matemax 4

Solucionario Cuarto año de educación secundaria

-1-

-2-

Cuarto Año de Secundaria

CAPÍTULO 2 SISTEMA DE NÚMEROS REALES (Pág. 33) NIVEL I Resolución

⇒

1

I es verdadero

La proposición I dice: “La operación de división en IR es asociativa”, lo cual lo comprobaremos con un ejemplo numérico:

2a2 − a3 − a

;

− a (− 2a +

a2

Sea:

− a (a−1)2

2 − 2a + 1 − a (a )

(8÷4) : 2 = 8 : (4 : 2)

Donde : (a − 1)2 > 0 ; ∀a ∈ IR Luego:

2:2=8:2 1=4

∴

La proposición I es falsa.

Si a > 0

La proposición III dice: “Entre dos números reales distintos existen infinitos números reales”, lo cual es cierto por definición de números reales.

∴ La proposición III es verdadera. La proposición II es parte de la proposición III, por lo cual si III es verdadera, entonces II será verdadera.

∴

La proposición II es verdadera.

Luego:

Resolución

FVV

⇒ − a (a − 1)2 < 0

• Si b < a < 0 ⇒ b < a → a2 > b2 ⇒ I es falsa • Si a < 0 → a2 > 0 b < 0 → b3 < 0 Luego: −1 < b < a < 0 ⇒ a2 > b3 ⇒ II es verdadera Si −1 < b < a < 0 • ⇒ b3 < a3 ⇒ III es falsa El valor de verdad de las afirmaciones será:

∴ Resolución •

FVF

Rpta B

número negativo

⇒ a(a − 1)2 < 0

− a(a − 1)2 > 0

←

número positivo

⇒ La proposición II no se cumple ∀a ∈ IR ⇒ II es falso • Si a < 0

⇒ − a3 > 0

− a3 < 0

←

número positivo

La expresión III es positiva a ∀a < 0

⇒ III es falso ∴ Es siempre negativa: solo I Rpta A Resolución

4

• Si 3 < x < 4 3−2
3

Si: b > a > 0 ⇒ b2 > a2

←

• Si a < 0

Rpta B

2

F Sisemultiplicapor un I GG número positivo,no JJ el sentido dela J GH cambia desigualdad K

F Si se multiplica por un I G número negativo , JJ ⇒ a ⋅(a − 1)2 > 0 G el sentido J GH cambia de la desigualdad. K

El valor de verdad de las proposiciones será:

∴

∀a ∈ IR + 1)

1 < x − 2 < 2 ........... (1) • Si 3 < x < 4

⇒ b2 − a2 > 0

3−4
4 2 2 <0 4 2 b − a b − a2 > 0 ; − negativo

0 < x − 4 < 1 ............ (2)

−1
-3-

• Si 3x − 1 ≤ 0

Sumando (1) y (2) obtenemos.

b

⇒ −(3x − 1) = x + 7 − 3x + 1 = x + 7

1< x − 2 + x − 4 < 3

⇒

− 6 = 4x →

x−2 + x−4 = 2

RS T

Rpta B Resolución

∴ C. S. = −

5

El inverso aditivo de (3a − 5) es: − (3a − 5)

Resolución

- Por dato: a = −3a + 5

Luego: (2a+3) = 2 (2a+3) =

x ∈

(2a + 3)−1

⇒ H2 = 1 2 + 52 H

H = 26

10

FG 6 IJ = 13x + Op(1) H x K 15 1 13 x −(2 − x) + FG 6 IJ = 15 + b −1g H xK

Op (2 − x) + Rec

1; 4

(Multiplicamos por 3)

10 ≤ 3x+7 ≤ 19 (Le sumamos 7)

∴ (3x + 7) ∈ 10 ; 19

Rpta B

x 13 x = −1 6 15 x 13 x x+ − = −1 + 2 6 15

−2+x+

7

El elemento neutro de la adición es: 0 Del enunciado:

9x =1 ⇒ 30

b g

3 x + 1 − 2x ⋅ 5 = 0

∴

3x + 3 − 2x ⋅ 5 = 0 x + 3 ⋅5 = 0

⇒ x+3=0 ∴ x = − 3 Rpta C 8

• Si: 3x − 1 ≥ 0 3x − 1 = 3x − 1

⇒

H2 = 26 →

5

1 Resolución

6

3 ≤ 3x ≤ 12

Resolución

9

En el triángulo rectángulo coloreado, tenemos que:

⇒ 1 ≤ x ≤4

Resolución

Rpta B

11 2

2 Rpta. D ∴ El inverso multiplicativo es 11

Si

UV W

FG 5 IJ + 3 H 4K

−1 11 I 2 F −1 G J (2a + 3) = H 2 K = 11

Resolución

3 ;4 2

3 2

5 4

El inverso multiplicativo de (2a + 3) es:

⇒

x=−

Construimos el triángulo rectángulo y aplicamos el teorema de Pitágoras.

a = −(3a − 5) 4a = 5 → a =

g

3x − 1 = − 3x − 1

|UV( + ) 0 < x − 4 < 1|W

1< x − 2 < 2

x=

l

x ∈ 10 / 3

Resolución

q

10 3 Rpta. C

11

Sea “N” el número buscado

⇒

e

5 − 1 ⋅N = 4

j

Multiplicamos a ambos miembros de la

e 5 + 1j : e 5 + 1j ⋅ e 5 − 1j ⋅ N = 4e 5 + 1j F 5 2 − 12 I ⋅ N = 4e 5 + 1j H K

igualdad por

3x − 1 = x + 7 2x = 8 → x = 4 -4-


4N = 4

∴

N=

Resolución

e

5 +1

j

5 +1

Resolución

El neutro multiplicativo en los reales es 1.

12

I.

1, 4142 es un número decimal

II.

3 −8 = − 2 es un número entero.

Según el enunciado: 3 =1 x −1

III. 3,1416 es un número decimal IV. 2,333 ... es un número decimal periódico puro

Luego:

∴ Ninguno es Irracional Rpta. B Resolución

Por definición de números reales sabemos que “entre dos números reales distintos existen infinitos números reales”. Luego: El número real que continúa después de 1 no se puede determinar.

•

Op (−6x + 7) = − (−6x + 7) Op (−6x + 7) = 6x − 7

•

FG −19x + 1IJ = 1 H −3 K FG −19x + 1IJ H −3 K F −19x + 1IJ = −3 Rec GH −3 K −19 x + 1

3

• Si 1 < x < 2 ⇒ 9 < 9 x < 18 17 < 9x + 8 < 26 Como: 9x + 8 > 17 > 0 ⇒ 9 x + 8 = 9x + 8 ........... (I) • Si 1 < x < 2 ⇒ 2 < 2x < 4

−6 < 2x − 8 < − 4 Como: 2x − 8 < − 4 < 0

Rec

⇒ 2 x − 8 = − (2x − 8) ..... (II) Reemplazamos (I) y (II) en la expresión inicial, obteniendo.

b

9x + 8 − − 2x − 8 9x + 8 − 2x − 8 = x x =

9x + 8 + 2x − 8 x

∴

=

11x = 11 x

Resolución

4

Según el enunciado, tenemos que: −3 6x − 7 ⋅ =1 −19 x + 1

IJ g FGH K −3b 6 x − 7 g =1

b

FG x + 1 IJ = 4 + 1 = 5 = 5 H x − 3K 4 − 3 1

Resolución

Rpta. E 14

x=4

∴ El inverso aditivo es: − 5 Rpta E

13

Resolución

2

Sabemos que:

Rpta: D

Rpta. D

−19 x + 1

−3 (6x − 7) = − 19x + 1 −18x + 21 = − 19x + 1

• Si a < 0

∴ x = − 20 Rpta B

a<0

Resolución

1

El elemento neutro multiplicativo es 1 ⇒ La afirmación I es falsa a ⋅ b = o ⇔ a = 0 ∨ b = 0 , no es un axioma ⇒ La afirmación II es falsa ∀a ∈ IR : − a ≤ a ≤ a Es una propiedad del valor absoluto. ⇒ La proposición III es verdadera. Luego: FFV

“a” es negativo

a ⋅ b < 0 (Negativo) Luego: a2 > a ⋅ b (Positivo) > (Negativo) ⇒ La proposición I es verdadera. a Si: a < b <1 b ⇒ La proposición II es verdadera. •

El valor de verdad de las afirmaciones será:

∴

a2 > 0 (positivo)

“b” es positivo b>0 ⇒ a ⋅ b = (−) ⋅ (+) = (−)

NIVEL II

Rpta B -5-

 <  =  << = > 5E > > → >   >

5E = < →

g

Tenemos que:

Ordenando de mayor a menor, tenemos que:

1 1 <0< a b a−1 < 0 < b−1 a−1

b>a>c ⇒

< ⇒ La proposición III es verdadera. Si a < 0 < b ⇒ a2 < b2 ó a2 > b2 ⇒ La proposición IV no se puede afirmar ∴ Son verdaderas solo I, II y III Rpta. C Resolución

Resolución

8

Del enunciado, tenemos que: x 1 1 − ⋅ =0 x − 5 11 33

FG H

IJ K

x 1 − =0 x − 5 11

Según el enunciado: “M” y “N” son inversos multiplicativos ⇒ M⋅N=1

x 1 = x − 5 11

FG 3x + 1IJ ⋅ FG x − 2 IJ = 1 H x − 1 K H 3x + 2 K b3x + 1gb x − 2g = 1 b x − 1gb3x + 2g

∴

(3x+1) (x − 2) = (3x+2) (x − 1)

Resolución

3x2−6x+x − 2 = 3x2−3x+2x − 2

Si 2P y

−5x = − x

x=−

Si

x=0

Q son inversos aditivos, tenemos que: 6 2P +

Rpta. D

5x − 3 = 2x − 9

2x – 9 ≥ 0 → x ≥ 4,5 Ι 5x − 3 = 2x − 9 ∨ ΙΙ 5× – 3 = –(2× – 9)

x = –2

5× – 3 = –(2× + 9) 7x = 12 x=

12 7

2x − −2 Y

4 x+4 + =0 3 6

12x − 8 + x + 4 =0 6

1 ∉ [4,5; + ∝ 2

∴c ⋅ s =

Q =0 6

F I GG x + 2 JJ 1 F I G2G x − 1 JJ + GH 1− 2 JK = 0 6 GH 1+ 21 JK F I GG x + 2 JJ F I G 1J G 1J H 2 K = 0 2G x − J + GH 32 JK 6 F 2 I F x + 4 IJ = 0 2G x − J + G H 3K H 6 K

6

3x = − 6

Rpta. B

1 2

9

4x = 0

Resolución

Rpta. E

El elemento neutro de la adición es: 0

5

∴

b;a;c

b−1

{}

13 x − 4 =0 6

Rpta. C

13x − 4 = 0 Resolución a=

7

∴

2 = 1,414213562

b = 3 3 = 1,44224957 c = 6 6 = 1,348006155 -6-

x=

4 13

Rpta. B


Resolución

10

II)

FG 3x IJ es el neutro multiplicativo, H 7x − 4 K

Si

FG H

= 3+

x=1 III)

5x3−2 = 5(1)3−2

x=

jb g 2 I x − 12 b x + 1g K

x +1

x −1 x +1

je

M = x2 − 12 ⇒ M = x2 − 1 ................ (I)

2 +1 2

x=

3 2

⇒ y=

2 −1 2

y=

1 2

F H

2+ 3

x2 = 4 + 2

2+ 3 − 2− 3 =

I K

2− 3 +2− 3

=

e 2 + 3 je 2 − 3 j

x 2 = 4 + 2 22 − 3

2

=2

x2 = 4 + 2 1 x2 = 6

=2

Reemplazando “x2 = 6” en la ecuación (1) obtenemos: =

M = x2 − 1 = 6 − 1

∴ Resolución

M=5 12

−15 < 5x < 5

Resolución (multiplicamos por 5)

∴ Resolución I)

e

32 − 8

Rpta. C

13

j2 = e 2

8− 8

3 + 2

1 − 2

1 − 2

3 − 2

3 + 2

1 2

1 2

=

2 2

⋅

2 2

2 (número irracional) Rpta. C

14

∨

2x −1 = −5

∨

2x = 6 x=3

∨

2x = − 4 x = −2

• Si x = 3

y= x = 3 =3

• Si x = −2

y = x = −2 = 2

∴

j2

= 8 (Número entero) -7-

1 2

1 2

2x −1 = 5

5x + 3 < 4 (divimos entre 2) 2 −6 < p < 4

I F JK GH

3 + 2

Tenemos que: 2 x − 1 = 5

−12 < 5x + 3 < 8 (le sumamos 3) −6 <

F GH

∴ Es irracional: solo III

Rpta. B

−3 < x < 1

Si

1 2

Restando ambas raíces, obtenemos:

I2 K

IF KH

1 2

3 − 2

2− 3 =

(elevamos al cuadrado)

2+ 3 + 2− 3

x2 = 2 + 3 + 2

3 + 2

2+ 3 =

⇒

x = 2+ 3 + 2− 3

m=1

⇒ x=

Luego:

De la condición:

F H

x+ y

2+m 2−m ; y= 2 2

M = (x − 1) (x + 1)

x2 =

(número decimal)

Donde: m = 22 − 3

11

e F M= H

FG IJ 2 H K

1 1 + 3 3

2 3 1 + 3 9

2+ 3 =

∴ 5x3 − 2 = 3 Rpta. C

M=

2

3 +2 3⋅

28 + 6 3 9

=

Luego:

Resolución

IJ 2 = K

tenemos que:

3x =1 7x − 4 3x = 7x − 4 4 = 4x

1 3

3+

El mayor será: 3

Rpta. C

I JK

Resolución

15

⇒ A + B = 0⋅1 +

Del triángulo rectángulo:

A + B = 10⋅1

Donde:

∴ A + B es siempre mayor que 2

• Por el teorema de Pitágoras:

x

1 0 ⋅1

Rpta. B

x2 = 12 + 32

3

x = 10

x2 = 10

1 - Representamos el triángulo rectángulo en la recta real y ubicamos x = 10

Resolución

2

I. Si a ∧ b ∈IR , entonces (a+b)∈IR ma de clausura)

(Axio-

II. ∀a ∧ b ∈IR : (a/b)∈IR. (No es un axioma) III. ∀a; b y c ∈ IR : a(b+c) = ab + ac (Axioma distributivo)

∴ Los axiomas son: I y III Rpta. E Resolución

3

Si (2m+n) es el elemento neutro de la multiplicación ⇒ 2m + n = 1 .............. (1)

De la condición:

F I 1I F G −1 JJ Op G m + J = Re c G H 3K GH 21 + 51 JK F 1I 1 −G m + J = H 3K F I GG −1 JJ GH 21 + 51 JK F 1I 1 −G m + J = H 3 K F I − FG m + 1 IJ = 1 GG −1 JJ ⇒ H 3 K F −10 I GH 7 JK GH 107 JK F 1I 7 ⇒ m + 1 = 7 −G m + J = − H 3 K 10 3 10

Del triángulo rectángulo: • Por el teorema de Pitágoras: y

y2 = 12 + 42

4

y = 17

y2 = 17

1

- Representamos el triángulo rectángulo en la recta real y ubicamos

17

m=

NIVEL PREUNIVERSITARIO Resolución

1

Según el enunciado, tenemos que A⋅B=1 ; A>0,B>0 y A ≠ B

2

FG 11 IJ + n = 1 H 30 K

1 A

n = 1−

Luego: A + B = A +

1 A

Analizando:

Luego:

Si: A = 0⋅9 ⇒ A + B = 0⋅9 +

1 0⋅9

m=

Reemplazando el valor de “m =

Serán los números: A y B

⇒ B=

7 1 21− 10 − = 10 3 30

A + B = 2⋅011

-8-

22 30

11 ” en (I); obtenemos: 30

22 +n =1 30 n=

8 30

8 n 30 = m 11 30

∴

Si: A = 0⋅1

⇒

n 8 = m 11

11 30

Rpta. D


Resolución • P= x−

1 1−

⇒ P= x−

1 1 1− 2

P= x− P= x− • Q = 2x +

Q = 2x +

1 −1

−1+

1 1−

x = −1

1 1 2

∴ x ∈ −1

l q

Resolución

1 1− 2

⇒

a+b+c=0

P = x +1

Por productos notables, tenemos que:

⇒ Q = 2x +

1 1−

1 2

1 −1+

1 1 2

Si a + b + c = 0 se cumple que: a2 + b2 + c2 = − 2(ab + ac + bc) a2 + b2 + c2 = −2 ab + ac + bc

∴ 1 1

⇒

Q = 2x + 1

Q son inversos aditivos, 3 2P +

Resolución

3

6x + 6 + 2x + 1 =0 3 8x + 7 = 0 ⇒ 8x + 7 = 0 3

∴ x=−

7 8

Rpta. A

7

⇒x=1 ¨0¨ 2 ( x + x + 1 x − 1) + 3x 3 x 3 = = = ( )2 + 2x 2 x 2 x2 + 1 − 1 x

Q =0 3

b g b 2x3+ 1g = 0 6b x + 1g + b 2 x + 1g =0

Rpta. B

Para que (x – 1)2 sea mínimo (cero)

2

2 x +1 +

Resolución

6

Si (a + b + c) es neutro aditivo, entonces:

1 −1+ 2

tenemos que:

Rpta. A

• Identidad secundaria

1

Q = 2x + Si 2P y

−3 x − 3 =0 4 −3x − 3 = 0 −3x = 3

4

¨0¨

Rpta. E Resolución

8

Si 7 x − 1 ≥ 1 ⇒

7x −1 ≥ 1 ∨ 7x − 1 ≤ −1 7x ≥ 2 ∨ 7x≤ 0

2 ∨ x≤ 0 7 graficamos en la recta numérica: x≥

5

FG x + 1IJ + Re c FG 2 IJ = x H 4 K H x − 1K F x + 1IJ + 1 = x −G H 4 K FG 2 IJ H x − 1K F x + 1IJ + x − 1 = x −G H 4K 2

Op

x −1 x +1 x −1 x +1 − =x ⇒ − −x=0 2 4 2 4

b g b g

2 x − 1 − x + 1 − 4x =0 4

∴ x ∈ −∞ ; 0 ∪ 2 7 ; + ∞ Resolución

Rpta. B

9

Si x − 3 ≤ 5

;

5>0

⇒ −5 ≤ x−3 ≤ 5

−5+3 ≤ x ≤ 5+3 −2 ≤ x ≤ 8 Luego: − 2 ≤ x ≤ 8 (Le sumamos 6) −2+6 ≤ x+6 ≤ 8+6 4 ≤ x + 6 ≤ 14

2 x − 2 − x − 1− 4 x =0 4 -9-

Tomando recíprocos, tenemos: 1 1 1 ≤ ≤ ........... (I) 14 x + 6 4 Por dato: 1 1 1 ≤ ≤ ............ (II) a x+6 b De (I) y (II) tenemos que: ∧

a = 14

II) Sea: N , un número racional 1 , no siempre será racional N ⇒ II es falso Las afirmaciones I y II serán respectivamente: ⇒

∴ Resolución

b=4

•

a + 1 14 + 1 15 = = b −1 4 −1 3

•

Luego:

a +1 =5 b −1

∴ Resolución

2>0

(sumamos “1”) ≤ −2+1 x−1+1 ≤ 2+1 −1 ≤ x ≤ 3 (multiplicamos por “2”) − 2 ≤ 2x ≤ 6 (Sumamos “2”) ≤ ≤ − 2 + 2 2x + 2 6 + 2

• 4 0, 0016 = 0, 2

∴

es racional

= −1

b0, 09g−1 =

es irracional

es racional 1 1 = 0, 09 0. 3

es racional

No son racionales: el primero y el segundo

Resolución •

0 ≤ 2x + 2 ≤ 8 ................ (I)

9. 899

3− 2 5+ 3

•

Comparando las ecuaciones (I) y (II), tenemos que:

Luego:

5− 3

Rpta. E

14

3+ 2

Según el dato: a − 1 ≤ 2x + 2 ≤ b ......... (II) • a−1=0

es irracional

38 2 3 0, 8 = 3 8 = = 3 10 10 3 10

•

−2 ≤ x−1≤ 2

Rpta. D

13

π2 = π

• 3 −1

10

Si: x − 1 ≤ 2 ; ⇒

Rpta. B

F F

7. 873

7.873 < 8 < 9 < 9 899

a=1

• b=8

enteros

Luego:

∴ Hay 2 números enteros

a+b=1+8

∴ Resolución

a+b=9

Rpta. C

11

Según el enunciado: 7 < 2x − 1 < 11 (Sumamos “1”)

Resolución

= 4 (n2 − n) + 1 n°# PAR

(Dividimos por “2”)

8 2 x 12 < < 2 2 2 4
∴ x ∈ 4; 6 Resolución

15

I. Si el número impar es: 2n − 1 , n∈ ⇒ (2n − 1)2 = 4n2 − 4n + 1

7 + 1 < 2x − 1 + 1 < 11 + 1 8 < 2x <12

⇒

n° par + n° impar = n° impar I. es verdadero.

II. Sea:

e 2 j2 = 2

Luego:

⇒ x2 =

⇒ II es falso

Irracional

Racional x4 = a ⇒ I es falso

III. Sea: - 10 -

par

2 No es par

I) Sea: x = 4 a , El número irracional a

n° # IMPAR

Luego:

Rpta. A

12

Rpta. C

3

Número irracional


⇒

e 3 j2 = 3

Número racional

⇒ III es falso

x3 =

El valor de verdad de las proposiciones será:

∴ Resolución

F H

⇒ x 3 = 3 7 + 22 + 3 7 − 22

VFF

Rpta. B

(3

(

Hacemos: 3 2 = a

e j

)(

)( F 22 + 3 G 3 e 7 + H

=

–

+

–1)

= a3 – a2 + a2 – 1

e

22

22 7 − 22

je

)

j IJK ⋅ x

j2 ⋅ x

x3 = 14 + 9x

b gb g

(a2 + a + 1) (a – 1) = a2(a –1) + a + 1 a − 1 (a2

+

x 3 = 14 + 3 3 27 ⋅ x

Si multiplicamos por “a − 1”, tenemos:

a2

)

3

22

3 3 7 + 22 3 7 − 22 ⋅ 3 7 + 22 + 3 7 − 22

= a2 + a + 1

a3

+ 3

(3 7 +

22

x 3 = 14 + 3 ⋅ 3 72 −

3 4 + 3 2 +1= 3 2 2 + 3 2 +1

∴

x3 – 9x = 14

Resolución

Rpta. B

18

I. Si la raíz cuadrada de

= a3 – 1

un número entero no es un en– ... (V)

Pero: a = 3 2

tero, tampoco es racional.

3 ⇒ (a2 + a + 1) (a – 1) = 3 2 − 1

e j

II. Si las raíces cuadradas de dos números enteros son racionales, ... (V)

=2–1=1 Donde:

3

7 +

x 3 = 7 + 22 + 7 −

16

)

I3 K

0, 5 < 1 <

entonces la suma de dichas raíces

2, 5

es un entero.

Luego:

III. Si la raíz cuadrada de un núme–

Se multiplica por: a – 1 = 3 2 − 1

ro no es racional, entonces el nú ... (V)

∴ Se debe multiplicar por: 3 2 –1 Rpta. B

mero no es racional.

Resolución

∴VVF

17

Rpta. E

Sea: x = 3 7 + 22 + 3 7 − 22

CAPÍTULO 3 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE PROGRESIONES ARITMÉTICAS (Pág.84) NIVEL I Resolución

Resolución

1

Sea la progresión:

2

Sea la progresión aritmética: 2 7 5 ; ; ; .... 3 6 3 Donde :

a1 = – 8

7 2 3 − = 6 3 6

1 2 Del enunciado: n = 26 ⇒

r=5 n = 120 a120 = ¿?

r=

2 3 Aplicando la fórmula: a1 =

Aplicando la fórmula : an = a1 + (n – 1)r a120 = – 8 + (120 –1)5 ∴ a120 = 587

razón: r =

an = a1 + (n – 1)r Entonces, tenemos que:

Rpta. E - 11 -

a26 =

FG IJ H K

1 2 + (26 – 1) ⋅ 2 3

79 a 26 = 6

∴ Resolución

Rpta. B

3

De (I) y (II) , obtenemos:59 − 39r = 33 − 26r 59 − 33 = 39r − 26r 26 = 13r r=2 Reemplazando “r = 2” en (I) , obtenemos: 59 − 39(2) = a1

Aplicando la fórmula:

a1 = − 19

an = a1 + (n – 1) r

∴ a1 = − 19 ; y

Por dato:

r=2

a25 = 52 Resolución

r=–3

an = 126

52 = a1 + (25 – 1) (–3) 52 = a1 – 72

La razón será 2 y a1 = 32 ; ya que se forma la siguiente progresión aritmética: 31 < 32 ; 34 ; 36; .... ; 126 < 128

a1 = 124

+2

Luego, hallamos “a40”: a40 = a1 + (n – 1) ⋅ r

B B

an = a1 + (n − 1) ⋅ r

B

a40 = 7

+2

Aplicando la fórmula , obtenemos 126 = 32 + (n − 1) ⋅ (2)

a40 = 124 + (40 – 1) ⋅ (–3)

Resolución

6

Del enunciado, vemos que:

n = 25 Entonces, tenemos que:

∴

Rpta. B

126 − 32 = (n − 1) 2

Rpta. C

47 = n − 1

4

∴

Según el enunciado, tenemos que:

n = 48

Resolución

n = 12 a12 = 42

Rpta. D

7

Se forma la siguiente progresión:

r=2 10 < 12 ; 16 ; 20; .... ; 112 < 116

Aplicando la fórmula, obtenemos: a12 = a1 + (n – 1) r 42 = a1 + (12 – 1) ⋅ 2

∴ Resolución

a1 = 20

Rpta E

+4

r=4 De la progresión, vemos que: a1 = 12

5

Del enunciado:

;

an = 112

Aplicando la fórmula, obtenemos que:

n = 40 ; a40 = 59

an = a1 + (n − 1) ⋅ r

Aplicando la fórmula, obtenemos:

112 = 12 + (n − 1) ⋅ 4 112 − 12 = n−1 4

a40 = a1 +(n – 1) ⋅ r 59 = a1 +(40 – 1) ⋅ r 59 = a1 + 39r

25 = n − 1

59 − 39r = a1 ............... (I)

∴ n = 26

Del enunciado: n = 27

+4

Como son múltiplos de “4”, la razón será:

;

a27 = 33

Aplicando la fórmula, obtenemos: a27 = a1 + (n − 1)r 33 = a1 + (27 − 1)r 33 = a1 + 26r

Resolución

Rpta. A

8

Según el enuciado, vemos que a1 = 4 ; r = 10 ; n = 25 Hallamos “a25” : a25 = a1 + (n − 1) ⋅ r

33 − 26r = a1 ............... (II)

a25 = 4 + (25 − 1) ⋅ 10 a25 = 244 - 12 -


Luego, hallamos la suma de los 25 términos, aplicando la fórmula:

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK Fa +a I s25 = G 1 25 J ⋅ 25 H 2 K

a 25 =

sn =

s25 =

Resolución

La fórmula:

42 5

F a1 + a25 I n GH 2 JK F 2 + 42 I G J s25 = G 5 5 J 25 2 GH JK

s25 =

Rpta. B

9

∴

Del enunciado, obtenemos los siguientes datos: n = 30

s25 = 110

Resolución

a1 = 200

11

29; 31; 33; 35; 37; ........; 135; 137

De la fórmula:

Vemos que se forma una progresión; donde:

F a1 + an I ⋅ n ; obtenemos: GH 2 JK F 200 + a IJ ⋅ 30 s30 = G H 2 K F 200 + a30 I ⋅ 30 5130 = G H 2 JK

a1 = 29 an = 137 r = 31 − 29

137 − 29 = n −1 2

Luego, hallamos la razón “r” aplicando la fórmula: ;

n = 55

obtenemos

Hallamos la suma de los números impares, aplicando la fórmula: a +a sn = 1 n ⋅ n 2

a30 = a1 + (30 – 1) r r=–2 Finalmente:

⇒ s55 =

La razón y el último término son respectivamente: Resolución

∴

Rpta. C

10

también: n = 25 Aplicando la fórmula obtenemos: an = a1 (n − 1) r

12

Del enunciado: r = 3 a1 = 6

2 a1 = Donde: 5 Hallamos la suma de los 25 primeros términos, aplicando 11 2 5 r= − = 15 5 15 1 3

Rpta. A

Hallamos el número de términos “n”

2 11 16 ; ; ; ....... 5 15 15

r=

FG 29 + 137 IJ 55 H 2 K

s55 = 4 565

Resolución

Sea la progresión aritmética:

⇒

I JK

F GH

142 = 200 + 29r

– 2 y 142

r=2

Aplicando la fórmula: an = a1 + (n − 1) ⋅ r Obtenemos: 137 = 29 + (n − 1) ⋅ 2

a30 = 142 an = a1 + (n – 1) ⋅ r

Rpta. B

Sean los números impares:

s30 = 5130

sn =

b

a 25 =

FG 4 + 244 IJ ⋅ 25 H 2 K

∴ s25 = 3100

g FGH IJK

2 1 + 25 − 1 ⋅ 5 3

an = 123 Aplicando la fórmula: an = a1 + (n − 1) ⋅ r Obtenemos: 123 = 6 + (n – 1) 3 123 − 6 = n −1 3 n = 40

Hallamos la suma de los términos “sn” : sabemos que: a1 = 6 an = 123 n = 40 - 13 -

F a1 + an I n GH 2 JK F 6 + 123 IJ 40 s40 = G H 2 K

De la fórmula: sn=

⇒

s30 =

∴ s30 = 3825 Rpta. A

s40 = 2580

Resolución

Finalmente, el número de términos y la suma de términos, serán respectivamente.

∴

40 y 2580

Resolución

FG 55 + 200 IJ ⋅ 30 H 2 K

15

La progresión aritmética de 33 términos se representará de la siguiente manera:

Rpta. B

a1 ; a 1+r ; a1+2r ;....; a 1+16r ;....; a 1+32r

e

13

je

j

er

e

término central

1 término

Del enuciado, obtenemos:

e

j

33° término

Hallamos el lugar que ocupa el término central

n = 60 r=5

Término central:

sn = 9150

1° +33° = 17° término 2

Del enunciado:

Sabemos que:

Término central: a1 + 16r = 8 ......... (1) a1 + an ⋅n Aplicando la fórmula: sn = 2

an = a1 + (n − 1)r a60 = a1 + (60 − 1) ⋅ 5

F GH

a60 − a1 = 295 ............... (I)

LM a1 + ea1 + bn − 1g ⋅ r j OP PQ ⋅ n MN 2 L 2a + b 33 − 1g ⋅ r OP ⋅ 33 s33 = M 1 2 QP NM s33 =

a1 + a60 = 305 ............... (II) Sumando (I) (II), obtenemos:

s33 = (a1 + 16r) ⋅ 33 ........... (II)

a60 − a1 = 295

Reemplazando (I) en (II) obtenemos: s33 = 8 ⋅ 33 = 264

a1 + a60 = 305

∴

2a60 = 600

La suma de los 33 términos

a60 = 300

de la progresión es 264 Resolución 16

Reemplazando “a60 = 30” en (I), obtenemos:

De la progresión aritmética:

300 – a1 = 295

(x – 6) ; (x – 1) ; (x + 4) ; (x + 9) ; ...... n = 37

Rpta. D

r = (x – 1) – (x – 6) = 5

14

De la fórmula: an= a1 + (n – 1)r

Según el enunciado, se forma la siguiente progresión:

Obtenemos: a37 = (x – 6) + (37 – 1) ⋅ 5

55; 60; 65; 70; ..... ; a30

a37 = x – 6 + 180

Donde: a1 = 55 ; n = 30 ; r = 5

a37 = x + 174

De la fórmula: an = a1 + (n – 1) ⋅ r

∴ El ultimo término es (x + 174) Rpta. E

Obtenemos: a30 = 55 + (30 – 1) ⋅ 5

Resolución

a30 = 200 Luego, hallamos la suma de términos, aplicando la fórmula: a +a sn = 1 n ⋅ n 2

I F JK GH Fa +a I s30 = G 1 30 J ⋅ 30 H 2 K

Rpta. B

Vemos que: a1 = x – 6

a1 = 5

∴ a1 = 5 y a60 = 300

I JK

Obtenemos:

F a1 + an I ⋅ n También: GH 2 JK Fa +a I 9150 = G 1 60 J 60 H 2 K sn =

Resolución

j

17

Sea la progresión aritmética: Del enunciado, tenemos que: a1 + 2r = 3a1 2r = 2a1 ⇒ r = a1 Reemplazando “r = a1” en la progresión, vemos que los números serán.

- 14 -


a1 = r a1 + r = r + r = 2r

Obtenemos:

a1 + 2r = r + 2r = 3r

a1 ;

r = 8°

número mayor

El ángulo mayor es : 100° + 5r = 100° + 5(8°) = 140°

Del enunciado:

∴ El ángulo mayor mide 140°

r ⋅ 2r ⋅ 3r = 1296

Resolución

6r3 = 1296

Rpta. E

20

Del enunciado : a5 = 22 ; n = 5

r=6

De la fórmula : an = a1 + (n – 1)r

El número mayor es:

Obtenemos : 22 = a1 + (5 – 1)r

a1 + 2r = r + 2r = 3r = 3(6) = 18

∴ El mayor es 18 Resolución

F 100° + b100° +5r g I 6 GH JK 2

720° = (200° + 5r) ⋅ 3

ea1 + r j ; ea1 + 2r j

número menor

s6 =

22 = a1 + 4r ........... (I)

Rpta. C

Del enunciado : a8 = 34 ; n = 8

18


Del enunciado, obtenemos los siguientes datos: a1 = 3

Obtenemos : 34 = a1 + (8 – 1)r 34 = a1 + 7r ........... (II)

an = 79

Restamos (II) y (I) ; obtenemos:

sn = 820

F a1 + an I n GH 2 JK F 3 + 79 IJ n Obtenemos: 820 = G H 2 K De la fórmula: sn =

r=4 Reemplazamos el valor de “r = 4” en (I) ; obtenemos: 22 = a1 + 4(4)

n = 20

a1 = 6

De la fórmula: an = a1 + (n − 1) ⋅ r

Hallamos: a60

Obtenemos: 79 = 3 + (20 − 1) ⋅ r

Si a1 = 6

79 − 3 r= 19 r=4

Resolución

;

n = 60

a60 = 6 + (60 – 1) ⋅ 4

Rpta. A

a60 = 242 Hallamos la suma de los 60 primeros términos : Si a1 = 6 ; a60 = 242 ; n = 60

19

Según el enunciado, se forma la siguiente progresión:

ángulo mayor

Sabemos que:

De la fórmula : sn =

F a1 + a I ⋅ n GH 2 JK

Obtenemos : s60 =

Suma de ángulos internos

FG 6 + 242 IJ ⋅ 60 H 2 K

s60 = 7 440

= 180° (n – 2) ; n = n° de lados

⇒ Suma de ángulos internos del hexágono

∴ La suma será : 7 440 Rpta. B

= 180° (6 – 2) = 720°

NIVEL II

De la progresión aritmética, vemos que: n=6

Resolución

a1 = 100°

01

Desarrollando la ecuación:

a6 = 100° + 5r Aplicando la fórmula: sn =

r=4


La razón y el número de términos de la progresión serán respectivamente:

∴ 4 y 20

;

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK - 15 -

(x – 21) (x + 4) = 0

⇒

x = 21 ⇒ Raíz positiva

x – 21 = 0

90 =

x=–4

x+4=0

2 ⋅ 90 = 6r 5

Entonces : s3 = 21 ; n = 3

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK Fa +a I Obtenemos: 21 = G 1 3 J ⋅ 3 H 2 K De la fórmula: sn =

14 = a1 + a3 14 = a1 + (a1 + 2r)

FG r + 5r IJ 5 H 2 K r=6

Reemplazando “r = 6” en (α), obtenemos: a5 = 5(6)

a5 = 30

∴ El mayor de los términos es 30 Rpta. C Resolución

03

Hallamos los multiplos de “3” de dos cifras:

14 = 2a1 + 2r 14 = 2(a1 + r) 7 = a1 + r


a1 = 7 – r ............... (I)

12; 15; 18; 21; .... ; 99 Donde:

Por dato: a6 = 15 ; n = 6

an = 99

an = a1 + (n – 1) r

De la fórmula:

Obtenemos: 15 = a1 + (6 – 1) r

a1 =12

Hallamos el número de términos “n”:

15 = a1 + 5r

De la fórmula: an = a1 + (n – 1)r

a1 = 15 – 5r .............. (II)

Obtenemos: 99 = 12 + (n – 1) 3

De las ecuaciones (I) y (II) ; obtenemos: 7 – r = 15 – 5r 4r = 8

r=2

∴ La razón es 2 Rpta. E Resolución

r=3

r = 15 – 12

n = 30 Hallamos la suma de términos de la progresión aritmética:

02

Sea la razón aritmética de la siguiente forma:

Obtenemos:

a1 ; a1 + r ; a1 + 2r ; a1 + 3r ; a1 + 4r

∴ s30 = 1665 Rpta. B

Del enunciado, tenemos que:

eea1 + 4r j + ea1 + 3r j + ea1 + 2r jj = 2 e a1 + e a1 + r j + e a1 + 2r j j 3a1 + 9r = 2(3a1 + 3r)

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK F 12 + 99 IJ ⋅ 30 s30 = G H 2 K

De la fórmula: sn =

Resolución

04

Sea la progresión: – 2; 2; 6; 10; 14; ..... Hallamos la razón “ r ”:

3 (a1 + 3r) = 2 ⋅ 3(a1 + r) a1 = –2

∧

r=4

a1 = r

Si:

s5 = 90 ; n = 5

De la fórmula: an = a1 + (n – 1)r Obtenemos: an = (–2) + (n – 1) ⋅ 4

Por dato:

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK F a1 + a5 I ⋅ 5 Obtenemos: s5 = G H 2 JK Donde: a = a + 4r ; a = r B a = r + 4r

an = –2 + 4n – 4


5

r=4

r = 2– (–2)

a1 + 3r = 2a1 + 2r

1

1

an = 4n – 6 Hallamos el número de términos “n”:

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK F −2 + b4n − 6g I n 8190 = G H 2 JK


5

a5 = 5r ................ (α) - 16 -


8190 =

FG 4n − 8 IJ n H 2 K

s10 =

s10 = 110 ; a = 2

8190 = 2(n – 2)n

∴

4095 = n2 – 2n 0=

n2

– 2n – 4095

s10 = 55a

Resolución

0 = (n – 65) (n + 63) n = 65

n + 63 = 0

n = – 63

07 a;b;c;d;e

Donde:

a = a1 b = a1 + r

∴ El número de términos es 65 Rpta. C

c = a1 + 2r

05

d = a1 + 3r

Sea la progresión:

e = a1 + 4r

(x + y) ; (4x – 3y) ; (5y + 3x) Por dato:

Hallamos la razón:

a + e = 20

a1 + (a1 + 4r) = 20

razón: r = (5y + 3x) – (4x – 3y)

2a1 + 4r = 20

r = 5y + 3x – 4x + 3y

a1 + 2r = 10 c = 10

r = 8y – x ................ (I) razón: r = (4x – 3y) – (x + y) r = 4x – 3y – x – y

c2 = 102

Luego:

r = 3x – 4y .............. (II)

∴

De las ecuaciones (I) y (II); obtenemos:

Resolución

8y – x = 3x – 4y 12y = 4x

Resolución

x =3 y

c2

= 100

Rpta. B

08

Sean las dimensiones: a; b y c Donde:

3y = x

∴

Rpta. D


n – 65 = 0

Resolución

FG 2 + 20 IJ 10 H 2 K

a = a1 b = a1 + r

Rpta. C

c = a1 + 2r Por dato: a + b + c = 30

06

a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) = 30

Hallamos la razón: Razón: r = 3a – a2 ................ (I)

3a1 + 3r = 30

Razón: r = a2 – a .................. (II)

a1 + r = 10

De las ecuaciones (I) y (II) ; obtenemos: 3a – a2 = a2 – a 4a = 2a2

b Si

a=2

⇒ a1 = 10 – r

Reemplazando “a = 2” en (I); obtenemos: r = 3(2) – (2)2

a = 10 – r Si

r=2 2

; 3a ; ........ ⇒

⇒

⇒

Por dato: volumen = 640

2

2 ; 2 ; 3(2) ; ........ 2 ; 4 ; 6 ; .......

⇒ a ⋅ b ⋅ c = 640 (10 – r) 10 (10 + r) = 640

Hallamos la suma de los 10 primeros términos: Donde:

(10 – r) (10 + r) = 64

a1 = 2 ; n = 10

102 – r2 = 64

a10 = a1 + (10 – 1) ⋅ 2 a10 = 2 + 9 ⋅ 2 Luego:

Fa +a I s10 = G 1 10 J ⋅ 10 H 2 K

a1 + r = 10 a1 + r + r = 10 + r a1 + 2r = 10 + r c = 10 + r

Reemplazando “a = 2” en la progresión: a ; a

= 10

a1 + r = 10

a10 = 20

100 – 64 = r2 r=6 Donde: a = 10 – r = 10 – 6 c = 10 + r = 10 + 6 - 17 -

a=4 c = 16

De la ecuación (2) y (4) ; obtenemos:

Las aristas son: a ; b y c

a1 + r = 2x

∴ Las aristas son: 4; 10; 16 Rpta. D Resolución

a1 + r

09

2

De la progresión aritmética: 1 1 1 6 ; 4 ; 2 ; ....... 2 2 2

a1 + 3r = 3x a1 + 3r

1 2 1 1 r = 4 −6 ⇒ r = −2 2 2 De la fórmula: an = a1 + (n – 1)r

3

Obtenemos: a1 = 6

1 Obtenemos: an = 6 + (n – 1) (–2) 2

an De la fórmula:

a1 + r

a + 3r = 1 2 3 3a1 + 3r = 2a1 + 6r

De (α) y (β) :

a1 = 3r

⇒

;

a1 = a

a = 3r

De la ecuación (3) , obtenemos:

1 = 6 − 2n + 2 2 1 = 8 − 2n 2

b = a1 + 2r b = 3r + 2r ⇒ b = 5r

Fa +a I sn = G 1 n J ⋅ n H 2 K

Luego:

a 3r = b 5r ∴ a : b como 3 : 5

Resolución

sn = − 396

Por dato:

= x ............(β)

⇒

an

= x ............ (α)

Rpta. D

11

Del enunciado: a1 = –7

F 6 1 + FG 8 1 − 2nIJ I G 2 H 2 K JJ n Obtenemos: −396 = G 2 JJ GG K H F 15 − 2n IJ n −396 = G H 2 K – 792 = (15 – 2n)n – 792 = 15n – 2n2

r=4 n = 34 De la fórmula: an = a1 + (n – 1) r Obtenemos: a34 = (–7) + (34 – 1) (4) a34 = 125

F a1 + a34 I n GH 2 JK F b −7g + 125 I ⋅ 34 s34 = G H 2 JK

De la fórmula: s34 = Obtenemos:

s34 = 2006

∴ a34 y s34 son respectivamente

(2n + 33) (n – 24) = 0 2n + 33 = 0 n – 24 = 0 como: n ∈

33 n=− 2 n = 24

a1 + (a1 + 3r) = 71

Por dato:

a1 + 3r = 71 – a1

Rpta. C

a1 ; a1 + r ; a1 + 2r ; a1 + 3 r

10


edad del primero

a ; 2x ; b ; 3x Donde:

Rpta. A

12

Las edades forman la siguiente progresión aritmética:

+

∴ Número de términos es 24 Resolución

125 y 2006 Resolución

a = a1 ....................... (1)

Por dato:

edad del cuarto

a1 ⋅ (a1 + 3r) = 1078 a1 ⋅ (71 – a1) = 1078 71a1 – a12 = 1078

2x = a1 + r ................ (2) b = a1 + 2r ................ (3) 3x = a1 + 3r .............. (4)

a12 – 71a1 + 1078 = 0 - 18 -


(a1 – 49) (a1 – 22) = 0 a1 – 49 = 0

a1 = 49

a1 – 22 = 0

a1 = 22

Resolución

14

Sea el triángulo: ∧ c = a + 2r

Donde: b = a + r

Reemplazamos “a1 = 22” en:

a

c

a1 + (a1 + 3r) = 71 22 + (22 + 3r) = 71 44 + 3r = 71

⇒ b=a+ 3

La edad del mayor es: a1 + 3r = 22 + 3(9)

c=a+2

a1 + 3r = 49

∴ La edad del mayor es 49 años Rpta. C

FG 13 IJ H 3K

FG a + 26 IJ 2 = a2 + FG a + 13 IJ 2 H 3K H 3K F 26 IJ + FG 26 IJ 2 = a 2 + 2b a g G H3K H3K F F 13 I F 13 I 2 I a2 + G a2 + 2b a g G J + G J J H 3K H 3K K H

a 2 = a1 + r

⇒ a1 + a 2 + a 3 = 6 a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) = 6 3a1 + 3r = 6 a1 + r = 2 .................... (I)

a2 +

a1 = 2 – r ................... (II) a1 + 2r = 2 + r ............ (III)

52 676 26 169 a+ a+ = a2 + a2 + 3 9 3 9 26 169 a+ = a2 3 3 26a + 169 = 3a2

Por dato: a13 + a 32 + a 33 = 132

3a2 – 26a – 169 = 0

a13 + (a1+r)3 + (a1+2r)3 = 132

(3a + 13) (a – 13) = 0

Reemplazamos (I); (II); (III), obtenemos (2 – r)3 + (2 + r)3 = 124

Luego: b = a +

cb 2 − r g + b 2 + r ghFH b 2 + r g2 − b 2 + r gb 2 − r g + b2 − r g2 IK = 124

13 13 = 13 + 3 3 b=

b 4gFH 2e 22 + r2 j − e22 − r2 jIK = 124 2 e 4 + r 2 j − e 4 − r 2 j = 31

c =a+

8 + 2r2 – 4 + r2 = 31

65 3

La suma de catetos será:

r = ±3 a1 = 2 – ( ± 3)

∴

a1 = 5

Luego: –1 + 5 = 4 La suma de valores que toma “a1” es 4

52 91 = 3 3 91 La suma de catetos es 3 a + b = 13 +

De la ecuación (2) , obtenemos:

∴

52 3

26 26 = 13 + 3 3 c=

= 27

∨

a = 13

a – 13 = 0

(2 – r)3 + (2)3 + (2 + r)3 = 132

a1 = –1

26 3

c2 = a2 + b2

a3 = a1 + 2r

3r2

⇒ c=a+

Por el teorema de Pitágoras:

13

Sabemos que:

b

13 3 13

r=9

Resolución

r=

Si:

Resolución Rpta. C

15

Sabemos que: a3 = a1 + 2r a6 = a1 + 5r a12 = a1 + 11r - 19 -

Rpta. C

Por dato:

FG H

a4 = −

a6 + a12 = 240 (a1 +5r) + (a1 + 11r) = 240

a4 =

2a1 + 16r = 240 a1 + 8r = 120 ................... (1) a3 2 = Por dato: a12 5 a1 + 2r

a1 + 11r

=

a 23 − a12 = a 24 − a 22

5(a1 + 2r) = 2(a1 + 11r) 3a1 = 12r a1 = 4r ................. (2) Reemplazamos (2) en (1) , obtenemos: 4r + 8r = 120

a 23 − a12

∴

12r = 120

a 24 − a 22

r = 10 Resolución Sea: M =

a1 = 40

Sea la progresión aritmética: a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; ...... Donde: a2 = a1 + r

+ c2 – (b – c)2

M = 2bc Del enunciado: “el producto de los términos centrales es 37” , obtenemos: b ⋅ c = 37 M=2⋅b⋅c

Luego:

M = 2(37)

∴ Resolución

a1 + a2 = 2 (a1 + a3) a1 + (a1 + r) = 2(a1 + (a1 + 2r))

M = 74

Del enunciado: a2 = b n=5 s5 = 10b – 5a Sabemos que: a2 = a 1 + r

⇒

–3r = 2a1 a1 = −

Rpta. B

03

2a1 + r = 2(2a1 + 2r) 2a1 + r = 4a1 + 4r

Rpta. B

M = b2 + c2 – b2 + 2bc – c2

a3 = a1 + 2r a4 = a1 + 3r Del enunciado:

= −1

02

b2

NIVEL PREUNIVERSITARIO 01

⇒

−8 2 r = 4 8 2 r 4

M = b2 + c2 – (b2 – 2bc + c2)

∴ El primer término es 40 Rpta. D

Resolución

FG r IJ 2 − FG − 3r IJ 2 H 2K H 2 K FG 3r IJ 2 − FG − r IJ 2 H 2 K H 2K

r 2 9r 2 − 4 = 4 9r 2 r 2 − 4 4

5a1 + 10r = 2a1 + 22r

a1 = 4(10)

3r 2

Reemplazamos los valores hallados en:

2 5

Reemplazando “r = 10” en (2) , obtenemos:

IJ K

3 r + 3r 2

3 r 2

b = a1 + r a1 = b – r ............... (I)

Entonces:

FG H

a2 = −

IJ K

3 r +r 2

FG H

a5 = a1 + (5 – 1) ⋅ r a5 = a1 + 4r

r 2

a2 = − a3 = −

También:

a5 = (b – r) + 4r

IJ K

a5 = b + 3r ............. (II)

3 r + 2r 2

a3 =

r 2

De la fórmula: sn = - 20 -

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK


F a1 + a5 I ⋅ 5 GH 2 JK F b b − r g + b b + 3r g I ⋅ 5 10b − 5 a = G JK 2 H F 2b + 2r IJ ⋅ 5 10b − 5 a = G H 2 K F 2bb + r g I ⋅ 5 5b 2 b − a g = G H 2 JK

Obtenemos: s5 =

De las ecuaciones (I) y (III), b+2=6–b b=2 Reemplazando “b = 2” en (I) , obtenemos: r=2+2

Reemplazando “r = 4” en (II) , obtenemos 4=c–a+2 2=c–a Nos piden: c+b–a=c–a + b = 2 + 2 = 4

⇒

2b – a = b + r r = b – a .............. (III) Reemplazando (III) en (I) , obtenemos:

∴ c+b–a=4

a1 = b – (b – a)

Resolución

a1 = b – b + a

Tenemos que:

∴ El primer término será a

Rpta. A

06

a1 + (a1+3r) + (a1+6r) + (a1+9r) + (a1+12r) + (a1+15r) = 714 6a1 + 45r = 714 3(2a1 + 15r) = 714

04

2a1 + 15r = 238

Del enunciado: a1 = 3 an = 79

Luego: M = a1 + a6 + a11 + a16 M = a1 + (a1+5r) + (a1+10r) + (a1+15r)

sn = 820

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK F 3 + 79 IJ n 820 = G H 2 K


M = 4a1 + 30r

Obtenemos:

M = 2 2 a1 + 15r M = 2 (238)

e

j

∴

n = 20 De la fórmula:

an = a1 + (n – 1)⋅r

Obtenemos: 79 = 3 + (20 – 1) r r=4 La razón y número de términos de la progresión son respectivamente: 4 y 20

Resolución

Rpta. B

07

a + 2b a2 2a + b ; ; a+b a−b a 2 − b2 La razón será: r=

Rpta. A Resolución

M = 476

Sea la progresión:

79 = 3 + 19r

∴

Rpta. B

a1 + a4 + a7 + a10 + a13 + a16 = 714

a1 = a

Resolución

r=4

05

a 2 − b2

−

a + 2b a+b

b g b

gb g b gb gb g a 2 − e a 2 − ab + 2 ab − 2 b2 j r= ba + bgba − bg

De la progresión aritmética: a ; a + b + 2 ; c + b + 4 ; c + 10 La razón será: r = (a + b + 2) – a r = b + 2 .................. (I) r = (c + b + 4) – (a + b + 2) r = c – a + 2 ............. (II) r = (c + 10) – (c + b + 4)

a2

r=

a + 2b a − b a2 − a+b a−b a+b a−b

r=

2b 2 − ab ........................ (1) a+b a−b

b

gb

g

También:

r = 6 – b ................... (III)

r= - 21 -

2a + b a2 − a − b a 2 − b2

r=

b2a + bgba + bg − a2 ba − bgba + bg ba + bgba − bg

r=

2 a 2 + 2 ab + ab + b2 − a2 a+b a−b

r=

a 2 + 3 ab + b2 ................... (2) a+b a−b

b

b

gb

gb

F a1 + ea1 + 2r j I GG 2 JJ 3 H K 10 F 2 a + 2r I 1 30 = G 1 H 2 JK 3 2 e a1 + r j 10 = 30 =

g

g

2

De las ecuaciones (1) y (2) , obtenemos:

b

2b2 − ab a 2 + 3 ab + b2 = a+b a−b a+b a−b

gb

g b

gb

g

10 = a1 + r Pero: a2 = a1 + r

⇒

2b2 – ab = a2 + 3ab + b2

Sabemos que: s2 = 17

0 = a2 + 4ab – b2 Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: a=

a2 = 10

Además : s2 = a1 + a2 17 = a1 + 10

b g b 4bg2 − 4b1ge − b2 j 2b1g

− 4b ±

a1 = 7 Hallamos la razón “r”:

−4 b ± 20b2 a= 2

r = a2 – a 1 r = 10 – 7

−4 b ± 2 b 5 a= 2

Hallamos “a3”: a3 = a1 + 2r

a = −2 b ± 5 b

a3 = 7 + 2(3)

a1 = −2 b + 5 b = a 2 = −2 b − 5 b = a b Luego: = b

∴ Resolución

e

5 −2

e − be b

Sea la progresión aritmética: “y” términos

10 ; ....... ; 76 ; ........... ; 100

a = 5 −2 b

“x” términos

Rpta. A

3n2 + 11n 2

3 2 2 + 11 2 2 s2 = 17

bg

3 3 2 + 11 3 2

bg

Donde:

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK F a1 + a3 I ⋅ 3 Obtenemos: s3 = G H 2 JK

an = 76 a1 = 10 n=x+2

Entonces: 76 = 10 + ((x + 2) – 1) ⋅ r 76 = 10 + (x + 1)r 66 = (x + 1) ⋅ r 66 = (3y + 1) ⋅ r

bg

s3 = 30 De la fórmula: sn =

x = 3y De la fórmula: an = a1 + (n – 1) ⋅ r

08

bg

09

⇒

s3 =

Resolución

Rpta. C

Del enunciado:

j

Entonces: s2 =

j 5 + 2j

a3 = 13

∴ El tercer términos es 13

5 −2

b

Por dato: sn =

r=3

66 .................. (1) 3y + 1 Si: an = 100 r=

a1 = 10 n=x+y+3 - 22 -


Entonces:

sn =

100 = 10 + ((x + y + 3) – 1) ⋅ r

b gb

2 n −1 ⋅ m−1 2

g

sn = (m – 1)2

100 = 10 + (x + y + 2) ⋅ r

⇒

∴ La suma será: (m – 1)2

100 = 10 + (3y + y + 2) ⋅ r

Resolución

100 = 10 + (4y + 2) ⋅ r

Del enunciado:

90 = (4y + 2) ⋅ r

Razón = número de términos

⇒

90 .................. (2) 4y + 2 De las ecuaciones (1) y (2) , obtenemos: r=

También:

b

g

15

b

an – a1 = 30 ............... (1)

30 = (n – 1) ⋅ n

g

66 4 y + 2 = 90 3 y + 1

n=6

11(4y + 2) = 15 (3y + 1)

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK Fa +a I 156 = G 1 n J ⋅ 6 H 2 K

44y + 22 = 45y + 15


y=7

⇒ x = 3y

r=n sn = 156

Luego: an = a1 + (n – 1) ⋅ r an – a1 = (n – 1) ⋅ r

66 90 = 3y + 1 4y + 2 11

Rpta. C

11

x = 21

El número de términos de la progresión aritmética es: n=x+y+3 n = 21 + 7 + 3

a1 + an = 52 ........... (2)

n = 31

Sumando (2) y (1), obtenemos:

Hallamos la suma de términos “sn”:

F a1 + a31 I 31 GH 2 JK F 10 + 100 IJ 31 s31 = G H 2 K

a1 + an = 52 (+) a n − a 1 = 30 2a n = 82 a n = 41

s31 =

∴ El último término es 41 Rpta. D

s31 = 1705

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE

∴ La suma de términos es 1705 Rpta. B Resolución

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

10

(Pág. 94)

Como nos piden los números impares menores que “2m – 1” , obtenemos:

NIVEL I

a1 =1 (menor número impar)

Resolución

an = (2m–1) – 2

Del enunciado, obtenemos los siguientes datos: a7 = 243 ; n = 7

⇒

an = 2m – 3

n=m–1

F a1 + an I ⋅ n GH 2 JK F 1+ b2m − 3g I ⋅ bm − 1g Obtenemos: sn = G H 2 JK F 2m − 2 IJ ⋅ bm − 1g sn = G H 2 K F 2m − 2 IJ bm − 1g sn = G H 2 K De la fórmula: sn =

01

r=3 De la fórmula: an = a1 ⋅ rn–1 Obtenemos: 243 = a1 ⋅ 37–1 243 = a1 36 1

243

243 a1 = = 6 729 3 3

1 a1 = 3

∴ El primer término es: - 23 -

1 Rpta. B 3

Resolución

02

Resolución

Del enunciado: a1 = 6 a15 = 54 ; n = 15

De la progresión geométrica dada: 1 2 4 8 : : : 3 9 27 81

De la fórmula: an = a1 ⋅ rn–1 Obtenemos: 54 = 6 ⋅ r15–1

Vemos que: a1 =

54 = r14 6 9 = r14

1 3

2 r= 9 1 3

9 = r14 3 = r7 .................... (I)

⇒ r=

2 3

De la fórmula: an = a1 ⋅ rn–1

Hallamos “a8”: De la fórmula: an = a1 ⋅ rn–1

FG IJ 16−1 H K 1 F 2 I 15 a16 = ⋅ G J 3 H 3K

Obtenemos: a16 =

Obtenemos: a8 = 6 ⋅ a8 = 6 ⋅ r7 ............. (II) r8–1

Reemplazando (I) en (II) , obtenemos: a8 = 6 ⋅ 3 = 18

∴ El octavo término es 18 Rpta. A Resolución

04

a16 =

03

a16 =

Según los datos: a15 = 512 ; n = 15 an = a1 ⋅ rn–1 a15 = a1 ⋅ r15–1

De la fórmula: Obtenemos:

1 2 ⋅ 3 3

215 3 ⋅ 315 215 316

= 215 ⋅ 3−16

∴ El término de lugar 16 es: 215⋅ 3-16

512 = a1r14

Rpta. E

512

a1 =

................ (I) r14 Según los datos: a10 = 16 ; n = 10

Resolución

an = a1 ⋅ rn–1 a10 = a1 ⋅ r10–1

De la fórmula: Obtenemos:

16

Por dato: Término central = 2

⇒

............... (II)

r9 De las ecuaciones (1) y (2) , obtenemos: 512 r14

=

4 = a1 ⋅ an ..................... (I)

16

De la fórmula: pn =

r9

Obtenemos: p11 =

ea1 ⋅ an jn ea1 ⋅ an j11 .......... (II)

Reemplazando (I) en (II) , obtenemos:

32 = r14-9 32 = r5

p11 =

r=2

∴

Reemplazando “r = 2” en (2) , obtenemos: 16

16 1 a1 = = = 9 512 32 2

2y

b4g11 = 2048

El producto de los once términos es 2048

La razón y el primer término son respectivamente:

2 = a1 ⋅ an

Hallamos el producto de los once primeros términos:

512 r14 = 16 r9

∴

a1 ⋅ an

Término central =

16 = a1 ⋅ r9 a1 =

05

Como el número de términos es impar (11), el término central es:

1 32

Rpta. B - 24 -

Rpta. C


Resolución

Sea la progresión geométrica: 2 4 3 ; r=4 3 3 Nos piden:“s6”

De la fórmula: sn = Obtenemos: s6 =

s6

a10 = −5 −

4 2 1 ; ; 3 3 3

⇒

a1 =

Donde:

9 b gFGH 51 IJK F 1I F 1I 8 a10 = b −5 g ⋅ G − J G − J H 5KH 5K

06

r=

1 2

FG 1 IJ 8 = 1 H 5 K 58

a10 = −

a1 1− rn

e

j

∴

1− r

a1 1 − r6

e

Resolución

j

6 4 F F 1I I 1− G J J G 3 H H 2K K =

1−

FG H

IJ K

09

∧

a1 = 27

De la fórmula: an = a1 ⋅ rn–1

Resolución Por dato:

Obtenemos: s9 =

s9 =

∴ Resolución

∴

Rpta. B Resolución

De la fórmula: s = n

r=2

;

a1 1− rn

e

e

j

j

LMb27gFG 1 IJ OP8 N H 81K Q

p8 =

1 81

Rpta. B

10

Sea la progresión geométrica:

2 3 ; 1; 3 2

3 2 3 Donde: a1 = ⇒ r= 2 ⇒ r= 3 1 2 Nos piden “s6” ; (n − 6):

1− 2

b

7 1 − 512 −1

s9 = 3577

ea1 ⋅ an jn

n=9

1− r

7 1 − 29

1 81

De la fórmula: pn =

07

a1 = 7 ;

FG 1 IJ 8−1 H 3K

Nos piden “p8”.

Obtenemos: p8 = 21 8

1 3

Hallamos “a8” (n = 8)

a8 =

FG IJ H K

s6 =

r=

Obtenemos: a8 = (27)

4 63 ⋅ 3 64 s6 = 1 2

∴

Rpta. B

Por dato, tenemos que:

1− r

1 2 4 1 1− 3 64 s6 = 1 2

a10 = 5-8

g

Rpta. B

08


a1 1− rn

Obtenemos que: s6 =

Según el enunciado: a1 = −5 r = −1/5

e

j

1− r

F F I6I GH GH JK JK

2 3 1− 3 2 1−

FG H

3 2

2 729 1− 3 64 s6 = 1 − 2

Nos piden “a10” (n = 10): De la fórmula: an = a1 ⋅ rn–1

10 −1 b g FGH 51 IJK

Obtenemos: a10 = −5 ⋅ −

665

∴ s6 = 48 - 25 -

IJ K

Rpta. B

Resolución

Del enunciado tenemos que:

11

s = 2 s5

Del numerador vemos que los sumandos forman la siguiente progresión geométrica infinita: a1

1 1 1 1 ; ; ; ; ........ 3 9 27 81

1− r

Hallamos la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica. 1 Donde: a1 = 3

Obtenemos:

⇒

s=

5 2 r5 = 1 ⇒ r =

r=5

1− r 1 3

⇒

1 1− 3

s=

Resolución Sea: s =

Del denominador, vemos que los sumandos forman una progresión geométrica infinita: 1 1 1 1 ; ; ; ; ...... 5 25 125 625 Hallamos la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica: a1 =

1 5

r=

⇒

De la fórmula: s =

1 5

⇒

1 1 1 1 + + + +....... +∞ 3 9 27 81 Donde “S” es la suma de los infinitos términos de la siguiente progresión geométrica: 1 1 1 1 ; ; ; ; ...... 3 9 27 81 a1 =

1 4

1 3 1 3

1 3 ⇒ s= = 1 2 1− 3 3

1− r

1 2

Rpta. C

14

s6 =

(

a1 1− r6

)

1− r

La suma de los 3 primeros términos de una progresión geométrica es: s3 =

La suma de los infinitos términos de la progresión geométrica es: a s= 1 1− r La suma de los cinco primeros términos de la progresión geométrica es:

e

r=

La suma de los 6 primeros términos de una progresión geométrica es:

12

a1 1 − r 5

∧

a1

Resolución

1 1 1 1 1 + + + + ..... 3 9 27 81 = 2 = 2 1 1 1 1 1 + + + +.... 5 25 125 625 4 Rpta. D

s5 =

1 3

∴ s=

Luego, de(1) y ( 2) tenemos que:

Resolución

13

FG IJ 2 + FG 1 IJ 3 + FG 1 IJ 4 +....... +∞ H K H 3K H 3K

Luego: s =

1 1 1 1 1 + + + +..... = ...... (2) 5 25 125 625 4

Rpta. D

s=

Donde:

s=

1 52

1 1 + 3 3

a1

1− r 1 ⇒ Obtenemos: s = 5 1 1− 5

1 2

1 1 = 2 52

∴ La razón será

1 2

1 1 1 1 1 + + + +..... = ......... (I) 3 9 27 81 2

Donde:

1 = 2 (1 − r5) ⇒ 1 = 2 − 2r5

a1

De la fórmula: s =

F a1e1− r5 j I GG J 1− r J H K

a1 = 2a1(1 − r5)

1 r= 3

⇒

=2

(

a1 1− r 3 1− r

)

Según el enunciado, tenemos que: s6 = 9s3

j

a1 1 − r 6

e

1− r

j = 9FG a1e1− r3 j IJ GH 1− r JK

a1 (1 − r6) = 9 ⋅ a1(1 − r3) 1 − r6 = 9(1 − r3)

1− r - 26 -


r6

1 − r6 = 9 − 9r3 ⇒ 9r3 − r6 = 8 − 9r3 + 8 = 0 ⇒ (r3 − 8) (r3 − 1) = 0 r3 = 8 r=2 r3 = 1

∴

r=1

La razón es 2

Resolución

Rpta. D

∴ El término de lugar 12 será: 3 × 2–10

Del enunciado, tenemos que:

Resolución

a3 − a6 = 26 a1 ⋅ r2 − a1 ⋅ r5 = 26 a1(r2 − r5) = 26 ............... (1) Del enunciado, tenemos que:

⇒

r5

an = a1 · rn–1

Hallamos el término 7 (a7); Si a1 = 1 , r = 2 ; entonces a7 = 1 · (2)7–1 = 26 a7 = 64

= 27

Pn =

De la fórmula:

a1 ⋅ r 3−1 = 27 a1 ⋅ r 6−1 r2

2

De la fórmula:

(a1 ⋅ r3–1) − (a1 ⋅ r6–1) = 26

a6

1 1 = 3× 11 10 2 2

a12 = 3 × 2 ×

15

a3

11

 1 a12 = 6 ·    2

= 27

r=

Si: ⇒

⇒

1 r3

1 Reemplazamos “ r = ” en la ecuación (1), obtenemos: 3

F F 1 I 2 − F 1 I 5 I = 26 GH GH 3 JK GH 3 JK JK F 1 1 IJ = 26 a1G − H 9 243 K F 27 − 1IJ = 26 a1G H 243 K a1

a1 = 1 ; a7 = 64 ; n = 7 7 P7 = (1⋅ 64 )

P7 = ( 26 ) = 242 7

= 27

1 3

(a1 ⋅ an )n

∴

a7 = 64 ; P7 = 221

Resolución

⇒

P7 = 221

Rpta. B

3 a (1− rn ) Sn = 1 1− r


Donde: a1 = 1; n = 12 ; r =

3 = 3 1

Reemplazando en la fórmula, obtenemos:

a1 = 243

∴ El primer término es 243 Rpta. C

(

12

S12 =

1 1− 3 1− 3

S12 =

1− 36 1− 3

)

Racionalizando: NIVEL II Resolución

1

Hallamos la razón de la progresión geométrica. 3 1 r= ⇒ r= 6 2 an = a1 · rn–1

Aplicando la fórmula: Hallamos el término 12: a12 = a1 · r12–1 a12 = a1 · r11 Donde:

a1 = 6

;

∴

S12 =

1+ 3 1− 36 × 1− 3 1+ 3

S12 =

(1− 729 ) (1+ 3 ) 1− 3

S12 =

−728 (1+ 3 ) −2

S12 = 364 ( 3 + 1)

Resolución 1 r= 2

4

Aplicando la fórmula : S = - 27 -

Rpta. C

a1 1− r

Rpta. D

Donde: S = 4 ; a1 = 3

Resolución

Reemplazamos en la fórmula estos valores, obtenemos:

Analizando, tenemos que:

3 4= 1− r 1− r = Luego:

3 4

⇒

r = 1−

3 4

⇒

r=

1 4

1° corte: 2 pedazos

1° término (a1)


2° término (a2)


3° término (a3)

8° corte:

a1 = (3)2 = 9

Si:

1 1− 16

∴

=

∴ 2 : 4 : 8 : ....

a8 = 2 · (2)8–1 a8 = 2(2)7 = 28 = 256

∴

5

⇒

3× A2 =

2

Área del 1° círculo (d = 2m) π× 2 2 A1 = ⇒ A1 = π m2 4

•

Área del 2° círculo (d = 1m)

•

∴ 16 : 4 : ....

π 2 m 4

A2 =

1   Área del 3° círculo  d = m  2   2

⇒

A3 =

π 2 m 16

S=

π π : :… 4 16 π 4 Donde la razón es: r = π :: π :

a1 1− r

Obtenemos:

∴

⇒

La progresión geométrica será: 4 1 = 16 4


16 1 1− 4

2 π × (1) 4

 1 π  A3 =  2  4

∴ A1 : A2 : ....

S=

π × d2 4

•

A2 =

16 3

r=

Área del círculo =

Luego:

8 L= 4 3

⇒ A2 = 4 4 La progresión geométrica infinita será:

La razón será:

Rpta. A

7

Sabemos que:

El área del 2° triángulo, cuyo lado es la mitad del triángulo anterior es:  4  3 ⋅ 4   3 A2 = 4

Habrá 256 trozitos de papel

Resolución

3 ⋅ L2 4

Donde: L = Lado del triángulo 3 ⋅ L2 = 16 4

4 =2 2

Reemplazando,obtenemos:

Rpta. B

El área del triángulo equilátero es:

Entonces:

an = a1 ⋅ rn–1

Donde: a1 = 2 ; n = 8 ; r =

9 9 ⋅ 16 144 = = = 9,6 15 15 15 16

La suma será 9,6

Resolución

8° término (a8)

De la fórmula:

La nueva suma será: 9

?

Debemos hallar el 8° término de la siguiente P.G.:

2

1  1 r=   = 4 16

S=

6

⇒

S=

16 64 = 3 3 4

De la fórmula:

S=

Donde: a1 = π ;

64 2 cm La suma de todas las áreas es: 3

⇒

r=

1 4

a1 1− r r=

1 4

Reemplazando en la fórmula, obtenemos: Rpta. D

- 28 -

S=

π 1 1− 4

⇒

S=

π 3 = π 3 4 4 3


∴

4 La suma de áreas será:   π m2 3

Resolución

8 an = a1 · rn–1

De la fórmula: Hallamos “a2” y “a6”: • a2 = a1 · r2–1

Hallamos “a7” y “a2”: • a7 = a1 · r7–1 •

a7 = a1 · r6

a2 = a1 · r2–1

a2 = a1 · r

Según el enunciado tenemos que:

24 = a1 · r ............... (1) •

an = a1 · rn–1

De la fórmula: Rpta. B

Resolución

10

a6 = a1 · r6–1

a7 = 243 a2

⇒

r5 = 243

⇒

a1 ⋅ r 6 = 243 a1 ⋅ r r=3

Luego, aplicamos la fórmula: 96 = a1 · r5

a (1− rn ) Sn = 1 1− r

96 = (a1 · r)r4 ....................... (2) Reemplazando (1) en (2):

Donde: n = 7 ; r = 3 ; s7 = 2186

96 = 24 · r4

Reemplazando en la fórmula, obtenemos:

96 = r4 24 ⇒

4 = r4

a (1− r 7 ) S7 = 1 1− r

r2 = 2

a (1− 37 ) 2186 = 1 1− 3

Luego: a1 =

⇒

De (1): 24 = a1 · r

24 r

a ( 37 − 1) 2186 = 1 3 −1

a4 = a1 · r4–1 24 3 a4 = ·r r

Hallamos “a4”:

a (2187 − 1) 2186 = 1 2 a (2186 ) 2186 = 1 2

a4 = 24 · r2

a1 = 2

a4 = 24 · 2 = 48

∴

El cuarto término será 48

Resolución

Rpta. C

9

Hallamos “a4” aplicando la fórmula inicial. a4 = a1 · r4–1 a4 = a1 3 r3 a4 = 2 · (3)3 = 54

Sea la progresión geométrica de la forma: :: A : B: C: ...

∴ El término de lugar 4 es 54

Donde la razón será: r=

B C = A B

⇒

B·B=A·C

Resolución

:: a1 : a2 : a3 : a4 Según el enunciado, tenemos que:

P = (A + B + C) · (A – B + C)

a1 + a4 = 27 a2 + a3 = 18

P = ((A + C) + B) · ((A + C) – B) Aplicamos diferencia de cuadrados: (a + b)(a - b) = a2 - b2 Entonces tenemos que: P = (A + C)2 – B2 P=

A2 +

2AC +

an = a1 · rn–1 Hallamos a2 ; a3 y a4 ; y reemplazamos estos valores en las ecuaciones. De la fórmula:

Entonces:

C2 –

B2

.......... (2)

Reemplazando (1) en (2); obtenemos: P=

∴

A2

+

2B2

+

C2

11


B2 = A · C ... (1) Luego ordenamos el producto:

Rpta. C

–

B2

P = A2 + B2 + C2

a2 = a1 · r2–1

a2 = a1 · r

a3 = a1 · r3–1

a 3 = a1 · r 2

r4–1

a 4 = a1 · r 3

a4 = a1 · Rpta. A - 29 -

Reemplazando en las ecuaciones, tenemos: a1 + a1 · r3 = 27

a1(1 + r3) = 27 ... (1)

a1 · r + a1r2 = 18

a1(r + r2) = 18 ... (2)

2a2 = a3 + a1 ......................(1) Además: Se forma la siguiente progresión geométrica: ∴ a1 + 3 : a2 + 3 : a3 + 7

Dividimos (1) : (2): a1 (1+ r 3 ) 27 = a1 (r + r2 ) 18

Donde la razón es: a + 3 a3 + 7 r= 2 = a1 + 3 a2 + 3 (a2 + 3)2 = (a1 + 3)(a3 + 7) ........... (2)

3

1+ r3 27 = r + r 2 18

Según el enunciado:

2

La suma de la progresión geométrica es 28.

Factorizamos la expresión:

⇒

(1+ r ) (1− r + r 2 ) 3 = r (1+ r ) 2

(a1 + 3) + (a2 + 3) + (a3 + 7) = 28 a1 + a2 + a3 + 13 = 28 a1 + a2 + a3 = 15 ........... (3)

1− r + r 2 3 = r 2

Reemplazando (1) en (3), obtenemos: a1 + a3 + a2 = 15

2(r2 – r + 1) = 3r

2a2 + a2 = 15

2r2 – 2r + 2 = 3r

3a2 = 15

2r2 – 5r + 2 = 0

a2 = 5

(2r - 1)(r - 2) = 0

Reemplazando “a2 = 5” en (1):

* 2r – 1 = 0

⇒

1 r= 2

*

⇒

r=2

r–2=0

2(5) = a3 + a1 10 = a3 + a1

(5 + 3)2 = (10 – a3 + 3)(a3 + 7)

1 2

64 = (13 – a3)(a3 + 7) 64 = 6a3 + 91 – a23

Si r = ; el número mayor en la P.G. será: a1 Si r = 2; el número mayor en la P.G. será: a4

0 = a23 – 6a3 – 27 0 = (a3 – 9)(a3 + 3)

1 Hallamos el número mayor con “ r = ”; o sea “a1”. 2 1 Reemplazamos “ r = ” en (1): 2

a3 – 9 = 0 a3 = 9 Reemplazando “a3 = 9” en (1): 2a2 = a1 + a3

  1 3  a1  1+    = 27  2 

2(5) = a1 + 9

 1 a1  1+  = 27  8

10 = a1 + 9

 1 a1   = 3 8

⇒

Resolución a1 = 24

a1 = 1

mayor será: 2 + 4 = 6

Rpta. D

•

a3 – a6 = 312

•

a3 = 27 a6

12 a1 , a2 y a3

Se forma la siguiente progresión aritmética: : a1 ; a2 ; a3

13

Según el enunciado tenemos que:

La suma de cifras del número

Sean los números:

⇒

∴ Los tres números serán: 1; 5 y 9

9 a1   = 27 8

Resolución

a1 = 10 – a3

Reemplazamos “a2 = 5” y “a1 = 10 – a3” en (2):

Vemos que:

∴

⇒

De la fórmula:

an = a1 · rn–1

Hallamos a3 y a6. a3 = a1 · r3–1

a3 = a1 · r2

a6 = a1 · r6–1

a6 = a1 · r5

Donde la razón es: r = a2 – a1 = a3 – a2 - 30 -

Rpta. D


Reemplazando en las ecuaciones iniciales tenemos: Donde:

a1r2 – a1 r5 = 312 a1r2(1 – r3) = 312 ............. (1) a1r2 = 27 a1r5

•

•

1 = 27 r3

⇒

r=

⇒

1 .......... (2) 3

∴

Reemplazando (2) en (1): 2 3  1   1  a1    1−    = 312 3  3 

a1 =

1 1 y r= 4 3

1 3 = S= 1 1− 4 S=

1 3=4 3 9 4

4 9

Rpta. D


1


1   1 a1    1 −  = 312  9   27 

:: a1 ; a2 ; a3 Con los siguientes productos se forma una progresión aritmética.

 1  26  a1     = 312  9   27  a1 =

4a1 ; 5a2 : 4a3 La razón será:

312 × 27 × 9 = 2916 26

5a2 – 4a1 = 4a3 – 5a2 10a2 = 4a3 + 4a1

∴ El primer término será 2916 Rpta. C Resolución

10a2 = 4(a3 + a1) 5a2 = 2(a3 + a1) .......... (1)

14

Sea: “d” el número de días que faltan para que las edades de los niños estén en progresión geométrica.

De la fórmula:

La progresión geométrica será:

Hallamos:

a2 = a1 · r2–1 ⇒ a 3 = a1 ·

:: 1 + d : 37 + d : 289 + d

5r = 2r2 + 2 0 = 2r2 – 5r + 2

372 + 74d + d2 = 289 + 290d + d2

0 = (2r – 1)(r – 2)

1369 + 74d = 289 + 290d 1369 – 289 = 290d – 74d

⇒

d=5

2r – 1 = 0

⇒

r=

*

r–2=0

⇒

r=2

Según el enunciado: a1 + a2 + a3 = 70 a1 + a1 · r + a1 r2 = 70

Dentro de 5 días estarán en progresión geométrica. Rpta. B 15

1 1 1 : : :… 3 12 48

Cuya razón es:

a1(1 + r + r2) = 70 1 ; el número mayor será a1: 2 Si r = 2; el número mayor será a3. Analizando, vemos que: Si r =

Los sumandos forman una P.G. : ::

1 2

*

1080 = 216d

Resolución

a3 = a1 · r2

a1 · 5r = a1(2r2 + 2)

(37 + d)2 = (289 + d)(1 + d)

∴

a2 = a1 · r

5(a1 · r) = 2(a1 · r2 + a1)

37 + d 289 + d = 1+ d 37 + d

1080 =d 216

⇒

r3–1

Reemplazamos estos valores en (1):

La razón será: r=

an = a1 · rn–1

1 12 r= 1 3

Aplicamos la fórmula:

Hallamos a1:

⇒

S=

r=

 1  1 2  a1  1+ +    = 70  2  2 

1 4

 1 1 a1  1+ +  = 70  2 4

a1 1− r

7 a1   = 70 4 - 31 -

1 1 1 1 + = + 2m 2m m − p m − n

10

70× 4 a1 = 40 7

⇒

a1 = 40

2 m−n+m−p = 2m (m − p ) (m − n)

1

∴ El número mayor de la P.G. es 40

1 2m − n − p = m m2 − mn − mp + np

Rpta. C Resolución

2

Sabemos que la razón de una progresión geométrica, se halla de la siguiente manera: razón =

m2 – mn – mp + np = 2m2 – mn – mp

22x −1

43x − 2 = x 22x −1 2

np = 2m2 – m2 np = m2

Esta igualdad se puede escribir de la siguiente forma: 22x −1

( )

22x −1

26x − 4 = 2x −1 2

x

x 22

np = m ⋅ m p m = m n m p = n m La expresión final es la razón de la progresión geométrica siguiente: razón de una progresión geométrica :: n : m : p

(22 )3x − 2

=

1 22

22x −1

( 2x −1)− x  2

2

∴ n; m y p están en progresión geométrica

= 2(6x − 4)−(2x −1)

Rpta. E

3 x −1 22 = 24x − 3

Resolución

En una igualdad, si las bases son iguales, los exponentes también serán iguales. ⇒

3 x–1=4x–3 2 3 3 – 1 = 4x – x 2

La progresión geométrica formada tendrá 6 términos, (2 de los extremos y 4 medios geométricos que nos piden). Entonces:

x=

B B

4 5

5 = 160 · r5 5 = r5 160 1 = r5 32

Reemplazamos el valor de “x” en la ecuación inicial. Razón =

2x 3

25

x

4 2  −1

=

2 5

4

25 3 2 −

r= 1

= 2 = 25 5 = 25 25 ∴ Resolución Como:

5

2

a1 = 160 a6 = 5

⇒

22x −1

4

Aplicando la fórmula: an = a1 · rn–1 , obtiene: ⇒ a6 = a1 · r5 a6 = a1 ·r6–1

5 x 2

2=

m2 – mn – mp + np = m(2m – n – p)

Como: r =

1 2

1 ; a partir de a1 = 160, los medios geométricos 2

son:

Rpta. C

3

1 1 1 ; ; ; es un progresión aritmética. m − n 2m m − p

La razón es:

Los 2 últimos términos son: 10 y 5

∴

La suma de los 2 últimos términos de la P.G. es: 10 + 5 = 15

1 1 1 1 − = − Razón = 2m m − n m − p 2m

Rpta. E

- 32 -


Resolución

Resolución

5

Por dato: “La suma de los 3 primeros términos es 26”. S3 = 26

::

a (1− rn ) De la fórmula: Sn = 1 1− r S3 =

a1 (1− r3 ) 1− r

6

Sea la progresión geométrica de razón = 12: 1 4 48 : : : a4 : … 3 (a − b ) a 2 − b 2 a + b

Donde: 1 4 ×12 = 2 2 3 (a − b ) a −b

................. (1)

Por dato:

12 4 = 3 (a − b ) (a + b )(a − b )

“La suma de los 3 últimos términos es 2106” Pero, la suma de los 3 últimos términos es igual a la suma de los 7 términos menos la suma de los 4 primeros términos.

4 4 = a − b (a + b )(a − b )

Entonces tenemos que:

1=

S7 – S4 = 2106 a1 (1− r 7 ) a1 (1− r 4 ) − = 2106 1− r 1− r

a + b = 1 ................ (1) Tambien: 4

a1 (1 − r 7 − (1 − r 4 ) ) = 2106 1− r

a 2 − b2

a1 ⋅ r

(1− r3 )

1− r

= 2106

Reemplazando (1) y (2) en la progresión geométrica: :: ::

r4 · 26 = 2106 r=3

Reemplazamos: r = 3 en (1) a (1− 33 ) S3 = 1 1− 3

∴

1

;

4

;

48

3 (a − b ) (a + b )(a − b ) a + b

::

1 4 48 ; ; 3 (1) (1)(1) 1

::

1 ; 4 ; 48 ; .... 3

Resolución

Rpta. B

7

La razón de la progresión geométrica es: ⇒

a1 = 2

Razón:

⇒

El quinto término es 162

2x + 2 3x + 3 = x 2x + 2

2x + 2 3 ( x + 1) = x 2 ( x + 1) 2(2x + 2) = 3x

De la fórmula: an = a1 · rn–1 , hallamos: a5 a5 = a1 · r5–1 a5 = a1 · r4 a5 = 2 · (3)4

1 4 48 ; ; ;… 3 (a − b ) a 2 − b2 a + b

∴ El cuarto término será: 48 × 12 = 576

a (33 − 1) 26 = 1 3 −1 a (26 ) 26 = 1 2

48 a+b

1 = a - b ........... (2)

r4 · S3 = 2106

⇒

=

1 =1 a −b

Reemplazando (1) en (2), obtenemos:

2106 26

48 a+b

(a + b )(a − b )

a (1− r3 ) = 2106 .............(2) r4 ⋅ 1 1− r

r4 =

×12 =

48

a1 (r 4 − r 7 ) = 2106 1− r 4

1 a+b

4x + 4 = 3x

a5 = 162

4x – 3x = –4

Rpta. D - 33 -

⇒

x = –4

La progresión geometrica será:

Resolución

: : x : 2x + 2 : 3x + 3 : ...

10 an = a1 · rn–1

De la fórmula:

: : –4 : 2(–4) + 2 : 3(–4) + 3 : ...

t t Se obtiene: 7 ⋅ 9 = 64 t4 t6

: : –4 : –6 : –9; ... La razón es: r =

−6 3 = −4 2

Entonces: a4 = −9 ×

∴

a1 ⋅ q7−1 a1 ⋅ q9−1 ⋅ = 64 a1 ⋅ q4−1 a1 ⋅ q6−1

3 27 =− 2 2

1 El cuarto término es: −13 2

Resolución

q6 q8 ⋅ = 64 q3 q5

Rpta. B

q3 · q3 = 64

8

a (1− rn ) Aplicamos la fórmula: Sn = 1 1− r Por dato:

t t t E= 5 + 7 + 9 t3 t5 t7

 a (1− r 4 )  a1 (1− r8 ) = 17  1  1− r  1− r 

a q5 −1 a q7 −1 a q9 −1 E = 1 3 −1 + 1 5 −1 + 1 7 −1 a1 q a1 q a1 q

1 – r8 = 17 (1 – r4) (1 +

–

r4)

= 17(1 –

E=

r4)

1 + r4 = 17

q4 q6 q8 + + q2 q4 q6

E = q2 + q2 + q2 = 3q2 = 3(2)2

r4 = 16

∴

r=2

∴

Rpta. B

E = 12

Resolución Resolución

a1 = 5

11

a1 + a1·r2-1 + a1·r3-1 + a1·r4-1 + a1·r5-1 = 726 a1 · (1 + r + r2 + r3 + r4) = 726

Aplicando la fórmula: an = a1 · rn–1 se obtiene: ⇒

De la fórmula: an = a1 · rn–1 se obtiene:

a1 + a1· r + a1· r2 + a1· r3 + a1· r4 = 726

a6 = 5120 a6 = a1 · r6–1

Rpta. C

Por dato: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 726

9

La progresión geométrica formada tendrá 6 términos (2 de los extremos y 4 medios geométricos que nos piden). Entonces:

q=2

Luego, con q = 2, hallamos “E”:

S8 = 17 S4

r4)(1

⇒

q6 = 64

Por dato: a1 = 6

a6 = a1 · r5

⇒ 6(1 + r + r2 + r3 + r4) = 726

B B 5120 = 5 · r5

1 + r + r2 + r3 + r4 =

726 6

5120 5 =r 5

1 + r + r2 + r3 + r4 = 121

1024 = r5

r + r2 + r3 + r4 = 120 r(1 + r) + r3(1 + r) = 120

4=r

(1 + r)(r + r3) = 120

Como: r = 4; a partir de a1 = 5, los medios geométricos son:

(1 + r) r (1 + r2) = 120 r(1 + r)(1 + r2) = 120 r=3 Hallamos “a5”, si: a1 = 6 y r = 3 a5 = a1 · r5–1

∴ Uno de los términos interpolados es 320

a5 = a1r4

Rpta. A

a5 = 6(3)4 = 486

∴ El último término es 486 - 34 -

Rpta. D


Resolución

a2 = a1 · r2–1

12

•

a4 = 9a2 4–1 a1r = 9 · a1· r2–1 3 a1r = 9a1r r3 = 9r ⇒

r2 = 9 •

a3 = a1 · r2

a4 = a1 · r4–1

a4 = a1 · r3

a 3 = a1 ·

De la fórmula: an = a1 · rn–1 y según el enunciado del problema, se obtienen las siguientes ecuaciones;

Reemplazando en las ecuaciones, tenemos:

r=3

a1 + a1r3 = 140

a1(1 + r3) = 140 ... (1)

a1 + a1r2 = 60

a1(r + r2) = 60 ... (2) a1 (1+ r 3 )

a1 + 2 =

a2 2

Dividimos (1) : (2):

a1 + 2 =

a1 ⋅ r ;r=3 2

Factorizamos la expresión:

a1 + 2 =

a1 (3 ) 2

a1 (r + r2 )

2(a1 + 2) = 3a1

3(1 – r + r2) = 7r

2a1 + 4 = 3a1

3 – 3r + 3r2 = 7r

= 4(3)4 – 4(3)2

3r – 1 = 0

⇒

r–3=0

⇒

= 324 – 36

1 ; el número menor será a4 3 Si r = 3; el número menor será a1

Si r = Rpta. C

Hallamos el número menor con “r = 3”; o sea “a1”.

13


Reemplazamos: r = 3 en (1)

: : a1 : a2 : a3 : a4

a1(1 + r3) = 140


a1(1 + 33) = 140

a1 + a4 = 140 a2 + a3 = 60

a1(1 + 27) = 140 a1(28) = 140

an = a1 · rn–1

Hallamos: a2 ; a3 y a4; y reemplazamos estos valores en las ecuaciones. Entonces:

140 28

a1 = ∴

El menor número es 5

⇒

a1 = 5 Rpta. B

CAPÍTULO 4 LÍNEAS (Pág. 108) NIVEL I Resolución

1

1 3 r=3

r=

Luego:

= 288

De la fórmula:

3

(3r – 1)(r – 3) = 0

a5 – a3 = a1 r5–1 – a1r3–1 = a1r4 – a1r2

Resolución

140 60

3r2 – 10r + 3 = 0

Nos piden: a5 – a3 = ? (a1 = 4 ∧ r = 3)

a5 – a3 = 288

7

=

(1+ r ) (1− r + r 2 ) 7 = r (1+ r ) 3

4 = a1

∴

a2 = a1 · r

r3–1

Como F es punto medio de AC. AF = FC = 8+x Luego : 12 = x+8+x

∴ - 35 -

x = 2 Rpta. B

Resolución

Resolución

2

7

AD = 4 ⋅ BC

De la figura: 24 = a+3a ⇒ a = 6

12 − x + x + 8 − x = 4x

∴ x=4

Entonces:

Rpta. C

BC = 3a = 3⋅6

∴ BC = 18

Rpta. D Resolución

Resolución

8

3

AC + BD = 42

AC + BD = 33

a + x + x + b = 42

a+7 + 7+b = 33

(a + x + b)+x = 42

a + 7 + b = 26

5x + x = 42

∴ x = 26 Resolución

∴ x = 7 Rpta. C

Rpta. C

4

Resolución

9

Como B es punto medio AD . AB = BD = x+a

PQ = a + b + d .............. (1)

Del dato:

UV W

13 = 2 a + b (+) 17 = b + 2 d

AD = 2 CD + 28 2x+2a = 2a+28

∴ x = 14 Resolución

30 = 2(a + b + d)

Rpta. A

15 = a + b + d ............... (2) Igualando (1) y (2):

5

∴ Resolución

PQ = 15 Rpta. B 10

AC + BD + AD = 54 a + 8 + 8 + b + x = 54 AD + 5 AB = 90

(a + 8 + b)+ x = 46

∴

x + x = 46

x+5a + 5(x−a) = 90

x = 23

x+5a + 5x − 5a = 90

Rpta. E

6x = 90 Resolución 6 3a 5a B A

∴

x = 15 Rpta. D

7a C

AB BC CD = = = a 3 5 7

D AB = 3 a BC = 5 a CD = 7 a

Resolución

R| S| T

11

AC + 4 BC − 2 AD = 3

AB + CD 3 a + 7 a 10 a = = BC 5a 5a

x+3 + 4⋅3 − 2(x+5) = 3 x+15 − 2x−10 = 3

AB + CD ∴ = 2 Rpta. B BC

∴ x = 2 Rpta. B - 36 -


Resolución

Resolución

12

2

AC ⋅ BD + CD2= 12 + AB2 2 AM = 3 BC

2a⋅x + (x−a)2 = 12 + a2

2(x−4) = 3⋅8

2a x+x2−2ax + a2 = 12 + a2

∴ x = 16 Rpta. C Resolución

13

∴ x = 2 3 Rpta. E Resolución

AB AE 3 a 6 a + = + BC BD a 2a

BC = 3 AB 6−a + a + 6 = 3⋅2a

Resolución

Rpta. C

AB AE + =6 BC BD

∴

12 = 6a ⇒ a = 2 Luego: AB = 2a = 2⋅2

∴ AB = 4

3

Resolución

4 x

4

14

Rpta. E

A

B

4+x C

D 10

10 = 2x+4 AC + BC = a + 8 + 8−a

∴ x = 3 Rpta. C

∴ AB + BC = 16 Rpta. D Resolución

Resolución

15

5

AB ⋅ CD = AD ⋅ BC a ⋅ b = (x+b) ( x−a) AB ⋅ CD = AD ⋅ BC

2a⋅b = x2+(b−a) x ................ (1) AB + AD = 2AB ⋅ AD

4⋅(12−x) = 12(x−4) 48−4x = 12 x−48

a + x + b = 2a (x+b) a + b + x = 2ax + 2ab .......... (2)

96 = 16 x

∴ x = 6 Rpta. D

Reemplazando (1) en (2): a + b + x = 2a x + x2 + bx−ax

NIVEL II Resolución

a + b + x = x(a + b + x)

1

∴ Resolución

x = 1 Rpta. B 6

AB + CD = 2⋅BC a + b = 2x .................... (1) AC + CD = 21 DE + BC = 16 3a + a = 16 ⇒ a = 4

a+x+b = 21 .................. (2) Reemplazando (1) en (2):

Luego:

3x = 21

∴ x=7

AB = 2a = 2 4

Rpta. B

∴ - 37 -

AB = 8

Rpta. D

Resolución

4 AB = 3 BC = 6 CD = a

7

a a a + + 4 3 6

x=

3a ................ (1) 4 3(BC − AB) = 2 (BC − CD) − 2 x=

2 ⋅ AE = 5 ⋅ BD ⇒ 2(a + x + b) = 5x 3x ................. (1) 2 AD + BE = 42 a+b=

3

FG a − a IJ = 2FG a − a IJ − 2 H 3 4K H 3 6K

a + x + x + b = 42

a = 24

a + b +2x = 42 ........... (2)

Reemplazando en (1):

Reemplazando (1) en (2):

x=

3x + 2x = 42 2 ∴ x = 12 Rpta. B

∴ Resolución

Resolución

3 ⋅ 24 4

x = 18

Rpta. B

12

8 AC = AB +

AB = BC + DE a = 10−a − x +(6 −10 + a)⋅2 Resolviendo:

BD 2 Multiplicando m. a m. se logra: AC = AD −

∴ x = 2 Rpta. B Resolución

9

∴ AC2 = AB ⋅ AD + Resolución

17 AC = 5 CD ⇒ 17 (a + x) = 5b 17x = 5b−17a ................ (1) 5 BD −17 AB = 132 5(x+b) − 17a = 132 5x + 5b − 17a = 132 ...... (2) Reemplazando (1) en (2).

Resolución

x=6

7+a=x−7+a

∴ Resolución

11

x = 14

Rpta. B

13

(a − b) OR = a ⋅ OQ − b ⋅ OP ...... (1) Tomando el dato: x ⋅ OR = a ⋅ OQ − b ⋅ OP ............ (2) Igualando (1) y (2): x ⋅ OR = (a−b) OR

∴ Resolución

AC = BD + BC

Rpta. B

Ordenando:

Rpta. E

10

BD2 4

b⋅PR = a⋅QR ⇒ b(OR − OP) = a (OR − OQ)

5x + 17x = 132

∴

BD 2

x=a−b

Rpta. A

14

AB2 + AC2 = x ⋅ (AM2+BM2)

LMb g2 + b2 OP N Q 2 2 L 2 2 2 a + a + 4ab + 4b = x Mb a + b g + b OP N Q 2 L 2 2 2(a + 2ab + 2b ) = x Mb a + b g + b2 OP N Q 2 2 2O 2O L L 2 Mb a + b g + b P = x Mb a + b g + b P N Q N Q a2+(a+2b)2 = x a + b

∴ x = 2 Rpta. B

- 38 -


Resolución

AC + BD + CE a + 2 b + 2 d + e n+1 =: 2 = 2 AE − AB − DE a + 2 b + 2 d + e

15

B

B

2n+1 2n+1

AB ⋅ CD = 2 AD ⋅ BC AB(AD − AC) = 2 AD (AC − AB)

= =

AB ⋅ AD − AB ⋅ AC = 2 AD ⋅ AC − 2 AB ⋅ AD

∴ n = −1

3 AB ⋅ AD = AC (2 AD + AB) 3 2 AD AB = + AC AB ⋅ AD AB ⋅ AD

1 2° ⇒ n + 1 = 0

Resolución

Rpta. C

4

3 2 1 ......................... (1) = + AC AB AD AC + BD + CE + DF = 42

x y z = + ................. (2) Del dato: AC AB AD

a + b + b + d + d + e + e + f = 42 (a + b + d + e + f) + (b + d + e) = 42

Comparando las expresiones (1) y (2):

AF + BE = 42

x =3, y = 2, z = 1 Luego:

x+y+z=3+2+1

∴

x+y+z=6


∴

Rpta. D

Resolución

9 BE + BE = 42 5 BE = 15 Rpta. B 5

1 AB ⋅ BD = AD ⋅ BC

AB ⋅ AD = 3 ⋅ BC ⋅ CD

AB ⋅ BD = (AB + BD) BC 1 1 1 = + BC AB BD

AB (AC+CD) = 3 (AC − AB) ⋅ CD AB ⋅ AC + AB ⋅ CD = 3 AC ⋅ CD − 3 AB ⋅ CD 4 AB ⋅ CD = 3 AC ⋅ CD − AB ⋅ AC

1 n−1 = BC 8 ⋅ BC

4 AB ⋅ CD = AC (3 CD − AB) 4 3 = − AC AB 1 4 + = CD AC

1 CD 3 AB

=

3 AB

B

3

∴ AB = 3 Resolución

∴ n = 9 Rpta. B Resolución

6

5 AC − 2 BD = 3 AD 5(AD−CD) −2(AD−AB) = 3 AD

Rpta. D

5 AD−5 CD − 2 AD + 2 AB = 3 AD

2

2 AB = 5 CD AB = 2,5 CD

∴

FG H

IJ K

FG H

3 AC − CD 3 2a + b − b = 2 BC 2 a

∴ 3 AC − CD

FG 2H

Resolución

BC

IJ = 3 K

IJ K

Resolución

Rpta. E

7

Rpta. C

AB ⋅ BD = AC ⋅ BC

3

m (x+n) = (m+x) x m x + m ⋅ n = m x + x2

AC + BD + CE a+b+b+d+ d+e = 2 AE − AB − DE 2 a + b + d + e − a − e

b

∴

g

- 39 -

x = m⋅n

Rpta. E

AD ⋅ AC = 5 BD ⋅ AB

Resolución

b − a = x ........................ (2)

8

Reemplazando (2) en (1): x+x=6

(AB + BD) AC = 5 BD (AD − BD) (AB + BD) AC = 5 BD (AB + BD − BD)

∴ x = 3 Rpta. C Resolución

12

(AB + BD) AC = 5 AB ⋅ BD 5 1 1 = + AC AB BD 5 = 30 AC

∴ AC = Resolución

1 6

BD + 2 AB BD + 2DE = AB DE

Rpta. C

BD BD = AB DE AB = DE

9

a = 22 − x + a

∴ 3 AB = 2 CD 3 AB = 2(9m−3n) ⇒ AB = 6m − 2n

Resolución

x = 22

Rpta. D

13

n AD = m BE n(15m−5n+x) = m(3x+9m−3n) 15m⋅n−5n2+n⋅x = 3m⋅x + 9m2−3m⋅n

AB ⋅ CD = AD ⋅ BC ................ (1)

5n(3m − n) = x(3m−n) + 3m (3m − n)

AB ⋅ BC = 13

∴ x = 5n − 3m Rpta. B Resolución

(AD − x) BC = 13 AD ⋅ BC = BC ⋅ x + 13 ........... (2)

10

AD ⋅ CD = 38 (AB + x) CD = 38

AB ⋅ CD = x AD ⋅ BC AB (AD − AC) = x AD (AC − AB)

AB ⋅ CD = 38 − CD ⋅ x ........... (3) De (1), (2) y (3): BC ⋅ x + 13 = 38 − CD ⋅ x

AB ⋅ AD − AB ⋅ AC = x ⋅AD ⋅ AC − x ⋅AB ⋅ AD

x(BC + CD) = 25

AB ⋅ AD (1 + x) = AC (x ⋅AD + AB)

x ⋅ x = 25 ⇒ x2 = 25 ∴ x = 5 Rpta. E

1+ x x ⋅ AD AB = + AC AB ⋅ AD AB ⋅ AD 1+ x x 1 = + AC AB AD

Resolución

1+ x 2 x − 3 = AC AC ∴ x = 4 Rpta. C Resolución

14

AB2 + AD2 BC2 + AC2

11

=

b g2 = b2 + b a + b g2

a 2 + a + 2b

a 2 + a 2 + 4 ab + 4 b2 b2 + a 2 + 2 ab + b2

BC + DE = 6

AB2 + AD2

x−a+b=6

BC2 + AC2

x + (b − a) = 6 ............... (1)

∴

AB ⋅ DE = CD ⋅ AD a ⋅ b = a (a+x)

- 40 -

=

2 a 2 + 2 ab + 2 b2

e

j

a 2 + 2 ab + 2 b2

AB2 + AD2 BC2 + AC2

=2

Rpta. B


CAPÍTULO 5 ÁNGULOS (Págs. 129) NIVEL I Resolución

SC50° − SS139°

1

CCC89°

b

Resolución =

g

180° − 90° −50° − 139° = 1 Rpta. B 90° − 89° Resolución

5

m BOD − 3m AOB = 60°

x + 3φ − 3(φ − x) = 60° x + 3φ − 3φ +3x = 60°

∴ x = 15° Rpta. C

2 2x+10° = x + 40°

∴ x = 30°

Luego:

Resolución

6

UVb g W

2 α + φ = 180° + φ + 2 θ = 90°

2α + 2φ + 2θ = 270°

m AOC = 3x + 50° = 3 ⋅ 30°+50°

α + φ + θ = 135°

∴ m AOC = 140° Rpta. E Resolución

∴ x = 135° Rpta. E Resolución

3

7

5φ = 90° ⇒ φ=18° Pero: 3φ + x = 180° ⇒ 3 ⋅ 18° + x = 180°

m AOC − m COD = 54°

∴ x = 126° Rpta. D Resolución

2x+ φ − φ = 54°

Resolución

m AOC + m

Rpta. D

8

BOD = 140°

φ+ x + x + θ = 140° φ + x + x + θ = 140° φ + x + θ + x = 140°

B

114 ° + x = 140°

∴

φ = 27°

∴

4

x = 26° Rpta. B

m AOC + m AOB = 140° φ + 2α + φ = 140° φ + α = 70° ............ (1) m AOB − m BOF = 20° φ − α = 20° ............ (2) De (1) y (2): φ = 45° ; α = 25° Luego: m AOC = φ + 2α - 41 -

m AOC = 45°+ 2⋅25°

∴

m AOC = 95°

Resolución

Resolución

13

Rpta. B

9

5α + 5β = 180° 126° = α + β + x ........... (1)

α + β = 36°

180° = α + β +126°

φ = α + β = 36°

54° = α + β

φ + x = 180° ⇒ 36°+ x = 180°

En (1):

∴

126° = 54° + x

∴ x = 72° Rpta. A Resolución

Resolución

x = 144°

Rpta. A

14

10 90°− φ + 180°− θ = 70° φ + θ = 200° ........... (1) x+φ+θ = 360° ........ (2)


70° = φ + 2θ ..................... (1)

x + 200° = 360°

∴ Resolución

180° − 2φ + β = α + θ

x = 160° Rpta. C

180° = 2φ + θ + α − β ....... (2)

11

Sumando (1) y (2): 250° = 3 (φ + θ) + 70° 180° = 3 (x)

∴ x = 60° Rpta. B Resolución

15

5x + φ = 180° + φ = 180° 4x + x 80°

4x + 80° = 180°

∴ Resolución

x = 25° Rpta. D 12

100° = 2φ

⇒ φ = 50°

2φ + 5β = 180° 2⋅50° + 5β = 180° ⇒ β = 16° Luego: x = φ + 2β 20°+ x + 30°+ 60°+ 4x = 180°

x = 50° + 2 ⋅16°

5x = 70°

∴ x = 82° Rpta. D

∴ x = 14° Rpta. C - 42 -



Resolución

5 110° + α + β = 150°

1

α + β = 40° x = α + β ..... (1) m

α + β + x = 110° ↓

BOC = 90°

40°+x = 110°

2α + 2β = 90° α + β = 45°

∴ x = 70° Rpta. B Resolución

En (1):

6


2

α − 2r + α − r + α + α + r + α + 2r = 180° α = 36° α α +r=x −r+α−r+α+α+r+ 2 2 4α = x 4 ⋅ 36° = x

m AOC + m BOD + m COE = 130°

∴

α + β + β + γ + γ + δ + = 130° α + β + γ + δ + β + γ = 130°

Resolución

AOE + m BOD = 130° ↓ 6 ↓ x + ⋅ x = 130° 7

m

x = 144°

Rpta. B

7

180° − (90°− α) = 90° − (180° − φ)

∴ x = 70° Rpta. E

90° + α = φ − 90° 180° = φ − α

α + β = 80° ............ (1)

  (+ ) 360° = φ + α + 160°

90°− α = 2β ............ (2)

∴

Resolución

3

De (1) y (2):

Resolución

α = 70° ; β = 10°

∴ Resolución

α − β = 60°

φ = 190°

Rpta. D

8

(90°− φ) + (180°− 2φ ) =

Rpta. D

3 (90°− θ) 2

90° = 2φ − θ  ⇒ φ = 66° 24° = φ − θ 

4 Luego:

∴ Resolución

∴

α + β + γ = 180°

Rpta. E

- 43 -

90°− 66° = 24° 9

Rpta. B

m AOB − m BOC = 30°

Resolución

14

2α + 4x − 2α = 30°

∴ x =7°30´ Rpta. A Resolución

φ+x = 180° ...... (1) 2φ = α + β = 100°

10

φ = 50°

90°−(180°− α) + 180°−(90°− α) = 180° − 2α 90°− 180°+ α + 180°− 90° + α = 180° − 2α α = 45°

∴ Resolución

Rpta. A

En (1):

50° + x = 180°

∴ x = 130° Rpta. D

11

Resolución

15

x + 84° = 180°

∴ x = 96° Rpta. C Resolución

↔ ↔ L2 // L 3 :

Como

12

30° + 40° = 5θ + 2θ

∴ θ = 10° φ + 30° + 40° = 2ρ + 5θ ↓ 180°− 2α + 30° + 40° = 2ρ + 5 ⋅10° α + ρ = 100° ↓

∴

x = α + β ........(1) 4β = 90° ⇒ β = 22° 30´

x = 100° Rpta. A NIVEL PREUNIVERSITARIO

En (1): x = α + 22° 30´

Resolución

1

α = x − 22°30´............ (2) Pero: x + 4α = 180° ............ (3)

m AOB + m AOC=110° x − φ + x + φ = 110°


∴ x = 55° Rpta. E

x + 4 (x − 22°30´) = 180°

∴ Resolución

x = 54° Rpta.

Resolución

2

13

360° − x = 70° + 50°

∴ x = 240° Rpta. E

m AOB = m BOC = m COD = m DOA = α 2 3 5 8

- 44 -


m AOB=2α, m BOC=3α, m COD=5α, m DOA=8α

φ + θ + 2φ + θ + φ = 150°

x = α + 4α

2(2φ + θ) = 150° .......... (2)

x = 5α .................... (1)


Pero:

2x = 150°

18α = 360° ⇒ α = 20° Reemplazando en (1):

∴ x = 75° Rpta. D

x = 5 ⋅ 20°


Resolución m AOC +

3

{

}

90°− 180° − (180° − α ) − (90° − α ) = 13000 (90° − 3α ) 90° − {180° − [180° − α − 90° + α ]} = 13000 (90°−3α)

m BOD +

m COE +

m DOF =130°

O α+β+β+γ+γ+δ+δ+φ = 130° α + β + γ + δ + φ + β + γ + δ = 130°

90°− {180°−90°} = 13000 (90°− 3α)

m AOF + m BOE = 130°

90° − 90° = 13000 (90°− 3α) 0 = 90°− 3α α = 30°

Resolución

∴

Rpta. A

4

5 ⋅ m AOF = 130° 8 m AOF = 80° Rpta. B

m AOF +

0 = 13000 (90°− 3α)

∴

Resolución

φ + x + x = 160° ... (2) De (1) y (2)

m AOD ⋅ m BOC O

30°(120° − x) = 120° (x − 30°)

90° + x = 160°

120° − x = 4x − 120°

∴ x = 70° Rpta. C

240° = 5x

∴

5

m AOB = m BOC = 4 5 m COD = α 6

m AOB = 4α ; m

Resolución

Rpta. D

9

BOC = 5α ; m COD = 6α

α + θ = 90° ........... (1) x=

pero: x = 10α = 10 ⋅ 10°

∴ x = 100° Rpta. E 6

x = 48°

O

m AOD = 150° ⇒ 15α = 150° ∴ α = 10°

Resolución

8

m AOB ⋅ m COD =

φ + x = 90° ........... (1)

Resolución

7

LM N

θ α + 45° − + 45° − α 2 2

α+θ .............. (2) 2 Reemplazando (1) en (2) x=

90° 2 x = 45° Rpta. B x=

x = 2φ + θ ...... (1)

∴

m AOC +

2⋅m COD +

m BOD = 150° - 45 -

OP Q

Resolución

22°+ x +72° = 56° + 88°

10

∴ x = 50° Rpta. D

m AOB = 64°⇒ 2α = 64° α = 32° 35°= θ +

FG H

α θ − α+ −α 2 2

35° =

Resolución

13

IJ K

θ α + 2 2

FG H

θ = 2 35 ° −

IJ K

32 ° ⇒ θ = 38° 2 β = φ + 10° = x + φ

∴ m BOC = 2θ = 76° Rpta. E Resolución

∴ x = 10°

11

Resolución

Rpta. C

14

x = 3α + 3φ y = 2α + 2φ z=α+φ x + y 3α + 3φ + 2α + 2φ = z α+φ x+y =5 z

∴ Resolución

φ = x + β = 2β + 32° − β

∴ x = 32° Rpta. B

Rpta. B

12

CAPÍTULO 6 TRIÁNGULOS (Págs, 159) NIVEL I Resolución

B

A

2x − 3

2 B

10 < x – 5 + 2x – 3 x −5

10

Resolución

1

6
5

7

10 > (2x – 3) – (x – 5)

ADB : x < 7

En el

BCD: x > 5

x

C

8>x

C

En el

A

D 5

6

∴

7

xentero = 7

8

∴

Rpta. D - 46 -

xentero = 6

6

Rpta. B

7


Resolución

Resolución 6 B

2 B 5

7

En el

ADB : x < 7

En el

BCD: x > 5

20°

m

C

F = 80° + 20° + 10°

∴ m

x

F = 110°

x 110°

C A

80°

D 5

∴

xentero = 6

Resolución

6

7

A En el

∴

C

y

z

x

x + φ = 180° ............ (I) ABF: AB > BF φ > 64° φ

64°

A

x φ

F

66°

C

w D

δ

D

En el

v

E

Rpta. E

En el

θ

φ

10°

7

B

φ + θ + δ = 360°

A

x = 130°

Resolución

B

D

FCD: x + 160° = 180° + 110°

Rpta. B

3

160°

F

FCD: FD > CD φ < 66°

u

F

E

∴ x + y + z + w + u + v = 360° Rpta. C 64°

Resolución

65°

66°

4

entero

∴ φ entero = 65° x

x + 65° = 180°

∴

β

84°

A

En el

En (1):

C

φ

Resolución

D

BCD:

B

8

φ E

En el

Rpta. A

F

BCF:

84° + α + φ = 180° ........... (I) En el

5

ECD: x + α + φ = 180° ..........(II)

B x

D

φ

3(180° – x) = 264°

Resolución

α

φ

2φ

A

Reemplazando (I) en (II): x = 92°

C

84°

ABD: 3(φ + β) = 180° + 84° ...... (II)

∴

Rpta. C

α

φ + β = 180° – x .......... (I) En el

x = 115°

2β

x

B 2φ

126° = x + 2x

C

Igualando (I) y (II):

∴ x = 84° Rpta. D

x

Resolución 126°

2x

x

A

∴

α + φ = 110° ............. (I)

B

D

φ + α + φ = 180° ....... (II)

α

x = 42

Rpta. B φ

A - 47 -

9

φ

Reemplazando (I) en (II):

C φ + 110°=180° ⇒ φ = 70°

Luego:

Resolución

φ + φ = 2φ = 2.70°

∴

14

B

2φ = 140° Rpta. B

Resolución

a N

10

a

B

2x + 3y – 17 = 6 2x+3y−17 A

6

∴ Resolución

α A

C 28° =

3 α 5α + = 180° ⇒ α = 36° 2 2

m

⇒ m

A + 56° + m

C = 124 ° + C = 16 °

2m

A = 140°

m

A = 70°

Resolución

1

B x

x

φ

D

75°

30°

60°

A

45°

x + 60° + 75° = 180°

C φ + x = 180°

B 3x + x = 180° 90° + 2 x = 36°

Resolución

13

30° 45°

C

Resolución

β M

E 70°

En el

C

x

N

y

α

20°

A

C

F

α+β = 75°

E

Q

75° + x = 180°

EBC.

∴

B

2

x

70°

∴ x = 45° Rpta. C

60°

A

Rpta. B

B

D

A

Rpta. E

NIVEL II

3x

∴

C = 180°

C = 180°

UVb g W

A +m A −m

∴

B = 56°

B+m

A+m

m

12 B

D

B 2

m

m m

5 ⋅ 36° − 36° 2 ∴ φ – α = 54° Rpta. D φ−α =

Resolución

E 28°

A

α + β + φ = 180°

C

15

3α

β= VWU 52α φ= 2

φ

Rpta. B

B

Rpta. E

α β φ = = 2 3 5

β

α+

Resolución

11

B

AC BN + =3 QC NC

∴

x=4 ; y=5

x+y =9 y−x

C

b

AC BN 2b a + = + QC NC b a

De (I) (II): x+y 4+5 = y−x 5−4

Q

b

2y – x = 6 .......... (II)

C

2y − x

A

2x + 3y = 23 ....... (I)

x + y = 70°

∴ x = 105° Rpta. B

Rpta. A

- 48 -

D


Resolución

Resolución

3

B

B

7

m HBD =

m A − m c 70 = = 35 2 2

35°

E

34° + 60° = 60° + x + x

∴ x = 17° Rpta. D

34°

x

A

H

60°

D

60°+x

∴ x = 125°

60°

x

A

C

Resolución

Resolución B

4

φ + θ + w = 360°

C

D x = 90° + 35°

Rpta. D

8

B F

y

N

z φ

x

A

M u

E

C

φ

φ

α

A

x + y + z + u + w = 360°

∴ x + y + z + u + w = 360° Rpta. E

P

α+x

x

C

Q

Resolución

z

∴ x = 56°

ACB = 160°

2(180° – x) + 180° – y = 160°

Resolución

y = 380° – 2x

10

F

x + 380 – 2x + z = 360° z = x – 20°

∴ x = 90° Rpta E

D 90°+φ

φ

∴ 3z = 3x – 60° .............. (II)

C

E

Resolución

2y + 3z = 760° – 4x + 3x – 60° Rpta. D

φ

x

A

Sumando (I) y (II):

11

B

D x

6

E y

100° α α

B

φ

β β

A

φ α α

C

100° = 140° φ = 90° + 2

8 α+φ

φ

8 H

x

F

φ = 90 + α + x  ( )  + φ = 90 + β + y 

C

2φ = 180° + α + β + x + y

14

El

Rpta. D

G

x + y + z = 360°

A

D

B

∴ 2y = 760° – 4x ............. (I)

∴ x + 2y + 3z = 700°

θ

236° = 180° + x

y

BAC + m

α+β

x

α + β + φ + θ = 180° + x

C

A

φ

x φ+θ

α

x

Resolución

C

β

A

2m

9

B

5

B

φ = 90° + α = 2x + α

∴ x = 45° Rpta. A

G

D W

Resolución

α

ABF es isósceles:

2φ = 180° + 180° – φ + x + y x + y = 3φ – 360° = 3.140° – 360°

AF = AB = 8 Luego:

14 = 8 + x

∴ x=6

∴ x + y = 60°

Rpta. C - 49 -

Rpta. A

Resolución B

5φ = 90° +

E

F

x

5φ φ

NIVEL PREUNIVERSITARIO

12 φ ⇒ φ = 20° 2

Resolución C

5 ⋅ 20° + x = 180°

B

A

3

C

10 11

12 13 máximo mínimo

∴ x = 80° Rpta. D

Diferencia = 12 – 11

∴ Resolución

⇒ x > 10

x > 10

10

G

A

x < 10 + 3 ⇒ x < 13

x

5φ + x = 180°

D

1

Diferencia = 1

Rpta. A

13 Resolución

2

B

82° 90°+φ = 90°+ ⇒ φ = 41° 2

B

D

41° + x = 90°

∴

b b

°

C

x = 49°

60°

50°

Rpta. A

C

b EDC es isósceles

14

x + 50° = 80°

∴

C

2φ

B

φ

φ

Resolución

E

x = 30°

β

72° A

Rpta. D

3 B

x

a

β

60° 2β

a

a

60°

60°

D

1 m C 2 1 72 ° x = 90° + 90° − 2 2

x = 90° +

∴

A

MNL

PQO

x = 117°

Rpta. C

7x

∴ x = 12° Resolución

C

7x

a D 60° + 7x = 12x

12x

Rpta. B

4

B

Resolución

80°

A El

Resolución

50°

b 10

F

A

D

x

60°

° 20

82°

φ + x = 90°

E

x

φ

E

En el

ABD: x =

φ 2

En el

DBC: y =

θ 2

15

B

E x

D

y

E

∴

76°

C

D = 90°+

76° 2

Resolución B

m D = 128° 64°+ x = 90°

∴ x = 26°

a β

Rpta. B

A

- 50 -

a

x + y = 90°

Rpta. C

5 Perímetro = a + e + b

α

β

φ + θ 180° = 2 2

x+y=

F

64°

A

m

C

D

x

64°

θ

φ

A

E αb

β

D

β α

e 32

α

F

b

C


∴ Perímetro = 32

Rpta. D

Resolución

10

E x

B

Resolución

6

a

B

C a

a

E

a

x

60°

a

A

A

C

B+2⋅m

A+m

m

C = 260°

a

D

x = 45° + 60° + 15°

C = 80°

m

∴ x = 120° Rpta. C Resolución

∴ x = 40°

7

Rpta. A

C x 3x

Resolución

φ

E

E

UVb g W

2 φ + β + 3 x = 180° + 2 θ + β + x = 180° 2(φ + θ + β) + 4x = 360° ...... (II)

2φ α+φ 2 A D

φ

A

5

En el

x=5+2

x = 20°

Rpta. A 5

Resolución B

x

F

x=

φ+θ 2

D θ θ

x

C

E

∴ Resolución

x = 36°

12

x 2

F

H x

Resolución

Rpta.

13 x

T

A En el

z+w u+v

v

x=4

C

θ

u

a

° x+6 x+6°

6°

a

F isósceles ABF. x + 6° < 90°

A

D

D

B

a

E

C 8

∴

R z

2β

E

5

2

Rpta. B

2β+α

2α 2α+β

9

w

B

x=

90° −

A

x+y y x

x + 8 = 12

α

ββ α

8

φ φ

P

12

B

∴

Q

C

∴ x = 7 Rpta. D Resolución

2(7x) + 4x = 360°

φ

isósceles EBD.

Reemplazando (I) en (II)

φ

x

5

7x = θ + φ + β ....................... (I)

C

φ α α

x

7x

θ

A

11 B

φ

B

D

θ

β

x < 84°

UVb g W

φ + θ = 90° + x + y + z + w + u + v = 360°

83°

∴ x+y+z+w+u+v+φ+θ = 450° Rpta. C

84° máximo entero

∴ - 51 -

x = 83°

Rpta. D

E

Resolución

E

14 40°

Resolución

2

E

20°

G

a

b a

60° 70°

a

A

x

60°

40°

α

a

20°

a

D 70° = 60° + x ∴ x = 10° Rpta. B

El

BFC es isósceles:

∴

FC = 4


Rpta. D

3

15

B

B

ACB ≅

α

2x

ADE ........ caso ALA AC = DE = 3

10

D x

β

x A

90°−x

3 β

α

2x 2

m

D = 90° +

m

D = 90° + x

10 = 3 + x

3

Resolución

90°−x

E

BC = AD

D

Cx

C

A

2y + 2 = 3y – 1 x−y

y

y=3

2

x – y = y2

2y+2

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Resolución

α

1

α

H En el ADC:

AHB:

C

a

AB BC BM + + = BM AB AB a 2a a + + a a a a C

D

∴

φ + θ = 90° .......... (I) φ φ

AB BC BM + + =4 BM AB AB

Resolución B α

D = 180° .......... (2)

El

56°

x = 2(α + β) x = 2 (56°)

D = 90°

ABC es isósceles:

Rpta. C

6

De (I) y (2):

∴ m

Rpta. A

5

M

A

En el

φ+θ+m

∴ x = 12

a

B

θ

3y−1

B

NIVEL I

A

x – 3 = 32

E

Páginas: (188)

6

B

A

∴ x = 30° Rpta. C

φ

E

F

180°– 90° = 3x

Resolución

∴ x = 7 Rpta. A

4

2(90°– x) = 90° + x

D

D

a

C

BGD ....... caso LAL C=m B=α

m

C

φ

α

a

B

AEC ≅

a 70°

A

φ

B

b

F 4

o

α

x

A

∴

AC = BC

∴ AC = 6 Rpta. C - 52 -

β

C

x = 112°

Rpta. D


Resolución

Resolución

7

12

B

B P

AHM ≅ HFC .... caso ALA

4

M

x

4

A

A

Q

F

φ

φ

7x + 2x = 180°

C

∴ x = 20° Rpta. A

∴ AB = 8

Rpta. B

Resolución

8

N α

8

α α

N

A

E

∴ MN = 4

∴

3x + 2x = 90°

N

α

2α

F

α = 18°

x

x

3x

d

2α + 3α = 90°

3α 3α

Resolución

14

d

α

∴

Rpta. C

B

9

H

7

3x

B

A

MN = 6

Resolución

Rpta. C

α

C 12 MN = 2

5

C

FE = FB = 8 8 AEF: MN = 2

Resolución

M

7

8

M

En el

13

B

F

A

C

2b 3b

4

B

R

b

b

H

Resolución

b 2x

7x

x

AM = HC = 4

2x

F

d

A

M d

x

C

∴ x = 18°

C

Rpta. A

Resolución

Rpta. E

15

B

10

∴

BC =5 2

°

EL

45

BDC: DN =

22°

6 2

MDN es de 45° y 45°

MD = 5 2 Rpta. C

12 2 =6 2 26 2 BH = 2 2

BM =

30´

22°30´

45°

A

H

M

C

12 2

∴

BH = 6

Rpta. B NIVEL II

Resolución

Resolución

11

12

A

D

12 =6 2 El MQN es de 37° y 53°

B

MQ =

M

1

φ

B β

α

4 Q

N

C

∴

C

-9 2x

MN = 10

Rpta. B

A

- 53 -

5

3 α

3

7−3y

β

E

φ

ABC ≅ CDE ....... caso ALA 4 = 7 – 3y ⇒ y = 1

Resolución B

2x – 9 = 5 ⇒ x = 7 x+y=8

Resolución

Sea NQ la base media

M

x+y=1+7

∴

Q

Rpta. B

2

A El

B

α

α α

β

ABC 18 QN = =9 2

C 18 QMN es isósceles:

∴ MN = QN = 9

F

Resolución

x

del

N

α β 6

A

6

7

α

11

B C

6

8°

H

AHB ≅

37°

A

BH = CF

x

45° 3

E

6 + x = 11

∴ x=5 Resolución

k1 =

x

C

H

D

∴

x=3

⇒

k1 = 4

4k1 = x + 4k

4⋅4=x+4⋅3

∴ x=4 Resolución

F

4⋅3 3

Luego:

x+5=8

8

Resolución

Rpta. A

8

Rpta. B

B Q

4

60° 30

B φ

x 2φ

Resolución

A

A

C

x 12

∴

3φ

60°

φ

2φ

4

12

N 4

H 4 D

B

12 °

12 = 4 + x

x

A

4k 3

4 k = 3k1 ⇒ k1 = J

α

C

4k = 3k + 3 ⇒ k = 3

3

5

α

53°

D 3k 4k

4k1

Rpta.

B

x

8°

BFC .............. caso ALA AH = BF = 6

A

Rpta. C

x=8

5 20 = 12 + x

12 2φ

F

20

∴

x

2φ φ

φ

∴ x=8

8

C

Rpta. E

- 54 -

M

MN =

8 3 ⇒ 2

CN =

8 =4 2

NQ =

12 3 ⇒ 2

Rpta. D

60°

30°

C

8

MN = 4 3

NQ = 6 3

MN + NQ = 10 3

Rpta. D


Resolución

9

Por mediatriz: 55° = 35° + x

D C 18

x

B

48°

30°

x = 20°

Resolución

12°

72°

A

∴

48°

14

P

B

6

18°

M

∴ x=9 Resolución

ANC ......... caso ALA BQ = 6

PBM ≅

B

AMC .......... caso ALA

ABD: α + x = 32°+ α

PB = 6

∴ A

α+x

∴ x = 32°

PQ = 12

Resolución

E

C

D

Rpta. B

B

11

4−x

B

6

5

MN = 2(FH) = 4

α

α

A

5

H

3

x

N

3

E

∴

x=2

Rpta. D


C

3

Resolución

∴ x = 53° Rpta. E

1

B

3φ

Resolución

C

H

4

2

A

6+x

φ

M F

FDB: x = 4 – x

D

φ x

F

Rpta. B

15

φ

Resolución

C

6

10

αα x

32°

N β

BNQ ≅

12

D

B

E

x 5φ−x

35°

4φ

x x

15

A

C

°

7

7 35°

A

En C: 4φ + 2x = 180° 4φ = 180° – 2x ......... (I)

70° 55°

70°

M

C

D

AC BM = 7 = 2

∴ Resolución

L

α α

A

Rpta. C

Q

6

β

E

18 AEC: x = 2

Rpta. C

AC = 14

DBC: 8φ – x = 180° + x 2. 4φ – 2x = 180° ......... (II) Reemplazando (I) en (II).

Rpta. A

2(180° – 2x) – 2x = 180° 180° = 6x

13

∴

x = 30°

Rpta. A

B

Resolución

2

55°

B

En A: x < 30° ............ (I)

F

AED: ED > AE x > 27° ......... (II)

60°

A

55°

35°

H F

x

C

30°

A

- 55 -

x

E

K

C

27°

D

De (I) y (II):

MBC: NQ = x =

MB 2

MB = 2x 29°

27° 28°

30°

AHB:

mayor menor

∴

Suma = 57°

Resolución

Rpta. C

∴

x=3

Rpta. A

3 Resolución

B x

por ser HM =

2a

x

2x

a

H

Resolución

ABE es isósceles: BF = FE

D F

A

2x = 60° x = 30°

El 2

α

3a

∴

B

BM . 2

C

2a

M

a

7

BHM es de 30° y 60°,

El

30°

A

4x 3 2

6 3=

Suma = 28° + 29°

H

En el

Rpta. D

2 α

BHE: HF =

4 4 DBC : FM = = 2 2

C

E

∴

BE 4 = 2 2

HF = 2

Resolución

Rpta. B

8

B φ

Resolución

A

φ

E

M 6 β

8

∴ AD = a + b Rpta. E

β

α

C

N

F

C

EDB isósceles: ED = BD = b

α

L

A

D

b

ABE isósceles: AE = BE = a

Como α + β = 90°

D

β

2φ

E

EBC isósceles: BE = BC = a

B 12

b

2φ

a

5

α

a

a

AC 12 = FM 2 AC = 6 Rpta. B FM

∴

2φ

Resolución

9

16

B

Entonces: m MDN = 90° MDN:

∴ Resolución

MN = 10

8x

E 8x

Rpta. E

6

A B

2x

M

φ

N Q

30°

6 3

2x

H

x

D

6 3

AED ≅ m

2x

C

isósceles EBD. DBC ....... caso LAL

A = m C = 2x ABC: 18x = 180°

∴ - 56 -

2x

6x

Se construye el

60° 60°

2x

A

2x

6x

x = 10°

Rpta. C

C


Resolución

PMQ ≅

10

QNR ........ caso LAL PQ = RQ = 12

M

2

F

Por bisectriz:

2

A

PQM = m

QRN = β

m

QPM = m

NQR = φ

PMQ: β + α + 90° + φ = 180°

2+x=6

6

m

β + α + φ = 90°

P x

∴ m

N

x

Q

El

B

∴ Resolución

x=4

PQR = 90°

PQR es isósceles.

∴ PR = 12 2 Rpta. A

Rpta. D

Resolución

11

14

B

B

3

30°

E

2

1

a

1

60° 45°

E

45°

A

x

e

C

2

3 +1 2

j

2

x x

1

BFC ≅

A

H

C

3

ADC .......... caso LAL BE = CD = 2 ADC ........... caso LAL BF = AD = 2

Entonces:

∴ BE + BF = 2+ 2

D

120°

° 30°

a

B E

30

C

Resolución

AED ≅ DCB ..... caso LAL m EAD = m DBC = x

B

Rpta. D

15 2

En el

A

Pero: 6

∴ x = 10° Rpta. B x

φ

A

60°

C

R

∴

N c

a α

Q

φ

α

E = 60°

ODE: x + 60° = 90°

a

c M

c

2 2 ⋅ 3 2

2

x

m

a

α

D

ACE:

Entonces es de 30° y 60°

c

12

x

O

13 B

P

6=

2

120° = x + 2x + 90°

Resolución

°

A

12

x

1

Rpta. E

2

2

45°

AEB ≅ Resolución

a

45° 60°

2

45°

x+ 2 = 6 + 2

∴ x= 6

° 15

30

x+ 2 =

D

F 2

D

2

12 a

C

- 57 -

x = 30°

Rpta. D

CAPÍTULO 7 POLÍGONOS (Pág. 206) NIVEL I Resolución

Resolución

1

b

110° + 130° + 100° + 4x = 180° (7 – 2)

g

11 11− 3 ND = 2 ∴ ND = 44 Rpta. D

Resolución

∴

m

e= m

Resolución

∴

Rpta. B

∴

b

e

Resolución

g

180° n − 2 360° = 3⋅ n n

Resolución

n=8

∴ Resolución

Resolución

360° ⇒ n=5 n 5 5−3 ND = 2 ∴ ND = 5 Rpta. E

b

Suma

s

Resolución

b

n = 140 14

b

g

exteriores

n = 14

b

b

g

g

n n−3 = n – 2 ⇒ n2 – 5n + 4 = 0 2

∴ s

Rpta. E

n n−3 180° n − 2 = 2 180°

Resolución

180° (n – 2) = 6 ⋅ 360°

Resolución

13

∴

g

interiores = 6 ⋅ suma

Rpta. B

300° + 3x = 720°

7

∴

n=4

100° + 100° + 100° + x + x + x = 180° (6 – 2)

c = 72°=

Resolución

12

∴

Rpta. C

6

m

Rpta. E

n–2=2

360° e= 9 e = 40° Rpta. B

m

n = 25

180° (n – 2) + 360° = 720°

5 m

g

b g

Rpta. E

i=3⋅m

∴

11

b

4

m

Rpta. C

n n−3 = 275 2 n n − 3 = 22 ⋅ 25

g

n = 17

g

n = 10

Resolución

n n−3 = 7n 2

Resolución

10

b

e = 30°

b

Rpta. B

180° n − 2 = 144° n

360° 12

3

∴

x = 140°

Resolución

2

∴

9

n=4

15

NDP = nk −

Rpta. C

Rpta. B

bk + 1gbk + 2g 2

b4 + 1gb4 + 2g 29 = n ⋅ 4 – 2 29 = 4n – 15

8

g

n n−3 + n + n = 9n 2 ∴ n = 17 Rpta. B

∴

- 58 -

n = 11

Rpta. B



m

1

El

180°(n – 2) = 1080° ⇒ n = 8

b

8 8−3 2

ND =

∴ Resolución

ND = 20

AMD es equilátero AD = AM

g

∴

AD = 10

Resolución

8

n – 3 = 64

∴ n = 67 Rpta. D

∴ Resolución

3

320° + 2x = 180° (5 – 2)

Suma

x = 110°

9

s ints = 180° (10 – 2)

Resolución

s

∴ Suma Resolución

Rpta. A

E F

C 45°

ints = 180° (10 – 2) s ints

= 1440°

B

Rpta. D

G 45°

45°

45°

M

A

N

H

360° = 45° 8 MNC: x + 45° = 90° e=

m α

α

φ

∴

φ

β

Resolución

∴ a + b + f = 360°

b

NDP = n ⋅ K – 3n = n ⋅ 4 –

x = 45°

Rpta. A

11

g

180° n − 2 360° = 3⋅ ⇒ n=8 n n

Rpta. D

6

∴

= 1440°

D

g

5

Resolución

s ints

10

n n−3 − n = 25 2 n(n – 5) = 50 ⇒ n = 10 Suma

Rpta. C

Rpta. D

4

b

g

n = 30

∴ Suma

2x = 220°

Resolución

b

n n−3 = 435 2 n(n – 1) = 870

n+

∴

Rpta. E

Rpta. C

2

Resolución

360° = 60° 6

e=

b

bk + 1gbk + 2g

∴

2

g

8 8−3 2 ND = 20 Rpta. C

ND =

b4 + 1gb4 + 2g

n = 15

Resolución

2 Rpta. E

12 C

Q

D

120°

Resolución

7

B

C

6

M 60°

6

4

D

120°

E

N

M

60° 60°

x

F

A

6

E

B

m

4

A

F

- 59 -

interior =

b

g

180° 6 − 2 = 120° 6

Pero: 90°+ 120°+ 120°+ 90°+ x = 180° (5 – 2) 420° + x = 540°


∴ x = 120° Rpta. E Resolución

b6 + 1gb6 + 2g

74 = n ⋅ 6 –

3 ⋅8 4

En (2):

m=

Luego:

n–m=8–6

2 74 = 6n – 28

Resolución

n = 17

∴ m=6

Rpta. B

∴

14

b

g

n n−3 = n + 18 2 n (n – 5) = 36

n–m=2

Resolución

D

M

1

∴

b

i = 135°

m

Resolución

g

b

180° n − 2 180° 8 − 2 = n 8

Los catetos del mide 10.

∴

b

g

180° n − 2 360° + 8 ⋅ = 1440° ⇒ n = 8 n m

∴ m Resolución

b

e=

5

b

g

Luego: Suma

s

ints = 180° (20 – 2)

∴ Suma

Resolución

s

ints = 3240°

Rpta. C

6

b

g

b

g

n n − 3 180° n − 2 = 119 − 2 180°

g

n n−3 m m−3 − = 11 2 2 n(n – 3) – m(m – 3) = 22 ........ (1) 360° n = 3 ⇒ m= 3 360° 4 n 4 m 3 m= n ........................... (2) 4

b

g

∴ n = 20

3

g b

Rpta. E

180° n − 2 − 2 180° n − 2 − 2° = n n−2 n2 – 2n – 360 = 0

g

360° 8

e = 45°

H

AMC miden 6 y 8, entonces la hipotenusa

AC = 10

Resolución

Rpta. A

2

A

6 2 ⋅ 2 2 AM = MB = 6

∴

g

i=

6

AMB isósceles:

= 1260° Rpta. B

n n−3 + 2n = 36 ⇒ n2 + n = 72 2 ∴ n=8 Luego: m

2

b

45°

AM = MB =


G

6 45°

interiores = 180°(9 – 2)

s interiores

6

B

2 6n – 6 = 2n2 – 8n – n2 + 5n – 6 ⇒ n = 9

∴ Suma

F

2

15

s

E

C

bn − 4 + 1gbn − 4 + 2g 3n – 3 = n ⋅ (n – 4) – Suma

Rpta. B

4

∴ n = 9 Rpta. A Resolución

IJ K

∴ n=8

13

∴

FG H

3 3 n n − 3 = 22 4 4 7n2 – 12n – 352 = 0

n(n – 3) –

n2 – 5n – 234 = 0

∴ Luego: N = D

∴

- 60 -

n = 18

b

18 18 − 3 2

g

ND = 135

Rpta. B


Resolución

Resolución

7

10

360° 360° − = 12° n n +1 30(n + 1) – 30n = n(n+1)

n(n – 3) + m(m – 3) = 178 ........... (1)

n(n – 1) = 30

180° (n – 2) + 180° (m – 2) = 3240°

∴ n=5

n – 2 + m – 2 = 18

Los números de lados de los polígonos son 5 y 6.

m = 22 – n ............................ (2)

∴


N° de lados de mayor exterior es 5

Rpta. C

n(n – 3) + (22 – n) (22 – n – 3) = 178 Resolución

n2 – 22n + 120 = 0

∴ n = 12 ∧ n = 10 En (2):

∴

11

b

mayor número de lados es 12

g

n n−3 = n + 33 2 n2 – 3n = 2n + 66

m = 10 ∧ m = 12 Rpta. D

n(n – 5) = 66

Resolución

b

∴

8

g

b

g

180° n − 2 180° m − 2 – 30° = ........ (1) n m 360° 1 m = 180° m − 2 2 m

b

En (1):

g

b

⇒

D

b

C

g

R

150°

A

b

g

180° 12 − 2 = 150° 12 90°+ 150°+ 150°+ 150°+ 90°+ x = 180° (6 – 2) interior =

630° + x = 720°

Rpta. A

∴ Resolución

150°

B

m

g

ND = 54

E

x

∴ n = 12

∴

12

m=6

g

b

Rpta. A

150°

180° n − 2 180° 6 − 2 = 30° + n 6

12 12 − 3 Luego: ND 2

Resolución

n = 11

x = 90°

Rpta. C

9

C

R 60° 3 3

60°

6

B

D

φ α

30° β

α

β

M

Resolución

N φ

x

13

ANM: AM = 2x C

E 8

Q

D

30°

AMF: 2x =

m

8

g

180° 6 − 2 = 120° interior = 6

A

6 3=3 3 2 MRD ........... caso ALA

CRM: MR = MQE ≅

∴

x= 3 3

N

x

30 ° 30 °

b

E

B

F

A

∴

Rpta. B

- 61 -

M 2x 60°

30°

8

F

x=2

Rpta. B

8 2

Resolución

b

n−2 n n−3 − 15 = 2

b

Resolución

14

g

g bn − 2 g − 3

m

360° central = 10

m

central = 36°

∴

LM 360° OP2 = 9 ⋅ 180° bn − 2g n N n Q

⇒ n = 10

2

15

n2 – 2n – 80 = 0 ⇒ n = 10

b

Luego: ND = 10 10 − 3 2

Rpta. E

∴

g

ND = 35

Rpta. A

CAPÍTULO 8 CUADRILÁTEROS (Pág. 221) NIVEL I Resolución

Resolución

3

1

C

B

B

E x

α α

x

C

80°

O

110°

H

θ θ

A

140°

D

A

D OHB: 140° = 90° + x

AED: x = 180° – (α + θ) ........ (1)

∴

x = 50°

Rpta. D

Pero: 2α + 80° + 110° + 2θ = 360°

Resolución

α + θ = 85° ......... (2)

4 B

(2) en (1): x = 180° – 85°

∴

x = 95°

8

Rpta. D

F

8 α

φ

10

α α

C φ φ

10

A

Resolución

2

ABF es isósceles: AB = BF = 8 B

FCD es isósceles: FC = CD = 10

C

80°

γ

γ

x φ

70°

A

φ

∴

BC = 18

Rpta. C

F

Resolución

5

D

B

x

C

CFD: x = 180° – (γ + φ) .......... (1) pero: 2γ + 2φ = 70° + 80°

P

γ + φ = 75° En (1):

A

a

x = 180° – 75°

∴

Por propiedad:

x = 105°

Rpta. A

a−x 2 16 = a – x ........ (1) 8=

- 62 -

8

Q D

D


90 = a + 2a + a + 2a ⇒ a = 15

Del dato: a + x = 60 ....... (2) De (1) y (2):

Mayor lado = 2a = 2 x 15

∴

x = 22

Resolución

Resolución 6 2 B

En el

2

C

4

B 10 53°

5

4

6 37° 8

A

D

H x

6 45°

M

HD = 3

AM = 8

x = 2 + HD = 2 + 3

CND es de 45° CN = ND = 6

Entonces:

Resolución

x=5

∴

Rpta. B

AD = 18

Resolución

7 B

Rpta. A

11 B

C

α

α

φ φ

6 2a

El

α

A

x A

H

a

D

a

6

B

D

6

MCD isósceles: CD = DM = 6

∴

AD = 12

a

Rpta. B

C

C a

10

A

A

a

a

x a

D

a

E

D

Por propiedad:

2a

Se traza BE / / CD

BC + AD 2 BC + AD = 20

BE = CD = a

10 =

BC = ED = a

+ CD + AD Perímetro = AB + BC

B 18

B 20

∴ Perímetro = 38 Resolución

6

φ M

Resolución 12 B

8

C

ABM isósceles: AB = AM = 6

AB AHB es de 30° y 60°, por ser AH = 2 ∴ x = 60°

Resolución

D

N 6

4

AMB es de 37° y 53° BM = 6

CHD:

∴

Rpta. C

10

C

4 A

∴ Mayor lado = 30

Rpta. C

El

ABE es equilátero:

∴ Resolución

x = 60°

Rpta. D

13

Rpta. D

9 80 = a + 3a + a + 3a ⇒ a = 10 Mayor lado = 3a = 3 ⋅ 10

∴ Mayor lado = 30

- 63 -

Rpta. B

Resolución

14

Resolución

3

x 4 = y 5

⇒ y=

4

5x 4

A

Resolución

45°

∴ AD = 14 Rpta. C

Rpta. A

Resolución

4 2

B

15 6

B

30°

8

30°

6

E

4

M

8

8 75°

D

A

80°

BC = ED = 6

80° 20° 6

2+6 ⇒ MN = 4 2

MN =

MNE isósceles: NE = MN

ABE isósceles: BE = EA = 8

∴ Rpta. C

Resolución

β

5

13

β

5

B

O

E

M

D

8

B

∴ Resolución C

F

4

C

B D

Rpta. D

6

D

A

x

8 4 8

E

4

4 + 10 2 x = 7 Rpta. C

Trapecio AFCD: x =

∴

x = 120°

8

x 10

FMD = 80°

4

6 α α

CBD = m

OFM: x + 80° = 180° + 20°

Rpta. D

α

D

BE // FC ⇒ m

2 6

80°

A

13 + 8 2

FM = 10, 5

Resolución

°

C

M

Trapecio BCDE: FM =

A

20

x

ABE isósceles AB = AE = 5

∴

F

80°

β

A

Rpta. D

E

C

F

α α

NE = 4 5

NIVEL II Resolución 1 B

D

E

BE = CD = 8

AD = 14

N

20°

80°

Se traza BE // CD

∴

C

C

75°

A

D

N 4

6

AD = 4 + 6 + 4

5x =180° x+ 4 x = 80°

4

45° 4 M

Pero: x + y = 180°

∴

C

6

B

4 4

F

ACDF ≅

4 8

ABHG:

AB = AF = 4

- 64 -

H

G


AC = AG = 12

Resolución

10 B

DEH isósceles

∴ x= 8 2 Resolución

7

Rpta. B

a

C

F

a x

D

60°

12 = 2x

∴

A ADE isósceles 50° = x + x

Resolución

Rpta. E

7

C 53°

E

x

α 5

Resolución

M

α

3

D

ABD es isósceles AD = BD

∴

AD = 5

Resolución

Rpta. D

12 B

8 α

F

a

C

8 α

x + 45° = 53°

∴ x = 8°

3

BD = 5

C

A = m

m

C

α

4

DMB es de 3; 4 y 5, entonces:

ALE isósceles m EAL = 45°

Pero:

11

5

El

3 53° 45° 37° D 3 4 L ELD es de 37° y 53° DL = 4 LE = 3

A

Rpta. B

α

A

5

5

x=6

B 6

Resolución 8 B

D

FCD equilátero FD = CD = x

E

Entonces:

x = 25°

60°

x

F 12 CF // AB

Sea

a x

∴

x

x

a

a

50°

60°

x

60°

A

a

a

C

x

50°

B

x

x α

A

Rpta. B

8+a

D ABF isósceles

9 AB = BF = 8 b

B M

C

Q

P

A

∴

⇒ a =5 b

8+a−a 2

x=

N

∴ D

a

MN 3 = PQ 2

En el trapecio AFCD

Resolución

a+b 2 =3 a−b 2 2

B

x=4

Rpta. B

13 4

C

82° 14

Rpta. E

A

82°

14

16°

16°

M

14

x

Sea BM // CD BC = MD = 4 BM = CD = 14 - 65 -

4

D

ABM isósceles: BM = MA = 14

∴

x = 18

Resolución

a

Rpta. E

a Resolución

2

a a

B

a

A

a

14

a

C

a

a

Perímetro A + 2 ⋅ Perímetro B 4 a + 2 ⋅ 3 a = Perímetro C − Perímetro B 4 a − 3a

4a

= 10 Resolución

16a + 4a = 80 ⇒ a = 4

Rpta. D

3 a

B

C

Entonces: x perímetro del cuadrado x = 16a = 16 ⋅ 4

∴

x = 64

M

10

8

Rpta. E A

Resolución

10

N

x

a

D

b

E

15 Sea CE // BD

b

BC = DE = a BD = CE = 10 En el

b a

a + b < 18

a−b 2 2b = a – b b 1 = a 3

a + b 17 = = 8, 5 2 2 ∴ x=8 Rpta. D

x= Rpta. B

Resolución

10

4

B

1

M2

α

a

B

10

E x

G b

10

a

C

β α

β2 E

10

C

8

A

a D

α

A

18 maximo

En el trapecio:


17

a + b = 17

b=

∴

ACE:

a + b < 8 + 10

8

a F x H b D 100 = 20 + 2x + 2a + 2b 40 = x + a + b

F CMD ..... Caso ALA

AEB ≅

AE = MC = 2

a + b = 40 – x .................... (1)

∴

78 = 20 + 2a + 2x

AC = 12

Rpta. A

a = 29 – x ........................... (2) 84 = 20 + 2b + 2x

Resolución

b = 32 – x ........................... (3)

B

(2) y (3) en (1): 29 – x + 32 – x = 40 – x

∴

x = 21

5

6

Rpta. C

a

A

- 66 -

m F

H

C a

O

2a

2m

L

D


OL ⇒ OL = 2m 2 6+m ⇒ m=2 BHD: 2m = 2 BH = 6 + m = 6 + 2

Resolución

ALO: m =

∴

BH = 8

Resolución

9

B M 10

C

P

Rpta. C

7

A

6

x

F

B

α

A

C1

L

Trapecio B1BCC1: MN =

3

α

N

10 + 4 =7 2 7 ANM: PQ = 2

C

3

Q B1

4

∴

D

PQ = 3,5

Rpta. D

x+3=7

∴ Resolución

x=4

Resolución

N

C 5

3

Q

M 5

A

10

3

D

R

Se traza la mediana NQ del trapecio ABCD.

6 NM = QR = =3 2

BN = AN = 14 AFN isósceles. AF = AN

10 MR = NQ = =5 2 Perímetro = 3 + 5 + 3 + 5

∴ Resolución

10

7

B 6

Rpta. A

Perímetro = 16

∴ Rpta. C

Resolución

AF = 14

11 a

B

8

Rpta. C

5

α

Ex

β

9 A

C

M

5+x

β α

a

D

BMC ≅

a

DMF ........ Caso ALA BM = MF = 5 + x BC = DF = a

ABC: isosceles

∴

DE es mediatriz de AF

9=x+5+x x = 80°

∴

Rpta. B

- 67 -

x=2

Rpta. B

F

Resolución

12 7

B

C

45°

45°

Resolución

M

16

45°

45°

5

x

P

5

Q

45° 45°

A

2

E

3

4 3

B

F

D

2

EDC: CD = DE = 5 7−3 2 Rpta. A

Trapecio EBCF: x =

Resolución

x=2

4 3

8 60°

23° 23°

BMC es de 45° BC = 4 3 ⋅

13 B 3 P 3

C

22° 37°

N D DNC es de 30° y 60° 8 3 =4 3 CN = 2 Pero: CN = CM = 4 3 A

FAB: AB = AF = 5

∴

45°

C

∴ BC = 4 6

2 Rpta. B

x A

α α 3 E

β 4

β

4

Q

α + β = 90° ⇒ m

F 3

E

Resolución

EPF = 90°

EF 8 = EPF: x = 2 2

En el

∴ x=4 Resolución

Rpta. C

U | | 2 Vb+g BB1 + DD1 | OO1 = 2 W|

14 B

OO1 =

C

2x

F

8

E

8 8

60°

P

A

Q

x

15° 15° 15°

OO1 =

8 45°

8

D

∴

AEB es equilátero: 2x = 8

∴ Resolución

x=4

Rpta. D

15

3x = 12 2 ⋅ 2

∴ x=8

AA 1 + CC1

AA1 + BB1 + CC1 + DD1 4 84 4

OO1 =

EBD, PQ es base media EB x= ⇒ EB = 2x 2 El

17

Rpta. A

- 68 -

OO1 = 21

Rpta. D


CAPÍTULO 9 CIRCUNFERENCIA (Pág. 249) NIVEL I Resolución

Resolución

5

1

AF = p – BC

6 = AB + 2

∴

52 AF = – 16 2

∴

AF = 10

Resolución

Resolución

Rpta. A

Rpta. D

6 Poncelet:

2

14

AB + AC = 6 + 2 ⋅ 2

A

x

F

6

C

AB = 4

x

–

3

–

–

3 –

6

D

B

∴

14 = 6 + x

∴ Resolución

x=8

Rpta. C

AB + AC = 10

Resolución

Rpta. E

7

3

Pitot: 2x+1 + 3x+2 = x+2 + 5x–1

∴ AB = AC = AD = 9

∴

AB = 9

Resolución

x=2 8

100°

B

Rpta. B

Rpta. B

C Resolución

82°

4

x

A

x+5

x

2x

x+6

D

E x=

4x + 2

Pilot:

m AE ⇒ m AE = 2 x 2

x + 5 + x + 6 = x + 4x + 2

82° =

9 = 3x

∴ x=3

∴

Rpta. C - 69 -

2 x + 100° 2

x = 32°

Rpta. D

Resolución

9

Resolución

13

24° =

Pero:

120° + 2x = 180°

∴ Resolución

x = 30°

m DF ⇒ m D F = 48° 2 x + 48° = 180°

∴

Rpta. B

10

Resolución

x = 132°

Rpta. B

14

130°

C x F φ

B

140° + x 20° +4 x = 2 2

φ=

D 70°

A 130° 70° + x φ= = 2 2

140° + x = 20° + 4x

∴ Resolución

x = 40°

Rpta. E

∴ x = 60°

11

x − m DB 2 x + m DB 80 °= 2 30 ° =

∴

110° = x

Resolución

U| V|b+g |W

Rpta. C

15

AB // CD ⇒ m AC = m BD = x x + 80° 70° = 2 x = 60° Rpta. C ∴

Rpta. C

NIVEL II

Resolución

12 Resolución

1

82° = m AB x=

E

82 ° 2

m B m

c

∴

e x = 41°

Rpta. D

- 70 -

A

b

F n C n


Perímetro ABF c + m + e ........... (1) = Perímetro AFC b + n + e Pero: c+m=b+n

Pitot:

AB + 6 = BC + AD AB + 6 = 14 ⇒ AB = 8 AMO es de 30° y 60° AO = 2r

En (1): Perímetro ABF b + n + e = Perímetro AFC b + n + e Perímetro ABF =1 Perímetro AFC

∴

Resolución

2

Entonces: Rpta. B

e 3 + 1j r = 4 e 3 − 1j 8=r

B

12 D

2r 3 =r 3 2 AB = r + r 3

AM =

∴

Resolución 5 A

E 13

Rpta. C

6

B

C

A

AD = p – BC =

4

C

F 15

x

FG 12 + 13 + 15 IJ − 13 H 2 K

6 = EM + x ⇒ EM = 6 – x ME = MC

FG 12 + 13 + 15 IJ − 15 H 2 K

6–x=x+4

∴ BE = 5 CF =

∴

FG 12 + 13 + 15 IJ − 12 H 2 K

Resolución

x=1

Resolución

3

B

Rpta. D

5

F

B

AD ⋅ BE ⋅ CF = 7 ⋅ 5 ⋅ 8 AD ⋅ BE ⋅ CF = 280

Rpta. B

6

∴ CF = 8 ∴

Mx N

AB = EN

∴ AD = 7 BE =

6−x

E

D

C 5 G 13

E

8

10

6+a

A 10

C

H

8

D

3+a

∴

10 A

D x

Pitot:

Resolución

AD = 18

Rpta. C

7

3 + a + 10 = 6 + a + x

∴ x=7 Resolución

Rpta. A

4 3,5 – m + x + m = 8

∴

- 71 -

x = 4,5

Rpta. D

Resolución

8

Resolución

B

11

C 4x

A

∴

D

x = 65° Rpta. B

5x

E

F

m AF ⇒ m AF = 8 x 2

4x =

Resolución

m B CD 5x = ⇒ m B C D = 10 x 2

m A F + m B CD 90° = 2 90° =

∴

isósceles COD.

8 x + 10 x 2

x = 10°

12

x + x = 90°

∴

Rpta. B


9

B

x = 45°

Rpta. C

13

C

40° 140°

42° = E 2x

40°

∴ x = 72° Rpta. A

x

A

156° −x 2

D

C = 40°

m

A=m

m

A + m BD =180°

Resolución

14

40° + m BD =180° ⇒ m BD =140° 40° =

∴

140° −2 x 2

x = 30°

Resolución

Rpta. D

10

C

160°

m

20°

B

O

x

E

A

FMB =

50° +20° = 35° 2

MNFB es inscriptible en una circunferencia.

∴ x = 35° Rpta. D

80°

D 80° =

m BC ⇒ m BC = 160° 2 160° −20° x= 2

∴

x = 70°

Resolución

15 D 80°

C

x

Rpta. E B

100° 100°

A

- 72 -

F

E


B=m

F = 100°

F+ m

D = 180°

m

m

D = 180° ⇒ m x + 80° = 180°

100° + m

∴

x = 100°

x = 90°–

D = 80°

De (1) y (2): x=y 2x + 3y 2x + 3x 5 = = x+y x+x 2

Rpta. D

∴


α .......... (2) 2

2x + 3y 5 = x+y 2

1

Resolución

Rpta. D

5

P

Pitot: 7K + a = K + a 3 6K = a

3 − 1 ........... (1)

e

j

El ángulo ex - inscrito en P es congruente con el inscrito que mide x. x + α = 25° + α

Poncelet: a + a 3 = 2a + 2r a

e

∴ x = 25°

3 − 1 = 2r ........... (2)

j

De (1) y (2):

6K = 2r

∴

r = 3K

Rpta. B Resolución

Resolución

Rpta. D

6

2

2α + 2β = 180°

4+2+x=3+1+8

α + β = 90°

∴ x = 6 Rpta. E

a + β + x = 180°

Pero:

90° + x = 180° Resolución

3

∴

x = 90°

Rpta. D

Poncelet 9 + 12 = 12 + 3 + 2x

∴

Resolución

7

x=3 Rpta. A

Resolución

4

α ....... (1) 2 También:

y = 90°–

ABC: 80° = x + 50°

∴

- 73 -

x = 30°

Rpta. A

Resolución

8

Resolución

11

53° = 37° + x

∴ x = 16° Rpta. D m MN = m PQ = 130° m

130° = 65° 2 65° + x = 90° N=

∴ Resolución

x = 25°

Resolución

12

b

B

Rpta. B

9

C

a

c P

3

Q

A

D

x x−b 3= 2 6=x–b ⇒ b=x–6 Pitot: a + c = b + x Perímetro = a + c + b + x = 40

;

Pitot:

B

12 + ED = x + x + m ......... (1) Poncelet:

Bx – 6 + 3x – 6 = 40

m + 12 = ED + 2 ⋅ 2 ........... (2) Sumando (1) y (2)

∴ Resolución

B

b + x + x – 6 + x = 40

4x = 52

x = 10

∴ x = 13

Rpta. B

Resolución

10

Rpta. D

13

B β

β α

α+β+x α

E

F

x

A

α β

D

C

2x + 50° = 180°

x = α + β ........ (1) Pero:

∴

2α + 2β + x = 180° ....... (2)

De (1) y (2): 3x = 180°

∴

x = 60°

Rpta. C

- 74 -

x = 65°

Rpta. A


CAPÍTULO 10 SEGMENTOS PROPORCIONALES Y SEMEJANZA (Pág. 277) NIVEL I Resolución

6 3 = ⇒ FG = 4 8 FG 6 3 = ⇒ GH = 1 2 GH

Thales:

1

A

D

3

12

B

E

L L1

C

L2

F

∴

DF = 32

FG – GH = 4 – 1 FG – GH = 3 Rpta. B

∴

3 12 = ⇒ a = 16 5 a+4

a + 4 = 20

5

Luego:

Thales:

Rpta. C

Resolución

5 B α α

Resolución

2

A

P

A

L

Thales :

27

24

Q

B

L1

24 27 9 = ⇒ a= 8 2a 2

2a = 9

8

R

C

Resolución

∴

PR = 36

3

Rpta. D

10 D Teorema de la bisectriz. AB 5 1 = = BC 10 2 AB 1 = Proporciones: AB + BC 1 + 2 AB 1 = 21 3

∴

A

M

6 −a

L

Resolución

AB = 7

N

3 = 1+a

B

L1

2

8 −a

C

Q

x

L2

6−a 6+a = 1+ a 8 − a

BC ⋅ MN = 24

Rpta. C

Resolución

E 3

B

F

8

G

L L1

A

L2

D H

Rpta. A

E

C

9

Por bisectriz:

12 9 + CE = 8 CE

12 ⋅ CE = 72 + 8 ⋅ CE ⇒ CE = 18 AC ⋅ CE = 9 ⋅ 18

2

L3

∴ - 75 -

C

φ φ 8

B

A

5

7

12

6

D

6

x 2 = 6 3

Por bisectriz:

4

C

3

∴ x=4

42 = 21a ⇒ a = 2 BC ⋅ MN = 3 ⋅ 8

Resolución

E

α α

A

48 – 6a – 8a + a2 = 6 + a + 6a + a2

∴

Rpta. A

6

6+a = 8

B

Thales:

L2

C

5

AC ⋅ CE = 162

Rpta. C

Resolución

Resolución

8

20

Por bisectriz:

φ

x

28 36 −

F A

75°

x

30°

15

β

x = 15

β

α 4

F

Rpta. E

6

E x

2

A m Por bisectriz

α4

C

m

M

A

9

B

x 4

Rpta. B

C

Resolución

15

B φ

12

Por bisectriz:

∴

D

∴

B

O

B

x

ACD ~

5

2α

10

A

E

α

A

8

1,5

M

x+1,5

x

φ

A

C

θ 3

8 x = 12 x + 3 8x + 24 = 12x x=6

DBC ~

C

D

1

ABC:

x 1 = 4 x

∴ x = 2 Rpta. D

Rpta. D

NIVEL II Resolución Resolución

1

11

B 4

D

8

9

E

A

M m

ABF ~

∴

FED: x=6

Rpta. A

14

α

2α

2 x = (1) = (2): 5 6

Resolución

x = 9,5

D

m x = ....... (2) n 6

x = 2,4

4 6 = 9 4+x

D

Resolución

∴

ACD:

16 + 4x = 54

∴

α

β

m 2 = ....... (1) ABM: n 5 MBC:

ABE ~

x

β 6

n

C

C

E

5

x −4

13

9

D

∴

3 5 = x − 4 15 x = 13 Rpta. D FCD:

x

Resolución Resolución B

FAB ~

5

3

A

∴

C

36

B

20 x = 28 36 − x

B 75°

D α

E φ

12

18 3 a = x a

n

x

C m

Thales: ABC:

m 9 = ....... (1) n 4

MDF:

m x+8 = ...... (2) n 8

Rpta. A

- 76 -

F

ADE: x=6

x 4 = 9 x Rpta. C


Thales:

9 x+8 = (1) = (2): 4 8 18 = x + 8

∴ Resolución

DI 2 = IF BC JG BC = AEG: JA 4 2 BC DI ⋅ JG = ⋅ Multiplicando: IF ⋅ JA BC 4 DI ⋅ JG 1 = = 0, 5 Rpta. A ∴ IF ⋅ JA 2 DBF:

x = 10

Rpta. B

2

C

D

L

E

B

L1

F

A

Resolución

5

L2

F

G

x

E AB EF AB AC = ⇒ = AC DF EF DF AB 16 2 = = EF 24 3

Thales:

A

∴

EF = 9

R

2R 3

O

B

∴ Resolución

x=4

Rpta. C

6

Rpta. D

B 3

3

4

D

E

B

x

2

A Por bisectriz

P

A

Q 4

8

x

D 3 R

4 DP = ....... (1) 8 PB 3 DP ....... (2) DBC: = x PB

ABD:

4 3 = 8 x

∴

C

AC 2 8 + 2x ......... (1) = ⇒ AC = 4+x 3 3 AC x 5 x ......... (2) = ⇒ AC = 5 4 4

C

Thales:

(1) = (2):

8 + 2x 5x = 3 4

(1) = (2):

32 + 8x = 15x x=6

Rpta. E

x=

∴ Resolución

Resolución

C

R 3

12 R = =3 R x 3

Thales:

EF − AB 3 − 2 = EF 3 3 1 = EF 3

Proporciones:

Resolución

12

32 7

Rpta. C

7

4

B

A

E

L

8

6

4

J

B

F G

C I

2

D

H

L1 L2

A

n

Por bisectriz:

D

0,5

M

n+0,5

6 n = ⇒ n=3 8 n +1 AC = 2n + 1 = 2 ⋅ 3 + 1

L3

∴ AC = 7 - 77 -

Rpta. B

C

Resolución

8

Resolución

2α B x 8 A

D

7−x

α α

2α

Resolución α 3

F

6

5

D

Resolución

C

α

E x

Resolución a F

Rpta. B

14

B

Rpta. D

68° 11°

x=4

3

∴

Rpta. B

101° 79°

11°

CHB ~

x a ABC: = 8 2a

DBE ~

Resolución

1 C 1 x = AHB: x 4

x=2

Rpta. C

15

C

11 C

a

ABN ~

a

AGF: COE ~

x c = a a+c

N x 6

B

M

∴

c

D

E

c

CDE:

a⋅c ......... (2) a+c

CF ⋅ CE = 2R2


a ⋅ c ......... (1) x= a+c CBM ~

Resolución

1

6 a = c a+c

(1) = (2):

∴ Resolución

x=6

Rpta. E

Thales: 3 BM = .............. (1) 6 NC

12

B N 4

A

β

R

β

α

O

AMO ~

9

R

α

∴ C

R 4 ONC: = 9 R R=6

CDF:

CE R = 2R CF

A

c

M

H

α

O 8

6=

x= 4 3

Resolución

a

A

x 4 2 = ABC: x 6

x

∴

G

∴

A

β

D

∴ x=9

C

N x

10

B 2a

α

β

α

A

ABD por bisectriz: x 3 = 6 2

α x 2

β

MNB ~

2

A

M 2

9

B x

4

Rpta. C

C

6

B

Por bisectriz: 8 x = 6 7−x ∴ x=4

F

13

Rpta. E

5 BM = .............. (2) x NC 1 5 = (1) = (2): 2 x ∴ x = 10 Rpta. B - 78 -

Rpta. B


Resolución

2

Resolución

A

E

J

F

K

P

L

a

B

B 4 3

5

Q

a

C

G

M

R

a 15

Se traza FE // AD .

4

L1

FBE: BD = DE = 4

D x

L2

4

M

12

E

ADC, Thales:

8

T D

H

N

A

L3

C

F

ABC, BF es bisectriz: x AF = ........... (2) 16 FC x 1 = De (1) y (2): 16 2

7a JM 5 = = 3 KN 3 BD

Thales:

∴ BD =

AF 4 1 = = ........ (1) FC 8 2

7a 5

7a FH = 5 EF a

⇒

FH 7 = ∴ EF 5

a RT 15 = PQ a

⇒

∴

∴ Resolución

6

RT 1 = PQ 15

FH RT 7 1 + = + EF PQ 5 15

Entonces:

FH RT 22 + = EF PQ 15

∴ Resolución

Rpta. D

3

Thales

D

6 3a = ⇒ FH = 2 FH a

AHB:

C B A

E 2 F

CHB: 5

G

H

x

12 4 b = ⇒ HE = 3 HE b

x = FH + HE = 2 + 3

∴

Thales: 2 BC = ......... (1) 5 CD

Resolución

5 BC = ......... (2) x CD

∴

x = 12,5 4

E

L

a 5

B

F

L1

a 3

Rpta. A

C

Resolución

Rpta. A

7

A

2 5 = 5 x

(1) = (2):

x=5

Teorema de Ceva: AD ⋅ BE ⋅ x = DB ⋅ EC ⋅ 4 AD EC ⋅x = ⋅ 4 ........... (1) BE DB Thales: AD EC ................... (2) = DB BE De (1) y (2):

∴ x = 4 Rpta. C - 79 -

G

a 4

D

Thales:

H

L2 L3

a EF 5 3 = = FG a 5 3 a EF 4 = 5 = GH a 5 4

x=8

Rpta. E

Resolución

FG EF IJ 2 + FG EF IJ 2 = FG 3 IJ 2 + FG 4 IJ 2 H FG K H GH K H 5 K H 5 K F EF IJ 2 + FG EF IJ 2 = 1 Rpta. C ∴ G H FG K H GH K

ACB ~

11

EFD:

BC 2R = 2 DE BC ⋅

Resolución

8

DE = 4R

Por propiedad:

12 = 4R

∴ Resolución

R=3

Rpta. D

12 12

B

C

3a

P

PQ − 12

F

12

Q

a

2 a 3 a + CE = ⇒ 2 CE = 3 a + CE a CE ∴ CE = 3a Thales:

Sea BE // CD PQ − 12 3 a = 14 4a 4PQ – 48 = 42

PBF ~

∴ x = 15

Rpta. D

∴

a

c

M

I

C

D b

I: incentro BM BI = ............ (1) Thales: MC ID Teorema del incentro: BI c + a = ........ (2) ID b BM c + a = De (1) y (2): MC b 4 c+a b c a = = + ⇒ 3 b 3 4 4

∴ Resolución

ABE:

PQ = 22,5

Rpta. A

9

B

A

D

E

14 26

x 2a = 30 4 a

Resolución

12

A

b c a − = 3 4 4

Resolución

13 ABD ~

AFE:

x 3m = 6 m

∴ x = 18 Rpta. E

Resolución

14 AOE ~ COF:

Rpta. B

10

4 x = x 13

∴ x = 2 13 Rpta. D

Resolución

15

B αα

Teorema del incentro: 2m b + c = ⇒ b+c=8 m 4 Perímetro = b + c + 4 = 8 + 4

ADE ~ 2 x = x 8

6

A

α

D x

C

φ2

E

∴ Perímetro = 12 Rpta. A

∴ - 80 -

x=4

Rpta. C

ABE


CAPÍTULO 11 RELACIONES MÉTRICAS (Pág. 309) NIVEL I Resolución

Resolución

5

1

Pitágoras: AC2 = AB2 + BC2 = AD2 – CD2 AD2 = AB2 + BC2 + CD2

Por Pitágoras: (R + 2)2 = 22 + (6 – R)2

Dato:

R2+ 4R + 4 = 4 + 36 – 12R + R2

∴ Resolución

R = 2, 25

2 + BC2 + CD2 + AD2 = 128 AB AD2 + AD2 = 128

Rpta. B

∴

2

AD = 8

Resolución

Rpta. C

6

Perímetro = 4 ⋅ 5

∴ Perímetro = 20 Rpta. D

Euclides: 52 = 6 2 + 7 2 – 2 ⋅ 7 ⋅ x

Resolución

∴

3

30 7

x=

Resolución

7

Rpta. A

B M x

Pitágoras: 16a2 – 24a + 9 = a2 + 9a2 + 18a + 9

Teorema de la mediana:

6a2 = 42a

∴

a=7

C

A

(4a – 3)2 = a2 + (3a + 3)2

∴

82 2 x=7 Rpta. E

8

B

72 + 92 = 2x2 +

Rpta. A Resolución

Resolución

4 20

18 − 8 =5 HD = 2 CHD: 2r = 12

∴ r = 6 Rpta. B

A

26

j2 = e

18

20

j2 + e 18 j2 − 2 ⋅

∴ AH = - 81 -

C

H

Euclides:

e

26

h

6 18

18 ⋅ AH

e

Pitágoras:

20

∴ Resolución

IJ 2 = h2 18 K

j FGH 2

6

−

h = 18

Teorema de tangente:

U| + Vb g BC2 = FC ⋅ AC W| AD2 = AF ⋅ AC

Rpta. D

AD2 + BC2 = AC2

9

122 + BC2 = 132

∴

Sea BE // CD .

BC = 5

Rpta. B

ABE, por Herón: Resolución

3+5+6 =7 2 2 p p−3 p−5 p−6 h= 6 1 7 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅1 h= 3 2 14 Rpta. A ∴ h= 3

13

p=

b

Resolución

gb

gb

10

g

Pitágoras: BC2 = 52 –32 ⇒ BC = 4 Teorema de la tangente: BD2 = 2 ⋅ 4

B

∴ BD = 2 2 Rpta. A Resolución C

A

14

H

Pitágoras: BH2=BC2 – CH2 = AB2 – AH2 CH2 – AH2 = BC2 – AB2

∴ CH2 – AH2 = 8 Resolución

Rpta. C

11 Teorema de la tangente. 62 = 2a ⋅ 3a ⇒ a2 = 6 (3a)2 = (6 + x) ⋅ 6 9 a2 = 6(6+x) ⇒ 9 ⋅ 6 = 6 (6+x)

∴ x=3

Teorema de cuerdas.

Resolución

Rpta. B

15

AB ⋅ BC = (10 – x)(10+x) 75 = 100 – x2

∴ Resolución

x=5

Rpta. D

12

Teorema de la tangente: AB2 = 2 ⋅ 8

∴ - 82 -

x=4

Rpta. C



E

1

1

5

D

45°

2 1 45°

30° 2 3

A

Resolución

C x

60° 1

Thales:

B

Pitágoras: x2 =

e 3 j2 − e 2 j2

∴

x=1

Resolución

x HC bx = ⇒ HC = a b a a2 = b ⋅ HC = b ⋅

Pero:

Rpta. C

∴

x=

2

B

C

bx a

a3

Rpta. B

b2

6

Resolución

B E D

C

A

A

D FM2=

∴ Resolución

Euclides:

U| + Vb g AB2 = BC2 + AC2 − 2 ⋅ BC ⋅ CE |W

4 ⋅ 9 ⇒ FM = 6 6 + x = 13 x=7

BC2 = AB2 + AC2 − 2 ⋅ AB ⋅ AD

Rpta. C

AC2 = AB ⋅ AD + BC ⋅ CE

3

AC2 = 28 + 36

∴ Resolución

Rpta. E

AC = 8 7

(3a)2 = a(2a + 7) 9a2 = 2a2 + 7a 7a2 = 7a ⇒ a = 1 AC = 3a = 3 ⋅ 1

∴ Resolución

AC = 3

Rpta. B

4

Herón: x=

2 p p − 13 p − 15 p − 14 14

AB = 6

Rpta. D

13 + 15 + 14 = 21 2

x=

1 21⋅ 8 ⋅ 6 ⋅ 7 7

∴ - 83 -

gb

gb

p= AB2 = 4 ⋅ 9

∴

b

x = 12

Rpta. E

g

Resolución

8

Resolución

11 A

F

B

C D E

AF2 = x2 = FE ⋅ FC = FB2 Herón: 2 p p−5 p−6 p−3 OH = 6

b

p=

gb

gb

∴ x = FB

g

5+3+6 =7 2

1 OH = 3

(2x)2 = 1 ⋅ 4

∴ Resolución

x=1

Rpta. B

12

7 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ 4 2 14 3

∴ OH =

A

Rpta. C

D

C

B

E

2a

F

Resolución

9

G

B E

UVb g W

a 2 = CE ⋅ CF ÷ a ⋅ 3 a = CE ⋅ CG

D C b De acuerdo a la solución del problema N°6 se tiene: AC2 = AB ⋅ AD + BC ⋅ CE A

∴

b2 = AB ⋅ AD + BC ⋅ CE

1 CF = 3 CG CG = 3 ⋅ CF = 3 ⋅ 3

∴

Rpta. A

CG = 9


13

10

A

N 8

B 2 C

97

F 4 x

x

A

3

G

3

B 7

Rpta. D

C

M

E

D

6

Teorema de la mediana: 72 +

e

97

j2 = 2BM2 + 62

2

Teorema de cuerdas ⇒ BM = 8

b

ABM por Euclides: 72 = 82 + 32 – 2 ⋅ 8 ⋅ x

∴

x = 1,5

g

UVb g W

5 ⋅ CD = x + 4 ⋅ CG ÷ 2 ⋅ CD = 4 ⋅ CG 5 x+4 = 2 4

Rpta. D

10 = x + 4

∴

- 84 -

x=6

Rpta. B


Resolución

14

DOA: 32 =

a ⋅ 2a ⇒ a = 3 2

En (1):

∴ AB = 3 2 Resolución

Rpta. D

3

(9 – x)2 = 4 ⋅ 9 Teorema de la tangente

9–x=6

CE2 = 3 ⋅ 12

∴

CE = 6

Resolución

∴

x=3

Rpta. C

Rpta. D

15 2 6

Resolución

x

4

B 5

E

O 5

D

A

Teorema de la tangente. 2

e2 6 j ∴

b

= x x + 10

x=2

g

Euclides:

Rpta. C

BC2 = AB2 + AC2 − 2 ⋅ AB ⋅ AD AB2 = BC2 + AC2 − 2 ⋅ AC ⋅ CF AC2 = AB2 + BC2 − 2 ⋅ BC ⋅ BE


C

F

1

AB⋅AD + AC⋅CF + BC⋅BE =

U| |Vb + g || W

AB2 + BC2 + AC2 2

∴ AB⋅AD + AC⋅CF + BC⋅BE = 50 Rpta. B

Resolución MNO ≅

5

OLE ....... Caso ALA MO = OE = 3 MOF: 32 = x ⋅ 9

∴ Resolución

x=1

Rpta. A

2

A a

BD2 = HB ⋅ 2a ............ (1)

M

B

BD2 = CD ⋅ a ............. (2)

C a a 2

O

3

(1) = (2): HB ⋅ 2a = CD ⋅ a

D

N

∴

AB2 = AM ⋅ AN = a ⋅ 2a AB = a 2 ....... (1) - 85 -

HB 1 = CD 2

Rpta. C

Resolución CD2 A

Resolución

6

9

= 1⋅7 = 7 3

N 1 M2 B1 C

x2 = ON2 + 12

B

x

x2 = 7 + 1

D

O

∴ a ⋅ (d + a) = 3 ⋅ 4

x= 2 2

a ⋅ (d + a) = 2 ⋅ x

Rpta. C

12 = 2x Resolución

∴

7 Resolución

HE2 = 1 ⋅ x ⇒ HE = x2

∴

=

Resolución

10

e 2 3 j2 = AB ⋅ AM = (x + 4) x

Rpta. D

∴

8 Resolución

b y + xg = a 5 U|Vb ÷ g y b y + x g = a 2 |W 1 5 = ⇒ y a

y=

Rpta. D

11

62 2 2 6 82 + AM2 = 2 ⋅ AN2 + 2

a 5 5

∴

AM2 + AN2 = 77

Resolución 4 5 a x 5 = y a 5 5 x =4 y

x=2

72 + AN2 = 2 ⋅ AM2 +

a 5 4a 5 +x=a 5 ⇒ x = 5 5

∴

Rpta. B

x

x ⋅8

x=4

x=6

U| |Vb + g || W

Rpta. A

12

a

B

C

a a 2

F

a a 2

Rpta. D

A

- 86 -

a

D


Resolución

Ptolomeo:

14

FD ⋅ a 2 = FA ⋅ a + FC ⋅ a

B

2 ⋅FD = FA + FC ............ (1)

φφ

E

F

FC ⋅ a 2 = FD ⋅ a + FB ⋅ a A

2 FC = FD + FB ........(2)

(1) + (2) 2 FD + 2 FC = FA + FC + FD + FB

AD2 = AB ⋅ AE

2 − 1 FD + FC = FA + FB

e

j

FA + FB = 2 −1 FD + FC

∴

CD2 = BC ⋅ CF

Rpta. E

AD2 CD2

Resolución

C

D AB AD = BC CD

13

AD2 CD2

U| ÷ V|b g W

=

AB AE ⋅ BC CF

=

AD AE ⋅ CD CF

AD AE = CD CF CF AE = CD AD

∴

BE EC = a 2a EC = 2 BE x2 = m ⋅ 2m – a ⋅ 2a

Resolución

AE = 0, 2 AD

Rpta. B

15

x2 = 2m2 – 2a2

B

B

2 2 x2 = 2 BE − BF = 2 16

∴

x= 4 2

Rpta. E

2 ⋅ 8 = 2 (2 + x)

∴ x=6

- 87 -

Rpta. E

CAPÍTULO 12 POLÍGONOS REGULARES (Pág. 324) NIVEL I Resolución

Resolución

1

5

AC = L3 = R 3

∴ AC = 3 3 Rpta. B m Resolución

C=

2

b

g

180° 6 − 2 = 120° 6

CDJ es isósceles:

∴

BHC es de 30° y 60° BC = 2 ⋅ 4

Resolución

x = 75°

Rpta. D

6

∴ BC = 8 Rpta. D Resolución

3

BC = L5 =

R 8 10 − 2 5 = 10 − 2 5 2 2

BC = 4 10 − 2 5 BC = L10 =

R 2

e

5 −1

Pitágoras:

j

LM N

Pitágoras:

AB2 = AC2 – BC2 = (16)2– 4 10 − 2 5 AB2 = (AC)2 – (BC)2

AB2 = (2R)2 –

∴ AB =

Resolución

LM R e N2

∴ AB = 4 6 + 2 5

2 jOPQ

Rpta. C

5 −1

Resolución

R 10 + 2 5 2

7

Rpta. A

4 R R R R

3

R

O

10 = R 2 ⇒ R = 5 2

R

R

L3 = R 3 ⇒ L 3 = 5 6

R

∴

Perímetro Perímetro

=

3R 3 = 6R

3 Rpta. B 2

Perímetro

= 3L3 = 3 ⋅ 5 6

∴ Perímetro - 88 -

=15 6

Rpta. B

OP2 Q


Resolución

8

Resolución

12

90° L4 α

x=

x β

α + β 150° = 2 2

∴ x = 75°

L3

Rpta. C

120°

Resolución

9

L

AB

6 0° 360°

=2π 6 L

AB

= 2π

Perímetro = 3 ⋅ LAB =3 ⋅ 2 π

∴ Perímetro = 6 π Resolución

15°=

13

120 °−m CB ⇒ m CB = 90 ° 2

L2

Resolución

x=

2

Rpta. D

2

10

L3

L1

x = L = R 2 = 1⋅ 2 4

∴

2

Perímetro = 2 L1 + L 2 + L 3 Perímetro = 2

LM 2 π ⋅ 1+ 2 π ⋅ 2 + 2 π ⋅ 1OP N2 4 2 Q

∴ Perímetro = 6π

= 6⋅2 3

Perímetro

∴ Perímetro Resolución

Rpta. A

Resolución

Rpta. D

14

= 12 3 Rpta. E

11

Perímetro = 2 LAF + LFE Perímetro = 2 ⋅ 2 π 6 ⋅ L

AB

L

∴

L

3 6° 360° 4π

=2π 4

AB

AB

=

∴ Perímetro = 5π

5

= 0,8 π

60° 30° + 2π ⋅ 6 ⋅ 360° 360°

Rpta. C

- 89 -

Rpta. B

Resolución

Resolución

15

r=

21− r ⇒ r=7 2

R 2

AB = L10 =

Rpta. D

Resolución

10 2

5 − 1 ⇒ AB =

e

j

∴ AB = 5

L o = 2 πr = 2 π ⋅ 7

∴ Lo = 14π

4

5 −1

e

j

e

5 −1

j

Rpta. C

5


1

AB = L4 = R 2

∴ AB = 3 2 AB = L10 =

Rpta. D

AB = Resolución

6 2

e

Resolución

e

5 −1

j

5 −1

∴ AB =

2

R 2

j 3e 5 − 1j

Rpta. A

6

AB = R 2

∴ AB = 5 2

3=

Rpta. B

R 3 2

∴ R= 2 3

Resolución

BF = L 5 =

Resolución

3

BM =

8 R 10 − 2 5 = 10 − 2 5 2 2

∴ BF = 4 10 − 2 5

AB =

Rpta. D

7

4

5 +1 2

2

∴ - 90 -

e

e

j = 2e

5 +1

je

⋅ 2 AB = 4

5 +1

j

5 −1

j

Rpta. D

Rpta. C


Resolución

8

Resolución

12

Perímetro = 3 ⋅ L L

∴

CK = 4 2 − 3

Resolución

Rpta. E

MQ

MQ

............... (1) 6 0° =π 360°

= 2π 3

En (1):

∴

9

Perímetro = 3π

Resolución

Rpta. B

13

AC = 4 3 AD = AC ⋅ 2 = 4 3 ⋅ 2

L

∴ AD = 4 6 Rpta. C

Resolución

∴

Resolución

10

L L

ADC

6 0° 1 =2π 2 360° 6

= 2 πR

2π ∴ L ADC = Rpta. A 3

Resolución

AC = 5k =

∴

= 2π 6 L

MN

= 2π

14

PQ

= 2π 6

∴

L

Resolución

15

PQ

=π

3 0° 360°

Rpta. C

11

6 = 4k ⇒ K =

L

MN

CD

15 = 2π 2 L

CD

=

5π 4

3 2

15 2 L

3 0° 360°

L

Rpta. B

AC

BC

= 2π r

= 2 π 2r

2φ ............ (1) 360° φ ........... (2) 360°

(1) = (2):

∴ - 91 -

L

AC

=L

BC

= 34

Rpta. E

6 0° 360°

Rpta. B

Resolución

16 2 =R 2− 3 2

R=

2− 3

2+ 3

⋅

2+ 3

∴ R = 2 2+ 3

Rpta. A

CAPÍTULO 13 ÁREAS DE LAS REGIONES PLANAS (Pág. 365) NIVEL I ABC

Resolución

=

1 ABC

=

∴

8⋅8 ⋅ sen 30° 2

∴

= 16 cm2

Resolución

=

ABC

AFB

+

FBC

8 ⋅ 5 12 ⋅ 3 + 2 2 = 38 cm2

Rpta. C

4

Rpta. C

Resolución

2x =

2

4⋅8 2

∴ x = 8 cm2

D

Resolución

5

4x = 48 ⇒ x = 12 pedida = 2x = 2 ⋅ 12

∴

Resolución

2 pedida = 24 cm

Rpta. E

= 16 ⋅ 9

3

∴ Resolución

- 92 -

= 144 cm2 6

Rpta. A

Rpta.


= 6 3 ⋅ 18

∴ Resolución

Resolución

= 108 3

11

Rpta. C

7

=

∴

22 4

3 6x c 1 = = 2y + 4x 4c 4

=

3 Rpta. A

24x = 2y + 4x

∴ Resolución

8 Resolución

2U=

∴

1 ⋅ 3

ABC

pedido

Resolución

=

1 ⋅ 126 3

= 42cm2

x 1 = y 10

Rpta. B

12

x 4⋅2 = 32 8 ⋅ 10

∴ x = 3,2 cm2

Rpta. B

9

Resolución

Rpta. D

13

DBE

=4⋅5

∴

= 20

Resolución

cm2

ABC

U x2 = 5 U 10 2

Rpta. D

∴

10

Resolución

x=2 5

Rpta. C

14

a2 – b2 = 176 (a+b) (a–b) = 176 ⇒ (a+b)(8) = 176

UVb g W

a + b = 22 + a−b = 8

Se sabe que: x=

2a = 30

∴

a = 15

∴

Rpta. C

- 93 -

12 ⋅ 4 2

x = 24 cm2

Rpta. A

Resolución

Resolución

15

= 2⋅4 − 2⋅

∴ Resolución

π 2 2 4

= 2(4 – π ) cm2

=

Rpta. A

e6 3 j2

∴

16

4

19

3 −π 2 3

e

2 60° 60° − πe 4 3 j ⋅ j2 ⋅ 360 360° °

= 27 3 − 10 π cm2 Rpta. D

e

Resolución

j

20 AM = R = =

π 2 ⋅4 4

∴ π = 22 − 2 ⋅ 4

∴ Resolución

= 4 π cm2

e 2 j2

= (4 – π )cm2

NIVEL II

Rpta. D Resolución

17

1 =

∴

= 8U

16 ⋅ 6 2

= 48 cm2 Rpta. A

Resolución =8

∴ Resolución

LM π 2 2 2 − 2 MN 4 e j

2 ⋅2 2 2

= 16( π – 2)cm2

AFC

=

2⋅6 2

Rpta. B

18

∴ = π 32 – π 22

∴

2

OP PQ

= 5π

Resolución Rpta. C

- 94 -

AFC

3

= 6 cm2

8 =4 2

Rpta. C

Rpta. C


2x + 2y = 132 ⇒ x + y = 66 pedido

∴

pedido

Resolución

Resolución

8

= x+y

= 66 cm2 Rpta. D

4

=2

a O LM ⋅b a ⋅b 2 P a ⋅b MM 2 − 2 PP = 2 ...... (1) Q N = 2a ⋅ b = 16 ⇒ a ⋅ b = 8

ABD

2x

=

b ⇒ 2b

ABD =

x

=

En (1):

∴

3x = 57

∴

8 2

x = 19 cm2

Rpta

Rpta. B Resolución

Resolución

= 4 cm2 9

5

=

6⋅8 2

∴

Resolución

= 24 cm2 Rpta. E

ABC ≅

6

DEC ......... caso ALA BC = DE = 6

BDC

∴

AMD

=

BC ⋅ DE 6 ⋅ 6 = 2 2

BDC

Resolución

BNC

=

= 18 cm2

Rpta. C

10

13 + V + x = 9 + V + 15

∴ Resolución

x = 11 cm2

Rpta. A

7

ACD : CH2 = 4 ⋅ 9 ⇒ CH = 6

ECD =

=2 9+

∴

=

9⋅4 = 6 ECD

∴

= 2 9 +6

= 30 cm2 Rpta. C - 95 -

FG 4 + 13 IJ 6 H 2 K = 51

Rpta. C

Resolución

11

40 + U + V + Z + w = 20 + x + U + V + Z + w

∴ Resolución

82 = 82 − 4

∴

3−

e

15

j

Rpta. C

12 9 ⋅ 4 12 ⋅ x = 2 2

∴ x = 3 cm Resolución

Rpta. A

8⋅8 sen 30° 2

= 16 3 − 3

Resolución

x = 20 cm2

=

Rpta. B

13

BD ⋅ h BD ⋅ h1 + 2 2

=

BD BD h + h1 = ⋅ MN 2 2

=

16 ⋅ 9 2

e

ECD

j

= 72 cm2

Resolución

=

DBC

=

∴

BCE

+

ABD

Rpta. E

16

=6

En el trapecio ABCE: 4 = 2 ⋅U ⇒ U = 8 ABCD =

∴ Resolución

4+2+4+6+8

ABCD =

24

cm2

O1 OM es equilátero. O1 OM = O1 MO = 4

Rpta. D

2 = π4 ⋅

14

∴

Resolución

=

15° 360°

2π 3

Rpta. A

17 = 8U

LM N

= 8 22 −

∴

40 + U + V + Z + w =

- 96 -

π 2 2 4

= 8(4 – π )

OP Q Rpta. C


Resolución

FG H

∴

= 66 cm2

Resolución

=

IJ K

= 4 + 18 ⋅ 6 2

18

Rpta. E

2

AMND

=3⋅6

∴

= 18 cm2

Rpta. D ABE ≅

Resolución

19

EOD ......... caso ALA ABE

=

EOD

=U

π = U + V = ⋅ 42 4

∴

= 4 π cm2

Resolución

π ⋅ a2 ⋅

Rpta. D

3

φ φ = π c 2 − b2 ⋅ 360° 360°

∴ Resolución

e

c2 = a2 + b2

j

Rpta. E

20 =

FG 4 + 12 IJ ⋅12 − 12 ⋅ 6 H 2 K 2

∴ Resolución =

∴

=

ABCD = 24 cm2

Rpta. D

4 B

6⋅4 Rpta. C A


= 60 cm2

C

1 D

5+U+4=x+U

∴

- 97 -

x = 9cm2

Rpta. B

Resolución

Resolución

5

60° =

α +β ⇒ α + β = 120° 2

82 = 2(x + y + z + w) 41 = x + y + z + w

α + β + m CD = 180°

=x+y+z+w

120° + m CD = 180° ⇒ m CD = 60° = π62 ⋅

∴

62

60° − 360° 4

e

j

∴ Resolución

3

= 6 π − 9 3 cm2

8

= 41 cm2

Rpta. D

9

Rpta. A = 6⋅

Resolución

6

∴

= 72

∴

Resolución

π 2 ⋅4 2

= 48 π cm2 Rpta. B

10

= 49 Rpta. C =4

Resolución

∴

7

Resolución

AN =

2 2 ⋅ 3= 6 2

AM ⋅ CN = 2 =

e

= 18 cm2

11

x

y

6− 2

AM = =

LM 1 ⋅ 62 OP N8 Q

e

6− 2 ⋅ 2

j

2

3 − 1 cm2

j

U| Trapecio QBCR: c + y = b + V Vb+g | Trapecio PACR: a + b + x + y = c + d | W Trapecio PABQ:

- 98 -

d+x

=

a +U

Rpta. A


a + b + c + d + 2 (x + y) = a + b + c + d + (U + V)

Resolución

15

2(x + y) = U + V

∴

2⋅ EFG =

ABC

2⋅ EFG = 144

∴

EFG

Resolución

= 72 cm2

Rpta. D

12 =x+y

a⋅b = 54 2

=

a ⋅ b = 108 ......... (1)

=

a 2 = b 3 2 a = b ............ (2) 3 2 b ⋅ b = 108 3

(2) en (1):

∴ Resolución

2

∴

2

=

25 2

= 12,5 cm2

Resolución

Rpta. B

16

13

= 3⋅

3⋅4 2

24 = a2 ⇒ a = 2 6 =

Resolución

2

a 2 − b2

Rpta. D

b= 9 2

ABCD

∴

ba − b g ⋅ b + ba − b g ⋅ a

ABCD =

18 cm2

Rpta. C

14

LM MN e

2 4 3 ⋅4 3 π 4 6 ⋅2 6 + 4 3 − 2 4 2

∴

= 12 π cm2

Resolución

2a 3 = 2b 5

⇒ a=

j

Rpta. A

17

V=2⋅U

3 b 5

b4 + 4 − x g ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ x 2

2 a ⋅ 2b = 120 ⇒ a ⋅ b = 60 2 Entonces:

3 b ⋅ b = 60 ⇒ 5

OP PQ

8 – x = 2x

∴

b = 10 a=6

Diferencia = 20 – 12

∴ Diferencia = 8 cm Rpta. C

- 99 -

x=

8 3

Rpta. C

2

CAPÍTULO 14 INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA (Pág. 382) NIVEL I Resolución

Resolución

7

S = xx– 9 , C = xx– 7

1

° 3π 180° rad ⋅ = abc 4 πrad

S C xx − 9 xx − 7 = ⇒ = ⇒ 10x x –90 = 9 10 9 10

°

135° = abc ⇒ a = 1 , b = 3 , c = 5

9xx–63

Luego: a + b + c = 1 + 3 + 5

xx

= 27 ⇒

∴

x=3

∴ a + b + c = 9 Rpta. A Resolución

Resolución

2

3 72 ° 200g ⋅ 50g 180° p = 1,6 Rpta. C

∴ Resolución

∴

a = 17g 50m

Resolución

9

9C C+ C+S 10 = 19C = E= C C − S C − 9C 10

1° = 15°+ 0,75° 60 ′

10g = 17g 5m α = 15, 75° = 15, 75°⋅ 9°

8

Resolución

4

α = 15°45´= 15°+ 45´⋅

∴ Resolución

Rpta. E

E = 19

540 ′ ⋅

1 200g 100m = 1000m ⋅ ⋅ 60 ′ 180° 1g

5

Rpta. C NIVEL II

4π g 200g = ab rad 25 πrad

Resolución

1

3S – 2C=14 ⇒ 3 ⋅

g

32g = ab ⇒ a = 3 , b = 2

∴

a+b 3+2 = E= a−b 3−2

∴

E=5

Rpta. B

Resolución

6

θ=

R=

180R 200R − 2⋅ = 14 π π π rad 10

Rpta. A

2 C S − = 38 9 10

θ = 6000´⋅

∴

Rpta. C

10

4π g rad = ab 25

Resolución

Rpta. C

200R 180R − =3 π π 20R =3 π 3π ∴ R= rad Rpta. A 20

S C 2x + 1 3x − 2 = ⇒ = 180 200 9 10 ∴ x = 4 Rpta. D

p=

=

33

C–S=3

S = 2x+1 , C = 3x − 2

Resolución

xx

200R 180R π − π = 38 9 10

1° πrad ⋅ 60 ′ 180°

5π rad 9

∴

Rpta. B

- 100 -

R = 9π rad

Rpta. D


Resolución

Resolución

3 5 SR − π

5⋅

CR = 20 2π

180R ⋅R π − π

π (ax2 + bx + 5) 180 200R C = ax2 + bx + 6 = π π (ax2 + bx + 5) R= 200

200R ⋅R π = 20 2π

R = π rad

180R π

S = ax2 + bx + 5 = R=

30R 10R − = 20 π π

∴

7

S = ax2 + bx + 5 , C = ax2 + bx + 6

Rpta. A

Entonces: Resolución

4

π π (ax2+bx+5) = (ax2+bx + 6) 180 200 10ax2 + 10bx + 50 = 9ax2 + 9bx + 54

C + 2R S + 3 π = C − 2R S − 3 π 200R 180R + 2R + 3π π = π 200R 180R − 2R − 3π π π

∴

5π 3

R=

Resolución

5

180R 200R + 2⋅ + 4R = 145 + π π π 180R + 400R + 4 πR = 145 + π π

Pero:

π R= 4

∴

Rpta. C

S = ax2 + bx + 5 = 4 + 5 = 9 R=

R=

Resolución

∴ Resolución

02 − 02 + 4

=

R2 + 1 p=4

02 + 1

Rpta. E

9

E=

1° 1′ 1g1m 1° 1′ 1g 1m + = + + + 1′ 1′ 1′ 1m 1m 1m

E=

1g 100m 1° 60 ′ + 1+ ⋅ + 1 = 60+1+100+1 ⋅ 1′ 1° 1m 1g

Resolución 9°

Rpta. E

8

C2 − S2 + 4

Luego: p =

∴

10g

π rad 20

C2 + S2 = 2 ⋅ C ⋅ S ⇒ C = S = 0 ⇒ R = 0

6

(5x+4)° = (6x)g ⋅

πS π ⋅9 = 180 180

∴

g

4R 145 + π = 145 + π π

Resolución

Luego:

Rpta. B

S + 2C + 4R = 145 + π

b

ax2 + bx = 4

E = 162

Rpta. C

10

⇒ x = 10

(5x+4)° = 54° Luego:

2θ = a° ⇒ θ =

2 ⋅ 54° + θ = 180° θ = 72° ⋅

∴

θ=

πrad 180°

2π rad 5

3θ = bg ⋅ Rpta. D

180° 200g

θ= - 101 -

=

a° 2

180° b 200

60° b 200

Luego:

a 60° b = 2 200

Resolución

a = 0, 6 b

∴ Resolución

C = x3 + x2 + x + 7

Rpta. E

C = x3 + x2 + x + 2 + 5 C=S+5

11

200R 180R = +5 π π

S 3C 6R + = 27 − ⇒ 12 10 π 1 180R 3 200R 6R ⋅ + ⋅ = 27 − 12 π 10 π π

∴

R=

Resolución

π rad 3

∴

Rpta. B

Resolución

1

− C=

C

S–C=

C

−

C S

K=

9 1 9 S− S = 1− ⋅ S 10 S 10 S 1 = 10 10

∴

S = 1°

Resolución

FG H

1 180R ⋅ π 9 12

IJ K

5

+

FG H

1 200R ⋅ π 10

IJ K

5

+

20R5 π

LMF 180R I 4 + F 200R I 4 + R4 OP MNGH π JK GH π JK PQ 1800 R5 90 π5 12R4 π4

∴

19 = 6,3 3

Rpta. D

16

=

FG 18 ⋅ π IJ 2 + FG 20 ⋅ π IJ 2 + FG π IJ 2 = H 180R K H 200R K H 10R K

200R ⋅R π 180R π π

FG π IJ 2 + FG π IJ 2 + FG π IJ 2 = 10R H 10R K H 10R K H 10R K 9π π2 2

b10Rg 1804 + 2004 + π 4 3π rad 5

180R ⋅R π 5π

j

1804 + 2004 + π 4 =

R=

SR 5π

FG 18 IJ 2 + FG 20 IJ 2 + FG π IJ 2 = CR H S K H C K H 10R K π S

13

e

SC π + 10 R

1 C

K=

Resolución

S5 C5 20R5 + + = 12 S4 + C4 + R4 9 10 π

Rpta. E

1 C π 6R 1 ⋅ + ⋅ = +6 C 3 R π 3

∴

Rpta. A

π 4

10 C⋅C π 9 + R 10

1 K= C

S−C S

R=

15

K=

12

S

14

S = x3 + x2 + x+2

3 =

10R 9π

10R ⋅ 102R2 = 9 ⋅ 3 π3

Rpta. E

R3 =

∴

- 102 -

R=

33 π 3 103 3π 10

Rpta. A


RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Pág. 399 NIVEL I Resolución Resolución

5

1

Sen B =

5 Cos A = 13

∴ tg B =

72 − 52 = 2 6

BC =

5 Rpta. C 12

F2 6 −2 6I GH 7 5 JK 4 b senA − tgA g = 4

3 cos B

Resolución

2 6 7 4 senA − tgA 8 =− 3 cos B 15

2

34 5

3⋅

b

∴

AC2 = 52+32 ⇒ AC= 34

∴ cosec A =

5 7

g

Resolución

6

Rpta. D Sen A = 0,272727 ... = Resolución

AB = 112 − 32 = 4 7

3 Cotg A = 0,777 ... =

7 9

∴

92 + 72 = 130

AB =

∴ sen B =

7 130 130

Rpta. E

sen C =

Resolución

AB =

cot gB + tg B = 4 2

b

5 cosec A

∴

b

Resolución

(2 2 )2 + 

1    2 2  = 65 4 32

8 1 a c 1 ⇒ ⋅ = 8 b b 8 a⋅c 1 = 8 b2

Sen A ⋅ sen C =

5 5⋅ 4

g

9 −1 = 2 2

3 5

F 4 3I g = 24GH 3 + 4 JK

24 tg A + cot g A =8 3 cos ec A

1 3

B

2 2

24 tg A + cot g A

Rpta. B

cos C =

4

5cos A = 3 ⇒ cos A =

4 7 11

7

1

Resolución

27 3 = 99 11

Rpta. B tg A + tg C =

a c a2 + c2 + = c a a c

tg A + tg C =

b2 ac

∴

- 103 -

tg A + tg C = 8

Rpta. C

Rpta. E

Resolución

Resolución

9

14

J = tg A + tg B – sec A ⋅ sec B + 1 J=

b2

a b c c + − ⋅ +1 b a b a

sen2 B + sen2 C

E=

tg2 B − cos ec2 C

c2

a 2 + b2 c 2 c2 c2 − + 1= − +1 J= ab ab ab ab

∴ Resolución

J=1

a2 = a2 c2

e j = c2 ⋅ a2 a 2 e b2 − a 2 j a 2 ⋅ e − c 2 j ∴

10 1 3

Resolución

E = –1

Rpta. D

15

sen a − b + x − 4 ° ⋅cosec 5 x − b − a − 36 ° =1

b

2 2 ∴ sen c = Rpta. D 3

g

b

g

a – b + x – 4° = 5x – b + a – 36°

∴ Resolución

−

c2

c 2 b2 + c 2

Rpta. C

Sen A =

2 = a 2 b

+

x = 8°

Rpta. C

11 Resolución

K = sec θ cosec θ K=

16

FG H

IJ K

FG IJ H K

5 x − 96° 4x cot g = tg 2 3

10 a 10 a ⋅ 3a a

5 x − 96° 4 x + = 90° 2 3

∴ Resolución

K =

10 3

15 x – 288° + 8x = 540°

Rpta. C

23 x = 828°

∴

12

Resolución

x = 36°

Rpta. D

17

sen (x + 30°) ⋅ cosec y = 1 x + 30° = y ............. (1) tg (2x +10°) = cotg (x + 20°) 2x+10° + x + 20°= 90° ⇒ x = 20° a senA + b senB = c

Resolución

a⋅

a b +b⋅ 2 2 c c = a +b = 1 2 c c

13

En (1): Rpta. D

Entonces:

∴ Resolución

y – x = 30°

Rpta. B

18

sen x = cos 2y ⇒ x + 2y = 90°

E = sen A ⋅ sen C = a c 7⋅3 ⋅ = 7 7 7⋅7

20° + 30° = y ⇒ y = 50°

cos x sec (3y – 10°) = 1 ⇒ x = 3y – 10° 3y – 10° + 2y = 90° ⇒ y = 20° x + 2 ⋅ 20° = 90° ⇒ x = 50° Luego:

∴

E=

3 7

∴

Rpta. B

- 104 -

x + y = 70°

Rpta. B


Resolución

Resolución

19

Cosec α =

AD ⇒ AD = x ⋅ cosec α x

BH sen α = m cos α

∴

AD x cos ec α = m m m sen α x= cos ec α

Sen α =

∴

x = m sen2α

Resolución

23

BH = m senα ⋅ cosα

Resolución

24

Rpta. C

20

tg α =

∴

EC m cosec θ

EC = m cosec θ ⋅ tgα

m cos α = BC = AB ⋅ BC = m sen α ⋅ m cos α

Resolución B

1 tgB = cos A(4 – cosecA)

= m2sen α ⋅ cos α

Resolución

Rpta. D

NIVEL II

m sen α = AB

∴

Rpta. A

B

Rpta. C

cotg A = cos A (4 – cosec A)

21 cos A = cos A (4 – cosec A) sen A 1 = 4 sen A – sen A ⋅ cosec A 1 = 4 sen A – 1

∴

mtgθ = BC sen α =

∴

CD CD = BC mtgθ

CD = m senα tg θ

sen A =

Resolución

1 2

Rpta. C

2

Rpta. A cos B ⋅ cos C =

Resolución

22

3 7

c b 3 b⋅c 3 ⋅ = ⇒ 2 = a a 7 7 a

∴ Perímetro = m [1 + cosecα + cotgα]

tg B + tg C =

Rpta. C

∴ - 105 -

b c b2 + c 2 a2 + = = c b b⋅c b⋅c

tg B + tg C =

7 3

Rpta. A

Resolución

Resolución

3

5 2

sen B + sen C =

T=

5 5 b c b+c b2 + 2bc + c2 + = ⇒ = ⇒ = 2 2 a a a a2

5 bc 1 ⇒ = 4 a2 8

r2

tg B + tg C = 8

e e

∴

Resolución

Rpta. B

Resolución

j

T=

7

cos A + cos C =

4

a

−2b

De (1):

(3a – b) (a – 2b) = 0 ⇒ b = 3a ∧ a = 2b =

8

⋅

Resolución

g

b2 + 2ac = 2b2

cosec A + cosec C =2 Rpta. B

FG a + c IJ .......... (4) H b K

(1) en (4):

∴ cosec A + cosec C = 2 2 Rpta. C

5

Q = 2+cotg 2 C – 5 sec B = 2 +

FG b IJ H cK

2

−5

Resolución

8 a + b = 3c a b + =3 c c

a c

∴

sec B + tgB = 3

Rpta. D

2 c 2 + b2 − 5 ac ............. (2) c2

Resolución

(1) en (2): Q=

b

(3) en (2):

8

sen B ⋅ Cos C = 5 Cos B b b c ⋅ = 5⋅ a a a b2 = 5 a ⋅ c .......... (1)

Q=

Rpta. A

2⋅a⋅c = b2 .............. (3)

2 2

2 tg A = 4

∴

r2 pq

b a+c ............ (2) a⋅c 2 2 2 a + c + 2ac = 2b

cosec A + cosec C =

8a

j

b b + a c

−b

tg A =

e

cosec A + cosec C =

3a

1

j

j

a+c = 2 ..... (1) b

3a2 – 7ab + 2b2 = 0

a

e

c a + = 2 2 b b

3 sen A + 2 sec C = 7 3 sen A + 2 cosec A = 7 a b 3 +2 =7 b a 3a2 + 2b2 = 7ab

sec 2 P + sec 2 Q tg P + tg Q

r2 + 2 r 2p2 + r 2q2 pq r 2 p2 + q2 q p = T= p q = p 2 + q2 ⋅ q2p 2 p2 + q2 pq + q p 2

b c b2 + c 2 a2 = tg B + tg C = + = c b bc b⋅c

∴

6

9 cos α =

2 c 2 + 5 ac − 5 ac c2

∴

Q=2

=

2 c2

h m

∴ h = m cosα

c2

Rpta. B

- 106 -

Rpta. C


Resolución

10

c b c2 + b2 a2 3 bc + = = = b c b⋅c b ⋅ c 8 bc

3 sen B = sec C 3

a b = ⇒ a2 = 3b2 b a

∴

E=

∴ a = b 3 Rpta. C Resolución

Resolución

11

3 8

Rpta. B

14

a + c = 14 cos B ⋅ cos C =

a2 + c2 + 2ac = 196 b2 + 2ac = 196 ......... (1)

c b ⋅ = 2 −1 a a

12 sen A ⋅ sen C = 25 a c 12 ⋅ = b b 25 ac =

12 2 b ........... (2) 25

(2) en (1): b2 +

24 2 b = 196 25

2 −1

tgB + tgC =

∴

b c b2 +c2 a2 a2 1⋅ 2 +1 + = = = = ⋅ c b bc bc bc 2 −1 2 +1

tg B + tg C =

Resolución

2 +1

Rpta. D

15

49 2 b = 196 25 196 ⋅ 25 b2 = 49 14 ⋅ 5 b= 7

∴ Resolución

b = 10

Rpta. D

12

a2 a2 3a2 ⇒ a2 – 2c2 = ⇒ = b 2 – c2 = 4 4 4 2c 2

b2 = 2 ⋅ c ⋅ a

a2 =

c2 = a2 + b2 = a2 + 2ac a2 + 2ac – c2 = 0

a=

b2 – c2 =

−2 c ± 4 c 2 + 4 c 2 −2 c ± 2 2 c = 2 2 a = c −1± 2

e a=ce

cos B =

∴

2 −1

j

cos φ = 2 − 1

FG H

1 24 2 c 4 9

j

a = 2 −1 c

∴

2 6c 8 c2 ⇒ a= 3 3 15 c 3

c c = a 2 6 c 3

cos B =

Resolución

IJ ⇒ b = K

6 4

Rpta. C

16

Rpta. A cosec A ⋅ cosec C = 9

Resolución

13

b b ⋅ = 9 ⇒ b2 = 9 a ⋅ c a c

8a2 = 3bc

y = tg A + tg C + cotg A + cotg C

E = cotg B + cotg C =

y=

- 107 -

a c c a + + + c a a c

2 2 2 2 2 a 2 + c2 y= a +c + a +c = = ac ac ac

e

j

AC2 = AB2 + BC2 =

16 AC2 4 AC = BC2 ⇒ = BC 25 5 4 b 4 cos C = 5 = ⇒ C = 37° b 5

2 ⋅ b2 2 ⋅ 9 ⋅ ac = ac a⋅c

∴

y = 18

Rpta. A

∴ Resolución

9 AC2 + BC2 25

cos 74° =

17 Resolución

7 25

Rpta. A

21

sec (x – 3y) = cosec (2y + x) x – 3y + 2y + x = 90° 2x – y = 90° ...................... (1)

b

g

cotg (2x–y) = tg (60° – x)

a a −5 = 7 ⇒a a −5 = 7 ⋅2 ⇒ a = 7 2

b

g

2x–y + 60° – x = 90° x – y = 30° ........................ (2)

∴ Resolución

7 cotg x = 2

Rpta. C

De (1) y (2): x = 60° ∧

y = 30°

E = 3x – 2y = 3 ⋅ 60° – 2 30°

18

∴

E = 120°

Resolución

Rpta. D

22

sen (3x–20°) ⋅ sec (50°– y) = 1 sen (3x – 20°) = cos (50°– y) no se cumple: c = a sec A Resolución

3x – 20° + 50° – y = 90°

Rpta. D

19

3x – y = 60° .................. (1) tg (x + y–2z + 40°) ⋅ cotg [2x–(y+2z)] = 1

sen C =

x + y – 2z + 40° = 2x – y – 2z

6 3 = 10 5

2y + 40° = x .................. (2) (2) en (1): 3 (2y + 40°) – y = 60° y = –12°

∴

a + b = 900 ⇒ 4k + 5k = 900 ⇒ k = 100

Resolución

b – a = 5k – 4k = k

∴ Resolución

b – a = 100

Rpta. A

cos

x = 16°

Rpta. B

23

FG 3x + 10°IJ ⋅ sec FG 20° − y IJ = 1 H 2K H2 K 3x y + 10° = 20° − 2 2 3x + y = 20° ......... (1)

20

BA 3 = AC 5

tg

FG x + 40°IJ = cot gFG 30° + y IJ H3 K H 3K

x y + 40° +30° + = 90° 3 3 x + y = 60° ....... (2) De (1) y (2): x = – 20° ∧ y = 80° Luego: R =

∴ - 108 -

b

g

2 −20° + 80° 4 R = 10°

Rpta. A


Resolución

24

Resolución

27 M

N 3 a ⋅ 2b sen α x+y= 2

tgθ =

8 = 2 ⇒ EC = 4 EC =

FG 8 + 4 IJ ⋅ 8 H 2 K

∴ Resolución

= 48m2

a ⋅b sen α = 3ab sen α 2

x+

∴

Rpta.

25

x=

Resolución

5 a ⋅ b sen α 2

28

cosec β = x=

CHB: cos α =

x ⇒ x = HB ⋅ cotg α HB

cotg α =

∴

HB ⇒ HB = a cos α a

x = a cos α ⋅ cotg α

Resolución

Resolución

a ⋅ cosec β 2

29

Rpta. B

26

cosec θ = sen α =

h ⇒ h = m ⋅ sen α m

sen β =

h ⇒ x

sen β =

m senα x

x = m sen α ⋅

∴

2x a

∴

1 sen β

x = m sen α ⋅ cosec β

Rpta. D

- 109 -

R+x R

x = R (cosec θ – 1)

Rpta. B

ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Pág. (421) NIVEL I Resolución

Resolución

5

1 E = sen α – 2 cos α E=

1 5

−

b g

2 −2 5

U = 1 3 sen α ⋅ sen β U = 13 ⋅

∴

E=

Rpta. B

5

∴ Resolución

FG H

IJ ⋅ FG 13 K H

−3

U=6

IJ 13 K

−2

Rpta. C

2

Resolución

6 cotg θ =

∴ cotg θ = –

M = sec θ ⋅ cosec θ – 2

∴ Resolución

M=

5 5 ⋅ –2 −4 −3

M=

1 12

Rpta. E

Resolución

24 7

7

3

A = sec α ⋅ cosec β

−2 tg α = −1

A=

∴ tg α = 2 Rpta. E

Resolución

−24 7

∴ Resolución

4

p=

E = cosec α + cotg α

E=

∴

E=

2 3

FG IJ H K

13 −5 + 12 12

Rpta. B

10 5 ⋅ 1 1 A= 5 2

Rpta. E

8

b g b g bg

6 sen 90° + 5 cos 180° 6 ⋅ 1 + 5 −1 = tgπ + sec 2 π 0 + 1

∴

Resolución

p=1

Rpta. C

9

b g b g

2 x + −1 2 x + sec 180° = 1⇒ 2x − 1 = x + 1 = 1⇒ x − sen 270° x − −1

∴

- 110 -

x=2

Rpta. C

Rpta. B


Resolución

10

Resolución

4

tg α = − 5 6 1

sec α =

b b b b

g g g g

b b b b

g g bg bg g bg bg g

− − + − + − + + sen α + tg β = = E= + − + − − cotg α − cosec β − − −

E=

∴

sec α = 6

Resolución

Rpta. C

5

b−g b+g ∴

E = (–)

Rpta. B

x2+ x – 2 = 0 NIVEL II Resolución (tgx)tgx

=4

(x + 2)(x – 1) = 0

1

⇒ (tgx)tgx

=

22

⇒ ∴ tg x = 2

E = 4 sec x ⋅ cosec x E = 4⋅

F 5 IF 5 I GH −1 JK GH −2 JK

x1 = 1

2

b g

∴ p=

⇒ x2 = sec β = – 2

x1 = tg α = 1 K=

6 sen α ⋅ cosec β

K=

6⋅

∴

p = sen φ – sec φ 8 17 p = 17 − −15

x2 = – 2

Luego:

∴ E = 10 Rpta. C Resolución

∧

Resolución

1 2

⋅

2 3

K=2

Rpta. B

6 E = tg α – cotg β

409 = 1,6 255

E=

Rpta. E Resolución

∴ E=

3

FG 13 − 1IJ = − 4 = −4 H 9 K 3 3

cotg α = −1, 3 = −

Resolución

Cotg θ = 2,4 =

K=

K=–2

2 Rpta. D 3

7

K = sec α + tg α

∴

FG IJ H K

1 −1 − 3 3

P=

5 3 + =–2 −4 −4

b g b g

24 12 = 10 5

sec θ − tgθ cosec θ − cotg θ

−5 13 −18 − 18 ⋅ 5 − − 12 12 P= = 12 = 13 −12 −25 12 ⋅ 25 − −5 −5 5

Rpta. A

∴

- 111 -

P=

3 = 0,3 10

Rpta. C

CAPÍTULO 15 GEOMETRÍA DEL ESPACIO (Pág. 456) NIVEL I Resolución

= N° planos = C16 3

∴

Resolución

1 16 ! 16 ⋅ 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ! = 3 ! 16 − 3 ! 3 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ 13 !

b

g

N° planos = 560

Resolución

Rpta. B

∴

2

24 ! 24 ⋅ 23 ⋅ 22! 24 N° planos = C 2 = 2 ! 24 − 2 ! = 2 ⋅ 1⋅ 22!

b

g

∴ N° planos = 276 Resolución

6

Resolución

AB = 10

Rpta. A

7

Rpta. D

3 α β δ = = 1 5 3 ⇒ β = 5α ∧ δ = 3α α + β + δ = 180° ⇒ α + 5α + 3α = 180°

Pitágoras:

∴

e10 2 j2 = 102 + CF2 ∴ Resolución

CF = 10

α = 20° β = 100° δ = 60°

Rpta. A

∴

4

mayor ángulo = 100°

Rpta. C

E

Resolución

8

F

A=

∴ Resolución

OM O1 :

∴ OO1 = 5

Resolución

Rpta. C

5

4⋅6 + 5⋅8 2 A = 32

Rpta. E

9

C=6+8

⇒

C = 14

4 ⋅ 6 + 10 ⋅ 8 A= 2 Euler: C + V = A + 2

⇒ A = 52

14 + V = 52 + 2 56 56

∴

= 12 ⋅ 12 = 144 cm2

Resolución

Rpta. D

∴

- 112 -

V = 40

Rpta. A

Octaedro

Rpta. C

10


Resolución

Resolución

11

15

4 πR2 = π ⋅ 4 5 + 4 ⇒ R = 3

b

4 2 + 22 = 2 5

AB =

V=

4 4 πR3 = π 33 3 3

∴

V = 36 π cm3

ABC es de 30° y 60° 2 5=

∴

AC =

Resolución

AC 3 2

4 15 3

g

Rpta. D

NIVEL II

Rpta. B Resolución

1

+ C20 + 18 ⋅ 20 N° planos = C18 3 3

12

V=B⋅h

N° planos =

18 ! 20! + + 360 3 ! 18 − 3 ! 2 ! 20 − 2 !

N° planos =

18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ! 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ! + + 360 3 ⋅ 2 ⋅ 1⋅ 15 ! 2 ⋅ 1⋅ 18 !

b

b

g

g

N° planos = 816 + 190 + 360

∴ P ⋅4 5a ⋅ 4 ⋅h ⋅h = = 10 ⋅ a ⋅ h V= B 2 2 V = 10 ⋅16

∴

V = 160 cm3

Resolución

N° planos 1366

Resolución

Rpta. B

2

Rpta. D

13 Pitágoras:

e

DC2 = 42 + 4 2

∴

e 2 11j2 − e2 2 j2 ⇒ h = 6 2 1 1 V = B ⋅ h = e4 2 j ⋅ 6 V 3 3

h2 =

∴

V = 64 cm3

Resolución

DC = 4 3

Resolución

j2

Rpta. D

3

Rpta. B

14 α + x + x + β = 170° α + x + β + x = 170° 140° + x = 170°

∴

VV = πr ⋅2 h = π ⋅ 22 ⋅ 2

∴

V = 8π cm3

Rpta. C - 113 -

x = 30°

Rpta. B

Resolución

Resolución

4

8

AC = 6 2

V=

BC = 6 3 V= x OC = AB BC 3 2

OMC

x = 6 6 3

∴ Resolución

∴

BAC:

x=

Resolución

6 cm

54

⋅a

b⋅9 a ⋅b⋅9 9⋅9 ⋅a = = 2 2 2

V = 40,5 cm3

Rpta. D

9

Rpta. A

5 D=a 2 12a = 144 ⇒ a = 12

∴ D = 12 2 Diferencia = π 32 ⋅ 6 −

Rpta. C

4 3 π3 3

∴ Diferencia = 18 π cm3 Resolución

Resolución

V= 16 2 a 3 = 3 12

a3 2 12 2

⇒

= 8 3 cm2

Resolución A=

∴

10

3⋅4=5⋅r

22 = 8⋅ 4

∴

Rpta. B

6

∴

a=4

Resolución

r = 2,4 cm

Rpta. A

11

3 Rpta. E

7 5 ⋅ 10 + 4 ⋅ 15 + 3 ⋅ 20 2 A = 85

64 = a3 ⇒ a = 4

Rpta. E

2R = a 3 2R = 4 3

∴ R = 2 3 cm Rpta. C

- 114 -


Resolución

Resolución

12

2

Usando relaciones métricas: AB2 = 8 ⋅ 5 = (4 + x) 4 r=

∴

2 R 2 R ⇒ = 2 r 2

circunscrita

=

inscrita

4 πR 2 4 πr 2 c

∴

i

Resolución

=

F R I2 F 2 IJ2 =G J =G HrK H 2K

2

Rpta. D

1

Resolución F=

x=6 3

C ⋅ V ⋅ D 20 ⋅ 12 ⋅ 12 = A 30 ∴ F = 96 Rpta. C

Resolución

4

13

Thales: 12 9 = x x−7

h3 V = 3 32 2h

∴ x = 28 cm

∴ V = 4 cm3

Rpta. E

b g

Rpta. B

Resolución

Resolución

EB2 =

14 3R = 9 ⇒ R = 3

5

e 2 j2 -1

2

⇒ EB = 1

4 4 πR3 = π 33 3 3 ∴ V = 36 π Rpta. E

V=

ECB es equilátero

∴ Resolución

Rpta. E

15

Resolución =π

∴

φ = 60°

Rpta. D

6

e 3 j2

= 3π cm2 Rpta. B


HFE es de 37° y 53°.

∴

1

3 ⋅ 6 + 6 ⋅ 10 ⇒ A = 39 2 En el prisma: A1 = 3n (n: número de aristas de la base) A=

Resolución

Pero: A = A1

39 = 3n ⇒ n = 13 N° vértices = 2n = 2 ⋅ 13

∴

N° vértices = 26

Rpta. C - 115 -

EF = 16 cm 7

Rpta. A

Por semejanza: a 6 2

=

V2 = Vcubo − 2 V1

m ⇒ a=2 2 3m

e

Vcubo = a3 = 2 2

5 x3 x3 = a3 − 2 3 6 a 3 = 2 Rpta. B ∴ x

3

j

∴ Vcubo = 16 2 cm3

Rpta. B Resolución

Resolución

8

V=Bh= 30 ⋅ 8 =

∴

54

Resolución

12

= 24

54 54

⋅a

R2 = (R − 3)2 + 5 3

e

⋅ 10

cm2

BO2 =

Rpta. A

9

∴

140 =

14 ⋅ DH ⇒ DH = 2

Resolución

j2 ⇒ R = 14

FG 35 IJ 2 − 142 H2K

BO =

21 2

Rpta. D

13

20

DAH: AH2 = DH2 − AD2 AH2 = 202 − 162 ⇒ AH = 12 V=B⋅h 14 ⋅ 12 v= × 20 2 ∴ V = 1680 cm3 Rpta. D Resolución

V = πr 2 h

V= π

FG 3k IJ 2 ⋅ 4k = 576 π ⇒ H2K

Poncelet:

10

3k + 4k = 5k + 2R ⇒ R = k = 4 Vesfera =

∴ 56

∴

= 2⋅ 56 =

Resolución

42 4

3 + 2⋅

2 6 ⋅ 10 2

4 3 2 + 5 cm2

e

j

Rpta. A

11 V2 = 10 ⋅ V1

V2 = 10 ⋅

k=4

5 x3 x⋅x⋅x ⇒ V2 = 3 6

- 116 -

4 3 π4 3 Vesfera =

256 π cm3 3

Rpta. A


CAPÍTULO 16 GEOMETRÍA ANALÍTICA Pag. (486) NIVEL I Resolución

Resolución

1

• •

( −3 − 5)2 + (−1− 5)2

d(A, B) = 10 u Resolución

Rpta.: C

S∆ABC =

Aplicando la fórmula respectiva: 2

M = (1 ; 6) Resolución

Resolución •

2

7

Aplicando la fórmula respectiva:

G = (1; 3)

3

Rpta.: E

En la figura se cumple: Resolución

A+C → C = 2B – A 2 C = 2(0; 4) – (–4; 2) → C = (4 ; 6)

•

Resolución

Calculando la longitud de cada lado del ∆ABC tenemos: AB =

(3 + 1)2 + (5 − 2)2 = 5

BC =

(2 − 3 )2 + (−2 − 5)2 = 5

AC =

(2 + 1)2 + (−2 − 2)2 = 5

Resolución •

(

)

∴ 2p = 5 2 + 2 u

y = 2(x – 1) + 2

Rpta.: B

Resolución •

Rpta.: B 10

Aplicando la ecuación respectiva:

a = 2 x y + =1  a b b = 3

2 3

x y + = 1 → 3x +2y –6 = 0 2 3

2 2    1+ 3 · 11 2 + 3 · 7  ; → P=  2   1 + 2 1+  3 3  

P = (5 ; 4)

De acuerdo a la ecuación:

y = 2x

5

→ r=

9 m = 2 (x 0; y0 ) = (1; 2)

La razón de la división es: AP 2 = PB 3

Rpta.: C

y = m(x – x0) + y0 

2

2p = 5 + 5 2 + 5

Resolución

7−3 4 = 3 − ( −1) 3 + 1

m=1

4

8

La pendiente será: m=

Rpta.: D

•

Rpta.: C

 −4 + 1 + 6 −2 + 7 + 4  G= ;  ; G: baricentro 3 3  

Rpta.: A

B=

•

1 22 − (−4 ) 2

S∆ABC = 13 u2

2

(−3 ; 4 ) + (5 ; 8) = (2 ;12) M=

•

Hallamos el área, tenemos:

Aplicando la fórmula respectiva: d(A; B) =

•

6

Rpta.: E - 117 -

Rpta.: A

NIVEL II Resolución •

Resolución •

1

Graficando tenemos:

Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A y B: i) m =

 −3 + 7 5 − 1 M= ; 2   2

5

2−6 → m = –1 2 − ( −2 )

m = −1 ii) y = m(x – x0)+y0  (x 0; y0 ) = (2 ; 2)

M = (2; 2)

y = –1(x–2) + 2 y = –x + 4 • C AM =

y = 0 → 0 = –x + 4 x=4

(2 + 2)2 + (2 + 1)2

AM = 5 u

Hallamos el punto de corte de la recta y el eje de abscisas:

∴ El punto es (4 ; 0)

Rpta.: B

Resolución Resolución •

2

De los datos: L1 : ax + 6y + 1 = 0

AB = CD =

( −3 − 0)

L2 : 3x + 2ay – 7 = 0

BC = AD =

(5 + 3)2 + (10 − 4)2 = 10

2

+ (4 − 0 ) = 5 2

L1 //L2 :

Rpta.: E 3

•

1 ·b 2 → b=4 1 1+ 2

−2 +

Rpta.: C

7

Sea la recta L1: 2x–3y + 1 = 0 Su pendiente será: m1 =

•

L

L1 → m · m1 = –1 2 m ·   = −1 3

∴

m= −

a+b=5

Rpta.: A

4

•

Hallando el área tenemos:

2 3

Sea “L” la recta cuya ecuación se desea conocer y “m” su pendiente:

1 a + ·10 2 → a=1 ii) Ordenada: 4 = 1 1+ 2

Resolución •

Resolución

AP n 1 = = Notamos que: r = PB 2n 2

i) Abscisa : 0 =

a 6 → a2 = 9 = 3 2a

a=3

∴ 2p = 2(5+10) → 2p = 30 u

•

6

En el paralelogramo ABCD:

Resolución

Rpta.: C

3 2

Además P(3 ; 1) ∈ L , entonces 

3

L : y = m(x –x0)+y0 m = − 2

(x0 ; y0 ) = (3 ;1) 

L: y=−

3 (x − 3 ) + 1 2

L : 3x + 2y – 11 = 0 SP =

1 50 − ( −56 ) 2

SP = 53 u2

Rpta.: D - 118 -

Rpta.: A


Resolución •

8


Hallamos el punto de intersección de L1 y L2 : x+2  3x+6= 2

L1 : y = 3x + 6

   x = –2 

x+2 L2 : y = 2

Resolución •

1

Sabemos que: G =

A +B + C 3

C = 3G – A–B → C=3(2;3)–(–2;2)–(3;5)

y=0

C = (5; 2)

Rpta.: A

⇒ L1 ∩ L2 = P(–2 ; 0) •

Sea “L” la recta cuya ecuación se desea conocer: m = −1

L: y = m(x – x0) + y0 (x ; y ) = (−2 ; 0)  0 0 y = –1(x + 2)+ 0 L:x+y+2=0 Resolución •

Rpta.: D

Resolución •

2

Según los datos se tiene:

(5n + 1+ 1)2 + (7 − n)2 = 13

d(A;B)=13 →

25n2 + 20n + 4 + 49 – 14n + n2 = 169 13n2 + 3n – 58 = 0 → (13n+29)(n – 2) = 0 29  13n + 29 = 0 → n = − 13  n − 2 = 0 → n=2

9

Graficando tenemos:

Pero A∈Q2 → n > 0 n=2

Rpta.: D

Resolución •

i) mBC = ii) L

Realizamos un bosquejo:

0−4 2 =− 6−0 3

BC

→ mL · mBC = –1

 2  

mL ·  −  → 3 •

mL =

3 2

Nos piden la ecuación de “L” (A∈L)

i) AC =

3  mL = 2 L : y = mL(x – x0)+y0  (x ; y ) = (1;1)  0 0

ii) AM = MC =

iii)

Rpta.: B

BMC BM =

10 3 (6 ) + 4 ( 5 ) + 2

d(P ; L) = 8 u

(5 10 )

2

− (5)

2

BM = 15 iv) BD = 2BM = 2(15)

Aplicando la fórmula correspondiente: d(P ; L) =

AC 2

AM = MC = 5

L : 3x – 2y – 1= 0

•

(4 + 2)2 + (9 − 1)2

AC = 10

3 y = (x − 1) + 1 2

Resolución

3

32 + 42

=

40 5

BD = 30 • Nos piden: SABCD = SABCD = 150 u2

Rpta.: C

- 119 -

1 1 AC · BD = (10)(30) 2 2

Rpta.: E

Resolución •

i) y = 0 → x – 8 = 0

4

x=8

Aplicando la fórmula respectiva: −11− 15

d(L1; L2) =

2

2

5 + 12

=

⇒ A(8; 0)

26 13

ii) x = 0 → 2y – 8 = 0 y=4 ⇒ B(0; 4)

d(L1; L2) = 2 u Rpta.: B Resolución •

Si C∈L: y = x

→ C = (x ; x)

Además C∈Q1 → x > 0 •

Calculando el área tenemos:

1 (8 )(4 ) 2

AOB =

iii) S

5

AOB = 16 u2

S Resolución

Rpta.: A

8

1 Sabemos que P(x; y)∈L : Y= − x − 4 2

•





1 2

entonces: P =  x ; − x − 4  

1 S = (8 − 4x ) − (4 + 6x ) 2

28 = 2 − 5x

•

Por condición del problema d(A ; P) = d(B ; P)

26  2 − 5x = 28 → x = − ¡No! 5 →  2 − 5x = −28 → x = 6 

∴ C = (6 ; 6) Resolución

•



2

(x − 1)2 +  −

1  x − 4 − 9 =  2 

Rpta.: C

 1



1  x − 4 − 3  2 

2

 1

6

Operador: 18x = –72 entonces: y = −

Resolución •

→ x = –4

1 (−4 ) − 4 → y = –2 2

∴ P(–4 ; –2)

Rpta.: B

9

Analizando el gráfico:

i) AC = d(L1; L2) pero: L1// L2, entonces

ii)

3 − ( −1)

=2 2

(1)2 + (−1)2

ACB : AB = 2 2 csc30° AB = 4 2

Rpta.: D

Por propiedad: Resolución •



(x–1)2 +  − x − 13  =(x–7)2+  − x − 7   2   2 

Analizando la figura se observa:

AC =

2

(x − 7)2 +  −

7

Según los datos

AC 3 3 = → r= BC 2 2

3 3    1+ 2 · 11 9 + 2 · 4  C= ;  → C = (7 ; 6) 3   1+ 3 1+  2 2  

- 120 -

2


•

Hallamos “m” : m = ⇒ L:y=

6 x 7

6 7

AB =

(9 − 1)2 + (8 − 2)2

AB = 10 ∴

6x – 7y = 0

Rpta.: A

En el

APB: AP2 + BP2 = AB2

[(x–1)2+(y–2)2] + [(x–9)2+(y–8)2] =(10)2 Resolución •

10

x2 –10x + y2 –10y = –25

Del enunciado:

(x–5)2+(y–5)2 = –25 + 50 y = 5 ± 25 − ( x − 5)

2

Pero: “y” es máximo, entonces: 2 y = + − − 5 25 ( x 5) máx mín = 0

→ x=5 x − 5 = 0   y = 5 + 25 → y = 10

∴ P = (5 ; 10)

Rpta.: C

CAPITULO 18 PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE COMBINATORIA Y BINOMIO DE NEWTON (Pág. 524) Nivel I Resolución *

*

*

1

Analizando las alternativas, tenemos que:

Si: x = 2 (x – 1)! = x + 2 à ⇓ ⇓ (2 – 1)! = 2 + 2 1! = 4 ← No cumple 1 =4 Si: x = 3 à (x – 1)! = x + 2 ⇓ ⇓ (3 – 1)! = 3 + 2 2! = 5 ← No cumple 1×2 =5

Resolución

Sabemos que:

12! + 13! + 14! 12! + 13!

n! = (n – 1)! × n n! = (n – 2)! × (n – 1) × n

A=

12! + (13 − 1)!·13 + (14 − 2)!·(14 − 1)·14 12! + (13 − 1)!·13

A=

12! + 12!·13 + 12!·13·14 12! + 12!·13

A=

12!(1+ 13 + 13·14) 12!(1+ 13) A= ∴

⇓ ⇓ (4 – 1)! = 4 + 2 3! = 6 ← Cumple 1×2×3 = 6 x =4

A=

Entonces, tenemos que:

Si: x = 4 à (x – 1)! = x + 2

∴

2

Rpta.: C

- 121 -

196 14

A = 14

Rpta.: B

Resolución 3 S=

S=

10! 10! + 4!× 6! 5!× 5!

Resolución 8 Sea P6 el número de maneras distintas en que pueden sentarse los 6 niños. Como intervienen todos los elementos, se trata de una permutación.

6! × 7 × 8 × 9 ×10 5! × 6 × 7 × 8 × 9 ×10 + 4!× 6! 5! × 5! 3

2

Luego:

2

7 × 8 × 9 ×10 6 × 7 × 8 × 9 × 10 + S= 1× 2 × 3 × 4 1× 2 × 3 × 4 × 5 1

P6 = 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 ∴ Los niños se pueden ordenar de 720 maneras.

1

S = 210 + 252 ∴

S = 462

Rpta.: A

Rpta.

10 blusas, 4 faldas y 3 pares de zapatos.

Resolución 9 Sean los amigos: A; B; C; Hugo y Kike. Las ordenaciones se pueden presentar de la siguiente forma:

Entonces:

i) A

n° de maneras diferentes = 10 × 4 × 3 = 120 Rpta.: D

ii) A

Resolución 4

Resolución 5

Se tienen:

C

Hugo

à B

iii) A

iv) Hugo à

Kike

C

n° de formas = 3! × 2!

Hugo à

cdu ⇓⇓⇓ 1 1 2 2 2 4 3 3 6 4 4 5 5 6 6 6×6×3 = 108

Kike

n° de formas = 3! × 2! Hugo

à

Los números pares de tres cifras sobre la

forma cdu .

Kike

B

C

n° de formas = 3! × 2! Kike

A

B

C

n° de formas = 3! × 2!

Luego: Total = 4 × (3! × 2!) = 4 × 6 × 2 = 48 ∴ n° de maneras = 48 Rpta.: B

3 dígitos para elegir (unidades) 6 dígitos para elegir (decenas) 6 dígitos para elegir (centenas)

Resolución 10 • • •

∴ Es posible formar 108 números pares de tres cifras. Rpta.: E

De “A” hacia “B” hay: 4 caminos. De “B” hacia “C” hay: 5 caminos. De “C” hacia “D” hay: 3 caminos.

Luego: n° de maneras = 4 × 5 × 3 = 60 Rpta.: D

Resolución 6 •

B

1° evento: Lanzar un dado. à Puede salir: 1; 2; 3; 4; 5; 6 (6 posibilidades) 2° evento: Lanzar una moneda à Puede salir: Cara o sello (2 posibilidades Luego, aplicamos el principio de adición:

Resolución 11

Área

Ruta Ruta Ruta Ruta Ruta

1 2 3 4 5

    5 formas  

Rpta.: C

Marítima

Ruta Ruta Ruta Ruta

1 2 3 4

   4 formas  

Resolución 7 Se trata de elegir dos personas (presidente y secretario) de un total de 6. Como sí interesa el orden en que deben elegirse, se trata de una variación:

Terrestre

Ruta 1   Ruta 2  3 formas  Ruta 3 

•

n° de resultados diferentes = 6 + 2 = 8

n° de maneras = V26 =

4! × 5 × 6 6! = (6 − 2)! 4!

Luego: Aplicamos el principio de adición: n° de formas = 5 + 4 + 3 = 12

∴ n° de maneras = 30 Rpta.: C

- 122 -

Rpta.: A


Resolución 17

Resolución 12 Sean los ómnibus a; b; c y d.

*

De un total de 8 personas se forman grupos de 3 personas cada uno, sin importar el orden, entonces tenemos:

*

Si voy en el ómnibus “a”, puedo regresar en 3 ómnibus → hay 3 formas.

*

Si voy en el ómnibus “b”; puedo regresar en 3 ómnibus → hay 3 formas.

*

Si voy en el ómnibus “c”; puedo regresar en 3 ómnibus → hay 3 formas.

=

5! × 6 × 7 × 8 3!× 5!

*

Si voy en el ómnibus “d” puedo regresar en 3 ómnibus → hay 3 formas.

=

6 × 7× 8 = 56 6

8! = 3!(8 − 3)!

n° de grupos = C83

Luego:

∴ Se forman 56 grupos.

Rpta.

n° de maneras de viajar = 3 + 3 + 3 + 3 ∴ n° de maneras de viajar = 12 Rpta.: B Resolución 13 Como los soldados son los que cambian de lugar, entonces el número de maneras que se disponen en la fila será:

Resolución 18 *

Luego:

n° de maneras = P6 = 6! =1×2×3×4×5×6 ∴ n° de maneras = 720

De un grupo de 6 pesas se forman grupos de 3 pesas cada uno, sin importar el orden en que se eligen.

Rpta.: D

6! = 3!× 3!

Resolución 14 *

De un total de 9 platos se escogen 4. 9! à n° de formas = C94 = 4!(9 − 4)! 1

6! = 3!(6 − 3)!

n° de pesadas = C63

=

2

3! ×4×5× 6 = 20 3! × 6

∴ Se pueden obtener 20 pesadas

5! × 6 × 7 × 8 × 9 = = 126 24 × 5!

Rpta.: B

4 1

∴ El menú se puede escoger de 126 formas Rpta.: A

Resolución 19 De un grupo de 5 dígitos, se pide formar números de 3 cifras, sin que se repita ninguno de ellos. Como Sí interesa el orden, se trata de una variación:

Resolución 15 Tenemos 5 colores y debemos ordenarlos de 3 en 3 en forma horizontal importando el orden.

n° de números

Luego: n° de banderas =

V

5 3

=

5! = (5 − 3 )!

5! = V35 = (5 − 3)! 2! × 3 × 4 × 5 = 60 2!

∴ Se pueden formar 60 números de 3 cifras.

Rpta.: A

1× 2 × 3 × 4 × 5 n° de banderas = = 60 1× 2 ∴ Se pueden diseñar 60 banderas. Rpta.: D Resolución 16 Vemos que es una permutación circular: Como son 5 niñas, entonces: n = 5 Luego:

Resolución 20 Se trata de elegir 3 personas (presidente; secretario y tesorero) de un total de 7. Como sí interesa el orden en que deben elegirse, se trata de una variación:

PC(5) = (5 – 1)! PC(5) = 4! = 1 × 2 × 3 × 4

n° de grupos = V37 =

4! ×5×6×7 7! = (7−3)! 4!

∴ n° de grupos = 210 Rpta.: A

PC(5) = 24 ∴ Las niñas se pueden agrupar de 24 maneras diferentes. Rpta.: E

- 123 -

Resolución 21 Sea: (a – b)15

Resolución 24 Hallamos los tres primeros términos:

Como la base del binomio es una diferencia, tenemos que:

 C2 − 1    C 

 n tk+1 = (−1)k   an−k ·bk k  En este caso: k + 1 = 10 ← Término pedido à k=9

14

 C2 − 1    C 

9 15  15−9 9 ·b t10 = (−1)   a 9

t10 = -5005a6b9

( )

14−1

1 ·    C

( )

14

 C2 − 1    C 

t10 = (–1) · 5005 · a6 · b9 ∴

( )

14 14  14  =   C2 −   C2 0  1

14  2 14 −2  1 2 ·  − … +  C C 2

Además: n = 15 Luego:

14

28

=C

26

− 14C ·

28

1 24 1 + 91C · 2 − … C C

25

22

C − 14C = + 91C − … 3 primeros términos

∴ Los tres primeros términos son:

Rpta.: B

C28 - 14C25 + 91C22  n tk +1 =   an−k ·bk k 

Se sabe que:

a=2

b=x

Luego:

9 9−6 6 × t 7 =   ⋅ (2 ) 6  

A= Luego:

t7 = (84)(2)3 · x6 6 t7 = 672 x coeficiente

∴ El coeficiente del 7° término es 672.

Donde: à

(x

)

n = 8 ← es par

tcentral = t  8+2 

n−1

1

n−1 1 4 ·(ab)2

t2 = n·a

n−1 1 1 4 ·a 2 ·b 2

n−1 1 + 4 2· n+1 4 ·

b

b

n+1 4 ·

6 b = k·a b

Por comparación de términos, tenemos que:

 n tk+1 =   an−k ·bk k 

n +1 =6 4

→ k=4

∴

Además: n = 8 a = x3 ; b = y7

Donde:

4

t2 = n·a

n·a

tcentral = t5 Hallamos el 5° término:

( ) ( )

 8  3 8−4 7 y t5 =   x  4 t5 = 70 x12 · y28

( a ) ·( ab )


   2 

Luego:

 n t2 =   1

t2 = n·a

   2 

Si: k + 1 = 5

n

ab

a ; B=

t2 = n·a

tcentral = t  n+2 

Se sabe que:

4

Rpta.: E

7 8

+y

)

Si k + 1 = 2 → k = 1

Donde:

Resolución 23 Sea:

a + ab

 n n−k k tk +1 =   ·A ·B k 

Se sabe que:

Además: n = 9

3

4

Hallamos el 2° término.

k + 1 = 7 ← término pedido k=6 ∧

(

Resolución 25 Sea:

En este caso: à

Rpta.: C

(2 + x)9

Resolución 22 Sea:

4

G.A. = 12 + 28

∴ Grado absoluto = 40 Rpta.: A - 124 -

n = 23

Rpta.: D


Nivel II

Resolución 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sea:

Resolución 1 *

La pareja se puede ubicar de: 2! maneras.

*

Los 4 amigos se pueden ubicar de: 4! maneras

CA JA MARCA CJ AAMARCA CAMAR JACA etc.

Luego: n° de maneras = 2! × 4! = 2 × 24 ∴ n° de maneras = 48 Rpta.: C Resolución 2 2H y 2M) (

El comité puede estar integrado por:

    Palabras  diferentes  

Total de elementos:

n=9

Elementos repetidos:

A → 4 veces C → 2 veces

Total de permutaciones:

o (3H y1M) o (4H)

9

P4,2 =

C52 × C26 + C53 × C16 + C54 =

4! ×5×6×7×8×9 9! = = 7560 4!× 2! 4! × 2

∴ Se obtienen 7560 ordenamientos.

5! 6! 5! = 2!(5 − 2)! × 2!(6 − 2)! + 3!(5 − 3)! × 6 + 5

Rpta.: A Resolución 7 la forma:

5× 4 6×5 5× 4 × + ×6 +5 2 2 2 = 150 + 60 + 5 = 215 =

Los números pares de 4 cifras serán de

abc2 o abc4 o abc6 Donde a; b y c se escogerán de entre los 5 dígitos:

∴ El comité se puede escoger de 215 maneras. Rpta.: D

{1; 3; 4; 5 y 6} para el número abc2 ;

Resolución 3

{1; 2; 3; 5 y 6} para el número abc4 y

•

à n° de maneras = •

{1; 2; 3; 4 y 5} para el número abc6 , Luego:

De un total de 8 hombres se escogen 2 8 C2

= 28

Total de números = V35 + V35 + V35

De un total de 7 mujeres se escogen 3 à n° de maneras = C73 = 35

•

5! 5! 5! = (5 − 3)! + (5 − 3)! + (5 − 3)!

n° de maneras de escoger

= 60 + 60 + 60

8 7 2H y 3M = C2 × C3 = 28 · 35 = 980 Rpta.: A

∴ Total de números = 180

Resolución 4 Designemos por “A” y “B” a la pareja de esposos divorciados y por “C” a los 6 amigos. A

B

C

C

C

C

C

Resolución 8 Total de arreglos de tres cifras a, b, c diferentes, siendo c una cifra par:

C 7[6! × 2!]

a b c ⇓⇓⇓ 0 0 0 1 1 2

Para determinar la solución vamos a restarle al total de ordenaciones las ordenaciones donde A y B estén juntos. 8! – 7[6! × 2!]

2 2 4 6 9 9 8

7!(8 – 2) = 6 × 7! ∴n° de maneras = 6(7!)

Rpta. C

8×9×5 = 360

Resolución 5 Las señales se pueden hacer izando una; dos; tres; cuatro o cinco banderas importando en cada caso el orden. Por lo tanto:

De éstos, hallamos el total de arreglos que han empezado con cero.

n° de señales = V15 + V25 + V35 + V45 + V55 n° de señales =

Rpta.: B

5! 5! 5! 5! 5! + + + + (5−1)! (5− 2)! (5− 3)! (5− 4)! (5−5)!

n° de señales = 5 + 4 · 5 + 3 · 4 · 5 + 120 + 120 ∴ n° de señales = 325 Rpta.: E - 125 -

0b ⇓ 1 2

c ⇓ 2 4 6 9 8 8×4 = 32

Luego, el total de números pares de tres cifras distintas es: 360 - 32 = 328 Resolución 9

Rpta.: B

Resolución 13 * Como los 2 primeros símbolos son vocales (a, e, i, o, u), tenemos que: n° de formas = V25 + V15

Los números enteros positivos de tres

= 20 + 5

cifras son de la forma: c du

n° de formas = 25

c du ⇓⇓⇓ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7×7×7 = 343

*

Como los 3 últimos símbolos son números de 3 cifras mayores o iguales que 100; tenemos que: Los números serán: 100; 101; 102; … ; 998; 999 La cantidad de números será: 999 - (100 - 1) = 900 Luego: n° de placas = 25 × 900 = 22 500

∴ Se pueden formar 343 números.

∴ Se pueden hacer 22 500 placas

Rpta.: D

Rpta.: C

Resolución 10 •

Números de 1 cifra: 6

Resolución 14

•

Números de 2 cifras: 6 × 6 = 36

•

Los hombres se pueden ubicar de: 4! formas

•

Números de 3 cifras: 6 × 6 × 6 = 216 Total de números = 6 + 36 + 216 = 258

•

Las mujeres se pueden ubicar de: 3! formas

•

Hombres y mujeres se pueden ubicar de:

∴ Se pueden formar 258 números

4! × 3! = 144 Rpta.: A

∴ Pueden pasear de 144 maneras

Resolución 11 Número de formas de extraer 3 libros de matemática de un total de 7, y 2 libros de física de un total de 4:

Rpta.: C Resolución 15 Se forma el grupo de la siguiente forma:

C73 × C24

= 210

2M y 4H (Siempre hay 2 mujeres)

Cada una de estas 210 maneras de coger los 5 libros se pueden ordenar en la repisa de 5! maneras diferentes. Por tanto:

7 4! 7! C24 × C 4 = 2!(4 − 2)! × 4!(7 − 4)! = 6 × 35

n° total de ordenaciones = 210 × 5!

∴ n° de maneras = 210

Rpta.: B

= 25 200 Rpta.: A Resolución 16

Resolución 12 •

•

El primer número se puede escoger de los números {2; 4 y 6}; obteniendo: C13 = 3 El segundo número se puede escoger de los números {2; 4 y 6}; obteniendo:

I) Como se incluye siempre un libro, se seleccionan 4 libros de un grupo de 11, obteniendo: n° de maneras = C11 = 330 4 II) Como se excluye siempre un libro, se seleccionan 5 libros de un grupo de 11, obteniendo: = 462 n° de maneras = C11 5

3

C1 = 3 •

El tercer número se puede escoger de los números {2; 4 y 6}; obteniendo: C13

=3

Resolución 17 •

De 5 físicos, se escogen 3 à n° de maneras = C53 = 10

Las combinaciones serán: C13 × C13 × C13

Rpta.: A

= 3 × 3 × 3 = 27

•

De 4 químicos, se escogen 2 à n° de maneras = C24 = 6

Luego: Existen 27 combinaciones posibles, como solo una es la correcta, entonces el mayor número de combinaciones erradas es 26. Rpta.: A

•

- 126 -

De 3 matemáticos, se escoge 1 à n° de maneras = C13 = 3


Resolución 20 Sea t k+1 el que le corresponde a 120x14y3. Como solo se desea calcular el lugar que ocupa, basta con encontrar el valor de (k + 1).

C53 × C24 × C13 = 10 × 6 × 3

Luego:

= 180 ∴ Se pueden formar 180 grupos Rpta.: D 1  Resolución 18 Sea:  x + 4  2  Hallamos el 3° término: Datos:

n

n−2

n! 1 ·   2!·(n − 2)!  2 

·xn−2 ·16

Rpta.: D Resolución 21 Sea tk+1 el término pedido. Como solo se desea calcular el lugar que ocupa, basta con encontrar el valor de (k + 1).

1

n− 2

2

⋅ xn− 2

Veamos:

Coeficiente del tercer ter mino

( )

Según el enunciado:

2 n–1= 3 2 n – 1 = 2n – 3

2(n − 1) n 2 =1 2 2

∴

14 −k

· (2y)

k

)

14

14 tk+1 = 2k ·   x28−2k ·yk k

Según el enunciado, el grado absoluto es 17: à (28 – 2k) + k = 17 28 – k = 17 k = 11 à k + 1 = 12

n

2(n − 1) n 2 2 ·2− = 1

2

14  tk+1 =   x2(14 −k) ·2k ·yk k

n

2 1 n – 1 = 2· 2 2

8 · n (n − 1) = 4n n−2 2

n = 5 Rpta.: A

∴ El término pedido ocupa el lugar: 12

Resolución 19 Sea tk+1 el que contiene al término independiente, es decir, al que contiene : “a0”. Como solo se desea calcular el lugar que ocupa, basta con encontrar el valor de (k + 1).

Resolución 22 Sea: A =

18

1  Veamos:  a2 + 2  a  

18−k  1 k 18 tk +1 =   a2 · 2  a  k

( )

➠

18  1 − tk +1 =   a2(18 k) · 2k k a  

18 a36−2k 18 tk +1 =   2k tk +1 =   a36−2k−2k ➠ k   a k Igualando el exponente final de “a” a cero:

A=

(n − 1)!·n·(n + 1) − (n − 1)!·n −n (n − 1)!

A=

(n − 1)! (n(n + 1) − n) −n (n − 1)!

A=

n(n + 1) − n − n

A=

n2 + n − n − n

A = n2 − n A=n–n → A=0 Rpta.: D

x! + (x + 1)! + (x + 2)! 1 = (x + 3)! − (x + 2)! 2000

k=9

à k + 1 = 9 + 1 = 10 ∴ El término independiente ocupa el lugar 10. Rpta.: A - 127 -

Rpta.: B

(n + 1)! − n! −n (n − 1)!

Resolución 23

36 – 2k – 2k = 0 36 = 4k →

(

P(x; y) = x + 2y

14  tk+1 =   x2 k

2

·yk

∴ Al término -120x14y3 le corresponde el lugar: 4 8

n (n − 1)

10−k

De la variable “y” vemos que los exponentes deben ser iguales, entonces tenemos que: k=3 à k+1=4

(n − 2)! ·(n − 1)·n 1 · n−2 ·xn−2 · 16 t3 = 2 · (n − 2)! 2 t3 = 8 ⋅

·yk

( )

k 10  −120x14 y3 = (−1)   x2 k

 n   1 n−2 2 t3 =    2 x  ·4  2  

➠

10−k

Igualando el valor de tk+1 con el dato, obtenemos:

k=2

1 x 2 b=4

t3 =

10

( )

a=

 n n−k k tk+1 =   a ·b k 

2

10  tk+1 = (−1)k   x2 k

à

k+1=3

(x − y)

Veamos:

x!+ x!(x +1) + x!(x +1)(x + 2) 1 = x!(x +1)(x +2)(x + 3)− x!(x +1)(x +2) 2000

x![1+ (x + 1) + (x + 1)(x + 2)] 1 = x!(x + 1)(x + 2)[(x + 3) − 1] 2000

•

x + 2 + (x + 1)(x + 2) 1 = (x + 1)(x + 2)[x + 2] 2000 (x + 2)(1+ (x + 1)) 2

(x + 1)(x + 2)

=

1 = C66

Pero:

De la propiedad: Ckn−1 + Ckn = Ckn+1 Obtenemos:

1 2000 ∴

x = 1999

Rpta.: C

*

Hallamos el primer término: à k+ 1 = 1 → Luego:

Hallamos el término de lugar 9: à k + 1 = 9 → k = 8

n  t10 = 3 ·   ·xn−9 ... (II) 9 

*

Luego:

1

( )

320 = a

Rpta.: D

Cxx +−23

=

De la propiedad: Ckn = Cnn−k

•

7 20

−1 20

3 = a–1 → a =

à

1 3

Hallamos el término de lugar 18.

Cxx +−15

Luego: 20−17

2  20  t18 =    3 1  x3 

17    3 

−1 •

x +3 = C5 x +5 = C6

Luego: C4x +3 + C5x +3 = C6x +5 − 1

17

1 ·  · y7  3 

17

 3  7 t18 = 1140 ·  x  ·  y  3 3 9

119

t18 = 1140· x3 · y 17 3 3

Obtenemos: +3)+1 C(x = C6x+5 − 1 5

9

119

x ·y t18 = 1140· 20 3

C5x +4 = C6x +5 − 1 x 4 C5+

 

3

De la propiedad: Ckn−1 + Ckn = Ckn+1

Obtenemos:

x +5 C(x +5)−(x−1)

( )

· ay

à k + 1 = 18 → k = 17

 x + 3   x + 3   x + 5  + =  −1  4   x − 2  x −1

•

20 −20

1 20 a 20 3 = a–20

Resolución 25

x +3 C(x +3)−(x−2)

)

320 =

*

•

(

320 a40 = a20

1 1 = n−8 3

+

 20 

t21 =   3a2 x3  20 

Como los coeficientes del primer y último término son iguales, tenemos que:

3

Cx4+3

20

Coeficiente del último término

n  n    = 3   8  9

n = 11

)

t21 = a20 · y140

1 3 = 8! · (n − 9)! ·(n − 8) 8! · 9 · (n − 9)!

∴

0

Hallamos el último término (término de lugar 21)

Según el enunciado los coeficientes de (I) y (II) son iguales, entonces tenemos que:

n–8=3

( )

· ay7

à k + 1 = 21 → k = 20

Coeficiente

n! n! = 3· 8!·(n − 8)! 9!·(n − 9)!

20− 0

Coeficiente del primer término

9

➠

)

t1 = 320 · a40 · x60

Hallamos el término de lugar 10: à k + 1 = 10 → k = 9

8 n  9 n  3 ·  = 3   9   8

(

 20  2 3 t1 =   3a x 0 2 3 t1 = 3a x

Coeficiente

n  Luego: t10 =   xn−9 ·39  9

k=0

(

n  n  Luego: t9 =   ·xn−8 ·38 à t9 = 38 ·   ·xn−8 ... (I) 8  8  *

Rpta.: B

à El último término será el término de lugar 21.

Resolución 24 Sea: (x + 3)n *

x=2

P(x; y) = (3a2x3 + ay7)20 tiene (20 + 1) términos.

x + 1 = 2000

1 = 2 2000 (x + 1)(x + 2)

∴

x+4=6

Resolución 26

1 1 = x + 1 2000

(x + 2) (x + 2)

C5x +4 + C66 = C6x +5

Luego:

x 5 + 1 = C6+

t18 =

- 128 -

380 9 119 ·x y 19 3

t18 = 380 ·3−19 x9 y119 Coeficiente

∴ El coeficiente de término 18 es: 380 · 3-19 Rpta.: A

matemax 4

Recommend Documents