⏟ ⏟1t )
⏟
f ( ( t )=( 2 t , −3 t , ⏟
1.
❑
f
❑❑
−f 1=2 t → poli polino nomi mio o D ( f 1 ) =t ∈ IR
−f 2=−3 t → poli polino nomi mio o D ( f 2 ) =t ∈ IR
−f 3=
1 t
D ( f 3 ) =t ≠ 0 Dom f ( t ) = Dom ( f 1 ) ∩ Dom ( f 2) ∩Dom ( f 3 ) D om f t = t ∈ IR ∩ t ∈ IR ∩ t ∩ IR − ( 0 ) Dom f f = t < 0 ∪ t > 0
2.
hT =( L∩ L ∩ t , t ) ⏟
⏟
h1
h2
Solución:
−h1= L∩ L ∩ t Dom ( h1 )= t > 0
−h2=t h ( ¿ ¿ 2 )=t ∈ I − IR Dom ¿
( )
⇒ Dom hT = Dom h1 ∩Dom ( h 2)
Dom hT =t > 0 ∩ t ∈ IR
Dom hT =t > 0
3.
⏟
⏟
⏟
f 1
f 2
f 3
f T =( SenT ,CosT ,tgT )
−f 1= Sent Dom ( f 1 ) =T ∈ IR
−f 2= cosT Dom ( f 2 ) =T ∈ IR
−f 3=tg T t ∈ IR −
{
}
π ( 2 k + 1 ) ; k =0 ±1 … 2 3 t ¿
Dom (¿)=t ∈ IR −
{
π ( 2 k + 1) 2
( )
}
( )
⇒ Dom f ( t ) = Dom f 1 ∩Dom f 2 ∩Dom ( f 3 )
Dom f ( t ) =t ∈ IR ∩ t ∈ IR ∩t ∈ IR −{} Dom f t =t ∈ IR − k =0 ; ± 1 ; ± 2 ; …
{
π ( 2 k + 1 ) 2
}
15.- Demostrar que la curvatura y la torsión de la curva : √ 2 −t t x =e , y =e , = √ 2 t se! : k =−" = t − t 2 (e +e )
Solución: La ecuación de la curvatura: f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} # f ( t ) x ¿
¿ k =¿
f (t)*f'''(t) right rdline right none} over {{left ldline {f} ^ {'} left (t right ) x {f} ^ {''} (t) right rdli # f ( t ) x ¿
¿ = " ¿
f ( t )=( e , e , √ 2 t ) −t
t
f # ( t )=( e , −e , √ 2 ) −t
t
f # # ( t )=( e , e , 0 ) −t
t
f # # # ( t ) =( e , − e , 0 ) − t
t
f ( t ) xf (t)= left [matrix {i # # ! ## {e} ^ {t} # {"e} ^ {"t} # $rt {2} ## {e} ^ {t} # {e} ^ {"t} # 0 #
j, 0 − t − t t t ‖ ‖ 2∗(e − e ) 2∗(e − e ) √ √ √ 2 = = k = −t 2 3 3 t −t − t t t ( +− ) e e ‖√ e +− e + √ 2‖ ‖√ e +−e + √ 2‖
❑ ( e , −e− , √ 2 ) x ( e , e− ,0 )∗( e , −e− , 0 ) ‖ −‖1&1&0‖ = " = − − ‖( e +−e− + 2 )‖ ‖( e , −e , √ 2 ) x ( e , −e , 0 )‖ t
t
t
" =
−√ 2 ( e +−e−t )2 t
t
t
t
t
t
t
t
2
t
t
2
16.-
f ( t )=( !cosht , !senht ,$t ) tiene curvatura y
Demuestre que la curva
Torsión iguales en dos puntos , si y solo si
! =$
f ( t )=( !cosht ,!senht ,$t )
•
Tenemos en cuenta. −t −t t t e −e e +e Senht = ;Cosht = 2 2
(( ) ( (( ) ( (( ) ( (( ) ( −t
t
e +e f ( t )= ! 2
t
−t
t
e −e f # ( t )= ! 2
,!
e
−t
t
e +e f # # ( t )= ! 2
,!
e −e f # # # ( t )= ! 2
t
,!
−t
, $t
−t
e 2
t
e
−t
t
) ) + )) − )) + ))
e −e ,! 2
e
,$
− t
e 2
t
,0
− t
e 2
,0
‖f ( t ) x f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} k = ‖f (t ) x f (t )‖ #
#
##
= {left ldline {
2
f ( t ) xf (t)= left [matrix {i # # ! ## a( {{e} ^ {t} " {e} ^ {"t}} over {2} ) # a ( {{e} ^ {t} {e} ^ {"t}} #
f ( t ) xf (t)=(0"a ( {{e} ^ {t} " {e} ^ {"t}} over {2} ))i & "(0"a ( {{e} ^ {t} {e} ^ {"t}} over {2} )) & #
f ( t ) xf (t)=(("a ( {{e} ^ {t} " {e} ^ {"t}} over {2} ))i &(a ( {{e} ^ {t} {e} ^ {"t}} over {2} )) & ( {( a #
f ( t ) xf (t)=(("a ( {{e} ^ {t} " {e} ^ {"t}} over {2} )) &(a ( {{e} ^ {t} {e} ^ {"t}} over {2} )) & 0) #
‖
‖
t t − −t + −t −!$ ( e e ) , ! $ ( e e ) , 0
k =
2
2
‖( ) ( ) ‖ t
!
−t
e −e 2
t
,!
3
−t
e +e 2
,$
!$ 2 t −2 t √ e + e −2 t 2 t 2 e +e √ √ = = 3 3 −2 t 2t ! −2 t 2 t + + e e 1 √ e + e +1 √ 2 √
‖
" =
(
−t
t
t
)(
− t
‖
−t
t
t
−t 2
t
‖
t
− t
−t
t
,0
2
−t 2
− + −! $ ( e e ) , !2 $ ( e e ) , 0 ‖ 2 2 2
)‖
‖
−t
t
− t
t
e +e ,! 2
e −e e +e −!$ ( ), ! $( ),0 2 2
‖
" =
−t
t
− + − −!$ ( e e ), ! $ ( e e ) ,0 ¿ ! e e 2 2 2
‖
e −e e +e −!$ ( ), ! $( ) ,0 2 2
2
− √ e +e = √ e + e− + 1 2 t
2 t
2t
2t
3
17.- Hallar la curvatura camino f ( t )=( e sen 2t , e +o 2t ,2 e ) en t =0 t
t
t
f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} # f ( t ) x ¿
¿ k =¿
f ( t )=( e sen 2t , e +o 2t ,2 e t
t
)
t
f ( t )=( f ( 1 ) , f ( 2) , f ( 3 ))
Derivamos por partes: # t t f ( 1 ) =2 ( e +o2 t ) + e sen 2 t f ( 1 ) = f ( t =0 ) =2 #
#
−+o#2 t t t e (¿)+ 2 ( e +o#2 t ) + 2 e +o#2 t + e sen 2 t # # f ( 1 )= , ¿ t
t
−+o2t t t e (¿)+ 2 ( e +o2 t ) + 2 e +o2 t + e sen 2t # # f ( 1 )= , ¿ t
t
f (1 ) =e sen 2 t # #
t
❑
f (1 ) =f ( t =0 )= 0 # #
# #
e
¿
−sen 2 t ) 2¿ ¿ # f ( 2 ) =¿ f ( 2 )= f ( t =0 ) =1 #
#
e
¿
−sen 2 t e
¿
2¿ ,¿
¿ f ( 2 )=¿ # #
e
¿ −sen 2 t e
¿
2¿ ,¿
¿ f ( 2 )=¿ # #
f (2 )=e +o2 t # #
t
f ( 2 )=f ( t = 0 )= 1 # #
# #
f ( 3 ) =2 e #
t
f ( 3 ) = f ( t = 0 ) =2 #
#
f # ( 3 ) =2 e #
t
f # ( 3 ) = f ( t =0 ) =2 #
# #
Remplazamos en la ecuación # ⇒ f ( t = 0 ) =(2 , 1 ,2 ) ⇒ f ( t =0 )=( 0 , 1 ,2 ) ##
f ( t ) xf (t)= left [matrix {i # # ! ## 2 # 1 # 2 ## 0 # 1 # 2} right % =(0 & , & 2) #
k ( t ) =
k ( t ) =
2 √ .
‖( 2 ,1 , 2 ) x ( 0 ,1 , 2 )‖ ‖( 0 , , ,2 ) ∥ 2 √ = =¿ 3
‖( 2 ,1 , 2 )‖
3
‖( 2 ,1 , 2 )‖
.
(
)
t t = f t 2+oh , 2 senh , 2t en t =0 ( ) 18.- Hallar la curvatura camino 2 2
solución
(
f ( t )= 2+oh
)
t t , 2 senh , 2t en t =0 2 2
Recordemos: −t
t
e −e 2
t
senh = 2
(
; +o#h = 2
−t
t 2
e +e ⇒ f ( t ) =2 2
(
⇒ f ( t ) = e
⇒ f # ( t )=
(
t 2
e +e 2
t
2
−t
t
2
2
)
−t
t 2
2
e − e 2 , ,t 2
2
− t
)
−t
t 2
+ e , e − e 2 , 2 t 2
t 2
−t 2
t 2
−t
e e e e 2 − , + ,2 2 2 2 2
)
⇒ f # ( t = 0 )=( 0 , 1 ,2 )
(
t 2
−t
t 2
−t
e e e e2 = + − ( ) ⇒ f # # t , ,0 ,
2
,
,
,
)
⇒ f # # ( t = 0 ) =( 0/- , 0 , 0 )
f ( t ) xf (t)= left [matrix {i # # ! ## 0 # 1 # 2 ## 0/- # 0 # 0} right % =(0 & 1 & 0) #
Remplzando en la ecuación: f (t) right rdline right none} over {{left ldline {f} ^ {'} left (t right ) right rdline} ^ {3}} = {left ldline lef
k =
1 1
1.- Hallar la curvatura y la torsión del camino f ( ts )=
(
,
s
!olución:
3 +o# ( s ) , 1− sen ( s ) ,− +o# ( s )
s
)
en s = π sien%o # l!longit&% %e !'co(
‖f ( t ) x f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} k = ‖f ( t ) x f ( t )‖ #
#
Remplazando : f ( s ) =
(
, 3 +o ( s ) , 1− sen ( s ) ,− +o ( s ) s s
f ( s ) = ( , s +o ( s ) , 1− sen ( s ) ,−3 s −1
−1
f ( s ) = ( f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f ( s 3 ) )
Derivamos por parte: −1 f ( s 1 ) = , s +o ( s )
(s) −sen ¿− , ¿ −1 # f ( s 1 )= , s ¿ ( π ) −sen ¿−, ¿ − # f ( s = π ) = , π ¿ 1
f ( s 1 )= f ( s = π )=¿ #
#
(s ) −+o ¿− , s (−sen ( s ))− , ¿ −1 ## f ( s 1 )= , s ¿ −2
(s) −+o ¿+ s−2 ( sen ( s )) ¿ −1 ## f ( s 1 ) =, s ¿
( π ) −+o ¿+ s−2 ( sen ( π )) ¿ −1 ## f ( s= π )=, s ¿ f ( s 1 ) = f ( s =π )=¿ ##
##
f ( s 2 ) =1− sen ( s )
)
+o ( s ) )
# #
2
= {left ldline {f} ^
f ( s 2 )=−+o ( s ) #
f ( s = π ) =−+o ( π ) #
f ( s 2 )= f ( s = π ) =¿ #
#
f # ( s 2 )= sen ( s ) #
f # ( s = π ) =sen ( π ) #
f # ( s 2 )= f # ( s= π ) =¿ #
#
−1
f ( s 3 ) =−3 s
+o ( s )
( s) −sen ¿−3 ¿ −1 # f ( s 3 )= 3 s ¿ ( π ) −sen ¿−3 ¿ − # f ( s = π ) = 3 π ¿ 1
f ( s 3 )= f ( s= π )=¿ #
#
(s ) −+o ¿+ s−2 ( sen ( s )) ¿ −1 ## f ( s 3 )=3 s ¿
( π ) −+o ¿+ π −2 ( sen ( π ) ) ¿ −1 ## f ( s = π )=3 π ¿
( π ) −+o ¿+ π −2 ( sen ( π ) ) ¿ −1 ## f ( s = π )=3 π ¿ ##
##
f ( s 3 ) =f ( s = π )=¿
Remplazando se tiene: f ( t ) right rdline right none} over {{left ldline f '( t ) right rdline} ^ {3}} = {left ldline {f} ^ {'} left ( 1
k =1
‖f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f ( s 3 ) x f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f ( s 3 )∗f ( s)‖ = 0 " = ‖f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f ( s 3 ) x f ( s 1 ) , f ( s 2 ) , f # ( s 3 )‖ #
#
#
#
# #
#
# #
#
# #
##
## #
# #
2
#
" =0
"#.- Hallar la curvatura de la curva en R 1
2
π ) son: x = +o 2 %) , 0
∫
1
∫ 0
3
, cuyas ecuaciones paran$%ricas.
2
π ) sen %) k = πt !plic!' l! fo'm&l! , en 1/2 2
solución t
La curva defnida por
∫ +o#
f ( t )=(
π * 2
0
t
2
%* ,
∫ sen
π *
2
2
0
%* , 1 )
Haciendo un pequeño artifcio:
Nuestra unción quedara así: (
t
∫ 2 sen ( π * ) %* , 1
2+o ( π * ) %* , 2
2
0 t
∫ ¿¿ 0
a) erivando la unción: t
∫
% ( 2+o ( π * ) %* , 2
0 •
t
∫ 2 sen ( π * ) %* , 1 ) 2
0
!uedar" de la si#uiente $anera: 2
π t
¿ ¿
2+o ( , 2 sen ( π t ) , 0 ¿ ) f # ( t )=¿ 2
•
Hallando la se#unda derivada: f left (t right ) = left ("2 en( { {t} ^ {2} )2t} &2+o left ( {t} ^ {2} right ) 2t& 0 right )
•
Hallando la curvatura(%): f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} # f ( t ) x ¿
¿ k =¿
f ( t )∗f (t)= left [matrix {i # # ! ## 2 +o ( {t} ^ {2} ) # 2en( {t} ^ {2} ) # 0 ## "2en left ( { #
, +o ( π t ) 2 πt + , sen ( π t ) 2 πt i ( 0 ) ,− ( 0 ) , k ¿ 2
2
2
2
k = πt
Hallando el $odulo:
•
‖√ ( πt ) ‖ 2
&
πt
'o$o a conoce$os la pri$era derivada pode$os allar el $ódulo de la si#uiente $anera:
•
2
2+o ( π t )
¿ ¿ ¿ √ ¿
‖f # (t )‖ &
‖f # (t )‖ &
2 √ 2
*ee$pla+ando en la ecuación de la curvatura: √ 2 2¿
¿ ¿ | πt (0&0&1 )| k = ¿ k =πt
−)
"1.- Hallar la curvatura de la espiral logar&tmica : ' = e
para todo t ,
' (ue resultado se o)tiene si tiende al in%inito. Solución:
*esolviendo por cordenadas polares tene$os que: −)
x = 'cos) , y ='sen) pe'o : ' = e −)
x = e
−)
cos), y =e
sen) pe'o
La curva parametrica: e (¿ ¿−)cos),e−) sen) ) C : f () )=¿ Derivando:
−e −)
(¿ ¿−)sen) −e cos),e−) cos) − e−) sen) ) # f ( ) )=¿ −)
f ( ) ) = e (− sen)− cos),cos) − sen) ) #
−)
−)
f ( ) ) = e (− sen)− cos) ) , e (cos) − sen) ) #
## () )
f
=e−) ( (−cos) + sen) ) −(−sen) −cos) ) , (−sen) − cos) )− ( cos) −sen) )) −)
f () )= 2 e ( sen) ,− cos) ) ##
f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} # f ( t ) x ¿
¿ k =¿
⇛ f ( t ) xf (t)= left [matrix { #
{e} ^ {"} ("en"+o )
#
{e} ^ {"} (+o" en)
## {2e} ^ {"} (e
f ( t ) xf (t)= {e} ^ {"} ("en"+o )* {2e} ^ {"} ("+o)" {2e} ^ {"} (en )* {e} ^ {"} (+o" en) #
f ( t ) xf (t)= {2e} ^ {"2} (en*(+o) {+o } ^ {2} )" {2e} ^ {"2} (en )* (+o)" en) #
f ( t ) xf (t)= {2e} ^ {"2} #
f ( t ) xf (t) right rdline = {e} ^ {"} $rt {2} #
¿
‖f # ( ) )‖=√ e−2) (−sen) −cos) )2 +e−2) ( cos) −sen) )2 ❑ ‖f # ( ) )‖=√ e−2) ( sen)2 + 2 cos)sen) + cos)2 ) + e−2 ) ( sen) 2−2 cos)sen) + cos)2 )
‖f # ( ) )‖=√ 2 e−2 )= e−) √ 2 f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} = {{e} ^ {"} $rt {2}} over {{le # f ( t ) x ¿
¿ k =¿
2)
k =
e
√ 2
2
"".- Hallar la curvatura de la espiral de *rqu&medes
' =) para toda t
'(ue resultado. x = 'cos), y = 'sen) pe'o : ' = ) x =) cos) , y = )sen)
La curva parametrica: C : f ( ) )=( )cos),)sen) ) f # () )=(−) sen ) + +o# ) , ) +o# ) + sen) )
f - # ( ))=(−)cos) −sen) − sen),−)sen) + cos) + +o )) f - # ( ))=(−)cos) −sen) − sen), −)sen) + cos) + cos) ) f - # ( ))=(−)cos) − 2 sen), −)sen) + 2+o ) ) ⇛ f ( t ) xf (t)= left [matrix {i # # ## "en +o # +o en # 0 ## "+o "2en # "en 2+ #
⇛ f ( t ) xf (t)= 0&0&( "en +o )* ( "en 2+o )" ( "+o "2en )* ( +o en ) #
⇛ f ( t ) xf (t)= 0&0&( "en +o)* ("en 2+o )( +o 2en)* (+o en) #
Remplazando en la ecuacion: f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} # f ( t )∗¿
¿ k =¿
"+.- alcular el radio de la curvatura de la carioide ' =1 + cos),en)= 0 Solución
'o$o radio de la curvatura es: . ( ) )=
1
k ( ) )
La ecuación de la curvatura es () f (t) right rdline right none} over {{left ldline f'(t) right rdline} ^ {3}} # f ( t )∗¿
¿ k =¿
*esolviendo por cordenadas polares tene$os que:
2
) +2
= ( )2+ 1 )3/ 2
x ='cos) , y ='sen) pe'o ' = 1+ cos) C ='cos) , y ='sen) pe'o ' =1 + cos)
-ntonces la curva de la carioide .'/ esta epresada por : C : x =( 1+ cos) ) cos), y =( 1 + cos) ) sen)
La curva en or$a para$etri+ada es :
( 1 +cos) ) cos) , ( 1+ cos) ) sen) )) f ( ) )=¿ f ( ) ) =( (1 + cos) ) (− sen) )− sen)cos) ) , ( 1 + cos) ) cos) + (−sen) ) cos) #
f ( ) ) =( (−sen) ) −2 sen)cos) ) , ( cos) + cos) )− ( sen) ) cos) #
2
f ( ) ) =( (−sen) ) −sen 2 ) ) , ( cos) + cos) )−( sen) ) cos) #
2
f ( )= 0 ) =( (− sen 0 )− sen 20 ) , ( +o0 + +o0 ) −( sen 0 ) +o 0 #
2
f ( )= 0 ) =0& 2 , 0 #
f ( ) )=( (−+o ) ) − +o2 ) ) , ( −sen)−2 sen) ) + 1 # #
f ( ) =0 )= ( (−+o0 ) − +o20 ) , (−sen 0 −2 sen 0 ) # #
f ( ) =0 )=−2, 0&0 # #
‖0&2&0 x −2&0&0‖= , / 3
k =
3
‖0&2&0‖
