SOLUCIONARIO DE EXÁMENES PASADOS DEL PRIMER PARCIAL
SOLUCIONARIO DE EXÁMENES
PROLOGO
DEDICATORIA
ÍNDICE
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MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES Universidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería Segundo Parcial 6 de mayo de 2016
1.- (10 puntos) Demostrar que: L f t
d ds
f s
2.- (10 puntos) Hallar el operador anular de: f x xe x cos 2 x
2
3.- (20 puntos) Resolver la ecuación diferencial: x 2 y x 2 x 3 y x 2 3x 3 y 6 x 2 e x 2
3
4.- (20 puntos) Resolver la ecuación diferencial: 3 x y IV 3 x y III y 3 x 4 5.- (20 puntos) Utilizando la transformada de Laplace, resolver: ty 2 y ty sen t ;
y 0 0
6.- (20 puntos) Resolver la ecuación: y 4 y 4 y f t : y 0 0 , y 1
adelio ariel chavez
.....ADELIUS.....
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MAT-207 ECUACIONES DIFERENCIALES Universidad Mayor de San Andrés – Facultad de Ingeniería
II/2015 1.- a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f x 3xe 4 x sen 2 2 x b) Anote las hipótesis y tesis del primer teorema de traslación en términos del operador inverso L1 2.- Resolver la ecuación diferencial: y 4 y 4 y e2 x ln x 3.- Resolver la ecuación diferencial:
y 2 xy 2 y x 3 2 cos ln x2
2
4.- Resolver la ecuación diferencial: y 2 y 10 y 2t 3 t 3 4t t 4 ;
y 0 1 , y 0 3
5.- Resolver la ecuación integro diferencial: f t f t
adelio ariel chavez
0
t
t f d
t
0
f d t
; f 0 1
.....ADELIUS.....
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PROBLEMAS RESUELTOS 1.- a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f x 3xe 4 x sen 2 2 x 1 cos 4 x 2
f x 3 xe 4 x sen 2 2 x 3 xe4 x f x
3
xe 4 x xe4 x cos4 x 2
El operador que anula a xe
4 x
2
D 4 , y el operador que anula xe
4 x
2 cos 4 x D 4 4 2
2
Por lo tanto el operador que anula a nula a la función f x es: 2 2 D 4 D 4 42
2
b) Anote las hipótesis y tesis del primer teorema de traslación en términos del operador inverso L1
2.- Resolver la ecuación diferencial: y 4 y 4 y e2 x ln x Resolución. y 4 y 4 y e2 x ln x D2 4 D 4 y e2 x ln x 2
Para la solución homogénea: r 2 4r 4 0 r 2 0 r 2 (dos veces) yh C1e 2 x C2 xe 2 x
Para la solución particular apliquemos variación de parámetros:
x
y p
y1 z
y2 z
y1 x
y2 x
y 1 z
x0
y1 z
y2 z
e x
f z dz
y p e
2 z
x z ln zdz e
2 x
2 z
ze
xe2 x
x
e
2 z
ze
e2 z
y2 z
x0
e 2 x
x0
x
2 x
e
2 z
2 z
ln zdz
x0
e 2 x e2 z x z e
4 z
1 z z
e
2 z
ln zdz
e 2 z 1 z
x ln zdz z ln zdz I I 1
2
u ln z du dz z I1 ln zdz Por pa partes d v d z v z
I1 uv vdu z ln z
adelio ariel chavez
dz
z z z ln z z
I1 z ln z 1
.....ADELIUS.....
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du dz u ln z z Por partes 2 dv zdz v z 2
I 2 z ln zdz
I 2 uv vdu
z 2 ln z
2
z 2 dz z 2 ln z 2
z
2
1 2
z 2 1 I1 ln z 2 2
zdz
Reemplazando los valores de las integrales 1 z 2 y p e x z ln z 1 ln z z x 2 2 2 1 x 2 x2 2 x 2 2 x 2 2 y p e x ln x 1 ln x e x ln x x ln x 2 2 2 4 2 3x2 3 x 2 e 2 x 2 x x ln y p e ln x y x p 4 2 4 2 2 x
yG C1e
2 x
2 x
C2 xe
x 2 e
2 x
2
3 ln x 4
3.- Resolver la ecuación diferencial: x2 y 2 xy 2 y x 3 2 cos ln x2 Resolución Se trata de la ecuación diferencial de Euler, se hace el siguiente cambio de variable: x e
t
2 dy 2 t d y , y e 2 dt dt
dy
, y e t
dt
x 2 y 2 xy 2 y x 3 2cos 2 ln x e
2 t
e
d2 y dt
2
2t
dy dt
d 2 y dy t dy t 2 y et 3 2 cos 2 ln et 2 2e e dt dt dt 2
dy
d2 y
dy
2 y e 3 2 cos 2t 2 3 2 y et 3 2 cos 2 t dt dt dt t
Ecuación diferencial de coeficientes constantes Ecuación característica: D 2 3D 2 y 3et 2et cos 2t La para solución homogénea: r 2 3r 2 0 r 1 r 2 0 r1 1 r2 2 yh C1e C2 e t
2 t
Para hallar la solución particular, apliquemos operador anulador El operador que anula et D 1 2 El operador que anula et cos 2t D 1 22 adelio ariel chavez
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D
2
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Facultad de Ingeniería 2 D 1 D 1 22
3D 2 y 3et 2et cos 2 t
D 1 D 1 22 D 2 3 D 2 y 0 D 1 D 1 2i D 1 2i D 2 3 D 2 y 0 2
r 1 r 1 2i r 1 2i r 1 r 2 0 2
Ecuación característica: r 1 r 2 r 1 2i r 1 2i 0 r 1 r 2 r 1 2i
dosveces
yG C1e t C2 e2 t C3 tet C4 et cos 2 t C5 etsen2 t
yh
yp
y p et C3t C4 cos 2t C5sen2 t t y p e C3 C3t 2C5 C4 cos 2t C5 2C4 sen2 t t y p e 2C3 C3t 4C5 3C4 cos 2 t 3C5 4 C4 sen2 t
2 3
2 y p et 2C3t 2C4 cos 2 t 2 C5sen2 t 3 y p et 3C3 3C3t 6C5 3C4 cos 2 t 3C5 6 C4 sen2 t t y p e 2C3 C3t 4C5 3C4 cos 2t 3C5 4 C4 sen2 t d2 y dt
2
3
dy
2 y et C3 2C5 4C4 cos 2t 4C5 2 C4 sen2 t et 3 2 cos 2 t
dt
C 3 3 Por comparación se tiene: 2C5 4C 4 2 ; resolviendo el sistema, los valores de las constantes 4C 2C 0 5 4
son: C3 3 , C5
1
, C 4
5
2 5
La solución general será: yG C1e t C2 e2t 3tet
2
1 et cos 2 t etsen2 t 5 5
,
yG C1 x C2 x 3 x ln x 2
pero 2 5
et t ln x
x cos 2 ln x
1 5
xsen2 ln x
4.- Resolver la ecuación diferencial: y 2 y 10 y 2t 3 t 3 4t t 4 ;
y 0 1 , y 0 3
Resolución Previamente agrupamos y ordenamos, para luego aplicar L adelio ariel chavez
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y 2 y 10 y 2 t 3 t 3 4 t 4 4 t 4 y 2 y 10 y 2t 3 t 3 4 t 4 t 4 16 t 4 1
3
1
s 2Y s s y 0 y0 2 sY s 2 y 0 10Y s
s
2
2s 10 Y s s 5
2 s
e3 s
2
4 s
2
e
4 s
2 2
e3 s
s 16 e 4 s s
4 s
2
L 1 e
4 s
16 s
e
4 s
3 s 12 9 Y s s 5s 2 e3 s 4 e4 s 16 e4 s s 2 s2 s s 3 5s 2 1 1 1 Y s e 3 s 4 e 4 s 16 e 4s 2 2 2 2 s 2 s 1 9 s 2 s 1 9 s s 1 9 s 1 9
5.- Resolver la ecuación integro diferencial: f t f t f t f t sF s f 0
1
0
t
t t f d 0 f d t
t
t
0 t f d 0 f d t
F s L t L ft L 1 L f t
s 1 F s 1
1 s
F s
2
sF
s
f 0 F s
1
s1 F
s
L
; f 0 1
1 s 2
1 s2
2 1 s 1 F s 1 s s s s s 1 1 s s s 2 2 F s 2 2 2 2 s s 2 1 7 1 7 s s 2 4 2 2 1 7 Resolución s 1 1 2 2 F s L 1 2 2 2 2 s 1 7 2 7 s 1 7 2 2 2 2 2
s 1 F s
1
2
1
2
1 1t 7 1 12 s 7 7 12 t 7 1 2s 2 f t e cos t e sen t ft e sen t e cos 2 2 2 2 t 7 7
adelio ariel chavez
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I/2015 2
1) a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: f x 1 e2 x cos 3 x b) Anote las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación en términos del operador inverso: L1 2.- Resolver la ecuación diferencial: y 3 y 2 y
e 2 x 1 e x
3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y 5 xy 5 y 3ln x 2 cos ln x 2 4 4.- Resolver la ecuación diferencial: y 9 y f t 2 t , 1 t 2 , 0 t 1 f t 1 0 , t 0 ; t 2
y 0 2 , y 0 0
5.- Resolver la ecuación integra-diferencial: yt 4 y t
adelio ariel chavez
t
t
0 t y d 0 y d t
; y 0 1
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1) a) Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula: 2
f x 1 e2 x cos 3 x
Resolución 2
f x 1 e 2 x cos 3 x 1 2 e2 x e4 x cos 3 x f x cos 3 x 2e2 x cos 3 x e4 x cos 3 x
Recordar que el operador que anula a cosbx D 2 b2 , y el operador que anula a e ax D a Como las dos funciones están siendo multiplicados, el operador que los anulan será: cos3 x D2 32 2
e2 x cos 3 x D 2 32 2
e4 x cos 3 x D 4 32
Por lo tanto el operador que anula a la función f x será:
D
2
32 D 2 32 D 4 32 2
2
b) Anote las hipótesis y tesis del segundo teorema de traslación en términos del operador inverso: L1 Resolución
2.- Resolver la ecuación diferencial: y 3 y 2 y
e 2 x 1 e x
Resolución: Ecuación característica: D 3D 2 y 2
e 2 x 1 e x
R x
Hallando la solución homogénea: r 2 3r 2 0 r 2 r 1 0 r1 2 r2 1 La solución homogénea será: yh C1 e2 x C2 ex
y1
y2
Teniendo la solución homogénea, podemos hallar la s olución particular por variación de parámetros
adelio ariel chavez
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x
y p
y1 z
y2 z
y1 x
y2 x
y 1 z
x0
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y1 z
y2 z
x
R z dz
x0
y2 z
e 2 z
e z
e2 x
ex
e 2 z 2e
2 z
e 2 z
z e z 1 e
e
x
dz
e x e z e z e x
x0
e
3 z
1 2
e2 z 1 e z
dz
z
x x x ez x ez ex e z x x dz e dz dz e dz e dz e z z z z z z 1 e 1 e 1 e 1 e e 1 e x x x x x x x e z e z x x dz e z dz e x ln 1 e z e x ln e z 1 e z e 1 x 1 e x e x 1 x x x e ln 1 e e ln x e x ln 1 e x e x ln e x 1 e x x e e x e x 1 ln e x 1 e 2x x x
x
y p
e z e x
x
0
y p
0
0
y p y p
0
0
0
0
La solución general será: yG yh y p yG C1e 2 x C2e x e x e x 1 ln e x 1 e 2 x x
3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y 5 xy 5 y 3ln x 2 cos ln x 2 4 Resolución. Se trata de la ecuación de Euler, para lo cual hacemos el siguiente cambio de variable: x et d 2 y dy y e ; y e 2 dt dt dt t
dy
2 t
x 2 y 5 xy 5 y 3ln x 2 cos 2ln x 4 e e 2t
d2y dt
2
2 t
d 2 y dy t dy t 5 y 3ln et 2 cos 2ln et 4 2 5e e dt dt dt
dy dt
5
dy dt
5 y 3t 2 cos 2t 4
d2 y dt
2
4
dy
5 y 3t 2 cos 2 t 4 dt
Ahora es una ecuación de coeficientes constantes Hallando la solución homogénea: D 2 4 D 5 y 0 r 2 4r 5 0 r1,2 2 i yh C1e 2t cos t C2 e2 t sent
Para hallar la solución particular apliquemos el método operador anular t D2 cos 2t D 2 2 2 4 D adelio ariel chavez
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D
2
4 D 5 y 3t 2 cos 2t 4
D 2 D 2 4
D 2 D 2 4 D 2 4 D 5 y 0 r 2 r 2 4 r 2 4r 5 0 r1,2 2 i
r3,4 0 r5,6 2i 2 veces
La solución particular será: y p C3 C4 t C5 cos 2t C6 sen2t La solución general tendrá la forma de yG yh y p yG C1e 2 t cos t C2 e 2t sent C3 C4 t C5 cos 2 t C6 sen2 t
yh
yp
Pero la solución particular no tiene que tener constantes, y p C3 C4t C5 cos 2t C6 sen 2t 5 4 y p C4 2C5 sen 2t 2C6 cos 2t y 4C5 cos 2t 4C6 sen 2t 5 y p 5C3 5C4t 5C5 cos 2t 5C6 sen 2t 4 y p 4C4 8C5 sen 2t 8C6 cos 2t y 4C cos 2t 4C sen 2t 6 5 d2y
4
dy
5 y 5C3 4C4 5C 4t C5 8C 6 cos 2t C 6 8C5 sen 2t dt 2 dt 5C3 4C4 5C4t C5 8C6 cos 2t C6 8C 5 sen 2t 3t 2 cos 2t 4 C 3 8 25 5C3 4C 4 4 C 3 5C 3 4 4 5 C5 8C 6 2 C 5 2 65 C6 8C 5 0 C 6 16 65 yG C1e 2t cos t C2 e 2t sent 8
25
3 5 t 2 65 cos 2t 16 65 sen 2t
4.- Resolver la ecuación diferencial: y 0 2 , y 0 0
adelio ariel chavez
2 t , 1 t 2 f t 1 , 0 t 1 0 , t 0 ; t 2 .....ADELIUS.....
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Resolución ■ Previamente hallemos f t , que es una función seccional: f t 2 t t 1 t 2 1 t 0 t1 0 t1 t 2
f t t 2 t 2 t 1 t 1 t
Reemplazando f t en la ecuación diferencial: y 9 y f t y 9 y t 2 t 2 t 1 t 1 t
L
as Recordemos que: L f t a t a F se
s 2Y s s y 0
s
2
2
0
y0 9Y s
9 Y s 2s
Y s Y s
1 s
2 s
s 3 s 3 2 s
2
e
2 s
1 s
2
e
1 s s
2
e2 s
s
e s
1 s
s
s 3 s 3 1
s 3 s 3 s s 3 s 3 2
s
2
L t a e at
;
1
1 2
1
e
2 s
e
2 s
1 s
2
s 3 s 3
e s
e
s
1 s s 3 s 3
1 s s 3 s 3
1 1 1 1 0 G 19 H 118 J 118 A1 B C D 9 E 54 F 54 2 s e e s 2 Y s s 3 s 3 s s 3 s 3 s s 3 s 3 s
1 1 1 1 1 1 54 2 s 1 1 s 1 9 54 9 18 18 2 e e Y s L s 3 s 3 s 3 s 3 s s 3 s 3 s t e3t e3t t e3t e 3t 1 e3t e3t 3t 3t Y s e e t t t 2 9 54 54 t t t 1 9 18 18 t 9 54 54 Y s e e 3t
3t
t 2 e3t 2 e3t 2 t 1 e3 t1 e 3 t1 1 e3t e 3t t 2 t 1 t 9 54 54 9 54 54 9 18 18
5.- Resolver la ecuación integra-diferencial: yt 4 y t
t
t
0 t y d 0 y d t
; y 0 1
Resolución adelio ariel chavez
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yt 4 yt sY s y 0
t
t
0 t y d 0 y d t
L
1
4 F s L t L yt L 1 L y t
s 4 F s 1
1 s 2
F s
sF
f 0 s F s
1
s1 F
s
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1 s 2
1 s2
2 1 s 4 F s 1 s s s s s s s s 2 2 F s 2 2 2 2 s 4s 2 s 2 2 s 2 2
s 4 F s
1
2
1
2
s 2 2 2 F s L 1 2 2 2 2 s 2 2 2 s 2 2 2 2 t f t e 2t cosh 2t e senh 2t f t 2 e 2t senh 2 t e 2 t cosh 2 t 2
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II-2014 ECUACIONES DIFERENCIALES – MAT207 Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniera Segundo Examen parcial – sábado 01 de noviembre de 2014 Cada Pregunta 20 puntos 1.- Resolver la ecuación diferencial
1 2 x x y 2 1 x y 2 y 2 2
Con
y 0 3;
y0 2 Si
se conoce:
y1 1 x
2.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y 3 xy 5 y 5ln 2 x 6sen ln x 2 ln x
3.- Resolver la ecuación diferencial: y
V
5 y 4 y 6
;
0 ; y0IV 1 y 0 y0 y0 y 0
4.- Resolver la ecuación diferencial: y 5 y 6 y f t ; y 0 2 ; y0 3 ;
2 f t 3 t 2
;
t 1
;
1 t 5
;
t 5
5.- Resolver la ecuación diferencial: ty 2 y 2 y 2t 3
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;
y 0 y0 0
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PROBLEMA RESUELTOS 1.- Resolver la ecuación diferencial
1 2 x x y 2 1 x y 2 y 2 2
Con
y 0 3;
y0 2 Si
se conoce:
y1 1 x
Resolución. ■ Previamente realizaremos operaciones en la ecuación diferencial y
2 1 x
y
2 1 x x2
2
2 1 x x2
P x
y2 y1
y1
2
y2 1 x
e
2 1 x x2
P x dx
ln 1 2 x x2
1 x
2 1 x
1 2
2
Rx
y 2 :
;
dx
2
Q x
■ Usemos la fórmula de Abel, para calcular P x dx e
y
dx 1 x
x
2
dx ln 1 2x x 2
2 1 x
1 x
2
2
dx x 2 x 2
■ Por lo tanto la solución homogénea será: yh C1 y1 C2 y 2 yh C1 1 x C 2 x 2 x 2
- Ahora hallemos la solución particular, por variación de parámetros
x
y p
x0
x
y p
x0 x
y p
y1 z
y2 z
y1 x
y2 x
y1 z
y2 z
y '1 z
y '2 z
x
R z dz
1 z
z 2 z 2
1 x
x2 x 2
1 z
x0
1
z z 2 2
2 z 1 2 z 2 z z 2 z 2
1 2 z z
1 2 z z 2
2 1 2 z z 2
2 x 2 x 2 1 z 2 1 x z 2 z 2
x0
2
dz
2z 1
x 2 x 2 1 z 1 x z 2 z 2
2
2
dz
dz
La variable a integral es “ z ” lo demás son cttes y p x x 2 2
2 1 z
I1
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2
dz 2 1 x
2 z z 1 2
z 2 z 2 2
dz
2 z z 1 2
I 2
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( ) Calculamos I 1 : Para ello hagamos el siguiente cambio de variable: I1
2 1 z
1 2 z z 2
dz 2
du
u
2
1 u
1 1 2z z 2
u 1 2 z z 2 du 2(1 z )dz
( ) Calculamos I 2 : Para esta integral usemos el método de Ostrogradski
I 2
z 2 z 2
1 2 z z 2
z 2 z 2
dz
1 2 z z 2
2
dz
Az B 1 2 z z
2
Cz D 1 2 z z 2
2 z z 2 dz Az B Cz D dz 1 2 z z 2 2 1 2 z z 2 1 2 z z 2
Ahora debemos derivar: De donde:
2
z2 z 2
A 1 2 z z 2 Az B 2 2 z
dz
Cz D
1 2 z z 1 2 z z A 1 2 z z A 2 z 2 z B 2 2 z Cz 1 2 z z D 1 2 z z z z 2 1 2 z z 1 2 z z
1 2 z z 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z 2 z 2 C z 3 A 2 A 2C D z 2 2 A 2 A 2 B C 2 D z A 2 B D
0
1
C 0 1 A 2C D 1 2 Se obtiene que: ; 2 B C 2 D 1 3 A 2 B D 2 4
1
2
A 1 B 1/ 2 Resolviendo: C 0 D 0
Reemplazando los valores de A, B, C y D en la integral “ I 2 ” I 2
1
z 2 z 2
1 2 z z 2
dz 2
A z B
1 2
0
C z D
0
2 z 1 2 2 1 2 z z 2 1 2 z z 2 1 2 z z 0
■ Reemplazando y en : y p x 2 x 2 I1 y p x 2 x 2
x
2 1 x I 2 1
1 2 z z
2
x
z x
2 1 x
2 z 1 2 1 2z z 2
z x
x 2 x 2 1 x 2 x 1 1 2 x x2 1 y p 1 y p 1 2 x x 2 1 2 x x2 1 2 x x 2 adelio ariel chavez
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■ La solución general de la ecuación diferencial será: yG yh y p yG C1 1 x C2 x2 x 2 1
■ Ya que el problema nos da las condiciones iniciales, calculemos
y
:
y x C1 1 x C2 x2 x 2 1 y 0 3 3 C1 2C2 1 C 0 1 y ' 2 2 C1 C2 C 2 2 y ' x C1 C2 2 x 1 0
■ Finalmente la solución de la ecuación diferencial planteado será:
1 5 ¡Parábola! Con vértice ,
y 2x 2 2x 3
2 2
2.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y 3 xy 5 y 5ln 2 x 6sen ln x 2 ln x
Resolución ■ Se trata de una ecuación diferencial de Euler; C.V. x et ln x t C .V. y y x y yt y e t y y e 2 t y y
■ Sustituyendo el cambio de variable en la ecuación diferencial: x 2 y 3 xy 5 y 5ln 2 x 6sen ln x 2 ln x e 2t e2t y y 3 et e t y 5 y 5t 2 6sent 2 t y 2 y 5 y 5t 2 6sent 2t
E.D. coef. Constantes
■ Hallemos la solución homogénea “ y h ”, para ello igualamos a cero la E.D. 2
y 2 y 5 y 0 D2 2 D 5 y 0 r 2 2 r 5 0 r 1 4
De donde: r1,2 1 2i yh C1et cos 2t C2e t sen2t ■ Hallemos la solución particular “ y P ”, usemos el M. Operador Anulador At n Bt n1 z D n 1
y 2 y 5 y 5 t 2t 6sen t 2
AsenBt D 2 B 2
D21
D D
D2 12
2
2 D 5 y 5t 2 2t 6sen t
2
2 D 5 D3 D 2 1 y 0 r 2 2 r 5 r 3 r 2 1 0
r 2 2r 5 0 r1,2 1 2i 3 De donde: r 0 r 3,4,5 0 r 2 1 0 r6,7 i adelio ariel chavez
L D D3 D 2 1
la solución será
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y C1e t cos 2 t C2 e t sen2 t C3 C4 t C5 t 2 C6 cos t C7sen t
yh
yp
► La solución particular “ y p ” debe satisfacer a la ecuación diferencial. y p C3 C4t C5t 2 C 6 cos t C7sent y p C4 2C5t C6sent C7 cos t y p 2C5 C6 cos t C 7sent
5 2
“ y p ” ¡No debe tener constantes, es por ello que se lo reemplaza n la E.D.! Las constantes:
C 3 , C 4 , C5 , C 6
y
C 7 se
encuentra por comparación
5 y p 5C3 5C4t 5C5t 2 5C6 cos t 5C7sen t 2 y p 2C4 4C5t 2C6sen t 2C7 cos t C6 cos t C7sen t y p 2C5 y p 2 yp 5 y p 5C5 t 2 5C4 4C5 t 5C3 2 C4 2 C5 4 C6 2 C7 cos t 4 C7 2 C6 sen t y 2 y 5 y 5t 2 2t 0 0 cos t 6sin t
;
¡Comparando!
C 3 6 25 5C 5 5 C 2 5C 4C 2 5 5 4 4 ; reemplazando en 5C3 2C4 2C 5 0 Resolviendo: C 5 1 4C 2C 0 3 7 6 C 6 5 4C7 2C 6 6 C 7 6 5 y C1e t cos 2t C2 e t sen2 t
6 25
2
3
6
5
5
5
t t 2 cos t sen t
■ Pero según el cambio x et t ln x , sustituyendo en la solución
y C1 x 1 cos 2 ln x C2 x 1sen2 ln x
6 25
2
3
6
5
5
5
ln x ln 2 x cos ln x sen ln x
3.- Resolver la ecuación diferencial: y
V
5 y 4 y 6
;
0 ; y0 1 y 0 y0 y0 y 0 IV
Resolución. adelio ariel chavez
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■ Ya que nos da como dato las condiciones iniciales aplicamos T. Laplace. y
V
5 y 4 y 6
L
1 0 0 0 0 0 0 0 5 IV 4 3 2 3 2 s Y s s y0 s y0 s y 0 s y 0 y 0 5 s Y s s y0 s y0 y0
4 sY s y0
0
6
L k
s
k
; k ctte
s
■ Simplificando y factorizando
s
5
6
6 s
s
s
5s 3 4s Y s 1 s s 4 5s 2 4 Y s
1 ; si w s 2 Y s 2 2 s 6 2 2 2 2 s s 4 s 1 s s 4 s 1 s 6
A 14 B 112 C 13 1 Y s s 6 s 6 w w 4 w 1 w w 4 w 1 1 1 13 1 s 6 1 s 6 1 s 6 4 12 2 2 Y s s 6 12 s 4 3 s 2 1 w w 4 w 1 4 s 1 1 3 1 1 s 1 2 2 1 s 1 2 2 2 2 2 2 2 Y s 2 2 2 4 s 2 s 12 s 2 4 s 2 3 s 1 s 1
yt
1 4
3
1
2
12
t
cos 2t
L1
1
1 sen2t cos t 2sen t 4 3
4.- Resolver la ecuación diferencial: y 5 y 6 y f t ; y 0 2 ; y0 3 ;
Resolución. ■ Previamente hallemos
()
2 f t 3 t 2
;
1 t 5
;
t 5
, que es una función seccional:
f t 2 t 1 3 t t 1 t 5 2 t 5
f t 4 t 1 t 1 t 1 t 5 t 5
■ Reemplazando
f t en
la ecuación diferencial: y 5 y 6 y
as ; L t a e at ■ Recordemos que: L ft a t a F se
f t
y 5 y 6 y 4 t 1 t 1 t 1 t 5 t 5
adelio ariel chavez
t 1
;
L
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■ Aplicando las propiedades mencionadas anteriormente. s 2Y s y 2 y 3 5 sY y 2 6Y 4 e s 1 e s 1 e5 s 0 0 0 s s s s s2 s2 4 s 1 1 s 2 5s 6Y s 2s 3 10 s 2 e s s 2 e5 s 1 4 s 1 s 3 s 2 Y s 2 s 7 2 e s 2 e5 s s s 2 s 7 4s 1 1 2 Y s e s 2 e5 s s s 3 s 2 s 3 s 2 s s 3 s 2
■ Descomponiendo en fracciones parciales, cada cociente de la igualdad. 7 19 11 1 A 1 B 3 C 36 D 6 F 9 G 4 2 Y s s 3 s 2 s s s 3 s 2
Observación: Las constantes C
19 36
y H
5 36
H 5 36 I 16 J 19 K 14 e s 2 s s 3 s 2 s
e 5 s
se calculan comparando
11 1 19 1 7 4 s 5 36 16 14 5 s 3 1 36 6 9 9 e e 2 2 Y s s s 3 s 2 s s s 3 s 2 s s 3 s 2
1
L
■ Aplicando la transformada inversa, recuerde: L F s e as f t a t a 19 1 11 3t 7 2 t t e e t 36 6 9 4
yt e3t 3e2t
5 1 1 3t 1 2t 36 6 t 9 e 4 e t t t 1
t t 5
11 7 1 1 19 1 5 1 t 1 e3t 1 e2t 1 t 1 t 5 e3 t 5 e2 t 5 t 5 9 4 9 4 36 6 36 6
yt 3e2t e3t
5.- Resolver la ecuación diferencial: ty 2 y 2 y 2t 3
;
y 0 y0 0
Resolución. ■ Aplicando transformada D’ Laplace, usemos:
L t n f t 1
t1 y 2 y 2 y 2t 3
L
n
d n ds n
F s
■ Luego:
adelio ariel chavez
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L
L t n
n! s n
1
3! d 1 2 2 2 2 s Y sy y sY y Y s 0 0 s s 0 ds1 s4 12 12 d s 2Y s 2 sY s 2Y s 4 2 sY s s 2Ys 2 2 s Y s 4 ds s s 1
1
■ Ordenando: 12 4 2 2 Y s 6 ; s s s
Y s
Se obtiene una E.D. Lineal
Q s
P s
1
P ds e P ds Q ds C 1 Y s e s s
s
P ds ■Previamente calculemos e s
4 2 ds 2
P ds e e s s s
e
4ln s
2 s
2
s e 4
s
■ Reemplazando en (1) tendremos: 2
2
1
2
Y s s 4 e s s 4 e s
12 s 6
ue
s
ds C
;
si du
2 s 2
2 s
e ds
2 1 s2 1 2s 2 s Y s 4 e 6 2 e ds C 4 e 6 du C s s s 1 s2 2s 6 C 2s Y s 4 e 6e C 4 4 e ; C 0 s s s
■ Como ya usamos las condiciones y 0 y ' 0 0 , no existe ninguna cte. Y s
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6 s
4
Y s
3! s
3 1
L 1 yt t 3
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I-2014 Examen De Ecuaciones Diferenciales MAT-207 SEMESTRE 1/2014 – SEGUNDO PARCIAL SABADO 10 DE MAYO DE 2014 1.- Resolver: 2 y 3 y y 2sen 2 x 1 4 cos 2 x 3 e 2 x
2.- Resolver: 2 5 5 2 2 ; y 3 y 2 y sen2 t t t 2 4 4 2
y 0 y0 0
3.- Si dos soluciones de la ecuación diferencial de coeficientes variables P x y Q x y R x y H x y 0
Son: y1 x x2 ; y2 x x5 . Determine la tercera solución si se conoce que: w x , y , x 2
5
64 x
3
4.- Resolver la ecuación diferencial: Resolver la ecuación diferencial: y 6 y f t , con las condiciones y 0 1, y0 0
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PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Resolver: 2 y 3 y y 2sen 2 x 1 4 cos 2x 3 e 2x
Resolución. ■ Hallemos la solución homogénea: “
” para ellos igualamos a cero la E. Dif.
2 y 3 y y 0 2 D 2 3 D 1 y 0 2 r 2 3 r 1 0
2r 1 r 1 0 r1 1 r2 yh C1e
x
1 2
1
C2 e
x 2
■ Hallemos la solución particular “ y p ”, usando el Método Operador Anulador 2 y 3 y y 2sen 2 x 1 4 cos 2 x 3 e2 x
¡Desarrollando!
2 y 3 y y 2 sen2 x cos1 sen1cos 2 x 4 cos 2 xcos 3 sen2 xsen3 e2 x 2 y 3 y y 4 cos 3 2sen1 cos 2 x 2 cos1 4sen3 sen2 x e2 x
■ Reduciendo las constantes numéricas: A 4 cos 3 2sen1 ; B 2 cos1 4sen3
2 D
2
3D 1 y A cos 2 x Bsen2 x e 2 x
D
2
2 2 D 2
2 D 1 D 1 D 2 4 D 2 y 0 2r 1 r 1 r 2 r 2 4 0 De aquí tenemos:
r 1 1 r 3 2 1 ; r4,5 2i r 2 2 C2 e 2 C3 e2 x C4 cos 2 x C5sen2 x
y C1e
1
x
x
+3 +=cos2+sen2+ 2 yh
yp
■ “ ” debe satisface a la ecuación: ■ Calculando sus derivadas de
y p C3e2 x C4 cos 2 x C5sen2 x 2 x y p 2C3 e 2C4sen2 x 2C5 cos 2 x 2 x y p 4C3e 4C4 cos 2 x 4 C5sen2 x y p C3e2 x C4 cos 2 x C5sen2 x 2 x 3 y p 6C3e 6C4sen2 x 6C5 cos 2 x 2 x 2 y p 8C3e 8C4 cos 2 x 8 C5sen2 x adelio ariel chavez
3 2
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2 y 3 y y 3C3 e 2 x 6C5 7C 4 cos 2 x 6C 4 7C 5 sen2 x e 2 x A cos 2x B sen2x
1
A
B
C 3 1 3 3C 3 1 7 A 6 B Comparando: 6C5 7C4 A Resolviendo: C 4 en 85 6C 7C B 4 5 C 6 A 7 B 85 5
■ Finalmente reemplacemos los valores obtenidos en : y C1e
x
1
C 2e
x 2
1
7 A 6B
3
85
e 2 x
cos 2 x
6 A 7B 85
sen2 x
Dónde: A 4cos3 2sen1 y B 2cos1 4sen3 2.- Resolver:
−3 +2=sen2− 2 − 52 + 54 − 4
Resolución. ■ Previamente llamemos:
; () =() =0
5 5 () = − 2 + 4 − 4 5 5 1 ; − + − ≥0 …❶ 2 4 4 1 ; ≥0 () =0 ; <0 → () = = 0 ; − 52 + 54− 4 <0 …❷ ❶ − 52 + 54− 4 ≥0⟹ − 52 + 54 ≥ 4 ⫽ ( ) ; || = 5 5 − 2 + 4 − 4 ≥0⟹ − 52 + 54 − 4 − 52 + 54 + 4≥0 − 52 + − 52 + 32≥0 ⫽∙4⟹ (2 −5+2)(2 −5+3) ≥0 ) ≥0⟹ (2 −)( −2) ≥0 (2 −)( −2)(2 −5+3
■ Resolviendo la inecuación
Factorizando al máximo:
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❶ ⁄ ∨ ≥2 …❶ () = =1 ; 00<≤2 ⁄ ; 2 <<2 …❷ () =1∙ ( ) −=−+(0) + −(…()+1∙ () () () () ) −3 +2=sen2− () −3 +2=sen2− () − +() 2 2() −sen2− 2 +sen2( −2) () −3 +2=sen2− =−sen2=−sen2 (−2) sen2− −3 +2=−sen2() −sen2− 22+sen2( −22 ) () 2⫽{ } () −() −()−3() −()+2() =− 2 +2 −2 +2 −2 +2 [ −3+2]() = ( −2)( −1)() =− +4 − +4 − +4 () −2 () = ( −2)(−1)( +4) + ( −2)( −1−2 )( +4) + (−2)( −2−1)( +4)
■ De donde: Para
se extrae los intervalos de grafico
■ Reemplazando ( ) en la ecuación diferencial:
Tomar en cuenta:
■ Despejando
reemplazando
:
()
()
■ Descomponiendo P s : 1
()
2
2 A 4 B 5 Cs D P s 2 s 2 s 1 s 2 4 s 2 s 1 s 4 P s
1
2
4
5 s 2 s 1 s 2 4
s 1 s 2 4 s 2 s 2 4 Cs D s 2 3s 2
8 1 2 1 4 16 2 C s 3 3C D s 2 1 2C 3 D s 1 2 D 4 5 4 5 5 5 0
adelio ariel chavez
0
0
2
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De aquí hallamos los valores de C y D: C 3 20 , D 110 ■ Reemplazando en P s :
P s
1
2
4 5 s 2 s 1
■ Reemplazando
() () en
Y s
3
s
1
20 10 1 1 2 1 3 s 1 2 2 s 4 4 s 2 5 s 1 20 s 2 2 2 20 s 2 2 2
:
1 1 2 1 3 s 1 2 .... 4 s 2 5 s 1 20 s 2 2 2 20 s 2 2 2
1 1 2 1 3 s 1 2 2 s ... 5 s 1 20 s 2 2 2 20 s 2 2 2 e .... 4 s 2 1 1 2 1 3 s 1 2 2 s 2 2 2 2 e ... L 1 4 s 2 5 s 1 20 s 2 20 s 2 2 3 1 1 yt e 2t e t cos 2t sen2t t ..... 5 20 20 4
1 2 t 2 2 t 3 1 .... e e 2 cos 2 t sen2 t .... 4 5 20 2 20 2 t 2 3 1 1 2 t 2 2 .... e et 2 cos 2 t 2 sen2 t 2 t 2 5 20 20 4
3.- Si dos soluciones de la ecuación diferencial de coeficientes variables Son:
+() +() +()=0 ( ) ()= ; ()=. (,,) =64
Determine la tercera solución si se conoce que:
Resolución. ■ Realizando operaciones en la condición dada:
(,,) =64 ⟹[ (,,)] =64 (,,)=16 ⟹22 ′′′ 205=16 2 5− 2 20 +22 205=16 3 −18 +30=16 ⟹3 −18 +30=16 … ()
■ Calculando la determinante, para ello tomamos la segunda columna.
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= =; ()= () =( −′) −) −18 ∙ +30=16 3 ∙3(−21 +30=16 … () −7+10){}=0 (3 −21+30) { }=16 ⫽⟹3( 3(= −2)(−5 +) =0 +; ⏟=2…(,) =5 , =0 = () =0=0 () 3 −21 +30=16⟹30 =16⟹ = 1630 = (), =8 =() +() + 15 = + + 158 = 158 −6=(), () =1,() =0
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■ Se trata de una ecuación diferencial de Euler:
■ La solución estará dada por:
■ “ ” Debe satisfacer a la ecuación diferencial
■ Reemplazando
en
en
análogamente
4.- Resolver la ecuación diferencial:
con las condiciones
Resolución. ■ La función seccional f t ; extraída del grafico será igual a: t 2sen 3 6 1 ; 0 t f t 1 t 2 ; t 2 adelio ariel chavez
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■ Calculemos f t ; con los intervalos dados: t 1 f t 2sen 1 t 0 t t 2 t t 2 3 6
1 t t 1 f t 2sen 1 t 2sen t t t 2 t 2 3 6 3 6
■ Por identidades: 2sen 3sen cos 3sen t cos t 3 3 3 3 3 6 t
t
t
1
1
t t 1 1 1 1 f t 3sen cos 1 t 3sen t cos t t t t 2 t 2 3 3 3 3
■ Apliquemos Transformada D’ Laplace a la función f t 1 1 1 1 s 1 s s 3 3 3 2 e F s 3 e 2 s 2 1 1 s 1 1 s s s 2 s2 s2 s2 9 9 9 9
■ Ahora apliquemos transformadas D’ Laplace a la ecuación diferencial y 6 y f t
1
L sY s y0 6Y s F s Y s
1 s 6
1 s 6
F s
■ Reemplazando en : 3 3 1 1 s s 1 1 3 1 3 s 2 s 2 e 2e Y s 1 1 s 6 s 6 2 s 2 s s s s 9 9 3 3 1 1 s s 1 1 s 3 3 e 2 s Y s e 2 2 s s 6 1 s s 6 s 6 2 1 s s 6 s 6 s 2 s 6 s 9 9 R Q Q P P s
s
s
s
s
■ Descomponiendo en fracciones parciales P s , P ' s , Qs y R s
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* R s * Q s
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s s 6
A
1
6
S
1
11 1 1 1 S 6 6 s 6 s 6 B
6
1 1 A 136 36 1 1 1 B 2 s 6 2 2 2 s 6 2 2 2 s s 6 s s s 6 s 6
Q s
1 36
1
s 6
2 s
1 1 6 1 2 s 6 s 6 36 s s s 6 1
2
9 9 325 323 3 1 3 A B 3 s s 6 s s 6 2 * P s 1 1 3 s 36 2 1 3 2 2 2 2 s s 6 s s 6 s 9 9 9 1 3 3 18 3078 1 54 3 15 3 3 3 s P s S 6 323 1 1 5525 325 323 2 2 s s 9 9 1 3 3 18 1 15 54 3 3 3 3 s 3078 * P s S 6 1 323 2 1 5525 325 323 2 s s 9 9 3
s
■ Reemplazando las equivalencias obtenidas en : 3 3 54 1 1 1 325 36 1 3078 18 3 1 1 36 3078 .... Y s 62 s 6 5525 1950 s 6 s s s 6 5525 1 1 1 1 15 54 3 3 3 3 s s 36 62 36 e2 s ... e L1 1 1 323 s s 6 s s 2 323 s 2 9 9
■ Aplicando la transformada inversa D’ Laplace; antes recordar: L1 k k t
s 1 at a 1 ; L1 cos at ; L1 2 2 senat e ; L 2 2 s a s a s a
■ Aplicando las propiedades mencionadas anteriormente; L1 F s e at f t a t a
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3078 5525
...
1
36
....
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3 3 323
cos
t
1 3
1 6
18 3 1 1950
e6t t
1 6
3 3 54
t
325
t
54 3 15
1
323
e 36
6 t
sen
t 3
3078 5 525
t
3 3 .. 323
t
15 54 3 323
sen
1 3
t
1 1 6 t 2 1 e t 2 t 2 36 6 36
t t
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II-2013 EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAT-207 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES - FACULTAD DE INGENIERIA SEGUNDO PARCIAL - VIERNES 01 DE NOVIEMBRE DE 2013 1.- a) Si existe, identifique el operador de coeficientes con stantes que anula a:
() = ( +3) = + −4l n +3 − −3=4 −1 +2=sec(ln ) +2 +5=6() +3() ; () =2 ; () =1 −6 () =4+ ; () =0
b) Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: 2.- Resolver la ecuación diferencial: 3.- Resolver la ecuación diferencial: 4.- Resolver la ecuación diferencial:
5.- Resolver la ecuación integro – diferencial:
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PROBLEMAS RESUELTOS 1.- a) Si existe, identifique el operador de coeficientes con stantes que anula a: f x e3 x 3 x 3
2
b) Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: y Ax 2 Bx 2 4 ln x
Resolución. ■ a) Desarrollamos f x : f x e 6 x 6 x 3e 3x 9 x 6 - Recuerda:
- Para
e at D a
x x
()
:
e6 x D 6
n
x n 1 ... eat D a
n
x n 1 ... D n1
* El operador anulador que anula a
()
n 1
6 x3e3 x D 3
4
9 x 6 D 7
será el producto de los mismos
f x e 6 x 6 x 3e 3x 9 x 6
D 6 D 3 D7 f x 0
L D D 6 D 3 D7
L D D 6 D 3 D7
■ b) Hallemos la ecuación diferencial “Multiplicando y derivando”. A, B cte. y Ax 2 Bx 2 4 ln x
x 2
2 xy x 2 y 4 Ax3 8 x ln x 4 x
x 2 y Ax 4 4x 2 ln x B x
3
2x 2 y x 1 y 4 A 8x 2 ln x 4 x 2
4 x 3 y 2 x 2 y x2 y x1 y 16 x 3 ln x 8 x 3 8 x 3
x 3
Simplificando y ordenando: 4 y 2 xy xy x 2 y 16 ln x x2 y xy 4 y 16 ln x
2.- Resolver la ecuación diferencial:
+3 − −3=4 −1 … ()
Resolución. Se trata de una ecuación diferencial lineal de coeficientes ctte. ■ Hallemos la solución homogénea, igualamos el lado izquierdo a cero.
: +3 − −3=0⟹( +3 −−3){}=0 =−3 +3 −−3=0⟹ ( +1)( −1)( +3) =0⟹=−1=1 = + + …❶
Ecuación característica:
adelio ariel chavez
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■ Hallemos la solución particular, usemos el operador anulador.
−1⟹ ( +3 −−3){} =4 −1 ⫽ : +3 −( −3=4 +3 −−3) =0⟹( +1)( −1)( +3) =0 =−3 ; =−1 ; =1 ; ,, =0 = + + +++ …❷ = ++ ⟹ =+2⟹ =2⟹ =0 ( ) +3 − −3=4 −1⟹0+3(2) − (+2) −3(−3=4 ++) =4 −1 −3 + (−3−2) +6−3−=4 −1⟹6−3−=−1 −3−2=0 =− ; = ; =−71 8 4 = ++ ⟹ = − 27 + 9 − 3 …❸ ❸❷ ∴ = + + − 7127 + 89 − 43 +3 − −3=4 −1 ( −=4 +3) −( −1 +3)=4 −1 = +3, Ecuación característica:
■ Hallemos los valores de A, B y c ya que “ ”, no incluye constantes. ■ Si
es una solución de la ecuación diferencial, debe satisfacer a la misma.
■ Reemplazando
y sus derivadas en la ecuación diferencial
Resolviendo el sistema:
■ Finalmente reemplacemos
reemplazando “ ”
en
, así obtendremos la solución general
Nota.- La ecuación
; se la puede reducir de orden haciendo:
el siguiente cambio de variable
parámetros.
entonces:
. El método para resolver esta ecuación puede ser la misma o por variación de
3.- Resolver la ecuación diferencial: x 2 y xy 2 y x sec ln x
Resolución. dy t dy y e dx dt t Se trata de una ecuación diferencial de Euler, C.V. x e : 2 2 d y d y dy 2 t y e 2 dx 2 dt dt
Reemplazando en: x 2 y xy 2 y x sec ln x adelio ariel chavez
;
x et t ln x
.....ADELIUS.....
e
2t
e
2t
d 2 y dy t t dy 2 y et sec t ; 2 e e dt dt dt
t ■ Simplificando y ordenando: y 2 y 2 y e sec t
y
y f t ;
;
d2y dt 2
y
dy dt
Ec. Dif. Coef. C.
R t
■ Hallemos la solución homogénea: yh : y 2 y 2 y 0 D 2 D 2 y 0 r 2r 2 0 2
2
t t Resolviendo: r1 1 t r2 1 i , entonces: yh a1 e cos t a2 e sen t 1
y2
y1
■ Hallemos la solución particular, usando el método de variación de parámetros. t
y p
y1 z
y2 z
y1t
y2t
y
y2 z
y1 z
y2 z
1 z
t0
R z dz
et cos t
et sent
z
z
e cos z
t 0
e sen z
2 z
t0
t
t
y p e sent dz e cos t t
t0
t
t
dz e 2 z sen z cos z sen 2 z
sen z
cos z dz e sen t z t
z t
t
sent cos z cos t sen z
t 0
cos z
et cos t ln cos z
dz
z t
t 0
y p tet sent et cos t ln cos t
(1)
e z sec zdz
cos z senz e z senz cos z e z
e cos zsenz cos
■ Reemplazando
e z senz
e z et sent cos z cos tsen z e z sec z
t
y p
t
e z cos z
2
y (2) en yG yh y p yG a1e t cos t a2 et sent te t sent e t cos t ln cos t
■ Sustituyendo el C.V. x et t lnx : yG a1 x cos ln x a2 xsen ln x x ln xsen ln x x cos ln x ln cos ln x
4.- Resolver la ecuación diferencial: y 2 y 5 y 6 t 2 3tu t 3
;
y 0 2 ; y0 1 ^
Resolución. ■ Previamente agrupamos y ordenamos, para luego aplicar L : y 2 y 5 y 6 t 2 3 t 3 3 u t 3 6 t 2 3 t 3 u t 3 9u t 3
■ Apliquemos transformadas de Laplace; si y 0 2 ; y0 1 adelio ariel chavez
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1
L
s 2Y s 2 s 1 2 sY s 4 5Y s 6e 2 s
s
2
2s 5 Y s 5 2 s 6e 2 s
Y s
3 2 s 1 2
s 1 22
9
2
s 2Y s s y 0 y0 2 sY s 2 y 0 5Y s 6e 2 s
6
3 s
e
2
s 1 22
2
2 s
3 s
2
s
e
3 s
3 s
2
e
3 s
3 s 1 e 3 s
3 s 1 e 3 s
s 2 2s 5
3s 1 e 3 s 3 2 2 s s 2s 5
1
P s
■ Descomponiendo en fracciones parciales P s P s
1
3 s 1 s 2 s 2 2s 5
A s
B
5
s 2
Cs D s 2 2s 5
As s 2 2 s 5 s2
1
s 2s 5 Cs 5 s 2s 5 2
3
Ds 2
2
1 2 3 s 1 A C s3 2 A D s 2 5 A s 1 ; por comparación 5 5 1 0
0
Resolviendo: A ■ Reemplazando
13 25
(2)
;C
3
13
;D
25
31 25
;
P s
13 1
1 1
25 s
2
5 s
1
13 s 31
25 s 2 2 s 5
2
y (1); además ordenando de forma adecuada para L1 3
s 1 2 s 2 Y s 2 3 e ..... 2 2 2 2 2 2 s 1 22 s 1 2 s 1 2 3 s 3 13 5 2 s 1 13 ..... 9 e 2 2 2 2 25 s s 2 s 1 2 s 1 2 2
■ Aplicando la anti transformada: y t
3 2
e t sen 2t 2e t cos 2t 3 e t sen 2 t t
t t 2
3
13 5t 9e t sen 2t 13e t cos 2t t 25
t t 3
3 t 2 yt sen 2t 2 cos 2t e t t 3e sen 2 t 2 t 2 .... 2 ....
3
13 5 t 3 9e t 3sen 2 t 3 13e t 3 cos 2 t 3 t 3 25
5.- Resolver la ecuación integro – diferencial: d iferencial: adelio ariel chavez
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y 6 e t y d 4 e3t
y 0 0
;
0
Resolución. ■ Previamente agrupamos de forma correcta para luego aplicar L1 : t
y 6 e
t
y d 4 e3t
L
4
0 0
sY s y 0 6 L e t L yt sY s
6 s 1
Y s
5 s 12 s s 3
1
s s 3 s 3 s 2 s 1
s 1 5s 12 Y s s s 3 s 2 s 3
A
2
s
3
Y s
B
2
3
s 3
5s 12 s s 3 C
3
5
s 2
D
3
5
s 3
L 1
■ Apliquemos L1 : y t
adelio ariel chavez
2 3
2
3
3
3
5
5
e3t e 2t e 3t
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I-2013 EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES D IFERENCIALES MAT-207 UNIVERSIDAD MAYOR MAYOR DE SAN ANDRES ANDRES - FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA SEGUNDO PARCIAL SABADO 11 DE MAYO DE 2013 PRIMERA PARTE – CADA PREGUNTA 10 PUNTOS 1.- Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula:
() = ( −cos3) 3 ++1) () = ( −4+4 +5 +8= tan(n(ln ) − 5 +4=4 (()) == (()) == 20 = 2 −sen− () ; () = 1 − 4 +5=8() +4() ; (()) == 20
2.- Calcule la transformada inversa de Laplace para: pa ra:
SEGUNDA PARTE – CADA PROBLEMA 20 PUNTOS 3.- Resolver la ecuación diferencial:
4.- Resolver la ecuación diferencial:
5.- Resolver la ecuación integro- diferencial:
6.- Resolver la ecuación diferencial:
adelio ariel chavez
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PROBLEMA RESUELTOS 1.- Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula:
() = ( −cos3) () () = −2 cos3+ cos6+ ( ) → 1 → ⟶− 2 ⟶−4 + cos⟶ (−2) +3 cos⟶( −) + −21cos3⟶ cos6⟶ +6 2 () 1 1 () = −2 cos3+ 2 cos6+ 2 ⫽( −4)( +6)[(−2)+3] ( −4)( +36)( −4+13)()=0⟹ () =( −4)( +36)( −4+13)
Resolución.
■ Desarrollemos
:
- Recuerda:
■ El operador que anula a
- Para
:
será el producto de cada operador, que anula a los mismos
2.- Calcule la transformada inversa de Laplace para:
3 ++1) () = ( −4+4 3 () = ( ++1 −2) =−2⟶=+2 ( ) 3 +2 ++2+1 3 3 13 15 3 13 15 = = +13+15 = + + = + + = (−2) (−2) ( −2) ()! ( ) () = ( −23 ) + (−213 ) + ( −215 ) ⫽{ } ⟹() = 3!3 + 134! + 155! ∴ () =12 + 1324 + 18
Resolución. ■ Previamente efectuamos operaciones en la función:
■ Remplacemos el C.V.
■ Apliquemos la transformada inversa, además
3.- Resolver la ecuación diferencial: adelio ariel chavez
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tan ln
2
x 2
Resolución. 2 d2y dy 2 t d y y 2 e 2 dx dt dt ■ Se trata de una ecuación diferencial de Euler, x et : y dy e t dy dx dt
e t ln x
■ Reemplazando en: x 2 y 5 xy 8 y e
2t
e
2t
d2y
y
t
dt 2
y '
dy dt
tan ln x 2 2
d 2 y dy t dy t 8 y e 2t tan 2t 2 5e e dt dt dt
2 t ■ Simplificando y ordenando: y 4 y 8 y e tan 2t , y f t E.D.C.C.
Rt
■ Hallando la solución homogénea “ ”: y 4 y 8 y 0 D 2 4 D 8 y 0 2
Ecuación característica: r 2 4r 8 0 r 2 4 r1,2 2 2i yh a1e 2t cos 2t a2 e2 t sen2 t 1
■ Hallando la solución particular “ ” por variación de parámetros.
t
y p
y1 z
y2 z
y1t
y2 t
y
y2 z
y1 z
y2 z
t 0
1 z
R z dz
y1 e2t cos2t donde: 2t y2 e sen2t
;
■ Sustituyendo: e 2 z cos 2 z t
y p
t 0
e e
2 z
2 t
cos 2t
cos 2 z
2 cos 2 z sen2 z e2 z t
y p
t 0
adelio ariel chavez
e
2 z 2 t
e
e2 z sen2 z
e 2t sen2t e
2 z
sen2 z
e
2 z
tan2 zdz
2 sen2 z cos 2 z e2 z
sen2t cos 2 z cos2 tsen2 z
2 z e tan 2 zdz 2e4 z sen2 z cos 2 z cos 2 2 z sen2 z cos 2 z sen 22 z
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sen2 2 z y p sen2tsen2 z cos 2 t dz 2 t cos 2 z e
0
t t 1 cos 2 2 z y p dz sen2t sen2 zdz cos 2 t 2 cos 2 z t t e 2t 1 1 y p sen2t cos2 t cos2 t ln sec2t tan 2 t 2 2 2 1 y p e2t cos 2t ln tan t 2 4 4
e
2t
0
0
■ La solución de la ecuación diferencial será:
4
tan t
= +;
1 2
sen2t cos2t
reemplazando
yG a1e 2t cos 2t a2 e2 tsen2 t
1
4
e2t cos 2 t ln tan t
(1)
y (2)
4
et t ln x entonces.
■ Reemplazando la variable original
1
4
yG x 2 a1 cos 2 ln x a2sen2 ln x
cos 2 ln x ln tan ln x
4
4.- Resolver la ecuación diferencial: y IV 5 y 4 y 4
0 y 2 y2 2 , y2 y 2
;
Resolución. ■ Llevemos al origen las condiciones iniciales C.V.
=−2
y 2
y 0
x 2 t 0
■ Ahora las nuevas condiciones iniciales serán: y 0 y0 2 ; y0 y0 0 y IV 5 y 4 y 4
L
5 s 2Y s sy 0 y0 4Y s s 4Y s s 3 y 0 s 2 y0 s y0 y 0 2
2
0
0
s
4
4 s
4
5s 2 4 Y s s 2 4 s 2 1 Y s 10 10 s 2 s 2 2 s 3 s
Y s Y s
4 10 s 10 s 2 2 s 3 2 s 4 s s 2 s 2 s 1 s 1
A
1
s
2 1 1 1 1 2 s 1 3 s 2 s 3 s 1 1
yt 1
1 e t 2et e2 t 3 3
B
0
s 2
L1
C
2 3
s 1
D
2
s 1
E
13
s 2
2
■ Sustituyendo la variable original adelio ariel chavez
=−2,
tendremos la solución. .....ADELIUS.....
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1
3
3
y 1 e x 2 2e x 2 e 2 x 2
5.- Resolver la ecuación integro- diferencial: t
y 2t sent y d 2
y 0 1
;
0
Resolución. ■ Apliquemos la transformada de Laplace a la ecuación: t
y 2t sent y d 2
L
1
sY s y0
0
4 s 3
1 s2 1
1
Y s s
4 1 4 s 1 s Y Y s s s 3 s 2 1 2 s s 2 s 2 1 s 2 1 Y s
■ En
( )
4
A s
2
B
4
s 1 2
1
s
2
s
L 1
1 s 1
yt 4t 4sent sen t cos t
2
t
hallemos la convolución: g t f t g f t d 0 t
sent cos t sent cos t d 0
sent cos t
■ Reemplazando
1
1
t
sen t sen t d 20
t
1
sen t sen 2 t d tsen t 2 2
( ) ( )
0
en
yt 4t 4sent sen t cos t
1
y t 4 t 4sen t tsen t 2
6.- Resolver la ecuación diferencial: y 4 y 5 y 8 t 4 4tu t 2
;
y 0 2 , y0 0
Resolución. ■ Apliquemos transformada de Laplace en la ecuación, previamente agrupemos. y 4 y 5 y 8 t 4 4 t 2 u t 2 8u t 2
L
s 2Y s sy 0 y0 4 sY s y 0 5Y s 8e4 s
adelio ariel chavez
4 s
2
e2 s
8 s
e2 s
.....ADELIUS.....
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s 2Y s 2 s 4 sY s 2 5Y s 8e 4 s
s
2
4s 5 Y s 2 s 8 8e 4 s
Y s
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2 s 2
2 s
e
s 2 1 2 s 4 2 e2 s s
4
1
s
e 8 2 2 2 s 2 1 s 2 1 s 2 1
■ Descompongamos P s
( )
8
e2 s
4 s
1 2s e2 s 4 2 2 s s 4s 5 P s
en fracciones parciales.
1 2 s s 2 s 2 4s 5
1
A s
B
5
s 2
1
Cs D s 2 4s 5
As s 2 4s 5 s2
1
s 4s 5 Cs 5 s 4s 5 2
3
Ds 2
2
4
Igualando: A C s 3 4 A D s 2 5 A s 1 2 s 1 5 5 0 0
2
4 A 25 4 “Resolviendo el sistema” B ; en 25 11 C 25
A C 1 ■ Por comparación: D 4 A 5 4 A 25
4
s
( )
11
4 s 2 4 1 1 1 3 1 25 5 25 25 2 2 P s 2 2 s s s 4s 5 25 s 5 s 2 25 s 2 1 25 s 2 1 4
1
■ Reemplazando
:
( ) ( )
en
4 s 1 1 4 8 e ...... 2 2 2 s 2 1 s 2 1 s 2 1 4 1 1 1 3 4 s 2 2 s 1 .... 4 2 e 2 2 25 s 5 s 25 s 2 1 25 s 2 1
Y s 2
s 2
■ Apliquemos la transformada inversa de Laplace: yt 2e2t cos t 4e 2tsen t 8e2t sen tut yt 2 cos t 4sen t e 2t u t 8 e
4 1 3 4 2t 4 t sen t cos t e u t 25 5 25 t t 4 25
t t 2
2 t 4
sen t 4 u t 4 .....
4
1 4 3 t 2 sen t 2 cos t 2 e 2t 2 u t 2 25 25 25 5
.... 4
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II-2012 EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAT-207 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES - FACULTAD DE INGENIERIA SEGUNDO PARCIAL – 04 DE NOVIEMBRE DE 2012 CADA PREGUNTA 25 PUNTOS 1.- Resolver la ecuación diferencial de orden superior:
( +) + (2 −) − (2 +) =( +1) () = n( −2)] (−2) +5(−2) +8( −2) = tan[l−2 +2+ () =() ; () =1 ; 0≤≤1 () () =−+20 ;; >21≤≤2 () − () +4= ( −1) − ⟦−1⟧ () =0 ; () =1
2.- Resolver la ecuación diferencial, discutir la existencia de la solución e n el punto
:
3.- En la ecuación integro diferencial siguiente:
Donde
esta dada por:
Hallar la transformada de Laplace de:
4.- Resolver la ecuación diferencial siguiente: Con
adelio ariel chavez
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PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Resolver la ecuación diferencial de orden superior:
( +) + (2 −) − (2 +) =( +1) +)+(2 −)−(2 +)=0⟹ = …() ( 2− 2+ ∫ ( ) + + − + =+1 ) ⟹ = …( ( ) () () () ∫ ( ) ( 2− 2+− ()= + = + +) =(+2 +1) −1 ()= + +1 −1=2 ++1−1 −1=l n −ln( +1)− ()=l n +1 − …() () () () ( +1) = = = − =− 1 …() = +⟹ = − …() (()) (()) −− = (( )) (( )) () = − ( +1) − + 1 = ( +) ( +1) = − 1 1 = [− ( +1)] − 3 = [− ( +1)] − 3
Resolución. ■ Se trata de una ecuación diferencial de coeficientes variables, debemos encontrar la solución homogénea por tanteo, la suma de los coef. es cero. ■ Hallando “ ” usando la formula de Abel, previamente ordenemos la E.D.
■ Calculemos por separado la integral
■ Reemplazando
y
en
; esto para simplificar el trabajo
:
■ La solución homogénea será:
■ Ahora calculemos la solución particular “ ”, por variación de parámetros.
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=−( +1) − 3 ⟹ =−1−− 3 … () () () = + ∴ = − −1++ 3 () = n( −2)] (−2) +5(−2) +8( −2) = tan[l−2 ( ) −2 ( −2) +5( −2) +8= tan[(ln−2( −2)) ] … () = −2= ⟹ = − () +5( −2) +8= ( −2) tan[ln( −2)] ( ) −2 ∙(() −) +5 +8= tan⟹ −4 +8= tan …() +4 +8=0 +4+8=0⟹, =−2±2 ( +4+8 =){}=0⟹ cos2+ sen2 … () sen2∙ tan (()) (()) cos2 cos2 sen2 = (( )) (( )) () = −2(cos2+sen2 cos2 ) −2(−cos2+sen2 sen2 ) (sen2cos2−cos2sen2)∙ tan = −2(−cos 2+sen2cos2−sen2cos2−sen 2) = 2 (sen2cos2−cos2sen2) sencos
Finalmente sustituyamos
y
en:
2.- Resolver la ecuación diferencial, discutir la existencia de la solución e n el punto
:
Resolución.
■ Previamente ordenemos al ecuación, dividiendo entre:
■ Se trata de una ecuación diferencial de Legendre. ■ Hagamos el siguiente cambio:
■ La ecuación
en
es una ecuación diferencial de coeficientes constantes, entonces:
a) Hallemos la solución homogénea “ ”:
b) Hallemos la solución “ ”; usemos variación de parámetros.
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(2cos −1) ) = 2 sen2 cos sen −cos22sen …( =cos→=−sen = (sen2−tan) =ln(cos) − 12 cos2 … () =1−cos2 2sen =(1−cos2) =− 12 sen2 …() =2sen ( ) () () 1 = 2sen2ln(cos)− 2 cos2⧸ −cos2− 12 sen2⧸ = 2 sen2ln1(cos) − 12 sen2cos2−cos2+ 12 sen2cos2 = 2 [sen2ln(cos) −cos2] … () () () =+ 1 = cos2+−2= sen2+ 2 [sen2ln(cos) −cos2] →=ln( −2) =1 cos2 − 12 +sen2 +1 12 ln(cos) ∴ =( −2) − 2 ln( −2)cos2[ln( −2)] + + 2 ln{cosln( −2)}sen2[ln( −2)] () =⟹=0⟶= ( ( l n −2)=l n 0 −2)=? ( l n −2)→∀/>2 ∴ ∄ () = >2 * Calculemos por separado: “ ” C.V.
● Para : usemos la siguiente identidad
● Sustituyendo
■ Reemplacemos
y
y
en
en:
■ Volviendo a la variable original
■ Finalmente realizamos el análisis para: ► Reemplazamos en “ ► De la solución “
La solución para
” obtenemos una restricción
”
; entonces:
, ya que “ ” debe ser mayor q 2
3.- En la ecuación integro diferencial siguiente:
+2+ () =() ; () =1
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; 0≤≤1 () () =−+20 ;; >21≤≤2 () − () ( ) ()(=) =∙ () −()+ (2 −)() −()+0∙ () (())−=(())−2+((2 −−1))(())+−((−2))(()) +(−2) () …{ (1}) +2+ () =() −2( −1)() +( −2)() ⫽ { } 1 1 2 1 () −() +2() + () = − + ; () = 1 () ( +2+1 ) 1 2 1 =1+ − + ⫽ ( ) 1 1 (1 +1) () = (+1) + ( +1) −2( +1) +( +1) () = +11 − ( +11 ) + + +1 + ( +1 ) −2 + +1 + ( +1 ) + + +1 + ( +1) () = +11 − ( +111 )−1+ 1 + +1−1−1 + ( +1−1 ) −21 + +1−1 + ( −1+1) + + +1 + ( +1) ⫽ { } () = − +1− − −2(1 − −)()⧸ + (1 − −)()⧸ ()() +1−() −( −2)()() ∴ () =1−2 −21−()() −(=?⟹( −1) =1⟶=?) () =1−2(1) −21−() − (1 −1)()() +1−() − (1 −2)()()
Donde
esta dada por:
Hallar la transformada de Laplace de:
Resolución.
■ Previamente hallemos la función “
” en función del paso unitario
■ Reemplazando (1) en la ecuación diferencial, luego apliquemos
■ Reduciendo y evaluando la traslación. ■ Calculemos la equivalencia de
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() =1−2 −2[1 −1−0]() +[1 −+]() ; () 10 ≥0<0 () =1−2 ⟹ () =1−2 ==⟹() = () − − ℎ() = () = () ( ) ( ) − () ℎ() = ( −) + () ; (á)()= ( ) − ℎ()= +() ⟹() =() …() () −() =0⟶= () = + ; .. =+ ⟹ = =−⟶= − − − () = ⟹() = − =1−2 {}= − 1 ( ) () = − ⫽{ } ; = ( ) − 1 () = − = { −} − ∞ 1 () = −11 − +11 − = 1 [ln( −1)−ln( +1)] − 1 ∞ 1− 1 −1 1 () = ln +1 − = ln1+ 1⧸ −ln−1 ⧸ − +1 1 −1 ( ) () = 1 l(n )−1 − ⟹ = l n − … ( ) +1 +1 ( )
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■ Ahora hallemos la transformación de Laplace de:
■ Apliquemos en la subintegral
■ Hallemos
■ Nota.- La integral “A” tiene límites definidos
entonces:
■ Ya de la integral A es una constante numérica entonces
■ Finalmente reemplacemos adelio ariel chavez
en
:
.....ADELIUS.....
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■ También “
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() = () → () = ln−1 − +1 ()
=1−2 ; = ""
” se puede hallar mediante series de potencias.
4.- Resolver la ecuación diferencial siguiente:
+4= ( −1) − ⟦−1⟧
() =0 ; () =1 ↪() =1⟶−1 ( ) =−1 =0⟶=0↗ () =0 ∧ () =1 =−1 +4=(−1)−⟦−1⟧ ; () =0 , () =1 () −() −() +41 () = 1 −{⟦⟧} +4)() =1+ −{⟦⟧} … () ( {⟦⟧} 01 ;; 0≤<1 1≤<2 ⟦⟧= 23 ;; 2≤<3 3≤<4 ⋮ ⋮ ⟦⟧=0∙ () −()⟦⟧+1∙=()()+−()()++2∙ () −()+3∙ () −()+.…. { } + +. … …⫽ ( ( ) ) {⟦⟧} = + + ++.…… {⟦⟧} =[1 + + ++.…… ] = = () … () () +1() 1 1 () = ( +4) − +4 () = + +4 − +4 () Con
Solución. ■ Primeramente llevemos al origen las condiciones iniciales: ; Con el C.V.
■ Nuestras condiciones iniciales ahora serán: ■ Reemplazamos el cambio
en la ecuación diferencial.
■ Apliquemos transformada de Laplace:
■ Ahora calculemos
; previamente recordemos
* En función del paso unitario
■ Reemplazando
adelio ariel chavez
en
:
.....ADELIUS.....
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1 3 () = 4 + 4+4 − 1+4 () 1 1 3 2 1 () = 4 + 8 +2− 2 2+4 () ⫽{ } 3 1 () =4 + 8 sen2() − 2 sen2() ⧸ ; sen2sen2( −−1) , ∈ℤ 1 3 1 =−1 ∴ () =4 ( −1) + 8 sen2( −1) () − 2 sen2( −−2) ()
■ Finalmente
adelio ariel chavez
.....ADELIUS.....
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I-2012 EXAMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MAT-207 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES - FACULTAD DE INGENIERIA Segundo Parcial – sábado 19 De mayo De 2012
+(tan−2cot) +()=0, () (2 +3) +2(2 +3) + =() ∙senln(2 +3) 2 () =2 +() +2 () sen2( −) () () 4 5 10 +2 () = 9 + 9 cos3+ 5 +4=senh+ () ; () =0 ; ≤≤ () =sen2 0 ; < ∩≥
1.- En la ecuación diferencial:
=
Si se conoce que:
se pide hallar: a) La solución de la ecuación diferencial: b) La función
.
2.- Resolver la ecuación diferencial de orden superior:
3.- En la ecuación integro diferencial siguiente:
Hallar la función
, sabiendo que
vienen dada por la expresión:
4.- Dada la ecuación diferencial, resolver aplicando transformadas de Laplace:
adelio ariel chavez
.....ADELIUS.....
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+(t an−2cot) +()=0, = () ∫ () +()=0 = () …() ; +(tan−2cot) () ) ( ( ( ()=(tan−2cot)=−l n c os)−2l n s en)=−l n c ossen () = ⫽ ( )′ = () ⟹sen= cossen ( ) cossen ⟹cos= () ⟹ () =sen ⟹ =±sen = sen⟹ = sen⟹ =±sen = +⟹ = sen+ sen ( ) =−sen =sen⟶ =cos⟶ +()=0⟹−sen+ (t an−2cot) cos+() sen=0 ) + (tan−2cot −sen+sen−2cotcos+() sen=0⟹() =2cot (2 +3) +2(2 +3) + =() ∙senln(2 +32 ) = =⟶ = (2 +3) +2(2+3) += (2 +3) ∙sen(2 2+3) … () 2+3= ⟹ =2 ⟹ =2 − PROBLEMAS RESUELTOS:
1.- En la ecuación diferencial:
Si se conoce que:
se pide hallar: a) La solución de la ecuación diferencial: b) La función
.
Solución. ■ Ya que nos dieron como dato una relación, la otra será la fórmula de Abel.
■ Calculando por separado la integra:
■ Reemplazando en
, además
■ La otra solución está dado por: ► a)
► b) Las soluciones “ ”, “ ” deben satisfacer a la ecuación diferencial usemos la solución más sencilla, esto para calcular ■ Reemplacemos
en la ecuación dada.
2.- Resolver la ecuación diferencial de orden superior:
Solución.
■ Hagamos un cambio de variable
, reemplazando.
■ Se trata de una ecuación diferencial de Legendre el cambio será:
adelio ariel chavez
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() =ln(2 +3) ∙4 ( − ) +2 ∙2 += sen2 4 −4 +4 += sen2⟹ + 14 = 4 sen() 2 , =() + =0 + 14 {} =0⟹ + 14 =0⟹ , =± 12 = cos + sen …(1) cos s e n (()) (()) cos 22 sen 22 = ′(()) ′(()) () ⟹ = cos 2 sen 2 4 sen 2 12 sen 2 − 12 cos 2 − =2sen cos −cos s e n s e n 2 2 2 2 4 2 1 1 = 4 sen 2 2sen cos − cos s e n 2 2 2 2 2 1 1 = 4 sen 2 sen − 4 cos 2 (1−cos) 1 = 4 sen 2 sen +cos 2 cos −cos 2 = 14 sen 2 ∙ 2 (sen−cos)+cos 2 ∙ 2 (sen+cos) 2 +coscos 2 =1 14 ∙ 2 sensen 2 −cossen 2 +sencos = 8 cos− 2+sen− 2= 18 cos 2 +sen 2 …(2) = +, =
■ Reemplazando en
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; donde también
■ Se trata de una ecuación diferencial de coeficientes constantes. ► Hallemos la solución homogénea “ ”:
■ La solución homogénea será:
■ Ahora calculemos la solución particular; por variación de parámetros.
■ Reemplacemos (1) y (2) en adelio ariel chavez
también
.....ADELIUS.....
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= cos 2 + sen 2 + 18 cos 2 +sen 2 ∴ = cos 2 + sen 2 + 18 cos 2 +sen 2 …() 2+3= ⟶=ln(2 +3)
Finalmente para calcular “ ” debemos integral (4 veces), luego volver a la variable original. .
OBERSERVACION
La integral se lo deja como practica al lector, ya que el procedimiento es repetitivo además en se acaba el procedimiento para la E.D., lo que sigue es calculo integral.
( )
3.- En la ecuación integro diferencial siguiente:
Hallar la función
()
() =2 +() +2 () sen2( −) () 4 5 10 +2 () = + cos3+
, sabiendo que
vienen dada por la expresión:
99 5 () =2 +() +2 () sen2( −) ⫽{ } () =2∙ 3! +() +2{sen2} ∙()= 12 + () +2∙ +22 () () =− 12 +1− 4+4() ⟹() =+4() − 12 … (1) ( ) 4 5 10 +2 4 5 2 { } () = 9 + 9 cos3+ 5 = 9 + 9 cos3+2 + ⫽ 5 4 5 4 1 5 3! 2 5! 12 48 9 9 () = 9 ∙ + 9 ∙ +3 +2∙ + 5 ∙ = + + + +9 …(2) 4 5 12 48 () = +4 9 + + + 9+9 − 12 …()
Solución. ■ En la ecuación diferencial apliquemos la transformada de Laplace.
■ Ahora apliquemos la transformada de Laplace, en la función “
”
■ Reemplacemos (2) en (1)
Agrupemos de forma conveniente, para simplificar lo máximo. adelio ariel chavez
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1 4 5 12 4 12 1 9( () = +4 9 + +9+ 1+ − = +4 9 ∙ ( +9+4)) + 12 ( +4) − 12 () = (1+9) + 12− 12 = +9 + 12 − 12 = +3 ⫽{ } ∴ () =cos3 +4=senh+ () ; () =0 ; ≤≤ () =sen2 0 ; < ∩≥ () () =sen2 −+0∙ − () =sen2 −sen2 ; sen( +)=−sen"n impar" () =sen2− 2 + 2 −sen2− 52 + 52 () =−sen2− 2 +sen2− 52 …(1) 2 ⫽{ } +4=senh+sen2− 52 −sen2− () −() +4() = 1−1 + +22 − +22 () 1 () = ( +4)(() −1) − ( +2)2(() +4) + ( +2)2(() +4) … () (1) () 1 1 − 1 15 () = ( +4)( −1) = +4 + +1 + −1 = +4 + +16 + −110 …()
■ Finalmente aplicando la transformada inversa de Laplac e, tendremos:
4.- Dada la ecuación diferencial, resolver aplicando transformadas de Laplace:
Solución.
■ Previamente hallemos
en función del paso unitario.
■ Reemplazando la ecuación (1) en la ecuación diferencial.
Despejando
:
■ Descomponiendo por separado en fracciones parciales “
adelio ariel chavez
y
”.
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1 ( ) ( ) () = ( +2)2( +4) ∙ −2 =2 −2 =2 −2 + −218 − 18 ( −4)( +4) −4 +4 =2( −2) −4 + +4 (()) =(14 )−2 −4( )− −2 +4= 14 +21 + +22 − +2 … () 1 − 1 1 1 1 2 15 6 10 () = +4 + +11 +1 −1 −24 +2 + +2− +2 + + +2 − +2 ⫽ { } 4 +2 () = 151 −116 + 101 − 14 [ +sen2−cos2]()⧸ + 4 [ +sen2−cos2] ()⧸ 1 1 1 1 2 () = 15 −16 + 10 − 4 5 +sen2− 2−cos2− + 4 +sen2− 2 −cos2− 52 () =151 − 16 + 101 () − 14 −sen2+cos2 + 14 −sen2+cos2
■ Reemplazando
adelio ariel chavez
y
en
.....ADELIUS.....
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II-2011 ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207 Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería Segundo Parcial – 29 de abril de 2011 CADA PROBLEMA 25 PUNTOS
(), (). (1 −l n ) + (1 + ln ) − ( +1) =0 (), () − (3+13′ ) + (3 +118 ) =() ∙tan[ln(3 +1)] ( | | ) ( ) ’ ’ + 4= −9 −7 +3 −6 () =0 ; ′() =−2 (). −3 +3 −=3( −3) () =1 ; ′() =0 ; ′′() =−2
1.- Si
Son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
Determinar:
2.- Resolver:
3.- Si
, con las condiciones
Determinar
4.- Resolver la ecuación diferencial: Si
adelio ariel chavez
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1.- Si
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(), (). (1 −l n ) +(1 + ln ) −( +1) =0 (), () +(1+ ln ) −(+1) =0 ⟹ () = ( 1 −l n ) , ((1−l ) n ) +(1+ 1 + llnn)−( +1)+1 =0 ⫽÷(1 −l n ) + (1 −l() n ) − (1 −l() n ) =0 ∫ ∫ ( ) ( ) = () =∫ … () () ∫ ∫ () ( = ) =ln⟶= = 1 = ∫() =∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) ∫()= =[()] == ∫() = 1−l n = ( −l n ) … () () () 1−l n = = − ln Son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
Determinar:
Solución. ■ La suma de los coeficientes de la ecuación es igual a cero por tanto, una solución de la ecuación será: ■ Hallemos
, usemos la fórmula de Abel. Previamente ordenemos.
► Por Abel:
■ Calculemos por separado la expresión: “
”
Cambio de variable:
■ En la integral sumemos y restemos “Agrupando”.
■ Reemplacemos
adelio ariel chavez
en
:
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■ Integrando
= − ln= − …() , =ln⟹= = l n ⟶ = ⟹=− − − =− l n − =− ln+ … () () () − = −− l n + = ∙ ln () =l n ′ ′=′ −′ = =; ln =l n = = − ln ∴ =( −ln) =∫(), por partes:
■ Reemplazando
en
■ El Wronskiano estará dado por:
■ Para nuestro caso
. Reemplazando.
OBSERVACION
() =. ′ ) + ( + ) =() ∙[( +)] − ( + (3 +1) −3(3 +1) +18= (3 +1) tan[(3 +1)] … () Sea (+)()+( +)()+.……. += () , E. D. L. L. . . : += ⟹ = ∧ = − ∧……. →=ln(3+1) 3+1= =3
El Wronskiano de una ecuación homogénea también está dado por de verificar seria reemplazar en ;
una forma
2.- Resolver:
Solución. ■ Efectuando operaciones en la ecuación diferencial.
■ Se trata de una ecuación Lineal de Legendre, a continuación un ejemplo
■ Usemos la propiedad mencionada, para nuestro caso tendremos. C.V.
Reemplazar
adelio ariel chavez
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=3 − ( ) +18= (3 +1) tan[(3 +1)] (3 +1)9 −3((3+1 ) −′) −9+18= tan 9 −18 +18=tan ⟹ −2 +2= 19 tan E.D.C.C. −2+2=0⟹, =1± ) { } −2 +2=0⟹(= −2+2 =0⟹ ( ) + sen … 1 cos sen 1 (()) (()) cos sen sen ) 9 tan = ′(()) ′(()) () = (cos−sen coscos) (sen+cos = 19 (sencos−cossen ) tan ; tan =sec −1 −1) −cossen(sec −1) = 9 sencos( s e c = 9 sen(sec−cos)−coscossen −sen = 9 sen [ln(s ec+tan) −sen] −cos [s ec+cos] = 9 sen [ln(sec+tan) −sen −cos −1] ; sec+tan=tan2 + 4 = 9 senlntan2 + 4−2 …(2) 3+1= = + ; =ln( 3 +1) = cos+ sen+ 9 senlntan2 + 4−2 = (3 +1) cos[ln(3 +1)] + sen[ln(3 +1)] + 19 sen[ln(3 +1)] lntan12 [ln(3 +1)] + 4− 29 ’ ’ + 4=(| −9| −7) +3(−6) () =0 ; ′() =−2 La ecuación debe reducirse a una E.D.C.C.
■ Reemplazando los cambios en
■ Hallando la solución homogénea “ ”:
■ Hallando la solución particular “ ”, por variación de parámetros.
■ Sustituyendo la identidad
■ Reemplazando (1) y (2) en
ademas
3.- Si
, con las condiciones
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Determinar
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().
Solución. ■ Previamente recordemos la definición de Función Escalón Unitario.
| ( ) 1 ; 1 ; ≥0 () =0 ; <0 ⟹ =0 ; | −9|−7≥0 ( ) −9|−7<0 ( −9≥7 ) ∨ −9≤−7 ≥16 )∨∨ −√ ≤22 ≤≤√ 2 | −9|−7≥0⟹| −9|≥7⟹(≥4∨≤−4
■ Hallemos el intervalo para “ ”, para ello desarrollemos
Grafiquemos:
0≤≤ √ 2 ∨ ≥4; 1 ; 0≤≤√ 2 =10 ;; || −9|−7≥0 −9|−7<0 ⟹ =01 ;; |≥4 −9| −7<0 = (=1) ∙(−) −+√ + (1…) ∙(()) () √ () () ’ ’ + 4=() −√ +() +3() {}{} () −() −′() +41() =1 1 − 1 1√ + 1 +3 +4)() =2+ − √ + +3 ( () = 2+4 + (1(+4) ) − (1(+4) ) √ + (1(+4) ) + 3+4 …() () 1 1 () = (1+4) =(1+4) = + +4=4 + 4+4= 14 1 + +4 …(ℇ) (ℇ ) ( )
■ De la figura I obtenemos:
entonces:
■ Hallemos
: “Método de Ing. Cruz”
■ Reemplacemos
en la ecuación diferencial, luego apliquemos
■ Descomponiendo en fracciones parciales
■ Reemplazando
adelio ariel chavez
en
:
.....ADELIUS.....
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() = 2+4 + 14 1 + 1 +2 − 14 1 +1 +2 √ + 14 11 + +2 +3 +23 {} () =sen2+ 4 (1−cos2) − 4 (1−cos2) () + 4 (1−cos2)() + 2 sen2() () = 14 4sen2−cos2−1−1−cos2−√ 2√ + [1−cos2( −4)]() +6sen2(−6) () −3 +3 −=3( −3) () =1 ; ′() =0 ; ′′() =−2 =−3 =1 ; ′ =0 ; ′ ′ =−2 ( ) ( ) ( ) +3 −=3( −3) ⟹′ ′ − 3 +3 −=3 {} ′ ′ − 3 () +() +′() +′′() −3() +() +′()+3() +()−() =3 ( −12! ) ( −3 +3−1)() = (−16 ) + −3+1= ( −16 ) + ( −1) − ( −1)() = (−1)6 6 + ( −11) − ( −11 ) −1⟹1() = ( −1) + ( −1) −( −1)− (−1) {} ()= ()! () = 5!6 +10!1 − 1!1 − 2!1 1 ; 0!=1 1 () =1 20 + − − 2 1 1 () =20 − 2 −+1 =1−− 2 + 20 =−31 1 ( ) ∴ () =4−− 2 ( −3) + 20 ( −3)
4.- Resolver la ecuación diferencial: Si
Solución.
■ Llevemos al origen las condiciones iníciales C.V. ■ Reemplazamos el cambio en la ecuación, además:
■ Aplicando la transformada inversa; además
■ Volviendo a la variable original
Nota.- Analizar otra forma de solución.
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I-2011 ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207 Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería Segundo Parcial – 01 de mayo de 2011 CADA PROBLEMA 25 PUNTOS 1.- Resolver la ecuación diferencial: 2
2 x 1 y 4 2 x 1 y
16 x 2 16 x 4 4
2
4 x 2
2.- Si: x
y x x
x y d
0
Es una solución particular de la E.D. sen x cos x y 2sen x y sen x cos x y 0. Determinar la solución completa. 3.- Resolver: y ty y 1
;
y 0 1 ; y2 2
4.- Resolver la E.D.: y 4 y f t con la condición y 0 0 si se verifica que f t 3 f t (La curva es la unión de dos parábolas de segundo orden)
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PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Resolver la ecuación diferencial:
16 (2 +1) −4(2 +1) = 4 +16+4 +4+2 . =2. 2+1= ⎩ =2 − 16 +16+4 4 (2 +1) −4(2+1) = 4 +4+2 ⟹4 ( −′) −4∙ 2 = +1 4 −12 = 4+1 ⟹ −3 = (+1) ; =() …() E.D.C.C. −3=0⟹ =0 −3 =0⟹( −3){}=0⟹ =3 …(1) = + =1 , = (()) (()) 11 = ′(()) ′(()) () = 10 3 ∙ +1 − 1 1 = 3 ∙ +1 = 3 ( +1) − +1 1 = ( +1) = ( +1) ; Hagamos C.V.== = ( +1=−) = −arct +g(+1) =1 + −1+1=− 1 −arctg() = +1 = 12 ln|1 +| =ln 1 + ; . .. =1+ 1 1 = 3 [ −] = 3 [− −arctg( )] −ln 1 +
Solución.
■ Se trata de una ecuación de Legendre: ■ Reemplazando en la ecuación:
■ Hallando la solución homogénea “ ”:
■ Hallando la solución particular “ ”;
■ Calculemos por separado y
■ Reemplazando en “ ”:
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=113 [− −arctg()] −ln 1 + =− 3= ++ arctg() +ln 1 + … (2) 1 = + − 3 + arctg()+ln 1 + 1 =2+1 = +(2 +1) − 3 (2+1) + (2 +1) arctg(2 +1) +ln 1 + (2 +1) ⟶ = (): ( ) = −3= +1 ; E.D.Lineal () =+( −)() (sen−cos) −(2sen) +(sen−cos)=0.
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■ Reemplazando (1) y (2) en
■ Volviendo a la variable original:
OBSERVACION:
Analizar la resolución de la ecuación
con el cambio
entonces
2.- Si:
Es una solución particular de la E.D. Determinar la solución completa. Solución. ■ Hallemos la solución particular, usando la función dada:
() =−( −)() ⫽{} ⟹() = 1 +{}() () = 1 − 1 () ⟹() = 1+1 ⫽{} ⟹ () =sen … (1) (sen−cos) −2sen + (sen+cos)=0 ⫽÷ (sen−cos) −2sen sen+cos + sen−cos + () sen−cos () =0 ∫ () = () …(2) ; Calculemos =()
■ Hallemos “ ” usando la fórmula de Abel, previamente ordenemos la ecuación.
►Por Abel:
−2sen =− sen−cos 2sen =− sen−cos+sen+cos = sen−cos sen−cos
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( ) s en−cos =−− cos+sen =−− sen−cos sen−cos =−−l n(sen−cos) … (3) ( ] ( ] [ ) [ ) = () =sen sen ) =sen (sen−cos =sen =sen∙ (sen) () = …(4) sen sen= = + ⟹ = sen+ =sen, (sen−cos)−2sen+sen+cos=0⟹ = − +=1 ; () =1 ; ′() =2 () =1 ∧ () = 1 − +=1 ⫽{} ⟹ () −1 () −() −(−21) (1) − ()+() = () −−+ () +() +() = ⟹() ++ () = + +1 …() ( ) ∫() =∫ = () = ∫() ∫()()+ () = 1 + +1 + ; =0 () = + + () = ++ …() =⟶= = ; =⟶= ⟹ = − …() ■ Reemplacemos (1) y (3) en (2)
■ Sustituyendo (1) y (4) en:
OBSERVACIÓN.- De la condición del problema se calculo otra forma de hallar “ ” es tanteando, la suma de los coeficientes de la ecuación es igual a cero: .
3.- Resolver: Solución.
■ Para aplicar transformada de Laplace, consideremos
■ La ecuación
es una del tipo Lineal, calculemos el factor integrante.
■ Reemplazando en:
■ Calculemos “ ”:
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() () () = + + − = + () = 1 ( +) = + 1 ⫽{} ⟹ () =+1 ′ () =2 =+1⟹ =⟹=2⟹() =2+1 −4=(), () =0 () =()
■ Sustituyendo
en
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:
■ Evaluando, recordemos que aún no usamos la siguiente condición
4.- Resolver la E.D.: con la condición curva es la unión de dos parábolas de segundo orden)
Solución.
■ De la figura – , obtenemos
()
si se verifica que
(La
:
0≤<1 () = 2− ( −2 ); ; 1≤<3 {} () ⫽{} −3= () … (1) () −() −3() =() ⟹() = −3 () =(1) =31 () = 1− () ⟹() = 1− () () = 1−1 + (− +4−2) 1 1 2 2 2 4 4 1 () = 1− − + + − + + ; 1− =
■ En la ecuación diferencial apliquemos
■ Ya que la función
es periódica con periodo
, usemos:
■ Integrando y evaluando
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1 2 2 2 4 4 () =− + + − + + 1 2 2 2 4 4 ( ) ( ) ( ) () =− + + − + + … 2 1 − +2+2 ( ) ( ) () = −3 () = ( −3) −2 +2+2 ( −3) () = + + + −3() −2 + + + −3 () ⫽{} + ()⧸ ∴ () =++ 2! −2( ++ +)() ()⧸
■ Reemplacemos (2) en (1)
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II - 2010 ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207 Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería Segundo Parcial – 31 de octubre de 2010 PRIMERA PARTE - CADA PROBLEMA 10 PUNTOS 1.- Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula a: f x 3 x cos 2 x
2
2.- Calcule la transformada inversa de Laplace para: F s
s 2 9s 9
s
2
6s 9
2
SEGUNDA PARTE - CADA PROBLEMA 20 PUNTOS 3.- Resolver la ecuación diferencial: 2 y 4 y 4 y e x sec x
4.- Resolver la ecuación diferencial: 4 y 4 y y 3 2te
5.- Deducir la expresión completa de
()
t
2
en la ecuación integral:
2
t
f t t 3 sen t 3 sen 3 3t f d 2
0
6.- Resolver la ecuación diferencial: y y senht f t
y 0 2 ; y ' 0 1
cos 2t ; 0 t 2 f t ; t 0 t 0 2
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PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Si existe, anote el operador de coeficientes constantes que anula a: f x 3 x cos 2 x
Solución. ■ Previamente desarrollemos
()
2
, de tal manera que se pueda identificar los operadores.
f x 9 x 2 6 x cos 2 x cos 2 x 1
f x 9 x 2 3 x 1 cos 2 x
4
2
cos 2 x
;
2
1 cos 2 x 2 2
1 cos 2 x
; 1 cos 2 x
3 2
1
2 cos 2 x cos 4 x 2
3 1 1 3 x cos 2 x cos 4x 8 2 8 D2 42
f x 9 x 2 3 x
D3
D
2
22
2
■ Los operadores que anulan a cada término se multiplican respectivamente. f x 9 x 2 3 x
3 1 1 3x cos 2 x cos 4 x 8 2 8
D 3 D 2 16 D 2 4
2
L D D 3 D 2 16 D 2 4
L D D 3 D 2 16 D 2 4
f x 0
2
2
2.- Calcule la transformada inversa de Laplace para: F s
s 2 9s 9
s
2
6s 9
2
Solución. ■ Realicemos operaciones en la función: F s
s 2 9s 9
s 6s 9 2
2
s 2 9s 9
s 3
4
■ Hagamos un C.V. u s 3 s u 3 2
F s
u 3 9 u 3 9 u
4
1 u
2
15 u
3
45 u4
■ Volviendo a la variable original: F s
1
s 3
f t 1
2
15 2
t
15 3
s 3 15 2
45 4
s 3
L 1 f t te 3t
15 2!
t 2e
3 t
45 3!
t 3e
3t
t 2 te 3t
3.- Resolver la ecuación diferencial: adelio ariel chavez
.....ADELIUS.....
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Solución. ■ Se trata de una ecuación diferencial de coeficientes constantes, ordenemos. 2 y 4 y 4 y e x sec x y 2 y 2 y
1
ex sec x
2 R x
■ Hallando la solución homogénea “ y h ”: y 2 y 2 y 0 D 2 2 D 2 y 0 r 2 2r 2 0 r1,2 1 i x yh a1 e cos ex senx x a2 y1
.... 1
y2
■ Ahora hallemos la solución particular “ y p ”; por variación de parámetros.
y p
y p
1
2
x
x0
y2 z
y1 x
y2 x
y1 z
y2 z
y1 z
y2 z
e z cos z R z dz
x
e z senz
e x cos x e x senx
1
z
2
z
x0
e cos z
e senz
e e cos zsenz cos z cos zsenz sen z
1 2
z
e z sec zdz
e z cos z senz e z senz cos z
e z e x senx cos z cos xsenz e z sec z
x
x0
y p
y1 z
2
z
2
e x senx z z x cos x ln cos z z x
dz
1 2
e x senx
x
x0
dz
x
x0
tgzdz
1
e x xsenx cos xln cos x ... 2 2
■ Reemplazando (1) y (2) en yG yh y p : 1 x x x yG a1e cos x a2e senx e xsenx cos x ln cos x 2
4.- Resolver la ecuación diferencial: 4 y 4 y y 3 2te
t
2
Solución. ■ Al igual que el anterior ejercicio se trata de una E.D.C.C., ordenando y y
1 4
y
3 4
1
te 2
t
2
;
y f t
■ Hallando la solución homogénea “ y h ” y y adelio ariel chavez
1 4
y 0 D2 D
1
1
1
y 0 r 2 r 0 r 1,2 4 4 2 .....ADELIUS.....
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yh a1e
t
2
a2te
t
....1
2
■ Ahora hallemos la solución particular, usando el método operador anulador y y
1 4
y
3 4
1
te
t
2
2
D
1 D 2
⧸⧸
1 3 1 t 2 2 te D D y 4 4 2
2
2
2
1 1 D D D y 0 2 2 yG a1e
t
1 D D 2
4
1 1 r 5 0 r r 0 r1,2,3,4 2 2
t
t
t
At 2e 2 Bt 3e 2 C a2te 2 y 2
2
yh
.... 2
p
Nota.- La solución “ y p ” no debe incluir constantes: ■ Si “ y p ” es una solución de la ecuación debe cumplirse satisfacer a la misma. * y p At 2 e
t
2
t
t
Bt3 e 2 C At 2 Bt 3 e 2 C
A B t 2 At 3 B t 2 t 3 e 2 2 2 2 A 3B 2 1 A B t y p 2 A 2 3B t t At 38 t 2 t 3 e 2 2 2 2 2 4
* y p 2 At 3Bt 2 e
t
2
1
At 2 Bt 3 e
t
2
1 A B t * y p 2 A 6 B A t 6 B t 2 t 3 e 2 2 2 4
■ Reemplazando en la ecuación diferencial:
y y
1 4
3
y
4
1
te
t 2
2
t t 1 A 2 B 3 A 2 B 3 A 2 B 3 2 C 1 2 3 2 A A 6 B t 2 2 6 B t 4 t 2 At 2 3 B t 2 t 4 t 4 t e 4 2 te 4 t t 1 2 2 C 1 2 3 3 A A 6 B t At e te 2 4 2 4 0 1 0 3 2 4
■ De aquí: A 0 ; B
1
12
; C 3 Reemplacemos t
en (2) t
yG a1e a2 te 2
2
1 12
t
t e 3 3
2
OBSERVACIÓN 1.- La ecuación se la debe ordenar de la forma general y ^ P x y Q x y R x
si no se lo hace el resultado no será el correcto. adelio ariel chavez
.....ADELIUS.....
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OBSERVACIÓN 2.- En la ecuación “ y p ” también puede obtenerse mediante variación de parámetros, “más corto” OBSERBACIÓN 3.- La ecuación puede ser resuelta de forma completa usando como y 0 a1 y0 a 2
concepto a la transformada de Laplace, suponiendo 5.- Deducir la expresión completa de
f t en
la ecuación integral: t
2
f t t 3 sen t 3 sen 3 3t f d 2
0
Solución. ■ Llevemos a su forma general, para ello efectuaremos operaciones f t t 6t 9 2
1 2
t
1
cos 2t 3 sen 3 3t f d 2
0
■ Ahora apliquemos la transformada de Laplace. f t t 6t 2
F s F s
2! s 3 2 s 3
6
6 s2
1 s2
9 1 s 2 9 F s
F s
2 s 2 9 s 5
19 2
t
1
cos 2t 3 sen 3 3t f d 2
0
19
L
2 1 s 3L sen3t L f t s 2 s 2 22
19
3 2 1 s 3 F s s 2 s 2 22 s 2 32 19 19 s2 2 6 1 s 2 6 1 s 2 F s 3 2 2 2 3 2 2 2 s s s 2 s 4 s s s 2 s 4 s 9
6 s2 9 s4
19
s 2
9 1 s s 2 9 2 2 ; s3 2 s s 4 2
175 171 5 9 6 54 1 8 2 2 4 2 3 4 3 s 2 2 4 2 s s s s s s s 4 67
F s
⧸⧸
s 9 2
s 2 s 2 4
⧸⧸
L1
9
A
4
s 2
B
5 4
s 2 4
■ Aplicando la transformada inversa de la Laplace. f t
67 8
6t
f t
67 8
175 1 2
6t
2!
t2
175 4
54 3!
t3
t 2 9t 3
18
5 t 4 cos 2t 4! 8
3
5 t 4 cos 2 t 4 8
6.- Resolver la ecuación diferencial: adelio ariel chavez
.....ADELIUS.....
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Facultad de Ingeniería y y senht f t
y 0 2 ; y ' 0 1
cos 2t ; 0 t 2 f t ; t 0 t 0 2
Solución. ■ Previamente hallemos
f t en
función al paso unitario.
cos 2t t cos 2 t t 2 2 t 2 2
f t cos 2t t 0
f t cos 2t t cos 2 t
t
2
2
■ Reemplazando en la ecuación diferencial, luego aplicamos L
y y senht cos 2t t cos 2 t 2
s
2
1
1
s Y s s y 0 y0 Y s 2
1 Y s 1 2 s
1 s 1 2
s 1 2
s s 4 2
t
⧸⧸
s
s
2
s 2 2
s s 4 2
L
2
2
s 2 2
2
e
s 2
e
s 2
s 1 1 1 s 2 s 2 e 2 ... Y s 2 2 2 2 2 2 2 s 1 s 1 s 1 s 1 s 1 s 4 s 1 s 4 1
s
P s
Q s
■ Descompongamos en fracciones parciales P s y P s
1
s
2
1 s 2 1
1
1
Q s
Q s respectivamente:
1 1 1 P ... s s 2 1 s 2 1 2 s2 1 s 2 1 A
2
B
2
C 13 D 13 1 s 1 s Q s s 2 s ... 2 s 2 1 s 2 4 3 s 2 1 s 2 4 s 1 s 4
■ Reemplazando y en s
1
s 1 s s 2 s 1 s 2 2 2 2 2 2 Y s 2 e s 1 s 1 2 s 1 s 1 3 s 1 s 4 3 s 2 1 s 2 4 1
1
1
■ Aplicando la transformada inversa de Laplace:
adelio ariel chavez
.....ADELIUS.....
UMSA y t sent 2 cos t y t
1 2
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sent
1 2
senh t
1
1 1 1 sent cos t cos 2 t cos t cos 2 t t 2 3 3 3
1 1 1 cos t cos 2t senh t cos t 3 3 2 3 2
7
t t
2
cos 2 t 2 t 2
1 1 1 yt sent senht 7 cos t cos 2 t t sent cos 2 t 3 3 t 2 2
OBSERVACIÓN.- Al descomponer en fracciones parciales P s y en
Q s para
a) Q s
Q s hagamos
una observación
su descomposición: s
s
2
1 s 4 2
As B s 1 2
Cs D s2 4
1 ; para R s cambio de variable w s 2 : b) Q s s 2 2 s 1 s 4 R s
Q s
1
w 1 w 4
A
3
w 1
Reemplazando R s en Q s
1
1
1 1 1 2 2 w 4 3 s 1 s 4
B
3
Q s :
s
1 1 1 s s 2 2 2 2 3 s 1 s 4 3 s 1 s 4
NOTA 1.- La forma general para la descomposición de “ Q s ” se encuentra descrita por el inciso a), ya que su desarrollo es larga se recurre al procedimiento del inciso b). NOTA 2.- El procedimiento b) solo es un artificio como cualquier otro, no es una regla pero simplifica el trabajo.
adelio ariel chavez
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I - 2010 ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207 Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería Segundo Parcial – 09 de mayo de 2010 CADA PREGUNTA 25 PUNTOS 1. Resolver la ecuación diferencial: y 4 y 2 2 x 12 x 2 y 0 y0 y0 0
2. Resolver la ecuación diferencial: y xy 2 y 2 x cot ln x
2
3. Resolver la ecuación integro – diferencial: t
y 6 e t y d 1 e 3t
;
y 0 1
0
4. Resolver la ecuación diferencial: y 4 y f x
sen2t f t 0
adelio ariel chavez
y 0 2 ; y 0 1
;
2
t
; t
2
5 2
t
5 2
.....ADELIUS.....
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PROBLEMAS RESUELTOS 1. Resolver la ecuación diferencial: y 4 y 2 2 x 12 x 2 y 0 y0 y0 0
Solución: ■ La forma más inmediata de resolver, es aplicando transformada de Laplace “ L ” y 4 y 2 2 x 12 x 2
Y s
2 s 2 2 s 24 s 4 s 2 4
L
2
2
s
s2
s3 4s Y s
2 s 4 s 3 s 4 s 2 s 2
A s
B s2
C
s3
D s 4
24
E
6
s3 516
s 2
3
F
16
s 2
■ Hallemos los valores de A,B y C, por comparación: 2 s 2s 24 2
s
4
s
2
4
As 3 s 2 4 Bs 2 s 2 4 Cs s 2 4 6 s 2 4 s
4
s
2
5 16
s 4 s 2
3 16
s 4 s 2
4
5 3 10 6 A s 5 B s 4 4 A C s3 4 B 6 s 2 4C s 24 2 s 2 2 s 24 24 16 16 16 16 0 2 2
0
■ De aquí: A
0
1 8
; B 1 ; C
y s
1 2
entonces obtendremos:
5 3 1 1 1 6 16 8 2 2 3 4 16 s s s s s2 s2 1
1
5
8
4
16
yt x x 2 x3
e 2 x
L 1 3 16
e 2 x
2. Resolver la ecuación diferencial: y xy 2 y 2 x cot ln x
2
Solución 2 d2y dy 2t d y y 2 e 2 dx dt dt ■ Se trata de una ecuación diferencial de Euler: x et : y dy e t dy dx dt
■ Reemplazando en:
y xy 2 y 2 x cot ln x ;
2
et t ln x
e
2t
e
2t
d 2 y dy t t dy 2 y 2et cot t ; y f t 2 e e dt dt dt
■ Simplificar y ordenando: y 2 y 2 y 2et cot t E.D.C.C. R t
■ Hallando la solución homogénea “ y h ”: y 2 y 2 y 0 D 2 2 D 2 y 0 r 2 2r 2 0 r1,2 1 i t t yh a1 e cos t a2 e sent
.... 1
y2
y1
■ Ahora calculemos la solución particular “ y p ”, por variación de parámetros.
t
y p
y1 z
y2 z
y1t
y2 t
y
y2 z
y1 z
y2 z
1 z
t0
t
y p
e
z
t 0
e z cos z
e z senz
et cos t
et sent
t
R z dz
t 0
z
e cos z
e senz
e z cos z senz
e z senz cos z
e z et sent cos z cos tsenz 2 e z cot z e z senz cos z cos 2 z senz cos z sen 2 z
y p 2et sent
t
t y p 2et sent ln csc z cot z cos t t y p 2e sent ln csc t cot t .... 2
csc z senz dz cos t
0
t
t 0
2e z cot z dz
z
dz
cos zdz
z t
cos tsenz
t
■ Reemplazando (1) y (2) en: yG yh y p ; además et x t ln x yG a1et cos t a2 et sent 2 et sent ln csc t cot t
yG x a1 cos ln x a2 sen ln x 2sen ln x ln csc ln x cot ln x
3. Resolver la ecuación integro – diferencial: t
y 6 e t y d 1 e 3t
;
y 0 1
0
Solución ■ Efectuando operaciones en la ecuación integro - diferencial. t
y 6 e
t
y d 1 e 3t
L
0
adelio ariel chavez
.....ADELIUS.....
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sY s y 0 6 L et L y
1 s
1 s3
s 1 s 2 5s 3 Y s sY s Y s 1 2 s 1 s s 3 s s 2 s 3 6
1
1
....
■ Descomponiendo a en fracciones parciales.
s 1 s 2 5s 3 Y s 2 s s 2 s 3 s 1 s 5s 3 Y s 2 s s 2 s 3 2
A
16
s
51
B
50
s 2
2
C s 3
D
5
s 3
1
51
6
50
s 2 s 2 6s 9
....
2
s s 2 6s 9 Cs s 2 s 3 s s 2 s 3
2 5
s s 2
2
1 51 2 6 51 2 ■ Por comparación: C s 3 C s 2 s3 6s 2 8s 3
6 50
3
5
50
■ En ambas ecuaciones se verifica que C 1175 reemplazando en Y s
16 s
51
11 2 50 75 5 2 s 2 s 3 s 3
y t
1 6
51 50
e 2t
L1
11
2 e3t te 3t 75 5
4. Resolver la ecuación diferencial: y 4 y f x
y 0 2 ; y 0 1
sen2t f t 0
;
2
t
; t
2
5 2
t
5 2
Solución ■ Previamente hallemos
f t sen 2t
f t sen 2t
t 2
“Método Ing. cruz”
0 5 5 t 2 t 2 t 2
t 2
f t sen 2 t
f t .
2
sen2t
5 t 2
5 5 sen2 t 2 t 2 2 2
adelio ariel chavez
t 5 2 .....ADELIUS.....
f t sen 2 t
5 sen 2 t t 5 2 t 2 2 2
■ Reemplacemos
y 4 y sen 2 t
f t en
la ecuación diferencial, para luego aplicar L :
5 5 sen 2 t 2 t 2 2 t 2
s Y s sy 0 y 0 4Y s
2
2
s
2
4 Y s 1 2 s
s 2
2 s 4 2
2
e
5 2
s
2
e
5 2
s
2 s 4 2
2
s
s 2 2
L
2
e
2
e
s 2
5 s s 1 1 s e 2 2 e 2 Y s 2 2 s 2 22 2 2 2 2 2 2 s 22 s 4 s 4 1
2
L1
■ Aplicando la transformada inversa: 1 sen2t 2t cos 2t y t sen2t 2 cos 2t t 2 t 2 23 2 1 1 5 yt sen2t 2cos 2t t sen2 t 8 2 2
sen2t 2t cos 2t 2 t t t 5 2 2 23
5 2t 2
t t
2
...
5 cos 2 t 2 t 5 ... 2
1 .... sen 2 t 2 t cos 2 t 8 2 2 2 t 2
■ Desarrollando los ángulos suplementarios tendremos: 1 5 1 yt sen 2t 2 cos 2t t 2 t 8 2 2
1 cos 2 t sen 2 t 2 t cos 2 t sen 2 t t 5 8 2 t 2 2
1 se recurrió al método OBSERVACION.- Para encontrar la transformada inversa: L 2 2 s 4 1
de CONVOLUCIÓN, a continuación realizaremos dicha resolución. 1 2 2 1 1 1 L1 2 2 2 L1 2 2 2 2 sent sent 2 s 2 s 2 4 s 2 s 2 4
1
1
4
4
1
1 1
4
4 2
sen2t sen2t
sen2 sen2 t d
sen 2t sen 2t
adelio ariel chavez
;
2 sen sen cos cos
t
cos 2 2 t cos 2td 0
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1
1 1
4
2
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t
1 1 sen2t sen2t sen2 2 t cos 2t sen2t sen2t t cos 2t 4 8 4 0 8 4 1 1 sen2t 2t cos 2t sen2t sen2t 4 sen2t 2t cos 2t 4 2
■ Se demuestra la resolución que se izó en la ecuación . 1 sen2t 2t cos 2t L 2 2 2 24 s 2 1
■ En forma general podemos escribir de la siguiente forma: 1 senat at cos at ; Para recordar L 2 3 2 2 2 a s a 1
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II - 2008 ECUACIONES DIFERENCIALES - MAT207 Universidad Mayor De San Andrés - Facultad De Ingeniería Segundo Examen Parcial – 02 de noviembre de 2008 CADA PREGUNTA 20 PUNTOS 1. Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: y
A
Bx Cx2 x3 ; A,B,C
2. Si y1 cos ln x forma parte de la solución homogénea de la ecuación diferencial: y xy y secln x , resolver completamente la ecuación planteada.
2
3. Resolver la ecuación diferencial: y 9 y 18t 9
y 0 0 ; y 0 2
4. Resolver la ecuación integro – diferencial: t
y cos t y d 0
t 3 3
1
;
y0 1
5. Resolver la ecuación diferencial: y 2 y ft
;
y 0 2
1 ; t 2 f t cos t ; 0 t 2 0 ; t 0
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PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar la ecuación diferencial que tiene por solución: y
A
Bx Cx2 x3 ; A,B,C
Solución ■ Para encontrar la ecuación diferencial debemos eliminar las constantes A, B, C. “Derivando”
❶ ❷ ❸ ■
y Ax 1 Bx Cx 2 x 3
x xy A Bx 2 Cx 3 x 4
x 1 x 1 y y 2 B 3Cx 4 x 2
y xy 2 Bx 3Cx 2 4 x 3
x 2 y x 1 y y 3C 8 x
2 x 3 y x 2 y x 2 y x 1 y y 8
x 3
x3 y x 2 y xy xy 2 y 8 x3 x3 y x 2 y 2 xy 2 y 8 x3
2. Si y1 cos ln x forma parte de la solución homogénea de la ecuación diferencial: y xy y secln x , resolver completamente la ecuación planteada.
2
Solución ■ Previamente escribamos y ordenemos la ecuación diferencial. y
1
y
x
1 x
y
2
1 2
x
P x
Q x
R x
y
Ecu. Homogénea
sec ln x
1 x
y
1 x2
y0
■ Hallemos la solución “ y 2 ” de la ecuación homogénea, para ello usemos la fórmula de Abel. y2 y1
e
y1
dx cos ln x
2
1
dx e x
P x dx
cos
2
ln x
dx cos ln x sec 2 ln x
dx x
■ y2 cos ln x tg ln x sen ln x ; la solución homogénea será: yh a1 y1 a2 y2 yh a1 cos ln x a2 sen ln x
... 1
■ Ahora hallemos la solución particular “ y p ”, por variación de parámetros.
x
y p
y1 z
y2 z
y1 x
y2 x
y
x0
y2 z
1 z
y1 z x
y p
x0
x
R z dz
sen ln z
cos ln x
sen ln x
cos ln z
x0
y2 z
cos ln z
2 sen ln z z
1
1
z
z
sen ln z
1
sec ln z dz
cos ln z
sen ln z cos ln z cos ln z sen ln z 1 1 1
cos z
2
ln z sen ln z
adelio ariel chavez
2
1
sec ln z dz
z z
.....ADELIUS.....
UMSA x
y p sen ln x
x
1
y p sen ln x 1 x
dz
z dz cos ln x tg ln z z
x0
y p
UMSA
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;
C.V.
du
x0
1 z
z x
cos ln x ln cos ln z
dz
z x
sen ln x cos ln x ln cos ln x
.... 2
■ Finalmente reemplacemos (1) y (2) en: yG yh y p yG a1 cos ln x a2 sen ln x x1 sen ln x cos ln x ln cos ln x
3. Resolver la ecuación diferencial: y 9 y 18t 9
y 0 0 ; y 0 2
Solución ■ Para la solución de esta ecuación emplearemos la transformada de Laplace. ■ Como se trata de una ecuación de segundo orden: y 0 0 , asumimos y0 cte C y 9 y 18t 9
L
0
s 2Y s s y0 y0
C
9Y s
18 s 2
9 s
1 C s 9 Y s s 2 C Y s 18 9 s 2 2 s 2 9 s s 9 A 19 B 19 C 1 C 1 2 2 s 2 2 2 Y s 18 9 s 2 2 s 9 s 9 s s s 9 s 9 18 9 s
2
Y s yt
2
2
1
s
C
s 3 s s 3 s 3 2 C 2t sen3t 1 cos 3t sen3t 3 3 s
2
2
2
2
2
2
2
L 1
.....
■ Para encontrar el valor de la constante “C” usemos la segunda condición y 0 en : 2
t
2
y 0:
0 2
2 3 3 sen 1 cos 2 3 2 2
C 3 3 sen 2
■ De donde C 5 3 , reemplacemos en :
adelio ariel chavez
yt 1 2t cos 3t 1 sen3t
.....ADELIUS.....
UMSA
UMSA
Facultad de Ingeniería
4. Resolver la ecuación integro – diferencial: t
y cos t y d
t 3
0
3
1
y0 1
;
Solución ■ Apliquemos transformada de Laplace; recordemos: L y
sY s
cos t y d s s 1 2
■ Y s ■ y t
Y s
2 s 2 1 s 2 6!
7
t6
2 4!
2 s
t 3 3
1
4
1
s 1 s 1
t4
L
2
s
4
1 3!
t3
s
3
1 2!
t2
2 s 1
1!
7
f t G d f s G s
1 3! 1 sY s y0 L cos t L yt 4 3 s s
Y s
2
s 1 2
0
s3
s
2
1
t
2 s
5
s
1 s
4
4
1
s 2 1
s
s
1 1
1
1
s
s
s
3
2
t 1 yt 1 t
3
L1
1
1 1 2 t 2 t 3 t 4 t 6 2 6 12 6!
5. Resolver la ecuación diferencial: y 2 y ft
y 0 2
;
1 ; t 2 f t cos t ; 0 t 2 0 ; t 0
Solución ■ Previamente hallemos “ f t ” usando el paso unitario 0 t 0 cos t t 0 t t 2 2
ft 1
f t
t 2
f t
t 2
cos t t cos t
t 2
;
cos t t sen t 2 t 2
cos t cos t
....
■ Reemplacemos en la ecuación diferencial
adelio ariel chavez
2
sen t 2 2
y 2 y f t
.....ADELIUS.....
UMSA
UMSA
Facultad de Ingeniería
y 2 y cos t t sen t sY s y 0 2Y s
s s 1 2
t t
2
1
2
s 1 2
e
s 2
L
2
1
e
s 2
s
s s 2 1 s 1 2 s s 1 e 2 s 2 Y s 2 2 2 e 2 2 2 s 1 s 1 s s 1 s s 1
s
Y s
2 s 2
s
s 2 s 1 2
s2 s 1
s s 2 s 1 2
e
....
2
P s
Q s
■ Descompongamos por separado P s y 2
► P s
s
s
s 2 s 2 1
A5 s 2
Bs C s2 1
Q s en
2
s 5
2
fracciones parciales
1 Bs 2 Cs 2 Bs 2C
s 2 s 2 1
2 2 B s 2 C 2 B s 2C s 5 5 P s s 2 s 2 1 s 2 s 2 1
2
2
Por comparación: B s 2 C 2 B s 2C s 5 5 1 0 0
B
2
C
5 2
P s
A
s 2
s s 1 2
► Q s
2
5
s s 2 s 1 2
1
A s
B
s C
5
1
5
s 1 2
B s2
3
Cs D s 1 2
1 5
2
1
5 s 2
2
1
1
5 s 1 2
1
s s 1
s 2 s 2 1 2
1
3
2
..... 1
s s 2 1 Cs D s2 22
10 s s 2 s2 1
1
3
Por comparación: C s 3 1 2C D s 2 2 D s 1 s 2 s 1 2 10 2 10 1 0
C
1
1
1
D
5
s
2 5
2
1 1 3 1 1 1 3 1 1 s 2 1 Q s ... 2 52 5 2 2 2 s 10 s 2 s 1 2 s 10 s 2 5 s 1 5 s 1
■ Reemplazando 1 y 2 en , luego apliquemos la transformada inversa adelio ariel chavez
.....ADELIUS.....
