KUMPULAN SOAL-SOAL MATEMATIKA
(WAHYU PUSPA WIJAYA/140511602945)
INTEGRAL TAK TENTU
3x24-2xdx= . . .
Jawab:
3x24-2xdx=12x2-6x3dx
=123x3-64x4 +C
=4x3-64x4 +C
x3+2x4dx=. . .
Jawab:
x3+2x4dx= x32+2x-4dx
=25x52+2-3x-3+C
=25x52-23x-3+C
3sinx+4dx=. . .
Jawab:
3sinx+4dx=3sinxdx+4dx
=-3cosx+4x+C
Tentukan integral dari persamaan berikut:
4x2-3x5x-2dx
Jawab:
(4x2-3x) (5x-2) dx = (20x3- 8x2- 15x2+6x)dx
= (20x3-23x2+6x)dx
= 20x44- 23x33+6x22+C
=5x4- 23x33+ 3x2+C
Tentukan integral pada persamaan berikut:
13x3- 3x4+xx5 dx
Jawab:
13x3- 3x4+xx5 dx= 13x32- x43+x.x52 dx
= 13x32- x43+x72 dx
=1352 x52- 37x73+ 29x92+C
= 13.25x52- 37x73+ 29x92+C
=215x52- 37x73+ 29x92+C
INTEGRAL TENTU
024-x2x3dx=. . .
Jawab: 024-x2x3dx= 024x3-x5dx
=44x4-16x602
=4424-1626-4404-1606
=16-646
=966-646
=326
0πcos2x dx=.. .
Jawab:
0πcos2x dx= 0π12+12cos2x dx
=12x+12 .12sin2x0π
=12π+14sin2π-12.0+12 .12sin2.0
=12.1800+14sin2.1800
=900+0
= 900
Tentukan nilai dari persamaan sebagai berikut:
132x2+5x-6dx
Jawab:
132x2+5x-6dx= 23x3+ 52x2-6x13
= 2333+ 52(3)2-6(3)- 2313+ 52(1)2-6(1)
=2327+ 529-63- 23+ 52-6
=18+ 452-18- 46+ 156-6
=452- 196-6
=452-196+6
=135-19+366= 1526
Jika 2a4x-4dx =16, untuk a>0, maka tentukan nilai a2+1!
Jawab:
2a4x-4dx =16 2a2-4a-16=0
2x2-4x2a=16 2a2-8a-4a-16=0
2a2-4a- 222-4.2=16 2a+4 a-4=0
2a2-4a- 0=16
2a2-4a-16=0
Jadi,
2a+4=0
a=-2 (tidak memenuhi)
a-4=0
a=4,
Sehingga a2+1= 42+1=17
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Berikut adalah fungsi trigonometri. Tentukan integral dari fungsi tersebut:
sin28x dx
Jawab:
sin28x dx= 12- 12cos16 x dx
= 12x- 132sin16x+C
Berikut adalah fungsi trigonometri. Tentukan integral dari fungsi tersebut:
cos2x-sin2x2 dx
Jawab:
cos2x-sin2x2 dx = cos2 2x-2cos2x.sin2x+ sin22x dx
=1-2cos2x.sin2xdx
=1-sin4xdx
=x+ 14cos4x+C
cos3x. sin6x dx =. . .
Jawab:
cos3x.sin6x dx= 12sin3x-sin6x dx
= 12-13cos3x+16cos6x+C
= -16cos3x+112cos6x+C
INTEGRAL EKSPONEN
3x6x5dx= . . .
Jawab:
Misal, u=x6
du= 6x5dx6
du= x5 dx, sehingga
3x6x5dx= 163udu
=16 .3uln3
=3u6ln3+C
34x+1dx= . . .
Jawab:
34x+1dx=34x. 3dx
=334xdx
=3(34)xdx
=381xdx
=3. 81xln81+C
2e-10xdx= . . .
Jawab:
Misal, u=-10x
du= -10dx, sehingga
2e-10xdx= -102eudu
=-202eudu
= -20e-10x+C
x25x3+2 dx=. . .
Jawab:
Misal, u=5x3+2
du= 15x2dx15
115du = x2 dx, sehingga
x25x3+2dx= 115udu
=115 duu
=115lnu+C
=115ln(5x3+2)+C
4e3x+23e3xdx= . . .
Jawab:
Misal, u=4e3x+2
du= 12e3xdx12
112du = e3x dx, sehingga
4e3x+23e3xdx=u3112du
=112u3du
=112 .14 4e3x+24+C
=1484e3x+24+C
INTEGRAL LUAS
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva berikut, y= x2+x-12, garis -6x+2y-6=0, dan sumbu X.
Jawab:
y1=x2+x-12
y2=6x+62
=3x+3
y1= y2
x2+x-12 =3x+3
=x2+x-3x-12-3
=x2-2x-15
=x-5(x+3)
x1=5; x2=-3
-35x2+x-12-3x+3dx
=-35x2+x-3x-12-3dx
=-35x2-2x-15dx
=13x3-x2-15x-35
=1353-52-155- 13-33--32-15-3
=1253-25-75- -273-9-45
=1253+273-100+53
=1523-47
=1523-1413
=113 satuan luas
Luas daerah yang dibatasi kurva berikut, y=9-x2, dari x=1 sampai x=3.
Jawab:
13(9-x2) dx= 9x-13x3-35
=95-1353- 9-3-13-33
=45-1253- -27--273
=45+27-1253-273
=72-983
=2163-983
=1183 satuan luas
y=4xy=4x
y=4x
y=4x
y=12-x2y=12-x2
y=12-x2
y=12-x2
Tentukan luas daerah yang diraster di atas!
Jawab:
y1=4x
y2=12-x2
y1= y2
4x =12-x2
=x2+4x-12
=x-2(x+6)
x1=2; x2=-6
-62x2+4x-12dx
=13x3+2x2-12x-62
=13(2)3+2(2)2-12(2)- 13(-6)3+2(-6)2-12(-6)
=83+16-24- -2163+72+72
=83+2163-8-144
=2243-152
=2243-4563
=-2323 satuan luas
INTEGRAL (VOLUME)
Diketahui y=4x, y=x+10, dan garis y=12, dengan sumbu Y sebagai bidang putar. Tentukan besar volumenya!
Jawab:
y1=4x14y1 = x1y1=4x14y1 = x1y1=4x
y1=4x
14y1 = x1
y1=4x
14y1 = x1
12=4x
3 = x1
y2=x+10y2-10 = x2y2=x+10y2-10 = x2y2=x+10
y2=x+10
y2-10 = x2
y2=x+10
y2-10 = x2
12-10=x
2 = x2
π23x12-x22dy = π2314y2-y-102dy
= π23116y2-(y2-20y+100)dy
= π23(-1516y2+20y-100)dy
= π23(-1516y2+20y-100)dy
=-4516y3+10y2-100x23π
=-451633+1032-1003π- -451623+1022-1002π
=-4516. 27+90-300π- -4516.8+40-200π
=-121516-210+452+160π
=-121516+452-50π
=-121516+36016-80016π
=-165516 πsatuan volume
Diketahui y=x2 dan y=9. Tentukan volume mengelilingi sumbu X!
Jawab:
y1= y2
x2=9
=x2-9
=x-3(x+3)
x1=3; x2=-3
= π-33(x22-92)dx
=π-33(x4-81)dx
=15x5-81x-33π
= 15(3)5-81(3)π- 15(-3)5-81(-3)π
=2435-243π- -2435-(-243)π
=2435+2435-243-243π
=4865-486π
=4865-24305π
=-19445 πsatuan volume
Tentuka volume apabila daerah yang dibatasi kurva y=x2-2x-8 dan sumbu X diputar 3600!
Jawab
π0πx2-2x-8dx
= 13x3-x2-8x0ππ
= 13π3-π2-8ππ- 1303-02-8.0π
= 1318003-18002-81800π
=19440000-324000-14400π
=19101600π = 10612π2 satuan volume
INTEGRAL PARSIAL
Tentukan integral fungsi sebagai berikut menggunakan teorema integral parsial!
(2x3+2)sin4x dx
Jawab:
(2x3+2)sin4x dx
Misal:
u= 2x3+2 du=6x2dx
dv=sin4xdx v= -14cos4x
Maka,
u dv=u.v- v du
=2x3+2. -14cos4x- -14cos4x. 6x2 dx
= 2x3+2. -14cos4x--14cos4x. 6x2 dx
=2x3+2. -14cos4x+(14.6x24sin4x) +C
= -142x3+2cos4x+616x2sin4x+C
Hasil dari sebuah pengintegrasian persamaan berikut adalah….
5x x+34 dx
Jawab:
5x x+34 dx
Misal:
u=5x du=5dx
dv= x+34 dx v=15x+35
Maka,
u dv=u.v- v du
=5x.15 x+35- 15x+35 5 dx
= 5x.15x+35- x+35dx
= x x+35-16 x+36+C
x4x+35dx= . . .
Jawab:
Misal:
u=x4 du=4x3 dx
dv=x+35 dx v=16 x+36
Maka,
u dv=u.v- v du
=x4. 16 x+36- 16 x+36 4x3 dx
= x4. 16 x+36-16x+36 4x3 dx
=x4. 16 x+36-(16 . 17x+37 4x3)+C
= x46 x+36- 4x342x+37+C
INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI
Selesaikan integral berikut!
06136-x2dx=. . .
Jawab:
Misal, x=6sinθ, maka sinθ=x6
x=6 sinθ
dx=6cosθ dθ
x
0
6
θ
0
π6
06136-x2dx= 0π66cosθ dθ36-36sin2θ
=0π66cosθ dθ361-sin2θ
=0π66cosθ dθ6cos2θ
=0π66cosθ dθ6cosθ
=0π6dθ
=θ0π6
= π6
Selesaikan integral berikut!
x264-x2dx= . . .
Jawab:
Misal, x=8sinθ, maka sinθ=x8, cosθ=64-x28
88xxx=8 sinθ
8
8
x
x
dx=8cosθ dθ
x264-x2dx=(8sinθ)28 cosθ dθ64-64sin2θ
64-x264-x2=(8sinθ)28 cosθ dθ641-sin2θ
64-x2
64-x2
=(8sinθ)28 cosθ dθ64cos2θ
=(8sinθ)28 cosθ dθ8cosθ
=8sin2θ dθ
=812-12cos2θ dθ
=8 12θ-14sin2θ+C
=4θ-2 sin2θ+C
=4 arc sinx8-22 sinθ. cosθ+C
=4 arc sinx8-22 .x8. 64-x28+C
=4 arc sinx8-4x64-x264+C
INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
2x+1x2-12x+20dx= . . .
Jawab:
2x+1x2-12x+20dx=Ax-2 dx+Bx-10dx
=Ax-10+Bx-2x-2 x-10 dx
=Ax-10A+Bx-2Bx-2 x-10 dx
=A+Bx-10A-2Bx-2 (x-10) dx
2x+1=A+Bx-10A-2BMerupakan suatu kesamaan, dengan syarat yang bervariabel x memiliki kesamaan dan yang tidak memiliki variable pun memiliki kesamaan2x+1=A+Bx-10A-2BMerupakan suatu kesamaan, dengan syarat yang bervariabel x memiliki kesamaan dan yang tidak memiliki variable pun memiliki kesamaan2x+1=A+Bx-10A-2B
2x+1=A+Bx-10A-2B
Merupakan suatu kesamaan, dengan syarat yang bervariabel x memiliki kesamaan dan yang tidak memiliki variable pun memiliki kesamaan
2x+1=A+Bx-10A-2B
Merupakan suatu kesamaan, dengan syarat yang bervariabel x memiliki kesamaan dan yang tidak memiliki variable pun memiliki kesamaan
2x=A+Bx
2=A+B
A=2-B
1=-10A-2B
1= -102-B-2B
1= -20+10B-2B
1= -20+8B
1+20=8B
21=8B
218=B, sehingga besar nilai A adalah
A=2-B
A=2-218
A=168-218
A=-58
Setelah mengetahui nilai A dan B maka kembali ke persamaan awal.
2x+1x2-12x+20dx=-58x-2 dx+218x-10dx
= -581x-2 dx+2181x-10dx
=-58lnx-2+218lnx-10+C
x+2x-42dx= . . .
Jawab:
x+2x-42dx=Ax-4 dx+Bx-42dx
= Ax-4+Bx-42 dx
=Ax-4A+Bx-42 dx
x+2=Ax-4A+BMerupakan suatu kesamaan, dengan syarat yang bervariabel x memiliki kesamaan dan yang tidak memiliki variable pun memiliki kesamaanx+2=Ax-4A+BMerupakan suatu kesamaan, dengan syarat yang bervariabel x memiliki kesamaan dan yang tidak memiliki variable pun memiliki kesamaanx+2=Ax-4A+B
x+2=Ax-4A+B
Merupakan suatu kesamaan, dengan syarat yang bervariabel x memiliki kesamaan dan yang tidak memiliki variable pun memiliki kesamaan
x+2=Ax-4A+B
Merupakan suatu kesamaan, dengan syarat yang bervariabel x memiliki kesamaan dan yang tidak memiliki variable pun memiliki kesamaan
x=Ax
1=A
2=-4A+B
2= -41+B
2= -4+B
6=B
Setelah mengetahui nilai A dan B maka kembali ke persamaan awal.
x+2x-42dx=1x-4 dx+6x-42dx
=11x-4 dx+61x-42dx
=lnx-4+6(x-4)+C
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDO
Berikut diketahui sebuah persamaan y= 3x5+ 4x4-2x3. Temukan fungsi ordo ketiga berdasarkan teorema persamaan diferensial ordo!
Jawab:
y= 3x5+ 4x4-2x3
y'= dydx=15x4+ 16x3-6x2
y''= dy'dx=60x3+ 48x2-12x
y'''= dy''dx=180x2+ 96x-12
y= 3x3+ 5x2x-7x4, Tentukan fungsi ordo keempat dari persamaan tersebut!
Jawab:
y= 3x3+ 5x2x-7x4
=3x-32+ 5x52-7x4
y'= dydx=-92x-52+ 252x32-28x3
y''= dy'dx=454x-72+ 754x12-84x2
y'''=dy''dx=-3158x-92+ 758x-12-168x1
y''''=dy'''dx=283516x-112- 7516x-32-168
Diketahui hasil dari operasi persamaan diferensial ordo tiga dari persamaan y= x-5x2-3x-40 adalah 6. Buktikanlah jika pernyataan tersebut benar!
Jawab:
y= x-5x2-3x-40
= x3- 8x2-25x+200
y'= dydx=3x2-16x-25
y''= dy'dx=6x-16
y'''= dy''dx=6
Berdasarkan pembuktian di atas maka pernyataan bahwa hasil dari operasi persamaan diferensial ordo tiga dari persamaan y= x-5x2-3x-40 adalah 6 adalah BENAR
INTEGRAL MOMEN INERSIA
Tentukan momen inersia untuk kerapatan δx,y=x2y, dibatasi sumbu x=6 dan kurva y=x32.
Terhadap sumbu X
Terhadap sumbu Y
Jawab
Ix=Sy2δx, ydA
=060x32y2. x2y dx dy
=060x32y3dyx2 dx
=0614y40x32x2 dx
=0614x6. x2 dx
=0614x8 dx
=14 .19 x906
=136x906
=136 .69
=279936
Iy=Sx2δ(x, y)dA
=060x32x2. x2y dx dy
=060x32ydyx4 dx
=0612y20x32x4 dx
=0612x3. x4 dx
=0612x7 dx
=12 .18 x806
=116x806
=116 .68
=104976