Soal Latihan dan Pembahasan Fungsi kuadrat Di susun Oleh :
Yuyun Somantri1 http://bimbinganbelajar.net/
Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia Open Knowledge and Education http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap menyertakan nama penulis、 tanpa ada tujuan komersial
1
Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di SMA Negeri 3 Tasikmalaya
1
Funsi Kuadrat 1.
Lukislah grafik fungsi y = 4 x − x 2 ! Jawab : Titik potong dengan sumbu X :
0 = x (4 − x) ⇒ x = 0 dan x = 4 a = − 1 < 0⇒ kurva terbuka ke bawah.
Kurvanya : Y
0
4
X
5 8
2. Bila fungsi y = 2 x 2 + 3x − 12 m mempunyai nilai minimum - 1 maka tentukan m ! Jawab :
ymin
3.
b 2 − 4ac 13 32 − 4.2.(− 12 m) = ⇒ − = ⇔ m= 1 − 4a 8 − 4.2
Bila parabola y = ax 2 + bx + c seperti gambar di bawah ini, maka tentukan syarat a, b, c dan D ! Y
X
Jawab :
Kurva terbuka ke bawah maka a < 0
b = − 2.a.x p = (− )(− )(+ ) = + maka b > 0
Kurva memotong sumbu Y di y positif maka c > 0 Kurva memotong sumbu X di dua titik maka D > 0
4. Agar ungkapan (t + 1) x 2 − 2tx + (t − 4) bernilai negatif untuk semua x, maka tentukan t Jawab :
Definit negatif syaratnya a < 0 dan D < 0
i. a < 0 ⇒ t + 1 < 0 ⇔ t < − 1 ............(1)
ii. D < 0 ⇒ (− 2t ) 2 − 4.(t + 1)(t − 4) < 0 ⇔ t < − (1) ∩ (2) ⇒ t < −
4 3
4 ...........(2) 3
2
5. Tentukan k agar grafik fungsi y = kx 2 + (k − 4) x + Jawab :
1 2
seluruhnya berada di atas sumbu X !
Definit positif syaratnya a > 0 dan D < 0
i. a > 0 ⇒ k > 0 ............(1)
ii. D < 0 ⇒ (k − 4) 2 − 4k . 12 < 0 ⇔ 2 < k < 8 ..........(2) (1) ∩ (2) ⇒ 2 < k < 8
6. Tentukan persamaan fungsi dari gambar di bawah ini ! Y X -3
(-1,-4) Jawab :
y = a ( x − x p )2 + y p Puncak (− 1,− 4) ⇒ y = a ( x + 1) 2 − 4 Melalui titik (− 3,0) ⇒ 0 = a (− 3 + 1) 2 − 4 ⇔ a = 1 Jadi y = 1( x + 1) 2 − 4 ⇔ y = x 2 + 2 x − 3
7. Tentukan persamaan fungsi di bawah ini ! Y 3
1
Jawab :
3
X
y = a ( x − x1 )( x − x2 ) ⇒ y = a ( x − 1)( x − 3) Melalui (0,3) ⇒ 3 = a (0 − 1)(0 − 3) ⇔ a = 1 Jadi y = 1( x − 1)( x − 3) ⇔ y = x 2 − 4 x + 3
8. Jika dari fungsi f ( x) = ax 2 + bx + c diketahui f(0) = -6, f(1) = 5 dan f(2) = 28 maka tentukan x jika f(x) = 0 ! Jawab :
3
f (0) = − 6 ⇒ 0 + 0 + c = − 6 ⇔ c = − 6 f (1) = a + b − 6 = 5 ⇔ a + b = 11 .........(1) f (2) = 4a + 2b − 6 = 28 ⇔ 2a + b = 17 ..........(2) Dari (1) dan (2) ⇒ a = 6 dan b = 5 Jadi f ( x ) = 6 x 2 + 5 x − 6 f ( x ) = 0 ⇒ 6 x 2 + 5 x − 6 = 0 ⇔ (3x − 2)(2 x + 3) = 0 2 3 x= atau x = − 3 2
9. Tentukan a agar garis y = 2x+ a memotong kurva y = x 2 − x + 3 ! Jawab :
x 2 − x + 3 = 2 x + a ⇔ x 2 − 3x + 3 − a = 0 3 D ≥ 0 ⇒ (− 3) 2 − 4.1.(3 − a) ≥ 0 ⇔ a ≥ 4
10. Tentukan a agar garis 2 x + y − a = 0 menyinggung parabola y = x 2 − 2 x + 2 ! Jawab :
− 2 x + a = x2 − 2x + 2 ⇔ x2 + 2 − a = 0 D = 0 ⇒ 02 − 4.1.(2 − a) = 0 ⇔ a = 2
11. Tentukan koordinat titik puncak dari fungsi f ( x) = 2 x 2 − 4 x + 1 ! Jawab :
TP = (−
b b 2 − 4ac 4 16 − 4.2.1 , )= ( , ) = (1,− 1) 2 a − 4a 2.2 − 4.2
12. Grafik y = 6 + ax − 5 x 2 memotong sumbu X. Jika salah satu titik potongnya (-2,0) maka tentukan a ! Jawab :
0 = 6 − 2a − 5(− 2) 2 ⇔ a = − 7
13. Fungsi kuadrat y = f (x) melalui titik (2,5) dan (7,40). Jika sumbu simetri x = 1 maka tentukan nilai ekstrimnya ! Jawab :
b = 1 ⇔ 2a + b = 0 .........(1) 2a Misal fungsi tersebut y = ax 2 + bx + c Melalui (2,5) ⇒ 5 = 4a + 2b + c Melalui (7,40) ⇒ 40 = 49a + 7b + c x= −
-
45a + 5b = 35 ⇔ 9a + b = 7 ...........(2) Dari (1) dan (2) ⇒ a = 1, b = − 2 dan c = 5 Jadi y = x 2 − 2 x + 5 Karena a = 1 > 0 maka ymin = 12 − 2.1 + 5 = 4
4
14. Grafik y = ax 2 + bx − 1 memotong sumbu X di titik ( 12 ,0) dan (1,0). Tentukan nilai ekstrimnya ! Jawab :
Melalui ( 12 ,0) ⇒ 0 =
1 4
a + 12 b − 1 ⇔ a + 2b = 4 ..........(1)
Melalui (1,0) ⇒ 0 = a + b − 1 ⇔ a + b = 1 .............(2) Dari (1) dan (2) ⇒ a = − 2 dan b = 3 Jadi y = − 2 x 2 + 3 x − 1 ymax =
b 2 − 4ac 9 − 4(− 2)(− 1) 1 = = − 4a − 4(− 2) 8
15. Jika fungsi y = ax 2 + 6 x + (a + 1) mempunyai sumbu simetri x = 3. Tentukan nilai ekstrimnya ! Jawab :
b ⇔ a = −1 ⇒ 2a 36 − 4(− 1).0 = = 9 − 4(− 1)
x= 3= − ymax
y = − x2 + 6x
16. Jika fungsi y = 2ax 2 + 4 x + 5a mempunyai nilai maksimum 3, maka tentukan nilai 25a 2 + 5a ! Jawab :
16 − 4.2a.5a ⇔ (5a + 2)(a − 1) = 0 − 4.2a a = 1 tidak memenuhi karena syarat 2a < 0 2 a = − ⇒ y = − 45 x 2 − 85 x − 2 5 2 25a + 5a = 25(− 52 ) 2 + 5( − 25 ) = 2
3=
17. Jika fungsi f ( x) = px 2 − ( p + 1) x − 6 mencapai nilai tertinggi untuk x = -1 maka tentukan p ! Jawab :
x = −1=
p+ 1 1 ⇔ p= − 2p 3
18. Fungsi y = ( x − 2a) 2 + 3b mempunyai nilai minimum 21 dan memotong sumbu Y di titik berordinat 25. Tentukan a + b ! Jawab :
3b = 21 ⇔ b = 7 Melalui (0,25) ⇒ 25 = (0 − 2a) 2 + 21 ⇔ a = ± 1 a = 1 ⇒ a + b = 1+ 7 = 8 a = − 1 ⇒ a + b = − 1+ 7 = 6
5
19. Jika parabola f ( x) = x 2 − bx + 7 puncaknya mempunyai absis 4, maka tentukan ordinatnya ! Jawab :
b ⇔ b= 8 2.1 Jadi f ( x) = x 2 − 8 x + 7 ⇒ f (4) = 16 − 32 + 7 = 9 x= 4=
20. Jika a, b dan c bilangan real positif sembarang, maka lukislah f ( x) = − ax 2 − bx + c ! Jawab :
Karena a > 0 maka − a < 0 ⇒ kurva terbuka ke bawah b b + x= − = = = − atau x p di x negatif . 2a − 2 a − D = b 2 − 4(− a )c = b 2 + 4ac > 0 ⇒ berpotongan di dua titik c x1 x2 = < 0 ⇒ akar − akarnya beda tan da − a Kurvanya : Y
X
21. Jika f ( x) = px 2 + r seperti gambar di bawah ini, maka tentukan syarat p dan r ! Y
X
Jawab :
22.
Kurva menghadap ke bawah maka p < 0 Kurva memotong sumbu Y di y positif maka r > 0
Grafik f ( x) = ax 2 + bx + c seperti di bawah ini. Jika c 2 − 4ac > 0 maka tentukan a, b dan c! Y X
6
Jawab :
Karena menghadap ke atas maka a > 0
xp = −
b > 0⇒ b< 0 2a
Karena salah satu akarnya 0, maka c = 0
23. Lukislah grafik y = ax 2 + bx + c jika a, b, c > 0 dan b 2 − 4ac > 0 ! Jawab :
b 2 − 4ac > 0 artinya kurva memotong sumbu X di dua titik berbeda. a > 0 artinya kurva menghadap ke atas. b x1 + x2 = − < 0 a ⇒ akar-akarnya negatif. c x1 x2 = > 0 a
Kurvanya :
Y
X
24.
Grafik f ( x) = ax 2 + bx + c dan b 2 − 4ac > 0 terlihat seperti di bawah ini, maka tentukan a dan c ! Y X
Jawab :
Kurva menghadap ke atas maka a > 0
x1 x2 =
c < 0 maka c < 0 a
25. Diketahui kurva seperti di bawah ini. Tentukan fungsinya ! Y
P(2,2)
X Jawab :
y = a ( x − x p ) 2 + y p ⇒ 0 = a (0 − 2) 2 + 2 ⇔ a = − Jadi y = −
1 ( x − 2) 2 + 2 ⇔ y = − 12 x 2 + 2 x 2
1 2
7
26. Suatu grafik fungsi kuadrat melalui titik (0,0) dan mempunyai sumbu simetri x = 4 serta puncaknya terletak pada garis y = x. Tentukan fungsi tersebut ! Jawab : Persamaan kuadrat yang mempunyai puncak (4,4) dan melalui titik (0,0) :
y = a ( x − x p ) 2 + y p ⇒ 0 = a (0 − 4) 2 + 4 ⇔ a = −
1 4
Jadi y = − 14 ( x − 4) 2 + 4 ⇔ y = − 14 x 2 + 2 x
27. Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum –3 untuk x = 2, sedangkan untuk x = -2 fungsi berharga –11. Tentukan fungsi tersebut ! Jawab :
y = a ( x − x p ) 2 + y p ⇒ − 11 = a (− 2 − 2) 2 − 3 ⇔ a = −
1 2
Jadi y = − 12 ( x − 2) 2 − 3 ⇔ y = − 12 x 2 + 2 x − 5
28. Suatu fungsi kuadrat diketahui f(1) = f(3) = 0 dan nilai minimum 1. Tentukan f(x) ! Jawab :
Misal f ( x) = ax 2 + bx + c f (1) = a + b + c = 0 ⇒ b = − 4a .......(1) f (3) = 9a + 3b + c = 0 b 2 − 4ac = 1 ⇔ b 2 = 4a(c − 1) .........(2) − 4a Substitusi (1) ke (2) ⇒ 16a 2 = 4a(c − 1) ⇔ c = 4a + 1 a + b + c = 0 ⇒ a − 4a + 4a + 1 = 0 a = − 1 ⇒ b = 4 dan c = − 3 Jadi f ( x) = − x 2 + 4 x − 3
29. Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama dengan puncak dari grafik f ( x) = x 2 + 4 x + 3 ! Jawab :
− 4 16 − 4.1.3 , ) = (− 2,− 1) 2 − 4 y = a ( x − x p ) 2 + y p ⇒ 3 = a (− 1 + 2) 2 − 1 ⇔ a = 4
TP = (
Jadi y = 4( x + 2) 2 − 1 ⇔ y = 4 x 2 + 16 x + 15
30. Tentukan n agar garis y = x + n menyinggung parabola y = 2 x 2 + 3x − 5 ! Jawab :
x + n = 2 x 2 + 3x − 5 ⇔ 2 x 2 + 2 x − n − 5 = 0 D = 0 ⇒ 22 − 4.2.( − n − 5) = 0 ⇔ n = − 5 12
8
31. Tentukan a agar garis 2 x + y = a memotong grafik 4 x 2 − y = 0 di dua titik ! Jawab :
4 x2 = − 2x + a ⇔ 4x2 + 2x − a = 0 D > 0 ⇒ 4 − 4.4.(− a ) > 0 ⇔ a > −
1 4
32. Tentukan m agar grafik y = mx 2 − 2mx + m di bawah garis y = 2 x − 3 ! Jawab :
mx 2 − 2mx + m = 2 x − 3 ⇔ mx 2 − (2m + 2) x + (m + 3) = 0 i. m < 0 ........(1) ii. D < 0 ⇒ (2m + 2) 2 − 4m(m + 3) < 0 ⇔ m > 1 .......(2) (1) ∩ (2) ⇒ m tidak ada
33. Garis y = ax + b memotong parabola y = 2 x 2 + 5 di titik ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ). Jika x1 + x2 = 4 dan x1 x2 = 3 maka tentukan a dan b ! Jawab :
ax + b = 2 x 2 + 5 ⇔ 2 x 2 − ax + 5 − b = 0 a x1 + x2 = 4 = ⇔ a = 8 2 5− b x1 x2 = 3 = ⇔ b= −1 2
34. Suatu garis lurus mempunyai gradien –3 dan memotong parabola y = 2 x 2 + x − 6 di titik (2,4). Tentukan titik potong lainnya ! Jawab :
Misal garis tersebut y = -3x + c Melalui (2,4) maka 4 = -6 + c atau c = 10
2 x 2 + x − 6 = − 3 x + 10 ⇔ ( x + 4)( x − 2) = 0 x = − 4 ⇒ y = 12 + 10 = 22 jadi titik potong yang lain adalah (-4,22)
35. garis g melalui titik T(1,3) dan memiliki gradien m. Agar g memotong grafik y = − x 2 pada dua titik yang berbeda maka tentukan m ! Jawab :
Misal persamaan garis itu y = mx + c Melalui titik T(1,3) maka 3 = m + c atau c = 3 – m Jadi y = mx + 3 – m
mx + 3 − m = − x 2 ⇔ x 2 + mx + 3 − m = 0 D > 0 ⇒ m 2 − 4.1.(3 − m) > 0 ⇔ m < − 6 atau m > 2
