1.- calcule las siguientes integrales iteradas 1 1−x 1+ x
a ¿∫ ∫
∫
0
2y
0
2
xdzdydx
Solución: 1 1−x
∫ ∫ [xz ] 0
0
1 1−x
∫∫ 0
1
∫ 0
1+ y 2y
0
[
2
1 1−x
dydx=¿∫ ∫ [( 1+ y 2 ) x−2 xy ]dydx 0
0
1
1−x x y3 2 [ x + x y −2 xy ] dydx=¿ ∫ [xy − −x y ] dx 3 0 0 2
]
x ( 1−x )3 x ( 1−x )− −x ( 1−x )2 dx 3
1
∫ [ x−x 2−x ( 1−3 ( 1 )2 x+3 ( 1 ) x 2−x 2) −x ( 1−2 x + x 2 ) ] dx 0
1
[
−x 2 3 [ ] −x−6 x + 3 x dx=¿ −2 x3 + x 4 ∫ 2 4 0 2
3
1
]
0
−1 3 −2−8+3 −7 −2+ = = 2 4 4 4
2
2 y lnx
b ¿∫∫ ∫ y e z dzdxdy 1 y
0
Solución: 2 y
2
2 y
∫∫ [ y e ]
z lnx 0
1
y
2
dxdy=¿∫ ∫ [ y elnx − y e0 ]dxdy 1 y
2 y
2
2
2
y y x3 ∫∫ [ yx− y ] dxdy=¿ ∫ [ 2 − yx ] dy y 1 y 1
2
∫ 1
2
∫ 1
2
∫ 1
[
y ( y2 ) yy 2 − y y 2− + yy dy 2 2
]
[
y5 y3 − y 3− + y 2 dy 2 2
[
y5 3 3 2 − y6 3 4 y3 − y + y dy=¿ − y + 2 2 12 8 3
2
]
] [
6
]
2
1
3
2 3 4 2 1 3 1 47 − 2+ − + − = 12 8 3 12 8 3 24
π π 2 2 xz
c ¿∫∫ ∫ cos 0
z 0
( yz ) dydxdz π π 2 2 xz
π π 2 2
xz
y y I =∫∫ ∫ cos dydxdz=∫ ∫ z sin z z 0 0 0 0 0 π π 2 2
I =∫∫ Z sin 0 0
()
( )∫ dxdz 0
π π 2 2
π 2
π 2
0 0
0
z
( xzz ) dxdz=∫∫ z sin ( x ) dxdz=−∫ z cos ( x )∫ dz
Integramos por partes: u=z =¿ du=dz ; v=∫ cos ( z ) dz=sin ( z )
π 2
π 2
π 2
π x x x x I =z sin ( z )∫ −∫ sin ( z ) dx− sin + cos ( z )∫ +cos −cos ( 0 ) − =1 2 2 2 2 0 0 0 2
2
x
√3 x
d ¿∫ ∫ ∫ 1 0
()
y dzdydx y + z2 2
0
Solución: 2 x
√3 x
I =∫ ∫ ∫ 1 0
0
2
√3 X
y 1 dzdydx = ∫ ∫ ln ( y 2+ z2 )∨0x dzdx 2 2 2 1 0 y +z
y 2+ z2 [ln ( ¿ ¿)−ln ( x2 )]dzdx √3 X
∫¿ 0
2
1 I= ∫¿ 21 Integramos por partes: 2
2
u=ln ( x + z )=¿ du=
2
2 zdz ; V =∫ dz=z x 2+ z 2
|
[
√3 x
2
]
√3 x 1 2 z dz I = ∫ zln ( x 2 + z 2 )−2 zln ( x ) − ∫ 2 2 dx 2 1 0 x +z 0
2
I=
√3 x
1 2 z2 dz 2 2 ( ) [ 3 x ln x + 3 x −2 3 x ln ( x ) − √ ∫√ ∫ x 2+ z 2 ] dx 2 1 0 2
√3 X
2 ( z 1+ x 2−x 2 ) dz 1 I = ∫ [ √ 3 x ln ( 4 )− ∫ ] dx 2 1 x 2+ z 2 0 2
√3X
√3 x
1 dz I = ∫ [ √ 3 x ln ( 4 )−2 x 2 ∫ dz+2 x 2 ∫ 2 2 ]dx 2 1 0 0 x +z
()
2
2
2
[ ( )| ]
−1 [ 2 x 2 ( √3 x ) ] dx +∫ xartg z ∫ x 1 2 1 1
I =√ 3 x 2 ln ( 4)∨
2
√3 x
❑ dx
0
2
I =√ 3 ( 4−1 ) ln ( 4 )−√ 3∫ x dx+∫ [ xarctg ( √ 3 ) ] dx 3
1
1
| |
3 4 2 −π x 2 2 15 √ 3 π √ I =3 √ 3 ln ( 4 ) − x + 1¿ 3 √ 3 ln ( 4 ) − 4
1
6
π π π
e)
∫∫∫ xysen ( yz ) dzdydx 0 0 0
Solución: π π π
⟹∫ ∫∫ xysen ( yz ) dzdydx 0 0 0
π π
¿∫ ∫ x cos ( yz)¿0π dydx 0 0
( πy ) −x x cos ¿ ¿ dydx ¿ π
∫¿ 0
π
¿∫ ¿ 0
π
¿∫ 0
π
[
xsen( πy) −xy ¿0π dx π
[
xsen(π ) π ¿0 dx π
¿∫ πx− 0
]
2
]
4
2
[
2
2
]
2 πx x sen (π ) π ¿ − ¿0 2 2π
3
¿
2
π −πsen (π ) 2π
π π π
π 3−πsen( π 2 ) ∫∫∫ xysen ( yz ) dzdydx= 2π 0 0 0 √ x x+ y 2
ln 2
f¿
∫∫∫ −ln 2 0
ye z dzdy dx
0
ln 2 √ x −ln ( x )
I =∫ ∫ 0
∫
0
ln ( x )
2 2
y e dzdxdy =∫ ∫ y e z
0
z
0 0
2 2
2
I =∫∫ ( xy− y ) dxdy=∫ 0 0
0
(
x2 y −xy 2
2 2
∫ dxdy=∫∫ [ y e ln( x )− y e z ] dxdy 0
)
y
0 0
2
2
∫ dy=∫ y
2
1
(
y3 y3 − y 3− + y e dy 2 3
y2 y2 y1 64−1 16−1 8−1 21 7 31 I= − + ∫¿ − + = −5+ = 12 3 3 1 12 3 3 4 3 12
1
z
y
g ¿∫ ∫ ∫ x y 2 z 3 dxdydz 0 0 0
Solución: 1
z
y
1 z
x2 y2 z3 y ∫∫∫ x y z dxdydz =∫∫ 2 ∨ 0dydz 0 0 0 0 0 2
1
z
3
x2 y 2 z 3 ∫∫ 2 dydz 0 0
)
1 z
4 3
y z dydz 2
I =∫∫ 0 0
1
5
0
1
5
1
3
8
9
1
Z Z z z 1 dz=∫ dz = ∨ ¿ 10 10 90 90 0 0
I =∫ 0
2 x
h)
3
y z z ∨ dz 10 0
I =∫
√3 x
∫∫ ∫ 1 0
0
y dzdydx y + z2 2
Solución: 2 x
√3 x
⇒∫∫ ∫ 1 0
¿
0
2
√3 x
2
√3 x
y dzdydx y + z2 2
1 ∫ ∫ ln( y 2 + z 2)¿0x dzdx 21 0
1 ¿ ∫ ∫ [ ln ( x 2+ z 2 ) −ln ( x 2 ) ] dzdx 21 0 2
2
u=ln ( x + z ) ⇒du=
2
[
2
[
2 zdz ; v=∫ dz=z x2+ z2
]
√3 x
¿
1 2 z 2 dz 2 ln ( x2 + z 2 )−27 ln ( x ) ¿√0 3 x − ∫ 2 2 dx ∫ 20 0 x +z
¿
1 ∫ 20
√3 x
√ 3 x ln ( x 2+3 x 2 )−2 √ 3 x ln ( x )− ∫ 0
]
2 z2 dz dx x 2+ z 2
2
2
2
z + x −x dz ¿ 2 ¿ x + z2 2 ¿ dx √3 x
( 4) − ∫ ¿ 0
2 ln ¿ ¿ 2 1 ¿ ∫¿ 20 2
1 ¿ ∫ 20
[
√3 x
√3 x
√ 3 x ln ( 4 )−2 x ∫ dz +2 x ∫ 2
2
0
0
]
dz dx x + z2 2
[ 2 x 2 (√ 3 x)] dx +¿ 2
2
1 ∫¿ 20 ¿ (4 )¿ ¿ √ 3 x 2 ln ¿ 1−
2
2
¿ √ 3 ( 4−1 ) ln ( 4 ) −√3 ∫ x dx+∫ [ xarctan ( √ 3 ) ] dx 3
0
1
4 2 1+¿ ¿ 3 4 √ (¿)− x ¿ 4 ¿ 3 √ 3 ln ¿ ¿ 3 √ 3 ln(4)− 2 x
√3x
∫∫ ∫ 1 0
0
15 √ 3 π + 4 2
y 15 3 π dzdydx=¿ 3 √ 3 ln(4 )− √ + 2 4 2 y +z 2
0
y x
i¿ ∫ ∫ ∫ ( z 2− y ) d zdxdy −1 0 1
0
y
x
−1 y
y
−1 x
2 2 3 2 2 3 ∫∫∫ ( z − y ) dzdxdy=∫ ∫ x y2 z ∫ dydz=∫∫ y y2 z dydz −1 0 1 0 0 o 0 0 2
0
y
o
o
o
I =∫ ∫ ∫ ( z 2− y ) dxdxdy=∫ ∫ −1 o 1
0
o
I =∫ ∫ −1 1
0
I =∫ −1
a
j ¿∫
(
(
−1 −1
3
o
)
(
(
3
z −zy 3 4
I =∫ 0
1
2
0
y
)∫ dy 0
y 4 y3 y 2 y3 y4 y2 y3 1 1 1 1 77 − − + y dy= − − + ∫ ¿ 0+ + + + = 12 2 3 60 8 6 3 −1 60 8 6 3 120
)
∫ 0
∫ √ a2−x 2− y 2 dzdydx 0
Solución: a
)∫ dxdy
x 1 x x y x − xy + y dxdy ∫ − − + xy 3 3 13 2 3 −1
√ a2−x 2 √ a2−x 2− y 2
0
x
√ a2−x 2 √ a2−x 2− y 2
∫ 0
∫ √ a2−x 2− y 2 dzdydx 0
z √a 2−x 2− y 2 [¿ ¿] √ a −x − y0 dydx 2
2
2
√ a2 −x 2
∫
¿
0
a
I =∫ ¿ 0
a
I =∫
√ a2−x 2
∫ √ a2−x 2− y 2 √ a2−x 2− y 2 dydx
0
0
a
√ a2−x 2
I =∫ 0
∫
( a 2−x 2− y 2 ) dydx
0
y3 3 √ a −x (¿)∨ 0dx
a2 y−x 2 y − 2
2
a
I =∫ ¿ 0
3/ 2
( a2 −x2 ) √ a2− x2−
( a2−x 2 ) 3
2 2 [¿ ]∨√ a −x dx
0
a
I =∫ ¿ 0
a2−x 2 ¿ ¿ ¿ 3/2 ¿ 2¿ ¿ a
I =∫ ¿ 0
Hacemos:
x=asen ( θ )=¿ dx=acos ( θ ) dθ
π x=a=¿ a=asen ( θ )=¿θ= ; x=0=¿ 0=asen ( θ )=¿ θ=0 2 π 2
I=
I=
3 /2 2 [ a2 cos2 ( θ ) ] acos ( θ ) dθ= 2 a ∫ 3 0 3
2a 3
π 4 2
∫ [ sen2 ( θ ) ]
2
dθ=
0
2a 3
π 4 2
∫ 0
[
π 2 2
∫ cos3 ( θ ) cos ( θ ) dθ 0
2
]
1+cos ( 2θ ) dθ 2
π 4 2
I=
a 6
∫ [1+2 cos ( 2 θ ) +cos 2 (θ) ] dθ 0
[
4
π 2
π 2
[
]
]
I=
1+cos ( 4 θ ) a θ + sen(θ)∨ +∫ dθ 3 2 0 0
I=
a4 π θ sen(4 θ) 2 +sen ( π ) + + ∨ 0❑ 3 2 2 8
I=
a4 π π sen( 2 π ) a4 π π a4 π + + = + = 3 2 4 8 6 2 4 8
[
π
[
] ( )
2 2x
k)
√2 xy
∫∫ ∫ 1
x
]
√ 1−x 2− y 2
zdzdydx x2 + y 2 + z 2
Solución: 2 2x
¿
|
1 dydx ∫∫ ln ( x 2+ y 2+ z 2 ) √ 2 xy 21 x √ 1−x 2− y 2 2 2x
1 ¿ ∫ ∫ [ ln ( x 2+ y 2+ xy ) −ln ( x 2 + y 2−1−x 2− y 2) ] dydx 21 x
2 2x
¿
1 [ ln ( x 2+ y 2 )−ln ( 1 ) ] dydx ∫ ∫ 21 x 2 2x
¿∫ ∫ [ ln( x + y ) ] dydx 1 x
dy=¿ y u=ln( x + y)⇒ du=
dy ; v=∫ ¿ x+ y
2x x−¿ 2x
y ln (x + y)|¿¿ ∫ x
y dy ] dx x+y
¿ 2
¿∫ ¿ 1
2x
( 2 x + x )−x ln ( x+ x )−¿∫ x
( y + x−x) dy x+ y
2 x ln ¿ ¿ ¿ 2
¿∫ ¿ 1
2
[
¿∫ x ln 1
2
2
[
¿∫ x ln 1
2
2x
]
]
9x − y 2 x +ln (x + y ) 2 x dx 2 x x
|
( 92x )−2 x+ x + x ln(3 x)−ln(2 x)] dx
[ ( ) ]
¿∫ x ln 1
( )
[ ( ) |
¿∫ x ln 1
2x
9x dy −∫ dy + x ∫ dx 2 x+ y x x
27 x −x dx 4
2
x 2
xdx=¿ u=ln
¿
( 274 x )⇒ du= dxx ; v=∫ ¿ 2
x2 27 x 2 x 2 dx x2 2 ln −∫ − 2 4 1 1 2x 2 1
( )|
|
2
27 x 2 1 − −2+ 2 4 1 2
¿ 2 ln
( ) |
¿ 2 ln
( 272 )− 12 ln ( 272 )−1+ 14 −2+ 12 ln ( 812√ 3 )− 94
(
3
)
1 27 .81 √3 ¿ ln −5 2 16 2 2x
√2 xy
∫∫ ∫ 1
x
√ 1−x 2− y 2
zdzdydx 1 273 .81 √3 = ln −5 16 x2 + y 2 + z 2 2
(
)
π 2 cos θ 4 +r sin θ
L¿ ∫ ∫ 0
0
π 2 cos θ
∫
4 +r sin θ
∫ ∫ zr ∫ 0
0
rdzdrdθ
o
drdθ
0
π 2 cos θ
∫ ∫ ( 4+r sin θ ) rdrdθ 0
0
π 2 cos θ
∫ ∫ ( 4 r +r 2 sin θ ) drdθ 0
0
π 2
cos θ
3
∫ 4 r + r3 sin θ ∫ dθ 0 0
π 2
∫ 0
[
2
π 2
]
2
2 cos θ+
cos θ ∙ sin θ dθ 3 π 2
2∫ cos2 dθ+ 0
1 cos 3 θ sin θdθ ∫ 30
π 2
1 2 cos ∙ sinθ ∙ dθ ∫ 3 0
u=cos θ=¿ du=sin θdθ π 2
−1 2 u du ∫ 2 0 π 2
π 2
π 2
+sin θ −1 4 −1 11 1 3u − ∫ cos θ ∫ − dθ= ∫ 4 0 8 4 0 2 12 12 0 4 5. – Calcule las siguientes integrales triples sobre el sólido U dado: ❑
∭( x +2 y−3 z )dx dy dz
a)
u
U= {( x ; y ; z )/0 ≤ x ≤ √ 4− y , 0 ≤ y ≤ 2,0 ≤ z ≤ 3 } 2
Solución: √ 4− y 2
2 3
0
0 0
∫ ∫∫ ( x+ 2 y −3 z ) dxdydz
¿ (¿ x + 2 xy −3 xz )¿30 dydz 2
2
∫¿ 0
√ 4− y2
¿
∫
¿
0
¿
√ 4− y 2
2
0
0
∫ ∫ ( 9+6 y −9 z ) dydz 2
2
9 y +3 y −9 yz ¿∨¿ 0 dz ¿ √ 4 − y2
¿
∫
¿
0
√ 4− y 2
¿
∫
( 18+12−18 z ) dz
0
¿(18 z +12 z−9 z 2 )¿ √0 4− y
2
¿ 18 √ 4− y 2−12 √ 4− y 2−9( 4− y 2) ¿ 18 √ 4− y 2−12 √ 4− y 2+ 9 y 2−36 2 3
∫∫ ( x +2 y −3 z ) dxdydz =¿18 √4− y 2−12 √4− y 2+ 9 y 2 −36 0 0
√ 4− y 2
∫
¿
0
❑
b)
∭( x12 + y12 − z12 )dV u
U= {( x ; y ; z )/0≤ x ≤ y 2 ,0 ≤ y ≤ √ z ,0 ≤ z ≤ 1 }
Solución: y
2
√z 1
1
1
1
∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 dxdydz 0 0 0
y
2
√z
¿∫ ∫ 0 0
y
2
√z
¿∫ ∫ 0 0
y
2
¿∫ 0
y
2
¿∫ 0
y
2
¿∫ 0
3
1
1
(
2 2 2 x + y x + z 2 x ¿10 dydz 3
(
2 + y 2 + z 2 dydz 3
1
( 23 y + 23 y ( 23 z ( 23 z
1 /2
1 /2
1
3 /2
)
)
)
+ z 1/ 2 y ¿√0 z dz
2 + (z 1 /2)3 /2 + z 1 /2 z 1 /2 dz 3
)
2 + z 3/ 4 + z dz 3
)
2
(
)
4 8 z ¿ z 3 /2 + z7 / 4 + ¿0y 9 21 2
¿
❑
∭( u
(
4 3 8 7 /2 z 4 y + y + 9 21 2
(
2
) 4
1 1 1 4 8 z + 2 − 2 ) dV = y 3 + y 7/ 2+ 2 9 21 2 x y z
)
1.-Use coordenadas cilíndricas o esféricas para calcular la integral triple en cada caso:
∭
a)
dx dy dz √ x + y 2 +(z−2)2 2
Graficando:
En coordenadas cilíndricas 0
0 ≤θ ≤ 2 π −1 ≤ z ≤ 1
Asumimos: x 2+ y 2 =r 2 I =∭
I =∭
dy ( rθz )
√ r +( z−2 ) 2
2
r
√ r +( z−2 ) 2
2
2
u =r + ( 2 z )
2
2
dr dz dθ
dr dz dθ
donde U es la esfera
2
2
2
x + y +z ≤ 1
2udu=2 rdr
udu=rdr I =∭
udu dz dθ u
I =∭ du dz dθ
I =∭ √ r + ( z−2 ) 2
1 2
∫ dz dθ 0
2π 1
∫ ∫ [ √1+ ( z −2 )2−√ ( z −2 )2 ] dz dθ 0 −1
2π
[
1
1
∫ ∫ [ √ 1+( z−2 ) dz ]−∫ ( z−2 ) dz 0
2
−1
−1
]
dθ
Por sustitución trigonométrica
√ 1+ ( z −2 )
2
tan θ=z−2
dz=sec θdθ 2 2π
[
1
1
∫ ∫ √ 1+ tan 2θ−sec2 θ dθ−∫ ( z−2 ) dz 0
2π
[
−1
1
−1
2
∫ ∫ sec 3 θ dθ− z2 +2 z 0
−1
]
dθ
]
dθ
B En (B) integrando por partes: 2π
∫ 0
2π
∫ 0
2π
[
1 1 z sec θ tan θ+ ln ( sec θ+ tan θ )− +2 z 2 2 2
[
1 √1+( z−2 )2 . ( z−2 ) + 12 ln (√ 1+( z−2 )2 +( z−2))− z2 + 2 z dz 2
2
]
2
[
∫ 12 √1+1 . (−1 ) + 12 ln ( √ 2−1 ) − 12 +2 0
]
]
( 12 √ 10. (−3) + 12 ln ( √ 10−3) − 12 +2) dθ
−
2π
[
∫ −2√ 2 + 12 ln ( √2−1 )− 12 +2+ 32 √10− 12 ln ( √10−5 ) + 52 0
2π
[
√2 + 1 ln √ 2−1 ∫ 3 √10− 2 2 √ 10−3 0
(
[√
3 10−√ 2 1 θ+ ln 2 2
)+4 ] dθ
2−1 ( √√10−3 ) θ+ 4 θ ]
( 3 √10−√ 2 ) π + ln √ 2−1 π +8 π
( √10−3 )
a
b)
√ a2−x 2 √ a2− x2− y 2
∫ ∫ 0
0
z ∫ √ a2 −x2 − y 2 dzdydx 0
]
Por coordenadas esféricas a
√ a2−x 2 √ a2− x2− y 2
∫ ∫ 0
0
∫
dzdydx
0
0 ≤ z ≤ √a 2−x 2− y 2 0 ≤ y ≤ √ a2−x 2 0≤x ≤a 0 ≤ ρ≤ a
0 ≤∅ ≤
π 2
0 ≤θ ≤
π 2
π π 2 2 a
¿>8 ∫ ∫∫ 1∙ ρ2 sin ∅ dρd ∅ dθ 0 0 0
π π 2 2
8∫ ∫ 0 0
a
−ρ3 sin ∅∫ d ∅ dθ 3 0
π π 2 2
8∫ ∫ 0 0
π 2
8∫ 0
3
−a sin ∅ d ∅ dθ 3 π 2
3
π 2
−a a3 cos ∅∫ dθ=8∫ dθ 3 0 0 3
3
π 2
a 4 a3 3 ¿ 8 θ∫ ¿ πu 3 0 3 h b
√ b2−x 2
0 0
0
∫∫ ∫ √ x 2+ y 2 dx dy dz
c)
Solución: Por coordenadas cilíndricas:
{
0 ≤ y ≤ √ b2−x 2 D 0≤x≤b 0≤ z≤h
{
0≤ r ≤ b x=rcosθ π⇒ o ≤θ ≤ y=rsenθ ⇒ J ( r ; θ ; z )=r 2 z=z 0≤ z≤h
{
π 2 b h
¿∫∫ ∫ r . r dzdrdθ 0 0 0
π 2 b
|
¿∫ ∫ r 2 z h drdθ o 0 0
π 2 b
¿∫ ∫ h r 2 drdθ 0 0
π 2
¿∫ 0
π 2
¿∫ 0
3
4r b dθ 3 0
|
3
4b dθ 3
|
¿
4 b3 π θ 2 3 0
¿
2 π b3 3
h b
√ b2−x 2
0 0
0
3
∫∫ ∫ √ x 2+ y 2 dx dy dz= 2 π3b 2
¿∫
√ 2 x 2+x 2
a
0
0
∫ ∫ z √ x 2 + y 2 dzdydx
0
Solución
Sea D:
{
z=0 0≤ x≤2 z=0 , 2 0≤ y ≤ √ 2 x+ x ⇒ y=0 , y =2 √ 2 x+ x x =0 , 0≤ z≤a x=0
Y
2
x
x=r cosθ , y=r senθ , z=z 0 ≤θ ≤
π , 0≤ r ≤2 cosθ , 0≤ z ≤ a 2
ademas J ( r , θ , z )=r z .r . r dz 2 cosθ
a
∫ (∫ ¿ dr ) dθ 0
2
√ 2 x−x 2
∫ dx ∫ 0
0
0
¿ ¿
a
π /2
dy ∫ z √ x + y dz= ∫ ¿ 2
0
2 cosθ
0
2
z r 2
∫
2
0 2 cosθ
∫
x2
0
2 π/2
a (¿dr )dθ= 2
(¿¿ dr )dθ= π /2
¿∫¿ 0
3
∫ r3 /¿ 0 2 π /2
a 2
2
∫¿ 0
2
1−sen 2 a 4a 1 8 (¿θ) cosθdθ= 1− = 3 3 9
[ ]
¿
4a 3
2 π /2
3
∫ cosθ dθ= 0
4a 3
2 π /2
∫¿ 0
√ 1−x 2 √ 1−x 2− y 2
1
e ¿∫
∫ √ x2 + y 2 + z 2 dzdydx
∫
0
0
2y
Solución: 0 ≤θ ≤
π π ; 0 ≤∅ ≤ ; 0 ≤ ρ≤ 1 2 2
dV = ρ 2 sin (∅) dρd ∅ dθ π π 2 2 1
π π 2 2 1
0 0 0
0 0 0
∫∫∫ √ ρ2 sin(∅)dρd ∅ dθ=¿∫∫∫ ρ sin (∅)dρd ∅ dθ π π 2 2 1
π π 2 2
1
∫∫∫ ρ3 sin ( ∅ ) dρd ∅dθ=¿ ∫∫ [ 0 0 0
0 0
π π 2 2
π 2
ρ4 sin ( ∅ ) ] d ∅ dθ 4 0
π
sin ( ∅ ) [cos ( ∅ ) ]02 dθ ∫∫ 4 d ∅ dθ= −1 ∫ 4 0 0 0 π 2
π 2
−1 π −1 cos −cos ( 0 ) dθ= ∫ −1 dθ ∫ 4 0 2 4 0 π
()
1 2 π 3 [θ ] = u 4 0 8
1
√ 2 x √ 1−x 2− y 2
∫∫ ∫
f)
0
0
2
2 −1/ 2
z (x + y )
dzdydx
0
Solución:
√ 1−x 2− y 2
∫
z(x 2 + y 2 )−1 /2 dz
0
−1 √ 1−x 2− y 2 2 2
2
∫
(x + y )
0
❑
h ¿∭ ❑ e
2
x +y z
−1
zdz=( x 2 + y 2 ) 2
z2 2
|
2
dv , donde U es el solido acotado por la superficie z=√ x + y
U
y limitado por los planos x2 + y 2=2 z y el plano z=2 Solución: Graficamos
2
2
−π 3π ≤θ≤ ; 0 ≤r ≤ a ; r ≤ z ≤ a 4 4
Límites:
ea ¿ ¿ a (¿ ¿ r ¿ ¿−e r) rdrdθ a
∫¿ 0
3π 4
rdrdθ=∫ ¿
Integramos
−π 4 x
e ∨¿ a
∫¿ 0 3π 4 a a
3π 4
I =∫ ∫ ∫ e x rdzdrdθ= ∫ ¿ −π 0 r 4
−π 4
ea −e r (¿)dr=r e a−er Integración por partes u=r=¿ du=dr ; V =∫ ¿ r ea (¿ a0¿−er ) dr a
r (r e −e )∨−∫ ¿ dθ a
2
o
¿
3 π/4
I= ∫ ¿ −π /4
3 π/4
[
(
[
−a 2 e a a + e −1 a0❑ dθ 2
I = ∫ a ( a e a−e2 ) − −π / 4
3 π/4
I = ∫ a ( a e a−e2 ) + −π / 4
(
2 a
)|
]
r e −er a0❑ dθ 2
)|
]
I =(a2 ea −a e a−
2
a
a
a e π +e a−1) θ∨ ¿ [a 2 e a−2 e a ( a−1 ) −2] 2 0 2
1
√ 2 √ 1−x 2− y2 x
f ¿∫
−1 2 2
2
∫ ∫ z (x + y )
0
0
dzdydx
0
Solución: √ 1−x 2− y 2
∫
I=
−1 2 2
2
z ( x + y ) dz
0
2
−1 √ 1−x 2− y 2 2 2
∫
I =( x + y )
z dz
0
I =( x 2+ y 2)
2
−1 2
−1 2 2
I =( x + y )
x
I =∫ ( x 2+ y 2) 0
z2 2 (1−x 2− y 2 ) 2 −1 2
(1−x 2− y 2 ) dy 2
1
√2
I =∫ √ 2 X (1−2 X 2)dx 0
Remplazando obtenemos:
11
2 1+ √ ¿ 1 ¿ - 24 √ 2 ln ¿ ¿
3.- Con la ayuda de coordenadas cilíndricas o esféricas, evalue las siguientes integrales:
a)
x (¿ ¿ 2+ y 2 + z 2)3 /2 ∭¿
dv, u:
x 2+ y 2 + z 2 ≤ 1
Llevando a coordenadas esféricas:
0 ≤θ ≤ 2 π
0 ≤θ ≤ π 0 ≤ e ≤1
x 2+ y 2 + z 2 ≤
Se sabe que: x=e cos ∅sin ∅
y=e sin ∅sin ∅ z=e cos ∅
J ( r ,θ , ∅ )=e 2 sin∅
e 2 cos θ 2 sin ∅2 +e 2 sin θ2 sin ∅2+ e2 cos θ2 =1
1
2
e =1 2
2
2
2
2
2
2
2
e cos θ sin ∅ +e sin θ sin ∅ + e cos θ =1 e=± 1
Entonces: 2π π 1
3
I =∫ ∫ ∫ ( e 2) 2 e 2 sin ∅ de d ∅ dθ 0
0 0
2π π 1
I =∫ ∫ ∫ e5 sin ∅ de d ∅ dθ 0
0 0
2π π
I =∫ ∫ 0
0
6
e sin ∅ d ∅dθ 6
2π π
1 I =∫ ∫ sin ∅ d ∅ dθ 0 0 6 2π
I =∫ 0
2π
I =∫ 0
−1 [ cos ∅ ] dθ 6 −1 [ −1−1 ] dθ 6 2π
I=
2π
1 1 2π dθ= ∅∫ .= ∫ 3 0 3 0 3
❑
1 calcular ∭ ( x 2+ y 2 ) dxdydz , d onde el T esta limitado por las superficies z= ( x 2 + y 2 ) , z =2 2 T Solución
pasando a coordenadas cilindricas x=rcosθ , y=rsenθ , z=z 2
r t=( r ,θ , z ) 0 ≤r ≤ 2∧ 0≤ θ ≤ 2 π ∧ ≤ z ≤2 2 2
∫ r2 3
r /2
¿ (¿ ¿.r dz ) dθ 2π
∫ ¿ dr 0
¿
2
( x 2+ y 2) dxdydz =∫ ¿ 0 ❑
∭¿ T
2
r 2 3 r (¿¿)dθ 2 r3 −r 5 2 π (¿ ) dr 2 2−
2π
2
∫ ¿ dr=∫ ¿ 0
0
¿ 2
¿∫ ¿ 0
¿2π
(
4
6
)
r r 16 − ∨¿ π 2 12 3
l=∭ (x + y + z )( x+ y −z)( x− y −z) dxdydz , donde U es el tetraedro
4.- calcule
limitado por los planos x+y+z=0, x+y-z=0, x-y-z=0, 2x-z=1. Solución: u=x + y + z v =x+ y −z
w=x− y−z x=
u+w 2
y=
v −w 2
z=
u−v 2
J (u , v , w )=
−1 4
x+ y+ z=
u+ w v−w u−v + + =0 ⇒u=0 2 2 2
x+ y−z=
u+w v −w u−v + − =0 ⇒ v=0 2 2 2
x− y−z=
u+ w v−w u−v − − =0 ⇒ w=0 2 2 2
2 x −z=2
u+ w u−w − =1⇒ 2u−v + 4 w=1 2 2
D= { (u , v , w ) /u=0, v=0, w=0, 2u−v + 4 w=1 }
x− y−¿ ∭( x + y + z )(x+ y−z)(¿ z ) dxdydz
∭ uvw /J (u , v , w)d u dvdw 1 1−2 u 2 4 2 u+ 4 w−1
1 ∫ 4 0
∫ 0
1 1−2u 2 4
1 ∫ 80
∫
∫ 0
1 1−2 u 2 4
wuv dvdwdu=
0
1 ∫ 4 0
∫
2
⌈w
0
2 u+ 4 w−1
uv ⌉ 2 0
dwdu
1 2
1−2 u 4
1 wu(4 ( u /+4 w +4 wu−u−2 w ) +1) dwdu= ∫ ⌈ u w2 ( 4 ( u2 w+ 4 w 3 /3+2 w2 u−uw−w 2) + w)⌉ 0 80
1/ 2
2
2
2
2
u 4 u −4 u +1 8u ( ) du=⌈ ∫ u ( 1−2 ) 4 3 3
6
−
0
32 u5 8 u3 u 2 12 1 3 + 6 u4 − + ⌉ = u 5 3 2 0 184
5-calcule I=
∭ √ x 2+ y 2 + z 2 dv , donde u es el solido limitado por las superficies z=√ x 2+ y 2 √ x2
(¿ + y 2 + z 2)dxdydz ∭¿
z=
√ x2 + y 2
z=3
, z=3
du
√ x 2+ y 2
∫ (√ x 2 + y 2 + z 2)dx 0
y
2 2 ∫ 2 √2 x +2 y 2 0 √x + y +z
3
∫ 0
(2 √ x2 + y2 ) y
√x +y 2
2
+z
2
dy=
=
2x = √ x + y 2+ z2 2
2 √ x 2+ y 2
√ x 2 + y 2+ z2 ( 2 √ x 2+ y 2 ) y
√x + y +z 2
2
2
y
remplasando obtenemos :(27
√ 2−
27 ¿π 2
❑
7.−calcule ∭ x √ x 2 + y 2 dxdydz ,donde U es el solido exterior al cilindro U
x 2+ y 2 −2 y =0 y limitado por las erficies z=√ x 2+ y 2 , 2
2
x + y =z+12, x+ y ≥ 0, sugerncia :utilice cordenadas cilindricas Solución: 2
2
2
2
la ecuacion del cilindro x + y −2 y =0=¿ x + ( y−1 ) =1 En el esquema: Los limites: −π 3π ≤θ≤ 4 4 x 2+ y 2 −2 y =0=¿ r 2=2 rsen(θ) r=2 sen ( θ )=¿ 0 ≤ r ≤2 sen (θ)
3 π / 4 2 rsen(θ)
I= ∫
2
r −12 ≤ z ≤ r Integramos:
−π / 4
r
∫ ∫ 0
rcos(θ) √ r 2 rdzdrdθ
r2−12
2
r −r 3 r cos ( θ)(¿¿+12)drdθ 2 rsen ( θ )
∫
¿
0 3 π /4
I= ∫ ¿ −π / 4
r 4−r 5 cos ( θ)(¿ ¿+12 r 3 )drdθ 2 rsen ( θ )
∫
¿
0 3 π /4
I= ∫ ¿ −π / 4
5
r 5 3π/4 6 2rsen (θ ) dθ ∫ cos (θ)[¿ −r6 +3 r 4 ] 0 −π / 4 I =¿ 32 sen 5 (θ) 5 6 −32 sen ( θ ) cos ( θ)[¿ +48 sen4 (θ) ]dθ 3 3 π/4
I= ∫ ¿ −π / 4
I =[
I=
32 sen6 (θ) 32 sen7 (θ) 48 sen 4 (θ) 3 π /4 − + ] 30 21 5 −π /4
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
16 3π π 48 3π π 32 3π π sen6 −sen6 + sen5 +sen 5 − sen7 + sen7 15 4 4 5 4 4 21 4 4
10.-Halle el volumen del solido bajo la superficie z=4−x 2− y 2 ; interior al cilindro x 2+ y 2=1 y sobre el plano xy
En el esquema
Los limites, pasamos a coordenadas cilíndricas: x 2+ y 2 =¿ r=1=¿ 0≤ r ≤1 ; 0 ≤ z ≤ 4−r 2 ; 0 ≤θ ≤ 2 π 2 π 5 4−r
v =∫ ∫ 0
2π
(
0
2π 1
∫ rdzdrdθ=∫ ∫ r ( 4−r 2 ) drdθ
0
v =∫ 2 r 2−
2
0
r4 4
0 0
)
1
2π
0
0
∫ dθ=(2− 14 ) θ ∫ ¿
7 (2 π ) 7 π 3 = u 4 2
13.- encuentre el volumen en el primer octante acotado por el paraboloide z=x 2+ y 2 , el cilindro Solución:
y ¿ x2
y los planos y=x, z=0
2
1
x x +y
V =∫ ∫ 0 x2
1 x
∫
0 x2
dzdydx
0
x2 + y 2
∫∫|z|0
2
1 x
dydx=¿∫ ∫ x2 + y 2 dydx 0 x2
x 2 3
(x ) x (¿¿ 2( x)+ )−(x2 ( x 2 )+ ) 3 3 ¿ dx ¿ ¿ 1 3 x y 2 x y+ dx=∫ ¿ 3 x 0 3
|
|
2
1
¿∫ ¿ 0
3
6
x x −x 4 + 3 3 3 6 4x x −x 4 + 3 3
x3 +
|
−4 x 7 x 5 4 x 4 (¿)dx= − + 21 5 12
1
|
0
1
(¿)dx=∫ ¿ 0
1
∫¿ 0
¿
−4 (1)7 ( 1 )5 ( 1 )4 3 3 − + = u 21 5 3 35
14 Halle los volúmenes de los cuerpos limitados por las superficies que se indiquen. 1 3 2 x 2 y∨los planos x= . x= . y=0 x a) Por los cilindros z=2/ ,2x,z=0 en el 2 2 primer octante.
2π 1 y
∫∫∫ k r 3
Solución:
0
dzdrd θ
0 r2
4
(
r 5 r r6 − dθ 5 6 ¿
)
2π
(¿ ¿−r ) drdθ=k ∫ ¿ 5
K=k
0
1
∫¿ 0 2π
∫¿ 0
3 Reemplazando obtenemos: (4ln(3)-2) u
x 2 + 4 y 2 =z el plano z=0 y los cilijdros
i)por el paraboloide x 2 =y x 2 + z 2= y 2 ,
x 2 + z 2 =5y 3
∫ r 2 z dr dθ
π 2 3
0
y
∫∫∫ rdzdθ 0 0 0
=
¿
π 2
∫¿ 0
3
∫ 4 r 2 drdθ 0
¿
π 2
∫¿ 0
y 2=x ,
π 2
∫ 43r
3
dθ
0
Reemplazado obtenemos:
j) Po la superficies
2
3 3 u 7
2
2
y + z =4 ax , x=3 a , y =ax
Solución: rdz 3
4
∫ (∫ ¿ dr) dθ 0
0
¿ ¿
π 2
∫¿ 0
3
∫ 4 r2 0
π 2 3
∫∫ r 2 zdrdθ = 0 0
¿ ¿
π 2
∫¿ 0
π 2
3
∫ 43r dθ 0 Remplazando obtenemos: (6 π +9 d)
z 2=x 2+ y 2
,
√ 3¿ u 3
x 2+ y 2 + z 2=a2 , sobre el cono
ρ=costante
π 2π 4 a
π 2π 4
∫∫∫ ρ2 sin( ∅)dρd ∅ dθ=¿ ∫∫ [ 0
π 2π 4
∫∫ 0
0
0 0
2π
3
π
3 a sin ( ∅ ) a d ∅ dθ= ∫ [−cos ( ∅ ) ]04 dθ 3 3 0
2π
¿
0 0
a
ρ3 sin ( ∅ ) ] d ∅ dθ 3 0
[
]
π
a3 √ 2 )dθ= a3 (1− √ 2 )θ 4 = 2 π a3 1− √ 2 (1− ∫ 3 0 2 3 2 3 2 0
(
)
17.−calcule paso a paso la integraltriple de f ( x , y , z )= √ x 2+ y 2 sobre el solidoo Dlimitado por las graficas de z=2 entnces dedudcimos z=2 , z=r Solución θ=2 π r=2 z=2
I=
∫ ∫ ∫ r .rdzdrdθ
θ=0 r=0 z=r
3 2 r −r ¿ ( 2−r ) r 2=¿ ¿ 2
2π
I =∫ 0
4 8π dθ= 3 3
)
c ¿. encontrar el centro de masadel solido dentro del paraboide x 2 + y 2=z y fueradel cono x 2 + y 2=z 2 , p es la de Solución
{
x 2 + y 2=z ⟹ z 2=z ⇒ z=0 , luego pasado a coordenadas cilindricas z =1 x 2 + y 2=z
{
r ,θ , z /0 ≤θ ≤ 2 π , 0 ≤ r ≤ 1 ,r 2 ≤ z ≤ r ¿ D=¿ zkrdz k ( 3 5) r −r dr 2 1
∫ ¿ dθ 0
1
¿ ¿ ¿
2π
(∫ ¿ dr ) dθ=∫ ¿ r2
0
1
∫¿ 0
¿
2π
M xy=∫ ¿ 0
4
r 4 zkrdz k 3 5 ( r −r ) dr 2 1
∫ ¿ dθ 0
¿ ¿ ¿
1
2π
∫ ¿ dr =∫ ¿ 0
0
1
¿
∫¿ 0
−r 6 )¿ 6 2π k ¿ ∫¿ 20
(¿
r 2 cosθkdz kcosθ r 2 ( r −r 2 ) dr 1
∫ ¿ dθ 0
1
¿ ¿ ¿ ¿
2π
(∫ ¿ dr )dθ=∫ ¿ r2
0
1
∫¿ 0
¿
2π
xz=∫ ¿ 0
M¿
4
(
5
)|
|
2π
r r k k k kcosθ − dθ= ∫ cosθdθ= senθ = ( 0−0 )=0 4 6 20 0 20 20 ¿ 2π
¿∫ ¿ 0
rsenθ . rkdz senθ r 2 1
1
2π
1
∫ (∫ ¿ dr) dθ=k ∫ (∫ ¿ ( r−r 2 ) dr )dθ 0
r
0
2
0
¿ ¿
2π
M yz=∫ ¿ 0
2π
¿ k ∫ senθ 0
(
r4 r5 k −k − dθ= (−cosθ ) = ( 1−1 ) =0 4 5 20 20
)|
|
zkrdz r ( r −2 ) dr 1
∫ ¿ dθ 0
¿ ¿ ¿
1
2π
(∫ ¿ dr ) dθ= r2
k ∫¿ 2 0
1
∫¿ 0
¿
2π
M=∫ ¿ 0
1
2π
(
3
4
)
2π
k ∫ ( r −r ) drdθ= k2 ∫ r3 − r4 ∨dθ= 240 ∫ dθ= kπ 12 0 0 0 ¿ 2π k ¿ ∫¿ 20 2
3
πk M yz 0 M xz M xy 12 X= = =0 , Y = =0 , Z= = =1 M πk M M πk 12 12 el centro de masaes (0,0,1)
z−2 ¿ ¿ ¿2 x 2 + y 2 +¿ dxdydz ¿
❑
b ¿ . f ( x , y , z ) =∭ ¿ U
Solución
pasando a coordenadas cilindricas
{
x=rcosθ y=rsenθ → J ( r ,θ , z )=r z=z
D=
{ r ,θ0, z ≤ r ≤ 1∧ 0 ≤θ ≤ 2 π ∧−1 ≤ z ≤1}
z −2 ¿ ¿ ¿2 ¿ z −2 ¿ ¿ ¿2 rdr 2 √r +(¿¿¿dz ) dθ 1
∫¿ 0 1
¿
∫¿ −1 2
2
x + y +¿ dxdydz ¿ ❑
∭¿ U
z−2 ¿ ¿ ¿2 ¿ z−2 ¿ ¿ 1+¿ dz √ ¿ dθ ¿ ¿ ¿ 1
∫¿ −1
r 2 +¿ √¿ 1
∫¿ −1
¿
2π
¿∫ ¿ 0
z−2 ¿ ¿ ¿2 z−2 √ 1+ ¿ dθ 2 ¿ 2π
¿∫ ¿ 0
( 3 √10−√ 2−3 ) + ln ∨ √ 2−1 ∨¿ 2π
¿∫ 0
¿
[√
3 10−√ 2 1 + ln 2 2
√ 10−3
|√√ | ]
2−1 3 − dθ=¿ 10−3 2
18) calcule el volumen del solido encerrado entre las superficies entre las superficies
x 2 + z 2= y 2 y
x 2+ z 2=5 y
y=r cos ( θ ) , z=r sin ( θ ) , x=x J : ( r ,θ , x )=r
2
2
Pasando a coordenadas polares π 2 1
2
1 x x +4 y
∫∫ ∫ 0
√x π 2
0
dzdxdy=∫ ∫
|
0 0
5
√ 2−r2
∫ r
π 2 1
3 r r4 2 2 z r dzdrdθ=∫∫ (2−r ) − drdθ 3 0 0 3 2
5 1
|
1 −1 r (2−r 2) 2 − dθ ∫ 3 0 5 5 0
Reemplazando obtenemos las coordenadas (0,0,
99 7 )
19.- determine el volumen del solido limitado por el cono
x 2= y 2+ z2 y el
x 2=20− y2 −z2
paraboloide x=ρ cos θ sin ∅
y=ρ sin θ sin ∅ z=ρ cos θ J (ρ , θ ,∅) =
ρ2 sin∅
{(ρ , θ ,∅)/a ≤ ρ≤ b , 0 ≤θ ≤ 2 π , 0 ≤ ∅≤ π2 }
S=
π 2π 2 1
2
2
∅ ρ( ρ2 sin ∅)dρd ∅ dθ ∫∫∫ ρ cos ρ 0 0 0 π 2π 2
ρ4 ( 2 ∫∫ 4 cos ∅ sin ∅ ) d ∅ dθ 0 0 Reemplazando: 448 3 πu 3 1. Halle el volumen del solido limitado superiormente por la esfera x 2+ y 2 +(z−1)2 =1 e inferiormente por el paraboloide Graficamos: x 2+ y 2 + ( z−1 )2=1
Esfera: c(0,0,1) ˄ r=1 x 2+ y 2 + ( z−1 )2=1
z=x 2+ y 2
En coordenadas polares: 0 ≤θ ≤ 2 π 0
Encontrando los límites de “z”: −1+ √ 1−r 2 ≤ z ≤ r 2 x 2+ y 2 + ( z−1 )2=1 r 2 + ( z−1 )2=1
( z−1 )2=1−r 2 z=√ 1−r 2 +1 2π 1
V =∫ ∫
r
z=√ 1−r 2−1
2
∫
r d dr dθ
0 0 1+ √1−r2
2π 1
V =∫ ∫ rz 0 0
2π 1
r
2
∫ 1+ √ 1−r
dr dθ 2
V =∫ ∫ r [ r 2−1+ √1−r 2 ] dr dθ 0 0
2π 1
V =∫ ∫ [ r 3 −r +r √1−r 2 ] dr dθ 0 0
2 3 /2
2π
4 2 r r ( 1−r ) V =∫ − − 4 2 3 0
2π
V =∫ 0
2π
dθ
( 14 − 12 −0+ 13 ) dθ 2π
dθ θ 2π π V =∫ = ∫ .= = u3 12 0 12 6 0 12
4.- si u es la región limitada por los planos x=1, x=2 y por los cilindros y 2 + z 2=9 , calcula
∭ e x √ y 2+ z 2 dxdydz
3 2
2π 3
∫∫ e 2 1
x
2
r dxdrdθ=¿ ∫ ∫ |e x r 2|1 drdθ 2
0
3 2
2
2π
∫∫ e x r .rdxdrdθ=¿ ∫ ¿ 2 1
0
2π
∫¿ 0
y 2+ z2 =4 ,
e e e 2π
8 (¿ ¿2−e) ∫ (9− )dθ 3 0 2π
(¿¿ 2−e)∫ 0
3
||
r3 dθ=¿ 3 2
3
∫ (¿¿ 2−e)r 2 drdθ=¿ 2
2π
∫¿ 0
e e (¿¿ 2−e) π u3 38 (¿¿ 2−e).2 π= ¿ 3 19 ¿ ¿ 3
c)
c ¿. encontrar el centro de masadel solido dentro del paraboide x 2 + y 2=z y fueradel cono x 2 + y 2=z 2 , p es la de Solución
{
x 2 + y 2=z ⟹ z 2=z ⇒ z=0 , luego pasado a coordenadas cilindricas z =1 x 2 + y 2=z
{
2
r ,θ , z /0 ≤θ ≤ 2 π , 0 ≤ r ≤ 1 ,r ≤ z ≤ r ¿ D=¿
zkrdz k 3 5 ( r −r ) dr 2 1
∫ ¿ dθ 0
¿ ¿ ¿
1
2π
(∫ ¿ dr ) dθ=∫ ¿ r2
0
1
∫¿ 0
¿
2π
M xy=∫ ¿ 0
r4 4 zkrdz k 3 5 ( r −r ) dr 2 1
∫ ¿ dθ 0
¿ ¿ ¿
1
2π
∫ ¿ dr =∫ ¿ 0
0
1
¿
∫¿ 0
−r 6 (¿ )¿ 6 2π k ¿ ∫¿ 20
r 2 cosθkdz kcosθ r 2 ( r −r 2 ) dr 1
∫ ¿ dθ 0
¿ ¿ ¿ ¿
1
2π
(∫ ¿ dr )dθ=∫ ¿ r2
0
1
∫¿ 0
¿
2π
xz=∫ ¿ 0
M¿
)|
|
2π
r4 r5 k k k kcosθ − dθ= ∫ cosθdθ= senθ = ( 0−0 )=0 4 6 20 0 20 20 ¿
(
2π
¿∫ ¿ 0
rsenθ . rkdz senθ r 2 1
1
2π
1
∫ (∫ ¿ dr) dθ=k ∫ (∫ ¿ ( r−r 2 ) dr )dθ 0
r
0
2
0
¿ ¿
2π
M yz=∫ ¿ 0
2π
¿ k ∫ senθ 0
(
r4 r5 k −k − dθ= (−cosθ ) = ( 1−1 ) =0 4 5 20 20
)|
|
zkrdz ( r r −2 ) dr 1
∫ ¿ dθ 0
¿ ¿ ¿
1
2π
k (∫ ¿ dr ) dθ= ∫ ¿ 2 0 r2 1
∫¿ 0
¿
2π
M=∫ ¿ 0
1
2π
(
3
4
)
2π
k ∫ ( r −r ) drdθ= k2 ∫ r3 − r4 ∨dθ= 240 ∫ dθ= kπ 12 0 0 0 ¿ 2π k ¿ ∫¿ 20 2
3
πk M M M 0 12 X = yz = =0 , Y = xz =0 , Z= xy = =1 M πk M M πk 12 12 el centro de masaes (0,0,1)
z−2 ¿ ¿ ¿2 x 2 + y 2 +¿ dxdydz ¿
❑
b ¿ . f ( x , y , z ) =∭ ¿ U
Solución
pasando a coordenadas cilindricas
{
x=rcosθ y=rsenθ → J ( r ,θ , z )=r z=z
D=
{ r ,θ0, z ≤ r ≤ 1∧ 0 ≤θ ≤ 2 π ∧−1 ≤ z ≤1}
z −2 ¿ ¿ ¿2 ¿ z −2 ¿ ¿ ¿2 rdr 2 √r +(¿¿¿dz ) dθ 1
∫¿ 0 1
¿
∫¿ −1
x 2 + y 2 +¿ dxdydz ¿ ❑
∭¿ U
z−2 ¿ ¿ ¿2 ¿ z−2 ¿ ¿ 1+¿ dz √ ¿ dθ ¿ ¿ ¿ 1
∫¿ −1
r 2 +¿ √¿ 1
∫¿ −1
¿
2π
¿∫ ¿ 0
z−2 ¿ ¿ ¿2 z−2 √ 1+ ¿ dθ 2 ¿ 2π
¿∫ ¿ 0
( 3 √10−√ 2−3 ) + ln ∨ √ 2−1 ∨¿ 2π
¿∫ 0
[√
¿
3 10−√ 2 1 + ln 2 2
√ 10−3
|√√ | ]
2−1 3 − dθ=¿ 10−3 2
