Dante Álvaro Gonzales Olmos Investigación de Operaciones III Práctica de Teoría de colas Pregunta 1.- Considérese
la biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas copiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes. Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no debe tener que esperar más de dos minutos en promedio. Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco. El tiempo para insertar la moneda, cambiar originales, para que un estudiante desocupe y otro comience a copiar es un 70 por ciento del tiempo para estas actividades. En los períodos pico de copiado se tienen una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora. ¿cuántas copiadoras se deben instalar? Encontrar los parámetros del modelo. Solución “S = 3” Pregunta 2. Se están haciendo planes para abrir una un a pequeña estación para lavar automóviles
y debe decidirse cuánto espacio dejar para los automóviles que esperan. Se estima que los clientes llegarían aleatoriamente (es decir, de acuerdo con un proceso de entrada Poisson) con una tasa media de uno cada 4 minutos, a menos que el área de espera esté llena, en cuyo caso el cliente se llevaría su automóvil a otra parte. El tiempo que puede atribuirse al lavado de un automóvil tiene una distribución Exponencial con una media de 3 minutos. Compárese la fracción esperada de clientes potenciales que se perderían, debido a un espacio de espera inadecuado, si se tuvieran a) cero, b) dos, o c) cuatro espacios (sin incluir el del automóvil que se está lavando). Solución: a) 42.86 % de los clientes se pierden. b) 15.43 % c) 7.20 % Pregunta 3. Hace
casi tres años, una empresa instalo un conjunto de 10 robots que incrementó considerablemente la productividad de su mano de obra, pero en e n el último tiempo la atención se ha enfocado en el mantenimiento. La empresa no aplica el mantenimiento preventivo a los robots, en virtud de la gran variabilidad que se observa en la distribución de las averías. Cada máquina tiene una distribución exponencial de averías (o distribución entre llegadas), con un tiempo promedio de 200 horas entre una y otra falla. Cada hora maquina perdida como tiempo ocioso cuesta 30 bolivianos, lo cual significa que la empresa tiene que reaccionar con rapidez en cuanto falla una máquina. La empresa contrata solo a una persona para mantenimiento, quien necesita 10 horas de promedio para reparar un robot. Los Los tiempos de mantenimiento están distribuidos exponencialmente. La tasa de salarios es de 10 bolivianos por hora para el encargado de mantenimiento, el cual puede dedicarse productivamente a otras actividades cuando no hay robots que reparar. Encontrar el modelo de todo el sistema asociado a la teoría de colas y calcular el costo diario por concepto de tiempo ocioso considerando la mano de obra y los robots. Solución: P0 = 53,8 %, q = 6,49 horas y =16,45 horas y el costo total es 219,16 (Bs/dia) Pregunta 4.-
Una gasolinera de un surtidor diésel. Las llegadas de autobuses que cargan diésel muestran una distribución que se aproxima aprox ima a la de Poisson, mientras que el proceso de carga de combustible muestra una distribución exponencial. El promedio de llegadas a la bomba diésel es de 5 autobuses por hora, hor a, mientras que el promedio de servicio del surtidor es de 7 servicios completos por hora. La bomba sirve a los autobuses en el orden en que llegan a la estación de servicio y no se puede dar servicio a más de un autobús simultáneamente. Encuentre todos los parámetros que describen cuantitativamente a esta bomba diésel, para que posteriormente se pueda tomar una decisión acerca ac erca de la instalación
Dante Álvaro Gonzales Olmos Investigación de Operaciones III de otras bombas diésel. Cada autobús hace 6 recorridos diarios de ida y vuelta entre dos ciudades que están unidas por la carretera donde está la gasolinera. El recorrido es tal que obliga a los autobuses a rellenar sus tanques de diésel después de cada tres viajes completos. El coste de operación mensual de un autobús es de 50000 bolivianos incluidos el sueldo del chofer, aceite, diésel, mantenimiento, seguros, llantas, etc. Y se trabaja 22 días al mes y 18 horas por día. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el surtidor este vacío? 28,57 % b) ¿Cuál es la probabilidad de que en el surtidor este un solo autobús? 20,41 % c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera en la cola sea mayor a 45 minutos? 15,94 % d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de permanencia en el sistema sea superior a una hora? 13,53 % e) ¿Cuál es el costo de espera? El costo de espera es de 126 bolivianos por hora Pregunta 5.- La
policía de Quillacolo tiene 5 patrullas. Una patrulla se descompone y debe repararse una vez cada 30 días. La policía tiene dos mecánicos, y cada uno de ellos tarda un promedio de 3 días en reparar un autopatrulla. Los tiempos entre descomposturas y los de reparación son exponenciales. a) ¿Cuál es el número promedio de patrullas en buen estado? Solución: Se encuentran 4.535 autos en buen estado b) ¿Cuál es el tiempo muerto promedio que pasa una patrulla en reparaciones? Solución: 3.08 días. c) Calcule la fracción del tiempo que está ocioso determinado mecánico. Solución: La fracción de tiempo que está desocupado determinado mecánico es 77,4 % Pregunta 6. - Un
almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5 minutos por cliente siguiendo una distribución exponencial. Los clientes llegan a este almacén siguiendo una distribución poisson a razón de 30 por hora. Con esta información calcular. a) ¿Cuál es la tasa de ocupación del sistema? b) ¿Cuál es el numero promedio de clientes en el sistema? c) ¿Cuál es el numero promedio de clientes en la cola? d) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema? e) ¿Cuál es el tiempo promedio que un cliente pasa en la fila? f) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los servidores estén ociosos? g) ¿Cuál es la probabilidad de que una cajera esté desocupada? h) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente espere al llegar al sistema? i) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo total de permanencia en el sistema sea mayor a 5 minutos? Pregunta 7.-
Una empresa de reproducción gráfica tiene cuatro unidades de equipo automáticas, pero que en ocasiones están fuera de servicio porque requieren suministros, mantenimiento o reparación. Cada unidad requiere mantenimiento aproximadamente 2 veces por hora o, para ser más precisos, cada unidad de equipo funciona durante un promedio de 30 minutos antes de requerir servicio. Los tiempos de servicio varían, desde un
Dante Álvaro Gonzales Olmos Investigación de Operaciones III mantenimiento sencillo (como oprimir un botón de reinicio o colocar el papel) hasta una complicada operación de desmontaje del equipo. Sin embargo, el tiempo promedio de servicio es de cinco minutos. El tiempo de inactividad del equipo ocasiona una pérdida de 20 bolivianos por hora. El único empleado de mantenimiento recibe 6 bolivianos/hora. a) El número promedio de unidades en cola. 1,61 b) El número promedio de unidades en operación. 1,43 c) El número promedio de unidades en el sistema de mantenimiento. 2.57 d) La empresa piensa contratar a otro empleado de mantenimiento a 6 bolivianos/hora. ¿Debe hacerlo? El costo de un servidor es 57,40 comparar con dos servidores Pregunta 8.- Una sucursal bancaria tiene dos cajas igualmente eficientes, capaces de atender
un promedio de 60 operaciones por hora con tiempos reales de servicio que se observan exponenciales. Los clientes llegan con una tasa de 100 por hora. Determinar: a) Probabilidad de que haya más de 3 usuarios simultáneamente en el banco. Solución: 52,61 % b) Probabilidad de que alguno de los cajeros esté ocioso. Solución: 24,24 % c) Probabilidad de que un cliente permanezca más de 3 minutos en la cola. Solución: 27,86 % Pregunta 9.- Una oficina estatal de transportes tiene 3 equipos
de investigación de seguridad vial cuyo trabajo consiste en analizar las condiciones de las carreteras cuando se produce un accidente mortal. Los equipos son igualmente eficientes y cada uno destina un promedio de 2 días a investigar y realizar el informe correspondiente en cada caso, con un tiempo real aparentemente exponencial. El número de accidentes mortales en carretera sigue una distribución de Poisson con tasa media de 300 accidentes por año. Encontrar: a) Número medio de accidentes cuya investigación no ha comenzado. Solución: 34,89 % b) Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que se empieza a investigar. Solución: 0,4255 días c) Tiempo medio desde que se produce un accidente hasta que finaliza la investigación. Solución: 2.4255 días d) Número medio de accidentes cuya investigación aún no ha terminado. Solución: 1.9889 Pregunta 10.- La
gerencia del correo internacional DHL en la central de la avenida ramón rivero está preocupada por la cantidad de tiempo que los camiones de la compañía permanecen ociosos en espera de ser descargados. Esta terminal de carga funciona con cuatro plataformas de descarga. Cada una de éstas requiere una cuadrilla de dos empleados. Y cada cuadrilla cuesta 30 bolivianos por hora. El costo estimado de un camión ocioso es de 50 bolivianos por hora. Los camiones llegan a un ritmo promedio de tres por hora, siguiendo una distribución de Poisson. En promedio una cuadrilla es capaz de descargar un semirremolque en una hora, y los tiempos de servicio son exponenciales. ¿Cuál es el costo total por hora de la operación de este sistema? Solución 346,50 bolivianos/hora
