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ANÁLISIS MATEMÁTIC011I PARA ESTUDIANTES DE CIENCIA E INGENIERIA {1ER EDICI ÓN)
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X
E D U A R D O E S P I N O Z A RA M O S LIMA - PERÚ PERÚ
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ÍNDICE 1. CAPITUL01 1.1. SUPERFICIES CUADRÁTICAS..................................................................... ................. 1 I.S. FUNCIONES FUNCIONES DE VARIABL VARIABLE E VECTORI AL.......... AL.... ............ ............ ............. .............. ....... ..... .......Efi 1.3. 3. LÍMITES LÍMITES DE ‘FUNCIONES FUNCIONESVECTORÍALES........... VECTORÍALES........... ............ ...... ............. .............. ....... ............ ...... ...... 2? E. CAPITULO 2 B.1. 1. FUNCIONES FUNCIONES VECTORIALES VECTORIALES DE VARIABLE VARIABLE REAL......... REAL..... .... .... ....... .... ...... ....... .... .... .... ...3 ... 34 3. CAPITULO 3 3.1. FUNCIONES FUNCIONES DE VARÍA VARÍAS S VAR VARIAB IABLES........... LES.................. ............. ............. ....... ............. ...... .............. ....... . -.59 4. CAPITULO 4 4.1. 4.1. LÍMITE LÍMITES............................... S..................................................................... ...................................... ....... ....... ..... ...W 4.2: CON TINU IDA D .................................................. , ....... ,...,......... ,...,.........1 164
4.3. DERIVADA DIRECCIONAL DIRECCIONAL Y GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN F UNCIÓN DE VARIAS VARIABLES.... ............................................................................................................................................. 4.4. 4. MÁ XIM OS Y M IN IM OS ............ .................. ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ......3 33E ,..., ......... ............. ....... ....._351 4.5. GRADIENTE V ROTACIONAL ................ ,...,......... 5. CAPITULO 5 5.1. INTEGRALES DOBLES.......................................... .............. .............359 5.2. V O L Ú M E N E S .................................................................................41 .................................................................................419 9 5.1. COORDENAD COORDENADAS AS POLAR POLARES......... ES............... ............ ............. .............. ....... ............. ...... ........... ................*4B ............. ..*4B 5.2: A r e a d e u n a s u p e r f i c i e ................................................... mi
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-
=> M + -
b) Lasliazas sobre sobre las planas coondEnadcs:
E5eY:y=*^
• Sobre Sobreel plan plano o XY, XY, se haoE haoE:: z=k 9x,+4yt=k 9x, +4yt=k Familia Familia de elipses con centro en el origen y eje focal paralelo al eje V. V.
=*M 4 |y|=t-zSi |y|=t-zSi hay
EgeZ:z=»^z
• Sobre el plano se hace: hace: y^=0= y^=0=í.í. 12z 12z=9 =9bí* Familia Familia de parábalas con vértices en e1 e1 crinen y eje focal focal paralelo al eje Z.
=» M + lyI=&<-*) I=&<-*) =» 1*1+ Irl =& « No hay *
-
Enlos planas planas cacndenajdaa: Plano í (xjf !■(- ^y ) (xjf)) =!■(-
=»|-H + I- V I-6 —i= »W + M=f M=fr* r* Sihay
-
Plan lanoX {-x,y,z)=» {-x,y,-z) = »l -id -i d + hH= fi— fi— 3t=t ld + hH=f hH=fi+i i+i
e)
No hay
c) Límenlas: »
En el oris orisen en:: (w > =*C*,-y, C*,-y,-s> -s> =*. ■9r;-x>i++r-y;ji =1B(-z) =1B( -z) =» !bí+4y*=-1Eii
No hüy
• En tose tosejes jescoorde coordena nados dos:: Eje X; k =»- x
Graficanriüs;
-
=> EjeY:y=t^
+4/=1 +4/=1Ez =t ft í ■ +4/=1 +4/=12z 2z
Si hay hay
=t :'1+4í+4 í-yj yj1 1=l Ez =!■'5x !■' 5x1+4yi=i az
Si hay
Eje Z: z =t- -z =t » í ' W ^ I S(-z) S(-z ) =t qj í+4y* í+4y*=-1fe
No hay
• En los plane planess coorde coordena nados dos;;
9x1+4 y y - 12z = H
-
=aq<-x)1++(-y^=12z ++(- y^=12z =t 9bí+V=1 9bí+V =1 Ez
JH2EDIDBÍ a) Interacciones Interacci ones con Ira I ra ejeEcoonde ejeEcoondenadoa nadoa: • Conelej Coneleje!f e!fcyi= cyi=zí= zí=0^>í 0^>ííi íi •
Conel cíe Y: x=st=Ü=»y^ Ü=»y^Q Q
•
Con Con el e¡E Z: x=^Ü x= ^Ü =tz=(J
PlanoZ: {*,*)=* {*,*) =* (-x -y) -y )
-
Si hay
Plano X: (s.y.z) =t- ( x .-Y Yj -z) x .=t Sh V íí -y ^ l Ef-z) Ef-z) =t=t- 1>
No hay hay
Plano Plano V: (-x, (- x,y£l y£l =*■( x,y,-z) x,y, -z) =t
=> 9)?+4y* 9)?+4y*=-1 =-1Ez
No hay hay
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EDUARDOE5P1NOZARAMOS j
1
( BWUmPOESPWaZABAMOS«
• Graficamos:
c) Lastrazas sobre losplanos coordenados: • Sobreel planoXY, se hace: z=k =»/x +-/ y W k = 1 Familia de curvas con vértice en C(0,0) • Sobre el plano XZ, se hace: y=k =» i/x -t-Vz +Vk = 1 Familia de curvas con vértice en C(0,0) • Sobreel planoV^. se hace:x=k =» V z+ V y +Vk = 1 Familia de curvas con vértice en C(O,0) o
d) Simetrías: • En los ejescoordenados:
*l+z*=Ts(y) a) Extensión. El dominio:
-
EjeX:x=*-x, x/^x+Vy W z = 1
No hay
-
E^ey:y=>-y, x/x+,/y-i-/^ z=1
No hay
-
E j e z : z ^ -z , >/ x-* -^ yW ^s = 1
Nohay
• Bn los planos coordenados: - Plano Z: (x,y,z) => (-x,-y, z)
y£0=* D = {(x,y)e9í*/yaO} El rango:
R = {ze iR}
b) Intersecciones con los ejes coordenadas: • Con el ejeX: y=0 z=0=>x=0 •Con el ejeY: x^)
z=0=>y=0
•Con el eje Z: x=y=0
z=0
Nohay -
J x * n fy + J^ z = \
-
c) Lastrazassobre los planos coordenados: • Sobre el plano XV, se hace; z=k => x*+k=Tg(y) Familia de curvas con vértice en C(0,0)
PlanoX (x,y,z) =*■(x,-yt-z) Nohay
• Sobre el plano XZ, se hace: y=k =>x?+z*=k Familia de circuios con centro en C(0,0)
PlanoY: (x,y^> =» (-x,y,-z) V^x +V y+V -z = l
Nohay • Sobreel plano YZ, sehace: x=k^k +z*=Tg (y) Familia de curvas con vértice en C(0,0)
SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
«■«wedukaeruoom
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SOLUCIONAfbOANALISISMATEMATICOIII
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En los planos coordenados: Planoxz: y=» -y =>x*+j?=Tg(-y) =>xVz^-TgCy ) No hay -
Plano xy: z=>-z =» x*+(-z)*=T8(y) =>x'+z^TgCy) Si hay Planoyz x=>-x =* (-x)*+z*=T!j(y) =>j¿+^=Tg(y) S hay
• Conel eje Y: y=0 z=0 =>y=0 • Con el eje Z: x=y=0 =>zxO c) Lastrazas sobre los planos coordenados: • Sobreel plano XV, sehace: z = k= » x* =2x+4 k • Sobre el plano XZ, sehaoe:y = k => X1=2x-t-4z
E)eZ:(x,y)=í.(-x,-y)
xí+^= Tg( -y)
No hay
EJeX:(y,z)=*<^-z>
x*+^=Tg(-y)
Nohay
EjeY: (x,z) =>(-x,-z>
x*+z*= Tg(y)
Si hay
• Sobre el plano YZ, sehace: x = k=> k*=2x+4z d) Simetrías: • En los planos coordenados: Planoxz: y => -y =>x*+2x+4z -
Si hay
Planoxy: z =>-z =* xi+2x+4(-z>=2x^z =* No hay Plano yz: x => -x => (-x)*=2(-x)+4z =s-x=-2x+4z
• En los ejescoordenados: - EjeZ: (x,y) =>(-x ,-y ); (-x)*=2(-x)+4z -
=>xí=-2x+4z
Nohay
EjeX:(y,z ) =>(^ ,- z) ; x‘=2x+4(-z) =***=2x-4z EjeY: (x¿¡) =>(-x,-z); (-x)*=2(-x) +4(-«) z =*x*=-2x-4z
Nohay Nohay
Graficamoe:4z=(x-l)*-1
a) Extensión. El dominio: El rango:
*z=x*-2x => D = {(x,y)í 9&) R= {zeSR}
Con el ejeX y=0
Nohay
z=0
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a) Extensión. El dominio: z=2-y*=»D = {(x,y)€M*} H. Rango:
R={ze9tfeá2}
b) Intersecciones con los ejescoordenados, • Cone) eje X: y = 0; z = 0
=>
No hay
• Con e) ejeY: x = 0 ; z = 0 => • Cone)ejeZ:x = y = 0 =»
y=W2 z =2
©
4x*+9yV=36
a) Extensión. El dominio: c) Lastrazas sobre loeplanos coordenados: • Sobre el plano XY, se hace: z=2+k => rectas • Sobre el plano XZ, se hace: y=2+k => rectas
z*=4x*+9y*-36=>4x*+9y*-36a0=s D = {(x. y)« «4^* + ¿s l}
Sobre el planoYl, se hace: no existe
• d)
En los planos coordenados: - Plarvoxz: y =>-y => y*+z=2 => Si hay
Con el ejeX:
y = 0 ,z = 0 =>x=±3
Plano xy. y => -z =» y*-z=2 => No hay
Con el ejeY: Con el eje Z:
x = 0 ;z = 0=>x=±2 x=y=0Nohay
Plano yn x =* -x => Si hay En los ejes coordenados: - EjeZ: (x,y) =>(-x,-y) ; yi+z=2 -
HjeX(y,z)=*(-y,-z);y»-z=2 EjeY: (x¿t) =*(-x,-z); y*-z=2
I SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
Si hay No hay No hay
wwwodutam; oom
I
Sobre el plano XY, se hace: z=k
=> 4x*+ 9y*-36=k=> elipses
Sobre el planoXZ, se hace:yak Sobre el pianoYZ, se hace: x=k
=> 4x*-z*=3ó hipérbolas
=» 9y>-z*=36 hipérbolas
w w o d u k p o w . c c m SOLUCIONAR» ANALISIS MATEMÁTICOIII I
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En los ejes coordenados: - Eje Ti (x,y> => (-x,-y) 3x*-6y*+2z?=6 =s - EjeX(y,z)=*(-y,-z)3x*-6y*+2z?=6=í - EjeY: (x,z) =» (-x,-z) 3xi-6yi+2z*=6=s
G 3x*-6y,+22?=6
a) Extensión. El dominio: El rango: R={zeíR}
0
b) Conel ejeX: y=0
z=0= >x=±v2
Con el ejeY: x=0
z=0 =» -y*=6
a) Extensión. El dominio:
No hay
D = {(x,y)e«*}
Con el eje Z: x=y=0 =>z=±V3
Q rango: R= {zeSK}
c) Lastrazas sobre los planos coordenados: • Sobre el plano XY, sehace: z=lc ; 3x* -íry 1= 6 - 2k* = • Sobre el planoXZ, se hace: y=k => 3x*+2zs =6 +6 ^= * elipses • Sobre el plano YZ, sehacer x=k =» 2z* -6 / = 6-31^ =>hipérbolas d) Simetrías: • En losplanoscoordenados: - Plano xz: y =*-y =*3xí-6yí+2zi =6 =>Si hay -
Plano xy: z =» -z => 3x,-6y*+2zi=6 =» Si hay
z+y*-2 y=0
mlos ejes coordenados: Con el eje X: y=0 ; z=0 => no hay Con el ejeY: x=0; z=0 Con el ejeZ: x=y=0
=>y=0 y=2 ^ z=0
Sobre el plano XY, se hace: z=k ; Sobre el planoXZ, se hace: y=k Sobre el planoYZ, se hace-. x=k
Piano yz: x =» -x => 3x?-6/+2z*=6 => Si hay
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• s s s s s ^
.(■
j s s l ) . . . . . . .
d) Simetrías: • En losplanoscoordenados:
c) Lastrazassobre losplanos coordenados: • Sobre el planoXY, se hace: z=k ;(x+2)*+(y-3)!+9=k circuios • Sobre el pianoXZ, se hace: y=k=>(x+2) *+k+9=z parábolas
Plano xz:y=s>-y=» z+ys+2y=0 =» No hay Plano xy: z =» -z => -z+)?-2y=0 => No hay Plano yz: x = »-x ^ z+y*-2y=0 => Si hay
• Sobre el planoYZ, se hace: x=k =» k+(y-3)*+9=z
• En losejescoordenados: EjeZ: (x,y)(-*,-y) Eje X (y¿) =» (-y,-z) z+y*+2y=0 =» No hay - EjeY: (x,z) => (-x,-z) -z+y*+20=0 => No hay • Graficamos:
z+y*+2y=0=> No hay
parábolas
d) Simetrías: • En losplanos coordenados: -
PlanoXZ:y=*-y=>zKx+2)l+(- Y-3)M PlanoXY: z =» -z =>-z=(x+2)4+{y-3/+9
No hay =>Nohay
-
PlanoYZ: x =» -x =» zs(-x+2)*+(-y-3^+9
=>Nohay
• En los ejescoordenados: -
O
z=(x+2)*+
EjeZ: (x,y) =*■(-x,-y) => z=(-x+2)*+(jy-3/+9 =» No hay
-
EjeX(y,z)=»(-y,-z)=> -z ^x +tf +0y 3)t a =» No hay
-
EjeY. (x ^) =>(-X.-Z) => -z=<-x+2)Vjy-3)*+9=>No hay
• Grafica
a) Extensión. El dominia D={(x,y)eíHí> El rango:
R={zeWz£9}
B==i_
b) Intersecciones con los ejescoordenados: . Con el ejeX y=0 , z=0 =» 0=(x+S), +9+9 • Con el ejeY: x=0,
• Con el eje Z: x=y=Q
z=0 =>0=4+(y-3)*+9
No hay No hay
=> z=4+9+9=22
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* \ y
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H
/ p - s « ( t ) P
l-Sen(t| l-Cos(2t) '
LHopital derivando en cada término d
£_t
■ N i
■ M = (0 ,0 )
n/I-S^’O) {2 ~ \t ^Cos(t) / D - S e n W T ' ^ W ^ - , ] L= ,: _ [vf'|-Se n(t)>/USe n(t) *4
^[l-Se^it)]*
* ^U l- Se n (t )
2 J
L -
-1
-Sen(t)
'- C k 'W*
"2
£ s r f f ' l Ü Í í ]
Aplicamos L'HopiraJ derivando en cada (Érmino e)
numerador y denominador en la primera y segunda función. e’ -e •*>£) _ t- 1 ' 1-t ’
-N ) C
L~'*FÜ
=(e-l,2)
r, Í SeflC7t) Stn(St) TS(3t) to[—
L-gsfe ? 1- Cos(2t) ° “ <*>
i-i
SOLUCIONARIOANAUSISMATEMÀTICOIII
«vwebutpeni m r
...........
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SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICOIII I
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kMOS«
SOLUCION L=
L = lim^Ln(t),VÍ"+t\j^-p J
'^ ( a t l j Apl*camo3 L’HoPital derivando encada término Limites laterales:
ei numerador y denominador de cada fmción f 7Cos(7t) 5Cos(5t) 3Sec’(3t|] 1 ’3Cos(3t)’ 2Ccs(2t)J
L,= ^ [ ü , ( t ) ty i 7 ? , ^ L ] = [ L n ( 2 ) rV Í T ? / ¿ _ ] = [ l i . ( 2 ) tV s , « ] U= l|m ^lii(t),yr i7,-^j= ^Ln (2),V ÍT7,-A ¡ j=[ü»(2)tV5,«>]
I7Cqs(o) 5Cos(0) 3Sec1(0)1 [_ 5 3l ■ [ 1 '3Cos(0)’ 2Co6(0) J- [
Luego: li mf( t)* limf (t) =>L = limf (t ) no existe
O
Aplicamos Hópital en cada límite: L = jim|^
11‘l~c°B(t)
j Aplicamos L Hopital derivando en cada término el L' S [
numerador y denominador de cada función.
l
[l-Co sfS t) ^1+ tSe n(t) -ll . Fssen(5t) Sen(t)+«Cos(t) 1 t* • f J" ü 5 [ St ' 2t(2)y 1•+tSen( t) J
. s [£ s ^ .¿ = É í ,;],[ £ = a , í= f e ) ,£ ] .H V )
SOLUCIONARLOANAUStS MATEMATICOIII
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M 7 . V J » ™
UNCIONESVECTOWALE 0
Calcular ¿6 , si a= (2,-4,1) y bJ^’[te, ,tCh(2t),2te-s]dt
Desarrollamosla integral: b =J4'[te,‘rtCh( 2t),2te-*}lt Integramos por partes en las tres fondones: u=t =» du=dt v=|e**dt = — 2 u=t du=dt v=2Íe"ildt = e41
u=t=> du=dt
v=ÍCh(2t)dt = 1Sh(2t) 2
, J e +1 2Sh(2)-Ch(2) *1 l-3e~*l
Ahora el producto escalar:
b=(?, i t)^-,1gSh(2)-Cli(2Kl 1-3T» -2Sh(2)+Ch(2)-1+Iz2l! = £ 2 -e SOLUCIONAFHOANALISISMATEMÁTICOBl
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Hallar la función vectorial
f continua en el intervalo <
f( x) = x e' Á+ -l| f (t)d tVx > 0, siendo A unvector fijo no nulo. Q
Calcular lassiguientesintegrales: a) J[4Sen(t)i + 3Co6(t)j]dt b) f]t^ i + gl dt xf (x ) = x*e*A+íf(t)dt
d) JJJ,[Sen(t),Co8(t),Tg(t)]dt e) J4,( Vt1VftT¡ )d t
x f '(X) + f (xX = (xie‘+2xe‘) A + f (x) xf '(xMx'^+Zxe’ ) Á =>f '00 = (xe*+2e*) A f (x) = Á j(xe*+2e*)dt = (xe*-e*+2e*) A = (xe+x**x? A =e*
b ) J [ t e-*, i + í ] d t = - ^ - ¡ + ^ j + C
lederivada continua f ’(t), Vt, siempre in vector constante y una función real
positiva H' tal que f ( t)= ’F(t) A , Vt.
d) f>'"[SB i(l),O i»(t),lS (l)]i».{* -Ci»( l),So 1(t),-ü(Cbi(>)]||l
1■HíMíWKi®-^
Debemos probar que las funciones vectoriales cumplen la condición de paralelismo para
Según lodefinido: f '(t) = kf(t )=» Si 'F(t) A = f '(tyk Secumple: f (t) = H*(t) A , Vt Demostrado.
f) £ (e',te')dt =(e‘,te*-e')|^= (e -l,e -e +l )= (e-1,1)
Unafunción vectorial f satisface la ecuacióntf '(t) = f (t)+t A , Vt t>0, donde A es un vector fijo. Calcular f T O y f (3) en función de A si f (1) = 2 Á . SOLUCtONARIOANÁLISISMATEMATICOHl
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H -----
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a) En laexpresión: tf’(t)= f( t) +tA derivamos:
f( t) +«r( t)= f(t )+A=*f-(t)=^ parat=1
El ánguloentrevectores se obtiene de: a.b =|sJ|bJcos((>) Derivando laexpression: f (t). V*t=> |a||tj|Cas(;7) = I
= »f (l ) = A
f '(t). V =1 =» f ICtX V =0 Esto indica f "( QXV b) Parat=3: 3f'(3) = f(3 )+3 A
Además f '(ty/ V , luego f "(t JXf '(t) demostrado.
En laecuación: tf'(t) =f(t)+tA=*f'(tj = - ^ + A = > f' (t )- ^ = A Estaes unaecuación diferencial lineal: De donde:
+p
^
Seauna curva C descrita por una partícula móvil en 9t\ Dar una demostración o poner un contra ejemplo.
b) Sel vector aceleración es constante, la curva esplana. c) S el vector velocidad es perpendicular al vector aceleración lacurva es plana.
e ^q íx Jd K + k ]
f(t)=e K j/e'1* Adt+kJ=e“<« [fe“«Ádt +k] a) Para que lavelocidad seaconstante: f(t) = t[j^d t.k ] = t[Aln(,)+k]
f ’(t) = ai + bj donde a y bson constantes Laecuación de la trayectoria: f (t) = J(ai-bj)dt = ati + btj + k x=t y=t
Si f( l) = 2Á, hallamos le f(l)=ÁLn(l)+k=>k = 2A=>f(t)=t[ÁLn(t)+2A]
y=x+k
b) Pataque la aceleración seaconstante f "(t) = ai + bj
f(3)=3[Aln(t)+2A]=»f(3)=3A[Ln(3)+2]
donde a y bson constantes
Laecuación de latrayectoria: Dado un vector V*0 y una función vectorial f , tal que f (t). V =t, VtsiR y tal que el
f '(t) = í(aM ») dt = ati + btj + k
ángulo formado por f '(t) y V esconstante. Demostrarque f "(t) es ortogonal a f '(t). c) Paraque laaceleraciónseaperpendicular a lavelocidad: f 1(t) = ai+bj I SOLUCIQMARIQAt
f (t)=ari*btj
=>aV+b*t=0
=>a*^b*
SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICO
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La ecuación de latrayectoria:
í'(t)=JWWi®dt=-Y+T Í+k Puesto que la ecuación depende de t en términos de x e y, la expresión hallada corresponde a una curva plana en z=k. O
Determine una función f : IcjK-tdi* que parametñcelacurva indicada a) Larecta y=2x, recorrida del tercero al primer cuadrante. b) La cuarta parte del círculo x' +y*^ que se encuentra en el segundo cuadrante,
l, = f
Osfcd
I, =J
Osfcsl
c) El cuadrado bd+ lyl = I recorrido en sentidoanohorario. d) El segundo de la curva y=lt-bd comprendido entre x=-2 y x=2 recorrido de El segmento de lacurva ytx*-l Icomprendido entre x=-2 y x=2 recorrido derecha
d) Y = 11-1x11-5 ParaIxJ = i3
a) f( t) = ]
b) f(t )=
te <-eo, *>
íx = -v''3Sen(t) . . t£[0r^2> [y=V5cos(t}
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fW -
1-^ l+>4
1+x -1-x
1sxs2 0Sx<1 -l£x<0 -2Sx <-1
ftf-1 Hx)=Jl-x* j¿ -1
l£xS2 -ÍSx<1 -2 SX S- 1
xkO x<0
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Determine una lunciún f : I c 3t -> 9^ que parametrice la cuva ¡ndicada. a) La parte de larectay =¿b&3z que se encirentra enel primer octante. comenzando b) La parte- de la necia, que resulta de la intensecdfin de Ira dos planee x+2y-z=0, 3ky +í>i =0, correspondíente az£fi, connenzando enel origen. Ei dnculü que- resulta de la intersección del paraboloide
C = jy = 3CoBt , Ds ts &r
con plano &4
ccmtemandü en el plano (0,2,4) oon el sentido de recorrido {0A4) -► (ür-SW->(2,0,*)-KQA-l)-
O
EncuentreunaTe bJCKt+y1= '9Jz=a
fe
d)C;j¿ = 4y,^=B4z
a) ^=2)rfz dividimosentre
e) G (x-1)1+ 4ty-E)1=■4 z=Q
C=Jy =fit „ tfc» [z=at
b) Los planos; x+S¡¡r-z=(}r3x-y+5z=Q n^fl.Sr -'l)
11 J nt = (3,-L^)=> n=n,xi^ = 1 2 3 -L
ti - i = (9,-ar-7) 5
El punto inicial de larecia: Pt = (Q.O.ff) con n = O^AT) P = Pt+ tn =>P= rOAtl) + ^ A 7 ) = ( -l?t^tr'7*) Dedonde: k = -9t, y=Bt. z=7 t , t£i
b)c:3¿ + y*=9,1=0 rSix =3Cos(t)Jy = 33en(07z=Ü,ü:StsS n c>C:y=3sirz = 0J z = 0,x = t,y=3t1 r z= 0, taü
I” " »
C = j y =6t , t£ [} [z = 7t c)
d) C; 5^ = 4y, jí=B4zx=t, y=t*H r z=t*fl34r teO
con plano z=4 comenzando en el punto (0,E,+)t
e) C: (x-lí + 4^-E? = 4
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z = 0 r x-1=!CaBtfr* x=1+3Cas(t>
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y=B+BSen(t} i=0
Os ts Br
0
Sea a la trayectoria n (t) = [at,t1rLn(t)] definida para feft. Encontrar Iblo (fe a entre lospunt™{£,1,[})y[4,4,Ln(2}]
x = 1-nSCost C =| y = S +£Sent , U longitud de aico de una curva paramèdica: ^1
Dadas las siguientes-curvas, encontrar au a)îi +■/-íot-4 y + IS =0 b)x1+ y1+ jt = 4 x + y -z = Ü c )^ + i ‘ =ÍE, x*+ y*= 10 tuegís i
H>{X-1/+ 4{y-E) = 4 y-3 = ESenít)
z=0
j ss ts *
*-1 = SCos*x = 1+ ECcafl:)
=*y^3+E5en(t) „ &Ü
ÜSt^üc
L=
= 1-i-eCD5t C:| y = S+aSent , ÚSt sEír z =0
O
dt = J*^at j dt = t1■+Ln(t)j* >= 16-4+1/1(4}- Ln(2) = 12+ Ln(2}
Hallar lalentitud de arco de las líneas que seindican: a) Ï © = [lC^ t),1W t),tL te [0,2]
b ^ i + y t + z t =4
b) f {t}= í[1+ ÍXK(t)] Cos(Or[1+Coeít)]SenCt)}rtEe [0.Ï] z=x iy= n1+>!+z1=4=íJ? + l^ + {* + r f = ^
e) y = Araaai
«eate(0A ü) h « ^ | ,¿ í rÍ ln(3)j
3?+ y* + xy = 2dedonde: x = h/ËCœ(9)y=J í Sen(6>
i a^3 Bx'â a
z= Js [Coa(6} + 5en(0)] x = ’JSCoat/ y = VÜSenií c= VsfCcufl -i- Sen (/]
a) Lalongitud de arco de una curva paramétrica:
L=0 MN= SOÜÜCßMABIOAMAüSISMATEMATICOIII
1
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Luego: f (t) = [tcos(t), 1Sen(t), t] = te [0,2] f '(t) = [Cos(t) -tSen(t>, Sen(t) + tCos(t), 1] L= J*^[Coa(t)-tSen(t)J +[Sen(t)+tCos(t)]* + 1dt
a) La longitud de arco de unacurva paramétrica:
L=0wKJl ViywT+[vwj («íT*
L = £'v Cos’ (t) —2tSen(t ) Cos( t}+Sen’ (t )+ Sen1{t) Luego: f ( t) = [2Sení(t), Sen(2t), 2Ln(Cos(t)],t e
+>|/2tSen(t) Cos(t)+Cos, {t)+1dt
f (t) = [4Sen(t) Cos(t), 2Co9(2t), -!Ts(t)] = [2Sen(2t), 2Cos(2t), -2Tg(t)]
L= jVT7TTIdt= 75 ^= 2^
L = J>v[2Sen(2t)J ^[2Co8(2t)jI +4Tjf (t)dt
b) f (t) = {[1+Cos(t)}Co8(t), [1+Cos(t)]Sen(t)}, t € [0,2]
L=
í U b W
L= j* y'4+4Ts'(t)dt = 2JJ ^ S ^ d t =2 ^ Sec(t)dt
(*)]'*
f *(t>= [-Sen(t)-Sen(2t), Cos
L= J ‘^[-Sen (t)-Sen(2t) J +[Coe(t)^Coe(2t)Jdt
U 2ü>[Sec(t)+TS(t )| =2U,[secg)+T8g)]-2 ü ,[sec g ) +T8g ) ]
L = J ,v'Sen’ (t)+2Sen(t) Sen(2t)+Sen*(2t)+ Sen*(2t) ^ 2Sen(t)Sen (2t)+ Cos' (2t)- dt = Jo,/TfÍd t=v'2 tj* = 2/Í
O
Hallar lalongitud de arco de lassiguientes curves: a) f (t) = [2Sen*(t), Sen(2t), 2LnCos(t)], t e ^ , | j
{ T ) Hallar lalongitud de arcode lacurva descrita por f (t) = {Serf(2t), Sen(2t), 2Ln[Coa(t)]} desde el punta
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hasta el punto j | ^ ,2 U l ^ J jj
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EBUHOZARAMOS#
L=
(4 * =tifrWwW+FÍ*f *
L = JJ^a‘aiLCl=,(t} 2£m(t)ÜH(t) i CtBJ(t)Cflí(t) iSÍHi([)Cos(t) iC ta » 11j±
Lue ^: f W = {¡Sen1® , Sen(2t), Sin [Co ^t)]), te J f ffl= [JSenCtJCosCft ¡¡G osíSt), -E T ^ ] = [25en(at)r S Co ^St), -SfTaCt)]
L=
G CalcuLar L
para lafunción vectorial definida pon a (t) = [aCceftj, aSen
L= J ^ [ í 5h i ( » ) J 4-[íCDB(2t)J +41^ (t> *
L=
Jlt = J^oe 'í/ ad t = aEr j s |1Ü =aj3
'[1 +1 + 1
= aj^ ;SECs(t>* = Bp Sec (t )dt
UELn[Sec(t)+Tg(t)]
La longitud de «r o d é una curva paramétiica:
KíWíHHíWí)]
l=ÍM*=W[*'W LuesJü: a {t} = [aCc^t), aSan(t), ct], 0 £ t £ ji/2
L= gLn [B-H^3]-2Ln^+i/3j = 2Ln^ '^ + 3j
tí '(t)= [-a5en(t), aCo^t), c]
Hallarla longitud del aroo de la hélicE cünicaO: ¡r {*} = [aEtraít), ae'Senfl'), a£*] desde el punto (0,0,0) hasfa el punto A^ajOta)
L= J =^[aSer(t)J 4-[ bCob (t Jíf 4-c*dt = Va1+ c=J;d t =— 2 -Í £ -
e
Oranrrar la longitud ¡Je lacurva definida por f (t) = |^£ -^l^ d¡y jJ ^ ^ ^ d í? r+i/t j Entra fcl y fc=t1r Eahiendo que f (t)
Cl
l=í :^ p =f W E » Luego: a {t } = [aEtoa(t), ae'Senfl), aE1], t e (-«, 0}
es el
La longitud de arco de una curva paramétrica
a = [aetoa(t) — ae'Senít), ae'SenCt) + a¿ feoé®, a¿\
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punta donde
es paralelo plano YZ
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l=11^ luaSff f {*}=
ConEidere lacuns descrita por f( t) = ^t,ath ^-J ra5h^—j j demuestTEque Ib di Oüt fiti lacurva deade (ü,a,ü) hasta?jen la curva e
CD Una partícula se mué™ en el plano XV según la ee encuentre lalongitud de la trayectoria desde t=Gat=j
a la distancia -de Pi
lueso: f( t) = ¡ t,,aCh^jJ ra5h^lJ|
f»=KM3]
Lalongitud dearcü de una curva pairainStrica
L= Luegp: f ffi = [S*CDe(3t5, H^SentSt}]
f (t) = [-^-^CoBÍat^Stf^SeníStX -2í*Sen(3t> + 3e^toafat)] L= J‘ J[-Ee "aCtB(3*)-3c*Beni(3t)]t4 {-& f”Sen(3t)-i-3e“CtB(3*)]!dt
Sea lafunciún r=g(0) con derivada condnua en t e
L= J’ j r “ [4CiH,(3t)+1SSEn(3t)Cas(3t)+QSGn, (3 t) +} » J[ v h=
pt) 11*Sfcn{Jt )C>3C pt) I56hi‘ pt Jtóai1
J S j '" S h p J d t = a j 2 S h p J ^ I=a-g,^ i ^ — J
0£ t S n
)üi i{3t) i‘JO*1pt]fji ~
La longitud de arco di
p - * * )
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+
Luego; y = iSen(fi) , ;e=iCoe(B) V = Sen(fl) + iCos(0) ; x'= Cos(a) - i Sentíl)
Luego: 4 regiones ai aeconaidera 0 ¿ t £ jtfS i^f+ (yrf = [r'CosCB) - FSen^e}]1+- [rSern;0} + rtoafOO]* (O* +
L= J.V [x -(t }J 4 y ^ ) T d t = 4 j : > ‘ [ l - eW ( É ) > L= 4aJn ^ l -e ICoa: (tJdt
Hallar lalongitud de ancode lalínea C: x1= 3 ^ 2xy = 9z desde eí punto (0,0,0) hasta el punto (3¿3,EJ.
Luego: L = J 0
vl/’T+trí dt=/i/s^+ís'J*
Demostrado-.
Se la elipse descrita por K=aCoe(tí), y^t¡Sen(t)rtep.flii]. Ü
Paramadrizamoa lasecuacionea dadas; x=tr y^— , z =— 3 3(9) !7
de laelipse es: L= 4aJn ^1 -e*Cca! (t]tt donde e es laexcentricidad de la elipse.
:X=1
La longitud de arco de una <
;
J . X + - M - ’W T * [> "(< ) ■ - [ > ■(< )] ' ■ » *
x = aCoa(t)
y'=bCoe(1í , x’=-aSen(t5 , Peroe=a W V tb 's
2(1
Z= ---- ; 0S tá3
l=iw=í:V5w ^ w * Luego: >^=bSen(t)
Demostrado.
= 1 ; V =T
; -■ =—
, c^ea , ^ c V b 1
bi= á^l-e1} L = f S l ± 2 d t = ^ + t|3 =E +g =5 Jn 9 27 1&
Arreglando aegímla Expresión dada: « ? + W? = [bCo^OJ* + [nfien©]* () ¿f + (y rf = tteoe^t} + a’W íO = a’tT-eVaA fl + a* W{t )
O
Hallar la longitud deanco de lalinea C: z*= 5hx , 9y*= 1ékz desde el punta hasta el punto
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a * ™
* ™
™
)
a) à (t) = (ii[t-Sen(t)L *1-Cos
0 S t £ S*
(t 1(t ) = fb[1iœ (t )] r aSen©! 0 S t S Et
La longitud de ancode una cuna paramétrica:
L = r j [ * ,(t f f + [v ’(* )T dt L=
Ja, [ l -C Da(t)] , H-a, [Sen(t)]1dt
L = aJ* ^'1- Cog (t)-i-CoG1(t) + Sen’ (tjtít Laicngitijd de arco de una curva paramèdica:
L = a'/sj’ J -Coa ft V* = sjs JT P ..
L= I t N *
L = J"r ^ fl t = ^27 J lü3=s+3=5 EnconiiarlalLJngiituddeareQdelaasisuientescurvaa
L= *
P
§
c) ÍT (t) = |^t- eíT sJi ^i J,-aSech|
} h m o F
=^ p ^ f ]
desde fc-a liastateil
a) a (t ) = {a[t-5en(t}], a(1-Gas( t)]}, a>ÛLongitudtotal b) ^ t ) = l é c i t i e W t )l t e [Ü. SO c) a (t) = -(arcs t, asertït), a&ôlongitud focal d) n (t) = j^t-áTgti^-J,aSech^l j j desde t=a hasta t=2
lL= J^ i'l- Sectf
e) a (t) = {a [Sh «H]: a[Shft) - 1]>, 0£ t s Tr a> 0
i-
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+ S bc H1^ j +■ Sech1
(^j*
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□ ..
c
L=£
=£ dt= j ^ = ee
b )i i[ t) = [c'CcoCt), e’Sen© ! t e [ti S] a' (t) = [ et ne© —elSen(t)3eLSen© -4-e’ CcB©]
0
Encontrar lalongitud de anco de las curvas:
La longitud de anco de una ciMva paramétrica:
a) à (t) = ft Ln [Sec©], Ln[Seo® 4- TW)]'U e
L = rv R * ) T + [ v ' W ^ ) i d t
b} ¿ (t) = [B'Ccota e'Sentf)], t e [Ü, 20
L= J1
c) ä (t ) = ft Ln [Sae ttali [0,31
[Coe(t)-Sen(t)J +e,1[Cbs(t) + Sen(t)]1di
L = £ e‘^i'Cog’ (t )+ Ser“(t J-hCog1(t )+Sens(t )jt
ri) tí (t) = ft a© = «æ nh t - t), a(cQsht -1 )) , en[OrSrf] L= £e‘Jidt = jBe‘£=Vs(eT-l)
e) S (t) = f t a © = «aenht - tX a(cceht - 1)), en [ ürE*]
c) i (t ) = {ajaiCtKl, aftliiö-l]}, 0 £t ¿ Tra >0 = {a[;Ch©-1]rJiSh©> a)c= ft Iji [Sec©], Ln [Sec© + Tg©] }, t e |o ¿ J L= i ÍTt) =[ljmSci(0]
»
f
^ [ 0 .( t ) -l ] V [S h ( t ) T *
L= aJ^Ch * (t)-a ch( t}+ 1 ■+9i =(t)dt
La Longitud de ancode una curva paramétrici
L= a£ Jct f (t) -EC h(t) ■r-Qt’ (t)dt
L=I.-J[x 1(t)T +[y W j4.[ z'(t)] ,dt
ta£ ^2C ti* (t) -SC h(t )d t = aÆ £ jch (t )jc h( t) -1 dt
L= Jn" ‘jl+ V (‘ KSec‘ (t>* L = J 'J\'Sec, (tJ+Sec1(t)dt =
£ '“ sBc(t)dt
L= JiLi[Sec(t)4-Tï(t)^M
'■--‘H l
L = J h ji ^Sbc^ J+ T g ^ j j->/sin[Sec (û) +Tg(ù}] = VäLn(Ji + ' MUUCBHAHOAHAUSIS MATEMATICOIII I
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Q
Sea C lacurva descrita por lafunción vectorial f (t)=a[t-Sen(t), 1-Cos(t)t 4Sen(t/2)] con a>0. Hallar la longitud de arco de C desde el punto a^'T ^
| hasta el punto
La longitud de arco de una curva paramétrica
L=
Í.V[X'(*)]*+[y'(‘ )]’<*= £ >/Scn' (th [l-C os (t)J dt
**&4>
L= J^l-2Cas( t)+Cos, (t)+Sen'(t)dt
f (t)=a[t-Sen(t), 1-Cos(t), 4Sen(t/2>]
t€ , V2jlií[TS(t/2)]-Ii,[Sen(t)]|¡)= ^ ( ^ [ T g{l/2)]-lx,[Sen(l)]
f '(t) = a [1-Cos(t), SenCt), 2Coa(ü2)] La longitud de arco de una curva paramétrica:
L=flf+[y’(t)T+[z,(t)J<* L = J7-, a^' 1- 2Cos(t)+ Cos' (t) + Sen*(t )+ 2* 2Cos(t)dt L=
l +1+2dt =2a*[^/4 = Y
£ ) Laporción de unapartículaen el instantet es: = t-Sen(t) recorrido de lapartícula entre tsOy tal.
ÍC 0 = [1-Cos(t),t-Sen(t)]
te[0,1]
f( t) = [Sen(t)Jl-Co s(t)]
SOLlICtONARJOANALISISMATEMATICOIII
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x£0 r\ (l-x£y £x+1) u xSO n (1-x2yax+1)
n
O
fl&y) = Ln(36-*x*- 9/ )
36-4x*-V>0 =» 36>4x*+9y*=» — +-L . < 1
\
D = {(x, y)cM4/[xS0r<1-xáyáx+1)] u [x£0 r\ (l-x2y£ x+l )]} O
f(x,y) = Ln(xy)
Sabemosque el argumenta de lafunción logaritmo debeser mayorque cero, xy > O=> x>0 a y>0 \j x<0 a y<© O
f(x,y) = >/-xyLr'(y-+x’)
Debemos tomar los valores reales a ambas funciones, es decir, la cuadrada y lafunción logaritmo deben ser mayores que cero. y-43¿>0 n -xy£ O ^y > nxy á 0 y > 4x* n (xSOa yaOw x20 a ySO
D = {(x,y) e 94*/x>0 a y>0 o x<0 a y<0}
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Consideramos: f(x,y) = s(x,y) + hOc,y)
De donde: Se obtiene el dominio: D = {(x,y) e 91* / y >
O
n x S 0}
«x,y)=^Sen[T(x, +y*)]
S(x,y) = Aresen I x *y \ hCx,y) = Arasen ( A / ) Cts— -Z - s 1n x*+/s 1=» 0
Consideramos:
si n x8+y* kl
0S)^ + ytS2 r>x* +^2l 1s^ + y*s2
Sen[*(xs+/ )] s 0 =*2n* £ * £ (&*+!) n para ntZ* Sx*+y*á2n + 1paran eZ* D = {(x,y) e «* /2n Sx*+y*S 2n +1
Di = {(x,y) e iK4/l£x*+y*S 2}
para n e Z*}
JH2EELIW O
f(x,y) = Aresenj ** ^ j+Araen (x*+/)
Debemos evitar ladivisión por cero puesto que la función arcoíangente n< mayorrestricción. 1+xV * 0 =» (x,y) e R*
I SQUJCIOMARIOANAUSIS MATEMATICOIII
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O
■&»*> =
+Vz
De donde: D, = {(x,y) e * 4/x£0 o yaO}
La raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero; j<20n yaOnzaO
Sabemos que el argumento de lafundón arcseno debe ser mayor a -1 y menora I. Es decir.
Di= {( x,y,z) e 91 /x 20^ yaO n z2t>} xaO o (-x-yáxsx+y) u xaOn (-x-y£x r>x£x+y) u
0
x20n(-2xáyr iy20)
w
xSOr\ (-x-y2 x 2 x+y) xSOr\ (-x-y2x rx xsx+y) xáOn(-2x2yr>ySO)
f(x,y) = g(xly) + h(xIy) La raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero: xs On xy iO X20n [x20 o yaO) u (xSO n yá))]
SOLUCtONARtOANALISISMATEMÁTICOI
1
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D = {(x,y,z) £ 31*/z £ 2}
D = {(x ,y) 6 St*/[(x£0 r>>eO) u (x£0 n ySO)] r\ (x;y) * (0,0)} O
f(x,y) = Arcsen(x) + Arcsen(y) + Arcsen(z)
Sabemos que el argumento de lafunción anseno debe ser mayor a-1 y menora I. Es decir - l £ x £ t n - l s y á l r» -1 S zS t Dedonde; D = {(XfYjZ) e 9? !-\ SxSl n -1S zál}
La raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero, mientras que e denominador debe ser diferente de cero. Es decir 2S-x*-y*2 0 A»e 0 =* x*+/< 25 ax *0 ©
f(x,y) =
D = {(j^y) e 3ii /(x* + yí £25A>«0)}
© f ( W ) =( x + y ) y n la raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir z-2*0
=>
z¿2
D = {(x,y) e
25 a x*0)} SOLUCtONARtOANALISISMATEMÁTICOI
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I
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O
Kx,y¿) = Ln (x,z)
0
Sabemosque el arsumento de lafunción logaritmo debe ser mayorque ce xyz > O =* x>0 n, y>0 r\ z >0 (primer octante) u
f(x,y) = ln [xLn(y-x)]
Sabemosque el argumento de lafunción logaritmo debeser mayorque ce xLn (y-x) > 0 ny -x > 0 {[x>0 n Ln(y-x) > 0] u [x<0r\ Ln (y-x) < 0]¡ n y > x
x >0r\ y<0 n z<0 (tercer octante) u x<0 n y>0 r>z<0 (sexto octante)\J x<0r\ y<0 n, <>0 (séptimo octante)
[(x>0 ny * > 1 )u (x<0 r\y-x < 1)] n y>x [(x>0 r , y>x +1) o (x<0 o y < x+1)] ny>x
, / D = {(x.y£ ) s ít s/(x>0 r>y>0 n z>0) w (x>0 r\ y<0 n z<0) u} (x<0 n y>0 r\ z<0) u (x<0 n y<0 o z>0)}
t-
D = {(x,y) e 91 / [(x>0 r\ y>x+1) w ( x<0n, yx} 0
Kx,y) = Arcsen(x) + Arcsen(y) + Arctg(z) O
Sabemos queel argumento de lafunción arcseno debe sermayor a -1 y I. Lafunción arctg(z) no tiene restricciones. Es decir: -láxsln-lsysl
Kx,y) = Ln(xy-x , -y* + 3V)
Sabemosque el argumento delafunción logaritmo debe ser mayorquecero. x y- x* -y *+ xV >0 x (y-x»)-y* (y-x4) > 0=» (y-x*) (x V ) > 0 (y-j^> 0 n x - y*> 0) w (y - 3^ < 0 o x - y*< 0)
D = {(x.y.2) ê Ms/ -1S x S 1r> -1 á y S 1}
(y > n x > y*) u (y < n x < y*)
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0
f(x,y) = Ln(x)-Ln[Sen(x)]
Sabemosque el argumento de lafunción logaritmo debeser mayorque cero. x>0 n Sen(x) >0= >x> 0nx e [2n*, (2n+1)n] AneZ D = {(x,y) « SR4/y» ^nx >y* )u( y< >?n x< y*} D = {(x,y) ejt4/ x>0 r\ xe [2nii, (2n+1)it] AneZ}
o fiXy)= Consideramos: <(x,y) = S(x.y) + h(x,y)
O gCx,y) = V x -4
;
Kx,y)
h(x,y)= V*-y*
x* -4 S O o4 -/ 2 0 =» x*a4^4a/=>-2£>ca2^2Syfe-! P,= {(x ,y )e «4/-2 2xS2} Dh= {(x,y)€9t*/-2£yi-2} Dx= {(x,y)e9t^bd a2} ; Di,= {(x,y) eJl4/ lyt£2}
Sabemos que el argumento de la función logaritmo debe ser mayor que a También la raíz cuadrada debe ser mayor que cero. x-2y> 0ny -2x> 0=> x>2 yny >2x
I>= D,n Dk = {(x,y) e «4tí bd* 2^ lyí s 2}
r
V *I
D = {(x,y)fi9t4/2x < x < x « } SOLJUCIONARJOANALISISMATEMATICOIII I
SOLUCtOMARIOANALISISMATEMATICOIII
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0
ffxry) = Arcsen[2y(1+x*)-)]
Sabemosque el argumento de lafunción arcseno debe ser mayora -l y m 1. Es decin -1 S 2y (1+j¿) -1 Si => Os2y (l+x*> S 2 =^0£y(1+x*)£l =^Osys—
D = {(x,y)eít4 /x2y ny£>x) u (xsy nyS-x} ©
1 0 W ) -( [x l W Í= 7
Larafz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir: l - y ^ O ^ / á l =*-lSy£l D={(x,y)eSHi/Osy s —
O
fiXy) = Arcts
-/ )
La raíz cuadrada debe tener argumentas mayores que cero. Es decir: x*- /¿O =» (x-yXx+y) S O
D={(x,y)ÉMV-lsySl}
(x-yaOn x+y 20) u (x-y s n x+ys 0) (x2yny2-x)u(xíynys-x)
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O
«Xy¿)= ^ ‘ -x ’ - y ' - z 1
Sabemos que el argumento de la función rafedebe tener un argumento mayor o igual acero. aP-i f -v*-z*i0=»3^+>^ + ísa '
Sabemos que el argumento de la función logaritmo debe ser mayor que cero; además que debemos evitar la división por cero. 1- x V -z 4> 0 n Ui (1 -x V- z4) «0 => x4+y4+^ <1 r\ X*+y4+z*<1n ^+y*+2** 0
*1
De donde: D = {(x,y,z) «=** /A-y*+z*z<1 n x*+y'+z*0}
x'+ y' sz* D = {(x,y, z) E$f/x*+y4^ ^
SOLUCIONAR» ANALISISMATEMÁTICOMI
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f(x,y) = s(x,y) + h(x,y) D= {(x,y)eSR /-ISySl } 8(x,y)= d y ^ - V ] ]
h(x .y)=[[^ ]]
D, = {(x.y^wVxsO o xáys-x u xaOr\ -xsysx} D*= {(x,y)6M'/x20n yaO u xsDn yüO}
Di= D, n Dh= {(x ,y) e«*/ xsOn xsysOw xsOn Oáyáx}
La rafz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir:
(x*+/ - 25>0 o y^xaO) u (x*+y*-25<0 o y^xsO) =» (x*+/>25 o y*2x) w ( j¿ + y4< 25 n y* Sx)
0
ftXy) =
La raíz cuadrada debe tener argumentos mayores que cero. Es decir: 1-y*aO=>y*Sl =»-1áyál
D = {(x,y)6«*/ {x1+/>25 n y* 2x) w (x*+y*<25 r. y*fix)}
SOLUCIONAR»ANALISISMATEMATICOIII
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ftx,y) = Ancsentx) + Arcsen(y)
Sabemos que el argumentodelafundónarcseno debe9er mayor a 1y menora 1. -isxát n-lsy fil Se obtiene el dominio: D= {(x,y)eS#4/4x2y*n x*V<1 r, (x,y)*(0,0)}
ÍI.
Determinar las curvas de nivel y graficar lasfunciones siguientes:
D= {(x,y,z)«Sll*/-1 áxsl n-1áyá1)
Hacemos k=*(x,y); de donde k=— =>ky =Vx Parak=0,±l, ±2, ±3, etc. => x=0 k=0 Debemos tomar los valores reales a ambas funciones, es decir, la función raíz cuadrada y la función logaritmo deben ser mayores que cero. 4*y* *0n 1-xV>0 n In (l-x V ) * 0 => *iay* n x*+y*<1 n 1-x*-y**1
k=l
=*y= Vx
k=-1
=»y=-Vx
k=2
=>2y= >/x
=» 4x*y* r. x*+y*<1 n (x,yV(0,0)
k=-2
=>-2y=Vx
Graficamos:
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O
fCx,y) =
lnU^ I Hacemos k=f(x,y); de donde k=7xÿ =>k* = xy
Hacemos k= f(x,y); de donde k =Ln ( I H
ks-O; Para k=0,1,2£ etc. k= 0 =>y=0
-
^ £ = e“ =>y = x^
Parak=0, ±1, ±2, ±3, et
O
k= 1 k= 2
=>xy=1 =>xy = 4
k= 3
=>xy = 9
flCx,y)=», 1-1XI - 1y I
Hacemosk = f(x,y>, de donde k=l - 1XI- 1y I =>lx l + ly 1= 1-k ; 1-kaO=>ksi
O k*=x*-/ kaO; Parak=0, 1,2,3etc. k=0 k=1
=>y=±x =>x*-y* = 1
k=2
=>x*-y*=4
k=3
=>xV=9
ksO; Para k=l,0, -I, -2, -3, etc. k= 1 =»lxl + lyl = 0 k= 0
=» lxl + ly l = 1
k = -1
=>lxl + ly l = 2
k = -2
=> lx l+l yl = 3
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Para Parak=l k=l,0,-1,-2,-3, ,0,-1,-2,-3, etc O
flXy) = LnOc*+y) +y)
Hacemos k=f(x,y); de donde k=Ln(x +y) —
k=0
= > ¿ +f = 0
k=1
=*(x-1)*+y* = 1
k=-l
=>(x-1)*+y* = 1
Parak=0, ra k=0, ±1, ±2, ±3, etc.
o Hacemos k=f(x,y>, de donde k=ei k=ei ~f Si£ 1, 1, Para k = 1,2 1,2,3 ,3etc. etc. k =1 =>x*+y» =0
f(xry) f(xry) = Arcsen(xy) Hacemos k=f(x,y); de donde k=Ansen(xy) => Parak=0,±n/2 Parak=0,±n/2 0 k = n/2
= >x >x y= y= l
k = -n/2
=>xy = -1
k =2
=s>x*+/ =Ln(2)
k=3
=>x*+y* = Ln(3)
f(x,y) f(x,y)= = ^100-S ^100-SSx1 Sx1-4y -4y* * Hacem Hacemos os k=f(x,y>; k=f(x,y>; de de donde k=^1 k= ^100 00 -25x -2 5x *-4y *- 4y ' , k£0
O
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Determinar las superficies de nivel de lasfunciones siguientes. u=x+y+3z
Hacemos t*=k¡ de donde k=x+y+3z Familia de planos. Para Para k=0,1,2,3, etc k =0 =» x+y+3z = O k = 1 => x+y+ x+y+3z 3z = 1 k= 2 k = -t
=>xV=± =>X*+y* = : =>xi+yi=±
o .*feE 2 2 )
=>x+y+3z =>x+y+3z = 2 =» x+y+3z = -1 Hacemos Hacemos u=k; u=k; de donde k=l k =ln. n.
u=(x*+y*+zV
e*= Hacemos u=k; de donde k=(x*+yj Parak=0,1,2¿ Para k=0,1,2¿3, etc. k= 0 k=1 k= 1
l-^ x ’ +y’+z* +y’+z*
^e *( W x* +y*+z* +y*+z*)) = t ' 1 - e ' J 7 7 7 ^ ? = i W T T 7 T ?
=s>x*+/+z* = 0 =» x*+/+z* x*+/+z* = 1
k=2
=>e‘-1 =Vx 1+y* +z* (l+e k) - k20 Familia de esferas.
= J 2
k = ♦ ^x'+Z+ ^x'+Z+z* z* = 2
Para Parak=0,1,2,3, k=0,1,2,3, etc. k= 0
Hacemos u=fc de donde k=
=>x*+yW = 0
=>x*+y* = kz, familia de paraboloides.
Para k=0,l,2,3, etc.
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0
u=S¡stSen ¡stSen(x* (x*+y*+z*)] +z*)] Dominio: Debe cumplirse: 2x+2y*0 Hacemos u=k; de donde k=Sig[Sen(x*+y*+z?)]: k=-l,0,1 Familia de esferas de radio unitario:
D = {(x,y)eSRV-x}
k = 1 =>Sen (i¿+yi+zt) = 1=> 2nn<3^+/+z4<(2»*+l)* 2nn<3^+/+z4<(2»*+l)* k = 0 =>Sen(x4+y*+z*) +y*+z*) = 0» x*+y»+^=nn
Rango: D={ze*}
k = 1 => Sen(x*+y*+^) = 1=> ( 2n+ 0 «<^+y*+z!<( 2»+ 2)ii X*+ X*+y*= y*=2kx+ 2kx+2k 2kyy =>(x-2 (x-2k) k)* * + (y-2 (y-2k)* k)*= 8k 8k* Familia de circunferencias, con centro en C(2k,2k) y radio r=2 k=0,±l,±2,±3,... k=O=>x*+y*=0
O
u=*V-z*
k = ±1 =>(x±2)* + (ylS) (y lS)* *=8 k =±2 =>(x±4)* =>(x±4)* + (y±4)‘ = 32 k = ±3 =t.(x±5)* =t.(x±5)* + (y±6)‘ = 72
Hacem Hacemos u=k; u=k; de de donde donde fc ^ + y V : k=0,±l, ±2, ±2, ±3 Familia de esferas de hiperboloides k = 0 = » » +y*= 2* k= 1 =>x =>x' + y*-z y*-z*= *=±1 ±1 k= 2 k=3
= >^ >^ + y* - ^ = i 2 +
Q ^
Analizando Analizando dominio, dominio, rango rangoy curva de nivel, bosquejar osquejare
Bosque Bosquejar lasuperficie superficie de nivel nivel de: de: fl&y,z fl&y,z)) = Arcsen(«-xV >-
^ y ) = ?2x+2y ±£ I SOUUCIONARIOANALISIS MATEMATICOIII ATICO III
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k,
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Hacernos u=k; de donde k+z=4-x*-y*. k=0 r*+y^4-z. Paraboloide circular.
Ck-
Para z=a =s x*+y‘=a, la normal a esta circunferencia pasa por su centro centr o y es racfial. fial. El valor mínimo que una suma suma de cuadrados permite es (0,0), (0,0) , por po r tanto el vérti vértice cedel cono cono es V{0,0) V{0,0) 0
Indicando Indicando dominio, dominio, rango y curvas de nivel, nivel, bosque bosquejar jar el gráfico gráfico de z=f(x1 z=f(x1y)= y)= tn4 -Vx r +yr
O
Indicando Indicando el dominio, dominio, curvas de nivel nivel y trazos, trazos, bosquejar bosquejar el el gráfico de lafunción: lafunción: ^ y) = 2-1?7778
• Domi Dominio nio:: Debe Debe cum cumplirs plirse: e: 4-v x‘ + y’ >0 yjx'+y' <4=»x*+y*<16 yjx'+y' <4=»x*+y*<16 D = {(x,y {( x,y ) eSR*/x*+ */x*+y* y*<16 <16}
• Dominio: inio: Debe Debe cumplirse cumplirse:: xi+y*+8s0 xi+y*+8s0 D={(x,y)E«*}
• Rango: D = (ze9t> (ze9t> • Curvas Curvas de nivel: nivel: Hacemos Hacemos u=fc de de donde
• Rango ango: D = {zeSR} {zeSR} • Curvas Curvas de nivel: nivel: Hacemos Hacemos u=k; u=k; de donde: donde:
k=u,(4-V7T7)
(4-e*)1 4 . J Z 7 7 =e*=>x*+y*=(4-e*)1
x '+ z + s
k= 0 =»3Í+^ =»3Í+^ = (3 (3)* k= 1 =5. = (4-e (4-e)* )* k = -l k =2 =»x*+/ = (4-eV k= -2 =>x,V = (4*-e‘Í)Í
Familia de ciicunferenciaa O
En cada punto punto de la curva de intersecc intersección ión de lassuperficie superficies: s: S l:z=xi+y*, S¡: z (para a>0) a >0) se traza tr aza la normal a S,. Demostrar Demostrar que las recias están sobre un coi y hal halla larr suvért vértic ice e.
O
Dada Dada lafundón lafundón f(x,y)= ^
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J, , bos bosqu quej ejar ar su gráfica fica indi indica cand ndo, o, 0
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K=1 K=1 =>x*+z*-(y+z)4= x*+z*-(y+z)4= 3x*+(z+2)4-4+1 2xi 2xi + (y+2)i +4z+ +4z+1 1 =0
Hacemos u=k; de donde: .
O
4x-1
■577
„
y
, 4x—1 f 4 ?
.
16-k 16-k
k -H x _k J + / = —
«x, «x,y¿> y¿> =
O
le nivel y trazos bosquejar el gráfico de:
'
Se Sea f(x,y,z f(x,y,z)=k )=k de dond donde: e: -
3>¿ + (z+2)*-4 = ktx*+^-Cy*-4y)-6] 3x*+(z+2)1- 4 = kx*+kz*- k<^-4y) k<^-4y) - 6k... (I )
Dominio: Dominio: Puesto Puesto que x*+y* +y* *0 =» (x,y>e0 => => D= {(xry)sW*/(x,y)#0} {( xry)sW*/(x,y)#0} Rango: R={z6¡H/z2 jO} Curvas de nivel:
Damos valores a ken la ecuación (1): (1) : k=-1 k=-1 3x*+(z+2)M = -)¿-zí- (y4 (y 4-4y)+6 4x*+2(z+2)í-(y+2)i-3 = O=> 4x*+2(z+2)i
L
K=0 3x*+(z+2)i 3x*+(z+2)i=4 =4 cilindro elíptico
r
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O
b) ^ = ^ 7 5=>D = {(x,y) eSK*/(x,y)*0> Puest Puesto o que xl+/<0 xl+ /<0 => (x,y> (x, y>0 0 => D ={(x,y)<= ={( x,y)<= M*/(x,y)*0} El rango; R ={zeM} ©
f(x,y,z) = z*-xy4V+yz-2 k = ¿ -xy+ys+yz-2 k = z,-y+yí+yz-2 Derivamos: 3ziz'-1+3yi+yzl+z=0 z’(3z*+y) = 1-3y‘
Bosquejar Bosquejar lassuperficies superficies de nivel nivel (si existen) existen) al nivel fijado.
z,(3+1) = 1-3=»zl = - l 2
*> ■ i » » »»-
z-z«=
b) F(X,Y,Z) F(X,Y, Z) = X*-4V*+Z?+2$ +Z?+2$ n={±1,0}
a) Seaf(x,y,z) = N :
N = 2 => (x+2)*+(y-1) (x+2) *+(y-1)*
x*+ y<+2 y- z* -4 z _ 2x-2y+z X V -¡ ? t M z = 2Nx-2 2Nx-2Ny+ Ny+Nz Nz
N =0
(x-N)i+(y +N+1)í-(z+2-N «)i = N*+(N N*+(N+i;? +i;?+C +CN/2 N/2-2/ -2/
=>x*-4y* + (z+1)*= 2
Paradiversos diversos valores de N-. N=0 =>x*+x‘+(y+ l/-(z+2), l/-( z+2), = —
=»^-4y*+(z+1)*=1 =>x*-4y*+(z-l/ = 0 => P(0,0,-1)
(x-N)*+(y+N+1 (x-N)*+(y+N+1)t< )t
N=1 N=1
(y^ t) => z-1=- 1 (y+1) (y+1)
r 15 15 , , .. T =T esfe sferas ras
0
Expresa Expresarr el volume volumen n V de altura *x"y de de su arista lateral V
I SOLJUCIONARIOANAUSIS MATEMATICO III
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Probar que la función z=F(x,y)=Ln(x) Ln(y), satisface a Laecuación: F(xv5uv)=F(x,u)+F(xrv)+F(yJu)+F(y,v),xtytu,v>0
En la función: función: f(x,y>=Ln(x)Ln(y) f( x,y>=Ln(x)Ln(y) F'Cxy,uv)=Ln(xy)Ln(uv F'Cxy,uv)=Ln(xy)Ln(uv)=[Ln(x>+ )=[Ln(x>+Ln(y)][in(u)+L Ln(y)][in(u)+Ln(v)] n(v)]
0 lado de la base: base:
F(xy,uv)=tn(x)Ln(u>fLn(y)Ln(u)+Lr>(x)ljf>(v>Ln(y)Ln(v) L=21 L=21 L |=yi-x‘ =»L* = 2(yi-x*)
Pero: F(x,v)=ln
El volumen de la pirámide estádado pon V =i Aau AauEH = ÍL*H= i(2Xy ‘-x V =| xC^-x xC^-x*) *) ( ) Q
Expresar Expresar el áreaS de lasuperficie lasuperficie later lateral al de un tronco de de lapirám la pirámide ide hexag hexagon onal al regular en función de los lados l ados x e y de las l as bases y de la l a altura z.z.
Hallar losvalores valores que que tomar lafunción la funciónf=l+x-y, en en los los puntos puntosde laparábola y=x* y=x*y co constr nstru uir la lagrá gráfica ficade lafunc funció ión n Ffx^fí Ffx^fíx.x* x.x*))
l+x-x*= *= l-(x*-x) l-(x*-x) = Kx) = flCxpc*) = l+x-x
+ 3 " f - ( x-g )
Probar que la función z = F(x,y) F(x, y)=xy =xy satisface a la ecuación. ecuación. FXax+bu,cy+dv)=ac F(x,y)+beF(u,y)+adF(x,y)+bdR(u,v).
Z=F{x,y)=xyF=acFlCx,y)+beF(uIy)+adl!t(x,v)+bdF(u,v) F(ax+bu,cy+ctv)=axcy+bocy+adxv+bdiiv F(ax+bu,cy-«fv)=acf(x,y)+bcft;u,y)+adíCx,v)+bd(ulv) demostrado
Construir lascurvas de nivel de lafunción
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-
4
^
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o I.
2ay T
Mediante ladefinición de límite demostrar:
O jTtfOO + 'l
j
í
2ay í
Sen*(k)
( J ¡? v *(Afc l') “ 4
Js ^ O O l
I
Se debe hallar 8>0-, siempre que exista£>0, tal quesecumple: Ix*+2x-y4l
«
,/(x -2)'+ (y-4 )s
Ix*+2xjy-41SI xi-4+4+2x-4+4-y-4I S|(x-2Xx+2>+2(x-2>(y-4) IS £ lx-211x+21+21x-2 1+ 1y-41...(1) Acotamos con &£l: Ix-2 I< 1=> -1 3
Ix-211x+2I+21x-2 1+ Iy 4 1= 58+28+8 = e=>8 =£
Por lo tanto, existe <>„, jl, ^ J
O «Jju <*-*>-• SOLUCHDMARIOANALISISMATEMATICOIII I
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Se debe hallar 8>0; siempre que existae>0, tal quesecumple:
I x*+y*-21 á Ix*-1 + / - 1 1s I(x-1Xx+1My-')(y+1) I£
£ lx-11tx+ll + ly-11ly+ll ...(1)
13x*V+4 I < í «- ^(x -2 )' +( y+2)' < S Acotamos con 8£l
tx-ll-l
13x*-12+12-4y*+4Iá 13(x*-4>4
=>1
En (I*
s 3 1x-2 11x+21 +4 ly-211y+21 ...(1)
lx-11lx+11+ ly-11ly+H = 38+38 = s =*8 = | Acocamos con 8 Si I
x-21 -1 3
Por lo tanto, existe d = minJ
L
ly+2 k l =>-1-5
3 1x-2 11x+21+41y-211y+2 1= 3(5) « + 4(5)8 = a=> Por lo tanto, existe
|
Se debe hallar 8>0; siempreque existae>0, tal quesecumple: Ix*-y*+2x-4y-IOI< a«> ,/(x -3) ’ +( y -l / <8
O
lim (x*+y*)=2 I
xV+2x-4y-101S lx*-9+9-y*+2x-6+¿4y-10l
s Kx-3Xx+3}+2(x-3K/+4y5)l£ Kx-3Xx+3)+2(x-3My+5(>-l)l Sedebe hallar 8>0; siempre que exista£>0, tal quesecumple:
i x V - 2i < í
S lx-31lx+31+2 ix-31+ V+5I ly-11- (1 )
« > V ( x - 1) M y - i )'< » SOLUCtOkARtOAMAUStSMATEMATICODI
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k-a < 1
=> -1
=*&q £+3<7
ly-ll < 1
=* -1íy-l d
=» 5*y+5<7
bt-31Ik+31-i- he-31-h lyl Ijr+TI= 7B+4S+3ñ = Pür lü tanto, existe B= inin \
>
Ení1> l§í-3Xx+3>+a(x-3>+ t)'+a ly^ll = 7&+3S+7B= e =* 8=
O Plor lo tanto, e*Í5*eJi = min-h,— f Se debe hallar fi>0; siempre que exista s&tt, tal -q^e se cumple
Bx1V+1 I d » ^(x-2)l + (y+3}: cJ DEmastramoa: l&^-E+S-yi+11£ B v V K y 1-^!! £ ISCx-aKx+3Hy-3)üf+3[H £ £ 2 lx-21lx+21+ ly-31 ly+31 ... (1)
Sedebe hallar fi>Ü; siempre que exista£>0, ral quese cumple: l^+^-fec+y+ai > a« . ^ (x -3 )l +(y +l) ’ t¡
lx-51íl =t-1«-!í1 (+4)=»3;x+3>4(x-3)+y1+’r'l ££ l(x-3XK+3H<:í-3>Yfy+1 ? 5 bc-31lx+31+4 bc-31+ lyl ly+11 .. .f l)
En {!): Slx-21 Ix +BI +- Iy3l ly+31= E(5)S+7Ji = s=!■S= Por lülanto. mate fl = mEn\ 1r-í- l
lx-31 <1=!■-1 < x-3Q
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ty*+y*+4x-8y-5l S lxi-4+4+yi+2x-4+44y-5l <£l(x-2Xx+2>+2(x-2>+yt-4y+3l s l(x-2)(x+2)+2{x-2)-Ky-1Xy-3)l
Se debe hallar 8>0; siempre que exista e>0. tal quesecumpla:
S bc-SI lx+21+2 bc-2l+ly-31ty-11.. .0 ) Acotamos con 8£l bc-2kl =>-11
lx*+y*+2x-2y-2l
ly -lkl =>-13
bc*+y*+2x-2y-2l á tx*-1+1+y*+2x-2+2-2y-2l £ l(xlXx+1)-2(x-1>+y*-2y+ll s l(x-lXx+l>2(x-1)+
En<1> tx-2l lx+21+ lx-21+ ly-31ly-31ly-31» 55+28+38 = e=»8 =-^
Acotamos con 8S1: bc-lcl
=>-1
=» 1
Por lo tanto, existe 8 = miti i 1,— - ^
ly-1l<1
O
^
)V 7 ^ = '/ s
lx-11bc+11+2 bc-11+ly-ll ly^ll = 38+28+8 = e=* 8=^ JB2HELIW Sedebe hallar S>0; siempre que exista e>0.tal quesecumple
Por lo tanto, existe 8bJ w
|Vy*-x*-Vs}<4 ^ (x -2 ), +(y-3)*
O (,.^(e‘r )^ u,í,')+4x-8v)=5 +e“(/) +4 x-8 y) =5
1 ./v*-x*+J5
=» (j^(x*+y*+ 4x-ay) = 5
Jy»-9-(x»-4| Sedebehallar 8>0; siempre que exista k>0,tal quesecumple:
~J7^77s~
vJv’ y --x*+V5 x’
|y-%+3|+|x-SÍx+S| „y -x* Z7 s
lxí+y*+4x-8y-5l ^ (x -2 )’ + (y -1 )’ <á SOLUCIOMARIOANALISISMATEMATICOMI
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Acotamos con Sst/2 bc-2l<—
2
=* -
+(4)=s>-
2 ^
2
2
i
tc-SK
...(2)
Sedebe hallar 8>0; siempre que existae>0, tal quesecumple:
W
| ^ - é | < ¿ <*y¡{x-l),+(y-4)!+(z-9)’ «S
+(2)=*|
=>-— <-x*<-~ ...(3) 4 4
|vx^-é) s|Vxyz-V^+>/^-
ty-3l<- => - - —
- f ^ - 7
- (5)
s|fyz (Jx - i) +,/yz
+ * T z - \ s |V yz^ ij +7z (Vy - 2) + 2(Vz
(5) + (3)
V5/5<>/lÓ-i->/5=> — 1 T io W s
— ; = < - p — (< v V - x ’ W S V5
Acotamos con 851: bc-lkl s» -l0
(2), (4) y ( 6) en (1> |y -3 jy -t-3|+|x-Sj|x+5j . (9+13)rf 5 SN/5
W5 11
ly-4l<1
=»-1
<1 ...(2) +<4)=»3
=»V3+2-J— ...(3) 7¡Tf2 7y+2 >/3+2
[Wlft4anín aviett^-min J l l %J 1
lz-9l<1
=»-l
+(9)=>827 2 <'7z<'/ Í0
» 2 >/ 2 -t -3 < '^ z+ 3 <' /I o+ 3 => -^ — < - — l— < — J — ...(3) v ió T i 7 T¿ 3 i T J T i W
^ 7^ + ,/ií r r 2+ 2^ l = ^ ^ & SOLUCIQNARIQANAUSIS MATEMATICOIII
+ w f a
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1 En (I* í>+íí+ s =£
Por lo tanto, existe S= irñn j1,“ j
1 ( W l -^ + 2 > / T o +f i) j
O ■
=ts=£ 3
©
=3
(« ^ -i.i.í F * ^ j = «
^KEEELiIW Se debe hallar Ü>D; siempre que exista £>0. ral que se cumple
Sedebe hallar Ái-Ü; siempre que existas&0, tal quesecumple | ^ + J / + ^ - 3 j < í « ^ ( x - l ) l + ( y - l )’ + ( z -l ) ’
| ^ T í- J y^ < s » ^ f x + l f + Í Y - i y + f z - l )’ DEnwatiamas:
Demostramos: i zi -m^
j s - sI s
1 i/x+1 *¡y+1 Ve+1
Acotamos con &£l
.( i>
1
n 1
1 V^x+i i+Jy= tf-x+1
l+ Jy z
V - k + i
1+vyz
1+yyz
fc(-lkl=* -l< x-l
1 <11 - ¡ -1— < - ¡ -—
1 1 ,i V2+1 ií-x+1
ly-lk l=> -1íy-l í^-íV 2 1 -í
(bj
ly -ll íl =»-1
+(1 )
=s-0
... 0)
Iz-l kl =»-1
+(1)
=t(kz<2
...(4)
1 <1 3TS
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ly-4l<1
Multiplicamos (3) y (4):
=>-l
+(4)=*3
V I
01-1< -— I— < 3 >/yz+ l
" 7 1 7 . "7 5 7 . " T S T i ~ ( 3) lz-9l<1 M Jd |H V-x+ 1 1+yyz 1+vyz
4
=>-l
+(9)=>8
Ja =>V8+1
I , 1 -(4) V2+1 T i ó + i
Por lo tanto, existe 8= min j 1,—
^z+3+V y+ 2+ >/x+1 .
+v10+1 +V 3+1+
1&7+20/15+971
Sedebe hallar 8>0; siempre que exista£>0, tal quesecumple: |,/ «-,(/y+Vx-2|<£< =>^(x-1)*+(y-4)1!+ (z- 9) , <¿¡
x+1
VÍ + 3 Vy+2 vx-’-l
Vx+1
Por lotanto, 3 8= m
ife 1 7+20/15+9/3.1
V2+3 Vy+2 Vx+1 Se debe hallar 8>0; siempre queexista e>0, tal quesecumple:
Acotamos con S£l: bc-1l<1
=> -I
+(l) =»0
0-=Í— <-fJ— <1 ...(2)
T
y2 + l Vx+1
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RAW05
L
1<>/x +1< 1 /2+1 l^-yj | x! +y*|
x*+y*
x*+y*
£ 21x1+ lyl á 28+8 = e
2+V3
1 . I t V 2+1 Vx+i
X * + v ‘ í* + (* ~ v* W
x’ +y!
~
1 1 . 1 V5+2 V y +2 V 3+2
En laec. <1>
=*Ss'§
SSí/Stf+ Vsí. Por lo tanto, existe 8= min |l ,||
_
4>/&5+
V3+2
4>/5rf+(3-&/5+6)¿'=ir
(9-V5)d=,
Por lo tanto, existe 8= min |l,^—
Sedebehallar 8>0¡ siempre que existae>0, cal quesecumple | x * ^ _ y ^ _
|*,Vy-y^-/y(x* -i)-y(V x-i)+ (Vy -2)(V y-3 )| s
Sedebehallar 8>0; siempre que existae>0. tal que se cumple |V-*/^ -^
Acotamos can 8<1: bc-1l<1 ly-4l<1 -1
■j3<.jy
~
^ (x + l) *+ {y +1 )’ < í
J - / 7 - 1 I.J - x V ^ y - V ^ y + V - y - 1 1 v ^T T-1
0<7y -3<3-V3
1
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m -
V W ^ y - il
Se debe hallar 5>0; siempre que existae>0. tal quesecumple: U x ?+Sy' y+V I c+2y ^
Acotamos con S<1: Ix+lkl ly+ll
=*-1
=> =»
-20<-x<2 -20<-y<2
...(2) ...(3) !J5 + S / | x+2y
En la ecuación (3): 0<-y <2= »0<,/^ y<>/ 2=>l< ,/^+1
J ] ^ + 5 y » -2x-4yj l^/xy-1-t-l+5y* -S+5-2x+2-2-4y| ^ | x+2y x+2y
...(4)
V ^ _ l+5(y*-l)-2(x-l)-4(y-l)| _^ x+2y -= — < __ — <1 V2Íi V^y+1
+ 5(y -1 )( y+ 1) -2 (x -1 )- 4( y- l) x+2y
•••(5)
Multiplicamos (4) y (2): 0< -x^ y< »/2 => 0< >/-x>Pí<>/272 !< 1+^-xV^y <1+
Luego los valores acotados en (1> (1) (V5tf +/»)=£= -^ — | Demostrado
Acotamos con S< ^:
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j De(2)y(3>
14x(z-l) + 14x-42 + 42-7 y-8y z-8x ’|
|
.5 2 _______ 1 2 5 ^ +1 3
t>e(3): |y-l| <-5 =4 < y - i
|l4x(z-t)+14(x-3)+42-7y-14+H-8yz-8x,| 7(yz+x>) |S
Jl4x(z-1)+14(x-3)+56-7(y+2)-8yz-8y+8y-8x’| De(2) y (3):
9 <2
1
2 . 1 .2 9 x+2y< 3
r
114x(z- 1) + 14(x-3)+5 6-7 (y+2)- 8 y (z -1) - 8y-Sx*| ^
1
^?)
y
114x(z-1) + 14 (x-3)+ 56-7 (y+2 )-8y(z-l) -8 y - 16+16-8x' I
K i> H -
I
1
1
|l4x(z-l)+14(x-3)-7(y+2)-8y(z-l)-8(y+2)+72-8x’|
I
Por lotanto, existe5= min j 1,— |
I
|l4x(z-l) + !4(x-3)-7(y +2)-8y (z-l)-8{y+2)+8 (x*-9)j
1
|l4M|z-l|+14|x-3|+7|y+2|+a|y||z-<+8|y+S|+8|x-3||x+a(|
---------------- r
1 Sedebe hallar S>0; siempre que exista e>0,tal quesecumple
Acotamos S<1: bc-3l<1 ly+211 lz-1l<1 12xz-y aj ll4xz-7y-Byz-8x* Il4x z-l4x+14 x-7y-8yz-8x ’l lyt+x*“^ | 7 (^ ¡V ) | | 7(yz+x*)
W y (»
=>-l-1
~ r www.FreeLibros.me
=>25CKZ<2 _(6)
...(3) ...(5)
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O
t«, )Ü¡Ji ^ ( ’^ - 2 xz-' / 2 xy -' ^ y z +a /2 x+ '/sy+a^ z) = 8^
Se debehallar S>0; siempre que existar>0. tal que se cumple: |xyz-2xz—V2xy-V3>z+2/2x+V6y+a/lz-a/íj
Acotamos 8<1: tx-11<1 en (1): 8(1)=* De donde: 8= min {1,s}
O
lim i=O (x.y^Ha
Se debe hallar 8>0; siempre que exista£>0, tal quesecumple: L £ £ £ j < c => J 7 7 7 7 ? < ¿
|x)*-2xz—Tlxy-VSyz+a/ax +Téy+a/áz-a/iJ £ |xz(y-2)-V2x(y-2)-V3z(y-2)W6(y-2^ á
saw«' |x+ y +z|
|y-S^xz-75x->/3z+V6js|y-S||x(z-V2)-^(z-V2](á
x +y +z
shhx(»~ 7‘:-') siH +y +z 1
|y-^|zW^|x-V^SJf=c Por lo tanto, existe 8^, = e
O
O
ltm xy=l
Sedebe hallar 8>0; siempre que exista e>0;tal quesecumple:
|xy- <*=*V(x- ),-*-(y-1)’«* 1
Sedebe hallar 8>0; ►0; siempre que exista s>0, tal quesecumple:
1
h * -* 4 Ixy-IIS lxy-y+y-11 S ly(x-l)+y-1l * fy-ll lx-11...(1)
I
I
SOLUCIQNARIQANÁLISISMATEMÁTICO III
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x + y - z
I
k/x’- y ’+z* -2 + 2 -x -yJ+z
=>-1
L - < ( y-
-
y, _
Vx - y +z +2 x+ y3- z
=> l
I
,
8(1>fi(t>fS(1 )+8(l) = « =»a =| Dedonde: 8= min | l-¿ J
© , ^ 4 ^ ' ^ x,+y,++z+3)=4
^x‘+y'+z+3+3
j r | x -S| x +2)+|y -.| y + l| + |z-, ||:Z+^+lx
r^ 7^
l + Vx, + y ' ++ z+ 3 -- | < i =>V(=‘ -2 ) 1-
sUlv Ílv’ +v + ll +
z-1+x-2x+2+y-1y+2+z-1x2+y2+z+3+3s Acotamos ¿k1: Ix-2I<1 =*-1 Iz-lkl =>
-11
Arreglamos las expresiones c:on raíz cuadrada: =>1 -10; siempre que existae>0; tal quesecumple:
x‘+y’ +z+3-9 j
f ----- ----------- ^ xVyC3J ¿
-<1>
Acoramos S<1: Ixkl
^+vT777^ - 3 |5 ^
ly-1l<1 =>
-1
Iz- lk l =>
-1
/T i o
=>l 1
=» l 1 l
x1+2x+xy+ 2y = 3 — 77?—
Se debe hallar 8>0; siempre que exista t>0, tal quesecumple: SOLUCIQNARIQANAUSIS MATEMATICOIII
SOLUCIONAR» ANALISISMATEMATICOIII
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1
I
Entonces: j I|X', íx ^ v íy -. a ^ -3/|r|x‘^ .S K -2+x) -y +y<íy -aK'*3-3-V | W
«"> c'^Senl —=^ = l=0 („H w ) U ~ J
l ( x - 1) ( x + l ) +a ( x - 1) 4. y ( x - l ) + 3( y - 1) - 3( ^ - ! ) - { / - 1)1
.|X- 1|x+ ^ 2j x - H y | M + 3|y-1 + 3|x-<|x’ + x+ ^ y - < / ^
^
Sedebe hallar fi>0; siempre queexista e>0,tal quesecumple:
" J 7 7 7 < í Acocamos 8<-J2 :|x-1 i i <-i2
=>-^2 < x -l 2i
ly-lkl => bc-1ld =>
-1
=> =>
0
ly -lk l =»
-1
=»
0
Entonces:
Sedebe hallar fi>0; siempre queexista e>0,tal quesecumple: i f u
y
*
SOLUCIONARK) ANALISISMA1LMAlluu iii §
—
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I Entonces: &=- Dedonde:8=min|lr—i
© „ÍV” -“ Sedebehalar8>0;siem prequeexistae>0,talquesecumple 1VilUer^V^__ +y*<# _
Loquedem uestraque: lim«**“’'* J777) — .=1 O (^ ( X,+Xy*)ü,(7777)=o SedebehalarS>0:siem prequeexista£>0:talquesecumple: |(x1+xy*)Ln(Vx’+y*j<£=>Jx'+y*<¿
/ T} limíe^-=^=! vy v'777J=1
|(x>+*/)üi(v/7^] s|x(x*+/)üi(v/777] sH|(x*+y»)lJ,(v7T7|Sí(l)ta(í)=£
Sedebehalarfi>0;siem prequeexistae>0,talquesecumple:
Loquedem uestraque
+x/)Ln ¡>¡yf -*-/J=0 SOLUCIONAR» ANÁLISISMATEMATICOIII
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tJ£h **+/ = Sen(x1-t- m V) *•* x’ + m V
(3x* -t-amx’ )Cos (x3tm V ) 2x+2m*x
hé----- m =°
(Sx+amx^Cosfx^+mV)
u 5r—
s , = M d M * - j a u 8" Sen(x’ + k V ) x* + k V
^
Tomaremos cammce que pasen por (0,0)
„_ Coa (be» )-Cos[Se Cos^Sen n (gkx1 (2kx! )J
)
(3x*-i-6lc,x,)Cos(x, +m,x5) 2x +4 kV
Aplicamos teoremade H'opital para el cálculo del límite. Paraello derivamos por separado el numerador y denominador. -2kxSen (lot*)+ Sen[Sen(akx1)] [Sen (2kx! )]
- ¿S * - { ^ y ) * i * W > =>1- (^ U lim + c V ) .T n *-
5eni y
)
41cV
-2kxSen(kx*) + 4kxCos(2kx* )Sen[Sen(2toc*)]
simplificamos 2kx
+ * V M » * +c V ) 2 x +6c’x'
Í3x+9c 1 x,) Co6(x 5+c,x*) U lim------------------ L _ i ------------ i = 0(1)=0 2-t-6c V
i _-Sen(kx*)+2Cos(2loc, )Sen[Sen(2loc*)] 2kP Por H’opital nuevamente-,
Seníx’ +y 1) lim ------1----------- ' =0 (» W x*+ys
|_-gtaCm|tx-j-itaSeníaot1]gei[s.ai(»»*)]+«:«(««*)Co^Sai(ga¿j [Sai|'a¿j]
2Coe(2kxi)Cos [Sen(2kxi)]Coe(2kxtX2kxi)
-----
SOLUCtONARtOANALISISMATEMÁTICOIII
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1
1 Puesto queel último término: 2Cos{2kxí)Co.i[Sen(2lcc')]Cos(2loc'X2kx,)=
= 81®Cos[Sen(2lo¿)]Co6?(2kx*)
=12kxiCosi (2kx*X^Qs[Sen(2locs)]
-2kxCaa(kx’ )-4kxSen(2kx‘}Sen[Sen(2la*)]+BkxCui1!»*1)Cos[Sen(2kx4)]
( ^ -3la,Co6|W)-12toc,Sen(2loí! |Ser[sen(2kxJ)]+12oc,Cos(2locI)CQs[SeTi(2kx’|] Simplificamos 2tcc l . Nm- ^ ( ° ) - 2Sen(<>)Sen[Scn(0)] +4C“ ,(0)C“ [Sen(0)] *♦« 2 U l lm ± ± ^ H — > 2
Simplificamos3kx*: (be1) - 4Sen(2kje)Sen[Sen(Skx1)]+4Ccs(&X1)Ca¡[Sen(21a1)] 2
L 52 2
2 Sustituyendox=0
s ,. « C W . W I
U “
-CosfOj-4Sen(0)Sen [Sen(0)]+4Cos' (0)Ccs [Sen(0)] ! L -1-0+4Cos(0) -1+4 3 2 2 2
xW
Aplicamos teoremade H'opital para el cálculo del límite. Paraello derivamos por separado el numerador y denominador.
De donde: |jm Cos(xy)-Cos[Sen(2>cy)] 3 («H*í x*y* "2
L_ ]im-31ot'Ser>(kx, |+sen[sen( 2kx,)][Sen (2kx1)] 6k V -Slot’Sen[loe5)+61o^C os(2Ioí* |Sen[sen|21oí'1) ] «-» U !S¡
-Sen(loe1)+ 2Cos(2kx*)Sen[Sen (2IOC3)] 2kx’ Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
PorH'opital nuevamente: ,
4te>C«|W| -1^to(lta>)to fím(W)]»lC«(»/)Cc«fs»(4bíl)1[S»(Stal>l M
g
Si= {(x,y)eH*/y=0} =* U ^Bm^(l+x*y,)e7*j’ =(1+0)e" =(0)e- =0
U0f
SüLUülOMARIOAMAUSISMATEMÁTICO III
—
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a
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Mediante limites laterales:
u^
O
L,= lim - = « L,= lim— =-<«, de donde: lii
x,+y,H i ] =o
lrm f-^-¡ M-Mx'+y*
©
=[<^4,+ÿ ] =
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) S'=
= ' ¿ I ^ o =S2 (0)= 0
S*=
Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
L=lim.-m , = .■™ ■ puesto que estasolucióndepende dem. «-wn+m 1+m
S, = {(x,y)€**/y=0> = U
El límite no existe, (también S, * S¿)
x1- / St= {(x,y)6«V=nw>==»L=1_ lim ( u'i^ lJ Î+ y 1‘ « « ' t m Y
x+ y Puesto que Si » St El límite no existe. Tomaremos caminos que pasen por (0,0) S,= {( x, y) * «V 0> = > U (
= ¡ ™£ = ¡ j ¿
Lim
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= limlim(1)=
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-
t
-
—
1
<
1 1-Cos(r*) L= Lim— —
jr w i. v r n F
-i
-i
aS“ (r’ ) Ll Sen('1' Lin l LIlLl «* to*Caí‘{tt)Sen‘[c/) '*> 3r’Co9‘(rf)Sen‘(d) ia'IGoss(c>)Sen‘(¿) Cos(r') i L=L¡m----------------1— — _ = ! = * 6r“Cos (í>)Sen (0 ) 0
S, = {(x ty)€'Jl,/yf=0}=>U(>jHlM)x, Lrm \ + y t4= L^i my¿.
-Sbf-e?
e?
U L i m - -^ - = t i m - 4 - = - = 0 ” * - 2x ^ 7 " í ? * S»= {(x ,y)e *i/y=x}
derivamos el numerador y denominador respectoa r
=Ü?gr
Sen [Sen(3xy)] m r - t h o t t
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) ¡
MedianteL’HopItafc U ***2e*’
L=Lim ~8X~’ =Lim— —
©
= Li m -d £l _ = L jm í^ -if W *** e**1
=— =0 DeDonde: Llm e***, =0
s-
1—Coe[Sen(4xy)1 ■ »■ -a ie . w [ L < U ) i
1- CosPSen(4x* L=Lim------- -J=— r— -p MedianteL’Hôpital: Sen [sen(3x )] l
l¡
Sen[Sen(4x1)]Cos( 4x*)(4x*) 2Sen[sen (3x* )]co s [sen (3x*)]cos (3x* )(3x* )
1-Cosfx1+y*) fcWJU x*y*(x*+y*)
8xSen[sen(4x, )]Cos( 4xs)
4Sen[Sen(4x*)]cos(4x*)
6xSenj^2Sen|3xI jijeos(3x’ )
3Sen[2Sen(3x’ )JCos(3x*)
Aplicamos L’Hôpital nuevamente: En coordenadas polares: ri=x*+y*
x=rCos(ft)
y=rSer>(0)
1-Coe(x, +y1) t _ 1-Cos(r*) U k Í A « J xV(x *+y*) ^ r’Cos’ (0)r’Sen’ J
u Llm 4O»[sm(4^j][C0S(4^ )J(4 ^)'-4 S« [sen(4^)]Sai(4)f)(4x‘)«• 3Cos[2Sen(3)?)][2Sen(3jí)]'Coa(3x’)-3sá»[2Sen(3*! }]sen(3)f)( ¿ í)'
SOLUCIONADOANALISISMATEMATICOIII
SOLUCIONAR» ANALISISMAibMAIKJUH
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16QMj"Sen(Aita)"||"tüa(4ïa)"|'-1à5ai|"Sen(4aa)"|Seii(4it') J «^ [¡ ^( ïï^ JJ iH û^ av *) ] Uû^ax*) - ijainfasinfaii JJssiisx*)
35yCuS[Steli[4Jta)~|[~Cts(4Jta -3fcl5gi fen (4a1)]aHi (4Jt*) us[2 S&1 (a**)] [2 Q» (a*1) Ja*’ )ü B (a*1) -lfiaSen [asen^aï*)^ ai ^ïii )
1«:oe(0^CDs(0)t-16Sen['Sen(-D)]Sen(a) ifi_0 ;[EBen(Ü )][2Cos (0)]Cos (Q) -Çfien [2Sen (0)]5en (0 } "" fl -0
¡i^ìjì^Lscìj^ a*1)J cos{ a*13)- i*jiS&ij_3Se^ a*1)J aai(3jiE)
1fiCoe[seri (4*1)][ coh(+X 1)]*- IÛ3en[sen(4«*)] Ben
)
* _ Sen' [Sen(3xy)]
(
1-fiCoo(Q)|"Coa(0)J* —l&Sen[5oi{0 )]Sen (0) if,_Q i6 9Cos[ESen{üjJpCoE(0 )]C oe(0)-flSen[2Sen (0)]Sen(0) " fl-0 “ 9
G
lb 9
ic 9
Lini 1-C«[Sh(x4-y)] Sen’ |_Sh{2x+ 2y )]
1-Coa|~Sen(4>y)~| (■Jh w ) Ben1[Sen(3xy^ caminas que pasen por(Ü,Q)
1—Coel"SenÎ4i{3il L= Lim--------- J=— / Mediante L'Hopital — • Sen, [Sen(33f')]
1 —CoefShÎ 2 x) l sm*[sh(4x)]
L TJ_ S e n ^ n ^ ) ]^ ^ ) ^ ) ' ^ ÌSÈn[Beti(SK3)]Cos[£en(Sx 1)](ÌB(Sir,J(3x a)1 1Ex’Sem[Sen (4k3)"|Caa(tx3)
4Sen [Sen [4x3}")Coa (i x3)
■I-,J iiK’Sén.'EBcn (3k 1)]C eb (3xn} “ " " 3Sen [SEen(3xn) J ïh £xn)
MedianteL’Hôpital: k= '{wMiHHSen [Sh (4x )]cba [3h (+x )][Sh (4 x)] ’ L= Lim = Lin ^ 'H » ) Sen[aSh (4x)]Ch (4k) (4) ^hffl )3Ser [SSIi (4x )]Ch (4x )
L Llr.i Aplicamoa L'Hôpital nueranwtE: x ^Sétì fan(4Ji’ l"|stai (** )
""
3tua[2 Sai (a^ )][2an(3ii' )|a^
) -??ji&ai[2ati(3^ )]stti (a*1)
4SjÎQB|"sai(4*aJ][Cüs(4ïaJ"j1-48Va5&l[ssd(4Ji’ ) îTifCtx [ss&i(3x? ):J[aDüa^j? )]qs(3jî* ) -OTi'5«ii[î S!n^>i' )]sen (Sii J
^
Cca[ ^ ( 2K)]Ch-(Ex){Ex )'+ESen[ ^ ( Bx) ]St,(a .) 4Cca[2Sti(4x)]Ch’ (4x )(4| -i-aSen [2Sh(4x)}5h (4x) ECoa[Sli (2x)]Cti‘ (2x )+ ESen [Sh (Sx} ]Sli (fcjt) " ( ■ A 4Gos[25h (4x)j Ch’ (4x)+ 3Sen[2Sh (+x )]S»i (4x} r g
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-
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1
l L 2Cos('Sh(0)]Ch,(0)+2SEnfSh(0)]Sh(0) 2+0 1 l6Cos[2Sh(0)]Ch’(0)+8Sen[2Sh(0)]Sh(0) 16+8(0) 8
rihnx+1 ü+’(X 1++Xx-8 ,-2x>-1+22=32 jmx+l+Lxn+(l+yxy)_23 «■L«M
O ^ .=_A -2)) I ® An rcctsge( 3nx(xyy-6
Tomarem oscam inosquepasenpor(0,0) MedbraeLHopMafcuW) Llm-S"[=»'W]“* Sx M*S“W Aplicam osL'Hôpitalnuevam ente: b.KrLH lm iv» 2 2 ^ü¡T¡2¡¿y Tomarem oscam inosquepasenpor(2,0)
H —
Tomarem oscam inosquepasenpor(2,1) *-(•— Hi-iAplicamosL'Hopitai: .•I-Ix-'2|’ U>j5*1+(33x-6 ") 1 Llm*+*/+«V O WW) (x*+/) Mr
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L=Ljm Cm<
(« )
i»)5^
UCcs\8>+3Coety)Sen^e>f2Cos(8)Sen,(e) Puesto que estaexpresión depende de 0:
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) S, = {(x,y)e« V x } => U
x*+ 3xV +fc* > (x' + y*)’
Lim^ (x+ y) Se n^ jse nJ Jj
L= Lim(x+x)Scn^j = Lim2xSen^j Por teorema de Sándwich
©
-I S S e n ^ j S i
I x Í m Mx* ' -t-y* —2x -4 y +5
=>-2xí23fSen|^js2x
Lim(-2x)S Lim2xSen]^ j S Lim(2x)=>0s Lim2xSe nQjsO Tomaremos caminos que pasen por (1,!) = Lim 2xSen (^j =0 Si= {( x,y) e*V =xtí =* L= { Jj im ^( x + y) S e n ^j s e n ^j
St= {(x,y)e«*/y=2x) => ULim -
2(x’ -2 x +1)
n « «o W . s , . s , . i ; ; -
UL¿m(x+x«)Seng}sen(-ij
2x*-2x-2x+2 2 g
-¡-y*-2x-4y+5
m[l | Senf J. j ál =»0¡3(x+x*)Senj ^ j SenQ, j S(x+x*)
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1 lim(0) £ lim(x+x*) Sen j - |
^ ’-V117’,'7W
s lim(x+x^
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) asjim(x+x*)Scn^jsen^-i|áO S, = { ( x , y ) e 3 l => ^ (|
lim(x+x^Scn ^ j Se n ^ j =0
S,= {(x,y)e«*/x=0} => L= lim = lim -?- = 0 (wH»j»)*y+y y-»0+y
y) Se n^ js en jj j
S»= {(x,y)eítVy=x} => U lim = lim -^ L = lim— = 0 <*,Hw)xy+y *-«x, +x «x + 1 1
1= lim(x+x*)Sen ^ js e n|-^ j Lueso: lim — — =0 M^xy+y
Por teorema de Sándwich: - I s S e n ^ j s l y - ls S en ^ -l js l
Multiplicamos ambos términos: OtsSen{-!j Sen^-i JSi => Osfx+x^jSen j^ js e n j^ j s(x+x*)
Tomaremos caminos que pasen por (0.0) u
ljm(0)slmi(x+x,)sen^]sen^jslim(x+x1) ftslim(x+x4)Senj^- j Sen ^-j-j 30
lim
2112« x+ z
lim / l + J !Ü x+ z)
lim (x+xs)Senj^— | Sen^-1 j =0 S, = {(x ,y ^) €« V 0 > => U j n J l + J L j. l m ( l ) .1
De donde:
Sj = {(x,y^)€!N1/y=xrz=0} =*U1fa^1+2|j=2
Puesto que S,^ ,
o Jtuái g
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X+ y+Z =g x + 2
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kYSen -+ k ’x* +k‘x” ULim ------------^ ----- -J- ---------*-« Ln(H-kY)
St= {(x,y )e9 lV* } =*UL jm x’Sen ^ j = 16Sen^ j=8V? S4= {(x ,y) e« Vii x/ 4} => U Limx,S c n í-^ l = 16Sení-} = 0&
5k’x*Senf— +k*X* ]+4k‘x*Cos| - + k Y |+10k*x“ UL^
O
3 k v / ( l+ t v )2
xy7Sení|+Z*]+ x V z
—
x>rfen ó + zI Li"> -------------------------(w'HW) ln(l+xyz)\---------= Tomaremos caminos que pasen por (0,0,0) Si = {(x,y)e3t4/ytemx, z=mx} => mx’Seml — + m V W m V L = Lim---------------------------- 1---------Ln|lWx\,
M 7w ; \ ” W
3mx'Sen — +m V !-*-2mVCas — + m V l+7m4x* UL im --------------1*------------ L — -------- i f ----------- 2-----------"" 3m*xV(l + m V ) (l+ m V) f 3Senf^+mYj+2mVCasf-|+rrf'xl' j+7rn V 1 ULim ' ^ ^ i .J ¡
S, = {(xty)eMV=«oc*, »*<*} =»
Tomaremos caminos que pasen por (0,0)
Si = {(x,y)«SR*/y=mx} => lim
rVx’ + m V -1 x’ - x m V ] ' x^m ^J[ x '^ -1
.. T xVl+iti* - I 1+xm' 1 = 'r^ "^x*(l+m,x’) -1 + l+m’x J= 0 - 0 = 2
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S,= {( xIy )é «i/y=kx*}=> Li
/x’ + k V - l x*+ xk*x< x1+ le“**- 1 x* +k V :
O
LJ _ » 5 ^ L a L g 4 l = ( H i ) = : — [x*(t+ kfx4)- 1 l-* -kV j v ’
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) Si = {(x,y)e9J*/y=mx} => U m -^ -y ^ L = L i n 3 ^ =0 ** x +(mxj -«1+ m S,= {(xry)e «,/ HD Í} =» Lim -
, 3xV Lim 7 = kvHWx1+Y
^SESÜkf Calculamos el limite mediante teorema del sándwich: -ts& n filsl
-t iC o . f e ]s 1
0 w
Lim -------* £ — f cy hM x V + ( x -y ) """ x*m*x’ +(x-mx)
"" m V '^ l-m )1
a s , t w ) -o
O
Sen(xy-z*) ( J íLT*a»>= ( xy . 2.)' É m v r .'v
Os ^Lmi^x1+ y,)S e n ^ Jc o a ^j s 0 ,+0 de donde:
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) S, = {(x,y)e«*/y=mxrz=mx} =»
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Sen(¡roe1-r a V )
Aplicamos H’opital
n por (0,0)
-m V ) =L' ■'1"*—3Í2mx-2m'x)Cos(mx* -(-----1 L -------mV-mV) (4mV-4mV) (l-mJCosJmK’-m V ) •*(m V -m 4x*)(2mx’-2 n iV ) Si = {(x,y) e»V> nx*, h ir *¡ =>U
( ra V - m V ) ’
S, = { ( ^ « V O } = » U
S* =
i_ m 0
=* L=
Sen (xy-z ‘ ) ( x V - z 4) 1
Puesto que Si* Sí. El limite no existe
Aplicamos H’opital
(3mx' -4mV)Cos(mxJ -m V )
©■
I-Cosí*1-y 3) x8+ y t
3 (m V - m V ^ f a i V -8mV )
■-
*H#
= L n T »5 ^ = LJm(0) = 0
- m V )* (6mx’ -4 m! xsj
=3^¡= 0
L%
.^
gmirww l-Ccefx’-yM «¿ y
En polares: x=rCos(e) ; y=rSen(0) ; 5^+y*=r* L= Li m 1- C0S[rJC0S(<>) - rlSen(tf)3
Llm Aplicamos Hopital
O
Sen[r 'Cos (0)-r 5Sen(« )](3r *)[Cos( tí)-Sen(f l)] = Lim2r en[r 'Co s(0) -r1Sen{í?)][Cas(íí)-Sen(¿»)] ^
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1
s,=y=c^ ^
O
.
L M
, . ±Vo 7 „ xn /C x ’ W+W k r ^ T ^ 7 = °
Luego; >í=mx=i Lime
=e "= c* =® á ( * ^ P ^ =0
A U/
,_mV = V____ ^ _ ^ L, !m - _-3m F_ x! 1- r+x* _
Lim
j
x! +y
_
-3m +l 1+m*
m’ -3m -1 l+m!
=*
=-«o Á
Puesto que depende de m O
(,.! ^ 7 v
LJm ^ ^ = U m - ^ L = 0 s»=y=x5
=»
Um£ [ 4 =Lim4 =J x +x 2x 2
Puestoque: Si * Sí=>
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SOLUCIOMARIOANALISISMATEMATICOdi ^
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La luncitìn es continua en (^#<0,0). Debemos determinar la comtinuidad Q
Detiimiiwsifescontìnuaen(10i,0}, dDotfe:
o
gì
(0.0). a) flftQHJPtrdefiniciótL
fryHa o)
JMH^yTT
S, :y^0
a) fl]0r0>= 0Por definición
siy=> => Lim
Sen*fx-y ) . Sen* (x -x 1) il ai =Lim ?'
e»H<* M+H
Ben1fx - 3^ 1 = Lim--------i -----r - Lim. .)
«■
. ,/= Lim
x f l-x Ì
=
Por tanto, Lim— = noesdste, de- donde Lim ft)i,y)= noex PQrlBn*a' ci PUesto que Lim 1FkV)= nocréte, lalui ( ' « c) PUestnque ^ Q
DEtem-iinar si latunciimf eacontinuao no, donde:
» ■ (W ;
función es continua En 31*
*« ** 0
f(x,y^=flT0,0>=arla fimctón es continua en (0,0). Luego la
Q
AvEriguarai eacontìnua lafimción:
H H ìI = q
ft*,y)== j V l - K ’ - Y 1 xs +y =£ l
SDLUCIOMARIOAHÀUSIS MATEMATICOIII |
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c) Puestoque ^ l^im^ f(x,y)=f(0,0) f( x,y)=f(0,0)=0, =0, la función función escontinua continuaen (0,0) c) Puest Puesto o que que ^ Uin U in ^ f(x,y)=no f(x, y)=no existe existe,, lafunción eadiscontinua adiscontinua en en (0,0) ^
Q
Determin Determinar ar si lafundón f es continua continuaen (0,0), donde: donde:
Determinar Determinar si si lafunción f es continua en todo
l
l o
M -M
(x,y)={ 0,0)
I
(^y)=(o,o )
I - ' * 1“ ' " ! xy es continua continua Falta probar probar la si la función función es continu continua a en la región región (x,y)=(0,0) (x,y) =(0,0).. Determinamos lacontinuidad en (0,0). a) f(0,0)=1 Pbrdefinición definición
b>
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) Si = {(x,y )€ «,/y=0} «,/y=0} =>
« Mf»»
=
Tomaremos caminos que pasen por (0,0) w w ]
S» = {(x,y)eMVy^mx} {(x,y)eMVy^mx} =»L = Um j f t l = L i m f ™ 1' (t,>Hoi
-» S -S Sí = {(x,y)€? {(x,y)€?K* K*/y=lo /y=lof*}=>L f*}=>L=
, = Umx* Um x* ^ y
xy
mx*
u » S S S Ú .u J S f c a . i xy *-» loe1
S»:y=cx Portam Portamo, o, Um f(x f (x ,y)= ,y )= I
ULJ y T ^ =Tn%= Tn%=0 c) Puest Puesto o que ^ im^ f(x,y)=f(0 f(x,y) =f(0,0> ,0> 1, la función es es continua continua ei tant tanto o en 91*. 1 SQLUCIONARIOANA IOANALISISMATEM LISIS MATEMATICOIII ATICO III
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1 3" 3S J x w ^ u - . . -------- cJn-íl lL2£]J
- 5 ÍS J]_»I J]_»I!5ÍS->,[£^ íiT ? ] ~h -i
3-3S«p|£l L=Lm ----------- ------------£ Aplicamos H'oprtal: ------------ £ Aplicamos -aa*[¿±£]
*-vsp—
^Cos(^)
3
— i —
— fc— ^
Pues Puesto to que que SiaSt SiaSt ^ ¡ m ^ f(xy) no exis existe te::
3Senfíl±£l
c) la fundón esdiscont discontinua inua.
uy¡r—*5— ' 8 Lim
,
3 -3 -3 Se Senf X X-- - ^ - Z- - ^ ) -------------¿ ¿= -
(x.+ (x. +y.+ y. +z*)*
£)
Analiza lacontinuidad de lafunción f en (0,0) donde:
8 l
0
(x,y)=( 0,0)
3
c) Puesto uestoque ^ Lim^^ Lim^ ^ f(x,y, z)=- Ib función es continua.
iiyyr iiyyry y
m t'
a) f(0,0)=0 f(0, 0)=0 Pordefinición. Determinar la región de discontinuidad si:
b> Tomaremos caminosque pase pasen n por (0,0) (0, 0)
[
o
(x,y)=(0,0) ULjm|x+ 0+ £ ^ j =0
a) f(0,0)=0 f(0, 0)=0 Por definición
b>K ^ .)^ y)
S, = {(x,y)€ {(x,y)€ÍK,/ ÍK,/y= y=x} x}
=>
1= ( L im ^x + yi
j
Tomaremos Tomaremos caminos que pasen por (0, ( 0,0) 0) B
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DERIVADAS PARCIALES PARCIALES ir di
81
& = +/ - x ' +/ +/ ! Sy 2J x ' +/ Hallamo Hallamoss primero “^de rivam ri vamos os parcialme parcialmente nte respecto respecto a x (y constan constante): te):
y* k Y * -/
( « * ) . )
(x*+ys) (xB~yt) t)1 1“ 8z Vx'+y’ í (x*+ys)(xB~y 3y
2/2y* |[
(x*+y*)’
(x*+y*)((x*+ y*)(-2y)-2y(x*-y*)) aVv(:
-x-y f2/( x*+y*)V x*+ y*)Vx‘ x‘ -y* N
J2 v,' \x '+ y* ty|( ty|(x, x, +y ')7 x‘ ,-y '
d fV - y * l d y U ' +/ +/ J
:Vy*) -2xV(x :Vy*) WV(x*+y -x*W?3 7 >/2M
0Z i/x*+y‘ If(x-+/)(-2y)-(2y)(x*-y*)]1 —2 —2x*’*/777
V?xy* |y)Vx‘ + y \ V - y ‘ /g x / y x * -/ -x ^ W T ^
7¡H(777j7?T b) z=Ln z=Ln |xy'+yx’ +^1+(xy*+yx*)’ +^1+(xy*+yx*)’ j Jfvn.V'TW & Ahora — ; derivamos derivamos parcialmente respectoa y (x ( x constante):
Hallam Hallamos os primero primero — , c
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SO SOUJCtO JCtOM MARWAN WANALISIS ISISMATEMATICOD ICODI
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V+yx*+Ji^y*+y?7 *y*+yx* +^ i+(xy*+ yx’ f *
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*
[ V + y ^ i + K + y * ’ )1]
^ ( x y ’ +yx')*
^xy* +yx* +^ 1+(xy* +yx*),j
(y* + 2 x y )^ 1+(xy*+yx,)f +x /+yx*
C) z=xyea^ ’**) j r T T r ; *.*7 y Hallamos primero
, derivamos parcialmente respecto a x (y constante):
z=xy —
=y e ^ ” *’ + xy
xy’ +yx* +^ 1+(xy* +yx’)*T
Z=xy
s=Ln^xy*+yx* +|l +(x / +yX’)’ ] = 3
= > ^= x V e*ní”'>xye®"6“» [Sen(*xy>]' Cos(xxy) (nxy)' = y ea"fc",) + «xy*e^^Co sfio cy)
=> ^ = y ’ x e ^ ” ” + xye5"* "» [Sen(*xy)]'
xj^+yx’ +V H V +yx’) ’ J
51=xea^w, + xyea^ ” >)Coa(trxyXiixy) = x e*^“,’+xyxiea”fc“,t o 9(iDcy) f , o _ 2(xy»+yx‘)(x«+ixy)l
8^ i+ (xy, +yx*)* | xy, +yx, +^ l+ (xy , +yx’ )' J
ajl-^xy'+yx*)’ J j xy*+yx*
I +(xy* + yx*)*J
d) z=(x* + yt) l
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Hallamos primera — , derivamos parcialmente respecto a x (y constante): 8x Z= (x'+y*) 1~ yiXf+ y]
(i+,/777)
*
í,-2 y( «#+y*)-4y/x! +yí *
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(1+7777)’ Hallamos primero — tc
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ra— , derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
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_( u T O f
x^[xy-x-y] ^ y » -(x+yf
| I (xy-x-y)' ^ \ ( x y - * - y )( x y + x + y )
***$*■ 1 J ^ - x - y x »Y xy +x +y
dz Ahora — rderivamos parcialmente respecto ay (x constante):
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g=Sen[2Ln(xy’)]h lj- 3C oSI (e’ -V)Sen(e' -e*)(-e*)
»
( V -V x - ') '
*
f(^ )' dz
y ^ j x y -x -y j ___ 1_ I
Jx V -(x + y)
— = - SenlSLnCxy^l+ae'Cos^-e'JSeníe’-^ )
V
(xy-x-y)*
^
y*ì|(xyr-x-y)(xy+x+y)
| j x y -x -y
y^xy+x +y
Ahora — , derivamos parcialmente respecto ay (x constante}-. 8y V =2Sen(Ln
| = Sen[2ü,(xy*)]^l-3Cos*(e»-e-)Sen(e’-e«)(e»)
Hallamos primero ^ , derivamos parcialmente respectoa x(y constante): £ = 2xSen*(y) +ye**^ -(-2x*ye**^
52 Ahora — , derivamos parcialmente respecto a y (x constante): dy £? = 2x'Sen(y) Coe(y) -t-xe‘"',‘ + 2 x y V ^'
| = -^ S en [ 2I |,(xy« )] -3 e' Co S, ( ^ - e ^ e * -e>) | =!sen[2U,(xy’)]- 3 e W (e ’' -e‘ )Sen(e* - e‘)
h) z=1^(e^-€í*) Hallamos primero — ¡ derivamos parcialmente respecto a x (y constante): | =3T8*(e - -e ^)[ Ts (e ^ - e ~ )]', = 3TS’(e** -e'-}Sec*(e^ -e*»)(e*" -e**)',
I z=Seril[Ln(xy^]+CoeV-e‘) J? = 3TS*(e -'-é ** )Sec> (e*1*- e*1*)[c»* (x /y ). -e '* (yx ")J Hallamosprimero ^ , derivamos parcialmente respecto ax (y constante):
| = 3 T 8« ( e - -e - ) S e c * ( e * - - e - )[ ^ : +£ ^ ]
£ =2Sen[ln(xyi)]CoGfLn(xyi)] rW xyi )]x'W(e>-e-)Ser>(e>-e*Xe>-e*) -
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|? =Sen[2ü,(Xy’ )]^ j-3 C o s * (e’ -e* )Sen(e' -e«)(-e *)
{ ^ ) )w
£ =-i Sen[2Ln(x/)]+3e*CosV-e')Sen(e’-e^
v-
£ £ * *
&
*
*
Ahora ^ , derivamos parcialmente respectoa y (x constante): Di
y~*fxy-x-y] v'x V - ( x +y )'
(xy-x -y)' 1 I y* )( (x y- x- y )( x y+ x +y )
i jxy -x-y y' Yx y+ x +y
£ =2Sen(Ln(xyi)}Cosi[Ln(xyi)][Ln(xyí)}/aCosi (e>-e*)Sen(e'-e1 Xe’-e1) dy ^=Sen[2üi(xy*)]^j|-3Cos*(e»-e'')Sen(e'-e«)(e»)
0 z=x*Scn*(y)+xye”‘v g v ’T r y yr g
| =|sen[2U,(x/)]-3¿W(e>' -e‘ )Sen(e> -e‘)
£ = 2 xSen* (y )+ ye**v + 2x’ye***T*
dZ Ahora — rderivamos parciaJmente respectoay (x constante); dy £? = 2 x,Sen(y)Cos(y)+XE'v,,, + 2 x y V '*’' 1
1
h> z=Tg>(e^-e^) #yiiyv,'y Hallamos primero
¡ derivamos paroaJmente respecto a x (y constante):
g =3TS' (e*^-e’-)[T g(e ”>-é**)]', =31fc*(e«* -e--)s ec *{ e^ -c"»)(e«'» -e"*)'. g) zsSerfpiiíxy^l+Cos^e'-e*) | = 3Tg* (e»> - eT<*)Sec* (e,ly - e,"‘ )[c ’,r (x / y ), -e ^ (y=r>)J Hallamosprimero * , derivamos parcialmente respecto ax (y constante): || =2Sen[Ln(xyi)]Co6[Ln(xyi)] [W V )K to G í (€?-e*>Sen(^-e*Xe'-€*) g
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SOLUCIONAR» ANALISISMATEMÁTICO111
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Ahora ■— , derivamos parcialmente respecto ay ( x constante) dy j)
| = V ( e - -e - ) [ T 8( e - - e - ) } T
z=L n(x V) + A rc ts g] i
| = 3TS« ( e -- e -) S e c * (e- - e - ) ( e - - e - ) ' y
Hallamos primero — : derivamos parcialmente respecto ax (y constante): ax
^=3T g,( ^ ,í-e^,)See(e'í v-e'rt)^ (x / -’)^-é"* (y/x)yJ
& = (x +y ’)-; +_ [ ^ _ =_ i _ + _____i__________
^ x+yI ,+[yJ X*y' x*^y' *+yl x,+y* Ahora
£ =£^Üu
z=Arctg(xy)+Arasen^JL j
=_?y_+_L_ =_2l.+_ í _
S y x + y ’ i + ^ í j x "'y ’
M'/Vy''TW
x+y* x,+y’
X' +Y'
Hallamos primero ^ ; derivamos parcialmente respecto ax (y constante): k) z=5xY-2xy 5
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(«v)- . f e ) ' y . _
** 1 + kV
h
~
1+XV
0 +y)_ _ _ _ V . (l +y)^(1 + y)! -xs ' +*V
'
J^Ttrr’.Tg
v'(i+y)’ -x*
Hallamosprimero ^ ; derivamos parcialmente respecto a x (y constante): ^ = S(43í/>-2ys= 20^ - 2 /
dz
Ahora — fderivamos parcialmente respecto ay ( x constante>.
Ahora ^ ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante):
\
— = 2x*y- acsxy4) = 2x*y- 1Oxy* Sy
(f y )1
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I) 2=x?+3 y*+Ln(x+y) Hallamos
, derivamos parcialmenterespecto a x (y constante):
Hallamos primero — ; derivamos pí
3z_ c-^ g(x/y) | (x /y ) __ e*» | 1/y 1+(x/y)* " y (/+x*)/y* &e~*^ ( y
Ahora — ; derivamos parcialmente respecto a y (x constante): Ahora; derivamos parcialmente respecto a y (x constante)-.
&= 5y e
9(x/y)
o) z = (SxV-y*+7)*
(x/y) xe~^ | -x/y* & xe~^y x +1+(x/y)’ yk +(y*+x‘ )/y’ ac y* x’ +-y* _______
Hallamosprimero — - derivamos parcialmente respecto a x (y constante). 8x
g =3(Sx!y-y>. 7 ) * £ í ^ - ^ =3(5xV-y' +7/ (lüxy)
B - t M t H ') ]
=30xy(5x,y- y ’ +7)*
J 5 = Coa(x*) ^sec1í ^ ¥ - - ] = - y* U A /J *
/
y*
S.
Ahora — ; derivamosparcialmente respecto a y (x constante):
0y
^ = 3(5 x * y -/ + 7)*a(Sx'V ~ S +7) =3 (5x*y _ y>+7)*(5x» _3y*)
Hí ) SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICO III
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c) fCx,y,z)=e*+Aras e s Hallamos primero - y ; derivamos parcialmente respecto ax (y constante): d) f(x,y,z)=x'-~
— = 4x 3-8xy’ 8x 1
e) f(x,y,z) = xs+yA-3yz-x+z
Ahora ^ ; derivamos parcialmente respectoa y (x constante): — = 4yI -8x*y
mvw.i'rm
a) f(x,y,z)= e*" Sen(xy)Cos(2xz) i) Derivadarespecto a x (producto triple): #-*v
=v“ x”Sen(xy)c“ <2 xz> y El'’Co6 -2xe*” Sen(xy)Sen(2xz)
Hallamos primero — ; c ii)
Derivada respecto a y: £f|^z)
*” Sen(xy)Coa(2xz)+xe‘"Co6(xy)Ccs(2xz)
Ahora — ; derivamos parcialmente respecto a: iii)
Derivada respecto a z: « M
. =xye*"Sen(xy)Cos(2xz>2xe*”Sen(xy)Sen(2xz)
a) f(x,y,z) = e***Sen(xy)Cas(2xz) i) b) f( W ) = , " V
,
Derivada respecto a X: «(x ,y,z )
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f** -t-y* +z* -x(2x )]
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1
1
ñ« (x+yjVx'+axy +y^-x’ +aty-y* (x+y)V4xy (x+1)\xy (x + l) ^ " ®
Derivamos respecto a x:
Luego con (!) y (8 ), lademostración
s
Í K
t
H
Derivamos respecto a y: x - ^ + y ^ 1 ' [7*?-V ^y ]= >x -^+ y ^= 0 demostrado. Sx Sy (x + y )L Ox «V J Derivamos respecto a z: Q
Sfcz=x*-3xV-2y,,verifiqueque: x -^ +y -^ =3 z Ahoraverificamos con (l), (2) y (3):
Derivamos respecto a x: £=3ií-6xy
...(1)
Derivamos respecto a y: ^ = -3x«-6y* ...(2) sy
Ahora verificamos con (1) y (2): x | + y ^ =x(3x*-6x-6xy)+y(-3x, -6y*)=3x,-6xV^x V V = 3 x '-9 x V V = 3(x’-3 x V V ) x— -t-y— +z— = 0 demostrado Sx
x— +y— = 3z demostrado Sx
® W
By
8z
dy
S : ; % V y ' - | rVtrilÍqUeqUg Xf +Yf ~ M 1+1)
Si u=S en í^ l^ \ verifiqueque: x— -t-y— -t-z— =0 8k df V z / dz SOLUCIONARLOANALISISMATEMATICOIII
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+y— +z— =0 Xñx+ y ay'f"Z&
Ahora probamos la expresión esión dada: dada:
y z x __ . rXi tXi «Tu Si u= - h — + - . probar que: x— +y — •*-"------ x x y Se fly
X8x*yñy*Zdi_= Av
ftv
Demostrado
Sw
a i_y z _1 acx 1 x*+ y "
Ai +y—Ai +z— Ai +u „ •.prabarque: x— =0 E & ty Dz jf v H .y y r w ft, _ -z(y +z ) Sx (xy+ yz+x z)’
£u _ 1 ^ S y "x y* '
Derivamos respecto a y: Ahora verificamos con (I) , (2) y (3>
<5y (xy+yz+xz)
*!*”s *‘£- x(-3-7*¿Mí -7M í )
Ai_(xy+yz+xz)-z(y+x)_ xy (xy+yz+xz)' (xy+yz+xz) "
x£¡ + y£ ¡ +z — E* 8y ìn.
Ahora verificamos con (1 ), (2) y (3):
c+y^+: in
Í2x Sy
Ai (V
1
(xy+yz+xz)* (xy+y z+xz)’ Ai (V
<3u «k
■e)
Xac+ y Sy+Z 0z~
y_z x y_x x x y x y
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x x y x y x
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1
Q
1
Si: u=y*+Tg(ye
probarque: x' ^
Derivamos respecto a z:
= 2y*
Ai (e‘ +e’'+e*)ew (xy )-eV w e^íxye1+xye'+xye*-e ‘) *
^TiTur^r-TW
(«* +eT+ e*)*
Ahora verificamos con (1), (2) y (3)
g =Sec* ( y e « * ) f ^ D = ^ (x J ySec* { y f f i Z p = ^ S e c ’ ( ye «» ).. *)
1
Aj (u Ai e » (y » 'i yTe'.>»•-«f ) e1*, | y « • -« " ) e*'1Ixytf . *yt> .xye’ «*) *** ** («¡■♦«’ ♦¿■r ’ («“ ♦ « 'w y a x ^ + e.
Derivamos respecto a y: ^ = 2y-Sec* (ye**
(ex+c’r+c*)*
(e*+e'+e*)‘
ai Ai Ai eW[(Vz+xz+xy)( e*+eT+ e') -(« * +er +e1)] "S +^ ' KS (e’,+eT+e>,)k
= 2y+cwSec*(y*’" ) . ..(2)
Ai A i, ai e**r(e*+e>'+e>)(yz +xz+ x y - 1)] At+^ +* (e'+e’r+e*)‘
Ahora verificamos con (1) y (2): x * ^ + y g = -y 6,'*sec‘ (ye,,“) + V ^ s ee ( ^ )
Ai ^ +A i Sx ay flz (e*+é' +e*)(ex+er +e*)
Demostrado
x’- ^ + y -^ = 2y* Demostrado ñc
>-r\ e”“ A Ai Cu , & StU =F 7 ? T ? , Probar q u ej : - ^ +- = U(xy+ x2 + y z - l ) ^TiTTTRT.rg Derivamos respecto a x_ a, (e* +€>- +e*)e»* (yz)-e*e** <**
(«f + 6” +«f )*
Derivamos respecto a x: e«* (yze* +yze* +yze* -e» )
5u _ f x-y +z Y" 15 ( x -y + z^ dx ( x + y - z j S x ^ x+ y -z J
(e* +c» +e« j
Derivamosrespectoa y. ñu (e'+ey +e*)e<” (xz)-e'e *'’ ^
(e”+tf'+€f,)‘
e«* (xze* +xze' +xze‘ -e ”)
^
;-Hssrp*,lfttr 1'1gatear ■»
(e'+e'+e*/
H —
—
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—
a -
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1
1 Luego;
££ ). Demostrar que lafunción z=— + - +— — - satisface laecuación: w 2y 2 x y ( ac
*
*)
1*+*
x * g+ y* g = £
,f„au . a ,. . ^ _ g(x, +y*)z 3z l de ¿v &J f(x «+y*)4 *V+y* 3f , ¿ !+ y ^+ z ^ l = - ^ + ^z ( & 17 +7 7x^7 3Í x— + y— + z— I= Z u Demostrado { S*. Sz) $ y + /
x—y y-z
|M Siu = x + -------, probar q
w
Ai Ai Ai u e =1 & ÍV &
MVHVV.'J • Derivadarespecto a« ^ = 2x+ '— i =X+'%—
ñ< 2y 2 x* y 2 x*
• Derivada respecto a y: — =-2—+- L
¡V 2/ y*
x « ^ + y * ^ = x * í í + 2 -l l+ y * f 4 + 4 l= ¿ + í l - 1 - ^ + l ñu «V ( y 2 x’ j y1] y 2 2 1 8z i tu. x1 x ^ +y ^ = 7
M '.'ii v.'TW Derivamos respecto a x: ac-
y-Z
ÍV -
(y_z)«
a> -( x-y )(-i ) ^ (y-z?
(y.xf
Demostrar que lafunción z=y‘‘'S en^ j , satisface laecuación:
x- y (y-zf
x’— +xy— = yz at
oj Su ( ai da n ( 1
z -x ( x -y ) ( y -z +z -x + x-y , ( 0 1 SL at+ ay+ai 1V * +( y-z )* +( y- z )’ 1 (y _z)*
"
B
—
ai |ai |a j _ 1 ac+ay+ ñz
0y
AMIIÍÍV.W Lasderivadas parciales: s
-
—
^
b
w
m
í o
b
)
----------------------------------------------------- E
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Si (f) es cftferenciabley R(x,y) = f(x-2y). Probar que: 2F.(x,y)*Fr(x,y) = 0
g = y** [ ^ ( y ) + l ] Q c o s g ) + y ^ S e n g ] ( i )
JT-TnTVTT
Luego en laexpresión:
F(x,y) = f(x-2y) =*F, (x,y) = f (x-2y) ; F, (x,y) = -2f(x-2y)
+xyy^* [Ln(y) + l]^ jc o s^ J+x yy^ Se ng j^ 2F,(x,y) + F/x,y) = 2f(x-2y) -2T(x-2y) = O ©
Sea z=f(x,y), x=u+v, y=u-v. Demostrar que:
(£H£H£X£)
+yy'rf*[Ln(y)+l] C o s ^j +yy^S enJyj x - | . x y | = -y y > -C o s g )- yy"«Ln(y )Se n g )+
g-vur^nr +yy"*Ln(y)Co s^ j+yy«^CoS^
+y^' 1'Sen^j
Las derivadas parciales: =f’(x,yX»+l)=2f’(x,y) ...Cl)
= 2f(x,yX0M>
□ SOLUCIONARIAANALISIS MATEMATICOIII
Z I
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...( 6)
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* PISÍEX h£S)] = 10(3fl)e = 3£ Q
Supongamos que ffx.y^-EV1 ' y que g, h son üincicnea rales:que s(5)=3, Hallar FfS) al F(t) = f[gft}rhft)]
Si *x,y) = x + y -J 7 T 7 rcalcular
h=&.
* T . 1H W M ¥ DErivanra nespedioa t la función F:
Las derivadas parciales:
F-O^fKUhOlKít^h’CÍ]
& De donde fl^y) = ^ [- ^ + ^ 1
ÍJ x ’ +y1
« f r y ) , ( ^ + y1 ¿V
)1
í j x ’ +y1
a ^ +y1
ay
^xV y1
.
y
Sj'xSy’
^uVy1
F'(2 >f KS) , hí^lCgTaHh'ÍS)] a¡9(3>^hCK>5 =¡- PM2), h(S)] = FÍ3,5X4-h6>= 10F{3¿). ..<1)
«ÍM) , ¿K
Puesto que K x ,y ) = £**', logaiicmandoc
3
.
“T í T F
3
s afta,*) .
5 5
^t)| Si Ü(K,y)= e* Sen (x+ay), decentiTriar
£V
4
,
"VFTF
4
y (.r O,«,^
Derivando respecto a t
$$ -'S
Las derivadas parciales: " *
-« h - W
S - m « KSK. 5 - t o - s
L¡ =e^Sen(x+2 y)+e1Cí 3a0 t+2 y> ÍÍÍ M 3 =í£*Co<)£+Ey}
f(K,v) =f{ *,y )J¿ | + * ± ] =>f(3j5) = H3,S) [5(4)ta$)] F\3í)=^<5>(3B> = 3ae’s
W(*W4)
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'SeníO+síKe^oaCQ+^ía^l+fe-l
i
5 £
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if (O,.?/4) •y Q
w
g f(x ,y )_ (x y+ xy ^)v
y +y -!
Z^xy+xy “1 a^xy+xy"1
Sir=Ln fx+X IhaJIar^l y ^ j I 2xJ ac|^) eÿ|^t)
af(x,y) _(xy+xy)v _ •V
z=u,[x+i;)=ü,(2x’+y)“ü,(2x)
S^xy+xy"’
En cl punto F(2tI): a ( 2; 1) _ l - l _1 Sx 2>/2+2 2
«(^y)_(glc, +y). («*),_ 4x g_ 4x Sx (2x*+y ) 2x 2xI +y 2x 2x*+y »(x,y) ßy
(2x> * y j (Six*+y)
©
« ( 2, 1) _ 2-2 a/aTI
Si z=etxCos(y>ySen
1 2>f +y
En e) punto P(1,2): 4___1__1 M = 2+3 1 5 ; __
a f(x,y>= ^x y+ i ca la ila r^ 2] y ^ ^
Q
2 y,xy+xy'<
1 _1 2 + 3= 5
^ =e*[xCos(y>-ySen(y)] + e*Coa(y>=e>[xCos(y>ySen(y)+Co6
■0
[xCos(y)-vSen(y)+Cos(y)] + e*Cos(y)
J ' T V Ï .W Arreglamos lafunción:
=e*[xCos(y>ySen(y)+2Cos(y)] f(x,y)=Jxÿ+^ =V xÿ+ xp
I
| 4 = e*[-xCos(y)-Coa(y)-Cos(y)-ySen(y)]
1
SOLUCIONAR» ANALISISMATEMÁTICOIII
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D
. . . . . . .
¿>«2 2( x , + y » ) - (2 y -x ) ( 2 y)
- H = e*[-xCos(y)-2Coe(y>ySen(y)]
(x*+y*)’ d'z S'z 2 y’ -gx*-t ax* ^y* (x'+y*)*
= e'CxCosCyhiSeniyHSCoaôr)]«* (-xCos(y>2Coe(y>ySen(y)]
Q
Si V=Aras| ^
2 x »-g y‘ +gxy ‘
(x*+y*)’
| 2 yll- 2 x!!+2 xy Q (x*+y*)s
i I. Demostrarque:
S'z Íí'z _ ° ÖX 1 ' ¿Vs "
"Sx 'ôy
' Sx* 3y* “
z = In Vx*+y 1+^Arcts^-j # v'nyvTw
JE2EHF
la derivada respecto a »
(Ä1 *Hftí
z = L n V ^ + y ’ - ^ A r a 8^ j = J u . ( x , + y *) +Ì A ir t8^ j
a .
ï(x*+y*)_ x*+ J
*
(»•*»')
6
).
gy
,4
* s(x‘+y’>«f.+gj] 2K+y*)
____________
*y+»
*t+>‘ «*+*■> x’+y’
ÿ z
g (x »+ y ») -( g x -y )( 2 x)
gy» - 2x- + 2 x,
^
(*,+ V*y
(x*+y*)T
B y ( x » - / ) -2 xy(gx)
2 x*y+2 y1 K -.J T W /
(x, - / ) S
Derivada respecto a y: uv
2 x(x’ - / ) + 2 xy( 2 y) ( 2*y Ì ’ -y jy ______ (x’ -y -y*) \ ________
* = 1+^
8x
) ‘~
gx*y+2 xJ üx^y-j-^x "(x *-y *), + 4x'y*
Of ( x* —y*)*+4x*y’ (x, - / ) , +4 xV
1
I SQLUCIQNARIQAftóUSIS MATEMATICOIII
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& v ___ . que.laecuación — . Demostrar ., — tfV— +—Í 5 *V „ , pc+: — +— - = .Ürsatisface &fC öjr
Tír
dr
l V _____ Ek'y+SV3
g,v
[( * - V" F + 4* Y ] (4x y)-(at- + Ey3)[s
jf y
- y*)(S*)+By=]
Derivamos respecta a k
gy( g/ -x* -Bx y*)
La Begjmdaderivada respecto a y
-f r + ^ r » =
« y
=— =
aV
J (x* + y1’ +z*)J -x (5 / zy¡ x 1+y* + z 1(gx)
# l+yl+z=)3
By (s* _/ )‘ +**?y ¿j*y Jx 1-ny1+z ! |~x! -Hys-HZ!—Se1"] e*v [Cx* -
)’ +4k^ s] C2*’ ) - 13**^+âyJ)[s ( ï1- y’ )(-äy )+ex’y]
&l =
(x-+y Vz= )r
y^ + z^-Ex* '
(x V y ^ r
[ ( x " -y = f + * x V ^ ,i¡y
2ifían'-xg-eKy')
^ ' “ [(x ’ - y - ^ ^ V ] 1 -ypjafrV+y^py) giv **
v
ByfSbJ -x a-Bxy*']
Exfax1-x^Sx y*)
[(^-/f+ ^y -J
[ ( * - / ) ’ +4 * v J
^
&
( x ’ + y ^ z 1)1
¡?v _ yj * + y, +zt [jí-4-y1-t-3“ —3 ^ ] _ V
(ní-i-y’ -hz1)3
x^+ z'-Ey1 (í?+y í +^)V1
SOLJUCIONARIOANÁLISISMATEMATICOIII
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c .. k’Ac’’* kAe"^ •p = ------ — Sen(pt)Sen(qx) — — Cce(pt)Sm(qx)-
2
£v V(x*+y* +» ')’ [x*+y'+z‘ -3z‘ ] x*+y*-2zt te’ = (x*+yf+z*)’ =_(x*+y * «* f '
Cos(pt)Sen(qx)+
2
. Sen(pt)Sen(qpO
ÍL| _ (k ~l' 2p)kAe— Sen(pt)Sen(qx)-kpAe“ * Cos(pt)Sen(qx) ...(2)
Arreglamos laexpresión: Ahora verificamos con (1, ), (2) y (3): 8'v 8'z #v_ y»+z*— 2x* x*+y*-2z* x* h-z*-2/ ftt* ay’ + az*"(x»+y» +z*)M (x' +y*+z«)M (x1+y '+z ')M ~TT‘,~ ? ‘hC t =0 Demostrado a?
¡fá ÍW Í4p,-k lkA e'i ^4- + k ^ =i--------------------------------------------- ¡- Sen(pt)Sen(qx)
j =-qiAe'*wSen(pt)CoeCqx) =
Demostrarque ^=AeuflSen(pt)Cos(qx) satisface laecuación g j Su<1+x)SI*5x-2y), comprobar que 4 ^ + 2 0 ^ -2 5 ^ = 0
^-qAe-^S en(pt)S en(qx) =>
= -q4Ae-*MSen(pt)Coa(c|x)...(I)
Ahora derivamos respecto a t
=Sh(5x-2y)+S(1+x)Ch(5x-2y) • Jj!=- 2(l+x)Ch(5x-2y)
Las derivadas de orden superior:
^ = _ Í ÍL ¿ SenfptlSenfcpO+pAe^CostptíSeryqx)
H
Derivamos respecto ax ey : u= (1+x)Sh(5x-2y)
S*u
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=5Ch(5x-2y)+5Ch(5x-2y)+25( I +x)Sh(5x-2y) SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
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H
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1
1
. Si f(x,y) esuna función de x e y donde x=Ch(u+v), ySh(u-v), demuestre que
Hallamos d'v
Mül!Üü3í
En la función dada:
Pero — = Sh(u-t-v) — =Ch(u-v), de donde: ftj au v ’
M íM í)
£ ^ l = f ( x , y ) [ S h ( u + v )+ Ch(U- v ) ] La segunda derivada: 5í ^ 2 ) . r ( « , y | [ » ( u » v ) . a . ( 1i - v ) ] , * f( >t y )[ ci. (u * v ) . a ( » - v ) ]
a m . £ ! Í H Í ^ 5 íZ > f
Luego:
'3 -S *^ -* - (í K '-f iK '£ H 'K í> ^
- < l w ) ( í *1 ) — £ g a . q w ) [ s h ( ü « ) - a , (u- , ) ]
í ^ 2 ), r (« , y ) [ » ( u . y ) -C l . (u - . ) ], . f (x , ,| ( C h ( u «« )» a ( o -» )] SOLUCtONARJOANALISISMATEMATICODI P 5
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Ahora arreglamos según la expresión pedida: J l M
Q
Si
® =“[f(BJC+y)+s(a)c-y)]- nr>o«Tar
-g = 7 ^ (y * f )
=f,(x,y)[ai(u+v)+Ch(u-v)J +f'(xry)[ai(u+v)-t-Sh(u-v)]-
J2¡EE£F
^■(x,y)[Sh(u+v)-a ,(ii-v )], -f(ny )[C h(U+v)+Sh(U-v )] ¿F(x,y) g‘F(x,y) £ ^ y ) _< f^ y ) =f.(Xfy)[a,(u+v)+Ch(u-v)]' -f'(x,y)[Sh(u+v)-Ch(u-v)/ 3 ^ J ^ y ) = fi(X iy)[2 sh (u +v ) ch{u _ v ) ]_ f .(Xry) [ 2Sh ( u+ v )0 .( ü -v ) ] g*f(x,y)
[rff(ax+y) -t-aFg' (ax -y ) ]
.4P(^y)a(a+v)+Ch(i.-v)..
...(t)
¿Ffcy) 8F(x.y) ax yy Sy ^^[f^+yj+gíax-y^itfíax+yj-g^-y)]
4^(x‘-l )(y ‘ +,) = 4^[ch,(u+v)-l][a,*(u -v)+l] ^ (x , -l)(y * + l) = 4VSh*(U+v)Ch*(U-v ) = 4Sh(U+v)Ch(U-v )
-f(ax+y)-s(ax-y)+yf'(ax+y}-ys'(ax-y) Derivamos respecto a y estaúltima expresión:
4V' ^ ¡ ) ( 7 T } ^ ^ = 4 S h ( U +v )a ,( u- v) f- (x >y )
. .. ©
-I ----- f^ax+yJ+^ax-yJ+ftax+yJ+yl^ax+yJ-g^aK-yJ+yg'íax-y} ,£F( m O]
Comparando (1) y (2):
syfíax+yj+yg^ax-y)
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CJUTliim1
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ôT(x,y) «*’
[f(x,y )]3
^
a-r(^y) ^(«,y){[i-(«,J')]i - 2* (» ,v )^ > y) + p( xy ) ]' } n ^ r f r A - r i p u r } } ' ^ P fr y) ]'
aajL^bfg -i-cap = ^
-h------------ + ------------- =1 a + b+c a+b+c a-i-b+c
Demostrar que laÜMidän: z=l(xy )+
„
% *T % " ■ T ; " ,= T “ 1 ^ = t
j T ' i i i ^ r w Dérivâmes respecto ax
Hallamos lasdErivadaE pardales anteriores: = f'(x-a)
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Demostrado
j ,satisfacealaecuación: -U H * —ffi:= =-y— iy= ï =°
Mediante denración implícita:
^ = ^ = f ,(x- a »Jy-t w ,i-cw ) ; ^
a+b+c
L(-j - b - c) fl( K- ^ y - tte' z- b“ ) J
[ f,(x-a*,y-tMji 2 -b*i) "I c [(-a-b-c )f'(x-aa îJy-bejrz-bflî)J a+b+c
Finalmente:
PM T
Rrobair que si tx-an^ y^bE. z-bn )=0 entonces aaii+ bEk 4-cok= 1
r( L ÎiJ
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Ahora lasegunda derivada:
Aplicando laresla de lacadena setiene: ^ t-L —— — flz ay sr ~a x's r ay'ar
Denvamce respecto a y: s ( d i \ s (í>t ííx dz gys a -l ar J a l & a ¿ y 'a rj
_ en #x |ac a
Ahora lasegunda derivada:
| &y az t ay a f az'j
S? flx'a* + a 'a (, ñ j+ a? 0y''~á'al,0yj
Ahora verificamos con (1 ) y (2)
SN Aplicando la reglade lacadena para calcular —
jL (i£ )=j L f í k ^ .tJL Í£ ') £ ñrlñtj ax U x/*+ 3na
^ í ^ l - a* ftc !
8 faz Vi* ; a ( azsiay . a faz]
a’z ñx f a'z ay
ar^ayj ax^ayJft+ayr[ayj&=>arLatJ at fya +'¿yI ar Dada lafunción z=fCx,y)
donde x=e“Cos(v) , y=e“Sen(v). Calcular
+■ Reemplazando (2). (3) en (1) se tiene: |dxíífz ñc | ffz a y ]
a1 = a* ax+a (a c* 'a' aysx’a J' a»1 'ay+a(a>
H
£ i - £ i f ^ T + — í ^ í + 2 - ^ i ** + £ í ^ £ y &
i
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Sumando{3) y (ü) setiene:
En forma similar parael taso de — r
&z
frz.
, ífz ñe , i?1* & fi^y ñz 'ayai'aj "& + £^" at'a= ^ ^z ai
^ zf ac Y | |„ a^g at gy |az ac ¿'y «x * U u j+íiyHajJ ^ e¡rt5x'aj'ñu + & 'a í'fl y’ aj*
■ Sa[^ i ^ U d o nd e , - g ^ =e* f c ^ ' l # J a^ l.aí }
Sealaftjiwifin FiXy.z) = w^ +Í K- S^ y+ íft z- l)11. Hallar ^
y _ 4 enlos prnitos de la
superficie de nivel que pasa par el punto {3, -2, "l).
a— — a¡* ‘ Sf .¿V
K w á * = >V + 5fx-3)* (y+2)7(ü-1)11=*Fl(3r-^1 )±= 4
íOawfc = 'brrz + 7(x-a;r íy+af
ti (1)se tiene:
1
íu
(
¡ y )
«m
r es dEcin
En la misma formapaís
1
0"z at Y | flz a*x |Bz g*y 0yY 0 St áyfilK's/Sp Efe i3y! í*y 3k= av1 _a:l VsrJ ív ljESj Jx = e’ cosí' |y = e'seni'
>t_ „ ÜZ = e’senv
a'x -j ai'1 “ ay
-
FC3,-2Ji)r= -i2
F f w X = 3*A* + 11(í-3f (y +af (z-1)1“ => FC3,-E,1)i= 36 F„=H)Cx-3>l (yt-2f (z-l)11 =t F„<3,-^1i = 0
OQSl'
= Bxz* + 48(x3 f
F
F^.(3,-^1^ = 6 F„ Í3r-2,1i = 12 F^(3,-^11 = -36
fl’z _ FkF= -F ,F m _ 1 = í & ? _ (¡ Tj 5_ 1Ü8 fl’z
FF -F F
1
C7.)1 Reemplazando (5) en (4}ae Si y^i(x-ajt)+iJ()e-Bt); mostrarque ^ ¡- = a1
Zi
rcualquiera sean laEfunciones f y 3
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y dz ÙL thC £(z ¿V a i^a i^A i-^*?
; 2 = f (x -at)+S-(x+ai)
_ «te¿be cte«3y y x T i " á x l v " 7 7 ? V + /
St*'.V'
a£v£y.
§ = a V ( x - a )+ a V (x +- )
f
§ = f ( x - a t) +S-(x +at)
2(ii-v) u '+ 2uv+v1+u! - 2uv+v!
rando lasúltimas ecuaciones: ■ ^ = a' - 0
2(“-v)
Demostrado
. Mostrarque lafundón: z=Arctgj^- |; dondex=u+v, y=u-v satisface la relación:
X x’ +y”
2 (uf-t-v*)
^
u -v u*+v*
Si u=Sen(x)+f[Sen(y)-Sen(x)]; mostrarque: gcoa^gcos^cos^co^y) Cualesquiera sealafundón derivable u.
Y ac x*+/
Sy’ñx'
■^ = f'[Sen(y)-Sen(x)]Cos(y) ; ^=C o9(x )-f[Sen (y)-Se n(x)]C os(x )
^Coa(x)+-2-Cos(y) =f'[Sen(y)-Sen(x)]Coe(y)Coa(x) + +Cos(y)Cos(x) - f[Sen(y>Sen(x)]Cos
B
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1
1
Hallamos el gradiente: ( l3 ) « n ( 1 ^ . | ? = - W 4 u J - 2 v | ; U ^ í*i) 8z Ahora
£ í^ ):
Eh(13)
00
Endli
tm- 1 dt 1 +8uvw
aoa
f c ) , ” - '“ ’ * * "
£ _ t “ — — 0 4) ífi ----- ¡1+Suvíu
f c J = uv± J +uw| + w | .. .( 15 )
.^pr-^_Y+3vjZ+7
^
F=1
4VÚ' 8z 1+ 8uv«w El ángulo se calcula de: VF.Z=JVF))2| =Casd
x+3xjx' +y* y+3y/x*+y* ,
_ < ,» *
v is ?
■ jif c ?
-- » W
H » )
|VF|2tCos(fl)=-l
¡fu _ j,4n/+4uvs+16v5tó)* (1 +8uva>)J
V 2 ^ X«+y«+9(X, +y*) Finalmente
Sea la superficie & z=/x* +y* +(x* ♦y*)1* y N=N(x,y,z) un \®Oor normal a la («■«H***
superficie S en cualquierpunto (x,y.z)=(0.0,0). Si 6 es el ángulo formado por el vector N y el eje Z, hallar ^
£j
V
lx’"H w ^vf276^x*+/ + 9(x*+y,j
V5
Si:f(xltv .j O ------------------ ------------ — , calculan (x?+x ^ + _ .< )-
Sea: F=Vx’+y, *(x, +y,)M-z Sea. ^
(*í+*?+*?+-O í^ )(=*.) =» SOLUCIONARLOANALISISMATEMATICOBl ^
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^ -(1 -n)X.(x? + xj+x5+
En lamisma forma para
-(l-n)x ,(*f+*í+j<1,+..jí) ‘t» )
, es decir
!?z _ ífz í ftcV . a’z í «yV [ ^ ífz ex &f t Oz &x ¿te a*y r V _ < v ( < v j + ( V U ' v J + tyñx'Sv ÍV*
U - ( 1-" K ( * f +s4 * 14 * - < ^ +
„
luego: =(i-n)x>(xí+^+*;+Reemplazando (5) en (4) se tiene: ■-•+( i- nK ( 3í +*i+>i5+"jí ) ^ De donde: Sumando(3) y (6) se tiene: .faVaVl
bvJ
Dada lafunción z=f(x,y), donde x=e“Coa(v), y=e‘Sen(v). Calcular
+-^ |
£EnZI£F £í m B'z_d'z(o >cV É^fay)* 2_sX Su’ at’^aij +V U J + ñx8y'au'í!u + Sx'Ba*' dy du*'"
£)
Si: u=F(x,y), x=rCh(s), y=Sh(s), calculan u„-u„ iürrary
= e"seni'
en (1) se tiene: ¡fz
ríf z )
u=F(x,y) u=F(x,y>
=> u, = F u,= F(x,y)(r,+sO
pero 1=rjCh(s)+rSh(s)s, pero 1=Ch(s)s,
las segundas derivadas parciales u» = F’(x,yXr.+sl/ + F(x,yXr„+0 pero O= r„Ch(s) + r£h(s)s, + r,Sh(s}+rCh(s)s„ •V= F(x,yXrr+s,)*+F(x, yXr„+^,) peroft=Sh(sXs,?+Ch(sXs„> SOLUCIONARtOANALISISMATEMATICOIII
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Sumando(3) y (6) se Cene: ff'z |flV ^ .íg 'z |g*z | Su* ’ a»'1 6 [ñx* ' ¿y*J
_Dedonde:^r+^ _ . . aVy a'<-rü = e„faV ü a V |
Sean u=e'Coe(y), y=e'Sen(y) y ®=
_
JE2¡2IÚ*F Si z=f(x,y) es solución de la ecuación F(x+y+z, Ax+By>=0, A y B a af
ac *l> J+ay*UiiJ + fyex'da a i + á { ' a í + 0 y ai *
'
el valor de c.
JrT'lTTT^.ÜW fe 8z 8z a x ^ 'ax-
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
F,(x+y+z.Ax+By)(l-fA) F,(x+y+z,Ax+By'|( i)
g*z ay = En lamisma forma para
F.(x+y+z,Ax+By)(l+B) F,(x+y+z,Ax+ By)(l)
, esdecii
&z _ ifzí ftcY |tfzfay V | . <íz 8x dy dz tf x & tfy =(V U> J 1a/ "* tyax' ^ ' a -+ ¡?x'ai ’ + ^ ' a 11
Q
Sea G(x,y) =
Sen[ ^ ' l'y^t] dt. Halle
}
f t »
£ ___ - • Aplicando las condiciones del primer teorema del cálculo para derivar una integral:
Reemplazando (5) en (4) se tiene:
3G(x,y) Sen[~(xH-y)(x+y)](x,y)i Senr(xH-y)(xy)l(x.y)> ac (x+y ) (xy)
A - ^ f - r i V § +00s V ^ ) + e-sen2 v ^ _e° (c o s ,^ ¡ ...(6; 3»l at* l ? h ) &)
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¿Sfoy) at
S e n ^ y )1] (x+y)
ySeïf( k + y )(xy^ [( x + y )1] Sai|~(x,y)(xy)] sy (x+y )
_
fu+vf 4-(ii-v)n
x
-= f ^ y )
ai Hallamos ' : &
X = ^ * V « T
-= f(* y )
£ = f ^ y ) ( x , + yT) ^
_ = f ( ^ = f " ( Kjy)
= f^ y ) ( x I +yT)S+f ^ y )( x „ ^ y „ )
zW i+j ^-i ffïV +z , y*z+x, A+yXäny+1 +Z1)
Dü^de x„ = ^ " i s ^ *■—
_ ti { u + y ] T - n ( ü - y f
; y. =~¡
JÍ,+yu= Ti(u+v)'v1 ; x^+y ^nfn -IXu+v ^ _ n(LH v r - n ( U- v r *v= e
c) Hallam os^:
a
n(n 1>(uiv)"iF
— =xzfl>fy+zr yVi-x, ^x+y)+xy2fí^ y+zr y^z+x, íx+yX¡í+B>n-1 )
= xyflxV+z, ifz+x. rW i+>y ^f(iV +z, y W , zVyXI+y'+fco:)
©
[u + vf - {n - v f
_ , (u + v f + n ( , - v r y, = 2
*v+W= ni:u+v:r1 ; y^ + y^TiC n-IXu+ v}"4
SI x+y^íu+vy, xyt=(u^v^ pruebe que: / s
./ 01
û=fi
„ s
r*f ¿“f'l ■0 - ^
= m.v X^ +yj1+nXyXïuu+YiO - rot,¥x*+ytf + + f’(ï;yXxlV+y j
#*'1IV?'ÏÏT LasVBriablesx ey en términos de uy v: x+y^fu+y)" ; x^=(LJ-Y;r =*
- 0 - 0 = f ^v X ^ +y j1 + f ^ ï Kw 2K=(-u+y)n-K;u-v)"
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+ f( 5-yXxlV+y j
ï u .) -
i"0¡,yX*+wf +
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c*f t*f = f(x 1y)n ,(u+v ^>4+ f(x,y)n(n-1 Xu+v)”4 + f"(Xy)n,0>+v)**>4+ tto' ¿Va + f(x,y)n(n-1Xu+v)r<1
azbf'(ax-i-by+cz)-bocf(ax-hby+cz}-2afyz^2cxy 2z-cf'(ax+by-t-cz) (cy-bzl— +íaz-cxV— w ’ d* ' ty
2z-cf'(ax+by+cz)
(cy-bz^+taz-cx^^ - ^2z-cf'| f ^ax+b^y+cz) 'y '^ 't!x v
v
w
/ . / .ífe 2z( xb -ay )-( bx -ay )cT (a x+ by +c z) (cy-btz)— +(az-cx)^ = -------- ------------------------------------------- !
Sea lafunción z dadapor laecuación x*+y*+z*= í(ax+by+cz) donde f es una función cualquiera diferenciare y a, b, c constances. Demostrar que:
( c y - b z ^ + ( az -c x > £ 17 r ftc V ' ay g-v’iiv-rTW Mediantederivaciónimplfcita: F=x*+y*+z?-f(ax+by+cz) Las derivadas parciales: F,=2x-af(ax+by-t-cz) F,=2y-bf(ax+by+cz)
O
2 z- cf (a x +b y+ cz )
Demostrar que lafunción z; determinada por la ecuación F(x-az, y-bz)=0. donde F es unafunción diferenciabie cualquierasatisfaceala ecuación: a ^ + b ^ = 1 #-:on.v:'7g
Luego: 2x-af'(Bx+by+cz) ¿te__ F;_ 2y-bf(ax+by-t-cz) Sx. ~ F, “ 2z-cf'(ax+b y+cz) By~ F, ~ 2z-cf'(ax+by+c z)
Lasderivadaspardales: F'(x -az,y -bz )
luego en laexpresión dada:
& <5y_
17 'a*1 'iÿ17 'íi cf'|axtby.a) ' (T (T _ )» ■ / 1 rSc v
r.)*
¿te . ite
_
F'(x-az,y-bz) 1 F( x-a z,y -bz )(-a -b) " a+b
Ft F,
a
b
a +b .
at_cyaf'(aK+by+ç2)-b2af(ax+by+cz)-2xCy+gxlg» 'i* 2z-cf'(ax+by+cz)
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£>
Demostrarque lafundón z, determinada por laecuacióny=xf(z)+g(z) satisface a la Para tener derivada diferendable, la función debe ser o a) f(0,0)=0
& ¿>«z ahíto)'
b> Js!SU/C^.y)
% ^ 7T77=4%7“ = flz
P,
f(z)
ac= F„_ xf'ízj+s'íz)
(O.
F,
1
1
0y= F," Jrf'(z)+S,(z)"rf'(z)+g,(z)
IL
f(z)
[f(x) + xf(x)J
c) Puestoquef(0,0)= ( Lim ^f (x ,y) =0; la función es continua. Para determinar si es diferendable, hallamos las derivadas pardales D,f(x,y) y MOWÍ
2f(z)f(z) * z ( Í ? í —2— ^ h - + Ú ( - ' i 5?UrJ d x f y d f i & c ) [f(x)+xf(x);f [f(x)+xf'(x)J
M 0 ¿Es diferendable en (0,0)?
y Chf(x,y)= -
yx +y
x’+y'
y3
“ (x*-y*r
(x,y)*(0,0) (x,y)=(0,0) Para tener derivada direcdonal, la función debe ser. «(x,y)
Z I
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« M
(x,y)*(0,0)
.
(x,y)=(0 t0)
c) Puesto que St*S¡, la función no es continua y por tanto n dtferendableeny. Lafunción no es diferenciabie en x ni en y.
<*(0,0)
Lim
«5x
w
ScysO
Demuestra que D,f(0r0) y DjffO.O) existen y que f no es diferendable en (0,0) ,,
l 0 St-.x=0
Lim -
(x,y)=(0,0)
- 5; = Lim(l)= ^(0+/)
c) Puesto que S,*Sh la fundón no es continua y por tanto no cfiferenciable
«M
omy).fe
(«•’-»-(«."I
[ 0
M * M
(x,y)=(0,0)
Mr^rrr,'jw
a) Kx,y) = f e l 0
M* (0,0) (x,y)=(0,0)
Hallamos D,fc0,0)
> ¡ xy
9*
(x*+ys)1
ek
; (x,y) * (0,0)
*-«
x
*-*
x
^«x* +y
af(Q,y) , . 2/ ( 0)
; (x ,y) = (0,0)
5x
r-x, o +y
ni,jga,ftgfa±!fr«),u
»(x.y)^ ay
De donde D, f(0,0)=0
S';V-\Í¡¡U0(x*+y*)M '«-(x»+y*)M = Lim(l) = 1 S0UUCI0NARI0ANAUSIS MATEMATICOIII
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*SÜ2)_o
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y (f
: n -x '+ y'+ z»
j =y**’(x+y)-^*'(x+y)-yi
•(g-gn**
« [ *
2(l-t-1+l + t) 1+1+1+t
,_(l+x»+y«+z*) ** 1+x'+y, +z! l+x'+^+z’
JI =2x«3x+y),+xV(3x+yiX3x+/)-=2>i+(3x+^H3^'(3x+y*)
Ai 2(l+1+.+1) di 1+1+1+!
£ =xV(3x+ylX3x+/)'=2yx,*’(3x+/)
Arreglamos laexpresión pedida:
l+x’+^+z*
£u 2(,+.+1+1) 8* 1+1+1+1 , (l+x'+y'+ z*) 2y l+x’ +y'+z1 l+xI+ys+z'
¿L
Si wa^+Z+z*, x=rSen(iiKosc 0). y=rSer>(ip)Sen(6), z=>Cte(q>). Calcular ^ if Sp 00
x=rSenOp)Co6(0) |=Sen(o)Cai(e>
6xty
d) f(x,y) = xfcxy1) 3x ^- -y — =3z e) lfcy)= ^*
I
y=rSen()Sen(0)
* =rCos((p)CQs(0)
^ =rCo9(9)Sen(0)
£ =>rSen(«)Sen(0)
& =rSefi(o)Cosi0)
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z=rCos(i>)
S-0-» *=0
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g-viivy^
«Xy) = en P(1,4,2):
d)
Vfeyz''1>
~ \ te'Si'az.; ~
fl[x,y^)=Sen(3x)Co^(y]Ts(z)
En P(2,1,1):
Vf=(es, e2*t4e»)
Vf = <2°+0,1+0,2Ln(2> 2+0+1> Vf = <1,1r2Ln(2>+3>
P^ 0,£ ,£j
f) Hallar Vf(4,2) si f(x+y,x-y)=xy+y*
MTi:ilT?!'TTÌ Hacemos u=x+y
Gradiente: S fCx,y,z) = SenOxiCos'CyyrsCz) =>
v=x-y
fly «z/
vf=<3 Coa( 3xX^ tCyXrs(z), -2Sen(3x)Sen(y)Co0(y)Tg(z)rSen(3x)CoG*(y)Sec4(z):
-Sen(0)S€n(n)Ts^j ^ (0 )0 * * ^ ] Set*^j Vf = (3(1X0X1),-(OXOXD,(0X0)(2)) = (0,0,0) e)«x ,y,z) = x*+2>+y,+z* Pftl,!)
Vf = en P<4,2):
Vf(4,2) = <4-2, -4>=<2,-«>
3) Si f(x-y-z, y-x-z, z-x-y) = xy+/+y z- CalcularVf=(2,2,2)
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1
r
! Hacemos u=K-;y^z r v^hc-z , r=ü-v-y Sumamosv a u y t; para eliminar y: u+v=-üz 1 r+v^2x r v^+{r+vys+{u+v)ffi r )&(r+iiy2
u+v-D r Eu+2v + 3r 11u-5v -3r 13 J y ^ ^ U 13 13
la faraón es:
Luego1:
S4£r ■tSr3+ EEu3- 4V3- 144r"u+ 1ÓQu+ lÉflv— 2197 lasderivadas parciales:
„ „ r^+’i/r-i-ur + uv+T*-i-Sru+ij1 +iu + iv-i-u*+uy fl&w) ----------------------- ^ ----------------------
Er*-i-ívT-i-euv+4ru-i-2ul
r1+vr + uv-i-2m.+us
a
6óuT-144rs-i-1ífl
au
iv n
Bf ' S í
1ó-12v* vvn
£f_
/tH-ftJ+ Eu r + v Br+ r+Bu\ S J 2 J 2 / \ bu ' &/'¡kf \
En Pt^EjS):
En d punto PflA^-S) 3 _ 91 Í5f _ 121 _ a _ 341 a_Q Ai E197 ' Br S1OT ' 3t 3107 J Bt
V*C2,E,20= <£,E,5>
h> Sí f(x-+y, x-Sy+3z, 3x-Ez, w-1>=xy*n. Hallar el gratíentE dEf en (1AV® )-
Luego el gradiente: / a 3f Sf SfV 1 71 1E1 341 fl\ \aT&fJa-'at/ \ 2197’ 2197' 2197J /
Hacemos u=x+y r v=x-y*3z i f^=3k-2z , t=w-1 Eliminamos y de todas lasvariables anteriores: u+v^=2x-+3z , ü3x-2z , :=w-1
1 ^
En cada ejercicio calcular Ehh-4 en el punto P para el cual p es un VEatar unitario en b dirección de PQ
Ahora z: 2u+2v^'ix+ÍE=t 3r=9x-¿í =t 2u+2v+3r= 13x “
H> f f w ) = ¥ ^ 4
PClAOj; « A 1)
fam-Sv+Sr^ , Eu +2v -h3t ,, , ■ss- * - ' - 3[ J -' 13 ,3 SOÜÜCIOMABIOAHiLISIS MATEMATICOIII
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1 e) flCx,y)= e’Arctg(y), *0.2); Qí-2,5)}
Vector unitario F=^+y*-2x=0 =>VF=¡'— =<2x-2,2y> \ hk ty !
M v \ y y ' TW
Determinamos el gradiente: => Vf=
> en P: Vf=
« ( #
¡^ -( 4 1 )
Derivada direccional:
PQ (-8,$ Vector unitario: PQ =(-2 ¿) => M=|p^ =^ T” _
D- = V
Ahora la derivada drreccional: vM3
O
)
V13
^
Hallar la derivada de la función z=ARctj, ( Í | en el punto ^
i
perteneciente a la circunferencia xV y ^ s O en ladirección tangente a ésta.
z 1\ U Q = V3 ± ^ = V3 * \ 2 '2/ \ 2' 2 4 2
Calcular la derivada de lafunciónw=Arcsen |- j i , ¡ en el punto M(1,1,1) en ladirección del vector MN siendo N(3^3). Vector unitario: MN <3,2,3X1, U ) = (2,1,2) => M = j ^ j =
’:ni"'TÍ Gradiente: ^ J i U W
v
w
Gradiente:
g 1 , ,,C ) \¡>xdY! \ , + ( y ^ ) ‘ U ( y rc*}:
=(*",*"&) \ax a? a*)
Lasderivadas parciales:
\
Tr ft t.irt -’ _y /x* I/X '•- / _ y * \ (x*+y*) /x*' (x*+ y*)/x*/ '..x’+ y’ x’ +y*/ w Í1 T S ] / >/3/2 1/2 1— ¡ 7
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~ v (x '^r -z' ~ fr+y^ fr+y»?-; o 4
*
ÍEp
^
-■
AE Vi\ M ¿0+«) \ 8 ’ 2 /'Vl +e*
fr/l+e*
Calcular laderivada de lafundón z=x*-y* en el punto M(1,1) en ladirección que forma un ángulo de 60°con el sentido positivo del eje x.
ti = = -
- w ^ - / - i t- 4 r¿ \ Ja i a =^ = i ± ! = i \ V3 V3 V3.' 3 v3 v3 Hallar la derivada de la fundón z=Ln(e1+e’) en el punto (1,2) pertenecientea laparábola y*=4x, en la dirección de esta. d
Vz= <2x, -2y> en M = Vz=<2,-2> Derivada direcdonal:
la pendiente de laparábola en el punto (1,2)
h J 5\ _
2y/=4 =* y'=Tg(8)=2/2=1 =>9= ^
¡JaJo' Veccor unitario: Vi =: Gos(0),Sen(0): = f— ,— i
Hallar la derivada direccional de z=3x*-xy-y‘' en el punto (1,2) siguiendo la dinecdón que forma con el eje X un ángulo de 60°, latangente de ésta.
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Ahora lanormal a estos gradientes: « J «el n = VTycVG=I 6 2 3 =29i+63j+16k 1 3 -10
La dirección donde onece más rápidamente la temperatura es el vector
—
Vf, (2,1,3) 1 ^ -7 7 7 1 7 5
(2A3) J u
El vector unitario: Si C es lacurva de intersección de las superficies S|2=x*+2y* z=2x*-4y4+2. ^=n=-
Hallar la derivada direcdonal de f(x,y,z)=x4+ (2,1,6)a lo largode lacurvaC.
El gradiente de la función: Vf=<>*«$1 2xy+2yzs,3yizt+3xzs>
y* + z*+Cos(iDcy), en el punto
en P(l,2,3):
V Í =<4+27,6+108,108+162>=<31,114,270>
Los gradientes de lascurvas que 9e intersecan: F = x*+2y*-z
=»
Vf =<2x,4y,-1<
G=2x*-4/-z+2 => En el punco dado: P(2,1,6)
VG =<4x,-8y,-1>
D f (1,3,2)= Vf .(-31 ,114,2701-.-
VF, =<2(2),4(l)t-l>=<4,4,-1> La temperatura en el punto (x,y,z) en un trazo de metal viene dada por la fórmula f(x,y^)=eK*"'s‘ gradas. ¿En qué dirección, en el punto (0,0,0), crece
VG, =<4(2),-8(1),-l>=<8,-8,-1> Ahora la normal a < p j «I = VTyxVG = 4 4 -1 =-12i-4j-64k 18 -8 -il
I
yox
sz )
Las derivadas parciales:
El vector unitario: _ n _ -12i-4j-64k ■jíj z j m Vi,
1
i
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s¿ F=S +3¡ÍCdgx +kí -z 7F =í-3>'15enx+3^ró;CcaxJ-^ Vi (j^ y) = ^
rJ^jf =<-fiSen(x}Cce(y> fiSen(2 x),-ítQ 5K5eny^ E5en(3y)
Vil ,Tl— , z„1
= <3nV*n*,l}
En * punto p g ' ) V süítV 1
I í ’ +iiííV i
VF <6ji*y+3^) wf— - 1' ^ l.3fa i “ \ 2
CrJs 3i/gV _/ 9MI3 3^ 3\ 2 r 2 / "\ í ' 3 /
En Pfl ,1,1) =>VF(1,1,1 far*—4J1.—1) _ 13b-1-4 f* -4
La dlifeetiúiii de mflixlmo aumento de tempenlua en { Wa 3/a'l
2
m
■de laderivada direocToral de la función &Ln(s+y|), segúnla mde la pendiente mÍE pronunciada que caracteriza la superficie & b) LadineetlCíi de mínimo aumenLü de La-npeialura en
vrv
"NI Q
~jL
gTillirariTW
(oJa aJa"! ( a r a J fa^i)
s
L&c ñy Oz.)
Hallarla dertvadidtieiaelünal de flpy^Q-gsí+y i+z1en el punto (1 jl ,l )*esün la direuJún de la retía de pendiente enla pmnuniJada (mayor pendiente^ que íafatteriia Usupeífide i-2+3y’Cú4(*>-H;‘ en el punlü ^
-B
= Ln(e1 -+e?' j cuando z =1.
K)t,VX> - a^+yt+e1
Pf! ,1,1J -■ i -í S+ay’tcsk+K1) =*P^)
j
L*+y K+y J La direodórt 2z=ln(el-+e>') Peroz=1
=t-
x=1
G=hCí+^>2i: entónese
soüjciomarioamAusis nutrí Atico iii
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y^=l
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,0 . D ^ V G = g , i, -2j = 2 ( u - » )
Conx=l =>y=0 , x= - =*y*~ »1= (1,0); DjjfeVG.VF=2(U4).^{H-*) ©
(1+1+ 16) =3/5 Sea f(x,y) = x*y ¿Qué ángulo forma d vector dirección con el eje X positivo, si la derivada direodonal con el eje X positivo, si la derivada direcdonal en P(-1,-1)es2?
MZISZZf
El potencial eléctrico es V voltios en cualquier punto (x,y) en d plano XV y V=e“Cos<2>-). La distancia se mide en pies. L Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el punto 10, — j en la dirección dd vector unitario u = C oa ^j i+ Sen^^jj iL Encontrarla dirección y la magnitud de lamáximarapidez de cambio de Ven Í0,4]
En *-1,-1 ), Vf = (2,l)
W=(-2-bCos2y-2e'í’-Sen2y)
Sea d wrtor dirección |i=(x,y) => Sffji =2=> {2,1)/x,y)=2 2x+y=2 =>y=2-2x Pero ^|=s.x+y*=
=»
A<2-2x)=1 xW -8x +4 =I
=IN |= 2 Gradiente: IIWHWo+2* =2
B
¡JJ SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICOIII
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Si f(x,y) = 4x*+ Qy*. encuentre ladirección en el punto (2,1) para la cual la derivada direcdonal de f tieneel valor cero. ^-•yn.yyTW fCx .y^x W P(2,l) Vf=C8x,18y) =» Vf=<16,18) Vector unitario: ^ =(x.y)=»x*+y*=1 Pero
Dfi =0
=»
¡)
-d )
=L^S ?=0
ii)
y=x ^L>r^^'/xSgi(x) -
iii)
ys=x*{ ^im^'/)áen(x*)+1= 1
sto que 1(0,0)* ^
(16,18).(x,y)=0
, =Um
f(x,y); lafundón no es continua y por tai
8x
16x+18y=0
Un avión se mueve según su plano de equilibrio con lafunción flXy^'+y*
■HSh
Bl(1):
Si hay unvientocuyadirección es ( J— í J V\
l 2 2J
i) ii)
¿Cuál es la velocidad del avión con dirección a) viento? Si el viento cambia de dirección en 45° en sentido horario. ¿Cuál es ahora su nueva veloddad con respecto al viento?
Si f(x,y) = x* V =*Vf=<2z_2y> (
0
(x,y)= (0,0)
Vector unitario:
Htt
En qué dirección existe la derivada direcdonal en el punto (0,0). griTfrr-ü'UF Paratener derivada direcdonal, la función debe ser continua, a) f(0,0)=0
Ahora laderivada direccional:
b> :
=0
ü .'.MMlSISMATCy/..TCÚ I
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Recta normal: x -x .
y —y,
z -z „
x -a S / S
x -b J Ï/ 2
x -c J Ï/ 2
5(x-1>2(y-1>2(z-1 )=0 => 5x-2y-2z-1=0 Recta normal: x -x . _ y -y . _ z -z „ _ x - 1_ y -1 _ z -1 F, Fr F, 5 -2 “ -S f) (zi->*)xyz-y5=5 en el punto P(l,1,2)
d) xs+y5+z5+xyz=6en el punto P1,2,-1)
F=(z*-x*)xyz-y5-5=xyz,-xsyz-y5-5 Gradiente: VFXx,y,z)=<3x*+yz¿y*+xz,3z*+xy> VF<1A-D = <-1.t1^> F.Cx-x^KF/y-y^iz-z^M) ?z-»-4xy^-4xz3+1=0ene)punto(1,1,1)
VF(x,y,z>= VF(1,I,2) = <2,1,11> Planotangente: F.(x-x« J+F/ y-y^ F.(z-zjJsO 2(x -1X y-1 >l l(z-2)=0 =» 2x+y+1 tz=25 Rectanormal:
8) 4+^x1+y* +z* =x +y+z en el punto P(2,3,6).
Æ ^i iw r< rw F=3x<-4y!z+4xyz*-4xz*+1 =0 M-Vx’ + y '+ z'-x -i VRXy,z)=<12x5+4yzi+4zs,4xzi-y4z,8xyz-«ys-12xz*> VF(1,1,1) = <20,-8£>~4<5,-2,2> t*y= ■
Plano tangente: F,«-F,(y-yí>F1(z-zí,>=0
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El piar» tangiente FjK-^H-F^y-yíH-Fxiz-zs tO -3ív+fi>+Eiy-iÍ7)-Ht=Q _
VR£3»= nano tangante
Ey-3x+6tfi4=0
. x -x . v —y z-zl x+E y—E7 z-1 Larecta normal: ^ = =>— — =— — = —— 11=
5{K-2)+4{>f-3>4-(z-l)=0 Uectanormal: x -x . F,
y -y . Ft
E-Jb F.
=»
5k+*/+ i -S3=ü
x -S 5
y -3 4
j) xi+/-3z=2 ÉnPC-2,-4» z-1 1
SeaW &y .z^ +y f-3z-S
J V N V ’/7T P{-2r-1,ú)
Gradiente VF=:
h)
En el punto dado: VFP={-4,-fi,-3) = {+,3^}
BeaFKt)Y,z,= ) /x+^¡y+Jz-4 l’ftljl) Gradiente:
-
/8f
íf
M f I
1
El plano tangente: FjK-x ^F^y -yfj+Fjz-z^ )=0
4í<+E>+3— — = _ =— —
t I j
x -x .
W|“ “ a plano cánsente F^ x- ^F ^y -y ^F ji- Zí H J ÍK-*>t-a^i>+ECz-i)=o =*■ K+E>H-2K-a=a
y -Y t
Z~A¡
Flallar la ecuación del plano tangente al elipsoide ■>? +Ey,+zt=1 de tel modo que sea paralelo al plano x:-y+fc=0
rLarecta ^ normal:. — x ~= ^ = r -y y 5-- 1=— z-5-1 ¡; a =—g-^ = i =*. x-4 t— = — SeaF(xryIz)=Kt+By,+ít-l Gradien«!: V Í
i) X“ +z"=UenPi;-a,?7/i:) Sea ^ y .iH ^ + y ^+ z *1-^
«■TilimVT* ; P^OT/I)
„Gradienoe: ™ 3F*. = f — 2— ,— 5— ,— 2— ’l VF = : —SF J7F,— '.Sí Í5y dzJ { 3xvl Sy1 3¿ ‘n J En el punto dada VF, = ^ 2 ,| ,| j = (-3;2,ó)
=f2x,+yjEz) \fií 8 y &,■ k ’
Con el plano dado: VFf ={V1,S) Plorccntficián de planos paralelos; VF p=tW p (2K^y,fa)=kiClr-t,E>=»E>^k k x = -
4y^-k 2z=21c
k i 1 y = — z = k en laecuación de laHíperfirie: x +Ey+z-1=Q
1
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(aH-U*'-—-J?
En el punoo dado: VF = - ^ La ecuación del plano tangentH P/x-XíH-F/y-ytH-F^Cz-ZíM)
Ahora, determinamos la.ecuación del plana: F,
-4-^ = ^ i — J b + J c Si hacemos Jk = Ja n-J b + Je Sea Suna superficiede ecuación x,+yi+zi-4y-S!z:+E=C|Jporel piMito(1.r1,E) de S pma el plmo x+y -zrfy lasuperficie 3xi+Eyi-E&l que originan Isa curvas de intersección con £ respectivamente. Hallar la ecuación del planD que pam por las tangentES a dichas curras en eIpunto dado.
tW é^
=ve
Ahora lasinbemeccionescon los (Vá¡trVb¡£,J5t) la suma: 3=-/k (Va +Vb +Vc J=' Ji’Jk = k
x+y-z=0 3^+í>?-Ez=l Pür tanto, el plano tangente a la ajperficie será tangente también ; superfidea dadas. El gradientE de la función: tff = (2x;ay- 4,Ez- $J en 0(1,1#:
n cualquier puntD de S, Sene ui punto encomún.
Vf| ^ - S ^ X V U )
j L -. i i v r T g
.*s .
F¿x-x^y*>F¿:tí¿N> (x-1Hy-V)+{z-í>=0 => x-y+z-E=D Qtauentre una ecuación del plano tangente en cualquier punto (Bjb.c) de las superficies S: x1™+y1™+j1s=k1™ y luego muestre que la suma de las a de este plano tangente con los ejes coordenados es una.
"I,y’
y ’ y1 v'J
"M *3
M-TI.i.V a T F
e lafunción: W =. — y— . = — z - ^ .— = ■.a* i5y ais a/f a^ij
I
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(3 ^ 2kd -2 x 1 Ú
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EDUARDOEEPINOZAHAhflDE "}
1
MHTUUHlf El plano:
Luego: VF( ,PnT> = 0
2x+y-z-2=0
l Lv¡
Trazar un plana tangente b la superficie x*V=3Zj de tal modo que pase por el punto A(0,QP-1) y que sea paralela a larecta:
>í y j l - ís á +¿ l y -z y j U y\)
e
“T “ e
3 4 sx;|axg|x;
vi
vj
y.
vn Seael gradiente de lasuperficie F=jíy*-32í =0 W |X yrz)=<2K,-S>,,-3> Seael plano buscado:x + Ay+ Bz-i -C^) BiPCQA-1) 0+ít+B;-1>tC=a=»C=BVP=<1AB> Este plano estanganee-a la superficie *í!x,-5y,-3>=<1„A,BsDe donde: Sx = 1 =» x=1ffi - 2¡*=A=s B=-3 =*■C=-3
+^ + ^ = ü V . Y. f3*; &c_1 Í'Ek! Kn * [ y !
^
J U
2x¡¡ xj
“ ri
3x*
y / y=
Escribir laecuación dei planotangentE pErpEndicular ala recta: x+E ”T~
Vara, laajierficie: z=xy
y+E
z-1
Paralelo ala recta:
£ ¡ ¡ ¡ 2¡ ü ~ 2 - T ' z=Ky F=xy-z =; ■ VF=( 1)
<1AB>
Luego x=l j y=S
= ; ; = » z = xy = 2
=t V l^ rfJ ,2>
-
2+A+-2B=Ü =i a+A+í(-3)=0 A=4 Ahora el plano tangente: K+4y-3z-3=Q
k v
El gradiEnte es paralelo al VEctardE la recta: (y x -l ) = 1411,-1} y 21c 3&k k=l
^ =-|
^ 1
En la superficie jí+y1+zí-óy+4&1 E. Hallar loe puntos en los cuales los planostangentes seanparaleles a Iraplanoscoordenados.
0 gradiente de la superficie: F=x' +yi+z'-óy+*t-1fi
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1
1 y+ 8- 2x x
x Luegoy+8-2x=—
1 2
. 2= x ' z
2y+16-5x^)
Si sonortogonalessecumple:
x= 2z
VF. VG = 0 =>VF . VG = (2x-a, 2y, 2z) . (2x, 2y-b, 2z) VF . VG = -2ax-4y*-2ytw-4z4
’
;
y= 5x -l6 2
VF. VG =4(x, +y*+zt)-2ax-2by
z = í 2
VF. VG = 2(x*-4-y*+z*) - 2ax+2(x*+y* + z’ )-2 by VF.VG=2ax-2ax-t-2by-2by=0 VF . VG = 0-0
En lasuperficie: x** - x ^ _ J - S 8x x x ^+x+ +5G-- 00
VF.VG = 0 Demostrado
2x*-5xl+16x-16x+x+l0=0 -3x*+x+10=0 3x*-x-10=0
Trazar el plano tangente al elipsoide í , - p + p =1 , de tal modo que corte segmentos de igual longitud en los semi ejes positivos.
3x + 5-» x= -| x - 2 - » x = 2 x=2
^Tj
-»
y=
v-
y=-3 ; z=1
2 —
-73 -« T : 2= T
Demostrar que las superficies xt+yt+i?=ax y x*+yf+z*=by son ortogonales
Seael plano
— -t-— -t-— =1 k k k
El gradiente VF=
.i. . 7’ =! —»
VP =Í— ,- 1 l^k k kj
j v* u* ^ a'm : y = -----b*m : z = -----c*m X ------2 2 2
yf+yl+zt=ax ; x*+/+z*=by
Vf=(2x-a, 2y, 2z) ; VG=(2xt2y-b,2z)
j
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IAHOOESPINOZARAMOS El gradiente de la superficie dada: F=x*+(y-1)*+4(z+2)M =>
VF=<2x,2(y- 1),8(z+ S>
VF =(x,y-l,4z+8) En el punto P(a,b,l):
Este gradiente es paratelo al gradiente de la esfera: VF = kVGp Dedonde:
=»
(x,y-1,4z+8)=k(lf0r4-H^)
Vfp= El plano tangente en el punto P(a,b.1>: Vfp. P,P=.
x=k ; y=1 ; z+2 =k |\ +^ j
a(x-l)+3b(y-b)+4(z-1)=0 lainterseccióncon el plano XY sucede cuando z=0 a(x-a)+3b(y-b)-4=0 =>
i .v ^ I - A
=%'13+ 4V,2 luego los planos tangentes: F,(x-x0>tF)(y-yt>.F. (z-zfi)=O F.(x-xo>+F^y-y{,>+F,(z-zt,)=0
x+3y=8
ax+3by=a*+3bi+4 => x+3y=8 Luegoa=1 de donde laecuación del piano es x-1+3y-3+4z-4=0 => x+3y*4z=8
b= l
P(l,3,1)
Hallar el plano tangentey normal al hiperboloide xi+yi-z !=18 en (3,5,-4)
rizzn j
En lasuperficie: F=x,+yí-3?-18
x+&/ 2z+a/ 2=0 ; x+a/2z+&/2=0 Sea P un piano tangente a lasuperficie x!+3y*+42?=8 en el punto (a,b/l) y sea x+3y=8, la ecuación de la intersección del plano P con el piano XV, 9e pide hallar el punto(a,b,l)y laecuación del plano P. *f»:nrar«1:0
Gradiente: V F = :^ t^ , £ ; =(2xr2yr-2z)=(x,y,-z) En el punto dado: VFp==(3,5,4) El plano tangente: FJ(x-Xb)+F,i-F«(z-zo)=0 3(x-3)+5(y-5>t-4(z+4)=0 =>
3x+5y+4z-18=0
x - x ._ y - y _ z - z D F, F y &
Lasuperficie: f=xi+3y*+4zi-8=0
¥
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H-fc í j- ^ x Q
Determinar losvalores extremos relativos de F si existen,
Por tanto, P 0,- espunto silla
a) flfcy)=l8¿-3a/-3&c-128y-110 Hallamos f(x,y),=36x-36=0 =» x=1 f(x,yX=-64y-128=0 => y=-2 Ahora la matriz Hessiana: f(x,y)ut=36 f(x,y)rt=-64 ; f(x,y).^0 J
4k
M - l“ g I»
°|.=36(-ó4)-0=-23Q+<0 -h
Portanto, P 0,—
espunto silla.
c) F(x,y)=--------- +xy
Por tanto, P(t,-2) es punto silla. Hallamosf¿x,y); ffit,yy. b) fCx.y^x^-ZxVx
F(x ,y) ^-l+ y= 0 =>
Hallamos ft(x,y); Wx,y):
Con( 1)en(2):
Kx,y)k=4y*-bcy-l=0 ...fi) fC^y), = 8xy-2xi=Q =* En(1):V-1=0
=»
x=0
x=4y
y=±\
En la condición de extremos relativos:
°”H) 1•NI-4;K)„-° ; 'NI-4
Ahora lamatriz Hessiana: ®(xry)1»=-4y ; flíx.yX^ax ; f(xIy),v=8y-4x
y= ^-..{ 1) ; «x,y),= ^+ x= 0 ...<2)
64x4+x=0
=>
x=0 ; x=—1
De donde: P ^ " . 16) (x=0 no puede ser, para evitar la división por cero) Ahora fJx,Y>, f»íx,y> f(x,y)^-| ; flx y)^ —
; fíx,y)„^1
En la condición de extremas relativos:
H í tH
i/ J =4-,=3>° —
J
H
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g(x1+ / + il-ax(ax-f3y-l-i} a+ay^ax’ -^ - B x ** =
(*> V+ i)'
=
=> S-Es?+Eyí4xy-2x=0
Púnante!, P — -,16 i
.. jfl )
e ( x » 4-^ +1) -By(ExH-By-!-l)
B-Sy* +Üx? - 4xy -ä y
(** -i-y1+ ') '
(x^ +y' + l)’
*
p
( * V / + i )‘
Q
=s.äfE^-Ey^xy-äj^Ü ..(S)
Si amamoe (l )y (E): Hallamos f¿x,Vh M =3* '-1EfO => fiXy)»=3AieM)
y=xto ...{2D
.(1)
S-^+ííi-li -+xU(JL -il-Sx=ü Ux+lJ x+V
Confi) en(S) 648x*-1Sx=0=t v=0 De donde: PÇOL.Ü) 0(6,6) Ahora fjX yfc yX y): fl&y)„=úx ; flfcy)^=«y ; En laccmdiciún de extremos relativos: ConP(öjCD FQifll*=Ci ÍC0,Q>^=Ü H- k
f„\-Us
x=é
(^E x *'X*<+1),+S<2-k),-í <2-k X*»[+1 >äx<4>+1>1=Ü
-32x‘-16¡t*+ait*+lÉx+a+ibt'-Ex+e-16j?+2BxV +ax-3axt-iújí-2x^o 32¡í*+64xt44xí-1+x-10=C De donde J&5/2
o]
Ahmf^vDtV*,*
Con PCfi.fr) ; WV =36 ; ^yV^AH^Y^f=3*^3S4rffja>0
[a* +y =-f 1)*(-4 x -4 y - B )- 4 x (3 + By=- Ex1-4 x y - gx)( x‘ +y* +1 )
r ^ l) ’
PuestoqueR(6i£)kl=3Éü- => Pf^)esm ínim o. , „ , íx + 2y+1 e) ^ y)= xi +yJ+1
F^yXv=*v ; fOwv =-iß T M .H j wv =o
; m o )^ -ie
H=|tt H=I“S It U 1-18
Hallan03 f£ *,y)t f/xfr R>1 ÜÜLJUCIOM*RIQAMAUSISM*TaiATlCOIII
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...c
D... f) ffx,y)=x'+y4+3yt-3x+9y+2 Hallamos f,(x,y );«x ,y): F(x,yX=3x*-3^) =»
x=±1 ; f(x,y\=3y*+6y^W>
=»
Hallamos f.(x,y);V:^y> F(x,y),=3ay-3xi=0 F(x,y),=3ax-3yi=0 Confi) en (2>
y*+2y-
(y+3Xy-i)=0 => y=-3 ; y=l Ahora f„(x,y); ^>(x,y) para determinar la naturaleza de los puntos hallados: F(x,y)«=6x ; ffc y^&y+ó ; f(x,yXy=0 La matriz Hessiana:
a x = _ =>x*
"i tur ü
Evaluamos cada punto hallado: P(-1,-3) ; Q(-1,1) ; R(l,-3) ;
=*ay=x* ...<1) =>ax=y* ...(2)
; x=0 => x=0 ; x=a
Ahoraf«(x,y);frt(x,y): Fl(x,y)»=-6x j Kx,y)yy=-(ef ; f(x,y)„=3a En lacondición de e> Con 0(0,0)
M (U )
F(0,0)„=0 ; f(0,0)„=0 ; f(0,0)„=3a
"■tí
°h
H = f6 H =0-
f«=-6<0Por tanto P(-1,-3) es máximo Con P(a,a)
F(a^) 1J<=-6a ; ff a ^ -ó a ; f(a,a),,=3a F(x,y )^(x,yV[f(x,y).v]i=36a,-9a*=27a*>0 ; P(a¿>es P. Máximo
QC-1.1) -6 OI
Por tanto Q(-l,1) es punto silla ^ Por tanto Q(l,-3) es punto silla
O -1^
Determinar los extremas relativosde la función f(x,y)=(x-yXxy-1) Hallamos f,(x,y); f,(x,y>
F(x,y)=(x-yXxy-1))=xVx-x/+y
M(l,1) H=j" ^ =72>0
P(0,0) es P. Silla
=»
f„=-6>0Por tanto P(1,1) esm
Ftxry)r=2xy-1 -y*=0 F(x,y)^x*-2xy+l=0
...(1) ...(2)
Calcular las valores extremas de lafunción f(x,y)=3axy-xs-ys
i
SOLUCIONARIOANALISISMAT&lATICOIII
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO HI
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1
1
1
y=x => 2y*-1-y*=0
=»
y=±I
=>
x=±1
En la condición de extremos relativos: Con P( 3/2,1> F(3S,1)„=2 ; f(3«,1)^=6 ; f(3«r1)«y=-6
De donde P(1,1) ; QC-V1) Ahora fJMktnfafr F(x,y)tt=2y ; f(x,y)„=-2x ; 1(x,y)^2x-2 y En la condición de extremos relativos; Con R(1.1) FC1,1)„=2 J f(1,1)*=-2 ; 1(1,1)^=0 p(x,yX1/(x,y)„-[f(x,yXvI,=-+-0=-4<0 P(1,1)€sP. Silla Con B(-1»-1> F(-1,-1 )^ -2 f(a^)„=2 f(a^),y=0 fíxry)n#(x,y)r^(f(x,y) w]*=-4-0=-4<0 PC-1,-1) es P. silla
FíX-yX.^yVWx-V)«]*»18^ 2^ ¡ P(3/2,1) es P. Silla ConP(27/2,5) F(27/2,5)„=2 f(27/2^)í)F30 f¡(27/2,5 )^-6 Rx,y>tJ(x,y)nrlf(x,y)w]*=6(K3fciM>0 Puesto que f(27/2,5)o=2>0 => P(27/2,5) es mínimo I
Hallar los valores extremos relativos o puntos de ensilladura de las siguientes funciones: a) i(x,y)=xs+éixt-y1+9x+S b) f¡¡xty)=x1-3xy'+2y* c) f(x,y)=2x,-2xy+y,+5x-3y d) fi(x,y)=x,+xy+y*-Éix+2 e) f(x,y)=x!+3 xV y5-y 0 í(x,y)=2xy-x*-3y*-x+2y S)fi(x,y)-x*+/-xy+xs
Hallar los extremos de lafundón si existen. F(x,y)=x*+y,-6xy+3x+6y-2 m v~i
Hallamos F(x,y)1=2x-6y+3=Q ...(1) ¡ fi & y^ S y ^+ fc O ... ® Con(1) + (2): y*-6y+5=0
=»
y=1 ; y=5
De donde; P(3/2t1) ; P(27/2,5) Ahora tJxft; ^ P(x,y)„=2 ; f(x,y)^6y ¡ «toO^-é
a) f(x,y)=xVÉix*-y1+9x+8 Hallamos yx,y)¡ F(x,y)«=3x*+12x+9=0 =» x*+4x+3=0 => x=-l ; x=-3 F(x,y^=-3y=0 =» y=0 De donde: P(-1,0) ; Q(-3,0) Ahorafatxj/y, Vx,y y. F
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Z L H=3&3=1S>0 fta= amínimo relativos enlafunción.
1) FfrJy)=2xy-ií-3y1-x-2y HallarnosídXy); f|íx,y) Frxry>=íif-2K-1=0..jfl)
Con
RC-IrD-pH; «(-1j-1)n=ü; H-l,-l>y=1 -I*« Por tambo, PÍ-1,-1) espunto-silla. Con loe puntee dados: AC1,B> =t f(l,2)=a+1+E=5 B(1,3) =fr «(1,3>^-1 +3=7 0(5,2)
í& y ^ -t y -f c O .. (S)
)
=t
f(2,2)=++E+2= S
;D(2,3)
=**<2J3)=6tSi-3=l1
Luego el máximo y mínimo ce A (l & j 13(2,3)
AhccaU^f^y): Fíx,y>„=-2
Determinar el maiyar y menor valor de la función z=A: en el d cerrado ouyo borde son las rectasTe=Ü, y^O, 2x+3y-12=G |=lE-^=3>0
f„=-3í
Estaspuno»oonesponden amáximorelativoenlafunción. Determinar d mayor y nranor valor de la función z=xy+x+y en d büfdE sonlasredas3&1,k=S,y=2,y¿3
FTx,y)i=Sx:-y-*=0 F(x^y)v=2y-x=o =» 4y-y=+ AltorafJj;x,y>; f1^x,y>:
Hallamos «x j* yx ,j* Ffx,y)±=i'+i=ci = F(x,y),=x+1=a : AliciaWMOsV*,* RX y X i =0, HX y V ^
En la oondiciín -deextremosrelativos:
HXj V 1
3^=4
=s
y=4/3
F(x,*>=E; ftx,y^=2; fíx.y^-l En la condición de-extremos relativos: Con P(S/3,*3) ; flC3S,*3)v^-1 F@Q,V3)w=*; F'Xy}-; K\y\ri Puestoque flp3J*3)ti=E>0; PÍB/3,4/3) esmínimo.
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p fJS/ L [ 2 ’2)
F Í - Ü , ii = i ^ _ i = 3 { 2 2) 2 A 2 4
mas
P(0,-1) máxima
de la función
j
z=x4+y* en el círculo
(x-y2)'+(y-^)*s9
,±- j« |son máximos P(0,0) esmínima.
Si latemperaturaen cualquier punto de laesferaxVyVz^M estádado T=3x‘V flzl<’. Hallar los purat» más fríos y más calientes de laesfera.
F(x,y,z)=3x l9yiazla+^(x*+Yi+zi-4) F(x,y^,>.)=x-wytaztfl+2xi=0
It (x-Vi)’ +(y-'/l)!15 9 Funciónobjetivo:
Rx,y,zA) =2xlV iazl,3+2yX=0
Rx.y^.^x1+/-l.^( x-V2 )' +(y->/2)’ -« ]
F(x,yA i.)=x,V flz“ +2yX=0
TCxy,z,= )xYz44-=0
-
F,(x,yA)=2x-2J.(x-V2)=0
=»
(x -^ ) = |
...(1)
-
F,(x,yA)=2y-2x(y-V2)=0
=»
(y-> /2 )= I
...(2)
-
F^ yA >(x -V8 ), +(y+'/2)’ -9=o...<3)
P(±1,±^2,±l)
q (±1,W2,±i )
R(±l,i/2,±l)
P(±1,W2,±l) ; T=fr/5 Los puntos máscalientes 9edan en P(±1,W2,±1)
De (1)y(2 ):|=j => En{3>
Lo6puntosmásfríossedanen:
y=*-W
(x-i/2), +(y+V2),-9 = 0
»
C¡(±1,W2,±1) ; R(±l,W2,±l)
x - J ? = ± ^
Latemperatira en gradas centígradas en cualquier punto de la región limitada por x=0, y=0, x+y=3, estádado por f
1 SOUUCIONARIOANALISIS MATEMATICOIII
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—
£fei g(xt-y)
O
a(x-t-y)
a(x+y)
i o o| i 1 o i 1 1
j[f (x ,y rz)] =
SL »M O
1+y’
(i+y*)*
2x(z+y*) 2y(z+x‘)
2z+x’+y‘
f : R*-►R/f (x,y)=[Sen(x)^en(x)Coa(yXSen(y)) en p jo ^ j f : R-> tf/f (t)= (t/,tV )en P(t) j r r i i v v T r
Las derivadas parciales: c;(Senx)
¿(SenxCosy) g(SenxCosy) g(SenxCosy)
0(S*V)
O(Sery) ¿y
*(Se»y)
Cos(x) O J[ f(x.y )] = |co3{x)Cas(y) -Sen(x)Sen(y) O [ O -Cbs
f : t? -»R*/f (x,y,z)=
f : R*-» R* íf (x,y,z>= [Ln(x*-y,-z)pcyz*] en P(-3,l,2) J?*n?r?W Ln(x'-y*-z) a(xyz')
).(z+y»)j en P(1,1r1) Jp(x,y,z)] =
Lasderivadasparciales: a T i - x 1^ J[f(x,yrz)]=
afi-x M ¿ v lw j
-| (z +x*)(z+/ ) | ( z +x*){z+/ ) | (z +x-)(z+y*)
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-
2Ln(x?-/-z) e(xyz’) flx ay
r_i 41 I2 =12-M/3=4(V3
j[f (-3 ,t, 2) ] = l l
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ti.
a(x/y) 3(x/y) a(x/y) Bx. Sy Bz 3(gy+i) g(gy-i) g(gy-»-i>
Demuéstrese que fes diferenciable entoctoslospuntas (x,y,z) de D, y determínese D.tW)
O
f(xryJz)={xz,y+z)
¿ ) £[£]
El valor de lamatrizJacobiana de f en cualquier punto (x,y,z) es dado pon
j[ f («;% *) ]=
flx
Sy
" a(y+z)a(y+z)
£¿=)" Oz
I* 0 xl
Lamatriz jacobiana es continua en (x,y,z)€9tJ/ysO, por tai
a(y-t-z) "Lo 1 iJ
La matriz jacobiana es continua en (x,y,z)e9t5, entonces f es diferenciable en (x,y,z) f(x,y,z)=(xy,y*,xIz)
(x,y^) siempreque y*0. Q
f(x,y,z)=(xV,ze“,x+z) El valor de lamatriz Jacobianade f en cualquier pinto (x,y,z) es dadopon
m
F(x,y^>=()cVze'.x+z)
a(A) flH
El valor de la matriz Jacobiana de f en cualquier punto (x,y,z) es dadopor. ¿(xy) g(xy) a(xz)' dy
j[f(x ,y,z )]=
=£(/)£(/) £(/) : a(x«z) a(x’z) a(x-z) flz Ox Oy
0 2y 0 íxz 0 x‘
j[f (x ,ytZ}] =
■Xx+z) ¿(x+z) Sjx+z) Sy Sz [2xy x* O J[t(x,y.z)]= ze* O e" [1 O 1
Lamatrizjacobianaes continua en (xty^)e9ts, por tanto f esdiferenciable en (x,y,z)
O
f(x,y,z)=Ji,2 y+1.xz*j
a(zE“)
g(x*y) Sy i a(ze*) a(ze*)
La matriz Jacobiana es continua en (x,y,z)EX* Hl(XjWt).
El valor de lamatrizjacobiana de f en cualquierpunto (x,y,z) es dado pan I SOUUCIONARIOANALISIS MATEMATICOIII
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u = x ; du = dx : v= [e^dx =— 2 J
=5*w|¡)_Kdx~í
Integramos primero con la variable y haciendo cambio de variable u = 1+xi+yí =>du = 2ycty
■I.' I;
o(t +x’ +y*JM ■’•['•(l+x-’+y*)“
=H= IW 2
- 1W 2 I= U f - ^ | I 1+y3 l+>/2
_í?+1+1=2
j T f M Sen(y>d*dv'
De donde I06 limites sort 15x5 3 0sy52 1= r [ ío (2 - x) - t - j r ( x - 2 ) dxj sen íy )d y = £ j ^ 2 x - 2 x £ ¡Sen(y)dy
l={[(4-2)-(2-5)+I_6_(i!"4)]s“ (y>ly=CSen(y)dy=“c“ (y|o=1"c“(2) O
Calcular laintegral JJx’ yeI'dxdy t donde D es la región0 á x £l, fe y£S
b ) £ j > * + y)dydx
x,ye"dydx u =y =» du = dy ; v= Je wdy=— +y)dydx=j;[x»y+¿]*d x »¿ ’[íx* +2-x« J] d * -
B
SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICOtil
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^ldx =— +— 11- - + - = — ‘ +i j ~ 3 + 2 |0_ 3+ 2 6 =4- t*+
c>rr(8x!+2y)dydx Integramospor partes: u=Ln(y+2)-Ln(y-t-1)=*du = r_ ¡ ____ 1_ d y ; V= Jdy =
,x+2 y+1,
d) £ £ e’Cos(y +cK)dydx
T=£*£ exCoa(y+e<) dydx= J*e“Sen(y-e*) |^dx=£[e*Sen( 1+e*) +eISen|ex) Jdx
I=ln(l)-í>+2í ^ +/>-íl^í=u,(l)+a,,(y+í)-u,(y^]|J
l=[(Cos(l +e, )+Cosc,)-(Cos2+CQsl)J
1=ü,(l)+2Ln^ _Ln^ _2Ln+ln^^=Ln(lp])=LnTS
I = Cos2 -Cos (I + é J-Cose* -Cosí 8) Jt'/J|c°a(xyjjdxdy
e) ££**[°“ (y)+038(c*)]dyd,t £ £ Cosíxy jdxdy Graficamos para determinar lascondiciones del valor absoluto. ■= ££ «* [Cos(y) +Cce(e*)}jyebc=£ £[ exCos(y)+ e'Ccs (e* )£ydx I= £ [e»Sen(y)+yEf Cos(e>)]* = e*Sen(l) -Sert( i)+Sen(e!)-S en (l)
Caa(xy)= 0=»xy = n/2
Coa(xy) = 0 => xy = 3n/2 Cos(xy) = 0 => xy = 5n/2
I= e*Sen(I) - 2Sen( l) -Sen( e’ ) F g -
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I =Jo',jf Cos (xy)dydx +J” [j^ Co s (xy )dy - £cos(xy )dyjix +
+J«[c^(x)^-í^c“ íxy)dy+í^ c“ (x>r)dy-/l,.ci*^r)dy]
^
Calcular laintegral doble JJ|x+y|d>rtc, donde D:
El valor absoluto sedefine según; >>.rSen(xy)1»/2it Sen(xy)|3x/2x [ Sen(xy)|x |Sen(xy)|* J-L x Jo x |«/2 x p«/2x x |sk /2ii
fiJSen|> /2) Sen(3n/2) Sen(it/2) Sen(xx) Sen(3n/2)1 r .,[ t'1* I
Sen(it/2) Sen)I n/2) Sen(5it/2) Sen(3«/2) Sen()c) Sen(5/2n) X X X X X X
De donde loslimites son: -1á xá 1 -I s y á l = Ü , ° ( - x -> ,) ^ + í -. í '( x + y )<^
Kí- ,{ - xy - 7 ] l í d x+ fax>'+ i- | _ xd>;
y* |x’ h *~2 ^ T l - I
t . , . £ r . w j j 3H 3 3
h) JJ jT Sen’ (x)Sen*(y)dxdy
Calcular laintegral doble: JJ,)i| y- x,|dydx donde D
á I ; Oá y á2
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* j j f (x.y )d»dyt*>tide D: [ -n,6 ]x[ -2,2]
Determinam oslafunción,desdeelgráfico:
Í
y-S en( x) ; -n sx s« /\ -f i£ yá 2 x+ y ; xá 5+ y’ x>5+y *
^Jx-y* y*x’ f(x,y) = (x*-y y
l=íí^y-x,|dxdy=í.,[í.,'(x’-yr•*+£(y-x*r
.
1==■H rLg(x,-y) > . 2(y-y,r i2id x= r, 3 |o 3 |x* Intégrame«: x= vf2Sen(e)=>dx=v'2Cce(e)de 2-x1=2Cos*(B)
x=1=>fc»=ir/4 x=-1 =>0=*/4
l=JJf(*,y)(^ = £ [ f 7 \ s ^ X) - y > +/ ^ [ y - S e n ( x ) ^ > + / X i (x +y )íí ^ ] +
(x+y)dy+í^(l)dv+íjU(x+y)dy]dx
1=| J. T [' ^ 2Cos( 20)J +Ccs’ (28) dfll =| £ ¡^ 1 + 2Cos( 2») ■ U C ” (46)jjg
sM* SOUUCIOMARJOANALISISMATEMATICOIII I
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ímJh Lí*
'-£.[**■ (x)-
0
Calcular JJ(3x* -2xy+ y|dxdy, si la región D estalimitada por las líneasx = 0, x=y* y=2
+2x-2+a/x-5+2x+2-Wx-5—Ï^Jdx 1=£[Se n‘ (x)+ 4]d x-2x’|^+|a* [-2W x+5+ 4x+a/x^ÊJlx u £ ,[ 1- ^
]dx+4xj^+50 - ^ - gr>
i - t f (3x’ - 2x y+ y) dx dy uftx’-x'y+xy^dy
- S, 5Wx - S ^ , 2xl ,i (x - B r | ;
■=£(/-/+/)<* l= ^ x -
t )J
+ 8x+50-2x*-2£(x-S),‘, ik-1o£(x-B),', dx + 2(36-!B)-t-j
1=£ _ 2 +£ | 2= i ® _ ^ + 4= l i l 7 6 4 |û 7 3 21
Q
Calcular J0 -j d x d y donde D estalimitada por y =4 -x *, y=0
= 72-— 2x* +8* = 61+— -2n ! +8n 15 15 ©
Calcular laintegral doble JJ (x*+y ’ )dxdy, si laregión D esta limitadapor
Graficamos la región
= n r
y =x ,x= 0,y =1,y =2
H www.FreeLibros.me
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c_. RectaAB: Pendiente: m = iiH —2 = 1 y -y A= m (x -x A) l = J > ’ - 8)dx+20í l ^
= T - 8 x +20AtcT6( x )|2 _
y -0 = (x -* / 2 )= »y = x -|
1= 2^ - 8(2)+2{20)AreTs(2) = -40ArcTS(2 | -^
O
Calcular jj ^
Recta BC: y = 2 RectaCD: m=
dxdy, donde D={(x ,y)/ 0sxs */2,0 iíy:sx }
—n+it/2
— —1 recta: y -y „ = m( x-x„ ) ' '
y -0 = -( x -* / 2 )= > y = | -x
1=í',/^.Co3(x+y)dxdy=CScn(x+y)|^y
Graficamos laregión: f. , fv,Sen(x|dxdy J» 4-Sen*(y) r »:£«(n/2)tCcs(y) 4— Sen* (y)
J°
-Cos(x) U/2 4-Sen‘ (y)|y **
1=J‘"*[Sen(y+y +« /2 )]dy = ^ [ S en(2y+)i /2)+Sen(it /2)]dy l = j^[Sen(2y)Cos(*/2)+Sen(it/2)Coa(2y)+l]dy= £'",[Cos(2y)+ l]d y
|-_Cos|y) 4-Sen’ (y p
.=jsen(2y)+ y|*/2=¿sen(« )+í = í
1 O
^
=4 ü<3>
0
Calcular JJ^ xy -y'd xd y donde D esuntriángulo devértices en k>spuntos 0(0,0), A(0,1)
Calcular JJCca(x +y)dxdy, donde Des un trapezoidelimitado mediantesegmentos de yB (i ,i) recetas de los puntos (*/2,0),(*,ic/2),(-n/n/2),(-*/2,0)
i=JJV*y-y*d»*y •=JJJJ(xy-y*),"'cboc»y
u!^('»-v)”|v 1 SOLJUCIONARIQANALISIS MATBMTICO III
SOLUCtONARtOAMAUSISMATEMÁTICO«I
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l =Í V ----- y 0
^ =i Í ^ ( 1 -y ) V’ dy = 6
Calcular JJe*"rdxdy , donde D esun triángulo devértices en lospuntos (-7,-6), (5,3) y
^
JJ
Calcular yLn(x) dxdy, si laregiónD estalimitadapor las líneasxy = 1, y = -Jx ,x=2
(0,0)
kt recta: y -y , =m (x-x „) y -3 = 2 (x -5 )= * y = £ -f
I =j j yOi(x)dxdy=[*J^ yüi{x)dydx
J*y*Ln(xj ^ d x
u=u,(x) *=?
Recta AG m=| Recta BC: Pendiente: m=—
a: y = mx => y =- —
|= J‘ (ete^ - c“ « ' 4” )dx+JaS(e1‘-* " -e ,*M-i,M**)dx l=|* (e“*7- e ™ " ) dx+£ (e*1’*- e™4-** )dx
I
SOUUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
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Calcular JJ(2xy-3)¿ (dxdy donde D eslimitado por. y = Ln) jj,y = 0,y = !
l = | (x + y ) d A = q | J 7 ( x+ y) dy jd x
\\ (2XV-3X1)dxdy =/’ £' . ((2xy-3x? )d>t)jy
0
Calcular JJ(3x +y)dA si laresiónD sedefine por lasdesigualdades x , +y *s 9; y¿2 x/3 +3
=J0*-Se*dy=-2e‘yJ*=-íe“ Hallamos las limites: O
Calcular JJ (x +y )dA donde laregión D estálimitada por xy = a*, 2 (x +y ) = 5a
xs+y ! s9A ya 2x/ 3+3 =>x ! +(2x/3+ 3), s9 ^+4x=0=>x=0 ; ys±3 ; x=—
xy=a* ; 2(x+ y)=G a
Graficamos;
’■ - í- 'H h 2(x’ +a*) = 5ax
/
2x’ -5ax+2a’ =0 (2x -a)(x -2a) = 0=*x=a/2 x = 2a x(Sa/ 2-x)= a* 2x' -5ax+2a’ =0 (x-2a)(2x-a)=0 x=2a, x = a/2
k '=L,{3 J^
+1t -
3),]dx
, =_ Í9_ xn ~ 3 - ^ - * - 3 (2x/3+3) > 2 2 2 4(3) 1-36/13 V * I SOLUCIOMARIOANALISISMATEMATICOIII I
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• :
,=_(9r_6í+f»— U 4 ( \tfí)
13 2(13)
2(13/
4(j 3
)
t _ g? 27 |225a* 9639 [ 2S0047 _ 1377 4 + 13* ~ 2197+ 8788 ” 169 Q
Calcular |||xj-|y|- ^dA, donde D=D,UDi siendo D,= [0 ,3] U[-2,2] y D* el triángulo
l=£(2x+2+2)dx+£|2(4-x),-x(8-2x)+8-2x}bc+ + j | x ( l +1 - x +2x+ 2-..2jdx+
formado por lasrecias x = O, y=2, y = 8-2x
+/ | - x ( l - x ) -í ^ + 1 - x J l x +j | x ( x - l ) - - ^ - - x +ljdx+
Graficamcs laregión de integración, sabiendo que los si¡ según el a
+ J * | - x ( 8 - 2 x ) + 8 - 2 x - ^ - + x(x -l)-x -ljlx
=x*+H^fl2(4_x)‘“,0x+2x*+8]*t*í
j1*1
+r[x-2x-í^-+ljk+f [x*-2x-Í^Uljdx+
,=Jjlm>i^dA=j;£(X-y+1)dxdy+Ji;|iM*(y-x+.)d)dX+ +nr(x_y+,)dyd)c+í1£(x+y“1)dydx +r r ( - y ^ ,)d^ + r n ( - v - . ) ^ f / > - v + ')d^
+j |x* - 2 x - Ü - + ljdx+ j j ^ - 2 x - ¿ l 2 I + ljdx+ +f*|^2(4-xy-I2x+3x’ +7 -— ^ +ljdx
+r r j - y - . ) ^
l=J"(Xy“^+Vj-2d>t+J”(^_Xy+y]to_2XtbC+
i
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1= 5 -1 8 -5 + -+ 8 + — * l + - — - I + - + 9 — + 3 -9 — -1 + 1 3 3 3 3 +9—Í -9+ 3-— +1-1— i-54+27+21-—+18+6 -1-7=—
Calcular la integral doble JJSgn(x, - y ’ +2jdxdy, donde D es la región limitada por
+£i(Vx‘ + 2-V 4-x* )dx +/ V4 -x’ dx
T=W4-x*+4Anaení^J~^Wx*+2+2ln(x+Vx’ +2|^|-»/4-x * -4Arcsen^||' ( - Wx* +2 -2Ln (x+Vx5+2)j1t+W4-x* +4Arcsen|jj|® 1= -75 +0+4Arcaen^1j-4Arcsen(-1)+&/3+2Ln(l+Vl)-
x*+y*s4
-2Ln(V3-l)-2y3-8Arcsen^j-273-2ln{V3 + l)+ 2 iii(^ -l) Graficamas la región de integración, sabiendo que los limites 9c x1+y* -4 = 0 xs-y*+2 =0=>2x *-2=0=> x=
Calcular JJ^¡y-x*|dx dy, donde D:x* áy s4
m Graficamos la región de integración:
fl y’-x*<2 La funciónsigno: f(x,y )= | 0 y* -x*= 2
1=11
£ dyftf+íJ£ (-|)dyrf>c+
l= J^2 V4- x’ dx+J ’ (v'x, + 2 -1/4+x, )d x -j' i2Vx, +2cbc +
0 La función mayor entero: f(x,y)= 1 2 3
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OS y-xVl l s y = x*<2 2Sy-x * <3 3Sy-x* <4
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1
^
l 0
Demuéstrese que si f(x,y) = g(x)h(y) entonces:
fj.f(x,y )dydx =[jaís(x)d)c] [^H(x)
En laexpresión dada:
íaVo^(x’y)dydx=í.0í>(X)h(y)<^X=í>(x>dx
Demostrado
Hallar el s'alor de JJx V/l - *1-y ’^x^y 1donde D es laregión limitada por las lineas
fr.t-s-íp,.
x^O.x ’ +y’ s l Ld6 limites: X20, ySO, x*-iy*Sl Jjx'yíl-x'-y'dxdy
=
x’y f l -x ^ -y ’dxjdy
<* =-j;y[o-(,-y»r)nr -£y(wr “y l=3V3-3V5+^-^-4+W2+|-^-1+>^+6-2+2+1 n 2-V3 =|(4+4^3-WI) +8+1-h /5-1+471-4-í^ +|+3 /I-W _
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—
_ B
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^ -1SXS1 1-1-X* 5XS1+1-X*
Hallar el valor JJx*y* (a’ -x '-y * ) '’1dxdy, donde D es la región limitada f x^O .ysO .x’ +y1 Sa*
loa límites: x2:0 ,y £0,x* +Y1 5 a1
i = lj^ [i +a>/nj? +i -x* -i +a /Tj ? -1 +x* ]dx
1=íí x*y*(a>~x’-yl )V,(baiy=íolf"7*VI'-*,-y,di Hacemos u = l-x*V y derivamos respecto a x: 1= 2j O-tJ Arcsen(l)— ! Arcse n(-1)l=- + - =it
Q
Q
Calcular jjy dxdy donde D esel recinto dado por: x1+y* -2 y SO
Graficamos: x*+ /-2y S0= >x t + (y -iy St
Calcular JJx/dxdy, donde D es el recinto dadopon x* +y* -2 x50
E3gráfico:
m
r V ^ y . , Mi T ^ i 7
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los límites: 05x52
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t x-1 =Sc n(a )
d) J^,*J^Sen(x)dwly
e) ¿'J^dydx
dx+lí.tV,-(x-,),J*
S)
h>¡l j/f“ xriy*
=> dx = Cos(fl)dft
J) r r ^ / S e n W « * *
k) i ? L , x)y4d>dx
f) JJ ^x +y Jíy dx i) j* j/ Sech*^j dy dx
I) J^ ^x 'S en ^y Jd xd y
1 - (x -1) ’ = 1- Sen' (e)= Cas» (fl) Los limites: x = O ; 0-1=Sen(8)=s.fi =| ¡ x=8 ; 2-1=Sen(8)=>6 = |
,=J,T<^ = ry|r* =í',(^_x)* =í x* =T|?=ir =! b) 0 ‘)«en(«)dydbt
1-k (°-°)-i4Cos3
WÎde
1
= £ j > " ( « ) < * * = /?£ Sen(* c) ^ dx = Í.'Y Sen(«x)dx
Integramospor pattes:
■=!4[1+C“ (-6)J
u=^=>du= xrix; v = JSenx(x|dx=—closD j( t)
Integramos por partes:
I 2Sen(n) _6 Sen^a)
u = x=» du= dx v=JCos(ax )dx=J Sen(nx)
'=~^COe «jx **
b>í:i>n( - ^
^
J.'Sen(’“)dx
c>j,Xe’
I SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICOtil
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1
1
e-'dydx
c) j ’j ’ e'-’ dxdy
, = j; |W d y d x = |i’€ ^ dy ^ ( e ^ - e ' j d y = f > ’, - e ’')dy = ^ - e ^ ,
e4-*' r . , r _ e ‘ - 3 ¿* +Se 2
w-{i
En Laintesral: I =
;
-2)> jsy S-( ^ -1SxS1
?
Z
££ex^dydx -t-j£J^ e^ dy dx
2
d) J^SenfxJdxriy l= J* (e” - e**“ ) d x + - e '- ’*)dx
t=r x sen(x)dxdy=-r ’c“ (x])iyrdy=C[c“ (y)_c“ (y)]dy=t> e)
■n e*- (! 1- +-® 1I 1=0-— - i1 )\+ e -*_ +
£jj*dydx
•>U," (x+y)d»rt£ '=j;r
1 c* e‘ 1
^ H
r , - 0 = - -+ — +— + -+ e” - i = - + — - j + r 1
1
Por partesen laprimera integrai: u =x =*du = dx v=Je*dx =e T 1 - “I1 i ’ « i -XE |o J»C
l e *-l _1 1 . e*- 1 . e*-1 4 2 2-e _€ + * 4 “ 4 *~c*4* _ **2 —*2|o)’ _ 6 *J|o+
Los cambios de variable u = x’ =>du= 2xdx ; t=4-x’
dt = -2xdx
S jJ ^ e - d y d x
B —
—
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■“ H “
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o s(«)= o i = i r u> H u ) = - ^ | ° = o ^ = i v is|s 12 3 3J* v k)£ Cce (x)y 4dydx
Í = £ £ ■ i Sedi’g jdydx = J jg h ^ J ’ cbt 1=
=
fl> (x )-Tj* (1 )]d b c
l=ln[Csch(x)]-xTgh(x)|^=Ln[CBdi(4)J-l/i[Csch(2)]-(4-2)‘ISh(x)
1=J?jl* / ^ = j/^.(xf '=51*" ÍÍt0“ ’ (x)]’
t1 (X)>
=*^-Ìft1_Sen'(x)]’c"(x)d“
Hacemos u=Sen (fi)= »u = Coe(0)dS
,=ü,[SH]"2t^(x) j j) ]^|t’,“ ,l,,)y’Sen(x)dydx
H if "10 öl“
"|1 it 1r , 2 | 1'l _ 15 «-I 6 3 +T Jo~10- 5( 3+iJ = 150
8) £;JJ“ <^xsSen,!(y)dxd y
u{¡Zt+a4S¡*44*
u=t+Coe(x) du=>Sen(x) x=0=> u=1+Cos(0)=2
x’Sen* (y)|3Co6(y) 1= £ . JJ1“ 1'' x'Sen" (y)dxtly =¡\-
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1
,4 _ £ ± r _ ¿ 3 5 5
= 3 J j 270“ 1(y)Sen* (y )d y =9 ¿C os ’ ( y JSen*(y )Cos(y)dy I=
[t - Sen* (y)jSen’ (y)Cas(y)dy-
if_a/S)_Vs 15* 32 J 120
Hacemos: u= Sen(y )=>du = Cos(y)dy O
Q
Calcular J|o(2x+2y)dxdy, donde D eslaregión acotada por y = xs, x= y*
i-£j£(**+sy)«
Calcular laintegral doble JJx^ycbcdy dondeD es la región encerradapory = x*t y=l-x*.
-ÍHs— ^
^
Calcular lassiguientes integralesdobles » ) £ j f = , (’‘ * v)
í)0'u i(x )dn lx
SOUÜCIONARJOAMAUSISMATEMATICOIII I
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[ * - * f ,BS= *»!■ 3 S fi -
LasigjüentEgjdfica: 0£x£l
OiySK+1
»JTf lnDegramoEpar partee u = Ln(y) du.=—
v=J dy = y
1=¡'.¡r (x+1■)sen
idK
1= -J^ ( k-h’)[Coa (x-n 1) - c^g(O)J tí
I = J^ x’L n^5j -xLn (x )- j; dyjdx = |^2x* -3c]Ln(x) -yj^ Jdx íntegamos por partea: u = Ln(x^du=—
=/,-(*+’i0™
v=J^2x! -xJ dK Integramospor partee u = x-i-l du=dx
■=(¥-TKf-J.tf4)TÍ.v-^
v = J [i -Coe( x -Hl)]dK= x-Se n( x + l)dx T= E [ a - M 2 ) ] ^ ( t ) - C 7 C « ( * + l)|¡)- J J[ * -S Bn ( * + ' í] *
"a
i
I
o í— — ^ — — 1 1 — — — E‘ a 1— ** *— ■[( 4 ) *! * s i ' í - ! *“ *'3 " ” T* “ *1"?
0 0
= B-SSen (B) + Sen(1)1 O jb {S)- i- Coa (1) =| +Gns(1) -t-Sen{l) -Cm (& )-2 5e n (S)
.Calcular JJ^c"*'dMdyr donde D = {(x ,y ) j|i| +|>|¿
.. Calcular JJn(i + x)Seri(y)dxdy donde D esd trapajüide de vérticc ([},[});
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b>i=jàr‘(x"y)c^ =jài^|o~x,dx=^ x+l~2,>'***
La siguiente gráfica: Los límites:
-\is
-I S x S O
l= i£ (x ‘ -2x’ -x , +2x+l-x*)dx
-x —lSySx +1 ; OáxrSl ; x -1Sy£l—: l = £ £ e ~ d y d x + £ £ e w d>*lx
'X '»
X
2^5 2 3
i-j> —
O
)
60
>*+/>—
Calcular lassiguientes integrales dob4es:
■í!Í- ' i
.(«6 -1 )
21
21
b> f f x y * d y d x = j; ^ | ^ d x = | ;^ d x = ]; | d K = ^ g = ^ = |
a) I ’J^xV+ xy^dy dx
b) JJ J^ (x+y)dydx
O J’ jf íy x ’ ) tfcriy
d) J* £ (y** )dy*f
*) £'JJvScn(*x,dydx
c)U„ySenl1«)«1^ =J„-— —>|odX=-íc~Í^~'1^ Cos)»
2*
’ 6
6 1-1
i 1 ü .'.fv\LlilS MATCyATCÜ II
6
|0 Jo
2«
Integramospor paites: u = x du=xdx v=JCos(joc)dx=-
3 “ ........ •.rru aom
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■— (-)■"2f*1i f|oJi a2« .°*W 2¡l* 2* rc|_ *
En el esquema:
2 x>
2s 2 x» 2*1 2 t>
|= E Í> H ^ i=]T»s«(x+y)fdx
d) £ j V ’dxdy = £ e ^ d x
(e™ -e ’ )dx
I = £ x[Sen (x +x) -Sen(x)]dx
I= r! (e * - e ' ^ = — -e í |2=— -e* — +e =— - — -h J’ V “ 2 |l 2 2 2 2
* r r — í¥ l”
l=j;x[Sen(2x)-Sen(x)}dx
* -c ^ =>du= dx v=J[S en(2x) -Sen(x)] cbc=-^Co s(2x) +Cos(x )
■HMK-iMh ! ( ¥ ) -
l = -? co a(2x).xcoa(x)|o* -jf-[cos(x)-icos (2x)]dx I = -* Cos(2«)♦«Cc8(*)-[s«n
I = £ [Sen (x )+ Arcsen (Sen (x))]d x = Jf [Sen(x )+x]dx
♦<*■<•>-'*T"!7!
(| )
*—Jsen(ii)
Sen(2*)l*
Calcular JJDCo a(x+y)dxdy, sobre el trapezoide definido al conectar mediantere los puntos: (± *,f }y( ±f, C> )
©
Calcular JJDxCoe(x-t-y) dxdy donde Desel triánguto cuyosvértices son (0,0), (*,0),(n,*)
r 11 S0LUCI0NARI0ANALISISMATEMATICOIII
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-
'
1
1
En lagráfica: \
1
2
. i - . , .
1
_
” 2
W
L '
jrj(x,+ y)dx dy= j^¿i (x*+y)dyjdx
l.
. t j r f i *
Lasegunda recta: y = ^ x
l = |^,j^*TCos(x+y)dxdy=J^i,Sen(x + y )2
- í H
- t
)*
- M
- s
l
dy
2 _y
(2 1 3] . 1,7 4 loj
|= r [ s en( v - V y ) - Sen (y +| - y ) } i y
1= r [ sen( 2y+i ) - sen( i ) ] dy - n
1S 3 28 JO
_ 150-8« _ 66 _ 33 280 280 " 140 ^ H
j v
,- í [ K H W
á * “ ( i > * # l’K
H
- n
r
I =2 sen(2 y) -y | 2 = 0- í = - | Calcular laintegral doble |J^|y-x*|cb(dy, donde D:| xjs1 ; 0sy s 2 Calcular || ^x*tyjdx dy. donde D es un dominio acotado por
parábolas:
y = x \ x = /
B
M a r ~ r r r " ■
[ x - y ; s i y
-----------------------------------------------------
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-ydy+ J’ >/y-x,dyjix
r o
Evaluar Jj)x’ +/|dxdy, dondeD: Oáx ; OSy ; x+y=1
- í n - H ^ r ^ - í L ^ íM T -
,=IT(x,+y,)d^,{
Calcular la integral J£ y 1e*dxdy, donde Resta limitado por x= y*, x=4/, x=4
i = j ; ( x , - x 1+Í
©
N ;
1 ^ ) :1 x = ^ - 3 L J Í ^ 1o = 1 - I - o +1L=2
í
a) JJo(x> + / jdxdy donde laregiónD está limitada por lasrectasy = x; x+y=2a; x=0
JJ/e wdx dy =| ^0 y ^ d x jdy+J*jj'¿1yIe’"dx]dy
Los limites: y = x ; x+ y= 2a ; x = 0
*
=j^(y*cv -y ’e’' )dy+J’ (yse*’ - y seV }dy
_e^_e+1+25g,_eM_3e4 12 3 + 4 + 32C
11
=2325e'_512Ü_£6l_£3 +I4 | SOLUCIONARIOANALISISMATEMÁTICOIII
8
'. rn. aom
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0£x£2 ; x*M áyS I l = íoíí(4- y)dydx ame» 7X4 (Z a-x^la aa< 7a« (2a-a)* I6a‘ 2a‘ 7a* (2a-a)* |16a- 4a* 3 12 12 |o 3 12 12 + 12 “ 3 12 12 12 " 3 b) JJo(x+ 2y)dxdy donde laregión D estálimitadapor lasrectay = x* y = x1* 0 gráfico:
H
2
32J
v. 2
160^0
3
J()Va, +x ’ dxdy donde la región Desta limitadapor las curvas: y* -X a=a’ , :
Los limites:
0£x£l ; x’ Sy íx"
=0 (y>0)
Calculamosla integral:
l=jjí(x+2y)<*líx OSxSa 0s yiVa ' +
Hh+vf> 1=
*>'■
>
5
2
3
—
U j o* J ^ V 7 7 7 d y d K
l1
. s + i -i -i -i 5 |o 5 2 3 5 20
c) JJo(4- y)d xdy, donde laregión D estálimitada por lascurvas x*= *y
= Io' l = J^VaJ+xI Va' +x'dx = £(a ’ +xI )dx = a,x+-^-|“ = aí +-^- = -^ -
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Q
Calcular laintegral J^Jydxdy, donde D es un triángulo con vértices 0(0,0), A(1,1), B(0,1) A = 0 - 4 A r e s e n ( 0 ) - ^ p ------ 4Aresen(-1)=^2n-^ ju* O
Calcular el área de laregión limitadapor las líneas x = y *- 2y, x+ y = 0
los limites: láy áx ; Os xá l Integramos: |= j’j’ydydx=|^|\tc Los límites para integrar en y: OSySl /-2yáx£0
A= -yl - y)<*y=£(y-y*)dy A=ii-¿r=i-i=2u* 2 3 10 2 3 6 £ ) - Calculare) área limitada por lalínea y* = 4x -x , ry’ = 2x (fuera de laparábola) ^ T] Encontrar el área de laregión enel primer cuadranteacotada por las parábolas x*=4y , x* =8 -4y Limites: 4x-x*=2x x ( x -6 )= 0 ^ x = 0 x=2 V5x £ y S ■jAx-x' (2 regiones)
Gráfica: 4 y= x* =>4y= 8-x * =>x* = 8x -)
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Límites: Integración sobre el eje X.
A=íl/y dxdy=2L,ííftdxdy=2f'y| ^ r A = 2|o,^ - y ! - 1 ^ ] d y = W 4 - y ’ + 4A rc s en Q -2 y+X-|*
A =0+4ArcSen(1)-2 +| =4(|)-4+i= ( 2,- |)u ' 1^ ) Hallare! área de laregión encerrada por lasgráficas de x*= 4y,y! = 4x ,x +y =3 ,y =3 0
Hallarel áreade la región limitada por las líneas y’ = 4 (l -x ), x '+ y ’ =4 (fuerade la parábola) y*=4x x+y=3 => 4y+y* =1 2= »y =2 ys>6 y= 3= >x +y =3 => x = 0 x'=4y y=3 => x=±2>/3 A=^dydx+^d>rtc
A=í^(34 )dX+í"(3-X-ft/í)dlt
“KLrHm
y* = 4(l -x) =* x? +y* =4 => x* +4 -4x =4 => x( x- 4) = 0=>x =0 x
- [- 6^ 3 +W 3 ] + [ 3 - ; - i ) - 0 = [ - la^ +2 ]u -
x = 0= »y = ±2 ; x= 4 noesposible Limites: Integración sobre el eje Y: -í£y£2
-
g
0
Hallarel áreade laregión acotadapor las líneas: a) y=x*+2 ,y = x+4
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A=e?-e-2Ln2-ln1 + ^ A =e1-e-2 lji2+ i-1 =e“-e -2Lnfi+1 y = e’ y==.-x’ y+1S = j¡* .
x=i_-2
x =2
A=^CdídK A=jICG“+s,)d!t=e’+T|i
y=;nj
LoGlímitES; xl -12=|xj=>|^'I-|s (-1 2= íl^ x = U l- ; y -A
El área Calculamos el lado derecho y dupl ican™ par simetría: A = ¿ + * - * V * = e * J$ -e -=
A = e£ £_ ijdyifc =Ej j|* _11dx =s £ (k - x 1 +ls)d¡E
3
Hallar el áreade laregiAn plana limitada par laparte de arribapor í í + y ^
= i &J ® +4a= « , í n , 3 3
parte debajo por y = ií
^+ yt =a=»3Í + it! -2 = & (3Í + £)(3t *-l} = 0=» X = ±1 A = £jJ
^
dydx
J Q -
Cumiar el Srea dE la regián del plano XV, acotada por loa gráficos de la a = yí rx+ y = 2r y =0
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v = 2ja7 e'( x’ - y !)dydx >í 1 1 1 1'i-ol'"210-63-15'|
Q
Calcular el volumen del solido cuya basede laregiónen el plano XY acocadapor las curvas y = 4 -x \ y = 3x y cuyo techo es el planoz = x+ 4
/ , el cilindro
x*+ 3x -4= 0
y = V x ,y losplanos x
y = Vx, x+y=2
(x+4)(x-1)=0 =»x = -4 ; x=1
v=j;r (x+4)dydx V = £,(x+4)(4-x’ -3x)dx
V
=íl(4x+16_xl_4x*-3x'“12x)dx
V = j l( l 6 - 8 x - x a- 7 x * ) d x = [ l 6 x - 4 x ' -^ - | x 3j ^ = ^ u 3
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraleioide hiperbólico z planosz=0; x=3 SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
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v=/:rxydydx
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(£ )
Hallar el volumen del sólido enel primerociante limitado por x+z* =1 x=y,
0
Calcular el volumen del cuerpo limitado por lassuperficies x*+ 4y*+z*1, z = 0
Como x*+4y’+ z=1 , z = 0
x+z* =1 x = y, x=y*
^ x ’ +4y*=1
v = t f ( V n - x ) d ^ V = 2j'VTóc(Vx -x)dx Cambio de variable: x= Sen(fl) ^ dx=Coe(0)d 0
V = < [(^ )-x ^ } u*= l-x
=> X=l-lí
:= l u = 0 = 0 Us i
v=a®-(x,-xH_2^(1“u,)^?(_2udu)
x=1 =» é/= n/2; x = 0 =* <¿=0 V =i |^ ',(Cos,fl)3'1Ccs0d0 =Í£"(Crf0 )* do
V=1r i f(' +2Co62" +CQ9’20)d0 3J» I,í ^ 2 JJd° = v ' \ 0+,
r . r (iia s ) .
n^ ’f'*’* 11 (n v = l ( * 0 Se SenJflT ~ 3 (2 *2 "* ~
ni
3n
n ,
SOLUCIOMARJOANALISISMATEMÁTICODI
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O b)
Hallarel volumen del sólido indicadoe¡ tetraedro acotado por los planos coordenadasye) plano 3 x-i-4 y+ z-2 =0 0áyS-ÍV30-9>í .« ¿ s i s v = J ? í r (2 - 3x- 4y)
»-rpí v =í:
3x* 9x> 4-l2x+9xg]
■f8-12 x-l2x ’ ♦ISx3-4+12x-9x* 1
=30-9 x'=» du = -18xdx . .0 . U . 3 0
( ” ) -0
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, fc3yü(' diA 5 JÍO iflO Í ÍÍÓ u « S HÓ S /To J” 4 { 18/21 3 4 U J ”V 3 "s4p 7Í)L+ 2\ 3 4^3J 6V? 30 ^0 5 fÍQ 5>/5) , 36 +2 \3 " 3 “ c) El sólido del primer octante limitado por lasuperficie g*1+4/ -30 y el plano 9x-i-4y=6z
Hallar el «¡Jumen del solido limitado por lassuperficies z = 4-y* ; y +z =2 ; x=0 ;x=2
SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
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v = J .Í « + f + 5 ü íl f T - — í í f i - J L u 1 8 i ~ 4 « U J" 32 4&{* 2 v ^ - y - a - y ) « * *
Hallarel volumen entre las superficies x! +3y ’ = z ; z = 4 -y ’
i: x*+3y, = 4 -y , =*^-+ys=1 =»-1 áy ál ; S y jl -y ' á x s a / l -/
JÍ+/ -4 r’ =rSenrt =»r =Sen0
f -
-
V = < [ 4(1-y ‘) x - j ] i
v -rrV ^ H * - r n - -rsenö)rdnw=/»(7j i senö]7dö
dy -4j|s (i -y*)1"
J*y ~ f Jfti -y*)w<*
Hacemos: y= Se n( 0) ^d y =Cos(tf) d0 ; ,/1-y* =Cos(í?) Siy =1 t* 0= 3; y= 0= » 0 =0
v=j.^-S^2)dfl=:i|(Serfí).dfl
JTt'*ac“ (2"
v " T
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) * o » ' ( s » ) ] i » c—
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O
Calcular el volumen del solido limitado por lassuperficiesz = x* ; z=4 -x * ; z=4 -2y ;y = 0 s y= 2x , y=2x*
=»2x= 2x,=»x=0x=1
O áx á l= » 2x’ í y í 2 x = » 3 - x - y £ z s 4 - x - y
v=JX(4-x-y-3+x+y)dydx=íóCd>rt{ x* áz £4 -x *
Q
Calcular el volumen del sólido en el primer octante acotado por loe planos coordenados y el plano 2x+y +z= 6
V=J^*^16-4x*-8+4^ ~ y -4 x * + - ^ J dx
v =
£ )
S: 0SX S3 »O á y S 6 -2 x = »0 á y á 6 -2 x -y
Calcular el volumen del sólido limitado por lassuperficies y = 2x , y = 2x*, x + y + z = 3 t
n
£r*(8-4x,)dx=8,1
x+ y + z= 4
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1 OSyáx
OsxSn/2
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-r r s a r ^ r á s T * ¿
J.
4-S«’(y)
* »„,
, . r ™ wr- ,.>-(1 )1
4- ar f(y)
4 l=2üi(2)
Ln^^0 =2ln(2)— —
•-HSJ-ÿ-« C)
j^’j’ líjídydx , e’ íy íe
1■ «) Jr"1fT'i.25Kdyd>c y d J,
, OixS 1
—
i= r r ^ = n > +i) - ^
- Í C “ **
-----^ -----------
Integramos por partes: u=x+1 =>
du=dx ; v= J e“*dx = — é“* 1
h)
O s x s 2- x í y s 2-
l=J^senydy = -Cosy{* =0+1 =1
I={ J** S e '^ tT ^d y -i £* e'JÜ&á,
u _ü i^y)_ aíi^ j+Sy|e__Ui^£j_Sifl^) +2e+U^Ó}+íü)()>^2 12 8
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2
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*
*-£C= dxriy
y£ x£ l OáySl
1= JÜ Je 5~ =
d >d *
=- j
t=j;Sen(x)dx =Co8(x)|o =1-Co8(1)
^ E E E I iI V
l=0>11,dx^=JÒTc>dx=Tt
^1
Cambiar los limites de integración
a)£jfffay)«*“*Oàysl,yàxsVŸ |= j; j; ,(xty)dydx
a
•J?í
y ' - l á x í - y ' ISySl
■CJSu **£Æv , = J 2 > = i l« 2 275 4 c>f ' i J ^ * ( w > * *
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y*“ lf ix S T -V S sx s V a
OSysVl-x’ -l£x£ y* = ,= JL
x*y*=1
,=í.'iSf(x'y)
2y’ =2=y* —»y =W 5
l=íX^f^ y) ^ +DvTf^y)dydx+0 ^ f(x'y)dy*c Loslímites: v'4 x-x ’ S'/ l6 -x s , Oáx:£4 f(x,y)dxdy+|’J^ ^ f (x ry)dxdy
xáyáV2x-x*
; 0SXS1
(x -y f+y«=x* u J T j^ M d x *
e) £ £ “f(x,y)dydx
,
2xáy á6 -x ; Oáxá2
h) J'
f(x,y)dydx -3-Vl2+4x-x* syá3+Vl2+4x-x* -1 £ x £6
h>Í Í 0 -. f(x-y)d)aly SOUUCIONARIOANALISISMATEMÁTICOIII
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De donde: I=J'"£ £)
J x '+ y’ dydx
Representar en unasola integra) iteradaa lasumade lasintegrales | 7 j jf (x, yjdydx + (
* ,
y )dydx
Oáyáx; R^yá^y’+x* * nuevos límites paraintegraren y: 1s y £ 2 ysxsy*
u=y => du = dy ; v*J Co sJ^ dy =| se n^ )
1 1 jdydx+^ sen(f 1SXS2 Vx£y£x 2£xá4 VxSys2 Graficamos lasregiones: Cambiar el orden de integración escribiendo la expresión dada en forma de ur integral iterada de segundo orden.
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WROOESPINOZARAMOS ;
b) ]t’ji'‘f(x,y)dyd ic+j’ |i’- ‘f(x >y)dydx
a>
l = 0 / f (x , y ) d y d x + 0 / f (x ty) dxdy Los límites son: 0£ y£t;^£x£ y;
Losnuevos límites para integrar eny- Oá y s l
y áx s2
1 í y í3 ; ¿ í x s l
Graficamos las regiones: c)
L X f(x,y)dydx+^|t« f(x,y)dydx Los límites soit OSx fil ; Oá ys x’ ; l áx £3 ; Os y s -
Los nuevos límites paia irvtegjaren» I sx á-^ ; x í y í3 J x ±Sx«£l ; i s y s a ^ ^ u j ^ f ^ y j d x d y
b>
í^y^íT^y)^ Los límites son: Oáx áí ; Oá yá x ; l£ x£ 2 ; 0á y-£ 2-x
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93.
Hallar el vak* de
(x*+y')d xjáy +|i^ | ^ (x ' +y s)dxjsy
, - ^ 4 . y » ) v +i ^ î ÿ l + y* (* -y )]ir
1=í^
l=¿ _ o + - L + i ¿ - ¿ | 1 = J ! + - L - 3 - + ? + ^ - o - J = 5 - 4 - i = 3 12 3 4 |o 3 12 3 3 3 4 12
Los nuevos límites eny: 0á y S - 0 ä x S ^y ,+4 Dedonde I =
+i.V-y1)^
(x,y)dxdy
jm. (J l
r*Sen(x)
Sea M=£ — dx, calcularen función M, el valor de:
e> los límites: Os x sl ; O SySx M ¡ l£ x £2 ; OSy £1-V4x~x* -3
s: y+läx2 A0ä ySl 2sxá4 AO syá l y+1áx<4 a lSyS3
l=í.’Cf(^y)^+niíc^ff^,y)dxdy I SQLUCIQMARIQAUAUSIS MATEMATICOII
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,=j,r
Scn( x) j , j , =
^(x-|)sen(x)Jj'
,= j;
<*=j - ^ x y x - x ) ^ . ■--
o í*Sy,d)rfx+ríry,dydx
,.c-(,)-c-(4)-f5=aí O
Calcular
. jV Í^f e íiM r Las Kmrtes: W 9Í 9x 5y5 V9+ 9x x-3 sy £v9 +9x -ISxáO 0SXS15
OáyS2; 1áx£y ;-£áxá2; 2áys:4
k is nuevas límites al cambiar laregión de integración hacia el eje y: -1 s ys 1 2; y + 3 s x s ^ ? ; -1SXS12 ;0Syá15
Ahora se integra en V los nuevos Ifmites; 1sxí2 xáy£2x
, = 5184 + 2 3 0 4 - ü + 3 6 -iZ =7524 -5 5 3 5 - «
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De donde los limites sort Q
Evaluar laintegral doble jJe''*T'dA, donde D es laregiónencerrada pon x* +y* £ 4
0 á r s 2 C o s ; dA=rdrdí>
I=-J ,^4_4C os ,(í?) - 2]dO =
Q
ic*+y* =^x* +y* S4 =*r* = 4 ^ r = 2 De donde los Ifmites so 0srs2=»0á
— , donde D esel reónto dado pon x*+y* -2x áO
-y*)’
Si transformamos acoordenadas polares; x*+y*= r* z* x*+ y ' S 2x
Calcular JJ e*'***dydtx,donde D es laregión acocadapor lascircunferencias: x*+y* = 1y x*-t-y*=9
,=n.v,* w=ir*“Ud<,4íe<' e‘)<'lr=i((e'"i^ )=;ríe4‘ 1^ Calcularjj------
[2 - 2^/l-Cos*(0)jdí7
Si transformamosacoordenadas polares:
x*+y'= r* =*x*-t-y*= 1=>r* =1=» r =1 x*+ y' = r! => x!+y ! = 9 =>r* = 9 => r= 3
De donde los limites son: 1Sr£3 => 0 ¿ )i z 2 jt ; dA=rdrdtf
r*=2iCos(0)=>r=2Cos(¿?) x, +y, s 2 x = »( x -l )’ +y , s l I SQUJCIONARIOANALISIS MATEMATICOIII
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]Z j I
Calcular
’W )
De donde los limites son: O ár Sl =»0
, donde D esel anillo: 1Sx *+y , á4
___
dA=abcdrdtf
rr / rVCos’ (0) r’b'Sen'fo) ,r ,------ l = JjJ t ----------■^~L J --------- ^r -^abrdrd
Si transformamos acoordenadas potares:
■—T ^ —-fC-H r-T^'-T
xt + y * = r* ^ l£ x ’ +y *£ 4s* 1sr *s4 =>l s;r £2 De donde los límites son: 1SrS2=»0Stfá2.T ; dA=n*dtf
1= ff
O
í y +-5L = I y situado en el primer cuadrante
= ("
JJ(x *+ y’ )*
Calcular la integral doble jj xydxdy donde D esel dominio limitado por laelipse:
(r*)*
= raCos(0) y=tbSen(0}=
O Evaluar laintegral doble jj J Í - ^ j d x d y a>0,b>0 donde D eslaregión limitadapor
De donde los límites son: O£rá1=»O£0 S t /2 dA=abrt*dy = JJ[raCos(0)][nsSen(0)] abrdrdo = abjj r’Sen^ dr& J = - y - j | r'S en^ Jdrdtf
Si transformamos a coordenadas polares: , = j £ £ h _ 1)=¿ ¿ 16 k ' R
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De donde los límites son: Osr£ 1 =*• 0 S(/S,t /2 ; dA=abrdrd^
-,a>0, b>0y D es laregión limitadapor laelipse:
, rfxy/ dxdy _ rf rCoe(íJ}rSen(í/)abrdrdr.' ~
-
r'Cos(tf)Sen(tf)drd(/
Vxs-y ’ ~ yaVCos*(í/)-*-bVISen*(tf) ” 3 " ^ ^ [a ’Cos^tfJ+b’Sen' (<>)j , abj-t- Cos(í/)Sen(í»)d
•VCos1^ ) x = raCos(OI y=tbSen(fl) =>r a
r'b sSen’!(¿>) ab|-< Cos((/)Sen(tí)díV ,= ^ J » ^ . A t n ' l ^ b W ^
De donde los límites son: Oárá'l=> Oá0á2 x ; dA=abrdrdf> ■=f ] , "
|l
i=i(^ > /a,+{tf-a,)^H o/2- i( ^ ) ^ +(b,-a,^ n,Hw2+
= jj . aMrd°______ ^ 14 ° i'aVCm^ iy) ¡ bVSen’ (f<) ^^
/2^ b ) ^ +'b’-a,)Seí',(í/t/2
rdn^ > — = abJj- 2 2 = = abí*V T+ ? P dtf 1= abjf , D^ r, [Cos'(í>) + Sen*(
iL , donde D es el disco acotado pon
4+4=< 4ab(b-a) 4ab ' = 3
Calcular Jj(x* +ys)dA, donde D eslaregión limitadapon x*+y*= 2x. x*+y* = 4x,x* + / =2y,x* +y* =6y
H
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¡ T g --------------
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a u « ,X , « * » « « o s ; De donde los límites son: 2Cos(8) £ r £ 6Sen(6) = rCos(0) ; y=rSen(ö) ¡ x*+y*= r*
x*+y*= 2x=>(x-1)*+ /=1 ^ +yt=2y=»^-Ky-1)*=í
; ;
2Cos(8)ár£4Co5(6 ) 2Sen(ß) S r á 4Coa(0)
x*+y*=4x=>(x-2)4+y*=4
* rc > *
Si restamos: +y* = 2x ; x*+y*=2y => y= x => ü ; x*+y* = 6y=»
x’ +y*= 2x
; j? + f = by =»
x*+y*=*x; x*+y*= 2y=»
=s- Arctg(2í3) á 8 í x/4 => n/4S 6 á Arctg(2)
1■Q'ícr,1''"” »*íLfi¡Ci,'‘d,°"*
*?+yi =(tx=>x, +(y-3f = <)
X*+y*= 4x
=> ArctsC1/3) £ Ô£ Arcts(2'3)
3y =2x=»TS(tf)= |
r C
3y=x=» Ts(ef)=i
y=2x=*Tg( tf) = 2
!*
1= J^^3 24 Se n* (0) - 4CoB‘(tf)]dö+
-JiLgf640“ 4^)-40”4^
I.
- ltfiCos(S#)+81Cos'(S^—1+ 2Cas{2c<)-Coa22*tí^J
+Alttg(23).T41S1+20o«a*+CQsai2«lf>+|,'TO|,,15[l +2 Cas^)+ Cû8,(2ii)]dÿ
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□
G -15Ajttg(2|-
I= J ^ V [ 80- 160Cos(a?)+ SOCos* (a?) ] dtf+
2 is.? 15Sen(^)Coa(^)[CQ5, (<0-Sen8(tf)]|Ajrq:(2)
-y » ) +150+15Sen(2tf)p ^
+Cos(4¿>) jdi>
'T , 2260 11 45Arots(2) 15Aras(-T/4) - 1 169+T + 2 2 0
,-— - « j
Calo.larjjv'a'-x’-y'dydx, d (x«+/)= a-(x '-y* )1xÄ0
(x’ -t-y*) =a’( x‘ -y ‘) ; O sx sa ; x=rCos(rf) ; ysrSen(tf) ; r!=x! -t-y* De donde lo6limites son: I= £
-i5 Aitt *f -l - Æ 13
8
'‘ M
l)
2
i^ M c o -W f c tr fW -s rf M l
2
-r ’ldrdW
(3C3 ’ 1
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j l- a ^ c°s(#^ ) ^ =-cc- (^ . (»)vr7|^(g)
= ^£(&/2Se n7>-l)d0
i.4í/a-c^s2U
I = - £ Coe(¿/)Sen*(
( Q Evaluamos
W
-------_
J.J V4-x*-y*(x*+y* f
donde Fes laregión limitada por laci ©
Calcular
^¡dy; D esunaparte del anillo elíptico limitada por las
iCos(o) y=rSen((/) r’ ^c'+y* x*+y* = 2y => x '+ (y —i)* =1 Límites: r*=2rSen(t/) r =2Sen(0)
Sitransformamos a coordenadas polares: / . r'a’Cos*(O) rVSen’ (0) x = raCos(0) y=rtfien((?)=> , ' + ^ = I =*r = 1
; 0Sr£2Sen(6)
r » a W ( 0) , r -a W ( g) _ ^ r _ g
fetfs* ; dA = rdrd» l£r á2
U
rCtas(tf)[rSen( tf)]’ rdrdí/
,
r,Co6(í>)drd0
4t?{*r — =ÍA TT^v“
=>
0 sw s ,t /2 ; dA =
ííf 4_“í— (/**(fSen<>;rCas«)abrdr|d¿ =abJ^||*fr(SenOC i,os0n )rlJd0
g fll SÜUJCIONARIOAMAUSIS MATEMÁTICOIII
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EEPINDZAHAJV1DB" ©
- r r ^ — rrvR —
I jnj£
Ln^1-1-3f"-i-v^ ^fydK Calcular Jn'J^1"V Vs í+ y’ dxdy
Los límifea: Ü£ x í í
yW R'-x * =*>? + yl =R* =tOSr£ R j tlá r^ H ; O s A i i 1=
y=i/+-y1F fisysa B=fCos(í) y=iSen(¡y); i^^+y1 OedondEkKlím itesaan:
JnLn(l+ r5} rdrdfl Integramos por partea:
J
J
ÜS rSE
=t
S ; dA= Fdrdfl
I=
= j ‘ " J "Vdntf
3|ü
o
Calcular
y = J í - j í
; O ix S a ; k = rGas(flJ ; y = iSen^jí J ;i 1 =3Í+yt
3 |Q
e"^"1 -'cixif/
y = t j i - y 1 ; Os ys S j x=rCbs(tfJ; ¡^=rSeri(fl)j r W ’ +y* De donde los limites mrt
De donde loa límites son:
Ü S ri S QS rS a^ -
3
O:S0£W 2 ; dA=ndrdíí
i =£ ,£ J 7 - ? r
_ i
Qztiíx/S - dA= pdrdÜ M
S
ÍE =^ § ( i - O
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©
Calcular
=J* ' ^-Secfljdö=Vl-1
-x*-y'dx dy
Graficamosytransformamos acoordenadaspolares:
O c^ |H T ^ Sen(x,+y’)dxdy
y= ^4 -y * ; Os y £ a; x=»Cas(0) ; y=»Sen{¿v) ; i’ sx*+y*
x= -/ l8 -y ’ =»x’ +y! = 18 ; x = -y ; 0s y¿ 3
De donde los limites son:
De donde los límites son:
O£rá2=»O£0£*72 ; dA = rdrdO
0s ráV Í8
;
; x^Cos(tf)
y = rSen(y) ; i>=x*+y* ¡ dA=rdrd//
+^)dxdy=14/»^ ^
l= G
1.) ]
Calcular/;]^ * ± .
Ç
Calcular
dydx
Graficamos y transformamos a coordenadas polares: y = J y x=y ;0£ yS l ; xaC œ(í>) ; y=rSeni) ; r'sx’ +y*
Graficamos: 0Sxá2a ; 0SyZ
De donde las límites son: 0 sr s2 ; y=x* =»iSenfa)=r*Cos!lto)=> r=
Cos’ (0)
; dA =
û T Â -r tC I SQUJCIONARIOANÂUSIS MATEMATICOIII
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=2arCosW=>r =2aCosf>
M limites en: y ' =2a x-x*
I= £
>/l6-x*-y’dycbc = £ j ^ 'V lô -r ’rdrdtf
,=f^2|rn(0)d"=ift,6-i6serf^r-«M H ,=-fir{[cQs‘(®)r-,)dB=fi:[|-coa,(8)]d9 =
_ £ [Costf- SenVJCosô] dôj
Graficamos: -2Sxá2; 2-V4-X* SyS2+V4-x’
£ > Calcular JJJJVx ’ +y’ dydx Graficamos: 0£x£l ; Osyâx
» (y-2 )‘ =4-x ’ =>x*+(y-2)' = Los limitesen polares: x* +y* = 4y r = 4Sen(tf)
; OSi/S/r
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lit litesen polare lares: s: x = 1 =* rCos rCosfO fO) = I : OSr S— : OS CoB(e)
i=r*rVdrde=f'^|1de=-?|,,=^ J dJ» J» 9 0 90 9
,= j,'/*'/*' V*d y d x = V ? n*d0 Q
■ - r r w r ^ fe -- jr s J H 1= J £ Sec* Sec*tfd tfd0 0 =-i|^Sec =-i|^Sec¿?T ¿?Ts¿7^ s¿7^ii Lr|Secí Lr|Secí(( + T ^ |
=
Calcu lcular lar lain laintegral doble oble JJr JJr— —
- sobre el disc isco circ ircular lar
(a*+x* (a*+x* ■►y’ )*
F = {( x ry) / x, + y 't R '¡ Determ Determinar inar los los valore valoress de V paia paia los los cuat cuates es J(a,R) tiene tiene límite límite cuando R->- kc
j(-R) = r(as+r =*)" r -2(l -a)(a «+r * f I» (a^ s+r*
fc/5+Ln|V2 + l| 6
«■j ' j f * V(5c*+y,)d *+y,)d>dx Si Si R-> +«: 1-a¿0 a¿0 =>a£l Graficam Graficamoa: oa:_ls _lsxSl xSl jOS yáV l-x*
Evaluar la integral integral SOLU SOLUCI CIÓN ÓN
sb '-x’ s^x’+y s^x’+y’’ sb* ;0£x£b OS0á— ; 0ár
'=/’j f 7>í(x,+y x,+y*)7 =Jo7a’>/öTr rd,de=L7ÒrTl
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3S 3Sen* en en* (0 fO)
b1r ;CosJ(8 )-1 3 J“ Ser’ Ser’ (0)
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3Sen’ 3Sen 3Sen’ í0t (0) í0 (0t)
b3¿ d0 bJ p,Cos*(e)Cos(8 p,Cos*(e)Cos(8)dt )dt " 3 * Sen'(0)_ 3 *> Sen* Sen*{0) {0)
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2 x y( y( l-l- * ]F ]F j j p
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2tJS e n( n(0 )C )C o s( s(0 )()( l^ l^ Co Co 6» 6» ( e ) ^ j
I= J¡*£ J¡*£ 2Sen 2Sen (0)Cos( 0)( I- r^C r^Cos* (0)p rdnr rdnri» i»
, . j£ ^ . ¡ £ í t f ! iS £ ! ! t e f i 2 3 3" Sen Sen (8) Hace Hacemo moss u=l -i*Co^( 0) ^ du= -2rCos’^dr Sen(0]fi =
Sen(0) Sen(0) |;
b1 b3[1-C [1-Coa oa*( *(0) 0)]] b1 b5 Sen Sen(0) (0) [i b3 b3 b’ 2b’ “ 3 ' 3 Sen(e)[l+Ccs (0)]= 3 ' 3 l+ Cos (9)r = 3 + 3 = 3
xrSen,(x)n, (x)-x*+Cos’¡íx x*+Cos’¡íx )T I „ 2yxrSe x’ Ty* ------------ - ^ — dK dK siendo F la región ai Evaluar Evaluar la integral gral JJr --------- -- --------- x’ por por lacu lacurva rva x£ 0; y aO y x'+ y’ -l s O
Sen(0)[Sen»(e)J» _ J rf Sen(0)[Sen»(e)J» 3J« Coa(B) Cosío)
“c^Sf Ln[Sen(0) [Sen(0 ) +Tg (
^ E 2 ¡ 2 ¡ d J W
Loslimites limites s» xsO, xs O, y £ O=» primer cuacfra uacfrante „ * _*f,2yxrS _*f,2yxrSen, en, (x)-x* +Co8'( x)T* OS 0S - ; OSrál ; |=pr — _L------- L ± ----- ----------- — =-rd =-rdii x'+v’ 2 ’ Jí J. I SOLUCIONARIOANAUSIS IO ANAUSIS MATCMAHCOIII AHCOIII
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g rf Sen(8 Sen(8)Se )SenJ(0) nJ(0) 3'» 3 1° Cosío) Cosío)
2 - [Sen*(8)^ [Sen*(8)^ Cos(0) 3J" Cosío]
2 rf[1-2C°a*(0)+Cos4(0)] ^ 3'" Cos(0) 'Cos! (
Cos(0)
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i—
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O b M " 3 Sen(tf)
a: l-C o s » 3 Sen(tí)Ll+Coa(6i)] Los limites: y= V l-x’ ^ x ’+y ’ ^O s rs I ; Os xs -= v2 ; Oá rá l ; I=Jj£Vr I=Jj£Vr*rcl *rclrd¿l rd¿l
Q
entre entre las las circun circunferen ferencias: cias: x*+y* =a\x* =a\ x* +y* +y * = b*,con 0
■=jJjV
t"í L^"í {h Q
Calcu Calcular lar JJfLn[ xy+ x*+y* + xyCos xyCos (n)]dxdy, )]dxd y, siend siendo o F laregión laregiónen el primer primer cuad cuadran rante te
H
Calcu Calcular lar lainteg laintegral ral doble doble £ £
v a*-^ d y dx
-y*=»xt+y*=a*=»Oáráa ¡ ^+ y , = a’tx’ ’tx’ -t-/ -t-/ = b*=»asrsb ; 1= J* |‘^ a! -r*Sen* -r*Sen* ('i) 'i) )rdrd0 = - j*
3*
-------------- J
x1+y* x1+y* =i* =i* ¡ x=rCoa(tf); x=rCoa(tf); y=iSen(0); Cos(n )=-1
,* - ¿ p A0 á0 aJ pCosV )CosM •Sen’ •Sen’ ítf'l 3* Sen’ Sen’ lVl Sen Sen’’ (
p 1-Cob* 1-Cob* (o) 3J » Sen* Sen*(tf) (tf) 3
y - r w p r f u 3Sen*(
3 J*
¿ p_d£_ 3 « Sen* Sen*(tí)
_ £ r;c°3t( r;c°3t(//y)Co )Co6fí) 6fí) 3 JSen* Sen*(tí) (tí)
1 = j'ui^xy+x* j'ui^xy+x* +y*+y*-xyy xyydrd drd¿> ¿> = j^J^Ln^x'+y’^W j^J^Ln^x'+y’^W O l = j^ j' bln (r , ydrdí/ =2|^J hln(r) dTd¿/ integ integram ramos por parte artes: s: u=ln(r)=» du = * v*Jrdr=.£ v*Jrdr=.£
Sen5(y )
SOUJCIO JCION NARIOANA IOANAUSIS SIS MATEM TEMATIC TICOIII
SOLU SOLUCI CION ONAR AR«« ANALISISMATE ATEMATIC TICOIII
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1 = -^ f Sen*(fl)Sen(6P)dfl=-^ [‘[l-Coa* (fl)]Sen{o)d0 (fl)]Sen{o)d0
ft
Hallar el volum volumen en de de sólid sólido o limitado itado por las supe superfi rfici cies es z =x +y ,x y= 1, xy= 2,y = x,y= 2x ,z= 0(x >0, y> 0)
orno una 9ola integral y evaluar evaluar (a > 0 )
JXmr Xmrf* +y,)',d« d«Jy+f y+fJCT(*+y*)’ *)’ < *”* Determinamos cambiando las lasfunciones funciones dadas. Paia ello efectuamos las si; Laecuación ecuacióndel circuito: circuito: ( y -a )* -t-x* =a* 1 OSxSa ; Mía' -x* Syáa
=j_ _L _L=_L
OSxáa; a£y£a+Va*-x* Pasando a coordenadas pola x*+ x*+ y*= 2ay 2ay=>r! = 2aiS 2aiSen(0 en(0)) 0srá2a Sen(/ >); 0 s
WS-l a/2-l~L fft/á-Q2 „/-Í „/-Í2V2-1>|2
- rp
15r =1 3 j ^ +a^ [ 3 J.
-r e SOLUCIONARLOAN OANALISISM ISISMAT ATE EMATIC TICOIII OIII
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(T t
Hallar el volumen de sòlido limitado limitado superiorm superiormente ente por el cono: z = a -y x *T y *,
(f t
Hallar el volumen volumen del del sòlido limitado superiorm superiormente ente por lasupe la superficie rficie x" +y* +z* =4 , inferiormentepor el plano XY y lateralm l ateralmentepor el cilindro cili ndro x*+y* x* +y* =1
inferiorm inferiorment ente e perei plano por el cilindro x*+y* =ax =a x
x*+y* +z’ = 4,en coor coorde dena nada dass pola polare res: s:
; O Sr Sl
V=2£'£V4-r!rdrd0
V=2Iai a
v=2j i r ‘")(ar-r,)d r-r,)dfd"
jfTT
V=|(8-^/3)(2«)=±i(8-3V3)
m
X1 Hallarel volum volumen en del cuerp cuerpo o limita limitado do por las las cilind cilindros ros x + y = R ; z = _ ;y el plano2=0: xSO
= 0 , pasando apolares:
v=C v=Cí> í> = «
(rcosfl)1
v - r f i- r r ^ V=2 j"’ £ jC cs I0d I0drd0 rd0
^j^co s’000
v=S 5a ^
B
3 Jo
5a ^
3,1 15a
1
SO SOLUCIOMARIOANALISIS ISISMATEM TEMATIC TICOIII
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j Xa z* = I ; y lea Hallar el wJumen del cuerpo limitado por el cilindro elfptico Xa +¿~ ’ a’ a’ +7 = plan planos os y=—
V = i J V +2x’ + x + x - y + 2x 2x ^l ^l -(-( xx-1 )* )* dx dx
; y=0 ; z=0 (x sO )
v= v=s[l
Polares elíptica
V = j | l~ l ~ ^ l ( X ¡ 1^ 1^
+
( *
- ' ) +arcsen(x-l)|
=>0árs1 OStfá2 Oá y ábreos y V=
J ’btCosÖacrcWiV = 2abcJ‘ '^Cosdtf Hallar Hallar el el volumen volumen del del sólido limitado por las supe superficies x’ x ’ +y* = 2x ; z=2-x’ - y * ;
Hallar el volumen volumen del sólido comprend comprendido ido dentro de lasuperficiez la superficiez =xy ; x*+y* =1 ; (T t Hallar (x -y f + (y-l]T «=1 «=1; z= z=0 x’ +y’ =2 x-»r * =2roo =2roos< s
OSxSl ; y=V l-x* ; y=ív;l-(x-1)* y=ív;l-(x-1)*
V=í.’lS^T v=í.’l
=Íaí GW *
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v = i f l x- xl - ^ W , - ( x - t), - x+ x( x - ') , ]* £
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Cos'O 39 Sen2O Savttf 1 8 ■* 4 32 J 9 z = a« - ^ - 4 y » - >z = 0
©
^
a, _ x, _ 4 yl =0
v = 4 j; r - Í! ^ V
Hallar el volumen del sólido comprendido por debajo de z = 8-y 1, por encima de z Oy dentrode lassuperficies y*=2x y y1= 8 - 2x
^2 f
|y, =2x [y* =8-2x
__
- * T 8
v=áí.v-*sr *
v =2/’j y (8 -y ’) d» ly =2j*(8x - y V ) J ^ dy V =2 j; 4 ( 8 - / ) V
,5
í
x=a4sentf =>
dx = aCoarJ&J
32-4y*-4y*+X.-4y*H X= ° ^ = - 2 V=2j*(32-12y*+y',)dy = 2 ^32y -4y+-^j V V = ¡ ar
(2
Hallare) volumen del sólido limitado por el paraboloide z
-«*-4/ ------------ — v
= ^ J»(a’ eos* g f" ’fcCosfldfl = ^ - J Í CcefW ( ' +T °) d- Í í T (' +2Cos2°+Cos’2ff)i0
3 1,2 4 i
12
z=O
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I SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICOIII
SOLUCIOMARIOANALISISMATEMATICOIII
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*° ,r : sen,gdg1 casi) >“ aos‘0
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u= Serví/ ; v=J du = Casttóü ;
V=
íL n(Senfl -t-Tg0)+-§2^- _J
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1
(^ÍL
M"T-T*l2”( ia-,;1
F
’ 2Cosfl aJCosfl],
M, = JJ y/xbody = f„‘ ( j ” y (x*+y*)dy )dx
v “.-r p T 1''(7 r } - c ( ^ T ^ Calcular la masay el centro de la masa de la lámina indicada para la densidad que se proporciona. a) Lámina: triangular con vértice (0,0) ,(0,a),(a,0); densidad í)(x 1y)= x*+y ’
u
i f a* a» a’ a»] a^lO -IS+fe+n ’ ~ 2|_3 ' 2 + 5 T o J 2 ^ 30 J M =£ * 30
M=i:r(x*+y,)dydx
(«•) y
My = JJxfx(x, y)dxdy=J *
x (x* +/ )lydx
M )
u=x
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;
dv=J(a-x)1dx
)*
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chi = dx ; 7
15
5 21JD
„f2^2 I n_6k [7 15 *5 21J 35 ^
4
5
v
20
M, = ¡¡ypdxdy = JJ j^ y (x*+y» )dydx
60 |0 60 15
M y= JJx^xíydx = |t’J^“kx (x*+ y' )dydx
(^Hr!) b) Lámina: Región limitada por y = s í, y* = x, densidad proporcional al cuadrado de la dstancia al origen
Dao ts:
J 2 x w x» 2xT'* x‘ V y " ( 9 6 21 24
y = X*; y’ = x; ^ = k(V^r ^y r) ‘
m» =kfi-J^-_LÍ=ÍLk (9 6 21 24J 504
M
k(x* +ys)dydx
55k ~ My _ 504 275
I SOUUCIONARIOANALJSIS MATEMATICO III
55k -_M x _ 5Q4 275
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©
lacurva; x*+yi = M de densidad >)( x,y) = x1+y ” en cada punto (x,y)
Pü-S® (T T
Encontrar el centro de masade una laminaque tiene laforma de unaregión limitadapor
Calcular la masa de una placa cuadrada de lado "a cuya densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la distancia >nutre este punto y uno de los vérticesdel cuadrado
Lamasa; M=J^ jVVf rdfl = J ^ ^ d í ; -
=2048«
Encontrar lamasa de una región planaacotadapor un arco de lacurva y= Senx,yel eje X, si la densidad es proporcional a la distancia desde el eje X.
/ > (*,y)= ky «= 0 ;(x * +/)dydx=|o,k ^ y + ^ jdbc
M= í :(r
^ ) d x = kJ ^
dx
/j(x,y)=k(x* +y*) M= jí f Sen2xdx =^ f 1~C°g2xdx 8J« 2'° 2 k[
r tj
Calcular lamasa deunaplacade radior, si su densidad es ladistanciaentre un punto y el centro y es igual a ¿> en labase de laplaca
Sen2x1
br
Ehcontrar la masa y el centro de masa de la reglón de la forma de un cuadrado de vértices0,1), (1,-1), (-1,*U (-1 l) y de densidad ^(x,y)=|>|
p = — ; k =¿r
M=r(í.Trdr)d<,=<«r^=2«‘'R’ I SOUJCIONARIOAMAUSISMATEMATICOIII
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M = f,[X ‘ (* - 'y )d y -j; (y -
(* - y * H l M * ] *
Mx= J^jVj-.drdíy = J VsenOdrdíV
* =JÍi|¡,Sen0
Cosoóo
« - C ( > - « « ) * » í s « * i ) * - » - ' • ' I ” , *«■ ♦ *£ M =0+1+1+1+1—0=' =
“l =Í =±
. y =^ =I =
Determinar la masay el centro de masa de la láminasi la densidad de área escomo se indica. La masa se mide en kilogramos y ladistancia en metras.
“■<"*,1
a) Una lamina enformade la región limitadapor laparábola x’ =84 , larecta y = 2, y el eje X, la densidad de áreavaria con la distancia desde la recta y = -t
Lueso: x=-j^ .=0 ; y = ^ = 0 => (V y) =(0,0)
Encuentra la masa y el centro de nasa de lareglón comprendida por las lineas y * 0 . x* +/ s1
x j
1 SOLUCIONARIOANALISIS MATEMATICOIII
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3(51!) S(64)¡ P My=fcf4(—3(51B) -- — -- —lix 123 )
3
— = 2 ^ x = ±4 /f(xTy)= k (y + l)
M=Jn*If,£fy'Hl)d>íx
^ “ | Z T _ s i (sxTis )_ 5x1(1sa)^Y m - |¡f1+K
[3 -1Si 5J
* l - tí j ? _ M - r f 56 s f [_3 El (SIS) 5(1SS)J
b) Una lamina en fornia de la regifin en el ¡primer cuadrante, limi M" i J .( 8 _5 “ 7 ) ± ‘ " i ( * c^ 5 i j ‘ í ; ) í
circunferencia x1+y* = a* y loa ejes oocrtenadoe. La densidad d
E^ 64(5) 12J 15 M,= xp(x,y) dA=£ l«(y+-1)dydx=|J*x(y+1)j^dx m
=¿ Í s _ 4 _ _ ^ 1 =2ZL^
“■-ií[fc-^T-’J],"in (g-sn r-“}fc 11+ 2J% 644 j E^ 64(6) l&Jü
Mx= - J l a x ^ ¿ - — ' ]d x= -Í4 x’ —
-H -
con lasuma de las distancias, deade las aristas arectas.
M= JT j^ kCrcDa^ + raEníJ)relFdíJ
x'l + yJ =a*r ^ ( xjv) = k(i!,y)
M=J^-^-| (cos-fl +sen{t)d(t
sm fldii =! t t5™^)-^)jj ^ ™;=jft [c™&í+ ( )]
* 4 H(6) 16J 3 M*= Í?Jn 3Í 1<1^ = J?|r ( rt™ ^ ) l<í r'c™ iJ+ !Ber,
=Jn J^ yjfT(*-
=Jnk[ j
M*= J^ Jn
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V = 2Jo’[(4 -y ,)x-^ ]| V 1- (y-0 , dy
V=2Í.‘ V = j'ie 'V x
v = f j 0V 1- ( y - ' ) ' ( « + 2 / -l + / -2 y + l ) d y
dx+ |*e''/x^y|^dx
V = ^ V * -(y -1f (48+3y*-2y)dy V
= J' (Sx'e* -2x6*)dx +£ (WSVxe* -x c‘ )dx
v = 8 | ^ l -( y - ,) d y- |j ;, y>/ l - ( y - |), dy-(-| £ y^ l - ( y - 1), dy
Integramos por partea: y= 2= >6 =— y=0 =>0=
v=e *(x , -3x4-3)j' + j'^ V íV x e 1- xe^d x = e*-e +■J*| a J Î J x -x^e'dx Hallar el volumen del sólido comprendido entre el paraboloide z = 4
— ys V = 4 ( y - l W l -‘ " ( ÿ - , )|o+4ar cs en (y -1^ - ^ ( y - I ^ , - ( y - 1/ dy
i x*+(y-1)*£l +sene)* Veos* fleos 8dy Proyectandoel plano XV ; z = 0; — + / =4 ¿*¿-1 16 4
+2sen0+sen,0)coe* W0
- V l - ( y - ' ) ’ ¿ x á v' l - ( y - 1 ) ’
w r r ( ‘-T-,')w
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I SOUUCIONARIOANALISISMATBMT1COIII
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v =
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^ " ^
OS rS l
v = ^ l ( 2 « ) = | ( 8 - 3 y 3 ) u >
4 ¿* [1- 0« (29)11+008(2ft)]d0 €
Hallar el volumen del sólido limitado superiormente por z = 1- (x*+y* ), inferiormente con el plano xy,y lateralmente por el cilindro x*+y*-x=0.
v — J + - L " 24 3 lò[
S e n t il i 91« 1 1 \n * 2Sen(«)] 4 Jl n ~ 24 3 1ó[2 2 4 J
(£ ■ Hallar el volumen del 9
inferiormentepor el disco x*+ (y _i) Si
e por la esfera: x'+ /+ z* =4,
=1-(x‘ +y>) ;
x* +y *=x-,[x-lj +
r* =arccs(>-+0 srsco stf OS z sl-r* v -* J? i.- ('
-M J
v - r S — -¥ ] •
Hallar el volumen del sòlido limitado superiormente por el cono z*=x*+y* e inferiormente por la región del pian XV interior a la curva x4+v* = 2ax
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(¡ y Hallarel área de lasuperficie x" +y* +z* =8 y y que estádentro del paraboloidey*= ^
^.(O -4)0| jn = 16<2«)=;
+ z* Hallar d áreade la fundón d d cilindro x* ♦ y*= 4 comprendida entreel plano z = 5x el plano XV. y*=x*+z? ;
x' +y *+ z! = 8 y ^ y ! +y I = 8y=* y=0 ;
Luego: x*+y*+z* =8y=»x , + (y -4 ), +z* =16 La fundón cuya área aevaluares:z = 5x La función cuya área aevaluares:
=> x =— en una función de y = f(x^).
y = 4+V l6 -x* -z* x’+ y '= 4 ; -2<¡xá 2 ; OS z S 5x 2 regiones
las derivadas pardales: » a*
x z &f _ V l6-x’ -z ’ 'az v'16-x’ -z ’
los límites, pasamos a coordenadas polares: +y* =16; r^4=>0srs4 ; O<í0S2it ; x’ +z’ =r4
Las derivadas parciales: — = ÍX
; — =0 Di
‘- ifF E A=8^7fe|.dx A =40f‘-=¿ = dx iaJTT*
A = -40V 4-x'[ A = -40(0-2)=80u' 3
SÜLUCIOMARIOANALISISMMEMAT1C0 III
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Hallar el área de la superficie y= 3?-i- i1conada por el cilindrox1+ z*= 1y situadaenel
Hallar el área de la superficie del paraboloide ■/ +- z1= Ey, interceptada per el cL parabólico / = 2xy el plano x = fi
Lajráfica: y*= Ex
Lagráfica: y = x*+ zI ; íí+z3 =1 La función cuya área a evaluar es: y =
x1+ yl = 1
O
x = fc
Los llrnices; -Jtx
£ JíSc ; O ix iít
+ z*en unafanción de y =
;
ü ir iS l
;
a
OáBSEit
í+
7C El área:
a
A = 2 ^ ^ 7 Í J a™ ( - ^ J ^ d x = f l jS j ; jr ^ A n » , ^ | jd *
= J ^ ' 1+ ( 2 ] + ( 1 )
|>
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T z ! j i . ^ [Ejt)=£ £ d _ V ie w ó 12 ya
A=
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f tx + s) “ dx = ^ 7 ^
^ _ W a f s f ’ - í 1 !] _ W Í [ l& / s - a / i ] _ E04n-Í 5
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SOLUCIOHARIOAHAUSIE MATEMATICOIII
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A=c S v E @ 5 ^ dydx=c S 7 r ^ 7 dydx A = 4 £ A ^ [ ^ h ^ * , = 4 / > A rc^ [ j Z ¿ . ] * = I
2
A . - 2 a'J ^C os fB )- 1 ^» - - 2 a ' [ S e ^ 0 | . - 2 a ' [0 - t i ). S a W
Q
Hallar e) área de lapane de la esferax*+ f + z4= 4 cortada por el cilindro x*/4+y*=1
o
Hallar el área de la porción de la superficie que se forma al cortar la esfera x’ +y ’ +z ’ = 4x por unahoja del cono y*+z* = x*
La función cuya área a evaluar es: En el siguiente esquema: x*+ys+ z, =4x= ^ (x -2 )' -t-y’ +z* = Los limites Lafunción cuya área a evaluar es
x’ /4+ y'=1 =*-2 sx <£2 -í>/4^7áysJ>/4^7
at
M_ x«_y*
El área: Dos regiones:
'
¿y
r-t-x 1-•
m
Las derivadas parciales: y £x=_ z Sx_ ;'4-y’-z ' ’ & Jl -y * -* *
s. pasamos a coordenadas polares: x= 2= »y *+ x’ =4 => r=2 => 0S rS 2 ; 0s es 2n ; x*+z*=
SOLUCtONARJOANALISISMATEMATICOIII I
SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
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A° a v ; , , z.^ = n : ¿ i ^ A = - SJJ '-Z TV
d8=-2 (O- 2)» ^ = ♦(2it)=8«U* La función cuya área a evaluar es: z = x*
0
Hallar el área de la parte del plano z = x encerrado dentro del cilindro x* + y* = 4 por encima del plano z = O
Lafunción cuya área a evaluar es: z
Las derivadas parciales:
Los límites en coordenadas polares: 0£ xá^2 ; O á y s V S -x
* = t ; *= 0
Los límites encoordenadas potares: 0árá2 ; OáOáit A = |^ W Í74 7| ^_Xdx = ^ { J Z - x y T Ü Z F d x
*■ % * 0
Hallar el área de la paite de la superficie del cilindro z = x* cortada por los planea x+ y= V§ . x= 0 ; y= 0
R fl SOLUCIONARIOANÁLISISMATEMATICOIII
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En el esquema se muestra el área a determinar. La fundón cuya área aevaluar es: y =v,2ax—x ' En el esquema se muestra el área a determinar. Lafunción cuya área a evaluar es:
¿¥_ 2a-x
. £y=0
Lasderivadas pardales: ^ ñt 0£x £2
“
£=0 Los límites: x*+y>= 2ax=>0áxS2a ; 0SzS>// +x*
; O á y S ^- x * ; 8 regiones
0Szs V2ax -x, +x* =>0ázsV2ax
- ifÜ IU — rrfb & J . O
Calcular el área de laparte de lasuperfide del cilindro x4+ y*= 2axcomprendida entre el plano XY y el cono f = z*
Los limites: x, +y , =2ax= *(x-a)t +y*=a!
I
=c i ^ d z -t-rra A< r ^ ^ ^ - w = o r ^ * - c A =a /H Jo' V ,'5z k 2aXdx = S - j l a j^ ^ d x = 4a|“ dx = 4a(2a) =8 aV
SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
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La función cuya área a evaluar e
• Los límites: OS xá2a ; O S y í^ a '-( x -a * ) (4 regiones) • El área
Los limites: o sxsaI ; 0SySb^1-^j; OSzSC^I+^j-jjj A = 4 V 2 n f ^ d y d x = W 5 / > ' - ( * - ) ’ <*
El área:
A = VaV +b*+c2+a* Calcular el área de la parte de la esfera x* +y’ +z’ = as cortada por el cilindro A V a y + b V -t -a V f x^Ja v'a't b' +c* f a r~2 ajlo " a V O
a') V aV -t-b'c* +a'c* 2 bJ "
Hallar el área de la parte de la superficie del cono x1=y’ , situado dentro del ci x* +y* =2ax
Puesto que la superficie a determinar esde la esfera:
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&
losHmices:-asxáa; — -Ja'-x* S yS -V a' -x* (2regiones)
A = SaJ'Arcsenj -p _Ì L_ |~ ^a -x d x=8aJ’ Arcsen|
•Jx' +y'
’ <5y ^x’ +y*
Los límites: OS íK n/4 ; OS r' 5 asCos(2e) cuatro regiones
~X*\ix
A = 8aJ" Arcsen|^—Jdx = SaArcsen^- Ja=8a*Arcsen^-j A = 2V Í£ r’ Iv'aCoS' 20J dO= 2V5pa!Cos(2ffjd0 =V2?Sen(26) 4 = VtoV 1° “ |0 Hallar el área de la parte del (x«+y‘ )’ = a’ (x*-y«)
O
Hallar el áreade la parte de laesfera x*+y* +z* = 4z y queestá dentro del paraboloide 3z = x*+y*
Las limites: (x*+y, ), = a*(x*-y, )= »r 4=a*[r*Cos(O)-r,Sen(0)] => r>=a*Cos(2B)
ele
x*-t-y*+z’ = 4z ; 3z=sx! + y, =>3z+z, = 4z =>z =0 ; z=l Dedonde: 3 z=z, +y, =*r* = 3=»0 á Üírt ; OsrS^3 Las derivadas parciales:
5 5
El área a determinar es de la esfera: X +y” +Z = 4z=>x* +y* +(z -2)’ =
z = J 7 7 7
H
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y' 4-x ’ -y* ’ ¿V
' ’ !t i ££rá ’ ‘ ■2Í
^4 -x *- y*
- 8Í
• El área: .
*- r f * - r t 1jq T T f" 8 A = 0 ; ‘,^ L . < w e = ^ T 7 ?| ^ «£ *= 2(1 -2 )( 2« )= 4m *
,6(„ i)-;| , » [ « * ] » ( « - i ) 3 |0 3 3 U
Hallar el área de la parte del
cono z*=x' +y ' situada por encima del plano XY y
recortada por el plano z = J i — +1 I 0
Hallar el área de la parte de la superficie z* = 4x recortada por el cilindro y* = 4x y el
Umtes:
=x*+y’ =>^-+2x+2=x*+y’ =>3Í-4x-4+2y*=0 (x-2)% 2y, =8=>-2sys2 ; 2-V8-2y, fixs2+VS-2y*
Paralasuperficie: z = -Jx'+y', las derivadas parciales: & _ x &_ y Bx~ylx'+ y' ' ay '^x ’ +y*
El áreaa determinar es de lasuperficie: z = 2-Jx (2 regiones)
:_& 1_ ; jte_ Sy=
• Las derivadas parciales: -
"£ £ »
__
H ^ ív ) ‘Wy
Los límites: OSxSl ; y’=4x=>-2>/x SxS2vx El área:
=ü +( l j +(|) " =2£
+(¿J
=2jC
A =■/!£ (2 +v'8-2y’ -2 +V8-2y* )dy
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En el esquema se muestra el área a determinar
Los límites en polares: x* + y’ = ax =»r s= arCos(0) r = aCos(0)
La función cuya área a evaluar es: x=Vy*+x* (2 regiones) Las derivadas parciales:
-2Ár"^= ? A = -2a£>/a' -r '
’ «fe
= -2ap„[ya* -a ’Cos’ (8)-V ?]d e
Los límites: x’ +y’ =2ax= »0áx S2a; 0 Sy S ^a *- (x -a )‘ El área:
A = - 2 a a|yl-Cos' (0) - 1Jdf)= -2aE£.[v Sen s(e) - l]de A = ^a*|J[Sen(e )-l })e = 4a*[e+Cos(ft)]Í=4a* j| -l j = 2a»(*-2)
0
Hallar el área de la parte de la superficie del cono x* = y!+zs situado dentro del
A ^ jf ^ d y d x
cilindro x* -t-y*=2ax A = &/2j“ ,/a*-(x-a)*dx = 2v^2^ X~a^ V ~ (>llf! L + £ a rc S e n^ j tos límites; x*+y* = 2ax=>(x-a)* +y* =ai*
Z I
A=V5a’.TU*
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O
Encuentre el área centrada dentro de un pétalo de larosa r = 12Cos (39)
Encuentre el centroide de la región encerrada por la cardiode r=1+oos9
A =2
A=
rdrdB= 3 ^ r*^200^ 30^ » = 3£ ( 144)Cas*(39) dB
M» = JJ ydA = ¡ “ I*'*'“ (raen9)rdnd9
3lo Sen
M, = f’ — I
Encuentre el área de la región cortada del primer cuacante por la c r=1+Sen(fl)
..
('*')■ ('*')■ .
My= jJxd A= JJ* j* “ *roosOrdiflc»
£i=aL My = - i J * (l-t- 2 cas 9+3 coa18+ oos' 0)cos0d8
z i
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1
1
I
My=-i Jo**(coeJ+ 3oqs‘ 0+3cos*flcosfl+cos*0)dB
A=| Í [ (,+2y)V’ - ( ,+y)V’] dy
Mv= -3 [^ t+i n ,+^ “ )^ +r 3(,+aE^)°osed9+ír(i±? ?!),d9
2 h ( l + 2y)M
4 4 [ f +^
2e], * *[ ** ~ y ? j o ^ n c +2ras2e+c“ !2eH
2 8^
/ *
J
Q
-
M,
tlíi/ 2 11 - 0 „ =11 : y= Á =0
x=X = — T
r - v ( 11 \ r ;y) = ll 2; J
,
^
Halle el área de la superficie descrita: a) La porción de la superficie z =^ (x’1’ +yvl) situada encima del triángulo
- H
- i H
iL“ - i
jW .V +ac*+aV f ab ^
Z. =yfx ;
OáxSy
;
0 Sy £ l
ZT =Vy
ydXdy
*-5
* -r í< 4>f ( ? ) * ( ? ) « ■ — I r T r f A =JTVl+7 +‘? b(1+a)dX
F={(x,y)/0í¡xsy;0sys^
;
i
^9^+2—8^2 Ju’
“
z=|(xM+y**)
5
b) Laporción del pla no -+^--»--= 1 enel primer ociante(a >0 ,b >0 ,c >0)
M -ÍÍ55 + « !- ” « 8 3[ 2 ^
5
A =-^[W3-1-2(W Í)+2]
A =^ 3[
2(y +. r l ’
.
x’ ja 2aJO
Va'+b’+aV+aV S
c) La parte del cilindro x" +z* =a’ que esto dentro del cilindro x*+y* = a*
A = í.’(í.yv1+(Z*)*+ (Zr )*dX) ly = l X ',1+ X+
SOLUCtOkARJOANAUSS MATHMATICu hi
|
—
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1
r
1
L> Laparte Laparte del cono jî *= y 1-4-zsque 1-4-zsque está, tá, dentro dentro de laesfera laesfera s? -i-y1+ ^
limites:
i c (5 - x ) a a t U & % | l“
y1-i-iI +y 1-i-zs=2z -i-zs=2z y*-t-z==Ez -
=>
y* +( z- l) l =1
;
^ =? 7 ^
6+ 6+ fi +Sk “
M ͱ Í-4 t “ 6 a ;
El momento en k Mx= JJ yf (x^yJdA (x^yJdA
A - . j r r v i + ( * , ) , +í*.)i,BWfl « , - r r i ,N , N d>d x = f ^ | i
A=
^ J*sen’edö ’edö El mom momen ento-e to-en n y: Mx= JJ^xf (x,y) dA a
= Æ 2
71]. Hallar el rentra rentr a de masa de laplaca la placa Pque está descrita descrita h)1:£ x £4
v
i
f
t
^
H
í
T
^
í
; Í s y í 5 - K ; p=k y p=k *V = | [ S M - Í j + M - I f i l i < * } - | . 3 - j + l O ^ t }] }]
Lamasa: M= J*
= j^J^ l^ly dx
---------------------------------------------------------
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Los límites de la integra) están dados:
,=n. ,=n.T(x T(x,+yt+ ,+yt+z')d^ )d^ = 0 « ( x^+y^+7jod 7jod> >dx +r ) d>rtc=í.' í.'(oc’y+í +^ ] o dx [ ( x*cb x*cb |xcb] |xcb] xcJb1a xcJb1a a^cb a^cb acta1 af'b 3 ' 3 ={ 3 + 3 + 3 J o " 3 Q
abe(a* (a* +b* +b* +c*) +c*) 3
1=Í5 1=Í5 ( » ) J» l 900*1 900*1 ~ 36x 36x11 " 5850x+1 5850x+11SS0)dx 1SS0)dx
Fvaluar Fvaluar laintegral laintegral triple Jj jydxd jy dxdydz, ydz, si Ses laregión región limitad limitada a por el tetraedroformado formado
I s - L ^ x 5-9x 5-9x* * -29 -2959x* +11 +112S0x^
por el plano I2x + 2 0y+15z 0y+1 5z = 60 y loeplanos coorden coordenados ados..
I= _L [3° °(5/ - 9( 5/ -2959( -2959(5)* 5)* +1125 +11250(5 0(5)] )]
^
Calcular Calcular JjJxydxdydz JjJx ydxdydz,, si el términoT esta esta limitada limitadapor laesfera x* x* +y* +z* =1 y lo plano planoss x = 0, y = 0 , z = 0
0sxá5 ; 0sys(l5-3x)/5 0szs(60-12x-20y)/15 l = JJJ JJi[ydx i[ydxdyd dydzz = j ^ p r
Z I
ydzdyd ydzdydx x SO SOLUCIONARLOAN OANALISISM ISISMA ATEM TEMATICOII ICOIIII I
SO SOUJCIOIMARIOA IOANALISIS ISISMATEM TEMATIC TICOIII
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'-rfT
I =J =Jo,r x « y « dy d yd x = £ ^ - Xd Xdx
H t.
l=J >-^ -^ -^ -i t( = J j|>x*(l-3x+3 x*-xi)d x=^J|(x,-3x* +3x‘-x +3x‘-x* *)eb )ebc 1_1('x> 3x* |3xa |3xa xM|1_ 1 Q _ 3 + 3_ 3_ 1' 1'| 1_ 3^3 4 + 5 6 J|o~3U J|o~3U 4 + 5 6/180
x W l- x '-y 'd yd x
__
Q
Calcula alculai-i- JJfyCo JJ fyCos(x s(x+ + z) dxdydz, dxdydz, donde donde D es un un domin dominio io limitado itado por por el el cilindro cilindro y = Jx ylœ pian piano os y = 0, 0, z=0 z=0,, x +z = -î
Calcula JJ J xydxd xydxdyd ydz, z, dond donde e D es un dom domrnio rnio lim limrta rtado par par et et para parabo bolo loid ide e hipe hiperb rbôt ôtic ico o z = xy x y , y lospiano pianoss x + y = 1; z = 0 (z 2: 0)
0Sx £- ; OSyiVx : 0£ z£ --x 2 2 > = r i f r > ^ ( - z ) < W = r i f >« > «en(x +z) |^/ 2~ Xdvdx sen(x )| dx - C C y [s e n (x ^ -x j- s e n (x )j d yd x = j; ^ [ s e n( | j - sen(x
artes: u = x=>du = dx
Los limites sort
0£X£1 0£X£1 ; OSySlOSy Sl-X X ; OSzSxy OSzSxy
'=J; r r ^ = r r
v = J[ l -Sen (x) dx= x+Co s(x)]
I.i[xVx Coi(x)j|'/2Coi(x)j|'/2- l j ^ x +Cc +Ccs(x s(x)j«k )j«k SOLUCIOMARIOA IOANAUSIS MATEM TEMATICOII ICOIIII if*
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OSOSfcl
;
s«íW-a[lcoi(e)-iJ-«[ls«(e)-lj ral: ¡O !,
-2^S en (e)-i J —i rCos{9)+ HrSen0+12rdrd0 A (0,3*0) =» 0+3A+ 0+C =0 =>C= -3 A B(3y2,0)=»3+2A+0+C =0= »3 +2 A+ 0-3 A= 0= »A =3 ; C=>J9 14«Cose+14tSen0+l2reW8
C(0,0,2)=»0+0+2B+C=0=>2B=9=>B=| De donde: 2x+6y+9z-18=0
. i 109/”109
1 f 109V1J2n 748 503n =“ T ”
Calcular JJ[e*-"*dxdydz, donde Dea el tetraedro de vértices (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0) y
n tc v ~
(0,0,2)
-*”&<**
I =J(]'(3eTx,'^ ,w - e T 1)|g~^/3dx =ja'(3eT"' r" -3e” w -e**^'1+e’“ ,~':,)dx
r
I souucionarioanAüsis matemático III
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l = £(3e*‘,;w -3e"4*
+e'“” )dx = jjfïe’*'1-1-3e'" +e5" )d x
I = 3e’*'3**-3e— + - 5|3 = 3e3-3e’ -3e 1+3e*+ - e» -- e "
0
Calcular JJJx'ydxdydz, OSzSn/2, OSzSn/2, Osy sa, 0£ x£ >Cos(z)
0SxS2 ¡
Puesto que los límites están definidos, integramos:
2-y =4 -y1 =>y' -y-2= 0= >y =2 ;y=-1 - lá y £ 2
; &yszs4 -y‘
=Í.XC/c',dzdyrtt=££e* t * ** '
j T Cos,(z)Coe(z>dz
jr ’L1-Sen'(z)]^s(z)dz
I"S[a"W"ï 5^ f = ^H )= f G Hallar JJJe®dxd>dz
Integramospor partes: u = 2+y -y * => d u= (l -2y) dy ; v=|e*dy = e"
donde D es el sólido limitado por las superficies / +
y + z = 2 ;Z = 0 ;Z =2 u = l- 2 y du=-2dy v=Je*dy = —
U B I SULUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
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1 1
^
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____________
Calcular j J x d z r i n k
T Calcular
-Ç^ J=¿(3*-+3aE- +B-}
^eüeüw ■=rrr^=rr i=jr xCt+^~2^)di,dx=j„jtx(y_i)sdydx '-Í ' s"'"fi “'-ï^-- "/ ^ d‘-íÍ(,‘ - I*
donde D es d sílido limitado pw ESv :l3, Os ysx , 0£ z£ y
i^EEEIW 1=HXv??=IT'Hä**=í=/*^ [jl^ '-jrc^ ^-îf »t^-ï ä -t t-^T3=! Calcular
zdidxdy
Calcular
T=J.*JTJT^ zdzdxliy=JT [ti f -**'‘“f
£J* (x +y 4-z)dzidydx ^EEELHW ■=!□nrtx+y+z>d2dytfe=!□jr[(x+y)1+\]|r y,iyd* j"
Q
Calcular
2
j" E
W l . 7 B 0 3
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<-rr I=
■-IL f"-*—II.-ŸIf'w -iL ’? **
zSen|^— jdxdz = £"* ' zSen( x ) dxdz = -J n*
'■I1r{/zd";I(''-;)d"í(ír-ü]s
•=-jr[2c“ (i)-zc“ (z)]dz Intégrâmes por partes: u=z=>d u=dz ; v=|Cos(z)iz = Sen(z) a)
©
« —
C) L7;í orx>Sen(yz)*dydx
f i r ye’dzdxdy
b) J#7 X (z - -yjdzdxdy
d) J X J S ^
,= r a ^ ^ = í. T ^ ir (x)d^= a T ^,^ ‘] ^ y* y« y-12 64-1 16 -1 ,8 -1 12 3 3 |l 12 3 3
©
“ —
l í J f xydxdydz
gl
4
7 31 3 12
a)ía'j„’í>VdXdi 1=] Y tL d ydz=r’^ | zd z = i ; ^ d z = dz = ¿| 1= - i 2 10 |o * 10 * 10 90|0 go b ) £ íó f l * - y ) dzdxdV = £
C T SOLUCIONARIQANALISIS MATEMÀTICO111
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------------------ .
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u=U,(x+y)=>du=-^- ; v=Jdy=y '=í X f i V -
J
=! X ( - | -
i =r ( t - £ J L +y*idy= ¿ - £ 2 3 60 8
6
|=Jo[2xLn(2x+x) xLn(x-x) {, L — l J — jfc
^ 1 ° =0+l +i * 1 U = ZL 3 |-l 60 8 6 3 120
t= j t [^ ( v c) JJ £ £ xySen (yz)dzdydx
)-r ' * + < • & ) * - ^
H f ) _ í x+xu,íx+y^ ] *
—r i ..r i ,=io[xU,( T ) _2x+x+xLn^ ^ " xU’(Sb£^]dlc=^ t ,iln(' T ) _x] dx
u=. f^ x^
1=JTJL i*xySen(Vz)dzc*yc±>c— J,’ xCos(yzj'd y*!
,
dx r . T ; ^
X* T
J
u J 2 UI Ì J- ! 2j 2 i Zi jÌ . , 4 *- ì * 2i j 2( t 2S lj - 42 .2i 4[ 2 :^ 16 ] - 5
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+v* +2xy) -Ln(x* + / +1-X* -y* )]<*ydx
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SOLUCIONAR«)ANALISISM AlblAiuuhi
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1
1
Integramos por parces; l - j ! [ ( 4- * > í T L - ( 4 - is‘ ) } s r « ,d ,,* | (.t (4x- ib,' )W - (’,' - ! x) *
u = Ln(x’+z* )^du= -?2ËL - v=Jdz = z
x- 1 = Sen(e) => cbc=Cos(e)dö l-(x-l)=Coe*(e) x = 0=>-1 =Sen|6) • 0=--R ; x = 2 1=Scn(6| ' 0=-— l=|
Sen*(e)>/co8,(0)co8(e) d0
£ Serf (6)Cos' (O) d9
*+**’£* u
V5 x *ü ,( 4 )| J- J j*[ * * ( Æ ) ) k + f
1 =7 3( 4- l) ln (4 )-7 3 jo,x ’dx+J*^xArct8(\/3|Jdx
6L2 2j 6 8)
“ £‘
" l y a ' - x ' - y ’ dzdydx
JK¡¡2¡2¿2Br j f ~ v Va* -** -y* ‘W <
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= £ J æt? C ! v dzdydx=£ £sr ? (4_x*-y* _4+2x)dydx
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- y ' H ^ = r ( ^ - x V ^ j ^ a=
T=ridKJcr v r11 " (JIJ l(z:/~Y)^ * -e K * + v - * ) rTiteÿaincû por partes: : x = aSen(0)=»dx = aCca(e}d9
u=Ln (z-x-y}^* =-
( = a=ta = a5en(8)=*0=| ; x=0 =* Û^e n( e) =*0 = 0
:= | ^ [a ’C™ 1 (A)]311aCoa (t ì) dfl = ^ - J^Coc 1 (fl) Cos(f l) da 3a* r r ,, n i 3a* fíri+CLMfa aiT l = - J ? [ ^ - ( 9)] * = — J?[— 1=J L J^‘[ l + ECoa(a0)+ Co i (39) ]d9
'- n r (,-.KLr..)[-M --»|ry” - r " h i_ r r " v** ** r*e- ,t- >í- r ^ r : : ; ^ ]* m
'■ r r ^ ^ ^ . f r - w . K r - r S ? ] « '-rr^^irí—
j rv*1*-
p j p.-1-i [~x+ y+g— x—y— e - (x+ y)ln (x+ y + e- x - y }+ (a + y)Ln (x+ y)] -J. J. (*-€)(x+y-€) ^ i = r r [ - ( ^ N # t y )M » y )]^ J" J» (x-e )(x4 -y-Ej r
r ^ r(y+y)Ln(x +y ) -( x + y ) ]^ _ (* -fi){*+y -e) ^
= J. J.
SOLUCßHARUDAHÄUS15MATEMATICOIII I
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i=i4*“M)T**>4='iseft^^dy=’5<=Da^d&
UU .(* +y )= xta = J L F ^ r i ^ 2 ^ = i h L 2 ^ 1 f l ± = y + eU 1(x + y - e) v ' x+ y J x + y -e * x + y -e ' '
|=p^f j" L
; ^ ~ e=f ¡ ^ ^ H
ZileLnix+ y-e)k-K-1Í—-'Y+e\n(x+y-e) 1 k1
j. L
(*+ y|(K-e )
( « +v M- e )
1
* ]'
J C [ V4-ac»(!0)+Ü ^ Í ^ ] dB if , , e Sente}!, | = _ ^ +san(s*)+ r _ i - ! | _
I =Ln(e-l)ln(e-1 -e)-(e -l)ln(e -l)-Ln(e -l)ln(e )-£~ ------ ^ ^
-r--r^ -r[r Calcular la integrai triple;
1=!□iS
*]*=5
T=J,|(>r- f.) ^ - 7 -^Y~yp
eJar JJj(Ex-i-3y-.z)d>!ri>dz1donde C = {(x,y,z) fO £ x £ bvO£ y £ b-x^ O £ z £ a} ^EnnstiÄ
1=in"r j"t®*■i"3y-z)dzibriy=cr f2” h'3>t Jodydx 1■Í.T (E“*3'*4 ]
íí£ r*
=JiJSC y■**_yI^
^dx +
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J^rdy
= |/’[ - V -
**
,n=-^ *+fl+T + C
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'■ K f - î H ^ ^ È - Î h ï H - T - " ab3 atf a'tf Gab1 Jb= atf fl0b-3a) “ 3 2 4 _ É 4 “ IS
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Calcular J jj ( x+ y +z jdxdydz, donde T es untetraedro limitado por los planos x+y+z=a, x=0; y=0 ; zMX ( ? ) Calcular JJJxyzdxdydz, donde laregión T estalimitadapor las superficies
y =x* , x=y * , z= xy
, z= 0
En la gráfica: y=x*,x=y\z=xy,z=0 Limites: OSxSI ; 3C*SysVx; OSzSxy j|J(x +y+z) dxdy dz Limites: O S x ía ; OS yS a- x Oázáa-x-y
1=riTÍT' ( x+y+z)dzd«ly=j>* J ^ ^ +yz+^ j| j" X_ydyd)!
'= ir
dy«k=\ ' £ ^ i d y t f c c
■=^xVd>rtc=l j;^ [^ d x = ^ V (x*-x')dx = , =i r v - x " ) d x = i í ¿ - ¿ l t = i r i - L V i a i = ± 8*' 8\ 6 12J|o 8 U 12/ 8U 2J 96 ’
I = j ; r [ a x - x ’ - x y + a y - x y / i ^a~ X~ Y ) Idydx
= r (« v -A -
ay- y3 (a-x-yn
, = na(a x-x 1)-a,<»+x1-x (a -x )!
a(a -x)1 (a-x)~ (a - x f )
r ÍJK X +y +z )dxrfydz- <
Integramos en laregión dada: I =f
lapor: 1sxs3; 1syá3,
^( x+y+z) dzdydx
,< í:( « ^ 4 ]V -ff(3x+3y+l- x-y-i)dydit
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I= Ji1JiJ(2x+2y+4)dycfc- / ’(Sxy+y* +4y)|^dx 1= J1(6x +9+1 2-2 x-1-4 )d x = ||:,(4x+1 6)dx = 2x! + I6x|^ = 48 Los límites: 0s:x s:2 0
; Oá ySl
Calcular jj j xdxdydz donde T es la región comprendida entre los planos coordenadas y l= £ £ £ (x + y + z+ 2 ), dzdydx= 2ja’j o’(x+ y-i-z+2}, |4 dydx el plano x+2y +z = 4 en el primer aladrante. I = 2j*J’ (>/x +y+ 6-Vx +y+ l fdydx
,°gJ:[g(Xl +6^ 8(X7 +l^ dx Oáx£4 1 -f
0SyS±(4-x)
-
+(x+ljpjdx
4|2( x , 7^ 2(x ,6 )f _2 (x ^ 5 3, 5 5
0SzS4—x-2y
^(x ^p L 5
lo
l=-i [(9 )-í-(8r*-(4)í +(3)* -(7j í+(6jí+(2r*-l] x(^ - ®y~x)dydx= j* x( 4y -y* - xy)| i~dx T=-^ (243-12&/2-32+ W3-4W 7+3fr/6+4 /2-1) 1=-^ ( 2IO - 12éní^ / 3 -49^7 +36«/6)
^
Encontrar el volumen del sòlido acotado inferiormentepor el paraboloide z = superiormente por el plano z = 2y
I SOUICIONARIOANALISIS MATEMATICOIII
SOLUCIOMARIOANALISISMATEMATICOMI
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e
+3y* = 4-y s=>i+y* =1= >-1Sy £l -fi^l-y* s xsayi-y*
x*+ys =2 y= *x* +(y -l) * = l=*C(q,1), =» r=1
En cilfndricas: x* +y ’ = 2y => r* = 2rSen(6) =*•0 S r 5 2Sen(e) =>OS0Sn/ 2(2 regiones)
;
r*Szfi2rSen(0 )
(4 -/ -x , -3y’)dxdy-4j'j^P5{4-4y' -x*)d«iy V = S£ " j p ' l[2r’Sen(e)-r*]drd0 =
e>d8 V = 4 i; [ .1- y * K r d y = 4 ^ B ( t - y » r
y-=r[16ST (0)
i r [1"
j f r = f f l l -y ^ d y
Hacemos; y = Sen(0)=»d >' = Cos(9) dB ; J l - y ' =Cos(e) Si y =l=> 6=- ; y= 0 => 8=0
« e Sgn(4e)U/2 n x x , = 2+ 3 + 24 |o “ 3 + 6+ = 2U
0Hallar el volumen del sòlido S limitado superiormente por el cilindro parabòlico z = 4-/ e inferiormente por el paraboloide elfpòco z = x*+3/
v - i n ^ o r ^ i - T n ^ w r - f r f ^ 3]-« V=-fr,[1+2Cos(2e)+C°s*(2»)]d» V = — 0-fSen(2e)-
t ^ l SULUUONARIOAMAUSISMATEMÀTICOIII
8 Sen(4fl)1|«y SOLUCIOMARKDANAUS1SMATEMATICOMI
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O
9Sen(4fl)|n/2
Hallar el volumendel sólido limitadosuperiormente por el plano z =y e interiormentepor z = x* V
Hallar el volumen encebado entre lassuperficies z = x1+3/, z =4 - y*
Limites: z = x*+3y’ ; z=4-y, =*x,+3y, = 4-y*= » ^ +y ’ = 1
x*+y*=y=»x*+(y—1/2)f=1/4=*c(o,l/2)r=1/4
—l£y s 1
;
S ^ l- y ’ Sx S2 ^1 -y s
Volum en: +y! =y=* r! = rSen(O)=>0¿ráSen{8) =>0á6 £n/ 2 (2 regiones}
V-2J[ zJ^T; J ^díílxdy -2j2¿’>'7 (4-y*-K* -3yI)di«ly
; r*SzárSen(B )
v=2r r r ^ = 2r v=sn ; W
K ] « = <*
Hacemos: y=Sen(e)=>dy=Cos{®)d0; yVy*=Cos(8) Siy=l
=>0=| ; y=0=>0=0
v = 2 r | - ^ ) - S g ^ ) j de =, r p - c^ 2 a )| de
v-iH 1-2cos(2e)+coa’(2e)>*e
-lJT["*y] de=|/f[i+2a»(20)+coa*(2e)]de 6|Sen(40)T>116[~«(«1 V = -f 0+Sen(20). a"1
H
8
Jp
= 3L2 + 4J =
1
3 S0LUCI0MARI0 ANALISISMATEMÁTICOIII
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v=í>tík=í’c2x-2x,}ix=x*-T|’ H = irf v= n ; r ^ v=L’Jj(1+3x+2y)dy(t(
Hallar el volumen del cuerpo limitado por las superficies z=x * +y' y z=x’ +2y* y los planos y = x, y=2 x,x=1
V=£(y+3xy+y*¿dx ' =J#’(x* +3x>+x *-x 1-3x*-x *) dx= J’(x*+2X5-2x 4-x* )dx
x* t * . xT xT «»■f ..1 ,1 ,1 » 61 j 5 210 = 3 +T 7 5 |D_ 3 ■'
Volumen
\ f ' V '** c
v = r r c
w
=a
>
w
- x - - y = j^ v a y « *
Hallar el volumen en el primer octante, del solido acotado por: ; 3x-t-4y-24=0, x=0,y=0,z=0
a:-8áxá8 ; 0SyS6-3x/*¡ 0£z£64-x* 0
Hallar el volumen del solido acotado por los cilindros y=x*, y=xJ y los planos z
v- j r r - ^
z=1+3x+44-24 =x\ y=x' => 2x' Sy S’2x ;
v=rjr>-*> *
z=l +3x + 4y-24 ; Oáxál 3 -x -y S zá 4 -x -y
V = £ ( M y -x ’ yf ^ d x = j^3 84 -4 8X -Ó X1
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jdx
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o
Hallar el volumendel cuerpo limitado por el paraboloide z=x*+y* yel dlindroz=4 -x*
V=384 -24 xs-2 x >- 3 h
V Q
= 384(8+8)-24 (64-64)-2(512)+<^1875(4096— KWó) = 2048uJ
[imites
z =x , + y ‘ ; z =4 -x * =>
^ ^
- J ì i x z J i ; - J i - J i - x ' áyá^2V2-x*
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide (x -l)* +y * = z yel plano2x+z=2 M - y » i y :' r y
x*+y* = 4-x * =>
Grafica
f
V=2iT2r^'í,Vdzd>dx
(x-1 )’ +y 5= 2-2x =*x' -2x+l +y* =2-2 x =ax'+y* =1 Eh cilindricas: OS0 S2* ; Os rà l z=x*-2 x+l+y *^0 szSr ’ -2rCos(0)+1
Hacemos x =V2Sen(y)=»dx=/2Cos(y) Si X=J1= >
r- n o - — =nò[2-2rc“ W-ri
B
V=
0=- ; 2
X= 0
=90= 0
^[ TÍ C o s1(tf^ ’VsCosJíf)dt) = -^ 1 { ‘’[eoe1(tf)]’dtf
SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICOIII
SOUJCtONARiOANÁUSÍSMATEMATICO
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INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE COORDENADAS CILINDRICAS V ESFÉRICAS En el gráfico Q
Calcular la integral tripte JjJVx* +y*dxdytb, donde D es el sólido limitado por z=VxVy’ ,z=l.
Loslimites, pasamosa coordenadascilindricas: z=1 »x '+y * =1 » r = 1=»0srs1 ; 0stf£2n l=J|jVxT37dxdydz
^ + / = 2 t j^ + / = 4 ^V is rs 2 ; Ostfsa* ; 0áz¡£4
I = J^£jV?ntaW é>
I
■-rw—
1=n x ri- ) > =nAi>n(r!+4)-scn(r* ,- C ei [ Ca"(r' ^4) - c“ (,' ) ¿ d<í =^ [cas(8)-cos(4)_Co6(6)+CoB(2)]0|;-
-r tM — ctH l-6-3 f-S -s 0
Calcular JjJC ciB ^ +y* +z)dxdyt te, dondeD esel sólido acotado por lassuperficies *+y* =2, x*+y*=4 ,z = 0tz = 4
= JjJ Coa(x* + y*+ z j dxdydz= J**j^ £ Cas(r*+ z jrdzdrdí?
I = *[Cos(8)-Coe(4) -C oe(6)+ Cas( 2)] 0
Calcular JJJ(x* +/ ) dxdyd z, donde laregión T está limitadapor las superficies: z=(x* +y*) /2tz = 2.
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Uh límites, pasamos acoordenadas cilindricas:
;z=3=>T=E=>Ü:LtfS2lE;
z = (x’ +y*);S
r*/2s:zí2 1=J ] j f v 1+ y’ Jdxdydz=
j*J^ ,
r^rdzAdíl=f*J'
1
1=Q V ( a- r1 S^frdfJ = /“ /"(Sr1- ^ Vs)drdíJ
CalcularJJJ(x^+y’Jdxdyd z, dondeeldom inioüvienedadopor z2 0, r^S ^ +y1 SR1 M-7' nr^r-rw
Los límites, pasamosa coordenadas cilindricas: OSrüR
1= Ÿ )dxdydz= ££ r^ndzdrdfl 1=JJ“J¡V:ij " t*i»= tVr1-r’didfl ,J W F ?
Calcular J f J xdxdydz, dande D esd necrntode todos los puntos que cumplen: DS zS3 , ÜS jí 4-y1Sz
; QStfSSa: ;
[ 5
sW FT ? 15
fW F T 1 , ^ I T5
r iz i^ R ’ -r 1
=X L
j g f j 1& -I* 1
Calcular JJJdKdydz, donde la regiùnT es laesfera x1-ny1+Z1S R“ i '. ' IIV j^TW J-V l.rjjíTF cs rsja ; OS^SSe ; f íz íS í=]J[fKílK[l>tlz=J^ '^fiJ^iCos(a)idn*d3
1= J TjiT íi* lCos(^} rdzdrdf) = l=
Jn"J^
j^71r“iCQi(d}aj drdfl = /r i| 5CDa(0 )(3 |J-r *)<*,W
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0SÍÍS2*: ; OS0SH ; OS/JSR
1=rrr^M^w«=1
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i=f n > w ^ = 4 í> ^ < > d—|h - ix ==±f 0S ÖS2 *
Os r á V2a
áVSa'-r*
'alcular |JJ(x* +y* +z ’ )dxdydz, si e) dominio T está limitado pof el cilindro x* +z* = 1 ) 1= JjJ(x+ y+z )’ dxdydz = |o j* J*,t" [rCos(0)+rSen(ö)+zJ, rdzdrdö
los planos y = O, y = 1
l ^
M 7y*íy .'rJW
Los límites de la integral
I
n
z+z’[rt:“ (ö)+,Sen(ö)]+-f| rdrdö
,=Í//K+v* ) dx^ z = + y S )rdydrd<'
I=Jo*/.*n| [,Cos(í,)+ rS en( »)]* |vÜ ^7—
2a
|rdrdö+
-1*~¿)+(3a~3r ^
Q ’alcular | ||(x+y +z)1dxr iydz, donde la región T es la parte común del paraboloide
z i*
[ rCo3( ^ )+rSef' {^ ) +z J fdzdrd//
J^*" {[rC oe( fl)+ rSe n(fl )J +2z[rCos(O)+ rSen(0)]+zsjrdzdrdi'V
En coordenadas cilindricas: 0á(>:S2x; Oárá l ;0£ y£ l
7*
r
» - i f { [ ^ ( ô ) +S e n(ô )Jp Æ r V - £ jjr d r d i>+
y de laesfera x'-t-y* +z* S3as. M ’. ' Il W7 W
Los límitesde la integral Lo6 límites: 2az+ z1=3a*
x, +y*+z* á3as
=*x*+y! s2a*
SOUUCtONARJOANALISISMATEMATICOIII |
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6 i )w »
1=rr T 1^™ }<&
1=
1= “ ‘T ir l 'T 00®1(8 )+fi:Sen^ ) CoB^J+ -53,1^ )] dfl+ Calcular JJj^ l + (x1+ / + Z1J^dxrtydz rai Tea lacaftia x^+y ’ +z’ Si
Los limites de laintegrai, e aaaT
15 [
C o e ^) 1*j
a ^ 30 “
BBEf(Sn) i3 J .
15
wtf*
30 " 3D
Ìtzdxriydz , dondeT estàliiritadapor lasauperfiriea 3Ì + y*
1=Jj][iJl+(xl + /■+ z ^ ” d 1>dyidz= ¿1 rxl +y ! S i1
T=
^ ‘Senfijtiadidfil
+ ^ VSe nfc) dpdfciO = J" JJ Bt1+ ^
H5611^ j ^ à!)
iiìfl. SOL1JCIÓN Lea limiteade laintesiaJ © En cnordenadaB E9fiÉricaa 050S2a;0SÌSJtM; 0^/JS-^
dxdyidz ttinrtpn n: laprfiTi y*4.^-i.^ gl WpTTTf^f
rjlrmlar tff
* : i1hv " h,7W Los limioesde la integrai, encoefdenadra esfèricas con esterainitaria:
0S(fS2tC sa LUCIOMARIOANAUSIS MATEMATICO III
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SDLJUCIDWrtRIDANAUSIS MATEMATICOIII
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"* 3 5 ^ -f3 K ? fe ,=
,, ^
Sen(o)d^'dt
/ S e n ^ d M -^ -*l-Cos(^)+5
‘"yj/ -4 A.Cas(ít)+5
Hacemos: u= p' -4pCaa («>)+5 =» du = VS en (
-Ln(2+V5)-Ln(75-2)] „|4V5+^Íl|í52-U,(3>VÍ0)(V2-l)(2+V5)(V5-2)j |=J 4^5
_l n(Vt o+&/I +3^2 +3)1
dJdí> Calcular J^dxJ^*^** dy£zi/x' +y’dz
-n i
>y¿7' +4p +5 /.TyV*- 4 ,’ +5 álV.ityy. 7W
Desarrollamos la integral empezando en ladiferencial de z: 1
> -2
,= - 5 n : [ ^ +2W ( ^ +2), + , - ^
J ^ j f ^ z ^ T T / d z
+2) ,+ i - ^ - ^ - 22+i- ^ - 22+,] ^ dí' *-fd
[ =J
J__ _ _(,,+2)^ (í.+2),+1 -U ^ íj +2+V/’, + V + 5)
Vx5+ysdy
Pasamos acoordenadas polares: OáyáVSbc-x* ; 0áxS2 y= VS T^7 =» (x- 1)* +y *= 1 x*+y* =2x =>r' = 2rCos(0) OSr i 2Cos((>) ;0 SO S */2
, = : [ 1 2 ^ - 3 ( io ) ^ - u , ( 3 ^ ) - ^ +V « - u , ( V 2 - i ) - ^ +
+í(2)J5-Ui(2+Vs)+^+íVS-ln(75-2)J¿f
- T r r ^ ^ - T r C ^ - T r 5^ S0LUCK3NAR10ANALISISMATEMATICOIII 1
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1=
, S e n»'
r-í
3 v
3/
9
=j* j 4 R ^ r T=-ict4R’
Calcular J "
£ **"V 'r' dzdydx
Desarrollamos la intesral empezando en ladiferencial de z:
I= j "
-x* -y*dydx
Pasamos a coordenadas cilindricas; -VHbt-x* áysJíf tx-x* =» / =2Rx-x, =» (x-R)*+y* =R’ 16R1( n a') srV 3 b 3J 3 i’ © .
Calcular
” 1 dxdvdz, donde D es laesfera unitariacon centro en el origen MVJW.
En coordenadas esféricas:
I = r j r j ^ 1 A’*Sen(^)d^d*id^ =jC‘ jT|¡erV ’Sen(í!iM ^d i«^ x*+y* =2Rx=»r' =2RtCos(0)=»r = 2RCds(0)
1=reí >"MC*d*=~^r
OSr s2RCoa(0) =*-|<£0á| I SOLUCIONARIOANAUSIS MATEMATICOIII
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J>
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O
+y*H
lífrfrí)
, donde D es el sólido limitado por el elipsoide:
x1 y* z" .
En coordenadas esféricas: OStíSit/2 ¡ 0s ^s n; 2 ; OSp Sl ; x*+y*+z’ = />! ; dV=
Sen(*>)d*t
1=r n : ^
=r' =» OárSl Ostfsfct ; x=ArcCos(tf) ;
=- i j ^ C o r f d *
,=r íe S ^ ) - * » =r ££5^-^)“ ““ ® '= n : h i] eCTabrtdtf
,=- ir [ct*(i)-c“ (°)]jtf=-iH)c=i Calcular
l=a0 | r W r ? +.C ,f,- ,í ir
JÍJ-r“~ r ~ J >donde D es la región limitada por las esferas x‘ +y*+z* =a’ ,
I = 2cJ*" j' r V l- r ’ rabdrdfl +-^ j^ '£ (l -r ’ jf^rabdrctó
x*+y>+z*= b*, Octxa. MwiKfirF
Ahora u = l - r ’
En coordenadasesféricas: O£ fVs2rt ; CK
y = ArcSen(t>) ; dV=iab*d fl
=»
du=Srdr
r= 1 => - aá/ iSb j x '+ y '+ z1= /o* ; dV = ,>'Sen(<í)4>(tydtf
■=r r £>p*sen^^od^ctg=^ £•j*sen(#)tipd^d^
Cambiamos loelimites:
u= O ;
r=0
‘■“ í M - í K ' f H - í ) * I= -abcJ^H (u1* -tf* )dud»
=
j do
I £" JJSen(
=> u = 1
( 2u”
i = - [ c o s ( , ) - c * ( o ) > g ) í t = - H - 1>ü l( ; ) ( ! * ) =4"l n( | )
I SOUJCIONARIOANAUSIS MATEMATICOIII
£*£ n^Atdfí
2u^'l| j « . abe/'2uv, 1 ■«.
(2 Si 2sabc(2)
-rj> -Ti—J> -!"Hrs>— , 8nabc trabe 4«abc
S0LUCt0NAR»0ANALISISMATEMATICOIII I
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Calcular fjfyj^
-t-^jdxdy dz, donde D estádefinida pon p . + -^
abc[0fc|f'{o' +Sen(a)C os(a)[ Co8, (or) -Sen’ (a )] |’ sen(¿)d*d0
S1
x = a^iSen (ÿ)Cos(0) ; y= *>Sen(*)Sen(ff) ; z=a¿>Coe(*) dV=/j*atxâen(ÿ)dld0
; Oá0 £2x ; O á^ S u;
Integramos; 1=
(*)*>cdpd
Mediantesustitución trigonométrica: /■= Sen(ar) ; d¿>= Cca (« )d a ^
1-/» ’ =1 -Sen* (¿>) = Cos’ (/>) I=
J^Coa* {a ]Sen*(a )Cos(« )6en(<>)abcd«d*d0
Calcular JJJe- ’“ dxdydz, donde D es el sólido interior a la superficie z Bmitado por los planos x + y = 0,z = a7a>0
1= £"*£ £Sen' (a)Cos* (a } Sen(ÿjabcdnrdÿd0
jr e ii r e ïT g
,= ía^in J n |~ ~| - ^ j Sm<<*>abCd" d,’d/y (2a)Sen)d«d¿d0
s ;Oáráa; rázSa £j £ J'e'rdzrd/J = JQ £ e’ £tdrdfl = £♦J^(e‘ - e ' jrdrdry Integración por partes
■•ir^n .'[“"s" dfl
du= dr ; v= J(e* -e')dr=re‘ -e ' SOLUCKDNARtOANALISISMATEMATICOHI
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l£B límitEa En ooardaudaa eaf&icas;
;D Ï
; dV=,o*Seil(¿)ít;d¿d0 ; +y*-l-Z*=,[j*
|= j*’j ^ j ^B e n ^)
1=r r ^t3™3
1=| W _*■ _ f^ l+a- _ ij ^ = | [aV -äe*(e—l)—s]
CalcularJJ[(x*H-y1-+z1J^dxdyidz,dondeDestálim itadopony? =1 i.i.'j Loalim itesetìcoordenadaaeaféricas;
H f f l f'jCoal>)1'/Sen(^) <^jd^
o*(ff')}í4iv
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QiSfliS* ; O í^ ín ; Q i p i i ;
dV^Se n^fJpd ^i?
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X? / i * 7 +? + cr
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^sabreelsálido□acatadaporelelipsoide
Sa tt* (bc-ac + ab) 15 (t + c)(a+c)(a+-b )
i = - l [ c QSCn) - c w ( o ) ] i C * = ^ H - i ) = Ç E E S l U
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¡donde DEaelprimer i
a1 -40
’laesíera:3Í+y*-r-z1¿a1
Loalímites, en cmrdenadaE eEtöricaa elípticas K=^3Soi(^)Coa(ö}
y=ajB3i(j^)Sai(Li)
z=a
dV = f>'atxBen^}dpd^dí/
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(= |[< (/),Oh(ofl^Sen^Sen {ti fl^Cas^)] Senfcfadfd0
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Calcular JJJJx* + y’ +z*idKdyïir, donde D et el aúlido limitado por Ibe auperfieiea z=Vj?Tÿ* ,zs¿3
T— “ J T C I?
J p 1[a’Sa i1^ ) Coe1(0 )+ b"Sen’ (fiJ Sen1(J) + c*Coe“(^)]
(yt)Sen (0)Q œ (i )€oe (yt)] p ’Sen(>)dÿd[J I I ||~Ben‘
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Ben(g)Cos{P ) Cea{$) ~|Sen{rf)d¿frlf
——j:r- S^/a’Sen’ fa)Cas' (fl )+ b'Seri1fa JSeri1(fJ )+ c’Coe1fa ) ra u = a’Sen1(^Co S1(tf) -ftfSen1
OÍ*S*
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dij =i( U -i f ) Serf (¿)Sen(fl)Cbs{fl)d0
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S a W bc+ca + ata 1, ib +,Kc+a)(a+b}
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#vnvr."g
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En coordenadas cilindricas; x’ +y '+ z* = 16 ;
6z=x*+y* Laecuación del cilindro:
6z+z, = 16=»z=2; e =18
x*+yJ,-2 y = 0 ^ x* +( y-1 )* =1
0*052*; OSzáVÍS; r’ /óá zW ló-r' I
iCos(tí)rctzdWtf
Is jrj T* r’Co s^)^,
,=r r
- í « 4 4 x * + / -2 y = 0 => r’ =2iSen(0)
dzdrdíJ
r= 2Sen(
£jirdtf
r*-12szsr
l = J^,Cos((/)^r>^ l^~'1 -2t> /l6-t »+32 Arc sen ^j-^J" do
=r*c-w[^. •2>/Í2-«/4+32Arc9en|' 2 ^ ) _ iW T | j d
1=
^iCos(0)i/r*id2drd0
*= í ! j: £*"* *Cos(o)(r4- r ' +12^ Jdrd0
£]
= Sen((í]j|^6/!2-4/Ü+32Arcsen|^-?^l
Calcular J j j J xyx' +y'cbcdycb, donde D es el sólido exterior al cilindro x5+y* -2y = O y
I_
32Sen*(tf) 32SenT(0) 4aSen» (o jj1*'* 30 " 21 + 5
limitadopor lassuperficies z=^x* +y* , x'+y* = z+ t2, x +yiO
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y = ±3 /4- 3? » x*+y* =4 &
,=Lwrr^(r!+z’)rdzdrdÈ'
Calcular la integral j j j ^ j ^ ^ ^ d y d x , pasando.
'- r c t w f « -r*-r<)drd" ¿(«■•y'ls.st.
,=i > - 'Vs-r*
128 y ¡p p
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- H fJ H r J - T £>
Calcular laintestai
Jjj c ? Í,' " ” ”*^ dycbt, pasando acoordenadas esféricas:
Calcular laintEsral J ^ J ^ ^ j ^ 7(x'+y*+z')d7jdyjdx Los limites de la integrai: -RSxSR
Los Ifmitesde la integrai:
ÍIíSJS7 (x‘V
-VR’-x ’ ^ysVR’-x 1 ; 0SZSVR, -Xs-Z*
+z*)dzdydx
I SOLUCIQNARIQANAUSIS MATBMT1COIII
S0LUC10MARJ0ANALISISMATEMATICOIII I
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CK0S2* ; 0£^£ ic /2 ; 0£¿>£R
[(4b* -4b W tf)M -(4bsf 1}w
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- i)C = i f ^[^-J^Sen'teenM#]
Calcular laintegral J “ £^ ^LI £ ‘* ’'"’y' dzdydx b> 0 z*=4tf -x? -y ”
x, +y*+z*=4b*
y=V 2hx-x *
(x-b)’ +y» =b* — 2
2
r*= 2bfCosí>
a) Evalúe jf j( x' +y*)dxdytfe, donde T es laregión limitada por el cilindro x' +y* =
O á rí 2bCosí/
losplanos z= -l ,z =2
Oírs/íbC-i1 1= I = J*” J**°"
m-.-: h v n ^ w
rdzdrdS 4b* - r^drdtf Oár¿4 ; 0á«ys2ii ; -1SZS2; dV=l
„ c jt iE r
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I souicionarioanausis MATEMÁTICO III
*
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SOLUCIONARiOANALISISMATEMATICOHl I
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EHjnnw eepindzahamde í r = J .f #+Ä T = S 2 ) , 5 M}{
b) Eralúe JJJ>riHdydzr endóneteT esel quese enüHEfitra comprendidoentre- loaalim i™ 3Í +y" =1y xl +y I =4 aabre d planoXyydEbajodd plano z =x + 2 1 M:-' Il V V (
rf} Evalúe JJJ^ x1+y* en dondeT es el sólido limitado por el paraboloide z = fl -x l - y s yel plano XV.
En coordenadas cilindricas,, los limites son: TSrSE
Ù£ z£ x + S
ÚS íí ^S ít
dV=nfcdnd{V xl 4-yI =T s
=J“ f r S e i i ( t f ) rdzdfdfl = J*jVsfen(^)[E 4-Co6(ff)]drdfl
■= r
= - \ 1}
=| p-s >o
z= fl-x 1- /
=>
z =0
=í
Q£t)Z2x ; QSrSS - D£z£9-r*
1= c) Evalúe JJJy?dxdydz r en donde T es el eúlido que se encuentra, dentin- del cilindro
Vr'nfcdrdP
l = Jn j j^ z ^ didú = Ja
^ -r °^ kd a
5Í + / = 1 , aniha del plano z = 0 y debajo del cono z ‘ =x s-i-ys
^.Vlir^iTTT
■=rrc^- o
r
—
=
ji1
ri*-—J*
-(» -fIC -T
Z' = l t + Ÿ ÜSÍ^&i: J QárSl t ts z íj x ’ +y*
z = fl-r ’
1
e) Evalúe JJJioifcdydz en donde T es el sdlido limitado por los planos z = 0, z = yj y el
íszsr 1= jj" jj
*** (iCosfl)* rdzíWi?
cilindra X*+ / =1 en El semiplano y
uJ^jVccaWdrdí?
.
*.viir¿?'rw
■ = r|( ^ h
OSrát ; ÚáfS&c
■ DSzíy
--------------------------------------------------
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1=lTjaju>(rCOS
Utilice coordenadas esféricas en lasintegrales triples: a) Evalué jjj (x*+y*+ z’ )d>£dydztendonde S es las esfera unitaria x’ +y1+z* S i
l = ¡ " C t C 0* { & nfi'f drdí?
1= £ i=H
I r*SenVCosrtdrdfl
^ d Sw ,*Co8'*w ^ r r t
M ’y j r r . ' j w
■=rnv^ i - n : * j,isen^
I=i(l+l)(2»)=^
b) Evalúe fíjy'chcdydz en donde S es laporción de la esferaunitaria x*+y! +z* = 1
y=± >/l- x)
^H.yyry
=>x*+y* =1 =» OS rS l Os ys & i
+ / S r S Z - j í- y * « r ’ s zs a -r *
. -j r í jr c r —
En el primer octante OáftS- ; Ck¿S- ; OSpál 2 2 - r n
: /j’sen’OsenVí'^ sen^jdOdS
■-ír-í—
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1= n .* ™ ! f *c°s®sen!<’d^,d9
-f r rí^ t " —
c) EvalúeJJJ (x* +y1)dxtfydz, en donde D es la región hemisférica situada arriba del plano XV, y debajo de laesferax*+ y*+z* S1
l=
#''nyv?w e)
16
zVx’ +y’ +z'dzdydx j ' v i r r - . T T Z=>/9-(x*+y*)-*x*+y*+z* =9
y = ±>'9x’ —>x’ +y ’ = 9—» O5 0S * d) EvafúeJJj xe' r ‘ '*'‘,'dxcty’dz, en donde S es el sólido comprendido entre lasesferas x’ +y ’ + z '- l y x 1+y* +z* =4 enel primer ociante
I=jn^Ji(/5C08eK^(/>^en**xV
OSflá| I=
;
ISpáS
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£“* fi'e’’' cas fteen’iídpdíPd e
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^ ^ d
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, = r r i ' | o 9 e,v co s< Ki< > de
Calcular jj| ‘ ^
2439EnV| «/2Jn 5 2” |0 %
\ ^ — .donde T está limitada por las superficies x*+ y*= z, 1
x '+ y ’ sSz* y x*+y, +z* =4
#7H.7V7W Los limites de la integrai En coordenadas esféricas:
Os0 £ 2n ; xJ 2£¿S«/3 ; 0 S^ S 2 «f
*-yn>.-T7W Vx+y* SzàVl8-xs-y* ; O S xS ^-y 1 0£y£3 En cilindro: 0£&£n ; 0ár£ 3 ; rs 2 sV l8 -r J
I=ío'ía
(r ’ -t-z'jrdzckdB
" j . - r K p 1I »JJJ^rV lS-r1
(IS - r ’ ) ” jjrdfl
\J9 6(9)V9 216/?
¿>*Sen*(¿)¿>*Sen(¿)
•=n;j:£
18"s
SQLUCIQNARIOANAUSIS MATEMATICOIII
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c ti. PROBLEMASDE APLICACIÓN Q
(4-^ ^
r*|p2(v^-i)dft
Calcular el votumen del cuerpo limitado por el plazo z = 0, la superficie cilindrica (4-2/S+2)' -8
z=-2(x ' -i-y1) y laesfera x’ +y’ -t-z’ = 4 (en el interior del cilindro).
,-2 J s f
Encontrar el volumen del sólido acotado por la esfera x, +y *+ zI =4a y el cilindro **V=a*
t= J(x *+ y*)=>x*+y*+z*=4
2z+z* =4=* z = ,/s-1
z = V 5 -1 ^ x , + y * s 2 ( ^ - l ) En coordenadas cilindricas: 0*6*2« ; 0árS^2(>/5-l)
x’ -t-y*+zt = 4a;
x,+■)f=a,
Oáráa
0 <:(> s 2.t
;
V = 2j^TJ" *""* rdzdrdíy S zs V n ? V = s £ rV4a?-r*drdB = 2J.‘°
v= n ; ^ if rdzdrde=J*
- JdrdB rjv*-r*--T
|q^
v = - f [ ( 3a* r - ( - * r ] í n= ! H — V=i2l(8-3^3)u1 SOLUCIONAFaOANALISISMATEMÁTICOIII
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Encontrar el volumen del sólido en el primer ociante acotado par el paraboloide z = x* -t-y*, el cilindro y =
y los planos y = x, z = 0 É T T W r .™
^
Hallar el volumen del sólido bajo la superficie ; x*+y*=1 y sobre el plano xy.
y = x ; y=x* =>x = 0; x=1; x’+y ' =1 =>r='l y = x' =» rSen(fl)= r’Cos*í®)=»r = — —íí r\ ; 0 ¿ r ¿ — ; 0s6s*/4 w w Cos'(e)' Coe’ (ft)
V =j r ^ f —
x* + / = l= »r =1 => 0S rá l; 0 s: z£ 4- r* ; 0s 8á2 n
= {„‘"j p^ rr 'd rd e
V = Jo'iaJa”^rdzdrd9=
(4 “ r ’
v-ríp^-írt^g }» Q
Hallar el volumen de la región D limitada por los paraboloides z = x*-t-y1, z = 36-3 x'-3y’
V =|Í ; T TS‘ (0)+TS* (»)]Sec* (» )« vwoduVjieruCTJin
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i r j -
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gTiTTTr?!'nr
Los límites, pasamos a z = 12-X*- / =>12-x* -y» =8=»JÍ + / =4 0srs2 ; 8ázs12-r* ; 0Sfii2n
V= ÍT i« J»*"' rdzd,dó = /rio r(12-r*-8 )* tíe V=(2r*-rV4)|*0|®n = (8-4)(2 i,)=8 *
^
Determine el volumen del sólido limitado porel paraboloide x1+y* +z = 1y el plano XY
X* -i-y' z=36-3xs-3 y ' =>36 -3x! -3 y s=x*+y* =>x! + ys= 9 0srs3 ; i, äzs36-3i, ; 0*0*2*
v=L**0r*"refedrda=ci.3r(36_3r>-r')drdB V = O8'* - ' ‘ t f o t f o - («Û2-81)(2*)=1û2.Tu’
Obtenga el volumen del sólido limitado por el paraboloide x’ +y * +z = 12 y el pl z =8.
En cilindricas, los límites son: 0á 8s 2n ; Oárá l jy r'T«ir^r
v - n
r — j*
©
-r ^ c
{3
4 Jo
= r (7 - 7 U
4J 0 |o
4
2
Determine el volumen del sólido acotado por el cilindro x* +
= 2y, el paraboloide
X*+ / =2z y el planoXY.
I
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S0UUCK>NAR»0ANALISISMATEMATICOOI
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O
Obtenga e) volumen del sólido que está en el interior de la esfera x' +y* +z* = arriba del paraboloide x* +y* =z
=x, +y’ =>x* -t-y5+z’ = 2z=»z+ z*=2 z z = 1 ; z=0
=c Os rsi
En cilindricas, laslimites son: OS 8Su ; 0árs2Se n(ft) 0£z£r*/2 V=
rdzdrdS = 2 J"
dide
v = r H |Sen(e)d t = r W ( e ) do J. 4 |0 Jo 4 v =
de= f [ ' - 2Cos(2e)+Co8' (se)]de v = r [ , -2 c os(28) +^ ) ] d e
V = J T JoiZíw*
rd7dTd0= iTí i'(rJ' ~, *V í-r5jrdrde
v=rrp— . í i ' «
V = 0-Sen(2O)+-r
I SOUUCIONARIOANALISIS MATBMTtCO III
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Hallar el volumen del sólido comprendido entre las superficies z = 5x*+5y’ y
En cilindricas, las límites son:
z=ó - 7x*-y* 0¿¿r£2it
j 0á r¿ 2
j ; o
=O0,(ar’-r1)^ -C(t "7 ^
M ' ' V T ' rrW
v =
; «
; R’ Sz£2 r
Limites; z = 5x*+5y* =>z= 6-7 x’ - y ’ =>5x’ +5y" = 6 -7 x '-y *
v
2x*+y*=1 (Polares elípticas)
- ( t - 4K - T
0á6á2x ; x=^LiCos(e); y=tSen(B)=»OárSl Hallar el volumen común de las esferas: jí + y ’ +z, =9 V=r C / ™
v = r í m
y x* +y *+ (z- 2)‘ =4
= f |;(6-7x*-y2- 5 x » -5 y - } ^
* v ))^6
r
s:x,+ / +z ’ =9
Z= W4
6 f , 31-^1 J2X 3W Í v - 7 5 r ~ J o 1 o
y x*+yI + (z—2/ =4 => 9 -z’ +(z-2)* = 4
=» x V / r í - i 1 ;* > + / = “
Hallarel volumen del sólido limitado por lassuperficies z = x*-t-y* y z ’ =4 (x s+ y')
X< =*z* =4 ()f + / )=» V =4z •z=4 ; z=0
límites: z =
+•/
OS0<;2n
B
; O S rS ^
; 2-
SOLUCIOMARtOANALISISMATEMATICOHl I
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v=rrT^rdz**'=rí^v517 v - í t T - l l * - r { - £ :T i — , - ¿ T L f •
v - J [- 3 í 1,1 -6 í J" - S163 _ ! ^Í 1J 6J . f 3J ^96 ) 48 Hallar d momento de inercia del cilindro circular que tiene por altura h y por radio de la base a, con respecto al eje que sirve de diámetro de labasedel propio cilindro.
o
Hallar el momento de inercia del cono circular que tiene por altura h y por radio de la base ay densidad p, con respecto al diámetro de la base.
^■Wl.VV'TW r
Momento de inercia respecto al ejeX !=JJf(z*+y*)dxdydz
Momento de inercia respecto al ge X Limites
I = íljf(z‘ +y *)dxdydz
OS0£2¡r; Oáráa; O ázs -(a-r| a '
y=iSen(<9);r*=x*+y* (z!+r*Sen1(O))rdzckdO i *Vtxdydz=J
O á P£ 2 n; O á r á a ; O áz áh y=iS en(0 ); i*=x* +yt I= JJJ (z* +y* jdxdydz = jj* J*J’ (z*+r'Sen* (<7)jrdzdrdo
SOLUCKDNARtOANALISISMATEMATICOHI
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^rr hlía1r-3r1H+3rV~rJ) , (ar3-T'*)5en1
MJ.Unlir - j * d 6
Calculai
la Integral
curvilínea
j c(x’ 4-y s)dS ,
donde
C es
la
x = a[Cos (t)4-tSen(t)] ; y = a[Sen(t) - tCos(t)],Ü St i 2n.
- s r t « - ( i ^ i r îJ ^ if e a h ’ +aa1) 60 ’
x = a[Coa( tJ 4-tSçn(tJ] Fy = a ^ t ) ©
BTeuentrE la masa dE un hemisferio sfilido H de radio aai ladensidad en cualquierpunto es proporcional a audiatanda al centro de la base.
Hallamos dS, al: dx = a£-Sen(t) +Sen(t) + *0oa(t)]dt = riOc»(t)dt dy = a[Coa (t) — Cos(t)-i-tSen(t)] dt = atSen(t)dr
£¡¡TT£ aF
Densidad: ,¡ = \sj^ + ■/-hz* = fcr -
limites en coondenadasŒfêritBS: Oiÿfian ; M= JjJ/ï (x,y ) dxdyiiE=
dS = J{< kf + (dyj1dt =J[atCùs (t f + [alSen(t )] 1] * O i^n /e l?3p sSen(ÿ
;
I^Coa*[tj+Cüs1(t)Jdt = atefc
D s z S h
= kj^J"™Sen
dS =Ja’ ts (Wl?
Ahora la Inte^al de línea ( * » (f H
+a’ (S ^1(t )- tlCûa(t)/ J313* =
J^[Co al (t) + atSen(t)Cos (t)H-t’Ben1(t) + t’Cos1(t)-StSen (t)CcB(t) 4-Sen1(t)^*tiit ■■■(.- (<• + < » ■*’ [7
ICalcular la integral curvilínea JtVË5*+z*dSl
-----
] -« ■ ■ k « )
: la circunferencia:
x, +y, + zs= ¿, ry = i£. I
..™-.KlLkp.rj.cD-n-------------------------------------------------------- SOLUCIONARA ANALISISMATEMATICOIII
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dx = ->/3sen(t)dt La curva en forma paramélrica estádada pon x'+ y' +z * = íy = x
=>
x1+ / +z* = a’
=>2x*+z! =a’
¡ dy =-V3cos(t)dt
Lueso: dS=>/(dx), + (dy),dt=^ [V3Co s(t)J + [^ 3 S ^t }J d t =>/3dt Ahora la integral de linea:
x = ^ Cbs(t) ; Y=j*Cta(t) , 2=a9a>(t) dx = — -¡LSen( de)
Je(x’ + y ' + z*
= r t 3^ * W + 3Sen’ ( t) + l} / 3dt=V5J*’( 4) dt = 4^3 i|’ *= 8 ^ 3
; dy = — |LSen(dt) ; dz= aCos(t |dt Calcular |^x"yzdSt donde C recorre la intersección de los planos coordenados con el
dS =>/ ( ^ 7 ( d ^ 7 ( d ¡ 7 * = J -J Serf (t )+ ^ Sen*(t)+ ÍCo rf { t)dt dS=
plano 2x+ y+z = 1
[Sen* (t) +Sen’ ( t) ]+a’Cos* (t )dt = ^a'Sen* (t) + a'Coa' (t)dt dS = adt I = JcV2x* -«-z’dS = J“ Va*adt=a’t|* = 2¡ra'
Calcular la integral de linea J |x*+ y*- z! |dS, donde C recorre una s intersecciónde laesfera: x*+ /+z* =4 ,con el planoz=1.
Si z = 1en laesfera: x, +y’ +z’ =4
,
X*+y* +1=4 x*+y* =3
= v‘3Cos(t) ; y=
l, =jx = (l -t )/2 =3.
OátáSrt
1 SOUICIONARIO ANALISIS MATCMAnCO III
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=0
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-= ^ c =j
15=^(djt)' +(dy)‘ + (dz)'dt
l,= ^ = l-t=» dy=-dt x=a \
dS=VTTÏ7Ôdt=s/âdt => I, =J x VdS =JV jrad S = J'(0)(L-t)tV2d t = 0
CaloJa-J^xïndË dande C es la paire de la recta K+y+z=l ry=z que se encuentra en d
rx = t;a [,= z = 1-2t [ Y= a
primEr octante:
[dx = dt/E dz= -dt dy = 0
; Q st sl ■ d5 = ^(dx)1+(dy)‘ -+(dz)’dt
JS= j 4 + 1/4+0dt I= T, -i-T^-HL, =O +0 +Ç =O Déterminé J^x^ + y1JdS r donde C ®eLaaemidricunferenrïa formait por el eje X y la mirad auperior de la dreunferenria x1+ y1= 4. la recta: A( 1,0,0) B(0,1/Srl /S) AB=<-1rl/SrlÆ) => P= {1,0,0) + i{-1 x= li - yi=t)3 dx=dt ; ■ z= tî :
x = aCos(t) ; y = 2Sen(t)
¿
T
dy=dtÆ
dS=j{ftsf +(dy]T-i-(dz']idt=-/l + 1/4 +l /4 tit= ^!
A
Ahora laintEgral de hnea, donde 0 £ t£ l
ÛStSa Hallar™sdS,ai: j dx =-2 Sen( t)dt : dy = 2Coa(l)dt Luego: dS = i/(dxf +{dyf dt =^2Coa(t)]' -i-faSenft^dt =Edt O
Ende jeXy = 0 ; x = t=> dS=dt ¡- S it s 2
a) A lo lar^o de unavuelta compléta de la hélice cinica de
Ahora laintEgral de linea: £ (x=4- y1!)dS=
Calojlar laintégral curviMnea J^ndE raiendor el radio vector.
+Cha=(*)+. 4Sen=(t)]2dt+- j^tdt
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x = ai£os.(t)
;
y = alSen(t) ;
:
dz=±)1a
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b) A lo larga de la reda x = at y = at z=Ct: La curva en fannia paramÉtrkseatittoda por: x: = aECa&(t)
;
y = aáSen(t) ;
z=ct
Hallamos dñ, si: dx = B^-íSen (t)+ Coa(t)]d t ; dy = a£flCca(t)-i-5ei^t)] dt ; dr=cd t
dS = J (dx)1
-+(dz/cfc
LaajTva en forma paramèdica estádada por x=a t ; z= d ai: dx = adt ;
dz = cdt
d£ =J( d x'f +{dy f +(d zf dt = v af +c*dt = i/a*+ c*dt Ahora la integral de Unea, donde ûS t S 2ai para unavuelta;
dS =Ja 1[Cas(t ) - «Sen(t)]" + h1[tCoa (t)+5en (t)]“ + c?dtd5 = [ cüs?(t) -21Sen(t)c ttí(ii) + t’seii1(r) + 5«? (t) +21Sa>(t)Ctja(i:) + ["ctis?(t)] +t?dMS
1=JrndS=J^ti/a*+c1Va*+c'dt=- í--^^ =2j^a’+c1}
=/7[i77p?dt Hallamos r:
Calcular la intesral curvilínea
r =1/ki + ■/ +z’ = ^ t ,€o¿!(t)+BVSen’ (t)+ cV = tVa° +c° Ahora la integral de línEa, donde Û£ t ¿ 2n para unavuelta de la hélice:
d3r donde C es el anco de I
logarítmica r = ae" 'r ( m > 0} r desde el punto A(0,a) hastael punto E(-í(\.Oj.
J^rdS=JJ‘tJâ*+c“^â^îTt^^c*dt
Si hacemos u= a*
P&raunacurva polar:
1’ )+c’ =tdu = Eta’dt
Nuevaalímitea:
t = 0
d i donde
-¡r= ™ =" ? E*S#S*ir
=* u = al 4-cs ; t = 2n => u = a1(i + iit1) +t?
. _ i
da = ^ {veT* )' +- (eme"" )°dfl = ae^ dfl
[ = lL‘'f1riJK va ‘ -*-c°vürtl1 va1-hc1!]111 J-’-ï 2a= aa’ fa y a jl ^ I = jjx* +Y1)l dS = jj r 1)' dS= JVd S = j*a J|e^” ,*/Í7mr dfl 1_ SÛUUCIÛNABIÛANÁLISISMATajATICO III
-A’.MVüJutjenij
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e^ C _
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Calcular la integrai curvilinea a lo largo de la cueva en el espacio J ^x1+y* +z*)dS, donde Cesia parte de lahélice circular x=aCo s(t); y = aSen( t); z = bt, Oá tsSit
2tdt
;
dy = dt
;
(2t’ +a,t)dt (2t*+rf)dt
(í’ +a*)’ dS- 4t ■+1 a'(t«+a'}d
Hallamos dS, si: x=aCos( t) =»dx = -aSen|(t)dt ;
y = aSen(t) => dy = aCos(t )dt
z=b c =>
dz=bdt
|St*+ 2a‘ — QaV
i *(*+*) 1
Luego: dS = ^((hc)’ + (dy)* ^-(dzfdt = ^[-aC oa(t )j' +[aSen(t) ]' + b'dt = Va' + Ahora la integral de linea: I
=jc(x’+y*+z ! )dS = |n’‘ [a'Coa*(t )+a’Sen*(t )+bV] >/a* + b’ dt t= V J7 tf £"(á* +tf í') d t= V 77 tf j 16 ' L ._
0
Calcular la integral curvilínea J^zdS , donde C es el arco de la curva x*+y* = ^ , y*= ax desde el punto 0(0,0,0) hasta A ( a, a, av 2 1.
Í ji V " '
256 " ? (¿ jlJ'(U+\|U’ 2S6 ] ] J
| V5 f25a1 1625a' 17a" |17a "A 25a' | J62Sa< 17a*Ì 2a’ I 16 V 256 256 + 256 [ 256 +V 256 256 J _V|[9a^ /81a* 17a* 117a* 2a’ | 16 256 256 + 256
V
SOLUCIONADOANALISISMATEMATICOIII
9a8 | 181a1 17a* 256 \~256 256
il
SOLUCIOMARIOANALISIS MATEMATICO HI
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| Js f S5a\ 60S |17aJ 2a’ [ 2S& + E5Û
35a*+ Jâ Ba1'|1 [ S56
JJ
7 a T a s a b a ) iv a 4 j a s ^ + s a 1 ’i l Sa?[
556 + 2E6
a
ES6
[
256
356 ^
JJ
33
dS = ^ a ’Sen' (tJCas^t^S en1(t) + Coas(t) ]± = 3aSen(t)Coa(t)dt En la integral: I = f l* “ + ï - ) d S = f “ [ . « 5 » * ( t) +^ ^ * (t ) ]( 3 a )S e n ( t) C o ,( t }d t
J
1= ©
Calcular la integral curvilínea
J ^ l _ SCoa(Et)+ Cca1 (2 t) 4- 1+ ECcaEc-nCos“(2t) Ben (St)]dt T=
±mde C es la circunferencia 3^-i-y' + 21 = i r
Jo' ![ E + ECoa1 (Et)]Sen(2t) dt
l= 2 i_ J^"[l+Cm*[g»l>n{2t)dt = ^| -^ C a 3(gt)-f Cofl^ B0 j"
0
C ^ l a r la integral curvilínea 'J
-+y"1)d S , donde C es cl amo de la astroide
| , - i -| c c ( „ ) <2 Ç Î - C c . (0 ) - 2 Î Ü l J
x“ + y“ =a a,J. , - E ^ - i . u g j ç ^ - , - g = , .
La parametrzadon de laastnoide:
Calcular la integral curvilínea: J_Vx +y cE r donde C es la circunferencia
x = aSenJ(tJ
=>
dx = 3aSan*(t)Cos(t)dt ¡ Osti-reVa
y = aCcff1(t)
=>■
dy = -3aGos? (t)5en(t}dt =>■
x W = a *
dS=J(dît)1+(dy)“dt
dS = ^ a ’Sen*ft ^Cos1ft l-' îa ’Sen’ (cjCos“( t) ± SOUUCBHAHOAMALISISMATEMATICOIII
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EEP1NDZA.HJUKDE»« f
'+ y1 = a*(x ' - y1) -»
En laográfica: x1-4-y* =ax=* ( x-a/S jf -ty 1=á l ti
(i?
)]
r*=a=[Ctfi1(ff)-Sen ((?)] =a’Cos(3ii)
feramEtrizamoE
S m -H
V = |^ C ‘) : * = f[,_C!os(‘B
\A,.
dy=|cos(t)dt ; dx=|sen(t)dt Ì= J (dx)’ + (dyf =
)' =a=[r W
(r1
Cœ (t }J + [| Sen (t) ] dt =| di
/
Ahora la intégral de línea;
1= j j r V1_2cqs t*)+ qh :1(*) +Sen1(* p *=7 c j aD -°Qs(*)}jt
- ï n * » r o — 5 [ ac«(ws)]r
t
I = -a’ Coa(*) + i Cos(O) = Sa’
G) “
la integrai curvilinea JJyjdS, donde C ea d arca d
(* W )l = a V -/ ) r j«,taJCQ5(Bfl)Sen(fl) adfl ,a a^¡Gos(W)Sen(íf)x¡0 ^Ccs(iô) ^CoE(ay)
^ Païametriiamoa en polares; x’ +y 1=r*
;
y = iSen(t)
dy = rCoa(t)dt ;
x = iCo£(t)
dx = -r5en(t) dt
I = a’J^*Sen(tf)d +as£^Se n( Cl) d0 - a’ J^S eti (fl)dfl -a 1j^Se n (tf)d(V I = -a1[coa (í £* + Coa {o
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- Cœ{0 J"*
J|^J
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(Sn/4•)Ca(x)- CosO (.)Cos(7i/*)J s)+Q*(ji}-Q«(a
Ahora la integral de Ifnea:
l«=
“ “ " t í * +y*)dS, a lo largo de los caminosindicados. a) El triangulo can vértice (0,0) y (0.1) recorrido en sentido contrario al de las agujas dei reloj.
En larecta x = 0 y = 1-t ; x= 0
b) El círculo x'+ y" =1 desde (1,0) a (0,1) recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj.
;
dx = 0
;
dy = -dt
¡
O át ál
dS=^(dx )' +(dy)! =dt Ahora la integral de Ifnea: l3= Jc(x,+y, )dS = |o'[(1- t), +o]dt = - £ - i l | =0+i
X<0,1] :
l.a/3,1 3 +~ T + 3
y = 0 ; :
2 ( U3 ^ )
b) x*+y’ = l desde (1,0) a (0,1) dy = 0 ;
dx = dt ;
O s ts l
Cts=^(dx)’ +(dy)* =
Ahora la integral de Ifnea:
i=^(dx)’ +(dy),dt= ^1 +(-l ),dt = V5dt
y=Se n(t)
■
x=Co s(t)
dy = Coe(t)dt
;
dx = -Sen(t )dt
OstSit/2
I SOÜJCIOMARIOAMAUSISMATaiATICO II
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O dS=;'( dx)' + (dy)'dt
^
Calcular J (xy )dS, donde C esel contornodel cuadrado |xj +|y) = 2
dS = ^Scn’ (t)+Cos,(t)dt = dt
íora la integral de Ifnea:
r*-c-í \ / C « y v 1*'
ir Jc(/ )d S, dondeC: u (t)= (a[t-Sen(t)],a[l-Cos(t)]} ; OSt S2jt .
Jc(y’)dS
;
« (t)= {a[t-Sen (t)],a[l-Coa(t)]j ;
X -..
,
\ / 7 * .
0*1*2*
Hallamos dS, si: da (t) = a [l - Co s(t ) dt, aSen( t) dt ] =a '(t ) = a[l - Cost,Sent]
Parametrízamos encuatro regiones:
dS = ^Sen’ (t)+Cos! (t)dt
dS =||«' (t )|dt = b^[ 1-Cos (t )]’ +Sen* (t )dt = a^2[l -Co a (t)]dt I
- Cos (t)]’ */2v'1-Co6(t)dt = aV 2j* 4Sen*Í .JSsenldt I=8a^^1-Ccs'ijsenídt I =8a,J* ^1-2Coe!Í +Cos‘Í^em dt I =8a3[ -2Cos- + - Cos5- - i Cos“- 1 [ 2 3 2 5 2Jj
14=
X = t => £JX= at ; 0St* 2 ¡d SW TTí dt W Sd t
[y=t - 2 \dy=dt
l=l 1 +1,+ls4-I4= Jc(xy)dS = j;,t(2-t)V 2dt+ |i,(-4)(2-t)72dt *Ia,(-t)(‘- 2^
+/o,t(t-2)V2dt
l=-/2 £ ( 2 t - t ,)dt+'(/2 J'(t' - 2 t^t+V 2^ ( 2 t-t* )* + & J*(t*- 2 t)dt SOLUCIONAR« ANALISISMATEMATICOIII I
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0
Calcular la integrai curvilfnea J^xydS, donde C es la cuarta parte de la elipse
l= V 2 £ (2 t-f + ? -2t+ 2t-t* +t* -2t)dt =>/lj[i"(0)dt =0 — G
= l situada enel pi
Calcular JcVx* +y*dS, donde C es e) arco de la envolvente de la circunferencia x=a [Co s(t )+tS en(t )]; y =a [Se n(t )-t Co s(t )j, Oàt sSn . x=aCoe(0)
; y = bSen(0) ;
dx = -aSen(V/|di’>
; dy =bGos(0|dtf
u = a’Sen’ (0) +a*Cos* {
La curva en forma paramétrica estàdada pon x=a [Cos (t)+ tSe n(t) ]:
du= [2a*Sen(
y = a[Sen(t) - tCos(t)]
x= 0
*
x = i
*
Hallamos dS, si: dx = af-Sen( t)+ Sen(t)+tCoe(t)]dt = a»Cos(t)dt
u= a'Sen1(0) +a*Coi f 0) = a?
1=abf‘Vu
dy= a[Cos (t )- Cos (t )+ tSen (t )Jdt= atSen (t )dt
dU =^
L '
dS =^[atCas (t)J +[atSen(t) J dt =^r f t*[eoe? ( t) +Serf ( t)]dt dS=atdt
!ab(a' - b 1’)' ~3(2)(a’ -b ’
f
»(■)(*-*)
2ab (a-b j(a! +ab+b*) ab(a*+ab-t-b‘) 6(a+b)(a-b ) 3(a+b)
Ahora laintegrai de linea 1= Jc^x ! -y' dS = l^yfa' (Cos(t)+tSen(t))S+a, (Sen(t)-tCos(t))'atdt I -£yCoa’ (t }+2tSen(t)Coa(t)+t'Seri» (l) + t*Cos>(t) -2tSen(t)Co»(t)+Serf (tjrftdt
Evaluar la integrai curvilfnea J^ x5+xyjdx+|y! -x yjd y, donde C es dado por x* =2y del origen al punto (2,2).
Si 2y=x*
=>
dy = xdx
;
0á xá 2
En laintegrai: I SOUJCiONARIOANAUSIS MATEMATICOIII
SOLUCIONAR» ANALISISMATEMÁTICOIII I
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|=|i(x*+xy)dK+(y*-xJr)dy-|.,[x*+^ +^ - ^ ) ( x)|tc
i-fi* ***!3*4 *2*L-x >+£ -é' - 8+2+3a_15!?-6 2 ~J»[ J ~ 3 8 24‘T q , 3 15
0
Calcular la integrai curvilinea Jc(x’ -2 y) dx +( 2x +y , )d y, dande C es et arco de: y* = 4x-1 de A|— ,ol hasta b Ì - ^ Ì
Evahie la integrai curvilinea Jc(yx*)dx-t-(x+y)dy, donde C es dado por y = -X1
del origen ai punto (l,-l)
; dy=dt; dx = -- - ; 0 St S 2 x = t ; y= ~e ; dx =dt ; dy = -3t ’dt ; PfO.O) ; Qf1,-1) 1= jV !dx+(x+y)dy =
+(t - e)(-3t*)]dt
(T\ Calcular la integrai curvilinea Jy'dx +xdy, donde C es la curva y*= A<0,0) hastaB(l,2).
O
Calcular la integrai curvilinea J^yzdx- xzdy+xy dz, donde C es un arco de la hélice x= RCos(t); y = RSen(t); z = | Ì , desde d punto de interaección de la hélice con ei plano z=0 hasta el punto de interaección con ei plano z=a_
ydy = 2dx; 0 st s2 =
; 0£t £2 ; dy = dt ; dx =
S x = RCoB(t ) ;y = RSen(t): z = 2!t z = 0 =» t = a ; z = a =» t=2n
;
0sts2n SOLUCKDNARtOANALISISMATEMATICOHI
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E
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; dx= RSer(t)dt
¡
dy = HEcïi(t)dt
j
dz=JLdt
I= £ (2+ at-t-Bt1+ 2+ 12 t + 1 3*=+3 + 1 Üt -HlEt* ^Jt
En laintegrai:
.= F'[ 7 4 3 5 t ^ W = 7 t 4 ^ J S t f = 74 ^ ■' 3 3 |„ 2 ^
J ■yudx— Kzdy + xydz r= «.fBatSHi(t)['KKn(t)'] J“[ SK
<
RaCoa(t)['HC0G(t)] |^aB e^C osft)! Sit
=M 6
Calcular laintegral curvilínea J"t( x+y )d x4( x- y) dy Sit a) Alo ™ largo I de I
OA y QB donde 0(0,0), A(2,0), 3(2,1)
b) A lo largo dEl
.-g u = t i d u = dt
;
Y = J c c a (2 t )d t = -^ ^
r ^|D £)
^
3
aB‘|~CM(4»).Cce(0)j f
Qtcontiar la ¡ntesral curvilíneaJ^x* + y’ )dx 4-x>idy , ä el camino que une A{1.,L)y
1 y = Q ; dx = dt
-[0 jE] ;
Ci,l>
; dy = 0 ;
Os ts S
B(3,4) es un segmento de recta. I, =¿(* 4¥)d*4.(*-y)d¡, = £ [t4 0(t-Q)(0 )> = ^
=2
irala necta ye[t>,l] El vector AB=(3J* }-( lrl)= ^ 3 )
X= 1 ; y= t ; dx = 0 ¡ dy = t ; 1la integral :
Laecuación vectorial de larecta: P= (lJl)+t (2 ,3j Laparamemzadùn: x = 1+ St ; y = 1+3t ; ÙS tS l ; dx=2dt ; d>tiid: 1= jj[ (l 4 Et’)+ {l +31*)](& #) + (l 4 St)(l +3t)(3dt)
0£ t£ l
+ y ) d y = 0 { l ^ K ° ) + C - * ) > t = t — Ï| ’ = 1 - r ^
SÜLIJCIÜMAHIÜANALISISMATHÀT1CO III
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Finalmente
1= 1. +1 = 2 + - = ’
*
2
K2- » ) > -x r [° -o -( 2-*)’](©)
1= /„K21-
2
I= J ‘(2t -t* - 4t+4t’ )dt = |*(3t*- 2t)dt = i ' - t =8 -4 = 4 A lo largo del segmento OB y = x/2
=*
x =t
;
y=t/2 =» dx = t ; dy=t/2 ; 0st á2
Calcular el valor de la integral de línea dado por
y)dy _donde C
es lacircunferencia x* + y* = a*, recorrida en sentido contrario al de las agujas de) En la integral
reloj.
lj =Jc(x+y)dx+(x-y)dy=£,[(t+t/2 )+(t-t/ 2)(l/2 )jdt
la integral curvilínea J y dx-( y+x') dy, si C es el arco de la parábola y = 2 x -x ’ situada 9obreel eje Xy recorrida en sencido de laeagujas del reloj.
x=aCos( t)
; dx = -aSen (t ) ;
y=aSe n(t)
;
0sts 2tt
dy = aCos(t)
Ahora laintegral de línea., (x-t-y)dx-(x-y)dy Je x*+y> ^^ j,.« |~aCos(t )->-aSen(t )][-^aSen (t)] -[aCos 11) - aSen (tTj^aCos (r ^ l= £*[-Sen(t)Cos(t)-Sen,(t)-Cas , (t)+Sen(t)Cos(t)]dt
l=JT [Cos,(t)+Sen,(t)] dt =_ C =~2x Calcular la integral curvilínea J (x -y )' dx+(x +y)* dy, si C es una líneaquebrada OAB donde O (0,0), A(2,0) y B(4,2). dx = - dt; dy = 0 SOLUCIOMARIOAMAUSISMATEMATICOIII
oduWru-oom
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c En laintegral: I, = J^xydx+ x*dy= £ '[ t( O)- ljdt =
-tj = J
- 1= _ i
x = 0: x = 0 ; y = 1 -t ; Oá tá l ;dx = 0 ; dy = -dt A«,0) La integral tiene dos regiones Oát S2 ; X=t 0StS2 ; x=t +2
En laintegral: l4= Jtx>rtc+x,Üy = jj 0 (l -t )+ 0 ]d t= 0
y=0 ; dx=dt ; dy=0 y=t ; dx=dt ; dy=dt
l=1,+l,=J a‘[(t-0 )!dt+ (t+0), (0)]+í;[( t+2 -t), +(t+ 2+t),]dt O
4( t+ í)1 ' 8 4 136 =- +8 +3 6— - =— = Ía't'Ck+ r [ 4+4(t+,),] t* = | [ + t+ A
Acu lar la integral curvilínea J^x* -2xy)d x+(y* -2xy)dy, donde C es la parábola y = x*(- 1 S x á l)
s (0,0); (1,0); (1,1) y
Evaluar Jxydx+x'dy, (1,0) en ese orden.
En laintegral: l= J”i[(t* -2t :l)dt+ (t4-2 t:,)(2t)d t] x e f rl ] x = t; y = 0; O át ál ;dx = dt :d y = 0 ti n
Q
En laintegral: I, =£xydx+ x’ dy = 0
siguientes caminos: a) la curva C:X=y *, z =0 desde A hasta (1,1,0)y larecta L x=l Ay=l desde
Y «[0,1] y = t ; x=1
Calcular £yzdx-x ydy+xzdz entre los puntos A(0,0,0) y B(1,1,t) a lo largo de los
; Oát ál ;
dx
(1,1,0) hasta B.
1
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b) Siguiendo el segmento rectilíneo AB
=H,-H=í1_x+' ; x n * \1-1+X ; X a)
x=y*t z= 0 desde A hasta (1,1,0) y = t
; x=t*
; z = 0 => dx = 2tdt ; dy = dt ; dz = 0 ;
O s ts l
I, = J[yzdx+xydy+xzdz = £(0+t3-i- 0^ Jt =^ =•!
xe[ 0,l]: x=t ; y=t
Ahora en la recta L x=1 Ay=l desde (1,1,0) hastaB y = 1 ; x=1 ¡ z = t^ d x = 0; dy = 0 ; dz = dt ; O s ts l
Os tá l ; dy=dt :dx=dt -£[(•* *<■)*(<■-<■)>
lt = £yzdx-Hxydy+xzriz = £'(0+0+l)(J t =-^j = i
x=c+1 ; y =1-t ¡
O át ál ; dy = -dt ; dx=dt
i, = j;([(t +i)‘ +(i-t)* ]d t-[(t+i)* -(i-t )* }d t b)
Desde A(0,0,0) hasta(1,1,1) y = t ; X= t ; Z= t =» dx = dt ; dy =dt ; dz = dt ; Oá tS l 1= Jyz dx- xy dy + xzriz =
f (Utf ( t + lf 3
3
(1-trf 8 1 S 1 2 3 I 3 3 3 3 3
+t5+ ts)dt = ^ | =1
Calcular la integral curvilínea Jc(x* +y, )dx +(x , - y ,)dy donde C es la curva: y:1 —|l -x j, 0á xS 2
I SOUJCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
(t+l 3
O
Calcular la integral curvilínea Jc(x +y )d x+ (x -y )d y donde C e ^ -+• y* ~ = 1, recorrida en sentido contrario al de las agujas del reloj
»•«/edukperuajm
w«'.c-jLktcr j .cotí
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SOLUCIONARÍOANAUStS MATEMATICOdi
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En ct esquema, con d desarrollo correspondiente a las expresiones de valor
x=aCo s(t)
; y = aSen(t) ■ 0áts2n
dx = -aSen(t)dt; dy=bCos (t)dt Ahora la integral de línea: 1= ^(x+yjdx+íx-yjdy I = £* ([aCoa(t)+ bSen( t)][-aS en(t)]+ [aCos{t) -bSen( t)][bCo s(t)]}d t I = J’*[-á ,Sen (t)Co s(t)- abSen*(t )+ abCos’ (t ) - b'Sen(t)Cos(t)]dt
l=- 2||’dt+8^dt = 0 Calcular la intesral curvilínea J^x’ yd x-X^dy , si C es el contorno limitado por las , ^ (a1♦b*)Co6(4n) (a‘ +b‘ )CoB(0)
parábolas y* = x , x* =y , recorrido en sentido Inversoa lasasujas del reloj.
donde C es el contorno del cuadrado ABCD, siendo A<1,0), B(0,1), C(-l,0)y D<0,-1)
'<¿L
Lasrectasqueconformanestecuadrilátero: x + y =1 ; x + y =- 1 ; x -y = 1
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[y=t* V=1-t
(dx = 2tdt
x= t= »d x= dt ; y =— =>dy = tdt ;
fdy=-c
Desarrollando laintegral i=ft tv -t* (2t)]<*+}; [- (i -t)4(i-t)1(2)+(i -o ‘)*
^
Calcular la integral curvilínea
+y) dy, donde C es el are» de lacurva O
x - y * = 0 desde(1,1) a (0,0)
Calcular el valor de la integral curvilínea J^yx’dx +y dy , siendo C la ecuación y*+2x*-2Rx=0
Parametrizamos: y =1 -t
x = (l -t )4 => dy = -dt ; dx =-4 (l-t )1dt y1+2x* - i V*
£ )
CalcularJc(t f-y z)d x+ (y *-x z) dy -xy ife , donde C es la curva dada por las ecuaciones x = t, y = ^ : z = í- desdeA(0,0,0)a b |1,—,— I
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Parametrizando la curva x=2Cos(0 )
2
2
'= V l— Sent
=>
Y = j2Se n(o) =>
— RSent 2
dx=-2Sen(/?)d# dy =v'2Cos(0)d0 ;
OSÉ»£2*
Sustituimos en laintegral: 1= £**[2005(0 )>/!Sen(¡y){-2)Sen(#)+[4Cas' (0)_2Serf (0)]V2Cos(0)]d
c—
I= J0W[-+/ 2Cos(0) Sen’( 0 )+ 4^200®' (0) - a/aSen*( 0) Coe(0)]íty k y x' d x+ y * = ¿ J ^ R S e r * g
J* I =J0’*[W5 [i -Sen '(0) ]Co s(0) -6Vl2Sen'(0)Cos(0)]d0
=
| R4
Sent(l+ Cost)’ Sent+-1 ScmCostJdt 5R4-/g.r 64
^
I = 4 J 2 |^Sen(g)
O
Calcular J xydx+ (x *- y1}dy, a k» largo de la elipse x*+2y* =4 recorrida ei
j - a/isen* (0]]* = O
Calcular J Jx* - 2y)dx+ (2x+ y *)d y, donde C es el arco de la parábola y* =4 x-1 desde (1/4,0) a (5/4,2)
1
. .-1 => y=t i => x =—i —+ i ; ^dyj =idt ^ ¡ rdxa=—r ; 0s tá 2 y =4x Sustituimosen laintegral:
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.=l[£+ 8+i2 +.6Jl=*!L 32|_6 1536
Sustituimos en la integral: | = j V ( 3 t * - « + 2) A =j ;( 3í ‘ -6 t> +! t * ) d t = ^ - | l + S ! j
O
Calcular J ydx+ (x* +y ' |dy, donde C es el arco de lacircunferencia y = v U -x '
t 3(32) 3(16) 16 8
de (-2,0) a (0,2) O
y= V4 -x*
Calcular J<_( y- x) dx +x ’ydyr a lo largo de lacurva y‘ =x\ desde (1,-1) a(1,1)
=> x*+y* =4 =»
fx = 2Cbst Jdx=-2Sentd t { y = 2Sent^ [dy = 2Coetdt Jcydx+(x’ + y ’ )d y= J^[2Sent(-2Sent)+ 4_2Cost]dt= *+8 y = t =»
©
Calcular JV d y , a lo largo de lacurva y=x* -3x * +2x , de (0,0) a (2,0)
dy=dt ; x = tM =» dx=(2r*'J /3)dt ;
-1 S t S 1
Sustituimos en la integral:
,= j’ [( t-t-) (2 t -« /3 )+^ ] d t = j ’ [ ^
- ^
U 210Jt. 52I0J 5 dx=dt ; y =t’ -3t ” +2t =» dy = (3t'-6 t+2) dt ; 0st s2
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+ t-)d t
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r i 0
Calcular Jc— ^
. f*
cWx'-y’ yx’-y'
- donde C es el arco de lacurva x*-y * =9 de
|=j[*£flSen(t > -h t ] (^ ^ )+[b*-íCc8(t)]aC^ ^)+[iOai(t)-«S«^)]b )* = jJ'[-a*Sen’ (t }+abtSen (t)+abtCoe (t) -at os * (t ) +abCos (t) -abSen (t)jdt I = J o“ [- a ’ + ab*Sen(t}+ abcCos(t )+ abCo s(t) - abSen(t)]dt
x = 3Ch(t)
=»
dx=3Sh(t)dt ; y=3S h(t)
O s t s Ar cch(5/3)
=>
=> dy =3Ch(t)dt
v = j‘ *[abSer(t)+ abCos(t)] = -abC os (t)- abSen(t)
e’ = 3
I- -»*t -*tCc*(t) tab(&»(t)[* i J“ [abCos(t)]it |"[*Scr(t)]* J **[^abCos(t)-abSoi(t)]dt l = -2 » , -2®b+2abSen(t)+2abC06(t])*' =-Sit(a+b) G
Calcular la integral
J^yd x+xdy+xd z, donde C <
x=RC os(a)C os(t)l y = RCos(«)S er(t) , z=R Sen («) , («u = 2Am S(e, )= 2Anrtg(3)
ChF)= O
en el sentido del crecimiento del parámetro.
Calcular laintegral Ji(y -z )d x + {z -x )d y + (x -y )d z, donde C es wa es hélice circular x=aCds (t) , y = aSe n(t), z=bt, correspondiente a lavariación del parámetro t, desde 0 hasta 2« .
x = RCos(u)Cos(t) =>
dx= —RCos(« )Sen(t)dt
y = RCos(«)Sen(t) «
dy=RCos(a)Cc6(t)dt
z = RSen(
dz = 0 ; 0á tá 2it
Sustituimosen laintegral: x=aCos( t) => dx = -aSen(t)dt ; y = aSen(t) =» dy =aCos(tjdt z = bt
=»
dz = bdt ; O£ t á 2it
l=|’‘[-RCos(íi)RCos(«)Sen(t)Sen(t}-RSeii|>/)RCos(«)Co6(t)+0]dt I = /“ [-R to s*(a )Sen1(t) +RsSen!(a)Cos(a)C cb( t)} *
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» BXAÀUDOESf'WOZA RAMOS J
CAPÍTULOv«
ewnuoyn
Hallar £ydx +zdy +x dz , donde C es la intersección de las superficies x+y = 2,
)1 C” (2t) +R’Sen{«)Cos(«)C<»(t)j* ' - í : [ ^ ' ("
x1+y* +z? =2( x+ y) . Lacurva es recorridade tal manera que mirando desde el
( = . ^ f c | t _ £ ^ ) J +R.Sen )Cos{ „ ) Sen
Calcular la integral curvilínea
£
origen el sentido es el de lasagujas del reloj.
>donde C es el lazo derecho de la
x+ y = 2
Lemniscata r*= asCas(S¿?), que sigue en el sentido contrario de las agujas del
=>
x’ +y , +z , =2 (x +y )
*
x*+y, +z, =4
x = 2Cos(45,I)Cos(t)
9
dx = -/2Sen(t)dt
y=2Cas(45°)Sen(t)
=s
dy=V2Coa(t)dt
z = 2Sen(45°)
=»
dz= 0 ; 0át£2it
Sustituimosen laintegral: x=aCo s(t) => dx =-aSen(t) ;
y=aSen( t) =»
dy = aCos(t)dt
l = J‘0,' [-2Sen, (t )+ 2Co s(t) ]dt= j’ *[-1+ Cos(2t)+2Cos(t)]dt
-*/4S«£*/4
I=-t+Jsen(2t)~2Ser
Sustituimosenlaintegrai: , =p
aCoS(t)aSgn(t )[ ^a>Sen»(t)-a»CQS»( t)]dt 0 =t (í 4 ) =o
Calcular JcF(x,y,z ).dr, F(x,y,z)= "* i - ¡ ^ j - ~ k donde C es la curva de
H M H
intersección de la superficie esférica x*+y* +z’ =4 y el cilindro x*+2y* =4 , recorrida de manera que, mirando desde el eje Z*, el sentido es antihorario.
SOLUCIONARLOANALISISMATEMATICOIII
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l=Jcxdy=J(]1(a-atJbdi:=atot— =ab^ x'l+ y’ + z’ =4 x’ +Sy* =4 =i 4-y*
z =±y Calcular laintegral de línea J^F (K,yrz)* dr rdonde F(x,yrz) = (xy,y ,z) ylacuva
naiainea'izamos enooonderiadas polares: x
=BCos(t) =>dx=-2Sen(t)dt ; y=>/2Sen(t) =>dy =V£cos(t)dt
ÜSt¿2it ; z = 0 I = £ f ( x y
C está forma por las interaeodones de las superficies 5 ,: * '+ / = ? con 5 ,: x1+Y1-4-z* =6k ry 5, : Kl +y1= 9 mn S, :k = ^' ^
, de manera que ai ae
gCQatt) ^ Sen(t^ ,|-|-3Sen(t)rj8C ai(t )ro].at
La interaecrifin dE laEdosprimEras OMvas; c
(ÜjoulHr J^xdy r donde C es un segmento de reata —
= I desde el punta d
el ejE de abscisas hasta el punto de intersección cor el eje di
5 ,: ^ + ^ =9 Faiaitietriiamoa:
A
S1:3i*4-y14-z*= 6 k
=*
Z1 =6 x- 9
z=t ; x = (t*+<)) /6 ; &£t s3 ; y = 0 dz = dt ; dx = trltí3
iiy
v tt
í, =£ Ffx. y,! ) •dr =
k,z) *{ dx, dy, di) = £ ( xytfc4-xrijr+ zdz)
^ = j > ^ = í [ =l La interaeocifin dE las dos siguientEa aivas; 5 -x *4 -^ = 9
A
SL:k = J — +^~ ^ > 3 3
3/ÍSKS3
PQ^-^b) =>P=(a,í})-M:(-a,b) ; Ostsl x=a-at => dx=Hdt; y=tb =>dy=
ÜSZS373
=>
4jí =9+a?
y=0
t=X_Írí=
^jÜUU^IQMARIQANALISIS MJlTB üIATICO III
SOLUCIOHARIOANALISISMUQfATlCÜ III |7
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D...
=p(x,y,z) O
Evaluar J(^
% 2 Í = ^ a » (z )
)yE*,rCos(z)dx+ xe»Coe(z) d y- e*Sen( z)
f(x,y,z)=JyewCos(z)dx=e*Cas(z)+s(y,z) - O ) m ^.'nv-.nr
^ x’M ) = xC*'Cos(z)+^ (y'2) <5y
Verificamos si es una diferencial exacta: P(x,y,z)=yewCoa(z) =
g = e"Co8(z) +xye«’CoS(z)
xe» Co, (z)+^ l = x ^ C o s ( z )
£ = -yewSen(z) Q(x, y,z) = xewCoa(z) =
Estaexpresión esigual a Q( x,y ,z ):
^ = e"Cos (z)+ xye"Cos (z )
S(x,y) = h(z)
*
...
Al reemplazar (2) en (1): f(x,y,*)=«wCos(z)+h(z) R(x,y,z)=
*(z)
g=-ye"Sen(z)
Derivamos respecto a:
S — Esta expresiónes igual a R (x ,y,z):
De donde: í?-Ü2 dy ¿be
— =—
£Q_SR
-e"Cos(z)+^ = - e " C c 8 ( z )
Sz dx ’ dz dy
Por tanto es independiente de la trayectoria. Como es una diferencial exacta, entonces 3f: R1-» Rtal que:
=>
^ = 0
Dedórate h(z) = C,en(1> f(x,y,z)=e*'CoS{z) +C Finalmente la integral: Íw )' )'* ',<^QS(z) ^ +xb1*cos(z) dy - e ’'Sen( z)dz = e*Coa (z)
+cj ^
SOLUCKDNARIOANALISISMATEMATICOHI
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s:
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Wdx+3f"ic°s( j' -e‘>5en(z**=-"cos z *■
(°)
J j" ^ 1ye^Cos (z)dx+ xe^C qs (z)dy -é^Sen (z)dz = -er! - 1
O
Evaluar
Evaluarlas inoegraleade línea; a)
+ 2>¡>Sec(i}]*:+[Sec1(y) +>*Sec(i}]dif+Sec(z)[ x,y1S(z) -5ec( z)]d z
deAH°) »
. (l + yl ldK íy+x’ W — rdonde C es: ------- -- —
e(4§J
b) J|_[EHCoe(y)-3}±e-[V5en(y) -HZ, }d y- (2 yz -E) dz de A (-1,(^3) alpunfci
a} O: Desde ( 1,(15 hasta cualquier curva b}G Desde (-3,0) hasta (-1,4) cualquier curva
a (l*Q ) g-'inj^'TF ai> Jc[Tg(x) 4-2xySec (z)]dK+[Sec’ (y) +x*Sec( z)]dy+ Sec(z}( jí'yTi(z) -Sec (z)]dz
a) Paiametrizamca enuna recta: y = t => x = at+1 => dy = dt
Tg (xj + 2xy5fec fi)
dx = 2dt — =S3¡Sec(z) df a+st -t-4t -4 t-i
(Bt+l)P
J
=
■
Sccl (y )+ 3í!SBc(z}
—= 2>SBCfk Z) rtv
;
’
J*Lm r sJ*
T ixySec (i )Tg |z) ;
2L 2J"j_(ít-.-l )=J
r =S^ ( z ) T g í z )
Í*(« 4-1) =
, = _ ,^ r _ i — 2 _ f = _ i ^ M 2t+ i f - 1 ^ E-^Bt+1 2(S!t+Jl)(( 4 I. 10
iP _ ¿Q
SP_.BR
f = x ^( z) rg (z }
SQ _a t
Per lo tamo es independiente déla trayectoria. Como una diferencial exacta, entonces existe
tal que:
íf c p i U c ™ ,)
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y
.«* »,)
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«DOESBOZARAMOS -TS(0)-Kln[Co8(2)]-4{*/6)Sec(0)-HB(*/6) I=V3-Ln[Cos(3)]+9n/2+1+Ln[Coa(2)]-2*/3-^
Si ^ J ^ = P(x ,y,z) =TS( x )+ 2xySeC
a/3 , [Cos(2) f (*.y,z)= ][Ts{x)+2xySec(z)]*c+s(yfz)= -Ln[CQs(x)]+x»ySec(z)+s(y,z) ...0 ) b) Ji_[2j¡C os(y) -3]dx -[x,Sen(y)+z*Jdy-(2yz-2)
B(l,tt,0).
= x>Sec(z)+Slr (y)=Q(x,y,z)=Sec*(y)+x*Sec(z) sT(y)=sec’(y) S(y, z)= JSe c* (y )dy +h (z) =Tg (y) +h (z)
... (Z)
( 1> f(x,y,z)=-ü>[Cos(x)]+x,ySec, (z)+Tg (y)+ h(z)
fM ^ 'y S e c (z )T 3(z)+h-(Z)=R(xIyrz).Sec(z)[xVg(í) - Sec(z)] De donde
g'(z )=- Se c'( z)
=»
P(x,y,z) = 2x Cos(y )-3
- =-2xSen(y)
Q(x,y^) = -x’ Sen(y)-z* =
B = -2xCos(y) =
Rfx,y,z>= 2-2yz £Q = SR £ = £9 • i? =¿5 ñx ’ flz Sx Sz ~ Di Por lo tanto es independiente de la trayectoria. Como una diferencial exacta, Como-
entonces existe: f
tal que:
í ^ i ) -p ( w )
h(z)=Tfc(z)
,
Por lo tanto: f(x.y,z)=Tg(z)-Ln[Cos(x)]+x,ySec(z)+Tg(y)
f(x,y ,z)=J [2x Cc^y ) -3]d x+S(y,z ) = x*Coe(y) +g(y.z) ■■■(D ^Tstn/SJ-lnfCospg+^irMjSectn/SJ+'llgtit/*)-
i
SOLUCIONARIOANALISISMATatÁTICOIII
SOLUCIONARJOANALISISMATEMÁTICOIII
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D Ahora derivando respecto a y: =-x-Sen(y)+8> (y,z)=Q(x,y,z)=-x«Sen(y)-z’
S,(y ,z)= -z’
.
CKx,y,z)=6xy*+1
=»
g = 6 y*
;
g=0
.
R (w )=
=»
— = -16xz dx
;
— =0 dy
Como-
Integrando respecto a y; 8(y,z)=J(-z,)<*y+h(z)=-*V+h{z) ...{?) Reemplazando (2) en (1>
8y 0 x
' dz
Í2 = ® 8x ’ Oz 8y
Por lo tanto es independiente de la trayectoria. Como una diferencial exacta, entonces existe: f : 9t' - » W tal que:
f(x,y,z)=x*Cca(y)-z»y+h(z)
£ í g ± U ( „ ,l)v
2 ^ Ü . 0,w )
,
Ahora derivando respecto a z: «(*■**) De donde:
h'(z)=2
y+h '(z) = R(x,y,z) =-2 yz-r2
S I^ ÍH ^ = P (K .y ,i )= 2 y ’- 8 a ’ Integrando respecto a x:
h(z)=2z
f (^y »z) = /(^y1-8xz*)dx+g(y,z)=Sxy* -4 x’z* +g(y,z)... (1)
Por lo canto: f(x,y,z) = >ÍCoS
Ahora derivando respecto a y: f Í H d = 6xy* +Sy(y»z) =Q(x Iytz) = 6xy* +1
1= í(<Ü ) d Cf ^ y -Z> ]= f (X' y' ZC ) = f ( U O ) - f ( - W ) l=Cos(it)-Cos(0)-6=-1-l-6=-8
s,(y.zH Incegrandorespectoay:
S(y,z) = Jdy+h(z)=y +h{z) ...<2)
c) £(2y> -8xz*)dx+(6xy» +l)dy-(8 ¡íz+32 ?)dz,d esdeA (2,0t0)has«aB(3,2I1)
Reemplazando (2) en (1> f(x,y,z)=2xy1-4x*z> +y+ h(z) Ahora derivando respecto az: J^Sy1-8xz*)dx+(6xy*+l)dy -(8x*z+3z* )dz P(x,y,z) = 2yí -8x z!
= 6y*
ef^
De donde:
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’- =-8x,z+h'(z)=R(x,yrz)=-8x,z-3z*
g'(z)=-3z*
=>
h(z) = -z*
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|= C d [f (x,y.z )] =f (x tyJz]q
P(x.y.z)
*(x,y,z)
f(x,y ,z) = 2xyI -Aaté +y-¿*
y
= f (W ) - f ( ^ 0)
i í § l ) =Q(x,yrz) = R|x,yrz)
l = 2(3)(2)1-4(3 )’ +2 -0 = 12 P(x,y,z)=e'Sen(y)+yz d) Jc[é'Sen(y)+>z]dx+[e, CoB(y)+zSen(y )+xz}jy+[xy-Ccs(y)]z ]dX+s{ y,z) = e'Sen( y) + *yz+S(y,z )... (1)
A(2,0t I) hasta B(0, * ,3)
Ahora derivando respecto ay: ¿f(x,y,z) ;e*Cos(y)+x z+s, ( y,z )= Q(x ,y,z) = e,‘Cos(y)+ zSen (y)+ ¡
M'r.^ T ” rJW
Jc[é'Sen(y)+yz]dx+[e*Cos(y)+2 Sen(y )+x z]dy +[xy -Coa (y)] dz • PCx,y,z) = e*Sen(y )+y z
g -c -o -t » ).,
•
5‘*
• Q(x,y,í)= e’Cos(y)+zSen(y)+xz 5
g = s e n (y )+x
Como-
i? = ü 2 8x
di fix '
!
x
= ~ * " ( y )
3Q_oR az ¿y
... (2)
Reemplazando (2) en (1> f(x,y,z)=e’Sen(y)+xyz-zCcs(y)+h(z) Ahora derivando respecto a z:
De donde:
^= xy -Co 8(y )+ h,(z )=R (xry, z)= xy -C os (y ) h'( z)= 0
»» h (z) = C
Por lo tanto: f(x,y,z)=é*Sen(y)+xyz-zCos(y)+C
Flor lo (aneo es independiente de la trayectoria. Como una diferencial exacta, entonces existe: f : 9F -»91 tal que:
g(y,z) = JzSen(y)dy+h(z)= -zCoa(y) +h(z)
—
• R(x,y,z) = xy-Cos(y) x = y
Sr(y ,z)=zS en(y ) Integrando respecto a y;
,=C d[f(^y'2)3=f( w < 3 I = Sen(n>+0-Cos(it)+C-e,Sen (0)+0-Cca ( 0 )-C = 1+0-1 = 0
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C_ . e) Jt[2x ln(yz) -5yi!*]dx -[5e * -x* /y] dy-t-(x*/z+ 2z)d z , desde A<2,1,1) hasta
Ahora derivando respecto a y: =^Cos
m -' h.vvtw
Sr (y,z) =zSen (y)
Jc[2xln(yz)-5ye’]dx -[S e'-x , /y]dy+(x*/z+2z)!Íz
S(y ,z)= JzS en{ y)d y+h (z) =-zC oa (y) +h( z)
• P(x,y^) = e*Sen(y)+yz
... (2)
Reemplazando (2) en (1>
^ =eTCos(y)+y .
Integrandorespectoa y.
| =y
f(x,y,z)=e*Sen(y)+xyz-zCce(y)+h(z)
Q(x,y,z) = e”Ccs(y)- t-2 Sen(y)+xz g = e-Cai(y) {
De donde:
• Ríx,y,z) = xy-Cos(y)
S=y m°=
SP= 5Q S y_ Sx ;
= xy-Cos (y)+h'(z) =R(x,y,z) = xy-Cos(y)
•g=Sen(y)+x
h'(z )=0
* f =x+So,(y)
=e*Sen(y)+xyz-zCos(y}+C l= C ;d [f(x,y,z)]= f(x ,y,z)(^ = f(0,«r,l)-f(2t0,l)
£P = é« £3 = ®R f e - ax J ñz~ Sy
Por lo tanto es independiente de la trayectoria. Como una diferencial exacta,
l = Sen(»)+0-Cos(n)+C-e*Sen(0)+0-Coa(0)-C = 1-t-0-l = 0
entonces existe: f-.Vf -* ü tal que:
S*^ “
=> h(z) = C
Por lo tanto:
^« P (x .y ,l ).e 'S e n (y )+ y l
f(x,y,z)= |^eISen(y)+yz]dx+g(y,z)=e“Sen(y)+xyz+s(y,z)... (1)
-----
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Determine el trabajo efectuadopor la fuerza É,(V yj — (P a-y v) que mueveunapartícula sobre unarco de lacicloide: ür(t)=[at-aSen(t),a-aCas(t ) ] , ÜStSSit
PSrael trabajo
1—XL-t-1= 2-X X¿1
W =Ji F(t)üat =J^ (&-y jK)[a-a^a{t),aSa.it)>
íy= 1-t t =r[x =1+t
W = Ju"^Sa -a+- aGos (t),at- a Sen(t )J.[a- aCos(t) j3en(t) ^Jt W = ^ Ju" [ l + Ctis(t)rt - Sen^tJK1- Cas(t)Sen(t)] dt W =a“JJ‘ [l -Cr* ! (t)+1Sen(t) -Sen ^t) ]* W =asJu''tSeii (t }dt ■
u= t
^ du = dt
= * L ^ JD s t s l
rfy)=J,1(Z* 1+
w =j ;(t'dt+tdt)+|;[(i-t )sdt-(i-,t)dt]
; v=JSen(t}dt =-Cos(t)
V! = as[-t Cas (tj|“n+ J^*CaB(t)dt] = as[-fin + Sen(t£*] = -fia1* Q
w = Jcf fc y H r = fu'(y'rx)-
fdy = -dt [dx = dt
T J J ^ - t - 4
^3 s|
3
=U
s i s a
- 0- i - i +: = -2
2 3
3
Determine el trabaja efectuado por unapanícula que se mueve de (D,Ü) hasta(2,0) sobre
Hallar el trabajo total realizado por desplazar una panícula en un campo de fie
una curvaCtjje recome el conjunto s = {( x,.y) e ít* /y = 1-| l - jj j Ella fuerza es
F(^ y,z) = 3xyi-5zj + 1Gxlc a |D larjo de lacurva: x = t*+1, y =21?, z = i desde t =
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»au-PQBHN ozaBa» oO
w =J #'[(xy)dx +(yz)dy+ (xz)dz)it x = t*+1, y = 2t’ ,z = e
=>
r=xt+»+zk
dx=2tdt ; dy= 44dt ; dz = 3t*dt; 1S tá2
=*
W = j:[(,+t )(4 -3t)dt+(4 -3t)(,+2t)(-3dt}+(l+t)(l+2t)(2dt)]
r=dxi+dvj+dzk=(2ti+4q'+3t'k)c#
W =£(4-41-31-3** -I2+9t-24t+18t‘ +2+2t+4t+4t,)dt
W = ¿ F (x,y )jdr = £ (3xyi-5zj +lOxk). (2ti +4tj +3t*k)
W=J’(-6-8t+19t?)dt =-tt-4t* + ^ j ^ = -6( l ) - 4(l)+ -^ U = _1J
W =J’ [ 3(^ +1){ 2t?) i-5Í 3j +10(t* +l)k].(2t i+4tj+3t’ k)dt W ^ l S t 1+12^ -2KK*+30t4+30t*)dt W=
+ 12Í1+10t4+30t’ )dt
Q
Hallar el trabajo realizado al desplazarse una partícula en el campo de fuerza F(x,y,z) =3x* i+(2x z+1)i+ zk a lo largo de:
W=2t*+3t, +2tJ + 10t,[ =2(6 4)-2 +48 -3+ 64 -2+ 80 -10= 300
a) Larecta que\melos puvtos (0,0,0) y (2,1,3) b) Lacurva x = 2^, y = t, = 4t *-l desdet = 0at=1
Q
Si F(x, y,z)= (xy,yz,xz), determine el trabajo efectuado por esta fuerza que mueve una
J'^TTT.’r 'T T
partícula sobre unarecta(1,4,1) hasta(2,1,3). a) Hallamos larecta en su formavectorial: a= (U3 )-(< W> )=( 2,t, 3) Hallamos larecta en su forma vectorial: a =( U 3H U 1 )= (V -4! ) Ahora laparametrización:
*
P=P,+at=(l,4,1)+t(l,-3,2)
=»
P = P,+at = (0i0,0)+t(2,l,3)
Ahora laparametrización: x = 2t ; y = t ; z= 3t dx = 2dt; dy=dt ; dz= 3d t; 0s ts 1 □ trabajo:
x= 1+t ; y = 4-3 t ; z= l+2t
W = j ’[3x!dx+(2yz + l)dy+zdz} lt
dx= dt ; dy = -3dt ¡ dz = 2dt ; 1st s2 w = j;[3(2t), (2)+(6t, -l)+3t(3)]dt
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SOLUCIONARIOAMAUSIS MATEMATICOIII
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□
L
W =Jt'[aM* +6**
W= 3jj ‘[-SCos(t)Sen(t)+3Sen* (t)]dt +¡ 3Cos‘ (t)+3Sen(t)Cos(t )]dt
+l+9t]dt
w = io e + t+ —2l= 10+ 1+ -2= i s ^
W=30Cos(t)Sen(t)+ 3]dt =
b) Lacurva x= 2t ',y = t, z = 4t* -l dx = 4tdt ; dy = dt ; dz = 8tdt ;
O s ts l
El trabajo:
^
fí-l+<*£‘ =18n
Uncampo de fuerza estádado por F (^ y,z ) =[yz,xz,x (y+1)], calcularel trabajo realizado por F al mover una partícula sobre el concomo del triangulo C de vértices (0,0,0), (1,1,1) y c-u-i)
W=Jt'[3x*dx+(2yz+l)dy+zdzJlt W = Ji’|3(2t,)j, (4t)+8c,-2t+1+3 2t, -8t]dt W= J4'[48ts+40t:,-10t+l ]dt=8t*+1 0t4-5 t, + l|’>=8+1 0-5+ 1 = l4
a=(Ul) L, =(0,0,0)+t(1,1,1)=t(1,1,1)
y
Halle el trabajo realizado por el campo F(x ,y,z) = (2 x -y +z ,x +y -z’ ,3x -2y +4z )l al desplazarse en sentido antihoraño tina partícula alrededor de una circunferencia C del plano XV, cuyo centroes el origeny de radio3.
Parametrizamos: x = 3Cos(t) ¡ y = 3Sen(t) ; z=0 ; 0 £ t S 2x dx = -3Sen(t )dt
; dy = 3Cos(t>dt
;
z= 0
+(x+y-z")dy+(3x-2y+4z)dzj
Ostsl
X=t ; y=t ; Z=t ;
En el segundo tramo: (1,1,1) y (-1,1,-1) a=(-1,1,-1)-(U1)=(-2,0,-2)=(-l,0,1) X = 1—t ; OStSl y=
Enel tercer tramo: (-1,1,-1) y (0,0,0) a=(0,0,0)-(- 1 ,1,-1)=(1,-1,1)
El trabajo
=.
L>=(-l f1j-1)+t (l-1,l)=Jy =1-t
W= J^aC os (t)-3Sen (t )] (-3}Sen (t)dt+[3Cos (t)+ 3Sen’Cost] dt
1 SOUUCIONARIOANA1JSIS MATCMATTCOIII
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W = £[fri)d x 4 (xz)dy4x(y -l )dz ]
x = Sen(t) ;
y -l = -O B ( t )
; O ít fi * ; dx = Chs(t)dt ;
dy=Sen(t)dt
W, =J^Fr±t4 Fd}' W = £[(yz)dx 4 (xi)rfy 4x(y - l)d z]
W, = JJ (tay1! 4 W= M
Jd* 4 (q ^V z + 8 5^ 4Z4)dy
4t’ +11-t)dt+ J ’(-1 +t)dt -1-£(t* - 1 -1 411+11-t|dt-t+— >
3
*
S
3
1-3
1-2-2
2 3
&
J'[üSent(l-Cos*)J +4(l-C™t)’(ü)dt^*+[ífienIt{l-CiBl),(o)4BSfert(l-Coat)Jdt = JJ úSentCcet (l -Cost/ dt =8
) Sea r(j;y,z) = (6«yJz + +y V r9n?yíz + Sit>z3+z113jíy>+1íxyV t+yz3)un campo de fuerza. Hallar el trabajo que realiza F al mover una panícula desde el origen hastael punto en el plano XV que une lospuntea {QAfl) mn (0,e,0>rx2:Ü . C, :Sem¡ circunferencia en el plano Xy que ime loapunnoc ( 0^,0) con CSr+jO), z2G;C j: la recta ¡jue une (0,4,0) con au>
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0 ^
ApHcandoel Teorema de Green, calcular laintegral J^ x’ +y ’ Jdx -r^x +y'jdy ,si C esel
Aplicando el teorema de Green, calcular la integral J -x ’ydy+xy^dy, donde C es la circunferencia x*+y * = R1 recorrida en el sentidocontrario al de lasagujasdel reloj.
contorno del triángulo con vértices A
dv'n.yv.'y Los limites en pt
De laintegral
O£0£2n
P = Xa-t-y5 ; Q = x+y* =»
P=-x* y
; Q = xy*
=>
Aplicamos el teorema de Green
Q
Aplicando
la
fórmula
de
Green.
para calcular
la
integral
JVx*+y*dx+y|xy+ln|x+>lx, -y * jdy, donde C es el contomo del rectángulo l £ x £ 4 , 0 £ y £2 ■ = r (y - / f * = r [4 -x - (4 -x ^ > I=^’[í-a x-ló +B x-x* +x*)ix=£[<>x-12]dx = 3X1-12x£ «=3(4)-1Si(í)-3+12=-3
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Límites:
1<£x£4 ; 0£y S2
Delaexpresión dada: P = (l- x ‘)y
Las derivadas parciales; p= V7 T7
■»
Q=x(l+y*) Luego en laintegral:
Q=xy*+yLn(xWxVy*)
«
r..yM M . Á ^ f i r .. 1- n : ( H i“« " ■ r i i I®* ■ t 1 ” ‘ ^ 1 ' ■ t
Luego en laintegral:
Q
Aplicando el Teorema de Green, evaluar la integrai J (2 x-y J)d x-xy rfy, donde C es el contorno dado por x1+y* =R'
|= Ji4J4V d y d x= J ]‘^ d x = ^ | i = ^ ^ = 8
Q
M ' '' W " ' rW
Aplicando el Teorema de Green, calcular la integral j( l -x * )ydx + x (1+ y! }dy , < C es el contorno dado por x*+y‘ =R*.
De laexpresióndada: P = (2x -y 1) Q=-xy
SOLUCtONARtOANALISISMATEMATICOHI
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r
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■............ ..... . Luego en la integral:
Los límites en coordenadas polares: 0£ r£3 ; 0Stfáfci
1
x+ y x+ y W + l v M y -x x -y ; y=iSen(0)
=J^j^Si^Sen*(0)-rSen(ff)]rdrd0
1=£*£ [31aSerf (
_ r*sCT>(^)| ^
£2 £ -8 £2 £2
De donde:
-
; =0 ;
Q=xy =¡
Luego: '■ « m
:
,=^3(81-1)^
1=£ M
= 30p-15Sen(2ff) + aáC” ^ I = 30(2*)-15Sen(4it) i 26Ct^ ( 2”) -3 00-15Sen(20) +3ÉE2Í21 = 60u
^ +¡ ; M
± i =0
Aplicando el teorema de Green, calcular la integral | [ * U ,( l + / )- * !, ( y -1 ) ] « k + | ^ r + / ( x + l ) J l y
^
Aplicando él teorema de Green, calcular la Integral J eTdx+xy dy, siendo la a definida por
Siendo C laporción de la circunferencia x f+y ft=af en el primer cuadrante y en el sentido del punto (a,0) hasta el punto (0,a) M ' .' w r r w
De laexpresión dada: P = xLn(t+y, )- x * (y -l )
i+y*" +^ x +1)
=»
-
~
^
S - iS *
OSy SVa*-x1
SOLUCIONAR» ANALISISMATEMATICOIII
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1“
-x*
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I=a-(a*
+ * -( a s+ 1)Ln(a* - 1) +•“
l=a-(a,+l)AmS(uJ*<+a,-(aV l)üi(a, -l ) + ^ I = Ja"[2 xA ictg (y) -«^( y8+l ) ] ^ ? dx+
J‘( x*+ y”) dydx I
= a + (í +l)Ancts(a)+í -(a1-l)Ln(rf -l)+i£ jí
I = JJ^2xArct®/ a*- x1- 2xLn(a’ - x*+ 1 ) J*' £ (r1) rdrdtf y
Integramos por partes:
donde C es lacircunferencia x*+y* = 1.
-2xrix Wa'-x* | 2xdx W - x * l+a’ -x*
í a*-x* -Ln (a*-x *+l)
Utilice el teorema de Green para calcular la integral JJ (2 xJ -y -1)dx+( x1-t-y-1)dy,
De laexpresión dada: P=2x1-y 3
= J(2x)dx =
Q.X V » .
**
-£?=-3y'
.
f .3 .
Los limites en polares; , . 0 - í W í - í . . ) * r ----------- ¡ f á s ______ [ 1 1(l+af- x 1)Va’ -x 1
x*+y* = 1 ^
1 + í-x * 3|d
Oáx áa ; OSy SVa ’ - x ’ ; O* 0 * ^
; OSrSa
• r á l---------------— Ja (1+a*-x*),/a’ -x ’
-STÍ-H-S ^ u*= a*-x*
Utilice el teorema de Green para calcular la integral J -ycbc+ xdy, donde C es anillo a*fi x’ + y* S b’ , para O< a< b.
=> +aF -( í + l)Ln(a* -l )+ ‘ Jo ( i + ü”)V7
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0Sí/£2n P =-y
-
£= -1
asráb Q=x .
^
=,
# ’ ' n .y y 7F P = 4y-eTCosy =» f* = 4+e*Se sy
l=J-ydK+xd y= /} ^^ |jd yd x= Jo,fcj;(t +l)dydK
Q=y*+exSeny =>-^ =e'Seny
l= J ^ [í 2rdrd0=jVdff=(br*-á')<'/[' = 2*(tf -a*)
u j r H j^ ^ U x f d y 6
Utilice el teoremade Green paro calcular laintegral:
l=-iJi,^+2-y )dy= -ayt = -8
r/ ( 3 x V - * V - £ j * c + [ x V + C c * ( y ) ] d ) r el teorema de Green, calcular laintegral |(Sen, x+e,1'}dx+(Co e1y -e ^d y
Alrededor de x* +y* = 1.
donde Cea lacurva x4-l-y‘*= l6 Mynvr.'TW
De donde:
P= 3x V -x * y -¿
P=Sen*x+efc
=>
— =0
l=JJ(0)dydx=0
- r í H í -í
O
Calcular laintegral aplicando el teorema de Green J (e '-x ’y)dx+3x*ydy, donde C es lacurvacerrada determinadapor y=x* ; x=y*
©
Aplicando el teorema de Green, calcular la integralJ( 4y- e’ Cosy)dx+(y' +e*Seny)dy , en sentido antihorario y alrededor del paralelogramo cuyos vértices son (0,0) , (2,0), (3,1)y (1,1) SOUUCIONARIOANAUSIS MATEMATICOIII
« to odufa>»u.«im
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M \'ir r,rTV
P=e*-x*y
=»
Q = 3x'y
=>
¿P=- x’ sy
©
i 9= 6 xy Sx
Calcular la integral aplicando el teorema de Green | (x +y)‘ dx+x’ ydy en el s> positivo, donde Ses laregión limitada por lacurva x = y1 , |y|=2x- 1 ^TrTTT?T.T7W
d .
-V5
, ^ 1= /oí3^ *+ xSy1/ ^ = í . (3X8+xM “ 3kS“ X<^
P=x+ y*
=>
— = 2y
Q=x*y =>
l=x. +i ^ _ ^ _ 4 = 1+ 2 - i _ i 7 6 5|d 7 2 5 |(x +y )’ dx+x»ydy =
. 70+20-35+14 51
^ = 2 xy tbc
jlxdy = JJ(2xy-2y)dxdy (Zxy -2x>*£^y
Aplicando el teorema de Green, calcular la integral j 2(x , +y , )dx+ (x+y)* dy , = j; (A - 2 x y | J d y
donde C es el contorno de un triángulo, cuyos vértices están en los puntes A(1,1); B(2,2) yC (1,3) y que se recorre ensentido positivo. M r’’rTT ” r'rW
P= 2(x*+y*) » Q=(x+y)’
I SOLUCIONARIOANÁLISISMATBUTTCOIII
£ = 4y
J * _ ¿ _ 2 £ T J ÍJ _ JU _ J 2 116 6 8 I 1,16 6 8 ) 48
£=2(x+y)
f::u.::itrv ojrr
l-Jiv*-::iJ.M.t
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b) JJxdS endonde S eslasuperficie y =x* +4z.
0á x£ 2 ; 0áz£ 2 z=y+3 Luego:
s(x,y) =» s,(^y )=o ; S,(x,y)=l
y/i+[s« (x,y )]*+ [s, (*.y )]' = Vl+0+1 =75 l = JJxdS = JjW5dxdy .=vi.4¿’jf : ,xd>dx= 4y 2£ vr 7 xdx =~
d) JJ(x ,z +/z )d S en donde S es el hemisferio x*+ /+ z* =4 , z iO 0Sxá2 ; 0 áz*2
Luego:
+[s„ (^y )]* +[s,(x .y)]* =^l-t-(2x)’ +(4)! =V17h-4x‘
Ahora la integral de superficie: 33'/33-1?/Í7 *
c) JJxdS en donde S es laporción del plarmz = y+3 quese encuentraen el interior
Ahora la integral de superficie:
i-| ( x » z + / z ) d s = n ; z(2^ y^
del cilindro x*+y* =1 e) JJ ^z +Z z^ cIS en donde S es el hemisferio x*+y* =9 , comprendidosentrelos
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=
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1=JJ yzdS=£* £( 11+ v )( u - v)V 4+ 2ií + 2v*dudv I= JJ yzdS = £'“£ (u1-v* )V 4+2 u'-2 vsdu<ív
l =£" JJjVCos*(tfJ-PSeri* (¿>)]VTT2?rdnW
1=JT í t 0“ ’ ) -Sen’ (
x*+y’ =4
=»
Oár áS ;
0áfls;2ii
Ahora laintegral de superficie
l= JJ zdS= !’* £(* +y*yi+4x* + 4ysdydx hacemos u*= l+4r* Nuevos limites: r = 2
=> u= VÍ7
r =0
=> =>
u= 1
' ■ r r ( sf ! ) í 3 r á 2 - ¿ í . T ( " ' - “>
16J* 1,5 3 ^
16(
5
3
u
«
5 3 j\
g) JjzdS en donde S es la porción del paraboloide z = x*+y* que se encuentra bi
]_2ní'7827Í7+2'|_n/'39lVÍ7 + l'|_ ("391717+ Ti
_16V. '5 P{ 15 J=*l 60 J
el plano z = 4 .
h) JJ(j^z+y*z)dS endondeS eslaporción del plano z = 4+x+y que En lasuperficie: z = x>+/
enel interiordel cilindro x*+ / =4 «
£^= 2 x ; ftc
g= 2y Sx
Luego: dS = ^ 1 + ( z +(*,)* dydx=Vl+4 j^ +4y, dxdy
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...c Q En lasuperficie
Evaluar la intesral de superficie j|FxIS del campo vectorial F dado y la superficie orientada S indicada. En otras palabras encuentre el flujo de F a través de S para superficies cenadas utilice laorientación positiva (hada fuera).
'
I ”
1 5*'
tlS =^1 +(z lt)’ +( zy)*dydx= Vl+1+ldxriy = V3dxdy
a) F(x ,y,z ) = e'i +ye'jt-x’Vk; S es la porción del parabeloide z= x‘ +y 5 que se encuentra arriba del cuadrado U S xSl, Oá y £ ly tiene orientación haciaarriba.
I= £ x*+ / =4
=>
+V*’j+x*yk) •(-2x1- 2yj+k) dydx
0s rs 2 ; 0£
Ahora la integral de superficie:
l = 0J (- 2 xe » -2y*e* +x *y )d ydx =J^ -2 xey
+^ ~ j ^
l=J^(x*z+y*z)dS
1=ay (x+y)'»/3rt*d(/=■^jrín'ri[,c“^)+rsen
b) F(>^y,z) = xi-t-)j+ 2k ; Ses laesfera:
+y* +z* =9
l=V5j^“ |V[Cos((/)+Sen((í)]*dtf 1 = 7 3 ^ 1 [Cos(tf)+Sen(¿V)]dtf •=Jp -[-& (x,y)i+^.(x,y)+k}lA
I=^[Sen(^)-C“(«)r=^(0-1+l)=0 I SOLUCIONARIOANÁLISIS MATEMÁTICO III
• * )* * • - !r r ( ; ^ ^ « )* * ■ SOLUCIONARIOANALISISMATEMATICOIII
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¡wnuoviii
( Eduardo espinozaramos a
sL
'-•n.’fodr
2 j , 8 2
d) F(x,y,z) = xi+2yj+3zk; Ses el cubo con vértice (±1t±1,±l). I =-1 8(0 -3) fij" =54(2*) =10Bn Para calcular JJ F.ndS directamente, evaluamos esta integral sobre las seis caras y
c) F(x ,y,z ) = yj-z k¡ S consta del paraboloide y =x ’ +z*t 0 £ y s i y el diaoo
sumemos los resultados. Sobre la cara x=l, n=¡ y F.n = x = I, por lo que jjF.ndS = JJdydz = 4. Mediante cálculos semejantes podremos construir la siguiente tabla:
' = j F [ - S . M i+ S , M - * -k > A ; x *+z* =y * O S rS l ; O i O i í n
1 = Ja'ía' (Y)-z'<).(-2xi-2 7k^j>lzdx =/*'£(y +2z,)dzdx Pero y=x *+z* x=i Cas (0)
l= Jo**|o,(x, + z, + 2zI)re*n[»
y=«Sen(
=»
l=J ^‘ J¡j,[r ,Cos! (<»)+3i'Sen*(ff)}drdÉi
1“ C U 008’ (tf)+3Sen’( « ) }3did0 I =
[Cos'(
Cara
N
F.n
x — 1
i
x
X -- I
-i
'*
£, f,
j
2y
J X »ydydz =
-2y
J^J^-ídxdz= J^(2)dydz =8
y - l y — 1 z -l
k
3
z « -i
-k
-3z
||F.ndS J^j^xdydz = J^tO dy dz = 4 = £, f.COdv* =4 j',(2) dydz= 8
j X 3zdVdx= J']1£ 1(3) dyd z=
12
f j 13adydx= J X (3) dydz=12
En consecuencia: F.ndS= 4-t-4-t-8-t-8+12+12 = 48 l = iÍP [-S ,M ¡+ S r(x .y H }lA ; x*+z*=y =» OSrSl ; OS0£2>t
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áf-Se) F(x,y ,z) = xzi- 2yj+ 3xk; S es la esfera x*+y* +z* =4 , con orientación hacia
+| M í _ J ! ^ f ^ +S4sen2íK^4 C o Saf,(2)0Q»(v)d^t? I = £*|4Co s'(0)+2^4u
j^ en' (f l) +48Sen2*
I- j;|s 42Cm (to)*
J í (i*)
donde z = &(x,y)= jA-S - / g . M = ^4 J
y,
; S , M = -= = ^ =
I = R [ - & ( ^ y ) i +S ,( x ,y ) +k ] = (« i- 2y í+ 3) dc )| -1= ¿ = = - - = = ^ = f + kJ
I =20 +Sen(2tf)()‘ +¿’* ^0 -4^2) -0
j +121-Cos2¡*£as<**»d<'
l = 4 ir + 2 ^ ^
Sen*(2í>)Cos(0)d*>}i0
F - K (x,y)¡+gy (x ,y )+ k ] = - ¿ ^ + 3xz F.[-3,(x,y)ifS>(x,y)+k3=x«- ^ 2y<^ + 3 x ^ 4 -x , -y» Loe limites en cilindricas:
OSrá l ; (K fl £2 n f) F(x,y ,z) = x*i-i-xyj+zk; S es la porción del paraboloide: z = x’ +y ’ que se encuentra debajo del plano z =1 con orientación hacia afuera.
I= J ” J^j t^Ccs*
+ 3fCos(»)V4 ^7 jrdrd<9 ' = J f P [ - S . M i+ í , M + k >
- = r f [ r' c° ^(o ) En lasegunda integral: i/ =4-r * En latercera integral:
+ 3 r > 4 _ r > Jn***9 => udu = -fdi
r = 2Sen(«>) => dr = 2Cos(«>)d«?
donde: z = g( x,y )= x* +y *
g,(x,y)=2x ;
s,(*.y) = 2y
Los Ifmites en cilindricas: z = 1 ; 0S r¿ 1 ; 0 S 0 £2ji
l=íí(X*Í"'XXÍ+zk)(-2)d-2yí+k)dA
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4-4*1-Goc&.H ,Co«
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EBUHOZARAMOSi
[= (x1!-+xy]■+zk).[-2xi-2yj-+kJdrdW J^"j[|,(-Si,-!KyI-Hzjndndfi1 l=
^
Hállen El flujo de la función F(j^yrz^ = >?í-HyJ!J+ zJl: a davÉs de una pame de la ajierlicie dd paiaboloidE rj^(xl + y, )= z rz £Kren diiEccifin dE la normal intErior.
l = J^*Jn,[-2 r,Ccfi1(£') -a^CosfíyJSen1(fl) 4-x1+ y*Jrdrdff ' = JT Jl[ “^C oa 1(0 )- Br,Cas(0)Sen’ (fl)+ 11JrdrcaS ■^ J L T - . r W ( 0 ) - Er*Goo(0) Sen1
, J«j
JJF.NdS =JJJdlv^Fjdv dondedivfF) =— +-2?■+— = 2x+Ey -nüz Flujoc
JchiJO
Er W (t f) E r ^ g ) W ( t f ) , r * ^
=>^+ ^= 1 ? DífíFtD í f l í 2n z I=JS‘|"!j"(2x+-2y+2z)ndz*d(/=|1‘|E[Sr!jCos(/)+aJzSEn(fl)+z 1= O : [Sr'HCQS ) +2»-’HSeri(¿7)+.HV]l !d Er^HlCcafj?) Sr^lS Enf^ H V l H*
Si = H
i0
,= ^
O
j c
^ + v y = j s ^ ) +^
=0+ & = fc
el flujo dE lafunción fl(x,y,z) = 2xi - ^ ¿ tu xt +y 1=R1rx ^ Ú r y £ 0 r 0-íz
parte dE lasuperficie dd
íHrendiiEcciún dE la normal
a|~ER^HCosf^) SR'HSerfí^ H'R“] ■|_ 3 3 S J
Q
EfPHSeníí1 ) 2RnHCoG{í/| H'R’d 3 3 2 |
Hállese el flujo de F^y^z) =K,1+ y1j +zk a través de una. parte de la Rujo: JjF ÍHS = JJJ'dtv[íJ dv
paraboloide z = ^ ( x 1-y J) cortada par d cilindra x* +y, =R1 y
■I J
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-5 . W -»
Flujo: JJ f .SHS = JJJdlv(F¡dv donde divÍF^=— 4-— +— = 2x+Ey +1 > & ¿V ¿5z Si z = i}
- y 1)
=f
* + y ' = f ?
^
DífSH
Hállese el flujo de F(x ,yrz)= ( x ^ ^ z 1) a través de una parte de la esliera x 1 +y ’ + z*=R1r x¿ O ry£ O rz&Or Ei
Q S z ü Ji ^ -y 1)
■=> Osis-^-[Coa!(fl)-Seii1{j)]
0¿z¿^-Cos(&í)
1=Jo'C/c~Q^'í(2:t4_£y+
niijoc J] F.NdS = JJJdiv(F)dv
I = _ [ , " * ] £ ( ^ ) +2r3en(íj}+1 ]rd2riüdp
1 = C JÜ2,JC™ (° 'K 2|,asEnC0)+■O3!* ^ I =0
* di7
( í )+ r ] ^ C o a ( 2í ) * d í
1 =JJ*J"[&-4Cob [ff) -^Er^Sen (í ) +r3 jJS Cbs(E¿i)drd(i
donde div(l^ =— +— ■+— = Sx -Ey + 2z U &t df Sz SÍ5Í + y, +z, =R*r* ¿ 0 ry2:Qrz 5 0 r-enooortenEdaaesféricas
; Üfifís|; ;x=/)Sen(í)CoG(S);y=/iScn(jí}Sen(&) 1=J1,1[■" (Ex-íy+azJ^SenfíftVídiídtf 1-nnct^xHw-a^ n(^) + ■= r r
- r f[
5R
1■
I = £* J^f íSer (¿jCce {&) -2S en(¿ )^(0)+ 2C o6 (¿)]^ 5En(¿)d¿d0 5fl
4R^J R
'
J
H1 .4raHCoE(í?)Coa(ffl?) aHScn(í?)CoG(a?) Chs(ffi?)l ' " ‘¡¡''J'1 [ SR* 5H* * _p
1= r n
r [ HrCQ3(^ )+ C Q3(¿j)l Hr5en(3P)-Sen(tf)] CoaflM^ R"J< | 51? FP 4
1:= T JT ft 1'- c™=C^)][c™*(^)-:s «(f l)]+ s™ (^ ))1"*
^
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^
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Q
Hállese d flujo de F(x,y,z) = xi + yj -2zk através de toda la superficiedel cubo x=±a , en dirección de la normal exterior.
Hállese el flujo de F(x,y,z) = xi+yj+zk a trawés de una parte de la superficie del
Para calcular JjF.ndS directamente, evaluamos esta integral sobre las seis caras y
paraboloide: z = ^ ( x ’ - y , ) 1cortada por los planos z = 0, x = R. x = O y orientada
sumemos los resultados. Sobre la cara x =1, n = i y F.n = x = 1 , por lo que
según la dirección de) versor k.
JjF.ndS =
Cara l=J/ F[-S.(x ,y)i-gf(xty)j+k]dA s ,(x< y ) = ^ ¡limites:
0£x£R
donde z= g(x,y)=ÍL(x *-y*) •• S r M = ^ T
-xáyáx
Jd>dz= 4 . Mediante cálculos semejantes podremos construir la siguiente F.n IIFndS » i x £i£i xdydz = j' j 't (1)dytb= 4 -i
‘x
££-xdydz = -££(1)dy dz=-4
y= i
j
2y
£)£.xdyife = ££ i(2)dxtfe=8
y = -1
-j
-2y
£, £,- 2ydxdz=—£ £, (2)dxdz= -8
k
3
£j^3zdydx = £ £(3)dydx =12
-k
-3z
r, £ ,-3zdydx=-f-1i (3)dydx=-12
aa: F.ndS= 4- 4 + 8- 8 + 12-12 =0
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(u)*l
Hállese el flujo de F(5£,y,z)=2x*i+3y*j+zska través de toda lasuperficie del cuerpo v 7 7 7 £ z SV 2R*-x* - / , en dirección de lanormal exterior. I = 4R*
J d u = R‘ |[1 +2¡Cos(2u)+Coa* (2u )]* j
U ^ ^ U 2 C m (2U) + U C “ ( ^ ) Jfa = R<^ +S e n( 2U) +^ ^ j
1=¡I F[-^(».y)5-«»(*.y)j+k]dA
l=R | f +Sen(2u)Co6(u)+Sen(u)CO!i(u)^
=s(x,y) = ^ ! ¡ v Los Ifmites:
,(u)- Sen,(u)Jj
=> & (* y) = En ladefinición: r = \/2RSen(u) ; Cos(u) = , ^ ^
0 ¿ x S R ; -x á y á x UjJ(2xS+3y*j+A).
w2R,í R^2(2R*-r*) Í rJÍ
p T 7 ) ( 2R* -'* a* *)]
^ = + z*]dA 0/2R*-x,- y I /s*’'-x*-y* j
”1l>/2rR V2+ 2RV2l ~5 jJ,
gx1-t-i
W
[i w
| I __ R 1 R^2 *4R>/2J
Luego en laintegral I
I= n ; [ í ^ ^ Paralaintesrat J"
_
1__ . dr
í f } . 8RV- r^
r = v^RSen(u|
dr = s2RCoe|u)du
I SOLiUCIONARIOANAUSIS MATEMATICOIII
■ j j
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1 ._.4rM,) *»’<*)].x ' , i y*f Il L 3 \ l 4 J][s Rj! 4ÆJ *j. '=r^ +c)(|+^ +-^]+|]=£|Utilice el teoremade STOKES para evaluar JV.dr r endonde F(x,y,z) = x yi+yzj+zxk y C es el triángulo con vértices (1,0,0), (0,1,0) y (Qt0,1) con orientación contraria a lade las maneti liasdel reloj cuando seobserva desde arriba.
1=IPr-[-s* y)■-a,i^y)J4 daide x-i-y + z = 1 es ei piano que pasa por (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) s’M'VS^7 ■ Los límites: Dí x i l ; OS y :S l- x 1= J|(xyl.+■yzj ■+zxJ t)_(-l-J+ k)dA = ££ " ( -x y -yx+ xz)d>dx 1= j ’j'^f-xy-yz+xz^iydje Plenoz = 1 -x -y 1= SX‘1-**+(’-*-*)(*-y)><* 1=rrï[“Ky+x_y_ _^)]tí!,i3ít Ç-^r-
*)3 1jJ -1x + a e - r fa- i + s * - * +XX,- K-+X-H( i -— u r |=r{3x-3x1-x 1-1+xl+¡r -x £ L = 3x* x 1 i^r E J.t a I 4 a a a 1121 T=^+ l-i+±=^ 2 S S 13 24 i
p i Aplique el teorema de STROKES para evaluarjF.dr en cada, caso, C estí orientada en sentido opuesto al de lasmanecil lasdel neloj cuando se observa desde amha.
++= contenida enel primer actante. b) F(x ,y,z } = Szi + 4)q+ 5yfc rC es: la curva de intersección del plano z = x+ 4y, 4-y*=4yEl cilindra. c) F^Yr1)=¡¡’yi +4,iq +üyfc, C es la curva de inoeraecición del paraboloide x*+ y’ =1 hiperbólico z= yl - x = y el cilínckD a) F(x,yrz ) = xzi + 2)(yj+33íyli rC es lafrontera de la porción del plano 3x y z 3
Utilice el teorema de STOKES paia evraluar JJrot^FjdS : a) F(x ,yrz} = xyzi-H39H-e”rCoe( z)k r S ce el hemisferio
>?-ny*-hz1=1 r zïf i
orientado haoa amiba.
ibJW iAiicjuin
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■ = Í M ^ = Í M v *f ) , « s
Por el teorema de STOKES I =£*|ii'[-xyCos(xyz),3yz* -3 x’ ,yzCo s(x yz)-z1]{2x,y,2z)idrd0
I J JL JL
I =J^*|o’[-8x*yCos(xyz) +3y’zt -3y x* +2yz,Co s(xyz)-2z5
ac ay
= —
xyz x e"Coa(z VxF=xewGB(z)i+[xy-ye’*Coe(z)]j+(l-xz)k Ñ = (2x,2y,2z) Siz = 0=» x*+y* =1 ; O s rá l ; OS0£2n •-J f
c) F(x,ytz) = __, S consta de la cara superior y las cuatro caras laterales (pero ra base) del cubo con vértices (±1,±1,¿t) orientada hada fuera.
=JJ ^ ( V xF>f*tS
1“ jr jL D “ *100* (z
- xz] (2x,2y,2z |rdrd(V
1= J n*'|o'[2x ,e>*Coa(z)+2xy, -2 y ,e”,Cos(z) +2z- 2xz*Jd rdtf = «
b) F(x ,y,z) = yzIi-t-Sen(xyz)j+ x’k , S es la pordón del parabeloide y = 1- x‘ -z* , que seencuentra a la derecha del plano XZ orientado hada el plano XZ
Por el teorema de STOKES
yz* Sen(xyz) Xa Vx F= -xyCoe(xyz)i+(3yz*-3x*)+[yz Cos(xyz)-z5Jk Ñ=(2x,y,2z) Siy = 0
= 1 ; o srá l ; O40ÍÍJI
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