Taller de Matematicas

FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F.

Capítulo 1: Números naturales Capítulo 2: Números enteros Capítulo 3: Fraccionarios Capítulo 4: Geometría básica Capítulo 5: Expresiones algebraicas Capítulo 6: Productos Notables Capítulo 7: Ecuaciones Capítulo 8: Determinantes Capítulo 9: Funciones Capítulo 10: Trigonometría Capítulo 11: Razones e identidades trigonométricas Capítulo 12: Función cuadrática Capítulo 13: Estadística

FUNDETEC CALLE 34 No 35-30 BARRIO EL PARDO TELEFONO: 6320314

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Capitulo 1 1. Escribe F si la afirmación es falsa o V si la afirmación es verdadera.

a. b. c. d. e.

Cero es un número Natural __ F __ Entre dos números naturales existe al menos un número natural _ V __ Todo número natural tiene un siguiente siguiente __V _V __ Todo número natural tiene tiene un antecesor __ V __ El conjunto de los números naturales es infinito. __ V __

2. Contesta las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el único número primo par? ____ 2 ________. b) ¿Cuál es el número primo más cercano a 100? __ 97 97 ____ c) ¿Cuántos números primos primos hay entre 2 y 50? _ Hay 15 números primos primos _____. 3. Determina todos los números naturales menores que 100 que son múltiplos múltiplos de 6 10 y 15 a la vez 30 60 y 90.

4. ¿Cuántos divisores tienen los los números?

a) 36 9 b) 512 10 c) 1.500 24 d) 12.346 4 5. Un número es Perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores divisores propios. Ejemplo: El número 6 es perfecto ya que 6 = 1 2 3.

¿Cuál de los siguientes números es perfecto? a) 8= 2+2+4 b) 12= 3+4+5 c) 24= 7+8+9 d) 28= no es perfecto e) 56= no es perfecto 6. Resuelve la siguiente operación combinada aplicando las propiedades de la suma y la multiplicación. (-6)+ (2) + [15 – 9 + (3)] (-2 + 6) + 5 * (-7) -6 + 2+ [6 + 3] (-2+ 6)+ 5 *-7 -6 + 2+ (9)* (4) + 5 *-7 -6+2 +36-35


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Capitulo 2 1. Realiza las operaciones con números números enteros para poder responder:

¿Qué temperatura está marcando un termómetro si: a. Marcaba 15°C y disminuyó 12°C? 15-12=3°C b. Marcaba 10°C bajo cero y aumentó 7°C?10-7=3°C 7°C? 10-7=3°C c. Marcaba 18°C y aumentó 7°C? 18-7=11°C d. Marcaba 6°C bajo cero y disminuyó 5°C? 6-5=1°C 2. Escribe una situación que pueda representar cada número:

a.-12 m __12 metros a milimetros_________________________________ b.10°C ___10 grados bajo cero___________________________________ c.30 k/h _30 kilometros por hora__________________________________ d. $ - 586 __586 pesos_________________________________________ 3. Analiza cuáles afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explica cada caso sobre una recta numérica:

a. 5 está a la derecha de -3 V b. -2 está a la izquierda de 6 V c. -6 está a la derecha de -4 F d. -7 está a la izquierda de -6 V e. Entre 5 y 3 hay 2 unidades de distancia. V f .La distancia entre -2 y 2 es de 2 unidades. F g. De cero a -5 la distancia es de 5 unidades. V h. Entre -3 y 8 la distancia es de 5 unidades. F 4. Un gusano sube por una pared lisa. Si por cada 3 cm que avanza se desliza 2 cm ¿al cabo de cuántos intentos logra trepar 5 cm? Al cabo de 5 intentos, ya que cada vez que avanza 3cm se cae 2cm, entonces solo avanza 1cm. 1+1+1+1+1=5cm


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. 5. Buscando una dirección Luis caminó inicialmente 5 cuadras pero como no la encontró retroc edió 3 cuadras y avanzó una más ¿a cuántas cuadras quedó de donde inició su búsqueda? 5+3+1= 9 cuadras 6. A las 6:00 a.m. el termómetro marca -8°C. A las 10:00 a.m. la temperatura es 20°C más alta y después de esta hora hasta las 9:00p.m. bajó 6°C. Expresa la temperatura a las 9:00 p.m. -8+20-6= 6°C

Capítulo 3

1. Grafica las siguientes fracciones

a.

b.

c.

2. Escribe la fracción que representan las siguientes graficas

2/8

27/10


3/5

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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. 3. Compara las siguientes fracciones de acuerdo a la ley de la tricotomía

4. Realiza las conversiones pertinentes y escribe al frente la fracción que resulta. 8*4 3 sobre el mismo denominador

35/4

a. 5*7 3 sobre el mismo denominador

38/7

2*9 4 sobre el mismo denominador

22/9


38/5


20/3

b.

c.

d.

e. 5. Realiza las siguientes operaciones

 +  ∗   ∶ =      : =                    (  )*(4- )+3*(- )=(  * +(- )                   ( + ) – ( + ∗ ) * = - *           – ( +2∗ ) – (-  3) :  =- + : =- :   a)


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   ∗  +  : (-  )]     +2=   ∗  −   ∗−  −    − ∶  = − = −  [

+2

=[

   ∗  51 )]   

6. Soluciona las siguientes situaciones desarrollando las operaciones con fraccionarios:

 

 

a. Un hortelano planta de su huerta de tomates de alubias y el resto que son 280 m2 de patatas. ¿Qué fracción ha plantado de patatas? ¿Cuál es la superficie total de la huerta? Rta: 1/4 2/5=5/20 8/20=13/20 20/20-13/20=7/20. Ha plantado 7/20 de patatas 7/20 de x=280 x=280x20/7=5600/7=800. La superficie total es de 800 metros cuadrados

 

b. El paso de cierta persona equivale a de metro. ¿Qué distancia recorre con 1.000 pasos? ¿Cuántos pasos debe dar para recorrer una distancia de 1.400 m.? Rta: Multiplicas: 7/8 ×1000 = 7000 / 8 = 875 m recorre en 1000 pasos. Divides 1400: (7/8) = (1400×8) / 7 = 1.600 pasos.

 

c. En un frasco de jarabe caben de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con cuatro litros y medio de jarabe. Rta: 3/8------------------1litro 4,5--------------------x regla de 3

4,5*1/3/8=12jarabes

d. Un camión cubre la distancia entre dos ciudades en tres horas. En la primera hora hacen en la primera del trayecto en la segunda los de lo que le queda y en la tercera los 80 km. Restantes. ¿Cuál es la distancia total recorrida?.

 


 

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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. e. Un vendedor despacha por la mañana las

 

 partes de las naranjas que tenía. 

Por la tarde vende de las que le quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg. De naranjas. ¿Cuántos kg. Tenía?. Rta: En la mañana: Vende 3/4 le queda ¼ En la tarde: Vende 4/5 de 1/4 4/5x1/4 = 1/5 Total de ventas: 3/4 1/5 = (15 4)/20 = 19/20 Le queda: 1/20 Regla de tres simple: 1/20 100 kg 20/20 X X = (20/20)x100/(1/20) X = 20x100 X = 2.000 Tenía 2.000 kg


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Capítulo 4

1. ¿Qué es un paralelogramo? Rta: Es un cuadrilátero convexo cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos. 2. Calcula el perímetro de una circunferencia tomando como referencia que la medida del radio es 22,6 cm. Rta: El perímetro es 2pi×radio entonces sabiendo que pi=3,14159 Perímetro=2×3,14159×22,6=141,999 cm equivalente a 142cm

3. Halla la circunferencia de un círculo de 8 74 cm de radio. Rta: Circunferencia = 2π * Radio Circunferencia = 2π (8,74cm) Circunferencia = 54,91 cm 4. Halla el área de un rectángulo de 3 y 7 cm. Rta: area de rectangulo es base*altura=3*7=21cm 5. Halla el área de un cuadrado de 2 cm por 2 cm. Rta: Area=2x2=4cm 6. Hallar el perimetro y el area de las siguientes figuras:

P= 6+4+4=14/2=7 A= √7.(7-6)( 7-4)( 7-4)=7.93

p= 6+8+8=22/2=11 A=√11.(11-6)( 11-8)( 11-8)=22.24


A=pi*r2=201.06 P= 2*pi*r=50.26

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P=2*5+2*9=28 A=9*5=45

A= pi*r2=254.47 P=2*pi*r=56.55

P=2*7+2*1=16 A= 7*1=7

A= pi*r2=78.53 P=2*pi*r=31.41

No se puede calcular con esas longitudes

A=√12.(12-10)( 12-8)( 12-6)=24 P=10+8+6=24/2=12

P=2*8+2*3=22 A= 8*3=24


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Capítulo 5

1. Dados los siguientes polinomios: P(x) = Q(x) = R(x) = S(x) = T(x) = U(x) =

4x2 − 1 x3 − 3x2+6x − 2 6x2 + x +1

12 4 32 5 x2 2

a) Calcule P(x) + Q (x) = 4x2 – 1+ x3 − 3x2 +6x – 2= x3+x2 +6x – 3 b) Calcule P(x) − U (x) = 4x2 – 1- x3 − 3x2+6x – 2= - x3 + x2 + 6x – 3 c) Calcule P(x) + R (x) = 4x2 – 1+6x2 + x +1= 10x2 + x d) Calcule P(x) − R (x) = 4x2 – 1-6x2 + x +1= -2x2 + x 2. Suma las siguientes parejas de monomios a) b) c) d)

5/2x2y2+2x2y2= (5/2+2)x 2y2=9/2 x2y2 6xy+x2y= no se pueden sumar x3y+3/5 x3y2= no se pueden sumar fx +2x=3fx2 3. Ejercita destreza mental realizando los siguientes ejercicios. a) y + y +y + 4y =

7y

b) 5x +x - 2x

4x

c) a+ a + a + a =

4a

d) 12y +5y – 16y =

y

e) 6x - 7x =

-x

f) 25a2+ a2 – 7a 2 =

19a2

4. Reduce a su menor expresión. a) (x – 2) – ( - x+ 7) = 2x-9

b) (3x – 4)+ (3x+ 4) = 6x

c) (2 – 10x) + (-3 +14x) = 4x-1

d) (10y - 3) – (y+ 2) = 9y+1


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. 5. Realizar las siguientes multiplicaciones a) 3 x * ( x 2 – 3 x +2) = 3x3−9x2+6x b) ( x+3) * ( x – 2) = x2+x−6 2 2 c) ( x – 2) * ( x +2 x – 3) = x4+2x3−5x2−4x+6 d) ( x 2 – 2 x +1) * ( x – 3 x +1) = −2x3+5x2−4x+1 6. Dados los polinomios: P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1 Q(x) = x3 − 6x2 +4 R(x) = 2x4 −2 x − 2 Calcular: a) P(x) + Q(x) − R(x) = x 4 − 2x2 − 6x − 1 + x 3 − 6x2 +4-2x 4 −2 x – 2=

−x4+x3−8x2−8x+1

b). P(x) + 2 Q(x) − R(x) = x 4 − 2x2 − 6x − 1 +2(x 3 − 6x2 +4)-2x 4 −2 x – 2=

−x4+2x3−14x2−8x+5

7. Dividir los polinomios: a) (x4 − 2x3 −11x2 + 30x −20) : (x 2 + 3x −2) = x2-5x+6 -X4-3x3-2x2 5x3-9x2+30x-20 -5x3+15x2-10x-20 6x2-20x-20 -6x2-18x+12 ________________________ 2x-8

b) (x 6 + 5x4 +3x 2 − 2x) : (x 2 – x+3) = x 4+ x3 +3x2− 6 x 6 + 0x5+ 5x4 + 0x 3 +3x 2 − 2x+0 -x 6 + x5-3x4 +0x 3 +3x 2 − 2x+0 x5+2x4 +0x 3 +3x 2 − 2x+0 - x5+ x4 -3x 3 +3x 2 − 2x+0 3x4 -3x 3 +3x 2 − 2x+0 -3x4 +3x 3 -9x 2 − 2x+0 -6x2 − 2x+0 6x2 −6x+18 __________________________ -8x+18


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Capítulo 6

1. Realiza los siguientes productos notables. a) (x +2)2= x2 + 4 x + 4 f) (-3+ x)2=x2 - 6 x + 9 b) (2y+ 4x)2

= 16 x2 + 16 x y + 4 y^2

g) (a+ r)2=a2+2ar+r2

c) (2x+ 2)2= 4x2+8x+4

h) (x - 3)2=x2-6x+9

d) (6m - 4)2=36m2-48m+16

i) (-a+ 2b) 2=a2 - 4 a b + 4 b2

e) (a - b)2=a2-2ab+b2

j) (x+y)2=x2+2xy+y2

2. Realiza los siguientes ejercicios utilizando productos notables. a) (4m+3n) * ( 4m – 3n)= 16m2-9n2 b) (x – 4y) * (x +4y)= x2 - 16 y2 c) (2x+ 3y) * (2x – 3y)= 4x2-9y2

d) (a+ 1) * (a - 1)= a2-1

e) (3m+ 6) * (3m – 6)= 9m2-36

f) (8x - 3) * (8x+ 3)= 64x2-9

3. Extrae el factor común en los siguientes productos notables a) 4y2 – 12y – 9= 4y2 – 12y – 9 b) x2+ 12x+ 36= (x+6). (x+6)= (x+6)2 c) x2+8x +81= x2+8x +81 d) 4x2 – 4x + 1= (2x-1) (2x-1)= (2x-1)2 e) 9a2 -12ab + 4 b 2= 9a2 -12ab + 4 b2 5 25 5 25 4. Realiza los siguientes productos notables a través del cubo de un binomio. a) (x+y)3= x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3 b) (3m+ 2n) 3=27 m3 + 54 m2 n + 36 m n2 + 8 n3 b) (2q - r)3= 8 q3 - 12 q2 r + 6 q r2 - r3 d) (-2x+5y2)3=-8 x3 + 60 x2 y2 - 150 x y4 + 125 y6 5. a) b) c) d)

Resuelve los siguientes ejercicios planteados. (a +b + 1)*(a +b - 10)= a2 + 2ab - 9a + b2 - 9b - 10 (x3-8y)*(x3+y2)= x6 + x3y2 - 8x3 y - 8y3 (x3 – 8y 2)*(x3+y2)= x6 -7x3y2 - 8y4 (a2 – 5a + 6)*(a 2+5a - 6)= a4 - 25a2 + 60a - 36


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Capítulo 7 1. Resolución de ecuaciones a. 3x -1 = 2x +5= 3x-2x=5+1= x=6 b. x - 3 = 9= 9-3= x=6 c. 3y = 90= 90/3= y=30 d. 3x + 9 = 2x – 3 = 3x-2x =-3-9= x=-12 e. x + 9 = 2 =x+9=2*5= x+9=10= x=10-9= x=1 5 f. -2x -6 = -4x+12= -2x+4x=12+6= 2x=18= x=18/2= x=9 g. -10x-2 = -6x -18= -10x+6= -18+2= -4x= -16= x= -16/-4= x=4 2. resolver las siguientes ecuaciones de primer grado a. 5x – 5 = -2x-26 = 5x+2x=-26+5= 7x= -21 = x=-21/7= x= -3 b. -9x +8 = 5x – 6 = -9x-5x= -6-8= -14x= -14= x= -14/-14= x=1 c. x-9 = 2x – 10 = x-2x= -10+9= -x=-1(-1)= x=1 d. -9x – 3 = -4x + 12 = -9x+4x=12+3= -5x=15 = x=15/-5= x=-3 e. 6x +1 = 8x – 5 = 6x-8x=-5-1= -2x=-6= x=-6/-2= x=3 f. 4x-17 =3x-24 = 4x-3x=-24+17= x=-7


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Capítulo 8 1. Calcula los siguientes determinantes:

a)

[12 00]

= 1*0-2*0= 0

b)

24 97

= 4*9-(-2)*7= 50

2. Halla los determinantes de los siguientes ejercicios

a)

b)

3 2 5 (94 17 68) 1(4 25 36) 789

=

=

3 ·

1 ·

1 6 4 6 4 1 - (-2) · + 5 · 7 8 -9 8 -9 7

=

255

5 6 4 6 4 5 - 2 · + 3 · =0 8 9 7 9 7 8

3. Calcular los determinantes que se puedan hallar en las siguientes matrices:

a)

b)

c)

d)

15 26 38 28 95  1|1 97 85 | 0 6 4 1|7 42 53 | 8 0 0

= -16

= 2*-9-5*8= -58

=

=

1 ·

1

·

7 5 -1 5 -1 7 - (-9) · + 8 · = -70 6 -4 0 -4 0 6

2 3 -7 3 -7 2 - 4 · + (-5) · =176 0 0 8 0 8 0


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. 4. Calcula las inversas si existen utilizando el método de Gauss de las siguientes

matrices

a)

02 10

=

0 2

1 0

1 0

0 1

cambiemos de lugares 1-ésimo y 2-ésimo 2 0 0 1 0 1 1 0 Dividamos 1-ésimo por 2 1 0 0 0.5 0 1 1 0 Resultado: -1

A

b)

c)

=

13 1(0 4 1 0 4

0 1

1/2 0

26 20 31) 91

= no es invertible

2 0 9

3 1 1

= 1 0 0

0 1 0

0 0 1

de 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 4 1 2 3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 -11 -4 0 1 cambiemos de lugares 2-ésimo y 3-ésimo 1 2 3 1 0 0 0 1 -11 -4 0 1 0 0 1 0 1 0


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. de 1 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por 2 1 0 25 9 0 -2 0 1 -11 -4 0 1 0 0 1 0 1 0 de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 25; -11 1 0 0 9 -25 -2 0 1 0 -4 11 1 0 0 1 0 1 0 Resultado: -1

9 -4 0

-25 11 1

A

=

d)

1 1 2 ( 11 01 31) -1 1 1

1 0 1

2 3 1

-2 1 0

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Dividamos 1-ésimo por -1 1 -1 -2 -1 0 0 1 0 3 0 1 0 1 1 1 0 0 1 de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 1; 1 1 -1 -2 -1 0 0 0 1 5 1 1 0 0 2 3 1 0 1 de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por -1; 2 1 0 3 0 1 0 0 1 5 1 1 0 0 0 -7 -1 -2 1 Dividamos 3-ésimo por -7 1 0 3 0 1 0 0 1 5 1 1 0 0 0 1 1/7 2/7 -1/7 de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 3; 5


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0 1 0

0 0 1

-3/7 2/7 1/7

1/7 -3/7 2/7

1/7 -3/7 2/7

3/7 5/7 -1/7

3/7 5/7 -1/7

Resultado: -1

-3/7 2/7 1/7

A

=

e)

2(3 11 02) 5 0 1 2 3 5

-1 1 0

0 2 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Dividamos 1-ésimo por 2 1 -0.5 0 0.5 0 0 3 1 2 0 1 0 5 0 1 0 0 1 de 2; 3 filas sustraigamos la 1 línea, multiplicada respectivamente por 3; 5 1 -0.5 0 0.5 0 0 0 2.5 2 -1.5 1 0 0 2.5 1 -2.5 0 1 Dividamos 2-ésimo por 2.5 1 -0.5 0 0.5 0 0 1 0.8 -0.6 0.4 0 2.5 1 -2.5 0

0 0 1

de 1; 3 filas sustraigamos la 2 línea, multiplicada respectivamente por -0.5; 2.5 1 0 0.4 0.2 0.2 0 0 1 0.8 -0.6 0.4 0 0 0 -1 -1 -1 1 Dividamos 3-ésimo por -1 1 0 0.4 0.2 0.2 0 1 0.8 -0.6 0.4 0 0 1 1 1

0 0 -1

de 1; 2 filas sustraigamos la 3 línea, multiplicada respectivamente por 0.4; 0.8


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. 1 0 0

0 1 0

0 0 1

-0.2 -1.4 1

-0.2 -0.4 1

0.4 0.8 -1

Resultado: -1

A

-0.2 -0.2 0.4 = -1.4 -0.4 0.8 1 1 -1 5. Indicar las propiedades de los determinantes que permiten escribir las siguientes igualdades:

a)

242 1008 = 20 84 10 41 = 8

Calculemos el determinate de la matriz

A

det A = 8 Determinante de la matriz A es distinto de cero, entonces la matriz invertible A-1 existe. Para resolver una matriz invertible calculemos los menores y cofactores de la matriz A



Calculemos un menor M 1,1 y cofactores C 1,1 de A1,1. En la matriz columna 1. M1,1 =

100

A eliminemos

la fila 1 y

A eliminemos

la fila 1 y

A eliminemos

la fila 2 y

= 100

C1,1 = (-1)1+1M1,1 = 100




24

=

2 4

C1,2 = (-1)1+2M1,2 = -24



Calculemos un menor M 2,1 y cofactores C 2,1 de A2,1. En la matriz columna 1.


Página 18

FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. M2,1 =

8

= 8

C2,1 = (-1)2+1M2,1 = -8




2

A eliminemos

la fila 2 y

= 2

C2,2 = (-1)2+2M2,2 = 2

Apuntemos una matriz de cofactores:

C =

100

-24

-8

2

Transpuesta de la matriz cofactores: T

C

=

100

-8

-24

2

Resolvamos una matriz invertible. T

-1

A

=

C

det A

b)

=

12.5

-1

-3

0.25

5|6 309 1220| |12 63 44| |12 63 44| 1 3 0 1 3 0 2 3 4 =15

=15

=0

Calculemos el determinate de la matriz A det A = 0 Resultado:

Así que el determinante es cero, el sistema entonces no tiene resolución.


Página 19


Capítulo 9

1. Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos: A(1,4); B(-1,3); C(0,2); D(4,-3); E(3,0); F(-3,-1); G(-4,4); H(-1,-3); I(0,-2); J(0,0); K(2,3); L(-3,1); M(2,-3)

2. Representa en un plano cartesiano los siguientes puntos: A(1,0); B(2,1); C(4,2); D(3, -1); E(-4,-4);F(0,-2); G(-1,-4); H(-1,-1); I(-3,-2); J(-4,0);K(-3,3); L(-1,2); M(0,3)


Página 20


3. Estudia el crecimiento o decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican: f(x) = 4x² - 2x + 1 en x = 2 Para f(x)=4x² - 2x + 1 la derivada es f ' (x) = 8x-2 En el punto x=2 la derivada vale f ' (2) = 14 Un número positivo por lo cual la función crece en x=2. Para verificarlo podrías graficar la cuadrática (sin demasiados valores, ya sabes que como el coeficiente que acompaña a x² es positivo la función decrece hasta el x del vértice, y a partir de allí crece hasta el infinito, entonces podrías hallar las raíces, marcar el vértice en medio, y luego ver que como x=2 está a la derecha del vértice entonces es correcto que a x=2 la función es creciente. f(x) = 1/2x en x = 2 Para la función f(x) = 1/(2x) Si quiero derivar puedo usar la regla del cociente, o reescribir la función de la siguiente manera f(x)= (2x)^(-1) y luego usar la regla de la cadena Queda f ' (x) = - (2x)^(-2) *2 es decir f ' (x) = -2 / (2x)^2 Si reemplazo para x=2 me queda f ' (2) = -2/4² = -1/8 lo cual es negativo, lo que quiere decir que la función decrece en ese punto. De hecho cualquier valor que le de a x, al elevarlo al cuadrado me queda algo positivo, y como estoy dividiendo -2 por algo positivo Ya sé que el resultado de la derivada da siempre negativo Es decir que con la derivada puedo saber que mi función siempre decrece.

4. Calcular el dominio de las siguientes funciones.


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. f(x) = 3x5 – 4x 3 +7x 2 – 4= - ∞
f(x) = x3 – x –8 D: Todos los reales

f(x) = x5 –2x+ 6

D: Todos los reales

f(x) = (x-1) 2 D:Todos los reales


Página 22


f(x) = 2x + 1 D: Todos los reales

f(x) = 1 x2

D:


Página 23


Capítulo 10

1. Expresa en Grados los siguientes ángulos. a. 3π =180° 2

b.

d. 2π=60°

e.

4π=240°

c.

3

6

π =90°

2

3 π=108°

f.

5

2π =40°

9

2. Calcular cada una de las razones trigonométricas para cada uno de los valores teniendo los siguientes datos: Cateto opuesto Cateto adyacente Hipotenusa

1 2 3 4 5 6

3 5 10 7 4 6

8 2 4 9 5 8

Sen

Tan

Sec

Cos

Cotag

Csec

1

3/4

3/8

4/8

8/4

8/3

4/3

2

5/9

5/2

9/2

2/9

2/5

9/5

3

10/12

10/4

12/4

4/12

4/10

12/10

4

7/5

7/9

5/9

9/5

9/7

5/7

5

4/7

4/5

7/5

5/7

5/4

7/4

6

6/11

6/8

11/8

8/11

8/6

11/6


4 9 12 15 7 11

Página 24


1. Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 50º y el cateto opuesto 12 cm halla la hipotenusa. Hipotenusa = h Cateto opuesto = x = 12cm Angulo = 50° Sen50° = Cateto opuesto/Hipotenusa Sen50° = 12cm/h h = 12cm/Sen50° h = 12cm/0,776 h = 15,66cm 2. En un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 60º y la altura 30 cm. halla el lado desigual. Lado desigual es "x" entonces en el triángulo rectángulo sera x/2, sabiendo eso se halla el ángulo opuesto en aquel triangulo rectángulo, 180 - 90 - 60 = 30°. - luego: 30/sen 60 = (x/2)/sen 30 - 30*2*sen 30 / sen 60 = x (el lado desigual) - x = 34.64 3. El cos de un ángulo del primer cuadrante es 3/4 calcula el seno del ángulo. sen²x + cos²x = 1

Por lo tanto sen x =√[1 - (3/4)²] = √7 / 4


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Capítulo 11

Demostrar las siguientes identidades: 1.

sen x ctg x = cos x

Manipular el lado derecho sen x ctg x Expresar con seno y coseno (cos x/ senx)* sen x=cosx 2.

cos x tg x = sen x

Manipular el lado derecho cos x tg x expresar con seno y coseno cosx*(senx/cosx)= senx 3.

ctg x sec x = cosec x

Manipular el lado derecho ctg x sec x Expresar con seno y coseno (1/cosx)/(cosx/senx)=1/senx=cosecx 4.

sen x sec x = tg x

Manipular el lado derecho sen x sec x Expresar con seno y coseno (1/cosx)*senx= senx/cosx= tanx 5.

cos x cosec x = ctg x

Manipular el lado derecho cos x cosec x Expresar con seno y coseno Cosx*(1/senx)=cosx/senx=ctgx 6.

ctg x sec x sen x = 1

Manipular el lado derecho


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. ctg x sec x sen x Expresar con seno y coseno (1/cosx)/(cosx/senx)*senx= 1 7.

(1 - cos² x) cosec² x = 1

Manipular el lado derecho (1 - cos² x) cosec² x Usar la identidad=1- cos² (x)= sin² (x) csc² x*sen²x Expresar con seno y coseno (1/senx) ²*sen²x=1 8.

(1 - sen² x) sec² x = 1

Manipular el lado derecho (1 - sen² x) sec² x Usar la identidad =1-sin² (x)=cos² (x) =cos² (x) sec² (x) Expresar con seno y coseno (1/cosx) ²*cos²x=1 9.

ctg² x (1 - cos² x) = cos² x

Manipular el lado derecho ctg² x (1 - cos² x) Usar la identidad =1- cos² (x)= sin² (x) =ctg² (x) sen² (x) Expresar con seno y coseno (cosx/senx) ²*sen²x= cos² x 10. (1 - cos² x) sec² x = tg² x Manipular el lado derecho (1 - cos² x) sec² x Expandir (1-cos²x)sec² x: (sec² x-sec² x) cos² x =ctg² (x) sen² (x) Expresar con seno y coseno (cosx/senx) ²*sen²x= cos² x (1-cos²x) Sec²x Poner los parentisis utlizando a(b+c)=ab+ac sec²x*1+sec²x(-cos²x) aplicar las reglas de los signos +(-a)= -a sec²x*1-sec²x.cos²x Multiplicar sec²x*1=sec²x sec²x- sec²x.cos²x sec²x- cos²x.sec²x - cos²x.sec²x= -1 sec²x= -1 usar la siguiente identidad -1 +sec²x= tan²x


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. tan²x

Comprobar las siguientes identidades trigonométricas: 1.

tan a +cotg a = sec a * cosec a

2.

cotg a * sec a = cosec a


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. Establecer si las siguientes son identidades trigonométricas: 1. 3 Cos2x+sen2x = 2

2. Senx + cosx * tanx = 2 tan x Cosx


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. 3. Senx*cosx – cotg x = coscx - senx 1-cos x


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Capítulo 12

1. Observa, realiza el procedimiento y di cuales de estas funciones son cuadráticas. f (x) = -x²+ 6x – 8 ∆ = 62 - 4·(-1)·(-8) = 4

x -6 - 4 = 4

1 =

2·(-1)

x -6 + 4 = 2

2 =

2·(-1)

f (x) = 2x²+ 16x+11 ∆ = 162 - 4·2·11 = 168

x -16 - 168 = -4 - 0.5 √42 ≈ -7.2404

1 =

2·2

x -16 + 168 = -4 + 0.5 √42 ≈ -0.75963

2 =

2·2

f (x) = x2+6x+ 8 ∆ = 62 - 4·1·8 = 4

x -6 - 4 = -4

1 =

2·1

x -6 + 4 = -2


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. 2

=

2·1

f (x) = (x – 2) 2 + 3=x2-4x+4+3= x2-4x+7 ∆ = (-4)2 - 4·1·7 = -12 No hay raíces

f (x) = 2x2 + 2x + 5 ∆ = 22 - 4·2·5 = -36 No hay raíces

f (x) = x2 - 2x + 10 ∆ = (-2)2 - 4·1·10 = -36 No hay raíces

f (x) = 2x2 – x – 1 ∆ = (-1)2 - 4·2·(-1) = 9

x 1 - 9 = -0.5

1 =

2·2

x 1+ 9 = 1

2 =

2·2

f (x) = 9x2 – 6x +1 ∆ = (-6)2 - 4·9·1 = 0

x 6 = 1 = 2·9 3


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. 2. Un terreno rectangular tiene 12 metros cuadrados de área y su perímetro es de 14 metros. Cuáles son las dimensiones del terreno? Sea "x" el ancho y sea "y" el largo del terreno. Rta: La medida de la base es 4m y la medida del ancho es 3m. Para comprobar observamos que (4m)(3m)= 12m cuadrados y que p= (4)(2)+(3)(2)= 8+6= 14m. 3. En la empresa Lirios del Campo la resultante de ganancias está dada por la siguiente función f (x) = -0.125x 2 +7x +30. Determine la cantidad de dinero que se debe invertir trimestralmente en mercadeo para aumentar sus ganancias en ese mismo periodo.

4. Los registros de temperatura tomados entre las 0 horas y las 24 horas en una zona rural se ajustan a la función T(x) = (x – 12)²+10, donde T es la temperatura en grados centígrados y x es la hora del día. a) ¿cuál fue la temperatura máxima? b) ¿a qué hora se registró? c) ¿cuándo la temperatura fue de cero grados? d) ¿qué temperatura había a las 3 de la tarde?


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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. Rta:


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Capítulo 13 1. Una empresa transportadora de alimento lleva un registro del kilometraje de todos los vehículos afiliados para pagar a sus empleados por concepto de rodamiento. A continuación presentamos registros del kilometraje semanal: 450 559 788 588 559

756 788 943 349 788

789 943 447 745 943

710 657 447 775 775 810 578 109 447 775

589 810 876 869 810

488 876 450 756 689 689 478 753 450 756

689 789 580 688 789

520 560 410 657 459 520 519 550 410 657

469 589 789 788 589

987= 488= 650= 555= 488=

8540 8461 9015 7569 8461

Calcular media mediana y moda. Interprete los resultados N° valores= 65 valores sumatoria de los números divido 8540+8461+9015+7569+8461=42046/65= 646.86154 Media:

en

el

número

de

valores.=

Mediana: 657 Moda: números que más se repite->788 y 789.

109 349 410 410 447 447 447 450 450 450 459 469 478 488 488 488 519 520 520 550 555 559 559 560 578 580 588 589 589 589 650 657 657 657 688 689 689 689 710 745 753 756 756 756 775 775 775 788 788 788 788 789 789 789 789 810 810 810 869 876 876 943 943 943 987 2. Dados los datos que corresponden a las razones de costo beneficio para 25 tipos de acciones en el mercado de valores. 20 5 15 4 16 9 13 4 88

19 5 12 7 78 14 3 22 1

15 6 54 13 3 19 2 20 8

24 1 17 0 11 8 92 12 6


99 28 6 18 4 16 8 15 9

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FUNDETEC CON VISIÓN UNIVERSITARIA RESOLUCIÓN 0043/12 S.E.F. Clase

Fronteras de clase

fi

Fi

hi

Hi

1 2 3 4 5 6

5-8.99 9-12.99 13-16.99 17-20.99 21-24.99 25-28.99

3 5 7 6 3 1 25

3 8 15 21 24 25

3/25=0.12 5/25=0.2 7/25=0.28 6/25=0.24 3/25=0.12 1/25=0.04 1

0.12 0.32 0.6 0.84 0.96 1 100%

Totales

a. Hallar la frecuencia absoluta acumulada. (Fi). b. Hallar la frecuencia relativa porcentual. (hi). c. Hallar la Frecuencia relativa porcentual acumulada (Hi) 2. Completar la tabla y realizar la distribución de frecuencias :

[20 - 24] [24 - 28] [28 - 32] [32 - 36] [36 - 40] [40 - 44] Totales

fi

Fi

hi

Hi

53 129 125 91 57 24 479

53 189 307 398 455 479

53/479=0.11 129/479=0.27 125/479=0.26 91/479=0.19 57/479=0.12 24/479=0.05

0.11 0.38 0.64 0.83 0.95 1 100%

3. Con el fin de decidir cuantas cajas para atención a los clientes se necesitaran en las tiendas que construirán en el futuro una cadena de supermercados quiso obtener información acerca del tiempo (minutos) requerido para atender los clientes. Se recogieron los siguientes datos correspondientes al tiempo de atención a: N° valores= 65 valores 3.6 2.8 3.2 3.6 2.8

1.9 0.3 3.0 1.9 0.3

2.1 1.1 0.4 2.1 1.1

0.3 0.5 2.3 0.3 0.5

0.8 1.2 1.8 0.8 1.2

0.3 0.6 4.5 0.3 0.6

2.5 1.8 0.9 2.5 1.8

1.0 3.0 0.7 1.0 3.0

1.4 0.8 3.1 1.4 0.8

1.8 1.7 0.9 1.8 1.7

1.6 1.4 0.7 1.6 1.4

1.1 0.3 3.1 1.1 0.3

1.8= 20.2 1.3= 16.8 1.8= 26.4 1.8= 20.2 1.3= 16.8

0.3,0.3,0.3,0.3,0.3,0.3,0.3,0.3,0.4,0.5,0.5,0.6,0.6,0.7,0.7,0.8,0.8,0.8,0.8,0.9,0.9,1.0,1.0,1.1,1.1 ,1.1,1.1,1.2,1.2,1.3,1.3,1.4,1.4,1.4,1.4,1.6,1.6,1.7,1.7,1.8,1.8,1.8,1.8,1.8,1.8,1.8,1.8,1.9,1.9,2. 1,2.1,2.3,2.5,2.5,2.8,2.8,3.0,3.0,3.0,3.1,3.1,3.2,3.6,3.6,4.5 Media: sumatoria de los números divido en el número de valores.= 20.2+16.8+26.4+20.2+16.8/65= 1.54462


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Taller de Matematicas

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