Martha Alvarado Arellano
Carlos García Franchini Recursos en línea
en competencias
Cálculo diferencial en competencias
Martha Alvarado Alvarado Arellano Carlos García Franchini
Tecnológico Nacional de México Tecnológico Instituto Tecnológico de Puebla
Cd. de México
info editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez Supervisor de preprensa: Jorge Antonio Martínez Jiménez Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx Ilustraciones: Jorge Antonio Martínez Jiménez Fotografías: © Thinkstockphoto
Revisión Técnica: Luis Rafael Liljehult López Universidad Tecnológica de Puebla Roberto Hernández Cárdenas Universidad Mexiquense del Bicentenario Cálculo diferencial en competencias
Derechos reservados: © 2016, Martha Alvarado Arellano/Carlos García Franchini © 2016, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V C.V.. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Azcapotzalco, Ciudad de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industrial Editorial Mexicana Registro Núm. 43 ISBN ebook: 978-607-744-465-7 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presenta obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2016
A nuestros hijos Carlos, Marthy Stívaliz y Johnna, pero muy especialmente para la alegría de todos: Carlos Samuel.
IV
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
ÍNDICE DE CONTENIDO Prefacio ....................... ................................................ ................................................... .................................................... .................................................. ........................ I. Anexo. Formulario ........................ .................................................. .................................................... .................................................. ........................
XI XIII
Capítulo 1 Números reales ....................................................... .......
2
1.1 Focalización ........................ .................................................. ................................................... ................................................... ............................. ... Aplicación 1.1.1....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Propiedad de cerradura ...................... ................................................ .................................................... ................................. ....... Actividad 1.1.1 ......................... ................................................... .................................................... ................................. ....... Aplicación 1.1.2....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Actividad 1.1.2 ......................... ................................................... .................................................... ................................. ....... Aplicación 1.1.3....................... ................................................. .................................................... ................................. .......
4 4 5 5 6 6 7
1.2 Números ......................... .................................................. ................................................... .................................................... ................................. ....... Actividad 1.2.1 ......................... ................................................... .................................................... ................................. ....... Actividad 1.2.2 ......................... ................................................... .................................................... ................................. ....... Aplicación 1.2.1....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Cardinalidad y orden ........................ .................................................. ................................................... ..................................... ............ Aplicación 1.2.2....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Actividad 1.2.3 ......................... ................................................... .................................................... ................................. ....... Actividad 1.2.4 ......................... ................................................... .................................................... ................................. ....... Aplicación 1.2.3....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Aplicación 1.2.4....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Actividad 1.2.5 ......................... ................................................... .................................................... ................................. .......
8 8 9 9 10 11 11 12 13 14 15
1.3 Axiomas del cuerpo de los reales ......................... .................................................. ..................................... ............
16
1.4 Propiedades de orden de los números reales.......................... ...................................... ............ Algunos teoremas importantes .......................... ................................................... ......................................... ................
17 17
1.5 La recta numérica ......................... ................................................... ................................................... ......................................... ................ Actividad 1.5.1 ......................... ................................................... .................................................... ................................. ....... Actividad 1.5.2 ......................... ................................................... .................................................... ................................. ....... Aplicación 1.5.1....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Aplicación 1.5.2....................... ................................................. .................................................... ................................. .......
18 18 19 21 22
1.6 Intervalos ......................... .................................................. ................................................... .................................................... ................................. .......
23
1.7 Distancia .......................... ................................................... ................................................... .................................................... ................................. ....... Aplicación 1.7 1.7.1 .1 ....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Actividad 1.7 1.7.1 .1...................... ................................................ ................................................... ..................................... ............ Aplicación 1.7 1.7.2 .2 ....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Aplicación 1.7 1.7.3 .3 ....................... ................................................. .................................................... ................................. .......
25 25 26 27 28
1.8 Valor absoluto ........................ .................................................. .................................................... .................................................. ........................
28
1.9 Lo muy pequeño....................... pequeño................................................. .................................................... ............................................. ................... Actividad 1.9.1 ......................... ................................................... .................................................... ................................. .......
28 29
CONTENIDO
1.10 Lo muy grande ...................... ................................................ .................................................... .................................................. ........................ Actividad 1.10. 1.10.1 1 ....................... ................................................ ................................................... ................................. ....... Aplicación 1.10 1.10.1 .1 ......................... .................................................. ................................................... ............................. ... Aplicación 1.10 1.10.2 .2 ......................... .................................................. ................................................... ............................. ... Actividad 1.10. 1.10.2 2 ....................... ................................................ ................................................... ................................. ....... Ejercicios 1.1 ........................ .................................................. .................................................... ..................................... ........... Autoevaluación 1.1 ......................... ................................................... .................................................. ........................ Autoevaluación 1.2 ......................... ................................................... .................................................. ........................ Autoevaluación 1.3 ......................... ................................................... .................................................. ........................ Autoevaluación 1.4 ......................... ................................................... .................................................. ........................ Autoevaluación 1.5 ......................... ................................................... .................................................. ........................ Autoevaluación 1.6 ......................... ................................................... .................................................. ........................
31 31 32 33 34 35 38 39 40 40 41 41
1.11 Focalización. Desigualdades....................... ................................................. .................................................. ........................ Aplicación 1.11 1.11.1 .1 ......................... ................................................... ................................................... ............................ ... Actividad 1.11 1.11.1 .1 ....................... ................................................. ................................................... ................................ ....... Aplicación 1.11 1.11.2 .2 ......................... ................................................... ................................................... ............................ ...
42 43 43 44
1.12 Desigualdad o inecuación....................... ................................................. ................................................... ............................ ...
45
1.13 Análisis de casos ....................... ................................................. ................................................... ............................................. .................... Procedimiento 1.13........................ .................................................. .................................................. ........................
47 47
1.14 Método de verificación................ verificación.......................................... .................................................... ......................................... ............... Procedimiento 1.14........................ .................................................. .................................................. ........................
50 50
1.15 Solución y visualización gráfica de la solución empleando empleando software ....................... ................................................. ................................................... ................................................... ..................................... ...........
52
1.16 Desi Desigualdades gualdades que implican valor absoluto ...................... .......................................... .................... Procedimiento 1.16 1.16.1 .1 ........................ .................................................. .............................................. ....................
54 55
1.17 Soluciones todo o nada....................... ................................................. ................................................... ................................ ....... Actividad 1.17 1.17.1 .1 ........................ ................................................. ................................................... ................................. ....... Ejercicios 1.11...................... ................................................ .................................................... ..................................... ........... Autoevaluación 1.7 ......................... ................................................... .................................................. ........................ Solución a la autoevaluación 1.7......................... ................................................. ........................ Autoevaluación 1.8 ......................... ................................................... .................................................. ........................ Solución a la autoevaluación 1.8......................... ................................................. ........................ Autoevaluación 1.9 ......................... ................................................... .................................................. ........................ Solución a la autoevaluación 1.9......................... ................................................. ........................ Autoevaluación 1.10....................... ................................................. .................................................. ........................ Solución a la autoevaluación 1.10 .......................... .............................................. ....................
56 57 58 65 66 66 66 67 67 68 68
Capítulo 2 Funciones........................................................ .................
70
2.1 Focalización: Funciones........... Funciones.................................... ................................................... .............................................. .................... Aplicación 2.1.1....................... ................................................. .................................................... ................................. ....... Actividad 2.1.1 ......................... ................................................... .................................................... ................................. .......
72 72 73
2.2 Componentes en una relación .......................... ................................................... ......................................... ................ Actividad 2.2.1 ......................... ................................................... .................................................... ................................. .......
74 75
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V
VI
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Aplicación 2.2.1.................................................................................. Aplicación 2.2.2..................................................................................
76 77
2.3 La función ...........................................................................................................
78
2.4 Acercamiento a la gráfica de una función de en ........................ Actividad 2.4.1 .................................................................................... Actividad 2.4.2 .................................................................................... Aplicación 2.4.1.................................................................................. Acercamiento a las funciones definidas a trozos ................................. Aplicación 2.4.2.................................................................................. Actividad 2.4.3 .................................................................................... Actividad 2.4.4 .................................................................................... Actividad 2.4.5 .................................................................................... Actividad 2.4.6 .................................................................................... Aplicación 2.4.3.................................................................................. Aplicación 2.4.4..................................................................................
79 81 82 84 86 86 87 88 88 89 90 91
2.5 Gráfica de una función de en ............................................................ Efectos geométricos en las gráficas ..........................................................
92 93
2.6 Acercamiento a las operaciones con funciones ................................... Actividad 2.6.1 .................................................................................... Actividad 2.6.2 .................................................................................... Aplicación 2.6.1.................................................................................. Aplicación 2.6.2..................................................................................
93 96 97 98 99
2.7 Operaciones entre funciones ......................................................................
100
2.8 Focalización. Función composición ........................................................... 101 Aplicación 2.8.1.................................................................................. 101 Actividad 2.8.1 .................................................................................... 102 Aplicación 2.8.2.................................................................................. 102 Aplicación 2.8.3.................................................................................. 104 2.9 Función composición e inversa ..................................................................
104
2.10 Acercamiento a tipos de funciones ........................................................... Actividad 2.10.1 ................................................................................. Aplicación 2.10.1 ............................................................................... Aplicación 2.10.2 ...............................................................................
105 106 106 107
2.11 Tipos de funciones .......................................................................................... 108 Actividad 2.11.1 ................................................................................. 111 Ejercicios 2.1 ....................................................................................... 112 Autoevaluación 2.1 ........................................................................... 122 Solución a la autoevaluación 2.1................................................. 122 Autoevaluación 2.2 ........................................................................... 123 Solución a la autoevaluación 2.2................................................. 123 Autoevaluación 2.3 ........................................................................... 124 Solución a la autoevaluación 2.3................................................. 124 Autoevaluación 2.4 ........................................................................... 125
CONTENIDO
Solución a la autoevaluación 2.4................................................. Autoevaluación 2.5 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 2.5................................................. Autoevaluación 2.6 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 2.6................................................. Autoevaluación 2.7 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 2.7.................................................
126 126 127 128 128 129 130
Capítulo 3 Límites y continuidad ...................................................
132
3.1 Focalización: Límites........................................................................................ Aplicación 3.1.1.................................................................................. Actividad 3.1.1 .................................................................................... Aplicación 3.1.2.................................................................................. Actividad 3.1.2 .................................................................................... Aplicación 3.1.3..................................................................................
134 134 134 136 137 139
3.2 El límite ................................................................................................................
140
3.3 Focalización. Límites laterales ...................................................................... Actividad 3.3.1 .................................................................................... Aplicación 3.3.1..................................................................................
141 142 143
3.4 Nuevo acercamiento al límite bilateral..................................................... Actividad 3.4.1 .................................................................................... Aplicación 3.4.1..................................................................................
144 144 146
3.5 Límites laterales y el límite ...........................................................................
147
3.6 Límites infinitos .................................................................................................
148
3.7 Límites al infinito ..............................................................................................
148
3.8 Focalización. Continuidad y discontinuidad ............................................ Actividad 3.8.1 .................................................................................... Actividad 3.8.2 .................................................................................... Aplicación 3.8.1.................................................................................. Aplicación 3.8.2..................................................................................
149 149 150 151 152
3.9 Asíntotas .............................................................................................................. Actividad 3.9.1 .................................................................................... Aplicación 3.9.1.................................................................................. Actividad 3.9.2 .................................................................................... Aplicación 3.9.2..................................................................................
153 153 154 155 156
3.10 Continuidad ........................................................................................................
157
3.11 Discontinuidad ..................................................................................................
158
3.12 Teoremas sobre continuidad ....................................................................... Actividad 3.12.1 ................................................................................. Ejercicios 3.1 ....................................................................................... Autoevaluación 3.1 ...........................................................................
160 160 160 171
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VII
VIII
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Solución a la autoevaluación 3.1................................................. Autoevaluación 3.2 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 3.2................................................. Autoevaluación 3.3 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 3.3................................................. Autoevaluación 3.4 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 3.4................................................. Autoevaluación 3.5 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 3.5.................................................
171 172 173 173 174 174 175 175 176
Capítulo 4 Derivada ......................................................... ..................
178
4.1 Focalización. Derivada .................................................................................... Aplicación 4.1.1.................................................................................. Actividad 4.1.1 .................................................................................... Velocidad: razón de cambio......................................................................... Actividad 4.1.2 .................................................................................... Actividad 4.1.3 .................................................................................... Procedimiento 4.1.3......................................................................... Actividad 4.1.4 .................................................................................... Aplicación 4.1.2.................................................................................. Aplicación 4.1.3..................................................................................
180 180 181 182 182 184 184 185 186 186
4.2 Derivada .............................................................................................................. Derivada como pendiente de la recta y diferenciales........................ Actividad 4.2.1 .................................................................................... Actividad 4.2.2 .................................................................................... Aplicación 4.2.1.................................................................................. Derivadas sucesivas ........................................................................................ Actividad 4.2.3 .................................................................................... Acercamiento al crecimiento y la concavidad ....................................... Actividad 4.2.4 .................................................................................... Actividad 4.2.5 .................................................................................... Aplicación 4.2.2.................................................................................. Aplicación 4.2.3.................................................................................. Aplicación 4.2.4.................................................................................. Derivadas sucesivas y de orden superior ................................................
188 189 190 192 193 194 194 196 196 198 200 202 203 204
4.3 Focalización. Derivada lateral ....................................................................... Actividad 4.3.1 ....................................................................................
204 204
4.4 Teoremas básicos sobre derivada .............................................................. Actividad 4.4.1 .................................................................................... Actividad 4.4.2 .................................................................................... Actividad 4.4.3 .................................................................................... Aplicación 4.4.1.................................................................................. Regla de la cadena ..........................................................................................
206 206 208 210 212 213
CONTENIDO
4.5 Focalización. Funciones implícitas .............................................................. Actividad 4.5.1 .................................................................................... Derivación implícita ......................................................................................... Derivadas laterales........................................................................................... Aplicación 4.5.1.................................................................................. Actividad 4.5.2 .................................................................................... Ejercicios 4.1 ....................................................................................... Autoevaluación 4.1 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 4.1................................................. Autoevaluación 4.2 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 4.2................................................. Autoevaluación 4.3 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 4.3................................................. Autoevaluación 4.4 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 4.4................................................. Autoevaluación 4.5 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 4.5................................................. Autoevaluación 4.6 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 4.6.................................................
214 215 216 217 218 219 220 229 229 230 230 231 231 231 232 232 232 233 233
Capítulo 5 Aplicaciones de la derivada........................................ 234 5.1 Focalización. Aplicaciones de la derivada ................................................ Aplicación 5.1.1.................................................................................. Actividad 5.1.1 .................................................................................... Actividad 5.1.2 .................................................................................... Aplicación 5.1.2.................................................................................. Aplicación 5.1.3..................................................................................
236 236 237 238 239 240
5.2 La derivada ......................................................................................................... 241 Derivada como tangente de una curva ................................................... 241 Derivada como velocidad ............................................................................. 241 Derivada como razón de cambio............................................................... 242 5.3 Focalización. Máximos y mínimos.............................................................. Actividad 5.3.1 .................................................................................... Aplicación 5.3.1.................................................................................. Actividad 5.3.2 .................................................................................... Aplicación 5.3.2..................................................................................
242 242 244 245 246
5.4 Sensibilidad al cambio. Crecimiento y decrecimiento........................
246
5.5 Puntos extremos............................................................................................... Actividad 5.5.1 .................................................................................... Actividad 5.5.2 .................................................................................... Aplicación 5.5.1.................................................................................. Aplicación 5.5.2..................................................................................
248 248 249 249 251
5.6 Concavidad .........................................................................................................
252
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IX
X
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
5.7 Focalización. Gráficas de funciones ........................................................... Aplicación 5.7.1 .................................................................................. Actividad 5.7.1..................................................................................... Actividad 5.7.2..................................................................................... Aplicación 5.7.2 .................................................................................. Aplicación 5.7.3 ..................................................................................
253 253 255 256 258 261
5.8 Regla de L’Hôpital para cocientes indeterminados .............................. Actividad 5.8.1 .................................................................................... Ejercicios 5.1 ....................................................................................... Autoevaluación 5.1 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 5.1................................................. Autoevaluación 5.2 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 5.2................................................. Autoevaluación 5.3 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 5.3................................................. Autoevaluación 5.4 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 5.4................................................. Autoevaluación 5.5 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 5.5................................................. Autoevaluación 5.6 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 5.6................................................. Autoevaluación 5.7 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 5.7................................................. Autoevaluación 5.8 ........................................................................... Solución a la autoevaluación 5.8.................................................
262 263 263 278 278 279 280 280 281 281 282 283 283 284 284 285 285 286 286
FIGURAS A COLOR* Capítulo 1 .........................................................................
Capítulo 2 .........................................................................
Capítulo 3 ......................................................................... *
Las figuras en color que puedes desacargar se señalan con este icono: Visualiza
XI
PREFACIO
Internet El entorno
Durante más de treinta años hemos tenido el honor y la alegría de atender a miles de jóvenes que gustosos se acercan a las Aplicación Actividad Focalización aulas, y en muchas ocasiones se acercan por primera vez al cálculo diferencial. En ese largo camino, en el que hemos traba jado también con muchos colegas, hemos escuchado siempre que nuestras asignaturas son Resolución Ejercicio Autoevaluación Solución Teoría muy áridas, o comentarios contrastantes relacionados con que las matemáticas deben abordarFacilitador se de acuerdo con la especialiLa clase dad que cursan los estudiantes. Red social Desde luego, no estamos del todo de acuerdo con ninguna de las dos aseveraciones, pero FIGURA I. Hiperrecorrido del texto. éstas parecen estar apoyadas Actitudes por decenas de textos, que en su contenido y enfoque no parecen aportar cosas nuevas, salvo acoplarse al nuevo lenguaje académico, cultural e incluso comercial. Competencia Consideramos que el presente texto es el primero en su género, ya que trata de abordar el cálculo diferencial Saber Conocer hacer desde una óptica diferente. Se comienza por proponer un viaje sobre un texto que quisiéramos sea visto como un hipertexto que permite abordar la realidad desde cada una de sus páginas, y viajar libremente desde ella a los aspectos aplicativos, realizar actividades de aprendizaje, Observable integrar el conocimiento con otras fuentes y practicar con en la Observable actividad en el producto I planteamos esta idea. Inicialmente, abordaremos cada concepto por medio de aplicaciones, en donde deseamos Competencias genéricas que el lector observe al concepto en acción y, sin conocerlo, vaya extrayendo su esencia para lograr extraerlo y FIGURA II. Competencias. saber posteriormente en qué se aplica. Paralelamente trabajaremos con los conocimientos El centro de la estrategia didáctica que se promueve en el texto es la focalización, que consideramos pro picia el enfoque hacia lo ya conocido, y buscamos de aprendizaje grupal. Finalmente, se analizará la teoría trasformar por medio de una serie de actividades para fortalecer el conocimiento y realizar ejercicios que y cuestionamientos, a los cuales cada uno habrá de reflexionar y encontrar respuesta, para después socializar en la clase e incluso contrastar contra la teoría, tal forma que se permita reconstruir o fortalecer el Para todos es importante construir nuevas competen- de conocimiento sobre cada concepto. D e s e m p e ñ o
XII
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
las competencias genéricas, pero sobre todo poder mani. festarlas en nuestros desempeños por medio de la activi- A Actitudes dad presencial u observable a través de la calidad de los In erés por los fenómenos o even os de la globalidad Gus o por expresar ma emá icamen e los fenómenos econóproductos que construimos, sin desprender los tres elemicos mentos que se movilizan en una competencia: las actitu- Desempeños Exposición de los da os y sín esis de la información E . Productos Actitudes No necesario Limpieza y exac i ud de los razos en las gráficas - Criterios de calidad Gus o por emplear el lenguaje gráfico como par e de las maemáuraleza icas de i. omen arios de reflexión en clase sobre la na cepto bajo estudio y verlo en acción, pero en cada actilos índices en la bolsa de valores Productos i a de fuen es consul adas del ema de da os económicos Reflexión de la bolsasobre de el razo de la derivada por el mé odo gráfico; vidad habrán de generarse evidencias para demostrar el iii.ii. Búsqueda razo de los res ejemplos valores Criterios de calidad desempeño. Colegas profesores: este texto no es lineal; la Características del producto i. Respues a correc a a las res pregun as Ex ensión: una cuar illa ii. Trazo gráfico de la derivada de los res ejemplos Individual Equipo iii. Trazo correc o de las angen es Fecha de en rega: iv. Aplicación correc a del procedimien o 4 1 3 Obliga orio Op a ivo El texto es un libro de trabajo que permite trazar el ca- Sugerencias Características del producto Ex ensión: libre lendario de las actividades en el mismo, ya que las tablas Produc o op a ivo en equipo Individual Equipo Equipos de res personas Fecha en rega: Que los equipos expongan sus da os y posición en elde ema, Obliga orioque Op a ivo de manera muy breve, respec o de empresas regionales co icen en la bolsa Sugerencias: auxiliarán al lector en todo momento, ya que indican en Produc o obliga orio individual Medi ar cómo se razan en la compu adora las gráficas de la cada actividad qué competencias genéricas se fortalecen derivada a una curva y qué debe observarse para evaluar la competencia. - FIGURA III . Guía para rúbrica. APLICACIÓN 4.1.3
CTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR
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se deben descargar del código QR que se menciona en la tabla de contenido del libro.
Martha Alvarado Arellano Carlos García Franchini
Cada guía para rúbrica indica el tipo de actividad a realizar y si se recomienda como trabajo extraclase o para reflexión grupal. Además, señala si el desempeño será observable en el producto o en las actividades, así como las actitudes que se espera fortalecer y los criterios de calidad que se promoverá para evaluar cada evidencia. En cuanto a la sección característica del producto, esta permite las anotaciones del programa propio, y finalmente se aporta una serie de sugerencias sobre actividades de clase, de búsqueda, de ampliación de contenidos, de posibles proyectos, etc.a
XIII
I. ANEXO. FORMULARIO Axiomas de los números reales: Axioma 0a: Propiedad de cerradura de la suma: para cada x y y, números reales, la suma x y es otro número real. Axioma 0p: Propiedad de cerradura del producto: para cada x y y, números reales, el producto xy es un número
real.
Axioma 1: Propiedad conmutativa de la suma: xyyx
Axioma 2: Propiedad asociativa de la suma: x (y z) (x y) z
Axioma 3: Existencia del elemento neutro aditivo. Existe un
número real único 0 tal que:
0 x x 0 x Axioma 4: Existencia del inverso aditivo: Para cada número real x existe un número real x tal que x (x) (x) x 0
Axioma 5: Propiedad conmutativa del producto: xy yx
Axioma 6: Propiedad asociativa del producto: x(yz) (xy)z
Axioma 7: Existencia del elemento neutro multiplicativo: Existe
un número real único, 1 diferente de 0, tal que 1x x1 x
Axioma 8: Existencia del inverso multiplicativo o recíproco: Para cada número real x, pero no para el cero, existe un número x1 tal que: xx1 x1x 1
Axioma 9: Propiedad distributiva: x(y z) xy xz
XIV
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Propiedades de los números reales: P1.1
Propiedad de tricotomía: Para a y b números reales se ve a b, b a, a b.
P1.2
Si a b es a c b c.
P1.3
Si a b y c 0 es ac bc.
P1.4
Propiedad transitiva: Si a b, b c, es a c.
T1.1
a b a c, entonces b c.
T1.2
Posibilidades de la sustracción: Dado a y b, existe un x tal que a x b, x se designa por b a.
T1.3
b a b (a).
T1.4
(a) a.
T1.5
a(b c) ab ac.
T1.6
0a a0 0.
T1.7
ab ac y a 0, entonces b c.
T1.8
Posibilidades de la división: Dados a y b con a 0, existe un y sólo un x tal que ax b. La x se designa por denomina cociente de b y a. En particular,
T1.9
Si a 0, entonces
b a
1 a
b y se a
a1.
ba1.
T1.10 Si a 0, entonces (a1)1 a. T1.11 Si ab 0 entonces o a 0 o b 0. (La o puede implicar ambos.) T1.12 (a)b (ab) y (a)(b) ab. T1.13
a c (ad + bc ) b + d = (bd ) si b 0 y d 0.
I. ANEXO:
T1.14
a c (ac ) b d = bd si b 0 y d 0. ( )
T1.15
a b (ad ) = si b 0, c 0 y d 0. c (bc ) d
T1.16 Si a 0, a2 0. T1.17 1 0. T1.18 Si a b y c 0, es ac bc. T1.19 Si a b, es a b. En particular, si a 0, es a 0. T1.20 Si ab 0, entonces a y b son ambos positivos o ambos negativos. T1.21 Si a c y b d, entonces a b c d. T1.22 Si a 0, es |x| a, si y sólo si a x a. T1.23 Si |x| a, se sigue que o x a o x a. T1.24 Desigualdad del triángulo. Para x y y números reales: |x y| |x| |y|. a2
T1.25
a
Exponentes E1
xnxm xn m
E2
xn xm
E3
(xn)m xnm
E4
1 x
n
= xn − m
= x−n
E5
(xy)n xnyn
E6
x x n y = y n
E6
x 1/2
n
x
FORMULARIO
w
XV
XVI
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
E7
x 1/n
nx
E8
x n/m
= m x n = (m x )
E9
( xy )
E10 E11
n m
n n
n/m
x
x
y
n
n
= m ( xy ) = (m xy ) = m x n m y n n
nm x n
x ; y 0. y
Álgebra A1
(x y)2 x2 2xy y2
A2
(x y)(x y) x2 y2
A3
(x y)3 x3 3x2y 3xy2 y3
A4
x3 y3 (x y)(x2 xy y2)
A5
n! n(n 1)(n 2)...1
A6
0! 1
A7
n! n(n 1)!
A8
n n! n (n − 1)…(n − k + 1) n (n − 1)…( k + 1) = k = k ! (n − k) ! = (n − k ) ! k!
A9
n n k = n − k
A10
n n n = 0 = 1 n
A10
∑a = a + a 1
i
2
+ + an
i =1
A11
n
n
n
( x + y ) = ∑ x k y n− k k k=0
n
( x + y) = x + nx n
n−1
y+
n (n − 1)
2
n k n− k n− 1 n k x y + + nxy + y k =0 n
2 n − 2 + +
x y
∑
I. ANEXO: FORMULARIO
A12
Si ax2 bx c 0, entonces x n
A13
∑ca = c∑a i
i
n
n
∑(a ± b ) = ∑a ± ∑b i
i
i
i=1
i=1
i
i= 1
A15
|a| a, si a 0; |a| a, si a 0
A16
|ab| |a||b|
A18 A19
a b
− 4ac
i=1
n
A17
a ; b 0 b
|an| |a|n Si y loga x, entonces ay x.
A20
loga 1 0
A21
loga a 1
A22
log10 x log x
A23
loge x ln x
A24
loga xy loga x loga y
A25
x log a = log a x − log a y y
A26
loga xr r loga x
A27
log a x
ln x ln a
Geometría G1
XVII
n
i=1
A14
−b ± b 2 = 2a
w
h
Área del rectángulo: A bh
b
FIGURA I.1
Rectángulo.
XVIII
G2
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Área del triángulo: A
h
bh
2 b FIGURA I.2
Triángulo.
d
G3
Área del trapecio: A =
(b + d )
2
h
h b FIGURA I.3
G4
Área del círculo: A πr 2
G5
Perímetro de la circunferencia: P 2 πr
G6
Arco de círculo: s r θ, θ radianes.
Trapecio.
s
G7
Área de sector circular: A
2
θr
2
, θ radianes.
θ
r FIGURA I.4
G8
Área de la esfera: A 4 πr 2
G9
4 Volumen de la esfera: V πr 3 3
Arco y sector circular.
I. ANEXO:
FORMULARIO
w
r
G10
Volumen del cilindro: V πr 2h h
FIGURA I.5
G11
Cilindro.
h
1 Volumen de pirámide: V Abase h 3 base FIGURA I.6
G12
Pirámide (cono) genérica.
h
1 Volumen del cono: V πr 2 h 3 r
FIGURA I.7
Geometría analítica Ga1
Distancia entre los puntos (x1, y1) y (x2, y2): d
Ga2
2
= ( x 2 − x 1 ) + (y 2 − y 1 )
2
Coordenadas del punto medio entre los puntos ( x1, y1) y (x2, y2): x
=
x1
y +y + x2 ,y= 1 2 2 2
Cono.
XIX
XX
w
Ga3
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Pendiente de la recta que pasa por los puntos ( x1, y1) y (x2, y2): m=
y2 x2
− y1 − x1
Ga4
Ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m: y y1 m(x x1)
Ga5
Ecuación de la recta con ordenada en el origen b y pendiente m: y mx b
Ga6
Pendiente m1 de la recta normal a la recta de pendiente m: m1
Ga7
Ga8
=−
1 m
Parábola con eje paralelo al eje y vértice en (x1, y1): y y1 k(x x1)2, k es cualquier número real.
FIGURA I.8
Parábola.
FIGURA I.9
Circunferencia.
Circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r : (x h)2 (y k)2 r 2
I. ANEXO:
Ga9
FORMULARIO
w
XXI
Elipse con centro en el punto (h, k) y semiejes paralelos a los ejes coordenados:
(x − h)
2
a2
2
(y − k ) = 1, + 2 b
a y b son números reales positivos.
Ga10
FIGURA I.10
Elipse.
FIGURA I.11
Hipérbola.
Hipérbola con centro en el punto (h, k) y semiejes paralelos a los ejes coordenados: 2 2 ( x − h) ( y − k ) − = 1, a y b son números reales 2 2 a
b
positivos.
Trigonometría π
Tr1
1°
Tr2
sen θ
a c
Tr3
cos θ
b c
180
radianes (rad), 1 rad
tan θ
a b
Tr5
cot θ
b a
Tr6
sec θ
c b
Tr7
csc θ
c a
Tr4
180 π
c
a
x b FIGURA I.12
Razones trigonométricas.
XXII
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
En el círculo trigonométrico: d
Tr8
sen x a
Tr9
cos x b
f
Tr10
tan x c
b
e x
r = 1
Tr11
cot x d
Tr12
sec x f
Tr13
csc x e FIGURA I.13
Tr14 θ
rad
sen θ
cos θ
tan θ
0°
0
0
1
0
π
1 2
2
4
2 2
2 2
1
π
3
2
1 2
3
1
0
0
1
0
30° 45° 60° 90° 180°
6 π
3 π
2 π
Tr15
csc x
1 sen x
Tr16
sec x
1 cos x
Tr17
cot x
1 tan x
Tr18
tan x
sen x cos x
Tr19
cot x
cos x sen x
3
3 3
Círculo trigonométrico.
c a
I. ANEXO:
Tr20
sen2 x cos2 x 1
Tr21
1 tan2 x sec2 x
Tr22
1 cot2 x csc2 x
Tr23
sen (x) sen x
Tr24
cos (x) cos x
Tr25
tan (x) tan x
Tr26
π sen − x = cos x 2
Tr27
π cos − x = sen x 2
Tr28
π tan − x = cot x 2
Tr29
Ley de senos:
Tr30
Ley de cosenos: c 2 a 2 b 2 2 ab cos c
Tr31
sen (x y) sen x cos y cos x sen y
Tr32
cos (x y) cos x cos y sen x sen y
Tr33
tan ( x ± y ) =
Tr34
sen 2x 2 sen x cos x
Tr35
cos 2x cos2 x sen2 x 2 cos2 x 1
sen A a
sen B b
sen C c
tan x ± tan y 1 ∓ tan x tan y
cos 2x 1 2 sen2 x 2 tan x 1 − tan 2 x
Tr36
tan 2 x =
Tr37
1 sen 2 x = (1 − cos 2 x ) 2
Tr38
1 cos2 x = (1 + cos 2 x) 2
Tr39
2 sen x cos y sen (x y) sen (x y)
Tr40
2 cos x sen y sen (x y) sen (x y)
FORMULARIO
w
XXIII
XXIV
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Tr41
2 cos x cos y cos (x y) cos (x y)
Tr42
2 sen x sen y cos (x y) cos (x y)
Funciones hiperbólicas ex
+ e− x 2
ex
− e− x 2
Fh1
senh x =
Fh2
cosh x =
Fh3
tanh x
senh x cosh x
Fh4
csch x
1 senh x
Fh5
sech x
1 cosh x
Fh6
coth x
cosh x senh x
Fh7
senh (x) senh x
Fh8
cosh (x) cosh x
Fh9
cosh2 x senh2 x 1
Fh10
1 tanh2 x sech2 x
Fh11
senh (x y) senh x cosh y cosh x senh y
Fh12
cosh (x y) cosh x cosh y senh x senh y
Derivadas Considerando u f (x), v g(x), c una constante: D1
d c dx
D2
d ( du u + v) = dx dx
0 +
dv dx
I. ANEXO:
D3
d ( ) dv du +v uv = u dx dx dx
D4
d u = dx v
du dv −u v dx dx 2 v
D5
df dg d ( f ( g( x )) = dx dg dx
D6
d n u dx
= nun− 1
D7
d u e dx
eu
D8
d u a dx
a u ln a
D9
d 1 du ln u dx u dx
D10
d 1 du log a u dx u ln a dx
D11
d du sen u cos u dx dx
D12
d du cos u = −sen u dx dx
D13
d du tan u = −sec2 u dx dx
D14
d du cot u = − csc2 u dx dx
D15
d du sec u sec u tan u dx dx
D16
d csc u = dx
du dx
du dx du dx
du dx
− csc u cot u
FORMULARIO
w
XXV
XXVI
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
1 du 1 − u2 dx
D17
d sen −1 u = dx
D18
d cos−1 u = dx
D19
d 1 du tan −1u = dx 1 + u 2 dx
D20
d sec−1 u dx
D21
d csc−1 u = dx
−
du u u2 − 1 dx
D22
d cot −1 u = dx
−
1 du 1 + u2 dx
D23
d du senh u cosh u dx dx
D24
d du cosh u senh u dx dx
D25
d du tanh u sech 2 u dx dx
D26
d du coth u = − csch 2 u dx dx
D27
d du sech u = −sech u tanh u dx dx
D28
d du csch u = − csch u coth u dx dx
D29
d senh −1 u = dx
1 du 1 + u2 dx
D30
d cosh −1 u = dx
du 1 u 2 − 1 dx
=
−
1 du 1 − u2 dx
1
du u u2 − 1 dx
1
I. ANEXO:
D31
d 1 du tanh −1 u = dx 1 − u2 dx
D32
d sech −1 u = dx
−
D33
d csch −1 u = dx
−
D34
d 1 du coth −1 u = dx 1 − u2 dx
du 1 u 1 − u2 dx
1
du u u2 + 1 dx
FORMULARIO
w
1
2
Capítulo
1
Números reales
COMPETENCIA DISCIPLINAR DEL CURSO El alumno es competente si analiza, abstrae y propone soluciones a situaciones que involucren variación en una sola variable independiente, empleando como herramienta fundamental la graficación y el cálculo diferencial.
ELEMENTO DE LA COMPETENCIA DISCIPLINAR: El alumno es competente si aplica correctamente las propiedades de los números reales en la resolución de desigualdades.
CALENDARIO DEL PORTAFOLIO Fecha
DE EVIDENCIAS
Evidencia
Fecha
Evidencia
Aplicación 1.1.1
Actividad 1.2.5
Actividad 1.1.1
Actividad 1.5.1
Aplicación 1.1.2
Actividad 1.5.2
Actividad 1.1.2
Aplicación 1.5.1
Aplicación 1.1.3
Aplicación 1.5.2
Actividad 1.2.1
Aplicación 1.7.1
Actividad 1.2.2
Actividad 1.7.1
Aplicación 1.2.1
Aplicación 1.7.2
Aplicación 1.2.2
Aplicación 1.7.3
Actividad 1.2.3
Actividad 1.9.1
Actividad 1.2.4
Actividad 1.10.1
Aplicación 1.2.3
Aplicación 1.10.1
Aplicación 1.2.4
Aplicación 1.10.2
3
Fecha
Evidencia Actividad 1.10.2 Ejercicios 1.1 Autoevaluación 1.1 Autoevaluación 1.2 Autoevaluación 1.3 Autoevaluación 1.4 Autoevaluación 1.5 Autoevaluación 1.6 Aplicación 1.11.1 Actividad 1.11.1 Aplicación 1.11.2 Actividad 1.17.1 Ejercicios 1.11 Autoevaluación 1.7 Autoevaluación 1.8 Autoevaluación 1.9 Autoevaluación 1.10
Otras evidencias
Fecha
Evidencia
4
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
1.1 FOCALIZACIÓN
ñ
Cuántos objetos están presentes en nuestra vida o cuántos deseas: pero también otros que son conceptos abstractos, como las ideas, la libertad o la paz, entre muchos otros. Cada uno de esos objetos pre pertenece o no a cierta clase. Por ejemplo, si te dan una fruta, debe Esos conceptos los has asimilado a lo largo de tu vida, y aparen pruebas de pertenencia o no pertenencia a un conjunto, clase o categoría de objetos.
Aplicación 1.1.1 Muchos conceptos se aprenden con base en la experiencia, y siendo objetos físicos o ideas les asociamos un nombre para referirnos a siempre se está seguro de que se comunica adecuadamente lo que es; esos conceptos se denominan primitivos, y un ejemplo de ellos es el concepto de punto, y otro que empleamos en muchas ocasiones es el de número. Siempre habrá intentos fallidos o acertados de junto que agrupa objetos, y cotidianamente efectuamos pruebas de pertenencia de manera inconsciente o consciente para referirnos a P(x), luego podemos escribir el concepto C como C {xP(x)}, en donde x es una instancia del concepto y decimos que xεC , o menos estrictamente y de manera cotidiana que x es C . Por ejemplo, si P(x) “la estrella más cercana a la Tierra”, luego la única instancia x que cum de llamar igualmente C Sol. de las instancias x podría ser “medio de transporte acuático”, o posiblemente el concepto “barca”, de donde se observa que a veces un objeto satisface mente para que no se presten a confusiones al comunicarnos. a b) ¿Algunos de los objetos que observas son instancias del mismo
APLICACIÓN 1.1.1 ACTIVIDAD PARA MEDITAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Calidad en el producto. Desempeños Ñ Observar trabajo en equipo y participación en clase. Productos Ñ Ensayo con comentarios, dudas y respuesta a cada uno de los cuestionamientos. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la redacción. ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos. iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etcétera”. iv. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definiciones de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes. v. Originalidad. vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo. } Equipos de cuatro integrantes.
CAPÍTULO 1
w
5
c) ¿Cuáles son los conceptos que pueden describir a los objetos en
d
Propiedad de cerradura
Adicionalmente, transformas esos objetos que pertenecen a tu mundo, los combinas, los mezclas, los mides, los cuentas y con ello produces otros que pueden ser o no de la misma clase. Por ejemplo, si a un conjunto de lápices le agrego otro lápiz, el resultado sigue siendo un conjunto de lápices; pero si “reúno adecuadamente” un grupo de hojas, un resorte y dos “pastas” ge- FIGURA 1.1 Ejemplo de objetos. nero “un cuaderno”, que es un objeto diferente a los objetos que lo es cerrada, y en el segundo es no cerrada. De igual manera podrás decir si un objeto matemático es un previamente. Si realizas sumas entre números el resultado es otro el conjunto de los números que sirven para contar. ACTIVIDAD 1.1.1 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actividad 1.1.1 La propiedad de las operaciones sobre los elementos de un conjunto que se ha analizado se denomina propiedad de cerradura, y se caracteriza por el hecho de operar objetos de un conjunto y obtener como resultado objetos del mismo conjunto. Observa a tu alrededor y concéntrate en las características de los objetos: 1. Tienes
una silla y traes otra silla para cada 2. Si buscas a un amigo por teléfono y al no encontrarlo le dejas un mensaje para que se si en lugar de comunicarse llega a tu casa o te 3. Ve a la cocina de tu casa y prepárate un empa 4. En la plaza del pueblo se escucha que toca una banda, y otro músico se agrega al conjunto y comienza a tocar la melodía. ¿La opera
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Calidad en el producto. Productos Ñ Ensayo con comentarios, dudas y respuesta a cada uno de los cinco cuestionamientos. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la redacción. ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos. iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. iv. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definiciones de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes. v. Originalidad y unicidad de los ejemplos. vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio. } Individual.
6
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
5. Redacta al menos tres ejemplos de operaciones cerradas y tres
APLICACIÓN 1.1.2
que no lo sean. Discútelos con tus compañeros.
ACTIVIDAD PARA MEDITAR Y DISCUTIR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Aplicación 1.1.2 El ciones del viento o de las corrientes marinas “chocan” las olas. El no es cerrada. Las operaciones transforman a los objetos que participan en ellas, pero es muy importante estar seguro de qué clase de cosas se tienen en el resultado. Muchas veces se aceptan los resultados de 5. Si se pregunta a un niño de primaria posiblemente su respuesta sea: “no se puede”, ya que su dominio personal está en los enteros positivos y el objeto comúnmente aceptado que genera esta resolverlo. Al ampliar la clase de los objetos sobre la que actúa la expandir nuestro concepto de número al menos hasta los enteros negativos. Lo mismo ocurre cuando se intenta resolver x 0, Mira a tu alrededor y observa los objetos que te rodean; todos están hechos por transformaciones entre objetos. Analiza algunos y contempla la cerradura o falta de ella.
Actividad 1.1.2 Existen diferentes tipos de números, de los cuales los más comunes son aquellos que se emplean mina números naturales ( ). : 1. Escribe
una historia hipotética de por qué y tipos de números: a) El cero. b) Los enteros negativos ().
Actitudes Ñ Participación en equipo. Ñ Manifestación del interés. Ñ Defensa de las propias propuestas. Desempeños Ñ Observar trabajo en equipo y participación en clase. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en las explicaciones y preguntas. Sugerencias } Establecer discusión grupal y preguntas dirigidas.
FIGURA 1.2
Ejemplo de operaciones.
ACTIVIDAD 1.1.2 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Calidad en el producto. Productos Ñ Ensayo con la historia hipotética (1) y conclusiones que inclu yan las respuestas a (2) y (3). Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la redacción. ii. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definiciones de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes.
CAPÍTULO 1
c) Los fraccionarios o, más correctamente,
los “racionales” (). d) Los complejos (). 2. 3. ¿Crees que las diferentes operaciones sobre
Aplicación 1.1.3 jan lo que está ocurriendo con cada una de las variables que interesan son números. valores, entre otros indicadores. 1. ¿Qué clases de números se emplean para re-
Visita la página:
http://www.banamex.com/economia_ a
Finanzas.
w
iii. Originalidad. iv. Uso de mapas conceptuales para clarificar las ideas.
7
Ô
Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio. } Equipos de tres personas. } Exposición de conclusiones por dos equipos.
APLICACIÓN 1.1.3 ACTIVIDAD
PARA INVESTIGAR Y DEBATIR GRUPALMENTE.
Actitudes Ñ Participación en equipo. Ñ Manifestación del interés. Ñ Interés por la investigación y la situación económica actual. Desempeños Ñ Observar trabajo en equipo y participación en clase. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en las explicaciones y preguntas. Sugerencias } Actividad optativa. } Establecer debate sobre indicadores de la situación económica entre dos equipos. } Preguntas dirigidas.
2. 3. 4. Cuando una cantidad cambia con el tiempo y quieres conocer
5. ¿Qué crees que representa mejor la “historia” de una variable: 6. 7. compárala con esta que ya visitaste. Si eres estudiante presencial,
http ://www.banamex.com/economia_finanzas/es/ divisas_metales/resumen.htm
8
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
1.2 NÚMEROS
ñ
Los números son uno de los elementos fundamentales de las matemáticas. Si bien no son los únicos objetos que estudia esta parte de la ciencia, sí resultan ser un elemento esencial de su génesis. En la actualidad, después de todo el deNúmeros reales Racionales de los mismos; es decir, se construyen sus Enteros características por medio de axiomas y se Enteros parte de las propiedades observadas para Naturales negativos Irracionales los números naturales para construir un sistema más amplio a partir del análisis de Cero las extensiones a la propiedad de cerradura Los números naturales o enteros positivos a los enteros negativos { FIGURA 1.3 Subconjuntos de los números reales . los que a su vez, y conjuntamente con el cero, forman el conjunto este conjunto . A este conjunto pertenecen aquellos números que se forman como cociente entre dos enteros, donde obviamente el denominador no puede ser cero. El conjunto de los irracionales () corresponde con todos aquellos números que no son racionales, muchos de los cuales surgen principalmente . De manera particular, el hecho de que el número π sea irracional es un teorema; es ( ) conforman el conjunto de los números reales . Los números sirven para representar las magnitudes presentes en los objetos. Cuando esos ob- ACTIVIDAD 1.2.1 jetos son conjuntos, los números permiten saber E VALUACIÓN POR PRODUCTO . cuántos elementos tiene el conjunto, y a esa ac- Actitudes contar . Sin embargo, existen Ñ Puntualidad en la entrega. objetos que tienen magnitudes que no se pueden Ñ Interés en traducir las situaciones al pensamiento matemácontar sino medir . En el primer caso se les detico. nomina magnitudes discretas, y en el segundo, Productos ÓÌ Ô magnitudes continuas.
Actividad 1.2.1 Observa por tu ventana y analiza los objetos que ves: 1.
en los objetos y describe si son magnitudes discretas o continuas.
Ñ Respuesta escrita a los cuatro cuestionamientos.
Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la argumentación. ii. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definiciones de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes. iii. Originalidad y unicidad de las magnitudes (1). iv. Uso de mapas conceptuales para clarificar la argumentación.
CAPÍTULO 1
Ahora analiza los siguientes objetos abstractos: 2. Los números pares son objetos discretos, pero
¿hay más números pares o más números im 3. saberlo. 4. ¿Hay más animales en el mundo que núme
Actividad 1.2.2 Contar y medir son operaciones que se realizan sobre conjuntos; ambas son operaciones de com 1. ¿Qué cosas se comparan cuando cuentas 2. ¿Qué cosas se comparan cuando mides 3.
y a la inversa, las cosas que se cuentan, ¿se
Prepara un ensayo sobre la esencia de contar y medir.
Aplicación 1.2.1 Toma una página de una revista que te guste y analízala: Ü ¿Cuántos números ves Ü ¿Cuántos números hay Ü ¿Hay diferencia entre las preguntas anterio-
Como ejemplo para ilustrar lo anterior se ella se ven “algunos números”, pero en realidad hay muchos: desde las propias dimensiones de las páginas hasta aquellos que se consideraron para el diseño: el alto de la banda superior, las dimensiones de las bandas, el tamaño de las letras, muchos otros. Para los diseñadores también los los físicos, los colores tienen longitudes de onda
Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio. } Individual.
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Ô
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ACTIVIDAD 1.2.2 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Productos Ñ Ensayo sobre contar y medir, que integre la respuesta a las tres preguntas. Criterios de calidad i. Claridad, congruencia y ortografía en la redacción. ii. Manifestación de las propias ideas y en caso de definiciones de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes. iii. Respuesta a las preguntas. iv. Uso de mapas conceptuales para clarificar la argumentación. v. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio. } Individual.
APLICACIÓN 1.2.1 ACTIVIDAD
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PARA REFLEXIÓN Y ANÁLISIS GRUPAL .
Actitudes Ñ Participación en equipo. Ñ Pensamiento crítico. Ñ Asombro ante la belleza. Desempeños } Observar trabajo en equipo y participación en clase.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
los trazos fueran hechos a mano, ¿las magnitudes que se han considerado serán magnitudes conti Para otro ejemplo en el que debes responder a que más te guste, o por ejemplo esta: http://www.clipart.com/
Ô
Productos Ñ No necesario.
Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en las explicaciones y preguntas. Sugerencias } Actividad optativa. } Mostrar “fractales” descargados de Internet. } Preguntas dirigidas.
1. -
mersos, pero en este caso si pudieras mirar el 2. Ahora observa a tu alrededor. ¿Cuántos números ves y cuántos 3. 4. Los números también representan estética; es decir, permiten belleza; al respecto, puedes visitar la siguiente página: http://www.enchgallery.com/index.htm
FIGURA 1.4
http ://www.clipart.com/
http ://www.enchgallery.com/index.htm
Cardinalidad y orden
Toma en una mano cinco monedas y en la otra cinco clips o bolitas La propiedad común se llama cardinalidad y es simplemente el “número de elementos del conjunto”; así, un número natural Si ahora tomas un puñado de monedas en una mano y en la otra uno de clips, y los comparas, podría ocurrir que tengan el mismo número o que uno tenga más que el otro; los números tienen esa cualidad: son “ordenados”. Esta cualidad es muy importante, ya que te permite tomar muchas decisiones a lo largo de toda tu
Usando los números.
ÓÌÔ
CAPÍTULO 1
vida, al poder decidir cuál es más grande entre dos números; es decir, ponerlos en “orden” de cardinalidad.
APLICACIÓN 1.2.2
Aplicación 1.2.2
Actitudes Ñ Participación en equipo. Ñ Pensamiento lateral y divergente.
cardinalidad es conocida. Pero, ¿qué puedes decir de la cantidad de calcio que tienen los huesos de cristal de laboratorio; desde luego, se obser laboratorio se emplea para medir volúmenes; el volumen es una magnitud continua. Ü ¿Qué otros dispositivos, aparatos o material
Ü Ü ¿Cuáles son los límites máximo y mínimo que Ü Ü Ü
ACTIVIDAD GRUPAL .
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PARA INVESTIGACIÓN , REFLEXIÓN Y ANÁLISIS
Desempeños Ñ Observar trabajo en equipo y participación en clase. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en las reflexiones y conclusiones. Sugerencias } Actividad optativa. } Preguntas dirigidas hacia la naturaleza de los conjuntos no contables.
Actividad 1.2.3 La cualidad de orden de los números naturales tos caracterizada por en la que para obtener el siguiente elemento de la FIGURA 1.5 Un conjun- FIGURA 1.6 Un conjunto contable un nuevo elemento de la misma clase, y con ello to contable finito. finito. se aumenta su cardinalidad. Esta cualidad a su vez genera otras más interesantes: ÓÌÔ 1. ACTIVIDAD 1.2.3 E VALUACIÓN POR PRODUCTO . personas y a la derecha un grupo de m perso Actitudes nas, comparas y ocurre que: a) m , b) m , Ñ Limpieza. o c) m , ¿pueden ocurrir dos de estos casos a Puntualidad en la entrega. Ñ Ñ Liderazgo. te sirve conocer esto. Proporciona los ejemplos Ñ Creatividad. que consideres pertinentes.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
2. -
Ô Productos Ñ Ensayo sobre las operaciones básicas (comparar y ordenar), que incluya sus conclusiones y ejemplos de las cinco preguntas.
dera a los mismos grupos del numeral previo, pero ahora llega un tercer grupo y agregas exactamente la mitad de sus integrantes en Criterios de calidad algebraica y explica qué ocurre al comparar i. Claridad, congruencia y ortografía en la redacción. nuevamente el tamaño de los grupos. Emplea ii. Respuesta a las cinco preguntas. los ejemplos que consideres pertinentes. iii. Uso de diagramas o mapas conceptuales para clarificar la argumentación. 3. iv. Originalidad y unicidad de los ejemplos. exactamente la misma cantidad de dinero (c), y les pides juntar todo su efectivo en cada Características del producto } Extensión: una cuartilla. te y explica qué ocurre con las cantidades de } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® rarlas. Utiliza los ejemplos que consideres pertinentes. Sugerencias 4. } Producto obligatorio. c } Equipos de tres integrantes. } Discusión de la pregunta: ¿Son realmente suma, resta, multipor persona. Si le pides a cada persona que plicación y división las operaciones aritméticas básicas? ÓÌ Ô aporte una cantidad de dinero k y todos te quedan a deber la misma cantidad q porque no les alcanza, compara ahora la deuda de ejemplos que consideres pertinentes. 5. Redacta un ejemplo en el que se puedan observar situaciones análogas a estas y compártelo con tus compañeros de equipo. Prepara un ensayo sobre la esencia de comparar y ordenar.
Actividad 1.2.4 Existe un elemento muy importante en los números enteros que se denomina cero, que se escribe 0. Seguramente esto no es ninguna novedad para 1. Si estuvieras contando y propones 0 como re-
sultado de contar, ¿qué ocurre con el conjunto 2. 3. Haz un poco de ejercicio, párate y camina cinco pasos hacia delante, y después cinco pasos hacia atrás. Si realizaste adecuadamente partida. ¿No te moviste nada, o simplemente
ACTIVIDAD 1.2.4
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Liderazgo. Ñ Cooperación grupal. Ñ Respeto a las ideas divergentes. Productos Ñ Ensayo sobre la naturaleza del cero y sus diferentes interpretaciones, incluyendo la discusión y las conclusiones sobre los ocho cuestionamientos. Criterios de calidad i. Claridad, congruencia y ortografía en la redacción. ii. Uso de diagramas o mapas conceptuales para clarificar la argumentación. iii. Respuesta a las ocho preguntas.
CAPÍTULO 1
4. Continúa
con el ejercicio, juega “vencidas” con tus propias manos, empujando una contra la otra y aplicando tu fuerza máxima. ¿Cuál No aplicaste fuerza, o quizá la que aplicaste con cada brazo era igual pero de sentido contrario, digamos F (F
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Ô iv. Integración de los diversos puntos de vista en el ensayo. v. Registro de la participación grupal. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
El cero sirve para representar la cardinalidad del Sugerencias } Producto obligatorio. conjunto vacío (y por tanto no estás contando, por} Equipos de tres integrantes. que no hay nada que contar, lo que explica por qué } Discusión del concepto de equilibrio desde el punto de vista el cero no es un número natural), pero su esencia es de diversas ciencias y artes. ÓÌÔ mostrar la igualdad de fuerzas o actos que se oponen entre dos objetos. El cero representa el equilibrio, pero también que aún no hay nada que contar. Las siguientes 5. 6. 7. Las hormigas transportan una hoja, y en cierto
momento todas
jalaban al mismo tiempo y la hoja no se movía. 8. El temblor fue bastante fuerte, pero al cabo de unos momentos Dialoga acerca de tus apreciaciones con tus compañeros y con tu facilitador. http ://www.juegosfan.com/alchemy/
Aplicación 1.2.3 En la red podrás encontrar el juego “Alchemy” en http://www.juegosfan.com/alchemy/ Es momento de que descanses un poco y te diviertas con él. ¿Puedes escribir el conjunto de reglas que tiene y convertirlo en un juego con números exclu na “buscaminas”. Escribe su conjunto de reglas y describe al menos cinco situaciones en las que sin ver todos los cuadros descubiertos alrededor de otro se puede saber que existe una o varias minas ocultas. Aplica las reglas encontradas y observa que este
APLICACIÓN 1.2.3 ACTIVIDAD GRUPAL .
ÓÌÔ
PARA INVESTIGACIÓN , REFLEXIÓN Y DIVERSIÓN
Actitudes Ñ Competencia sana entre equipos. Ñ Pensamiento lateral y divergente. Ñ Alegría en el aprendizaje. Desempeños Ñ Observar la competencia sana entre equipos y conclusiones en situaciones lúdicas. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en las reflexiones y conclusiones. ii. Alegría en la actividad. iii. Participación en la competencia.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
no se tuvo suerte. Si no era así, indica en qué posi con seguridad .
Ô Sugerencias } Actividad optativa. } Preguntas dirigidas sobre reglas matemáticas en deportes y juegos de mesa. ÓÌÔ
APLICACIÓN 1.2.4 ACTIVIDAD PARA INVESTIGACIÓN , REFLEXIÓN Y ANÁLISIS GRUPAL .
FIGURA 1.7
Buscaminas (http://buscaminas.eu).
Aplicación 1.2.4
Actitudes } Disposición para el trabajo autónomo y la investigación. Desempeños } No necesarios. Productos } No necesario.
pretar con el orden de los números. Por ejemplo, ¿sabes por qué el Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en las re flexiones y conclusiones. ii. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definiciones cociente entre la masa del cuerpo y el volumen que ocupa. Así, de libros, revistas o sitios de Incuando un líquido tiene menor densidad es desplazado por otro ternet, citar las fuentes. con mayor densidad y que ocupe el mismo volumen; por tanto, el de más alta densidad es más pesado y cae al fondo. Sugerencias } Actividad individual optativa. } Preguntas dirigidas sobre el tema in vestigado. que el yate está hecho de materiales de más alta densidad que la pa —la parte que se hunde sobre el agua— y la cantidad de masa total del yate no tiene una densidad mayor que la del agua (ésta es otra forma de interpretar el principio de Arquímedes), por lo que se observa que el orden entre los números trasciende a las magnitudes físicas que representan. Otro ejemplo muy importante del orden de los números y de sustancias líquidas FIGURA 1.8 ¿Conoces el principio de Arquímedes?
CAPÍTULO 1
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15
se evapora puedes separarla y enfriarla para que sea líquida nuevamente. Así, cuando esta primera sustancia se evapora totalmen
Actividad 1.2.5
ACTIVIDAD 1.2.5
i.
ii.
iii.
iv. v. vi. vii.
(5 5 x xy xy y 2x
5
con y x x 5 . ¿ viii. ix. Plantea a tus compañeros cinco expresiones tan complejas como quieras. El reto es realizarlas presionando el menor número de teclas en la calculadora y, desde luego, de manera correcta. Resuelve también las que ellos te envíen y ade Comparte tus apreciaciones con tus compañeros y con tu facilitador. Si tienes dudas acerca de las funciones de tu calculadora, coméntalas con tus compañeros. Seguramente alguno tendrá una igual y te podrá ayudar.
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E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO.
Actitudes Ñ Participación en el grupo. Ñ Liderazgo. Ñ Alegría en la participación. Ñ Defensa de las propias ideas. Ñ Respeto a las normas. Productos Ñ No es necesario. Desempeño Ñ Observación del desarrollo de cada uno de los ejercicios en la sesión de clase, apoyando a los compañeros con menor desempeño. Criterios de calidad i. Congruencia en los argumentos. ii. Empeño por participar en la discusión. iii. Muestra de haber logrado el resultado presionando el menor número de teclas. iv. Manifestación de apoyo a los compañeros con menor desempeño. v. Planteamiento de nuevos ejercicios retadores al grupo para el punto ix. Características del producto } No necesario.
ÓÌÔ Sugerencias } Actividad obligatoria. } Equipos de cuatro integrantes. } Presentación de las funciones de las teclas en diferentes calculadoras por los equipos estudiantiles.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
1.3 AXIOMAS DEL CUERPO DE LOS REALES
ñ
Junto con el conjunto de los números reales se supone la existencia de x y y se puede formar la suma x y, que es otro número real. De la misma forma, el producto de x por y (designado por xy) es un número real. La suma x y y el producto xy están unívocamente determinados por x y y. Por tanto, para cualesquiera números reales x, y y z dados se cumple: Axioma 1.
Propiedad conmutativa de la suma: xyyx
Axioma 2.
Propiedad asociativa de la suma: x (y z) (x y) z
. Axioma 3
Existencia del elemento neutro aditivo: Existe un número real único que se denota por 0, tal que para cada número real x se tiene: 0 x x 0 x
Axioma 4 .
Existencia del inverso aditivo: Para cada número real x existe un número real denotado por x tal que: x (x) (x) x 0
. Axioma 5
Propiedad conmutativa del producto: xy yx
. Axioma 6
Propiedad asociativa del producto: x(yz) (xy)z
Axioma 7 .
Existencia del elemento neutro multiplicativo: Existe de 0, tal que para cada número real x se tiene: x x x
. Axioma 8
Existencia del inverso multiplicativo o recíproco: Para cada número real x, pero no para el cero, existe un número real denotado por x, tal que: xx xx
Axioma 9 .
Propiedad distributiva: x(y z) xy xz
CAPÍTULO 1
1.4 PROPIEDADES DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES
ñ
Defínase el símbolo “ x y y, que se escribe x y, y se lee “x es que y” si “y x es ”. De igual forma, el símbolo x y si “y x es ”, leyéndose en este caso “x que y”. P1.1
Propiedad de tricotomía: Para a y b números reales cuales a b, b a, a b .
P1.2
Si a b es a c b c, para todo número real c.
P1.3
Si a b y c 0, es ac bc.
P1.4
Propiedad transitiva: Si a b, b c, es a c.
Algunos teoremas importantes
T1.1
a b a c, entonces b c.
T1.2
a y b, existe un x tal que a x b; este número x se designa por b a.
T1.3
b a b (a)
T1.4
(a) a
T1.5
a(b c) ab ac
T1.6
0a a0 0
T1.7
ab ac y a 0, entonces b c.
T1.8
a y b con a 0, existe x tal que ax b. La x se designa por b/a y se denomina cociente de b y a a a.
T1.9
Si a 0, entonces b/a = ba .
T1.10 Si a 0, entonces (a) a. T1.11 Si ab 0, entonces a 0 o b 0. (La o puede implicar ambos.)
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
T1.12 (a)b (ab) y (a)(b) ab. T1.13 (a/b) (c/d) (ad bc)/(bd) si b 0 y d 0. T1.14 (a/b)(c/d) (ac)/(bd) si b 0 y d 0. T1.15 (a/b)/(c/d) (ad)/(bc) si b 0, c 0 y d 0. T1.16 Si a 0, a 0. T1.17 0. T1.18 Si a b y c 0, es ac bc. T1.19 Si a b, es a b. En particular si a 0, es a 0. T1.20 Si ab 0, entonces a y b son ambos positivos o ambos negativos. T1.21 Si a c y b d, entonces a b c d.
1.5 LA RECTA NUMÉRICA El objeto geométrico ideal más simple es el pun por lo que realmente no lo podemos ver, pero por cuestiones prácticas aceptamos que su trazo es visible al hacerlo con la punta de un lápiz como geométrico ideal es la recta, y sabemos que por dos puntos cualesquiera pasa una y solo una recta. Adicionalmente, para medir empleamos una recta métrica, la cual es un segmento de recta a la que le asociamos a cada punto un número real positivo —iniciando con el cero—, de tal forma que la distancia entre cada dos enteros consecutivos sea exactamente la misma: esa es la unidad una vez ubicado el origen (el cero) se extiende de nando un punto a cada número real.
Actividad 1.5.1 lente de aumento muy poderoso enfocado en la 1. ¿Los
puntos amarrados uno a uno como las
ñ
ACTIVIDAD 1.5.1
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Creatividad. Ñ Cooperación grupal. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Respeto a las ideas divergentes. Productos Ñ Ensayo sobre la naturaleza de la recta compuesta de puntos. Ilustra cada pregunta con una figura y explica por qué sí o por qué no consideras que ese caso identifica tu visualización de la recta. Da respuesta también a las preguntas 8 y 9, e incluye conclusiones de tus apreciaciones. Criterios de calidad i. Claridad, congruencia y ortografía en la redacción. ii. Presentación de las ilustraciones con la argumentación que clarifique tus conclusiones. iii. Respuesta a las nueve preguntas. iv. Integración de los diversos puntos de vista en el ensayo. v. Registro de la bitácora de la discusión grupal. vi. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etcétera”. Características del producto } Extensión: una cuartilla.
CAPÍTULO 1
2. ¿Puntos acomodados como piedras para pa-
3. 4.
Enfoca con más aumento lo que estás viendo e imagina un insecto pequeñísimo —del tamaño de un punto— caminado sobre la recta. ¿Qué ves 5. El insecto salta de punto en punto cuidando
} Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
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Sugerencias } Producto obligatorio. } Equipos de tres integrantes. } Discusión del concepto de punto, recta, átomo, molécula, materia, objetos abstractos. } Exposición de diferentes propuestas de demostración de la pregunta 8 generadas por los equipos. ÓÌÔ
de no pisar en los huecos. 6. El insecto camina despreocupado, y pide que hasta le cubras los ojos, ya que está seguro que donde pise habrá un punto. 7. 8. mentos de recta en muchos objetos. 9. Si la materia se compone de átomos, ¿la
recta
ACTIVIDAD 1.5.2 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Si se toma uno o varios pedacitos de la recta numérica pueden ocurrir cosas interesantes.
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Creatividad. Ñ Interés en la abstracción.
Actividad 1.5.2
Productos Ñ Respuesta a las 13 preguntas del cuestionario.
Los números enteros poseen la cualidad de que cada uno tiene un antecedente y un consecuente; es decir, un número único que está justo antes , su antecedente es Si se toma la recta de los reales y se obser porque no estamos hablando solamente de los enteros, ya que si suponemos que lo encontra δ para algún número δ δ
Criterios de calidad i. Claridad, congruencia y ortografía en la redacción. ii. Uso de diagramas para representar sus respuestas. iii. Respuesta a las 13 preguntas. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio. } Equipos de tres integrantes. } Encargar que se incluya como un punto adicional al cuestionario el axioma del Supremo.
20
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Son tan densos que ésta es la propiedad de densidad de los números reales. Si ahora tomas un pedacito de la recta (digamos el que está en mos, y además con un paréntesis cuadrado si “sí se incluye el extremo” y con paréntesis circular si “no se incluye el extremo”, se pueden generar cuatro casos, denominados intervalos, por ejemplo a b c d 1. ¿Cuáles de estos intervalos tienen elemento menor y cuáles tie-
Ahora:
2.
3. Si tienes los intervalos ( 4. 5. Cuando tomas de la recta todo lo que queda a un lado, se emplea el símbolo no termina, o bien si es a la izquierda, por lo que toda la recta será (, ). 6. [5, ) 7. (
Cada uno de los siguientes casos tiene un error. ¿Tú qué opinas 8. [ 9.
[, 5) 11. (5, ) 12. 10.
CAPÍTULO 1
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Ahora imagina un insecto del tamaño de un punto al que le pides que camine a ciegas sobre los intervalos de recta de tu pro 13.
Aplicación 1.5.1 Existen muchas magnitudes físicas que se pueden representar con los números reales; sin embargo, por la propia naturaleza de los fe los reales, que llamamos intervalos. Por ejemplo: 1. ¿Recuerdas
cuál es la temperatura corporal 2. ¿Cuál es la temperatura más baja y la más alta 3. ¿Cuál es el rango de voltaje que puede acep 4. ¿Qué horarios has dedicado en los últimos 5. 6. 7. centaje de impuesto al producto del trabajo, 8. ¿Qué ángulo puedes girar las llantas de un vuelta a la izquierda a cierta velocidad en una 9. ¿En qué horario debes dormir aproximadamente para sentirte descansado a lo largo del 10. ¿A qué rango de peso le llamarías estar obeso 11. ¿Qué sentido le das a que una persona de tu Sin duda tienes muchos ejemplos más; todos ellos emplean intervalos. Exprésalos para analizarlos.
APLICACIÓN 1.5.1 ACTIVIDAD
PARA REFLEXIÓN Y ANÁLISIS GRUPAL .
Actitudes Ñ Disposición para el diálogo grupal. Ñ Apoyo a los compañeros con menor desempeño. Ñ Interés en la participación. Ñ Alegría en la participación. Ñ Defensa de las propias ideas. Ñ Respeto a las normas. Productos Ñ No necesario. Desempeños Ñ Observación de la participación en el grupo y apoyo a los compañeros. Criterios de calidad i. Congruencia en los argumentos. ii. Empeño por participar en la discusión. iii. Muestra de haber analizado cada uno de los casos antes de emitir su opinión. iv. Manifestación de apoyo a los compañeros con menor desempeño. v. Planteamiento de nuevos ejemplos. Características del producto } No necesario. Sugerencias } Actividad obligatoria a desarrollar como parte de la sesión de clase. } Análisis de por qué y cómo es necesario clarificar casos difusos como gordo, alto, moreno, resistente, caliente y otros semejantes.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Aplicación 1.5.2 indicadores/Paginas/tarifas_pp.aspx 1.
Tarifa para el cálculo de los pagos provisionales que se deban efectuar durante 2016, tratándose de enajenación de inmuebles a que se re�eje la regla 3.15.4, de la Resolución Miscelánea Fiscal para 2015.
http ://www.sat.gob.mx/informacion_fiscal/tablas_ indicadores/Paginas/tarifas_pp.aspx
APLICACIÓN 1.5.2 ACTIVIDAD PARA LA INVESTIGACIÓN , REFLEXIÓN Y ANÁLISIS GRUPAL .
Actitudes Ñ Disposición para el diálogo grupal. Ñ Responsabilidad social. Ñ Interés en los problemas nacionales. Ñ Defensa de las propias ideas. Productos Ñ No necesario.
FIGURA 1.9
Tarifa de pagos del ISR por enajenación de inmuebles.
Dicha tabla presenta una serie de datos para calcular impuestos 000.00, la tabla indica que el impuesto 000 000 Haz un análisis de la tabla y responde: a b) c d) e
f
¿Quién paga más impuestos proporcionalmente: una persona ¿Quién paga más impuestos: el que gana mucho o el que gana tenimiento, predial, servicios públicos y otros. Amplía tu respuesta del punto anterior considerando estos comentarios. por servicios, costo del mantenimiento de los propietarios, y la renta anual que cobrarías si es de tu familia y la rentaras, o lo que
Desempeños Ñ Observación de la participación en el grupo y calidad de la información presentada. Criterios de calidad i. Calidad y cantidad de la información presentada en la sesión. ii. Congruencia en los argumentos. iii. Empeño por participar en la discusión. iv. Muestra de haber analizado cada uno de los casos antes de emitir su opinión. v. Planteamiento de otros análisis no planteados en la actividad. Características del producto } No necesario. Sugerencias } Actividad obligatoria a desarrollarse como parte de la sesión de clase. } Análisis de alguno de los problemas económicos de actualidad y ventilados en los noticiarios nacionales (por ejemplo, variación de indicadores de la bolsa, precios del petróleo, precio del dólar o índice de la canasta básica).
CAPÍTULO 1
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están pagando si es rentada. Haz el balance considerando el pago de impuestos. Compara al menos con los datos de otros dos com
1.6 INTERVALOS
ñ
La familiaridad que se tiene con puntos de la recta permite darles recta, se elige un punto y se marca como cero y partir de él hacia un punto sobre esa recta. Adoptando los axiomas asociados a la geometría euclidiana, cada número real tiene un y solo un punto asignado sobre la recta, y recíprocamente cada punto tiene un nú segmentos sobre los cuales se sobreentiende que la recta continúa a b implica que a está a la izquierda de b, y que si un punto x está entre a y b, satisface la desigualdad a x b debe ser tomada como una prueba formal de algo que se trata de puramente analítica, dependiendo de axiomas, teoremas y argu La desigualdad a x b es un subconjunto de los reales que de var, no contiene a sus extremos; por esa cualidad se llama intervalo abierto, y lo denotamos por ( a, b), lo cual no debe confundirse con por el contexto. TABLA 1.1
Tipos de intervalos
Notación
Nomenclatura
Representación
a x b; (a, b)
Intervalo abierto
a
b
a x b; (a, b]
Intervalo semiabierto por la izquierda
a
b
24
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
TABLA 1.1
Ô
Tipos de intervalos (continuación )
Notación
Nomenclatura
Representación
a x b; [a, b)
Intervalo semiabierto por la derecha
a
b
a x b; [a, b]
Intervalo cerrado
a
b
x a; (, a)
Intervalo infinito abierto por la derecha
a
x a; (, a]
Intervalo infinito cerrado por la derecha
a
x a; (a, )
Intervalo infinito abierto por la izquierda
a
x a; [a, )
Intervalo infinito cerrado por la izquierda
a
x a; [a, a]
El punto a
a
x a; (, a) (a, )
Los reales excepto a
a
x ; (, )
Los números reales
0
x 0; (0, )
Números reales positivos
x 0; (, 0)
Números reales negativos
( x h, x h)
Vecindad de x de radio h
(a, a]
0
No es realmente un intervalo, pero existen muchas formas de que se tenga un conjunto vacío.
Debido a que los intervalos son conjuntos, son perfectamente ferencia entre intervalos, de acuerdo con las consideraciones que
0
x – h
x
x+h
CAPÍTULO 1
TABLA 1.2
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25
Operaciones con intervalos
Operación
Significado
Ejemplo y su representación gráfica
Sean J y K intervalos
El conjunto de las x tales que x está en J o x está en K o en ambos.
Unión: J K
La unión no necesariamente da como resultado un intervalo.
a
b c
a
(a, b] ∪ (c , d ] = (a, d ]
a
Intersección: J K
El conjunto de las x que está en J, pero también en K .
d
b c
d
(a, b] ∩ (c , d ] = (c , b] a
Complemento: J
El conjunto de las x que no está en J.
El conjunto de las x que está en J y no está en K .
1.7 DISTANCIA
b (a, b]’
a
Diferencia: J K
d
b c
a
c
d (a, b] − (c , d ] = (a, c ]
ñ
ti está un arroyo, y en ese momento te tapan los ojos, te hacen girar y después te piden caminar a ciegas, ¿cuántos metros te atreverías exactamente los objetos; lo que interesa es la distancia a la que se encuentran. Esta magnitud depende directamente de la diferencia positiva; así, muchos de los problemas reales emplean el concepto cotidiano de distancia.
Aplicación 1.7.1 La magnitud física a la que denominamos distancia tiene como cualidad esencial ser siempre positiva, y se basa en el simple hecho de poder trazar una recta imaginaria entre los dos cuerpos en referencia. Observa a tu alrededor y aproxima la distancia a la que se encuentran de ti los diferentes ob jetos. El monitor de tu computadora estará muy
APLICACIÓN 1.7.1 ACTIVIDAD PARA LA INVESTIGACIÓN , REFLEXIÓN Y ANÁLISIS INDIVIDUAL , PLANTEAMIENTO DE LAS CONCLUSIONES PERSONALES ANTE EL GRUPO.
Actitudes Ñ Disposición para la abstracción de situaciones reales. Ñ Voluntad para el trabajo autónomo. Ñ Valoración de la diversidad de ideas. Productos Ñ No necesario.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
sideras ubicado en el origen y, sin importar la cuerpo deseado y mides. Para medir la distancia entre dos objetos lejanos a ti efectúas una refe gen en uno de ellos y trazas la recta para medir nuevamente hacia el otro, sin importar la direc dos cuerpos, resultando siempre en una magnitud positiva. origen sobre la misma recta, la distancia se podrá calcular encontrando la diferencia entre sus misma línea recta dentro del mismo espacio está y está a la misma distancia de ti, se indica esta re posiciones entre barras para indicar que es positiva e indistinta, por lo que
Ô Desempeños Ñ Observación de la participación en el grupo y calidad de la información presentada. Criterios de calidad i. Calidad y cantidad de la información presentada en la sesión. ii. Congruencia en los argumentos y las reflexiones. iii. Empeño por participar en la discusión. iv. Muestra haber analizado cada uno de los casos antes de emitir su opinión. Características del producto } No necesario. Sugerencias } Actividad obligatoria a desarrollar como parte de la sesión de clase. } Análisis de la distancia euclidiana y por qué se emplea como aproximación en los problemas físicos. Discutir en qué condiciones ya no puede ser aplicada y mostrar cómo se calcula en esos casos.
Ahora: 1. Si tres cuerpos no están sobre la misma línea recta, ¿qué rela desigualdad del triángulo
diaria. 2. 3.
Actividad 1.7.1 Cuando vas en la carretera ves señalamientos de la distancia que falta para llegar a alguna ciudad. En términos estrictos, si ves común de llamar a la longitud de una trayectoria o recorrido es distancia. Esta longitud del recorrido, o distancia recorrida, supuesto que la trayectoria se puede representar mediante una curva ideal, se corresponde con el concepto matemático de longitud de curva.
ACTIVIDAD 1.7.1
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Liderazgo. Ñ Trabajo en equipo. Ñ Creatividad. Ñ Interés en la abstracción. Productos Ñ Solución al problema de la mosca y la araña, y conclusión a las preguntas sobre el adagio y sobre el mundial de futbol. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia de los argumentos en la solución y las respuestas. ii. Uso de diagramas para representar sus análisis. iii. Solución correcta al problema. iv. Respuesta a las cuatro preguntas. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
CAPÍTULO 1
w
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Ô ¿Qué tan válido es el adagio “el camino más corto entre dos Sugerencias } Producto obligatorio. Resuelve lo siguiente: Una araña y una mosca están ubicadas } Equipos de tres integrantes. } Plantear: ¿Qué es una geodésica? Ô ÓÌ yectoria más corta y su longitud, de tal manera que la araña camine y llegue a donde está la mosca de la manera más rápida posible. La respuesta del problema anterior te muestra que la distancia corresponde con trayectorias rectas, y que una trayectoria imposible de recorrer no puede ser considerada como una trayectoria válida. Recuerda no confundir distancia con 2m 1m longitud de curva; estos son conceptos diferentes y coinci3m 2m 1m den únicamente si la trayectoria recorrida es una recta. Si vas al mundial de futbol, a donde sea que éste se lleve a cabo, y partes desde la Ciudad de México, ¿la trayecto 6m 8m aproximadamente la distancia recorrida o longitud de la FIGURA 1.10
Aplicación 1.7.2 escuela, y se ha decidido el punto como más adecuado para colocar fotografía y se hizo el trazo que se muestra, suponiendo que hay
¿Una recta es la distancia más corta?
APLICACIÓN 1.7.2 ACTIVIDAD PARA REFLEXIÓN.
Actitudes Ñ Interés por la abstracción de situaciones reales. Ñ Valoración de la toma de decisiones. Productos Ñ No necesario. Desempeños Ñ Observación de la participación y externalización de las reflexiones individuales ante el grupo. Criterios de calidad i. Congruencia en los argumentos. ii. Empeño por participar en la discusión. iii. Planteamiento de nuevas situaciones ejemplo. Características del producto } No necesario.
FIGURA 1.11
Fotografía aérea de una escuela.
Sugerencias } Actividad individual opcional. } Análisis de la extensión de concepto de distancia a lugares geométricos, reflexión de la definición de la circunferencia y otros lugares geométricos.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Aplicación 1.7.3
APLICACIÓN 1.7.3
ante posibles desastres naturales. En el estado de Colima es críti Puebla, Morelos, Ciudad de México y el estado de México ocurre lo detectar la presencia potencial de tormentas, y una vez que se captan éstas se proyecta su posible recorrido para dar la alerta a los posibles lugares donde pueden hacer sentir sus efectos. Uno de estos centros en Estados Unidos de América es el localizado mediante h. Visita los satélites activos, donde podrás ver animaciones tanto del recorrido de los bancos de nubes como de los huracanes. Realiza cálculos de las distancias que tenga la tormenta a los diferentes lugares que te interesen y vigila su trayectoria.
1.8 VALOR ABSOLUTO
ñ
Si x es un número real, el valor absoluto de x es un número real no negativo denotado por x x ; si x ≥ 0 x= − x ; si x < 0 Se puede observar que el número x también puede ser llamado distancia de x al origen. Observa que si x es positivo, x sigue siendo positivo, mientras que si x es negativo, entonces x Los siguientes teoremas revisten singular importancia: T1.22 Si a 0, es x a, si y solo si a x a. T1.23 Si x a, se sigue que x a o x a. T1.24 Desigualdad del triángulo: Para x y y números reales cualesquiera se tiene que x y x y.
1.9 LO MUY PEQUEÑO
ñ
Al hombre siempre le ha fascinado el análisis de lo muy pequeño,
ACTIVIDAD DE INVESTIGACIÓN GRUPAL EN INTERNET.
Actitudes Ñ Interés por la diversidad cultural. Ñ Valoración de la preservación del medio ambiente. Ñ Interés por la investigación. Productos Ñ Reporte grupal de seguimiento de alguno de los fenómenos naturales que afecten a la región o de otros estados o países en los que se puedan comunicar con amigos afectados. Criterios de calidad i. Planeación y formulación del proyecto. ii. Registro de la velocidad y trayectoria del fenómeno estudiado. iii. Bitácora de la participación de los integrantes del equipo en el proyecto. iv. Metodología y desarrollo de la investigación. v. Inclusión de reflexiones y conclusiones sobre uso de la distancia en el fenómeno bajo estudio. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad grupal opcional. } Equipos de cinco personas. } Considerar puntos adicionales si se integra el reporte en el portafolio de evidencias.
CAPÍTULO 1
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rozamiento y las pérdidas que por él ocurren están presentes debido a las pequeñísimas imperfecciones de los cuerpos que tienen ñas diferencias de formas de pensar y actuar de los individuos, entre otros. En las matemáticas también muchas de las explicaciones de los reales. Cada área de la ciencia ha incorporado tecnología o técnicas para observar lo muy pequeño. La física cuenta con la cámara de niebla, la biología con el ACTIVIDAD 1.9.1 microscopio, y la matemática posee los conceptos E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO. Actitudes En esta última disciplina lo muy pequeño co- Ñ Liderazgo. bra importancia cuando se habla de los números Ñ Trabajo en equipo. Ñ Creatividad. otro; así, el proceso matemático de acercarnos a Ñ Interés en la abstracción. lo matemáticamente muy pequeño es vislumbrar Productos Ñ No es necesario.
Actividad 1.9.1 el siguiente número real a otro número w dado lleva a meditar que, sin importar qué tan cerca localices a un número x de otro w, siempre existirá otro número z que está entre los dos. Como los números son ordenados se puede escribir w z x, tal que z está más cerca de w que el número x, por lo que la distancia entre los números también w z w x Cuando se continúa el proceso de acercamiento del número x al w, resulta ser el equivalente de emplear un muy poderoso microscopio con aumento creciente para medir la distancia entre los números y poder encontrar diferentes números z x y los z están a la “derecha” de w: w ... z z ... z z z x 1.
tén cada vez más cerca de 5, por la derecha.
trar por la izquierda; es decir, los números satisfacen ahora x z z z ... z z w
Desempeños Ñ Interpretación correcta de cada uno de los 17 cuestionamientos, adecuada argumentación para defender sus propuestas y muestra de solidaridad con sus compañeros con menor desempeño. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia de los argumentos en la solución y las respuestas. ii. Identificación correcta de los casos equivalentes. iii. Solución correcta a las secuencias solicitadas. iv. Comprensión de que existen infinitas secuencias que tienen el mismo efecto en cada caso, sin afectar el objetivo de “acercarse”. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad obligatoria a desarrollarse dentro de las sesiones de clase. } Equipos de cinco integrantes. Cada equipo nombra un representante para las discusiones, apoyado por sus coequiperos. } Plantear secuencias de acercamiento oscilatorias alrededor del punto. } Cuestionar por qué se puede considerar que mientras el álgebra es estática, la nueva operación identificada por el operador es dinámica.
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w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
2.
más a 5 por la izquierda. 3. cerca de 0 por la derecha. 4. cerca de 0 por la izquierda. 5. ca de 6. w con cada z en cada uno de los incisos previos y compáralos. 7. Observa que el análisis de las distancias en los cuatro casos w al que se quiera acercar, ni tampoco el número x con el que se inicie. El número z encontrado está tan cerca de w que su distancia con w será casi cero. Este proceso dinámico te permite imaginar el sentido por donde te acerques lo podemos escrib ir w x 0. tará respectivamente el acercamiento por la izquierda (viene del lado negativo) y por la derecha (viene del lado positivo) con el signo como superíndice. 8. x 0 9. x 0 10. x w 11. x w 12. x w 13. x w 14. x w δ 15. x 16. x 17. x
El “microscopio” de las matemáticas tiene un ajuste que me jora cada vez más el aumento. Lo hemos expresado como , y
CAPÍTULO 1
1.10 LO MUY GRANDE
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ñ
En contraparte con la cercanía (o lo muy pequeño) se da aquello ma que, al igual que el estudio de las galaxias, en sus dimensiones plemente, cobra una importancia crucial no solo en la astronomía, sino también en lo cotidiano.
Actividad 1.10.1 sin medida y, por tanto, inalcanzable desde cual mos perder de vista la posibilidad de concebir lo por el proceso x 0. De manera matemática, el concepto de lo ciones: a
mos la idea de que dado un número siempre será posible encontrar el número como cardinalidad. Al conjunto de los números naturales les podemos asociar la cardinalidad , entendiendo con esto que el proceso de contar se puede realizar, pero que nunca concluye para los números naturales. Así, el no es estrictamente un número, pero lo emplearemos como tal. Los conjuntos que tienen esta cardinalidad cubren una cualidad muy interesante, ya que se les puede encontrar subconjuntos que tienen la misma cardinalidad . Por ejemplo, ¿qué cardinalidad le asignarías a existe ningún conjunto de elementos físicos juntos de este tipo se denominan conjuntos b) La imposibilidad de encontrar el siguiente número real a otro dado muestra la densidad de los números reales y, por tanto, la imposibilidad de contarlos, por lo que los números reales son un conjunto incontable y de una
ACTIVIDAD 1.10.1 E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO.
Actitudes Ñ Liderazgo. Ñ Trabajo en equipo. Ñ Interés por la investigación. Ñ Creatividad. Ñ Interés en la abstracción. Productos Ñ No es necesario. Desempeños Ñ Interpretación correcta de las tres acepciones de infinito señaladas, uso de información sobre los transfinitos, adecuada argumentación para defender sus propuestas a los seis cuestionamientos y muestra de solidaridad con sus compañeros con menor desempeño. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia de los argumentos en las respuestas y ejemplos. ii. Creatividad en la proposición de ejemplos. iii. Participación en los debates. iv. Adecuado argumento sobre la afirmación de que “los conjuntos de objetos físicos son contables finitos”. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad obligatoria a desarrollarse dentro de las sesiones de clase. } Equipos de cinco integrantes. Cada equipo nombra un representante para las discusiones, apoyado por sus coequiperos. } Encargar previamente información sobre la teoría de los transfinitos. } Sugerir lecturas como Kasner y Newman. Matemáticas e ima ginación, cap. 2. CECSA. México, 1972.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
cardinalidad diferente y mayor a (a la cardinalidad de se le denomina que 0 0 ). Una diferencia en ambos conjuntos ( y ) es que entre dos números naturales dados siempre se puede saber exactamente cuántos otros naturales hay, mientras que entre dos números reales existen tantos números reales como todo . c) Sin embargo, la idea de también se emplea para expresar la enorme distancia que tienen algunos números positivos respecto del cero, mientras que el proceso de análisis que cada vez nos sentamos por x , o x si se quiere ser reiterativo. Paralelamente a este proceso se puede considerar el sentido opuesto (hacia la izquierda), por lo que la idea de alejamiento enorme por , y el proceso de análisis en esa zona por x . Da respuesta a lo siguiente: 1.
nitos. 2. Localiza al menos cinco ejemplos de conjuntos contables 3. Localiza al menos cinco ejemplos de conjuntos no contables. 4. ¿Podrá existir una magnitud física que se pueda considerar 5. ¿Podrá existir una magnitud física que se pueda considerar APLICACIÓN 1.10.1 menos dos ejemplos. APLICACIÓN 1.10.2 6. ¿Podrá existir una magnitud física que se pueda considerar análoga a un conjunto in- ACTIVIDADES PARA REFLEXIÓN INDIVIDUAL. - Actitudes tiva, da al menos dos ejemplos. Ñ Interés por la abstracción de situaciones reales.
Aplicación 1.10.1 París. Esta fotografía fue compuesta con más de to tomado del pie de la página en que se exhibe.
Ñ Interés por la comunicación en un segundo idioma. Ñ Interés por la cultura general.
Productos Ñ No necesario. Desempeño Ñ No necesario. Sugerencias } Actividad individual opcional. } Encargar ilustraciones de cosas muy pequeñas y muy grandes.
CAPÍTULO 1
¡Explanation: This is what Europe looks like at night! C an you find your favorite European city? Although not all of Europe is shown, city lights might make this task possible. Continental outlines have been artificially drawn in yellow. The above picture is actually a composite of over 200 images made by satellites orbiting the Earth. Scans were made by the USAF Defense Meteorological Satellite Program (DMSP) Operational Linescan System. The DMSP satellites continue to help in the understanding and prediction of weather phenomena as well as provide key information about population patterns, city light levels, and even rural forest fires. FIGURA 1.12
Europa de noche.
minosidad de ciudades cercanas en ocasiones conforma un solo punto. Resulta igualmente difícil detectar el aparato de Golgi en una célula mediante un microscopio de poco aumento. Esta diferencia naturaleza de la densidad de los números reales. Nada es pequeño cuando se observa desde su propia escala, y por ello nada es grande desde el mismo punto de vista; lo único que se puede asegurar es que los objetos pueden ordenarse de acuerdo con su tamaño. compara con las dimensiones de la Vía Láctea!
Aplicación 1.10.2 Desde nuestra escala humana, el planeta Tierra tiene magnitudes que podemos concebir ya que estamos seguros de que las podemos recorrer en un tiempo prudente con los medios de transporte actuales. Pero cuando nuestros ojos se posan en el cielo e imagi
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
concebir como puntos muy pequeños que hemos mini ya que interpretamos que los objetos se empequeñecen a nuestros ojos conforme nos alejamos de ellos. Entonces, ¿qué tan lejos está cada estrella si sus dimensiones Observa fotografías tomadas desde los telescopios
Actividad 1.10.2 Medita sobre las siguientes proposiciones, expresa tu punto de vista, discútelo con tus compañeros y realiza un ensayo que contenga esas ideas. los números naturales no son cerrados a la FIGURA 1.13 M16 y la nebulosa del Águila. resta, ¿qué podríamos agregar a este conjunto ÓÌÔ 2. Considera que inicias con los números naACTIVIDAD 1.10.2 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTOS. - Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. tensiones a los naturales genera cada opera Ñ Trabajo en equipo. Ñ Limpieza en el desarrollo. 3. Ñ Interés en la abstracción. drada y analiza que no es racional. De- Ñ Interés por la investigación. muéstralo. Productos 4. El número π es irracional. ¿Se puede conocer Ñ Documento que contenga las respuestas individuales a los 12 cuestionamientos. 1. Como
número = − permite crear, bajo las mismas propiedades de los reales, un nuevo superconjunto de números: los números complejos constante . 6. 7. 8. 9. 5. El
Desempeños Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia de los argumentos en las respuestas y ejemplos. ii. Creatividad en la proposición de ejemplos. iii. Respuesta a todos los cuestionamientos. iv. Integración de las propias ideas. v. Integración de diagramas o mapas conceptuales para mejorar las explicaciones. vi. Unicidad de los ejemplos, respecto de los propuestos por los compañeros. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ®
CAPÍTULO 1
¿O bien que dado un punto en la recta numé 10. ¿El símbolo ¿Es válido escribir intervalos que lo contengan, 11. son los conjuntos en que se puede aplicar una sas que se cuentan y cosas que se miden. ¿La 12. En muchas de nuestras aplicaciones diarias no hacemos uso de los números reales. Mu
Ejercicios 1.1 niños hacer una regla de madera y se le dio a mún en ambas reglas al que le corresponda el 1.1.1
Solución
} Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
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Ô
Sugerencias } Actividad obligatoria de evaluación sumativa. } Se permite la integración de equipos para estudiar las respuestas. } Propiciar el aprendizaje colaborativo; aun así, las respuestas deben ser individuales. ÓÌÔ
EJERCICIOS 1.1 ACTIVIDAD
DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Actitudes Ñ Trabajo en equipo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante intente la solución de los ejercicios antes de ver su resolución. Aun así, puesto que algún ejercicio puede representar una situación novedosa, se incluye la resolución para que el estudiante la estudie, la analice cuidadosamente y plantee sus dudas en la clase al facilitador o con sus compañeros de equipo. Desempeños Ñ No necesario.
Coloca ambas reglas alineadas. El primer niño le u ubicado a partir del extremo izquierdo sobre la regla el numeral por lo u , en donde u está en centímetros. De la misma forma, el segun sobre la regla el numeral m, 5m. Ahora, si el punto buscado existe, u y m , 5 se tiene
Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los ejercicios. ii. Presentación en clase o con los compañeros de ejercicios tomados de otras fuentes.
u
Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para preguntas sobre los ejercicios. } Propiciar el aprendizaje colaborativo.
por lo que se concluye que el punto solicitado sí existe, le corresponde el numeral bas reglas, por lo que no está físicamente sobre la madera.
Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
de los cuales mide la temperatura en grados centígrados (C) y el otro en grados Fahrenheit ( 1.1.2
Solución
es F C/5 número x; así, x x/5 x C F
Demostrar que (a)b (ab) y (a)(b) ab, siendo a y b núme 1.1.3
Solución
b(a (a)) ba b(a) ab (a)b 0
demuestra la primera parte (ab) (a)b. Ahora, (a)(b) (a(b)) ((ab)) ab. mostrada la segunda parte. 1.1.4
Demostrar que si a b es a c b c.
Solución
Sea u a c y b c. Luego u a b, pero como a b, se tiene que a b 0. Luego u 0 y u , con lo que queda demostrado. a sus ocupaciones, mientras que el segundo lo haría como máximo venes. 1.1.5
Solución
pueden permanecer juntos es ) ) )
CAPÍTULO 1
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pero como no pueden estar juntos en ambos intervalos, se escoge que es lo más acorde con el sentido común. 1.1.6
un intervalo o bien el vacío. Solución
Sean los intervalos (a, b) y ( c, d c con a y b, y de d con a y b, pero como ya se sabe que a b y c d, se tienen los siguientes casos: i.
ii.
iii. iv. v. vi.
Si c d a b, ninguna x satisface ambos intervalos y el resultado es vacío. Si c a d b, el conjunto común es a x d, de donde el resultado es el intervalo (a, d). Si c a b d, con lo que todo (a, b) está en (c, d) y la inter a, b). Si a c d b, ahora (c, d) está en (a, b intervalo (c, d). Si a c b d, las x comunes están en el intervalo ( c, b). Si a b c d, los intervalos son ajenos y el resultado es vacío.
Se concluye que son todas las posibilidades y el resultado fue símbolos solamente cambiarían a , con lo que en algunos casos el intervalo resultado será cerrado o semicerrado. 1.1.7 Resuelve:
(([ . 2
Solución
0
3
4
5
7
[ ([ ( ) ([ ( )
Complemento de la intersección
(([
Complemento de la unión
FIGURA 1.14.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
1.1.8 Demostrar
que x y x y
Solución
Como
x x x y (x y) x xy y x xy y Por otro lado, (x y) x xy y Ahora, como xy xy, se tiene
x xy y x xy y o bien x y (x y)
Como x x se tiene x − y ≤
(x
+ y)
x y x y x y x y ya que ambas son cantidades positivas. También es posible comprobar la desigualdad analizando las diferentes posiciones que pueden tener x y y. 1.1.9
números cuya distancia al punto x que tres veces su distancia al punto x Solución
Sea x el punto considerado. Luego, la distancia de este punto al x x . Mientras al punto x x , de
x x
Autoevaluación 1.1 Responde los siguientes cuestionamientos: Demostrar que si a y b son enteros pares, luego a b es par. 1.1.2 la suma: Si a b a c, entonces b c. 1.1.3 a y b con a 0, existe una y solo una x, tal que ax b. La x se desig 1.1.1
AUTOEVALUACIÓN 1.1 - 1.6 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Actitudes Ñ Trabajo en equipo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante, de manera individual o en equipo, intente la solución de cada autoevaluación. Aun así, se piden varias demostraciones de teoremas básicos que permitan ver la fundamentación básica de los números reales. Desempeños Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los cuestionamientos. ii. Presentación en clase o con los compañeros de ejercicios tomados de otras fuentes. Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para discusión grupal sobre las autoevaluaciones. } Propiciar el aprendizaje cooperativo. } Sugerir cuestionamientos de otras fuentes.
CAPÍTULO 1
AUTOEVALUACIONES
AUTOEVALUACIÓN 1.1
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL . Ñ En caso de que el facilitador o los propios estudiantes con-
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
sideren la necesidad de realizar alguna evaluación de conocimientos, se puede diseñar un examen que emplee una combinación de cuestionamientos incluidos en estas autoevaluaciones. } En particular se consideró que en estas autoevaluaciones, que incluyen en su mayoría demostraciones, no es pertinente incluir la resolución, porque la solución ya se propone por el propio enunciado de falsedad o veracidad.
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Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } } } }
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
na por b/a y se denomina cociente de b y a. En particular, a a. 1.1.4 a 0, a 0. 1.1.5 Dar un contraejemplo que pueda mostrar que es falso que x 1.1.6
+ y = x + y
Sin usar la calculadora, probar cuál de los siguientes números es mayor: 1 1 o 2 2 3 35
Autoevaluación 1.2
AUTOEVALUACIÓN 1.2
Responde los siguientes cuestionamientos: Demostrar que si a y b son impares, ab es impar. 1.2.2 b a b (a). 1.2.3 ab 0, entonces a y b son ambos positivos o ambos negativos. 1.2.4 Dar un contraejemplo que pueda mostrar que es falso que x+y =y 1.2.1
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } } } }
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
x
a)b (ab) y (a)(b) ab. 1.2.6 Sin usar la calculadora, probar cuál de los siguientes números es mayor: 5 4 1 1 o 5 7 1.2.5
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Autoevaluación 1.3
AUTOEVALUACIÓN 1.3
Responde los siguientes cuestionamientos:
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Demostrar que los números de la forma a b forman un conjunto cerrado para la suma y para el producto. 1.3.2 a(b c) ab ac. 1.3.3
Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto:
1.3.1
Si a 0, entonces (a) a. 1.3.4
} } } }
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
Dar un contraejemplo que pueda mostrar que es falso que a+y b+y
=
a b
1.3.5
Sin usar la calculadora, probar cuál de los siguientes números es mayor: 1 o 3 4
1.3.6
Piensa un número de tres cifras, escríbelo y vuelve a colocar las mismas tres cifras enseguida para formar un número de
Autoevaluación 1.4 Responde los siguientes cuestionamientos: 1.4.1
1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5
1.4.6
AUTOEVALUACIÓN 1.4 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Demostrar que si ab es divisible entre Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la au5, luego a o b o ambos son divisibles toevaluación como producto: entre 5. (a) a. } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® ab 0, entonces o } Fecha de entrega : a 0 o b 0. (La o puede implicar ambos.) } Obligatorio ® Optativo ® a/b)(c/d) (ac)/(bd) si b 0 y d 0. Dar un contraejemplo que pueda mostrar que es falso que si a y b son racionales no enteros, luego a b es racional no entero. Sin usar la calculadora, probar cuál de los siguientes números es mayor: o
CAPÍTULO 1
Autoevaluación 1.5
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AUTOEVALUACIÓN 1.5
Responde los siguientes cuestionamientos:
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
1.5.1
Demostrar que no es racional.
1.5.2
Dar un contraejemplo que pueda mostrar que es falso que (a b) a b.
1.5.3
Demostrar. Posibilidades de la sustrac a y b, existe un x, tal que a x b; este número x se designa por b a.
1.5.4
a a0 0.
1.5.5
ab ac y a 0, entonces b c.
1.5.6
Dar un contraejemplo que pueda mostrar que es falso que si a/b es entero, luego a y b son enteros.
1.5.7
Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } } } }
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
(a/b) (c/d) (ad bc)/(bd) si b 0 y d 0.
Autoevaluación 1.6
AUTOEVALUACIÓN 1.6
Responde los siguientes cuestionamientos: 1.6.1
Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto:
a b c d
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
ad si b 0, c 0 y d 0. bc
} } } }
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
1.6.2
0.
1.6.3
Demostrar que si a y b son enteros impares, luego a b es par.
1.6.4
a b y c 0, es ac bc.
1.6.5
a b, es a b. En particular si a 0, es a 0.
1.6.6
a c y b d, entonces a b c d.
1.6.7
Dar un contraejemplo que muestre que es falso que x3 − 1 x−1
= x2
42
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
1.11 FOCALIZACIÓN. DESIGUALDADES
ñ
tros actos tomamos decisiones, algunas de manera inconsciente y otras conscientemente. En el orden de estas últimas requerimos herramientas para expresarlas: Ü Ü Ü Tengo otras ocupaciones hoy. ¿En qué sucursal bancaria haré
Ü Ü Ü Ü
Cada uno de estos cuestionamientos tiene diferentes alternativas como respuestas viables, las que al compararse satisfacen un conforma como una o varias expresiones de la forma p(x) 0, p(x) k, p(x) 0, etcétera. La cualidad de orden de los números reales, representada de forma básica por sus tres axiomas, permite expresar esas situaciones de decisiones sociales, físicas e incluso ideales. Adicionalmen y puede ocurrir que las expresiones resultantes no necesariamente interesa. V (PAN ) V (PVE) V (PT ) V (PRD) V (PRI ) V ()
en donde se ha indicado a V como el número de votos de los partidarios que acudieron a depositar su sufragio por cada partido político. la diferencia entre cierto número de votos de algunos candidatos no diferían en más de 5%, o
[V (PAN ) V (PVE [V (PT ) V (PRD 0.05V () Este ejemplo muestra el empleo de desigualdades para expresar toma de decisiones, pero existen muchas más situaciones que
CAPÍTULO 1
simplemente podrás observar a tu alrededor y que se expresan como desigualdades.
APLICACIÓN 1.11.1
Aplicación 1.11.1
Actitudes Ñ Interés por la abstracción de situaciones reales. Ñ Interés por la cultura general.
ACTIVIDADES
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43
PARA REFLEXIÓN GRUPAL .
Productos Ñ No necesario. Desempeño } No necesario. existen inmersas diversas desigualdades que coexisten de manera simultánea o que fueron la Sugerencias base para el diseño de herramientas y materiales. } Actividad grupal obligatoria. } Observar objetos y situaciones que nos rodean y discutir las ¿Qué pasaría si el traje del trabajador en ludiferentes desigualdades que implican. gar de evitar el paso del calor incrementara su se cumplieron al cubrir las desigualdades adecuadas y se tiene un trabajo que, aunque pesado, se desarrolla en condiciones seguras. Por otro lado, el concepto de desigualdad social es un tema de interés nacional, mismo que se discute en muchos foros y es motivo de revoluciones, manifestaciones, huelgas y paros. Aunado a ese concepto se presenta otro muy común: la inequi cada una y compáralas. ¿Corresponden con el tema de desigualda Explícalo. FIGURA 1.15 Trabajo en una fundición.
Actividad 1.11.1 Observa a tu alrededor. ¿Cuántas situaciones que Consideremos algunos ejemplos y plantea posibles soluciones: 1. Tienes un librero con un estante vacío, y por
otro lado tienes cierta cantidad de libros que a simple vista observas que no caben en el espacio disponible. ¿Cuántos libros cabrán con seguridad y con la menor holgura posi como referencia el libro más delgado, el más
ACTIVIDAD 1.11.1
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO.
Actitudes Ñ Creatividad. Ñ Liderazgo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Respeto a las ideas de otros. Productos Ñ No necesario. Desempeños Ñ Observar la participación individual en la discusión grupal sobre las posibles soluciones a los ejemplos planteados.
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w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Ô que el tiempo que haces para llegar a Criterios de calidad un cierto lugar desde tu casa varía de acuerdo i. Claridad y congruencia de los argumentos en las respuescon muchos factores que ya conoces. Supontas y ejemplos. gamos que surge una emergencia en determiii. Creatividad en la proposición de ejemplos. nada hora del día y tienes que ir y volver de iii. Integración de las propias ideas. iv. Unicidad de los ejemplos, respecto de los propuestos por los compañeros. 3. Características del producto metro, y piensas guardarlas en una caja que } No necesario. mente cuál será la caja más adecuada de entre Sugerencias } Actividad obligatoria de discusión grupal. } Se permite la integración de equipos para estudiar las res4. puestas. } Escuchar con atención las diferentes propuestas de solución y propiciar que los compañeros las evalúen con respeto. ÓÌ Ô sabes si con el dinero que tienes podrás hacer 5. Si te percatas que en tu casa se tienen fuertes variaciones de 6. seas leer con claridad lo que se despliega en el monitor de tu 7. igualdades. 2. Sabes
Lo más interesante de estas es que, a diferen
Aplicación 1.11.2 tran dos situaciones totalmente disímbolas. En la intermedias en el desarrollo de una estocada en En la secuencia de la estocada, las diferentes posiciones que adquiere el cuerpo y la mira conjunto de decisiones que se toman, cada una adversario real o virtual y aplicando como consecuencia fuerza y empleando tiempo en el espacio
APLICACIÓN 1.11.2 ACTIVIDADES
PARA REFLEXIÓN INDIVIDUAL Y PRESENTACIÓN ANTE EL GRUPO.
Actitudes Ñ Interés por la abstracción de situaciones reales. Ñ Interés por la cultura general. Ñ Interés por la preservación del ambiente. Productos Ñ No necesario. Desempeño } No necesario. Sugerencias } Actividad individual optativa. } Observar objetos, fotografías de máquinas y situaciones que nos rodean y reflexionar sobre las diferentes desigualdades que implican. Llevar tus ideas de esa reflexión a la clase y compartir las fotografías analizadas. } Pedir que cada uno de los estudiantes lleve una fotografía digital y que exprese sus reflexiones frente al grupo.
CAPÍTULO 1
FIGURA 1.16
Secuencia de posiciones en una estocada en esgrima.
FIGURA 1.17
w
Líneas de transmisión eléctrica.
que se dispone. Ejemplo de estas decisiones son llegar antes que el esgrima más allá del pecho del oponente, aplicar una fuerza mayor que la de la espada de esgrima esquiva del oponente, no llegar con el propio cuerpo a la punta de la espada de esgrima del oponente, etc., así como el lenguaje “menor que”, “mayor que”, “menor-igual que” o “mayor-igual que”. Aquí importa ser diferente al adversario, y nunca igual a este, para poder vencerlo. la fase de diseño. una muy buena página como http://www.nationalgeographic. com/index.html, en la que puedes tomar como práctica la fotogra http ://www.nationalgeographic.com/index.html
1.12 DESIGUALDAD O INECUACIÓN
ñ
Con base en los axiomas de orden de los números reales y la de igualdad. que dos términos de la misma se relacionan con objeto de compa exp exp
representa una desigualdad en donde exp y exp son expresiones guientes: {, , , , , } El conjunto de números que satisface la desigualdad es su con junto solución, o simplemente su solución.
45
46
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Así, se pueden asociar las siguientes interpretaciones a las dife TABLA 1.3
Tipos de desigualdades por el signo de la relación
Desigualdad
Conjunto solución
exp1 ( x ) exp2 ( x ) exp1 ( x ) exp2 ( x ) exp1 ( x ) exp2 ( x ) exp1 ( x ) exp2 ( x ) exp1 ( x ) exp2 ( x ) exp1 ( x ) exp2 ( x )
El conjunto de las x tales que para cada x : exp1 ( x ) exp2 ( x ) El conjunto de las x tales que para cada x : exp1 ( x ) exp2 ( x ) El conjunto de las x tales que para cada x: exp1 ( x ) exp2 ( x ) El conjunto de las x tales que para cada x : exp1 ( x ) exp2 ( x ) El conjunto de las x tales que para cada x : exp1 ( x ) exp2 ( x ) El conjunto de las x tales que para cada x : exp1 ( x ) exp2 ( x )
Si una desigualdad es de la forma ax b R 0, en donde R es cual , , , , , }, se dice que es lineal x; así, x R b/a es su En ocasiones se establecen relaciones de orden múltiple, como en f (x) (x) h(x). En tal caso se supone que existen dos relaciones que se satisfacen simultáneamente: f (x) (x) y (x) h(x). La f (x) (x), queda satisfecha de manera automática debido a la propiedad de transitividad de las relaciones de orden. Muy importante: Para resolver una desigualdad es convenien-
te escribirla siempre con el segundo término en cero, para lo cual se tendrá la forma general (exp exp
“T1.18. Si a b y c 0, es ac bc”, no es conveniente multiplicar por términos cuyo SIGNO NO CONOCES, ya que se puede alterar la desigualdad. Por eso en tus acciones de traslado de términos entre emplea únicamente adiciones (resta o suma). de números reales, éste posee su “conjunto complemento”, que
CAPÍTULO 1
corresponde con las x que no satisfacen a la desigualdad. Entre ambos conjuntos cubren todos los reales; por tanto, toda desigualdad tiene su “desigualdad complementaria”, de tal forma que al resolver una, la otra está resuelta de modo automático, lo que en De manera típica, se pueden emplear dos técnicas para resolver una desigualdad: 1. Análisis de casos. 2.
1.13 ANÁLISIS DE CASOS
ñ
Considera la desigualdad f (x) R R debe ser sustituido por el del caso particular bajo análisis. Aplica el
Procedimiento 1.13
1. Encuentra todos los factores de f (x f (x), f (x f (x), de tal forma que
(x) f (x) f (x) f (x) R 0
2. R y llama S, S, S S, S S. 3. Haz un análisis de las combinaciones adecuadas de signos po S o los S , según se Sc a ese conjunto resultante. 4. de todos los conjuntos Sc obtenidos en cada caso. Esa será la f 0 implica que f es negativo, mientras que si f 0, se tiene que f es positivo. En caso de que una rela f (x) 0, que incluye la igualdad con cero, implique S (, a f (x) 0, que se satisface por S [ a, ); es decir, x a satisface a ambos conjuntos debido a que f (a) 0.
w
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48
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Muy importante: simultáneo de las relaciones de los factores, lo que genera una de nes alternativas de tipo “o”, lo que genera una de . Ejemplo 1.13.1
sido factorizada:
(x x x 0 Solución
1. Los factores son:
(x) x f (x) x f (x) x 2. Resolviendo x 0, luego x
( x 0 resulta S (, x 0 arroja
S (
3.
(, TABLA 1.4 Ejemplo 1.13.1
f 1 0
i
f 2 0
f 3 0
Relación
S c
Comentario
ii
S i
(, 1)
(, 2)
(, 3)
Solución a las desigualdades individuales
iii
Caso 1:
Regla de los signos
iv
S i o S i :
(, 1)
(, 2)
(, 3)
v
Caso 2:
vi
S i o S i :
(, 1)
(2, )
(3, )
vii
Caso 3:
viii
S i` o S i :
(1, )
(, 2)
(3, )
ix
Caso 4:
x
S i o S i :
(1, )
(2, )
(, 3)
(1, 3)
xi
Solución:
(, 2) (1, 3)
(, 2)
Elegir el conjunto S i o S i Regla de los signos
{}
Elegir el conjunto S i o S i Regla de los signos
{}
Elegir el conjunto S i o S i Regla de los signos Elegir el conjunto S i o S i Unión de los Sc
CAPÍTULO 1
posibles en el método de casos
Ü Factores cuadráticos o de cualquier potencia par son siempre
Ü Factores con valor absoluto siempre son positivos y tampoco Ü Si algún Sc , . Ü Si en algún caso uno de los S {}, luego su Sc {}. Muy importante: Recuerda
que un factor en el denominador
NUNCA puede ser CERO. el siguiente caso. Ejemplo 1.13.2
factorizada:
( x − 2)( 3x − 4) ( x − 2)( x + 2 ) ≥ x−3 x−3 Solución
con cero: ( x − 2)( 3x − 4) ( x − 2 )( x + 8) − ≥0 x−3 x−3 ( x − 2) [(3x − 4) − ( x + 8)] ≥ 0 x−3 ( x − 2) (2 x − 12) ≥ 0 x−3 ( x − 2)2( x − 6) ≥0 x−3 ( x − 2)( x − 6) ≥0 x−3 en el término izquierdo. 1. Los factores son:
f (x) x f (x) x f (x) x
w
49
w
50
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
2. Resolviendo x 0, luego x S ); x 0 resulta S ), y x 0 arroja S ).
Se debe notar que x 0, donde no se puso x 0, sino x 3. 4. ). TABLA 1.5
Ejemplo 1.13.2
f 1 0
i
f 2 0
f 3 0
Relación
S c
Comentario
ii
S i
[2, )
[6, )
(3, )
Solución a las desigualdades individuales
iii
Caso 1:
Regla de los signos
iv
S i o S i :
[2, )
[6, )
(3, )
v
Caso 2:
vi
S i o S i :
[2, )
(, 6]
(, 3)
vii
Caso 3:
viii
S i o S i :
(, 2]
[6, )
(, 3)
ix
Caso 4:
x
S i o S i :
(, 2]
(, 6]
(3, )
{}
xi
Solución:
[2, 3) [6, )
1.14 MÉTODO DE VERIFICACIÓN
[6, )
Regla de los signos [2, 3)
{}
Elegir el conjunto S i o S i Regla de los signos
ñ
Procedimiento 1.14
1. Encuentra todos los factores de f (x) y sean sus factores f (x), f (x), ..., f (x), de tal forma que f (x) f (x) f (x) f (x) R 0
los factores del denominador en caso de cocientes.
Elegir el conjunto S i o S i Regla de los signos
Considera la desigualdad f (x) R R debe ser sustituido por el del caso particular bajo análisis. Aplica el
Elegir el conjunto S i o S i
Elegir el conjunto S i o S i Unión de los Sc
CAPÍTULO 1
w
51
2. Encuentra las raíces de cada factor f (x) 0. Forma el conjunto ordenado de todas las raíces {x, x, x, ..., xm}, de tal forma que x x x ... xm.
en cualquier x x. Si la desigualdad se satisface, incluye (, x cualquier x en (x, x). Si la desigualdad se satisface, incluye ese intervalo en la xm, ) 4. Como f (x) 0 en cada raíz, observa si la desigualdad bajo estudio incluye al cero (casos f (x) 0 o f (x) 0) y cierra los intervalos que sean pertinentes. 3. Evalúa f (x)
Cuidado: -
llos intervalos que provienen de factores del denominador! 5.
ya se encuentra factorizada: Ejemplo 1.14.1
( x − 1)( x + 4) ≥0 x+2 Solución
1. Los factores de f (x) (x f (x f (x
x x f (x
2. Se
encuentran las raíces de los factores [de f (x siendo en este caso x x x ordenadas. 3. En una recta numérica se trazan las raíces indicadas para poder 4 2 1 observarlas y se evalúa en algún punto dentro de cada intervalo FIGURA 1.18 De acuerdo con el paso 3, se el intervalo; como en este caso se tomaron las xε{5, han marcado los intervalos que cumplen cada número está dentro del intervalo formado por cada dos x con el signo de la desigualdad. contiguas, de lo que resulta f (5) 0, f ( 0, f (0) 0 y f 0 4. Como
la desigualdad incluye el cero, se marcan los intervalos adecuados, pero no para x 5. (, )
4
2
1
De acuerdo con el paso 4, se han marcado los puntos en que f ( x ) 0. FIGURA 1.19
52
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
posibles en el caso de
Ü
numéricos, como el método de Newton, estudiado en aplicaciones de la derivada, sobre todo en aquellos casos en que las ecuaciones son trascendentes. Ü
1.15 SOLUCIÓN Y VISUALIZACIÓN GRÁFICA DE LA SOLUCIÓN EMPLEANDO SOFTWARE
ñ
Considera la desigualdad f (x) 0, en la que se designa y f (x). Lue y f (x), que es una curva en el plano, en donde y eje x”. Así, todos los valores x raíces, porque la desigualdad no implica el cero. Dependiendo del de la : “” implica x de las regiones en que f (x) está por abajo del eje; “” corresponde con las x las raíces; “” son solo las raíces; “ ” implica todos los valores de x ” resulta en x de las regiones en x ” son las x las raíces. 1. y f (x). 2. Localiza las regiones en que y x de esas
des el software obtenido en
http ://www.quickmath.com/
o bien , descargado de http://math.exeter.edu/rparris/ Por ejemplo, considera la desigualdad: (x x x(x
http ://math.exeter.edu/rparris/
CAPÍTULO 1
w
Empleando se selecciona el menú y de este el comando . Se escribe en el recuadro del comando la desigualdad deseada y en el recuadro se escribe la variable sobre la cual se resuelve, y que ”. Se visualizará Nota el signo de la desigualdad por resolver, que ha sido escrita como (x x x(x La respuesta encontrada fue desplegada. una parte de la misma, empleando el menú de y el comando , como El problema fundamental de este comando es va que en este caso tenemos que “aproximar visualmente” el valor que el intervalo (, empleándolos adecuadamente. Con y f (x): f ( x ) =
FIGURA 1.20
QuickMath: Menú Inequalities, comando Solve.
( x − 2)( x + 4) ( x − 1)
en la cual, mediante algún trabajo adicional y lo den con x x x arriba del eje horizontal, y que corresponde con y 0, permite ubicar las x misma que corresponde a
y 30
20
10
x
30
( x − 2)( x + 4) >0 ( x − 1) Por tanto, ( desigualdad, pero es necesario reconocer que se “pedazo” por encima del eje atrás de
20
10
10
20
30
10 20 30 FIGURA 1.21
QuickMath: Menú Inequalities, comando Plot .
53
54
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
y ( x 2)( x 4)/( x 1)
Gráfica de de (4, 1) (2, ). FIGURA 1.22
( x − 2 )( x + 4 ) y visualización x − 1
tampoco vuelve a “bajar” después de x
1.16 DESIGUALDADES QUE IMPLICAN VALOR ABSOLUTO
ñ
Cuando una desigualdad incluye el valor absoluto de alguna ex f (x) y puede ser llevada a la forma f (x) a, simplemente aplica. Teorema T1.25: Corolario C1.25:
Si a 0, es x a si y solo si a x a. Si a 0, es x a si y solo si a x a. Entonces, si f (x) a, resuelve a f (x) a.
Si la desigualdad es del tipo “mayor que”, resuelve esto y aplica el Teorema T1.26:
Si a 0, es x a si y solo si x a o x a.
Ejemplo 1.16.1
que resuelve la desigualdad
(x x 5
CAPÍTULO 1
Solución
5 (x x 5
5 (x x x x 5. todos los reales, mientras la segunda lo hace en
−1 − 29 −1 + 29 , 2 2 Ejemplo 1.16.2 Resolver (x x
Solución
(x x x x y sus soluciones particulares se unen. En particular, la segunda
3 − 21 3 + 21 , ∞ −∞ , ∪ 2 2
3 − 21 3 + 21 −∞ , , ∞ ∪ 2 2
Procedimiento 1.16.1
Si la desigualdad incluye diferentes valores absolutos o no puede ser llevada a la forma f (x) a 1. Plantea los casos en que los diferentes argumentos son positi-
vos o negativos. 2. Resuelve las desigualdades resultantes utilizando los signos 3. nes particulares de todos los casos encontrados.
w
55
56
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Nota importante: Por la particularidad del cero, que se puede con-
siderar como positivo o negativo, incluye al cero en ambos casos Ejemplo 1.16.3
Resolver la desigualdad x x x
Solución
Puesto que hay dos valores absolutos diferentes x y x , pue Resolviendo los cuatro casos: 1. x
0 y x 0 (ambos positivos), válido en x den quitar las barras del valor absoluto y resolver: x (x (x x 5, x x x 2. x 0 y x valor absoluto, pero se cambia el signo del que es negativo, se resuelve: x ( x ( x x ) {}. 3. x 0 y x ) ( {} 4. x 0 y x 0, válido en x se cambian los signos a ambos (por ser negativos): x (x (x x x 5, puesto que ( (, 5) (, 5) 5. , 5)
1.17 SOLUCIONES TODO O NADA
ñ
contrar dos casos importantes: Ü 0), por lo que no existe x Ü 0), por lo que sin importar x . Ejemplo 1.17.1
Resuelve la desigualdad (x
CAPÍTULO 1
w
57
Solución
x 0, y puesto que es la qué pasa si continuamos: (x x x x x 0 no existen raíces reales: x
=
−8 ± 64 − 4( 1)17 −8 ± −4 = 2( 1) 2
, ), por lo que entonces se prueba con cualquier número en el intervalo. El más simple es el cero, de 0, lo que es imposible, e indica
Actividad 1.17.1 Considera los siguientes cuestionamientos, analiza sus posibles respuestas e implicaciones y comenta tus hallazgos con tus compañeros. 1. Al caminar sobre una calle observa la distan-
cia entre dos semáforos. Suponiendo que los conductores son respetuosos, ¿de qué depende la cantidad de vehículos que caben en ese está saturado. ¿Cuántos vehículos esperas 2. Si en la escuela se quiere reunir fondos y se decide hacer un baile, ¿qué elementos se tienen que considerar para que la ganancia sea 3. pequeño empresario saber si se debe inscri
ACTIVIDAD 1.17.1 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Creatividad. Ñ Liderazgo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Integración y respeto de las ideas de otros. Productos Ñ Reflexionar con tu equipo acerca de cada una de las 10 situaciones planteadas. Desarrollar de manera conjunta un resumen sobre las conclusiones que alcanzaron en cada caso. Incluir gráficas, tablas o mapas mentales para clarificar las ideas. Desempeños Ñ No considerados. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia de los argumentos en las respuestas y ejemplos. ii. Creatividad en la proposición de ejemplos. iii. Integración de las ideas de todos los miembros del equipo. iv. Unicidad de los ejemplos propuestos por los diversos equipos. v. Incluir la memoria de participación del equipo. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad obligatoria de reflexión grupal. } Planear al menos una sesión en la clase para discutir de manera grupal las reflexiones de las 10 preguntas. } Propiciar el aprendizaje colaborativo. } Formar equipos de cinco estudiantes.
58
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
4.
5. deba limitarse, y explica qué ocurre si las situaciones dadas se rebasan o si no se alcanzan (por ejemplo, el precio de venta de 6. En México, el SAT aplica tablas para el pago del impuesto so 7. 8. ¿Es el cumplimiento o incumplimiento de una desigualdad 9. Discute casos y determina qué desigualdad se está considerando, suponiendo las variables adecuadas. 10.
Ejercicios 1.11 1.11.1
x 5 FIGURA 1.23
Solución
x x 1.11.2
3
Resuelve la desigualdad (x x x x 0
Solución
Como el factor x x valente a resolver (x x 0 Tiene los factores (x x x en x x x [ ) o 0” y “ o 0” porque el cero se incluye en la desigualdad (los intervalos son cerrados al menos por un extremo). En caso de que fuera únicamente o , los intervalos son abiertos y solo se coloca “” o ““ en la tabla.
Solución al ejercicio 1.11.1: x ε(, 3)
CAPÍTULO 1
w
59
TABLA 1.6
i
f 1 0
f 2 0
f 3 0
Relación
Comentario
S c
ii
S i
[2, )
[3, )
[3, )
iii
Caso 1:
o 0
o 0
o 0
iv
S i o S i :
[2, )
[3, )
[3, )
v
Caso 2:
o 0
o 0
o 0
vi
S i o S i :
[2, )
(, 3]
(, 3]
vii
Caso 3:
o 0
o 0
o 0
viii
S i o S i :
(, 2]
[3, )
(, 3]
ix
Caso 4:
o 0
o 0
o 0
x
S i o S i :
(, 2]
(, 3]
[3, )
[3, 2]
xi
Solución:
[3, 2] [3, )
Regla de los signos Elegir el conjunto S i o S i
[3, )
Regla de los signos Elegir el conjunto S i o S i
{}
Regla de los signos Elegir el conjunto S i o S i
{}
Regla de los signos Elegir el conjunto S i o S i Unión de los SC
Cuidado: En
caso de que los factores estén en el denominador CERO. Desde luego, este no es el caso. Resolviendo por Las raíces encontradas para ( x (x x x x x x xε{
3
2
3
Evaluando en x x 0, x x FIGURA 1.24 Signos en los intervalos del dentro de cada uno de los intervalos que se han trazado en la recta ejercicio 1.11.2. Puesto que la desigualdad es (x x x x 0 e a que la lo que da por resultado el intervalo [ Observa la coincidencia de resultados en ambos procedimien 1.11.3
Resuelve la desigualdad x x 5x x
3
2
3
Solución al ejercicio 1.11.2: x ε[3, 2] [3, ).
FIGURA 1.25
60
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Solución
dades, se puede reescribir como x x 5x 5 x
o bien x x 5x x 5x 5 x
que se deben cumplir de manera simultánea. 0 x x cuyas raíces son x x se obtienen los signos , y , lo que únicamente comprende para (, ) x 5x 5 0, que no tiene raíces, y por tanto se debe comprender un solo intervalo que implica todos los reales. Al evaluar en x 0 se obtiene , por lo que no hay x que la satisfaga (recuerda que buscamos en este caso “”, ya que la desigualdad es “ Finalmente, como se deben cumplir simultáneamente ambas desigualdades, sus soluciones se intersecan, por lo que la intersec 1.11.4
Resuelve la desigualdad x x
Solución
por lo que no existe x 1.11.5
Resuelve la desigualdad x( x + 5) x−3
≥x+3
Solución
Al agrupar los términos en el mismo lado de la desigualdad y realizar la suma se tiene x( x + 5) x( x + 5) − ( x 2 − ( x + 3) = x−3 x−3
− 9)
=
5x + 9 ≥0 x−3
EJERCICIOS 1.11 ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Actitudes Ñ Trabajo en equipo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante intente la solución de los ejercicios antes de ver su resolución. Aun así, puesto que algún ejercicio puede representar una situación novedosa, se incluye la resolución para que el estudiante la estudie, la analice cuidadosamente y plantee sus dudas en la clase al facilitador o con sus compañeros de equipo. Desempeños Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los ejercicios. ii. Presentación en clase o con los compañeros de ejercicios tomados de otras fuentes. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para preguntas sobre los ejercicios. } Propiciar el aprendizaje colaborativo.
CAPÍTULO 1
x 5x x Como son dos factores, existen únicamente dos casos y , ya que la desigualdad es . 9 Para el caso se tiene − , ∞ ) Observa que x 5 se incluye porque hace al denominador cero, siendo su intersec ) 9 Por otro lado, en el caso se tendrán los intervalos −∞ , − 5 a la a y ( es 9 −∞ , − 5 .
9 −∞ , − 5 ∪ (3, ∞)
9 Para el método de se tienen las raíces − , 3 y 5 al evaluar en cualquier punto contenido en cada uno de los tres intervalos que se generan se obtiene , , , que excluye al inter9 valo intermedio, y al incluir la igualdad se incluye el extremo 5 coincide. 1.11.6
Resuelve la desigualdad x+3 x−2
+
x+4 x2
−4
Solución
Restando x
− x 3 + x 2 + 10x + 10 <0 x2 − 4 El polinomio del numerador tiene una única raíz en x computadora como ). Por su parte, el denominador presenta las raíces evaluando en algún punto de cada intervalo se obtienen los signos , , , ).
w
61
62
w
1.11.7
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Resuelve la desigualdad x−2
<
1 x
−1≤ x +3
Solución
Observa que en este caso el término x 0<
−x2 + x + 1 x
≤5
Considerando, la desigualdad de la izquierda, 0<
−x2 + x + 1 x
que tiene las raíces
1 − 5 1 + 5 , 0, 2 2 Al evaluar en algún punto de cada uno de los cuatro intervalos resultantes se tiene , , , , por lo que para la desigualdad de la 1 − 5 1 + 5 izquierda se satisface con −∞ , ∪ 0, . 2 2 Para la desigualdad de la derecha es necesario aún llevar el 5 a
− x 2 − 4x + 1 x
≤0
Los polinomios del numerador y el denominador tienen raíces { 5 0, 5 } por lo que al evaluar en algún punto cualquiera dentro de cada uno de los cuatro intervalos resultantes se consigue , , , . Los intervalos que cumplen la desigualdad son los negativos y se deben incluir los extremos que hacen cero al numerador:
−2 − 5 , 0) ∪ −2 + 5 , ∞) Por último, como se satisfacen simultáneamente ambas des 1 − 5 1 + 5 −2 − 5 , ∪ −2 + 5 , 2 2 1.11.8
Resuelve la desigualdad x−1 x
<
x
2
CAPÍTULO 1
Solución
Al llevar los términos al mismo lado y realizar la suma se tiene 2 x − 1 − x2 <0 2x Por la naturaleza del valor absoluto de (x Si x 0, que ocurre si x resolver: −x 2 + 2x − 2 <0 2x Como x cero) y el numerador no tiene raíces y es siempre negativo, lo satis x x En el segundo caso, x 0 , o bien x retirar pero cambia el signo del factor con el valor absoluto. Al sim −x 2 − 2x + 2 <0 2x Sus raíces en numerador y denominador son
w
63
SUGERENCIA EVALUACIONES E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Ñ En caso de que el facilitador o los
propios estudiantes consideren la necesidad de realizar alguna evaluación por conocimientos, se puede diseñar un examen que emplee una combinación de cuestionamientos incluidos en estas autoevaluaciones, adiciones de otras fuentes y, sobre todo, propuestas de su propia creación.
{ produciendo los signos , , , en los intervalos resultantes, al evaluar en puntos cualesquiera dentro de cada uno de los cuatro intervalos. Seleccionando los intervalos negativos se obtiene ( x ). y abs(x 1)/x x/ 2 igualas con y que estás suponiendo que el comportamiento de y que puedes localizar visualmente, o mediante el propio software, las intersecciones con el eje x. 1.11.9
Resuelve la desigualdad 2x − 1 + x+3 >7 x−1
La solución de la desigualdad del ejercicio 1.11.8 es la unión de los intervalos donde la gráfica está bajo el eje x . FIGURA 1.26
64
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Solución
|2 x − 1| + ( x − 1)|x + 3| − 7 (x − 1) >0 x−1 absolutos presentes: 1. x 0 y x 0, que se satisfacen simul-
1 táneamente en x . En este caso se retiran 2 las barras de ambos valores absolutos y se resuelve. El numerador no tiene raíces y es positivo en , por lo que el signo depende del x
1 0 y x 0; satisfechas en –3, 2 se retiran las barras cambiando el signo de x 1 prueba únicamente en el intervalo –3 , 2 en donde el signo resulta ser negativo (y lo caso es {}. 3. x 0 y x 0; no se satisfacen simultá 4. x 0 y x 0, que se satisfacen en x pero se cambian los signos en los dos casos. ces { prueba la parte que satisface ( , ; esto es el intervalo (, , y ( . 2. x
AUTOEVALUACIÓN 1.7 - 1.10 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Actitudes Ñ Trabajo en equipo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante, de manera individual o en equipo, intente la solución de cada autoevaluación. Desempeños Ñ Observación de la resolución y presentación de nuevos ejercicios. Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los cuestionamientos. ii. Presentación en clase o con los compañeros de ejercicios tomados de otras fuentes. Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para discusión grupal sobre las autoevaluaciones. } Propiciar el aprendizaje cooperativo. } Sugerir cuestionamientos de otras fuentes.
y abs(2 x 1)/( x 1) abs( x 3) 7
Así, (, Finalmente, uniendo los casos porque son formas alternativas, se obtiene (, )
Visualización de la solución de la desigualdad del ejercicio 1.11.9: (, 11.92262) (1, ). FIGURA 1.27
CAPÍTULO 1
1.11.10
w
65
Resuelve la desigualdad: x x (x
Solución
Se tienen dos desigualdades simultáneas: x x y x (x para las que hay dos casos. En el primer caso, si x 0, x resulta x x 0, además x 5x 0 que tienen soluciones respectivamente en ( ) ), resultando ( En el segundo caso con x 0, x Visualiza cambia el signo al desaparecer las barras y resul- y = 2 x ^2 = abs( x +3) x x 0 y x x 0, que tienen so- y y = ( x -2)^ 2 , respectivamente, pero por último Como son casos alternativos, se unen sus so a la desigualdad inicial es ( x encima de la parábola de color negro (y x), y a la vez por debajo de la parábola azul (y (x ). Las intersecciones de la recta con ambas parábolas ocurren exactamente en los extremos FIGURA 1.28 Visualización de la solución del ejercicio 1.11.10, correspondiente a2 las x de la parte de la recta y 2 x 3 por no se incluyen porque la desigualdad original no encima de y 2 x y por debajo de y ( x 2) : (1, 0.20875). puede ser cero. AUTOEVALUACIÓN 1.7
Autoevaluación 1.7 indicada e ilustre dicho conjunto en la recta de los reales. 1.7.1
x 5x
1.7.2
x x x
1.7.3
x x 0
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } } } }
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
66
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
1.7.4
1≤
1.7.5
x+1
2
<5
0.5 FIGURA 1.29
x x x 0
Solución a la autoevaluación 1.7 1.7.1
1 , 3 2
1.7.2
10 0, 9
1.7.3
(, )
1.7.4
(
1.7.5
1 3 −2 , − 3 ∪ 2 ,
FIGURA 1.31
11
∞
2
x+2 3x − 1
Solución del ejercicio 1.7.3.
1
Solución del ejercicio 1.7.4.
1/3
FIGURA 1.33
9
3 /2
Solución del ejercicio 1.7.5.
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } } } }
1.8.4 x 5x x 0 1.8.5
0.59307
AUTOEVALUACIÓN 1.8
1 2 1.8.1 < x + 1 3x − 1
3 ≤2 5 − 2x
Solución del ejercicio 1.7.2.
3
FIGURA 1.32
dicho conjunto en la recta de los reales.
1.8.3
10/9
0.84307
Autoevaluación 1.8
x x
Solución del ejercicio 1.7.1.
0 FIGURA 1.30
1.8.2
3
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
≥1 1
Solución a la autoevaluación 1.8 1 1.8.1 ( −∞ , − 1) ∪ , 3
3
3 1.8.2 ( −∞ , − 5] ∪ , ∞ 2
FIGURA 1.34
5 FIGURA 1.35
1/3
3
Solución del ejercicio 1.8.1.
3 /2
Solución del ejercicio 1.8.2.
CAPÍTULO 1
1.8.3
1.8.4
7 13 −∞ , ∪ , ∞ 4 4
7/4 FIGURA 1.36
Solución del ejercicio 1.8.3.
(,
1 1 1 3 − 4 , 3 ∪ 3 , 2
FIGURA 1.37
indicada e ilustra dicho conjunto en la recta de los reales. 1.9.1 x
x
1.9.2
3−
1.9.3
1.9.5
1 x
<
1 2
x x 5)(x 0 3 ≤2 1− x
x x 0
Solución a la autoevaluación 1.9 1.9.1
(, )
1.9.2
2 2 7 , 5
1.9.3
FIGURA 1.38
0
6
Solución del ejercicio 1.8.4.
1/4
Autoevaluación 1.9
1.9.4
1/3
3 /2
Solución del ejercicio 1.8.5. ÓÌÔ
AUTOEVALUACIÓN 1.9
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } } } }
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
ÓÌÔ
1 FIGURA 1.39
2
Solución 1.9.1.
2 /7
2 /5
Solución 1.9.2.
FIGURA 1.40
1.39564 FIGURA 1.41
1
0.89564
Solución 1.9.3.
( ) 1/2
1.9.4
1 −∞ , − ∪ (1, ∞) 2
FIGURA 1.42
1
Solución 1.9.4.
0.63397
1.9.5
67
13 /4
1 1.8.5
w
FIGURA 1.43
2.36603
Solución 1.9.5.
68
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Autoevaluación 1.10 indicada e ilustra dicho conjunto en la recta de los reales. 1.10.1
x x x 5
1.10.2
2 ( x + 2 ) > 8( 3 − x )
1.10.3
1.10.4 1.10.5
3 < 2 x+4 x−5 x x−1
<
AUTOEVALUACIÓN 1.10 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto Ñ En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } } } }
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
1 4
x x x
Solución a la autoevaluación 1.10 1.10.1
1
Solución 1.10.1.
FIGURA 1.44
1.10.2
4 , 3
4
∞ 4/3
1.10.3
(,
1.10.4
1 − 3 , 1
1.10.5
1 3 ,
3
Solución 1.10.2.
FIGURA 1.45
4
5
Solución 1.10.3.
FIGURA 1.46
1/3 FIGURA 1.47
1
Solución 1.10.4.
1/3 FIGURA 1.48
23
3
Solución 1.10.5.
CAPÍTULO 1
w
69
70
Capítulo
2
Funciones
ELEMENTO DE LA COMPETENCIA DISCIPLINAR El alumno es competente si interpreta y realiza operaciones con funciones, las clasifica y localiza los componentes que la conforman. Y si además interpreta adecuadamente sus gráficas.
COMPETENCIA DISCIPLINAR DEL CURSO El alumno es competente si analiza, abstrae y propone soluciones a situaciones que involucren variación en una sola variable independiente, empleando como herramienta fundamental la graficación y el cálculo diferencial.
CALENDARIO DEL PORTAFOLIO Fecha
DE EVIDENCIAS
Evidencia Aplicación 2.1.1 Actividad 2.1.1 Actividad 2.2.1 Aplicación 2.2.1 Aplicación 2.2.2 Actividad 2.4.1 Actividad 2.4.2 Aplicación 2.4.1 Aplicación 2.4.2 Actividad 2.4.3 Actividad 2.4.4 Actividad 2.4.5 Actividad 2.4.6
Fecha
Evidencia Aplicación 2.4.3 Aplicación 2.4.4 Actividad 2.6.1 Actividad 2.6.2 Aplicación 2.6.1 Aplicación 2.6.2 Aplicación 2.8.1 Actividad 2.8.1 Aplicación 2.8.2 Aplicación 2.8.3 Actividad 2.10.1 Aplicación 2.10.1 Aplicación 2.10.2
CAPÍTULO 2
Fecha
Evidencia Actividad 2.11.1 Ejercicios 2.1 Autoevaluación 2.1 Autoevaluación 2.2 Autoevaluación 2.3 Autoevaluación 2.4 Autoevaluación 2.5 Autoevaluación 2.6 Autoevaluación 2.7
Otras evidencias
w
71
72
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
2.1 FOCALIZACIÓN: FUNCIONES
ñ
En muchas situaciones reales es necesario asignar un ob jeto a otro. Por ejemplo, cada persona tiene una madre; cada persona, una fecha de nacimiento; cada automóvil, un motor, etc. Al analizar en sentido inverso, la asignación no es necesariamente única o incluso no existe; por ejemplo, no toda madre tiene un solo hijo, en cada fecha del calendario existen millones “que cumplen años”, existen motores que no tienen un automóvil asignado, etcétera. Este tipo de objetos matemáticos que resultan en asignaciones entre objetos se denominan de manera general relaciones.
Aplicación 2.1.1 Las relaciones son objetos matemáticos con los que consciente o inconscientemente representamos muchas de las actividades humanas. No se pone en duda el aspecto so- FIGURA 2.1 Por medio de Internet se establecen cial de las personas, y, más aún, esa compleja actividad gran cantidad de relaciones entre personas y equipos. social emplea el mismo concepto matemático de “relación” para representar la comunión entre persoÔ nas por muchos y diversos lazos. Son ejemplos ÓÌ APLICACIÓN 2.1.1 de relaciones: ACTIVIDAD
Ü La amistad: “x está relacionado con y si son
amigos”. Ü Ser familiar: “x está relacionado con y si son familiares”. Ü La comunicación por Internet: “x está relacionado con y si se comunican mutuamente por Internet”. Ü Apoyar al mismo equipo: “x está relacionado con y si ambos son partidarios del mismo equipo de futbol”. Desde luego, cada una de esas relaciones es diferente y tiene gran cantidad de pares ordenados en términos de qué comunidad se tome como “dominio”. En particular, el concepto de relación ha adquirido una connotación muy en boga en el área computacional, ya que también existen relaciones n-dimensionales que los encargados de la sus bases de datos. ¿O acaso el “registro” que
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Participación grupal. Ñ Abstracción de situaciones reales. Ñ Respeto por las ideas de los demás. Desempeños Ñ Observar trabajo en equipo y participación en clase. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia de los ejemplos propuestos. ii. Propuesta de definición de cada uno de los conceptos citados. iii. Estructuración y análisis de las relaciones mencionadas en la lectura. iv. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definiciones de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes. v. Originalidad. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ®
CAPÍTULO 2
contiene tu información, y que en muchos casos has llenado, no es una “n-ada” ordenada que representa una relación entre toda la información contenida: nombre, dirección, edad, teléfono, e-mail, cuentas bancarias, estado civil, CP, CURP, etc.? Así, una “base de datos” almacenada en los discos duros de las computadoras no es otra cosa que la forma extensiva del conjunto que representa la relación. El análisis de las relaciones es tan amplio como gente hay en el mundo. Por ello imagina uno de sus problemas básicos: el de la unicidad; es decir, que cada registro represente a una y solamente a una persona (o cosa en particular). Ese es el motivo de la invención del CURP en nuestro país: asegurar una relación “ uno a uno”; es decir, la asignación del CURP a una persona es una “ función”. Esta rama de las matemáticas que versa sobre el estudio de relaciones discretas, su representación y almacenamiento se ha vuelto un área apasionante y plenamente estudiada por los expertos de la informática. Si eso ocurre con las relaciones humanas, ¿qué podrá decirse de las relaciones que genera la propia naturaleza? Comenta con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Actividad 2.1.1 Analiza los objetos que nos rodean y detecta relaciones presentes entre ellos, por ejemplo: 1. Toma un periódico y compáralo con otros:
a) ¿A cada sección corresponde al menos
una nota? ¿La nota es única? b) ¿A cada nota corresponde alguna fotografía? ¿Cada fotografía corresponde con alguna nota? c) ¿Cada titular a ocho columnas tiene una nota asociada? ¿Cada nota tiene un titular a ocho columnas? 2. Recuerda los jardines de tu
comunidad: a) ¿Cada jardín tiene al menos un árbol? b) ¿Todo árbol está necesariamente en un jardín? c) ¿Cada jardín tiene un solo tipo de árbol? d) ¿Cada jardín tiene un nombre?
} Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
w
73
Ô
Sugerencias } Producto optativo. } Reflexión grupal en la sesión de clase. } Proponer ejemplos de relaciones entre conjuntos continuos.Ô ÓÌ
ACTIVIDAD 2.1.1
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Calidad en el producto. Ñ Limpieza. Ñ Calidad en la redacción. Productos Ñ Ensayo con comentarios, respuesta y diagramas de cada una de las relaciones citadas en los cuestionamientos. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la redacción. ii. Respuesta a todos y cada uno de los 25 cuestionamientos. iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. iv. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definiciones de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes. v. Originalidad y unicidad de los ejemplos. vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas. Características del producto } Extensión: dos cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipo de cinco personas. } Propiciar una clasificación de los tipos de relaciones que se generan. } Representar a las relaciones como mapeos y como tablas. } Representar la relación como conjunto de pares ordenados. Ô ÓÌ
74
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
3. Ahora analiza relaciones en la televisión:
a) ¿Cada canal tiene un número asignado, una frecuencia? b) ¿Cada programa está asignado a un canal? c) ¿Cada horario tiene asignado un programa? d) ¿Cada programa tiene asignado un conductor? e) ¿Cada artista se presenta en un solo programa? 4. Analiza ahora el lenguaje:
a) ¿Cada objeto tiene una palabra que lo designa? b) ¿Cada palabra designa a un solo objeto? c) ¿Cada palabra se escribe de una manera única? d) ¿Cada secuencia de letras es una palabra válida? e) ¿Cada número tiene una forma única de escribirse? 5. Visitando el
a) b)
c) d) e) f )
vecindario: ¿Cada inmueble tiene un dueño? ¿Cada calle tiene un nombre? ¿Cada inmueble tiene un número asignado? ¿Cada persona que pasa tiene una casa? ¿En cada casa vive una sola persona? ¿Cada casa tiene una cocina?
Analiza otros objetos que tengas presentes y las relaciones que se establecen con otros. Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
2.2 COMPONENTES EN UNA RELACIÓN
ñ
En cada relación se detectan diferentes componentes: 1. -
na a los cuadrados del conjunto de la izquierda, cada uno de los cuales recibe el nombre de preimagen; en particular, a los cuadrados 4 y 7 no se les asignó nada, mientras que al 5 se le hizo una doble asignación. La asignación se ha representado 2. círculos del conjunto de la derecha, y a cada elemento asignado lo llamamos imagen de su respectiva preimagen; en particular, el círculo 6 está doblemente asignado, mientras que los círculos 0, 5, 7 y 9 no fueron asignados. 3. ¿Cómo se asignan? La llamamos regla de correspondencia, y
CAPÍTULO 2
4. ¿En dónde están los objetos a los que se les va a asignar? Lo llamamos dominio,
con el conjunto de la izquierda. 5. ¿De dónde se toman los objetos asignados? Lo llamamos contradominio el conjunto de la derecha.
¿A quién se asigna?
1 3
7
6 8
1 ¿Cómo se asigna?
5 9
75
¿Qué se le asigna?
2
4
w
2
5
9 0
3
6
4
7 8 0 cia de la asignación, ya que se puede ver que tienen un solo ¿De dónde ¿Dónde están? se toman? al que se le asigna y su respectiva asignación (preimagen e imagen, respectivamente) se puede representar por pares FIGURA 2.2 Componentes de una relación. ordenados como (1, 3) y (6, 6). Así, la relación completa es un conjunto al cual se le puede establecer un nombre; por ejemplo, R, y en este caso corresponde con
R
A la acción de realizar la asignación (o formación de los pares ordenados) se le llama mapeo mente el mapeo de la relación. Las relaciones son muy útiles para expresar muchas ideas, pero son de particular importancia las relaciones que cumplen las siguientes características: 1. Dominio: ¿A quién se le asigna? No se permite que haya elemen-
y 7 o les asignas algo; es decir, el dominio se emplea completo. 2. No es válido que un elemento tenga más de una asignación (una preimagen tiene una sola - ACTIVIDAD 2.2.1 bes dejar una sola asignación (el 1 o el 4), pero E VALUACIÓN POR PRODUCTO . no ambos. Cuando una relación cumple estas dos características adicionales la llamamos función.
Actividad 2.2.1 y localiza cada uno de los cinco componentes 1. Preimagenes. ¿A quién se le asignan? 2. Imágenes. ¿Qué se les asigna? 3. Regla de correspondencia. ¿Cómo se asignan? 4. Dominio.
¿En dónde están los objetos a los que se les va a asignar?
ÓÌÔ
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Calidad en el producto. Ñ Limpieza. Ñ Calidad en la redacción. Ñ Trabajo en equipo.
Productos Ñ Ensayo con comentarios, respuesta y diagramas de cada una de las relaciones, indicando la respuesta a cada una de las siete preguntas. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la redacción. ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos. iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.
76
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
5. Contradominio. ¿De dónde se toman los obje-
tos asignados? 6. De ser posible, haz una lista del conjunto de los pares ordenados que incluye la relación. Si son muchos, trata de encontrar una forma de expresarlos de manera comprensiva (es decir, mediante alguna regla). 7. De todos los ejemplos citados en la actividad i. ¿Cuáles son funciones? ii. ¿Cuáles no son funciones? Cita al menos cinco ejemplos de funciones que observes en tu contexto, indicando cada una de sus componentes. Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta con tu facilitador.
Ô
iv. Originalidad y unicidad de los ejemplos. v. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas con-
ceptuales para clarificar las ideas. Características del producto } Extensión: dos cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipos de cinco personas. } Determinar qué tipo de relación se presenta en cada caso. } Representar a las relaciones como mapeos y como tablas. } Representar la relación como conjunto de pares ordenados. } Dar mayor relevancia a ejemplos de funciones en conjuntos continuos no expresados como expresiones algebraicas, sino con palabras. ÓÌÔ
Aplicación 2.2.1 Como observaste, las relaciones poseen cualidades que permiten la asignación de uno a muchos, o bien de muchos a uno, o también de uno a uno. Dependiendo de las aplicaciones, esto puede ser conveniente o no. Sin embargo, en muchas situaciones resulta muy importante asegurar que la asignación que se realiza a un objeto sea única. Por ejemplo, al personal contratado en una empresa le conviene saber qué sueldo recibirá exactamente por su trabajo con objeto de tomar las decisiones pertinentes; de esta forma, la relación persona-salario será una función. tenas. Al fondo se presenta una antena convencional como las que se emplean para transmitir radio y televisión. En este caso la transmisión-recepción de la onda electromagnética se convierte en una relación uno-muchos; esta relación es una función ya que el par (receptor, programa) es único —el receptor no recibe más de un programa a la vez—, pero muchos receptores reciben el mismo programa a la vez. La segunda antena se emplea para recepción y transmisión digital por los servicios de cómputo, ha generado una nueva concepción de la señal televisiva, sin pérdida del anterior tipo de transmisión. La televisión por
APLICACIÓN 2.2.1
ÓÌÔ
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Abstracción de situaciones reales. Ñ Respeto por las ideas de otros. Ñ Reflexión acerca de la importancia y las complejidades que implica el tiempo en las situaciones estudiadas. Desempeños Ñ No es necesario. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Preguntas de reflexión en clase sobre ejemplos de relaciones que dependen del tiempo. ii. Originalidad. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo individual.
ÓÌÔ
CAPÍTULO 2
w
77
demanda, o televisión personalizada, también es una “función” debido a que el par (receptor, programa) es único, pero ahora cada receptor puede recibir una señal diferente. ¿No te gustaría ver el programa que tú exactamente deseas a la hora que quieres? Al analizar estos ejemplos se percibe que las relaciones y las funciones no son estáticas, ya que las asignaciones entre elementos pueden cambiar con el tiempo u otros factores. Por ejemplo, ¿qué puedes decir de la relación generada entre las personas que exactamente en este momento hablan entre ellas por teléfono? ¿Será una función? ¿Por qué? En muchas de las aplicaciones estudiarás funciones estáticas que representan una situación o fotografía de esta en un momento dado; en otros casos tendrás que estudiarlas de manera dinámica. Comenta los hallazgos con tus compañeros y con tu facilitador. FIGURA 2.3
Aplicación 2.2.2 Las tablas son una de las representaciones del mapeo de una relación o de una función en particular, en las que la regla de correspondencia implica di caracteriza por presentar una columna con los elementos del dominio —objetos a los que se les asignará otro mediante la regla de correspondencia—, y asociada a ella una segunda columna en la que se indican los objetos asignados (el contradominio). Las tablas son útiles sobre todo en situaciones donde la asignación es dinámica y no existe una expresión simple para calcular o encontrar el elemento asignado. Por ejemplo, en la dirección del gobierno federal mexicano, http://internet.contenidos.inegi.org.mx/contenidos/productos//prod_serv/ contenidos/espanol/bvinegi/productos/nueva_estruc/ IGPM/702825065560.pdf , podrás descargar el do-
cumento ”El ingreso y el gasto público en México documento.
http ://internet.contenidos.inegi.org.mx/contenidos/productos//prod_serv/ contenidos/espanol/bvinegi/productos/nueva_estruc/IGPM/702825065560.pdf
Dos tipos de antenas.
APLICACIÓN 2.2.2
ÓÌÔ
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Respeto por las ideas de otros. Ñ Interés en los problemas económicos y políticos del país. Desempeños Ñ No necesario. Productos Ñ Ensayo de análisis de la tabla solicitada y su transformación a una gráfica. Criterios de calidad i. Presentación de las tablas descargadas. ii. Conversión de la tabla a gráfica. iii. Correcto análisis e interpretación de la situación solicitada. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Propiciar el trabajo colaborativo. } Propiciar el interés en los problemas socioeconómicos de la región y del país, y su interpretación mediante los conceptos estudiados. ÓÌÔ
78
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Ü Como se observa, la tabla tiene siete columnas. La primera iden-
participación, pero como porcentaje del total. Las columnas por año: el gobierno federal, los estados o los municipios? Ü abscisa “Año” y ordenada “Salarios”. Como podrás compro sus gastos por salarios?
2.3 LA FUNCIÓN
ñ
Un conjunto de pares ordenados formados por elementos de dos CUADRO 2.1 Significado de la notación de conjuntos se denomina relación. En particular, la relación cuyos par ordenado. pares ordenados no repiten nunca el primer elemento se denomina función. Como puede verse, la notación ( x , y ) tieSe dice que la función f aplica o mapea el primer elemento x del ne tres posibles significados: par ordenado en el segundo. Así, podemos escribir el par ordena1. ( x , y ) puede ser un intervalo abierto, do como (x, f (x)), en donde al elemento f (x) se le llama imagen de 2. ( x , y ) es un par ordenado elemento x , mientras a x se le denomina preimagen de f ( x ) de una función, o hay seguridad de que no existen dos pares ordenados que tengan 3. ( x , y ) es un punto en el plano. la misma preimagen. Por lo general, el contexto debe clarificar Al conjunto de todas las preimágenes se le denomina dominio a qué se refiere en cada caso ; si no es de la función (D f ) , y el conjunto del cual se toman las imágenes así, especifícalo según corresponda señarecibe el nombre de contradominio de la función (C f ). El rango de lando: la función es el conjunto exacto de imágenes ( R f ). 1. el intervalo abierto ( x , y ); se observa que R f C f . 2. el elemento de la función ( x , y ), o A la forma en que se selecciona o asigna cada imagen para su 3. el punto ( x , y ) del plano. respectiva preimagen se le llama regla de correspondencia, y se representa por la misma f , que es el nombre de la función. Así, cada función f y sus componentes: 1. El dominio. 2. El contradominio (y por tanto su rango). 3. Su regla de correspondencia.
Por ejemplo, sea g g es su nombre, y en este caso g es una relación, pero no una función. ¿Por qué? Ahora, sea h h es una función con Dh C h Rh . Observa que se pudo considerar C h
CAPÍTULO 2
w
79
(los números naturales), pero Rh . Así , la re- CUADRO 2.2 Significado de la forma comprensiva de una función. gla de correspondencia está implícita en el propio conjunto. Dependiendo de las características de la función, esta se puede expresar de dos formas diferentes: comprensiva o extensiva. Significado de la expresión Cuando la regla de correspondencia expresa claramente cómo r = {( x , r ( x ))| r ( x ) = 2 x , x ε(1, 2, 3, 5)} asignar las imágenes, la función se representa en forma comprensiva, o por otro lado, cuando se listan todos los elementos separados r : Nombre del conjunto, en este caso de por comas, se dice que está en forma extensiva. la función r . Supóngase que r r ésta en forma {}: Indica que es un conjunto. extensiva, y en este caso se puede observar que las imágenes corres- ( x , r ( x )): Describe el tipo de objetos que ponden con el doble de su preimagen, por lo que se podría escribir son elementos del conjunto, en este caso r {(x, r (x))|r (x) x, xε
Esto expresa que la función son pares ordenados y que el segundo elemento es la imagen. La notación previa se puede resumir con r (x) x, xε En efecto, r es la regla de correspondencia, Dr de C r por la naturaleza de los elementos que se incluyen en el dominio y las operaciones involucradas. Si se desea recobrar el rango Rr , se aplica r (x) a cada preimagen y se obtiene Rr . Las funciones que ahora nos interesan son aquellas que tienen su dominio y contradominio en los números reales; por tal motivo, se dice que son funciones reales de variable real (de en ), y de aquí en adelante se da por entendido que las funciones a las que nos referimos son funciones de en , lo cual expresamos de manera general f : f : D f C f para una cierta función f dada. Es posible expresar una función únicamente mediante su regla de correspondencia. En este caso se aplica un principio general que llamamos regla del máximo dominio, y ésta supone que la regla de correspondencia se aplica sobre todos los elementos reales para los que sea posible. Cuando no se desea que se aplique la regla de máximo dominio, el D f deberá explicitarse. Por ejemplo, f (x) x es diferente de g(x) x x 10, ya que f aplica la regla de máximo dominio y D f , mientras g tiene un dominio explícito en un intervalo D g D f sin más aclaraciones se da por hecho que se aplica el máximo dominio.
2.4 ACERCAMIENTO A LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE EN
ñ
Si el dominio de una función implica intervalos de números reales, resultará que el número de parejas ordenadas generadas por la
pares ordenados. |: La barra se lee “tal que”. r ( x ) = 2 x : Describe como se construyen los segundos elementos del par ordenado, las imágenes. 2 x es la regla de correspondencia y en este caso corresponde con el doble del elemento x que se haya tomado. x ε(1, 2, 3, 5): Explicita el dominio de la función, de “donde se toman las x ”. Es una regla de pertenencia para las preimágenes. Las comas son elementos de puntuación.
80
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
conjunto resultante de manera comprensiva; esto se logra expresando de manera clara e inequívoca la regla de correspondencia y el dominio de la función. por kilogramo, el precio de una venta es una función que se puede expresar así: Precio de la venta x, donde x es el peso del frijol de la venta.
Como es una función, sus componentes se pueden visualizar directamente de la expresión, aunque si se requiere se deben explicitar: 1. ¿A quién se le asigna?: Al peso del frijol de
la venta. 2. ¿Qué se les asigna?: Un precio de venta. 3. ¿Cómo se asignan?: Por la expresión Precio de la venta x, donde x es el peso del frijol de la venta.
4. ¿En dónde están los objetos a los que se les
Precio de venta del frijol 250 s o s e p n e a t n e v e d o i c e r P
200
150
100
va a asignar?: El dominio de la función son 50 todas las posibles cantidades x disponibles de frijol para venta. Es un subconjunto de 0 00 05 10 15 5. ¿De dónde se toman los objetos asignados?: Peso del frijol en kg de dinero. FIGURA 2.4 Gráfica de la función. 6. Cada cantidad de frijol vendida tiene un pre Precio de la venta = 12.40 x , donde x cio asignado, y ese precio de venta es único. es el peso del frijol de la venta.
Otra forma de expresión muy común para representar a las funciones es visualizar su mapeo, que en el caso de las funciones con dominio en los números reales se puede expresar mejor mediante una . sistema cartesiano, tomando en el eje y el contradominio y en el eje x de diversos elementos del dominio y se trazan los pares ordenados en el plano coordenado; por último, se unen los puntos encontrados mediante un trazo continuo. Ü
precio bajo discusión? Ü ¿Puedes detectar cada uno de los componentes de la función
20
CAPÍTULO 2
Actividad 2.4.1
¿De dónde se toman? ¿Qué se asigna?
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Limpieza. Productos Ñ Respuesta a la clasificación de las gráficas y su justificación. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la redacción. ii. Respuesta a todos y cada uno de los cinco cuestionamientos. iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
¿Cómo se asigna?
Sugerencias } Producto obligatorio individual. } Invitar a la participación en clase con más ejemplos de otros textos o inventados por los alumnos. } Invitar al razonamiento sobre otros sistemas coordenados, como las coordenadas polares. ÓÌÔ
¿A quién se asigna? A cada uno. ¿En dondé están? Do minio
FIGURA 2.5 Componentes de la función vistos en su gráfica.
¿Cómo consideras que podrías hacerlo? En realidad es simple: traza mentalmente una recta vertical sobre recta corta al trazo más de una vez en al menos un punto del do corresponde o no con una función.
a)
b)
FIGURA 2.6 ¿Cuáles gráficas corresponden a funciones?
81
ÓÌÔ
ACTIVIDAD 2.4.1
espontánea la siguiente pregunta: ¿todo trazo en los ejes coordenados representa una función? Si se retoman los componentes de una función podremos responder fácilmente a esta pregunta. cada elemento del dominio se le asigne un único elemento.
w
c)
d)
e)
82
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Actividad 2.4.2 Los hechos que ocurren en la vida se pueden ver desde tres ópticas Visualiza
Información en un sólo punto r o l a v
¿Qué ocurrió antes?
¿Qué vendrá después?
¿Qué ocurriría después?
hoy a)
c )
b)
FIGURA 2.7 Análisis de los datos: a) puntual b) prospectivo
c ) histórico
d )
d ) histórico y prospectivo
Ü
sea este punto presente o futuro. La visión puntual es eminentemente estática y permite ver los valores en cierto punto del tiempo de un fenómeno. Ü El análisis histórico: esta visión es dinámica, ya que permite comparar diferentes estadios ACTIVIDAD 2.4.2 ÓÌÔ VALUACIÓN POR PRODUCTO . E de evolución del fenómeno, en donde es posible observar cómo se han ido comportando Actitudes los diferentes parámetros de la situación bajo Ñ Puntualidad en la entrega. estudio. Ñ Limpieza. Ñ Creatividad. Ü Un análisis prospectivo: esta visión no corresÑ Aceptación de las propuestas de otros compañeros. Ñ Liderazgo. sino más bien con su pronóstico, ya que se Productos vislumbra con base en el análisis histórico. Ñ Trazado y discusión de las gráficas de las situaciones descritas Ü Lo que puede venir: este análisis es una visión en los seis cuestionamientos. del futuro y en esencia corresponde con el ob jetivo de aprender qué implica saber prevenir. Criterios de calidad Por ejemplo, considera la siguiente situación: en algún noticiario deben haber informado sobre la cotización del dólar el día de hoy. ¿Cuál es esa cotización? ¿Es alto o bajo ese valor? No es fácil responder a la última pregunta si no se tiene contra qué comparar, y menos se puede tratar de “proponer qué vendrá después”.
i. Claridad y congruencia en la explicación de sus propuestas. ii. Respuesta a todos y cada uno de los seis cuestionamien-
tos y sus incisos. iii. Adecuado trazo de las gráficas propuestas. iv. Adecuada curva de pronóstico y congruencia con la explicación. v. Creatividad de los ejemplos propuestos para discusión.
CAPÍTULO 2
La información puntual (en un solo punto) no aporta a nuestra necesidad de tratar de “conocer el futuro”. Cuando se sabe qué ocurrió antes, esta información histórica aporta y nos permite comportamiento. Supón (como se muestra en la c) que el comportamiento en el pasado corresponde con la curva azul. ¿Puedes tratar de proponer qué ocurrirá después? Desde luego, nadie sabe el futuro, pero dependiendo de si nuestra apuesta es por el cre d), si eres conservador elegirás la recta, o si eres pesimista seleccionarás la verde. La roja o la azul pálido parecen muy improbables. ¡Al menos ahora la selección dependerá de información adicional, que en muchas ocasiones se puede suponer porque la podemos provocar!
Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
83
Ô
Sugerencias } Producto obligatorio. } Actividad por equipos de tres personas. } Invitar a la participación en clase con más ejemplos observados por los alumnos a su alrededor. } Invitar al razonamiento con variables construidas a partir de variables básicas, y emplear como ejemplo fórmulas de física o razones que permitan el acercamiento a “razón de cambio”. } Promover el trabajo grupal. ÓÌÔ
1. Analiza tu ritmo de aprendizaje.
a) Traza la curva histórica que crees lo representa. b) Con base en ella traza tu curva de ¿qué ocurrirá después? c) ¿Te gusta lo que supones ocurrirá? Si no es así, ¿es momen-
to de cambiar? d) ¿Cómo lo lograrás?
2. Analiza el comportamiento de la cotización del
dólar; ya conoces sitios en la red para localizar la información. a ) Traza la curva del pasado. b) Traza la curva de tu pronóstico e indica por qué crees que ocurrirá así.
3.
a) Traza la curva del pasado. b) Traza la curva de tu pronóstico e indica por qué crees que
ocurrirá así.
4. Analiza la curva de tu estatura.
a) Traza la curva del pasado. b) Traza la curva de tu pronóstico e indica por qué crees que
ocurrirá así.
5.
w
Analiza la curva del dinero en efectivo que tienes. a) Traza la curva del pasado. b) Traza la curva de tu pronóstico e indica por qué crees que ocurrirá así.
84
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
6. Analiza
la curva del comportamiento de las temperaturas máximas en tu comunidad. a) Traza la curva del pasado. b) Traza la curva de tu pronóstico e indica por qué crees que ocurrirá así.
A tu alrededor tienes mucho material. Propón esquemas de análisis a tus compañeros y analiza aquellos que sean de tu interés. Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Aplicación 2.4.1 Las funciones están presentes en todos los ámbi un trabajo en el procesador de palabras Microsoft Word©, en el que se ve una aplicación de las funciones, misma que ocurre de manera dinámica, pero que ha sido predeterminada para el servicio del usuario: la visualización en el monitor.
Intenta describir esa función antes de continuar. ¿La encontraste?...
APLICACIÓN 2.4.1 ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Creatividad en situaciones novedosas. Desempeños } No necesario. Productos } Diagrama de mapeo de la función. Criterios de calidad i. Respuesta correcta a las cinco preguntas sobre las componentes de la función. Características del producto } Extensión: dos cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Propiciar el trabajo colaborativo.
un conjunto de píxeles, que son pequeños “puntos”, cada uno de los cuales se encarga de des 600. Ü Bajo esta base se establece un sistema
ÓÌÔ
coordenado de píxeles que comienza en la esquina superior izquierda; se podrá nadas” de las esquinas superior izquierda e inferior derecha. Ü Por ejemplo, (100, 100, 300, 500) es un rec 400 píxeles que inicia en © las coordenadas (100, 100) y se traza hacia FIGURA 2.8 Un trabajo en Microsoft Word como ejemplo de aplicación de las funciones. la derecha y abajo. Ü Ü Dentro de cada programa asignado se puede volver a hacer la asignación de programas correspondiente a rectángulos sucesivamente más pequeños.
ÓÌÔ
CAPÍTULO 2
Cuando el software detecta cuáles son las coordenadas a las que señala el puntero del ratón, se ubica en el rectángulo correspondiente, si se hace clic en el botón, se activa la función asignada. ¡Simple por el poder de las funciones! Desde luego, la vista o las dimensiones que tienes de tu monitor pueden variar. Pero ahora, ¿cómo hace el diseñador-programador si no conoce el monitor que tú tienes y funciona eso están las funciones. Ahora sí estás listo para detectar las componentes de la función. Para ello explica claramente qué es y en dónde se observan: 1. ¿A quién se le asigna?
w
Identificador
85
Ctrl
Barra de menús Barra de herramientas principal o estándar Barra de herramientas de formato o secundarias Regla horizontal
l a c i t r e v a l g e R
Zona del usuario
l a c i t r e v s e l o r t n o C
Controles horizontal Barra de herramientas de dibujo Barra de estado del sistema
FIGURA 2.9 Mapeo de la asignación de funciones en el uso del monitor, para su selección con el “ mouse”.
2. ¿Qué se les asigna? 3. ¿Cómo se asignan? 4. ¿En dónde están los objetos a los
que se les va a asignar? 5. ¿De dónde se toman los objetos asignados? Has sacado la radiografía de una función. Comenta con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador. TABLA 2.1 Tabla de mapeo de la función en el uso del monitor. (Las primeras cuatro columnas de la tabla identifican los elementos del dominio de la función.)
Identificadores del rectángulo
Programa asignado
x s
y s
x i
y i
0
0
755
15
Identificador Barra de menús
0
585
800
600
Barra de estado del sistema
86
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Acercamiento a las funciones definidas a trozos
Acción administrativa Como ya habrás observado, no Falta y no se per mite ingreso Falta y accede si desea zo continuo. Eso es normal, ya Retardo con descuento que muchos fenómenos muesRetardo sin consecuencia tran ese comportamiento. Estí mulo Por ejemplo, analiza la gráNo se permite el acceso 10 0 20 30 10 con la información de un reglaHora de llegada de la persona en minutos mento de trabajo. Los pequeños Hora oficial de entrada círculos se han empleado para indicar que ese punto especí- FIGURA 2.10 Gráfica de una función definida a trozos. no está asignado. En particular, esta es una función que va de los números reales a acciones administrativas, pero puede ser convertida totalmente a numérica si las acciones se ÓÌÔ ”no se permite el ac- APLICACIÓN 2.4.2 ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON ”estímulo”, etcétera. COMPAÑEROS Y FACILITADOR . Seguramente podrás encontrar muchas funciones como esta. Es natural denominarlas funcio- Actitudes Ñ Interés en situaciones reales.
Ñ Creatividad en situaciones novedosas. Ñ Reflexión y análisis.
Aplicación 2.4.2 Para todos resulta natural el concepto de continuidad, ya que lo suponemos sinónimo de “no tener interrupciones o roturas”. En contraparte, gaduras, agujeros, saltos, etc. Si aplicamos este concepto a una función sobre los números reales discontinuidades impedirán que puedas hacer se muestra cómo se observan diferentes tipos de discontinuidad. ¿Tendrán aplicación las funciones discontinuas? Analiza los siguientes casos: 1. Cuando
la información está bajando de la red, ¿crees que lo hace de manera continua? 2. Cuando se desarrollan las acciones de un partido de futbol, ¿las acciones se desarrollan de manera continua?
Desempeños Ñ Traducción de la situación a una gráfica y trazo de las gráficas. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Verbalización de las reflexiones sobre cada caso. ii. Participación en la discusión. iii. Planteamiento de diversos casos en cada situación. iv. Creatividad de los ejemplos. v. Análisis adecuado de la fotografía. Características del producto } Extensión: } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Discusión en el grupo. } Propiciar el trabajo colaborativo. } Proponer más ejemplos e invitar a describir las gráficas en el pizarrón. ÓÌÔ
CAPÍTULO 2
w
87
3. ¿La
cotización del dólar “desliza” su valor de manera continua? 4. ¿La cantidad de dinero que tienes con respecto al tiem - FIGURA 2.11 Gráficas con una discontinuidad de diferente tipo en cada caso. ción continua? 5. Las tablas para el impuesto sobre la renta (ISR), ¿representan una función continua o discontinua? 6. Considera el precio de venta de algún producto en función de la cantidad comprada. ¿Es una función continua? 7. Propón al menos cinco ejemplos más de funciones discontinuas. ¿Encuentras alguna en la Comenta con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Actividad 2.4.3 Hasta ahora sabemos que toda función de en nocemos exactamente sus valores, pero aun así podemos realizar un trazo aproximado que nos indique cómo se comporta el fenómeno que expresa. En las siguientes sugerencias realiza un trazo aproximado de cómo crees que se comporta el los ejes. 1. La
temperatura ambiental conforme avanza el día. 2. El volumen de aire contenido en un globo 3. 4. El dinero que tienes. 5. Tus ganas de estudiar. 6. El diámetro de un balón de futbol cuando es pateado. 7. El ánimo de un jugador a lo largo de un partido. 8. Los puntos acumulados por el América y el Guadalajara a lo largo del campeonato de futbol.
FIGURA 2.12 ¿Puedes localizar alguna función discontinua en la fotografía?
ACTIVIDAD 2.4.3
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO O PRODUCTO .
Actitudes Ñ Creatividad. Ñ Aceptación de las propuestas de otros compañeros. Ñ Interés en situaciones reales. Desempeños Ñ Traducción de la situación a variables, una gráfica y trazo de las gráficas. Productos Ñ Trazado y discusión de las gráficas de las situaciones descritas en los 13 cuestionamientos. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la explicación de sus propuestas. ii. Respuesta a todas y cada una de las 13 situaciones. iii. Planteamiento de las variables y valores adecuados. iv. Adecuado trazo de las gráficas propuestas. v. Creatividad en ejemplos propuestos para discusión. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ®
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w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
9. La estatura de una persona a lo largo de su vida.
El color del cielo a lo largo del día. 11. La cantidad de tinta de tu bolígrafo conforme escribes. 12. El “rating” de un programa de televisión. 13. El agua del tinaco de tu casa a lo largo del día. 10.
Sugiere aquellos fenómenos que te interesen y comparte tu análisis con tus compañeros. Si tienes dudas, consulta a tu facilitador.
Actividad 2.4.4 1. La
temperatura ambiental conforme avanza el día. 2. El volumen de aire contenido en un globo 3. 4. El dinero que tienes. 5. Tus ganas de estudiar. 6. El diámetro de un balón de futbol cuando es pateado. 7. El ánimo de un jugador a lo largo de un partido. 8. Los puntos acumulados por el América y el Guadalajara a lo largo del campeonato de futbol. 9. La estatura de una persona a lo largo de su vida. 10. El color del cielo a lo largo del día. 11. La cantidad de tinta de tu bolígrafo conforme escribes. 12. El “rating” de un programa de televisión. 13. El agua del tinaco de tu casa a lo largo del día.
Actividad 2.4.5 En ocasiones ocurren fenómenos de manera muy rápida y los objetos reaccionan de diferente forma ante ese “impacto”:
Ô
} Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias } Si es por desempeño, emplear una sesión del curso para observarlo. } En caso de evaluar el producto, realizarlo por equipos. } Equipos de tres personas. } Invitar a la participación en clase con más ejemplos observados por los alumnos a su alrededor. } Invitar al razonamiento sobre el significado de las variables a emplear. } Promover el trabajo grupal. ÓÌÔ
ACTIVIDAD 2.4.4
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO O PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Desempeños Ñ Clasificación adecuada bajo un concepto dando la argumentación adecuada. Productos Ñ Clasificación de cada gráfica como continua o discontinua. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la explicación de sus respuestas. ii. Respuesta a todas y cada una de las 13 situaciones. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Encadenar el desempeño o producto a la actividad 2.4.3. Ô ÓÌ
ACTIVIDAD 2.4.5
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Creatividad. Productos Ñ Descripción y gráfica adecuada para los 10 ejemplos.
CAPÍTULO 2
1. A veces el efecto desaparece tal y como llegó
la causa. 2. En otras el efecto es permanente. 3. O tal vez se incrementa con el paso del tiempo. 4. O se diluye. 5. Incluso el objeto se puede destruir.
Ejemplos de “impacto” pueden ser un susto, una caída, el choque de dos autos, el reventarse de una liga, la rotura de un cristal, batear una pelota de beisbol, subir por accidente el volumen al estéreo, un temblor u otros que tú detectes. Sugiere al menos 10 ejemplos de situaciones Comparte con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Actividad 2.4.6 de impacto, y sabemos que los objetos no reaccionan igual ante acciones pausadas que con el impacto. Por ejemplo, si sobre una mesa de cristal depositas una moneda cada segundo con toda suavidad, la mesa resistirá muchas monedas sin romperse. Por el contrario, si dejas caer o lanzas con fuerza una o varias monedas sobre la misma mesa, esta podría romperse con facilidad. Por ello se mencionaron los cinco comportamientos diferentes ante el impacto. 1. Si consideras un caso de impacto, explica, con
base en los cinco comportamientos descritos, 2. Da ejemplos de fenómenos en los que crees mente su comportamiento. 3. Analiza los ejemplos que aportaste en la acti Comparte con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
w
89
Ô Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la explicación de sus respuestas. ii. Unicidad de los ejemplos en el grupo. iii. Trazo adecuado de las gráficas. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Obligatorio por equipo.
ACTIVIDAD 2.4.6
ÓÌÔ
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Creatividad. Ñ Interés por la representación gráfica. Productos Ñ Descripción mediante el fenómeno de “impacto” en las gráficas, proposición de ejemplos y relación con los de la actividad 2.4.5. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la explicación de sus respuestas. ii. Creatividad y unicidad de los ejemplos en el grupo. iii. Correcta relación entre las gráficas de la figura 2.13 y los ejemplos de la actividad 2.4.5. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Obligatorio por equipo. } Discusión sobre el fenómeno de la resonancia. } Precisar y ser redundante con el hecho de que la gráfica de una función nunca tiene segmentos verticales. ÓÌÔ
90
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
a)
b)
c )
d )
e)
f f ))
g)
h)
i )
j )
FIGURA 2.13 Gráficas que pueden representar “cambios instantáneos”.
Aplicación 2.4.3 Cuando una función tiene su dominio en un intervalo de los números reales, una tabla solo puede representar una muestra de las asignaciones que genera la regla de correspondencia. Con ese cree que debe ser la función. Es necesario que los valores que incluye la tabla estén muy “cercanos”, ya que de otro modo se pueden Un principio básico que por lo general se toma en cuenta al que la unión entre los puntos es suave, ya que uno observa en los fenómenos físicos que su variación se da poco a poco, pero se debe tener cuidado con esa suposición. a) a d punto y se traza la curva “suave” observando las consecuencias. 1. 2.
de la tabla, si no se hubiera dado el valor para x 5?
Como ves, se debe tener mucho cuidado con la información, ya que si ésta contiene errores las consecuencias sobre la función pueden ser muy drásticas. Comenta con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
APLICACIÓN 2.4.3
ÓÌÔ
REFLEXIONAR Y Y ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR . Y FACILITADOR
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Creatividad en situaciones novedosas. Ñ Interés en evitar el error. Desempeños Ñ Análisis del error. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Correspondencia adecuada adecuada entre gráficas y tablas. ii. Justificación congruente de la selección adoptada. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo individual. } Propiciar la reflexión grupal en la toma de datos empíricos y fuentes del error. ÓÌÔ
CAPÍTULO 2
) x ( f
4
4
3
3 ) x (
2
f
2
0
0 1
2
3
4
5
6
7
8
1
9 10
2
3
4
5
6
7
8
9 10
6
7
8
9 10
x
x a)
f
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1
1
) x (
w
b)
4
4
3
3 ) x (
2
f
1
2
1
0
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1
2
3
4
x
5
x
APLICACIÓN 2.4.4
ÓÌÔ
REFLEXIONAR Y Y ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR
c )
d )
COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR . Y FACILITADOR
FIGURA 2.14
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Gusto por la investigación.
TABLA 2.2 a)
b)
c )
d )
x
f ( x )
x
f ( x )
x
f ( x )
x
f ( x )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.3 1.7 2.3 2.9 2.7 2.8 2.4 2.2 2.4 2.9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.3 1.7 2.3 2.9 2 2.8 2.4 2.2 2.4 2.9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.3 1.7 2.3 2.9 3.1 2.8 2.4 2.2 2.4 2.9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.3 1.7 2.3 2.9 4 2.8 2.4 2.2 2.4 2.9
Desempeños Ñ Manifestación del lenguaje de las áreas médicas o del área temática investigada. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Verbalización de conceptos de áreas novedosas de las páginas visitadas. ii. Presentación de las gráficas descargadas y explicación acerca de su utilidad.
Aplicación 2.4.4
Características del producto } Extensión: } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
Debido a la gran cantidad de información que contienen las grá para representar el comportamiento de muchos fenómenos, y sobre todo como elementos de diagnóstico para generar pronósticos.
Sugerencias } Producto optativo individual. } Sugerir páginas o textos. ÓÌÔ
92
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
pueden considerar: 1. El osciloscopio. 2. El encefalograma. 3. El cardiograma. 4. El sismógrafo. 5. La densitometría ósea. 6.
riables tienen como resultado una curva, pero existen relaciones ejemplo: 1. Las radiografías. 2. El ultrasonido. 3. Las tomografías. 4.
casos citados. En particular visita la página: http://www.my-ekg.com/infarto-ek http://www .my-ekg.com/infarto-ekg/infarto-ekg.html g/infarto-ekg.html En esta página especializada en electrocardiogramas seleccio característicos para los diferentes tipos de infarto. ¡Estás viendo Busca en esta u otras páginas en Internet tres tipos adicionales de Comenta con tus compañeros, y si tienes dudas, consulta a tu facilitador.
2.5 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE EN
ñ
Como la función es un conjunto de pares ordenados, éstos se pueden asociar uno a uno con puntos sobre el plano cartesiano (). A la fun funese conjunto de puntos del plano se le denomina de la ción graf ( f ) {(x, y)ε|y f (x), xεD f
http //www.my-ekg.com/infarto-ekg/infarto-ekg.html ://www.my-ekg.com/infarto-ekg/infarto-ekg.html
CAPÍTULO 2
w
f como como un trazo sobre el plano. Así, toda función de en La prueba visible de este hecho se centra en que no existe ningún punto en el dominio que tenga más de una imagen, y esto corresponde geométricamente con que cada recta vertical que pasa por f . FIGURA 2.15 Gráfica de la función x primera corresponde con la función f ( x ) = 4 cos cos ( 5x) 4 f ( x ) = 4 cos x cos (5 x ). 4 mientras la segunda no corresponde a una función de en . ta de muchas de sus cualidades, mismas que se denominan características geométricas de las funciones.
Efectos geométricos en las gráficas
muestra la función original en gris, mientras la función afectada FIGURA 2.16 Gráfica que no por la transformación se muestra en negro. corresponde a ninguna función de en .
2.6 ACERCAMIENTO A LAS OPERACIONES CON FUNCIONES
ñ
ferentes departamentos, mientras que Graciela por su parte compró Considerando que hay muchos clientes más, ¿estos son elementos de una función? Observa que dentro del primer departamento están los pares Juan, 330) y (Graciela, 700); en el segundo ( Juan Juan Graciela, ( Juan Juan, 500) y (Graciela, 100) están en el tercero. Pues Juan to que las compras ocurren en tres departamentos diferentes, se puede suponer que se está hablando de tres funciones distintas. Resultará muy sencillo para la tienda calcular la compra total Juan, 330) ( Juan Juan ( Juan Juan, 500) ( Juan Juan, 1630). de cada uno así: ( Juan 1 630). de impuestos, la aplicará fácilmente así: Juan, 1 630) ( Juan Juan, 500) ( Juan Juan, 1 130) ( Juan
Por último, agregará 16% del IVA: Juan, 1 130) ( Juan Juan, 1 1.16( Juan
93
94
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
TABLA 2.3 Efectos geométricos en las gráficas de en
Transformación
Resultado en la gráfica ejemplo y = xsin(x) y = 2xsin(x)
a) Expansión vertical: cf ( x ), ), c 1
y = xsin(x) y = 0.5xsin(x)
b) Compresión vertical: cf ( x ), ), 0 c 1
y = xsin(x) y = -xsin(x)
c) Reflexión horizontal:
f ( x x )
y = xsin(x) y = xsin(x)+2
d) Translación vertical: f ( x ) c c 0, sube la gráfica c 0, baja la gráfica
CAPÍTULO 2
TABLA 2.3 Efectos geométricos en las gráficas de en (continuación )
Transformación
Resultado en la gráfica ejemplo y = xsin(x) y = (x-2)sin(x-2)
e) Translación horizontal: f ( x c ) c 0, recorre la gráfica a la derecha c 0, recorre la gráfica a la izquierda
y = xsin(x) y = (x/2)sin(x/2)
f) Expansión horizontal: f (cx ), ), 0 c 1
y = xsin(x) y = (2x)sin(2x)
g) Compresión horizontal: f (cx ), ), c 1
y = xˆ3-3x+1 y = (-x)ˆ3-3(-x)+1
h) Reflexión vertical: f ( x )
Nota: la rotación no se considera porque esta transformación sobre una función no necesariamente es otra función.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Para Graciela los cálculos serán similares. Si la tienda lleva un registro de las compras de Juan y ana 400 antes del IVA, calcula ( Juan, 1130) ( Juan, 0.4708) , ¿qué pasará con Juan ya que bajó ( Juan, 2400) sus compras 47%? Si en cambio Graciela las subió 145%, ¿cuánto compró ella en la compra previa? 1. ¿Por qué se supone que la tienda conservó en todo momento el par ( Juan, compra)?
( Juan Juan Juan, 300). ¿Por qué sí o por qué no? 3. ¿Es lo mismo ( Juan, 500) que (Graciela, 500)? 4. ¿Será lo mismo hacer operaciones con funciones que con “números sueltos”? ¿Por qué? 5. ¿Qué le encuentras de especial a los resultados de las operaciones con funciones? 6. 2. La suma ( Juan, 100)
Actividad 2.6.1 Se ha analizado una posible estructura de operaciones con funciones en la que se nota que para que ésta sea posible es necesario que el primer elemento del par ordenado sea idéntico. Esta condición ca “a quien se le va a asignar”, y por tanto se comporta únicamente como una “etiqueta”. Bajo esta suposición, analiza los siguientes cuestionamientos: 1. ¿Por qué consideras que no se puede efectuar la suma ( Juan (Graciela, 100)? En caso de que tu opinión sea contraria, explica
2.
(4, 6); este re (4, 6), aunque los resultados sean idénticos. Este último podemos denominarlo producto por un escalar. Redacta una explicación de este producto.
3. Considera las dos funciones f y g -
nombre de cinco personas diferentes y la función f les asigna el número de horas que trabajan diariamente. Calcula las operaciones que se solicitan y en cada inciso da una posible interpretación para la función g de tal manera que la operación pueda
ÓÌÔ
ACTIVIDAD 2.6.1 E VALUACIÓN POR PRODUCTO DESEMPEÑO.
O POR
Actitudes Ñ Creatividad. Ñ Defensa de los propios argumentos y tolerancia por los ajenos. Ñ Interés en situaciones reales. Desempeños Ñ No necesario. Productos Ñ Respuesta a las seis preguntas planteadas en el apartado 2.6, así como a las seis propias de la actividad. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la explicación de sus propuestas. ii. Respuesta a todas y cada una de las doce preguntas. iii. Manifestación de la organización del equipo. iv. Adecuado trazo de las gráficas propuestas. v. Creatividad en ejemplos propuestos como interpretación. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Si es por desempeño, emplear una sesión del curso para observarlo. } En caso de evaluar el producto, realizarlo por equipos. } Equipos de tres personas. } Invitar a la participación grupal, evaluando los pros y contras de cada propuesta de interpretación o de definición. } Discutir cómo las bases de datos son funciones con un mismo dominio asociado a un elemento base, como el nombre de la persona. ÓÌÔ
CAPÍTULO 2
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operación indicada: a) f g
ACTIVIDAD 2.6.2
b) f g
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
c) fg d)
Actitudes Ñ Interés por la interpretación gráfica de los conceptos. Ñ Empleo del lenguaje gráfico para expresarse.
f g
e) 5 f
De seguro observaste que en g no existe ningún par que tenga f no existe par con 6 en esa posición. 4. ¿Qué consecuencia tiene esto sobre
el resultado? 5. funciones originales. 6. ¿Qué pasará si tratas de realizar una operación entre dos funciones y no comparten ni un solo elemento en común en sus dominios? Comparte con tus compañeros, y si tienes dudas, consulta a tu facilitador.
Actividad 2.6.2 f y g como el número real k.
f
g
FIGURA 2.17 Gráficas de la actividad 2.6.2.
y observa con cuidado lo que ocurre en cada posición dentro del ponde con las siguientes operaciones entre funciones, indicando el 1. f g 2. fg
ÓÌÔ
Desempeños Ñ Se observa en el producto. Productos Ñ Presentar la relación correcta entre gráficas y operaciones entre funciones, así como detección de los valores de las constantes empleadas. Criterios de calidad i. Presentar la relación correcta entre gráficas y operaciones con funciones. ii. Argumentación congruente en el caso de las preguntas 7 y 8. iii. Determinación adecuada del valor de la constante k en cada caso. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio individual. } Propiciar la evaluación por pares. } Propiciar la discusión en clase sobre diversas aplicaciones de operaciones con funciones. } Invitar al razonamiento sobre la posibilidad de que existan otras operaciones con funciones. } Preguntar si tendrían sentido expresiones como ln( ), f ( x ) g( x ), 3 f( x ) , sen x , etcétera. } Preguntar qué diferencia de significado tendrá f ( x ), f ( u), f ( y ), etcétera. } Que significado y aplicaciones tendrá f ( x ) g( x ). ÓÌÔ
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
3. f g 4.
f g
a)
b)
c )
d )
e)
f )
Visualiza
5. kf (indica el valor
aproximado de k) 6. kg (indica el valor aproximado de k) 7. 8. ¿Por qué la función resultante existe únicamente en la zona marcada en amarillo? Comparte con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Aplicación 2.6.1 Las operaciones con funciones son hechos comunes en la naturaleza y en los conocimientos humanos. Por ejemplo, en la contabilidad los elementos con que comúnmente se trabaja se denominan “cuen “proveedores”, y otras. Los movimientos contables corresponden básicamente con sumas y restas de funciones. Por ejemplo, si el estado actual de la FIGURA 2.18 Operaciones con funciones de la actividad 2.6.2. tado de la cuenta será: (activo APLICACIÓN 2.6.1 ÓÌÔ contadores emplean las nomenclatura “debe” y ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR “haber”, y una notación de dos columnas llamada CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR . “partida doble”. Actitudes Ü Consigue un libro básico de contabilidad y
compara la nomenclatura de la partida doble con la notación de funciones. ¿A qué crees que se debe esa diferencia? Platica con un contador al respecto.
Otra aplicación de las operaciones entre funcio “rotación de inventarios”, “liquidez” y otros. Ü
présalos como operaciones de funciones.
En la administración de recursos humanos se emplean otros indicadores que son operaciones entre funciones; unos muy comunes son “rotación
Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Gusto por la investigación. Ñ Interés en el análisis y localización de diferencias y semejan-
zas entre conceptos de diferentes áreas del conocimiento. Desempeños Ñ Manifestación del lenguaje de las áreas temáticas investigadas, interpretación de que existen funciones que no dependen de una sola variable real, comprensión de que un parámetro de una situación real es el resultado funcional de muchas variables. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Verbalización de conceptos de áreas del conocimiento que serán parte de las competencias profesionales. ii. Manifestación del conocimiento de que existen funciones de más de una variable.
CAPÍTULO 2
de personal”, “promedio de estudios del personal”, etcétera. Ü Consigue un libro de esa área, localiza otros
indicadores y exprésalos en notación de funciones.
Los censos que practica el INEGI son otra fuente de indicadores, que son operaciones entre funciones: Ü Localiza algunos de ellos y exprésalos en la
notación matemática. Para ello dispones de la página: http://www.inegi.gob.mx. Analiza principalmente los “niveles de bienestar” de la publicación http://www3.inegi.org. mx/sistemas/biblioteca/ficha.aspx?upc=
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Ô iii. Expresión adecuada de conceptos de diversas áreas del conocimiento en notación matemática y en particular de funciones. iv. Interpretación del concepto de equilibrio en la partida doble y otras áreas.
Características del producto } Extensión: } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Propiciar debate sobre índices sociales localizados.
APLICACIÓN 2.6.2
ÓÌÔ ÓÌÔ
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Gusto por la investigación. http ://www3.inegi.org.mx/sistemas/biblioteca/ficha. aspx?upc=702825450557
El concepto de “equilibrio” es crucial en muchas áreas. Investiga y comenta tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Aplicación 2.6.2 Las operaciones con funciones nacen como producto de los fenómenos naturales y del intelecto humano. Es cierto que muchas de ellas son difíciles de percibir, pero a lo largo de la historia de la humanidad ha existido mucha gente interesada en desentrañar los secretos de la naturaleza, y con esos principios la ciencia ha fortalecido el conocimiento humano. Por otro lado, la tecnología emplea los principios físicos muchas veces antes convierte en artefactos útiles, a veces con consecuencias graves, como la contaminación. Qué simple se ve la segunda ley de Newton cuando se expresa F ma, y cuántas aplicaciones tiene. Si la observas con cuidado advertirás que
Desempeños Ñ Interpretación mediante el lenguaje adecuado de modelos de la física. Verbalización del conocimiento de las implicaciones del tiempo en los modelos de la física. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Verbalización de conceptos de la física. ii. Interpretación de que en las situaciones dinámicas el tiempo es una variable crucial para interpretar los fenómenos. iii. Manifestación del conocimiento de qué es un modelo y cómo se cree que se obtienen estos. Características del producto } Extensión: } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo individual. } Sugerir páginas o textos. } Propiciar la discusión de los conceptos en una sesión de clase. } Sugerir la búsqueda de biografías de matemáticos y científicos, partiendo del impacto que han tenido sus ideas para la ciencia, y sobre todo para el pensamiento y las creencias de su época. ÓÌÔ
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
corresponde a un producto de funciones, ya que la masa de los cuer implica que tampoco lo hará la aceleración. Así, será más correcto escribir F (t) m(t)a(t). Otros casos son la ley de los gases ideales, la ley de Ohm, la ley de Ampere, entre muchas otras. Si analizas algún texto de física seguramente encontrarás muchas expresiones de principios físicos; dichas expresiones son producto de la investigación y todas se estructuran con operaciones entre funciones. A pesar de que veas expresiones muy simples, como la ley de Ohm que describe la relación entre el voltaje, la resistencia eléctrica y la corriente en un circuito (V Ri), siempre cabrá la pregunta: ¿son variables o funciones? Sin duda podrás interpretar fácilmente V (t) R(t)i(t). Existen operaciones más complejas entre las funciones que las mencionadas hasta este momento, pero todas ellas son formas de expresión que empleamos para construir modelos que nos ayuden a expresar la realidad.
2.7 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
ñ
Para f y g funciones de en Ü Función suma:
[ f g](x) f (x) g(x); D f g D f D g Ü Función inverso aditivo:
[ f ](x) f (x); D f D f Ü Función producto por una constante:
[cf ](x) cf (x); Dcf D f Ü Función producto:
[ fg ](x) f (x) g(x); D fg D f D g Ü Función potencia:
[ f n](x) ( f (x))n; D f D f , n es un entero. n
Ü Función recíproca:
1 1 ( −1) f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) ; D 1 D f f siempre que f (x) 0.
CAPÍTULO 2
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Ü Función cociente:
f f ( x) ( −1) g ( x ) = fg ( x ) = g( x ) ; D f = D f ∩ Dg g siempre que g(x) 0.
2.8 FOCALIZACIÓN. FUNCIÓN COMPOSICIÓN Para asistir a los espectáculos es común que compres un boleto para poder ingresar al local en que se desarrollará el evento. De igual forma, en tus clases es necesario que comprendas un concepto para que puedas avanzar a otro. El primer concepto se comporta de manera similar al boleto. Analiza esta situación esquemáticamente en la La nueva función que “encadena” funciones se denomina composición de funciones, o simplemente función composición, y se escribe f g. Esta función es de uso cotidiano y se detecta porque se emplea “un boleto o intermediario” para
ñ
Personas que quieren ir al evento
g
Personas que adquirieron un boleto para la función 1 del evento
Boletos vendidos para todas las funciones Boletos de la función 1
f
Lugares disponibles en el evento función 1
f g f: es la función que asigna un boleto a cada persona, g: es la función que asigna un asiento a cada boleto, por lo que, f g: es la función que asigna un asiento a cada persona (que tiene boleto).
FIGURA 2.19 Ejemplo de composición de funciones.
Aplicación 2.8.1 Son muchas las situaciones en que se emplea la composición de funciones. Analiza las siguientes situaciones en las que lo importante es detectar “el boleto o intermediario” que participa para alcanzar la asignación deseada. 1. Si deseas encender un foco, tienes que conec-
tar cada vez los cables energizados sobre él. Sí lo haces, pero un “apagador” es el intermediario que lo hace por ti. 2. Es mi deseo poder comunicarme contigo, pero hay un intermediario; el libro lo hace por mí. 3. Cuando vas al súper, lo que deseas es llevar los artículos que necesitas, y para ello hay un intermediario: el dinero. 4. En muchos cursos el objetivo es asignarte una examen.
APLICACIÓN 2.8.1
ÓÌÔ
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Desempeños Ñ Determinación de los elementos de una función composición en situaciones reales. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Trazo adecuado de los diagramas que representen cada ejemplo. ii. Creatividad y claridad en los ejemplos propuestos. iii. Correcta determinación de los elementos de la función composición. iv. Interpretación adecuada de la f ( g h).
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Para cada uno de los casos mencionados traza un diagrama que detecte las componentes de la función composición indicada, tal como se mostró en En la lotería el objetivo es asignar los premios, el intermediario es tu boleto. Observa que no solo existe un intermediario, ya que para comprar el boleto existe como intermediario el dinero. De lo anterior resulta la expresión f ( g h). Describe esta situación y traza un diagrama para representarla. 5. Propón al menos cinco ejemplos más de fun-
ción composición y discute su análisis con tus compañeros.
Actividad 2.8.1 dos funciones f y g, como las que se muestran en f g cas dadas; indica para algún punto cómo se hace ese trazo. Este trazo es muy interesante.
Características del producto } Extensión: } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo individual. } Discutir los ejemplos propuestos en clase.
ACTIVIDAD 2.8.1
Ô
ÓÌÔ ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés por la interpretación gráfica de los conceptos. Ñ Empleo del lenguaje gráfico para expresarse. Desempeños Ñ Se observa en el producto. Productos Ñ Trazo de la gráfica de f g de manera general. Criterios de calidad i. Presentación correcta entre las gráficas y la composición de funciones. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
f
g
Sugerencias } Producto obligatorio individual.
ÓÌÔ
FIGURA 2.20 Gráficas para la actividad 2.8.1.
APLICACIÓN 2.8.2
Aplicación 2.8.2 La cualidad básica de la composición de funciones es que si consideras que una función f se comporta como una máquina que tiene un objeto x de entrada y otro objeto f (x) de salida, entonces este objeto de salida f (x) se puede convertir en entrada para otra nueva función g cuya salida será g( f (x)), y ésta a su vez podría convertirse en objeto de entrada y continuar la reconversión de salida a entrada tantas veces como se considere conveniente.
ÓÌÔ
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Gusto por la investigación. Desempeños Ñ Determinación de los elementos de una función composición en situaciones reales. Productos Ñ No necesario.
CAPÍTULO 2
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103
Ô Criterios de calidad construcción se basa en columnas de soporte soi. Uso del lenguaje específico sobre puentes y sobre combre las cuales se apoya la plataforma (el puente), posición de funciones. pero también el gran cable. Así, el apoyo de las columnas sobre lo profundo del piso es el ele- Características del producto mento físico que soporta a toda la estructura y } Extensión: } Individual ® Equipo ® ejerce en cada instante una fuerza F (t) dinámi} Fecha de entrega : ca que depende de las cargas que soporten las } Obligatorio ® Optativo ® columnas, las que a su vez soportan una carga dinámica F (t), que corresponde con el peso de la Sugerencias plataforma W (t), la fuerza del viento y los vehícu} Producto optativo individual. ÓÌÔ los que sobre ella transitan, transmitida por sus soportes y por la tensión del gran cable, por su parte cada cable vertical i soporta wi(t)una pequeña fracción del peso de la plataforma, misma que se concentra sobre el gran cable T (t) sobre la columna. t, que se denominó F (t) y que se “compuso” como se indica en la F (t) se F (t)? Muchos puentes no se construyen con cables sino con estructuras que soportan por encima de ellas a la plataforma. Ü ¿Cambiará el principio básico bajo esa técnica diferente de
construcción? Ü ¿Qué otras formas de construcción de puentes conoces? Ü ¿Qué otros casos de composición de funciones recuerdas?
Para observar teoría y tipos de puentes puedes visitar el sitio: http://puentes.galeon.com/
w 1(W (t )) w 2(W (t )) ... t
W (t )
FIGURA 2.22 Fuerza dinámica en el piso compuesta por el propio peso de la plataforma W (t ) y de la tensión en los cables T (t ).
Departamento 1
Departamento 2
Departamento 4
Departamento 3
x
T (w 1(W (t )), w 2(W (t )), ...
F (W (t )), T (w 1(W (t )), w 2(W (t )), ...)
FIGURA 2.21 Las columnas del puente soportan una carga dinámica que está compuesta por cargas que soportan a su vez los cables.
F (t )
f ( x )
FIGURA 2.23 Ejemplo de una función composición: Paso de productos e insumos entre departamentos de un proceso.
104
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Aplicación 2.8.3
APLICACIÓN 2.8.3
Los procesos de producción que conoces son ejemplos inequívocos de composición de funciones. En ellos los productos de un departamento se convierten en los insumos del siguiente mien último departamento y abandona la empresa en Aunque el proceso que consideres no corresponda a un proceso industrial, la composición está presente. Por ejemplo, observa un juego de básquetbol: ¡se comporta como proceso! En él las acciones de cada jugador se “encadenan” (composición de funciones) y una jugada previa tiene como producto una nueva posición, que a su vez será el punto de inicio de una nueva jugada (véa Ü Analiza al menos cinco procesos y concluye
cuáles son los insumos, los productos y las funciones que intervienen en cada una de las etapas del proceso.
Comenta con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
ÓÌÔ
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Gusto por la abstracción de las situaciones. Desempeños Ñ Determinación de los elementos de una función composición en situaciones reales. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Uso del lenguaje específico sobre procesos y composición de funciones. ii. Determinación de los componentes de las funciones que intervienen en las composiciones. Características del producto } Extensión: } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Promover el trabajo cooperativo.
ÓÌÔ
2.9 FUNCIÓN COMPOSICIÓN E INVERSA
ñ
La función composición tiene como notación y regla de correspondencia [ f g](x) f ( g(x)); D f g {x|x D g, g(x) D f Observa cómo el dominio de la función composición depende de la posibilidad de que las imágenes g(x) estén dentro del dominio de f . Desde luego, la composición de funciones no FIGURA 2.24 Ejemplo de una función composición: pases entre los jugadores hasta encestar. es conmutativa, esto es f g g f . Por otra parte, en algunos casos en particular existe una función g(x) tal que [ f g](x) [ g f ](x) x, por lo que de existir tal g la denominaremos función inversa de f y la escribiremos f 1(x), que no debe confundirse con la función recíproca f (1)(x).
CAPÍTULO 2
w
105
cubre con la siguiente expresión: [ f f 1](x) [ f 1 f ](x) x en donde se ha considerado la composición de una función con su inversa, supuesto que ésta existe. Más adelante volveremos a este tema.
2.10 ACERCAMIENTO A TIPOS DE FUNCIONES
ñ
sus cualidades generales es importante considerar: 1.
quierda) del eje vertical y “pegas” su imagen de “espejo”, puede decirse que has generado una función par un lado del eje para saber qué ocurre en el otro (véaFIGURA 2.25 Característica gráfica de una función par.
2.
vertical y le “pegas” temporalmente su imagen de “ rizontalmente”, se dice que generaste una función impar. Al igual que en el caso anterior, si conoces las - FIGURA 2.26 Característica gráfica de una función impar.
3. -
función periódica. Al igual que en los casos previos, las características
FIGURA 2.27 Característica gráfica de una función periódica.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
4.
función y su inversa tienen simetría respecto de la recta a 45°. ACTIVIDAD 2.10.1 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
ÓÌÔ
Actitudes Ñ Interés por la interpretación gráfica de los conceptos. Ñ Empleo del lenguaje gráfico para expresarse.
a) No tiene inversa, ¿por qué?
b) Dos funciones mutuamente inversas
FIGURA 2.28 Característica gráfica de una función y su inversa.
Actividad 2.10.1 contiene puntos de la forma (x, y), ¿cuáles serán las características de los puntos de las funciones: a) par b) impar c) periódica d) inversa
Algunos puntos de interés para cada punto (x, y) pueden ser: (y, x), (x, y), (x, y), (x, y), (x T , y), (x T , y) o (x kT , y), considerando valores adecuados para la constante T y la variable entera k. Localiza estos puntos respecto de cada tipo de función y determina cuál pertenece a cada una; esa será la característica “algebraica” que se empleará para probar directamente sobre las Una vez que detectes esa característica básica, da un ejemplo práctico del uso de cada una de estas funciones. Comparte con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Aplicación 2.10.1 Las funciones periódicas más comunes con las que se convive de manera común son las “ondas”. Éstas puedes verlas, oírlas o percibirlas mediante instrumentos, según el tipo de magnitud física:
Desempeños Ñ Se observa en el producto. Productos Ñ Presentar la relación correcta para un punto ( x , y ), con sus correspondientes: ( y , x ), ( x , y ), ( x , y ), ( x , y ), ( x T , y ), ( x T , y ) o ( x kT , y ); según se requiera. Criterios de calidad i. Presentar la relación correcta entre los puntos en la gráfica. ii. Argumentación congruente para establecer una propuesta de “verificación de tipo de gráfica”. iii. Responder si los tipos de gráficas son excluyentes o cuáles se pueden satisfacer simultáneamente. iv. Incluir gráficas y trazos que clarifiquen las pruebas. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipo. } Propiciar la evaluación por pares. } Proponer y solicitar ejemplos de funciones de cada tipo. } Proponer el análisis de funciones inversas de una “rama principal” como en el caso de las funciones trigonométricas. } ¿De dónde proviene el nombre del tipo de funciones? ÓÌÔ
CAPÍTULO 2
1. Cuando
lanzas una piedra sobre el espejo tranquilo de un lago, las ondas que se forman a partir del punto de caída son ondas de una función periódica. 2. El sonido repetitivo registrado por cierto tiempo se corresponde con una función periódica, como el timbre del teléfono, el ritmo que lleva la batería o el bajo en una melodía con cierta monotonía. 3. Las ondas electromagnéticas que emiten los “radiofaros estelares”. 4. El sonido de los zapatos cuando caminas al mismo ritmo. 5. El ulular del viento cuando pasa por la rendi ja de una puerta. 6. El sonido de una cuerda de guitarra. 7. La marcha de los soldados. 8. La energía eléctrica que reciben en tu casa. 9. La rutina de los que no cambian sus hábitos. 10. Los latidos del corazón. 11. Los aplausos, y muchas más. En todos los casos, al conocer el “periodo de repetición” y analizar qué ocurre en ese segmento podrás saber fácilmente lo que ocurrirá después y, sobre todo, cuándo. Por ese motivo, los astrónomos saben exactamente cuándo volverá a pasar un cometa, cuándo iniciará la primavera, etcétera. Comenta con tus compañeros otras funciones periódicas que hayas localizado y la duración de su periodo.
APLICACIÓN 2.10.1
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ÓÌÔ
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés en situaciones reales. Ñ Creatividad. Desempeños Ñ Identificación de situaciones reales en las que se dan condiciones periódicas. Productos Ñ En caso necesario, reporte de la práctica de laboratorio con osciloscopio o sistemas vibrantes. Criterios de calidad i. Identificación de condiciones periódicas en los ejemplos señalados. ii. Simplificación adecuada de los casos a gráficas de 2. iii. Localización y discusión de nuevos ejemplos. iv. Uso de gráficas para analizar los ejemplos. v. Utilización de dispositivos electrónicos (como osciloscopios u otros) para visualizar las señales. vi. Visualización de simuladores o de construcciones, como el sistema resorte-masa. Características del producto } Extensión: dos cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Promover el trabajo cooperativo. } Promover la construcción de modelos para visualizar esquemas vibratorios. } Describir casos donde la vibración es dañina y casos donde es útil. } ¿Qué es un terremoto? } ¿Qué es un tsunami? ÓÌÔ
Aplicación 2.10.2 “Desandar lo andado” no siempre elimina los efectos de lo que hayas hecho en el camino. Imagina si siempre fuera posible regresar al punto de partida en tiempo y espacio en aquellos casos en que no te gustara lo que hubieras hecho. Este proceso se llama inversión. Sin embargo, la naturaleza nos enseña que no todo es invertible y que los efectos que se producen son permanentes en diferentes medidas. Cuando el automóvil en que se viajó de Guadalajara a México regresa a Guadalajara, aunque sea por el mismo
APLICACIÓN 2.10.2
ÓÌÔ
ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés en la abstracción. Ñ Agrado de observar conceptos nuevos aplicados a la realidad.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
camino, no recupera el desgaste que tuvieron sus partes, ni tampoco el combustible que consumió. Muchos procesos como este no son invertibles, pero existen otros que sí pueden invertirse si no se consideran algunos efectos colaterales. Por ejemplo, una tuerca se puede colocar en un tornillo y posteriormente retirarla, o si se sabe fácilmente a quién se le vendió siempre que se lleve una lista de los pasajeros. Observa que inicialmente la función asignó ( persona, boleto), y el proceso de inversión simplemente pregunta (boleto, persona). El proceso de inversión de una función de pares (x, f (x)) consiste en esencia en que con f (x) conocida se preguntará ¿quién es x? O en lenguaje algebraico, si conoces f (x), regresarte desde ahí y saber de qué x se partió. Si a ese regreso lo llamamos f 1, el proceso completo se podrá escribir así: f 1( f (x)) x. El ideal de muchos procesos es lograr la inversión.
Ô Desempeños Ñ Identificación de situaciones reales invertibles y no invertibles. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Manifestación de la comprensión de la inversión “práctica” y la ideal en los fenómenos. ii. Preconcepción de los elementos necesarios para la inversión. iii. Unicidad y creatividad en sus ejemplos propuestos. iv. Uso de gráficas para analizar los ejemplos.
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Características del producto } Extensión: } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
2.11 TIPOS DE FUNCIONES
Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Proponer ejemplos de diversas áreas del conocimiento. ÓÌÔ
Ü Redacta al menos cinco casos en que esto sea posible.
ñ
la siguiente manera: 1. Función par: es aquella en que si (x, f (x)) está en f , también está (x, f (x)). 2. Función impar: es (x, f (x)).
tal que si (x, f (x)) está en f , también está
3. Función periódica: si (x, f (x)) está en f , luego (x T , f (x)) está en f . El número T 0 se llama periodo. 4. Una función es biunívoca o “uno a uno” siempre que
(a b) D f f (a) f (b) 5. Función inversa: si f es una función biunívoca, se llama inversa de f a la función f 1 tal que
f 1 {( f (x), x ), x D f
es decir, el papel del dominio y el rango se invierten.
CAPÍTULO 2
TABLA 2.4
w
109
Funciones útiles
Función
Nombre
Gráfica (ejemplo) 3.0
2.0
1.0
0( x ) 0
Función cero
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
-1.0
-2.0
-3.0
3.0
2.0
1.0
Función constante
f ( x ) c ; c
(ejemplo: para c 2.2)
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0
-2.0
-3.0
3.0
2.0
1.0
l ( x ) x
Función identidad
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0
-2.0
-3.0
3.0
2.0
1.0
f ( x ) mx b; b
Función lineal
(ejemplo: f ( x ) 2 x 1)
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0
-2.0
-3.0
110
w
TABLA 2.4
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Funciones útiles (continuación )
Función
Nombre
Ô
Gráfica (ejemplo) 3.0
2.0
Función polinómica o polinomio n1
p( x ) a n x a n 1 x … a2 x a1 x a0; a i n
1.0
2
(ejemplo:
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
f ( x ) 2 x x 2 2 x 3 x 4)
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
-1.0
-2.0
-3.0
3.0
p( x ) r( x ) q( x )
Función racional, donde p( x ) y q( x ) son funciones polinómicas (ejemplo:
q( x ) 0
2.0
1.0
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0
f ( x ) =
2
2 + x − 2 x − x x
3 -2.0
-3.0
4.0 3.0 2.0 1.0
0; x (0, 1) U( x ) = 1; x ∈ [ 0, 1]
Función salto o escalón unitario
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0
4.0 3.0 2.0 1.0
f( x)
x
Función raíz cuadrada positiva
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0
CAPÍTULO 2
TABLA 2.4
w
111
Funciones útiles (continuación )
Función
Nombre
Ô
Gráfica (ejemplo) 4.0 3.0 2.0 1.0
x; x ≥ 0 − x; x < 0
x =
Función valor absoluto
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
-1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0
4.0 3.0 2.0
x n,
si n x n 1,
1.0
Función máximo entero
-5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0
n
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
-1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0
ACTIVIDAD 2.11.1
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actividad 2.11.1 El concepto que se ha estudiado en este apartado es la función. Como te habrás dado cuenta, es un concepto muy importante que tiene cabida en todas las áreas de las actividades humanas y los fenómenos naturales. Las funciones son la esencia de la representación matemática mediante modelos algebraicos para estudiar los fenómenos que nos rodean, incluso aquellos que percibimos como muy lejanos, o también los ideales. Con base en lo estudiado prepara un ensayo que trate sobre los diferentes puntos que hayas considerado de interés en el tema, pero sobre todo de la importancia de las aplicaciones de este concepto y sus derivados. Entrega el ensayo a tu facilitador.
Actitudes Ñ Interés por la síntesis. Ñ Limpieza. Ñ Puntualidad en la entrega. Desempeños Ñ Se observa en el producto. Productos Ñ Un ensayo que describa la importancia de las funciones como herramienta para representar modelos de los fenómenos que nos rodean. Criterios de calidad i. Claridad en la redacción ii. Desarrollo de las propias ideas. iii. Cita de las fuentes. iv. Incluir gráficas y mapas conceptuales para clarificar las ideas.
112
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Ejercicios 2.1
Ô
v. Originalidad.
2.1.1 a, b) si “a es padre de b” y compárala con (b, a). En caso de
que sea una función, localiza su dominio, contradominio, rango y regla de correspondencia. Solución
Características del producto: } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias
Como un padre (a) puede tener más de un hijo, es } Producto obligatorio individual. posible encontrar dos pares ordenados (a, b) y ( a, c), para los cuales se cumpla la relación. Luego, la relación no es una función. Por otro lado, la relaÓÌÔ ción (b, a) corresponde con “b es hijo de a”; como ahora un hijo tiene EJERCICIOS 2.1 solo un padre (biológico), no habrá pares ordenados con el mismo ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO primer elemento y esta relación sí es una función. Su regla de co- INDIVIDUAL Y GRUPAL . rrespondencia es “b es hijo de a”, su dominio son “todas las personas”, Actitudes su contradominio “las personas varones” y su rango “los varones que Ñ Trabajo en equipo. tienen al menos un hijo”. Ñ Interés en la abstracción. 2
( x − 3x ) ( x 2 − 4) máximo dominio, ¿cuál es su dominio y contradominio? Esboza propón el posible rango. 2.1.2 Si
la función f ( x) =
Solución
Como es una función racional, su numerador y denominador se pueden “calcular” en todo . Sin embargo, por motivo de una posible “división por cero” se deben eliminar las raíces del denomi Luego, D f nio es C f y = (xˆ2-3x)/(xˆ2-4)
Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situacio-
nes novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante intente la solución de los ejercicios antes de ver su resolución. Aun así, puesto que algún ejercicio puede representar una situación novedosa, se incluye la resolución para que el estudiante la estudie, analice cuidadosamente y plantee sus dudas en la clase al facilitador o con sus compañeros de equipo. Desempeños Ñ Participación en la clase. Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los ejercicios. ii. Presentación en clase o con los compañeros de ejercicios tomados de otras fuentes.
FIGURA 2.29 Solución del ejercicio 2.1.2.
Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
CAPÍTULO 2
te WinPlot, en la que se observa que el rango es debido a la rama central. a) a e)], di cuál corresponde a o ninguna de las anteriores. 2.1.3
y = xcos(x)
y = sin(x/2)cos(x)
a)
y = abs(sin(x/2)cos(x))
b) y = exp(1/x-2)
d)
c) y = abs((x/4-1)ˆ3+1)
e)
FIGURA 2.30 Gráficas para el ejercicio 2.1.3. Solución
observa que las curvas son cortadas por esa recta una sola vez. una función impar ya que f (x) f (x). Esto se observa si analizas que al trazar cualquier recta que pase por el origen y esta recta corta a la curva en un punto, entonces otro punto aparece a la misma distancia al otro lado de la recta (se tiene simetría respecto del origen). 2. manera idéntica y se cumple además la condición f (x) f (x). 3. Es una función periódica par. La paridad se observa al trazar un punto, aparece otro simétrico al lado opuesto de la recta (simetría respecto del eje y). 4. Es una función uno a uno. Esto se observa si al trazar cualquier único punto. 1. Es
w
113
Ô Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para preguntas acerca de los ejercicios. } Propiciar el aprendizaje colaborativo. ÓÌÔ
w
114
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
5. Es una función, pero no corresponde con ninguna de
las clasi-
T
P r = 1 x
, en la que O Q el punto P se mueve sobre el círculo de radio 1 debido a la magnitud del ángulo x, y arrastra con él a los puntos S, C y T , esboza la S(x), C (x) y T (x). S(x): distancia vertical del eje x al punto C P; C (x): distancia horizontal del eje y al punto P; T (x): distancia vertical desde el eje x al punto T , sobre la recta tangente vertical. FIGURA 2.31 Ejercicio 2.1.4. esas funciones? ¿Cuáles serán sus correspondientes: dominio, contradominio y rango? 2.1.4
Solución
1. S(x). Es una función periódica porque x puede seguir más de “una vuelta”, y corresponde con el sen(x) al revisar el triángulo OPQ. DS , C S , RS [1, 1].
FIGURA 2.32 Ejercicio 2.1.4.
2.
C (x). Es una función periódica porque x mente”. Corresponde con el cos (x) al revisar el triángulo OPQ. DC , C C , RC [1, 1]
FIGURA 2.33 Ejercicio 2.1.4.
3. T (x . Es una función periódica porque x puede dar más de “una vuelta” hacia adelante o hacia atrás. Corresponde con la tan (x) al revisar el
(2n − 1) π triángulo OPQ. DT = − , n = 1, 2 , 3, ... “todos los 2 valores de x excepto cuando P pasa por la vertical, en donde T FIGURA 2.34 Ejercicio 2.1.4. crece sin límite”, C T y RT .
S
CAPÍTULO 2
2.1.5
w
115
f ( x ) =
( x − 2)( x + 3) x−2
¿Cuál es su dominio y propuesta de rango? Solución
En el denominador se debe exceptuar x el numerador debe satisfacer (x x 3) 0, que resuelta por , 3] ), de donde D f ( , 3] se observa que hay una región en la vertical que no se emplea (, 1] (0, 1]. Estos intervalos se pueden infe- FIGURA 2.35 Solución del ejercicio 2.1.5. rir si se calcula f (x) con valores de x muy grandes (no alcanzan 1). Por el mismo hecho, con valores de x muy grandes pero negativos se ve que no alcanzan mismo, de donde se propone R f (1, 0] (1, ). Observa que en este caso la función se puede reescribir aparentemente como g( x ) =
x+3 x−2
Pero, ¡cuidado!, no hagas … Antes debes ob-
servar cuál es el dominio de la función, ya que podrías eliminar 0 o hacer que valores 0 extraños entren al dominio de la función. En efecto, observa que negativos “grandes” [por ejemplo con x 10, f (10) ca dice que es negativo! ¿En dónde está el error? Observa que en (, 3), x 0, y ( x − 2)( x + 3) > 0
( x − 2)( x + 3) <0 x−2
2.1.6 x 1 con un polinomio cuadrático.
Solución
Si se considera la función máximo entero, x 1 se “ve” como una escalera (trazada en rojo), mientras una cuadrática es una parábola (trazada en verde). Al sumarlas cada escalón parte a la parábola y sube el “segmento” una unidad si el escalón es positivo, lo baja una unidad si el escalón es negativo y no lo afecta en caso del escaFIGURA 2.36 Ejercicio 2.1.6.
Visualiza
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
116
w
2.1.7
Sean las funciones
COMPETENCIAS
f (x) 3x x, 3 x 5 g(x) x 4, 4 x 4
Determina f g, fg ,
f 1 , , f ( g (x g f
Solución
La intersección entre dominios es 3 x 4, intervalo que será muy útil para la determinación de los dominios de cada nueva función: a) [ f g](x) (3x x) (x 4) 4x x 4; D f g (3, 5) (4, 4] (3, 4] b) [ fg ](x) (3x x)(x 4), 3 x 4
f (3 x 2 − x ) c) ( x ) = x2 − 4 g xε(3, (
ya que x 4 0, con xε{ d)
1 1 f ( x) = (3 x 2 − x)
xε( −3, 0) ∪ 0,
1 1 ∪ , 3 3
5
1 ya que 3x x 0, con x ε 0, 3 e) [ f g](x) f (x 4) 3(x 4) (x 4)
Como D g (4, 4] se tiene R g [ g(0) 4 y g (4) g (4) R g con D f es (3, 5) , por lo que el dominio de la composición serán las x para las que 3 g(x) 5. Luego de x 4 3 se tiene x 1, x 1, mientras x 4 5 resulta en x 3, x 3; resueltas am de la composición es (3, 1) (1, 3).
CAPÍTULO 2
f
f g. fg.
f g
1 f
f | g. y = 3xˆ2-x y = xˆ2-4 y = [xˆ2-4]+[xˆ2-4]
Visualiza
FIGURA 2.37 f g ejercicio 2.1.7. y = 3xˆ2-x y = xˆ2-4 y = 1/(3xˆ2-x)
y = 3xˆ2-x y = xˆ2-4 y = [3xˆ2-x][xˆ2-4]
y = 3xˆ2-x y = xˆ2-4 y = [3xˆ2-x]/[xˆ2-4]
FIGURA 2.38 fg ejercicio 2.1.7.
FIGURA 2.39 –f ejercicio 2.1.7. g
y = 3xˆ2-x y = xˆ2-4 y = 3(xˆ2-4)ˆ2-(xˆ2-4)
Visualiza
1 ejercicio 2.1.7. FIGURA 2.40 – f
FIGURA 2.41 f g ejercicio 2.1.7.
w
117
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
118
w
2.1.8
Sean las funciones f ( x ) =
x − 1; 2 x − 1;
COMPETENCIAS
−4 ≤ x < 0 0≤x<4
1 ; −5 < x < −2 g( x ) = x + 2 x + 2 ; −2 ≤ x < 3 Determina f g, fg,
f 1 , g f
Solución
f en verde y g en naranja. La pregunta fundamental es cuáles expresiones se consideran ben considerar las que tienen un dominio en común. Analiza las cada función, de donde resultan tres intervalos: [4,
Visualiza
1 −4 ≤ x < −2 x − 1 + x + 2 ; [ f + g ]( x ) = ( x − 1) + ( x + 2); −2 ≤ x < 0 ( x 2 − 1) + ( x + 2); 0 ≤ x < 3 f g.
FIGURA 2.42 f + g ejercicio 2.1.8.
( x − 1) −4 ≤ x < −2 ( x + 2 ) ; [ fg ]( x) = ( x − 1)( x + 2); −2 ≤ x < 0 2 ( x − 1)( x + 2); 0 ≤ x < 3 fg. Visualiza
FIGURA 2.43 fg ejercicio 2.1.8.
CAPÍTULO 2
w
119
( x − 1)( x + 2); −4 ≤ x < −2 ( x − 1) f −2 < x < 0 ; g ( x ) = ( x + 2) 2 ( x − 1) 0≤x<3 ( x + 2) ; f
Nota como x ¿Por qué? (Véase g
Visualiza
FIGURA 2.44 –f ejercicio 2.1.8. g
1 x − 1 ; −4 ≤ x < 0 1 f ( x ) = 1 ; 0 ≤ x < 3, x ≠ 1 x 2 − 1
Visualiza
Ahora se excluye x 1 ejercicio 2.1.8. FIGURA 2.45 – f 2.1.9
Si f (x) x 4; 1 x 4 tiene inversa. Determínala.
Solución
Supongamos que f no es uno a uno (no lo sabemos hasta ahora), luego debe existir más de una a para la cual y(a) a 4. Como f (1) 3 y f (4) conjetura) que y f (x) ( x a, en f (x) y) se tiene que el argumento del radical siguiente es positivo y:
Visualiza y = xˆ2-4; 1.000000 <= x <= 4.000000 y = sqrt(x+4); -3.000000 <= x <= 12.000000 11 10 9 8 7 6
a
5
= ± y( a ) + 4
4 3
Pero como 1 a 4, únicamente se toma a positiva y a es única. La función es uno a uno. Como la inversa contiene los pares ordenados ( y(a), a)
2 1 -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1 -2 -3
(y(a), y(a) + 4 ) que con el cambio de variable a x y(a) para el FIGURA 2.46 Solución del ejercicio 2.1.9, (en rojo) y su inversa (en verde). nuevo dominio, se tiene (x , x 4 ) es decir, f −1 ( x ) = x + 4 .
120
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Finalmente, como D f (1, 4) y la conjetura de que R f ( se tiene que, de existir la inversa,* será: f −1( x ) =
x + 4 ; 3 x
Observa que el cambio de variable x y(a) se realiza para que se cubra f ( f 1(x)) x, pero también f 1( f (x)) x. NOTA: De manera simple en la ecuación original, si se sabe que la función es uno a uno, y conocidos D f y R f , el algoritmo de respuesta es 1. Sea f (x) x 4, D f (1, 4), R f ( 2. Intercambia el papel de x y f (x): x f (x) 4. 3. Despeja f (x) y revisa signos: f ( x ) =
x+4
4. Cambia el nombre de la función a f 1(x) e intercambia el papel de D f y R f :
f −1( x ) =
x + 4 ; 3 x
de que y (
Sea la función f ( x ) = x − 2 . f (x), describe qué ocurre con 2.1.10
x , f (x f (3x 1) f (x f (x) 3, f
Solución 1. En f (x
2. Para f (x) x 3. Con f se expande la función al doble horizontalmente. 4. eje x, es la que se provoca con f (x). 5. Expansión vertical al doble, con una contracción horizontal a 1 la tercera parte y luego una traslación hacia la derecha de 3 1 se provoca con 2 f 3 x − . Nota que se ha hecho un ajuste 3 a la expresión para sacar un factor único en el argumento de f [3(…)]. ¿Por qué la curva roja se ve a la izquierda de la verde,
CAPÍTULO 2
w
121
si la traslación fue a la derecha? Porque la contracción horizon2 y después la traslación lo mueve a 3 2 1 1. 3 3 tra los efectos de cada caso en rojo. Visualiza
f ( x 2)
x f 2
f ( x ) 3
) 2f ( x
2f (3 x 1)
FIGURA 2.47 Solución del ejercicio 2.1.10 ÓÌÔ
AUTOEVALUACIÓN 2.1 – 2.7 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
DE
Actitudes Ñ Trabajo en equipo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante, de manera individual o en equipo, intente la solución de cada autoevaluación. Una consideración muy importante respecto de los diferentes problemas corresponde con la visualización gráfica, por lo que resulta muy importante emplear un software adecuado como el que aquí se señala, y sobre todo graficar e interpretar todo lo posible. Desempeños Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los cuestionamientos.
ii. Presentación en clase o con los compañeros de
Ì
ejercicios tomados de otras fuentes. Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para discusión grupal sobre las autoevaluaciones. } Propiciar el aprendizaje cooperativo. } Sugerir cuestionamientos de otras fuentes. ÓÌÔ
SUGERENCIA EVALUACIONES
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL . Ñ En caso de que el facilitador o los propios estudiantes con-
sideren la necesidad de realizar alguna evaluación por conocimientos, se puede diseñar un examen que emplee una combinación de cuestionamientos incluidos en estas autoevaluaciones, adicionen de otras fuentes y, sobre todo, proponer de su propia creación. ÓÌÔ
122
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Autoevaluación 2.1 ción, encuentra su dominio y conjetura sobre su rango. 2.1.1 f ( x ) =
2− x
2.1.2 f ( x ) =
− −7 x
ÓÌÔ
AUTOEVALUACIÓN 2.1
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® ÓÌÔ
2.1.3 h(x) |x 1| 3
x ; 0≤x<3 2.1.4 f ( x ) = x − 1; 3 ≤ x ≤ 5 4 ; 5
y = 2-sqr(x)
Solución a la autoevaluación 2.1 2.1.1
, D f [0, ), R f ).
2.1.2
, D f (, 0], R f (, 0].
2.1.3
, D f , R f [3, ).
2.1.4
, D f [0, 7), R f [0, 4].
y = -sqr(-7x)
FIGURA 2.48 Gráfica del ejercicio 2.1.1: Df [0, ), Rf [2, ).
y = abs(x+1)-3
y = x y = x-1 y = 4
FIGURA 2.49 Gráfica del ejercicio 2.1.2:
FIGURA 2.50 Gráfica del ejercicio 2.1.3:
FIGURA 2.51 Gráfica del ejercicio 2.1.4:
Df (, 0], Rf (, 0].
Df , Rf [3, ).
Df [0, 7), Rf [0, 4].
CAPÍTULO 2
Autoevaluación 2.2
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® ÓÌÔ
3x − 1; x>2 2.2.1 f ( x ) = 2 x − 4x + 7 ; x < 2 ( x + 2)2 + 2 ; x ≤ −1 2.2.2 f ( x ) = ( x − 1)2 − 4 ; −1 < x < 3 x − 3; x>3
2.2.4
123
ÓÌÔ
AUTOEVALUACIÓN 2.2
encuentra su dominio y conjetura sobre su rango:
2.2.3 f ( x )
w
2 x
f g Determina ( f g )(x), ( fg )(x), ( x ) , ( x ) y proporcio g f na el dominio de las nuevas funciones formadas siendo f ( x ) =
x(6 − 3x ) , g( x )
2 x
Solución a la autoevaluación 2.2 2.2.1
, D f R f (3, ).
2.2.2
, D f R f [4, ).
2.2.3
, D f [0, ), R f [0, ). y = (x+2)ˆ2 y = (x-1)ˆ2-4 y = x-3
y = 2sqr(x)
FIGURA 2.52 Gráfica del ejercicio 2.2.1:
FIGURA 2.53 Gráfica del ejercicio 2.2.2:
FIGURA 2.54 Gráfica del ejercicio 2.2.3:
Df {2}, Rf (3, ).
Df {3}, Rf [4, ).
Df [0, ), Rf [0, ).
y = 3x-1 y = xˆ2-4x+7
124
w
2.2.4
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Como D f D g 2 [ f + g ]( x ) = x(6 − 3x ) + , D f g x
[ fg ]( x ) =
2
x(6 − 3x ) , D fg
x
f x g ( x ) = 2 x(6 − 3x ) , D f (0, 2] g g x x ( ) = , D g (0, 2] f 2 x(6 − 3 x) f
Autoevaluación 2.3 2.3.1
AUTOEVALUACIÓN 2.3
jetura sobre su rango:
x + 4 ; x < −4 2 f ( x ) = x − 16; −4 ≤ x < 2 2 −( x − 2) − 8; x ≥ 3 2.3.2
f Determina ( f g)(x), ( fg)(x) y ( x) y proporciona el do g minio de las nuevas funciones formadas siendo: f ( x ) =
2.3.3
x2
+ 1 , g( x ) =
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® ÓÌÔ
1 4 − x2
jetura sobre su rango:
y = x+4 y = xˆ2-16 y = -(x-2)ˆ2-8
− x ; x < 0 f ( x ) = x 2 ; 0 < x < 1 1; x > 1
Solución a la autoevaluación 2.3 2.3.1
ÓÌÔ
, D f ( [3, ), R f (, 0] FIGURA 2.55 Ejercicio 2.3.1.
CAPÍTULO 2
2.3.2
Como D f , D g (
f + g ( x ) = x 2 + 1 + fg ( x) =
w
125
y = -x y = xˆ2 y = 1
1 ; D f g ( 2 4−x
x2
+1 ; D fg ( 2 4−x
f /g ( x ) = x 2 + 1 4 − x 2 ; D f = ( −2 , 2) g
2.3.3
, D f R f (0, )
Autoevaluación 2.4 ción, encuentra su dominio y conjetura sobre su rango: 2.4.1 f (x) |x 1
x 2 − 1; 2 x ; 2.4.2 f ( x ) = 1; − + 2 x 4; 0;
−1 ≤ x < 0 0
FIGURA 2.56 Ejercicio 2.3.3.
AUTOEVALUACIÓN 2.4
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® ÓÌÔ
y = abs(x+2)-1 y y y y
= = = =
xˆ2-1 2x 0 -2x+4
FIGURA 2.58 Gráfica del ejercicio 2.4.2: FIGURA 2.57 Gráfica del ejercicio 2.4.1:
Rf (1, 2),
Df , Rf [1, ).
Df [1, 0) (0, 2) (2, 3).
126
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
( x + 3)2 − 4; x < −1 2.4.3 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 ; −1 < x < 3 x>3 x − 3; 2.4.4 f ( x ) = 2.4.5
y = (x+3)ˆ2-4 y = xˆ2-2x-3 y = x-3
1− x
f Determina ( f g)(x), ( fg)(x) y ( x) y proporciona el do g minio de las nuevas funciones formadas siendo f ( x ) =
x + 1 , g( x ) =
x−1
FIGURA 2.59 Gráfica del ejercicio 2.4.3:
Solución a la autoevaluación 2.4 2.4.1
D f , R f [1, )
2.4.2
D f [1, 0) R f (
2.4.3
D f { R f [4, )
2.4.4
D f [0, ), R f (, 1]
2.4.5
Como D f [1, ), D g [1, ),
y = 1-sqr(x)
[ f + g ]( x ) = x + 1 + x − 1 , D f g [1, ) [ fg]( x ) = x + 1 x − 1 , D fg [1, )
f x+1 , D f = ( 1, ∞ ) g ( x) = x−1 g
Autoevaluación 2.5 2.5.1
Df {1, 3}, Rf [4, ).
jetura sobre su rango:
x ; 0≤x≤1 f ( x ) = 2 − x ; 1 < x ≤ 2 0; x>2
FIGURA 2.60 Gráfica del ejercicio 2.4.4: Df [0, ), Rf (, 1].
AUTOEVALUACIÓN 2.5
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® ÓÌÔ
CAPÍTULO 2
2.5.2
f Determina ( f g)(x), ( fg)(x) y ( x) y proporciona el do g minio de las nuevas funciones formadas siendo f ( x ) x ; g( x ) =
w
127
y = x y = 2-x y = 0
4 − x2 .
Determina el dominio de las siguientes funciones: 2.5.3 f ( x ) =
x2
2.5.4 f ( x ) =
3x − 6 x2 − x − 6
2.5.5
− 3x − 10
FIGURA 2.61 Ejercicio 2.5.1. jetura sobre su rango: x − 2 ; 0 < x y = sqr(xˆ2-3x-10) f ( x ) = 0 ; x=0 x 2 + 1; x > 0
Solución a la autoevaluación 2.5 2.5.1
, D f [0, ), R f [0, 1]
2.5.2
Como D f [0, ), D g [ [ f + g ]( x ) = x + 4 − x 2 ; D f g [ fg]( x ) = x 4 − x 2 ; D fg
FIGURA 2.62 Ejercicio 2.5.3.
f x x = ( ) ; D f [0, 2) g 2 x 4− g 2.5.3
, D f (, [5, ), R f [0, )
2.5.4
, D f (3, ), R f (0, )
y = sqr(3x-6)/sqr(xˆ2-x-6)
FIGURA 2.63 Ejercicio 2.5.4.
128
w
2.5.5
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
, D f , R f (, [0, 0] (1, )
y = x-2 y = xˆ2+1
FIGURA 2.64 Ejercicio 2.5.5.
Autoevaluación 2.6 2.6.1
f Determina ( f g)(x), ( f g)(x), ( fg)(x) y ( x ) y proporcio g na el dominio de las nuevas funciones formadas siendo f (x) x 5; g(x) x 1
jetura sobre su rango: 2.6.2 f (x) 5 x 2.6.3 g(x) x 4x 1
x ; 0≤x≤4 x 2.6.4 f ( x ) = + 2 ; 4 < x ≤ 5 2 4.5; 5 < x ≤ 12
Solución a la Autoevaluación 2.6 2.6.1
Como D f , D g [ f g](x) (x 5) (x 1); D f g [ f g](x) (x 5) (x 1); D f g [ fg ](x) (x 5)(x 1); D fg
f x−5 ; D f = − {−1, 1} g ( x ) = 2 − x 1 g
AUTOEVALUACIÓN 2.6
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® ÓÌ Ô
CAPÍTULO 2
2.6.2
, D f , R f (, 5]
2.6.3
, D g , R g [3, )
2.6.4
, D f , R f [0, 4.5] y = xˆ2-4x+1
w
129
y = x y = x/2+2 y = 4.5
y = 5-2xˆ2
FIGURA 2.65 Ejercicio 2.6.2.
FIGURA 2.66 Ejercicio 2.6.3.
FIGURA 2.67 Ejercicio 2.6.4.
Autoevaluación 2.7 sobre su rango: 2.7.1 f (x) x(x
3x − 1; x>2 2.7.2 f ( x ) = 2 x − 4x + 7 ; x < 2 6x + 7 ; x < −2 x = −2 2.7.3 f ( x ) = 3 ; 4 − x ; x > −2
2.7.4
f Determina ( f g)(x), ( fg)(x) y ( x) y proporciona el dao g minio de las nuevas funciones formadas siendo f ( x ) =
x − 5 ; g(x) x3 1
AUTOEVALUACIÓN 2.7
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. ÓÌÔ } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
130
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Solución a la autoevaluación 2.7 2.7.1
, D f , R f [1, )
2.7.2
, D f R f (3, )
2.7.3
, D f , R f (, 6)
2.7.4
Como D f [5, ), D g
y = x(x-2)
FIGURA 2.68 Ejercicio 2.7.1.
[ f + g ]( x ) = x − 5 + ( x 3 − 1) , D f g [5, ) [ fg ]( x ) = ( x 3 − 1) x − 5 , D fg [5, )
y = 3x-1 y = xˆ2-4x+7
f x−5 , D f = [5, ∞ ) g ( x ) = 3 x −1 g
FIGURA 2.69 Ejercicio 2.7.2. y = 6x+7 y = 4-x
FIGURA 2.70 Ejercicio 2.7.3.
CAPÍTULO 2
w
131
132
Capítulo
3
Límites y continuidad
ELEMENTO DE LA COMPETENCIA DISCIPLINAR El alumno es competente si interpreta de manera adecuada las situaciones límite, de continuidad y discontinuidad en un fenómeno, y si además las localiza en este, si está representado matemáticamente.
COMPETENCIA DISCIPLINAR DEL CURSO El alumno es competente si analiza, abstrae y propone soluciones a situaciones que involucren variación en una sola variable independiente, empleando como herramienta fundamental la graficación y el cálculo diferencial.
CALENDARIO DEL PORTAFOLIO Fecha
DE EVIDENCIAS
Evidencia
Fecha
Evidencia
Aplicación 3.1.1
Aplicación 3.8.1
Actividad 3.1.1
Aplicación 3.8.2
Aplicación 3.1.2
Actividad 3.9.1
Actividad 3.1.2
Aplicación 3.9.1
Aplicación 3.1.3
Actividad 3.9.2
Actividad 3.3.1
Aplicación 3.9.2
Aplicación 3.3.1
Actividad 3.12.1
Actividad 3.4.1
Ejercicios 3.1
Aplicación 3.4.1
Autoevaluación 3.1
Actividad 3.8.1
Autoevaluación 3.2
Actividad 3.8.2
Autoevaluación 3.3
133
Fecha
Evidencia Autoevaluación 3.4 Autoevaluación 3.5
Otras evidencias
134
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
3.1 FOCALIZACIÓN. LÍMITES
ñ
Nos hemos acostumbrado a entender que todas las cosas que restan movilidad, actuación o libertad de decisión son limitantes; por ello a todo tipo de restricción que nos sujeta la llamamos límite. Pero, matemáticamente, ¿un límite es lo mismo que en el lenguaje común?
Aplicación 3.1.1 zamiento. En su deslizamiento desarrollan grandes velocidades, pero muchos patinadores no llegan a la meta porque en las curvas el “corte” que hacen sobre el hielo con la cuchilla de sus patines no los puede soportar y resbalan. 1. ¿Crees
que existe una condición límite a la inclinación de las patinadoras para que no resbalen? 2. ¿Crees que a la patinadora en segundo plano le sirva de algo apoyarse? ¿O por qué lo hizo? 3. Haz los diagramas que consideres pertinente para explicar el fenómeno. 4. ¿Solo en las curvas se pueden inclinar? ¿Por qué? 5. ¿Siempre se deben inclinar en las curvas? ¿Por qué? 6. ¿Mejorará las condiciones que se tomen las curvas con ambos patines sobre el hielo, como la tercera patinadora que viene atrás? Comenta con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador. Esos límites con que nos topamos en la vida diaria corresponden con restricciones físicas, legales, ideales, morales, estéticas o de de nuestras decisiones y otros nos son impuestos. Pero, ¿realmente un límite no se puede sobrepasar? ¿Representa siempre un posicionamiento último?
APLICACIÓN 3.1.1
ÓÌÔ
ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Abstracción de situaciones reales. Ñ Respeto por las ideas de otros. Ñ Reflexión sobre la importancia y complejidades que implica el rozamiento y la velocidad. Desempeños Ñ No necesario. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Preguntas de reflexión en clase sobre ejemplos que impliquen rozamiento y velocidad. ii. Originalidad. iii. Apoyo en compañeros o profesores de física. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® ÓÌ Ô Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Equipos de tres personas.
Actividad 3.1.1 Considera los siguientes casos y analiza la condición límite supuesta: 1. Los tinacos que por lo general se colocan en
los techos de las casas reciben agua de una cisterna o de la red municipal. El mecanismo más simple con el cual se controla el nivel máximo FIGURA 3.1 ¿Existen condiciones límite al patinar?
CAPÍTULO 3
y la cierra cuando el tinaco alcanza el nivel deseado. ¿Se puede rebasar esa condición límite impuesta? ¿Estás seguro que siempre se muestre el nivel de agua a lo largo del tiempo durante el proceso para cada una de las situaciones que consideraste. Descríbelas. 2. Llena una cubeta directamente del chorro del agua hasta la mitad, tú controlas la llave. El mecanismo de control lo tienes tú. ¿Se puede rebasar la condición límite impuesta? ¿Estás seguro de que siempre se alcanza esa condi del agua que se tiene a lo largo del tiempo durante cada uno de los procesos que consideraste. Descríbelas. 3. Discute las diferencias y semejanzas de las situaciones analizadas en los incisos previos. Ahora considera los siguientes dos casos: a) Se deja caer una pluma y una piedra desde
ACTIVIDAD 3.1.1
w
135
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Interés por la abstracción de situaciones reales. Ñ Limpieza. Ñ Calidad en la redacción. Productos Ñ Ensayo con la descripción y gráficas de cada una de las situaciones citadas en cada uno de los cuestionamientos. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la redacción. ii. Respuesta a todos y cada uno de los seis cuestionamientos. iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. iv. Manifestación de las propias ideas. v. Originalidad de nuevos ejemplos y su análisis. vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas. Características del producto } Extensión: dos cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias sobrepuestas de cómo crees que se compor} Producto obligatorio en equipo de cinco personas. tan las posiciones de la pluma y la piedra a } Propiciar el trabajo colaborativo. lo largo del tiempo y explica qué ocurre en el } Proponer en clase más ejemplos en donde el punto donde se busca el límite no corresponda con el extremo del dominio. momento en que el primero de los dos llega al } Pedir a los estudiantes que propongan otras situaciones ejempiso. Observa que detuviste ambos objetos insplo. tantáneamente para compararlos y tomar tus ÓÌÔ decisiones. ¿Estás en una posición límite? ¿El movimiento de los cuerpos continúa después b) El juez pone su cronómetro en cero y un segundo juez dispara cuando el primero de ellos toca la cinta que está a lo largo de la línea de meta, el cronómetro se detiene en 9.452 s. ¿Se puede dejar correr el cronometro? ¿Por qué se paró? ¿Siguen corriendo los competidores después de que se paró el cronómetro? De sobrepuesta de la posición que guardan diferentes corredores a lo largo del tiempo y ubica ahí tus respuestas. Si en lugar de tiempo, ¿cambia en algo tu análisis?
136
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Recuerda que tú siempre debes tener control sobre la variable independiente, ¿cuál será en cada caso
APLICACIÓN 3.1.2
ÓÌÔ
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Actitudes Ñ Abstracción de situaciones reales. Ñ Reflexión acerca de la importancia y las complejidades que implica el funcionamiento del cuerpo humano.
Aplicación 3.1.2
Desempeños Ñ No necesario.
4. ¿Se puede sobrepasar un límite?
El cuerpo humano posee un mecanismo interno de control que se denomina homeostasis y que funciona de muchas maneras. Básicamente, este proceso ha sido copiado y simulado por diferentes dispositivos mecánicos o electrónicos de control, dentro de los cuales uno muy común es el de temperatura; un ejemplo lo tienes en el refrigerador de tu casa. Si, para generalizar, llamamos “actuador” al proceso u objeto que ponemos a trabajar para cambiar el nivel de la variable (que en el caso del refrigerador corresponde con el funcionamiento del compresor), este proceso se puede describir de la siguiente manera, para el caso en que el actuador baja el nivel de la variable: 1.
una variable de control (en este caso la temperatura que se desea mantener entre esos dos valores). 2. Se mide el valor actual de la variable. 3. Si el actuador está funcionado y el nivel es menor que “bajo”, se le detiene y se va al paso 2. Si no, habrá que ir al siguiente paso. 4. Si el nivel es mayor que “bajo” y menor que “alto”, no se hace nada y se va al paso 2. Si no, hay que ir al siguiente paso. 5. Si el nivel es mayor que “alto” se hace funcionar el actuador, y si está funcionando se deja así y se va al paso 2.
Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Preguntas de reflexión en clase sobre los ejemplos de homeostasis en el cuerpo humano y su relación con límites. ii. Originalidad de los ejemplos mecánicos, eléctricos o electrónicos sobre control. iii. Apoyo en compañeros o profesores de las especialidades. iv. Visión del carácter sistémico de los ejemplos. v. Análisis del tiempo de respuesta de los mecanismos de homeostasis. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Equipos de tres personas. } Discutir que debido a los tiempos de respuesta, la condición mínima o máxima por lo general se rebasa. ÓÌÔ
su funcionamiento en el “tiempo de respuesta” o “retardo” que se da entre cada paso. a
comporta la variable bajo control a lo largo FIGURA 3.2 ¿Qué función tiene la homeostasis en el cuerpo humano? del tiempo.
CAPÍTULO 3
b) ¿Se rebasan las condiciones límite”? ¿Por qué?
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137
y
Para el caso que se describió como “no hacer nada”, esto implica que que se desea enfriar en el refrigerador se calienta paulatinamente por su intercambio con el ambiente. En otros casos se requieren actuadores diferentes para subir o bajar el valor de la variable. Volviendo al caso humano, propón algunos ejemplos de homeos sos como el de la glucosa, el oxígeno y la adrenalina, entre otros.
f ( x ) L
x a
c
en diferentes situaciones. d e) ¿Los actuadores funcionan para bajar de “alto”, subir de “bajo” o ambos? f ) ¿Los límites de control se rebasan? Propón otros casos diseñados por el hombre y contesta a las mismas preguntas previas. Toma como ejemplo el termostato de un calentador (o boiler ), el de una plancha, el nivel del depósito del inodoro, etcétera. Comenta tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador. En una situación límite se deben tener siempre presentes dos variables inseparables: el lugar en que ocurre o se desea conocer la situación límite (cuándo o dónde ocurre: a valor de la variable independiente), y por otro lado L, que es el valor del límite propiamente dicho (valor de la variable dependiente). El proceso de localizar un límite es dinámico y ocurre dentro de la función que representa el fenómeno de interés. El lugar a con anterioridad, ya que representa el “dónde o cuándo” te interesa observar el fenómeno. Para esa observación estudias el comportamiento funcional conforme te acercas cada vez más al lugar a, situación que ya antes expresamos como x a, cuando estudiaste L podrá existir o no, lo que dependerá de las características del fenómeno o función estu fácilmente puedes observar lo que ocurre en el caso de que el límite L exista y vas cercando al punto cada vez más al observarlo desde una ventana cada vez más pequeña y vista con gran aumento.
f ( x ) L
a
f ( x )
L
a
FIGURA 3.3 Localizando el límite: al acercarse y observar la función por una ventana cada vez más pequeña que contenga al punto deseado (a, L) y aplicar un lente con cada vez mayor aumento, podrás ver cómo la curva se parece cada vez más a una recta y el punto que buscas queda atrapado en el centro de la ventana, por más pequeña que ésta sea. Si en algún momento, estando el punto (a, L) dentro de la ventana, dejas de ver alguno de los dos lados de la curva, es que el punto que Actividad 3.1.2 escogiste no es el límite buscado. ¿Por “Al intentar conectar la impresora a la computadora resultó que qué cuando aplicas más aumento para ver la curva se parece cada vez más a la encontré la falla! Un compañero me comentó después que revisa- recta?
138
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
ra los pines de los conectores (los cuales encontré correctos) o la continuidad del cable. Conseguí nalmente que uno de los cables no marcaba continuidad. Como el cable no servía, lo desbaraté y
ÓÌÔ
ACTIVIDAD 3.1.2 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Interés por la abstracción de situaciones reales. Ñ Creatividad. Productos Ñ Ensayo con la descripción y gráficas que respondan a los ocho cuestionamientos. Correcta interpretación del concepto en los ejemplos que proponga, en particular en las respuestas a las preguntas 7 y 8. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la redacción. ii. Respuesta a todos y cada uno de los ocho cuestionamientos. En iii. ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. iv. Manifestación de las propias ideas. v. Originalidad en sus ejemplos y su análisis. vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas.
FIGURA 3.4 Discontinuidad en un cable. 1. continuidad en el texto anterior? 2. ¿Cómo
se logra la continuidad en un cable eléctrico? 3. “forma del cable” se logre ver como se mues 4. ¿Qué puedes decir acerca del límite en el punto de rotura del cable? 5. ¿Qué tiene que ver el límite con la continuidad? 6. Si tienes un apuntador láser en la mano y apuntas hacia un espejo, la luz “rebota” y el al que apuntaste. ¿Un espejo rompe la continuidad del rayo de luz? ¿Y qué le hace al rayo de luz un vidrio transparente? ¿Qué puede romper la continuidad del rayo de luz? 7. ¿Crees que existan más situaciones como esta? Cita al menos tres.
Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio individual. } Preguntar cómo debe ser la gráfica de una función en casos en que el valor de la variable dependiente tenga que crecer súbitamente. } Plantear en clase más situaciones ejemplo y pedir a los estu-Ô ÓÌ diantes que también lo hagan.
CUADRO 3.1
Vecindad en un punto
Una vecindad en un punto corresponde con lo que “está muy cerca de él”, pero para precisarlo en nuestro caso, llamaremos vecindad de un punto a al intervalo abierto que lo contenga en su centro, de tal forma que la vecindad tendrá un radio r . Así, “la vecindad de a de radio r será el intervalo abierto: (a r , a r )”. El concepto se puede generalizar al plano donde la vecindad será un círculo, y en tres dimensiones la vecindad tendrá forma de esfera. ¿Y para más dimensiones?
CAPÍTULO 3
w
139
FIGURA 3.5 Abstracción de la discontinuidad del cable. 8. ¿Existirán condiciones en que te interese que exista “disconti-
nuidad”? Cita al menos tres.
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Aplicación 3.1.3 Los límites aparecen en todas las situaciones, aunque estas no tengan una condición restricti un fenómeno, desde un punto de vista dinámico, llama al concepto de límite en contraparte de la observación estática o puntual que implicaría conocer únicamente el valor de las variables en ese instante. Por qué se desea conocer el límite en un punto se asocia con el conjunto de decisiones que fundamentamos en lo que ahí ocurra (por ejemplo, hacer funcionar un actuador en un proceso homeostático, aplicar una sanción si un conductor se pasa un alto indicado por un semáforo o marcar como gol una jugada extrema de futbol). Esa decisión que se toma sobre el instante bajo análisis será motivo de que dejemos las cosas como en nuestras manos. Este hecho puede provocar drástica los eventos y que generemos rupturas a la forma en que se desarrollaban las acciones. Puedes encontrar ejemplos de estos casos a tu alrededor: 1. Por
la tarde, conforme el grado de iluminación solar baja, en cierto instante decides encender la luz.
APLICACIÓN 3.1.3
ÓÌÔ
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Abstracción de situaciones reales. Ñ Reflexión sobre la importancia y complejidades de la toma de decisiones. Desempeños Ñ Discusión crítica y reflexiva de las situaciones en las que se alcanza un límite y la función continúa existiendo sin que la podamos o queramos modificar, pero empleamos el resultado para tomar decisiones. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Preguntas de reflexión sobre la decisión de fijar un punto límite para toma de decisiones. ii. Expresarse adecuadamente acerca de las cosas que modificamos, sin que lo hagamos sobre la función o fenómeno bajo análisis. iii. Visión del carácter sistémico de los ejemplos y, sobre todo, consideración de ejemplos con efectos de sustentabilidad. iv. Presentación de noticias o artículos de periódicos y revistas para respaldar sus ejemplos. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ®
140
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Ô salir por la mañana de casa y sentir frío } Fecha de entrega : te abrigas, y conforme avanza el día llega un } Obligatorio ® Optativo ® momento en que sientes calor y decides quitarSugerencias te el suéter. } Producto optativo en equipo. 3. La música que te gusta escuchar rodea tu am} Equipos de tres personas. biente. Su intensidad varía de manera per} Discutir previamente sus ejemplos antes de presentarlos en manente. Elige uno de los instrumentos que clase. ÓÌÔ escuchas participar en la melodía. Al escucharlo se siente que la música mezcla silen sonido de ese instrumento a lo largo de la melodía? ¿Presenta roturas? ¿La armonía existe porque más de un límite se alcanza al mismo instante? Elige otro instrumento y traza la misma son sus diferencias. 2. Al
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
3.2 EL LÍMITE
ñ
Sea una función f (x) y una vecindad de a dentro del dominio de f , excepto posiblemente por a.
Primera definición Se escribe lím f ( x ) = L x→ a
y decimos “el límite de f (x), cuando x tiende a a, es L”. Si podemos acercar los valores de f (x) a L tanto como queramos, seleccionando una x lo bastante cerca de a, pero sin ser a.
Definición final La función f tiende al límite en a. Escrito lím f ( x ) = L x→ a
ε δ x, x a δ, entonces f (x) L ε. Los números ε y δ (épsilon y delta) representan el radio de las vecindades (alrededor de L para épsilon y alrededor de a para delta), por lo que x a, conjuntamente con la expresión lím, buscan asegurar que el radio (épsilon) de la vecindad que rodea a L dismi
CAPÍTULO 3
vecindad que rodea a a. Si esta disminución simultánea no ocurre, el límite no existe. Para muchas funciones se ha probado la existencia del límite, y estos resultados se arrojan como teoremas: T3.1
Si el límite existe, entonces es único.
T3.2
Si c es una constante, lím c = c
T3.3
lím x = a
x→ a
x→ a
En los siguientes casos, si lím f ( x) = L y lím g( x ) = M , entonces: x→ a
x→ a
T3.4
lím [ f (x ) + g(x )] = L + M
T3.5
lím [ f ( x )g( x )] = LM
T3.6
f ( x ) L lím = M , si M x→ a g( x )
T3.7
lím cf ( x) = cL
T3.8
Con n entero positivo, lím [ f ( x )]n = Ln
T3.9
Si p(x) es un polinomio, lím p( x ) = p(a )
T3.10
lím f ( x) = L , si L
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
T3.11 Siempre que n sea positivo impar, o bien si n es entero positivo y L
lím n f ( x) = n L x→ a
3.3 FOCALIZACIÓN. LÍMITES LATERALES
ñ
En ocasiones, por la naturaleza del análisis de un fenómeno en particular, solamente es posible acercarse por un lado a un valor espe-
w
141
142
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
ser que solo nos interese estudiarlo desde alguna de las dos direc Esas dos direcciones de análisis son 1. Las condiciones previas para que se alcance el valor deseado a. 2. Las condiciones posteriores al valor a.
El primer caso se representa por x a e implica realizar el análisis en el intervalo (b, a), y lo entenderemos como un acercamiento por la izquierda. En el segundo caso, representado por x a o acercamiento por la derecha, se analiza el intervalo (a, c), en donde b y c a. Por ejemplo, analizar cómo se logró la estatura que tienes hoy representa un análisis x a y carece de sentido intentar el análisis posterior. Sin embargo, si originalmente tenías un vaso lleno de agua que poco a poco se fue vaciando y deseas saber cómo se inició el proceso, podrás realizar un análisis υ y no por la izquierda. En complemento, hay situaciones en que ambos análisis se pueden realizar e importa mucho saber qué ocurre dependiendo de la dirección elegida.
Actividad 3.3.1 Las situaciones en que resulta de interés acercarse a un valor por la izquierda se pueden describir de manera similar a como se ilustra b, a), y la acción dinámica se representa por x a. En este caso particular, el recorrido de este tramo alcanza el límite L2. Una situación similar ocurrirá si el recorrido se hace sobre el tramo determinado por un intervalo del tipo (a, c), cuya acción dinámica se representa por x a y su comportamiento es el que se muestra
ACTIVIDAD 3.3.1
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO.
Actitudes Ñ Interés por la abstracción de situaciones reales. Ñ Creatividad. Desempeños Ñ Discusión crítica y reflexiva de las condiciones de existencia de límites laterales y bilaterales. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la defensa de sus ideas. ii. Respuesta a los cuatro cuestionamientos y correcta interpretación en los seis ejemplos solicitados. iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. Características del producto } Extensión: } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : ÓÌÔ } Obligatorio ® Optativo ®
L1 L2
x
a
FIGURA 3.6 Región de acercamiento para un límite por la izquierda.
Sugerencias } Producto obligatorio en equipo. } Equipos de cinco personas. } Propiciar la discusión dirigida de las ideas.
CAPÍTULO 3
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143
te en la vecindad de a se alcanza el valor L. 1. ¿Cambiará en algo el esquema si la “rotura” a no existiera? 2. Como L es diferente de L2, ¿qué podrás decir del límite en a (sin dirección)?
L1 L2
3. Si se hubiera encontrado que L L2, ¿qué dife-
a x 4. Si el dominio de la función fuera (, a), ¿qué FIGURA 3.7 Región de acercamiento para un límite por la límite en a no se podría calcular? ¿Cómo po- derecha. 5. Propón al menos tres ejemplos reales en los cuales no sea posible calcular el límite en un punto por la izquierda y otros tres en los que no se pueda calcular el límite por la derecha. 6. Explica al menos tres situaciones reales en que los límites la propuesta.
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Aplicación 3.3.1 Nuestro sistema solar es un espacio vasto para las dimensiones humanas. En comparación con las distancias que implica el entorno humano más cercano, resulta enorme y, hasta hace muy poco, era espacio disponible únicamente para el tránsito de los objetos siderales naturales. Sin embargo, el hombre se ha atrevido a posar desde siempre sus ojos en el enorme espacio que nos rodea y sueña con desentrañar sus secretos más lejanos. la posibilidad de hacer realidad ese sueño, y en ese tenor el proyecto Voyager grandes planetas. Visita su página y observa los videos, fotografías e historias que se presentan en: http://solarsystem.nasa.gov/history/mostpopular.cfm
http ://solarsystem.nasa.gov/history/mostpopular.cfm
APLICACIÓN 3.3.1
ÓÌÔ
ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por el análisis de situaciones reales. Ñ Interés de interpretar la realidad con base en la teoría. Desempeños Ñ Discusión crítica y reflexiva de las condiciones de viaje del Voyager . Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Lectura de artículos acerca del tema de los viajes siderales. ii. Preguntas de reflexión sobre los mecanismos del impulso. iii. Reflexión clara sobre la necesidad de interpretación de límites en los detalles del viaje del Voyager .
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
iv. Presentación de noticias,
Ô
artículos o teoría sobre el tema. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
FIGURA 3.8 Proyecto Voyager .
¿Crees que a partir del inicio de su viaje el Voyager se podrá observar siempre mediante los telescopios ópticos? ¿Por qué?
Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Equipos de tres personas. } Propiciar la presentación en clase de videos o películas sobre el tema.ÓÌ Ô
1. Desde el momento de su partida el Voyager transmite informa-
ción a la Tierra. ¿Crees que podrá seguir transmitiéndola por siempre? ¿Por qué? ¿Llegará esa información a la Tierra? 2. El Voyager partió con cierta cantidad de combustible y su viaje es enorme. ¿De dónde toma el impulso para sus cambios de dirección? 3. ¿Qué tan cerca podrá pasar el Voyager de los grandes planetas de tal forma que no sea atraído por su gravedad y caiga en alguno de ellos? 4. ¿Qué tiene que ver cada pregunta anterior con el concepto de límite? Explica. Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
3.4 NUEVO ACERCAMIENTO AL LÍMITE BILATERAL
¿Cómo se observa que un punto elegido como L no corresponde con el límite? CUADRO 3.2
ñ
de interés implica que al acercarse x al punto deseado, automáticamente f (x) se acerca cada vez más al valor supuesto de L. Si este el límite no existe.
Actividad 3.4.1 cuando la vecindad sobre L disminuye, también lo hace la vecindad sobre a.
Negar adecuadamente la definición de límite que indica “para todo ε 0 existe un δ 0 tal que f ( x ) L ε siempre que 0 x a δ”; implica que: “existe algún ε 0, tal que para todo δ 0 existe algún x , para el cual se cumple 0 x a δ, pero no lo hace | f ( x ) L| ε“. Es decir, por algún motivo la “base de la ventana desde donde observas el límite sí se puede reducir, pero no ocurre lo mismo con la altura de la misma ventana”.
CAPÍTULO 3
y
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y
f ( x )
f ( x )
L
L
δ
δ a
δ x
δ a
x
FIGURA 3.9 Si la vecindad sobre L disminuye, también lo debe hacer la vecindad sobre a y viceversa. 1. ¿Será esto sinónimo de que el límite L exista? 2. Imagina que cuando la vecindad sobre a decrece ocurriera que la vecindad necesaria sobre L
creciera. ¿Podrá ocurrir esto? En caso de que este comportamiento. ¿Existirá el límite L o te habrás equivocado de selección del valor de L? 3. Imagina que cuando la vecindad sobre a decrece, la vecindad sobre L se mantiene constante. ¿Podrá ocurrir esto? En caso de que esto este comportamiento. ¿Existirá el límite L o te habrás equivocado de selección del valor de L? 4. Imagina que cuando la vecindad sobre a decrece, la vecindad sobre L se mantiene inestable, a veces crece o decrece, pero no mantiene la tendencia. ¿Podrá ocurrir esto? En caso de que este comportamiento. ¿Existirá el límite L lo te habrás equivocado de selección del valor de L? 5. Imagina que cuando la vecindad sobre a decrece, la vecindad sobre L se mantiene inestable, a veces crece o decrece, y deja a L fuera, y al recolocarla vuelve a ocurrir lo mismo. ¿Podrá ocurrir esto? En caso de que exista, traza tamiento. ¿Existirá el límite L o te habrás equivocado de selección del valor de L? 6. sibles situaciones diferentes, pero, ¿qué tienen en común?
ACTIVIDAD 3.4.1
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO.
Actitudes Ñ Interés por el pensamiento abstracto. Ñ Creatividad. Ñ Gusto por la interpretación del lenguaje matemático. Desempeños Ñ Reflexión crítica sobre la relación dinámica del límite en lo muy pequeño. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Claridad y congruencia en la defensa de sus ideas. ii. Identificación de posibles gráficas de funciones que satisfaga cada uno de los primeros cinco cuestionamientos. iii. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. Características del producto } Extensión: } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Observación de desempeño obligatorio en clase por equipo. } Equipos de cinco personas. } Propiciar el debate en equipo. ÓÌÔ
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
L se escapa cada vez que propones su valor!
y
7.
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
L
f ( x )
Aplicación 3.4.1
a
x
Una de las tecnologías más importantes en la actualidad y detonante de la inusitada velocidad que ha tenido el desa- FIGURA 3.10 ¿El límite existe? ¿A qué caso se rrollo en la electrónica y las telecomunicaciones es la fabri- refiere? ¿Qué límites se vislumbran a esta tecnología? 1. ¿Qué opinas del tamaño de los componentes electrónicos? 2. ¿Qué ocurrirá con el número de elementos electrónicos que se
pueden colocar por milímetro cuadrado? 3. ¿Qué opinas del aislamiento o separación que debe haber entre los diferentes elementos electrónicos? 4. ¿Qué opinas de la corriente eléctrica que requieren para funcionar? 5. ¿Qué opinas de la velocidad a la que se sincronizan los circuitos? 6. ¿Qué opinas de la potencia que debe consumir o administrar cada circuito? 7. ¿Qué opinas del espesor de los circuitos?
APLICACIÓN 3.4.1
ÓÌÔ
ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR .
Actitudes Ñ Interés por las características de las nuevas tecnologías. Ñ Gusto por la investigación. Desempeños Ñ Discusión crítica y reflexiva de las condiciones límites y su relación con la extensión del dominio de las funciones. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Localización de información sobre el tema. ii. Preguntas de reflexión sobre los intervalos del dominio. iii. Reflexión sobre los límites en los extremos del dominio. Características del producto } Extensión: libre. ÓÌÔ } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
FIGURA 3.11 Tecnología de fabricación de circuitos de alta integración.
Sugerencias } Lectura y discusión optativa en equipo.
CAPÍTULO 3
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8. ¿Qué
opinas de la conectividad de los elementos electrónicos de estos circuitos con los elementos externos? 9. ¿Qué opinas de su fabricación? 10. ¿Qué opinas de su durabilidad? 11. CUADRO 3.3 Una interpretación útil del límite del cociente entre dos funciones.
Consulta la información disponible sobre esta tecnología y prepara un ensayo sobre el tema en el que viertas tu opinión sobre las limitaciones que incluya los puntos previos. Compártela con tus compañeros y con tu facilitador.
f ( x ) =L x →∞ g( x )
3.5 LÍMITES LATERALES Y EL LÍMITE
Una aplicación esencial de los límites al infinito se da para la comparación entre dos funciones, representando esta comparación por el límite del cociente entre ambas de la siguiente forma : lí m
ñ
En ocasiones, debido a las condiciones del dominio o por restricciones de la situación bajo estudio, el número a se localiza en el extremo del intervalo estudiado, por lo que no es posible acercarse a él por alguno de los lados (o simplemente resulta de interés acercarse a a por alguno de los lados). Bajo esa circunstancia resulta útil Límite por la derecha: la función f tiende al límite en a por la derecha, lo que se escribe
En particular, veamos el caso en que L 1. Observa que esto significa que cuando los valores de son grandes, las funciones se comportan de manera “muy similar”, y en esa zona ¿se podrá utilizar una en lugar de la otra? ¿Qué posibles explicaciones bajo esta consideración tendrán los siguientes casos específicos? : f ( x ) =0 x →∞ g( x ) lí m
lím+ f ( x ) = L
f ( x ) =∞ x →∞ g( x )
ε δ todo x x a δ, entonces f (x) L ε. Límite por la izquierda: la función f tiende al límite en a por la izquierda, lo que se escribe
Si bien la pregunta se centró para cuando x , se pueden tomar consideraciones similares cuando x a:
x→ a
lím f ( x ) = L
x→ a −
ε δ todo x a x δ, entonces f (x) L ε. x a δ para el límite por la derecha, y esta desigualdad asegura que x a a x δ x a. T3.12 Una función f (x) tiene un límite en a si y solo si tiene límites por la izquierda y por la derecha y estos son iguales.
Si no se realiza ninguna aclaración, en todo momento se hablará del límite como el límite bilateral o sin dirección, correspondien
lí m
f ( x ) =1 x → a g( x ) lí m
Observa que en este caso ocurre lo mismo, en las vecindades de a de radio muy pequeño: f ( x ) y g( x ) se pueden sustituir una en lugar de la otra, puesto que su comportamiento es muy similar, caracterizado por L 1, pero recuerda que solamente en (a δ, a δ) pues se sabe que δ 0. ¿En qué lugares y bajo qué condiciones se podrá sustituir una función dada por una línea recta? ¿Y cómo podremos interpretar en esa vecindad de a el mismo cociente si L 1? ¿Se podrán hacer ahora sustituciones? ¿Cómo?
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
3.6 LÍMITES INFINITOS
ñ
Cuando al acercarse a un número la función crece más allá de toda cota, rebasando cualquier número positivo que propongas, la función no tiene límite; este comportamiento se designa indicando lím f ( x ) = ∞ x→ a
Un comportamiento similar se da cuando la función crece sin cota, pero su signo es negativo; se escribe así: lím f ( x) = −∞ x→ a
laterales, pudiendo resultar los casos lím f ( x ) = ∞ , lím− f ( x) = ∞
x→ a +
x→ a
lím f ( x ) = −∞ , lím− f ( x) = −∞
x→ a +
x→ a
3.7 LÍMITES AL INFINITO
ñ
Cuando hacemos crecer x más allá de toda cota o número positivo que consideres, y la función se evalúa bajo estas condiciones, se L existe lo escribimos así: lím f ( x ) = L x→∞
Este mismo comportamiento se puede provocar en la dirección opuesta, lo cual se escribe de la siguiente manera: lím f ( x ) = L
x→−∞
Formalmente, “ lím f ( x ) = L ε x→∞
te un número positivo N tal que f (x) L ε, siempre que x N”. De manera idéntica, “ lím f ( x ) = L x→−∞
ε N tal que f (x) L ε, siempre que x N ”.
CAPÍTULO 3
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3.8 FOCALIZACIÓN. CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD
ñ
La claridad rompe la oscuridad de la noche, como el silencio la continuidad de las palabras. La frase previa únicamente contrapone conceptos antónimos y es análoga a la idea simple que se tiene de continuidad. Dejaremos de encontrar continuidad en un fenómeno si nos encontramos con una ruptura, hoyo, ÓÌÔ tad, u otro concepto aplicable a la naturaleza del ACTIVIDAD 3.8.1 objeto bajo análisis. E VALUACIÓN POR PRODUCTO . Si el fenómeno en cuestión ha sido repre- Actitudes sentado mediante una función y esta a su vez Ñ Interés por interpretar el lenguaje gráfico. no Ñ Interés por representar el comportamiento de los fenómenos permitirá hacer un recorrido sin interrupción a lo mediante gráficas. largo de toda la curva. Ñ Ética en la solución propia. Desempeños de una discontinuidad y cómo se localiza esta? Ñ Observable en el producto.
Actividad 3.8.1 El caso más simple de discontinuidad se da cuando generas un hoyo. En este caso, por algún motivo se decide retirar un elemento del dominio, con En términos físicos, corresponde a suspensiones instantáneas respecto de las cuales los sistemas no ran de la suspensión!, continuando con sus tareas en el cual inmediatamente regresa la energía). Un segundo caso ocurre cuando existe un corte en el proceso, pero con él sí ocurren cambios en la función. Un ejemplo típico de esta situación se da en las devaluaciones, ya que simplemente a partir de cierto instante el precio de la divisa da un salto sin pasar por los valores intermedios. Un tercer caso se presenta cuando se retira un punto del dominio, pero las consecuencias sobre ma se puede restablecer absorbiendo poco a poco las consecuencias. Un ejemplo característico sería cuando lanzas una piedra al espejo quieto del agua. Un cuarto caso se dará cuando se hace un corte en el proceso y este no soporta las conse-
Productos Ñ Ensayo en donde se plantee la relación correcta entre las gráficas y los cuatro casos señalados ; ejemplos de asociación correcta entre las gráficas y el comportamiento de fenómenos reales. Criterios de calidad i. Relación correcta entre las gráficas y los cuatro casos descritos. ii. Identificación de posibles fenómenos de ejemplo que se puedan representar aproximadamente mediante cada una de las diez gráficas. iii. Creatividad y unicidad de los ejemplos propuestos. iv. Presentación de imágenes o fotografías de los ejemplos propuestos. Características del producto } Extensión: dos cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio por equipos. } Equipos de cinco personas. } Propiciar el trabajo colaborativo en equipo. } Plantear las preguntas: } ¿Es la materia continua? } ¿Es el tiempo continuo? } ¿Es el espacio físico continuo? } ¿Es la vida continua?
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
a)
b)
c )
d )
e)
f )
g)
h)
i )
j )
FIGURA 3.12 Ejemplos de gráficas con discontinuidad.
cuencias y desaparece o deja de funcionar. Un ejemplo tristemente célebre podría ser la ocurrencia de un infarto. a) a j plos de cada caso. 1.
casos que se han descrito. 2. Plantea situaciones reales en las que consideres que el fenómeno bajo análisis puede presen Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Actividad 3.8.2 rrecciones señaladas en el siguiente párrafo. j): llena el pequeño círculo de tal forma que f x que en este caso son idénticos y, por tanto, existe el límite L. Adicionalmente observa que al llenar el pequeño círculo, la ya es continua; este rando que el pequeño círculo está en el punto x a f (a) (o f -
ACTIVIDAD 3.8.2
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO.
Actitudes Ñ Interés por generalización de conceptos. Desempeños Ñ Discusión crítica y reflexiva de las condiciones de la continuidad en un punto. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Localización de información sobre el tema. ii. Uso del lenguaje matemático para explicar los diferentes casos. iii. Construcción de una conjetura adecuada alrededor de la continuidad en un punto. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad obligatoria por equipo. } Equipos de tres personas. } Desarrollo de la actividad en clase.
ÓÌÔ
CAPÍTULO 3
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TABLA 3.1 Resumen de hallazgos y modificaciones a las gráficas de la figura 3.12
Gráfica Punto a b c d e f g h i j
a a a a a a 0 0 0 0
f (a)
Lím izq.
Lím der.
Lím
Comentarios
f (0)
L1
L2
L
L1 L2 L y L f (0): f es continua.
ción en el punto; en caso de que los límites laterales existan, indícalos con L y L2, respectivamente, para la izquierda y derecha de a. De igual forma, si existe el límite en a, indícalo por L. Completa la la celda correspondiente. ÓÌÔ APLICACIÓN 3.8.1 Analiza la tabla y sugiere: ¿cuál es la característica esencial de la continuidad en un punto? O ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR . de manera inversa, ¿cuál es la característica esen- Actitudes cial de la discontinuidad en un punto? Ñ Interés por aplicaciones reales de los conceptos. Ñ Gusto por las aplicaciones tecnológicas en la información y Discute tus conjeturas con compañeros, y si la comunicación. tienes dudas consulta a tu facilitador.
Aplicación 3.8.1 El Internet, ahora de uso tan común, ha venido a revolucionar la comunicación. Miles de redes conectadas en el mundo permiten la conectividad de muchas personas moviendo la información a inalámbrica. La red es un caso actual y muy importante de de que puedas acceder a miles de sitios a lo largo de ella. Esa continuidad presenta para las redes dos consideraciones: la continuidad propiamente dicha de una línea que conecte de manera directa a la computadora “huésped” del sitio deseado con la computadora del visitante. Si por algún motivo esa línea es discontinua, lo más probable es que recibirás la noticia de que el sitio no es accesible. La segunda consideración corresponde con la co-
Desempeños Ñ Discusión crítica y reflexiva de las aplicaciones de la discontinuidad o continuidad generadas. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Aplicación correcta de los conceptos. ii. Reflexión sobre la posibilidad de usar la continuidad y discontinuidad a nuestro favor. iii. Búsqueda y conclusión sobre condiciones que rompen la continuidad, aun en casos no “visibles”. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Lectura y discusión optativa en equipo.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
nectividad lógica, ya que podrá ser que la “conexión por hardware” cientes para ser aceptado como visitante del sitio. Si no se tienen esos privilegios (como puede ser una cuenta disponible, un pago efectuado, una invitación, una contraseña correcta, entre otros posibles), los protocolos de accesibilidad evitarán tu entrada, y eso será equivalente a una discontinuidad en la línea. En algunos casos se pueden dar otros tipos de incompatibilidades que serán equivalentes a discontinuidades en la línea y tienen que ver con hardware o software (por ejemplo, en hardware una velocidad de módem no aceptable, o en el software un navegador no aceptable). De una u otra manera, la discontinuidad implica que, por la causa que fuera, no podrás acceder al portal deseado. El futuro está presente bajo una nueva visión del Internet que ga acerca de Internet2, para lo cual te recomiendo el sitio
http ://www.internet2.edu/about-us/
http://www.internet2.edu/about-us/ Para las nuevas aplicaciones relacionadas con el Internet de las cosas (IoT) se requiere comunicación inalámbrica. ¿Qué es IoT? Visita http://postscapes.com/projects discontinuidad en ese caso? Comparte tus hallazgos con tus compañeros.
Aplicación 3.8.2 El sueño dorado de los automovilistas es no detenerse en su camino por causas ajenas a su propia en el viaje. Los ingenieros también prevén que los cruceros son puntos de discontinuidad que se han resuelto por seguridad de manera convencional mediante los semáforos que permiten alternar el paso de los vehículos. En muchos casos, lograr que una discontinuidad sea “salvable” a pesar de las condiciones del terreno para tener una ruta continua entre diferentes sitios (separados a veces por accidentes naturales) resulta muy importante o necesario; otros casos logran disminuir la longitud de los trayectos o aumentar la seguridad de estos. Ejemplos de soluciones que salvan las discontinuidades son los pasos a desnivel, los puen 1. ¿Qué otras situaciones conoces en que se den
discontinuidades (no necesariamente físicas) y cómo se logra salvarlas? Analiza al menos tres casos diferentes.
http ://postscapes.com/projects
APLICACIÓN 3.8.2 ACTIVIDAD
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PARA REFLEXIONAR .
Actitudes Ñ Interés por aplicaciones reales de los conceptos. Desempeños Ñ Discusión crítica y reflexiva de las aplicaciones de la discontinuidad o continuidad generadas. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Aplicación correcta de los conceptos. ii. Planteamiento adecuado de ejemplos. iii. Reflexión sobre la posibilidad de usar la continuidad y discontinuidad a nuestro favor. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Lectura y discusión optativa en equipo.
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CAPÍTULO 3
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Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
3.9 ASÍNTOTAS
ñ
Si existe lím f ( x) = L , el comportamiento de la función en la rex→∞
gión de los números positivos muy grandes prácticamente es una recta horizontal, por lo que se dice que la función tiene una asíntota horizontal y L a la derecha. Por otro lado, si existe lím f ( x ) = L , la función tendrá una x→+∞
asíntota horizontal y L a la izquierda. IGURA 3.13 ¿Un puente salva disconCuando alguno de los límites laterales en x a resulta ser un Ftinuidades? (o hacia abajo) de la función es “prácticamente ÓÌÔ ACTIVIDAD 3.9.1 como una recta vertical”; por tal motivo este comportamiento se denomina “asintótico”, y se dice E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO. que la función tiene una asíntota vertical en x a. Actitudes
Actividad 3.9.1 1.
membrana elástica que separa a dos medios: por encima de ella el aire y por abajo el agua. Sin embargo, ¿qué pasa en el instante en que un objeto rompe ese equilibrio y se sumerge en el agua (o a la inversa, emerge de ella)? 2. sostenlo entre los dientes y sopla sin soltarlo. ¿Cómo se comporta el papel? 3. Observa el aterrizaje o el despegue de un 4. Considera la membrana de un tambor y analiza el instante en que es golpeada. Imagina un corte ideal de la membrana por su diámetro. ¿Qué forma tiene el diámetro, visto de Estas curvas tienen algunas características comunes. ¿Cuáles son? Analicemos cada uno de los fenómenos que se comentaron: Este primer caso corresponde con la caída del
Ñ Gusto por la observación detallada de los fenómenos. Ñ Interés por la interpretación de los fenómenos reales de
acuerdo con los conceptos. Desempeños Ñ Adecuada interpretación de los fenómenos y correcta relación entre sus variables y las características de sus gráficas. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Respeto por las ideas de los demás. ii. Interpretación correcta de los fenómenos estudiados. iii. Desarrollo real de los experimentos descritos. iv. Verbalización adecuada de sus conclusiones. v. Uso correcto del lenguaje matemático para explicar la característica común de los fenómenos. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Obligatorio individual. } Realizar los experimentos señalados en el salón de clase. } Realizar preguntas dirigidas para construir la conclusión grupal acerca de los experimentos. } Pedir la verbalización del concepto en el grupo. ÓÌÔ
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
lejos” y el agua estaba quieta antes), pero también la zona en que se sumerge el objeto. ¿Qué comportamiento tiene cada caso? Las imágenes a), b) y c ejemplos adicionales: 1. ¿Cuál corresponde al avión? ¿Por qué? 2. ¿Cuál corresponde al papel? ¿Por qué? 3. ¿Cuál corresponde con la membrana del tambor? ¿Por qué? 4. -
ladas por los círculos? 5. ¿Tiene esa misma cualidad el espejo del agua en el primer ejemplo? 6. El lugar en que cae el objeto al sumergirse en el agua, en el primer ejemplo, ¿tiene esa misma cualidad? ¿Qué tiene de diferente? El fenómeno que se muestra se denomina asintotismo, y en cada caso la asíntota indica la característica que la distingue.
a)
b)
c )
FIGURA 3.15 Casos 2, 3 y 4 de la actividad 3.9.1.
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Aplicación 3.9.1 ciben “ruido” que genera perturbaciones, a veces más impactante que el propio fenómeno bajo análisis.
FIGURA 3.14 Caída de una esfera sólida sobre el agua. ¿Cómo se comporta la superficie del agua en las orillas lejanas si el agua previamente estaba quieta?
CAPÍTULO 3
Por ejemplo, la posición típica aparentemente estática de la plataforma de un puente no es tal, ya que vibra de manera casi imperceptible por la variación de las cargas que recibe, hecho que vimiento nulo. Pero, ¿qué ocurre en el periodo en que lo afecta un temblor? Esta no es una acción “natural” del puente; en este caso representa ruido. Pero el ruido es más impactante que el “trabajo” continuo del puente y lo hace vibrar con amplitudes muy grandes. Si por esta vibración el puente no se destruye o recibe daños irreversibles y el temblor termina, el puente disipará poco mente volverá a su posicionamiento. Si el fenómeno descrito se traza mediante una curva, se podrá observar que el efecto transito asintótica horizontal, en el extremo que se encuentra unido de forma rígida al terreno. 1. ¿Has
sentido qué ocurre en un automóvil después de pasar un bache? Compara este caso con el del puente. ¿Qué hace el sistema de suspensión del auto? 2. ¿Qué crees que ocurre en un circuito eléctrico o electrónico cuando recibe intempestivamente un pico en el voltaje? Investiga sobre mo tema. 3. Si recibes una sorpresa muy fuerte, puede ocurrir que tu nivel de adrenalina suba de manera drástica. ¿Tiene el cuerpo humano este fenómeno será asintótica horizontal? Explica.
APLICACIÓN 3.9.1 ACTIVIDAD
Actividad 3.9.2 objeto que cae al agua con los casos de discontinuidad. ¿Con qué caso corresponde? ¿Cómo se calcula? ¿Cuál es el resultado?
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PARA REFLEXIONAR .
Actitudes Ñ Interés por aplicaciones reales de los conceptos. Ñ Reflexión sobre diferentes áreas de conocimiento. Desempeños Ñ Discusión crítica y reflexiva sobre las condiciones asintóticas que representan los efectos transitorios. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Aplicación correcta de los conceptos. ii. Planteamiento adecuado de ejemplos. iii. Identificación adecuada de las asíntotas en los casos planteados como ejemplos. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Discusión optativa en el grupo. } Propiciar la reflexión grupal. } Discutir la importancia de los procesos disipativos. } Relacionar las asíntotas con las acciones de sustentabilidad y contemplar la importancia de que los procesos sean asintóticos y no crecientes. } Ver que el cálculo al infinito no implica necesariamente grandes distancias. Por ejemplo, ¿cómo se comporta la forma del frente del derrame de un frasco de miel en sus paredes? Esta es una característica de los líquidos muy viscosos. } ¿Cómo sube el agua en las plantas? } Investigar acerca de capilaridad. ÓÌÔ
ACTIVIDAD 3.9.2
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
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E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO.
Actitudes Ñ Interés por la traducción de conceptos empíricos a lenguaje matemático. Desempeños Ñ Adecuada interpretación y representación de los conceptos en lenguaje matemático. Productos Ñ No necesario.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Vuelve a realizar el análisis previo acerca de Tus conclusiones son las mismas, ¿por qué? Para las imágenes a), b) y c correspondientes a las asíntotas horizontales, se puede decir que conforme te acercas al extremo asintótico, éste se “confunde cada vez más con una recta horizontal”. 1. ¿Cómo se indica esto? 2. ¿Cómo se calcula? 3. ¿Cuál es el resultado? 4. ¿Conoces
más casos como estos? Sugiere al menos tres.
Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Obligatorio grupal para discutir en clase. } Realizar preguntas dirigidas para construir la conclusión grupal sobre la generalización de los casos presentados. } Pedir la verbalización del concepto en el grupo. ÓÌÔ
APLICACIÓN 3.9.2
Aplicación 3.9.2
ACTIVIDAD
En ocasiones, durante ceremonias o festivales en que se usa equipo de sonido, este emite un fuerte pitido. ¿Por qué ocurre eso? La función básica del equipo de sonido es am . Así, si en determinado momento la intensidad del sonido es I (t llevar a un valor kI (t) para un valor de k positivo y mayor que la unidad; sea F (I ) esa función de y tiene cierta velocidad para propagarse en este (¿cuál es esa velocidad?) y en algún momento es tomado por el micrófono. F (t) kI (t). Pero, ¿qué pasará si el sonido que entra al micrófono es el que sale de las bocinas instantes antes? 2
Ô Criterios de calidad i. Correcta construcción de generalizaciones. ii. Aplicación correcta del lenguaje de límites en la descripción de las respuestas a los cuestionamientos. iii. Creatividad en los ejemplos propuestos. iv. Verbalización adecuada de sus conclusiones.
4
5
I (t) k I (t) k I (t) k I (t) k I (t) ... k I (t) n
Este fenómeno se llama resonancia. ¿Cómo ¿Podrás encontrar otros casos en que pueda ocurrir la resonancia? Sugiere al menos dos. Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
ÓÌÔ
PARA REFLEXIONAR .
Actitudes } Interés por aplicaciones reales de los conceptos. } Gusto por la representación matemática de los conceptos empíricos. Desempeños } Discusión crítica y reflexiva sobre las experiencias que se ha yan tenido con el fenómeno de la resonancia. Productos } No es necesario. Criterios de calidad i. Aplicación correcta de los conceptos. ii. Planteamiento adecuado de ejemplos. iii. Identificación adecuada de la relación entre el fenómeno de resonancia y el concepto de asíntota vertical. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Discusión optativa en el grupo. } Propiciar la reflexión grupal. } Proponer otros casos en que pueda ocurrir la resonancia.
CAPÍTULO 3
3.10 CONTINUIDAD
ñ
3.10.1: Una función es continua en un punto interior c de su dominio si
lím f ( x ) = f (c )
} Realizar investigación sobre el concepto de
3.10.2: Una función es continua en el extremo izquierdo x a de su dominio si
lím f ( x ) = f (a )
x→ a +
3.10.3: Una función es continua en el extremo derecho x b de su dominio si
lím f ( x ) = f (b )
x →b −
3.10.4: Una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en todos los puntos c interiores del intervalo ( lím f ( x ) = f (c )), y además es continua en los extremos x →c
izquierdo x = a ( lím+ f ( x ) = f (a )) y derecho x = b ( lím− f ( x ) = f (b )) x→ a x →b del intervalo. 3.10.5: Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos los puntos c interiores del intervalo, ( lím f ( x) = f (c )) , y además existen los límites en sus extremos x →c
izquierdo x = a( lím+ f ( x )) y derecho x = b( lím− f ( x )) del intervalo. x →b
3.10.6: Una función es continua en un intervalo [a, b) si es continua en todos los puntos c interiores del intervalo, ( lím f ( x ) = f (c )), y además es continua en el extremo izquierdo x →c
x
= a ( lím+ f ( x ) = f (a )) y existe el límite en el extremo derecho x x→ a
b ( lím− f ( x )) del intervalo. x →b
3.10.7: Una (a, b] si es continua en
función es continua en un intervalo todos los puntos c interiores del intervalo, ( lím f ( x) = f (c )), y además existe su límite en el extremo izx →c
quierdo x = a ( lím+ f ( x )) y es continua en el extremo derecho x x→ a
b ( lím− f ( x ) = f (b )) del intervalo. x →b
157
Ô
“frecuencia natural de los objetos”. } ¿Por qué algunos edificios caen con un terremoto y otros no? } ¿Es verdad que una cantante puede romper una copa de cristal con su voz? ÓÌÔ
x →c
x→ a
w
158
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
3.11 DISCONTINUIDAD
ñ
prende el criterio básico para probar la continuidad en un punto interior de un intervalo, y se compone de tres elementos: 1. f (c) existe. 2.
lím f ( x ) = L existe.
3.
lím f ( x ) = f (c ) .
x →c
x →c
Dependiendo de cuáles de los tres elementos se cumplen, ocurren diferentes casos: a) Si f (c) no existe y L sí existe, se tiene que c no estará en el domi-
c, L), y la llamaremos discontinuidad salvable, porque ese agujero se podría tapar haciendo f (c) L. b discontinuidad esencial; ahora la función deja el hoyo en ( c, L), pero f (c) no tiene el mismo valor que L. c) Cuando el elemento 2 falla se puede dar por dos motivos: i) que los límites laterales existan pero sean diferentes (este caso se denomina discontinuidad de salto); ii) que algún límite lateral discontinuidad es asintótica. d) Una discontinuidad también se puede dar porque el límite no existe debido a “excesivas oscilaciones” de la función en la vecindad de un punto. Esta discontinuidad se denomina discontinuidad oscilante. TABLA 3.2 Tipos de discontinuidades y ejemplos
Tipo de discontinuidad y ejemplo
Discontinuidad salvable en x 3:
( x − 3)3 +1 f ( x ) = x−3
Gráfica-ejemplo
CAPÍTULO 3
TABLA 3.2 Tipos de discontinuidades y ejemplos (continuación )
Tipo de discontinuidad y ejemplo
Discontinuidad esencial en x 3:
( x − 3)3 + 1; x ≠ 3 f ( x ) = x − 3 4; x = 3
Discontinuidad de salto en x 2:
x − 2; x < 2 f ( x ) = x 2 ; x ≥ 2 4
Discontinuidad asintótica en x 1:
f ( x ) =
1 ( x + 1)2
Discontinuidad oscilante en x 0:
1 x
f ( x ) = sen
Gráfica-ejemplo
w
159
160
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
3.12 TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD
ñ
T3.13 Si p(x) es un polinomio, este es continuo en todo . ACTIVIDAD 3.12.1
T3.14 Si f y g son continuas en x c, también son continuas en f (si g(c) no es cero). g
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
T3.16 f (x) sen (x) es continua en todo .
Actitudes Ñ Manifestación del interés por lograr la síntesis de los conceptos aprendidos. Ñ Gusto por expresar lo aprendido. Ñ Manifestación del placer de logro grupal y colaboración con sus compañeros.
T3.17 f (x) cos (x) es continua en todo .
Desempeños Ñ Se observan en el producto.
T3.18 Si f es continua en c, y g es continua en f (c), luego g( f (x)) es continua en c.
Productos Ñ Ensayo sobre los conceptos asociados al límite y sus aplicaciones.
x c: f g, f g, fg , cf , f n ,
T3.15 f (x) e x es continua en todo .
T3.19 f (x) ln (x) es continua en .
Actividad 3.12.1 El concepto que se ha estudiado en este apartado es el límite, cuya utilidad práctica parte de la idea preconcebida que tenemos de él. precisión. Como se ha observado a lo largo de las diferentes actividades, posee un gran cúmulo de aplicaciones importantes. Con base en lo estudiado, prepara un ensayo que trate sobre los diferentes puntos que hayas considerado de interés en el tema, pero sobre todo de la importancia de las aplicaciones de este y sus conceptos derivados. Entrega tu ensayo a tu facilitador.
Ejercicios 3.1 3.1.1
Resolver el límite lím ( x 2 − 3x + 5) x→ 2
Como se trata de un polinomio, se tiene que lím ( x 2 − 3x + 5) = 2 2 − 3( 2) + 5 = 3 x→ 2
Criterios de calidad i. Adecuada redacción e interpretación de los conceptos. ii. Importancia y creatividad de los ejemplos seleccionados para explicar los conceptos. iii. Uso de gráficas, presentaciones, videos, mutimedios, entre otros, para explicar sus ideas. iv. Redacción adecuada de sus conclusiones. v. Uso correcto del lenguaje matemático para explicar las características de los fenómenos citados. vi. Cita de las fuentes, en los casos en que se hayan empleado. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Obligatorio en equipo. } Equipos de tres personas. } Prever espacios para que los equipos puedan presentar ante el grupo sus conclusiones. ÓÌÔ
CAPÍTULO 3
CUADRO 3.4 Formas indeterminadas del límite.
EJERCICIOS 3.1
Habrás observado que normalmente los límites que se plantean llegan a las “formas indeterminadas”: 0/0 o también /, y luego sigues un proceso de factorización, se elimina la indeterminación, se sustituye y se localiza el valor del límite soportado por los teoremas y finalmente se concluye. Pero encontrar el límite no es ese ejercicio de factorización, sino la comprensión de lo que has concluido al resolverlo y de lo que ocurre para localizar en lo muy pequeño (o lo muy grande) los motivos para interpretar la continuidad (salvable o no), ya que la forma indeterminada 0/0 no tiene realmente ceros, sino la manifestación del cociente de dos números muy pequeños cuya razón no es necesariamente pequeña; mientras en lo muy grande la forma indeterminada / da cuenta del caso inverso, cociente de dos números muy grandes cuya razón no es necesariamente grande. Así, de manera similar, otras formas indeterminadas aparecen en los límites, por ejemplo, 00, 0, 1, o una muy simple ; todos ellos se deben convertir para su resolución en las formas base 0/0 o /. ¿Por ejemplo 0? No siempre. Observa: lí m x −
x →∞
( x − x )( x +
x = lí m
x )
( x + x )
x →∞
x →∞
x − x x +
x
1− lí m
x →∞
3.1.2
ACTIVIDAD
1 x 1
=∞
1 + x x 3
y→ 3
Actitudes Ñ Trabajo en equipo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante intente la solución de los ejercicios antes de ver su resolución. Aun así, puesto que algún ejercicio puede representar una situación novedosa, se incluye la resolución para que el estudiante la estudie, la analice cuidadosamente y plantee sus dudas en clase al facilitador o con sus compañeros de equipo. Desempeños Ñ Participación en la clase. Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los ejercicios. ii. Presentación en clase o con los compañeros de ejercicios tomados de otras fuentes.
Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para preguntas sobre los ejercicios. } Propiciar el aprendizaje colaborativo. ÓÌÔ
y2
−9
2y
En este caso y lím
y →3+
y2
−9
2y
ÓÌÔ
DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Resolver el límite lím
161
Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
2
lí m
w
32 − 9 = =0 2( 3)
162
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Estrictamente el límite bilateral no existe, ya que si y implica que por ejemplo y 2.9999, entonces 2.99992 9 existe. 3.1.3
Resolver el límite y2
−9 3−y
lím y→ 3
rador, mientras que en el denominador solo es posible acercarse tar calcular el límite. Por lo anterior, tal límite no existe. 3.1.4
Resolver lím
x→−1
x2 + 8 − 3 x+1
El punto x
lím
x→−1
x2 + 8 − 3 x+1
= lím
x→−1
x 2 + 8 − 3 x 2 + 8 + 3 2 x + 8 + 3 x+1 x2
+8−9 x→−1 ( x + 1) ( x 2 + 8 + 3)
= lím
= lím →−1 x
= lím
x→−1
−1 + 1) ( 2 + 8 + 3) x
( x
2
x
x−1 x2
+8+3
=−
1 3
Evalúa en puntos cercanos de x x −1 en −1, , una discontinuidad salvable. 3
CAPÍTULO 3
3.1.5
Si se sabe que lím f ( x ) = 3 y lím g( x ) = −3 x →c
x →c
calcular: lím x →c
g( x ) f ( x ) + g( x )
De acuerdo con los teoremas de límites se tiene lím x →c
g( x ) f ( x ) + g( x )
lím g( x ) x →c
=
lím ( f ( x ) + g( x ))
= +∞ o −∞
x →c
en donde se ha indicado un posible signo o porque se desconoce qué ocurre muy cerca de c y por tanto el signo de lím ( f ( x ) + g( x )) x →c
que determina el signo del resultado. 3.1.6
Calcular lím 2 x 2
x x
En la vecindad de x 2 se tiene que
1; 1 ≤ x < 2 x = 2 ; 2 ≤ x < 3 Mientras x tiene dominio en todo . Luego, 2
x x
2 x ; 1 ≤ x < 2 = x ; 2 ≤ x < 3
Así, lím− 2
x→ 2
x x
= lím− 2 x = 4
x x
= lím+ x = 2
x→ 2
mientras que lím+ 2
x→ 2
x→ 2
w
163
164
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Como los límites laterales son diferentes, entonces el límite solicitado no existe. 3.1.7
Calcular lím f ( x) si x 1
x 2 + 1; x < 1 f ( x ) = 3x − 1; x > 1
lím f ( x ) = lím+ (3x − 1) = 2
x→ 1+
x→ 1
mientras que lím− f ( x ) = lím− ( x 2 + 1) = 2
x→ 1
x→ 1
Como ambos límites son iguales se tiene lím f ( x ) = 2 x→ 1
3.1.8
Calcular los límites f ( x ) g( x ) , lím x 2 g( x ) x 2 f ( x )
lím Si
x 2 − 1; x < 2 x 2 − 4; x < 3 g( x ) = ; f ( x) = 2 x + 1; x > 2 3x − 1; x ≥ 3
lím−
x→ 2
f ( x ) g( x )
= lím− x→ 2
x2
−4 =0 x2 − 1
De igual forma, f ( x ) lím+ x→ 2 g( x )
=
x2 − 4 lím x→ 2 − 2 x + 1
Por la igualdad de los límites se tiene f ( x ) x→ 2 g( x )
lím
=0
=0
CAPÍTULO 3
En el otro caso se tiene x2
g( x ) lím− x→ 2 f ( x )
= lím−
−1 = −∞ 2 x −4
g( x ) f ( x )
= lím+
2x + 1 =∞ x2 − 4
lím+
x→ 2
x→ 2
x→ 2
3.1.9
Calcular lím
( x + h )3 − x 3 h
h →0
y compararlo con ( x + h )3 − ( x − h )3 lím h→ 0 2h
En el primer caso se tendrá lím
( x + h )3 − x 3
h→0
h
= lím
x3
+ 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 − x 3 h
h→ 0
= lím h→ 0
3x 2 h + 3xh 2 + h 3 h
= lím (3x 2 + 3xh + h 2 ) = 3x 2 h→ 0
mientras en el segundo, con el mismo desarrollo, ( x + h )3 − ( x − h )3 lím h→0 2h
= lím h→0
= lím h→0
x3
+ 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 − (x 3 − 3x 2h + 3xh 2 − h 3 ) 2h
6 x 2 h + 2h 3 = lím (3x 2 + h 2 ) = 3x 2 h→ 0 2h
En el primer caso se tiene un límite bilateral típico, y en el segundo se están resolviendo a la vez los límites laterales, cercándolos hacia x, que está en el centro. 3.1.10
Probar que g(x) x2 x dominio.
w
165
166
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Considerando las tres condiciones para la continuidad: 1. Considera aε g(a) a2 2.
lím x 2 − 1 = g(a ) = a 2 − 1 x→ a
Luego, g(x) es continua en a. Como a es cualesquier punto en su dominio, se tiene que g(x) es continua en D g. Incluyendo los extre 1. 2.
lím+ x 2 − 1 = −1 existe, y
x→0
lím− x 2 − 1 = 8 también existe.
x→ 3
3.1.11
Encontrar las discontinuidades (en caso de que existan) para la función
x 2 + 1; x < 1 f ( x ) = 3x − 1; x > 1
En el intervalo ( f (x) es continua ya que es un polinomio, y lo ), por lo que el único punto con duda es x pero f f (x) es discontinua en x mediante los límites laterales se puede probar que el límite en ese punto es 2, de donde la discontinuidad es salvable. 3.1.12
g Encontrar las discontinuidades de [ fg](x) y ( x), si exis f ten, considerando x 2 − 1; x < 2 x 2 − 4; x < 3 g( x ) = ; f ( x) = 2 x + 1; x > 2 3x − 1; x ≥ 3
Como g g es discontinua en x 2; en el resto es continua porque es un polinomio. g es continua en todo D g {2}. Por su parte, f (x) es continua en cualesquier punto de , excepto en x D f , y es continua en D fg D f D g {2}
CAPÍTULO 3
En cuanto al cociente f , tiene ceros en x 2, x 2; dentro del intervalo x x D g
D f D g {x f (x) {2, 2}
f
Finalmente, fg hereda las discontinuidades de f y de g, por lo que tiene discontinuidad salvable en x 2 y discontinuidad de salto en x
( x 2 − 1)( x 2 − 4); x < 2 [ fg]( x) = (2 x + 1)( x 2 − 4); 2 < x < 3 (2 x + 1)( 3x − 1); x ≥ 3
g tiene discontinuidad asintótica en x 2 y x 2, y f discontinuidad de salto en x
Por su parte,
( x 2 − 1) ; 2 x − ( 4 ) 2 g ( x − 1) ; x = ( ) ( x 2 − 4) f (2 x + 1)/( x 2 − 4); (2 x + 1)/( 3x − 1); 3.1.13
x
< −2
−2 < x < 2 2
Calcular x2 − 1 lím x→ 2 2 x − 4
Se observa de inmediato que el denominador es cero en x 2; entonces, x2 − 1 = −∞ lím− − x x→ 2 2 4 + −
ya que si x 2, 2x 4 x2 x2 − 1 lím −4 x x→ 2 + 2
=∞
+ +
de donde se da una discontinuidad asintótica y el límite no existe.
w
167
168
w
3.1.14
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Calcular lím x→ 3
x2
−1 x2 − 9
El denominador es cero en x x2
−1 x2 − 1 = −∞ ; lím+ 2 =∞ lím 2 x→ 3 − x − 9 x→ 3 x − 9 3.1.15
Calcular x2 + 1 lím x→∞ x − 4
Si se localiza la potencia de x más alta, tomamos ese término y se dividen todos por él,
lím
x→∞
2
x +1 x−4
=
x2 1 + 2 2 lím x x x→∞ x 4 − 2 2 x x
= lím
x→ ∞
1+ 1 x
−
1 x2
=∞
4
x2
Obsérvese que el signo de surge desde la valoración con alguna x muy grande en la expresión original, y no del posible signo de 1 4 2. x
x
3.1.16
Calcular x2 + 1 lím x→∞ x + 2
La potencia más alta de la expresión es x (el radical reduce el grado de x2 a x); luego,
lím
x→∞
2
x +1 x+2
=
x2 + 1 x lím x→∞ x + 2 x
= lím x→∞
x2 x2
+ 12
1+
x
2 x
CAPÍTULO 3
1
1+
= lím x→∞
3.1.17
1+
x2
2
=1
x
Calcular lím x→∞
x2
+1 x2 + x + 2
Ahora se tiene:
lím
x→∞
1+
2
1
+1 x2 = =1 lím x→∞ 1 2 x2 + x + 2 1+ + 2 x
x
x
en donde se dividieron todos los términos por la máxima potencia de x, que fue x2. 3.1.18
Calcular las asíntotas, si existen, para f ( x ) =
x2
+1 x 2 + 3x + 2
El denominador se puede factorizar como (x 2)(x tiene raíces en x 2 y x Para calcular las asíntotas horizontales se tiene
lím
x→−∞
2
1+
1
+1 x2 = =1 lím x→−∞ 3 2 x 2 + 3x + 2 1+ + 2 x
x
x
con lo que se tiene asíntota horizontal en y considerando ahora hacia la derecha, se localiza la misma asíntota:
lím
x→∞
2
1+
1
+1 x2 = 1 = lím 3 2 x 2 + 3x + 2 x→∞ 1+ + 2 x
x
x
w
169
170
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
En cuanto a las asíntotas verticales, consideremos las discontinuidades de la función previamente encontradas en x 2, x x2
+1 = ∞; lím− x→−2 ( x + 2 )( x + 1)
x2
+1 = −∞ x + 2 )( x + 1) (
lím+
x→−2
+ −−
+ +−
con lo que se muestra una asíntota vertical en x 2. Adicionalmente, x2
+1 = −∞ ; lím− x→−1 ( x + 2 )( x + 1)
x2
+1 =∞ x + 2 )( x + 1) (
lím+
x→−1
+ +−
+ ++
localizando una asíntota vertical en x 3.1.19
Encontrar las asíntotas, si existen, para 2x2 − 9 g( x ) = x2 − 1
El denominador es cero si x x 9
2−
2
2x − 9 x2 = 2 = lím lím 2 x→±∞ x − 1 x→±∞ 1 − 1 2 x
to, localizándose una asíntota horizontal única en y 2. Ahora, 2x2 − 9 = −∞ lím x→± 1 x 2 − 1 − +
en donde, con abuso de notación, se han resuelto los límites en x x
Ô
ÓÌ AUTOEVALUACIÓN 3.1 – 3.5 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Actitudes Ñ Trabajo en equipo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante de manera individual o en equipo intente la solución de cada autoevaluación. Ñ Es muy importante que cada solución se trate de interpretar, de tal forma que el concepto se comprenda y que el mensaje de límite del lenguaje natural, que se asocia más a un extremo del dominio de la función, evolucione al concepto matemático más preciso. Desempeños Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los cuestionamientos. ii. Presentación en clase o con los compañeros de ejercicios tomados de otras fuentes. Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para discusión grupal sobre las autoevaluaciones. } Propiciar el aprendizaje cooperativo. } Sugerir cuestionamientos de otras fuentes. ÓÌÔ
CAPÍTULO 3
Autoevaluación 3.1 Calcular los siguientes límites:
3.1.1
3.1.2
1 1 − 13 + x 3 x+4
lím
x→−4
2−x 4 − 4x + x 2
lím+
x→ 2
2x2 − 1 3.1.3 lím 2 x→+∞ x − 3 x 3.1.4
lím
x→−∞
3
8− x 2+x
En las funciones siguientes encuentra las asíntotas horizontales y verticales, indicando en caso de que no existan: 3.1.5 f ( x ) =
3.1.6 f ( x ) =
3.1.7 f ( x ) =
x
1 − x2 x2 x2
−1
x3 x2
−1
Encontrar los puntos de discontinuidad, si los hay, en:
t 2 − 1; t < 2 f t t=2 = ( ) 3.1.8 4 ; 4 − t 2 ; t > 2
Solución a la autoevaluación 3.1 1 54
3.1.1
3.1.2
w
171
Ô
ÓÌ SUGERENCIA EVALUACIONES E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Ñ En caso de que el facilitador o los
propios estudiantes consideren la necesidad de realizar alguna evaluación por conocimientos, se puede diseñar un examen que empleeÓÌunaÔ combinación de cuestionamientos incluidos en estas autoevaluaciones, adicionen de otras fuentes y, sobre todo, proponer de su propia creación.
AUTOEVALUACIÓN 3.1
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. ÓÌÔ } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
172
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
3.1.3
2
3.1.4
3.1.5
Asíntotas verticales en x x y
3.1.6
Asíntotas verticales en x x y
3.1.7
Asíntotas verticales en x x rizontal.
3.1.8
Discontinuidad en x 2.
Autoevaluación 3.2 Calcular los siguientes límites: 3.2.1
lím
2−t − 2
t→0
t
2x 2 + 1 3.2.2 lím x→∞ 3x − 5
3.2.3
lím
x→−1
1 − 1 13 + x 2 3 x+1
Encontrar las asíntotas horizontales y verticales en las funciones siguientes, indicando en caso de que no existan: 2x 2 − 5 3.2.4 f ( x ) = 3x 2 + x + 2 3.2.5 f ( x ) =
x−9
4x 2 + 3x + 2
Encontrar los puntos de discontinuidad, si los hay, en:
x; x < 0 x2 ; 0 < x ≤ 2 3.2.6 f ( x ) = 2 8 − x ; x > 2
AUTOEVALUACIÓN 3.2
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. ÓÌÔ } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
CAPÍTULO 3
w
173
Solución a la autoevaluación 3.2 3.2.1
3.2.2
1 2 2
2 3 1 48 3
3.2.3
3.2.4
2 No hay asíntotas verticales; asíntota horizontal en y . 3
3.2.5
No hay asíntotas verticales; asíntotas horizontales en 1 1 y y y = − . 2 2
3.2.6
Discontinuidad en x
Autoevaluación 3.3 Calcular los siguientes límites: 3.3.1
3.3.2
lím
x2 − 4 x3 + 8
lím
x+1 x−4
x→−2
x→ 4
x 2 − 4x + 6; x < 2 3.3.3 lím x→ 2 − x 2 + 4x − 2 ; x ≥ 2 Encontrar los puntos de discontinuidad, si los hay, en: 3.3.4 f ( x ) =
x x2 + x − 2
−1; x < 0 3.3.5 f ( x ) = 0 ; x = 0 x ; x > 0
AUTOEVALUACIÓN 3.3
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. ÓÌÔ } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
174
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Encontrar las asíntotas horizontales y verticales en las funciones siguientes, indicando en caso de que no existan: 3.3.6 f ( x ) =
4x 4 + x2
3.3.7 f ( x ) =
x+4 x 2 − 3x − 4
Solución a la autoevaluación 3.3 1 3
3.3.1
3.3.2
No existe el límite porque los límites laterales son diferen
3.3.3
2, ya que los límites laterales son iguales.
3.3.4
Discontinuidades en x 2 y x
3.3.5
Discontinuidad en x
3.3.6
No existen asíntotas verticales y tiene asíntota horizontal en y
3.3.7
Asíntota vertical en x 4 y x en y
Autoevaluación 3.4 Calcular los siguientes límites: 2 x 2 − 5x + 2 3.4.1 lím x→ 2 5 x 2 − 7 x − 6 3.4.2
lím
x→ 25
−5 x − 25 x
3 − x; x < 1 3.4.3 lím 4; x = 1 x→ 1 2 x + 1; x > 1
AUTOEVALUACIÓN 3.4
ÓÌÔ
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® ÓÌÔ } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
CAPÍTULO 3
w
175
Encuentre los puntos de discontinuidad, si los hay, hay, en: 3.4.4 f ( x ) =
3.4.5 f ( x ) =
1 x 2 − 16 x2
−x−2 x2 − 2x
Encontrar las asíntotas horizontales y verticales en las funciones siguientes, indicando en caso de que no existan: 3.4.6 f ( x ) =
4x x2 + 9
5x 2 − 9 3.4.7 f ( x ) = 4x 2 + x + 8
Solución a la autoevaluación 3.4 3.4.1
3 13
3.4.2
1 10
3.4.3
2, ya que los límites laterales l aterales son idénticos.
3.4.4
Discontinuidad en x 4 y x 4.
3.4.5
Discontinuidad en x x 2.
3.4.6
No existen asíntotas verticales y existe una asíntota horizontal en y
3.4.7
No existen asíntotas verticales y existe una asíntota hori5 zontal en y . 4
Autoevaluación 3.5 Calcular los siguientes límites: 3.5.1
lím x→ 1
x−1 x−1
AUTOEVALUACIÓN 3.5
ÓÌÔ
VALUACIÓN UACIÓN POR POR CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO E VAL Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE Y DESEMPEÑO ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® ÓÌÔ } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
176
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
3.5.2
lím
3.5.3
lím
x→ 4
x →7
COMPETENCIAS
x2
− 16 2− x x+2 −3 x−7
4x 2 − x 3.5.4 lím x→∞ x2 + 9 3.5.5
lím x 2 − 2 x + 2 x
x→−∞
Encontrar las asíntotas horizontales y verticales en las funciones siguientes, indicando en caso de que no existan: 3.5.6 f ( x ) =
4 x 4x − x
3.5.7 f ( x ) =
4 x x−1
3x 2 3.5.8 f ( x ) = x−1 Encuentra los puntos de discontinuidad, si los hay, hay, en:
x + 5; x < 0 3.5.9 f ( x ) = 2; x = 0 2 − x + 5; x > 0
Solución a la autoevaluación 3.5 3.5.1
1 2
3.5.2
3.5.3
1 6
CAPÍTULO 3
3.5.4
2
3.5.5
3.5.6
1 Puesto que D f ), existe asíntota vertical en x y 16 existe asíntota horizontal en y
3.5.7
Puesto que D f ), existe asíntota vertical en x asíntota horizontal en y 4.
3.5.8
Puesto que D f x existe asíntota horizontal.
3.5.9
Existe discontinuidad en x son iguales.
w
177
178
Capítulo
4
Derivada
ELEMENTO ELEMENT O DE LA L A COMPETENCIA DISCIPLINAR El alumno es competente si interpreta de manera adecuada la derivada de una función que representa a un fenómeno bajo estudio, y si además la calcula analítica, numérica y gráficamente.
COMPETENCIA DISCIPLINAR DEL CURSO El alumno es competente si analiza, abstrae y propone soluciones a situaciones que involucren variación en una sola variable variable independiente, empleando como herramienta herramienta fundamental fundamental la graficación y el cálculo diferencial.
CALENDARIO DEL PORTAFOLIO Fecha
DE EVIDENCIAS
Evidencia Aplicación 4.1.1 Actividad 4.1.1 Actividad 4.1.2 Actividad 4.1.3 Actividad 4.1.4 Aplicación 4.1.2 Aplicación 4.1.3 Actividad 4.2.1 Actividad 4.2.2 Aplicación 4.2.1 Actividad 4.2.3 Actividad 4.2.4
Fecha
Evidencia Actividad 4.2.5 Aplicación 4.2.2 Aplicación 4.2.3 Aplicación 4.2.4 Actividad 4.3.1 Actividad 4.4.1 Actividad 4.4.2 Actividad 4.4.3 Aplicación 4.4.1 Actividad 4.5.1 Aplicación 4.5.1 Actividad 4.5.2
CAPÍTULO 4
Fecha
Evidencia Ejercicios 4.1 Autoevaluación 4.1 Autoevaluación 4.2 Autoevaluación 4.3
Otras evidencias
Fecha
Evidencia
w
179
180
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
4.1 FOCALIZACIÓN. DERIVADA
ñ
En muchas situaciones reales es necesario asignar un objeto a otro. Por ejemplo, cada persona tiene una madre; cada persona, una fecha de nacimiento; cada automóvil, un motor, etc. Al analizar en sentido inverso, la asignación no es necesariamente única o incluso no existe; por ejemplo, no toda madre tiene un solo hijo, en cada fecha del calendario existen millones “que cumplen años”, existen motores que no tienen un automóvil asignado, etcétera. Este tipo de objetos matemáticos que resultan en asignaciones entre objetos se denominan de manera general relaciones. FIGURA 4.1
Aplicación 4.1 4.1.1 está en movimiento, la cámara debe permitir que la luz pase por el lente durante un instante muy pequeño de tiempo, como 1/60 de segundo o menos. Entre más veloz sea el objeto, menor tiempo se debe mantener abierto el obturador, ya que de no ser así la fotografía saldrá “movida” (véase tienen varios registros del mismo objeto en diferentes instantes, por lo que el objeto se presenta ¡El obturador debe ser más rápido que el objeto que se fotografíe para que se tenga un resultado adecuado! Este fenómeno se emplea en el arte de la fotografía de diferentes maneras: 1. Mover la cámara a la velocidad del objeto si las fotografías de automóviles en movimien ¿qué pasa con el paisaje de fondo? 2. para captar imágenes con muy poca luz en las l as que el movimiento es irrelevante, como aquellas de ciudades en las que se ven los faros de los automóviles como líneas brillantes. 3. Dejar el obturador abierto durante mucho tiempo, como cuando se toman fotografías de
¿Por qué se ve “movida” la fotografía?
APLICACIÓN 4.1.1 ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR REFLEXIONAR Y Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Abstracción de situaciones reales. Ñ Respeto por las ideas de otros. Ñ Reflexión sobre la importancia y complejidades que implica la velocidad. Desempeños Ñ No necesario. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Preguntas de reflexión en clase sobre la relación entre la fotografía y la velocidad. ii. Originalidad. iii. Apoyo en compañeros o profesores de Física. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Equipos de tres personas.
CAPÍTULO 4
w
181
tomada sobre tu casa toda una noche? 4. para comparar los efectos de movimiento en una sola fotografía. 5. do de la placa. Esto es equivalente al cine, en el que la visualización de las fotografías simula movimientos. 6. ¿Qué otras técnicas crees que se aplican y cómo las usan? 7. 8. gif en la computadora? 9. ¿Qué tiene que ver la velocidad con los diferentes casos? das consulta a tu facilitador.
Actividad 4.1.1 tangente en un triángulo y que en los triángulos semejantes esta se mantiene idéntica, ya que la tangente es una función que realmente depende del ángulo y no del tamaño del triángulo, ¿cierto? puede emplear para representar la inclinación de una recta respecto del eje x, y en este caso se le llama pendiente de la recta, pero en realidad son lo mismo, ya que siempre se podrán trazar muchos triángulos que tengan esa tangente. Y también sabes que si la recta se mueve paralelamente no cambia su pendiente, pero que si el movimiento no es paralelo sí cambia su pendiente, en particular la recta horizontal tiene pendiente cero... pero ¡cuidado! porque una recta vertical no tiene pendiente o como en otras ocasiones se ha señalado es . ¿Por qué? Observa alrededor y descubre cuántas rectas hay, calcula visualmente sus pendientes. 1. ¿Hay paralelas? 2. ¿Hay perpendiculares? ¿Recuerdas qué relación se da entre las pendientes de rectas perpendiculares de manera general? 3. 4. 5.
ACTIVIDAD 4.1.1 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Puntualidad en la entrega. Ñ Interés en la reflexión de conocimientos previos. Ñ Limpieza y claridad en la redacción. Productos Ñ Ensayo sobre la presencia de rectas en el entorno inmediato y cálculo visual de sus pendientes, así como respuesta a los cuestionamientos. Criterios de calidad i. Listado de al menos cinco rectas presentes en el entorno. ii. Claridad y congruencia en la redacción. iii. Respuesta a todos y cada uno de los cinco cuestionamientos. iv. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. v. Manifestación de las propias ideas. vi. Originalidad en la respuesta a la pendiente de una curva. vii. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas conceptuales para clarificar las ideas. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipo de tres personas. } Propiciar el trabajo colaborativo. } Pedir a los estudiantes que propongan otras situaciones ejemplo observando el aula y sus alrededores.
182
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
También se debe recordar que si la inclinación de la recta rebasa los 90° su valor se hará negativo, lo cual indica que recorriendo la recta de izquierda a derecha sus valores en y decrecen, mientras si la pendiente es positiva, y crece. consulta a tu facilitador.
5 tan = – 8
Velocidad: razón de cambio
distancia en menor tiempo; sin embargo, cuando la distancia en consideración es diferente y también lo es el tiempo involucrado, la velocidad se puede considerar como un cociente entre las variaciones de dos magnitudes; aunque el denominador más común es el tiempo, no necesariamente tiene que ser así. Por ese motivo también se le llama razón de cambio.
Tangente calculada en un triángulo rectángulo. FIGURA 4.2
5 m=– 8
Θ
Actividad 4.1.2
FIGURA 4.3
Pendiente de una recta
calculada como la tangente en un correspondiente a la distancia recorrida entre el tiempo empleado triángulo rectángulo. para hacerlo, y trazamos las variaciones en rectas perpendiculares, las podemos comparar con la tangente del triángulo. Así, los triángulos seme- ACTIVIDAD 4.1.2 - E VALUACIÓN POR PRODUCTO . presentan fenómenos con la misma velocidad; su diferencia sería el tiempo en que esta velocidad se Actitudes Ñ Interés en la reflexión sobre conceptos de la física. mantiene y la distancia que se recorre. Ñ Gusto por expresarse en lenguaje matemático. en 1 Productos Ñ Reflexión sobre la derivada como velocidad dando respuesta a las cinco preguntas. los baches?, ¿no aceleraste a partir del reposo?, ¿no frenaste en ningún tope o no aceleraste para Criterios de calidad rebasar a otro conductor? Lo más seguro es que i. Respuesta correcta a las cinco preguntas. haya ocurrido alguno de estos eventos. Entonces, ii. Claridad y congruencia en la redacción. iii. Uso adecuado de las gráficas y trazo correcto de las tanHay un motivo: porque ese fue el promedio de tu gentes. velocidad o velocidad media, y en realidad du- Características del producto rante el viaje tuviste diferentes “velocidades ins} Extensión: una cuartilla. tantáneas”, y esto lo sabes porque el velocímetro } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : por ratos; es decir, tu velocidad tuvo variaciones. } Obligatorio ® Optativo ® La velocidad instantánea es la que tenías en Sugerencias } Producto obligatorio individual. } Pedir ejemplos de otros tipos de velocidad. gulo más pequeño que puedas imaginar, tal como
CAPÍTULO 4
d y a la variación en el tiempo ∆t , la velocidad instantánea υ será ¡un límite, y a su vez la tangente del triángulo! v
= lím
t →0
m1
w
183
m2
d t t
De todo esto, la velocidad instantánea en el tiempo t 0 se podrá ana variación de la distancia como función del tiempo para un caso FIGURA 4.4 Pendiente de rectas El límite alcanzado permite trazar una recta tangente a la curva paralelas. en el punto cuya pendiente se como la derivada de la función en el punto, y ¡es la velocidad instantánea!
De esta manera se podrá encontrar una “razón instantánea” entre cualesquier par de variables que se puedan relacionar mediante una función, y la derivada en el punto existirá siempre que esa recta tangente se pueda encontrar y sea única.
distancia V = –——– tiempo
1.
a i c n a t s i d
tiempo
qué ocurre con los límites laterales en el punto. 2. FIGURA 4.5 Representación de la velocidad como tangente. en diferentes puntos. ACTIVIDAD 4.1.3 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
d
Actitudes Ñ Limpieza y exactitud de los trazos en las gráficas. Ñ Gusto por emplear el lenguaje gráfico como parte de las matemáticas.
f (t 0)
t 0
t
Velocidad media en un intervalo como secante a la curva y tangente de un triángulo formado por las variaciones. FIGURA 4.6
d
t 0
t 0
d t t
Velocidad instantánea como tangente en un triángulo infinitamente pequeño. FIGURA 4.7
Criterios de calidad i. Respuesta correcta a las tres preguntas. ii. Trazo gráfico de la derivada de los tres ejemplos. iii. Trazo correcto de las tangentes. iv. Aplicación correcta del procedimiento 4.1.3. Características del producto } Extensión : libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
f (t 0) v = lí m
Productos Ñ Reflexión sobre el trazo de la derivada por el método gráfico ; trazo de los tres ejemplos.
Sugerencias } Producto obligatorio individual. } Meditar cómo se trazan en la computadora las gráficas de la derivada a una curva.
184
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
3.
alto de la curva. ¿Qué valor alcanza su pendiente? ¿Ocurrirá esto siempre en cualquier curva? ¿Por qué? 4. Analiza una curva con discontinuidad de salto. ¿Existe la derivada en el punto de discontinuidad? ¿Por qué? 5. y en la curva van creciendo, ¿qué signo tiene la derivada? ¿Y cuando decrece y? ¿Ocurrirá esto únicamente en esta curva o será así siempre? dudas consulta a tu facilitador.
Actividad 4.1.3 sobre funciones y se puede encontrar para cada uno de los puntos de la curva (o puede no existir en algunos se aplica sobre f (x f (x referirnos a su derivada. punto se puede encontrar mediante la recta tangente. Aquí se podrá observar que si se aplica este razonamiento a un conjunto razonable de puntos, se podrá trazar la curva de la derivada de la función en un intervalo de una manera muy aproximada. Esto tiene que ver con la mayoría de los problemas prácticos en los cuales se tienen datos pero se desconoce la ecuación de la función. Analiza el siguiente procedimiento.
P
Q4 P X4
P
Q4 X4
Procedimiento 4.1.3 1. Traza la curva de la función f (x 2. Localiza un punto (P x, a la izquierda del cero; a |P| lo denominaremos “la escala para f (x.
P
Q4 X4
3. Localiza un conjunto de puntos { P1, P, …, P} que
sean de tu interés sobre la curva (se sugiere que es f ( x ) 4. Traza la recta tangente al punto P1 de coordenadas Q (x1, y1 P y muévela hasta que consideres “a ojo” que está X recta paralela a la recta tangente encontrada y que pase por P. Esa recta cortará al eje y en Q1; marca el FIGURA 4.8 Derivada de una función aproximada por método gráfico. punto P1 de coordenadas (x1, Q1 4
4
CAPÍTULO 4
5.
Pi seleccionados. 6. Une los puntos {(x1, Q1 x, Q x3, Q3 (xk, Qk mediante una curva suave. La curva la |P|. to P. a P| se le denominó “escala”? b ubicaciones de P? c Qi corresponde con la derivada en el punto Pi? d -
vas de tu interés.
tienes dudas consulta a tu facilitador.
Actividad 4.1.4 derivada existe en un punto del dominio de la función, se dice que la función es diferenciable en ese punto en particular. Luego, la diferenciabilidad implica que la recta tangente a la curva sea única. 1. ¿Podrá existir un punto en la curva de tal for una curva que tenga ese caso. 2. en un intervalo, ¿qué se está diciendo exactamente? 3. Argumenta la posibilidad de que siempre que una función sea discontinua en un punto, entonces su derivada no existe en ese punto. Ana 4. Toma un lápiz, y considéralo temporalmente con un ejemplo burdo de recta: a acostado sobre su canto. Bajo esta carac
w
185
ACTIVIDAD 4.1.4 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés en la localización de un fenómeno matemático en los objetos reales. Ñ Gusto por la experimentación. Desempeños Ñ Observar cómo realiza el experimento de trazo de la tangente en los cuerpos aledaños. Productos Ñ Respuesta a las preguntas como resultado de la experimentación realizada sobre los objetos físicos del entorno. Criterios de calidad i. Respuesta correcta a las cuatro preguntas. ii. Trazo gráfico de la posible derivada en los puntos de discontinuidad de las gráficas de la figura 3.12, o trazo que justifique la imposibilidad de hacerlo. iii. Trazo correcto de las tangentes. iv. Aplicación correcta del procedimiento 4.1.3. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio individual. } Citar cuerpos que puedan servir de ejemplo para colocar el “lápiz” que simula la tangente.
APLICACIÓN 4.1.2 ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por la problemática social. Ñ Respeto por las ideas de otros. Ñ Gusto por discutir el posicionamiento personal sobre temas sociales o políticos. Desempeños Ñ Exposición de los datos y síntesis de la información. Productos Ñ No necesario.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
ta corresponde con su propia pendiente. ¿Estás de acuerdo? b la computadora; si el lápiz cortara al ratón la derivada en el punto. Mueve el lápiz a diferentes puntos y posiciones y podrás localizar “diferentes curvas” y su recta tangente en el punto. ¿Existirá algún punto en el cual el lápiz (sin salirse del plano maneras dentro del mismo punto? En caso de que no localices algún punto con estas características, repite el experimento con no. Dibuja lo que descubriste, porque acabas de encontrar un lugar en que la curva no es diferenciable. Lo que localizaste fue un pico o vértice, ya que en esos lugares la derivada no existe. ¿Por qué?
Ô Criterios de calidad i. Preguntas de reflexión en clase sobre las funciones del Poder Legislativo en relación con los temas económicos y laborales. ii. Cita de fuentes consultadas. iii. Búsqueda del tema de datos económicos deflactados. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Equipos de tres personas. } Los equipos expondrán sus datos y posición en el tema de manera muy breve.
APLICACIÓN 4.1.3 ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por los fenómenos o eventos de la globalidad. Ñ Gusto por expresar matemáticamente los fenómenos económicos.
Repite el experimento tantas veces como consideres necesario sobre diferentes cuerpos.
Desempeños Ñ Exposición de los datos y síntesis de la información.
Aplicación 4.1.2
Productos Ñ No necesario.
En el terreno laboral se escucha dentro de las noticias que el salario de los trabajadores cada vez hacen en este tenor: “el salario mínimo al día de hoy representa el x% del que se tenía en 1980 en términos reales”. ¿A qué velocidad “porcentual” estará ca-
yendo el salario al día de hoy? Localiza información acerca de este tema y di cómo crees que se calcula. tador los hallazgos.
Aplicación 4.1.3 De los reportes anuales de Bayer registrados en la red,
Criterios de calidad i. Comentarios de reflexión en clase sobre la naturaleza de los índices en la bolsa de valores. ii. Cita de fuentes consultadas. iii. Búsqueda del tema de datos económicos de la bolsa de valores. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Equipos de tres personas. } Que los equipos expongan sus datos y posición en el tema, de manera muy breve, respecto de empresas regionales que coticen en la bolsa.
CAPÍTULO 4
Kursverlauf
w
187
2005
Index (100 = Schlusskurs 30.12.2004) 160 150
Bayer-Aktie +50,5 %
140 130
DAX
+27,1 %
120
EURO SM
STOXX 50
110
+24,3 %
http ://www.bayer.de/de/GB-2005.pdfx
100 90 Januar
Februar
XETRA -Schlusskurse;
März
April
Mai
Juni
Juli
August
September
Oktober
November
Dezember
Quelle: Bloomberg
Bayer-Aktie
DAX
30
EURO STOXX 5 0
SM
Comportamiento relativo de los valores de las acciones de Bayer durante 2005. http://www.bayer.de/de/GB-2005.pdfx FIGURA 4.9
función tal como se muestra presenta muchos puntos de no diferenciabilidad relativo de las acciones día por día al cierre del ejercicio y posteriormente se unen los puntos, por lo que la grá
Index (2.1.2001=100)
100
bajo estudio? mente? dio la velocidad de caída más grande? 6. ¿Es lo mismo pensar en la velocidad más alta de caída de las acciones que en el valor mínimo de las acciones? para Bayer? ¿Por qué?
80
60
EURO STOXX 50
DAX 30
01.01.2001
31.12.2001
a) Index (2.1.2001=100)
100
80
60
EURO STOXX 50
DAX 30
01.01.2001
para que no tenga picos, la curva suavizada no pasa necesariamente por todos los picos, pero obtiene la forma de tal manera que pueda ser diferenciable (véase el ejemplo en la que has construido, analiza lo que un experto comentó: “La situación de Bayer acompañó a la contracción embargo —al parecer—, nuestro apoyo al gobierno de EEUU después del ataque sufrido en septiembre y el sa, situación que sin sobresaltos se mantiene repuntan
Bayer- Aktie (Kurs)
Bayer- Aktie (Kurs) 31.12.2001
b) a) Comportamiento relativo de los valores de las acciones de Bayer durante 2001. http://www. bayer.de/de/GB-2001.pdfx b) Curva suavizada de ejemplo. FIGURA 4.10
http ://www.bayer.de/de/GB-2001.pdfx
188
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
10. ¿Es necesaria la suavización de la curva para mejorar la visión del fenómeno? ¿Por qué? 11. ¿En qué casos crees que sea conveniente suavizar las curvas y en qué casos no? 13. ¿La suavización de las curvas afecta a favor o empeora la calidad del análisis? litador.
4.2 DERIVADA
ñ
La derivada de una función f (x f (x f ′( x ) = lím h→0
f ( x + h) − f (x) h
cuyo dominio D f , son los puntos dentro de D f para los cuales este límite exista. En general, D f , D f y en aquellos puntos a en que f (a dice que f es diferenciable o que tiene derivada. A la magnitud ∆ f f (x h f (x la función, mientras que h ∆x corresponde con el incremento a la a la derivada también puede ser escrita como f ′( x ) = lím
x→ 0
f x
f ′( x ) =
df dx
en donde a los elementos dx y df se les denomina diferenciales. El diferencial de la variable independiente es dx y df es el di mente. En particular se observa que se cumple la relación entre los diferenciales df f (x dx. Existen diversas formas para denotar a la función derivada. Pueden ser utilizadas en diferentes contextos, y puedes emplearlas según convenga.
CAPÍTULO 4
TABLA 4.1
w
189
Notación de la derivada
Notación
Lectura
y
ye prima
Permite una notación compacta en expresiones muy largas, da por obvia la variable independiente.
dy dx
dy en dx
Enfatiza la descomposición de la derivada en diferenciales.
d f dx
df en dx
Enfatiza la variación funcional como diferenciales.
De x de f
Notación de operador para escritura “en línea”.
D x f d f ( x ) dx
Ventaja o uso
de en dx de f de x
Df
De f
· y
ye punto
Notación de operador en diferenciales para enfatizar su aplicación sobre la función. Notación de operador muy compacta en que se obvia la variable independiente. Notación de Newton para derivadas respecto del tiempo, es muy compacta pero se pierde fácilmente.
Derivada como pendiente de la recta y diferenciales
y x 0
“velocidad”, y como hemos observado, se asocia aa calcular f ′( x ) = lím
x→ 0
f ′( x ) =
y x
f x
Una vez que el límite se alcanza se habrá encontrado un triángulo f (x hipotenusa o bien como tangente del ángulo respecto del eje x. ¿Pero cuáles son los lados de ese pequeño triángulo? incrementos”. ¡Muy importante! ∆x 0 no es ∆x 0 Por eso, a esas cantidades tan pequeñas, alcanzadas por el límite y que no podemos ver, las llamamos diferenciales. Y como se ha señalado, ya que el límite se ha alcanzado, podemos escribir
f ( x )
y x lí m
x 0
y d y x d x
f ( x )
y
df dx
Obviamente el operador lím ya no se escribe porque el límite ¡ya se resolvió! ñas, para propósitos prácticos las podemos “aproximar” por pequeños incrementos, entendiendo que los resultados obtenidos por esta sustitución serán aproximados y no los resultados exactos que produce el límite.
f ( x )
x Los incrementos representan una aproximación que permite ver la “velocidad media” en el intervalo x , mientras en el límite la curva de f ( x ) es “lineal” porque se trata de un análisis “instantáneo”, es el cálculo de la “velocidad instantánea”. FIGURA 4.11
190
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Actividad 4.2.1
ACTIVIDAD 4.2.1
La derivada se ha escrito como f ′( x ) = lím
x →0
f x
bién escribimos así: f ′( x ) =
df dx
De esta manera, los diferenciales corresponden tangente es f (x trar df como producto de la derivada y dx; así, df f (xdx. La última ecuación nos dice que las variaciones en f pueden ser recuperadas a partir de la variación en x, siempre que se conozca la derivada f (x df y dx son valores muy pequeñitos que “nunca podemos ver”, los podemos aproximar por ∆y y ∆x, con lo que la expresión ahora será aproximada, pero aun así se puede usar: ∆ f f (x∆x
¿Qué quiere decir esto? Realiza el siguiente experimento: Entra a un portal en el que se encuentre una encuesta activa en línea. Para el ejemplo que se http://es.msn.com/
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés por la aproximación como acercamiento al conocimiento de los fenómenos. Ñ Dedicación a la toma de datos. Desempeños Ñ No necesario. Productos Ñ Respuesta y conclusión a las preguntas como resultado de la toma de datos. Criterios de calidad i. Respuesta adecuada a las tres preguntas e incisos. ii. Cálculos adecuados en los casos necesarios. iii. Elección adecuada de la información para mejorar la exactitud. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio individual. } Se puede emplear cualquier otra encuesta que se esté publicando en la red. } En caso de elecciones, emplear datos del INE o de encuestas de opinión en línea. } Emplear encuestas muy rápidas en partidos de futbol en vivo.
Después de votar aparecerán el total de votos y los por de acuerdo con la página que elijas. Encuestas de este http ://es.msn.com/ tipo son típicas en encuentros deportivos en vivo como el futbol. consulta a tu facilitador. Elige una opción y visita el sitio cada 10 minutos (ajusta este tiem
CAPÍTULO 4
w
191
10 1 = h , ∆ f 60 6 f (x ∆x f (x donde se calcula f (x ∆ f /∆x ____________________________. Ahora, f ( x + x) − f (x ) f ′( x ) ≈ x =
x
f (x ∆x f (x f (x∆x. a -
FIGURA 4.12 Encuesta activa en http:// sión anterior, calcula de manera aproximada: es.msn.com/ un 14 de febrero. taste? taste? taste? votaste? taste? f , ¿de FIGURA 4.13 Encuesta activa en http:// qué otra forma podrías recuperar los datos? - es.msn.com/ un 14 de febrero, después de votar. ¿qué datos usarías para aproximarlo? ¿Qué pasa si usas los datos del inciso ACTIVIDAD 4.2.2 1? E VALUACIÓN POR PRODUCTO . la cantidad de votos que había des- Actitudes Ñ Dedicación a la toma de datos empíricos. ¿qué datos usarías para aproximarlo? Ñ Concentración en el análisis de la información. ¿Qué pasa si usas los datos del inciso 1? ¿Qué pasa si usas los datos del inci- Desempeños Ñ No necesario. Productos b Ñ Reporte del desarrollo del experimento y conclusión a las prepara aproximar el valor de una función en guntas como resultado del análisis de los cálculos. un punto desconocido? c Criterios de calidad inciso previo? i. Realización de las acciones y cálculos solicitados en cada pregunta. Cálculos adecuados en los casos necesarios. ii. puede emplear sin conocer su “fórmula”, y más aun suponiendo que la función bajo iii. Elección adecuada de la información para mejorar la exactitud. estudio es continua, pero no olvides que
la derivada tiene unidades de medida,
iv. Creatividad en los dos casos de estudio propuestos.
192
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
que en este caso son votos/hora (votos/ obviamente el tiempo está dado en horas y f (t votos. Analiza al menos tres problemas que te permitan emplear diferenciales como el ejemplo de este apartado, compártelos con tus compañeros, y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.
Características del producto } Extensión: cinco cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
Ô
Sugerencias } Producto obligatorio por equipo. } Equipos de cinco personas. } Exponer los resultados.
Actividad 4.2.2 Realiza el siguiente experimento: En breve, cuando tengas oportunidad da un paseo en coche TABLA 4.2 Información del experimento de la actividad 4.2.2 anotando la velocidad mostrada en el velocímetro en los tiempos Tiempo Velocidad señalados, donde cero es el momento en que comienzas tu experimento. x ( min) f ( x ) f (x ∆x 0 0 f (x f (x∆x: 0.5 3 a x min, ¿qué representará cada término de la expresión?: 4 6 1. f (x ∆x) 6.5 f (x) 7 3. f (x) 7.2 ∆x 8 b de estabas aproximadamente en cada instante (en metros a que tienes la información para recuperar las posiciones aproximadamente. c f y ∆x ¿podrás recuperar f ? 1. lumnas. 2. 3. En este caso los valores de ∆x usados fueron diferentes. ¿Afecta 4. Debido a que ∆x es la aproximación a dx, ¿qué error de exacti 5. ¿En dónde se presenta el mayor error de exactitud?
CAPÍTULO 4
TABLA 4.3
w
193
Continuación del experimento de la actividad 4.2.2
Tiempo x ( min)
Posición f ( x )
0
0
Velocidad f ( x ) de tabla 4.2
Tiempo
x
Posición f ( x x )
Tiempo
x x
0.5
0.5
0.5
2.5
3
3
1
4
4 6 6.5 7 7.2 8
6. -
ca, ¿crece el error? 7. ¿En dónde haces que el error crezca más? 8. rimento? 9. el procedimiento? 10. El método empleado se denomina método de Euler , y es bien cierto que si los valores de ∆x son f (x table, ya que se podrá observar claramente el comportamiento funcional, ¡y a veces eso es más importante que la exactitud! Realiza dos experimentos similares al que aquí se presentó, compártelos con tus compañeros, y si tienes dudas apóyate con tu facilitador.
Aplicación 4.2.1 Muchos han respondido que nunca, y tal vez hayas hecho lo mismo, pero analiza algunas experiencias: 1. ramente adicionaste algo de azúcar, meneaste y probaste... está desabrido, un poco más de
APLICACIÓN 4.2.1 ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por el análisis de fenómenos cotidianos. Ñ Gusto por compartir las experiencias propias con los diferenciales. Ñ Respeto a las ideas de los demás. Desempeños Ñ Verbalización del caso y determinación de las variables y sus elementos diferenciales. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Comentarios de reflexión en clase sobre la naturaleza de los elementos diferenciales y su aplicación en los hechos cotidianos. ii. Creatividad en la búsqueda de situaciones ejemplo. iii. Participación en clase, con la cita de sus 10 ejemplos. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo individual. } Realizar en todos los ejemplos una gráfica aproximada que represente el fenómeno.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
azúcar, meneaste y probaste; o si quedó dulce, pusiste agua o leche para diluirlo, meneaste y probaste... De acuerdo con el sabor original f (x otros factores, el azúcar se diluyó a cierta velocidad f (x un instante ∆x y probaste para localizar el nuevo sabor f (x ∆x 2. La ducha es una experiencia que se vive constantemente, y por cierto que presenta gran variabilidad. Habrás sentido el agua fría o caliente, por lo que decidiste agregar agua caliente o fría, respectivamente. ¿Están presentes los diferenciales? 3. “Me pasó algunas veces que iba tarde a clase y aún estaba lejos de la escuela, apreté el paso y después de cierto tiempo sentí que no llegaría a tiempo, así que troté y después corrí. Ya cerca llegar caminando a tiempo a la clase.” Explica cómo están presentes aquí los diferenciales. do los diferenciales antes de ahora? Espero que tu respuesta haya cambiado porque tendrás que citar al menos 10 ejemplos y compar- ACTIVIDAD 4.2.3 E VALUACIÓN POR PRODUCTO . ta a tu facilitador.
Derivadas sucesivas
nida representa una nueva función: la “función derivada”. ¿Qué podría prohibir que esta nueva función se pueda derivar nuevamente y se genere una nueva función? ¿Qué se puede decir de esta nueva función, que llamaremos “segunda derivada”? ¿Podrá existir la tercera derivada y la cuarta, quinta o sexta? ¿Qué puede limitar este proceso? La derivación sucesiva es una operación válida y, de ser necesaria, la podemos denotar por f , f , f , f iv, f v, etc. Por las actividades previamente realizadas sabemos que si se conoce f (n podría ser recuperada f (n (por ahora al menos su grá del problema debe ser determinado en cada uno de los casos y usarse cuando resulte conveniente.
Actividad 4.2.3 Recupera los datos de tu experimento de la acti , mejóralos para incrementos de tiem
Actitudes Ñ Dedicación a la toma de datos empíricos. Ñ Valoración de diversas alternativas de representación y cálculo. Desempeños Ñ No necesario. Productos Ñ Reporte del desarrollo del experimento y conclusión a las preguntas como resultado del análisis de los cálculos. Criterios de calidad i. Realización de las acciones y cálculos solicitados en cada pregunta. ii. Cálculos adecuados en los casos necesarios. iii. Creatividad en los tres ejemplos de estudio propuestos. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio por equipo. } Equipos de cinco personas. } Exponer los resultados.
CAPÍTULO 4
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195
Un nuevo paseo podrá aportar más información; completa la tabla TABLA 4.4 Continuación del experimento de la actividad 4.2.2 f (x Tiempo Velocidad 1. x ( min) f ( x ) 2. ¿Qué crees que representa? 0 Partiendo de los datos que tienes se podrá calcular la expresión 1 2 f ′ f ′( x + x ) − f ′( x ) df ′( x ) f ″( x ) = ≈ = 3 dx
x
x
f (x respecto del tiempo; esa es una magnitud física muy conocida que llamamos aceleración. ¿La reconoces? x y la última columna. 3. qué? 4. ¿Es correcta la forma que empleaste para calcular aproximada Traza una curva a mano alzada que a ti te interese y calcula su 5. das de manera tabular? 6. TABLA 4.5
4 5 6 7 8 9
Cálculo de la aceleración a partir de la velocidad
Tiempo
Velocidad
x ( min)
f ( x )
Velocidad
x
0 1 2 3
1 1 1 1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
f ( x x )
Tiempo
f ′( x + ∆ x ) − f ′( x ) ∆ x
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
7.
una u otra forma. 8. Aún no hemos estudiado las expresiones al que sean importantes en este tipo de situaciones, y qué haces si no cuentas con esas expresiones? 9. tes con la expresión algebraica del fenómeno? Da tres ejemplos. 10. 11. equivalentes? ¿Por qué? tienes dudas apóyate con tu facilitador.
Acercamiento al crecimiento y la concavidad
ACTIVIDAD 4.2.4 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés en la localización de un fenómeno matemático en los objetos reales. Ñ Gusto por el análisis como base de la generalización. Desempeños Ñ No necesario. Productos Ñ Respuesta a las preguntas como resultado del análisis de la gráfica del fenómeno y creación de conjeturas mediante nuevas situaciones. Criterios de calidad i. Respuesta correcta a las 10 preguntas. ii. Interpretación correcta de la información vertida en la tabla 4.6. iii. Redacción adecuada de las definiciones y conjeturas propuestas. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
Resulta natural y simple reconocer cuando en tu caminar comienzas a subir una cuesta, o cuando la estás bajando, y de acuerdo con los hechos que Sugerencias } Producto obligatorio en equipo. } Equipos de tres personas. } Disponer tiempo en la clase para que los equipos enuncien diente en la recta tangente. También podrás decir sus definiciones y conjeturas. si en un terreno se acumularía el agua de lluvia o, por el contrario, escurriría fuera de ese lugar. ciones al trazar una curva; pero cuando solo tienes la expresión de la función, ¿podrás localizarlos sin trazar la curva? ¡Aquí lo aprenderemos!
Actividad 4.2.4 la derivada y que corresponden con la orientación de las luces del camión; estas zonas se asocian al crecimiento y al decrecimiento en la función. Ü Los puntos en que la derivada es cero o donde ocurren discon
CAPÍTULO 4
FIGURA 4.14
TABLA 4.6
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Recorrido de un camión en un camino entre cumbres.
Crecimiento, decrecimiento y puntos estacionarios (máximos o mínimos) en una gráfica
Punto
Intervalo
a
Signo de la derivada
Comportamiento
Creciente
0
Estacionario –mínimo–
(a, b) b ( b, c ) c (c , d ) d (d , e) e
dentro de los cuales el comportamiento de la derivada tiene signo creciente o decreciente. Los puntos en que la derivada es cero o donde ocurren discon los dentro de los cuales el comportamiento de la derivada tiene es creciente o decreciente. 1. ¿Qué signo mantiene la derivada en una zona donde es creciente? 2. ¿Qué signo mantiene la derivada en una zona donde es decreciente? Los valores que toma la función en los límites de los intervalos se denominan “extremos locales” de la función. Los extremos son de dos tipos: máximos o mínimos, como en los puntos b y c 3. 4. 5. guros de que ahí existe un extremo? Analiza con detenimiento:
197
198
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
c
a b
FIGURA 4.15
d
e
Zonas en que el camión baja, sube o se mantiene horizontal.
¿qué otra condición debe cubrir la derivada en la vecindad del punto? 6. ACTIVIDAD 4.2.5 máximos y ningún mínimo, ¿puede ser esto E VALUACIÓN POR PRODUCTO . posible? ¿Por qué? Actitudes Ñ Interés en la localización de un fenómeno matemático en los 7. objetos reales. localizaron tres puntos en que la derivada es Ñ Gusto por el análisis como base de la generalización. cero y ninguno resultó ser extremo. ¿Es esto posible? ¿Por qué? Desempeños Ñ No necesario. 8. mos y los mínimos siempre están intercala- Productos Ñ Respuesta a las preguntas como resultado del análisis del exle preguntó que si la función es discontinua, perimento y de la gráfica del fenómeno, así como creación de conjeturas mediante la observación de nuevas situaciones. dió que sí. ¿Tiene razón? ¿Por qué? Criterios de calidad 9. ¿Qué puede ocurrir con los valores extremos i. Respuesta correcta a las 11 preguntas. cuando una función tiene “picos”? ii. Interpretación correcta de la información vertida en la tabla 4.7. 10. ¿Los picos también limitan los intervalos en iii. Uso de gráficas adicionales a la presentada para verificar los que la derivada conserva el signo? la “generalización” de las afirmaciones. iv. Redacción adecuada de las conjeturas. si tienes dudas apóyate en tu facilitador. Características del producto
Actividad 4.2.5 ocurrir tres casos: a Tendrás que empujar ambos extremos del cartón “hacia arriba” para ajustarlo a la curva, como en el caso de elegir el interior de una copa.
} } } }
Extensión: libre. Individual ® Equipo ® Fecha de entrega : Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias } Producto obligatorio en equipo. } Equipos de tres personas. } Evaluación de las respuestas por pares. } Disponer tiempo en la clase para que los equipos presenten sus análisis sobre gráficas adicionales continuas y discontinuas.
CAPÍTULO 4
w
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b Ambos extremos se empujan “hacia abajo” para ajustarse a la
curva; esto ocurrirá, por ejemplo, si tratas de ajustarlo al exterior de una esfera. c Un extremo se empuja “hacia abajo” y otro “hacia arriba”, plástico. En el primer caso decimos que la curva formada por el cartón es “cóncava hacia arriba”, ya que es la dirección a la que empujaste los extremos. De igual forma, si empujaste ambos extremos hacia abajo tendrás una curva “cóncava hacia abajo tercer caso, al punto en que ocurre eso se le denomina “ punto de conserva los líquidos, en la segunda escurre para ambos lados y 1. Al ir deformando el cartón poco a poco los extremos continuaban rectos, indicando la tangente al nuevo punto. ¿Es cierto esto? Entre dos puntos relativamente cercanos, ¿cambió la derivada? 2. La derivada sirvió para medir el cambio de la función. ¿Qué nos ayuda a medir el cambio de la derivada? 3. ¿La variación de la derivada tiene que ver con la “curvatura” vada tiene que ver con la segunda derivada? ¿La segunda derivada atiene que ver con la curvatura de la función? 4. rivada y la segunda derivada. 5. 6. ocurre el máximo? h
c
j
g a
f b
FIGURA 4.16
Comportamiento de la curva y la segunda derivada.
d
i
e
200
w
TABLA 4.7
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Tabulación del comportamiento de la curva y la segunda derivada
Punto
Intervalo
Signo de la 2da. derivada
Comportamiento
Cóncava hacia abajo
0
El extremo visible cóncavo hacia arriba
a (a, f ) f (f , g) g ( g, h) h ( h, i ) i ( i , j ) j ( j , e) e
7. 8.
ocurre un mínimo? 9. ¿Qué ocurre con la primera derivada en los puntos de in 10. ¿Qué ocurre con la segunda derivada en los puntos de in 11. este ejemplo. ta a tu facilitador.
Aplicación 4.2.2 Una de las magnitudes físicas más importantes que se asocia a la de los cuerpos. forma relativamente simple: F ma. Pero hay que hacer varias aclaraciones sobre la segunda ley de Ü F ma - FIGURA 4.17 La segunda ley de Newton tantes, ya que por diversas causas la aceleración varía con el en acción.
CAPÍTULO 4
w
201
tiempo y, desde luego, depende de la función APLICACIÓN 4.2.2 CTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR largo del tiempo. Por tal motivo, será más A CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR . conveniente expresar la ley de la siguiente manera: F ms(t s(t - Actitudes Ñ Interés por el análisis de fenómenos cotidianos estudiados ción en todo instante y a s(t por la física. Ü Adicionalmente, ¿la masa es una constante? En muchas situaciones sí, pero no en esta, ya Desempeños Ñ Manifestación de la comprensión del significado de la segunque al consumirse el combustible automátida ley de Newton, pero sobre todo de las simplificaciones de camente varía la masa del conjunto “cohetelas que es objeto para su aprendizaje en los estudios previos. transbordador”; luego, m es una función de t, donde F es un producto de funciones, y la Productos segunda ley deberá adquirir la forma F (t Ñ No necesario. m(t s (t F ( mv, donde v es la Criterios de calidad velocidad y a v(t v s(t i. Verbalización de preguntas adecuadas respecto a las imÜ F y a son magnitudes vectoriaplicaciones de los cambios presentados a la segunda ley les; es decir, además de su magnitud y sentide Newton. do tienen una dirección, de donde la ecuación ii. Creatividad en la búsqueda de situaciones ejemplo. implica que F debe “empujar hacia arriba” iii. Participación en clase. iv. Interpretación adecuada de la expresión de la única prepara que la “aceleración sea hacia arriba”. gunta. Ü F que el conjunto cohete-transbordador sola- Características del producto } Extensión: libre. mente soporta el empuje de “chorro”. Adi} Individual ® Equipo ® cionalmente, el peso del conjunto producido } Fecha de entrega : por la gravedad es una fuerza que actúa en } Obligatorio ® Optativo ® todo momento, pero también lo hace el vien - Sugerencias ferentes capas de aire conforme se asciende, } Producto optativo individual. etc., por lo que la resultante de esas fuerzas } Promover la investigación extraclase del tema de leyes de es la que denotamos por F y tiene la dirección Newton y lo que motivó a este científico para su descubrimiento. de la aceleración. Pero si la fuerza lateral al } Promover la investigación sobre historia de las matemáticas y la física. esas fuerzas no perjudiquen el lanzamiento? rección vertical? ¿Por qué el tanque de combustible es eliminado después de cierto momento? ¿A partir de entonces qué mueve al trasbordador? ¿Qué aceleración tendrá después de esos instantes? ¿Qué tienen que ver en esto la primera y la ter 1. Explica qué crees que
representa esta ecuación:
n
∑ F (t ) = i= 1
i
d 2 x(t ) m(t ) dt 2
litador.
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
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202
COMPETENCIAS
Aplicación 4.2.3
APLICACIÓN 4.2.3
- ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR lo de análisis tienen cualidades muy importantes CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR . que se visualizan de manera simple, pero pueden Actitudes tener aplicaciones muy importantes por las conÑ Interés por generalización de conceptos sobre funciones conclusiones que implican. tinuas, observables a “simple vista” en sus gráficas. 1. a, f (a b, f (b Desempeños más f (a f (b Ñ Correcta determinación en las gráficas de las características función tiene al menos una raíz entre a y b? citadas en las preguntas y adecuada conclusión del análisis. Productos 2. a, f (a b, f (b Ñ No necesario. más f (a f (b ción no tiene raíces entre a y b? ¿O cuántas Criterios de calidad puede tener? i. Adecuada verbalización de las conjeturas que implica la visualización de cada gráfica. 3. f (a ii. Creatividad en la búsqueda de aplicaciones. 0 y f (b Características del producto tiene al menos un punto en que f (x 0? } Extensión: libre. 4. a, f (a b, f (b } Individual ® Equipo ® des calcular la pendiente “m” de la recta que } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® nos un punto entre a y b tal que f (x m ? ¿A qué caso corresponde a b c d Sugerencias } Producto optativo individual. maciones? litador. mm
f ( x )
f ( x ) c a
c
b
a
b
a)
c )
f ( x ) f ( x )
a
c
b
a
b) FIGURA 4.18
Teoremas sobre funciones continuas.
c
b
d )
CAPÍTULO 4
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203
Aplicación 4.2.4 La derivada está presente en todas las acciones de la vida funciones. Por ejemplo, visita http://www.pemex.com/ri, página de Petróleos Mexicanos; en ella podrás localizar el menú Inversionistas>publicaciones dando clic en el “Anuario estadísti http://www.pemex.com/ri/Publicaciones/ en donde también podrás ver los datos exactos que resume la grá 1. lo? 2. 3. 4. ¿Por qué crees que no se mantiene siempre el mismo precio de los productos? 5. lada, en pesos, de todos los productos que se reportan en la de funciones entre cinco (cinco funciones, una por cada tipo de f 1(t f (t f (t respectivamente, se tendrá: T (t f 1 (t f (t … f (t T (t 6.
36 000 30 000 28 000 24 000 20 000 16 000 12 000 8 000 4 000 2004
2005
Acrilonitrilo
FIGURA 4.19
com/ri
2006
2007
Amoniaco
2008
2009
Estireno
2010
2011
2012
Polietileno ba ja densidad
2013
http ://www.pemex.com/ri/Publicaciones/Anuario%20 Estadistico%20Archivos/2014_ae_00_vc_e.pdf
APLICACIÓN 4.2.4 ACTIVIDAD PARA MEDITAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por el análisis de fenómenos cotidianos, vertida en información oficial. Desempeños Ñ Localización de aplicaciones de la derivada y su interpretación correcta. Uso del lenguaje matemático para explicar la información encontrada. Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad i. Verbalización adecuada de conclusiones a las observaciones sobre gráficas de fenómenos reales. ii. Creatividad en la estructuración de conjeturas sobre propiedades de la derivada. iii. Participación en clase. iv. Planteamiento de preguntas adecuadas respecto del tema.
Precio promedio al público de productos quí micos seleccionados pesos por tonelada
0
http ://www.pemex.com/ri
2014
Cloruro de vinilo
Precio promedio al público de productos de Pemex. http://www.pemex.
Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
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w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
7. ¿Qué otra
información interesante y con relación a la derivada puedes observar ahí? litador.
Derivadas sucesivas y de orden superior
f (x f (x f (x da derivada de f respecto de x , o derivada de segundo orden de f . n-ésima derivada de f (x f (n(x [ f (n (x o bien en notación diferencial: d n f dx n
=
d d n − 1 f dx dx n − 1
que se lee “derivada de f de orden n respecto de x , o simplemente, según sea el caso: Ü f : primera derivada de f. Ü f : segunda derivada de f. Ü f : tercera derivada de f. Ü f iv o f : cuarta derivada de f, etcétera. f es n-diferenciable si existe su derivada n-ésima en el punto o intervalo en cuestión.
4.3 FOCALIZACIÓN.
DERIVADA LATERAL
ñ
Hasta aquí se ha estudiado que la derivada es un límite, y se sabe que el límite lateral se aplica principalmente en aquellos casos en que la función presenta discontinuidades o en los extremos del dominio, puntos a los cuales no es posible acercarse por ambas direcciones, por lo que resulta claro que es el mismo caso para la derivada.
Actividad 4.3.1 f ( x + h) − f (x ) f ′( x ) = lím n→ 0
h
Ô Sugerencias } Producto optativo individual. } Promover la investigación sobre la productividad de otras materias primas diferentes a derivados del petróleo en México. } Interpretar las gráficas, y elaborarlas si no existen.
CAPÍTULO 4
En este límite, la dirección de acercamiento dependerá simplemente de si h es positiva o negativa, y las derivadas por la izquierda y la derecha serán respectivamente f −′ ( x ) = lím− h→ 0
f +′ ( x ) =
f (x + h) − f (x) h
f (x + h) − f (x) lím+ h h→ 0
Pero, ¿en dónde podemos localizar esas razones de cambio? Ü
este instante sin duda presenta una razón de cambio respecto del tiempo, pero, ¡la función no existe después de este instante! Luego, no se puede calcular f (x sí f (x
Ü Muchos procesos tienen un punto de inicio.
Antes de este simplemente no existían, así que su velocidad de crecimiento al inicio no se puede calcular si la buscas como f (x sí como f (x
w
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ACTIVIDAD 4.3.1 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Dedicación en la localización de un fenómeno matemático en situaciones reales. Desempeños Ñ No necesario. Productos Ñ Propuesta en clase de las situaciones ejemplo en las que se supone que existe la aplicación de derivadas laterales. Criterios de calidad i. Creatividad en la búsqueda y análisis de las situaciones ejemplo. ii. Interpretación adecuada de los conceptos. iii. Verbalización correcta en el uso del lenguaje matemático para describir las situaciones ejemplo. iv. Respeto por las ideas de los demás. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
¿Y qué pasará en aquellos puntos con dis f x Sugerencias existe porque un requisito para su existencia } Producto optativo individual. será la continuidad en el punto, pero es posi} Discutir las situaciones ejemplo en clase. ble que f (x f (x ricamente sean iguales, ¡cuidado!, porque no f (x Ü Aquí las tangentes trazadas son paralelas, de donde numéricamente f (x f (x f (x no existe porque no corresponden
con la misma recta. Es decir, la derivada exige la continuidad en el punto, por lo que la derivada no existe en las discontinuidades de una función.
1. Propón
a tus compañeros al menos cinco casos de situacioIGURA 4.20 Discontinuidad de salto y nes reales en donde creas que existe este tipo de fenómeno. Es Frectas tangentes en cada extremo en un como en muchas ofertas del mercado, en que el precio varía caso en que son paralelas. dependiendo de lo que compres; por ejemplo, si te dicen: “si rrar lo más posible?
pide apoyo a tu facilitador.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
4.4 TEOREMAS BÁSICOS SOBRE DERIVADA
ñ
Para el cálculo de derivadas se han demostrado teoremas que dan lugar a expresiones que permiten emplear “fórmulas de derivación”, al ya no ser necesario cubrir todos los pasos para derivar T4.1
c 0, en donde c es una constante.
T4.2
(xn nxn1 , en donde n es un entero diferente de cero; en caso de n negativo, x no debe ser cero.
Corolario 4.2:
x 1.
u y v representan funciones de x: T4.3
(cu cu
T4.4
(u v u v
T4.5 T4.6
(uv uv uv u ′ u′ v − uv′ v = v
Actividad 4.4.1 cular algebraicamente la expresión de la derivada, en muchas oca y cuál en seguida?, ¿cómo se puede estar seguro de que hemos elegido el orden adecuado? El conjunto de operadores que contiene una expresión por derivarse siempre es bien ordenado, y esto lo puedes detectar de la siguiente manera: a
tengo aquí, cuál será la última operación que podré evaluar? primer teorema de derivación que deberás aplicar! Y a ese operador lo llamaremos operador central o raíz. Por ejemplo, si tienes (x 3xx tendrías que conocer el resultado de la suma, por lo que la última operación que puedes resolver es precisamente el cociente, por lo que si se tratara de derivar, el teorema de derivada que
ACTIVIDAD 4.4.1 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Adaptación ante nuevas formas de representación. Ñ Solidaridad manifestada auxiliando a sus compañeros con menores conocimientos. Desempeños Ñ Se infieren en el producto. Productos Ñ Ensayo con la respuesta a las nueve preguntas, y en particular resolución de las cinco expresiones solicitadas en el cuestionamiento 9. Criterios de calidad i. Creatividad en la búsqueda y análisis de las expresiones ejemplo. ii. Interpretación adecuada del árbol de la expresión. iii. Aplicación correcta de los teoremas sobre derivadas. iv. Respeto por las ideas de los demás. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipo. } Equipos de tres personas. } Discutir situaciones ejemplo en clase.
CAPÍTULO 4
En el caso de “empates”, como en 3xx x indiferente el orden en que resuelvas los productos, observa x se sugiere tomar u 3xx v (x sobre productos. b El operador raíz tendrá un conjunto de expresiones “hijas” que a su vez deberán derivarse; en el primer ejemplo son u (x 3x v x expresiones hijas y verás que también tienen su operador raíz y se les puede aplicar el mismo criterio. Por ejemplo, si usamos Dx, o simplemente D si es obvio que derivas respecto de x
u vDu − uDv = v v
D
Es importante detectar u y v, y también debes estar seguro de que es ese el teorema que habrás de usar. Además, revisa todos los teoremas de derivación y verás que siempre te piden derivar las expresiones hijas u y v, ¿o no? de la expresión, en el que cada operador ve a sus expresiones “hi jas” como ramas de un árbol. Por ejemplo, considera la siguiente expresión: 3x 4 + 5x x( x + 1) f ( x ) = 3x 5 − x 2 + 1 Ü
y ve cómo se le asocia un teorema a cada operador: cuando pasas el operador por primera vez, ¡llamas a un teorema! Ü tos para estructurar la expresión completa de la derivada! Ü corrido y se encuentra como si tomaras al árbol con la mano izquierda y lo recorrieras comenzando por el lado izquierdo y deslizando el dedo de la mano derecha sobre todas las ramas sin interrumpir el recorrido. 1. ¿Por qué el operador central en la expresión es “/”? 2. El tercer operador que encuentras en el recorrido es una multiplicación. ¿Por qué se eligió el teorema Dcu cDu y no D(uv uDv vDu sión? 3. 4. ¿Es cierto que la primera vez que pasas por “*” en x(x llamas a D(uv uDv vDu, luego del hijo izquierdo obtienes
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208
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
D(u /v )
D(u + v )
Dcu
Dcu
* Dun
Dx 1
x
^
*
5
4
Dcu
D(uv )
^
x Dx 1 D(uv )
*
+
3 Dun
Dx 1
Dun
Dun
^
^
5
x
D(u v )
1 Dc 0 2
x Dx 1
*
1 /2
+
x Dx 1 x Dx 1
FIGURA 4.21
D(u v )
+
*
3
/
D(u v )
f x
x
x
1 Dx 0
Árbol de una expresión algebraica y su recorrido al aplicar los teoremas de derivada.
Du Dx 1, mientras del derecho obtienes D(x 1, por lo que al sustituir y completar la expresión D(uv x ( x
1? 5. Analiza la primera pasada por ““, y también el resultado que se estructura en la última pasada. 6. x x operadores? 7. Traza el árbol para 3x x3 y compáralo con 3( x x3 3(x x3 las expresiones? 8. 9. Propón cinco expresiones, analiza sus árboles y envía el reto a tus compañeros en la red o en la clase. apóyate en tu facilitador.
Actividad 4.4.2 La ventaja de representar a la derivada como cociente de diferenciales permite que se pueda descomponer en sus diferenciales y aplicar a cada diferencial las propiedades de los números reales, ya
Jerarquía de operadores en una expresión. CUADRO 4.1
Se dice que un operador 1 tiene más jerarquía que otro operador 2 si el operador 1 se tiene que resolver antes que el 2 para completar la expresión. Por ejemplo 2 x 1, obliga a que se resuelva antes el producto 2 x y después la suma, por eso el operador producto es de más alta jerarquía que la suma. Observa cómo en 2( x 1) los paréntesis obligan a ejecutar inicialmente la suma. En particular, los argumentos de funciones tienen más alta jerarquía que la propia función, por ejemplo en cos x 2, primero se deberá calcular x 2, ya que si no se hace así es imposible poder calcular el coseno.
CAPÍTULO 4
Una de las primeras cosas interesantes que se vislumbran al representar a la derivada en términos de sus diferenciales es la siguiente: df f ′( x ) = dx
se puede localizar su inverso multiplicativo, por lo que dx 1 = df f ′( x )
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ACTIVIDAD 4.4.2 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés por aplicar procedimientos conocidos en situaciones novedosas. Ñ Flexibilidad para aplicar apoyo tecnológico. Desempeños Ñ Se infieren en el producto. Productos Ñ Tabla de hoja de cálculo, gráfica o tabulación manual de la aplicación del algoritmo, con el cual se muestre el resultado a la pregunta base de cuándo cerrar la salida del tanque.
te plausible y permite analizar la posibilidad de intercambiar los papeles de la variable depen- Criterios de calidad diente e independiente. i. Creatividad en la experimentación. ii. Uso de medios computacionales para dar respuesta a los Por ejemplo, analiza la siguiente situación: cuestionamientos. - iii. Redacción congruente de las conclusiones al problema. tros de una solución de sal en la que se mezclaiv. Respeto por las ideas de los demás.. Características del producto } Extensión : libre. mismo tiempo se agrega solución salina con una } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : velocidad, para que el tanque se mantenga con vo} Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipo. se desea que la solución que sale no tenga menos } Equipos de tres personas. } Ver la opción de trazo de pvi (problemas de valor inicial) en el rías la salida para evitar esa situación? apartado de ecuaciones diferenciales de WinPlot. 1. ¿Qué concentración de sal tiene la salida en } Ver la opción del trazo del campo de pendientes en el apartadeterminado momento? do de ecuaciones diferenciales de WinPlot. } Aplicar el procedimiento en MS Excel ©. ción en el que la cantidad de sal en el tanque varía en todo momento. 2. ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque al inicio? 3. tentar responder a la 1 es necesario entender la 3; así, si S es la cantidad de sal en el tanque en un determinado momento t: Ü La razón de cambio de la cantidad de sal razón de cambio de la entrada razón de cambio de la salida. ¿Por qué? Ü La expresión que lo representa es: ds kg de sal kg de sal l = 1 4 dt min l min
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
dS dt
= 4−
COMPETENCIAS
S
25
=
100 − S kg de sal 25 min
Ü función de S y no de t, como se podría esperar, ¿qué se hace?
Muy simple: “le damos vuelta” y se obtiene
25 = t ′(S ) 100 − S f (x ∆x f (x f (x∆x se podrá reescribir para este caso particular como t(S ∆S t(S t (S∆S o bien t(S ∆S t(S ∆S/(100 S Ü Inicia con la S tras t(S 0 min, ya que es el inicio del proceso, y como la concentración a la salida va bajando, ve disminuyendo S poco a poco con ∆S Ü ∆S ocurre con tu respuesta? ¿Qué valor para ∆S puedes sugerir como más apropiado? ¿Por qué? Ü ¿Tienes respuesta a las tres preguntas planteadas? Y sobre todo a la pregunta base: ¿en qué momento cerrarías la salida para por litro? Ü ¿Puedes proponer alguna otra alternativa de solución al problema? apóyate en tu facilitador. dt ds
=
Actividad 4.4.3 La concentración o proporción de los componentes en una mezcla es una relación muy importante en todos los fenómenos y no debe te experimento: Ü Toma una lata comercial de chiles y observa la etiqueta; tiene dos datos: peso ( P Pd al peso del contenido, mientras el segundo corresponde al contenido sin el vinagre (Pv un litro (V chiles (Pch Pz Pc Pe y en particular la cantidad de zanahorias, cebollas, vinagre y especias dependerá de la cantidad de chiles que se aplique.
ACTIVIDAD 4.4.3 E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO.
Actitudes Ñ Interés por aplicar los conceptos de derivada a problemas de razones. Ñ Flexibilidad para enfrentarse a situaciones novedosas. Desempeños Ñ Mostrar que las razones entre variables se pueden interpretar como derivadas.
CAPÍTULO 4
Ü -
nentes puedes conocer las siguientes relaciones: Ü P/V, V /Pch , Pch/Pz , Pz/Pc , Pc/Pd chiles tengan siempre el mismo sabor y calidad, ¿cómo deben comportarse estas relaciones? ¿Qué unidades tiene cada relación? Ü De la relación P/V se puede inferir que el peso total depende de la cantidad de vinagre, por lo que P es una función de V , esto es, P(V V (Pch Pch(Pz 1. d P , dV
dV , d Pch
d Pch , d Pz
d Pz d Pc
¿Qué unidades tiene cada derivada? 2. Debido a que los diferenciales son números reales, es posible realizar lo siguiente: d P dV d Pch d Pz dV d Pch d Pz d Pc
d P d Pc
¿Qué unidades tiene esa derivada? 3. Debido a la relación funcional establecida entre las variables, ¿es cierto que P(V ( Pch( Pz( Pc)))) P( Pc)? ¡Es una composición de funciones! 4. Debido a que la composición de funciones se comporta como un encadenamiento de estas y de la estructura de su derivada, na “regla de la cadena”. Ya que cada función depende de una única variable, resulta que esa variable es respecto de quién se habrá de derivar en cada caso; por tanto, dP dPc
= P ′(V ) V ′( Pch ) Pch (Pz Pz(Pc
clara y se te recomienda usarla. Finalmente, con los datos que tienes en la lata, si consideras ta será la cantidad de vinagre considerada? apóyate en tu facilitador.
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211
Ô Productos Ñ Resultado concreto: cantidad de cada componente al integrar 2 kg de cebolla a la preparación Criterios de calidad i. Correcta toma de datos. ii. Correcto cálculo de las razones entre componentes. iii. Resultado correcto de las cantidades finales. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto opcional individual. } Proponer casos de preparación de soluciones, donde las razones son continuas y no discretas.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Aplicación 4.4.1
APLICACIÓN 4.4.1
Un término muy común en el ámbito de las ciencias sociales y de la ingeniería es el de . Para muchos es una relación muy simple que se establece como el cociente entre los productos e
P I
ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por el análisis de conceptos de ingeniería. Ñ Gusto por la traducción de conceptos empíricos a lenguaje matemático. Desempeños Ñ Localización de aplicaciones de la derivada y su interpretación correcta. Ñ Uso del lenguaje matemático para explicar la información encontrada.
se observa así, es una expresión muy simple que parece esperar a que los procesos concluyan para observar cuánto se produjo y cuánto se gastó. Entre más grande sea el valor de e se tendrá mayor Productos Ñ No es necesario. Criterios de calidad Ü En los sistemas físicos no puedes obtener más i. Verbalización adecuada de conceptos viejos con palabras de lo que ingresa; luego, 0 e 1. nuevas. ii. Creatividad en la estructuración de conjeturas sobre proÜ En sistemas como los económicos (aunque es piedades de la derivada. ocurrir que e 1. Por ejemplo, si compras un iii. Participación en clase. iv. Planteamiento de preguntas adecuadas respecto del tema. e 1, en Características del producto este caso será absurdo que e 1. } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® En términos actuales el cociente P/I puede recibir } Fecha de entrega : diferentes nombres, pero no deja de ser en sus } Obligatorio ® Optativo ® do acerca del “ performance” típico de los comer- Sugerencias ciales de autos? ¿Qué quiere decir este término? } Producto optativo individual. } Promover la investigación sobre conceptos marginales. ya que depende del intervalo de tiempo en que se considere la comparación entre los insumos y los pro al tener e dP/dI , que corresponderá a una medida de la razón de variación de los productos a la variación de los ciencia está comprobada a cierta velocidad, altura y tipo de Adicionalmente, al observar la relación (combustible –c K K como función de c, K (c camente de la potencia obtenida del tren motriz (T FIGURA 4.22 ¿A qué te refieres cuando hablas de motor que entrega una potencia M - la eficiencia en un automóvil?
CAPÍTULO 4
tánea del motor se puede considerar como e M dM (cdc, mientras eT dT ( M dM cia en el recorrido respecto del tren motriz ek dK (T dT , o bien e
dK(c ) dc
e k eT e M
dK dT dM dT dM dc
Desde luego, no son los únicos factores que intervienen, pero se puede ver que en una relación productor-cliente, en la que el primero entrega y el segundo recibe, siempre existe una relación La regla de la cadena siempre está en acción. ra que e 1; luego, entre más larga sea la cadena vendedor-comprador más grande será e, porque cada vendedor incrementa el precio. Así, en el caso físico se tendrá que e e1 e e3 … en 1, mientras que en la venta e1 e e3 … en 1. ¿Podrás localizar otros ejemplos << como “mucho menor que”, a la vez que >> corresponde a “mucho mayor que”. facilitador.
Regla de la cadena
corresponde a la derivada de la composición de funciones: T4.7a) ( f g(x f ( g(x g(x Una forma equivalente y más común en notación de Leibniz es T4.7b)
dy dx
dy du du dx
Los siguientes teoremas ya incluyen la “regla de la cadena” para que su uso sea más general, donde u es comúnmente función de otra variable (por ejemplo, x T4.8
(un nun1u
T4.9
(ln u u/u
T4.10 (eu euu T4.11 (sen u cos uu T4.12 (cos u sen uu T4.13 (tan u sec u u
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
T4.14 (ctg u csc u u T4.15 (sec u sec u tan u u T4.16 (csc u csc u ctg u u Los siguientes son teoremas sobre derivadas de funciones trigonométricas inversas en el arco principal. La notación que se emplea es para la función inversa [no se debe confundir con los recíprocos (−1) 1 = csc x , que son formas un , donde n sen x = sen x diversa bibliografía se encuentra la notación equivalente arcsen u para sen1 u, arccos u para cos1 u, etcétera. u′
T4.17 (sen1 u
1 − u2
T4.18 (cos1 u T4.19 (tan1 u
1 − u2 u′
1 + u2
T4.20 (ctg1 u T4.21 (sec1 u
u′
u′ 1 + u2 u′
u u2
T4.22 (csc1 u
−1
u′ u u2
−1
4.5 FOCALIZACIÓN. FUNCIONES IMPLÍCITAS
ñ
La representación algebraica de las funciones invita a que en la regla de correspondencia se exprese la variable dependiente directamente en términos de la variable independiente, lo cual hemos expresado de manera general como f ( x “una expresión en términos de x f ( x con y f ( x existentes entre las variables x y y, sin preocuparnos cuál depende de cuál, y después decidir a cuál consideraremos independiente y a cuál dependiente. Bajo esta consideración, de forma general podemos ver la expresión representativa del problema como F (x, y 0 e intentar llevarla a la forma y f ( x x g (y -
CAPÍTULO 4
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215
presiones de la forma F (x, y 0 se denominan funciones implícitas, y no se aclara si x depende depende de y o, por el contrario, y de x , por ción de cuál y en qué dominio ocurre esto, o cuál te conviene según el problema. x es explícita para y, mientras ción es explícita para ella. Así, y f ( x x g (y es explícita para x .
Actividad 4.5.1 4.5.1 fenómeno o problema, no debe preocuparte a cuál debes expresar como variable dependiente o independiente, ya que esa elección quedará sujeta a las características de resolución que apliques. Por ejemplo: Ü nen en el diseño y cómo se relacionan? De la geometría conoces la expresión para el volumen que resulta ser V h( πr 2 vienen son la altura de la lata ( h r que se ha obtenido es implícita, y decidirás explicitar para alguna variable o no hacerlo, de acuerdo con la estrategia que sigas en la resolución. Al colocar el valor de V , ¿en qué unidades lo vas a colocar? ¿Qué unidades deberán tener h y r ? Ü V
decidir explicitar para h, de donde h(r ) 2 , y por π drás encontrar fácilmente h(r
1. Podrías
2. r , resultará: r( h) puede calcular fácilmente r (h
V , de donde se h π
3. Pero
la derivada también puede ser una función implícita, y podrías haber elegido el primer caso y luego calcular su recíproco: dr 1 1 r ′( h ) = = = h′(r ) dh(r ) dh dr
Pero aquí ocurre algo interesante: r (h que depende de r ! ¿Este resultado es equivalente al de la segunda opción? ¿Qué pasa si sustituyes r despejando despejando de la ecuación de V original? original? 4. h(r
ACTIVIDAD 4.5.1 VALUACIÓN UACIÓN POR POR DESEMPEÑO DESEMPEÑO. E VAL
Actitudes Ñ Flexibilidad para enfrentarse a diferentes formas equivalentes de desarrollar expresiones. Ñ Interés en situaciones novedosas. Desempeños Ñ Desarrollar las expresiones que muestren la equivalencia entre los diversos planteamientos para la derivada empleando funciones implícitas. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Aplicar adecuadamente cada una de las alternativas propuestas. ii. Mostrar la verificación de que las diversas variantes son equivalentes. iii. Aplicación correcta de los teoremas de derivada en las funciones implícitas Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto opcional en equipo. } Equipos de tres personas. } Realizar algunas de las diferentes verificaciones en clase. } Proponer otros ejemplos de expresiones que provienen de situaciones conocidas.
216
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
quede en función de r ? ¿Es equivalente a la derivada obtenida en las diferentes opciones? 5. También podrías encontrar la derivada sin explicitar para ninguna y derivar respecto de h: d (V dh
= πhr 2 ), 0 = π((1)r 2 + h2rr ′ ) ∴ r ′( h) =
−
r 2h
Aquí se observa que al derivar respecto de h se da por hecho que r es es función de ella, por lo que h( πr 2 ducto motivo por el cual se aplica el teorema D(uv Du, como indica la regla de la cadena. rivar r 2 se emplea D(un Du Finalmente, se despeja (con r derivada es una función implícita de ambas variables. ¡Pero es 6. plicitar para ninguna variable, pero ahora suponer que h es función de r y y derivar respecto de r . ¿Qué expresión implícita resulta en esta ocasión? ¿Es equivalente a los l os anteriores casos? resultado natural del análisis de un problema dispones de variadas formas para encontrar la derivada. ¡Elige la que más te convenga! análisis, y sin duda encontrarás la que resulte más fácil de manejar manejar.. Úsala. apóyate en tu facilitador facilitador..
Derivación implícita
y f (x y respecto de x, mientras que F (a (ax, y 0 , aun sabiendo que y sea una función de x, se dice que está en forma implícita. La ventaja de la forma implícita es que permite estudiar la mejor conveniencia de emplear y f (x x g(y variable adecuada. F (x, y 0 se deriva, se dice que se derivó de manera implícita, y deben tomarse las precauciones adecuadas; por ejemplo: Ü y es una función de x:
El término xy xy y xy. } El término x/y x/y (y xyy . }
CAPÍTULO 4
El término y/x también es un cociente, pero ahora ( y/x (xy yx. Ü x es una función de y, las diferentes situaciones arrojan ahora (xy xy x }
x x′ y − x y = y y x − yx′ x = y Por tanto, se observa que la derivación implícita de una función es a su vez una función implícita, pero DxF (x, y G(x, y, y 0, donde G es una nueva expresión desde la cual se podría estudiar en cada caso si es posible “despejar” y g(x, y equivalente a la que se produce desde la derivación explícita, y se puede comprobar en caso de que se sustituya y f (x y g(x, f (x f (x.
Derivadas laterales
ciones propias de la continuidad de funciones existen puntos a los cuales no se tiene acceso desde ambas direcciones. Analizaremos qué ocurre en estos casos bajo el requisito obligado de la continuidad de la función para que exista la diferenciabilidad. a, b no son alcanzables desde ambas direcciones en el límite, y se sabe que por la continuidad en un punto interior c del intervalo lím f ( x ) = f (c ) x →c
mientras que para los extremos del intervalo lím f ( x ) = f (a )
x→ a +
lím f (x ) = f (b )
x→b −
La derivada existe para a y b porque en ellos existe la continuidad; Ü Derivada por la izquierda en x : f (x lím− h→0
f ( x + h ) − f ( x ) h
Ü Derivada por la derecha en x : f (x lím+ h→0
f ( x + h ) − f ( x ) h
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Debido al teorema de existencia del límite resulta directo que en un punto intermedio del intervalo se satisface f (x f (x f (x De esta forma una función será diferenciable en el extremo del intervalo si es continua en él y además la derivada lateral correspondiente existe.
Aplicación 4.5.1 4.5.1 impasible el paso del tiempo. Al visitar el sitio http://www.tour su estructura. La torre está compuesta básicamente de columnas y vigas. La experiencia nos muestra que una columna se deforma basta con que recuerdes cómo aplastas una lata de aluminio al pisarla con fuerza. FL , en donEA de δ es la deformación, L la longitud original de la columna, F la l a carga aplicada, A el área de su sección y E el módulo de elasticidad
δ
del material. Pero, ¿qué pasa cuando la columna es tan alta que su propio peso la deforma? longitud L y sección de área A nitesimal de altura dx ubicada en un punto situado a una altura x A, a partir de la base sufre la carga por el propio peso W γ(L x A A es el volumen donde γ L x A de la parte cuadriculada por encima de x. Luego, dδ será la deformación sufrida por la pequeña columna de altura dx. Al sustituir dδ
=
Fx EA
=
dx γ(L − x )A dx EA
=
γ(L − x ) dx E
Luego, δ(x c(L x
Donde c es el cociente de las dos constantes. 1. ¿Qué unidades deben tener todos los elementos de la expresión? 2. ¿Qué valor tiene el módulo de elasticidad (también llamado 3. ¿Qué representa δ(x 4. ¿Qué será δ(x 5. ¿Puedes recuperar δ(x
La torre Eiffel impasible ante el paso del tiempo. FIGURA 4.23
http //www.tour-eiffel.fr/teiffel/uk/ ://www.tour-eiffel.fr/teiffel/uk/
APLICACIÓN 4.5.1 REFLEXIONAR Y Y ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR . Y FACILITADOR
Actitudes Ñ Interés por el análisis de conceptos de ingeniería. Ñ Tr Traducción aducción de conceptos empíricos a lenguaje matemático. Desempeños Ñ Debatir las conclusiones generales obtenidas de las respuestas y análisis a los 12 cuestionamientos sobre la torre Eiffel. Debatir sobre el grave caso sugerido en la pregunta 13. Productos Ñ No es necesario.
CAPÍTULO 4
6. ¿Qué será δ(L
qué δ cL δ(x cada vez menor? 8. ¿Por qué δ(L 0? 9. δ(x δ(x 10. F a a la columna, ¿cómo cambia el modelo que ha resultado? Realiza ese desarrollo. 11. lumna cambia según la altura de x mentos estructurales de la torre Eiffel son de la misma sección? ¿Por qué? 12. de la torre Eiffel? Esta columna podrá fallar por dos cosas: por compresión al no soportar el esfuerzo en la base (s F / A mación al respecto y comenta cuál crees que ocurra primero y por qué. La temperatura es un factor que disminuye de manera conside embargo, si le aplicas cargas laterales, pandeándola al menos ligeramente, la falla por pandeo se acelera. 13. litador. 7. ¿Por
Actividad 4.5.2
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Ô Criterios de calidad i. Verbalización adecuada de sus conclusiones. ii. Creatividad en la estructuración de conjeturas sobre las respuestas calculadas. iii. Participación en clase. preguntas adeiv. Planteamiento de preguntas cuadas respecto del tema. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Equipos de cinco personas. } Promover la investigación sobre la deformación.
F
d δ
L dx Discute con tus compañeros cada uno de los siguientes cinco tópit ópicos y prepara un ensayo sobre estos y las características generales facilitador. 1. La no diferenciabilidad de una función tiene consecuencias in A 2. rán las derivadas laterales? ¿En dónde se aplican? Discute acerca de su uso y cita casos reales en que esto se debe aplicar. 3. Observa algún fenómeno y, sin conocer su comportamiento, FIGURA 4.24 Deformación en una mide su variación unitaria (variación de la variable dependien- columna bajo su propio peso y una fuerza externa. esta información, ¿puedes indicar cómo se comporta el fenómeno?
x
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
4.
“suavización” de los datos de una tabla, 5. f ( x x x trasforma en | f ( x ral con su derivada? ¿Y si se transformara la x 1/| f ( x x x f 1 recíproca 1/ f ( x f 1 ( x x ( x derivadas obtenidas. si tienes dudas apóyate en tu facilitador.
Ejercicios 4.1 4.1 f (x x 3, calcular f 4.1.1
Solución
f ′( x ) = lím h→0
f ′( 2 ) = lím
f ( x + h) − f (x) h
(2 + h )2 − 3 − ( 2 2 − 3) h
h→ 0
lím
(2 2 + 4h + h 2 ) − (2 2 ) h
h→0
4.1.2
=
= lím ( 4 + h) = 4 h→0
lím x→0
sen x x
= 1 , calcular
π ′ sen x . 3
ACTIVIDAD 4.5.2 VALUACIÓN UACIÓN POR POR PRODUCTO PRODUCTO E VAL
O POR POR DESEMPEÑO DESEMPEÑO.
Actitudes Ñ Interés por la síntesis de gran cantidad de información. Ñ Gusto por el debate de las conjeturas construidas en el proceso de esta unidad. Ñ Puntualidad y limpieza en la entrega. Desempeños Ñ Observable en el producto. Productos Ñ Ensayo que cubra los requerimientos solicitados en cada una de las cinco temáticas señaladas. Criterios de calidad i. Cobertura de las cinco cinco temáticas propuestas. ii. Respuesta a los cuestionamientos inmersos en cada temática. iii. Aplicación correcta del lenguaje matemático en sus explicaciones. iv. Uso de gráficas, mapas conceptuales o multimedios para apoyar sus conclusiones y ejemplos. v. Citas de fuentes de consulta. vi. Inclusión de conclusiones generales. vii. Limpieza y puntualidad en la entrega. Características del producto } Extensión: cinco cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipo. } Equipos de tres personas. } Publicar el mejor ensayo (o los mejores) en la página web institucional. } Publicar todos los ensayos en un blog del grupo.
Solución
x/x existe una discontinuidad removible en x 0 (un hoyo imperceptisen x = 1. que lím x→ 0
x
sen
π ′ sen ( π( x + h )/3) − sen ( πx/3) = x lím 3 h→0 h
Aplicando la identidad trigonométrica para sen (x y
EJERCICIOS 4.1 ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y Y GRUPAL GRUPAL .
Actitudes Ñ Tr Trabajo abajo en equipo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético.
CAPÍTULO 4
sen ( πx /3 ) cos ( πh /3 ) + cos ( πx /3 ) sen ( πh /3 ) − sen ( πx /3 ) = lím h→ 0 h cos ( πx /3 ) − 1 = sen ( πx /3 ) lím h→ 0 h sen ( πh /3 ) + cos ( πx /3 ) lím h→ 0 h
cos ( πh/3) − 1 cos ( πh/3) + 1 cos ( πh/3) + 1 h →0 h sen ( πh/3) + cos ( πx/3)( π/3) lím h→ 0 ( πh/3)
= sen ( πx/3) lím
cos2 ( πh /3) − 1 = sen ( πx/3) lím + ( π/3) cos ( πx /3) h→0 h( cos ( πh/ 3) + 1) −sen 2 ( πh/3) = sen ( πx/3) lím + ( π/3) cos ( πx/3) h→0 h( cos ( πh/ 3) + 1) sen ( πh/3) sen ( πh/3) = −sen ( πx/3) lím lím h →0 h→ 0 ( cos ( πh /3) + 1) h + ( π/3) cos ( πx/3) sen ( πh/3) sen ( πh/3) = −( π/3) sen ( πx/3) lím lím h →0 ( πh/3) h→0 (cos ( πh/3) + 1) + ( π/3) cos ( πx/3) sen ( πh/3) sen ( πh/3) = 1, lím = 0, se conDebido a que lím h→0 h→0 ( cos ( πh /3) + 1) h π / 3 cluye que π ′ sen 3 x = ( π/3)cos ( πx/3) 4.1.3
uv vu uv.
Solución
(uv)′ = lím
x→0
(uv) x
= lím
Desempeños Ñ Participación en la clase. Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los ejercicios. ii. Presentación en clase o con los compañerosa de ejercicios tomados de otras fuentes. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para preguntas acerca de los ejercicios. } Propiciar el aprendizaje colaborativo.
x
uv + v u + u v + u v − uv x →0 x v u+u v+ u v lím x →0 x u v v lím + u lím + lím u lím x→0 x→ 0 x→ 0 x→ 0 x x vu′ + uv′ + 0v′ = vu′ + uv′
lím
v x
4.1.4
u ′ vu′ − uv′ v = v
221
Ô Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante intente la solución de los ejercicios antes de ver su resolución. Aun así, puesto que algún ejercicio puede representar una situación novedosa, se incluye la resolución para que el estudiante la estudie y analice cuidadosamente, y plantee sus dudas en la clase al facilitador o con sus compañeros de equipo.
(u + u)( v + v ) − uv
x→ 0
w
FIGURA 4.25
Ejercicio 4.1.2.
222
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Solución
f u/v, luego u f v u f v f v, y despejando: u′ − f v′ f ′ = v
f se tiene f ′
=
u′ − v
uv′ v
=
u′ v − uv′ v
con lo que se concluye (u/v uv u vv. 4.1.5 diendo del tiempo se representa por s(t 3t3 t su velocidad cuando t Solución
La velocidad es s(t s(t (3t3 (t , s(t (3t3 t 0 (3t3 t 9t t La velocidad para t s 4.1.6
f (x (3x xx
Solución
f (x x x x (3x xx x x (3x x x x 4.1.7 Deriva la función 3x 3 − x + 4 g( x ) = 2x2 − 3 Solución
(2 x 2 − 3)( 3x 3 − x + 4)′ − ( 3x 3 − x + 4)( 2x 2 − 3)′ g′( x ) = (2 x 2 − 3)2 (2 x 2 − 3)( 9 x 2 − 1) − ( 3x 3 − x + 4)( 4x ) g′( x ) = ( 2 x 2 − 3)2 3 − 16x − 25x 2 + 6x 4 g′( x ) = (3 − 2 x 2 )2
CAPÍTULO 4
4.1.8 Deriva senx . Solución
(sen x cos x x 10x x 4.1.9 Deriva 3x cos x. Solución
(3x cos x 3[cos x(x x(cos x 3[x cos x x cos xcos x 3[x cos x x cos xsen x 6x cos x 6x cos x sen x 4.1.10 Deriva f ( x ) = e x
1 − cos 3x .
Solución
f ′( x ) = e x ( 1 − cos 3x )′ + (e x )′ 1 − cos 3x 1 1 = e x (1 − coss 3x )− 2 (1 − cos 3x )′ + e x 1 − cos 3x 2 1 1 = e x (1 − cos 3x )− 2 (0 − (−sen 3x)( 3x )′) 2 + e x 1 − cos 3x 1 1 ( 1 − cos 3 x) 2 (sen 3x)( 3) + e 2 3e sen 3 x + e 1 − cos 3 x 2 1 − cos 3 x
= e
−
x
x
1 − cos 3 x
x
=
x
e
x
=
1 − cos 3x
( 3/2 sen 3x − cos 3x + 1)
4.1.11 Deriva x cos1 3x Solución
( x cos −1 3x )′ = x′ cos −1 3x + x(cos −1 3x )′
(3x )′ = cos 3x + x − 1 − (3x )2 3x = cos−1 3x − x 1 − 9x2 −1
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224
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
4.1.12 Deriva:
g( x ) =
− e −2 x
e 2x
x
Solución
x(e 2 x
g′( x ) =
= =
− e −2 x )′ − (e 2 x − e −2 x )x′ x2
x( 2e 2 x
+ 2e −2 x ) − (e 2 x − e −2 x ) x2
(2 x − 1)e 2 x + ( 2 x + 1)e −2 x x2
4.1.13 Deriva n
∑x i=1
xi i +1
−1
Solución
d n x i = dx i = 1 x i +1 − 1
∑
n
∑ i=1
d x i dx x i +1 − 1
Pero d x i ( x i +1 − 1)ix i −1 − x i (i + 1)x i = dx x i +1 − 1 ( x i +1 − 1)2
=
ix 2 i
− ix i−1 − (i + 1)x 2i ix i −1 + x 2i = i +1 ( x i +1 − 1)2 ( x − 1)2
Finalmente, sustituyendo:a d n x i = dx i = 1 x i +1 − 1
∑
−
ix i − 1
+ x 2i i +1 − 1)2 i= 1 ( x n
∑
4.1.14 Encuentra f (x f (x 3x3 sen x. Solución
f (x 9x x cos x
Ahora, f (x x x cos x x sen x. 4.1.15 Demuestra que la derivada n-ésima (xn(n 0, donde n es un entero.
de xn es n!, pero que
CAPÍTULO 4
Solución
xn nxn1 , ahora: (xn n(n xn (xn n(n n xn 3 (xn(k [n(n n n k xn k que se obtiene generalizando cada una de las derivaciones previas. En particular, cuando κ n resulta (xn(n [n(n n n n xn n [n(n n n!, si x no es cero. Finalmente, (xn(n (n 0, porque n! es una constante. 4.1.16 f (x x x 1, 1 # x , f ( Solución
x 1 está en el extremo del intervalo, sólo es posible acercarse a él por la derecha. Además, f ( lím+ x 2 − 2 x + 1 = 4 ,
x→− 1
por lo que f (x cia de la derivada; esto no ocurre en (x f( = lím+
( −1 + h )2 − 2( −1 + h ) + 1 − 4 h
h→ 0
= lím+ h→ 0
2
1 − 2h + h + 2 − 2h − 3 h
= lím+ − 4 + h = − 4 h→ 0
Mediante “fórmulas”, f (x x , f ( es continua en el punto. 0; x < 0 4.1.17 f ( x ) = 1; x ≥ 0 x 0? Solución
f ( x ) =
0; x < 0 1; x ≥ 0
se tiene que f es discontinua en x 0 porque sus límites laterales son diferentes, y se concluye que su derivada no existe.
w
225
226
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
4.1.18 f (x |x 3|. Prueba que no es diferenciable en x 3. Solución
La función se puede escribir
− x + 3; x < 3 |x 3| = x − 3; x ≥ 3 x 3. Ahora, f (x 1 Mientras f (x 1 f f La derivada no existe en x 3 y la función no es diferenciable. La función tiene un “pico”. 4.1.19 f ( x ) =
x − 1; x ≤ 0 2 x − 1; x > 0
¿Es diferenciable en x 0? Solución
f lím f (x 1 la función es continua en x 0. x 0
Ahora f (x 1 y f (x |x 0 x|x 0 0 f f x 4.1.20 Encuentra los puntos en que la función no es diferenciable para g(x |x Solución
g(x |x |x x , se tiene por similitud con el x x idéntica, |x x g(x será diferenciable en x y x . 4.1.21 xy 3xy x y . Solución
y , considera que la función es implícita con y(x luego, derivando directamente se tiene
FIGURA 4.26
Ejercicio 4.1.19.
CAPÍTULO 4
(xy (3xy (x xy xy 3(y xy 1 xy 3y y (x 3x 1 de donde y′
=
1 − 2 xy + 3y x 2 − 3x
4.1.22 xy x cos y x x y y . Solución
x(y xy x cos y x resulta x xy x cos y x sen y xx 0 x (y cos y x x x sen y 0 de donde x( 1 + sen y ) x′ = − y − cos y − 2 x Por tanto, y − cos y − 2 x 1 =− y′ = x′ x( 1 + sen y ) O bien, partiendo a la inversa, considerando y(x x xy cos y x sen y x 0 y − cos y − 2 x y′ = x( 1 + sen y ) obteniendo el mismo resultado. 4.1.23 xex y y 1, calcula x . Solución
xex y y 1, al derivar se tiene xex y x(x ex y y 0
[
4y − xe x + y x′ = ( 1 + x )e x + y 4.1.24 x si
x+y x
=
x y
+1
Solución
x 0, y 0, y derivando, se obtiene x( x′ + 1) − ( x + y )x ′ x2
=
yx′ − x y2
w
227
228
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
xy(x y(x yx xyx x3 xyx xy xyx y3x xyx x3 xy y3x xyx x3 xy x3 xyx y3x
Finalmente,
x( y 2
+ x2 ) x x′ = = y( x 2 + y 2 ) y
Pero, ¡espera!: (x yx x/y 1 se puede reescribir como 1 y/x x/y 1 o bien x y xx y así, x y/x ¿Es diferente el resultado? O si consideras realizar la suma (x yx x/y 1 (x yy o 1/x = 1/y así, x y, de donde x 1. En realidad todas dicen lo mismo porque, en efecto, x y y bajo x 1, que ocu g(x x, encuentra una expresión para ( f 1. 4.1.25 f ( g Solución
g(x g g(x De acuerdo con la regla de la cadena, al derivar se tiene f ( g 1 de donde 1 g′( x ) = f ′( g( x ))
Pero como g(x f 1(x ( f −1( x ))′ =
1 f ′( f −1( x ))
Por ejemplo, para f (x x , x 0 , su inversa es f 1(x x , quea al derivar directamente se obtiene ( f −1( x ))))′ =
1 2 x
Por otro lado, aplicando la expresión encontrada se tiene f (x x luego, 1 1 1 = = ( f −1( x ))′ = f ′( f −1( x )) 2 f −1( x ) 2 x (sen −1 u)′ =
u′
1 − u2
Tomando u x
CAPÍTULO 4
(sen −1 x )′ =
=
f ′( f (x ))
1 −1
cos ( f (x ))
=
1 cos (sen −1 x )
pero sen x 1 cos x 1, de donde cos x = 1 − sen 2 x En este caso, cos (sen −1 x ) = 1 − (sen (sen −1 x))2 = 1 − x 2 (sen −1 x )′ =
1 1 = cos (sen −1 x ) 1 − x2
Autoevaluación 4.1 4.1
1 4.1.1 f ( x ) = 3x − 2 2 x 4.1.2 f ( x ) = ( x
+ 3 2x )
4
4.1.5 y en: x(x y y(x y.
Solución a la autoevaluación 4.1
d ( x 4.1.2 dx
+ 3 2x )
Actitudes Ñ Tr Trabajo abajo en equipo. Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante, de manera individual o en equipo, intente la solución de cada autoevaluación. Ñ Es muy importante que se trate de interpretar cada solución a la luz de gráficas y ejemplos, de tal manera que se comprenda cómo el análisis de la velocidad de variación de los fenómenos da luz no solo a características puntuales, sino a características globales de la gráfica y, por tanto, t anto, del fenómeno bajo estudio.
Criterios de calidad preguntas de ini. Presentación de preguntas terés grupal o individual respecto de la resolución de los cuestionamientos. ii. Presentación en clase o con los compañeros de ejercicios de otras fuentes.
sen 2 x 1 + cos x
d 1 4.1.1 − x 3 dx 2 x 2
ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y Y GRUPAL GRUPAL .
Desempeños Ñ No necesario.
7 3
4.1.3 y cos (sen x 4.1.4 f ( x ) =
AUTOEVALUACIÓN 4.1 - 4.6 VALUACIÓN UACIÓN POR POR CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO , E VAL
( f 1(x (sen1 x −1
229
1 1 − x2
f (x sen x de donde f 1(x sen1 x, en la rama principal de la función π x π f (x cos x se sigue que 1
w
4
1 1 = 4 3 + 3 3x − 2 x 2 x
3
7 3
4 7 3 2 1 ( 3 3 = 3 + 2 x + x ) 3 3 x 2 2 x
Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para discusión grupal. } Propiciar el aprendizaje cooperativo. } Sugerir cuestionamientos de otras fuentes.
230
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
w
COMPETENCIAS
4.1.3 y x cos x cos (sen x x
cación: 4.1.4
sen x sen 2 x = D 1 + cos x 2 1 − cos x 4.1.5 y ′
=
3 x 2 − 2 xy − y 2 x 2 + 2 xy + 3y 2
AUTOEVALUACIÓN 4.1 VALUACIÓN UACIÓN POR POR CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO Y Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD E VAL DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y Y GRUPAL GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
Autoevaluación 4.2 4.2.1 y en x y 1.
En los siguientes tres ejercicios, calcular la derivada: 4.2.2 y
=
4e 3 x xe
3x + 2 4x + 3
4.2.4 f (x
x (x 3
4.2.5
Encuentra la segunda derivada de f ( x ) =
2x 2 + 1
Solución a la autoevaluación 4.2 y = − x
4.2.1 y ′
1 3
4e 3 x 4e 2 x + 1( 2 x − 1) 4.2.2 D x − 1 = x2 xe 3x + 2 12 x + 7 =− 2 3 x + 2 ( 4 x + 3) 2 4x + 3
4.2.3 D
x 2 − 1)2 (13 x 2 − 1) ( 1 3 4.2.4 D ( x ( x − 1) ) = 2 x 2
4.2.5
d2 dx
2
VALUACIÓN UACIÓN POR POR CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO Y Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD E VAL DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y Y GRUPAL GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
x−1
4.2.3 f ( x ) =
AUTOEVALUACIÓN 4.2
3
2
2x 2 + 1 = 2
(2x +
3 1) 2
CAPÍTULO 4
w
231
Autoevaluación 4.3 4.3.1 f ( x ) =
ln x 1 + ex
4.3.2 f (x ln (ex cos x ex sen x 4.3.3 g( x ) =
4.3.4 y
cos x + sen x x −1e − x
sec (2 x )2 x
4.3.5 y en xe y y . 4.3.6 x en
xy
3y 10x.
Solución a la autoevaluación 4.3 1 + e x − xe x ln x 4.3.1 f ′( x ) = x( 1 + e x )2 (cos x − sen x )(e x + e − x ) 4.3.2 y ′ = e x cos x + e − x sen x 4.3.3 g(x ex (sen x x x 4.3.4
y′
4.3.5 y ′
=
=−
4.3.6 x′ =
AUTOEVALUACIÓN 4.3 VALUACIÓN UACIÓN POR POR CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO Y Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD E VAL DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y Y GRUPAL GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
sec (2 x )2 ( 16x 2 tan ( 2x )2 − 1) 3 2x 2
ey xe y
+1
6 xy + x 20 xy − y
AUTOEVALUACIÓN 4.4 VALUACIÓN UACIÓN POR POR CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO Y Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD E VAL DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y Y GRUPAL GRUPAL .
Autoevaluación 4.4 indicada: 4.4.1 f ( x ) =
x+2 2 (x x−1
4.4.2 f ( x ) =
3
x3
+ 1)
− 3 ( x − 5)
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
232
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
4.4.3 f (x csc x3
d 2 f
4.4.4
dx
2
en f ( x ) = ln ( x + 1 + x 2 .
4.4.5 x en x x3y y.
Solución a la autoevaluación 4.4 d x + 2 2 (x 4.4.1 dx x − 1
4.4.2
d 3 3 x dx
2 x 3 − x 2 − 4x − 3 + 1) = ( x − 1)2 2 x 3 − 5x 2 − 3
− 3 ( x − 5) =
3
(x −
2 3) 3
4.4.3 f (x x csc x3 x3 4.4.4
d 2 f dx
2
x
= (1 +
3 2 2 x )
2x 3y − 1 4.4.5 x′ = 1 − 3x 2 y 2
Autoevaluación 4.5 4.5.1
f ( x ) =
3
3
2 x −3
4.5.2 Deriva f (x x ln (sen x. 4.5.3 y en xy3 ln y x. 4.5.4
f ( x ) =
4.5.5 Deriva f ( x ) =
3
x( x
x + 1 x + 2 (2 x + 5)
+ 3) .
Solución a la autoevaluación 4.5 4.5.1
d 3 3 2 x dx
−3 =−
12 x 3
(x −
5 3) 3
AUTOEVALUACIÓN 4.5 VALUACIÓN UACIÓN POR POR CONOCIMIENTO CONOCIMIENTO E VAL Y DESEMPEÑO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
CAPÍTULO 4
w
233
4.5.2 f (x ln (sen x x ctg x
2 x − y 3 4.5.3 y ′ = y 3xy 3 − 1 x + 1 2 x 2 + 8x + 9 4.5.4 D (2 x + 5) = ( x + 2 )2 x + 2 4.5.5 D ( 3 x ( x
+ 3)) =
1
+
2 x3
5 1 6 6x
Autoevaluación 4.6
AUTOEVALUACIÓN 4.6
4.6.1 Deriva f (x sec3 x.
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE
4.6.2 y en tan (x y x.
ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
4.6.3
f ( x ) =
x2
4.6.4 Deriva f (x ln (csc 3x 4.6.5 y en: y 1 x sec y.
+9
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
Solución a la autoevaluación 4.6 4.6.1
f (x 6 sec3 x x
SUGERENCIA EVALUACIONES
4.6.2
y sen (x y
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
d2 4.6.3 4.6.4 4.6.5
dx
2
x
2
Ñ En caso de que el facilitador o los propios estudiantes con-
9
+9 =
(x2 +
3 2 9)
f (x 6 cot 3x y′
=
2 x sec y 2 y − x 2 sec y tan y
sideren la necesidad de realizar alguna evaluación por conocimientos, se puede diseñar un examen que emplee una combinación de cuestionamientos incluidos en estas autoevaluaciones, adicionen de otras fuentes y, sobre todo, proponer de su propia creación.
234
Capítulo
5
Aplicaciones de la derivada
ELEMENTO DE LA COMPETENCIA DISCIPLINAR El alumno es competente si interpreta adecuadamente las diferentes aplicaciones de la derivada de una función de variable real, grafica funciones de variable real calculando sus propiedades con precisión y resuelve de manera satisfactoria problemas de óptimos de una variable, de forma analítica, numérica y gráficamente.
COMPETENCIA DISCIPLINAR DEL CURSO El alumno es competente si analiza, abstrae y propone soluciones a situaciones que involucren variación en una sola variable independiente, empleando como herramienta fundamental la graficación y el cálculo diferencial.
CALENDARIO DEL PORTAFOLIO Fecha
DE EVIDENCIAS
Evidencia Aplicación 5.1.1 Actividad 5.1.1 Actividad 5.1.2 Aplicación 5.1.2 Aplicación 5.1.3 Actividad 5.3.1 Aplicación 5.3.1 Actividad 5.3.2 Aplicación 5.3.2 Actividad 5.5.1 Actividad 5.5.2 Aplicación 5.5.1
Fecha
Evidencia Aplicación 5.5.2 Aplicación 5.7.1 Actividad 5.7.1 Actividad 5.7.2 Aplicación 5.7.2 Aplicación 5.7.3 Actividad 5.8.1 Ejercicios 5.1 Autoevaluación 5.1 Autoevaluación 5.2 Autoevaluación 5.3 Autoevaluación 5.4
CAPÍTULO 5
Fecha
Evidencia Autoevaluación 5.5 Autoevaluación 5.6 Autoevaluación 5.7 Autoevaluación 5.8
Otras evidencias
Fecha
Evidencia
w
235
236
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
5.1 FOCALIZACIÓN. APLICACIONES DE LA DERIVADA Velocidad, razón de cambio o recta tangente son conceptos sinónimos para la derivada. Cada uno de ellos permite interpretarla ya sea como función o como cociente entre diferenciales y seleccionar el “formato” que se considere el más adecuado para la situación bajo análisis. Antes de realizar cualquier tipo de operatividad, siempre será im te permita tratar de descubrir la relación entre las variables del fenómeno, pero sobre todo sus relaciones funcionales. No pierdas de vista los conceptos previos de dominio de la función, discontinuidad, crecimiento, decrecimiento, máxi ya que ellos te permitirán una interpretación más adecuada de los resultados algorítmicos o heurísticos que encuentres. Adelante, usa la derivada que está presente siempre que pienses en el instante, en lo muy pequeño; solamente dibújalo “más grande” para que lo veas.
Aplicación 5.1.1 Una de las aplicaciones esenciales de las matemáticas es la de permitir estructurar modelos que representen la realidad lo más cercano posible, de tal forma que permitan controlarla y predecirla. El control tiene como consecuencia el dominio de los fenómenos naturales, ya que podemos producir el fenómeno deseado tantas veces como sea necesario, o evitarlo si es que no lo deseamos. El control de los fenómenos tiene como consecuencia la creación de tecnología, ya que esta emplea los principios básicos del fenómeno dentro de artefactos que mejoran la calidad de vida del ser humano. La ciencia no busca el control de los fenómenos naturales sino el saber. Ese saber busca el porqué, el cómo y sus consecuencias. La tecnología conoce el porqué, usa el cómo y espera las consecuencias bajo control. Cuando la tecnología usa (como muchas veces ha ocurrido) principios tos funcionan y lo más probable es que generen
ñ
FIGURA 5.1
¿Cuántas derivadas ves aquí?
APLICACIÓN 5.1.1 ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Abstracción de situaciones reales. Ñ Respeto por las ideas de otros. Ñ Reflexión acerca de la importancia de la ciencia y la tecnología. Ñ Valor positivo a las acciones sustentables. Desempeños Ñ Localización de procesos de variación en los procesos de producción y las aplicaciones generales de la tecnología. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Preguntas de reflexión en clase sobre las consecuencias de la velocidad y en general de la razón de cambio en la tecnología y los procesos de producción. ii. Originalidad en la propuesta de ejemplos. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo en equipo. } Equipos de tres personas.
CAPÍTULO 5
ciencia, pero puede ser muy tarde cuando la ciencia descubra sus consecuencias y ya no se pueda evitar el deterioro que causan. Desde este punto de vista, la derivada es un concepto que permite visualizar el movimiento, la variación, el crecimiento y el decrecimiento, y por tanto se convierte en el fundamento básico de la ingeniería, ya que esta buscará emplear los principios mencionados, y estos estarán presentes de manera constante en todos los dispositivos y situaciones que estudie. Búscalos siempre en toda situación cotidiana y podrás observar las maravillas que causa la variación en contraste con lo constante, que al ser conocido ya no depara sorpresas. trónica; concéntrate en los CD: Ü ¿Cuántas derivadas ves ahí? No veas solo el objeto, piensa en el proceso de producción o extracción de los materiales, en el el hecho de que puedes tener uno en tus manos con gran cantidad de información, que por sí misma puede maravillarte. Ü ¡Cuántas derivadas hay ahí! Ü Comenta con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
Actividad 5.1.1
w
237
ACTIVIDAD 5.1.1 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés en la reflexión sobre conocimientos previos y sus implicaciones teóricas. Desempeños Ñ Participación en debate grupal sobre las implicaciones del teorema de Rolle, y consecuencias respecto de la localización de máximos y mínimos. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Participación en el debate grupal. ii. Respuestas razonadas que no consistan en un simple “no, sí, nunca, siempre, etc.”. iii. Manifestación de las propias ideas.
“Todo lo que sube tiene que bajar”, reza un adagio popular, y nada más cierto en el sentido de que existen muchos fenómenos que inician en cero y culminan en el mismo valor. Muchos de ellos continuos y otros tal vez no. Considera una de esas situaciones y ve un Características del producto Tal situación no tiene nada en particular, salvo que puedes lo} Extensión: una cuartilla. calizar a y b tales que f (a) f (b) x se en} Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : cuentre en esa posición es meramente convencional, ya que si la } Obligatorio ® Optativo ® y f (x) es posible reajustarla mediante una constante adecuada c, de tal forma que podamos tener una Sugerencias nueva función y f (x) c, c } Discusión grupal obligatoria. 1. y respecto de y? ¿Cómo son sus grá 2. ¿Se pueden encontrar nuevos a y b que satisfagan la condición impuesta? 3. ¿Cuál será el mayor valor de c que puedes aplicar sin que se pierda la cualidad de poseer las dos raíces en a y b? Llamémosle M . FIGURA 5.2 Gráfica para un fenómeno 4. ¿Qué valor tiene la pendiente de la recta que une a los puntos que se puede considerar que inicia en cero y termina en cero. (a b
238
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
5. Supongamos que f (e) M . ¿Se cumple que f (e) M f (x), a x b? ¿Qué quiere decir esto?
x9
6. ¿Cuál es el valor de f (e)? 7. M ? 8. ¿Cómo puedes enunciar de manera general el resultado encon-
x
Búsqueda de M, el valor que podemos subir al eje, hasta que la gráfica ya no tenga raíces. FIGURA 5.3
trado? La conclusión que has obtenido se denomina teorema de Rolle. 9. Este teorema te permite localizar un máximo. ¿Qué cambios le debes hacer a las condiciones de la curva para localizar un mínimo? 10. Para localizar un máximo o un mínimo, ¿se requiere necesariamente que existan a y b, con ACTIVIDAD 5.1.2 la condición f (a) f (b) E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO. 11. ¿Cómo cambiarías el enunciado del teorema de Rolle para localizar un máximo o un míni- Actitudes Ñ Interés por la abstracción de situaciones gráficas y su relación mo, sin que existan a y b con f (a) f (b) con las aplicaciones.
Comparte tus comentarios con tus compañeros, y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.
Actividad 5.1.2 Una consecuencia del teorema de Rolle analizado 1.
Productos Ñ No necesario. Desempeños Ñ Participación en debate grupal sobre las implicaciones del teorema del valor medio y conclusiones sobre la forma de aproximación a la derivada, cuando la función se encuentra expresada como tablas. Criterios de calidad i. Participación activa en el debate grupal. ii. Respuestas razonadas que no consistan en un simple “no, sí, nunca, siempre, etc.”. iii. Manifestación de las propias ideas.
y simplemente gira y desplaza un poco hacia Ü f (a) Características del producto } Extensión: una cuartilla. Ü También f (b) } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : Ü Si suponemos, sin perder la generalidad, que } Obligatorio ® Optativo ® después del giro, f (a) p y f (b) q, ¿cuánto vale la pendiente de la recta que pasa por ( a, Sugerencias } Discusión grupal obligatoria. p) y (b, q)? Ü vertical punteada (e, f (e)), ¿cuánto vale f (e)? x Ü ¿Siempre existe el punto con las cualidades de e en el intervalo (a, b)? Ü ¿Bajo qué condiciones existirán más puntos con la cualidad de tener su derivada igual a f (e)? Ü Al girar la curva como se hizo, ¿el punto e sigue teniendo la FIGURA 5.4 Posición final del teorema de Rolle. cualidad de ser un máximo?
CAPÍTULO 5
w
239
2. Enuncia tus conclusiones de manera general. 3. ¿Qué aplicaciones crees que tiene
el presente resultado? Comparte comentarios con tus compañeros, y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.
x
Aplicación 5.1.2 no? Lue- FIGURA 5.5 Posición final para el go, cuando lanzas un objeto hacia arriba, ¿se detiene en algún teorema del valor medio. momento? Claro que sí, ¡es el momento preciso en que el objeto alcanza su máxima altura! ¿Cómo lo sabes? 2. Si un día pasas por una tienda y ves que el precio de un pro por lo que decides no adquirirlo. Después de varios días ves da cómo se comportó el precio. Haz las con jeturas que consideres pertinentes y averigua el precio máximo que tuvo el producto. ¿Se APLICACIÓN 5.1.2 CTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR puede aplicar el teorema de Rolle en esas con- A CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR . diciones? Actitudes 3. Durante la rutina en una fábrica, un encarAbstracción de situaciones reales. gado de las calderas lleva el registro de la Ñ Ñ Atención a las situaciones en que se puede aproximar la deri vada mediante aproximación. . En varias visitas posteriores detectó que la presión es- Desempeños Ñ Cálculo de la derivada en puntos intermedios de un intervalo, conocidos los valores funcionales en los extremos. . Se le pregunta si sabe aproxi- Productos madamente a qué hora (con error máximo de Ñ No es necesario. dera y cuál fue esta. Si cuenta con los datos Criterios de calidad i. Preguntas de reflexión en clase sobre las aplicaciones del de su tabla, ¿se puede resolver su problema? teorema del valor medio como medio de aproximación a ¿Cómo le ayudarías? la derivada en un punto. 4. Después de observar los datos del registro de ii. Propuesta de conjeturas adecuadas sobre las condiciones presión, el jefe de mantenimiento señala que de validez de la aproximación. en algún momento la presión de la caldera Características del producto } Extensión: una cuartilla. min. ¿Podrás localizar ese momento con los } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : mantenimiento? } Obligatorio ® Optativo ® valor medio es la posibilidad de calcular “aproxi- Sugerencias } Actividad y producto optativo en equipo. madamente” el valor de la derivada en un pun} Equipos de tres personas. to. ¿Qué condiciones impondrías para que esta } Es posible solicitar la búsqueda e interpretación del teorema aproximación sea válida? ¿Para qué te puede serde Cauchy para funciones continuas. vir conocer la derivada de esta manera? 1. Cuando un objeto se detiene, su velocidad es cero, ¿o
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Comparte los hallazgos con tus compañeros y con tu facilitador.
Aplicación 5.1.3
APLICACIÓN 5.1.3 ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Abstracción de situaciones reales. Ñ Interés por la simplificación de situaciones tridimensionales a casos planos.
La topografía es una rama de la ingeniería que se encarga, entre otros aspectos, de dibujar los accidentes del terreno. Una de las formas en que se hace esta representación es mediante las “curvas Desempeños de nivel”. Una curva de nivel corresponde con el Ñ Interpretación adecuada de la trayectoria trazada por “rectas trazo continuo que une a todos los puntos de la normales” a las curva de nivel. pecto de un nivel de referencia. Para ver cómo Productos Ñ No es necesario. son estas curvas puedes, por ejemplo, hacer un “cerrito de plastilina” y luego en forma paralela a Criterios de calidad la mesa cortar rebanadas del cerrito; el contorno i. Preguntas adecuadas sobre la interpretación de gráficas de ese corte será la curva de nivel. que representan objetos de dimensión mayor a 2. ii. Propuesta de conjeturas adecuadas sobre el significado Ü de trayectorias sobre “rectas normales” a las curvas de nivel. iii. Realización del experimento de visualización de las curÜ vas de nivel, como corte en objetos de plastilina. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : trayectoria determinada de la siguiente manera, } Obligatorio ® Optativo ® sabiendo que las curvas de nivel están marcadas Sugerencias en metros: } Actividad y producto optativo en equipo. Ü A partir del punto de partida, se traza la tan} Equipos de tres personas. gente a la curva de nivel y caminas perpen} Realizar la misma pregunta e interpretar las “trayectorias” en dicularmente a ella, hasta alcanzar la siguiente las gráficas del clima publicadas en los diarios. curva de nivel y decides de la misma manera en cada nivel. Ü ¿Qué representa la curva encontrada? 1. ¿La trayectoria más corta? 2. ¿La trayectoria más larga? 3. ¿La trayectoria más directa? 4. ¿La trayectoria más suave? 5. ¿La trayectoria más suave pero más directa? 6. ¿La trayectoria más abrupta? 7. ¿Alguna otra? ¿Cuál? Ü ¿Qué tiene que ver esto con la derivada? Ü FIGURA 5.6 Curvas de nivel de un cerro. 0
+1
+2
+3
+4
+8
+9
+6
+7
+5
CAPÍTULO 5
cada una se puede asociar a un número real; de ahí que la trayectoria encontrada en cada caso es una curva que cambia “suavemente de dirección”, excepto que choque con una gran aglomeración de curvas de nivel muy cercanas entre sí. ¿Qué Ü ¿Cómo serían las curvas de nivel si existiera un “abismo” o un “acantilado”? y ¿cómo se comportarían si hubiese un valle muy extenso? En cada uno de los casos, ¿cómo se comporta una trayectoria para subir o bajar? Comparte tus conclusiones y hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas consulta a tu facilitador.
5.2 LA DERIVADA
ñ
f ( x + h) − f (x) f ′( x ) = lím h→0
h
Este límite tendrá la interpretación adecuada dependiendo del contexto en que se aplique. a) Como tangente a la curva. b ) Como velocidad en movimiento rectilíneo. c) Como razón de cambio.
Derivada como tangente a una curva
ble en el punto si la recta tangente es única, de ahí que los vértices que aparecen en una función representan puntos de no diferenciabilidad [por ejemplo, x f (x) | x|]. Este hecho se puede comprobar al comparar las derivadas laterales.
Derivada como velocidad
s como laa variación en la posición t como el periodo de tiempo en que la variación ocurre, se tendrá
f ( x )
∆s
que la velocidad media en el intervalo es v , por lo ∆t que la velocidad instantánea será ∆s ∆t →0 ∆t
s′(t ) = lím
Una velocidad no está relacionada necesariamente
x
FIGURA 5.7
h
0
Derivada como tangente a la curva.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
sino con cualquier variación que sufra alguna magnitud cuando esta se tasa respecto del tiempo.
Derivada como razón de cambio
ACTIVIDAD 5.3.1
Cuando dos variables se relacionan y se mide la variación relati ∆ y va de una con respecto a la otra r = , se tiene una razón de ∆ x cambio media; desde luego, la razón de cambio instantánea es la derivada ∆y r ′(t ) = lím ∆ t →0
∆x
por ejemplo, si se mide la variación de la presión en un gas encerrado en un recipiente respecto a la variación de la temperatura.
5.3 FOCALIZACIÓN. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
ñ
Una clase muy importante de aplicaciones físicas y sociales es la optimización. De manera común, esta se considera como “el mejor uso de los recursos”. Si se desea optimizar un gasto, este deberá acercarse a un mínimo, y, por el contrario, si se desea provocar una ganancia, el extremo buscado será un máximo. No es difícil detectar que el sentido de máximo ( M ) y de mínimo (m) localizado en un punto c dentro de un intervalo [a, b] en el dominio de una función f (x) se corresponde con : En c existe un máximo M si y solo si f (c) M f (x); x [a, b]. : En c existe un mínimo m si y solo si f (c) m f (x); x [a, b]. en donde “” se lee “para todo”. Si el intervalo es abierto, no existe diferencia sobre la propuesta c debe estar del en un intervalo cerrado siempre habrá un máximo y un mínimo, pudiendo darse estos en los extremos del intervalo, mientras en un intervalo abierto no necesariamente se tiene máximo o mínimo, y de existir este, ¡desde luego que no corresponde a los extremos, porque estos están fuera del intervalo!
Actividad 5.3.1 f (c) M f (x); x [a, b]
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Flexibilidad para interpretar situaciones extremo en diferentes condiciones. Ñ Interés por formar conjeturas sobre conclusiones y plantearlas ante el grupo. Productos Ñ Ensayo con las reflexiones sobre por qué cada punto señalado en las gráficas 5.8 es o no un máximo o un mínimo. Propuesta de conjeturas de generalización de los casos encontrados. Criterios de calidad i. Análisis de cada una de las nueve gráficas y sus puntos señalados. ii. Conclusiones de generalización sobre cada uno de los tipos de casos señalados. iii. Planteamiento de gráficas adicionales para clarificar sus conclusiones. iv. En ningún caso es considerada como correcta una respuesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”. v. Reporte de las fuentes empleadas. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipo de tres personas. } Pedir a los estudiantes que propongan nuevos ejemplos observados en la bibliografía. } Es muy importante que los estudiantes propongan situaciones reales que sirvan de interpretación de cada uno de los casos estudiado.
CAPÍTULO 5
y f (c) m f (x); x [a, b]
tienen consecuencias interesantes: 1. Para f (c) M , en (a, b), implica que f (c f (a) o f (c) f (a [ f (c) f (ac a) f (x la función es creciente antes de c. Pero también f (c) f (b), y como c – b f (x ción es decreciente después de c, y como consecuencia natural del teorema de Rolle implica que f (c) 2. Por analogía, si f (c) m, puedes comprobar que la función es decreciente previo a c y creciente después de c, pero también f (c) 3. Cuando el intervalo es cerrado puede ocurrir que c a o c b. ¿A qué corresponde esa condición para m y para M ? ¿Son útiles las derivadas laterales? 4. tendrá que usar tal como se muestra al inicio, o que incluso no exista M ni m en el intervalo. 5. a-i qué punto se propone para la ocurrencia de m y M , o por qué alguno de ellos no existe. Considera que los puntos señalados por los segmentos de recta verticales se denominan { p p p …} de izquierda a derecha.
FIGURA 5.8
a)
b)
c )
d )
e)
f )
g)
h)
i )
a- i Propuestas de puntos extremos, señalados por las rectas verticales.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Comparte tus comentarios con tus compañeros, y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.
Aplicación 5.3.1 La compañía Airbus Defense & Space instrumenta el telescopio James Webb, según se describe en jetivos comerciales la colocación de satélites para comunicaciones y defensa. Puedes encontrar su historia, referencias y datos técnicos en su página: FIGURA 5.9 Airbus Defense & Space tiene como objetivo comercial la colocación de satélites. el uso crítico de máximos y mínimos: Ü En su lanzamiento por medio del cohete, del
sistema de combustible se espera el menor peso, el menor tamaño, el máximo empuje y el menor precio. Ü Del sistema de dirección se espera la mayor precisión y el menor tiempo de respuesta, todo al mínimo costo.
https ://airbusdefenceandspace.com/about-us/
APLICACIÓN 5.3.1 ACTIVIDAD
Airbus Defence and Space Instruments for the James Webb Space Telescope. CUADRO 5.1
22 March 2016 astronomical objects from distant galaxies to exoplanets. tensive series of tests in preparation for their integration on the and MIRI is developed and build by a consortium of nationally understanding of objects that populate our Universe, from distant primordial galaxies to exoplanets orbiting nearby stars.
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por la aplicación de los conceptos en las situaciones reales. Ñ Interés por los proyectos que afectan a la humanidad. Ñ Gusto por la lectura en otros idiomas. Desempeños Ñ Describir óptimos que se buscan en un proyecto y plantear casos de búsqueda de óptimos incompatibles y cómo se resuelven estos conflictos. Criterios de calidad i. Preguntas adecuadas sobre los diferentes puntos por optimizar. ii. Propuesta de conjeturas sobre las variables conflictivas y cómo se resuelven. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad optativa en equipos de tres personas.
CAPÍTULO 5
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Ü Del telescopio se espera la mayor vida útil, la mayor precisión
(resolución), el menor tamaño, la mayor resistencia a las condiciones del espacio, la mayor precisión en la orientación, la mayor maniobrabilidad en comandos desde Tierra, así como el menor tiempo de respuesta, y todo al menor costo. Ü De cada proyecto de lanzamiento y colocación en órbita se espera la mayor rentabilidad. En muchas ocasiones algunos máximos y mínimos son incompatibles entre sí, por lo que las decisiones en estos casos son cruciales. Los máximos y mínimos no solo están presentes en este tipo de proyectos; son muchas las situaciones en las que te enfrentas a ellos en tu vida diaria, ¿o no esperas comprar lo más posible con la quincena?, ¿obtener la mejor evaluación en tu trabajo?, ¿las me jores vacaciones?, ¿los mínimos sinsabores? Te encuentras en búsqueda constante de la optimización. Comparte tus hallazgos con tus compañeros y con tu facilitador.
Actividad 5.3.2 cindad de un máximo para el cual f (c) cambia de positiva a negativa, mientras que si cambia de negativa a positiva se habrá localizado un mínimo. Este esquema de decisión que permite detectar puntos extremos en funciones continuas se denomina criterio de la primera derivada. Ü a lo largo del día; recupera tus datos y detecta los cuatro casos siguientes: 1. La temperatura sube en un intervalo de tiempo, alcanza un máximo y luego comienza a descender. 2. La temperatura sube durante cierto intervalo, se mantiene en un valor y posteriormente vuelve a subir. 3. La temperatura baja durante un cierto intervalo de tiempo, alcanza su mínimo y comienza a subir. 4. La temperatura baja durante cierto intervalo, se mantiene en un valor y luego vuelve a bajar. Empleando los valores que has tabulado, calcula las derivadas aproximadas, comprueba en qué casos se satisface el criterio de la primera derivada y explica qué ocurre en los restantes. Ü Propón dos experimentos en los cuales se puedan realizar estas mismas comprobaciones. Comparte tus resultados con tus compañeros, y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.
ACTIVIDAD 5.3.2 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Gusto por la toma de datos y la investigación. Ñ Interés por aplicar los conceptos a datos experimentales. Desempeños Ñ No necesarios. Productos Ñ Ensayo que contenga las tablas de los datos obtenidos, en los cuales se señalarán las secuencias que representen cada caso de las cuatro preguntas, cálculo de las correspondientes derivadas y propuesta de casos experimentales. Criterios de calidad i. ii. caso marcado. iii. Muestra de cómo en cada caso se cumple o no el criterio de la primera derivada. iv. Creatividad en la propuesta de los nuevos experimentos. Características del producto } Extensión: tres cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipos de tres personas. } Correr simulaciones en computadora para contar con tablas de datos, para diferentes situaciones ejemplo.
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Aplicación 5.3.2
APLICACIÓN 5.3.2
El sistema de información de la calidad del aire de la Ciudad de México detalla de manera continua la calidad del aire y sus contaminantes mediante la red en su dirección: una curva suave y detecta cuáles son las horas en que cada contaminante llega a su máximo y mínimo en cada zona. ¿Pudiste visualizar la aplicación del criterio de la primera derivada? ¿Qué ocurre en las mesetas (cuando un mismo valor se mantiene por un largo periodo)? Compara durante varias semanas (todos los días) cómo se comportan sus máximos y mínimos. ¿Existe un patrón que permita predecir cuáles serán los extremos el día de mañana? Explica por qué. Compártela con tus compañeros y con tu facilitador.
Visualiza
Gráfica arrojada por el sistema en la Estación Benito Juárez, del 11 al 17 de abril de 2016. http://www.aire.df.gob.mx/default.php?opc=%27aqBhnmQ=%27 FIGURA 5.10
COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por la aplicación de los conceptos en las situaciones de sustentabilidad. Ñ Interés por los fenómenos que afectan a la comunidad. Desempeños Ñ Describir cómo se encuentran los puntos extremos en situaciones reales en donde los datos se muestran como tablas. Ñ Expresar conjeturas de si puede ser o no predecible la temperatura o el clima, y cómo se podría hacer esto. Productos Ñ Reporte de datos, análisis y conclusiones sobre la contaminación en la Ciudad de México. Criterios de calidad i. Preguntas adecuadas sobre los fenómenos climáticos. ii. Describir por qué los extremos presentar cerca de los mismos horarios y días, o negarlo si la información ofrece otra pauta. iii. Presentación de mapas conceptuales, gráficas, animaciones, etc., para clarificar los conceptos. iv. Dar conclusiones y propuestas de cómo evitar los casos dañinos. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
5.4 SENSIBILIDAD AL CAMBIO. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y
ñ
Si cambios muy pequeños en x producen grandes cambios en una función f , mientras en otra no ocurre así, sino que un pequeño cambio en x no produce notable diferencia en la función g, se deduce
Sugerencias } Actividad optativa en equipo. } Equipos de tres personas. } Encargar la actividad y exposición a un solo equipo.
CAPÍTULO 5
que df > dg, o bien f (x)dx > g(x)dx, resultando f (x) > g(x), lo que muestra que la derivada mide la sensibilidad al cambio. Más aún, si para x < x h se observa que la función crece f (x) < f (x h), como h f (x h) f (x y encontrar el límite cuando h tiende a cero, se tiene que f (x Así, la condición básica de crecimiento de la función en un punto miento, si f (x) > f (x h) con h y se tendrá f (x T5.1
x equivale a decir que f (x decreciente en x si f (x
T5.2
Teorema de Rolle: Sea una función continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b); si f (a) f (b) existe un punto c en (a, b) en el cual f (c)
T5.3
Teorema del valor medio: Sea f (x) una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Existe al menos un punto c en (a, b), en el cual f (b ) − f (a ) f ′(c ) = b−a : Sea una función f (x) con dominio D f . Si existe un punto x tal que f (x) M f (x) para todo x en una vecindad de x, se dice que en x existe un máximo relativo o local de valor M . Si la misma condición se cumple para todo x en D f , se dice que M es un máximo absoluto. : Sea una función f (x) con dominio D f . Si existe un punto x tal que f (x) m f (x) para todo x en una vecindad de x, se dice que en x existe un mínimo relativo o local de valor m. Si la misma condición se cumple para todo x en D f , se dice que m es un mínimo absoluto. A los máximos y mínimos de una función también se les llama valores extremos. T5.4
Si una función f (x) posee un máximo absoluto M y un mínimo absoluto m, luego se cumple que m f (x M para todo su dominio. En particular, el rango de la función queda determinado por R f [m, M ]
: Se denomina punto crítico de f a los puntos x en que f (x)
T5.5
Si f (x) tiene un mínimo local o un máximo local en c, luego f (c)
De lo anterior se deduce que los únicos puntos en que una función puede tomar valores extremos son los puntos críticos o en los extremos del dominio.
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T5.6
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
para extremos locales en
una función continua:
1. Si c es un punto crítico de f , y f cambia de positiva a negativa al pasar por c, entonces f tiene un máximo relativo en c ( f para x < c y f x > c, luego f (c) M ). 2. Si c es un punto crítico de f , y f cambia de negativa a positiva al pasar por c, entonces f tiene un mínimo relativo en c ( f para x < c y f x > c, luego f (c) m).
Si c es un punto crítico de f , y f no cambia de signo al pasar por c, entonces f no tiene valor extremo en c. 4. Si f es continua en D f [a, b], f tiene un mínimo local en a si f (a) f (a f tiene un máximo local en a. 5. Si f es continua en D f [a, b], f tiene un mínimo local en b si f (b) f (b f tiene un máximo local en b.
3.
ACTIVIDAD 5.5.1 E VALUACIÓN POR DESEMPEÑO.
5.5 PUNTOS EXTREMOS
ñ
Al observar una curva es fácil detectar la existencia de un punto extremo. Sin embargo, su localización precisa dependerá del cálculo numérico o algebraico, lo que dependerá de la información con que cuentes.
Actividad 5.5.1 que si la curva, en cierto intervalo, presenta forma de “u”, se tendrá una concavidad hacia arriba, mientras si tiene forma de “n”estarás observando una curva cóncava hacia abajo. Ü La forma de “u” permite ver la existencia de un mínimo en algún punto c en el que f (c) asociada al intervalo asegura que f (c) es mayor que cero. Ü La forma de “n” permite ver la existencia de un máximo en algún punto c en el que f (c) asociada al intervalo asegura que f (c) es menor que cero. Ü Sin embargo, puede ocurrir que f (c) f (c)
hecho se presenta en f (x) x, cuando x en puntos como este. Ü c en los que f (c) c. ¿Qué ocurre en la curva cuando se encuentra un punto de in
Actitudes Ñ Interés por localizar conceptos matemáticos en los objetos reales. Desempeños Ñ Descripción y verbalización adecuada de los objetos que contiene el concepto en cuestión: la concavidad y puntos de inflexión. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Observación de objetos reales. ii. Muestra de que satisfacen los criterios de primera o segunda derivada. iii. Muestra de cómo en cada caso se cumple o no el criterio de la primera derivada. iv. Presentación de ejemplos de puntos de inflexión que se encuentren en el salón. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad optativa individual. } Desarrollar la actividad en el aula.
CAPÍTULO 5
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Ü Muchos objetos físicos que te rodean presentan puntos de in-
cuchara al cortarla longitudinalmente, verás en ella un punto ca dónde ocurren estos.
Comparte tus respuestas con tus compañeros, y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.
Actividad 5.5.2 ¿Por qué crees que las latas para refresco son cilíndricas? 1. ¿Qué otras formas se te ocurre que podrían tener? 2. Compara las formas que propones con las cilíndricas actuales. } ¿Cuál es más económica en su proceso de fabricación? } ¿Cuál es más fácil de transportar? } ¿Cuál es más fácil de sellar? } ¿Cuál tiene mayor volumen para el material empleado? } ¿Cuál pesa más? } ¿Cuál es más bonita? } ¿Cuál dura más? } ¿Cuál criterio crees que imperó en la decisión? } ¿Qué puedes decir de los envases de cartón para leche o jugo? 3. Responde a las mismas preguntas previas. ¿Por qué las pipas para líquidos son principalmente cilindros elípticos y no circulares? 4. Responde a las mismas preguntas previas. Visualiza en el medio al menos cinco objetos de forma típica y cuestiona el porqué de su forma (por ejemplo, qué te parece la forma de las celdas de los panales de las abejas, o las conchas de los caracoles, las pirámides de Egipto, los dados, las ruedas de los coches, etcétera.). Comparte tus hallazgos con tus compañeros, y si tienes dudas apóyate en tu facilitador.
Aplicación 5.5.1
ACTIVIDAD 5.5.2 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés de investigar cómo afectan a los productos las decisiones sobre óptimos. Desempeños Ñ Descripción y verbalización adecuada de los conceptos que se pueden optimizar en un producto y observar productos reales para ver cómo son afectados por esas decisiones. Productos Ñ Ensayo que describa los óptimos y sus efectos en los productos. Criterios de calidad i. Observación de objetos reales. ii. Conjeturas de cómo afectan los criterios de optimalidad a los productos. iii. Conjetura de cómo se resuelven las variables subjetivas como la belleza. iv. Creatividad en sus propuestas y citas de fuentes que las justifiquen. Características del producto } Extensión : libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad y producto optativo en equipo. } Equipos de cinco personas. } Propiciar el trabajo colaborativo.
El economista -
cieros de interés en su página: htt En particular, dentro de la sección de Economía, indicadores macroeconómicos, podrás ver tablas de indicadores de diferentes sectores industriales, o alternativamente en
http :/
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
tó en todos los medios la crisis económica en Estados Unidos de América, que impactó fuertemente en nuestro país. Al iniciar mayo que la situación económica en México mejoró (por ejemplo. aquí se anexa la tabla de producción industrial tomada de El economista, tabulada como porcentaje de variación). Analiza los datos de la (Busca en internet o en los diarios los datos actuales, analízalos y describe cómo se comportan estos indicadores.)
APLICACIÓN 5.5.1 ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por la cultura general, en especial por la información económica. Desempeños Ñ Describir el lenguaje económico de aceleración y desaceleración económica, y relacionarlo con los conceptos matemáticos. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Interpretaciones adecuadas de las gráficas.
que no existía crisis sino únicamente “desaceleración” en el Ü ¿Cuándo consideras que se presenta una crisis? ¿Cómo sería 5.
Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad optativa en equipo.
a)
b)
c )
d )
e)
f )
FIGURA 5.11
Si estas gráficas representaran la producción industrial del 2015-2016, ¿qué significaría cada gráfica?
CAPÍTULO 5
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Indicador de producción industrial 2000-2001 http://www.economista.com.mx/ TABLA 5.1
Periodo
2000
2001
Enero
8.30
1.70
Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre
9.60 8.30 5.00 9.10 7.30 5.70 8.20 6.10 7.30 4.60
3.70 2.00 3.30 3.50 4.00 3.40 5.20 5.50 4.50 3.70
Diciembre
0.40
a) a f indicador? ¿Qué indica si tiene concavidad hacia arriba? Comparte tus hallazgos con tus compañeros.
Aplicación 5.5.2 formación acerca de este tema; visita su página cárgalo en formato de MS Excel© y analízalo posteriormente. Ü meses listados en la tabla? Ü Del análisis de la información, ¿cómo crees que se comporte en el futuro y por qué? Ahora ve al SAT: tórico del salario mínimo.
APLICACIÓN 5.5.2 ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por la cultura general, en especial por la información económica y laboral. Desempeños Ñ Análisis de los indicadores económicos y laborales a la luz de los conceptos matemáticos. Productos Ñ No necesario. Criterios de calidad i. Interpretaciones adecuadas de las gráficas. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad optativa en equipo. } Investigar sobre índices deflactados
default.aspx,
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Ü
Al observar los datos, ¿por qué crees que se dice que el salario mínimo ha perdido su poder adquisitivo?
Ü Compara el último incremento al salario mínimo (lo puedes ac-
el periodo en que se mantuvo ese salario:
¿Cuál fue mayor? } que permite la información. } ¿Cómo se observa su concavidad? } } ¿Cómo crees que se pueda mejorar la situación? Comparte tus hallazgos con tus compañeros y con tu facilitador. }
5.6 CONCAVIDAD
ñ
f es cóncava hacia arriba en un intervalo (a, b) si f (x) es positiva; de forma similar, si f (x T5.7
Criterio de la segunda derivada para concavidad: sea f diferenciable dos veces en (a, b), y si f (x valo, f es cóncava hacia arriba; por el contrario, si f (x) < f es cóncava hacia abajo.
Un
punto x de f en que la función es diferenciable y en T5.8
Si f es doblemente diferenciable en x y además es un f (x)
f cambie de signo al pasar por uno de esos puntos; no basta que f (x) T5.9
Criterio de la segunda derivada para extremos locales. f (c) f (c f tiene un máximo local en c. f (c) f (c f tiene un mínimo local en c.
Obsérvese que si f (c) f (c) extremos.
Salarios mínimos en la zona A. Tomado de http://www.sat.gob.mx TABLA 5.2
Vigencia
Zona A
01/01/2016
73.04
01/10/2015 01/04/2015 01/01/2015 01/01/2014 01/01/2013 27/11/2012 01/01/2012 01/01/2011 01/01/2010 01/01/2009 01/01/2008 01/01/2007 01/01/2006 01/01/2005 01/01/2004 01/01/2003 01/01/2002 01/01/2001 01/01/2000
70.10 70.10 70.10 67.29 64.76 62.33 62.33 59.82 57.46 54.8 52.59 50.57 48.67 46.8 45.24 43.65 42.15 40.35 37.9
CAPÍTULO 5
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253
5.7 FOCALIZACIÓN. GRÁFICAS DE FUNCIONES
ñ
ocurre en un fenómeno o proceso, ya que resumen gran cantidad de información; sin embargo, dependiendo de la escala o de las cualidades de la información, dan cuenta exacta de lo que ocurre de manera precisa en algún punto de interés. Por eso hasta este punto se han estudiado herramientas que permiten hacer un análisis puntual y exhaustivo y detectar las principales características de las funciones. Bajo la lupa de la precisión, ese análisis se efectúa de manera algebraica sobre los puntos de interés en los cuales po 1. Discontinuidades y su comportamiento. 2. Dominio de la función. 3. 4. 5. 6. Crecimiento y decrecimiento. 7. Puntos extremos (máximos y mínimos). 8. Concavidad. 9. 10.
Rango de la función.
Cada una de esas cualidades se puede obtener de manera independiente con las herramientas estudiadas hasta ahora, pero tu análisis de una función no estará completo si no conoces cada una la función más a fondo, y por la otra, extrapolar tus conclusiones a otro tipo de funciones sobre las cuales no conoces su expresión.
Aplicación 5.7.1 siempre es un trabajo fácil, ya que esta tarea de localizar las x para las cuales f (x) cálculo sino del álgebra. Sin embargo, el cálculo aporta una herramienta extraordinaria para resolver de forma aproximada este pro Del triángulo formado por la recta tangente en el punto xn y el eje x se tiene
APLICACIÓN 5.7.1 ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Interés por el cálculo numérico de ejercicios de búsqueda de ceros en funciones. Ñ Dedicación a la evaluación de las expresiones. Ñ Gusto por el uso de la tecnología Desempeños Ñ Describir cómo funciona el Método ejercicio propuesto y a los que los propios estudiantes planteen. Productos Ñ Criterios de calidad i. Uso adecuado de la calculadora. ii. Mejor, si se emplea un programa ©. iii. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad individual obligatoria.
254
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
w
COMPETENCIAS
tan (ángulo) = f ′( xn ) =
f ( xn ) xn
f 9(xn)
− xn+ 1
de donde al despejar se obtiene xn + 1
= xn −
f (xn)
xn 1
f ( xn ) f ′( xn )
raíz buscada
xn
IGURA 5.12 Método de Newton xn está más FRaphson para localización de raíces de cerca de la raíz buscada que xn, ¿estás de acuerdo? funciones. Así, calculando a partir de una x que propongas libremente, podrás encontrar una nueva x más cerca de la raíz, pero con esa x aplicando nuevamente la expresión podrás obtener una x más cerca, y así sucesivamente, hasta que quieras detenerlo. Esta forma de acercamiento sucesivo que parte de un punto previo se conoce como proceso iterativo. Cuando la diferencia en valor absoluto entre dos x la raíz no esté alejada más de esa diferencia respecto de la última x encontrada. te ejercicio:
Se desea encontrar la intersección entre las curvas de x x).
Esto equivale a resolver f (x) x x)
sión para la derivada de f (x), y con un valor de x adecuado aplica la fórmula, calculando sucesivamente x, x, …, x, (o más, si lo consideras necesario). TABLA 5.3
n 0 1 2 3 4 5 6
Tabla para resolver búsqueda de raíces empleando el método de Newton-Raphson.
x n
f ( x n)
f ( x n)
x n1
x n1 x n
¿Se detiene?
CAPÍTULO 5
w
255
verde): una cerca de 1. 2. ¿En dónde podrías comenzar (x) para encontrar la otra raíz? 3. ¿Qué debes hacer en general si
hay más de una raíz? 4. ¿Recuerdas el teorema del valor intermedio? ¿Para qué te pue 5. Prueba con otros valores de entrada y ve cómo se comporta la búsqueda. 6. WinPLot.
Visualiza
Gráfica de las funciones x 2, sen (2 x ) y de f ( x ) x 2 2 Se te recomienda tener cuidado, porque si la derivada se hace cero sen (2 x ), se buscan las x que hagan - f ( x ) 0. FIGURA 5.13 2
camente?
Ü Propón tres ejercicios, resuélvelos y lanza el reto a tus compa-
ñeros en el aula o en la red.
Si tienes dudas, apóyate en tu facilitador.
Actividad 5.7.1 trar en el orden en que se citaron, ni todas ellas están presentes en todas las funciones, pero debes hacer un análisis cuidadoso de cada caso: 1. Discontinuidades y su comportamiento: la herramienta funda-
mental es el límite. 2. Dominio de la función: la herramienta fundamental son desigualdades. 3. y, evaluación directa de f x, cálculo de raíces por métodos algebraicos o 4. fundamental es el cálculo de ceros (raíces) en el denominador y evaluación de sus límites laterales. 5. 6. Crecimiento y decrecimiento: la herramienta fundamental es la 7. Puntos extremos (máximos y mínimos): la herramienta fundamental es la derivada; elegir el criterio más simple. Calcular los ceros de la derivada.
ACTIVIDAD 5.7.1 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés por expresar gráficamente los conceptos matemáticos . Ñ Flexibilidad para utilizar indistintamente gráficas, tablas o expresiones analíticas para representar funciones. Desempeños Ñ Observables en el producto. Productos Ñ Gráfica con señalamiento claro de cada una de las 10 cualidades producto del análisis de la función. Criterios de calidad i. ii. una de las 10 características de la gráfica. iii. Entrega puntual y con limpieza. Características del producto } Extensión : una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio individual.
256
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
w
COMPETENCIAS
8. Concavidad: la herramienta fundamental es la
segunda deri-
vada. 9. 10. Rango de la función: la herramienta fundamental es intervalos, límites y cálculo de máximos y mínimos. de las características para esta función ejemplo. Si tienes dudas, apóyate en tus compañeros y tu facilitador.
7 10
5 8 6
7 6
7
8 9 3
1
2 5
8
1
6 9 9 3 8 3 7
1
6 6
3
8
6’
8
4 FIGURA 5.14
Características en la gráfica de una función.
Actividad 5.7.2 ampliamente usada en muchos dispositivos, ya que permite revisar, con un simple vistazo, condiciones atípicas del comportamien observa con atención el siguiente reporte de investigación, cuyo 1.
ACTIVIDAD 5.7.2 E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés por comprender aplicaciones en otro idioma. Ñ Flexibilidad para describir conceptos de otras áreas del conocimiento. Desempeños Ñ Observables en el producto. Productos Ñ Escrito con la respuesta concreta a las siete preguntas. Criterios de calidad i. Claridad y síntesis de sus respuestas. Características del producto } Extensión: una cuartilla. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto optativo individual.
Experimental Numerical y t i s n e t n I d e z i l a m r o N
2. ¿Cuáles fueron los resultados encontrados? 3. Según los investigadores, ¿qué aplicación tiene
su resultado? 4. 5. 6. ¿Por qué crees que no se dio una tabla como resultado?
3.5
4.0
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
Distance from Suscepor (mm)
Gráfica de la investigación de la actividad 5.7.2. FIGURA 5.15
CAPÍTULO 5
CUADRO 5.2
w
257
Investigación cuyo resultado se expresa como una gráfica.
Process Measurements Division 2. infrastructure to enable the application of semiconductor process Problem: Reactor and process design are often limited to em trial processes are not adequately investigated prior to final imple quality products produced by processes that may be less environmentally acceptable. Approach: Process simulation has the potential to significantly enhance the design phase of process development so as to im dels can be constructed for a variety of complex semiconductor implies a greater need for accurate fundamental thermochemical is both to develop and use methods for reliably generating the utility of the generated data must also be demonstrated to the user community. Consequently, the development of process models of reference reactors prototypical of industrial processing equipment. simulations that employ the aforementioned data for input. Results and Future Plans: Our effort in the area of microcon numerical/experimental comparisons of particle layer characteris-
of 1050 K, and susceptor rotation rates of 500, 750, and 1000 rpm boundary layer as rotation-induced suction increases. During to serve as a comprehensive source of public information on this research effort. importance in semiconductor processing continued. Good results position of fluorinated ethanes. An experimental effort to measure Publications: tion Reactor,” Proceedings of the 2000 International Conference on
7.
parte de las conclusiones en una investigación? El artículo fue tomado de la zona de reportes técnicos en el gía y resúmenes de reportes técnicos de gran actualidad. Comparte tus hallazgos con tus compañeros y con tu facilitador.
http ://nist.gov/
258
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Aplicación 5.7.2 se analiza un programa muy simple y disponible de manera gratuita: se llama WinPlot, su autor es Richard Parris y está disponible en: El uso de cada uno de sus menús se describe someramente, considerando solo aquellas funciones que son de nuestro interés. El resto de las no indicadas pueden ser encontradas en el menú de ayuda y puedes experimentar libremente con ellas. Menú Ventana 2-dim 3-dim Adivinar : Traza una parábola y pide adivinar la ecuación. Abrir último: Abre el último archivo. Valores predeterminados : Restablece los valores predeterminados. Salir : Termina la sesión. Menú Archivo Abrir…: abre un trabajo previo. Nuevo: inicia un nuevo trabajo en WinPlot. Guardar : guarda la imagen actual. Guardar como…: guarda la imagen actual con un nuevo nombre. Imprimir : imprime la imagen actual. Formato Seleccionar impresora…: si existe más de una impresora, permite seleccionar la deseada. Copiar : Copia la imagen actual al Portapapeles. Máxima resolución: selecciona la máxima resolución posible de la imagen. Tamaño imagen… seada. Ayuda: despliega el archivo de ayuda. Menú Ecua f (x). y(t), x(t). G(x, y) . 4. Polar : dibuja un punto dadas sus coordenadas. : dibuja una recta dada como ax by c.
APLICACIÓN 5.7.2 ACTIVIDAD DE FORMACIÓN DE
COMPETENCIA COMPUTACIONAL .
Actitudes Ñ Gusto por el uso de la tecnología, en Desempeños Ñ Realizar con soltura gráficos de funciones y localizar características de interés. Productos Ñ Gráficas impresas. Sugerencias } Individual obligatoria NO EVALÚE, es formativa permanente, se manifiesta en productos de todo el curso.
http ://math.exeter.edu/rparris
FIGURA 5.16
Menú Ventana de WinPlot.
CAPÍTULO 5
w
: dibuja un segmento de recta dados sus puntos
: dibuja un polinomio de grado n, manipulando n : sombrea la solución a una desigualdad expresada como función implícita. : despliega el menú de inventario, que incluye Menú inventario[nombre.wp2] Sobre el trabajo actual de nombre nombre.wp2, al seleccionar una de las expresiones del inventario, esta se puede: Editar Borrar : borrarla del inventario y, por tanto, de la ventana Dupl: duplica la expresión seleccionada y, por tanto, su Copiar : copia la expresión. Tabla: despliega la tabla de puntos. Familia: crea una familia con uno o varios parámetros. : permite bloquear o habilitar el despliegue del grá Ecuación: permite bloquear o habilitar el despliegue de la Nombre: permite asignarle un nombre a la expresión. Derivar seleccionada. Cerrar : cierra el menú Menú Ver Ver… Zoom: permite acercarse o alejarse para observar con diferente detalle la ventana. Desplazar : permite desplazar la ventana sobre el plano coordenado en las cuatro direcciones. Ultima ventana: reactiva la última ventana empleada. Llenar ventana: ajusta automáticamente la ventana a la Restablecer : restablece la ventana antes de la última mo Redibujar
FIGURA 5.17
Menú Archivo de WinPlot.
FIGURA 5.18
Menú Ecua de WinPlot.
259
260
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Cuadrícula : permite ver la cuadrícula en el fondo. Ejes: permite que se desplieguen los ejes coorde-
nados. Menú Una Traza… Ceros: localiza las raíces de la función. Extremos: localiza máximos y mínimos de una función. Trasladar… - FIGURA 5.19 Menú inventario de WinPlot. talmente. Girar dado. Menú Dos Intersección tersecciones. Combinación: permite realizar nuevas funciones (sumas, restas, productos, etc.) empleando las dos seleccionadas. Menú Btns: Asigna funciones a los botones del mouse.
FIGURA 5.20
FIGURA 5.21
Menú Una de WinPlot.
FIGURA 5.22
Menú Dos de WinPlot.
Menú Ver de WinPlot.
CAPÍTULO 5
w
261
Menú Anim: Permite administrar los valores de los parámetros de familias de funciones. Menú Misc: datos. Empleando WinPlot: 1. f (x) x x 2. Localiza sus ceros. 3. Localiza las intersecciones de e
y x x). 4. x x cos (x
Archivos adicionales para usar WinPlot y otros programas de “Peanuts”; los puedes descargar de manera gratuita en Comparte tus hallazgos con tus compañeros y con tu facilitador.
Aplicación 5.7.3 En muchos problemas de optimización surgen ecuaciones muy interesantes. Por ejemplo, considera el siguiente: Localizar la longitud L máxima de una escalera que pueda pasar, paralela al piso, en la esquina de un corredor con las dimensiones x y y mostradas. mática el pasillo y la escalera vistos desde arriba. Después del planteamiento y la resolución se encuentra: 2
x 3 + x + y + x ⋅ 3 L = y ⋅ y
y x
2
WinPlot se obtuvo para valores de L 1.
que se trazó.
x
APLICACIÓN 5.7.3 ACTIVIDAD
PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR .
Actitudes Ñ Gusto por el uso de la tecnología, en particular el uso de Ñ Interés por la interpretación del lenguaje gráfico. Ñ Constancia en la práctica para formación de competencias procedimentales. Ñ Apoyo y asesoría a los compañeros con menor desempeño. Desempeños Ñ Manifestar conocimiento y práctica sobre el procedimiento de trazo de familias de curvas, interpretarlas y concluir en el caso específico de la situación problema que se plantea. Productos Ñ WinPlot con otros parámetros que muestren que se domina el procedimiento. Criterios de calidad i. Impresión correcta de familias de curvas. ii. Interpretación adecuada del uso de las familias de curvas como las presentadas. iii. Verbalización adecuada de la interpretación de las curvas obtenidas. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad individual obligatoria. } Propiciar el intercambio de experiencia e información en la clase. } Proponer otros casos de familias de curvas.
262
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
14.0 13.0
L
x
12.0 11.0 10.0 9.0 8.0 7.0
6.0 5.0
4.0 3.0
y
2.0
1.0
Una escalera de longitud L se hace pasar, paralela al piso, en una esquina de un corredor.
1.0 2.0
3.0 4.0 5.0
6. 0 7 .0 8. 0 9. 0 10.0 11.0
FIGURA 5.23
FIGURA 5.24
Familia de curvas para diferentes
valores de L.
2. ¿Qué
secuencia de pasos en WinPlot permitió obtener estas
Comparte tus hallazgos con tus compañeros y con tu facilitador.
5.8 REGLA DE LHÔPITAL PARA COCIENTES INDETERMINADOS
ñ
Si los límites de las funciones f (x) y g(x) son cero en x a, se sigue que el límite del cociente de f (x g(x) en a resulta indeterminado al Esta expresión, resultado de los límites (y no de una división en de efectuar), se conoce como . Otras formas indeterminadas que aparecen en cálculo de límites son: ( ), ( , . La regla de L´Hôpital permite resolver con éxito límites que llevan a estas formas indeterminadas, siempre que se puedan reescribir en la forma que enuncia el siguiente teorema. T5.9 Regla de L′: Si f (a) g(a) f y g son diferenciables en un intervalo que contiene a a; además, g(x) x a lím x→ a
f ′( x ) g′( x )
Entonces, lím x→ a
f ( x ) g( x )
= lím x→ a
f ′( x ) g′( x )
CAPÍTULO 5
Actividad 5.8.1
w
263
ACTIVIDAD 5.8.1
Discute con tus compañeros cada uno de los siguientes cinco tópicos y prepara un ensayo sobre estos y las características generales de las aplicaciones de la derivada. Envía tu escrito al facilitador. 1. ¿Crees que todo problema de obtención de mínimos pueda ser convertido sin pérdidas en un problema de obtención de máximos? Si ese es el caso, ¿qué operaciones implica sobre la fun discutiendo varios ejemplos. 2. Cuando un fenómeno está limitado en el tiempo (en general en su variable dependiente), los extremos del dominio son muy interesantes para su análisis debido a la posibilidad de que sean máximos o mínimos. ¿Se puede aplicar en estos casos los 3. Para una función f (x) cualquiera aplica | f (x)|. ¿Qué pasa con sus máximos y mínimos? ¿Es verdad que aparecen mínimos absolutos con valor cero, que no pueden ser localizados por los 4. En muchos problemas físicos o contextuales se analizan los puntos críticos, y si estos existen, ya no se realizan formalmente los qué se puede hacer esto? ¿Es correcto? ¿Lo harías como ingeniero? 5. WinPlot. Si tienes dudas, apóyate en tu facilitador.
Ejercicios 5.1 Se está construyendo una bóveda con forma de parábola invertida. Si se considera al piso como eje horizontal, se representa 5.1.1
aproximadamente por f (x) x m. Para darle mayor resis-
tencia se colocan dos estructuras metálicas, una al frente y otra al ra. ¿Qué ángulo forman las barras inclinadas si se sabe que estas son perpendiculares a la parábola en los puntos de contacto?
Sea un punto P(c, d) sobre la parábola. Debido a que la inclinación de la recta tangente en cualquier punto es f ′(x)
x
En dicho punto P(c, f (c)), la recta perpendicular a la tangente es la recta normal y su pendiente m es recíproca y de signo contrario m c.
E VALUACIÓN POR PRODUCTO .
Actitudes Ñ Interés por la síntesis de gran cantidad de información. Ñ Gusto por el debate de las conjeturas construidas en el proceso de esta unidad. Ñ Puntualidad y limpieza en la entrega. Desempeños Ñ Observable en el producto. Productos Ñ Ensayo que cubra los requerimientos solicitados en cada una de las cinco temáticas señaladas. Criterios de calidad i. Cobertura de las cinco temáticas propuestas. ii. Respuesta a los cuestionamientos inmersos en cada temática. iii. Aplicación correcta del lenguaje matemático en sus explicaciones. iv. Uso de gráficas, mapas conceptuales o multimedios para apoyar sus conclusiones y ejemplos. v. Citas de fuentes de consulta. vi. Inclusión de conclusiones generales. vii. Limpieza y puntualidad en la entrega. Características del producto } Extensión: cinco cuartillas. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Producto obligatorio en equipo. } Equipos de tres personas. } } Publicar todos los ensayos en un blog del grupo.
264
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
La ecuación de tal recta es y mx b, y se sabe que pasa por el b La recta normal al punto P es y c) x to P está sobre la recta y la parábola, luego f (c) c c) c c m. La pendiente de la recta es m a (m) 5.1.2 Encuentra los puntos críticos de la función f (x) x x si x
Como f ′(x) x x, y los puntos críticos son donde la derivada es cero o no existe, se tiene únicamente del primer caso: f ′(x) x x xx de la función son x x Los puntos críticos dividen al dominio de la función en los siguientes intervalos: [ x x interior de cada uno de ellos (por ejemplo, los puntos , , , que indican que en [ se pueden comprobar los detalles ya señalados. 5.1.3 Una banda trasportadora plana se mueve mediante un sis s(t) (véase miento cíclico: s s s s(9) s s está en metros y t en segundos.
a
3m Visualiza
Gráfica de f ( x ) y f ( x ) del ejercicio 5.1.2. FIGURA 5.26
Bóveda del ejercicio 5.1.1.
ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Actitudes Ñ Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la investigación. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante intente la solución de los ejercicios antes de ver su resolución. Aun así, puesto que algún ejercicio puede representar una situación novedosa, se incluye la resolución para que el estudiante la estudie y analice cuidadosamente, y plantee sus dudas en la clase al facilitador o con sus compañeros de equipo. Desempeños Ñ Participación en la clase. Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los ejercicios. ii. Presentación en clase o con los compañeros de ejercicios tomados de otras fuentes. Características del producto } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ® Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para preguntas acerca de los ejercicios. } Propiciar el aprendizaje colaborativo.
P
FIGURA 5.25
EJERCICIOS 5.1
CAPÍTULO 5
s
s(0) =
0
s(12) =
s(7) =
s(3) =
2
0
s
5
s(9) =
8
en m y t en s
Soporte y posiciones en la banda trasportadora del ejercicio 5.1.3.
265
0
0 3 7 9 12
soporte
w
s s
5
2 s
8
Ejemplo de función que cubre los requisitos de posición del ejercicio 5.1.3.
FIGURA 5.27
FIGURA 5.28
¿Qué función se puede programar para que se cumplan los requerimientos?
Considerando que un polinomio puede cumplir estas condiciones, y debido a que se conocen cinco puntos, el máximo grado que se puede suponer y que asegura más posibilidades de control berá tener dos factores lineales [t y ( t desconocido (at bt c). Luego, s(t) t(t at bt c). Ahora, s a b c); a b c s 9)(9a b c);
9a b c s(9) 9(a 9b c);
Visualiza
a 9b c que resueltas de manera simultánea tienen las siguientes soluciones: a b c Así, s(t ) =
t(t
− 12)( −191t 2 + 2 152t − 6 137 ) 7560
soluciones que cumplen las condiciones solicitadas. 5.1.4 Encuentra los valores extremos absolutos en función f (x) x x 9.
x
Función y su derivada, una solución posible del ejercicio 5.1.3. FIGURA 5.29
266
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
La derivada de la función es f ′(x) x x(x que tiene raíces en x x x minio. En x a , por lo que existe un máximo. En x a , por lo que existe un mínimo, y en x a , por lo que se tiene un mínimo, de acuerdo con el criterio de la primera derivada. Como los extremos del intervalo están en el dominio se tiene que f ( x f x M x m x M 9; x m x M Se observa que la función es par (si se sustituye x por x , la expresión no cambia). Luego, existe empate en sus máximos absolutos localizados en x x Por otro lado, los mínimos absolutos están en x x un valor de 5.1.5 Encuentra los valores extremos absolutos en π x π de la función f (x) x x.
FIGURA 5.30
f ( x ) x 4 8 x 2 9 es una
función par, sus máximos absolutos están en ambos extremos del intervalo y sus mínimos absolutos se ubican simétricamente en x 2 y x 2 (ejercicio 5.1.4).
Su derivada corresponde con f (x) x, de donde los puntos críticos satisfacen: x, x sen ( pero debe haber otra raíz en x) ( π sen ( x ) –0.5 Ahora f ( π) f (x mente, f ( π) x π x vada cambió de a , existe un máximo. Mientras en x π a , por lo que existe un x mínimo. Considerando los extremos del dominio, y por el signo de la derivada, se tiene que en x π existe un mínimo, mientras en x π existe un máximo. FIGURA 5.31 El círculo trigonométrico Evaluando la función se tiene que m f ( π) M f o unitario muestra los dos valores de x 5 π π que resuelven 0 1 2 sen x (ejercicio m f − 6 − M f ( π) 5.1.5). 1
2
CAPÍTULO 5
Por lo que el mínimo absoluto está en x π máximo absoluto se localiza en x π, alcanzando los valores indicados previamente. f (x) en rojo y f (x) en azul. 5.1.6 Encuentra los máximos y mínimos de la función en el dominio ( f ( x ) = 16 − x 2
267
Visualiza
La función f ( x ) x 2 cos x en el dominio π x π y su derivada (ejercicio 5.1.5). FIGURA 5.32
La derivada de la función es f ′( x ) =
w
−
x
16 − x 2 por lo que f (x) tiene un cero en x x x x D f ). Se forman dos intervalos ( f (x x f (x x en x a , y existe un máximo de valor M x x cada intervalo. El extremo izquierdo del intervalo no está en el dominio; en contraparte, el extremo derecho sí está en el dominio, y aunque no es diferenciable en el punto (lo cual lo hace además un punto crítico), tiene un mínimo en x m Es importante aclarar que si el dominio de la función hubiera sido ( dominio fuera [ x y no sería absoluto. derivada en azul. 5.1.7 Sea g(x) ( x x de | g(x)|. Visualiza
La función originalmente tiene ceros en x x x derivada es g(x) x(x x x x que tiene raíces en x x Ahora sea h(x) | g(x)|, de donde h( x ) =
g( x); x ∈ (−∞ , 2] x [ 2 , 3) − g( x); x ∈ (−2 , 2) x [3, ∞)
La función y derivada para el ejercicio 5.1.6. FIGURA 5.33
268
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Se observa que h(x) sigue siendo continua en y que tiene los mismos ceros que g(x), pero los ha convertido en “picos” debido al valor absoluto, por lo que en estos puntos h(x) no es diferenciable y, por tanto, son puntos críticos. Además, observa que h(x) | g(x)|:
g′( x ); x ∈(− , 2) x ( 2 , 3) − g′( x ); x ∈(−2 , 2) x (3, ∞) q
h′( x ) =
La ubicación de los ceros de g(x) se conserva en h(x), de donde los puntos críticos de h(x) son { los intervalos (, ), para los cuales, probando signos para h(x) en el interior de cada intervalo, se encuentra respectivamente , , , , , . Así, considerando los cambios de signo y el criterio de la primera derivada, se tienen máximos en x x Visualiza mientras en x x x m FIGURA 5.34 La función y derivada para por lo que estos valores idénticos representan el mínimo absoluto el ejercicio 5.1.7. de h(x). Además, la función no tiene máximo absoluto porque sus rísticas de la función (en rojo) y su derivada (azul). 5.1.8 hacia abajo o hacia arriba en f (x) x x x
De la función f (x) se obtiene f (x) x x f (x) x de donde x f (x), y además f (x) cambia de a al pasar por x x f (x). Adicionalmente, este punto forma los intervalos ( ) para los que f (x) tiene signo y , respectivamente, de donde el primer intervalo marca concavidad hacia abajo y el segundo concavidad hacia arriba. f (x) en rojo, f (x) en azul y f (x) en verde, para observar los hallazgos señalados. 5.1.9 hacia abajo o hacia arriba en f ( x ) =
x3 x2
+ 3a 2
;a<0
Visualiza
La función, 1a y 2a derivada, indicando el punto de inflexión para el ejercicio 5.1.8. FIGURA 5.35
Para esta función la derivada f (x) es
CAPÍTULO 5
w
269
x 2 ( 9a 2
+ x2 ) f ′( x ) = ( 3a 2 + x 2 )2 f (x) resulta: 6a 2 x( x − 3a )( x + 3a ) f ′′( x ) = − ( x 2 + 3a 2 )3 Esta segunda derivada tiene las raíces en x x a y x a. Formándose cuatro intervalos: ( a a ), recordando que a f (x) muestra los signos , , , , de donde se tienen tres puntos de x a, x x a. El primero y el a f (x) en azul y f (x) en verde. Visualiza FIGURA 5.36 La función, 1a y 2a derivada, para el ejercicio 5.1.9, a desde tomando para análisis el ejemplo a 1. mente se observan f (x) y f (x) cuando a WinPlot esta variación con la opción “family”. 5.1.10 Calcula
lím
cos ax − cos bx x2
x →0
Encontrar el límite independientemente en el numerador y el de que a b y aplicando el teorema de LHôpital, se tiene lím x→0
cos ax − cos bx x
2
= lím x→ 0
− a sen ax + b sen bx ( cos ax − cos bx )′′ = lím 2 x→0 2x ( x )′
a
= − lím 2 x →0 =−
a2
2
lím
ax→0
+
b
x
b
+ lím 2 x→0
sen ax ax
+
b2
2
sen bx
lím
x
sen bx
bx→0
bx
− a sen x =1 en donde se usó el hecho de que lím =−
a
sen ax
=
b
x→0
x
O aplicando nuevamente la regla de LHôpital, porque también es una forma indeterminada a partir de
Visualiza
La función para valores entre a 5 y a 1, ejemplo de 1a derivada y 2a derivada para a 0.5, del ejercicio 5.1.9. FIGURA 5.37
270
lím x→ 0
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
− a sen ax + b sen bx ( − a sen ax + b sen bx)′ = lím x→ 0 2x (2 x )′
− a 2 cos ax + b 2 cos bx b 2 − a 2 = x →0 2 2 Obteniendo el mismo resultado, adicionalmente obsérvese que si a b, el límite es cero. 5.1.11 Calcula lím xex = lím
x→− q
En este caso,
lím x 3 → −∞
y
x→−∞
lím e 2 x → 0
x→−∞
. Reescribiendo como se indica, se tiene ahora una forma , para la cual se puede aplicar la regla de LHôpital sucesivamente: x3
3x 2 6x 6 = = =0 lím −2 x = lím lím lím x→−∞ e x→−∞ −2e −2 x x→−∞ 4e −2 x x→−∞ −8e −2 x 5.1.12 Calcula 1 1 − lím x→ 1 ln x x−1
Función f ( x ) x 3e2 x , en la que se observa la asíntota horizontal a la izquierda para el ejercicio 5.1.11. FIGURA 5.38
La forma indeterminada que se obtiene es , pero reescrito el teorema de LHôpital: 1 − 1 x − 1 − ln x 1 1 x − = lím = lím lím x→ 1 ln x x→ 1 x − 1 x→ 1 ( x − 1) ln x x−1 ln x + x
1
= lím x→ 1
1 x
x2
+
1
=
1 2
1
x2
en donde se aplicó sucesivamente la derivación, ya que cada paso L lo que ocurre. 5.1.13 f ( x ) =
y
x3 x+2
x
1
Discontinuidad en x 1 para la función del límite del ejercicio 5.1.12. FIGURA 5.39
CAPÍTULO 5
w
271
1. Discontinuidades y su comportamiento: La función existe únicamente si el denominador satisface x > tienen discontinuidades. 2. Dominio de la función: Del paso previo D f ( ). 3. f x el único punto que satisface f (x) x 4. x3
lím
x+2
x→− 2 +
= −∞
5.
lím
x→∞
x3 x+2
= lím
x→∞
1 1 x5
+
2
=∞
x6
6. Crecimiento y decrecimiento:
f ′( x ) =
x 2 ( 5x + 12 ) 3 2 2)
2( x + que implica ( ), con signos y , por lo que la función es creciente en ( ). En términos correctos se dirá que es monótonamente creciente (esto quiere decir que en algunos puntos podría ocurrir que fuera estacionaria, como ciertamente ocurre en x x 7. Puntos extremos: El único punto crítico es x mo por el paso previo. 8. Concavidad: 3x( 32 + 24x + 5x 2 ) f ″( x ) = 5 4( x + 2) 2 que tiene un cero en x ). Con signos para f y cava hacia abajo en el primer intervalo y cóncava hacia arriba en el segundo. 9. x 10. . FIGURA 5.40 Gráfica para la función del ejercicio 5.1.13.
272
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
f ( x ) =
x3 x
+2
5.1.14
g( x ) =
x2 x2
−9 −4
La función es par, ya que al sustituir x por x la expresión
no cambia; por tanto, se puede analizar solamente y concluir todo lo que se diga para . Sin embargo, para ejercitar todos los puntos se realizará la búsqueda en todo y comprobaremos al 1. Discontinuidades y su comportamiento: la función no existe en x x 2. Dominio de la función: del paso previo D f ( , x ( x ). 3. f f ( f 4. x x
−9 x2 − 9 = ∞ , lím+ 2 = −∞ x→−2 x→−2 x − 4 −4 x2 − 9 x2 − 9 = −∞ , lím+ 2 =∞ lím− 2 x→ 2 x − 4 x→ 2 x − 4 5. lím−
x2 x2
x2
−9 =1 x→±∞ x − 4 6. Crecimiento y decrecimiento: lím
f ′( x ) =
2
10x ( x − 2)2 ( x + 2)2
que implica (, ). Con signos para f (x) en cada intervalo , , , , por lo que la función es decreciente en (, ). 7. Puntos extremos: el único punto crítico es x cluyen las asíntotas. Del paso previo por el criterio de la segun9 da derivada, existe un mínimo de valor m . 4 8. Concavidad: 10( 3x 2 + 4) f ′′( x ) = − ( x − 2)3 ( x + 2)3 que no tiene ceros. Pero de los intervalos previamente trazados se tienen los signos para f (x): , , , , por lo que la concavi-
CAPÍTULO 5
dad es hacia abajo (, ), mientras es cóncava hacia arriba en ( 9. 9 10. Rango de la función: − 1, . 4 11. dos en que se cubrió la conclusión que desde la nota inicial se tuvo por la paridad. x2 − 9 g( x ) = 2 x −4 5.1.15 f ( x ) =
x 2 ( x 2 − 1); x < 0 h( x − x); x ≥ 0
si h( x ) = x + 1 − x
Como f (x f (x) x(x x 1. Discontinuidades y su comportamiento: no presenta discontinuidades. 2. Dominio de la función: x 3. f ( y, se logra un límite lím− x 2 ( x 2 − 1) = 0 x→0
4. 5.
lím x 2 ( x 2 − 1) = ∞
x→−∞
6. Crecimiento y decrecimiento:
xx (−∞ , −1/ 2 ) y (−1/ 2 , 0) , para los cuales f tiene signos y , por lo que la función es decreciente en el primero y creciente en el segundo intervalo. 1 1 7. Puntos extremos: en x = − tiene un mínimo de valor m = − . 4 2 1 8. Concavidad: como f (x) x x = − ge6 1 1 nerando los intervalos −∞ , − y − , 0 , para los cuales 6 6 f (x)
w
273
Gráfica para la función del ejercicio 5.1.14. FIGURA 5.41
274
w
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
f presenta los signos y , indicando concavidad hacia arriba
y abajo, respectivamente.
9. x
10.
=−
1 , del paso previo 6
1
Rango de la función:, ∞ , − . 4
f (x) x (x La tiene una función compuesta. Comencemos por 11.
h( x ) = x + 1 − x 1. Discontinuidades y su comportamiento: no presenta disconti-
nuidades. 2. 3. f 4. 5. 6. Crecimiento y decrecimiento:
Gráfica para la función de dominio x < 0, del ejercicio 5.1.15. FIGURA 5.42
−1 + 2 1 − x 2 1− x h 7. Puntos extremos: el extremo del dominio es x nimo de valor m x M En particular, en el extremo derecho que está fuera de dominio h′( x ) =
−1 + 2 1 − x = −∞ x→ 1 x→ 1 2 1− x 8. Concavidad: como f (x f 1 f ′′( x ) = − 3 4( 1 − x ) 2 lím− f ′( x ) = lím−
9.
10.
h( x ) = x
+ 1−x
Gráfica para la función de dominio [0, 1), del ejercicio 5.1.15. FIGURA 5.43
CAPÍTULO 5
w
275
Para resolver la composición h(x x) se puede ver que x entero no mayor que x; luego, x – x fracción de x que excede al entero previo. Luego el rango de x x n, n Se sigue que h(x x), x to h(x x), x n, n f (x
x 2 ( x 2 − 1); x < 0 f ( x ) = h( x − x ); x ≥ 0 h( x ) = x + 1 − x
Gráfica para la función del ejercicio 5.1.15. FIGURA 5.44
5.1.16 Una
banda de lámina de ancho a debe ser encorvada de modo que forme un canalón cilíndrico abierto (la sección del canalón es un arco de segmento circular). ¿Cuál ha de ser la abertura del ángulo central que se apoya en este arco para que la capacidad del canalón sea la mayor posible?
r
a, subtendido por un ángulo x y radio r . Como el segmento limitado por los dos radios y el arco de longitud a es una proporción del círculo completo, sea B el área del sector circular, por lo que se cumple la relación de proporción entre ángulos y áreas siguiente: x π
B
r π
π
B
xr
Además, la longitud del arco es a xr , de donde r ax y B a x, y ahora se le resta el área de los dos triángulos de altura r cos (x r sen (x
2
− r sen
x
x
a2 2x
a2
− 2 sen x cos = 2 2 2x en donde se empleó la identidad del ángulo doble. Como la capacidad depende de esta área, lo que se desea es encontrar máx( A); ahora, A
=
a2 2x
( 2 sen x − x − x cos x ) 2x 3 que tiene un punto crítico en x π rad (resuelto por el mé plica la construcción de media circunferencia con la lámina. La Dx A
=
a2
x
cos ( x /2)
r
sen ( x /2)
r
A a
Sección del canal en forma de arco, de longitud a y radio r . FIGURA 5.45
276
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
este máximo; asimismo, en la derivada se observa el cero, que lo 5.1.17 vamente. Se debe cortar una viga de sección transversal cuadrada cuyo eje coincida con el del tronco y cuyo volumen sea el mayor posible. ¿Qué dimensiones debe tener la viga?
y = 25(–x–x*cos(x) + 2sen(x))/2/xˆ3; 0.000000 < = x < = 5.000000 y = 25(1/x sen(x)/xˆ2)/2; 0.000000 < = x < = 5.000000
4 3
2 1
y es el lado del cuadrado de la –1 1 2 3 4 5 sección de la viga que se debe de cortar y x el largo. –1 Del triángulo indicado con línea punteada y del formado FIGURA 5.46 Gráfica y su derivada, que por el cateto correspondiente a la longitud del tronco x se tiene: muestra el comportamiento del área de la sección del canal en términos del 2 − 1 2 − y , de donde x y). = ángulo x . 2 ⋅ 20 2x Así, el volumen de la viga es V xy y)y. V ’ y y), que tiene los puntos críticos y y y 4 men. Así, el único candidato es y m y debe ser un máximo,* 3 2m 1m ya que el valor desechado V y Luego el volumen máximo será con x x
4 2 40 = 20 2 − = 20 = m 3 3 3 2
40 4 3 3 3 = 23.7 m y en rojo y su derivada en azul. 5.1.18 Un farol debe ser colgado exactamente encima del centro de una plaza circular de radio R. ¿A qué altura debe estar el farol para que ilumine, lo mejor posible, un andador que rodea la plaza? (Considere que la iluminación es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia media entre el foco luminoso y el punto que se desea iluminar.) V =
20 m
Esquema del tronco circular y de la forma de tomar las medidas de la viga que se desea obtener. FIGURA 5.47
Visualiza
h es la altura deseada y d la distancia del punto luminoso al andador. Observa que se forma x como un ángulo incidente (el ángulo incidente se mide respecto de la vertical). * Cuando resulta evidente el tipo de extremo, no es necesario comprobar bajo
Función que representa el volumen del tronco y su derivada, correspondiente al ejercicio 5.1.17. FIGURA 5.48
CAPÍTULO 5
Del teorema de Pitágoras, d h R; además, la iluminación l será k cos x k cos x = 2 I = 2 d h + R2 en donde k es la constante de proporcionalidad desconocida. Lue-
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277
x h
d
h d
go, cos x , resultando al sustituir R
kh
I = 2
(h +
3 2 2 R )
Farol a una altura h en el centro de una plaza circular de radio R. FIGURA 5.49
que tiene derivada: Dh I
R 2 − 2h 2 = k 5 2 2 ( R + h ) 2
DhI tiene un punto crítico positivo en h
R
Visualiza
. Como con h
se tiene I iluminación es 2k I 3 3R2
R FIGURA 5.50 En rojo, gráfica de la función que expresa la intensidad de la iluminación sobre el andador; en azul se general encontrada. muestra su derivada.
5.1.19 En
un segmento de longitud L que une dos puntos luminosos con intensidades A y B, encontrar el punto peor iluminado.
Sea el punto P colocado a una distancia x del extremo izquierdo del segmento. Luego, el punto recibirá iluminación directamente proporcional a la intensidad de la fuente e inversa al cuadrado de su distancia fuente. Luego, la intensidad total recibida y su derivada serán I =
A x2
+
B (L − x )2
2B 2 Bx 3 − 2 A(L − x )3 = I ′ = − 3 + x x 3 (L − x )3 (L − x )3 2A
Calculando el valor que hace cero a I ’ aplicando la expresión de x
=
2 1 A 3 B 3 L
AL − A + B A + B
+
1 2 A 3 B 3 L
A + B
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278
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Debe ser un mínimo, porque si P es el punto en que se encuentra una fuente (x L o x diante WinPlot se presentan varias curvas con diferentes valores de A y B 5.1.20 x unidades de una mercancía en particular por semana es C (x) x 9x x. Encuentra el nivel de producción para el cual el costo marginal es mínimo y ese costo marginal mínimo.
y = 1/xˆ2 + 5 / (5 – x)ˆ2 y = 2/xˆ2 + 5 / (5 – x)ˆ2 y = 3/xˆ2 + 5 / (5 – x)ˆ2 y = 4/xˆ2 + 5 / (5 – x)ˆ2 y = 5/xˆ2 + 5 / (5 – x)ˆ2
dC y corresponde con el costo de dx
producir una unidad más del producto. Luego, C (x) x x Ahora se trata de minimizar C (x), de donde C (x) con un único cero en x C (x) cambia de signo de a , se IGURA 5.51 Familia de curvas para la ha localizado un mínimo para el costo marginal, siendo ese costo Fintensidad en los puntos del segmento marginal mínimo C considerando L = 5, B = 5 y A ε {1, 2, …, 5}; en cada caso se indica el mínimo.
Autoevaluación 5.1 Resolver los siguientes planteamientos. 5.1.1 Una pequeña casa para acampar en la playa y contra el sol, hecha de lona, tiene un techo, dos paredes laterales cuadradas, una pared posterior y media pared superior al frente como cortina para de lona. Encuentra las dimensiones del refugio de manera que el espacio interior (el volumen) sea el máximo. ción y empleando el criterio de la primera o de la segunda derivada. 5.1.2 y x x x, determinando los intervalos en que la función es creciente, decreciente, cóncava mínimos y asíntotas, e indicando también si alguno de estos elementos no existe. 5.1.3 La función del costo total de un fabricante está dada por C =
q2
+ 2q + 1 024 , en donde q es el número de unidades que se 4 fabrican. ¿A qué nivel de producción los costos promedio por unidad serán mínimos? ¿Cuál es este mínimo?
Solución a la autoevaluación 5.1 5.1.1
Lado del cuadrado:
AUTOEVALUACIÓN 5.1-5.8 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Actitudes Ñ Ñ Interés en la abstracción. Ñ Interés por la resolución de situaciones novedosas. Ñ Compromiso ético. Productos Ñ No son necesarios, aunque se espera que el estudiante de manera individual o en equipo intente la solución de cada autoevaluación. Ñ Es muy importante que se comprenda cómo las aplicaciones de la derivada dan sustento a la ingeniería y demás áreas del conocimiento, apo yadas en el estudio de la velocidad de variación. Por la gran cantidad de información que aporta, resalta el estudio de las gráficas, que si bien no son demostraciones, sí muestran características globales esencial de los fenómenos bajo estudio. Por lo anterior, debe hacerse un uso extensivo de ellas.
CAPÍTULO 5
5.1.2 1. Discontinuidades y su comportamiento: no tiene. 2. Dominio de la función: D f R. 3. y 4. 5. e por la de-
recha. 6. Crecimiento y decrecimiento: Creciente en todo , a excepción de x 7. Puntos extremos: no tiene extremos. 8. Concavidad: concavidad hacia abajo en ( ). 9. x 10. Rango de la función: . 5.1.3 El número de unidades es q
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279
Desempeños Ñ No necesario.
Ô
Criterios de calidad i. Presentación de preguntas de interés grupal o individual respecto de la resolución de los cuestionamientos. ii. Presentación de ejercicios de otras fuentes en clase o con los compañeros. Sugerencias } Actividad de revisión obligatoria extraclase, sin manifestación de productos o desempeños. } Planear al menos una sesión en la clase para discusión grupal, propiciando el aprendizaje colaborativo. y = xˆ2 – 3xˆ2 + 3x
Autoevaluación 5.2 Resolver los siguientes planteamientos: 5.2.1 forma de “E” a lo largo de un muro, de manera que empleando el muro se formen dos corrales rectangulares idénticos. Los mate a) Encuentra las dimensiones para las que el área total es lo más grande posible. FIGURA 5.52 Gráfica de la función del ejercicio 5.1.2. función, y mostrar que se cumplen los criterios de la primera y segunda derivadas. AUTOEVALUACIÓN 5.1 5.2.2 4 f ( x ) = x + x+1 Determinar los intervalos en que la función es creciente, decrecien máximos, mínimos y asíntotas, indicando también si alguno de estos elementos no existe. 5.2.3 Supón que la ecuación de demanda para el producto es p q y que la función de costos promedio es C m q q, en donde q es el número de unidades, y tanto p como C m están expresadas en euros por unidad.
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
280
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
a) Determinar el nivel de producción en el que se maximizan las
utilidades. b) Determinar el precio para el cual ocurre el máximo de las utilidades. c) Determinar las utilidades máximas.
Solución a la autoevaluación 5.2 perpendiculares 9 . 5.2.1
5.2.2 1. Discontinuidades x
AUTOEVALUACIÓN 5.2 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
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y su comportamiento: discontinuidad en
2. Dominio de la función: D f R { 3. f 4. x 5. e para la dere-
cha. 6. Crecimiento y decrecimiento: creciente en todo (, ). Decreciente en ( 7. Puntos extremos: máx x x 8. Concavidad: concavidad hacia abajo en (, en ( ). 9. FIGURA 5.53 Gráfica de la función del 10. Rango de la función: R ( ejercicio 5.2.2. 5.2.3 Nivel de producción: q p
Autoevaluación 5.3 Resolver los siguientes planteamientos: 5.3.1 Una compañía elaboradora de refrescos, para optimizar sus costos: a) Desea minimizar el costo del aluminio que utiliza para sus la para todo el envase, excepto para la tapa reforzada, que cuesta ción de la función y utilizando los criterios de la primera y segunda derivadas.
AUTOEVALUACIÓN 5.3 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
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CAPÍTULO 5
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281
5.3.2 y x x x, determinando
los intervalos en que la función es creciente, decreciente, cóncava mínimos y asíntotas, e indicando también si alguno de estos elementos no existe. 5.3.3 El costo de producción de un artículo es 87200000 x C = 6500 + + , en donde x es el tamaño promedio x 25 del lote por serie de producción. Encuentra el valor de x que hace mínimo C .
Solución a la autoevaluación 5.3 5.3.1
y = xˆ4 + 2xˆ3 – 3xˆ2
5.3.2 1. Discontinuidades y su comportamiento: no tiene. 2. Dominio de la función: D f . 3. y y( y 4. 5. e
por la derecha. 6. Crecimiento y decrecimiento: creciente en todo ( ). Decreciente en (, 7. FIGURA 5.54 Gráfica de la función del ejercicio 5.3.2. ( 8. Concavidad: concavidad hacia abajo en ( hacia arriba en ( ). 9. x x 10. Rango de la función: [ ). AUTOEVALUACIÓN 5.4 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO 5.3.3 Mínimo en x C
Autoevaluación 5.4 Resolver los siguientes planteamientos: 5.4.1 tes cilíndricos que contienen carteles de publicidad, restringe las dimensiones de estos de manera tal que la suma de su longitud Encuentra las dimensiones del paquete cilíndrico de mayor volumen que se pueda enviar en esa compañía logística.
Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
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282
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
Se sugiere comprobar el resultado obtenido a través de la gra gunda derivadas. 5.4.2 La gerencia de una empresa productora de una bebida refrescante estima que sus ganancias por la producción y venta diaria de x dada por p x x ¿Cuál es la máxima ganancia posible de la empresa en un día? Se sugiere comprobar el resultado obtenido a través de la gra gunda derivadas. 5.4.3 f ( x ) =
4x x2 + 1
Determina los intervalos en que la función es creciente, decrecien máximos, mínimos y asíntotas, indicando también si alguno de estos elementos no existe.
Solución a la autoevaluación 5.4 5.4.1
. 5.4.2 5.4.3 1. Discontinuidades y su comportamiento: no tiene.
y = 4x/(xˆ2 + 1)
2. Dominio de la función: D f . 3. f 4. 5. y
y decrecimiento: creciente en ( creciente en (, ). 7. Puntos extremos: máx x x 6. Crecimiento
concavidad hacia abajo en (−∞, − 3 ) y 3 ) y hacia arriba en (− 3 , 0) y ( 3, ∞) .
8. Concavidad:
(0,
9. x x 10.
Rango de la función: [
=− y x .
FIGURA 5.55
5.4.3.
Gráfica de la función del ejercicio
CAPÍTULO 5
Autoevaluación 5.5
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283
AUTOEVALUACIÓN 5.5
Resolver los siguientes planteamientos: 5.5.1 Se va a publicar en un diario un comunicado que se prepara de material impreso en un forma margen a los lados. El costo por cada cm . ¿Cuáles son las dimensiones totales (incluyendo los márgenes) que pueden minimizar el costo de la publicación del diario? cación de la función, utilizando los criterios de la primera y segunda derivadas. 5.5.2 La cantidad mensual demandada de una revista se relaciona con el precio por unidad. En la ecuación p x p denota el precio unitario en dólares (USD) y x es el número de revistas demandadas. El costo total mensual por la impresión y empacado de las copias de la revista está dado por
E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
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C x x USD ¿Cuántas copias mensuales de la revista debe producir la empresa para maximizar sus ganancias? 5.5.3 2 + x − x2 f ( x ) = ( x − 1)2 Determina los intervalos en que la función es creciente, decrecien máximos, mínimos y asíntotas, e indica también si alguno de estos elementos no existe.
y = (2+x–xˆ2)/(x–1)ˆ2
Solución a la autoevaluación 5.5 5.5.1
5.5.2 5.5.3 1. Discontinuidades y su comportamiento: discontinuidad asintótica en x 2. Dominio de la función: D f 3. f ( f f 4. x
FIGURA 5.56
5.5.3.
Gráfica de la función del ejercicio
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284
CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
5. y 6. Crecimiento y decrecimiento: creciente en (
), de-
7. Puntos extremos: mínimo en x 8. ) y hacia arriba en ( 9. x 10. Rango de la función: ( ).
Autoevaluación 5.6 Resolver los siguientes planteamientos: 5.6.1 La cantidad mensual demandada de recuerdos de la visita a un centro recreativo se relaciona con el precio unitario mediante la ecuación 70 ( x − 1) − + 15 p = − 2 0.2 x 2 donde p se mide en euros y x en unidades de millar. ¿Cuántos recuerdos se deben vender para obtener el máximo de ingresos? 5.6.2 El costo de producir x artículos de cierto producto es C (x) x x. Determinar el valor de x que hace que el costo promedio por artículo sea mínimo. 5.6.3 g( x ) =
1 3 4x
+
AUTOEVALUACIÓN 5.6 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
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4 x3
Determinar los intervalos en que la función es creciente, decrecien máximos, mínimos y asíntotas, indicando también si alguno de estos elementos no existe. y = 4xˆ(1/3)+xˆ(4/3)
Solución a la autoevaluación 5.6 5.6.1 5.6.2 El costo promedio mínimo ocurre cuando x 5.6.3 1. Discontinuidades y su comportamiento: no tiene. 2. Dominio de la función: D g . 3. g g( 4. 5.
e por la de- FIGURA 5.57 Gráfica de la función del ejercicio 5.6.3. recha.
CAPÍTULO 5
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285
6. Crecimiento y decrecimiento: creciente en ( ) y decreciente
en (, 7. Puntos extremos: mínimo x 8. ( ). 9. x x g 10. Rango de la función: [ ).
Autoevaluación 5.7 Resolver los siguientes planteamientos: 5.7.1 Un fabricante ha determinado que para cierto producto el costo promedio Cm por unidad está dado por Cm = 2q 2 − 36q + 210 −
200 q
q jarse la producción para minimizar el costo total? ¿Cuál es el costo total mínimo? 5.7.2 Calcular la cantidad q que se debe producir para maximizar las ganancias G I q q y el costo total C q q q q 5.7.3 f (x) x x x Determinar los intervalos en que la función es creciente, decrecien máximos, mínimos y asíntotas, e indicando también si alguno de estos elementos no existe.
Solución a la autoevaluación 5.7 5.7.1 q q en el extremo, mientras el mínimo absoluto ocurre en q un mínimo relativo en q 5.7.2 q
5.7.3
1. Discontinuidades y su comportamiento: no tiene. 2. Dominio de la función: D f . 3. f f ( f ( f
AUTOEVALUACIÓN 5.7 E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
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CÁLCULO DIFERENCIAL EN
COMPETENCIAS
4. 5.
y = –xˆ3–3xˆ2+24x+32
y
por la derecha. 6. Crecimiento y decrecimiento: creciente en ( creciente en (, ). 7. Puntos extremos: máx x x 8. Concavidad: concavidad hacia abajo en ( ) y hacia arriba en (, 9. x 10. Rango de la función: .
Autoevaluación 5.8 FIGURA 5.58 Gráfica de la función del ejercicio 5.7.3. Resolver los siguientes planteamientos: 5.8.1 El número de bacterias por centímetro cúbico en un lago, t días después de un tratamiento químico, está dado por B(t) t AUTOEVALUACIÓN 5.8 t t E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO tratamiento en que la cantidad de bacterias en el lago es mínima. Y DESEMPEÑO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y 5.8.2 GRUPAL .
f (x) x x x
Determinar los intervalos en que la función es creciente, decrecien máximos, mínimos y asíntotas, e indicar también si alguno de estos elementos no existe. 5.8.3 f (x) x x x Determinar los intervalos en que la función es creciente, decrecien máximos, mínimos y asíntotas, e indicar también si alguno de estos elementos no existe. 5.8.4 La función de costo de un fabricante está dada por
y = 3xˆ4–4xˆ3–12xˆ2+5
q2
+ 3q + 400 , en donde c es el costo total en pesos de producir 4 q unidades. ¿Para qué nivel de producción el costo promedio por unidad será mínimo? ¿Cuál es ese mínimo? c
=
Características del producto } En caso de considerar la entrega de la resolución de la autoevaluación como producto: } Extensión: libre. } Individual ® Equipo ® } Fecha de entrega : } Obligatorio ® Optativo ®
Solución a la autoevaluación 5.8 5.8.1
5.8.2 1. Discontinuidades y su comportamiento: no tiene. 2. Dominio de la función: D f .
Gráfica de la función del ejercicio 5.8.2. FIGURA 5.59
CAPÍTULO 5
3. f f ( f f
4. 5. e por la derecha. 6. Crecimiento y decrecimiento: creciente en ( ) y decreciente en (, 7. Puntos extremos: máx x x en x 8. Concavidad: concavidad hacia abajo en ( hacia arriba en (, ). 9. x x 10. Rango de la función: [ ). 5.8.3
w
287
SUGERENCIA EVALUACIONES E VALUACIÓN POR CONOCIMIENTO , ACTIVIDAD DE ENTRENAMIENTO INDIVIDUAL Y GRUPAL .
Ñ En caso de que el facilitador o los
propios estudiantes consideren la necesidad de realizar alguna evaluación por conocimientos, se puede diseñar un examen que emplee una combinación de cuestionamientos incluidos en estas autoevaluaciones, adicionen de otras fuentes y, sobre todo, proponer de su propia creación.
y = 8xˆ5–5xˆ4+20xˆ3
1. Discontinuidades y su comportamiento: no tiene. 2. Dominio de la función: D f . 3. f 4. 5. e por la de-
recha. 6. Crecimiento y decrecimiento: creciente en todo , a excepción de x 7. Puntos extremos: no tiene extremos. FIGURA 5.60 Gráfica de la función del 8. Concavidad: concavidad hacia abajo en ( ejercicio 5.8.3. ). 9. x 10. Rango de la función: . 5.8.4
