PRESENTACIÓN
A través de este presente informe que contiene la resolución de problemas de flujo compresible nos presentamos un grupo de estudiantes del área de Mecánica de Fluidos con la finalidad de potenciar los conocimientos teóricos asimilados durante el desarrollo del curso a través de la resolución de problemas tipo, detallaremos nuestra forma de trabajar dichos problemas, con nuestras propias ideas e introduciendo la programacion como una herramienta útil para el desarrollo de dichos ejercicios presentados más adelante.
INTRODUCCION
A través del desarrollo del curso hemos ido aprendiendo muchas cosas nuevas las cuales han servido de cimiento para esta parte del curso que trata acerca del flujo compresible, en principio se trató sobre flujos incompresibles en donde en la mayoría de los casos no se consideraban los efectos de compresibilidad en problemas dinámicos.
Sin embargo en la realidad no se encuentran flujos incompresibles como los que analizan teóricamente, debido a que la variación de la densidad es acompañada por cambios de temperatura y transferencia de calor, los cuales son muy frecuentes en cualquier fenómeno de la naturaleza; a este tipo de flujos se les conoce como flujos compresibles y su estudio es de suma importancia para el desarrollo del área de Mecánica de Fluidos, para poder analizarlos es necesario utilizar la segunda ley de la termodinámica principalmente, así como el resto de la termodinámica.
Al estudiar el flujo compresible se consideraran las mismas características que para el flujo incompresible, para el desarrollo de los problemas que se presentan se decidió emplear la teoría necesaria para la comprensión y el análisis respectivo de cada uno de los ejercicios, asimismo se hace uso de la programacion para facilitar su desarrollo, cada ejercicio cuenta con sus respectivas conclusiones y los datos que se emplearon los cuales se obtuvieron de diversas de fuentes.
SOLUCION DE FLUJOS COMPRESIBLES EN CONDUCTOS
I.
Problema N°01: Se requiere diseñar una tobera convergente divergente para flujo compresible que fluye helio a una razón de flujo de masa 8 kg/s, si las condiciones de estancamiento a la entrada son 1000 kPa y 350 °C. Considere que el flujo es isoentrópico y el conducto sin fricción, y determine: a) Grafique la forma del conducto a escala para intervalos de 100KPa de la caída de presión hasta la presión de salida Ps=100Kpa. b) Grafique el comportamiento del número de Mach, razón de presiones, ratio de densidades y ratio de temperaturas de acuerdo a la forma del conducto.
SOLUCIÓN:
Hipótesis:
Flujo isoentropico, adiabático Cv = ctte Cp = ctte γ = Cp/Cv
Flujo unidimensional. Conducto sin fricción.
Sin gravedad.
Procedimiento: Para poder solucionar el problema se utiliza las ecuaciones de la energía energía y de la conservación de la masa aplicados a un flujo compresible adiabático e isotrópico.
De la ecuación de la energía.
Con
y Pi = P0 – 100kPa
NOTA: Se debe resaltar que en este caso el subíndice cero quiere decir condición inicial y no condición de remanso. Además la entropía es siempre la misma S 0 = S1 entonces dado que se tiene un gas ideal y con las condiciones dadas se puede aplicar la ecuación:
De lo que se tiene:
Con: T0 = 350°C , de las tablas se puede ver que el calor específico del Helio es prácticamente constante e igual a
ideal.
y
Ahora como:
. Y con la ecuación de gas
Entonces se puede hallar:
√ √ De la ecuación de la continuidad: continuidad:
( ̇) ̇ Para la solución del problema se utilizó los siguientes algoritmos los cuales fueron hechos en MATLAB y se encuentran en los anexos. Par la elaboración de estos se tomó presiones según:
Es decir con 900 puntos.
Archivo “laval” para el cálculo del área: P0=input('introduzca P0=input('introduzca la presión inicial: '); T0=input('introduzca T0=input('introduzca la temperatura inicial: '); m=input('introduzca m=input('introduzca el flujo másico ' ); R=input('introduzca R=input('introduzca la constante univerzal '); Cp=input('introduzca Cp=input('introduzca el calor específico a presion cosntante cosntante '); G=input('introduzca G=input('introduzca coeficiente adiabático ');
h0=input('introduzca h0=input('introduzca la entalpia inicial '); for n=1:900 P(n)=P0-1000*n; end for n=1:900 T(n)=T0*(P(n)*(P0)^-1)^((G-1)/G); end for n=1:900 h(n)=Cp*T(n); end for n=1:900 V(n)=sqrt(2*(h0-h(n))); end for n=1:900 Vs(n)=(G*R*T(n))^0.5; end for n=1:900 Ma=V(n)/Vs(n); end for n=1:900 Ro(n)=P(n)/(R*T(n)); end for n=1:900 A(n)=m/(Ro(n)*V(n)); end disp([A]); Datos del área. Archivo “Mach” para el cálculo del número de MACH, densidad (Ro) y temperatura (TR). P0=input('introduzca P0=input('introduzca la presión inicial: '); T0=input('introduzca T0=input('introduzca la temperatura inicial: '); m=input('introduzca m=input('introduzca el flujo másico ' ); R=input('introduzca R=input('introduzca la constante univerzal '); Cp=input('introduzca Cp=input('introduzca el calor específico a presion cosntante cosntante '); G=input('introduzca G=input('introduzca coeficiente adiabático '); h0=input('introduzca h0=input('introduzca la entalpia inicial '); for n=1:900
P(n)=P0-1000*n; end for n=1:900 T(n)=T0*(P(n)*(P0)^-1)^((G-1)/G); end for n=1:900 h(n)=Cp*T(n); end for n=1:900 V(n)=sqrt(2*(h0-h(n))); end for n=1:900 Vs(n)=(G*R*T(n))^0.5; end for n=1:900 M(n)=V(n)/Vs(n); end disp([M]); for n=1:900 P(n)=P0-1000*n; end for n=1:900 T(n)=T0*(P(n)*(P0)^-1)^((G-1)/G); end for n=1:900 Ro(n)=P(n)/(R*T(n)); end disp([Ro]); for n=1:900 P(n)=(P0-1000*n)/P0; end disp([P]); for n=1:900 P(n)=P0-1000*n; end for n=1:900 TR(n)=(P(n)*(P0)^-1)^((G-1)/G); end disp([TR]);
RESULTADOS:
Las gráficas de los sólidos y las simulaciones son solo referenciales.
GRÁFICA DE LAS DESIDADES, TEMPERATURAS Y PRESIONES.
ANÁLISIS DE RESULTADOS. Respecto a los gráficos de SolidWorks que parecen bajo las curvas se tiene que decir que son solo referenciales utilizadas solo para ver el comportamiento del fluido y verificar que se cumple lo que se ha hecho al solucionar este problema. Otro punto es resaltar resaltar el hecho que al graficar el radio de la tobera (hallado a partir de los resultados del área y tomando la sección de la tobera como circular) se hiso versus una posición la cual está sin unidades.
CONCLUSIONES. Se puede decir que los resultados que se predicen con las ecuaciones de flujo compresible usadas si se predice el comportamiento y se logra diseñar una tobera para cierto comportamiento (como el dado para las presiones) lo cual hasta ahora se ha probado con simulación en SolidWorks. Como era de esperarse y en forma de comprobación del método usado se puede ver que en la última gráfica el comportamiento de la temperatura, densidad y presión normalizadas es el mismo que el que se muestra en la bibliografía.(Mecánica de Fluidos-Frank White-Chap-9-Flujo compresiblepag.610-6ta edición-ISBN: 978-84-481-6603-8)
II.
PROBLEMA N°02: Fluye aire a través de un conducto adiabático de diámetro 10 cm con condiciones en la entrada 200 m/s, 500 k y 200 kPa y un número de Mach a la salida Ma2=1. Para estudiar el efecto de la longitud del ducto en la razón del flujo de masa y velocidad de entrada, se modificará la longitud del ducto mientras que P1 y T1 permanecen constantes. Tome el factor de fricción del diagrama de Moody considerando tubería de acero comercial y calcule la razón del flujo de masa y la velocidad de entrada para varias longitudes de extensión y grafíquelas.
Hipótesis:
- Tubería de acero comercial (e =0.15 ) - Flujo adiabático, gas ideal - f de Moody (
)
Procedimiento:
Entonces:
Se calcula
Ahora
Pero: L* ≠ Lo
Con Lo
(Ma)1*
Luego: (Vs) = ( γRT) γRT)1/2 (V1) = (Vs).Ma*
̇ SOLUCIÓN
[] ] ⁄ Luego:
Del Apéndice B, tabla B-3 del Libro de Mecánica de Fluidos del autor F. White, obtenemos los siguientes datos, interpolando:
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ⁄
∫ ̅ ∫ ∫
Resultados y gráfica para la temperatura a lo largo del conducto de un metro metro de longitud con las condiciones dadas en el problema en el cual la salida es sónica y por tanto bloqueada.
Posición
Temperatura
0.1 0.2
441.7093 445.4373
0.3 0.4
448.9526 455.342
0.5 0.55
455.3618 456.7592
0.6 0.7 0.8 1
458.2426 460.8207 463.4449 467.9698
ANÁLISIS DE RESULTADOS: Debido al uso de la tabla B-2 (anexos del libro Frank White), en el cual nos presentan los valores de un factor de fricción promedio, para diferentes Ma; obtenemos que para longitudes L/2, L, 2L, 4L, los resultados finales del flujo másico y velocidad, por lo tanto el Ma de entrada son las mismas en todos los casos, debido a que la longitud de tubería queda multiplicada por un factor, el cual también queda multiplicada al factor de fricción promedio.
CONCLUSIONES. Al finalizar con el ejercicio llegamos a la siguiente conclusión: Al utilizar la tabla B-2 mencionada anteriormente los cálculos son muy alejados a los reales, debido a que en el cálculo del factor de fricción promedio no se tiene en cuenta la rugosidad relativa del material ni el número de Reynolds promedio en toda la tubería, es decir son datos adimensionales brindados para cualquier material.
III. PROBLEMA N°03 Un compresor de aire tiene las curvas de operación que se muestra en la figura, el compresor descarga aire a una temperatura 60 °C a través de una tubería de diámetro 20 cm. La tubería tiene una longitud L y descarga a la atmósfera a Ps= 1 atm. Determine el caudal másico a través de la tubería de 90 metros de longitud..
HIPÓTESIS:
Flujo adiabático y aislado. Gas ideal (aire): Cv = ctte Cp = ctte γ = Cp/Cv Sin gravedad. Flujo unidimensional. Flujo permanente Conducto de sección constante
PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN : Para la resolución del problema se va a seguir la siguiente metodología: Debido a que para cierto caudal escogido se tiene la presión de entrada al conducto y a además como el aire sale del compresor a una temperatura constante Ts=60°C entonces para la entrada se podrá obtener la velocidad del sonido en la entrada, la densidad y con el caudal escogido la velocidad de entrada con lo cual se calcula el Mach para el cálculo del factor de fricción se tendrá que hallar una viscosidad y Reynolds medio pero en este caso se asumirá que estos parámetros no varían mucho a lo largo del conducto y se hallarán con las condiciones de ent rada, luego al hallar las condiciones de salida se comprobará que este hecho es cierto. La viscosidad del aire se calculará con la ecuación de la ley de Sutherland para la viscosidad:
Donde
̅ ̅ ̅ ̅ ̅
Para hallar la relación entre
Y utilizando la ecuación:
Se halla
con lo que se calcula el mach de la salida y como se tiene la
temperatura en el punto sónico por tablas se halla la temperatura de salida y como la presión de salida es la atmosférica se tiene una densidad de salida y si se aplica la ecuación de continuidad en la entrada y salida se tendrá que comprobar que el flujo másico sea el mismo, en este caso se comprobará que Siendo A el área transversal de la tubería la cual es constante. Cuando lo anterior suceda entonces se podrá decir que se ha encontrado el punto de operación del compresor.
̇ ̇
SOLUCIÓN.
Se utilizan la tabla B.3 de flujo viscoso adiabático en una tubería de área constante para cuando K=1.4, es decir, para el aire. Con esto se procedió al cálculo: Para convertir las unidades al S.I. se tiene:
Entonces si se escoge un caudal de entrada ̅ ̅ ̅ Entonces si se escoge un caudal de entrada ̅ ̇ ̅ ̅ de
se tiene que:
Siendo la
rugosidad del acero galvanizado e=0.15mm.
La temperatura de entrada T1=Ts=60°C 333.15 °K La presión de entrada P 1=113860,92 Pa (del gráfico proporcionado en el problema). Con lo que se tiene que La viscosidad según Sutherland sería: Con lo anterior se puede hallar Reynolds:
Con lo que si se utiliza la ecuación de Colebrook se tiene que el factor de fricción es: y se tiene que :
Como Y
luego se tiene que
Con lo cual se obtendría un valor de:
entonces
negativo lo cual es imposible por lo que
esto quiere decir que se debe tomar un caudal más bajo: de P 1=283095.866 Pa
Con lo que se tiene:
Y
se tiene que:
Con lo que se tiene:
̇ ̇ ̇ y
Con lo que se tiene:
y
Y se tiene que
Por lo que se elige un caudal más bajo el cual viendo las condiciones del problema
entre las cuales se ve que el factor de fricción casi no varía por lo que
̅ casi no
variará por lo que se tiene que escoger un valor del caudal de entrada que provoque un Mach con el cual se tenga que
̅
la salida el valor de
̅
sea mayor a 8.3 pero lo suficiente como para en
no sea muy bajo ni muy alto para provocar Machs de salida
cercanos a 1 o muy bajos además se debe resaltar que entre los valores de 80 a 125 pies3/s el valor de casi no varía y su pequeña variación no se nota en la gráfica proporcionada por lo que la presión de entrada será practiamente la misma paralos caudales que se escogerá e igual a: y la densidad se mantendrá es por eso que haciendo una inspección se propone el siguiente caudal: Caudal de entrada de para que según la tabla Mach sea 0.25 y se tiene que:
̅ ̇ ̅ ̅ Con lo que
Con lo que se tiene :
Y
Con lo que se tiene:
̇ ̇ ̇ Caudal de entrada ̅ ̇ ̅ ̅ ̇ ̇ ̇ y
Con lo que se tiene:
y
y
Y se tiene que
Por lo cual ahora se toma un valor de Mach para la entrada de: de para que según la tabla Mach sea 0.2490908 y se tiene que:
Con lo que
Con lo que se tiene :
Y
Con lo que se tiene:
y
Con lo que se tiene:
y
y
Y se tiene que
Ya que solo falla en Por lo que se puede decir que se ha hallado el punto de operación del compresor y para las condiciones dadas su caudal será:
ANÁLISIS DE RESULTADOS
Si se analiza a la salida se verá que
̅ y
Y se puede ver que estos valores difieren en menos del 1% de los que se tomó para el cálculo lo cual da confianza a lo hecho y hallado en cuanto que se ha hallado un valor correcto o muy cercano al real. Se pudiese obtener mayor precisión en el cálculo del punto de operación si es que se tuviera una gráfica ∆P Vs. Caudal Caudal mucho más precisa del compresor en la que se obtenga las presiones con exactitud y además como para el cálculo se ha utilizado las tablas del libro Mecánica de Fluidos de Frank White lo que se ha hecho es interpolar hubiera sido mucho más preciso si es que se hubiera utilizado las ecuaciones aunque esto solo daría unos decimales más el caudal de salida se hubiera calculado hasta con 0.1Kg/s de precisión.
CONCLUSIONES: Se ha obtenido un punto de operación del compresor con bastante exactitud ya que la diferencia entre el caudal de salida calculado respecto al asumido es de solo -0.29% . Otra conclusión importante importante es que para las condiciones dadas se dice que el conducto no está bloqueado ya que .
BIBLIOGRAFIA.
MECANICA DE FLUIDOS, Frank M. White, 5° Edición, Ed. Mc. Graw Hill ISBN: 978-84-481-6603-8
MECANICA DE FLUIDOS, Irving H. Shames, 3° Edición, Ed. Mc. Graw Hill ISBN: 958-600-246-2
