UNIDAD I: ECUACIONES E INECUACIONES SESIÓN 01: Inecuaciones lineales y cuadráticas 1. Resuelva las siguientes inecuaciones lineales:
a) x + 3( x + 4)
4
< 2( x + 1)
x + 3 x + 1 2 < 8 x + 8
4 x + 1 2 < 8 x + 8 4 < 4 x 1 < x C .S = ]1; + ∞ [ b)
5 − [2 x + ( x + 2)] < 4 5 − ( 3 x + 2 ) < 4
↔
− 3 x < 1
5 − 3 x − 2 < 4
↔ x > −
1 3
1
; +∞ C . S = − 3
c)
x
2
+
x
3
+
1 6
<
x
6
+
+∞
-1/3
5 6.
Multiplicando por el mínimo común múltiplo =6, a ambos lados de la inecuación 3 x + 2 x + 1 < x + 5 5 x + 1 < x + 5 4 x < 4 x < 1 C . S =
d)
2(
x
− ∞ ;1
− 1) ≤
a
+
b
+
x
ab b a ab 2 2 2 x a +b x −2≤ + ab ab ab
x ≤ ( a + b )
, a > 0 ;b > 0
↔
2 x − 2 ab ≤ a 2 + b 2 + x
2
2 C .S = −∞ ; ( a + b )
–∞
1
MATEMÁTICA BÁSICA – INGENIERÍA: 2012-2
(a+b)2
+∞
e)
( 2 x − 3) 2 + 4 x 2 ( x − 7 ) < 4 ( x − 2 ) 3
4 x 2 − 1 2 x + 9 + 4 x 3 − 2 8 x 2 < 4[ x 3 − 3( x 2 ) ( 2 ) + 3( x )( )( 2 ) 2 − ( 2 ) 3 ] 4 x 2 − 1 2 x + 9 + 4 x 3 − 2 8 x 2 < 4 ( x 3 − 6 x 2 + 1 2 x − 8 ) 3
2
3
2
− 1 2 x + 9 + 4 x − 2 4 x < 4 x − 2 4 x + 4 8 x − 3 2
4 1 < 6 0 x 41 < x 60
41
−∞
+∞
41/60
; +∞ C .S = 60 f)
3( x − 5) − 4(4 − 3 x) ≥ 2(7 − x) − 3( x − 5)
3 x − 15 − 16 + 12 x ≥ 14 − 2 x − 3 x + 15 20 x ≥ 60
+∞
3
x ≥ 3 C .S = [3; + ∞ [
g)
3 x 4
+
1 2
<
2 x 3
−
1 4
3 x + 2 8 x − 3 < 4 12 9 x + 6 < 8 x − 3 x < − 9 C .S = ]− ∞ ; − 9 [
h)
-9
–∞
( 4 x + 2)( 4 x + 9) ≤ (4 x + 6) 2
16 x 2 + 44 x + 18 ≤ 16 x 2 + 48 x + 36 − 4 x ≤ 18
x ≥ −
9 2
9 ; + ∞ 2
C .S = − i)
-∞
3 x − 1 x − 3 + ≤0 3 3
3 x − 1 + x − 3 ≤ 0 4 x ≤ 4 x ≤ 1 C .S = ]− ∞;1]
2
+∞
j)
2 x − 6 <
3 x + 8 5
5( 2 x − 6) < 3 x + 8 10 x − 30 < 3 x + 8 7 x < 38 x <
38 7
38 C .S = ] − ∞; [ 7 k)
+∞
38/7
–∞
6 + 3( x + 1) > 7 + 4( x − 1)
6 + 3 x + 3 > 7 + 4 x − 4 9 + 3 x > 3 + 4 x − x > − 6 x < 6 C .S = ]−∞ ; 6 [
l)
1 1 1 2( x + ) + 3( x + ) > 4( x + ) 2 3 4
2 x + 1 + 3 x + 1 > 4 x + 1 5 x + 2 > 4 x + 1
+∞
x > 1 − 2 x > − 1 C .S = ] −1; + ∞ [ m)
−
1 1 1 ≤ 3 x − ≤ 5 4 3
1 1 1 1 + ≤ 3 x ≤ + 5 4 3 4 1 7 ≤ 3 x ≤ 20 12 1 7 ≤ x ≤ 60 36 1 7 ; C .S = 6 0 3 6 −
n)
7 x(2 x + 5) − 5 x(2 x + 3) < (2 x + 4) 2 14 x 2 + 35 x − 10 x 2 − 15 x < 4 x 2 + 16 x + 16 20 x − 16 x < 16 x < 4 C .S = ]− ∞; 4[
4
–∞
3
+∞
2. Resuelva las siguientes si guientes inecuaciones cuadráticas:
a)
2 x − 18 x + 81 > 0
∆ = 182 − 4(1)(81) ∆=0 2
x − 1 8 x + 8 1 > 0 x
−9
x
−9
+ 9
–∞
2
( x − 9 ) > 0 x − 9 = 0 x = 9 C .S = ]− ∞ ; 9[ ∪ ]9; + ∞ [
b)
2 x − 6 x + 8 > 0
∆ = ( −6) 2 − 4(1)(8) ∆=4 2
x − 6 x + 8 > 0 x
−4
x
−2
( x − 4 ) ( x − 2 ) > 0 x − 4 = 0 o x = 4
x−2=0
x=2
o
C .S = ]− ∞ ; 2[ ∪ ]4; + ∞ [ c)
2 x + x − 72 < 0
∆ = 12 − 4(1)(−72) ∆ = 289 2
x + x − 72 < 0 x
−8
x
+9
( x − 8 ) ( x + 9 ) < 0 x − 8 = 0
o
x = 8
x = −9
o
x+9=0
C .S = ]− 9; 8 [ d)
2 x + 13 > 6 x
x 2 − 6 x + 1 3 > 0
4
+∞
2 ∆ = ( − 6 ) − 4 (1) (1 3 )
∆ = − 16
C .S = ℝ
Puesto que es un trinomio positivo y la desigualdad es > 0, la solución es el conjunto de los números reales. e)
x 2 + x + 3 < 0 2
∆ = 1 − 4 (1) (3 ) ∆ = − 11
C .S = ∅
No es necesario dibujar la recta numérica real, pues la inecuación tiene al conjunto vacío como solución. f)
2
x + 9 < 6 x x 2 − 6 x + 9 < 0 2 ∆ = ( − 6 ) − 4 (1) (9 )
∆=0 2
x − 6 x + 9 < 0 x
−3
x
−3
( x − 3) ( x − 3) < 0 ( x − 3) 2 < 0 x − 3 = 0 x = 3 C .S = ∅
g)
2 x 2 − 8 x + 3,5 ≤ 0 ∆ = (−8)2 − 4(2)(3.5) ∆ = 36
2 x 2 − 8 x + 7 / 2 ≤ 0 2 x x
7
−
−1 / 2
( 2 x − 7 )( x − 1 / 2) 2 x − 7 = 0 o x − 1 / 2 = 0 x = 7 / 2
o
x = 1/ 2
C .S = [1 / 2; 7 / 2 ]
h)
2 x + 2 x + 1 ≥ 0
5
∆ = (2)2 − 4(1)(1) ∆=0 x 2 + 2 x + 1 ≥ 0 x
−1
x
−1
+ –∞
+ +∞
1
( x − 1)( x − 1) ≥ 0 ( x − 1) 2 ≥ 0 x = 1 C.S = ℝ i)
1 − 2 x − 3 x 2 ≥ 0
∆ = (−2)2 − 4(−3)(1) ∆ = 16 − 3 x 2 − 2 x + 1 ≥ 0
3 x 2 + 2 x − 1 ≤ 0 3 x
−1
x
+1
(3 x − 1)( x + 1) ≤ 0 3 x − 1 = 0 o x + 1 = 0 x = 1 / 3
o
x = −1
C .S = [ − 1;1 / 3 ] j)
−4 x 2 + 4 x − 1 ≥ 0 ∆ = 42 − 4(−4)(−1) ∆ =0 Multiplicando por -1, ambos lados de la inecuación
4 x 2 − 4 x + 1 ≤ 0 2 x
−1
2 x
−1
+
( 2 x − 1) 2 ≤ 0
+
2 x − 1 = 0 x = 1 / 2
–∞
1/2
C .S = {1 / 2}
k)
3 x 2 − 8 x + 11 ≥ 4( x − 1)
6
+∞
3 x 2 − 8 x + 1 1 ≥ 4 ( x − 1) 3 x 2 − 8 x + 1 1 ≥ 4 x − 4 x 2 − 4 x + 5 ≥ 0 2
∆ = ( −4 ) − 4 (1)(5) ∆ = −4 C .S = ℝ l)
2 x + 2 x + 4 ≤ 0 2
∆ = ( 2 ) − 4 (1) ( 4 ) ∆ = − 12
C .S = ∅ m)
(1 − 3 x)( x + 2) ≤ (3 − 2 x)( x + 3)
(1 − 3 x)( )( x + 2) ≤ (3 − 2 x)( ) ( x + 3) x + 2 − 3x 2 − 6 x ≤ 3x + 9 − 2 x 2 − 6 x − x 2 − 2 x − 7 ≤ 0 x 2 + 2 x + 7 ≥ 0 2 ∆ = ( 2 ) − 4 (1) ( 7 )
∆ = − 24
C .S = ℝ n)
x( x − 3)
2
+
(3 x − 2) 2 > −1 8
x( x − 2)
4
2 ( x 2 − 3 x ) + x 2 − 2 x 9 x 2 − 1 2 x + 4 − 8 > 4 8 4 x 2 − 1 2 x + 2 x 2 − 4 x > 9 x 2 − 1 2 x − 4 2 − 3 x − 4 x + 4 > 0
3 x 2 + 4 x − 4 < 0 −2 3 x x
2
(3 x − 2 )( x + 2 ) < 0 3 x − 2 = 0
o
x = 2 / 3
o
∆ = (4)2 − 4(3)(−4)
x + 2 = 0 ∆ = 64 x = −2
C .S = ]− 2; 2 / 3[
UNIDAD I: ECUACIONES E INECUACIONES SESIÓN 02: Problemas Problemas sobre inecuaciones inecuaciones lineales y cuadráticas 1. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $ 19.95. El costo de fabricación de cada cartucho es de $ 12.92. Los costos fijos mensuales son de $ 8000. Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, ¿cuántos cartuchos como como mínimo debe debe fabricar y vender el fabricante fabricante para obtener utilidades? utilidades? Solución: Sea x : el número de cartucho para juegos producidos y vendidos en el primer mes. Precio de cada cartucho=$19.95 ⇒ I = 19.95 x
7
Costo de cada cartucho=$12.92 ⇒ Cv = 12.92 x Costo fijo=$8 000 ⇒ C F = 8000 Así el costo total = C = 12.92 x + 8 000 Para obtener utilidades, U > 0 ⇒ 19.95 x − (12.92 x + 8 000) > 0
+∞
⇒ 19.95 x − 12.92 x > 8 000 ⇒ 7.03 x > 8 000 ⇒ x >1137.980085 Respuesta: Se tendrá que fabricar y vender en el primer mes 1138 cartuchos como mínimo; para obtener utilidades. 2. La editorial AMAUTA AMAUTA S.A.C determina S.A.C determina que el costo por publicar cada ejemplar de la revista G de Gestión es de S/. 16. El ingreso recibido de los distribuidores es S/. 15 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de los 4 000. ¿Cuál es el número mínimo de ejemplares que deben venderse de modo que la editorial obtenga utilidades? Solución: Sea x : el número de ejemplares de la revista “G” vendidos. Costo de cada ejemplar=S/. 16 ⇒ Cv = 16 x ⇒ C = 16 x Ingreso de cada ejemplar de los distribuidores=S/. 15 ⇒ I1 = 15x
000)] Ingreso por publicidad= I 2 = 10%[15( x − 4 00
⇒ I = I1 + I 2 Para obtener utilidades, U > 0 ⇒ 15 x + 10%[15( x − 4 000)]− 16x > 0
⇒ 15 x + 1.5( x − 4 000) − 16x > 0 ⇒ 0.5 x > 600 ⇒ x > 1 200
–∞
1200
Respuesta: Se tendrá que vender 12 001 revista “G” como mínimo; para obtener utilidades. 3. Un arquitecto desea utilizar una plancha rectangular de tripley como base para una maqueta de un edificio. El largo de la maqueta es 2 mayor que el de su ancho y la plancha se extiende e xtiende 2 más que la maqueta en todos sus lados. Si S i el área ଶ del tripley sobresaliente debe ser de a lo más de 64 , entonces ¿determine en qué intervalos deben variar los valores de las dimensiones de la maqueta? Solución: Sea x : La medida del ancho de la maqueta. ( ) medida del largo de la maqueta. TRIPLEY + 2 : La x
2 +4
2
MAQUETA
2
+2
2 +6
Tenemos por dato que el área del tripley sobresaliente debe ser de a lo más de 64 ଶ , ATS ≤ 64. Pero ATS = ( x + 6 ) ( x + 4 ) − ( x+2 x )
)64 x + 2 x ≤ ⇒ ( x + 6 ) ( x + 4 ) − (
⇒ 10 x + 24 − 2x − 64 ≤ 64 ⇒ 8 x − 40 ≤ 0 ( 0 ⇒ 8 x − 5 ≤) V .C : x = 5
–∞
5
⇒ C.S = ( −∞; 5
8
+∞
Respuesta: Teniendo en cuenta que x > 0 , entonces la solución solución al problema será: 0 < x ≤ 5
para los valores del ancho y 2 < ( x + 2 ) largo. ≤ 7 para los valores del largo.
4. Se desea determinar la diferencia entre los costos de comprar y rentar un automóvil. Si se puede rentar un automóvil por $ 400 mensuales (con una base anual), bajo este plan, el costo por kilómetro (gasolina y aceite) es de $ 0.10. Si comprase el vehículo, el gasto fijo anual sería de $ 3 000 más $ 0.18 por kilómetro. ¿Cuál es el máximo número entero de kilómetros que deberá recorrer al año para que la compra sea más barata que la renta? Solución: Sea x : el número de kilómetros que se recorrerá recorrerá el vehículo al año. Renta anual del vehículo= 4 00 00(12) + 0.10 x = R Compra del vehículo= 3 000 + 0 .18 x = C La compra es más barata que la renta, C < R ⇒ 3 000 + 0.18 x < 400(12) + 0.1x
⇒ 0.18 x − 0.1x < 4 800 − 3 000 ⇒ x < 22500; 22 500; pero x > 0 ⇒ 0 < x < 22 500 Respuesta: Se tendrá que recorrer al año 22499 kilómetros como máximo; para que la compra sea más barata que la renta. 5. Un ingeniero civil quiere hacer un borde de ancho uniforme con gras sintético alrededor de una cabaña rectangular. La ଶ cabaña tiene una longitud de 10 y un ancho de 6 . Si se cuenta con gras para cubrir a lo más 36 . ¿Cuál será el máximo valor que puede tomar el ancho del borde? Solución: Sea x : el ancho uniforme para el borde con gras sintético. BORDE
Por dato se tiene que el área de gras sintético debe ser a lo más de 36
ଶ
, AGS ≤ 36.
P e r o A G S = (1 0 + 2 x) x ) ( 6 + 2 x) x) − 6 0
⇒ (1 0 + 2 x ) ( 6 + 2 x ) − 6 0 ≤ 3 6 ⇒ 60 + 32x + 4 x2 − 60 ≤ 36 ⇒ 4x2 + 32x − 3 6 ≤ 0 ⇒ (x + 9 )(x − 1) ≤ 0 V .C : x = − 9 ,1 ,1
⇒ C .S = [ − 9 ; 1 ]
Teniendo en cuenta que x > 0 , entonces los valores valores del ancho del gras sintético sintético varían en el < 0;1] Respuesta: Por lo tanto el máximo valor que puede tomar el ancho del borde será de 1
.
6. Si se usan 100 metros de cerca para cercar un patio rectangular, determine los valores del largo y del ancho del terreno de tal manera que el área sea más de 600m 2. Solución: Sea x: el ancho del patio rectangular rect angular y: el largo del patio rectangular.
9
Por dato, se tiene 100 m para cercar el patio rectangular, ⇒ 2 x + 2 y = 100 ⇒ x + y = 50 ⇒ y = 50 − x Por condición, se tiene que el Arectángulo > 600 ⇒ xy > 600 ⇒ x ( 50 − x ) > 600
⇒ x2 − 50x + 600 < 0 ⇒ ( x − 30 ) ( x − 20 ) < 0 ⇒ x = 30 o
x = 20
x ∈ ]20;30[ y ∈ ]20;30[
Respuesta: Los valores del largo y del ancho del patio rectangular varían entre 20 y 30 metros. 7. Un distribuidor de licores compra whisky a $ 2 la botella y la vende a $ p. El volumen de ventas “x” (en cientos de miles de botellas a la semana) está dado por x = 24 − 2 p , cuando el precio es “p”. (Obteniendo ingresos, costos y utilidades en cientos de miles de dólares) a) ¿Qué intervalo de valores valores para " p " genera ingresos superiores a $ 700 000 a la semana? Solución: Nos piden hallar I > 700000 ⇒ px > 7000000 ⇒ p ( 24 − 2 p ) > 7 000 000 ; pero 7 00 000 = 70 cientos cientos de miles miles de dólares dólares
⇒ 24 p − 2 p 2 > 7 0 ⇒ p 2 − 12 p + 35 < 0
⇒ ( p − 5) ( p − 7 ) < 0 ⇒ p = 5 o p = 7 C.S = 5;7
Respuesta: El precio deberá variar entre $5 y $7; para que los ingresos sean superiores a 70 cientos de miles de dólares a la semana. b) ¿Qué intervalo de valores valores para " p " genera al distribuidor una utilidad superior a $ 1 800 000 a la semana? Solución: Nos piden hallar U >1 800 000 000 ⇒ I − C >1 800 000
⇒ px − 2 x > 180 0 000 000 = 18 cientos cientos de miles miles de dólare dólaress ⇒ x( p − 2 ) > 18 00 00 0 ; pero 1800 00 ⇒ ( 24 − 2 p )( p − 2) > 18
⇒ 24 p − 2 p 2 − 48 + 4 p > 18 ⇒ p 2 − 14 p + 33 < 0
⇒ ( p − 11) ( p − 3) < 0 ⇒ p = 11 o
+ –∞
– 3
+ 11
+∞
p =3
C.S = 3;11
Respuesta: El precio deberá variar entre $3 y $11; para que la utilidad sea superior a 18 cientos de miles de dólares a la semana. 8. Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y tiene 200 metros de cerca disponibles. Determine los intervalos de variación para el largo y ancho del terreno, si el área delimitada debe ser de al menos 2 100 m 2 Solución:
10
Sea x: el ancho del patio rectangular rect angular y : el largo del patio rectangular. Por dato, se tiene 200 m para cercar el terreno rectangular, ⇒ 2 x + 2 y = 200 100 ⇒ x + y = 100 100 − x ⇒ y = 100 Por condición, Aterreno ≥ 2100 ⇒ xy xy ≥ 2100 ⇒ x (100 − x ) ≥ 2100 ⇒ x2 −100x + 2100 ≤ 0 ⇒ ( x − 30 ) ( x − 70 ) ≤ 0
+
–
⇒ x = 30 o x = 70
30
–∞
x ∈ [30;70]
+ +∞
70
y ∈ [30;70]
Respuesta: Las dimensiones del terreno varían desde 30m hasta 70m inclusive; tanto para el largo y ancho. 9. Un jugador de fútbol patea un tiro libre de modo que la trayectoria de la pelota, mientras que se encuentra en el aire, se representa mediante mediante la ecuación ecuación y = −0.05 ଶ + 0.7 ; donde “y” es la altura que alcanza (en metros) la pelota cuando ésta se encuentra encuentra a “ ” metros de distancia distancia horizontal desde desde el punto en en que fue lanzada. Determinar el intervalo intervalo de valores para , de manera que altura sea de al menos menos de 2 . SOLUCIÓN: Sea x : la distancia horizontal. Nos pide hallar " x " de manera que altura sea de al menos de 2m, y ≥ 2 . 2
Pero y = −0.05x + 0.7x
⇒ −0.05x2 + 0.7x ≥ 2
+
⇒ 0.05x2 − 0.7x + 2 ≤ 0 ⇒ x2 − 14x + 40 ≤ 0 ⇒ (x − 10)(x − 4) ≤ 0
–∞
– 4
+ 10
+∞
V.C:x = 4;10 4;10 4;10] ⇒ C.S = [4;1
int ervalo de valores de la distancia horizontal para que la pelota alcance una altura de al Respuesta: Por lo tanto el intervalo menos de 2 , debe variar desde 4 hasta 10 . internet, a $ 350 la unidad, a este precio las personas compran 40 monopatines monopatines al mes. 10. OLX vende monopatines, vía internet, El administrador de la web propone aumentar el precio y estima que por cada incremento de $ 1 se venderá 2 monopatines menos al mes. Si cada unidad tiene un costo de $ 300 entonces: a) Exprese la utilidad que dependa del precio de venta. b) ¿Determine el intervalo intervalo de variación de los valores del precio de de venta de modo que que se obtenga utilidad? Solución: Sea x: número de incrementos de $1 sobre el precio actual. Por inducción, observe el cuadro adjunto. precio
Actual Actual Mas $1 de incremento Mas $2 de incremento
$350
⋮
⋮
Nuevo Nuevo
a)
350 + 1 350 + 2
Nùmero de monopatine s
40 40 − 2 40 − 4 ⋮
$(3 50 + 1 x )
Ingreso=(Precio de venta ).(Número de monopatines vendidos) I = (350+x) (40-2x) Costo = (Precio de costo)x(Número de monopatines producidos)
11
(40 − 2 x )
C = 300(40-2x) Precio de venta unitario = p=350+x
x=p-350
(1)
Utilidad = Ingreso to tal − Costo tota l U = I − C U = (350 + x )( 40 − 2 x ) − 300 ( 40 − 2 x ) U = (50 + x )( 40 − 2 x ) U = 2(50 + x )( 20 − x )
Usando (1) y sustituyendo en la ecuación utilidad: U = 2[50 + p − 350 ] [20 − ( p − 350 ) ]
U = 2 ( p − 350 )(370 − p )
La utilidad depende del precio de venta unitario
b)
¿Determine el intervalo de variación de los valores del precio de venta de modo que se obtenga utilidad?
Solución: Nos piden que U > 0 ⇒ 2( p − 300)(370 − p) > 0 ⇒ 2( p − 300)( p − 370) < 0 ⇒ p = 300 o p = 370 C.S = ]300; 370[
Pero tener tener en cuenta cuenta que x=p-350 >0 por ser el el número de incrementos incrementos entonces p>350
Por lo tanto C .S = ] 350 ; 370 [
Respuesta: El nuevo precio fijado fijado deberá variar entre $350 y $370, para obtener utilidad. John, gerente de una empresa de agro exportación, proyecta enviar al mercado europeo cierta cantidad de un 11. John, producto nuevo desde Perú. Él proyecta que por la venta de“x” cajas de ese producto, el precio por cada una es Además el costo total es C = 360000 + 1000 x + 2 x 2 nuevos soles ¿Cuántas cajas deberán p = 5000 − 2 x nuevos soles. Además venderse para obtener utilidades de al menos S/. 640 000? Solución: Sea x: cajas vendidas al mercado extranjero. Nos piden hallar U ≥ 640000 ⇒ I − C ≥ 640000 ⇒ px − C ≥ 640000
⇒ (5000 − 2 x) x − (360000 +1000 x + 2 x2) ≥ 640000 ⇒ 5000 x − 2x2 − 360000 −1000x − 2x2 ≥ 640000 ⇒ 4 x2 − 4000x + 1000000 ≤ 0 ⇒ x2 −1000x + 250000 ≤ 0 2 + ⇒ ( x − 500 ) ≤ 0 ⇒ C.S = {500}
+
–∞
500
x = 500
12
+∞
Respuesta: Se tendrán que vender 500 cajas al mercado europeo; para obtener una utilidad de al menos de S/. 640 000. tiene un promedio de 500 clientes por película cuando la 12.María, 12. María, gerente de una cadena de cines virtuales analiza que tiene entrada es S/.7. Ella desea tener más ingresos en la película de estreno y analiza lo siguiente: por cada incremento de S/.0.50 en la tarifa, se pierde 25 clientes. a) Exprese el ingreso que dependa del precio de entrada. b) Determine precio deberá fijar de modo que el ingreso ingreso sea mayor que que aquel que contempla una tarifa de S/. 7 Solución a) Exprese el ingreso que dependa dependa del nuevo precio de entrada. Sea x: número de incrementos de S/. 0.50 sobre el precio actual. Por inducción, observe el cuadro adjunto
Precio de entrada
Actual Actual Mas $1 de incremento Mas $2 de incremento ⋮
Nuevo Nuevo El nuevo precio está dado por p=7+0.5x p=7+0.5x
Número de clientes
S / .7
500
7 + 0.5 7 + 0.5 × 2
500 − 25 500 − 25 × 2
⋮
⋮
S / .(7 + 0.5 x ) x=2p -14
(500 − 25 x ) (1)
Se determinará el ingreso que dependa del nuevo precio, es decir Ingreso= ( precio de entrada) entrada) (Número de clientes) I = ( 7 + 0.5 x )(500 − 25 x )
Usando (1) y sustituyendo en la ecuación ingreso: I = p [500 − 25 ( 2 p − 14 )) ]
I = p (500 − 50 p + 350 ) I = p (850 − 50 p ) I = 50 p (17 − 50 p )
b) Determine el intervalo de variación de los los valores para el precio a fijarse de modo modo que el ingreso ingreso sea mayor que aquel que contempla una tarifa de S/. 7.
Solución: Ingresos actuales I A = (7)(500) Nos piden que I > I A ⇒ 50 p (17 − p ) > 7 ( 500) ⇒ 17 p − p 2 > 70 ⇒ p 2 − 17 p + 70 < 0
⇒ ( p − 7 ) ( p −10) < 0 C .S =
7 ; 10
Respuesta: El nuevo precio deberá deberá ser fijado entre S/.7 y S/.10; para que el el ingreso sea mayor que el de la tarifa de de S/.7 13.Se 13. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ésta sube un cierto punto y luego empieza a caer. La relación que existe existe entre le tiempo tiempo “ ” (dado en segundo segundos) s) que la piedra piedra lleva en en el aire cuando cuando se encuen encuentra tra a una altura altura “ ” (dado en metros) está dada por la ecuación = −5 ଶ + 20 + 10. Determinar el intervalo de valores en que varían los valores del tiempo, tiempo, “ ”, de manera manera que altura altura sea de al menos de 25 . Solución: Sea t : el tiempo en que la piedra está en el aire. Nos pide hallar " t " de manera que altura sea de al menos de 25m , y ≥ 25 .
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Pero y = −5t2 + 20t + 10
⇒ −5t2 + 20t + 10 ≥ 25 ⇒ 5t2 − 20t + 15 ≤ 0 ⇒ t2 − 4 t + 3 ≤ 0 ⇒ (t − 1)(t − 3) ≤ 0 V.C:t = 1;3
+
+
– 1
–∞
3
+∞
⇒ C.S = [1; 3]
int ervalo donde los varían los valores para el tiempo de manera que la pelota alcance una Respuesta: Por lo tanto el intervalo altura de al menos 25 , será desde 1 hasta 3 .
Ξ
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