Solución Taller Teoría de Colas (2)

POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Énfasis I: Física de Planas D!cene: E"ic #$li%n R!d"í&$e' Ma"íne' Talle" ( Te!"ía de C!las Ejercicio 1: Un )"!*edi! de +, -e.íc$l!s )!" .!"a lle&an a $na s!la casea de )ea/e0 Se s$)!ne

1$e el ie*)! )"!*edi! de se"-ici! )!" cada cliene es de 2 *in$!s3 4 an! l!s ie*)!s de lle&adas 4 ie*)!s de se"-ici! se"-ici! s!n e5)!nenciales0 e5)!nenciales0 Res)!nde" las si&$ienes )"e&$nas:

/ /ͳlac!n = ͳʹ ℎ /ℎ El sise*a asa de de a""i6!s ͳͷ ℎ 7C$%l /ℎse .)$ede > ͳʹ
4 asa de se"-ici!  =

ͳʹ �=

= Ͳ,ͺ

ͳͷ

� = Ͳ,ͺ ͳ − Ͳ,ͺ = Ͳ,ʹ ≈ ʹͲ% 60 7C$%l es el el n9*e"! n9*e"! )"!*edi! )"!*edi! de -e.íc$l! -e.íc$l!ss es)e"an es)e"and! d! en la c!la c!la del )ea/e8 )ea/e8 ͳʹ  ଶ

�= = ͵,ʹ ͳͷ −$l! ͳʹ ሻ &asa c0 7C$%l es es el ie*)! ie*)! )"!*ed )"!*edi! 1$e $nͳͷ-e.íc - ሺe.íc$l! &asa en en la c!la c!la del )ea/e8 )ea/e8 ͳʹ � = = Ͳ,ʹ ℎ = ͳ ͳͷ ሺ ͳͷ − ͳʹ  ሻ d. 7C$%l es el n9*e"! de -e.íc$l!s 1$e se"%n aendid!s )!" el ca/e"! en $na .!"a8 Ͳ� = /ℎ= . ͳͷ ℎ Ͷ Ejercicio 2: S$)!n&a*!s 1$e !d!s l!s )"!)iea"i!s de a$!*-iles c$and! s$s an1$es es%n e5aca*ene *edi! llen! -an a $na esacin de &as0 En la ac$alidad3 $n )"!*edi! de ;3< clienes )!" .!"a lle&an a la esacin de &as de $na 6!*6a0 Un !)e"a"i! se a"da en )"!*edi! de 2 *in$!s )a"a da" se"-ici! a $n c!c.e0 As$*i" 1$e l!s ie*)!s en"e lle&adas 4 ie*)!s de se"-ici! s!n an! e5)!nencial0 El /sise*a se )$ede $n / /ͳ c!n asa de a""i6!s = ,ͷ > ,*!dela" ͷ < ͳͷ 3c!*! ene*!s: ℎ . C!*! a0 Pa"a Pa"a la si$a si$aci cin n ac$al ac$al33 calc$ calc$la" la" L3 L13 Ls3 4 =3 = 13 =s0

�=

,

�

=

2

,

ሺ ହሻ

=ͳ ଵହሺଵହ

− ଵ,

,

�

= = Ͳ,ͷ

− ,ହሻ

= = Ͳ,ͳ͵͵ ℎ

4 asa de se"-ici!

= Ͳ,ͷ

−,

� =

/ℎ

=ͺ

�

− ,,ହሻ

ଵହሺଵହ

= Ͳ,Ͳ ℎ

=Ͷ

� =ͺ

= ͳͷ

60 S$)!n&a 1$e $na escase' de &as !c$""e 4 las c!*)"as a ca$sa del )%nic! a$*enan0 Pa"a *!dela" ese fen*en!3 s$)!n&a 1$e a.!"a lle&an +< a$!*-iles )!" .!"a0 >a 1$e cada )"!)iea"i! a.!"a )!ne *en!s &as en el an1$e d$"ane cada -isia a la esacin3 ଵ as$*i*!s 1$e .an "ed$cid! el ie*)! de se"-ici! )"!*edi! a ͵ *in$!s0 7C*! las ଷ

c!*)"as a$*enan a ca$sa del )%nic! c!*! se afeca L 4 = 8 El $n / >/ͳ c!n a""i6!s de)$ede se"-ici! *!dela"  = ͳͺ c!*! /ℎ . C!*! ͳͷasa < ͳͺde3 ene*!s: 4 asa se /ℎ sise*a ଵ

�=

ଵହ ଵ −ଵହ

= ͳͷ

ଵ −ଵହ

=ͷ

� =

= Ͳ,͵͵ ℎ

= ʹͲ

Ejercicio 3: C!nside"e $n 6anc! c!n d!s ca/e"!s0 Un )"!*edi! de ?@ clienes )!" .!"a lle&an al

6anc! 4 es)e"an en $na s!la fila a $n ca/e"! !ci!s!0 El ie*)! )"!*edi! 1$e !*a aende" a $n cliene es +0, *in$!s0 As$*a 1$e l!s ie*)!s en"e lle&adas 4 ie*)!s de se"-ici! s!n e5)!nenciales0 Dee"*ina":

/ʹ c!n El se )$ede asa de a""i6!s  = ͷͲ *!dela" /ℎ . C!*!c!*! > $nͺͲ < /ͳͲͲ 4 asa de se"-ici! /ℎ sise*a 3 ene*!s: a0 El n9*e"! )"!*edi! de clienes )"esenes en el 6anc!0 ଼ = Ͳ,ͺ = = ͳ, ଶ∗ହ଼ �= ହ

−ଵ

ͳ, ͳ, � = [(ቆ +ቆ )+ቆ Ͳ! ͳ! �

ͳ,

ଶ

ቇ]

= Ͳ,ͳͳͳ ≈ ͳͳ,ͳ%

ʹ! ሺ ͳ − Ͳ,ͺ ሻ ሺ ͳ, ሻ ሺ Ͳ,ͺ  ሻ

�

= +

ሺ Ͳ,ͳͳͳ ሻ = , ሺ� ሻ = ͳ, + ! ͳ−� ଶ ʹ! ሺ ͳ − Ͳ,ͺ ሻଶ 60 La d$"acin )"!*edi! de ie*)! 1$e $n cliene &asa en el 6anc!0 ʹ,ͺͶ � = Ͳ,Ͳ͵ͷ ℎ = , ͺͲ =

�� = ͳ � = �� + = ʹ,ͳ͵ + ͳ,ʹ = ,

= ͺͲ

c0 La f"accin de ie*)! 1$e $n ca/e"! en )a"ic$la" es% inaci-!0

ͺͲ �

ʹ ∗ ͷͲ = ͳʹ = Ͷͺ = Ͳ,ͺ

�

� = Ejercicio 4: La c!*)aía A))le desea insala" $n "e-!l$ci!na"i! )"!ces! de fa6"icacin )a"a )"!d$ci" s$ n$e-! A))leT0 Ac$al*ene3 se $ili'a $na esacin de )"!d$ccin c!n , *%1$inas )a"a fa6"ica" l!s dis)!sii-!s0 Cada *%1$ina a"da en )"!*edi! +, *in$!s en )"!cesa" $na $nidad 4 se )$ede as$*i" 1$e dic.! ie*)! se dis"i6$4e c!*! $na -a"ia6le alea!"ia e5)!nencial0 Final*ene3 se sa6e 1$e a)"!5i*ada*ene lle&an  )ie'as )!" .!"a )a"a se"  )"!cesadas0 As$*a 1$e la dis"i6$cin de l!s ie*)!s en"e a""i6!s es e5)!nencial0 Calc$la" L 4 =0 El *!dela" c!*! $n / /ʹ c!nͷasa de a""i6!s = ! � /ℎ = 3 ene*!s: /ℎ sise*a . C!*! se> )$ede  < ͳͲ = Ͳ,! ଽ � =ଶ∗ହ

4 asa de

se"-ici!

ଽ

= = ͳ,ͺ ହ

−ଵ

ͳ,ͺ ଵ

ͳ,ͺ � = [(

= +

�

=

+

Ͳ! � �

! ͳ−� � �

! ͳ−�

ଶ

ͳ!

ͳ,ͺ  ଶ

)+

ʹ! ͳ − Ͳ, ሺ ͳ,ͺ ሻଶሺ Ͳ, ሻ

� = �

= Ͳ,Ͳͷ͵ ≈ ͷ,͵%

ʹ! ͳ − Ͳ, ͳ,ͺ ଶ Ͳ,

� = ͳ,ͺ +

ଶ

ቇ]

ʹ!, ͵ ͳ − Ͳ, ଶ = Ͳ,ͺ ℎ =

ଶ

Ͳ,Ͳͷ͵ = �,

Ͳ,Ͳͷ͵ = , = ͷͳ,ͷ "" 

!

�� = ͳ � = �� + = ͷͳ,ͷ + ͳʹ = , Ejercicio 5: La c!*)aía A))el .a decidi c!*)"a" $na n$e-a *a1$ina"ía 1$e c!nsa de $na 9nica *%1$ina 1$e )$ede )"!d$ci" $na )ie'a en a)"!5i*ada*ene < *in$!s3 4 el fa6"icane afi"*a 1$e la des-iacin es%nda" de dic.! ie*)! es de an sl! , *in$!s0 Final*ene3 se sa6e 1$e a.!"a lle&an )ie'as a)"!5i*ada*ene cada +@ *in$!s )a"a se" )"!cesadas3 c!n $na des-iacin es%nda" de , *in$!s0 Calc$la" L 1 4 =0

=

El�sise*a se )$ede c!*! $n �/�/ͳ c!n asa de a""i6!s /ℎ . C!*! > *!dela" < ͳʹ 3 ene*!s:

��

��

= Ͳ,ͷ

�=

= =

�[�]

ଶ

� /ℎ

4 asa de se"-ici!  = ͳʹ

��

ଶ

ͳʹ

= Ͳ,ʹ

�

= = Ͳ,Ͷ

�

�[�]

ଵ

ହ

= ଶ ��ଶ + � �ଶ ቆ ቇ ∗ � =

�=

ʹ

��ଶ + ��ଶ �� =

ʹ

ሺ

Ͳ,ʹ  ሻଶ + ሺ Ͳ,Ͷ ሻଶ ʹ

ͳ−� ሺ

ቇ ∗� ቆ

ଶ ∗ ሺ Ͳ,ͷ ሻ = ,

ͳ − Ͳ,ͷ

Ͳ,ʹ ሻ ଶ + ሺ Ͳ,Ͷ ሻ ଶ

∗ �[ ] =

Ͳ, ͷ ቇ ∗

ʹ

ͳ−�

�

∗ ͷ = Ͳ,ͷ

ͳ − Ͳ,ͷ

ቆ

� = �� + �� = Ͳ,ͷ + ͷ = , Ejercicio 6: En $n se"-id!" de la $ni-e"sidad se *andan )"!&"a*as de !"denad!" )a"a se"  e/ec$ad!s0 L!s )"!&"a*as lle&an al se"-id!" c!n $na asa de +@ )!" *in$!0 El ie*)! )"!*edi! de e/ec$cin de cada )"!&"a*a es de < se&$nd!s 4 an! l!s ie*)!s en"e lle&adas c!*! l!s ie*)!s de e/ec$cin se dis"i6$4en e5)!nencial*ene0

/ /ͳelc!n El se )$ede c!*! asa dedes!c$)ad!8 a""i6!s = ͳͲ = ͳʹsise*a � . C!*!*!dela" > deͳͲ < ͳʹ$n 3es% ene*!s: a0/ 7$ )"!)!"  cin ie*)! se"-id!"

/ �

4 asa de se"-ici!

ͳͲ �=

= Ͳ,ͺ͵

ͳʹ

� = ሺ Ͳ,ͺ͵ ሻሺ ͳ − Ͳ,ͺ͵ሻ = Ͳ,ͳ ≈ ͳ % 60 7C$%l es el ie*)! )"!*edi! !al de salida de $n )"!&"a*a3 desde 1$e lle&a al se"-id!"8

�=

ͳ

ͳʹ − ͳͲ = Ͳ,ͷ = Ͳ͵ � c0 7C$%l es el n9*e"! )"!*edi! de )"!&" a*as es)e"and! en la c!la del sise*a8 ሺ ͳͲ ሻଶ

� =

ͳʹ ሺ ͳʹ − ͳͲ  ሻ

= Ͷ,ͳ

�

Ejercicio 7: La -enanilla de $n 6anc! "eali'a las "ansacci!nes en $n ie*)! *edi! de ,

*in$!s0 L!s clienes lle&an c!n $na asa )"!*edi! de ,@ clienes a la .!"a0 Si se s$)!ne 1$e las lle&adas 4 el ie*)! de se"-ici! s!n e5)!nencial3 dee"*ina": El sise*a se )$ede *!dela" $n< ͵Ͳ/es% c!n asa de /ℎ)! .en > el ca/e"! ʹͲ /ℎ a0 de se"-ici! C!*! 3/ͳ ene*!s: 4 asa El )!"cena /e = de͵Ͳie* el c!*! 1$e des!c$)ad!0

ʹͲ � =

a""i6!s

=

ʹͲ

= Ͳ,

͵Ͳ � = ሺ Ͳ, ሻሺ ͳ − Ͳ, ሻ = Ͳ,͵͵͵ ≈ ͵͵,͵% 60 El ie*)! )"!*edi! de esancia de l!s clienes en la c!la0 ʹͲ � = = Ͳ,Ͳ ℎ = Ͷ ͵Ͳ ሺ͵Ͳ − ʹͲ  ሻ c0 La f"accin de clienes 1$e de6en es)e"a" en la c!la0 ʹͲ ଶ �= = ͳ,͵͵ ͵Ͳ ͵Ͳ − ʹͲ Ejercicio 8: La e*)"esa C!*)$ad!"as Re$nidas3 1$e al1$ila !"denad!"es3 c!nside"a necesa"i! "e-isa"l!s $na -e' al a!0 La )"i*e"a ale"nai-a3 c!n $n c!se de ;<@0@@@ H es .ace"  $n *aneni*ien! *an$al en el 1$e cada !"denad!" necesia"ía $n ie*)! )"!*edi! de  .!"as3 ese i)! es e5)!nencial0 La se&$nda !)cin se"ía $n *aneni*ien! c!n *%1$inas3 c!n $n c!se de $n *illn de e$"!s3 en ese cas! el ie*)! )"!*edi! de *aneni*ien! es de J .!"as 4 es e5)!nencial0 Pa"a a*6as ale"nai-as l!s !"denad!"es lle&an de *ane"a e5)!nencial J al día0 El ie*)! en 1$e es% )a"ad! $n !"denad!" iene $n c!se de +<@ H )!" .!"a0 7$ ale"nai-a de6e ele&i" la e*)"esa8 Se as$*e 1$e la e*)"esa "a6a/a ,2 .!"as3 J< días al a!0 Solución Alternativa 1: El  ""  sise*a se )$ede c!*! $n / /ͳ c!n asa de a""i6!s /# . C!*! > ͵ <*!dela" Ͷ 3 ene*!s:

͵ = /#  4 asa

de se"-ici!

=Ͷ

de se"-ici!

=ͺ

Solución Alternativa 2:

El  ""  sise*a se )$ede c!*! $n /# . C!*! > ͵ *!dela" < ͺ ሻ3 ene*!s:

/ /ͳ c!n asa de a""i6!s

 ""  ͵ = /#  4 asa

Ejercicio 9: En $na f%6"ica e5ise $na !ficina de la Se&$"idad S!cial a la 1$e l!s !6"e"!s ienen

acces! d$"ane las .!"as de "a6a/!0 El /efe de )e"s!nal3 1$e .a !6se"-ad! la afl$encia de !6"e"!s a la -enanilla3 .a s!liciad! 1$e se .a&a $n es$di! "elai-! al f$nci!na*ien! de ese se"-ici!0 Se desi&na a $n es)ecialisa )a"a 1$e dee"*ine el ie*)! *edi! de es)e"a de l!s !6"e"!s en la c!la 4 la d$"acin *edia de la c!n-e"sacin 1$e cada $n! *aniene c!n el e*)lead! de la -enanilla0 Ese analisa lle&a a la c!ncl$sin de 1$e d$"ane la )"i*e"a 4 la 9li*a *edia .!"a de la /!"nada la afl$encia es *$4 "ed$cida 4 fl$c$ane3 )e"! 1$e d$"ane el "es! de la /!"nada el fen*en! se )$ede c!nside"a" esaci!na"i!0 Del an%lisis de +@@ )e"i!d!s de + .!"a3 s$cesi-!s ! n!3 )e"! si$ad!s en la fase esaci!na"ia3 se ded$/! 1$e el n9*e"! )"!*edi! de !6"e"!s 1$e ac$dían a la -enanilla e"a de +< )!" )e"i!d! 4 1$e el ie*)! en"e lle&adas se&$ía $na dis"i6$cin e5)!nencial0 Un es$di! si*ila" s!6"e la d$"acin de las c!n-e"saci!nes3 lle- a la c!ncl$sin de 1$e se dis"i6$ían e5)!nencial*ene c!n d$"acin *edia de J0JJ *in$!s0 Dee"*ina":

/ /ͳ El ͳͺ sise*a se )$ede *!dela" c!n asa de a""i6!s = ͳͷ = . C!*! > de ͳͷc!*! < ͳͺ$n3 ene*!s: a0 N9/ℎ *e"! )"!*edi! !6"e"!s en c!la0

/ℎ

4 asa de se"-ici!

ሺ ͳͷ ሻଶ

� = = Ͷ,ͳ ͳͺ ሺ ͳͺ − ͳͷ  ሻ 60 Tie*)! )"!*edi! de es)e"a en la c!la0 ͳͷ � = = Ͳ,ʹͺ ℎ = ,ૠ ሺ ሻ ͳͺ ͳͺ − ͳͷ c0 C!*)a"e el ie*)! )e"did! )!" l!s !6"e"!s c!n el ie*)! )e"did! )!" el !ficinisa0 Calc$le el c!se )a"a la e*)"esa3 si $na .!"a de inaci-idad del !ficinisa -ale ,<@ e$"!s 4 $na .!"a del !6"e"! 2@@ e$"!s0 7Se"ía "ena6le )!ne" !"a -enanilla8

D$"ane .!"a1$e .a43 *edia3 clienes .aciend! .!"a"i! Ͷ,ͳ e$"!0 )!" !6"e"!s !ci!s!s eseldeen 20+; K 2@@ +? P!" !"! dec!se f!"*a1$e 1$eesel − �Es =deci"3 Ͳ,ͳ .!"a"i!s3 3 el c!se delcada ie*)! !ficinisa esa= !ci!s! es de ,<@ K lad!3 @0+; ͳc!la0 2,0< e$"!s *$c.! infe"i!"0 Ejercicio 10: L!s "a6a/ad!"es de $na f%6"ica ienen 1$e lle-a" s$ "a6a/! al de)a"a*en! de

c!n"!l de calidad anes de 1$e el )"!d$c! lle&$e al final del )"!ces! de )"!d$ccin0 a4 $n &"an n9*e"! de e*)lead!s 4 las lle&adas s!n a)"!5i*ada*ene de ,@ )!" .!"a c!n $n ie*)! e5)!nencial0 El ie*)! )a"a ins)ecci!na" $na )ie'a es en )"!*edi! 2 *in$!s c!n ie*)! e5)!nencial0 Calc$la" el n9*e"! )"!*edi! de "a6a/ad!"es en el de)a"a*en! de c!n"!l de calidad si .a4: a0 , ins)ec!"es0

El sise*a )$ede>*!dela" $n / /ʹ c!n asa de a""i6!s = ʹͲ /ℎ . se ʹͲ < c!*! ͵Ͳ 3 ene*!s: C!*! ଶ∗ଶଵହ

�=

4 ଶ /ℎ = = ͳ,͵͵

= Ͳ,

asa de se"-ici!

 = ͳͷ

−ଵ

ͳ,͵͵ ቇ + ቆ ͳ,͵͵ � = [(ቆ Ͳ! � �

)+ቆ

ͳ!

ͳ,͵͵

ଶ

ቇ]

ʹ! ሺ ͳ − Ͳ, ଶ ሺ ͳ,͵͵ሻ ሺ Ͳ, ሻ

ሺ� ሻ = ሺ ͳ,͵͵ሻ = + ! ሺ ͳ − � ሻଶ 60 J ins)ec!"es0

ʹ! ሺ ͳ − Ͳ,

ሻଶ

= Ͳ,ʹͲ ≈ ʹͲ%

ሻ

ሺ Ͳ,ʹͲ  ሻ =

,

El sise*a )$ede>*!dela" $n / /͵ c!n asa de a""i6!s = ʹͲ /ℎ . se Ͷͷ ሻ3 ene*!s: C!*! ሺ ʹͲ < c!*! ଷ∗ଶଵହ

�=

4 asa de se"-ici!  = ͳͷ

/ℎ ଶ

= Ͳ,ͶͶ

= = ͳ,͵͵ ଵହ

ͳ,͵͵ � = [(ቆ

ͳ,͵͵ ቇ + ቆ

Ͳ! �

−

ͳ,͵͵

ͳ,͵͵

ቇ + ቆ

ଷ

ቇ]

)+ቆ

= Ͳ,ʹͷͷ ≈ ʹͷ,ͷ%

ʹ!

ͳ!

͵! ሺ ͳ − Ͳ,ͶͶ ሻ �

ሺ

ͳ,͵͵ሻ ሺ Ͳ,ͶͶ  ሻ ଷ

= +

ሺ� ሻ = ͳ,͵͵ + ሺ Ͳ,ʹͷͷ ሻ = , ૠ ! ሺ ͳ − �ሻଶ ͵! ሺ ͳ − Ͳ,ͶͶ ሻଶ Ejercicio 11: Un a-in a"da $n!s 2 *in$!s en )"!*edi! en ae""i'a" a )a"i" del *!*en! en 1$e la !""e de c!n"!l le da la seal de ae""i'a/e0 Si las lle&adas de l!s a-i!nes se )"!d$cen a "a'n de ? )!" .!"a 4 si&$iend! $n c!*)!"a*ien! e5)!nencial3 7c$%n! -a a es)e"a" el )il!! dand! -$elas al ae"!)$e"! anes de "eci6i" la seal de ie""a8

ͺ

El )$ede $n / /ͳ c!n asa de a""i6!s ͳͷ sise*a /ℎ . se > *!dela" ͺ < ͳͷc!*! C!*! 3 ene*!s:

� =

ͳͷ ሺ ͳͷ − ͺ  ሻ

= Ͳ,Ͳ ℎ

= ,

ૠ

=

ͺ

/ℎ

4 asa de se"-ici!

=

Ejercicio 12: En el alle" G"ease "a6a/a $n &"an n9*e"! de *ec%nic!s l!s c$ales de6en

6$sca"  l!s "e)$es!s )a"a dife"enes ca""!s en el al*acn del alle"0 Dic.! al*acn es aendid! )!" #$lia0 L!s ie*)!s en"e a""i6!s 4 de se"-ici! en el al*acn s!n e5)!nenciales0 A #$lia le !*a en )"!*edi! J *in$!s aende" a $n *ec%nic! 4 el ie*)! )"!*edi! en"e a""i6!s de dic.!s *ec%nic!s es de 2 *in$!s0 Calc$la" L 4 =0 El )$ede = ʹͲ *!dela" $ /ℎsise*a $ /ℎ . c!*! ʹͲ 3 c!n de se"-ici! C!*! >$n ͳͷ /< /ͳ ene*!s:asa 4 asa se

͵ ଵ $ଶ =−= � ଵହ

ଵହ −ଵହ

ଶ

�=

= Ͳ,ʹ ℎ

de

a""i6!s

=

ͳͷ

= ͳʹ

Ejercicio 13: En $n alle" *eal*ec%nic! se dis)!ne de $na esacin de f"esad! en d!nde .a4

$na f"esa de c!n"!l n$*"ic!0 L!s ie*)!s en"e a""i6!s a la esacin s!n alea!"i!s c!n *edia 2 *in$!s 4 des-iacin es%nda" de , *in$!s3 *ien"as 1$e el ie*)! de )"!ces! )"!*edi! es de ,0< *in$!s3 c!n $na des-iacin es%nda" de , *in$!s0 Calc$la" L 1 4 =0 El ʹͶ sise*a )$ede >*!dela" $n �/�/ͳ c!n asa de a""i6!s = ͳͷ � /ℎ = � /ℎ se. C!*! ͳͷ
��

��

�[�]

ʹͶ

ଶ

= = = Ͳ,ͷ

��

�

=

4 asa de se"-ici!

ଶ

= Ͳ,ͺ

�

�[�]

ସ

ଶ,ହ

= �� ଶ + � �ଶ

�ଶ

ʹ

ͳ−�

=

ቇ ∗

�=

��ଶ + � �ଶ �� = ቆ

ʹ

ቇ ቆ ∗�

ͳ−�

ሺ Ͳ,ͷ ሻଶ ଶ ቆሺ Ͳ,ͺ ሻ

∗ �[ ] =

+

ሺ Ͳ,

ʹͷ ሻଶ = ,

∗

ʹ ሺ Ͳ,ͷ ሻଶ ሺ Ͳ,ͺ ሻଶ

�

ͳ − Ͳ, ʹͷ +

Ͳ, ʹͷ ∗ ʹ,ͷ = ͳ,ͺͷ

ቇ ∗

ʹ

ͳ − Ͳ, ʹͷ

� = �� + �� = ͳ,ͺͷ + ʹ,ͷ = ,