Solución de problemas transformación de coordenadas P-2:
Por traslación de los ejes al nuevo origen (3,2) y por rotación de 37° [triángulo 3, 4,5 4,5,, las nuev nuevas as coor coorde dena nada dass de un punt punto o p resul resulta tan n (7,! (7,!)" )" #all #allar ar sus sus coordenadas originales"
P % P$ & x u' y u'
P$ % (3,2)
3 4 4 3 , 5 5 * 24 2* 2 (3,2) & 5 , 5 5 , 5
37
(,y) % (3,2) & (7) 5 , 5 & !
P = (7,!) 4 3 5 5 3 4 , u' 5 5
u' ,
P- 4:
(,y) % (5,) P
% (5,)
+ada la recta - 4 &3y %24, .allar las rotaciones de los ejes coordenados para o/tener los nuevos ejes en los cuales la recta resulte .ori0ontal"
- 4 & 3y % 24
y k
P u'
xu' y u' (cos , sen )
u' ( sen , cos )
% x cos y sen y % x sen y cos 4 x cos 4 y sen 3 x sen 3 y cos 24 x 4 cos 3 sen y (3 cos 4 sen ) 24 Para que la recta sea horizontal se cumple: (4 cos 3sen ) $
4 cos 3sen 4 3
tg
27
3$7
u' %
3 4
u' %
5
,
5
3 4 , 5 5
P-6:
+ado el punto p % (!,*) en el plano y , si se considera un nuevo origen de coordenadas Po % (3,!) y dos ejes perpendiculares 1ue siguen la isa dirección de los vectores (7,2) y (2,7) respectivaente, .allar las coordenadas de p en el nuevo sistea"
P % (!,*) P$ (3,!) u' % (7,2) 53 (PP$) u' % x (PP$) u' % y (3,2) (7,2) 53 % x 25
x
53
(3,2) (2,7) 4 * 4 53 % y
53
% y
( x , y ) ( 25,*) 53
P-8: +ada la recta y % & 3 en el sistea y , .allar la ecuación trasorada si los ejes son rotados 45°" 6lustre gráicaente.
y % &3 P % xu' y u' , 2 2 , u' % 2 2 x y x y (,y) % , 2 2 2 2 x y %
u' %
2 x
y %
2
2 y
2
emplazando en la ecuación: x
2
y
2
2 y 2 y
3 3 2 2
x
2
y
2
3
P-!":
os puntos , 8 y 9 tienen coordenadas (4,2), (2,4) y (,3) respect" :n el sistea y" ;ea < el centroide del triángulo 89 [intersección de las edianas< % (&8&9) 3" ;i los ejes son rotados en el ángulo o/tuso tal 1ue sen % 35, .allar las coordenadas de , 8, 9 y < en el nuevo sistea" A B C 3 sen
G (5,5) 3
4 3 , cos , sen u' % 5 5 5 3 4 , ( sen , cos ) u' % 5 5 3
P% x u' y u' P" u' % x P" u' % y Para el punto #:$4%2&
x cos ysen x 4 3 4 2 x 5 5
-2 % x
xsen y cos y 3 4 4 ( 2) y 5 5 4% y A ( 2,4) Para el punto ':$2%-4& remplazando: 4 3 ( 4) x 2 5 5
x 4 3 4 y -2 (4) 5 5
y 2
B ( 4,2) Para el punto (: $-!.-)&
4 3 (3) x 5 5
()
% x
x cos ysen x xsen y cos y
3 4 (3) y 5 5 3 y C (,3)
()
Para el punto *: $+,)%-+,)&
3 4 & (53) % x 5 5
(53)
73 % x 3 4 (5 3) y 5 5 3% y G (7 3, 3)
(53)
P-!2: #allar la ecuación en la 1ue
x 2 2 x 4 y 2 ! y 3 $ es trasorada si los
ejes son trasladados al nuevo origen (,2)" x 2 2 x 4 y 2 ! y 3 $
P$ % (,2) % $ & x y % yo & y % (& x ) y % ( 2 y ) emplazando:
x 2 2( x) 4(2 y ) 2 !(2 y) 3 $
) x
2
2 x 2 2 x )! 4 y 2 )! y 32 )! y )3 $
x 2 4( y ) 2 4 x 2 y 2 4
P-!4: #allar la ecuación trasorada si el origen es trasladado al punto P$a) x 2 y 2 2 x 4 y 4 $ , P $ (,2) 2 2 /) 4 x y 24 x 4 y 3! $ , p $ (3,2) c) y 2 * x * y * $ , p $ (3,4) p $ ( 2,) d) 4 x 2 = y 2 ! x * y 43 $ ,
2 a) x ( y 2) 2 = x 2 ( y 2) 2 = x x
y 2 y ( x ) 2 ( y ) 2 =
/) 4 x 2 ! x = ( y 2) 2 4 4 ( x 3) 2 ( y 2) 2 4 x 3 x y 2 y 4( x ) 2 ( y ) 2 4 ( y 4) * x * ! $ 2
c)
x 3 x y 4 y ( y ) *(3 x ) * ! $ 2
( y ) 2 * x 24 24 $ ( y ) 2 * x
4 ( x 2 2 x ) =( y 2 2 y ) = 4 43 $ 4 ( x ) 2 =( y ) 2 4* x 2 x
d)
y y
4( x ) 2 =( y ) 2 4* 2 P-!6: :liinar los t>rinos lineales de x 2 * y por una traslación si uese
posi/le( x 2) 2 *( y )
x x$ x y y $ y 2 ( x x$ 2) *( y$ y )
( x x$ ) 2 y 4( x x$ ) * y$ * y *
( x) x$ 2 x x$ 4 x 4 x$ * y$ * y 2 2
2
2 x$ ( x) 2 * y * x$ 4 y 4 y$ 2 xx$ Términos lineales 2
2
2
x $ ( x ) 2 $ 2
x$ $ x$ ( x) $ 2
2
x$ ( x) 2 2 2
2
2 $ No es posible eliminar los términos lineales
P-!8: Por rotación de los ejes coordenados, trasorar la ecuación 2&y7%$ en otra 1ue care0ca del t>rino en y " 6ndicar la rotación" 2&y7%$ P % x u' y u' % x cos y sen y % x sen y cos 2 x cos 2 y sen x sen y cos 7 $ x ( 2 cos sen ) y (cos 2 sen ) 7 Para que carezca de y se cumple: cos 2 sen $ tg
(2)
53
2
x 2
2
7
5
5
x
5 (7 )
arctg ( 2)
u' %
( 2,) 4
5
P-2": #allar la ecuación en la 1ue
ax ay c $
5
se trasora si el origen es
trasladado al punto (., .)" a&ay&c%$
x h x
a( h x ) a ( h y ) c $
ah a x ah a y c $ a x a y c $
y h y
P-22: #allar la ecuación en la 1ue
ax ay c $
se trasora si el origen es
trasladado al punto (/.,a.(c/))" a (bh x ) b( ah c b y ) c $ ax by c $
abh a x bah c b y c $ a x b y $
x bh x y ah c b y
P-24: +euest" 1ue la pendiente de una recta no es alterada por una traslación"
m a b pendiente
;ea la recta ax by c $ ?rasladando a ( x$ , y $ )
ax$ a x by $ b y c $
x x$ x
a x b y c ax$ by $ $
y y $ y
m ( a b)
P-26: #allar la nueva ecuación si los ejes son rotados un ángulo a) x 5 xy y 3 , 2 2 /) 2 x 3 3 xy y 5 , c) x 2 24 xy 4 y 2 = , d) 2 x 5 y 4 $ , 2 2 e) x 2 xy y 2 x $ , 2 2 ) 5 x 3 xy y * $ , 2 2 g) * x 3 xy 4 y 3 , 2
2
45 !$ arc sen3 5 arc sen 5 45 arc tan 3 arc sen ( 4
-
2=
$ )
P x u' y u'
2 2 a& x 5 xy y 3
P u' y P u' x x x cos y sen y x sen y cos ;i 45 x x
2 y
2
y x
2 y
2
emplazando en la ecuación: ( x ) 2 2
( y ) 2
3( x ) 2 2
2
2 x y
7( y ) 2 2
2
( x y ) 2 x y y x ( y ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2 2 x y 5 3 2 2 2 2 2 2 2
3
7( y ) 2 3( x ) 2
b& 2 x 2 3 3 xy y 2 5 P x u' y u'
x x cos y sen
x y 3 2 2
y x sen y cos
x 3 y 2 2
emplazando en la ecuación:
( x ) 2 3( y ) 2 2 x y 3 ( x ) 2 3 x y x y 3 ( y ) 2 3 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 ( x ) 2 3 ( y ) 2 2 x y 3 5 4 4 4
$( x ) 2 4 2
4( y ) 2 4
5
2
7 y 5x )$ 2 2 c& x 24 xy 4 y = 4 3 u' % , 5 5 x 4 y 3 x x cos y sen 5 5 x 3 y 4 y x sen y cos 5 5
emplazando en la ecuación:
)! x = y 24 x y x )2 )! x y x y = y )2 )) 24 25 25 25 25 25 25 25 2
2
2
= x2 y 2)! 24 xy = 4 25 25 25
5$$ x 2 25
25 y 2 25
2$ x 2 5 y 2 =
=
2
d& 2 x 5 y 4 $ x x cos y sen
x2
y 5
2= x5
y x sen y cos
2=
y 2
2=
2=
emplazando en la ecuación: 4 x 2= 2= x 2= x
)$ y 2=
25 x 2=
4
2= "4 2=
2 2 e& x 2 xy y 2 x $
P x u' y u'
x x cos y sen y x sen y cos
x
y
2
x
2
y
2
2
emplazando en la ecuación:
x y x y2 x x y x y y x y x y2 x2 2y 2 $ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
222
2
2 y x y
2 2 f& 5 x 3 xy y *
x x cos y sen y x sen y cos
x3
$
x $
y $
y 3 $
)$ y 2=
4
$
emplazando en la ecuación:
x= y x y! x3 x y= x y y x3 y = x ! y 5 3 * )$ )$ )$ )$ )$ )$ )$ )$ )$ )$ 22 2 2 22
)) x
2
y
2
)!
2 2 & * x 3 xy 4 y 3
x x cos y sen y x sen y cos
x3
y
$
x
$
y 3
$
emplazando en la ecuación:
$
x y= x y! x3 x y x= y y x3 y = x ! y * 3 4 3 )$ )$ )$ )$ )$ )$ )$ )$ )$ )$ 22 2 2 22
)7 x
2
7 y2 !
P-28: +ada la ecuación
7 x 2 4* xy 7 y 2 2$ x $ y $$ $ ,
encontrar la ecuación en el sistea x y si los ejes son trasladados al nuevo origen (2,), y luego rotados 37° (en el sentido anti.orario)" 7 x 2 4* xy 7 x 2 2$ x $ y $$ $
P $ ( 2,) P x u y u'
37
x cos y sen 2
x 4 5
y x sen y cos
y 3
x 3 5
emplazando en la ecuación:
5
y 4 5
(7 x y )( x 7 y ) $( 2 x y $ ) $ ( x y 3)( x y ) 2 x 4 y 2 $ 2
2
x y
P-)": #allar todas las rotaciones de los ejes coordenados 1ue trasoren la ecuación 2 x 2 3 xy 2 y 2 4 en
2 x 2 3 xy 2 y 2 4
2
2
7 x y *" 2
2
7 x y *
P x u' y u'
x x cos y sen y x sen y cos
2
2
2 2
2( x cos y sen 2 x y sen cos
)
3( x 2 sen
&
cos x y cos 2 y x sen 2 y 2 sen cos ) &
2 2
2 2
2 x( sen y cos 2 x y sen
cos ) &
2 2
2 2 2
2
x (2cos s3 en cos s en ) y s(2 en 3sen cos 2cos )
2 2 x y (4 sen cos 3 cos 3 sen 4sen cos ) 4
ualando a ":
4 sen cos 3 cos 2 3 sen 2 4 sen cos =" 3 cos 2 3sen 2 $ 2 2 tg cos sen 45 35 , u' 2 2 , u' 2 2
P-)2: ;e reali0a una traslación de los ejes coordenados al punto (4,!)" uego se
reali0a una rotación de los ejes coordenados y la dirección positiva del eje x es el vector (3,4)" :n el plano x y , la a/scisa de un punto P es $, y satisace la 2
ecuación 3 x y 5" #allar las coordenadas originales de p" [+os soluciones" @uevo origen (4,!) P ($, y )
u' ( 3 5, 4 5)
2 3 x y 5
3($) y 2 5
y 5 P ($,5) P ($,5) ($,5)
P P $ x u' y u' x 4 x cos y sen
y ! x sen y cos
3 4 5 5 5
x 4 $ x 4
4 3 5 5 5
y ! $ y
P (4,) ($,5) en el sistema /0 e/ iual:
P % (!,7)
