solucionario coveñas matemax 1

Primer año de secundaria

Solucionario Primer año de educación secundaria

-1-

Manuel Coveñas Naquiche

-2-


CAPÍTULO N°1 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 22, 23, 24) NIVEL I Resolución

1

• A = {x/ 5 < x < 7 ; “x” es un número natural} à

Resolución

Veamos:

5 < x < 7 → x = 6 → A = {6}

*

• B = {x/ 3x - 1 = 8 ; “x” es un número natural} à

3x − 1 = 8 → x = 3 → B = {3}

∴ A y B son conjuntos Unitarios Rpta.: C Resolución •

2

Veamos:

A = {x/ “x” es un número natural mayor que 5} à A = {6; 7; 8; 9; ... }

•

Tenemos:

Es verdadero (E)

Resolución

5

Rpta.: E

Veamos:

B = {x/ ”x” es una fiera} à B = {tigre, ... }

•

← Conjunto

∴

4

A = {{a}; b; {c}; {d; e}} Luego: A) {c} ⊂ A ← (F) B) a ⊂ A ← (F) C) b ⊂ A ← (F) D) {d; e} ⊂ A ← (F) E) {{d; e}} ⊂4 A ← (V) ; {d; e} ∈ A 14 4 24 3 14243

← Conjunto

C = {x/ “x” es un mamífero} à C = {vaca; carnero; .... } ← Conjunto

∴

Tenemos: VVV Rpta.: C

Resolución

*

3

Tenemos:

*

Luego: • M = {1; 3; 4; 5; 6} • N = {4; 5; 7} • P = {2; 3; 4}

*

Ahora: A) M = {1; 3; 4; 5; 6; 7} B) N = {4; 5; 6; 7} C) P = {2; 3; 4; 6} D) N = {4; 5; 7} E) Ninguna

Ahora:

Resolución

• A = {1; 3; 8; 9; 4}

•

Luego: I. 8 ∈ A II. 4 ∈ C III. 3 ∉ B IV. 1 ∈ B V. 5 ∉ A VI. 9 ∉ C

• ← ← ← ← ← ←

(V) (V) (V) (F) (V) (V)

∴ Tenemos: VVVFVV Rpta.: D

Tenemos:

3
→ x = {4; 5; 6}

à 4x = {16; 20; 24} → A = {16; 20; 24}

• C = {5; 6; 8; 4} *

Rpta.: D

A = {4x/ x ∈IN ;3 < x ≤ 6} à

• B = {2; 6; 7; 8; 9}

6

(F) (F) (F) (V) (F)

B = {5x/ x ∈IN ; 3 < x ≤ 5} à 3 < x ≤ 5 → x = {4; 5} à 5x = {20; 25} → B = {20; 25}

* Graficando:

* Luego: A) B ⊂ A ....................................... (F) B) 20 ∈ {16; 20; 24} ...................... (V) C) 20 y 25 ∈ {20; 25} .................... (V) D) {20} ⊂ {20; 25} .......................... (V) E) B ⊄ A ........................................ (V) ∴ -3-

Es falso (A)

Rpta.: A

Manuel Coveñas Naquiche Resolución

7

III. P = {2x/x ∈ IN ∧ 0 ≤ x ≤ 5} à 0 ≤ x ≤ 5 à x = {0; 1; 2; 3; 4; 5} à 2x = {0; 2; 4; 6; 8; 10}

Veamos:

∴ P = {0; 2; 4; 6; 8; 10} ................ (F) *

Ahora: cumple solo II Rpta.: B

Resolución

*

2

Tenemos:

Luego: I. C ⊂ A .......................................... (V) II. B ⊂ A .......................................... (F) III. C ⊂ B ........................................ (V) ∴

Son verdaderas I y III

Resolución

8

* Aquí: C ⊂ B ⊂ A ⊂ U * Luego:

Rpta.: B Rpta.: B

Tenemos: Resolución

A = {3x/ x ∈ IN ; 2 < x ≤ 6} à

2 < x ≤ 6 → x = {3; 4; 5; 6}

à

3x = {9; 12; 15; 18} → A = {9; 12; 15; 18}

3

Tenemos:

* Me piden:

Conjunto " A" I FH por extensión K = A = {9; 12; 15; 18}

Rpta.: C Resolución •

9

Tenemos:

Resolución • •

10

RS DC ⊂⊂ BA ⊂⊂ UU T

* Luego:

B= − 3/ x ∈ IN ; 3 ≤ x < 6} à 3 ≤ x < 6 à x = {3; 4; 5} à x2 − 3 = {6; 13; 22} {x2

à B = {6; 13; 22}

* Aquí:

Rpta.: D

Rpta.: C

Resolución

Tenemos:

4

Tenemos:

a) P(A) = 128 à

D = {1; 3; 5; 7; 9; 11} Sea: x = {1; 2; 3; 4; 5; 6} à 0 < x ≤ 6 ∧ x ∈ IN

2n(A)

b) P(B) = 163 à 2n(B) = 163 = (24)3 à 2n(B) = 212 à n(B) = 12 ∴ n(A) y n(B) = 7 y 12

Además: 2x − 1 = {1; 3; 5; 7; 9; 11} = D

Resolución

∴ D = {2x − 1/x ∈ IN ∧ 0 < x ≤ 6}

A=

Rpta.: C

{5a−1

5 ;

Resolución

1

•

Veamos:

P = {2; 4; 6; 8; 10} *

Como: A = B

Tenemos:

Veamos las alternativas: I. P = {x/ x ∈ IN ∧ x < 9} à x < 9 à x = {0 ;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ∴ P = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} .......... (F) II. P = {(2x + 2)/ x ∈ ¥ ∧ 0 ≤ x < 5 à 0 ≤ x < 5 à x = {0; 1; 2; 3; 4} à 2x + 2 = {2; 4; 6; 8; 10} ∴ P = {2; 4; 6; 8; 10} .................... (v)

à *

Rpta.: D

4b+2}

B = {125 ; 64} NIVEL II

= 27 à n(A) = 7

RS a − 1 = 3 T b+2 = 3

à

RS 5 T4

à

a −1 b +2

= 125 = 53 = 64 = 43

RS a = 4 T b =1

Además: C = {x3/ x ∈ IN ∧ b ≤ x ≤ a}

à

C = {x3/ x ∈ IN ∧ 1 ≤ x ≤ 4}

à

x ∈ IN ∧ 1 ≤ x ≤ 4 à x = {1; 2; 3; 4}

à

x3 = {1; 8; 27; 64}

∴

C = {1; 8; 27; 64}

* Me piden: Σ elementos (C) = 1+8+27+64 = 100 -4-

Rpta.: C


Resolución

6

Tenemos: A = {2; 8; {9}}

*

n[P(B)] = 2n(B) = 25 = 32

Luego: I. 2 ⊂ A ...................... (F)

*

à n[P(B)] = 32

porque 2 ∈ A II. {8} ⊂ A ................... (F) porque {8} ⊂ A

Me piden:

Resolución

11

Rpta.: B Tenemos:

A = {2x/x ∈ IN ∧ 2 ≤ x ≤ 10}

III. {2; 8} ⊂ A .............. (V)

à x ∈ IN ∧ 2 ≤ x ≤ 10

porque {2; 8} ∈P(A) à {2; 8} ⊂A

à x = {2; 3; 4; ... ; 10}

IV. {9} ∈ A .................. (V)

à 2x = {4; 6; 8; 10; ... ; 20}

∴ Son ciertas 2 afirmaciones

∴ A = {4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}

Rpta.: B Resolución

Rpta.: D

7

* Tenemos; los conjuntos unitarios:

Resolución Q=

• A = {x + 7 ; 2x + 5} à x + 7 = 2x + 5

à x=2

à

y=3

Resolución

R| A = φ S|B = {0} TC = {φ }

Veamos: ⇒ n( A ) = 0 ⇒ n(B ) = 1 ⇒ n( C ) = 1

∴ n(B) = n(C) Resolución

9

(=s)

• III. {e} ∈R ... (F) porque {e} ⊂ R ∴

•

I. M = {x/x ∈ IN ∧ x < 6} à x ∈ IN ∧ x < 6 → x = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ∴ M = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ................ (F) II. M = {(2x + 1)/ x ∈ IN ∧ 1 ≤ x < 6} à x ∈ IN ∧ 1 ≤ x < 6 à x = {1; 2; 3; 4; 5} à (2x + 1) = {3; 5; 7; 9; 11} ∴ M = {3; 5; 7; 9; 11} .............. (V)

•

III. M = {(2x − 1)/ x ∈IN ∧ 1< x < 6} à x ∈ IN ∧ 1 < x < 6 à x = {2; 3; 4; 5} à (2x − 1) = {3; 5; 7; 9} ∴ M = {3; 5; 7; 9} ... (F)

∴

Cumple: solo II

Resolución

10

Luego:

porque {{c}} ∈ P(R) à {{c}}⊂ R

Tenemos:

Luego:

Tenemos:

porque a ∈ R ∧ b ∈ R • II. {{c}}⊂ R .... (V)

Rpta.: C

*

13

• I. a ∧ b ∈ R .... (V)

M = {3; 5; 7; 9; 11}

•

∈IN ∧ 2 ≤ x ≤ 5}

R = {a; b; {c}; d; e} *

8

Tenemos:

∴ Q = {1; 2; 4; 8; 16; 32} Rpta.: A

* Me piden: x + y = 2 + 3= 5 Rpta.: A Resolución

12

à x ∈ IN ∧ 0 ≤ x ≤ 5 à {0; 1; 2; 3; 4; 5} à 2x = {1; 2; 4; 8; 16; 32}

• B = {y − 3 ; 5y − 15} à y − 3 = 5y − 15 12 = 4y

{2x/x

Rpta.: A Tenemos:

B = {x/ x ∈ IN ∧ 0 < x ≤ 5} à

x∈IN ∧ 0 < x ≤ 5 à x = {1; 2; 3; 4; 5}

∴

B = {1; 2; 3; 4; 5} à n(B) = 5 -5-

Son falsas solo III

Rpta.: C

Manuel Coveñas Naquiche EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 39, 40, 41)

NIVEL I Resolución

1

o

B = {x∈ IN /x es 4 ∧ 3 < x < 30}

•

o

à x es 4 ∧ 3 < x < 30 à x = {4; 8; 12; 16; 20; 24 ; 28}

Veamos:

• A = {x/x es una letra de la palabra “teléfono”}

∴ B = {4; 8; 12; 16; 20; 24; 28}

∴ A = {t; e; l; f; o; n} • B = {x/x es una letra de la palabra “elefante”}

Ahora:

*

∴ B = {e; l; f; a; n; t}

A∪B = {4; 5; 8; 10; 12; 15; 16; 20; 24; 28}

* Me piden: A∩B = {e; t; l; f; n} Rpta.: E

*

Luego: n(A∪B) = 10 Rpta.: C

Resolución Resolución

2

Tenemos:

R| A = l1; 2; 3; 7q S| B = l2; 5; 6; 7q T C = l3; 4; 5; 7q

Veamos:

A = {x/x es dígito y 2 ≤ x ≤ 6} à 2≤ x ≤ 6 à x = {2; 3; 4; 5; 6} ∴ A = {2; 3; 4; 5; 6}

* Ubicando los elementos en el siguiente gráfico: *

•

5

Me piden:

•

B = {x ∈IN /x2 = 9} ∴ B = {3}

à x2 = 9 à x = 3 •

C = {x ∈ IN /x − 2 = 4 } à x−2=4 à x=6

*

Me piden: (B∪C)∩A = {3; 6} ∩ {2; 3; 4; 5; 6} (B∪C)∩A = {3; 6} Rpta.: C

Resolución

S

= {2; 3}

Resolución

3

∴ C = {6}

6

Tenemos:

Rpta.: C

Tenemos:

A = {x∈ IN /3 ≤ x ≤ 9}

•

à 3 ≤ x ≤ 9 à x = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ∴ A = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} •

*

B = {x∈IN /5 < x < 11} à 5< x < 11 à x = {6; 7; 8; 9; 10} ∴ B = {6; 7; 8; 9; 10}

•

C = {7; 8; 9}

*

Me piden:

Luego: • P = {3; 5; 6; 7; 9} • Q = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8} • R = {2; 4; 6}

Me piden: * (P∪R)∩Q = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 9} ∩ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}

(A∩B)∩C = {6; 7; 8; 9} ∩ {7; 8; 9} = {7; 8; 9}

à

(P∪R)∩Q = {2; 3; 4; 5; 6}

Resolución

à

(A∩B)∩C = {7; 8; 9}

Rpta.: D

7

n[(P∪Q)∩R]

Rpta.: D

Tenemos: ← máximo

à R⊂(P∪Q) ∧ P; Q ← disjuntos Resolución •

4

Tenemos: o A = {x ∈ IN /x es 5 ∧ 4 < x < 21} o à x es 5 ∧ 4 < x < 21 à x = {5; 10; 15; 20}

*

Luego: n(P∪Q) = n(P) + n(Q) = 5 + 3 = 8 à n(P∪Q) = 8

*

∴ A = {5; 10; 15; 20}

Como R⊂(P∪Q) à n[(P∪Q)∩R] = n(P∪Q) = 8 ∴ n[(P∪Q)∩R] = 8

-6-

Rpta.: D


Resolución

8

* Graficando:

Tenemos:

R|n(A ) = 5 S|n(B) = 4 Tn(C) = 3 *

Me piden:

à

n(A ∩ B) ← mínimo ⇒ n(A ∩ B) = 0  ← mínimo ⇒ n(C) = 3 n(C)

*

Luego: n[(A∩B)∪C] = n[φ∪C] = n(C) = 3

*

n[(A∩B)∪C] ← mínimo

∴ n[(A∩B)∪C] = 3 Resolución

9

Me piden: (A∪B)∆C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ∆ {3; 4; 7; 8; 9; 10} à (A∪B)∆C = {1; 2; 5; 6; 10} Rpta.: D

Resolución

12

Tenemos:

Rpta.: A

Tenemos:

• A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} • B = {4; 6; 8} • C = {2; 4; 6; 7} *

∴ S ≡ (A ∩ B C) − B

Me piden: A − (C − B) = A − {2; 7} A − (C − B) = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} − {2; 7}

Resolución

A − (C − B) = {3; 4; 5; 6; 8}

• Rpta.: B

Resolución

10

13

Rpta.: C

Tenemos: o

A = {x ∈ IN /x es 4 ∧ 3 < x < 17} o

à x es 4 ∧ 3 < x < 17

Veamos:

à x = {4; 8; 12; 16} ∴ A = {4; 8; 12; 16} •

o

B = {x ∈IN /x es 6 ∧ 5 < x ≤ 30} o

à x es 6 ∧ 5 < x ≤ 30 à x = {6; 12; 18; 24; 30} *

∴ B = {6; 12; 18; 24; 30}

Del gráfico: • A = {1; 2; 4} • B = {2; 3; 4; 5; 6} • C = {4; 6; 7}

*

A − B = {1} B − C = {2; 3; 5}

•

C = {x∈ IN /x ≤ 15} à x ≤ 15 à x = {1; 2; 3; ... ; 15} ∴ C = {1; 2; 3; 4; ... ; 15}

Me piden: (A − B ) ∪ (B − C) = {1} ∪ {2; 3; 5}

*

à (A − B) ∪ (B − C) = {1; 2; 3; 5}

• (A∆B) = {4; 8; 12; 16} ∆ {6; 12; 18; 24; 30} Rpta.: D

Resolución

11

Tenemos:

• A = {3; 5; 7; 9} • B = {1; 2; 4; 6; 8} • C = {3; 4; 7; 8; 9; 10}

Ahora:

à A∆B = {4; 6; 8; 16; 18; 24; 30} • (B∆C) = {6; 12; 18; 24; 30; } ∆ {1; 2; 3; ... ; 15}∩ à B∆C = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 18; 24; 30} *

Me piden: (A∆B)∩(B∆C) = {4; 8; 18; 24; 30} Rpta.: D

-7-

Manuel Coveñas Naquiche Resolución

14

Resolución

Veamos:

3

Veamos:

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} A = {1; 3; 5; 7; 9} B = {2; 3; 4} *

Me piden : (A − B)’ = ({1; 3; 5; 7; 9} − {2; 3; 4})’ (A − B)’ = ({1; 5; 7; 9})’ (A − B)’ = U − {1; 5; 7; 9} (A − B)’ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} − {1; 5; 7; 9}

*

Del gráfico: • U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} • A = {1; 2; 3; 4} • B = {2; 3; 6; 7; 10; 11} • C = {7; 8; 9; 10} • D = {3; 4; 5; 6; 7; 8}

*

Ahora:

∴ (A − B)’ = {2; 3; 4; 6; 8; 10} Rpta.: B NIVEL II Resolución •

1

Tenemos:

•

IN = {0; 1; 2; 3; 4; ...} A = {x/x ∈ IN ; x es múltiplo de 3}

o

à x es 3

B = {x/x ∈ IN ; x es múltiplo de 4}

o à x es 4 à x = {0; 4; 8; 12; 16; ...} ∴ B = {0; 4; 8; 12; 16; ...}

•

• (A∩D) = {3; 4}

à x = {0; 3; 6; 9; 12; ...}

∴ A = {0; 3; 6; 9; 12; ...} •

C = {x/x ∈IN ; x ≤ 25}

(B∪C) = {2; 3; 6; 7; 8; 9; 10; 11}

à (B∪C)’ = {1; 4; 5} à (A∩D)’ = {1; 2; 5; 6; 7; 9; 10; 11} *

Me piden:

(B∪C)’ - (A∩D)’ = {1; 4; 5} − {1; 2; 5; 6; 7; 8;9;10; 11} ∴

(B∪C)’ − (A∩D)’ = {4}

Resolución

4

Rpta.: C

Tenemos:

à x∈ IN ; x ≤ 25 à x = {0; 1; 2; 3; ...; 25} ∴ C = {0; 1; 2; 3; ... ; 25} *

Ahora: A∩B∩C = {0; 12; 24} à n(A∩B∩C) = 3

*

Me piden: n(A∩B∩C) = 3 Rpta.: C

*

Además: • n(A∪B) =15

Resolución •

2

Veamos:

Como: A⊂B à n(A∪B) = n(B) = 15

A = {x/ 9 ≤ x2 ≤ 300 ; x ∈ IN } à 9 ≤ x2 ≤ 300 à 3 ≤ x ≤

à n(B) = 15 300

*

Me piden: n(B) = 15

Rpta.: C

à x = {3; 4; 5; 6; ... 17} ∴ A = {3; 4; 5; 6; ... 17} •

Resolución

B = {x/ 2x − 5 ≤ 30 ; x ∈ IN }. à 2x − 5 ≤ 30 à 2x ≤ 35 à x ≤ 17,5

*

Me piden: n(A∩B) = 15

Tenemos:

M = {a; c; d; e; f; g} N = {b; c; d; f; g; h} T = {e; f; i}

à x = {0; 1; 2; 3; ...; 17} ∴ B = {0; 1; 2; 3; ... ; 17} Ahora: * (A∩B) = {3; 4; 5; 6; ... ; 17} à n(A∩B) = 15

5

*

Rpta.: C

-8-

Ahora:


* Luego:

* Graficando las alternativas:

• S1 = M − N = {a; c; d; e; f; g} − {b; c; d; f; g; h}

I. (A − B) ∩ (C − B)

∴ S1 = {a; e} • S2 = N∩T∩M = {b; c; d; f; g; h} ∩ {e; f; i} ∩ {a; c; d; e; f; g} ∴ S2 = {f} II. (A ∩ C) − B

• S3 = T − M = {e; f; i} − {a; c; d; e; f; g} *

∴ S3 = {i} Me piden: S

Sí cumple.

= S1∪ S2 ∪ S3 = {a; e} ∪{f}∪{i}

∴ S

= {a; e; f; i}

Resolución

6

Rpta.: D

III. (A ∩ B) − C

Tenemos:

A = Conjunto de adultos B = Conjunto de personas que beben Coca Cola *

Me piden: ∴

No Adultos que No beben Coca Cola 14243 424444 3 ∩ 1444 A' B'

∴ ≡ A’ ∩ B’

Corresponde: I y II

Resolución

Rpta.: D

9

Rpta.: C

Tenemos:

• A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Resolución

7

Tenemos:

• B = {2; 4; 6; 8; 10} • C = {n/n = 2k + 1 ∧ 0 < k < 5}

A×B = {(1; 4); (1; 5); (2; 4);(2;5);(4;4);(4;5)} à

RS A = {1; 2; 4 } T B = {4; 5 }

à 0 < k < 5 à 2k + 1 = {3; 5; 7; 9} à n = {3; 5; 7; 9} ∴ C = {3; 5; 7; 9}

C = {2; 4; 6} *

*

*

Ahora: • (B − C) = {4; 5} − {2; 4; 6} = {5} • (C − B) = {2; 4; 6} − {4; 5} = {2; 6}

à (A∪B) − C = {1; 2; 4; 6; 8; 10}

Me piden:

∴ n[(A∪B) − C] = 6

[(B − C) ∪ (C − B)] − A = [{5} ∪ {2; 6}] − {1; 2; 4} = {2; 5; 6} − {1; 2; 4} = {5; 6} ∴ [(B − C) ∪ (C − B)] − A = {5; 6} Rpta.: A

Resolución

8

Me piden: n[(A∪B) − C] à (A∪B) − C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10} − {3; 5; 7; 9}

Rpta.: B

Resolución 10 Tenemos: U = {1; 2; 3; ... ; 12} A = {2; 4; 6; 9; 10; 12} B = {1; 2; 5; 6; 8; 10; 11} *

Luego:

*

Me piden:

Tenemos:

A’ = U − A = {1; 2; 3; ...; 12} − {2; 4; 6; 9; 10; 12} ∴ A’ = {1; 3; 5; 7; 8; 11} A’ − B = {1; 3; 5; 7; 8; 11} − {1; 2; 5; 6; 8; 10; 11} ∴ A’ − B = {3; 7} à n(A’ − B) = 2

-9-

Rpta.: E

Manuel Coveñas Naquiche Resolución *

C) (A − B)’ ∩C

11

Graficando cada alternativa: A) (B∩C) − A

D) (A − B)’ ∩(A∪C) Sí

B) (A∩C) − B

Sí cumple

E) (C − A) ∪B

Sí

C) (A∩B) − C

∴

Corresponde: (D)

Resolución

13

Rpta.: D

Veamos:

D) (A∪C) − B

E) (B∪C) − A

*

Según datos: • n(A∩B) = 3

à y=3

• n(B) = 11 à y + z = 11 3 + z = 11 à z = 8 • n(A’) = 12 à z + w = 12 ∴ Corresponde (B)

Rpta.: B

8 + w = 12 à w = 4 • n(U) = 20 à x + y + z + w = 20

Resolución *

12

Graficando cada alternativa:

x + 3 + 8 + 4 = 20 à x = 5 *

A) (A∪B)∩C

Me piden: n(A∆B) = x + z = 5 + 8 = 13 à

B) (A∪C’)∩(B∪C’)

- 10 -

n(A∆B) = 13

Rpta.: A


PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS (Pág. 45, 46, 47)


1

3

100 RV = 40

RM = 65 65-25

40

25

15 x

No aprobaron ninguno de los cursos mencionados

Prefieren matemática y lenguaje •

• Sea “x” el número de alumnos que prefieren lenguaje (L) y matemática (M) Entonces:

RM : aprobaron razonamiento matemático RV : aprobaron razonamiento verbal •

n° de alumnos que prefieren sólo L = 30 - x

Sea “x” el número de alumnos que no aprobó ninguno de los 2 cursos. Del gráfico:

n° de alumnos que prefieren

40 + 25 + 15 + x = 100

sólo M = 40 - x •

Donde:

80 + x = 100 x = 20

Del gráfico: (30 - x) + x + (40 - x) + 5 = 65 75 - x = 65 x = 10

∴ No aprobaron ninguno de los cursos mencionados 20 alumnos.

∴ Prefieren matemática y lenguaje 10 alumnos

Rpta. C Rpta. B

Resolución

Resolución

2

4 120 C = 60 +x

G = 40 + x 40

x

60 12

•

Donde:

•

F : practican fútbol

G : Leen la revista Gente

N : practican natación •

Donde: C : Leen la revista Caretas

Sea “x” el n° de estudiantes que sólo practican natación. Del gráfico:

•

Sea “x” el número de personas que leen ambas revistas.

20 + 12 + x + 10 = 50

Del gráfico: 40 + x + 60 + 12 = 120

42 + x = 50

112 + x = 120

x=8

x=8 ∴ Leen ambas revistas 8 personas

Por lo tanto: -

Practican sólo natación: 8 estudiantes Practican natación: x + 12 = 8 + 12 = 20 estudiantes

Rpta. A

Rpta. D

- 11 -


Resolución

Donde:

5

M: profesores de matemática F: profesores de física

97

57 M ==57

45 K= =45

57 - x

x

•

45 - x

Del gráfico: U = (47 - x) + x + 40 + 4 ⇒ U = 91

10 Consumen mayonesa pero no ketchup

•

•

Sea “x” el número de profesores que enseñan ambos cursos.

∴ Integraban la reunión 91 profesores

Donde:

Resolución

Rpta. D

8

M : Consumen mayonesa

Cálculos previos:

K : Consumen ketchup

- Practican sólo basquet = 115 - 35 = 80 - No practican basquet = los que practican sólo ajedrez + los que no practican ninguno de los 2 deportes.

Sea: n° de personas que consumen mayonesa y ketchup = x n° de personas que consumen sólo ketchup = 45 - x

Sea “x” el n° de deportistas que no practican estos 2 deportes.

n° de personas que consumen sólo mayonesa = 57 - x = ? Del gráfico: (57 - x) + x + (45 - x) + 10 = 97 112 - x = 97 x = 15

Entonces tenemos: 105 = 90 + x

→

x = 15

Graficamos:

∴ Consumen mayonesa, pero no ketchup: 57 - x = 57 - 15 = 42

B = 115 Rpta. C

Resolución

6

300 IK =90

CC =60

80

10

50

B : practican basquet A : practican ajedrez

60-10

Del gráfico: 80 + 35 + 90 + 15 = U 160

•

U = 220

90 -10

Donde:

∴ Se encuestó a 220 deportistas

IK : bebieron Inca Kola CC : bebieron Coca Cola

Rpta. A

Entonces:

Resolución

Del gráfico:

9

El mes de febrero en el año 1999 tuvo 28 días, entonces: U = 28

n° de alumnas que beben sólo Inca Kola = 90 – 10 = 80 n° de alumnas que beben sólo Coca Cola = 60 – 10 = 50

28

∴ n° de alumnas que beben sólo una de estas bebidas: 80 + 50 = 130

N==12+3=15 12+3 = 15 N

P= x+3

Rpta. A

12 Resolución

7

x 15

U F=xx+40 F= + 40

M ==47 47 47-x 47 -x

3

x

•

40

Desayuno sólo jugo de papaya Donde: N : días que desayuna jugo de naranja. P : días que desayuna jugo de papaya.

4

- 12 -


Del gráfico: 12 + 3 + x = 28

1000 300+z Pe = =300+z

15 + x = 28 x = 13 ∴ Desayuno solamente jugo de papaya 13 días Rpta. C

Po = 400+z z

300

400 200

Resolución

10 Del gráfico:

Cálculos previos: •

300 + z + 400 + 200 = 1 000

150 no tienen el defecto “A”, o sea:

900 + z = 1 000

150 = tienen sólo el defecto “B” + no tienen ningún defecto

z = 100 ∴ Consume pescado y pollo 100 personas

150 = x + 50 x = 100

Rpta. D

⇒ Tienen sólo el defecto “B”: 100 productos . •

230 no tienen el defecto “B”; o sea: 230 =tienen sólo el defecto “A” + no tienen ningun defecto

Resolución 60 F = 40

230 = y + 50 y = 180

Resolución

V = 36

40-x

⇒ tienen sólo el defecto “A”: 180 productos ∴ Tienen sólo un defecto: 100 + 180 = 280 artículos

12

Rpta. E

x

36-x

Practican los dos deportes

F : Juegan fútbol V : Juegan voleibol

11 •

x+z

Sea “x” el número de alumnos que practican los 2 deportes. Del gráfico: (40 - x) + x + (36 - x) = 60 76 - x = 60 x = 16

∴ 16 alumnos practican los 2 deportes

Pe : consumen pescado Po : consumen pollo •

Rpta. E

Según el enunciado: 500 no consumen pollo, o sea:

Resolución

100

Consumen sólo pescado o no consumen ninguno de los dos. Entonces:

G = 80

A = 60

500 = x + 200 → x = 300 •

13

60 - x

x

80 - x

⇒ Consumen sólo pescado 300 encuestados 600 no consumen pescado, o sea:

# de alumnos que practican sólo uno de estos cursos A : practican álgebra G : practican geometría

Consumen sólo pollo o no consumen ninguno de los dos. Entonces: 600 = y + 200

→

y = 400

Consumen sólo pollo: 400 encuestados, luego:

•

Sea “x” el n° de alumnos que practican A y G, entonces n° de alumnos que practican sólo A = 60 - x n° de alumnos que practican sólo G = 80 - x

- 13 -


Del gráfico:

Del gráfico:

x + 80 + 30 = 200 x + 110 = 200

(60 - x) + x + (80 - x) = 100 140 - x = 100 x = 40

x = 90 ∴ Leen sólo la revista “A” 90 lectores Rpta. B

Resolución •

16

Finalmente: n° de alumnos que practican sólo uno de estos cursos: 20 + 40 = 60

∴ 60 alumnos practican solamente un curso Rpta. A

Resolución

14

S : bailan salsa R : bailan rock

•

E : estudian T : trabajan Sea x el número de personas que trabajan y estudian. Entonces:

100

n° de personas que sólo estudian = 45 - x

R = 60

S = 65 65 - x

n° de personas que sólo trabajan = 48 - x Del gráfico:

60 - x

x

(45 - x) + x + (48 - x) + 8 = 70 101 - x = 70 x = 31

# de personas que no bailan rock

Sea “x” el número de personas que bailan salsa y rock Entonces:

∴ Trabajan, pero no estudian: 48 - 31 = 17 personas

Rpta. C

n° de personas que sólo bailan rock = 60 - x Resolución

n° de personas que sólo bailan salsa = 65 - x

17

Del gráfico:

32

(65 - x) + x + (60 - x) = 100 125 - x = 100

B = 16

x = 25

16-12

4

∴ No bailan rock: 65 - 25 = 40 personas

12

13

25-12

x

Rpta. A

Resolución

C = 25

# de personas que no bailan ni cantan Del gráfico:

15

32 = 4 + 12 + 13 + x

200 A = x+80 x- 80 x

32 = 29 + x

B = 110 80

30

x=3 110 - 80=30

∴ El número de artistas que no bailan ni cantan es 3 Rpta. C

# de lectores sólo de la revista A

•

Sea x el número de lectores sólo de la revista A.

- 14 -


M : consumen mostaza

Resolución 18 40 EE=10 = 10

K : consumen ketchup •

T = x+3

A 120 no les gusta la mostaza ⇒ z + 80 =120 →

7

x

3

10-3

•

z = 40

A 130 no les gusta el ketchup ⇒ x + 80 =130 →

15

x = 50

Luego

# de personas que desarrollan una de las dos actividades

200

E : n° de personas que estudian T : n° de personas que trabajan

M

Del gráfico: 7 + 3 + x + 15 = 40

K y

50

40 80

25 + x = 40 x = 15

Del gráfico: 50 + y + 40 + 80 = 200

Por lo tanto: n° de personas que realizan sólo una de las dos actividades:

170 + y = 200 y = 30

7 + x = 7 + 15 = 22

∴ A 30 personas les gusta ambas salsas

Rpta. D

Resolución

Rpta. C

19

Nivel II

M = 18 Resolución

1

Cálculos previos: Sea “x” el número de personas que hablan ambos idiomas, inglés y francés.

•

M : n° de días que va a misa T : n° de días que va al teatro

Entonces:

El mes de diciembre siempre tiene 31 días.

n° de personas que hablan francés : 2(70 - x) Graficando:

n° de personas que hablan inglés : 70

Sea “x” el número de días que asiste a ambos lugares, o sea a misa y al teatro Entonces: n° de días que va solamente a misa: 18 - x n° de días que va solamente al teatro: 20 - x Del gráfico: (18 - x) + x + (20 - x) = 31 38 - x = 31

Del gráfico:

x=7 ∴ Solamente va a misa: 18 - 7 = 11 días

b

g

(70 - x) + x + 2 70 − x − x + 20 = 110

Rpta. D

70 + (140 - 2x - x) + 20 = 110

Resolución

20

70 + 140 - 3x + 20 = 110

Inicialmente tenemos:

230 - 3x = 110

200

120 = 3x

M

K x

y

x = 40 ∴

z

40 personas hablan inglés y francés Rpta. E

80

- 15 -


Resolución

•

2

Sea el diagrama:

Del gráfico: 15 + 30 + 25 + x = 75 70 + x = 75 →

58 A

C y

x

Sea “x” el número de alumnos que no usan anteojos ni reloj.

∴

z

x=5

5 alumnos no usan anteojos ni reloj Rpta. C

10

Resolución

4

C : usan corbata A : usan anteojos •

Sea “x” el número de caballeros que usan corbata y anteojos al mismo tiempo. Según el enunciado vemos que: 1 1 1 * x = ( x + y ) → x = x + y 3 3 3 2 1 x= y 3 3 2x = y →

* x + z = 2x Entonces:

z=x

Si A ∪ B tiene 52 elementos ⇒ (42 - x) + x + (24 - x) = 52 66 - x = 52 x = 14 ∴ A ∩ B tiene 14 elementos

58

Resolución

Rpta. C

5

A

C 2x

x

x 10

Del gráfico: 2x + x + x + 10 = 58 4x + 10 = 58 4x = 48 x = 12 Luego: Usan corbata, pero no anteojos: 2x = 2(12) = 24

A : usan anteojos S : usan sombrero Tenemos que: n° de personas que usan solamente anteojos: 20 n° de personas que usan solamente sombreros: y n° de personas que usan anteojos y sombreros: x n° de personas que no usan ninguno de los dos objetos: z

∴ 24 personas usan corbata, pero no anteojos Rpta. B

Resolución 3 Cálculos previos:

* Si 70 personas no usan sombreros ⇒ 20 + z = 70 → z = 50

El total de los alumnos es 75, luego:

* Si 90 personas no usan anteojos: ⇒ y + z = 90 ↓

3 Usan reloj: (75 ) = 45 5 1 Usan sólo anteojos: (75 ) = 25 3 2 Usan anteojos y reloj: (75 ) = 30 5 Graficando:

y + 50 = 90 → y = 40 Los que usan sombreros y anteojos son: 3 3 U ⇒ x= U 4 4 El gráfico será:

- 16 -


Resolución 7 Cálculos previos: Población = 120 personas Sean: C:n° de personas que les gusta la carne. P: n° de personas que les gusta el pollo. Del gráfico:

-

3 20 + U + 40 + 50 = U 4 3 110 + U = U 4 U 110 = → U = 440 4

∴

Usan sombrero y anteojos: 3 ( 440 ) = 330 4

1 (120 ) = 30 4

Les gusta la carne:

-

Les gusta el pescado:

5 (120) = 50 12

120 P = 50

C = 60

32 personas no cantan, pero sí bailan

60 - x

⇒ Sólo bailan 32 personas *

1 (120 ) = 60 2

-

Graficamos:

Rpta. D

Resolución 6 Sabemos que: *

No les gusta la carne ni el pescado:

x

50 - x

24 personas no bailan, pero sí cantan: ⇒ Sólo cantan 24 personas

30 •

Sea “x” el número de personas que gusta del pescado y la carne. Entonces: n° de personas que sólo les gusta la carne: 60 - x n° de personas que sólo les gusta el pescado: 50 - x Del gráfico: (60 - x) + x + (50 - x) + 30 = 120

•

140 - x = 120 x = 20

Sea “x” el número de personas que cantan y bailan Entonces:

Luego:

n° de personas que no cantan ni bailan: 2x

Las personas a las que no les gusta el pescado: sólo les gusta la carne o no les gusta ninguno de los 2 productos.

Del gráfico: 24 + x + 32 + 2x = 80

∴

56 + 3x = 80

No les gusta el pescado: 30 + 60 - 20 = 70 personas

3x = 24 x=8 ∴

Resolución

8

Tenemos que: No cantan ni bailan: 2(8) = 16 personas

Rpta. C

- 17 -

Rpta. D


Entonces, leen solo “B” o no leen ninguna revista.

E : estudian T : trabajan Donde:

⇒ 80 = (60 - x) + 3x 80 = 60 + 2x

Personas que sólo estudian: x Personas que sólo trabajan: y

∴

Personas que no estudian ni trabajan: z Según el enunciado:

→

20 = 2x

x = 10

Leen ambas revistas 10 personas Rpta. A

y = 2x Resolución

1 ( y + 20 ) 2 ↓ 1 z = ( 2x + 20 ) 2

También: z =

10

U

C = 23

A = 16 10

z = x + 10

6

17 x

El gráfico será: •

Sea “x” el número de personas que no usan corbata ni anteojos. Entonces: Los que no usan corbatas son los que sólo usan anteojos o los que no usan ni corbata, ni anteojos. ⇒

10 + x = 3(17) 10 + x = 51 x = 41

Del gráfico:

Del gráfico: U = 10 + 6 + 17 + x

x + 20 + 2x + (x + 10) = 90 30 + 4x = 90

↓ U = 10 + 6 + 17 + 41

4x = 60 x = 15

U = 74

Luego: Las personas que no estudian: sólo trabajan o no estudian ni trabajan. ∴ No estudian:

∴

Resolución

2x + (x+10) = 3x + 10 = 3(15) + 10 = 55

Rpta. D

11

Cálculos previos: 40 no conocen Brasil, entonces:

personas Rpta. B

Resolución

Hay 74 profesores reunidos

9

40 conocen sólo Argentina o no conocen ninguno de los 2 países. ⇒ 40 = 30 + (Los que no conocen ninguno de los 2 países. Conocen sólo Argentina 10 = n° de personas que no conocen ninguno de los 2 países. 120

•

Sea “x” el número de personas que leen la revista A y B.

A = 30 + x

Entonces: n° de personas que no leen ninguna de estas revistas: 3x

30

Si 80 personas no leen “A”

- 18 -

B = 4x x

4x - x

3x 10


•

Sea “x” el número de personas que conocen Argentina y Brasil.

Resolución

13

100

Entonces: n° de personas que conocen sólo Brasil: 3x Del gráfico:

30 - x

30 + x + 3x + 10 = 120 40 + 4x = 120 4x = 80

∴

40 - x

# de obreros que van con polo o con camisa

3x = 3(20) = 60

•

60 personas conocen sólo Brasil Rpta. C

Resolución

x

y

x = 20 ⇒

C = 40

P = 30

Sea “x” el número de obreros que van con polo y camisa. Entonces: n° de obreros que van sólo con polo = 30 - x

12

n° de obreros que van sólo con camisa = 40 - x Del enunciado:

Tenemos que: 62

“60 van con polo o camisa”

x

⇒ 30 - x + 40 - x = 60

L = y + 12

M = x + 12 12

70 - 2x = 60

y

10 = 2x x 2

∴

→ x = 5

5 obreros van con polo y camisa Rpta. A

•

Del enunciado:

Resolución

14

x + 12 = 2(y + 12) x + 12 = y + 12 ⇒ 2

x + 6 = y + 12 2

x −6 = y 2

Del gráfico: x + 12 + y +

x = 62 2

Sabemos que: 9 han sido aprobados sólo en Matemática 5 han sido aprobados sólo en Física 5 han sido aprobados en ambos cursos Luego: Han sido aprobados: 9 + 5 + 5 = 19

x  x x + 12 +  − 6  + = 62 2  2

2x + 6 = 62 2x = 56 x = 28

∴ 19 alumnos han sido aprobados en por lo menos 1 curso.

Además: n° de alumnos que les gusta lenguaje

Rpta. D

= y + 12 x  =  − 6  + 12 ⇒ 2  28 + 6 = 20 = 2

∴

=

x +6 2

Resolución

A 20 alumnos les gusta lenguaje Rpta. A

- 19 -

15


•

Sea “x” el número de personas que ven ambos canales. Entonces: # de personas que no ve ninguno de los dos canales = 2x Del gráfico: 12 + x + 18 + 2x = 45 30 + 3x = 45 3x = 15 → x = 5 Sabemos que: No ven el canal “B”: Los que sólo ven “A” y los que no ven ninguno de los 2 canales. O sea: No ven el canal “B”: 12 + 2x = 12 + 2(5) = 22

Resolución

Sea“x” el número de personas que consumen A y B Entonces: # de personas que consumen “B” = 3x # de personas que consumen sólo “B” = 3x - x = 2x Del gráfico. 40 + x + 2x + 50 = 141 90 + 3x = 141 3x = 51 x = 17 ∴

No consumen “A”: 2x + 50 = 2(17) + 50 = 84

Resolución

Rpta. D

18

Rpta. B

16

•

Sea “x” el número de alumnos participantes en natación y atletismo. Entonces:

•

Sea “x” el número de estudiantes que sólo postulan a Católica (C).

# de alumnos que participan sólo en natación = 30 - x

Entonces:

Luego:

# de estudiantes que postulan a San Marcos (SM)= 4x

“Los que participan en otros deportes, son el doble de los que participaron en natación solamente”

# de alumnos que participan sólo en atletismo = 20 - x

# de estudiantes que postulan a ambas universidades = 4x - 70

⇒ # de alumnos que participaron en otros deportes = 2(30 - x)

Del gráfico: 70 + (4x - 70) + x = 100 5x = 100 x = 20 Reemplazamos: x = 20 en 4x - 70 → 4(20) - 70 = 10

Del gráfico: (30 - x) + x + (20 - x) + 2(30 - x) = 80 110 - 3x = 80 30 = 3x

Rpta. A

Rpta. B

17

x = 10

∴ 10 alumnos participaron en natación y atletismo

∴ 10 estudiantes intentarán las 2 posibilidades

Resolución

→

Resolución

19

B = 3x

•

- 20 -

Sea “x” el número de personas que son actores y cantantes.


•

Entonces: # de personas que son actores = 40 + x Sabemos que: “Hay tantos cantantes como actores” ⇒ n° de personas que son cantantes = 40 + x Del gráfico:

40 + x + 40 = 110

Si “El número de futbolistas es el doble del número de basquetbolistas” 100 = 50 ⇒ n° de basquetbolistas = 2 Graficando: B = 50

F = 100

80 + x = 110 x = 30

90

10

∴ Son cantantes y actores 30 personas

40 50-10

Rpta. B

Del gráfico:

Resolución 20 Sabemos que: •

n° de deportistas = 90 + 10 + 40 = 140 ∴ En dicho club hay 140 deportistas

Los deportistas del club sólo practican fútbol y/o basquet. Si 90 personas no saben jugar basquet, entonces esas 90 personas juegan solamente fútbol.

Rpta. E

⇒ n° de personas que practican sólo fútbol = 90 •

Si 10 personas practican ambos deportes, entonces: ⇒ n° de personas que practican fútbol = 90 + 10 = 100

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO CON TRES CONJUNTOS (Pág. 51, 52)

Resolución

1 F = 24

V = 25

V = 25 F: n° de deportistas que paractican fútbol. B: n° de deportistas que practican basquet. V: n° de deportistas que practican voleibol. • Del gráfico 24 + 12 + 4 + 9 + x = 60 x = 11

E: estudiantes que estudian español A: estudiantes que estudian alemán F: estudiantes que estudian francés • Me Piden: # de estudiantes que sólo estudian francés: x • Del gráfico, tenemos: 7 + 3 + 2 + x = 42 x = 30 ∴B Rpta∴ Resolución

3

∴ No practican ningún deportes: 11 Rpta∴ ∴A Resolución

2 A = 30

E = 28

x

C: n° de personas que leen el “Comercio” R: n° de personas que leen la “República” E: n° de personas que leen el “Expreso” • Del gráfico: 8 + 4 + 5 + 3 + 16 + x + 20 + 2 = 59 58 + x = 59 x=1 Me piden: # de personas que leen el “Expreso”: 5 + 3 + x + 20 = 29 Personas Rpta∴ ∴C

F = 42

- 21 -


Resolución

4

Resolución

7

Q = 40

I = 70

5 15

x

espectadores

M = 40

Ι : n° de estudiantes que llevan Inglés.

Q : n° de estudiantes que llevan Química. M : n° de estudiantes que llevan Matemática • Del gráfico Total de alumnos: 70+5+10+10= 95

Resolución

O: n° de personas que reciben medalla de oro P: n° de personas que reciben medalla de plata B: n° de personas que reciben medalla de bronce Rpta∴ ∴E

• Del gráfico: 130 + 10 + 20 + 15 + x = 285 x = 110

5

Piden: # de espectadores = 110 personas

C = 43

Rpta∴ ∴C

R = 47 Resolución

8

M = 100

G = 240

T = 58 C: n° de madres que saben costura

X = 50

R: n° de madres que saben respotería T: n° de madres que saben tejido • n° n° n°

Del gráfico: de madres que sólo saben costura: 7 de madres que sólo saben respostería: 9 de madres que sólo saben tejido: 11

L = 19 0

M: n° de alumnos que estudian matemática G: n° de alumnos que estudian geografía L: n° de alumnos que estudian literatura

Piden: 7+9+11= 27 madres Resolución

Rpta∴ ∴B

6

Piden: n° de alumnos que estudian por lo menos dos cursos = 40 + 10 + 60 + 40 = 150 Rpta∴ C Resolución

A = 47

9

B = 53 A = 18

S = 19

V = 25

C = 65 Piden: n° de lectores que prefieren la revista A, pero no la B = 20+12 = 32 Lectores

Rpta∴ ∴D

C = 20

Del gráfico: 20 + 2 + x + 9 – x + 3 + x = 38 34 + x = 38 x=4 Piden: n° de estudiantes que usaban anteojos, saco y corbata Rpta∴ ∴C - 22 -


Resolución

∴ 80 personas consumen sólo una de las tres salsas

10 C4 = 34

Rpta∴ ∴C

C5 = 34

Resolución

15

Del grafico: consumen sólo mostaza : 45 consumen sólo mostaza : 10 y mayonesa ∴ 55 personas consumen mostaza pero no ketchup

C2 = 52

Rpta∴ ∴A

Del gráfico: 52 + 10 + x + 12 – x + 5 + x + 40 = 129 119 + x = 129 x = 10 Me piden: El n° de Televidentes que ven los 3 canales es 10

Resolución

16

El # de personas que consumen mayonesa y ketchup, pero no mostaza es 20 Rpta∴ ∴D

Rpta∴ ∴ E Resolución (para los problemas: 11 al 22)

Resolución

17

El # de personas que consumen ketchup o mostaza, pero no mayonesa: 15 + 5 + 45 = 65 Rpta∴ ∴C X

Resolución

18

Del grafico: consumen sólo mayonesa : 10 y mostaza consumen sólo mayonesa : 20 y ketchup consumen sólo mayonesa : 5 y mostaza Por lo tanto :

Del gráfico: 90 + 20 + 20 + 15 + x = 150 145 + x = 150 x=5 Resolución

11

35 personas consumen sólo las 2 salsas

Rpta∴ ∴B

El n° de personas que no consumen ninguna salsa es 5 Rpta∴ ∴A Resolución

12

consumen tres salsas : 30

Rpta∴ ∴D

Por lo tanto: 65 personas comunes por lo menos dos salsas Rpta∴ ∴B

13

El n° de personas consumen solamente mostaza es 45 Rpta∴ ∴B Resolución

19

Del gráfico: consumen sólo dos salsas : 35

El n° de personas que consumen sólo ketchup es 15

Resolución

Resolución

14

Del gráfico: consumen sólo mayonesa : 20 consumen sólo mostaza : 45 consumen sólo ketchup : 15 80

Resolución

20

Del grafico: consumen sólo mayonesa mostaza : 45 no consumen alguna salsa : 5 Por lo tanto : 50 personas no consumen ni mayonesa, ni ketchup Rpta.: B

- 23 -


Resolución

Resolución

21

Del grafico:

Del grafico: consumen sólo mostaza : 45 consumen sólo ketchup : 15 consumen mostaza y ketchup : 5 no consumen alguna salsa : 5 Por lo tanto : 70 personas no consumen mayonesa

22

consumen sólo mayonesa: 20 consumen sólo ketchup : 15 consumen mayonesa y ketchup : 20 no consumen alguna salsa : 5 Por lo tanto : 60 personas no consumen mostaza

∴D Rpta∴

Rpta∴ ∴C

CAPÍTULO N° 2 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE NÚMEROS NATURALES (Pág. 95, 96, 97, 98)

NIVEL I Resolución

1

Resolución

Tenemos:

RS Minuendo = 15 T Sustraendo = 6

*

III) 7 (m + n) = 7m + 7n ← P. Distributiva ∴ Tenemos:

Diferencia = minuendo − sustraendo Diferencia = 15 − 6 Diferencia = 9 Rpta.: B 2

Tenemos:

" n es mayor que 8 y menor que 15" 144424443 1442443 n>8 n <15 ∧

∴ 8 < n < 15 Resolución

Rpta.: E

3

Veamos:

Elememto Neutro Conmutativa Distributiva Rpta.: A

Resolución

5

Me piden:

S = 1487 + 1489 + ... + 1493 à

S = (1 + 3 + 5 + .... + 1493) − (1 + 3 + 5 + ... + 1485)

*

Sabemos: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2

*

Ahora:

+ ... +33 3 +2 3 44 •x= 3 1+44

• 1493 = 2(747) − 1 • 1485 = 2(743) − 1

24 veces

à x = 3 × 24 à x = 72

Veamos:

II) a·3 = 3·a ← P. Conmutativa

Me piden:

Resolución

à

S = [1 + 3 + ... +(2×747 − 1)] − [1 + 3 + ...(2×743 − 1)]

+ ... +3 2 +2 2 44 2 •y= 2 1+44

à

S = 7472 − 7432 = (747 + 743)(747 − 743) S = (1490)(4) = 5960

à y = 2 × 36 à y = 72

∴

S = 5960

+ ... +3 4 +2 4 44 4 •z= 4 1+44

Resolución

36 veces

18 veces

Ahora, tenemos:

*

R| x = 72 S| y = 72 T z = 72 ∴ x=y=z

Rpta.: C 6

Veamos:

Cifras = {4; 3; 7} à #mayor = 743

à z = 4 × 18 à z = 72 *

4

I) 5 × 1 = 5 ← P. Elemento Neutro

Ahora, me piden: K = 999 − # mayor = 999 − 743 = 256 mayor número de 3 cifras ∴ k = 256

Rpta.: D

- 24 -

Rpta.: E


Resolución

7

n°s llevados

Completando: 1 2 3 3 9

*

1 4 1 5 1

1 6 6 1 4

8 2 0 0

Resolución

Veamos:

• a = 3 27 + 3 343 + 144

+

a = 3 + 7 + 12 = 22 ∴ a = 22 • b = 92 + 122

Me piden:

*

13

Σ = 3 + 4 + 6 + 0 = 13

b = 81 + 144 =

Rpta.: C

225 = 15

∴ b = 15 Resolución

8

Tenemos:

•

x

= 7x

k = a + b −1 =

•

x

= x2 − 1

à k=6

*

Me piden: 22 + 15 − 1 =

36 = 6

Rpta.: E

Me piden:

*

K = 5 + 7 = (7×5) + (72 − 1) à

K = 35 + 48 = 83

Resolución k=

3

9

•

Rpta.: D

·

Rpta.: B

10

Me piden:

RS T

e

j UVW

*

Resolución

à x = 312 15 224 •y = 2 ⋅ 2...2 1⋅4 3=2 15 veces

Rpta.: A

à y = 215

Veamos:

*

Residuos llevados *

k= à

200009

6

5

x + 5 y = 312 + 215

Me piden: 6

Σ = 3 + 6 + 7 = 16 à S = 16

12

Me piden: 6

Rpta.: D ∴

Resolución

Tenemos:

= (2 × 104)9 = 29 × 1036

k = 29 × 10 36 Cant. de ceros de “k” ∴ Cant. ceros = 36

Veamos:

12 veces

x = 49 − {14 + 27} = 49 − 41 = 8

3 4 3 4 6 × 8 2 7 6 8

15

Rpta.: B

12 324 •x = 3 ⋅ 3...3 1⋅4 3=3

x = 49 − {14 + 3·9}

11

n = 12

Me piden:

x = 49 − {14 + 3 [16 − 7]}

Resolución

=

m + n =10 + 12 = 22

x = 49 − {14 + 3[16 − (18 − 11)]}

x=8

Veamos:

5m

212 = 2n à

x = 72 − 14 + 3 24 − 18 − 121

∴

14

57

• (23)4 = 2n

27 · 4 − 3°

Resolución

53

510 = 5m à m = 10

Me piden:

à k = (3)·(4) − 1 = 11

à

Resolución

Rpta.: D

- 25 -

x

+5

y =3

12 6

+2

15 5

6

2

x + 5 y = 3 + 23 = 9 + 8 = 17

6

x + 5 y = 17

Rpta.: B


Resolución •

4

à

8

16

a =

x

a =

x

Resolución

Veamos:

20

Tenemos:

a a

∴ x=8 • a15 : a3 = a y à a12 = a y ∴ y = 12 *

Me piden: x + y = 8 + 12 = 20

Resoución A=

e à

3

(

3

17

0 + 4° + 02

Rpta.: A  Cant. 

Me piden:

)

2

∴  árboles  = 145 × 145 = 21 025

+ 62 :

216 − 3 × 5 32 + 2 × 3°

Rpta.: B

j

Resolución

A = (0 + 1 + 0)2 + 36 : (6 − 3×2 + 2×1) A = 12 + 36 : 2

FG H

Ahorro de • Víctor

A = 1 + 18 = 19 ∴ A = 19

Rpta.: D

IJ K

21

Veamos: Sueldo

= 1600 − 970 = 630 Gastos Sueldo

Resolución

18

F Ahorro de I • GH Helmer JK = 1870 − 1300 = 570

Me piden: Costo inicial

Gastos

Ganancia = 80 × 2 − 90 Cantidad

FG Ahorro IJ = 630 + 570 = 1200 H total K

Precio

à Ganancia = 160 − 90 = 70 Resolución

19

Veamos:

Resolución

Caballo Auto Pie Ferrocarril

437 = 13k + 8 Cant. hojas sobrantes Cant. hojas a c/u ∴ 437 13 39 33 ← k 47 39 8 à

22

Rpta.: C

Cant. alumnos

FG Cant. IJ = k = 33 H alumnosK

(+)

*

à

Rpta.: A

Tenemos: Recorrido 12 km 45 km 3 km (12 + 45) km

Me piden:

FG RecorridoIJ = 12 + 45 + 3 + (12 + 45) H Total K FG Recorrido IJ = 117 km Rpta.: D H Total K

Rpta.: D Resolución

23

Tenemos:

Cant. Dinero Juan 320 = 320 Jorge 2 × 320 = 640 Enrique 320 + 2×320 = 960 *

à - 26 -

Me piden:

FG Dinero IJ =320 + 640 + 960 H Total K FG DineroIJ = S/. 1920 Rpta.: A H Total K


Resolución

24

Veamos:

Luego:

*

FG IJ FG IJ FG H K H K H FG Peso IJ = (80)(2) + (10) = 170 kg H total K

Peso Peso Peso total = (# paquetes) c / paquete + 1caja

à

∴

Longitud = 10 + (2×10 + 3×10) + 2×10 Longitud = 10 + (20 + 30) + 20 Longitud = 10 + 50 + 20

*

Longitud = 80 cm

*

Resolución

25

•

Rpta.: A

Veamos:

Costo = 2×30 = 60 Costo de c/cajón Cant. de cajones

à

F 3I • Venta = GH JK × b 2 g × b100 g = 150 4

Cant. manzanas por c/cajón

Resolución

26

Cama Colchón Almohada *

*

à

*

*

Rpta.: C

Tenemos: Costo S/. 450 S/. 90 S/. 15

*

RS T

Sea: C =# de conejos P = # de pavos

Reemplazando (I) en (II): ∴ 4C + 2(23 − C) = 76 2C + 46 = 76 2C = 30 à C = 15 Me piden:

29

Rpta.: E

Sea:

RS x = cant. bancas para 6 personas T y = cant. bancas para 4 personas

555

*

FG Costo IJ = FG Número IJ ×  Costo ×  H total K H alumnos K  alumno  FG Costo IJ = 130 × 555 = 72 150 H total K

Luego, dato: • Cant. total de bancas = 40 à x + y = 40 à y = 40 − x ... (I) • Cant. personas = 208 à 6x + 4y = 208 ... (II)

* Rpta.: B

27

28

Luego:

Resolución

Me piden:

Resolución

FG TransporteIJ = FG TransporteIJ · FG PesoIJ H total K H 1kg K H total K FG Transporte IJ = (3) × (170) = 510 H total K FG TransporteIJ = S/. 510 Rpta.: D H total K

Cant. conejos = C = 15

Luego:

FG Costo × IJ = 450 + 90 + 15 = H alumno K

Me piden:

• # de cabezas = 23 à C + P = 23 à P = 23 − C .... (I) • # de patas = 76 à 4C + 2P = 76 ... (II)

Me piden: Ganancia = venta - costo Ganancia = 150 − 60 = 90 ∴ Ganancia = S/. 90

FG TransporteIJ = S/. 3 H 1kg K

Resolución

Cant. cajones Precio de venta de c/manzana *

Además:

Reemplazando (I) en (II): à 6x + 4(40 − x) = 208 2x + 160 = 208

Veamos: *

• # Paquetes = 80 • # Cajas = 1

- 27 -

2x = 48 à x = 24 Me piden:

FG Cant. bancas paraIJ = x = 24 H 6 personas K

Rpta.: A

IJ K


Resolución

30

Sabemos:

D= d·q+ r

} División inexacta

à

D = (17)(3) + 9 = 60 à D = 60

*

Me piden: k = D + d = 60 + 17 = 77 Divisor Dividendo ∴ k = 77

Resolución

*

31

Además: D = d·q + r

à

D = (72)(q) + r1 D = (72)(q) + 3q à D = 75q

*

Como q = 20: à D = 75(20) = 1500 à Dividendo = D = 1500

Rpta.: B

Resolución

1

1 1 cosecha = (17 562) 2 2

à Chuño = 8781

*

• Sustraendo = 9 D1 = 16 − 9 = 7 Luego: • Minuendo’ = 16×3 = 48

• Resto = 17 562 - 8781 = 8781

• Sustraendo’ = 9 + 25 = 34

Resto = 8781

D2 = 48 – 34 = 14

Además:

*

Resto = 48 k + regalo ; k ∈ ¢ +

•

∴ 8781 48 398 384 141 96 45

48 182 ← k : Cant. sacos

|RSD |TD

=7

2

32

*

Me piden: M = n×13 = 129×13 = 1677

RS T

Rpta.: D *

• División por exceso

D 72 M q

r2

3

Rpta.: B Sea:

R = Cant . bolas rojas A = Cant . bolas azules

Luego, dato: • R + A = 20 à A = 20 − R .... (I) • 3(A − 4) = (R − 4) Pierde 4 bolas

D 72 M (q + 1)

r1

Sea: n = número

Luego: n·31 = 3999 à n = 129 ∴ M = 1677

Veamos:

• División por defecto

2

*

Resolución

kg. de regalo = 45

Rpta.: A

Se duplica

= 14

Resolución

← Regalo

Me piden:

Resolución

Ahora: 1

à 8781 = 48k + regalo

*

Tenemos:

• Minuendo = 16

Luego: • Chuño =

*

Rpta.: A

NIVEL II

Tenemos:

Cosecha = 17 562 kg *

à q = 20

à 3A − 12 = R − 4 ... (II) *

Reemplazamos (I) en (II): à 3(20 − R) − 12 = R − 4

*

60 − 3R −12 = R − 4

Dato:

1 • q = r1 3

2

à

r1 = 3q

à 52 = 4R à R = 13 *

• r1 = 5r2 3q = 5r2 *

Cant. bolas rojas = R = 13

3 à r2 = q 5

Sabemos:

22

Me piden:

• r1 + r2 = Divisor 3q + 3 q = 72 5

à

18 q = 72 5 - 28 -

Rpta.. D


Resolución

4

Sea:

Resolución

(+)

•

RSP = Edad del padre TH = Edad del hijo

*

Luego: • P + H = 47 • P − H = 23

2P = 70 à P = 35 *

(n − 1) = 40 à

FG Edad delIJ = P = 35 años H padre K 5

Veamos:

à (n − 1)(25) = 1000

Me piden:

Resolución

8

Rpta.: D

n = 41

•

Me piden: Aumenta 1 unidad

∆ = (47 + 1)(38 + 1) − 47 × 38

à (k − 1)(40) = 1000

∆ = 47 × 38 + 47 + 38 + 1 − 47 × 38 = 86 ∴ ∆ = 86

Rpta.: A

Resolución

6

(k − 1) = 25 à k = 26 *

Me piden: Cant. postes = n + k = 41 + 26 = 67 à Cant. postes = 67

Veamos:

Resolución

à

3n + n = 60 à n = 15 à AB = 3n = 45

*

Ahora:

9

Rpta.. E

Sea:

RSn = Cant. pasajeros al inicio Tk = Cant. pasajeros que bajan

Luego, dato: * • n − k123 + 3k = 27 ... (I) Cant. pasajeros finales “Por cada 1 que baja, suben 3”. Cant. personas que pagaron.

∴(k + 1)(9) = AB = 45 *

à k+1=5 à Me piden:

k=4

Cant. cortes = k = 4 Resolución

7

Rpta.: C

Sea:

• (n + 3k) × 25 = 950 .... (II) 123 Recaudación Precio - pasaje Cant. personas que pagaron

n = cant. personas que no pagan *

à

Luego:

à  n + 2k = 27   n + 3k = 38

 1500  + 50  (15 − n) = 1500   15 

;

Personas que pagan Dinero aumentado Dinero que debía pagar c/persona

−k = −11 *

150(15 − n) = 1500

*

15 − n = 10 à n = 5 Me piden:

FG Cant. personas IJ = n = 5 H que no pagan K

à k = 11

Reemplazando en: n + 2k = 27 à n + 2(11) = 27

à (100 + 50)(15 − n) = 1500

*

RSn − k + 3k = 27 T(n + 3k ) × 25 = 950

à n=5

Me piden:

FG Cant. pasajerosIJ = n = 5 H al inicio K Rpta.: B

Rpta.: E

- 29 -


Resolución

10

Veamos:

Resolución A B 6 0 *

14

Veamos:

← cociente exacto

Además: • A = 3×6 à A = 18 • A = 6B à 18 = 6B à B = 3

*

*

Por propiedad:

Rpta.: E

(#vueltas C1)(#dientes C1) = (#vueltas C2)(#dientes C2)

Resolución

Resolución

11

*

Rpta.: C

Luego: * • C + G = 58

Tenemos:

A#B = 3·A2 – 2 ·

15

Sea:

RSC = Cant. cerdos TG = Cant. gallinas

à x·51 = 15· 119 à x = 35 vueltas

Me piden:A − B = 18 − 3 = 15

} cant. cabezas

à G = 58 − C ... (I)

AB + 5

Me piden:

• 4C + 2G = 36 + 2×58 ... (II) } cant. patas

2#8 = 3·22 − 2· 2 · 8 + 5

*

Reemplazando (I) en (II):

*

Me piden:

2#8 = 3·4 − 2· 16 + 5 2#8 = 12 − 8 + 5 = 9 à 2#8 = 9 Resolución

12

Rpta.: A

Cant. cerdos = 18

Veamos:

Agua 80 l à 10 000 l

→ →

à 4C + 2(58 − C) = 36 + 2×58 2C = 36 à C = 18

Resolución

16

Rpta.: A

Sea:

G = # partidos ganados  E = # partidos empatados

Tiempo 1 min. t

*

Luego: • 1 partido ganado

→ 3 puntos

• 1 partido empatado → 1 punto

*

à 80t = 10000 × 1

• G + E = 15 à G = 15 − E ... (I) 123 Partidos ganados y empatados

t = 125 min : 2h · 5 min ∴

FG Tiempo deIJ = t = 2h · 5 min. H llenado K

Resolución

13

Veamos:

2 2

• 3G + 1E = 27 ... (II) Puntaje por empate. Puntaje por ganado.

Rpta.: C

*

• Tengo = 450 + 60 à tengo = 510 *

• Televisor = 900

∴ Falta = S/. 390

Reemplazando (I) en (II): • 3(15 − E) + E = 27 45 − 2E = 27 2E = 18

Ahora: à Falta = televisor − tengo Falta = 900 − 510 = 390

Dato:

à

E=9

En: G = 15 − E = 15 − 9 à G = 6 *

Rpta.: E

- 30 -

Me piden: E−G=9−6=3

Rpta.: C


Resolución

17

RSm = Cant. niños Tn = Cant. niñas

*

*

Sea:

• (II) − 2 (I):

RS2 x + 2 y + 3z = 294 T2 x + 2 y + 2z = 238

Luego:

• 3m + 2n = 100 } cant. galletas

3 à n = 50 − m .... (I) 2

Ahora:

z = 56

*

Me piden:

FG Cant. IJ = z = 56 H triciclosK

• m + n = 45 ... (II) } cant.niños y niñas

Rpta.: D

* Reemplazando (I) en (II):

FG H

3 2

IJ K

Resolución

à m + 50 − m = 45 5=

m 2

2

b g

3 3 m = 50 − 10 = 35 2 2

à

Cant. niñas = n = 35 Resolución

18

RS A = Cant. adultos TN = Cant. niños

*

Rpta.. B

;

à

• Entrada adulto → S/. 3 → S/. 1

Luego:

b=

3

;

*

b=

3

b=

3

7

49 · 3 49 3 49 · 7

7

;

49 · 3 49 · 7

7 49 · 7 = 7 à b = 7

Me piden: 5

• 3A + 1·N = 1824 ... (II) } recaudación

K = a2 − b2


K = 92 − 72 = 5 81− 49 = 5 32 = 2

5

3(752 − N) + N = 1824 2256 − 2N = 1824 432 = 2N

∴ k=2

Me piden: A − N = 536 − 216 = 320

Resolución

19

Rpta.: B

à N = 216

En: A = 752 − N = 752 - 216 à A = 536 *

a=9 • b = 3 49 · 3 49 3 49 3 343

Sea:

• A + N = 752 } cant. espectadores à A = 752 − N ... (I) *

à

81 = 9

5

Además: • Entrada niño

*

2

a = 76 + 25 =

Me piden:

4

a = 76 + 32 − 49

2

à n = 35 *

Veamos:

• a = 76 + 32 − 45 + 16

à m = 10

En: n = 50 −

20

Rpta.: A

Resolución

21

• 1 + 2 + 3 + ... + 8 =

8 × ( 8 + 1) = 36 2

• 1 + 2 + 3 + ... + 7 =

7 × (7 + 1) = 28 2

• 1 + 2 + 3 + ... + 6 =

6 × (6 + 1) = 21 2

Sea:

R| x = Cant. motos S| y = Cant. bicicletas Tz = Cant. triciclos

Luego: * • x + y + z = 119 ... (I) } cant. vehículos • 2x + 2y + 3z = 294 ... (II)

Veamos:

9 × ( 9 + 1) = 45 • 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 2

*

Ahora: S = 1 + 12 + 123 + 1234 + ... + 12 ... 9

• 2x = 70 à x = 35 Ruedas

- 31 -


Número llevados 1 2 3 4 ...

... ... ...

4 4 1 3 1 2 2 1 2 3

Resolución

P = M1 × M2 * à

• P + 420 = (M1 + 15) × M2 M1×M2 + 420 = M1×M2 + 15M2

0

420 = 15M2 à

FG 4 ultimas IJ = 4205 H cifras K

Resolución

22

Rpta.: A

Sea:

Me piden:

*

Multiplicador = M2 = 28


*

à n + 328 = 12n + 20

• 6M + 8 A = 220 ... (II) # patas de 1 araña # patas de 1 mosca

En: m = n + 328 à m = 28 + 328 à

à 6(30 − A) + 8A = 220 2A = 40

23

m + n = 356 + 28 = 384 Resolución

Sea:

Luego:

• x + y = 46 } cant. días à x = 46 − y ... (I)

FG H

à

b

à

2 2

g

37 x + y = 666 3 x + y = 54 ... (I)

• 8x + 5y = 285 ... (II)

*

y = 27

*

* Me piden:

FG Cant. días delIJ = y = 27 H 2 do empleo K

IJ K

x+y • (x + y) ·12 + · 1 = 666 3 243 14243 14 Por cada 3 docenas le regalan 1 unidad Cant. manzanas

Pago diario del 2do empleo Pago diario del 1er empleo

à

Sea:

Luego, dato:

*

• 22x + 28y = 1174 ...(II)

Reemplazando (I) en (II): 22(46 − y) + 28y = 1174 1012 − 22y + 28y = 1174 6y = 162

26

Rpta.: B

RSx = Cant. docenas de manz. chilenas Ty = cant. docenas de manz. delicias

Rpta.: C

RS x = Cant. días del 1er empleo T y = Cant. días del 2 do empleo

*

m = 356

Me piden:

*

à A = 20

Me piden: Cant. arañas = A = 20

Resolución

*

308 = 11n à n = 28

Reemplazando (I) en (II): 180 − 6A + 8A = 220

*

Sean los números: m; n

à m = 12n + 20 ...... (II)

•m n 20 12

} cant. invertebrados

à M = 30 − A ... (I)

*

Rpta.: E

• m − n = 328 à m = n + 328 ... (I)

Además, dato: • M + A = 30

M2 = 28

Resolución 25 Luego: *

RSM = Cant. de moscas T A = Cant. de arañas

*

Sea:

Luego; dato:

1 ... 6 7 8 9 ... 4 2 0 5 * Me piden:

24

Rpta.: D

Pago por manzanas delicias Pago por manzanas chilenas

De (I) : x + y = 54 à x = 54 − y ... (III) Reemplazando (III) en (II): 8(54 − y) + 5y = 285 432 − 8y + 5y = 285 147 = 3y à y = 49

En: x = 54 − y = 54 − 49 à x = 5 *

- 32 -

Me piden:

FG Cant. manzanasIJ = x = 5 H chilenas K

Rpta.: E


Resolución *

27

Sea el número: n

à

k = 3·53 : 52 - 24 : 12 k = 3·5 − 2 = 13

Luego: 651 n 11

à

q

651 = nq + 11

à n·q = 640 ; n > 11

∴

*

Cant. (n) = 16 − 6 = 10 Cant.(n) = 10

Resolución

Rpta.: D

28

A B

7

1

5

31

Sea:

Luego:

RSn = 8k Tn = 6( k + 5 ) 0 = 2k − 30

à k = 15

En:

Veamos:

A B

Rpta.: A

RSn = Cant. de estudiantes Tk = Cant. de bancas

Cant.(n) = C·D·(27·51) − {1; 2; 4; 5; 8; 10} 144244 3 Cant.(n) = (7 + 1)(1 + 1) − 6

à

k = 13

Resolución

n·q = 27 × 51 ∴

k = 3(0 + 5)3 : 5·5 − (9 − 3)·4:12

• n = 8k à n = 8(15) = 120 à n = 120 *

6

Me piden: Cant. estudiantes = n = 120

(6−1)

1424 3

*

1424 3

Resolución

División por exceso

División por defecto

*

à Σ Residuos = Divisor *

Ahora: à A = 5(8) + 7 à A = 47

∴

Me piden:

à

A + B = 47 + 8 = 55 Resolución

29

Rpta.: A

m * n = 3m + 2n - 2 6mn Me piden: k=(12*2) * (2*3)

à

k = 3 × 12 + 2 × 2 − 2 6 × 12 × 2

FH

FH 3 × 2 + 2 × 3 − 2

6× 2× 3

IK

IK *

Resolución

Rpta.: D

30

(

à

e

∴

):

3

Veamos:

9

Al final

1 Subida de 7 pasos Sube 7 pasos y baja 3 pasos

15(7) + 15(3) + 1(7) = 157 123

. pasosI FH Cant retroceso K = 15(3) = 45

Rpta.: C

Me piden: 625

33

Rpta.: C

Cant. pasos de retroceso

3

k = 3 23 0 +

x à x = 28 gatos 2

RS T

k = 16 * 0 = 3 ×16 + 2 × 0 − 2 6 × 16 × 0 ∴ k = 48

14 =

• 15(7 + 3) + 1(7) = 157 123

k = (36 + 4 − 24) * (6 + 6 − 12) k = 48 + 0 − 0

R| 3 S| T⇒ queda = 14 botellas x R Queda = 14 botellas S x gatos ⇒ botellas 2 T

Resolución

Tenemos:

*

(−)

Ahora:

12 • Tengo = 18 botellas 12 gatitos ⇒ botellas

B= 8

• A = 5B + 7

*

Tenemos:

• 1 botella → 3 gatitos o 2 gatos

Propiedad: 7+1=8 à

32

Rpta.: E

125 · 5

j

− 32 − 5 243 · 4 : 144

- 33 -


CAPÍTULO N° 3 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE SISTEMA DE NUMERACIÓN (Pág.144, 145, 146) NIVEL I Resolución

1

Tenemos:

Resolución

|RS |T

a =1 • abc × 4 = 492 à abc = 123 à b = 2 c=3

RSmn==31 T

• mn × 5 = 65 à mn = 13 à Me piden:

*

k = (a + b +

c)m+n

= (1 + 2 +

à k = (6)4 = 1296 Resolución

2

10ab(6) = 307(9) .... (I) *

à

à 250 = 1054(6)

Rpta.: B 1054(6) = 307(9)

Veamos: *

Resolución

m=9

3

Rpta.: C

Veamos:

∴ a=5 ∧ b=4 *

Resolución

4

ab × 9 a 0b à ab × 9 = a 0b (10a + b)·9 = 100a + b 90a + 9b = 100a + b 8b = 10a à

*

a 4 = à b 5

RSab == 54kk T

a − b = 5 − 4 = 1 Rpta.: D

6

Veamos: 1 a 5 6 +

à

b a 8 d19 4

Unidades: * • 6 + b = ... 4 = 14 à b = 8 à llevo 1 Decenas: * • 1 + 5 + a = ... 9 = 9 à a = 3 Centenas: * • a + b = d1 à 3 + 8 = d1 11 = d1 à d = 1

*

Me piden: à a·b + d = 25

Para:

Resolución

RS T

Me piden: a + b = 9

d194

Comparamos

a·b + d = 3·8 + 1 = 25

k = 1 à a = 4(1) = 4 à a + b = 9 b = 5(1) = 5 *

a 56 + bab

Rpta.: B

Veamos:

Me piden:

Resolución

220012(3) = 2(243) + 2(81) + 3 + 2 à 220012(3) = 653

En (I): 10ab(6) = 307(9)

• 220012(3) = 2·35 + 2·34 + 0·33 +0·32 + 1·3 + 2 à

307(9) = 250

•

m3 + 0·m2 + 0·m + 0 = 729 à m3 = 729 Me piden:

Ahora: • 307(9) = 3·92 + 0·9 + 7 = 250

à m=9 *

Tenemos:

3)1+3

1000(m) = 729 à

5

7

Rpta.: B Veamos:

• # mayor = 642(8) = 6×82 + 4×8 + 2 = 418 à # mayor = 418

Rpta.: C *

Ahora:

•

∴ 642(8) = 418 = 1534(6)

- 34 -

Rpta.: E


Resolución

8

Veamos:

Resolución

•

13

3(5) + 33(5) + 333(5) = aba(5) 1 3(5) 1 3 3(5)

à

3443 = 2650 (11)

∴

Ultima cifra = 0

Resolución

9

Rpta.: A Tenemos:

*

Resolución

10

Rpta.: B

abc − cba = xy 5

(100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = xy5

à

3 = 10 − n Me piden:

a−c=5

∴

Reemplazando: * 99(5) = xy5 à 495 = xy5 à xy = 49

11

Rpta.. B

Tenemos: a + b = 17

S = ab + ba S = (10a + b) + (10b + a) S = 11(a b)= 11(17) = 187 +!

15

Rpta.: A

Tenemos:

∴ S = 187

à

abc × mn 5576 3485 40426

Rpta.: B

Rpta.: A

12

abc × mn abc xn abc xm

Entonces el valor de abc × mn = 40426

0

Resolución

16

Tenemos:

mn3 − 3nm = a95

Tenemos:

ab − ba = xy

que m > 3 à

à (10a + b) − (10b + a) = xy 9(a − b) = xy

72 à x +y = 7 + 2 = 9 Rpta.: E

...

27 à x + y = 2 + 7 = 9 ...

3

...

18 à x + y = 1 + 8 = 9

...

2

∴ x+y=9

= 92 + 72 = 81 + 49 = 130

el valor de m2 + n2 =130

Me piden:

Me piden:

8

+

à n=7 n2

abc × m = 3485 y abc × n = 5576

xy + yx = 49 + 94 = 143

Resolución

m2

Resolución

Me piden:

Resolución

Entonces: c + 10 − a = n à a − c= 10 − n ... (1) b − 1 + 10 − b = m à m = 9 a − 1 − c = 2 à a − c = 3 ... (2) a − c = 10 − n

° 5

° à (a − c) = 5

*

• • •

Reemplazamos (2) en (1):

99(a − c) = xy5

*

Tenemos:

abc − cba à concluimos que: c < a 2mn

Veamos:

;

14

Rpta.: C

abc − cba = 2mn

Unidades Me piden: Unidades = 3

RSab == 24 T

Me piden: a·b = 4×2 = 8

∴ 243(8) = 163

Resolución

+

3 3 3(5) 4 2 4(5) = aba( 5) à

N = 243(8) = 2×82 + 4×8 + 3 = 128 + 32 + 3 = 163

*

Veamos:

à

3 + 10 − m = 5 à m = 8 Como “n” le presto 10 a 3: n − 1 + 10 − n = 9 à 9 = 9 Como “m” le presto 10 a n:

à

m−1−3=a à m−4=a

Como: m = 8 à 8 − 4 = a àa = 4 Me piden: aa + mm à 44 + 88 = 132 ∴ - 35 -

El valor de aa + mm = 132

Rpta.: C


Resolución

17

Tenemos:

1mnp(3) = mnp( 6) 1(3)3 + m(3)2 + n(3) + p = m(6)2 + 6n + p 27 + 9m + 3n = 36m + 6n 27 = 27m + 3n 9 = 9m + n 0 9 1 0 Pero como: 0 < m < 3 à m = 1; 2 à

•

Igualamos: 9−a=b à a+b=9

•

7=a−1 à a=8 Reemplazamos “a”: 8+b=9 à b=1

Me piden: 2a + 3b = 2(8) +3(1) = 19 ∴

Resolución

el valor de m = 1 y n = 0

21

Tenemos: ( 9)

2 aba1((5) 5 ) = 6( 9 ) + 6( 9 ) + 6

Me piden: m +n + p = 1 + 0 + 2 = 3

aba1((5) 5 ) = 546

El valor de m + n + p = 3

aba1(5) (5) = 4141(5)

Resolución

18

(

C.A. 5416(8)

Rpta.: A

Igualamos:

Me piden:

à a=4yb=1 à a+b=5

)

à

( 7 − 5 )(7 − 4 )( 7 − 1)( 8 − 6 ) à 2362(8)

∴

El C.A. 5416(8) = 2362(8)

(

Resolución

∴ El valor de a + b = 5 Resolución

)

19

C.A(256) + C.A(4820) = C.A a 0bc

= 104 − a 0bc

Los valores de “a” se encuentran en: 4
744 + 5180 = 104 − a 0bc

2(5)3 + 4(5)2 + 1(5) + 1 = 1(6)3 + b(6)2 + 5(6) + c

5924 = 10000 − a 0bc à

4076 = a 0bc a = 4 ; b = 7 y c = 6 à a + b+ c = 17

∴

El valor de a + b + c = 17 20

Tenemos:

b g b g b 9 − a gb 9 − b gb10 − 3g = bab a − 1g b 9 − a gb 9 − b g7 = bab a − 1g C. A ab 3 = ba a − 1

Tenemos:

Como: 2411 > 1bac à a < 6 pero como a > 4

j

b 9 − 2gb 9 − 5gb10 − 6g + b 9 − 4 gb 9 − 8gb10 − 2g 0

Resolución

22

Rpta.: C

2411(a) = 1bac(6)

Tenemos:

e

Rpta.: D

aba1((5) 5 ) = 666

Como: m ≠ n ≠ p y p < 3 : p = 0; 1; 2 y como m = 1 y n = 0 à p = 2 ∴

El valor de 2a + 3b = 19

Rpta.: B

250 + 100 + 6 = 216 + 36b + 30 + c 110 = 36b + c à

Los valores: b = 3 y c = 2 Me piden: a + b + c = 5 + 3 + 2 = 10

∴

El valor de a + b + c = 10

Resolución

23

Rpta.: D

Tenemos:

35 b( a) = ba 0(7 )

Como: a > 5 y a < 7 Los valores de “a” se encuentran en: 5
à a=6

Reemplazamos en: 35b(6) = b 60( 7) 3(6)2 + 5(6) + b = (72)b + 6(7) 138 + b= 49b + 42 96 = 48b 2=b Entonces: a + b = 6 + 2 = 8 ∴ - 36 -

El valor de a + b = 8

Rpta.: C


Resolución

24

Resolución

El 1331(9) en base 10:

( )

6C.A ab − ab = 229

1331(9) = 1(9)3 + 3(92) + 3(9) + 1 = 729 + 243 + 27 + 1

)

6 10 2 − ab − ab = 229

1331(9) = 1000

600 − 6ab − ab = 229 7ab = 371 à à ∴

Lo pasamos a base 7: 1331(9) = 2626(7)

ab = 53 à

La suma de cifras ab = a + b = 8

Los valores de “a” y “b”: a=2 y b=6

25

Rpta.: B

Tenemos:

abc 10 + 6 = 1(103 ) + abc + 2abc 7 abc = 994

∴

e

( 8)

à

Tenemos:

à

Me piden: n·x = 3·7 = 21

à

También: 7 − b = n à 7 = n + b ; reemplazamos “n”: 7=1+b à b=6 Me piden: a·n + b = 7(1) + 6 = 13 El valor de a·n + b = 13

Resolución

Rpta.: E

30

Rpta.: A

Tenemos:

abc(7 ) − cba( 7) = xyz

(7 )

Tenemos:

Deducimos que: a > c

C.A ( 2n)(m − 3 ) x  = nn8  

à

(9 − 2n)(9 − m + 3)(10 − x ) = nn8 (9 − 2n)(12 − m)(10 − x ) = nn8

abc( 7) − cba(7 ) xyz(7)

Igualamos:

Operando la resta:

• 9 − 2n = n à 9 = 3n à n = 3

•

“b” le presta a “c” y se resta con “a”:

•

à a − c = 7 − z ......................... (α) “a” la presta a “b” y se resta con “b”:

c+7−a=z à c−a+7=z

• 12 − m = n à 12 = m + n ; reemplazamos “n” 12 = m + 3 à m = 9 • 10 − x = 8 à x = 2

b −1+7−b=y à y=6

Me piden: m·n + x = 9·3 + 2 = 29 El valor de m·n + x = 29

8 − a = n à 8 = a + n ; reemplazamos “a”: 8=7+n à n=1

∴

x=7 y n=3

∴

7 −a=0 à a=7 Como:

Los únicos valores que cumplen con “x” y “n” son:

El valor de n·x = 21

= nnn(8 )

Como: nnn( 8) es de 3 cifras

Rpta.: A

169 · x = 22nx( 8) Operamos: 169x = 2(8)3 + 2(8)2 +n(8) + x 169x = 1024 + 128 + 8n + x 168x − 8n = 1152 21x − n = 144

27

j

b 7 − a gb7 − bgb 7 − b gb 8 − ag

El valor de abc = 142

Resolución

Nos dicen:

Resolvemos:

a=1 ; b=4 yc=2

∴

29

Rpta.: B

C. A abba(8 ) = nnn( 8)

Los valores de:

26

El valor de 2a + b = 10

Resolución

abc = 142

Resolución

(7 )

Me piden: 2a + b = 2(2) + 6 = 10

abc6 = 1abc + 2 · abc

à

abab(7 ) = 2626

a+b=5+3=8

Resolución

∴

Tenemos: (9 )

Planteamos:

(

28

abab( 7) = 1331

Número de 2 cifras: ab

•

Como “a” le prestó a “b” quedaría (a − 1): a − 1 − c = x à a − c = x + 1 ..... (β)

Rpta.: C - 37 -


Reemplazamos (α) en (β):

Resolución

x+1=7−z à x+z=6

11(a) + b = 13(b) + a 10a = 12b 10a − 12b = 0 à 5a − 6b = 0

Me piden: zxy(9) + xz2(9) + y83(9) Reemplazamos “y”:

à

zx 6(9) + xz 2(9) + 683( 9) =

Me piden: 2a + 3b = 2(6) + 3(5) = 27

Sumando en base (9); sabiendo que x + z = 6.

∴

683(9) 1462(9)

∴

Dando valor a “a” y “b” obtenemos: a=6 y b=5

zx6(9) +

à

El valor de 2a + 3b = 27 Rpta.: D

Resolución

El valor de zxy(9) + xz2(9) + y83(9) = 1462(9)

NIVEL II 1

2 abc × 3 abc 1

Tenemos:

Analizando: 3 b < 4 a à

Tenemos:

Su base de 3b es mayor que su base

de 4a : 6>b Pero tambien: b<4

Le pasamos en forma horizontal:

4
Reemplazamos en la numeración:

2 abc × 3 = abc1

35(6) = 4a(5)

{2e10 j + abc} 3 = abcb10g + 1 3

6000 + 3abc = 10abc + 1

3(6) + 5 = 4(5) + a 23 = 20 + a à a = 3

5999 = 7abc

Me piden: a + b = 5 + 3 a+b=8

857 = abc à

4

3 b(6) = 4 a(b)

Rpta.: E

Resolución

Tenemos:

ab(11) = ba(13)

Entonces tenemos que: y = 6 ; x + z = 6

xz2(9)

3

∴

Los valores de: a = 8 ; b = 5 y c = 7


Rpta.: D

Me piden: a + b + c = 20 ∴

El valor de a + b + c = 20

Resolución

Rpta.: C

5

Número de 2 cifras: ab ; donde: b > a Planteamos: Resolución

2

Tenemos:

ba − ab = xy

10b + a − (10a + b) = xy

abc × 9 = mm15

9b − 9a = xy

Lo ponemos en posición vertical:

Pero me dicen que la diferencia de sus cifras es 5:

abc × 9

b − a = 5 .... (β)

; analizamos la multiplicación:

mm15

Remplazamos (β) en (α): 9(5) = xy à 45 = xy

*

c×9 = ... 5; el único valor sería c = 5 à llevaría : 4

*

b×9 + 4 = ... 1; el único valor que cumpliría sería b = 3 à llevaría 3

*

a×9 + 3 = mm ; el valor de a = 7

∴

à El valor de m sería 6; m=6 Me piden: a + b + c + m = 7 + 3 + 5 + 6 a + b + c + m = 21 ∴

El valor de a + b + c + m = 21

9(b − a) = xy .... (α)

Rpta.: B - 38 -

La cantidad que aumenta es 45

Rpta.: B


Resolución

6

Tenemos:

Resolución

ab × ba = 252


{10(a) + b} { 10(b) + a} = 252

Planteamos:

100 ab + 10b2 + 10a2 + ab = 252

ab0 − ab = 648

10(a2 + b2) + 101 ab = 252

ab × 10 − ab = 648

Analizando: ab = 2 y a2 + b2 = 5

9ab = 648 à ab = 72

Me piden: a + b ∴

Pero: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a +

b)2

à

1a12

(a )

7

Resolución

a+b=3


Resolución

El número es ab = 72

Rpta.: B

= 5 + 2(2)

(a + b)2 = 9 ∴

10

11


Rpta.: A

Planteamos: ab2 − ab = 524 + 2 − ab = 524 ab × 10 −

Tenemos:

9 ab = 522 à ab = 58 Suma de cifras: a + b = 5 + 8 à a + b = 13

= 31

( 5)

Por propiedad:

∴


Rpta.: C

a + 2 + a = 31(5) 2a + 2 = 3(5) + 1 à a = 7 ∴

El valor de a= 7

Resolución

8

Resolución

(52)a + 5(a) + 3 = 10(b) + 3

Tenemos:

30a + 3 = 10b + 3 30a = 10b à 3a = b Me dicen: a + b = 12 ; reemplaza “b”:

e abc abcje xyj {10 × abc + abc}oxyt 10 × e abc j xy + e abc j xy Reemplazamos e abc j xy :

a + 3a = 12 à 4a = 12 à a = 3

Me piden:

Entonces: b = 3(3) à b = 9

3

Me piden: b − a = 9 − 3 à b − a = 6 ∴

3

9

( a − 3 )(a + 5 ) = 6(b ) + c

Rpta.: A

Me dicen:

De acuerdo con el problema sabemos:

ab = ba + m(n − 2 )

à

a > 3 y que a + 5 < 10 à à

ab − ba = m(n − 2 )

Restamos: b + 10 − a = n − 2 à a − b = 12 − n ... (α) * *

a−1−b=m

Igualamos (α) y (β): Me piden: mn + nm =

∴

Va estar comprendido: 3 < a < 5 a=4 11(4) − 25 = 6b + c ; b < 6 ∧ c < 6 19 = 6b + c

Los valores de b y c: b = 3 11 = m + n mn + nm 12 1

El valor de mn + nm = 121

a<5

Reemplazamos:

à a − b = m + 1 .... (β)

12 − n = m + 1 à

Tenemos:

10(a − 3) + a+ 5 = 6b + c 10a − 30 + a + 5 = 6b + c 11a − 25 = 6b + c 11a = 6b + c + 25

Suma de cifras: 5+1+3+3+6+2+8+5 = 33

e j

13

Rpta.. D

( a − 3 )( a + 5 ) = bc (6)

51285000 + 51285 = 51336285 Suma de cifras de abc xy = 33

El valor de b − a = 6

Resolución

103 × 51285 + 51285

Resolución

Tenemos:

aa 3( 5) = b 3

Rpta.: E

e abcje xy j = 51285

∴

12

∧ c=1

Suma: a + b + c = 4 + 3 + 1 = 8 ∴

La suma de valores de a + b + c = 8 Rpta.: C

Rpta.: A - 39 -


Resolución

Sabemos: m < 4 ∧ 2m > 5 à m > 2,5

Tenemos: abcd × m = 1416 ∧ abcd × n = 2848

Me piden:

14

à m=3

Deducimos: 2,5 < m < 4

Reemplazamos “m” en (α):

abcd × moon 2848 0000 0000 1416 1418848

3 = 6(3)2 − 16(3) − n 3 = 54 − 48 – n à n = 3

→ n × (abcd)

Me piden: m·n = 3×3 = 9

→ m × ( abcd)

∴

El valor de m×n = 9

Rpta.: D

Suma de cifras: 1 + 4 + 1 + 8 + 8 + 4 + 8 = 34 ∴

La suma de cifras de abcd × m00n = 34

Resolución

Veamos: abc − cba = xy ( x − 1) ; a > c

Rpta.: A Resolución

15

* “b” le presta a “c” y se resta con “a”: c + 10 − a = (x − 1) à a − c = 11 − x .... (α)

Tenemos:

888 ... 8 × 9 ; pasamos a posición vertical: 1 424 3

* “a” le presta a (b − 1) y se resta con “b”: b − 1 + 10 − b = y à y = 9

88 cifras

à

∴

888 ... 8 × 9 79 .... 992 → (88 + 1) cifras 89 cifras Suma de cifras: 7 + 9(87) + 2 = 792

* (a − 1) se resta con “c”: a − 1 − c = x à a − c = x + 1 ... (β) Igualamos(α) y (β): 11 − x = x + 1 10= 2x à x = 5

La suma de cifras del producto: 792 Rpta.: E

Resolución

16

Tenemos:

5(6) + 55(6) + 555(6) + ... + 555 1 42... 4 35(6)

18

Reemplazo “x” en (β): a − c = 5 + 1 à a − c = 6 Me piden: (x + y)(a − c) = (9 + 5)(6) = 84 ∴

El valor de (x + y)(a − c) = 84 Rpta.: D

55 cifras

Lo ubicamos en forma vertical 5(6) 55(6) 555(6) M 55 ... 555(6)

U| |V 55 sumandos || → 55 cifras W

.............ab(6)

•

Para b: 5(55) = 275 ; lo llevamos a base 6

à

b = 5 ; llevamos 45

•

Para a: 5(54) + 45 = 315 ; lo llevamos a base 6

à

Resolución

+

a=3

à

La suma de a + b = 5 + 3 à a + b = 8

∴

El valor de a + b = 8 17

I

•

b + 10 − a = 2

→

a− b=8

• a − 1 − b = x à (a − b) − 1= x ; Reemplazando: à 8−1=x à x=7 Caso II: • d + 10 − c = y à (c − d) − 10 = −y • c−1−d=3 à c−d=4 Reemplazamos (c − d): 4 − 10 = −y à y = 6 Me piden: xx + yy + xy 77 + 66 + 76 = 219 ∴ El valor de xx + yy + xy = 219 Rpta.: D

Rpta.: A

1(2m)2

20

Tenemos:

xyy(9) = ( y + 1)( y + 1)x(7)

Tenemos:

+ 2(4) + n =

II

Caso I:

m2n(4) = 1m5(2m)

m(4)2

Tenemos:

− dc = 3 y ab −4ba = x32 ∧ cd 14 244 14 4244 3


19

x(9)2 + y(9) + y = (y + 1)(7)2 + (y + 1)(7) + x 81x + 10y = 49y + 49 + 7y + 7 + x 80x − 46y = 56 40x − 23y = 28 à 40x = 23y + 28

+ m(2m) + 5

16m + 8 + n = 4m2 + 2m2 + 5 3 = 6m2 − 16m − n .... (α)

Deduciendo los valores de “x” e “y”: x=3 ∧ y=4 - 40 -


Me piden: ∴

b 3g + b 4 g 2

2

El valor de x 2 + y 2 = 5

Resolución

21

11100 − 32 − 223a = 9284 11068 − 223a = 9284 223a = 1784 a=8

= 9 + 16 = 25 = 5

Rpta.: D

e j

Tenemos:

Me piden: C.A aa

545(b) ; 7 a 3(8 ) ; 6 b 5( a)

à C.A (88) à 100 − 88 = 12

e j

Analizamos: Con “a”: a < 8 ∧ a > 5 à 5 < a < 8 * Valores de “a”: 6 y 7 Con “b”: b > 5 ∧ b < a à 5 < b < a * • Si “a” valiera 6 à b no existe • Si “a” vale 7 à b=6

∴ El valor de C.A aa = 12 Rpta.: C Resolución

Factorizamos 2430: 2430 1215 405 135 45 15 5 1

* 773(8) à base 10 = 507 à a base 6 = 2203(6) * 665(7) à a base 10= 341 à a base 6 = 1325(6) El menor numeral en base 6 es 545(6) Rpta.: B Resolución

22

Tenemos:

abc(9) × 888(9) = ....825(9) En posición vertical:

a b c( 9 ) × 888

e j C. A e ab 54 j = pq 45 + 1

...... 825 .....825 ( 9) (9)

(9 − a)(9 − b)46 = pq45 + 1

abc(9) × 8(9) = 565(9)

(9 − a)(9 − b)46 − pq45 = 1

Pero:

( 9 − a )(9 − b ) 46 − p q 45 0 0 01

à 8(9) = 8

• 8(9) = 8

• 565(9) = 5×92 + 6×9 + 5 à 565(9) = 464

Analizando:

Reemplazando en (I): à abc (9) × 8 = 464 à abc(9 ) = 58 = 64(9) à {a = 0 ; b = 6 ; c = 4} à a + b + c = 10 Rpta.: D

Resolución

e j

3×3×5 = 45

C. A abcd = pqrs + 1

(9 )

*

2×3×3×3 = 54

à Los valores de c y d son: c=5 y d=4 ∧ r=4 y s=5 Reemplazamos:

5 6 5(9 ) 565 ( 9) 565

*

2 3 3 3 3 3 5

à cd × rs = 2430 54 ×45 = 2430 y cumple: 5 + 4 = 4 + 5 ( 9)

Multiplicamos:

Tenemos:

cd × rs = 2430 ∧ c + r = d + s

Por lo tanto: a = 7 ∧ b = 6 Reemplazamos: 545(6) ; 773(8) ; 665(7) * 545(6)

∴

24

23

e j

Tenemos:

*

9 −b=q

à 9=b+q

*

9−a=p

à 9=a+p

Me piden: a + b + p + q = a + p + b + q a+b+p+q=9+9 a + b + p + q = 18 ∴ El valor de a + b + p + q = 18

e j = 9284

C. A 1a + C. A 2 a1 + C. A 2 a1a

C.A(10 + a) + C.A [2(10a + 1)] + C.A [2(102a + 10 + a)] = 9284 102 − 10 − a + 103 − 20a − 2 +104 − 200a − 20 − 2a = 9284

- 41 -

Rpta.: D


Resolución

25

Tenemos:

Resolución

C. A abc − cba = a 04

27

Veamos:

abab(n) = 335(8) abab(n) = 3 × 82 + 3 × 8 + 5

Resolvemos: C. A abc − cba = a 04

ab(n) ·n2 + ab(n) = 221

C.A [100a + 10b + c − 100c − 10b − a] = a04

ab(n) ·(n2 + 1) = 13 × (42 + 1)

C. A 99( a − c ) = a 04

ab(n) ·(n2 + 1) = 31(4) ·(42 + 1)

10 3 − 99 ( a − c ) = a 04

1000 − a04 = 99(a − c)

* Comparando: à a=3;b=1;n=4 • ab(n) = 31(4)

( 9 − a )96 = 99( a − c )

Analizando: a − c = 4 ... (β) * (9 − a)96 = 99(4)

• * •

( 9 − a )96 = 396

Entonces: 9 − a = 3 à a = 6 Reemplazamos “a” en (β): 6−c=4 à c=2 Me piden: a + c = 6 + 2 à a + c = 8 ∴ El valor de a + c = 8 Rpta.: A

n2 + 1 = 42 + 1 à n = 4 ∴ a = 3 ; b = 1; n = 4 Me piden: (a + b)n = (3 + 1)4 = 44 = 256 à

Resolución

(a + b)n = 256

28

Rpta.: C

Tenemos:

m00m(7) = abc 0

73×(m)+m = abc × 10 Resolución

26

(73 + 1)m = abc × 10 (344)m = abc × 10

Número de 3 cifras: abc

Planteamos: abc(7) = cba( 9) 72×a + 7×b + c = 92×c + 9×b + a

34,4 × m = abc Para que sea entero abc se le debe multiplicar 34,4 por 5 à m=5 34,4 × 5 = abc

49a + 7b + c = 81c + 9b + a 48a = 2b + 80c

172 = abc Los valores de: a=1; b=7 ;c=2 ym=5 Me piden: a + b + c + m = 1 + 7 + 2 + 5 = 15 ∴ El valor de a + b + c + m = 15

48(5) = 2(0)+ 80(3)

à

Los valores que toman a; b y c son: a=5 ; b=0 y c=3 à El numeral es: abc(7) = 503(7) = 5(7)2 + 0(7) + 3 503(7) = 248 Lo pasamos a base 5:

Rpta.: E

abc (7) = 248=1443(5)

∴

El valor de abc7 en base 5 = 1443(5) Rpta.: B

- 42 -


Resolución

29

Tenemos:

Resolución

abb3 + 20 × abb = 7 ⋅ 1abb − 120

{

Me dan:

342(6) × 555 .... 555 (6) 14243

}

30 cifras

abb(10) + 3 + 20abb = 7 110 ( )3 + abb − 120

555 ... 555(6) × 342(6)

30abb + 3 = 7000 + 7 abb − 120 23abb = 6877

1555 ... 5554 3555 ... 555 2 2555 ... 5553 3415 ... 555214

abb = 299

à

30

Los valores de a = 2 y b = 9

e j

Me piden: C.A bab

à à à à

31 cifras 31 cifras 31 cifras 33 cifras

C.A(929) = 1000 − 929 = 71

Sumamos las cifras: 3 + 4 + 1 + 27(5) + 2 + 1 + 4 Suma de las cifras: 150

à

C.A bab = 71

∴

∴

El valor de C.A bab = 71

e j

e j

La suma de las cifras: 150 Rpta.: D

Rpta.: A

CAPÍTULO N° 4 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE DIVISIBILIDAD (Pág. 169, 170, 171) NIVEL I Resolución

Resolución

4

N = 30 = 2×3×5 = 2· [31 × 51] 1 424 3

1

° cant. divisores 2

o

*

*

Sea: n = 7 à n = 7k ; k ∈

Luego: 1 ≤ n ≤ 60 à 1 ≤ 7k ≤ 60

∴

à k = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ∴

Cant.(n) = cant.(k) = 8

Rpta.: B

Resolución 2 Sea: ° n = 4 à n = 4k ; k ∈

*

Veamos:

o° à cant. Div. (N) ← 2 = (1 + 1)(1 +1) = 4 o° cant. Div. (N) ← 2 = 4 Rpta.: C

Resolución

5

Veamos:

2·32] 32 = 2·[2 N = 72 = 2132·3 12 3

cant. div. pares =(2+1)(2+1)

Luego: 1 ≤ n ≤ 80 à 1 ≤ 4k ≤ 80 à k = {1; 2; 3; ...; 20} à cant.(k) = 20

à cant. div. pares = 9 Cant.Div.(N) = (3 + 1)(2 + 1) = 12

∴

cant.(n) = cant(k) à cant.(n) = 20

à

*

Me piden:

Me piden: * Cant. Div. impares = Cant. Div.(N) − Cant. Div. pares

#s   Cant.  °o  = 80 − cant.(n) = 80 − 20 = 60 4  no 4  #s   Cant.  °o  = 60  no 44 

∴

Cant. Div. impares = 3

Resolución

Luego: 30 ≤ n ≤ 100 à 30 ≤ 6k ≤ 100 à k = {5; 6; 7; ... ; 16} à cant.(k) = 12

*

Cant. Div. impares = 12 − 9 Rpta.: B

Rpta.: C

Resolución 3 Sea: o° n = 6 à n = 6k ; k∈

*

Cant. Div.(N) = 12

Veamos:

à

N = a ( 2 a ) = 10 a + 2 a = 12 a ° ° ° ° ° N = 3×22 ×a à N = 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

∴

N no es divisible por 5

Me piden: cant.(n)= cant.(k) = 12

6

Rpta.: A - 43 -

Rpta.: C


Resolución

7

° à Σ cifras 3a 4 a = 9

e

Veamos:

° •a1a = 3

à

° 3+a+4+a= 9 ° ° 2a + 7 − 9 = 9 − 9 = 9 ° 2(a − 1) = 9 ° a−1= 9 ° ∴ A= 9 +1

° Σ cifras a1a = 3

e j °

a+1+a= 3

° ° 2a + 1 − 3 = 3 − 3 = 3 °

2(a − 1) = 3 °

a−1= 3

*

∴

à

°

a= 3 +1 * ∴

a = 3 × 0 + 1 = 1  a = 3 ×1+ 1= 4 a ← cifra à  a = 3 × 2 + 1 = 7 

Resolución

Cant. valores (a) = 3

à

Resolución 8 Tenemos: ° ° ° n = 2 ∧ 3 à n = 6 à n = 6k ; k ∈ *

*

Veamos:

∴

° Cant. Div.(36) ← 3 = (2 + 1)(1 + 1) = 6 ° Cant. Div.(36) ← 3 = 6 Rpta.: C

45 =

32

13 ×

Veamos:

51

à Cant. Div.(45) = (2 + 1)(1 + 1) = 6

Rpta.: C

Veamos:

Me piden: * Cant. Div.(45) > 5 = cant. div.(45) − {1; 3; 5} ∴

Me piden:

Resolución

Cant. div(N) = 6

6−3

Cant. Div.(45) > 5 =

N = 63 = 32 × 71 à Cant. Div.(N) = (2 + 1)(1 + 1) = 6 ∴

12

à Cant. Div.(45) = 6

Me piden: Cant.(n) = cant.(k) = 7 9

Rpta.: A

Resolución

Luego: 36 < n < 84 à 36 < 6k < 84 à k = {7; 8; 9; ... ; 13}

Resolución

a=1

2 31] 36 = 22 · 32 = 3·[2 12 4 ×4 3

à Cant. (k) = 7 *

Como: a ← cifra à a = 9×0 + 1 = 1

Como:

Rpta.: C

j

Cant. Div.(45) > 5 = 3

Rpta.: B

° Veamos: a 5 a 1 = 11 –+–+ ° à −a + 5 − a + 1 = 11

Rpta.: C

14

°

−2a + 6 = 11 Resolución

10

Veamos:

°

−2(a − 3) = 11

• 60 = 22 × 31 × 51

°

a − 3 = 11

à Cant. Div.(60) = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 12 à Cant. Div.(60) = 12

°

à a = 11 + 3

* Como: a ← cifra à a = 11×0 + 3 = à a = 3 Rpta.: D

• 80 = 24 × 51 à Cant. Div(80) = (4 + 1)(1 + 1) = 10

Resolución

15

Veamos gráficamente:

à Cant. Div(80) = 10 *

Me piden: ∆ = Cant. Div(60) Div(80) 14 42 44 3 − Cant. 14 42 44 3 ∆= 12 − 10 = 2 à ∆=2

Resolución

11 ° 3a 4a = 9

o ° à A∩B ← ( 3 × 4 ) = 12

Rpta.: B

*

Luego, dato: 1 ≤ n ≤ 40

*

Para números 3 :

Veamos:

- 44 -

o


à n = 3k ; k∈ ¢ 1 ≤ n ≤ 40

NIVEL II Resolución

1 ≤ 3k ≤ 40 à k = {1; 2; 3; ... ; 13} ∴ *

o

Cant. #s ← 3 = 13 ° Para los números 4 :

*

à n = 4k ; k ∈

*

1 ≤ n ≤ 40

Me piden: cant.(n) = cant.(k) = 25

*

Para los números 12 :

∴

à n = 12k ; k ∈

Cant.(n) = cant.(k) à cant.(n) = 57 °

* Me piden: cant.#s no 7 = cant.#s – cant.(n)

1 ≤ n ≤ 40

°

1 ≤ 12x ≤ 40

cant. #s no 7 = 400 – 57 = 343

à k = {1; 2; 3}

∴

o Cant. #s ← 12 = 3

*

Me piden:

∴

o

o

o

Cant. #s ( 3 ∨ 4 )= cant. #s ← 3 + cant. #s ← 4

o

o

Cant. #s ( 3 ∨ 4 ) = 20

Rpta.: C

°

Cant. #s no 7 = 343

*

Luego: 80 < n < 200 à 80 < 9k < 200 k = {9; 10; ... ; 22} à Cant.(k) = 14

*

Me piden: Cant.(n) = cant.(k) = 14

Resolución

Resolución

16

Veamos:

*

• Quitando “6”: à N = 315

o 3+1+5=9= 9 ( ) • Quitando “3”: à N = 615 o 6 + 1 + 5 = 12 ≠ 9 ( X ) • Quitando “1” : à N = 635

o 6 + 3 + 5 = 14 ≠ 9 ( X )

• Quitando “5”: à N = 631 ∴

o 6 + 3 + 1 = 10 ≠ 9 ( X ) Quitamos la cifra “6” Rpta.: D

Rpta.: C

Resolución 3 Sea: ° n = 9 à n = 9k ; k ∈ ¢

o − cant. #s ← 12

à

Sea:

n = 7k ; k ∈ ¢ * Ahora: 1 ≤ n ≤ 400 à cant. #s = 400 1 ≤ 7k ≤ 400 à k = {1; 2; 3; ...; 57} à cant(k) =57

o

o

2

Rpta.: B

° n= 7 à

à k = {1; 2; 3; ... ; 10} ∴

Sea:

Luego: 1 ≤ n ≤ 200 à 1 ≤ 8k ≤ 200 à k = {1; 2; 3; ...; 25} à cant.(k) = 25

Resolución

1 ≤ 4k ≤ 40 o Cant. #s ← 4 = 10

1

° n = 8 à n = 8k ; k∈ ¢

4

Sea el número: ab

Luego; dato: ∆ = ab − ba ∆ = (10a + b) − (10b + a) °

∆ = 9(a − b) = 9 ∴

∆ siempre es múltiplo de 9

Resolución 120 =

23

5

Rpta.: D

Veamos:

2×31×51] ×3×5 = 2× [21 4243

à Cant.Div.(120) pares = (2+1)(1+1)(1+1) = 12 ∴

Cant. Div.(120)pares = 12

Resolución

Rpta.: C

6

Veamos: 64748 180 = 22×32×51 = 2×[21×32×51]

à Cant. Div.(180) = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 18 *

Además: Cant. Div.(180) pares = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12

*

Me piden:

Cant. Div.(180)impares = Cant. Div.(180) − Cant. Div.(180) pares à Cant. Div.(180) impares = 18 − 12 = 6 ∴

- 45 -

Cant. Div.(180) impares = 6

Rpta.: C

Rpta.: D


Resolución 12 Sea: ° n = 11 à n = 11k ; k ∈ Ahora; dato: *

Resolución 7 Veamos: 160. = 25×51 à

Cant. Div.(160) = (5 + 1)(1 + 1) = 12

*

Me piden:

n ← 2 cifras à 10≤ n ≤99

Cant. Div.(160) > 16 = Cant. Div(160)

10 ≤ 11k ≤ 99

− {1; 2; 4; 5; 8; 10; 16} à

Cant. Div.(160) = 12 − 7 = 5

∴

Cant. Div.(160) > 16 = 5

Resolución

8

à k = {1; 2; ... ; 9} à cant.(k) = 9 ∴

Rpta.: C

Cant.(n) = cant.(k) = 9

Resolución

13

° ° n←4 ∧5

Veamos:

72 = 23 ×32 à

Div(72) < 9 = {1; 2; 3; 4; 6; 8}

∴

Cant. Div.(72) < 9 = 6 Rpta.: B

Resolución

9

à

*

*

Me piden:

cant.(k) = 9

Cant.(n) = cant.(k) = 9 Rpta.: B

N es múltiplo de 3 y 7

• b = 5 à a = {1; 2; ...; 9} à cant. ab = 9 cant. total ab = 18

*

Resolución

à Σ cifras

(2 a 5 6 ) =3o o

° 2+a+5+6= 3 o° a + 12 + 1 = 3

0

° a+1= 3 à

Como: a ← cifra à

*

Me piden:

Divisores mayores

∆ Div. mayores = 144 − 72 = 72 ∆ Div. mayores = 72

Resolución

° a= 3 −1

16

Rpta.: A


° ° A∩B ← 3 ∧ 5 ° à A∩B ← 15

R| a = 3 × 1 − 1 = 2 S| a = 3 × 2 − 1 = 5 |T a = 3 × 3 − 1 = 8

Luego: Cant. valores (a) = 3

Veamos:

à Div.(144) = {1; 2; 3; 6; ... ;72; 144}

∴

3

15

114 = 24 × 32

Rpta.: B

° Veamos: 2a 56 = 3

11

14

Como: a ← cifra à a = 11×1 − 4 = 7 ∴ a=7 Rpta.: C

Resolución

Me piden: Cant. total ab = 18

°

Veamos: a 1 a 5 3 = 11 +–+–+ ° à a − 1 + a − 5 + 3 = 11 ° ° 2a − 3 + 11 = 11 11 12 4+ 4 3 = 11 ° 2(a + 4) = 11 ° ° a + 4 = 11 à a = 11 − 4

Resolución

Rpta.: D

Si: * • b = 0 à a = {1; 2; ... ; 9} à cant. ab = 9

*

200 < 20k 400

N = 3×7×a

10 Veamos: ° ab ← 5 (número de 2 cifras)

*

° n = 20

Luego: 200 < n < 400 à

Resolución

*

à

10 < k < 20 à

° 7 (múltiplo de 7) ° 3 (múltiplo de 3)

∴

Sea:

à n = 20k ; k∈

Veamos:

N = ( 2 a )a = 10(2a) + a = 21a

Rpta.: C

Rpta.: C

- 46 -


* *

Dato: 1 ≤ n ≤ 500

Resolución

° Para los números 3 :

Luego:

*

• n3 − n = n(n2 − 1)

à n = 3k ; k ∈

n3 − n = n(n − 1)(n + 1)

1 ≤ n ≤ 500

n3 − n = (n − 1)(n)(n + 1) 1442443

1 ≤ 3k ≤ 500 à k = {1; 2; 3; ... ; 166}

#s consecutivos

o ∴ Cant.#s ← 3 = 166

*

° Por propiedad: (n − 1)(n)(n + 1) = 6 ° à n3 − n = 6 Rpta.: B

*

° Para los números 5 : à n = 5k ; k ∈ ¢ 1 ≤ n ≤ 500

Resolución

1 ≤ 5k ≤ 500

*

° Cant. Div.(320) ← 4 = (4 + 1)(1 + 1) = 10

∴

° Cant. Div.(320) ← 4 = 10

Resolución

1≤ 15k ≤ 500

Me piden: o o o ° ° Cant. #s ( 3 ∨ 5 ) = cant. #s ← 3 + cant. #s ← 5 − cant. #s ← 15

17


° à A∩B ← 15

o

o

3(a + 5) = 7 123

Dato: 120 < n < 800 ° Para los números 15 :

a+5= 7

*

Como:

o

à a= 7 −5

a ← cifra à

RSa = 7 × 1− 5 = 2 Ta = 7 × 2 − 5 = 9

Resolución

21

Rpta.: D

° Veamos: 8a 6bb = 33 ° à 8 a 6 bb = 3 .... (I)

R| S| °o T 8a6bb = 11 11 ... (II)

120 < n < 800 120 < 15k < 800

o

à

à n = 15k ; k ∈ *

à k = {9; 10; 11; ... ; 53} ° ∴ Cant. #s ← 15 = 45 *

o

−3 −6 + 2a + 24 + a = 7 3a + 15 = 7

Rpta.: C

° ° A∩B ← 3 ∧ 5

*

o 7

o o Cant. #s ( 3 ∨ 5 )= 166 + 100 − 33 = 233

Resolución

*

à

Rpta.: D

° Veamos: 16a 8a = 7

20

à

*

∴

Veamos:

à

à k = {1; 2; 3; ... ; 33} ° ∴ Cant. #s ← 15 = 33

o o Cant. #s ( 3 ∨ 5 ) = 233

19

320 = 26×51 = 4×[24×51] 123

à k = {1; 2; 3; ...; 100} ° ∴ Cant. #s ← 5 = 100 ° Para los números 15 : à n = 15k ; k ∈ ¢ 1≤ n ≤ 500

à

Sea: n ← número

18

° En (II): 8 a 6 b b = 11 + − + − + o

à 8 − a + 6 − b + b = 11

0

0o

−a + 11 + 3 = 11

Me piden: ° ° ° Cant. #s ( 3 ∧ 5 ) = cant. #s ← 15 = 45 ° ° ∴ Cant. #s ( 3 ∧ 5 ) = 45 Rpta.: B

o

à (a − 3) = 11 o

o

a − 3 = 11 à a = 11 + 3 *

- 47 -

Como: a ← cifra à a = 11×0 + 3 à a = 3


*

° En (I): 8 a 6 b b = 3

° 2(b +3 1) = 3 12

° à Σ cifras 8 a 6 bb = 3

° ° à b+1= 3 à b= 3 −1

e

j

° →8+a+6+b+b= 3 o

8 + 3 +6 + 2b = 3 ° 2b + 18 − 1 = 3

0

b = 3 × 1 − 1 = 2 

*

Como: b ← cifra à b = 3 × 2 − 1 = 5

*

Si a = 3 ∧ b = 2 à a + b = 5 (menor)

° à 2b − 1 = 3 ° ° 2b − 1 + 3 = 312 +3 3= 3

b = 3 × 3 − 1 = 8 

a=3∧b=5 à a+b=8 a = 3 ∧ b = 8 à a + b = 11 ∴ Menor (a + b) = 5

Rpta.: B

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 181, 182) NIVEL I Resolución

1

Veamos: 40 = 23 × 51

Resolución

6

Veamos:

à Cant. Div.(40) = (3 + 1)(1 + 1) = 8 ∴ Cant. Div.(40) = 8 Resolución

2

Rpta.: C

Veamos: 30 = 2 × 3 × 5

*

Me piden Σ #s primos = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29

à

Σ #s primos = 129

à Div.(30)primos = {2; 3; 5} ∴

Cant. Div.(30) primos = 3

Resolución

3

Rpta.: B

Veamos:

Resolución

7

Rpta.: D

Veamos:

• 56 = 23 × 71 à Cant. Div.(56) = (3 + 1)(1 + 1) = 8 ∴ Cant. Div.(56) = 8

à

#s primos = {17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43}

∴

Cant. #s primos = 8

Resolución

4

• 80= 24 × 51

Rpta.: D

à Cant. Div.(80) = (4 + 1)(1 + 1) = 10 ∴ Cant. Div.(80) = 10

Veamos: *

Me piden: ∆ = Cant. Div.(80) − cant. Div.(56) ∆ = 10 − 8 = 2

∴

Mayor número primo = 59

Resolución

5 24

Veamos: 31

Resolución A=

52

1200 = × × à Cant. Div.(1200) = (4 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 30 ∴

à ∆=2

Rpta.: D

Cant. Div.(1200) = 30

à

21

Rpta.: A 8

×

32

Veamos: ×

51

Cant. Div.(A) = (1 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 12 ∴ Cant. Div.(A) = 12

Rpta.: D

- 48 -


• B = 3 1 × 52 × 72

Resolución

à

Cant. Div.(B) = (1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 18 ∴ Cant. Div.(B) = 18

*

Me piden: ∆ = Cant. Div.(B) − Cant. Div.(A) ∆ = 18 − 12 = 6 à ∆=6

Resolución

9

Σ Div.(35) =

Veamos: 35 = 51 × 71

# s que dividenI F Cant. a 56 J = (2+1)(1+1)= 6 GH exactamente y pares K

Rpta.: D

10

Resolución

FG 24 IJ · FG 48 IJ H4K H6K

∴

Cant. Div.(2520) = 48

Resolución

2

• 360 =

23

×

× 51

∴ Cant. Div.(360) = 24 • 270 = 21 × 33 × 51 à Cant. Div.(270) = (1+1)(3+1)(1+1) = 16 ∴ Cant. Div.(270) = 16

• 52(5) = 5 × 5 + 2 = 27 (no es primo)

• 180 = 22 × 32 × 51

No es primo 52(5)

à Cant. Div.(180) = (2+1)(2+1)(1+1)= 18

11

Rpta.: E

∴ Cant. Div.(180) = 18

Veamos:

° Cant. Div.(130) ← 5 = 4

*

12

12n

à Cant. Div.(520)=(3+1)(1+1)(1+1)= 16 ∴ Cant. Div.(520) = 16

Rpta.: C

×8= × M = 22n + 3 × 3n

M=

3)n

×

23

Cant. Div.(M) = 2(n + 2)(n + 1) Dato: Cant. Div.(M) = 60 2(n + 2)(n + 1) = 60 (n + 2)(n + 1)= 60 (n + 2)(n +1) = (4 + 2)(4 + 1)

Resolución

13

à

Cant. Div.(520) = Cant. Div.(270) Rpta.: B

Cant. Div.(M) = [(2n + 3) + 1][n + 1] Cant. Div.(M) = (2n + 4)(n + 1)

Comparando: n = 4

Finalmente: Cant. Div.(270) = Cant. Div.(520) = 16

Veamos: (22

Ahora: • 520 = 23 × 51 × 131

*

Rpta.: B

Resolución 84 =

3 22

·

Veamos: 31·

71

à Div.(84) = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84} *

Luego: Div.(84) de 2 cifras={12; 14; 21; 28; 42; 84}

à

Veamos:

72 = 23 × 32 = 2 × [21 × 31]2 12 4 4 3

à

Veamos: 32

• 32(5) =3 × 5 + 2 = 17 (# primo)

Resolución

à

Rpta.: C

à Cant. Div.(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 24

Veamos:

° à Cant. Div.(130) ← 5 = (1 + 1)(1 + 1) = 4

*

× 51 × 71

Cant. Div = (2520)=(3+1)(2+1)(1+1)(1+1)

Rpta.: C

1 × 131] 130 = 21 × 51 × 131 = 5× [2 1 42 4 3

* à

×

32

• 43(5) = 4 × 5 + 3 = 23 (# primo)

Resolución

à

Veamos:

23

à

• 12(5) = 5 + 2 = 7 (# primo) • 21(5) = 2 × 5 + 1 = 11 (# primo)

∴

1

2 520 =

1+1

Σ Div(35) = 6 × 8 = 48

∴

2 71 ] × 7 = 2 ×[2 12 4×4 3

NIVEL II

F 5 − 1I F 7 − 1I Σ Div.(35) = G 5 − 1 J · G 7 − 1 J H KH K

Resolución

Veamos:

Rpta.. C

1+1

à

56 =

14

23

Cant. Div(72) . FH cuadrados I perfectosK = (1+1)(1+1) = 4 Cant. Div(72) . FH cuadrados I Rpta.: C perfectosK = 4

- 49 -

Cant. Div.(84) de 2 cifras = 6

Rpta.: C


Resolución

4

150 = à

Veamos: 2·3·52

=

5·[21·31·51]

1 424 3

° Cant.Div.(150) ← 5 = (1+1)(1+1)(1+1) = 8 ° ∴ Cant. Div.(150) ← 5 = 8 Rpta.: C

Resolución

Para: n = 1 à 3n − 2 = 3×1− 2=1 n = 2 à 3n − 2 = 3 × 2 − 2 = 4 n = 3 à 3n − 2 = 3 × 3 − 2 = 7 (1°)

*

Luego: 1er n° primo = 7

à

n(n + 1) = (8)(8 + 1)

*

Comparando: n = 8 9

Rpta.: E

Veamos:

720 = 24×32×51 = 6×[23×31×51] ° à Cant. Div.(720) ← 6 =(3+1)(1+1)(1+1) ° ∴ Cant. Div.(720) ← 6 = 16 Rpta.: D

.

à

n(n + 1) + 1 = 37 à n(n+1) = 72 2

Resolución

Tenemos: 3n − 2

5

à

...

Resolución

Resolución

6

* à * à *

90 =

32×(2×5)a

2a×32×5a

= = w= Cant. Div.(w) = (a+1)(2+1)(a+1) Cant. Div.(w) = 3(a+1)2 Dato:

*

Me piden: Cant. Div.(90)primos = 3

Resolución

Me piden: Cant. cifras(w) = 3

(x)

• 24(7) = 2×7+4 = 18

(x)

• 52(7) = 5×7+2 = 37

(primo)

• 64(7) = 6×7+4 = 46

(x)

• 36(7) = 3×7+6 = 27

(x)

Resolución Veamos:

12

Rpta.: C

Tenemos:

k = 4a + 4a+3 k = 4a(1+43) = (22)a · (5×13)

w = 200 ...4 000 14 42 4 3

k = 22a · 51 · 131

“n” ceros à w = 2×10n =2×(2×5)n w = 2n+1·5n à Cant. Div.(w) = [(n+1)+1][n+1] ∴ Cant. Div.(w) = (n+1)(n+2)

à

Cant. Div.(k) = (2a+1)(1+1)(1+1)

∴

Cant. Div.(k) = 4(2a + 1)

* à

Dato: Cant. Div.(k) = 28 4(2a + 1) = 28 2a + 1= 7 à a = 3

Dato: Cant. Div.(w) = 56 à (n+1)(n+2) = (6+1)(6+2)

*

Veamos:

∴ Es un #primo: 52(7)

Rpta.: D

*

11

• 35(7) = 3×7+5 = 26

w = 9×102 = 900 à w = 900

7

Veamos:

Rpta.: B

Cant. Div.(w) = 27 à 27 = 3(a+ 1)2 9 = (a + 1) 3=a+1 à a=2 Reemplazando: a = 2 en w:

Resolución

10

2·32·5

à Div.(90)primos = {2; 3; 5}

Tenemos:

9·10a

à

Rpta.: A

Resolución

Comparando: n = 6

13

Rpta.: B

Veamos:

30n

∴ Cant. ceros = n = 6

•N= = (2×3×5)n = 2n×3n×5n à Cant. Div.(N) = (n+1)(n+1)(n+1)

Rpta.: C

∴ Cant. Div.(N) = (n+1)3 Resolución

8

Tenemos:

• M = 15·18n = (3×5)(32×2)n

w = 10·102·103 ... 10n à w * à

n(n+1) = 10 2

M = 2n·32n+1·51

n(n +1) 5 2

à Cant. Div.(M)=(n+1)(2n+1+1)(1+1)

= 144×2443

∴ Cant. Div.(M) = 4(n+1)2

Dato: Cant. Div.(w) = 1369

LM n(n + 1) + 1OP LM n(n + 1) + 1OP = 1369 N 2 QN 2 Q LM n(n + 1) + 1OP = 37 N 2 Q 2

à

n(n +1) 2 2

* Dato: Cant. Div.(N) = 2×Cant. Div.(M) à

(n+1)3 = 2·[4(n+1)2] (n+1)3 = 8(n+1)2

2

(n+1) = 8 - 50 -

à

n=7

Rpta.: C


Resolución

14 Veamos: N = 52p + 52p+1 + 52p+2 + 52p+3

à à

N = 52p·(1 + 51+ 52 + 53) = 52p·156 N = 2 2×3 1×52p×131

à

Cant. Div.(N) = (2+1)(1+1)(2p+1)(1+1)

∴

Cant. Div.(N) = 12(2p + 1)

* à

Dato: Cant. Div.(N) = 156 12(2p + 1) = 156 2p + 1= 13 à p=6

Resolución

15

Resolución 16 Tenemos: • N = 32 · 5a à Cant.Div.(N) = (2 + 1)(a + 1) Cant.Div.(N) = 3(a + 1) Luego: * • N’ = 32·5a·8 N’ = 32·5a·23 à Cant.Div.(N’) = (2 + 1)(a + 1)(3 +1 ) Cant.Div.(N’) = 12(a + 1) Según dato: * • Cant.Div.(N’) – Cant.Div.(N) = 45 à 12(a + 1) – 3(a + 1) = 45 9(a + 1) = 45 a+1=5 à a=4 Me piden: a = 4 Rpta.: C *

Rpta.: C

Tenemos:

Cant. Div.(9×122n) − Cant. Div.(13×12n) = 33 Cant.Div.(24n·32n+2)−Cant. Div.(22n·3n·13)=33 à (4n+1)(2n+3)-(2n+1)(n+1)(1+1) = 33 8n2 + 14n + 3 − 4n2 − 6n − 2 = 33 4n2 + 8n + 1 = 33 4n2 + 8n − 32 = 0 n2 + 2n − 8 = 0 n + 4 à n = −4(x) n −2 à n=2 ( ) Como: n >0 à n=2 *

Resoluci.ón 17

Veamos:

240 = 24×3×5 = 20×[22×31] °

à

Cant. Div.(240) ← 20 = (2+1)(1+1) = 6

∴

Cant. Div.(240) ← 20 = 6

°

Rpta.: C

Rpta.: B EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE MÁXIMO COMÚN DIVISOR (Pág. 185, 188) Resolución a) b)

c) d)

j)

1

10 − 25 5 2 5 à 6 − 18 2 3 9 3 1 3 8 − 15 1 8 − 15

M.C.D.(10; 25) = 5 k)

à M.C.D.(6; 18) = 2×3 = 6

l)

à

m)

M.C.D.(8; 15) = 1

24 − 36 2 12 18 2 6 9 3 2 3 à M.C.D.(24; 36) = 22×3 = 12

e)

40 − 100 2 20 50 2 10 25 5 2 5 à M.C.D.(40; 100) = 22×5=20

f)

8 − 27 1 8 27 à

M.C.D(8; 27) = 1

8 − 18 2 4 9 à

M.C.D(8; 18) = 2

g) h) i)

n)

p) M.C.D.(15; 25) = 5

6–8 3 4

M.C.D.(6; 8) = 2

r)

2 à

M.C.D.(12; 16) = 22 = 4

11 − 12 1 11 12 à

M.C.D.(1; 12) = 1

14 − 35 7 2 5 à

M.C.D.(14; 35) = 7

100 − 60 2 50 30 2 25 15 5 5 3 à

q)

15 − 25 5 3 5 à

12 − 16 2 6 8 2 3 4 à

- 51 -

M.C.D.(100; 60) = 25×5 = 20

75 − 125 5 15 25 5 3 5 à M.C.D(75; 125) = 52 = 25 48 − 72 2 24 36 2 12 18 2 6 9 3 2 3 à M.C.D.(48; 72) = 23×3 = 24 85 − 68 17 5 4 à

M.C.D.(85; 68) = 17

90 − 120 2 45 60 3 15 20 5 3 4 à M.C.D.(90; 120) = 2×3×5 = 30


s)

150 – 270 2 75 135 3 25 45 5 5 9 à M.C.D.(150; 270) = 2×3×5 =30

t)

450 − 360 225 180 75 60 25 20 5 4 à

22 3 3 5

k)

M.C.D.(450; 360) = 2×32×5 = 90

Resolución 2 a) 18 − 16 2 9 8 à

M.C.D.(18; 16) = 2

28 − 35 7 4 5 à

M.C.D.(28; 35) = 7

b) c)

d)

à

80 − 40 20 10 5

256 128 64 32 16

à

22 2 2 2 à M.C.D.(8; 256) = 24=16

240 − 360 − 480 2 120 180 240 2 60 90 120 2 30 45 60 3 10 15 20 5 2 3 4 M.C.D.= 23×3×5 = 120

e)

135 − 245 5 27 49 à M.C.D. = 5

f)

272 − 288 136 144 68 72 34 36 17 18

2 2 2 2 à M.C.D. = 24 = 16

144 − 504 72 252 36 126 18 63 6 21 2 7

2 2 2 3 3 à M.C.D. = 23×32 = 72

g)

j)

h)

950 − 425 − 800 5 190 85 160 5 38 17 32 à M.C.D. = 52 = 25

i)

560 − 320 22 280 160 2 140 80 2 70 40 2 35 20 5 7 4 à M.C.D. = 24 ×5 = 80

120 − 72 − 96 60 36 48 30 18 24 15 9 12 5 3 4

2 2 2 3 à M.C.D. = 23×3 = 24

1200 − 1800 − 2200 600 900 1100 300 450 550 150 225 275 30 45 55 6 9 11 M.C.D. = 23×52

2 2 2 5 5

M.C.D. = 200 l)

294 − 98 − 392 − 147 49 196 21 7 28 3 1 4

à

M.C.D = 2×72 = 98

Resolución

3

1176 588 84 12

2 7 7

Me piden:

n = M.C.D.(162; 2040; 8976) *

Veamos: 612 − 2040 − 8976 2 306 1020 4488 2 153 510 2244 3 51 170 748 17 3 10 44

à

M.C.D. = 22×3×17

∴

n = 22×3×17 = 204

Resolución

4

90 − 75 18 15 6 5

Rpta

Veamos: 5 3 cant. chocolates para c/u cant caramelos para c/u

∴

Corresponde: 6 caramelos y 5 chocolates Rpta

- 52 -


Resolución

5

Resolución

Veamos:

Veamos:

60 − 80 2 30 40 2 15 20 5 3 4 à M.C.D = 22×5 = 20

a)

à

7

M.C.D.(9405; 6720) = 15

Cant. trozos de c/cordel

b) Luego:

*

• Long. de cada trozo = 20m

à

• c/cordel se divide en 3 y 4 partes

M.C.D.(9009; 8613) = 99

Rpta.

c) Resolución

à

Veamos:

120 − 144 − 200 2 60 72 100 2 30 36 50 2 15 18 25 à M.C.D. = 23 = 8

M.C.D.(50050; 12012) = 2002

d) à

8

M.C.D.(75; 25) = 25

Cant. bloques que caben en c/caja.

à M.C.D.(80; 25) = 5

Luego:

*

• Peso de c/bloque = 8 kg. • Ubicación: 1ra caja = 15 bloques

e)

2da caja = 18 bloques

à M.C.D.(144;124) = 4

3ra caja = 25 bloques Rpta. Resolución

à

M.C.D. (200;124)= 4

*

à

174 = nq1 + 6 ∧ 168 = nq1

à M.C.D.(300; 225) = 75

Resolución

6

*

Veamos: 120 – 180 – 240 60 90 120 30 45 601 10 15 201 2 3 4

∴

10

Sea:

n = número *

2 2 3 5 à M.C.D. = 22 × 3 × 5 M.C.D. = 60

Mayor long. = n = 60 cm.

730 = nq2 + 10 720 = nq2

Como:

n = M.C.D.(120; 180; 240) *

∧

n q2

n ← máximo à n = M.C.D.(168; 720) = 24 à n = 24 niños Rpta.

Resolución

Me piden:

Sea:

n = cant. niños Luego: 174 n 730 6 q1 10

f) à M.C.D.(250; 225) = 25

9

Rpta.

Luego: 83 3

à

*

n q1

127 n 7 q2 83 = nq1 + 3 ∧ 127 = nq2 + 7 80 = nq1 ∧ 120 = nq2 Como:

• n ← máximo à n = M.C.D.(80; 120) = 40 à n = 40 Rpta.

- 53 -


Resolución

11

Veamos:

120 − 480 − 720 60 240 360 30 120 180 15 60 90 5 20 30 1 4 6

2 2 2 3 5 à

Resolución

à M.C.D.(2A; 2B) = 2×5 = 10 ∴ M.C.D.(2A; 2B) = 10 M.C.D.=23 ×3×5 M.C.D. = 120

Resolución *

*

• Mayor cant. = S/.120 Rpta. Tenemos:

*

*

à k = 7 à N = 8(7) = 56 ∴

N = 56

De (I):

RS T

Remplazando en (II):

1p = 5 · q

Reemplazando en (I): 50 < 8k < 60

Luego:

à 12p = 5(12q)

• 50 < N < 60 ... (I) • M.C.D.(N; 16) = 8 à N = 8k *

Sean los números: m; n

M.C.D.(m; n) = 12 à m = 12 p n = 12 q P.E.S.I

• Cant. ancianos = 1 + 4 + 6 = 11

12

14

Rpta.

• M.C.D.(m; n) = 12 ... (I) • m = 5n ... (II)

Luego:

Resolución

Tenemos:

M.C.D.(A; B) = 5

Cant. ancianos beneficiados *

13

Rpta.

à

RS T

p=5 q=1

Reemplazando en:

RSm = 12p = 12 × 5 = 60 T n = 12 q = 12 × 1 = 12

∴ m = 60 ∧ n = 12 Rpta.

- 54 -


EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) (Pág. 195, 196) NIVEL I Para resolver los siguientes ejercicios, no se considerará al cero como múltiplo de un número. Resolucion

7;14;21;28;35;42;49; g) Múltiplos de 7 =    56;63;70; 77 ;84;... Múltiplos de 11= = {11;22;33; 44;55;66; 77 ; 88;...}

1

a) Múltiplos de 3 hasta 48 =

3; 6; 9; 12 ; 15; 18; 21; 24 ; 27;    30; 33; 36 ;39; 42; 45; 48 

•

h) Múltiplos de 8 = {8;16;24;32; 40; 48;...}

b) Mútiplos de 4 hasta 48 =

 4; 8; 12 ; 16; 20; 24 ; 28;    32; 36 ; 40; 44; 48  c) Los mútiplos comunes de 3 y 4 hasta el 48 son: 12; 24; 36; 48

Múltiplos de 13= {13;26;39;52;65;78;...} •

i)

d) El M.C.M. de 3 y 4 =12 Resolución

Mútiplos de 4 =

j)

• El M.C.M. de 2 y 4 es 4

Múltiplos de 6 = {6; 12 ;18; 24;30;36;...} El M.C.M. de 4 y 6 es 12

Múltiplos de 3 = {3;6;9; 12 ;15;18;...}

Múltiplos de 5 = {5;10;15;20;25;30;...} Múltiplos de 8 = {8;16;24;32; 40; 48;...}

{ 4 ;8;12;16;20;24;...}

b) Múltiplos de 4 = {4;8; 12 ;16; 20;24;...}

8 y 13 son primos entre sí, entonces: El M.C.M. de 8 y 13 es: 8 × 13 = 104

Múltiplos de 12 = { 12 ;24;36; 48;60;...} El M.C.M. de 3 y 12 es 12

2

a) Múltiplos de 2 = {2; 4 ;6;8;10;12;...}



Resolución

3

a) Múltiplos de 3 3;6;9;12; 15 ;18;21; menores que 37 =   24;27; 30 ;33;36 

c) Múltiplos de 3= {3;6;9;12;15;18; 21 ;...}

b) Múltiplos de 5 menores que 37 ={5;10; 15 ;20;25; 30 ;35}

Múltiplos de 7= {7;14; 21 ; 28; 35; 42;...}

c) Múltiplos comunes de 3 y 5 = {15;30} menores que 37

El M.C.M. de 3 y 7 es 21

d) El m.c.m. de 3 y 5 es 15

d) Múltiplos de 6= {6;12; 18 ;24;30;36;...} Múltiplos de 9= {9; 18 ;27;36;45;54;...}

Resolución

a) Los múltiplos de 7 son:

{7 ;

El m.c.m. de 6 y 9 es 18 e) Múltiplos de 4 = {4;8;12;16; 20 ;24;...} Múltiplos de 5 = {5;10;15; 20 ;25;30;...} El M.C.M. de 4 y 5 es 20 f)

4

1 4 ; 2 1; 28 2 8;...}

1 4 e s tam bién un m últip lo d e 2

Luego, el M.C.M. de (2 y 7) es 14 b) Los múltiplos de 12 son:

Múltiplos de 3 = {3;6; 9 ;12;15;18;...}

{

Múltipos de 9 = { 9 ;18; 27;36; 45;54;...} El M.C.M. de 3 y 9 es 9

1 2 ; 2 4; 3 6; ...}


Luego, el M.C.M. de (6 y 12) es 12

- 55 -


k) Los múltiplos de 60 son:

c) Los múltiplos de 8 son:

{ 8;1 6;

2 4 ; 3 2;...}

{ 6 0;


1 2 0 ;1 8 0 }

1 20 es tam b ié n un m ú ltiplo d e 40

Luego, el M.C.M. de (3 y 8) es 24 Luego, el M.C.M. de (40 y 60) es 120.

d) Los múltiplos de 6 son:

{ 6;1 2;1 8; 2 4;

l)

3 0 ;...}


Los múltiplos de 150 son:

{1 5 0; 3 0 0; 4 5 0;

6 0 0 ;...}

Luego, el M.C.M. de (5 y 6) es 30. 6 00 es ta m bié n un m últip lo d e 1 2 0

e) Los múltiplos de 10 son:

{1 0;

Luego, el M.C.M. de (120 y 150) es 600.

2 0 ; 3 0;...}

Resolución


Luego, el M.C.M. de (4 y 10) es 20. f)


{ 9;

1 8 ; 2 7;...}

a) M.C.M. de (3 y 2): 3 − 2 2 3 −1 3 1−1


M.C.M. (3 y 2) = 2 × 3 = 6

Luego, el M.C.M. de (6 y 9) es 18.

∴

g) Los múltiplos de 10 son:

{1 0 ; 2 0; 3 0; 40; 5 0; 6 0;


M.C.M. (2 y 5) = 2 × 5 = 10

Luego, el M.C.M. de (7 y 10) es 70. ∴

h) Los múltiplos de 11 son: ;...}

11 0 e s tam b ié n u n m ú ltip lo d e 1 0

Luego, el M.C.M. de (10 y 11) es 110. i)

M.C.M. (5 y 3) = 3 × 5 = 15 ∴

6 0 ; 7 5;...}

6 0 e s también un m últip lo d e 1 2

4−5 2−5 1− 5 1− 1


{ 2 4;

El denominador común de la suma sería 15.

d) M.C.M. de (8 y 10): 8 − 10 2

Luego, el M.C.M. de (12 y 15) es 60. j)


c) M.C.M. de (5 y 3): 3 − 5 3 1− 5 5 1− 1


{1 5; 3 0; 4 5;


b) M.C.M. de (2 y 5): 2 − 5 2 1− 5 5 1− 1

7 0 ;...}

{1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 5; 6 6; 7 7; 8 8; 9 9; 1 1 0

5

4 8 ; 7 2;...}


∴ Luego el, M.C.M. de (16 y 24) es 48.

M.C.M. de (8 y 10)=2×2×2×5=40 El denominador común de la suma sería 40.

e) M.C.M. de (2 y 4): 2 − 4 2 1− 2 2 1− 1

- 56 -

2 2 5


M.C.M. de (2 y 4)= 2×2 = 4 ∴

f)

M.C.M. (8; 15 y 24) = 2×2×2×3×5=120


b) 16 − 42 − 56 2 8 − 21 − 28 2 4 − 21 − 14 2 2 − 21 − 7 2 1 − 21 − 7 3

M.C.M. de (16 y 8): 16 − 8 2

8−4 2 4−2 2 2−1 2 1− 1

1 − 1 −

7 − 1 −

7 7 1

M.C.M. de (16 y 8) =2×2×2×2=16 ∴

M.C.M.(16; 42 y 56)=2×2×2×2×3×7= 336


c)

21 − 63 − 35 3

g) M.C.M. de (16 y 12): 16 − 12 2 8−6 2 4−3 2 2− 3

2

1− 3

3

1− 1

d)

7 7

1 −

1

40 − 70 − 84 2

21 3

2

5 − 35 −

7 5

2

1 −

7 7

3

7 −

1 − 1 − 1 M.C.M.(40; 70 y 84)= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 840

5

e)

60 −

81 − 90 2

30 −

81 − 45 2

15 −

81 − 45 3

5 − 27 − 15 3

6

b) 3 es el único número primo que es múltiplo de 3, ya que sólo es divisible por la unidad y por sí mismo. c) No hay número primo que sea múltiplo de 6; ya que 6 es un número compuesto y sus mútiplos también lo son.

a)

7 −

1 −

21 2

a) 2 es el único número primo múltiplo de 2, ya que sólo es divisible por la unidad y por sí mismo.

Resolución

7 − 35 5

7 −

5 − 35 −

El denominador común de la suma sería 60

Resolución

7 −

10 − 35 −

M.C.M. de (15 y 20)=2×2×3×5=60 ∴

21 − 35 3

20 − 35 − 42 2


h) M.C.M. de (15 y 20): 15 − 20 15 − 10 15 − 5 5−5 1− 1

7 −

M.C.M. (42; 63 y 70)=2×3×3×5×7= 630

M.C.M. (16 y 12)= 2×2×2×2×3 =48 ∴

42 − 63 − 70 2

7

8 − 15 − 24 2 12 2

2 − 15 −

6 2

1 − 15 −

3 3

1 −

5 −

1 5

1 −

1 −

1

9 −

5 3

5 −

3 −

5 3

5 −

1 −

5 5

1 −

1 −

1

M.C.M.(60; 81 y 90)= 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 = 1620 f)

4 − 15 −

5 −

70 − 130 − 190 2 35 − 65 − 95 5 7 − 13 − 19 7 1 − 13 − 19 13 1 − 1 − 19 19 1 − 1 − 1 M.C.M. (70; 130 y 190) = 2 × 5 × 7 × 13 × 19 = 17 290

- 57 -


Resolución g)

504 252 126 63 21 7 7 7 1

− 756 − 378 − 189 − 189 − 63 − 21 − 7 7 − − 1

− 1260 − 630 − 315 − 315 − 105 − 35 − 35 7 − − 1

2 2 2 3 3 3 5 7

a) 160 80 40 20

b)

3168 1584 792 396 198 99 33 11 11 11 1 1

− 4896 − 6048 2 − 2448 − 3024 2 − 1224 − 1512 2 − 612 − 756 2 − 306 − 378 2 − 153 − 189 3 − 51 − 63 3 − 17 − 21 3 − 17 − 7 7 − 17 − 1 11 − 17 − 1 17 − 1 − 1

− 120 2 −

60 2

−

30 2

10 −

15 2

5 −

15 3

5 −

5 5

1 −

1

400 200 100 50 25 25 25 25 5 1

− − − − − − − − − −

540 270 135 135 135 45 15 5 1 1

2 2 2 2 3 3 3 5 5

M.C.M. (400 y 540) = 2 × 2 × 2 ×2 × 3 × 3 ×5 × 5 = 10800

− 1200 2 − 600 2 − 300 2 − 150 2 75 2 − − 75 3 − 25 5 5 5 − 1 − 1

84 − 616 − 539 − 1125 42 − 308 − 539 − 1125

2 2

21 − 154 − 539 − 1125 21 − 77 − 539 − 1125

2 3

800 400 200 100 50 25 25 5

M.C.M. (800 y 1200) = 2 × 2 × 2 ×2 × 2 × 3 ×5 × 5 = 2400

c) M.C.M. (3168; 4896 y 6048)= 2×2×2×2×2×3×3×3×7×11×17=1130976

i)

− 240 2

M.C.M. (160 y 240)= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 480

M.C.M. (504; 756 y 1260) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7 = 7 560

h)

8

7 − 7 − 7 −

77 − 539 − 77 − 539 − 77 − 539 −

375 125 25

3 5 5

7 − 7 −

77 − 539 − 77 − 539 −

5 1

5 7

1 − 1 − 1 −

11 − 11 − 1 −

1 7 1 11 1

77 − 11 − 1 −

M.C.M. (84; 616; 539 y 1125) = 2×2×2×3×3×5×5×5×7×7×11 = 4 851000

- 58 -


Resolución d)

720 −

960 2

360 −

480 2

180 −

240 2

90 −

120 2

45 −

60 2

45 −

30 2

45 −

15 3

15 −

5 3

5 −

5 5

1 −

1

El menor número divisible a la vez por 6; 8 y 10 será el M.C.M. de 6;8 y 10.

6 3 3 3 1 1

∴

540 270 135 135 45 15 5 1 1

11

2 − 3 − 4 2

920 − 1840

2

460 −

920

2

230 −

460

2

115 −

230

2

115 −

115

5

1 3

1 −

1

1 −

∴ Múltiplos de 12 menores que 70 = {12; 24; 36; 48; 60} Resolución

12

Los números que son divibles por 36 y 84 simultáneamente, son los múltiplos del M.C.M. de 36 y 84. Hallamos el M.C.M. de 36 y 84.

36 − 84 2 18 − 42 2 9 − 21 3 3 − 7 3 1 − 7 7 1 − 1

23 23 1

9

El menor número, diferente de cero, divisible a la vez entre 3; 5 y 7 será el M.C.M. de 3; 5 y 7. Como: 3; 5 y 7 son primos entre sí, entonces: M.C.M. (3; 5 y 7) = 3 × 5 × 7 = 105 ∴

2 2

1 − 3 −

Entonces: Los mútiplos de 12 serán divisibles por 2; 3 y 4.

M.C.M (1840 y 3680) = 2×2×2×2×2×5×23 = 3680 Resolución

1 − 3 −

M.C.M. (2;3 y 4) = 2×2×3 = 12

2

1 −

2 2 2 3 5

Los números que son divisibles a la vez por 2; 3 y 4 serán los múltiplos del M.C.M. de 2; 3 y 4. Hallamos el M.C.M. de 2; 3 y 4.

1840 − 3680

23 −

− 10 − 5 − 5 − 5 − 5 − 1

El menor número, diferente de cero, divisible a la vez por 6; 8 y 10 es 120

Resolución

− 600 2 − 300 2 − 150 2 − 75 3 − 25 3 − 25 3 − 25 5 5 5 − − 1

M.C.M. (540 y 600) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 5400 f)

− 8 − 4 − 2 − 1 − 1 − 1

M.C.M. (6; 8 y 10)=23 × 3 × 5 = 120

M.C.M. (720 y 960) = 2×2×2×2×2×2×3×3×5 = 2880 e)

10

El menor número divisible a la vez entre 3; 5 y 7 es: 105.

- 59 -

M.C.M.(36 y 84)=2 × 2 ×3× 3 ×7 = 252 Entonces: Múltiplos de 252:

{252;

504 ; 756 ;1008;...}

Luego: Los números naturales entre 500 y 1000, divisibles por 36 y 84 simultáneamente son: 504 y 756.


Resolución

M.C.M. (48 y 64) = 26 × 3 = 192

13

Entonces:

Para saber cada cuántos días los buques de las 3 compañías se hallarán en el puerto, hallamos el M.C.M. de (8; 18; 21)

Pasarán ambos por la partida al cabo de 192 segundos. Luego:

8 − 18 − 21 2 4 − 9 − 21 2 2 − 9 − 21 2 1 − 9 − 21 3 1 − 3 − 7 3 1 − 1 − 7 7 1 − 1 − 1

•

1 er ciclista = •

Luego, diremos que cada 504 días se hallan los buques de las 3 compañías en el puerto.

5 − 6 − 9 − 13

14

− 12 2 − 6 2 − 3 3 − 1 5 − 1

2

5 − 3 − 9 − 13

3

5 −

1 − 3 − 13

3

5 −

1 −

1 − 13

5

1 −

1 −

1 − 13 13

1 −

1 −

1 −

1

M.C.M. (5; 6; 9 y 13) = 2 × 3 × 3 × 5 × 13 = 1170 La cantidad que se desea repartir será múltiplo de 1170 más 4; ya que en cada caso sobran 4 nuevos soles. Entonces, se repartirán: 1170k + 4; (k ∈ ¥ ) Como se pide la menor cantidad de soles para repartir; entonces: k = 1

Hallamos los múltiplos de 60. Múltiplos de 60

∴ Se repartirán: 1170 + 4 = 1174 nuevos soles.

= {60;120;180; 240;300; 360 ; 420;...} Sabemos que la cantidad de huevos está comprendida entre 300 y 400; entonces:

Resolución

En la canasta hay 360 huevos.

Resolución

16

Hallamos el M.C.M. de 5; 6; 9 y 13.

M.C.M. (10 y 12) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60 Vemos que la cantidad de huevos que hay en la canasta es 60k (‘‘k’’ es un número natural)

∴

números de vueltas que dio el 192 = 3 vueltas. 2do ciclista = 64

Resolución

Para saber el número exacto de docenas y decenas que hay en la canasta, hallamos el M.C.M. de 10(decena) y de 12(docena).

10 5 5 5 1

192 = 4 vueltas. 48

∴ Pasan juntos al cabo de 192 segundos y cada uno da 4 y 3 vueltas respectivamente.

M.C.M. (8; 18 y 21)=2×2×2×3×3×7=504

Resolución

número de vueltas que dio el

Para saber cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con las 3 reglas; hallamos el M.C.M. de 30; 40 y 50.

15

Para saber dentro de cuánto tiempo pasarán ambos por la partida, hallamos el M.C.M. de 48 y 64.

30 − 40 − 50 2 15 − 20 − 25 2 15 − 10 − 25 2 15 − 5 − 25 3 5 − 5 − 25 5 1 − 1 − 5 5 1 − 1 − 1

48 − 64 2 24 − 32 2 12 − 16 2 6 −

8 2

3 −

4 2

3 −

2 2

3 −

1 3

1 −

1

17

M.C.M. (30; 40 y 50)= 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 600 ∴

- 60 -

Se puede medir con las 3 reglas, exactamente, una distancia de 600 cm.


Resolución

18

Resolución

Hallamos el M.C.M. de 30; 45; 50. 30 −

45 − 50 2

15 −

45 − 25 3

5 −

15 − 25 3

5 −

5 − 25 5

1 −

1 −

5 5

1 −

1 −

1

Para saber dentro de cuánto tiempo volverán a abrirse simultáneamente, hallamos el M.C.M. de 20; 12 y 30.

20 10 5 5 1

La cantidad de dinero que necesito será múltiplo de 450, más 5, (5 es lo que debe sobrar para los pasajes)

− 30 − 15 − 15 − 5 − 1

2 2 3 5

∴ Si se abren simultáneamente a las 12 del día, volverán a abrirse a las 12 del día con 1 minuto.

Entonces: Necesito: 450 k + 5 ; (" k '' ∈ ¥ ) Como se pide la menor cantidad, entonces: k=1 ∴ Necesito 450(1)+ 5 = 455 nuevos soles

19

Para saber dentro de cuánto tiempo coincidirán, hallamos el M.C.M. de 5 y 3. Como 5 y 3 son primos entre sí.(no tienen múltiplos en común, sólo la unidad); el M.C.M. será: M.C.M. (5 y 3) = 5 × 3 = 15 Luego: coincidirán dentro de 15 horas. Si salen a las 9 de la mañana, volverán a coincidir a las: 9 + 15 = 24 horas ∴

− 12 − 6 − 3 − 1 − 1

M.C.M. (20; 12 y 30)= 2 × 2 × 3× 5 = 60 Volverán a abrirse simultáneamente, dentro de 60 segundos = 1 minuto

M.C.M. (30;45 y 50) = 2 × 32 × 52 = 450

Resolución

20

Volverán a coincidir a las 12 de la noche.

- 61 -


EJERCICIOS DE REFORZAMINETO SOBRE NÚMERO PRIMO, DIVISIBILIDAD, M.C.D. y M.C.M. (Pág. 196, 197, 198) 3 y 12 no son primos entre sí, ya que tienen un múltiplo en común, el 3.

NIVEL I Resolución

1

•

B={6; 7; 19}

Si “n” es un número impar, I.

n es impar(impar×impar =impar)

6 y 19 son primos entre sí.

2 n + n es par (impar + impar = par)


2 n + n + 1 es impar (par+1= impar)

II.

III.

•

C={15; 28; 31} 15 y 28 son primos entre sí.

n2 + n + 1 es impar 2n es par (par × impar = par) 2n + 1 es impar (par + 1 = impar) 2n + 1 es impar.

15 y 31 son primos entre sí. 28 y 31 son primos entre sí. ∴

Los conjuntos que contienen números que son primos entre sí son B y C.

3n es impar (impar × impar = impar) 3n + 1 es par (impar +1 = par) 3n + 1 es par. ∴ Son impares I y II Rpta: A

Resolución

2

Si “n” es un número par, I.


2

n3 = n×n×n es par(par×par×par=par)

Rpta: B Resolución 4 Vemos cuáles son los números, del 1 al 50 inclusive, que sí son primos. números primos del 1 al 50

n3 + n es par (par+par=par) n3 + n + 2 es par (par+par=par) 3 n + n + 2 es par

II.

n2 = n × n es par (par × par = par) 2n

2

es par (par × par = par)

2n + 1 es impar (par+impar=impar) 2

III.

2 2n + 1 es impar. 6n es par (par × par = par) 6n + 3 es impar (par+impar = impar) 6n + 3 es impar. ∴ Son impares II y III Rpta: C

Resolución

3

Luego: Los que no son primos serán:50-15 = 35 ∴ 35 números no son primos Rpta: C Resolución

5

Por dato:

• 547

∗3

es múltiplo de 9,

∗ eso una cifra

∗ + 3 = o9 ∗ + 19 = 9 ⇒ ∗ = 8 • 32 ∗ 21 es múltiplo de 9, ∗ es una cifra o entonces 3 + 2 + ∗ + 2 + 1 = 9 o ∗ +8= 9 ⇒ ∗ =1 entonces 5 + 4 + 7 +

Piden:

* *

547 3 32 21

Analizamos cada conjunto. •

  2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; =  41; 43;47 23;29;31;37; 14444244443   Hay 15 números primos 

A={3; 5; 12; 13} 3 y 5 son primos entre sí. ∴

5 y 12 son primos entre sí. 12 y 13 son primos entre sí. 5 y 13 son primos entre sí. 5 y 12 son primos entre sí. 3 y 13 son primos entre sí.

- 62 -

547

∗3

Þ

− 32

∗ 21

54783 32121 22662 es 22 662

Rpta.: C


Resolución

Aplicamos la divisibilidad por 3. 3 + 3 + 6 + 0 = 12 = 3°

6

El múltiplo de 8 será 8k (k ∈ ¥ )

3 360 es divisible por 3

Como 8k antecede a 315; entonces tenemos que:

8k < 315 315 k< 8

Luego: 3360 es divisible por 6. •

k < 39, 375 k∈¥

Aplicamos la divisibilidad por 7. 2 × 6 = 12

336

k = 39

33 −

∴ El múltiplo de 8 que antecede a 315 es: 8k = 8(39) = 312

12 21

Rpta: C 21 es múltiplo de 7, porque 21÷7= 3 Resolución

7

3 360 es divisible por 7.

Si “a-b” es múltiplo de 5, podemos afirmar que “b-a” es también múltiplo de 5. Tienen igual valor, sólo que de signo contrario.

∴

Rpta: E Resolución

° a − b = 5k = 5 ° − b + a = 5k = 5 − (b − a ) = 5k = 5°

“b-a” es también múltiplo de 5.

9 3 2 3 3 3

Rpta: D

Resolución

8

300 {

⋅ 5 = 1500

500 {

⋅ 3 = 1500

1500 {

⋅ 1 = 1500

Luego: 100 ≤ 25 ⋅ k < 1000 100 25 ⋅ k 1000 ≤ < 25 25 25 4 ≤ k < 40 Entonces k = 4; 5; 6; 7; 8; ...; 39

Factor múltiplo de 100

N=


N=


∴

Hay cuatro factores que son múltiplos de 100

Resolución

11

25 ⋅ k , k = 1; 2; 3; 4; ... Los números de 3 cifras están entre 100 y 999 inclusive.


N=

Rpta: E


2 3 N = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 1500 N= 100 { ⋅ 15 = 1500

II.

3 2 72 = 2 × 3

1

Resolución

I.

10

72 2   3 36 2  2  18 2 

b − a = −5k = 5°

∴

Son verdaderas: I; II y III

Rpta: D

∴

Hay: 39-3=36 múltiplos de 25 de 3 cifras

Rpta: B

9 Resolución

Aplicamos la regla de divisibilidad por 9. o 2 + 8 + 5 + 3 = 18 = 9 2 853 es divisible por 9. Aplicamos la regla de divisibilidad por 8. Tomamos las 3 últimas cifras del número. 488 es divisible por 8.

12

Los múltiplos de 7 son de la forma:

7 ⋅ k (k ∈ ¥ ) . Luego: 48 < 7 ⋅ k < 172 48 7 ⋅ k 172 < < 7 7 7 6, 85 < k < 24, 57

2 488 es divisible por 8. III.

3 360 es divisible por 5, ya que termina en cero.

•

Para que 3 360 sea divisible por 6 debe ser divisible por 2 y 3.

Entonces: k = {7; 8; 9; ...; 24} ∴

3 360 es divisible por 2; ya que termina en cero - 63 -

Hay: 24-6 = 18 múltiplos de 7

Rpta: C


Resolución

280 − 1120 − 1600 2 140 − 560 − 800 2 70 − 280 − 400 2 35 − 140 − 200 5 7 − 28 − 40 M.C.D.(280; 1120; 1600)=2 × 2 × 2 × 5 = 40 ∴ La mayor longitud de la medi– da será 40 m.

13

Los múltiplos de 5 son de la forma: 5⋅k

(k ∈ ¥ ) luego: 30 ≤ 5 ⋅ k ≤ 80 30 5 ⋅ k 80 ≤ ≤ 5 5 5 6 ≤ k ≤ 16

k = {6; 7; 8; ...; 16} Hay: 16 - 5 = 11 múltiplos de 5 Rpta: C Resolución 14

Resolución

∴

N = ab

∴

N = a ( 2a )

NIVEL II

Resolución 15 Descomponemos en sus factores primos

Resolución

el número 120. 120 = 23 × 31 × 51 Números de divisores de 120 = (3 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 16 ∴ 120 tiene 16 divisores. Rpta: E

1

Sean: abc y cba los números Descomponemos polinómicamente ambos números: abc = 100 a + 10b + c cba = 100 c + 10 b + a

Resolución 16 Para saber la menor distancia que se puede medir utilizando tres cintas métricas, hallamos el M.C.M. de 4, 10 y 16. 4 − 10 − 16 2 2 − 5 − 8 2 1 − 5 − 4 2 1 − 5 − 2 2 1 − 5 − 1 5 1 − 1 − 1

∴

(a y b ∈ ¥ )

Donde: “2a” puede ser desde 0 hasta 9 o sea: 0 ≤ 2a ≤ 9 0 2a 9 ≤ ≤ 2 2 2 0 ≤ a ≤ 4,5 Pero “a” no puede ser cero, ya que es la primera cifra de N. a = 1; 2; 3 y 4 Luego: N={12; 24; 36; 48} ∴ “N” es siempre múltiplo de 12. Rpta: B

M.C.M. (9; 12 y 15) =2×2×3×3×5 = 180 Rpta: D Hay 180 alumnos.

M.C.M. (4; 10 y 16) = 24 × 5 = 80 La menor distancia que se puede medir es 80 m.

18

Si b = 2a

Para saber el menor número de alumnos que pueden ser agrupados, hallamos el M.C.M. de 9, 12 y 15 9 − 12 − 15 2 9 − 6 − 15 2 9 − 3 − 15 3 3 − 1 − 5 3 1 − 1 − 5 5 1 − 1 − 1

Rpta: C

Hallamos la diferencia de estos números: Diferencia = abc − cba = (100a + 10b + c ) − (100 c + 10b + a ) = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 99 a − 99c = 99 (a − c )

= 11× 9 (a − c ) 14 4244 3 Múltiplo de 11

∴

La diferencia siempre es múltiplo de 11

Resolución

Rpta.: D

Rpta: D

2

4 7 A = 2 ×3 ×5

Resolución 17 Para saber la mayor medida que se usará para medir exactamente las tres dimensiones, hallamos el M.C.D. de 280; 1120 y 1600.

6 2 2 B = 2 ×3 ×7 Los factores comunes de A y B, con su menor exponente

son: 2 4 y 3 2 . 4 2 M.C.D.(A y B) = 2 × 3 = 14 4

∴ - 64 -

La última cifra del M.C.D. es 4

Rpta: B


Resolución

3

Resolución

Sea N el número. Sabemos que:

5

Descomponemos cada número en sus factores primos.

(

)

2

•

2 2 144 = 12 = 3 × 2

•

N = 3° + 1

° ° N= 3 +3−2 = 3 −2 N = 5° + 5 − 2 = 5° − 2

•

•

N = 5° + 3

2 4 256 = 16 = 2

N = 9° + 9 − 2 = 9° − 2

•

2 2 2 225 = 15 = (3 × 5 ) = 3 × 5

•

N = 9° + 7

•

° + 10 N = 12

° ° + 12 − 2 = 12 −2 N = 12

∴

− 12 − 6 − 3 − 1 − 1 − 1

2

La suma de cifras es: 5 + 7 + 6 + 0 + 0 = 18

Resolución

Hallamos el M.C.M. (3; 5; 9 y 12):

− 9 − 9 − 9 − 3 − 1 − 1

= 28

8 2 2 M.C.M. (144; 256 y 225)= 2 × 3 × 5 = 57600

° N = m.c.m. (3;5;9 y12 ) − 2 − 5 − 5 − 5 − 5 − 5 − 1

2

Hallamos el M.C.M. de (144; 256 y 225):

Por propiedad:

3 3 3 1 1 1

( )

= 32 × 24

Rpta: A

6

Hallamos el M.C.D. de 1 825; 2 625 y 3 650

2 2 3 3 5

1825 − 2625 − 3650 5 365 − 525 − 730 5 73 − 105 − 146 M.C.D. (1 825; 2 625 y 3 650) = 5 × 5 = 25 Rpta: E ∴ La mayor cifra del M.C.D. es 5

M.C.M.(3; 5; 9 y 12)= 22 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 180

° − 2 = 180 k − 2 Entonces: N = 180 ∴

El menor número será 180(1)-2=178

Resolución

Rpta: A

4

Los números de dos cifras están entre 10 y 99. Entonces:

o

10 ≤ 17 ≤ 99 10 ≤ 17k ≤ 99 10 17k 99 ≤ ≤ 17 17 17 0,6 ≤ k ≤ 5,8

7

Descomponemos 180 en sus factores primos. 180 2  90 2 45 3 2 2  180 = 2 × 3 × 5 15 3 5 5  1  Luego: número de divisores de 180 = = ( 2 + 1) ⋅ ( 2 + 1) ⋅ (1 + 1) = 18

k= 1; 2; 3; 4 y 5 Los múltiplos de 17 de dos cifras serán:

∴

180 posee 18 divisores. Rpta: D

17 ⋅ 1 = 17 17 ⋅ 2 = 34 17 ⋅ 3 = 51 17 ⋅ 4 = 68 17 ⋅ 5 = 85 ∴ Hay 5 múltiplos de 17 con dos cifras

Resolución

Resolución

Rpta: C

8

Números primos menores que 24 ={2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23} La suma de estos números será: Suma= 2+3+5+ 7+11+ 13+17+ 19 +23= 100 ∴ La suma es 100 Rpta: E Resolución

9

9 ° 2 = 512 = 2 k = 2 ∴ 29 sí es múltiplo de 2. Rpta: C

- 65 -


Resolución

10

• 7×11=77

C.A.(77) = 100 - 77 = 23

Si 2a53b es múltiplo de 56, entonces será múltiplo de 7× 8, es decir múltiplo de 7 y 8.

• 7×12=84

C.A.(84) = 100 - 84 = 16

Como: 2a53b es múltiplo de 8, será divisible por 8.

• 7×13=91

9 C.A.(91) = 100 - 98 = {

•

Aplicando la divisibilidad por 8, tenemos que: 53b es divisible por 8.

Múltiplo de 3

• 7×14=98 ∴

b = 6 ya que 536 es divisible por 8. •

Como 2a53b es múltiplo de 7, será divisible por 7. Aplicando la divisibilidad por 7, tenemos que:

C.A.(98) = 100 - 98 = 2

Hay 4 múltiplos de 7 cuyo C.A. es múltiplo de 3.

Resolución

12

Para saber el lado de dichas parcelas en que se divide el terreno, hallamos el M.C.D. de 120 y 168.

120 − 168 60 − 84 30 − 42 15 − 21 − 7 5

⇒ 2 ×6 =12

2a { 53 6 ⇓

2a 5 3 − 12 ⇒ 2 ×1 = 2

2a { 41 ⇓

Rpta: C

⇒ 2 ×2 = 4

Resolución

° 2a { −4 = 7

13

Descomponemos en sus factores primos el número 510 510.

⇓

(2 0 + a )− 4 = 7°

510 510 255 255 85 085 17 017 2 431 221 17 1

1 6 + a = 7° ⇒ a = 5

Luego: a + b = 5 + 6 = 11

Rpta: C

11

Hallamos los múltiplos de 7, de 2 cifras. • 7×2=14

C.A.(14) = 100 - 14 = 86

• 7×3=21

C.A.(21) = 100 - 21 = 79

• 7×4=28

C.A.(21) = 100 - 28 = 72 { Múltiplo de 3

• 7×5=35

C.A.(35) = 100 - 35 = 65

• 7×6=42

C.A.(42) = 100 - 42 = 58

• 7×7=49

C.A.(49) = 100 - 49 = 51 {

∴

2   3  5   7   Factores primos 11 13  17  

Contiene 7 factores primos

Resolución

14

8 − 12 − 18 2 4 − 6

− 9

2

2 − 3

− 9

2

1

− 3

− 9

3

C.A.(56) = 100 - 56 = 44

1

− 1

− 3

3

• 7×9=63

C.A.(63) = 100 - 63 = 37

1

− 1

− 1

• 7×10=70

C.A.(63) = 100 - 63 = 30 { Múltiplo de 3

Rpta: C

Para saber la cantidad de dinero con que podré hacer las compras, hallamos el M.C.M. de 8; 12 y 18.

Múltiplo de 3

• 7×8=56

3

∴ El lado de las parcelas medirá 24 m.

⇓

Resolución

2 2 2

M.C.D. (120 y 168) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24

2a 4 − 2 2a {2

Rpta: B

M.C.M. (8; 12 y 18) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72 ∴

- 66 -

Podre comprar las manzanas con 72 nuevos soles.

Rpta: A


Resolución

Resolución

15

°  + 5) −  7 − 1 + (7° + 3 ) = 7° + r {   (7° + 5) − (7° + 6 ) + (7° + 3 ) = 7° + r

(7°

o

+

7

o

o

=

2

7

+

•

o

5 + 4 terminará en 0+4=4 ó en 5+4=9 Por lo tanto: b=4 ó b=9

r

o

Luego: •

r=2

Resolución

Rpta: B

A =8 +8

o

k +2

(

A = 8 1+ 8 A =8

k

9

•

3 k

)

o

9

∴

3k ⋅ 51 ⋅ 131 A= 2 14243

Factores primos

•

88 = 4 (3k + 1)

k+2

∴

Hallamos todos los múltiplos de 3 que hay del 1 al 630.

1 ≤ 3° ≤ 630 1 ≤ 3k ≤ 630

( )

9

= 227

Número de divisores de 227 = 27 + 1 = 28

(k ∈ ¥ )

1 3k 630 ≤ ≤ 3 3 3 0,3 ≤ k ≤ 210 Hay 210 múltiplos de 3 del 1 al 630.

Rpta: B

•

1300 − 1600 − 2000 2 650 − 800 − 1000 2 325 − 400 − 500 5 − 80 − 100 65 5 − 16 − 20 13

1 ≤ 42k ≤ 630 1 42k 630 ≤ ≤ 42 42 42 0,02 ≤ k ≤ 15

k = 1; 2; 209 y 210 Hay 15 múltiplos de 3 y 14 del 1 al 630. ∴

Los múltiplos de 3 que no son múltiplos de 14 serán: 210 - 15 = 195 Rpta: B

M.C.D. (1 300; 1 600; 2 000) = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 100 Cada paso será de 100 cm.

Hallamos todos los múltiplos de 3 y de 14 que hay del 1 al 630. Múltiplos de 3 y 14=(3 × 14)k = 42k

17

Para saber la mayor longitud posible de cada paso que camina, hallamos el M.C.D. de 1 300; 1 600 y 2 000.

∴

19

k = 1; 2; ...; 209 y 210

= 87 + 2 = 89 = 23

Resolución

El mayor valor de ab será 84 Rpta: C

Resolución

Luego: número divisores de A =(3k+1) ⋅ (1+1)(1+1)

8

a=3

ab sería 39

⋅ (5 × 13 )

88 = 3k + 1 4 22 = 3k + 1 21 = 3k k=7 Luego:

Si b = 9 y ba = 9° + 3

9a = 9° + 3 93 = 90 {+3

(65 )

( )

A= 2

2

a=8

ab sería 84

De la propiedad: Na +b = Na ⋅ Nb Entonces: k k 2 A = 8 + 8 ⋅8 k

Si b = 4 y ba = 9° + 3

° 4a = 9 + 3 48 = 45 {+3

16

k

° ab = 5 + 4

Los múltiplos de 5 terminan en cero ó 5 entonces

7 + 2 = 7+ r ∴

18

Rpta: D

- 67 -


Resolución

20

Resolución

Sean a y b los números Por dato: a + b = 96 ... 1 M.C.M. (a;b) = 180 ... 2 Afirmaremos que “a” y “b” tienen un factor en común, sino sería cierto llegaremos a una contradicción. Entonces: a = d ⋅ p donde: b = d ⋅ q d = M.C.D. de a y b. p ; q son primos entre sí. Remplazamos en 1 y 2 d ⋅ p + d ⋅ q = 96 ⇒ d(p + q) = 96 d ⋅ p ⋅ q = 180 3

•

•

78 9

M.C.M. ( A;B ) = 2

n

n 2 2 300 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5

•

16 ⋅ 90n = 24 ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 5 = 24 =2

4+n

n

2

⋅3

∴

Rpta: E

)

n

)

n

Luego: número de divisores de 300n =

(2n + 1) ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1) número de divisores de 16 ⋅ 90n =

(4 + n + 1) ⋅ (2n + 1) ⋅ (n + 1) Según el enunciado; tenemos que:

(2n + 1)(n + 1)(2n + 1) = ( 4 + n + 1)( 2n + 1)(n + 1) 2n + 1 = n + 5

∴

n=4

2n

⋅ 3 2n +1 ⋅ 5n +1

⋅ 32n+ 1 ⋅ 5n+1 = 12 ⋅ 22 ⋅ 3n+ 2 ⋅ 5n+1 2

= 22n ⋅ 3n ⋅ 52n

⋅5

2n

22n ⋅ 32n+ 1 = 22 ⋅ 3 ⋅ 22 ⋅ 3n+ 2

⋅ 32n ⋅ 5n 2n

)

M.C.M. ( A;B ) = 12 ⋅ M.C.D. ( A;B )

•

( ⋅ (2

n

Sabemos que:

Los números se pueden escribir de la siguiente forma:

)

) (

M.C.D. ( A;B ) = 22 ⋅ 3n + 2 ⋅ 5n +1

21

(

(

n 2 2 B = 45 ⋅ 60 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Luego:

d = 12

La diferencia de los números es: b – a = 60 – 36 = 24

Resolución

n

= 22 ⋅ 32n+1 ⋅ 5n+1

Entonces 12 ⋅ p ⋅ q = 180 p ⋅ q = 15 ↓ ↓ 3 5 a = d ⋅ p = 12 ⋅ 3 = 36 b = d ⋅ q = 12 ⋅ 5 = 60 ∴

)

= 32n ⋅ 5n ⋅ 22 ⋅ 3 ⋅ 5

En 3 se observa que “d” también es el M.C.D. de 96 y 180. Luego: 96 − 180 2

2 3

)(

= 22n ⋅ 3n + 2 ⋅ 5n +1

78 9

90 45 15

(

n 2 2 A = 45 ⋅ 60 = 3 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

= 32 ⋅ 5 ⋅ 22n ⋅ 3n ⋅ 5n

78 9

48 − 24 − 8 −

22

Rpta: C

- 68 -

2n

⋅ 32n+ 1 = 24 ⋅ 3n+ 3

n=2

Rpta: B


CAPÍTULO N° 5 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE NÚMEROS ENTEROS (Pág. 253, 254, 255, 256)

Resolución

NIVEL I Resolución

1

A = {x/x ∈ *

∧ −3 < x < 7}

k = −27: 3 + 100 : 20 · 5 123 1 424 3 k = −9 + 5·5 = −9 + 25 = 16

Como: −3 < x < 7 à x = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Me piden: n(A) = 9

Resolución

2

∴

∴

k=0

Rpta.: A

Rpta.: E

3

Veamos:

E=

• a + (−a) = 0 14 4244 3 aditivo. Rpta.: E 4

k

(−)

∴

(Verdadero)

3

9

Veamos:

−27 − 4 81

3)2

j

2

+ 2· 4· 8

+8

k = (−6)2 + 8

(Falso)

k = 36 + 8 = 44 ∴

(Verdadero)

( − ) (−) (−) à (−)

k = 44

Resolución

B) a + (-a) = 0 (Prop. Inverso Aditivo)

10

Veamos:

−4 + 4 − 8 + − 2 5 +6 −8 −4

à

E=

4+ 4+2 4+6 = = 10 1 −1

∴

E = 10

Rpta.: D Veamos: (Prop. Conmutativa)

Rpta.: C

E=

∴ Son verdaderas (I) y (III)

Resolución 5 A) a·b = b·a

e

Rpta.: C

k = (− 3 −

( − ) = (+) v (−)

(III). m · n · k = p

E = −42

k=

(−) à (−)

(II). m − n = k

Veamos:

−27 · 42 − 144 : 22 + 32

Resolución

Veamos:

(I). n + m =

3

8

E = (−3)·16 − 12 : 4 + 9 E = −48 − 3 + 9 = -42

Propiedad del inverso

(−)

Veamos:

k = 6{8 − 8} = 6 × 0 = 0

Resolución

Resolución

7

k = 6{4[10 − 8]− 8}

3 + 5 + 7 + 1 = 16

Resolución

Rpta.: E

k = 6{4[2(3 + 2)-8]- 8}

Me piden:

à S = 16

k = 16

Resolución

Rpta.: D

S = −3 + −5 + 7 + −1

S=

Veamos:

k = (−15 + 12)3 : 3 + (2·5)2 : 20·5 k = (−3)3 : 3 + (10)2 : 20 · 5

Veamos:

∴ A = {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} *

6

Rpta.: A

C) b · b-1 = 1 Resolución

D) a + (b+c) = (a+b)+c (Prop. Asociativa) ∴

11

E) a(b+x) = ab + ax (Prop. Distributiva)

K = 6 − {4[6 + 5 − (3 + 2)−4]−3}

a(b+x) = ab + ax ← Prop. Distributiva

K = 6 − {4[6 + 5 − 5 − 4]−3} K = 6 – {4[2] − 3}

Rpta.: E

K = 6 − {8 − 3} = 6 − 5 = 1 ∴

- 69 -

k=1

Rpta.: E


Resolución

12

Veamos:

Resolución

• A = (−3) − (−5) − (1)

E = 10 + (−10)(4) − (−125) + (−8)(−1) − (64)

• B = −5 − [−3 + 2 + (−8)]

E = 10 – 40 + 125 + 8 – 64

B = −5 − [−3 + 2 − 8]

E = 39

B = −5 − [−9] = –5 + 9 = 4 à B = 4 A + B 1+ 4 5 = = = 1, 25 Me piden: A·B 1· 4 4

∴

A +B = 1, 25 A·B

Resolución

13

∴ E = 39

Resolución

Veamos:

Rpta.: E

(−3)3

•P= • Q=

− 45 = +43 − 42

=(9)(−27) à P = –243

à

∴

Q = 64

*

Ordenando de mayor a menor:

x + 11+(40 − 11) = 117 à x = 77

• R = (−1)-100 ·(−1)99 = (1)(−1) à R = −1 *

18

Rpta.: E

Veamos:

(−3)2

·

Veamos:

E = 10 + (−10)(2)2 − (−5)3 + (−8)(−1)5 − (−2)6

A=−3+5−1 à A=1

*

17

Me piden: Nivel Colina = x + 11 = 77 + 11 = 88m

à 64 > −1 > − 243

Rpta.: B

∴ Q>R>P à Tenemos: QRP Resolución

14

Resolución

Rpta.. B

19

Veamos:

Veamos:

K = 2{1+[4(2+1)2 + 1]2} K = 2{1+[36 + 1]2} K = 2{1 + 372}

*

K = 2{1 + 1369} = 2·(1370) ∴

K = 2740

Resolución

15

Luego: T2 = T1 + 3·∆T T2 = −16 + 3(3) = −7 T2 = −7° C

à

Rpta.: C

Resolución

Veamos:

• M = (−2) · (+3) à M = −6

20

Rpta.: A

Veamos:

a

• N = (+6) : (−1) à N = −6 • P = (−2)3 + (−2)-(-5) à P = −5 n° mayor *

Luego: # mayor = −5 à

# mayor = sólo “P”

Resolución

16

Rpta.: C

* ∴

Luego: 75 + x = 135 à x = 60 Tiempo Destrucción = x = 60 d.c Rpta.: B

Veamos:

(−5)+(−4)(−3) − (−1)(2) − x = (−1)3 −5 + 12 + 2 − x = −1 14 − 5 + 1 = x

Resolución

21

Veamos:

10 = x ∴

x = 10

Rpta.: A

- 70 -

à

x + 90 = 36 + 58

à

x = 4m

Rpta.: A


Resolución

22

Veamos:

Resolución

29

Veamos:

à x + 8 = 19 à x = 11

à T = −8+(4)(5) = 12 ∴ T = 12° C Resolución

Rpta.: B

Rpta.: C

23

Resolución

Tenemos:

a.C.

d.C.

Me piden:

T. Baja ∆T = +5°C − 8°C − 1°C + 2°C − 4°C T. Sube ∴

∆T = −6°

Rpta.: C NIVEL II

à

Tiempo total = 29 + 476 = 505

à

Tiempo total = 505 años

Resolución

Resolución

24

Tenemos:

 to = −8°C   ∆t = 46°C

Resolución

25

Rpta.: C

Veamos:

B = −6

à

Descendió Nivel = +230m −110m + 35m

Veamos:

à A=3 • B = [2 − (−1)3 + (1 − 32) − (−5)2] : [1 + (−2)2] B = [2 − (−1) + (1 − 9) − (25)] : [1+ 4] B = [2 + 1 − 8 − 25] : 5 B = −30 : 5

Luego: tf = to + ∆t tf = −8 + 46 = 38°C

1

• A = 4 − [2 − (3 – (−1 + 4)) − (1 − 5) − 5] A = 4 − [ 2 − (3 − 3) − (–4) −5] A = 4 − [2 − 0 + 4 − 5] A=4−1

Rpta.: B

*

30

* Me piden: A2 + B2 = 32+(−6)2 = 9 + 36 à

A2+ B2 = 45

Rpta.: D

Se eleva à Nivel = 155m Resolución

26

Rpta.: A

Resolución

• C = 122 : 12 − (24 : 12) · 32 C = 144 : 12 − 2 · 32 C = 12 − 18 à C = −6

Congelador T. Inicial

Resolución 27 5+x=3

Veamos:

à x = −2

* à

Me piden: K = 2A − 4B + 5C K = 2(32)−4(2) + 5(−6) K = 64 − 8 − 30 = 26

∴

x=3−5

K = 26

28

Sea:

Ahora: Ho + 560 − 900 = 1200

Me piden:

P = 9 – 4(–9) + 1 + 1 P = 9 + 36 + 1+ 1 = 47

Ho − 340 = 1200 à Ho = 1540 m

3

0 P = 63 : 7 − 4 · (−315 : 313) + (39)− (−1)9 2 P = 9 − 4 ·(−3 ) + 1 – (−1)

Ho = altura inicial

*

Rpta.: E


Resolución

A = 32

• B = −(2)2 : 2 + 2 − 18 : (−9) B = –4 : 2 + 2 − (−2) B = −2 + 2 + 2 à B=2

Calor

Rpta.: C

Veamos:

A = 2 · 42 = 2 · 16 à

Veamos:

T° = −6°C − 20°C + 18°C

∴ T° = −8°C

2

Rpta.: A

∴

- 71 -

P = 47

Rpta.: A


Resolución

4

à A = {−7; −6; −5; ...; 8}

Veamos:

∴ n(A) = 16

• A = −34 + 43 + 24 A = −81 + 64 +16

à A = −1

Como: −9 < x ≤ 8 à x = {−8; −7; ... ; 8}

3 4 4 • B= 4 −3 +2

à B = {−8; −7; −6; ...; 8}

B = 64 − 81 + 16

B = 17 + 16

∧ −9 < x ≤ 8}

• B = {x/x∈

à

∴ n(B) = 17

B = 33 *

4 3 4 • C= 2 − 4 −3

Me piden: n(A) + n(B) = 16 + 17 = 33 à n(A) + n(B) = 33

Rpta.: C

C = 16 − 64 − 81

à

C = 16 − 17

*

Resolución

C=1

Nivel = +45m − 93m + 36m − 40m + 12m Baja

à A
∴ Nivel = 93m − 93m − 40m

Tenemos: A; C; B

Resolución

5

Rpta.: C

Veamos:

b g

• K = 8 × 4 − 3 × 2 − 1 − −2

b g

à Nivel = − 40m Resolución

3

K = 32 − 6 − 1 − −8

10

Rpta.: B

Sea:

n = dinero que tenía inicialmente. Luego:

25 + 8 = 5 + 8 à K = 13

K=

Me piden: Sube

Ordenando de menor a mayor: −1 < 1 < 33

∴

9

queda

n − 40 + 120 − 350 = 10 Infracción Cobra Regala

e j − e2 j

• L = 3 729 + 32

0

2 2

L = 9 + 1 − 24 L = 9 + 1 − 16 *

à

L = −6

Me piden: L3 + 12k = (−6)3 + 12(13) L3 + 12k = −216 +156 = −60 L3 +12k = −60

∴

Resolución K= à

K=

6

272/3 3

b 27g

à

Resolución

Rpta.: E *

Me piden:

b g

+ 3 −27

2

K = 18

à

Resolución I.

23

*

Rpta.: C

=

7

Veamos:

32

← Conmutativa (F)

e j = b 2g

II. 23

2

32

← Asociativa (F)

III. (4 + 5)2 = 42 + 52 ← Distributiva (F) ∴

Tenemos: FFF

Resolución

8

Rpta.: E

Veamos:

Sea:

Luego:

Camina Norte

Posición = +160 − 236 + 80 − 170

K = (3)2 + (−3)2 = 18 ∴

11

Rpta.: A

norte + + ::Dirección Dirección Norte  SurSur – ::Dirección Dirección −

+ (−27)2/3

2

n − 270 = 10 à n = 280

Camina Sur Posición = 240 − 406 = − 166 Sur Ahora: • Se encuentra a: 166 metros al sur Rpta.: D

Resolución

12

Veamos: extraen

700l − 150l + 180l − 300l + x = 1000l à

llenan 880 − 450 + x = 1000 x = 1000 − 430

∴

x = 570

• A = {x/x ∈ ∧ −7 ≤ x < 9} Como:−7 ≤ x < 9 à x = {−7; −6; −5; ...; 8}

- 72 -

Rpta.: E


Resolución

13

Sea:

Resolución

+ : Sentido “A”

n × 240 =

− : Sentido contrario de “A”: *

Luego:

*

(−) 20 − x + 5 = −7 (+)

à *

25 − x = −7 à x = −32 Me piden: Long. recorrida = |x| = |−32| = 32

à

Long. recorrida = 32 km

Resolución

14

Rpta.: D

* à *

Veamos:

n×24×3×5 = k2 Como: n ← mínimo à 24

n = 3×5 = 15 k2

×3×5=

n = 15

Resolución

x = 27

18

Rpta.: B Veamos: Gano

Luego: Baja(2dodía) = x = 27°C

Queda = −12500 − 8000 + 12564 + 11676

Rpta.: B 15

240 = 24 × 3 × 5

Reemplazando en (I):

à

Baja(2do día)

Resolución

... (I)

(22 × 3 × 5)2 = k2 ... (Verdadero)

• 16°C − x + 9°C = −2°C

*

Tenemos: k2

Veamos: 240 2 120 2 60 2 30 2 15 3 à 5 5 1

∴ 3×5×

Sube

à 25 − x = −2 à

17

Gasto à

Veamos:

à Queda = 3740

extraemos(inicialmente)

1 100 − x + 20 = (100) 2

Queda = −20500 + 24240 = 3740

*

Como:Queda > 0 à Gana S/.3740 Rpta.: A

aumentamos Resolución

à

120 − x = 50 à x = 70

∴

. agua extraida í I FH Cantinicialmente K = x = 70 l

16

*

Residuo

Veamos:

à n − 17 = 212 n = 212 + 17 = 441 + 17 = 458

Ahora; dato:

∴ n = 458

k = 42(n + 2 × 12) k = 42n + 42 × 24 ..... (II) *

Resolución


Me piden: Σ cifras(k) = 4 + 1 + 1 + 6 = 12 à Σ cifras(k) = 12

20

Rpta.: D Tenemos: 1ra batalla

6 474 8 n − 200 + 50 − 200 +4 50 = 800 6 47 8

à k = 3108 + 1008 ∴ k = 4116 *

Luego: n − 17 = 21 ← Raíz

42 × n = 3108 ....... (I) *

Sea:

n = número de plantas.

Rpta.: E Resolución

19

2da batalla

Cant. hombres inicial à

Rpta.: A

n − 150 − 150 = 800 à

- 73 -

n = 1100

Rpta.: C


Resolución

21

Sea:

(

b)

n = cant. caramelos al inicio Luego:

*

9

= –4 : (−2) − 24 −7 = +2 − 24 − 7

Caramelos en exceso

n − 9 − 4 + 2 = 29

∴

Resolución

22

= −29

à n = 40

FH Cantal. caramelos IK = n = 40 inicio

2

= (–3 − 1) : (−2) + (−6)(4) + (3 + 4)(−1)

n − 3(3) − 2(2) + 2(1) = 29 à

)

−27 + 3 −1 : 3 −8 + (−9 + 3 )(−2)

+ [3−2(−5+3)](−9+23)

Caramelos que repone

9

3

Rpta

b g + b −9 g: b −5 + 8 g

3 c) −2 + 5 −1 : 49 − 3 · 4 81

Rpta.: A

Me piden:

°0

=(− 2 − 5) : 7 − 3(3) +1

Guerra del Pacífico

=(−7) : 7 − 9 + 1

Año de Nac. = 1879 − 45 = 1834

= −1 − 9 + 1 = −9

Edad ∴ Año de nacimiento = 1834

3

d)

b g

125 : 3 −1 + −7 + 3 −2

Rpta.: B

b g b

Resolución

23 Tenemos: ° • Máximo 3 < 20 = 18 ° • 5 ∈ 11; 16 = 15

=

n + 3 =17

à

*

Me piden: Edad de Mayté = n = 14 años

4

100 + −2 : −2

2

gb g

−5 + 50 + 4 = 49 = 7

Rpta

b gb g b gb g = b −3 g + 2 3 + 15 + 3b 9 g 3

e)

Edad de Mayté à

b g b g

2

= 5: −1 + −7 + 12 10 + 16: 4

Luego: n + 18 − 15 = 17

*

Rpta

n = 14

−27 + 2

9 + −5 −3 − −3 +3

2

= −3 + 36 + 27

= −3 + 6 + 27 = 30 Rpta.: C

Rpta

b g b g 10 − 27 · 36 + b −1g 5 − 4 b −3 g + 10 : 100 − 3 b 6 g − 1

f) 3 3 125 − 16 · −3 − 2 −5 : Resolución

24

Sea:

4

n = cant. palomas al inicio Luego:

*

palomas que se van

n − 3(8 − 3) = 28 palomas que regresan 3 tiempos de 10 minutos = 30’ à n − 15 = 28

à

3

=

3

5 + 12 + 10 : 4 100 − 18 − 1

=

3

27 : 4 81 = 3 : 3 = 1

(−3 + 5) : (−1) 2

4

Veamos: + 102 − 43 − ( −7 + 3 ) : ( −2 )

a)

3

=

3

4:1 + 36 − −4 : −2

=

3

4+6−2 =

8 =2

Rpta

b g

4 g) 5 −3 + 2 : 169 + −2 −1 + 5 · 5 −1

= [−15 + 2] :13 + [−2(1)+ 5] : (−1) =(−13) : 13 + 3 : (−1) = −1 + −3 = − 4

Rpta

h) −  9 + (−8 ): 3 −64  • (−1) + ( −7 + 4 ) (−2 )− 6

2

b g b g b g b g b −2 g −

b gb g

3

4

b g

n = 43

Rpta.: A 25

3

3

=

* Me piden: Cant. palomas al inicio = n = 43

Resolución

2

= − −9 + −8 : −4 · 1 + −3

2

= −[− 9 + 2] + (9)(−2) − 5

Rpta

= 7 − 18 − 5 = −16

- 74 -

Rpta

625 4

625


CAPÍTULO N° 6 NÚMEROS RACIONALES EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 294, 295, 296, 297, 298) NIVEL I Resolución

Resolución

3

1

Ubicando los números en la recta

−3 × 3 −9 = 5 × 3 15

Tenemos que:

−3 × 12 −36 = 5 × 12 60 −3 × 24 −72 = 5 × 24 120

Podemos observar que:

−1 Rpta.: A El más cercano del cero es 5 Resolución

−3 × 30 −90 −80 = ≠ 5 × 30 150 150

2 Por lo que:

Vemos que:

−3 −9 −36 −72 < > < > < > 5 15 60 120

4

I)

4 8 4 8 y ; simplificando: = 5 10 5 10 5

à

II)

3 −3 y 4 4

4 8 = 5 10

∴

Resolución

III)

0 0 y 3 2

3 −3 > 4 4

pero:

0 = 0 3 0 = 0 2

à

−3

5

∴

−6 −3 = 10 5

b =

5 50 = 8 80

c =

7 56 = 10 80

60 56 50 > > 80 80 80

a>c>b Resolución

Rpta.: C 5

homogeneizamos los denominadores de las fracciones dadas, obteniendo:

representan al mismo punto: I ; III y IV

3 60 = 4 80

Ordenando en forma decreciente:

−3 −6 −3 y ; simplificando: 10 = 5 10 5

à

4

a =

Donde:

0 0 = 3 2 −6

IV)

Rpta.: E

homogeneizamos los denominadores de las fracciones, obteniendo:

Negativo Positivo

à

−80 es equivalente a las demás fracciones 150

Rpta.: D

a =

2 24 = 3 36

b =

7 21 = 12 36

c =

5 20 = 9 36

Donde:

20 21 24 < < 36 36 36

Ordenando en forma creciente: c
- 75 -

Rpta.: D


Resolución

6 =

Luego de analizar las alternativas y los extremos de la condición, tenemos que: 1 15 = 2 30

Entonces:

15 < 30

Donde:

x =

∴

x

20 30

<

Resolución

FG 64 IJ H 9K

Rpta.: B 7

=

Recuerde que:

° ⇔ a ≠ b

a es fracción b

3

−6 3 y; 4 9

Rpta.: B

e

=−

3 2

1 1 3 + 2 a = + = ⇒ 2 3 6 .

2

c=

10

9 3

∴

b=c

14 3

7 9

Rpta.: E

:

7 2

⇒b=

5 a = 6

4 3

5 6

OP PQ

3

Rpta.: E

W =

W =

21 12 7 24

W=

1

2

1

Resolución

De la propiedad: Am : An = Am − n Tenemos que:

3− 4

=

- 76 -

⇒

W=6

1

14

LM F FG 5 IJ − MM 4 · GG H 6K M 5 G MN GH

10

20 + 1 12 9−2 24

=

21 × 24 12 × 7

2 2 4 ×6 = × ⇒ c= 3 5 3 1

FG 25 IJ : FG 25 IJ = FG 25 IJ H 16 K H 16 K H 16 K

3 8

3

5 1 + 3 12 3 1 − 8 12

2

4

64 9

13

−1

3

LM MN

512 27

3

Rpta.: C

Resolución

=

Rpta.: D

Resolviendo:

=

OP PQ

1/ 2 3

12

3 4

9

7 2

=

Resolución

El representante canónico es

2 3

LM FG 64 IJ MN H 9 K

3

7 7 14 21 n = , , ,... 9 9 18 27

b=4 :

=

j + −3 3 F 11 11I 27 = −G : J + − 2 H 4 6K 8 3 F 3I F 3I = − G J + G− J 2 H 2K H 2K

8

Resolución

LM 8 OP N3Q

1 2

Tenemos que:

∴

3/2

1 − 2 :1

Son fracciones:

Resolución

Rpta.: B

Resolviendo:

0 12 = 0 ; = 4 5 3 ∴

16 25

11

Resolución

−8 = −4 2

Además:

−1

Tenemos que:

18 30

3 x = 5

Resolución

=

2 20 = 3 30

;

FG 25 IJ H 16 K

LM FG N H

I OP J 9 6 3 P − × JP = 64 9 4 J JK PP 3 Q

6 4 3 1 − − · 5 5 8 2

1 3

1

2

1

IJ OP KQ

Rpta.: C


=

LM FG IJ OP N H KQ

6 4 −1 − · 5 5 8

=

6 1 13 = + = 5 10 10 Resolución

Rpta.: A

e −2 j · e1 j = FGH − 52 IJK · FGH 65 IJK 2

1 3 5

1

=

·

4

=

3

*

125 5

Rpta.: A

*

NIVEL II

*

3 3 es 4 4

FG −8 IJ H 125 K

= 16

=

A bases iguales los exponentes serán iguales

5

5 3

à

y=

5 8 es 8 5

5 5 4 3

Rpta.: A

Resolución

4

LMFG −1IJ · FG −1IJ · FG −1IJ OP MNH 3 K H 3 K H 3 K PQ

2 5

3

De la propiedad: Am ·An · AP = Am+n+P Tenemos que:

LMFG − 1 IJ MNH 3 K

OP PQ

4 +3+ 2 5

=

LMFG −1IJ MNH 3 K

OP = FG −1IJ PQ H 3 K

9 5

45


5

De las propiedades: Am × An = Am+n 24 24 20 = = 20 47 15 + 32 20 20

5 3

4 16 3 = 2 3

4

8 5

3 8 · 4 5 3 8 + 4 5

3

A bases iguales los exponentes serán iguales

15 5 = 12 4

b g

x/y

=8

3 a= 4

b=

=

3

Reemplazando estos valores en:

a·b = a+b

y

x

x

x=

FG −8 IJ H 125 K

b16g

2

Inverso multiplicativo de

FG 3 IJ H 5K

F 3I =G J H 5K

15 12

= 16 4

Inverso aditivo de −

à

=

Reemplazamos los valores de “x” e “y” en:

4 4 8 12 16 n= ; ; ; ; ... Rpta.: B 5 5 10 15 20

à

15

y

Tenemos que:

*

FG 3 IJ H 5K

FG −8 IJ = FG −8 IJ H 125 K H 125 K

1

Vemos que si n = 1; 2; 3; 4; ...

Resolución

3

à

54 5

= 10

12

FG 3 IJ H 5K

216

4 5

Rpta.: D

Tenemos que:

54

25 1

Resolución

a·b 24 = a+b 47

Resolución

15

1 2 2

∴

24 × 20 47 × 20

Am = Am − n An

Tenemos que:

F 4I ×F 4I H 5K H 5K F 4I ×F 4I H 5K H 5K 6

−2

- 77 -

−8

3

F 4I H 5K = F 4I H 5K

6 + ( −8 ) ( −2 ) + 3


F 4I H 5K = F 4I H 5K F 4I =G J H 5K F 4I F 5I =G J =G J H 5K H 4K −2

Resolución

F 2I · F 5I · F 4I H 5K H 8K H 5K F 1I · F 1I H 8K H 5K −3

1

−2

−2

( −2 ) − 1

−3

8

3

=

−2

−3

F 5I · F 8I · F 5 I H 2K H 5K H 4 K = b8g · b5g 3

2

125 64

=

3 −2 −1 −1 −3 − , , , , 5 3 6 3 10

Damos común denominador:

Resolución

−18 −20 −5 −10 −9 , , , , 30 30 30 30 30

FG IJ H K

Término intermedio

A=

Rpta.: D

9 × 16 4

16 21
*

17 18 19 20 f1 : ; ; ; 36 36 36 36

Suma de fracciones

10

1 2+

1 2

37

12 5

* Hallamos “B”

18

∴

1 2 = 2+ 5 5 2

=2+

A=

à

17 18 19 20 74 37 = + + + = = 36 36 36 36 36 18

B= 3 − 1

suma de fracciones = 2 18 Rpta.: E à

1 3−

1 3

= 3−

B=

1 3 = 3− 8 8 3

21 8

Luego, hallamos:

- 78 -

A = 36

Rpta.: C

Hallamos “A” A = 2+

à

1 7

à

A =6

Resolución

à

à

Sea:

∴

4 7
:

A = 36

Luego: 7

−2

1 9 × × 42 A= 7 4 1 7

−20 −18 −10 −9 −5 , , , , 30 30 { 30 30 30 −10 −1 = 30 3

Rpta.: D

9

1 1 1 A= ×2 × 4 7 4

Sea:

Ordenamos en forma creciente:

Resolución

1 1 1 = = 8 · 16 128 27

= 2−7

Término intermedio =

3

53 · 8 2 · 52 23 · 52 · 42 · 82 · 5 3

=

Resolución 6 Sean las fracciones:

∴

2

53 82 52 · 2· 2 3 = 2 25 34 8 ·5 Rpta.: A

à

2

A B


12 A 5 = B 21 8

7

Rpta.: B

Resolución

F I G J 2 1 9 Sea M= G · · J GG 3 4 15JJ H K

11 −2

A = 42 + 6 2 + 82 +10

M=

− 2 1/3

−2

b g

∴

M=

L=

FG 4 IJ H 5K

3

−

Rpta.: E

∴

1 3 2 − 3 5 5

1 3

Resolución

12

3

M=

F 10 I F 5 I =G J =G J GH 12JK H 6 K 3

5

125 216

Resolución

3

15 mn

3

364

FG −8 IJ H 343K

−48

= 3× 6× 4

= 72

=

A

FG −8 IJ H 343K

−48

−48

FG −8 IJ 72 H 343K 3

FG −8 IJ H 343K F 343IJ = G− H 8K L F 343IJ OP = M G− MN H 8 K PQ F 7I = G− J H 2K −2 3

2 3

2

1 81

+

2

3

2

+

1 9

2

1

=

1

49 4

=12

6 − 7 +1 0 = 9 9

J=0

FG −8 IJ H 343K

=

2 7× 1 1 J= − + 3 9× 1 9 J=

m× n

2 −48

2 343 81 1 − × + 3 729 49 9 9

A=

Entonces tenemos que:

13

7

J=

3

Rpta.: D

Sabemos que:

Rpta.:B

FG IJ × FG1+ 2 IJ H K H 7K 2 343 F 7 + 2 I J= − ×G J 3 729 H 7 K 2 7 J= − 3 9

∴

103

64 67 − 125 3 × 125

L=

−3

12

3 × 64 67 192 − 67 125 L= − = = 3 × 125 3 × 125 3 × 125 3 × 125

∴

1

6

LM FG IJ OP MN H K PQ 64 1 L 3 8 O L= − − 125 3 NM 5 125 QP 64 1 L 75 − 8 O L= − 125 3 MN 125 PQ 64 1 L 67 O L= − 125 3 MN 125 PQ L=

−3

1

2

5

−3

= 216

Resolución

1

1

FG 1 IJ :FG 1 IJ H 10K H 12K

3

A=6

I F GG 5 3 9 JJ : · GG 6 15 · 18JJ H 3 K

−3

M = 103 : 123

1/ 3

A = 216

2

2 1/3

A = [16 + 36 + 64 + 100] 1/3

1 3

1

LMFG 1IJ + FG 1IJ + FG 1IJ + FG 1 IJ OP MNH 4 K H 6 K H 8 K H 10K QP −2

14

1

A 32 = B 35

∴

A=

Resolución

4

12 × 8 4 × 8 = = 21× 5 7 × 5

Rpta.: D - 79 -

1 4

Rpta.: A


Resolución

16

Sea:

1 n= 15 8

à

n = 8 ×15

∴

1

3 1 1 f= +2 3· + 2 2 6 6

número de octavos

n = 120

2 5

1 1 5 = + 2· 2 4 3

f = 10 + 2

Rpta.: B

6 3

Resolución

17

8 5 = +1= 3 3

Sea “m” la cantidad buscada. Por condición del enunciado:

∴

24 + m = 25

Del grupo de fracciones:

5

m=1

21

20 26 10 9 ; ; ; 63 84 35 28

Rpta.: B

Resolución

Rpta.: A

Resolución

1

∴

f = 2, 6

F I 4 6 F 70 I 5 3 280 J · G J +m= · · G 5 7H 2 K 8 7 G 3 J H K 1

18

Haciendo traslado de áreas, tenemos que:

f Menor = 2

10 35 1 5

9 1 = 28 10 f 2 35 f

Luego: parte coloreada = S

à

Parte no coloreada = 3S à

f=

Resolución

E=

f

S 1 = 3S 3

1

f

=

2

19

4

9 8

2

Rpta.: C 22

º :1,4 − 0,13 E = 0,24 × 1,90

5 9−4 6 = 6 3−2 3 2 − 2 3 6

5 6 = = 5 1 6

1 2

7 21

2

22

189 7 12 E= × : − 90 99 5 90 45

9

15

1

à

E=

7 7 2 : − 15 5 15

15

1

E=

Rpta.: C

1

7 5 2 5 2 × − = − 15 7 15 15 15

à E=

1

∴

20

F 15, + 0,16 I H K F 3 + 1I f=G H 2 6 JK F 3 I +2 3 · f=G H 2 JK 2

2

f=

23

b0,02 − 0,005g à b0,02 + 0,005g F 15 I F I G J 15 F 3 I F = G 1000 J = G J = G J 25 GH 1000 JK GH 25JK H 5 K 2

F 1I GH 6 JK

F=

2

2

1 + 6

3

- 80 -

F = 0, 36

FG 0,015IJ H 0,025K

2

2

5

∴

1 5 15 =

Rpta.: A

F=

2

3 5

E = 0,2

Resolución

2

2

9 × 35 9× 1 = = 28 × 10 4 × 2

Resolución

3 2 − 2 3 = 3 2 − 2 3

Resolución

∴

Rpta.: C

9 28

Vemos que: f1Mayor =

Rpta.: D

a f

= 0 ,6

2

2


Resolución

24

f·7 =

Sea f1 : fracción buscada. 1 1 < f < 1 5 4

à

∴

à

à

12 15 < f < 1 60 60

à

FG 3 + 2 IJ +M = 1 − 1 H 7 21K 8 14 FG 9 + 2IJ +M = 7 − 4 H 21 K 56

25

1

Parte =

4S

=

11 3 +M = 21 56

1

32 S 8 8

Rpta.: C 26

∴

3 1 1 1 2 : 3 +1 × 2 5 4 5 3 A= 4 4 5

M=

3 11 9 − 88 − = 56 21 168

M=

−79 168

Resolución

Rpta.: D 29

Sea “f” la parte

2

A=

28

Del enunciado tenemos que: Rpta.: A

De la figura deducimos el área total: Luego:

Resolución

Rpta.: B

Sea “M” lo que falta.

Existen 2 fracciones

Resolución

2 35

Resolución

13 14 Entonces: f1: ; 60 60

∴

f=

2 5

à

13 13 6 7 : + × 5 4 5 3

5 2 f· = 6 3 2

1

6 2× 2 f= × = 3 5 1× 5 2

24 5

1

4 14 18 3 + 18 5 5 5 A= = = 24 24 24 4 5 5

∴

f=

4 5

Rpta.:A

Resolución 3 A = = 0,75 4

Resolución

Rpta.: B

30

Tenemos que: 62 4271− 427 3844 = 4,271 = = 900 900 30

27

= 2,06

Sea f parte buscada.

Rpta.: C

Del enunciado tenemos que:

F 3 I F 2 I F 5 I F 14 I f· G J G 4 J = G J G J H 2 K H 3 K GG 7 JJ GH 25 JK H K 1

1

f·

F 3 I F 14 I 2 GG JJ G J = GH 2 JK GH 3 JK 5 1

7

1

1

2

Resolución

31

Sea la fracción equivalente:

5

à

7n 12n

7 7n = 12 12n

Del enunciado tenemos que: 7n + 12n = 95 19n = 95

→

n=5

Nos piden: 12n − 7n = 5·n = 5·5 =25 - 81 -

Rpta.: C


b

g

Resolución 32 Sea “n” la cantidad buscada.

10 a + b + c 4 = 90 3

Tenemos que: n

a +b+ c 4 = 9 3

FG 1 IJ = 5 H 16 K 8

∴

n = 10

Resolución Sea

33

∴

a la fracción. b a+b = 3· b+b

FG IJ H K

a +b+ c 4 = 9 3

a + b + c = 16

Resolución

ej

Rpta.: C

36

Por datos:

RS T

30 hombres Parejas bailando = 30 30 mujeres

a b

Sentados: 40 hombres y 10 mujeres

a + b 3a = b 2b

a + b = 6a

Entonces habían: hombres = 70 mujeres = 40

b = 6a − a → b = 5a

à

1 a = 5 b

Rpta.: B

Nos piden:

34

Resolución

Resolución

Sea # de alumnos = a

Total = 70 + 40 = 110

à

à

37

f + 0,878787 ...= 1,212121 ... f + 0,87 = 1, 21

Por datos del problema, tenemos que: à

Mujeres 40 4 = = Rpta.: D Total 110 11

Sea “f” la fracción pedida.

ausentes = x presentes = a − x x a−x = 3 7

f+

87 121−1 = 99 99

7x = 3a − 3x 7x + 3x = 3a

f=

120 87 − 99 99

10x = 3a

f=

33 1 = 99 3

7x = 3(a − X)

x 3 = a 10

∴

Σ de términos = 1 + 3 = 4

Nos piden: Ausentes x = # dealumnos a

= Resolución Sea:

2

a + b + c 16 = 9 9

Rpta.: C

Por condición del problema, tenemos que:

∴

à

3 10

Resolución

38

Sea “n” lo que debemos sumar. Rpta.: B

à

3 +n 5 = 8 +n 6

6(3 + n) = 5(8 + n)

35

18 + 6n = 40 + 5n

0,ab + 0,ca + 0,bc = 1,3 4

ab − a ca − c bc − b 12 + + = 90 90 90 9

6n − 5n = 40 −18 ∴

3

10a + b − a +10c + a − c +10b + c − b 4 = 90 3 10a +10b +10c 4 = 90 3

- 82 -

n = 22

Rpta.: B

Rpta.:C


Resolución

39

Resolución

40

Sea x = total de personas.

Sea el número entero “n”·

x Por dato: # de hombres = 4

Del enunciado tenemos que:

à

FG IJ FG IJ FG IJ H K H K HK

1 2n 1 3n 3 n + − = 250 3 5 4 5 8 5

3x # de mujeres = 4

2n 3n 3n + − = 250 15 20 40

FG IJ H K

x 1 x = También: solteros = · 3 4 12

16n +18n − 9n = 250 120

Casados = 10 Luego: # de hombres = solteros + casados x x = + 10 4 12 x x − = 10 4 12

1

25n 10 = 250 120 ∴

3x − x = 10 12

2x = 10 → x = 60 12

# de mujeres = ∴

3x 3· 60 = 4 4

# de mujeres = 45

Rpta.: B

- 83 -

n = 1 200

Rpta.: D


EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 324, 325, 326)

NIVEL I Resolución

FG H

1

IJ K

Resolución

Me piden:

*

à x2 + x + 1 = 1,39

k = (0,15) · 5 = 0,75 = 3/4 Rpta.: A

2

Resolución k=

Me piden :

à

k = (0,6 − 0,05) : 0,5 k = (0,55) : 0,5 = 1,1 ∴ k = 1,1 Resolución

Me piden:

) 1  k =  0,2 −  : 0,2 à 3 

k=

k=

4

b

Resolución

5

10

Rpta.: E

Me piden:

0, 4 · 0, 0012 0, 0012 = = 0, 2 0, 0024 0, 006

11

Rpta.: C Veamos:

8,21 × 10−5 = 0,0000821 Resolución

b

12

Veamos:

I. 3,5 × 103 = 3500 ≠ 35000 II. 3,5 ×

g

104

= 35000 = 35000

III. 35 × 102 = 3500 ≠ 35000 ∴

13

Veamos:

0, 288 = 0,1152 2, 5

Rpta.: A

*

7

Resolución

14

Veamos:

1 5 1 1 5 − 0, 5 + − + 3 9 3 2 9 k= = 7 7 12 12

à k=

Sea el número: n

Resolución

n = 0, 45 Luego: 0, 036

à

Rpta.: E

Veamos:

0,5 + 2

)

Son equivalentes: II y IV

Resolución

Rpta.: B

0,45 : 0,9 + 2

Resolución

)

(X)

Rpta.: B

(0,5 − 0,02 ) ⋅ 0,6 = 0,48 × 0,6 k= k=

(

Veamos:

0,00085 = 8,5 × 10−4 6

(X)

IV. 0,35 × 105 = 35000 = 35000 (

Rpta.: C

3 3 × 25 75 = = 4 4 × 25 100

Resolución

Rpta.: D

Rpta.: D

2 12, 96 = 2 · 4, 32 = 8, 64 3

à k = 8,64

= (10−2)3 = 10−6

k = 0,000001

Resolución

Me piden:

g

Rpta.: D

Veamos:

à k = 0,2 = 1/5

 1 1 2 k= −  : 5 3 9

3 −2 2 : =− 15 9 5

Resolución

k=

9

(0,01)3

Resolución

Rpta.: D

3

Me piden: x2 + x + 1 = 0,09 + 0,3 + 1

à k = (0,5 + 0,4 - 0,75) · 5

Resolución

Tenemos: x = 0,3

x2 + x + 1 = (0,3)2 + (0,3) + 1

1 3 k= ·5 + 0, 4 − 2 4

∴ k = 3/4

8

n = 0,0036 × 0,45 = 0,0162

15

Veamos:

) −2/3 = −0, 6

Rpta.: D

Resolución Rpta.: A

- 84 -

) 7 / 18 2 = = 0, 6 7 / 12 3

) 8 0, 8 = 9

16

Veamos: Rpta.: B

Rpta.: B


Resolución

17

Resolución

Veamos:

) 23 − 2 21 7 0, 23 = = = 90 90 30

à

) 7 0, 23 = 30

Resolución

Me piden:

x = (0,6)2 + (0,05)2 − (0,4)2 x=

FG 6 IJ + FG 5 IJ − FG 4 IJ H 10 K H 100 K H 10 K

Veamos:

x=

36 25 16 + − 100 10000 100

Rpta.: C

x=

3600 + 25 − 1600 81 = = 0, 45 10000 400

Rpta.: C

18

3

2

2

2

36,86 : 0,2 368,6 : 2 Resolución

R|a = 0, 6) |Sb = 0, 6) ||c = 0, 06 Td = 0, 60

*

19

Resolución

20

Rpta.: E

à

)

III. 6 × 102

= 600 ≠ 6000 ( X )

IV. 6 × 103

= 6000 = 6000 (

Son equivalentes: II y IV

)

k=

à

k = 0,000025 × 0,004 k = 0,25 × 10−4 × 4 × 10−3 k = (0,25 × 4) × à k=1×

10−7

=1×

10000 = 400 25

k = 400 = 4 × 102

−0,2;

107

5

A)

B) C)

2

0,2 0,6 * à

Ordenando de menor a mayor:

à

−0,6 < −0,2 <

−0,6 < −0,2 < 0,2 < 0,4 < 0,6

6

Veamos:

0,00000213 = 2,13 × 10p à 2,13 × 10−6 = 2,13 × 10p *

Comparando: p = −6

Resolución x0

+

x1

7 +

x2

Rpta.: E

Veamos: +

x3

= 1,111

x0 + x1 + x2 + x3 = 1 + 0,1 + 0,001 + 0,001

0,003 < 0,03 < 0,3 à 0,003 < 0,030 < 0,300 ... (Verdadero)

=1 + 10−1 + 10-2 + 10-3 =(10-1)0 + (10−1)1 +(10−1)2 + (10-1)3 *

Comparando: x = 10−1 = 0,1 Rpta.: C

3 < 0, 2 < 0, 4 5 à 0,6 < 0,2 < 0,4 ... (Falso) Es falso (E)

1 3 < 0,4 < 5 5 Rpta.: E

Veamos:

1 2 3 4 U < < < V ×5 5 5 5 5 W à 1 < 2 < 3 < 4 ... (Verdadero) ) 0,06 < 0,6 < 0, 6 à 0,06 < 0,60 < 0,66 ... (Verdadero)

∴

Tenemos:

Rpta.: C

1 3 9 27 = = = D) 3 9 27 81 1 1 1 1 = = = à ... (Verdadero) 3 3 3 3 E)

Rpta.: D

1 3 ; ; − 0,6; 0,4 5 5


−3 −2

−4 −2

Resolución

Rpta.: D

Me piden:

10−7

−2

−4

NIVEL II 1

Me piden:

k = 10−4 · 5–2 · 108 = 5–2 · 104

Veamos:

II. 0,06 × 105 = 6000 = 6000 (

Resolución

4

e j · e0, 5 × 10 j k = 10 · e 5 × 10 j k = 102

I. 0,6 × 103 = 600 ≠ 6000 ( X )

∴

2

Rpta.: B

Luego, comparando: c < a < d < b

Resolución

g

Veamos:

R|a ≈ 0, 6000 |Sb ≈ 0, 6666 ||c ≈ 0, 0666 Td ≈ 0, 6060

à

b

Rpta.: E - 85 -


Resolución

8

Veamos:

à

k = 0,0002 × 0,002 × 0,02 k = (2 × 10−4) (2 × 10−3)(2 × 10−2) à

k = 8 × 10−9

Resolución

9

k=

k = 81 × Resolución 10011 + à

12k2 − 25k + 12 = 0

Veamos: ∴

k = (0,01 − 0,001)2 (0,009)2

à 12(k2+1) = 25k

Rpta.: D

k = (10−2 − 10-3)2 = (9 ×

Rpta.: C

−3 à k = 3/4

3k

−4 à k = 4/3

k = 3/4 ∨ k = 4/3

10

Veamos:

Resolución *

à

= 11111

k=2

Resolución

11

1 k

2 à k =

Resolución

Tenemos:

*

N = 1,03 × 1 000 000 000 N = 1,03 × 109 12

Rpta.: E

Veamos:

169 13 à k= 49 7

Rpta.: B

Sea la fracción: k =

15

Luego: k +

à

a = (2 × 10−1)3 · (3 × 10−1)3 a = 8 · 10-3 · 27 · 10−3

k 2 + 1 13 = k 6

à a = 8 × 27 × 10−6 • b = (0,08)·(0,0027)

2k

−3 à k = 3/2

3k

−2 à k = 2/3

∴

à b = 8 × 27 × 10−6

k = 3/2 ∨ k = 2/3

• c = (0,008) · (0,027) c = (8 × 10−3) · (27 × 10−3)

Resolución

à c = 8 × 27 × 10−6 Luego: a = b = c

Resolución

13

) k+2 k < 0, 5 < 11 11

à

k 5 k+2 < < 11 9 11

Como: k ∈ ¢ ∧ k ← #impar à k = 5

*

Ahora: • k/11 = 5/11 = 0,45 à 63 − 45 = 18 • (k + 2)/11 = 7/11 = 0,63 Rpta.: E

2 à k + 1 = 2083 − 208 = 1875 = 25

900

900 180 36 12

Tenemos: k ← impar

*

25 75 375

k

Rpta.: B

à 9k < 55 < 9(k + 2)

a =k b

a b + = 2, 0833 ... Luego: b a ) 1 à k + = 2, 083 k

16

à Rpta.: E

Sea la fracción:

a b

) 1 = 2,166 ... = 2,16 k

à 6k2 + 6 = 13k 6k2 − 13k + 6 = 0

b = (8 · 10−2) · (27 · 10−4)

*

169 49

k 2 + 1 216 − 21 195 13 = = = k 90 90 6

• a = (0,2)3 · (0,3)3

*

a b

Rpta.: E

N = 1 030 000 000

Resolución

Rpta.: C

Sea la fracción: k =

14

Luego: k = 3 22 = 49

11·10k = 1100 = 11·102 10k = 102

à

4k

10−3)2

10−6

11·10k

k 2 + 1 25 = k 12

12

- 86 -


Resolución

17

Resolución

Veamos:

1,000 185 925 0, 0054054 ... 750 740 1000 925 750 740 10 à

20

Tenemos:

a k= ← Irreductible à a ∧ 10 ← P.E.S.I 10

*

Además: 1 a 4 < < 2 10 3

1 = 0, 0054054 ... = 0,0054 185

à

*

Como:

∴

Cant.(k) = Cant.

à

Cant.

5 < a < 40/3

a; 10 ← P.E.S.I à a = {7; 9; 11; 13}

FG a IJ = 4 H 10 K

Resolución

21

FG a IJ = Cant.(a) = 4 H 10 K Rpta.: B Me piden

*

Me piden: Σ cifras(Período) = 0 + 5 + 4 = 9

K = 0,98 − 0,97 + 0,96 − 0,95 + ... – 0,01

à

Σ cifras(Período) = 9

k = (0,98 − 0,97) + (0,96 − 0,95) + ... +(0,02 − 0,01)

Resolución

*

Rpta.: E

Sea: k =

18

k = 0, 01+ 0, 01+ ... + 0, 01 1444424444 3

a b

"49"términos

à

b gFGH 7k IJK = 3, 8)

Luego: 5k à

à

*

à

a 7 = b 3

à

Rpta.: D

à

à

à

 122  33  61  990  9    = 135 = 9 K= 61 135  61 9 9   k=

9 1 = 135 15

)(

) 6 3 × 10 −3 − 4 / 9 : 0,16 + 0,1

)

 9 − 10   5 + 3  −1 4 S= : : =  15   30  15 15

k=

à

3

)

 6 2   15 1  S= − : +   10 3   90 10 

Veamos:

b0,12323...gb3, 66..g b6, 77...g ) 0,123 ge 3, 6 j b k= ) e6, 7j F 123 − 1I · F 36 − 3 I H 990 K H 9 K K= F 67 − 6 I H 9 K

( S=(

22

2   16 − 1 1   + S =  6 × 10 −1 −  :   3   90 10  

Σ términos(k) = a + b = 7 + 3 = 10

19

Rpta.: B

Me piden: ) S = 3 0,216 − 0,4 : ( 0,166... + 0,1)

Me piden:

Resolución

k = 0,49

Resolución

2

2 à k = ·

7 à k= 3

1 49 = = 0, 49 99 99

k = 49 ·

5 2 38 − 3 35 k = = 7 9 9 7 35 49  7  = = 5 9 9  3 

k = 49 · 0,01

à

S=−

1 = − 0,25 4

Resolución

23

Rpta.: D Me piden:

2

à

∆=

2 5 6 · · · 7 − 0, 36 3 7 11

∆=

20 36 − 11 99

∆=

20 4 16 − = 11 11 11

Resolución

24

Rpta.: D Me piden:

3 1 ) 45 0, 3 9 3 ) = k= = = 16 48 0, 35 35 − 3 90 45

Rpta.: B

à k= - 87 -

15 16

Rpta.: D


Resolución

25

Veamos:

à

b gb g b2a gb 2a g − b2a g k=

à

k=

8,3

k = 0, 2 a 2 a

à k ∈ 7,5 ; 8,3

90

b g

10 · 2 a + 2 a − 2 a 2 a = 90 9 k=

à

2a 9

Resolución

Rpta.: C

*

Como: k ∈

*

Me piden:

à f=

k=8

2 k 2( 8 ) 16 = = 9 k 9( 8 ) 72 Rpta.: D

26

Veamos:

Resolución

a b º = 781 − 7 + = 0,781 5 11 990

29

Veamos:

) b−5 • 0,ab = 6

à

a b 774 43 + = = 5 11 990 55

à

à

11a + 5b 43 = 55 55

à 6 ab − a = 90 b − 5

à

11a + 5b = 43

*

e

à

14b − 9a = 75 ... (I) ) 5a + 6 • 0,ba = 18

Veamos:

E=

) ) ) 2, 3 × 0, 375 − 0, 83: 1, 3

à

E=

23 − 2 375 83 − 8 13 − 1 ⋅ − : 9 1000 90 9

à 18 ba − b = 90 5 a + 6

E=

21 3 75 12 · − : 9 8 90 9

9b + a = 25a + 30

7 5 − = 8 8

3b − 8a = 10 ...(II)

E=

∴

f=

à

2k 9k

*

Además: • 15 < Numerador < 35 15 <

2k

7,5 <

k

• 50 < Denominador < 75

*

5,5 <

k

Ahora: ) ) E = 0,a b + 0,b a ) ) E = 0,1 6 + 0,6 1 à E = 0, 77 7 ...

< 17,5 ... (I)

9k

De (I) ∧ (II):

E = 0,1666 ... + 0,6111 ...

< 35

50 <

g

b − 9 a = 75 RS14 Ra = 1 T 3b − 8a = 10 à STb = 6

Rpta.: B

Tenemos:

) 2 2k f = 0, 2 = = 9 9k

b

1(10b + a − b) = 5(5a + 6)

1 = 1/ 2 4

28

j

9b − 24a = 30

E = 1/2 = 0,5

Resolución

ba − b 5 a + 6 = 90 18

e

*

*

g

9a − 14b = −75 Rpta.: C

27

b

9a + b = 15b − 75

Me piden: a + b = 3 + 2 = 5

Resolución

j

1(10a + b − a) = 15(b − 5)

RSba == 23 T

2 à

3

ab − a b − 5 = 90 6

∴

< 75 < 8,3 ... (II)

cifraI FH Tercera decimal K = 7 Rpta.: E

(I) ∩ (II):

- 88 -


CAPÍTULO N° 7 FUNCIONES Y PROPORCIONALIDAD (Pág. 348, 349, 350)

Resolución

1

Resolución

A = {2; 3; 4} ∧ B = {7; 8}

5

Cada elemento del conjunto de partida debe tener una sola imagen en el conjunto de llegada. Cumple:

Es una función no se repite la primera componente de los pares ordenados , no interesa si la segunda componente se repite. Cumple: C) {(2; 7) , (3; 7), (4; 8)} Rpta.: C Resolución

2

A = {1; 2; 3} ∧ B = {6; 9; 12} Rpta.: C

f : A → B / y = 3x Resolución

f : {(2; 6) , (3; 9)} ∴

Dom f = {2; 3}

6

f(x) = 3x – 8

Rpta.: B

g(x) = 4x + 11 Resolución

3

f(3) = 3(3)– 8

à f(3) = 1

g(2) = 4(2) + 11 à g(2) = 19

Para que sea una función del conjunto de partida debe salir una sola flecha hacia el conjunto de llegada.

f(3) + g(2) = 1 + 19 ∴ f(3) + g(2) = 20

Cumple

Resolución

7

P(x) =

3x2

Rpta.: A

– 2x + 1

P(1) = 3(1)2 – 2(1) + 1 à P(1) = 2 P(P(1)) = P(2) = 3(2)2 – 2(2) + 1


∴ P(P(1)) = 9

4

Resolución

f = {(2;8), (3; 7), (5; 6), (9; 6)}

Rpta.: D

8

g = {(3; 5) , (5; 7), (4; 9)}

Q(x – 3) = 4x + x2

Dom (f) = {2; 3; 5; 9}

Q(0) à x – 3 = 0 à x = 3 Q(0) = 4(3) + 32

Dom(g) = {3; 5; 4} ∴ Domf ∩ Dom g = {3; 5}

∴ Q(0) = 21

Rpta.: A

- 89 -

Rpta.: E


Resolución

9

Resolución

14

Espacio = velocidad · tiempo e1 = e2 km km ·x 72 · 6h = 48 h h

∴

x = 9h

Rpta.: D NIVEL II

f(5) + f(6) + f(7) – f(8) = 11+10+12–12 ∴ f(5)+f(6)+f(7)–f(8) = 21

Rpta.: A

Resolución

1

f = {(3; 8) , (2; 7) , (3; a)} Resolución

10

(3; 8) = (3; a) ∴

x Q   = 8x + 5  2

Q(3) à 3 =

Resolución

x à x=6 2

x 2

à Q(4) = 69

R2 = {(1; 4);(2;4);(3;4);(4;4);(5;4)} à sí es función R3 = {(1;5);(5;1);(2;4);(4;2)} à sí es función R4={ ....... } à no es función

Q(3) + Q(4) = 53 + 69

R5={(1;2);(1;3);(1;4);(1;5)} à no es función

∴ Q(3) + Q(4) = 122

∴ Son funciones R2 y R3

Rpta.: C

11

N° Libros 4 3 5

Resolución

A= {10; 12; 14; 16; 18} B = {3; 5; 7; 9} x  F = (x;y ) ∈ A × B / y =  2 

∴ F = {(10; 5),(14; 7),(18; 9)} Rpta.: A

x = S/. 75


12 180 = 15 12

(2; 15) ∈ f f(2) = a·2 + 7 = 15 à a = 4

7 personas pagan = 15· 7 ∴ 7 personas pagan = 105

f(x) = 4x + 7 Rpta.: A

f(3) = 4(3) + 7 ∴

13

N° obreros N° horas 12 10 15 8 ?? 40 El producto debe ser constante.

f(3) = 19

Resolución

Rpta.: A

5

A = {x ∈ IN / 0 < x < 6} f = {(1; 3),(4; a+1),(a+1;2),(1;a–1)} Entonces: (1; 3) = (1; a–1) à 3 = a–1

12· 10 = 15· 8 = x· 40 ∴ x=3

4

f(x) = ax + 7

Precio de entrada =

Resolución

3

B = {2x − 1/ 1 < x ≤ 5; x ∈ IN }

60 45 x = = 4 3 5

Resolución

Rpta.: B

A = {2x / 5 ≤ x < 10 ; x ∈ IN}

Precio 60 45 ??

Directamente proporcionales:

∴

2

R1 = {(4; 1);(4; 2);(4; 3); ... }à no es función

Entonces:

Resolución

Rpta.: D

A = {1; 2; 3; 4; 5}

Q(3) = 8· 6 + 5 à Q(3) = 53 Q(4) à 4 =

a=8

∴ a=4

Rpta.: B

Luego: f={(1;3),(4;5),(5;2),(1;3)} f(a) = f(4) = 5 - 90 -

Rpta.: E


Resolución

Resolución

6

f(x) =

10

x +1 2x − 1

1+ 1 f(1) = 2· 1 − 1 à f(1) = 2 3 +1 4 f(3) = 2· 3 − 1 à f(3) = 5

De las dos figuras:

2 +1 f(2) = 2· 2 − 1 à f(2) = 1

f(1) = 5 G(f(1)) = G(5) = 4

Entonces:

f(3) = 2 G(f(3)) = G(2) = 6

4

f(1) + f(3) 2 + 5 = M= f(2) 1

Nos piden: L=

f(1) + G(f(1)) 5 + 4 = f(3) + G(f(3)) 2 + 6

∴ L=

Resolución

9 8

∴ M=

14 5

Rpta.: E

Rpta.: C Resolución

7

11

1 libro = S/.

f(x) = 4x – 1

86 2

à 1 libro = S/. 43

g(x) = 2x + 3

5 libros = 5· S/. 43

g(3) = 2(3) + 3 à g(3) = 9

∴

5 libros = S/. 215 Rpta.: B

f(g(3)) = f(9) = 4· 9 – 1 ∴

f(g(3)) = 35

Resolución

Rpta.: B

Resolución

12

8

f ( x + 2) = x + 7 f(4) = f(x + 2) à 4 = x + 2 à x = 2

f(4) = 2 + 7 à f(4) = 3 g(x − 1) = x + 8 g(7)=g(x – 1) à 7 = x – 1 à x = 8 g(7) = 8 + 8 à g(7) = 4

Las magnitudes de la figura son directamente proporcionales, entonces los cocientes de estas magnitudes son constantes.

f(4) + g(7) = 3 + 4 ∴

f(4) + g(7) = 7

Resolución F(x) = F(2) =

Rpta.: C

9

108 144 x = = 3 4 5

2x + 1 x −1

108 x = 3 5

2· 2 + 1 à F(2) = 5 2 −1

F(F(2)) = F(5) =

2· 5 + 1 11 = 5 −1 4

∴

3 4

F(F(2)) = 2

∴ x = S/. 180

Rpta.: D

- 91 -

Rpta.: C


Resolución

Resolución

13

14

V

Se cumple: N° de vueltas (1) × radio(1) = N°vueltas(2) × radio(2)

t

n· 10 = 180 ⋅

El producto de las magnitudes inversamente proporcionales es constante.

∴

15 2

n = 135 rev.

Rpta.: A

60· 3 = 45· 4 = x· 5 60· 3 = x· 5 ∴

x = 36

km h

Rpta.: B

CAPÍTULO N° 8 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE RAZONES Y PROPORCIONES (Pág. 372, 373, 374) Resolución

NIVEL I Resolución *

Sean los números: a; b

Luego: • a − b = 16 ... (I) •

*

1

a 3 = b 1

45a = 3k 6b = k

à

3

Sean los números: a ; b

a 5 = b 2

à

*

Luego:

*

Además: a − b = 6

45 a = 5k 6 b = 2k

à 5k − 2k = 6 3k = 6 à

Reemplazando en (I): *

à 3k − k = 16

Me piden:

k=2

# mayor = a = 5k = 5(2) = 10 Rpta.: D

2k = 16 à k = 8 *

Me piden:

Resolución

# menor = b = k = 8 Rpta.: B

Resolución

2

a 3 = • à b 4

*

21 7 = n 4

Tenemos:

Resolución

Reemplazando en: *

• a + b = 28 à 3k + 4k = 28

*

Me piden:

Tenemos:

à n=

21× 4 = 12 7

∴ # menor = n = 12

45 a = 3k 6 b = 4k

7k = 28 à

4

k=4

b = 4k = 4(4) = 16 Rpta.: C

- 92 -

5

Rpta.: B

Sean los lados: a ; b

Ahora, veamos:


*

Dato: à

*

Resolución

b = 0,4 a

b 2 = a 5

à

•

RSb = 2k Ta = 5k

Además: Perímetro

10

m 6 = n 11

à

Además: n − m = 25 à 11k − 6k = 25

*

Me piden: m + n = 6k + 11k

ABCD = 60

5k = 25

Me piden: Perímetro

à m + n = 85

MNPQ = 8(3) = 24 Rpta.: B

Resolución

6

Tenemos:

Resolución •

# mayor

*

a b c = = 3 5 2 Dato: # mayor = 30 à b = 30

*

a 30 c = Ahora: = 3 5 2

*

Me piden: #menor = c =12

à

*

7

a b c = = =k 2 5 8

*

*

*

à 2(5k) − 7k = 12 Me piden: p = 5k = 5(4) = 20

Pedro Juan

*

Dato:

12

Tenemos:

Hace 3 años Actual 5k − 3 5k 4k − 3 4k 5k − 3 7 = 4k − 3 5

à 5(5k − 3) = 7(4k − 3)

k=5

25k − 15 = 28k − 21 3k = 6

Rpta.: C

* 8

k=4

Rpta.: B

Me piden: # mayor = c = 8k = 8(5) = 40

Resolución

à

Rpta.: A

R|a = 2k S|b = 5k T c = 8k

à # mayor = 40

Veamos:

RSp = 5k T q = 7k

3k = 12 à

RSa = 18 Tc = 12

Dato: Σ 2 menores = 35 à a + b = 35 à 2k + 5k = 35 7k = 35 à

Rpta.: C

Además: 2p − q = 12

Tenemos: à

11

p q = 5 7


à k=5

m + n =17k = 17(5) = 85

MNPQ = 4b = 4(2k) = 8k

à Perímetro

RSm = 6k Tn = 11k

*

à 4a = 60 à 4(5k) = 60 à k = 3 *

Tenemos:

à

k=2

Me piden:

FG Edad de Juan IJ = 4k + 6 = 4(2) +6 = 14 H dentro de 6 añosK

Tenemos:

Rpta.: B Resolución *

13

Veamos:

Dato: 2x + 1 3 = x−2 1

à 1·(2x + 1) = 3(x − 2)

à 2x + 1 = 3x − 6 à x = 7 *

Me piden: S

* Luego; tenemos:

= 3(x − 2) = 3(7 − 2) = 15 Rpta.: B

Resolución • * *

a 7 = b 3

9 à

Tenemos:

RSa = 7k T b = 3k

*

Dato: 40 − x 7 = 15 + x 4

Ademas: • a + b = 20

Volumen A 7 = Volumen B 4

à 7k + 3k = 20 à 10k = 20 à k = 2

à 160 − 4x = 105 + 7x

Me piden: • a − b = 7k − 3k = 4k

à 11x = 55 à x = 5

à a − b = 4(2) = 8

Rpta.: B - 93 -

à

Rpta.: D


Resolución

14

4k + 6 6 = 3k + 6 5

Además; dato:

à

*

Rpta.: B

15

a 11 = • b 7

Resolución *

Tenemos:

à

15k à E= 18k

5 E= 6

1

*

a =6 b

Resolución

à

*

RSa = 6k Tb = k


a 3 = b 4

à

RSa = 3k Tb = 4 k

12k2 = 48 *

k=6

à k=2

Me piden: # mayor = b = 4k = 4(2) = 8 Rpta.: B

Me piden: a + b = 6k + k = 7k = 7(6) = 42 à a + b = 42


Resolución Luego:

2

à

6

•

a 4 = b 7

à

RSa = 4k Tb = 7k

*

• V − A = 28 à

4k + 7k = 44 11k = 44

à

V 3 = A 1

Luego:

RSV = Cant. vino T R V = 3k à SA = k T

Sea: A = Cant. agua


• a + b = 44

*

5

Rpta.: C

• a·b = 48 (3k)(4k) = 48

6k − k = 30

*

RSa = 8k T b = 5k

Luego; dato: •

Reemplazando en (I): à a − b = 30 5k = 30 à

à

a + b = 13k = 13(5) = 65

∴ a − b = 65

Rpta.: C


•

a 8 = b 5

Me piden: a + b = 8k + 5k à

• a − b = 30 ... (I)

Luego:

Luego: •


3k = 15 à k = 5


4

• a − b = 15 à 8k − 5k = 15

RSa = 11k T b = 7k

2a − b 2(11k) − 7k Me piden: E = a + b = 11k + 7k

à

*

*

Me piden:

• a − b = 12 •b−c=8

Me piden:

Resolución

*

Luego; dato:

 Razon ó aritmética entre    = a − c = 20 Nataly y Karina  

Rpta.: B

*

*

k=3

FG Edad actualIJ = 3k = 3(3) = 9 H de María K

*

Sea:

a − c = 20

à 5(4k + 6) = 6(3k + 6) 20k + 30 = 18k + 36 2k = 6

3

R|a = Edad de Nataly S|b = Edad de Vanessa Tc = Edad de Karina

Edad Actual Dentro 6 años 4k 4k + 6 3k 3k + 6

Susana María

*

Resolución

Veamos:

*

k=4

3k − k = 28 à 2k = 28 à k = 14 Me piden: Volumen total = V + A = 3k + k = 4k

Me piden: b − a = 7k − 4k

à

b − a = 3k = 3(4) = 12 Rpta.: B

- 94 -

Volumen total = 4(14) = 56 Rpta.: C


Resolución

7

A 5 = B 7

•

Resolución

Veamos: à

RS A = 5k TB = 7 k

Tenemos:

( a + b) + ( a − b) 7 + 2 a +b 7 = = à ( a + b) − ( a − b ) 7 − 2 a −b 2

• A + B = 180 à

11

à

5k + 7k = 180

2a 9 a 9 = = à 2b 5 b 5

Rpta.: C

12k = 180 à k = 15 *

Me piden: B − A = 7k − 5k = 2k

Resolución

B − A = 2(15) = 30 8

Veamos:

Luego; dato:

*

A 7 • p = 4 à

à à

*

B 5 = • à b 2

RSB = 5k T b = 2k

Perim • Perim

Mayor 2 = Menor 1

à

S

= 56 9

Cant. años para cumplir 30 à 7k + x = 30 7(4) + x = 30

à

x=2 Rpta.: A

Resolución

Rpta.: C Carlos Raúl

R|a = 2k S|b = 3k T c = 4k

13

Veamos:

Edad Actual 12 14

Dentro “x” años 12 + x 14 + x

12 + x 9 = 14 + x 10

*

Luego:

à

120 + 10x = 126 + 9x à x = 6 Rpta.: C

2k + 2(3k) = 24

Resolución

Me piden:

c = 4k = 4(3) = 12

Resolución p q r = = 3 4 7

10 à

Tenemos:

R|p = 3k S|q = 4k Tr = 7 k

Tenemos:

R|a = 2k S|b = 3k Tc = 5k

à

*

Me piden:

3a + b 3(2k ) + (3k ) 9k = = =9 2b − c 2(3k ) − (5k ) k

à

3a + b =9 2b − c

Además: p + 2r = 34 à 3k + 2(7k) = 34 17k = 34

14

a b c = = 2 3 5

Rpta.: C

*

à k=4

Ahora: A + x = 30

*

8k = 24 à k = 3

*

2A − 16 = 5p − 40

Además: a + 2b = 24 à

*

A−8 5 = à 2 (A − 8) = 5(p − 8) p−8 2

−6k = −24

Tenemos:

a b c = = à 2 3 4

RSA = 7k Tp = 4 k

2(7k) − 16 = 5(4k) − 40

2B + 20 = 4b + 28 2B − 4b = 8 2(5k) − 4(2k) = 8 2k = 8 à k = 4 Me piden: S = 7·b = 7(2k) = 14k = 14(4) = 56

Resolución

*

•

2(B + 10 ) = 2 à 2(B + 10) = 4(b + 7) 2( b + 7 )

à

Sea:

RS A = Edad de Ana TB = Edad de Patricia


12

à k=2

Me piden: q = 4k = 4(2) = 8 Rpta.: B

- 95 -

Rpta.: D


Resolución

15

*

Veamos:

Me piden: E = a + 2b − 5c E = 3k + 2(5k) − 5(2k) E = 3k + 10k − 10k = 3k = 3(7) ∴

H 5 = h 3

RSH = 5k T h = 3k

à

*

Dato:

*

Además: S∆ 1 = 20

à

( 5k )b Hb = 20 à kb = 8 = 20 à 2 2

*

Me piden:

Resolución

*

3 8 = 12 = 2

bg

Resolución

16

*

17

Veamos:

• 24 − x = x − 18

à x = 21

*

RSa = 5k T b = 4k

R|a = 2k S|b = 5k Tc = 7k

à

Además: # mayor − # menor = 40 c − a = 40 7k − 2k = 40 à k=8

5k = 40

Menor = 48 à k=2

Perím.

Mayor = 6a =6(5k) = 30k

Perím.

Mayor = 30(2) = 60

22

•

A 3 = à B 8

•

B 4 = C 9

Veamos:

à

*

à

6(4k) = 48 Me piden:

Resolución Rpta.: B

*

Dato:

Rpta.: C

Me piden: x − y = 21 − 4 = 17 18

à

Tenemos: A B = 3 8

B C = 8 18

*

Luego: A = B = C

à

A c = C 3 18

à

Resolución

23

3

8

A c C

18

=

1 6

a + b + c = 2k + 5k + 7k = 14k à a + b + c = 14(8) = 112

Resolución a b c = = 3 5 2

*

19

Rpta.: C

Tenemos: à

2x + 6 7 = x+8 6

*

Dato:

à

12x + 36 = 7x + 56

R|a = 3k S|b = 5k T c = 2k

5x = 20

Además: 3a − b + c = 42 3(3k) − (5k) + (2k) = 42 6k = 42 à k = 7

- 96 -

à

Rpta.: D

Tenemos:

Me piden:

∴ a + b + c = 112

b 4 = 0, 8 = a 5

*

Además: Perím

à

20 − 12 = 12 − y à y = 4

a b c = = 2 5 7

Veamos:

à 6b = 48

à y=6

Me piden: x + y = 13 + 6 = 19

Resolución

21

Veamos:

Rpta.: D

*

RSa = 5 Tb = 20

à

Rpta.: B

• 14 − 8 = 12 − y

Resolución

Tenemos:

Me piden: a + b = 5 + 20 = 25

Resolución

• 16 − x = x − 10 à x = 13

*

20

Rpta.: C

b gb g b g

S

Rpta.: B

a 15 25 = = 4 12 b

1 1 3 S = h · b = 3k b = k · b 2 2 2

à

E = 21

x =4


*

à

Ahora:

14 − y = 12 +y 2 = 2y

à

Resolución

24

y =1

Rpta.. C

Veamos:

à

ba + bg + ba − bg = 5 + 3 b a + b g − b a − bg 5 − 3

à

a 4 2a 8 = = à à b 1 2b 2

*

Además: # mayor + 3 # menor = 14

à

a + 3b = 14

*

4k + 3(k) = 14 à k = 2 Me Piden: # menor = b = k = 2 ∴

a+b 5 = a−b 3

RSa = 4k Tb = k

# menor = 2

Rpta.. A

CAPÍTULO N° 9 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE TANTO POR CIENTO (Pág. 394, 395, 396) NIVEL I Resolución

*

1

à

K=

FG 12 IJ FG 25 IJ b4500 g H 100 K H 100 K

k=

300 × 4500 = 3 × 45 100 × 100

k = 135

Resolución

Resolución

4

Veamos:

36 5 · · 2000 100 100

à

A=

*

Me piden:

Veamos:

20 · 40 = 8 à 8 = 8 .... (V) 100

b g

12 · (36 + 64) 100

12% (A + 64) =

12 · (100) = 12 100

à

II. 30% (2×80) = 30 30 160 = 30 à 48 = 30 ... (F) 100

b g

III. (4%)(5%)(1000) = 2

60 · 180 = 108 à 108 = 108 ... (V) 100

b g

∴ Tenemos: VFVV Resolución

3

12%(A + 64) = 12

Resolución

5

Rpta.: B

Rpta.: C

Sea la cantidad: n

*

Luego: n − 20% n = 16

à

80%n = 16 à

à

n=

*

Me piden: cantidad = n = 20

80 ·n = 16 100

à 2 = 2 ... (V)

IV. 60%(180) = 108

à A = 36

12%(A + 64) =

I. 20% (40) = 8

FG 4 IJ FG 5 IJ b1000 g = 2 H 100 K H 100 K

Rpta.: D

A = 36%(5%)(2000)

Rpta.: E 2

25 · (600 ) = 150 100

à 25%n = 150

k = 12%(25%)(4500) à

Me piden: 25%n =

1600 = 20 80

à n = 20


Sea el número: n

6

Me piden:

k = 2%N + 3N + 28% N

*

Luego: 20%(10%)·(n) = 12

K = N·(2% + 300% + 28%)

à

20 10 · · n = 12 à n = 600 100 100

à

- 97 -

k = 330%N

Rpta.: B


Resolución

7

Veamos:

Resolución

12

Veamos:

25% x = 160 25 16000 ·x = 160 à x = 100 25

à

x = 640

Resolución * à

Me piden: k =

S S

× 100%

13

à

a · b = 5a 100

à b = 500

Rpta.: B


8

Veamos:

D = (100% − 40%)(100% − 30%) D = (60%)(70%)

à

Resolución

à

9

*

15

368 = 100%n − 54%n

Me piden:

% Ganancia = 20%

368 =

46 ·n 100

Resolución

à n = 800

16

Veamos:

28 56

Rpta.: C

112 28 112% = = 100 25

Sea lo pedido: x

50 25

Luego: 112% =

20%(50) = 80%(10) + 50%(x)

à

20 80 50 · ( 50) = · (10) + (x) 100 100 100

Resolución

Resolución

11

Rpta.: C

Veamos:

368 = 46%n

24 × 100% = 20% 120

à 10 = 8 +

x à x=4 2

%=

Rpta.: B à

Sea:

p = precio del libro *

130 ·(70) à k = 91 100

Rpta.: E

% Ganancia =

10

Me piden

368 = n − 54% n

144 − 120 × 100% 120

Resolución

14

Resolución

% Ganancia =

à

k=

60 · (70%) 100 D = 42%

Rpta.: C

k = 70 + 30% 70 k = 130% (70)

Descuentos

D=

Veamos:

a% (b) = 5a

ABCD

2S + S + S 1 k= × 100% = × 100% 16 S 4

à k= 25%

Rpta.: D

Veamos:

% = 72%

18

Rpta.: B

Me piden:

k = 15%(10%)( 40%)

70% p = 21 70 ·p = 21 100

17

Rpta.: C

18 ×100% = 18 × 4% 25

Resolución

Luego: p − 30%p = 21

28 25

à

p = 30

Rpta.: B

FG 200 000 IJ H 2 K

à

k=

15 10 40 × × × 100 000 100 100 100

à

k=

600 000 000 = 600 1000 000

à

- 98 -

k = 600

Rpta.: D

Rpta.: B


Resolución

19

Resolución

Me piden:

24

Veamos:

k = 10%(2/5)·(40%)(6000) k=

10 2 40 · · · 6000 100 5 100

k=

4800 000 = 96 50 000

à

k = 96

Resolución

Rpta.: A

20

à A × 100% 2

k = 300% A − 128% A − 50% A

Resolución

21

Rpta.: D

Resolución

* à

à

% Mujeres =

224 × 100% = 64% 350

∴

% mujeres = 64%

à

Rpta.: B

à

1

Me piden:

k=

5 8 × × 12000 100 100

k=

480 000 = 48 100 000

Resolución

2

Rpta.: C Veamos:

50%(1/3)(M) = 6 50 1 × ×M = 6 100 3 M=

Veamos:

720 − x%(720) " " ! = 540 Descuento à

Rpta.: C

k = 5%(8%)(12 000)

k= 12,5 % Rpta.: C 23

n = 400

Resolución

Veamos:

3 5 3 12 − 5 − 6 1 − − = = 2 8 4 8 8

Resolución

100%n + 5%n = 420

NIVEL II

1 k = × 100% = 12, 5% 8 ∴

Luego: n + 5%n = 420

∴

Cant. mujeres 224 = Total 126 + 224

k=

Sea:

105 42000 · n = 420 à n = 100 105

% Mujeres =

22

25

105%n = 420

Tenemos:

Me piden:

Resolución

300 % = 37, 5% 8

n = Cant. manzanas compradas

. hom bres = 126 RSCant TCant. mujeres = 224

*

%S =

1800 50

Resolución

à

3

M = 36

• Cant. varones = 40

x 180 = ( 720) 100

• Total = 100 *

à *

Me piden: x% = 25%

à

x = 25

Me piden:

% No varones = Rpta.: D

Total − Cant. varones × 100% Total 100 − 40 × 100% 100

à

% no varones =

à

% no varones = 60%

- 99 -

Rpta.: C

Veamos:

720 − 540 = x% 720

18000 x= 720

65S × 100% 165 S

Rpta.: B

k = (300% − 128% − 50%) ·A k = 122% A

=

Total

A 2

k = 3A×100% − 128% A −

à

S S

Luego: %S =

Veamos:

k = 3A − 128%A − à

*

Rpta.: E


Resolución à

4

Veamos:

Resolución

Tenemos:

n + 30% = 65

20%A = 30%B

130%n = 65

20 × A = 30%B à 100

130 · n = 65 100

à

n = 50

Resolución

5

Rpta.: B

à

A = 30%B 5

à A = 150%B $" "%"" & % de B es A = 150%

Resolución

12

Veamos:

100%n − 35%n = 52

20%(10%)(n) = 1200

65%n = 52

20 10 × × n = 1200 100 100

65 · n = 52 à n = 80 100

Resolución

6

Rpta.: C

Me piden:

2 × n = 1200 100

*

k = 5%(10%)(20%)(M)

M 1000

Resolución

à

Rpta.: B 7

à n = 60000

Me piden: 25%(40%)(n) =

5 10 20 k= × × ·M 100 100 100 k=

Rpta.: C

Veamos:

n − 35%n = 52

25 40 × × 60000 100 100

25%(40%)(n) = 600

Resolución

13

Rpta.: C

Tenemos:

20%(x) = 40%(y)

Tenemos:

20%(5%)(A) = 8

à

20 40 · ( x) = · ( y ) à x = 2y 100 100

20 5 × ×A=8 100 100

*

Me piden: % =

à A = 800 *

11

Me piden: 12%(2A)=

12 (1600) = 192 100

à

Rpta.: C

12%(2A) = 192

Resolución 8 Veamos: k = 153%M − 2M + 67%M k = 153%M − 200%M + 67%M

(x − y ) · 100% (2x + y )

Como: x = 2y à

%=

2y − y · 100% 4y + y

à

%=

y · 100% = 20% 5y

Resolución

14

Rpta.: B

Veamos:

k = (153 − 200 + 67)%M à

k = 20%M

Resolución

9

Rpta.: B Tenemos:

A = 25%B à

% de B es A = 25%

Resolución k=

à

k=

10

E Rpta.: B

Veamos:

*

S1 AM Sabemos: S = EC 2 S

2 5 − 0, 2 + 5 4

à

2 1 5 8 − 4 + 25 − + = 5 5 4 20

*

1

S

=

2

4a a

à S1 = 4S2

Me piden: %S1 =

S

1

S +S 1

à

k=

à

29 × 100% 20

à

%S = 1

4S 2

k = 145%

Rpta.: D

à - 100 -

× 100% =

2

4S + S

× 100% 2

2

% S1 = 80%

4 × 100% 5

Rpta.: E


Resolución

15

Resolución

Sea:

Luego: (1 + 20%)(1 − 20%)S

• 88 papayas

= (120%)(80%)S

• 144 plátanos

120 × 80% × S = 96% S 100

=

Tenemos:

• 24 naranjas • 72 manzanas

S : sueldo del profesor. *

20

*

= S − 4%S

Me piden:

% Papayas =

88 × 100% 24 + 72 + 88 + 144

Disminuye 4% Rpta.: D Resolución

16

% Papayas =

88 1100 × 100% = % 328 41

à

% Papayas =

1100 % 41

Sea:

S : Sueldo de mi profesora *

à

Luego: (1 − 30%)(1 + 30%)S

Resolución

=(70%)(130%)S

21

Rpta.: D

Veamos:

70 × 130% × S 100

=

= 91% S = S − 9% S à

Disminuye en 9%

Resolución

17

Rpta.: D

Sea:

Pc = precio de costo * à

*

Luego de trasladar áreas, tenemos:

*

Luego:

Luego: Pv = Pc + ganancia 920 = Pc + 15% Pc 920 = 115% Pc 920 =

115 · Pc 100

à

92000 Pc = = 800 115

*

Me piden:

à Pc = 800

ABCD

Ganancia = 15%Pc = 15%(800) = 120 à Ganancia = 120 Rpta.: E Resolución

18

à

290 =

45 = 120% Pc

*

Me piden:

à à

*

19

Veamos:

58 ·n 100

à n=

n = 500

29000 = 500 58

Rpta.: C

Pc = 75/2 Resolución

costo = Pc = 37,5

Tenemos:

23

Me piden:

k = 160 + 35%(160) k = 135%(160)


22

290 = 58%n

45 = Pc + 20% Pc 120 · Pc 100

Rpta.: B

290 = n − 42%n = 100%n − 42%n

Luego: Pv = Pc + ganancia

45 =

ABCD

% S = 25%

Resolución

Sea:

Pc = Precio de costo del pantalón * à

1 S ABCD × 100% = 4 S

S %S = S

12 |RSBA == 18 |TC = 50

k=

135 × 160 = 216 100

Resolución

Luego:

*

50 × 100% = 62, 5% % Ganador = 12 + 18 + 50

- 101 -

Sea el número : n

Luego: 240 = 30%n 240 =

Rpta.: E

24

Rpta.: D

à

30 ·n 100

n = 800

à

n=

24000 30

Rpta.: C


Resolución 25 Sea: • Pc : Precio de costo • Pv : Precio de venta *

20 · x = 6 à x = 30 100

à * à

Luego: Pv = Pc + ganancia

Me piden: x − 21 = 30 − 21 = 9 x − 21 = 9

Rpta.: B

120 = Pc + 30%Pc + 9%(120) 100%(120)− 9%(120) = 130%Pc 91%(120) = 130%Pc

Resolución

Pc = 84

Resolución

26

FG IJ H K

Rpta.: A

à

à

Resolución à

P = 800

Me piden: k = P − 25% = 75%P

*

∴

k = 600

Resolución

27

75 · A = 150 à A = 200 100

• B + 25%B = 150

Rpta.: B

125%B = 150

Veamos:

125 B = 150 100

*

*

Me piden: %S = %S =

à

%S

S

3

2

S +S +S 2

∴

· 100% 3

2k 2k · 100% = · 100% 4k k + 2k + k

= 50%

Resolución

=k = 2k 2 =k

1

à

1

à

R|S S|S TS

28

Rpta.: D Veamos:

x+"20%x 6) "! = (x+ ! Dentro 6 años Edad actual aumentada en su 20% *

Luego: 120%x = x + 6 120%x − 100%x = 6 20%x = 6

- 102 -

Costo total = 320

Como: Venta total = 150 + 150 à

=a R|MN NP = 2 a S|PQ T =a

à B = 120

Ahora: Costo total = A + B = 200 + 120 à

Como:

RS A = Costo del libro 1 T

30 Sea: B = Costo del libro 2 75%A = 150

75 k= · ( 800 ) = 600 100

*

Rpta.: E

Luego: • A − 25%A = 150

k = 75%(800)

*

x=1

Luego: P + 20%P = 960 120%P = 960 120 · P = 960 100

*

30 20 2 24 1 · · x= · · 1000 100 100 5 100 10000 1200 x 24000 = 50000 1000 000

Sea:

• P : Precio del equipo * à

Tenemos:

2 30%(20%) x =24%(0,01%)(1000) 5

91 130 × 120 = × Pc 100 100

à

29

Venta total = 300

Perdió S/. 20

Rpta.: B

Pierde S/.20


CAPÍTULO N° 10 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO (Pág. 411, 412, 413) NIVEL I Resolución

2

E=

7

x2

à

*

2x +1

x +1

Resolución

Me piden:

2 x + 3 + 2x + 2

E=

à

1

=4

Dato: x=2

Me piden: k = (x4 + x3) · x-2 k = (24 + 23) · (2-2)

· 2 +2 2

1

k = 22 + 21 = 4 + 2 = 6

= 4+2 = 6

2 x +1

Rpta.: C Rpta.: B

Resolución

2 3 −7

b g

k = 27

à

0

M=

3

FG H

M=

LMe x N

3− 1

x−n

= 271/ 3 = 3

*

IJ K

j OPQ

−3

−3 2

x18

k = 3(1/3)2 − (xn) k = 3(1/9) − 1/3 k = 1/3 − 1/3 = 0 Rpta.: C

* à M=

3

x3 à

Veamos: 4

e j

à

exponente de (x2x) = 4

Resolución

5

k = a5 · a

e j

13

·a

Rpta.: B

à

3 3 = 2a 10

Resolución

k = a5 · a8 · a1 · a-12 = a2

*

Me piden:

à

Exponente(a) = 2

∴


6

24 ·

35

k=

Veamos: ·

72

·

2−3 ·

3−3

·

k=

k = (21)·(32)·(7°) k = 2 · 9 · 1 = 18

Rpta.: D

à

k=

à

- 103 -

a=5

10

Rpta.: D

Veamos:

−1

−1

k=1

Resolución 7-2

k = (24 · 2−3)·(35 · 3−3)·(72 · 7−2)

à

LMFG 2 IJ + FG 1 IJ OP · FG 15 IJ MNH 5 K H 5 K PQ H 2 K F 5 I F 2 I 15 · 2 = 1 k = G + 5J · G J = H 2 K H 15 K 2 15 k=

−3 4

à

x1/a · x1/2a = x3/10 Comparando exponentes:

e j

· a

x · 2a x = x 3 /10

*

Veamos:

2 4

Me piden: “a”

x3/2a = x3/10 Rpta.: B

4

9

Ahora; tenemos: a

Me piden: Exponente de (x) = 3

x 8 x = x 2x

= 3−1 à xn = 1/3

k = 3(xn)2 − (xn)

Resolución

=x

xn

Me piden: k = 3x2n − xn

Veamos:

g

Tenemos:

=3 à

2 −3 2

x 3 · x18

Resolución

8

Rpta.: B

x 3 · xb

*

b g

= 27

k=3

Resolución

Resolución

Me piden:

b12g

Rpta.: A

11

44 · 66 5

Veamos: 2 4

=

2

·3

5

6

e2 j · b2 · 3g e 2 · 3j

28 · 26 · 36 10

−1

2

=

5

214 · 36 210 · 35

k = (16)(3) = 48

= 2 4 · 31

Rpta.: D


Resolución

12

Veamos:

k=

Resolución

−n

2 ·3 2 +3 3n + 2n = 3− n + 2 − n 3 −n + 2 −n n

n

e

e

à

13

−1/ 3 4 −8

k = 16

à

j

k=

j

k = 2n·3n = 6n

Resolución

−n

Rpta.: B

à

à

Veamos: = 164

−1/ 2

/4 = 16−1/ 2 = 14

k=4

k=

Rpta.: B

k=

14

Veamos:

x− 4 · 32 − 31 3x − 2 − 3 x − 3 3 . = 3x − 4 3x − 4

e

k = 32 − 31 = 9 − 3 = 6

à

Resolución k=

15

à

j

4

3

4

5

2

k=

à

2

k=

F H

4

20

I :F K H

x3

5

x2

I K

30

∴

k=

8

4

Veamos:

5 70

F H

=

1

4

2 1

28

I K

70

=4

Rpta.: B

k=

1

*

2 2

4

3

b g = e 3 j · e 2 · 3j b12g · b18g e2 · 3j · e 3 · 2j 92 · 24

4

4

2

2

34 · 212 · 34 8

4

4

2 ·3 ·3 ·2

2

=

k = 4·1 = 4

Resolución

k = x60/4 : x60/5 = x15 : x12 = x3 x3

Rpta.: A

20

FG b2g IJ H K

à

30 veces

à

k = 3a

Resolución

3

5

2

= a1 · 31

a1 · 32 a

NIVEL II

F x · x ... x I H""" """!K 5

a 2 · 32a + 1

e j = e2 j

20 veces

:

j

32 a · a

k = 28 / 4

Veamos: 3

e

Rpta.: C

F x · x ... x I H""" """!K 4

Me piden:

a 2 · 3a − 8 · 3a + 9

Resolución k=

Resolución

19

4

212 · 38 210 · 3 8

2

2

= 22 · 30

Rpta.: C Tenemos: xx = 2

2

Ahora; me piden: k = x−2x + x−x k = (xx)−2 + (xx)−1

Rpta.: B

k = (2)−2 + (2)−1 = 1/4 + 1/2 = 3/4 Resolución

16

2 2 2

k=

Veamos: =

2

à

2 21/(2× 2× 2)

k=

Resolución k=

à

5

4

2x

2 =

17

64 x7

5

3

2

=5

4

8

M=

Resolución

Rpta.: D

Rpta.: B

3

Me piden:

2n + 4 + 2n + 3 2n + 3 + 2n+ 2

2n+ 2 · 22 + 21 n+2

2

e j = 4+2 = 2 · e2 + 2 j 2 + 1 1

M=2

Resolución

4

0

Rpta.: A Veamos:

k = 210·29·28·27 ... 2-7·2-8·2-9 à

Rpta.: C

à

k = 210 ·29·28·27 ... 21·20·2-1 ... 2−7·2−8·2−9 à

*

Tenemos:

2x−1=3 à 2x·2−1 = 3

M=

à

64 x7 2 x2

5

18

à

Veamos:

k = 32 x5 = 2 x

k = 3/4

Resolución

27 / 8 k = 1/ 8 = 26 / 8 = 23 / 4 2

à

*

à

(1× 2 +1)× 2 +1 2×2×2

K = 210 · 20 = 210 à k = 210

Me piden: Exponente final = 10 Rpta.: D

2x = 6

Me piden: 2x+1 = 2x·2 = (6)(2) = 12 Rpta.: D - 104 -


Resolución

5

Resolución

Veamos:

I. (x2)3 = x8 ∀ x ∈IN −{1} x6 = x8 ................................. (Falso)

k=

II. x2·x2·x2·x2 = x4(2) ; ∀ x∈IN −{1}

∴

x8 = x8 ......................... (Verdadero)

Tenemos: FVV

Resolución k=9

à

6

−4 −2

à

=9

−4 −1/ 2

=9

k = 1/3

−1/ 2

à

à

Rpta.: C Tenemos: xn = 5

7

k=

k=

8

à

=

n 1+ x 2

j

j =5

a

·3

a

1+

x

2

2x 3

Veamos:

à

Grado

n x1 · x 2

n =4 à n=6 2

=

e

1

b g

2

5

−32

j

−2

= 1/ 4

Rpta.: D

14

Veamos: 1 1 + a 3a

1 6

4 1 = à a=8 3a 6

à

5

5

xa = xa

5

x8 = x 5

I=8 K 5

15

Rpta.: C Veamos:

22

à

2 es la .............. potencia de 22 16 es la .......... potencia de 4

∴

x = segunda

Resolución k=

3

1 3

Rpta.: A

à

k=

16

Veamos:

52 · 62 − 32 · 5 2 152 · 2 + 152 52 · 32 · 2 2 − 1

e

b g

15 2 + 1 2

j=

152 · 3 =1 152 · 3

Comparando exponentes: à

2x 1 = x+ 3 3

à

−x 1 = 3 3

−2

b g

= −2

Rpta.: C

Veamos:

x+

F H

Resolución

n à exponente(x) = 1 + 2

=2

+ 20 = 9

8

4 =2 · 2

à

3

Veamos:

−2

1 1 1 + = a 3a 6

9

x

−2 / 5

à

*

10

j =2

Rpta.: B

13

k=

Rpta.: C

Resolución 3

F=9

Ahora:

Dato: exponente(x) = 4 à

*

+ 3 −a

e

22 a − 2

15a

Resolución x · xn =

−a

· 23 + 20

x · 3a x = x

a

e

k=

2

2a−2

Resolución

Veamos:

5a · 3a · 3 −a + 5− a

∴

2

+ 2 2a − 2

2a − 2

Rpta.: D

5a + 3a 5− a + 3− a

e5

2

b g

x3n − 100 = 25

Resolución

22 a − 2

2a + 1

k = −32

x3n − 100 = (xn)3 − 100

Veamos:

22 a +1 + 4a −1

Resolución

Me piden:

∴

*

F=

Rpta.: B

12

= 1/ 3

x3n − 100 = (5)3 − 100 = 25

à

F=

Veamos:

−1

Resolución *

Rpta.: C

k=2

F=

1 = 1 ........................... (Verdadero)

Me piden:

22 x +1 22 x · 2 = =2 4x 22 x

Resolución

III. (−x)0 = 1 ∀ x∈ IN −{0} ∴

11

à x = –1

∴

Rpta.: B

- 105 -

k=1

Rpta.: A


Resolución

17

• A = 9−2

−1

• B = 81

= 81

à

∴

Me piden: A·B = (1/3)(3) = 1 à A·B = 1

Resolución

Rpta.: A

18 −2

k=

FG 3 IJ H 2K

K=

4 5 2 + + 9 9 1

+

FG 25 IJ H 81 K

0,5

+

FG 1 IJ H 16 K

x4 = x3 x

=

15

E = x3

Resolución

Rpta.: B

20

Veamos: 60 factores

Me piden: −1/ 4

M=

$"""""%"""""& x · 3 y · x · 3 y ... x · 3 y xy · xy ... xy """ """ ! 30 factores

9 k = + 2 = 1+ 2 = 3 9

Resolución

E=

e xj e xj

5 3

=3

1/ 4

28

7

= 9−1/2 = 1/3

4 −1

*

Veamos:

19

à

Rpta.: B

M=

x·3y

j

30

=

30

e xy j ∴

Veamos:

e

M = y−5

x15 · y10 = y −5 x15 · y15

Rpta.: D

$"%"& 7 x · 7 x.. 7 x 28 factores

E=

5 3

x· 3 x... 3 x " "! 15 factores

EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (Pág. 426, 427, 428, 429) Resolución

NIVEL I Resolución

1

P(x; y; z) = ∴

Resolución

Rpta.: A

*

Dato: G.A[P(x; y)] = 13 à

Resolución M(x; y) =

3 + (a − 1) + 2= 8

Resolución

à 3

a=4

Rpta.: C

Veamos:

P(x; y) = 3xa+b−5 · yb-3 G.R(x) = 5 à a + b − 5 = 5 à a + b = 10

∴

RSab += b5 = 10 T

a=5

a=4

Rpta.: C

à

6 x

Tenemos: 2 +m

· y3 −n m

x

= x 2 · y 3 −n

à

G.A[M(x; y)] = 2+ 3 − n = 5 − n

* à

Dato: G.A[M(x; y)] =3 5−n=3 à

Resolución

• G.R (y) = 2 à b − 3 = 2 à b = 5 Como:

à

a + 9 = 13

Dato: G.A(Q(x; y; z)) = 8 a+4=8

*

P(x; y) = G.A.[P(x; y)] = 3+4+2+a = a+ 9

Tenemos:

Q(x; y; z) = −2x3·ya−1·z2 * à

à

Veamos:

2

Tenemos:

(x3·y4)(x2·ya)

5x4y3z

G.R[z] = 1

5

7

n=2

Rpta.: A

Veamos:

• 6x·yb−3

RSab == 55 T

Semejantes • 2x·y10 à b − 3 = 10

Rpta.: E

à

b = 13 Rpta.: C

Resolución

4

Veamos:

P(x; y) = 5xn+1·y4 à

Grado = n + 1 + 4 = 12 n + 5 = 12

à n=7 Rpta.: B - 106 -


Resolución

8

Resolución

Veamos:

P(x; y; z) = " " ! + " " ! − " " ! 5x2·y3·z4

7x4·y7·z9

G1 = 9

G2 = 20

à

G3 = 14 *

Luego: * G.A[P(x; y; z)] = Mayor(G1; G2; G3) = G2

*

Tenemos:

*

P(x) = x4 + x3 + x2 + x + 3

Me piden: P(2) = 24 + 23 + 22 + 2 + 3 = 33

15

*

Dato: Coeficiente = 3

*

Me piden: G.R(y) = 5 + a = 5 + 2 = 7

2a − 1 = 3 à

Rpta.: D

Me piden:

2 + 14 F= =2 8

à

k=2

Resolución

LMe x j k= N LMe x j N

2 3

3

à

2

G.R.(y) = 7

à

Además: G.R(x) = 7 à n+2=7 à n=5

*

Me piden:

Resolución

OP x Q =e OP e x Q

6

2

· x3

6

à

· x2

3

j ·x j

3 2

à

8 6 + =2 à a a

13

k=

à a=7

18

Tenemos:

P(x) = 3x + 2 Rpta.: D

Veamos:

Me piden: k = P(1)

à

k = (3×1+2)(3×0+2) = 52 = 25 k = 25

Resolución

Rpta.: E

19

Tenemos:

P(x) = x2 + (a + 3)x3 + 2x + a

Rpta.: A

Veamos:

* à

à G.A[P(x)] = m + 3

P(x) = (a + 3)x3 + x2 + 2x + a

;

Coef. Principal Dato: Coef. Principal = 5 a+3=5

à a=2 

Término



* Ahora me piden:  independiente  = a = 2

Dato: G.A[P(x)] = 10 à

P( 0)

*

∴

P(x) = xm+3 + xm+1 + 7

m + 3 = 10

14 =2 a

Rpta.: E

à

à

6

x 8 · y6 = x a · y a

Además: G.A[M(x; y)] = 2

Resolución

x6

Dato

*

a

*

7·x5n·y5n

n=2

Resolución

Tenemos: 8

M(x; y) =

= Grado = 5n + 5n = 10n = 20 à

17

3

· x2

12

7(xy)5n

Tenemos:

Rpta.: C

Grado(k) = 6

Resolución

16

Rpta.: C

*

Veamos:

x 24 k = 18 = x 6 x

∴

a=2

Coeficiente = n + 3 = 5 + 3 = 8 Rpta.: B

11

à

A(x; y) = (n + 3)·xn+2·yn-1

P(1) + P( 5 ) ( 3 × 1 − 1) + ( 3 × 5 − 1) k= = 3× 3 −1 P( 3 )

à

Veamos:

* à

Tenemos: P(x) = 3x − 1

10

n=2

Me piden: Coeficiente = n2 = 22 = 4


à

Q(x; y) = (2a − 1)·x3+a·y5+a

Como: P(x) ← Cuarto grado à a = 4 ∴

8−n=6

Resolución

P(x) = xa + x3 + x2 + x + 3 *

G.A[P(x; y)] = n + 3 + 5 −2n = 8 − n

Rpta.: C Rpta.: C

9

Veamos:

n2·xn+3·y5-2n

Dato: G.A[P(x; y)] = 6 à

à G.A = [P(x; y; z)] = 20 Resolución

14

P(x; y) =

9x5·y2·z7

Rpta.: B

m=7 Rpta.: B - 107 -


Resolución

20

NIVEL II

Tenemos:

P(x) = (a + 3)xa + 5x2 + 3x + 8 *

Como: P(x) ← cúbico à a = 3

*

Me piden:

Resolución

Rpta.: E

*

21

RS T

x=2 Tenemos: y = -1

* à

*

*

22

Rpta.: A

RS T

k = (22)·((−2)(−2)) k = 4·(1/4) = 1

*

23

Tenemos:

Rpta.: B

RSxy == 2−2 T

Me piden:

Ahora tenemos:

*

Me piden: a − b = 3 − 2 = 1

*

Resolución

M( x ) =

*

RSba +− 12 == 54 à RSba == 26 T T

àa+b=8

RS T

x = 1/ 2 Tenemos: y = 1 / 3


Rpta.: A

25

Tenemos: Semejantes

Tenemos:

*

Dato: G.A.[P(x; y; z)] = 11

*

Me piden:

à 4 + 3a − 1 + a = 11 4a = 11− 3 = 8 à a = 2

Tenemos:

x+2 x −1

4

P(x; y; z)= 3a2·x4·y3a−1·za

k = (1/2)−1 + (1/3)−1 = 2 + 3 = 5

Resolución

3

7xb+2·y5 à

k = x−2x + y−3y k=5

RSba == 23 T

3x4 ·ya−1

Me piden:

à

à

Rpta.: A

Rpta.: B

24

RS2aa+ +b b==58 T

*

k = −16 − 8 + 32 = 8

Resolución

Dato:

à 2a + b = 8

k = (2)3·(−2) + (2)2·(−2)+(2)(−2)4 k=8

Veamos:

5·x2a+b·ya+2b

• G.R(x) = 8

k = x3·y + x2y + x·y4

à

2

Rpta.: C

3(a + b) = 15 à a + b = 5

x=2 Tenemos: y = −2

Me piden: k = (x −y)·(y−x)

Resolución

à n=3

• G.A.[M(x; y)] = 15 à 2a + b + a + 2b = 15

k = −8 − 6 − 2 = −16

Resolución

3n = 9

M(x; y) =

k = 2x2y − 3x·y2 + x·y

à k = −16

Dato: G.A[P(x; y)] = 18 3n + 6 + 3 = 18

Resolución

Me piden: k = 2(2)2·(−1) − 3(2)(−1)2 + (2)(−1)

Tenemos:

P(x; y) = (2xn+2·y)3 = 8·x3n+6·y3

Coef. Principal = a + 3 = 3 + 3 = 6

Resolución

1

Coeficiente = 3a2 = 3(2)2 = 12 Rpta.: C

Me piden:

LM L 2 + 2 O OP N NM 2 − 1 QP Q L 4 + 2 OP = Mb2 g = M Mb 4 g = M M N 4 −1Q bg

MMM2

=

∴

=M M

2+2 =4 2 −1

M[M[M(2)]] = 4

Resolución

b g

F x; y =

* à Rpta.: C

Veamos:

3n + 4

6 +n

x

·y yn +1

= x3n + 4 · y5

Dato: G.A[F(x; y)] = 21 3n + 4 + 5 = 21 à 3n = 12 à n = 4 ∴

- 108 -

5

n=4

Rpta.: D


Resolución à *

6

Tenemos:

P(x; y; z) =

8·xn+1·y6·z2n+3

Resolución P(x) =

G.R(z) = 13 2n + 3 = 13 à n = 5

Me piden: E = P(1) + P( 3)

à

E=

* à

P( 2 )

Tenemos:

P(x; y) = (x5·y2a)(xa·y3) à

à

xa+5·y2a+3

P(x; y) =

e1 + 1j + e3 + 1j = 2 + 10 = 12 5 5 e2 + 1j 2

2

E = 12/5

Resolución

Dato: G.A.[P(x; y)] = 20 a + 5 + 2a + 3= 20 3a = 12 à a = 4

+1

2

Rpta.: B 7

Tenemos:

*

Me piden: G.R.(x) = n + 1 = 5 + 1 = 6

Resolución

11

x2

12

Rpta.: E Tenemos:

P(x) = (x − 1)2 + 1 *

Rpta.: C

Me piden: M = P(0) +P(1) + P(2) M = ((−1)2 + 1) +(02 + 1) + (12 + 1)

Resolución

8

a −1

2a

M=

x

2a x a −1 ·

à

M=

*

Dato:

Tenemos: ·y

M=2+1+2=5 Resolución

5 y a −1

à

2a 5 + =3 a −1 a −1

à 2a + 5 = 3(a − 1) 2a + 5 = 3a − 3 à

P(x; y) = 13x2·y2n − 4x4n·y8n − 5xn·y6

*

Dato: G.A[P(x; y)] = 24

à

4n + 8 n = 24

Resolución

a=8

2n−1

9

P(x; y) = à

Rpta.: D à

Tenemos:

(2a·xa−1·ya)3

* à

Dato: Grado:[P(x; y)] = 3

*

Me piden:

P( x ) =

à

P(x; y) = 23a·x3a−3·y3a

2 3n

*

9n

x10n− 5 · x6n x16n− 5 = 11n− 2 x2n − 2 · x9n x

P(x) = x5n−3

Dato: Grado[P(x)] = 7 à

5n − 3 = 7

à

n=2

Rpta.: B

Rpta.: B Resolución M( x; y ) =

Resolución

P( x ) = P( x ) = à *

5

3a − 3 + 3a = 3 à 6a = 6 à a = 1 Coeficiente = 23a = 23 = 8

à

Rpta.: B

Veamos:

n−1 2

Grado(R) = 16 + 1 = 17

Resolución

14

à n=2

ex j · ex j P( x ) = ex j · x

R = 2·x16·y1 ∴

Veamos:

à

R = 2x2a·ya−7

Ahora:

13

P(x; y) = 13x2·y2n − 4(x·y2)4n − 5xn·y6

Grado(M) = 3

*

Rpta.: A

5

10 3

Tenemos: à

4

x2m · xm *

2m x 3

P( x ) =

·

m x 12

=

m=8

m+n=5 16

Rpta.: B Veamos:

Q(x; y) = 17·x5·y2n−x3n·y7 + 6(x4·y3)5n

Como: P(x) ← 6to grado à à

x 2 +m · y 5 −n x 2 −n · y 5 −m

M(x; y) = xm+n · ym−n

Resolución

3m x 4

Veamos:

Dato: G.R(x) = 5 à

9m x 12

15

3m =6 4

à

Rpta.: D - 109 -

Q(x; y) = 17·x5·y2n−x3n·y7 + 6·x20n·y15n


*

Dato: G.R(y) = 30 à

Resolución

à

15n = 30

*

Me piden: G.R(x) = 20n = 20(2) = 40

n=2


17

P(x) =

x2001

*

*

+1

32001−3·3200

P(3) = 1

f(x) =

*

Tenemos:

Veamos:

+

à

RS5b += a3 = 11 T

= 11x3

RS a = 6 Tb=3

à

a+b = 6+3 = 3

Me piden: 24

P(x; y) =

Rpta.: E

18

a·x3

Resolución

+1

P(3) = 32001 − 32001 + 1

Resolución

à

−

3x2000

Me piden: P(3) = à

*

Veamos:

23

5·xb

Rpta.: D

Tenemos

ab·xa−b+6·yb−2

Dato: • G.R(y) = 3 à b − 2 = 3 à b = 5 • G.A(P) = 6 à a − b + 6 + b – 2 = 6 a+4=6 à a=2

2x + 2 x −1

*

F 2× 3+2I Me piden: f(f(3)) = f GH 3 − 1 JK = f( 4 ) 2× 4 +2 = 10 / 3 f(f(3)) = 4 −1

Me piden: Coeficiente = ab = 25 = 32

Resolución

25

Rpta.: D

Tenemos:

P(x) = 4x5 + x3 + x + 1 Rpta.: B

*

Me piden: Grado[P(x)]4 = Grado[P(x)]·4

Resolución *

Tenemos: R(x) = x + 2

Dato: R(2n) = 4 à

*

19

à

∴

2n + 2 = 4 à 2n = 2 à n = 1

Me piden:

Resolución

n 2 = 12 = 1

20

Rpta.: D

P(x) =

Tenemos:

à

*

Luego: P(a) = 3 à a2 + a − a2 = 3

*

* à a=3

Me piden: T.I. = −a2 = −32 = −9

Resolución

21

∴

P(0) + P (1) = 11

Resolución

22

a+1=5

* à

Rpta.: C

2a·x1+a − 6x5 à

P(x) = 18x5 27

a=4

Rpta.: C

Tenemos:

M(x; y; z) = 2·xa−1·ya·z2a Luego: G.A(M) − G.R(x) = 9 (a − 1 + a + 2a) − (a − 1) = 9 à a=3

3a = 9 *

Tenemos:

Veamos:

P(x) = 4(4)·x5 + 2(4)x5 − 6x5

Resolución

k = 1 + 10 = 11

4a·xa+1+

Luego:

à

Tenemos:

k = (1) + (4 + 3 + 2 + 1)

26

Rpta.: C

P(x) = 16x5 + 8x5 − 6x5

Rpta.: E

P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1 Me piden: k = P(0) + P(1) à

Grado[P(x)]4 = 20

Resolución

P(x) = x2 + x − a2 *

Grado[P(x)]4 = (5)·(4) = 20

Me piden: G.R(z) = 2a = 2(3) = 6 Rpta.: C

A = m·xm+3·y2m+n Semejantes B = n·x2n−1·y3m+1

RSm + 3 = 2n − 1 T

à 2m + n = 3m + 1 à *

RSn2n− −mm==1 4 T

RSm = 2 T

à n=3

Resolución

à

A+B=

5·x5·y7

n− 3 3

Como:

Me piden: A + B = 2·x5·y7 + 3x5·y7

Tenemos:

R(x) = (n + 2) ⋅ 3 xn−3 = (n + 2) ⋅ x

R(x) ← 1er Grado à

A + B = m·xm+3·y2m+n+n·x2n−1·y3m+1 à

28

*

n−3 =1 à n=6 3

Me piden: Coeficiente = n + 2 = 6 + 2 = 8

Rpta.: B - 110 -

Rpta.: A


Resolución

29

Tenemos:

*

|RSGrado P(x) = 5 |TGrado Q(x) = 4 *

Me piden:

à

Mayor

Grado[H(x)] = Grado[P4(x) + Q3(x)] à

Reemplazando en: k=

F( x ) − F( x − 2 ) x−2

k=

( x 2 − 2 x + 11) − ( x 2 − 6 x + 19 ) x−2

k=

4x − 8 x−2

Rpta.: E

Grado[H(x)] = 4·Grado[P(x)] = 4(5) = 20 Resolución à

Grado[H(x)] = 20

34

F(x) = 3x−1 Resolución

30

Tenemos:

P(x; y) = xm+2·yn+5+ xm+4·yn-1

*

−2·xm+3·yn+6 *

Tenemos:

Rpta.: C

Dato: • G.A(P) = 12 à m + 3 +n + 6 = 12

à

à m+n=3

à

F(n) = 3n−1

Luego: K=

F(x + y) 3(x + y) −1 = 3 3

k=

3x · 3y · 3− 1 = 3x −1 · 3 y −1 3

k = F(x)·F(y)

Rpta.: A

• G.R(y) = 8 à n+6=8 *

à n=2

Resolución

Me piden: G.R(x) = m + 4 = 1 + 4 = 5 Rpta.: C

Resolución

31

R| S| T

*

à

k=

2

2

3

3 −46 · = −69 2 1

Resolución

32

* à

x = −2 Tenemos: y = 3 a = −1

L 3 M 3y − x Me piden: k = M 2 M 1a N 2

33

Rpta.: C

|RS |T

x = −3 Tenemos: y = −2 m = −1

Rpta.: A Tenemos:

F(x) = (x − 1)2 + 10 = x2 − 2x + 11 à *

F(a) = a2 − 2a + 11

Ahora: • F(x − 2) = (x − 2)2 − 2(x − 2) +11 F(x − 2) = x2 − 4x + 4 − 2x + 4 + 11 à

à

a = 10 Rpta.: B

OP PP = 32 · 271 b −−14g Q 2

E = (0) : (3)

Resolución

P(1− 2) = 8

2(−1) + a = 8

E = (−3 + 2 + 1) : (9 − 8 + 2) E=0

Dato: P(R(1)) = 8

P(−1) = 8

* Me piden: E = (x − y − m) : (x2 + y3 + 2)

à

Tenemos:

RSP( x ) = 2 x + a TR(x ) = x − 2

En: m+n=3 àm+2=3 à m=1

*

35

F(x − 2) = x2 − 6x + 19

- 111 -


EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS (Pág. 436, 437, 438) NIVEL I Resolución

1

Resolución

Tenemos:

x + 2y

Me piden:

Resolución

2

Rpta.: C

R(x; y) =

3 x3y2

*

Comparando:

*

Me piden:

Resolución

RSab == 820 T

a + b = 20 + 8 = 28

9

RSA = 3 x TB = 2 x * Rpta.: D

4

à

F(x; y) = 2x4·y3 = axn·ym

*

Comparando:

*

Me piden: a + n − m = 2 + 4 − 3 = 3

· 6 x 4 = 18 x 8 · 7 x 4 = 14 x 8

∆ = 4x8

Resolución

Veamos:

Tenemos:

Me piden: ∆ = A − B = 18x8 − 14x8 à

*

10

Veamos: = 36x7·y9 = axn·ym

Comparando:

R|na == 736 S|m = 9 T

R|na == 42 S|m = 3 T

à a + n − m = 34 Rpta.: C


11

Tenemos:

A = 3x2y − 6x2y + 7x2y à A = 4x2y

Me piden:

k = 2a − {a−[b−(2a − b)]−3a}

B = 2xy·4x2 à B = 8x3·y

k = 2a−{a−(2b − 2a)−3a} k = 2a−{a −2b + 2a − 3a}

Rpta.: C

6x2·y3·3x3·y3·2x2·y3

F(x; y) = 5x4·y3 − 7x4·y3 + 6x4·y3 − 2x4·y3

5

Veamos:

*

4

Me piden: a + n + m = 10 + 3 + 2 = 15

Resolución

8

Rpta.: D

+ 7x3y2 − 3x3y2 + 5x3y2

R|a = 10 Comparando: Sn = 3 |Tm = 2 4

Rpta.: B

Veamos:

R(x; y) = 10x3·y2 = a·xn·ym

Resolución

g

k = 10

Rpta.: B

à

*

g

b

5x3·4x5 = 20x8 = a·xb

A(x; y) + B(x; y) = −x2y + 3x2y

Resolución

b

10 x + 20 y 10 · x + 2 y = = 10 x + 2y x + 2y

Resolución

Me piden: A(x; y) + B(x; y) = 2x2y

k=

à

• B(x; y) = 6x2y − 4x2y + x2y =3x2y

à

à

Tenemos:

• A(x; y) = x2y + 3x2y − 5x2y = −x2y *

20 sumados $" "%"" &

(x + x + ... + x ) + ( y + y + ...y ) K=

• Q(x; y) = 7xy − 5xy + xy = 3xy P(x; y) + Q(x; y) = 12xy + 3xy = 15xy

Me piden:

10 sumados $" "%""&

• P(x; y) = 5xy + 9xy − 2xy = 12xy *

7

*

Me piden: A·B = (4x2y)(8x3y) = 32x5·y2 Rpta.: D

k = 2a−{−2b} = 2a + 2b à

k = 2(a + b)

Resolución

6

Rpta.: D

Resolución

10

e j

= x 20

10 veces

20

bg

x · x ... x = x • B = x·" "!

k = a + {−2a + b − a − b + c + a}

= x20

20 veces

k = a + {−2a + c) k = a − 2a + c = c − a k=c−a

Veamos:

· x2 · x2 ... x2 = x2 • A = x2"" " """ !

Me piden:

k = a + {(−2a + b) − (a + b − c) + a}

à

12

*

Me piden: A·B = (x20)(x20) = x40 Rpta.: C

Rpta.: D - 112 -


Resolución

13

Tenemos:

NIVEL II

P(x; y)=7xy2 − 3xy2 − 2xy2 = 2xy2 *

Resolución

Me piden: [P(x; y)]3 = (2xy2)3 = 8x3·y6 à

[P(x; y)]3 = 8x3·y6

Resolución

14

*

Tenemos:

[Q(x; y)]5 = x25·y5

Resolución

15

à

Resolución • M(x; y) =

Me piden:

à à

Rpta.: B

16

*

Veamos:

− 6xy2 + 5xy2

M(x; y) = 3xy2

N(x; y) = 5xy2

Me piden: [N(x; y) - M(x; y)]·M(x; y) = (2xy2)(3xy2) = 6x2y4 = 6(x·y2)2 Rpta.: D

x2(n−1)−(n-4)·y(4n−3)-(2n+1) = xa·yb xn+2·y2n–4 = xa·yb

RS T

*

Comparando: a = n + 2 b = 2n − 4

*

Me piden: 2a − b = 2(n +2) − (2n − 4)

Resolución

3

Veamos:

• F(x; y; z) =

3xy2z

+ 6xy2z - 7xy2z

à

Resolución

17

à *

Tenemos: 2

2

2

2

2

2

P(x; y) = 2x3y4

Luego: F(x; y; z)·P(x; y) = (2xy2z)(2x3y4)

|RSA = 6 x y − 5 x y + 3 x y = 4 x y |TB = 7 xy − 8 xy + 2 xy = xy 2

F(x; y; z) = 2xy2z

• P(x; y) = 8x3·y4 - 9x3y4 + 2x3y4

2a − b = 2n + 4 − 2n + 4 = 8 Rpta.: D

axp·yq·zr = 4x4·y6·z

2

RSa = 4 ; p = 4 Tq = 6 ; r = 1

Me piden: A : B = (4x2y) : (xy2) = y

4x

*

Comparando:

à

Rpta.: B

∴

a + p + q + r = 4 + 4 + 6 + 1 = 15

A : B = 4x/y

Resolución

18

à

Tenemos:

• M(x; y) = 6x3·y4 − 3x3·y4 + x3y4 = 4x3y4 • N(x; y) = 8x2y3 − 9x2y3 + 3x2y3 = 2x2y3 *

+

Veamos: 3xy2

= [5xy2 − 3xy2]·(3xy2)

x2(n−1) · y 4n − 3 = xa · yb xn − 4 · y2n+1

*

2

xy2

• N(x; y) = 11xy2 − 9xy2 + 3xy2

à k = 2x3·y2

à

P(x; y)·Q(x; y) = 10x3·y3 Rpta.: B

Rpta.: D

16 xn+ 2 · y5 −n k= 8 · xn − 1 · y 3 − n

Resolución

Me piden: P(x; y)·Q(x; y) = (2x2y)(5xy2) = 10x3·y3

Me piden: [Q(x; y)]5 = (x5·y)5 = x25·y5 à

Tenemos:

P(x; y) = 5x 2y + 3x 2y − 6x 2y = 2x 2y  Q(x; y) = 2xy2 − 6xy2 + 9xy2 = 5xy2

Rpta.: D

Q(x; y) = 4x5·y − 6x5·y + 3x5·y = x5·y *

1

Resolución • Q(x; y) = à

Me piden: (M:N)2 = (4x3y4 : 2x2y3)2 = (2xy)2 à

(M:N)2 = 4x2y2

a + p + q + r = 15 4

11x4·y2

Rpta.: E

Tenemos: − 13x4·y2 + 6x4·y2

Q(x; y)= 4x4·y2

• P(x; y)= 8x3·y5 − 11x3·y5 + 7x3·y5 à

Rpta.: B * à

P(x; y) = 4x3·y5

Dato: P(x; y) ·Q(x; y) = 16(xy)m (4x3·y5)·(4x4·y2) = 16xm·yn 16x7·y7 = 16xm·ym

*

- 113 -

Comparando: m = 7

Rpta.: C


Resolución

k=

à

k=

à

5

Resolución

Me piden:

) (

)

(3x + 2y )

15 (x 2y ) + 10 ( xy2 )

(3x + 2y)

k = 5xy

Resolución

6

A = −x − [−y − x − y − x] A = −x − [−2x − 2y] A = −x + 2x + 2y

5xy (3x + 2y ) = ( 3x + 2y )

B = −y − [− x − y − x − y]

Rpta.: D

B = −y + x + y + x + y à B = y + 2x

Me piden:

Luego, cumple:

*

B − A = (y + 2x)−(x + 2y)

k= 2a + b − {−a + 2a − 3b + a}

B−A= x−y

k = 2a + b − {2a − 3b} k = 2a + b − 2a + 3b = 4b

Resolución Rpta.: D

7

à

k = x− [x − y + (2x − y) + x + y]

∴ k= Resolución

k = y − 3x

Resolución

8

Rpta.: C

• A=

Me piden:

P = a − {2b + 3c − 3a − a − b + 2a − b − 3c} P = a − {−2a} = a + 2a = 3a P = 3a

Resolución

9

13

12x3

·

Me piden: ∆ = A − B = 84x5y4 − 70x5y4

*

Rpta.: B

∆ = 14x5·y4

Resolución (13xn+1

Tenemos:

à *

·

14

26x5·y2n+9

à

A + B − C = 4x + 3y − 5 +9 −7x − y − 2y + 3x − 4

Resolución

15

10

k = a − b − 7 a − −8 b + 9 a − 3 a − 5 b

Rpta.: B

Veamos:

à A = (xy2)10 à A = x10·y20

j}

x2 y · x 2y · x 2 y ... x 2y • B= """ " """" !

k = a − b − {7a − [−8b + 9a − 3a + 5b]} k = a − b − {7a − [6a − 3b]}

15 veces

à

k = a − b − {7a − 6a + 3b} k = a − b − {a + 3b} k = a − b − a − 3b = −4b

n=2

10 veces

Me piden:

e

= 26x5·y13

2 · xy 2 · xy2 ... xy 2 • A = xy """ " """" !

Rpta.: E

{

· yn+6) = 26x5y13

Comparando: 2n + 9 = 13 2n = 4

Resolución

Rpta.: E

Veamos:

y3+n)·(2x4-n

Me piden: * A+B-C=(4x + 3y-5)+(9- 7x - y)-(2y - 3x + 4) A+B−C=0

Veamos: 7x2y4

B = 70x5·y4 à

R|BA == 94 x− +7 x3y− −y 5 S|C = 2 y − 3x + 4 T

à

Rpta.: D

• B = 14x4 · y · 5xy3

P = a − {2b + 3c − 3a −(a + b)+2a−(b + 3c)}

∴

4 x + 0, 5 y 5

A = 84x5 · y4

P = a − {2b + [3c − 3a−(a + b)] + 2a−(b + 3c)} à

Veamos:

3 3 y + x − 0,25y 4 5 1 3 3 1 k = x+ y+ x− y 5 4 5 4 4 1 k = x+ y 5 2

k = x − [x − y + 2x − y + x + y] k = x − [4x − y] K = x − 4x + y

12

Rpta.: B

k = 0,2x +

Me piden:

k = x− [x− {y − (2x − y)} + x − (−y)]

∴

à A = x + 2y

• B = − y −  −x − y + x − y 

k = 2a + b − {–a+[2a−(3b−a)]}

Resolución

Tenemos:

• A = −x − −y − x + y + x

15 sumandos 10 sumandos $""" "%"""" & $" "%"" & 2 2 2 x y + x y + ... + x y + xy 2 + ... xy 2

(

11

* Rpta.: C

B = x30·y15

Me piden: A·B = (x10·y20)(x30·y15) à

- 114 -

B = (x2y)15 à

A·B = x40·y35

Rpta.: C


Resolución

16

Tenemos:

(5x2·y6)(4x3·y4)·(6x5·y3) à * *

=

*

Me piden: k = [(M(x; y) · N(x; y))2]2

à

k = [(−xy5 ·−3x2y3)2]2

axn·ym

120x10·y13 = axn·ym

k = [(3x3·y8)2]2 = (3x3·y8)4

R|a = 120 Comparando: Sn = 10 T|m = 13

à

Me piden: a + n = 120 + 10 = 10

Resolución

13

m

17

Veamos:

• F(x; y)= 9x2y2 − 14x2y2 + 6x2y2 à

F(x; y) =

x2y2

• Q(x; y) = 14x3y4 + 2x3y4 - 8x3·y4 à *

Q(x; y) = 8x3y4

à

Resolución

k = 64x10·y12 18

• M(x; y)= 6xy5 + 8xy5 − 15xy5 à

· y 2− n

n− 4

· y1−n

16 / 5 · x · y = 0, 6 xy 24 / 5

20

Rpta.: B

Tenemos: 6

à

x5n −10 · y 3n− 8 = x6 · y6 x3n −6 · yn− 4

à

x2n−4·y2n−4 = x6·y6

*

Comparando: 2n − 4 = 6 2n = 10 à n = 5

M(x; y) = −xy5

Rpta.: B

• N(x; y) = −2x2·y3 + 6x2·y3 − 7x2·y3 à

n−3

b g

Rpta.: B

Veamos:

Me piden:

x5(n− 2) · y3n− 8 = xy x3n −6 · yn − 4

[(x2y2)·(8x3·y4)]2

à

k=

Resolución

Me piden: k = [F(x; y)·Q(x; y)]2 k= k = [8x5·y6]2

19

F 3 1I · x H 5K k= F4 4I · x H 5K


k = 81x12 ·y32 Rpta.: B

N(x; y) = −3x2y3

- 115 -


CAPÍTULO N° 11 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE ECUACIONES (Pág. 464, 465, 466, 467, 468) NIVEL I Resolución

Resolución

1

David

5 x − 4 = x − 12 7

∴

∴

à

∴

Rpta.: B

Rpta.: E

8

2


9

6x–820 = 40 880

4x=28

6x = 41 700

x=7

Rpta.: C

3

∴ x = 6 950 Resolución

–13 – [3(x+2)+4] = 11 – [6(–2x–2)+1]

10

5N = 10 + 3N

–13 – 3x – 10 = 11+12x+11 à –15x = 45 ∴ x = –3 Rpta.: A

à

N=5

x = 4N = 4·5 ∴ x = 20 Resolución

4

Rpta.: D

N: número

–13 – [3x+10]=11 – [–12x–11]

Resolución

Rpta.: D

7

0=0

Resolución

10x – 6x = 20+8

Resolución

4a

8x+2x+2 = 7x–14+3x+3+13

2x =8 7

5(2x–4) = 2(3x+4) à 10x–20 = 6x+8

∴

4a+3

8x+2(x+1)= 7(x–2)+3(x+1)+13

x = 28

Resolución

Sergio

David = 8a + 6

Resolución

5x − 7x = −8 7 2x = −8 7

Roberto

2(4a+3)

5x − x = 4 − 12 7

−

6

Rpta.: A 11

5[a + 10 – (2a+1)] = 3·(a–1) – 4(2a+5)

x: el número

5[a + 10 – 2a – 1] = 3a – 3 – 8a – 20

(x − 3 )3 = −25 à (x–3)3 = – 125

5[9 – a] = – 5a – 23

5

45 – 5a = – 5a – 23

x – 3 = –5 ∴ x = –2

45 = –23 No hay solución

Rpta.: E

Resolución

Rpta.: B

12

x : el número Resolución

x x =4+ 2 3

5

2 2 1 1 = = à y+3 4+31 y+3 4+ 7 2 2

Resolución Kiko x – 14

15 = 2y + 6 à 9 = 2y 1 2

x x − =4 à 2 3

∴ x = 24

1 2 à y + 3 = 15

∴ y=4

à

x =4 6

Rpta.: C

13 Adrián x

x – 14 + x = 56 à

x = 35

Edad de Kiko = 35 – 14

Rpta.: A

Edad de kiko = 21

- 116 -

Rpta.: A


Resolución

14

 1 Luego: 5x = 5    10 

7x 7x − 2x 2x+19 = + 5 à 14 = 3 3 14 =

x à x = 42 3

∴

x 42 = 6 6

Resolución

x =7 6

∴

Resolución

2x = 18

x 7 x 15 − − 1= 0 à = 16 8 16 8

Rpta.: C

∴ x = 30

16

4x 5x −3= −2 à 3 4 16x − 15x =1 à 12

Resolución

11 3  11 7  x − − 1 − 1 = 0 à  x −  − 1 = 0 2 8 4  2 8 4

à x=9

∴ x = 12

4x 5x − = 3−2 3 4

Resolución

Rpta.: E

∴

x = 15

Rpta.: A

17 Resolución

El número de cuadernos es 4x Del dato: Rpta.: E

4x + 5 = 3(x + 5) 4x + 5 = 3x + 15

18

x 3 x 5 + = + 6 2 2 3 9 − 10 3x − x = 6 6

x=−

1 2

22

Sea x el número de libros

2

à

∴

3 5 x x − = − 2 3 2 6

à –1 = 2x

x = 10

Resolución

Rpta.: A

23

Sean x; (x+1) los números consecutivos x + ( x + 1) =

Rpta.: D

2x + 1 =

Resolución

21

5 2x 5x x = 10 + x à = 10 − x = 10 à 3 3 3

2 x 3 x x x x 2  2  · 4 3  : 3 = 4 · 4 · 3 · x = x    

∴

Rpta.: E

Sea x el número:

x =1 12

x : el número:

Resolución

20

111 3  x −  − 1 − 1 = 0  2  2  4 2 

8x 5x 1 16x − 15x 4 − 1 = − =2− à 6 2 3 2 2

Resolución

Rpta.: D

111 1   x − − 1 − 1 − 1 = 0  2  2  4 2  

15

x 3 = à 6 2

1 2

1  1  1  1    x − 1 − 1 − 1 − 1= 0  2  2  2  2   

Rpta.: C

8x 1 5x + = +2 3 2 2

∴

5x =

19

x 5 + ( x + 1) 4 3

x 5x 5 23x 5 + + + à 2x + 1 = 4 3 3 12 3

∴ x=8

x 3 2 + =x+ 6 4 3

Los números son: 8; 9; 10

3 2 x − = x− 4 3 6 9 − 8 6x − x 1 1 = = 5x à x = à 12 6 2 10

- 117 -

Rpta.: E


Resolución

Resolución

24

29

2(x+3)+3(x+1) = 2(x+2)+5(x+1) 2x + 6 + 3x + 3 = 2x + 4 + 5x + 5 5x + 9 = 7x + 9 à x = 0 ∴

C.S = {0}

Rpta.: B

Del enunciado: 2x – 5 = 3(x–5) à 2x–5 = 3x–15 à x = 10

Resolución

Suma de edades actuales = x + 2x = 3x Suma de edades actuales = 3· 10

a2x – a = b2x – b a2x – b2x = a – b à x(a+b)(a–b) = (a–b)

∴ Suma de edades actuales = 30

 1    a + b

∴ x=


NIVEL II

2x = 3y + 4 ....................................... (1) x+y=3y à x = 2y ....................... (2)

Resolución

2(2y) = 3y + 4

à

2x – 3x + 2 = x + 16 à 2x = –14

y=4

∴ x = –7

En (2): x=8

x y = 3 4

Rpta.: E

Resolución

x 3 = à y 4

x + 10 8 = y − 15 5

2

40x – 5x2 – 15x + 9x2 = –26 – 14x + 4x 2 40x – 15x + 14x = –26 à 39x = –26

5x + 50 = 8y – 120 4 

∴ x=−

8y – 5x = 170 à 8  x  − 5x = 170 3 

∴ x = 30 Resolución

Rpta.: D

5x(8–x) – 3x(5–3x) = –26 – 2x(7–2x)

26 à

1

2x – [3(x – 1)+(–1)4] = x(3 – 2)+(–4)2 2x – [3x – 3 + 1] = x + 16

En (1):

Resolución

Rpta.: E

25

Sean x; y los números:

∴

30

Rpta.: C

Resolución

27

2 3

Rpta.: D

3

(6x+7)(5x–4) = 6(5x2– 1)

30x 2 –24x + 35x – 28 = 30x2 – 6 11x = 28 – 6 à 11x = 22 ∴

x=2

Rpta.: B

Del dato : 48 + x = 2(18 + x) ∴ x = 12 años Rpta.: C

Resolución

4

Actual

Resolución

28

Dentro de 15 años x +15

x + 15 = 4x ∴

x=5

Resolución

Rpta.: B

5

3 x = 60m 5

(2n) + (2n+2) + (2n+4) = 54

∴

mayor = 20

x = 100m

6n + 6 = 54 à 6n = 48 à n = 8 Rpta.: C

- 118 -

Rpta.: C


Resolución

6

Resolución

13

n+(n+2)+(n+4) = 51 3n + 6 = 51 à 3n = 45 ∴

n = 15

Resolución

Rpta.: B

7

50 + x = 3(10 + x) 50 + x = 30 + 3x

Dentro de 8 años

Actual

∴

x = 10 años

Resolución

x = 12 años

Resolución

14

Sea x el número

x + 8 = 20 ∴

Rpta.: C

5x – 7 = 3x + 3 2x = 10

Rpta.: A

8

∴

Actual Hace 5años

x=5

Resolución

Rpta.: C

15

4(x–5) = 2(x+7) à 4x–20 = 2x+14 ∴

x – 5 = 12 ∴ x = 17 años Resolución

Rpta.: D

x = 17

Resolución

Rpta.: B

16 Actual

9

Hace x años

x + y = 45 ... (1) y=x–5 En (1):

12 − x =

x+ x – 5 = 45 ∴ x = 25

48 – 4x = 42 – x

Rpta.: B

∴ Resolución

42 − x 4

x = 2 años

Rpta.: B

10

x–1; x ; x + 1 : los números consecutivos

Resolución

2(x–1) = 3(x+1) – 57 à 2x–2 = 3x+3–57

17 Actual

à x = 52 Entonces los números son:

Dentro de x años

51; 52; 53 mayor Resolución

42 + x = 3(12 + x) 42 + x = 36 + 3x

Rpta.: A

∴

11

x ; x+2 ; x+4 : números impares consecutivos (x+2)+(x+4) = 85+(x) à x = 79

x = 3 años

Resolución

18 Actual

Los números son: 79; 81 ; 83

Rpta.: D

Dentro de 5 años

Rpta.: E x + 5 = 2(x – 4)

Resolución

12

x x x + = +2 3 4 2

∴ x = 24

à

x + 5 = 2x – 8 ∴ x = 13 años

x =2 12

Rpta.: D

- 119 -

Rpta.: C


Resolución

19

Resolución

Sea x el número de lápices.

7x 4x = +2 8 5

2x el número de lapiceros. 2x + 7 = 3(x+1) à 2x + 7 = 3x + 3 ∴ Tengo 8 lapiceros Rpta.: B 20

Quedan:

Resolución

Rpta.: B

25

Sea x boletos vendidos a los estudiantes (900–x): boletos vendidos a las otras personas

à 119x + 120 = 120x

0,75x + 1,25(900–x) = 950

Rpta.: D

0,75x + 1125 – 1,25x = 950 ∴

21

x ............................................... (1) y

x = 350

Resolución Pm =

x = y + 2 ........................................... (2) y+2 1 = y + 7 2 à 2y + 4 = y + 7

Rpta.: A

26

P1x1 + P2x2 x1 + x2

← precio medio

x : café de clase 1 20 – x = café de clase 2

y=3

5,4 =

En (2): x = 3 + 2 x=5

6x + 5 ( 20 − x ) à x=8 20

20 – 8 = 12

En (1): ∴

24

∴ x = 13

x (15 + 20 + 24 + 60 ) + 120 =x 120

f=

Rpta.: C

x2 + 7x – 60 = x2 + 31

x x x x + + + + 1= x 8 6 5 2

Resolución

80 3

Sea x el número: (x+12)(x–5) = (x2+31)

x +1 2

∴ x = 120

x=

∴

Resolución

x x x Vendí: + + 8 6 5

7x 4x − =2 8 5

à

35x − 32x =2 40

à x=4

Resolución

23

8 y 12 kilos

f=

5 3

Rpta.: D

Resolución

Rpta.: B

27

Sea x el número Resolución

22

3x = 48 +

x 3

∴ x = 18 Resolución x + y = 65 .......................................... (1) y+10 =

8x = 48 3

Rpta.: A

28

1 1 x x x 1 + − = + − 2 3 5 3 2 5

5 (x + 10 ) à 12y + 120 = 5x + 50 12

1 1 1 x x x + + = + + 2 3 5 2 3 5

5x – 12y = 70 .................................. (2)

15 + 10 + 6 15x + 10x + 6x = 2· 3· 5 2· 3· 5

De (1) y (2) ∴ x = 50 años

à

Rpta.: B

31 = 31x

∴ x = {1}

- 120 -

→

x=1 Rpta.: B


Resolución

Resolución

29

35

1° día : x

x – 28 = 3(x–106)

3 2° día : x 5

x–28 = 3x – 318 ∴

x = 145

33  9 3° día :  x  = x 5  5  25 x+


3 9x x+ = 147 à x = 75 5 25

El 2° día ganó:

3x 3 × 75 = 5 5

∴ El 2do día ganó : S/. 45 Resolución

2x 7 1 2x x 2 − + − = − 3 10 6 5 4 3

Rpta.: C

2x 2x x 7 1 2 − − = − − 3 5 4 10 6 3

30

40x − 24x − 15x 21− 5 − 20 = 60 30

(2x+1)(7x+3) = (x+1)(14x+6)

14x2 + 6x + 7x + 3 = 14x2 + 6x + 14x + 6

∴

–3 = 7x ∴ Resolución

 3 x = −   7

Rpta.: D

31

x + 10 3x + 5 − 3 2 2x + 20 − 9x − 15 2x – 15 = 6

2x – 15 =

Sofía María

Rpta.: B

37

x–8 y–8

x y

x + 12 y + 12

x – 8 = 4(y + 12) x – 4y = – 24 ................................. (1) x + 12 = 2(y + 12)

19x = 95

x – 2y = 12 ..................................... (2)

x=5

Resolución

x= –8

Resolución

6(2x – 15) = 5–7x à 12x – 90 = 5 – 7x ∴

36

3  10x 7  1  1 4x  2  7x 7  − +  − = − 5  9 6  2  3 5  7  8 3 

Rpta.: E

Resolviendo (1) y (2):

x = 48 y = 18

32

Rpta.: C

du + 9 = ud

10d + u + 9 = 10u +d à 9 = 9(u – d) ∴ u–d=1 Resolución

Resolución

38

Rpta.: A

33

x – y + 60 = 4y – 50 x = 40 x − 5y = −110   à y = 30 x + y = 70 

2 ( y − 4) 3 3x – 2y = 4 ....................................... (1) x−4 =

x· y = 40· 30 ∴ x· y = 1200 Resolución

Rpta.: B

x+8=

34

6x – 5y = –8 ...................................... (2)

Sea x el número 4x – 40 = 40 – x

Resolviendo (1) y (2) ∴

5x = 80 à x = 16 Luego: ∴

x = 16

x =4

5 ( y + 8) 6

Rpta.: D - 121 -

x = 12 y = 16

Rpta.: B


Resolución

Resolución 42 Hoy gané : x Ayer gané : x + 30

39

4 x 2 x 5 x 1 + + + 5 2 − 3 4 + 8 2 = 3 + 3x 3 1 5 1 2 5 2 16 6

x=

5x = 3x + 90

8 + 5x 8 + 3x 10 + 8x 3x − + = 2+ 6 6 5 2 x 10 + 4x 3x + =2+ 3 5 2

∴

x=0

Resolución

x = S/.45 Resolución

Rpta.: C

43

 x : niñas  2x : niños

Rpta.: C

 x − 6 : niñas  2x − 6 : niños

40

x : parte mayor

2x – 6 = 3(x – 6) 2x – 6 = 3x – 18 à x = 12 N° niños = 2x

60 – x : parte menor Del dato: 3x – 100 = 200 – 8(60 –x) 3x – 100 = 200 – 480 + 8x ∴ x = 36 Rpta.: D Resolución

3 (x + 30) 5

∴

N° niños = 24

Resolución

Rpta.: D

44

x : N° de manzanas

41

x x = +3 10 12

x : N° filas 7x + 5: N° niños (x +3) 6 – 7 : N° niños Entonces: 7x + 5= (x+3)6 – 7 à x = 6 N° niños =7· 6 + 5 ∴ N° niños = 47

12x = 10x + 360 ∴

x = 180

Rpta.: D

Rpta.: B EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO SOBRE INECUACIONES (Pág. 479, 480, 418, 482) NIVEL I d)

Resolución a)

1

2x + 3 > 3x – 6

2 – 3x ≤ 9 – 4x

6 + 3 > 3x – 2x 9>x

4x – 3x ≤ 9 – 2 x≤7

∴ C.S = {0; 1; 2; ... ; 8}

∴ C.S = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Rpta b)

e)

5x – 2 < 2x + 10

∴ C.S = {0; 1; 2; ...; 9}

x<4 ∴ C.S = {0; 1; 2; 3} x – 2 < 10 +

3x – 4 < 2x + 6 x < 10

3x < 12

c)

2x + 3 > 3(x –2)

f) Rpta

18 > 3x 6>x

x 2

∴ C.S= {0; 1; 2; 3; 4; 5}

20 + x x–2< 2

2x – 4 < 20 + x x < 24 ∴ C.S = {0; 1; 2; 3; ..... ; 23}

3x + 6 > 6x – 12

Rpta - 122 -


g)

2(x+1)+3 > 5(x – 2) + 7 2x + 2 + 3 > 5x – 10 + 7 2x + 5 > 5x – 3

f)

à 3x – 9 < 4x + 20 à –29 < x

8 > 3x x<

h)

∴ S= {x ∈ ¢ / x > −29}

8 ) ó x < 2,6 3

∴ C.S = {0; 1; 2}

g)

h)

∴ C.S ={0; 1; 2}

∴ S = {x ∈ ¢ / x ≥ 56}

9x + 21 < 2x + 77 i)

x<8

a)

b)

∴ S=

2

12x – 1 < 3x – 37 à 9x < –36 à x < –4

j)

3x – 7 < 5x + 9 à –16 < 2x à –8 < x

∴ S=

8x – 9 < 21 – 7x à 15x < 30 à x < 2

k)

2x x 5x + − > 11 à 12x + 14x − 15x > 11 7 3 14 42

∴ S = {x ∈ ¢ / x > 42}

3x – 8 < 5(2x – 3) à 3x – 8< 10x –15 ∴ S = {x ∈ ¢ / x < 1}

{x ∈ ¢ / x ≥ 30}

à 11x > 11· 42 à x > 42

à 7<7x à 1< x

e)

x x x + +6≥ x− à 5x +2x +60 ≥ 10x – x 2 5 10

à 60 ≥ 2x à 30 ≥ x

∴ S = {x ∈ ¢ / x < 2} d)

{x ∈ ¢ / x > 20}

∴ S= {x ∈ ¢ / x < −4} ∴ S= {x ∈ ¢ / x > −8} c)

x 1 x +7< + à x + 42 < 2 + 3x 6 3 2

à 40 < 2x à 20 < x

∴ C.S= {0; 1; 2; ... ; 7} Resolución

x x + 3 ≥ + 4 à 8(x + 21) ≥ 7(x + 32) 7 8

8x +168 ≥ 7x +224 à x ≥ 56

9 2 x + 3 < x + 11 7 7

7x < 56

à x < –2

∴ S = {x ∈ ¢ / x < −56}

3x – 6 ≤ 4 – 2x

i)

3x − 2 3x − 4 < − 2 à 5(3x – 2) < 2 (3x – 14) 2 5

à 15x – 10 < 6x – 28

3 x − 3 ≤ 2− x 2

5x ≤ 10 à x ≤ 2

x − 3 x −1 < + 2 à 3(x – 3) < 4(x + 5) 4 3

l)

x−3 x+7 <4+ à 5(x–3) < 10(20 + x + 7) 10 5

2(x+1)+7≤ 17 à 2x + 2 + 7≤17 à x ≤ 4

x – 3 < 40 + 2x + 14 à –57 < x

∴ S = {x ∈ ¢ / x ≤ 4}

∴ S = {x ∈ ¢ / x > −57}

- 123 -


Resolución a)

d)

3

12 veces un número, no excede de 36.

c)

El quíntuplo de un número es mayor o igual que dicho número aumentado en 40.

d)

El triple del número, aumentado en uno, es menor que 16.

e)

La mitad de un número, disminuido en 3 no excede de 5.

f)

La suma de tres números consecutivos es menor que 26.

Resolución a)

Resolución a)

5 + 7x < 40 7x < 35

∴

b)

x = 6; 7; 8; ...

∴ El menor par de números son 6 y 7 c)

7 ( 4x − 5 ) > 23x − 5 28x − 35 > 23x − 5 28x − 23x > 35 − 5

20 son: 3

5x > 30

6; 5; 4; 3; 2; 1 y 0

7; 8; 9; 10; ... Pero x debe ser el menor ∴ Menor número natural = 7

x<−

37 5

d)

Los valores que toma “x” son: 2; 1 y 0

Los números enteros que satisfacen la inecuación

Pero “x” debe ser el mayor

37 y ellos son: –7; –8; –9; ... serán menores que − 5

(enunciado abierto)

∴ e)

87 2

87   C.S. =  x ∈ ¢ / x  2 

Mayor natural = 2

x x + 21 < + 22 6 7 x + 126 x + 154 < 6 7 7 ( x + 126 ) < 6 ( x + 154 )

2x 80 + 7 x

7 ( x − 2 ) ≥ 4 (5x − 9 ) − 4 7x − 14 ≥ 20x − 36 − 4 26 ≥ 13x 2≥x

37   C.S. =  x ∈ ¢ / x < −  5  

2x 87

x>6

Los valores que toma x son:

(enunciado abierto)

−5x > 45 − 8 −5x > 37

2x − 7 80

x>5

Nos piden el menor par de números con– secutivos

Los números naturales menores que

c)

x=4

x x +1 + >2 5 6 6x + 5 ( x + 1)

Luego:

20   C.S. =  x ∈ ¥ / x <  3  

5x < −37

x<5

Pero, x debe ser el mayor valor entero.

(enunciado abierto)

20 x< 3

8 − 5x > 45

5

>2 30 6x + 5x + 5 > 60 11x > 55

3x < 30 − 10 3x < 20

b)

x 15

C.S. = {x ∈ ¢ / x 15}

4

10 + 3x < 30

(enunciado abierto)

x 20 − 5

Pedro tiene 3 años más que Juan y la suma de sus edades es menor que 27

b)

5 + x 20

7x + 882 < 6x + 924 Los valores que toma “x” son: 41; 40; 39; 38; ... Pero “x” debe ser el mayor ∴ - 124 -

Mayor natural = 41

x < 42


f)

x <1 56

4x + 9 3x + 6 < 5 4 4 ( 4x + 9 ) < 5 ( 3x + 6 ) 16x + 36 < 15x + 30

¢

x < −6

55 56 57

¢ -7

∴ g)

∴ j)

2x − 1 1 2x − 10 − > 4+ 3 4 8 4 ( 2x − 1) − 3 32 + 2x − 10 > 12 8 8 ( 8x − 4 − 3 ) > 12 (32 + 2x − 10 )

¢

h)

9

Si x = 3y ... (1) 3 x + 4y ≤ 780 3 (3y ) + 4y ≤ 780 13y ≤ 780

k)

Menor entero = 9

x = 180

N° de platos de S/. 9 = x N° de platos de S/. 7 = 2x Luego: 9x + 7 ( 2x ) ≥ 414 23x ≥ 414 ∴

26x < 26 ⋅ 30 26 ⋅ 30 x< 26 x < 30 ¢ 29 30 31

i)

y ≤ 60 ∴

Luego: x = 3(60)

11x 5x x − − < 26 5 6 2 66x − 25x − 15x < 26 30

∴

N° de lapiceros de S/. 3 = x N° de lapiceros de S/. 4 = y Se plantea que:

64x − 56 > 264 + 24x 40x > 320 x>8

∴

El mayor entero = 55

-6

Mayor entero = -7

8

x < 56

El mayor entero = 29 3x x 7 + − x <1 4 7 8 42x + 8x − 49x <1 56

- 125 -

x ≥ 18 x = 18



Resolución

x + 8 < 3x + 4

1

a+5≥0

4 < 2x

a+5+6≥6

2
a + 11 ≥ 6 ∴ a + 11 = 6 Resolución

7

Resolución

Rpta.: C

Rpta.: B 8

4x – 56 ≤ 16 – 2x 6x ≤ 72

2

a–3≤0

x ≤ 12

a≤3 2a ≤ 6

∴ xmayor = 12 Rpta.: A

2a + 1≤ 6 + 1 ∴ 2a + 1 = 7 Resolución

Resolución

Rpta.: C

x∈ 2; 3

3

2
x∈ 3;9

∴ 7
⊗

∴

x=8

Resolución

Rpta.: B

2–3≤x–3≤5–3

4

–1 ≤ x – 3 ≤ 2 ∴ (x – 3)mínimo = – 1 Rpta.: C

–2 < x < 6 –6 < 3x < 18

Resolución

–6–2 < 3x – 2 < 18 – 2

11

(x + 3) ∈ [3 ; 7]

–8 < 3x – 2 < 16 ∴ (3x – 2)mínimo = –7

Rpta.: C

Resolución 10 x ∈ [2 ; 5] 2≤x≤5

x ∈ −2 ; 6

Resolución

9

3≤x+3≤7

Rpta.: D

3–3≤x+3–3≤7–3 0≤x≤4

5

∴ x=4

2 ≤x≤7

Resolución

Rpta.: D

12

5
Suma = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ∴ Suma = 27 Rpta.: C

Resolución

Resolución

Rpta.: E

13

x+2≤7 à x≤5

6

–4 ≤ x ≤ 6

xmáx = 5

x = {–4; –3; –2;–1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} ∴ Suma = 11 Rpta.: C - 126 -

Rpta.: D


Resolución

14

3x x 9x + 4x − 10x >2 à >2 >2 à 12 4 12

x+3<5 à x<2

à x>8

∴ xmáx = 1 Resolución

Rpta.: A

∴

15

x=9

Resolución

⊗

Rpta.: D

21

Sean (x) y (x + 1) los números consecutivos x +1 x + > 3 à 3x + 3 + 2x > 18 2 3

–4 < x < –2

x>3

x=–3 2x + 3 = 2(–3) + 3 ∴

2x + 3 = – 3

Rpta.: C ∴

Resolución

Resolución

2x 6 2x − 4 3 + > + 7 4 8 2 2

x > –14

15 – 12x – 40x ≥ 15 + 20x

Rpta.: C

∴ 0≥ x

17

Resolución

18

2x – 17 < 35 à x < 26

2 – 8x + 24x – 3 > 2x

x + 3 > 15 à x > 24 2

14x > 1 ∴

x>

⊗ Resolución

x = 25 años

Resolución

x < 12 à x = 11

Resolución

Rpta.: C

25

4 + 2x x − 4 − >x 3 2

3x – 2y = 3· 11 – 2· 5

Resolución

Rpta.: B

24

∴ x>–1

19

3x – 2y = 23

1 14

4[5 – 2(1 – x)] + 2(x – 1) > 0 20 – 8 + 8x + 2x – 2 > 0 à 10x > –10

Rpta.: D

y>4 à y=5 ∴

23

 1 − 4x   8x − 1 2  + 3 2  > x  2   

Sea “x” la edad de Sara

∴

Rpta.: C

1 1   2  − 2x  + 3  4x −  > x 2 2    


22

3 + 4x  5 − 4x  3  − 2x ≥ 4  20 

16x + 84 > 14x + 56 2x > –28

Resolución

Rpta.: B

3 1 x 3  −  − 2x ≥ + x 4 4 5

7

8 (8x + 42) > 28 [2x − 4 + 12]

∴

x=5

16

Rpta.: D

2(4 + 2x) – 3(x – 4) > 6x 8 + 4x – 3x + 12 > 6x

20

20 > 5x

3x x 5x + − >2 4 3 6

4>x

- 127 -

Rpta.: D


CAPÍTULO N° 12 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE RECTAS Y ÁNGULOS (Pág. 513, 514, 515, 516) NIVEL I Resolución

1

Resolución

7

Veamos:

Veamos:

à

x + 40 = 70

à

*

Luego: 12 + x = 25 à

x = 30°

x = 13

Rpta.: D


2

Veamos: Resolución

* Luego: x + 2x + 18 3x = 18 à x = 6 Resolución

3

8

Veamos:

Rpta.: B

Veamos: à

3x + 40 + x = 180° 4x = 140

Como:

* • M← punto medio de AB à AM = MB = 3

Resolución

9

à

x = 35° Rpta.: E

Veamos:

• N← punto medio de CD à CN = ND = 4 Me piden: x = MB + BC + CN * x = 3 + 5 + 4 à x = 12 Rpta.: C Resolución

* à

4

Veamos:

Como: C ← punto medio de AD: AC = CD 4 + x = 14 x = 10

Resolución

5

à

2θ = 72 *

Veamos:

Dato: AC + BD = 20 (m + 5) + (5 +n) = 20 m + n + 10 = 20 à m + n = 10

*

Me piden: AD = m + n + 5 = 10 + 5 = 15

θ + 24 + θ + 24 = 120 2θ + 48 = 120

Rpta.: A

* à

à

θ = 36°

Me piden: m ∠) COD = θ = 36° Rpta.: C

Resolución

10

Veamos:

Rpta.: C

Resolución * à

* Como: B ← bisectriz ∠) DOA à m∠) DOC = θ à m ∠) AOB = θ + 24 Además m ∠) AOD = 120° *

6

Sea el ángulo: θ

Luego: θ = S(θ) θ = 180 − θ 2θ = 180° à θ = 90° Rpta.: B

à

3φ + 40 + 2φ = 90° 5φ = 50°

à φ = 10° Rpta.: A

- 128 -


Resolución

11

Veamos:

*

Como: L // L1 à (3x +10) + (2x+30) = 180° 5x + 40 = 180° 5x = 140° x = 28° Rpta.: D

* En el gráfico: ° = 180 ° 45βθ ++ 130 6 110° = 180°

*

θ = 50°

à β = 70° 

Resolución

15

Veamos:

Me piden: x = θ + β (Por propiedad) à

x = 50 + 70 x = 120°

Resolución

12

Rpta.: C

Veamos: *

Como: • L 2 // L 3 à θ = x • L // L1 à θ + y = 180° à x + y = 180°

*

Como:

Rpta.: B

L1 // L à φ + 4φ = 180° NIVEL II

5φ = 180° à φ = 36° *

Además: x + φ = 180° à

Resolución

1

Veamos:

x + 36° = 180° à x = 144° Rpta.: E

Resolución

13

Veamos: * Luego; en el gráfico:

45mn++44==97 6

*

45mn==53 6

à

Me piden:

AD = m + n + 4 = 3 + 5 + 4 = 12 *

Rpta.: C

Como: • L 2 // L 3 à θ = 30° • L // L1

Resolución

2

Veamos:

à x = θ à x = 30° Rpta.: C

Resolución

14

Veamos: * En el gráfico:

45xx ++ nm==78 6

*

Dato: à

à

45nm==78−−xx 6

AD = 4BC m + n + x = 4x (8 − x) + (7 − x)+ x = 4x 15 = 5x

à

x=3 Rpta.: B

- 129 -


Resolución

à

3

Veamos:

Resolución

2a + 3a + 7a = 24 12a = 24 à a = 2

*

Me piden: AB = 2a = 2(2) = 4

4

Dato: ) AOC + m ∠) BOD = 265° m∠

à

(θ + x) + (β + x) = 265° (θ + x + β) + x = 265 ... (I)

* à

Veamos:

* à

Como: AOD ← ángulo llano θ + x + β = 180° ... (II) Reemplazando (II) en (I): 180 + x = 265 à

*

Sea: CD = n ∧ BC = x

*

Como: B ← punto medio de AD à AB = BD = n + x

*

Dato: AD = 2·CD + 10

Veamos:

*


7

x = 85°

Resolución

8

Rpta.: B

veamos:

à 2(n + x) = 2(n) + 10 2n + 2x − 2n = 10

à

x=5 Rpta.: C à

Resolución

5

6x + 3x + 5x + 4x = 360° 18x = 360° à

Veamos:

x = 20° Rpta.: A

Resolución *

9

Veamos:

Como: M ← punto medio de BC à BM = MC = n

*

Dato: AB + AC = 12 à

m + (m + 2n) = 12 2(m + n) = 12

*

à m+n=6

Me piden: AM = m + n à AM= 6

Resolución

6

Rpta.: D

Veamos:

*

Como: OC ← bisectriz BOD à

*

) BOD = 90° Ahora: • m ∠

à *

à *

120° + β = 180° à β = 60°

Me piden: x = θ + β à

• ON bisectriz de COD ∧ COD = 30° à θ = 15°

x = 45° + 60° à x = 105° Rpta.: D

Me piden: ) MON = γ + 50 + θ = 10 + 50 + 15 = 75 m∠

θ + θ = 90° à θ = 45° • m∠ ) AOD = 180°

Como: • OM bisectriz de AOB ∧ AOB = 20° à γ = 10°

*

) BOC = m ∠ ) COD = θ m∠

Rpta.: E - 130 -


Resolución

*

10

Veamos:

Resolución

En el gráfico:

*

) COE = 90 ° • m∠ à θ + 2x = 90°

à θ = 90° − 2x

Resolución

*

11

En el gráfico: • 130° + θ = 180° à θ = 50° à

50° + x = 90° x = 40°

x1 4+24x 4 3+ θ = 180° 5x + (90° − 2x) = 180° x = 30°

Veamos:

• θ + x = 90° (Por propiedad)

) AOD = 180° • m∠

3x = 90° à

13

Resolución

14

Rpta.: D

Veamos:

Rpta.: A

Veamos:

Como: • L1 // L 2 à φ + 140° = 180° à φ = 40° • L // L 2 à x + 2φ = 180°

*

En el gráfico:

*

Como: L // L1 à x = 65° + θ

• θ + 105° = 180° à

θ = 75°

x = 65° + 75° = 140°

x + 2(40°) = 180°

Rpta.: E

x = 100° Rpta.: C Resolución Resolución

12

* *

En el gráfico:

*

Dato:

*

• θ + φ = 180° • φ – θ = 36° En: θ + φ = 180° à

15

Veamos:

Veamos:

θ + 108° = 180°

Como: L // L1 à (6 + φ)·x = (φ + x)·6

θ + φ = 180°  φ − θ = 36° 2φ = 216° à φ = 108°

à

6x + φx = 6φ + 6x φx = φ·6

θ = 72°

Resolución Rpta.: C

- 131 -

à

x=6

16

Veamos:

Rpta.: C


*

) AOD = 102° Dato: m ∠ à

Resolución

20

Veamos:

(x − φ) + x + ( x + φ) = 102° 3x = 102° à x = 34° Rpta.: B

Resolución

17

Veamos:

à

x + 90° + 55° + 90° = 360° x + 235° = 360°

à

à

x + 90° + 75° + 90° = 360°

x = 125°

Rpta.: A

x + 255° = 360° x = 105° Resolución

18

Resolución

Rpta.: E

21

Veamos:

Veamos:

*

Dato:

) AOC + m ∠ ) BOD = 105° • m∠ à (θ + x) + (x + α) =105°

* En el gráfico: ) AOC = 180° • m∠ à

à

150° + θ = 180° à θ = 30°

*

) BOD = 90° • m∠

à θ + x + α = 6x à α + θ = 5x ... (II)

à x = 60° Rpta.: C

Resolución

19

En el gráfico:

) AOD = 6x • m∠

à θ + x = 90° 30° + x = 90°

α + θ = 105° − 2x ... (I)

*

Reemplazando (II) en (I): à

Veamos:

5x = 105° − 2x 7x = 105° à x = 15°

Resolución

*

22

Rpta.: B

Veamos:

En el gráfico: ) AOC = 180° • m∠ à φ + 3φ = 180° à φ = 45°

) BOD = 180° • m∠ à

*

φ + x = 180°

En el gráfico: • γ = 3φ

) BOC = 90° • m∠

45° + x = 180° à x = 135° Rpta.: B

· − COD · = 90° BOD

à 8φ − γ = 90° {

8φ − 3φ = 90° à φ = 18°

- 132 -


*

Además:

Resolución

26

Veamos:

) COE = 180° • m∠ à γ + x = 180° 3φ + x = 180° 3(18°) +x = 180° à x = 126° Rpta.: C Resolución

23

*

Veamos:

En el gráfico: • 2φ + 30° = φ + 50° à φ = 20°

*

Como: L // L1

à x = 2φ + 30° x = 2(20°) + 30 = 70° Rpta.: C

Resolución *

Veamos:

Como: • L // L1 θ + 120° = 180° à θ = 60°

à *

27

Ahora: • ∆ABC: 130° = x + θ à

130° = x + 60° à x = 70°

*

) BOD = 90° • m∠


24

En el gráfico: à

Veamos:

2α = 90°

à α = 45°

) AOE = 180° m∠ à

x + α + 20° = 180° x + 45° + 20° = 180° à x = 115° Rpta.: A

Resolución *

Veamos:

En el gráfico: • θ = 54° • α + 138° = 180°

*

28

Como : L // L1

à α = 42°

à x=α+θ

x = 42° + 54° = 96° Rpta.: D Resolución

25

à

90° + x + 2x + 3x + 3x = 360° 90° + 9x = 360°

Veamos:

9x = 270° x = 30° Rpta.: C

à

*

Como: L // L1

*

∆ABC: x = 40° + θ à

θ = 100°

x = 40° + 100° = 140° Rpta.: E

- 133 -


CAPÍTULO N° 13 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE ÁREAS Y PERÍMETROS (Pág. 552, 553, 554) NIVEL I Resolución

*

1

Resolución

Dato:

*

• S = 16 3

Luego: Lado ∆ = l = 8cm

Me piden:

2 = 2 ·

àS

2

2 3 +2 4

3+4

=

Veamos:

Resolución

*

EBCD

Rpta.: D S

Resolución

Veamos:

• S = S∆ABE + S

2 3 = 16 3 à l2 = 64 à l = 8 à l · 4

*

4

Tenemos:

5

Rpta.: D

Veamos:

Me piden: • S S

= S ABCD – S = (10)(8) –

AMND

*

1 (6+10)(4) 2

Me piden: S

= S ABCD – S BAM – S CDM π ( 2) π ( 2) − 4 4 2

S = 80 – 32 = 48cm2

à S = (2)(4)–

Rpta.: A

S = 8 – π – π = 2(4 – π) Resolución

3

Veamos: * Dato:

Resolución

• Perímetro = 24 à 4l = 24 l=6 * Me piden: •

S = l2 = 62

à S = 36cm2 Rpta.: B

- 134 -

6

Veamos:

2

Rpta.: A


*

Me piden:

Resolución

10

Veamos:

» + long. NP » • Perímetro(S ) = long. MN

¼ » + long MQ +long PQ Perímetro(S ) =

π π π π ( 4 ) + (4 ) + (4 ) + ( 4 ) 2 2 2 2

à Perímetro(S ) = 8π Resolución

7

Rpta.: C

Veamos: *

Dato: • S∆ABC = 27 1 (h)(h + 3) = 27 2

à

h(h + 3) = 54 h·(h + 3) = 6 ·(6 + 3)

*

Me piden: • S = S ABDE – S∆ABM – S∆DEN S = (3)(10) –

1 1 (3 )( 4 ) − ( 3)(6 ) 2 2

*

Comparando : h = 6

Resolución

11

Tenemos:

S = 30 – 6 – 9 = 15 ∴

S = 15

Resolución

8

Rpta.: C

Rpta.: D Veamos:

*

Dato:

•

BD = 12

•

AC =

BD 2

à AC = 6

*

Dato:

*

Me piden:

•

S ABCD =

1 (AC)(BD) 2

• Perímetro ABCD = Perímetro∆MNP à S ABCD =

à 9(4) = 3(l) à l = 12 *

Me piden: • Lado ∆MNP = l = 12cm

Resolución

9

Rpta.: D

Resolución

ABCD ← Paralelogramo π  mSBAD = mSBCD = 60° = rad 3  AB = CD = 6

à 

Me piden:

àS

ABCD

Veamos:

Como: •

•S

Rpta.: B

Veamos:

*

*

12

1 (6)(12) = 36 2

= 4(4+2) = 24

ABCD

= 24 cm2

Rpta.: C

*

- 135 -

Me piden: S

=

π 62 · = 6π 3 2

Rpta.: B


Resolución

13

*

Veamos:

Me piden: • S

= S AOB – S

π ( 4) 2 − π ( 2) 2 2

S =

S = 8π – 4π = 4π

*

Resolución

Me piden:

2

Rpta.: A

Veamos:

• S = S AOB – S MON π (6 ) π (2 ) − 4 4 2

S =

2

S = 9π – π = 8π Resolución

14

Rpta.: A Veamos:

*

En el gráfico: ∆ABH ← Notable 60° Como: AB = 6 à BH = 3 3

*

  AH = 3

Dato:

• HD = BC à HD = 3

 AB = CD = a

• BC = 2AB à BC = AD = 2a

*



S

• Perímetro ABCD = 60 à 2(a + 2a) = 60 à a = 10 *

Me piden: = SABCD – S BAD  3+6

Me piden: • Lado menor = a = 10 Rpta.: C

S = Resolución

15

)

π

Tenemos:

27 3 − 6π 2

Resolución

*

(

(6 )

2

S =  · 3 3 − 3 · 2  2 

3

Rpta.: E Veamos:

Me piden: K=

Perím. ∆ABC 3l 3 = = Perím. MNPQ 4l 4

Rpta.: D


1

Veamos:

*

Me piden: • Perímetro(S ) = 2(15 + 13) = 56 à Perímetro(S ) = 56

- 136 -

Rpta.: D


Resolución

4

Resolución

Veamos:

* *

En el gráfico: • AM = MB = a à AB = 2a • BN = NC = b à BC = 2b AP = PD = c à AC = 2(c + d) •  DQ = QC = d

*

Dato: • AB = 5 à 2a = 5 • BC = 6 à 2b = 6 à • AC = 7 à 2(c + d) = 7

*

 a = 5/ 2   b=3  c +d = 7/2 

En el gráfico:

*

Me piden:

» + AM » + MN » + NP » + PQ » + QB » •Perímetro(S ) = AB

Perímetro (S ) = π·R+π·a+π·b+π·c+π·d+π·e Perímetro (S ) = π·R+π·(a+b+c+d+e) Perímetro(S ) =π·(10) + π·(10) = 20π ∴ Perímetro(S ) = 20π Resolución

» + BC » + CD » + DA » • Perimetro(S )= AB

• AM = AB = 6

Perímtro(S ) = π· a + π·b + π·d + π·c

• AM = 12

Perímetro(S ) = π·(a + b + c + d) {

• AC = 12

5

7

à Perímetro(S ) = 9π Resolución

5

7

Rpta.: B

Veamos:

à AM + MC = 12 6 + MC = 12 MC = 6

Rpta.: B

Veamos:

Veamos:

• AM = 2a  • MN = 2b   • NP = 2c AB = 2(a + b + c + d + e) = 2R = 20  • PQ = 2d à R = (a + b + c + d + e) = 10 • QB = 2e 

Me piden:

Perímetro(S ) = π·  2 + 3 + 2  = 9π  

6

*

Me piden: • S = S MAB + S MC S

π · (3 ) π (6 ) · + 3 2 2

S

= 6π +

2

Resolución *

Me piden: • S = S∆PBR + S∆PAR S

=

S =

1 1 (PR)(BM) + (PR)(AM) 2 2

1 1 (6)(3) + (6)(3) = 18 2 2

∴ S = 18

Rpta.: E

- 137 -

8

2

9π = 10,5π 2

Rpta.: A

Veamos:


*

Como:

*

• AB = 6 à AM = MB = 3 Luego:

Resolución

11

Veamos:

• Radios = 3 *

Me piden:

» + BC » + CD » + DE » + EF » + FA » •Perímetro(S ) = AB

Perímetro(S ) = 3π + 3π + 3π + 3π + 3π + 3π ∴ Perímetro(S ) = 18π Resolución

9

Rpta.: C

Veamos: *

Como • AM = MN = NC à S∆ABM = S∆MBN = S∆NBC = S

*

Dato: • S∆ABC = 42 à 3S = 42 à S = 14

* * *

Dato: S∆ABC = 40 Por propiedad: •

Me piden: S

Resolución

12

= S = 14

Rpta.: B

Veamos:

S∆ABD S∆ABC = AD AC

à

S 40 = à S = 24 3K 5K

Resolución

10

Rpta.: B

Veamos:

*

Dato: •

*

BE  BE = n·k =k à  EC  EC = n

Luego: • AD = BC à AD = nk + n

*

En el gráfico:

*

Me piden:

• S∆AMQ = S∆MRQ = S∆QPR = S∆QDP = S∆NRP = S∆NCP = S

 (nk ) + (nk + n )    · (h ) 2 Área ABED   = 1 Área DEC · (n )(h ) 2

• S∆MBNR = 25 *

Dato: • Lado ABCD = 4 à S ABCD = 16 à 8S = 16 à S = 2

*

à

Área ABED n ( 2k + 1) (h) = 2k + 1 = Área DEC n (h)

∴

Área ABED = 2k + 1 Área DEC

Me piden: • S

= 3S = 3(2) = 6

Rpta.: D

- 138 -

Rpta.: C


Resolución

13

Veamos:

*

Dato: • Lado ABCD = a à área ABCD = a2 32S = a2 à S = a2/32

*

Me piden: • S = 16S = 16(a2/32) = a2/2 ∴ S = a2/2

Resolución

*

Rpta.: B

16

*

Trasladando áreas , tenemos:

*

Me piden:

En el gráfico: • S = S AOB – S OMB S=

1 2 1 2 · π ( 4 ) − π ·(2) 4 2

à S = 2π *

Me piden: •S

= 4S = 4(2π) = 8π

à S = 8π Resolución

14

Rpta.: D

•S

Veamos:

∴ S

= (2×2)×(4) = 16

Resolución

*

= 16cm2

17

Rpta.: D

Veamos:

Completando las áreas con “S”; luego: • S ABCD = 8×14 à 16S = 112 à S = 7

*

• S = 8S = 8(7) = 56 Resolución *

*

Me piden:

Me piden: • S = 6S∆ + 2S

Rpta.: B

 42 · 3  2  + 2 ·4   4 

à S = 6 ·

15

Trasladando áreas ; tenemos: S = 24 3 + 32

- 139 -

Rpta.: B


CAPÍTULO N° 15 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE SÓLIDOS GEOMÉTRICOS (Pág. 592, 593, 594) *

NIVEL I Resolución

1

Como: • Prisma ← Triangular regular

Tenemos:

à AB = BC = AC = x *

Además: • Volumen = 90 3 à (S∆ABC) · (AD) = 90 3 x2 ·

3 · 10 = 90 3 4

x2 = 36 à x = 6

*

Como: • Caras(Prisma) ← Cuadrados

*

Me piden: Arista Básica = x = 6cm Rpta.: B

à AB = BC = AC = 3 (dato) *

Luego todos los aristas son 3. Me piden: • S lateral = S ADEB + S BEFC + S ADFC

Resolución

4

Veamos:

S lateral =(3)(3) + (3)(3) + (3)(3) S lateral = 9 + 9 + 9 = 27 ∴ S lateral = 27cm2 Resolución *

Rpta.: C

2

En una prisma se cumple: *

• STotal = Slateral + 2·SBase

Piramide ← regular

à Stotal – Slateral = 2·SBase 1442443 à

24cm2

à Apotemas son = S

= 2·SBase

*

à SBase = 12cm2 *

Me piden: SBase = 12cm2

Resolución

3

Como:

Dato: Slateral = 240

Rpta.: E

à S∆ABC + S∆CBD + S∆EBD + S∆ABE = 240 1 1 1 1 (12)( x ) + (12)( x ) + (12)( x ) + (12)( x ) = 240 2 2 2 2

Veamos:

24x = 240 à x = 10 *

Me piden: Apotema = x = 10cm Rpta.: C

Resolución

*

Dato: • Altura(Prisma) = 10 à AD = BF = CE = 10

- 140 -

5

Tenemos:


à Volumen = (5m)(1m)(2m)

*

à Volumen = 10m3 *

2 3 Vsemiesfera 3 π · R = =2 π 3 Vcono ·R 3

Dato: 1m3

S/.3

à Volumen

Me piden:

x

→ x = 3 Volumen = 3(10)

Resolución

8

Tenemos:

à x = S/.30 *

* En el gráfico:

Luego: Debe pagar = x = S/.30

• AB = O1O2 = CD = 6cm Rpta.: C

Resolución

Rpta.: B

6

*

Me piden: • ∆ = Vcilindro – Vcono

Veamos:

1 3

∆ = π·(2)2 · (6) – (π · 22)(6) ∆ = 24π – 8π

* En el gráfico: • ∆BOC (Teorema de Pitágoras) BC2 = 52 + 122 à BC = 13 * Desarrollamos

à ∆ = 16π cm3 Resolución

9

Rpta.: D

Veamos:

La superficie lateral: * Como: Tetraedro ← Regular à AB = BC = AC = OA = OB = OC = a * Dato: L = 2π(5) = 10π 2 Stotal = 25 3 cm

 a2 3   = 25 3 cm2  4   

à 4 · *

Me piden: Slateral = S = à Slateral =

a2 3 = 25 3 cm2 à a = 5cm

L ·R 2

7

Me piden: Lon. arista = a = 5cm

Resolución

2

à Slateral = 65π cm2 Resolución

*

(10π )(13) = 65π

10

Rpta.: C

Veamos: * En el gráfico:

Rpta.: A

• ∆AEH : AH = 22 + 22

Veamos:

à AH = 2 2

*

En el gráfico:

*

Luego:

• ∆ABC : AC = 22 + 22 à AC = 2 2

• AO = OB = OC = R

Vcono =

• ∆CGH: CH = 22 + 22 à CH = 2 2

1 (S )(altura) 3 Base

*

Como: • AH = AC = CH à ∆ACH ← Equilátero

à Vcono =

1 π 3 (π ·R2)(R) à Vcono = R 3 3

*

1 4 3 • Vsemiesfera = 2  3 π · R   

à Vsemiesfera =

Me piden:

(2 2 )

2

S∆ACH =

4

· 3

=2 3

2 ∴ S∆ACH = 2 3 cm

2 π · R3 3

- 141 -

Rpta.: A


Resolución

11

Tenemos: *

Resolución

15

Veamos: * Dato:

Sabemos: 4πR2

• Ssuperficie = à Ssuperficie = 4π·(3)2 = 36π cm2

• Diagonal(cara) = 2 2 à BC = 2 2


12

* Además: • AB = AC = a

Veamos: *

Dato:

* Ahora: • ∆BAC (Teorena de Pitágoras)

• Vcono = 48π

à BC2 = AB2 + AC2

1 à πR2h = 48π 3

à

*

(2 2 )

2

+

*

42 + R2

Resolución

à

g2 =

42 + 62

Long. arista = a = 2cm Rpta.: B

NIVEL II 1

Veamos:

• ∆BOC (Teorema de Pitágoras): g2 =

* Me piden:

a2

8 = 2a2 à a = 2

1 πR2(4) = 48π à R = 6 3

En el gráfico:

=

a2

*

Como:

à g = 2 13

Me piden: Generatriz = g = 2 13 cm

à EH = HG = a

Rpta.: D *

Resolución *

13

Ahora:

(

Veamos:

Dato:

∆EHG : 8 2

)

2

= a2 + a2

128 = 2a2 à a = 8

⎧ OD = R • CD = 2(OD) ! ⎨ ⎩ CD = 2R

*

• Slateral = 64π cm2 ! (2π·R)h = 64π

Me piden: Slateral = 4·S

EADH

= 4.[4a]

Slateral = 4(4)(8) = 128

(2π·R)(2R) = 64π

à Slateral = 128

4πR2 = 64π ! R = 4 ⎛ Radio ⎞

Resolución

Me piden: ⎜ Base ⎟ = R = 4cm ⎝ ⎠

*

EFGH ← cuadrado

•

2

Rpta.: C

Veamos:

Rpta.: E Resolución * Dato:

14

*

Tenemos:

0 ← centro EFGH

• VEsfera = 36π !

à EO = OG = n

4 π·R3 = 36π 3

R3 = 27 ! R = 3 *

Como:

*

•

Me piden:

⎛ Radio ⎞ ⎜ ⎟ = R = 3cm ⎝Esfera⎠

Ahora: EHG: (2n)2 = 62 + 82 4n2 = 100 à n = 5 •

Rpta.: C

AEO : x2 = 122 + n2 x2 = 122 + 52 x2 = 169 à x = 13

*

- 142 -

Me piden: AO = x = 13

Rpta.: A


Resolución

*

3

Veamos:

Resolución

Como:

*

Pirámide ← Regular

*

à 4a = 24 à a = 6 Además:

Me piden: VTotal = V1 + V2 VTotal = (4)(3)(3) + (5)(3)(2) VTotal = 36 + 30 = 66cm3

• Caras(Pirámide) ← ∆sEquiláteros *

En el gráfico: AB + 5 = 8 à AB = 3

Dato: • Perímetro ABCD = 24

*

Luego:

Resolución

7

 a2 3  SLateral = 4 ·( S∆DOC ) = 4  4    2

SLateral = a

Resolución

4

Rpta.:D

Veamos:

* Dato: Vcilindro = 40p n3

2

3 =6 · 3

à SLateral = 36 3

Veamos:

• AB + CD = EG

à AB = BC = CD = AD = a *

6

à p·R2 (10) = 40p

Rpta.: A

10pR2 = 40p à R = 2

Veamos: *

Me piden:

*

Volumen total = 4 · Vcubo

 Radio   = R = 2m Me piden:   Base 

Volumen total = 4 ·(1)3 = 4 cm3 Rpta.: D Resolución *

5

Veamos:


8

Veamos:

*

Al girar el cuadrado, hemos generado un cilindro de radio = 2m

*

Luego:

Me piden:

VTubo =

VCilindro − VCilindro Mayor

Menor

Vcilindro = π·(2)2 · (2) = 8π

à VTubo = π·(5)2·(40) – π·(4)2·(40)

à Vcilindro = 8π cm3

VTubo = 40π·(52–42) = 40π(9) à Vtubo = 360πcm3

Rpta.: E

- 143 -

Rpta.: A


Resolución

9

Veamos

• VCono =

1 π·R2·h 3

• VCilindro = π·R2h *

Me piden: 1 π ·R2 ·h Vcono 1 3 K= = = Vcilindro 3 π· R2·h

à

*

K = 1/3

Resolución

Dato:

Rpta.: C

12

Tenemos:

* Me piden:

h = PerímetroABCD h = 4(2cm) à h = 8cm *

Me piden: VPrisma = (2)(2)(h) = (2)(2)(8) = 32 à VPrisma = 32cm3

Resolución

10

Rpta.: E

Tenemos:

SLateral = 4 ·S∆DOC 1



SLateral = 4 · (2)(2) 2  à SLateral = 8cm2 Resolución

*

13

Rpta.: B

Veamos:

Dato: SSemiesfera = 18π à

1 (4πR2) = 18π 2

2πR2 = 18π à R = 3 *

Me piden:

*

1 4 3 2 3 VSemiesfera = 2  3 π ·R  = 3 π ·R  

VSemiesfera =

2 π·(3)3 = 18π 3

Dato: SSección = 16 Máxima

à π ·R2 = 16

Rpta.: C *

Me piden: SEsfera = 4πR2 = 4(16) = 64

Resolución *

Luego:

11

à SEsfera = 64

Tenemos:

Resolución

- 144 -

14

Rpta.: B Tenemos:


*

Dato:

Resolución

17

Tenemos:

VParalelepipedo = 120 à n(n+1)(n+2) = 4(4+1)(4+2) *

Comparando:

*

Me piden:

n=4 *

Long. Mayor = n + 2 = 4 + 2 = 6 à Long. mayor = 6cm Resolución

15

Dato: Stotal = 136cm2

Rpta.: E

à 2·(S1 + S2 + S3) = 136 2·(2n×n + 2n×3 + n×3) = 136

Tenemos:

2n2 + 6n + 3n = 68 2n2 + 9n – 68 = 0 17 à n = –17/2 (x)

2n +

4 à n=4

n– *

Dato: = 152 cm2

• STotal

*

Como: n ∈ IN à n = 4

*

Me piden: 

Pr isma

à 2(S1 + S2 + S3) = 152

( )

 Lado Menor   = n = 4cm base  

Resolución

18

Rpta.: D

Tenemos:

2(3a·a + 8·3a + 8·a) = 152 2(3a2 + 24a + 8a) = 152 3a2 + 32a – 76 = 0 3a +

38 à a = –38/3 (x)

1a –

2 à a=2

( )

*

Como: a ∈ IN à a = 2

*

Me piden: Lado menor = a = 2

*


16

Dato: VPrisma = 135 3 cm3

Tenemos:

à 10·S = 135 3 3  10 ·  a 2 3  = 135 3 2 

135 3 ·a2 = 135 3 à a = 3 * *

Me piden: STotal Prisma

à

Prisma

STotal Prisma

à

Resolución

= (S1 + S2 + S3)

STotal

Prisma

19

Rpta.: C

Tenemos:

VPr isma1 1 = VPr isma 2 4

= 2·(4×4+4×20+4×20) altura 1

= 2(16 + 80 + 80) = 352

STotal

 Arista 

Me piden:  Básica  = a = 3cm  

= 352cm2

à

S Base · 2 S Base · x

=

1 à x=8 4

altura 2

Rpta.: A *

- 145 -

Me piden: altura2 = x = 8m

Rpta.: E


Resolución

20

Tenemos:

Resolución

23

Tenemos:

* Me piden: SLateral = 4 ·S∆DOC 1

*



SLateral = 4 · (6 )(10 ) 2  SLateral = 120 cm2 Resolución

21

Me piden: SLateral = 8·S∆GOF 1

à SLateral = 320cm2

Tenemos:

Resolución

*



SLateral = 8 · 2 ·( 4)(20 ) = 320  

Rpta.: B

24

Rpta.: C

Tenemos:

Me piden: STotal = 4·S∆BOC  42 · 3   = 16 3  4 

STotal = 4 ·

à STotal = 16 3 cm2 Resolución

22

Rpta.: D

*

Dato: VPirámide = 270cm3 à

Tenemos:

1 ·S ·h = 270 3 Base

1 (9×9)·h = 270 à h = 10 3

*

Me piden: Altura = h = 10cm

Resolución

*

Me piden: VPiramide =

1 S∆ABC·h 3 1  62 · 3   ·(12) = 36 3 4 

à VPiramide = 3  

à VPiramide = 36 3 cm3 Rpta.: A

- 146 -

25

Tenemos:

Rpta.: D


*

En el gráfico:

Resolución

28

Tenemos:

1 • OM = AD à OM = 3cm 2

• ∆O1OM (Teorema de Pitágoras): à h2 + 32 = 52 h2 = 16 à h = 4 *

à VCilindro = π·(2)2·(12)

1 Me piden: VPirámide = · SBase·h 3 1 à VPirámide = (6×6) ·(4) = 48 3

à VPirámide = Resolución

48cm3

26

à VCilindro = 48π *

Dato: 1m 3

S/.10 x

VCilindro

Rpta.: A

x=

Veamos:

10 ·Vcilindro = 10 ·Vcilindro 1

à x = 10·48π = 480π x = 480·(3,14) = 1507,2 x = S/.1507,2 *

Luego: Debo pagar = x = S/. 1507,20 Rpta.: E

Resolución

*

29

Tenemos:

Me piden: • R = 10cm

SLateral = (2π·R)(h) = 2π·(2)(6) = 24π à SLateral = 24π cm2 Resolución

27

• π = 3,14

Rpta.: B

Tenemos: *

Dato: SLateral = 125,60 1 (2π·R)(g) = 125,60 2

π·R·g = 125,60 (3,14)(10)·g = 125,60 à *

Me piden: Generatriz = g = 4cm

Long = 3,1416 (dato)

Rpta.: D

à 2πR = 3,1416 2(3,1416)·R = (3,1416)

Resolución

à R = 1/2 *

Me piden: VCilindro = π·R2 ·h VCilindro = π(1/2)2·(2) = 0,5π à VCilindro = 0,5π cm3

g=4

Rpta.: C

- 147 -

30

Tenemos:


*

Dato:

Resolución

32

Tenemos:

VCono = 471 à

1 π·R2·18 = 471 3

6π·R2 = 471 6·(3,14)·R2 = 471 18,84 · R2 = 471 R2 = 25 à R = 5 *

Me piden: Diámetro = 2R = 2(5) = 10 à Diámetro = 10cm

Rpta.. C *

Resolución

31

Veamos:

Dato: R1 1  R1 = K • R =3 à  2  R2 = 3K

• SEsfera1 = 628 à 4π(R1)2 = 628 4π·(K)2 = 628 à π·K2 = 157 *

Me piden: • SEsfera 2 = 4π(R2)2 SEsfera 2 = 4π(3K)2

*

Dato:

SEsfera 2 = 36(π·K2)

S = 0,785

SEsfera 2 = 36(157) = 5652 à SEsfera 2 = 5652 cm2

à π·R2 = 0,785 (3,14)·R2

= 0,785

R2 = 0,25 à R = 0,5 *

Me piden: SEsfera = 4p·R2 SEsfera = 4(3,14)(0,5)2 SEsfera = 3,14 cm2

Rpta.: B

- 148 -

Rpta.: D


CAPÍTULO N° 17 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES (Pág. 641, 642, 643)

Resolución *

1

Veamos:

*

Me piden:

En la tabla aplicamos: % Alimentación = fi

144° · 100% 360°

à % Alimentación = 40%

=6 =2 =3 =4 =6 =7

Resolución

3

Rpta.: C

Tenemos:

n = 28 fi • hi = n

à

hi =

fi 28

• fi = conteo *

* Me piden:

Ahora:

# Grados(Voleibol) =

1.1 * Me piden: Frecuencia(Mayor tem) = f6 à Frecuencia(Mayor tem) = 7 Rpta.: B

Frecuencia (voleibol) · 360° n

à # Grados(Voleibol) =

25 · 360° = 90° 100

à #Grados(Voleibol) = 90°

1.2 * Me piden: Frecuencia(Menor tem) = f1 à Frecuencia(Menor tem) = 6 Rpta.: C

Resolución

4

Rpta.: D

Tenemos:

1.3 * Me piden: f2 + f3 + f4 = 2 + 3 + 4 à f2 + f3 + f4 = 9

Rpta.: D

1.4 * Me piden: Frec. Relativa(x4) = h4 à Frec. Relativa(x4) = 4/28 = 1/7 Rpta.: C 1.5 * Me piden: Porcentaje =

f6 · 100% n

Porcentaje =

7 · 100% = 25% 28

Resolución

2

*

Rpta.: A

Me piden Flujo(4 primeros días) = f1+f2+f3+f4 Flujo(4 primeros días) = 600 + 7500 + 4000 + 5000 à Flujo(4 primeros días) = 22 500

Tenemos:


- 149 -

5

Tenemos:


*

Me piden:

Resolución

8

Tenemos:

1,64 + 1,66 + 1,68 + 1,66 + 1,70 x= 9 +1,72 + 1,80 + 1,78 + 1,80

à

à x=

Resolución

15,44 ≈ 1,72m 9

6

Rpta.: B

Tenemos:

* *

Luego: A) → Falso B) → Falso (De 1996 a 1997 disminuye) C) → Falso (De menor producción fué 1993) D) → Verdadero

Niños

*

→ Falso (“D” es verdadero)

∴ La alimentación correcta es (D)

Niños

Ahora: Niños Niños Niños [11; 15] = [11; 13] + [13; 15] Niños [11; 15] = 7 1+ 5 Niños [11; 15] = 12 ≠ Total niños 2

à (III) Falso

Rpta.: D 7

Niños

Total niños = 27

)

Resolución

Niños

II. Total =[7; 9] + [9; 11] + [11; 13] + [13; 15] Total = 6 + 9 + 7 + 5 Total = 27 à (II) Verdadero III. Tenemos:

900200 + 1300400  x = 2  x = 1100300

E)

Ahora: I. [9; 11] ← 9 niños à (I) Verdadero

∴ Son verdaderas I y II

Rpta.: D

Tenemos: Resolución

*

9

Tenemos:

Ahora

9.1 * Me piden: P(1R) = Cant. Rojas = 4 *

Luego: I. Temp. mínima ← (L ; M ; J) = 15° à Falso (I) II. Temp. máxima ³ (S) = 25° à Verdadero (II) 15 + 20 + 15 + 15 + 20 + 25 + 20 7 x = 18,57°

III. x =

à Verdadero (III) ∴ Son verdaderos II y III

Total

15

à P(1R) = 4/15

Rpta.: C

9.2 * Me piden: P(1B) =

Cant. Bojas 6 = Total 15

à P(1B) = 2/5

Rpta.: A

9.3 * Me piden: P(1A) =

Cant. Azules 5 = Total 15

à P(1A) = 1/3

Rpta.: B 9.4

* Me piden: P(no 1B) = 1 – P(1B) P(no 1B) = 1 −

- 150 -

Rpta.: B

Cant. Blancas Total


6 9 = 5 15 à P(no1B) = 3/5 Rpta.: D

P(no 1B) = 1 −

9.5 * Me piden: P(no 1R) = 1 – P(1R) P(no 1R) = 1 − Cant. Rojas Total 4 11 = P(no 1R) = 1 − Rpta.: E 15 15

à n( Ω ) = 52 * Me piden: P(A) =

Resolución

10

13

Rpta.: D

Sea:

° A = {Apunta a un número 4 } Ω ={Total de casos} *

Resolución

n(A) 8 2 = = n(Ω) 52 13

Luego; tenemos:

Sea:

A = {Obtener un número menor que 5} Ω = {total de casos}

*

Luego: • Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} à n( Ω )= 6 • A = {1; 2; 3; 4} à

*

n(A) = 4

Me piden:

A = {4; 8; 16; 12} à n(A) = 4 • Ω = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16}à n( Ω ) = 8

n(A) 4 2 = = P(A) = n(Ω) 6 3

Rpta.: B

*

Me piden: P(A) =

Resolución

11

Sea:

A = {Obtener una carta espada} *

Resolución

14

Rpta.: A

Sea:

Ω = {Total de casos}

A = {La tarjeta es número 15}

Luego:

Ω = {Total de casos}

• A= {1; 2; 3; 4; ... ;4 13} à n(A) = 13 144 4244 3

*

Trebol Corazón Diamante

Espada

à n( Ω ) = 52 Me piden: n(A) 13 P(A) = = = 1/ 4 n(Ω) 52

Resolución

12

• Ω = {1; 2; 3; ...; 20} à n( Ω ) = 20 *

Rpta.: C

*

Luego; dato: • n(A) = 4 • n( Ω )= 4800

*

Me piden: n(A)

4

• P(A) = n(Ω) = 4800

Diamante

à n(A) = 8

à P(A) = 1/1200

• Ω = {1;2;...13; 1;2;...13; 1;2;...13; 1;2;...;13} 1424 3 1424 3 1424 3 1424 3 Trebol

Sea:

A = {boletos a favor de Juan}

1Rey; 1Reyna; 1Reyna 144 4244 4 3 1Rey; 144 4244 4 3}

Espada

15

Rpta.: E

Ω = {casos totales}

* Luego: • A = {1Rey; 1Reyna; Rey;4244 1Reyna 4 3 144 4244 4 3 1 144 Trebol

n(A) 1 = n(Ω) 20

Resolución

Sea:

• Ω = {Total de casos}

Corazón

Me piden: P(A) =

•A = {Obtener una reyna o un rey}

Espada

Luego: • A = {15} à n(A) = 1

Espadas

;4 2;24 ... 13; 2;24 ... 3 13; 1; 2;24 ...13; 1;4 2..; 13] • Ω ={11 3 1;14 14 3 1 24 3

*

n(A) 4 1 = = n(Ω) 8 2

Corázon Diamante

- 151 -

Rpta.: C


Resolución

16

Sea:

A = {Se obtiene cara y cara} Ω = {Total de casos} *

*

Cant. Fresas 12 = Total 41

• P(1F) =

à P(1F) = 12/41

Luego:

Cant. Mentas 8 = Total 41

• A = {CC} à n(A) = 1

• P(1E) =

• Ω = {CC; CS; SC; SS} à n( Ω ) = 4

à P(1E) = 8/41

Me piden: P(A) =

• P(1M) =

n(A) 1 = n(Ω) 4

à P(1M) = 15/41 ← Mayor

Rpta.: A *

Resolución

17

Cant. Manzanas 15 = Total 41

Sea:

Como el mayor es P(1M) à Es más probable que sea manzana

• x = cant. bolas blancas (B)

Rpta.: D

• y = cant. bolas verdes (V) • z = cant. bolas negras (V) *

Resolución

Luego; dato: 2 5

*

x

2

x

*

• Ω = {40 candidatos} à n( Ω ) = 40

1 10

z

* 1

z

20

*

x = 20 ; y = 25 ; z = 5

Luego: • A = {10;20;30;40;50;60;70;80;90}

à 20 blancas ; 25 verdes y 5 negras

à n(A) = 9 Rpta.: B

•

Ω = {10; 11; 12; ... 99}

à n( Ω ) = 90

Tenemos: *

Me piden:

P(A) =

n(A) 9 = = 1/10 n(Ω) 90

à P(A) = 1/10 *

Ahora: • P(1L) =

Sea:

A = {Número que términa en cero} Ω = {Total de casos}

Ahora; tenemos:

18

n(A) 5 = = 1/ 8 Rpta.: C n(Ω) 40

Resolución

à 20 + y + 5 = 50 à y = 25

Resolución

Me piden:

P(A) =

1

= à x + y + z = 10 à àz=5 50 10 En (I) :

x + y + z = 50

*

Luego: • A = {Martín; 4 amigos} à n(A) = 5

2

= à x+ y+z = 5 à à x = 20 50 5

• P(1N) =

Sea:

A = {Gana Martín o un amigo} Ω = {Total de casos}

• x + y + z = 50 ... (I) P(1B) =

19

Cant. Limones 6 = Total 41

à P(1L) = 6/41

- 152 -

Rpta.: D

solucionario coveñas matemax 1

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