Barisan dan Deret
Pilihan Ganda 1. 27, 64, 18, 48, 12, 36, ..... a. 8, 27 b. 8, 25 c. 6, 27 d. 6, 25 Penyelesaian : Suku ganjil, dibagi 3 kemudian dikali 2 (12 : 3 x 2 = 8) Suku genap, dibagi 4 kemudian dikali 3 (36 : 4 x 3 = 27) Jawaban A. 8, 27
:
2. Suatu jenis bakteri, setiap detik akan membelah diri menjadi dua. Jika pada saat permulaan ada 5 bakteri, waktu yang diperlukan bakteri supaya menjadi 320 adalah ..... a. 5 detik b. 6 detik c. 7 detik d. 16 detik e. 20 detik Penyelesaian : Deret geometri r = 2 dan a = 5 Un = arⁿ 320 = 5. 2ⁿ => 64 = 2ⁿ 2⁶ = 2ⁿ => jadi n=6 detik Jawaban B. 6 detik
:
3. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti.
Jumlah seluruh lintasan bola adalah ..... a. 65 m b. 70 m c. 75 m d. 77 m e. 80 m Penyelesaian : Deret geometri a = 10 m, r = ¾ Lintasan bola bolak balik kecuali saat jatuh pertama => maka jumlah seluruh lintasannya ialah : S = 2. Sn-a a = 2. ( )–a 1 r 10 = 2. ( ) – 10 1 3/ 4 = 70 m Jawaban B. 70 m
:
4. Suku ke-5 sebuah deret aritmatika adalah 11 dan jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke-12 sama dengan 52. Jumlah 8 suku pertama deret tersebut ialah ….. a. 68 b. 72 c. 76 d. 80 e. 84 Penyelesaian : U₈ + U₁₂ = 52 (a+7b)+(a+11b) = 52 2a+18b = 52 1a+9b =26………………(1) U₅ = a + 4b =11……………………..(2) 1a + 9b = 26 1a + 4b = 11 5b = 15 => b = 3 1a + 4b = 11 1a + 4.3 = 11 a = -1 n Maka : Sn = (2a + (n-1)b) 2
S₈ = 4 (2(-1)+(8-1)3) = 4 (-2+21) = 76 Jawaban C. 76
:
5. Jika tiga bilangan q,s, dan t membentuk barisan geometri, maka a.
q qt
c.
s qs
b.
s st
d.
q st
qs = ….. q 2s t
Penyelesaian : Un = a. r n 1 , q, s, t geometri s = qr t = qr 2 = sr t r = s q qr qs 1 r = = = 2 q 2s t q 2qr qr 1 2r r 2
1 r 1 = = 2 (1 r ) 1 r Jawaban s B. st
1 1
t s
=
1 (s t )
= s
s st
:
6. Jumlah tak hingga dari deret geometri adalah 81 dan suku pertamanya adalah 27. Jumlah semua suku bernomor genap deret tersebut adalah ….. a. 32 2 c. 18 9 5 13 b. 21 3 d. 12 6 5 13 Penyelesaian : Deret geometri bernomor genap adalah : ar, ar³, ar⁵, ….. 27. 2 ar 3 S~ = = 2 1 r 1 (2 )2 3
=
Jawaban A. 32 2 5
162 = 32 2 5 5 :
7. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret itu adalah ….. a. 36 b. 72 c. 192 d. 256 Penyelesaian : a=3 U₉ = 768 Un = ar n 1 U₉ = 3r⁸ = 768 r⁸ = 256 r =2 U₇ = 3. 2⁶ = 3. 64 = 192 Jawaban C. 192
:
8. Pada suatu ulangan matematika, terdapat soal mengenai jumlah barisan aritmatika. Pada berkas soal yang diterima Adam, rumus tidak tercetak sempurna sehingga hanya terbaca “ Sn = n² + ”, tetapi Adam masih bias menjawab soal tentang beda barisan tersebut. Nilainya adalah ….. a. 1 b. -1 c. 2 d. -2 e. 3 Penyelesaian : Missal Sn = n² + an Maka
U₁ = S₁ = 1 + a U₂ = S₂ - S₁ = (4+2a) – (1+a) = 3+a Jadi beda = U₂ - U₁ = 3 + a – (1+a) =2 Jawaban C. 2
:
9. Jumlah 101 bilangan genap berurutan adalah 13130 jumlah bilangan terkecil yang pertama dari bilangan-bilangan genap tersebut adalah ….. a. 96 b. 102 c. 108 d. 114 e. 120 Penyelesaian : Deret aritmatika : n = 101 b=2 maka : n Sn = (2a+(n-1)b) 2 101 13130 = (2a+100.2) 2 130 = a+100 a = 30
Sn = 13130
jadi 3 bilangan terkecil = 30 +32 + 34 = 96 Jawaban A. 96
:
10. Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U₅ = 12 dan log U₄ + log U₅ - log U₆ = log 3, maka nilai U₄ adalah ….. a. 12 b. 10 c. 8 d. 6
e. 4 Penyelesaian : Un = suku ke-n suatu barisan geometri Log U₄ + log U₅ - log U₆ = log 3, maka : Log ar³ + log ar⁴ - log ar⁵ = log 3
ar 3 .ar 4 = log 3 ar 5 ar² = 3 Diketahui U₅ = 12 ar⁴ =12, sehingga ar².r² = 12 3r² = 12 r² = 4 sehingga r = 2 U 12 diperoleh U₄ = 5 = =6 r 2 log
Jawaban d. 6
:
11. Misalkan Un menyatakan suku ke-n suatu barisan geometri. Jika diketahui U₆=64 dan log U₂+log U₃+log U₄=9 log 2, maka nilai U₃ adalah ….. a. 8 b. 6 c. 4 d. 2 e. 1 Penyelesaian : Un = suku ke-n suatu barisan geometri Log U₂ + log U₃ + log U₄ = 9 log 2, maka Log ar + log ar² + log ar³ = 9 log 2 log a³r⁶ = log 2⁹ a³r⁶ = 2⁹ (ar²)³ = (2³)³ Sehingga ar² = 2³ = 8 atau U₃ = 8 Jawaban A. 8
:
12. Koefisien x 49 pada hasil perkalian (x-1)(x-2)(x-3)….(x-50) adalah ….. a. -49 b. -50 c. -1250
d. -1275 e. -1350 Penyelesaian : (x-1)(x-2)(x-3)….(x-50) Untuk n=1, koefisien x⁰ adalah -1 Untuk n=2, koefisien x adalah -3 Untuk n=3, koefisien x² adalah -6 Untuk n=4, koefisien x³ adalah -10 . . . Untuk n=50, koefisien x adalah -1 -3 -6 -10 ….. -2 -3 -4 ….. -1 -1 a= -1 b= -2 c=-1 b(n 1) c(n 1)(n 2) Un= a + + 1! 2! 2(n 1) 1(n 1)(n 2) Un= -1 + + 1 2 = -n+1+ ½ (-n²+3n-2) = -1/2 n(n+1) Jadi koefisien x⁴⁹ terjadi pada n= 50 Sehingga U₅₀ = -1/2. 50(51)= -1275 Jawaban d. -1275
:
13. Sebuah deret dengan suku ke-n adalah an memiliki jumlah suku pertama 5n² + 3n. Nilai a₂ + a₅ + a₈ + ….. + a₂₀ = …. a. 726 b. 736 c. 746 d. 756 e. 766 Penyelesaian : Sn = 5n² + 3n Un = 10 n-2, maka :
a₂ + a₅ + a₈ + ….. + a₂₀ = 18 + 48 + 78 + ….. + 198 7 = (18+198) 2 =756 Jawaban d. 756
:
14. Suku ke-n deret geometri adalah Un. Jika diketahui
U6 1 = 3 dan U₂.U₈ = , maka U8 3
nilai U₁₀ = ….. 1 a. 27 b. c.
3 27 1 9
3 9 1 e. 3 d.
Penyelesaian : Deret geometri, diketahui : U6 1 1 = 3 2 =3 r = U8 r 3
1 1 U₅ = a=3 3 3 3 1 1 1 1 . )= U₁₀ = ar⁹ = 3 3 ( )⁹ = 3 3 ( 27 3 81 3 U₂ . U₈ =
Jawaban 1 a. 27
:
15. Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah Un, diketahui U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ….. a. 231
b. c. d. e.
238 245 252 259
Penyelesaian : Deret aritmatika diketahui : U₃ + U₆ + U₉ + U₁₂ = 72 U₆ + U₉ = 36 S₁₄ = 7. 36 = 252 Jawaban d. 252
:
16. Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku ke-3 bernilai 2p dan suku ke-2 dikurangi suku ke-4 sama dengan p 2 , maka rasio barisan tersebut adalah ….. a.
2
b. 2 2 1 2 c. 2 d. 2 1 e. 2 Penyelesaian : Deret geometri Jika : U₃ = 2p dan U₂ - U₄ = p 2 ar² = 2p dan ar-ar³ = p 2
ar ar 3 p 2 maka : = 2 ar 2p
2 1 r2 = 2 r 2 – 2r² = 2r 2r² +
2r -2 = 0
(2r -
2 )( r 2 ) 0
1 2 atau r = 2 ™ 2 1 2 jadi r = 2 r=
Jawaban 1 2 c. 2
:
17. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri idan jumlahnya -48. Jika bilangan ke-2 dan ke-3 ditukar letaknya menghasilkan sebuah barisan aritmatika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula ialah ….. a. -32 b. -28 c. 28 d. 32 e. 36 Penyelesaian : a + ar + ar² = - 48 a(1 + r + r²) = -48, dan a + ar + ar² = DA ar² - a = ar - ar² r² - 1 = r – r² (r – 1)(r + 1) = r (1 – r) r + 1 = -1 1 1 1 r = - a (1 - + ) = -48 2 2 4 a = -64 U₂ = ar 1 = (-64)(- ) 2 = 32 Jawaban d. 32
:
18. Jika dalam suatu deret berlaku ³log x + ³log² x + ³log³ x + …… = 1, maka nilai x adalah ….. 1 a. 3 b.
3 3
c.
3
d.
2 9
e.
1 9
Penyelesaian : D ~ = ³log x + ³log² x + ³log³ x + …… = 1 a S~= =1 1 r 3
log x =1 1 3 log x ³log x = 1 - ³log x 2. ³log x = 1 ³ log x = ½ X= Jawaban c.
3
:
3
19. Diketahui deret aritmatika dengan beda 1. Jika jumlah pangkat tiga dri tiga suku pertamanya adalah 18 lebih besar dari 3 kali pangkat 3 dari suku ke-2 maka jumlah tiga suku pertamanya adalah ….. a. 6 b. 9 c. 12 d. 15 e. 18 Penyelesaian : Deret aritmatika b=1 U₁³ + U₂³ + U₃³ = 18 + 3 U₂³ U₁³ - 2 U₂³ + U₃³ = 18 a³ - 2 (a+ 1)³ + (a+ 2)³ = 18 a=2 U₁ + U₂ + U₃ = 2 + 3 + 4 = 9 Jawaban b. 9
:
20. Suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah ….. a. 3
b. c. d. e.
5 7 9 11
Penyelesaian : Deret geometri U₅ = 243 = ar⁴ U9 = r³ = 27 U6 r=3a=3 Jadi U₂ = ar = 3 . 3 = 9 Jawaban d. 9
:
21. Suku pertama dari deret geometri adalah 4 dan jumlah 8 suku pertamanya 17 kali jumlah 4 suku pertama. Rasio deret geometri itu sama dengan ….. a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1 Penyelesaian : Deret Geometri a=4 S₈ = 17 . S₄ a
r8 1 r 4 1 = 17 . a r 1 r 1
r8 1 = 17 r 4 1 r⁴ + 1 = 17 r⁴ = 16 r = 2 Jawaban d. 2
:
22. Suku pertama dan ke-2 dari suatu deret geometri berturut-turut ialah p⁴ dan p³ x . Jika suku ketujuh adalah p³⁴, maka nilai x adalah ….. a. 1 b. 2 c. 3
d. 4 e. 5 Penyelesaian : U2 p 3x r= = 4 = p 3 x 4 U1 p U₇ = ar⁶ = p⁴(p 3 x4 )⁶ p³⁴ = p⁴. p 18 x24 = p 18 x20 34 = 18x – 20 54 18x = 54 x = =3 18 Jawaban c. 3
:
23. Suku ke-2 dari suatu deret aritmatika adalah 5. Jika jumlah dari suku ke-4 dan suku ke6 dari deret terrsebut adalah 28, maka suku ke-9 adalah ….. a. 19 b. 21 c. 26 d. 28 e. 29 Penyelesaian : U₂ = a + b = 5 U₄ + U₆ = a + 3b + a + 5b = 28 2a + 8b = 28 a + 4b = 14 a+b = 5 3b = 9 b = 3 a+3=5a=2 U₉ = a + (9 – 1)b = a + 8b = 2 + 8(3) = 26 Jawaban c. 26
:
24. Diketahui suatu deret geometri tak hingga dengan suku awal a dan rasio r. jika jumlah suku awal dan rasio sama dengan 6 dan jumlah semua suku-sukunya sama dengan 5, a maka adalah ….. r a. -20
b. 25 5 c. 6 1 d. 25 e. -25 Penyelesaian : a+r=6a=6–r a =5 1 r a = 5 – 5r 6 – r = 5 – 5r 1 4r = -1 r = 4
1 1 a= 6 –(- ) = 6 4 4 a = r
1 4 = - 25 1 4 6
Jawaban
:
e. -25 25. Suku tengah suatu deret aritmatika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyaknya suku pada deret tersebut adalah ….. a. 5 b. 7 c. 9 d. 11 e. 13 Penyelesaian : 2 U t = U₁ + Un 2 (23) = a + 43 46 = a + 43 a = 3 U₃ = a + 2b = 13 b = 5 Un = a + (n - 1)b = 43 3 + (n – 1) 5 = 43 5n – 5 = 40 5n = 45 n = 9 Jawaban
:
c. 9
Essay 26. Agar deret geometri tak hingga dengan suku pertama a mempunyai jumlah 2, maka a memenuhi ….. Penyelesaian : a S∞ = =2 1 r a = 2 a = 2 – 2r 1 r -1 < a < 1 r=1a=0 r = -1 a = 4 maka 0 < a < 4 27. Diketahui suku ketiga dan suku kelima dari deret aritmatika berturut-turut adalah 18 dan 24. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ….. Penyelesaian : a + 2b = 18 a + 4b = 24 -2b = -6 b = 3 a = 12 7 S₇ = (2(12) + (7-1)3) 2 = 147 28. Dalam suatu deret aritmatika, jika U₃ + U₇ = 56 dan U₆ + U₁₀ = 86, maka suku ke-2 adalah ….. Penyelesaian : Deret aritmatika
56 = 28 2 86 U₆ + U₁₀ = 86 U₈ = = 43 2 U₈ - U₅ = 43 – 28 3b = 15 b = 5 b = 5 Un = 5n + 3 (karena U₅ = 28) U₂ = 10 + 3 = 13 U₃ + U₇ = 56 U₅ =
29. Jika suatu barisan geometri y + 1, 2y – 2, 7y – 1, ….. mempunyai rasio positif, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ….. Penyelesaian : y + 1, 2y – 2, 7y – 1, ….. barisan Geometri dengan r > 0 2y 2 (2y – 2)² = (y + 1)(7y – 1); r = y 1 4y² - 8y + 4 = 7y² + 6y -1 3y² + 14y – 5 = 0 (3y – 1) (y + 5) = 0 2 2 1 3 y= r= > 0 (tidak dipakai) 1 3 1 3 10 2 12 y=-5 r= = =3 5 1 4 U₁ = y + 1 = -5 + 1 = -4 U₄ = ar³ = -4 . 3³ = -108 30. Suatu deret aritmatika memiliki beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya 240. Jumlah tujuh suku pertamanya adalah ….. Penyelesaian : Deret aritmatika, b = 2 dan S₂₀ = 240 maka 20 (2a + 19b) = 240 2a + 19.2 = 24 2 7 a = -7, S₇ = (2. -7 + 6.2) = -7 2
