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ANALISIS MATEMATICO II S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H
SOLUCIONARIOS UNIVERSITARIOS
T O M O II CO
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IN T E G R A L IN D E F IN ID A
♦
IN T E G R A L D E F IN ID A
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IN T E G R A L IM P R O P IA
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A P L IC A C IO N E S
E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S
INDICE
C A P ÍT U L O IV
INTEGRAL INDEFINIDA
Pag.
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1.1.
Reglas Principales para la Integración.
1.2.
Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial.
1.3.
Métodos de Sustitución.
45
1.4.
Integración por Partes.
57
1.5.
Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado.
79
1.6.
Integración de Funciones Racionales.
88
1.7.
Integrales de algunas Funciones Irracionales.
116
1.8.
Integrales de las Diferenciales Binómicas.
129
1.9.
Integrales de Funciones Trigonométricas.
134
1.10.
Integración de Funciones Hiperbólicas.
157
1.11.
Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el Cálculo de Integrales de la forma
’
J
R(x, Vax1 +bx + c ) d x .
1 8
161
1.12.
Integración de diversas Funciones Trascendentes.
167
1.13.
Empleo de las Fórmulas de Reducción.
176
1.14.
Integración de distintas Funciones.
180
1
Integral Indefinida
C A P ÍT U L O
C A P ÍT U L O V
IV
L A IN T E G R A L D E F IN ID A 2.1.
La Integral Definida como Limite de una Suma.
218
2.2.
Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas.
223
2.3.
Integrales Impropias.
2.4.
Cambio de Variable en la Integral Definida.
2.5.
Integración por Partes.
2.6.
Teorema del Valor Medio.
234 248 261
4.
4.1.
IN T E G R A L
IN D E F IN ID A .
R E G L A S P R IN C IP A L E S P A R A L A IN T E G R A C IO N .
0
F '(je) = / ( x) entonces j" f ( x ) d x = F(x) + c , c constante.
(2 )
J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.
@
J(/(jc)±g(x)<¿x = j f ( x ) d x ± ^ g ( x ) d x .
268
C A P ÍT U L O V I .3 1 ,.
[A P L IC A C IO N E S D E L A IN T E G R A L D E F IN ID A © 3.1.
Areas de las Figuras Planas.
3.2.
Longitud de Arco de una Curva.
3.3.
Volumen de Revolución.
3.4.
Area de una Superficie de Revolución.
3.5.
Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin.
3.6.
Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas de Física.
276
Si J / ( x > k = F ( x ) + c
y
u = yW .
se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )
TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.
310 Sea u una función de x.
325 347 357
377
©
J ^ = 1 „ | „ | +C
©
J ^ T = r r c ,8 ,7 ) + c
2
Eduardo Espinoza Ramos
= ln(w + y¡u2+a) + c , a ? í 0
J
1032
J u 2 +a
3
Integral Indefinida
(i6x2 + 8jc + 3)dx. Desarrollo
du
■= are. sen f u ' + c = -are. eos
J y[a2 - u 2 J
audu = -
^szn(u)du
-+ c
, a> 0 ln(fl)
+ c, ;a > 0
(6x2 + 8* + 3)dx = 6 J x 2dx + 8J xdx + 3J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x + c
J (l2) 12) j"I eosu du = senu + c 10) \ e ud u = e u +c
= -cos(m) +c
1033
x(x + a)(x + b)dx Desarrollo
?
+y *
C i x a + b 3 ab 2 í x(x + a) (x + b)dx= \ ( x 3 +( a+ b) x2 +abx)dx = — + - — x +c
í< j t g u d u = —ln|cosw| + c = lnjsecMj + C!
^4)
tg u.du = ln|sen m|+ c 1034
Jsec u.du = tgu + c
(a + bx^)2dx. Desarrollo
J c s c 2 u.du = - c t g u +c
Jcsc u.du = lnjsec¿¿ + tgu\ + c
(l^ jcscu .d u = Ln \c s c u -c lg u \ + c
Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c
@ Jcosh(M)¿K =senh(«) ) + c
(a + bx3)2dx = I (a2 +2abx3 +b2x6)dx = a 2x + Y x * + ^ - j - + c
=I<
1035
J 2 p x dx. Desarrollo
@ Jsec2h(u)du = tgh(n)) + c
j c s c 2 h(u).du = c tg h (u )+ c
\ ¡ 2 7 x d x = V 2 ^ J x U2dx = ^ 3/2 y¡2p +c =
Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración: 1036 1031
I5a2x 2dx J
Desarrollo
x j l f x +c
4
Eduardo Espinoza Ramos
Integral Indefinida
\-n
= — X4y¡X-----x 2\f x ~ 6 y j x + c 13 7
I
1037
(nx) n dx. Desarrollo 1041
i Tx Desarrollo
P
P
j p llí
i
„n \2 f U .m m- xn )2 ,f jc2"1- 2jtm+n + *2n 2«
I (nx) n d x = \ u n — = — I m " du = (nx)n + c
1038
J—
(a2,3- x 2/3)3dx. í Desarrollo J ( a 2/3 —x 2/3 )3dx = j (a2 —3a4/3x 2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx
2
9
=a x — a 5
4/3
x
5 /3
9
+—a 7
2/3
x
7 /3
1042
\f-
2x2m4~x
Axm+n4~x
2 xln4~x
4m +1
2m + 2n +1
4« +1
+c
4 x f _ dx yjax Desarrollo
----- + c f(V a -V jc )4 d _ f fl2 -4a yfax + 6 a x -4 x \[ a x + x 2 ^ \[ax
J
4ax
J (yfx + 1) ( x - \ [ x + \)dx. = J [a2( a x y i n - 4 a + 6-Jax - 4 x + x 2(ax)“1/2 ] dx
Desarrollo
J"(% /3c-H1) ( x - \ f x + \)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X + C = —^ - J x + x + i 1040
----7i-- dx i
X3
J 1039
£2=* fr (x í ü2d - 2 a:2m+2n~1 2 + jc 2
J
2x3 = 2a J a x - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = + c 5 yfax
(x 2 + \ )-------( x 2 - 2 ) dxj -------3^7
1043 Desarrollo
J U +l)^ _
2)dx =
~ l ^ 2 dx =
J í ! +7 Desarrollo
J (*10/3- X 4' 3 - 2 x - 2,3)dx
6
1044
Eduardo Espinoza Ramos
Í
dx
1048
jr2 —10
1
Integral Indefinida
a)
1 tg2 J Desarrollo
Desarrollo dx
1
2V10
¡ T T o ' Í T - - (Vio)2
1045
í
ln
x + Vio
r r J , 8! A»fe = J
+c
C-VÍO b)
I tgh2
\¡4 + x 2
Desarrollo
Desarrollo Por la fórmula 7 se tiene:
1046
| J (x +4)
Jtgh 2 xdx
= In I x + \l x 2 + 4 I+ c
1049
a)
=
J(l-sec! Ax)iír
=
x -tg h + c .
1 c tg" xdx. *
I V8-JC2
Desarrollo
tV v
Desarrollo [ c t g 2 x d x - J (c s c 2 x - \ ) d x X
•------ --------- = ore. sen (— =■) + c ,
t
e
-
/
7 (2 7 2 )2 -* 2
2V2
resulta de la fórmula 8. b)
1047
J
■s/2 + x 2 - J 2 - X 2
1 c tgh xdx. w
Desarrollo
dx
•Ja-x*
J,,g
Desarrollo
í
C tgX -j:
yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 JC =/ J 2f + x 22 - * 2 ( ^X22 y / 2 -V dx dx » V^4-X4 V 4 - r 4
1050
¡3xexdx Desarrollo
= f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen J y í ^ x 2 J J 2 ÍX2 V2 por fórmulas 7 y 8.
Ln x + y¡2 + x 2 + c Í3 xejrd x = f(3e)*¿c = - ^ J ln(3e)
J
+ C.
*
8
4.2.
Eduardo Espinoza Ramos
9
Integral Indefinida Desarrollo
IN T E G R A C IO N M E D IA N T E L A IN T R O D U C C IÓ N B A JO E L SIG N O D E LA D IF E R E N C IA L . J ax + l3
Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:
J* f(y/(x)).y/'(x)dx
=
J
f(u )d u , donde u = y/(x)
1056
J a
a
a + ¡i
a
a
\ ^ d x
J x-l
Desarrollo
a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la diferencial.
2
f X + 1 dx = f(x + l + —1 — )dx = — + x + 21n | x - l | + c
, , 1051
J x -l
adx ------ x JJ aDesarrollo
1057
J
x -l
f x 2 + 5x + 7 , I --------------dx J x+3 Desarrollo
sea u = a - x —>du = -d x —>dx = -du f adx f dx f du , , c I ------ = a I ------- = - a I — = —aLn + aLn - aLn \-----J a -x Ja- x J u a -. 1052
f 2x + 3 Idx 2x+l
f x + ^X + '! dx= j*(x + 2 h— -—)dx = — + 2x + In | x + 3 1+c J x+3 J x+3 2 1058
J
J
x -l Desarrollo
Desarrollo
------------
[ x U x 2 + 1 dx= f(x 3 + x 2 + 2x + 2 + - Í - )dx J x -l J x+l
[ l —^ d x f ( - —+ — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3| +c J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 2 4 1054
X
f xdx
r4
r3
= — + — + x2 + 2 x + 3 1 n |x - l |+ c 4 3
J a +bx Desarrollo
1055
1
I — + b dx ax+ ¡5
1059
í
(a +
- ~ -)2dx X -fl
Desarrollo r b i f 2 2ab b~ . , 2 o /1 1 i ^ I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | + c J x -a J x - a ( x - f l) “ x~a -
f xdx f 1 a, 1 , x a , . , . I --------= I [------- (-------- )]dx —------ —L n \a + bx\+c J a + bx J b b a + bx b b
10
1060
Eduardo Espinoza Ramos
11
Integral Indefinida
J (jt +X1)2 dx
f - ¡ J L = d x = í ( x 2 + i r 1/2^ =
\ u ~ U2 — = yfu+C = J x 2 +l+c
JV 77T
J
J
2
Desarrollo sea
1064
u = x + 1 => du = d x , x = u - l
f y / x + lnx -dx J
X
Desarrollo \ ~ T du=
i (JC+ 1)2
1061
J u2
f ( ~—
J
u2
U
= ln | w| +—+ c = ln|* + l|+ —— + c u
x +l
C y fx + ln x , f . 1 ln * \, 0 r , ln x - ----------dx= l(-p r + ----- )dx = 2 ^ x + —— + c J X J yjx X 2
f bdy
J Vw Desarrollo
1065
Í—
J 3x2 + 5 Desarrollo
Sea
J 1062
u = 1 - y => dy = - du í —t — = í
=b ~y^ll2(iy=~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = - 2 b y ] l- y + c
J 3x + 5 1066
JVa-b xdx .
f
r
f X—
J (J3x)2 + ( J 5 ) 2
= —J —¡=a r c t g C ^ - ) + c = -^ = a r c tg (x í ^ ) + c S S \¡5 %/I5 V5
dx
J 7*2 +8 Desarrollo
Desarrollo Sea
dx 1x 2 - 8
u - a - bx => dx = ~ — b
dx _ , --------------------- - ; 0 < b < a (a + b ) - ( a - b ) x Desarrollo
1067 f s¡a-bxd x= fwl/2( - ^ - ) = - - \ u m du = - — u>fü+c = - — ( a - b x ) J a - b x +c J J b bj 3b 3b
1063
f
dx
j*______ dx______ - ^ * in i V7jf —2>/2 +c J (V7x)2 -(2 > /2 )2 y¡l 4V2 Jlx+ 2 ^2
dx
dx
=r
J (a + b ) - ( a ~ b ) x 2 J (Ja + b)2 - ( J a - b x ) 2
11
yfa—b dx f __________________
J (Ja + bj2 -(-J a - b x )2
Desarrollo . yja+b + sja—bx . ~ln ,----- ---- f = = - \+c 2yja-b.\¡a + b \la + b - y / a - b x 1
12
Eduardo Espinoza Ramos
13
Integral Indefinida
1
. . yfa + b + y j a - b x . In | ------ -----— | +c 2yja2 - b 2 J a + b -->J a - b x 1068
r
x 2dx
=
1072
x2+2
1 Ln 12- 2 x + 7 +8 jc2 | +c , por la fórmula 7
2v2
dx
Í yjl - 5 x 2
Desarrollo
Desarrollo dx
r
1069
I
F
1073
f x3dx
i
2
f/ J
Jt2 - 5 x + 6
vf
x
x
2
Desarrollo a
2
o.
t
(* + ~ -----= - ( — + — In | jc - a 2
x~ - a
J 3* - 2 yftdx
|) + c
2
dx
1
x2 +4
f
Cx 2 - 5 x + 6 j I —
J
1
~
7
x +4
~
J
=
f
,
.
3
( 1 —
f
5x-2 r
~
; ) d x =
x +4
2
I * 1 —
J
5x 2—
5
. . y ¡ 3 x- y ¡ 2 ,
* +4
~ i —
x +4
In | *2 + 4 1+arc.tg(—) + c
2
2>/3.V2
\¡3x + yj2
oHonr,a»q =—In - 2l-2^ lnl ^ +V2 1,
2 +
) d x
1074
I,
2
T I
^
i„ | ' f i x
+c
3 - 2x ,
Í 5x
dx
+7 Desarrollo
dx
J yJl + Zx2
f
J 5jc2+7
Desarrollo
r
,
= - l n 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l +c Desarrollo
1071
'¡5dx------- =-^=arcsen(^í) + c
x3dx
~2 a -x
Desarrollo
1070
_ 1 |*
_ j*______dx
dx
j yll + Sx2
f j yjl + (2y¡2x)2
-
1 f 2\¡2
=2 f
SJ .X
f 5
ÜÜL =
5Jí! +7_ 5V7 5
2yfldx
J y¡7 + (2^/2x)2
3 a r c tg (^ x ) - ^ In 15x2 + 7 | +c >/35
- i l n 15 ^ + 71 +c
^7 5
14
Eduardo Espinoza Ramos
Integral Indefinida
3.x:+ 1
J \ls x 2 +1 dx
1075
) a 2x 2 +b2
J
) a"x +b"
a 2x 2 +b 2
Desarrollo ( - * 2 L dx. 3 [ ' tb+ ( * =1 f J y j 5 x 2 +l J s]5x2+l J yj5x2 +l 10 J y¡5x2 +1
i f
1 , 9 o »? i 1 = — l n | a 'j r + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c 2a a b
Vm.
S J ^(y¡5x)2 +1 1080
jcdx
J4 7 ^7
- j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \yÍ5x+y¡5x2 + 1 1+c 5 \5
Desarrollo (*
x +3
Is ¡ J ^ 4 -dx
1076
f
xdx
_ 1 f
2 xdx
2
_ J_ = -^arc. sen(— ) + c úT
J Va4-*4_2j^4_;c4"2 Desarrollo 1081 J i« 6
i r?' dx + 3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x + yjx2 - 4 |+ c , por la fórmula j \x -4 Jyjx2- 4
Desarrollo „2 ,
f iL * L = f A
1077 í
x2 - 5
Desarrollo 1082 f ^ - = i f— J a:2 - 5 2 J x —5 1078
—ln |x 2 —5 |+ c 2'
j" x 2dx
J VTm Desarrollo
J 2jc2 +3 Desarrollo 1083
f x
1 f
j V*6 - l
3 J V(;t3)2 -1
3a
= - l n | x3 + \¡xb - l | + c , por la fórmula 7
3
f jares' arcsen* , dx
J vT : x 2
Desarrollo 1079
J a x +b Desarrollo
J S p * = |
dx
Eduardo Espinoza Ramos
16
donde u = arcsen x => du =
dx
donde u = ln(x + vi-+ x 2) => du
\¡ \ —X2
\ll + x 2
2 2 u 2du = —u 2 +c = —(arcsen x)2 + c 3 3 í
1084
17
Integral Indefinida
2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl + x2 ) + c
1087
f arctg(~) --------é~dx 4 +x2
J ae~mxdx Desarrollo
Desarrollo
f arctg(^)
j f 2arctg(^)
j f
du Sea u = -mx => dx = ----m x
2dx
arctg2(
fe“(-—) = - m- J\ e udu = - -me u +c = -m- e~mx+c m
” t C
1085
\ a e - mxdx = a J J 42~3xdx
1088 \
l + 4x2
Desarrollo
Desarrollo f Jr-7 a rc tg 2 Jr d,j = 1 f j £ * J 1+ 4x2 8 J 1+ 4*
du J 42 3^<íjc = 16J"4 3xd x , sea u = -3x => dx = -'-
i f (arclg 2 f ) 3 - i * l + 24x2 J
16 3
= - l n |l + 4jt2 I --(a rc tg 2 x )2 + c 8 3 )dt
1089 dx
1086
Desarrollo
h yj(l + x 2) ln(x + Vi + x2 ) Desarrollo
f ■
^
,____
J y/(l + x 2) ln (x + J l + x 2 )
- ¡ I M x + J u x 1 )] J
J ( e ' ~ e ~ ' ) d t - j e ' d t - j e ~ ' d t - e ’ +e~' + c
----- vl +x
4“
3 ln(4)
m
1090
*
I (ea +e a )2dx Desarrollo
- 4 2.4~3* 31n4
42~3* -+ c 31n4
Eduardo Espinoza Ramos
18 m
x
x
m
2x
2x
2x
2x
i (ea +e a )2d x - I (e a +2 + e a )dx = ^ e a + 2 x - ^ e a +c
Sea u —x~ => du = 2xdx => xd x = — 2
-x ,_^2 f (ax ~ b x)2 -dx J a xbx
J
2
1091
2
í x . l x dx = [ 7 ^ ^ =
J
Desarrollo 2 (■ 2* \ ^ x - b± d x = J axbx J
^„ x< x ..2 x dx= a 'b x
1095
f((a-by - 2 + £ aY ) d x
1 dx dx Sea u = — => d u= — ■? => — = -d u X
ix
X
„
y
1
Desarrollo r Sea u = yjx
dx dx => d u - — =• => 2d u = —j= 2\¡x s¡x
{ 5J~xdx = \ 5“.2du = 2 ( 5“d u = — + c = — 5 ^ + 0 ln(5) ln(5) Vi J J ln(5;
J
Desarrollo
1097
f — — dx J ex - \ Desarrollo
= — fe^du = ~ \ eU + c = _ ^ " (Jrí+1> + c Sea « = £ * - 1
1094
I
\_ +c = -e 1+c
Tx
2 o y
=> du = -2x dx => xd x = ~ — 2
X
dx I5^ —
x
f a -1 f, a 1, f.y -§ w 2a _ _ r f * = ( - = — -j=)dx= \ ( a 2 - a i ) d x = - . ~ — + ------- + c In a In a j ¿Y J y fc 77 J 3 lr
J e ~ ^ +l)xdx = J e \ ~ )
X
J e— dx = j e u(-du) = - J eudu = — 1096
3x
Sea u = -( a '2 +1)
7dx Desarrollo
[ alX ~ XA J- J T *
Je + ^ x d x
I
1
J
Desarrollo
1093
1 7 Í7 “ — = - Í 7 " d « = - — - + c = ---------2 ln(7) 21n(7) 2 2J 21n('
J
l
¿Y i-)x j fl b - b _ +^ — - 2 x +c = ± r - ( £ ) x + ( - ) x) - 2 x + c ln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a b a 1092
19
Integral Indefinida
=> du = e xdx
*.7* <£t í C>— - = f — = In | m| +c = In | e* - 1 1+c
Desarrollo
J ex - l
J «
+c
Eduardo Espinoza Ramos
20
f axdx 1 f du 1 1 , ------— = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c J l+a m a j\+ u lna lna
bexdx
1098
21
Integral Indefinida
Desarrollo Sea u = a - b e
,
. r. X. dU => du = -b e dx => e dx —----b
[ ( a - b e x )^e xd x - [u ^ J J X
1099
I
1
b
bJ
1102
e~fa¿jc
f-
I+ e~2hx J 1Desarrollo
Sea u = e hx => d u = -b e ~ hxdx => e~bxdx = - —
[u^du = ——u^ +c = - ^ - - J ( a - b e x)3 +c 3b 3b
X
f
(ea +1 y >eadx
J 1+e
lf á 1 , x 1 , h — 2’ = _ 7:arcts (M)+t: = - T arctg(^ ) + c ¿ J 1+ w b b
Desarrollo ¿ - dx Sea u = e a + 1 => du = e a — a
1103
Desarrollo Sea w = e' => du = e ‘dt f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ . I — = I ----- í- = - l n ----- +c = —l n -------1+c J l —e J l-u 2 2 1-M 2' l - e' '
dx
J 2X+3
f-
-e2' J 1-«
=> adu = ea dx
* * f - — f f 3a 3a — I (ea + l)3e adx = I u 3adu = a \ u 3du = -^ -u i +c = — (ea -1 ) 3 + c
1100
dt
Desarrollo
1104
J sen(a + bx)dx Desarrollo
f— J 2* +3
— f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X + 3 1)+ c 3J 2* + 3 3 ln2 Sea u = a + bx => du = b dx => d x - — b
110.
l-a ™ J \+a
Desarrollo
f r du 1 f J sen(a + bx)dx = J sen(w)— = — I sen(u)du
= - —cos(«) + c = -icos(« 6 fe
+ kO+ c
Eduardo Espinoza Ramos
22
1105
J
Jt
J senflog x ) ——= J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* sen(u)du
COS( ~7 =)dx
Sea
23
Integral Indefinida
v5 Desarrollo
= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c
u - -—= => \¡5
1109
J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ =
i sen2xdx
Desarrollo
5 sen(«) + c = . 5 sen( * ) + c
., ,
?
1 - cos2jc
Usar la identidad: sen x = ----------1106
J (cos(oa) + sen(ax))2dx
- cos(2jc) , x sen(2x) Jsen2.xí¿t = j i ------------ d x - --------------- + c
Desarrollo
J"(cos(a.v) + sen(ax))2 sen(
(ax) + 2 sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx
2
1110
2
4
j e o s 2 xdx Desarrollo
= I (1 + 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2
1107
2
1+ cos(2jc) 2
Usar la identidad eos x = --------------
Jcos(Vx). dx 4~x
J*cos2jc
Desarrollo r dx dx _ , Sea u = y/x => d u = — -¡= => —¡= = 2du 2\Jx yX
1111
j* cos(V x).-^- = J*cos(u).2du = 2 J eos (u)du = 2sen(w) + c = 2sen (\fx) + c
1108 í
a-
4
secz (ax+b)dx Desarrollo
[ see2(ax + b)dx = fsec2 u — = - | see2 udu = - t g n + c = -tg (o x + fc) + c J a aJ a a
J
Desarrollo => — = ln(10)í/w
2
du Sea u = ax + b => dx = — a
sen(log x).— x
Sea u = lo g x => d u - — —— ln(10)x
í
2
1112
j c t g 2(ax)dx
24
Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo
1114 Usar la identidad:
25
Integral Indefinida
1+ c tg 2 x = ese2 x
dx K 3 c o s(5 x -—) 4 Desarrollo
je tg2(ax).dx = 1113
J (csc2(ax) -1 )dx =
_*+c
dx 1 i 5x JT. i " ------ = — ln |tg [— + - ] | + c o /« **15 2 8 3cos(5x---- ) 4
dx
f
sen(-) Desarrollo
1115
dx sen(ax + b) Desarrollo
_ x _ , x „ ,x , Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— ) a 2a 2a
dx i—
' sen (-)
- \
J 2sen(— ).cos(— > 2a 2a
Se conoce
se c (^ ) 2a dx 2 ¡ sen(— ) 2a
f ■
-
J sen(ox + b)
2, X see (— ) 2a
du = see (— ).— 2a 2a
ax + b ax + b — ).cos( ^ )
dx ,ax + b s ax + b J 2 sen(— - —).cos(— - )
f
, . sec(—- — )
j f sec2( ^ ) - d x = -1 ‘f 2a dx - l i sen(— ).sec(— ) 2j 2a 2a Sea u = tg(— ) 2a
sen(ax + b) = 2 sen(
r s e c = (-í ^ >> , , [>sec
=1f- - - 2— dx= - i - - - 2 J sn ,(£ £ ± * )
1116
.g (H ± í,
xdx
J cos2(x2)~) Desarrollo
? JC De donde se tiene: see (— )dx = 2a dx 2a
h r dx
,
,ax+b..
“
2
= - lnltg(— )!+c
26
1117
Eduardo Espinoza Ramos
J * se n (l-jr)í£ c
1121 Desarrollo
1‘W^rb )dx Desarrollo
Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —
J*.í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2)xdx = J sen
27
Integral Indefinida
Sea u = — a -b
=* dx = ( a - b )d u
J c tg(—^-j-)dx = Je tg a.(a - b)du = ( a - ¿?)J cigu du
f»
1 Jf $enudj u = — 1 cosu+c = —cos(l1 X 2) + c
1118
X = ( a - b ) In Isenu | +c = ( a - b )ln | sen(------ ) | +c a -b
r - \ ) 2dx I sen(;t sen(xv2)
1122 Desarrollo
I
dx ,x. W j) Desarrollo
J (¡en x v ^ ~ 1)2 ^ dX = J (CSC^
~ 1)2 ^ dX = J (CS° 2^(Xs^ ) " 2 csc(;cV2) + IWjc
= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | l n |,g(^
1119
r , r f c o s (|) I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c J t tgCj) g íí) J 5 J senA 5
)|+ c
1123
/ tg xd x
J tg(\fx). dX VI Desarrollo
Desarrollo Sea
f * * * = f — dx = -ln eos * +c J J eos Jf 1120
i— i dx dx ~ , z = \ x => dz - — => —¡ = - 2 d z 2yjx yjx
J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2j tg zdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c
tg xdx Desarrollo 1124 \cig xd x = J J senjr
= ln | sen jc| +c
JxCtg(A'2 v" +1 )dx Desarrollo
28
Eduardo Espinoza Ramos
Sea u = x 2 + 1
29
Integral Indefinida
=> x dx ——2—
p o s ta d
J sen (ax)
J xc tg(x2 + 1)dx = Jr tg(x2 + l)xdx = j c l g u . ~2du
L a * « ,) ) - * .* * « ) * .
J
J
, +c = — J-+C = --------!¡ u a a sen (ax)
du
donde u = sen (ax) => cos(ax)dx - — a
= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) | +c
1129
sen(3x)djc
I 3 + cos(3jc) Desarrollo
dx
1125
a
sen x. eos x
í
dz
Desarrollo
Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = ——
f dx f secx , f see x , , , , I ------------- = I ------- dx = I -------- dx = ln tg x \+c J sen x co s.r J senx J tg jc
f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I l n l z l + c = - i l n | 3 + COS(3x) |+ c
J 3 + cos(3jc) 1126
íco s(—).sen(—) -)dx
J
a
a
1130 Desarrollo
sen*, eos jc
3J z
3
3
.
rdx
I Veos2 Jt-sen2 x
Desarrollo fcos(—).sen(—)dx = —sen2(— J
1127
I
a
a
2
a
Se conoce que: sen x.cos x = — ^—
sen3(6x).cos(6x)í¿v
f
sen xcosx
J Veos2 Jt.sen2 x
Desarrollo
= ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx ~
Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx
J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju i du6
u4
— = —
1128
>/cos(2x)
2J
yJcos(2x)
2~
sen4(6jc)
+ c - --------- — - + C
24
24
1+ 3 eos2 x sen(2*)dx
1131 V
cos(ax) ,
J sen5(ax)
y eos x —sen x —cos(2.r)
Desarrollo
dx
Desarrollo
Sea u = l + 3cos2 x
=> du = - 6 eos x . sen x dx
30
Eduardo Espinoza Ramos
Integral Indefinida
du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx
J*(l + 3cos2 x ) 2 ,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 + c = - ^ y j ( l + 3cos2 jc)3 +<
1136
f l + sen(3.t) ¿jr_
f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx =
J cos2(3x)
J
tg(3x) | sec(3x) | c
(cos(üx) + sen(ax))2 sen(ax)
í
Desarrollo 1132
,sec2(—)dx
r(cos(ojc)+sen(ax))
3
Desarrollo
J
Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx
4 3 a .X. J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u + c = - t g ( - ) + c 4 3
fl + 2sen(ax).cos(flx) ^ J
sen(ox)
J (csc(ax) + 2 cos(ax))dx = —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c
1137
f
csc3(3x) _ ^
J b - a c tg(3x) Desarrollo
eos2Xx Desarrollo
f ^ ^ J eos" x
Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3 acsc“ (3x)í/x
í sen
J
3
V1
f _ £ ! £ ! 2 í L . ^ = _L f = ._ Lln | u | +c = J -ln | b-- aC tg(3x) | +c J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a
(x)
1138
J (2 senh(5x) - 3cosh(5x))t/x
Desarrollo
Desarrollo f
c c t s 3 (x) r ~ ^ ~ I r---- |c t g 3(x).csc (x)dx = — ctg 3(x) + c J sen (x) J 5
J1
dU 2 ~ ^ ¡ ~ csc
= f(tgx)2.sec2 x d x = —tg2(x) + c
2
1135
_
dx
1133
1134
sen(cijc)
+ sen(3x) ,
dx
1139
cos2(3.y)
Desarrollo
2 3 (2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c
1
senh2 xd x
Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramos
32
33
Integral Indefinida
cosh(2*)N,x senh(2x) Jsenh2 x d x = J (—i H-------------)dx —----- 1--------------1-c 2 2 4
í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c J J senh(x) Hallar las siguientes integrales indefinidas:
1140
í senh(jc) 1145
Desarrollo
í ' ^
■x2dx Desarrollo
d'X = ln | tghí^) | +<~ senh(x) 2 J x\¡5 - x 2dx = J* (5 -
X 2 )5 xdx
= —^ j*(5 - x 2 )5 (-2 x)dx =
dx
1141
cosh(jt) 1146
Desarrollo
J x - 4* +1 Desarrollo
f — —— = f ------- dx - 2 f e— - dx - 2 arctg(g*) + c J co sh U ) J \ + e2x J l + e2* 1142
Sea u = x 4 - 4 x + l
i senh(jc).cosh(jc) dx
f see h(x) J
Csech2( x ) ,
, .
,,
.
I -------------------- = -------— dx = --------— dx - ln | tgh(x) | + c J senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x)
1143
J
1147
= (x3 - l ) d x
1A + 5 Desarrollo
tgh(A‘)¿V
f x 3dx _ f
J ^ 5
Desarrollo J" tgh(x)dx = J* Senj^ *| dx = ln | cosh(x) | +c
4
f — - — í— dx = — f — = —ln |m |+ c = —ln | a 4 - 4 x + \ \ +c J x 4 —4jc + 1 4J u 4 4
Desarrollo
f
=$ -
1148
x 3dx
_ J (a4)2 +(y¡5)2
1 4^5
,x A tg(.-!=)+ C Js
í xe x dx Desarrollo
1144
\ctgh(x)dx Desarrollo
a2)6
+C
34
Eduardo Espinoza Ramos
j xe x dx = j e x xdx = —i j e udu
=—21 e« +c = — 21e
+c
35
Integral Indefinida
1152
f 1 -se n *
J * + cos*
dx Desarrollo
1149
J 3 - > / 2 + 3.í 2
dx
Seaz =
2 + 3*2 Desarrollo
fj—sen.x_¿x = í —
J * + cos*
dx J
2 + 3*
J 2 + 3*
J 72 + 3*‘
1153
Usando las formulas 4 y 7, se tiene:
f3 - 7 i7 p ^ _ J
2 + 3*
f
f
dx
J 2 + 3* =
ln | z | +c = ln | * + eos * | +c
=
J z
f tg(3*)-ctg(3*)^ J sen(3*) Desarrollo
f jg(3*)—ctg(3*) sen(3*)
Jx
J V2 + 3*2
a rc tg (* ^ -) -
_ f (Sec(3^ _ c tg(3x)csc(3*))d*
J
J = - [ln | sec( 3*) + tg(3*) | + ---- ——] + c 3 sen(3*)
ln | \¡3x + y¡2 + 3x2 \ +c 1154
1150
x + cosx =» dz = (1 - sen x)dx
f¡L±dx
dx
J * ln 2 *
Desarrollo
J *+1
Desarrollo f
(* - * + 1--- — )dx = -(-* —21n * + 1 +c *+1 3 2
1155 Desarrollo
- du 2 .= — 1 +c u J
d\ - = f(ln x) J * ln ' * J
x
donde u = ln x =>
dx du- — *
J
= f«
1 1- c ---------ln(*)
see2 xdx y¡ig2 x - 2
Desarrollo Sea u = tg x => d u = see2 x d x f see2 xdx
f
J s]tg2 x - 2
J yju2 - 2
I
—- I
du
, , r —In Iu + \lu 2 - 2 | +c = ln | lg x + \jtg 2 x - 2 l+ c
36
1156
Eduardo Espinoza Ramos
J (2h----- — )-
*
f
dx
f xdx 1 f 2 xdx 1 2\ I ,____ = — I —= = = = = = —aresen(x ) + c JV ÍI7 2 2
2x +1 2x +1
J
x
+
Desarrollo C dx
+
f
xdx
1160
J 2x2 +1 + J (2x2 +1)2
*" 2x2 + 1 2x2 1 ~
= \Í2 arctg(W2)--------—— + c 4(2x“ +1) 1157
í
í
Xg2(ax)dx
Desarrollo
I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ a x'>- x + c J"tg¿(ax)dx= tg2(ax)dx = J*(
1161
a senx eos xdx
J sen2('(^r)dx 2 Desarrollo
Desarrollo «
Sea u - a senx => du - a scnx cos x. In a dx
=>
In a
,
i
1-cos(2jc)
—eos x . x sen* dx = --------------- hc J sen2(-^)ífa = J - --------2 2 1162
J* x 2dx
,
Por la identidad sen' x ---------------- se tiene:
= a senx eos xdx
f sen* f du 1 a senx la cos xd x = I ----- = ------u + c - ------- + c J J \na lna lna
1158
37
Integral Indefinida
J
see2 xdx \¡ 4 - tg 2x
JW T \
Desarrollo Desarrollo f see*2 xdx
„ 3 , Sea u = x +1
f X dx
=>
dU
■y
= aresen(-----) + c
— = x~dx 3
f 3 -r 2 . f du 1 I —...-.....- I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = —u J 3 2
J
1163
f
dx
^ eos(—) Desarrollo
1159 x4 Desarrollo
38
1164
Eduardo Espinoza Ramos y¡\ + In x
sen x -e o s x , --------------- dx sen x + eos x
1168
---------- dx
1
39
Integral Indefinida
1
Desarrollo
Desarrollo
Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx
Sea u = 1 + ln x => du = l~ x
3 -
l
3
f sen x - eos x , f du , , . , --------------- dx = I ------ = -ln w + c = - l n |s e n x + co sx |+ c J senx + cosx J u
-
J Vi + ln x — - J*“ 3d u - —u 3’ + c = —(1 + ln x )3 + c 4 4 (1 - sen (-~ ))2 1165
x -1 ).-
1169
yJfxx-- l
J
í
--------s e „ < - |)
Desarrollo Sea z - y j x - l
dx „ , => dz= J í— => 2 dz = -
dx
2 y jx ~l
yjx-l
Desarrollo ,( l- s e n ( ™ ) ) 2 f -----------— — = í ( ---- -------- 2 + sen{-^=))dx
sen(-^=)
J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c
1166
i
sen(x2))
2
Desarrollo
1170
f
xdx 1 , , , r %l 1 ,, I -------j - = -In Itg(— ) | +c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + c
1167
J
2
2
e ^ '+ x ln ü + x V l 1+ x 2
x dx
I x2 - 2 Desarrollo
2
dx - 1(1 + —^— )dx = x + -^= ln j —— | +c x —2 V2 x+ V 2
dx Desarrollo
1171
+ x ^ + l ^. = ,f . e aMgv x ln(l + x2) 1 w dx = | (------ - + --------- - + --------)d x 1+x2 X ~ J 1+ X 1+ x~ 1+ X
Ce ^ + x W
J
"72
= V2 ln | f g ( ~ = ) | -2 x - yjl eos ( -j =) + c
xdx
J sen(x sen (x )
sen(^=)
=e
arctot
ln (1 +
X~)
° + ------------- + arctg * + c
f (1 + A-)2
-dx
J x(l + x¿) x2
Desarrollo
40
1172
Eduardo Espinoza Ramos
Integral Indefinida
j"esen* s e n l x d x 1176
Desarrollo
£ í , e — - dx s¡e2x- 2 Desarrollo
Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx f e 'd x J 4elx - 2 1173
5 f - .5 3A dx J JV4i"-3^ -3 r 2
1177 Desarrollo
f 5 -3 * f I ~~r ' ti* = 5 I J V4 - 3 * 2 1174
f - 7=¿ £ = J J ( e A)2 - 2
=
m |^ + V ¡ 2^ 2 | + c
dx ¡ sen(fl.v). cosía*) Desarrollo
f xdx 5 V3* I------- 7 -3 I = -= arcsen (——) + V 4 -3 * +c J V 4 -3 7 V3 2
d* .....
-
f dx = f sec(^2* = f Scc2(a- ^ J sen(a*).cos(fl*) J sen(ax) J tg(a*)
= —ln | tg(ax) | +c «
f ¿*
J e*+1
1178 Desarrollo
f dx
f
,
I —----= I ------- -í/* = - l n 1+ e ■* +c = -{\n(} + e x ) - l n e x ] + c
J e +1
2tt? , sen(— + yf0)dt i' 1
Desarrollo
2Kt Sea u —-----+ i//n => d u = — dt T T
J l+e
= - [ ln |l + e JC|- * ] + c = * - l n | l + e* |+ c
2n ., => dt = T — ~ ¿n
rj. du
j s e n ( - ^ + 1/ 0)dt = J sen u.T — = ~ J sen u du
1175 h (a + b) + ( a - b) x~ eos 11 T , 2tt/ = - r ------ + c = ------ cos(-— +v^0) + c 27T 2n 1
Desarrollo
f _____ * ____ _ = _ L f _ dx
J (a + b) + ( a --bb))xx~1
a - b j aa + b |a - b
1 1 ¡a + b
t = arctg (~ t ) +c " ¡a+b
1179
r
rf*
J *(4-ln2. *(4-ln ~ *) Desarrollo
a ~b. -arctg(* /------ ) + c ■Ja2 - b 2 Vfl + ¿ 1
Sea u = !n x => du
dx =—
42
Eduardo Espinoza Ramos
f . f _ * J x ( 4 - l n ' x ) J 4 -u ~
l |„ |i ± ü 4 2-u
43
Integral Indefinida sen 2* sen x.cos * = --------
1, , 2 + ln x , + c - —l n --------- +c 4 2 - ln x
f -------—-------= 4 f — ^ = 4 f csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + c J sen“(2x) J -
. arccos(—)
J sen2 x.cos2 x
1180 Desarrollo
1184
dx Sea u = arccos(—) => du = — — 2
Desarrollo
du=-
/l_ ( |) 2
V^X2
¡
-arccos(-) f «2 1 I —-j— 2 dx = - \ udu = - — + c - — (arccos(—))2 + c J V4 V 4 -r 2
J
2
í
aresen x + x , dx •x2
2
2
1185
^
x
+
x
dx= ^
l
f _
^
+c
f secx.tgx , J
i
2.......
J vsec x + 1
1181 í
Desarrollo
e~lg 1see2 xdx
, If secx.tgx —
Desarrollo Sea u = - tg x =» du= —sec2 xdx
J*e~tg' .sec2 x d x = -J*eV « = —e" + c = - e _tgA + c
1186
cos(2x)
I 4 + cos2(2x)
dx Desarrollo
1182
f senx. eos .v , dx J V2 - sen4 x Desarrollo ,------ ----- - dx = —arcsen(—
V2-sen4*
=—) + c 2V2
1187
f cos(2x)
f
cos(2x)
J 4 + cos2(2x)
J 4 + 1—sen2(2x)
f cos(2x)rfx
J 5 -s e n 2(2x1
f— í i J 1+ cos Desarrollo
1183
dx
sen2.v.cos2* Desarrollo
1 ^ i ^+ sendx) 4^5
V5-sen(2x)
+c
44
1188
Eduardo Espinoza Ramos
4.3.
¡n(x + -Jx2 +1)
f
M E T O D O D E S U S T IT U C IO N .PRIM ERO.-
Desarrollo
SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA INTEGRACION INDEFINIDA.
na;- l
dx
Sea a = ln(x + yfx2 +1) => du =
45
Integral Indefinida
Se hace poniendo
x = y(t), donde t es una variable y f es una función
continua diferenciable,
x2
f(x)dx =
jv
ln(.v + n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^, ------ d x - I (\n(x + \¡x + 1 ))2 —p------ = I u du —
7 ,^ 7
j
i+x2
{NI I r*-i
f i
J
J f(\f/(t))xif\t)dt
...
( 1)
La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1) tome una forma más adecuada para la integración.
—■\](ln(x + y¡x2 + l))^ + c
SEGUNDO.-
3
1 1189
í jc2 cosh(;t3 + 3)<£c
SUSTITUCION TRIGON OM ETRICA
Si la integral contiene el radical \[a2 - x se toma: sen 0 =
a
; x = a sen 0
x dx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—) a
Desarrollo o du , Sea u —x 3 +3-> => — = x 2 dx
f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 + 3) I x cosh(x + 3 ) d x - I cosh(«)~— = ------— + c = ------ --------
J
J
3
3
3
+ C
2
Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: sec0 = —, x= a see 0
^tgh(A)
1190
, dx í cosh“(jc)
dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-) a
Desarrollo Sea u = tgh x => du = see l r ( x ) d x j*
-jtglUjr)
/•
»
\/x2 - a 2 ~u
I - 1— ,-d x= I 3'gb*.see hx2dx = 13 “du = --------- + c
J cosh“(.v)
J
J
ln3
itghx
--------+ c
ln3
a
46
Eduardo Espinoza Ramos
3
47
Integral Indefinida dt
Si la integral contiene el radical 4 a 2 + x 2 se toma: tgd = —
L+ / l+c = - l n \ \ + e~x I +c x = a tg 0 ; dx = a see2 6 d6
J e '+ l
; 9 ~ arctg(—) a c)
J e " ln,+1
J l +í
I x(5x2 - 3)7dx , 5 x 2 - 3 = t i ‘ Desarrollo ? , dt 5x - 3 = t => jcí/x = —
10
1191
(5x - 3 ) \ x ( 5 x 2 - 3 ) 1dx= f / 7 - = 4 + c = ---------- — + c 80 J 10 80
Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.
J a)
dx
i*
1
J x J T ^ . ' x ~~>
d)
Desarrollo
f xdx i---- r I , t = J x +\ J Vx + 1 Desarrollo
1
x —-
t
-1
=> dx = — — ademas t = — r x Ad t
A
t = yj x+1 => dt = ---- 7 -dt xyjx2 - 2
J 2r2
J V l- 2 r 2
1
f dx
J ex +1
t = y ¡ X + 1 =>
X =
f 2 -1
arccos(v2 ?) + c (V2í)-
V2
1 V2 /- 7=arccos(— ) + c , x> \J2 V2 x b)
= = i
2y¡X + \
dt
eos xdx / ’ 1 = sen x J VI + sen a Desarrollo f
e)
x = - ln t Desarrollo
t = sen x => dt = eos x dx f eos xdx
J Vi + sen2 x
f
dt
J \¡\+t~
_ = In I?+ Vl + r I+c = ln | sen x +
+ sen2 x | +c
48
Eduardo Espinoza Ramos
i------Sea t = yj 2.V + 1
Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas adecuadas. 1192
I
49
Integral Indefinida
x(2x + 5)w dx
f
J
dX
=>
x \j2 x + 1
2 1195
2
2
i
= 2 a + 1
2 . t —1 ; x = ------ => dx = td t yj2x + 1 + 1 . +c [ +c = ln | i * + 1
- f - y —— = 2 f -y— - In 1
Desarrollo t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^
r
-i
J
r
-1
V2 a
í-1
+1 - 1
dx
í •je* -1 Desarrollo
f x(2x + 5)}0d x= f — J 2
J
2
= - f ( / n - 5 t w )dt = - [ - ----- — í “ ] + c 4j 4 12 11
; i í a * ± s F _ ± (2x+ 4 12 11 1193
1+ X
I l + yfx
Sea t = \Je' -1
t ~ —e x —1
e x —t +1
2tdt e cdx = 2id / => dx = t2 + 1
n
2tdt dx
f Desarrollo
Sea t - y í x
=$ t 2 = x
=> dx = 2t dt
—I— = f ? ± 1 = 2 f f '
J V ^ -l 1196
J
f
= 2 arctg t + c = 2arctg(V ?7 ■l) + c
Jr+l
fln(2x) dx
J ln(4x) a Desarrollo
J 1+ yJX
' J 1+ t
J
í+ 1
ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2
T 2 /3 t2 2J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /- 2 1 n |f + l|] +
fln(2x)
J ln(4x)
dx _ j* lnA + ln2 ^ dx _ f ^ xJ
ln
x + 2 ln 2
a
J
ln2 lnA
+ 21n2
= ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c = 2[— -----—+ 2\[x - 2 \ n | \ + \[x |] + c
1197 1194
f dx J x\J2x + l
f(arcsenx)2 ,
J
Desarrollo Desarrollo
^dx x
Eduardo Espinoza Ramos
50
Integral indefinida
51
dx
Sea t = arcsen x => d t -
vr
f (arcsen r f J V J lT- x7 1198
f 2 1
/
(arcsen*)3 + c = ---------------í-c
f-7 ^ = =
■
j
* v tt 7
dt t.-zí -?==== = - f “ 7=== = “ In Ir + V í^+T | +c j
e2xdx
í Vex +]
.i
*
Cf_-
J V77I J
I
, , i + V i + *2 ,
. ,
1 l t d t = 2(t- - t ) + c =^-í(r2 - 3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x - 2 ) + c
*
1 +V 1 + * 2
*
1201
r
I" x 2dx
J VHv Desarrollo
sen xdx Desarrollo
Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; como t 2 = eos * => í 4 = eos2 * - 1-sen* * ; sen~* = l - í 4
cos0 = V i - * 2 ; sen 9 = x => dx = co s0 d 0
j W « f a = f l z í l . (_ 2„ d, = - 2 f (1- , < v , = - 2 ( , - 4 ) + <' = 7'(>4 5) + c J t J
J v cosx
J V i-* 2
= y Veos *(cos2 * - 5) + c
fW O . c o s I ) ^ j cose
¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’) de J J 2
0
sen 9 eos 9
arcsen*
2
2
2
Vi
:------------------- hC = ------------* ------1200
*
Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.
Sea t 2 = e x + 1 => ex = t 2 - 1 => e xdx = 2rdt r e2xdx
Vi+ * 2 1,
.
= —ln | — h----------1-t-c = —ln ¡-------------- ¡ +c = l n |------ = = ¡ + c Desarrollo
1199
r r
f y J *Vi+*~
1202
Desarrollo
í
x'dx
&
2
52
Eduardo Espinoza Ramos
53
Integral Indefinida
Desarrollo \Í2 eo s 8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡2sen9
f \jx 2 - a 2 J x
=> dx = \Í2 co s9 d 9
_ j>a íg 0 .íis e c 0 .tg 0 í/0 _ J a se c 0
f^2
J
6d6
= « | (see2 0 - 1)d9 = a tg 9 - u9 + c - \ j x 2 - a 2 - a.are see( —) + c
J
a
= 7 ^ 2 - « 2 -a.arecos(—) + c x 7 2 -X 2
1204
f
dx
JxT T T Í x dx
í
y¡2-
Desarrollo
f 2V2 sen3 0.V2 eos 6 d 0
J
V 2cos0 c tg 0 = - ¡ = L = 7771
2>/2 J scn} sen3 0OdO d 6 = 2V2 2V 2 JI (1 ( l-- c o s ¿ 9 ) s e n 9 d 9 = 2 a /2 (-c o s0 +
;
cos0= —
9 =
árceos—
x
a
~"-) + c
x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0 = 2 \¡ 2 ( -
1203
7 ^ 7 .
V2
2
-x
2
2
7 T 7 )+ c
f—
' 3V2
— = fcos0rtg9.scc0.tg0 dO - f d 9 - 0 + l -aiccos(—) + t
JxT ^T
I
1205 Desarrollo
J
~
~
J
7 x 2 +1 , — dx
Desarrollo tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7 x 2 +1
x2 - a2
a.tg# = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0
1
54
Eduardo Espinoza Ramos
J
X
f í £ i . sec= í ) < » = r J tg 0 J
55
Integral Indefinida
sec0(l + tg~0)úí0 t20
J (see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd ] _eos f)
= ln ¡ c s c 0 - c t g 0 | + sec 0 + c = ln| —------ -|+ se c 0 + c sen0
- _in | - St'n ^-1 + sec0 + c = V*2 + 1 - ln | 1 + COS0
l + Vx^ + l
J \ ¡ l - x 2dx = J +c
0
sen 0. eos 0 aresen x -+ c = -
2
2 +* 1206
f -----p - ----x 2y ¡ 4 - x 2
1208
Calcular la integra!
x \¡l
- x2
2
+c
valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .
I
JV IV T I
Desarrollo
Desarrollo x = 2 s e n 0 => dx = 2 c o s 0 d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0 Sea x = sen2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt, como x - sen / => sen t
■
t = aresen V I
Jx
f — * L _ = f - 2 sen ' - i — - 1 = 2 f
J VIVICI 1209 1 f 2 ctg 0 J 4-X 2 f— = f — 12c°s0 ------------- d o = - ese 6 dO = ----- — + c = ------------ +c 4J 4 4x J x2y¡ 4- x2 J 4 sen20 -2 c o s 0
J sen rV i-sen 2/
- 2 t + c - 2 aresen VI + c
J sen/.cosí
j V ? + x 2dx Desarrollo Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:
1207
x 1dx Va2 + a'2 = V«2 + « 2 sen2 ht = acoshf ; dx = a cosh t. dt Desarrollo x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2
, senh2f )+ r J Va2 + x 2dx = a2J cosh2 f dt = «22 Jf 1+ cosh 2í-rfí, = —a22 (/+2
Eduardo Espinoza Ramos
56
= — (t + senhí.coshO + í' = — ln(x + yja2 + x 2 ) +—4 a 2 + a 2 + c 2 2 2
57
Integral Indefinida
4.4.
IN T E G R A C IO N P O R P A R T E S.Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v =
t
, , x v « “ + X“ donde, senh t - —, cosh t = -----------a a
diferenciables, tendremos que:
» e' = cosh t + senh t
1210
x + yfa2 + x 2
2 x~dx Hallar I r-------- ; haciendo x = a cosh t í ;J T ^ a 2 Desarrollo
x'dx
Jyjx2 - a 2
1211
f a2 cosh2 í.senhí dt 7f , = I ------------------------= a I cosh t dt
J
= ° f
senhí
^ = „Ll + (, x~ xy"> senhf
V
J- xd x Haciendo
J
Desarrollo dx u = ln x =» d u - — x
J*\nxdx ln xdx = - A‘ln lnxx— - J| x —- = - jc.ln* . —Jt + c 1212
I arctg xdx Desarrollo
+x"
V
u - arctg x => du = Haciendo
I í +a 2 Va 2 + x“ , . x + vx~ e = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ---------------a f
i
J 1213
J
dx (1 + JC2)
dv = dx =>
x~dx _ a 2 , x + 4 x 2 + a 2 . xyja2 + x 2 [ln i---------------- 1+--------r----- ] + c I o 7 o L 1 1 a„2 Jix 2 - a 2 i2 = — ln | .v + \[x~ + a 2 | + —yja2 + x~ +k
vdu
dv —dx => v = x
+ cosh2í , a2 . senh2í, a2 dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c 2 2 2 2
como x = a cosh t => cosh t = —, además a
•
Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por partes.
x = a cosh t => dx = a senh t. dt f
»
u dv = uv~
v
=
a-
r x ¿x i . ,, ?, arctg a*dx = x. arctg x - I ----- = X arctg x - —ln 11+ x~ | +c 14"X~ are sen a dx Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramos
58
Integral Indefinida
dx
u = arcsen x =$ du = Haciendo
xdx
í
r. 2 = x arcsen x + v i - x +c
1218
P Desarrollo u = x_ => <ím = 2xáx ,3* c/v = e3xc/x V= ■
xsen xdx
1214
2~* x ln 2 + l = - x .^ .+ c = ---------r— + c ln2 In -2 2jr ln2 2
L 2- ^ = - x . 2I - f - 2I ^ J ln2 J in 2
dv = dx => v - x arcsen x d x - x. arcsen x -
59
Haciendo Desarrollo u - x => d u - d x Haciendo
í 1216
dv = eos 3x dx
xsen3x xcos 3x dx = -
I;
v=
sen3x
fsen 3 x , -dx
x e ’xdx
xsen3x
í
u = x => d u = d x
cos3x -+ c
Haciendo -
-dx
r 2 „3j 0 X x 2„3* W x> = — eJJC- - [ 3 3
1
Desarrollo u = x => du = dx Haciendo
3
<*-.3* 2x 2e 3x - d x \ = - e 3x~ e3* + ------- + c 3 3 9 27
-P
II
e3x 2 - — (9x‘ - 6x + 2) + c 27
i
dx — =>
3x
j - e 3r' dx . => v = — e dv
ex 1219 dx - - I 1217
í
J “7 ~
x
1
ex
x+1 -+ c
2x + 5)e Xdx Desarrollo
ex + C ~ Haciendo
x.2 ' dx
ju = x -2 x + 5
du = 2(x-X)dx
\dv = e~xdx => v = -e~x Desarrollo u = x => du= dx
Haciendo dv = 2 xdx => v = —-
ln 2
60
Eduardo Espinoza Ramos « = * - 1 => du = dx
Haciendo
61
Integral Indefinida
1221
dv = e~xdx => v = -e~ (x¿ - 2 x + 5)e Xdx = - e X(x2 - 2 x + 5) + 2 ( x - l) ( - e x ) - 2 e x +c
Jxsen
x. cosxdx
Desarrollo
Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x
= - e ~x( x 2 +5 ) + c X
1220
J
í
x3e 3dx
x sen x. eos x d x ~ — í x sen 2x dx
2J
Desarrollo
u=x
Haciendo
u = x 3 => du - 3x2dx Haciendo
X
du = dx
eos 2x
dv = sen2xdx => v -
X
dv = e 3dx => v = —3e 3
f
1 f
N,
1, x
.
sen 2 x N
j xsenx.cosxdlx = —J xsen(2x)dx = —(——cos2xh----- — ) + c 2
2
e 3dx = - 3 x 3e 3 - J*(3x2)(-3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx x . sen2x = — cos(2x) + ---------- ve 4 8
u = x" => du = 2xdx
Haciendo
X
X
d v - e 3dx => v = -3 e 3
1222
J'
í
(x2 + 5x + 6)cos2xdx Desarrollo
J’ u = x2 + 5x + 6 => du = (2x + 5 )dx
u = x => d u - d x
Haciendo
Haciendo
X
dv —eos 2 x d x => v =
sen 2x
dv = e 3dx => v = - 3 e 3 m
_X
X
X
\ x 3e 3dx = - 3 x 2e 3 (x + 3) + 54(-3x 3 - 9 e 3) + c
--
i
(x‘ + 5x + 6) eos 2x dx =
X
= - 3 x 2e 3 (x + 3 ) - 5 4 e 3(3x + 9) + c = -e ~ 3(3x3 + 9x2 + 162x + 486) + c X
= —3e 3(x3 + 3 x 2 + 54x + 162) + c
x + 5x + 6 sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx 2 2a
u = 2x + 5 => du = 2í/x Haciendo
dv = sen2xdx => v =
eos 2x
i
62
Eduardo Espinoza Ramos
i
( x2 + 5X+6)co&2xdx = ^ 5 ± l sen 2 xA {. ^ l l cos2x + ^ l ) + c 2
2x2 +lO x + l \
2
2
„
2x + 5
1225
2
fl nj
J x3
dx Desarrollo
= — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c 4 4 1223
63
Integral Indefinida
u = lnx => du Haciendo
j x 2 l nxdx
1ll ^18-
i
=> v =
_ ¿x X 1 2x2
Desarrollo
dx _
lnx u = ln x => du ——
2x2
-+ c
. ! 2x2 X
4x
Haciendo dv = x 2dx => v = —
dx
1226
Desarrollo f i 1.. / lu >u/<
J
** iIn r - fI** dx — x3 ,ln jc-----jr3 -------* +c
’
J 3 x 3
dx
9
Haciendo
1224
J
ln1 x dx
u = ln x => d u = — x dv = \lx
=> v = 2VI
Desarrollo
Haciendo
M= ln*x => du = 2lnx.
dx = 2V i ln x - 1 2 V i
dx
d v - d x => v = x
1227
í
m = ln x => d u = — x d v - d x => v —x
ln2 x.dx = xln2x-2xlnx+2x+c
J y =
= 2 V I ln x - 2 V i
ln ^ +‘
xarctgx
j l n 2 x.dx = x l a 2 x - j x . 2 l n x.— = x \n2 x - 2J*ln xdx
Haciendo
^
Haciendo
Desarrollo . dx u = arctg x => du ------- 1+ x2 dv - x d x => v —
2
Jxarctgx
Eduardo Espinoza Ramos
64
f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx]n(x+'h+x2) - 'J \ + x~ +c
x2 1 * *+1 , x - — arctg*H— atctg*— + c = --------arctg * - —+ c 2 2 2 2 2 1228
1
* arcsen* dx
J 1230
Desarrollo u - arcsen x => du =
65
Integral Indefinida
J Vi+ * 2 xdx
í
en2 * Desarrollo
dx síi^x2
Haciendo
*cos ec2xdx
dv = xd x => v = — íw = * =i> du = dx X1 If x arcsen x d¿ x = — arcsen*—l
J
2
C
Haciendo
2cdx —X¡ =
J- A = - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c j sen * J
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0
““sen2O.cosOdd = f « n ’ # « ,» = í í ^ í " , » j sen" t) dt) = j ---- —
-2
V i-s e n 2 9
Luego:
líiv = cos ec2xdx =£ v = - c t g *
2 J ^ Z x2
9
sen 20
9
2
4
2
1231
sen9 eos 9
f xc o sxdx
J
sen2 * Desarrollo
arcsen* * v l - * 2
2 1 arcsen* * arcsen xd x = — arcsen * - —( J 2 2 2
*V l - * 2
f * c o s * ^ _ f x c o s e c x c Xgxdx J
J sen"* )+c
Haciendo arcsen*
1229
* r ,T + - V 1 - * +c
dv = cosecx.ctgxdx => v = - c o s e c x
f
J sen *
J
Haciendo
=
X x = -xcosecx + ln Ieos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡ tg—| +c
sen*
dx 1232 V1 + * 2
dv = dx => v = *
,
— dx = -e o s e c x - I - e o s ecxdx
Desarrollo u = ln (* + Vl + *2 =>
=dx
f.vcosx ,
I
J ln(* + Vi + *2 W*
u = x => du
í
ex sen xd x Desarrollo
2
Eduardo Espinoza Ramos
66 u = sen x => du = eos x dx
Integral Indefinida
1234
Haciendo
í
dv = e dx => v = e
67
eax sen(bx)dx
Desarrollo ex senx d x - e x s e n x - j e * cosxdx
m= sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dx
I Haciendo
dv = emdx =* v = ---a
u = eos x => du = - sen xdx Haciendo d v - e * d x => v = e*
I
f eax sen(bx)dx =sena bx -
J‘
e * sen x d x = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)dx)
•*
\ b e— cosbxdx = -e ^ J a
^
- b a
faJ
u = eos bx => du = - b sen bxdx = e* sen x - e* cos x - I ex sen xdx = — (sen x -e o s x) + c
J‘
1233
Haciendo
2
e“* dv = eaxdx => v = a
3* eos xdx
1
Desarrollo
J eax sen bx dx =
u —eos x => du = - s e n x d x
Haciendo dv = 3xdx => v
3Xeos x d x =
1
3* eos x
ln3
3*
a
b . e ^ cosbx
--- (■ a
a
b +— f e
3X , 3Xeos ——sen xdx = -------- í +
ln 3
— f 3Xsen xdx
(1 + —r ) I e“* sen bxdx =
ln 3 j
7>J
aeax sen bx - beax eos bx
w = sen x => du = eos xdx Haciendo dv = 3xdx
ln3
l ax
Je
3X
v=-
ln3
, 3*cosx 3* sen x 3 cos x d x - --------- -H---------—
ln3 - ¡ y
, 3* (sen x + ln 3 co sx ) 3 co sx d x = ----------- ----------------- \-c ln 3 +1
sen bxdx)
e“* sen bx b m b2 f „ ----- —e eos b x — - l e sen bxdx a a a~ J
ln3
I- ln 3
e™ senbx
3Xeos xdx
1235
,
,
ax.asenbx-bcosbx,
sen bx dx = e°* (--------- — —------ ) + c a2 +b2
J sen(ln x)dx Desarrollo Sea z = ln x => x - e z
=> dx = e zdz
eos bxdx
68
Eduardo Espinoza Ramos f
f
e z sen ^—e" eos
7
J sen(ln x)dx = I ez sen z d z = -------- — ----------+ c , por el ejercicio 1234.
69
Integral Indefinida
1238
J
(x -2 x + 3 )ln x d x Desarrollo
í
e njrsen (ln x )-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x) sen(ln x)dx = ---------- -------------------- ----- - + c = ----------------------- ------- + c 2 2
Haciendo
i— . x2 +3x dv = ( x 2 - 2x + 3)dx => v = — 3
Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos: 1236
u = ln x => d u = — x
JI xa e~x - ' ,dx
J*(jc2 - 2 x + 3)lnxdx = ( ^ - - x 2 + 3x)I n —J * — jc + 3)dx
'
Desarrollo r3 h
= x 2 => du = 2xdx
Haciendo • dv = xe~* dx => v = ■
3
2
= (------x2 + 3 x )ln x------- ¡-------3x + c
3
9
2
e-* 1239
fx ln (|—:-)dx J 1+ x Desarrollo
j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ - e
1237
-X1
e
x
e
x
■>
----------i-c = -------- (x~ + 1) + c
2
2
J x ln(|— - )d x = J"jcln(l —x)dx - J x ln(l + x)dx
( 1)
Ie^dx integrando J x ln (l-x )d x
Desarrollo Sea
z 2 = x => dx = 2zdz
u = ln(l - x ) => du = -
Haciendo J" e ^ d x = 2 f zezdz
dx \-x
dv - xdx => v = —
2
Haciendo
u = z => du —dz
I
xln(l - x)dx = — ln(l - x) + ^
dv = e zdz => v = e z
^e^dx =
2J zezdz = 2(zez - e z ) + c = 2(yfxe'^x - e ^ )
+ c = 2e'^x (\[x - l ) + t
2
2 J 1- x
x2
dx = — ln ( l-x )+ [
2
12 Jf(_x_l+J)dx] 1-; (2)
Eduardo Espinoza Ramos
70
Integral Indefinida
i
integrando I xln(l + x)í/x
du =
Haciendo
dx
í+ x
dv = xd x => v = —
ñ
2
I
u = ln x => d u= — x . dx 1 d v - — =* V —---x¿ X
Haciendo
u = ln(l + x)
x2 x2 x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f . — dx = — ln(l + x)- - f ( x - l + — ■)dx 2J 1+ ; 2 2 J 1+ x X
X
X
1
2
2
= — ln(l + x ) - — + ------- ln(l + x)
2
4
71
1241
ln2 x ln x -dx = — — + 2(— xx
f dx .
ln2 x
2 lnx
2
í
f ln(ln x) -dx y
Desarrollo u = ln(ln x) => du =
... (3) Haciendo
dx xln x
i —— dx => v = iln x dv x
reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene: ln(in jc)
fxln(-—-)<£t = — ln (l-x )-—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H--------- H— ln(l+x) 4 2 2 4' " 2 " 2 J 1+x 2 "
dx
dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.-
xlnx
J
= ln x. ln(ln x) - ln x + c
= (ln(ln x) - 1) ln x + c x2 , 1 -x 1, , 1 - x . x2 - l . ,1 - * . = — ln ---------x — ln(-- ) + c = ---------- l n |------- 1- x + c 1+ x 2 1+ x 2 \+x
1240
\n¿x
I
x arctg(3x)í£c
1242
Desarrollo dx u = arctg(3x) => du =
Desarrollo Haciendo u = ln x => d u - 2lnx. Haciendo dv
dx
3 dx l + 9x2
j , x dv = x 2dx => v = -— -
dx
1 ,
J
x3
x arctg(3x)dx = — arctg(3x) -
J
f x dx
_ x'
J l+9x x
J 9
1
- — arctg(3x)-------1----- ln 11+ 9x2 | +c 3
18
162
18x -)dx 162 1+ 9x2
- f(-—— -
72
Eduardo Espinoza Ramos
1243
I
73
Integral Indefinida Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
x(arctg x)2dx
J (arcsen x)2dx = J z2 cos z dz
Desarrollo Sea z = arctg x =* x = tg z => dx = sec2 z dz
Haciendo
J A(arctg x)2dx = J z 2 tg z. sec2 z dz
u = z2 =* du = 2z v = senz
J (arcsen x)2dx = z2 sen z - 2J z sen z dz u - z 2 => du = 2 z d z
Haciendo
7
tg 2 Z
Haciendo
dv = tgz.sec zdz => v = ——
2
i ■
I'm = z => d u = d z \dv = sen z */z => v = -c o s z
J (arcsen x)2dx = z2 sen z - 2 (-z cos z - J - cos zdz)
j*x(arctgx)2í¿x = ^ - t g 2 z - J z t g 2 zdz = ~ ~ tg 2 z - j"(zsec2 z ~ z ) d z
z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x)2 + 2V1- x2 arcsen x - 2 x + c 72
-2
= — tg2 z + ~ - I zsecz zdz - I ' integrando
J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes
1245
f arcsen x IX „ -dx x2
J
Desarrollo
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz Jx(arctg x ) 2dx = - y (tg2 z + 1) - z tg z - In | cos z | +c
fa r c se n x ^ _ f /Co s z d z = f zctgz.coseczcfz x J sen z J
J z2 = — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c
= i arct§ AL ( Ar2 + l)-jcarctgA + 2 ln (l + x 2) + c
Haciendo
U - z => du
= dz
dv = c tgz.cos eczdz => v = -cosecz
f ---------arcsen x dx. -z c o s f o s ecz az, = --------z , f dz I»-------- I -c ------= -zcos ecz — -cos eczdz = ------- ++ i>---x2 J sen z J sen z
J
1244
Í
(arcsen x)2dx
Desarrollo
+ l n |t g ( - ) |+ c senz
2
Eduardo Espinoza Ramos
74
farcsen x , z I ---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z - c t g z | = ------------- + ln ¡------ - |+ c J
1246
*
sene
*
1+ V 1 -*
75
Integral Indefinida
, ,.,arcsen*,,*L , 1248
sen2 x , -------- dx
I
Desarrollo
f arcsen
J
jr r x dx
f sen" i 2 x , f f1-l-c cos o s2x 2* 1 f I -------- dx= I ------------ dx = — \ e J ex J 2ex 2J
Desarrollo Sea
[ z = arcsen V* => V* = sen z
e ~2
* = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz f arcsen V* , f z-2senz.cosz ,„f , -dz = 2 I zsenzaz I — ------- dx - I — J v i-* J V i-s e n 2 z J Haciendo
integrando
Haciendo
dv = s e n zd z => v = -co sz
4 1 -e JCcos2xdx
,
... (1)
l e *cos2 x d x , por partes se tiene:
1
dv = e~xdx
v ——e x
j e ~ x cos2xdx = e ' ' co&2x+2j e~x s ea l x d x
= -2arcsen V*Vl~* + 2 \ f x + c
J x tg
eos 2 xd x
u = eos 2x => du = - 2 sen 2x dx
u = z => d u = d z
f arC^en - * dx = 2 (-z eos z - f -eos z dz) = -2 z eos z + 2 sen z + c J Vl~ * J
1247
1 f d x ---- l e 2j
integrando por partes se tiene:
j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)
2*rf* reemplazando (2) en (1) se tiene:
Desarrollo (*sec2 2x - x ) d x u = x => du = d x
Haciendo
dv = sec2 2xdx => v = ^
1249
r
J
f sen2 x , e~x / c o s 2 * - 2 s e n 2 * - l | ------— dx = —r - (---------------------------- ;--) + < ■
y
eos2(ln x)dx Desarrollo
, J 2 1+ eos 2* Usar la identidad eos x = ------------
J eos2(ln x)dx = J 1+ COS^2 ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)dx
... (1)
Eduardo Espinoza Ramos
76
Integral Indefinida
77
u = x => du
Sea z = ln x => x —e l => dx —e 'd z
Haciendo
dv =
J cos(2 ln x)dx = J e z eos 2z dz
dv = cos2xdx => v = -
xdx
1 => v = — (1 + Jr2)2 2(x +1) dx
« =ez => du = ezdz Haciendo
= dx x 1 ^----- + —arctgx + c 2(x +1) 2
— f - + ( 2(x +1) J 2(x +1)
J ( l + x2)2 sen2z 1251
dx
í (x2 + a 2)2 Desarrollo
J cos(2 ln jc)í/jc = y sen 2z - —J e~ sen 2zdz
Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 d d u - e z =$ du = ezdz. Haciendo d v - s t n l z d z =* v = -
cos2z
f
_ f
dx
a3 J
= - sen 2(ln x) + - cos( 2 ln x) - - f eos 2(ln *)cfx 2 4 4J
2a3 J
2a3
arctg(-)
2a3,
arctg(-)
/7 CL\ 1 /i X --------- r — + -------r -------------- + C = ----- -----------------------h —-------- ^ ) + C
2a' ... (2)
1
a 4 sec4 9
9 sen 9 cos 9 = 4r [cos2Odd = -2 - f(l + cos26)dd = - — ■+ ---- ----- + c
Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - -2 Jf ( - —2 cos2z + -2 J(Vcos22
f a ssee2 Odd
J (a 2 tg: 0 + a 2)2 J
J ( x 2 + a 2)2
cos(2 ln x)dx -
a sec~ 9 d 9
1252
J
2(«‘ + x ) a
2a 2
a
a+x
J a 2 - x 2dx
Desarrollo
reemplazando (2) en (1) se tiene: ‘l + cos(21nx)x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x) -dx = —+ j*eos2(ln x)dx = J -
2
10
+c
Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0 X
X
sen9 = — => 9 = arcsen(—) a a 1250
I
x dx (1 + *2)2 Desarrollo
J*'Ja2~—x2dx = j y f a 2 - a 7 sen2 9 .a co s9 d 9 - a2j c o s 2 9 d9
¡ 7g
Eduardo Espinoza Ramos
2 f l + cos20 a" a" a = a 2 I ------------ ¿Q = — 0H----- s e n 0 c o s0 + í
J
2
2
Integral Indefinida
79
x 2dx
1254
1y ¡ 9 - x 2
2
Desarrollo « arcsen(—) + — * v1a 2-•* 2 +, c =— 2 a 2
x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9 X
x
3
3
sen 0 = — => 0 = arcsen(—) 1253
|V a + ;c2;c
f x 2dx (*9sen 20 f , I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = 9 I sen' 0 ¿0 J V 9 -.Ï2 J 3eos0 J
Desarrollo Sea x = VÁtg 9 => dx = VÂ see2 9 d9
= 11-
90 9 2 eos 9)d9 = —- — sen0eos0 + c 2
2
tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^=)
Va
Va
9 -v 9 x y ¡ 9 - x 2 9i jc r 7 = —aresen(—) — ( - ) ----- + c - - a r c s e n ( - ) — yJ9-x~ +c 2 3 2 3 3 2 3 2
J yjA + x 2dx = J s¡A + A ig 29.yfÁ sec2 dO = J A see39 dO 4.5.
IN T E G R A L E S E L E M E N T A L E S Q U E T R IN O M IO C U A D R A D O .-
se integra por partes:
J A see30 d9 = AJ (1 + tg2 9 ) see 9 d9 = A J (sec0 + tg2 9 see 9)d9
0
UN
INTEGRALES DEL TIPO.
r J ax
= A ln |sec0 + tg0 |+ A tg 0 s e c 0 - A js e c 30 ¿ 0
C O N T IE N E N
171X + Yl
,
+bx + c
.
dx, el procedimiento es el siguiente: El trinomio de
segundo grado ax2 + b x+ c, se reduce a la forma 2 "y ax +bx + c = a (x + k) + L , donde k, L; son constantes y esto se
= y [ ln |s e e 0 + tg0 | + tg0sec0] + c
consigue completando cuadrados. JV Â 7 7 d x -= |[ l n I
I+ ^ V Á ^ 7 ] + c
©
INTEGRALES DEL TIPO.mx + n
í \fax2 +bx + c d x , — 1n I a: + y f + x2 \ +—V Á + ~? + k 2
2
integrales inmediatos.
los caiculos son analogos del 1) y después son
Eduardo Espinoza Ramos
80
©
Integral Indefinida
INTEGRALES DEL TIPO.
f
_ 1
2x~l
2' j* 3x —2
1259
4
-dx
J x 2 - 4x + 5
de las integrales principales.
I
7
2 ] x2 - l x + \ 3 + ~x2 - 7 x + l 3 )dX
INTEGRALES DEL TIPO.ax1 +bx + c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una
1255
xdx
J x 2 - 7 x + 13
, se usa la sustitución inversa-------- = t (mx + n) n)\¡ax2 +bx + c ,nx + n ©
81
Desarrollo
dx x 2 + 2.x + 5
Desarrollo
J x -4 x +5 x +2x + 5
J
(x + 1) + 4
2
- i
J x~ - 4 x + 5
f - î ï = i _ * +4 f
2 j x 2 - 4 x +5
*
J x 2 - 4 x +5
= |ln |x 2-4x + 5|+4arctg(x-2) + c
= - ¡ n l x 2 - 4 x +5 j + 4 j —
dx
1256
x 2 + 2x Ix
1260 Desarrollo
dx
f
J x 2+2x
_ f
dx
J x 2+2x + 1-1
J x2 + 3 x + 4 Desarrollo
_ 1 1 | x +1 —1
dx
_ f
f (x - 1 )2dx
J( x+1) 2 -1
x + 1+ 1
2
2
x+2
f ( x - 1 Ÿ dx _ f
5x + 3
5 f
9 2x + 3Ô
J ^ + í «+4 - J <1" ? T 5 7 r ï> & = I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1 1257 3x2 —x + 1
f^ - 3 ^ +3^+4
Desarrollo dx
dx
1 f
dx
3
3
1258
J
6 x -l. U n
3x2 —x + 1 3
6
1261 Desarrollo
+ í f— ± — 2 J u + 3 )¡ + 7 2 4
- x - - ln | x 2 + 3x + 4 1+ ~ a r c tg ( - ^ Í l) + c 2 V7 V7
36
xdx
x 2 - 7 x + 13
a
f
x2dx
J x 2 - 6 x + 10 Desarrollo
82
Eduardo Espinoza Ramos f x 2dx f 6 x -1 0 w f f 6 x -1 0 J I í— ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx+ - T-~ --------- dx J x - 6 x + 10 J x - 6 x + 10 J J x~ - 6x + 10
1265
f
3 x -6 ------ dx J \[x2 - 4 x +h5.‘
I
Desarrollo
f 2 x -6 f dx = x + 3 —----------- dx + 8 -------J x - 6 x + 10 J (x ( x--33)) ¿+1 J ’í i S — J y¡x - 4 x + 5
= x + 31n | x 2 - 6 x + 10|+ 8arctg(x-3) + c 1262
83
Integral Indefinida
w s L f ~ 2 — dx * \lx - 4x + 5
/------------x —2 Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx Vx2 - 4 x + 5
dx
J y¡2 + 3 x - 2 x 2 Desarrollo dx
f
dx
(*
\¡2 + 3 x - 2 x 2
1 f
J j 2(l + 3 x _ x 2}
f —-j2~ ^L = J t= d x = 3 f - — L=^===rdx = 3 Id u = 3u + c = 3-v/*2 - 4 x + 5 + < J \¡x2 - 4 x + 5 * v x 2-4x +5 J
dx
4 2 J J 1 + 3 x _ x2
1266 r
72 í
I i
~
x
J
1 ,4 x - 3 , -------= —¡= arcsen(--------- ) + c
2 x -8 2X 6...- dx V i - x —x” Desarrollo
f
1263
J yjl-x-x2
í yjx-x2
= f e * +1)- y = f-7J £ Ü _ *=9f J >jl—x - x ?
*j\-x -x 2
J
« f ) 2 - U + 2-) , )5
Desarrollo = - 2 - v /l- x - x 2 - 9 arcsen(— Í - ) + c yf5
dx
= arcsen(2x -1 ) + c 1267
dx
1264
I -= = = J = = = = d x
í V5x2 - 2 x + l
Desarrollo
¡ f s + px + q Desarrollo
' J \ X
+ DX + a
~
=f~j-------- ~ X J
l
r> ^
f , - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx » v5x2 - 2 x + l 5 J v5 x 2 - 2 x + 1 = \ n \ x + £ + 4 x 2 + px + q l + c
n
^ ..... * + l f . ^Jv5x2-2x + l V5x2 - 2 x + 1
84
Eduardo Espinoza Ramos
= -- >/5jc2 —2 x + l h— í = f - . =
1270
1268
^
7
^
Desarrollo
+ J _ t o U _ i t ^ T | 7 J | +c
1 i j dt => - = x - l => dx = — t t2
1 Sea t - ----x-l
dx
_dt
J x\Jl-x2
í ____ * ____ , r y , . = J í(jc-I)Vjc2 r _ n J J -I 22 J il ^ [li +.„2 1)2 _ 2„
Desarrollo Sea x = - => dx = —~ t t2 1271 dt
J-
= -arcsen( JJ Vl + 2 í - í 2
—)+ c J2(x-D
1(x + l ) 4 x 2 + 2x Desarrollo i
1 di Sea x +1 = - => dx - — — í í2 dt r _ _ _ ¿ __________ r ' - J (~ -l)2+ 2 (--l) í Vt t
d;c
1x\¡x2 + JC+1 Desarrollo
i
1272
Sea x = - => dx = ~ — t t2
J
j
dx
- 1 1+c
= - l n | i + — —— | +c = ln | ----- vX | +c . * * Í + V i^ ^ 1269
f ___ dx J ((xx -— l)y¡x2 - 2
- ) 2 + (-)2 5 5 4
85
Integral Indefinida
dx
= f
dt_ 12
* —
1 -. arcsen t + c = ~ arcsen(------ ) + c x +l
^
y x 2 +2x + 5dx
Desarrollo
* J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í ) 2 + 4d x =_ f
dt
__ r
dt X +l
4 / 2 í =- ^ = - arcsen(— -) + c - ~ arcsen( , 2 - j r) + c v5
V5x
2
yj(x + l)2 + 4 + - l n | jc + I + Ví-í + I)2 + 4 l+c
2 v
2
= £ ± I V x 2 + 2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 + 2x + 5 | + c 2
'
86
1273
Eduardo Espinoza Ramos
S '/*-*2
87
Integral Indefinida
dx 1277
exdx
T
J y¡Vve*~+e2x
Desarrollo
Desarrollo
1 j\fx
- + yjl + ex +e2* I+c
( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c
x~dx - j
2 x -l I 2 1 - — -— \ x - x + -arcsen(2A -l) + c 4 8 1278 1274
senjedx
í Veos2 x + 4cos.x + l Desarrollo
-ji1dx Desarrollo
f
sen a ¿ y
J Veos2 x + 4cos.x + l
l
-(*+—) - dx =— - 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(-^-í-í-)+c z 2 2 4 3
{ ' f a - x - x dx= í j —
J
J V4
_ 2x + l £ -------— \ 2 - x - x 4
7 92 * + l +-arcsen(------- ) + c 8 3
_ f
sen .ydx
J y[(cosx + 2 y - 3 = - l n |co sx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+ c
1279
f
lnjcrtx
J * V l- 4 1 n x - ln 2 x 1275
Desarrollo
xdx
;
J x4 - 4 xx22 +3
f
Desarrollo
f_
xdx
_ f
xdx
11
J x \¡l-4 \n x -ln 2x x2- 2 - 1 .
_
(a2 - 2 ) 2 - 1 i2 -2ln 2 'ITTiTI1 x 2 - 2 + 1' + !~ x 2 —1 +c J - 4^+3- J Í7TÍ7TT= " i4 ln' 17T71 1276
I
eos x d x sen2 x -6 s e n jcí + 12
Sea
f • Desarrollo
ln xdx
ln xdx f ____J| J Xy¡5- (ln x + 2)2
dx , t u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2 x
lnAdt
j"
ln xdx
_ |‘(m-2)¿m _ |* udu
^ j* du
J vVl-4ln;c-ln2 a J xy¡5- ( \nx+2) 2 J y j 5 - u 2 J y¡5-u^ J y ¡5- u2 - -y¡5 - ii' - 2 arcsen( -^=r) + c = -V 1- 4 ln a
-
,lnA + 2 x ln" a - 2 arcscn( j - ) + c
Eduardo Espinoza Ramos
88
4.6.
89
Integral Indefinida SEGUNDO CASO:
IN T E G R A C IO N D E F U N C IO N E S R A C IO N A L E S .
Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
algunos se repiten, suponiendo que ( j c - a , ) es el factor que se repite P ®
METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-
veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.
Consideremos dos funciones polinómicas: A A, AP — — + -----3 _ + ... + ------c— x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p
P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amx m +amAx m~{ +...+alx + a0 Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x) decir Q(x)
donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.
Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función
irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor
racional se denomina función racional propia, en caso contrario se
cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma:
TERCER CASO:
Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos
denomina impropia. Ax + B Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el
x2 +bx + c
denominador se puede representar la función dada como la suma de un
CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y
polinomio y de una función racional.
cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
P(x) R(x) Es decir: ------ = C(x) + ---- ^ , donde el grado de R(x) es menor que el Q(x) Q(x) grado de Q(x).
Si x 2 + b x + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:
Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias: P(x) í Q(x)
A |X + P |
ax2 + bx + c
^
(ax2 +bx + c)2
j
(ax2 + bx + c)m
d x , para esto consideremos los siguientes casos: (2 )
PRIMER CASO:
Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y distintos.
M ETODO DE OSTROGRADSKI.Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:
Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2) . . . ( x - a n ) , para este caso escribiremos: P(x) Q(x)
A2x + B2
x-a¡
x-a2
que se van a determinar.
x-an
donde Al , A 2,...,An , son constantes]
\ P^ d x = X M + Qx(x) J Q2( x ) • Q( x)
... (a )
donde Qt (x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su derivada Q'(x).
90
Eduardo Espinoza Ramos
& (*) = -“ :* 0 i W . X(x) e Y(x) Qi(x)
91
Integral Indefinida
1282
dx
1
(jc—1)(jc+ 2)(jc+ 3) Desarrollo
son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son 1 ( jc- 1 ) ( jc + 2)(.x + 3)
menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2( x ) , respectivamente, los coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la identidad (a).
1 = (A + B + C )x 2 + (5A + 2B + C)x + (6A - 3B - 2C)
Hallar las integrales:
1280
A h— — + — — , efectuando y agrupando: x +2 x + 3
jc —1
A + B + C —0 A =— ; B =-~ ; C = 12 3 4
5A+2B+C=0
dx
J (x + a)(x + b)
6A -3B -2C = 0 Desarrollo
Cx + a)(x + b) A +B = 0 } 1 Ab+ Ba = l!
x +a
J
^ , efectuando y agrupando: x +b
i i A = -------- , B = a —b a —b
dx (jc-l)(;t+ 2 )(x + 3)
B 1------C )dx u + ------x + 2 x+ 3
_L f dx
1 f dx +J_ f dx
12
3 J x +2
J jc -l
4
J
„t + 3
1 ln !i jc —11 - -3- I n i! x + 2 |+ — ln | x + 3| +c i 4
f, *
J ( x + a)(x + b )
12
-J M — i-* ---L . fJ Ü - + - L . fjdxTb x + a x + ba - b J x + a a - b j a
= - | - [ l n |x - l ¡ - 4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c 12
1 > i i l . i ,i \ \ x +b, - ln | jc + « | h------- \ n \ x + b\+c = -------ln | -------¡+c, a ^ b a -b a -b a -b x+a
1283 1281
x2- 5
jc +
9
I x2- 5
jc +
6
r
2x2 + 4 U - 9 1
1 , . (jc-IX jc+3)3 ln|-
12
|+c
(x+3)
-dx
J ( x - i 1)( ) jc + 3 )( jc- 4 )
dx
Desarrollo Desarrollo
2 jc + 41jc—91 ( x - 1 ) ( j í + 3 )( x - 4 )
A x-l
B
C
h------- +.-------,
x +3
efectuando y agrupando se obtiene:
x-4
2 x 2 + 41jc-91 = (A + B + C )x 2 + ( - A - 5 B + 2 C ) x - l 2 ( A - 4 B + 3C)
92
Eduardo Espinoza Ramos A+B+C=2 de donde se obtiene:
93
Integral Indefinida
1285
- A - 5 B +2 C -41
dx
í x(x + l) Desarrollo
-(1 2 A -4 B + 2C) = -91
1 resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5 2x2 + 41x-91 -dx ( x - l) ( x + 3)(x + 4)
1284
5x + 2 x 3 + 5x 2 + 4x
■
M r x-+ 3 +
J
JC— 1
X+
x (x + l )2
l = A (x + l ) 2 + B x (x + l) + Cx => 1 = ( A + B )x 2 +(2A + B + C)x + A , de donde:
3 , n |í i t ^ - 4)5 |+c (x + 3)
x-4
A +B = 0 resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1
2A + B + C = 0 dx
A =1 Desarrollo
5x3 +2
= — h— — + — —— , efectuando la operación A' X + l (x + l)‘
.
25.x2 -2 0 * + 2
,
B (,A_ + -------+ . C ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^ )dx J X x 1 (x + l)" J * X+l (x + l)
dx
J
J x(x + l )2
25x2 -2 0 * + 2
— ------- -------- = 5 + — -------- ----------= 5 + ------------------------
x - 5 x +4x
x - 5x“ + 4x
25x2 - 20x + 2
A
B
x ( x - l) ( x - 4 )
x
x -1
C c-4
x( x 4)(.\
I)
= ln x - ln I x + l I + —— + c = ln | ----- ¡ + -------+ c 1 1 x+l x+l x+l
de donde 1286
dx Jf — 4x 3 - A Desarrollo
25 .v" —20 x + 2 —{A + B + C)x~ + (5 A —4B~ ( )x ■+4 A x 3—1
A + B + C = 25 - 5 A - 3 B - C = -2 0 , resolviendo el sistema: A 4A = 2
1
2
.11
„ 7 ^ 161 . C =— 3 6
*_i
1 4 -= - + - ^
4x 3 x
4
de donde
4x'
x -4 x
A
B
C
1 + x —1 x(x + 2 ) ( x _ ^1 ). ~ x + x + — 2
2
B C\ A x - 4 = ( A+ B + C)x2 + ( - — + —) x —— 2 2 A
A +B +C = 0
C =1 2+2
_B
resolviendo el sistema: A =16, B = -9 , C = -7
Eduardo Espinoza Ramos
94
Integral Indefinida
95
IV
___ 8
x -4 A B C w . t i H----- 1------ —-i------ 7~)dx —— i— í| 1 . í/x \-^ T ^ d x = 1 „ 14 16J , lx(x v + - ) ( x - -1, J 4 x -x J 4 x x +, — ) x— 2 2 2 2 x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti , —h— I (— +-— -------- r)dx = —h— [16lnx-9ln(x+ —) - 7 l n ( x - ~ )] 4 16 J x 1 1 4 16 2 2 xH— x — 2
1288
J ( x - 3 ) 2(x + 1)2 Desarrollo
2
(x + i ) 9( x - i ) 7 2 2
f x 4 - 6x 3 + 12x ‘ + 6
J x3- 6x2 + 12x -8
5x 2 +6x + 9 _
| +c = —+ — ln | y \ + c 4 16 (2x + l) ( 2 x - l)
B
A
x 3- 6x 2 + 12x -8
C
D
( x - 3 ) 2(x + 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2 + x + 1 + (x + 1)2 5x 2 + 6x + 9 = (A + C )x 3 + (-A + B - 5 C + D ) x 2 +
dx + (-5 A + 2B + 3 C - 6D)x + (-3 A + B + 9C + 9D)
Desarrollo x4 - 6x 3 + 12x 2 + 6
x-2
f (5x 2 + 6x + 9 )dx
„16
x 1 =— +—ln . 4 16
8x + 6 :x + x - 6x‘ + 12x -
= x+-
8
8x + 6
A +C = 0 -A + 5 -5 C + D = 5
(x~ 2)3
-5 A + 2Z? + 3C - 6D = 6
í
x 3 - 6x 2 + 12x -8
dx = I (x +
í‘
__x1 2
+
8x + 6 )dx ( x - 2)3
-3 A + B + 9C + 9D = 9
B ( x - 2)2
resolviendo el sistema se tiene: )dx ( x - 2)3 f 5x 2 + 6x + 9
8x + 6 A + — ! L _ +_ C _ =>s x + 6 = A x 2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C ( x - 2)3 x - 2 ( x - 2)2 ( x - 2)3 A= 0 .B-4A = 8
j ( x - 3 ) 2(x + 1)2
1289 , resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22
J
9 C
------------ ------------r - d x = -
f
dx
1 f
------------T + -
2 J (x -3 )
2 J (x + 1)
X Desarrollo
f
x 2 - 8x + 7
J
f
x2- 8 x + 7
,
I — i-------------^rdx— I ---------- --------- dx
J (x - 3 x - 1 0 )
9
1
1 , 1 ,
I ---------------------------------------------------------- — = ( ---------- ) ( ------
+7
J (x 2 - 3 x - 1 0 )2
2A -2B +C = 6 x 4- 6x 3 + 12x 2 + 6 , x2 f \ 8 22 w — ------ --------------dx = — + (-------- - + ------ — )dx
dx
9 l A = 0, C = 0, B = — , D = — 2 2
J ( x - 5 ) 2(x + 2 )2
2 x -3
2
x+1
-
x 4 - 6x 3+ 12x 2 +6
-
1287
2
11 ( x - 2)2 C
Eduardo Espinoza Ramos
96
Integral Indefinida
, A B t C | D x - 5 + ( x - 5 ) 2+ x + 2 (x + 2)2
97
A+ B = 0] de donde: C = 0 resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0 A =1
x 2 - 8jc + 7 = A(x + 5){x + 2)2 + B(x + 2 )2 + C(.x + 2)(x - 5)2 + D(x - 5 )2 fAT3 +JC+l
343 ’
f
J
x 2 - S x +1
,
*=
30, , 543
c, ,
ln1' 5 -
8
1
49 ’
1
30 --3«
,
343 ’
49
x
= x + ln |
,
ln1A+21
\+c Va:2 +1
"
= _ » ________ - — + ü L i „ | — j * 49(jc— - 55)) 49U + 2) ~ 343 a:+ 2 ~
1290
f 1
| ---- r-----dx = x+ |( ------ — )dx = x+lnx — ln(jc +l) + c J x(x2 +1) J X X2 H +1 2
30 U n -- - __ 27 i 30 ! «= A8 , C C= agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - _- — - -- — ——,
1292
f x 4dx Jx
4- 1 Desarrollo
2jc —3
—r — ddx x J (x~ (aT —3 :+ 2) 2)
\ s dx=L J*4-l J
a
Desarrollo Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = ( 2 x - 3 ) d x Como
' ) d x =x + JC4 —1 J a4 -1
1
A
(ac- 1)(a. + 1)(at + 1)
*-1
B C x+ D - + ----- + JC- 1 x2 +1
1 + 2)3 J1 ((x2 ac —3jc 3ac+ 2) ~'
1291
X3 + AT+1
I a:(a:2 + 1)
J «3 w3
2m 2/ r2 +C
2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2
A + B + C =0 A-B+ D =0 , resolviendo el sistema: A = —, B = — , C = 0, D 4 4 A +B - C = 0 A -B -D =1
dx Desarrollo
fAT3+JC+l
("
1 w
f
1= (A + B + C)x3 + (A —B + D)x2 + (A + B + C)x + A —B —D
d.V
-----r------dx = I (H —=--- )dx = x + ------- ----J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1 )
f
ac4 f A B Cx + D 1 f dx 1 f dx 1 f dx —— dx = x+ |( ----- + ------ + —------)dx = x + - ---------- ------------- I - —
J x —1
___ !___ = A + Bx + C = (A + B ) x - + C x + A JC(.V2 +1) * X2 + l Af(A-2 +1)
^
l = x 2 ( A+C) + Cx +A
J x
1 x +1
x
1 , . JT- 1 . 1
+1
= x + -ln | ---- -1- - a r c t g x + c 4
AC+ 1
2
4 J x -1
4 j x + \
2 J x-+l
Eduardo Espinoza Ramos
98
f _______ * _______
Integral Indefinida
1294
J (x 2 —4x + 3)(x 2 + 4x + 5) Desarrollo 1
_
( jc2 - 4 x + 3)(x 2 + 4x + 5)
A + B + x-3
x-\
99
f dx
J77T Desarrollo
C x+D
i
i
A
Bx + C
x 2 + 4x + 5
x3 + l
(x + l)(x 2 - x + l)
*+l
X2 - X + l
efectuando operaciones y simplificando se tiene:
1 —(A + B)x~ + (“ A + B + C ) x + A + C
A(x3 + 4x + 5x) - A(x 2 + 4x + 5) + fí(x 3 + 4 + 5x) - 3fi(x 2 + 4x + 5) +
A +B = 0 -A + ¿f + C = 0 ,
+ C (x 3 - 4x 2 + 3x) + D(x 2 - 4x + 3) = 1
A +C = 1
1 „ 1 „ 2 resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = — 3 3 3 x
(A + B + C ) x 3 +(3 A+B + 4C + D ) x 2 + ( A - 7 B + 3 C - 4 D ) x - 5 A - l 5 B + 3D = l \ ^ - = J X +1
A+B+C=0 3A + B - 4 C + D = 0
f(-^ -+ B 2 X+C )dx = ] - [ — + f J x + 1 x ~ -x + l 3 j x +1 J x
2
3 3 dx - x +1
= —ln(x + l)~ —ln(x 2 - x + 1) + —^ arctg(-:~ -) + c 3 6 V3 V3
A - 7 B + 3C - 4 D = 0 - 5 A - 1 5 B + 3D = 1
1 , , (x + 1)2 , , 1 6 x“ - x +1 v3
= —l n . - -
1 1 2 3 resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D = — 52 20 65 36 dx f , A B Cx+D —-----------------------------= (------ + ------ + —----------- )dx J (x - 4 x + 3)(x + 4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5 f
1295
2x - l
f dx Jx
4+1 Desarrollo Ax + B
=_L 52j x -3
f_*L+ f 65I j L d x 20j x - 1 J x 2 + 4x + 5
1 1 1 f 2x + 4 7 f dx = — ln ( x - 3 ) ----- ln(x-l)H ----- I —------------ dx + ~— I —-----------52 20 65 J x + 4x + 5 1 3 0 j x 2 + 4x + 5 = — ln ( x - 3 ) — —ln(x —1) + — ln(x 2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2) 52 20 65 130
x4 + l
(x 2 +\ Jl x + l)(x2 - V2x + 1)
C x+D -+ X 2 +y[lx + \ x2-y¡lx + 1
l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y¡2A)x2 +(A + C + y ¡ 2 A - y Í 2 B ) x + B + D A+ C = 0 B + D + \¡2C - \Í2A = 0 A + C + y¡2D-y¡2B = 0 B+D =1
Eduardo Espinoza Ramos
100
integral Indefinida
resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = —, C = ——, D = 2 2 2 2
resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = — , C - — 2V2 ’ 2’ 272
1 f dx
Ax + B
i*
1
X+ —
1
Cx+D C2V 2 2
1
f X + SÍ 2
_
1
+ yflx + 1
f
X -y¡2
1296
X2 - y í l x + \
4
I (l + .v2)2 7 Desarrollo Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO
J x4 + x 2! +1
í— ^ rT = Jf(-l ec2y-~ = f - ^ _ = fcos20dO + tg‘ 0)" J sec“0 J
Desarrollo
J (l + x“)~
x4+x2+l =x4+2x2+l-x2=(x2+1)2-x2 x4+x2+1=(x2+x+l)(x2— x+1) Ax+B + X 2 +1
dx
1 -x 2
dx
X4
x -x +
.
I?—+T1 * 2\/2 J .Y“ —yflx
■ + y f l ,X + 1 * V2 X y fí. I n I — -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c
4V2
x
1 , . x +x + l . 1 x -l = - ln | —--------- 1+ — j= arctgí— -=-) + c x x —x+1 2V3 x%/3 1297
2
x+ , x 2 x‘ x 2 x' x+
dx f . Ax+B C x+ D N, 1 f 1 1f —1 —------5— = (—---------------------------------------------------- + -3 --------- )dx = - , d x - + x +1 J x ' + x + l 1 J + +1 J 1 2\¡22, J f
1
----- T = X + -
Jx4+l“J x2+V2x+l+x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l 'í T í j
101
X~ + X +
C x+ D -+ 1 X —X + 1
x 2 2(1+x )
f l + cos20 9 sen0 eos9 arctgx = ------------ d G = - + --------------- + c = - — — + --------r -
J
1298
r
2
2
2
3 x +5
I —r----------r—^ d x J (x“ + 2 x + 2)
Desarrollo 1 —(Ax + fí)(x —x + 1) + (Cx + D)(x~ + x +1) (x 2 + 2x + 2)2 = (x + 1)2 + 12 => z = x + l => dz = dx 1= (í4 + C )x 3 + ( B - A + C + D ) x 2 + ( A - B + C + D ) x + B + D A +C = 0
f—
— 2 = 3 í —T ~ ~ — ~ t^x+ f
J ( x 2 + 2x + 2)
J ( x 2 + 2 x + 2)‘
J ( x 2 + 2 x + 2)~
B -A+ C + D = 0 A-B + C + D = 0 B +D = l
= _______2_____ + 2 f _____ * _____ 2 (x 2 + 2 x + 2 )
J (x 2 + 2 x + 2 ) 2
Eduardo Espinoza Ramos
102
3 2( x 2 + 2
________ 3_____ +2 f
dx
+ f x
J((x+1)2+1)2
+ 2)
2(x2 + 2 x
Integral Indefinida
103
dx
A +B =0
+2) J(z2+1)2
2A+2B+C=0 agrupando y por entidad de polinomios tenemos:
= -----+32 2ax..... + 2) 22(a~ ( x2'+ 2)
2(x2 + 2x + 2)
2A+ B + 2C + D + E = 0
+2Í( J (z
+ 1)
(z + 1)
+”2arctgz—21—--- -~J ( z 2 + 1)2
■J;:
A+C+E= 1 resolviendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0
... (1)
f - _____
J
arctg ; integrandoporpartes; 1' — ----- =------ h-— (z2 +l)2 2(z +1) 2 ,
„
,
z 2d z
J
í
, . ; ln | x + 1
2x+2 — ----------- dx = ------ ----- — + 2 arctg(a + 1) + — -------------- arctgU + 1)+c (x~ +2x+2) 2(x +2x+2) 2(a2 + 2 a + 2 ) „
3
J
A ++ ll
i
2x + \ = ---- ,------------ + arctg(.v + 1) + c 2(x~ + 2x + 2) 1300
i
a
. i
2a + i
i r 2 J
X
( A ^ + A + 1)
l .
i
X
ii
2
w
i r, 2a+1 1 ( ------------------ -)dx I (—- ---------) d x ------~
+ A+ 1
5
2 J (A
+ X + 1)
2a+1
x3+1
l
( a 2 —4 a + 5 ) 2
Desarrollo
( a + 1 ) 2 ( a 2 +Hxa + i1)) 2 a
+ 1 ) ( a 2 + A + l )2
A
Bx + C
-+ +l X2
+ A' + 1
A ( x 2 + a + 1) +
(B x + C )(a + 1 )(a 2
a
Cx+D
2 - 4 a+ 5
(a2 - 4 a + 5 )2
Dx + B (x 2 + x + l )2
efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene: 1=
Ax + B
3 +1
(a 2 - 4 a + 5 )2
A
+ x + l) + (x + l)(Dx+E)
efectuando operaciones y eliminado denominadores: a3 +
a
3
a + 2
(a
+ A + 1)“
+ i j — ln x + A + l + — =rarctg(— ?=^-) + ------------------- ;-------- + c 2 3V3 v3 3( a + a + 1)
! ----------------- d x
Desarrollo
(a
+ A+ 1
i
+ A +1
dx
í
A
t 1 ---------------------------------_)£ * * W/x (---A+l X~+X+l (x~ + X +1)
: In
1299
+
((A A + 11))((xa 2” + A ++ l1)) 2“
Bx + C Dx + E -+ —---------+ — ---------- -]dx
Z
Luego reemplazando en (1) se tiene: 3a + 5
3A + 2B + 2C' + D = 0
l = (A x+ i?)(x2 +
x+
1) + Cx +Z>
+ 1 = A*3 + (-4 A + B) x 2 + ( 5 A - 4 B + C)x + 5B + D
104
Eduardo Espinoza Ramos
por identidad se obtiene:
A=1
A =1
-4 A + fí= 0
B = 4A => B = 4
5 A - 4 B +C = 0
C = 11
5B + D = l
D = - 49
105
Integral Indefinida Dx5 +(E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3 + (x + l) 2(x 2 + l )2
(x + l) 2(x 2 + l )2 +(A + E + F - B + D - 3 C ) x ‘-+( 2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C (x + l) 2(x 2 + l )2
J (x ~ -4 x + 5)-
=
,
. Ax+i? C x +D , ( - -----------+ —5------------ 7)dx J x 2 - 4 x + 5 (x —4x + 5)
de donde se tiene: 1 = Dx +(E + D - A ) x 4 + (E + D + F - 2B)x +(A + E + F —B + D —3C)x~ +
x +4 llx -1 9 , H — ------ + - T — ----- - r ) d * x 2 - 4x + 5 (x 2 - 4x + 5 )2
1«
+(2A + E + F - 2 C ) x + B + F - C D =0
1 f , 2x —4 12 J = - (-5-----------+ 2 J x - 4 x + 5 x ~ -4 x + 5
11 f 2x-4 J r dx — ------------- ¿ v + 3 I —-------------2 J ( x~- 4 x + 5)" J ( x " - 4 x + 5)
E + D - A =0 E+ D + F-2B= 0 A + E + F + D - B - 2 C =0
= —Inlx 2 -4 x + 5 |+ ó a rc tg (x -2 )-— (—-——------ )+ —arctg(x-2)H----- ~ — ----2 1 5 2 ;c2 _ 4jc + 5 2 6V 2(x - 4x + 5)
2A + E + F - 2C = 0
1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3 x -1 7 = —ln x - 4 x + 5 h— arctgíx- 2 )-1------ -------------- he 2 ' 2 2(x - 4 x + 5)
1 1 1 3 resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - — , C = 0 , E = — , F = — 4 4 4 4
Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:
Como:
f
dx Desarrollo dx
J (x +1)2(x2 +1)2
__________________ dx
i (x + l) 2(x 2 + l )2
Ax2
+ Bx + C
(x + l)(x 2 + l)
__________ -X 2 + X r
J (x + l) 2(x 2 + l )2 f
B+ F -C =1
_ Ax2 + Bx + C ^ f Dx2 + Ex + F (x
+l)(x2 +1) J (x +l)(x2 + 1)
derivando y agrupando se tiene:
4(x + l)(x 2 + l) -X
+x
4(x + l)(x 2 +1)
4
|* Dx2 + E x + F
J (x + l)(x 2 + l /
x —3
J (x + l)(x~ + 1) dx
1 f -2 -I i ------dx + 1 7 h * -¡ 4 'J x + l
------^-+ —In I x + l | ~ —ln |x 2 + 1 | + —arctgx + c 4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4
6
106
1302
Eduardo Espinoza Ramos
I 1 _I , ------ 1 — + Í - 4 - * = -------í ------- 2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx 4(x —1) J x 4 -1 4(x - 1) 4 J x +l x - \ x + 1
dx
f
Desarrollo dx
í (x4 - l ) 2
A x ’ + Bx2 + C x +D x4 - l
107
Integral Indefinida
X 3 f 11 w 3 f dx ----- ----- + — I (-------- — )dx + ~ I —----4( x ' - 1) 16 J x + l x - 1 8 J jc +1
f E x ’ + Fx2 + G x + H
+J
x 4 +l
x
3 , i x+l , 3 - + — ln | ----- |+ -a rc tg x + c 4(x4 - 1) 16 x - 1
derivando, simplificando y agrupando se tiene: 1_ 3A(x6- x 2) + 2B( x 5 ~ x ) + C( x 4 - l ) - 4 A x 6+ 4B x5 - 4 Cx4 - 4 / l r 3 (x 4- l )2
3 x 3 , x -l - a r c tg x ------------------- ln -----8 4(x - 1) 16 x + l
(x4 - \ ) 2 Ex3 + Fx2 + Gx + H x4 —l 1303
1 = E x 7 + (F - A ) x6 + ( G - 2B ) x 5 + ( H - 3C)x4 + (-3 D - E ) x 3 + + (—3A —F ) x 2 + (—2 B - G ) x - C —H E =0 G -2B =0 -3 A - E = 0
í (x 2 + l )4)4 Desarrollo Sea x = tg 0 => dx = sec 2 ,Odd f dx f se c"d dd _ f sec~ 9 d 9 _ f d0 J(x2+1)4 J(tg20+1)4 J see89 J see60
F -A =0 H -3C =0
dx
, resolviendo el sistema se tiene:
JcOS 60 í/0 = J (c o s 20 ) 3d0 =
-3A-F= 0 -2B-G = 0 -C -H =1
■¿J(1 + 3cos2 29 + 3cos29 + eos329)d9
A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - 4 4
+ cos40) + 3cos20 +cos 2 29 eos 29)d9 2 ■¿J(1 + -(1
Ax3 + Bx2 +Cx + D
f Ex3 + Fx2 + G x + H x4 - l
+ 3cos20 + ( l - s e n 20)cos201
Eduardo Espinoza Ramos
108
109
Integral Indefinida
1 r59 3 3sen 26» sen 326. :_ [— -+ —sen 4 0 + —sen 29 h— ------------------ ] + c 8 2 8 2 2 6
4x -lO x + 8x--2 - Cx3 + ( D - 2 C - A ) x ¿ + (2 C - 2 D - 2 B ) x + 2 A + 2B + 2D C —4 D - 2 C - A = -10
= —[— + —sen9 eos9 (2eos2 9 - 1) + 4 sen9 eos9 ——sen39 eos39] + c 8 2
2
resolviendo el sistema se tiene: A=-l, B=3, C = 4, D = -3
2C - 2D - 2 B = 8
3
2A + 2B + 2D = - 2 1.5 3 x 2 4x 4x3 = - [ - arctg x + ----- (—------- 1) + —------------------------- -- -] + c 82 2 ( x " + l ) x +1 x~ +1 3(x~ + l)
4x 3 —10x2 + 8 x - 2
1
(x 2 - 2 x + 3)2
15 15x5 +40x3 +33x =— arctg * + ----------- ----------- + c 48 48(x +1)
1304
í
4 x -3 x -3 dx = — ------------- 1-dx x 2 ~ 2x + 2 IJ -x z - 2x + 2 x-3
- + 21n |x 2 - 2x + 2 |+ a rc tg (x -l) x" - 2x + 2
x - 2x + 2 , —r-------------- d x (x - 2 x + 2)
reemplazando (2) en ( 1) se tiene:
r
‘4x 3 - 10x" + 8x - 2 2x 2 + 2 dx dx = * + J ‘ (x - 2x + 2) (x 2 - 2x + 2)2 x 4-
Desarrollo 4x 3 -1 0 x 2 + 8 x - 2
f —2 2X +22 d x = f(l + JJ (x - 2x + 2)
í )dx
J ((x~ x -- 22 xx + + 22))
: X —-
x -3
x =x+
f 4x 3 —1Ox2 + 8x - 2 , ------ -------------— dx J (x - 2x + 2)
f4 x -lO x + 8x + 2 , Ax+B f Cx+D ------ r------------ ~z— dx = — --------- + —--------- — dx J (x - 2x + 2) x - 2 x +2 J x - 2 x +2
(x 2 - 2x + 2)2
- A x 2 - 2 B x + 2A + 2B (x 2 - 2x + 2)3
Cx + D x 2 - 2x + 2
I (x
+ l)(x + 8) Desarrollo
f
dz = 3 x2dx
I (x 3 + l)(x 3 + 8)
(z + l)(- + 8)
— = x 2dx 3
x 3.x2dx
x 5dx
Cx3 + ( D - 2 C - A)x2 + (2C - 2 D - 2 B ) x + 2A + 2B + 2D (x 2 - 2x + 2)2
, 2 + 21n ¡x - 2x + 2 |+ a rc tg (x -l) + c
x5dx
Sea z = x 3
derivando, simplificando y agrupando se tiene:
2x + 2
Hallar las integrales siguientes empleando diversos procedimientos.
...( 1 ) 1305
4x 3-1 0 x 2 + 8x —2
(2)
j (x 3 + l)(x 3+ 8)
1f
z dz _ 1 f/ A B )dz (------- 1------3 , ¡ (z + l)(z + 8) 3 z + 1 z +8
A
B
( A + B ) z + 8A + B
z+1
z+ 8
(z + l)(z + 8)
J
•v 110
Eduardo Espinoza Ramos z = (A + B)z + 8a + B por igualdad se tiene:
resolviendo el sistema se tiene: A = 2, B = -2, C = -3
A +B = l ) 1 n 8 > entonces A = — , B = — 8A + £ = 0 7 7
f
.x7 + x 3
x5dx 1 f A B 1 . . , . —3— -------------------- i-----= o I (-T+ ---------- ñ ^ z ~ t81n U + 8 - l n z + 1 ] + c J (x 3 +l)(.r 3+ 8) 3 J z + l z + 8 21
1 f
A
Bz + C _
-
-¿ ta u -ii-i 2 4 Jz + z -l
1f
2
2z + 3
-)dz
z‘ + Z -1
r^ -* — 2 Jz" + z -l
1,1 .i 1 - i 2 ii 1 i i 2z + 1—y¡5 . = - ln z - 1 — ln z ' + z - l -t=- l n --------------------------■== 2 1 ' 4 ' 2>/5 2z + l+V 5
= ~ [8 1 n | -v3 + 81- l n | x3 + 11] + c x 7+*3
.
4 j
f
1306
111
Integral Indefinida
1 . ¿i , 1 i k 4 = —ln x - 1 — ln x + x 2 4
J
í xI2 - 2x4 + l dx
t l , i 2x 4 +1 —*J5 , 1 ------------------------p in — -------------- j= +c 2^5 2x +\ + \¡5
Desarrollo yP _L v-3
J x
- 2 x +1
r
1307
„ 3 , „4
J x
- 2 x +1
J
xl+x¡ Jx=l f x 12 - 2x 4+1 4
J
_ 1 f
=
l
1 f (z + l)
Bz + C z2 + z -
z+l
A
(z - l) ( z 2+ z - l )
z-1
-
-dx
( x —2)
jr2 - x + 14
z + lj . z3 _ 2z+ A
í;( x - 4 )
Desarrollo
Sea z = x 4 =* dz = 4 x 3dx
f
x 2 —x +14
J
1)
)dz
(x - 4 ) 3 (x - 2 )
A (x - 4
B C D -H----------—H--------- + )3 (x - 4 ) 2 (x - 4 ) x -2
efectuando operaciones y agrupando se tiene: x 2 - x + l4 = (C + D)x3 + ( B - \ 0 C - \ 2 D ) x 2 + ( A - 6 B + 32C + 4 8 D ) x -
1
-2 A - 8 B - 3 2 C - 6 4 D
Bz + C +z2 + z - l
C+ D =0
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
B -1 0 C —12D = 1 A - 6 B + 32C + 48D = -1 A+ £ = 0
z + l = (A + B )z 2 + ( A - B + C ) z - A - C , de donde A ~ B + C = 1—A —C = 1
-2A + 8 B -3 2 C -6 4 D = 14 resolviendo el sistema se tiene: A = 13, B = -3, C = 2, D = -2
r
112
Eduardo Espinoza Ramos
fJ ( x'- 4 ) r( x "- 2) ,,, Jf, ( x -A4 )3
113
Integral Indefinida
B
C D H--------- 1------- )dx (x -4 )- x - 4 x - 2
Ix4(x 2 + l )2
= - ( l n x - - l n ( x 2 +1) + — ^ — —) - l n x + ^ l n ( x 3 +1)
3(x +1)
1 , ,x 3 + l , 1 1 , ,x 3 + l . - + - ln I = ” ln I —5— I ■ 3 ' x 3 ' 3(x3 +1) 3 * *' x 3
= 13 j*— - —— - 3 f —— —^ + 2 — 2 J ( x - 4 )3 J ( x - 4 )2 J x - 4 J x-2 13
3 ,x -4 , + -------+ 2 In I------- 1+c 2(x-4)~ x - 4 1308
3
dx
Ix4(x3+ l)2
1309
f
x3 + l
J
x 4(x 3 + l )2
1:
r
dx 4x 2 + 5 x - 2
1 i 3- 4 x 2 + 5 x - 2
)dx x 4(x 3 + 1)2<
J x 4(x 3 + 1) A
B
- i , * J+I J x (x + 1)
(x‘ + 1)
3x2
Desarrollo
i !
f dx ,J x(x 3 + 1)2
dx
1
1 „ . ,a + 1 , 1 1 ) + c - - [ 21n | --d x —1 xJ x3 3* x"
x3 ' 3 x3 + l
Desarrollo dx
1
3x
1 (x —l) 2( x - 2)
A
B C - H-------- f*( x - 1)2 x - 1 x - 2
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
(1)
1 = A ( x - 2 ) + B ( x 2 - 3 x + 2 ) + C (x 2 - 2 x + l), de donde se tiene: X3
x (x + 1)
B +C = 0
)dx
A - 3 B - 2 C = 0 ■ resolviendo el sistema: A = -l, B = -l, C = 1 - 2 A + 2B + C = \
■ Í 7
(------------------------- )dx ——— - - l n x + -ln (x + 1) 3x 3
" I x(x +1) x(x +1)
í ____ * ____ , f(
J x 3—4x 2 +5x —2 J A= I
—- = — —r + —ln(x 3 +1) —In x 3x3 3
I:x 4(x3+ l)
dx 1 , , 3 ,, 1 , 1 B = I ---- — — 7 = — In | x + l | + - ( —-----) + lnx x(x +1) 3 ' 3 x3 + l
f
Luego:
1310
( x - 1 )2
f
dx
j
(x -1 )2
X -1
x -2
i* dx
j* dx
J
J x-2
x-1
f_ dx J x(x7 +■ 1) dX
Desarrollo
_
1 x-
- + lnj — j \ f c 1 x -1
+c
1] 4
Eduardo Espinoza Ramos
115
Integral Indefinida
f _________________ = f( J ( x 2 + 2x + 2)(x2 + 2 x + 5)
1f
3
*(x 5 + l )2
í
Desarrollo 1313 r
dx
f x5 + i
x*
f
dx_ r
dx
r
x4
J x(x5 +1)2 J x(xs +1) J (at5+1)2 J x(x 5+1) J (x5 +1)2
1
dx
J x 2 + 2x + 2 3 J x
1
,* + l \ ,
+ 2x + 5
f - ^ * J x(x x(xr>+ 11))
J x(x + 1)
-
J ( * - l ) 10
±x
Desarrollo
í /< b JJ U( ' + i r
f
2dx _ f ( z + l)~ 10 !ü J i “ J U -l)
4
;--------------- + c = l n x — ln | x + 1 |+ 5(x 5 +1) 5 5(x + 1) ■Jf-J x5 + l dx +-----
7-+ c
dx
J (x2 + 1x + 2)(x2 + 2x + 5)
36 62
f x 2dx ---------
Sea z = x --1 = > x = z + l = > =
1312
+ ^ x + D - )dx x2 +2x + 5
= - I --------------------- I ----------------- = - a r c t g ( x + l ) — arctg(---------) + c
dx
1311
1 f
dx
M+J -
J x 2 +2x + 2
dx = dz
1
2
' J z8+z9
.10
)dz
1
_ 1 ________ 1
Iz1
4 ( x - l )8 9 (x - l) '
4z
9z9+C
7 ( x - l )7
1314
Desarrollo
Desarrollo 1
Ax+B
(x 2 + 2 x + 2)(xz + 2x + 5)
x l +2 x + 2
^
Cx + D x ¿ +2 x + 5
f. d x . = f __ * __ = í ( - í l ± i ------------ % -----)dx
Jx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l)
efectuando operaciones y agrupando se tiene: 1 = A(x 3 + 2 x 2 + 5x) + B(x 2 + 2x + 5) + C (x 3 + 2x 2 + 2x) + D ( x 2 +2x + 2)
de donde se tiene:
5x's
A +C = 0 2A + B + 2C + D = 0
__ ___
5A+2B+2C+2D=0 5A + 2 D - 1
KchiiIvIpihIo pI ilvtriiim k" (tone
A •* 0. II
___ L— f f . p - d x + \ - 4 — dx
^ , C' O , /)
^
J x (x_ + 1) J x (x +1)
1
1
f
5x
3x
*
x 2 +\ ,_f X2dx
“Í7 +Í7 +J x2(x2+1)íiA J x2(x2+l) 1 1 1 = ---- r + — ------- arctg x + c
+c
I ihuiiilii ! spinoza Ramos
4.7.
INTEGRALES
DE
ALGUNAS
FUNCIONES
1316
xdx Desarrollo
, 3 2 Sea z =ax + b => dx = — z d z a
INTEGRALES DEL TIPO.-
J
J
yjax+b
IRRACIONAL ES.(7 )
117
Integral Indefinida
cx + d
Como z 3 =ax + b => z = s a x + b además x =
cx + d
z3 - b
donde R es una función racional y p¡. q l p 1. q 2 ... son números enteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución. ax + b
z3 - b a
xdx
í i
i yjax + b
a z
3 z2 a
z)dz
„
ex + d
= JL ( i i - - z 2 ) + c = - 1 - (2^(ox + b f - 5bl](ax+b)2 ) + c a 5 2 10o
donde n es el mínimo común múltiplo de los números q { , q 2 1317
Hallar las integrales:
dx
f * Vx +1 +
(.x + 1)3 Desarrollo
Sea z 2 = x + l => z = Vx + 1 => z i =y j( x+\ Ÿ Desarrollo Sea z 2 = x -1
Como z 2 = x + l => x = z 2 - l
=> dx = 2z dz
dx = 2zdz
f dx —- —= = f ^ ^ - = 2 [ ^ Z = 2 arctg(z) + c = 2 arctg(Vx + l) + c J V x+I + ^ x + l )3 J z + z‘ J z "+1
Como z 2 = x —1 => z = Vx—1
1318
I Vx-+ Vx Desarrollo
=
2 (z + 3 : + 3z" + \)dz ■■2(— + - z 5 + z 3 + z) + c
í
7
5
= 2z(— + - z 4 + z 2 + l) + c = 2V x - l ( ————+ —(x —l )2 +x) + c 7 5 7 5
118
Eduardo Espinoza Ramos z3
119
Integral Indefinida A + fí = 0
z2
= 6(—---- — + z-ln(z + l)) + c
resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1
de donde: A - B + C = \ A -C -2
1319 J f r r “
f— # i ^ =
J (x + l)2-VITl
Desarrollo
J Z -1
[ ^ j h ± d x = í - y - ^ - 6z5dz = 6 \ —y — dz
J z +1
*
-)dz
+1
z
77
75 74
73
72
1
7
5 4
3
2
2
1320
Z +Z + 1
VI - ^ V? - V? + 2VI + 3\fx - 6\¡x - 3 ln(VI + 1) + 6arctg yfx + c
2z + l arctgí—-j~~) + c
V3
y¡3
f VI dx
J x+2
'
.
Desarrollo
Sea z 2 = jc+1 => dx = 2z dz fz +2
2
(\fx + \ —Y)~ 2■ 2\Jx+1 +1 — ■).+ c = ln - ----- - ¡ = ?— -f=arctg( — X + 2 + v x +1 . V3 . . a/3 1321
Desarrollo
Vx+T + 2
V l z + -1ysT+ -3, 2 4
, ( z - 1)2 2 - 2z + 1 = ln—-------------7=-arctg(— -r -) + x
|— ±jL=dx h (a + 1) —yj X + 1
f
+- ^ - c-)dz Z +z:+l J z + z +1
■? = 2 ln(z - 1) - ln(z‘ + z + 1) -
= 6(---------------- + — + —— z — ln(z2 +l) + arctgz)
- “
z-1
z + z +1
= 21n ( z - l ) - l n ( z 2 + z + l ) - J
J z +1
6 | (z6 - z 4 - z 3 - z 2 - z - 1 —
f
=2 j*(—----- 2Z+ 1- ~)dz = 21n(z-D- f -2c+ 1- dz- f-
Sea x = z 6 => sfx = z? => Hx = z 2 aaemás dx = 6 z 5dz
J #t +l
f
o f z -*-2 ,„ f , A
Bz + C
,
I— t---- j = = d x = I — 2zdz = 2 I —— dz = 2 (------ + - T— )dz J ( x + 1)2 - V I Í T J z 4- z J z3- 1 J z - 1 z + z +1
Sea z 2 = x =$ dx = 2 zd z
2 \ ^ - d x = f - ^ - d z = 2 ( - ^ - d z = 2 Í ( l — 2 ■)dz J x +2 J z +2 J z +2 J z‘ +2
Z -1
Z -1
Z2 + Z+ l
= 2(z - -JL arctg(-^=)) + c = 2V I z + 2 = A( z 2 + z + l ) +( z - V) ( Bz + C ) = > z + 2 = A(z2 +z + \ ) + B ( z 2 - z ) + C ( z - l )
272 a r c t g ( ^ ) + c
dz
J z +Z + 1
120
1322
Eduardo Espinoza Ramos
121
Integral Indefinida
integrando por partes I see30 dO se tiene:
dx f (e2 ~ x ) y j l - x Desarrollo
J sec3 9 d 9 = ^ [ln | sec0 -r tg0 ¡ + sec0 tg0] Sea l - x = z 2 => 2 - x = z 2 +1 => dx = -2z dz dx
f - 2zdz
2 arctg(z) + c = —2 arctg(Vl —x ) + c
! x. ——~í£t = —[In I see# tg0 |+ s e c 0 t g 0 ] - t g # + c
jc + 1
2
= —[In I x + yfx2 - 1 I + W x 2 - \ ] - \ ¡ x2 - \ + c 2
1323 Desarrollo
= i l n | x + V 7 ^ l | + £ ^ -(x —2 ) + c 2 7 X2 - 1 -dx
1324
Desarrollo
J V*+i see 0 = x
3 x+\ z3 + l , -6 z 2dz Sea z ------- => x = — 5— => dx = —------x-l z3 - l (Z3 - 1 )2
JV T^I dx, = see 9. tg 0 d0
dz
eosec9 = 4 J....... , => T X
f x. —— -dx = f ,. X
J v*+i
l )2
, { x -l )d x
J f ______ M ______
=Jcos
B
1 Cz + D |
z-í
(z l)2
z2 + z + l
J ( z - l ) 2(z2 + z + l)2 J
=Jsec39 dQ - Jsec29 d9 ix-1 x^j— —dx: = J| see3 sec- 96 ddO 9 - J| ssee“ 9 d6
r, A |
A
z3
(z (a)
i)
z-i
B C z +D Ez + F - + --------------------- + -T---+
(z -ir
z +z+i (z¿ + z + ir
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
Ez + F (z2 + z + l)
Eduardo Espinoza Ramos
122
123
Integral Indefinida
z2 - | + 3
z 3 =(A+C) z5 + ( A + B - C + D)z4 + ( A + 2 B - D + E ) z i + ( B - A - C - 2 E + F) z2
z 2 +3
f 2 X + l ^ d x = f------^ ---- zd z = 2 Í v 2x + 3
+ ( 2 B - A + C —D + E - 2F)z + B - A + D + F
* (z 2 ^ 3)2
J ^22 ——-)2^
dz
por identidad de polinomios se tiene: .
dz =
A +C =0
Áz + S Cz + D (—7----- 7 + --7— -) dz (z2 - 3)2 z 2 - 3
A+ B-C+ D = 0 A +2 B -D +E =l
derivando, simplificando v agrupando:
resolviendo el sistema se tiene:
B -A -C -2E + F =0
^
, 81
b
= ^ 9
c
j é ? * - 6!
(z 2 - 3 )2
(z2 - 3)2
B - A + D + F =0 a
Az —2Bz —3A + Cz + D
z +3
2 B - A +C - + E - 2 F = 0
= - ^ , 81
d
-4 *
- 2 8 - 3C = 0 D -A =l
resolviendo se tiene:
, , donde
J -í + 1 z=h V x -1
x+3
J
x+3
J
~dx x 2\J2x + 3 Desarrollo
2
Sea z = 2x + 3
z2 - 3 z dz = dx => x = -------
Az + B
Cz+D
z2 - 3
(z 2 - 3 )2
)dz = -
(2)
z2 - 3
reemplazando (2) en (1) se tiene:
L itL = * =
1325
A = -1, B = 0, C = 0, D = 0
-3A -3D =3
integrando cada termino y simplificando se tiene:
Jé?
(z2- 3 )2
C =0
1 11 31 7 11 — Z+— ZH----, 9 81 81 . 27 27 w . + -------- 7 — ........ + — -----------7 )dz ( z - 1)z~ + z + l (z" + z + l)~
x+1 , 1 , z2 + z + l 2 2z + l 2z -3/:-----dx = - ln --------— + —¡=arctg(— = - ) + —------ 1- c 1 3 (z —1) yfc * J3 z3 - l
z2 - 3
z + 3 = Cz + (£>- A)z + (-2 S - 3C)z - 3 A - 3 D
=- ^ , E = J - , f =^ 81 27 27
.A B Cz + D Ez + F , (_--- h--------- H----- ---- — H---- ------------)dz z - 1 (z —1) z + z + l (z +z + \ y 11
Cz3 + ( D - A ) z + ( - 2 B - 3 C ) z - 3 A - 3 D
©
x~V2x + 3
z+3
.
2z
V2x + 3
2f dz = -----,----- + C = ---------------he z -3 J (z (z2 - 3 ) 2
INTEGRALES DEL TÌPO.pn(x)dx
1yjax2 +bx + c
donde p n (x) es un polinomio de grado n, se supone que
124
Eduardo Espinoza Ramos dx f _ Pn^x ~ = d x = Qr '_x( x)'Jax2 +bx + c + A f -?= » y a x 2 +bx + c J \¡a ax‘ + bx +1
— — Vx2 - x + l - - l n | 2x - l + 2Vx2 - x + l|+ c
... (3)
donde Qn_,(x) es un polinomio de grado (n - 1) con coeficientes
1327
indeterminados y X es un numero. Los coeficientes del polinomio Q n-1 (•*) Y ®
r x^dx
j ^ /w 2 Desarrollo
numero A, se hallan derivando la identidad (3). f x dx - = (Ax4 + Bx3 + Cx2 +Dx+ E ) y j l - x 2 + A f JJ i-x2
INTEGRALES DEL TIPO.dx
I ( x - a ) n\fax2 +bx + i
x5 = s fl -
, se reduce al 2° tipo de integrales valiéndose de
la sustitución: ------ = t x-a
i ? ^ /T 2 x(Ax4 +Bx*+Cx2 + Dx+E) A = (4Ax3 + 3Bx + 2Cx+D)y¡l-x2 — ------------ = = ----------- - + ~ r = sfl-x
x 5 = -5A x 5 - 4 f lx 4 + (4 A -3 C )x 3 + (3 B -2 D )x 2 + ( 2 C - £ ) x + D + A -5A = 1
x 2dx
í;4 x ^ - x + l
-4 B = 0 Desarrollo
4 A -3 C = 0 3B - 2D = 0
x 2dx í
X
- x +l
x +l
1 4 • resolviendo se tiene: A = - - , C = _ ^ > D = 0, E =
2 C -E =0
= (Ax+ B)sjx2 - x + l + A í —j = ~ - - L = , derivando se tiene: •* Vx 2 - x +1
D+A= 0
2A(x 2 - x + 1) + A ( 2 x 2 - x) + B ( 2 x - 1) + 2
dx
2yfx2 ^ x + l
VÍ^X 2
2x2 = 4Ax 2 + ( 2 B - 3 A ) x + 2 A - B + 2Á,
J 4x2-x + l
— derivando se tiene
X5 = (4Ax 3 +3 Bx2 + 2 Cx + D)( 1- x 2) - ( A x 5 + B x 4 + Cx 3 + D x 2 + £ x ) + A
Hallar las integrales:
1326
125
Integral Indefinida
dedonde: A = - , 2
2 4 81j x
dx -x +l
B =- , 4
A= —
= ( _ £ _ _ ± ^ _ A ) V í r 7 = - 8 + 4 * + 3 x .^ 7 + c 5 15 15 15
8 1328
x.’dx
8
, A. = 0
Eduardo Espinoza Ramos
126
127
Integral Indefinida
Desa r r ollo
dt 4
i - , —*-
JJlTx2
dx = (Ax 4 + Bx 3+Cx2 + Dx + E)\ll + x 2 + A f —p
dt
dx
J Vi + x 2
tf \ t 2
derivando y agrupando se tiene: x6
= (At3 + Bt 2 + Ct + D ) \ J l - t 2 -A
_ 6Ax6 + 5Bx5 + (5A + 4C)x4 + (4B + 3D)x3 +
\ii+x2
1
derivando y agrupando se tiene:
v r + x 2" +(3C + 2 £ V2 + (2D + F) x + E + A Ví +
- , 4 = —4f4- 3Sí 3+ (3A - 2C)t2 + ( 2 B - D ) t + C + X 1 3 3 de donde: A = — , B = 0, C = —, D = 0 , A = — 4 8 8
X*
x 6 = 6Ax +5 Bx 5 + (5A+ 4C)x 4+ (4fí + 3D)x3+ (3C + 2 E)x2 +(2D+ F)x + E + X
f
p = = - [ - ^ L , = (A t3 + Bt2 + C í J x’ V ^ M j V T ?
de donde: A = - , B = 0, C = ~ — , D = 0, £ = — , A = - — 6 24 16 16
4
f _ í = ^ = = (Ax5 + Bx4 +Cx 3 + Dx2 + £x+F)Vl + *2 + A f , ¿X J V iT 7 J V iT ? /7~
6
24
16
7
5 f 16 J
8
+D)Vl-í2+a[-7¿L
l+ x2
=^ 6 Y ~ ^24d +T16¿ ^ l+x2 ~ y167 l n \ x + ^ ] + xl l +c
í (x +1 )3V *2 + 2x Desarrollo
1 / => x+1, = -1 => dx j = —Hacemos ------= x +1 / r
J x5 * Desarrollo
j Vw
* = (44 48)V ^ Tf —3arcsení + c
S jJZ S
= (—i—+ — -)V *2 - 1 - - arcsen(—) + c 4x 8x 8 x
dx 1330
1329
f
^ J V I-? .
128
Eduardo Espinoza Ramos
j
,
/
i
\2
4.8.
- í 2+ l - l 1f - t~dt = Ir — í//
i
donde x + 2x = (x + 1) - ] = -
129
Integral Indefinida
IN T E G R A L E S D E L A S D IF E R E N C IA L E S B IN O M IC A S .xm(a+bxn)pdx
- arcsen í - arcsen í + c J
J V ÍZ 7
2
... ( 1 )
donde m, n y p son números racionales.
2
CONDICIÓN DE CHEBICHEC.t rr~2 i i I. i i , i = —V l - í — are.* arcsent + c = --------- 1 ------------ — arcsen(------ ) + c 2(x + l)V (A + l )2 2 x+l
La integral (1), puede expresarse por medio de una combinación finita de funciones elementales, únicamente en los tres casos:
------— —Vx2 +2x - —arcseni— —) + c 2(x + l) 2 x +\
1331
x2+ X +
1
Cuando p es entero.
©
-(lx
:Vx2 - x + +l
Cuando
f
— 1 = = = d x =
j xVx - x + l
( — ?=•: ■
©
1
x(x + l) ^ + - -7=.=
J xvx2 - x + l
■
1 f 2jc—1 + 1 f i* 2J yjx2 - X
+ l
Cuando
=)<&
xvx2 - x + l
dx
Hallar las integrales: 3
f
J XW\ ¡ X^ 2- J- C X + + l
1332
fifx
J x 3 (1
2 x -l
3 f x+
+ 2 x 2 ) 2dx Desarrollo
JJ yjx2 - x + l m + 1
1 f
m+1 + p , es número entero, en este caso se emplea la n
sustitución ax~n + b = z
=•i~r===i£ï+ f - r fr W x "-x + l J xy¡x‘' - x + 1 _
es número entero, aquí se emplea la sustitución
a + bxn = z s , donde “s” es el divisor de la fracción p.
Desarrollo f x2 + x + l
m+1 nn
f
2 ¡ 4 7 ^ ¡ +I
dx
W ? :x+l
3 + 1
4
------ = ------ = — - 2 n 2 2
es un entero
integrando y de acuerdo a las integrales anteriores se tiene:
2 2 2 Z2 - l j Zdz entonces: l + 2 x “ - z ‘ => x = ------- => x d x = —— 2 2
= -\/x2 —x + l + l n | x |+ -^ ln | x - - ^ + Vx 2 - x + l | -I n
J x3(1+2x2) 2dx = Jx2(l +2x2) 2xdx = J 2 ^ *.(z2) 2
3
11 —-^ + Vx 2 - x + l |+ c
= ^ J ( 1 - z ’ )tiz
130
Eduardo Espinoza Ramos K K 1 z +1 1 2 + 2x N 1 1+ = - ( z + - ) + c = - ( ------- ) + c = —(—== = ) + c = —(—= = = ? ) + c 4 z 4 z 4 J 1+ 2x2 2 V! + 2.v2
1333
I
Integral Indefinida x
131
.
Jí —4 /—n V— = - Ji -z—“—1 = ~ ( ~4l n | —z—-+ 1| + —a r c t g z ) + c = —l
n | | — ar ct gz+c 2 4Z - l 2
dx 7
a , „ | ^ S ± I | - I a re,g ^ 4 'V ^ T l - l 2
Desarrollo 5
Sea x 4 + l = z 4 => .v4 = — ? -i
j c=
1. Vz4^ !
=> dx = - z 3(z 4 -1 ) 4¿z
+c
dx
1334
I -XXí'Jl\ + xX'2 Desarrollo
1 dt Sea x = - => dx = — t r dt
J Z - 1 J Z + 1 Z~1 z2 z4 - l
A Z+
Z+1
í -----$ = = f -----p = J x4^ / i í 7 J i C Z ,4 V t2
B Cz + D _ - H---------i- —r---- , efectuando operaciones y agrupando
1
Z -l
z2 + l
Sea z 2 = l + / 2 => z dz = t dt
z~ = (A + B + C)zi + ( B - A + D)z 2 +(A + B - C ) z + B - A - D de donde se tiene:
.3
A+B+C= 0 B-A + D = 1 A+ B-C =0
f -----^ ==r = - j ' - i = d f = - f ( z 2 - l ) z .zdz resolviendo el sistema se tiene: A = —- , fí = — ,C = 0, D = — 4 4 2
B - A - D =0
= - J ( z 2 -l)d z = - ( y - z ) + c = - | ( z
f z2 , f, A B Cz + D 1, .1, .. 1 — — dz= (— + ----- + ■)dz = —- l n |z + l |+ - l n |z - l | + - a r c t g z + c J z -1 J z+ 1 z - l z +1 4 4 2
2-3 ) + c =
i l i - ( l + , 2- 3 ) + C
1 1+ ^ V T -2 x ' - ( - A r - 2 ) + c = ^— ^ - ( 2 x 2 - l ) + c . } 0 ± L (ti - 2 ) + c = - ' ' 3 V 3x3
i, Iz -l I 1 = - - l n — - |+ - a r c tg z + c 4 z+1 2 Luego:
i = - [ - 4 ^ = = - [ / (1 + í ) 2dt J J
1335
J:
dx f l +x
Eduardo Espinoza Ramos
132
Desarrollo Sea l + ;t5 = z 3 =* x 5 = z3 - l
1336
i 3 _í => x = (z 3 - l ) 5 , dx = - - ( z 3 - l ) 5 z 2dz
= fjc_,(l + jc5) 3dx = f( z 3 - l )
f— J X\Jl r\/l + X' r5
J
5(z3)
3 - ( z3 - 1 )
J5
133
Integral Indefinida dx
f
5
x 2(2 + x 3)3 Desarrollo
5 z2dz
Sea 2x
-
1
3
2
3
l/l => x = --------- - => dx = --lf2(z3 - l i 3 z 2dz
+1 = z => x = ——
(z 3 - l )3
* zdz
= - í(z 3 - ir 'z d z = - [ - 5^ - * = - f ----5J 5J z - l 5 J ( z - l)(z 2 + z + l) a-2 = ( ^ 2 )2(z 3 - l ) = - f(— 5 J z-1 A z3 - l
Bz + C - + —--------
Z -l
3 => x 2 = (Z y } ] - = > 2 + a 3 - 2j:3(z 3 - l )-1
Bz + C : w + —------)dz z +z + l
5
j ------— — - = J jc _2(2 + jc3)
de donde se tiene:
3é/jc
jc2(2 + a 3)3
Z2 + Z + l
2 z = (A + B)z 2 + ( A - B + C)z + A - C
= J í i i j l i ( 2z3(z2 - i r ' ) 3(-^/2)(z3 -1) 3z2dz
A + fl = 0 A - B + C =1 A -C = 0
resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = 3
3
, C=— 3
2 3^2. j (z3 _
z -5 (z3 _ {)i z 2 dz = - I J ( z 3 -l)z ~ 3
ft \ - r - ~ f l- £ - - < ^ - ) l* J jc^/i + x5 5 J z - l 3 z + z + l
= -[ f — * 5 J z -l J z +z + l
1+ c
= ^ [ln( z - 1 ) - - ^ \n(\lz 2 + z + l) + \/3 arctg(2^ -)] 1ln-------------( z - l) 2 -ln --------------(z 2 + z + l) +V3 /2z + _ are,g(_ ? l.r ) + c 1337 = — ln-^f——— l-^ -a rc tg (2~ ^ - ) + c 10 z 2 + z + l 5 V3
donde z = yjl + x5
dx
I Desarrollo
134
Eduardo Espinoza Ramos
Hacemos 1+ —L= = /3 , t = J 1 +
135
Integral Indefinida SEGUNDO CASO.-
1
Cuando n es un entero positivo impar dentro del integrando se saca el factor común sen x dx o eos
-7.V3
x dx, respectivamente, luego se usa la identidad:
1
- V = ^ i - = » í / í = 31 . 1 r3-1 3- l
sen 2 x + cos” x = l 0
4/ U = -------* - , v4/77 1 — V.v * = —----, t ( r -D " (f3 - l )3
f
@
f r V - u V - l )3
f - 4 r g 3 - i ) 2 d{
J
si n es par o impar se usan las identidades: 1
f
c tg" xdx
tg” xd x y
J
-At dt = 3t~dt => dx = ---- , Luego:
de 1+ .— = r ’ => —
PARA LOS INTEGRALES DE LA FORM A.-
+ tg 2 x = se£2 x , 1 + c tg 2 x = csc2 x
PARA LAS INTEGRALES DE LA FORM A.»
'lxi \ l \ + i [ 7
(P _
J jL . Vi - 1
1)3
(i 3 -
1)3
sen "1 x.cos" x dx
t
PRIM ER CASO.- Si m o n es un entero positivo impar y el otro 2/
+C =
- 2( 3/1 + —r =
)2
+c
— —2(]l(l +
cualquier numero.
x 4 )2 ) + c
V 4.9.
Se procede de la siguiente manera:
IN T E G R A L E S D E F U N C IO N E S T R IG O N O M E T R IC A S .(I)
Si m es impar se saca factor
sen x dx
sen2 x + eos 2 x = 1
INTEGRALES DE LA FORMA.-
SEGUNDO CASO.-
Jsen”jtí/jt, y Jcos" xdx donde m y n son números enteros.
Si m y n son enteros positivos pares se usa la fórmula:
•> l - c o s 2x 2 i + cos2x sen“ x = ----------- , eos x = ------ -----__________ 2________________ 2
PRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par se usan las identidades siguientes: @ •> 1 - eos 2x o 1 + eos 2.v sen- x = ——----- , eos" x --------------
y se usa la identidad:
PARA LAS INTEGRALES DE LA FORM A.-
• f ígmx.sec" x d x , rtg"' x.csc" x d x J J
136
Eduardo Espinoza Ramos
137
Integral Indefinida
PRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par y m es cualquier = J* I sen sen xxd d x - 2JI cos2 x.senxdx + I eos4 x.senxdx
número, se saca el factor.
2 eos3 x eos5 x
see 2 x d x o ese 2 x d x
= - C O S X + ---------------------------------l-C
y se usan las identidades: l + tg 2 x = see2 x , 1 + c t g 2 x = csc 2 x 1340 SEGUNDO CASO.-
i
Cuando m es un entero positivo impar, n es
sen 2 x.cos3xdx Desarrollo
cualquier número, se saca como factor.
J sen2 x.cos3x d x = J sen2 x.cos2 x.cos xd x
sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx y se usa la identidad:
J*sen2 x(l - sen2 x) cos x dx = J sen2 Xcos x dx - J sen4x. eos x dx
1+ tg 2 x = sec 2 x , 1 + e t g 2 x = csc 2 x ’
Hallar las integrales 1338
sen 5x sen 5 x -----------h e
/ eos3x dx Desarrollo
1341
Jsen3(—2 ). eos5( -2)d x
J*cos x d x —J eos* x.cos x d x = f (1 —sen" x) eos x d x
= J cos x d x - J sen“ x.cos xdx = senx
1339
I
Desarrollo
j* sen 3(^).cos 5(~~)dx = J cos 5(^).sen 2(^).sen(^)dx
sen 3x --------- I-C
= J e o s 5(^).(l - eos 2(- ) ) sen¿ ) d x
sen 5 xdx Desarrollo
= J*| sen 5x d x = J* x= = Jj ((1 - e o s 2 x )2 sen x d x | sen 4x.sen x ddx
J
( l - 2 cos~ x + cos 4 x)senxdx
1342
J eos5(^ ) sen(^) dx - J
eos (—) eos ( ------2_ + ---------- -rt, eos7(—) sen(—)dx - 3 4
f eos5 X , ---- r- d x J sen x Desarrollo
138
Eduardo Espinoza Ramos fe o s3 * , f ( l - s e n “ *) I — t— dx = I ------ -------- eos xdx J sen' x J sen *
Integral Indefinida
1345
J
139
sen2 x c o s 4 xdx
Desarrollo f l - 2 sen 2 * + sen 4x , f, I -------------t----------eosx d x = ((c tg x c s c * - 2c tg * + senxcos*)d* J sen x J sen2 x 2
1343
2 1 - eos 2* 2 1+ eos 2* sen * = -------------, eos * = --------------2 2
1
f 2 4 . f l - c o s 2 * 1+ c o s 2 x 2 , I sen x c o s x dx = -------------.(------------- y d x
--2 1 n Isen I+c 2 sen“ *
j
sen4 xdx
J
2
2
= - J(1 - eos2 2*)(1 + eos 2x)dx = ~ J sen2 2*(1 + eos 2x)dx
1
Desarrollo - e o s 4*
1- eos 2* sen“ x = ------------2
■ & *
J*sen4 *dx = J*(- - ~^s
- x
)2C¡X
= i J*(l —2eos 2x +eos2 2x)dx
o
t u
l rA'
sen4*
sen3 2*,
8 2
8
6
2x c o s 2*]J* = - [ --------------+ ---------- l + c
sen3 2*
I
64
48
eos0 3xdx
Desarrollo t„ 1+ eos 6* eos“ 3* = -------------
sen2 x c o s 2 xdx
2
Desarrollo sen*, eo s* =
sen 4*
16
1346
I
2
2
-----------------------1------------------j_ Q
lr . x sen(4*) 3* sen(2*) sen(4*) = —[ x - sen(2*) + —+ ----- — -] + c = -------- — — - + ---- — - + c 4 2 8 8 4 32
1344
---------- +sen
J c o s 63xdx = J (c o s 23x)3dx
sen(2*)
f ,1 + cos6 jcx* , 1 f /4 , , 3 = J ( ----- ----- ) dx = —J (l + 3 c o s6 x -f3 eos ójc + cos 6x)dx
J sen2 * c o s2 x dx = J (sen *cos x f d x = J (—■-l^ X)dx = i j s e n 22xdx
4J1
- e o s 4* , 1 sen 4 *, * sen 4* ----------- dx = - [ * ----------- ] + c = ------------- + c
2
8
4
8
32
140
Eduardo Espinoza Ramo'. _ 1 ,5x
sen 6a
= 8 (T + ~ _ 5 a | senÓA
16
12
sen 12a sen 6.v sen3 6v +~ T - +^ -------- Ì 8~ , + C sen 12a
sen3 6 a
64
144
141
Integral Indefinida o 7 4 2 Ctg 3X C tg 5 X (ctg A.CSC*A + Ctg A.CSC x)dx = ----- --------------- + C
■J 1350
I sen2 a cos4 x
Desarrollo
dx
1347
I sen4 xx
f__ *__ = f”
Desarrollo
J sen2 a. eos4 a / sè n ^ I= J
2 CS° 4XdX = | CS° 2 JCCSC2 x dx = | (1 + <****)cscZ xdx
=
J sen2 a eos4 a
f(-L- + J eos a
1
,
y )dX
sen a. eos a
= J (s e c 4 a + 4 csc2 2x)dx = J*[(1 + tg2 a) sec2 a + 4 csc2 2x)]dx
3
-J 1348
(csc2 x + ctg2x.csc2 x)dx = - c t e x - - ~ — + c 3
= t gx + —^ - 2 c t g 2 x + c
dx
J cos6 x
1351
X
Desarrollo
J
dx
J sen5 a eos3 x
«6 v
í ---- — = f sec6 x d x = f sec4a. sec 2xdx COS° X J J
f__ ÉL__ = í ___ csc6/ J sen5 acos 3a J csc6 A.sen5 acos
= J*(l tg2 ax))2 sec 2 x d x == JI (1 + 2 tg2 x + tg4 a ) see2 xdx (1 + tg
r
a
= f CSCV ^ J csca.cos a
í í-l+ c tg f i - dx = [tg a sec2 a(1 + 3c tg 2 a + 3c tg 4x + c tg 6x)dx A
J Ctg A.COS
-J(sec- x + 2 tg2 a sec“ x+ tg4 a. see2x)dx = tg x + —3 tg3 x + ^ 5' A+ c i 1349
Desarrollo
J
= J(tgA .sec 2 A+ 3 ) ^ - ^ + 3tg tgA
3x se c 2 A+ tg
cos 2 A ,
r— dx J ---sen x
=
t 2^ x 2
Desarrollo 1352
I
dx X
3X
2
2
sen -.eo s -
3
1
+ 3 ln(tg A) - — — ■- — — -+c
2tg a
4tg a
5 x.sec2 x)dx
142
Eduardo Espinoza Ramos Desarrollo f
dx s e n c o s 3^ ¿ ¿
*
2
2
2
2 •*
tg2 see — , , x x x o = I ( s e c - - .tg - .s e c - + ------ ±-)dx 2 2 2 . a ■/<
1354
7T
In | see * + tg * |= ln | tg(—+ —) |
dx
I sen5 *x
Desarrollo
dx — ~ íese 5 x d x = f (l + c tg 2 *) ese3* dx
f
J
J sen *
J
= fcsc3 *d x + J c t g 2 *.cse3*d*
2 = sec 2J + 21n |tg ^ - |+ c = — — + 21n | t g - |+ c 2 2 2x 2 eos —
2
[In | esc * - c tg * | - c tg *. esc *]
i 1 , 1 eos * , 1 r, . 1 —eos * . , ese3x d x = —[ l n ---------------- 1- c tg *csc *J = —[ln | ------------ 1- c tg *csc*] J 2 sen * sen * 2 sen * f
Desarrollo eos——f-+sen sen—. —eos .eos* »»sen*, sen *. eos *
pr .
J
2
f ----------4_rfi= r----------- 4—
4—
sen*.cos*
—(l)
integrando se tiene: J* ese3 * dx =
,.sen(* + —) ---------- 1 - d x J sen*.eos*
J sen*.cos*
s¿r‘ A‘ sen*
2
x x y r see — tg ( - ) s e c 2(- )(l + c tg 2-)í/* = (tg -.s e c 2- + ------ ^ )dx J ¿ 2 2 J 2 2 *
.sen(* 1+- —) »SCIHX -;
senjc A
análogamente
2X
1353
V i-e o s 2 *
J c tg (-).c o s2(*)
2
f
=
Vl + cos*
l - ^ o s * _ _ lj-e o s* _ —l------ £2£jL = CSc ^ - c t g *
, ü ++cctg t 22(|))d ‘í , * |.(l
J csc2A .s e n ( |) .c o s 3( J )
2
l- c o s * =
2
2y*\ ax csc 2( 2 )dx
f
143
Integral Indefinida
dx = V2
J
= —[ln || - c tg *.csc*] = ^-fln | tg ^ | - c tg *.csc*] ...(2) 2 Vl + cos* 2 2
jen* + eos * ---------------dx senx. eos*
_ V2 f , l l w V2 f - “r - I v--------1- ------)dx = —— I (sec* + csc*)J* 2 J eos* .ve/!* 2 J
integrando por partes
u = c tg * .
3
.
,
dv = c sc x.c tg x d x
J e tg2 *.csc 3* dx
—■>
du = - e s c “ xdx i CSC X v = ----------
f , , , C tg x csc3* 1 f 5 , j c tg" *.csc x d x = -----SL-^--------- 3 j CSC X
144
Eduardo Espinoza Ramos
Integral Indefinida
reemplazando (3), (2) en (1) 1356 f dx I , J sen x
f
-
I CSC
5
J
I., x. 1 c tg x c s c 3 * 1 f s , dx = - ln jtg —I— c tg x c s c x ----- --------------- csc' xdx 2 2 2 3 3J
J
tg 2 5x d x Desarrollo tg¿ 5jc dx = | (secz 5x - 1 )dx =
5 3 . jc 3 eos x 1 eos x = I csc x d x = —ln | tg ———---- ------ ----- — he 8 2 8 sen 2 x 4 ™ 4x ‘ rsen i 1357 1355
145
sec54 xdx
1
I
—- x + c
c tg 3 xdx Desarrollo
Desarrollo j c i g 3 x d x = j (csc2 x - l)c tg x dx = J (c tg x e s e 2 x - c tg x)dx J s e c 54xdx = J*(l + tg 2 4x)sec 34xdx = Jsec 34xdx + J t g 24xsec 34xdx
... (1) c tg 2 x , . . ----------- ln sen x +c
integrando por partes:
J s e c 34 xdx = ^[sec4x. tg 4x + ln | sec4x + tg 4x |] 1358
integrando por partes: J tg 2 x. sec34x dx = — —' ^ C
- i J s e c 54xdx
í c tg 4xdx Desarrollo J e tg 4x d x = J (c s c 2 x - l)c tg 2 xdx - J íc s c 2 x c tg 2 j e - c s c 2 x + Y)dx
reemplazando en ( 1) se tiene: J sec54 x d x = J sec34x dx + J tg 2 4xsec 34xd x
c tg ’ x ---------+ ctgjc + jc + c
sec4xtg4jc 1 tg4x.sec 34x 1 f , , = ---------------+ in sec4jc + tg4x + —------------------- sec5 4xdx
8
8
12
3j
1359
í (tg
- + tg - ) d x Desarrollo
— fsec54x<¿t = - l n |s e c 4jc+tg4jc|H—sen4x + _ sen4x 3J
8
8eos 4x 12eos 4*
fsec 54 x ^ = -lln |s e c 4 A + ^ 4 x | + ^ J 32 12
+^
16
+e
Jtg3^dx = J(sec2^-l)tgjdx =- jtg2^ +3 1 n |c o s ^ | J
tg4^
=
J (sec2^ - 1) tg2~~dx ~ J (sec2~3 tg2^3 - sec2 ~ +1 )dx
... ( 1 )
... (2)
146
Eduardo Espinoza Ramos
- tg3 ——3 tg —+ X + 3 3
147
Integral Indefinida 16
C
3 t 3 t 3 e o sx 3 x : — eos 3 x + —e o s 3 x -----------------1- c 4 5 16
remplazando de (1) y (2) en la integral: = - —Veos4 x + --v e o s '% ——Veos16x + < 4 5 16
C, 3 x 4x . 3 2x 3x . x ,,, X. J (tg 3 +tg - ) dx = - t g - + t g —- 3 t g —+ 31n ¡eos—|+ x + c 1363 1360
J
x sen2 x 2dx
dx
í Vsen x.cos3 x Desarrollo
Desarrollo
f
2 2 , f 1- cos 2 x2 I xsen x dx= \ x ------------- dx = — | ( x - x c o s 2 x )dx = ----J J 2 2J 4
_ f ______ dx______ _ j*
dx
j*
eos x\/sen x. eos x J V Vsen ^ , x. c oeos s 33xx “ J cosxV senZcosx
1 f , 2x 2sen2x2 -+ c
=f 1361
eos2 x , ---- T ~ “x sen x
1
Desarrollo
1364
xdx. . . . ~
f
Desarrollo
« 9
J s e n 5 x.ljeos eos x dx
2 j 2zdz => x = arctg z , dx = ----- ^ 1+ z
Desarrollo
J v/ íg l
j*sen5x.yjcosx d x = j sen4x.cos3x senxdx = j*(1 -eos2x)2eos3x.senxdx
=J*(l- 2eos2x+eos4x)eos3x.senxdx I
7
sec2x^
13
(eos3 x sen x - 2 eos 3 x. sen x + eos3 x. sen x)dx
Jzl
+ Z
f sec^dx ^ 2^
J Vsen x. see2 x.cosx ■» VlS x
f dx
Sea z - t g x
1
jJ Vsenx.cosx -
•» V tg i
f eos2 x f 2 2 , c tg3 * I ----:— dx= I c tg x.csc x d x = ------ — + c J sen x J 3 1362
sef
J seexVsenx.cosx
secxdx
J z +1
de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:
+c
148
Eduardo Espinoza Ramos
149
Integral Indefinida
reemplazando (2) en ( 1) se tiene:
1367 f
—o f
di
1 . i Z~ + y¡2z +1 |
J V é í " J ? 7 I : W? ©
y¡2
z-Jl
' T - V S T T ^ T “ '“ 8 ?
^
i----
feos —.eos—dx 2 3
J
Desarrollo
d“ “^ = ^
f x x j lf/ x 5 1 x 6 5 I eos—eos—dx = — I (eos—+ cos—x)dx = —(6sen —+ —sen—x)+ c J 2 3 2J 6 6 2 6 5 6
INTEGRALES DE LAS FORMAS.-
x 3 5x = 3sen —+ -s e n — + c 6 5 6
j* sen mx. cosnx d x , J sen mx. sen nxdx , J eos mx.eos nxdx en estos casos es emplean las fórmulas siguientes:
1368
©
sen(rax).cos(nx) = ^-[sen(w + rt)x + sen(/w-n)x]
©
sen(mx). sen(nx) = i[co s(w - n )x - eos(m + n)x]
©
co s( w x ) .co s( h x )
Desarrollo
f x 2x , 1 r, , . I sen —.cos — dx = — I [sen x + sen(— )jdx 3 3 2J 3
J
1 x, = —(-c o s x + 3cos—) + c 2 3
= —[cos(m - n)x + eos (m + n)x]
Hallar las integrales: 1365
i
x 2.x sen—.eos—- dx 3 3
1369
J sen 3x. eos 5xdx
í
cosx 3 x -----------v —eos—+ c 2 2 3
eos(ax + b).cos(ax - b)dx
Desarrollo
*. ,x co s 2b sen 2ox b)dx = J cos(ax + b).cos(axb).cos(ax-b)dx “ ^—JI (eos2b + eo s2ax)dx = ■— - — + — ------ + c ~ 2 4a
Desarrollo
Jsen3x.cos5xdx - J* - [sen 8x + sen(-2x)]dx = ^ J (sen 8x - sen 2x)dx
1370 cos 8x eos 2x — —— + --------- + c
16
1366
i
í
sen w/.senívvr + \¡f )dt
Desarrollo
4
1f s , tcosw sen(2wt + i¡/) I sen wt.sen(wt+\¡f)dt = - I (cos(- i//) - cos(2w/ +y/)dt = — ------------- — ------+ c 4w f
senl0x.senl5xdx
Desarrollo
J sen 1Ox. sen 15x dx = ~ j*(eos 5* - eos 25x)dx = sen 5x 10
sen 25x 50 ~+C
1371
í
cosx. eos" 3xd x
Desarrollo
150
Eduardo Espinoza Ramos
COS
151
Integral Indefinida
2 J t = ------------------1 + cos 6x
©
Si se verifica la identidad para reducir la integral a la forma racional se puede emplear la sustitución tg x = t.
eos cos
f,™ „ 2 -, , f J x. ixdx - J
1+ COSÓJC , 1 f eos x.---------dx = — I (eos x + eos x. eos 6x)dx
4 / (eos * + -2 (eos 5a + eos lx))dx = 2 1372
Hallar las integrales:
+ ----5a + _ n7_ + c
20
28
1373
í sen x. sen 2x. sen 3x dx
sen 2x. sen 3* = —2 (eos x —eos 5a)
X -
1- r 1 +t 2
í_ —— = f_l±£Í__, f * = 4iin |líl 2-t
= i f(sen2*-eos4* + eos6*)í¿c 4J
J 3 + 5 cosa J 3 + -------5(1 - í ) J 4 - / ' z—
8
16
1+ í2
24
1374
í ----- — -----
J sen a + eos a Desarrollo
INTEGRALES DE LA FORMA.donde R es una función racional.
Valiéndose de la sustitución.t g ^ = f , donde s e n x ^ - ^ - , cosa = ^—t— , dx = - 2dt
1+ t2 '
x donde t = tg — 2
++ c
sen 6x sen 4x eos 2a- + c 24 16 8
©
r . eos
Desarrollo
2 dt
j*sen x. sen 2x. sen 3* dx = —J*(sen x. eos x - sen x. eos 5x)dx
/ /?(senx,cosx)<ÍA
13 + 5 eos x 2 dt dx = -----1+ r
Desarrolio
©
dx
1+ t2 '
1+ t2
La integral se reduce a integrales de funciones racionales de la nueva variable.
2 + tg x
+c
=—In I- - - — l+c 4
2- H i
132
1375
Eduardo Espinoza Ramos
J
153
Integral Indefinida
f
1 + COS X
J
Desarrollo
dx cosx + 2 sen x + 3
2 dt J 1+ eosx
f a - —1+ eos!— wx=x- J 1+ eos
J
X
= x - j d t = x --t + c =
1376
X
J
1- t 2 1+ - — 1+ r
f
J 1 -------t 2 j + ----4t j 2 í 2 + 4 í + 4 Jr 7+ 3 1+ r
Jf
x-tg— +c 2
2 dt 1+ r
... 2 f + 2,
dtf ______ dt_
+2í+2
1+ r
—— —— =arctg(í+1)+c =arctg(tg-f2 +1)+c +1
I (í + 1) ?79
f3 se n x + 2cosx , I ------------------- dx J 2senx + 3cosx Desarrollo
f se senx - sen
J 1-s x
3 sen x + 2 eos x = a(2 sen x + 3 eos x) + B(2 sen x + 3 eos x) Desarrollo 3 sen x + 2 eos x = (2a - 3Bx)sen x + (3a + 2B)cos x
x(l+ senx) fse n x + sen2 x 2 - d x = \J 1-senx J i -sen x J eos2x =J*(tgxseex+tg2x)dx = seex+tgx— x+c f _ s e n j c _ ^ = Tsen *sen
2 a-3 .fi = 3] 12 _ 5 > =£ a = ----- , fi = -----3a + 2fi = 2j 13 13 j*3senx + 2cosx ^
1377
J 2senx + 3cosx
J 8 - 4 sen x+ 7 eos x
12 f ^
5 f(2 se n x + 3cosx)í/x
13
13
J
J
2senx + 3cosx
= — x ——ln ! 2senx + 3cosx I+c 13 13
Desarrollo 2 dt
f----- ----- = íJ
J 8 - 4 s e n --x + 7eosx
1+ t 2 _+ 7 _ It -
8í 1+í2
dt = 2 Í t - 8 í + 15
1+í2
_o f dt , 11 —4 —1 , , ,/- 5 , , , tg ? 5 +c ■ 2J ¡ T l i T T I = ln 17 ^ 7 1+c = ln 1 1+ í = ln 14 18 2 ~ 1378
I
dx
cosx + 2senx + 3 Desarrollo
380
f 1 + tg.-.dx
J 1 - tg x
Desarrollo j dt Sea tg x = t => dx = i+ r
f jI±Éí"L =_in(í_i)+Iin(í2+l) +c f i t a ñ * . J 1-í 1+/2 Jf -±.% 1-/ J 1++í2 2
J 1-tgx
=- ln|tgx-11+— ln|tg2x+1¡+c =-2 In|see2x|-In|tgx-11+c 2
\
Integral Indefinida
154
1381
155
Eduardo Espinoza Ramos dx
1384
/ 1+ 3cos2 x
dx
í sen2 x - 5 sen xcos x Desarrollo
Desarrollo
Al igual que los casos anteriores. f
J
dx 1+ 3cos2 x
f see' xdx see2 x + 3
f sec2 xd x 1 tgx tg2 x + 4 ~ 2 drag(~^T) +(
J
J
I*
dx
f
sec2 sec xd x
sec2 xdx
f
J sen2 xj t—- 5 sen senxxcosji cosx- J tg2 x - 5 t g x J , Jtg2A-5tgA
-(-)2
1382 ¡ 3sen2 x + 5cos2 x
_ 5_5
Desarrollo
1 tg ^ t j i 1 . tg x —5 , = —In |------- i r I +c = —ín | ------ !+c 5 5 5 5 tg x tg a — + a
Dividiendo el numerador y denominador por eos2 a . dx
f
f sec2 x d x a +5
J 3cos2 x + 5cos2 J 3tg2 a
5
1V 3tgx he
ar° tg
1385
2
2
. sen a | -------------- - d x (1 -co s a )
J;
Desarrollo 1383
dx
/ sen* x + 3 s e n x c o s x -c o s2 x
Sea u = 1 - eos x f sen a dx
Desarrollo
J sen' x - 3 s e n x c o s x - c o s 2 x
fr
2 * sec ' x d x
J tg2 x + 3 t g A - l
T
> * v f ■ « * + !-”
_
1
- ~ 7=
v 13
2 tg x + 3 + Vl3
sec2 xdx
l
lS
3 VÍ3 x+~— —
t g I + ^ + ^ p l+c
2 tg x + 3 -V Í3 , l n I — ------------------ 7=
1386
sec2 xdx
„
+C
_ f du ____ 1_
J (1 - c o s a )3 ~J m3 ~
Al igual que el ejercicio anterior dividir por eos2 a f ___________ dx____________ f
=> du = sen x dx _______
2u2 * C~ 2(1 - eos c< a)
j +c
i sen 2a , | --------- «— dx l + sen x
ir
Desarrollo
f sen 2xdx _ f 2 senx. C O SA dx
J 1 + sen 2 a J
a 1 +sen2 si
Sea u = l + sen2 a => du = 2 sen x. eos x dx f sen2A<¿* f du , , . , ,, 2 i , I — = I — = In I u j +c = ln 11+ sen a | +c J l + sen a J u
1s,)
1387
Eduardo Espinoza Ramos
157
Integral Indefinida
f — C° S2* dx J cos x + sen x
2 rarctg ," (—« =¡=—) f " 1 — j=1 arctg(----3t« -=—) f* 1 +c
J;
Desarrollo
3z2 - 2 z + 3 - £ '
S
V2
2V l
eos 2 xdx
Icos4 x + sen4 x + 2x sen2 x cos2 x - 2 sen2 x cos2 x f __________ cos 2x 2xdx__________ dx
xdx ^ ff cos cos22xdx
J (cos2x+sen2x)2 - 2 s e n 2xcos2 x
1388
1390
J
^2 + 11 , ,V2+sen2A |
2 -s e n 2 2x
2^2
V2 - sen2x
,r iij^senx + co sx ^ =¡
J l + ssen x —eos x
Desarrollo +c Efectuando la división de:
cos xdx f — J sen x -- 6sen x + 5
1 - sen x + eos x entre 1 + sen x - eos x
1- sen x + eos X -= - l + 1 + sen x - eos x 1 + s e n x -c o s x Desarrollo
I*_______cos xdx______ f
J
sen 2x - 6senx + 9 - 4
cos x d x
J (s e n x -3 )2 - 4 _
1,1 i sen x - 3 - 2 , +c ~ 4 n 'se n jc - 3 + 2
sen x -1
4
2 dz 1+ z2 1+ Z’
1 , sen-v- 5 , 1 , , 5- s e n x , 7 ln I--------- -1+c = —In ----------- +c 4
1389
f 1-se n x + co sx f , 2 i0 f ------------------ dx= (-1 + -------------------)dx = - x + 2 I J 1+ sen x -co sx J 1+ sen x -co sx J
f J
1+ Z"
= —x + 4 -■---- j -~—------- 7 = - x + 4 í ----- ^—------------- = -x + 2 í - ^ 1 1+ z + 2z - l+ z " 1+ z"+ 2z - l + z" Jz" + z
1 -se n x
dx lJ a(2- - sen x)(3 - sen x)
J
X
tg 2 , = - x + 2 í ( - ---- — )dz = - x + 21n | —— |+ c = - x + 21n | ---- ±— \+c x , J z z +1 z+\
Desarrollo
lg2
Sea z = sen x de donde se tiene: 1—
------------ í________ = A (2 - sen x)(3 - sen x) 2 - z
B 3-z
4.10.
- z) + B(2 - z) => 1 = -(A + B) + 3A + 2B, de donde se tiene:
La integración de las funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las funciones trigonométricas. Se debe tener presente las
A -B =0 3A + 2B = 1
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBOLICAS.-
=> A = 1, B = -1
í ----------- —-----------= f(------í------------- \
J (2 -sen x )(3 -sen x )
j
2 -s e n x 3 -s e n x
fórmulas siguientes:
-
2 f 1+ z2
J
2z
1+ z2
dz
2 dz
f
1+ z2
J
(T )
cosh 2 x - s e n h 2 x =
1
( 3)
senh2 x = * (cosh(2x ) - l )
cosh" x = —(cosh(2x) + l)
2z
1+ z2
(T )
senhx.coshx = -^senh(2x)
Eduardo Espinoza Ramos
158 Hallar las integrales. 1391
159
Integral Indefinida
| senh2 x.cosh2 x,dx =
(cosh(2x) - 1)^ (cosh(2x) + \)dx =
senh3 xd x
í
= i[J (^ (c o s h (4 x ) + l)-l]d x
Desarrollo J s e n h 3x d x ~ J s e n h 2 x.senh xd x = J (c o s h ' x -l)s e n h xdx
= í (cosh 2 x.senh x - senh x)dx = C0--
1395
- cosh x + c
(cosh2(2x) - 1)dx
cosh(4x) 1, , senh 4x x —— ¿— )dx = -------------- + c 2 2 32 8
dx
I
senh x. cosh2 sh2 x Desarrollo
f _____— ------- = f sec h dx = í 1 + tgh...- dx = í (ese hx + tgh x.sec hx)dx senhx J senhx J
J senh x. cosh2 x J 1392
J
cosh4 x dx
x x = In I tg h (-) I + sec hx + c = ln | tgh(—) | + ---- — + c 2 2 coshx
Desarrollo
J cosh 4x d x = J [-^(cosh(2x) + l)]2dx = ^ J (cosh 2( 2x) + 2 cosh(2x) + Y)dx
1396
1------- hC
1393
>sh2 x 1senh2 x.cosh2
í ____------------- = f —
- (cosh(4x) +1 )dx + senh(2x) + x] + c
senh(4x) 3x senh(2x) -------------i-----32 8 4
dx Desarrollo — = 4 íese h22xdx = —2c tgh 2x + c
J senh2 x.cosh2 x J senh2 2x 1397
senh3 x.cosh xdx
1tgh3 xd x
J
Desarrollo
J tgh3 xd x = J tgh2 x. tgh xdx = J(se c /)2x +1) tgh x dx Desarrollo r , , i , * tgh2 x = J (sec h -. tgh x + tgh x)dx = ln | cosh x | + — - — + c
senh3 x.cosh x d x = SCn^ X + c
1394
1398
senh2 x.cosh2 xd x Desarrollo
le tgh-*xdx Desarrollo
160
Eduardo Espinoza Ramos
Integral Indefinida
161
Je tgh4x d x = J (csc/z2x + l)ctgh2 x d x = J (ese/i2x.c tgh2 x +ese/z2x + l)dx = - |rsenhx.coshx + i(c o s h 2 x + l)]í/x =
J
c tg h ’ x - c tgh x + x + c 3 1399
2
í \j cosh 2x Desarrollo
I senh2x + cosh 2x
senh xdx _
Desarrollo
''/cosh 2x
¡ 4JJ
J senh" senh x + cosh cosh“ x 1400
2
senh2x x ----------------- hC
senh xdx
1402
dx
f
senh2 x
see h2xd x tgh x + 1
j* senh xdx
_ 1
j*
2 senh xdx
J y]2cosh2 x +1 ^2J yj(y¡2coshx)2 + 1
= arctg(tgh x) + c : —\= ln | \¡2 cosh x + V2 cosh ' x + 1 +e v2
dx
I 2senhx + 3coshx
ln | \Í2 cosh x + Vcosh 2x | +c Desarrollo
f
J
dx _ 2 senhx + 3coshx
dx
j*
_
f
J 2ex -2e~x- + -----------3ex +3e~x J
2 dx _ 2 f 5ex +e~x J 5e2x+ \
4.11.
E M P L E O D E S U S T IT U C IO N T R IG O N O M E T R IC A S E H IP E R B O L IC A S P A R A E L C A L C U L O D E IN T E Q R A L E S D E L A FO R M A .-
2 f Sex 2 , r- Xs = - p —r— —dx = —¡=arctg(V 5e ) + c V5 J 5e +1 75 1401
R(x, \lax2 +bx + c)dx
Donde R es una función racional, transformando el trinomio de segundo grado
dx
J tg h x - 1
ax~ +bx + c , en una suma o resta de cuadrados, reducimos la integral (1) o uno de los integrales de las formas siguientes:
Desarrollo
© J*(z,Vm
coshx -dx f— =í J tg h x - 1 J senh x - cosh x
© senh x -c o s h x
- (1)
—z )dz
© J/?(z,Vm
+;
)dz
) R ( z ,l z 2 - m 2 )dz
(senh x +cosh x ) , entonces:
f — —— = f ---------------------------------------------------- C j tg h x - 1 J se n h x -c o sh x J
Estas integrales se resuelven valiéndose de las sustituciones: X-dx = -
f cosh(senh x + cosh x)dx
(T )
z = m sen t o /. = m tgh t
( 3)
z = m sec t o z = m cosh t
(2^
z = m tg t o z = m senh t
Eduardo Espinoza Ramos
162 Hallar las integrales 1403
163
Integral Indefinida
1406
IVx2 - 2 x + 2dx Desarrollo
3 - 2 x - x 2dx Desarrollo
J ^ /x 2 - 2 x + 2dx = J* >/(x —1) “
+ 1 í/x
3 - 2 x - x 2 = 4 - ( x + l)2 x+1 |V 3 - 2 x - x 2dx = J ^ 2 2 ~ ( x + \ ) 2dx = ^ ( x + \ ) ^ 3 - 2 x - x 2 + 4 arctg ---------- h C
1404
—— - a / a 2 - 2 x
2
1407
2 + x 2dx
+2
+
—l n | ( x - l ) W * 2 - 2 x + 2 2
|+ c
|V x - 4 d x Desarrollo
Desarrollo J y¡2 + x 2dx =
jV x 2 - 4 d x = -^[xy¡x2 - 4 -41n | x + Vx2 - 4 1] =-^Vx2 - 4 -21n | x + 7 x 2 - 4 |+c
y¡2 + x 2 + 2 ln | x + ^ 2 + x 2 \ +c 1408
1405 I
x2
|
V
x2 + x dx
,dx Desarrollo Desarrollo JV x 2+xdx = j
Sea x = 3 tg t =» dx = 3sec2 t dt f x 2dx f 9 t g 2r.3sec2íí/r f o , . I = — . =— = 91 tg" t .s e c t d t , integrando por partes: J V 9 + X2 J V9 + 9tg 2 t J
9
f tg" f.sec" tdt J
secí
9r 2
4
4
f
J(x + i ) 2 -i-d x JV 2 4
= —((x + —)%/x2 + x - - l n [ x + - + Vx2 + x]) 2 2 4 2 _ 2 x + 2 ^ x 2 + x - —ln 12x +1 + 2-\/*2 + * I +c 4 8
= —[tg /.se c r-ln |se c f+ tgr |] + c f x'dx I —■■■ J a/9 + x2
Jx2+x + ^7-^dx =
.
. = 9 I ----= —[tg r.s e c í-ln | sec/ + tg? ||1409| Vx - 6x - 7 dx Desarrollo
164
Eduardo Espinoza Ramos
165
Integral Indefinida du = see2 OdO
u = tg 0
= X ^ 'Jx2 —6x —l -81n | x - 3 + j x 2 -6.x —7 | +c
see3 0
dv = see3 O.lgO dO 3
1410
(x„2 + x + \)2dx
J<
í
Desarrollo
J
,3 a0a.tg2 ¿a 0- dO te, o= tg sec0.- - — see5 0 dO see3
(3)
reemplazando (3), (2) en (1): j ( x 2 + x + \)2 dx = J V
2 +x +l )\ jx2 +x +l dx = J*KX+ "^ + —]^(x + ~)2 +~^dx tgfl.see3 0
]+ c
16 4 2 Sea x + — = ^ - t g G 2
=> dx = ^ - s e c 2 OdO
2
2
27 = — [ tg 9 .s e e g (- + SeC ^~) + ~ ln I see0 + tg0 |] + c 64 2 3 2
J*(x 2 + x + l )2 dx - J[(jc + —)“ + —]^(x + —)2 + ~ d x = - L (2x + l)(8x2 + 8* + 17 ) V ? + x + l + In 12x + 1 + 2\íx2 + x -f 1 1+c 64 1"° = |[ T t g 20 + | ] J | t g
20 + ^ s e c 20 d 0 1411
dx
1( x - l ) J x 2 - 3 x + 2 Desarrollo
— fsee2 0.— secO.— see2 OdO 4 ) 2 2 9_ - fsee50 d 0 = — | (see3 0 + see3 0.tg2 0)d0 16. >J 16 J integrando por partes
J see
1
... ( 1 )
—s e c 0 . t g 0 = d x ' , x - 1 2
I see3 0 dO , es decir:
1
OdO = —[tg0.see0 +ln | see# + tg0 |]
JS
integrando por partes I see3 0. tg2 9 dO
x2 - 3 x + 2 = ( x - - ) 2 2
—(2)
4
; see 0 = 2x - 3 sec0 + \
3
see 0
2
2
2
166
Eduardo Espinoza Ramos f
f ___________ d x _____________ i*
dx
(x l)\jx2 —3x+2 3x + 2 (x —l)y[x
» ,
I~ V
3 2
dx
4
CsecOdO J l + sec0
h
dx
1414
I \ .l - ,x 2)y¡l , , -+ x 2
dx
J
1 1 rV 2 sec2 OdO V2 J1 (y¡2tg0)2 +1
1 i-----1 V 2x = -j=arctg(yj2tg0) + c = -j= a r c t g ( - j = = ) + c -x 2
1 -c o sfl _ x -2 l + cos 0 ^ ^ y /x - 1 +
2 1412
r see26 dd í dd -I J 2 sen 20 + cos 20 J* 2 tg 20 + l
T JJ ((xx -_l ) y j x 2 - 3 x + 2
2- L
de
2 sec 0 tg O * sec 0 + l Isee2 0 - 1
_ f
167
Integral Indefinida
Desarrollo 3
(x 2 - 2 x + 5)i
tg 0 = x => dx = sec2 6 d0 Desarrollo dx
j"
x 2 ~2x +5 = ( x - 1 ) 2 +4
_ j*
sec20 d 0
J ( l - x 2)yjl + x 2 J ( l - t g 2 0)y¡\ + tg20 J C l-tg 2 ejseç 0
2 see2 OdO j ~ ~ F =J ~ — J =j (x - 2 x + 5)2 {{x - 1 ) 2 +A)2 (4tg‘ 0 + 4)2 donde x - l = 2 t g 0
sec2 0 dO
j*
fs e c 0 d 0 J l - t-tg g 20 0
; dx = 2 se c2 0 d 6
f
J
cos0dO
J cos eos 20 0 --ssee n 20 0
1 f yfícOsO d0
=± [ J _ f 2 s ec2OdO
J
(2sec20)2
Ç2sec20 . „ l f
Q
UseCG
4J
V2J 1--(V 2sen0)2
i
=7 I cos0 d 0 = - s e n 0 + c 4
4.12.
_ j* cosOdO
IN T E G R A C IO N T R A S C E N D E T E S .-
DE
J1
J l -— 22sse n 0
1 , I yj\ + x 2 + y[2x‘, In
2V2
, -------- +c sj\ + x 2 - j l x
D IV E R S A S
F U N C IO N E S
x-1
= +c 2x + 5
1413
f
dx
Hallar las integrales.1415
(l + X2) y / l - x 2
j"(
je 2
+ l)2e2xdx Des:; rrollo
Desarrollo it = (x2 + 1)2 => du = 4x(x2 +1 )dx Integrando por partes y haciendo
, = e 2xjdx dv
2.v
e => v = ---2
Eduardo Espinoza Ramos
168
J
( a 2 - l ) 2 e2xdx =
(x2 + 1 ) 2
- 2
J x(x + \)e2xdx
169
Integral Indefinida reemplazando en (2)
( 1)
p^x a3
- 3 a2 + 4 a -
>/-> I in
r p^x p^x I a ( a 2 + \)e2xdx = a ( a 2 + 1 ) ~ ------_ 6x + 5) = - ^ - ( 2 integrando j x(x2 +l)e2xdx por partes reemplazando en (1) se tiene: u = x( x 2 +1) => du = (3x~ + 1)dx haciendo:
f( x 2 +\)2e2xdx =
J
e 2x
dv = e2xdx
=> v = ----
- — ( a 2 + 1 ) 2 — —— ( 2 a 3 - 3 a 2 + 4 a - — ) + c
2
2
2
2x
-j
= -------- ( a 4 - 2 a 3 + 5 a 2 - 4 a + — ) + c
J
*(*2 + \)e2xdx = x( x 2
j ~ ~ Y ~ ~ e2X(ÍX
2
(2) 1416
integrando
!
3a +1 2x e dx por partes 2
2 c o s 2 ( 3 a ) c?a
I
Desarrollo f 2 2^ » f 0 , 1 + COS 6 A 1 f, 2 J a cos 3xdx = I x (----- - -----)dx = —J ( a +
3 a-2 + 1
l,x 3
J2x
integrando
3
I xelxdx =
2
J
xe2x
e2x
2
4
xe2xdx
reemplazando (4) en (3):
F r 1e2xdx = ?
f
= - ( — + 2 3
dv = e2xdx
2
2 a
s
\ j
cosox)ax
du = 3a dx
haciendo
J
2
(3)
(4)
integrando
f
JI a
2
Ja2eos
JA
( 1)
eos 6xdx) = 2 a í/a
U = A 6 a í /a
se tiene: ■ dv =
- , a 2 sen 6a Ta eos 6a dx = --------------I — sen 6a J a 6
J3
sen6x cos(6 a
a26
=
)¿a
sen 6 a 6
=>
v =
a
-H------COSÓA 18
reemplazando (2) en (1)
^ e 2x- - x e 2x+ - e 2x
í
o 2 „ , a3 a 2 sen 6 a a . sen 6 a a ‘ c o s 3 x d x = -------1------------------ H--------C O S Ó A ---------------- + c 6 12 36 432
1 , 3 (a 6
a
,
a
.
sen6A N
+ — sen 6 a + —eos 6 a ----- — -) + c 2
6
72
6 sen6x 216
. ( 2)
170
Eduardo Espinoza Ramos
1417
x sen x. eos 2xdx
i
171
Integral Indefinida
en a a .. ssen e n 3xdx =— J ex ssen 3a dx = —JI
ex(eo s2 x -co s4 A )d A
-
(1)
Desarrollo u —ex => du = exdx sen x eos 2x = ^ [sen 3a + sen(-x)] = i (sen 3* - sen x)
J x sen x. eos 2xdx ~ u =x
Sea
x (sen 3a - sen x)dx
sen 2 a dv = eos 2 a dx => v = -
f , . , ex sen 2 aa fC ex sen 2 a dx I e eos 2xdx —----- ------- I
du =dx
=>
dv = (sen 3 A -senx)dx =>
v
= cosa- -
eos 3a
£ ^ £ 2
J 1418
a
sen a . eos x d x = - [ 2
a co sa
2
4
j 4 | e*eos2xdx = — ^ 2 sen 2a + eos 2a) — = — ( 2 se n 2a + eos 2a)
- — eos 3 a ] - s e n x + ££Ü ÍL ?. + C
3
+ £ l COs 2A - - |^ C O S 2AdA
18
4
1e2x sen2 xd x
5
l e x eos 4 a dx = —
en forma análoga para:
(4
sen 4 a + eos 4x)
Desarrollo reemplazando (3), (2) en (1):
-dx = - | (elx - e2x eos 2x)dx
ex 2 sen 2 a + eos a 4 sen 4 a + eos 4 a ex sen a . sen 3 a dx = — (------------------------------- 7Z >+ c 2
= i [ I V ' * - f e 2' eos 2 * 1 * 2
J
J
4
e2x = —— (2 -s e n 2a - e o s 2x) + c O 1419
j e x sen a . sen 3xdx Desarrollo
sen a .sen 3a =
(eos 2a - eos 4a )
8
5
8
1420
Ae* eos xdx Desarrollo
...( 2)
5
17
...
(3 )
172
Eduardo Espinoza Ramos r £X integrando J ex sen x d x = ~ ( sen x - c o s x )
. integrando
Integral Indefinida
= - —+ - \ n ( e x + 2) + -ln (e jr- l ) + c
... (1)
f * , u = x e x => du = (xex +ex )dx i x e s e n x d x , se tiene: < J [dv = senxdx => v = -c o s x
173
2
1422
6
3
dx
I yje2x +ex +1 Desarrollo
j x e x senx dx = - x e x cos x + J*e* eos x dx + j x e x eosxdx
I* ex r = - x e x eos x + — (cos x + sen x + I xex eos x dx)
i*
dx
J y¡e2x +ex +1
... (2)
x\¡e2x +ex + { JJ yf, Je~2x +e~x + 1
-e xdx
■J (e-< + - )2 + r
&
xex eos x d x = xexsenx - — (senx - eos x) + xex eos x -
——(eos x + senx) - | xex eos x dx i
= —ln |
2 I xex eos x dx = xex (sen x + eos x) - ex sen x 1423
J 1421
1
e~xdx
JJ /
1 ,3 2
1 .7
I
_ j*
e 'dx
J e~x\¡e2x +ex +1
reemplazando (2), (1) en (a) x
f
e~xdx
= - ln | e ^ + —+ \]e 2x +e x + 1 1+c
3
2x e* + 2 + 2\[e^x + e x +1
2ex
4
2
| +c = x - ln | ex + 2 + 2\¡e2x +ex + 1 1+c
f x 2 l n ^ dx
J
1 —x
Desarrollo
6 xex eos x d x = — [x(sen x + eos x) - sen x] + c
. 1+ x , 2 dx u = ln ------ => du = ------1- x 1 —x
Haciendo
dx
J e2x+ex - 2
dv = x 2dx Desarrollo
f
dx
J eeL 2x+ 2 X + ex ef -—2
j*
dx
J ((ex e x +2)(ex + 2)(ex - 1l ) ~
1 f 3 JJ (ex ( +2
ex - l * * *
----- )dx —— -ln(l + 2ex) H——ln( 1—e x) + c 1 + 2e \~é~x 6 3 ■4J (--------------
l 1'
1—x
3
1+ x 2 f x3 x 3 ,1 + x , 2 f , x ---------- ----- - d x = — ln ----- — I (-x + ---- -)dx 1-* 3 J l - x 3 1- x 3J l —j
= £ _ i ,i |i ± £ | + ^ _ + i i n ¡ i - x2 l+c = i [ x 3 ln | 3
l-x
J
J
3
\-x
| + ln 11 - x 2 |] + <
Eduardo Espinoza Ramos
174
1424
J ln2(x + Vi
V i+ * 2
I
J ln 2(x + Vl + x2 )dx = x ln 2(x + V l ^ 5" ) - 2j
xln(x +V 1 + *“ )
dx
... ( 1 )
2
V lT + x^
x'dx
í Vl - ( 5 x - 2 )2
cos0 = y [ \ - ( 5 x - 2 ) 2
tomando sen 0 = 5x - 2 => dx = co s^ d0
sen 0 + 2
como sen9 = 5 x - 2
Vl + JC2
ln(jc+Vi+x2) xdx
dv = Vi + x 2
dn=
(sen 0 + - ) 2 ^ d 5 5
dx J y¡l-(5x-2r
Vl + x2
v = Vl VT'+ x- 2
[ x \ n ( x + J ^ ) d x = J — í in{x + J — í ) _ :
J
= — [(125
J
-e o s 2
V1 - s e n 2 0
0
* —125 Jf (sen
0 + 4 s e n 0 + 4)d0
20 /i a 1 ,90 sen 20 + 4 se n 0 + 4 )d 0 = — - ( — -------- ---- 4 co s0 ) + c 125
2
4
= (—arccos(5x- 2 ) — X+ J l - ( 5 x - 2 )2 ) 125 2 2
... (2)
V1 + JC2
(2)
reemplazando (2) en ( 1).
reemplazando (2) en ( 1):
í
J ln 2(x +V l + x2 )dx = x ln 2(x + Vl + *2 ) - 2 ' J \ + x 2 ln(x + yj\ + x 2 ) - 2 x + c
, x~ ,, „ 1 9arcsen(5x - 2) x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + — (--------------------2 50 2 5x + 6
x arccos(5x - 2)dx
1425
... ( 1 )
-
haciendo
=> v = —
x2dx x -2 5 j" x arccos(5x - 2)dx = — arccos(5x - 2) + ^ 2 J V l-(5 x -2 )2
integrando
: ln(x + Vl + x2 )x dx
u=
J
dv = x d x
2 ln(x + Vl + x 2 )t¿x
=> v = x
J
V l - ( 5 x - 2 )2
Haciendo
u = ln2(x + Vl + x 2 ) => du = dv = dx
integrando
5dx
u = arccos(5x - 2) => du = Desarrollo
Haciendo
175
Integral Indefinida
í Desarrollo
1426
í
sen x. senh x dx Desarrollo
V20jx -25x" —3) + c
Eduardo Espinoza Ramos
176
Integral Indefinida
1 sen .v—eos x ~ 2 2 g _
( sen x -c o s
x 2í¿c
f
C f —6~X 1 f v F sen x. senh x dx = I sen*.---- ----- dx = —J (ex s e n x - e %e.nx)dx
x
_
J (x2 +a2)n
dx
f
2 ( n - l ) ( x 2 +a2)"~l + J 2 ( n - \)(x2 + a 2)n~l
reemplazando ( 2) en ( 1)
^
2 _
1 ex +e~x ex - e * . - —(---------- sen x ------------- eos x) + c 2 2 2
EMPLEO DE LAS FÓRMULAS DE REDUCCION.
1 f a2
”
= —(sen x. cosh x - eos x. senh x) + c 2
4.13.
177
L =
J
dx (x2 + a 2
1 f
+ x + 2a(n - l)(;t2 + a 2
a2
dx
J 2(n - l)(x2 + a 2
>í
(a 2
— 2a2(> ni-- l) \ ) JJ (x2 +a 2)n~' + 2a2( n - l ) ( x 2 + a 2)n~l
f
dx
_
J (x2 + a2 )"
x
2 n -3
2a2 ( n - l ) ( x 2 + a 2)"-1 + 2a2( n - 1)
dx
f
J
Deducir las fórmulas de reducción de las integrales I* dx
f
1427
""
1 ________ x_______
J (x2 + a2 )n ~ a2
n * 1 Hallar
(2n - 2)(*2 + o 2T 1
2 « -3
f
( 2« - 2)a 2
J
J (x2 + a 2)2
dx (x 2 + a 2T
/2 e /3
/n “
J
(X2
_ 1 fjc2^ 2 - ^ 2 .
+ a2 r
a2
J (x2 + a2)"
*2+«2 a 2 J U 2 + fl2)"
■
1 ,f
J
f
dx
"
a2 J ( x 2 + a 2 r l
* 2 (lx
por partes
dx
2a2 J (x2 + a 2)
x
3
f
dx
3 ~ J (x2 + a 2Ÿ ~ 4a2(x2 + a 2)2 + 4 ¿ ) ]
■
.. . ( 1)
1428
1(x2 + a 2Ÿ
x
3
4 a 2(x2 +a 2)3
.
x
4a 2 2a 2( x 2 + a 2)
dv =
xdx
(x2+a2)"
„ - f sen" x d x = _ sen” x.cosx + n_J_ f sen„_2 ^ J n n J Desarrollo
it —x => du = dx
1(*2 + a 2)"
2a2 (x2 + a 2)
1 C
1
x
2 a¡
a 2 ) (x2 + a 2)"
calcular la integral
x 2dx
+
(«2 + ** )" dx
/ =_L f ___^ ____
x
, 2— r + v a g i - ) +c 2a (x +a ) 2a a _ f
dx
_
1
Desarrollo f
dx
2(n-l)(jc2+a2)'1-1
^
Eduardo Espinoza Ramos
178
« = sen'! l x
du = ( n - 1) sen"
dv = senxdx
v = -c o sx
1429
2 xcosxdx
179
Integral Indefinida dx sen* n - 2 . „ , » = JfI— 7T~ = - - 7T-- +- - - - - 7 n- 2 » Hallar. /3, /4 eos x (n-1) (n-l)cos eos x n - 1
Desarrollo xdx = -se n "
x e o s x + (— n - li)» |J sen" S
x.eos x d x I„=
f——- = fsen" x d x = í (1+tg2x ) see" 2x d x
J eos" x =
, coS, + , „ - WJ s , n - ,
0-se » = ^ ]
integrando
{
K = tg X
n_2,
f „ , sen"~‘ x co sx n - 1 f /„ = I sen x d x = --------------------H--------I sen J n n J
xdx
J
x .lg x d x
J c
sen3xeosx 3 3x ------------------- sen xeos x + — + c 4 8 8 f í , sen 4xcos x 4 f , = I sen xdx = ------------------ h— I sen xdx 5 5 5
J
sen 4 x.eos x 4 / sen 2 x.eos x 2 . -------------------- (------------------ + — I senxdx) 5 5 3 ~ 1
\i
sen 4x. eos x 4 28 ---------------------- sen x .co sx ----- -eosx + c 5 15 15
n -2
reemplazando í| =
(1)
. ^ n -2 v v=—-n-2
f.I tg 2 x.secn-2 ,tgx.secn_l x xdx = —--------------- I --------
J
sen3 x co sx 3 , sen x c o sx 1 ------------------ + _ ( --------------------+ _ x ) + 4 4 2 2
J
...
por partes Jtg2xsec"~2x d x du = sec2x d x =>
dv = see
f 4 , sen 3 x.eosx 3 f 2 7d = I sen xdx = ------------------- I sen xdx 4 4
J
=Jf — + f tg2xsec"-2 x d x eos" x J
J*sen"xdx=-sen"_l x.eosx+(n-l)Jsen"-2xd x - (n-1)Jsen" xdx n js e n " xdx = - s e n "-1 x.eosx + ( n - l ) J s e n "~2 x dx
J
J
(2)
f see" J
n-
(2) en (1) se tiene:
xdx
f s e c " , * » f — ä x + t£x.secr~l x _ x dx
J eos" x J
J eos" f see" x d x + —-— i see" xdx = ----- —— — + Í J n - 2 J ( n - 2)cos x J eos x n-1 f . . senx — — see" xdx = ----------------— + — — n-2J (n-2)eos" x J eos ~ ( n - 1senx ) eos x n-2 f d. fI see „xdx, = -------------— + ------ — J (n-Dcos"-t x n-1 j eos dx
n-2n-
Eduardo Espinoza Ramos
180
j
r
" J 1430
dx
sen x íjvha
^ "n —2—i
eos" x
( n - l) c o s " 1 x
« -I
Integral Indefinida
181
= -^ln | x 2 - 2.x+ 2 1-4 a rc tg (x -l) + c
1433
l n = | xne~xdx = - x ne~x + n J xn~'e~xdx . Hallar I
Xsdx
J
X
2
1
+ X + -
Desarrollo
Desarrollo u = x n => du —nx"~]dx
In = J x"e Xdx , integrando por partes:
„3,
X + l { ))dx
j[(* - l) + V
dv = e~xdx => v = —e x
X * + X H—
2
l n = j xne-xdx = - x ne -x + n j x n 'e~xdx
x } + X H—
*
2
U -l)2 . i r _ -+ 4 J
2x + l _ ^ + , r * jc2 + jc + I 4 J 2 JC +JC + -1
2
7io = J x i0e~xdx = - x we~x +loJ x9e~xdx = - x ,0e x +10(-x9e x + 9 j x 9e Xdx)
(* -!) 1 . , ■» 1,1 „ = ---------- 1— In h r + jc + — h— arctg(2jr + l)... + c 2
= - x i0e~x - I 0 x 9e~x +90 + j x 9e~xdx = - x ' ° -1 0 *9-9 0 x 8 -7 2 0 * 7 + ... + C 1434
4.14.
IN T E G R A C IÓ N D E D IS T IN T A S F U N C IO N E S .
4
22
dx
J
5) Desarrollo
1431
dx
í 2x2 - 4 x + 9 f
J 1432
f dx f A Bx + C ^ . 1 I -----^------= (— + —5--------------)dx ; ----— J x x +5 jc(jc +5) x
J x(x +5)
Desarrollo
- 1 f dx I f — í — = _ L a rc .8( ^ i ^ ) + í 2.x2 - 4x + 9 2 v2 _ 2jc+9 2 J u _ 1)2+7 4 >/7
1
J
VÍ
I —r ~— dx x2 - 2.X+ 2 Desarrollo
efectuando operaciones y simplificando
x +5
Eduardo Espinoza Ramos
182
1 In x 2 - \n(x2 + 5) 1 x2 = - ( ----------- ----------------- -) + c = —In. —-+ c 5
1435
2
5
se tiene: A = — , B = ~ —, C = ——, D = 0 2 2 2
\ x2 +5
dx
I
183
Integral Indefinida
f dx f A B Cx+£) -------- ^ 7----- = (------ + -------- t + —ó----- )dx J ( x + l)(x ~ + l) x + \ (x + l)~ x+l
J
(x + 2 ) 2(x + 3 ) 2
Desarrollo Sea u = x + 2 ; u + 1 = x + 3
= 4 f (— + - j _ - - £ _ ) í£c = ± ( ln ( x + l)----- ’- - ^ l n U 2 + l)) + c
=> du = dx
2 J xx4+ l
r — j = f 2 du 2 = Mr+—— Jf---(x +2) (x +3)2 J u^(u + 1) J («[+1)—
U
W+l
U
U+ 1
1437
,x+3, 1 1 21n ------ --------------------+ r x+2
x+2
2
x+l
2
dx
í (x 2 + 2)2
x+3
Desarrollo
dx
Í (x + l) 2(x 2 + l) Desarrollo dx
f
_ f
A
B
Cx + D
J u+i)2u2+i)~J ^T+u+d2+ x2 + \ I (x + l) 2(x 2 + l)
A
B Cx + D - + --------r + X +\ (x + l )2 x 2 + l
efectuando operaciones y simplificando 1 = (A + C )x 3 +(A + B + 2C + D ) x 2 +(A +C+ 2D)x+ A + B + D A +C = 0 resolviendo el sistema
A + B + 2C + D = 0 A + C + 2D = 0 A+B+D= 1
SÍ2
x = \ Í 2t g 0
=> dx = y¡2 see2 OdO
f dx i*a/2 sec 2 d d d yfl f 2 n j n V2 |* l+ co s 20 I — ------ = I ------ —= -— cos Odd = — I --------------------dO 2 4(tg20 + )2 4 4 2
J (x + ) J
-
1436
U+ 1
x2 +\
1 . , x+l , 1 = —(l n l-7=r— I— - r ) + c 2 sjx2 + 1 X+l
u +u
1 iu il+c = 21- n, I------i m+ 11i-------------1 1 +c -—2 In I-----
1 U
=
r — Wu
(x + l)
l
J
J
y ¡ 2 sen 0 cosí) \¡2 x xy¡2 = -7r^e + ------ ;------) + c = - ¿ - ( arctg ( - r ) + —— ) + c 8 4 8 V2 x+2
Eduardo Espinoza Ramos
184
1438
185
Integral Indefinida Desarrollo
dx
í x 4 - 2x2 +1 Desarrollo I*
dx
_ j*
dx
J (x4- 2x 2 + l) " J (x 2 - l )2 n/
Vx2 - 1
xdx
f
_
£ 2
2x-\ 1 )dx (— ----------- + (x2 - x + l )3 x2 - x + l )3
1 r„
J (JC2 —JC+1)3 2 J
1
see0=x => dx=see0.tg0d0 f
dx
_ f
J x 3 - 2 x 2 +\
dx
J tg40
4(x 2 —x + 1)2
f l - s e n 28
J
sen 38
dd = J (ese38 -ese 8 )dd
= —[ln | ese8 —c tg8 \ -ctgé>csc 0] - ln | csc 0 - c t g d | +c
1
(1)
(jc2—jc+1)3
J
J (x 2 -1)2 J(sec20-1)2 J tg30 J sen38
2J
dx integrando i f — f 2 (x2 (x~ X + 1)
_ Cs ec 8t g 8d 8
Csec8t g8d8 _ f s ecOdO _ j"eos20 ^ _
dx
2 12 3 x - x +1 = (x - —)“ + —
completando cuadrados se tiene:
1
x— tg# = — V3 2
73
[ln | ese8 —c t g 8 | + c tg 0.csc 0 ] + r
^
; dx = ^ - s e c 2 8 d8
2
V3 r
1 r
dx
dx
f
2 sec~6 d e _ 73 I*see2 8 dd
+l)3 2 J(x2 J (x --x x + 1) 2 j [u_l)2 +3]3 2J (3^20+3)3 4j22sec60 2 , 1673 f 27
J
4
4
4
64
1673 f l + cos 20 27 2
J
8 sen 48 _ 4 73 f 473, ]+c (l + 2 cos 20+cos‘ 28)dd = ——[0+ sen 20 + —+ 27 27 J
Eduardo Espinoza Ramos
186
Integral Indefinida 3-4x
, x(3 + 2 Vx) , rfx = ---------- 7=—+ k (1 -2 Vx)2 l- 2 v 'j
4>/3r30 sen20cos20 4y¡3 36 ™ /4+c°s20 - — +sen 2 0 + --------------- ]+c = ------ [— + sen 2 0 (------------ )] + c 27 2 4 27 2 4 4 ■— -[3 0 + sen 0 co s0 (3 + 2 co s 20)] + c 27
187
- Ja ! 1441
( n/ I + 1)2 | - - T —-ax dx
J
Desarrollo 2V3 2\Í3 Q Q 4>/3 . _ = ----- 0 h-------sen 0 cos 0 + -------sen 0 cos 0 cos 6 9 9 27
2
2 ,2 x - l . 2 jc —1 2x-l ... = — -= arctg(— = - ) + — T------------------------------------------------ + ----- T----------r r •••(2) 23^3 73 6(x -x + 1 ) 12(x - x + 1)
1442
remplazando (2 ) en ( 1 ) se tiene: f
á
1
2x - l
2
i t f - x + l ? - ~ 4 ( x 2 - x + l)2 + 3 S
2x-\
2x-\
6(x2 - x + l)
I2(x2 - x + 1)2
f ( V I + i) 2 . fx + 2 7 7 + i r 1 2 1 1 4 1 ------r— í/x= ------- — dx= (-T + - r + - r )d x = --------------------* --------- — J X3 J x3 J x2 5 x3 x 3xVx 2.v
J
¿A V x2 +X + 1
Desarrollo [-= £ = =
f
xdx
x —2
(3 -4 x ) í
2
2x -l
—5-------- — = — ;------- — + — ------- — + z r ¡ z aicXB(.— ¡ r - ) + c
6(jc2 —jc -Hl)2
J (x2 ( x~-- Jx + l)3
1440
2x-\
f = ln | x + —+ V?+~v-M +c J I, 1,2 3 2 (x+-r+-
2
6(x2 - x + l)23^3 \¡3
J
1443
(1 - 2yfx)2
4
I— = ^d x
JJv'2 x
Desarrollo
Desarrollo
j*^
Sea z 2 = x => dx = 2z dz
dx
=j*l(2 x)
1
i
2 - ( 2 x ) 6 ]dx = \Í2x ~ ^ y [ ( 2 x f +í
,2
f 3~4* 2 = f (3 4z,) 2z
=
2 o
1 ^
l-2z
-(Z - 2 z ---- —
) =
1444
f
Jx
J(V7+7I)2 ( ~3 x- 2xy[ x + 2 y [ x - \ ) , _ ------------------------------------------------------ 7=-rC \-2s[x
3x + 2xy[x
1 - 2 Vx
x(3 + 2\[x)
l-2\[x
\ —2\¡x
1 - 2 Vx
= ------------- -------- 1-------------p=- + C = --------------- j= — 1- 1 + c
Desarrollo
Sea
|x = z6 => dz = 3z2dz
Ix = zJ => V ? = z 2 :
Eduardo Espinoza Ramos
188
dz,
r
f 3z 2dz
_3r
Integral Indefinida
189
4 x -l
dz
j (7?+7x)2 J (z2 + z ) 2 J (z +1)2
+ — ,................. = + c
+C
Z+ 1
yfx +1
2y¡4x2 - 2 x + \
2 s¡ 4 x 2 - 2 x + \
4x-2 dx
í j
1445
-
+c
^
2y¡4x2 -
7 x + l
(sfx2 + y f x ) 2
1446
(2 x + \)dx
í
2x —1 = + C = -T = +c 2x + l x z - 2x + l
dx
í ií^X + yf^-
s¡(4x2 - 2 x + \ f
Desarrollo Desarrollo
Sea 5 - x = z 4 => dx = - 4 z i dz \¡5-x = z f
J 4x2 -2 x
+ \ = 4 (x -
—)2 + — ; tgO = 2< * 4 > 4
dx
= -^ -sec 2 9
d6
V5 2
4
;
2x + l = -^ - (tg 0 + 73)
(2x + l)dx
_
f
j yj(4x2 - 2 x + l)3
J
3V3
3-
----- s e r 9
J
z+1
= - 2 7 5 - x + 4 \ / 5 - x - 4 1 n 1 7 5 - x + 11+c = ^ ( T ^ x - 1)2 - 4 ln | T ^ x + 1 1+/t
73
J
sec 0
"7T
+ sen 9 + c , efectuando la función trigonoméetrica tenemos:
z+1
- z + ln | z + 1 |) + c = - 2 z ~ + 4 z -4 1 n | z + 11 + c
x 2d x
I V(»2 - o 3 Desarrollo
= -4= I senQ+ \¡3cosQd6 =-^¡= Í(sen0 + y¡3cos6)d9 73 J 73J COS0
J
"
1447 f
dx f z 3dz . f z 2dz . f, , *1 . , =====---- = = = - 4 —-----= - 4 -------= - 4 ( z - l + ------ )dz 75-x +75-x z +z J
=
4 ,-1
y 7 5 - x = z2
7 x2-1 1
Eduardo Espinoza Ramos
190 Sea x = sec 0
dx = see 0. tg 0 d0
1 f l- s e n 0 1 fl-s e n 0 1 f 2 = — I -------- — d0 = — ----- t— d 9 = — I (see 0 -íg 0 .sec0 )c í0 2 J 1 -se n 0 2 J cos20 2 jV
sec2 0.sec0.tg0 dO _ f see Q.tgO -de J V(sec20 - 1 ) 3 J
= C s j¿ e c w = r ,
J
2 = —(fg 0 -se c 0 ) + c - — ( s e c 0 -tg 0 ) + c = — (■■■;.....—— ¡X )+ c 2 2 2 yjl-x* y ]\ - x 4
t f edBm\ j « f d e
J
tg 9
191
Integral Indefinida
J sen
1 1-JC2
0
1 1 -jc2
1
1- x 2
r + C = ------ <
= ~ 2 ' J Z 7 + C = ~ 2 ^ I T 7 7 +C = ~ 2 \ 7 7 7 + c
= Jse c 0 .c sc 20 í/0 = J s e c 0 (l + c tg ‘ 0)¿0 1449
xd x
1V í- 2jc2 - x4 Desarrollo
= J (s e c 0 + sec0.ctg2 9 ) d 6 = J (sec0+ C0Sy - ) d 9 sen 0 l - 2 x 2 - x 4 = 2 - ( x 2 + 1 )2
= In I x + J x - l I — , f=— + c
j*
xdx
_ j*
x dx
_ 1 |*
j yj\-2 x 2 - x 4 j j 2 - ( x 2 +l)2 2 J 1448
2 x dx í_______
1
xdx
í (l + x2 ) s j l - x 4
1450 Desarrollo
Sea
a:
2
J—
U 2 + l)2 Desarrollo
C°s 0 = s e n 0 ; xdx ---------dO
Sea x = tg 0 => dx = sec' 0 rf0 f (jr + 1)¿/jc _ f (tg0 + l)sec20 ¿ 0 _ 1*(tg0 + l)sec2 0 ^
J (x
2J
+1)2
_ ! tg0 + l J sec0 COS0
f
xdx
_ f
J (líl + x2) \ ¡ l - x 4 X1
— JC4
d9
d9
J (l + sen 0 )V l-se n 20 ■iji 2 J l + sen0
2
(tg"0 + l)2
J
sec3 0
_ f (c()S 0+S en0)í/0= S en0_ COS0+C J
x
1
y jx 2 +1
y jx 2 +1
.x ‘ + l.
= —arcsen(— = - ) + c ^ 2 - U 2 + l)2 2 y¡2
jc—1
: + C = —I
\lx 2 + \
+ C
v
Eduardo Espinoza Ramos
192
.451
J
Integral Indefinida f
dx
193
1 f
dx
J (x 2 + 4 x )V 4 -x 2
(.x2 + 4x)\J4 —x2
1f
dx
4 J x ^ 4 -x 2
dx
4 J (x + 4 ) y ¡ 4 - x 2
Desarrollo
„2
'
+ 4x
f
1 , , \¡4-x2 + 2 . 1 2(x + l) = — ln -------------- ------- = arcsen(--------- ) 8 x 8^3 x+4
- ±4
dx
1f
dx
J (x2 + 4 x ) \ l 4 - x 2 4J x y ¡ 4 - x 2
integrando
I — ,^ ... ... í -x j ^ x 2
dx
(1)
4 J (x + 4 ) \ ] 4 - x 2
1452
I Vx - 9 dx
Desarrollo J V x 2 - 9 dx = i ( x \ / x 2 - 9 - 91n|x + >/x2 - 9 |+c
Sea x = - => dx = — l1 t2
dt
f
[*
dx
f
t2
= ^ ^ 9 - U n | x + Vx2 - 9 l+c
dt
= - l n | ^4
J WH?”J MTjl ~~'
,
1453
J;
Desarrollo
11
_dt_ f _______ r
dx
J Vx - 4 x 2dx
Sea x + 4 = - => dx = - ^ r
I --------dx. (x + 4 )y¡4 -x 2
f
...( 2)
~ 2
7V ~ , 2
integrando
*2— |
J (x + 4 ) y ¡ 4 - x 2 J i j . 1
_
(1 l - 4^2
f
dt
J V-12í3+ 8 r -l
=
((2x - ~ ) \ ¡ x - x 2 + ~ arcsen(8x -1))]
2
2
4
16
= i ( ——- V x - x 2 + — arcsen(8x - 1)) + c
-JlT
4
2^3
4
16
= ——- V x - x 2 + — arcsen(8x - 1) + c
1 arcsen( (2* + 2 )) = J L a r c s e n ( ^ ^ )
2>/3
X+
4
2>/3
X+
4
16
...(3)
1454 reemplazando (3), (2) en (1)
1
dx
xV x2 +X + 1
64
Eduardo Espinoza Ramos
194 Desarrollo
1
X = t
(je2N+2x+2)>Jx U 2.v + íW .V +2 + 2.(x +2 +2 ... 3..
—dt =>
dx = - r t2
dx
f2
= r
j x jx 2+x + l
=_ r
<&
J Ví2+r + 1
J l J , 2+t +l
dt
=_ r
Desarrollo
J J (í + i) 2 + | 1
x = -
.2
x+ 1. . i x . = -!„ I--------- ------------|+c = ln|----------l+c x +2 + 2Vx" + Jc+ 1 1455
=>
dt
dwx = — —
/
í~2 1 + —+ ------------+ JC+1 I|+c = -ln I|í + -1 + Ví‘ + f+ 71I|= —1ln I|— 2 i 2 , x ,x + 2 + 2yJx2 +
-+2JC+ 2 -^ -ln I jc+1 +Va :2 + 2jc + 2 |+ c
h
Sea
,
x +1
dx
1456
* f
195
Integral Indefinida
r dt
í ■ - f A~ = f ----- = - f ] dt ; sea t = sen 0 ; dt = eos J x 44 x ^ \ J i J V í^ í4 í
J x 'J x 2 + 2 x + 2 dx
Desarrollo J W
Sea
7
+ 2 jc + 2 í/jc = j* x y j ( x + ] ) 2 + 1 d x
z = X+1
=> dx = dz
z = x + 1
==>
v/1 - t 2 see tí =
jr- z - 1
f
J*x y j x 2 +2 x
=J
+ 2 dx
x y j(x
+1)2 +1 í/jc = j*(z - l)Vz2 -1 dz
J
2
J
3
f r3dr
J
_
Tsen30.eostíí/tí
J Vw7 J
-— —Vz 2 +1
2
2
ln | z + a/z 2 +1 l+c
= (z +1): -~ V z 2+ l- - ln | z + Vz2+l I+C 2
2
- 1 sen30 d 6
-i
■J
=cos 0
eos
+C
3 .2
3
eos 0
eos30 =- (1-cos 0)sentí¿0 = -(-costí + -------,)+ c
3
f zVz 2 +1 ¿ z - ÍV z 2 +1 í/z = —
*
yl(x2 - l f :------------- 1----------- + C 3*3
0 d0
196
1457
Eduardo Espinoza Ramos
197
Integral Indefinida
dx
4 4
1 -xv :Vli - x
= - J * * * — flfe = - J z ( z 3Desarrollo
1 - x3 = z 2 =$ dx Sea
dx
2 z dz
x
3-3z
dx
f
_ T
1
1)~3(z 3 - l ) 3dz
r (z 3 - l )3
2zdz 3x2
~ f X * ~ r — — -ft-ij. 2 J z 3-1J (z-l)(z2 + z + l) J z - 1 r + Z+ 1 dx
_ j* - 2 z dz
J x j l - x 3 J y ¡ ( l - x 3) x J z (3 -3 z 2)
2 f dz
z
Í J z 2- l
z3 - l
2 .z-\ . 2 . V l-x 3-1 = —ln | ----- 1+c = —In I —..... — | +c 3 z +1 3 xJ +1
_ A(z2 + z +1) + B(z2 - z ) + C ( z - l) ( z - l ) ( z 2 + z + l)
z = (A + B ) z 2 + ( A - B + C)z + A - C A +B =0
1458
dx
resolviendo se tiene: A = ■-, B = - —, C = — 3 3 3
A - B + C =0
í f l + Jt
A -C = 0 Desarrollo f
(1 + x3)
dx
f
z
,
f , A ^ Bz + C
J 1¡Í+X3 J z3+ l ' J :- l z2+z+l
3rfx; m = 0, n = 3, /? = —
l f ¿ x l f
z -1
3J Z-1 3 j ; : + z+l
'
y¡l + X
m +1 - + p = es un entero, entonces n -3
X
, i _
+1 = 2
3
__.
=>
v3 X
además * = (z 3 - l )
1
= —---- => Z = z 3- 1
= ——ln IZ—1| + — n/ i
= ——ln | z —1 1+ —ln | z 2 + z + l | — ^ a r c t g —■i ~ + c 3 6 V3 %/3
+ X' ’
_i 4 3 => dx = - z 2(z 3- 1) 3dz
f ^ — { f~2~~
6 J z “ + z + l6 J z “ + z + l 3 J z + z + l
3
1459
5xdx
J Desarrollo
Ít? <~~~t = f I----- 1
j ^/l + x 3
J i. A i'
=r(-z2(z3- l ) 3)¿Z
Z
[ 5xdx _ 5 j* J ^ 7
2xdx
2- \ W
_ 5
)2
2
2
^
donde z =
V í+ 7
198
Eduardo Espinoza Ramos J c o s 4x¿x
146«
199
Integral Indefinida
|*1 + -y/c,tg x dx J
Desarrollo
2 ~ = - C tg X - - C tg 2 X
I cos4x dx = I (cos2X f d x = J (~ C°s2a)2
_ f (csc2x + y]ctgx esc2x)dx J
sen x
1463
+
2 /----------C = -C tg X ---y /c tg 3X+C
j*sen se 3xdx Veos3x Desarrollo
3x 1----------sen 2x 1---------sen 4.v (. (• :---8 4 32
f sen^Sfáx _ f sen x(l - eos 2 x)dx = [ {senx(cosx)Í _ s m x.cJ
j Veos3X
f- - £ _ J eos x sen x
1461
í
- jsec x.csc 5x d x = f (1 + c tg 2 x )2 see x.ese xdx
J
Veos3X
J
= - —eos 5 x + — eo s 5 x + c = — (eos 2 x - 6)Vcos2 x + c 2 12 12
Desarrollo
J eos x. sen x
J
x)dx
J
1464
I
csc 55x¿x Desarrollo
= J*(l + 2c tg 2x + c tg 4x) see x.csc xdx
J CSC5 5xí£c = J(1 + c tg25x)csc35xdx = J esc35x áx + Je tg25x.cos35x d x ... (1 ) = J*(see x.csc x + 2c tg" x.see x.csc x + c tg 4x. see x.csc x)dx
/<
integrando f secx cosx cos3x , = (-------------------------------------------------- + 2 ------- — + ---- — )dx J senx sen' x sen x
J's(-+etgx2cc 2tgx x.csc* x + c 9tg
, X.CSC"
f ! sen"x Æ a
J
D esarrollo
, .„4 x)dx = In I tg x I-c H: c - ~ — +c
4
J*I csc35x d x
por partes
200
Eduardo Espinoza Ramos
integrando I c tg 2 5x. esc35x dx por partes
1466
f‘
201
Integral Indefinida
|“"(T
K -x) sen(— h x)dx 4 Desarrollo
u=ctg5x
du = —5 esc 25xdx n nn V2 sen(---- x) = sen —.eos x —sen x.cos— = — (eos x -s e n x) 4 44 2
dv = ese35x.ctg5xdx => v = - CSC— 15
71
„3 ,
f 2c 3r , Ctg5x.CSC 5 l 1 f < , I c tg 5x.csc 5x dx = ----- ------------------ I ese 5xdx J 15 3J
71
7t
,,
y¡2 .
sen(— + x) = sen—.eos x + eos—.sen x = — (eos x + sen x) 4 4 4 2
... (3)
. .n . y¡2 , 1/2 sen(----- x).sen(— + x) = — (eos x - sen x )— (eos x + sen x) 4 4 2 2
reemplazando (2), (3) en (1) se tiene: J esc 55x d x = J*ese35xdx + J*c tg 2 5x.csc 2 5xdx
1 2 2 ^ eos 2x = —(eos x - s e n x) = -------2 2
1 .. 5 x , ctg5x.csc5x ctg5x.csc 35x 1 f <„ , = — ln tg— 2------------------e--------- --------I ese 5xdx 10 2 10 15 3
f sen(—-x).sen (—+ x)dx = f cos 2x dx = i-se n 2x + c J 4 4 J 2 4
J
f 5c t 3 , 5x. 3 , , 1 , 3 I ese 5xdx = — ln tg— ----- ctg5x.csc5x------ ctg5x.csc 5x + c J 40 2 40 20
1467
f
i,X
7t. -)dx
J tg(r T }
Desarrollo cos5x 20 sen 45x 1465
I
3 , , 5x. + — ln | tg—- l+c 40 sen 2 5x 40 2 3cos5x
J t g ( | + ^ )d x = j tg2( | +
sen 2 x , —— dx eos x
J (sec2( f + ^ ) - 1) t g ( f +j ñ d x
= f (sec2( ^ + ^ ) t g ( í + ^ ) d x - ítg ( ^ + ^ )d x J 2 4 2 4 J 2 4
Desarrollo
- tg2(—+ —) + 21n Icos(—H— )|+ c 5 2 4 2 4
f Sen" X , f 2 4 , ¡ * 2 / . 2 , 2 , I -— dx = Itg 'x .s e c x d x ~ I tg x (l+ tg “ x)sec xdx J eos X J J f 2 1 f 5 2 tg 3X tg5X = J tg“ xsec“ xdx = I tg x.sec" xdx = — + ■- —- + c
t g ( | + ^ )d x =
1468
r dx -----------------------J 2senx + 3 c o s x -5 Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramos
202
Se conoce que:
2t 1- í 2 sen a = -----— ; eos x = 1+ t2 ' ’ 1+ í2
f
dx
f _______^
1
1469
_
1 f 22JJ
sec 2 xdx 2x + t g x + _
1_
1+ í 2
J 2 senx + 3 co sx -5
see2 xdx
j*
J eos2 x +- 2 senxeosx + 2 sen2 x J 2 tg2 x + 2 tg x +l
x 2dt l ~ = t => dx =
2
203
Integral Indefinida
_
2 dt f 1+ í 2 J 413-3i J12~ Jl„ 1+ í 2 1+ í 2 4 /- 1
f
dt
_
f ____ dí_
J 4r2—2r + 1 J AítJ 4(fl->2 - —)2 + — 4
= _ _1 arctg(_
_
1 f — sec * dx = I .i- a r c tg ( -----— - ) + c = arctg(2 tg x + l) + c 2 j ((tg 2 i 1 t gxx++-I)2 '- r + i 6 2 4 2 2
1471
4
dx senxsen 2x
1
Desarrollo „„„2 f dx f sen, 2 x„ +. cos x , f, 1 cosx _ , I ------------- = I ------------------- dx = I (---------+ ---------- )dx senxcosx 2 sen2 xcosx 2 cosx 2 sen2 x
)+c
J
J
J
1 fI ,(secx + ctgx.cscx)dx = ~ ln 1I secx + tg x |1 =—
dx
12 + 3cos>2x
1 cscx + c
Desarrollo 1472
2 + 3 eos 2 x ~ 2 sen 2 x + 5cos 2 x
r _______ dx_______
J (2 + cosx)(3 + cosx) Desarrollo
f j 2
dx
_ f
+ 3cos2 x
dx
J 2 sen2 x + 5cos2 x
1 f \Í2 sec" xdx
1
: vf J (V5 tgx)2+5 1470
_ f sec° xdx j
1
dx
i eos2 x + 2 senxcosx + 2 sen2 x
1 1 A B Sea z = eos x ; entonces ------------------------ = ---------------- = -------- 1-(2+cosx)(3 + cosx) (2+z)(3+ z) 2 + z 3 + z
2 tg¿ x + 5 \¡2tgx
1
, 2 tg x N
v ^ )+c
1 = (A + B)z + 3A + 2B de donde se tiene:
1
1
1
(2 + cosx)(3 + cosx)
2 + cosx
3 -c o s x
A+B= 0 , [ 3A + 2B = 1|
A = l , B = -l
Desarrollo f ----------- - ----------- = f —
Dividiendo entre eos x se tiene:
J (2 + cosx)(3 + cosx)
—
f
J 2 + cosx J 3 + cosx
...a )
204
Eduardo Espinoza Ramos
, integrando:
,
Sea u = sen ax => du = a eos ax dx
dx 2 2 ----------- = - = arctg(—-£-) J 2 + cosx V3 V3 Ç
f
1
dx
tg
... (2)
cos axdx 1 , [~ ----------= _1 f _ ^acosaxdx _ _ _ = = . ==— ax ++\Vfl a 2 +sen 2 ax I +c —In InIIsen senax J sja2 + sen2 ax a J \Ja2 +(sen ax)2 a f
2
8
• " ,3>
1475
reemplazando (3), (2) en (1)
xdx
í eos23x Desarrollo
f x d x _ f xsec 23x d x , integrando por partes y haciendo: eos 2 3x
f dx 2 tg2 1 tg2 J (2 +-cosx)(3 c^ -w o _____ , = “/? arctg ( - 7r ) - — a r c t g ( ^ ) + c + cos.*) 73 y¡3 y¡2 \Í2
1473
205
Integral Indefinida
J
J
u =x
sec 2 xdx
du = dx
o j t ë 3* dv = sec 2 3xdx => v = ------
J 7 tg 2x + 4 tg x +1 Desarrollo
f
sec2 xrfx
f
f
J 7 tg2 x + 4 + tg x + l
xdx
_ r
J cos23x J
sec2 x d x
xsec2 3xdx = - t g 3 x - —— dx + c = - t g 3x + - l n |c o s 3 x |+ c 3 J 3 3 9
J y](tgx + 2)2 - 3 1476
j x sen1 xd x
Sea u = tg x + 2 => du = sec2 x d x |* j
sec 2 A g2
j*
4tg JC-J-1
sec2 x d x
j yf(tgx + 2 f ^ 3
Desarrollo _ f
dw
J Vm2 - 3
= ln |m +V «2 - 3 I +c = ln | tgx + 2 + -y/tg2 x + 4 tg x + l |+ c 1474
co sar
J æ2 + sen 2ax
dx
J x s e n 2 xdx = J x .1 C° ^~X dx = Ì J ( x - x c o s 2x)dx
= - [ f x d x - \ x c o s l x d x \ = — - — íx c o s 2x££x 2 4 2
J
integrando
J
J x eos 2x d x
J
por partes
Desarrollo f
eos a x d x
* V«2 + sen 2 ax
_ j*
eos a xd x
J y¡a2 + (sen a x)2
u = x => du = dx haciendo:
„ , sen 2x dv = c o s l x d x => v = --------
... ( 1 )
206
Eduardo Espinoza Ramos *
.
•* 2
-
cos 2x 4
jceos 2x dx = —sen 2 x + --------
1
... (2)
Sea
reemplazando (2) en (1) 2 , x 2 xsen 2 eos2 JEsen xdx = -------------------------------he je
u
= ln(l - ) => du = JEdx—1 je
.3
2,
X'
dv = x dx => v = — 3
je
J
1477
207
Integral Indefinida
f je2 l n \ J \ - x d x = —(— l n ( l - x ) - — í ------dx) 2 3 3 J jc —1
J
2 x*dx
íx e
3
Desarrollo r
Sea « =
x3
i
p
i
*
du = 3x2dx => x 2dx = —
= — I n V i - j E - - — —— ———ln | jc—11+c
3
V f 2 i1 . f u du eu e I x e dx = e — = — + c = - + c 3 3
J
______
= — ln V l- J t I (x2 + X+ 1H------- )dx 3 6J jc—1
3
1480
J
í
18
12 6 6
xarctgxdx, Jü x2 Desarrollo
1478
J
xe2xdx
u = arctg x =>
Desarrollo u= Sea
je
du =
dx \l 1 + x 2
=> d u - d x
e^x dv = e2xdx => v —----2x
í xe2xdx = - e 2x- ~ í e2xdx = - e 2x- — •fe J 2 2j 2 4 1479
f x a r c t |x J V ÍT 7
J x 2 ln yfí —x d x
^
f^ ^ d x = J 1+ *
= \ll + x 2 arctg x - ln | x + V1 + x2 | +c Desarrollo
J x2 ln V i - j e <±e =
»
i
1481 Jje2 ln(l - x)dx
ísen2(—).cos(— 2
2
)dx
Desarrollo
arctg x - f - *
J V1 + x 2
208
Eduardo Espinoza Ramos
J sen2(
)cos(~)dx =
i J (1 - eos x) cos(^f)dx
1484
1 f , ,3x ,3x 1 3x 1 f 5x ,x .. , = — (cos(— )—eosxcosí— ))dx = - s e n -------- I (cosí— ) + cos(—))ax 2 2 2 3 2 2
J
4J
I senh x.cosh xdx
Desarrollo
Sea u = senh x
4
du = cosh x dx
(senh x) Jsen h x.cosh xdx = j u d u = — + c = ---------— + c 2 2
1 3x 1 5x 1 x. = - sen(— ) ------sen(— ) — sen(-) + c 3 2 10 2 2 2 1482
209
Integral Indefinida
dx
1485
1(sen x + cos)Sxx)2
f senh Vi - * -dx
J VT^
Desarrollo
Desarrollo
f___*___=í-
,-----dx Sea u = V1 —x => du - -—-, 2 Vi - x
dx
J (sen (senxx + eosx) cosx )2 JJ ssen 2 x+ 2 sen xcos x + cos2 x _ j*
see2 x d x
J t tg g 2 x + 2 tg x + l
_ fI* sec2 x d x
1
J (tgx + 1)
tgx + 1
=>
0, _
dx 2du — V i-*
| !el^ V ^ . dx = j senh u.(-2dw) = J senh u du -2
= - 2 cosh u + c = - 2 cosh V i - * + c 1483
dx
1(tgx + 1) sen en 22 x Desarrollo
1486
í* senh x. cosh x
^
J senh2 x + cosh2 x
Desarrollo
f _____ dx_____ _ fc s c 2 x d * _ fe se 2 x .ctg x ^
J (tgx + l)sen 2x J 1+ tgx
J 1+ c tg x
| - e s c x + csc x + csc x c tg x - i ------------------------------------- dx 1+ Ctg X
=
__ 2 f ( l + ctg x )e sc 22 x. ,f - c s rc 2 xdx
f ese2 xdx f 2 —-----------+ -------- — -------- dx = ------------- + e s e ' x d x J 1 + ct g x J 1+ ct g x J l + ct g x J
= ln | 1 + ctg x | - ctg x + c
Sea u = senh2 x + cosh 2 x , derivando se tiene: du = (2 senh x cosh x + 2 cosh x senh x)dx => du = 4 senh x cosh x dx f senhxeoshxdx _ 1 f * 4J u
J senh2 x + cosh2 x
= I ln|H|+c = i ln | senh2 x + cosh 2 x |+ c 4
= iln |c o s h 2 x | + c 4
4
210
1487
Eduardo Espinoza Ramos x dx
f
1489
J senh 2 x Desarrollo xdx
f
_ f
J senh 2 x
sea
J
J
exdx _
I e2x - 6ex +i-1313 Desarrollo ex exdx f exdx 1 e *- 3 ----------------- = I ---------- ------= —arctg-------- + c J e 2x- 6 e x +l3 J ( e * - 3 ) 2 + 4 2 2 f
xcsch'xdx
u =x
ídu=dx
dv = ese h2x d x
[v = -ctghjc
s e n h 2 a- =
J ACSChxdx =
~ x c tg h x
+J ctghxdx =‘x ctghx +lnlsenh
1490
e2xdx
i (ex + 1)4 \_
Desarrollo x +c Sea
1488
j*
211
Integral Indefinida
fex +l = z4
^
\exdx = 4 t ' d z
dx
J e2x - - 2ex
p = z 4-l i e2xdx = (z 4 -1 )4 z3dz
Desarrollo (*+l)4
e* - l = z => ex = z + l Sea dz = exdx =>
= —■z 4 — z 4 + c = —\J(ex + 1)7 - - $ l ( e x + 1)3 + c 7 3 1 3
= dx Z+ l
dx = ¡J ee¿x 2x-- 22ex J ( ? * -I)2 - l e x J(<
1491
f— *
r
dx
r
J e 2x- 2 e x
dx
J (z 2 - i) ( z + l) I
= í J z +l
l (z + l )2
r
dz J (z + l) 2( z - l )
= - - j l n | z + l | + — }— + —ln | z 4 2(z + l) 4 '
2Xdx
f 2 Xdx f 2 Xdx I ------- = I ---------- - ; sea J 1 -4* J i --(r2*)2
J_ Z—1
f
J 1-4* —4 X
u=2
r 2 ^ = p ^ _ =_L f * ln 2 j 1 -M
J 1- 4* J l - ( 2*)2
11 1 1492
= - j l n | ^ - l + l | + - L + i l n | ^ - l | + c = - - + — +-] n\ ex - 2 \ + c 4 2e 4 4 2ex 4
Desarrollo x
, du = 2 ln 2 dx
21n 2
J t f - 1) .10~2*í¿c Desarrollo
1- u
= _ !_ b i|l± 2 1 |+ c 21n 2 1 - 2*
212
Eduardo Espinoza Ramos u = x 2 ~ 1 => du = 2xdx Sea ■ . , n -2 x j K T 2* dv = 10 dx => i 21n l 0
Integral Indefinida
1494
213
dx
1
Desarrollo u = arctg x
í (x2 —1). 10 2xdx = - ~ — L l 0' 2jt+ - i - fjc.10~2xdx
J
21nl0
InlOj
...( 1 )
Sea
,
dv =
, n -2 x ,
10
dx =>
f arctg x ,
1 0 " 2*
arctg x
... (2)
arctg x x
“I
1 +- 4 — + — )10-2jr + c 21n l 0 21n 210 22 ln 310 21nl0
lnlO
21n2 10
1495
í
\z 2 =ex +l I exdx = 2 zdz
, 2 zdz dx = —---; 2- l
+ ln I
+c yjl-x2
Sea
u = arcsen(—) x
I
du = -
dx vVx 2 —1
v=-
X3arcsení—)dx = — arcsen(
integrando
... ( 1 )
I --------- dx por sustitución J x —1
j*Ve ‘ +1 dx - J —~ ^ dz = 2J*(1 + — .. )dz \/x2 - 1
= 2(z +-^-ln | - —í- |) + c = 2yjex + 1 + Ih | -^==¿2— - 1+c
2
Z+ 1
yjex
+1 +1
-)dx
Desarrollo
Desarrollo Sea
J x \ +x
x arcsen(—)dx
dv = x' dx
z 2 - l = ex
x
1
,
ex +1 dx
1493
arctg x | f i_
arctg x , I,,, 21 arctg x , , r 7 = ------------ t-lnx — l n |l + A | +c = -------h l n x - l n v l + A +< x 2 x
reemplazando (2) en ( 1 ), se tiene: .2
dx
i*
J x(\ + x 2)
21n l 0
r 2jt ¡ x . 10~2xdx = - f - 10- 2* + J r : 21n l 0 " ' 22 ln 210
J V - 1)10-2xdx =
l +x1
dx dv = — x2
u = x => du =dx
dx
du =
1
214
Eduardo Espinoza Ramos sec
Integral Indefinida
0 = x => dx = sec 0 tg 0 d 0
J cos(ln x)dx == J\ e z eos z dz = ez sen z + ez eos z -
j* x dx _ j*see 6. seed.tgOd6 _ fse e„ 440.tg 0 J yjx2-
1 J
'/see 2 9 -
1
tg0
J
_ f de = I see e de J
1
1497 (x¿ + 2)
3
...( 2)
reemplazando (2) en ( 1)
J*
J (x
4
—3x)sen5xáx Desarrollo du = (2x - 3)dx
\u = x* - 3x
x
4
cos5x
dv = sen 5x dx
*4 , 1 , 1 Va2 - 1 2 aresen(—)dx = — arcsen(—) H— .---------- (x + 2) + c x
3
I'"2-
1 .4 1 Va - 1 , 2 =— (jc aresen —H —+----------- (x + 2)) + c —(x 4 xjc 3
x 2 —3x 3x) sen 5x d x = - :------- —eos 5x + 5 x“ -3 x
1496
cos(ln x)dx
1
5 DesarroHo
í
du = ezdz
, 2 o s J , (x -3 x )se n 5 x a x x -3 x
I v = sen z
I
eos 5x dx
3) eos 5x dx
5
sen5x
Jv = eos5x£?x
J*I cos(ln eos(ln x)dx = = jIeez eos z dz
eos 5x +
2 x -3
du = 2 dx
í u = 2x - 3
Sea z = ln x => x = e z => dx = e zdz
dv = cos z dz
J*\ e z eos z d:
= \ e z eos z dz = — (sen z + eos z) + c = —(sen(ln x) + eos(ln x)) + c
= J ({\+tg-0)sec¿ l + íg 20)see 20 6 ddé? e = = j*\ (sec¿0 + tgz Osee2 9)d9 = l g9+ ^ ^ ~
3
215
5
x -3 x
2 x -3
2 f
= ----------------- c o s 5 x h -------------- s e n 5 x - — I sen5xdx 25 25 J
2 x -3 eos 5x + — — sen 5x + ----- eos 5x + c 25 125
2 2 3 = —( - x 2 eos 5x + —sen 5x + 3x eos 5x + — eos 5x — sen 5x) + c 5 5 25 5
Jco s(ln x)dx = j e z eos zdz = ez s e n z - j e z sen zdz
1498
I
x arctg(2x + 3)dx Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramos
216
u = arctg(2x + 3)
dx
du =■
=> dv = a dx
u = arcsen
a 2 + 6a + O x~ v=2
Sea
5
a rc tg (2 A
2
a
2 + 12a + 10
z = sen
5
1 (*
3a H— = — arctg(2A + 3) — ( I dx+ I — ------- - ----- dx) 2 4 J 4a + 12a + 10
»
Ví^ 2
t í ü J V i —72
a2 , i 1 f 6a + 5 = —-arctg(2A + 3 ) - - + - — ---- -— — dx 2 4 2 J 4a + 12a+10
a2 x 4 f 2a +3 1 f = — arctg(2A + 3 ) - —+ — — ---------- — d x — I 8
J
2 ' , A2 + 3 a + —
^ J
+
í
arcsen Va
dx
J arcsenV*dx >
Desarrollo
= z 2 => dx = 2z dz
j* arcsen 7 a dx = 2j* z arcsen z dz
dz)
f
1 2
1 2
0 d8 =-~ f (1 —eos 29 )d9 J•*
z- zv1- z")/--+ Tc
dx= 2(— arcsen z— - (arcsen z- zV1 - z ) 2
J
4
z- —1 arcsen z-^ Vi-z 2
52 A2 + 3 a + —
=Í[(a2-2)arctg(2A+ +^-ln| +6a+5|~^] + c 2 a2
sen 2 9. eos 9 dO fse n ^V1- sen 2 9
= z‘ arcsen
2 = arcsen Vx(x — ) --------(V i- * ) +
jc A* 3 5 = :— arctg(2A + 3 ) - —+ —ln ( a 2 + 3 a + —| - arctg(2A + 3 ) 2 4 8 2
3)
.
Luego:
1 |
2
4
2
| p 72 I 2 J -y/i-Z 2
= - (0 - sen 9 eos 6 ) = —(arcsen
a2 . i ! f b xdx 5 f dx ■ ««gO x+ S - J + - j — — T + i j a2+ 3a + — a2+ 3a
2
7^ 2(— arcsen z—
0 => dz = eos 0 d0
-2
J
a
dz
du =
dv=zdz
í* I arcsen \fx dx = J
+ 3) - J* 4
Sea
z
2
J a a r c t g ( 2 A + 3)d* = ~
1499
217
Integral Indefinida
2
1500
2
JW Desarrollo
c
- arcsen(z2 - —) - ^ y J l - z ~
+c
218
Eduardo Espinoza Ramos
C A P IT U L O V
Integral Definida
1502
I
Jo
219
(V0 + gf
, donde V0 y g son constantes Desarrollo
Sean f ( t ) = V0 + g t , Ar, =
5.
L A IN T E G R A L D E F IN ID A
5.1.
LA INTEGRAL DEFINIDA COMO LIMITE DE UNA SUMA
& = l + i , A* = - ¿
;
n
^ =— n
/ ( í ) = / ( 6 )» V 0 + — «'
- 7-
n-1w-1 I (V0 + g O * = lim V /(£ , )Ax,. = lim V (V + g - i ) Jo Ax^oÁ—t Ax, ^ oJL j n n
DEFINICIÓN.- Si f es una función definida en el intervalo cerrado [a,b]. Entonces la integral definida de f de a a b, denotada por: fb
f ( x ) d x , está
Ja
donde x¡ <
I f (x)dx = lim
dada por: Ja
(= 0
T f' K T gT2 gT2 = lun > ( - 2- + ÍE— i) = lim(V0r + ^ — >
f h'ST' > / (£i)Ax- , si 3 el límite
1= 0
i= 0
Ax ( —>0 A m m i
'
ti
ft
^2
n —>°°
i)
< x M , Ax, = x M - x ¡, i = 0,1,..., n - 1
1;_ g 7 2 (B-lXn)
.
r2
- lim —--------------- = V^y + p —&x¡—>o n 2 2 0 * 2
Calcular las integrales siguientes, considerándolos como límites de las correspondientes suma integrales:
1501
1503
•b I dx
s
j :\
x l dx
y a
Desarrollo Desarrollo
r/ . . b-a „ , . . b-a . i(x) = 1, Ax¡ = ------ , g. tomamos de las siguiente manera: g¡ = a + i; £i =a + iAx¡, como f ( x ) = l
I dx= lim Ja Ax,-> 0
¿ 1. 1/
i=0
=> f (^ ¡ ) = 1
Sean f ( x ) = x 2 , Ax¡ = —
n
n
= - 2 + — = a + í'Ax, n
f ( x ) = x ¿ => / ( £ ) = (-2 + - ) 2/ ( £ ) = 4 ------ «+n 72
f(L¡)Ax¡ = lim——— = lim n ———= b - a A r( —*0 Z u /i Ax,->0 n i=0
[ * 2<¿x = lim y / ( I , )Ax¡ = lim V ( 4 - — + ^ - ) . J _2 n->°° ¿mj n n n i=0 i=0
Eduardo Espinoza Ramos
220
lim ( 12 - — n2
+ — (W 1)n(2n — ) =12 - 18 + 9 = - 6 + 9 = 3
2
«3
221
Integral Definida
1505
6
I
x 3dx Desarrollo
1504
f 10
2*dx
Sea /( x ) = x3 , Ax(- = ——- = —, £, = a + /Ax, = 1+ — n n n
Jo Desarrollo
Sea / (x) = 2
,
10
Como f ( x ) = x 3 => /(!,-) = 0 + — )3 n
10/
y A x ,= — ; £• = — n n
[ % 3dx= lim Y / ( ^ J, Ax— >0i a J i=0
10 Como f ( x ) = 2 x =* / ( £ ) = 2»
10 n-1 w-1 10 f 2 "dx = lim Y / ( £ • )Ar, = lim Y 2 " / — I„ Ax — >°° £¡mmí n— *°° '■■■ W
J0
' i
10
_
= lim —(1 + 2 " n— >°° n
2.10
------
3.10
,
------
1506
10
10
= lim — ( n-»°= n
1
_ 1- 2 "
donde r =
10 —
2"
= l i m ( l - 210) — 1'l—
12 1- 2 ”
10 = 0'*
210)lim
' n'->~
12 1- 2 "
10 2
2 10 — 1
por L ’HOSPITAL = (1 - 210) lim — —*■------- = — — ^ „_>» 12 ir> m2 2 " ,-^ ln 2 n
w2 ( n - l ) \
' -------- i -------- -----------------2
Hallar el área del trapecio mixtilíneo, limitada por la hipérbola y = — , el eje X, x y las dos ordenadas x = a, x = b, (0 < a < b) Desarrollo
10
256
= lim (4+24 — + 3 2 .(" ~ 1)l,2,' ~ 1>+ 62(” r 1)i) = 4<.24t64+64=156 n-*~ « n
,,1 0
(n-1).—
+2 " + 2 " +... + 2
1 —( 2~n 1„
192 (n - l)n(2n-1 )
“ i ! f . (4 + - 7 T - + T
<=o
'= 0
i«
„ 48(w-l)w
(1 + ^ + 1 ^ - + ^ - ) rt nz n n 1=0
= lim V
/J?, ( x )s = -1 x como
* = -----b ~ a ; q¡£ = a - i ------b~a => Ax,. n n
f ( x ) = - =* /(£ • ) = - ----- ------a + í(------ ) n
n- 1 A = lim V / ( £ , ) Ax¡ A l,- » 0 Á m J 1=0
Eduardo Espinoza Ramos
222
n- 1 V" 1 .b-a A — lim > (------ ----- ) ----.b -a n i=o a + 1 n n-1 A= lim y — — -— ,en forma análoga el ejercicio 1505; se tiene: A = ln — Ax,->oÁ^an+i(Jb-a)
5.2.
D E F IN ID A S
Io
LÍM ITE
DEFINIDA
^ ( x)~
J.
f ( t ) d t es una Ja F'(x) = f ( x ) p a r a a < x < b
Desarrollo 2o
I
INTEGRAL VARIABLE.-
EL
SUPERIOR
función
primitiva de
f(x),
es
decir:
b)
— db
FÓRM ULA DE NEWTON - LEIBNIZ.-
s e n t d t , donde f(t) = sen t
Jo
rh
ih f(x)dx=F(x)\ = F(b)-F(a) Ja la
Si F'(x) = f ( x ) se tiene At¡ = — , L = — n
como f(t) = sen t => /( £ ,) = sen —
n
n
n-1
x
«-1^
1508
/ (x) = |
se n t d t = lim y /(£ )A í- = lim y ^ sen(— ).— In A l-> 0 .¿ ^ Ai —>0 jLmM n n 0
1=0
ai, —>0 n
n
Sea / = f — , ( b > a > 1). Hallar: Ja InAr
n
n
a)
n
= lim —(----- ------ (eos — -e o s (/i- —) —)) Ar(->o n ~ x 2n 2 n 2 sen — 2 n x x 1 x = lim ----- ----- . lim (eos------- cos(n — ) —) n— X . n— 2n 2 n 2 sen(— )
b)
/=
I
J a lnx
dx J b ln.x
h dx - J a ln x
di _ da
di
1
db
ln b
1509
F(x )= I \ n t d t , x > 0
= 1 - eos x, aplicando L’HOSPITAL
Desarrollo
1 , « 1, . sen a + sen 2 a + ... + sen n a = -----------(eos —-co s(n + —)a) 2 sen — 2
1 In a
Hallar las derivadas de las siguientes funciones:
2n
„ a
a)
Desarrollo
1= 0
x x x x n —1 = lim —(sen(0. —) + sen 1 . —+ sen 2.—+ ...+ sen-------x)
NOTA.-
CON
POR
Consideremos la función f(t) continua en el segmento [a,b], la función
f ( x ) = I sent dt 'o
f(x)=
223
C Á L C U L O D E L A S IN T E G R A L E S M E D IO D E IN D E F IN ID A S.-
a
i=0
1507
Integral Definida
2
2
F(x) = I ln t d t
=> F '(x ) = lnx
— da
Eduardo Espinoza Ramos
224
1510
F(x) =
f
J
Integral Definida
1513
yjl + t4dt
X
Desarrollo F(x) = J
sj\ + t4dt = - j
F (x )= I
e~' dt
VT^ tAdt
=> F '(x) = - V
225
f x SCYlt Hallar los puntos extremos de la función: y = I ----- dt en el campo x > 0 . Jo { Desarrollo f x sent set , , sen x , „ dt => y = ------ => y = 0
=J „ "
i + X4
para los puntos críticos =» sen x = 0 => x = njt donde n = 1,2,3... 1511
v
juntos extremos de la función es x = mr, n = 1,2,3...
X
Desarrollo
Utilizando la fórmula de Newton - Leibniz.-
c x~ r. o 2 rx 2 F( x) = I e~' dt = I e~1 dt+ I e~‘ di J x
J x
Hallar las siguientes integrales:
Jo
F(jc) = —I e~r dt+ I e~r dt Jo Jo
entonces:
F '(x) = —é
y'1
+ 2xe
_r4
1514
1= I
í
Desarrollo T1 n —
Ji. 1512
1 dx ) 1+ X
II 1 = ln(l + ;c) = ln 2 - In 1 = ln 2
J01+*
eos (t2)dt
lo
X
Desarrollo r> -Jx
í» a
7 = 1 eos(t2)dt=
1515
(• \fx
i eos t 2dt+
1 dx 1-2 x 3 Desarrollo
eos(t2)dt -i
X
E í-il
sTx / = -- I1 *x eos eos t2dt entonces: costt ¿dt+ 2dt + I Ja Ja 1516 dI = - COS(— , 1—X / -1) X+ COS x(----/ 1 —X ) — ).(--dx
x~
X"
di 1 1 , 1 . — = — -= eos x + — cos( —) dx 2vx x* x“
i i -i _2
= - ( —- —) = 8
2
8
J> dt Desarrollo
2y[x
f
J -X
=£>*-
e'dt = e‘ I I
-X
ti
los
1517
Integral Definida
Eduardo Espinoza Ramos
226
ío
227
_L_)
Sea S„ = —— H— !— r... + —!— => j n +1 n + 2 «+n
cos t dt
= i(_ i_ +_ i_ + « 1 2 « 1+ 1+ 1+ — n n n
Desarrollo
Luego Ax,- = — es la “n” participación en [0.1 ] y f ( x ) = —— ; <¡? = — n 1+ x n
I eos t dt = sent\ = senx => I eos t dt - senx Jo lo Jo
mi
Valiéndose de las integrales definidas, hallar los límites de las sumas.
1518
..
lim
. 1
I
i f ( x ) d x = lim y n—>°°
J n
1=0
n -1 n*
Desarrollo
1
2
Sea S„ = — + — n~ n
n -1
1,1
2
n~
n n
n
)Ax, = lim y
- ( -----—
aí—>oo
/i i
=0
1+
í
-
n
n-l . I .! = u m y _ l = f ‘j L = to a + x)| = l n 2 » -* -n + i J o 1+ X Io
——)
n->°° n ¿
/
1=0
n-1 ----- ) n
1520
lp +2 p +... + n p lim --------------------n— np Desarrollo
Consideremos: Ax, = ^ y f(x) = x n
Luego el límite es igual a la integral
- 1
I / (x)dx
Jo
i= 0
sn =
n n
n
n
j
"-I
: / (x)dx = lim V Jn M u
_ _ l p + 2 p +... + n p 1 , l p +2 P +...+np s Sea S„ = --------------------- = —(----------------------) n p+1 n nP
Luego: Ax, = —, que es las “n” particiones en [0,1] y f ( x ) = x p n
f(£¡)áXi donde £ = - como f(x) = x => /(£,■) = «
p+i ■ i
■i-4 -r-i 1 ( n - l) n 1 /(x )d * = lim \ /( £ , )Ax,. = lim > — = lim — — = Jn n— Z-W n->~ n n->~ 2« ¿ ^U ,=0 <=0 f
1519
1
,• (------, 1 h-------1 1--------1 K..H-------1 )^ lim
»->“ n + 1 n + 2
n +3
«+n
Desarrollo
, p +1
-
Luego: lim Sn = íI /(x f ( x ))dd x = [I x; pdx = ------ 1 = ---------0 = ------/? + l l o p +1 p +1 Jo Jo Calcular las integrales: i2
1521
J
(x2 - 2 x + 3 )dx
Desarrollo
228
Eduardo Espinoza Ramos 2
3
i 2
(x2 - 2x + 3)dx = (—— x2 + 3x)
1i
3
h
= (—- 4 + 6) - ( —-1 + 3) = — - —= — 32333
229
Integral Definida
1526
3 dx
j:
-2 X2 - l
Desarrollo 1522
8
f
I (V2x + \¡x)dx Jo
3—
Desarrollo
f
= —ln 2 ~ —ln3 = —ln — 2 2 2 3
( y f ^ + \ f x ) d x = (— -j2x+ — y[x)
Jo
3
4 1527
1523
xdx
I ' x2 + 3x + 2 Jo
| U- ^ - d y
J,
Desarrollo
y
Desarrollo
f4 1 l —^ d y ^ \ + —y-)dy J iy Ji / f 4 1+ J y
r
J
J
2J
6
2 2
\ l x - 2 dx
= [—ln(x 2 +3x + 2 ) - —ln | -
2
2 2_ „i „ f yfx—2 d x = —( x - 2 ) 2 \ = - ( 6- 2)2 - 0 J2 3 | 2 3' 3
I
J
3 1 1 3 X + 9 ~ 9 '* =[—ln(x2 + 3x + 2) — ln | ------— 2 2 31 ¿ x + - + -o
Desarrollo
1525
dx 3 f 1 .2 2 o x2 + 3x + 2
f 1 * dx _ 1 f 1 2x + 3 ^ o x2 + 3x + 2 o x~ + 3x + 2
1 2 14 1 -5 7 --------- j=)\ = -(-j + l) + (l + 2) = — + 3 = — y ^ y 11 4 4 4
y2
1524
= —ln | ——- 11 3 = —ln|-^—Í-I-—ln|-^— 2 1 x + 1 'I _2 2 -3 + 1 2 -2 + 1
1 .2 *2 - 1
16 3
1528 Desarrollo
3
lo
3
3
1 y 2dy I -1 y +2 Desarrollo
f " ^ = = i v s í 3 j r 3= í - í “ = _ i
Jo \¡25 + 3x
x+o
= (—ln 6 - —ln —) - (—ln 2 - —ln —) = 2 ln 3 - 2 ln 2 = 2 ln -^ = ^ (7 ) 2 2 3 2 2 2 2 4
dx
V25 + 3x
2
3
V - f — d y = í 1 ( y - 2 + ^ - - ) d y = [ ( ^ — 2 y + 4 \n (y + 2)Í J -i ' y+2 2 l-i
J _i y + 2
230
Eduardo Espinoza Ramos
231
Integral Definida = (—- 2 + 4 1 n 3 )-(—+ 2 + 41nl) = 4 1 n 3 -4
2
2
1 z3dz
1531
oz8+1
Jo z 1529
dx
Desarrollo
í o x 2 + 4jc +5 +5 Desarrollo
Joz8+l Jo(z4)2+l
dx f dx | 1 —;----------- = I --------- ---- = arctg(x + 2)1 = arctg 3 - arctg 2 = arctg — J o * + 4*+ 5 J o ( j f + 2) +1 lo 7
4 |'
f '_ 4 z ^ = l
4
J o (z ) +1
lo
4
f
NOTA: Sea z = arctg 3 y = arctg
1 ,1 n n ■—arctg 1— arctg O = — 4 4 16
tg z = 3
K 1532
2 => tg y = 2
I 1see 2 a d a 11'
6
tg z -tg y tg ( z - y ) = 1+ tg tg y
z.
3 -2 1+ 6
Desarrollo
1 7
K 4
K 2
í
I4
ft
ft
i
1
sec" a d a = tga\ = tg — tg — = 1 — ■= 1 IZI 4 6 V3
tg (z - y ) = y =* z - y = arctg(-~)
6
6
75
arctg 3 - arctg 2 = arctg y
2
1533
J l-x 2
0
1530
dx Desarrollo
dx
J3x 2 - 33xx + 2
V2 2
Desarrollo 0
3
I = arcienxl
2
r-
v2 7T = arcsen------ arcsenU = —
\ll-x 2
1
x ~ z — z
I 4
> 3.5
1534 ( x ----Y ---2 4
sfi.
dx
X----+ 2 2
x-2 !4 2 1 = In | ------ Il = In — ln — = ln 2 - ln3 + ln 2 = ln4 - ln3 = ln x —l 1 3 3 2
2
dx \¡5 + 4x Desarrollo
f
^
J 2 j 5 +4 x - x 2
= f - ----- - = arcseni— J2 ^ 9 - ( x - 2 ) 2
J
= arcsen - - arcsen 0 = 3 >2 2 6
232
Eduardo Espinoza Ramos
1 1535
J.
233
Integral Definida
j y 2ay 1539 y6 + 4
í;
sen( ln x) , — -------- dx
Desarrollo
Desarrollo
1 y 2dy _ i f
r
1
3 v 2dv
3 *'í V(y 3 )2 + 4
0 V>’6+ 4
1 - l n | y 3 +>/ y6 + 4 3
f "í ew(lnX1 dx = - cos(ln x)| = -(co s(ln e)—cos(lnl)) = -(cosl-cosO ) = 1- cosí
Ji
= - l n | l + V5 | - i l n 2 = - l n | Ü ^ 3 ' '3 3 2
1540
11
x
I 4 tgxdx
J-* 4
1536
í,
2
i
Desarrollo
eos a J a
n_
Desarrollo
£
| % gx dx = - ln(cos x)| 4n = -(ln(cos
- ln(cos(- - ) ) )
« s e n la 4 _ n 1 í 4eos 2 a d. a = \ f í l— ■eos2a , ----------d a = (— + ----------) 2 2 4 o ~ ”8 + 4 Jo Jo = - ln(cos —) - ln(cos —)) = 0
4
1537
4
sen \¡í di¡t
í 1541
Desarrollo
f
3 ctg4\f/ d\¡/ 6
3
.
1 2 , ,
I 2 setv'xj/ dì/// / = sen y/ di - !I
Jo
i
,
Desarrollo
COS ' W I 2
( 1 - c o s - \f/)sen\i/d\j/ = (-c o si/m ---------—)r
J i -
3 I"
-
I“
f 3 ctg4y/d\j/= í 4 (eos2 y /-l)c tg 2\ i / d y f = - ^ ^ y K+(ctgii/+y/)\ ^ =
= (0- 0) - ( - l + I ) = | 3
1538
dx
í;
6
3
1542
xln x
r
í;
x ln x
= InOn x) \e
= ln(ln e 2 ) - ln(ln 3) = ln(-----) ln 3
«
1 exdx
j o l + e2* Desarrollo
Desarrollo dx
6
1------— = arcíge^, 1 ’ = arcfge , * - — J o l+ e lo 4 f
6
8
K
234
1543
Eduardo Espinoza Ramos
I cosh x dx
Jo
235
Integral Definida
(T )
Si “f” es continua en <-°°,b] y si lim í f ( x ) d x
DEFINICIÓN.-
existe, entonces definimos:
Desarrollo e-e-' 1 1 ------- = - ( e — ) 2 2 e
f cosh dx — \r ' e— +eI ' dx = e_ * - e " \ ' Jo Jo 2 ■In 3
1544
b
í
rb f { x ) d x = lim I f ( x ) d x a->-°°Ja
,
dx
(T )
J„
DEFINICIÓN.-
Si “f ’ es continua en
< - ° o ,+ o o >
entonces:
' In 2 C O S h 2 X
/•+00
Desarrollo
J f
'"3 dx
J in2 ^
f
in3
|l"3
BJ „, “Cb d X ' H „3=Win 3)- .ghdn2),
mO f ( x ) d x = lim J f ( x ) d x + lim í f ( x ) d x />->+“ J Q
NOTA.- Estas integrales son convergentes. Cuando existen estos límites en caso contrario se dice que es divergente.
1545
[I J
0
senh senh2jx d x (? )
DEFINICIÓN.-
Desarrollo f
J«
senh2x d x = ^ f
(g2t -
4J o
2 + e~2* )dx = - ( - 2.y + — ■ e
4
2
)| *
|o (? )
Jt 1 1^ 1 : ( - —+ —senh2x)\ = —cosh 2k - — 2 4
lo
4
‘
DEFINICIÓN.- Si
Si “f” es continua en /.ft (•&-£ / (x)dx = lim f(x)dx Ju °Ja límite exista. “f ’
es
f ( x ) d x = lim
2 Ja
DEFINICIÓN.-
Sea “f ’ es continua en [a,+°°>, existe, entonces definimos:
• •
f (x)d.x = lim I b—¥+oo I » <2
en
definimos
siempre que este
/ ( x ) d x , siempre
definimos que este
e ~ * ° j a+e
límite exista.
IN T E G R A L E S IM P R O P IA S .
(T )
continua
[a,b>
f(x)dx
b ijm f f ( x ) d x , b— >+ooJ a
(ó )
DEFINICIÓN.-
Si “f” es una función en [a,b] exce>i.) en x = c donde a < c < b, entonces:
*b
i»c-£ rb f ( x ) d x = lim I f (x)dx+Y\m I f ( x ) d x , Ja £_>0Ja £_>0Jc+£ estos límites.
siempre que existan
236
Eduardo Espinoza Ramos Calcular las siguientes integrales impropias (o determinar su convergencia).
1 l ,£ 1 I 3 = - lim(------... 1 ---------1 ) - lim A(---------------) 1 = lim--------¡ + lim-------- 1
dx
1546
£->o
f Joo v *
í —f= = üm f = lim 2Vx| = lim( 2 Jo v x £ ~ * ° J e Vx £~>0 le f_>0
= -(-oo) -1 — + +oo = ° ° .
£-*o 1—e —1 0-1
Luego:
£— >o
^ dx j ---------—, es divergente
Jo ( x - l) 2
2Ve) = 2 1550
f
x-l|o £— >o x —1li+£
1 2
Desarrollo
1547
237
Integral Definida
2 dx
J-i x
dx rJo V i-*2 * Desarrollo
Desarrollo c2d x_ r°d x [ 2 dx r e dx h I — - lim i — + lim — J-1 x J X J () X e— »0J _J x E - + Ü X
=
f 2 dx lim In x| £->0 |_J
+
dX.... = lim f E— jÉ?L = = limarcsen xj ' *
f‘
j oVl-x2
, r £i : lim ln jcj £->0 ¡¿
£-*0
por tanto la integral es divergente. 1551 dx
1548
yfl-7
£^°
lo
n = lim (arcsen(l - e) - arcsen(O)) = arcsen 1 = — £-»o 2
= lim [ln (-e )-ln (-l)] + lim (ln 2 -ln e ) => 3
£->0
£^°Jo
r
dx x Desarrollo
i Desarrollo f
f *
, f dx 1 I1 ¿~P I1 i £i-p j — = hm — = lim -----------= lim ------ = lim(— ---- - — ) = — J o x p £->0J e X p £-* 0 (l -p )x p~l \e * - > ° l - p |£ £->0 1-/7 1 - p 1- j si p < 1549
1552 Desarrollo
/iv
J r ^ = Jo ( * - 1)
/ jv
Jo ( x - l )
j..
J l ( X - l )2
a
i—e
í — = lim ln x |
— = lim X />-»“ J i
X
11
=
lim (In b - ln 1) 6 -* “1
rdx Luego la integral I — es divergente. Ji x
1 es divergente, y si p > 1 es convergente.
Jo (x - l Ÿ 3
J]
j
»3
dx - lim f 1 6— — y + lim f Jo ( X - l )2 e->oJ,+e ( X - l )2
r
dx ~~2 Desarrollo
=
lim ln b = ln(°°) = í>-»~
21+e - l
238
Eduardo Espinoza Ramos
239
Integral Definida
1 x+ 2 ; lim —¡= arctg(—
r
a
5
1 x+2 I + lim —= arctg(—=^) \a
V5
h ~>°° V 5
V5
I 2
Desarrollo dx ¿ ~ p | fc ,bl~p ^ f •— = lim f — = lim— — I = lim(— — 1—)1=0- -i - - - -i - - - —s¡r»l Ji x p xp 1—/?Ii 1-/7 1 - p - p p- 1 r dx I — es convergente si p > J¡i x py
Luego:
1554 í
: lim ( ~ s arctg(O) — -r- a r c tg (^ ¿ ) + lim ( ~ arctg(-^=~ ) — \= arctg(O))
- S
S
S
b-~ s
s
s
1 arctg(-oo)x+ —= 1 arctg(oo) -=■
1 divergente si p < 1
S
S
2 K - 7=rarctg(oo) = —j= . Luego la integral es convergente. S n/5
dx > >1+ x 2 Desarrollo
f - ^ = f
J -oo 1+ ^
A
J-ool + X
t f
A
Jo l +
0
,
J-
dx
Ita f - V » f J( 1+ x 1+1 +X X Jo
X
Lo Desarrollo /» I . Pb ibO se n x d x = lim j s e n x d x = lim -c o s x = lim (eos b -e o s 0). Jo b^°°Ja b~,°° 10 b^°° MOO
= limarctg x| + limarctg x| |a |0 = lira (arctg 0- arcíg a) + lim (arctg b - arete 0) 71
por lo tanto la integral es divergente
K
= arctg(~) + arctg(oo) = —+ — = n . Luego la integral es convergente. 1557 dx
1555 L
x2
’2 dx
i
x ln x Desarrollo
+ 4x+9 Desarrollo
r
sen x dx
1556
dx
r
dx
r
2
í 2 dx = lim f 2— = lim ln(lnx)|" Jo x ln x c->oJ£ x ln x e->o |£
dx___ + r ~ ____ dx_
J-«,x 2 + 4x + 9 J-~(x + 2)2+ 5 J—((xx ++ 22)2+5+Jr + 5 J -2 ( x+ 2 )
+5
ln = lim[ln(ln —) - ln(ln e)] = lim ln(— —) = +°° e- > 0
2
Luego la integral es divergente.
£-»0 ln£
2
Eduardo Espinoza Ramos
240
Integral Definida
241
i 1558
2
dx
1561
L o x ln 2 x
I 2 c tg xdx
Jo Desarrollo
Desarrollo i í Ine —ln — dx f 2 dx ,. 1 \~2 = -h m ,(—1 -— -— 1 ,) = hm --------- — 2 ----- — = lim ---- — = lim --— Jo xln~ x £-*°Je x\ n x £_>0 ln jc|£ £_>0 £->0 2 ' 2 ]_ ln e + ln 2 e 1 1 1 1 = lim ------------ = - lim — ----- = - lim £->o 1 £-»o 1 1 £->o 1 1lnl —ln 2 ln 2 ln e .ln ln -.— ln ln p
n I2 r2 |2 7Ü I c \ g x d x = \ \ m I c t g x dx = lim !n(senx)| = lim(ln(sen—)-ln (se n e ))
i
le
2
2
2
£_>0Je
Jo
£— >0
= lim (ln l-ln O ) = 0 - l n 0
£->0
1562
f
e^dx
Jo
Desarrollo
Luego la integral es convergente
1559
|
í
Jo
- É L ., a > jcln x
3 . Luego la integral es divergente
í e kxdx = lim í e kxd x = lim -^—— I = —— lim(e bx- 1) = — Jo ¿j— >°°Jo b-*~ k lo k
1
La integral es divergente
Desarrollo pi>
f = lim f -ÉL— - ijm ]n(ln jc)I = lim fln(ln b) - ln(ln a)] = lim ln(——) Jo jcln* xlnx b-**> \a b->°° b->°° lna
1563
’ arctg rJo 1 + X
x IX 2 dx
Desarrollo = ln(—) = ln °° = oo . Luego la integral es divergente a
1560
(•“ arctg*
= ,.m f ” arctg*
Jo 1 + *
f " dx i -----, a > 1 Ja Jtln2 *
6~*°°Jo 1 + JC. arctg 2(°o)
D esarrollo
? " ,b = ^ arctg2b arctg2(0)^ = üm arctg_£| b— >°° 2 2lo b->°° b~*°°
arctg 2(0) _ n 2
i a
ln — rI —dx-— = ..hm r[ ----dx—- = hm ----------i f = -... i i, .. l i m ( ------------) = - l i m ----- b Ja Jtln * h-^°°Ja x \n~ x h~*°° lnxla b->~ \nb ln a f>->~lna. lnfc l• n b-1 j = lim ----- — = lim ~ -— = ------ . La integral es convergente. ln a.lnb ¿>->~ 1 lna —lna b
1564
dx
I2 U 2 - l )2)2 Desarrollo f°°
J2
dx
— ----- 7 = llm ( X 2 - 1 )2
Cb
dx
“ i ----- t
J2 (X 2 -
1 )2
integrando
f
dx
——
J (X 2 -
l)2
242
Eduardo Espinoza Ramos
243
Integral Definida
n/x 2 -
1
2; t - l
„ ,
• = —ln ------------—j=arctg — ■==-, por tanto se tiene: *3+ 1 6 6 rx
í
1
(* + l)2
1,
dx
j*fc dx rl , U + l)2 1 t 2jc-1 —— = lim [-ln —--------- + - = a rc tg — ■=Jo x +1 *-»“ Jo x +1 *->“ 6 x - x + 1 V3 V3 r
dx
—— = lim
Es decir: sec0 = x ; dx = s e c 0 tg 0 d 0 f
fsecfl. tgOdd
dx
fsec 0.tg 6>¿0
f
„
,
f
1, —r--------(*+D 1 arctg— 2b~K p A = lim (—ln + -¡= - ) - 01 — p arctg (— W r ) i->~ 6 (fo2 -¿> + l 73 V3 V3 V3
,
» O integrando por partes:
1566
=- f e
:L
2
+ta|^ é ;
f'
Jo
=
7T
n
2k
5jc2 Desarrollo
= - - l i m (—— -+ -
b->~J2 (x2 - l ) 22*—
(x2 - l ) 2
1
^ a r e tg ^ ^ ^ ^
Í¿C
V -l
i
V T Iíl
f - 3^ -
1
1
1
2 = lim f ~ J ~ ~ 2 = lim f ( - 2 5 - 4 + - ^ ) d x
Jox3 - 5;t2
e^oJe
e^oJf
x
JC-5
lim [ ( - ^ — + l n - /L _ L ) - ( - + 1„ _ L )j
2*-*“ ¿>2- l
V3
1 1
V5
= lim(— —ln x + — + — ln |x - 5 1) e-*o 25 5x 25 £
1 1
- - - r ( 0 - —+ ln>/3) = - - i- ln > /3 = - - —ln 3 2 3 3 2 3 4 1565
1
^ a r c t g W
= - - [ c s c 0.c tg 0 + ¡n | csc 0 - c t g 01|
í Luego
1
= 0+
I5 + —25 in(-4) + —25 lnO + — - + — ln (0 -5 ) 5(0) 25
10 JT +1 dx
D esarrollo f " dx Cb dx . f dx I ~ 5—- = Iwn I —-— integrando I Jo *3 + l Jo x +1 J x 3 +1
3 lim If —------ - por lo tanto la integral impropia es divergente. e->oJ£ »Je -jc3 - 5x 2 .100
1567
í
0
de acuerdo al ejercicio 1294 se tiene:
dx
y[x + 2\fx + X3 Desarrollo
244
Eduardo Espinoza Ramos
Sea /( * ) = _ --- 1—— Vx + 2^
x 2 + í[7
—
* +1
= arctg x|
7\
x +i
Luego f ------< í - ~x— , de donde
yfx + 2\fx + x 3 ~ J 0 x2 +l
f 100 dx Jo
Sea /(x ) = --------L = = = < —L - , V x > -1
Vx>O
x2 + l
i”00 dx
f '00___ dx Jo
1—
+ x3
245
Integral Definida
J - .x 2+ ^ / 7 7 i
I100
f 100 dx
lo
Jo
= arctg 100 =>
r
—---- , es convergente, por lo l
x2 + l
J - 1 A- + 1
dx 1“ n . , k n — - = arctg xl = --a r c tg (-l) = - + - = —
J-i x" +1
l-i
2
2 4
4
,
100
dx
tt=---- -t=---- t , es convergente o <]x + 2 y x + x s
r~
dx
r
dx
entonces I —----es convergente por lo tanto I -------- —....- es convergente J - , a 2+ V 7 T I
dx
1568
i
1570
2x + yjx2 +] +5
xdx
f Jo
'o 4 x 5 + \i
Desarrollo
Desarrollo
1
1
Sea / (x) = ------- r = = ---- ---------- • puesto que 2x + \fx 2 + 1 + 5 4* + 5 F
Sea /(x ) = -= ■■*....— , V x > 0 VTTí
*2 + i
yjx2 + 1 <2x => 2x + >/x2 + l + 5 < 4 x + 5
f ” xd x ^ (*“ dx , J I ,....— < I —r---- de donde se tiene:
------ r
1
2x + vx
1
---- -- ----- r
=>
f°° dx I ------- ¡ =
f” ------^ I
Ji 2jc+ V
+1+5 4* + 5
dx
Jo Vx5 +1
--------- , Pero:
f —
'
'I,
dx
f°° xdx
,
4
f~ dx f~ dx Luego I -------- es divergente, por lo tanto I -------- =====---- es divergente j> 4 jc + 5 J. 2 * + ^ n + 5
1569
f -----
1571
f1
Jo
dx
x4 Desarrollo
Sea f ( x ) = - j J = r =
J-i x 2 + Vx 4 + 1 Desarrollo
lo
2
Luego I —---- es convergente, por lo tanto: I ------ , es convergente. Jo x~ +1 Jo yjx5 +1
= -í-ln|4* + 5||°° = o = -—ln3 = <»
4
Jo x2+l
Jo x2 +l
+1 + 5 Ji4x + 5
f
Ji 4x + 5
dx r n n n I —---- = arctg .vi = -----0 = —
V l-x 4
1 i¡( l - x 2)(l + x2)
< J - ----- luego: y¡\ + x 2
2
246
Eduardo Espinoza Ramos
r de donde
JoÿTT ?
J .ÿ ïT ?
f 1 xí/x ",/ ■
3
-I1 3
J'Wl +JC2 4
h
2
f1
lo 4
•/
Jo ¿A+ v2
1574
ir
2
x1
x\E 2
n
n
rdx , . . I — es convergente, de donde
J - x"
Demostrar que la integral de Euler de primer especie (función Beta). B (p , q) =
dx
í
2
dx
sen.x , — — dx es convergente. ~ - ( l + .V )3=— ( 23 - 1) entonces l -| X ^ A es convergente, 2
. r ¿A.. es convergente. por lo tanto I Jo V i - * 4
1572
247
Integral Definida
x p~l ( \ - x ) q~l d x , es convergente cuando p > 0 y q > 0 .
Jo Jo
x ln x
Desarrollo Desarrollo
lnx Entonces
r
Sea f ( x ) = x p \ \ - x ) q
x Ir, a
í
d B(p,q) = í ; f ( x ) d x + j* f { x ) d x , por el criterio de comparación se tiene:
f
j ------- > | ~ d x de donde se tiene: j] In.r J, .xln x
2
dx f " dx I■ —-— = lim I -------= lim ln(ln x)| x ln x e->o J l+e xln x £->o Il+£
lim f ( x ) x ' ~ p = 1 y lim( 1 - x ) l~q f ( x ) = 1 x— ^0 x— »0
1 —p < 1 y 1 —q < 1, de donde p >0 y q >0 en este caso las
esto cuando -
integrales
i r dx i*2 dx Luego I —-— es divergente, por lo tanto I ----- es divergente. Ji * ln x Ji lnx
/:
J 2/ (x)dx y
i f ( x ) d x son convergentes, por tanto: 2
B(p ,q)= I x p~](1 - x)q~xdx es convergente cuando p > 0 y q > 0 .
senx , -dx
Jo 1575
Desarrollo Sea
f (x ) d x
2
= lim(ln(ln 2) - ln(ln(l - e)) = ln(ln 2) - ln(ln 1) = ln(ln 2) - ln 0 = -=o
1573
1 luego: Z?(¿>,g) = J f ( x ) d x = j 2 f ( x ) d x +
/(x ) = ~
< *
- L X2
de ¿onde
f ^ ^ d x < Jfl J?XT
Demostrar que la integral de Euler, de segunda especie (función Gamma). V(p)= I x p le Xdx es convergente cuando p > 0.
~ X2
e n to n c e s
Jo
Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramos
248
En T (p )= I x p le Xd x , el factor e 1 —>0
cuando
t —>
»2 ___
Luego:
/»arccos2 h
Jo
x p le Xdx converge en el límite superior para cualquier valor de P, en el
límite inferior el factor e~‘ —» 1 , cuando t —» 0 y el factor
/ p' 1
»arccos2 5
k
2
sen3tdt no se puede calcular
2
Transformar las siguientes integrales definidas valiéndose de las sustituciones que se indican.
°° cuando
p < 1 y, para que sea convergente en el límite superior P debe ser positivo.
2
(senf) 3(-sen(W í = - l
\ J \ - x 2dx= i
Je
ío
249
Integral Definida
1577
J* \ / x + \ d x , x = 2t - l
(El límite se obtiene por el Teorema deL’HOSPITAL) Desarrollo NOTA.-
r(p ) =
5.4.
.3
f x p~le~xdx = lim í x p~le~xdx Jo
£ -Jx + Í d x = 2J y]2t - 1 + 1 dt = 2J V2 sit dt = 2V2 ^ V? dt
'-»“ Jo
1
C A M B IO D E V A R IA B L E E N L A IN T E G R A L D E F IN ID A .1578 Consideremos f(x) una función continua en [a,b] y x = \j/(t) continua y i (t)
i j*1
Ji Vi
dx
Desarrollo
continua en a < t < (3 donde a = y (a ) y b = \|/([i) y además la función f(\j/(t)) continua en [a ,(3], Entonces: rh
rP f (x)dx =
Ja 1576
Sea x = sen t => dx = eos t dt
f
f[y/{t)].\i/’(t)dt Ja
i
-
dx
_ 1*2 eos tdt
2V i- * 4
6 Vi -se n 4 í 7T
Se puede calcular la integral i \ ¡ \ - x 2dx valiéndose de las sustitución
_
Jo x = eos t?
*
costdt
-
(*2
eos tdt
oy
J* V (l-sen 2r)(l + sen2r) 7£
^ r2
dt
yjeos2 í(l + sen2 /) ’J^. Vi + sen2 f Desarrollo 4
Sea f ( x ) = \l 1 - x 2 =>
= yj\ —cos 2 1 = (sent)
donde \|/(t) = eos t y ij/'(t) = - s e n t
/ ( y / ( t ) ) y / \ t ) d t , donde x = eos t
1579
3 , x = senh t L 3 V 7 7 I >. Desarrollo H f In3 coshrdí f ln3 . I = ... .. ■ ■„=■ = 1 d t , donde J—V*2 +1 J'n2 Vsenh2 1+ 1 Jin2
250
Eduardo Espinoza Ramos
251
Integral Definida x = senil t => dx = cosh t dt
e' - e ~ ‘ jc = senh t = ---------
o , a= b-P para t = 0 => a = B ; t = 1 =» -----------a =b~a
3 4 para x = — , t = ln2, x = — , t = ln3 4 3
por tanto: x = a t + p ; x = (b - a)t + a Utilizando las sustituciones que se indican, calcular las siguientes integrales:
K 1580
i 2 f ( x ) d x , x = arctg t Jo
1582
Desarrollo
4 dx
í
0
\ + síx
Desarrollo x = arctg t => dx =
para x = Ü =>
dt
1+ t 2
Como x = t 2 =$ x = t 2
0 = arctg t => t = 0
71
x ~~2 ^
Tí
— = arctSí
además para x = 0 => t = 0 ; x = 4 => t = 2
t = °°
Luego: f / (x)dx = f /(arctg t) dt 1+ t 2 Jo Jo
1581
Jo 1 + f
, ,
Jo
l+t
o'
4 dx
I
x = a t + p que de por resultado que los límites de integración se hagan
t
yfx = 4 -2 1 n 3
0 y 1. Desarrollo
b
í
Jo 1 + Vx
1
(1- - — )dy
12= 2(2 - ln 3) - 2(0 - ln 1) = 4 - 2 ln 3
Para la integral i / ( x ) d x , (b > a) indicar una sustitución lineal entero Ja respectivamente iguales a:
f 4 d x f22t d t 0 f 2 ----- ■== ---- = 2
f (x ) d x , como x = a t + (3, la sustitución lineal entera entonces buscaremos
a y P para que los límites de integración sean 0 y 1 . Luego: a = a t + P ==> t = ——— a b = a t + p => t = - —— a
1583
I
x - 2 = z3 U - 2)3 +3 Desarrollo
Como x —2 = z 3 => dx = d>z2dz Para x = 3 => z = l ; x = 29 => z = 3 f 29 (x —2)^dx Luego; J -------- = ( x - 2 ) 3 +3
f 3z 23 z 2dz
=
z4dz
252
Eduardo Espinoza Ramos
253
Integral Definida 2dz
= 3 f (z2 - 3 + - ^ — )dz = 3(—— 3 z + - i a r c t g - ^ ) | Ji z +3 3 V3 V3 I
r ~ ± —
Jo 3+2cosf
2 - 2z + 1+ z 2
Jo
= 3 (9 -9 + ^ a r c t g - | ) - ( I - 3 + ^ a r c t g ( ^ ) )
1584
2
+8 = A - 8
,
V5
J * J í z ^ , 8+_ U
" J3
2j3
í 1586
Desarrollo
Luego:
I
«o
1585
i
i
V5 o
5
V5
n
dx
1o 1 + a 2 +sena i 2 x
Desarrollo , ademas senx =
t
Vl+í2
2
il
\lex —l d x = I —^—- = 2 I (1— -— )dz = 2 (z -arc tg z) = 2 - — Jo z '+ l Jo z +1 lo 2
—
1+7
_ r _ _ * _ = _ J L _ iim f
Jo l+a2sen2x Jo a2f2 Jo (l+a2)í2+l
• In2 ____ Jex - l d x = 2 - ? Jo * dt o 3 + 2cosí
fc->~V5
^¡5
o 3 + 2cosí
rf
,
*-*-Jo z +5
K Para x= 0, t = 0 ; x = — , t = °°
H
9
V5
1+ t2
+1
Para x = 0. z = 0 ; z = ln 2 , z = l y--
dt
V5
, dt Como tg x = t => dx = ------
^
z
pln2
K
C x-2 )3 +3
f ln2 ------ylex - \ d x , e x - l = z 2 Jo
Como e x - l = z 2 => e*dx = 2zdz. ; dx =
Jo z +5
= 2 lim (4 = a r c t g — j=arctgO) = \ arctgc*-Q = Z L
2 ^
ib
r ~ » ± ¿ T -
\[\ + a2
Jo(l+a“)r +1
1 + f2
=■limarctg(Vl+a2í)||o =Vl■+1a 2- lim(arctg\l\ + a 2b - arctg0)
t ®2
yfl + a 2 Desarrollo
Como tg —= z => dt = ■ y eos t = -—— 2 1+ z ' Para t = 0, z = 0 ; t = rc, z = °o
1
r[arctg(oo) - arctg(O)] = —7==Ltuvv5vvv/ Vl + a 2
1+ z2
n
2
-
dx
f0 1+ a2 sen2 a
K 2\]l + a 2
7T r2v l
254
Eduardo Espinoza Ramos
Integral Definida
Valiéndose de sustituciones adecuadas, calcular las integrales:
2V 2 0 - 11secg tggdg = f 3tg20J0 f, 2. ^ *2- 1U , = ff l3 Vsec Vsec20 Ji * Jo sec0 Jo
£2
1587
255
= f 3(sec20 - l ) í /0 = (tg 0 -
Desarrollo
Jo
0)|3 = ( - j 3 ~ ) - ( 0 - 0 ) = > ¡ 3 ~ lo
3
3
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0 í 2^ ± d x = J Í - -
/. Para x = — 2
=* B = — \ 4
x = 1 => 0 = — 2
1589 J:fl
x2
JI
sen
0
J l sen
ln5exy[e*—Í
1
ex +3
, . 2 . 2zdz e - l = z => í/x = ----- 1+ z
= J^2c tg2e de = J 2(ese20 - 1)¿0 = (-£■tg0 - e )|2 4
4
=(-ctg0-e)
1 X2
para x = 0 = » z = 0 ; x = ln5 => z = 2. Luego:
T
F ' d E l « .
2= ( - o - * ) - ( - i - - ) = i - - + - = i - -
lí
4
1588
3
0
n
k
J 2i
X
Desarrollo
Luego:
-
Ji
2
4
2
4
Jo
4
ex + 3
Jo z~+4
1+ z
Joz"+4
Jo
z +4
= 2( z - l ar ct g- ) | = 2(2 - 2 arctg ( 1) ) - 2(0 - 2 arctg (0)) = 4 - n 2' o
dx = 1 ----
4 1590
,2V ^ ? Ji x
r ------ % = Jo 2x + y]?>x+ \ Desarrollo
Desarrollo Sea x = see 0 => dx = see 0 tg 0 d0 Para x = 1 => 0 = 0 ; x = 2 => 0 = j . Luego:
256
Eduardo Espinoza Ramos
Para x = O => z = 1 ; x = 5 => z = 4.
257
Integral Definida
Luego:
,
7 + 2V7 . 9 , , 7 + 2^
= ln------------ln—= l n ---------i»5
*4
j
—zdz
2
*
f ___ ÉL___ = f _ _ J _______ 2 I Ji 2 /_ _ 1n) +, z Ji1 (z 22 —
Jo 2x + \¡3x + l
1
+ ~’z 2
1592
4
1
4
1
9
dx
!)2 j; (1 + * 2)2 -1
2
Desarrollo
- 2 f ------— ----- = 2 j* (— + - ^ - ) d z = [-ln(2z -l)+ -ln (z + 2)J J, (2z-l)(z + 2)J, 2z - l z + 2 55| 1
2
4
4
í — ÉL— =
J (1+ x2)2
4
¿e acUerdo al ejercicio 1297
2(1 + x )
2
= (—ln7 + —ln6) - ( —lnl + —ln3) = -ln 7 + - ln 3 + - l n 2 - - l n 3 f
dx
i(1 + jc2)2 J-i(l +jc2)2
1 4 1 = - l n 7 + —ln 2 = —l n l l 2 5 5 5
dx
i
x
1593
1
1 n
1
arctg(l)
1
arctg(-l)
4
2
4
2
= ( —+ — - — ; - ( —- + - — - — ;
x" dx
Jo
x\l x ¿ + 5x +1
Desarrollo |n>I a
Sea x = - => dx = - É t
f ' ] a x - x 2d x = f j - — ( x - ~ ) 2dx = - [ ( x - —) \ l a x - x 2 + — arcsen(— -;j Jo Jo V 4 2 2 2 4 a lo
t2
2
Para x = 1 => t = 1 ; x = 3 => t = 3 i
.É
f ____ é l ____ = fa xsI x 2 + 5x +\
I
-)|
2
Desarrollo
Ji
arctgx l1 I
2(1 + xjc2)) +
= —+ arctg(l) = —+ — 2 2 4
Calcular las integrales: 1591
-
Ji l O
_
/2
“
n
,2x-a I 2 °2 2* - a Ia = (------------ v a x - x + — arcsen--- ) 4 8 a lo dt____ = r ' 1_ - U Vr2 +5í + l 3 'I
di
2
5,2 21 2 —~4 ln
- l n | ( - + í) + Ví 2 + 5í + l |j j = l n | - + >/7 | - l n | ^ - + ^ y -1
2
2
2
= (0 + — arcsen(l))-(0 + — arcsen(-l)) = — arcsen(l) = ——-
1594
ío
dx
5 -3 co sx sx Desarrollo
258
Eduardo Espinoza Ramos c . x 2 dz sean tg — = z , dx = ----- cosx = 1+ z fr2n
¿ir dx
rc2*
2 dz 1+ 722
259
Integral Definida
<•0
1- z 2 1+ . 2
por lo tanto
I
0O f{x)dx = I f(x)dx
J-a
i r2K i *
i
i2® i if-* 2dz
... (2)
Jo
*a
„ 1i„2¡2” tc 1x j
*a
reemplazando (2) en ( 1 ):
/ (x)dx =
2 j f ( x ) d x en forma análoga para
J-a
o
Jo
f(x) impar.
l +z 2 1596
v In Jt = —arctg(2 tg(-))| = arctg2tg(-)-arctg(2tg{0))
If “ e -*2J dx = 2„ f " e
Demostrar que:
J-o=
dx = If “ — p —
Jo
Jo V*
Desarrollo . 7T _ 7T - arctg oo - arctg(O) = —- 0 = —
1595
Demostrar que si f(x ) es una función par
_ 2
/(x ) = e x es simétrica respecto al eje “Y”.
Ja
contrario f(x) es una función impar L
•0 1 e~x e x dx = I eé~xx dx + I ee~xx dx = I ee~xx dx + I e x dx
/•a /•a ! f ( x ) d x = 2 j / (x)dx . Si por el
J-oo
JO
f(x)dx = 0
■i
Desarrollo rr>
J -a
j»a
1*0
f(x)dx= \
f(x)dx
/(x )d x +
J-a
J-eo
Jo
Jo
JO
Jo
e x dx ; por la simetría ahora demostraremos que:
. Sea z 2 = x => dx = 2z dz
2 i e~x dx = i e~x
...( 1 )
Jo
V*
Jo
Como z 2 = x => \ fx = z como f(x) es par => f(x) = f(-x) ~ xdx= rI e —=
Sea x = -y => dx = -dy I / (x)dx = - I
Jo
J-a
f j-a
f(x)dx = -
f Jo
Jo Vx
/ ( x ) d x , para x = 0 => y = 0; x = -a => y = a. Luego:
f ( x)dx = -
f /(-y X -y ) = - f f ( y ) - ( d y ) Jo Jo -
= Í f ( y ) d y = í /(x )d x
Jo
Jo
1597
_
Demostrar que:
= 1r e—-dz 2=z2. I en ~r ífe -z2 = 2 ,I eo f ”dx Jo 2 Jo Jo
1 dx J.C C 2 sen x , | ---------- = I ------- d x
J()arccosx J()
x
Desarrollo Sea arccos x = z => x = eos z ; dx = sen z dz K
Para x= 0 => z = — ; x = 1 2
z=0
260
Eduardo Espinoza Ramos
1
f dx Jo árceosx
o
[ -sen z d z _
J* 2
z
1
Luego:
k
5.5.
IN T E G R A C IO N P O R P A R T E S ,Calcular las siguientes integrales, empleando ía fórmula de integración por partes:
-
C dx f 2 sen x , I -------------= ---- -dx Jo árceos x J 0 x
£ 1598
re
o
f senz ^ _ j*2 s e n z ^ _ f 2Sen;c¿t Jí z J0 z Jo x 2
261
Integral Definida
1599 £
i,
x eos x dx Desarrollo
Demostrar que: I 2 /(senx)rfx = j ~ f (eos x)dx Jo Jo
u = x => du = dx
Haciendo
dv = c os x dx => v = senx
Desarrollo
n
Sea z = senx =$ V l - z 2 = eosx
í dz = eos x dx =>
k
x c o s x d x = x sen jdp - f sen xdx = xsenxi 2 + eos xl le !c lo Jo
— = dx Vl- z
\l 2
.
( 7Z
TZ
TT.
■(jesen a' + cosjc)| = (—sen— i-eos —) lo 2 2 2
para x = 0 => z = 0 ; x = -~ =s> z = 1
.
7t
2
1600
<•1 í 2 / (senx)dx = í f ( z ) - r ^ = Jo Jo Jvi1-~z7 2
... (1 )
í
ln xdx Desarrollo
sea y = eos x => dy = - sen x dx
Haciendo
K= lnx => d u = — x
dv = dx => v = x
como J l - y 2 = se n x =? — r¿ L = = dx J* lnxdx = x in x | - J* dx = (x ln x -x )J = ( e - e ) - ( O - l) = 71
para x = 0 => y = 1 ; ■*= — = ^ y = 0 1601
Tí
f 2/(C0Sx)dx= f f ( y ) ( - ! É = ) ) = Í l f ( y ) - Í L = = f'/(z )-^ = ... (2)
Jo
Ji
y j l —y '
í.
de (1) y (2) se obtiene:
*'°
y¡l-y2
*
| 2 /(senx)dx = i 2 f (cosx)dx Jo
Jo
*'°
f x3e2xdx Jo
Desarrollo
v i-z 2
u=x
du =3 x 2dx
Haciendo dv = e2xdx => v = -
_
.
7t
(0 + 1) = - + 0 -1 = ---- 1 2 2
1
262
Eduardo Espinoza Ramos 263
Integral Definida f x 3e2xdx = ~ - e 2x\ ¿
Jo
lo
x 2e2xdx 2 J0
1603
u. = x
Haciendo
=$ du = 2xdx „2x dv = e2xdx => v = -
Io
xe~xdx Desarrollo
u = x => du = dx dv = e~xdx => v = -e~x
í x 3e2xdx = ( ~ e 2x- ~ x 2e2x)¡ + - f xe2xdx Jo 2 4 ¡o 2 Jo (— e2*
xe~xdx = -xe~ r + i e 'xdx = - e _Jt (x +1),
A 2*)! o
4
i >+1 xe~xdx + lim f xé~xdx = lim - e x(x + 1)1 = - lim (—-— 1) = — (0 - 1) = 1
í
Jo e2x
3 3 2 3
------ ( X ------- X
2
fJo
e2
4 lo
88
+ — X -------) |
2
2
3
i-»00Jo
h~>°°
‘
¿>2 +3
= -----+ - = ------------
8
1604
í ,o
e_flJtcosbxdx, (a > 0) Desarrollo
sen xd x Desarrollo
k = e_ du = ~ ae axdx sen ¿x dv = cosbxdx => v = -
u = e x => du = exdx dv = senxdx =» v = —cosx
J
f“ I e
e* sen xdx = -e* eos x + | ex eos x d x í ‘
Jo
| u = ex => du = exdx
I ex sen xdx - ~ex cos+ ex sen x -
¿>
¿Jo
=> d u = - a e - axdx
dv = sen bxdx => v = -
eos ¿x
ex sen xdx = — (sen x - eos x) f°° -a* , j e “ senfcx a - e ^ c o s b x | e cosbxdx = --------------+ —(----------- —
_ Luego:
, . e~“ seniw a f “ _ai , , cos bxdx = ---------------- 1— j senoxdx
u = e-“
[dv = eos xdx => v = sen x
n
ts>¡
1602
3 1'
Luego:
r* ex ¡- e2 i J ex sen xdx = — (se n x -c o sx )l = — (1) — (0 -1 ) = e Jo 2 lo 2 2
Jo x
b
b
b
a f” I e
^Jo
3 2 /•00 sen b x - a e cosbx = £e “ ------------------------- 1 — — | e r '^ J o
cosbxdx)
cosbxdx
264
Eduardo Espinoza Ramos
f e - eosbxdx = b2
senbx-ae~ax cosbxl~
1606
¿ 2lo
Jo
fV a*eos bxdx = L l i b s e a b x - a c m b x ) |°°_ 0 - ( 0 - fl )=; Jo
b2 +a~
lo
a2 +b2
265
Integral Definida Demostrar que para la función Gamma es válida
la
fórmula
de
reducción: T(p + 1) = P I\p ), p > 0, se deduce que F(n + 1) = n! Si n es un número natural.
a a 2 +b 2
Desarrollo La fu n c ió n Gamma por definición es: T (p) = I e 14u p ldu para u > 0
1605
l0
Jo
, e ■ax ‘“ senbxdx, a >0
sustituyendo p por p +
Desarrollo u = e ai => du = - a e ‘“dx
| e Jo
-a x
I
\ d v = e~udu => v = -e~“
e “ c o s ííjr
.
r ( p + \) = -e~u.up\ + p [
fl f ° °
senfaxdr = ---------------------I e “ cos bxdx b b Jo
lo
j , , senbx dv = eos bxdx => v = ----------
senfrxdr = - f _ T cos^
Jo
cuando u L u e g o :
T(n + 1) = n l\(n -
72 a 2 +b2
= -0 +
b
b
a2 + b 2
a2 + b 2
'
~
e
*--------i ---- 9------ t
a +b
e "up ldu
2)... 2.1
... ( 1 )
T(n + 1) = n!. K
_ax / beosbx + a sen bx ~
Jo
1) + 1) = n(n - D R n - 1 )
r( n + 1) =,n(n - l)(n -
.6cos fox+ a s e n to a 2 f~ ' = - e " ( ---------- ----------- ) — - e sen fotdx fo2 Jo ax/beosbx + asenbx^
+
T(p + l) = pHP) de esto se obtiene:
ü r ^ s e n f o + £ f* H— I eac senbxdx
¿Jo ¿>Jo
_
e~uu p~ldu
Jo
como p > 0 => e~" - * 0 , cuando u -> «> puesto que p es fija, e~“u p - > 0 ,
u = e ax => du = - a é axdx
f
e~uu pdu , integrando por partes:
Jo
j w = u p => d w = p u p~'du
eos bx dv = senbxdx ==> v = — b f
1 T(p + 1)=
|0
1607
7T_
Demostrar que para la integral /„ = I 2 sen" x d x = I eos" x d x es válido la
Jo
Jo
fórmula de reducción: /„ = ----- /„_2 • Hallar I n , si n es número natural, n
utilizando la fórmula obtenida. Calcular / 9 e / ,0
266 Eduardo Espinoza Ramos
267
Integral Definida
Desarrollo K Se conoce:
J
1608 ,#1-1 2sen" dx = " ' x'cosx ,
X(¡X
f
Calcular la integral siguiente empleando reiteradamente la integra! por partes: #( ) = í
*/’_1(1 - a )9-1 d x , donde p y q son enteros y positivos.
Jo
Desarrollo J
n
u = x p~] => du = ( p - l ) x p~2dx
n J
(l-x)q dv = ( \ - x ) q 1dx => v = —
K
Luego:
/, , P W
x dx -
f f ^ ' ^
Jo
n
f?
n J0
lo
B(p , q)= í xp~l ( l - x ) q~l dx = - - — (1 A) I + ^ —!- f vp 2(1 - x f d x
'■ = J . 2” n" x d x ‘ t
1 / , 2sra"'2 *
n
«
-
«i
u = x p 2 => d u = ( p - 2)xp 3dx
n J0
lo
*
ñ -x f^ dv = (1 - x)q dx => v = ------------<7 + 1
c° s" x d x = t
1 j ? ' “ 8""1 x i x = » = p e » ' ■ > * = —
u
Jo
f§ £ " sen" x d x = i 2cosn x d x = f 2 cosn ;r¿r
Jo
*'° n ^ I - f 2 «Pn" yiffr Jo
v 2 ... (2 )
2 A . . ( w - 2)« - 2
q + 1 a + 1 Jo u = xp 3
2 .4 ...(n -3 )(n -l) ’ nim par y
n>1
" P“ y ” >>
f
B ( p , q ) = P - l . P — ^ f x p- \ \ - x ) q+xdx
Jo
1 -3- - ( « - 3 ) ( /l- l) Jt
Í X ^ - 2)n
n
B( p , q ) = p - L [ ( - x p- 2 {l )| + ^ - 4 q<7+ 1 lo <7+ 1 Jo
de ( 1) y (2) se obtiene:
/„ =
lo
B(p,q) = ——- f x p l { \ - x ) q dx <7 Jo
Haciendo •!
'• ‘ r
<7
Jo
-
Haciendo
du = ( p - 3 ) x p 4dx
a - x ) q+2 dv = (l - x)q+l dx => v = — c¡ + 2
Jo
268
Eduardo Espinoza Ramos
4a - * r 2d*
B(P, q ) = J L 2 ' P z 2 ' P z l | V q q +1 í + 2Jo
269
Integral Definida
donde m es el valor mínimo absoluto y M es el valor máximo absoluto de la función f(x) en el segmento [a.b]. El particular cuando y(x) = 1. se tiene:
continuando con este procedimiento se llega B (p , q) = (P + q - l ) '
... (2)
m ( b - a ) < I / (x)dx < M (b - a) 1609
Expresar^
/"'"1
por
medio
de
B
(func.ón
Beta)
la
integral
=J0sení” XC0S” x dx ’ Si m y n son números enteros no negativos.
De (1) y (2) se puede sustituir por sus respectivas igualdades equivalentes.
Desarrollo f(x)y/(x)dx = f ( c ) í iff(x)dx y j* f ( x ) d x = f { $ ) ( b - a ) donde c y Ja *a Ja ¡;, son números que se encuentran entre a y b.
Sea / = sen2 x => l - t = cos2 x dt =
f
2 sen x. eos x dx => dx = ~ ___ — ©
para x = 0, t = 0 ; x = -
t=
2
In,m= i
1 Ch El número u ==-----— —I | f ( x ) d x se llama valor medio de la función f(x) b - a Ja en el segmento a < x < b.
1 m
tt
VALOR M EDIO DE LA FUNCION.-
n
2senmx.cos" x d x = f — ^ ~ tÍ í dL
Jo
1f * m~* =41 t 2 2 Jo
Jo 2 -2(1 _ 0 2-
1610
/
.(1
«-1
Determinar el signo de las integrales siguientes sin calcular las: a)
2
2
2
í X3dx J-i
b)
r x eos xd x Jo Desarrollo
5.6.
T E O R E M A D E L V A L O R M E D IO a) (T )
Graficando f ( x ) = x
ACOTACIÓN DE LAS INTEGRALES.Si f(x) < F(x) para a < * < b, se tiene
f f ( x ) d x < f F(x)dx ; Si f(x)
Ja
Ja
y vj/(x) son continuas para a < x < b y además \|/(x) > 0, se tiene: w j y /(x )d x< j f(x)y/(x)dx
y( x )d x
...( 1 )
Luego
rI x d x , tiene signo más (+).
c)
f 2n sen x ------ dx Jo x
270
Eduardo Espinoza Ramos NOTA:
271
Integral Definida
Para determinar el signo de la integral sin calcular, se hace el
Desarrollo
gráfico en el segmento indicado.
V x e [0,1] => x 2 < x , luego x 2 sen 2 x < Jrsen'2 x
La región de la parte superior del eje X es positiva, y la parte inferior del eje X es negativa.
tomando integrales
I x 1 sen ~ x d x < I x sen 2 x d x .
Jo
Jo
b)
Haciendo la grafica de f(x) = x eos x Luego el segundo es mayor.
c)
J e x dx o J exdx Desarrollo V x e [1,2] => x 2 > x , de donde e x~ > e x , integrando de 1 a 2 J ex dx > J exd x , luego el primero es mayor.
Hallar los valores medios de las siguientes funciones en el segmento que se indican.
para c) tiene el signo mas (+). 161!
Determinar (sin cálculos), cual de las siguientes integrales es mayor.
1612
f( x ) = x 2,
0< x < 1 Desarrollo
a)
í yj 1+ x" o j" xdx
Jo
El valor medio de la función es:
Jo
Desarrollo X3 ! 1
V x e R , \ + x 2 > x 2 ; yjl + x 2 > x
tomando integrales
b) Jo
x~ sen 2 xd x o
I \j\ + x~dx > f x d x . Luego el primero es mayor
Jo
Jo
x sen 2 xd x
Jo
1 I f ‘ x l dx = u = ----3 lo 1 - 0 Jo
i
3
1 f* u = ------ I / (x ) dx, luego: b —a J a i
u=— 3
i r u = ----f(x)dx b-a j a
1 f* 1 Iff u = -----------I (a + ¿eos x)dx = — (ax + bsenx) I 7C-(-7t)J-„ 2k \-n
272
Eduardo Espinoza Ramos H = -í-[(OT + 0) - (-flTT + 0)] = — 2n 2k
1613
273
Integral Definida
1 f ’r l - c o s 2 x + 2cos 2 2x , 1 . 0 x sen4x dx = — (x - s e n 2x + —+ — - — ) . . i r1 4 4 k 2 8 “ Jo
f(x) = a + b eos x, -7t < x < n „ =j _ w , 4n
Desarrollo El valor medio de la función es:
1616
ur
L f ‘ / (x )dx, luego » -< i J .
n - ( - n ) J_„
(a + bcosx)dx
0+ í + o ) = ^ 4 2 8?r 8 ^ <ÍX
Demostrar que la integral í
Jo j 2
está comprendida entre
+x-x2
~ = 0.70 s[2 Desarrollo
1
1
9 u = - - ( a x + b senx) = — {(a + 0 ) - ( - a n + 0)] = — . Luego u = l-jt ¿Tt 2n 1614
I*
f (x) —sen í x ,
1
0< x < n =*
Desarrollo E! valor medio de la función es:
1
n
1615
Jn
1^ 1
I
u = -------i s,sen x dx
=*
=* 4
„
1 7r 7r'"2
4 4 4
2 4 .
¿ —<
i
i < -p r =>
x —x2
1 r El valor medio iio de la función es: u = -----f ( x ) d x . Luego sse tiene: b-a ja i r * l CT f I ^ ¡ 2 x j , dx ii = ------ | sen 4x d x = — I *-O j0 ffJ 0
- ( t4 , 2 s o 4
2
4
=> 2 < 2 + x - x 2 < — => V2 < yjl + x - x 1 < ^ 4 2
/ (a) - sen 4 x Desarrollo
s
- I + £ < £ - (¡t- I ) i < 2 =, 2 S í - ( x - i , » S i
71-0 J 0
eos 2* I r sen 2*.!*' -dx = ~ ( ~ «2 4 '|0
0< x < l
1i 1
i
- 2 ÍX ~ l-2
-
1
f
b -a Ja
para x e [0, 1] =>
2 +x - x2 = — (x — ) , 4 2
2 I1
rf '
V2
dx
3
loJo y¡2 + X - X 2
-
< f
dx
3 Jo v2 + x —x^
2
[ 2J r —¿X< |
Jo 3
,
dx ... .....= < | —7=
Jo -\/2 + x —x2
Jo x/2
< x ■' V2 I0 <_L
V2
1
luego la integral [ ,
^
■ esta comprendida
Jo v2 + x - x 2
entre —= 0.67 y —= = 0.70 ahora el valor exacto es: 3 V2
274
Eduardo Espinoza Ramos
x -= arcsen(——
r - r f i ^ . Jor
Desarrollo = arcsen(— —-)|
Se oonoce que: -1 < cos x < 1 ; -3 < 3 eos x < 3
I
" 0 \ 2 +x - x
1
1
7 < 10 + 3 eos x < 13 ; — < ------ ------- < 13 10 + 3eosx 7
1
= arcsen(-) - arcsenf— ) = 2 arcsen. 3 3 3
r 2K dx
2n
•i
i,
dx
1 => 0 < x 2 < 1
4 < 4 + x 2 < 5 => 2 < V4 + x 2 < Vs
Jo
Como la función crece monótamente
Jo
n_
8+ x 3r G [-1,1] => -1 <
Jo
X <
»-
1
0
=> 7 < x 2 +8 < 9 =>
f 1 dx
f‘
dx
9
A-3 + 8
<7
1621
f 1 dj
Jt
1 £
2 lo
Jo _______ _______ ;luego: 0 < I < —
32
2 _2
32
11
X
Desarrollo
*dx. < <£ —I [x*j 12 ,I* s f, _ ;----91i -ii J -i - ! xx3 j +8 7|_, 7 1., 1619
n_
n i4
.1
Luego:
2 re
Jt_ Jo
Jo
- l < x 3
0 < ^/tgx < 1 para x e [0 ,^ :
0 < í 4 x^tgxdx< í 4xdx ; 0 < | 4 x^ tgxd x < — | 4 Desarrollo
X
^ 2n
0 < x ^ tg x < x tomando integral
dx
Si
2n ^
Desarrollo
í 2dx< í \¡4 + x 2 < f \¡5 d x . Luego 2 < 1 < \fs
í,
2n
j 4 xyjtgx dx Jo
1620 V x e [0,1] => 0 < x <
1618
„ r K dx
K
Desarrollo
Jo
dx
— < I ------------- < — , por tanto: — < / < -— 13 Jo 10 + 3cosx 7 13 7
\¡4 + x 2dx
=>
r n
Luego tomando integrales se tiene: I — < ------------- S J0 13 Jo 10 + 3cosx Jo y
Acotar las integrales:
1617
275
Integral Definida
dx
10 + 3eosx
f 21 < dx f
9 9 jJ_i xJ +8
2 7
„ , => —< J —------- < —. 97
1 V2 2 , 2 En forma análoga a los demas —< 1< — —< / < —
Por lo tanto: 1622
r• 200n eos x Integrando por partes, demostrar que: 0 < j ------ dx< Jilooít x ejercicio 1609, por tanto dejamos para el lector.
100;r
análoga al
276
Eduardo Espinoza Ramos
277
Aplicaciones de la Integral Definida
C A P IT U L O V I
▲y Y = f2(x)
6 . _____A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
Y = f1(x)
6.1.__ AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS.-
[ f 2( x ) - f t(x)\dx. Si las curvas se dan
Para a < x < b tenemos: 5 = Ja
0
en forma paramétrica: x =
EL AREA EN COORDENADAS CARTESIANAS.-
limitado por esta curva y dos verticales, x = a e y = b, respectivamente y por el segmento del eje X, se obtiene: Se determina por la fórmula S = í f ( x ) d x , donde y = f(x)> 0, que es Ja S = f i¡/(t)(p\t)dt, donde tx y t2 J'i
el área del trapecio mixtilíneo, limitado por dicha curva, dos verticales en los puntos x = a y x = b y el segmento a < x < b.
se determinan de las ecuaciones: a = tp(ti ) y b = (p(t2) (tp > 0) en el segmento [tx, t 2] (2 )
AREA EN COORDENADAS POLARES.Si la curva continua, se da en coordenadas polares por una ecuación r = f(\|/), el área del sector AOB, limitado por el arco de la curva y los radios polares OA y OB, correspondientes a los valores / , =a , y/2 = ¡i , se expresa por la integral:
B_ En un caso más general, cuando el área S de la figura limitada por dos curvas continuas y = f ¡ (x ) e y = f 2 (x) y por dos verticales x = a y x = b, donde
/ , (x) < f 2 (x)
r-
278
Eduardo Espinoza Ramos
279
Aplicaciones de la Integral Definida [ f(V)]2dy/ 1623
Luego: para y = 0 ; l n x = 0 => x = l S = J y d x = ^ \ n xd x = ( x l n - jc)|
Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4 x - x 2 y el eje de abcisas.
S = (e ln e - e) - (1 ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1); luego S = 1 u 2
Desarrollo y = 4 x - x 2 la intersección con el eje X es: para y = 0 => 4 x - x 2 = 0 ; x = 0 ; x = 4 como y = 4 x - x 2 => y —4 = —(x —2)2, es una parábola
\
y = 4x - x2 1625
Hallar el área de la figura limitada por la curva y= x(x - l)(x - 2) y el eje OX. Desarrollo
= f y d y = f ( 4 x - x 2)dx = (2x2 Jo Jo
3 lo
=(32-— ) - 0 = — 33
i c 32 2 Luego: 5 = — u ~ 3 1624
Calcular el área de la figura limitada por la curva y = ln x, el eje OX y la recta x = e. Desarrollo 4
Hallaremos la intersección con el eje X de y = ln x.
11
v4
12
5 = (------x ' + x H + (------+ x3 - x 2) 4 lo 4 li
280
Eduardo Espinoza Ramos
S = ( I - l + l)-(0)+ ( J £ + 8 _ 4 ) - ( - I + i - i ) 4
1626
4
281
Aplicaciones de la Integral Definida
.•.5 = i + I = I = I ¡<2
4
4
4
2
2
Hallar el área de la figura limitada por la curva y 3 = x , la recta y = 1, la vertical x = 8.
Desarrollo
1628
Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje OX, n las rectas x = —
3
Desarrollo
,i y = tg x
Y J y3=
-V
=>
y = 2fx
A
( y - l) ¿ x = J (< /I-lW x = |j c 3 |X- x j 8
S = 2 (1 6 -1 )-(8 -l)= — 4 4
1627
- i 4l ;
lueeo:
S
/
u2 4
-
X li c j|s
/ t í l S
i i i 1K 2
r X
—
3 tg xdx = ln(cos x)| ’ = -(ln (co s^ ) - ln(cosO)) =J lo 3 Jo
Calcular el área de la figura comprendida entre una semionda de la sinusoide y = sen x y el eje OX.
S = -( ln —- l n l ) = - ( - l n 2 ) . Porlotanto: 5 = l n 2 M 2
2
Desarrollo '=
í y d x = Jor sen x dx = c o s J Jo
lo
Por lo tanto:
S =2u2
1629 = - (eos 71 - eos 0) =
-(-1 - 1) = 2
Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola verticales x = a, x = 3a (a > 0) y el eje OX. Desarrollo El grafico de xy = m
es:
xy = m 2 , los
282
Eduardo Espinoza Ramos
283
Aplicaciones de la Integral Definida = 0 - a 2 arctg(-°°) + a 2 arctg(°°)-0 = 2 a 2arctg(°°) = a 2n
S
por lo tanto: 1631
O O S =a~K u~
Calcular el área de la figura limitada por la curva y = x 3, la recta y =
8 y el
eje OY. Desarrollo 3 El gráfico de y = a es: y < II
00
/y= / y
S - m" (\n?>a - \n a) = m 2 ln 3 porlolanto:
S = w 2 ln 3 « 2 /
1630
0
X
Hallar el área de la figura comprendida entre la curva de Agnesi. y = Como y = x
x 2+a2
y el eje de abcisas. Desarrollo
5=
El gráfico de y = —------ es: x 2 +a2
1632
=> x = ^Jy
~ f.8 8 í*8 r3 -4■ I8 3 Aífv= l [ y d y = - y 3\ = - ( 1 6 - 0 ) . Jo Jo ' 4 ’ lo 4
Por lo tanto: S =
Hallar el área de la figura limitada por las parábolas y “ = 2px y x~ = 2py Desarrollo
J—
f J - ~ a +íz
f” _ f L . A+ J ^ x +a Jo x ~ + a
Y , y-, =
7 2 px
L _ ( 2 p , 2 p) S = lim i — a a ~’~™Ja x~ + a
x f /
2 dx+ lim f - - ^ É L = lim arctg—I + lim a arctg-
o X +13“
X2
a-»-«
^ ^
aV™ (a atcíi= a ~ arctg(G))+ lim (a 2 a r c t g - - a 2 arctg(O)) ¿7 /]
12 u ‘
2p
X y2 = 2px
284
Eduardo Espinoza Ramos
285
Aplicaciones de ¡a Integral Definida
Buscaremos la intersección entre las curvas y 2 = 2 p x, x 2 = 2py
- 2 py =>
como x
X4 V
- Reemplazando en y 2 - 2 p x
3 •> ' ~ ‘-Px => x ' =8p~ => x = 2p y x = 0 y = 2x - x2
p a r a x = 2 p = > y 2 = 2 p x = 4 p 2 =*. y = 2 p ? x = 0 = > y = 0 f 2?
r 2p 2 ( : V i = I ( y ¡ 2 p x - — )dx Jo Jo 2n 3jc2 r \ | 3 27 27 „ 8 1 -5 4 27 9 n „ 1 2 = (----------- ) = ( ----- — ) - 0 = --------- = — = - . Por tanto: S = A - u ¿ 2 3 ¡o 3 3 6 6 2 2 *p 6
0) 1634
„ _ 8 /r
4 /> 2
4
,
3 ~ ~ 3 P ' Porlotanto: S = ~ P
3
Calcular el área del segmento de la parábola y = x 2 que corta la recta y = 3-2x
4
u2
Desarrollo Los puntos de intersección son:
1633
Calcular el área de la figura limitada por ia parábola y = 2 x - x 2 y la recta y = -x Desarrollo Buscaremos la intersección de: Luego:
y = 2 x —x 2 , y = -x
- x = 2 x - x 2 => 3-t-jc2 = 0 => x = 0, x = 3
Como y = 2 x - x 2 => y - l = - ( x 2 - 2 x + l) => y - i = _ ( ^ _ i )2 Es un parábola de vértices V(l, l). Su gráfico es:
y = x 2 ; y = 3 - 2 x => x 2 = 3 - 2 x => x 2 + 2 x - 3 = 0 para x = -3, y = 9 ; x = 1, y = 1.
Su gráfico es:
x = -3 => x = l
286
1635
Eduardo Espinoza Ramos
)J
S -J
[ ( 3 - 2 x ) ~ x 2]dx = ( 3 x - x 2
$- O
1 —) - ( - 9 - 9 + — ) = —- ( - 9 ) = —+ 9 . Por tanto S = —~ u 2 = 10 J 3 3 3 3
287
Aplicaciones de la Integral Definida
1636
Calcular el área de la figura comprendida entre las parábolas
x2 y =— -
U> | K>
y= 4--x2 3 Desarrollo Las intersecciones entre las parábolas son:
Calcular e! área de la figura comprendida entre las parábolas y = x 2 , y = —
2
y la recta y = 2x.
— = 4 - - x 2 => x 2 = 4 => x = - 2 o x = 2 3 3
Desarrollo Las intersecciones de las rectas y = 2x Con la parábola y = x 2 s o n *2 = 2* =* x = 0 o x =
4 4 Luego los puntos de intersección (- 2,—), (2,—). Su gráfico es:
2 4-^x
2
x2
X
5 = [ ' ( 4 - - x 2 - — )dx= f ‘ ( 4 - x 2)dx
J-2
Luego los puntos de intersección son (0,0), (2,4), las intersecciones de la recta
^
^
J-2
*2 y = 2x con y = — son (0,2) y (4,8). Luego: S = S, + S 2
.3 |4
1637
Calcular el área de la figura comprendida entre las curva de Agnesi:
2
y = — —- y la parábola y = — . l +x 2 ~ ^ 33 -66^_ 0 + ( 1 6 - ^6 “ ^_ 4 _ ^6 =3 T 3+ T ‘ Portanto: S = — 3 =4 u 2
Desarrollo
288
Eduardo Espinoza Ramos
ii
1 x ■ Las intersecciones entre la curva y = ----- - y la parábola y = :— , son: 1+ *2
289
Aplicaciones de la Integral Definida
'= JoloÍ (ex ~<-e~x)dx = (ex +e~x )f
2
S
1639
= (e + e 1) - 2 =
portanto: S = ——— m2
x2 y 2 Hallar el área de la figura limitada por la hipérbola — + ~ = 1 y la recta x= 2a a~ b Desarrollo Como:
+ -^- = 1 ; b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2
a 2 b2 Luego los puntos de intersección son:
1 x2 (— ri — ~)dx = arctg J j- i l +x¿ 2 f*
-
S=
5 =2arctgQ)-- = 2~ 3
1638
4
(—1,—) , (1,—)
2
2 -y , 2 2 2, 2 , Vb2x 2 - a 2b 2 a y =b x - a b ; y = ± ------------------
2
Io x 3!1 1 1 —~\ = arctg (l) —arctg (—!) —[—+ —] |_i 6 !_[ 6 6
„ C2a \lb 2x 2 - a 2b 2 J , b C 2a r ^ 5=2 ----------------- d x = 2 V* - a 2dx Ja a a jn
- . Portanto: S = ( - - - ) u 2 3
2
3
S - — (—\ jx2 ~-a~ln \ x + y[x2 a 2 |)j a 2 2
Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = e x , y = e~x y la recta x = 1 . Desarrollo
| 2a
S = —[ ( x j x 2 - a2 - a 2 ln | x + x 2 - a 2 |)]| a
la
La región comprendida por las curvas y la recta es: S =—[(2 a \]4 a 2
- a 2 - a 2 [n (2a + y ¡4 a 2
-
a2
)) + In a 1
5 = —[2a 2V 3- a 2 ln( 2a + a^ )] = ab[2sj3 - ln(2 + 7 3 )]u2 a a 2
1640
2
2
Hallar el área limitada por la astroide: x 3 + y 3 = a 3 Desarrollo
290
Eduardo Espinoza Ramos
291
Aplicaciones de la Integral Definida
3 2 f ^ r 1 - eos 49 + sen" 20.eos 29]d9
= 2 J„ [r _3
1641
2^6
sen 29 eos 29
sen 32 9 1 2 _ 3 ^2^
3a~n ^2
Hallar el área de la figura comprendida entre la catenaria y = a cosh(—) , el eje a ü 9 OY y la recta y = — (e~ +1). 2e Desarrollo
Como las cuatro regiones son simétricas se tiene: pa
5=4
ña _ 2 _2 _3 >>ÉÍr = 4 | (a 3 - x 3 ) 2 d x . Sea x = a z 3 => dx = 3az2dz Jo Jo
El gráfico de y = acosh(—) es: a
2 2 2 »> 3 5 = 4JoIr* (a3-a 3z2)23az2dz = 12a2 j Jo*(l-z2)2z2dz z = sen 0 => dz = eos 0 d0 para z = 0 =* 0 = 0 ;
z=l
K => 9 =■
2
^
r1 3 f3 S = 12a25II (1 2)22 z2dz = 12a z.cos zdz) ( l -- z 2) 12a 2 iI " ((11 --se s e n 2 z)2(sen z)2( Jo Jo *1X 2 O 10 Z I ¿ 4 Z _r io Z 1 0..1"^C O S 20 , . )d 6 5 - 1 2 « 2 Ií “ cos z dzz=- 12 a 2 If ^ ((------------)(-----------eos 4 z.sen“ z.sen 2 zd — Jo Jo K
' = — a 2
2
í 2' (sen 2 29 + sen 2 29.cos29)d0
Jo
-r* 1 it 1 _ a re 2 +1i ~* J a £ 2 .+1 S =■—í—-----x - a e a +ae a ]\ = —[-a - a e + ae 2 e lo 2 2
_i + a -a J
,
a re2 + l 1 a 2 e2 +l 1 a" 1 1 2a~ 2 -i S = - [ ------ -~ e + - ] = — [-----------e + - ] = — [e + — e + -] = — - = a~e 2 e e 2 e e 2 e e 2e Por tanto:
S = 2 a 2e
1u
292 Eduardo Espinoza Ramos 1642
Hallar el área de la figura limitada por !acurva
293
Aplicaciones de la Integral Definida
a2y2=x2(a2-x2)
Desarrollo
Como la curva es simétrica, se tiene: y = ---- (2 5 - x 2)2 luego: ' 125
Sea x = 5 sen 0 => dx = 5 eos 0 d0 Para x = 0 => 0 = 0 ; x = 5 => 9 = —
2
Como la figura es simétrica
4l
y dx ~
i6 r5 — i6 r l — S=— (25-A:2)2dx = - — (25 - 25 sen 2 9 )2 5 cosí» d9 125 Jo 125 Jo
y = ± —yja 2 - x 2
a
~ Va ~ ~ x d x . Sea x = a sen 0
dx = a eos 0 de
= 80 f 2 eos49 d9)\6 x 5 = 80 í 2 ( ^ ^ - ) 2d9 Jo Jo -
K S = 4J ' senQyfa2 - a 2 sen2 9 a eos 9 <19 = 4 a 2 f 2 eos 2 9 sen 0 dO
a
—
Jo
= 20 í 2 (1 + 2cos 29 + eos 2 29)d9 = 20(9 + sen 29 + - +
Jo
2
= - | a 2cos30| 2= - l a 2(O-l) => S = i aV J lo 3 3 1643
Calcular el area de la figura comprendida dentro de la curva
2 lo
n = 20(— + sen 29 + 2
(~)2 + ( 2 ,3 5
Desarrollo
8
4
1644
8
2 = 20(— —0) = 15tt por lo tanto: S = 15* u 2 lo 4
Hallar el área de la figura comprendida entre la hipérbola equilátero a 2 - y 2 = 9 , el eje OX y el diámetro que pasa por le punto (5,4).
Desarrollo
Y
Eduardo Espinoza Ramos
294
m = — => y = - jc ; la intersección es: x 2 - — x 2 =9 => 9 x 2 = 225 =¡> x=± 5 5 5 25
295
Aplicaciones de la Integral Definida
1646
Hallar el área de la figura limitada por la cisoide y x = 2a, ( a > 0).
2 ay- x
su asíntota
Desarrollo
como la curva es simétrica se tiene:
-52) = 2 lJ ~a.ííx: + J j x - y j x 2 - -9 í )dx]
|3
5 = 2(— + — 15- [ - j x 2 - 9 - - \ n [ x + J x 2 - 9 ] ] |5) 5 lo 5 |3 2 2 |3 1O
1O
Q
O
5 = 2f(— + 10---- )~(10 — ln9) — ln3]. Por tanto: 5 5 2 2
1645
~
S=91n3«
Hallar el área de la figura comprendida entre la curva y = —, el eje OX y la
Por la simetría se tiene:
recta x = 1, (x > 1 )
/»2a
— - — dx = 2a-x
Desarrollo
Hallamos la integral
f \~~X~ } X\ 2 a - x Sea z r
5 = i " ydx= Ji
= lim p ^ = l i m - - r = l i m Ji x *-x” Ji x b-*°° -xli í’~>“ b
S = -(0 - 1) = 1 por tanto 5 = 1
¿ -l)
fI x J 2a ~
- [ z 2-z-2zdz >/2a - z 2
J
dx'
?f
Se3 * Z
2 lim j
^
dx
Z*dZ
J ^ 2a - :
7\¡2asend => dz = \l2aeos9 d9 ~
f
7 4di
f 4 a 2 sen 49.y¡2a cos9 dO
f e r 2J— ^
xJ-^ -dx \2a x
2záz
296
Eduardo Espinoza Ramos
297
Aplicaciones de la Integral Definida f 2 fl
= 2a2 f (1- 2 eos20 + eos226)d6 = 2a2(---s e n 20 +—— ) J 2 8
= 21
Jfl
í«V2 a ( x - a ) —¡ = = d x = 2 | y¡2a-X' JyfZ
(z 2 - a) - ¡ = L = 2 z dz \¡2 a - z 2
* 2 a 2- £
como 5 —2 lim1 I
£-»°J •*Joo
x.j--------dx cambiando los limites se tiene: \ 2a - x
S = 2.2a2 ( ^ - sen 20 + 2
por tanto:
8
A =4
2 = 4 a 2( ^ - 0) = 3a2*
... ( 1 )
J.■Ja
sen 0 =
lo
v2a -
\¡2 a
: = V ía sen 0 derivando se tiene: dz = -Jla cosOdO I— 1 Tí z = \¡a, sen 0 = —¡=, u = —
S = 3a2n u 2
V
tg 0 = 1647
-¡2 a - z 2 Hallar el área de la figura comprendida entre la estrofoide su asíntota a > 0.
y 2 = — —— , y 2a - x = 4f
Desarrollo La grafica de la estrofoide y 2 = ———— 2 a —x
2
4
-—
tt
t
z = V2a, sen0 = l, 0 = —
(72 - a) z —
=4
| 2 (2asen 20 -a > '/2 a se n 0 .tg 0 .\/2 a c o s0 d 0
2 es:
71
„„ „ l - c o s 20 eos 20 - 1 ) ------------ dO
A = 8a I (2 s e n ~ 0 -a )s e n 0 d 0 = 8 a
'J¿
4
n
« 4 - eos 20(1 - eos 29)d9 = 4a
- e o s 40
-e o s
2 0)d9
X A = 4«*<® _ ü í i i _ 2 2
2
J í = V [ ( í -- 0) - ( | - 1)] I* 4 8 2
A = a (—+ 2)m
2
[ 2a .v = (.x - á ) - ¡ J L = ; V 2a - x
(x-a ) 2va ( ■J2 a
1648
Calcular el área de las dos partes en que la parábola y = 2x divide el circulo X2 + y 2 = 8 .
sea x = z 2 => dx = 2zdz, para x = a, z = 4 a
; x = 2a= > z = y¡2a
Desarrollo
298
Eduardo Espinoza Ramos
299
Aplicaciones de la Integral Definida
1649
Calcular el área de la superficie comprendida entre la circunferencia x 2 + y 2 = 16 y la parábola x 2 = 12( y - l ) . Desarrollo
Buscaremos los puntos de intersección x 2 + y 2 = 8 x2
+ 2 x - 8 = 0 => (x + 4 ) ( x - 2 ) = 0 => x = 4 o x
=2
Buscaremos los puntos de intersección: jt 2 + y 2 = 16 => .v2 = 1 6 - y 2 => * 2 =
Luego x = -4 no se toma en cuenta, por tanto los puntos de intersección es: (2,2), (2,-2), por la simetría se tiene: -
r2 B=
Jo
r 2'/2
+j
12( y - l )
=> 1 6 - y 2 = 12_y—12 => y 2 + 1 2 y -2 8 = 0
v>
-2
.y¡2 _____ ydx] = 2[J s¡2xdx + j y j s - x 2dx
de donde y = 2 => x = ± 2y¡3 ; por la simetría se tiene:
ir 2>/3
b
= 2 í ^ | í i | ! + ( £ V ¡ r 7 + 4 arcsen^ =)| 2V' ] 3 lo 2 2V2 I2 !
B = 2[—+4arcsen(l) J
5 =2
3
--------------
12
3
9
S = 2l2j3+ - - - S ] = —
3
|2>/3
4
36
lo
3
3
- - S
3
= ( - ^ - - V 3 )u2 3 3
3
. 2 16 4 /— 32 4 rr 2 para la parte A se tiene: A = x r - s = lb 7t - ( — n — V3) = (— n +—\l3)u
para la parte A se tiene: A = n r 2 - B = %n - (2n + - ) = (8n - 2 n - - ) u 2 3 3
3
1650 Por tanto: A = (6n - - ) u 2 3
2
.
(2 + 4arcsén 4 = )] = 2[ - + 2n - n] = (2* + - ) u 2 V2
Jo
.-------------
[V1 6 - x 2 ------------------------ \]dx = 2[—V16 —jc2 +8arcsen--a]|
3
3
3
Hallar el área contenida en el interior de la astroide x = a eos 3 1 , y = b sen 3 1 . Desarrollo
)0
Eduardo Espinoza Ramos
Aplicaciones de la Integral Definida
301
2 If a ( ,l- 2,e o s í + eos 2 t)dt x. 2/ o * sen 2í I2* = a ( t - 2 s e n t + —+ -------- )| Jo 2 4 lo
y/(f) = a cos 3 1 => para x = 0 =* i, = —
S=a
=> x = a => t 2 = 0 => \¡t(t) = b sen 3 r
2 3í „ sen 2r | 2,r „ 2 _ „ „ 2 2 5 = í j “(------ 2sení + -—-— )| = a ( 37T—0) = 3 a n . Por tanto: S =3a~n u"
como y/(t) = a cosi t
y/'(t) = - 3 a c o s 2 t .s tn td t 1652
C2
5=4
<*° . i//(/).v/'(Od/‘ = 4 | ¿>scn f(-3a cos t.sen t)dt
Hallar el área de la figura limitada por una de la trocoide x = at - b sen t; y = a - b eos t,
(0 < b < a) y la tangente a la misma en sus puntos inferiores. Desarrollo
«Q * ^0 5 = - 12afc f sen 4/cos 2 iJi = — y - I sen 2 2r(l - cos 2i)df 2 2
Como x = (p(t) = at - b sen t x = \j/(t) = a - b eos t
1 i- c o s 4 í o , 3ab,t sen At sen 32 /!° (i— 12_ _ _ Sen 2 t.cos 2 t)dt = — — [ - ----- ----------— I 7T
2 J" 2
3a b r„ n ,
2
2
*
"
3o/?*
2
8
6
"2
c 3abn 2
5 = ------- [0-----] = ------- por tanto: 5 = —-— u 2 4 8 8 651
Hallar el área de la superficie comprendida entre el eje OX y el arco de la cicloide: x = a(t - sen t ) ; y = a(l - eos t). Desarrollo Para x = 0 => /, = 0 ; x =2na => t 2 = 2n
S = j \ff{t)\¡f\t)dt-A\ hallaremos: f, y t 2 J',
Como: \|í(t) = a(l - eos t)
0 = y/(tl ) = atl - b s e n t l => 0 = a/, -b s e n f,
V|f(t) = a(t - sen t) =* y/'(t) = ( a - a e o s t ) d t C2rc
5=J
l C2” 2 o(l - eos t ) ( a - a eos t)dt = a 2 j (1 -c o s t) dt
2 aK = 2 a n = at 2 - b s e n t 2 como la tangente en los puntos inferiores es paralela al eje X => y ' = 0 , es decir:
Eduardo Espinoza Ramos
302
303
Aplicaciones de la Integral Definida
y'z=\fi'(t) = - b s e n t = 0 => /, =0 enx = 0
a (2 sen í - sen 2í)a( 2 sen 2t - 2 sen t)dt
-i
y '= y/ ' (?) = - b sení = 0 => t 2 = 2 n en x = 2na. Luego: r° = 2a 2 i (2 sen t - 2 sen t eos t )(4 sen t eos t - 2 sen t)dt
f 2* S = { \ f ( t ) ( p \ t ) d t - A = I (a - b eos t ) ( a - b eos t ) d t - ( a - b ) 2 K Jo J'i
S = 8a | (sen t - eos t sen /)(2 sen t eos t - sen t)dt í
i»2jt 5 = I (a 2 - 2 abeost + b 2 eos 2 t ) d t - 2 a2n + 2 abn Jo
_
. 2
¿>2 sen2f.|2,c - 2
„ ,
f° 5 = 8¿r I sen /(l-c o s f )(2 c o s /- l) d f = - 8a 2 j sen /( l- 3 c o s f + Jjl
í
.
S =(a t - 2 a b s e n t + — + ---------- ) - 2 a +2abn 2 4 lo
2 cos“ t)dt
„ 2,3r senícosf 3 sen 2 feos2 r / ° „ 2/ft 3?r. , 2 2 5 = - 8a 2(------------------------------------------------------------------------------- sen í -- ) / = 4 2 8 /* 4
S = 2 a 2n + b 2K - 2 a 2n + 2abn portanto: S = n ( b 2 +2ab)u 2 1654 1653
Hallar el área de la figura limitada por el lazo del folium de descartes
Hallar el área de la figura limitada por la cardiode x = a(2 eos t - eos 2t);
3a/
y = a (2 sen t - sen 2t)
3at 2 Desarrollo
Desarrollo S=
y/(t)(p'(t)dt, donde y = y(t), x =
3at 3at siendo \¡/(t) = ------ — y
S = f y/(í)i// \t)dt J»,
donde \j/(t) = a (2 sen t - sen 2t)
\j/(t) = a (2 cost - cos 2t) ; y/' (t) = a(2 sen 2t - 2 sen t )
Eduardo Espinoza Ramos
304
3a?
Como: 9 (0 = -— j i+ r
3a(l-2í )
S = 2.— f r 2dy/ = f [a(l + cosi^)] 2í/i/^ 2 Jo Jo
=> V (0 = n <3" (l + r )
5 = a 2J Jo
(1 + í 3)
(1+ f3)2
Jo
(r3+l)3
por tanto:
íÍí1 1656
S = 9 a ¿[ -
(l + 2 cosy/ + cos 2 \¡/)d\¡/ = a 2( ^ +
2 sen 0 + sei^ ~ ^ ) j
Jo (1 + f )
S = 9a2[ f ” —^ y y ¿ / - 2 f 4 ± Í T Jo
305
Aplicaciones de la Integral Definida
l + rr3) 2(1+ r3)2 3(1+ ) 7/ 0o
_ 3a2* S = -------
1
2
Hallar el área comprendida entre la primera y
segunda espiral de
Arquímedes: r = avy
9a 2f 0 - [ - - + - ] ]
2 3
Desarrollo De acuerdo al gráfico se tiene:
S = 9a 2(—) = ^ — por lo tanto: 6 2 1655
S = ^ —u~ 2
Hallar el área de la figura limitada por la cardioide r = 0 (1 + eos \|/) Desarrollo •P Se conoce que : 5 = 1 f r d y , donde r = f(\|/) 2 Ja
1 f 2*
El gráfico de r = 0 (1 + eos vj/) es:
S =—
2 Jo
(r22 - rf )d\ff , donde r, = a y/ ; r2 = (y/ + 2*)
1 f 2,1 S = — I ([a(i//+ 2*)]2 - a 2\¡/2 ]d\f/ por lo tanto: 5 = 8 a 2* 3M2 2 Jo
1656
Hallar el área comprendida entre la primera y segunda espiral de Arquímedes: r = a y Desarrollo
De acuerdo al gráfico se tiene:
Eduardo Espinoza Ramos
306
Aplicaciones de la Integral Definida 2
a
K
a , sen4w / t = — (v^ + 2 4 /o
(r 2 - r 2 )di¡/ , donde r, = a y ; r2 - (y + 2 n)
S=- f
2 Jo 1658
307 2
¿r/t
2
8
Hallar el área limitada por la curva r 2 = a 2 sen 4i^ Desarrollo
s= I
( 2 a 2y/n + 2 a 2Jt2 ) d y = {a2y 2K + 2 a 2n y ) j ^
Jo por tanto:
2
3
S = 8a K u
2
= 4.— f 2 Jo
1657
Hallar el área de las hojas de la curva. = - 2 a 2(—
Desarrollo De acuerdo al gráfico se tiene:
4
1659
4
) = a 2 por tanto:
S = a 2u 2
Hallar el área limitada por la curva r = a sen 3\|/ Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramos
308
5 = —.3 f
3r 2dy/ = — f 3a 2 sen 2 3t//dy/ = - a 2 f 3(1 L° S^ -)d\f/
2 Jo
2 Jo
2
2
Jo
3a 1 , sen 6yr 3a2 t n _ = -----( w ----—) / 3 = ---------- (-----0 ). Por tanto: 4 6 / 0 4 3 1660
309
Aplicaciones de la Integral Definida
„ a2n 2 5 = ------u 4
Hallar el área limitada por le caracol de Pascal r = 2 + eos \|/ Desarrollo El área es el doble del área desde 0 a tc,
luego
5 = 2.— I r 2d\)f= I (2 + cosif/)2d\f/ =I (4 + 4cosy/ + cos? 2 Jo
Jo
1662
Hallar el área e la figura limitada por la elipse r =
Jo
1 + ecosi^
,
(0 < e <
1)
Desarrollo w sen 2u/ i n _ = (4w + 4senu/ + —+ ------ —) / . Por tanto: r r 2 4 / o 1661
Hallar el área limitada por la parábola
9 S = —ttm~ 2
r = a sec*
?
2
f 2 r 2d\¡/ = 2 f 2------ -------- - d y 2 Jo Jo (1 + ecosyO
5 = 4 .-
* y las sennrectas W ~ ~
n 71
y * '=
_
5 = 2/?
1 |*2 2 .
2 ;S = 2j í
4
Desarrollo
1663
dljf
— -— ■ —
1o (1+ ecosr)
,
Ttp
integrando se tiene: 5 = --------- - u
2
(1+e2)2
Hallar el área de la figura limitada por la curva r = 2a eos 3\|/ que esta fuera del circulo r = a Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramos
310
Sean r, = 2a eos 3i¡/
y r2 = a
n 5
Aplicaciones de la Integral Definida ©
£
LONGITUD DE LA CURVA DADA EN FORM A POLAR.Si r = V|/(9) es la ecuación de la curva en coordenadas polares r y vj/, la
= 6. - f 6( r 2 - r2 )d\¡f = 3 j*^ (4a 2 eos 2 3y - a 2 )d\¡/
2 Jo
longitud L del arco es:
Jo
'
2
L- I
Ü TC 2 por lo tanto S = ----- u
donde a y P son los valores del ángulo polar en los puntos extremos del arco.
x 4 + y 4 = x~ + y " . Sugerencia: pasar a
Hallar el área limitada por la curva
coordenadas polares; por tanto 5 = K\¡2 u~
6^2.
\Jr2 + r ,2d y
J a ________________
2
1664
311
1665
L O N G IT U D D E A R C O D E U N A C U R V A .-
Calcular la longitud del arco de la parábola semicubica y 2 = x 3, desde el origen de coordenadas hasta el punto, cuyas coordenadas son x = 4; y = 8. Desarrollo
©
LONGITUD DEL RECTANGULARES
ARCO
EN
COORDENADAS
Consideremos y = f(x) una curva, la longitud L del arco de la curva comprendida entre dos puntos x = a; x = b es:
L = í x/l + y'2dx ____Ja__________ ©
LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA DADA EN FORMA l'ARAM ETRICA.Sea x = \|/(t), y = vj/(t) ecuaciones de la curva en forma paramétrica, la longitud L del arco de la curva: L = fV ÍT y ¡d x = Jo
L = ( yjx12+ y ,2dt ____¿í,____________ donde
r,
y i, son los valores del parámetro correspondiente a los
extremos del arco.
1666
Jo V
4
=
27
4 X
/ 4= ± (io S ó -i)
/ o
27
Hallar la longitud de la catenaria y = acosh(—) desde el vértice A(0,a) hasta a el punto B(b,h). Desarrollo
Eduardo Espinoza Ramos
313
Aplicaciones de la Integral Definida
312 f V* + l , + 1 = 0 , despejando
£ ) = a(£ l ± f _ l ) de donde e '
f zlzdz
) ^ r dx- ) w
f z 2dz
r r 2)
^
z = see 0 => dz = see 0 tg 0 d0 4y 2
2y .
, ,y +E -* = ln(— a
-4
Z
C z dz f see d.secB.tgOdG f 3 Q ,a I ------- = ........ . ----- = I see 0 du , integrando por partes J Vz~ —1 J Vsec20 - 1 J
y ± \ ¡ y 2 -<■
x = aln(
.)
y+
■= |
J& -J1
a
dx
a
dy
^y2-ó 2
t d x s2 W dy
^
a y2 - a
OdO = —[ln | see# + tg0 | + tg0.sec0]
f - 5-^.... = l [ l n |z + Vz2 - l | + z V z 2 - l ]
2
(2)
2
JV ¡M
reemplazando (2) en ( 1) se tiene: í f W
dy ‘
1 f ^
= V^2 - a 1667
5
dy=
1
dy
v
J
'V-jf + 1
dx
~ 2J
r *2
= ln | z + Vz2 -
1 1+zVz2 - 1
2 “ O longitud L = \ h ~ - a 2 j* ~ j = J - d x = l n | V * + l + V x | +Va.V* + 1j
Calcular la longitud del arco de la parábola y = 2 ^ desde x = 0 hasta x = 1. Desarrollo
L= f y '2
dx = (In | yjx + \ + \l~x | +\¡x.yjx+ 1) /
’ o
Jo V*
=■
Por lo tanto L = V2 + ln(l + V2)
2
I
Il^X d x fx
1668
Calcular la longitud del arcó de la curva puntos (0, 1) y (l,e).
f ‘ V IT Í calculando | ——j=—d x , se tiene z Jo V* Vi '
x +1
Desarrollo
y = e x =* y'-e* => y'2 = e 2jr dz = 2z d z ; * = z 2 - l y
z = VT+T
y = e * , comprendido entré los
Eduardo Espinoza Ramos
314
y = ln x => y , =1 x
+ e2x dx calculamos J \f\ + e2xdx
para esto pero Luego
z 2 = \ + e 2x =>
315
Aplicaciones de la Integral Definida
=>
1 >' ,2 = — x
z dz = e 2xdx
l + e 2 x = z 2 => e 2x = z 2 -1 zd z = e 2xdx = ( z 2 - l ) d x de donde dx =
z dz
z2- 1 para esto x = tg 9 => dx = sec 2 9 dO N x~+ l . f yjtg2e + l 2 f --------- dx= - sec 6 d d = I sec d.— J x J tg 6 J -
I -- 1 . y]e2x + 1 -1 í, 57 1. + 1 -1 )“ = Vl + e2* + - l n ■= = = — = V l + e2x + —ln------- ^ -------2 V ¡ ^ +1 2
_ f sec 0 ^ J sen#
3
dd
C°S0
sen 9
_ f (cosccq + tg£ sccd)d 9 = ln | cosec J
0 - ctg 9 |+sec 9
ex L = J yl\+e2xdx = [y¡l + e2x + l n ^ e
L=^
+7 +
^
, . y]\ + x 2 1 . r j ,n/i + jc2 - 1 í. = l n |— ---- -— I+VI + a: = l n -------------- + Vl + x x x x
~ ~ ]/Q
L = í JÍJ M
y¡2 - ln(V 2 - 1)
e
0
L = ^ - J ~ 2 + ta Í
NOTA: in ^
1669
- ^
^
^
>/2 +1
M e ^
1
i
£
1
= l n ^ + lnv/3 + l = l n ( ^ ) + l = l + - l n V2 2
i n - J — = -ln(x/2 + l) v 2 +1
Desarrollo
X
L = (ln-yr + 3 ) - ( l n - r + 2 ) = ln -7= + l + ln>/3 v8 V3 v2
±2
Hallar la longitud del arco de al cuya y = ln x desde x = \¡3 hasta x = -s/8
dx = lln
X
1670
2
Hallar la longitud del arco y= arcsen e ”* desdex = 0 hasta x = l . Desarrollo
2
Eduardo Espinoza Ramos
316
y = arcsen e
=> y = — f=> y
_ — 757 ,2 =-
317
Aplicaciones de la Integral Definida
•e - 2 . 1 2_ t l ^
***
L= f
Ji
I-* ' 1673
Hallar
22yy
la
-2
1
4
2
r« e2 1 1 e2+l
= ( 2L + I i n y ) r = -
longitud
/ 11 4
del ^^ r
arco 2
de
2 la
4
4 curva
derecha
de
tractriz
2"
x = -^ a 2 - y2 + o ln | ——— ---- — | desde y = a hasta y = b (0 < b < c.) y = f ' eX
1
-1 [ / ’ = ln(é’+ V ¡ M ) - l n ( l + 0) = ln(e + V ¡ M ) 'o
1671
Calcular la longitud del arco de la curva x = ln sec y, comprendido entre n =0 a y=—
y
3
Desarrollo x = ln sec
y
dx sec y tg y => — = ------------= tg v dy sec y
n_ ________ L =
Jl
Jo V
+
it
f
( ~ ) 2d y= 3 n/i + tg 2 ydy dy Jo
=
í
sec y dy
Jo
a = ln(sec y + tg y ) j 3 = ln(2 + \¡3) - ln 1 = ln(2 + >/3)
1672
1 2 1
Hallar la longitud del arco de la curva x = —y* - —ln y desde Desarrollo
1 2 1 J‘ _ 4 'V ~ 2 n y ^ _
dx
y _1_
d y _ 2:
2y
dx _ y 2 - 1 dy~
2y
y = 1 hasta y = e
Desarrollo
318
1674
Eduardo Espinoza Ramos
Aplicaciones de la Integral Definida
319
Hallar la longitud de la parte cerrada de la curva 9ay 2 = x ( x - ' i a ) 2 . , x, y = ln(ctgh—) a
Desarrollo 9ay 2 = x ( x - 3 a )2 =» — = ( x - 3 a ) 2 + 2x(x~3a) dx
ea +e
v , x ea +e a => e ^ = c tg h —= ----------a í -~ e a —e “ eX +1
a
y = ln ----------- = ln -------£ _£ ex - 1 e a —e a
10 ¿y = 3o/( x - 3oa w dy = -----------------(x-3a)(x-a) 18ay— ) ( x - a )a ; — dx dx 6ay
dy _ e x dx
1 d (ex +l
ex - l
( - 2 ex)
ex + 1 (ex -
ex +1 dx ex —1
1)2
- f
Como
9ay 2 = x ( x ~ 3 a )2
y=-
Luego ¿ U Í f Z f W ? dx 2a\lx
dx
( x - 3 a)J~x 3\[a
(*)
e2x- \
dx
(e2x - Y )2
esta expresión sigue del asterisco.
( * ) 2 = <ÍZ2>! dx 4 ax
)dx -e-2x
Como la curva es simétrica respecto al eje y, se tiene: = [x + ln(l - e~2x) \ ¡ h = b - a + ln(l - e~b) - ln(l - e ~2b) L - 2 \ J 1 + (^ y d x = 2 r j l + ^ d x dx Jo V 4ax Í to
/
3a ' u + 2)2 dx Jn J o V 4<3A“
=2J
1 - e~2b e2b - 1 e2a e 2b e2a = b - a + ln------ - = b - a + l n - ----- .— = b - a + l n - ------ + ln ^— l - e - 2fl e 2fl- l e2¿ e2a- l e2b
L = [ a \ ± ± ¿ d x = -^=(—x 2 + 2 a x2) l “ = 4y¡3a
Jo \' V^
1675
3
hasta x = b,
2h _ , 2b _ | = b - a + ln —----- + ln e2a - \ n e 2b = a - b + ln ——— e -1 e -1
7o
Hallar la longitud del arco
de la curva
(0 < a < b)
y = ln(ctgh—) desde a
x = a
1676
Hallar la longitud del arco de la evolvente del circulo x = a(cos t sen t); y = a (sen t -
Desarrollo
a
1 eos t) desde, t = 0 hasta t = T. Desarrollo
+1
320
Eduardo Espinoza Ramos
321
Aplicaciones de la Integral Definida
dx x = a (eos t + 1 sen t) => — = at cos t dt
4
2
9c2
4
->
,
. f 2»
2
ICOS2 /
« T I 2/
tsen t + ——sen t c o s 't d t = 41 3c sentcosí.¡^=~~— i-----—a/ ¿>2 Jo V a
d\ y = a (sen t - 1 eos t) =» — = at sen/ dt
1 - s e n 2t
sen2t ,
2— +^ ~ dt 2
b2
,
L = \ J(~—)2 +(— )2dt = f Va 2/2 eos 2 / + a 2t 2sen2t dt J, V dt dt Jo \b~ +(a~-b")sen"t , 6c f 2 . /Ti 2~ j = 41 3c sent c o s t . ----------—;—------------------------------------------------ dt = ----- j Jo \ a2b2 ah Jo
f T. at 2 ,T a T 2 = I at dt = ---- / = -----Jo 2 / o 2 2
1677
Hallar la longitud de la evolvente de la elipse x = — eos / ; a í( c„2 = _ a 2 —b. 2-.)
=_ L .Í £ ^
2
aZ?c
y = — sen /, b
3
2 Í ¿ / L J _ , » 2 ^ 2 ,5 _ J _ „ 3 / 0
aZ?c
2 :_ í _ (a 2)f _ J _ fc3 = 4 a l _ 4 ^ = ^ - ¿ » c a¿>c abe be ac abe
Desarrollo
1678
= ^ (a 3 -Z>3) ab
Hallar la longitud de la curva x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t). Desarrollo x = a (2 eos t - eos 2t) => x'= a( 2 sen 2 t - 2 eos/) => x' = 2 a(sen 2 t —sent) y = a (2 sen t - sen 2t) =>
y'= 2a ( c o s r-c o s 2/)
Z- = 2 f J (—)2 + (— ) 2d/ = 2 f J 4 a 2 (senlt - sent )2 + 4 Jo V dz dt J0 y=
c
b
sen 3 t
Jo V d t
dy 3c 2 — = -----sen ico s/ d/ b
dt
= 4a J Jo
a
2(eos / - eos 2t )2 dt
sen 2 2t-2sent.sen2t+eos 2 /-2 c o s /c o s 2 / + cos 2 2/ dt
= 4 a f ^ : 4 s e n t cos / - 2 cos / + 2 cos tsen t dt Joo
I
Eduardo Espinoza Ramos
322
Aplicaciones de la Integral Definida /i a dr r = a ( 1 + eos y ) => — = -asemif dy/
= 4a í V2 - 2 eost(sen2t + eos 2 t)dt = 4a f V 2 -2 c o s tdt
Jü
Jo
r_ ñ>¡ _____ _tK - t C” t = 4a\¡2\ j l - eos t dt = 4 s ¡ 2 a I y¡2sen—dt =%a\ sen—dt Jo
Jo
= 8a(-2cos—) /
2 /o
2
Jo
como la curva es simétrica con respecto al eje X, la longitud total de la cardioide es:
2
= -16a(cos7T -cosO) = -16a(0-l) = 16a
¿ - 2 f \¡r 2 + r '2dr = 2 ^ yja2(l+ c o sy )2 + a 2sen2y/dy/ = 2a ¡ y¡2 + 2 cosy/dy/ Jo
1679
Jo
Jo
Hallar la longitud de la primera espiral de la espiral de Arquimides r = a \j/.
Desarrollo Si r = a\u
L = 2V2a
dr = > ---- = a dy/
»0 .---------
= 4a
f 2n .—---------*2re .— --------L = I s r 2 + r ,2dyf = i \¡a2y/ 2 + a 2 dy/ = a y¡y/2 + ld y/ Ja Jo Jo 1681
=l ~
1 ln!¥ +y¡¥2+1 il/
= ^(2*V4*2 +l + ln |2* + >/4*2 +11)
ñK _______ yfl+cosy/dy/ = 2\Í2a
Jo
2
y/ w / 71 tc cos— dy/ = 4a.2sen(—) / = 8a.ve/?------ SasenO = 8a Jo 2 2/0 2
Hallar la longitud dei arco de la parte de la parábola r = a sec2(—), cortada de
2
la misma por la recta vertical que pasa por el polo. Desarrollo
•••(*) 2
2
= aK\¡4n'’ +1 + ^ ! n ¡ 2 k + \[4k 2 +1 ¡ Hallar la longitud total de la cardioide r = a ( 1 + eos \|0
%/2cos(—)dyr
Jo
r
r = asee (—)
1680
323
L =2¡ Jo
Desarrollo
=
2j*
dr a 2 => ---- = —sec (—)tg(—)
dy/
2
22
r 2 + Á 2 dy, dy/
V
‘ ^J a
2 sec4 y
+
a 2 see4 Xj. t g
2~ d y / = 2a
J 2 sec3 % ¡d y /
2a[ln \tg~- + scc~-\ +tg•—sec —] / 2 = 2afln | íg —+ see— \ +tg —.sec —] 2 2 2 2 / 0 4 4 4 4 —2¿z(ln(l + V2 ) + V2 )
324 1682
Eduardo Espinoza Ramos
Aplicaciones de la Integral Definida
Hallar la longitud del arco de la espiral hiperbólica r\\i = 1 , desde el punto
r = y/± -Jy/ 2 - 1 como r >
325
1 se tiene:
( 2, i ) hasta el punto ( ^ , 2).
=yi +Jy/2-1
Desarrollo
1 => yr =1 -
rvj/ =
para
r
ry=l
„
1 1 => \¡/\= — 2 2
2
r,=
l^ = Z ( r + - ) 2 r
r,
i r,--------2
= [ln | -y/l + i/A +
1683
I
^
"
\
,
2
-------- ] / , = ln(— — ) + — y/ / 2 2
f
- i
y/~ -1
VV7'2 -1
1
w
2 -1
-y=iV tV v
- ame”'v
6.3.
aemsja + m 2 dy/ =— en"t>\l\ + ni2 / m *
Hallar la longitud del arco de la ciu vn
' 71 •
*
»'<
' 2 _ 1 + ~ ln I V + ' J y 2 “ 1 ll/ 3 porlotanto Z. =
V O L U M E N E S D E C U E R P O S SO L ID O S . VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN.Los volúmenes de los cuerpos engendrados por la revolución de un
i /'
•
*i
f
■■
I
Ih i m u
i
= 3 .
limitado por una curva y = f(x), el eje X y dos
verticales x = a, x = b, alrededor de los ejes OX y OY, se expresan respectivamente por las fórmulas.
Dr&lUI ollu De y/ = —(r + -—) despejamos i 2 r
dyr
5
trapecio mixtilíneo, 1684
í 3 ¡(y/ + -Jy/2 - l ) 2 +(1 + - j ^ = ) 2dy/
J¡ y
= pO/' + Vv'2-!) - r~r—dy/ = f 3(V'+ —X=)dy/
/ <'" mi • 0>, que se
© L=
dyt
5
Desarrollo
d y/
¡r2 + ( ^ - ) 2d y / =
Ji¡/, V
= Í \ >+ \/y/T^ 7 )2 + ^ l É I l L d y r = f ’ L + Ji \ y/' -1 Ji
y Í5
Hallar la longitud del arco de la espiral logarítmica
r = aem
[
para r , = l , \|/, = 1, r 2 = 3 , y/, = ^ ’ 3
I i t "
, ,3 + v 5 ,
encuentra dentro del circulo r = a.
además como
„
dr 1 => r = — => ---- = ----- W dyt y/-
d v' /i
—
yjy/2 - 1
;r, = —=* \\fi =2
1
’ C
——= 1h— dV
L= l
de donde
• >il«m
© Ja
Vv = [ xy dx Ja
327
Aplicaciones de la Integral Definida Eduardo Espinoza Ramos
326
en el caso mas general, los volúmenes de los cuerpos engendrados por la
1686
x2 y — + a~ b
rotación de una figura, limitada por las curvas. e y 2 = f 2W
>’i - / ] W
Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la rotación de la elipse 2
alrededor del eje OX. Desarrollo
(siendo / , (x) < f 2 ( x ) ).
2
2
~ Z + ~ T ~ 1
a
Y por las rectas x = a, x = b, alrededor de los ejes de coordenadas OX, OY; serán respectivamente:
1685
; y2= V - ~ ) b 2 a~
Ca
Ca
x2
x3h2 I a
Jo'
Jo
a2
3a~ * °
V = 2 n I y 2dx = 2 n I (1 — -)b 2dx = 2 n(b2x -------- ) /
r b Ja
b
2
*b
(>2 - >f >dx y K = 2k I x (y'2 - >'¡)dx
,2 ob x =2n ( a b ------- ) -
Ja
0 = ----- b 2
Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX, de la superficie limitada por el eje OX y la parábola \y = a x - x 2 (a > 0). Desarrollo 1687
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX la X
superficie limitada por la catenaria y = a cosh(—) , el eje OX, y las rectas x =±a a Desarrollo X
y = acoshí—) = a. a
V=n\
fa
Jo
o ra , r v. 4 , y~dx = n \ (iax {ax~ —x ¿Y Y d x = n IJ (a 2x 2 - 2 a x. 3i ^+ x*)dx
Jo
Jo
a ^ x3 ax4 x5 : Tí(-------------- -f----
3
2
a / 5
0
a5
= 7T(-
a5
a5
n_ a_s
X
ea +e a
2
2 2x_ _2x y 2 = — (e a +e a + 2 ) 4
328
Eduardo Espinoza Ramos
329
Aplicaciones de la Integral Definida Desarrollo
»a
r a
2
^
V = 2n I y^dx = 2 n \ — (e a + e
Jo 4
Jo
2*
_2x
0 + 2 ) d x = ^ —(—e a ——e a +2 x) / 2 2 2 /
na a 2 a -2 * a a — ( - < r — e ¿ + 2a — + - + 0)
2
2
2
2
2
tffl2( _fl e 2— a e ~-2 + 2a) - ■= ----n a *-(e , i —e-2 +4) :-----
2
1688
2
2
4
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la curva y = sen 2x , en el intervalo x = 0 hasta x = jt Desarrollo
f' 2 . f' 3. nxA / ' n n V = n \ y dx = n I x~ dx = -— - / = ---- 0 = — Jo ' Jo 4 / o 4 4
Y < 1690 (
^
r 2 V = n I y"dx = n Jo
^ 0
\
r 2 2 r (sen x) dx = n I sen x dx Jo Jo
r (iz c o s i x 2 d x = 1 r 2 4 Jo
Jo lo
rivVA n " .X
(1 —2 cos 2x + cos 2 x)dx
,3x sercx senAx„ ¡ n 3 3n~ = n ( --------------+ -------- ) / = n (— 0) = 8 4 32 / o8
1689
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la parábola semicúbica y 2 = x 3, el eje OX y la recta x = 1, alrededor del eje OX.
Hallar el volumen de! cuerpo engendrado al girar la misma superficie del problema (1689), alrededor del eje OY. Desarrollo
330 1691
Eduardo Espinoza Ramos Haiíar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar las superficies limitadas por las líneas y = e x , \ = 0 e y = 0 alrededor. a)
Del eje OX
b)
331
Aplicaciones de la Integral Definida
Y
1
2a
Del eje OY
Desarrollo ¡ C n ...... i .......................... : \0 i / / ✓ ¡ ✓ i ^ j- - " i -2a
= 2n f V - ( f ) 2» = 2*(* Jo
1693
4n
a
X
= 2*2«’ - f 4 ) SICin
/ 080/2
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a, la parte de la parábola y 2 = 4a x , que se intercepta por la misma recta. Desarrollo
1692
Hallar el volumen del cuerpo engendrado a! girar alrededor del eje OY la parte de la parábola y 2 = 4ax que intercepta la recta x = a. Desarrollo
El volumen de la región cortada al girar alrededor de x = a, es:
332
Eduardo Espinoza Ramos
333
Aplicaciones de la Integral Definida
V = 7T 2[(p + y¡2px )2 - ( p - y [ 2 p x ) 2]dx = n ' 4 p ^ 2 p x dx Jo Jo
V = 2n f (a - x:)( y, - v-, )dx Ja
P
3
Luego para nuestro caso se tiene:
_ °1 =
= j t j 2 J 2 p x 2 p d x = 2 n [ ^ ( 2 px) 2 ] j 2 =
f
V = 4tt f [a-x)(\Í4 ax —0)dx = 4n (a —x)2-Jaxdx Jo Jo 3
=8
3 2
1
1694
3
3
^ - ) / " = Sk( 2 ^ ~ 5 /o 3 2
,to ( 3 ¿ _ í l „ 3
5
5
1695
47T /r
Hallar el volumen del cuerpo engendrado ai girar alrededor del eje OX, la superficie comprendida entre las parábolas y = .v2 e y = \¡x
1 5
Desarrollo
- 2 — — )/ “ 5 / o
8T(1 0 ? ! z 6 f Í l = S £ V 15
15
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor de la recia y = -p, la figura limitada por la parábola v 2 = 2px y por la recta x = Desarrollo
2
= 7rlJo 1696
5 /0
2 5
10
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girara alrededor del eje OX, el lazo de la curva ( x - 4 a ) y 2 = a x ( x - 3 a ) . Desarrollo (x —4 a) y = a x (x -3 a )
2
y =
j = n fI 3ü a x ( x - 3 a ) dx = n If 3“ y 2dx x —4 a Jo Jo
ax(x-3a) -----. Luego: x-4 a •3a
J 4 a* (ax + a~ H---------- )dx x-4 a 10 Jo
334
Eduardo Espinoza Ramos
335
Aplicaciones de la Integral Definida
2 9 -x , ÜX i i 1 /j = ^ ( - z - + a * + 4« ln(jc-4a))/ = * (— + 4o 3ln (-— )) • o 2 4a = n ( ~ — 4 a 3In4) = ^ - ( 1 5 - 1 6 1 n 2 ) 1697
2
Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide y 2 = — — 2a - x alrededor de su asíntota x = 2a. Entonces para nuestro caso se tiene:
Desarrollo
H V = n \ (^fxy )2 dy = K [ ky dy = nk — I -=nk 2 Jo Jo 2 • o
R~ como kt = — H
HR H 2 R2 V = n — (— ) = n 2 H 2
1699
Un segmento parabólico recto de base igual a 2a y de altura h gira alrededor de su base. Determinar el volumen del cuerpo de revolución que se engendra (“Limón” de Cavalieri). Desarrollo 4 2
V - 2n \ ( 2 a - x)y d x ; para nuestro caso por simetría se tiene: Ja r 2a
IT.
/»2a
V = 4n \ ( 2 a - x ) x - = = d x = 4 n Jo \'2 a - x Jo
j(2 a -x ).x jx d x
calculando la integral, completando cuadrados se tiene: V = 2n V 1698
Cuando y =h, x = 2a; Luego k = - ^ — como: x" = ky => x = yfky = g ( y ) ; h por el método de la corteza cilindrica al hacer rotar alrededor de la recta x = h, • b se tiene: V = 2t t Í ( k - y ) g (y )d y , por lo tanto: Ja
3
Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es R y su altura es H. Desarrollo La ecuación de la parábola es x~ =ky de donde x = yjky cuando x = R, R2 y = H, luego k = — como:
eb V = n \ [f( x ) ] 2dx Ja
336
Eduardo Espinoza Ramos
Aplicaciones de la Integral Definida
337
f i— - 7- 2- i h16i 4a 2 V = 2tc I ( / i - y)y¡ky dy = 2 n k 2 (—hy 2 — v2) / = — ^ a / r donde k = — — Jo 3 5 / o 15 h 1700
Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución, engendrado al girar la
hipérbola
equilátera
x~ - y 2 = a 2
alrededor del eje OX que
intercepta al plano x = 2a, es igual al volumen de una esfera de radio a. b)
Al hacer girar el tubo cilindrico alrededor del eje Y se tiene: V = 2 i r j x y d x ; de donde para x = 0, t = 0 ;
Luego:
^=1 In x y dx = 2/r Jo Jo •
x = 2rta, t = 2n
a(t-sent)a{ 1 - eost Y a dt
2n
V = 2ira 3 I (1 - e o s í) 2(/ - sent)dt = 6n i ai ’o
í
V
p 2a y 2dx = n I
ñ 2a = ;r i
Ja
r, 8fl3
~3
Ja
3
2
c)
(x 2 - a 2)dx = n ( x i - a 2x ) /
'a
El eje de simetría es x = Tra, y el volumen de este rectángulo rotado alrededor de la figura es dV = 27i(7ta - x) y dx, de donde: n
3 2fl3 2fl3 4 ^ 0 3 T ~ " n = « — +~ r , = —
V
V = f " dV = 2ain f ( n - t + sent)( 1 -eos t)~ dt Jo Jo
que es el volumen de una esfera de radio a.
.3
_
eos 21 ^ ,
V = 2
1701
Jo
Hallar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar la figura limitada por un arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX alrededor de: a)
Del eje OX.
b)
V=
Desarrollo
;
sugerencia:
2
2 1 + cos 21 cos" t = -----------
Del eje OY.
1702 c)Del eje de simetría de la figura.
n a 3(9n 2 -1 6 )
2
Hallar el volumen dei cuerpo engendrado al girar la astroide _y = asen ^t, alrededor del eje OX. Desarrollo
x = a eos ’ t ,
338
Eduardo Espinoza Ramos
339
Aplicaciones de la Integral Definida 1704
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva
r = a c o s ‘ \|/
alrededor del eje polar. Desarrollo Í
tt
X
x y x —a eos 3 t , eos 3 t = —; y = asen 3 t , sen 3 t = — a a
-
eos 2 1 =
-
(—)3 , sen2t = (—)3 entonces 2
2
2
2
sen2í + eos 2/ = (—)3 + (—)3 = a a
1
1
1 La variación de la integral desde y = 0 hasta y/ =
2 3
de donde jc3 +>,3 = a 3 ; y = (a 3 - jc 3)2 2
(27rf
2
2?r f í 3 , . 47T f: ( r } seny/ dy/ ) = — 2a 3eos 6y/ senyr dy/ luego V = 2(— ) 3 Jo 3 Jo
3
ÍV) = V = 2(2tc\ x(a 3 - x 3 ) 2 dy) =— na2 105 Jo
1703
V=W 3
Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotación de cardioide r=a
(1 + eos y ) alrededor del eje polar. Desarrollo
27r ^ Como V = — | r send d 6 . entonces Jo
3 Jo
2n r
3
3
V = — I «’ (1 + cosi//) íe/¡y/ dy/ =
3 Jo
K
\4 27raJ (1 + cosi//)4 /“ —---------- -■■■■/ 3 4 /o
1705
cos7 y/ p = W 7 / 0 21
= W 21
Hallar el volumen del obelisco, cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A, B y a, b y la altura es igual a h. Desarrollo A
340
Eduardo Espinoza Ramos A
La ecuación de !a recta L:
341
Aplicaciones de la Integral Definida
a
a
~92 ~ 9
2
h
y —- = —— —(x - 0)
y =
A -a
a
2h
2
--------- x -i—
La ecuación de la recta L ': A
2
z=
b
B -b
a
2h
B -b
---------- x
2h
-(.v - 0)
b +— 2
Área del rectángulo, MNOP es: A = (2y).(2z)
Adx=
= f
Jo V
i/
V
1706
* 41Jo‘ h
= —
3
f
(2y)(2 z)dx
Jc y zd x
=4[
(A
-a)(B -b) x
( A - a ) b x~
Ah
Ab Ba (AB H------- + —
2
- +
2
2
(B-b)a x
+-
Ah
2
f ha x b x , abn Ch 2 , abn .x 3 ¡ h abnh 3 — .— dx = — T- \ x-dx = — ^-(— ) / = 3h¿ J0 h h h~ Jo h 3/0
V=7t \
ab i I ■at>
A 4
/ c V=
h , An Ab + aB ab) = —(AB + --------------- i- ab)
3
2
abnh
3
1 Hallar el volumen del cono elíptico recto, cuya base es una elipse de semi ejes a y b, y cuya altura es igual h.
Sobre las cuerdas de la astroide x 3 + y3 = a 3 paralelas al eje OX, se han construido unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las
Desarrollo El i - esimo disco elíptico de la figura tiene por volumen
1707
2
cuerdas y los planos en que se encuentren son perpendiculares al plano XOY. dV = rcAB dx,
Hallar el volumen del cupero que forman estos cuadrados.
donde A y B son los semi - ejes. Desarrollo Luego por semejanza de triángulos se tiene: A
x
B
X
a
h
b
h
— = —, — = — de donde
ax bx A=— , B=— h h
Para el volumen del i - esimo sólido se tiene dV = área base x altura pero área base = ( 2a ) 2 y la altura es dy, luego:
342
Eduardo Espinoza Ramos
343
Aplicaciones de la Integral Definida
El volumen de i - esimo disco circular de la figura es dV = n y 2d x ; donde 2
2
iL + Z _ = i «2 b 2 Luego el volumen será cuatro veces el volumen de la región comprendida por le arco de AB es: fa r rab ■> -> V = 4 I dV = 41 n y 2dx = 4 n \ — (a 2 - x 2)dx Jo Jo Jo a" V=
2f Jo pq
2
2
ma
4
2
2
,b 2 , 2 I . I a 4b2n , 3 8/? V ;r 8Jtab2 = 4 - ( a 2x - x 2) J = — — ( a ^ - a 2) ^ - — — = — — a~ • o a" 3a“ 3
4
V = 8 j (a 3 —_y3)dy = 8 I (a 2 —3a 3 y 3 + 3 a 3;y3 —y 2)dy
Jo
Jo 4
1709
2
v 2 9 a 3 | 9«3 I # " 128 3 V =8 ( a y -----------------------— y J + ----------y 3) / 5 7/ o 105
El plano de un triangulo móvil permanece perpendicular al diámetro fijo de un círculo de radio a. La base del triángulo es la cuerda de dicho círculo mientras
= ----------
que su vértice resbala por una recta paralela al diámetro fijo que se encuentra a una distancia h del plano del círculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado
1708
Un círculo deformable se desplaza de tal forma que, uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY, el centro describe la elipse
2
2
conoide) engendrado por el movimiento de este triángulo desde un extremo del diámetro hasta el otro.
x y . ~¿2 + ^ 2 = 1, mientras que el plano del círculo es perpendicular al plano XOY,
Desarrollo
hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicho círculo. Desarrollo
A=
2
= y.h
A(x) = j a 2 - x 2h
\plicaciones de la Integral Definida
345
Eduardo Espinoza Ramos
344
2
1711
V = J A(x)dx = J
\la 2 - x 2hdx = 2 h j \¡a 2 - x 2dx
2
y f-— z < x , interceptado Hallar el volumen dei segmento parabólico elíp tico ----2p 2 q por el plano x = a. Desarrollo
a reseni n — 7 JL + = 2 a h[2a 1710
] / a = 2a 2h(—) a lo 4
V=
n a 'h
La sección del sólido determinado por un plano paralelo al plano distancia x del origen, es una elipse cuya área es:
-> 2 _ 2 Hallar el volumen de! cuerpo limitado por los cilindros x~ + z - a e 2
y +z
2
>'z a una
A = n zy como y = yj2px , z = y¡2qx
2
= a¿.
luego: A = n^2px.^¡2qx = 2nx*Jpq . Por lo tanto:
Desarrollo 2
2
2
2
2
2
Las ecuaciones de los cilindros es: x + z ■—a~ y +Z = a de ( 1) se tiene: x = y¡a2 - z 2
;
...
(1)
... (2)
de (2) se tiene: y = Va2 - r
además el área de la sección es: xy, es decir el área = xy = a —z
Luego.
a 3 . 16a3 V = s f (a 2 —z2)dz = 8 (a 2z - 4 —) ^ = 8(a 3 ——) Jo mo r— a V = I 2n x j p q dx = 2 yf p q 1—■/ = n a 2J p q
2/0
Jo
1712
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja X2 a
2
V 2z — ----- - = 1 ; y losplanos z =0 y z = k. b
c~
Desarrollo Para cada valor z en [0,h] se tiene una sección plana elíptica al plano XY 2
anotada por la elipse — ■+ a" b
2
,2
2
el área de la sección plano es = n. c
Eduardo Espinoza Ramos
346
x2 y 2 c1 + z 2 (producto de semi - ejes), como — + = \—
Aplicaciones de la Integral Definida
6.4.
347
A R E A D E U N A S U P E R F IC IE D E R E V O L U C IO N .E1 área de una superficie engendrada por la rotación alrededor del OX, del arco
X =
de una curva regular y = f(x) entre los puntos x = a y x = b, se expresa por la
a 12 2 - \ l c ¿+ Z luego: V =
formula:
rh nxydz
Jo
y = —yfc2 +Z2
Sx = 2j" y ^ - d x = 2;r j* yyjl + y ,2dx
C
... ( 1 )
donde ds es la diferencial del arco de la curva. V = n \ —>Jc2 + z 2 —Ve2 + z 2dz = - j - í (c 2 + z 2)dz Jo c C c Jo
Cuando la ecuación de la curva se da de otra forma, el área de la superficie S x , se obtiene la formula ( 1), efectuando los correspondientes cambios de variables, es decir:
abn i zJ i h abn , 2, h 3 , n = — (c 2z + — ) / = — (c A+ — ) = a¿tor(l + —y ) r2 3 I o c¿ 3 3c
1713
V
*> 2 z7 x“ y Hallar el volumen del elipsoide — + — + — = 1 a b2 c2
1714
dy
En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la superficie de este espejo.
Desarrollo
Desarrollo ">
2
2
2
Una sección plana elíptica al plano xy
, x~ y c -z anotada por la elipse — + — - , a b c
se obtiene para cada valor de z en
[-c,c] donde el área de dichasección es:
a = n por el producto de sus semi - ejes de la elipse, donde se tiene:
x = - y J c 2 - z 2 y y = -by j c 2 - z 2 luego: c c
Adz = j
V=J
nab
2 '
3
sea y 2 = 4 px el punto a(a,4a), de donde 16a2 = 4ap entonces p = 4a
—z 2 ■'Je2 - z 2dz = —y - J* (c 2 - z 2)dz
^
- \ nabc /
-c
C
3
Ó
D
por lo tanto
i = 2n
y 2 =16ax => y ' = 2.
J*^ y yJl + y ’2dx = 2n J
£ 4a
4 \[ax. 1+ — dx = 8na I yfx + 4a dx X
Jo
Eduardo Espinoza Ramos
348
Aplicaciones de la Integral Definida 2 . du , sea u = tg x => du —see x dx => —---- = dx u~ +1
3
= 8ttV ^ - X-+ *a y ¡ Q a = ~ - ^ [ ( 5 a )2 - ( 4 a) 2 ] = ^ j - a 2(5^5 - 8)
2 1715
349
1 ' du i = 2n j 4tgx-J 1+ sec4x d x = 2n u-J(u 2 + l)2 + l u 2 +1 Jo Jo
I
Hallar el área de la superficie del “huso” que resulta al girar una semi - onda de la sinusoide y = sen x, alrededor del eje OX.
z —u
sea
Desarrollo
2 ,
dz
,
+1 => — = u du 2
2 . .2
desde x = 0 hasta x = n como:
. _ f 1 f. 2 7 du . f ' / z " +1 , A = 2n I u J ( u ~ + l Y + l ——- = 2 | ---------- dz Jo u +\ Ji z
A = 2n í ysj\ + y '2dx = 2n j senx\¡\ + eos 2 x dx = 2/r í s e n x j 1+ cos 2 x dx Jo Jo Jo
A = 2 n \ — —— dz efectuando la integral, se tiene: Ji z
Un arco completo de la curva y = sen x se obtiene haciendo varias x
consideremos u = eos x => du = - sen x dx
A = n ( S - S - ) +n \ n ^ ^ V5+1
cuando x = 0, u = 1 ; x = n, u = -l. luego: 1717 A = 2n j* senx\Jl + cos 2 x dx = ~K j
>/l + w2(-du) = 2 n j yj\ + u 2du
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX, del arco de la curva y = e~x comprendido entre x = 0 y x = +°°. Desarrollo
= 2 Jt[—-ju 2 +1 + —ln (u + yju2 + 1) ] / = 7t[ (u ju 2 + 1 +ln (u + \lu 2 + 1) ) ] / 2 2 / -i / -i = 7t[(J2 + ln(l+ V2) + y¡2 - ln(—1+ V2)] = k( 2^2 + ln ^ 1 ) = 2 k ( S + In(>/2 + 1)) V2-1 1716
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de tangentoide y = tg x, comprendida entre x = 0 y x = — alrededor del eje OX. 4 Desarrollo
y = e~x =* y '= -e ~ x => y '2 = e~2x
J
A =2
sea
y j l + ^ f d x = 2J
e~x Vi + e~2xdx
u = e x => d u = e Xd x , para x = 0, u = 1 ; x = +°°, u = 0
A = 2 í e~x\¡l + e~2xdx = e f yj\ + u2du = Jo Ji Jo = 2n(—y¡\ + u 2 + —ln(M +1 +a 2 ) /
2
2
2 j* sj\ + u 2 da
= 7T(V2 + ln(l + V2 )) /o
350 1718
Eduardo Espinoza Ramos
Aplicaciones de la Integral Definida i
Hallar el área de la superficie (denominada catenoide), engendrada por la rotación e la catenaria
351
12na3 ,
X
12*a2
y = a cosh — alrededor del eje OX, entre los a
limites x = 0 y x = a. Desarrollo
1720
, x dv , x y = a cosh — => — = senh — a dx a
»2 i Hallar el área de la superficie de revolución de la curva x = ^ - - —\n y y alrededor del eje OX, comprendida entre y = 1 e y = e. Desarrollo
A —2*1" y. II + ( ~ ) 2dx = 2 n \ acosh —.1+ senh 2 —dx Jo V dx J0 a\ a -)2dy ra x x ra x Ca 2x A = 2* I a cosh—. cosh—dx = 2an I cosh 2— = n a \ (cosh — +1 )dx Jo a a Jo « Jo a r a , 2x , Ia 2, senh 2x n a 2 , 2 -2 = n [ a - s e n h -— + x ] / = n a (--------- + 1) = ------(e ~ - e +4) 2 a / o 2 4
a
2
1719
2
2
=- K *
r)f
¥
¥
dy
=l í , (y í ■2,n^ 2+y!+7 *
= — I (------------Xy'+lVfy =— I (y - 2 y l n y - 2 — )dy 4Ji y 4J, y
Hallar el área de la superficie de revolución de la astroide x 3 + y 3 = a 3 alrededor del eje OY. Desarrollo
= —(y 4 - y 4 1721
2,
7 , ? , #£ * . e 4 - 2 9 n(e 4 - 29) lny + y - h r y ) / = - ( — ) = ----- ----/ i 4 4 16
Hallar el área de la superficie del tuvo engendrado por la rotación del círculo x 2 + (y - b )2 = a 2 alrededor del eje OX (b > a). Desarrollo Como x 2 + ( y - b ) 2 = a 2 => y = b ± \ ¡ a 2 - x 2 Primero calcula el área ,4, de la superficie engendrado por la rotación del arco CB, como el arco CB esta definido por la ecuación: y = b + yja2 - x 2 , 0< x < a de donde
Eduardo Espinoza Ramos
353
Aplicaciones de la Integral Definida
Luego por simetría calcularemos el área A de la superficie del tubo, es decir: A = 2(A, + A2) = 2[7T2a¿7 + 27T¿r + 7T2a b -2 7 ra 2] = 4a¿OT2
1722
-> 0 jT y“ Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse: — + — = 1 a~
b"
alrededor: 1)
Del eje OX
2)
Del eje OY (a > b)
Desarrollo dy
-x
d*
\¡a2 —X2
X + 2_ = i a 2 b2
A, = 27T j* ( b + a 2 -
Jo
dx = 2/r j (
-2a¿arcsen—/
a>o
+ 2jcclx/
lo
=2abn(arcsen(X)-arcsenQi) + 2na2 = ab n 2 + 2 k ü 2
ahora calcularemos el área A2 de la superficie engendrada por la rotación del arco AB donde el arco AB es definido por la ecuación y = b —yja 2 —x 2 ;
0 < x < a de donde dy
—
2 •o = 2nb f eost\¡b 2 + V(«2 - b 2sent )2 dt
a~ - x
= 2 í (b —yja2 - x 2 ) yja2 - x
- 2 a x l = n 2a b - 2n a 2 0 0 ’ 0
= 2nabaresen—/
2
-> 2uab A = 2^¿" + ———aresen E
haciendo el calculo de la integral se tiene:
y^l + (~^-)2dx = 2J (¿ -V a 2 - x 2 )J l + - ^ j d x
Jo
^0 i-------------------------/•O *--------------------------A = 2 t t | bsent^a 2sen2i + b 2 eos 2 1 dt = 2n I bcostyjb 2 +{a 2 - b 2 )sen-t dt
-------------
a 2- * 2 Ai ~
A = 27T í y(t)yj[x'(t )]2 + [ y '(/)]'di Ja
además:
Je 'Ja2
Jo
>’ = —Va 2 - x 2 , parametrizando la ecuación se tiene
x = a eos t, y = b sen t para x = 0, t = — : x = a, t = 0
x2\¡ 1+ —2T-—-dx a —x2
= 2k \ (b + J a 2 x„ 2), ---- -
^
I 2 _fo2 donde E = ------------en forma similar para la otra parte se obtiene:
o 2 n b 2 , 1+ E ¿ A Ax = 2na +----ln ------- donde EV = E 1- E
a
Eduardo Espinoza Ramos
354
1723
Aplicaciones de la Integral Definida b)
Hallar el área de !a superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide x = a (t - sent t); y = a (1 - eos t), alrededor: Del eje OX
c)
De la tangente a la cicloide en su punto superior.
2„2 En forma similar cuando es alrededor del eje Y, de donde A = 16n~a
c) Un arco completo de la cicloide se obtiene haciendo variar t en el intervalo [0,2 ti] y además el punto mas alto es en t =
b)
a)
Y iL
Luego la pendiente en t = n es:
1 1 1
0 = 2-t
í
na
puesto que:
dy dx
, por lo tanto la ecuación de la t=n=0
tangente es y = 2a.
A s (
ti
dy _ y '(0 _ asent dx x '(0 a ( l- c o s í)
Desarrollo
2a
355
V
Luego la distancia del punto p(x,y) déla cicloide a la recta tangente es
X
(2jta - y) de donde el área pedida es:
* 2na
X A = 2. t Í Jo
y(t)yJ[xX,' ( . t ) f + [ y W d t
(2 a-y)yJ[x\t)] 2 +[yXt)]2dt
Jo
de donde al simplificar se tiene: x = a ( t - sen t) =* x'(r) = a ( l- c o s r) y = a(l-cost)
, o 2 f 2* 2 t t \6 n a 2 3 / r* 7>2na2 A = Una I eos ' —sen —di = — ------ - e o s —/ = -------2 2 3 2/ o 3
Jo
=> y'(t) = asent
A = 2 x ¡ a(l - eos t)>Ja 2( Ì - eos t )2 + a 2sen2tdt = 2Jta2 f Jo
Jo
2 t 1-COSÍ sen" —= --------i ">
A = 2na 2
( l - c o s í^ V l - c o s ? dt
f 2* J0
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX de la Cardioide x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t). Desarrollo
f 1. - eos t. = o2 sen 2 — 2
x=a
. t r 2* t 2 sen 2 - M M s e n ( - ) d t = 8*«" rc «3 2 2 Jo 2
= 8* a 2 ( - 2 eos - + - e o s 3 - ) / ^ = 8* o 2(2 + = 2 3 2 /0 3
1724
64^ — 3
(2 eos t - eos 2t) => x - a ( - 2 sent + 2 sen 2 t)
y = a (2 sen t - s e n
2t) => y'= a ( 2 c o s í - 2 cos 2r)
A = 2 ¡ y(t)y¡[x'(t )]2 +[y\t)]2dt Jo
Eduardo Espinoza Ramos
356 l*Æ
Se tiene: A -= 22n , I1 ' ,rseny Ir2 + ( - ^ ) 2d y Jo
i = AKyfla2 I lisent ~ sent eos t)\¡\ -eo s.' dt = 8n\Í2a2 (1 - c o s t )2 sent dt Jo Jo « / o
128 5
16 vR2wa“( -1/,l- c o s í sí 1/5 na A. = — )2 // " = — 5
1725
357
Aplicaciones de la Integral Definida
2
A = 2;r | 2a(l + eos y )senyy¡4a 2( 1+ eos i//)2 + 4a2sen 2y d y Jo
A = 8;rfl2 [ (l + cosy)senyyJl + 2 c o s y + COS2 y + sen2y d y
Hallar el área de la superficie engendrada al girar la Lemiscata r 2 = a ° cos2\|/
Jo
alrededor del eje polar. Desarrollo
= 8^rt2 l seny( 1+ eos y )\Í 2
+ cosy d y
Jo
K
^
= Sna 2 \Í2 j (1+ + COSI//)2 seny d y = -%Jta2 \¡2 Jo 5
16 / t 2 .. a In A = ----- \[2n a 2 (l + c o s y )1 1
6.5.
0 7T >= 47M 4 Jo
Hallar el área de
.
1287ra
A=-
M O M ENTO S, CENTRO S DE G RAV ED AD , TEO R EM A S D E G U L D IN . MOMENTO ESTÁTICO.Se llama momento estático de un punto material A, de masas m, situado a una
, , a"sen~ 2 y , eos l y s e n y ^ a " eos 2i/a + — — ----- d y
distancia d, del eje
1, con respecto a este mismo eje 1 , a la magnitud
M, = md .
f4 A = 47r« J 4aseny d y = -A n a 2 c o s y J 1726
5
~ ■/ /o
la
superficie
t y¡2
Se denomina momento estático de un sistema de n - puntos materiales, de
4 = -4 ;ra 2[ - ^ - - l ] = 2(l--V 2 );ra
engendrada
por
la
rotación
de
masas m] , m 2 ,..., mn situados en el mismo plano que el eje 1, con respecto al la
cual se toman y separados de el por la distancias d x, d 2,..., dn la suma es:
cardioide r = 2a (1 + eos y ) alrededor del eje polar. Desarrollo
M x = 2 ^ m idi i=i
...(a )
Eduardo Espinoza Ramos
358
Aplicaciones de la Integral Definida
359
debiendo tomarse la distancia de los puntos que se encuentran a un lado del eje
1, con signo mas (+), y los que están al otro lado con signo menos (-), en forma similar se determina el momento estático de un sistema de puntos con respecto a un plano. Si la masa ocupa continuamente toda una línea o una figura del
donde d{, d 2, ..., d n son las distancias desde los puntos al eje 1 , cuando la masa es continua en lugar de la suma, obtendremos la integral correspondiente.
plano XOY, los momentos estáticos M x y M y , respecto a los ejes de coordenadas
OX y OY en lugar de la suma (oc), se expresa por las
©
CENTRO DE GRAVEDAD.-
correspondientes integrales. Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana (ya sea arco o Cuando se trata e figuras geométricas, la densidad se considera igual a la
superficie) de masa M, se calcular por la formula:
unidad en particular: ©
My
Para la curva x = x(s); y = y(s), donde el parámetro s es la longitud del
M ' y
Mx M
arco, tenemos: donde M x , M y son los momentos estáticos de las masas, cuando se trata de figuras geométricas, la masa M es numéricamente igual al correspondiente arco o al área. Para las coordenadas del centro de gravedad ( X, Y ) de un arco donde ds = \](dx )2 + (dy )2 es la diferencial del arco.
de curva plana y = f(x), (a < x < b), que une los puntos A(a), f(a) y B(b), f(b) tenemos:
©
Para una figura plana, limitada por la curva y = y(x), el eje OX y dos verticales x = a e y = b, obtenemos:
Mx
©
í -* ■ds _ * A____
My =
M OM ENTO DE INERCIA.Se llama momento de inercia, respecto a un eje 1, de punto material de masa m,
s
f xyjl + (y')~dx J a __________ "
{yds y —J a '
Ja
m ¡, m2 , •••, mn a la suma:
1 de un sistema de n puntos materiales, de masa
}’\J\+(y')2dx _________
‘ J Tn + ( y T d x Ja
Las coordenadas del centro de gravedad (X ,7 ) del trapecio mixtilíneo a
0 < y < f(x) se puede calcular por las fórmulas:
situado a una distancia d, de dicho eje 1, a un número I¡ = >nd2 . Se denomina momento de inercia a un eje
5
"
f Ja
Tb
J
y * s
y
Í
y 2dx
a S
360
Eduardo Espinoza Ramos
361
Aplicaciones de la Integral Definida
donde ds = I y dx es el área de la figura. Ja
Ai,
V
Jo a
a2
a2
2
/ o
En forma similar se emplea para hallar las coordenadas del centro de gravedad
4
b'Ja2 + b 2
byja2 + u2
de los cuerpos sólidos.
M. = - "
2a
t - - [0 - a 2]
TEOREM A DE GULDIN.M
TEOREM A 1.- El área de la superficie engendrada por la rotación del arco de
=>
)2d y , donde x = - ( b - y )
b
dy
b
una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la
M
longitud de dichos arcos por la longitud de la circunferencia que describe el
a U b 1
=I t
centro de gravedad del mismo. a-ja2 + b 2
TEOREM A 2.- El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una
Ib2
figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano que la figura, pero que no se corte con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de
1728
Hallar los momentos estáticos del rectángulo de lados a y b, respecto a estos mismos lados. Desarrollo
gravedad de la misma. Y 1727
x =a
Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes de coordenados, del
y=a
segmento de la línea recta. b
Desarrollo x
y
a
b
—+ — = 1 , comprendidos entre dichos ejes de coordenados
0
a
X
Los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados es: Para el eje y = b, se tiene: M b = 1 bxdx = Jo
a 2b
f
u - ‘
1 yí * X
y
a
b
W
como —+ — = 1 =»
dx
• " • =i b/
xf ^ W
„
dy
dy
b
dx
a
y = - ( a - x ) , — = ----a
rb ab 2 Para el eje x = a se tiene: M a = I ay dy = ----Jo 2 Luego los momentos estáticos respecto a los ejes x e y respectivamente son:
Eduardo Espinoza Ramos
362
M 1729
ab
M
363
Aplicaciones de la Integral Definida
ab
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas del centro de gravedad x + y = a, x = 0, y = 0. Desarrollo
I I I l 11 dy (J x 3 + y 3 = a 3 ; v = ( a 3 - J r3)3 derivando — = --------- ------- se sabe que dx i
*3
r Area = A = I (a Jo
Af _ f°
2
Mx =\ í Jo /o
x(a-x)dx = a6 y — = I y(a-y)dy = a x Jo
J Jo
2
. 2
-dx
■I
2 3
1
(a 3 - a 3)2(—)3dx = —a 2 x 5
realizando el mismo procedimiento se obtiene:
, y = —1 donde M es la masa y para este caso, M M - Ai, — — a Mv es el área; es decir: M = A luego x = — —, y = —— de donde x = y = — y A A 3
Para encontrar x =
1 11 (a 3 —,*3)2 1 + -
M,
las coordenadas del centro de gmvedad son:
M
los momentos estáticos
M x
M y
M M x = — - , y = —- , donde M es la masa total para nuestro caso, para el arco M ' M 2
a
2
2
va de (0,a) y (a,0) de la curva: x 3 + y 3 = a 3 nos piden hallar (x, y ) , como
6
i _I 1730
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas 2
2
2
del centro de gravedad del arco de la astroide: x 3 + y 3 =-a3 situado en el primer cuadrante. Desarrollo
dx = a ' .V :' d x .
3a i i l — I a 3x 3dx = ~ a Luego: x = - ~ — = ^ a
Jo
A
2a
5
en forma similar y = ^ a
Eduardo Espinoza Ramos
364
1731
Aplicaciones de la Integral Definida
Hallar el momento estático de la circunferencia r = 2a sen 0, respecto al eje
365
ra x ¡a Sea L = longitud del arco indicado = I ds = asenh — /
polar.
J-a
Desarrollo
a! -a
L = a senh (1) - a senh (-1) = 2a senh (1)
Mx = í
yds= í
J ~a
acosh2 * d x = a \
(cosh — + \)dx
d
a
j ~a
J —q
M x = a(—senh — + x) / = [(—senh 2 + a ) - ( —senh(- 2 ) - a ) ] 2 a • -a 2 2 M x = a(asenh( 2 )+ 2 a) = a 2(2 + senh( 2 )) M
pa = I xds = I
J-a
J-a
x c o sh --dx= (axsenh — a 2 cosh—) / « a a /
-a
M y = (a 2senh(\) - a 2 c o s h ( l) -(-a 2ie n / j ( - l ) - o 2 cosh(-l))
M =A =
M y = a 2 (senh(\) - cosh(l) + senh(- 1) + cosh(-l)) = 0
fiJT
a/j
= 2a 2 (l-cos20)dfl = 2a2( Jo 1732
Q
. ~ M y 0 - M a 2 (2 + senh( 2 )) luego: x = — - = — ——— = 0 ;y = — - = — --- ---------------L 2asenh(l) ' L 2asenh(X)
jr
) / = 2a2( n -0 ) = 2a2n 2 / o
- _ a (2 + senh( 2 )) - - _ 2 senh(l) ’
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria y = ac o sh — comprendido entre x = -a y x = a. a
Desarrollo
1733
a (2 + senh( 2 )) 2 senh(\)
Hallar el centro de gravedad del arco de circunferencia de radio a, que subtiene el ángulo 2a. Desarrollo Si
x coincide con al abscisa del centro de gravedad de la mitad superior e
— . dx y y = 0 , tenemos: Si — = — , y, dy x
dx 2 a2 l + (— )= — dy x
Eduardo Espinoza Ramos
366
*2n j *2x i M x = I y d s = I a (\-c o s t) la s e n —d t = 4 a 2 \ sen3(—)dt Jo Jo 2 J0
Puesto que x 2 + y 2 = a 2 para la mitad superior del arco se tiene: S = T - a. aax | Jo
í
dr {aserta x
a a x - a sena
-
367
Aplicaciones de la Integral Definida
32 M x = — a 2 en forma similar para M y = 8a zJt.
aseria a
x = ----- — Luego el centro de gravedad es: 31a2 - M 8a2n - M 3 4 x = - + = — — = a n ; y = - ± = —2— = - a L Sa L Sa 3 1735
=>
---4 (x, y) = ( a n , - a ) 3
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la x 2 2y elipse — + — = 1 y por lo ejes de coordenadas OX y O Y: (x > 0, y > 0 ) a~ b'
Por lo tanto el centro de gravedad esta sobre la bisectriz a una distancia sena a.------ del centro de la circunferencia. Entonces el centro de gravedad del a arco de circunferencia esta: 1734
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer cado de la cicloide: x = a (t - sen tj, y = a (1 - eos t). Desarrollo Se conoce que ds = \j(dx )2 +(dy )2 = asen X dt puesto que (dx )2 - a 2 ( l - e o s t) 2 (dt )2 => (dy )2 = a 2sen 2t(dt )2 yj(dx)2 + (dy )2 = íj^ /(1 - cosí)2 +sen2t dt = a\Í 2 y fl- c o s t dt = lasen —dt [ 2iz
[ 2k
= J ds= \ Jo Jo
t t ! 2k lasen —dt = —4a eos — / =8 a : 2/ o
(0 < t < 2k). Desarrollo
368
Eduardo Espinoza Ramos
1737 M
X
=
f
yf(y)dy=
Ja
f
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por el primer arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX.
^-yyjb2 - y 2dy = ^ ~
JO &
369
Aplicaciones de la Integral Definida
3
Desarrollo Las coordenadas del centro de gravedad son: 1736
x = ——= — ; y = =— M 3n M 3n
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las curvas y = x 2, y = \[jt . Desarrollo x = a (t - sen t), y = a
(1 - eos t)
pina
r»¿>
f f M = J ydx = J
y d x , (0,0) si t = 0, ( 2rca,0) si t = 2ji
Ahora encontrando el área se tiene:
1k pin .2 n M = f y d x = f a( 1 - cos t)a( 1 - eos t)dt = a 2 I Jo Jo Jeo
(1 - eos t )2dt
M = 3a n , ahora calcularemos M x , M y A- = y
' \fx + x 2
1o
f~
2
3
---- ----- ( y ¡ x - x - ) d x = —
2
20
a 2 (1 - eos í) 2fl(l~ eos t)dt
M.
3 p2n ,, c _3_ .3 . 5a tí (1 -c o s /) dt = ------
— M — M — g y = ~ r r i x - —— '■ luego: y = - ~ = — M M
4 i: b
para x se tiene
3 A- = — A
1
20
: A~ x~J X <^~X~
9 ; Luego: I => x = -— 20
x 2 )dx
M
fin
x)dx = = f x f(f (x)dx = If r2
x = y -= —- 9 20
a ( t -s e n t) a (\-e o s t)a (l-e o s t)dt
Jeo
Ja
=a3fJo
(t - sent)(\ —cost)2dt = 3 Jt2a3
370
Eduardo Espinoza Ramos
Por simetría se tiene que el centro de gravedad se encuentra en el eje Y; luego:
5ain - _ M v 3a 'n M 2 ' 5 x - - ¡ r r ~ - — Y ~ n a ' y ~~Tr~~TT~ =7 a M 3na M 3a n 6 1738
j c =z = 0
- 5 (x ,y )-(n a ,-a )
6
Calcularemos M xz = momento estático del cono, respecto del plano XZ. El disco de la figura de base paralelo al plano XZ., tiene volumen dv = na~dy, r ■ donde el radio a, por semejanza de triangulo se tiene: a = —( h - y ) - , Luego h
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a con el centro en el origen de coordenadas sobre el plano XOY. Desarrollo
ñh
tenemos que: Se conoce que ds = 2nr dz, donde r = a por hipótesis y dz es la altura de la
2k zona esférica.
f azdz
Hallar el centro de gravedad de un cono circular recto homogéneo, si el radio
_
ph
Luego el centro de gravedad esta a la distancia de
2
de la base es r y la altura es h.
2
2»2
. _ f . 7ir f . \2 j h M xz = ydv = —— I y ( n - y ) ay = 12 'J o h' Jo
h ,, n r 2h Luego y = —— = — puesto que V = y 4 3
z = — —-------- = — I z d z - — lúa1 a Jo 2
como x = y = 0 => el centro de gravedad es (0, 0,—) 1739
371
Aplicaciones de la Integral Definida
3
a partir de la base del
cono. 1740
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de una bola homogénea de radio a, con el centro en el origen de coordenadas situado sobre el plano XOY.
Desarrollo Desarrollo Determinaremos z para esto se tiene lo siguiente: la masa de una de las caras elementales (dividido el hemisferio) por medio de planos paralelos se tiene: dm = P n r 2dz , donde P es la densidad, z la distancia entre el plano secante y
la base del hemisferio, r = s]a2 - z 2 , el radio de la sección, tenemos:
f
n («2 - z 2)dz 3 z = J o----------------= —a ; Luego por simetría se tiene: x = y = 0 2 -„3 8 —na 3 3 El centro de gravedad es: C.G. = (0,0, - a)
Eduardo Espinoza Ramos
372
1741
Hallar el momento de inercia de una circunferencia de radio a, respecto a su
373
Aplicaciones de la Integral Definida
1743
propio diámetro.
Hallar el momento de inercia de un segmento parabólico recto, respecto a su eje de simetría si la base es 2b y la altura es h.
Desarrollo
Desarrollo
r 2 I 7v7 Se conoce que: 7 = 41 y .11 + (— y dx Jo V dx
_ 4hb 3
15
Donde la ecuación de la circunferencia de radio a, es:
2 2 =a 2
X +y
, ‘ 4l ^
I2
3
/ = 4a I eos Jo
f
1742
dx
( a 2 ~ x2)i
n ,
1744
dy X => y 2 = a 2 —x 2 y — =—
+ 7 dx
= 4Jof \ C 2
y
je
3,0
Desarrollo
2dx
.« . send.cosd ¡ K 0¿0 = 4a (—+ ------------- ) / 2 2 / 0
2 /1
Hallar el momento de inercia de la superficie de la elipse —- + — = 1, a b respecto a sus ejes principales.
=»
,
.
3
.* .
I = 2a (—) = Ka
3
2
Hallar el momento de inercia de un rectángulo de lados a y b, respecto a estos lados: I a , l h . Desarrollo De acuerdo a la figura, el momento de inercia del tubo cilindrico generado por dm
Se conoce que / = I r dm I'
/ a = T y 2dm = a f y 2dy Jo Jo
dy
rotación alrededor del eje X, del rectángulo R de la figura que tiene por base dy, y altura 2x.
/ ' =-
3 ' o
Es decir: dla = y 2dv = y 1 (2ny)(2x)dy
d la = 4ny3xd x Luego Ia = I dla = 4n I y 'x d y
Jo
I, = I x“í/m , donde dm = b dx Jo
r
Jo
para esto paramétrizamos haciendo:
4=1
fJo
xAbdx = b^ l o =*
4 =
¿o1
»ft x = a eos t, y = b sen t; Ia = 4 n \
Jo
b 3sen3t.a eos íi> eos t dt
Eduardo Espinoza Ramos
374
n
n calculando la integral se tiene: I = — —— donde r es la densidad del cono.
Ia = 4 rtab4 I “ sen?t eos 2 / dt = 4nab4 I "(1 - eos 2 1)eos 2 t.sent dt Jo Jo 1747
, 4 . cos3í cos5r / r 8nab 4 . . - 4nab (--------- + --------) / = --------- en forma similar para el otro caso. 3 5 / o 15 1745
315
Aplicaciones de la Integral Definida
Hallar el momento de inercia de una bola homogénea de radio a y masa M, respecto a su diámetro. Desarrollo
Hallar el momento polar de inercia de un anillo circular de radios /?, y R 2
Escogemos un disco delgado paralelo al plano XZ y suponiendo que la
(Rl < R2) , es decir el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro del anillo y es perpendicular el plano del mismo.
densidad es P, el momento de inercia de un disco delgado de radio x, respecto al eje Y es ~ x 2 para hallar el momento de inercia I y de toda la esfera se
Desarrollo suman los momentos individuales que acabamos de hallar en donde: Dividimos el anillo, en anillos elementales concéntricos, donde la masa de cada uno de estos anillos será dm = r 2r
k
dr y el momento de inercia es:
C
I = 2 n \ r ' d r , donde r = l entonces Jr, 1746
4
R
dM = Pdv = Pnx2dy entonces í v = - ( P n x 2dy)x 2 = — Px4dy
y
2
2
jr
I = 2 n .— / 2= —(R% - R ? ) 4 / r, 2 21
Hallar el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su eje, si el radio de la base es R, y la altura es H. Desarrollo Dividimos en una serie de tubos cilindricos elementales paralelos al eje del cono. El volumen de uno de estos tubos elementales será dv = 2rtrhr dr, donde r es el radio del tubo; es decir la distancia hasta el eje del cono.
La ecuación de la sección de la esfera en el plano XY (circulo) es x 2 + y 2 = R 2 , donde R = a.
r h = H ( 1 ----- ) es la altura del tubo, en este caso el momento de inercia es: R
Luego:
rR / = r I 2 n H (\--)r 'd r Jo ^
4 2a 2 2 7 se tiene: I „ = ( - t t a P \ ----- ) = - M a y 3 5 5
f
/„ = — (o 2 - y 2)dy = — nP R 5 como la masa es m = —n a 3P ; * Z J-a 15 3 2 ■> Respuesta: I = - M a ~ -v 5
Eduardo Espinoza Ramos
376
1748
Aplicaciones de la Integral Definida
Hallar el área y el volumen de un tubo engendrado por la revolución de un
377
Al girar la figura genera un cono cuyo
a)
círculo de radio a, alrededor de un eje situado en el mismo plano que el círculo volumen es:
y que se encuentra a una distancia b (b > a) del centro de este.
4n 3 V =— R
según el
teorema de guldin el producto del área de
Desarrollo
dicha figura por la longitud V = 2it 2a 2b; 1749
a)
S = 4 n 2ab
2
gravedad, es igual al volumen entonces:
2
x 3 + y 3 = a 3 situado en el primer cuadrante. b)
„
Área de la circunferencia =
y 2 = 2 px y x 2 = 2 py . Desarrollo - 2a
x,]\+ y '1 dx
J
comparando y efectuando se tiene: -
-
9p
b)
2n y
^ ( 2 n y) = —JtR3
Al girar el triangulo alrededor de su base genera un cono cuyo volumen Jtbh2
x=
es: V = ------- donde b es la base y h es la altura del triangulo, según el f
+ y '2dx
f y¡l + y '2dx JO
teorema de guldin este mismo volumen seria: V = 2
3 f /‘
2
7/
„
En forma similar el caso desarrollado de a)
a)
Hallar el centro de gravedad del semicírculo, aplicando el teorema de guldin.
bh x„ 2
nbh" 3
2 t t ( ———) = — - —
o
b)
donde x es
la distancia del centro de gravedad a la base, luego comprobando se tiene:
5 * / o 2a . , - — 2a x = ——-—- = — ; luego por simetría se tiene: x = y = — 3 - .a 5 5
b)
; longitud de la circunferencia =
, . , - 4R , írs4 R de donde y = — por lo tanto (0,-— ) 3tt 3/r
j" x J l + (—) 3dx
Ja
1750
rcR¿
Hallar el centro de gravedad de la figura limitada por la curvas:
j* x d x a)
la
circunferencia que describe el centro de
Determinar la posición del centro de gravedad del arco de la astroide 2
de
6.6. (T )
- h 3
=> x - —
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE FISICA. TRAYECTORIA RECORRIDA POR UN PUNTO.-
Demostrar aplicando el teorema de guldin que es el centro de gravedad de
Si un punto se mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad
un triangulo dista de su base a un tercio de la altura.
v = f(t) es una función conocida del tiempo t, el espacio recorrido por dicho
Desarrollo
punto en un intervalo de tiempo [tl,t2\ ser igual a:
Eduardo Espinoza Ramos
378
379
Aplicaciones de la Integral Definida
1751
-f
La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una velocidad inicial v0 , despreciando la resistencia del aire, se expresa por la formula: v = v0 - g t , donde t es el tiempo transcurrido y g es la aceleración de
©
TRABAJO DE UNA FUERZA.-
la gravedad, a que distancia de la posición inicial se encontrara este cuerpo a
Si una fuerza variable x = f(x) actúa en la dirección del eje OX, el trabajo de
los t seg. de haberlo lanzado? Desarrollo
esta fuerza es el segmento [x¡,x2] será igual a:
A= ©
r
v = v0 - g t
f( x ) d x datos:
t = tiempo g = aceleración de la gravedad
ENERGIA CINETICA.-
cálculo de la distancia recorrida a los t seg.
Se da el nombre de energía cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a la siguiente expresión:
ds v « - = v0 - s ,
=> Jo
f'(v 0 - gt)dt Jo
La energía cinética de un sistema de n puntos materiales de masas m¡ , m2 ,..., s = v0t - g -
mn , cuyas velocidades respectivas sean v¡, v2 ,..., v„ es igual a:
1752
Para calcular la energía cinética de un cuerpo, hay que dividirlos convenientemente en partes elementales (que juegan el papel de puntos
La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0 , contando la resistencia del aire, se expresa por la fórmula v = cJg(~— y + arctg — ) donde t es la tiempo transcurrido, g es la aceleración c c de la gravedad y c es una constante, hallar la altura a que se eleva el cuerpo.
materiales) y después, sumando la energía cinética de estas partes, y pasando a Desarrollo
limites, en lugar de la suma ( 1) se obtendrá la correspondiente integral. ©
PRESION DE LOS LIQUIDOS.Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de pascal, según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área s sumergía a una profundidad h es igual a: p = yhs, donde y es el peso especifico del liquido.
v = c / g ( - g - + arctg (— )) datos:
t = tiempo c = constante g = gravedad
381
Aplicaciones de la Integral Definida
Eduardo Espinoza Ramos
380 dh , t v0 v = — = clg ( - g - + arctg — ) dt c c
1754
La velocidad del movimiento de un punto es:
v = te~°m u
seg
. hallar el
camino recorrido por dicho punto desde que comenzó a moverse hasta que paro por completo. Desarrollo
f dh= f [ c .tg (-g - +arctg — ))dt Jo Jo c c
dato: v = te~°'ou h = ~ — ln |s e c (-g —+ arctg— ) | / g c c >o 2
h=
2
calculo del camino recorrido por un punto desde que comenzó hasta que paro. 2
ds -oon • . v = — = te , integrando dt
ln | see ( - g —+ arctg — | + — ln(l + -y ) g C c g C¿ 2
2
2
2
2
h = - h +— ln (l+ ^ -) => 2 h = — ln(l + ^ - ) de donde g e 2 g e 1753
_ g -0-01' (1 -
0.0ir) 0.0001
2
h = — ln(l + ^ - ) 2g e
el punto para que se pare por completo es cuando v = 0 => t = 0.
Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con una velocidad que viene dada por la fórmula v = v0 cosco?, donde t es el
para t = 0, s = —
0, tenia una abscisa x = 0. a que será igual el valor medio de la
magnitud absoluta de la velocidad del punto durante el periodo de la vibración. Desarrollo
1755
Un proyectil cohete se levanta verticalmente, suponiendo que, siendo constante la fuerza de arrastre, la aceleración del cohete aumenta a causa e la
también la altura que alcanza el cohete en el instante t = tx. Desarrollo
v = — = v0cos©í => dx = v0 cos(ütdt a)
Vq
x = — sencot (O
104m
del cohete en cualquier instante t, si su velocidad inicial es igual a cero, hallar
calculo de la ley de vibración del punto.
vn cos cot d t , de donde
s=
disminución de su pero según la ley: j = ------- , (a - bt > 0). hallar la longitud a -b t
v = v0 coscor, t = 0, x = 0 a)
-m = \ 04m
(íor4
tiempo y v0 y co son unas constantes, hallar la ley de la vibración del punto, si para t =
r , f ' -ooir e“° ol'( 0.01f - l ) / ' I ds = I te dt = --------------- -------/ Jo Jo (0.01)2 / o
x = — sencot /
(0
10
= — sencüt 0)
Calculo de la velocidad del cohete: Datos:
v0 = 0 ; j = ------- » a - b t > 0 a -b t
dv A , A dt j = — = ------- => dv = dt a - b t a -b t
Eduardo Espinoza Ramos
382
Aplicaciones de la Integral Definida
fv f' Adt A , x /' I dv = I ------- => v = ------ln( a - b t ) I Jo a - b t b / o
T
A A A a A, a v = ---- \ n (a -b t) + — lna = — ln(-------------------------------------------------- )v= b b b a -b t b a -b t
H
Jo
—ln(---- —)
383
co-Fds=E„
E p - mgh , y =
mg
yv m = — donde y = peso especifico g
b) Calculo de la altura en el instante t. — = v = —ln(—-—) = —l n a - —\n(a-bt) => ds = - ( \ n a - \ n ( a - b t ) ) d t dt b a -bt b b b
V = itR~H , derivando se tiene: ( 1)
dV = nR dh
f ds = — f (ln a - ln(a - bt))dt Jo b Jo
d E p = d (mgh) s = —[/ ln a - 1 ln (a - b t ) + 1 + —ln(a - b t)] / b b I o
calculando dm:
s = A r [bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln (a - b t ) ] l lo bh 2
yv m~—
, dv => dm - y —
8
8
s = — (bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln(a - bt) - a ln a) b2
ahora (1) en (2) se tiene:
1756
Jo s = A r ( b t - ( a - b t ) ln(
a-¿í
■))
Calcular el trabajo necesario para sacar agua que hay en una cuba cilindrica vertical, que tiene un radio de base R y una altura H. Desarrollo
y
dE = ( y n R - — )gh
ch
s = -4 - (bt - (a - bt) ln a + (a - bt) ln(a - bt)) b2 s = A r(b t + ( a - b t ) ln( a ■- -)) fe2 a
dm = yrcR —
... (2)
t 1757
Jo
i 1
ghdh - ynR 2 I hdh Jo
yrrR2H 2 = ----------- pero E = a) por lo tanto
JtyR 2H 2 co = —---------
Calcular el trabajo necesario para sacar el agua que hay en un recipiente cónico, con el vértice hacia abajo, cuyo radio de la base es R y la altura H. Desarrollo
384
Eduardo Espinoza Ramos
Aplicaciones de la Integral Definida
1758
E p = F d s =m
385
Calcular el trabajo necesario para sacar el agua de una caldera semiesférica, que tiene un radio R = 10 m.
donde to = trabajo
Desarrollo
mg yv Y = — => m = — — v 8
El disco comprendido entre x y x + dx
(1)
0
y = peso especifico
dm< T _
/ ■(2)
dV = —Jtr2dh 3
reemplazando (2) en (3) se tiene:
jKr
h R —= — r H
Ó
Jo
yjcr dm = ------ dh 3g
f “
f*
Jo
Jo
R 2x 2
x4
I dco = I p n ( R 2 - x 2)xdx = Pn (—1------------ ) /
2
4*o
jz R
(ú = p = (0.79)10 3xl O4 , siendo p el peso de 1 dmi de agua 4
Rh H
/2
p d V = p n (R 2 - x 2)dx
— > — > [x, x+dx] => dW = F .d r = p n (R 2 - x 2 ) x d x , integrando en ambos miembros:
(gh)dh , ahora cambio de r a R
h A 2 h2dh
el agua de este dV es igual a su peso.
.(3)
/.
1759 Ep = g ~ \
La fuerza F requerida para bombear
La distancia en el cual actúa esta fuerza es:
dv
~3g
=> r =
dx
X' r
=> dE = d(mgh)
f M "Jo Jo
dV = tiy2dx = n(R 2 - x 2)dx
-
E„ = mgh
tiene un volumen.
X
x
1 o V = —n r H 3
dm = y
R
Ep =-
3 //
Jo
12
(0= 0.79JtlO7 k g - f Im
Calcular el trabajo necesario para sacar, por el orificio superior, el aceite contenido en una cisterna de forma cilindrica con el eje horizontal, si el peso especifico del aceite es y, la longitud de la cisterna H, y el radio de la base R.
.
_^ / / p 12
Desarrollo
Eduardo Espinola Ramos
386
m8 y=—
Yv => m = —
387
Aplicaciones de la Integral Definida
=*
... /( i1\)
mM m8 = y —R-r
gR 2
=> v = - rMr
- (2)
H
de (2) en (1) se tiene: W = gm~- si hay que expulsar el cuerpo al infinito h->°° 1+
. .( 2)
-
R
mM
w = y----R
.. (3 )
1761
Dos cargas eléctricas e0 = 100 CGSE y e¡ = 200 CGSE, se encuentran en el eje OX en los puntos xQ= 0 , x i = 1 cm , respectivamente. ¿Que trabajo se
... (4 )
realizara si la segunda carga se traslada al punto x 2 = E p = co = mgh
Desarrollo
dcü = d(gmh)
Í
dh
Jo
1760
La fuerza de acción mutua de las cargas será F =
£c
dinas, por consiguiente, x el trabajo necesario para trasladar la carga e, desde el punto x x al punto x 2
(ù = ynR H
Jo
Jo.
10 cm ?
Que trabajo hay que realizar para levantar un cuerpo de masa m, de la
sera:
superficie de la tierra, cuyo radio es R, a una altura h?. A que será igual este trabajo si hay que expulsar el cuerpo al infinito.
w = e0et,
C*2 dx .1 1 . . o , ft4 -T = e0e¡( --------- ) = l . 8.d 0 ergios Jx, JC2 x, X2
»v^I.SaIO 4 ergios
■
Desarrollo
1762
Según la ley de gravitación universal, la fuerza F que ejerce la tierra un cuerpo , , „ mM de masa m esta dado por: F = y — — donde y = constante de gravitación R2
Para el proceso isotérmico pv = p 0v0. El trabajo realizado en al expresión del
R = radio de la tierra i CR^h mM
-J .
^
hace falta realizar para disminuir el volumen del vapor en dos veces si la temperatura es constante (proceso isotérmico)? Desarrollo
M = masa de la tierra, m = masa de un cuerpo cualquiera
w
Un cilindro con un embolo móvil, de diámetro D = 20 cm., y de longitud i = 80 cm., esta lleno de vapor a una presión de p - 1 0 kgf I c m2 . ¿Qué trabajo
mM / R+h
dR- y^ L
como la fuerza atracción es igual peso (mg)
w - y m M ( - ------ -— ) ' R R +h
... ( 1)
gas desde el volumen v0 hasta el volumen v, es igual a: v w = I p d v = p 0v0 ln — = 800*ln 2 kgf / m JV2 vo
.\
w = 800jtln2 k g f / m
388 1763
Eduardo Espinoza Ramos Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabática del aire, hasta ocupar
El trabajo de la fuerza de frotamiento, sobre estos anillos, durante una vuelta
en volumen v , = 10 m3, si el volumen inicial es v0 = 1 m 3 y la presión
dw ■
completa es:
p 0 =1 k g f / c m2 . Desarrollo
w= Para el proceso adiabático es valida la ley de Paisson pvk = p 0Vq , donde k =
1755 1.4, de donde:
[ l - ^ - 1] J j2
k
k -1
389
Aplicaciones de la Integral Definida
V[
4nup f"
a2 Je
dr , por lo cual el trabajo total
2
r~dr = —Jtupa
Calcular la energía cinética de un disco, de masa M y radio R, que gira alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco con una velocidad angular co.
de donde al reemplazar sus valores se tiene: 1764
w = 15,000 kg - f / m
Desarrollo
Un árbol vertical, de peso P y radio a, se apoya en una zanja AB la fricción
La energía cinética de un elemento del disco:
entre una parte pequeña o de la base del árbol y la superficie del apoyo que esta
„ v2dm p r 2ío2 , , , , , , d k = -------= -- -------d a . donde d a = 27irdr 2
en contacto con ella es igual a F = upo donde p = constante es la presión del árbol sobre la superficie del apoyo, referida a la unidad de superficie del mismo
2
es el elemento de superficie, r, su distancia al eje de giro; p, la densidad ^ ^ 2 superficial p = ---- — de esta forma dk = ----— r2dr , de donde: 2 k RnR-
, y u es el coeficiente de función. Hallar el trabajo de la fuerza de fricción en una revolución del árbol.
k
1766
Meo 2 f Ä MR 2(02 r 3rfr = R2
MR 2(02 w =-
Jo
Calcular la energía cinética de un cono circular recto, de masa M, que gira alrededor de su eje con una velocidad angular ©. El radio de la base del cono es R, la altura H. Desarrollo Cdm) disco = P dV
/VI M
„2 , i :vix¿dz ' 3M KX dz = ■ k R2H R 2H
Si a es el radio de la base del árbol, la presión s sobre la unidad de superficie de apoyo será P = ——-, la fuerza de frotamiento de un anillo de anchura dr, que na' se encuentra a una distancia r del centro, será igual a
a
r dr .
(dEc)disco =
w 2x 2 3Mx 2 R2H
dz =
Z =— H =» dz ; = — -dx -----R -x
R
R
3Mw 2x*dz 4 R 2H
390
Eduardo Espinoza Ramos
\ 391
Aplicaciones de la Integral Definida r ° 3 M w2x\
(Ec)cono = I — ^ J* 4R H £ .=
1767
W
=
R
f
3Mw
4j
3Mwx
/«
----- — x*dx = ------- — / Jo 4/? 20/?
' o
1768
Un triangulo de base b y altura h esta sumergido verticalmente en agua, con el vértice hacia abajo, de forma que su base coincide con la superficie del agua.
3Mw 2R 2
Hallar la presión que el agua ejerce sobre el.
20
Desarrollo
Que trabajo es necesario realizar para detener una bola de hierro de radio
Se sap que dp = phl dh => por relación
R = 2m que gira alrededor de su diámetro con una velocidad angular co = 1000 H -h _H vueltas / crecimiento?. (El peso especifico del hierro es r = 7.8 gf /cm 3 ).
í
~ B
Desarrollo
y~~
=>m = yV = >
C^
F=
w - mad, hallamos masas “m” sabemos que:
B(H-h) ^
~
p h /d h =
Jo
M = ~ n r 3Y
H
rH H —h phB(------- )dh Jo H
B 3/ / 3—2 / / 3 /H B H3 P ~H 6 / o =PH 'T
... (1)
hallamos la aceleración a, este caso seria “a” por cinemática:
F ■r.-----BH F 2
c o 2
tú' = 2 aQ => 0 = — 20
... (2) 1769
dicha presa, sabiendo que la base superior tiene a = 70 cm, la base inferior
hallamos la distancia “d” este caso seria la longitud de arco:
0
2nr(—~) = d 271
Una presa vertical forma de trapecio. Calcular la presión total del agua sobre b = 50 cm y su altura h = 20 cm.
... (3)
=> d = n 9r
Desarrollo p=^
para n vueltas. Reemplazando (1), (2) y (3) en w = mad
empleando semejanza de triangulo se tiene:
4 3 0)2 0 j j , w - —7tYr — .nOr de donde 3 20
4 yurnO . w - —n l -I r dr 3 20
4,
r
1 = y*h a
4 2 r5 4 3 œ 2r 2 w - —rq'co'n = ^ Ylír )—^— Para n = 2 dos vueltas
w = 2 .3 a 1 0 8 k g - f / m
i
=1±
20
20 -70 1= 7 f (725- h ) - h 1II1 Jeo
725
525
5070
705 725 - h
— 70 N -, , w = — co~r k g f / m
b
70 = - - => / = (7 2 5 -A )—— / 725
/. p = l 13.60 tm