Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ Pembahasan Titik P berada pada koordinat (3, 1) Titik Q berada pada koordinat (7,4) a) PQ dalam bentuk vektor kolom
b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) PQ = 4i + 3j c) Modulus vektor PQ
Soal No. 2 Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:
Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan: a) Koordinat titik S b) Koordinat titik V c) Vektor SV dalam bentuk kolom d) SV dalam bentuk vektor satuan
e) Modulus atau panjang SV Pembahasan a) Koordinat titik S x=5 y=0 z=5 (5, 0, 5) b) Koordinat titik V x = 10 y = 10 z=0 (10, 10, 0) c) Vektor SV dalam bentuk kolom
d) SV dalam bentuk vektor satuan SV = 5i + 10j − k e) Modulus atau panjang SV
Soal No. 3 Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan: a) |a + b| b) |a – b| Pembahasan a) |a + b| Jumlah dua buah vektor
b) |a – b| Selisih dua buah vektor
Soal No. 4 Dua buah vektor masing-masing: p = 3i + 2j + k q = 2i – 4 j + 5k Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut! Pembahasan Jumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k
Dengan rumus penjumlahan
Soal No. 5 Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k . Panjang proyeksi vektor a pada b adalah….. A. 4/3
B. 8/9 C. ¾ D. 3/8 E. 8/36 (Soal Ebtanas Tahun 2000) Pembahasan Panjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:
Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:
Soal No. 6 Diketahui vektor a = 4i − 2j + 2k dan vektor b = 2 i − 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektor a pada vektor b adalah.... A. i − j + k B. i − 3j + 2k C. i − 4j + 4k D. 2i − j + k E. 6i − 8j + 6k (Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12) Pembahasan Proyeksi vektor a pada vektor b namakan c, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).
Soal No. 7 Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − 2k adalah.... A. 1/8 π B. 1/4 π C. 1/3 π
D. 1/2 π E. 2/3 π (Soal Ebtanas 1988) Pembahasan Sudut antara dua buah vektor:
Soal No. 8 Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah.... A. 0 B. 1/4 π C. 1/2 π D. 3/4 π E. π (Soal Ebtanas 1989 - Vektor) Pembahasan Tentukan vektor u dan v terlebih dulu: u = AB = B − A = (6 , 10 , –6) − (4 , 7 , 0) = (2, 3, −6) → u = 2i + 3j − 6k v = AC = C − A = (1 , 9 , 0) − (4 , 7 , 0) = (− 3, 2, 0) → v = − 3i + 2j
Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90° atau 1/2 π Soal No. 9 Diketahui A. 1/2 B. 1/2 √2
Proyeksi skalar 2u + 3v pada v adalah....
C. 1/14√14 D. 2√14 E. 7/2√14 Pembahasan 2u + 3v misalkan dinamakan r
Proyeksi vektor r pada v misal namanya s adalah
Soal No. 10 Diberikan tiga buah vektor masing-masing: a = 6p i + 2p j − 8 k b = −4 i + 8j + 10 k c=−2i+3j−5k Jika vektor a tegak lurus b, maka vektor a − c adalah..... A. − 58 i − 20 j − 3k B. − 58 i − 23 j − 3k C. − 62 i − 17 j − 3k D. − 62 i − 20 j − 3k E. − 62 i − 23 j − 3k Pembahasan Tentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol. a dan b tegak lurus maka berlaku: a⋅b=0 (6p i + 2p j − 8 k)⋅ (−4 i + 8j + 10 k) = 0 − 24p + 16p − 80 = 0 − 8p = 80 p = − 10 Dengan demikian vektor a adalah a = 6p i + 2p j − 8 k a = 6(− 10) i + 2(− 10) j − 8 k
a = −60 i − 20 j − 8 k a − c = ( −60 i − 20 j − 8 k) − (− 2 i + 3 j − 5 k) a − c = − 58 i − 23 j − 3k
Nomor 1 Diketahui a = t i - 2 j + h k dan b = (t +2) i + 2 j + 3 k. Jika a = - b maka vektor a dapat dinyatakan ... A. i + 2j + 3 k B. i + 2 j - 3k C. i - 2j + 3k D. - i - 2j + 3k E. - i - 2 j - 3 k Pembahasan a = - b maka t i - 2 j + h k = - (t +2) i - 2 j - 3 k t = - (t +2) t=-t-2 2t = -2 t = -1 lalu h = - 3 sehingga, a = - i - 2 j - 3 k Jawaban: E Nomor 2 Jika vektor a = 7 i + 5 j - 3k dan b = 5 i + 2 j + 3k serta c = a - b, maka vektor satuan yang searah denga c adalah... A. 6/7 i + 2/7 j + 3/7 k B. 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k C. 2/7 i - 3/7 j + 6/7 k D. 6/7 i - 3/7 j - 2/j k E. -2/7 i + 6/7 j - 3/7 k Pembahasan c = a - b = (7 i + 5 j - 3k) - (5 i + 2 j + 3k) = 2 i + 3j - 6k Sehingga Maka vektor yang searah dengan c adalah c = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i + 3/7 j - 6/7 k Jawaban: B Nomor 3 Diketahui titik-titik A (1, 4, 2), B (3, 1, -1), C (4, 2, 2). Jika a = AB dan b = CA dan c = b - a maka vektor c adalah... A. (5,5,3) B. (-5,5,3) C. (-5,-5,3) D. (-3,3,5) E. (-3,-3,5) Pembahasan a = AB = B - A = (3,1,-1) - (1,4,2) = (2,-3,-3) b = CA = A - C = (1,4,2) - (4,2,2) = (-3,2,0) c = b - a = (-3,2,0) - (2,-3,-3) = (-5,5,3) Jawaban: B
Nomor 4 Diketahui U = 3 i + 2 j + k dan v = 2i + j dimana W = 3 U - 4 V maka besar W =... A. √5 B. √7 C. √11 D. √13 E. √14 Pembahasan W = 3 (3 i + 2 j + k) - 4 (2i + j) = i + 2j + 3k Jawaban: E Nomor 5 Diketahui vektor u = 2 i - 3 j + 5 k dan v = - 3 i - 5 j + 2 k menga[it sudut Ɵ. Maka nilai tan Ɵ adalah... A. √2 B. √3 C. √5 D. √6 E. 1 Pembahasan
Jadi Ɵ = 60 derajat Sehingga tan Ɵ = tan 60 = √3 Jawaban: B Nomor 6 Jika a = 3i - 2j + k, b = 2i - 4j - 3k dan c = -i +2j + 2k, maka 2a - 3b - 5 c sama dengan... A. 2i + 5j + k B. 2i - 5j + k C. 5i - 2j + k D. 5i + 2j + k E. 5 i - 2 j - k Pembahasan 2a - 3b - 5 c = 2 (3i - 2j + k) -3(2i - 4j - 3k) - 5(-i + 2j + 2k) = 5i - 2j + k Jawaban: C Nomor 7
Jika vektor u dan vektor v membentuk sudut 60 derajat dimana IuI = 2 dan IvI = 5, maka u (v + u) = A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11 Pembahasan u (v + u) = u . v + u2 = IuI IvI cos 60 + u2 = 2 . 5 . 1/2 + 22 =5+4=9 Jawaban: B Nomor 8 Diketahui titik-titik A (3,-1,0), B(2,4,1) dan C(1.0,5). Maka panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah... A. 1/5 √30 B. 2/5 √30 C. 3/5 √30 D. 4/5 √30 E. √30 Pembahasan AB = B - A = (2,4,1) - (3,-1,0) = (-1,5,1) AC = C - A = (1,0,5) - (3,-1,0) = (-2,1,5) Maka panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah...
= 12/30 (√30) = (2/5) √30 Jawaban: B
Nomor 9 Vektor-vektor u = 4i - mj + 2 k dan v = 5i + 2j - 4k saling tegak lurus. Maka harga m haruslah... A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10 Pembahasan u tegak lurus v maka: u.v=0
(4i - mj + 2k) (5i + 2j - 4k) = 20 - 2m - 8 = 0 m=6 Jawaban: C Nomor 10 Diketahui D adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2,3,-2), B(-4,1,2) dan C(8,5,-3). Maka panjang vektor posisi d sama dengan: A. 1 B. 2 C. √5 D. √10 E. √14 Pembahasan D titik berat segitiga sehingga D = 1/3 (A + B + C) D = 1/3 (2,3,-2) + (-4,1,2) + (8,5,-3) D = 1/3 (6,9,-3) = (2,3,-1) Panjang proyeksi D adalah
Jawaban: E
