1.1 Testing the Heisenberg Uncertainty Principle.
An ambitious undergraduate decides to check out the uncertainty principle for macroscopic systems. He goes to the top of the Uncertainty Unc ertainty clock tower and drops a marble ma rble (of mass m) to the ground, trying to hit one of the (many) cracks in the pavement beneath him. To aim his marble, he teeters precariously directly over the desired crack and uses a very sophisticated apparatus of the highest possible precision, which he has b orrowed from one of the superbly equipped freshman physics laboratories. a) Alas, try as he might, the student cannot hit the crack. Prove that the marble will
ħ inevitably miss the crack by an average distance of the order of , where g is the acceleration due to gravity and H is the height of the tower.
b) Assuming reasonable values for H and m, evaluate the order of magnitude of the distance in part (a) in MKS units. c) Discuss your result in terms of the Correspondence Principle. Solution: a) Missing the crack by a certain distance is not n ot the same as the uncertainty uncertaint y in distance travelled while falling from the tower. But the uncertainties in both the situations is believed to be the same. b) We assume for H= 743 m and m= 0.5 kg. So, the magnitude of the distance (d) is
ħ = [2] () . × = ×.×. = 1.452661 ×10−−2.93594 = . ×
1.2 Tidak ada istirahat bagi yang lelah di dunia mikro Salah satu fitur sistem mikroskopis yang paling luar biasa adalah jika mereka terikat (yaitu, dibatasi oleh kekuatan), mereka tidak akan pernah bisa beristirahat. Penjelasan untuk fakta aneh ini, karena begitu banyak fitur aneh dari dunia mikro, adalah terkait dengan Prinsip
Ketidakpastian Heisenberg. Keadaan energi total minimum suatu sistem adalah keadaan dasarnya. Energi keadaan dasar suatu sistem adalah energi titik nolnya. Perhatikan seberkas partikel massa yang bergerak dalam satu dimensi. Misalkan energi potensial mereka adalah
= 12
osilator harmonis sederhana dari frekuensi alam
Menggunakan prinsip Ketidakpastian Heisenberg untuk mendapatkan perkiraan ekspresi untuk energi keadaan dasar partikel di balok. Petunjuk: momentum rata-rata partikel saat mereka menjalani gerakan harmonis sederhana adalah nol, jadi nilai momentumnya adalah urutan h / Δx Jawab :
= 12
Diketahui energy potensial osilator
Menggunakan prinsip Ketidakpastian Heisenberg untuk mendapatkan perkiraan ekspresi untuk energi keadaan dasar partikel di balok.
∆∆~ ℏ2 = 2ℏ = 2 + 1 = 2 + 2 1 ℏ = 8 + 2 = 0 = 4ℏ + = 0
Energi keadaan dasar diperoleh dengan pengaturan
Dimana Bukti
= ℏ
ℏ ℏ 4 + = 4 +
2 ℏ = 4ℏ + 2ℏ = 12 ℏ + 12 ℏ = 0 Jadi kita bisa memasukka nilai
= ℏ 1 ℏ = 8 + 2 2 1 ℏ ℏ = 8ℏ + 2 2 = 14 ℏ + 14 ℏ = 12 ℏ
untuk mencari Energi keadaan
1.3 Perwujudan Gagasan Quantum : Partikel Dalam sebuah Box. Mempertimbangkan suatu kumpulan yang konsisten dari suatu bilangan yang sangat banyak dari sistem yang identik. Tiap sistem merupakan sebuah partikel be rmassa m terkurung dalam dimensi satu hasil perkalian dengan lebar L. Potensial energi dari sebuah partikel adalah
∞ = 0 ∞
< 2 2 ≤ ≤ 2 > 2
a) Dari pendapat di atas pada Prinsip Ketidakpastian Heisenberg diturunkan dari sebuah persamaan untuk energi kinetik minimum
yang dapat dimiliki partikel. Buktikan
secara jelas, lengkapi penjelasan dengan alasanmu. b) Hitunglah energi kinetik minimum dari sebuah elektron yang terbatas pada nukleon. Ambil itu sebagai diameter dari nukleon dengan nilai 10 fermi. Buatlah jawabanmu dalam bentuk MeV.
c) Dalam pelajaran sebelumya mengenai rerasan beta,
nukleon teramati memancarkan
elektron dengan energi beberapa ribu keV. Pada awalnya, observasi ini diambil sebagai bukti bahwa elektron memblokir nukleon. d) Andaikan massa dari partikel adalah m=1 milligram dan lebar dari box adalah L=0.1 mm. Hitunglah energi minimum energi dalam eV. Bisakah jika
≠ 0
untuk sistem ini
dapat diamati ? kenapa dan kenapa tidak ? Jawaban : d.
, = 5,4910− = 3,410− = = ≠ 0 10 kita tidak dapat mengamati, karena
bilnagan kuantum pada orde
dan pada kecepatan tertentu memiliki
.
1.4 Mempertimbangkan sebuah partikel microscopic dengan massa m yang bergerak ke dalam lingkaran dengan radius r . partikel dan
∆
∆
merupkan ketidakpastian dalam momentum anguler dari
ketidakpastian dalam perpindahan angular ini. Turunkan dari prinsip
ketidakpastian:
∆∆ ≥ 12 ℏ.
Jawaban : Karena partikel tersebut bergerak di dalam lingkaran, prinsip ketidakpastian akan diberlakukan terhadap arah tangen lingkaran. Dengan demikian
∆∆ ≥ 12 ℏ.
Dengan s diukur di sepanjang keliling lingkaran. Momentum angular tersebut dihubungkan ke momentum linier dengan
= =
Yang oleh karena itu
= /
∆ = ∆/. ∆ = ∆ ∆∆ = ∆/∆ ≥ 12 ℏ.
Pergeseran angular dihubungkan ke arc panjang dengan
; dan oleh karena itu
. Selanjutnya
Untuk keadaan momentum angular yang tetap (yaitu sebuah electron di dalam orbit Bohr) ketidakpastian momentum angular, angular,
∆
∆,
adalah 0. Oleh karena itu, ketidakpastian posisi
, adalah tak berhingga, sehingga posisi partikel dalam orbit tersebut tidak
menentukan. 1.5
Aplikasi yang tidak terlalu realistis dari HUP. Gunakan prinsip ketidakpastian Heisenberg untuk memperkirakan berapa lama pensil timbul biasa dapat diimbangi secara seimbang pada titiknya! Jawaban
∆∆ ≥ 4ℎ
∆: ∆: : 0,527×10− ⁄
