Estadística I
Grado en Dirección de Empresa / Grado en Marketing
ESTADÍSTICA I Relación 5T. Ejercicios Tema 5: Variables aleatorias discretas y distribuciones de probabilidad.
SOLUCIONES 1. En los siguientes ejemplos, ¿se trata de variables aleatorias discretas o continuas?. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones: scret reta a a. Una tienda vende entre 0 y 12 computadores al día. D i sc b. El número de automóviles que llegan diariament d iariamentee a un taller de reparación reparación en el que trabajan dos personas. Discreta c. El número de automóviles automóviles producidos producidos anualmente anualmente por el grupo Renault. Renault. Continua Contii nua d. Las ventas diarias totales totales de una tienda de comercio comercio electrónico electrónico en dólares. dólares. Cont
2. Muestra la función de probabilidad ( ) y la función de probabilidad acumulada ( ) del número de caras cuando se lanzan al aire independientemente tres monedas equilibradas… a.
= = ). = { , , , }
Sin distinguir el orden de las tiradas, es decir, el suceso
n p 1 (n p 1)! p ( 1 )! ! n p +− +− ! ! = − = !∙! = 4 −!∙!
x 0 1 2 3
CRn p
P(x) ¼ ¼ ¼ ¼
F(x) ¼ 2/4 ¾ 4/4
b. Distinguiendo Distinguiendo el orden orden de las tiradas, tiradas, es decir, el suceso
XXX XXC XCX XCC CXX CXC CCX CCC
x
0 1 1 2 1 2 2 3
≠ ≠ ). P(x)
1 8 3 8 3 8 1 8
0 p
p
VRn n = 2 = 8
1 2 3
F(x)
1 8 4 8 7 8 8 8
3. El número de ordenadores vendidos al día en una tienda, viene definido por la siguiente distribución de probabilidad: (Excel) X P(x) F(x)
0 0,05 0,05
1 0,10 0,15
2 0,20 0,35
3 0,20 0,55
4 0,20 0,75
5 0,15 0,9
6 0,10 1
Responde a las siguientes cuestiones: a. b. c. d.
¿ 3 ≤ < 6 6 =? ¿ < 3 =? ¿ ≤ 4 =? ¿ 2 < ≤ 5 5 =?
0.55 0.35 0.75 0.55
4. Una compañía aérea le ha pedido que estudie los retrasos de los vuelos que se registraron en un aeropuerto la semana antes de las Navidades. La variable aleatoria X es el número de vuelos retrasados por hora. (Excel) X P(x) F(x)
0 0,10 0,1
1 0,08 0,18
2 0,07 0,25
3 0,15 0,4
4 0,12 0,52
5 0,08 0,6
6 0,10 0,7
7 0,12 0,82
8 0,08 0,9
9 0,10 1
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a. b. c.
¿Cuál es la distribución de probabilidad acumulada? ¿Cuál es la probabilidad de que haya cinco o más vuelos retrasados? 0.48 ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre tres y siete (inclusive) vuelos retrasados? 0.57
5. Dada la función de probabilidad x P(x) F(x)
0 0,25 0.25
1 0,50 0.75
2 0,25 1
a. Calcula la función de probabilidad acumulada. b. Halla la media de la variable aleatoria X. = = 1 c. Halla la varianza y desviación típica de X. = 0.5 →
= 0.7071
6. Una empresa produce paquetes de clips. El número de clips por paquete varía, como indica la tabla adjunta. Número de clips Proporción de paquetes F(x)
47 0,04 0,04
48 0,13 0,17
49 0,21 0,38
50 0,29 0,67
51 0,20 0,87
52 0,10 0,97
53 0,03 1
a. b.
Calcula la función de probabilidad acumulada. ¿Cuál es la probabilidad de que un paquete seleccionado aleatoriamente contenga entre 49 y 51 clips (inclusive) 4 9 ≤ ≤ 5 1 = 0.7? c. Se seleccionan dos paquetes aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos contenga como máximo 50 clips? 1, 51 = 0.8911 d. Se seleccionan dos paquetes aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos contengan como máximo 50 clips? 2, 51 = 0.4489 e. Se seleccionan dos paquetes aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos contengan exactamente 50 clips? = 50 = 0,0841 f. El coste (en céntimos) de producir un paquete de clips es 16+2X, donde X es el número de clips que hay en el paquete. Los ingresos generados por la venta del paquete, cualquiera que sea el número de clips que co ntenga, son de 1,50€. Si los beneficios son la diferencia entre los ingresos y el coste, halle la media y la desviación típica de los beneficios por paquete
= → = 134 2 → = 34,2 = 2,793 7. Un jugador universitario de baloncesto que tiene un porcentaje de aciertos del 75 por ciento en sus tiros libres se sitúa en la línea de lanzamiento de «uno más uno» (si encesta a la primera, puede tirar otra vez, pero no en caso contrario; se anota un punto por cada enceste). Suponga que el resultado del segundo lanzamiento, si lo hay, es independiente del resultado del primero. Halle el número esperado de puntos resultantes del «uno más uno». Compárelo con el número esperado de puntos de una «falta de dos tiros libres», en la que se permite lanzar una segunda vez, cualquiera que sea el resultado del primer lanzamiento.
1+1
1x1
X
P(X)
F(X)
X
P(X)
F(X)
0
0,25
0,25
0
0,0625
0,0625
1
0,1875
0,4375
1
0,375
0,4375
2
0,5625 1 2 0,5625 Se aprecia con claridad en el árbol de probabilidades
+ = 1,31 = 0.55 = 0.7417
1
= 1,5 = 0.375 = 0.6124
8. Una empresa se dedica a la importación de piezas de control numérico. a.
Un gran envío de piezas contiene un 10 por ciento de piezas defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente dos y se prueban. Sea la variable aleatoria X el número de defectos encontrados. Halla la función de probabilidad de esta variable aleatoria. b. Un envío de 20 piezas contiene dos defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente dos y se prueban. Sea la variable aleatoria Y el número de defectos encontrados. Halla la función de probabilidad de esta variable aleatoria. Explica por qué su respuesta es diferente de
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la respuesta del apartado (a).
Gran envio, 10% Defectuosas
Envio 20 piezas, 2 defectuosas
X
P(X)
F(X)
X
P(X)
F(X)
0
0,8100
0,8100
0
0,8053
0,8053
1
0,1800
0,9900
1
0,1895
0,9947
2
0,0100
1,0000
2
0,0053
1,0000
% = 0,2 = 0,18 = 0.4243
= 0,2 = 0.1554 = 0.3942
c. Halla la media y la varianza de la variable aleatoria X del apartado (a). d. Halla la media y la varianza de la variable aleatoria Y del apartado (b).
9. El director de una fábrica está considerando la posibilidad de sustituir una máquina caprichosa. El historial de la máquina indica la siguiente distribución de probabilidad del número de averías registradas en una semana. Número de verías Probabilidad F(x)
0 0,10 0,1
1 0,26 0,36
2 0,42 0,78
3 0,16 0,94
4 0,06 1
a. Halla la media y la desviación típica del número de averías semanales.
= = 1,82 = 1,0276 = 1,0137 b.
Se estima que cada avería le cuesta a la empresa 1.500 $ de producción perdida. Halla la media y la desviación típica del coste semanal de las averías de esta máquina.
= 1500 → = = 2.730,00 € = 1.520,56 € 10. Dada una variable aleatoria de Bernoulli que tiene una probabilidad de éxito calcula la media y la varianza.
= 0 , 5,
= · 1 → Recordad: =
= 0.5 = 0.5 · 10.5 = 0.5 = 0.25
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