ + £ l COs 2A - - | ^ C O S 2AdA 2

J 1418

a

sen a . eos x eos x d x = - [ 2

acosa

- — eos 3 a ] - s e n x + £ £Ü £Ü ÍL ÍL ?. ?. + C

3

2

18

1419

2

4

j e x sen a . sen 3xdx

Desarrollo

sen a .sen 3a = (eos 2a - eos eos 4a )

... ( 3 )

ex 2 sen 2 a + eos a 4 sen 4 a + eos 4 a ex sen ex sen a . sen 3 a dx = dx = — (--------- ---------------------- 7Z >+ c

= i [ I V ' * - f e 2' 2' eo s 2 * 1* 1* e2x = —— (2 (2 - s e n 2a - e o s 2x) + c O

l e x eos 4 a dx = — = — ( 4 sen 4 a + eos 4x )

5

reemplazando (3), (2) en (1):

-dx = - | (el x - e2x eos e2x eos 2x)dx

J

...( 2)

5

en forma análoga para:

Desarrollo

J

4 j | e*eos 2xdx = — = — ^ 2 se n 2a + eos 2a ) — = — ( 2 se n 2a + eos 2a) 4

e2x sen2 xd xd x 1e2x sen2

2

4

8

5

8

1420

Ae* eos xd x Desarrollo

17

172 172

Eduar do Es pinoza Ramo s r £X integrando J ex sen ex sen x x d x = ~ ( sen ( sen x x - c o s x )

Integ ral Inde finida = - —+-\n(e x + 2) + -ln(e jr-l jr-l ) + c

... (1)

. f * , u = x e x => du = du = (xex +ex )dx integrando i x e s e n x d x , se tiene: < [dv = sen xdx => v = -cosx J

173

2 6

1422

3

dx

I yje2x +e x +1 Desarrollo

j x e x se n x dx = -x e x cos x + J*e* eos x dx + j x e x eo s xd x

I* ex r = -xe x eos x eos x + + — (cos (cos x + x + sen x + I xe x eos x dx)

i*

dx

J y¡e2x y¡e2x +e x +1

... ( ... ( 2)

1.7

&

2 I xe I xe x eos x dx = dx = xe xe x (sen (sen x + eos x) - ex sen ex sen x

=—ln| 1423

JJ /

1 ,3 4

2ex

Desarrollo . 1+ x , 2 dx u = ln ------ => du = ------1- x 1 —x dv = dv = x x 2dx

Desarrollo 1 f 3 J ((ex + 2

ex-l* **

)d x —— —— - ln(l ln (l + 2ex) H——ln( 1— e x) + c \~é~x 3 1 + 2e 6 ■ 4 J (------------- - ----

| +c = x - ln | ex + ex + 2 + 2\¡e2x +ex + 1 1+c

1 —x

Haciendo

j* dx J (ex x - l) ~ J( ex ++2) 2)(ex-1 2)((eex-1

2

f x 2 l n ^ dx

J

J

f dx J eeL 2x + ef ex — -2 X+

3

2x e* +2 + 2\[e^x + e x +1 +1

6 xe x eos x eos x d x = — [x(sen x + eos x) - sen x] sen x] +c

J1 e 2 x +dxe x - 2

yf, yf, ~2x +e~x + JJ Je +e~x + 1

e~xdx

■J ( e-e- <+<+ - ) 2 + r = - ln | e ^ + —+ \]e 2x +e x + 1 1+c

——(eos x + senx + senx ) - | xe x eos x dx i

1421

_ j* j*

e 'dx

-e x dx

xe x eos xd x = xe xsenx - — (senx - eos x) + xe x eos x -

I

x\¡e x \¡e2x 2x +e ++ex e x ++1{ J e~x\¡e2x

f

2

reemplazando (2), (1) en (a) x

e~xdx

l 1'

1—x

3

x 3 ,1 + x , 2 f , x 1 + x 2 f x 3 ---------- ----- - d x = — = — ln ----- — I ( - x + ---- -)dx 3 3J 1-* 3 J l- x l —j 1- x

+c = i [ x 3 ln | = £ _ i , i |i|i ± £ | + ^ _ + i i n ¡ i - x2 l +c 3

l-x

J

J

3

\-x

| + ln 11 - x 2 |] + <


174 174 1424

J ln2(x ln2(x + Vi Vi

x -2

xln(x +V 1 + *“) dx + x^ V lT

... ( 1 )

integrando

5 j"

x 2dx

í Vl - ( 5 x - 2 )2

... ( 1 )

tomando sen 0 = 5x - 2 => dx = cos^ d0 sen 0 + 2

como como sen9 = 5 x -2

Vl + JC2

ln(jc+Vi+x2)

x d x dv = dv = Vi + x 2

dn=

(sen 0 + - ) 2 ^ d 5 5

dx J y ¡ l - ( 5 x - 2 r

Vl + x 2

v = Vl VT'+ x- 2

= — [(125 J

J -eos 2

V1 - s e n 20

0

(sen * —125 Jf (sen

0+ 4se n0 + 4)d0

20 /i a 1 ,90 sen 20 4cos0) + c + 4 s e n 0 + 4 ) d 0 = — - ( — -------125 2

4

----

= (—arccos(5x-2 (—arccos(5x-2 ) — X+ — X+ J l - ( 5 x - 2 )2 ) 125 2 2

... (2)

V1 + JC2

(2)

reemplazando ( 2) en ( 1).

í

Jln 2(x 2(x +Vl + x2 )dx = xln 2(x + Vl Vl + *2 )- 2 ' J \ + x2 ln(x + yj\ + x 2 ) - 2 x + c

í

x ' d x

cos0 = y [ \ - ( 5 x - 2 ) 2

reemplazando ( 2) en ( 1):

1425

2

arccos(5xx - 2)dx = — arccos(5 arccos(5xx - 2) + ^ I x arccos(5 2 J Vl-(5x-2 )2

=> v = x

[ x \ n ( x + J ^ ) d x = J — í i n{ x + J — í ) _ : J

=> v = —

Vi+*2

: ln(x + Vl + x 2 )x dx

u=

haciendo

dv = xd x

2 ln(x + Vl + x 2 )t¿x

Jl n 2(x + Vl Vl + x2 )dx = x ln 2(x + V l ^ 5" ) - 2 j

J

V l - ( 5 x - 2 )2

Haciendo

u = ln2(x + Vl + x2 ) => du = dv = dx

integrando

5d x

u = arccos(5x arccos(5x - 2) => du = Desarrollo

Haciendo

175 175


x arccos(5x arccos(5x - 2)dx

Desarrollo

, x~ ,, „ 1 9 ar ar cs cs en en ((55 x - 2) x arccos arccos(5x (5x - 2)dx = — arccos(5x arccos(5x - 2) + — ( --------------------2 50 2 5x + 6

1426

í

sen x. senh x dx Desarrollo

x- 25 x" —3) + c V20 jx-


176

f

C —6~X —6~X f 1f v F sen x. senh x senh x dx dx = I sen*. ---- ---- dx = dx = —J (ex s (ex s e n x - e %e.nx)dx

J

-

_ 1 sen .v —eos x —eos x ~2 2 g

( sen sen x- co s

2

x 2í¿c _ (x2 +a2)n

x dx f 2( n-l )(x 2 +a2)"~ +a2)"~l + J 2(n - \)(x2 +a2)n~ +a2)n~l

reemplazando ( 2) en ( 1)

^

2

_

~x ex -e * . 1 e x +e ~x - —(---------- sen x sen x ------------- eos x) eos x) + c

2

177


1 f a2

”

dx

J (x2 + a2

>í

L =

f

dx

J (x 2 + a2 )"

_

x

2n-3

2 a 2 ( n - l ) ( x 2 + a 2)"-1 + 2a2(n-1 2a2(n-1 )

Deducir las fórmulas de reducción de las integrales I*

dx

f

1 ________ ________ x _______

J (x2 + a2)n ~ a2

n * 1 Hallar Hallar

(2n - 2)(*2 + o 2T 1

2«-3

( 2« - 2)a 2

f

/n “

J

(X2

J

"

a 2 J ( x 2 + a2 a2r l

1 , f *2+«2 a 2 U 2 + )"

1(* 2 +a2)"

por partes

J

fl2

*2(lx

■

... ( 1)

a 2 ) (x2 +a2)"

1428 it —x => du = du = dx x d x dv = dv =

(x2 + a 2)"

+

2a2(x2 +a2)

1 C

dx

2a2 J (x2 +a2 )

dx x 3 f _ f 3 ~ J ( x 2 + a 2 Ÿ ~ 4 a 2( 2( x 2 + a 2 )2 )2 + 4 ¿ ) ]

■ f J («2 + ** )"

calcular la integral x 2dx

x

J

, 2 — r + v a g i - ) + c 2a (x +a ) 2a a

dx

/ =_L f ___^ ____

_

dx

f

1

/2 e /3

dx _ 1 fjc 2^ 2 --^ ^2 . + a2 r a2 (x 2 + a2 )" a2 )"

dx

J (x2 +a2)2

dx

J (x2 + a 2T

Desarrollo f

J 2(n - l)(x2 + a 2

— +a2)n~' + 2a2(n- l)( x2 +a2)n~ +a2)n~l (a 2 2a2(n > i - l\)) JJ (x2 +a2)n~

4.13. EMPLEO DE LAS FÓRMULAS DE REDUCCION.

""

a2

2

x - - eos x. senh x) x) + c = —(sen x. —(sen x. cosh cosh x eos x. senh 2

1427

dx

1 f

+ x + 2a(n - l)(;t l)(;t2 + a2

1( x 2 + a 2 Ÿ

x

3 .

4 a 22(( x2 x2 + a 2) 2 )3

x

4a 2 2a 22(( x 2 +a + a 22))

n_J_ f sen„_2 ^ „ - f sen" sen" x d x = _ sen” x. co sx + n_J_ f n n J J

Desarrollo

2(n -l)(jc2 + a 2)'1-1

dx

1

x

2a ¡ ^


178

1429

du = ( n - 1) sen" 2 x c o s x d x v = -c os x

« = sen' sen'!! l x dv = senxdx

179


„ /3, /4 , » = JfI—eosdx7T~x = -(n-l)cos 7T)-eos- + - - -n-- -2 . 2 »Hallar. - sen* (n-1 x

n -1

7 n-

Desarrollo

xdx = -sen"

xeo sx + (n se —-l)i »|Jsen" S n"

x.eos x.eos x d x

I„ =

, c o S, + , „ - W J s , n - , 0 - s e » = ^ ]

=

tg 2 x ) see" 2 x d x f — — - = Jfsen" x d x = J í (1+ tg2

J eos" x

= Jf —eos" x + J f t g 2 x s e c " -2 x d x

J*sen"xdx=-sen"_ -sen"_l x.eosx+( x.eosx+(n-l n-l)J)Jsen"-2 sen"-2xxd x - (n-1)Jsen" xd x

integrando njsen" xdx = -se n "-1 x.eosx x.eosx + (n -l)J se n "~2 x dx

{

K = tgX

n_2,

f „ , sen sen"~ "~‘‘ xco sx n - 1 f /„ = I sen x d x = --------------------H ---------- ----------H--------I sen J n n J

x d x

f sen 3 x.eosx 3 f 4 , 2 7d = I sen xd x = ------------------- I sen xd x J 4 4J

dv = see see

x.lg xd x

4

2

c

2

sen3xeosx 3 3x ------------------- sen xeos x xeos x + + — + c 4 8 8

f

5= JI sen

í

=>

v = —.^n-n- -2-2 v

--------------- I --------

J 4

J

n -2

reemplazando

n-

xd x

ä x + t £x £x . s e c r ~l x _

J eos" x Jf s e c " , * » Jf —eos" x f see" x d x + —-— i see" xdx = —— — + Í n - 2 J ( n - 2)cos x J eos x J n-1 f . . senx — — see" ----------------— + — — n -2 J see" xdx = ----------------— (n-2)eos" (n-2)eos" x J eos eos ~ ) eos x n -2 f d. fI see„ xdx, = ( n - 1senx J (n-Dcos"- — + n-1 j —eos eos -----

sen 4x.eos x 4 / sen 2 x.eos x 2 . -------------------- (------------------ + —I senxdx) 5 5 3 ~1

\i

sen 4x. eos x 4 28 ---------------------- sen x.cosx ----- -eosx + c 5 15 15

d x

--------------

(2)

f see" J

(2) en (1) se tiene:

í| =

, sen 4xcos x 4 f , xdx = ------------------h— sen xd x ------------------ h— I sen 5 5J

( 1 )

p or p a rtert e s J t g 2 xsx s e c " ~ 2 x d x du = sec2 x d x

x fI .tg2 x.sec n-2xdx = ,tgx.secn_l ,tgx.secn_l x.secxdx —

sen3xcosx 3, ----senxcosx 1 ------------------ + _ ( -------------------------------+ --+ _ x ) +

...

------

dx

n - 2 n-


180

j

sen x sen xa íjvh íj vha

r dx

Integra l Indefi nida

181

— —i 2i ^ "n —2 —

= -^ln | x | x 2 - 2 .x+ 2 1-4arctg(x-l) + c

eos" x ( n - l ) c o s " 1 x x « - I " J eos" x 1430

1433

l n = | x ne~xdx = - x ne~x + n J xn~'e~xdx . Hallar I

J

X

Xsdx 2

1

+X + -

Desarrollo In = J x" e Xdx dx , int egrando por partes: partes:

Desarrollo u = xn => du — du — nx"~]dx nx"~]dx

„3,

j [ ( * - l) + V

dv = e~xdx => v = —e x

X* + X H— X H—

2

l n = j x ne ne - xd xd x = - x ne - x + n j x n 'e~xdx

*

X + l { ))dx x } + X H— X H—

2

U - l) l ) 2 . i r _ 2x + l _ ^ + , r -+ 4 J

jc2

+

jc +

4

*

J JC2 +JC + -1 2

i0e~xdx = - x we~x +loJ x9e~xdx = - x ,0e x +10 (- x9e x + 9 j x 9e Xdx) 7io = J x i0e~xdx

( * - ! ) 1 . , ■» „ = ---------- — +c 1 In h r + jcjc + —1 h,—1 arctg( 2 jr + l)... 2 4 22

= -x i0e~ i0e~xx -I 0 x 9e~x e~x +90 + j + j x 9e~xdx = -x ' ° - 1 0 *9-9 0x 8-7 20* 7 + ... ... + C 1434

4.14. 4.14. 1431

INTEGR ACIÓN DE DISTINTAS FUNCIONES. dx 2 x 2 - 4 x +9

í f

I f— f— í —

J 2.x2 - 4x + 9 2 J v2 _ 2j c+ 9 1432

1

I —r ~— dx x2 - 2.X+ 2

f dx f A Bx + C^ . 1 I -----^ -----^------= (— + —5-------------- )dx )dx ; ---- — J x( x +5) J x x +5 jc(j jc(jcc +5) x

= _ L a r c . 8( ^ i ^ ) + í

2 J u _ 1) 2+ 7

Desarrollo

5) Desarrollo

Desarrollo

- 1 f dx -

J

dx

VÍ 4

>/7 >/7

efectuando operaciones y simplificando

x +5


182

+ 5) x 2 1 In x 2 - \n( x2 + 5) 1 = - ( ----------- ----------------- -) + c = —In. — -+ c

se tiene: A = — , B = ~ —, C = ——, D = 0 2 2 2

dx

dx f f A B Cx+£) -------- ^ 7----- = (------ + -------- t + —ó —ó----- )dx J( x + l)(x~ l)(x~ + l) l) J x + \ (x + l)~ x + l

5

1435

I

(x +

183


2

5

\ x2+5

x + 3 ) 2 2 ) 2 ( x

Desarrollo Sea u = x + 2 ; u + 1 = x + 3

+ - j _ - - £ _ ) í£c = ± (l ( l n (x (x +l + l ) ----- ’- - ^ l n U 2 +l)) + c = 24 Jf (— ( x— x4+ l (x+l) x2 +\ 2 x+l 2

=> du = dx

j j = f 2 du 2 = Mr+— — [ — -(x--Jf ---+2r ) — (x +3)2 J u^(u + 1) J («+ 1)

1 U

r — Wu

1 iu l+c i = 21- n, I ------i m+ m+ 11i-------------1 1 +c -— 2 In I-----

U + U + 1

U

W+l

U

U + U + 1

1437

,x+3, 1 1 = 21n ------ --------------------+ --------------------+ r x + 2 x + 2 x +3 1436

1 . , x+l , 1 = —( —(l n ll- 7 = r— r— I — - r ) + c 2 sjx 2 + 1 X+l

u +u

í

dx (x 2 + 2)2 Desarrollo

dx

Í (x + l) 2(x 2 + l) Desarrollo f

dx

_ f A

B

Cx + D

J u+i)2u2+i) u2+i)~J ~J ^ T +u+d2+ +u+d2+ x2 +\ I ( x + l ) 2(x 2 +l)

A

B Cx + D - + -------- r + (x + l )2 x 2 + l X + \

efectuando operaciones y simplificando 1= (A + C)x 3 +(A + B + 2C + D) x2 +( A +C + 2D) x+ A + B + D

resolviendo el sistema

A + C = = 0 A + B + 2C + D = 0 A + C + 2D = 0 = 0 A + B + D = 1

SÍ2

x = \ Í2 t g 0

=> dx = y¡2 see2OdO

f dx i*a/2 sec 2d d d y f l f 2 n j n V2 |*l+cos 20 I — ------ = I ------ —= -— cos Od d = — I ------------------------------------ dO 4 J 4 J 2

J (x +2) J 4(tg20 + l)2

y ¡ 2 sen 0 cosí) \¡2 x xy¡2 = -7rê + ------ ;------) ) + c = - ¿ - ( ar - r ) + —— ) + c 4----- x + 2 8 8 arctg (V2

184

1438

Eduardo Espinoz a Ram os

í

Desarrollo

dx x 4 - 2x 2 +1

I*

dx

185


Desarrollo _ j*

dx

J (x 4- 2x 2 +l) "J (x 2 - l )2 n/

Vx2- 1

f

J

_ 1 r „ 2 x - \ 1 )dx (— -------------------- + (JC2—JC+1 JC+1)3 )3 2 (x2(x2- x + l)3 x 2 - x + l )3 x d x

J

1

see0= e0=x => dx=see0.tg0d0 f dx _ f dx J x 3 - 2 x 2 +\ (x 2

J - 1)2 J(sec2 J(sec20-1)2 0-1)2

J tg40

J tg30 J sen3

dx

(1)

jc+1)3 4(x 2 —x + 1)2 2 J (jc2—

_ Csec8tg8d8

Csec8tg8d8 _ f s ecOdO _ j"eos 20 ^ _ 8

£ 2

f l - s e n 28 dd = J (ese (ese38 -ese 8 )dd )dd sen 38

J

dx integrando i f — f 2 ((x~ x 2 -- X + 1)

J

2 12 3 completando cuadrados se tiene: tiene: x - x +1 = (x - —)“ + — 1

x —

= —[ln | ese8 ese 8 —c —c tg8 \ -ctgé>csc -ctgé>csc 0]-ln | csc 0 - c t g d || +c

1

[ln | ese8 —ct —ct g8 | +c tg 0.csc 0 ]+ r

tg # = — V3 2

73

r dx 2 J (x - x + 1)

^ ; d x =^ - s e c 2 8 d 8

2

1 r

V3 f 2 sec~6 d e _ 73 I* see2 8 dd

dx

J(x2-x+l)3 2 j [u_l)2 +3]3 2J (3^ (3^2 20+3)3 4j22s 22sec60 2 , 1673 f 27 J

4

4

4

64

1673 f l + co s 20 2 27 J

8 sen 48 473, _ 4 73 f ]+c (l + 2 co s 20 +cos‘ 28)dd = 28)dd = —— [0 [0+ sen 20 + —+ 27 27 J


186

3 -4 x , x(3 x(3 + 2Vx) , rfx = ---------- 7=—+ k ( 1 - 2 V x )2 l - 2 v 'j

4>/3r30 sen20cos20 4y¡3 36 ™/4+c°s20 - — + se se n 2 0 + --------------- ]+c = ------ [— + sen 2 0 (------------ )] + c 27 2 4 27 2 4 4 ■ — -[ 30 + se n0 co s0 (3 + 2c os 20)] + c 27

9

9

27

73

6(x -x+ 1)

12(x 12(x - x + 1)

•••(2) ----- T---------- r r •••(2)

1442

1 2 á i t f - x +l + l ?? - ~ 4( 4 ( x 22- x + l) l )2 + 3 S

2x - l

Desarrollo

f ( V I + i )2 )2 . fx+277+ i r 1 2 4 1 1 1 ------ r— í /x /x = ------- — dx = (- T + - r + -r )d x = --------------------* --------------------* --------- — x x 5 x x xVx J J 3 X3 3 2 3 2. v

J

remplazando ( 2 ) en ( 1 ) se tiene: f

( n/I + 1) 1)2 - T —-ax dx dx

J| -

2

2 2 jc ,2 x - l . jc—1 2x-l ... = — -=arctg(—= - ) + — T-------------------------------------------------------------------------------------+ -+

23^3

- Ja! 1441

2\ Í3 Q Q 4>/3 . 2V3 _ = ----- 0 h-------s en 0 co s 0 + -------sen 0 cos 0 cos 6

187


J

¿A V x 2 + X + 1

Desarrollo

2x-\ 2x-\ 6(x 2 - x + l ) I2(x2 - x + 1)2

[-= £ = = xdx x —2 2x-\ 2 2x -l —5-------- — = — ;------- — + — ------- — + zr ¡z aicX icXB(.— ¡r -) +c )3 6(jc2 — jc -Hl ) 2 (x2- x + l)2 l)23^3 3^3\¡3 \¡3 6(x2 J ( xx22~-- xJ + l )3 f

1440

(3-4x) J í (1- 2yfx)2

f = ln | x + —+ V ?+ ?+ ~v ~v -M +c J I,( x + 1,2 3 2 -r+-

2

1443

I — I — = ^ d x JJ v'2 x

Desarrollo

Desarrollo

,2 fJ (13~4* 2 = f ( 3 4 z ,) 2z2 z < f e = - Jf 4z8 - -—— 4z—+ l & = - [J( 2 - + 2 - (1- —- 2 —z)~- ) ¿ z -2 -2 VI VI )2 )2 J ( ll- 2z 2 z )2 )2

=

,

2 o

1 ^

l-2z

-(Z -2z ---- — 3x + 2xy[x l-2 \[x

1

j*^ j*^

Sea z 2 = x => dx = 2z dz

) =

(~3x-2xy[x + 2y[x-\) , _ ------------------------------------------------------ 7 =-rC \-2s[x

1-2 Vx

-------------- ---------------1-------------p== ------------------------p=- + C =

\ —2\¡x 2\¡x

x(3 + 2\[x ) 1-2 Vx

--------------- j= —

1-1 + c

1444

f

4

i

dx = j*l( 2 x) 2 -(2 x)6 ]dx = \Í2x \Í2x ~^y [(2 xf +í

Jx

J(V7+7I)2 Desarrollo Sea

|x = z 6 => dz = 3z 2dz

Ix = zJ => V ? = z 2 :


188

f 3 z 2dz _ 3 r dz

dz, dz,

r

dx

j ( s f x 2 + y f x ) 2 2

1445

í

+ — ,................. = +c

+ C

Z + 1

-

189 4 x - l

j (7 (7?+7x)2 J ( z 2 + z ) 2 J í


yfx +1 +1

2 y¡ 4x 2 - 2 x + \

x +

\

4x- 2

+c

^

2 s ¡ 4 x 2 - 2

2y¡4x2 -

7 x + l

1446

(2x + \)dx s¡(4x2 - 2 x + \ f

2 x —1 = + C= -T = +c x z - 2 x + l 2x + l

d x

í ií^X+yf^-

Desarrollo

Desarrollo

Sea 5-x = z 4 => dx = -4 zi dz \ ¡ 5 - x = z y 7 5 - x = z 2 f

J 4x2-2x

d x

f

+ \ = 4(x -

= -^-sec 2 9

d 6

(2x + l)dx

j yj( 4x2 - 2 x + l)3

—)2 + — ; tgO = 2< * 4 > 4

V5 2

4

;

2x + l = -^ -(tg 0 + 73)

_

f

J

"

3V3

3ser 9

z+1

J

=

4,-1

= ^ ( T ^ x - 1)2 - 4 l n | T ^ x + 1 1+ 1+/t

73

J

sec 0

CO S 0

+ sen 9 + c , efectuando la función trigonoméetrica trigonoméetrica tenemos:

z+1

- z + ln | z + 1 |) + c = - 2 z ~ +4 z-41 n | z + 11 + c

x 2d x

I V (»(»2 - o 3 Desarrollo

= -4= I senQ+ \¡ 3c os Qd 6 =-^¡= =-^¡= Í(sen0 + y¡3co s6)d9 73 J 73 J

"7T

J

= - 2 7 5 - x + 4 \ / 5 - x - 4 1 n 1 7 5 - x + 11+c

1447 -----

dx f z3dz . f z 2dz . f, , *1 . , =====---- = = = - 4 —---- = -4 ------- = - 4 ( z - l + ------ )dz z +z J 75-x +75-x

7 x2-1 1


190 Sea x = sec 0

dx = see 0. tg 0 d0

1 f l -s -s e n0 n0 1 f ll- s e n 0 1f 2 = — I -------- — -------- — d0 = — ----- t— d 9 = — I I (see (see 0-íg0 .sec0 )cí0 2 J 1 - s en en 0 2 J c os os 20 20 2 jV

sec20.sec0.tg0 dO _ f see Q.tgO -d e J V(sec20-1)3 J

= Csj¿ecw = r ,

J

2 = —(fg0-se —(fg0-se c0) + c - — (se c0 -tg0 ) + c = — (■■■; ..... — — — ¡X )+ c 2 2 2 yj l- x* y ]\ - x 4

tfedBm\j«fde

J

tg 9

191 191


J sen

1 1-JC2

0

= Jsec0.csc20í/0 Jsec0.csc20í/0 = Jsec0(l + ctg‘0)¿0

1 1 -jc 2

1 1- x 2

r + C = ------< ------ <

= ~ 2 ' J Z 7 + C = ~ 2 ^ I T 7 7 +C +C = ~ 2 \ 7 7 7 + c

1449

xd x

1V í- 2 jc2 jc2 - x4

Desarrollo

= J(se c0 + sec0.ctg sec0.ctg22 9 ) d 6 = = J (sec0+ C0Sy -) d9 sen 0 x 2 +1)2 l - 2 x 2 - x 4 = 2 - ( x

= In I x I x + J x - l I— I— , f=— + c

j* j*

_ j*

xd x

_ 1 |*

xd x

j y j \ - 2 x 2 - x 4 j j 2 - ( x 2 + l ) 2 2 J 1448

2 x dx _ í ______ ___ ____

1 .x ‘ + l . = —arc —arcsen sen(—= (—= -) + c y¡2 ^ 2 -U 2+l)2 2

xd x

í (l +x2)sjl-x 4

1450

Desarrollo Sea

a:

2

J—

U 2 + l)2

Desarrollo

C°s0 =sen0 ; xd x --------- dO

Sea x = tg 0 => dx = se c' 0 rf0 f (jr + 1)¿ 1)¿//jc _ f (tg 0 + l )se c2 0 ¿ 0 _ 1*(tg 0 + l) sec 20 ^ sec30 (x +1)2 (tg"0 + l)2

J COS0

f

J

x d x (l x2 4 íl + Xx2)\¡ 1 )\¡ l-x — JC4 JC4

_ f

2J

_ ! t g0 + l J sec0 d9

JJ (l + sen 0)V l-sen 20

d9

■iji 2 J l + sen0

2 J

_ f (c ()S 0+ S en 0) í/0 =S en 0_ COS0+C J

x

1

y j x 2 + 1

y jx 2 + 1

jc —1

: + C = —I

\lx2 +\

+ C

v


192

.451

193


dx J ( x2 .x2 + 4x)\J4 4x)\J 4 —x2

f

1f

dx

J (x 2 + 4 x ) V 4 - x 2

1f

dx

dx

4 J x ^ 4 - x 2 4 J (x + 4)y¡ 4-x2

Desarrollo „2

'

+ 4x

f

1 , , \ ¡ 4 - x 2 + 2 . 1 arcsen(--------2(x + l) ) = — ln -------------- ------- = arcsen( x 8^3 x+4 8

-±<±--U 4 x x + 4 _ 1f

dx

dx 1f 4 J ( x + 4 ) \ ] 4 - x 2

dx

J (x2 + 4 x ) \ l 4 - x 2 4J x y ¡ 4 - x 2

(1)

1452

Desarrollo J V x 2 - 9 dx = i( i( x \ / x 2 - 9 - 91n|x + >/x2-9 /x2-9 |+c

integrando I — , ^ . Sea x = - => dx = — = — llí - x j ^ x 2 1 t2 .. .

I Vx - 9 dx

..

dt

f

[*

dx

f

t2

= ^ ^ 9 - U n | x + Vx2 - 9 l+ c

dt

= - l n | ^4

J WH?” J MTjl ~~'

,

J (x + 4 ) y ¡ 4 - x 2 J i j . 1

J Vx - 4 x 2 d x Desarrollo

11

_dt_ f ______ _______ _ r

dx

1453

Sea x + 4 = - => dx = - ^ r

J;(x + 4 ) y ¡ 4 - x 2

f

.. .( 2)

~ 2

7V ~ , 2

integrando I ---------------dx. dx.

*2 — |

_

(1 l - 4^2

-JlT

f

dt

J V-12í3+8r-l

=

((2x ((2x - ~ ) \ ¡ x - x 2 + ~ arcs arcsen en(8 (8xx -1))]

2

2

4

16

= i ( ——-V ——-V x-x 2 + — arcsen(8x - 1 )) + c 4

2^ 3

4

16

= —— ——-V x- x 2 + — arcsen( arcsen(8x - 1 ) + c )) = J L a r c s e n ( ^ ^ ) 1 arcsen( (2 * + 2 ))

2>/3

X+

reemplazando (3), (2) en (1)

4

2>/3

X+

4

16

. .... (3 (3 )

1454

1

dx

xVx2 +X + 1

64

Eduar do Esp inoza Ramos

194 Desarrollo

1

X = t

=>

(je2N+2x+2)>Jx U 2. v + í W . V ++2x+2 2.( + 2 3

—dt

.. .

dx = -r t 2 t 2

dx

f2

= r

=_ r

J l J , 2+t +l j x jx 2+x 2+ x + l Jl

<&

J V í 2+ r + 1

Desarrollo

J J (í + i )2 )2 + |

1

x = -

/

.2 7I —ln 1 |II1 1+ —+ + JC+1 I|+c = -l n |Ií + -1+ Ví‘ Víí~‘2 + f + 1|= — —+ -------------

2

i

2 ,

-

=>

dt

dwx = — —

r

dt

x

. i x + 1. x |+c |+c = ln|----------l+ c

+ 2 + 2 y J x 2 + --------- -----------

, x

= -!„ I

-+2JC+ 2 -^-ln Ijc+1 +Va :2 + 2 jc+ 2 |+ c

..

h

dt

=_ r

Sea

,

x +1

dx

* f

195 195


.

x +2 + 2Vx" + Jc+ 1

í ■ - f A~ = f ----- = - f ] dt ; sea t = sen J x 4444 x ^ \ J i J V í^ í4 í

0 ; dt = eos 0 d 0

J x ' J x 2 + 2 x + 2 d x

Desarrollo J W

Sea

7

+ 2 j c + 2 í/í/j c = j* j* x y j ( x + ] ) 2 + 1 d x

v/1 - t 2 see tí =

z = X +1 => dx = dz z = x + 1

==> j r - z - 1

f

J* x y j x 2 +2 x

+ 2 dx

=J

x y j ( x

+1)2+1 í/í/jc= j*(z - l)Vz2l)V z2- 1 dz

J

2

J

3

f r3dr r3dr _

T sen30.eostíí/tí

J Vw7 J

-— —V z 2+1

2

= (z +1): +1): -~V z2+ l-- ln | z + Vz2+l Vz2+l I+C 3

2

2

- 1 sen 30 d 6

-i

eos 30

2

ln | z + a/z 2 +1 l +c

■J

=cos 0

eos

3 .2

eos 0

=- (1-cos 0 )sentí¿0 )sentí¿0 = -(-co stí + -------,) + c

3

f zVz 2+ 1 ¿ z - Í V z 2+1 í/ í/z = —

J

*

(x2 -----l f + C :------------- yl1-----3*3

+C

196 196 1457

Eduardo Espin oza R amos dx

4

1 -xv :Vli - x

Sea

f

dx

2 z dz 3-3z _ T

1

r (z 3 - l )3

1 - x3 = z2 =$ dx - 2 zd z 3x 2 dx x

4

= - J * * * — flfe = - J z( z ( z 3- 1)~3(z 3 - l ) 3 d z

Desarrollo

~ f X * ~ r — — -ft-ij. 2 Jz3-1J Jz3-1 J (z-l)(z2+ z + l) J z - 1 r + Z+ 1 dx

2 f dz

z

Í J z 2-l

z3-l

_ j* -2 z dz

J x j l - x 3 J y ¡ ( l- x 3) x J z ( 3-3- 3 z2z2)

2 . z - \ . 2 . V l-x 3 - 1 = —ln | ----- 1+c = —In I— .... .... — | +c 3 z +1 3 xJ +1

_ A(z2 + z +1) + B( + B( z2 - z ) + C ( z - l ) ( z - l ) ( z 2 + z + l)

z = (A + B) z2 + ( A - B + C)z + A - C

.

1458

197


A + B = 0 = 0 A - B + C = C = 0 A-C = 0

dx

í f l + JtJt

resolvi endo se tiene: A = ■-, B = - —, C = — 3 3 3

Desarrollo f

dx

f

z

,

f, A ^ Bz + C

J 1¡Í+X3 J z 3 + l ' J : - l z 2 + z + l

(1+ x 3) 3rfx; m = 0, n = 3, 3, /? = —

l f ¿ xl f

'

z-1

3 J Z --11 3 j ; : + z + l

y¡ l + X

m+1 - + p = es un entero, entonces n X- 3 +, 1i =_ 2 3 __ =>.

v3 X

= — ----1--- => Z = n / i + z 3- 1

f ^ — { f~2~~

= ——ln IZ— 1| + — 3

= —— ——ln | z — 1 1+ —ln| z 2 + z + l | — ^ a r c t g —■ —■i ~ + c 3 V3 %/3 6

X '’'’

_i 4 dx = - z 2(z 3- 1 ) 3dz 3 => dx =

además * = (z 3 - l )

6 J z “ + z + l6 J z “ + z + l 3J z +z + l

1459

J

5xdx

Desarrollo

Ít ? <~~~t ~~~t = f I ----- 1 = r( r( -z -z 2( 2( z3 z3 - l ) 3) 3)¿Z j ^/l + x 3 J i . A Z i '

[ 5xdx 5xdx _ 5 j* 2xd 2xdxx J ^ 7

2- \ W

_5

)2 2

2

^

donde z =

Ví+7

198

146«

Eduardo Espinoz a Ra mos

199

Integ ral Indefi nida

J c o s 4x¿x

|*1 |*1 + -y/c,tg x dx Desarrollo

J

sen x

gx esc 2 x) dx _ f (csc2 x + y]ct gx esc

I cos 4 x dx = I (cos2 X f d x = J (~( ~ C° s 2 a )2
~ 2 2 / = - C t g X - - C t g 2 X + C=-CtgX---y/ctg 3X+C -----------

1463

3x 1----------sen 2x 1---------sen 4.v (. (• :----------------------4 32 8 1461

Veos 3x

j Veos 3X

Desarrollo

J

Veos 3X

- jsec x.csc x.csc5 x d x = f (1 + c tg 2 x )2see x. see x. ese xd x

J

1464

= J*(l + 2c tg 2x + c tg 4x) see x.csc x x.csc x dx

J

I csc 55x¿x

Desarrollo

J CSC55xí£c = J(1 + c tg25x)csc35xdx = 5xdx = J esc35x áx + J e tg 25x.cos35x dx ... ( 1 )

= J*(see x.csc x + 2c tg" 2c tg" x .see x.csc x + c tg 4x. see x.csc x)d x.csc x)d x

/<

integrand o I csc 35xdx por partes

f secx cosx cos3x , = (-------------------------------------------------------------------------------------------------+ + 2 ------- — + ---- — )dx J sen x sen' x sen x

9 x.csc* x + c tg J' s(+etgx2cc 2tgx x.csc*

f!

Æ

,

,

X.CSC" x)d x =

a

J sen"x Desarrollo

x )d )d x

= - —eos 5 x + — e o s 5 x + c = — (eos (eos 2 x - 6)Vcos2 x + c 2 12 12

Desarrollo í

sen 3 xd x j*se j*se

f sen^Sfá sen^Sfáxx _ f sen x(l - eos 2 x) dx = [ { se se nx nx (c (c os os x) x) Í _ s m x. x . cJ

f - - £ _ J eos x sen x J eos x. sen x J

J

In Itg x Itg x I I- c H: c - ~ — + c

.„4 .„4

4

J*

200

Eduardo Espin oza R amos integrando I c tg2 5x. esc 35x dx por partes

1466

f‘

u=c tg5x

d u = —5 es c 25xdx

|“"(T

K -x) sen(— -x) sen(— h x)dx 4 Desarrollo

n nn V2 sen( ---- x) = sen —.eos —.eos x —sen x.cos—= — (eos x -s en x) 4 44 2

dv = ese 35x .ctg .c tg 5x dx => v = - CSC— 15 f Ctg5x.CSC„3 5, l 1 f < , 2c 3r , I c tg 5x.csc 5 x dx = ----- ------------------I ------------------ I ese 5 x dx J 15 3J

201


71

71

J e sc sc 55xd x = J*ese 35xdx + 5xdx + J*c tg 2 5x.csc 2 5 xd x

cos5x 20 sen 45x 1465

I

sen(—-x).s en( —+ x)dx x)dx = f cos 2x dx = i-sen = i-sen 2x + c f sen(—-x).s J 4 4 J 2 4 1467

3cos5 x 3 , , 5x. + — ln | tg —- l+c 40 sen 2 5x 40 2

f

i,X

7t. -)dx

J tg (r T }

J t g ( | + ^ )d)d x = j tg 2( | +

sen 2 x , —— —— dx eos x

Desarrollo tg (| + ^)dx =

J (sec2( f + ^ ) - 1 ) tg (f + j ñ d x

= f ( se se c2 c2 ( ^ + ^ ) t g ( í + ^ ) d x - í t g ( ^ + ^ ) d x J 2 4 2 4 J 2 4

Desarrollo

- tg2(—+ —) —) + 21n Icos(—H Icos(—H— )|+ c 5 2 4 2 4

f S en " X , f 2 4 , ¡ * 2 / . 2 , 2 , I -—dx -—dx = Itg'x.sec x d x ~ ~ I tg x (l+ tg“ x)sec x)sec x dx J eos X J J f 2 f 5 tg X tg 5X 2 = J tg“ xse c“1 xdx = I tg x.sec" xdx = 3—+ ■- —- + c

,,

eos 2x 1 (eos 2x -s e n 2x)^ = -------= —(eos 2 2

1 .. 5 x , ctg5x.csc5x ctg5x.csc 35x 1 f <„ , = — ln tg— 2------------------ e--------- - -------I ------- I ese 5xdx 15 3J 10 2 10 f 5 c t 3 , 5 x. x. 3 , , 1 , 3 I ese 5xdx = — ln tg— ----- ctg5x.csc5x-----ctg5x.csc5x ------ctg5x.csc ctg5x.csc 5x + c 40 2 40 20

y¡ 2 .

. .n . y¡2 , 1/2 sen( ----- x).sen(— sen(—+ x) = — (eos (eos x - sen sen x)— (eos (eos x + sen sen x) 4 4 2 2

reemplazando (2), (3) en (1) se tiene:

J

7t

sen(—+ x) = sen—. eos eos x + eos —.sen x = — (eos x + sen x) 4 4 4 2

... (3)

1468

r dx -----------------------J 2senx + 3co sx-5

Desarrollo


202

f

2t 1 - í 2 Se conoce que: que: sen a = ----- — ----- — ; eos x = 1 + t 2 ' ’ 1 + í 2

J

dx eos2x +- 2 senxeosx + 2 sen2x

1

1469

J

s ee 2 xdx _ 2 tg2x + 2 tgx +l

1 f sec 2 xdx 22 JJ 2 x + tg x + _

_ 1 f — sec sec * dx dx = I . i - a r c t g ( ----- — ----- — - ) + c = arctg ( 2 tgx + l) + c 2 j ( ttgggxx+ -'I-)2 )r2 + i 2 i 1 x++-I 2 4 2 2 6

í

senx + 3cosx -5 J 2senx

j*

_ 1 _

x 2d t l ~ = t => d x = 2 1 + 2

f _______ _______ ^

203


2dt 1 + í 2 J 413-3i J12~ Jl„ 1+ í 2 1+ í 2 f

4 /-1

f

_

f _ ____ dí_ 4

= _ _1 arctg(_

dx 2 + 3cos>2 x

dt

J 4r2 — 2r + 1 J Aít J 4(l->f -2—)2 + — _

1471

4

dx senxsen 2x

1

Desarrollo

„„„2 f dx f sen, 2 x„ +. cos x , f, 1 cosx _ , I -------------= ------------- = I ------------------- dx = I (--------- + ---------- )dx J senxcosx J 2 sen2xcosx J 2 cosx 2 sen2x

)+c

1 f ,(secx + ctgx.cscx)dx = ~ ln Isecx 1 ecx + tg x| 1 = —I Is

1

1 cscx + c

Desarrollo

1472

2 + 3eos 2 x ~ 2 se n 2 x + 5cos 2 x

r ______ _______ _ dx ______ _______ _ J (2 + cosx)(3 + cosx)

Desarrollo f j 2

_ f

dx + 3cos2 x

J

dx _ f sec° xdx 2 sen2x + 5cos2x j 2 tg¿x + 5

\Í2 sec" xd xd x 1 f \Í2 sec"

: v f J (V5 tgx )2+5 1470

1

1

dx

i eos 2x + 2 senxcosx + 2 sen 2x

\¡2tgx

1 1 A B Sea z = eos x ; entonces ------------------------ = ---------------- = -------- 1--(2+cosx)(3 (2+cosx)(3 + cosx) cosx) (2+z)(3+ z) 2 + z 3 + z

1

, 2 tgxN

v^)+c

1 = (A + B)z + 3A + 2B de donde se tiene: tiene:

1

1

1

(2 + cosx)(3 cosx)(3 + cosx)

2 + cosx

3- co sx

A + B = 0 , [ 3A + 2B = 1|

A = l, B = -l

Desarrollo f ----------f ------------- ----------- = f —

Dividiendo Dividie ndo entre eos eo s x se tiene:

cosx)(3 + cosx) J (2 + cosx)(3

—

f

J 2 + cosx J 3 + cosx

...a )

204

Eduar do Es pinoz a Ram os

Sea u = sen ax => du = a eos ax dx

, Ç dx 2 arctg(— 2 integrando: — -£-) ----------- = - = arctg( J 2 + cos x V3 V3 ,

f

1

dx

... ( 2) ... (

1 f acosaxdx 1 , ax + \ a[~ cos axdx --------- = _ _ ^ _ _ _ = = . == —In — InnIIssen —In —I enax Vfl2 +sen 2 ax I +c sen2 ax a J \Ja2 +(sen ax)2 J sj a2 + sen a

f

•",3>

1475

reemplazando (3), (2) en (1)

J 1473

-

tg 2

8

f

205


x d x

í eos 23x

Desarrollo

f x d x _ f xsec 23 x d x , integrando por partes y haciendo: J eos 23x J

dx 2 tg2 1tg2 c ^ - w o _____ , = “/? arctg(- 7r ) - — a r c t g ( ^ ) + c (2 +-cosx)( 3 + cos.*) 73 y¡3 y¡2 \Í2

u =x

sec 2 x dx

J 7 tg 2x + 4 tg x +1

du = dx

o j => v = -----të 3* dv = sec = sec 2 3xdx

Desarrollo sec 2 xrfx

f

f

J 7 tg2x + 4+ tgx + l

f x dx _ r xs ec 2 3x dx = - t g 3 x - —— dx + c = - t g x + - l n | c o s 3 x | + c 3 3 3 9 J 3 cos 2 3x

J

sec2 xd x

1476

Sea u = tg x + 2 => du = sec2xdx |* j

sec 2 A g2

j*

sec2 xd x _ f

4tg JC JC-J-1 j yf( tgx + 2 f ^ 3

cosar

J æ2 +sen 2ax f

eos axdx

* V«2 +sen 2 ax

dx

j x sen1 xd x

Desarrollo dw

J Vm2- 3

= ln |m+ |m+ V «2 - 3 I+c = ln | tgx + 2 + -y/t -y/tgg2 x + 4tg x + l |+c

1474

J

J y]( tgx + 2)2 2)2 - 3

J x s e n 2 xd x = J x .1 C°^ ~X dx = dx = Ì J ( x -x - x c o s 2 x) dx

= - [ f x d x - \ x c o s lx d x \ = — — - — í x co c o s 2x££x x££x J 4 2J 2J integrando

J x eos 2 x d x

haciendo:

u = x => du = dx „ , sen 2x dv = cos lxd x => v = --------

por partes

Desarrollo _ j*

eos axdx

J y¡a2 + (se n ax )2

... .. . ( 1 )

206

Edua rdo E spinoza Ram os * .

•*

-

c o s 2x

2 x + -------2 4 1 jceos 2x dx = —sen

... (2)

S ea

reemplazando (2) en (1) x 2 xsen 2 eos 2 2 , JEsen xd x = = -----------------he J

1477

--------------

je

207

Integ ral Inde finida u

= ln(l - ) =>

du =

je

dx JE—1

.3

, X' X' dv = x 2 dx => v = — 3

je

f je2 l n \ J \ - x d x = —( — l n ( l - x ) - — í ------dx) 2 3 3 J jc jc— 1

J x* 2 x* dx

í x e

3

Desarrollo r

Sea « =

x3

______ ______

i

= — lnVl-Jt

3

p

i

I (x 2 + X+ 1H 1H------- )dx 6J —1 jc —1

*

du = 3x 2dx => x 2dx = — = — 3

V du = — e u + c = -e + c fI x 2e i 1dx = . = f e u — dx J J 3 3

jc—11+c = — In V i-j E -- — —— ———ln | jc—

3

1480

18

12 6 6

xarctg x dx,

í J ü x 2

Desarrollo

1478

xe 2xdx 2xdx

J

u = Sea

u = arctg x

Desarrollo je

=> du =

dx 1+ x 2 \l 1+

=> d u - d x

e^x dv = dv = e2xdx => v — ----2x

í xe 2xdx = - e 2x - ~ í e2x e2xdx = - e 2x- — •fe J 4 2 2 j 2 1479

f x a r c t | x x J VÍT 7

J x 2 ln yfí ln yfí — x d x

<±e <±e =

f ^ ^ d x = J 1+ *

= \ll + x 2 arctg x - ln | x + V1 + x2 | +c

Desarrollo J x2 ln Vi -j e

^

i

Jje2 ln(l ln(l - x)dx

1481

í sen2(—).cos(— 2

2

)dx

Desarrollo

arctgx - f - * J V1 + x 2

208


J sen 2(

) c o s ( ~ ) d x = x =

i J (1 - eos x) cos(^f)dx

1484

1 1 f , ,3x ,3x 3x 1 f 5x ,x.. , = — (cos (cos(—) (—) —eosxcosí — eosxcosí — ))dx = ))dx = - s e n -------- I (cosí— ) + cos(—))ax 2J 2 2 2 4J 4 cos(—))ax 2 3

I senh x.cosh xdx

Desarrollo

Sea u = senh x

du = cosh x dx

(senh x) Jse nh x.cosh xdx = j u d u = — + c = -------- — + c 2 2

1 3x 1 5x 1 x. = - sen( sen(— — ) ------ sen( sen(— — ) — sen(-) + c 3 2 10 2 2 2 1482

209


-

dx (sen x + cos x )2 )Sx

1485

1

f senh Vi Vi - * -d x

J VT^

Desarrollo

Desarrollo

,-----d x Sea u = V1 — x => du - - —-, 2 Vi - x

f___*___=íJ (senx + eos x) cosx (sen x (sen x + + eos x))2

dx JJ ssen 2 x+ 2 sen xcos x + cos 2 x

_ If* sec2 x d x _ j* see 2 x d x J t tg g 2 x + 2 t g x + l J (tgx + 1)

1483

=>

0 , _ dx

2du — Vi-*

| ! el^ V ^ . dx = j senh u.(-2 dw) = J senh u du -2

1 tgx + 1

= - 2 cosh u + c = - 2 cos cosh h Vi- * + c

dx (tgx + 1) sen 2 xx en 2

1

Desarrollo f _____ _____ dx _____ _ fcsc 2 x d * _ f e s e 2 x.ctgx^ _____ _ J (tgx + l)sen 2x J 1+ tgx J 1+ ctgx sc -----------------------------x + csc csc x + csc csc xct gx dx - i|-e -----1+ Ctg X

1486

í* senh senh x.cosh cosh x ^ J senh 2 x + cosh 2 x

Desarrollo

Sea u = senh 2 x + cosh 2 x , derivando derivando se tiene: tiene: du = (2 senh x cosh x + 2 cosh x senh x)dx => du = 4 senh x cosh x dx

-

_ 2 f ese2 xd x f(l + ctgx)esc 22 x. ,f - c s rc 2 _ xdx f 2 = — - ---------- + -------- — --------dx -------- dx = ------------- + e s e ' x d x J 1 + ctgx J 1+ ctgx J l + ctgx J

= ln | 1 + ctg x | - ctg x + c

f senhxeoshxdx _ 1 f * = I l n| n|H|+c = i ln | senh 2 x + cosh 2 x |+c 4J u 4 4

J senh2 x + cosh2 x

= iln|cosh 2 x|+c 4

210

1487

Eduar do E spinoza Ramo s f x d x J senh 2 x

1489 Desarrollo

f x d x _ f x c sc h ' x d x J senh 2 x J sea

J 1488

u =x dv = ese h2xdx

s e n h 2 a- =

j* j*

211

Integra l Indefin ida exdx _

e2x - 6ex +13 +i-13 13 I e2x -

Desarrollo

ex exdx exdx 1 e*-3 f f ----------------- = I ---------- -----= —arctg-------—arctg -------- + c J e 2x - 6 e x +l 3 J ( e * - 3 ) 2 + 4 2 2 -

ídu =dx [v = -ctghjc

J ACS ACSC hxdx =

~ x c t g h x

+ J c tghxdx = = ‘x ctgh x + ln lsenh

1490

e2xdx

i (ex + (ex + 1)4 1)4

\_

Desarrollo x +c Sea

dx

J e2x e2x - - 2ex

fe x +l = z4

^ p = z 4 - l

\exdx = \exdx = 4t 4t'dz

i e2xdx = e2xdx = (z 4 -1)4 z3dz -1)4 z3dz

Desarrollo (
e* - l = z => ex = z + l Sea

dz = dz = exdx =>

Z + l

= —■z4 — z 4 + c = —\J(ex + 1)7 1)7 - - $ l ( e x + 1)3 1)3 + c 7 3 1 3

= dx

= ¡ - dx J ee¿x - 2ex ( e¿2xx -2 ex ex JJ(
1491

f—*

r dx J e 2x - 2 e x

r

J

dx (z 2 -i)(z + l)

r dz J (z + l) 2( z - l )

I

J_

l

= í J z + l (z + l )2 Z—1

= --jln | z + l| +— }— + —ln | z 4 2(z + l) 4 '

f 2 Xdx 1-4* —4 —4 X

J

Desarrollo

x f 2 Xdx f 2 Xdx I ------- = I ---------- - ; sea u = 2 J 1 - 4 * J i --(r 2*)2

r 2 ^ = p ^ _ =_ L f * ln 2 j 1 -M

J 1- 4* J l - ( 2*)2

11 1 1492

= - j l n | ^ - l + l |+ | + - L + i l n | ^ - l | + c = - - + — +-]n\ex-2\+c 4 2e 4 4 2ex 4

, du = 2 ln 2 dx

21n 2

J t f - 1). 10~ 2*í¿c Desarrollo

1- u

= _! _ ! _ b i|i| l ± 21 2 1 |+ |+ c 21n 2 1 - 2 *

212

Eduar do E spinoz a Ram os u = x 2 ~ 1 => du = 2xdx Sea ■ . n-2x j K T 2* dv = ,10 dx => i 21n l 0

1494

í (x 2 — 1). 10 2xdx = - ~ — L l 0' 2 jt + - i - fjc. 10~2xdx ~2xdx

J

21nl0

Integral In definida

InlOj

...( 1 )

dx

1

Desarrollo u = arctg = arctg x x dx dv = dv = — x2

Sea

u = x => du =dx , , n -2 x , dv = dv dx => = 10

f arctg x arctg x ,

10"2*

.2

“I — )10-2jr + c 1 + - 4 — + 21n l 0 21n 210 22 ln 310 21nl0

lnlO

21n210

ex +1 dx

Desarrollo Sea

\z 2 =ex + l I exdx = 2 zdz

z 2 - l = ex , 2 zdz dx = — ------;2-l

du du = =

dx l + x1

i* dx dx J x(\ + x 2)

arctg x arctg x | f i_ -)dx x J x \ + x

arctg x arctg x , I, ,, arctg x , , r 7 21 = ------------ t -l -l nx nx — l n | l + A | + c = ------- h l n x - l n v l + A +< x x 2 arctg x arctg x + ln I +c x y j l - x 2

... (2)

reemplazando ( 2) en ( 1), se tiene:

1493

arctg x arctg x

21n l 0

r 2jt ¡ x . 10~2xdx = ~2xdx = - f - 10- 2* + J r : ' 22ln 210 21n l 0 "

-2xdx = J V - 1 )10-2xdx =

213

1495

í

,

1

x arcsen(— )dx

Sea

Desarrollo u = arcsen(—) x dv = x'dx

du du = = -

dx vV x 2 — 1

v=-

í—)dx = — arcsen( I X3arcsen í—)dx

... ( 1 )

integrando I --------- dx por sustitución sustitución J x — 1

j*Ve j*Ve ‘ +1 dx - J — ~ ^ dz = dz = 2J*(1 + — .. )dz \/x2 - 1

= 2(z +-^-ln || - —í-|) + c = 2yjex + 1 + Ih | -^==¿2 — - 1+c 2(z +-^-ln 2 Z + 1 yj ex +1 +1

1

214

Eduar do E spinoza Ram os sec


0 = x => dx = sec 0 tg 0 d 0

j* j* x dx _ j*see 6.seed.tgOd6 _ fsee„440.t g 0 J yjx 2-

1 J

'/see 2 9 -

1

J

tg0 tg0

cos(ln x) dxx = J cos(ln x)d cos(ln x) x)ddx = = J\ e z eos z eos z dz = dz = ez sen ez sen z z + + ez eos ez eos z z - \ e z eos z J* eos z d:d:

_ f

de = Isee e d e

J

= \ e z eos z eos z dz = dz = — (sen z (sen z + eos + eos z) z) + + c = —(sen(ln x) + eos(ln x)) + c

1

= J({\+tg-0 l + íg 20)sec¿ )see 20 6 dé? de == j*\ (sec¿0 (sec¿0 + tgz Osee29)d9 = lg9+ ^ ^ ~ 1497 (x¿+ 2)

3

...( 2)

reemplazando ( 2) en ( 1) 3

J*

J (x

—3x)s en5 xáx Desarrollo

\u = \u = x* x* - 3x dv = dv = sen 5x dx

, 1 , 1 V a2 a2 - 1 2 *4arcsen(—) aresen(—)dx aresen(—)dx = — arcsen(— ) H— . ---------(x + 2) + c x 4 x 4 3

I'"2-

1.4 1 Va - 1 , 2 = —( —(xjc aresen arese n —+ —H----------- (x + 2)) + c 4 xjc 3

1496

215

x 2 —3x 2x-3 3x) sen 5 x 5 x d x = - :------- —eos —eos 5x + eos 5x dx 5

I

x“ -3x eos 5x + 5 5

cos(ln x) cos(ln x) dx

1

DesarroHo

í u = 2x - 3

Sea z = ln x => x = e z => dx = ezdz

Jv = eos5x£?x eos5x£?x

J*Icos(ln x) eos(ln x) dx Icos(ln dx = == jIeez eos ez eos z z dz

dv = dv = cos z cos z dz

du du = = (2x - 3 )dx cos5x

,

o s J , 2 -3x)sen5xax

í (x

du = du = ezdz Iv = sen z sen z

3) eos 5x dx

du du = = 2 dx sen5x

x -3x

= -----------------

2 x - 3 s e n 5 x - —2 f sen5xdx I 25 25 J

c o s 5 xh --------------

x x - 3 x 2 x -3 eos eos 5x + — — sen sen 5x 5x + ----- eos 5x + c 5 25 125 2 2 3 = —(—(- x 2 eos 5x + —sen —sen 5x + 3x eos 5x + — eos 5x — sen 5x) + c 5 5 25 5

ez s e n z - j e z sen zd Jcos(ln x) Jcos(ln x) dx = j e z eos zd eos zd z = ez s sen zd z

1498

I

x arctg(2x + 3 )dx Desarrollo

Eduar do Espinoza Ramo s

216

u = arctg(2x + 3)

dx

du =■

=> dv = dv = a dx

2 a 2 + 6a + O x~ v=-

u = arcsen Sea

5

2

J a a r c t g ( 2 A + 3)d* = ~

arctg(2A

» 3 a H— = — arctg arctg(2A (2A + 3) — ( I dx + I — — ------- - ----- dx) 4 J J 4a + 12a + 10 2

-2

t í ü J Vi— 72

Luego:

í

2

4

8

J A 22 +' ,3 a + —

dx

1499

J arcsenV*dx > Sea

a

Desarrollo

= z 2 => dx = 2z dz

j*arcsen arcsen 7a dx = = 2j* z arcsen z dz

f

1 2

1 2

eos 29)d9 29)d9 0 d8 =-~ =-~ f (1 — J•*

J

arcsen Va

2

2

--

4

1 —arc sen z-^ Vi-z 2 z- —arc

= arcse arcsenn Vx(x — )-----)---------(V (V i-* ) + 2 2

1500

z- zv1- z")/ +Tc

— arcsen z — - (arcsen z- zV1 - z ) dx= 2( —

52 ^ J A 2 + 3 a + —

=Í[(a2-2)arctg(2A+ +^-ln| +6a+5| +5|~ ^ ] + c 2a 2

sen 2 9. eos 9 dO fs e n en 2 9 ^V1- s en

= z‘ arcsen

A* 3 5 jc = :— arctg(2 arctg(2A A + 3 ) - —+ —ln —ln ( a 2 + 3 a + —| - arctg(2A + 3 ) 2 2 4 8 3)

7^ | p 72 arcsen z — I . 2(— dz) 2 2 J -y/i-Z 2

= - (0 - sen sen 9 eos 6 ) 6 ) = —(arcsen

a2 ! f bxdx dx . i 5 f < ■ ««gO x+ S - J + - j — — T + i j / 1 | a 2 + 3 a + — a 2 + 3 a + N <

2

Ví ^ 2

0 => dz = eos 0 d0

a2 , i 1 f 6a + 5 = —-arc —-arctg tg(2 (2A A + 3 ) - - + - — ---- - — — dx 2 4 2 J 4a +12a+10

a2 x 4 f 2 a + 3 1 f = — arctg( arctg(2A 2A + 3 )- —+ —— ---------- — ---------- — d x — I

dz

du =

dv=zdz

z = sen

5

1 (*

z

í* I arcsen \fx dx = J

+ 3) - J* 4 a 2 + 12a + 10

2

217


JW Desarrollo

c

- arcsen( arcsen(zz 2 - — ) - ^ y J l - z ~

+c

218


C A P IT U L O V

Integr al Defin ida

1502

219

(V0+ gf

I

Jo

, donde V0 y g son constantes Desarrollo

Sean f ( t ) = V0 + g t , t , Ar, Ar, =

5.

L A IN T E G R A L D E F I N I D A

5.1.

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO LIMITE LIMITE DE UNA SUMA

& = l +i, A* = -¿

;

n

^ = — n

/ ( í ) = / ( 6 ) »V »V 0 + — «'

- 7-

n-1w-1 I (V0+ g O * = lim V / ( £ , )Ax,. = lilim V (V + g - i ) Jo Ax ô Á—t A x , ^ o JL j n n

DEFINICIÓN.-Si DEFINICIÓN.- Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f de a a b, denotada por: f b f b f ( x ) d x , está Ja

donde x¡ <

(=0

T f ' K T g T 2 gT2 = lun lun > (- 2- + ÍE— i) = l im im(V0r + ^ — > i)

f >h'ST' dada por: I f (x )dx = lim f h / (£i)Ax- , si 3 el límite Ja

1= 0

i=0

—> 0 A m m i Ax ( —>

'

ti

ft

< x M , Ax, = x M - x ¡, i = 0,1,..., 0,1,..., n - 1

1;_ g7 2 (B-lXn)

1503

•b I dx

s

r2

x l dx

j :\

Desarrollo

y a

Desarrollo

r/ . . b -a „ , . . b-a . i(x) = 1, Ax¡ = ------ , g. tomamos de las las siguiente siguiente manera: manera: g¡ = a + i; £i =a + iAx¡, iAx¡, ccomo omo f(x )= l => f (^¡) = 1

I dx = lim J a Ax,->0

.

- lim — --------------V^y + p —--------------- = V^y &x¡—>o n 2 2 0 * 2

Calcular las integrales siguientes, considerándolos como límites de las correspondientes suma integrales: 1501

^2

n —> — >°°

¿ 1. 1/

i=0

f(L ¡)Ax ¡ = lim ———= lim n ——— = b -a Ax,->0 n A r ( —*0 Z u /i i=0

Sean f ( x ) = x 2 , Ax¡ Ax¡ = —

n

n

= -2 + —= a + í'Ax, n

f ( x ) = x ¿ => /( £ ) = (-2 + - ) 2 / ( £ ) = 4 ------ «+n 72

[ *2 *2< <¿x= lilim y /(I , ) Ax¡ = lilim V ( 4 - — + ^ - ) . J _2 n-> n->°° ¿m j n n n i=0 i=0


220

lim( 12 - — n2 1504

f 10 J o o

+ — (W 1)n(2n — ) =12 - 18 18 + 9 = - 6 + 9 = 3

2

«3

6

1505

I

x 3dx

Desarrollo

2*dx

Sea /( x ) = x3 , Ax( Ax(- = ——- = —, £, = a + /Ax, = 1+ — n n n

Desarrollo

Sea / (x) = 2

221

Integr al Defin ida

Como f ( x ) = x 3 => /(!, -) = 0 + — )3 n

10 , 10/ y A x,=— ; £• £• = — n n

[ % 3d x = lim Y / ( ^ J, Ax— >0ia J i=0

10 Como f ( x ) = 2x =* / ( £ ) = 2 »

10

n-1 w-1 10 f 2 " ddxx = lim Y / ( £ • ) Ar Ar, = lim Y 2 " / — I„ Ax— Ax—>°°£¡mmí >°°£¡mmí n—*°°' *°°'■■■ W

J0

' i

10

_

= lim —(1 + 2 " n —>°° n

2.10

------

3.10

,

------

1506

10

10 —

donde r = 2 "

10

1'l l = 0 - 2 10)lim = li l i m ( l - 210)— — ' n'->~ n'->~ 12 '* 12 1 - 2 ” 1 - 2 "

10 2

210 — 1

por L ’HOS PIT AL = (1 - 210 210)) lim — —*■------- = — — ^ „_>» 12 ir> m2 2 " ,-^ln 2 n

w2 ( n - l ) \

Hallar el área del trapecio mixtilíneo, mixtilíneo, limitada por la hipérbola y = y = —, el eje X, x y las dos ordenadas x = a, x = b, (0< a < b)

Desarrollo

10

256 256

= lim(4+24 lim(4+24 — +32.(" ~ 1)l,2,'~ 2 ,'~ 1>+ 62(”r 1)i) = 4<.24t6 4<.24t64+64= 4+64=156 156 n-*~ « n
,,1 0

(n-1).—

+2 " + 2 " +... + 2

10 1 — (2~n 1„ = lim — ( 1 n-»°= n _ 1 - 2 "

19 192 (n- l)n(2n-1) l)n(2n-1)

“ i ! f. f . (4 + - 7 T - + T ' -------- i -------- -----------------2

<=o

'= '= 0

i«

„ 48(w-l 48(w-l)w )w

(1 + ^ + 1 ^ - + ^ - ) n n rt nz 1=0

= lim V

J? J *x,. = -----b ~ a ; q£¡ = a - i ------b~a /(?x, )s = -1 => A x n n como f ( x ) = - =* / (£ •) = - ----- - -----a + í(-----í( ------ ) n n- 1 A = = l im im V / ( £ , ) Ax¡ ) Ax¡ A l , - » 0 Ám 0 Ám J 1=0


222

n- 1 V" 1 .b-a A — lim lim > (------ ---- ) ----.b-a n i=o a + 1 n n-1 A= lim lim y — — -— ,en ,en forma forma análog análogaa el ejerci ejercicio cio 150 1505; 5; se tiene tiene:: A = ln — Ax,->o Á^ an +i (J b- a) a i=0

Integral D efinida

5.2. 5.2.

-

1507

CÁLCULO DE LAS INTEGRAL ES MED IO DE INDEFINIDAS.INDEFINIDAS.-

DEFINIDAS

Io

L ÍMITE

INTEGRAL DEFINIDA DEFINIDA VARIABLE.-

^(x)~

J.

f ( t ) d t es una Ja F' (x ) = f ( x ) p a r a a < x 0 jLmM jLmM

A l- > 0. ¿^

0

1=0

n

15 1508 08

n

1=0

n —1 x x x x = lim —(sen( 0. —) + sen 1 . —+ —+ sen s en 2. —+ ...+ se ...+ se n ------- x) ai, ai , —>0 n

n

n

n

n

= lim —(----- ------ (eos (eos — -eo s (/i- —)—)) )—)) x 2n 2 n Ar(->o n ~ 2 sen — n 2 x x 1 x = li m ----- ----- . lim (eos ------- cos(n — ) —) n — X . n— 2n 2 n sen(— ) 2 sen(—

Sea Sea /= f — ,(b > a> 1). Hall Hallar ar:: Ja InAr Desarrollo a)

/=

b)

I

J a lnx

dx J b ln. x

h dx - J a ln x ln x

di db

di _ da

1509

= 1 - eos x, aplicand aplicandoo L’HOSPITAL , . 1 , « 1— sen a + sen 2a + ... + sen n a = ----------- (eos —-cos(n + —)a) )a) 2 sen —

2

1 In a

1 ln b

F( x )= I \ n t d t , x > 0 Desarrollo

„ a

a)

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

2n

NO TA .-

SUPE RIOR

Ja

como f(t) = sen t => /( £ ,) = sen —

x n-1 «-1^ / (x) = | se nt d t = lim lim y /(£)Aí- = lim lim y^ sen(—) sen(—).— .— In

EL

FÓRMU LA DE NEWTON - LEIBNIZ.LEIBNIZ.Si F' (x ) = f ( x ) se tiene

At¡ = t¡ = —, L = —

CON

POR

Consideremos la función f(t) f(t) continua en el segmento segmento [a,b], [a,b], la función

f ( x ) = I sent dt 'o

f ( x ) =

223

2

2

F( x) = I ln td t => F'(x ) = lnx

— da

b)

— db


22 4

1510

F(x ) =

f yjl +t4 dt J

Integr al Def inida

1513

X

Desarrollo F ( x ) = J sj\ +t4 dt = - j

V T ^ tAdt =>

F'( x) = - V

225

f x SC SCYlt Hallar los puntos extremos de la función: y = I ----- dt en el campo x> 0. J o { Desarrollo f x sent set , , sen se n x , „ dt => y = ------ => y = 0

=J„"

i + X4 X4

para los puntos críticos =» sen x = 0 => x = njt donde n = 1,2,3... ti los 1511 1511

e~' dt

F (x )= I

ju nt os extremos de la fu nción es x = mr, n = 1,2,3...

v X

Desarrollo

Utilizando la fórmula de Newton - Leibniz.-

c x~ r. o 2 rx 2 F( x )= I e~' dt = I e~1dt+ I e~‘ di J x

J x

Jo

F(jc) = —I e~r e~r dt+ I e~r dt entonces: Jo Jo 1512

1= I

Ji.

Hallar las siguientes integrales:

F'(x) = —é

y'1

+ 2x e

_r 4

1514

í

1 dx ) 1 + X

Desarrollo T1 n —

II 1 = ln(l + ;c) ;c) = ln 2 - In 1 = ln 2

J 01+*

eos (t2)dt

lo

X

Desarrollo r> -Jx

í» a

7 = 1 eos(t2)dt= eos (t2)dt=

1515

(• \fx

i eos t2dt+

1 dx

1-2 x 3 Desarrollo

eos (t2)dt -i

X

E í- il

sT sTx

/ = -- I1 x* eos co stt¿dt 2dt ++ I eos t2dt entonces: J a Ja dI = - COS,(— 1—X/ — ).( --- -1) X+ CO COSx(/-----1 —X) dx

x~

X"

2vx

x*

1516

J > dt

x“

f

J - X

_2 _2

= -( —- —) = 8

2

8

Desarrollo

2y[x

di 1-= eos x + —1 cos(, 1—). — = — -= eos dx

i i -i

e'dt = e‘ I I - X

=£>*-

226

1517

Integ ral De finida

_L _L_«)

Sea Sea S„ = —— H— !— r... r... + —!— => j = i ( _ i _ + _ i_ + n +1 n + 2 «+n « 1 1 + -2 1 + n n

í o cos t dt Desarrollo

mi

.. . 1 n->°° n ¿

n —>°° >°°

J n

n -1 n*

2

n -1 n~

n

)Ax, = lim y

- ( - -----—

aí—>oo

/i i

=0

1+

í

-

n

n-l . I .! = u m y _ l = f ‘j L = t o a + x)| = ln 2 » - * - n + i J o 1 + X Io

Desarrollo

1

/

1=0

——)

Sea S„ = — + — n~ n

—

I

i f( x ) d x = li l im y

Valiéndose de las integrales definidas, hallar los límites de las sumas.

lim

1 +

Luego Ax,- = — es la “n” participación en [0.1 ] y f ( x ) = —— ; <¡? = — n n 1+ x

I eos t dt = = sent\ = senx => I eos eo s t dt dt - senx senx Jo lo Jo

1518

227

1= 0

1 ,1

2

n n

n

n -1 ) n

1520

-----

lp +2 p +... + np li m --------------------n— np

Desarrollo Consideremos Consideremos:: Ax, Ax, = ^ y f(x) = x n

_ _ lp +2p +... + np 1 ,l p +2P +...+np s Sea S„ = --------------------- = —(----------------------) n p+1

Luego el límite es igual a la integral - 1

I / (x)dx

Jo

s n =

n

n

n

nP

n

n

j

" -I

: / (x)dx = = li lim V f( £¡) áXi donde £ = - como f(x) = x => => /(£,■) /(£,■) = Jn M «

Luego: Ax, = —, que es las “n” particiones partici ones en [0,1] y f ( x ) = x p

f 1 1

-------Luego: lim Sn = íI f( /(x)d x ) d x= x = I[ x; pdx = ------ 1 = --------- 0 = -----/? + llo p + 1 p +1 Jo Jo

u

n

i=0

p+ i ■ i

Jn Û

1519

■i-4 -r-i 1 (n-l)n 1 /(x)d* = lim lim \ /(£, )Ax,. = lim lim > — = lim lim — — = n n->~ 2« n— Z-W Z-W n->~ n->~ ¿

,=0

<=0

,• (,------1 h-------1 1--------1 K..H-------1 )^ lim --------»->“ n + 1 n + 2 n +3 +3 «+n

Desarrollo

Calcular las integrales: i2

1521

J

(x2 -2 x + 3 )dx

Desarrollo

, p +1

-

228

Eduardo Espino za Ram os 2

3

i 2

( x2 x2 - 2 x + 3)dx = (—— x 2 + 3x)

1i

3

= (—- 4 + 6) - ( —-1 + 3) 3) = — - —= — h 32333

229

Integ ral Defin ida

1526

3 dx

j -:2

X2 - l

Desarrollo

1522

f

8

I (V2 x + \¡x)dx Jo

3—

1 .2 *2 - 1

Desarrollo

= —ln2 ~ —ln3 = —ln — 2 2 2 3

(— - j 2x 2x + — y[x) f ( y f ^ + \ f x ) d x = (— Jo 3 4

1527 1523

| U- ^ - d y

J,

Desarrollo

f 41+ 41+ J y f 4 l 4 1 — ^ d y ^ \ + —y-)dy J iy Ji / -

1

y

J

2 14 1 -5 7 = -(-j + l) + (l(l + 2) = — + 3= — ^ y 11 4 4 4

2J

6

2 2

J \ l x - 2 dx

= [—ln(x 2 +3x + 2 ) - —ln | -

2

2 2 _ „ i „ 16 f yf x—2d x = —( x - 2 ) 2\ = - ( 6 - 2)2 - 0 J 2 3 3 | 2 3'

I

3

J

3 1 3 X+9 ~9 '* 1 =[—ln(x2 + 3x + 2) — ln |------ — 2 31 2 ¿ x + - + -o

Desarrollo

1525

dx 3 f1 .2 2 o x2 + 3x + 2

f 1 * dx _ 1 f 1 2x + 3 ^ o x 2 + 3x + 2 o x~ + 3x + 2

--------- j= )\

y2

r

xd x

I o 'o x 2 + 3x + 2 J

y

Desarrollo

1524

= —ln |——- 11 3= —ln|-^—Í-I ln|-^—Í-I-— -—ln|-^— ln|-^— 2 1 x + 1 'I _2 2 -3 + 1 2 -2 + 1

1528 Desarrollo

f " ^ = = i v s í 3 j r 3= í - í “ = _ i Jo \¡25 + 3x 3 lo 3 3 3

x +o

= (—ln 6 - —ln —) - (—ln (—ln 2 - —ln —) = 2 ln 3 - 2 ln 2 = 2 ln -^ -^ = ^( ^( 7 ) 2 2 3 2 2 2 2 4

dx

V25 + 3x

2

1 y 2dy I -1 y +2 Desarrollo V - f — d y = í 1 ( y - 2 + ^ - - ) d y = [ ( ^ — 2 y + 4 \n \n (y (y + 2 ) Í J -i ' l- i y + 2 2

J _i y + 2

230


231

Integr al Defi nida = (—(—- 2 + 41n 3)- (—+ (—+ 2 + 41nl) 41nl) = 41 n3 -4

2

1529

2

1531

dx

1 z3dz

oz8+1

Jo z

Desarrollo

í o x 2 + 4jc ++55

f '_ 4 z ^ = l 4

Desarrollo

Joz8+l Jo(z4)2+l 4 J o (z ) +1

dx dx 1 f f | —;----------- = I --------- ---- = arctg(x + 2)1 2)1 = arctg 3 - arctg 2 = arctg — J o * + 4 *+ *+ 5 J o ( j f + 2) +1 lo 7

NOTA: Sea z = arctg 3 y = arctg

z.

3 -2 1+ 6

K 1532

I 1see 2 a d a 1 1 '

6

1 7

Desarrollo

K 4

1

tg(z-y ) = y =* z - y = arctg(-~)

6

K t f t sec" a d a = tga\ = tg f — — tg — = i1 — ■=1 IZI 4 V3 6

75

arctg 3 - arctg 2 = arctg y

2

1533

2

í

I4

6

dx J l - x 2

0

1530

lo

n n 1 ,1 ■ —arctg —arctg 1 — arctg O= — 4 4 16

tg z = 3

2 => tg y = 2

tgz-tgy tg(z-y) = 1+ tg tg y tg y

4 |'

Desarrollo

dx

J3 x 2 -33xx + 2

V2 2

Desarrollo 0

3

I = arcienxl

sfi.

r-

v2 7T 2 = arcsen-----arcsenU = — = —

\ll-x2

1

x ~ z — z

( x ----Y ---- Y ---2 4

dx

I 4

X ------- + 2 2

x - 2 ! 4 2 1 = In | ------ Il = In In — ln —= ln 2 - ln3 + ln2 = ln4 ln4 - ln3 = ln ln x —l 13 3 2

>3.5

1534 2

dx \¡5 + 4x

Desarrollo

f

^

J 2 j5 +4 x - x 2

= f - ----- - = arcseni— J J2 ^ 9 - ( x -2 ) 2

= arcsen arcsen - - arcsen arcsen 0 = -

3 >2 26

232

1535


J.

1 y 2 jay

1539

y6+4

233

Integr al Defin ida sen( ln ln x) , — -------- dx

í;

Desarrollo

Desarrollo v 2dv r 1 y2dy _ i f 1 3 v2 1 y2dy V>’6+ 4 3 *'í V(y 3 ) 2 + 4 0 V>’

1 - l n | y 3 + > / y6 y6 + 4 3

f "í ew(ln cos(ln x)| = -(c os( lne )—cos(lnl)) )—cos(lnl)) = -(cosl-co sO) = 11- cosí ew(lnX X1 dx = - cos(ln Ji x 11

= - l n | l + V5 ||- i l n 2 = - l n | Ü ^ 3 ' '3 3 2

1536

4

í,

1540

I 4 tgxdx J -*

e o s2 a Jia

Desarrollo n_ £ | % gx gx dx = - ln(cos x)| 4n = -(ln(cos -(ln(cos

Desarrollo ■eos2a , « senla 4 _ n 1 í 4eos 2 a d. a = \ f í l—  ---------d a = (—+ ---------- ) 2 2 4 o ~ ”8 + 4 Jo Jo

1537

- ln(cos(ln(cos(- -) ))

= - ln(cos —) - ln(cos —)) = 0 4 4

sen \¡ídi¡t

í

1541

Desarrollo

f

3ctg4\f/ d\¡/ 6

3

.

1 2 , ,

i

,

I 2 setv'xj/ = !I (1-c os- \f/)sen\i/d\j/ = dì// = = (-cosi/m --------- —)r —)r sen y/di//Jo Ji

I“ 3 I" f 3 ctg4y/d\j/= í 4 (eos2 y /- l) c tg 2\ i / d y f = - ^ ^ y K+(c tgi i/+ y/) \ ^ =

= (0 - 0)- (- l + I) = | 3

1538

í;

dx

1542 Desarrollo

í;

dx

xlnx

6

3

xln x

= InOn InOn x)

\e

= ln(ln e2) - ln(ln 3) = ln( ----- ) ln 3

Desarrollo

C OS OS ' W I 2

6

«

r 1 1 exdx j o l + e2* Desarrollo f 1 , e - — * 1 ------ — = arcíge^, 1 ’ = a rcfg Jol+e lo 4

6

8 K

23 4

1543


JI o cosh x dx

235

Integra l Defin ida

(T )

Si “f” es continua continua en <-°°,b <-°°,b]] y si lim í f( x ) d x

DEF INICIÓ N.-

existe, entonces definimos: definimos:

Desarrollo f cosh d x — \r ' — e +eI ' dx = e_ * - e " \ ' J o J o o 2 1544

■In 3

J„

1 2

e - ee- '

1

b

— ) ------- = - ( e —

2

í

e

rb

f{ x )d x = lim I f ( x ) d x a->-°°Ja

,

dx

(T )

DEF INICIÓ N.-

Si “f ’ es continua continua en

<-°o,+oo>

entonces:

' In 2 CO Sh2 X

/•+00

Desarrollo f '"3 '"3 dx

J in2 ^ 1545

f in3 in3

J

|l"3

Win 3)- .gh .ghdn2), BJ „, “Cb d X ' H „3=Win

mO f ( x ) d x = lim J f( x ) d x + lim í f (x ) d x />-> />->+“ J Q

NO TA .- Estas integrales son conv ergente s. Cuando existen estos límites en caso contrario se dice que es divergente.

I[ senh se nh2 nh 2jx d x

J

(? )

DEF INICIÓ N.-

Desarrollo

Si “f” es continua continua en /.ft (•&-£ / (x)dx = lim = lim f (x ) d x

°Ja

J u

f sen h2xd x = ^ ^ f (g2t (g2t -

J«

4J o

e~2* )dx = = - (- 2.y + — ■ e 2 + e~2* )dx

4

2

2 4

lo

4

‘

|o (? )

DEFINICI DEFINICIÓN.ÓN.-Si Si

“f ’

es

Sea “f ’ es continua continua en [a,+°° [a,+°°>, >, existe, entonces definimos: definimos:

• •

» <2

f (x)d.x = = lim I f (x ) d x b—¥+o +oo I

siempre que este

en

/ ( x ) d x , siempre

definimos que este

e ~ * ° j a +e

límite exista.

INTEGRALES IMPROPIAS . DEF INICIÓ N.-

continua

f (x ) d x = lim lim

2

J a

(T )

definimos definimos

límite exista.

)| *

Jt 1 1^ 1 : (- —+ — senh 2x)\ = —cosh 2 k - —

[a,b> [a,b>

b ijm f f (x ) d x , b — >+ooJ a

(ó )

DEF INICIÓ N.-

Si “f” es una función funciónen en [a,b] exce >i.) i.) en x = c donde a < c < b, entonces:

*b *b i»c-£ rb f (x ) d x = = lim I f( x) dx +Y \m I f ( x ) d x , siempre que existan Ja £_>0J £_>0J a £_>0Jc+£ estos límites.

236

Eduard o E spinoza Ram os Calcular las siguientes integrales impropias (o determinar su convergencia).

... 1 ¡l , £ + lim -------1 1I 3 = - lim( 1 ---------1 ) - lim A(---------------) 1 = lim -------lim( ------(---------------)

dx

1546

237

Integ ral Defi nida

£->o

f Joo v *

x-l|o x-l|o £— >o x—1 x—1li+£

£-*o 1—e—1 0-1

1

Desarrollo

= -(-oo) -1 — + +oo +oo = ° ° . Luego: Luego:

2

í —f= = üm f = lim 2Vx| = lim( 2 - 2 Ve) = Jo vx £ ~ * ° J e Vx £~>0 le f_>0

^ dx j ---------—, ---------—, es divergente divergente

Jo (x -l) 2

2 1550

f 2 2 dx

1547

£— >o

J-i x

dx rJo Vi-*2 *

Desarrollo Desarrollo

c2dx_r°dx [ 2 dx dx r e dx dx h I — - limi — + lim — J X J () X e— J - 1 x »0J _J x E - + Ü X

=

f 2 f 2 dx lim In x| £->0 |_J

+

f‘

dX.... dX.... = lim f E— jÉ?L = = limarc sen xj ' *

j oVl-x2 oVl-x2

, r £i : lim ln jcj £->0 £->0 ¡¿

£-*0

por tant o la integral es diverge nte.

1548

yfl-7

£^°

lo

n = lim (arcsen(l - e ) - arcsen arcsen(O)) (O)) = arcsen 1= — £-»o 2

= lim[ln(-e )-ln(-l)] + lim (ln2 -lne ) => 3

£->0

£^°Jo

1551

dx

r

dx x

Desarrollo

i

Desarrollo f

f *

, f dx 1 I1 i £i-p j ¿~ P I 1 — = hm — = l im -----------= lim ------ = lim(— ---- - — ) = — J o x p £->0 J e X p £-* 0 (l -p )x p~l p~l \e \e *->° l-p|£ £->0 ->0 1-/7 1- /7 1 - p 1 - j si p <

1549

1552 Desarrollo

/iv

J r ^ = J o ( * - 1)

/jv

Jo (x- l)

j..

J l ( X - l )2

a i — e —

í — = li m ln x |

— = lim X />-»“ />-»“ J i

X

11

=

lim (In b - ln 1)

6 -* “ 1

rdx Luego la integral I — es divergente. divergente. Ji x

1 es divergente, y si p > 1 es convergente.

Jo( x - l Ÿ 3

J]

j

»3

dx - lim f 1 6 — — y + lim f J o ( X - l )2 e->oJ,+ e->oJ,+e (X -l )2

r

dx ~~2

Desarrollo

=

lim ln b = ln(°°) =

í> -»~

21+e - l

238

Edua rdo E spino za Ram os

x +2 1¡= ; lim —¡=a ar ct g( —

r

a

Desarrollo

f •— = lim f —xdxp = lim —¿~p — —/?I|Iifc=1-/7l i m( ,b—1—l~pl~- pp —1 ) 1=- 0^p - - p-i -- 1- - -i - - - — s¡r»l Ji x p 1 —/? r dx Luego: I — es conver gente si p > J¡i x yp

1554

239

Integra l Defini da

5

x +2 I 1 —= arctg(—=^) + lim —= \a

V5

h~>°° h~>°° V 5

V5

I 2

\= arctg(O)) : lim ( ~ s arct arctg( g(O) O)— -r- ar ct g (^ ¿) + lim ( ~ arctg( arctg(-^= -^=~~ ) — ) — \= arctg(O))

- S

S

S

b- ~ s

s

s

1 arctg(-oo)x+ — 1= arctg(oo) -=■ + —=

1 divergente si p < 1

S

S

K 2 - 7=rarctg(oo) = — = —j= . Luego la integral integral es convergente. convergente. n/5 n/5 S

dx > í >1+ x 2 Desarrollo

f - ^ = f

J -o J -oo 1+ ^

A

J-oo l + X

t f A

Jo l +

, It a f 0- V » f J( 1+ x 1+1 +X X Jo J-

X

dx

1556

por lo tanto la integra l es divergente

K

= arctg (~) + arctg(oo arctg(oo)) = —+ — = n . Luego la integral es convergente.

L

dx x2 + 4 x + 9

Desarrollo r

dx

r

dx

r

Desarrollo

/» I .b P ibO senxdx=lim j se n x d x = lim -co sx = lim lim (eos (eos b - e o s 0). Jo b^°°Ja b~,°° 10 b^°°

= lira (arctg 0- arcíg arcíg a) + a) + lim (arctg (arctg b - arete 0)

1555

sen x dx

MOO

= limarctg x| + limarctg x| |a |0

71

L o

2

dx ___ + r ~ ____ ____ dx_

J-«, x 2 + 4x + 9 J-~ (x + 2)2+ 5 J—(x +2)2 ( x+2)2+5+J + 2 r ++5+J5 J--2 (x+2)

+5

1557

’2 dx

i xlnx

Desarrollo

í 2 dx = lim f 2 2 — = lim ln (ln x) |" Jo xl nx c->oJ£ c->oJ£ xl nx ee->o |£ ln = l im[ln(ln —) —) - ln(ln e)] = lim ln(— —) = +°° e-> 0

2

Luego la integral es divergente.

£-»0 ln£

2


240

i

1558

2

dx

1561

L o x ln 2 x

241

I 2 c tg xd x

Jo

Desarrollo

Desarrollo

i In e —ln — í dx f 2 2 ----dx — = l,.im -- —1 \~2 = - h m ,(—1 -— -— 1 ,) = h m --------- — 2 ----- —= lim --------- — £_>0 Jo xln ~ x £-*°Je x\ n x £_>0 ln jc |£ £->0 ' 2 2 ]_ ]_ ln e + ln 2 e 1 1 1 1 = lim ------------= lim — ---- = - lim ------------ = - lim £->o £-»o 1 1 £->o 1 ln l —ln 2 ln 2 1 1 ln e .ln l n -.— ln ln p

Integ ral Def inida

n I2 r2 7Ü |2 lim(ln(sen— I c \ g x d x = \ \ m I c tgx dx = lim !n(senx)| = lim(ln(sen—)-ln )-ln (se ne ))

i

£_>0Je

Jo

£— £— >0

= lim (lnl-lnO ) = 0 -l n 0

£->0

3. Luego la integr integral al es diverg divergent entee

-

le

2

2

2

1562

f Jo

e^dx

Desarrollo

Luego la integral integral es convergente 1559

|

í

Jo Jo

- É L ., a > jcln x

bx - 1 ) = — í e kxdx — lim(e bxkxdx = lim í e kxdx= li m -^ —— I = — Jo ¿j— >°°J >°°Joo b-*~ k lo k

1

La integral es divergente

Desarrollo pi> pi>

f = lim f -ÉL— - ijm ]n(ln jc)I jc)I = lim fln(ln b) - ln(ln a)] = lim ln(— —) Jo jcln* jcln* xln x b-**> \a b->°° b->°° lna

1563

’arctg x r2 dx Jo 1 + X IX

Desarrollo

= ln(—) = ln °° = oo oo . Lueg o la integral es d ivergent e a

1560

(•“ (•“ arctg* = ,.m f ” arctg* Jo 1 + * 6~*°°Jo 1 + JC.

f " dx i -----, -- ---, a > 1 Ja Jtln2*

arctg 2(°o)

Desarrollo

arctg 2(0) _ n 2

i a

d x .. r dx d — x - = hm -----------= i f ..im. ( -----------i i ,) = -l im ln..— b — -— = hm [ ----------- = - l im h~*°° lnxla b->~ \n b lna f>->~lna. lnfc Ja Jtln * h-^°°Ja x \n~ x h~*°° rI

? " , b b = ^ arctg2b arctg 2b arctg 2(0)^ = üm arctg_£| b — > ° ° b~*°° 2 2lo b->°°

----

-----

l• n b-1 j = lim ----- — = lim lim ~ -— = ------ . L a integral es convergent e. lna.lnb ¿>->~ 1 lna —ln —ln a b

1564

dx

) 2 I2 U 2 - l )2

Desarrollo f°° dx Cb dx — ----- 7 = llm “ i ----- t

J2

( X 2 - 1)2

J 2 ( X 2 - 1)2

inte integr gran ando do

f

dx

— —

J (X2 - l ) 2

242


n/x 2 -

243

Integra l Defin ida

2; t - l

1

„ ,

•= —ln ------------— j=arctg j=arctg —■==—■==-,, por ta nto se s e tiene: *3+ 1 6 6 rx

í

1

1 , (* + l )2

dx

dx

j*fc dx r l , U + l) 2 1 t 2jc-1 —— = li m [- ln — ---------+ g — ■=■=--------- + - = a r c t g — Jo x +1 *-»“ -»“ Jo x +1 *->“ ->“ 6 x - x + 1 V3 V3 r

—— = lim

Es decir: decir: sec0 = x ; dx = se c0 tg 0d 0 f

fsecfl. tgOdd fsec 0.tg 6>¿0

dx

f

„

,

f

1, (*+D K p A 1 arr2ct = lim (—ln—r -¡= cbtg~— - ) - 01 — pa rc tg (— W r ) ----------------- + -¡= a i->~ 6 (fo (fo2 -¿> + l 73 V3 V3 V3

,

1

1

» O ^ a rc tg W integrand integrandoo por partes: partes:

1566

= - f e + ta |^ é ;

: L

2

f'

Jo

2 k

Desarrollo

V T Iíl

f - 3^ -

i

1

1

1

lim f ( - 2 5 - 4 + - ^ ) d x 2 = lim f ~ J ~ ~ 2 = li

Jo x 3 - 5 ;t2 eôJe eô Je

eôJf eô Jf

x

JC-5 JC-5

li m [ ( - ^ — + l n - /L /L _ L ) - ( - + 1„ _ L ) j

2*-*“ ¿>2 - l

V3

1 1

V5

= lim(——ln lim(——ln x + — + — ln | x - 5 1) e-*o 25 5x 25 £

1 1

- - - r( 0 - —+ —+ ln>/ ln>/3) 3) = --i-ln> /3 = - - —ln 3 2 3 3 2 3 4

1565

n

Í¿ Í¿C 5jc 5jc2

= - - l i m (—— - + -

(x2- l) 2 b->~ b->~J2 J2 (x2- l ) 22*— V - l

=

7T

= - -[ c s c 0.c tg 0 + ¡n | csc 0 - c t g 01|

í Luego

1

^ a re tg ^ ^ ^ ^

I

= 0 + + — in(-4) in(-4) + — lnO lnO + —- + — ln(0-5) 5 25 25 5(0) 25

10 JT +1

dx tanto la integral impropia es divergente. divergente. ------ por lo tanto 3 lim If — -----e->oJ£ »Je jc - 3- 5x 2

Desarrollo f " dx Cb dx . f dx I ~ 5 — —- = Iwn Iwn I —-— integra ndo I Jo x +1 J x 3 +1

Jo *3+l

-

í

.100

1567

0

de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:

dx

y[x + 2\f x + X 3

Desarrollo

244


Sea Sea /( * ) = _

---

1——

Vx + 2^ + x3

245

Integr al Defin ida

Sea Sea /(x ) = ------- -L== =<—L -, V x > -1

1— V x > O

[ 7 x 2 + í [

x2+l

f '00 '00 ___ dx i”00 ”00 dx Jo yfx + 2 \f x + x 3 ~ J 0 x2+l

7\

Luego f ------ < í - ~x— , de donde donde J - . x 2+ ^ / 7 7 i

f 10 100 dx I100 f 10 100 dx — = arctg x| = arctg 100 — ------- , es convergente, por lo l 100 => Jo * +1 lo Jo x 2 + l

r

J - 1 A- + 1

1“ n . , k n dx — - = arctg xl = --a rc tg (-l) = - + - = —

J-i J- i x"+1

l-i l- i 2

2 4

4

,

100

dx

tt= ---- -t= ---- t , es convergente o <]x + 2 y x + x s

r~ d x

r

dx

ento entonc nces es I — ---convergente nte ---- es convergente por lo tanto I -------- —....- es converge J - , a 2 + V 7 T I

dx

1568

i

1570

+ 5 2x + yjx2+] + Desarrollo

1

xd x

f 'o 4 x 5 + \i Jo Desarrollo

1

Sea Sea / (x) (x) = ------- r = = ---- ---------- • puesto que 2x + \fx2 + 1 + 5 4* + 5 F

Sea /( x ) = -= ■■*.... — — , V x > 0 VTTí

yj x2 + 1< 2x => 2x + >/x2 + l + 5 < 4 x + 5

------ r 2x + vx

dx f°° f ” dx ---- -- ----- r => I -------¡ ------- ¡ = ------ ^ I ---------, --------- , Pero: +1+5 4*+ 5 Ji 2 jc jc+ V +1 + 5 Ji4x + 5

f~ dx f~ dx Luego I -------- es divergente, por lo tanto I --------===== -------- =====---- es divergente j> 4 j c + 5 J. 2 * + ^ n + 5

f ----J-i x 2 + Vx 4 + 1

Jo Vx5 +1

Jo x2+l

Jo x2+ l

lo

2

f dx , f°° xd x Luego I — ---convergente , por lo tanto: tanto: I ------ , es convergente. ---- es convergente, Jo x~ +1 Jo yjx 5 +1

1571

f 1 1 dx

Jo

x4

Desarrollo

Sea f ( x ) = - j J = r = Desarrollo

*2+i

dx r n n n f ” xd x ^ (*“ dx , J ---- = arctg .vi = ----- 0 = — I ,.... — < I —r---- de donde se tiene: I — ----

1

1

<» f — = -í-ln|4* + 5||°° = o = -—ln3 = <» Ji 4x + 5 4 ' 'I, 4

1569

x + i

Vl-x4

1

i¡( l l- x 2)(l 2)(l + x2) x2)

< J - ----- luego: y¡\ y¡\ + x 2

2

246

Eduar do E spinoza Ramos

J oÿ o ÿ T T? T?

J.ÿ ïT ?

f 1 1 xí/x ",/ ■

3

h x1

2

2

f 1 1 • /

lo 4

Jo¿A+ v2

..

í

2 n

n

, . . rdx I — es convergente, de donde

J - x "

sen.x , — — dx es convergente. ~ - ( l + . V )3= — ( 23 - 1) ento entonc nces es l -| X ^ A es conv conver erge gent nte, e,

. r ¿A por lo tanto I es convergent e. Jo Vi - * 4

1572

i r x\ E 2

r dx

de donde -I1 3

J'Wl +JC2 4

247

Integ ral Defi nida

2

1574

Demostrar que la integral de Euler de primer especie (función Beta). B (p , q) =

dx x ln x ln x x

Jo Jo

x p~l( \ - x ) q~ld q~ld x , es convergente convergente cuando cuando p > 0 y q > 0. Desarrollo

Desarrollo

lnx

í

Sea f ( x ) = x p \ \ - x ) q

x Ir, Ir, a

dx

d B( p, q) = í ; f (x ) d x + j* f{ x ) d x , por el criterio de comparación se tiene:

f

2

f " dx I■ = lim I -------= lim ln(ln x)| e->o J l+e xln x £->o Il+£

lim lim f(x)x'~ p = 1 y lim( 1 - x )l~q f ( x ) = 1 x— x— ^0 »0

= lim(ln(ln 2) - ln(ln(l ln(ln(l - e)) = ln(ln 2) - ln(ln 1) = ln(ln 2) - ln 0 = -=o

esto cuando

—p < 1 y 1 —q —q < 1, de donde p >0 y q >0 en este caso las 1 —p

J 2/ (x)dx y -

integrales

i r dx i*2 dx Luego I —-— es divergente, diverge nte, por lo tanto I ----- es divergente. Ji *lnx Ji lnx

1573

/:

i f( x ) d x son convergentes, convergentes, por tanto: tanto: 2

B( p ,q )= I x p~] p~](1- x) q~xdx q~xdx es conver convergen gente te cuando cuando p> 0 y q > 0.

senx , -dx

Jo

1575

Desarrollo Sea

f (x )d x

2

Entonces j ------- > | ~ d x de donde se tiene: j] In.r J, .xlnx —-— xlnx r —-

Z?(¿>,g >,g)) = J f( x )d x = j 2f (x )d x + 1 luego: Z?(¿

/ (x ) = ~

< *

- L X2

de ¿onde

f ^ ^ d x < Jf l J? XT

Demostrar que la integral de Euler, de segunda especie (función Gamma). V(p)= I x p le Xdx dx es convergente cuando p > 0.

~ entonces X 2

Jo

Desarrollo


248

En T(p )= I x p le Xd x , el factor e 1 — > 0 cuando

Je

ío

t —>

L uego:

Integra l Defini da

»2 _ ___ Jo

x p le Xdx dx converge en el límite superior para cualquier valor de P, en el

límite inferior el factor e~‘ — e~‘ —» 1 , cuan cu ando do t —» 0 y el factor

/p'1

°° cuando

p < 1 y, para que sea converg ente e n el lím ite sup erior P d ebe ser p ositivo.

24 9

/» /»arccos2

5.4. 5.4.

r(p ) =

p~le~xdx = lim í x p~le~xdx p~le~xdx f x p~le~xdx

Jo

'-»“ '-»“ Jo

CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRAL DEFINIDA.Consideremos f(x) f(x) una función continua continua en [a,b] [a,b] y x = \j/(t) \j/(t) continua y i ( t )

rh rP f (x )d x = f[y/{ t)]. \i/ ’(t)dt Ja Ja 1576

sen sen 3tdt no no se puede calcular

Transformar las siguientes integrales definidas valiéndose de las sustituciones que se indican. J* \ / x + \ d x , x = 2t - l

Desarrollo .3

£ -Jx +Íd x = 2J y]2t - 1 + 1 dt = 2J V2 sit dt = 2V2 ^ V? dt

1

j*i1 dx

Ji Vi

Desarrollo

continua en a < t < (3 donde a = y( a) y b = \|/([i) \|/([i) y además la función f(\j/(t)) continua en [a,(3], Entonces:

»arccos2 5 2

2

(El límite se obtiene obtiene por el Teorema deL’HOSP ITAL) NO TA .-

2

(sen f) 3(-sen(Wí (-sen(Wí = - l

\J\-x2dx= i

Sea x = sen t => dx = eos t dt

fi

_ 1*-2 eos td t

2V i- * 4

Se puede calcular la integral i \¡\- x 2dx 2dx v aliéndose de las sustitución

_

Jo

x = eos t?

6 Vi -se n4 í 7T

*

costdt

(*-2 eos td t J*oV( r)(l + sen2r) sen2r) y l-se n2 r)(l 7£

^ r 2 2

dt

yjeo s2 í(l + sen2/) ’J^. Vi Vi + sen2f

Desarrollo 4

Sea f ( x ) = \l 1 - x 2 =>

= yj\ — cos cos 2 1 = (sent)

donde \|/(t) = eos t y j/' ij/' (t) = - s e n t ) ) y / \ t ) d t , donde x = eos t / ( y /(/( t ))

, x = senh t 3 L 3 V 7 7 I > .

Desarrollo H f In f ln . In3 .coshrdí ln3 t , donde I = . .. ■ ■„=■ = 1 d t , J—V*2 +1 J'n2 J'n2 Vsenh2 1+ 1 Jin2

25 0

Eduar do Es pinoza Ram os e' -e~ ‘ x = senil t => dx = cosh t dt jc = senh t = = ---------

para t =

3 4 para x = —, t = ln2, ln2, x = — , t = ln3 4 3

i 2 f ( x ) d x , x = arctg t Jo x = arctg t => dx = dx =

para x = Ü =>

1582

dt 1 + t2

0 = arctg t => t = 0

í

4 dx

0

\ + síx

Desarrollo

Como x = t 2 =$ x = t 2 71

x ~~2 ^

Tí

— = arctSí arctSí

adem ás para x = 0 => t = 0 ; x = 4 => t = 2

t = °°

Luego: f / (x)dx = = f /(arctg t) dt 1 + t2 Jo Jo

x = at + p que de por resultado que los límites de integración se hagan respectivamente iguales a: 0 y 1 . Desarrollo b

f ( x x ) d x , como x = at + (3, la sustitución lineal entera entonces buscaremo s

a y P para que los límites de integración integración sean 0 y 1 . Luego: Lue go: a = at + P == ==> t = — = ——— a b = a t + p => t = - —— a

f 4 d x f 22 22t d t ----- ■==

0 f = 2 22

----

Jo 1 + Vx Jo 1 + f

1

Jo

, ,

(1(1 - - — )dy l + t

12= 2(2 - ln 3)3) - 2(0 - ln 1) = 4 - 2 ln 3 o'

Para la integral i / ( x ) d x, x , (b > a) indicar una sustituc ión lineal entero Ja

í

a = b~a

Utilizando las sustituciones que se indican, calcular las siguientes integrales:

Desarrollo

158 15811

o , a=b-P ; t = 1 =» -----------0 => a = B

por ta nto: x = a t + p ; x = (b - a)t + a

K 1580

251

Integra l Definid a

4 dx

I t yfx = 4-21n3 15 1583 83

I

x -2 = z 3 U - 2)3 +3 Desarrollo

Como x —2 = —2 = z 3 => dx = d>z2dz Para x = 3 => z = l ; x = 29 => z = 3 (x —2)^d —2)^d 29-------Luego; Jf 29 = x ( x - 2 ) 3 +3

f 3 3 z 23 z 2dz =

z4dz

252


253

Integr al Defin ida 2dz

= 3 f (z2- 3 + - ^ — ) dz dz = 3(—— 3 z + - i a r c t g - ^ ) | Ji z +3 3 V3 V3 I

2 - 2 z + 1+ z 2

Jo 3+2cosf Jo = 3( 3 ( 9 -9 -9 + ^ a r c t g - | ) - ( I - 3 + ^ a r c t g ( ^ ) )

1584

2

+8 = A - 8

,

2j3

"

J * J3

J í z ^ , 8+_ U

í 1586

Desarrollo

z

Luego:

•In2 ,

1585

i

Jo

I

«o

y--

dt 3 + 2co sí o

V5 o

n ^¡5 ^¡5

dx

1

a i 2 x o 1 + a 2 +sen

Desarrollo

1+ t2

+1

i

t

Vl+í2 +í2

2

il

\lex —ld —ld x = = I —^—- = 2 I ( 1 — -— )dz = 2 (z -a rc tg z) = 2 - — z +1 Jo z ' + l Jo lo 2

r

1+7

— _ r _ _ * _ = _ J L _ iim f

Jo l+a2sen2x Jo a2f2 Jo (l+a2)í2+l )í2+l

____

Jex - l d x = 2 - ?

* dt o 3 + 2c osí

fc->~V5

Para x= 0, 0, t = 0 ; x = K —, t = °° °°

H

9

*-*-Jo *-* -Jo z +5

, dt , Como tg x = t => dx = ----- - ademas ademas senx =

^

Para x = 0. z = 0 ; z = ln 2 , z = l

pln2

K

Cx-2 )3 +3

f ln2 ------ ylex - \ d x , e x - l = z 2 Jo

Como e x - l = z 2 => e*dx = 2zdz. ; dx = dx =

Jo z +5

= 2 l im im ( 4 = a r c t g — j= ar arctgO ) = \ arctgc*-Q arctg c*-Q = Z L V5 V5 V5 5 V5

2 ^

ib

r ~ ± — r ~ » ± ¿ T -

\[\ + a2

Jo(l Jo(l+a“)r +a“)r +1

1 + f 2

=■limarctg(Vl+a2í)||o =Vl■1 - lim(arctg\l\ + a 2b - arctg0) rctg0) + a2

t ®2

yfl + a 2 Desarrollo

Como tg —= z => dt = = ■y eos t = = -— — 2 1+ z '

Para Para t = 0, z = 0 ; t = rc, z = °o

1

r[arctg(o arctg(O)] = —7= =L r[arctg(oo) tuv v5v vo) v/ - arctg(O)] Vl + a 2

1+ z2

n 2

-

dx

f 0 1+ a2 sen2 a

K 2\]l + a2

7T r2v l

254

Edua rdo E spinoza Ramo s

255

Integr al Defin ida

Valiéndose de sustituciones adecuadas, calcular las integrales:

Vsec 0 - 11se f, 2.V ^ *2-1 - U , = ff l3Vs 3V sec220 1secg tggd tggdgg = f 3tg 3tg20J0 20J0 * Jo Jo sec0

Ji

£2

1587

= f 3(sec 20 - l ) í /0 = (tg 0 - 0)|3 = ( - j 3 ~ ) - ( 0 - 0 ) = > ¡ 3 ~

Desarrollo

Jo

lo

3

3

Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0 í 2^ ± d x = J Í - -

/. Para x = — 2

=* B = — \ x = 1 => 0 = — 4 2

1589 Luego:

J: fl

x2

J I I

sen

0

J l l sen

4

=(-ctg 0-e)

4

1

J 2i

-

1588

X2

2

4

2

4

1

ex+3

Desarrollo

F ' d E l « .

Jo

4

ex +3

Jo z~+ 4

1 + z

Jo z" +4

Jo Jo

z +4

= 2(z - larctg - ) | = 2(2 - 2 arctg ( 1) ) - 2(0 - 2 arctg ( 0)) = 4 - n 2' o

dx = dx = 1 ----

4 1590

, 2V 2^V ?

Ji

ln5exy[e*—Í

para x = 0 = » z = 0 ; x = ln5 ln 5 => z = 2. Luego:

T

2= ( - o - * ) - ( - i- - ) = i - - + - = i - -

lí

3

, . . 2zdz 2 e - l = z => í/x = ----- 1 + z

= J^2c tg2e de = J 2(ese 2(ese220 - 1)¿0 = (-£■tg0 - e )|2 4

X

0

n

k

Ji

r ------ % = y]?>x + \ Jo 2 x + y]?> Desarrollo

x Desarrollo

Sea x = see 0 => dx = see 0 tg tg 0 d0

Para Para x = 1 => 0 = 0 ; x = 2 => 0 = j . Luego:

256


Para Para x = O => z = 1 ; x = 5 => z = 4. i»5

*4 —zd z

j

Luego:

,

1

+ ~’z 2

1592

4

1

4

1

dx

j; (1 + *2)!)22 -1

2

[-ln( 2z-l)+-ln(z+ 2)J j* (— + - ^ - ) d z = - 2 f ------ — ----- = 2 j* J, (2z-l)(z + 2)J, 2z- l z + 2 55|

1

7 + 2V7 . 9 , , 7 + 2^

= ln------------ ln—= ln—= l n ---------2 2 9

*

f ___ ÉL ___ = f _ _J _ J ______ _ 2 2 I ÉL ___ Jo 2x + \¡3x + l Ji 2 /_ _ 1n) +, z Ji1 (z 22 —

257

Integ ral Defin ida

4

4

Desarrollo

ÉL — = í — ÉL

J (1+ x2)2 x2)2 2(1 + x )

4

¿e acU acUerdo erdo al ejerci ejercicio cio 1297

2

= (—ln7 + —ln 6)- (—lnl (—lnl + —ln3) ln3) = -ln7 + -ln3 + -l n 2 -- ln 3 f arctgx lI1 dx x 1 arctg(l) 1 arctg(-l) -)| = (— ( —+ — - — ; - ( ——- + -— -— - — ; 4 2 4 2 + xjc2) J-ii(1 (l ++jc +jjc c2)2 2(1 + jc2)) + 2

I

1 4 1 = -ln 7+ —ln 2 = —ln ll 2 5 5 5

1

1591

1 n

= —+ arctg(l) = —+ — 2 2 4

Calcular las integrales: dx

1593

i x\ l x ¿ + 5x +1 +1

Jo

x" dx

Desarrollo

Desarrollo

Sea x = - => dx = = - É t

= - [ ( x - —) —) \ la la x - x 2 + — Jfo']ax-x2dx= Jof jV4- — (x-~)2dx 2 2 2 4

t2

Para Para x = 1 => t = 1 ; x = 3 => t = = 3 i . É /2 f ____ él ____ = fa _ Ji xs I x 2 + 5 x +\ J i l O “

n

, 2 x - a I

2

°2

a I > n | arcs arcsen en(— (—

a

2

2* - a I a

= (------------ v a x - x + — arcs arcsen en--- ) 4 a lo 8 di dt __ ____ = r ' 1 _ - U 5,2 21 Vr2 +5í +l —~4 3 'I 2 —~4

2

ln

- l n | ( - + í) + Ví Ví 2 + 5 í + l | j j = l n | - + >/7 | - l n | ^ - + ^ y - 1

2

2

2

= (0 + — arcsen arcsen(l (l))-(0 + — arcsen(-l)) = — arcsen(l arcsen(l)) = —— ——-

1594

í

dx

sx o 5-3cosx

Desarrollo

-; j

lo

258

Eduar do Esp inoza Ramos c . x 2dz sean tg —= tg —= z , dx = ----- cosx = 1+ z dx

f

r

2 dz 1+ 722

Integ ral Defin ida 0O <•0 por lo tanto I f {x ) d x = I f (x ) d x

1 - z 2 1 2

i

+.

J- a

i*

i

i2 i2® i if-* 2dz

„ 1„2¡2”1x j

1596

-*2J Demos trar que: If “ e -*2J dx = 2„f " e

J-o=

J-oo

JO

J-eo

■i

j»a

J -a

f ( x ) d x

/(x)dx +

J-a

dx = fI “ —p —

Jo V*

•0 1 ee~xx dx = dx = I eé~xx dx + dx + I ee~xx dx = dx = I e~x e x dx + I e x dx

/•a /•a /• a ! f( x ) d x = 2 j / (x)dx . (x)dx . Si por el

Desarrollo 1*0

Jo

_ 2

contrario f(x) es una función impar L f (x ) d x = 0

f ( x ) d x = \

Jo

/(x) = e x es simétrica respecto al eje “Y”.

J a

rr>

J- a

*a / (x)dx = (x)dx = 2 j f ( x ) d x en forma análoga para

Desarrollo

. 7T _ 7T - arctg oo - arctg( arctg(O) O) = — - 0 = —

Demo strar que si f(x ) es una funció n par

*a

f(x) impar.

l+z2 v In Jt = —arctg (2 tg(-))| = arctg2tg(-)-arctg(2tg{0))

... (2)

Jo

reemplazando ( 2) en ( 1 ):

o

1595

25 9

Jo

Jo

JO

Jo

e x dx dx ; por la simetría ahora demostrare mos que:

2 i e~x dx = dx = i e~x

...( 1 )

Jo

Jo

V*

. . Sea z 2 = x => dx = 2z dz Como z 2 = x => \fx = z

como f( x) es par => f(x) = f(-x) ~ x=d-x = rI e —

Sea x = -y => dx = -dy I / (x)dx = - I

Jo

J- a

f j - a

f ( x ) d x = -

f Jo

Jo Vx

/ ( x ) d x , para x = 0 => y = 0; x = -a => y = a. Luego:

f (x )d x = -

f/ f / ((- y X - y ) = - f f ( y ) - ( d y ) Jo Jo -

= Í f ( y ) d y = í /(x)dx

Jo

Jo

1597

-=z 22 I, eo f ”dx = 1r e—-dz 2=z2. I en ~r ífe -z Jo 2 Jo Jo

J.C1 d x C 2 sen x , _ Demostrar que: | ---------- = I ------ -d x

J()a J()arc rcco cosx sx J() x

Desarrollo Sea arccos x = z => x = eos z ; dx = sen z dz K Para x= x= 0 => z = — ; x = 1 2

z=0

260

Edua rdo Es pinoza Ram os

1

o

re

o

k

5.5.

dx [ -sen zd z _ f senz ^ _ j*2 senz ^ _ f 2Sen f 2Sen;c ;c¿t ¿t Jo árceosx árceosx J* z J í z J0 z Jo x 2 2

Luego:

1

-

£

1598

INTEGRA CION POR PARTE S,Calcular las siguientes integrales, empleando ía fórmula de integración por partes:

f 2 sen x , C dx ------------- = ---- -dx Jo árceos x J 0 x I

261

Integr al Definid a

1599 £

Demostrar que: I 2 /(senx )rfx = j ~f (eos (eos x)dx Jo Jo

x eos x eos x dx Desarrollo u = x => du = dx

Haciendo

Desarrollo

dv = cosxdx => v = senx

n

Sea z = senx sen x =$ V l - z 2 = eosx dz = eos x dx =>

i,

í

— = dx Vl- z

k

x c o sx d x = x sen x sen jdp - f sen xd sen xd x = xsenx i 2 + eos xl le !c lo Jo \l 2

.

( 7Z

TZ

TT.

■(jesen a' + cosjc)| = (—sen— i-eos —) lo 2 2 2

para x = 0 => z = 0 ; x = -~ =s> z = 1

(0 + 1. ) = 7t - + 0_ -1 . = 7t 1 2 2 ----

2

1600

<•1 í 2 (senx)d x)dxx = í f ( z ) - r ^ = 2 / (sen Jvi1~ Jo Jo - z 7 2

... (1 )

sea y = eos x => dy = - sen x dx

í

ln xd ln xd x

Haciendo

Desarrollo

K= lnx => du = — x

dv = dx => v = x

como J l - y 2 =senx =? — r¿ L = = dx

J* lnx dx = xin x| - J* dx = (xlnx-x)J = ( e - e ) - ( O - l ) = 71

para x = 0 => y = 1 ; ■*= — =^ y = 0 Tí

f 2/(C0Sx)dx= f f ( y ) ( - ! É = ) ) = Í l f ( y ) - Í L = = f ' / ( z ) - ^ = . . (2 )

Jo

Ji

y j l—y '

í.

de ( 1 ) y (2 ) se obtiene:

*'°

y ¡ l - y 2

*

| 2 /(senx)dx = i 2 f( co sx )d x

Jo

Jo

*'°

1601

f x3e2xdx

Jo

Desarrollo

v i- z 2

u=x

Haciendo

du =3 x 2dx

dv = e 2xdx 2xdx => v = -

1

262

Eduar do Es pinoz a Ram os

263

Integr al Defin ida f x 3e2xdx 3e2xdx = ~ - e 2x\ ¿

Jo

lo

x 2e2xdx 2 J 0

1603

u. = x

Haciendo

=$ du = 2x dx „2x dv = dv = e2xdx => v = -

Io

xe~xdx

Desarrollo

u = x => du du = = dx dv = e~xdx e~xdx => v = -e~ x

2xdx = ( ~ e 2x - ~ x 2e2x)¡ + - f xe 2xdx 2xdx í x 3e 2xdx Jo 2 4 ¡o 2 Jo (— e2* e2*

A 2*)! o

e2x (X 2

------

1602

f

Jo

xe~xd x = -xe ~r + i e 'xdx = -e_Jt -e_Jt (x +1),

í

4

3 2 3 3 1' e2 e2 3 ¿>2 + 3 3------- X ------- X + — X ------- )| = -----+ ----- + - = -----------2 2 4 lo 8 8 8

Jo 1604

í ,o

i >+1 xe~xdx + lim f xé~xdx = lim - e x(x + 1)1 = - lim lim (—-— 1) =

i-»00Jo

h~>°°

u = e x => du = du = exdx

‘

—(0 - 1) = 1

e_flJtcos bxdx, (a > 0)

Desarrollo

sen xd sen xd x Desarrollo

Luego: Luego:

k = e_ du du = = ~ ae axdx sen ¿x dv = cosbxdx => v = -

dv = senxd x =» v = —cos x

J

e* sen sen xdx = - e* eos x eos x + | ex eos xd x í ‘

| u = ex => du = du = exdx [dv = eos xdx => v = sen x ex sen xdx - ~e x cos+ ex sen ex sen x I ex sen

f“ , . e~“ e~“ seniw seniw a f “ _ai , , I e cos bxdx = ---------------- 1 — j
Jo

¿>

¿J o

u = e-“

=> du=-ae-axdx eos ¿x dv = sen = sen bx dx => v = -

ex sen ex sen xdx = — (sen x - eos x)

n _ ¡ > r* ex ¡- e 2 i s t x Luego: J ex se ex senn xdx = — (senx-cosx)l (senx-cosx)l = — ( 1) — ( 00- 1) 1) = e Jo 2 lo 2 2

f°° -a* -a* , j e “ senfcx senfcx a - e ^ c o s b x | e cosbxdx = cosbxdx = --------------+ --------------+ —( —( ----------- —

Jo

b

= £e “

b

sen b x - a e

b

a f” I e

^Jo

c o s b x 3 2 /•00 — —| e r'^Jo

------------------------- 1

cosbxdx)

cosbxdx

264

Eduard o Esp inoza R amo s

b2

f e - eosbxdx =

senb x-ae ~ax ~ax cosbxl~

fV a*eos b xdxd x = L l i b s e a b x - a c m b x ) |°° _ 0 - ( 0 - fl )=; )=; Jo

1606

¿ 2lo

Jo

lo

b2+a~

a2+ b2

265

Integr al Defi nida

Demostrar que para la función Gamma es válida la fórmula de reducción: T(p + 1) 1) = PI \p) , p > 0, se deduce que F(n + 1) = n! n! Si n es un un número natural. natural.

a a 2 +b 2

Desarrollo ld u para u > 0 La f u n c i ó n Gamma por definición es: T(p)= I e 14u p ldu

1605

l 0

Jo

■ax , e ‘“ ‘“ senbxdx, a >0

sustituyendo p por p +

Desarrollo

1 T(p + 1)=

u = e ai => du = -a e ‘“dx

j w = u p => dw=pup~'du

eos bx dv = senbx dx ==> v = — b

\dv = e~udu => v = -e~“

f

| e Jo

-a x

I

e “ c o s í íj íj r

.

r( p + \) = -e~u.up\ -e~u.up\ + p [

f l f °° °°

lo

senfaxdr = ----------------------------------I ---I e “ cos bxdx b b Jo

como p >

u = e ax => du = - a é axdx jdv = eos bx , dx , => v = --------- se nb x

f

Jo

T(n + 1) = nl\(n -

= -0 +

b

b

a 2 +b +b 2

a 2 + b2 b2

~

e

Jo

e "up ldu

2)... 2.1

... ( 1 )

T(n + 1) = n!.

_ax _ax /b eos bx + a sen bx *-------- ---- 9-----a +b |0 i

+

n(n - DR n - 1 ) 1) + 1) = n(n

r(n + 1) =,n( =,n(nn - l)(n l)(n -

fox + a se nt o a 2 f~ ' .6 cos fo = -e " ( ---------------- ----------- ) — - e sen fotdx fo2 Jo

~

e~uup~ldu

T(p + l) = pHP ) de esto se se obtiene: obtiene:

¿Jo¿>Jo ¿Jo¿>Jo

ax/be osbx + asen bx^ ' a 2 +b722

e~uupdu e~uupdu , integrando por partes:

0 => e~" - * 0 , cuando u -> «> puesto que p es fija, e~“up - > 0 ,

cuan do u L u e g o :

s enf r xdr = - f _ T c o s ^ ü r ^ s e n f o + £ f* f* H— I eac se eac se nb xd x

_

Jo

Jo

t

K 1607

7T_

Demos trar que para la integral /„ = I 2 sen" x d x = I eos" eos " xdx xdx es válido la

Jo

Jo

fórmula de reducción: /„ = ----- /„_2 • Halla Hallarr I n , si n es número natural, n

utilizando utilizando la fórmula fórmula obtenid obtenida. a. Calcular Calcular / 9 e / ,0

266


Desarrollo 1608

K Se conoce:

2sen" dx =

J

,#1-1 " ' x 'c os x ,

X(¡X X(¡X

f

267

Integr al Defini da

Calcular la integral siguiente empleando reiteradamente la integra! por partes: #(
*/’_1(1 */’_1 (1 - a )9-1 d x , donde p y q son enteros y positivos.

Jo

Desarrollo J

n

u = x p~] => du = (p -l )x p~2 p~2dx

n J

(l-x)q dv = ( \- x )q 1dx => v = —

K

Luego:

/ , , P W x dx -

f f ^ ' ^

Jo

n

f?

n J0

lo

q~ld x = - - — (1 A) I + ^ —!—!- f vp vp 2(1 2(1 - x f d x B( p , q) = í xp~l( l - x ) q~ld

' ■ = J . 2 ” n " x d x ‘ tt

1/,2sra"'2*

n

lo

«

-

«i

B( p, q) = ——- f x p l { \ - x ) q dx <7 Jo

<7 + 1

c° s" s" x d x = t

1 j ? ' “ 8""1 x i x = » = p e » ' ■ > * = —

u

Jo

n

v 2 ... (2 ) B( p , q ) = p - L [ ( - x p-2 {l )| + ^ - 4 f q<7+ 1 lo <7+ 1 Jo

de ( 1) y ( 2) se obtiene:

/„ =

lo

u = x p 2 => d u = ( p - 2 )x )x p 3d 3d x Haciendo •! ñ-xf^ dv = (1 - x) q dx => v = -------------

n J0

* '• ‘ r

<7

Jo

-

f§ £ " sen" sen" xd x = i 2cosn xdx= f 2 2 cosn;r¿r

B ( p , q) = P - l . P — ^ f x p- \ \ - x ) q+xdx q+xdx

q + 1 a + 1 Jo

*'°

n ^ I - f 2«Pn" yiffr yiffr Jo

u =xp 3

1 -3- - ( « - 3 ) ( / l - l ) Jt 2 A . . ( w - 2) « - 2

2.4...(n-3)(n-l) Í X ^ - 2)n ’n impar y

n>1

" P “ y ” >>

Haciendo

d u = ( p - 3 ) x p 4d x

a - x ) qq+ +2 dv = (l - x) q+l dx => v = — c¡ + 2

268


4a - * r 2 d*

B( P, q ) = J L 2 ' P z 2 ' P z l | V q +1

q

í + 2J 2Jo

269

Integr al Defi nida

donde m es el valor mínimo absoluto y M es el valor máximo absoluto de la función f(x) en el segmento segmento [a.b]. [a.b]. El particular cuando y(x ) = 1. se tiene:

continuando con este procedimiento se llega B( p , q) = q) = (P + q-l) '

1609

Expresar^

/"'"1

por

medio

de

B

(func.ón

Beta)

la

... (2)

m ( b - a ) < I / (x)dx < M (b - a)

integral

De (1) y (2) se puede sustituir por sus respectivas igualdades equivalentes.

XC0S” x dx ’ Si m y n son números enteros no negativos. negativos. =J0sení” XC0S” x Desarrollo

j* f ( x ) d x = f{ $ ) ( b - a ) donde c y f( x) y/ (x )d x = f = f ( c ) í ff( iff( x)d x y j* Ja Ja *a Ja ¡;, son números que se encuentran entre a y b.

f

os 2 x Sea / = sen 2 x => l - t = c os dt = 2 sen x. x. eos x dx => dx = ~ ___ — © para x = 0, t = 0 ; x = -

t=

2

1— |Ch f ( x ) d x se llama valor medio de la función f(x) El número u = — == — I -----b-a Ja en el segmento a < x < b.

1 m

tt

n

In, m= i 2senmx.cos" x d x = f — ^ ~ tÍ í dL

Jo

f * 1f * m~* = 4 1 t 2 2 Jo

5 .6 .6 .

Jo

.(1

-

-

1610

2 / 2(1 _ 0 2

«-1 2

2

í X3dx X3dx J-i

b)

r x eos x d x Jo Desarrollo

TEOREMA DEL VALOR MEDIO (T )

Determinar el signo de las integrales siguientes sin calcular las: las: a)

2

VALOR MEDIO DE LA FUNCION. FUNCION.--

a)

Graficando f ( x ) = x

ACOTACIÓN DE LAS INTEGRALES.Si f(x) < F(x) para a < * < b, se tiene f f ( x ) d x < f F( x) dx ; Si f(x)

Ja

Ja Ja

y vj y vj/(x /(x)) son continuas para a < x 0, se tiene: w j y / ( x ) d x < j f (x ) y /( x ) d x < M j

y( x )d x

...( 1 )

Luego I x d x , tiene signo más (+).

r

c)

f 2 f 2n sen x sen x

Jo

------

x

dx

270

Eduard o E spinoza Ramo s NO TA :

Para determ inar el signo de la integra l sin calcular, se hace el gráfico en el segmento indicado.

Desarrollo V x e [0,1] => x 2 < x , luego x 2 se n 2 x < Jrsen Jrsen '2 x

La región de la parte superior del eje X es positiva, y la parte inferior del eje X es negativa.

b)

271

Integ ral Def inida

tomando integrales

I x 1 sen ~xdx x 2 > x , de donde e x ~ > e x , integrando de 1 a 2 J ex dx > dx > J exdx , luego el primero es mayor. Hallar los valores medios de las siguientes funciones en el segmento que se indican.

para c) tiene el signo mas (+). 161!

Determ inar (sin cálculos), cual de las siguientes integrales es mayor.

1612

f ( x ) = x 2 , 0 < x <

1 Desarrollo

a)

í yj 1+ x" o j" j" xd x

Jo

El valor medio de la función es:

Jo

Desarrollo X3 ! 1

V x e R , \+ x2 > x 2 ; yjl + x 2 > x tomando integrales

b)

Jo

x~ sen x~ sen 2 xd x o

I \j\ + x~dx > f x d x . Luego el primero es mayor

Jo Jo

x sen 2 xd x

Jo

1 I f ‘ x l dx = u = ----3 lo 1-0 Jo

i

3

1 f* u = ------ I / (x)dx , luego: b —a —a J a i

u = — 3

i r u = ----- f (x ) d x b-a ja f* Iff Iff 1 1 (ax + bsenx)I u = ----------- I (a + (a + ¿eos x) ¿eos x) dx = — (ax + bsenx) I 7C-(-7t)J-„ 2 k \-n

272

Eduar do Es pinoza Ram os H= -í-[(OT -í-[(OT + 0) - (-flT (-flTT T + 0)] = — 2n 2 k

1613

273

Integral D efinida 2cos 2 2x , 1 . 1 f ’rl-c os2 x + 2cos 0 x sen4x dx = — = — ( xx - se s e n 2x + —+ — - — ) . . i r1 4 4 k 2

8

“ Jo Jo

f(x) = a + b eos x, -7t -7t < x < n „=j_w, 4n

Desarrollo El valor medio de la función es:

1616

u r (a +bcosx )dx

L f ‘ / (x)dx, (x)dx, luego »-
n - ( - n ) J_ J _„

0+ í + o ) = ^ 4 2 8?r 8 ^ <ÍX

Demostrar que la integral integral í

Jo j 2

está comprendida entre

+x -x 2

~ = 0.70 s[2 Desarrollo

1

1

9 u = -- (a x + b senx) = — {(a +0 ) - ( - a n + 0)] 0)] = — . Lueg Luegoo u = l-jt ¿Tt 2n 1614

I*

1

f (x) —sen í x , 0 < x < n Desarrollo E! valor medio de la función es:

1 f

1 i I s, u = ------sen x dx

b -a Ja

Jn n Jn 1615

2 + x - x 2 = — = — ( x — ) , para x e [0, 1] => 4 2

1 7r 7r'"2

=*

-

=* 4 s - ( t4 , 2 s o

„ - I + £ < £ - (¡ (¡t- I ) i < 2 = , 2 S íí- ( x - i , » S i 4 4 4

1 r El valor medio iio de la función es: u = ------ f ( x ) d x . Luego sse tiene: b-aja ir* l CT ii = ------ | sen 4 x d x = — = — I f I ^ ¡ 2 x j , dx * - O j 0 ffJ 0

2 4 .

4

2 4

=> 2 < 2 + x - x 2 < — => V2 < yj l + x - x 1 < ^ 4 2 ¿ — —¿X< |

V2

dx

3 loJo loJo y¡2 + X - X 2 - < f

dx

3 Jo v 2 + x —x^

2

Jo 3

,

dx

..... = < | —7= Jo -\/2 + x —x 2 Jo x/2 .. .

< x ■' V2 I0 <_L

V2

1

luego luego la integral integral [ , ^

■ esta comprendida comprendida

Jo v2 + x -x 2

entre —= 0.67 y —= = 0.70 ahora el valor exacto es: es: 3 V2

27 4

Eduar do Esp inoza Ramo s x -= arc arcse senn(—— (——

r - r f i ^ . Jor

I

"0\2 +x -x

Desarrollo = arc arcse sen( n(—— ——-)| -)|

Se oonoce oonoce que: que: -1 < cos cos x < 1 ; -3 < 3 eos x < 3 7 < 10 + 3 eos x < 13 13 ; — < ------ ------- < 13 10 + 3eo sx 7

1 arcsenf— 1 arcsen. - 1 = arcsen(-) - arcsen f— ) = 2 arcsen. 3

3

3

r 2 r 2Kdx

2n

•i

i,

Desarrollo

1620 V x e [0,1] => 0 < x < 1 => 0 < x 2 < 1

1618

4 < 4 + x 2 <5 => 2 < V4 + x 2 < Vs

Jo

Jo

G [-1,1] => => -1 <

f 1 1 dx

Jo

X <

f ‘ dx

Jt_

1 £

A-3 + 8

<7

f 1 dj

1621

Jo

_______ _______ _____ _______ __ ;luego: 0 < I < —

32

Jo

9

n_

2 lo 2 _2

32

n i4

11 .1

X

Desarrollo

x* j 12 I,* s f, _ ;*dx . < £< [— ----I 91i -i J- i!xx3+8 7 1., j +8 7|_,

Jt

2n ^ ^ 2n

Desarrollo

Jo

»-

1

Luego:

1619

K j 4 xy jtg x dx Jo

n_

- l < x 3 < l => 7 < x 2 +8 <9 =>

2 re

2n

0 < í 4 4 x^tgxdx< í 4xdx ; 0 < | 4 x^tgxdx < — |4

Desarrollo X

dx

tomando integ integral ral 0 < x^ tg x < x tomando

dx í , 8+ x 3r Si

„ r K dx

Como la función función crece monótamente monótamente 0 < ^/tgx < 1 para x e [0 ,^:

í 2dx< í \¡4 + x 2 < f \¡5 d x . Luego 2 < 1 < \f\f s

Jo

dx

— 

r n

Luego Luego tom tomando ando inte integr gral ales es se tien tiene: e: I — < ------------- S J0 13 Jo 10 + 3cosx Jo y

Acotar las integrales:

1617

275

Integ ral De finida

dx

10 + 3eo sx

f 21 < dx f 9 9 jJ_i xJ +8

2 7

V2 1 „ , 2 , 2 En forma análoga a los demas —< 1< — => —< J — ------tanto:: —< /< — ------- < —. Por lo tanto 97 1622

r • 200n eos x eos x Integrando por partes, demostrar que: 0< j ------ dx < Jilooít x ejercicio 1609, por tanto dejamos para el lector.

100 100;r

análoga al

27 6

Eduard o Espin oza Ra mos

277

Aplica ciones de la Integr al Defini da

C A P IT U L O V I

▲y Y = f 2(x) (x)

_____ A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A 6 . _____

Y = f1(x)

6.1. __ __ AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS.0

Para Para a < x < b tenem tenemos os:: 5=

Ja

[ f 2 ( x ) - f t ( x ) \ d x . Si las curvas se dan

en forma paramétrica: x =
EL AREA AREA EN COORDENA COORDENADAS DAS CARTESI CARTESIANAS ANAS..-

Se determina por la fórmula S = í f( x ) d x , donde y = f(x)> 0, que es Ja el área del trapecio mixtilíneo, limitado por dicha curva, dos verticales

S = f i¡/(t)(p\t)dt, ¡/(t)(p\t)dt, donde tx y t2 J'i

en los puntos x = a y x = b y el segmento a < x < b.

se determinan de las ecuaciones: segmento [tx,t2] (2 )

a = tp(t i) i) y b = (p(t 2) 2) (tp > 0) en el

AREA EN COORDENADAS POLARES.Si la curva continua, se da en coordenadas polares polares por una ecuación r = f(\|/), el área del sector AOB, limitado por el arco de la curva y los radios polares OA y OB, correspondientes a los valores
B_ r En un caso más general, cuando el área S de la figura limitada por dos curvas continuas y = y = f f ¡( x ) e y = y = f 2 (x) y p or do s v erticales x = a y x = b, donde / , (x) < f 2 (x)

278

Eduar do E spinoza Ramo s [f(V)]2dy/

1623

279

Aplica ciones d e la Integr al Defin ida Lueg Luego: o: para para y = 0 ; l n x = 0 => x= l S = J y d x = ^ \n xd x = ( = ( x l n - jc)|

Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4 x - x 2 y el eje de abcisas.

S = (e (e ln e - e) - (1 ln ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1); 1); luego luego S = = 1 u 2

Desarrollo y = 4 x - x 2 la intersección con el eje X es: para y = 0 => 4 x - x 2 2 = 0 ; x = 0 ; x = 4 como y = 4 x - x 2 => y — 4 = —(x —2) 2, es una pará bola

\

y = 4 x - x2 1625

Hallar el área de la la figura limitada limitada por la curva y= x(x x(x - l)(x - 2) y el eje OX.

Desarrollo

= f y d y = f (4 x- x 2)dx 2)dx = (2x2 Jo Jo

3 lo

= ( 3 2 -— -— ) - 0 = — 33

iLuego: Lueg o: c5 = 32 — u2~ 3

1624

Calcular el área de la figura limitada por la curva y = ln x, el eje OX y la recta x = e.

Desarrollo Hallarem os la intersección con el eje X de y = ln x.

4

11

v4

12

(------ x ' + x H + ( ------+ ------ + x3- x 2 ) 5 = (------ x 4 lo li 4

280


S = ( I - l + l ) - ( 0 ) + ( J £ +8 _ 4 ) - ( - I + i - i ) 4

1626

4

281 281

Aplic acione s de la Int egral De finida

.•.5 = i + I = I = I ¡<2

4

4

4

2

2

Halla r el área de la figura limitada por la curva y 3 = x , la recta y = 1, la vertical x = 8.

Desarrollo

1628

Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje OX, n las rectas x = x = —

3

Desarrollo

,i y = tg x

Y J y 3 =

-V

y = 2fx

A ( y - l ) ¿ x = J ( < / II- l W x = | j c 3 | XX- x j 8

/ t í l S S= 2(16-1)-(8-l)= — 4 4

1627

- i 4l ;

lueeo:

S

4

/

u2

-

í

y d x =

r

Jo

2

1629 sen x sen x dx = c o s J = - (eos 71- eos 0) = lo

Por lo tanto: S = 2 u 2

—

S =-(ln —-lnl ) = -( -l n2 ). Porlotan Porlotanto: to: 5 = ln2M 2

Desarrollo

Jo

c

r X

ln(cos x)| ’ = -(l n( co s^ ) - ln(cos ln(cosO)) O)) = Jo J 3tg xd x = ln(cos lo 3

Calcular el área de la figura c omprendida entre una semionda de la sinusoide y = sen x y el eje OX.

'=

s i l | X j

i i i 1 K 2

-(-1 - 1) = 2

Hallar el área de la figura comprendida entre entre la hipérbola verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX.

Desarrollo El grafico de xy = m

es:

xy = m 2 , los

282


283

Ap lica cio nes de la In teg ral De finid a = 0 - a 2 arctg(-°°) + a 2 arctg(°°)-0 arctg(°°)-0 = 2 a 2arctg(°°) 2arctg(°°) = a 2n

S

por lo tanto: 1631 1631

O O S =a~K u~

Calcular el área de la figura limitada por la curva y = x 3, 3, la recta y =

8 y el

eje OY. Desarrollo 3 El gráfico de y = a es: y

/y =

I I 0 0 <

/ y

S - m" (\n?> (\n?>a - \n a) = m2 ln 3 porlo lanto : 1630

S = w 2 ln 3 « 2

/

Hallar el área de la figura comprendida entre la curva curva de Agnesi. y =

Como y = x

x 2 + a 2

y el eje de abcisas. Desarrollo

5=

El gráfico de y = y = — ----- es: ----- x 2 +a 2

J—

f J-~ a +íz +íz

S = lim i — a

a~’~™Ja x~ + a

1632

X

=> x = ^Jy

~3 -I 4■8 3 f .8 í*8 r8 Aífv= l [ y d y = - y 3 \ \ = - ( 1 6 - 0 ) . Jo Jo ' 4 ’ lo 4

Por lo tanto: S =

Desarrollo f ”_ f L . A+ J ^ x +a Jo x~+a

Y , y-, = 7 2 px L _ ( 2 p , 2 p) x f /

2 dx + lim f - - ^ É L = lim arctg— I + li m a arctg-

o X +13“

a-»-«

aV™ (a (a atcíi=¿7 a ~arctg(G))+ lim (a 2 a r c t /] g - - a 2 arctg(O))

12 u ‘

Hallar el área de la figura limitada por las parábol as y “ y “ = 2p x y x~ = x~ = 2py

^ ^

0

X2

2p

X y2 = 2 px

284


285

Aplica ciones d e ¡a Integ ral Defi nida

Buscaremos la intersección entre las curvas y 2 = 2 p x , x 2 = 2p y como x X4 V

- 2 py =>

- Reemplazan Reemplazando do en y 2 - 2 p x

•> 3 ' ~ ‘-Px -Px => x ' =8 p~ => x = 2 p y x =

0 y = 2x - x2

p a r a x = 2 p = > y 2 =2 p x = 4 p 2 =*. y = 2 p ? x = 0 =>y = 0

f 2? r 2p 2 ( : V i = I ( y ¡ 2p 2 p x - — ) dx Jo Jo 2n

* p 6

3jc 3jc2 r \ „ 1 2 \ | 3 27 27 „ 81 -54 27 9 n tanto: = (----------( -----------)) = ( ----- — ) - 0 = --------- = — = - . Por tant o: S = A - u ¿ 2 3 ¡o 3 3 6 2 2 6

0) 1634

„ _ 8 /r

3 1633

4 /> /> 2

4

,

Calcular el área del segmento de la parábola y = x 2 que corta la recta y = 3-2x

4

3 ~ ~ 3 P ' Porlotanto: S = ~ P u 2

Desarrollo Los puntos de intersección son:

Calcular el área de la figura limitada por ia parábola y = 2 x - x 2 y la recta y = -x

Desarrollo Buscaremos la intersección de: y = 2 x —x 2 , y = -x Luego: - x = 2 x - x 2 => 3-t-jc2 =0 => x = 0, x = 3 Como y = 2 x - x 2 => y - l = - ( x 2 - 2 x + l) => y - i = _ ( ^ _ i )2 Es un parábola de vértices V(l ,l ). Su gráfico es:

y = y = x 2; y = 3 - 2 x => x 2 = 3 - 2 x => x 2 + 2 x - 3 = 0 para x = -3, y = 9 ; x = 1, y = 1. Su gráf ico es:

x = -3 => x = l

28 6

Eduar do Es pinoza Ramo s S-J

[(3-2x)~ x 2]d 2]dx = (3 x- x2

)J

1636

x2 y = — -

Desarrollo Las intersecciones intersecciones entre las parábolas son:

Calcular e! área de la figura comprendida entre las parábolas y = x 2 , y = — 2 y la recta y = 2x. Desarrollo

— = 4 - - x 2 => x 2 = 4 => x = - 2 o x = 2 3 3

Las interseccione s de las las rectas y = 2x Con la parábola y = x 2 s o n *2 = 2* =* x = 0 o x =

Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas y = 4 - - x 2 3

>

K $ - O 1 —) - ( - 9 - 9 + — ) = —-( -9 ) = —+ 9 . Por Por tan tanto to S =—~u =—~u 2 = 10 | > J 3 3 3 3 U

1635

287

Aplic acione s de la Int egral D efinida

4 4 2,—), (2, —). Su gráfico es: Luego los puntos de intersección (- 2,—),

2 4 - ^ x 2

x2

X 5 = [ ' ( 4 - - x 2 - — )d ) d x = f ‘ ( 4 - x 2)d x

J -2

Luego los puntos de intersección son (0,0), (2,4), las intersecciones de la recta

^

^

J -2

*2

y = 2x con y = — son (0,2) y (4,8). (4,8). Luego: S = = S, + S 2 .3 |4

1637

Calcular el área de la figura comprendida entre las curva de Agnesi:

2

y y = — —- y la parábola y = — . l +x 2 ~ ^ 33 -66 ^_ ^ _ 0 + ( 1 6 - ^6 “ ^_ 4 _ ^6 =3 T 3+ T ‘ Po rt rt a nt nto : S = — 3 =4 u 2

Desarrollo

288


ii

= (ex +e~x )f < '= JoloÍ (ex ~-e~x)dx

x ■ 1 y la parábola y = Las intersecciones entre la curva y = ----- y = :— , son: son: ----- -

1+ *2

2

S

1639

= (e + e 1) - 2 =

Luego los puntos de intersección son: (—1,—) , (1,—) f* 1 x 2 S= (— r i — ~) dx = arctg J j - i l + x ¿ 2

+ -^- = 1 ; b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2b 2

a 2 b2

, Vb2x2b2x2- a2b a2b 2 2 -y , 2 2 2, 2 a y = b x - a b ; y = ± ------------------

2

Io x 3 ! 1 1 1 — ~ \ = arctg (l) —arctg (— (—!) —[—+ —] |_i 6 !_[ 6 6

„ C2a \lb2 x 2 - a 2b 2 J , b C 2 a r ^ a2dx 5=2 --------------------------- - d x = 2 V* a ajn J a

5 = 2 a r c t g Q ) - - = 2~ 2~ - . P or ort a n to : S = ( - - - ) u 2 3 4 3 2 3 1638

portanto: portanto: S = ——— m2

x 2 y 2 Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola — + ~ = 1 y la recta x= 2a a~ b Desarrollo Como: Como:

2

289

Aplic acion es de la Inte gral Def inida

S - — (—\jx2~ (—\jx2~--a~ln \ x + y[x2 a 2 |)j a 2 2

Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = ex , y = e~x e~x y la recta x = 1 . Desarrollo

| 2a

S = —[ ( x j x 2 - a 2 - a 2 ln | x | x + x 2 - a 2 |)]| a

la

La región comprendida po r las curvas y la recta es: S = — [ ( 2 a \ ] 4 a 2 -

a 2 - a 2 [n (2 a + y ¡4 a 2- a 2

)) + In a 1

5 = —[2a 2V 3 - a 2 l n( n( 2 a + a ^ )] = ab[2sj3 - ln(2 + 73 )]u2 73 )]u2 a a 2

1640

2

2

Hallar el área limitada por la la astroide: astroide: x 3 + y 3 = a 3

Desarrollo

290


291 291

Aplica cione s de la In tegral D efinida eos 49 3 2 f ^ r 1 - eos + sen" 20.eos 2 9]d9

= 2 J„ [-[-

r _ 3 2^6 sen 29 29 eos eos 29

1641

Como las cuatro regiones son simétricas se tiene: pa

ña _ 2 _2 _3 5 = 4 >>ÉÍr = 4 | (a 3 - x 3 ) 2 d x. Sea x = a z 3 => dx = 3az 2dz Jo Jo

sen 32 9 1 2 _ 3 ^2^

3a~n ^2

Hallar el área de la figura comprendida entre la catenaria y = y = a cosh(—) , el eje a ü 9 OY y la recta y = y = — (e~ — (e~ +1). +1). 2e Desarrollo El gráfico de y = ac os h(—) h(—) es: a

2 2 3 5 = 4 JoIr*(a32 - a 3z2)23az2dz 3z2)23az2 dz = 12a2 j Jo(l*»>- z 2)2z2dz 2)2z2 dz z = sen 0 => dz = eos 0 d0 para z = 0 =* 0 = 0 ; z = l

K => 9 =■ =■ 2

^

r 1 f 1 3 3 S = 12a25 I ((1l-- z 2)2 z2dz = z2dz z.cos zd z) 2)2z2dz 2)2z2 dz = = 12a z)2( z.cos zd 12a 2 Ii " ((1-sen 1 - s e n 2 z)2(sen Jo Jo K

X 1*X 2 4 Z _r i o Z 1 .1"^ CO S20 5O -1 120 « Z2 IIí ¿“ cos z.sen“ z.sen “ z d z a I ( )( )d , 6. ----------- 12 ------------ )d eos 4 2 zd z = 12 2 f ^ ( — 0 . )(-----------Jo Jo

' = — a

2

2

í 2' (sen 2 29 + sen + sen 2 29.cos29)d0

Jo

-r* 1 it 1 _ a re 2 + 1i ~* J a £ 2 .+1 _i S =■— í—----- x í—----- x - a e a +a e a ]\ = —[a - a e + a e + a - a J lo 2 2 2 e

,

a r e2 e2 + l 1 a 2 e2+l 1 a" 1 1 2a~ a2~e-i S = - [ ------ - ~e ~ e + - ] = — [----------- e + -] = — [e + — e +-] = —- = a~e e 2 e e 2 e e 2 e 2e Por tanto:

S = 2a2e

1u

292 1642

Edua rdo Es pinoza Ram os

293

Aplica ciones de la Integr al Defi nida

Hallar Hallar el área área dela figura figuralim limitada por por !a curva a2y2=x2 2=x2(a2(a2-xx2) Desarrollo

Com o la curva es simétrica, se tiene: tiene: y = ---- (2 5 - x 2) 2 luego: ' 125

Sea x = 5 sen 0 => dx = 5 eos 0 d0 Para Par a x = 0 => 0 = 0 ; x = 5 => 9 = —

2

i6 r 5 — i6 r l — S = — (25-A: (25-A :2)2d x = - — (25 - 25 sen 2 9 )2 5 cosí» d9 125 Jo 125 Jo

Como la figura es simétrica y = ± — yja 2 - x 2

a

4l

y dx ~

~ Va Va ~ ~ x d x . . S ea x = a sen 0

dx = a eos 0 de

= 80 f 2 eos 49 d9)\6x 5 = 80 í 2 ( ^ ^ - ) 2d9 Jo Jo -

K S = 4J <19 = 4a 2 f 2 4J ' senQyfa2- a 2 sen2 9 a eos 9 <1 2 eos 29 sen 0 dO

a

—

Jo

= 20 í 2 (1+ 2c os 29 29 + + eos 2 29)d9 = 20(9 + 20(9 + sen 29 29 + + - +

Jo

2

= - | a 2co 2cos30|2= - l a 2(O(O-l) => S = i aV J lo 3 3 1643

Calcular el area de la figura comp rendida dentro de la curva

Desarrollo

8

2 lo

n = 20(— + sen sen 29 29 + + 2

(~)2 + (2 ,3 5

4

1644

8

—0) = 15tt 15tt por lo tanto: S = = 15* u 2 2 = 20(— —0) 4 lo

Hallar el área de la figura comprendida entre la la hipérbola equilátero a 2 - y 2 = 9, el eje OX y el diámetro que pasa por le punto (5,4). (5,4).

Desarrollo Y


294

m = — => y = - jc ; la intersecci ón es: x 2 - — x 2 =9 => => 9x 2 = 225 =¡>x= =¡>x= ± 5 5 5 25

295

Aplica ciones de la Integ ral Def inida

1646

H al all ar ar el á re rea de la fi gu gu rraa li mi mit ad ad a p or or la c is is oi oi de de y x = 2a, (a> 0).

2 ay - x

su as ín ín to to ta ta

Desarrollo

como la curva es simétrica se tiene: -9 -52) = 2lJ ~a.íí ~a.ííx: x: + J j x - y j x 2 - -9 )dx] í )dx]

|3

5 = 2(— + — 15- [ - j x 2 - 9 - -\ - \ n [x [ x + J x 2 -9]]|5) 5 lo 5 |3 2 2 |3 1O

1O

Q

O

5 = 2f(— + 10 ---- )~(10 — ln9) ln9) — ln3]. Por tant tanto: o: S= 91 n3 « 5 5 2 2 1645

~

Hallar el área de la figura figura comprendida entre entre la curva y = y = —, el eje OX y la recta x = 1, (x > 1 )

Por la simetría se tiene: /»2a

— - — dx = 2 lim j 2a-x

Desarrollo

Hallamo s la integral

f \~~X ~ } X\ 2 a - x Sea z r

5 = i " y d x = Ji

= limp^=lim--r=lim¿-l) Ji x*-x”Ji x *-x”Ji x b-* b-*°° -xli í’~>“ b

S = -(0 - 1) = 1 por por tant tantoo 5 = 1

f I x J 2a ~

2-z-2zdz 2zdz - [ z 2-z>/2a - z 2

J

d xx''

Se3 * Z ^ d x 2 z á z

Z*dZ ? f Z*dZ J ^ 2 2 a - :

7\¡2asend => dz = \l2ae os9 d9 ~

f

di

74

x J - ^ - d x \2a x

f 4a 2 sen 49.y¡2a cos9 dO

f e r 2J — ^

296


297

Aplic acione s de la Inte gral De finida f 2 fl

= 2a2 2a2ff (1-2 1- 2 eos20 eos20+ eos226)d6 = 2a2 2a2(- -- se n20 +—— +—— ) J 2 8

= 21

Jfl

í«V2 a ( x - a ) —¡ = = d x = 2 | y ¡ 2 a - X ' Jy fZ

(z 2 - a) a) - ¡ = L = 2 z dz \¡ 2 a - z 2

**2a 2a2-£ 2-£

como 5 —2 lim1 I

£-»°J •*Joo

x. j --------dx -------- dx cambia ndo los limites se tiene: \ 2a - x

S = = 2.2a2 ( ^ - sen 20 + 20 + 2 por tanto:

8

A = 4 = 4

a2* 2 = 4 a 2( ^ - 0 ) = 3 a2

J.■Ja

sen 0 =

lo

: = V ía sen 0 derivando se tiene: dz = dz = -Jla cosOdO

\¡ 2 a

I — sen = —¡=, u = — 1 Tí z = \¡a, 0

S = 3a2n u 2 tg 0 =

1647

... ( 1 )

v2a -

Hallar el área de la figura comprendida entre la estrofoide su asíntota a > 0.

y 2 = — —— , y 2a - x

2

-¡2 a - z 2

= 4 f

Desarrollo La grafica de la estrofoide y 2 = ———— —x 2 a —x

V 2

tt

z = V2a, sen0 =l, 0 = —

(72 (72 - a) z —

es:

4

-—

t

=4

| 2 (2asen 20-a>'/2asen0.tg0.\/2acos0d0

71

„ „ „ l - c o s 20 eos 20 -1 ) ------------ dO

A = A = 8a I ( 2 s e n ~ 0 - a ) s e n 0 d 0 = 8 a

'J ¿

4

n

«4-

eos 20( 1 - e os os 29)d9 = 4 = 4aa

-eos 40

- e o s 2 0)d9

X A = 4«*<® _ ü í i i _ 2 2

.v = (. x - á ) - ¡ J L = ; V2a - x

sea x = z 2 => dx = 2zd z, para para x = a, z = 4 a ; x = 2 a= a= > z = y¡2a

J í = V [ ( í -- 0) - ( | - 1 ) ] I* 4 8 2

A = a (—+ 2)m 2)m

2

[ 2a (x-a) 2va ( ■J 2 a

2

1648

Calcular el área de las dos partes en que la parábola y = 2x divide el circulo X2 + y 2 = 8 .

Desarrollo

298

Eduar do E spino za Ra mos

299

Aplicaci ones d e la I ntegra l Defin ida

1649

Calcular el área de la superficie comprendida entre la circunferencia x 2 + y 2 = 16 y la parábola x 2 = 12( y - l ) . Desarrollo

Buscaremos los puntos de intersección x 2 + y 2 = 8 x 2 + 2 x - 8

= 0 => (x + 4) (x -2 ) = 0 => x = 4 o x

=2

Buscaremos los puntos de intersección: intersección: jt 2 + y 2 = 16 => .v2 =16 - y 2 => * 2 = 12( y - l )

Luego x = -4 no se toma en cuenta, cuenta, por tanto los puntos de de intersección es: es: (2,2), ( 2,-2), por la simetría se tiene: -

r 2 2 B =

Jo

v>

.y ¡2 _____ _____ r 2' 2'/2 -2 +j ydx ] = 2[J s¡2xdx s¡2x dx + j y j s - x 2dx

=> 1 6 -y 2 =

12 _y—12 => y2 +12 y-28 = 0

de donde y =

2y¡3 ; por la simetría se tiene: 2 => x = ± 2y¡3

ir 2>/3 2>/3

b

= 2 í ^ | í i | ! + ( £ V ¡ r 7 + 4 ar arc s en ^ = )| 2V 2V' ] 3 lo 2 2V2 I2 !

B = B = 2[—+4arcse 2[—+4arcse n(l) J

5 =2

3

- -------------------------

S = 2 l 2 j 3 + - - - S ] = —

3

3

3

|2>/3

3

3

- - S = ( - ^ - - V 3 )u2

3

3

3

. 16 4 /— 32 4 rr 2 2 para la parte A se tiene: A = x r - s = lb 7t - ( — n — n — V3) = (— n +—\l +—\l3) 3)uu 3

para la parte A se tiene: A = n r 2 - B = %n - (2n + + - ) = (8n -2 - 2 n - - ) u 2 3 3

1650 Por tanto: A = ( 6n - - ) u 2 3

2

.

4arcsén 4= )] = 2[ - + 2 n - n ] = (2* + - ) u 2 (2 + 4arcsén

V2

Jo

------------.-------------

[V1 6 - x 2 ------------------------ \]dx = 2[—V16 2[ —V16 —jc2 +8arcsen--a]| 12 9 4 36 lo

3

3

3

Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = x = a eos 3 1 , y = b sen b sen 3 1 .

Desarrollo

)0

Eduardo Espino za R amos

Aplic acion es de la Inte gral De finida

301

y/(f) = a cos 3 1 => para p ara x = 0 =* i, = —

* sen 2í I2* 2fa , , 2 x . 2/ o S = a I (l-2 eo sí + eos eos t)dt = a (t- 2s en t + —+ -------- )| Jo 4 lo 2

=> x = a => t 2 = 0 => \¡t(t) = b sen 3 r

sen 2r | 2,r „ 2 _ 2 3í „ „ „ 2 2 5 = í j “ (------ 2se ní + -—-— )| = a ( 37T—0) = 3 a n . Por tanto: S =3a~n u"

como y/(t) = ac o si t

y/' (t) = -3 a c o s 2 t . s t n t d t 1652

5=4

. C 2 <*° i//(/) i//(/).v/ .v/'(O '(Od/‘= d/‘= 4 | ¿>sc ¿>scnn f(-3a cos t.sen t)dt

Hallar el área de la figura limitada por una de la trocoide x = at - b sen sen t; y = a - b eos t,

(0< b < a) y la tangente a la misma en sus puntos inferiores. Desarrollo

«Q * ^0 en 22r(l - cos cos 2i)df 5 = - 12afc f sen 4/cos 2 i JiJi = — y - I s en

2

Como x = (p(t) (p(t) = at - b sen t

2

x = \j/(t) \j/(t) = a - b eos t

o , 3ab ,t senAt sen 32/!° 1 i-c o s 4 í (i— 12 Sen 2 t. cos 2 t)dt = — — [ - ----- ---12 _ _ _ Sen ------------— --— I 7T

2 J"2

3abr„ n , 2 4

2

2

*

"

3o/?*

2

8

6

"2

c 3abn 2

5 = ------- [0-----] -----] = ------- por tanto: 5 = — - — u 651

8

8

Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide cicloide:: x = a(t - sen t ) ; y = a(l - eos t). Desarrollo Para x = 0 => /, = 0 ; x =2na => t 2 = 2 n

S = j \ff{t)\¡f\t)dt-A\ hallaremos: f, y t 2 J', J',

Como: \|í(t) \|í(t) = a(l - eos t)

y/(tl) = atl -b se nt l => 0 = y/(tl)

V|f(t) |f(t) = a(t - sen t) =* y/' (t) = (t) = ( a - a e o s t ) d t C2rc

5=J

l C2” 2 o(l - eos t ) ( a - a eos t)dt = a 2 j (1 - c o s t) dt

a/, -bse nf, 0 = a/,

2 an = at 2 - b s e n t 2 2 aK =
=> y '= ' = 0 , es


302 y'z=\fi'(t) = -b s e n t = t = 0 => /, =0 enx = 0

-i

y'= y y'= y// '(?) = - b sení = 0 => t 2 = 2 n en x = 2na. Luego:

S = 8a | (sen t - - eos eos t sen sen /)(2 sen t eos eos t - sen t)dt í

i»2 jt 5= I (a 2 - 2 abeo st + b2 eo s2 t ) d t - 2 a2n + 2 ab n

f° sen / ( l - 3 c o s f + 2 cos“ t)dt 5 = 8¿r I sen sen /(l-cosf )(2c os/- l)df = - 8a 2 j sen Jjl

Jo

í

_

. 2 „ , ¿>2 sen 2 f.|2,c - 2 . S = (a (a t - 2 a b s e n t + — + — + ---------- ) - 2 a +2abn 4

„ 2,3r senícosf eos2r /° „ 2/ft 2/ft 3?r. , 2 2 3 sen2f 5 = - 8a 2(----------------------2(---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- sen í -- ) / = 4 2 /* 4 8

lo

S = 2a 2n + b 2 K - 2 a 2n + 2ab n portanto: S = n ( b 2 +2ab)u 2 1654

1653

Hallar el área de la figura limitada por la cardiode x = a(2 eos t - eos 2t); 2t);

a (2 sen í - sen 2í)a( 2 sen 2t - 2 sen t)dt

r° eos t )(4 )(4 sen t eos eos t - 2 sen t)dt = 2a 2 i (2 sen t - 2 sen t eos

f 2 2* os t ) ( a - b e o s t ) d t - ( a - b ) 2 K S = { \ f ( t ) ( p \ t ) d t - A = I ( a - b e os Jo J'i

2

303

Aplica cione s de l a Inte gral D efinida

Hallar el área de la figura limitada por el lazo del folium de descartes 3a/ 3at 3at 2

y = a (2 sen t - sen 2t)

Desarrollo

Desarrollo S=

y/(t)(p'(t)dt , donde d onde y = y( t), x =
3at 3at siendo \¡/(t) = ------ — ------ — y
S = f y/(í)i// \t)dt donde \j/(t) \j/(t) = a (2 sen t - sen 2t) J», J»,

\j/(t) \j/(t) = a (2 cost - cos 2t) ; y/' (t) = a (2 sen 2t - 2 sen t )


304

3a?

305


3a(l-2í )

S = 2 .— f r 2dy/ = f [a(l + cosi^)] 2í/i/^ 2 Jo Jo

Como: 9 (0 = -— j => V (0 (0 = n <3" i + r (l + r )

5 = a 2J (l + 2 cosy/ + cos 2\¡/)d\¡/ = = a 2( 2( ^ + Jo

(1 + í3)

por tanto:

S = 9 a2 a2[ f ” — ^ y y ¿ / - 2 f 4 ± Í T íÍí1 Jo

(1+ f3)2

Jo

(r3+l)3

1656 S=9a¿[-

l+ rr3) 2(1+ r 3)2 3(1+ ) 7/ 0o

S = 9a2(—) = ^ — por lo lo tant tanto: o: 6 2 1655

+ sei^~ ^ ) j 2 sen 0 + sei^~

Jo (1 + f )

_ 3a 2* S = -------

1

2

Hallar el área área comprendida comprendida entre entre la primera y

segunda espiral de de

Arquímed es: r = avy avy

9a 2f 0 - [ - - + - ]] ]]

2 3

Desarrollo De acuerdo al gráfico se tiene:

S = ^ —u~ —u~ 2

Halla r el área de la figura figura limit ada por la cardioide r = 0 (1 (1 + eos \|/)

Desarrollo •P Se conoce que : 5 = 1 f r d y , dond e r = f(\|/) 2 Ja

1 f 2* 2*

El gráfic gr áficoo de r = 0 (1 (1 + eos vj/) vj/) es:

S = = —

2 Jo

(r22 - rf )d\ff , donde r, = a y/ ; r 2 = (y/ + + 2*)

1 f 2,1 S = —I ([a(i//+ ([a(i//+ 2*)]2 - a 2\¡/ \¡/ 2 ]d\f/ ]d\f/ por lo tant tanto: o: 5 = 8 a 2* 3M2 2 Jo Jo

1656

Hallar el área comprendid a entre la primera y segunda espiral de Arquímedes: r = ay

Desarrollo

De acuerdo al gráfico se tiene:


306

Aplic acion es de la Inte gral Def inida a2 , sen4w sen4w / t = — (v^ + 2 4 /o a

( r 2 - r 2 )di¡/ , )di¡/ , donde r, = a y ; r 2 - (y + 2 n)

S=- f

2 Jo

1658

K

307

2 ¿r/t

2

8

Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 4i^ Desarrollo

s= I

Jo

( 2 a 2 y/n + y/n + 2a 2 Jt 2 )d y = {a 2 y 2K + 2 a 2n 2n y ) j ^

por tanto:

2

3

S = = 8a K u

2

= 4.—f 2 Jo

1657

Hallar el área de las hojas de la curva. = - 2 a 2(—

Desarrollo De acuerdo al gráfico se tiene: tiene:

4

1659

4

) = a 2 por tanto:

S = a 2u 2

Hallar el área limitad a por la curva r = a sen 3\|/ 3\|/ Desarrollo


308

5 = —.3 f 3 dy/ = —f 3a 2 sen 2 3t//dy/ 3t//dy/ = - a 2 f 3 r 2dy/ =

2 Jo

2 Jo

2

Jo

3(1 L°S ^ -)d\f/ 2

3a 1 , sen 6yr 3a2tn _ = ---------(w ---- — ---- —)) / 3 = ----------( ---------- (-----0) ----- 0) . Por tanto: tanto: 6 / 0 4 3 4 1660

309

Aplic acion es de la Inte gral Defi nida

„ a2n 2 5 = ------u ------ u 4

Hallar el el área limitada por le caracol de Pascal Pascal r = 2 + eos \|/ \|/

Desarrollo El área es el el doble del área desde 0 a tc,

luego

=I (4 + 4cos y/ + cos? 5 = 2.—I r 2d\)f= I (2 + cosif/) 2d\f/ =I 2 Jo

Jo

1662

Jo

Hallar el área e la figura limitada por la elipse

r=

1 + ecosi^

,

(0 < e < 1)

Desarrollo w sen 2u/ i n _ = (4w + 4senu/ + —+ ------ —) —) / . Por tanto: r r 2 4 / o 166 16611

Hallar el área limitada por la parábol a

9 S = — ttm ttm~ 2

r = a sec*

?

_

1 | **22 2 .

y * '= ' = 2 ; S = 2 j í

4

Desarrollo

= 2 f 2 f 2 r 2d\¡/ =

5 = 2/?

— -— ■ —

1663

2

------

------ - d y ---------

Jo (1 + ecosyO

2 Jo

* y las sennrec tas W ~ ~

n 71

5=4.-

dljf

ecos r) 1o (1+ecosr)

,

Ttp

integrando se tiene: 5 = --------- - u

2

(1+e2)2

Hallar el área área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 3\|/ 3\|/ que esta fuera del circulo circulo r = a Desarrollo

Eduardo Espino za Ram os

310

Aplica ciones de la Integr al Defin ida

Sean r, = 2a eos 3i¡ 3i¡/ y r 2 = a

5

©

n £ = 6. - f 6( r 2 - r 2 )d\¡f = = 3 j*^ (4a (4 a 2 eos 2 3 y - a 2 )d\¡/ )d\¡/

2Jo

LONGITUD LONGITUD DE LA CURVA CURVA DAD DADA A EN FORMA POLAR. POLAR.-Si r = V|/( V|/(9) 9) es la ecuación de la curva en coor denadas po lares r y vj/ vj/,, la longitud L del arco es:

Jo

'

2

,2d y L - I \Jr2 + r ,2

Ü TC u 2 por lo tanto S = = ----2 1664

J a ________ ____________ ________ ____

Hallar el área limitada por la curva

donde a y P son los valores valores del del ángulo polar en en los puntos extremos del arco.

x 4 + y 4 = x~ + y " . Sugerencia: pasar a

coordenadas polares; polares; por tanto tanto 5 = K\¡ 2 u~

6^2.

1665

LON GITU D DE ARCO DE UNA CURVA .©

311

LONGITUD LONGITUD DEL RECTANGULARES

ARCO

EN

Calcular la longitud del arco de la parábola semicubica y 2 = x 3, desde el origen de coordenadas coordenadas hasta el el punto, cuyas coordenadas son x = 4; y = 8. Desarrollo

COORDENA COORDENADAS DAS

Consid eremos y = f(x) una curva, la longitud L del arco de la curva comp rendida entre dos puntos x = a; x = b es:

L = í x/l x/l + y' 2dx ____ Ja ________ __________ __ ©

LONGITUD DEL ARCO DE UNA UNA CURVA CURVA DAD DADA A EN FORMA l'ARAMETRICA.Sea x = \|/(t), y = vj/ vj/(t (t)) ecuacio nes de la la curva en forma paramétrica , la longitud L del arco de la curva: L = f V Í T y ¡ d x = Jo

,2dt L = ( yjx 12+ y ,2dt ¿í, ____________ ____ ¿í, ____________ donde r, y i, son los valores del parámetro correspondiente a los extremos del arco.

1666

Jo V

4

=

27

4 X

/ 4= ± (io S ó -i)

/ o

27

Hallar la longitud de la catenaria y = acosh (—) (—) desde el vértice A(0,a) hasta a el punto B(b,h). Desarrollo


312

f V* + l , £ ) = a(£l ± f_ l) de dond dondee e '

313

Aplica cione s de l a Int egral Def inida

+ 1 = 0 , despejando

f z l z d z

) ^ r d x - ) w

f z 2dz

r r 2)

^

z = see 0 => dz = see 0 tg 0 d0 4y 2

2 y.

,y— + E -* = ,ln( ln(— a

-4

Z

C z dz f see d.secB.tgOdG f 3 Q ,a I ------ = ........ . integrand o por partes ----- = I see 0 du , integrando J Vz~ — 1 J Vsec 20 - 1 J

y ± \¡y 2 -<■

-

x = aln(

.)

y+

■= |

J & -J 1

a

dx

a

dy

^ y 2 - ó 2

t d x s2 W dy

^

a y2 - a 2

OdO = —[ln | see# + t g0 | + tg 0 .sec0 ]

5-^....... = l[l n |z + Vz Vz 2 - l | + z V z 2 - l ] f - 5-^.

(2)

2

JV ¡ M

reemplazando ( 2) en ( 1) se tiene: í f W

d y ‘ 1 f ^

d y = 1

5

dy

v

J

'V-jf + 1

2 J dx ~ 2

r *2

= ln | z + Vz2 - 1 1+zVz2 - 1

= V ^2 - a 2 “ O lo nngg itit ud ud L = \ h ~ - a 2

1667

j* ~ j = J - d x = = ln|V *+ l+ Vx | +Va.V +Va.V** + 1 j j

Calcular la longitud del arco de la parábola y = 2 ^ desde x = 0 hasta x = 1. 1.

Desarrollo

L = L = f -

Jo V*

=■

dx = dx = (In | yjx | yjx + \ + \l~x | +\¡x.yjx+ 1) +\¡x.yjx+ 1) /

o

y '2

Por lo tanto L = L = V2 + ln(l + V2)

2

I

I l ^ X d x fx

1668

Calcular la longitud del arcó arcó de la curva puntos ( 0, 1) y (l,e).

f‘VITÍ calc ulando ula ndo | —— j= — d x , se tiene z Jo V* Vi '

x +1

Desarrollo

y = e x =* y'- e* => y'2= e 2jr

y = e* , comprendido entré los


314

315

Aplic acione s de la Inte gral Def inida y = ln x => y , =1 - => >' ,2 = —1 x x

+ e2x dx dx calculamos calculamos J \f\ + e2xdx para es to z 2 = \ +e2x + e2x => zd z = e 2xdx 2xdx pero l + e 2 x = z 2 => e 2x = z 2 -1 Luego zd z = e2xdx = ( z 2 - l ) d x de donde dx =

z dz

z2- 1 para es to x = tg 9 => dx = se c 2 9 dO N x ~ + l . f yjtg2 e + l f 2 --------- dx = - sec 6 dd = I sec d . — J x J tg 6 J

I -- 1 . y]e2x + 1 - 1 í, 57 1. +1 -1)“ = Vl Vl + e2* e2* + -ln ■= = = — =V l + e2x e2x + —ln------- ^ -------2 V ¡ ^ +1 2

3 C°S0 dd sen 9

_ f sec 0 ^ _ f (cosccq f (cosccq + tg£ + tg£ sccd)d sccd)d 9 = ln = ln | cosec 0 - ctg 9 |+sec J sen# J ex , . y]\ y]\ + x 2 1 . r j ,n/i + jc2- 1 í. = l n | — ---- - — I+VI + a: = ln -------------- + Vl + x x x x

L = J yl \+ e2xd x = [y¡l [y¡l + e2x + ln ^ e ^ ~ ~ ]/ ]/ Q

L=^

+ 7 +

L = í JÍ J M

y¡ 2 - ln(V 2 - 1 )

e

0

L = ^ - J ~ 2 + t a Í ^

NO TA : in ^

1669

- ^

^

>/2+1 /2 +1

M e ^

1

i

£

1

= l n ^ + ln v/ v/3 + l = l n ( ^ ) + l = l + - l n V2 2

i n - J — = -l n( x/ 2 + l) v 2 +1

Desarrollo

X

L = (ln-yr (ln-yr + 3) -(ln -r +2) = ln-7= ln-7= + l + ln> ln>//3 v8 V3 v 2

±2

Hallar la longitud del del arco de al cuya cuya y = ln x desde x = \¡3 hasta x = -s/8

dx = lln lln

X

1670

2

Halla r la longitud del arco y = arcsen e”* desde x = 0 hasta hasta x = l .

Desarrollo

2

9


31 6

y = arcsen e

=> y y = — f=> y

_ 757 ,2 =-—

317

Aplic acione s de la Inte gral De finida

•e - 2 . 1

-2 1 4 2

r« r« e2 1 1 e2+ l 2 4 4 / 11 4

L = f 2 _ t l ^ = ( 2L + I i n y ) r = -

** * I - * '

Ji

1673

2y

Hallar la longitud del arco de ^ ^ r 2

la

curva

derecha de

tractriz

2"

x = -â 2 - y 2 + o ln ln | ——— ---- — | desde y = a hasta hasta y = b (0 < b < c.) y

= f ' eX
1671

1

ln(é’+ V ¡ M ) - l n ( l + 0) = ln( ln(ee + V ¡M ) - 1 [ / ’ = ln 'o

Calcular la longitud del arco de la curva x = ln sec y, comprendido entre n = 0 a y = —

y

3

Desarrollo x = ln sec

L =

y

dx dx sec y sec y tg tg y y => — = --------------------= ---= tg v dy sec y

n_ ______ it ___ _ ____ _ J l + ( ~ ) 2 d y= f 3 n/i n/i + tg 2 yd y = í sec y dy Jo V dy Jo Jo

a = ln(sec y + tg y tg y ) j 3 = ln (2 + \¡3 ) - ln 1 = ln(2 + >/3)

1672

1 2 1

Hallar la longitud del arco de la curva x = x = —y* —y* - —ln y desde Desarrollo _ 1 2 1 J‘ _ 4 'V 'V ~ 2 n y

^

dx y _ 1 _ _ d y _ 2: 2y

dx _ y 2 - 1 dy~ 2 y

y = 1hasta y = e

Desarrollo

318

1674



31 9

Hallar la longitud de la parte cerrada de la curva 9ay 2 = x ( x - ' i a ) 2 . , x , v , x ea +e a y = ln(ctgh—) ln(ctgh—) => e^ = ct gh —= ----------a a í -~ e a —e “

Desarrollo 9a y 2 = x ( x - 3 a )2 =» — = (x - 3 a ) 2 +2x(x~3a) dx

e a +e

a

e X + 1

y = ln -----------= ----------- = l n -------£ _£ ex - 1 e a —e a

¿y = 3o/( x - 3oa w d y = -----------------(x-3a)(x-a) 10 18ay— 18ay — ) ( x - a )a ; — dx dx 6ay

d y _ e x - 1 d ( ex ex + l dx ex + 1 dx ex —1

e x - l ( - 2 ex ) ex + 1 (ex (ex - 1)2

- f

Como 9a y 2 = x (x ~ 3 a )2

y = -

L u eg o ¿ U Í f Z f W ? dx 2a\lx

dx

(x -3 a)J~ a)J~xx 3\[a

(*)

e2x- \

dx

(e2x (e2x -Y )2

esta expres ión sigue del asterisco.

( * ) 2 = < ÍZ ÍZ 2> 2> ! dx 4 ax

)dx -e-2x

Como la curva es simétrica respecto al eje y, se tiene: = [x + [x + ln(l ln(l - e~2x)\ e~2x)\ ¡ h = b - a + ln( + ln(ll - e~b) e~b) - ln(l ln(l - e ~2b) L - 2 \ J 1 1 + (^ y d x = 2 r j l +^ d x dx Jo V 4 ax Í to

/

3a 'u + 2)2 dx Jn Jo Jo V 4<3A“

=2J

e2b - 1 e2a e2b e 2a 1 - e~2b =b- a + + ln ln ------ - = b - a + l + l n - ----- . — = b - a + l n - ---------- + ln^— e2a-l e2b e2b l- e - 2fl e2f ll- l e 2¿ 2¿

-^=(—x2 +2ax2) l “ = 4y¡3a L = [ a \ ± ± ¿ d x = -^=(—

Jo \' V^

1675

3

hasta x = b,

(0 < a < b)

2h _ , , 2b _ | | = b - a + ln + ln — ----+ ln——— ----- + ln e2a - \ n e 2b = a - b + ln——— e -1 e -1

7o

Hallar la longitud del arco

de la curva y = ln( ctg h—) h—) desde a

Desarrollo

a

x=a

1676

Hallar la longitud del arco de la evolvente del circulo sen t); y = a (sen t - 1 eo eoss t) desde, t = 0 hasta t = T.

Desarrollo

x = a(cos t + 1

320

Eduar do Es pinoz a Ram os dx x = a (eos t + 1 sen t) => — = at cos cos t dt

4

2

9c2

4

->

,

. f 2»

2

I C OS OS 2 /

« TI2/

tsen t + ——sen + ——sen tc o s ' td t = 41 3c sen tco sí .¡^=~ .¡^=~~— ~— i-----— -----— a/ Jo V a ¿>2

d\ y = a (sen t - 1 eos t) =» — = at sen/ sen/ dt

sen2t , 1 -s e n 2t sen2t — +^ ~ dt 22 — b2 ,

L = \ J( ~—)2+ (— )2dt = f Va 2/2 eos 2 / + a 2t 2 sen 2t dt J, V dt dt Jo

\b~ \b~ +(a~-b" )sen"t , 6c f 2 /Ti 2 . ---------------------2~ j = 41 3c sent co s t . ---------- —;— ------------------------------------------------------------------------ dt = ----- j Jo a2b2 ah \ Jo

f T. at 2 ,T aT 2 = I at dt = = ---- / = -----Jo 2 / o 2 2

1677

321

Aplica cione s de l a In tegral De finida

= _ L . Í £ ^ 2 Í ¿ / L J _ , » 2 ^ 2 ,5 _ J _ „ 3 aZ?c 3 / 0 aZ?c

2

Hallar la longitud de la evolvente de la elipse x = — eo s / ; y = — sen /, a b í „2 =_ a 2—b. 2)-. (c Desarrollo

2 :_ í _ ( a2 a2) f _ J _ fc3 = 4 a l_ l _ 4 ^ = ^ - ¿ » c = ^ ( a 3 -Z>3) a¿>c abe be ac abe ab

1678

Hallar la longitud longitud de la curva x = a (2 eos eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t). 2t). Desarrollo x = a (2 eos t - eos 2t) => x'= a( 2 sen 2 t - 2 eo s/) => x' = = 2 a(sen 2 t — — sent) y = a (2 sen t - sen sen 2t) => y' = 2a ( c o s r - c o s 2/) Z- = 2 f J (—)2 + ( — ) 2d/ = 2 f J 4 a 2 (senlt - sent )2 + 4 a 2(eos / - eos 2t )2 dt dt Jo V dz J0

y=

c

b

sen 3 t

Jo V d t

dy 3c 2 — = ----- sen sen icos/ d/ b

dt

= 4a J sen 2 2t-2sent.sen2t+eos 2 /-2c os/co s2/ + cos cos 2 2/ dt Jo = 4 a f ^ : 4 sent cos cos / - 2 cos / + 2 cos tsen t dt Joo


322

Aplic acion es de la Int egral D efinid a dr = -asemif r = a (/i1 + eos eos y)a => — dy/

= 4a í 4a í V2 - 2 eo s t(sen2t + + eos 2 t)dt = = 4a f V 2 - 2 c o s tdt

Jü

Jo r_ ñ>¡ ____ _ t K - t C” t _____ _ = 4a\¡2\ jl jl - eos eos t dt = 4 s ¡ 2 a I y¡2se n—dt =% a\ se n—dt Jo

Jo

= 8a(-2c 8a (-2cos— os—) /

2 /o

1679

2

Jo

como la curva es simétrica con respecto al eje X, la longitud total de la cardioide es:

2

= -16a(c -16a(cos7 os7T T -cosO) = -1 6 a( 0- l) = 16a 16a

¿ - 2 f \¡r 2 + r '2 dr = 2 ^ yja2(l+cosy )2 + a 2 sen 2 y/ dy / = 2a ¡ y¡2 +2 cosy/dy/ Jo

Hallar la longitud de de la primera espiral espiral de la espiral de Arquimides r = a \j/ \j/..

Desarrollo S i r = a \u \u

L = 2V2a

dr = > ---- = a dy/

= 4a

--------»0 .---------

f 2 —---------- --------— -------- 2n .— *2re .— L = I s r 2 = a y¡y/ 2 + l d y / = i \¡a 2 y / 2 + a2dy/ = a 2 + r,2dyf = Ja

=l ~

Jo

r

Jo

Jo

Jo

ñK _______ _______ yfl+cosy/dy/ = 2\Í2a 2\Í2a

Jo

Jo

%/2cos(—)dyr %/2cos(—)dyr

2

y/ w / 71 tc cos— dy/ = 4a.2sen(—) / 4a.2sen(—) / = 8a.ve/?------ SasenO = 8a 2 2/0 2

Jo

1681

¥ +y¡¥2+1 il/ 1 ln! ¥

= ^(2*V4 ^(2 *V4*2 *2+l +l + ln |2* |2 * + >/4*2 >/4*2 +1 1)

Hallar la longitud dei arco de la parte de la parábola

Desarrollo

2

Desarrollo

•••(*) •••(*)

2

= aK\¡4n'’ +1 +^ !n ¡ 2k + \[4k 2 +1 ¡ Hallar la longitud longitud total total de la cardioide r = a (1 + eos \|0

r = a sec a sec2(—), cortada de

la misma por la recta vertical que pasa po r el polo.

2 r = r = as ee (—) =>

1680

323

L = 2 ¡

Jo

=

2 j*

dr ----

a 2 = —sec (—)tg(—)

dy/ 2

22

r 2 + Á 2 dy ,

V

dy/

sec4 y + ‘ ^ J a 2 sec4

a 2 see4

J 2 sec3 % ¡d y /

X j.tg 2~ d y / = 2a

—se c — —]] / 2 = 2afln | íg —+ see — \+tg —.sec —.sec —] 2a[ln \tg~ - + scc~-\ + tg •—sec 2 2 4 4 2 2 / 0 4 4

—2¿ —2¿z(l z(ln( n(ll + V2 ) + V2 )

324 1682


Aplic acione s de la Inte gral De finida

Hallar la longitud del del arco de la espiral espiral hiperbólica r \\i r \\i = 1 , desde desde el el punto punto

r = y/± -Jy -Jy / 2 - 1 como r >

( 2,i ) hasta hasta el punto punto (^ , 2).

=yi =yi +Jy/2 +Jy/2-1

Desarrollo

1 => yr =1 -

rvj/ = ry=l

1 \¡/\= => \¡/\= — 1 2 2

para „ r,= r,= 2

r

de donde

325

1 se tiene:

——= 1h—

— además como

yjy/2 - 1

dV

„ ;r, = —=* \\fi =2

l^ = Z (r + -) r 2

dr 1 1 => r = — => ---- = ----- W dyt y/-

para para r ,= l, \|/, / , = 1, r 2 = 3 , y/, = ^ ’ 3

L = [ ¡ r 2 + ( ^ - ) 2 d y / = í 3 ¡(y/ + -Jy/2 -l)2+(1 + - j ^ = ) 2 dy dy / Ji¡/, Ji¡/, V J¡ y - i dyt l ’ C

d v ' / i

" I i t " = Í \

r,

i r,-------- 2

= [ln | -y -y/l + i/i/A +

1683

I

^

\

,

2

, ,3 + v 5 ,

J i \

yÍ 5

ln (— (— — ) + — -------- ] / , = ln y/ / 2 2

Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica encuen tra dentro del circulo r = a.

y/ d y/

1684

y/~ - 1

dyr

5

VV7'2'2 - 1

1

w

2-1

-y= i V t V v '2_1 + ~ l n IV I V + 'Jy 2 “ 1 ll/

- a m e ”'v

6.3. 6.3.

f aemsja + m 2 dy/ = — en"t>\l\ \l \ + ni2 / ' 71 • m

*

Hallar la longitud del arco de la ciu vn

Ji

= pO/' +Vv'2-!) v'2-! ) - r~r—dy/ = f 3(V' + —X= )dy/ )d y/

/ , que que se

i/'

*

»'<

• *i

f

■■

I

Ih i m u

i

=3.

3 po rlo ta nt o Z. =

VOLUM ENES DE CUERPOS SOLIDOS. ©

L =

y/ ' -1

5

Desarrollo r = aem

+ \/y/T^ \/y/T^ 7 )2 )2 + ^ l É I l L d y r = f ’ L +

VOLUMEN VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCI REVOLUCIÓN.ÓN.Los volúmenes de los cuerpos engendrados por la revolución de un trapecio mixtilíneo , limitado por una curva y = f(x), el eje X y dos verticales x = a, x = b, b, alrededo r de los ejes OX y OY, se expresan respectivamente por las fórmulas.

Dr&lUI ollu De y/ = y/ = —(r + -—) despejamo s i • >il«m r 2

Ja

©

Vv = [ x y d x Ja


326

en el caso mas general, los volúmenes de los cuerpos engendrados por la rotación de una figura, limitada por las curvas.

1686

e y 2 = f 2W (siendo /, (x) < f 2 2 (x ) ).

>’i - / ] W

Ja

1685

Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la rotación de la elipse x 2 y 2 — + alrededor del eje OX. a~ b Desarrollo 2

2

~ Z + ~ T ~ 1

a

Y por las las rectas x = a, a, x = b, alrededor de los ejes de coordenadas OX, OY ; serán respectivamente:

r b

327


b

2

; y 2 = V - ~ ) b 2 a~

Ca

Ca

x2

x 3h2 I a

Jo'

Jo

a2

3a~ * °

2dx = 2 n I (1 — -)b 2dx = 2n(b2x -------------- - ) / V = 2 n I y 2dx =

*b

)d x (>2 (>2 - >f >dx y K = 2k I x (y'2 - >'¡ )d

ob )x - = =2n ( a,2b ------0 ----- b 2

Ja

Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX, de la superficie limitada por el eje OX y la parábola \ y = a x - x 2 (a > 0). Desarrollo 1687

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la X

superficie limitada por la catenaria y = y = a cosh(—) , el eje OX, y las rectas x =±a a Desarrollo X

y = y = a cos hí—) hí—) = a. a

f a o ra r , ^ v. 4, , V = n \ y ~d ~d x = n \ ({iax a x~ x— ~ xx ¿Yd Y d x = n IJ (a 2 x 2 - 2 a x. 3i + i + x* x*4)dx Jo

Jo

Jo

a ^ x3 ax4 x5 : Tí( -------------- -f -------

3

2

a / 5 0

a5

= 7T(7T(-

a5

a5

n a_ s _

X

ea +e a

2

_2x 2x_ _2x 2 y 2 = — (e a +e a +2 ) 4

328


329

Aplic acion es de l a Inte gral De finida

Desarrollo »a

r a

^

2

V = 2n I 2n I y^ dx = 2 n \ — (e a + e

Jo 4

na

a 2 a -2

*

a

2*

_ 2 x

0 + 2 ) d x = ^ —(—e a ——e a +2 x) / 2 2 2 /

a

— ( - < r — e ¿ + 2a — + - + 0)

2

2

2

2 2

tffl2( _fle 2— a e~-2 + 2a) - ■= ----n a *-(e , i —e-2 +4 ) : ----2 2 2 4 1688

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva y = y = se n 2 x , en el intervalo x =

0 hasta x = jt

Desarrollo

Y < 1690 ^ (

V = n I n Ir y"2dx = dx = n Jo

^ riv AV n " .X 0

\

r(sen 2x ) 2dx = n Ir sen x dx Jo Jo

r ( i z c o s i x 2 d x = 1 r 4 Jo 2

Jo lo

(1 — 2 co s 2x + cos 2 x) dx

,3 x se rc x se nAx„ nAx „ ¡ n 3 3n~ = n ( --------------------------- + -------- ) / = n ( — 0) = 4 32 / o8 8

1689

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la paráb ola semicú bica y 2 = x 3, el eje OX y la recta x = 1, alrededor del eje OX.

Hallar el volumen de! cuerpo engendrado al girar la misma superficie del problem a (1689 ), alreded or del eje OY. Desarrollo

330 1691


Haiíar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar las superficies limitadas por las líneas y = e x , \ = 0 ey = 0 alrededor. a)

Del eje OX

b)

331

Aplica ciones de la Integ ral Defi nida Y

1

2a

Del eje OY

Desarrollo ¡ C n ...... i .......................... : \0 i / / ✓ ¡ ✓ i ^ j - - " i -2a

= 2n f V - ( f ) 2 » = 2 * ( * Jo

1693

4n

a

X

= 2*2«’ - f 4 ) SICin

/ 080/2

Hallar el volumen volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a, la parte de la par ábola y 2 = 4a x , que se intercepta po r la misma recta.

Desarrollo

1692

Hallar el volumen del cuerpo engendrado a! girar alrededor del eje OY la parte de la parábola y 2 = 4a x que intercepta la recta x = a.a.

Desarrollo

El volumen de la región cortada al al girar alrededor de x = a, a, es:

332

Eduard o Es pinoza Ramos

x)2]dx = n ' 4 p ^ 2 p x dx V = 7T 2[(p + y¡2px )2 -( p- y[ 2p x)2]dx Jo Jo

V = 2n f (a (a - x:)( y, - v-, )dx )dx Ja Luego para nuestro caso se tiene:

3

f

=8

3 2

1 5

P

_ °1 =

= j t j 2 J 2 2 p x 2 p d x = 2 n [ ^ ( 2 px ) 2 ] j 2 =

V = 4tt 4tt f [a-x)(\Í4ax — [a-x)(\Í4ax — 0)dx = 4n (a —x)2-Jax —x)2-Jax dx Jo Jo 3

33 3

Apl ica cio nes de la Inte gra l De fin ida

3

3

^ - ) / " = Sk ( 2 ^ ~ 5 /o 3 2

1695

47T /r

Hallar el volumen del cuerpo engendrado ai girar alrededor del eje OX, la superficie comprendida entre las parábolas y = y = .v2 e y = \¡x

1 5

Desarrollo

- 2 — — ) / “ 5 / o

, t o ( 3 ¿ _ í l „ 8T (1 (1 0 ? ! z 6 f Í l = S £ V 3

1694

5

15

15

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor de la recia y = -p, la figura limitada por la la parábola v 2 = 2 px y por la recta x = x =

Desarrollo

2

= 7r 7r Jo l 1696

5 /0

2 5

10

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girara alrededor del eje OX, el lazo de la curva ( x - 4 a ) y 2 = a x ( x - 3 a ) . Desarrollo (x —4 —4 a) y = ax (x- 3a )

2

y =

ax(x-3a) dx = n If 3“ y 2 jdx = n fI 3ü Jo

Jo

x —4 —4 a

a x ( x - 3 a) a) -----. Luego: x - 4 a •3a 10 Jo

J 4 a* (ax + (ax + a~ H a~ H---------- )dx ---------- )dx x - 4 a

334


335

Aplicac iones d e la In tegral D efinida

, ÜX 2 9 i i 1 -x /j +4« l n( = ^ ( - z - + a * +4 n( jc jc -4 -4 a )) )) / = * ( — + 4 o 3l n ( - — )) • o 2 4a = n ( ~ — 4a 3I nn44 ) = ^ - ( 1 5 - 1 6 1 n 2 ) 1697

Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide y alrededor de su asíntota x = 2a.

2 2 = — — 2a - x

Entonces para nuestro caso se tiene:

Desarrollo

H V = n \ ( ^f ^f xy xy )2dy = K [ ky dy dy = nk — I -=nk -=nk 2 Jo Jo 2 • o

t = como k = R — ~ H

HR H 2 2 R 2 V = n — (— ) = n 2 H 2

1699

V - 2 n \ ( 2 a - x ) y d x ; para nuestro caso por simetría se tiene: Ja r 22aa

IT. IT.

/»2a

V = 4n 4n \ ( 2a 2 a - x ) x - = = d x = 4n Jo Jo \' 2 a - x

j(2a-x).xjxdx

calculando la integral, completando cuadrados se tiene: 1698

V = 2n V 3

Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es R y su altura es H.

Desarrollo La ecuación de la parábola es x~ =k y de donde x = yjky = yjky cuando x = R, R 2 y = H, luego k = — como:

eb V = n \ [ f( f( x ) ] 2dx Ja

Un segmento parabólico recto de base igual a 2a y de altura h gira alrededo r de su base. Determinar el volumen del cuerpo de revolución que se engendra (“Limón” de Cavalieri). Desarrollo 4 2

Cuando y =h, x = 2a; Luego k = - ^ — como: x" = ky => x = yfk y = g ( y ) ; h por el método de la corteza cilindrica al hac er rota r alre dedor de la rect a x = h, •b tanto: se tiene: V = V = 2t t Í ( k - y )g (y )d y , por lo tanto: Ja

336


337


i f — - 7- 2- i h16 16ii 4a 2 V = 2tc I ( /i - y)y¡ky d y = 2 n k 2 (—hy 2 — v2 ) / = — ^ a / r donde k = — — 3 5 h Jo / o 15 1700

Demo strar que el volumen de la parte del cuerpo de revolució n, engen drado al girar la

hipérbola

equilátera

x~ x~ - y 2 = a 2

alrededor del eje OX que que

intercepta al plano x = 2a, es igual al volumen de una esfera de radio a. b)

Al ha cer girar el tubo cilindrico alrededo r del eje Y se tiene: V = 2irjxy dx; de donde para x = 0, t = 0 ; x = 2rta, t = 2n

Lue Luego go::

^= 1 In x y dx = dx = 2/r Jo Jo

a(t-sent)a{ 1 - eo s t Y a d t

• 2 n

V = 2ira 2ira 3 I (1 -e o sí) 2(/ 2(/ - sent )dt = 6n i a i ’o

í

V

ñ 2a p 2a = ;r i y 2dx = 2dx = n I

Ja Ja

r, 8fl3

~3

Ja

3

V

2

c)

(x 2 - a 2 ))dd x = n ( x i - a 2 x ) /

'a

3

2fl3 2fl3

alrededo r de la figura es dV = 27i(7 27i(7ta ta - x) y dx, de donde: n V = f " dV = 2ain f (n -t + sent)( sent)( 1 -eos t)~ dt Jo Jo

4 ^0 3

T ~ " n = «— « — +~ r , = —

que es el volumen de una esfera de radio a. 1701

Del eje OX.

b)

c)Del c)Del eje de simetría de la figura.

Desarrollo

.3 _ 2

eos 2 1 ^ , 2

+ sen t )( )(---- 2 cos t H H--------- )dt V = 2
J o

Hallar los los volúmenes de de los cuerpos engendrados al girar la la figura limitada por un arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el el eje OX alrededor de: a)

El eje de simetría es x = Tra, ra, y el el volumen de este rectángul o rotado

Del eje OY.

V= 1702

n a 3(9 n 2 -16)

1 + cos 21 ; sugerencia: cos"2 t = -----------

Halla r el volume n dei cuerpo engendrado al girar la astroide _y= asen^t , alrededor del eje OX.

Desarrollo

x = a eos a eos ’ t , t ,

338


339

Aplica ciones de la Inte gral Defi nida 1704

Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva

r = ac o s‘ \|/

alrededor del eje polar. polar.

Desarrollo Í tt X

x —a eos —a eos 3 t , t , eos 3 t = = x—; y = y = asen 3 t , t , sen 3 t = y— a a eos 2 1 =

-

-

1

= (—)3 entonces sen2í + eos 2/ = (—)3 + (—)3 = 1 (—)3 , sen 2t = a

2

2

2

2

1

La variación variación de la integral integral desde y = 0 hasta y/ =

a

2 3

de donde jc3 +>, 3 = a 3 ; y = (a 3 - jc 3)2

(27rf

2

, . 47T f: 2?r f í 3 2(— ) (r}seny/ dy/) = — 2a 3eos 6 y/ senyr d y/ luego V = 2(— 3 Jo 3 Jo

2 3

V = 2(2tc\ x( a 3 - x 3 ) 2 dÍV) y ) == — n a2 105 Jo 1703

V = W 3

Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotación de cardioide r=a

K

del eje polar. (1 + eos y) alrededor del

Desarrollo 27r ^ V = — | r send d 6 . entonces Como V = 3 JJoo \4 27raJ (1 + cosi //)4 /“ 3 2n r 3 V = — I «’ « ’ (1 + cosi//) íe/¡y/ dy/ = — ----- ----------- -■■■■/ 3 Jo 3 4 /o

1705

co s7 y/ p = W 7 / 0 21

=W 21

Hallar el el volumen del obelisco, obelisco, cuyas cuyas bases paralelas paralelas son son rectángulos de lados A, B y a, b y la altura es igual a h.

Desarrollo A

34 0


La ecuación de !a recta L:

A a a ~92 ~ 9 y —- = —— —( x - 0) 2 h

341

Aplicac iones d e la I nteg ral Defi nida

A - a a y = --------- x -i -i — 2 2h

La ecuación ecuación de la recta L ': A

2

b a

B-b -(.v- 0) 2h

B - b b z = ---------- x x + — 2h 2

Área del rectángulo, MNOP es: es: A = (2y).(2z) = f

Jo

V

i/

V

1706

A d x =

f

Jc

(2y)(2 z)dx

y zd x = 4 [

( A

- a ) ( B - b ) x

( A - a ) b x~

* 41 Jo‘ h

= —

3

Ah

Ab Ba (AB H------- + —

2

- +

2

2

(B -b )a x

+-

Ah

2

a b n Ch 2 , abn .x3 ¡ h a b n h 3 fhaxbx, .— dx = —T- \ x-dx = —^-(— ) / = V = 7 t \ — .— dx 3h¿ J 0 h h h h~ Jo 3/0

ab i I ■at>

4A

/ c

V=

h , An Ab + aB ab) = —(AB + --------------- i- ab)

3

2

Hallar el volumen del cono elíptico recto, cuya base es una elipse de semi ejes a y b, y cuya altura es igual h.

1707

abnh

3

2 1 Sobre las cuerdas de la astroide x 3 + y3 = a 3 paralelas al eje OX, se han

construido unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las

Desarrollo

cuerdas y los planos en que se encuentren son perpendiculares al plano XOY.

El i - e simo disco elíptico de la figura tiene por volum en donde A y B son los semi - ejes.

dV = rcAB rcAB dx,

Hallar el volumen del cupero que forman estos cuadrados.

Desarrollo

Luego por semejanza de triángulos se tiene:

Para el volumen del del i - esimo sólido se tiene tiene dV = área base x altura altura

A a

pero área base = ( 2a ) 2 y la altura es dy, luego:

x h

B b

X h

ax h

bx h

— = —, — = — de dond e A = — , B = —

34 2


343

Aplicacio nes de la Inte gral Def inida El volumen de i - esimo disco circular de de la figura es 2

dV = n y 2 d x ; donde

2

iL+ Z_ = i «2 b 2 Luego el volumen será cuatro veces el volumen de la región comprendida por le arco de AB es: ■> -> f a r rab V = 4 I dV = 41 n y 2d x = 4 n \ — ( a2 - x 2)d x Jo Jo Jo a" V = 2 f Jo pq

2

2

ma

4

2

2

, b 2 , 2 I . I a 4b 2n , 3 8/?V;r 8 Jtab 2 = 4 - ( a 2 x - x 2) J = — — — ( a ^ - a 2) ^ - — — = — — a~ • o a" 3a“ 3

4

V = 8 j (a 3 —_ —_y3)dy = 3)dy = 8 I (a 2 — 3a 3 y 3 + 3a 3;y3 — y 2)dy

Jo

Jo

4

2

v 9 a 3 | 9« 3 I # " 128 3 2 ----V =8 ( a y ------------------------------------— -— yJ + ---------- y y 3) / = ---------5 7 / o 10 1055

1708

Un círculo deformable se desplaza de tal forma que, uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY, el centro describe la elipse x 2 y 2 . ~¿2 + ^ 2 2 =1 , m ientras que el plano del círculo es perpendicular al plano XOY,

1709

El plano de un triangulo móvil permanece perpendicular al diámetro fijo de un círculo de radio a. La base del triángulo es la cuerda de dicho círculo mientras que su vértice resbala por una recta paralela al diámetro fijo que se encuentra a una distancia h del plano del círculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado conoide) engendrado por el m ovimiento de este triángulo desde un extrem o del diámetro hasta el otro. Desarrollo

hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicho círculo. Desarrollo

A = A =

2

= y.h

A(x ) = j = j a 2 - x 2h


344

1711

V = J A(x)dx = A(x)dx = J \la 2 - x 2hdx hdx = 2 h j \¡a 2 -x2dx a reseni JL+ = 2 a h[-

1710

— 7

] / a = 2a 2h(—) a lo 4

2a

\plicaciones de la Integral Definida

V = =

na'h

2

2

2

z < x , interceptado Hallar el volumen dei segmento parabólico elíptico y ----- f-— 2 p 2 q por el plano x = a. Desarrollo La sección del sólido sólido determinado determinado por un plano paralelo al al plano >'z a una distancia x del origen, es una elipse cuya área es:

-> 2 _ 2 Hallar el volumen de! cuerpo limitado por los cilindros x~ + z - a e 2

345

A = n zy com o y = yj 2p x , z = z = y¡2qx y¡2qx

2

y + z = a ¿ .

luego: A = A = n^2px.^¡2qx = n^2px.^¡2qx = 2nx*Jpq nx*Jpq . Por lo tanto:

Desarrollo 2

2

2

Las ecuaciones de los cilindros es: x + z ■—a~ y 2 +Z 2 = a 2 de ( 1) se tiene: x = y¡a2 - z 2

;

...

( 1)

... (2)

de (2) se tiene tiene:: y = Va2- r

además el área de la sección es: xy, es decir el área = x y = a — z z Luego. a3. 16a3 V = s f (a 2 —z2)dz = —z2)dz = 8 ( a 2z - 4 —) ^ = 8(a 3 ——) Jo mo r— a V = I 2n x j p q d x = x = 2 yf yf p q 1— ■/ = n a 2 J p q

2/ 0

Jo

1712

Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja X 2 a

2 V z2 — --------- - = 1 ; y losplanos z

b

c~

=0 y z = k.

Desarrollo Para cada valor z en [0,h] se tiene una sección plana elíptica al plano XY 2

anotada por la elipse — ■+ a" b

2

,2

2

c

el área de la sección plano es = n.

Eduard o Es pinoza Ramos

346

6.4. 6.4.

x 2 y 2 c 1 + z 2 (producto de semi - ejes), como — + = \—

X =

a lc1 2¿ + Z 2 -\ luego: V = =

y = —yfc2 —yfc2 +Z 2

Aplica ciones de la Integra l Definida

347

AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOL UCION.E1 área de una superficie engendrada por la rotación alrededor del OX, del arco de una curva regular y = f(x) entre los puntos x = a y x = b, se expresa por la formula:

rh nxydz

Jo

Sx = 2 j" y ^ - d x = 2;r j* yyj l + y ,2dx

C

donde ds es la diferencial del arco de la curva.

V = n \ —>Jc2 + z + z 2 —Ve2 + z 2dz = 2dz = - j - í (c 2 + z2)dz c Jo Jo c C

Cuando la ecuación de la curva se da de otra forma, el área de la superficie S x , se obtiene la formula ( 1), efectuando los correspondientes cambios de variables, es decir:

ab n i zJ i h a b n , 2, h3 , n = — (c 2z + — ) / = — (c A+ — ) = a¿tor(l a¿tor(l + —y) r 2 3 I o c¿ 3 3c 1713

... ( ... ( 1 )

V

*> 2 z7 x “ y Hallar el el volumen del elipsoi elipsoide de — + — + — = 1 a b2 c 2

1714

Desarrollo Una sección plana elíptica al plano xy

, x~ y 2 c 2 -2z anotada por la elipse — + — - , a b c

se obtiene para cada valor de z en

[-c,c] donde el área de dicha sección es:

dy

En la figura se dan las dimensio nes de un espejo parabólico AOB. Halla r la superficie de este espejo. Desarrollo

">

a = n por el producto de sus semi - ejes de la elipse, elipse, donde se tiene: tiene:

x = -y Jc 2 - z 2 y y = b-y jc 2 - z 2 luego: c c V = J A dz = j

nab 2 '

3

sea y 2 = 4 px 4 px el punto a(a,4a), de donde 1 6a2 = 4ap entonces p = 4a

—z2 ■'Je2 - z 2 dz dz = —y - J* J* (c 2 - z 2)dz

^

/ -c

C

3

Ó

- \ nabc D

por l o tanto i = 2n

y 2 =1 6 ax => y ' = 2.

J*^ y yJlyJl + y ’2dx = 2n J

£

4a 4 \[ax. 1+ — 1+ — dx = 8na I yfx + 4a dx Jo X


348

Aplic acione s de la Inte gral De finida 2 du , . sea u = tg x => du — see see x dx => — ------- = dx u~ +1

3

= 8ttV^ -X-+*ay ¡ Q a = ~ - ^ [ ( 5 a )2 - ( 4 a) 2 ] = ^ j - a 2 (5^5 - 8)

2 1715

34 9

du 1 ' i = 2n j 4tgx-J 1+ sec4 x d x = 2n u-J(u 2 + l ) 2 + l u 2 +1 Jo Jo

I

Hallar el área de la superficie del “huso” que resulta al girar una semi - onda de la sinusoide y = sen x, alrededo r del eje OX. Desarrollo

dz , 2 , sea z —u +1 => — = u du

Un arco co mpleto de la curva y = sen x se obtiene ha ciendo v arias x

. _ f 1 /.z ".2 +1 , 1 f. 2 7 du = 2. |f 2' /z A = 2n I u J ( u ~ + l Y + l ——---------- dz Ji Jo u +\

2

desde x = 0 hasta x = n como: A = A = 2n í ysj \ + y + y '2dx = 2n j senx\ ¡\ + eos + eos 2 x d x = 2/r í s e n x j 1+ cos 2 x dx Jo

Jo

A = 2 n \ — — — dz efectuando la integral, se tiene:

Ji

Jo

consid eremo s u = eos x => du = - sen x dx

A = n ( S - S - ) + n \ n ^ ^ V5+1

cuando x = 0, u = 1; x = n, n, u = -l . luego: luego:

1717 A = 2n j* senx\J l +cos +cos 2 x dx = ~K j

>/l + w2(-du) = 2 n j yj\ yj\ + u2du

z

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX, e~x comprendido entre x = 0 y x = +°°. del arco de la curva y = e~x

Desarrollo = 2 Jt[—-ju 2 +1 + —ln(u —ln(u + yju 2 + 1) ] / = 7t[(uju 2 + 1 +ln(u +ln (u + \l u 2 + 1) ) ] / / -i / -i 2 2 + ln(l+ V2) + y¡2 2^2 + ln ^ 1 ) = 2 k ( S + + In(>/2 = 7t[(J2 + ln(l+ + y¡2 - ln(—1+ V2)] = k( 2^2 + In(>/2 + 1)) V2- 1

1716

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de tangentoide y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededo r del eje eje OX. 4 Desarrollo

y = e~x =* y '= -e ~ x => y '2 = e~2x A = 2J y j l + ^ f d x = 2J

e~x Vi e~x Vi + e~2xdx

u = e x => du= e Xdx Xdx , para x = 0, u = 1 ; x = +°°, u = 0

sea A =2 í

Jo

e~x\¡l + e~2xdx = e f yj\ + u2 du = Ji Jo

= 2n (—y¡\ + u 2 + —ln( —ln(M M +1 + a 2 ) / ) /

2

2

j* sj\ + u 2 da 2 j* sj\

= 7T(V2 + ln(l ln( l + V2 )) /o

350 1718


Aplica ciones de la Integr al Defini da i

Hallar el el área de la superficie (denominada catenoide), engendrada por la la

12n a 3 ,

X

rotación e la catenaria y = a cosh cosh — alrededor alrededor del del eje OX, entre los a limites x = 0 y x = a. a. Desarrollo

351

1720

, x dv ,x y = aco a cosh sh — => — = senh = senh — — a dxa dxa

12*a2

»2 i Hallar el área de la superficie de revolución de la curva x = ^ - - —\n y y alrededor del eje OX, comprendida entre y = 1 e y = e. e.

Desarrollo A — 2*1" 2*1" y. II + ( ~ ) 2dx = 2 n \ acosh — .1+ . 1+ senh senh2 —dx Jo V dx a\ a J0 -)2dy ra x x ra x Ca 2 x A = 2* = 2* I a co sh—.cosh —dx cosh —dx = 2a n I cosh 2 — = n a \ (cosh (cosh — +1 )dx +1 )dx Jo a a Jo « Jo a 2, sen 2, sen h 2 x n a 2 , 2 -2 r a , 2x , I a = n [ a - s e n h -— + x]/ =na (---------+ --------- + 1) = ------(e~-e ------(e~-e +4) 2 a / o 2 4

a

2

1719

2

2

=- K *

r)f ¥

¥

dy

2,n^ 2+y =l í , ( y í ■2 ■ 2+y!+7 !+7 *

= — I (------------Xy'+lVfy =— I (y - 2 y l n y - 2 — )dy

Hallar el área de la superfici e de revolución de la astroide x 3 + y 3 = a 3

4Ji

y

4J,

y

alrededor del eje OY. Desarrollo

2, 7 , ? , #£ * . e 4 - 2 9 n( e 4 - 29) 29) = —(y 4 - y l ny ny + y - h r y ) / = - ( — ) = ----- ----4 / i 4 4 16 1721

Hallar el área de la superficie del tuvo engendrado por la rotación del círculo x 2 + ( + ( y y - b )2 = a 2 alrededor del eje OX (b > a).

Desarrollo Como x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 => y = b ± \ ¡ a 2 - x 2 Primero calcula el área ,4, ,4, de la superficie engendrado por la rotación del arco CB, como el arco CB esta definido por la ecuación: y = b + yja 2 - x 2 , 0< x < a de donde


353

Aplica ciones de la Integr al Defi nida Luego por simetría calcularemos calcularemos el área A de la superficie del tubo, es decir: A = A = 2(A, + A2) = 2[7T2a¿7 a¿7 + 27T¿r + 7T2ab - 2 7 r a 2] = 4a¿OT 4a¿OT 2

1722

-> 0 jT y“ Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse: — + — = 1 a~

b"

alrededor: 1)

Del eje OX

2)

Del eje OY (a > b)

Desarrollo dy

-x

d*

\¡ a2 —X2

A, = 27T j*

Jo

(b + a2 -

X + 2 _ = i a2 b2

= —: x = a, t = 0 x = a eos t, y = b sen t para x = 0, t = —:

x2\¡ 1+ —2T-—-dx a —x2

, ---- = 2 k \ ( b + J a 2 x„ 2) Jo

dx = dx = 2/r j (

además: A = A = 2277T í y(t )yj [x' (t )]2 )]2 + [y '(/)]'di Ja

Je 'Ja2

-2a¿arcsen—/ -2a¿arcsen—/ + 2 jcclx / =2abn(arcsen(X)=2abn(arcsen(X)-arcsenQi arcsenQi)) + 2na2 = ab n2 +2 k ü 2 a>o lo

ahora calcularemos el área A2 de la superficie engendrada por la rotación del arco AB donde el arco AB es definido por la ecuación y = b —yja —yja 2 —x 2 ;

0 < x < a de donde dy —

a 2-*

2

Jo

*

i

2

•o = 2nb f eost\¡b eos t\¡b 2 + V («2 - b 2 sen t )2 dt

yj a2 - x 2

-> 2ua b A = A = 2 ^¿ " + ——— are a re sen E

haciendo el calculo de la integral se tiene: a~ - x

= 2 í (b —yja2 - x 2)

---------------------------------------------------/•O ^0 A = 2tt| bsentâ 2 sen 2i + b 2 eo s 2 1 dt = 2n I bcostyjb 2 + {a 2 - b 2 )sen -t dt

-------------

y^l + (~^-)2dx = = 2J ( ¿ - V a 2 - x 2 )J l + - ^ j d x

Ai ~

>’= —Va 2 - x 2 , parametrizando la la ecuación se tiene

^

- 2 a x l = n 2a b - 2n a 2 0 0 ’ 0

= 2n ab aresen aresen— —/

I 2 _fo 2 donde E = ------------en forma similar simil ar para la otra parte se obtiene:

n b 2 , 1+ E ¿ A V o 2 ln ------- donde Ax = 2na + ---- E =

E

1- E

a


35 4

1723

Aplica ciones de la Integ ral Defin ida

b)

Hallar el área de !a superfici e eng endrada al girar uno de los arcos de la cicloide x = a (t - sent t); t); y = a (1 - eos t), alrededor: alrededor: Del eje OX

c)

De la tangente a la cicloide en su punto superior.

2„2 En forma similar cuando es alrededor del eje Y, de donde A = 1 = 16n~a 6n~a

c) Un arco completo de la cicloide se obtiene haciendo var iar t en el intervalo [0,2 ti] y además el punto mas alto alto es en t = ti puesto que:

b)

a)

dy _ y '(0 _ asent dx x '(0 a ( l - c o s í )

Desarrollo Y iL

s (

0 = 2-t

Luego la pendient e en t = n es:

dy dx

, por lo tanto la ecuación de la t=n=0

tangente es y = 2a.

A

2a

355

1 11

V*

X

na

2na

Luego la distancia del punto punto p(x,y) déla cicloide a la recta tangente es (2 jta - y) de donde el área p edida es:

X

A = 2. t Í Jo

í y(t)yJ[xX,' ( . t ) f + [ y W d t

Jo

(2 a-y)y J[x \t)] 2 +[yXt)]2dt

de donde al simplificar se tiene:

x = a ( t- sen t) =* x'(r) = a(l -co sr) , o 2 f 2* 2t t \6na 2 3 / r * 7>2n 7>2na2 a2 A = Una I eos ' —sen —di = — ------ - e o s — / = -------3 3 Jo 2 2 2/ o

y = a ( l - c o s t ) => y'(t) = asent asent A = 2x ¡ a(l - eos t)> t)>Ja2 ( Ì- eos eos t sen2td t = 2Jta2 f )2 + a 2 sen2td Jo

Jo

t 1-COSÍ sen" 2 —= —= --------i "> A = 2 na 2

( l - c o s í ^ V l - c o s ? dt

. o 2 f eos t = 2 sen — 1- eos 2

1724

Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX de la Cardioide x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t). 2t).

Desarrollo

.

f 2 2*

. t r 2* t 2 sen 2 - M M s e n ( - ) d t = 8*«" rc «3 J0 2 2 Jo 2

= 8* a 2 ( - 2 e os os - + - e o s 3 - ) / ^ = 8* o 2( 2 + = 64^ — 2 3 2/0 3 3

x = a (2 eos t - eos 2t) => x - a (- 2 sent + sent + 2 sen 2t) y = a (2 sen sen t-sen

'= a( 2 c o s í - 2 co s 2r) 2t) => y '=

A = 2 ¡ y(t)y¡[x'(t )]2 +[y\t)]2dt Jo


356 l*Æ

Se tiene: A = - 22n , 1I ' ,rseny Ir 2 + ( - ^ ) 2 d y Jo

sent eos t)\¡\ -eos.' dt = 8n\Í2a2 (1 - c o s t )2 sent dt eos t)\¡\ -eos.' i = AKy fl a2 I lisent ~ sent Jo Jo « / o

128 5

-1/, sí 16 v R2wa“(l-cosí 1/5 n a A. =— )2 )2 //" = — 5

1725

357

Aplica ciones de la Integ ral Definida

2

A = A = 2;r | 2a(l + eos + eos y y )se nyy ¡4a 2( 1+ 1+ eos eo s i//)2 + 4a2sen 2y d y Jo

Halla r el área de la superficie engendrada al girar la Lemi scata alrededor del eje polar. polar. Desarrollo

A = 8;rfl2 ;rfl2 [ (l +cosy)sen yyJl + 2c os y +COS2 y + sen 2y d y

r 2 = a ° cos2\|/

Jo

= 8^rt2 l se ny ( 1+ eos y eos y )\Í 2

Jo

+ cosy dy

K ^ = Sn a 2 \Í2 \Í2 j (1+ (1 + + COSI//)2 se ny d y = -%Jta2 \¡2 Jo 5

16 /t 2 .. a I n A = ----- \[ 2n a 2 (l +c os y )1 1

6 .5 .5 . 0 7T >= 47M 4 Jo

-

Hallar el área de la superficie engendrada cardioide r = 2a (1 + eos y) alrededor del eje polar.

Desarrollo

por la rotación

.

1287ra

A = -

MOM ENTOS, CENTROS DE GRAVEDAD, TEOREM AS DE GULDIN. M O ME ME NT NT O E ST ST ÁT ÁT IC IC O. O. Se llama momento estático de un punto material A, de masas m, situado a una distancia d, del eje 1, con respecto a este mismo eje 1, a la magnitud M, = md .

a"sen~ 2 y , , , eos l y s e n y ^ a " eos eos 2i/a i/a + — — ---- d y

f4 t y¡2 A = 47r«J 4aseny dy = -Ana 2 c o s y J 4 = -4;ra 2[ - ^ - - l ] = 2(l--V 2 );ra 1726

5

~ ■/ /o

de la

Se denomina momento estático de un sistema de n - puntos materiales, de masas m] , m 2 ,..., mn situados en el mismo plano que el eje

1, con respecto al

cual se toman y separados de el por la distancias d x, d x, d 2,..., d 2,..., d n la suma es: M x = 2 ^ m i d i

i=i i=i

...(a)


358

Aplica ciones de la Integ ral Definid a

debiendo tomarse la distancia de los puntos que se encuentran a un lado del eje 1, con signo mas (+), y los que están al otro lado con signo menos (-), en forma similar se determina el momento estático de un sistema de puntos con respecto a un plano. Si la masa ocupa continuame nte toda una línea o una figura del plano XOY , los moment os estáticos M x y M y , respecto a los ejes de coorden adas

OX y OY en lugar de la suma (oc) (oc),, se expresa por las

35 9

d2, ..., d n son las distancias desde los puntos al eje 1 , cuando la donde d{, d2, masa es continua en lugar de la suma, obtendremos la integral correspondiente. ©

C E N TR TR O D E G RA RA VE VE DA DA D .-.-

correspondientes integrales. integrales. Cuando se trata e figuras geométricas, la densidad se considera igual a la

Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana (ya sea arco o superficie) de masa M, se calcular por la formula:

unidad en particular: particular:

©

Para la curva x = x(s); y = y(s), donde el parámetro s es la longitud del

M y

M ' y

Mx M

arco, tenemos: donde M x, M y son los momen tos estáticos de las masas, cuando se trata de figuras geométricas, la masa M es numéricamente igual al correspondiente arco o al área. Para las coordenadas del centro de gravedad donde ds = \](dx )2 + (dy (dy )2 es la diferencial del arco. ©

Para una figura figura plana, limitada por la la curva y = y(x), el eje OX y dos verticale s x = a e y = b, obtenemos :

M x ©

de curva plana y = f(x), f(x), (a < x < b), que une los puntos A(a), f(a) y B(b), f(b) tenemos: í -*■ds f xyj l + (y ') ~d x _ * A ____ J a ________ __________ __

My =

M O M E NT NT O D E I NE NE RC RC IA IA ..Se llama momento de inercia, inercia, respecto a un eje 1, de punto material de masa m,

s

"

'

Ja

m¡, m2 , •••, mn a la suma:

}’ }’\J\+

{yds y —Ja —Ja "

5

f (y')2dx J a ________ _________ _ ‘ J T n + ( y T d x Ja

Las coordenadas del centro de gravedad (X ,7 ) del trapecio trapecio mixtilíneo a
fórmulas: 0 < y < f(x) se puede calcular por las fórmulas:

situado a una distancia d, de dicho eje 1, a un número I¡ = >nd 2 . Se Se denomina momento de inercia a un eje 1 de un sistema de n puntos materiales, de masa

( X , Y ) de un arco

J

y * s

y

Í

Tb y 2dx a S

360

Eduardo Espin oza Ra mos

donde ds = I y dx es el área de la figura. Ja

V

Jo a

En forma similar se emplea para hallar las coordenadas del centro de gravedad de los cuerpos sólidos. 4

361 361

Aplic acion es de la Inte gral Defi nida

a2

a2

/ o

b'Ja2+b 2 byja 2 + u2 u2 t - - [0 - a 2 ] 2a

M. = - "

TEOREM A DE GULDIN.GULDIN. M

TE OR EM A 1.- El área de la superficie superficie engendrada por la rotación rotación del arco de una curva plana a lrededor de un eje situado en el mismo plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al produ cto de la longitud de dichos arcos por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad del mismo. TE OR EM A 2.- El volumen del del cuerpo engendrado por la rotación rotación de una figura plana alrededor de un eje, eje, situado en el el mismo plano que la figura, pero que no se corte con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la misma.

M

Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes de coordenados, del segmento de la línea recta. Desarrollo x

y

a

b

—+ —= 1 , comprendidos entre dichos ejes de coordenados coordenados Los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados es:

b

1 y í * X

y

a

b

como —+ —=

W

dx

• " • =i =i

x f ^ W

dy

1 =» y = b- /( a - x ) „, —dy= -----b a

dx

a

dy

b

a U b 1
=I t

a-ja2 +b 2 I b 2

1728

Hallar los momentos estáticos del rectángulo de lados a y b, respecto a estos mismos lados. Desarrollo x =a

y=a

b

0

a

X

Para el eje y = b, se tiene: M b = 1 bxdx = Jo

f

u - ‘

=>

)2d y , donde x = - ( b - y )

Y 1727

2

a 2b

rb ab 2 Para el eje x = a se tiene: M a = I ay dy = ----Jo 2 Luego los momentos estáticos respecto a los ejes x e y respectivamente son:


362 M

1729

ab

M

363

Aplica ciones de la Integr al Definid a

ab

Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas del centro de gravedad x + y = a, x = 0, y = 0. Desarrollo

I I I l dy (J 11 x 3 + y 3 = a 3 ; v = ( a 3 - J r3)3 derivando derivando — = --------- - ------ se sabe que dx i

*3

r Area = A = I (a Jo

2

M x = \ í Jo /o

Af _ f° x ( a - x )d x = a y — = I y ( a - y ) d y = a 6 x Jo

J Jo

M

los momentos estáticos

1730

M x

M y

2

. 2

-dx

■I

M,

1

las coordenadas del centro de gmvedad son:

M M x = — - , y = —- , donde M es la la masa masa total total para nuestro nuestro caso, caso, para para el el arco arco M ' M 2

a 6

Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas 2

2 3

(a 3 - a 3 )2 )2 (— (— )3d x = —a —a 2 x 5

realizando el mismo procedimiento se obtiene: obtiene:

, y = —1 donde M es la masa y para este caso, caso, M M - Ai, Ai, — — a Mv es el área; es decir: M = A luego x = —— ——,, y = —— de donde donde x = y = — y A A 3

Para encontrar x =

1 11 (a 3 — ,*3)2 1 + -

2

2

del centro de gravedad del arco de la astroide: x 3 + y 3 =-a3 situado en el prim er cuadran te. Desarrollo

2

2

vade va de (0,a) y (a, 0) de la curva: x 3 + y 3 = a 3 nos piden hallar i _I dx = 'd x . = a ' .V :'d

(x, y ) , como

3a i i l — I a3x 3dx = ~ a Luego: x = - ~ —= ^ a en forma similar y = ^ a

Jo

A 2a

5


364

1731

Aplica cione s de la Inte gral Defi nida

Hallar el momento estático estático de la circunferencia r = 2a sen 0, respecto al eje polar. Desarrollo

365

r a r a x ¡a Sea L = longitud del arco indicado = I ds = asenh — / — /

J-a J-a

a! -a

L = a senh (1) - a senh (-1) = 2a senh (1) M x = í y d s= í acosh2*dx = a\ J ~ a

j ~a

d

(cosh (cosh — + \)d x

J — q

a

M x = a(—senh a(—senh — + x) / = [ (— (— sen h2 + a )- (—senh((—senh(- 2 )- a ) ] a • -a 2 2 2 M x = a(asenh( 2 )+ 2 a) = a) = a 2(2 + senh( 2 )) pa M = I xd s = I xcosh - -dx= (axsenh (axsenh — a 2 cosh—) cosh—) / « a a / J-a J-a J-a J-a

-a

M y = (a 2 senh (\) - a 2 c o s h ( l ) - ( -a -a 2i e n / j ( - l ) - o 2 cosh(-l))

M =A =

M y = a 2 (senh(\) - cosh(l) + se + se nh (- 1) + cosh(-l)) =

fiJT

= 2a 2 1732

(l-cos20)dfl = 2 a 2( Q

a/j

- Ma M a 2(2 + senh( 2 )) . ~ M y 0 luego: x = —= —- = — ——— = 0 ;y = —- = — ----------------

jr

) / = 2a2(n -0) = 2a2n 2 / o

- --

L

Desarrollo

2asenh (l)

- _ a (2 + senh( 2 )) - - _

Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria y = ac osh — comprendido comprendido entre x = -a y x = a. a. a

0

2 senh(l )

1733

’

'

L

2asenh(X) 2asenh(X)

a (2 + senh( 2 ))

2 senh(\)

Hallar el centro de gravedad del arco de circunferencia de radio a, que subtiene el ángulo 2a. Desarrollo Si x coincide con al abscisa del del centro de gravedad de de la mitad superior e — . dx y dx 2 a2 tenemos: os: Si Si — = — , y, l + (—)= (—) = — y = 0 , tenem dy x dy x


366

Aplica ciones de la Inte gral Defi nida *2n j i *2 x M x = I y d s= I a(\- cos t)las en —dt= 4a 2 \ sen3( sen3(— —)dt )dt Jo Jo 2 J0

Puesto que x 2 + y 2 = a 2 para la mitad superior del arco se tiene: S = T - a. aax | Jo Jo

í

{aserta dr x
aax-a sena

-

367

32 M x = — a 2 en forma forma similar para M y = 8a zJt.

aseria aseria

x = ----- — a

Luego el centro de g ravedad es: 31a2 - M a2n a2n - M 4 8 3 x = - + = — — = a n ; y = - ± = — 2 — = - a L Sa L Sa 3

1735

=>

4 ---(x,y) =(an ,-a) 3

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la x 2 2y elipse elipse — + — = 1 y por lo ejes de coordenadas coordenadas OX y O Y: (x > 0, y > 0 ) a~ b '

Por lo tanto el centro de gravedad esta sobre la bisectriz a una distancia se na a. ------ del centro de la circunferencia. Entonces el centro de gravedad del a arco de circunferencia esta:

1734

Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer cado de la cicloide: x = a (t - sen tj, y = a (1 - eos t). t). Desarrollo Se conoce que ds = ds = \j(dx )2 +(dy )2 = asen X asen Xdt dt puesto que (dx )2 - a 2 ( l - e o s t ) 2 (d t )2 => => ( dy dy )2 = a 2 sen 2t(dt )2 yj(d x )2 + (d y )2 = íj^/(1-cosí)2 +sen 2t dt = = a\ Í 2 y fl -c o st dt = lasen —dt [ 2iz

[ 2 2k

t

t ! 2 k

4a eos —/ = JJo d s =Jo :la se n—dt = —4a eos \ 2/

o

=8 a

(0 < t < 2k ). ).

Desarrollo

368

Eduardo Espinoz a Ra mos

1737 M

X

=

y f ( y ) d y = Ja

^-yyjb ^-yyjb22 - y 2dy 2dy = ^~ JO &

369


Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por el prim er arco de la ci cloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y p or el eje OX.

3

Desarrollo Las coordenadas del centro de gravedad son:

1736

x = ——= — ; y = = — M 3n M 3n

Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las curvas y = y = x 2, y = \[jt \[jt . Desarrollo x = a (t - sen t), t), y = a (1 - eos t)t) pina

r»¿>

f f M = J y d x = J

y d x , (0,0) si t = 0, ( 2rca,0) si t = 2 ji

Ahora encontrando el área se tiene: pin 1k .2 n cos t)a( 1 - eos eos t)dt = = a 2 I (1 - eos eos t )2 )2dt M = f y d x = f a( 1 - cos Jo Jo Jeo M = 3a n , ahora calcularemos M x , M y A- = y

' \fx + x 2 f~ 2 3 ---- ----- ( y ¡ x - x - ) d x = — o 2 20

1

a 2 (1 - eos eos í)2fl(l~ eos t)dt

M.

3 p2n ,, c _3_ .3 . tí 5a (1 - c o s / ) dt = ------

— M — M — g y = ~r r i r i x - —— '■ luego: y = - ~ = — M M

4 i: b

para x se tiene A 3 A=— 1 20

: A~x~ J X<^~X~ x 2 )dx

- 9 9 ; ILuego: x = y -= — => x = -— = — 20 20

M

fin

=f x f ((xx )d)dxx == JefIo

a(t-sen t)a(\-eos t)a(l-eo s t)dt t)dt

J a

r 2 2

=a3f Jo

(t - sent)(\ —cos —cos t)2 dt = Jt2a3 = 3 Jt2a3

37 0

Eduard o Es pinoza Ramo s 5ain - _ M v 3a ' n - M 2 ' 5 x - - ¡ r r ~ - — Y — Y ~ n a ' y ~ ~ Tr T r ~~ ~ ~ T T~ T~ = a M 3n a M 3a n 7 6

1738

Por simetría se tiene que el centro de gravedad se encuentra en el eje Y; luego: j c =z = 0

- 5 (x,y)-(na,-a)

6

Calcularemos M xz = momento estático estático del cono, respecto del plano XZ. El disco de la figura de base paralelo al plano XZ., tiene volumen dv = na~ dy, r ■ donde el radio a, por semejanza de triangulo se tiene: a = —(h-y)-, Luego h

Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a con el centro en el origen de coordenadas sobre el plano XOY.

Desarrollo

tenemos que: Se conoce conoce que ds = 2nr ddz, z, donde r = a por hipótesis y dz es la altura de la la

f

zona esférica.

2k azdz z = — = — — --------= -------- = — I z d z - — lúa1 a Jo 2

Luego el el centro de gravedad esta a la distancia de

2

Hallar el centro de gravedad de un cono circular recto homogéneo, si si el el radio de la base es r y la altura es h.

Desarrollo

_ 2»2 fñ h . 7ir 2 fp h . h . _ \2 j M xz = yd v = —— I y ( n - y ) ay = 12 'J o h ' Jo

h ,, nr 2h Luego y = —— = — puesto puesto que V = y 4 3

como x = y = 0 => el centro de gravedad es ( 0, 0,—) ,—) 1739

371

Aplic acion es de la Integ ral Def inida

3

a partir de la la base del

cono. 1740

Hallar el centro de gravedad del hemisferio de una bola homogénea de radio a, con el centro en el origen de coordenadas situado sobre el plano XOY.

Desarrollo Determinaremos z para esto se tiene lo lo siguiente: la masa de una de las caras elementales (dividido el hemisferio) por medio de planos paralelos se tiene: dm = P nr 2dz , donde P es la densidad, z la distancia entre el plano secante y

la base del hemisferio, r = s]a 2 - z 2 , el radio de la sección, tenemos:

f

n ( «2 «2 - z2 )dz 3 z = J o----------------= ----------------= — a ; L uego por simetría se tiene: x = y = 0 2 -„3 8 —na 3 3 El centro de gravedad es: C.G. = C.G. = (0,0, (0,0, - a)


37 2

1741

Hallar el momento de inercia de una circunferencia de radio a, respecto a su propio diámetro. Desarrollo

Aplica ciones de la Integ ral Defin ida 1743

373

Hallar el momento de de inercia de un segmento segmento parabólico recto, respecto a su eje de simetría si la base es 2 b y la altura es h.

Desarrollo

r 2 I 7 v 7 Se conoce que: 7 = 41 y .11 + (— y d x Jo V dx

_ 4h b3 15

Donde la ecuación de la circunferencia de radio a, es:

2 2 =2a

X + y

, ‘ 4l

2

2

=> y = a —x

( a 2 ~ x2 )i

+ 7 dx

2

dy dx

1744

X y

y — = —

= 4 Jof \ C

2

je

Hallar el momento de inercia de la superficie de la elipse —- + — = 1, b a respecto a sus ejes principales.

Desarrollo

2dx

n 2 /1 .« 3 , ^ 3 I2 . 3 , 0 sen d.c os d ¡ K , . 3 .*. / = 4a I eos = 4a (—+ ------------- ) / =» I = 2a (—) = Ka 2 2 / 0 2 Jo

f

1742

0¿0

Hallar el momento de inercia de un rectángulo de lados a y b, respecto a estos lados: I a I a , l h .

Desarrollo dm

Se conoce que / = I r dm I ' /a = T y 2dm = a f y 2dy Jo Jo

/ ' =-

3 ' o

dy

De acuerdo a la figura, el momento de inercia del tubo cilindrico generado por rotación alrededor del eje X, del rectángulo R de la figura que tiene por base dy, y altura 2x. Es decir: dl a = y 2dv = dv = y 1 (2ny)(2x)dy dla =4ny3xdx =4ny3xdx Luego Ia = I dla = 4n I y 'x d y Jo

I, I, = I x“í/m , donde dm = b dx Jo

r

4=1

f Jo

Jo

para est o param étrizamo s haciendo:

o =* 4 =

¿o 1

»ft x = a eos t, y = b sen t;t; Ia = 4 n \ b 3 sen 3t.a eos t.a eos íi> eos t dt

Jo


374

n

n calculando la integral se tiene: I = = — —— donde r es la densidad del cono.

Ia = 4 rtab4 I “ sen?t eos sen?t eos 2 / dt = 4nab4 I " (1 1)eos 2 t.sent dt (1 - eos 21)eos Jo Jo 1747

,4. cos3í . cos3í cos5r cos5r / r 8na b 4 . - 4nab (--------- + -------- ) / = --------- en forma similar para el otro caso. 3 5 / o 15 1745

Hallar el momento polar de inercia de un anillo circular de radios /?, /?, y R 2 (Rl < R 2), es decir el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro del anillo y es perpendicular el plano del mismo. Desarrollo

uno de estos anillos será dm = r 2r k dr dr y el momento de inerci a es: es: C

I = 2n \ r ' d r , donde donde r = l entonc entonces es Jr,

Hallar el el momento de inercia de una bola homogénea de radio a y masa M, respecto a su diámetro. Desarrollo Escogemos un disco delgado paralelo al plano XZ y suponiendo que la densidad es P, el momento de inercia de un disco delgado de radio x, respecto al eje Y es ~ x 2 para hallar el el momento de inercia I y de toda la esfera se suman los momentos individuales que acabamos de hallar en donde:

Dividimos el anillo, en anillos elementales concéntricos, donde la masa de cada

1746

315


dM = Pd v = Pn x2dy x2dy entonces entonces í v = - ( P n x 2dy)x 2 = — Px4dy y 2 2

4 R jr I = 2 n .— / 2= — (R%-R?) ( R%-R?) 4 / r, 2 21

Hallar el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su eje, si el radio de la base es R, y la altura es H. Desarrollo

Dividimos en una serie de tubos cilindricos elementales paralelos al eje del cono. El volumen de uno de estos tubos elementales será dv = 2rtrhr dr, donde r es el radio del tubo; es decir la distancia hasta el eje del cono.

La ecuación de la sección de la esfera en el plano XY (circulo) es x 2 + y 2 = R 2 , donde R = a.

r

h = H( 1 ----- ) es la altura del tubo, en este caso el momento de inercia es:

R

rR / = r I 2nH(\--)r'dr Jo ^

Lueg Luego: o: /„ = — f (o 2 - y 2)dy = — nP — nP R 5 como la masa es m = —n —n a 3P ; * Z J-a 15 3 4 - 2a 2 2 7 se tiene: I „ = ( - t t a P \ ----- ) = -M a y 3 5 5

2 ■> Respuesta: I = - M a ~ -v 5


376

1748

Aplicac iones d e la Integra l Definida

Hallar el área y el volumen de un tubo engendrado por la revolución de un círculo de radio a, alrededor de un eje situado en el mismo plano que el círculo

Al girar la figura genera un cono cuyo

a)

volumen es:

y que se encuentra a una distancia b (b > a) del del centro de este.

1749

a)

S=4n2ab

Determinar la posición del centro de gravedad del arco de la astroide 2

2

„

Área de la circunferencia =

Hallar el centro de gravedad de de la figura limitada por la curvas: y 2 = 2 px y x 2 = 2 py . Desarrollo - - 2a - - 9p

j* x d x

a)

J x, ]\+ y '1 dx

rcR¿

compar ando y efectua ndo se tiene:

; longitud de la circunferencia circunferencia =

2n y

^ ( 2n y) = y) = — JtR 3

írs4 R , . , - 4 R , de donde y = — por lo tanto tanto ( 0,-—) 3tt 3/r

b)

j" x J l + (—) (—) 3dx

Al girar el triangulo alrededor de su base genera un cono cuyo volumen Jtbh2

x = x =

es: V = = ------- donde b es la base y h es la altura del triangulo , según el f

+y'2dx

f y¡l + y' 2dx

J a

JO

teorema de guldin este mismo volumen seria: V = = 2

3 f /‘

2

7/ o

b)

En forma similar el caso desarrollado de a)

a)

Hallar el centro de gravedad del semicírculo, semicírculo, aplicando el teorema de guldin.

b)

Demostrar aplicando el teorema de guldin guldin que es el centro de gravedad de un triangulo dista de su base a un tercio de la altura. altura.

Desarrollo

donde x es

la distancia del centro de gravedad a la base, luego comprobando se tiene: „ bh x „ nbh" - h 2 t t ( ——— ) = — - — = > x - — 2 3 3

- 5 * / o 2a . , - — 2 a x = x = ——-——-—- = — ; luego por simetría se tiene: tiene: x = x = y y = = — 3 - .a 5 5

1750

según el

2

x 3 + y 3 = a 3 situado en el primer cuadrante.

b)

4n 3 V =— R

teorema de guldin el producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad, es igual al volumen entonces:

Desarrollo V = 2it 2a 2b ;

377

6.6.

(T )

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA DEFINIDA A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE FISICA.

TRAYECTORIA RECORRIDA POR UN PUNTO.Si un punto se mueve sobre una curva y el valor valor absoluto de de su su velocidad v = f(t) es una función conocida del del tiempo t, el espacio recorrido recorrido por dicho punto en un intervalo de tiempo [tl,t2\ ser igual a: a:


378

379

Aplica ciones de la Integr al Definid a 1751

- f

La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial v0 , despreciando despreciando la resistencia del aire, aire, se expresa po r la formula: v = v0 - g t , , donde t es el tiempo transcurrido y g es la aceleración de

©

TRABAJ TRABAJO O DE UNA FUERZA. FUERZA.--

la gravedad, a que distancia de la posición inicial se encontrara este cuerpo a los t seg. de haberlo lanzado? Desarrollo

Si una fuerza variable x = f(x) actúa en la dirección del eje OX, el trabajo de esta fuerza es el segmento [x¡,x2] será igual a:

A = ©

r

f( x )d x

datos:

ENERG ENERGIA IA CINE CINETI TICA CA..-

v = v0-g t t = tiempo g = aceleración de la gravedad

cálculo de la distancia recorrida a los t seg.

Se da el nombre de energía cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a la siguiente expresión:

ds v « - = v0 - s ,

=>

Jo

f '('( v 0 - gt) dt Jo

La energía cinética de un sistema de n puntos materiales de masas m ¡ , m 2,..., mn , mn , cuyas velocidades respectivas sean v ¡, v 2 ,..., v„ es igual a:

s = v0t - g 1752

Para calcular la energía cinética de un cuerpo, hay que dividirlos convenientemente en partes elementales (que juegan el papel de puntos materiales) y después, sumando la energía cinética de estas partes, y pasando a limites, en lugar de la suma ( 1) se obtendrá la correspondiente integral.

©

La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0, contando la resistencia del del aire, se expresa por la fórmula v = cJg (~— y + arctg arctg —) —) donde t es la tiempo transcurrido, transcurrido, g es la aceleración c c de la gravedad y c es una constante, hallar la altura a que se eleva el cuerpo.

Desarrollo

PRESIO PRESION N DE LOS LIQUIDOS LIQUIDOS..Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de pascal, según la cual, la presió n que ejerce n los líquidos sobre una área s sumergía a una profundidad h es igual a: p = yhs, donde y es el peso especifico del liquido.

v = c / g ( - g - + arctg (— )) datos:

t = tiempo c = constante g = gravedad

381 381

Aplic acion es de la Inte gral De finida


380 dh , t v0 v = — = cl g ( ( - g - + arctg — — ) dt c c

1754

f dh = f [c.tg (-g- +arctg +arctg — ))dt ))dt Jo Jo c c

. . hallar el seg camino recorrido por dicho punto desde que com enzó a moverse hasta qu e paro por com pleto. Desarrollo La velocidad del movimiento de un punto es: es:

v = te~°mu

dato: v = te~°'ou h = ~ — ln|sec(-g — + arctg — ) — ) | / g c c >o 2

h=

2

ds = te -oon , integrand • . o rI ,ds = e“° ol ol' ( 0.01f - l ) / / ' v=— ds = fI ' te-ooir dt = -------------------dt Jo Jo ( 0.01)2 / o

2

ln | see(see (- g — g —+ arctg — — | + — ln(l ln(l + -y) g c g C C¿ 2

2

h = -h +— ln(l+^-) => g e 2 1753

calculo del camino recorrido por un punto desde que comenzó hasta que paro.

2

-

2

donde 2 h = — ln(l + ^ -) de donde g e -

2

_ g -0-01' -0-01' (1 - 0.0 0.0ir)

2

h = — ln(l ln(l + ^- ) 2 g e

0.0001 el punto para que se pare por completo es cuando v =

Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen origen de coordenadas coordenadas con una velocidad que viene dada por la fórmula v = v0 cosco?, donde t es el

para t = 0, s = —

Desarrollo v = v0coscor, t = 0, x = 0

a)

calculo de la ley de vibración del punto. v = — = v0cos©í => dx = v0 cos(ütdt vn cos cot cot d t , t , de donde x = x = — sencot — sencot / / =— senc sencüt üt (0 1 0 0 ) Vq

x = — sencot (O

-m = \ 04m

(íor4

tiempo y v0 y co son unas constantes, hallar la ley de la vibración del punto, si para t = 0, tenia una abscisa x = 0. a que será igual el valor medio de la magnitud absoluta de la velocidad del punto durante el periodo de la vibración.

0 => t = 0.

1755

s=

104m

Un proyectil cohete se levanta verticalmente, suponiendo que, siendo constante la fuerza de arrastre, la aceleración del cohete aumenta a causa e la disminución de su pero según la ley: j = ------- , (a - bt > 0). hallar la longitud a-bt del cohete en cualquier instante t, si su velocidad inicial es igual a cero, hallar también la altura que alcanza el cohete en el instante t = tx.

Desarrollo a)

Calculo de la velocidad del cohete: Datos: Datos:

v0 =0 ; j = ------- » a - b t > 0 a-bt

dv A , A dt j = — = ------- => dv = dt a - b t a-bt


382

Aplica ciones de la Integra l Definida

, x /' fI vdv = fI ' Ad t => v = A ------ln( a - b t ) I -------

Jo

Jo a - b t

b

T

/ o

A A A a A, a lna = — ln(------------------------------------------------------------------------------------------------- )v= v = ---- \n(a -bt) + — lna b b b a- bt b a-b t

H

—ln(---- —)

383 co-Fds=E„

E p - mgh , y =

m g

yv m = — donde y = peso especifico especifico g

b) Calcu lo de la altura en el instante t. — = v = —ln(—-—) = —l n a - — \n(a-bt) \ n(a-bt) => d s = - ( \ n a - \ n ( a - b t ) ) d t dt b a- bt b b b

V = itR~H , de rivand o se tiene: dV = nR dh dh

f ds = — f (ln a - ln(a ln(a - bt))dt Jo b Jo

( 1)

dE p = d (mgh) s = s = —[/ ln a - 1 ln(a - b t ) + 1 + — ln(a ln(a - bt)]/ b b I o

calculando dm:

ln a - bt ln(a ln(a - bt) + bt + a ln(a a ln(a - b t ) ] l s = A r [bt lna lo bh 2

yv m ~ — 8

s = s = — (bt ln ln a - bt ln(a ln(a - bt) + bt) + bt + + a ln(a ln(a - bt) bt) - a ln a) b2

ahora (1) en (2) se tiene:

1756

s = A r ( b t - ( a - b t ) ln(

Jo

■)) a-¿í

Calcular el trabajo necesario para sacar agua que hay en una cuba cilindrica vertical, que tiene un radio de base R y una altura H.

Desarrollo

... (2)

y d E = ( y n R - — )g h

ch

s = s = -4 - (bt (bt - (a - bt) l bt) lnn a + (a - bt) ln(a ln(a - bt )) bt )) b2 s = Ar (b t + ( a - b t ) ln( ln ( a ■- -)) fe2 a

dm = yrcR —

, dv => d m - y — 8

t

1757

Jo

i 1

gh dh - y nR 2 I hd h Jo

yrrR2 H 2 2 = ----------- pero E = a) por lo tanto

JtyR2 H 2 2 co = — --------— ---------

Calcular el trabajo necesario para sacar el agua que hay en un recipiente cónico, con el vértice hacia abajo, cuyo radio de la base es R y la altura H.

Desarrollo

384


Aplica ciones de la Inte gral Defi nida 1758

E p = F d s =m

Calcular el trabajo necesario para sacar el agua de una caldera semiesférica, que tiene un radio R = 10 m.

donde to = trabajo

Desarrollo

mg yv Y = — => m = — = — — v 8

(1)

0

y = peso especifico

dm
■(2)

E„ = mgh

jK r ~3 g ~3 g

=> r = =

—> — > [x, x+dx] => dW = F .d r = r = p n (R 2 - x 2 ) x d x , integrando en ambos miembros:

yjcr dm = ------ dh 3 g

Ó

.

Jo

_ ^ / / 12 p

f*

Jo

Jo

R 2 x 2

x4

3//

Jo

4*o

jz R

/.

Ep =-

2

(ú = p = (0.79)10 3 xl O xl O4 , siendo p el peso de 1 dm i de agua 4

Rh H

/2

f“

I dco = I p n (R 2 - x 2)xdx 2)xdx = Pn (—1 ------------ ) / (—1------------)

( gh) dh , ahora cambio de r a R

h A 2 h2dh h2dh

p d V = p n (R 2 - x 2 )d )dx

La distancia en el cual actúa esta fuerza es:

.(3)

1759

Ep = g ~ \

La fuerza F requerida para bombear el agua de este dV es igual a su peso.

X' r

=> dE = d(mgh)

f M "Jo Jo h R —= — r H

dv

dV = dV = tiy2dx = n(R 2 - x 2 )d x

X

/ dx

dV = dV = —Jtr2dh —Jtr2dh 3

reemplazando (2) en (3) se tiene:

El disco comprendido entre x y x + dx tiene un volumen.

R

x

1 n roH V =— 3

dm = dm = y y

385

12

(0= 0.79JtlO 7 k g - f I m

Calcular el trabajo necesario para sacar, por el orificio superior, el aceite contenido en una cisterna de forma cilindrica con el eje horizontal, si el peso especifico del aceite es y, la longitud de la cisterna H, y el radio de la base R.

Desarrollo

Eduard o E spin ola Ramo s

386 m8 y=—

Yv => m = —

387

Aplica ciones de la Integ ral Defin ida

=* m 8 = y —mM > v = -gRrM r2 R-r =

... /(i1\)

- (2)

H

de (2) en (1) se tiene: W = gm~- si hay que que expulsar el cuerpo al infinito h->°° 1+

. .( 2)

-

R

mM R

w = y----.. (3) 1761

... (4)

1760

Desarrollo

dcü = d(gmh)

E p = co = co = mgh

Jo

Dos cargas eléctricas e0 = 100 CGSE y e¡ = 200 CGSE, CGSE, se encuentran en el eje OX en los puntos xQ = 0 , xi = 1 cm cm , respectivamente. ¿Que trabajo se realizara si la segunda carga se traslada al punto x 2 = 10 cm ? cm ?

Ídh

£c dinas, por consiguiente, x el trabajo necesario para trasladar la la carga e, desde el punto x x al punto x 2 La fuerza de acción m utua de las cargas será F =

(ù = yn R H

Jo Jo

Jo.

Que trabajo hay que realizar realizar para levantar un cuerpo de masa m, m, de la superficie de la tierra, cuyo radio es R, a una altura h?. A que será igual este trabajo si hay que expulsar el cuerpo al infinito. infinito.

sera:

C *2 dx .1---------1). = .l. 8o.d, 0ft 4 ergios -T = e0e¡( ---------) w = e0et , Jx, JC2 x, X2 »vÎ.SaIO 4 ergios

■

Desarrollo

1762

Según la ley de gravitación universal, la fuerza F que ejerce la tierra un cuerpo , , „ mM gravitación de masa m esta dado por: F = y — y — — donde y = constante de gravitación R 2

Desarrollo

M = masa de la tierra, m = masa de un cuerpo cualquiera cualquiera R = radio de la tierra i w

CR^h CR^h mM

-J.

^

mM / R+h

dR- y ^ L

como la fuerza atracción es igual peso (mg)

w - y m M ( - ------ - — — ) ' R R +h

Un cilindro con un embolo móvil, de diámetro diámetro D = 20 cm., y de longitud i = 80 cm., esta lleno de vapor a una presión de p - 1 0 kgf Icm2. ¿Qué Icm2. ¿Qué trabajo hace falta realizar para disminuir el volumen del vapor en dos veces si la temperatura es constante (proceso isotérmico)?

... ( 1)

Para el proceso isotérmico pv = p 0v0. El trabajo realizado en al expresión del gas desde el volumen v 0 hasta el volumen v, es igual a: v w= I p d v = p 0v0 ln— = 800* ln2 kgf / m JV2 vo

.\

w = 800jtln2 kg f/ m

388 1763

Eduar do Es pinoza Ram os Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabática del aire, hasta ocupar en volumen volumen v ,= 10 m3, si el volumen inicial es v 0 = 1 m 3 y la presión

El trabajo de la fuerza de frotamiento, sobre estos anillos, durante una vuelta

p 0 =1 k g f / c m 2 .

completa es:

Desarrollo w= Para el proceso adiabático es valida la ley de Paisson p vk = p 0V q , donde k = 1.4, de donde:

Jj 2

k

1755

[ l - ^ - 1] V[ k -1

de donde al al reemplazar sus valores se se tiene: tiene:

1764

389

Aplica ciones de la Inte gral Defin ida

w = 15,000 15,000 kg - f / m

dw ■

4nu p f"

a2 Je

dr , , por lo cual el trabajo total

2

r~dr = —Jtupa

Calcular la energía cinética de un disco, de masa M y radio R, que gira alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco con una velocidad angular co. Desarrollo La energía cinética de un elemento del disco:

Un árbol vertical, de peso P y radio a, se apoya en una zanja AB la fricción entre una parte pequeña o de la base del árbol y la superficie del apoyo que esta en contacto con ella es igual a F = upo donde p = constante es la presión del árbol sobre la superficie del apoyo, referida a la unidad de superficie del mismo , y u es el coeficiente de función. Hallar el trabajo de la fuerza de fricción en una revolución del árbol. árbol.

„ v2dm pr 2ío 2 , , , , , , d k = -------= ------- = ------- d a . donde da = 27irdr 2 2 es el elemento de superficie, r, su distancia al eje de giro; p, la densidad ^ ^ 2 superficial p = p = ---- —de esta for ma dk = = ---- — r2dr , , de donde: 2 k R RnR--

k 1766

Meo 2 f Ä MR 2( 02 r3rfr = R 2

MR 2( 02 w=-

Jo

Calcular la energía cinética de un cono circular recto, de masa M, que gira alrededor de su eje con una velocidad angular ©. El radio de la base del cono es R, la altura H. Desarrollo dm ) disco sco = P d V Cdm)

Si a es el radio de la base del árbol, la presión s sobre la unidad de superficie de apoyo será P = P = ——-, la fuerza de frota miento de un anillo de anch ura dr, que n a ' se encuentra a una distancia r del centro, será igual a

a

r dr .

„2 , i :vi ¿dz ' /V /VI M 3 Mx KX dz = ■ R2H R 2H k R2H

(dEc)disco =

w2 x 2 3Mx 2 3Mw 2 x*d z dz = 4 R 2H R2H

Z =— H -----R-x R

=» dz; = — -d x R

390

Eduar do Es pinoza Ramo s 391

Aplica ciones de la Integral Definida w 2 x \ r ° 3 M w (Ec)cono = I — ^ J* 4R H

=

R

f 3Mw

4j

3Mwx /«

----- — x*d x = ------- —

Jo 4/?

/

20/?

' o

1768

3Mw 2 R 2 20

£ .= 1767

W

Un triangulo de base b y altura h esta sumergido verticalmen te en agua, con el vértice hacia abajo, de forma que su base coincide con la superficie del agua. Hallar la presión que el agua ejerce sobre el.

Desarrollo

Que trabajo es necesario realizar para detener una bola de hierro de radio

Se sap que dp = phl dh => por relación relación

R = 2m que gira alrededor de su diámetro con una velocidad angu lar co = 1000

H - h _ H í ~ B

vueltas / crecimiento?. (El peso especifico del del hierro es r = 7.8 gf /cm 3 ).

Desarrollo F =

w - m ad, hallamos masas “m” sabemos que:

y ~ ~

=>m = yV =>

M =~nr3Y

C^ Jo

^

~

p h /d h =

B(H-h) H

rH H —h ph B( ------------- )dh Jo H

B 3/ / 3 —2 —2 / / 3 /H B H 3 P ~H / o =PH 'T 6

... (1)

hallamos la aceleración a, este caso seria “a” por cinemática:

F ■r. -----BH F 2

c o 2

tú' = 2 aQ => 0 =— =—

... ... (2) (2)

20

1769

hallamos la distancia “d” este caso seria la longitud de arco: 0 2nr(—~) = 2nr(—~) = d => d = n 9r 271

Una presa vertical forma de trapecio. Calcular la presión total del agua sobre dicha presa, sabiendo que la base superior tiene a = 70 70 cm, cm, la base inferior inferior b = 50 cm y su altura h = 20 cm.

... (3)

Desarrollo p = ^

para n vueltas. Reemp lazando (1), (2) y (3) en w = mad

empleando semejanza de triangulo se tiene: tiene: 0)2 0)2 0 j j , 4 yurnO . , 4 7tYr3 — w -— — .nOr de donde w - —n —n l - I r dr 4 3

20

3

20

r

1 =y*h a b

4 4 2 r 5 3 œ 2r 2 w - —rq'co'n —rq'co'n = ^ Ylír )—^— Para n = 2 dos vueltas N -, , w = — co~r co~r k g f / m

w = 2.3a1 08 k g - f / m

i

= 1 ± 20 50 5070 70

705 705 725 725 - h

— 70

20 -70 1= 7 f (725- h ) - h II 1 II 1

525 525

70 = - - => / = ( 72 5- A )—— )—— / 72 7255 /. p = l 13 13.6 .600 tm

\

Solucionario Demidovich Tomo II - ByPriale.pdf

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