SADRŽAJ 1. Automatsko upravljanje 1.1. Sistemske osnove 1.2. Signali u sistemima automatskog upravljanja 1.3. Upravljanje 1.4. Načini predstavljanja sistema automatskog upravljanja 1.6. Pregled osnovnih radnih zadataka vezanih za oblast upravljanja sistemima 2. Matematičke osnove 2.1. Modeliranje, simulacija 2.2. Uticaj nelinearnosti na ponašanje sistema automatskog upravljanja 2.3. Linearizacija 3. Matematičke metode analize linearnih, dinamičkih sistema sa koncentrisanim parametrima 3.1. Matematičke metode analize kontinualnih linearnih sistema 3.1.1. Rešenje diferencijalnih jednačina n-tog reda sa koncentrisanim parametrima 3.1.2. Vremenska konstanta i svojstvena učestanost 3.1.3. Prelazna i težinska funkcija 3.2. Jednačina stanja 3.2.1. Rešavanje jednačina stanja 3.2.2. Linearizacija nelinearnih jednačina stanja 3.3. Matematičke metode analize i sinteze linearnih diskretnih sistema sa koncentrisanim parametrima 3.3.1. Diskretne funkcije vremena 3.3.2. Diferentne jednačine 3.3.3. Uzorkovanje 3.3.4. Zadrška 3.3.5. Diskretne jednačine stanja 3.3.6. Formiranje diskretnih jednačina stanja na osnovu diferentnih jednačina sistema 3.3.7. Rešavanje diskretnih jednačina stanja 3.3.8. Medjusobno sprezanje kontinualnih i diskretnih sistema 4. Matematičke metode analize linearnih, dinamičkih sistema sa koncentrisanim parametrima u frekventnom domenu 4.1. Furijeov red 4.2. Furijeov integral 4.3. Laplasova transformacija 4.3.1. Konvolucioni integral i Laplasova transformacija konvolucionog integrala 4.3.2. Granična teorema 4.3.3. Frekventna metoda rešavanja linearnih diferencijalnih jednačina sa konstatnim koeficijentima 4.3.4. Prenosne funkcije
1 3 6 11 17 19 22 22 26 27 30 30 30 34 36 39 42 46 48 49 49 52 54 55 57 58 59 61 61 64 65 68 69 70 71
4.3.5. Veza izmedju parametara prenosne funckije i prelazne i težinske funkcije 4.3.6. Inverzna Laplasova transformacija racionalnih funkcija 4.4. Laplasova transformacija jednačina stanja. Matrica prensoa 4.5. Laplasova transformacija diskretnih sistema 4.5.1. Laplasova transformacija diskretne funkcije 4.5.2. Z-transformacija 4.5.3. Pravila Z-transformacije 4.5.4. Inverzna Z-transformacija 4.5.5. Impulsna prenosna funkcija 4.5.6. Osobine impulsne prenosne funkcije 4.5.7. Disretne jednačine stanja 4.5.8. Impulsna prenosna funkcija i impulsna matrica 4.6. Primena Furije-ove transformacije 4.6.1. Odredjivanje frekventnog spektra diskretnog sistema 4.6.2. Rekonstrukcija signala iz spektra 4.6.3. Diskretna Furije-ova transformacija 4.7. Frekventni prenos 4.7.1. Načini prikaza frekventnog prenosa 4.7.1.1. Amplitudno-frekventna karakteristika (Nikvist-ov dijagram) 4.7.1.2. Bode-ov dijagram (logaritamsko frekvetna karakteristika) 4.7.2. Frekvetne karakteritike impulsne prenosne funkcije 5. Kvalitativni zahtevi sistema automatskog upravljanja 5.1. Opservabilnost i kontralabilnost 5.1.1. Osmotrivost 5.1.2. Upravljivost 5.1.3. Upravljivost i osmotrivost sistema opisanih diskretnim jednačinama stanja 5.1.4. Kalmanova dekompozicija sistema upravljanja 5.2. Stabilnost 5.2.1. Rut-ov kriterijum stabilnosti 5.2.2. Hurvitz-ov kriterijum stabilnosti 5.2.3. Primena Rutovog i Hurvitz-ovog kriterijuma na diskretne sisteme 5.2.4. Juri-ev kriterijum stabilnosti 5.2.5. Ljapunovljeva direktna metoda 5.2.6. Nikvistov kriterijum stabilnosti 5.2.7. Rezerva faze i rezerva amplitude 5.2.8. Primena Bodeovih dijagrama za ocenu stabilnosti 5.2.9. Geometrijsko mesto korena 5.3. Osnovi teorije osetljivosti 5.4. Robustnost 5.5. Kriterijumi za ocenu kvaliteta sistema automatskog upravljanja 5.5.1. Dominantan par polova 5.5.2. Ocena kvaliteta na bazi geometrijskog mesta korena
74 75 78 79 79 80 81 82 84 88 89 91 91 92 95 97 98 99 99 100 103 105 106 107 108 108 109 111 112 114 116 116 118 120 121 123 125 127 128 130 131 133
5.5.3. Ocena kvaliteta na osnovu frekventnih karakteristika 5.5.4. Integralni kriterijumi kvaliteta 5.5.5. Uporedjivanje metoda za ocenu kvaliteta sistema automatskog upravljanja 6. Karakteristični elementi sistema automatskog upravljanja 6.1. Proporcionalni članoovi 6.1.2. Proporcionalni članovi sa kašnjenjem prvog reda (PT1) 6.1.3. Tropozicionalan član sa kašnjenjem drugog reda (PT2) 6.2. Integralni članovi 6.2.1. Integralni član sa jednim akumulatorom(IT0) 6.3. Diferencijalni članovi 6.4. Član sa mrtvim vremenom 6.5. Sprezanje prenosnih članova 6.5.1. Redna veza 6.5.2. Redna veza više procesa prvog reda 6.5.3. Paralelna veza 6.5.4. Povratna veza 6.5.5. Primena povratne veze kod sistema opisanih jednačina stanja 6.5.6. Pravila simplifikacije složenih sistema. Algebra funkcija prenosa 6.5.7. Graf toka signala 6.5.8. MEJSON-ov obrazac 6.5.9. Graf toka signala sistema sa uzorkovanjem 6.6. Prenosna funkcija zatvorenog sistema 6.6.1. Sistemi sa više ulaza 7. Identifikacija 7.1. Merenje 7.2. Grube grafoanalitičke metode 7.2.1. Metod tangente 7.2.2. Logaritamska metoda 7.2.3. Odredjivanje vremenske konstante minimizacijom kvadratnog funkcionala 7.2.4. Odredjivanje zbira vremenskih konstanti objekta upravljanja sa više akumulatora energije 7.2.5. Procena parametara redne veze proporcionalnog člana prvog reda i člana sa čistim kašnjenjem 7.2.5.1. Odredjivanje rada sistema i vremenske konstante na osnovu vremenskih odsečaka 7.2.5.2. Odredjivanje ekvivalentnog mrtvog vremena i ekvivalentne vremenske konstante metodom odnosa površina 8. Struktura sistema automatskog upravljanja 8.1. Upravljanje u otvorenoj sprezi 8.2. Upravljanje u otvorenoj sprezi na bazi matematičkog modela objekta upravljanja 8.3. Regulacija 8.4. Upravljački sistemi sa više ulaza i izlaza
134 135 137 141 142 144 147 152 152 153 155 157 158 160 161 162 164 166 169 171 172 173 175 177 179 180 180 181 184 184 185 186 189 190 190 190 192 199
8.5. Uticaj greške merenja na sisteme sa otvorenom i zatvorenom spregom 9. Regulatori 9.1. Pogonska stanja ojekta upravljanja koji se upravlja sa kontinualnim ili digitalnim regulatorom 9.2. Opšti postupak prilagodjavanja i podešavanja regulatora 9.3. Regulacija proporcionalnog člana sa kašnjenjm prvog reda 9.3.1. Primena proporcionalnog regulatora 9.3.2. Primena integralnog regulatora 9.3.3. Primena diferencijalnog regulatora 9.4. Osnovni tipovi kontinualnih regulatora 9.5. Digitalni regulatori 9.6. Pozicioni regulatori 10.Sinteza logičko-sekvencialnog upravljanja 10.1. Projektovanje logičkog upravljanja 10.2. Primer projektovanja upravljanja 10.3. Slobodnoprogramirajući uredjaji 10.3.1. Princip rada slobodnoprogramirajućih uredjaja 11.Sinteza regulatora 11.1. Podešavanje parametara regulatora 11.1.1. Chien-Hrones-Reswick - metoda 11.1.2. Kessler-ova metoda 11.1.3. Ziegler-Nichols-ova metoda 11.1.4. Takahashi-jeva metoda 11.2. Odredjivanje matrice pojačanja povratne veze kod sistema opisanih jednačinama stanja 11.2.1. Podešavanje položaja polova 11.2.2. Ackermann-ova metoda 11.2.3. Alternativna metoda 11.3. Optimalni regulator stanja 11.4. Sinteza observera 11.5. Sinteza sistema automatskog upravljanja sa minimalnim trajanjem prelaznih procesa 11.6. Regulacija primenom pozicionih regulatora 11.6.1. Upravljanje proporcionalnim članom sa kašnjenjem prvog reda 11.6.2. Upravljanje proporcionalnim članovima sa više akumulatora
201 203 204 205 207 207 208 209 209 215 217 219 220 224 229 230 232 233 233 235 236 237 237 238 239 240 241 243 244 247 248 249
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA A matematiku i metafiziku, Uzimajte tol’ko koliko vam prija. Šekspir: Ukroćena goropad, 1.scena 1. čin
1. Automatsko upravljanje Od svog nastanka čovek je u stalnoj borbi sa prirodom. U začetku se borio za svoj goli opstanak, zatim je započeo svoju večitu borbu u savladavanju prirodnih pojava, da bi kasnije krenuo u proizvodnju potrošačkih dobara. Na osnovu iskustava stečenih u ovoj borbi čovek je uočio osnovne zakonitosti odvijanja prirodnih pojava, uočio je sposobnost prirodnih sila za vršenje rada i pronašao je mogućnosti iskorišćavanja energija iz prirode za vršenje rada. Stvorio je tehnička sredstva za efikasno usmeravanje prirodnih sila u vidu alata, mašina, uređaja, postrojenja i sl. Isplanirao je organizovanu i celishodnu interakciju između raznih tehničkih sredstava i okruženja u cilju stvaranja potrošnih dobara tj. formirao je proizvodna postrojenja.
Slika 1.1. Prikaz razvoja proizvodnih procesa na primeru zemljanih radova: a) ručni rad, b) primena alata, c) mehanizacija d) proizvodno postrojenje Da bi proizvodna postrojenja ostvarivala svoje zadatke njima se mora upravljati tj. proizvodne procese treba pokrenuti, održavati, menjati, nadzirati i zaustaviti. Zadatak upravljanja se znači svodi na potrebu ostvarivanja takvih interventnih akcija u proizvodnim postrojenjima koji omogućuju ostvarivanje organizovane strukture i proizvodnih ciljeva u nekom sistemu. Upravljanje je postupak određivanja mere i lokacije ostvarivanja takvih interventnih akcija koje će u proizvodnim procesima održati ili promeniti stanja, sprege i forme u skladu sa zakonitostima prirode i kvalitativnim zahtevima proizvodnje. Akcije upravljanja se određuju na bazi prethodnih i trenutnih informacija dobijenih merenjem pokazatelja stanja proizvodnog procesa i okruženja. U opštem slučaju zadatak upravljanja se može odnositi na sve procese tj. na bilo koji fizički, hemijski, biološki, ekonomski, društveni itd. U daljem će se razmatrati samo oni procesi u kojima se ostvaruje transformacija materije i energije. Nauka o upravljanju u principu predstavlja skup metodoloških postupaka prikupljanja, obrade i prenosa informacija u proizvodnim postrojenjima. 1
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
U začetku razvoja upravljanja čovek je informacije prikupljao, obrađivao i izvršavao uz oslanjanje na svoje fizičke i intelektualne sposobnosti. U kasnijoj fazi započeo je primenu različitih pomoćnih sredstava, uređaja, postrojenja da bi svoje ograničene sposobnosti u smislu zapažanja, kontrolisanja i fizičke realizacije akciju upravljanja proširo. Primena rezultata razvoja prirodnih i tehničkih nauka (kao što su elektrotehnika, elektronika, telekomunikacije, računarska tehnika, tehnika merenja, pneumatika, hidraulika itd.) u kasnijoj fazi je stvorila uslove za ostvarivanje takvih uređaja koji monotone operacije upravljanja mogu izvršiti samostalno bez učešća čoveka. Stvoreni su sistemi automatskog upravljanja. Čovek u daljem preuzima zadatke razvoja, projektovanja, instalacije, kontrole rada, podešavanja, održavanja i opravke uređaja koji aktivnosti upravljanja ostvaruju bez učešća čoveka tj. automatski. Automatizacija je takva tehno-ekonomska aktivnost koja ostvaruje mogućnosti da čovek svoje zadatke upravljanja prepusti različitim uređajima, postrojenjima, računarima itd. U vezi automatizacije srećemo izraze kao što su automat, automatski i automatika. Automat je reč grčkog porekla i odnosi se na nešto što samostalno radi. Automatika je u užem smislu nauka o upravljanju, a u širem smislu podrazumeva sve tehničke aktivnosti ostvarivanja upravljanja. Nauka o upravljanju (automatika) je grana tehničkih nauka, koja se bavi problematikom razvoja, ispitivanja i primene metodoloških postupaka ostvarivanja upravljanja. Automatika obuhvata skup postupaka, metoda i zakonitosti kojima se istražuju, projektuju, biraju, ugrađuju, podešavaju, održavaju i opravljaju sredstva i uređaji koji se primenjuju u sistemima automatskog upravljanja. U početku razvoju upravljanja tehnička sredstva automatike su bila direktno vezana za uređaje u proizvodnom sistemu. Razvoj ovih sredstava je ostvaren na osnovu čisto praktičnih razmatranja tj. bez teorijske podrške. Šira primena automatizacije i praćenje neizbežnih nuspojava neminovno je istakla potrebu razvoja teorijskih principa proučavanja sistema automatskog upravljanja tj. nametnula je potrebu formiranja zasebne naučne oblasti koja će istraživati područje automatizacije. Teorija automatskog upravljanja je strogo povezana sa kibernetikom, teorijom sistema, informatikom, veštačkom inteligencijom, matematikom i sl. Razvoj teorije sistema automatskog upravljanja dugo vremena nije praćen i odgovarajućim praktičnim ostvarenjima. Neka teorijska rešenja su praktično realizovana i sa zakašnjenjima od desetak godina. Prekid u ovom nepovoljnom trendu nastao je nakon ubrzanog razvoja mikroelektronike, računarstva, informatike, telekomunikacija itd. Pri rešavanju upravljačkih zadataka pored poznavanja teorije upravljanja neophodno je imati saznanja o načinu rada proizvodnog procesa, primenjenih uređaja, merne tehnike, itd. Pri instalaciji sistema automatskog upravljanja moraju se zadovoljiti i ekološki, tehnološki i ekonomski sistemi. Da bi se ovi uslovi ispunili stručnjak iz oblasti upravljanja mora uspostaviti uspešnu saradnju sa tehnolozima, ekonomistima itd. Neki proizvodni proces je opravdano automatizovati ako se može postići neki od sledećih ciljeva: - ušteda ili olakšanje ljudskog rada, - ostvarivanje proizvodnje u sredinama koje nisu pogodne za boravak čoveka, - otklanjanje štetnih efekata ljudskog faktora, - povećavanje sigurnosti rada proizvodnog procesa, - smanje štetni ekološki uticaji, - smanji utrošak energije, - postizanje višeg i ujednačenog nivoa kvaliteta, - povećavanje produktivnosti, - ostvarivanje proizvodnog procesa (neki savremeni proizvodni procesi se ne mogu ostvariti bez automatizacije). Automatizacija se može ostvariti ako se ispune tehnički, ekonomski i ljudski preduslovi. Tehniči preduslovi postoje ako je postignut određeni nivo mehanizacije i tehnologije. Zbog velikih ulaganja u uređaje automatizacija je ekonomski opravdana uglavnom u masovnoj ili serijskoj 2
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
proizvodnji. Ljudski preduslovi pretpostavljaju postojanje istraživača novih teorijskih podloga i takvih inženjera i pogonskih stručnjaka koji savremena teorijska rešenja mogu uspešno ugraditi u uređaje i ove uređaje će uspešno instalirati, eksploatisati, održavati i popravljati. U daljem će se osnovna pažnja posvetiti osnovama Teorije sistema automatskog upravljanja. Konstruktivne odlike potrebne opreme i uređaja će se razmatrati u onoj minimalnoj formi koja je neophodna za savlađivanje osnovnih teorijskih principa. Matematička razrada problema je svedena na minimum i dovedena je u okvire koji se mogu savladati na osnovu predznanja iz matematike stečenih u prvoj godini studija na Višoj školi.
1.1. Sistemske osnove Pod sistemom, u ovom slučaju, smatraćemo izdvojenu sredinu u kojoj materijalne elemente povezuju različite interakcije. Delom sistema smatramo onaj objekat, koji se sa stanovišta proučavanja delovanja sistema više ne može rastavljati. Između objekata sistema i okruženja mogu delovati različiti fizički, hemijski, biološki ili informacioni procesi. Matematički opis (matematički model) sistema ćemo takođe smatrati sistemom. Između prirodnih ili veštačkih sistema, procesa, pojava uvek postoji neka uzročnoposledična sprega. Ako proučavamo neki sistem tada ne smemo zanemariti njen uticaj na okruženje i uticaj okruženja na sistem. Ovi uticaji mogu biti koncentrisani na određenu tačku sistema u vidu delovanja neke sile ili raspoređeni na neku površinu celog sistema ili dela sistema. Ovakav raspoređeni karaker imaju toplotna energija, pritisak, gravitacija, magnetna polja itd. Na slici 1.2 prikazan je šematski slučaj sistema na koji okruženje deluje preko koncentrisanih uticaja. Strelice označavaju pravac i smer dejstava. Osobine nekog sistema određuju karakeristike podsistema i karakter interakcija između podsistema i sistema i okruženja. Bez obzira sa kolikom preciznošću pristupamo proučavanju nekog sistema moramo znati da nikad ne možemo uzeti u obzir sve činjenice koje direktno ili indirektno utiču na ponašanje sistema. Stoga rezultate svakog istraživanja ili eksperimenta uvek treba da prihvatamo sa određenom rezervom.
SISTEM
Slika 1.2 Sistem i okruženje Stanje nekog sistema je svaka proizvoljna i jasno određena osobina sistema koja se uvek može jednoznačno uočiti ako se ponovi. Stanje sistema je ona informacija o sistemu u jednom trenutku koja je neophodna za uvid u ponašanje sistema. Sistem može imati konačno mnogo stanja. Stanje sistema se kvalitativno i kvantitativno opisuje mernim brojevima veličina koje karakterišu interakcije u sistemu i interakcije između okruženja i sistema. Ovi merni brojevi se mogu odnositi na poziciju (npr. udaljenost, nivo), stanje materije i energije (npr. temperatura, pritisak, sastav), ili 3
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
prestavljaju veličine koje imaju čisto informacioni karakter (npr. stanje brojača, načinjen broj obrtaja). Stanja sistema u trenutku t određena su funkcijama vremena x1(t), x2(t),…… xn(t) i zapisuju se putem vektora stanja: x1 (t ) x (t ) x(t ) = 2 ; x(t ) ∈ R n ( 1.1 ) M x n (t ) Vektor stanja u trenutku t1, određuje trenutno stanje sistema. Ako se odrede elementi u dva različita trenutka vremena ( t1 ≠ t 2 ), tada iz promena elemenata vektora stanja možemo odrediti pravac i smer promena tj. „kretanja” sistema. Pojam kretanja je preuzet iz mehanike, gde se kretanje odnosi na proces promene položaja. U daljem ćemo pod kretanjem podrazumevati sve promene stanja. U ovom smislu kretanje je i promena temperature nekog tela, punjenje kondenzatora, promena stanja na računu u banci, promena količine sirovina u magacinu itd. U opštem slučaju kretanje se odnosi i na promene u tako složenim pojavama kao što su život i razmišljanje. Kretanje sistema – promena stanja – se odvija ili pod dejstvom okruženja ili pod dejstvom unutrašnjih podsticaja. Svako dejstvo na sistem izaziva promene u sistemu tj. uzrokuje promenu stanja. Meru promene stanja ocenjujemo na osnovu promena mernih brojeva pokazatelja stanja. Strogo uzevši između svakog sistema i okruženja postoji konačno mnogo interakcija ili nemaju sve interakcije isti značaj. Jasno je da privlačna sila meseca utiče na kretanje automobila na zemlji ali je ovaj uticaj toliko mali da se u principu uvek može zanemariti. Iz skupa mogućih uticaja okruženja na sistem uvek razmatramo one koje mogu imati neki primetan uticaj na promene stanja sistema. Ove spoljašnje uticaje nazivamo ulazima. Element na koji deluje ulaz je ulazni element. U skupu ulaza srećemo upravljačke ulaze i smetnje. Upravljački ulazi se u procesu upravljanja namerno menjaju da bi preko njih izazvali željene promene stanja sistema (npr. menja se otvorenost ventila za dotok vode u nekom rezervoaru, menjamo napon napajanja motora ili unosimo novi podatak u računar). Smetnje su oni ulazi na koje upravljanje ne deluje. Smetnje mogu nastati i zbog promena u samom sistemu zbog zamora materijala itd. Uticaj sistema na okruženje opisuju izlazne veličine tj. izlazi. Promene izlaza nastaju zbog promena upravljačkih ulaza i smetnji. Na slici 1.3. prikazana je blok šema nekog sistema sa pripadajućim vektorom ulaza u(t), vektorom smetnji z(t), vektorom stanja x(t) i vektorom izlaza y(t). z(t)
u(t)
∑
y(t)
x(t)
Slika 1.3 Blok šema sistema Odnosi između izlaza, upravljačkih ulaza i smetnji kod realnih sistema su veoma složeni. Ako ulaze, izlaze i stanja razmatramo kao bezdimenzione veličine tada relacije koje opisuju vezu 4
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
između ovih veličina dobijaju apstraktni karakter. Matematički aparat apstraktnog opisa nije uvek jednoznačan i u opštem slučaju predstavlja relaciju a ne funkciju ili operator. Između zakonitosti kretanja različitih realnih sistema sa stanovišta efekata upravljačkih dejstava postoji niz sličnosti. Pri proučavanju sistema je stoga celishodno umesto realnih fizičkih sistema analizirati tipske apstraktne modele. Rezultati ovakvih analiza se zatim veoma uspešno mogu primeniti u praksi. Ako neki sistem ima upravljačke ulaze onda je taj sistem upravljan sistem. Upravljani sistem menja svoja stanja pod uticajem upravljačkih ulaza. Za svaki upravljani sistem se uvek može odrediti onaj skup promena upravljačkih ulaza koji uzrokuje najpovoljnija (optimalna) kretanja sistema. Ako za ovo nema uslova, tada dati sistem nije upravljiv tj. sa tim sistemom ne možemo postići unapred željene efekte. Kretanje nekog sistema nastaje zbog promena stanja sistema. Promena stanja nekog sistema se ne može dogoditi bez transformacije materije, energije ili informacija u delovima sistema. Naime, temperatura nekog tela je u direktnoj vezi sa promenama energetskih stanja u samom telu, ili nivo tečnosti u nekom rezervoaru se može proveriti samo ako je u rezervoaru došlo do promene količine tečnosti. Ako bi se neka promena odigrala trenutno, značilo bi da je materija ili enerija promenila svoje stanje za beskonačno kratko vreme. Da bi se ovakva promena mogla dogoditi neophodno je posedovati izvore sa beskonačnim materijalnim ili energetskim resursima i kroz elemente bi morala proći snaga beskonačnih razmera. Iz ovoga sledi da se ni jedna promena u realnom sistemu ne može odvijati za beskonačno kratko vreme, tj. za svaku promenu je potrebno neko konačno vreme tj. pri svakoj promeni se odigrava neka prelazna pojava. Sistemi kod kojih se promene mogu odigrati samo za konačno vreme su dinamički sistemi. Iz ovoga sledi da su svi realni sistemi u principu dinamički sistemi. Ako se prelazna pojava odigrava za veoma kratko vreme u odnosu na životni vek sistema, i ako način odvijanja prelaznog procesa nema bitan uticaj na ponašanje sistema nakon prelaznog procesa, tada dinamičke osobine sistema možemo zanemariti tj. možemo smatrati da se promene u tom sistemu odvijaju trenutno. Sa stanovišta promena stanja dinamički sistem mora biti u ravnotežnom, tj. ustaljenom (stacionarnom) stanju, u stanju prelaza iz jednog u drugo ravnotežno stanje, i u periodičnom režimu rada. Sistem je u ustaljenom stanju ako se stanja sistema ne menjaju u konačnom trajanju vremena. Sistem je u prelaznom režimu ako iz jednog stacionarnog stanja teži u neko drugo stacionarno stanje ili u režim periodnih promena. Prelazni režimi nastaju zbog spoljašnjih uticaja ili unutrašnjih promena. Sistem se nalazi u prelaznom režimu ako po isteku određenog vremena ponovo zauzima neko prethodno stanje. Na slici 1.4. prikazani su osnovni režimi u kojima se može naći neki dinamički sistem.
5
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Θ[ o C ]
0
periodični stacionarno prelazni režim režim stanje Slika 1.4 Režimi rada dinamičkog sistema
t
U vezi određivanja režima rada sistema pojavljuje se niz pitanja na koje se odgovori mogu dati samo nakon temeljnih kvalitativnih i kvantitativnih analiza. Zadaci u vezi režima rada sistema se svrstavaju u sledeće dve kategorije: 1. Analiza sistema se provodi ako je poznata struktura sistema, i ako su poznati parametri sistema a određuju se osnovne osobine i moguća ponašanja sistema. 2. Sinteza sistema se bavi problematikom određivanja strukture i parametara takvog sistema koji će imati unapred definisane osobine. Osobine sistema se mogu ustanoviti ili na bazi eksperimentisanja i merenja (identifikacija), ili rešavanjem modela sistema u različitim mogućim situacijama (simulacija). Da bi mogli obavljati eksperimente na nekom sistemu, sistem mora omogućiti ili pružiti uslove za: 1. Ostvarivanje promena u sistemu u širokom opsegu 2. Prikupljanje informacija o promenama stanja pri eksperimentisanju. 3. Pri eksperimentisanju uslovi rada nemaju nepoželjne posledice kao što su gubitci, opasnost po život itd. Pri tom ne treba zanemariti uslov da se pri promenama koje zahtevaju eksperimenti ne smeju nastati oštećenja sistema, ugrožavanje života osoblja ili bilo koje druge nepoželjne pojave. Kod realnih sistema celishodno je vršiti istraživanja koja se zasnivaju i na identifikaciji i na simulacijama.
1.2.Signali u sistemima automatskog upravljanja Između elemenata nekog sistema, ili više različitih sistema uspostavljaju se takve sprege preko kojih može doći do međusobnih uticaja (interakcija). Ove interakcije u principu predstavljaju razmenu materije i energije. Interaktivne sprege se mogu uspostavljati i sa ciljem razmene informacija o stanjima sistema. U ovim slučajevima energetski ili materijalni nosioci informacija imaju samo sekundarnu važnost. Materijalni ili energetski nosioci informacija su signali. Primarni značaj u signalu ima njegov informacioni sadržaj dok energetski sadržaj signala ima samo sekundarni značaj. Signali su svi oni procesi preko kojih se neka informacija materijalizuje u formu u kojoj se može preneti ili memorisati. Signali su i pokazatelji stanja, koje daju informaciju o stanju sistema ili menjaju stanja sistema (npr. pritisak, temperatura, koncentracija). Sistem ili sredina preko koje se prenosi informacija je informacioni kanal.
6
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Signali se mogu prenositi na velike razdaljine. Primenom signalnih sprega mogu se uspostaviti uzročno-posledične veze između prostorno veoma udaljenih sistema. Memorisanje signala omogućuje spregu između događaja koji se odvijaju u različitim trenucima vremena. Signali se dele prema: a) obliku promena amplituda, b) vremenskim tokovima promena, c) obliku nošenja informacija, d) određenosti, e) fizičkim nosiocima, a) Prema obliku promena amplituda signali mogu biti: Kontinualni. Signal je kontinualan po amplitudi ako se može opisati neprekidnom funkcijom tj. ako u određenom opsegu može uzeti svaku vrednost i ako pri prelazu sa jedne na drugu vrednost zauzima sve međuvrednosti (primeri: slika 1.5 a, b, d, e) Diskretni Signal je diskretan po amplitudi ako se opisuje diskretnom funkcijom tj. ako u određenom opsegu može uzeti samo određene diskretne vrednosti. (primeri: slika 1.5 c, f, g, h). b) Prema vremenskom toku signali mogu biti: Kontinualni Signal je kontinualan po vremenu ako postoji bez prekida u svakom trenutku vremena (primeri: slika 1.5 a, b, c, g). Diskretni Signal je diskretan po vremenu ako je određen samo u određenim intervalima vremena (primeri slika 1.5 d, e, f, h) c) Prema obliku nošenja informacija:
7
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
x (t 1 )
x (t 1 )
t1
t1
x (t 1 )
t1
x (t 1 )
x (t 1 )
t1
t1
x (t 1 ) t1
x (t 1 ) = 1
t1 x (t 1 ) = 1011
τ
t1
Signali
Kontinualni
Prekidni Slika 1.5.- Podela signala
Analogan Signal je analogan ako vrednost amplitude signala svojim promenama u nekom proporcionalnom odnosu prenosi promene informacija iz polazišta. 8
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Diskretan Signal je diskretan ako se promene polazne informacije prenose u vidu diskretnih brojnih vrednosti (primeri: slika 1.5. signal g je linearno kodiran diskretan signal a h je diskretan signal sa serijskim kodiranjem). d) Prema određenosti signali mogu biti: x(t)
0
t Slika 1.6. – Stohastički signal
Deterministički Signal je deterministički ako su vrednosti amplitude signala jednoznačno odredljivi (primeri sa slike 1.5). Deterministički signali mogu biti i periodični (primeri sa slike 1.7). Stohastički Signal je stohastičan ako u određivanju vrednosti signala postoje neke neodređenosti .
x (t )
x (t ) t
x (t )
t
x (t )
t
t
Slika 1.7 – Periodični a) i neperiodični signali b) e) Prema nosiocu informacija signali mogu biti električni, pneumatski, hidraulični itd. Nosilac informacija može biti bilo koja fizička ili hemijska veličina. Informacije o stanjima sistema automatskog upravljanja dobijaju se putem davača signala (senzora). Akcije upravljanja iniciraju se takođe signalima, a realizuju se putem izvršnih elemenata (aktuatora). U savremenim sistemima upravljanja zasnovanim na direktnim primenama računarske tehnike nosioci informacija su uglavnom električni signali. Pored električnih postoje i pneumatski i hidraulični upravljački sistemi. Kod pneumatskih signala nosilac informacija je vazduh pod pritiskom, a kod hidrauličkih sistema ovu ulogu ima pritisak neke tečnosti, najčešće ulja. U sredinama u kojima postoji opasnost od eksplozije primenjuju se pneumatski, ili električni sistemi, kod kojih je mogućnost stvaranja iskri sveden na minimum (sistem u protiveksplozivnoj izvedbi). 9
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Visok nivo rasprostranjenosti električnih sistema opravdava činjenica da je električna energija pristupačna praktično svuda, da se električni signali mogu preneti na velike razdaljine, da električni signali mogu pratiti i veoma brze fizičke promene i da je primenom savremenih telekomunikacionih sistema i računarskih mreža moguće umrežiti pojedine upravljačke uređaje u složene sisteme upravljanja. Nosilac informacija kod električnih signala je promena napona i struje. Informacija kod električnih signala se može preneti preko amplitude, frekvencije, faze ili amplitude, trajanja (širine) impulsa ili razmaka impulsa, ili preko broja impulsa.. Amplituda analognih električnih impulsa se kreće u oblasti 0-10 ili 0-20mA.
sistem davač pokazatelji stanja
merni pretvarač Signal koji se menja srazmerno pokazatelju stanja (analogni signal)
informacioni kanal Standardni signal
Slika 1.8 – Proces prikupljanja informacija o stanju Primer za proces pribavljanja informacija može biti postupak merenja temperature sa otporničkim termometrom. Temperatura kao pokazatelj stanja ne može se preko informacionih kanala prenositi na daljinu. Zbog toga se u odabranu tačku sistema postavlja otpornički termometar čiji se otpor menja srazmerno sa temperaturom. Otpornički termometar se spreže u otpornički most (Vistonov most). Sa promenom otpora u ovom slučaju će se menjati i napon na dijagonali mosta. Ako ovu informaciju želimo koristiti na nekom udaljenom mestu, a ne na licu mesta, tada napon neuravnoteženosti mosta moramo pretvoriti u takvu električnu veličinu koja neće lako primati smetnje i koja se može preneti na daljinu. U ovom slučaju se koristi merni pretvarač koji naponski signal neuravnoteženosti pretvara u standardni strujni signal od 0-20 mA. Ovaj signal je već standardan signal koji se preko nekog informacionog kanala (zatvorenog električnog kola) može preneti na daljinu. Pri ovom procesu informacija o temperaturi se prenosi preko različitih fizičkih nosilaca tj. ostvaruje se prenos temperatura – električna otpornost – napon – stanja a da se ne izgubi značajno polazna informacija o stanju. U savremenim rešenjima umesto klasničnih električnih, pneumatskih, hidrauličnih nosilaca signala sve više se koriste digitalni kodirani signali koji se primenjuju u telekomunikacionim i računarskim sistemima. U svakodnevnoj praksi pod pojmom davač ili senzor (otpornički davač, termoelement, piezo električni davač pritiska itd.) podrazumeva se i sprega senzora i mernog pretvarača.
10
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
1.3. Upravljanje Organizovano i svrsishodno ponašanje nekog sistema može se ostvariti i održavati samo delovanjem na upravljačke ulaze. Definicija zadataka upravljanja u svakom slučaju počinje određivanjem ciljeva. Svaka naredna aktivnost se prilagođava i podvrgava cilju. Upravljanje se ostvaruje prikupljanjem, memorisanjem, obradom i izvršavanjem takvog upravljačkog dejstva koje omogućava ostvarivanje željenih ciljeva. Informacije upravljački sistem dobija iz davača ili višeg upravljačkog nivoa. Posle obrade upravljački sistem daje obaveštenja o radu sistema i upućuje upravljačke signale ka izvršnom elementu (aktuatoru). Izvršni element preuzima energiju iz pomoćnog (električnog, pneumatskog itd.) izvora i srazmerno upravljačkom signalu modifikuje tokove materije i/ili energije na upravljačkom ulazu. Sprega između upravljačkog uređaja i upravljačkog sistema za slučaj kada je aktuator jedan ventil prikazana je na slici 1.8. Viši nivo upravljanja
davač Zadata vrednost
upravljački sistem
z (t)
upravljački signal u
inform. o radu sistema
materija /ili energija
objekt upravljanja
y
upravljani ulaz x
Slika 1.9. – Interakcija upravljačkog sistema i objekta upravljanja preko izvršnog elementa Upravljački sistemi se konstruišu primenom različitih mehaničkih, pneumatskih, elektromagnetnih (releji), elektronskih, računarskih, telekomunikacionih rešenja. Sa stanovišta teorije sistema u vezi upravljačkog sistema značaj ima skup pravila obrade informacija tj. algoritam upravljanja a ne tehnike i metodologija konstrukcije samog uređaja. Algoritam upravljanja određuje pored metodologije obrade informacija i metodologiju pružanja informacija o radu sistema. Informacije o stanjima u upravljačkom sistemu i objektu upravljanja daju se putem različitih svetlosnih, zvučnih pomoćnih uređaja ili se koriste periferijalni uređaji koji se uobičajeno primenjuju u računarskoj tehnici za saopštavanje nekih informacija. Ako sve zadatke upravljanja ostvaruje jedan uređaj tada govorimo o centralizovanom upravljanju. Ako se ovi zadaci raspoređuju na više međusobno prostorno raspoređenih ali informacionim kanalima spregnutih uređaja tada govorimo o decentralizovanom upravljanju. Skup uređaja koji čine izvršni element, upravljani sistem i različiti davači, nazivamo objektom upravljanja u širem smislu, ili, prosto kažemo da je to objekt upravljanja. Kao davači koriste se različiti kontaktni davači, elektromagnet, strujni transformator, termoelement, otpornički termometar, merna blenda i različiti poluprovodnički senzori a kao izvršni elementi koriste se ventili, kontaktori, elektromotori itd.
11
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Skup koji čine upravljački sistem i objekt upravljanja u širem smislu nazivamo upravljanim sistemom. Podela upravljanih sistema vrši se zavisno od karaktera tehnološkog procesa, vrste obrade informacija, načina izvršnog dejstva itd. Ako unapred znamo željeno ponašanje objekta upravljanja i poznajemo osobine objekta upravljanja tada se algoritam upravljanja i potrebna upravljačka dejstva mogu unapred isplanirati i ugraditi u upravljački sistem. Za sisteme upravljanja koji svoj rad tj. za određivanje algoritma upravljanja ne koriste informacije o stanjima sistema ili izlaza sistema nazivamo upravljačkim sistemima sa otvorenom spregom. Na slici 1.10. prikazana je strukturna šema upravljanja u otvorenoj sprezi. Ab Eb
DAVAČ SIGNALA
X
UPRAVLJAČK I UREĐAJ
INFORMA CIJA O STANJU
Xb
MATERIJA ENERGIJA
XZ IZVRŠNI ELEMENT
UPRAVLJ. SIGNAL
Xm
IZVRŠNO DEJSTVO
VEZÉRELT BERENDEZÉS
Ak Ek
SMETNJE
MATERIJA ENERGIJA
Slika 1.10 – Strukturna šema upravljanja u otvorenoj sprezi Detaljnija podela upravljanja u otvorenoj sprezi prikazana je na slici 1.11. Upravlja
j
Programsko upravljanje
Upravljanje po vremenu
Prateće upravlj.
Koračno upravlj.
Slika 1.11 – Podela upravljanja u otvorenoj sprezi U slučaju upravljanja po vremenu svaka interventna akcija se ostvaruje u zavisnosti od proteklog vremena od trenutka pokretanja uređaja. Upravljanje po vremenu se ostvaruje npr. pri uključivanju uličnog osvetljenja kada svetlosna tela priključujemo na napon napajanja u određeno vreme dana bez obzira da li je na ulici već mrak. Da bi promenili vreme uključivanja u ovom slučaju moramo izvršiti izmenu programa upravljanja. Kod koračnog upravljanja naredni korak tj. faza rada objekta upravljanja može nastati ako se obave sve radnje iz prethodnog koraka. U ovom slučaju znači, naredni korak inicira neki uslov koji označava završenost prethodnog koraka. Koračno upravljanje se primenjuje kod klasične mašine za pranje veša. Nakon pritiska dugmeta za pokretanje pranja, priključuje se napon na elektromagnet 12
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
ventila za upuštanje vode i u rezervoar mašine počinje teći voda. Kada voda dostigne određeni nivo tada zatvaramo ventil i pokrećemo rad motora za obrtanje bubnja itd. Principijelna šema koračnog upravljanja je prikazana na slici 1.12.
+ 24 V
UPRAVLJAČKI UREĐAJ Uslovi
220 V,
M ~
Slika 1.12. – Koračno upravljanje Kod pratećih sistema izvršni element od upravljačkog uređaja prima unapred određene naredbe čijim izvršavanjem objekt upravljanja ostvaruje željene promene. U slučaju već prethodno opisanog upravljanja uličnog osvetljenja možemo meriti i osvetljaj na ulici. Ako osvetljaj padne ispod ili iznad određene vrednosti, tada nezavisno od toga koliko je sati uključujemo osvetljenje. U ovu kategoriju spada i nešto složenija metoda prediktivnog upravljanja zasnovana na praćenju modela. Blok šema ovog sistema je prikazana na slici 1.13. Kod datog sistema tečnost u rezervoaru treba održavati na željenom nivou, da bi istok tečnosti q2 bio stalan. Iz davača signala dobijamo
MATEMATIČKI MODEL
P UPRAVLJAČ P10
q1 h P q2 Slika 1.13 – Sistem upravljanja sa praćenjem modela 13
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
informaciju q1 o dotoku tečnosti. Na osnovu matematičkog modela rezervoara izračunavamo hidrostatički pritisak stuba tečnosti p1. Upravljački sistem upoređuje željeni hidrostatički pritisak p10 sa postignutim i odlučuje da li treba ventil za dotok otvarati ili zatvarati. Upravljačke sisteme kod kojih se pri određivanju upravljačkog dejstva koriste i informacije o stanjima ili izlazu, nazivamo upravljačkim sistemima sa zatvorenom spregom. Informacije iz povratne sprege mogu biti vektor izlaza y(t), elementi vektora stanja ili neka kombinacija izlaza i stanja. Na slici 1.14 prikazana je strukturna šema upravljanja sa zatvorenom spregom. z(t)
materijali i/ili energija
objekt upravljanja
y(t)
x(t)
informacije od višeg upravljačkog nivoa
Upravljački sistem
Slika 1.14. – Upravljanje u zatvorenoj sprezi Upravljanje u zatvorenoj sprezi se često naziva regulacijom. Najčešći vid regulacije je regulacija po greški ili servoregulacija. Regulacija po greški se svodi na održavanje nekih procesnih veličina kao što su temperatura, broj obrtaja, pritisak i sl. na određenoj vrednosti bez obzira na veličinu prisutne smetnje. Ovaj na prvi pogled lagan zadatak se ne može u svakom slučaju lako ostvariti. Upravljanje po greški je uvek upravljanje u zatvorenoj sprezi. Kod ovih sistema umesto objekta upravljanja često kažemo objekt regulacije, umesto upravljačkog uređaja regulator itd. Na slici 1.15. prikazana je blok šema upravljanja. U slučaju pozitivne greške upravljački signal je negativan, a u slučaju negativne greške upravljački signal je pozitivan u odnosu na neku referentnu veličinu. Predznak upravljačkog signala pri ovom upućuje na potrebu povećavanja nivoa dotoka materije i energije pri negativnoj greški i obrnuto pri pozitivnoj greški.
14
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
A b
MATERIJ AENERGI
DISKRIMINATOR
Xr
Xa + ZAD.VR.
REGULATOR
GREŠKA REGULACIJE
U
X
IZVRŠNI ELEMENT
OBJEKT REGULACIJE
IZVRŠNO DEJSTVO
UPRAVLJAČ KI SIGNAL
Xr = Xa - Xe Xe
A K
X SMETNJA
MATERIJ AENERGI
Xs
DAVAČ SIGNALA
UPRAVLJANA VELIČINA
Slika 1.15 – Blok šema regulacije Kod regulacije osnovna usmeravajuća operacija je određivanje greške upravljanja na diskriminatoru. Upravljana veličina se u onolikoj meri mora menjati u kojoj meri ona odstupa od zadate vrednosti. Izvršno dejstvo je funkcija upravljane veličine tj. upravljana veličina preko povratne veze određuje grešku upravljanja i time zatvara regulacioni krug. Povratna veza koja povećava izvršno dejstvo je pozitivna, a povratna veza koja smanjuje izvršno dejstvo je negativna. Negativna povratna veza uvek stabiliše sistem tj. daje doprinose u smislu povratka nekog sistema u ravnotežno stanje ako sistem napusti ovo ravnotežno stanje. Pozitivna povratna veza vodi ka destabilizaciji. Zadaci regulacije se dele u dve osnovne grupe: stabilizirajuću i prateću (servo) regulaciju. Zadatak stabilizirajuće regulacije je održavanje određene vrednosti upravljane veličine u prisustvu smetnje. Kod prateće regulacije upravljana veličina mora pratiti promene zadate vrednosti. Na slici 1.16 prikazani su signali jednog sistema stabilizirajuće regulacije. Zadatak pri ovoj regulaciji se svodi na potrebu održavanja nivoa u rezervoaru na određenoj vrednosti (ya = hm,o) bez obzira na količinu odvađene tečnosti. Prikazani signali se odnose na trenutak pokretanja sistema, uz stalnu vrednost odvoda tečnosti.
15
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
0 τk
0 τk
t
t
0 τk
t
x 2 ≅ q d0
x(t) ≅ Δq(t) x 1 (t)
h Pu ε
Regulator
0 τk
t
y M ≅ h0+z(t) y R ≅ h0
t
0 τk
Slika 1.16 – Strukturna šema i signali stabilizirajuće regulacije Ako se pri realizaciji sistema automatskog upravljanja primenjuje jedna povratna veza i jedna upravljačka veličina tada govorimo o jednokonturnoj regulaciji. Ako je broj povratnih veza veći, tada se povratna veza može ostvariti po stanjima ili po izlazu. Ako su merene veličine elementi vektora izlaza tada je upravljanje nepotpuno. Ako se pri upravljanju koriste svi elementi vektora stanja tada je upravljanje potpuno. U ovom slučaju treba meriti sve koordinate stanja. Ako ova merenja ne možemo realizovati, tada neke od koordinata stanja možemo proceniti primenom observera. Na slici 1.17. prikazan je sistem regulacije sa više ulaza i izlaza proširen observerom. u
+
OBJEKT REGULACIJE
-
REGULATOR
OBSERVER x (t)
Slika 1.17. Višekonturna regulacija sa observerom 16
y (t)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Kod realnih upravljačkih sistema koriste se različite kombinacije gore opisanih postupaka upravljanja.
1.4 Načini predstavljanja sistema automatskog upravljanja Prilikom skiciranja zadataka sistema automatskog upravljanja celishodno je pojedine elemente prikazati pravougaonicima tj. blokovima. Pri ovom načinu skiciranja gube se konstruktivna svojstva elementa a naglasak se daje ulozi elementa u sistemu automatskog upravljanja. Pri rešavanju zadataka iz oblasti automatskog upravljanja za svaki element su značajni njegovi ulazi, izlazi i smetnje i relacije koje opisuju veze između ulaza, smetnji i izlaza. Veza između ulaza, izlaza i smetnji i koordinata stanja nije uvek jednoznačna i zbog toga se opis elementa ne može obaviti primenom jednostavnih funkcija ili operatora, već se mora izvršiti formiranjem relacionih odnosa ili algoritama. Opšta forma opisa relacije između ulaza i izlaza je diferencijalna jednačina. Opis sistema u opštem slučaju se ostvaruje primenom relacije: (1.2) ∑: ! → y Relacija (1.2) opisuje sledeće svojstvo sistema: relacija Σ svakom elementu skupa ulaza U pridružuje elemente skupa izlaza y. Relacije pridruživanja tj. delovanja sistema određuju dve osnovne relacije tj: Σ = {P,Q } (1.3) gde P opisuje ponašanje objekta upravljanja, a Q ponašanje upravljačkog sistema. Pored relacionog prikaza sistemi automatskog upravljanja se prikazuju i konstruktivnim, principijelnim i blok šemama. Konstrukciona šema predstavlja prikaz sistema primenom simbola koji upućuju na one elemente sistema koji su značajni sa stanovišta upravljanja. Na slici 1.18 prikazana je konstruktivna šema jednog hemijskog reaktora:
katalizator monomerski rastvor rashladna voda
T
R TR para voda proizvod
Slika 1.18 – Konstrukciona šema hemijskog reaktora 17
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Funkcionalna šema prikazuje sprege onih elemenata sistema automatskog upravljanja koje imaju fukcionalnu ulogu u ostvarivanju zadataka upravljanja. Elementi se prikazuju pravougaonicima, a kretanje signala se označava usmerenim linijama. Na slici 1.19 prikazana je funkcionalna šema reaktora prikazanog na slici 1.18.
VODA
SLAVINA ZA VODU
+ REGULATOR
-
VODOVI IZMENJIVAČA TOPLOTE
VOD A
SLAVINA ZA PARU
ZID IZMENJIVA ČA TOPLOTE
+
+
θ
+ REAKTOR
DAVAČ Slika 1.19. Funkcionalna šema hemijskog reaktora Blok šema predstavlja apstraktni prikaz sistema automatskog upravljanja. Elementi se prikazuju blokovima a signali usmerenim linijama. Operatori koji se upisuju u blokove predstavljaju relacije koje opisuju ponašanje elementa u ustaljenom ili dinamičkom režimu rada. Mesta grananja signala označavaju se tačkama. Mesta spajanja signala se označavaju sabiračima (diskriminatorima) koji se simbolično predstavljaju krugom koji je podeljen na četiri polja. Ako se signal uvodi u zbir sa pozitivnim predznakom stavlja se znak plus, ili se pripadajuća četvrtina kruga zacrnjuje. Ako se signal oduzima tada se iznad ulaza signala u krug stavlja znak minus ili se pripadajuća četvrtina kruga zacrnjuje. Na slici 1.20 prikazana je blok šema reaktora prikazanog na slici 1.18. W7
W5 θa
+ -
+ W3
W4
+
W6
+ +
θ W1
W2 Slika 1.20 – Blok šema reaktora Sistemi automatskog upravljanja mogu se prikazati i grafom toka signala. U grafu toka signala čvorišta i grane označavaju signale članove i pravac i smer delovanja signala. Signali se predstavljaju čvorištima. Linearni elementi predstavljaju grane, a smer delovanja predstavljaju strelice na granama. Operator naznačen iznad grane predstavlja simbol relacije koja opisuje vezu između ulaza i izlaza. Na slici 1.21 prikazan je graf toka signala reaktora prikazanog na slici 1.18.
18
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
voda
θa
W3
W5
voda
W7
W6
W4
θ W1
W2 Slika 1.21. Graf toka signala reaktora Pored nabrojenih, pri analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja koriste se i druge metode grafičkog ili analitičkog prikaza. Izbor vrste prikaza je prepušten u većini slučajeva stručnjaku koji vrši analizu i sitezu.
1.5. Pregled osnovnih radnih zadataka vezanih za oblast upravljanja sistemima Radni zadaci u oblasti upravljanja sistemima vezuju se za projektovanje, izgradnju, instalisanje, montažu, stavljanje u pogon, podešavanje, eksploataciju, održavanje i opravku sistema automatskog upravljanj koji se formiraju od upravljačkih uređaja, davača i izvršnih elemenata. Aktivnosti vezane za upravljanje su strogo vezane za aktivnosti oko formiranja, projektovanja i eksploatacije nekog proizvodnog procesa. Ciljevi proizvodnje i izbor tehnologije jednoznačno određuju koje uređaje, izmenjivače toplote, transportne trake, motore, reaktore itd. treba primeniti za dati proizvodni proces. Projektant tehnologije može odrediti željene vrednosti i željene promene značajnijih pokazatelja kvaliteta odvijanja tehnologije tj. može odrediti željene opsege promene temperatura, pritisaka, protoka, nivoa, broja obrtaja, sastava itd. Na osnovu bilansa energije i materije može se odrediti grubi matematički model ustaljenih stanja sistema. Dimenzije primenjenih uređaja i karakteristike materijala koji se koriste u proizvodnji u sledećoj fazi definišu vrstu i karakteristike potrebnih davača i izvršnih elemenata. Na bazi grubog matematičkog modela i željenih ustaljenih stanja mogu se postaviti osnovni zahtevi za upravljanje i mogu se izvršiti simulacije uspostavljanja ustaljenih stanja. Na osnovu određenih karakteristika davača i izvršnih elemenata može se izvršiti njihov izbor iz raspoloživih kontingenata koje nude dostupni proizvođači opreme. Izbor opreme omogućuje formiranje detaljnijih dinamičkih modela i simulacije na osnovu kojih se mogu odabrati i proveriti mogući algoritmi upravljanja. Nakon ove faze sledi izrada projekta instalacije automatike. Ovaj projekat mora u sebi sadržati sve potrebne detalje primenjenih davača i izvršnih elemenata kao što su: tip, mere, raspored, priključci itd. Savremeni upravljački uređaji čiji se izbor vrši u fazi projektovanja pored upravljačkih funkcija efikasno ostvaruju i zadatke nadzora i vizualizacije odvijanja tehnološkog procesa. Na slici 1.22. prikazana je vizuelizacija jednog tehnološkog procesa. Detalnji zadaci se sada svode na instalisanje, montažu i stavljanje u pogon sistema automatskog upravljanja. Stvarni parametri izgrađenog sistema i formiranje tačnijeg matematičkog modela se može uraditi tek nakon izvršenih merenja na realnom sistemu. 19
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slika 1.22. − Vizuelni prikaz jednog tehnološkog procesa
20
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Koncept tehnološkog procesa
Kontruktivne karakteristike uređaja
Grubi matematički model
Detaljni matematički model
Izbor osnovnih struktura upravljanja
Zahtevi u pogledu stac. stanja
Potrebne promene Određivanje mesta ugradnje davača i izvršnih elemenata
Detaljna razrada algoritma upravljanja
Zahtevi u pogledu dinamičkih promena
Identifikacija
Instalacija i stavljanje u pogon
Izbor elemenata
Zahtevi vezani za ugradnju
Eksploatacija i održavanje
Dijagnostika
Potrebne promene
Slika 1.23 – Redosled ostvarivanja operacija pri projektovanju i eksploataciji sistema automatskog uprvljanja
Postupak određivanja matematičkog modela na bazi eksperimentalnih merenja i obrade rezultata eksperimenata je identifikacija. Identifikacija se vrši pri prvom pokretanju i podešavanju sistema, ali i u toku eksploatacije sa ciljem poboljšanja algoritama upravljanja, ili dijagnostike kursa. Sistem automatskog upravljanja mora dugotrajno i pouzdano da radi. Pouzdan i siguran rad sistema se postiže održavanjem i opravkama. Osnovni zadatak opravke se svodi na potrebu iznalaženja uzroka kvara tj. na dijagnosticiranje. Ako se neka greška uzastopno javlja tada u sistemu treba izvršiti neke konstruktivne izmene. Na slici 1.23. prikazan je redosled ostvarivanja operacija pri projektovanju, izgradnji i eksploataciji sistema automatskog upravljanja. Gornji grubi opis zadataka koji se mogu sresti u vezi projektovanja, izgradnje i eksploatacije sistema automatskog upravljanja omogućava bar letimičan uvid u svu složenost i raznolikost delatnosti koji se moraju ostvariti u ovom području tehnike.
21
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
2. Matematičke osnove 2.3.Modeliranje, simulacija Sistem automatskog upravljanja je u stalnoj interakciji sa okruženjem. Zbog neizvesnosti nivoa i vremenskih tokova smetnji, promena u unutrašnjosti sistema, kao i mogućih zavisnosti od savršenosti izgradnje svaki sistem automatskog upravljanja je u principu u velikoj meri nepoznat, a tokovi signala između okruženja i unutrašnjih delova sistema nose sa sobom izvesne doze neizvesnosti. Neizvesnosti u vezi sistema otklanjaju se modeliranjem, simuliranjem i eksperimentisanjem. Postupke merenja i obrade rezultata merenja koje se sprovode sa ciljem upoznavanja sistema svrstavamo u postupke identifikacije. Ideja modeliranja se zasniva na uočenoj sličnosti ponašanja različitih sistema. Sličnost se može uočiti u pogledu izgleda, ali i u pogledu ponašanja čak i kod takvih sistema koji na prvi pogled nemaju ništa zajedničko. Ako između dva sistema ili dve pojave postoje izvesne podudarnosti tada između ovih sistema se može uočiti relacija model-original. Problematici formiranja i primene modela se može prići sa veoma različitih pozicija. Takvim modelom se smatra svaki pojednostavljeni i pregledni fizički ili apstraktni sistem koji ima određeni nivo sličnosti sa originalom. Matematički model je potpun ili delimično apstraktni (matematički) opis koji određenim operatorima ili relacijama uspostavlja odnos između ulaza i izlaza nekog sistema. Ograničenje matematičkog modeliranja leži u činjenici da se svaki matematički zapis formira na bazi niza pojednostavljenja, s obzirom da na svaki fizičko-hemijski proces utiče znatno veći broj uticajnih faktora od onih koji se pri modeliranju uzimaju u obzir. Matematički modeli omogućuju istraživanje i onih sistema koji još nisu izgrađeni. Pri tom se mogu u principu realizovati i takvi eksperimenti koji ekonomski ne bi bili opravdani. Sisteme različitih konstrukcija i prirode čiji matematički modeli sadrže odgovarajuće formalne sličnosti nazivamo analognim sistemima. Na slici 2.1. prikazani su neki analogni sistemi koji se često primenjuju pri izgradnji sistema automatskog upravljanja. U uočavanju sličnosti značajno može pomoći tabela fizičkih analogija datih na istoj slici. Matematički model može biti statički i dinamički. Statički modeli sadrže uzročnoposledične veze koje ne zavise od vremena. Dinamički modeli se formiraju na bazi vremenskih zavisnosti promena u sistemima. Dinamički modeli sadrže veći broj informacija i sa stanovišta primene u istraživanjima sistema automatskog upravljanja imaju veći značaj. Matematički modeli daju samo delimičnu sliku o sistemu. U zavisnosti od potreba za isti sistem se mogu formirati različiti pojednostavljeni modeli. U prvoj fazi sinteze sistema formiraju se samo statički modeli koji sadrže osnovne odnose između značajnijih tehnoloških parametara. Za određivanje algoritama upravljanja koriste se drugi tipovi modela. Prvi korak u formiranju modela se svodi na određivanje broja i vrste ulaza i izlaza između kojih model treba da uspostavi odgovarajuće relacije. Od svih mogućih pokazatelja stanja i direktno ili indirektno merljivih signala treba pri tom da odaberemo samo one koje sa stanovišta rada sistema i cilja upravljanja imaju značaj. U skupu ulaza zatim treba da izvršimo razdvajanje na one ulaze na koje možemo uticati i one koji su van uticaja tj. predstavljaju smetnje. Zatim se određuju ona stanja koja na neki način karakterišu ponašanje sistema ali u upravljanju ne dobijaju odgovarajuću ulogu ali imaju uticaj na kvalitet ili ekonomičnost proizvodnje. 22
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Redno električno kolo
Paralelno električno kolo
Mehaničko pravolinijsko kretanje
Mehaničko obrtno kretanje
napon
struja
sila
moment
električni naboj
fluks namotaja
pomeraj
ugaoni pomeraj
struja
napon
brzina
ugaona brzina
induktivnost
kapacitivnost
masa
omski otpor
provodljivost
kapacitet
induktivitet
koeficijent trenja recipročna vred. krut. opruge
moment inercije koeficijent trenja recipročna vred. torz. krut. opruge
Termički sistemi
Hidraulični sistemi
Pneumatski sistemi
razlika temperature količina toplote protok toplotne energije
razlika pritiska količina tečnosti
razlika pritiska količina gasa
protok tečnosti
protok gasa
termička otpornost
inercijalna konstanta hidraulički otpor
pneumatski otpor
termički kapacitet
hidraulički kapacitet
pneumatski kapacitet
-
-
Slika 2.1. Različiti analogni sistemi i njihove sličnosti
S obzirom da matematički model ne opisuje realni sistem idealno, njegova primenljivost je određena nivoom namernih ili slučajnih pojednostavljenja koja su primenjena u postupku modeliranja. Pri tom treba naznačiti i činjenicu da modeli ne mogu biti tačniji od nivoa tačnosti određivanja parametara modela. Svaki model se u prinicpu postupno stvara i poboljšava. Na slici 2.2. prikazan je iterativni postupak modeliranja. Eksperimente koje sprovodimo, bilo na fizičkim bilo na matematičkim modelima, nazivamo simulacijama. Razvoj savremenog računarstva stvorio je uslove da simulacija postane veoma efikasno pomoćno sredstvo u ostvarivanju inženjerskih zadataka. Ako eksperimenti na matematičkom modelu i realnom sistemu daju iste rezultate tada možemo smatrati da je model dobar. Ovaj vid dokazivanja ispravnosti modela nazivamo verifikacijom. Ako u ponašanju modela i realnog sistema uočimo bitna odstupanja tada model treba poboljšavati.
23
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Realni sistem
Fizičke zakonitosti
Ciljevi d li j
Matematički d l
Eksperimenta lni podaci
Procena parametara
Izrada simulacionog modela
Simulacija
Verifikacija
Primena
Slika 2.2. Ciklični karakter postupka formiranja matematičkog modela Matematički modeli se formiraju primenom: • algebarskih jednačina, • diferencijalnih jednačina - jednačina u prostoru stanja, • transformisanih jednačina, • logičkih jednačina, • iskustvenih i heurističkih relacija. Algebarskim jednačinama se formiraju statički modeli, a diferencijalne jednačine opisuju vremenski promenljive tj. dinamičke modele. Kod nekih modela znatno jednostavnije forme obezbeđuju različite transformacije funkcija sa vremenskim promenljivima. Da bi se mogle uočiti razlike između modela celishodno ih je svrstati u sledeće protivurečne parove: Linearan-nelinearan: Za linearan model važi, a za nelinearne modele ne važi princip superpozicije. Jednačina je linearna ako se nezavisna promeljiva (ili njeni izvodi) pojavljuju samo u linearnoj formi tj. nisu argumenti nekih transcedentnih funkcija ili nisu stepenovani eksponentom različitim od jedinice. Ako ovaj uslov nije ispunjen jednačina je nelinearna. Ako je matematički model sistema linearan, tada se analiza sistema može ostvariti primenom relativno jednostavne metodologije. Veliki broj sistema je u relativno širokom opsegu primene u principu linearan. Princip superpozicije dobro ilustruje primer prikazan na slici 2.3. Ako se transformacija neke funkcije ostvaruje prema zakonitosti: y(t) = F(u(t)) (2.1) 24
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
tada je model linearan ako zadovoljava uslov da je: F(u+ũ) = F(u) + F(ũ) a nelinearan je ako je: F(u+ũ) ≠ F(u) + F(ũ)
(2.2) (2.3) y
y
F(u+ũ)≠F(u)+F(ũ)
F(u+ũ)=F(u)+F(ũ)
F(u)
F(u)
F(ũ)
F(ũ)
u
ũ
u
ũ u
u u+ũ
u+ũ
linearan
nelinearan
Slika 2.3. Linearne i nelinearne karakteristike Primer br.1: Od sledećih diferencijalnih jednačina diferencijalna jednačina pod a) je linearna, a pod b) je nelinearna : d2y dy + a0 y = b ⋅ u a) a 2 2 + a1 dt dt 2
d2y dy + a1 + a 0 y 3 = b ⋅ u 2 dt dt Statički - dinamički. Sinonimi za statički model su invarijantan, statičan, stacionaran ili model ustaljenog stanja. Statički model se formira za sisteme koji deluju, ali su im zavisne promenljive pri tom nepromenljive. Modeli koji opisuju prelazne ili tranzijentne pojave su dinamički. Zavisne promenljive dinamičkih modela se u principu menjaju sa promenom nazevisne promenljive. b) a 2
Raspodeljeni - koncetrisani parametri. Model sa koncentrisanim parametrima formira se ako se zanemari prostorni raspored sistema tj. parametri sistema se mogu smatrati homogenim u celom prostoru postojanja sistema. Determinisan - stohastički. Kod determinisanih modela svaka promenljiva ili svaki parametar može uzeti jednoznačno određene vrednosti pri istim uslovima rada sistema. Kod stohastičkih modela bar jedan parametar sistema je slučajna promenljiva. Kontinualan - diskretan. Sistem automatskog upravljanja je kontinualan ako sve promenljive sistema mogu uzeti sve vrednosti iz jednog intervala. Ako se bar jedan signal sistema menja diskretno tada je i sam sistem diskretan. U daljem će se razmatrati samo analiza i sinteza takvih sistema automatskog upravljanja koji se mogu opisati matematičkim modelima za koje važe sledeće kategorizacije: linearan, nelinearan, stacionaran, dinamički, koncentrisani parametri, deterministički, kontinualan ili diskretan.
25
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
2.4.Uticaj nelinearnosti na ponašanje sistema automatskog upravljanja Svaki realni fizički sistem je u principu nelinearan i njegovi parametri se u manjoj ili većoj meri menjaju tokom vremena. U svakom sistemu pre ili kasnije pojavljuju se zasićenja, zanosi itd. Nelinearne osobine koje se pojavljuju u sistemu mogu biti nepoželjne ili namerne. Ponašanje nelinearnih sistema u principu bitno se razlikuje od ponašanja linearnih sistema. Kod nelinearnih sistema ne važi princip superpozicije. Zbog toga se pri analizi i sintezi signali ne mogu razložiti na komponente, i ne mogu se izračunati ponašanja za pojedine komponente a zatim superponirati. Kod nelinearnih sistema svi proračuni se moraju izvršavati nad celim signalom. Prisustvo nelinearnosti se može utvrditi proverom mogućnosti superponiranja signala na način koji ilustruje sledeći primer. Primer br.2 : Ustaljeno stanje jednog sistema automatskog upravljanja opisuje jednačina: y= α·u + β Ako su ulazi redom u 1 i u 2 , tada su izlazi: y1 =α· u 1 +β y 2 =α· u 2 +β Ako ulaz ima vrednost u 1 + u 2 , tada je izlaz : y=α·( u 1 + u 2 )+β=α· u 1 +α· u 2 +β S obzirom da je: y1 + y 2 ≠ y tj. : α· u 1 +β+α· u 2 +β ≠ α· u 1 +α· u 2 +β sledi da je sistem automatskog upavljanja nelinearan.. Prikazani primer, koji na prvi pogled daje iznenađujući razultat, kao i mnogi slični mogu se sresti pri analizi ponašanja nelinearnih sistema. Najednostavniji vid ispoljavanja nelinarne veze između ulaza i izlaza se može uočiti kod statičkih nelinearnosti u ustaljenom stanju. Na slici 2.4. prikazani su primeri statičkih karakteristika nekih statičkih nelinearnosti. U sistemima automatskog upravljanja nelinearnosti se pojavlju zbog zasićenja i zone neosetljivosti pojačivača, zbog prisustva zone neosetljivosti u radu aktuatora (zbog trenja), zbog pojave histereze magnećivanja, zbog nelinearne karakteristike opterećenja motora, zbog prisustva trenja kod zupčanika, zbog stepeničaste karakteristike žičanih potenciometara itd. Nelinearnosti se mogu međusobno razlikovati i na osnovu svojih dinamičkih karakteristika. Nelinearnost je spora ako su promene koje se mogu uočiti preko nelinearnih karakteristika sporije od promena upravljačkih signala.Spore nelineanosti se pojavljuju zbog starenja izolacije, zamora opruge, smanjenja aktivnosti katalizatora itd.
26
ulaz
ulaz
ulaz
dvopoziciona tj.rel. nelinearnost
zona neosetljivosti
ulaz
tropoziciona nelinearnost sa histerezom
ulaz
ulaz
mrtvi hod
izlaz
izlaz
izlaz
tropoziciona nelinearnost
izlaz
izlaz
zona neosetljivosti i zasićenja
ulaz
izlaz
izlaz
izlaz
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
histereza
ulaz
zasićenje
Slika 2.4. Različiti tipovi nelinearnih statičkih karakteristika Nelinearnost se smatra brzom ako su promene koje se mogu uočiti preko nelinearnih karaktertistika i promene signala u sistemu istog reda. Brza nelinearnost je na primer u sistemu upravljanja temperaturom promena specifične toplotne emisije u funkciji promene brzine protoka rashladnog ili zagrevnog medija itd. 2.5.Linearizacija Ako u nelinearnom sistemu nastaju relativno male promene, i ako je statička karakteristika neprekidna i diferencijabilna u okolini radne tačke, tada se nelinearni sistem može linearizovati. Parametri linearizovanog sistema se mogu bez većih teškoća odrediti bilo proračunom bilo odgovarajućom konstrukcijom. Ponašanje jednog sistema u ustaljenom režimu rada možemo opisati jednačinom : y=F(u1,...,un)
(2.4)
gde je y izlaz sistema, a u1,...,un predstavljaju ulaze. Ako je funkcionalna zavisnost F neprekidna i diferencijabilna u okolini radne tačke y0=F(u10,u20,…,un0)
(2.5)
tada se promena izlaza u okolini radne tačke može uz zadovoljavajuću tačnost odrediti sa prvim članovima razvoja u Tajlorov red funkcije (2.4):
∂F ∂F Δu1+…+ ∂u 1 0 ∂u n
y0+Δy=F(u10,u20,…,un0)+
27
Δun+R 0
(2.6)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Uz primenu jednačine (2.5) i zanemarivanja članova obuhvaćenih sa R, umesto nelinearne jednačine (2.4) dobijamo linearizovanu jednačinu:
∂F ∂F ∆un ∆u1 + ... + ∆y = ∂ ∂ u u 1 0 n 0
(2.7)
koja na zadovoljavajući način može zameniti u pogledu određivanja izlaza nelinearnu jednačinu u okolini radne tačke. Nulti indeks uz parcijalne diferencijalne izvode upućuje na nalaženje ovih izvoda u radnoj tački. U praksi se umesto nalaženja parcijalnih diferencijalnih izvoda linearizacija sprovodi primenom sledećeg postupka. Nezavisna promenljiva ui , i zavisna promenljiva tj. izlaz, se izraze parametrima radne tačke i odstupanjima od položaja u radnoj tački. ui=Ui+Δui (2.8) y = Y + ∆y (2.9) i zatim se izvrši smena u polaznu funkcionalnu zavisnost. Zatim se u cilju formiranja linearizovane jednačine zanemare proizvodi ili stepeni odstupanja. Primer br.3: Linearizovati funkciju y=x1·x2 u okolini radne tačke Y=F( X1 , X 2 ). Smenimo izraze: y = Y + ∆y ; x1 = X 1 + ∆x1 ; x2 = X 2 + ∆x2 u polaznu funkciju. S obzirom da je: Y + ∆y = ( X 1 + ∆x1 )(X 2 + ∆x2 ) = X 1 ⋅ X 2 + X 1 ⋅ ∆x2 + X 2 ⋅ ∆x1 + ∆x1 ⋅ ∆x2 Y = X1X 2 i ∆x 1 ⋅ ∆x 2 ≈ 0 sledi: ∆y = X 2 ⋅ ∆x1 + X 1 ⋅ ∆x2 Nelinearne zavisnosti se često ne mogu odrediti uz primenu nekog pogodnog matematičkog izraza već se koriste grafički prikazi. U ovom slučaju se karakteristika pri linearizaciji zamenjuje tangentom povučenom u radnoj tački kao što je to ilustrovano na slici 2.5. y
y0
Δy
Δu u
u0
Slika 2.5. Grafička linearizacija funkcije sa jednom promenljivom 28
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Kod realnih industrijskih procesa za dovođenje sistema automatskog upravljanja u okolinu radne tačke koristi se dodatna oprema.
q1 h q2 Slika 2.6. Skica rezervoara Primer br.4. Promena nivoa u rezervoaru prikazanom na slici 2.6. može se opisati jednačinom: dh(t ) A = q1 (t ) − q2 (t ) dt U slučaju slobodnog isticanja tečnosti izlivni protok se može odrediti jednačinom: q2 (t ) = c 2 gh(t ) smenom u polaznu jednačinu i algebarskim preuređivanjem dobijamo: A
dh ( t ) +k h ( t ) =q1(t) ; k=c 2g dt
Ako se pri ulaznom protoku q10 i izlaznom protoku q20 postigne stalnost nivoa tj. ravnotežno stanje, tada je veza između nivoa h0 i ulazno/izlaznog protoka q0: 2 q10 h0 = k Ako se izvrši smena izraza: q1 = q10 + ∆q1 (t ) ; h(t) = h0 + ∆h(t ) d∆h(t ) tada dobijamo jednačinu: A + k h0 + ∆h(t ) = q10 + ∆q1 (t ) dt Za male promene nivoa ∆h(t) važi: 1 ∆h(t ) ∆h(t ) ∆h(t ) = q10 + k ≈ k h0 1 + k h0 + ∆h(t ) = k h0 1 + h0 2 h0 2 h0 d ∆h(t ) k + ∆h(t ) = ∆q (t ) dt 2 h0 Postavljanje radne tačke u ovom slučaju može se izvesti ručnim regulacionim ventilom (R1) kao što je to prikazano na slici 2.7. R1 q 10 Smenom se dobija linearizovana jednačina: A
M
q(t)
h q2 Slika 2.7. Rezervoar sa ručnim ventilom za podešavanje radne tačke 29
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
3. Matematičke metode analize linearnih, dinamičkih sistema sa koncentrisanim parametrima Analiza linearnih, dinamičkih sistema sa koncentrisanim parametrima, u slučaju da su u sistemu svi signali neprekidni, svodi se na analizu rešenja diferencijalnih jednačina, odnosno sistema diferencijalnih jednačina. Ako je bilo koji od signala diskretan tada se vrši analiza rešenja diferentnih jednačina, odnosno sistema diferentnih jednačina. U teoriji sistema automatskog upravljanja diferencijalne ili diferentne jednačine se zapisuju u formi jednačina stanja. Pri analizi dinamičkih sistema nezavisna promenljiva je uvek vreme.
3.1. Matematičke metode analize kontinualnih linearnih sistema Analiza kontinualnih, linearnih sistema sa koncentrisanim parametrima svodi se na analizu rešenja diferencijalnih jednačina ili sistema diferencijalnih jednačina. Jednačine se zapisuju primenom osnovnih zakona fizike kao što su Langražova i Hamiltonova teorema i iz njih izvedena Njutnova i Kirhofova pravila.
3.11. Rešenja diferencijalnih jednačina n-tog reda sa koncentrisanim parametrima Veza između izlaza y(t) i ulaza u(t) automatskog, linearnog sistema sa koncentrisanim parametrima može se zapisati diferencijalnom jednačinom n-tog reda : d n y (t ) d n −1 y (t ) d m u (t ) ... ( ) + a + + a y t = b + ... + b0 u (t ) 0 n −1 m dt n dt n −1 dt m gde su konstante a i b sistemski parametri m≤n. Diferencijalna jednačina (2.1) se može zapisati i u sažetijoj formi: n m diy d ju a b = ∑ ∑ i j dt i dt i i =0 j =0 an
(3.1)
(3.2)
Red diferencijalne jednačine u principu je određen brojem akumulatora energije ili materija sistema. Akumulatori energije mehaničkog sistema su: masa ili opruga, akumulatori energije električnog sistema su: kondenzator i induktivitet. Red n se obično poklapa sa brojem uočenih akumulatora energije ali može biti i niži. Pre nego što se pristupi prikazu postupka rešavanja diferencijalne jednačine razmotrimo nekoliko primera formiranja diferencijalne jednačine primenom elementarnih fizičkih zakonitosti. Primer br.5. Mehanički oscilator prikazan na slici 3.1. sadrži samo jedan akumulator energije. Ulaz je sila fG , a izlaz je sila trenja fr .
30
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
2r
m
fG
r
v
fr,vr
Slika 3.1. Mehanički oscilator Ako se privremeno primene kao promenljive brzine v i vr tada jednačine sistema postaju: 2 r ⋅ v r + r (v r − v ) = f G dV − r (v r − v ) = 0 dt Za prvu jednačinu sistema dobijamo : 1 1 vr = fG + v 3r 3 Smenom u drugu jednačinu i algebarskim preuređivanjem dobijamo : 1 dV 2 m + rv = f G 3 dt 3 Za promenljive fr , fG i v važi odnos: 1 2 f r = f G − 2rvr = f G − rv 3 3 Odavde je 2rV=fG – 3fr,. Uvrštavanjem ovog odnosa dobijemo diferencijalnu jednačinu sistema: 3m df r m df G + fr = 2r dt 2r dt m
Primer br.6: Električna mreža prikaza na slici 3.2. sadrži dva akumulatora energije.Ulaz je napon UG , a izlaz je napon uR . 2R
UG
C
i
u
R
uR
3R
Slika 3.2. Električna mreža formirana od kondenzatora i induktiviteta Ako se napon u i struja i primene kao polazne promenljive, za napon uR možemo formirati jednačinu: 31
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
di + 3Ri dt Za promenljive u i i važe jednačine: du di 2 RC + u + L + 3Ri = u G dt dt Ako se izrazi prvi izvod promenljive u iz druge jednačine i dobijeni izraz smeni u prvu diferencijalnu jednačinu tada dobijamo : 1 di du −C + i + L + 3i = 0 dt R dt Preuređivanjem dobijamo diferencijalnu jednačinu drugog reda za promenljivu i : du d 2i L di 4 3L 2 + R + + i= G RC dt C dt dt Ako od ove jednačine oduzmemo trostruku vrednost izraza koji se odnosi na UR tada dobijamo: du L di 4 = + i dt RC dt C L d 2 i 4 di L di 4 d 2i di du G 2 RC 3 + + + i + L + R = 2 2 C dt RC dt C dt dt dt RC dt uR = L
du du L di 4 2R + + i = G −3 R RC dt C dt dt Ako se iz ove jednačine izrazi izvod struje i smeni u prethodnu jednačinu tada dobijamo diferencijalnu jednačinu: d 2 uG du d 2u R L du R 3LC 4 + R + + u = LC + 3RC G R 2 2 R dt dt dt dt Posle preuređivanja dobija se diferencijalna jednačina koju povezuje ulaze i izlaze u formi: du du 2R 2C + L L − 6R 2C i = G −3 R − uR LC dt dt LRC Iz primera se može uočiti da je određivanje diferencijalne jednačine koja povezuje ulaze i izlaze kod složenijih sistema (sistema sa više akumulatora) relativno složen zadatak. Diferencijalna jednačina u opštem slučaju ima beskonačno mnogo rešenja. Jedno jedinstveno rešenje se može odrediti samo onda ako se u vezi y(t) i njenih svih izvoda može odrediti n nezavisnih uslova koje rešenje mora zadovoljiti. Ako se ovi uslovi odnose na početak i kraj vremena razmatranja rešenja tada se ovi uslovi nazivaju graničnim uslovima. Sa pozicije fizičke interpretacije najpovoljniji je slučaj kada se sva ograničenja odnose na vreme t=0. U ovom slučaju ovi uslovi imaju naziv početni uslovi. Jednačina (3.1) je potpuna ili nehomogena diferencijalna jednačina. Homogena diferencijalna jednačina se dobija ako se u nehomogenoj jednačini izvrši smena du d mu =0,…, m = 0 . Opšte rešenje nehomogene jednačine dobija se superpozicijom rešenja u(t)=0, dt dt homogene jednačine i jednog partikularnog rešenja nehomogene jednačine tj. kao: (3.3) y = yh + y p Rešenje homogene jednačine određuje ponašanje sistema koji je prepušten samom sebi, a partikularno rešenje određuje prisilno kretanje sistema izazvano jednim određenim ulazom. Pretpostavimo da rešenja homogene diferencijalne jednačine: 32
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
n
∑ ai i =0
diy =0 dt i
(3.4)
imaju formu n
y n = ∑ k i e λi t = k1e λ1 t + k 2 e λ2 t + ... + k n e λn t
(3.5)
i =0
gde su k1,k2,…,kn realne, a λ1,λ2,…,λn realne ili kompleksne konstante. Jednačina (3.4) može imati rešenje u formi određenoj jednačinom (3.5) samo ako je za svaki trenutak vremena ispunjen uslov: n
∑a λ i =0
i
i
=0
(3.6)
Ova jednačina je karakteristična jednačina. Prema osnovnim postulatima algebre, jednačina n-tog reda ima n korena (rešenja). Koreni su ili realni ili konjugovano kompleksni brojevi, i mogu biti jednostruki i višestruki. Ako među rešenjima ima i višestrukih korena tada se u izrazu (3.5) odgovarajući članovi množe sa t , t 2 itd. Na primer, ako je neki koren λ1,2,3 trostruk tada je pripadajuća komponenta rešenja homogene jednačine: yh=(k1+k2t+k3t2) e
λ1, 2 , 3t
+k4 e λ 4t
(3.7)
Označimo partikularno rešenje nehomogene jednačine sa f(u). Pretpostavimo da smo pokušajima uspeli naći opšte rešenje jednačine (3.1) u formi: (3.8) y = y h + f (u ) = k1e λ1 t + ... + k n e λn t + f (u ) Konstante k možemo odrediti iz graničnih (početnih) uslova. Svi članovi rešenja sem f(u) nezavisni su od vrednosti funkcije u. Primer br.7. Odrediti homogena rešenja jednačine: d2y dy du (t ) 2 2 +3 + y = 4 + u (t ) dt dt dt ako su početni uslovi y(0)=0 i
dy (0) =1: dt
Karakteristična jednačina je : 2λ2 + 3λ + 1 = 0 Koreni karakteristične jednačine su: λ1 = −1 ; λ2 = −0,5 Rešenje homogene jednačine je: y (t ) = k1e − t + k 2 e −0,5 t Izvod rešenja je: dy = − k1e −t − 0,5k 2 e −0,5 t dt Smenom početnih uslova dobijamo sistem jednačina : 0 = k1 + k 2 1 = − k1 − 0,5k 2 Rešenje ovih jednačina je: k1 = −2 ; k 2 = 2 Smenom dobijamo rešenje homogene jednačine: 33
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
y (t ) = −2e − t + 2e −0,5 t
3.2.1. Vremenska konstanta i svojstvena učestanost Homogeno rešenje ne sadrži efekat delovanja ulaza. Bez obzira na ovu činjenicu analizi homogenih rešenja treba posvetiti odgovarajuću pažnju. Naglasak se pri tom stavlja na korene karakteristične jednačine, tj. na svojstvene vrednosti. Svojstvene vrednosti λ i mogu biti realni ili konjugovano kompleksni brojevi. Iz praktičnih razloga posebno ćemo analizirati slučajeve kada su realni delovi korena pozitivni ili negativni brojevi. Razmotrimo slučaj kada je svojstvena vrednost realan broj. Neka je: 1 λ = −α = − (3.9) T gde je α faktor prigušenja, a T vremenska konstanta. λ i α imaju dimenziju frekvencije i jedinicu mere Hz (Herc). Vremenska konstanta T ima dimenziju vremena. Komponenta rešenja homogene jednačine koja pripada svojstvenoj vrednosti λ je : y = ke
λt
= ke
−α t
= ke
−
t T
(3.10)
Na slici3.3 prikazana su rešenja homogene jednačine ako su svojstvene vrednosti redova: λ1 = −1 s - 1 , α 1 = 1 s - 1 , T1 = 1s
λ2
[ ] = −2 [s ] , α = 0,5 [s ] , α -1
2
λ3 3 Za sva tri slučaja je k=1. -1
[ ] , = 2 [s ] = −0,5 [s ] , -1
-1
T2 = 0,5s T3 = −2 s
2 y
λ=0,5s −1 T=–2s
1 λ=–1s −1 T=1s
λ=–2s −1 T=0,5s
0 0
1
Slika 3.3.
2
t s
3
Na slici 3.6. je prikazan slučaj kada je λ negativno (α i T pozitivno). U ovom slučaju rešenje sa porastom vremena teži ka nuli utoliko brže ukoliko je T manje (α veće). Vremenska konstanta T se može i grafički odrediti.Ako se u bilo kom trenutku t0 poveća tangenta na krivu tada tangeta seče osu y=0 u trenutku t0+T. Ova konstrukcija se može izvesti i za T negativno.
34
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
y
0
t
T
t0+T t0 Slika 3.6. Određivanje vremenske konstante povlačenjem tangente Vremenska konstanta je mera iščezavanja odziva. Za jednu vremensku konstantu odziv se smanji na 63,7% polazne vrednosti, za tri vremenske konstante ovo smanjenje iznosi 99,33%, tj. odziv dostiže manje od 1% u odnosu na polaznu vrednost. Razmotrimo sada slučaj ako rešenja predstavljaju konjugovano kompleksni par brojeva. Neka je: 1 λ = −α ± jω = − ± jω (3.11) T gde je α faktor prigušenja, T vremenska konstanta a ω svojstvena kružna učestanost (ova vrednost se često naziva i svojstvena učestanost, i ako se ona određuje kao f=ω/2π ). Iz činjenice da rešenja jednačine moraju biti realne funkcije sledi da koreni karakteristične jednačine mogu biti samo konjugovano kompleksni brojevi. Zapišimo ova rešanja u formi
1 ± jβ za koje je βe 2
1 jβ (−α + jω ) t 1 − jβ (−α − jω ) t βe + βe = e e 2 2 1 j (ω t + β ) − j (ω t + β ) = βe − α t e +e = βe − α t cos(ωt + β ) 2 y=
(3.12)
Konjugovano kompleksni par brojeva znači daje prigušene oscilacije. Obvojnica krive rešenja ima istu formu kao kriva rešenja za realno λ. Na osnovu vrednosti obvojnice može se odrediti vrednost vremenske konstante T=1/α kao što je to prikazano na slici 3.6. Ako je realni deo λ pozitivan broj (α i T negativno), tada amplituda rešenja neograničeno raste. Kružna učestanost oscilacija se određuje na osnovu dva uzastopna prolaza kroz nulu tj. ω·τ=π , odakle sledi: π ω= (3.13) τ Na slici 3.7. prikazane su dve prigušene oscilacije za β=0 , β=1 tj. za:
[ ] ;T = ( − 1 + j10 ) [s ] ; T
λ1 = ( − 1 + j 5 ) s -1 λ2
1
-1
2
[ ] = 10 [s ]
= 1 [s ] ; ω 1 = 5 s -1 = 1 [s ] ; ω 2
35
-1
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slika 3.7. Rešenja koja pripadaju konjugovano kompleksnim parovima svojstvenih vrednosti pri različitim svojstvenim učestanostima Umesto izraza (3.12) često je celishodno raditi sa oblikom rešenja koje je sastavljeno od dva člana. Neka je β·cosβ=A1 i – β·sinβ=A2 , tada nakon smene dobijamo: (3.14) y = A1 e −α t cos ωt + A2 e −α t sin ωt Na slici 3.7. prikazan je primer rešanja za A1=1, A2=0 .
3.1.3 Prelazna i težinska funkcija Vremenske konstante i svojstvene učestanosti daju vrlo značajne celine i dovoljne informacije o uticaju ulaza na ponašanje sistema. Za potpuniju analizu celishodno bi bilo odrediti takve karakteristike sistema koje bi istovremeno uzele u obzir efekte ulaza i svojstvenih vrednosti tj. svojstvenih učestanosti . Za ove potrebno je odabrati neku funkciju koja je zavisna i od ulaza i od svojstvenih vrednosti sistema. Karakteristična funkcija sistema je svaka funkcija koja omogućava da se uz poznavanje ulaza uvek može odrediti izlaz. Pri tom je veoma značajno i to da karakteristična funkcija bude merljiva. U vremenskom domenu se koriste sledeće karakteristične funkcije: prelazna karakteristika i težinska funkcija. Prelaznu karakteristiku dobijamo ako odredimo odziv sistema za slučaj da su sve početne vrednosti jednake nuli, i ako na ulaz od trenutka t=0 deluje ulazna funkcija jedinične amplitude. U praksi sistema automatskog upravljanja pored jedinične skokovite funkcije kao ulaza primenjuje se i funkcija jediničnog rasta i jediničnog ubrzanja. Funkcija koja je za svako negativno t jednako nuli, a za pozitivne vrednosti vremena je jedinične amplitude je jedinična skokovita funkcija (jedinični skok), i označava se sa 1(t).
36
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
0, t < 0 1(t ) = 1 , t ≥ 0
(3.15)
Jedinični skok sa kašnjenjem se označava kao 1(t-t0) i dat je izrazom: 0 t < t 0 1(t − t0 ) = 1 t ≥ t 0 Na slici 3.8. prikazani su jedinični skok bez i sa kašnjenjem:
1
1(t)
1(t-t 0 ),t 0 >0
1
t
t0
t
Slika 3.8. Jedinični skok bez i sa kašnjenjenjem Prelazna karakteristika je odziv sistema na jediničnu skokovitu promenu ulaza i označava se sa h=h(t): (3.16) y (t ) = h(t ) , ako je u(t) = 1(t) Funkcija sa jediničnim rastom je jedinična brzinska funkcija i označava se sa c(t)·1(t): 0 , t < 0 (3.17) c(t )1(t ) = t , t ≥ 0 Na slici 3.9. prikazana je brzinska funckija. c(t)
1 1
t
Slika 3.9. Brzinska funkcija Brzinska prelazna karakteristika je odziv sistema ako na ulazu deluje funkcija jediničnog rasta i označava se sa hc=hc(t), tj : (3.18) y (t ) = hc (t ) , ako je u(t) = c(t)1(t) Funkcija sa kvadratičnim rastom je funkcija jediničnog ubrzanja i označava se sa a(t)1(t): 0, t < 0 (3.19) a(t )1(t ) = 2 t , t ≥ 0 Na slici 3.10. prikazana je funkcija jediničnog ubrzanja.
37
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
a(t)1(t)
t Slika 3.10. Funkcija jediničnog ubrzanja Prelazna karakteristika ubrzanja je odziv sistema ako na ulazu deluju funkcija jediničnog ubrzanja i označava se sa ha=ha(t), i za ovu funkciju važi da je: d 1(t) d c(t) ⋅ 1(t) d a (t ) ⋅ 1(t ) = c (t )1(t ) ; = 1(t ) ; = δ (t ) (3.20) dt dt dt Pored gore navedenih funkcija pri karakterizaciji sistema primenjuju se impulsne funkcije jedinične amplitude, jedinična impulsna funkcija i Dirakov impuls. Impulsna funkcija jedinične amplitude ima amplitudu jednaku jedinici i traje T vremena. Ova funkcija se može formirati iz algebarskog zbira dve jediničine skokovite funkcije različitih predznaka. Jedinična impulsna funkcija je impuls čija je površina jednaka jedinici. Ako jedinični impuls zadržava svoju površinu a smanjuje svoje trajanje do beskonačno malih vrednosti dobija se Dirakov impuls koji se označa sa δ(t). Ovaj impuls karakterišu sledeće osobine: -amplituda je ∞ i -i trajanje impulsa je 0. ∞
∫ δ (t )dt = 1
(3.21)
−∞
Na slici 3.11. prikazane su impulsne funkcije jedinične amplitude, jedinična impulsna funkcija i Dirakov impuls. u(t)
u(t)
a)
δ(t)
b) 1(t)
c)
1 T
T
t
T
t
t
Slika 3.11. a) impulsna funkcija jedinične amplitude, b) jedinična impulsna funkcija , c) Dirakov impuls Vezu između karakteristika funkcija sistema ilustruje slika 3.12. i izraz (3.22) .
d 1(t) d c(t) ⋅1(t) d a (t ) ⋅1(t ) = c (t )1(t ) ; = 1(t ) ; = δ (t ) dt dt dt
38
(3.22)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
a(t)1(t)
c(t)1(t)
t
δ(t)
1(t)
t
t
t
Slika 3.12. Veza između karakterističnih funcija
3.2 Jednačine stanja Za opis dinamičkih sistema sa više ulaza i izlaza često je veoma pogodno koristiti pored ulaza i izlaza i stanja. Pod promenljivama stanja podrazumevamo skup funkcija vremena sa najmanjim brojem elemenata neophodnih za tačno i potpuno opisivanje dinamike nekog sistema. Kod jednog električnog oscilatornog kola ulaz je napon, a izlaz struja. Oscilator sadrži dva akumulatora energije. Promenljive stanja znači mogu biti napon kondenzatora i pad napona na otporniku ili količina elektriciteta u kondenzatoru i struja. Kod mehaničkog oscilatora ulaz je sila, a izlaz brzina. Mehanički oscilator se opisuje sa dve promenljive stanja koje mogu biti sila opruge i sila trenja, ili pomeraj i brzina (neke od promenljivih stanja mogu biti i izlazi). Iz prethodnog jasno sledi da jedan te isti sistem može imati više različitih skupova, promenljivih stanja. Iz različitosti promenljivih stanja sledi i različitost jednačina u prostoru stanja, ali ulazi i izlazi uvek moraju biti isti. Od promenljivih stanja formira se vektor stanja. Prelazne pojave se u opštem slučaju opisuju vektorskim diferencijalnim jednačinama prvog reda. Od ulaza i izlaza takođe se formiraju vektori ulaza i izlaza. Skup vektora stanja čini prostor stanja, skup vektora ulaza prostor ulaza, a skup vektora izlaza prostor izlaza. U opštem slučaju ovi prostori su i-dimenzionalni Euklidovi prostori. Ako se izvrši kvantitativno prenošenje promenljivih stanja na koordinatne ose dobija se apstraktni prostor stanja. Ako je broj promenljivih veći od tri, tada nastaje n-dimenzionalno uopštavanje Eulidovog prostora tzv. hiperprostor. Dvodimenzionalna ravan i jednodimenzionalna prava predstavljaju specijalne slučajeve hiperprostora. Deo prostora stanja u kom se može naći tačka koja određuje stanje sistema je oblast dozvoljenih stanja. Analiza i sinteza dinamičkih sistema ostvaruje se u oblasti dozvoljenih stanja. Najjednostavnija forma jednačina u prostoru stanja je: x! = Ax + Bu (3.23) y = Cx + Du gde je x n×1 dimenzionalni vektor, u r×1 dimenzionalni vektor ulaza, y q×1 dimenzionalni vektor izlaza. Matrica A dimenzija n×n je matrica sistema, matrica B dimenzija n×r matrica ulaza, matrica C dimenzija q×n matrica izlaza, a matrica D q×r matrica prelaza. Prva jednačina je glavna jednačina, a druga je jednačina izlaza. Za rešavanje jednačina stanja neophodno je poznavati i početnu vrednost vektora stanja x(0). Blok šema jednačina stanja prikazana je na slici 3.13.
39
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
D x(0) B
+
x
∫
+
C
x
y
x
A Slika 3.13. Blok šema prikaza sistema jednačina stanja Primer br.8. Na slici 3.14. prikazan je hidraulični sistem formiran od dva rezervoara sa presecima A1 i A2. Visina tečnosti u rezervoarima je data sa h1(t) i h2(t). Hidraulični otpor spojne cevi je zanemaren. Linearizacijom karakteristika ručnih ventila za hidraulični otpor ventila dobijene su vrednosti R1 i R2. Ulaz u sistem je zapreminski dotok q(t), u izlaz zapreminski odtok q2(t). q(t)
h 1 (t)
A1
R1 A2
(1)
h 2 (t)
R2
(2) q2
q1 Slika 3.14. Blok šema hidrauličnog sistema Promena količine tečnosti u rezervoarima određena je jednačinama: dh (t ) A1 1 = q(t ) − q1 (t ) dt dh (t ) A2 2 = q1 (t ) − q2 (t ) . dt Dotok tečnosti u drugi rezervoar i odtok određeni su jednačinama: h (t ) − h2 (t ) q1 (t ) = 1 R1 h2 (t ) R2 Smenom dobijamo sledeće jednačine stanja: q2 (t ) =
40
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
A1
1 dh1 (t ) = − (h1 (t ) − h2 (t ) ) + q(t ) dt R1
1 dh2 (t ) 1 = (h1 (t ) − h2 (t ) ) − h2 (t ) dt R1 R2 Ako se definišu sledeći vektori stanja, ulaza i izlaza: A2
n=2 x1 (t ) h1 (t ) x(t ) = = , u(t) = [q(t)] , y(t) = q1 (t ) , r = 1 x2 (t ) h2 (t ) q =1 tada jednačine stanja sistema postaju: 1 1 ( x1 − x 2 ) + u x!1 = − R1 A1 A1 1 1 ( x1 − x 2 ) − x! 2 = x2 R1 A2 R2 A2 1 ( x1 − x 2 ) y= R1 Matrična forma zapisa jednačina je : 1 1 1 x x!1 − 1 A1 R1 A1 = R1 A1 + ⋅u 1 1 1 − − x!2 x 0 R1 A2 R2 A2 2 R1 A2 1 1 x1 y= − + [0]⋅ u R1 x2 R1 Gornju jednačinu stanja određuju sledeći elementi: x 1 h1 (t ) vektor stanja x ∈ R 2×1 x= = x 2 h2 (t ) vektor izlaza y ∈ R 1×1 vektor ulaza u ∈ R 1×1
matrica sistema B ∈ R 2×1
matrica sistema A ∈ R 2×2
matrica izlaza C ∈ R 1×2 matrica prolaza D ∈ R 1×1
y = [y] = [q1 (t )] u = [u ] = [q(t )] 1 A 1 B= 0 1 − R A 1 1 A= 1 R1 A2 1 C= R1 D = [0]
1 1 − − R1 A2 R2 A2 1 − R1 1 R1 A1
Uz ovako usvojene oznake jednačine stanja datog sistema dobijaju već poznatu opštu formu: 41
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
x! = Ax + Bu y = Cx + Du Matematički modeli sistema automatskog upravljanja predstavljeni jednačinama stanja veoma uspešno se mogu koristiti za rešavanje složenih zadataka sinteze upravljačkih algoritama kao što su: optimalno upravljanje, ocena stabilnosti, adaptivno upravljanje itd. Prednost prikaza u prostoru stanja leži u njenoj opštosti i pogodnosti za digitalnu obradu. Između opštih formi jednačina stanja sistema sa jednim ulazom i izlazom (SISO) i sistema sa više ulaza i izlaza (MIMO) u principu nema bitnih razlika. Kod sistema sa jednim ulazom i izlazom u i y su skalari, B i C vektori kolone r-tog reda, a D je skalar. Ako jednačina određuje sve promenljive stanja u funkciji trenutnih vrednosti promenljivih stanja i parametara, kanonična forma je jednačina stanja. Kanonična forma je standardna forma zapisa i može se primeniti za sve determinističke dinamičke sisteme.
3.2.1 Rešavanje jednačina stanja Elementi sistema jednačina stanja su diferencijalne jednačine prvog reda: x! = ax + bu opšte rešenje diferencijalnih jednačina prvog reda:
(3.24)
b
x(t ) = ∫ e a (t −t0 ) b u (τ )dτ + e a ( t −t0 ) x(t 0 )
(3.25)
b0
uz odgovarajuća uopštavanja se može primeniti kao osnova za određivanje opšteg rešenja jednačina stanja. Ako sada definišemo matričnu funkciju: ∞
e Az = ∑ i =0
( A ⋅ z) i z z2 = I + A + A2 + ... 1! 2! i!
(3.26)
i na osnovu definicije matrične funkcije dokažemo postojanje sledećih relacija: e Az e -Az = I d Az e = Ae Az = e Az A dz e Az1 e Az 2 = e A( z1 + z2 )
(3.27) (3.28) (3.29)
gde je I jedinčna matrica dimenzije nxn, tada se može pristupiti određivanju opšteg rešenja jednačine stanja: x! = Ax + Bu Ako izvršimo množenje sa leve strane matricom e − At :
(3.30)
e − At x! = e -At Ax + e − At Bu i izvršimo odgovarajuća preuređivanja tada dobijamo jednačinu:
(3.31)
e − At x!-Ae -At x = e -At Bu
(3.32)
42
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ako se primeni pravilo difrenciranja proizvoda: d ( x ⋅ y ) = x ⋅ y! + x! ⋅ y dt na levu stranu jednačine (3.32) tada dobijamo: d − At (e x) = e -At Bu dt Ako integralimo jednačinu (3.33) od t0 do t : t t d − Aτ − Aτ τ τ ( ) e x d = ∫t dτ ∫t e Bu(τ )dτ 0 0
[
(3.33)
]
(3.34)
tada dobijamo jednačinu: e
− At
t
x(t)-e
-At 0
x(t 0 ) = ∫ e − Aτ Bu(τBu(
(3.35)
t0
Ako za početne vrednosti vektora stanja važi da je: x(t 0 + 0) = x(t 0 − 0) = x(t 0 )
(3.36)
At
i izvršimo množenje sa e sa leve strane tada jednačina postaje: x(t)– e
A ( t −t 0 )
t
x(t0)= e
At
∫e
− Aτ
Bu (τ )dτ
(3.37)
t0
Preuređivanjem jednačine (3.37) opšte rešenje jednačina stanja u zatvorenoj formi:
x (t ) =
t
∫e
A ( t −τ )
Bu( τ )d τ + e A ( t − t 0 ) x(t0)
(3.38)
t0
Ako za ulaz važi da je: u(t)=0
(3.39)
tada dobijamo rešenje nepobuđenog sistema u formi: x(t)= e A(t −t0 ) x(t0)
(3.40)
Rešenje nepobuđenog sistema se uvek može odrediti na osnovu proizvoda fundamentalne matrice: Φ(t , t 0 ) = e A(t −t0 )
(3.41)
i početne vrednosti vektora stanja x( t 0 ) kao: x(t ) = Φ (t , t 0 ) x(t 0 )
(3.42)
Ako se definicioni izraz za fundamentalnu matricu (3.41) uvede u jednačinu (3.38) tada dobijamo: t
x(t ) = ∫ Φ(t , τ ) Bu(τ )dτ + Φ (t , t 0 ) x(t 0 ) t0
43
(3.43)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ako se vrednost vektora stanja određen prema izrazu (3.43) unese u jednačinu izlaza (3.23) tada dobijamo izraz za opšte rešenje izlaza u formi: t
y (t ) = C ∫ Φ(t , τ )Bu(τ )dτ + CΦ(t , t 0 ) x(t 0 ) + Du (t ) t0
Primer br.9: Sistem automatskog upravljanja opisan je jednačinama stanja: x 1 (t ) x − 2 1 0 ; x(0) = 10 x! = x + u ; x = 0 − 1 1 x 2 (t ) x 20 y = [1 0]x + [ 1 ]u Matrica sistema i proizvodi matrice sistema sa samom sobom su: − 2 1 A= 0 − 1 − 2 1 − 2 1 4 − 3 A2 = A ⋅ A = = 1 0 − 1 0 − 1 0 − 2 1 4 − 3 − 8 7 A3 = A ⋅ A 2 = = 1 0 − 1 0 − 1 0 Fundamentalna matrica za t0=0 je: Φ(t , t 0 ) = Φ (t ,0) = e A(t −t0 ) = e A( t − 0) = e At t t2 t3 + A 2 + A3 + ... = 1! 2! 3! 1 0 − 2 1 t 4 − 3 t 2 − 8 7 t 3 = + + ... = + + 1 2 ! 0 − 1 3 ! 0 1 0 − 1 1! 0 t t2 t3 t t2 t3 0 + − 3 + 7 + ... 1 − 2 + 4 − 8 + ... 1! 2! 3! 1! 2! 3! = = 2 3 t t t 0 1 − + − + ... 1! 2 ! 3 !
e At = I + A
e − 2 t = 0
e −t − e − 2t e −t
e − 2 t Φ(t ,0) = e At = 0
e −t − e − 2t e −t
Kretanje nepobuđenog sistema određeno je kao: e −2 t x1 (t ) ( , 0 ) ( 0 ) x(t ) = = Φ t x = x 2 (t ) 0 −2t −t − 2t x1 (t ) = x10 e + x 20 e + x 20 e
e − t − e −2 t x 10 e −t x 20
x 2 (t ) = x 20 e −t Ako na ulazu sistema deluje pobuda u, tada se vektor stanja određuje kao:
44
(3.44)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
t
x(t ) = ∫ Φ(t ,τ ) Bu (τ )dτ + Φ (t , t 0 ) x(t 0 ) = t0
t e −2(t −τ ) e −2 t e − t − e −2 t x 10 e − (t −τ ) − e −2 (t −τ ) 0 τ τ ( ) = ∫ u d + = − ( t −τ ) −t 1 0 0 e e 0 x 20 2 2 t ( ) 2 ( ) − − − t t t x10 e + x 20 e + x 20 e e − t −τ − e − t −τ = ∫ u (τ )dτ + − ( t −τ ) x 20 e −t ` e 0
tj.: t
[
]
x1 (t ) = ∫ e − (t −τ ) − e − 2( t −τ ) u (τ )dτ + e − 2t x10 + (e −t − e − 2t ) x 20 0
t
x 2 (t ) = ∫ e − (t −τ ) u (τ )dτ + e −t x 20 0
Izlaz sistema sada postaje: x1 (t ) y (t ) = [1 0] + [ 1 ]u (t ) = x1 (t ) + u (t ) = x 2 (t ) t
[
]
= ∫ e − (t −τ ) − e − 2(t −τ ) u (τ )dτ + e − 2 t x10 + (e −t − e − 2t ) x 20 + u (t ) 0
Ako je u(t) poznata funkcija tada se mogu izvršiti naznačena integriranja u gornjem izrazu. Relativno zahtevno rešenje već ovako jednostavnog primera jednostavno upućuje na potrebu primene računarske podrške u simulaciji sistema opisanih jednačinama u prostoru stanja.
45
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
3.2.2 Linearizacija nelinearnih jednačina stanja Opšta forma zapisa nelinearnih jednačina stanja je: x! = f ( x, u , t ) y = g(x, u, t) gde je: T x vektor stanja x = [x1 , x 2 ,..., x n ] , xi realan broj u vektor ulaza
(3.45) (3.46)
u = [u1 , u 2 ,..., u m ] , u i realan broj T
y vektor izlaza y = [y1 , y 2 ,..., y r ] , y i realan broj a t nezavisna promenljiva. Za malu promenu vektora ulaza Δu u okolini radne tačke određene vektorima u 0 i x0 promene vektora stanja Δx se mogu odrediti zanemarivanjem viših članova Tajlorovog reda kao: ∂f ∂f (3.47) x! + ∆x! ≈ f ( x0 , u 0 , t ) + ∆x + x ,u ∆u x0 , u o ∂u 0 0 ∂x gde je: T
∂f1 ∂x 1 ∂f 2 ∂f = ∂x1 ∂x ∂f n ∂x 1
∂f1 ∂x 2
∂f 1 ∂x n ∂f n ∂x n
∂f 1 ∂u 1 ∂f 2 ∂f = ∂u1 ∂u ∂f u ∂u 1
∂f 1 ∂u 2
∂f1 ∂u n ∂f n ∂u n
Linearizacijom jednačine (3.45) i (3.46) prema (3.47) uz smene
z = ∆x ; A =
∂f ∂x
w = ∆y ; C =
x0 , u 0
∂g ∂x
x0 , u 0
;
;
B=
∂f ∂u
D=
∂g ∂u
x 0 ,u 0
; v = ∆u
x0 , u 0
(3.48)
dobija se linearizovana jednačina stanja nelinearnog sistema u formi: z! = A ⋅ z + B ⋅ v w = C ⋅ z + D⋅v
(3.49)
46
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Primer 10: Masa klatna prikazanog na slici 3.15 je 1 kg, dužina klatna je 1 m. Ako se zanemari trenje tada pod dejstvom momenta T, klatno ostvaruje kretanje koje se može opisati jednačinom: d 2θ = −9.81sinθ + T dt 2
1m
T
O
1 kg
3.15 Pojednostavljena skica klatna ,
Ako su promenljive stanja x1 = θ , x 2 = θ , ulaz u = T i izlaz y = θ , tada su nelinearne jednačine klatna u prostoru stanja sledeće:
x, f ( x, u, t ) x2 1 x = ,1 = = ; y = g ( x, u, t ) = x1 x f 2 ( x, u, t ) − 9.81sin x1 + u 2 ,
d 2θ dθ T Ravnotežno stanje klatna određuju jdnačine = 0; = 0 i dθ = arcsin ( 9.81 dt dt x10 Θ radna tačka x 0 = = d x 20 0 Ako se odrede:
∂f ∂x
∂f ∂u
xo ,u 0
x0 , u 0
∂x 2 ∂x1 = ( 9 . 81 sin x1 + u ) ∂ − ∂x1 ∂x 2 ∂u = ∂ (−9.81sin x1 + u ) ∂u
∂x 2 0 ∂x 2 = ∂ (−9.81sin x1 + u ) − 9.81 cos x10 ∂x 2 x0 , u 0
x0 , u 0
0 = 1
47
1 0
)
i
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
∂x ∂g = 1 =1 ∂x1 x0 , u 0 ∂x1
∂x ∂g = 1 =0 ∂x 2 ∂x 2
∂x ∂g = 1 =0 ∂u x0 , u 0 ∂u Tada se dobija linearizovana jednačina klatna u formi: , 0 1 0 ∆x = ∆x + ∆u 1 − 9.81 cos x10 0 ∆y = [1 0]∆x
3.3 Matematičke metode analize i sinteze linearnih diskretnih sistema sa koncentrisanim parametrima Uređaj za savremenu obradu signala je digitalni računar. Digitalni računari rade sekvencionalno i obrađuju informacije koje su brojčano iskazane. Signali iz realnih fizičkih i hemijskih procesa su vremenski neprekidni, a njihova amplituda se iskazuje analognim kodiranim signalima koji su neprekidni u jednom ograničenom području. Analogne informacije dobijene iz okruženja u pogodnu formu za digitalnu obradu konvertuje posebna računarska periferija, (A/D) konvertor. Digitalni računar primljene numerički kodirane informacije obrađuje i određuje upravljački signal u digitalnoj formi. Da bi ovaj izlazni signal mogli proslediti do izvršnih elemenata potrebno ih je u većini slučajeva iz kodirane digitalne forme vratiti u analogni signal. Ova operacije se ostvaruje u (D/A) konvertoru. Neophodne A/D i D/A konverzije računar ostvaruje samo u određenim vremenskim trenucima tj. u vremenima između kojih protiče vreme koje se naziva vreme uzorkovanja (T0). Vremenski razmak između dva uzimanja uzorka u principu može biti proizvoljan, ali iz praktičnih i numeričkih razloga celishodno je ova vremena održavati na istoj vrednosti tj. uzorkovanje ostvariti u ekvidistantnim trenucima vremena. Na slici 3.16. prikazana je blok šema računarski upravljanog sistema. ALGORITAM UPRAVLJANJA
y (t)
U (T0)
D/A
ALGORITAM UPRAVLJANJA
T0
A/D T0 T0 UPRAVLJANJE UZORKOVANJEM
Slika 3.16 Računarom upravljani sistem Da bi se digitalni računar mogao primeniti za simulaciju neophodno je kontinualne matematičke modele konvertovati u digitalnu formu. Ova operacija se ostvaruje u skladu sa 48
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
pravilima numeričke matematike. Signali ili matematički modeli konvertovani u diskretnu formu i po amplitudi i po vremenu su diskretni signali ili diskretni matematički modeli.
3.3.1. Diskretne funkcije vremena Diskretizacija nekog neprekidnog signala se može izvršiti i po amplitudi i po vremenu. Diskretna funkcija vremena nastaje ako se neprekidna funkcija po vremenu i amplitudi f(t) predstavi u konačnom broju vremenskih trenutaka t1, t2,...,tn sa konačnim brojem numeričkih vrednosti f(t1), f(t2),....f(tn). Ako je vreme između dva uzorkovanja stalno i iznosi T0, tada se svakom trenutku vremena T0, 2T0, 3T0, ... , nT0, ... pridruži brojčano iskazana vrednost amplitude signala f(0), f(T0), f(2T0), f(3T0),... f(nT0), ... U sažetoj formi diskretni signali se zapisuju kao: xD = x (kT0) ako je t = kTo xD = 0 ako je kT0 < t < (k+1) T0 (3.50) k = 1,2,3... Formiranje diskretnog signala po vremenu može se predstaviti simbolično prekidačem koji se zatvara u vremenskim terminima između kojih protiče vreme uzorkovanja T0, a da pri tome prekidač bude zatvoren u vremenskom trajanju koje je jednako nuli. Na slici 3.17 prikazan je rad prekidača kaoji ostvaruje diskretizaciju signala. T0 xo (t)
x (t)
Slika 3.17 – Idealni prekidač za ostvarivanje diskretizacije po vremenu Primer 11.: Izvršiti diskretizaciju po vremenu kontinualnih signala koji su opisani funkcijama i x (t) = 1 (t) x (t) = e-at u ekvidistantnim trenucima vremena T0 . Ako se nezavisna promenljiva t zameni sa t = kT0 tada je: e − akT0 , t = kT0 x0 (t ) = kT0 < t < (k + 1)T0 0, t = kT0 1, x0 (t ) = 0, kT0 < t < (k + 1)T0 Da bi izrazi za prikazivanje diskretnih funkcija vremena bili jednostavniji deo izraza koji se odnosi na vreme za koje je kT0 < t < (k+1) T0 se izostavlja.
3.3.2. Diferentne jednačine Digitalni računari mogu realizovati samo elementarne aritmetičke operacije. Da bi se neelementarne operacije, kao što su diferenciranje i integriranje, mogle izvršti primenom digitalnog 49
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
računara, potrebno je ove operacije svesti na elementarne aritmetičke operacije tj. izvršiti njihovu što je moguće tačniju numeričku aproksimaciju. Numeričkom aproksimacijom neelementarne forme se svode na diferentne jednačine koje u sebi sadrže samo elementarne aritmetičke operacije. Opšti oblik diferentne jednačine je: y (kT0) + a1 y ((k-1)T0) + ... + an y ((k-n)T0) = bo u (kT0) + b1 u ((k-1)T0) + ... + bn u ((k-n)T0) (3.51) S obzirom da je vreme uzorkovanja stalno, ono se isto samo evidentira uz diferentnu jednačinu ali se ne ispisuje u svakom članu. Na ovaj način se formira pojednostavljenija forma jednačine (3.51): y (k) + a1 y (k-1) + ... + an y (k-n) = b0 u (k) + b1 u (k-1) + ... + bn u (k-n) (3.52) Ako su poznati parametri a1, ...an; b0, b1, ... bn, signala u, i sve prethodne vrednosti uzoraka signala y tada se vrednost signala y u trenutku (kTo) može odrediti primenom izraza: y (k) = -a1 y (k-1) - ... – an y (k-n) + bo u (k-1) + b1 u (k-1) + ... + bn u (k-n) (3.53) Pri formiranju diferentnih jednačina operacija integriranja se svodi na sumiranje površina aproksimativnih pravougaonih formiranih na različite načine. Na slici 3.18 prikazane su dve mogućnosti formiranja aproksimativnih pravougaonika. a)
b)
u
0
T0
2T0
(k-1)T0 kT0 (k+1)T0
t’
u
0
T0
2T0
(k-1)T0 kT0 (k+1)T0
t’
Slika 3.18 Numerička aproksimacija integriranja Primer 12: Odrediti aproksimativnu diferentnu jednačinu sledeće integralne forme: t 1 y (t ) = ∫ u (τ )dτ TI 0 Ako se površina ispod funkcije u(t) aproksimira pravougaonicima čija je širina T0, a visina jednaka vrednosti uzorka u prethodnom trenutku. Tada za t = kT0 dobijamo: 1 k −1 y ( kT0 ) = ∑ T0 u(iT0 ) TI i = 0 Ako se izraz zapiše i za t = ( k + 1)T0 tada dobijamo: 1 k ∑T0u(iT0 ) TI i = 0 Ako se sada odredi priraštaj između dva uzorkovanja tada dobijamo: 1 k 1 k −1 y ((k − 1)T0 ) − y (kT0 ) = ∑ T0u (iT0 ) − ∑ T0u (iT0 ) TI i = 0 TI i = 0 S obzirom da je: 1 k 1 1 k −1 T0 u (iT0 ) = u( kT0 ) + ∑ T0 u (iT0 ) ∑ TI i = 0 TI TI i = 0 Nakon smene i preuređivanja dobijamo: 50 y (( k + 1)T0 ) =
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
y (( k + 1)T0 ) − y ( kT0 ) =
T0 u ( kT0 ) TI
Ako se ne naznači T0 i uvedu smene a1 = −1 i b1 =
T0 , tada se dobija diferentna jednačina: TI
y ( k + 1) + a1 y ( k ) = b1u( k ) Pomeranjem uzimanja uzoraka za jedan trenutak unazad dobija se: y ( k ) + a1 y ( k − 1) = b1u ( k − 1) Da smo visinu pravougaonika određivali na osnovu uzorka u narednom trenutku dobili bi diferentnu jednačinu: y ( k ) + a1 y ( k − 1) = b1u(k ) Operacije diferenciranja se aproksimiraju izrazima: dy (t ) y ( k ) − y (k − 1) ≈ dt T0 d 2 y (t ) y (k ) − 2 y (k − 1) + y (k − 2) ≈ dt 2 T02 Ako se u izrazima pojavljuju izvodi višeg reda, celishodno je jednačinu prevesti u sistem diferencijalnih jdnačina prvog reda tj. izvršiti pre aproksimacije prelaz u prostor stanja. Primer 13: Diskretizovati diferencijalnu jednačinu prvog reda: dy (t ) a1 + y (t ) = b0 u(t ) dt Ako se prvi izvod aproksimira prema gore prikazanom izrazu tada se dobija diferentna jednačina: y ( k ) − y ( k − 1) a1 + y ( k ) = b0 u (k ) T0 a Smenom a 0 = 1 + 1 ; a1 = −1 i preuređivanjem, diferentna jednačina dobija formu: T0 a 0 y ( k ) + a1 y ( k − 1) = b0 u (k ) Primer 14.: Diskretizovati diferencijalnu jednačinu: a2
d 2 y (t ) dy (t ) + a1 + y (t ) = b0 u (t ) 2 dt dt
Nakon smena i uvođenja sledećih koeficijenata: , , , a 2 a1 a 2a a + + 1 ; a 1 = − 1 − 22 ; a 2 = 22 ; b0 = b0 2 T0 T0 T0 T0 T0 dobija se sledeća diferentna jednačina: ,
a0 =
,
,
,
,
a 0 y ( k ) + a1 y ( k − 1) + a 2 y ( k − 2) = b 0 u (k ) Primer 15.: Odrediti rešenja diferencijalne jednačine d 2 y (t ) dy (t ) 3 +2 + 2 y ( t ) = 4u ( t ) 2 dt dt 51
y (0) = 1; y (t ) = 0; t < 0
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
u trenucima t = 0, 0,5, 1, 1,5, 2,... ako je ulaz jedinična skokovita promena, a vreme uzorkovanja T0 =1s . Diferencijalna jednačina u preuređenoj formi saglasno polaznoj formi u primeru 14 je: 2 2 4 a 2 = = 1.5 ; a1 = = 1 ; b0 = = 2 3 2 2 Koeficijenti diferentne jednačine su: , a2 a 1.52 1 a 0 = 22 + 1 + 1 = 2 + + 1 = 3.25 1 1 T0 T0 , a 2a 1 2 ⋅ 1.5 a1 = − 1 − 22 = − − 2 = −4 1 1 T0 T0 , , a 1.5 a 2 = 22 = 2 = 1.5 ; b0 = b0 = 2 1 T0 Nakon preuređivanja: y(k ) = −
,
,
,
a1
a2
b0
,
y (k − 1) −
a0
,
a0
y ( k − 2) +
,
u(k )
a0
i smene: y ( k ) = 1.23 y ( k − 1) − 0.46 y ( k − 2) + 0.615u(k ) za u(k)=1, za t >0 dobijaju se sledeće vrednosti odziva: y (0.5) = y (1) = 1.23 y (0) − 0.46 y ( −1) + 0.615 ⋅ 1 = 1.23 ⋅1 − 0.46 ⋅ 0 + 0.615 ⋅1 = 1.855 y (1) = y (2) = 1.23 y (1) − 0.46 y (0) + 0.615 ⋅ 1 = 1.23 ⋅ 1.855 − 0.46 ⋅ 1 + 0.615 = 2.436 y (1.5) = y (3) = 1.23 y (2) − 0.46 y (1) − 0.615 ⋅ 1 = 1.23 ⋅ 2.436 − 0.46 ⋅ 1.855 + 0.615 = 2.757 y ( 2) = y ( 4) = 1.23 y (3) − 0.46 y ( 2) + 0.615 ⋅ 1 = 1.23 ⋅ 2.757 − 0.46 ⋅ 2.436 + 0.615 = 2.88 Grafički se ulaz i odziv mogu prikazati na sledeći način: y(t) 2,43 2 u(t) 1
2,88
2,75
1,85
1
0,5
1
1,5
2
t
0,5
1
1,5
2
t
Odziv se može zapisati i u sledećoj formi: y (t ) = 1δ (t ) + 1.855δ (t − 0.5) + 2.436δ (t − 1) + 2.757δ (t − 1.5) + 2.88δ (t − 2) + ...
3.3.3. Uzorkovanje Uzorkovanjem se naziva proces transformacije neprekidnog signala u pravilno raspoređeni skup brojeva. U digitalnim računarima uzorkovanje se ostvaruje jednim prekidačem koji se zatvara u vremenskim razmacima između kojih protiče vreme uzorkovanja T0 i sa A/D konvertorom. 52
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Prekidač držimo zatvoren u vremenskom periodu dužine h. Proces uzorkovanja je prikazan na slici 3.19. Uzorkovanjem se od kontinualnog signala y(t) formira diskretan signal y*(t), koji čine autonomni impulsi promenljive amplitude u trajanju h. Između pojave dva uzastopna impulsa protiče vreme uzorkovanja T0. A/D konvertor pretvara iznos amplitude impulsa u diskretnu brojnu vrednost. Ova vrednost se smešta u jedan poseban registar konvertora ili digitalnog računara. m*(t) n
T0
y(t)
yd(t) T0,h
y(t)
t
yd(t)
t 3.19 ábra– A mintavételezés
A/D
y*(t) y*(t)
t
Sl. 3.19. - Uzorkovanje Na slici 3.19. izlazne diskretne vrednosti y(0), y(T0), y(2T0), ... ,y (kT0), ... su predstavljene povorkom impulsa čije je trajanje jednako nuli. Prikaz diskretnih vrednosti impulsima koji nemaju merljivu površinu u principu ne menja suštinu procesa uzorkovanja s obzirom da se ne gube informacije značajne za proces konverzije. Na primer, zadržava se informacija o diskretnoj vrednosti amplitude i o trenutku uzimanja uzorka. Uzorkovanje se može prikazati kao amplitudna modulacija povorke impulsa. Ulaz u modulator je neprekidna funkcija y(t), a signal kojim se moduliše je: ∞
m * (t ) = ∑δ (t − iT0 ) i =0
gde je povorka Dirakovih impulsa δ (t ) a izlaz je: ∞
y * (t ) = y (t )m * (t ) = y (t )∑ δ (t − iT0 ) i =0
modulisana povorka impulsa. Uzorkovani signal se može prikazati i u formi: ∞
y * (t ) = ∑ y (iT0 )δ (t − iT0 ) = y (0)δ (t ) + y (T0 )δ (t − T0 ) + y (2T0 )δ (t − 2T0 ) + ... i =0
Da se primetiti da se pri uzorkovanju gube informacije. Signal y*(t) o signalu y(t) daje informacije samo u trenucima uzorkovanja. Informacije o stanju signala y(t) između dva uzastopna uzorkovanja se gube. Iz nekog signala y(t) jednoznačno se može formirati diskretni signal y*(t), ali iz diskretnih vrednosti funkcije y*(t) ne sledi uvek ista funkcija y(t). Ovu činjenicu ilustruje slika 3.20.:
53
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
1
0
2
T0
2T0
t
Slika 3.20 - Istovetna povorka impulsa dobijena uzorkovanjem dva različita signala
3.3.4. Zadrška Izlazni signal digitalnog računara je digitalno kodirani, vremenski diskretan signal koji se najčešće zbog konstrukcije izvrših elemenata mora konvertovati u analogni signal. Ovu konverziju vrši digitalno/analogni konvertor. D/A konvertor obavlja dve operacije, i dekodiranje i zadršku. Dekodiranjem se diskretni signali pretvaraju u analogne impulse. U operaciji zadrške, kolo za zadršku pretvara povorku impulsa y*(t) u kontinualni signal yH(t). Zadrška nije jednoznačana operacija s obzirom da se dve susedne tačke mogu spojiti na više različitih načina. Kolo zadrške kontinualni signal formira polinomalnom ekstrapolacijom n uzoraka Najjednostavnije kolo zadrške povorku impulsa pretvara u stepeničastu funkciju kao što je to prikazano u slučaju a) na slici 3.21. u*(t)
u*(t)
b.)
a.) 0 T 2T 3T uH(t)
t
0
T 2T 3T 4T 5T uH(t)
t
0
t
0 T 2T 3T 4T 5T
t
T 2T 3T
Slika 3.21. - Prikaz rada kola zadrške a) kolo zadrške nultog reda b) kolo zadrške prvog reda Delovanje kola zadrške nultog reda se može opisati primenom jedinične skokovite funkcije 1(t) izrazom: 54
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
∞
m(t ) = ∑ u (iT0 ) ⋅ [1(t − iT0 ) − 1(t − (i + 1)T0 ]
(3.57)
i =0
Kolo zadrške prvog reda ekstrapolaciju vrši pravom koja polazi od vrednosti prethodnog uzorka a završava se na vrednosti naredog uzorka. Koeficijent pravca ekstrapolacione prave određuju vrednosti polaznog i završnog uzorka. Princip rada kola zadrške prvog reda je prikazan na slici 3.21. b) Delovanje kola zadrške prvog reda se može opisati izrazom: ∞ u (iT0 ) − u ((i − 1)T0 ) ( ) m t = ∑ u (iT0 )[1(t − iT0 ) − 1(t − (i + 1)T0 ] + ⋅ [(t − iT0 ) − t − (i + 1)T0 ] (3.58) T0 i =0
Pored kola zadrške nultog i prvog reda mogu se primeniti i složenija kola zadrške.
3.3.5. Diskretne jednačine stanja Jednačine stanja nekog kontinualnog sistema: ,
x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du (t ) (3.59) mogu se diskretizovati, ako ulazni signal u(t) između dva trenutka uzorkovanja zadržavamo primenom kola zadrške nultog reda tj. ako između dva trenutka uzorkovanja važi da je: ako je kT0 ≤ t <(k+1) T0 (3.60) u(t) = u(kT0) Ako vektor stanja u prethodnom k-tom trenutku ima vrednost x(kT0) i na sistem deluje ulaz u(t) = u(kT0) stalne amplitude, tada se promene vektora stanja u vremenu od t = kT0 do t = (k+1)T0 mogu odrediti primenom izraza: t
x(t ) = Φ (t , t 0 ) x(t 0 ) + ∫ Φ (t − τ )Bu (τ )dτ t0
∞
( At ) i! i =0
Φ (t ) = e At = ∑
i
(3.61)
Ako se smeni t0 = kT0 i uzme u obzir da se vrednost ulaza funkcije u(t) ne menja, jednačina za određivanje parametara vektora stanja dobija formu:. t
x (t ) = Φ (t − kT0 ) x ( kT0 ) + u (kT0 ) ∫ Φ (t − τ ) Bdτ
(3.62)
kT0
U trenutku t = (k+1)T0 vektor stanja će poprimiti vrednost: x (( k + 1)T0 ) = Φ (( k + 1)T0 − kT0 ) x ( kT0 ) + u ( kT0 )
( k +1) T0
∫ Φ((k + 1)T
0
kT0
Nakon preuređivanja dobijamo: 55
− τ ) Bdτ
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
x (( k + 1)T0 ) = Φ (T0 ) x ( kT0 ) + u( kT0 )
( k +1) T0
∫ Φ((k + 1)T
0
− τ ) Bdτ
(3.63)
kT0
U cilju pojednostavljenja uvodimo smenu q = (k+1) T0 – τ i dq = -dτ što nakon smene daje: T0
x (( k + 1)T0 ) = Φ (T0 ) x ( kT0 ) + u(kT0 ) ∫ Φ ( q) Bdq
(3.64)
0
Ako se uvede smena: T0
B = ∫ Φ ( q ) Bdq
A = Φ (T0 ) = e AT0
(3.65)
0
i uvedemo ove oznake i vrednosti u jednačine izlaza tada dobijamo diskretne jednačine stanja: x (k+1) = A x (k) + B u (k) y (k) = C x (k) + D u (k) (3.66) Opšta forma diskretnih jednačina stanja i jednačina stanja kontinualnih sistema (3.59) je u principu ista. Numeričko određivanje diskretne matrice sistema se može svesti na sledeću relativno laku programabilnu rekurzivnu formu: p 1 A = e AT0 ≈ I + ∑ ( AT0 ) i +1 = I + A⋅ L (i + 1)! i =0 p
L = T0 ∑ ( AT0 ) i i=0
1 (i + 1)!
T0
T0 p
0
0 i =0
B = ∫ Φ (q)dq ≈
i ∫∑ A
T
0 p 1 qi Bdq = ∑ A i ∫ q i dqB = L ⋅ B i! i! i=0 0
Vrednost za p celishodno je odrediti prema sledećem: 1) Odredimo r = max aij T0 gde je aij element matrice A. 2) Ako je n red sistema tada p biramo tako da se što bolje zadovolji jednačina 1 (nr ) p e nr = ε, gde je ε faktor tačnosti. p! Primer 16.: Odrediti diskretne jednačine stanja ako su jednačine stanja kontinualnog sistema , 0 1 x1 0 ⋅ + ; x ∈ R2 x= 0 − 2 x 2 1
y = [1 0]⋅ x + [2]⋅ u i ako je vreme diskretizacije T0 = 0,01. Za T0 = 0,01, n = 2 i r = max | ai T0| = max − 2 ⋅ 0,01 = 0,02 već za p=2 dobija se tačnost za koju je t = 0,00083 ili tačnost od 0,083 %. U ovom slučaju znači određujemo: L = T0 ( I+ AT0 +
1 2 2 A T0 ) = 2! 56
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
1 0 0 1 0 1 0 1 0.01 0.0098 =0.01 + 0.01 + 0.001 ⋅ = − 0.0096 0 1 0 − 2 0 − 2 0 − 2 0 1 0 0 1 0.01 0.0098 1 − 0.0096 A =I+ AL = = + ⋅ − 0.0096 0 0.9808 0 1 0 − 2 0 0.01 0.098 0 0.0098 B = LB = ⋅ = − 0.0096 1 − 0.0096 0 Diskretna jednačina stanja za T0 = 0,01 s je znači: 1 − 0.0096 0.0098 x (k+1) = x (k ) + u(k ) 0 0.9808 − 0.0096 y (k) = [1 0]x ( k ) + [2]u ( k ) Primedba: Za drugu vrednost vremena uzorkovanja T0 elementi matrica diskretnog sistema jednačina u prostoru stanja bi dobile druge vrednosti.
3.3.6. Formiranje diskretnih jednačina stanja na osnovu diferentnih jednačina sistema Ako se u opštoj formuli diferentne jednačine y (k) + a1 y (k-1) + ... + an y (k-n) = b0 u (k) + b1 u (k-1) + ... + bn u (k-n)
(3.68)
izvrši smena promenljive k sa k+n, tada dobijamo: y (k+n) + a1 y (k+n-1) + ... + an y (k) = b0 u (k+n) + b1 u (k+n-1) + ... + bn u (k)
(3.69)
Ako se sada definišu diskretne funkcije stanja tako da se zadovolje uslovi: y (k) = x1 (k) y (k+1) = x2 (k) = x1 (k+1) y (k+2) = x3 (k) = x2 (k+1)
..
.
y (k+n-1) = xn (k) = xn-1 (k+1) y (k+n) = xn (k+1)
(3.70)
Ako se iz jednačine (3.69) izrazi vrednost za y(k+n) i izvrše smene prema (3.70) uz usvajanje vrednosti bn = 1 i b0, b1, ... , bn-1 = 0 tada dobijamo: (3.71) y(k+n) = xn(k+1) = -a1 xn(k) - a2 xn-1(k) - ... – an x1(k) + u(k) Ako se sada objedine jednačine (3.70) i (3.71), tada se dobija diskretna jednačina stanja u formi: 57
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
x1 (k + 1) 0 x 2 (k + 2) 0 . = . . . . . x n (k + 1) − a n
y (k) = [ 1
0
...
1 0
0 1
− a n −1
0
0 x1 (k ) 0 0 x 2 (k ) 0 + . u (k ) ⋅ . . . . . ... − a1 x n (k ) 1 ... ...
− an−2
x1 (k ) x2 (k ) . ] . . xn (k )
(3.72)
Ako ne važi uslov da je bn = 1 i b0, b1, ... , bn-1 = 0, tada se jednačina modifikuje u formu: y (k) = [(bn – b0an), ... , (b1 – b0a1)]
x1 (k) . . . xn (k)
+ b0 u (k)
(3.73)
Primer 17.: Odrediti jednačine stanja ako je diferentna jednačina sistema: y (k) + 3 y (k-1) + 2 y (k-2) = u (k) + 2 u (k-1) S obzirom da je a2 = 2; a1 = 3; b0 = 1; b1 = 2; b2 = 0 važi da je: 1 x1 (k ) 0 x1 (k + 1) 0 x (k + 1) = − 2 − 3 x (k ) + 1u (k ) 2 2
i b2 – b0⋅a2 = 0 – 1 . 2 = -2 i b1 - b0⋅ a1 = 2 – 1 . 3 = -1 sledi i jednačina izlaza: x1 (k ) y (k ) = [− 2 − 1]⋅ x 2 (k )
3.3.7. Rešavanje diskretnih jednačina stanja Za poznato u(k) i x(0) rešavanje diskretne jednačine stanja se svodi na sledeću rekurzivnu proceduru: x (k+1) = A x (k) + B u (k) (3.74) za k = 0 dobijamo x (1) = A x (0) + B u (0) za k = 1 dobijamo x (2) = A x(1) + B u(1) = A [A x(0) + B u(0)] + B u(1) = A2 x(0) + AB u(0) + B u(1) za neko k = k dobija se opšte rešenje u formi: 58
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
x (k) = Ak x(0) +
k
∑
Ai-1 B u(k-i)
(3.75)
i =1
Primer br.18: Odrediti prve tri vrednosti vektora stanja ako su jednačine stanja: 1 x1 (k ) 0 x1 (k + 1) 0 1 x(0) = x (k + 1) = − 2 − 3 x (k ) + 1u (k ) 2 2 0 i ako je ulaz: u(t) = 1(t) 1 x(0) = 0 1 1 0 0 0 x(1) = Ax(0 ) + Bu (0) = ⋅ + 1 = − 2 − 3 0 1 − 1 1 0 0 − 1 0 x(2) = Ax(1) + Bu (1) = ⋅ + 1 = − 2 − 3 − 1 1 4 1 − 1 0 4 0 x(3) = Ax(2 ) + Bu (2) = ⋅ + 1 = − 2 − 3 4 1 − 9
3.3.8 Međusobno sprezanje kontinualnih i diskretnih sistema U savremenim sistemima automatskog upravljanja međusobno su spregnuti podsistemi sa kontinualnim i diskretnim signalima. Davači signala daju ili kontinualni ili diskretni signal. Upravljački sistem uglavnom vrši digitalnu obradu, tako da se upravljački signal uglavnom može smatrati diskretnim. Izvršni elementi primaju ili kontinualne ili diskretne signale. Signali različite prirode se ne mogu međusobno sprezati. U tačkama sprezanja moraju se postaviti prilagodna kola tj. A/D i D/A konvertori. Pri analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja matematički model sistema mora biti ili kontinualan ili diskretan. Ako sistem ima mešovitu strukturu tada jedna od tipova (bilo kontinualna, bilo diskretna) se mora zameniti svojim aproksimativnim ekvivalentnim modelom. Ako bi transformacije kontinualnih sistema u diskretne i obratno bile jednoznačne, tada bi u principu bilo svejedno koju smo konačnu formu izabrali za dalji postupak analize i sinteze. S obzirom da ove transformacije nisu jednoznačne, izbor konačne forme i aproksimativnog postupka transformacije je i te kako značajan. Ako se koristi digitalna upravljačka jedinica tada prednost ima transformacija svih delova sistema u diskretnu formu. U slučaju da se želi izvršiti analiza ponašanja objekta upravljanja zbog svoje preglednosti kontinualna forma ima izvesnu prednost. Zbog toga se u industrijskoj praksi srećemo sa obe varijante tj. ili se digitalni upravljački algoritam aproksimira kontinualnim modelom, ili se kontinualni model objekta diskretizuje.
59
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
a) Mešoviti sistem
z
A/D r
Objekt upravljanja
u
Upravljački uređaj
D/ A
y
A/D z
b) Diskretni it
z
r
UPRAVLJAČKI UREĐAJ
y
DISKRETNI MODEL u
c) Kontinualni sistem
r
z UPRAVLJAČKI SISTEM
OBJEKT UPRAVLJANJA
Slika 3.22 - Moguće varijante sistema pri različitim prirodama signala
60
y
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
4. Matematičke metode analize linearnih, dinamičkih sistema sa koncentrisanim parametrima u frekventnom domenu Ispitivanje linearnih, dinamičkih sistema u vremenskom domenu se vrši na bazi analize realnih, direktno ili indirektno merljivih fizički realnih signala. Ako se želi izvršiti analiza sistema u širokom opsegu rada, tada je potrebno izvršiti dugotrajnu simulaciju sistema uz česta ponavljanja. U nekim slučajevima je celishodno izvršiti takve funkcionalne transformacije koje polazne relacije između ulaza i izlaza zapisane u formi diferencijalnih jednačina transformišu u algebarske forme. Za ovu namenu veoma su povoljne tzv. frekventne transformacije. U tehničkoj praksi teorijsku osnovu za frekventnu analizu i frekventne transformacije daje Furijeova transformacija. Osnovna ideja Furijeove transformacije zasniva se na činjenici da se svaka vremenska funkcija može predstaviti kao zbir harmoničnih funkcija različitih frekvencija, amplituda i faza. Obzirom da je Furijeova transformacija jednoznačna, u principu se dobijaju isti rezultati ako se analiza funkcije vrši na originalu ili na zbiru svih pripadajućih harmoničnih funkcija. Interesovanje za frekventnu analizu bitno je poraslo pojavom brze Furijeove transformacije (FFT) i brzih tzv. "signal" procesora. U daljem se nećemo baviti teorijskim osnovama Furijeove transformacije. Prikazaće se samo oni elementi ove teorije koji će se u daljem i primenljivati.
4.1. Furijeov red Svaka funkcija f(t,T) koja je neprekidna, diferencijabilna, ograničena i periodična u konačnom intervalu se može zapisati u vidu Furijeovog reda, tj. u vidu zbira harmoničnih, sinusnih i kosinusnih oscilacija. Promene harmonične funkcije određuju maksimum amplitude, kružna učestanost ili perioda i početna faza. Između kružne učestanosti (ω) i periode važi odnos:
ω=
2π T
(4.1.)
Na slici 4.1. prikazana je jedna periodična funkcija, a na slici 4.2. date su harmonične funkcije sa različitim amplitudama, fazama i početnim vrednostima. f(t)
t
T/2
T/2
Jedan ciklus Slika 4.1. Periodična funkcija
-61-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
T
a.)
b.)
t
T
t
T t
t T
T
t
T
t
c.)
t
t
t
Slika 4.2. harmonične funkcije u različitim a) amplitudama b.) periodama c.) početnim fazama Jedna periodična funkcija f(t, T) se predstavlja u vidu Furijeovog reda sledećim izrazom: f(t, T) =
∞
∑ (Ai cos iωt + Bi sin iωt)
i = 0, 1, 2, ...
(4.3.)
i=0
Koeficijenti ovog izraza se određuju na sledeći način: A0 =
Ai =
Bi =
1 T
2 T
2 T
T 2
∫
f(t, T) dt,
T − 2
T 2
∫
f(t, T) cos iωt dt,
T − 2
T 2
∫
−
f(t, T) sin iωt dt
T 2
Kompletna forma zapisa Furijeovog reda se formira na osnovu izraza: cos(iωt ) =
e jiωt + e − jiωt 2
kao: -62-
sin(iωt ) =
e jiωt − e − jiωt 2j
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
∞ e jiωt + e − jiωt e jiωt − e − jiωt ∞ Ai − jBi jiωt ∞ Ai + jBi − jiωt + Bi = f (t , T ) = ∑ Ai e +∑ e =∑ 2 2j 2 2 i=0 i =0 i =0 ∞ Ai − jBi jiωt =∑ e 2 i = −∞
Ai − jBi 2 tada dobijamo kompleksni zapis Furijeovog reda u formi: Ci =
f (t , T ) =
∞
∑Ce i
jiωt
gde je
Ci =
i = −∞
1 T
T 2
∫ f (t, T )e
− jiωt
(4.4)
dt
T − 2
Ako se apsolutne vrednosti Ci kompleksnih koeficijenata Ci vrednosti predstave u funkciji kružnih učestanosti kω(k=0,1,2,...) tada se dobija amplitudni spektar funkcije f(t,T). Na slici 4.3 je prikazana pravougaona periodična funkcija, prvih pet članova Furijeovog razvoja i amplitudni spektar. Spektar ove funkcije ima linijski karakter. Između linija spektra je razmak od 2ωto. Amplitudni spektar u frekventnom domenu jednoznačno predstavlja originalnu funkciju vremena. Na slici 4.3 prikazano je prvih pet harmoničnih komponenti razvoja u Furijeov red periodične pravougaone impulsne funkcije
u 1.2 B=1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
u (t ) =
4 1 1 1 u 0 sin ω 0 t + sin 3ω 0t + sin 5ω 0 t + sin 7ω 0 t π 3 5 7
ω0 3ω0 T
0
t
-0.2 7ω0 -0.4 5ω0 -0.6 -0.8 -1.0 Slika 4.3. Prvih pet članova Furijeovog reda pravougaone peroidične funkcije
-63-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
4.2 Furijeov integral Furijeov red po definiciji može se odrediti samo za periodične funkcije f(t,T). Razmotrimo periodičnu funkciju koja je prikazana na slici 4.4., i koju čini povorka impulsa trajanja τ. Ova funkcija se može predstaviti Furijeovim redom. Ako sad povećavamo periodu T (a da pri tom trajanje impulsa τ ostaje isto), razmak između impulsa u povorci će biti sve veći. Za T→∞ od povorke će nastati samo jedan impuls tj. neperiodična funkcija. Na osnovu ove logike može se reći da se svaka neperiodična funkcija može predstaviti kao periodična funkcija sa beskonačnim trajanjem (periodom). Diskretna promenljiva i 2π iω = T za T→∞ postaje kontinualna, i za T→∞ zbir u izrazu za Furijeov red postaje integral: ∞ 1 (4.5) f (T ) = F ( j ω ) e j ωt d ω ∫ 2π − ∞ gde je: F ( jω ) =
∞
∫ f (t )e
− jωt
(4.6)
dt.
−∞
f(t2T) F0 a.) -T -(T-τ)
0
τ
f(t) F0
T
T+τ
2T
t
f (t ) = lim f (t , T ) T →∞
b.) 0
τ
t
Slika 4.4 - Nastajanje jednog impulsa iz periodične impulsne funkcije Kompleksni spektar F(jω) je Furijeova transformacija funkcije f(t) i označava se sa ℑ[f(t)] Izraz (4.5) je Furijeov integral, a izraz (4.6) predstavlja inverznu Furijeovu transformaciju i označava se sa ℑ-1[F(jω)]. Da bi se mogla izvršiti Furijeova transformacija f(t) mora biti zadovoljen uslov ∞
∫
f (t ) dt < ∞ .
0
Amplitudni spektar F(jω) aperiodične funkcije je neprekidna funkcija. Vrednost dobijena -64-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
2
iz proizvoda F ( jω ) ∆ω je srazmerna energiji komponenti signala smeštenih u interval ∆ω. Primer 19.: Odrediti kompleksni spektar aperiodične funkcije prikazane na slici 4.5. f(t) A
t Slika 4.5 Vremenski dijagram kontinualne funkcije F ( jω ) =
∞
∫ f (t )e
−∞
− jω t
T
dt =
T
∫ Ae
− jω t
−T
A − j ωt 2 A e j ωT − e − j ωt sin(ωT ) dt = − e = ⋅ = 2 AT ⋅ ω 2j T jω −T
Kontinualni spektar date funkcije je prikazan na slici 4.6.
F(jω)
2AT
-2π/T
π/T
-π/T
2π/T
Slika 4.6. -Kompleksni spektar kontinualne aperiodične funkcije
4.3 Laplasova transformacija Laplasovom transformacijom funkciji f(t) pridružuje se funkcija F(p) kompleksne promenljive p. Kompleksna promenljiva p se često naziva kompleksna frekvencija. Neka je f(t) realna ili kompleksna funkcija realne promenljive t. Laplasovom tranformacijom funkciji f(t) pridružuje se funkcija kompleksne promenljive integralnom transformacijom: -65-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
∞
∞
−∞
0
F ( p) = α {f(t)} = ∫ 1(t ) ⋅ f (t )e − pt dt = ∫ f (t )e − pt dt
(4.7).
gde je: l(t) jedinična odskočna funkcija. Zbog uvođenja funkcija 1(t), F(p) je za svako t manje od nule jednako nuli. Obzirom da se u tehničkoj praksi ispituju samo efekti promena koje nastaju zbog prinude koja počinje delovati u trenutku t=0 ova činjenica je prednost a ne nedostatak. Ako se izvrši razdvajanje kompleksne promenljive p na realni i imaginarni deo prema:
ω = Im{p} (4.8) p = σ + jω σ = Re{p} tada za σ=0 dobijamo p=jω. Smenom ove vrednosti u izraz 4.7. dobija se Furijeova transformacija funkcije 1(t) f(t). ∞
∞
−∞
0
F ( jω ) = ∫ 1(t ) ⋅ f (t )e − jωt dt = ∫ f (t )e − jωt dt
(4.9)
Konvergencija Laplasove transformacije je obezbeđena ako je zadovoljen uslov da je
∫
f (t ) eσt dt < ∞ . U inženjerskoj praksi u principu za sve realne merljive signale F(p) je
konvergetna funkcija. Inverznom transformacijom se određuje funkcija f(t) za t≥0 a za t<0 kompleksnoj funkciji F(p)-pridružuje se funkciju f(t)=0. Inverzna transformacija se vrši integralnom transformacijom: σ + jρ 1 (4.10) 1(t ) ⋅ f (t ) = α -1 {F ( p)} = lim ∫ F ( p )e pt dp 2πj ρ →∞ σ − jρ gde α-1 označava inverznu Laplasovu transformaciju. Određivanje inverzne Laplasove transformacije se svodi na određivanje kompleksne promenljive F(p). Pri analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja kompleksna funkcija M ( p) (4.11) F ( p) = N ( p) je racionalni razlomak koji se može razviti u zbir elementarnih razlomačkih formi. Laplasov integral i inverzioni integral imaju fundamentalnu teorijsku ulogu u teoriji sistema automatskog upravljanja. U praktičnoj primeni umesto izračunavanja integrala uobičajena je primena unapred pripremljenih tabela. Izraz (4.9) se dobija tako što se u jednačini (4.6) izvrše smene jω umesto p i F(jω) umesto F(p). a) Osnovna pravila Laplasove i Furijeove transformacije: Iz formulne sličnosti Laplasove i Furijeove transformacije sledi u principu istovetnost osnovnih pravila realizacije transformacija. U daljem će se bez dokaza navesti ova pravila: Neka od pravila će se zapisati i za Furijeovu i Laplasovu transformaciju: Linearnost: a) Ako je konstanta k nezavisna od promenljivih t i p tada važi da je: -66-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
α {kf (t )} = kα {f (t )} = k ⋅ F ( p)
(4.12)
b) Ako postoje Laplasove transformacije funkcija f1(t) i f2(t) tada važi da je:
α {f 1 (t ) ± f 2 (t )} = α {f 1 (t )}± α {f 2 (t )} = F1 ( p) ± F2 ( p )
(4.13)
Pomeranje u vremenskom domenu Laplasova transformacija funkcija f (τ ) čije promene ne postoje u vremenskom trenutku t=0 već u vremenskom trenutku t=t0 (kao što je to prikazano na slici 4.8) određuje se primenom sledećih pravila pomeraja: α {f (t − t 0 } = e − t0 p F ( p) (4.14) F{f (t − t 0 } = e − jωt0 F ( jω ) ako je f(t-t0) za 0〈t〈t 0
f(t)
t t=0
f(τ)
τ τ=0,t=t0
Slika 4.8. Pomeranje funkcije f(t) u vremenskom domenu Pravila diferenciranja: Ako je Laplasova transformacija funkcije f(t) data sa F(p), tada je Laplasova transformacija d izvoda f (t ) određena kao: dt df (t ) (4.15) α = pF ( p) − f (0) dt df (t ) F = jωF ( jω ) − f (0) dt Ako se gornje primeni na izvode višeg reda, tada se određivanje Laplasove transformacije viših izvoda funkcija vrši prema izrazima: d 2 f α 2 = p 2 F ( p) − pf (0) − f ′(0) dt -67-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
d 3 f α 3 = p 3 F ( p) − p 2 f (0) − pf ′(0) − f ′′(0) dt . . . d n f α n = p n F ( p ) − p n −1 f (0) − ! − f n −1 (0) dt df (t ) 2 d 2 f (t ) d n f (t ) n gde je f ′(t ) = , a f′(0) vrednost f′(t) za t=0. , f (t ) = , , ( ) ! f t = dt dt 2 dt n Za realizovanje gornjih operacija početne vrednosti f(0),f′(0),f′′(0),... moraju biti poznate. Na isti način mogu se formirati pravila Furijeovih transformacija izvoda uz smenu p=jω. Transformacija integralnih formi: Ako je Laplasova transformacija funkcije f(t) data kao F(p),tada je: F ( p) f −1 (0) α ∫ f (t )dt = (4.17) − p p
{
}
gde je f ( −1) (0) = ∫ f (t )dt
integraciona konstanta koja se određuje integracijom funkcije
t =0
f(t) za t=0, idući ka t=0 sa leve strane. Pomeraj u frekventnom domenu: Ako je Laplasova transformacija funkcije f(t) F(p) i ako je a realan ili kompleksan broj tada važi da je: α e at f (t ) = F ( p − a) (4.18) F e jat f (t ) = F ( jω − ja )
{ {
} }
Primer br.20. Odrediti Laplasovu transformaciju jedinične odskočne funkcije 1(t). Obzirom da je: 0 t 〈 0 1(t ) = 1 t ≥ 0 dobijamo: ∞
F ( p) = α {1(t )} = ∫ f (t )e 0
− pt
∞
dt = ∫ 1e 0
− pt
e − pt dt = − p
∞
= 0
− e − p (ω ) + e − p ( 0 ) 1 = p p
4.3.1 Konvolucioni integral i Laplasova transformacija konvolucionog integrala Date su dve integrabilne funkcije f1(t) i f2(t). Konvolucionim integralom ovih funkcija određujemo funkciju f(t) na sledeći način: t
f (t ) = f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) ≡ ∫ f 1 (τ ) ⋅ f 2 (t − τ )dτ
(4.19)
0
Ako je poznat ulaz u(t), i težinska funkcija g(t) za neki sistem upravljanja tada se njen odziv -68-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
y(t), može odrediti primenom konvolucionog integrala (4.19): t
y (t ) = ∫ g (t − τ ) ⋅ u (τ )dτ
(4.20)
0
Primer 20: Odrediti odziv sistema automatskog upravljanja ako je ulaz: u (t ) = U B e − βt i ako je težinska funkcija objekta upravljanja: g (t ) = Ce
−
t T1
Primenom konvolucionog integrala možemo odrediti vrednost izlaza y(t) u trenutku jednakom t prema sledećem: t
t
y (t ) = ∫ g (t − τ )u (τ )dτ = ∫ Ce 0
=
−
t −τ T1
⋅U B e
− βτ
dτ = C ⋅ U B e
0
CU B T1 1 − βT1
− βt
( e − βt − e
t − T1
−
t t T1
∫e
(
1 − β )τ T1
dτ =
0
)
Ako izvršimo Laplasovu tansformaciju konvolucionog integrala tada dobijamo da je: ∞ ∞ ∞ − pt (4.21) y ( p ) = ∫ y (t )e dt = ∫ ∫ g (t − τ )u (τ )dτ e − pt dt = ∫ g (t − τ )e − p (t −τ ) dt ⋅ ∫ u (τ )e −τp dτ 0 00 Alkalmazva a t-τ=θ helyettesítést: y ( p) = ∫ g (θ )e − pθ dθ ⋅ ∫ u (τ )e − pτ dτ
(4.22)
gde je θ = t − τ Dobijeni izraz je formiran kao proizvod dva integrala od kojih prvi (G(p)),predstavlja transformaciju težinske funkcije, a drugi Laplasovu transformaciju ulaza. Sledi da je: Y ( p) ili (4.23) y ( p) = G ( p)U ( p) G ( p) = U ( p)
4.3.2 Granična teorema Iz poznate Laplasove transformacije F(p) funkcije f(τ) može se odrediti vrednost funkcije f(τ) za t=(0)tj. početna vrednost i vrednost za t=∞ tj. krajnja vrednost primenom graničnih teorema. Prema prvoj graničnoj teoremi je: (4.24) f (0 + ) = lim pF ( p) p →∞
a prema drugoj graničnoj teoremi je: lim f (t ) = lim p ⋅ F ( p ) t →∞
(4.25)
p →0
Primer br.22. Data je Laplasova transformacija neke funkcije kao F(p) -69-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
F ( p) =
20 p(1 + 0.1 p)
odrediti početnu i krajnju vrednost funkcije f(t). 20 20 = lim =0 → ∞ p 1 + 0.1 p p (1 + 0.1 p ) 20 20 f (∞) = lim p ⋅ F ( p ) = lim p ⋅ = lim = 20 p →0 p →0 p(1 + 0.1 p) p→0 1 + 0.1 p
f (0 + ) = lim p ⋅ F ( p ) = lim p ⋅ p →∞
p →∞
4.3.3 Frekventna metoda rešavanja linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima Veza između ulaza i izlaza kod velikog broja realnih tehničkih sistema se može opisati linearnim diferencijalnim jednačinama sa konstantim koeficijentima. Ako se na ove diferencijalne jednačine primeni Furijeova ili Laplasova transformacija dobijaju se algebarske jednačine. Analizom i rešavanjem ovako dobijenih algebarskih jednačina može se odrediti veza između ulaza i izlaza ili se mogu odrediti dinamičke osobine datog tehničkog sistema. Za ilustraciju ovog postupka razmatrimo sledeći primer: dy + 4 y = 2e −3t ako je y (0 + ) = 3 dt Laplasovom transformacijom obe strane jednačine dobijamo: dy α + 4 y = α 2e −3t dt
{
}
Ako se primene osobine Laplasovih transformacija (linearnost i pravilo za izvod) i odredi transforamcija funkcije e-at (tablična vrednost), tada dobijamo algebarsku jednačinu: 2 py ( p ) − y (0 + ) + 4 y ( p) = p+3 Ako se izvrši smena početne vrednosti tada Laplasovu transformaciju funkcije y(t)dobijamo kao: y ( p) ⋅ ( p + 4) =
2 +3 p+3
odakle je: 2 3 + p+3 p+4 Kompleksni spektar funkcije y(p) možemo odrediti na isti način s tim što se umesto Laplasove transformacije primeni Furijeova transformacija. Furijeova transformacija se može odrediti i direktno iz Laplasove transformacije uz smenu p= jω: 2 3 y ( jω ) = + jω + 3 jω + 4 y ( p) =
Gornji postupak se značajno pojednostavljuje ako su sve početne vrednosti jednake nuli. Analiza sistema automatskog upravljanja u principu se vrši pod pretpostavkom, da je sistem u trenutku započinjanja analize u stacionarnom stanju tj. uz pretpostavku -70-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
da su sve početne vrednosti jednake nuli. Opšti oblik linearne diferencijalne jednačine d n y (t ) d n −1 y (t ) d m u (t ) ( ) an + a + ! + a y t = b + ! + b0 u (t ) 0 n −1 m dt n dt n −1 dt m
(4.26)
Laplasovom transformacijom dobijamo algebarsku jednačinu: (4.27) (a n p + a n −1 p n −1 + ! + a 0 ) y ( p) = (bm p m + ! + b0 )u ( p) n
Ako se izvrši Furijeova transformacija jednačine (4.26) tada takođe dobijamo algebarsku jednačinu:. (a n ( jω ) n + a n −1 ( jω ) n −1 + ! + a 0 ) y ( jω ) = (bm ( jω ) m + ! + b0 )u ( jω ) (4.28)
4.3.4 Prenosne funkcije Prenosna funkcija je količnik Laplasove transformacije ulaza i izlaza: Y ( p) (4.29) W ( p) = U ( p) Ako su sve početne vrednosti jednake nuli. Na osnovu jednačine (4.27) prenosnu funkciju možemo prikazati u vidu racionalnog razlomka. bm p m + bm −1 p m −1 + ! + b1 p + b0 (4.30) W ( p) = a n p n + a n −1 p n −1 + ! + a1 p + a0 Prenosna funkcija je dimenziona veličina. Na osnovu upoređivanja izraza (4.29) i (4.23) možemo zaključiti da je prenosna funkcija Laplasova tansformacija težinske funkcije. Primer br.23. Odrediti prenosnu funkciju pneumatskog regulacionog ventila prikazanog na slici 4.9. ako je ulaz pritisak p(t), a izlaz pomeraj x(t).
opruga vazduh
membrana osovina ventila
x(t)
Slika 4.9. Skica regulacionog ventila Ulazni pritisak (p(t)), preko membrane površine A deluje silom A⋅p(t) na osovinu ventila. -71-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Pomeranju osovine ventila se potivi sila opruge kx, sila trenja C Kretanje osovine ventila opisuje diferencijalna jednačina: d 2x dx Ap(t ) = m 2 + c + kx dt dt Ako se izvrši označavanje k ω0 = m
ζ =
c 2 mω n
k=
dx d 2x i intenzivna sila m 2 . dt dt
A m
i izvrši smena i preuređivanje jednačine tada dobijamo diferencijalnu jednačinu: d 2x dx + 2ζω 0 + ω 02 x = kp(t ) 2 dt dt Laplasovom transformacijom funkcije α {x(t )} = x( p ) i α {p(t )} = P( p ) , dobijamo algebarsku jednačinu: ( p 2 + 2ζω 0 p + ω 02 ) x( p) = kP( p) + px(0) + 2ζω 0 x(0) + x ′(0) Ako su početni položaj x(0) i početna brzina x′(0) jedanki nuli tada prenosnu funkciju ventila dobijamo u formi: X ( p) k W ( p) = = 2 P( p ) p + 2ζω 0 p + ω 02 Ako za red polinoma u brojiocu (m) i imeniocu (n) važi da je mn tada prenosna funkcija nije prava. Za realne sisteme prenosna fukcija je uvek prava ili strogo prava. Ako se koreni brojioca racionalnog razlomka (4.30) odrede i označe sa z1,z2,...,zm a imenioca sa p1,p2,...,pn tada se faktorizacijom dobija preuređena prenosna funkcija u formi. bm ( p − z1 )( p − z 2 ) ! ( p − z m ) (4.31) ⋅ a n ( p − p1 )( p − p 2 ) ! ( p − p n ) Koreni brojioca se nazivaju nulama, a koreni imenioca polovima. W ( p) =
Raspored polova i nula se može prikazati i u kompleksnoj ravni kao što je to prikazano na slici 4.10. Im p p2
p4
z3
z1 p1
Re p z2
p3 Slika 4.10. Raspored polova i nula -72-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ako su polovi i nule različiti od nule tada se može izvršiti njihova smena recipročnim vrednostima sa suprotnim predznacima. Ove recipročne vrednosti označe se u brojiocu sa τ, a u imeniocu sa T. Tada dobijamo prenosnu funkciju u kojoj je A pojačanje ili prenosni faktor, a τ i T predstavljaju vremenske konstante. (1 + τ 1 p )(1 + τ 2 p) ! (1 + τ m p) b ; (4.23) W ( p) = A A= 0 (1 + T1 p)(1 + T2 p ) ! (1 + Tn p) a0 Ako su koreni višestruki tada se dobijaju članovi koji su stepenovani sa merilom višestrukosti korena ( β o , β1 ,.....β i , α o , α 1 ,....α j ) . Ako su koreni konjugovano-kompleksni tada se ovi svode na polinom 1 + 2ζTp + T 2 p 2 .Opšta forma faktorizovane prenosne funkcije sa pojačanjem (prenosnim faktorom) i vremenskim konstantama ima formu: p β 0 (1 + pτ 1 ) β1 !! (1 + 2ζτ i p + p 2τ i2 ) β i (4.33) W ( p) = A α α p 0 (1 + pT1 )α1 !! (1 + 2ζT j p + p 2T j2 ) j gde je β 0 + β1 + ! + 2 β i = m i α 0 + α 1 + ! + 2α j = n Ako je m ≤ n tada u zavisnosti od vrednosti za β o i α o kategorišemo prenosne funkcije u sledeće grupe: a) ako je tada sistem ima diferencijalni karakter β0>α0 b) ako je tada sistem ima proporcionalni karakter β0=α0 c) ako je tada sistem ima integalni karakter β0<α0 Ako je A dimenziona veličina tada se naziva prenosnim faktorom, a ako je bezdimenziona veličina tada A predstavlja pojačanje. Primer br.24: Ako su konjugovano-kompleksni koreni p1=-1+2i i p2=-1+2j tada: a) svesti polinom u kvadratnu formu sa realnim koeficijentima ( p − p1 )( p − p 2 ) = ( p − (−1 + 2 j ))( p − (−1 − 2 j )) = ( p + 1 − 2 j )( p + 1 + 2 j ) = 2 1 = p 2 + 2 p + 5 = 5(1 + p + p 2 ) 5 5 1 1 ζ = gde je: T = ; i A=5 5 5 b) Zapisati prenosnu funkciju p2 + 3p + 2 W ( p) = 2 p + 7 p + 12 u faktoriziranu formu i formu sa vremenskim konstantama: 1 1 2( p + 1)( p + 1) ( p + 1)( p + 1) ( p + 1)( p + 2) 1 p + 3p + 2 2 2 W ( p) = 2 = = = p + 7 p + 12 ( p + 3)( p + 4) 12( 1 p + 1)( 1 p + 1) 6 ( 1 p + 1)( 1 p + 1) 3 4 3 4 2
-73-
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
4.3.5 Veza između parametara prenosne funkcije i prelazne i težinske funkcije Prelazna funkcija je odziv nekog sistema na jediničnu odskočnu funkciju. S obzirom da je Laplasova transformacija jedinične odskočne funkcije 1/p, prelazna funkcija se u frekventnom domenu određuje kao: W ( p) (4.34) Y ( p ) = W ( p )U ( p ) = p Početna vrednost prelazne funkcije se može odrediti na sledeći način: W ( p) y (0 + ) = lim+ y (t ) = lim pY ( p) = lim p = lim W ( p ) p →∞ p →∞ p →∞ t →0 p
(4.35)
Ako je red polinoma u brojiocu i imeniocu isti, tada je početna vrednost uvek konačan broj. Stacionarna vrednost prelazne funkcije y(∞) se određuje kao: W ( p) (4.36) y (∞) = lim y (t ) = lim pY ( p) = lim p = lim W ( p ) t →∞ p →0 p →0 p →0 p Polinomi prenosne funkcije se poklapaju sa svojstvenim vrednostima sistema. Položaj polova prenosne funkcije u kompleksnoj ravni jednoznačno određuje oblik prelazne funkcije. Označimo pol pi na sledeći način: pi = σ i + jω i .Komponenta prelazne funkcije koja se pridružuje polu pi ima formu K i e pi t = K i e σ i e jω i t . Realni deo σi određuje prigušenje ili vremensku konstantu 1 (α i = −σ i ; Ti = − ) . Ako je σi>0, tada je prigušenje negativno tj. amplituda komponente prelazne σi funkcije raste sa porastom vremena. Ako je σi=0, tada nema prigušenja, a ako je σi<0, tada je komponenta prelazne funkcije prigušena tj. opada sa porastom vremena. Apsolutna vrednost imaginarnog dela ωi pola određuje kružnu učestanost oscilacija. Ako je ωi=0, tada nema oscilacija. Vezu između položaja polova i oblika prelazne funkcije ilustruje slika 4.11. Ako je neki pol dvostruk onda se prelanoj funkciji pridužuje komponenta prelazne karakteristike određene izrazom:( K i 0 + K i1t )e pit Može se desiti da su pol i nula prenosne funkcije isti. Tada ovaj pol i ova nula nemaju uticaj na oblik prelazne funkcije. Težinska funkcija je bezenergetski odziv sistema tj. odziv na Dirakov impuls i označava se sa g(t). S obzirom da je: y (t ) = g (t ) ako je u (t ) = δ (t ) α {δ (t )} = 1 i neka je α {g (t )} = G ( p) Za Dirakov impuls važi da je: (4.37) tada je: (4.38) G ( p ) = W ( p )U ( p ) = W ( p ) ⋅ 1 = W ( p ) tj. (4.39) g (t ) = α −1 {G ( p )} = α −1 {W ( p )} Iz predhodnog se zaključuje da je prenosna funkcija W(p) Laplasova transformacija težinske funkcije g(t).
74
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slika 4.11. Kvalitativni prikaz delova odziva koji pripadaju različitim polovima (parovima polova)
4.3.6 Inverzna Laplasova transformacija racionalnih funkcija Laplasova transformacija racionalnih funkcija linearnih sistema sa koncentrisanim parametrima su racionalne funkcije. Red polinoma u imeniocu je obično veći ili je jednak sa redom polinoma u brojiocu. Racionalna funkcija kompleksne promenljive p je znači: B( p ) bm p m + bm −1 p m −1 + ! + b0 (4.40) ( ) = Y p = A( p ) a n p n + a n −1 p n−1 + ! + a 0 Desna strana jednačine se može razložiti na parcijalne razlomke i iz tablica Laplasovih transformacija može se za svaki paracijalni razlomak odrediti pripadajuća kontinualna funkcija vremena f(t). Razlaganje na parcijalne razlomke se može vršiti primenom Hevisajdovog razvoja ili metodom izjednačavanja koeficijenta. Metod izjednačavanja koeficijenata ilustruje sledeći primer: Primer br.25: Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije: 75
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
F ( p) =
c ( p + b)( p 2 + a 2 )
Gornji razlomak se može razviti na sledeći način: c A Bp + D p 2 ( A + B) + p( Bb + D) + Aa 2 + Db = + = ( p + b)( p 2 + a 2 ) p + b p 2 + a 2 ( p + b) ⋅ ( p 2 + a 2 ) Na osnovu izjednačavanja koeficijenta dobijamo sledeće jednačine: Aa 2 + Db ≡ C Bb + D ≡ 0 A+ B ≡ 0 Rešavanjem gornjeg sistema jednačina određujemo koeficijente: c c bc A= 2 B=− 2 D= 2 : : 2 2 a +b a +b a + b2 Smenom dobijamo inverznu Laplasovu transformaciju u formi: c 1 c p b a = f (t ) = α −1 = α −1 2 − 2 + 2 2 2 2 2 2 a ( p + a ) ( p + b)( p + b ) a + b p + b p + a =
c a + b2 2
b −bt e − cos(at ) + sin(at ) a
Ako su koreni imenilaca jednostruki, tada važi da je: F ( p) =
B( p) B( p) = A( p) ( p − p1 )( p − p 2 ) ! ( p − p n )
(4.41)
razvojem na parcijalne razlomke dobijamo: Kn K1 K2 F ( p) = + +!+ p − p1 p − p 2 p − pn
(4.42)
Koeficijenti Ki (i=1,2,...,n) mogu se odrediti na sledeći način: B( pi ) B( p) K i = ( p − p i ) = A( p) p = pi ( p i − p1 )( pi − p 2 )! ( pi − p n )
(4.43)
Primer br.25. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije F ( p) = K3 K K p+2 = 1+ 2 + p( p + 1)( p + 3) p p +1 p + 3 2 p+2 K 1 = [ pF ( p )]p = 0 = = ( p + 1)( p + 3) p = 0 3 F ( p) =
K 2 = [( p + 1) F ( p )]p = −1 =
p+2 p ( p + 3)
=− p = −1
76
1 2
p+2 p ( p + 1)( p + 3)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
p+2 p ( p + 1)
K 3 = [( p + 3) F ( p)]p = −3 =
=− p = −3
1 6
1 1 1 1 2 1 −t 1 −3t p+2 −1 2 1 f (t ) = α −1 {F ( p)} = α −1 − − =α = − e − e 6 p( p + 1)( p + 3) 3 p 2 p + 1 6 p + 3 3 2 U slučaju višestrukih korena važi razvoj: F ( p) =
Kn K ir K i2 K i1 K1 K2 + +!+ + +!+ + 2 r ( p − pi ) p − p1 p − p 2 p − p n ( p − pi ) ( p − pi )
(4.44)
(n-r) Ki koeficijenata se određuju primenom izraza (4.43), a ostali koeficijenti se određuju na sledeći način: r (4.45) K ir = ( p − pi ) F ( p )
[
]
[ [
p = pi
] ]
d K i ( r −1) = ( p − pi )r F ( p ) p = p i dp 1 r K i ( r − 2 ) = ( p − pi ) F ( p ) p = pi 2! " 1 d r −1 [( p − pi )F ( p)] p= pi K i1 = (r − 1)! dp r −1 Primer br.27. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije F ( p ) = F ( p) =
K 23 K1 K 22 K + + + 21 3 2 p + 3 ( p + 2) p+2 ( p + 2)
1 K 1 = [( p + 3) F ( p )] p = −3 = 3 ( p + 2)
[
K 23 = ( p + 2) 3 F ( p ) K 22 = K 21 =
1 ( p + 2) 3 ( p + 3)
[
]
p = −2
d ( p + 2) 3 F ( p ) dp 2
[
]
1 = p + 3 p = −2
1 d ( p + 2) 3 F ( p ) 2 2 dp
]
=
p = −2
= −1 p = −3
=1 p = −2
d 1 dp p + 3 =
2
1 d 2 dp 2
= p = −2
1 p + 3
−1 ( p + 3) 2 = p = −2
= −1 p = −2
1 2
1 1 1 1 1 −1 + − + f (t ) = α −1 [F ( p)] = α −1 = α − = 3 3 2 p + 2 ( p + 2) ( p + 2) ( p + 3) p + 3 ( p + 2) t2 = e − 2t − te − 2t + e − 2 t − e −3t 2 U slučaju kompleksnih korena celishodno je koristiti metod izjednačavanja koeficijenta. 77
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
4.4 Laplasova transformacija jednačina stanja. Matrica prenosa. Date su jednačine stanja nekog sistema: .
x = Ax + Bu y = Cx + Du
x(0) = x0
(4.45) (4.46)
.
Ako se na vektor x primeni Laplasova transformacija tada dobijamo: . . α x1 x1 pX 1 ( p ) − x10 . . . α x x pX ( p) − x 20 α x = α 2 = 2 = 2 = pX ( p) − x0 " " " ( ) pX p − x x. 0 n n . n α x n
(4.47)
Ako se primeni Laplasova transformacija i na jednačinu (4.46) dobijamo: pX ( p) − x0 = AX ( p ) + BU ( p) Y ( p ) = CX ( p ) + DU ( p ) Nakon preuređivanja dobija se:
(4.48)
[pI − A]X ( p) = BU ( p) + x0
(4.49)
Ako je matrica [ pI − A] regularna, tj. det [ pI − A] ≠ 0 onda se dobija: X ( p ) = [ pI − A] BU ( p ) + [ pI − A] x0 Smenom u transformisanu jednačinu izlaza ima se: −1
(
−1
)
(4.50)
Y ( p ) = C [ pI − A] B + D U ( p ) + C [ pI − A] x0 −1
−1
(4.51)
Vektor stanja i vektor izlaza se sada mogu odrediti inverznom Laplasovom transformacijom: (4.52) x(t ) = α −1 {X ( p)} ; y (t ) = α −1 {Y ( p )} Ako je x0 ≡ 0 , tada je:
(
)
Y ( p) = C [ pI − A] B + D ⋅ U ( p) −1
(4.53)
Matrica prenosa je sada: Y ( p) adj[ pI − A] −1 W ( p) = = C [ pI − A] B + D = C B+D det[ pI − A] U ( p)
{
(4.54)
Fundamentalna matrica sistema se može odrediti kao Φ(t ) = α −1 [ pI − A] Primer br.28. Odrediti vektore stanja i izlaza za sistem za koji važi da je: . 1 0 x 1 1 x.1 = ( 0 ) x = u (t ) ≡ 0 1 x 1 1 x 2 2 78
−1
}.
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
y = [1 0]x primenom Laplasovih transformacija: −1
−1
1 0 1 0 1 p − 1 0 1 − X ( p ) = [ pI − A] x0 = p = 1 = 0 1 1 1 1 1 1 p − − 0 1 p −1 1 = p − 1 1 ( p − 1) 2 1 1 0 1 e t 0 1 e t p −1 x(t ) = α −1 = = 1 1 te t e t 1 e t (t + 1) 1 ( p − 1) 2 p − 1 −1
Primer br.29. Odrediti matricu prenosa ako su jednačine stanja: . − 2 1 0 x= x + u − 101 0 101 y = [1 0]x
W ( p) = C [ pI − A]
−1
−1
1 0 − 2 1 0 101 B + D = [1 0]⋅ p − ⋅ +0 = 2 p + 2 p + 101 0 1 − 101 0 101
4.5 Laplasova transformacija diskretnih sistema 4.5.1 Laplasova transformacija diskretne funkcije Diskretna funkcija diskretizovana u ekvidistantnim trenucima vremena sa vremenom uzorkovanja (T0) može se opisati povorkom impulsa. ∞
y * (t ) = ∑ y (iT0 )δ (t − iT0 ) = y (0)δ (t ) + y (T0 )δ (t − T0 ) + y (2T0 )δ (t − 2T0 ) + !
(4.56)
i =0
S obzirom da je: α {δ (t − iT0 )} = e − iT0 p = (e −T0 p ) i
(4.57)
dobija se:
{
}
∞
y * ( p) = α y * (t ) = ∑ y (iT0 )e −iT0 p = y (0) + y (T0 )e −T0 p + y (2T0 )e − 2T0 p + !
(4.58)
i =0
Kompleksna funkcija (4.58) dobijena Laplasovom transformacijom povorke impulsa je periodična sa kružnom učestanošću: 2π ω0 = T0 79
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Periodičnost spektra se može dokazati na sledeći način: ∞
y ( p + iνω 0 ) = ∑ y (iT0 )e *
− iT0 p
e
∞
= ∑ y (iT0 )e
− iT0νω 0
i =0
∞
− iT0 p
−
e
iT0ν 2π T0
=
i =0
∞
−iT0 p − i ν 2π = ∑ y (iT0 )e −iT0 p e% = y * ( p) $# = ∑ y (iT0 )e i =0
i =0
1
Iz prethodnog sledi da je: y * ( p ) = y * ( p + iνω 0 )
(4.60)
Ako se signal y(t) uzorkuje, a zatim se vrednosti do sledećeg uzorkovanja održavaju, tada se može odrediti prenosna funkcija kola zadrške nultog reda na sledeći način: Kolo zadrške se modelira u vremenskom domenu jednačinom: m(t ) = ∑ y (iT0 )[1(t − iT0 ) − 1(t − (i + 1)T0 )]
(4.61)
Ako se na ovu jednačinu primeni Laplasova transformacija tada dobijamo: ∞ ∞ 1 1 M ( p ) = ∑ y (iT0 ) e −iT0 p − e − (i +1)T0 p = ∑ y (iT0 )e −iT0 p 1 − e −T0 p p p i =0 i =0
[
]
[
]
(4.62)
S obzirom da je: Y * ( p) = ∑ y (iT0 )e −iT0 p
(4.63)
može se odrediti prenosna funkcija kola zadrške nultog reda kao: H ( p) =
M ( p) 1 − e −T0 p = p Y * ( p)
(4.64)
Na sličan način može se odrediti i prenosna funkcija kola zadrške prvog reda: M ( p ) 1 + T0 p 1 − e −T0 p = H 1 ( p) = * T0 p Y ( p)
2
(4.65)
4.5.2 Z - transformacija Ako se u izrazu koji je dobijen Laplasovom transformacijom povorke impulsa: ∞
y * ( p ) = ∑ y (iT0 )e −iT0 p = y (0) + y (T0 )e −T0 p + y (2T0 )e −T0 p + !
(4.66)
izvrši smena: z = e T0 p = e T0 (σ + jω ) = e T0σ (cos T0ω + j sin T0ω ) tada dobijamo Z transformaciju diskretne funkcije:
(4.67)
2
i =0
80
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
∞
y ( z ) = Z {y (iT0 )} = ∑ y (iT0 ) z −i = y (0) + y (T0 ) z −1 + y (2T0 ) z − 2 + !
(4.68)
i =0
Z transformacija neke funkcije je zbir članova reda sa beskonačnim brojem članova. U nekim slučajevima zbir članova reda se može predstaviti izrazom u zatvorenoj formi i time bitno olakšati operacije sa izrazima u Z domenu. Primer br.30. Odrediti Z transformaciju diskretne jedinične skokovite funkcije 1(t)=1(kT0) . Opšti izraz za Z transformaciju je: y ( z ) = y (0) + y (T0 ) z −1 + y (2T0 ) z −2 + ! S obzirom da je: y (0) = y (T0 ) = y (2T0 ) = ! = 1 sledi da je: 1 z y ( z ) = 1 + z −1 + z − 2 + ! = = −1 z −1 1− z Primer br.31. Odrediti Z transformaciju diskretne eksponencijalne funkcije y (t ) = e aiT0 −1 −2 1 z y ( z ) = 1 + e aT0 z + e aT0 z + ! = = 1 − z − e − aT0 1 − e aT0 z
(
) (
)
(
)
Z transformacije složenijih funkcija se mogu naći u unapred pripremljenim tabelama čija je primena uobičajena praksa u rešavanju problema iz teorije upravljanja.
4.5.3 Pravila Z transformacije Linearnost:
Z {ay1 (k ) + by 2 (k )} = aZ {y1 (k )}+ bZ {y 2 (k )}
Vremensko kašnjenje: Z {y (k − d )} = z − d y ( z )
(4.69)
d ≥0
(4.70)
Prednjačenje signala u vremenu: d −1 Z {y (k + d )} = z d y ( z ) − ∑ y (q) z − q q=0
q≥0
(4.71)
Primer 32: 1 z = 2 z − 1 z ( z − 1) z z Z {1(k + 3)} = z 3 − 1 + z −1 + z − 2 = z −1 z −1
Z {1(k − 3)} = z − 3
(
)
81
(4.72)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Prigušenje:
{
} (
{
}
Z y (k )e − akT0 = y ze aT0
)
Primer 33.: Z 1(k )e − 2 kT0 =
ze 2T0 z = 2T0 ze − 1 z − e − 2T0
Određivanje početne vrednosti. Prva granična teorema: y (0) = lim y ( z )
(4.73)
Određivanje konačne vrednosti. Druga granična teorema: lim y (k ) = lim(z − 1)y (z )
(4.74)
z →∞
k →∞
z →1
Primer 34: a) Odrediti početnu vrednost signala čija je Z transformacija: (C T − C 2 )z + C 2 z 2 y( z) = 1 0 ( z − 1) 2 y (0) = lim z →∞
= lim z →∞
(C1T0 − C 2 )z + C 2 z 2 ( z − 1) 2
(C1T0 − C 2 )z −1 + C 2 1 − 2 z −1 − z − 2
= lim z →∞
(C1T0 − C 2 )z + C 2 z 2 z 2 − 2z + 1
⋅
z −2 = z −2
= C2
b) Odrediti konačnu vrednost signala čija je Z transformacija 2z y( z) = ( z − 1)( z − 0.5) y (∞) = lim( z − 1) ⋅ y ( z ) = lim( z − 1) z →1
z →1
2z 2z = lim =4 1 → z ( z − 1)( z − 0.5) z − 0.5
4.5.4 Inverzna Z transformacija Inverznom Z transformacijom određujemo vrednosti amplitude uzorkovanog signala u vremenskim trenucima t=iT0 (i=0,1,2,...). Inverzna Z transformacija se određuje na osnovu izraza: 1 (4.75) y (iT0 ) = y ( z ) z i −1 dz 2πj ∫ u kom se integriranje vrši po krivoj eδ .Vrednost parametra δ pri tom treba odrediti tako da kriva integriranja obuhvata sve signularitete kompleksne funkcije y(z) . 82
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
S obzirom da je y(z) najčešće racionalna razlomljena funkcija kompleksne promenljive z, inverznu Z transformaciju možemo odrediti na jedan od sledećih načina: a) Razvojem u parcijalne razlomke: Racionalna realna funkcija y(z) se može razviti u red koji sadrži sledeće tipove razlomaka: Az Bz Cz Dz (4.76) y( z) = + + + 2 +! 2 z − 1 (z − 1) z − a z − Cz + d
(
)
Za ove tipove razlomaka Z transformacija je već unapred izvršena i predstavljena je tabelarno. Ako se na ove parcijalne razlomke primene tabelarni izrazi tada dobijamo: (4.77) y (iT0 ) = A + BiT0 + Ce − aiT0 + De − aiT0 sin ω 1iT0 + ! S obzirom da u brojiocima svih parcijalnih razlomaka figuriše z, pre razvoja u parcijalne razlomke celishodno je polazni izraz y(z) zapisati u formi y ( z ) z −1 , izvršiti razvoj u parcijalne razlomke a zatim dobijene formule pomnožiti sa z. Primer br.35. Odrediti Z transformaciju funkcije: 0.1(z + 1)z y( z) = (z − 1)2 (z − 0.6) ) 0.1(z + 1) A B C = + + = 2 2 (z − 1) (z − 0.6) ( z − 1) ( z − 1) ( z − 0.6) ( A + C ) z 2 + ( B − 2C − 1.6 A) z + (0.6 A − 0.6 B + C ) = ( z − 1) 2 ( z − 0.6) Nakon izjednačavanja koeficijenata dobija se A = −1; B = 0.5; C = 1 što daje: y ( z ) z −1 =
0.5 1 −1 + + 2 ( z − 1) ( z − 1) ( z − 0.6) 0.5 z z z y( z) = − + + 2 ( z − 1) ( z − 1) ( z − 0.6) y ( z ) z −1 =
Na osnovu tabličnih izraza i određivanja vrednosti sa a a = −(ln 0.6) / T0 = 0.5198 / T0 e −aT0 = 0.6 dobija se: y (iT0 ) = −1 + 0.5
iT0 + e −0.5198iT0 T0
U različitim trenucima uzorkovanja vrednosti uzorkovanog signala su: y (0) = 0 y (T0 ) = 0.1 y (2T0 ) = 0.36 y (3To ) = 0.716 " 83
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
b) Razvojem u potencijalni red: Vrednosti sa y(iT0) mogu se odrediti i tako što se funkcija y(z) razvije u potencijalni red po z-1 . Razvoj u potencijalni red je najjednostavnije ostvariti deljenjem polinoma u brojiocu sa polinomom u imeniocu na sledeći način: b z n + b1 z n −1 + ! + bn (4.78) y( z) = 0 n z + a1 z n −1 + ! + a n
(b z 0
n
)(
)
+ b1 z n −1 + ! + bn : z n + a1 z n −1 + ! + a n = c0 + c1 z −1 + c 2 z −2 + !
(4.79)
tj.: ∞
y ( z ) = ∑ y (iT0 ) z −i = y (0) + y (T0 ) z −1 + y (2T0 ) z − 2 + !
(4.80)
i=0
Nakon izjednačavanja koeficijenta dobija se: y (0) = c0 ; y (T0 ) = c1 ; y (2T0 ) = c 2 ;! Primer br.36. Odrediti invernu Z transformaciju funkcije: 0.1(z + 1)z 0.1z 2 + 0.1z = y( z) = (z − 1)2 ( z − 0.6) z 3 − 2.6 z 2 + 2.2 z − 0.6 Razvojem u potencijalni red dobijamo: (0.1z 2 + 0.1z ) : ( z 3 − 2.6 z 2 + 2.2 z − 0.6) = 0.1z −1 + 0.36 z −2 + 0.716 z −3 + 1.1296 z −4 + ! Za različite trenutke uzorkovanja vrednosti uzorkovanog signala su: y (0) = 0 y (T0 ) = 0.1 y (2T0 ) = 0.36 y (3T0 ) = 0.716 y (4T0 ) = 1.1296
4.5.5 Impulsna prenosna funkcija Prenosna funkcija ima veoma značajnu ulogu u analizi i sintezi kontinualnih sistema. Sličnu ulogu ima kod diskretnih sistema impulsna funkcija. Impulsna prenosna funkcija predstavlja količnik Z transformacije izlaza i ulaza nekog diskretnog sistema T0
T0 u *(t)
u(t)
g(t)
u *(t)
u(t)
t
y *(t)
y(t)
y*(t)
y(t)
t
t
Slika 4.12. Blok šema diskretnog sistema 84
t
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
. Na slici 4.12. prikazana je blok šema diskretnog sistema automatskog upravljanja. Ulazni signal u(t) se diskretizuje, zatim diskretan signal u*(t) prolazi kroz član sa težinskom funkcijom g(t) Na izlaznoj strani uvek možemo pretpostaviti član za uzorkovanje koji od kontinualnog signala y(t) formira diskretnu povorku impulsa y*(t). Pretpostavićemo da su idealni prekidači na ulazu i izlazu u međusobno sinhronizovanom radu. Ulazna povorka impulsa je: ∞
u * (t ) = ∑ u (kT0 )δ (t − kT0 )
(4.81)
k =0
Svaki ulazni impuls će stvoriti na izlazu odziv koji je kontinualni signal u (kT0 ) g (t − kT0 )
(4.82)
u trenutku t = nT0 ukupan izlaz se dobija superponiranjem svih pojedinačnih impulsnih odziva nastalih do tog trenutka: ∞
∞
k =0
ν =0
y (nT0 ) = ∑ u (kT0 ) g ((n − k )T0 ) = ∑ ((n − ν )T0 ) g (νT0 );ν = n − k
(4.83)
Izraz predstavljen jednačinom je konvoluciona suma dva signala. Preuređivanjem i diskretizacijom se dobija izraz: ∞
∞
∞
y * (t ) = ∑ y (iT0 )δ (t − iT0 ) = ∑∑ g (iT0 − kT0 )u (kT0 )δ (t − iT0 ) i =0
(4.84)
i=0 k =0
Ako se izvrši Laplasova transformacija diskretnog signala izlaza dobija se: ∞
∞
∞
Y * ( p) = ∑ y (iT0 )e −iT0 p = ∑∑ u (kT0 ) g ((i − k )T0 )e −iT0 p i =0
smenama q=i-k Y * ( p) =
i i
(i=q+k) dobija se: ∞
∞
∞
u (kT0 ) g (qT0 )e − qT0 p e − kT0 p = ∑ u (kT0 )e − qT0 p ⋅ ∑ u (kT0 )e − kT0 p = ∑∑ q = − k k =0 q =0 k =0 &&$& % &&$& % * G* ( p )
= G ( p)U ( p) *
(4.85)
i =0 k =0
*
U ( p)
(4.86)
Količnik Laplasovih transformacija diskretnog ulaza i izlaza je: ∞ Y * ( p) * G ( p) = * = ∑ g (qT0 )e − qT0 p U ( p) q=0
(4.87)
Ako se u izrazu (4.87) izvrši smena z = e pT0 tada dobijamo impulsnu prenosnu funkciju diskretnog sistema: ∞ Y ( z) (4.88) G( z) = = ∑ g (qT0 ) z − q = Z {g (q)} U ( z ) q =0 Primer br.37. Odrediti diskretnu prenosnu funckiju ako je prenosna funkcija kontinualnog sistema: K G ( p) = a+ p i ako je vreme uzorkovanja ulaza i izlaza T0. Kontinualna težinska funkcija sistema je: 85
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
g (t ) = Ke − at Diskretna težinska funkcija je: g (kT0 ) = Ke − aKT0 Impulsna prenosna funkcija se određuje kao: ∞
G ( z ) = ∑ g (qT0 ) z
−q
q =0
∞
= ∑ Ke
− aqT0
z
−q
q=0
∞
(
= K ∑ e − aT0 z q =0
)
−q
=
Kz z − e − aT0
Impulsnu prenosnu funkciju određujemo sledećom operacijom: G ( p) → g (t ) → g (kT0 ) → G ( z ) ili primenom unapred pripremljenih tabela:
(4.89)
Postupak određivanja impulsne prenosne funkcije iz poznate kontinualne prenosne funkcije se naznačuje operatorom: (4.90) G ( p) → G ( z ) = Z {G ( p )} Ako se posle idealnog prekidača postavi kolo zadrške nultog reda, kao što je to prikazano na slici 4.13., tada impulsna prenosna funkcija člana sa kolom zadrške postaje: T0
T0
u(k)
u(t)
m(t)
M(p)
y(t)
g(t)
y*(t)
Slika 4.13. Blok šema linearnog diskretnog sistema sa kolom zadrške nultog reda HG ( z ) = Z {H ( p )G ( p)}
(4.91)
Impulsna prenosna funkcija člana sa kolom zadrške se određuje prema sledećem: 1 − e −T0 p G( p) G ( p) −T0 p (4.92) HG ( z ) = Z G ( p) = Z e = − Z r r r G( p) z − 1 G ( p) = 1 − z −1 Z Z = z p p
(
)
Primer br.38. Odrediti impulsnu prenosnu funkciju člana iz primera br.37. ako je iza idealnog prekidača na ulazu postavljeno kolo zadrške: b1 z −1 z −1 1 K z − 1 1 − e − aT0 z K 1 − e − aT0 K HG ( z ) = Z ⋅ = = = z z ( z − 1)( z − e − aT0 ) a z − e − aT0 a 1 + a1 z −1 p a + p
(
gde je: 86
)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
(
b1 = 1 − e − aT0
) Ka
a1 = e − aT0
i
Ako je neki sistem opisan diferentnom jednačinom: y (k ) + a1 y (k − 1) + ! + a n y (k − n) = b0 u (k ) + b1u (k − 1) + ! + bn u (k − n)
(4.93)
tada nakon Z transformacije i preuređivanja dobijamo izraz: y ( z ) 1 + a1 z −1 + ! + a m z − m = u ( z ) b0 + b1 z −1 + ! + bm z − m
(4.94)
[
]
[
]
na osnovu kojeg se impulsna prenosna funkcija određuje kao: Y ( z ) b0 + b1 z −1 + ! + bn z − n B z −1 G( z) = = = U ( z ) 1 + a1 z −1 + ! + a n z − n A z −1
( ) ( )
(4.95)
U literaturi se u izrazu (4.95) često sreće preinačenje izraza za impulsnu prenosnu funkciju smenom q = z −1 u formu: G (q) =
B(q ) b0 + b1 q + ! + bn q n = A(q ) 1 + a1 q + ! + a n q n
(4.96)
Impulsna prenosna funkcija se može zapisati u pol-nula formi: (z − z z1 )! (z − z zn ) (4.97) G ( z ) = Kd (z − z1 )! (z − z n ) gde su z1,...zn polovi a zz1,...zzn nule. Raspored polova i u slučaju impulsne funkcije određuje formu odziva na jediničnu skokovitu promenu ulaza (prelazna karakteristika). Na slici 4.14. prikazana je zavisnost raspodele polova i prelazne karakteristike.
Slika 4.16. Zavisnost položaja polova i oblika prelazne karakteristike 87
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Impulsna prenosna funkcija člana koji sadrži kolo zadrške prvog reda za mala vremena uzorkovanja relativno tačno se može odrediti, iz poznate prenosne funkcije, tzv. Tustinovom aproksimacijom korišćenjem smene: 2 z −1 p= ⋅ T0 z + 1 HG ( p ) ≈ G ( p )
p=
(4.98)
2 z −1 T0 z +1
Primer br.39. Odrediti impulsnu prenosnu funkciju člana koji je proširen kolom zadrške nultog reda, ako je prenosna funkcija sistema: G( p ) =
1 (1 + 10 p )(1 + 5 p )
i ako je vreme uzorkovanja T0=1s. HG ( p ) = G ( p )
p=
2 z −1 T0 z +1
=
1 z +1 z +1 = = + 179 2 z − 1 2 z − 1 (21z − 19 )(11z − 9 ) 231z 2 − 388 z 1 + 10 1 + 5 1 z + 1 1 z +1
4.5.6 Osobine impulsne prenosne funkcije
Proporcionalno delovanje Diskretni sistem ima proporcionalno delovanje ako je pojačanje K određeno kao: (z − 1)y(z ) b + b + ... + bn y (k → ∞ ) lim y (z ) (4.99) K= = z →1 = lim = lim G (z ) = 0 1 1 1 → → z z 1 + a1 + ... + a n u (k → ∞ ) lim(z − 1)u (z ) u (z ) z →1
Primer br.40: Odrediti pojačanje impulsne prenosne funkcije: 0.1333 G (z ) = 1 + 0.5866 z − 2 0.1333 0.1333 = = 0.084 2 − z →1 1 + 0.5866 z 1 + 0.5866
K = lim G (z ) = lim z →1
Integralno delovanje Diskretan sistem ima integralno delovanje ako impulsna prenosna funkcija ima pol u z=1. Impulsna prenosna funkcija diskretnog sistema sa integralnim delovanjem može se zapisati u formi: G (z ) =
b0 + b1 z −1 + ... + bn z − n y (z ) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + ... + bn z − n = = u (z ) 1 + a1 z −1 + a 2 z − 2 + ... + a n z − n 1 − z −1 1 + a1 z −1 + ... + a n −1 z −(n −1)
(
88
)(
)
(4.100)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Diferencijalno delovanje Diferencijalno delovanje se može uočiti kod realnih diskretnih sistema ako sadrže i član sa kašnjenjem: Ako odredimo impulsnu prenosnu funkciju sistema opisanog kontinualnom prenosnom funkcijom: T p y( p ) (4.101) G( p ) = = 0 u ( p ) 1 + TI p za slučaj da se u sistemu nalazi i kolo zadrške nultog reda i ako je vreme uzorkovanja T0: z − 1 TD p TD (z − 1) (4.102) HG (z ) = Z = TD z 1 + TI p TI TI z+e Nula impulsne prenosne funkcije je zz=1.Diskretni sistem znači ima diferencijalno dejstvo ako impulsna prenosna funkcija ima nulu u zz=1. Mrtvo vreme Diferencijalna jednačina sistema sa mrtvim vremenom (transportno kašnjenje) je: (4.103) y (t ) = u (t − τ ) Laplasovom transformacijom dobijamo: y ( p ) −τp (4.104) G( p ) = =e u( p ) Ako je odnos između mrtvog vremena i vremena uzorkovanja d=τ/T0, tada primenom pravila za kašnjenje dobijamo: y (z ) (4.105) G (z ) = = z −d u (z ) Ako neki sistem sadrži na ulazu član sa mrtvim vremenom tada se impulsna prenosna funkcija često označava na sledeći način: y (z ) (4.106) DG (z ) = = G (z )z − d u (z )
4.5.7 Diskretne jednačine stanja Diskretan linearan sistem sa koncentrisanim parametrima opisuje se diferentnim jednačinama stanja: (4.107) x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) ako vektor stanja za t=0 ima vrednost x(0), onda se Z transformacija vektora stanja određuje kao: ∞
x(z ) = Z {x(k )} = ∑ x(k )z − k
(4.108)
k =0
Na sličan način je: Z {x(k + 1)} = zx(z ) − zx(0 ) Z {u (k )} = u (z ); Z {y (k )} = y (z )
(4.109) 89
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ako se ove relacije primene na jednačinu (4.107) tada dobijamo: (4.110) zx(z ) − zx(0) = Ax(z ) + Bu (z ) y (z ) = Cx(z ) + Du (z ) Preuređivanjem se dobijaju diskretne jednačine stanja u Z transformisanoj formi: −1 −1 (4.111) x(z ) = [zI − A] zx(0) + [zI − A] Bu (z )
(
)
y (z ) = C [zI − A] zx(0) + [zI − A] B + D u (z ) Primer br.41: Odrediti Z transformisanu formu jednačine stanja: 1 1 0 1 x(0) = x(k + 1) = x(k ) + u (k ) − 1 − 0.16 − 1 1 i vektor stanja ako na ulazu deluje jedinična skokovita promena: z +1 −1 −1 0 1 1 0 −1 z (z + 0.2)(z + 0.8) [zI − A]−1 = z − = = − 0.16 0.16 z + 1 0 1 − 0.16 − 1 (z + 0.2 )(z + 0.8) −1
z +1 (z + 0.2)(z + 0.8) x(z ) = − 0.16 (z + 0.2)(z + 0.8)
−1
(z + 0.2)(z + 0.8) z (z + 0.2)(z + 0.8) 1
1 z +1 (z + 0.2)(z + 0.8) z 1 + (z + 0.2)(z + 0.8) (z + 0.2)(z + 0.8) 1 z = − 0.16 z z − 1 1 z − 1 (z + 0.2 )(z + 0.8) (z + 0.2)(z + 0.8) (z + 0.2)(z + 0.8) 22 25 17 k k − (− 0.2) + (− 0.8) + x1 (k ) −1 6 9 18 x(k ) = = Z {x(k )} = 3.4 17 . 6 k k x k ( ) 2 (− 0.2) − (− 0.8) + 7 9 18 6 22 25 17 z z − 6 z 9 18 + + = z + 0.2 z + 0.8 z − 1 17.6 7 3.4 z − z z 6 9 18 + + z + 0.2 z + 0.8 z − 1 Promene vektora stanja su prikazane na slici 4.15.
x1
1
x2
3 2 1 0 -1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 k=
x1 x2
Slika 4.15. Promene vektora stanja 90
t T0
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
4.5.8 Impulsna prenosna funkcija i impulsna matrica Vezu između ulaza i izlaza diskretnog sistema određuje izraz: −1 −1 y (z ) = C [zI − A] zx(0 ) + [zI − A] B + D u (z ) Ako je x(0) ≡ 0 tada odnos vektora ulaza i izlaza određuje impulsna matrica prenosa: y (z ) −1 (4.112) W (z ) = = C [zI − A] B + D u (z ) U slučaju da sistem ima jedan ulaz i jedan izlaz impulsna matrica prenosa postaje impulsna prenosna funkcija: y (z ) b0 + b1 z −1 + ... + bn z − n W (z ) = = u (z ) 1 + a1 z −1 + ... + an z − n
(
)
Primer br.42. Jednačina stanja diskretnog sistema je: 1.35 0.55 0.5 x(k + 1) = x(k ) + u (k ) − 0.45 0.35 0.5 y (k ) = [1 − 1]x(k ) Odrediti impulsnu matricu prenosa. 1 0 1.35 0.55 z − 1.35 − 0.55 − − 0.45 0.35 = 0.45 0 1 z − 0.35 z − 1.35 − 0.55 det[zI − A] = det = z 2 − 1.7 z + 0.72 z − 0.35 0.45 z − 1.35 − 0.55 [zI − A]−1 = 2 1 z − 0.35 z − 1.7 z + 0.72 0.45 z − 1.35 − 0.55 0.5 1 y (z ) −1 W (z ) = = C [zI − A] B = [1 − 1] 2 = z − 0.35 0.5 u (z ) z − 1.7 z + 0.72 0.45 1 = 2 z − 1.7 z + 0.72
[zI − A] = z
4.6 Primena Furijeove transformacije U poglavlju 4.2. prikazana je ideja formiranja Furijeovog integrala neperiodične funkcije. Vremenskoj funkciji f(t) koja zadovoljava uslove transformacije: F ( jω ) =
∞
∫ f (t )e
− jω t
dt = F {f (t )}
(4.113)
−∞
može se pridružiti kompleksna funkcija F(jω) realne promenljive ω. Kompleksna funkcija F(jω) se može razložiti na realnu i imaginarnu komponentu prema: (4.114) F ( jω ) = A(ω ) + jB (ω ) Ako je f(t) realna funkcija tada je: F ( jω ) = A(ω ) + jB (ω ) =
∞
∫
−∞
∞
∞
−∞
−∞
f (t )e − jωtdt = ∫ f (t )cos ωtdt + j ∫ f (t )sin ωtdt
Realna i imaginarna komponenta kompleksne funkcije su: 91
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
A(ω ) = B(ω ) =
∞
∫ f (t )cos ωtdt
(4.115)
−∞ ∞
∫ f (t )sin ωtdt
−∞
Kompleksni spektar F(jω) se može odrediti i svojom apsolutnom vrednošću i fazom: (4.116) F ( jω ) = K (ω )e jϕ (ω ) Vezu između ovih prikaza daju izrazi: A(ω ) = K (ω )cos ϕ (ω ) (4.117) B(ω ) = K (ω )sin ϕ (ω ) K (ω ) =
A 2 (ω ) + B 2 (ω ) B(ω ) ϕ (ω ) = artg A(ω ) Funkcija f(t) kod realnih sistema je uvek neka fizička veličina (sila, pomeraj, napon, pritisak, itd). Integral kvadrata ove funkcije je uvek na neki način srazmeran energiji signala. Energija signala f(t) je određena integralom: E=
∞
∫ f (t )dt 2
(4.118)
−∞
U slučaju da su ispunjeni uslovi konvergencije, energija se može odrediti i na osnovu spektra uzimajući u obzir da je K(ω) parna funkcija primenom relacije: ∞ ∞ 1 1 2 ( ω ) ω (4.119) E= K d = K 2 (ω )dω π ∫0 2π −∫∞ Funkcija K2(ω) je funkcija energije spektra realne funkcije f(t). Ako se analiza nekog sistema vrši na osnovu spektara ulaza i izlaza tada govorimo o spektralnoj analizi.
4.6.1 Određivanje frekventnog spektra diskretnog sistema Uzorkovanje se može smatrati takvom amplitudnom modulacijom kod koje se kontinualna funkcija f(t) množi sa povorkom impulsa u kom pojedinačni impulsi imaju jediničnu površinu, traju h vremena i pojavljuju se u vremenskim razmacima između kojih protiče vreme T0 . I
f(t)
h
T0
f(t) I
Modulator
Slika 4.16. Uzorkovanje kao amplitudno-modulacioni proces Rezultat modulacije je povorka impulsa čija se površina u trenucima nT0 sa pojedinačne vrednosti promeni na vrednost f(nT0). U trenutku t=0 pojavljuje se impuls površine f(0)/2 . 92
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
f(t)I
f(T0)
F(2T0)
h
h
T0
2T0
f(0)/2
t
τ/2
Slika 4.17. Povorka konačnih impulsa Ako za širinu impulsa važi da je h<
∞ 1 f (0)δ (t ) + f (t ) ∑ δ (t − nT0 ) 2 n = −∞
(4.120)
fd(t) f(T0)
f(2T0)
f(3T0)
2T0
3T0
f0/2
T0
t
Slika 4.18. Povorka Dirakovih impulsa Furijeova transformacija povorke impulsa koja se moduliše je: I ( jω ) =
∞
∫
∞
∑ δ (t − nT0 )e − jωt dt =
−∞n = −∞
∞
∑C e
n = −∞
jnΩt
n
(4.121)
gde je Ω kružna učestanost ponavljanja (uzorkovanja) za koju važi da je Ω=2π/T0. Kompleksna vrednost amplitude Cn za svako n je: 1 Cn = T0 Naime, u oblasti integrisanja u izrazu za određivanje Cn povorka impulsa I je predstavljena samo jednim Dirakovim impulsom, koji je za t=0 jednak jedinici, a u svim ostalim tačkama je jednak nuli. Za drugi član integrala u ovom trenutku važi da je exp(0)=1. f (0) f (t ) ∞ jnΩt δ (t ) + (4.122) Ovako dobijamo da je : fd = ∑e 2 T0 n = −∞ Ako sada sa f(jω) označimo neprekidni spektar funkcije f(t): 93
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
f(jω) 1
ω
0
Slika 4.19. Primer za neprekidni spektar f(jω) funkcije f(t) tada Furijeovom transformacijom dobijamo: f d ( jω ) =
∞
∫f
d
e jωt dt
−∞
Ako operaciju integracije izvršimo za svaki član tada dobijamo: ∞ f (0) f (0 ) j ωt ∫−∞ 2 δ (t )e dt = 2 ∞
∞
1 1 1 f (t )e ± jnΩt e jωt dt = f (t )e j (ω ± nΩ )t dt = f ( jω ± jnΩ ) ∫ ∫ T0 −∞ T0 −∞ T0 Spektar f ( jω ± jnΩ ) nastaje pri uzorkovanju pomeranjem spektara ulaznog signala u modulatoru za ± nΩ . Zbog uzorkovanja kompleksni spektar f(jω) funkcije f(t) se u okolini Ω=0 množi sa 1/T0 i pojavljuje se levo i desno od osnovnog spektra, u vidu bočnog spektra oko frekvencija ± Ω ; ± 2Ω itd.: |fd(jω)|
-2Ω
-Ω
0
f(jω)/T0
fd(jω)
Ω
2Ω
ω
Slika 4.20. Osnovni i bočni spektri Ω Ω od osnovnog spektra za koje je Ω=0 ≤ω ≤ 2 2 periodično se preslikava u bočne spektre. Zbog ovog je za prenos informacija dovoljno uzeti spektar funkcije fd(jω) u oblasti frekvencija za koje je ω=0 i ω=Ω/2=π/T0. Diskretni spektar iz frekventnog područja −
94
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
4.6.2 Rekonstrukcija signala iz spektra Pri rekonstrukciji signala iz spektra uzorkovanog signala fd(jω) filtriranjem se moraju odstraniti uticaji bočnih spektara. Ovo odstranjivanje se nikad ne može ostvariti idealno. Efikasnost filtriranja pored prenosnih karakteristika filtra zavisi i od odnosa vremena uzorkovanja i periode komponente sa najvišom učestanošću u osnovnom spektru. nπ . Ako komponenta sa Oblast pojave bočnih spektara je u okolini frekvencija nΩ = T0 najvišom frekvencijom u osnovnom spektru ima kružnu učestanost ωmax, onda u zavisnosti od izbora vremena uzorkovanja tj. kružne učestanosti Ω mogu nastati sledeće situacije: - ako je Ω<ωmax ,onda se osnovni i bočni spektri međusobno preklapaju (slika 4.21.a.) ) - ako je Ω>ωmax ,onda se spektri ne poklapaju (slika 4.21.b.) ) |fd(jω)|
-2Ω
-Ω
0
|fd(jω)|
Ω ωmax 2Ω
ω
-Ω
a.)
0
ωmax
Ω
ω
b.)
Slika 4.21. Međusobni odnos osnovnog i bočnog spektra Ako u ova dva gore naznačena slučaja primenimo filter koji iz oblasti frekvencije ωmax≤ω≤ωmax idealno propušta signale, a izvan ove oblasti tj. za ω<-ωmax i ω>ωmax ne propušta signal, tada za Ω<ωmax filtrirani signal će sadržati pored osnovnog dela i deo bočnih spektara, a za Ω>ωmax filtrirani signal će sadržati samo osnovni spektar. |fd(jω)|
|fd(jω)|
b.)
a.)
-ωmax
0
ωmax
-ωmax
ω
0
ωmax
ω
Slika 4.22. Filtrirani glavni spektri Za Ω < ω max filtrirani spektar neće sadržavati ceo osnovni spektar ali će imati dodatak iz bočnih spektara. S obzirom da filtrirani spektar ima odstupanja u odnosu na osnovni spektar, rekonstruisani signal f(t) će biti drugačiji od signala koji bi dobili inverznom Furijeovom transformacijom. Iz predhodne analize jednoznačno sledi da između vremena T0 , granične frekvencije osnovnog spektra ωmax, i osobina filtra moraju važiti veoma strogi odnosi da bi rekonstruisani signal dobijen iz filtriranog spektra bio jednak vremenskom signalu iz kojeg su uzeti uzorci. 95
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ove uslove određuje Šanonova teorema uzorkovanja: 1. Treba odabrati takvu frekvenciju uzorkovanja (Ω=2π/T0), koja je dvostruko veća od granične frekvencije osnovnog spektra tj. i od komponente sa najnižom frekvencijom treba uzeti bar dva uzorka. 2. Pri rekonstrukciji treba koristiti takav niskopropusni filtar koji frekventni opseg ω<ωmax ne izobličuje, a signale čija je frekvencija izvoda Ω/2 ne propušta. Zahtevi Šanonove teoreme su idealni i u praktičnoj primeni se ne mogu u potpunosti ispuniti. Graničnu frekvenciju imaju samo oni signali koji imaju konačan broj harmonika. Realni signali nikad nisu ograničeni na konačan spektar tj. sadrže i komponente čija frekvencija konvergira ka beskonačnosti. Sa druge strane idealan filtar je fikcija a ne stvarnost. Zahteve u praksi često ispunjava filtar čiji je frekventni prenos dat izrazom: 2.25 (4.123) G ( jω ) = 1 + ω Ω Primer br.48. Jedan signal ima komponentu sa najvišom frekvenciojom od fmax=4kHz. Odrediti potrebno vreme uzorkovanja i frekventni prenos filtra: ω max = 2πf max = 2π 4 ⋅ 10 3 = 8π ⋅ 10 3 Hz Ω > 2ω max = 16π ⋅ 10 3 Hz 2π 2π T0 ≤ = = 0.125ms Ω 16π ⋅ 10 3 2.25 2.25 G ( jω ) = 1 + jω = 1 + jω = 1 + 44.7 ⋅ 10 − 6 ω 3 Ω 16π ⋅ 10 Signali i spektri koji nastaju pri uzorkovanju i filtriranju prikazani su na slici 4.23: f(jω)
f(t)
Ff(t) -ωmax
2π T0, Ω = T0
fd(t)
ωmax fd(jω)
Ffd(t)
Ω
-Ω fd(jω) f(t)
Filter
F-1fd(t) -ωmax
Slika 4.23. Signali i spektri pri uzorkovanju
96
ωmax
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
4.6.3 Diskretna Furijeova transformacija Ako se iz neke kontinualne funkcije f(t) uzimaju uzorci u ekvidistantnim trenucima vremena između kojih protiče vreme T0, tada se Furijeova transformacija uzorkovanog signala određuje primenom numeričkih metoda. Ako se želi odrediti Furijeova transformacija: f ( jω ) = F {f (t )} =
∞
∫ f (t )e
− jωt
(4.124)
dt
−∞
neke kontinualne funkcije numeričkom metodom tada se operacija integriranja mora aproksimirati zbirom pravougaonika određenih na osnovu uzoraka signala f(kT0) i vremena uzorkovanja T0. ∞
f ( jω ) ≈ T0
∑
k = −∞
~
f (kT0 )e − jωkT0 = f ( jω )
(4.125)
S obrzirom da je Furijeova transformacija periodična operacija tj. važi da je: ~
~
f ( jω ) = f ( jω + jυω 0 ) gde je ω0=2π/T0 i ν=0,1,2,3…
(4.126)
~
dovoljno je odrediti vrednost za f ( jω ) u oblasti 0 ≤ ω ≤ 2π/T0 . S obzirom da je broj uzoraka konačan tj. važi da je k=0,1,2,…,n-1 i Furijeova transformacija se mora odrediti za konačnu sumu: n −1
~
f ( jω ) = T0 ∑ f (kT0 )e − jωkT0
(4.127)
k =0
~
Pri određivanju f ( jω ) kružna učestanost ω može uzeti samo diskretne vrednosti ω=nωn Ako posedujemo N diskretnih uzoraka, tada između linija spektra imamo razmake određene sa ωn=ω0/N. Uz gornja ograničenja diskretna Furijeova transformacija se određuje na osnovu izraza: j πnk n −1 − jnω 0 (4.128) f ( jnω 0 ) = f = T0 ⋅ ∑ f (kT0 )e N (n=0,1,2,…,n-1) N k =0 Određivanje inverzne Furijeove transformacije se vrši prema izrazu: 2πnk ~ j 1 n −1 N ω (4.129) f (kT0 ) = f ( jn ) e ∑ n nT0 n = 0 Diskretna Furijeova transformacija uspostavlja odnose između N diskretnih uzoraka f(kT0), ~ ω k=0,1,2,…,N i frekventnog spektra f n 0 . N Numerički postupak određivanja diskretne Furijeove transformacije se pri računarskoj obradi može značajno ubrzati primenom brze Furijeove transformacije (FFT). Osnovna ideja ubrzanja je sledeća: Izraz (4.128) za određivanje disketne Furijeove transformacije sadrži sledeće elemente: 2
~
e e
−j
2π N
=W
2π − j nk N
= W nk
S obzirom da se u eksponentima javljaju samo celi brojevi može se uočiti ponavljajući proces. Na primer, ako je n=8 tada je: W0=W8=W16=...=1 W1=W9=W17=...=
2 2 −j 2 2 97
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
W2=W10=W18=...= -j W4=W12=W20=...= -1 W6=W14=W22=...= j Gornji ponavljajući proces omogućava različita preobličavanja izraza, koji mogu značajno ubrzati numerički algoritam određivanja diskretne Furijeove transformacije. Savremena hardverska i softverska podrška u značajnoj meri podržava ostvarivanje brze Furijeove transformacije. Uz ovu podršku spektralna analiza je postala moćno sredstvo u analizi rada sistema automatskog upravljanja.
4.7 Frekventni prenos Veza između ulaza i izlaza kod linearnih, dinamičkih sistema sa konstantnim koeficijentima opisuje se diferencijalnom jednačinom: dny d n−1 y d mu (4.130) a n n + a n−1 n−1 + ... + a0 y = bm m + ... + b0u dt dt dt Ako se izvrši Furijeova transformacija ove jednačine dobija se: an ( jω ) y ( jω ) + a n−1 ( jω )
n −1
n
y ( jω ) + ... + a0 y ( jω ) = bm ( jω ) u ( jω ) + ... + b0 u ( jω ) m
(4.131)
Iz jednačine (4.131) može se odrediti frekventni prenos kao odnos Furijeovih transformacija izlaza i ulaza: m y ( jω ) b0 + ( jω )b1 + ... + ( jω ) bm = (4.132) W ( jω ) = u ( jω ) a0 + ( jω )a1 + ... + ( jω )n a n Frekventni prenos W(jω) je kompleksni izraz čija je amplituda i faza funkcija kružne učestanosti. Na osnovu poznatog frekventnog prenosa može se izvršiti procena ponašanja nekog sistema u vremenskom domenu. Ako se na ulaz nekog linearnog sistema dovede harmonična promena kružne učestanosti ω tada nakon prelaznih procesa na izlazu će se pojaviti takođe harmonična promena kružne učestanosti ω čija se amplituda i faza razlikuju od amplitude i faze ulaza.
U(ω)sin[ωt+ϕ(ω)]
Y(ω)sin[ωt+ϕ(ω)]
t
t
W(jω)
Slika 4.23. Ispitivanje izlaza linearnog sistema sa harmoničnom ulaznom fukcijom 98
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Apsolutna vrednost frekventnog prenosa: Y (ω ) (4.133) A(ω ) = U (ω ) određuje odnos amplituda harmoničnih ulaznih i izlaznih promena. Razlika u fazama ovih signala je faza frekventnog prenosa.: ϕ (ω ) = ϕ Y (ω )ϕ U (ω ) (4.134) Frekventni prenos W(jω) znači određuje, pri različitim frekvencijama, odnos između amplituda i razliku između faza ulaza i izlaza. Frekvetni prenos W(jω) se može predstaviti i svojim realnim i imaginarnim delom: W(jω)=P(ω)+jQ(ω) (4.135) Veza između amplitude, faze, realnog i imaginarnog dela određena je izrazima : P(ω ) = A(ω )cos ϕ (ω ) Q(ω ) = A(ω )sin ϕ (ω ) (4.136) A(ω ) = P 2 (ω ) + Q 2 (ω ) Q(ω ) ϕ (ω ) = artg P(ω ) Na osnovu poznatog frekventnog prenosa može se odrediti ponašanje sistema pri odzivu na jediničnu skokovitu promenu ulaza pri započinjanju i završavanju promena tj. u stacionarnom stanju. lim W ( jω ) = lim A(ω ) = lim h(t ) (4.137) ω →∞
ω →∞
t →0
ω →∞
ω →∞
t →0
lim W ( jω ) = lim A(ω ) = lim h(t )
Ovi izrazi se mogu i fizički tumačiti na sledeći način: sistem prenosi jednu sporu promenu (ω→0) na izlaznu stranu kao vremenski nepromenljiv signal. Znači, frekventni prenos za ω=0 određuje stacionarnu vrednost (t→∝) odziva na skokovitu promenu ulaza. Pri t=0 ima beskonačno veliku brzinu promene kao i harmoničan signal sa beskonačnom frekvencijom. Znači, frekventni prenos za ω → ∝ određuje početnu vrednost odziva na jediničnu skokovitu promenu ulaza. Frekventni prenos se može odrediti iz prenosne funkcije smenom p=jω: (4.138) W ( j ω ) = W ( p ) p = jω
4.7.1 Načini prikaza frekventnog prenosa Frekventni prenos W(jω) predstavlja kompleksan izraz koji ima svoju apsolutnu vrednost, fazu, realni i imaginarni deo. Ako se frekvencija menja u oblasti 0≤ω<∝ tada ove vrednosti u zavisnosti od kružne frekvencije imaju različite iznose. Ovako formirane funkcionalne zavisnosti se mogu različito prikazati. Grafički prikaz ovih funkcija je bez primene računarske podrške relativno zahtevan zadatak.
4.7.1.1 Amplitudno-frekventna karakteristika (Nikvistov dijagram) Ako se frekventni prenos W(jω) za različite vrednosti ω prikaže u kompleksnoj ravni dobija se Nikvistov dijagram. Za svaku vrednost kružne učestanosti ω, amplituda A(ω) i faza ϕ(ω) frekventnog prenosa, određuju jednu tačku u kompleksnoj ravni. Kriva koja spaja ove tačke je 99
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
amplitudno-frekventna karakteristika. Na krivoj rast frekvencije se često označava strelicom. Pojedine tačke krive određuju uslove nastajanja stacionarnog stanja pri jednoj kružnoj učestanosti. Im G(jω) Re G(jω1) ω=∝
ω=0
Re G(jω)
ϕ1 Im G(jω1) ω4
ω1
ω3
ω2
Slika 4.22. Amplitudno-fazna karakteristika (Nikvistov dijagram)
4.7.1.2 Bodeov dijagram (logaritamsko frekventna karakteristika) Ako se frekventni prenos određen izrazom: W ( jω ) = W ( jω )e jϕ (ω ) = A(ω )e jϕω logaritmuje sa logaritmom čija je osnova 10: lg W ( jω )e jϕ (ω ) = lg W ( jω ) + jϕ (ω )lg e
(4.139)
i prikaže funkcionalna zavisnost amplitude izražene u decibelima (dB) i faze ϕ(ω) u funkciji kružne učestanosti ω, dobijaju se Bodeovi dijagrami. Bodeov dijagram znači čine amplitudna i fazna karakteristika. Vrednost nekog broja izražena u decibelima određuje se tako što se logaritam broja sa osnovom deset pomnoži sa dvadeset. Vrednosti nekih amplitudnih odnosa i njihovih decibelskih ekvivalenata prikazane su u sledećoj tabeli: Odnos amplituda 1,01 1,12 1,41 1,78 1,99 2,51 3,16 10 100
dB 0,1 1 3 5 6 8 10 20 40 100
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Da bi se frekventni opseg proširio na širok dijapazon celishodno je za apscisu Bodeovog dijagrama primeniti logaritamsku skalu. Na slici 4.25. prikazan je Bodeov dijagram nekog sistema. a,dB 20 10 0 0o
0dB/dec
0.2
0.5
-20dB/dec 2
1
5
10
20
30 lgω
1/T1
1/T2
-40dB/dec a(ω)
-90o
-180o ϕ
ϕ(ω)
Dekada
Slika 4.25. Bodeov dijagram Primer br.49. Nacrtati Bodeov i Nikvistov dijagram sistema čija je prenosna funkcija: 1250(1 + 0.1 p ) Y (p) W (p) = = U ( p ) p (1 + 0.5 p ) 2500 + 30 p + p 2
(
)
Frekventni prenos sistema je:
1250(1 + 0.1 p ) 1250(1 + 0.1 jω ) p = jω = 2 2 p(1 + 0.5 p ) 2500 + 30 p + p jω (1 + 0.5 jω ) 2500 + 30 jω + ( jω ) Ako se sad odrede apsolutna, realna i kompleksna vrednost datog frekventnog prenosa tada dobijamo: − 1375ω 2 − 1.2875 ⋅ 10 6 Realni deo: P(ω ) = 0.25ω 6 − 1024ω 4 + 1.5584 ⋅ 10 6 ω 2 + 5.25 ⋅ 10 6 6.25ω 4 − 1.4 ⋅ 10 5 ω 2 − 3.25 ⋅ 10 6 Kompleksni deo: Q(ω ) = 0.25ω 7 − 1024ω 5 + 1.5584 ⋅ 10 6 ω 3 + 5.25 ⋅ 10 6 ω Apsolutna vrednost: W ( j ω ) = W ( p ) p = jω =
(
(
)
)
A(ω ) = P 2 (ω ) + Q 2 (ω ) =
− 1375ω 2 − 1.2875 ⋅ 10 6 = 6 4 6 2 6 0.25ω − 1024ω + 1.5584 ⋅ 10 ω + 5.25 ⋅ 10 Faza: ϕ (ω ) = artg
2
6.25ω 4 − 1.4 ⋅ 10 5 ω 2 − 3.25 ⋅ 10 6 + 7 5 6 3 6 0.25ω − 1024ω + 1.5584 ⋅ 10 ω + 5.25 ⋅ 10 ω
6.25ω 4 − 1.4 ⋅ 10 5 ω 2 − 3.25 ⋅ 10 6 Q(ω ) = artg P(ω ) − 1375ω 2 − 1.2875 ⋅ 10 6
Za različite kružne frekvencije ove funkcije imaju sledeće vrednosti:
101
2
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
ω 0 1 5 10
P(ω) -0,245 -0,189 -0,0303 -0,0094
Q(ω) ∝ -0,497 -0,0309 -0,0113
ϕ(ω) 90o 69,179o 45,56o 50,24o
A(ω) ∝ 0,5317 0,0433 0,0147
Nikvistov i Bodeov dijagram date prenosne funkcije je sledeći: Ny quis t Diagram s From: U(1) 60
40
To: Y (1)
Im aginary A x is
20
0
-20
-40
-60 -1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Real A x is
Slika 4.26. Nikvistov dijagram B ode Diagram s From: U(1) 50
-50
-100
-150 -50 -100 To: Y (1)
P has e (deg); M agnitude (dB)
0
-150 -200 -250 -300 10 -2
10 -1
10 0
10 1
10 2
10 3
Frequenc y (rad/s ec )
Slika 4.27. Bodeov dijagram Frekventni prenos se može odrediti primenom signalnog generatora i osciloskopa ili primenom savremenog spektralnog analizatora. Frekventne karakteristike se najčešće primenjuju u analizi sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom. 102
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
4.7.2 Frekventne karakteristike impulsne prenosne funkcije Aproksimativna frekventna karakteristika impulsne prenosne funkcije određuje se numeričkim metodama. Impulsna prenosna funkcija G(z) bilinearnom transformacijom T 1+ 0 w 2 (4.140) z= T0 1− w 2 se preslikava u kontinualnu funkciju po promenljivoj w. Ako se sada izvrši smena w=jω tada se dobija aproksimativna frekventna funkcija impulsne prenosne funkcije koja se sada lako može preslikati nekom od frekventnih karakteristika. Primer br.50: Nacrtati Bodeovu i Nikvistovu karakteristiku sistema čija je impulsna prenosna funkcija : 0.365 z + 0.264 G (z ) = 2 z − 1.368 z + 0.368 ako je vreme uzorkovanjaT0=4s. G (w) = G (z )
=
2 1+ w T0 z= 2 1− w T0
=
0.368 z + 0.264 z − 1.368 z + 0.368 2
z=
1+ 0.5 w 1− 0.5 w
1 + 0.5w 0.368 + 0.264 1 − 0.5w = = 2 1 + 0.5w 1 + 0.5w 1 − 0.5w − 1.368 ⋅ 1 − 0.5w + 0.368
− 0.0381(w − 2 )(w + 12.14 ) w(w + 0.926 )
G ( jω ) = G (w) w= jω =
(
)
− 0.381( jω − 2 )( jω + 12.14 ) 9.25 + 0.381ω 2 − j 3.8633ω = jω ( jω + 0.926 ) − ω 2 + j 0.926ω
Bodeov i Nikvistov dijagram sistema je prikazan na slikama 4.28. i 4.29.: Ny quis t Diagram s From: U(1) 150
100
To: Y (1)
Im aginary A x is
50
0
-50
-100
-150 -1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
Real A x is
Slika 4.28. Nikvistov dijagram 103
-0.2
0
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
B ode Diagram s From: U(1) 40
0
-20
-40 -50
-100 To: Y (1)
P has e (deg); M agnitude (dB )
20
-150
-200
-250 10 -2
10 -1
10 0
10 1
Frequenc y (rad/s ec )
Slika 4.29. Bodeov dijagram
104
10 2
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
5. Kvalitativni zahtevi sinteze sistema automatskog upravljanja Teorija upravljanja bavi se problematikom analize i sinteze dinamičkih sistema. Sistem automatskog upravljanja se formira od objekta upravljanja i upravljačkog podsistema. Razmena informacija između ovih elemenata se vrši preko nosioca informacija (signala). Informacioni sadržaji signala iz objekta upravljanja u principu daju obaveštenja o stanjima objekta upravljanja, a informacije iz upravljačkog podsistema imaju aktivan karakter tj. pokreću neke upravljačke akcije. Zadatak analize i sinteze sistema automatskog upravljanja je ustanovljavanje i formiranje takvih obrada informacija i informacionih tokova koji će objekt upravljanja voditi u pravcu kvalitetnih promena i održavanja stanja, tj. u pravcu realizacije postavljenih ciljeva. Zadatak svake analize i sinteze sistema automatskog upravljanja u principu se mora započeti definisanjem ciljeva upravljanja. Definisanje ciljeva upravljanja je relativno složen zadatak koji se zasniva na detaljnoj analizi uslova rada sistema i veoma često nije jednoznačno odredljiv. Struktura formiranja i delovanja sistema automatskog upravljanja uvek nosi sa sobom rizike neizvesnosti zbog čega informacije o stanjima daju samo delimičnu sliku o stanjima i promenama u objektu upravljanja. U principu, svaki sistem automatskog upravljanja je uvek izložen dejstvu smetnji i nosi sa sobom rizike nesavršenosti konstrukcije i izgradnje. Da bi ciljevi bili jednoznačni promene vektora upravljanja u(t), vektora stanja x(t) i vektora izlaza y(t) se moraju odvijati u skladu sa unapred postavljenim kriterijumima i pravilima. Analitičke forme ovih kriterijuma se uvek odnose na dinamičke karakteristike promena, i zbog uzročnoposledičnih veza unutar sistema ne moraju se postaviti za sve ulaze, izlaze i stanja. Kriterijumi se odnose samo na one elemente vektora ulaza, izlaza stanja koji su bitni za pouzdan i ekonomičan rad sistema. Smatra se da sistem automatskog upravljanja ostvaruje svoje ciljeve ako zadovoljava unapred postavljene kriterijume. Kriterijumi mogu biti kvalitativni i kvantitativni i relativno teško se mogu uspešno definisati jednostavnim relacijama. Matematička obrada kriterijuma postaje jednostavnija, ako se kvalitativni i kvantitativni zahtevi primenom odgovarajućih relacija mogu preslikati u jednu skalarnu veličinu. Relacija koja ostvaruje ovaj vid preslikavanja je ciljna funkcija. Funkcija cilja jednom skalarnom veličinom sveobuhvatno vrednuje stanja i promene sistema automatskog upravljanja u oblasti delovanja sistema. Akcije upravljanja za neki sistem automatskog upravljanja se mogu ostvariti samo ako je sistem osmotriv i upravljiv. Pojmovi upravljivosti i osmotrivosti se vezuju za osobinu sistema da se može prevesti iz jednog ravnotežnog stanja u drugo, a da se pri tom o svakoj promeni mogu dobiti verodostojne informacije. Upravljivost i osmotrivost nekog sistema može se odrediti na osnovu matematičkog modela upravljanja. Promene stanja u objektu upravljanja nastaju zbog aktivnog upravljačkog delovanja. Ako je sistem automatskog upravljanja započeo neke promene stanja i ako upravljačka akcija prestane, tada sistem po inerciji nastavlja promene koristeći pri tom akumulisanu energiju. Ako pri primeni bilo koje promenljive veličine stanja i izlaza može da postigne neograničeni rast tada za sistem kažemo da je labilan. Ako na sistem automatskog upravljanja ne deluje spoljašnja pobuda i ako pri tom koordinate stanja ne rastu već se ustale tada je sistem stabilan. Osnovni zadatak sinteze sistema automatskog upravljanja se svodi na problem utvrđivanja upravljivosti, osmotrivosti, stabilnosti i funkcije cilja. Ako je neki sistem stabilan, upravljiv i osmotriv tada se dalji zadatak sinteze svodi na potrebu određivanja najpovoljnije (optimalne) trajektorije ostvarivanja iniciranih promena. Problem nalaženja optimalne strategije se slikovito može uporediti sa problematikom nalaženja određene tačke ili površi na brdovitom terenu, ili površini uzburkane vode.
105
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Da bi se promene stanja međusobno mogle uporediti, i da između različitih strategija upravljanja odaberemo najpovoljniju, potrebno je svaku od strategija vrednovati, a zatim pokazatelje kvaliteta koji su upotrebljeni u postupku vrednovanja međusobno uporediti. Svakoj od mogućih strategija upravljanja preko odabranih kriterijuma kvaliteta se mora pridružiti neka numerički određena vrednost. Zadatak sinteze optimalnog upravljanja se svodi na iznalaženje i ostvarivanje takvog vida upravljanja koji daje najpovoljniju vrednost za kriterijum kvaliteta. Pri tom se ne sme ispustiti iz vida da odabrano upravljanje mora biti ostvarljivo tj. strategija upravljanja mora biti jedna od strategija za koju postoje tehnička i ekonomska opravdanja. Optimalno upravljanje je skup takvih upravljačkih akcija, koje u okviru ograničenja sistema daju najpovoljnije vrednosti za kriterijum kvaliteta. Ocena stabilnosti, osmotrivosti, kontrolabilnosti i izbor optimalne strategije upravljanja zasniva se na polaznim saznanjima o sistemu (matematički model, parametri itd.). Polazne postavke se prikupljaju na osnovu teorijskih razmatranja i eksperimentisanja tj. merenja. S obzirom da se opis realnih fizičko-hemijskih procesa nikad ne može biti apsolutno savršen, to rezultate analize i sinteze koje se zasnivaju na primeni matematičkih modela uvek treba prihvatiti sa izvesnom, ali veoma objektivnom dozom opreza. Parametri se uvek određuju merenjem. Merenje se nikad ne može ostvariti sa apsolutnom tačnošću. Parametri realnih tehničkih sistema se menjaju tokom vremena tj. stanje sistema tokom vremena može odstupati od stanja koja su uzeta pri usvajanju polaznih pretpostavki. Ako promene u sistemu dostignu neprihvatljive mere tada kažemo da je sistem u kvaru. Zbog stalnih promena parametara celishodno je sprovesti i ispitivanja osetljivosti i robustnosti sistema automatskog upravljanja na promene parametara, nesigurnosti modeliranja i kvarove. Za jedan stabilan, osmotriv i upravljiv sistem, idealna optimalna strategija upravljanja treba da stvori uslove invarijantnosti i robustnosti u pogledu nesigurnosti polaznih postavki, netačnosti merenja parametara i eventualnih kvarova.
5.1. Opservabilnost i kontrolabilnost Pojam opservabilnosti (osmotrivosti) i upravljivosti (kontrolabilnosti) u teoriju upravljanja uveo je R.E. Kalman. Sistem automatskog upravljanja može ostvariti svoje zadatke uspešno samo ako je objekt upravljanja opservabilan i kontrolabilan. Za zadati sistem kažemo da je potpuno kontrolabilan ako je za njega uvek moguće naći takvu strategiju upravljanja kojom će sistem iz proizvoljnog početnog stanja x(t0) prevesti u neko drugo proizvoljno stanje x(t1) u konačnom intervalu vremena 0 ≤ t ≤ t1 . Na sličan način se definiše i upravljivost po vektoru izlaza y(t). Sistem automatskog upravljanja je opservabilan u vremenskom intervalu, ako se na osnovu merenja izlaza y(t) u dovoljno dugom vremenskom intervalu [t o , t1 ] može rekonstruisati proizvoljno početno stanje sistema. U vezi osmotrivosti i upravljivosti u praksi se pojavljuju sledeća pitanja: - kako se može utvrditi da li je neki sistem osmotriv ili upravljiv, - kako treba odrediti strategiju upravljanja da sistem iz početnog stanja x(t0) prevedemo u stanje x(t1) za konačni interval vremena t1 – t0. Većina realnih tehničkih sistema je u smislu Kalmanove definicije upravljiva i osmotriva. U praksi je znatno važniji zadatak određivanje mera i granica upravljačkih funkcija i izlaza u kom je sistem upravljiv i osmotriv. Sistem automatskog upravljanja u principu je uvek nedovoljno poznat tj. raspoloživa saznanja samo delimično opisuju ponašanje sistema. Zbog prisustva smetnji, zavisnosti od 106
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
konstrukcije i izgradnje i vremenskih promena parametara i strukture svaki sistem automatskog upravljanja je u neku ruku nepoznat tj. upravljanje uvek nosi sa sobom dozu neizvesnosti. Stanja sistema i ulaza uvek određujemo na osnovu merenja. Tačnost i kvalitet merenja, koje je uvek funkcija razvoja merne tehnike, fizičko-tehničke osnove merenja itd. u značajnoj meri određuje i ograničenja upravljivosti i kontrolabilnosti.
5.1.1. Osmotrivost Linearan, dinamički sistem sa konstantnim parametrima opisan jednačinama stanja: x! = Ax + Bu
x ∈Rn
(5.1)
y = Cx + Du je osmotriv po stanju, ako se na osnovu poznate vrednosti ulaza u(t), i merenja izlaza y(t) u konačnom intervalu može odrediti početna vrednost vektora stanja x(t0). Potreban i dovoljan uslov da neki sistem automatskog upravljanja bude osmotriv je da matrica osmotrivosti Q0 ima rang n, tj. da matricu osmotrivosti čini n linearno nezavisnih vektora. C CA Qo = . . CA n −1
(5.2)
Ako je sistem osmotriv, onda se u promenama izlaznog vektora y(t) uvek mogu uočiti uticaji svakog pojedinačnog elementa vektora stanja x(t). Primer br.51. Odrediti da li je sistem upravljanja opisan jednačinama stanja: x!1 = −2 x1 + u x! 2 = −2 x 2 + u y = x1 + x 2 osmotriv. Matrice koje određuju matematički model sistema su: − 2 0 1 A= , B = , C=[ 1 1 0 − 2 1 Matrica osmotrivosti je: 1 1 1 C 2 0 − = 1 Qo = = [1 1] 0 − 2 − 2 − 2 CA Rang kvadratne matrice je jednak sa dimenzijom matrice ako je: 107
]
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
1 1 det Qo = = −2 + 2 = 0 − 2 − 2 različita od nule.U ovom slučaju rang matrice Q0 je 1, tj. sistem nije osmotriv. U datom primeru dinamika promena vektora x1 i x2 određuju iste jednačine. U formiranju izlaza ovi vektori učestvuju sa istim težinskim odnosima. Iz ovog sledi da se iz posmatranja izlaza ne mogu odrediti početna stanja vektora stanja x1 i x2 tj. sistem nije osmotriv.
5.1.2. Upravljivost Linearan, dinamički sistem sa konstantnim parametrima opisan jednačinama stanja: x ∈Rn (5.3) x! = Ax + Bu y = Cx + Du je upravljiv po stanju ako se iz proizvoljnog početnog stanja x(t0) može prevesti u neko konačno stanje x(tv) konačnim upravljanjem u(t) za konačno vreme tv – t0. Potreban i dovoljan uslov upravljivosti nekog sistema je da matrica upravljivosti
[
]
(5.4) Qc = B, AB,... A n −1 B ima rang n, tj. da matrica upravljivosti čini n linearno nezavisnih vektora. Ako sistem ima jedan ulaz onda je potreban i dovoljan uslov kontrolabilnosti da matrica Qc ne bude singularna tj. da determinanta QC ne bude jednaka nuli. Kod upravljačkih sistema na svaki element vektora stanja možemo uticati preko ulaza. Primer br.52.: Proveriti upravljivost sistema opisanog jednačinama stanja: x! = − x1 + u x! = x1 − 2 x2 + u Sistem određuju sledeće matrice: − 1 0 1 A= , B= 1 − 2 1 Matrica upravljivosti je: 1 − 1 0 1 1 − 1 Qc = [B AB ] = = 1 1 − 2 1 1 − 1 1 − 1 det Qc = det =0 1 − 1 Sistem nije upravljiv.
5.1.3. Upravljivost i osmotrivost sistema opisanih diskretnim jednačinama stanja Linearan, diskretan sistem sa konstantnim koeficijentima se opisuje diferentnim jednačinama: 108
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) x (k ) ∈ R n y (k ) = Cx (k ) + Du (k ) Sistem je upravljiv ako je rang matrice upravljanja Qc = B AB . . A n −1 B jednak n. Sistem je osmotriv ako je rang matrice osmotrivosti C CA Qo = . . CA n −1 jednak n.
[
]
(5.5) (5.6)
(5.7)
Primer br. 53.: Oceniti upravljivost i osmotrivost sistema opisanog diskretnim jednačinama stanja: x1 (k + 1) = −2 x1 (k ) + 3u1 (k ) + 2u 2 (k ) x2 (k + 1) = −2 x 2 (k ) + u 2 (k ) y1 (k ) = x1 (k ) y 2 (k ) = 3 x1 (k ) − 2 x 2 (k ) − 2 0 3 2 ( ) x(k + 1) = x k + 0 1 u ( k ) 0 − 2 1 0 y (k ) = x(k ) 3 − 2 Qc = [B
3 2 AB ] = 0 1
− 2 0 3 2 3 2 − 6 − 4 0 − 2 0 1 = 0 1 0 − 2
S obzirom da je rang QC=2, sistem je upravljiv. 0 1 0 1 3 − 2 C 3 −2 = Qo = = 1 0 2 0 − 2 0 CA − 3 − 2 0 − 2 6 4 − S obzirom da je rang Q0=2, sistem je osmotriv.
5.1.4. Kalmanova dekompozicija sistema upravljanja Sa stanovišta upravljivosti i osmotrivosti može se postaviti pitanje da li se sistem upravljanja može razložiti na takve sastavne delove koji se ili ne mogu upravljati, ili su neosmotrivi. Ako ovakva dekompozicija nije moguća onda je sistem potpuno upravljiv i osmotriv. U principu, sistem automatskog upravljanja se može dekomponovati na četiri podsistema od kojih je prvi upravljiv ali nije osmotriv. U drugoj varijanti sistem je i upravljiv i osmotriv. Treći podsistem nije ni upravljiv ni osmotriv. U četvrtoj varijanti sistem nije upravljiv ali je osmotriv. 109
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
sistem upravljanja
u
u
y
Podsistem koji je upravljiv ali nije osmotriv
y
Upravljiv i osmotriv podsistem Podsistem koji nije ni upravljiv ni osmotriv Podsistem koji je osmotriv ali nije upravljiv
Slika 5.1. Kalmanova dekompozicija sistema upravljanja Dekompozicija sistema na gore navedene podsisteme se može izvršiti primenom različitih metodologija. Upravljivost i osmotrivost se lako ustanovljava kod sistema kod kojih je matrica sistema kvadratna. Primer br. 54.: Jednačine nekog sistema automatskog upravljanja zapisanog u prostoru stanja su: x!1 s1 x! 0 2 = x! 3 0 x! 4 0 y = [0 C 2
0 x1 b1 0 x 2 b2 s2 ⋅ + u 0 s 3 0 x 3 0 0 0 s 4 x 4 0 0 C 4 ]x 0
0 0
gde je s 1 ≠ s 2 ≠ s 3 ≠ s 4 . Iz jednačina stanja jednoznačno sledi da je podsistem opisan jednačinom datom u prvom redu upravljiv, ali nije osmotriv. Podsistem iz drugog reda je i upravljiv i osmotriv. Podsistem iz trećeg reda nije ni upravljiv ni osmotriv, a podsistem iz četvrto reda je osmotriv ali nije upravljiv. Sistem sa jednim ulazom i izlazom je potpuno upravljiv i osmotriv ako je broj polova karakteristične jednačine jednak broju akumulatora energije (materije) tj. jednak redu sistema. Ako sistem ima polove i nule u istoj tački kompleksne ravni tada nije upravljiv i osmotriv. Nepostojanje osobine upravljivosti i osmotrivosti ukazuje na činjenicu da u sistemu postoje takve promene koje se odabranim upravljačkim ulazom ne mogu menjati, ili se ove promene posmatranjem izlaza ne mogu uočiti.
110
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
5.2. Stabilnost Stabilnost je izuzetno važna osobina sistema. Stabilnost, u principu, u opštem smislu karakteriše sklonost ka stabilnosti nekih vidova ponašanja sistema. Stabilan je onaj sistem koji se delovanjem neke prinude izvede iz ravnotežnog stanja , ali se nakon prestanka delovanja prinude vraća u prethodno ravnotežno stanje. Sistemi koji nemaju ovo svojstvo su nestabilni ili labilni. A0
A1
A2
A0
A1
A0
b
a
A1
c
B
A0
A0
d
e
Slika 5.2. Stabilno, labilno, neodređeno i uslovno stabilno stanje sistema Svaki sistem koji ne sadrži akumulator energije, tj. sistem koji vrši prenos ili pretvaranje energije iz jednog oblika u drugi je stabilan. Problem stabilnosti se znači javlja kod sistema sa akumulacijama. Problem stabilnosti se najčešće razmatra u vezi sistema sa povratnim vezama tj. kod sistema kod kojih se izlaz, ili njegova transformacija preko povratne veze vraćaju kao komponente za formiranje ulaza. yz +
u
y
W1
± W2 Slika 5.3. Blok šema sistema sa povratnom vezom Kod sistema sa povratnom vezom postoji ulazni podsticaj i ako prestane dejstvo spoljašnjeg signala yz.. Ovaj ulaz i nadalje stvara izlaz koji se ponovo pojavljuje na ulazu, itd. Ovaj proces može biti takav da konvergira ka nuli. U tom slučaju kažemo da je sistem stabilan. Izlaz može konvergirati i ka jednoj konačnoj vrednosti, mogu nastati ustaljene oscilacije ali izlaz može imati i neograničen rast. Ovi zadnji slučajevi predstavljaju vidove manifestacije labilnosti tj. instabilnosti. U opštem slučaju uslovi stabilnog rada zavise od veličine ulaznog signala i radne tačke. Stabilnost je znači više odlika stanja a ne odlika samog sistema. Ako na sistem stalno deluje konačna spoljašnja prinuda i ako je apmlituda izlaza konačna, tada je sistem stabilan. Za ocenu stabilnosti razvijene su različite metode tzv. kriterijumi stabilnosti. Pojam stabilnosti je među prvima razmatrao A.M. Ljapunov. Uslov stabilnosti sistema se analitički može izraziti kao:
111
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
∞
∫ g (t ) dt
< M
(5.8)
0
gde je M konačan broj, a g(t) težinska funkcija sistema. Gornja nejednačina je zadovoljena, ako težinska funkcija sistema sa rastom vremena konvergira ka nuli tj. važi da je: lim g (t ) = 0 (5.9) t →∞
Linearni sistemi automatskog upravljanja opisuju se diferencijalnim ili diferentnim jednačinama. Bez obzira o kom zapisu je reč, težinska funkcija je uvek linearna kombinacija eksponencijalnih članova koji u eksponentu imaju kombinacije svojstvenih vrednosti tj. korena karakteristične jednačine linearnih sistema. Kod sistema automatskog upravljanja koji su upravljivi i osmotrivi svojstvene vrednosti predstavljaju i polove prenosne funkcije ili matrice prenosa. Eksponencijalne komponente zadovoljavaju uslove date jednačinama (5.8), (5.9) ako su realni delovi polova negativni kod kontinualnih sistema sa jednim ili više ulaza i izlaza, ili je njihova apsolutna vrednost manja od jedan kod sistema sa uzorkovanjem. Linearan kontinualan sistem sa jednim ili više ulaza i izlaza je stabilan ako polovi sistema leže levo od imaginarne ose kompleksne ravni. Linearan uzorkovani sistem sa jednim ili više ulaza i izlaza je stabilan ako polovi sistema u kompleksnoj ravni leže unutar kruga čiji je poluprečnik jednak jedinici (jedinični krug).
Im 1
Im Stabilno područje
Nestabilno područje
Re
-1
Nestabilno područje
Stabilno područje
1
Re
-1 Slika 5.3. Veza između položaja polova i stabilnosti rada linearnih kontinualnih i diskretnih sistema Za ocenu stabilnosti znači treba odrediti korene karakteristične jednačine. Primenom kriterijuma stabilnosti uslovi stabilnosti se mogu odrediti i bez izračunavanja korena karakteristične jednačine. Kriterijumi stabilnosti se primenjuju u postupcima sinteze sistema automatskog upravljanja i u postupcima razdvajanja oblasti promena parametara na oblast parametara koji obezbeđuju stabilnost rada i oblast parametara koji daju labilne uslove rada. Kriterijumi stabilnosti mogu biti algebarski ili frekventni.
5.2.1
Rutov kriterijum stabilnosti
Karakteristični polinom jednog kontinualnog sistema se zapisuje u formi: A(p) = anpn + an-1pn-1 + … + a1p + a0 112
(5.10)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Na osnovu koeficijenata ovog polinoma može se formirati Rut-ova šema: pn pn-1 pn-2 pn-3 . . . p3 p2 p1 p0
| | | | | | | | | | |
an an-1 b1 c1 . . . e1 f1 g1 h1
an-2 an-3 b2 c2
an-4 an-5 b3 c3
an-6 an-7 b4 …
… … …
e2 f2
gde je: a n −1 a n − 2 − a n a n −3 a n −1 b a − b2 a n −1 c1 = 1 n − 3 b1
b1 =
; ;
a n−1 a n− 4 − a n a n −5 a n −1 b a − b3 a n−3 c 2 = 1 n −5 b1
b2 =
; ..... ; .....
. . . . f 1e2 − e1 f 2 f1 h1 = f 2
g1 =
(5.11)
Dužina redova se stalno smanjuje. Ako je red karakterističnog polinoma n, tada šema sadrži (n+1) red. Ako neki od koeficijenata nije naznačen u karakterističnom polinomu na njegovo mesto se upisuje nula. Prema Rutovom kriterijumu sistem je stabilan ako su svi koeficijenti karakterističnog polinoma pozitivni (potreban uslov) i ako u Rutovoj šemi svaki element prve kolone ima pozitivan predznak. Ako se u prvoj koloni pojavljuju negativni brojevi tada je sistem labilan. Broj promena predznaka u prvoj koloni je jednak broju polova koji su sa desne strane kompleksne ravni. Pojava nule u prvoj koloni upućuje nas na mogući koren na kompleksnoj osi. U ovom slučaju formiranje tabele nastavljamo tako što umesto nule upisujemo neki proizvoljan mali pozitivni broj. Primer br. 55.: Odrediti oblast promena parametra K tako da sistem čija je karakteristična jednačina p3 + 4p2 + 3p + K = 0 bude stabilna.
113
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
p3 p2 p1 p0 Dati sistem je stabilan ako je 3 −
1 4
3 K
K 4 K
3−
K > 0 i K > 0 , što daje: 0 < K < 12 4
Primer br. 56.: Karakteristična jednačina jednog sistema automatskog upravljanja je: p 5 + p 4 + 3p 2 + p + 2 = 0 Ispitati stabilnost sistema. Rutova šema je: p5 p4 p3 p2
1 3 1 3 0(ε ) −1 3ε + 1 2 ε 2ε 2 + 3ε + 1 0 − 3ε + 1 2 0
p1 p0
1 0 0 0 0 0
Treći element prve kolone je jednak nuli. U daljem formiranju tabele ovaj element se zamenjuje sa malim pozitivnim brojem ε > 0 i popunjavanje šeme se nastavlja sa ovom vrednošću. U četvrtom i petom redu prve kolone pojavljuju se izrazi koji su funkcije promenljive ε . U daljem postupku se utvrdi da li su granične vredosti ovih funkcija veće ili manje od nule. 3ε + 1 i >0 ε→0 ε 2ε 2 + 3ε + 1 lim = −1 < 0 ε →0 3ε + 1 lim
S obzirom da se u prvoj koloni pojavljuje negativan broj sistem je labilan. U prvoj koloni se pojavljuju dve promene predznaka što znači da karakteristična jednačina ima dva pola sa desne strane kompleksne ose.
5.2.2
Hurvicov kriterijum stabilnosti
Hurvicov i Rutov kriterijum daju iste rezultate. Na osnovu koeficijenata karakteristične jednačine formira se determinanta n-tog reda:
114
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
∆1
∆H =
an-1 an 0 0 . . . 0 0
∆2
∆3
an-3 an-5 an-2 an-4 an-1 an-3 an an-2 . . . . . . 0 0 0 0
∆ n -1 ∆ n … … … …
… …
0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . . a1 0 a2 a0
Potreban i dovoljan uslov stabilnosti je da svi koeficijenti karakteristične jednačine budu istog predznaka (potreban uslov) i da je determinanta ∆n i sve dijagonalne poddeterminante pozitivna (dovoljan uslov). Primer br. 57.: Karakteristična jednačina jednog sistema automatskog upravljanja je: T1T2 p 3 + (T1 + T2 )p 2 + p + K = 0 Koeficijenti karakteristične jednačine su: a 3 = T1T2 ; a 2 = T1 + T2 ; a 1 = 1 ; a 0 = K Hurvicova determinanta je: ∆1 ∆2 ! ! K ! T1 + T2 ! " "! ! ∆n = T1T2 1 ! " " " "! 0 T1 + T2 "
" "
∆3 ! 0 ! ! 0 ! ! K ! " " "!
Dijagonalne determinante i glavna determinanta imaju sledeće vrednosti: ∆ 1 = T1 + T2 > 0 ∆ 2 = T1 + T2 − KT1T2 > 0 ∆ 3 = K∆ 2 > 0 ; ili K > 0 1 1 + T1 T2 Primedba: Što su veće vremenske konstante, pojačanje mora biti manje da bi se zadržala stabilnost sistema. Za T1 > 0 i T2 > 0 , sistem je stabilan ako je ispunjen uslov:
115
K<
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
5.2.3
Primena Rutovog i Hurvicovog kriterijuma na diskretne sisteme
Primenom Rutovog i Hurvicovog kriterijuma određujemo da li su realni delovi svih korena karakteristične jednačine negativni. U slučaju diskretnih sistema uslov stabilnosti je da svi koreni karakteristične jednačine imaju apsolutnu vrednost manju od jedan. Karakteristična jednačina diskretnog sistema je: A( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 + ## + a 0 Ako izvršimo smenu prema bilinearnoj transformaciji 1+ w z= 1− w tada karakteristična jednačina postaje:
(5.12) (5.13)
n −1
1+ w 1+ w A(w) = a n + a n −1 + # + a0 = 0 1− w 1− w Nakon preuređivanja dobija se: n n −1 a n (1 + w) + a n −1 (1 + w) + # + a 0 = 0 n
(5.14) (5.15)
Na ovako formirani polinom A(w) može se primeniti Rutov ili Hurvicov kriterijum stabilnosti. Primer br. 58.: Karakteristična jednačina diskretnog sistema je: A( z ) = z 2 + a1 z + a 0 Oceniti stabilnost sistema. 2
1+ w 1+ w A( w) = + a1 + a0 1− w 1− w (1 + w)2 + a1 (1 + w)(1 − w) + a0 (1 − w)2 = (1 − a1 − a0 )w 2 + 2(1 − a0 )w + (1 + a1 + a 2 ) = 0 Hurvicova determinanta je: ∆=
2(1 − a 0 ) 0 (1 − a1 − a0 ) 1 + a1 + a2
Uslov stabilnosti je sada: a0 > 1
i
1 − a1 − a0 > 0
Primena Rutovog ili Hurvicovog kiterijuma na sisteme višeg reda je nepodesna zbog potreba realizacije velikog broja aritmetičkih operacija.
5.2.4
Jurijev kriterijum stabilnosti
Ako je karakteristična jednačina jednog sistema: A( z ) = a n z n + a n −1 z n −1 + ## + a 1 z + a 0 = 0 116
(5.16)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
tada je potreban uslov stabilnosti da je: A(1) > 0 (−1) n A(−1) > 0
(5.17)
Ako sada formiramo x i y matrice: a n 0 x=0 ! 0
a n −1 # # a 2 a n # # a3 0 $ # a4 ! $ $ ! 0 # # a n
a n - 2 a n -3 y= ! ! a 0
a n -3 # a 1 a 0 a n -4 # a 0 0 ! $ ! ! ! # $ 0 # # 0 0
(5.18)
i odredimo matrice R1 i R2 kao: R1 = x + y i R2 = x – y tada je sistem stabilan ako su matrice R1 i R2 inerne matrice. Jedna kvadratna matrica je inerna ako su determinante svih njenih unutrašnjih kvadratnih matrica pozitivni brojevi. U slučaju matrice 5x5 unutrašnje matrice se određuju na sledeći način: R=
b1
b2
b3
b4
b5
c1
c2
c3
c4
c5
d1
d2
d3
d4
d5
e1
e2
e3
e4
e5
f1
f2
f3
f4
f5
Primer br. 59.: Karakteristična jednačina sistema automatskog upravljanja je: A( z ) = z 5 + 2 z 4 + 4 z 3 + z 2 + 1 = 0 Oceniti stabilnost sistema. A(1) = 1 + 2 + 4 + 1 + 1 = 9 > 0 (−1) 5 A(−1) = (−1) 5 (−1) 5 + 2(−1) 4 + 4(−1) 3 + (−1) 2 + 1 = 1 > 0
(
a5 0 x= 0 0
a4 a5 0 0
a3 a4 a5 0
a 2 1 a3 0 = a 4 0 a 5 0
)
2 2 0 0
4 4 2 0
117
1 1 4 2
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
a3 a 2 y= a1 a0
a2 a1 a0 0
a1 a0 0 0
5 1 R1 = x + y = 0 1
3 2 1 0
a0 4 0 1 = 0 0 0 1 4 2 5 1 2 4 0 1
1 0 1 0
0 1 0 0
5 1 D 2 = det 0 1
3 2 1 0
4 5 2 0
− 3 1 −1 0 D4 = det 0 −1 −1 0
4 3 2 0
0 1 4 1
2 5 D1 = det = 4−5< 0 1 2
− 3 1 −1 0 R2 = x − y = 0 −1 −1 0 0 3 D3 = det =3>0 − 1 2
4 3 2 0
0 1 4 1
1 0 0 0
2 1 4 1
S obzirom da je D1<0 matrica R1 nije inerna i sistem nije stabilan.
5.2.5
Ljapunovljeva direktna metoda
Ljapunovljeve metode predstavljaju uopštenu metodu analize stabilnosti. Funkcija V(x) za koju važi da je V(0) = 0, je Ljapunovljeva funkcija nekog sistema, ako su koordinate stanja sistema x1(t), x2(t),…,xn(t) tj. vektor stanja x = x(t) rešenja vektorsko diferencijalne jednačine x% = f (x) koja opisuje dinamiku sistema. Pri tom pretpostavljamo da je f = 0, za x = 0. Funkcija V(x) je pozitivno definitna ili negativno definitna ako je u svakoj tački okruženja koordinatnog početka pozitivna ili negativna, izuzev koordinatnog početka ni u jednoj drugoj tački nije jednaka nuli. Simetrična realna kvadratna forma (5.20) V (x ) = x T P x je pozitivno definitna ako je svaka dijagonalna poddeterminanta matrice P pozitivna. Sistem automatskog upravljanja je stabilan u jednom domenu ako postoji takva funkcija V ( x) > K (K pozitivna konstanta), za koju je V% ( x) = W ( x) ≤ 0. Linearni sistem automatskog upravljanja bez prinude opisan sistemom diferencijalnih jednačina (5.21) x% = Ax 118
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
je stabilan, ako u vezi ovog sistema možemo formirati takvu pozitivno definitnu Ljapunovljevu funkciju (5.22) V ( x) = x T P x T % za koju je V ( x) = W ( x) = − x Q x negativno definitna funkcija. Pri tome je Q proizvoljna pozitivno definitna matrica. Iz jednačina (5.21) i (5.22) sledi: d T T (5.23) V% ( x) = x P x = x% T P x + x T P x% = [Ax ] P x + x T P(Ax ) = x T AT P x + x T PA x = dt = x T AT P + PA x = − x T Q x Linearan, nepobuđen sistem opisan jednačinom u prostoru stanja je stabilan, ako za pozitivno definitnu matricu Q Ljapunovljeva matrična jednačina (5.24) AT P + PA = −Q ima simetričnu pozitivno definitnu matricu P za rešenje.
(
)
[
]
Primer br.60:. Ispitati stabilnost sistema koji je opisan jednačinama stanja: − 1 1 x% = x − 1 − 1
ili
x%1 = − x1 + x2 x% 2 = − x1 − x2
Ako za matricu Q odaberemo jediničnu matricu, tada Ljapunovljeva matrična jednačina 1 0 Q= 0 1 AT P + PA = −Q uz smene postaje: − 1 − 1 p11 1 − 1 p 21
p12 p11 + p 22 p 21
p12 − 1 1 − 1 0 = p 22 − 1 − 1 0 − 1
Matrica P je simetrična tj. važi da je (p12 = p21). Nakon preuređivanja dobija se sistem jednačina: 2 p11 + 2 p12 = 1 p11 − 2 p12 − p 22 = 0 2 p12 + 2 p 22 = 1 čije je rešenje: 1 0 P= 2 0 1 2 pozitivno definitno, što znači da je dati sistem stabilan. Stabilnost se može dokazati na sledeći način: V (x ) = x T Px = [x1
1 x2 ] 2 0
0 x1 1 2 = x + x 22 ≥ 0 1 x 2 2 1 2
[
119
]
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
(
)
(
)
d 1 2 x1 + x 22 = x1 x%1 + x 2 x% 2 = x1 (− x1 + x 2 ) + x 2 (− x1 − x 2 ) = − x12 + x 22 ≤ 0 dt 2
W (x ) = V% (x ) =
5.2.6
Nikvistov kriterijum stabilnosti
Primenom Nikvistovog kriteijuma ocenjujemo stabilnost zatvorenog sistema na osnovu Nikvistove krive otvorenog sistema dobijenog prekidanjem povratne veze. U velikom broju realnih tehničkih sistema otvoreni sistemi su sami po sebi stabilni. Ovakav zaključak se uvek može izvesti na osnovu razmatranja fizičkih zakonitosti delovanja sistema. +
W1(p) ≈
W2(p)
Slika 5.4. Blok šema otvorenog i zatvorenog sistema Ako prenosna funkcija otvorenog sistema nema polove sa desne strane kompleksne ravni, tada je zatvoreni sistem stabilan samo onda ako frekventna karakteristika otvorenog sistema ne prolazi kroz tačku (-1,+j0), ili ne obuhvata ovu tačku za promene ω u opsegu od − ∞ do + ∞ . Ovo znači da treba proveriti da li zatvoreni sistem ima za komponente odziv neprigušene harmonične oscilacije kružne učestanosti ω 0 za koje je frekventna karakteristika otvorenog sistema jednaka -1. Ako na zatvoreni sistem deluje neki ulaz npr. jedinična odskočna funkcija u kojoj se pojavljuju sve učestanosti pri razvoju u Furijeov red, tada će nakon određenog vremena isčeznuti sve komponente odziva izuzev komponente sa kružnom učestanošću ω0 .
1 1
ωP
a
-1 ϕP
-1 ωR ωP
a
ϕP
ωR
ϕ ′P
ϕ ′P
M ( jω)
M ( jω)
nestabilan
stabilan
Slika 5.5 Ocena stabilnosti na osnovu Nikvistovog dijagrama 120
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Primer br. 61.:Oceniti stabilnost sistema čija je prenosna funkcija otvorenog sistema:
[ ]
86 s -1 W ( jω ) = jω (1 + j 0.02ω )(1 + j 0.03ω ) Za crtanje Nikvistovog dijagrama određujemo izraze za proračun faze i amplitude prenosne funkcije u formi: 86 W ( jω ) = −4 ω 1 + 4 ⋅ 10 ω 2 1 + 9 ⋅ 10 − 4 ω 2
(
)(
)
ϕ (ω ) = −(90 o + arctg 0.02ω + arctg 0.03ω ) Za neke frekvencije ove vrednosti će biti sledeće:
[ ]
100
∞
3.43 1.83 1.08 0.74 0.12
0
0
10
W ( jω)
∞
8.1
ϕ(ω)
-90 -118 -143 -163 -178 -191 -226 -270
ω s −1
[] o
20
30
40
50
Nikvistov dijagram datog sistema je prikazan na slici 5.6. j 50
40
-3
-2
-1 30
100
-1
+ 1
-2 20
-3 -4
Slika 5.6. Ocena stabilnosti na osnovu Nikvistovog dijagrama Sa skice Nikvistove krive možemo zaključiti da kriva prolazi kroz tačku -1+j0 što znači da sistem nije stabilan.
5.2.7. Rezerva faze i rezerva amplitude Primenom Nikvistovog dijagrama relativno lako se može steći uvid u uticaj pojedinih parametara na stabilnost sistema. Nikvistov dijagram omogućava uvođenje pojma relativne stabilnosti tj. omogućava određivanje brojne vrednosti promene parametra koji sistem dovodi ili vraća do granice stabilnosti. 121
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ako spojimo jednim radijus vektorom početak koordinatnog sistema sa presekom Nikvistove krive i jediničnog kruga, tada ovaj radijus vektor sa negativnom realnom osom zaklapa ugao koji se naziva rezervom faze. j
R=1
ϕt < 0
ϕt > 0
Y( jω)
Slika 5.7. Određivanje rezerve faze Sa slike sledi da je: ϕ = π − ϕt . Odakle je rezerva faze: ϕt = π − ϕ . Ugao ϕ se meri od pozitivne realne ose do radijus vektora preseka Nikvistove krive i jediničnog kruga u smeru koji je suprotan kretanju kazaljke na satu. Ako je ϕ < π , tada je ϕ t > 0 , i sistem je stabilan Ako je ϕ = π , tada je ϕ t = 0 , i sistem je na granici stabilnosti Ako je ϕ > π , tada jer ϕ t < 0 , i sistem je labilan Stabilnost sistema se može utvrditi i na osnovu rezerve amplitude d. Rezerva amplitude d je razlika između udaljenosti presečne tačke Nikvistove krive W ( jω) i negativne realne ose i tačke–1 na realnoj osi. j
χL >1
ϕ tL < 0
+
ϕtH = 0
ϕ tS > 0
L
χS < 1
χH =1
H S
Slika 5.8. Rezerva amplitude i veza između rezerve faze i rezerve amplitude 122
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ako je d > 0 , sistem je stabilan Ako je d = 0 , sistem je na granici stabilnosti Ako je d <0 , sistem je labilan Rezerva amplitude i faze su mere osiguranja stabilnosti. Primer br. 62:. Oceniti stabilnost sistema čiji je frekventni prenos 4 W ( jω ) = (1 + jω )3 Učestanost ω o pri kojoj Nikvistova kriva seče realnu osu određuje se kao − 3 arctgω o = −180 odakle je ωo = 3 Apsolutna vrednost amplitude pri kružnoj učestanosti ω o je: 4 W j 3 = = 0.5 < 1 2 3 1 + 3 sistem je znači stabilan s obzirom da je d = 1 − 0.5 = 0.5 . Za određivanje rezerve faze izračunavamo presečnu učestanost ω c za koju je apsolutna vrednost jednaka 1. 4 =1 2 3 1+ ωc
( )
(
( )
)
Odavde sledi da je ω c = 1.23 s -1 . Rezerva faze je: ϕ t (1.23) = π − ϕ (1.23) = 180 o − 152.7 o = 27.3o .
5.2.8. Primena Bodeovih dijagrama za ocenu stabilnosti Iz Bodeovog dijagrama relativno jednostavno se može odrediti vrednost rezerve faze i amplitude. Rezerva faze je ugao između radijus vektora presečne tačke Nikvistove krive i jediničnog kruga i negativnog dela realne ose. Jediničnom krugu u Bodeovom dijagramu odgovara osa na kojoj je vrednost pojačanja 0dB. Presečnoj tački jediničnog kruga i Nikvistove krive odgovara presečna tačka ose za koju je pojačanje 0dB i Bodeovog dijagrama. Ako ovoj tački odgovara faza od –180o sistem je na granici stabilnosti.
123
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
A(ω)
Stabilan Granica stabilnosti Labilan
ω
ϕ(ω) ω +χ
-180o
χ=0
−χ
Slika 5.9. Bodeov dijagram labilnog, stabilnog sistema i sistema koji je na granici stabilnosti Stabilnost se može oceniti i na osnovu rezerve amplitude. Ako fazi od − 180 o odgovara amplituda od 0dB sistem je na granici stabilnosti. Ako je pri toj fazi amplitudni deo iznad 0dB sistem je labilan, a ako je pri toj fazi amplitudni deo ispod 0dB sistem je stabilan. Kod sistema minimalne faze stabilnost se može oceniti iz nagiba amplitudne karakteristike. Sistem automatskog upravljanja je minimalne faze ako nema nule sa desne strane kompleksne ravni. Ako amplitudno-frekventna karakteristika seče osu za koju je pojačanje 0dB pod nagibom od − 20 dB dek sistem je stabilan. Ako je ovaj nagib –60dB sistem je labilan. Ako je nagib − 40 dB dek neophodno je sprovesti detaljna ispitivanja (za jednu dekadu frekvencija raste na svoju desetostruku vrednost). Amplitudno-frekventna karakteristika kod sistema minimalne faze se može menjati u jednoj oblasti frekvencija a da se pri tom ne menja faza i obrnuto. Ovaj stav se može veoma uspešno primeniti u sintezi sistema. ϕ(ω)
a (ω) a (ω) ω0
∞ ϕ(ω)
Slika 5.10. Oblasti nezavisnosti amplituda i fazne karakteristike 124
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
5.2.9. Geometrijsko mesto korena Geometrijsko mesto korena predstavlja skup tačaka koje određuju položaj polova (rešenja karakteristične jednačine) zatvorenog sistema u kompleksnoj ravni, ako se vrednost nekog parametra (pojačanje, vremenska konstanta itd.), menja od nule do beskonačnosti. Ručno crtanje geometrijskog mesta korena je relativno zamoran posao. Problematika crtanja se značajno umanjuje ako se primeni odgovarajuća računarska podrška. Položaj polova direktno određuje uslove stabilnosti i oblik prelazne karakteristike zatvorenog sistema. Geometrijsko mesto korena znači uspostavlja direktnu vezu između uslova stabilnosti i vrednosti nekog parametra. Na slici 5.11. je prikazana formalna skica geometrijskog mesta korena nekih sistema.
125
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
0
Z P
Prenosna funkcija
1 Geom.mesto korena
K
x
K s
Geom. mesto korena
Prenosna funkcija 1 + sT1 1 + sT2
x
T1 > T2
1 K 1 + sT
x
K
1 + sT1 1 + sT2
x
T2 > T1
x
K (1 + sT1 )(1 + sT2 )
x
K (1 + sT2 ) (1 + sT1 )(1 + sT3 )
x
x x
x
2
x x
K 1 + s 2ζ T + s 2 T 2
K
1 + s 2ζ T + s 2 T 2
x
(1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
x
K (1 + sT1 )
x
K (1 + sT4 ) (1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
x
x
xx
3 K
(1 + s2ζT1 + s )(1 + sT2 ) 2
x
T12
K s(1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
x x
(1 + s2ζT2 + s 2 T22 )(1 + sT3 ) K (1 + sT ) s(1 + sT1 )(1 + sT2 )(1 + sT3 )
x
x
x
K (1 + sT1 )
x
x
xx x
x
4
x
(
K
s(1 + sT1 )1s + 2ζT2 + s 2 T22
)
x K (1 + sT )
x
x
(
s(1 + sT1 )1 + s 2ζT2 + s 2 T22
x
x
) x
Slika 5.11. Primeri za geometrijsko mesto korena 126
x
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
5.3.
Osnovi teorije osetljivosti
Zadatak ispitivanja osetljivosti u osnovi se svodi na procenu uticaja promene parametara na stanje sistema. Sistem automatskog upravljanja se može smatrati utoliko boljim ukoliko je njegova osetljivost manja tj. ukoliko promene nekog parametra ili unutrašnje strukture manje utiču na stanja sistema. Pri analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja parametri, prenosni faktori i vremenske konstante se smatraju konstantnim. Zbog uticaja okruženja i unutrašnjih promena (npr. zagrevanje, zamor itd.) parametri se u manjoj ili većoj meri menjaju u toku rada. U nekim slučajevima promene parametara se namerno vrše. U svim ovim slučajevima neophodno je utvrditi koje će se promene dogoditi u stanjima sistema zbog promene parametara ili strukture (npr. uvođenje povratne veze) sistema. Osetljivost se kvantitativno može izraziti na osnovu izraza: d ln T (k ) dT (k ) T (k ) k dT (k ) = = d ln k dk k T (k ) dk
S kT ( k ) =
gde je T(k) funkcija parametra k T(k) u opštem slučaju može biti prenosna funkcija, pojačanje, vremenska konstanta itd. Primer br. 63.: Pojačanje nekog sistema u stacionarnom stanju određeno je izrazom: K 1G T= 1+ K 2 G u kom parametri imaju sledeće vrednosti K1 =0 ±1 ; K2 = ±1 i G =5. Oceniti osetljivost stacionarnog stanja na promene parametara K1 i K2. K1 dT(K 1 ) = T (K1 ) dK1
S KT1(K1 ) =
K1 K 1G 1 + K 2G
K 1G d 1 + K 2 G 1 + K 2 G G ⋅ = ⋅ =1 1 + K 2G dK 1 G
Pojačanje u stacionarnom stanju menja se srazmerno promenama pojačanja K1.
S KT 2(K 2 ) =
K 2 dT (K 2 ) = T (K 2 ) dK 2
S KT 2(K 2 )
G =5
=−
K2 K 1G 1 + K 2G
K 1G d 1 + K 2 G K 2 (1 + K 2 G ) − K 12 G 2 K 2G ⋅ = ⋅ =− 2 1 + K 2G dK 2 K 1G K 1 (1 + K 2 G )
5K 2 K2 ⋅5 =− 1 + 5K 2 1 + 5K 2
S KT 2(K=72 ) =
5⋅7 = 0.972 1+ 5⋅ 7
S KT 2(K=82 ) =
5 ⋅8 = 0.975 1+ 5⋅8 127
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
5⋅9 = 0.978 1+ 5⋅9 Pojačanje u stacionarnom stanju ne menja se sa promenama parametra K2 . S KT 2(K=92 ) =
5.4
Robustnost
Osnovni zadatak sistema automatskog upravljanja se svodi na stabilno i kvalitetno ostvarivanje projektovanog upravljačkog algoritma. Stvarno stanje sistema automatskog upravljanja razlikuje se od polaznih postavki uzetih pri projektovanju zbog: 1. nesavršenosti matematičkog modela; 2. netačnosti u određivanju parametara i promena parametara u toku vremena; 3. netačnosti merenja itd. Stepen nesavršenosti i netačnosti polaznih postavki za projektovanje se u principu može samo proceniti a ne i tačno odrediti. Zbog prisustva odstupanja između realnog sistema i njegovog apstraktnog modela kako u početnoj fazi sinteze, tako i u toku rada sistema, algoritme upravljanja treba odabrati tako da neutrališu negativne efekte kvalitativnih i kvantitativnih odstupanja na ponašanje sistema automatskog upravljanja. Rešenje se traži u formiranju takvih algoritama upravljanja koji su u značajnoj meri neosetljivi tj. robustni na neizvesnosti u poznavanju matematičkih modela i parametara sistema. Povećavanje stepena robustnosti nekog sistema je problem koji se na specifičan način mora rešavati od slučaja do slučaja. U većini slučajeva primena negativne povratne veze daje veoma povoljne efekte. Efikasnost primene negativne povratne veze veoma efektno ilustruje sledeći primer: Pojačanje jednog operacionog pojačivača se menja zavisno od uslova i kvaliteta proizvodnje u granicama od 104 do 105 . Prenosna funkcija operacionog pojačivača je: K G o (p ) = (1 + pT )(1 + pT1 )2 gde je K = 104 – 105 ; T1 = 10-2 s i T2 = 10-6 s. Ako primenimo negativnu povratnu vezu kao što je to prikazano na slici 5.12. R2 R1 Vo V1
V2
Slika 5.12. Šema operacionog pojačivača sa negativnom povratnom vezom tada prenosna funkcija zatvorenog sistema postaje:
128
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
R2 ⋅ R1
1 R 1R 2 1+ R 1G o Ako za korišćene otpornike važi da je R 1 R 2 = 100 , tada je 1 G z ( p ) = −100 ⋅ 101 1+ Go Pojačanje zatvorenog sistema će se menjati između vrednosti: 100 − 100 G z ( p )min p →0 = =− = −99.000099 4 101 1.0101 K =10 1+ 4 10 100 − 100 G z ( p )max p →0 = =− = −99.899 5 101 1.00101 K =10 1+ 105 G z (p ) = −
Iako se pojačanje otvorenog sistema menja u granicama 1:10, primenom negativne povratne veze pojačanje zatvorenog sistema se svodi na raspon ispod 1:100 . Negativna povratna veza u ovom slučaju je u značajnoj meri povećala robustnost zatvorenog sistema na promene pojačanja otvorenog sistema. Prikazani postupak povećanja robustnosti jednog sistema je u principu relativno jednostavan, ali je veoma ilustrativan. Kod većine tehničkih sistema povećanje robustnosti se može postići primenom znatno složenijih postupaka.
129
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
5.5. Kriterijumi za ocenu kvaliteta sistema automatskog upravljanja Sistem automatskog upravljanja može ostvarivati svoje funkcije samo ako je stabilan. Pored stabilnosti sistem automatskog upravljanja mora zadovoljiti i druge kvalitativne zahteve koji se ocenjuju primenom kriterijuma za ocenu kvaliteta ponašanja. Kriterijumi za ocenu kvaliteta u vremenskom domenu se uglavnom odnose na grešku ustaljenog stanja i formu uspostavljanja ustaljenog stanja. Kriterijumi za ocenu kvaliteta se analitički definišu za odziv sistema na jediničnu skokovitu promenu ulaza tj. na prelaznu karakteristiku. Prelazna karakteristika jednog stabilnog sistema može biti monotona, aperiodična i oscilatorna.
Slika 5.13. Monotona (a), aperiodična (b) i oscilatorna (c) prelazna karakteristika stabilnog sistema Kvalitet sistema se ocenjuje na osnovu sledećih karakterističnih veličina: a) Vreme smirenja (tS) je vreme koje je potrebno da se amplituda odziva razlikuje od vrednosti u ustaljenom stanju za ± ∆ % . h(t ) − h(∞ ) , za t ≥ t s (5.16) ∆≤ h(∞ ) b) Greška ustaljenog stanja (∆ )se obično usvaja kao ± 5% ; ± 2% ; ili ± 1% . c) Preskok: h(t ) − h(∞ ) 100[%] (5.17) σ = c h(∞ ) je razlika između prvog maksimuma nastalog u vremenu preskoka tC i stacionarnog stanja odziva izražen u procentima stacionarnog stanja odziva. Preskok u većini slučajeva ima vrednost od 10 do 30 % . U ekstremnim slučajevima može imati vrednost od 70% . d) Kružna učestanost ω = 2π T i perioda oscilacija T koja se definiše kao vreme između dva sukcesivna maksimuma u odzivu sistema. e) Broj oscilacija (NL) koje odziv učini za vreme koje je jednako vremenu smirenja N L ≈ t S T . U većini slučajeva broj oscilacija sme da bude između jedan i dva. U ekstremnim slučajevima se prihvataju i odzivi koji načine tri ili četiri oscilacije. Uz poznate kriterijume za ocenu kvaliteta sistema uvek se može skicirati oblast prihvatljivih odziva upravljenog sistema na jediničnu skokovitu promenu ulaza.
130
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
h(t)
σ 2∆ h (∞ ) t tS Slika 5.14. Oblast prihvatljivih odziva
5.5.1
Dominantan par polova
Ponašanje nekog sistema automatskog upravljanja određeno je položajem nula i polova. Ako prenosna funkcija objekta ima više realnih ili kompleksnih polova tada se procena oblika odziva na pojedinačnu skokovitu promenu ulaza može sa zadovoljavajućom tačnošću odrediti na osnovu položaja polova koji su najbliži kompleksnoj osi. Ako je najbliži par polova određen konjugovano kompleksnim brojevima tada je ovaj par polova dominantan. Svođenje ocene dinamičkog ponašanja nekog sistema na kriterijume koji se zasnivaju na dominantnim polovima u principu predstavlja redukciju sistema na sistem drugog reda. Sistem sa dominantnim parom polova σ 0 ± jω d ima prenosnu funkciju:
σ o2 + ω d2 ω o2 W (p) = = ( p + σ o − jω d )( p + σ o + jω d ) p 2 + 2ξω o p + ω o2
(
(5.18)
)
gde je ω o prirodna kružna učestanost ω o2 = σ o2 + ω d2 ; ξ prigušenje; σ o = ξω o realni deo dominantnog pola ili izložilac prigušenja; ω d = 1 − ξ 2 ω o kružna učestanost prigušenih oscilacija.
131
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
−σ o + jω d
+j jω o
jω d = jω o 1 − ξ 2
ψ d = π − arccos ξ
+ −σ o = −ξω o −σ o − jω d
Slika 5.15. Dominantan par polova Prelazna karakteristika sistema određenog dominantnim parom polova je: h(t ) = 1 +
(
ω o −ξω ot 1 sin (ω d t − ϕ d ) = 1 + e e −ξω ot sin ω o t 1 − ξ 2 − ϕ d 2 ωd 1−ξ
)
(5.19)
1−ξ 2 ω gde je ϕ d = π − arctg d = π − arctg . ξ ωo Na osnovu gornjeg izraza mogu se odrediti pokazatelji kvaliteta sistema. Vreme preskoka određivanjem ekstremnih vrednosti odziva dobija se kao: π π (5.20) tC = = ωd ωo 1− ξ 2 Ako je greška ustaljenog stanja 5% tada je vreme smirenja određeno kao: 3 3 = tS = σ o ξω o ili ako je ta greška 2% 4 4 tS = = σ o ξω o Maksimum odziva je: −
πσ o ωd
h(t C ) = 1 + e = 1 + e −πξ Broj oscilacija odziva je: ω t 3 1−ξ 2 NL = d d = = ξ 2π 2π
1−ξ 2
(5.24)
p+2 p + 2 p + 2.25 p + 1.25 Oceniti pokazatelje kvaliteta sistema: W (p) =
3
2
p+2 p+2 = p + 2 p + 2.25 p + 1.25 ( p + 1)( p + 0.5 + j )( p + 0.5 − j ) 3
(5.22)
(5.23)
Primer br. 63.: Prenosna funkcija sistema automatskog upravljanja je: W (p) =
(5.21)
2
132
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Redukovani sistem sa dominantnim parom polova je: 1 1.25 1 1.25 Wd ( p ) = = 2 2.25 ( p + 0.5 + j )( p + 0.5 − j ) 2.25 p + p + 1.25 1 ω o = 1.25 = 1.118 s 1 1 ξ= = = 0.447 2ω o 2 ⋅ 1.118 π π tC = = = 3.14[s ] 2 ωo 1 − ξ 1.118 1 − 0.447 2 3 3 tS = = = 6[s ] ξω o 0.447 ⋅ 1.118 h(t ) = 1 + e NL =
−
πξ 1−ξ 2
= 1.208
3 1− ξ = 0.855 2π ξ 2
Ako sistem pored dominantnih polova poseduje i druge polove i nule tada se pokazatelji kvaliteta menjaju prema sledećem: - pojava novog pola povećava vreme prvog maksimuma i smanjuje preskok; - pojava nule smanjuje vreme prvog maksimuma i povećava preskok; - efekti polova i nula koji se nalaze na istom mestu ili su međusobno veoma bliski se međusobno potiru
5.5.2
Ocena kvaliteta na bazi geometrijskog mesta korena
Geometrijsko mesto korena određuje položaj polova nekog sistema automatskog upravljanja u funkciji rednog parametra. Položaj polova jednoznačno određuje prelaznu karakteristiku sistema. Iz kretanja linija geometrijskog mesta korena sem ocene stabilnosti može se dobiti informacija za ocenu kvaliteta sistema. Vreme smirenja određuje realni deo σ o pola koji je najbliži kompleksnoj osi. Za grešku ustaljenog stanja od ( ∆ = ±5% ) vreme smirenja je određeno izrazom: 3 tS ≈ σo Ako je pojačanje nekog zatvorenog sistema KC, tada se iz položaja dominantnog para polova može odrediti realni deo dominantnog pola i izračunati vreme smirenja.
133
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
+j KC
X
X
+
X
σh ≈ KC
3 T
Slika 5.16. Određivanje vremena smirenja primenom geometrijskog mesta korena. Sklonost ka oscilaciji odziva određuje imaginarni deo dominantnog para polova ω d . ω d je funkcija prigušenja ξ . Ako je pojačanje nekog zatvorenog sistema KC, tada se na osnovu poznatog geometrijskog mesta korena može odrediti realni deo σ o i imaginarni deo ω d dominantnog pola. Prigušenje sistema se na osnovu ovih parametara određuje primenom izraza: σo ξ= (5.26) ω d2 + σ o2 U slučaju da sistem ima više polova i nula pri oceni kvaliteta treba uzeti u obzir i njihove efekte.
5.5.3
Ocena kvaliteta na osnovu frekventnih karakteristika
Frekventne karakeristike se mogu primeniti i za ocenu kvaliteta sistema. Između maksimuma frekventne karakteristike (Mmax ) i amplitude prelazne karakteristike, kao i presečne učestanosti i vremena smirenja, postoje jednoznačne kvalitativne relacije.
Slika 5.17. Karakteristične veličine prelazne karakteristike i amplitudno-frekventne karakteristike
134
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Kod presečne učestanosti (ωc) amplitudno-frekventna karakteristika sistema ima amplitudu jednaku 1. Što je veća amplituda amplitudno-frekventne karakteristike (Mmax), time je veća i amplituda odziva na jediničnu skokovitu promenu ulaza (hmax). Između ovih vrednosti postoji sledeća relacija: 1.5 < Mmax tada je hmax ≤ Mmax – 0.1 1.25 < Mmax < 1.5 tada je hmax ≈ Mmax Mmax < 1.25 tada je hmax < Mmax Što je veća presečna učestanost (ωc), time je manje vreme smirenja (tS). Između ovih vredosti postoji relacija: 3π π < tS < ωC ωC Ako je presečna učestanost nekog sistema velika, tada ona bez prigušenja prenosi signale više učestanosti, tj. sistem prenosi signal sa višim nivoom verodostojnosti. Ako je presečna učestanost mala, sistem prigušuje neke harmonične komponente (filtrira visoke učestanosti) i prenos signala gubi u svojoj verodostojnosti. Ako neki sistem ima rezervu faze φt, tada između maksimuma amplitudno-frekventne karakteristike i maksimuma odziva na jedinični skok uspostavljaju se sledeće relacije: Ako je φt = 30º , Ako je ϕt = 45°, Ako je ϕt = 60°,
5.5.4
tada je Mmax ≅ 1.9 i hmax ≤ 1,8 tada je Mmax ≅ 1.3 i hmax = 1.3 tada je Mmax =1 i hmax = 1
Integralni kriterijumi kvaliteta
Uporedna analiza kvaliteta različitih sistema ili istih sistema sa različitim parametrima na osnovu pokazatelja kvaliteta izvedenih iz ocene prelazne karakteristike (vreme smirenja, preskok itd.) je često nejednoznačan problem. Pokazatelji kvaliteta ističu samo jednu određenu tačku a ne i celi tok prelazne karakteristike. Integralni kriterijumi se formiraju na bazi celog toka odvijanja neke dinamičke promene u sistemu i svakoj proizvoljnoj funkciji x(t) koja se može dovesti u vezu sa sistemom dodeljuju jednu brojnu vrednost. Integralni kriterijumi u matematici predstavljaju funkcionale. Pri analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja koriste se različiti integralni kriterijumi. Od ovih su najznačajniji: a) Linearni integralni kriterijumi (IL) ∞
I L = ∫ [h(∞ ) − h(t )]dt
(5.27)
0
Linearni integralni kriterijum određuje površinu između ustaljene vrednosti odziva i prelazne karakteristike. Primenljiv je samo kod sistema kod kojih je prelazna karakteristika monotona funkcija vremena. h (∞ )
h (∞ ) IL
h(t) t 135
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slika 5.18. Linearni integralni kriterijum Ako se prenosna funkcija nekog sistema zapiše u sledećoj opštoj formi:
r
p W ( p ) = q Ke −τp p
∏ (1 + pTdi )⋅ ∏ (1 + 2ξd iToi c
d
i =1
i =1 f
∏ (1 + pT )⋅ ∏ (1 + 2ξ T e
i
i =1
i ai
i =1
p + p 2Toi2 p+p T 2
2 ai
)
)
(5.28)
tada je vrednost linearnog integralnog kriterijuma određena izrazom: e
f
c
d
i =1
i =1
i =1
i =1
I L = τ + ∑ Ti + ∑ 2ξ iTai − ∑ Tdi − ∑ 2ξ diToi
(5.29)
Sistem automatskog upravljanja je utoliko bolji po ovom kriterijumu ukoliko je vrednost za IL manja. b) Kvadratni kriterijum (I2) Kvadratni kriterijum je opisan funkcionalom: ∞
I 2 = ∫ [h(∞ ) − h(t )] dt 2
0
Ovaj kriterijum svako odstupanje uzima u obzir sa pozitivnim predznakom. Zbog kvadriranja veća odstupanja se jasnije ističu tj. značajnije učestvuju u određivanju vrednosti integrala, a mala odstupanja gube svoj značaj. Iz brojne vrednosti integrala teško se može odrediti da li se ima prelazna karakterstika sa malim ili velikim preskokom, malom ili velikom vrednošću vremena smirenja, sporost ili brzinu prigušenja itd. c) ITAE kriterijum Ako u odstupanju [h(∞ ) − h(t )] ista amplituda nastaje kasnije (veliko vreme smirenja), tada se ponašanje sistema može okarakterisati kao loše. Da bi se prisustvo kasnijih i dugotrajnih odstupanja ocenilo lošom ocenom, celishodno je vrednost odstupanja ispod integrala uneti tako što se ista množi sa tekućim vremenom. Na ovaj način na vrednost integrala značajnije utiču odstupanja koja nastaju kasnije. Ako odziv ima oscilatorni karakter tada u linearnom kriterijumu efekti pozitivnih i negativnih odstupanja se potiru i kvalitet odziva se nerealno ocenjuje. Da bi se ovaj nepovoljan efekat na ocenjivanje eliminisao sva odstupanja treba uzeti sa istim predznakom. ITAE kriterijum otklanja gore uočene nedostatke ocenjivanja na bazi linearnog kriterijuma uzimajući kao podintegralnu funkciju proizvod apsolutne vrednosti odstupanja i vremena: ∞
I ITAE = ∫ h(∞ ) − h(t ) t dt 0
Prema ITAE kriterijumu optimalnim se smatraju zatvoreni ili otvoreni sistemi automatskog upravljanja ako koeficijenti njihovih prenosnih funkcija imaju vrednosti koje su date u sledećoj tabeli:
136
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
n
a8
a7 W (s ) =
1 2 3 4 5 6 7 8
1.00
1.00 5.20 W (s ) =
2 3 4 5 6
a6
a5
a4
a3
a2
a1
a0
1.00 1.40 2.11 2.70 3.40 3.95 4.58 5.15
1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
1.00 1.75 4.93 6.30 14.14
3.20 3.25 5.14 5.24 5.76
1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
2.97 7.88 13.44 19.30
4.94 5.93 7.36 8.06
1.00 1.00 1.00 1.00
a 0ω 0n a n s n + a n −1 ω 0 s n −1 + ! + a1 ω 0n −1 s + a 0 ω 0n
1.00 4.475 12.80
1.00 3.25 10.42 21.60
1.00 2.80 6.60 15.08 25.75
1.00 2.10 5.00 8.60 15.54 22.20
1.00 1.75 3.40 5.50 7.45 10.64 13.30
a1ω 0n −1 s + a 0ω 0n a n s n + a n −1 ω 0 s n −1 + ! + a1 ω 0n −1 s + a 0 ω 0n
1.00 1.00 2.41 1.00 2.19 6.50 1.00 6.12 13.42 17.16 a 2ω 0n − 2 s 2 + a1ω 0n −1 s + a 0ω 0n W (s ) = a n s n + a n −1 ω 0 s n −1 + ! + a1 ω 0n −1 s + a 0 ω 0n
3 4 5 6
1.00
1.00 3.93
1.00 3.81 11.68
1.00 3.71 9.94 18.56
Na osnovu prethodnog prikaza nekih integralnih kriterijuma, može se steći uvid u mogući široki izbor različitih integralnih kriterijuma. Pri tome treba voditi računa da se ne može izvršiti nikakvo uopštavanje. Naime, ako je jedan sistem optimalan po jednom kriterijumu to nikako ne znači da će on biti optimalan i po drugom kriterijumu. Prednost integralnih kriterijuma leži u činjenici da se kvalitet sistema ocenjuje pridruživanjem jednoznačno određenog i objektivnog mernog broja. Upoređivanjem mernih brojeva mogu se međusobno uporediti i različiti sistemi.
5.5.5
Upoređivanje metoda za ocenu kvaliteta sistema automatskog upravljanja
Kategorizacija metoda za ocenu kvaliteta sistema automatskog upravljanja se poklapa sa metodama analize rada sistema automatskog upravljanja. Naime, i ocena kvaliteta i analiza sistema se mogu ostvariti u: - vremenskom domenu i - frekventnom domenu U vremenskom domenu se posebno ističu pokazatelji kvaliteta kao što su: σ - preskok, tS – vreme smirenja, NL – broj oscilacija, 137
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
a u frekventnom domenu: Mmax – maksimum amplitudne karakteristike ωc – presečna učestanost Koncentrovana forma ocene kvaliteta se može izvesti primenom integralnih kriterijuma. Primenjuju se uglavnom u postupcima uporednih analiza. Smatramo da je neki sistem automatskog upravljanja bolji od drugog ako uz kraće vreme smirenja i manji preskok može pratiti signal sa ulaza, ili, ako za kraće vreme i uz manji preskok može otkloniti negativne efekte smetnji. Pravilan izbor i ocena kriterijuma kvaliteta je veoma značajna faza u analizi i sintezi sistema automatskog upravljanja. Ocena kvaliteta se najbrže može izvesti primenom frekventnih metoda. Uporedna analiza je efikasnija primenom integralnih kriterijuma.
138
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
6. Karakteristični elementi sistema automatskog upravljanja Složeni sistemi automatskog upravljanja se formiraju od tipičnih ili karakterističnih elemenata. Prenosne karakteristike sistema možemo odrediti na osnovu poznavanja prenosnih karakteristika članova koje čine sistem. Elementi različite prirode, konstrukcije i izrade imaju mnogo sličnosti u pogledu svojih prenosnih karakteristika. Elementi sistema automatskog upravljanja se matematički modeliraju. Matematički modeli se zatim svode na najjednostavnije moguće apstraktne forme. Na osnovu tipičnih formi jednačina, može se izvršiti kategorizacija elemenata na tipske ili karakteristične elemente. Proučavanje i prepoznavanje tipskih elemenata može u značajnoj meri olakšati zadatke analize, sinteze, održavanja i opravke sistema automatskog upravljanja. Potpun uvid u ponašanje karakterističnih elemenata može se steći samo na osnovu proučavanja statičkih i dinamičkih osobina. Proučavanje prenosnih osobina karakterističnih elemenata se ostvaruje na osnovu prelaznih karakteristika h(t), težinske funkcije g(t), prenosne funkcije W(p), impulsne prenosne funkcije W(z) ili frekventnog prenosa W(jω). Osnovne osobine karakterističnih elemenata se određuju na osnovu diferencijalnih jednačina koje opisuju dinamičke promene u elementu. Diferencijalne jednačine povezuju promene izlaza (leva strana) i promene ulaza (desna strana). Opšta forma diferencijalne jednačine koja opisuje neki element može imati sledeći oblik: d n y (t ) dy (t ) du (t − τ ) du (t − τ ) (6.1) Tn'' + ... + T1 + y (t ) = K Tdmm + ... + Td 1 + u (t − τ ) n m dt dt dt dt Akumulatore energije ili materije u diferencijalnoj jednačini reprezentuju vremenske konstante T. Red najvišeg izvoda sa leve strane diferencijalne jednačine mora biti jednak broju akumulatora energije ili materije u sistemu. Svaki novi akumulator koji bi se uneo u sistem povećao bi red diferencijalne jednačine. Vremenska kašnjenja pri prolazu signala kroz neki element nastaju zbog: a) inercijalnih kašnjenja u elementu b) transportnih kašnjenja. Naime, u nekim sistemima zbog prenosa materije i energije promene na ulazu se verno prenose na izlaz tek nakon isteka mrtvog vremena (τ). Ustaljeno stanje sistema nastaje ako svi izvodi izlaza postanu jednaki nuli tj. ako važi da je: d n y (t ) dy (6.2) = 0;.....; lim =0 lim n t →∞ t → 0 dt dt Odnos amplituda izalaza (y(∝)) i ulaza (u(∝)) u ustaljenom stanju određuje prenosni faktor K. Jedinica mere prenosnog faktora je određena količnikom jedinica mere izlaznog i ulaznog signala. Ako je prenosni faktor neimenovani broj tada je pojačanje. Jednačina (6.1) samo u ograničenom opsegu opisuju dinamičko. Opšta diferencijalna jednačina (6.1) se nakon izbora odgovarajućih koordinata stanja može zapisati u vidu jednačina stanja: •
(6.3) x = Ax + Bu y = Cx + Du U zavisnosti od izbora koordinata stanja jedan te isti sistem može imati različite jednačine stanja. Ako se u sistemu automatskog upravljanja bar jedan signal uzorkuje sa vremenom uzorkovanja T0 , tada se jednačine stanja zapisuju u vidu diskretnih jednačina stanja. Diskretne jednačine stanja se zapisuju u vidu n diferentnih jednačina.
141
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Primenom Laplasove ili Z transformacije određuje se matrica prenosa, prenosna funkcija, impulsna matrica prenosa, impulsna prenosna funkcija ili frekventni prenos sistema. Prenosna funkcija ili element matrice prenosa se može u opštem slučaju zapisati kao: B( p ) −τp W (p) = K e = A( p )
m
p
q
i =1
i =1 n
i =1
(
)
∏ K i ∏ (Tdi ± p )∏ Tdi2 p 2 ± 2ξTdi p ± 1 p
l
∏ (T j =1
j
(
)
p ± 1)∏ T j p ± 2ξT j p ± 1 r
j =1
2
Opšti oblik matrice prenosa se formira od sledećih karakterističnih elemenata: 1 W ( p ) = K ;W ( p ) = Ti p ± 1;W ( p ) = Ti 2 p 2 ± 2ξ i Ti p ± 1;W ( p ) = l p 1 1 1 ;W ( p ) = 2 2 ;W ( p ) = l W (p) = Tj p ±1 T j p ± 2ξ j T j p ± 1 p
(6.4)
(6.5)
Tip i parametre prenosnih funkcija određuju konstruktivne odlike elemenata. Na osnovu odnosa vrednosti signala u ustaljenom režimu rada, elementi sistema automatskog upravljanja se svrstavaju u sledeće kategorije: a) Proporcional član - amplituda izlaza je proporcionalna amplitudi ulaza (6.6) y (∞ ) = KU (∞ ) b) Integralni član - amplituda izlaza je srazmerna sa integralom ulaza t dy (t ) K = Ku (t ) → y (∞ ) = ∫ u (t )dt + c (6.7) lim T t →∞ dt T 0 c) Diferencijalni član - amplituda izlaza je srazmerna izvodu ulaza du (t ) (6.8) y (∞ ) = AD dt d) Član sa mrtvim vremenom (6.9) y (t ) = u (t − τ ) Gore navedene kategorije imaju niz podvarijanti u zavisnosti od broja inercijalnih elemenata tj. akumulatora energije ili materije.
6.1 Proporcionalni članovi Idealni proporcionalni član ne poseduje akumulator energije i/ili materije. Skica nekih proporcionalnih elemenata je prikazana na slici 6.1.:
a)
b)
R1
s2 U R2
Y
s1
l1
142
l2
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Y=
R2 U R1 + R2
s2 =
d)
U
c)
l2 s1 l1
r1 α1
R+∆R R r2
α2 α
Y R
Y=
R
∆R U 4 R + 2∆R
α2 =
r1 α1 r2
Slika 6.1. Idealni proporcionalni članovi Ponašanje idealnog proporcionalnog člana opisuju sledeće jednačine ili karakteristike: 1) Diferencijalna jednačina: y (t ) = K ob u (t ) 2) Diferentna jednačina: y (K ) = K ob u (K ) 3) Prenosna funkcija: Y (p) W (p) = = K ob U (p) 4) Impulsna prenosna funkcija: Y (z ) W (z ) = = K ob U (z ) 5) Prelazna i težinska funkcija : h(t ) = K ob 1(t )
g (t ) = K obδ (t ) 6) Frekventna karakteristika: W ( jω ) = K ob 7) Logaritamske frekventne karakteristike: A(ω ) = 20 log W ( jω ) = 20 log K ob
ϕ (ω ) = arctg
Im{W ( jω )} =0 Re{W ( jω )}
Simbolička blok šema i grafici osnovnih karakteristika su prikazani na slici 6.2.
143
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
PT0 tag xk(t)
xb(t)
ImY(jω)
Ap
Simbolička šema
Ap
ReY(jω)
Nikvistov dijagram
v(t) Ap1(t)
a(ω)
20lgA , ako je A>1
t
Prelazne karakteristike
0dB
y(t)
ϕ(ω)
Apδ(t)
lgω 0o t Bode-ov dijagrami
Težinska funkcija
Slika 6.2. Simbolička blok šema i grafici karakteristika Idealan proporcionalan član nema ni pol ni nulu.
6.1.2 Proporcionalan član sa kašnjenjm prvog reda (PT1) Proporcionalan član sa kašnjenjm prvog reda je veoma čest element u sistemima automatskog upravljanja. Skica nekih PT1 članova je prikazan na slici 6.3. a.)
b.)
c.) V
v0 p 1
d.)
•
h.)
R
•
m1 A
e.)
R
A
m2
p2
Slika 6.3. PT1 članovi
144
L
C
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ponašanje proporcionalnog člana sa kašnjenjm prvog reda opisuju sledeće jednačine ili karakteristike: 1.) Diferencijalna jednačina: dy T + y = K ob u dt 2.) Diferentna jednačina: a 0 y (k ) + a1 y (k − 1) = b0 u (k ) gde je T0 vreme uzorkovanja a koeficijenti su određeni izrazima: T T a0 = + 1; a1 = − ; b0 = K ob T0 T0 3.) Prenosna funkcija: K W ( p ) = ob Tp + 1 4.) Impulsna prenosna funkcija: K z W (τ ) = ob T − 0 T z −e T 5.) Prelazna i težinska funkcija: t − h(t ) = K ob 1 − e T t − K g (t ) = ob e T T 6.) Frekventni prenos: K ob W ( jω ) = 1 + j ωT 7.) Logaritamske frekventne karakteristike: A(ω ) = 20 log K ob − 20 log 1 − (ωT ) ϕ (ω ) = − arctg (ωT ) 8.) Kontinualni sistem ima jedan pol T − 0 1 p = − , a pol diskretnog sistema je z = e T . T Simbolička blok šema i grafici osnovnih karakteristika su prikazani na slici 6.4. 2
145
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
PT1 tag
Ap 2
Ap 1 + pT1
ω=0
ω=∞
−j
Simbolička šema
Ap 2
ωs =
1 T1
Nikvistov dijagram
t − T1 v(t ) = Ap 1 − e
Ap
Ap
a(ω)
a1(ω)=20lgAp ae(ω)=a1(ω)+a2(ω)
0dB
T1
Prelazne karakteristike
ω=
t ϕ(ω)
1 T1
lgω
a2 (ω ) = 20 lg 1 + (ωT1 )
2
0o
Ap T1
Ap y (t ) = e T1
t − T1
-45
lgω o
ϕe(ω)
-90o
T1
t
Težinska funkcija
Bode-ovi dijagrami
Slika 6.4. Simbolička blok šema i grafici osnovnih karakteristika PT1 člana Ako na ulazu PT1 člana deluje skokovita promena amplitude U0 tada odziv počinje rasti sa brzinom koja je srazmerna amplitudi ulaza. Brzina promene izlaza zatim polako opada i nakon konačno dugo vremena teži ka vrednosti (Kobu0). Prelazna karakteristika karakteriše vremenska konstanta T. Vremenska konstanta je vreme za koje prelazna karakteristika dostigne 63,2% svoje ustaljene vrednosti. Za vreme koje je jednako četvorostrukoj vremenskoj konstanti odziv već dostiže 98,2% svoje ustaljene vrednosti. U industrijskoj praksi se smatra da je za ovo vreme izvršena promena izlaza. Po drugoj definiciji vremenska konstanta je jednaka vremenu koje se određuje iz tačke preseka tangente na prelaznu karakteristiku i prave koja se dobija produženjem ustaljenog stanja. x T
1
T 95%
98%
86% 63,3%
0
1T
2T
3T
4T
t
Slika 6.5. Određivanje vremenske konstante PT1 člana 146
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Vremenska konstanta realnih sistema se menja u veoma širokim granicama u rasponu od milisekundi do nekoliko časova.
6.1.3 Tropozicioni član sa kašnjenjm drugog reda (PT2) Proporcionalan član sa kašnjenjm drugog reda se formira od dva nezavisna akumulatora energije i/ili materije. Skica nekih PT2 članova je prikazana na slici 6.6. b.)
i
a.)
Ω=y U
c.) U=p1
Y=p2
R1 U
R2 C1
C2 Y
R L
Slika 6.6. PT2 članovi Ponašanje proporcionalnog člana sa kašnjenjem drugog reda opisuju sledeće jednačine ili karakteristike: d2y dy 1.) Diferencijalna jednačina: T22 2 + T1 + y = K ob u dt dt 1 T1 Smenom: T2=T i ξ = gde je ξ prigušenje, dobija se: 2 T2 d2y dy + 2ξT + y = K ob u 2 dt dt 1 Smenom ω 0 = gde je ω0 prirodna učestanost dobija se: T 2 d y dy + 2ξω 0 + ω 02 y = K obω 02u 2 dt dt 2.) Diferentna jednačina: a0 y (k ) + a1 y (k − 1) + a 2 y (k − 2) = b0 u (k ) T2
2
2
T T 2ξT 2ξT 2T gde je: a 0 = + + 1; a1 = − − 2 ; a 2 = T0 T0 T0 T0 T0 3.) Prenosna funkcija: K ob K ob K obω 02 Y (p) W (p) = = = = U ( p ) 1 + T1 p + T2 p 2 T 2 p + 2ξTp + 1 p 2 + 2ξω 0 + ω 02 4.) Impulsna prenosna funkcija ima različite fazne forme u zavisnosti od prigušenja ξ 5.) Oblik prelazne i težinske funkcije zavisi od vrednosti prigušenja ξ tj. od korena karakteristične jednačine i mogu se pojaviti sledeći slučajevi: a) ξ>1 koreni su realni i negativni.
ξ 2 −1 ξ 1 p1 = − + =− ; T T Ta U ovom slučaju je:
ξ 2 −1 ξ 1 p2 = − − =− T T Tb 147
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
t t − − Ta Tb Ta Tb h(t ) = K ob 1 − e + e Ta − Tb Ta − b t t − 1 − Ta Tb g (t ) = K ob e − e Ta − Tb 1 b) ξ=1 koreni su realni i jednaki: p1 = p 2 = − T U ovom slučaju je: t − t h(t ) = K ob 1 − e T 1 + T t − K g (t ) = ob2 te T T c) ξ<1 koreni predstavljaju konjugovano kompleksan par:
1−ξ 2 1−ξ 2 ξ ξ p1 = − + j = −α + jω p ; p 2 = − − j = −α − jω p T T T T gde je α parametar prigušenja a ω p kružna frekvencija prigušenih oscilacija. U ovom slučaju je: α sin ω p t h(t ) = K ob 1 − e −αt cos ω p t + ωp K ob −αt g (t ) = e sin ω p t ω pT 2 Raspored polova u zavisnosti od prigušenja ξ prikazan je na slici 6.7. Im(p)
-α
S1c −
S2a
1 T
+jωp
S1a
S1b=S2b
Re(p)
−
1 − Tb
1 Ta
-jωp
S2c
−
ξ , haξ > 1 T
Slika 6.7. Raspored polova PT2 člana u zavisnosti od prigušenja ξ 148
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Prelazna karakteristika zavisi od prigušenja tj. odnosa vremenskih konstanti s obzirom da je: 1T ξ= 1. 2 T2 Ako je ξ>1, tada odziv monotono bez oscilacija prelazi u stacionarno stanje tj. uzima jednu konstantnu vrednost. Ako je ξ=1, tada odziv što je najbrže moguće, ali monotono bez oscilacija, prelazi u stacionarno stanje tj. uzima jednu konstantnu vrednost. Ako je ξ<1, tada odziv sa prigušenim oscilacijama prelazi u stacionarno stanje. Odziv u ovom slučaju osciluje oko svoje konstantne vrednosti koju će zauzeti u stacionarnom stanju sa prigušenim oscilacijama Meru prigušenja određuje prigušenje ξ. Sa smanjenjem prigušenja raste veličina prve amplitude tj. prvo nadvišenje. Prelazna i težinska funkcija PT2 člana je prikazana na slici 6.8. Vezu između oscilacija i prigušenja ilustruje skica sa slike 6.9. gde su: 1 T 1 vreme nastanka nadvišenja; Tcs = = = α ξ ξω 0 T perioda oscilacije. T p = 2π 1−ξ 2 Y ( jω ) Ap 6.) Frekventni prenos: W ( jω ) = = U ( jω ) 1 + jω 2ξT + ( jω )2 T 2 Grafički prikaz frekventne karakteristike je zavisan od vrednosti prigušenja ξ. Slika 6.10. prikazuje Nikvistove dijagrame PT2 člana za različite vrednosti prigušenja.
Slika 6.8. Prelazna i težinska funkcija PT2 člana
149
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slika 6.9. Veza između oscilacija i prigušenja kod PT2 člana ξ<1 2 amplituda Nikvistovog dijagrama od ω=0 – raste sve do ω=ωn – tj. do 2 rezonantne frekvencije kada ima maksimum, a zatim ponovo pada. Rezonanta frekvencija se određuje izrazom: Za ξ <
1 − 2ξ 2 T Pri daljem rastu frekvencije, kad je ω=ω0, tj. kod svojstvene ili prelazne kružne učestanosti, fazno kašnjenje izlaza u odnosu na ulaz dostiže -90o tj. jednu četvrtinu periode. Nadalje, za ω=ωc – tj. kod presečne učestanosti amplituda izlaza postaje jednaka amplitudi ulaza.
ωr =
Im
0,6
0,4
j0,4 j0,2 0,2 0
Re 0,2
0,4
0,6
0,8
1
ξ 1,6 ξ=1,5
1,4
1,0
U=0,5
U
0,8 1,2 0,6 0,64 0,4 1,1 ξ=0,3 U=1
0,8
0,9
Slika 6.10. Nikvistov dijagram PT2 člana 150
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
7.) Logaritamske frekventne karakteristike Logaritamsko frekventne karakteristike za različite vrednosti prigušenja prikazane su na slici 6.11.
α
10 8 6
ξ=0
4 0,14 2 0,3 0,5 0,6 0,7
1 0,8 0,6 0,4 2
ξ=1
0,2 5 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0,01 0,1
0,2 0,4 0,6 0,8 1
2
4 6
8 10
U α
0o
-45
0,1 0,2 0,7 1
o
2 ξ=5
-90o
-135o
-180o 0,01
0,02
0,04 0,06 0,08 0,1 0,2
0,4 0,6 0,8 1
2
4 6 8 10
20
40 60 80 100
U
Slika 6.11. Logaritamsko frekventne karakteristike za različite vrednosti prigušenja
151
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
6.2 Integralni članovi Izlaz integralnih članova raste srazmerno integralu ulaza. Za svaku vrednost ulaza koji je različit od nule, izlaz neograničeno raste. Konačnoj vrednosti ulaza uvek se pridružuje izlaz sa konačnim rastom. Kod realnih sistema izlaz neograničeno raste do zasićenja.
6.2.1 Integralni član sa jednim akumulatorom (IT0) Skice nekih tipičnih integralnih članova sa jednim akumulatorom prikazane su na slici 6.12. qu i C
U U
ϕ qi
Slika 6.12. Integralni članovi sa jednim akumulatorom Ponašanje integralnog člana sa jednim akumulatorom opisuju sledeće jednačine ili karakteristike: K dy 1.) Diferencijalna jednačina: Ti = K ob u odakle je faktor integriranja: AI = ob dt Ti K 2.) Diferentna jednačina: y (k ) − 2 y (k − 1) + y (k − 2 ) = ob u (k − 1) Ti Y ( p ) K ob AI 3.) Prenosna funkcija: W ( p ) = = = U ( p ) Ti p p Y (z ) z 4.) Impulsna prenosna funkcija: W (z ) = = AI U (z ) (z − 1)2 5.) Prelazna i težinska funkcija: h(t ) = AI t
g (t ) = AI Integralno vreme Ti je ono vreme za koje rastući izlazni signal dostigne vrednost ulaza tj. vreme za koje se izlazni signal multiplicira u odnosu na ulazni signal. T 1 t ism = i = = Ti A AI K A 1 6.) Frekventna karakteristika: W ( jω ) = ob = I = jωTi jω Ti jω 7.) Logaritamsko - frekvetna karakteristika: K ω A(ω ) = 20 log ob = −20 log = −20 log Tiω ωTi AI 152
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
AI ϕ (ω ) = arctg ω = −90 o 0 Simbolička blok šema i grafici osnovnih karakteristika su prikazana na slici 6.13. −
IT0 član ReY(jω) ω=∝
Y ( jω ) = − j
AI p
Simbolička šema
AI ω
-Im(jω) ω=0 Nikvistov dijagram
v(t)=AIt1(t) xb(t)=1(t)
a(ω)
ω=
-20dBld tism=Ti Prelazne karakteristike
t
A = AI Ti
0dB
xb(t)=δ(t) y(t)=AI1(t)
lgω ω=AI
-90o
lgω
-ϕ(ω) t Težinska funkcija
Bode –ovi dijagrami
Slika 6.13. Simbolička šema i grafici osnovnih karakteristika Osobine integralnih članova sa više akumulatora se mogu lako izvesti i u ovom poglavlju se neće detaljno razmotriti.
6.3 Diferencijalni članovi Odziv diferencijalnih članova je proporcionalan izvodu ulaza. Ako je rast ulaza jednak nuli, tj. ulaz je konstantan, tada je izlaz diferencijalnog člana jednak nuli. Ako se ovakav član veže redno u neki sistem tada on predstavlja prekid u prenosu signala za sve slučajeve kada je signal konstantan. Idealni diferencijalni član ne poseduje nikakav akumulator energije i/ili materije. Na slici 6.14. prikazani su neki članovi koji se u nekim oblastima mogu smatrati diferencijalnim U daljem će se prikazati samo osobine idealnih (samo matematički postojećih) diferencijalnih članova.
153
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
i
i
N u
L
u
u S
Ω
Slika 6.14. Diferencijalni članovi Ponašanje idealnog diferencijalnog člana opisuju sledeće jednačine ili karakteristike: du 1. Diferencijalna jednačina: y = TD ⋅ , gde je TD diferencijalno vreme. dt 2. Diferentna jednačina se ne može zapisati 3. Prenosna funkcija W ( p ) = TD ⋅ p 4. Impulsna prenosna funkcija se ne može zapisati 5. Prelazna i težinska funkcija : h(t ) = TD ⋅ δ (t ) g (t ) = −TD ⋅ δ (t ) 6. Frekventna karakteristika W ( jω ) = jωTD 7. Logaritamska frekventna karakteristika A(ω ) = 20 log(TDω )
ϕ (ω ) = +90 ! Na slici 6.15. prikazane su simboličke šeme i grafici osnovnih karakteristika. v(t)=A D δ(t)
x b (t)=δ(t)
x b (t)=1(t) SpAD
Simbolička šema
t Prelazna karakteristika
t y(t)=– A D δ(t) Težinska funkcija
Nikvistov dijagram
Bode-ovi dijagrami φ(ω)
a(ω) Im(jω)
ω=∞
90 0
+20dB
Y(jω)=jω AD ω=
ω=0
1 AD
logω
00
Re(jω)
Slika 6.15. Simbolička šema i karakteristike difrencijalnih članova 154
logω
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Odziv idealnog diferencijalnog člana pri jediničnoj skokovitoj promeni ulaza je Dirakov impuls beskonačne amplitude. Realni sistemi su samo u određenoj oblasti linearni, što znači da će prisutna zasićenja onemogućiti nastanak beskonačno velikog izlaznog signala. Ako u članu postoji bilo kakva akumulacija energije ona će pojavu izlaza omogućiti tek sa zakašnjenjem.
6.4 Član sa mrtvim vremenom Kod članova sa mrtvim vremenom (transportnim kašnjenjem) ulazni signal se prenosno preslikava na izlaz sa izvesnim vremenskim kašnjenjm. Ovo vreme kašnjenja je mrtvo vreme ( τ) . Efekat mrtvog vremena nastaje zbog konačne brzine prostiranja materije i energije (signala) u nekoj sredini. Efekti mrtvog vremena su značajnije izraženi kod sistema kod kojih prostiranja imaju pretežno materijalnu osnovu. Član sa mrtvim vremenom je transportna traka kod koje se promene nanete materije na početku trake osete tek nakon određenog vremena na izlazu. u(t)
y(t) Merna tačka
v
l Slika 6.16. Transportna traka kao član sa mrtvim vremenom Isti efekti se pojavljuju pri protoku nekog fluida kroz cevovod. Ako se, naprimer, temperatura fluida naglo promeni na ulazu u cev, ova promena će se osetiti na izlazu tek nakon isteka mrtvog vremena. Ponašanje člana sa mrtvim vremenom opisuju sledeće jednačine ili karakteristike: 1. Diferencijalna jednačina y (t ) = K ob u (t − τ ) τ 2. Diferentna jednačina y (k ) = K ob u (k − d ) , gde je d celobrojni količnik određen kao T0 3. Prenosna funkcija W ( p) = K ob e − pτ 4. Impulsna prenosna funkcija W ( z ) = z − d 5. Prelazna i težinska funkcija h(t)=K ob (t − τ) δ (t − τ ) g(t)=K ob 6. Frekventna karakteristika W ( jω ) = K ob e − jωτ 7. Logaritamska frekventna karakteristika 155
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
A(ω ) = 20 log K ob ϕ(ω) = −ωτ Na slici 6.17. prikazana je simbolička šema i grafici osnovnih karakteristika člana sa mrtvim vremenom. v(t)
Jelképi jelölés
y(t)
A1(t- TH )
1(t)
δ(t)
A p e −sTH x k (t ) = A P x b (t − TH )
t
t
TH
TH Kašnjenje vremena
Nikvistov dijagram ω= 3 k 2 π 4
TH
Aδ(t- TH )
ImY(jω) 0
ω = 12 k T2π
AP
H
ReY(jω)
ω= k 1 4
ω= k
TH
2π TH
T1
2π TH
T2
TH
A fázisszög 2Π radiánonként ismétlődik
Bodeovi dijagrami a(ω)=20log A P
mivel 2π = 360 0
φ(ω)=-ω TH
a(ω)
ω TH Ig A P
-45 -57,32 lgωT
=1
ω TH
=3
lgωT
"
-1
- 90 -135
"
-3
-171,96 -180 -φ(ω)
[] 0
Slika 6.17. Simbolička šema i karakteristike člana sa mrtvim vremenom 156
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Faza ovog člana se postavlja sa periodom od 2π, s obzirom da je: " a(ω)=20log Kob s obzirom da je 2π = 360 0 φ(ω)=-ωτ Vrednost od -1 tj. okretanje faze nastaje kod faznih kašnjenja koja iznose:
6.5 Sprezanje prenosnih članova Sistemi automatskog upravljanja se formiraju sprezanjem različitih članova. Sprezanjem se ostvaruje prenos informacija sa objekta upravljanja, preko elemenata za obradu informacija do izvršnih elemenata. Za prikaz načina sprezanja i ostvarivanja lanca prenosa informacija u primeni su različiti sistemi grafičkog predstavljanja. Strukturnom šemom se prikazuju šematski ili simbolično oni elementi složenog sistema koji imaju poseban značaj u realizaciji upravljačkog zadatka. Blok šeme predstavljaju apstraktni sistem prikazivanja u koji se elementi unose preko simboličnih geometrijskih konstrukcija. Blok šemom se pregledno mogu prikazati signali sistema i analitičke veze između pojedinih signala opisanih relacijama u vidu diferencijalnih ili diferentnih jednačina i prenosnih funkcija, impulsnih prenosnih funkcija i frekventnih prenosa. U blok šemama elementi se prikazuju polegnutim pravougaonicima, a signali se označavaju pravim linijama, pravac dejstva signala se označava strelicom, a grananje signala čvorištem. U pravougaonike se unose relacije ili grafici karakteristika koje opisuju ili prikazuju ponašanje elemenata. Sabiranje ili oduzimanje signala se označava diskriminatorom koji se simbolično označava krugom koji se pravim linijama deli na četiri polja. Signale koji u algebarski zbir uvodimo sa negativnim predznakom uvodimo preko osenčenih polja ili na ulaznu strelicu stavljamo predznak. Graf toka signala se formira od čvorišta i grana. Grane označavaju signale, pravac i smer delovanja signala. Signali se označavaju čvorištima, linearni članovi se predstavljaju granama, a smer delovanja se naznačuje strelicama. Oznaka iznad grane upućuje na relaciju transformacije signala u grani. Neke sprege signala označene blok šemama i grafom toka signala prikazani su na slici 6.18.
157
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Simbolična šema
Naziv i matematička relacija Blok šema X2
Grananje X1 = X 2 = X 3
Graf toka signala 1 X2
X1
X1 X3
Diskriminacija X 4 = X1 + X 2 − X 3
1
X1
X1 X2
X2
X4 X3
Član sa ulazom i izlazom X 2 = Y * X1 Sabiranje signala X 3 = Y1 * X1 − Y2 * X 2
X1 X1
Y1 Y2 Y1
X1
1 1
X2
-1
X1
Y
X2 X1
Y2 Redna veza X1 X 3 = Y2 * X 2 = Y1 * Y2 * X1 Povratna veza Y1 X2 = X1 1 ± Y1 * Y2
Y1
X2 Y1 X3
- Y2
Y1
X2
Y2
X2
X1
X4
X3
X1 X3
X2 Paralelna sprega X 2 = (Y1 + Y2 ) * X1
X2
Y
X3
Y2
X3
Y1
X2
X1 Y1 X 2 Y2 X 3
X1
Y1
# Y2
X2
# Y2
Slika 6.18. Simboli prikaza blok šema i grafa toka signala Složeni sistemi se grade sprezanjem različitih elemenata i mogu se nakon različitih manipulacija prikazati jednim jedinstvenim blokom. Manipulatima pojednostavljenja se ostvaruju nalaženjem ekvivalentnih blokova pri rednoj, paralelnoj ili sprezi sa povratnim vezama.
6.5.1 Redna veza Redna (kaskadna) sprega se dobija ako je izlaz jednog člana ulaz narednog člana. X1 X2 Xn X n +1 W1 W2 Wn Slika 6.19. Redna veza n članova 158
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ekvivalentna prenosna funkcija redno vezanih članova se određuje kao proizvod prenosnih funkcija pojedinih članova. Redosled množenja pri tom ne utiče na rezultat. n X (6.10) We = n+1 = W1W2 ...Wn = ∏Wi X1 i =1 Primer br.64: Odrediti ekvivalentnu prenosnu funkciju za sistem prikazan na slici 6.20. Y1 ( p)
U(p)
K1
Y2 ( p)
K2 Tp + 1
e
Y(p)
− τp
Slika 6.20. Redna veza više članova We ( p ) =
Y ( p) X ( p)
3
= ∏ Wi ( p ) = K 1 TpK+2 1 e −τp
(6.11)
i =1
Kod sistema sa uzorkovanjem redna sprega se može ostvariti direktno ili preko uzorkivača. Redna veza dva člana preko uzorkivača prikazana je na slici 6.21. U(z)
W2 ( p)
W1 ( p) ↓
↓ T 0
Y(z)
T0 ↓ T0
Slika 6.21. Redna veza dva člana preko uzorkivača Ekvivalentna prenosna funkcija u ovom slučaju se dobija kao proizvod impulsnih prenosnih funckija pojedinih članova. Y ( z) (6.12) W ( z) = = W1 ( z )W2 ( z ) U ( z) Diskretna redna veza dva člana je prikazana na slici 6.22. ↓ T0 ↓
T0
U(z)
Y(z)
W1 ( p)
W2 ( p)
Slika 6.22. Direktna redna veza dva člana Ekvivalentna impulsna prenosna funkcija se u ovom slučaju određuje Z transformacijom proizvoda kontinualnih prenosnih funkcija pojedinih članova. Da bi se imala razlika od prethodne situacije ekvivalentna impulsna prenosna funkcija u ovom slučaju se označava kao W1W2 ( z ) . Treba napomenuti da se ekvivalentne prenosne funkcije dobijene rednom vezom preko uzorkivača ili direktno međusobno razlikuju tj. važi da je: W1 ( z )W2 ( z ) ≠ W1W2 ( z )
(6.13)
Primer br.65. Odrediti ekvivalentnu prenosnu funkciju redne veze dva člana ako je sprega ostvarena: 159
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
a) direktno b) preko uzorkivača Prenosne funkcije pojedinih članova su: 1 a W1 ( p ) = ; W2 ( p ) = p p+a a vreme uzorkovanje je T0 .
a)
b)
1 z W1 ( z ) = Z = p z −1 a az W2 ( z ) = Z = − aT0 p + a z − e 1 W1W2 ( z ) = Z p z W1 ( z )W2 ( z ) = z −1
a z (1 − e − aT0 ) = p + a ( z − 1)( z − e − aT0 ) az az 2 = z − e − aT0 ( z − 1)( z − e − aT0 )
Primer potvrđuje činjenicu da je: W1 ( z )W2 ( z ) ≠ W1W2 ( z ) .
6.5.2 Redna veza više procesa prvog reda Pri analizi i sintezi složenih sistema automatskog upravljanja poseban značaj ima slučaj redne veze više procesa prvog reda. Neka je prenosna funkcija procesa prvog reda: 1 (6.14) W ( p) = Tp + 1 Prikažimo polazni član kao rednu vezu dva elementa tako da vremensku konstantu prepolovljujemo. Ako ovaj proces nastavimo nadalje, tada nakon n podela dobijamo: 1 (6.15) W ( p) = n Tp 1 + n Ako se podela izvrši neograničeno puta tada se dobija da je: 1 1 (6.16) W ( p) = lim = nTp = e − pτ n n →∞ e Tp 1 + n s obzirom da je prema definiciji: n
x lim1 + = e x (6.17) n →∞ n Kod realnih sistema svakako nikad ne vezujemo na red beskonačan broj istih elemenata. Ipak se pri tom mogu uočiti odnosi koji vladaju između redne veze više članova prvog reda i člana sa mrtvim vremenom. Što je veći broj akumulatora u jednom sistemu s tim je njegovo ponašanje sve sličnije ponašanju sistema sa mrtvim vremenom. U graničnom slučaju redna veza beskonačnog broja elemenata daje član sa čistim kašnjenjem. Isto tako i član sa mrtvim vremenom možemo smatrati članom koji je dobijen rednom 160
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
vezom beskonačnog broja članova prvog reda. Na slici 6.23. prikazani su odzivi proporcionalnih članova sa kašnjenjm prvog, drugog itd. reda. Pažljivom analizom odziva možemo zaključiti da se sistem sa n akumulatora može aproksimirati rednom vezom proporcionalnog člana sa kašnjenjem prvog reda i člana sa mrtvim vremenom.
Slika 6.23. Prelazna karakteristika redne veze n=1,....,6 članova prvog reda Na slici 6.24. prikazana je gruba grafička metoda određivanja prividnog mrtvog vremena i ekvivalentne vremenske konstante (Te ) na osnovu poznate prelazne karakteristike. Uz primenu ove konstrukcije prenosna funkcija sistema koju čini redna veza n članova se aproksimira prenosnom funkcijom. K (6.18) W ( p) = e −τ m p Te p + 1
(τ m ) ,
T'
t
Tm'
Slika 6.24. Određivanje prividnog mrtvog vremena i ekvivalentne vremenske konstante
6.5.3. Paralelna veza Dva člana su vezana paralelno ako imaju isti ulaz a izlazi se sabiraju ili oduzimaju. Paralelno se mogu vezati samo članovi kod kojih je priroda ulaznih i izlaznih signala ista.
161
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
W1
+
U(p)
Y(p)
±
W2
Slika 6.25. Paralelna veza Ekvivalentna prenosna funkcija paralelne veze dva člana se određuje prema izrazu: (6.19) We (p ) = W1 (p ) ± W2 (p ) Za impulsne prenosne funkcije važi isto pravilo.
6.5.4 Povratna veza Pri povratnoj vezi članova, izlaz jednog člana se prenosi preko nekog drugog člana u vidu povratne veze i primenjuje se u formiranju ulaza prethodnog člana. Pri povratnoj vezi izlaz jednog člana direktno ili indirektno utiče na ulaz drugog člana i obrnuto. +
W1
U(p)
Y(p)
± W2 Slika 6.26. Povratna veza Grana u kojoj signali prolaze u smeru od ulaza ka izlazu sistema je direktna (glavna) grana, a grana u kojoj signal prolazi od izlaza sistema ka ulazu je grana povratne veze (sporedna grana). Ulaz člana glavne grane je u većini slučajeva signal koji se formira od zbira ili razlike ulaza sistema i izlaza člana u povratnoj vezi. Ako se ovi signali sabiraju reč je o pozitivnoj, a ako se oduzimaju reč je o negativnoj povratnoj vezi. Povratna veza se može ostvariti samo između članova koji već sami u sebi ne sadrže povratne veze. Za sistem koji ima povratnu vezu kažemo da je zatvoren sistem. Ekvivalentna prenosna funkcija sistema sa povratnom vezom je racionalni razlomak čiji je brojilac jednak prenosnoj funkciji glavne grane, a imenilac predstavlja algebarski zbir jedinice i proizvoda prenosnih funkcija glavne grane povratne veze (kružni prenos). Pri negativnoj sprezi se pojavljuje pozitivan predznak ispred kružnog pojačanja, a pri pozitivnoj povratnoj vezi pojavljuje se negativan predznak. W1 ( p ) (6.20) We ( p ) = 1# W1 ( p )W2 ( p ) Pri određivanju ekvivalentne prenosne funkcije sistema sa uzorkovanjem u kom se pojavljuje povatna veza mora se voditi računa o mestu vršenja uzorkovanja. U inženjerskoj praksi možemo pri tom sresti sledeće slučajeve: a) uzorkovanje se vrši iza diskriminatora kao što je to prikazano na slici 6.27. 162
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
↓ T0
+ U(p)
Y(z)
W1 (p )
Y(p)
-
W2 (p ) Slika 6.27. Uzorkovanje iza diskriminatora U ovom slučaju ekvivalentna prenosna funkcija se određuje na sledeći način: W1 (z ) We (z ) = 1+ W1W2 (z )
(6.21)
b) Uzorkovanje se vrši i na ulazu i izlazu člana u glavnoj grani kao što je to prikazano na slici 6.28. ↓ T0
+ U(p)
W1 (p )
↓ T0
-
Y(p)
W2 (p ) Slika 6.28. Uzorkovanje pre i posle člana u glavnoj grani U ovom slučaju ekvivalentna prenosna funkcija se određuje na sledeći način: We (z ) =
W1 (z ) 1+ W1 (z )W2 (z )
(6.22)
Primer br.66. Odrediti ekvivalentnu prensnu funkciju sistema prikazanog na slici 6.29. + -
k1 p(p + a ) k2p
Slika 6.29. Blok šema sistema k1 k1 p( p + a ) We ( p ) = = k1 p ( p + a + k1 k 2 ) 1+ k2 p p( p + a ) Primer br.67. Odrediti ekvivalentnu prenosnu funkciju sistema sa uzorkovanjem prikazanog na slici 6.30. sa kolom zadrške, ako je vreme uzorkovanja T0 .
163
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
↓ T0
+
1 − e T0 p p
K -
a a+p
Slika 6.30. Blok šema sistema sa uzorkovanjem
(
1 − e −T0 p a K 1 − e − aT0 W1 (z ) = Z K = p p + a z − e − aT0 W2 (z ) = 1
(
We (z )
)
)
K 1 − e − aT0 W1 (z ) K 1 − e − aT0 z − e − aT0 = = = 1 + W1 (z )W2 (z ) K 1 − e − aT0 z − e − aT0 + K 1 − e − aT0 1+ z − e − aT0
Za T0 =1 je: We (z ) =
(
)
(
(
)
)
0.6322 K z − 0.3678 + 0.6322 K
6.5.5 Primena povratne veze kod sistema opisanih jednačinama stanja Povratna veza se može primeniti i kod sistema koji su opisani jednačinama stanja. Pretpostavimo da je neki kontinualni ili diskretan sistem opisan jednačinama stanja: x$ = Ax + Bu x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) a) b) (6.23) y = Cx + Du y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) i da se ulazi ostvaruju vektor funkcijama: (6.24) u=-Kx+Ry u(k)=-Kx(k)+Rr(k) gde je K matrica pojačanja povratne veze, a R matrica pojačanja ulaza r zatvorenog sistema. Jednačine stanja zatvorenog sistema su: x$ = Ax + B(− Kx + Rr ) y = Cx + D(− Kx + Rr ) Nakon preuređivanja dobija se da je: x$ = (A − BK )x + BRr y = (C − DK )x + DRr
x(k + 1) = Ax(k ) + B(− Kx(k ) + Rr (k )) y (k ) = Cx(k ) + D(− Kx(k ) + Rr (k ))
(6.25)
x(k + 1) = (A − BK )x(k ) + BRr (k ) y (k ) = (C − DK )x(k ) + DRr (k )
(6.26)
Uz smene A z =A-BK; Bz = BR ; C z = C − DK i D z = DR jednačine stanja sistema sa povratnom vezom postaju: x$ = Az x + B z r x(k +1) = Az x(k ) + B z r (k ) (6.27) y = C z x + Dz r y (k ) = C z x(k ) + Dz r (k ) Jednačine stanja otvorenog i zatvorenog sistema imaju istu formu. Povratna veza znači ne menja strukturu već samo elemente matrica jednačina stanja. Promena elemenata matrica jednačina 164
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
stanja menja i karakterističnu jednačinu, svojstvene vrednosti tj. uslove stabilnosti. Analitičke metode analize jednačina stanja otvorenog i zatvorenog sistema pri tom su iste. Ako u formiranju povratne veze sistema opisanog jednačinama stanja koristimo sve elemente vektora stanja tada govorimo o potpunoj povratnoj vezi. Povratna veza se može ostvariti i po izlazu. U ovom slučaju jednačine stanja postaju: (6.28) u = − K y + Rr u (k ) = − K y y (k ) + Rr (k ) S obzirom da je: y = Cx + Du y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) nakon smene i preuređivanja dobijamo:
(
)
(6.29)
−1 −1 x$ = A − BK y C (I − K y D ) x + BR (I − K y D ) r (k )
(
)
x(k + 1) = A − BK y C (I − K y D ) x(k ) + BR(I − K y D ) r (k ) −1
−1
(6.30)
Na slici 6.31. prikazane su blok šeme sistema sa potpunom povratnom vezom i sistema sa povratnom vezom po izlazu (nepotpuna povratna veza). a) D +
x
r(t) R
x$ = Ax + Bu
u
+
C y
+
K
b)
D +
x(k)
r(k) x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
R +
u(k) -
Slika 6.31. a) Potpuna
C +
Ky b) Nepotpuna povratna veza
Primer br.68. Jednačine stanja diskretnog sistema su: − 1 0 1 x(k + 1) = x(k ) + u (k ) 0 − 2 0 y (k ) = [1 1]x(k ) 165
y(k)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Odrediti jednačine stanja zatvorenog sistema, ako je povratna veza po izlazu i ako su matrice povratne veze i transformacije direktne grane: K y = [2]y (k ) R = [1] − 1 0 1 − 3 − 2 A − BK y C = − [2] [1 1] = 0 − 2 0 0 − 2 1 1 BR = [1] = 0 0 − 3 − 2 1 x(k + 1) = x(k ) + u (k ) 0 − 2 0
6.5.6. Pravila simplifikacije složenih sistema. Algebra funkcija prenosa Složeni elementi sistema automatskog upravljanja formiraju se rednom i paralelnom vezom i povratnim spregama elementarnih članova. Analiza odnosa izlaz/ulaz kod ovakvih sistema se znatno može pojednostaviti ako se izvrše ekvivalentne transformacije (simplifikacija) blok šeme, korak po korak sve dok se ne dođe do prihvatljivo jednostavne forme. Ekvivalentne transformacije treba sprovoditi tako da se nakon pojednostavljenja strukture blok šeme gube neke grane, ali da se pri tom odnos ulaz/izlaz, ili dva odabrana signala ne menja. Na slici 6.31. prikazane su tabelarno neka elementarna pravila simplifikacije.
166
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ekvivalentne transformacije Redni broj 1. 2.
1. Varijanta
X1 (p )
Y1 (p )
X1 (p )
2. Varijanta
Y3 (p )
Y2 (p )
X 2 (p )
X1 (p )
X 2 (p )
Y1 (p )Y2 (p )Y3 (p )
X 2 (p )
Y1 (p )
X 2 (p )
X1 (p )
Y1 (p ) + Y2 (p ) + Y3 (p )
Y2 (p ) Y3 (p ) 3.
X1 (p )
X 2 (p )
Y1 (p )
X1 (p )
X 2 (p ) Y1 (p ) 1+ Y1 (p )Y2 (p )
X1 (p )
X 2 (p ) Y1 (p ) 1− Y1 (p )Y2 (p )
X1 (p )
X 4 (p )
Y2 (p ) 4.
X1 (p )
X 2 (p )
Y1 (p ) Y2 (p )
5.
X 4 (p )
X1 (p ) X 2 (p )
6.
X1 (p )
X 3 (p )
X 3 (p ) X 3 (p )
Y(p)
X 2 (p )
X1 (p )
X 2 (p )
Y(p)
X 3 (p )
1 Y(p )
X 2 (p ) 7.
X1 (p )
Y(p)
X 3 (p )
X1 (p ) X 2 (p )
X 2 (p )
167
Y(p) Y(p)
X 3 (p )
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
8.
X1 (p )
9.
Y(p)
X1 (p )
X1 (p )
X 2 (p )
X 3 (p )
X 3 (p )
Y(p)
X1 (p )
X 2 (p )
Y(p)
X 2 (p )
Y(p)
X 2 (p )
Y(p)
1 Y(p ) X (p ) 3
X 3 (p )
Slika 6.32. Ekvivalentne transformacije Primer br.69. Izvršiti simplifikaciju blok šeme prikazane na slici 6.33.(a) U cilju simplifikacije primenićemo postupak pravila 8, 6, 1, 2 i 3. a) W3 +
u(t )
W1
+
W2
y(t )
+
-
W4 b) W3 u(t )
+
W1
W2 -
+
W2
c) u(t )
y(t )
+
W3
W4
+
y(t )
+
W1
W2
+ -
W2
d) 168
W4
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
u(t )
W2 + W3
W1
1 1 + W2 W4
y(t )
e) u(t )
1 W1 (W2 + W3 ) 1 + W2 W4
y(t )
Slika 6.33. Primer simplifikacije blok šeme
6.5.7 Graf toka signala Blok šeme se veoma često predstavljaju grafom toka signala. Graf toka signala na veoma jednostavan i očigledan način prikazuje složene linearne sisteme. Graf se zatim može zapisati u matričnoj formi. Primenom
Slika 6.34. Grana grafa toka signala Čvorišta se obično zapisuju sa leva na desno sledeći uzročno-posledične odnose. Grana koja polazi od čvorišta xj ka čvorištu xi ukazuje na neki relacioni odnos između signala xj i xi . Dejstva prikazana granom prostiru se samo u pravcu strelica. U vezi grafa toka signala uvode se sledeći pojmovi: 1. Ulazni čvor je svaki čvor iz kog polaze neke grane. 2. Izlazni čvor je svaki čvor u koga se stiču grane. 3. Putanja je bilo koji redosled grana koje su međusobno spregnute, a koje od jednog čvora vode ka drugom čvoru. 4. Direktna grana je putanja koja vodi od ulaza ka izlazu a da se pri tom kroz jedno čvorište prođe jednom. 5. Petlja je svaka putanja koja nas vraća iz jednog polaznog čvorišta u isto čvorište a da se pri tom kroz jedno čvorište prođe samo jedanput. 6. Prenosna funkcija putanje je proizvod svih prenosnih funkcija grana preko kojih nas vodi putanja. 7. Prenosna funkcija petlje je proizvod svih prenosnih funkcija grana preko kojih nas vodi petlja. Pri crtanju grafa toka signala u prvom koraku naznačujemo sva čvorišta. Zatim se iz skupa jednačina koje povezuju signale: X1=A11X1+A12X2+ … +A1nXn 169
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
X2=A21X1+A22X2+ … +A2nXn ................................................. Xm=Am1X1+Am2X2+ … +AmnXn
(6.31)
ucrtavaju grane koje povezuju čvorišta. Ulazna i izlazna čvorišta često posebno izdvajamo preko grana čija je prenosna funkcija jednaka jedinici. Primer br.70. Nacrtati graf toka signala sistema prikazanog na slici 6.35. R1
R2 +
i1
E1
U2
R3
R4
i2
U3 -
Slika 6.35. Električna šema jednog strujnog kruga Dato električno kolo se može opisati sledećim jednačinama: 1 1 i1 = E1 − U 2 ; R1 R1 U 3 = R4 i2
1 i2 = R2
U 2 = R3 i1 − R3i 2 ;
1 U 2 − U 3 ; R2
Dalji postupak konstrukcije grafa toka signala je prikazan na slici 6.36. Prvo crtamo čvorišta (a)), zatim ucrtavamo grane (b)), zatim izdvajamo ulazna i izlazna čvorišta. a) E 1 i1
U2
i2
U3
b) 1 R1
−
i1
E1
1 R1
R3
−
- R3
U2
1 R2
i2
1 R2
R4
U3
c) 1 R1 E1
−
i1
1 R1
R3
−
- R3
U2
1 R2
i2
1 R2
R4
1
U3
Slika 6.36. Prikaz postupka formiranja grafa toka signala
170
U3
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
6.5.8 Mejsonov obrazac Veza između ulaza i izlaza grafa toka signala se veoma jednostavno može odrediti primenom Mejsonovog obrasca koji glasi: ∑i Wi ( p )∆ i ( p ) (6.32) W (p) = ∆( p ) gde je: W(p) ekvivalentna prenosna funkcija Wi(p) predstavlja proizvod prenosnih funkcija i-te direktne grane Karakteristični polinom ∆ je determinanta sistema i određuje se kao: ∆ = 1 − ∑Wm1 + ∑Wm2 − ∑Wm3 + ... = m1
m2
m3
=1 - (zbir proizvoda prenosnih funckija svih grana po petljama)+(zbir proizvoda prenosnih funkcija dve po dve petlje koje se međusobno ne dodiruju)-(zbir proizvoda prenosnih funkcija tri po tri petlje koje se međusobno ne dodiruju)+... (6.33) ∆i je i-ta poddeterminanta karakterističnog polinoma kada se izuzmu svi sabirci koji potiču od petlji koje dodiruju i-tu direktnu putanju. Primer br.71. Odrediti graf toka signala i ekvivalentnu prenosnu funkciju za sistem prikazan na slici 6.36. G4 +
R(p)
+
G1
+ -
-
C(p)
+
M1
G3
G2
+
-
M2
Slika 6.37. Blok šema jednog sistema automatskog upravljanja Graf toka signala sistema prikazanog na slici 6.37. je prikazan na slici 6.38. M1 R(p)
1
G4
1
G3 G1
1
G2 -1
M2
Slika 6.38. Graf toka signala sistema automatskog upravljanja 171
C(p)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Prenosne funkcije direktnih grana su: W1=G1G2G3 W2=G1G4 Prenosne funkcije petlji su: P11=G1G2H2 P21=G2G3H2 P31=-G1G2G3 P41=G4H2 P51=-G1G4 Karakteristična jednačina sistema je: ∆=1-(P11+P21+P31+P41+P51)=1+G1G2G3-G1G2H1-G2G3H2-G4H2+G1G4 Poddeterminante direktnih grana su: ∆1=1 ∆2=1 Ekvivalentna prenosna funkcija je sada: We ( p ) =
G1G2 G3 + G1G4 C ( p ) W1∆1 + W2 ∆ 2 = = 1 + G1G2 G3 − G1G2 H 1 − G2 G3 H 2 − G4 H 2 + G1G4 R( p ) ∆
6.5.9 Graf toka signala sistema sa uzorkovanjem U opštem slučaju graf toka signala se može formirati za sisteme sa uzorkovanjem ako sistem sadrži samo diskretne članove, tj. ako između svih elemenata postoji uzorkovač. Ako u sistemu imamo i kontinualne i diskretne članove tada postupamo prema sledećem: a) Na osnovu polazne blok šeme crtamo polazni graf toka signala. Pri tom svaki prekidač (uzorkovač) označavamo kao prekid. Označimo signale ispred i iza prekidača tako da oznaka ispred prekidača i iza prekidača dobija zvezdicu: +
R(p) +
+
G1 -
G2
C(p)
+
-
1 R(p)
E1
E1*
G1
G2
1
C(p)
-1 -1
Slika 6.39. Blok šema i polazni graf toka signala sistema sa uzorkovanjem 172
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
b) Na osnovu polaznog grafa toka signala zapisujemo relacije koje postoje između različitih signala. Tako dobijamo: E1=R-C C=E1-G1G2E1*-G2C Diskretna forma relacije je: E1*=R*-C* C*=E1*-G1G2*(p)E1*-G2*C* c) Iz dobijenih jednačina može se izraziti ekvivalentna prenosna funkcija: 1 − G1G2 ( p ) C* We ( p ) = * = * * R 2 + G1G2 ( p ) + G2 *
*
d) Diskretna ekvivalentna prenosna funkcija je sada: We (z ) =
1 − G1G2 (z ) C (z ) = R(z ) 2 + G1G2 (z ) + G2 (z )
6.6 Prenosna funkcija zatvorenog sistema Pravilna ili konačna forma zatvorenog sistema je prikazana na slici 6.40. E(p)
R(p)
Y(p)
G(p)
+
!
H(p)
Slika 6.40. Blok šema kanonične forme zatvorenog sistema U vezi zatvornog sistema mogu se odrediti sledeće prenosne funkcije: a) Prenosna funkcija direktne grane: G(p) b) Prenosna funkcija povratne snage: H(p) c) Kružna prenosna funkcija: G(p)H(p) d) Prenosna funkcija zatvorenog sistema: W z ( p ) =
173
Y (p) G( p ) = R( p ) 1 ± G ( p )H ( p )
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
e) Prenosna funkcija greške: We ( p ) =
1 E(p) = R( p ) 1 ± G ( p )H ( p )
f) Karakteristična jednačina zatvorenog sistema: 1 ± G ( p )H ( p ) U slučaju da je H(p ) ≡ 1 , dobijamo sistem sa jediničnom povratnom vezom tj. sistem sa čvrstom povratnom vezom. Kod sistema sa čvrstom povratnom vezom grešku sistema E(p) dobijamo kao razliku između ulaza R(p) i izlaza Y(p). Kod zatvorenog sistema greška ustaljenog stanja predstavlja element za ocenu kvaliteta rada sistema. Vezu između greške ustaljenog stanja i ulaza određuju konstante greške koje se određuju na sledeći način: Poziciona konstanta greške: k p = lim G(p )H(p )
(6.34)
p →0
Brzinska konstanta greške: k v = lim pG(p )H(p )
(6.35)
p →0
Konstanta greške ubrzanja: k A = lim p 2 G(p )H(p )
(6.36)
p→0
Primer br.72: Odrediti sve tipične prenosne funkcije i konstante greški za sistem prikazan na slici 6.41. R(p)
E(p) +
Y(p)
2 p(p + 3)
1
2
Slika 6.41. Blok šema sistema automatskog upravljanja 2 p + 3p 1 Prenosna funkcija grane povatne veze: H(p)= 2 2 1 1 Kružna prenosna funcija: G (p )H ( p ) = 2 = 2 p + 3p 2 p + 3p Ekvivalentna prenosna funkcija zatvorenog sistema: 2 2 2 Y (p) G( p ) p + 3p Wz ( p ) = = = = 2 1 R( p ) 1 + G ( p )H ( p ) p + 3p +1 1+ 2 p + 3p Prenosna funkcija direktne grane:
G ( p) =
174
2
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Prenosna funkcija greške: We ( p ) =
1 E(p) = = R( p ) 1 + G ( p )H ( p )
1 1+
1 p + 3p
=
p2 + 3p p2 + 3p +1
2
Karakteristična jednačina zatvorenog sistema: 1+H(p)G(p)=0 1 1+ 2 =0 p + 3p Poziciona konstanta: 1 K p = lim G ( p )H ( p ) = lim 2 =∞ p →0 p →0 p + 3 p Brzinska konstanta: 1 1 K v = lim pG ( p) H ( p) = lim p 2 = p →0 p →0 p + 3p 3 Konstanta ubrzanja: 1 K a = lim p 2 G ( p) H ( p) = lim p 2 2 =0 p →0 p →0 p + 3p
6.6.1 Sistemi sa više ulaza Za analizu sistema sa više ulaza i izlaza najpovoljnija je metoda koja se zasniva na jednačinama stanja. Ako broj ulaza nije veći od dva, i ako se ima jedan izlaz tada se prenosne funkcije sistema mogu odrediti i na osnovu blok šeme. S obzirom da sistem u ovom slučaju ima dva ulaza ukupno kretanje na izlazu se može odrediti kod linearnih sistema superponiranjem delimičnih izlaza. Delimični izlazi se određuju tako što se pri određivanju odziva na jedan od ulaza drugi smatra da je jednak nuli. Primer br.73: Odrediti odziv sistema prikazanog na slici 6.42. Z(p) +
R(p) G1(p)
+
Y(p) G2(p)
+
-
Slika 6.42. Blok šema sistema sa dva ulaza Izlaz sistema određuju ulaz R(p) i Z(p) tako da za izlaz važi da je: Y(p)=YR(p)+YZ(p) Pojedinačne izlaze određujemo na sledeći način: Ako je Z(p) ≡ 0 tada blok šema sistema dobija formu prikazan na slici 6.43.
175
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
R(p) G2(p)
G1(p)
+
YR(p)
-
Slika 6.43. Blok šema sistema sa dva ulaza za Z(p) ≡ 0 Izlaz je sada: YR ( p ) =
G1 ( p )G2 ( p ) R( p) 1 + G1 ( p )G2 ( p )
Ako je R (p) ≡ 0 tada se dobija blok šema prikazana na slici: U(p) + G1(p)
G2(p)
+
YU(p)
-1
Slika 6.44. Blok šema sistema sa dva ulaza za R (p) ≡ 0 Izlaz je sada: YU ( p) =
G2 ( p) U ( p) 1 + G1 ( p)G2 ( p )
Ukupan izlaz je : Y ( p ) = YR ( p ) + YU ( p ) =
G1 ( p )G2 ( p ) G2 ( p) R( p) + U ( p) 1 + G1 ( p )G2 ( p ) 1 + G1 ( p )G2 ( p )
176
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
7. Identifikacija Oblast identifikacije obuhvata postupke upoznavanja i utvrđivanja podudarnosti nekog već izgrađenog objekta sa jednom unapred određenom i poznatom strukturom. Unutrašnja struktura i parametri realnih sistema u prinicpu nikad nisu, ili su samo delimično poznati. Identifikacija predstavlja postupke merenja i obrade rezultata merenja u cilju utvrđivanja tipa karaktera i parametara matematičkog modela koji može reprezentovati objekt upravljanja nad kojim su merenja izvršena. Rezultat identifikacije je isti kao i kod matematičkog modeliranja i dobijanja nekog skupa relacija koji manje-više verno oslikava ponašanje objekta upravljanja. Matematički model dobijen identifikacijom može samo delimično, a ne i potpuno opisati ponašanje objekta upravljanja. Tačnost i preciznost modela određuju eksperimentalna oprema i uslovi eksperimentisanja. Identifikacija se uvek kombinuje sa postupcima analize i simulacije sistema automatskog upravljanja.
Ulazi
Objekt automatskog upravljanja
Izlazi
Merenja
Predhodna saznanja
Informacije o : - strukturi - parametrima - koordinatama stanja
Slika 7.1. Osnovna koncepcija postupaka identifikacije Identifikacija i matematičko modeliranje su postupci koji se sprovode u više često i paralelne faze. U pripremnoj fazi se utvrđuju ciljevi primene modela, ograničenja primene merenja, fizičko-hemijske zakonitosti koje se odvijaju u objektu upravljanja itd. Na osnovu ovih informacija utvrđuje se potreban oblik ispitnih signala, broj ulaza i izlaza, linearnost itd. Nakon ove faze formira se matematički model objekta upravljanja i razrađuje se plan eksperimentisanja. Rezultati merenja se podvrgavaju postupcima prethodne obrade u koje spadaju filtriranje, kontrola verodostojnosti. Nakon izbora nekog po mogućnosti što jednostavnijeg matematičkog modela pristupa se proceni (estimaciji) parametara. U okviru ovog postupka, procenjuju se struktura i parametri modela. Ovaj postupak se realizuje uz zadovoljavanje raznih mernih, statističkih itd. ograničenja. Dobijeni model se zatim mora verifikovati tj. mora se dokazati primenljivost modela. Verifikovani model je zatim spreman za primenu. Bez obzira sa koliko pažnje i sa kojom se preciznošću ostvaruje postupak identifikacije na neke delove eksperimenta ili obrade se uvek treba vratiti i iste treba ponoviti. Pri tom se prikupljaju novi rezultati merenja, ili se primenjuju drugi ili dopunski postupci obrade.
177
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Modeliranje
Estimacija Primena eksperimenta
Test signali, period uzorkovanja
kriterijumi prilagođavanja
primena eksperimenta előkészületi fázis
fizičko-hemijske zakonitosti
ciljevi i činjenice
podaci meranja Prethodna obrada rezultata merenja
Otvoreni/zatvoreni sistem linearan/nelinearan SISO/MIMO
Tipovi matematičkih modela
Procena (estimacija)
Teorijsko modeliranje + +
Izbor mogućih modela
Estimacija strukture modela
Verifikacija
inženjerske osnove
Estimacija parametara
Analiza primenljivosti modela
Zadovoljavajući model
Slika 7.2. Faze identifikacije 178
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
7.1 Merenje U pripremnoj fazi identifikacionih merenja treba rasčistiti sledeće: - koje se koordinate mogu direktno meriti, - koje se koordinate mogu samo indirektno proceniti, - koja je zahtevana tačnost merenja pojedinih koordinata, - kojom frekvencijom se uzimaju uzorci, - koje je trajanje merenja i koji je broj potrebnih ponavljanja, - nivoi i stanja merenih veličina, - mogućnost korišćenja već instalisane opreme, - merna područja instrumenata, -tehno-ekonomske aspekte merenja (kao montaža davača, pogonsko stanje sistema, raspoloživi izvori pomoćne energije, ožičavanje, raspoloživo ljudstvo i prostor, mogućnost merenja u pogonskim uslovima itd). Pored prelaznih karakteristika često se mere značajniji ulazi, izlazi, smetnje, koordinate stanja itd. Pri tom ne mere se sve veličine sa istom tačnošću. Veliki broj fizičkih veličina se ne može meriti direktno. Indirektna merenja (npr. vlažnost primenom radioizotopa, analiza dimnih gasova analizatorima, aktivnost katalizatora preko merenja temperature itd.) se razrađuju sa istom pažnjom i preciznošću kao i direktna merenja. Zahtevana tačnost merenja je u direktnoj vezi sa osetljivošću sistema. Osetljivost kod indirektnih merenja treba analizirati sa sledećih stanovišta: prvo treba razmotriti uticaj tačnosti merenja direktnih mernih veličina na indirektno odredljive, zatim treba izvršiti analizu greške merenja na postupak estimacije tj. na odredljivost parametara, a na kraju i eventualnu osetljivost prilagođavanja modela na grešku merenja. Pri tom treba razmotriti sledeće: - moguću maksimalnu tačnost merenja u okviru raspoloživog tehničkog nivoa i postupaka uslova okoline, maksimalno moguće statičke tačnosti merenja sa dostupnim tehničkim sredstvima (npr.pogonski termoelement, specijalni termoelement,itd.), - smetnje koje mogu nastati u toku merenja, - izvor smetnje može biti deo opreme ili sam objekt upravljanja. Smetnje u svakom slučaju smanjuju tačnost merenja. Tačnost posmatranja neke pojave bi se mogla postići samo onda kada bi trajanje posmatranja bilo beskonačno. Vreme trajanja merenja treba odabrati tako da se dobiju informacije i o prelaznim procesima koje određuju najveće vremenske konstante. Vreme trajanja merenja mora biti bar deset puta veće od vrednosti najveće vremenske konstante. Kod sistema koji ima vremensku konstantu reda veličine 10 do 15 minuta trajanje eksperimenta treba da je bar dva i po časa. Frekvenciju uzimanja uzorka treba odabrati tako da se na osnovu dobijenih tačaka linearnom interpolacijom može nacrtati željena karakteristika. Vreme uzorkovanja treba da bude manje od desetine očekivane vremenske konstante. Sa stanovišta ispitnih signala identifikacija može biti aktivna i pasivna. Pri aktivnoj identifikaciji ispitni signal se namerno uvodi u sistem i ima jasno određenu formu npr. skokovita promena, slučajan binarni signal itd. Pri pasivnoj identifikaciji se koriste signali koji se mogu snimiti pri normalnom radu sistema. Amplituda ispitnog signala treba da bude dovoljno velika da se može razdvojiti od smetnji, a pri tom mora biti i dovoljno mala da se ne uđe u nelinearna područja rada sistema. Ovaj uslov je ispunjen ako se pri aktivnom eksperimentu koriste skokovite promene ulaza koje iznose 5-15% opsega promene upravljačkog signala, ili 15-25% opsega pri impulsnoj promeni na ulazu. Obrade rezultata merenja se zasnivaju na različitim rešenjima estimacija krivih, usaglašavanja veza između ulaza i izlaza sa rešenjima diferencijalnih jednačina nekom integralnom metodom, ili na određivanju frekventnog sadržaja i nalaženjem veza između komponenti spektra. U nekim slučajevima se primenjuju i statističke metode. 179
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
U vezi obrade rezultata merenja u literaturi se može sresti veliki broj različitih predloga. U daljem će se prikazati neke metode, koje su veoma značajne, i svoju primenljivost su već dokazale u industrijskoj praksi. 7.2. Grube grafoanalitičke metode Ako je sistem automatskog upravljanja dobro određen, ako se promene ravnotežnog stanja može izazvati nekom ispitnom funkcijom, ako se promene odziva mogu dobro razdvojiti od smetnji i ako se objekt upravljanja može opisati prenosnom funkcijom, tada se red sistema, pojačanje i vremenske konstante mogu odrediti iz koordinata nekoliko tačaka odziva. Neke od metoda isključivo se zasnivaju na obradi prelaznih karakteristika. Obrade se vrše direktno ili nakon logaritmovanja funkcije odziva. Grube grafoanalitičke metode su relativno netačne, i veoma su osetljive na smetnje, subjektivnost određivanja polaznih elemenata (tangenta, tačka infleksije, zanemarivanje članova višeg reda, itd). Uprkos ovim nedostacima ove metode mogu dati zadovoljavajuće a ponekad i dovoljne informacije o objektu pravljanja projektantu sistema.
7.2.1. Metod tangente Vremenska konstanta objekta upravljanja se može proceniti na osnovu odsečaka određenih povlačenjem tangente. Promenu amplitude odziva od polazne vrednosti do ustaljenog stanja u ovom slučaju označavamo sa y(∞). Vremenska konstanta pri tom je određena odsečkom tangente povučene u početnoj tački na prelaznu karakteristiku i prave y(∞).
y(t)
y(∞ )
T
y (∞ ) 0.63y(∞ )
t
Slika 7.3. Metod tangente
180
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Metoda daje tačnije rezultate ako povučemo pravu paralelno vremenskoj osi u tački određenoj prema: 1 y (∞)(1 − ) = y (∞) ⋅ 0.6321 e Odsečak po vremenskoj osi iz ove tačke jednak je vremenskoj konstanti objekta upravljanja.
7.2.2 Logaritamska metoda Ako se eksponencijalna funkcija logaritmuje tada dobijamo linearnu funkciju. Parametri prenosne funkcije se mogu odrediti iz linearne funkcije ako se logaritmuje prelazna karakteristika. Za procenu parametara mogu se koristiti i grafičke i statičke metode. Odziv proporcionalnog člana sa kašnjenjm prvog reda je: t − y (t ) = y (∞ )1 − e T
(7.1)
Ako ovu vrednost oduzmemo od vrednosti ustaljenog stanja tada dobijamo: v(t ) = y (∞ ) − y (t ) = y (∞ )e
−
t T
(7.2)
Logaritmovanjem se dobija sledeća jednačina prave: 1 r (t ) = ln y (∞ ) − t T Pravu možemo kostruisati ako su poznati položaji dve odabrane tačke prave: za t=0 r=ln⋅y(∞)
(7.3)
za t=T r=ln⋅y(∞)-1 , r=0 Povlačenjem prave paralelno sa lny(∞)–1 dobija se tačka čiji je odsečak po vremsnkoj osi jednak vremenskoj konstanti T.
ln y(∞)-1
ln y(∞)
y(t)
T
t
T ln y ( ∞ )
Slika 7.4. Prava logaritamske metode 181
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Za tačnije određivanje položaja prave može se primentii i više tačaka. Ako na objekt upravljanja deluju smetnje tada ove tačke ne određuju jednoznačno jednu pravu. U ovom slučaju položaj prave se može odrediti primenom regresione metode tj. primenom sledećih izraza: n
ln y (∞ ) =
i =1
2 i
i
i =1
n
i =1
i
i =1 2
i
i
n n∑ t − ∑ t i i =1 i =1 n
n
1 = T
n
n
∑t ∑ y − ∑t ∑t y
n
n
n∑ t i yi − ∑ t i ∑ yi i =1
i =1
2 i
n
(7.5)
i =1
n∑ t − ∑ t i i =1 i =1 n
(7.4)
2 i
2
Za primenu ove metodologije potrebno je obaviti znatno složeniju konstrukciju i izvesti veći broj računskih radnji nego što je to slučaj kod prostog povlačenja tangente. Procedura se može relativno jednostavno programirati. Na slici 7.5. prikazani su grafici postupka za jedan primer u slučaju sistema sa i bez smetnji.
182
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
W ( p) =
a) y(t)
2 5p +1
b)
y(t)
t
t v(t)
v(t)
t r(t)
t
r(t)
t t
W ( p) =
1.99 5.664 p + 1
W ( p) =
y(t),ys(t)
y(t),ys(t)
y(t)
2.005 4.291 p + 1
y(t)
ys(t)
ys(t)
t
t
Slika 7.5. Grafici postupka procene parametara za jedan sistem za slučajeve a) bez smetnji b) sa smetnjom
183
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
7.2.3 Određivanje vremenske konstante minimizacijom kvadratnog funkcionala Diferentna jednačina proporcionalnog člana sa kašnjenjem prvog reda je: y (k + 1) = Θ 0 y (k ) + u (k )
(7.6)
Merenjem ulaza i izlaza pri nekoj promeni ulaza može se odrediti n parova mernih brojeva (u(i),y(i)). Za procenu nepoznatog parametra Θ0 može se zapisati prediktivna jednačina: ˆ y (k ) + u (k ) yˆ (k + 1) = Θ
(7.7 )
ˆ (k ) procenjene vrednosti. gde su yˆ (k + 1) i Θ Ocenu kvaliteta procene ćemo izvršiti primenom kvadratnog funkcionala: V (k ) =
1 k 2 ∑ e (i ) 2 i =0
(7.8)
Nakon odgovarajućih matematičkih operacija minimizacije kvadratnog funkcionala dobija se sledeći izraz za procenu nepoznatog parametra: k
ˆ (k ) = Θ
∑ y(i )(y(i + 1) − u (i ))
(7.9)
i =0
k
∑ y (i ) 2
i=0
Prikazani postupak se može proširiti i na sisteme sa više promenljivih i više parametara.
7.2.4 Određivanje zbira vremenskih konstanti objekta upravljanja sa više akumulatora energije Ako prelazna karakteristika nekog objekta upravljanja ima aperiodični karakter, tada se na osnovu odsečka čija je dužina jednaka 57,5% vrednosti ustaljenog stanja prelazne karakteristike može odrediti zbir vremenskih konstanti objekta upravljanja. Postupak je ilustrovan na slici 7.6. Tačnost ove metode je ±3,5 % .
184
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
y (t ) [%] y (∞) 100 %
57.5 % y(∞)=100 %
t
t0.575
Slika 7.6. Određivanje zbira vremenskih konstanti
7.2.5 Procena parametara redne veze proporcionalnog člana prvog reda i člana sa čistim kašnjenjem Objekt upravljanja formiran rednom vezom više procesa prvog reda, u slučaju kada prelazna karakteristika ima aperiodični karakter aproksimira se prenosnim funkcijama: Wob ( p ) =
K ob
(Tp + 1)
n
≈
K ob e −τ ob p τ ob p + 1
(7.10)
Između parametra aproksimativnih prenosnih funkcija važe sledeći odnosi: n τob/To
1 0
2 0.104
3 0.28
4 0.319
5 0.410
6 0.493
7 0.570
8 0.642
9 0.709
10 0.773
0 1
0.282 2.78
0.805 3.695
1.425 4.463
2.1 5.119
2.811 5.694
3.549 6.226
4.307 6.711
5.081 7.164
5.869 7.59
b
τob/T Tob/T
Parametri se mogu odrediti i povlačenjem tangente u tački infleksije na način prikazan na slici 7.7.
185
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
y(t) τob y(∞)
Tob
y(0) t
Slika 7.7. Konstrukcija tangente u tački infleksije Određivanje tačnog položaja tačke infleksije je često relativno težak, zbog čega je ova metoda često nepouzdana.
7.2.5.1 Određivanje reda sistema i vremenske konstante na osnovu vremenskih odsečaka Na osnovu vrednosti ustaljenog stanja mogu se odrediti vremena koja su potrebna da prelazni proces dostigne 10, 30, 50, 70 i 90% ustaljene vrednosti. Ako su poznata ova vremena tada se primenom tabelarnih vrednosti može odrediti red sistema i vremenska konstanta. y (∞ ) [%] y (t ) 100 % 90 % 70 % y(∞)=100 %
50 %
30 % 10 % t10 t30
t t50 t70 t90
186
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
n
t10/T
t30/T
t50/T
t70/T
t90/T
t10/t90
t10/t70
t10/t50
t10/t30
t30/t70
t30/t50
1
0.11
0.36
0.69
1.20
2.30
0.05
0.09
0.15
0.30
0.30
0.52
2
0.53
1.10
1.68
2.44
3.89
0.14
0.22
0.32
0.48
0.45
0.65
3
1.10
1.91
2.67
3.62
5.32
0.21
0.31
0.41
0.58
0.53
0.72
4
1.74
2.76
3.67
4.76
6.68
0.26
0.37
0.48
0.63
0.58
0.75
5
2.43
3.63
4.67
5.89
7.99
0.30
0.42
0.52
0.67
0.62
0.78
6
3.15
4.52
5.67
7.01
9.27
0.34
0.45
0.56
0.70
0.65
0.80
7
3.89
5.41
6.67
8.11
10.5
0.37
0.48
0.58
0.72
0.67
0.81
8
4.66
6.31
7.67
9.21
11.8
0.40
0.51
0.61
0.74
0.69
0.82
9
5.43
7.22
8.67
10.3
13.0
0.42
0.53
0.63
0.75
0.70
0.83
10
6.22
8.13
9.67
11.4
14.2
0.44
0.55
0.65
0.76
0.71
0.84
Slika 7.8. Način određivanja vremena dostizanja 10, 30, 50, 70 i 90 % ustaljene vrednosti i tabela ocene parametara Primer br.73. Ako se na grejač jedne peći dovede jedinična skokovita promena (promena napona sa 110V na 220V) tada se temperatura u peći menja na način prikazan na slici 7.9. Odrediti parametre prenosne funkcije na osnovu vremenskih odsečaka. 260
[ ]
Θ 0C
y(∞)
t 10 = 0 .9 s t 30 = 1 .5 s t 50 = 2 s
160
t 70 = 2 .7 s t 90 = 3 .9 s
60
t10
t30 t50
t90
t
Slika 7.9. Prelazna karakteristika peći 187
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
y (∞ ) = 220V − 110V = 110V
y (∞ ) = 260 0 − 60 0 = 200 0 K=
0 y (∞ ) 200 C = = 1.818 u (∞ ) 110 V
y10 = 60 0 + 0.1 ⋅ 200 0 = 80 0 y 30 = 60 + 0.3 ⋅ 200 = 120 0
0
n=2
n =3
n=4
0.14
0.21
0.26
0.22
0.31
0.37
0.32
0.41
0.48
0.48
0.58
0.63
0.45
0.53
0.58
0.65
0.72
0.75
0
y 50 = 60 0 + 0.5 ⋅ 200 0 = 160 0 y 70 = 60 0 + 0.7 ⋅ 200 0 = 200 0 y 90 = 60 0 + 0.9 ⋅ 200 0 = 240 0 t 10 0.9 = = 0.23 t 90 3.9 t 10 0.9 = = 0.33 t 70 2.7 t 10 0.9 = = 0.45 t 50 2 t 10 0.9 = = 0.6 t 30 1.5 t 30 1.5 = = 0.55 t 70 2.7 t 30 1.5 = = 0.75 t 50 2
Na osnovu upoređivanja vrednosti dobija se: n=3 t 0.9 t10 ⇒ T = 10 = = 0.081s = 1.1 1.1 1.1 T t t 30 1.5 ⇒ T = 30 = = 0.78s = 1.91 1.91 1.91 T t 70 t 2.7 = 3.62 T = 70 = = 0.745s ⇒ 3.62 3.62 T t 90 t 3.5 = 5.32 T = 90 = = 0.657 s ⇒ T 5.32 5.32 T=
0.81 + 0.78 + 0.745 + 0.657 = 0.75s 4
Za T=0, i n=3 dobija se: Tg = 3.70 T Tg = 4.59 Tu
Tg = 3.7 ⋅ 0.75 = 2.775
Tu =
Tg 4.59
=
2.775 = 0.6 s 4.59
188
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Aproksimativna prenosna funkcija objekta upravljanja je: 0 0 C C 1.818 1.818 V ≈ V e − 0.6 p W (p) = 3 (0.75 p = 1) 2.755 p + 1 7.2.5.2 Određivanje ekvivalentnog mrtvog vremena i ekvivalentne vremenske konstante metodom odnosa površina Ako je odziv objekta upravljanja na jediničnu skokovitu promenu dostigao svoju ustaljenu vrednost tada se određivanjem dveju karakterističnih površina mogu odrediti ekvialentne vrednosti mrtvog vremena i vremenske konstante na sledeći način: y(t) y(∞)
A0
A1 t
Slika 7.10. Određivanje površina Izračuna se površina A0 na osnovu izraza: ∞
A0 = ∫ ( y (∞ ) − y (τ ))dτ
(7.11)
0
Za vrednost ove površine može se odrediti zbir ekvivalentnog mrtvog vremena i vrmenske konstante: Tob + τ ob =
(7.12)
A0 y (∞ )
Zatim izračunavamo površinu A1 kao: A1 =
Tob +τ ob
∫ y(τ )dτ
(7.13)
0
Ekvivalentno mrtvo vreme i vremenska konstanta se sada može odrediti prema: Tob =
(7.14)
τ ob
(7.15)
eA1 y (∞ ) A eA1 = 0 − y (∞ ) y (∞ ) 189
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
8. Strukture sistema automatskog upravljanja Sistem automatskog upravljanja nastaje sprezanjem upravljačkog sistema i objekta upravljanja. Pri projektovanju ovih sprega moraju se zadovoljiti tehnološki, pogonski i ekonomski zahtevi. Određivanje upravljivosti i osmotrivosti se vrši tek u drugoj fazi tj. u postupku sinteze algoritma upravljanja. Zadatak upravljačkog sistema se svodi na potrebu puštanja u pogon, održavanje kvaliteta željenih pogonskih stanja i zaustavljanja. Pri sintezi i realizaciji algoritma upravljanja mogu se koristiti sve one informacije do kojih se može doći u toku izgradnje, stavljanja u pogon i eksploataciji. Na osnovu ovih informacija može se formirati matematički model objekta upravljanja. Poboljšanje i određivanje parametara matematičkog modela može se vršiti i u toku identifikacije. U toku eksploatacije, upravljački sistem informacije može uzimati iz okruženja, sa izlaza objekta upravljanja, iz samog objekta upravljanja u vidu koordinata stanja i iz smetnji.
smetnje Informacije iz okruženja r(t)
z(t)
Upravljački sistem
bemenetek u(t)
Izlazi y(t)
Objekt upravljanja
model Matemetikčki
x(t) koordinate stanja
Slika 8.1 Informacione sprege upravljačkih sistema Struktura, princip rada i postupak sinteze upravljačkog sistema u mnogome zavisi od vrste, broja i načina primene raspoloživih informacija.
8.1 Upravljanje u otvorenoj sprezi Pri upravljanju u otvorenoj sprezi upravljački uređaj prima samo obaveštenja o stanju objekta upravljanja. Informacije se mogu primati i iz okruženja i u vidu upravljačkih naredbi. Izvor 190
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
informacija iz okruženja može biti hijerarhijski viši nivo upravljanja, ili samo okruženje objekta upravljanja.. nformacije iz okruženja r(t)
ulazi
Upravljački sistem
Objekt upravljanja
izlazi y(t)
Matematički model
Slika 8.2 Informacione sprege objekta upravljanja u otvorenoj sprezi Upravljanje u otvorenoj sprezi se ostvaruje na bazi prethodno prikupljenih informacija o objektu upravljanja. Upravljački sistem ne koristi informacije o efektima upravljačkih akcija. Tipični primeri ovog vida upravljanja su rad automatskog školskog zvona, mašine za pranje veša itd. U slučaju da su prethodno prikupljene informacije o objektu upravljanja pouzdane i ako su u potpunosti poznate relacije između ulaza i izlaza tada upravljanje u otvorenoj sprezi može dati veoma dobre rezultate. Pri primeni ovog vida upravljanja mogu se otkloniti negativni efekti samo unapred poznatih smetnji. Ako se upravljački algoritam dobro odredi i ako se objekt upravljanja ne menja u odnosu na pretpostavljeno i poznato stanje, tada se upravljana veličina uvek menja na isti način. Pri realizaciji upravljanja u otvorenoj sprezi svi elementi sistema moraju biti poznati. Odstupanje bilo kog parametra će pri tom uvek prouzrokovati promene u vrednostima upravljane veličine. Upravljanje sa otvorenom spregom je uvek stabilno. Upravljanje u otvorenoj sprezi povratnu vezu ne koristi direktno već indirektno. Moguće efekte povratnih sprega projektant sistema mora definisati i uneti u zadatak upravljanja. Čovek mora objekt upravljanja dobro istražiti i upoznati. Na osnovu ovih razmatranja može se postaviti potreban vremenski redosled i nivo upravljačkih akcija. Primer ovako formiranog redosleda akcija je prikazan na slici 8.3 sa dotokom ulja u rezervoar za ulje. Za istovetan rad objekta upravljanja u daljem treba samo pravilno ponavljati upravljačke akcije. Primer sistema automatskog ponavljanja upravljačkih akcija prikazan je na slici 8.4. Na osnovu analize odvijanja upravljačkih akcija može se ustanoviti da li se pojedine promene upravljačkih dejstava moraju izvesti u određenim trenucima vremena, ili se upravljanje odvija u koracima i naredni korak se može inicirati tek nakon završetka prethodnog koraka. U prvom slučaju govorimo o upravljanju po vremenskom programu, a u drugom slučaju o koračnom upravljanju. q2 q1
!
t h
q2
"
q2
191
q2,1 q2,2 q2,3
tp zakonitost promene korišćenja ulja
t
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slika 8.3 Analiza rada napajanja sistema sa uljnim gorionicima
q2(t) programator q1
tp
q2(t)
h
tp q2,1 q2,2 q2,3
q2
Slika 8.4 Programsko upravljanje sistema za napajanje uljnih gorionika
8.2 Upravljanje u otvorenoj sprezi na bazi matematičkog modela objekta upravljanja U prethodnoj obradi informacija iz okruženja veoma uspešno se može primeniti matematički model objekta upravljanja za procenu vrednosti nekih koordinata stanja, ili za određivanje potrebne upravljačke akcije. Na slici 8.5. prikazan je rezervoar za ulje i kazan. Nivo ulja u rezervoaru za ulje je funkcija pritiska pare u kazanu pT i dotoka ulja u kazanu q1 . q1 q1 h=L[q1,pT]
pT h
q2
192
pT
h
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slika 8.5 Struktura sistema sa uljnim grejanjem i idejna blok šema matematičkog modela rezervoara Ako je vrednost nivoa ulja u rezervoaru hZ, i ako se ne želi meriti dotok ulja q1 , tada se ovaj dotok može proceniti primenom matematičkog modela rezervoara: q 1 = C ρgh z − p T
(8.1)
Pri tom se pretpostavlja da su gustina (ρ), gravitaciona konstanta g, poznate vrednosti a pT se meri. Struktura upravljačkog sistema sa otvorenom spregom koji koristi matematički model dela objekta upravljanja je prikazana na slici 8.6.
Uprvljački sistem
hz matematički model
hz
q1
q 1 = C ρgh z − p T
q1 h
pT
h=L[q1,pT]
h
pT q2 Slika 8.6 Upravljački sistem zasnovan na primeni matematičkog modela Ako su promene vektora stanja nekog sistema određene vektorom xr, a promene ovog vektora sa x! r (npr. u slučaju nekog mehaničkog sistema ovi vektori opisuju potrebne promene pozicija i brzina) tada na osnovu poznatih jednačina stanja: (8.2) x! = Ax + Bu možemo napisati da je: u = B −1 (x! r − Ax ) (8.3) smenom vrednosti za xr i x! r , određujemo vektor upravljanja koji objekt upravljanja vodi po trajektoriji određenoj sa xr i x! r ,tj.: u r = B −1 (x! r − Axr ) (8.4) Blok šema sistema koji koristi ovaj vid upravljanja prikazana je na slici 8.7. 193
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
xr x! r
u r = B −1 (x! r − Ax r )
x xr
x! = Ax + Bu Realni objekt upravljanja
Upravljački sistem
Slika 8.7 Upravljački sistem rezervoara na primeni matematičkog modela Efikasnost primene ovog vida upravljanja je funkcija tačnosti i usaglašenosti matematičkog modela sa realim objektom upravljanja.
8.3 Regulacija Regulacija se ostvaruje u zatvorenoj sprezi tako da upravljana veličina preko povratne veze deluje na upravljački signal. Upravljački signal se pri tom formira na osnovu rezultata upoređivanja zadate i stvarne vrednosti upravljane veličine. Osnovna prednost regulacije leži u činjenici da može otkloniti negativne efekte i nepredviđene smetnje. Zbog uvođenja povratne veze sistemi automatskog upravljanja koji su inače stabilni mogu postati labilni ili biti na granici stabilnosti. Na slici 8.8. prikazana je blok šema regulacije uz prikaz osnovnih elemenata i signala kojima se ostvaruju informacione sprege između elemenata. Zadata vrednost Elemen vrednosti
Upravljački signal
Greška regulacije Diskriminator
zadate
Izvršno dejstvo
Objekt upravljanja
Izvršni element Regulator
e
ra ye
y(t)
um
u
Kontrolni signal
Regulisana veličina
Davač signala Slika 8.8 Strukturna šema regulacije
Objekt upravljanja je nezavisni objekt nad kojim se ostvaruju akcije regulacije. Izvršni element je uređaj koji se prilagođava objektu upravljanja i namenjen je za ostvarivanje izvršnih akcija. Karakter izvršnog elementa zavisi od karaktera objekta upravljanja. Kod regulisanih elektromotornih pogona ovaj element je najčešće upravljiv izvor električne energije. Kod tehnoloških procesa izvršni element je veoma često ventil koji menja dotoke materije. Blok davača signala sadrži elemente za merenje, pretvaranje i prenos signala. 194
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Elementi za formiranje upravljačkog signala se smeštaju u blok koji nazivamo regulatorom. Osnovne funkcije regulatora su sledeće: formiranje zadate vrednosti, određivanje greške regulacije, obrada greške regulacije i pojačanje signala dobijenog obradom greške regulacije. Regulatori za svoj rad koriste pomoćne pneumatske, hidraulične ili električne izvore energije. Kod savremenih rešenja osnovni element regulatora je digitalni računar opremljen analogno/digitalnim i digitalno/analognim konvertorom. Pojednostavljena blok šema regulacionog kruga je prikazana na slici 8.9. Smetnja
z + ra
e
Objekt regulacije
Regulator
- ye
y
k
Slika 8.9 Pojednostavljena blok šema regulacioog sistema Trenutna vredost stanja objekta upravljanja reprezentuje izlaz y tj. regulisana veličina. Nosilac signala (npr. pritisak) koji nosi informaciju o stanju regulisane veličine ne može u svakom slučaju da se prenose do regulatora ili regulator ne može da prihvati ovakav signal. Da bi se omogućio prenos signala i prihvat signala od strane regulatora često se u mernim pretvaračima vrši promena nivoa pa čak i karaktera signala. Ovako modifikovani signal je kontrolni signal. Razlika između zadate vrednosti i kontrolnog signala se ostvaruje na elementu za oduzimanje signala tj. na diskriminatoru. Dobijena greška regulacije e=±(ra–ye) se u regulatoru transformiše saglasno algoritmu regulacije u upravljački signal. Na osnovu vrednosti upravljačkog signala a preko izvršnog elementa se zatim vrši modifikacija ulaznih tokova energije i/ili materije u objekt upravljanja, a sve sa ciljem da se eliminiše ili da se smanji na najmanju moguću vrednost greška regulacije. Jednom eliminisana ili smanjena greška regulacije ne predstavlja i prestanak procesa regulacije. Naime, svaka promena zadate vrednosti ili pojava smetnje može formirati novu grešku regulacije koju zatim treba otkloniti. Regulator je znači aktivan element sistema koji ili radi na otklanjanju greške regulacije ili stoji u pripravnosti da moguću grešku otkloni. Mehanizam regulacije je kod svih regulacionih sistema isti, ali se može ostvariti na više različitih načina. Regulaciju koja treba da održava regulisanu veličinu na unapred određenoj veličini nazivamo stabilizirajućom regulacijom. Kod sistema sa stabilizirajućom regulacijom zadata vrednost se retko menja tj. u većini slučajeva ima konstantnu vrednost. Ako se zadata vrednost menja i ako regulisana veličina treba da prati ove promene tada govorimo o pratećoj regulaciji. U okviru prateće regulacije razlikujemo sledeće osnovne kategorije: a) Ako regulisana veličina treba da prati promene jedne kvalitativno iste veličine tada govorimo o servo regulaciji. Kod velikog broja servo regulacija regulisana veličina je neki pomeraj. b) Ako regulisana veličina mora da prati neke promene unapred planirane i propisane tada govorimo o programskoj regulaciji. U slučaju da se efekti promena upravljačkog signala pojavljuju sa velikim zakašnjenjem u promenama regulisane veličine često se uvodi pomoćna merna veličina. Efekti promena upravljačkog dejstva u promenama pomoćne merne veličine se moraju osetiti mnogo ranije nego u 195
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
regulisanoj veličini. Na slici 8.10. prikazan je primer regulacije sa pomoćnom mernom veličinom na primeru grejanja vode. Regulisana veličina X u ovom slučaju prati efekte promene dotoka pare tj. promene otvorenosti ventila V sa velikim zakašnjenjem. Da bi se popravila dinamika regulacije u regulator se uvodi kao pomoćna merna veličina temperatura vode xk u spoljnom sudu.
196
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Z1
Z2
x
para
V xk
Regulator
Slika 8.10 – Regulisanje sa pomoćnom mernom veličinom Kod nekih sistema regulacije može se desiti da se u različitim oblastima kretanja regulisane veličine moraju primeniti različita izvršna dejstva. Ns slici 8.11. prikazan je sistem za regulaciju nivoa vode. Akoje dotok vode z dovoljan tada se odtok (izvršno dejstvo) može ostvariti promenama otvorenosti ventila V1. Ako dotok padne na veoma nisku vrednost tada mogu nastati nepoželjne kavitacije i oštećenja pumpe. U ovom slučaju se izvršno dejstvo ostvaruje preko ventila V2 koji ima druge karakteristike. Promena izvršnog elementa u ovom slučaju štedi pumpu i obezbeđuje relativno mirne pogonske uslove. J
Z x
Regulator
Regulator x
V1 V1 V2 V2
Slika 8.11 Regulacija sa alternativnim izvršnim dejstvom 197
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Efikasnost rada regulatora se može poboljšati u nekim slučajevima ako se primeni pomoćno izvršno dejstvo. Ovo rešenje se primenjuje ako sa pomoćnim izvršnim dejstvom možemo brže delovati ali da pri tom pomoćno izvršno dejstvo ne remeti rad osnovnog izvršnog dejstva. Na slici 8.12. prikazan je sistem za regulaciju pritiska sa pomoćnim izvršnim dejstvom. Upravljačka akcija će u ovom slučaju biti efikasnija ako istovremeno delujemo na oba ventila.
Regulator
Element zadate
Slika 8.12 Regulacija sa pomoćnim izvršnim dejstvom Kod sistema sa kaskadnim upravljanjem nadređeni regulator određuje zadatu vrednost za podređeni regulator. Nadređeni regulator tako postavlja zadatu vrednost podređenog regulatora da regulisana veličina bude konstantna, dok se na osnovu pomoćne regulisane veličine pri tom menja upravljački signal tj. ulaz objekta upravljanja.
ram
Nadređeni regulator
-
+
Podređeni regulator
Objekt upravljanja
Objekt upravljanja
pomoćna veličina
regulisana
8.13 Kaskadno upravljanje Sprega između upravljanja sa otvorenom i zatvorenom spregom ostvaruje se kod sistema sa kompenzacijom smetnje. Ako su značajnije smetnje merljive, tada se na osnovu razultata merenja smetnje može inicirati takva promena upravljačkog dejstva koje će sprečiti negativne efekte smetnje. Ovaj postupak je poznat kao kompenzacija smetnje i realizuje se primenom kompenzatora smetnje. Primenom kompenzatora smetnje uvodi se dopunski upravljački signal iniciran od strane smetnje u neku tačku sistema tako da eliminiše efekte pojave smetnje. Grana sa kompenzatorom je u otvorenoj sprezi. Dopunski upravljački signal se određuje na bazi prethodnih informacija uzetih iz smetnje, ili dela objekta na koji deluje smetnja. Ovaj pomoćni upravljački signal nema nikakvo 198
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
povratno dejstvo na smetnju. Povratna sprega u ovom slučaju koriguje dejstvo kompenzatora i eliminiše efekte onih smetnji koje ne deluju na kompenzator smetnji.
z(t)
Kompenzator smetnji
+
+
Objekt upravljanja
Regulator
k
+
-
Slika 8.14 Kompenzacija smetnje
8.4 Upravljački sistemi sa više ulaza i izlaza Ako se dva ili više regulisanih krugova međusobno sprežu tako da neke veličine jednog kruga utiču i na druge krugove, tada ovako formirani sistem automatskog upravljanja ima dva ili više ulaza i izlaza. Ovakvi sistemi automatskog upravljanja su sistemi sa više ulaza i izlaza. Sistemi sa više ulaza i izlaza opisuju se jednačinama stanja. Kod sistema sa više ulaza i izlaza rešenje jednog te istog upravljačkog zadatka se može rešiti na više različitih načina i sa više različitih povratnih veza. Jednačina stanja nekog sistema sa više ulaza i izlaza ima formu: x! = Ax + Bu x(t 0 ) = x0 (8.5) y = Cx + Du Ako se mogu meriti sve koordinate vektora stanja x(t), tada se može primeniti potpuna povratna veza. U ovom slučaju vektor ulaza je: u (t ) = r (t ) − Kx(t ) (8.6) gde je r(t) informacija iz okruženja, a K matrica čiji su elementi realni brojevi i predstavlja matricu pojačanja povratne veze tj. regulator stanja. Blok šema potpune povratne veze je prikazana na slici 8.15. D
r(t)
+
x! = Ax + Bu
x
K Slika 8.15 Potpuna povratna veza Iz jednačina (8.5) i (8.6) za zatvoreni sistem sledi da je: 199
C +
y
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
x! = (A − BK )x + Br (8.7) y = (C − DK )x + Dr Ako se izvrše smene prema: Az=A-BK; Bz=B; Cz=C-DK; Dz=D (8.8) tada jednačine stanja zatvorenog sistema postaju: x! = Az x + B z r (8.9) y = C z x + Dz r Jednačine (8.5) i (8.9) imaju istu formu iz čega sledi da se analiza i sinteza ovih sistema može izvršiti sa istim matematičkim aparatom. Ako se meri samo vektor izlaza y(t), tada govorimo o nepotpunoj povratnoj vezi ili povratnoj vezi pre izlaza. U ovom slučaju upravljački vektor postaje: u(t)=r(t)-Kyx(t) (8.10) gde je Ky regulator stanja po izlazu.
D
r(t)
+
x! = Ax + Bu
x
C +
y
Ky Slika 8.16 Nepotpuna ili povratna veza po izlazu Ako se ne mogu meriti svi elementi vektora stanja, tada se u formiranju upravljačkog signala nemerene koordinate mogu zameniti procenjenim vredostima. Procenu koordinata vrši observer stanja. Na slici 8.17. prikazana je blok šema sistema u kom se vrši procena svih elemenata vektora stanja. Oznaka x" – upućuje na procenjenu vrednost vektora stanja. r(t)
x! = Ax + Bu y = Cx + Du
+ -
K
xˆ
y
Opserver
Slika 8.17 Indirektno upravljanje tj. upravljanje na bazi procene stanja Ako informacije iz okruženja treba prethodno obraditi, tada se upravljanje rešava objedinjavanjem obrade u otvorenoj i zatvorenoj sprezi. Na slici 8.18. prikazana je blok šema 200
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
upravljanja u prostoru stanja u otvorenoj (primenom prefiltra) i zatvorenoj sprezi. Matrica R sa konstantnim elementima je matrica pojačanja prefiltra.
r(t)
L +
x! = Ax + Bu
-
x
y
C
K Slika 8.18 Sistem sa prefiltrom i povratnom spregom po stanju
8.5. Uticaj greške merenja na sisteme sa otvorenom i zatvorenom spregom Pri sintezi sistema automatskog upravljanja veoma efikasno se može primeniti upravljanje u otvorenoj sprezi zasnovano na primeni modela sistema i upravljanje sa povratnom spregom. U daljem će se izvršiti uporedna analiza jednokonturnog sistema sa povratnom spregom, i kompenzacije smetnje zasnovane na primeni matematičkog modela u slučaju da se potrebna merenja mogu izvršiti samo sa greškom merenja. Blok šema ovih sistema je prikazana na slici 8.19. a.)
z r
+
e
Regulator
y
Objekt upravljanja
u
-
+
εy +
b.) + εz
Matematički model
z +
ym r
+
-
e
Regulator u 201
Objekt upravljanja
y
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slika 8.19 a) upravljanje sa povratnom vezom, b) kompenzacija smetnje zasnovana na primeni matematičkog modela Pretpostavimo da je matematički model objekta uprvljanja određen jednačinom: y! m = u − z (8.11) Ako model tačno opisuje objekt upravljanja tada je regulisana veličina i rešenje matematičkog modela određeno jednačinom: t
y = y m = ∫ (u − z )dτ 0
Ako su greške merenja jednake nuli (εz=0 i εy=0), tada za ulaz regulatora tj. za grešku regulacije važi jednačina: e=r-y=r-ym Ako greške merenja nisu jednake nuli tada se greška regulacije određuje kao: e=r-(y+ey)=(r-ey)-y ili t
(8.12)
t
e = r − y m = r − ∫ (u − z )dτ = r − ∫ (u − (z + e z ))dτ = 0
(8.11)
(8.13)
0
t = r + ∫ e z dτ − ∫ (u − z )dτ = r + ∫ e z dτ − y 0 0 0 Iz upoređivanja jednačina (8.12) i (8.13) može se zaključiti sledeće: t
t
a) Ako bi se merenja mogla izvršiti bez greške, prikazane dve metode upravljanja bi dale iste rezultate. b) Greška merenja kod sistema sa povratnom vezom modifikuje informaciju r(t). Pri jediničnoj povratnoj vezi između r(t) i y(t) će se u ustaljenom stanju pojaviti odstupanje koje je jednako greški merenja. c) Kod kompenzacije smetnje zasovane na primeni matematičkog modela informacije r(t) informacije modifikuje integral greške merenja. U ovom slučaju bi razlika između signala r(t) i y(t) neograničeno rasla sa vremenom (drift) i ustaljeno stanje nikad ne bi nastupilo. Prethodna analiza potvrđuje već u praksi potvrđenu praksu primene povratne veze kao stabilizirajuću metodologiju upravljanja. Matematički modeli se pri tom koriste kao pomoćni izvori informacija.
202
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
9. Regulatori Karakterističan vid obrade informacija u sistemima automatskog upravljanja ostvaruje se primenom regulatora. Regulator je onaj deo zatvorenog sistema upravljanja koji vrši upoređivanje signala i u zavisnosti od razlike između zadate i stvarne vrednosti tj. greške regulacije, određuje veličinu upravljačkog tj. izvršnog signala. Mesto i uloga regulatora se jasno vidi na slici 9.1. Zadata vrednost
Element zadate vrednosti
Upravljački signal
Greškal Diskriminator
ra ye
e Kontrolni signal
Regulator u
Izvršno dejstvo
Izvršni element
um
Regulisana veličina Objekt upravljanja
y(t)
Davač signala
Slika 9.1. Jednokonturni regulisani krug Regulator znači ostvaruje sledeće zadatke: a) prihvata sa davača signala kontrolni signal, b) određuje grešku regulacije kao razliku zadate vrednosti i kontrolnog signala, c) na osnovu obrade greške regulacije određuje takav upravljački signal koji će putem izvršnog elementa stvoriti takvo izvršno dejstvo koje obezbeđuje takvo ponašanje objekta upravljanja iskazano preko takvih promena regulisane veličine koja zadovoljava unapred postavljene kriterijume. Regulator se formira od tri člana: elementa zadate vrednosti, diskriminatora i bloka za obradu informacija. Diskriminator može da oduzme jedan od drugog samo signale koje imaju istu prirodu (dužina, napon, sila, digitalno kodirane informcije itd.). Obrada informacija se u principu ostvaruje nelinearnom transformacijom u(e). Kod linearnih objekata upravljanja primenjuju se relativno jednostavnije obrade tj. primenjuju se linearni kontinualni ili diskretni algoritmi ili tzv. pozicioni algoritmi. Kontinualni i diskretni algoritmi se ostvaruju nekom od kombinacija opšteg PID algoritma sa kašnjenjem n-tog reda. Opšta forma ovog logaritma je: t d 2 u (t ) du (t ) de(t ) (9.1) A3 + A2 + A1u (t ) = B0 ∫ e(τ )dτ + B1e(t ) + B2 2 dt dt dt 0 tj. predstavlja takav algoritam upravljanja koji upravljački signal određuje na osnovu integriranja, diferenciranja i množenja sa konstantom greške regulacije. Obrada informacija se može ostvariti preko članova koji vrše proporcionalno kašnjenje n-tog reda. Kod jednostavnijih slučajeva ova kašnjenja se ne koriste ili se zanemaruju. t de(t ) (9.2) A1u (t ) = B0 ∫ e(τ )dτ + B1 ⋅ e(t ) + B2 dt 0 Nakon preuređivanja dobija se:
203
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
u (t ) =
B1 A1
B0 t B de(t ) e t e(τ )dτ + 2 ⋅ ( ) + ∫ B1 A1 0 B1 A1 dt
(9.3)
gde je: B1 prenosni faktor (pojačanje) = Kr A1 B0 1 prenosni faktor integriranja (TI –integralno vreme) = AI = B1 A1 TI B2 prenosni faktor diferenciranja (TD –diferencijalno vreme) = A0 = TD B1 A1 Uz ove smene nakon transformcije dobija se prenosna funkcija PID regulatora u formi: 1 U ( p) (9.4) Wr ( p ) = = K r 1 + + TD p E ( p) TI p Uz relativno širok opseg podešavanja parametara Kr, TI i TD, ovaj tip regulatora se može primeniti i za sisteme upravljanja sa visokim kvalitativnim zahtevima. Izostavljanjem nekih članova dobijaju se podvarijante PID regulatora tj. P, I, PI i PD regulatori. Regulator je pozicioni ako izlaz u(t) može imati samo određene (dve, tri) pozicije. U zavisnosti od broja mogućih pozicija izlaza razlikujemo dvopozicione i tropozicione regulatore. Većina regulatora za svoj rad koristi pomoćne (dopunske) izvore energije. Pomoćna energija može biti električna, pneumatska, hidraulična ili mehanička. Kod regulatora bez pomoćne energije (neposredno delovanje) nijedan element regulatora ne prima dopunsku energiju iz nekog pomoćnog izvora. Kod ovih regulatora prihvatanje i obrada informacija, kao i realizacija izvršnog dejstva se ostvaruje na račun energije uzete iz objekta upravljanja. Algoritam PID regulatora se može digitalizovati. U ovom slučaju obradu informacija ostvaruje neki računar tj. digitalni regulator.
9.1 Pogonska stanja objekta upravljanja koji se upravlja sa kontinualnim ili digitalnim regulatorom Ako za jedan sistem sa stabilizirajućom regulacijom primenimo kontinualni ili diskretni regulator tada promene regulisane veličine moraju zadovoljiti sledeće zahteve: 1. Nakon isteka vremena uspona, regulisana veličina mora sa što manjim nadvišenjem da zauzme iznos određen zadatom vrednošću. Regulator znači mora u potpunosti da određuje prelazne procese koji nastaju pri upuštanju sistema. Na slici 9.2. a) prikazan je uticaj regulatora na regulisanu veličinu u upuštanju sistema.
204
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
y(t) a)
Smetnja b)
c)
TSZ
Upuštanje
Stabilan pogon
Eliminacija uticaja smetnje
t
Slika 9.2 Promene regulisane veličine: a) upuštanje b) stabilan rad c) eliminacija uticaja smetnje; 2. Nakon upuštanja regulator treba da održava regulisanu veličinu na onoj vrednosti koju određuje zadata vrednost. Pri tom regulisana veličina ne sme da ima nikakve promene tj. zajednički rad regulatora i objekta upravljanja mora imati odgovarajuću stabilnost. Stabilan rad je prikazan na delu b) na slici 9.2. 3. Eliminacija smetnji se mora ostvariti sa što je moguće manjim nadvišenjem i za što je moguće kraće vreme regulacije TSZ. Ova faza je prikazana na slici 9.2 c). Kvalitetan i stabilan zajednički rad objekta upravljanja i regulatora postiže se odgovarajućim prilagođavanjem i podešavanjem parametara regulatora.
9.2 Opšti postupak prilagođavanja i podešavanja regulatora Struktura i parametri regulatora se jedoznačno mogu odrediti primenom sledećeg postupka: Neka je prenosna fukcija regulatora data u formi: U ( p ) Bsz ( p ) (9.5) Wsz ( p ) = = E ( p ) Asz ( p ) Ako objekt upravljanja ima prenosnu funkciju: Y ( p) Bob ( p ) (9.6) Wob ( p ) = = U ( p) Aob ( p ) i ako zatvoreni sistem upravljanja treba da ima prenosnu funkciju Y ( p) B z ( p) (9.7) Wz ( p) = = U ( p ) Az ( p) tada između ovih prenosnih funkcija mora važiti odnos: Wsz ( p ) ⋅ Wob ( p ) B ( p) (9.8) Wz ( p) = = z 1 + Wsz ( p) ⋅ Wob ( p) Az ( p) 205
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Nakon smena i preuređivanja dobijamo: Bsz ( p ) ⋅ Bob ( p ) Bz ( p) (9.9) = Az ( p ) Asz ( p ) ⋅ Aob ( p ) + Bsz ( p) ⋅ Bob ( p ) Jednačina (9.9) je zadovoljena ako između polinoma prenosnih funkcija važe odnosi: B ( p) (9.10) Bsz ( p) = z Bob ( p ) A ( p) − B z ( p) (9.11) Asz ( p ) = z Aob ( p ) k . Odrediti p(Tp + 1) parametre regulatora tako da zatvoreni sistem upravljanja ima prenosnu funkciju: 2 ω0 Wz ( p) = 2 2 p + 2ξω 0 p + ω 0 Primer: Objekt upravljanja ima prenosnu funkciju: Wob ( p) =
strukturu
i
Polinomi koji učestvuju u izrazu za određivanje prenosne funkcije regulatora imaju oblik: 2
2
B z ( p) = ω 0 ; B ob ( p) = k ; A z ( p) = p 2 + 2ξω 0 p + ω 0 ; i A ob ( p) = Tp 2 + p Na osnovu ovih polinoma određujemo polinome regulatora kao:
2
2 2 B z ( p) ω 0 p + 2ξω 0 Az ( p) − B z ( p) p 2 + 2ξω 0 p + ω 0 − ω 0 ; Asz ( p ) = Bsz ( p ) = = = = 2 Bob ( p) k Aob ( p) Tp + 1 Tp + p
Odavde se dobija prenosna funkcija regulatora: 2
B ( p) ω 0 T Wsz ( p ) = sz = Asz ( p ) k
1 T p + 2ξω 0 p+
Impulsna prenosna funkcija regulatora se može odrediti primenom aproksimacije p = kao: z -1 1 + 2 T0 T0 (T0 − T ) z −1 + T ω U ( z) ω 0 T Wsz ( z ) = = = 0 z -1 E( z) k k (2ξω 0 − 1) z −1 + 1 + 2ξω 0 T0 Diferencijalna jednačina regulatora je: 2 ω0 (2ξω 0T0 − 1)u (k − 1) + u (k ) = {(T0 − T )e(k − 1) + T e(k )} k Za k=2; ω0=1 s-1; T=1 s; T0=0.1 s i ξ=0.7 dobija se rekurzivna diferentna jednačina: 2
206
z −1 T0
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
u(k)=0.86u(k-1)+0.45e(k-1)+e(k) Dobijeni regulator ne spada u kategoriju PID regulatora. Primenom ovog postupka regulator se u svakom pojedinačnom slučaju mora posebno odrediti i programirati tj. ne mogu se primenjivati iskustvena pravila za podešavanje PID regulatora.
9.3 Regulacija proporcionalnog člana sa kašnjenjem prvog reda Efekti primene preporcionalnog, integralnog i diferencijalnog dejstva regulatora se mogu veoma uočljivo primetiti na primeru regulacije proporcionalnog člana sa kašnjenjem prvog reda.
9.3.1 Primena proporcionalnog regulatora Neka je prenosna funkcija proporcionalnog člana sa kašnjenjem prvog reda: W (p) =
K Tp + 1
(9.12)
Ulaz i prelazna karakteristika ovog člana prikazani su na slici 9.3.
x(t ) 0
K 0
t x(t)
K W ( p) = Tp + 1
y(t) t
y(t)
Slika 9.3 Prelazna karakteristika proporcionalnog člana sa kašnjenjem prvog reda Ako se primeni proporcionalni regulator sa pojačanjem Kr, tada se dobija blok šema zatvorenog sistema koja je prikazana na slici 9.4.
207
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
yz(t)
+
K ob T ob p + 1
Kr
-
∙
y(t)
Slika 9.4 Blok šema zatvorenog sistema Prenosna funkcija zatvorenog sistema je: Kr K K Kr 1+ Kr K Tp + 1 (9.13) Wz ( p) = = K T 1+ Kr p +1 Tp + 1 1 + K r K Zatvoreni sistem je takođe proporcionalni član sa kašnjenjem prvog reda. Prenosni faktor ovog člana Kr konvergira ka jedinici. Vremenska konstanta zatvorenog sistema je manja od vremenske konstante objekta upravljanja. Primenom negativne povratne veze i proporcionalnog regulatora ubrzava se prelazni proces. Regulisana veličina y(t) teži ka ali nikad ne dostiže vrednost zadate vrednosti. Sistem uvek radi sa greškom ustaljenog stanja.
9.3.2 Primena integralnog regulatora Ako umesto proporcionalnog člana primenimo integralni regulator tada blok šema zatvorenog sistema dobija formu prikazanu na slici 9.5.
yz(t)
+
K ob T ob p + 1
1 -
TI p
∙
y(t)
Slika 9.5 Blok šema zatvorenog sistema Prenosna funkcija zatvorenog sistema je: 1 K K TI p Tp + 1 TTI K W z (p) = = = 2 1 K TTI p + TI p + K p 2 1 p K 1+ + + TI p Tp + 1 T TTI 208
(9.14)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Zatvoreni sistem u ovom slučaju postaje sistem drugog reda tj. sistem sa dva akumulatora. Prenosna funkcija u stacionarnom stanju postaje jednaka jedinici. Prigušenje prelazne funkcije se može po želji odrediti pravilnim izborom integralnog vremena TI. S obzirom da sistem ima dva akumulatora, trajanje prelaznog procesa se produžava u odnosu na trajanje prelaznog procesa objekta upravljanja.
9.3.3 Primena diferencijalnog regulatora Ako umesto integralnog, primenimo diferencijalni regulator, tada blok šema zatvorenog sistema dobija formu prikazanu na slici 9.6. yz(t)
+
K ob T ob p + 1
TD p -
∙
y(t)
Slika 9.6 Blok šema zatvorenog sistema Prenosna funkcija zatvorenog sistema je sada: K KTD p Tp + 1 Wz ( p) = = K (T + TD K ) + 1 1 + TD p Tp + 1 TD p
(9.16)
Zatvoreni sistem sa izvesnim kašnjenjem preuzima diferencijalni karakter regulatora. Prelazni proces nakon kratkotrajne brze promene teži ka nuli. Primena ovako regulisanog sistema za praksu nema nikakav značaj. Proporcionalni regulator znači ubrzava prelazni proces. Novo ravnotežno stanje u ovom slučaju nastaje sa greškom ustaljenog stanja. Ovu grešku uspešno može otkloniti integralni regulator. Integralni regulator usporava prelazni proces. Početni impulsni podsticaj diferencijalnog regulatora može značajno ubrzati prelazni proces. Prethodna kratka analiza upućuje na činjenicu da se uspešna regulacija može postići objedinjenom i usaglašenom primenom proporcionalnog (P), integralnog (I) i diferencijalnog (D) dejstva regulatora. Praktična pitanja koja iz ovog slede se svode na pitanja: da li je potrebno primeniti sva tri dejstva i koji odnos između ovih dejstava mora postojati da bi kvalitetno mogli upravljati jednim objektom sa više akumulatora.
9.4 Osnovni tipovi kontinualnih regulatora Osnovni tipovi kontinualnih regulatora su P; I; PI; PD i PID regulatori. Prenos signala kod ovih regulatora može imati kašnjenje koje prouzrokuje primena jednog, dva ili više akumulatora. 209
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Prema broju akumulatora određujemo red kašnjenja regulatora tj. kažemo da je regulator bez kašnjenja, sa kašnjenjem prvog reda itd. U daljem će se prikazati osnovni tipovi regulatora bez kašnjenja. P regulator Diferencijalna jednačina i prenosna funkcija P regulatora je: u (t ) = K r e(t ) U ( p) W ( p) = = Kr E ( p)
(9.17) (9.18)
Na slici 9.7. prikazana je blok šema proporcionalnog (P) regulatora. Blok je formiran upisivanjem prelazne karakteristike. Na slici su prikazane prelazne karakteristike P regulatora pri različitim vrednostima pojačanja regulatora (Kr) i pri različitim vrednostima greške regulacije.
a) u(t)
e(t)
e2 e1
u(t)
e(t)
t
t0
e2 Kr e1 Kr t
t0
b) e(t)
u(t) e
t0
e(t)
u(t)
t
t0
e Kr2 e Kr1 t
Kr2>Kr1 Slika 9.7 Prelazne karakteristike P regulatora a) pri različitim vrednostima greške regulacije b) pri različitim vrednostima pojačanja P regulator karakteriše sledeće: - odziv regulatora nastaje bez kašnjenja, - odziv je proporcionalan proizvodu vrednosti amplitude greške i pojačanja regulatora. U industrijskoj praksi umesto pojačanja (prenosnog faktora) regulatora naznačuje se proporcionalno područje regulatora. Između ovih veličina važi odnos: 100 [%] (9.19) Xp = Kr Vrednost proporcionalnog područja regulatora se može relativno lako odrediti eksperimentalno. Ako se proporcionalno područje iskaže u procentima, tada uvek treba naznačiti u odnosu na koju vrednost je određen ovaj procentualni iznos. 210
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Primer: Opseg skale jednog proporcionalnog regulatora gasne peći je (0-1000)0C. Eksperimentalno utvrđujemo da dovod gasa u gorionik u potpunosti prestaje na temperaturi od 8500C. Ventil za dovod gasa je potpuno otvoren pri temperaturi od 8000C. Širina proporcionalnog područja u ovom slučaju je: 800-850=-500C Proporcionalno područje izraženo u procentima je: − 50 [ 0 C] X p [%] = ⋅ 100 = −5% 1000 [ 0 C] Na slici 9.8. prikazana je zavisnost oblika odziva, stanja ventila i mogućeg opsega promene izlaza i proporcionalnog područje regulatora.
T oC
T oC
T oC
t
t
t
Promene regulisane veličine T 0C
120 110 100
hod ventila
80
10
80
50
Ventil otvoren
90
70 60
Ventil zatvoren
50 40 30
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Slika 9.8 Promene prelaznih karakteristika I regulator Nepoželjna greška ustaljenog stanja pri primeni P regulatora nastaje zbog čvrste veze između greške regulacije i upravljačkog signala (množenje sa konstantom). Ako umesto množenja
211
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
sa konstantom uvedemo promenu upravljanja koja zavisi od integrala greške dobijamo integralni regulator. Integralna jednačina i prenosna funkcija I regulatora je: t 1 (9.19) u (t ) = ∫ e(τ )dτ TI 0 1 U ( p) = E ( p ) TI p
W ( p) =
(9.20)
Na slici 9.9. prikazana je blok šema integralnog regulatora sa prelaznom karakteristikom. Prikazani su i odzivi regulatora za različite vrednosti integralnog vremena (TI2>TI1) i različite vrednosti greške. Najznačajnija prednost I regulatora u odnosu na P regulator leži u činjenici da za svoj rad ne zahteva postojanje stalne greške ustaljenog stanja. U slučaju objekata upravljanja koji imaju proporcionalan karakter željeni prelazni proces se znači može ostvariti bez greške ustaljenog stanja. Za objekte sa integralnim svojstvom (astatički sistemi) prelazni procesi postaju nestabilni.
a)
e2 e1
e(t) u(t)
e(t)
e2 e1
t
t0
u(t)
t0 T I
t
b) e(t)
u(t) e1
e1
e(t) t0
u(t)
t
t0 TI1 TI2 t TI2>TI1
Slika 9.9 – Odzivi I regulatora a) pri različitim vredostima greške b) pri različitim vrednostima integralnog vremena Integralno vreme TI je jednako onom vremenu koje je potrebno da vrednost amplitude izlaza regulatora bude jednako vrednosti amplitude ulaza. PI regulator U industrijskoj praksi se najčešće koristi PI regulator. Ovaj regulator poseduje dobre osobine i P i I regulatora tj. daje brz odziv bez greške ustaljenog stanja. 212
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Integralna jednačina i prenosna funkcija regulatora je: t 1 u (t ) = K r e(t ) + ∫ e(τ )dτ TI 0
W ( p) =
(9.21)
1 U ( p) = K r 1 + E ( p) T p I
(9.22)
Odziv PI regulatora se dobija superponiranjem odziva P i I regulatora kao što je to prikazano na slici 9.10. P- član
e(t) e(t) t0
PI
u(t)
t
+ u(t) I- član
+
I
Kr e1
P
t0
TI
t
Slika 9.10 Prelazna karakteristika PI regulatora i način određivanja integralnog vremena PD regulator Odziv PD regulatora je proporcionalan greški regulacije i izvodu greške regulacije. Obezbeđuje ubrzavanje prelaznih procesa. Diferencijalna jednačina i prenosna funkcija PD regulatora je sledeća: de(t ) u (t ) = K r e(t ) + TD dt W ( p) =
(9.23)
U ( p) = K r (1 + TD p ) E ( p)
(9.24)
U industrijskoj praksi se primenjuje obično PD regulator sa kašnjenjem prvog dreda čija je prenosna funkcija: T p U ( p) (9.21) W ( p) = = K r 1 + D E ( p) Tk p + 1 Ako se superponiraju odzivi jednog P i jednog D člana sa kašnjenjem dobija se PD regulator čija je prelazna karakteristika prikazana na slici 9.11. 213
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
a)
P- član
Kr e1
e(t e1
e(t t0
u(t
t
+
t0
u(t
t
+
D- član
b)
u(t Kr e1 t0
t
Slika 9.11 Prelazna karakteristika i određivanje diferencijalnog vremena pri idealnom a) i pri diferenciranju sa kašnjenjem. D član nakon pojave greške vrši naglo pomeranje izvršnog elementa. PID regulator Objedinjavanjem dejstava osnovnih tipova regulatora dobija se PID regulator. Primenjuje se kod zahtevnih regulacija. Prenosna funkcija ovog regulatora za slučaj kašnjenja prvog reda kod diferencijalnog člana je sledeća:
W ( p) =
T p 1 U ( p) = K r 1 + + D E ( p) TI p Tk p + 1
(9.22)
Prelazna karakteristika PID regulatora je prikazana na slici 9.12. Diferencijalno dejstvo se manifestuje na početku karakteristike, P dejstvo u središnjem delu, a I dejstvo u delu u kojem se odziv smiruje tj. zauzima svoje ustaljeno stanje.
214
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
P- član
e(t) I- član
e(t)
t
Kr e1 + u(t)
I- član
t0
+
PID
I
u(t)
D
P
t0
t
D- član
Slika 9.12 Prelazna karakteristika PID regulatora Pri regulaciji sa PID regulatorom ne javlja se greška ustaljenog stanja. Veoma dobri rezultati se postižu u ovim regulatorom kod objekata upravljanja koja nemaju veliko mrtvo vreme.
9.5 Digitalni regulatori Savremeni algoritmi regulacije se realizuju primenom digitalnih računara. Algoritmi digitalnih regulatora se ne mogu formirati direktno iz poznate prenosne funkcije ili frekventnog prenos regulatora. U daljem će se prikazati postupak formiranja digitalnog algoritma PID regulatora bez kašnjenja. Neka je data diferencijalna jednačina PID regulatora u formi: t 1 de(t ) ( ) ( ) u t = K r e t + ∫ e(τ )dτ + TD TI 0 dt
(9.23)
Ako se primene numeričke aproksimacije: e(t ) → e(k ) t
k −1
0
i =0
∫ e(τ )dτ →T0 ∑ e(i)
(9.24)
de(t ) e(k ) − e(k − 1) → dt T0 tada se može odrediti nerekurzivna tj. poziciona forma PID regulatora: T u (k ) = K r e(k ) + 0 TI
T ∑ e(i) + T [e(k ) − e(k − 1)] k −2 i=0
D
0
215
(9.25)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
gde je T0 vreme uzorkovanja. Zbog dužine digitalne reči pri računarskoj realizaciji ovaj oblik digitalnog algoritma nije najpodesniji za praktičnu primenu. Da bi se ovi problemi otklonili formira se rekurzivna forma algoritma. Ako se nerekurzivna jednačina zapiše za vreme koje je za jedno vreme uzorkovanja manje tada se dobija priraštaj upravljačkog signala kao: T u (k − 1) = K r e(k − 1) + 0 TI
T ∑ e(k ) + T [e(k − 1) − e(k − 2)] k −2
D
i=0
0
T k −2 T ∆u (k ) = u (k ) − u (k − 1) = K r e(k ) + 0 ∑ e(i ) + D [e(k ) − e(k − 1)] − TI i = 0 T0 T k −2 T - K r e(k − 1) + 0 ∑ e(k ) + D [e(k − 1) − e(k − 2)] = TI i = 0 T0 T0 T k −2 T T e(k − 1) + K r 0 ∑ e(i ) + K r D e(k ) − K r D e(k − 1) − TI TI i = 0 T0 T0 k −2 T T T − K r e(k − 1) − K r 0 ∑ e(i ) + K r D e(k − 1) − K r D e(k − 2) = TI i = 0 T0 T0 = K r e( k ) + K r
T = K r 1 + D T0 Uz smene:
T T T e(k ) − K r 1 + 2 D − 0 e(k − 1) + K r D e(k − 2) T0 TI T0
T q 0 = K r 1 + D T0 2T T q1 = K r 1 + D − 0 T0 TI T q2 = K r D T0
(9.26)
(9.27)
dobija se konačna forma rekurzivnog algoritma: ∆u (k ) = q 0 e(k ) + q1 e(k − 1) + q 2 e(k − 2)
(9.28)
Nakon z transformacije dobijamo: ∆U ( z ) = (q 0 + q1 z −1 + q 2 z −2 ) E ( z )
216
(9.29)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
9.6 Pozicioni regulatori Zbog jednostavnosti konstrukcija i niske cene ovi regulatori spadaju u najčešće pimenjivane nekontinualne regulatore. Kod ovih regulatora upravljačko dejstvo može zauzeti samo određene diskretne vrednosti tj. pozicije, zbog čega se i nazivaju pozicionim regulatorima. Najjednostavniji vid ovih regulatora je dvopozicioni regulator. Ako je regulisana veličina manja od zadate vrednosti tada na izlazu dvopozicionog regulatora imamo jednu određenu fiksnu vrednost. Ako je regulisana veličina veća od zadate vrednosti, tada na izlazu dvopozicionog regulatora dobijamo drugu fiksno određenu vrednost. Najjednostavniji vid realizacije ovog regulatora je onaj koji uključuje ili isključuje neku vrednost izlaza (ON-OFF regulator). Sa dvopozicionim regulatorima ne može se ostvariti neka unapred data stalna vrednost regulisane veličine. Regulisana veličina se kreće između dve veličine od kojih je jedna veća, a druga manja od zadate vrednosti. Regulisana veličina znači osciluje između dve vrednosti. Ove oscilacije se mogu dobro ilustrovati na primeru upravljanja nivoom u jednom rezervoaru. Neko željeno stanje nivoa kod rezervoara može se postići ako je dotok tečnosti veći od odtoka. Predpostavimo da dvopozicioni regulator otvara i zatvara ventil za dovod tečnosti. Ako se nivo tečnosti poveća iznad zadate vrednosti dvopozicioni regulator će zatvoriti ventil, a ako nivo tečnosti opadne ispod zadate vrednosti tada se otvara ventil. Nakon otvaranja ventila, u slučaju da je dotok veći od odtoka, nivo tečnosti počinje rasti. Ako regulator zatvori ventil za dotok rezervoara počinje da se prazni tj. nivo opada. Stanje u kom je dotok jednak odtoku tj. stanje stabilnosti nivoa u ovom slučaju se ne može postići. Nivo tečnosti će oscilovati oko zadate vrednosti. Otvaranje i zatvaranje ventila za dotok tečnosti se ne događa pri istoj vrednosti. Zbog ove razlike nastaje histereza. Veza između greške regulacije i upravljačkog signala grafički se prikazuje karakteristikom dvopozicionog regulatora. Na slici 9.13 prikazane su karakteristike dvopozicionih regulatora ako je histereza jednaka nuli (xd=0) za slučaj a) bez osnovnog upravljačkog dejstva, b) sa osnovnim upravljačkim dejstvom i za slučaj kada je histereza različita od nule x d ≠ 0 . U
Uh
yz
ki
un
ki
Be
U un
Be y
yz
y
xd Be
ki
x2 xa x1
y
Slika 9.13 Karakteristike dvopozicionih regulatora bez histereze a) bez osnovnog b) sa osnovnim upravljačim dejstvom i c) sa histerezom x d ≠ 0 Ako je regulisana veličina y manja od zadate vrednosti yz tada upravljački signal ima svoju gornju graničnu vrednost Uh. Kada regulisana veličina prekorači vrednost određenu sa zadatom vrednošću tada upravljački signal postaje jednak nuli. Ako se neki deo upravljačkog dejstva održava na stalnoj vrednosti manjoj od gornje granične vrednosti (rad sa osnovnim upravljačkim dejstvom) tada karakteristika dvopozicionog regulatora ima oblik prikazan na slici 9.13 slučaj b).Ako regulator ima histerezu, tada regulisana veličina teži da pređe u stanje u kom osciluje između gornje y1 i donje y2 vrednosti. 217
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Konstrukcija dvopozicionih regulatora je veoma jednostavna. Nedostatak ovog tipa regulatora leži u činjenici da upravljačko dejstvo bira između dve fiksne vrednosti. Znatno povoljnije dejstvo se postiže primenom tropozicionih regulatora koji omogućuje postavljane tri vrednosti za upravljačko dejstvo. Oscilacije regulisane veličine se mogu smanjiti primenom dvopozicionih regulatora sa unutrašnjom povratnom spregom. Primena dvopozicionih regulatora je veoma česta kod sistema automatskog upravljanja kod kojih regulisanu veličinu treba održavati između dve vrednosti i u slučajevima kada regulisana veličina sme da ima oscilacije. Objekti upravljanja sa malom inercijom tj. objekti sa malim vremenskim konstantama mogu oscilacije nemo pratiti što bi bilo veoma loše za sam objekt upravljanja. Da do ove pojave ne bi došlo dvopozicioni regulatori se primenjuju za objekte sa velikim vremenskim konstantama.
218
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
10. Sinteza logičko-sekvencialnog upravljanja Tehnološki procesi u proizvodnim postrojenjima realizuju se od niza međusobno zavisnih uzastopnih operacija. Međusobno usaglašavanje, pokretanje i zaustavljanje ovih operacija vrši se uglavnom primenom logičko-sekvencionalnog upravljanja. Logičko-sekvencionalno upravljanje ostvaruje informacionu transformaciju između logičkih ulaza i izlaza nekog tehnološkog procesa. Obrada informacija se vrši u kombinacionim ili sekvencionalnim logičkim mrežama. Izvori informacija tj. ulazi u logičku mrežu, dobijaju se iz davača signala (kontaktni termometar, nivo prekidač, kontaktni manometar, krajnji prekidač itd.) koji u zavisnosti od stanja tj. uključenosti ili isključenosti, dostignutosti ili prekoračenja neke kontrolne vrednosti na svom izlazu daju dva relativno jednostavno i jednoznačno odredljiva stanja. Ulazne informacije se mogu dobiti i sa prekidača i tastera koji su razmešteni u procesu ili se nalaze na nekom kontrolno-upravljačkom pultu. Posebnu klasu davača koji se koriste pri ovom vidu upravljanja predstavljaju različiti impulsni davači kao što su: merači energije, protokomeri, brojači broja obrtaja, brojači broja komada itd. Izlazi se formiraju preko beznaponskih kontakata relea. Preko kontakata relea direktno ili primenom kontaktora se uključuju ili isključuju motori, pumpe, grejači, zasuni, ventili itd. Jedan broj izlaza uključuje razne kontrolne lampe ili izvore zvučnog alarmnog signala. Upravljački uređaj u kom se ostvaruje logičko upravljanje može biti i jedan računar ili može biti element jedne računarske mreže. U ovom slučaju ulazne i izlazne informacije mogu biti proizvoljno kodirane digitalne informacije. Računarska podrška omogućava i vizuelni prikaz događaja koji se odvijaju u datom tehnološkom procesu. Prvu fazu razvoja logičkog upravljanja karakteriše primena releja. Razvoj elektronike omogućio je primenu tzv. bezkontaktne logike. Savremena rešenja u većini slučajeva se zasnivaju na primeni dostignuća mikroračunarske tehnologije. Upravljački uređaj u zavisnosti od vrednosti nekih spoljašnjih (zadatih) logičkih ulaza uključuje ili isključuje izvršne elemente putem kojih se ostvaruje izvršno delovanje na proizvodni proces. Pojava nekog spoljašnjeg signala može biti vezana za vreme ili za neki događaj u samom objektu upravljanja ili u okruženju. U zavisnosti od načina formiranja ovog signala razlikujemo vremensko ili uslovno upravljanje. Uslovno upravljanje može biti prateće i koračno. Za vremensko i koračno upravljanje se često kaže da je programsko upravljanje. Elementi za prihvat logičkih signala i za donošenje logičkih odluka (obrada logičkih signala) u upravljačkom uređaju, treba da stvore takve logičke sprege između ulaza i izlaza koji će preko izvršnih dejstava ostvariti željeno upravljanje. Obrada informacija u ovom slučaju se svodi na prihvat, memorisanje, pojačavanje i raspodelu informacija. Veza između elemenata sistema upravljanja se ostvaruje ožičavanjem (kabliranjem) preko raznih priključnih elemenata i sistema. Matematičke osnove za obradu logičkih signala daje Bulova algebra, kontaktna algebra, simbolička logika itd. Primenom pravila Bulove algebre mogu se odrediti logičke funkcije i ekvivalentne logičke transformacije. Složene forme se primenom Bulove algebre mogu svesti na jednostavnije tzv. optimalne forme. U ostvarivanju upravljačkog zadatka učestvuje relativno veliki broj davača i uređaja. Neki od uređaja spregnuti su međusobno i sa drugim uređajima i sistemima. Zbog ovakvih često veoma složenih sprega određivanje i projektovanje upravljačkog zadatka se ne može ostvariti jednostavno. Projektovanje upravljanja je zbog toga celishodno ostvariti korak po korak tj. u više faza od kojih su najznačajnije: a) definisanje zadataka i ciljeva upravljanja, b) postupna razrada rešenja, c) izrada konačnog rešenja, Sve ove faze takođe treba ostvariti korak po korak 219
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
10.1 Projektovanje logičkog upravljanja Pojedine faze logičkog upravljanja su nezavisne od vrste primenjenog upravljačkog uređaja. Između različitih faza projektovanja upravljanja postoje i neke uzročno-posledične veze. Redosled ostvarivanja faza se često može zameniti. Neke od faza se čak i mogu izostaviti. 1. Prva faza u projektovanju se svodi na tačnu definiciju projektnog zadatka i željenih ciljeva upravljanja. Ova faza je veoma značajna. Upravljački sistem se može projektovati samo ako su pravilno i jednoznačno određeni zahtevi koje upravljački sistem mora ostvariti. U ovoj fazi treba odrediti i osnovne osobine i karakteristike upravljačkog uređaja. 2. Nakon definicije zadatka upravljanja može se pristupiti razradi detalja. U ovoj fazi prvi korak se svodi na izbor davača, upravljačkog uređaja i izvršnih elemenata. Neki od ovih elemenata su već određeni pri projektovanju same tehnologije ili su definisani projektnim zadatkom. U toku razrade algoritma upravljanja u principu se pojavljuje uvek potreba za uključivanjem novih davača i izvršnih elemenata. Nakon izbor elemenata pristupa se razradi redosleda uključivanja uređaja. Redosled uključivanja proces upravljanja razdvaja na korake upravljanja. Definisanjem pojedinih koraka određuju se uslovi uključivanja i isključivanja pojedinih uređaja, kao i efekti koje pojedini koraci ostvaruju. Pri ovoj fazi celishodno je primeniti grafičku podršku u vidu funkcionalnog dijagrama. Na slici 10.1 prikazana je osnovna šema jednog koraka funkcionalne šeme (DIN 40719 T 6). Brojač koraka El Prethodni korak
≥1 & ≥1
4 Oznaka koraka
E1 E2 E3 E4
Logički uslovi prelaza na sledeći korak
Naziv koraka
R KI 1 5 Naredni korak
S MERK 2
Logičke promene za prelazak na sledeći korak
Slika 10.1 Funkcionalna šema jednog koraka upravljanja Deo funkcionalne šeme prikazan na slici 10.1. definiše sledeće: ako je objekt upravljanja započeo svoj rad u prethodnom koraku i ako se ispune logički uslovi za pokretanje narednog koraka, tada započinje realizacija četvrtog upravljačkog koraka. Korak ima dva izvršna dejstva tj. postavlja na logičku nuli izlaz KI 1 (R - RESET), i na logičku jedinicu izlaz MERK 2 (S - SET). Ovo stanje se zadržava sve dok se ne pojave logički uslovi za pokretanje narednog petog koraka. Pored redne, u funkcionalnoj šemi se mogu pojaviti i paralelni odnosi između koraka. Na slici 10.2. prikazana je funkcionalna šema koraka sa uslovnim razdvajanjem i koraka sa paralelnim dejstvom.
220
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
a.)
Uslovno razdvajanje
b.)
Korak
Korak
Objedinjavanje grana Slika 10.2 Koraci a) sa uslovnim razdvajanjem b) paralelnim radom Funkcionalnu šemu treba sve dotle preuređivati i dopunjavati dok ona ne bude jednoznačna i razumljiva kako za projektanta upravljanja tako i za tehnologa. 3. Na osnovu funkcionalne šeme mogu se zapisati logičke jednačine algoritma upravljanja i moguće je formirati električne ili logičke šeme. Logičke jednačine opisuju algoritam upravljanja u vidu logičkih jednačina. Svakom ulazu (rele, prekidač, taster, davač itd.) pridružujemo po jednu logičku promenljivu. Stanje ove logičke promenljive opisuje stanje ulaza. Npr. zatvoreno stanje jednog kontakta se označava sa logičkom jedinicom a otvoreno stanje označava se sa logičkom nulom. U električnim kontaktnim šemama, nezavisno od prostornog rasporeda, naznačuju se sve putanje zatvaranja električnih kola. Na izvor struje priključuju se dva provodnika, a između ovih provodnika se smeštaju šematske oznake kontakata i provodnici za ostvarivanje galvanskih spojeva. Šeme treba crtati tako da broj grana koje se međusobno ukrštaju bude što je moguće manji. Raspored strujnih grana po mogućnosti treba usaglasiti sa redosledom aktiviranja pojedinih grana. U logičkim i električnim kontaktnim šemama elementi se označavaju simbolima i slovnim i/ili brojčanim oznakama. Pri izboru slovnih oznaka celishodno je koristiti neka pravila. Npr. rele R, taster N, davač E itd. Brojni dodatak u oznaci elementa treba da upućuje na redni broj ulaza, prostorni raspored itd. U različitim zemljama pa čak i kod projektanata iste firme se primenjuju različiti sistemi označavanja. Na slici 10.3. prikazane su neke korišćene oznake. Sa leve strane su neke klasične oznake, a sa desne strane su naznačene oznake koje se primenjuju pri programiranju PLC uređaja
221
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Radni kontakt Mirni kontakt Rele. Izlazni priključak. Namotaj kontaktora Pozicioni prekidač Taster radni
Taster mini
Termički rele
Ručni prekidač
Slika 10.3 Simboli kontaktnih šema Zadatak upravljanja se materijalizuje električnim ili logičkim sprezanjem osnovnih elemenata. Redosled uključivanja koji je saglasan sa algoritmima upravljanja predstavlja se primenom kontaktnih šema (u klasičnoj ili letvičastoj formi), logičkih šema, vremenskih dijagrama ili dijagrama tokova. a.)
b.) 1
1
1
3
R
1 2 3
2 3 R
222
≥1
c.) & R 1
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
d.)
e.)
A
B
Slika 10.4 Šeme razrade upravljačkog algoritma a) kontaktna b.) letvičasta c.) logička d.) vremenski dijagram i e.) dijagram toka Kontaktne šeme se koriste ako se upravljački algoritam ostvaruje primenom releja. Logičke šeme se koriste u slučaju primene elementarnih elektronskih sklopova. Priprema upravljačkog zadatka i programiranje slobodnoprogramirajućih (PLC) uređaja se vrši razradom letvičastih dijagrama ili logičkih šema. Vremenski dijagrami se crtaju u slučaju jednostavnijih upravljačkih zadataka. Dijagami tokova se crtaju ako se upravljački zadatak želi rešiti primenom računara opšte namene uz programiranje u nekom programskom jeziku. Na slici 10.5. prikazani su neki primeri crtanja šema upravljačkih algoritama. a.) 1
1 1 2 b.)
R
R
&
2
1
R 1
2
1 2
2
R
R
≥1
R
2 BE
c.) BE
R
KI R
KI
≥1
1
&
BE
KI R
R R
Slika 10.5 Neke osnovne upravljačke sprege 5. U sledećoj fazi razvoja sistema logičkog upravljanja se vrši ožičavanje ili programiranje U sledećem će se dati primer rešavanja jednog realnog upravljačkog zadatka. 223
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
10.2 Primer projektovanja upravljanja Jedan rezervoar u prehrambenoj industriji treba uzastopno napuniti petnaestak puta. Dostizanje donjeg nivoa napunjenosti označava kontaktni davač označen sa LAL, a gornjeg nivoa kontaktni davač označen sa LAH . Ako nivo u rezervoaru dostigne vrednost određenu sa LAH tada ventil VA1 treba zatvoriti. Ako nivo dostigne vrednost određenu sa LAL zatvaranjem ventila VA2 treba prekinuti isticanje fluida iz rezervoara. Nakon punjenja tečnost u sudu treba određeno vreme mešati sa ugrađenim mešačem . Ispust tečnosti se može odobriti tek nakon mešanja. Tehnološka šema sistema je prikazana na slici 10.6 . M 3~
VA1
LAH
LAL
VA2
HV
Slika 10.6. Tehnološka šema rezervoara u prehrambenoj industriji Upravljanje rezervoarom treba rešiti prema sledećem: Punjenje rezervoara počinje nakon aktiviranja tastera START. Da bi se započelo punjenje treba otvoriti ventil VA1. Nakon otvaranja ventila počinje dotok tečnosti. Istovremeno treba pokrenuti i motor mešalice. Kada nivo tečnosti u rezervoaru dostigne gornju granicu (LAH), tada zatvaramo ventil VA1 i zaustavljamo mešalicu. Ponovno aktiviranje tastera START treba da inicira otvaranje ventila VA2 i ispuštanje tečnosti. Nakon petnaest uzastopnih punjenja i pražnjenja pali se kontrolna sijalica A1. Ako se rezervoar ne napuni za 20s, tada treba zatvoriti ventil VA1 i zaustaviti motor mešalice. Ovo stanje treba da alarmira sirena (AS). Aktiviranjem tastera RESET isključuje se sirena i anulira se brojač. Tehnološke operacije punjenja rezervoara se mogu dekomponovati u 5 koraka. Funkcionalna blok šema punjenja je data na slici 10.7.
224
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
START Nema alarma Nivo je ispod LAH
1
S
Otvaranje VA1
Punjenje i mešanje tečnosti
S
Pokretanje M
S
Postavljanje
Isteklo 20 sekundi Dostignut gornji nivo
Dostignut gornji nivo
2
2A
Zaustavljanje punjenja i mešanja
R
Zatvaranje VA1
R
Zaustavljanje M
S
Otvaranje VA2
Greška u uređaju za alarmiranje
S
Alarmiranje (AS)
R
Prekid alarmasa (AS)
R
Resetiranje brojača
START
3
2B
Ispuštanje tečnosti
Zaustavljanje
S Inkrementiranje brojača
Dostignut donji nivo
4 Ispuštanje završeno
R
Zatvaranje VA2
Brojač dostigao vrednost od 15
5
5A
Ponovno punjenje
Izvršeno 15 punjenja
S
Uključiti kontrolne sijalice
RESET
6 Sistem spreman za ponovni rad
R
Isključivanje kontrolne
Slika 10.7 Funkcionalni dijagram upravljanja
225
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Kontaktna šema koja ostvaruje gore definisano upravljanje je prikazana na slici 10.8. Na šemi su naznačeni i brojevi kontakata pojedinih relea i tastera. Pored oznaka kontakata brojčano je naznačena grana kontaktne šeme u kojoj se dati kontakt nalazi.
Slika 10.8. Kontaktna šema upravljanja 226
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Ako se za upravljanje rezervoarom želi koristiti neki slobodno-programirajući uređaj (PLC) tada postupak pripreme problema treba usaglasiti sa zahtevima proizvođača uređaja. Na slici 10.9 prikazane su tabele rasporeda ulaza i izlaza za neki zamišljeni PLC uređaj. Na slici 10.10. data je letvičasta šema, a na slici 10.11 prikazana je električna šema priključivanja ulaza i izlaza. a.) Adrese ulaza Adresa 000 001 002 003
b.) Adrese izlaza
Uslov START RST LAH LAL
Adresa 012 013 014 015 016
Slika 10.9 Raspored ulaznih i izlaznih adresa
000
016
002 OUT 012
012 000
OUT 014 002
003 OUT 013
013 013 COUNTER 001
15 impulsa Z
Z OUT 015 012 TIMER TI
001
TI OUT 016
016
Slika 10.10 Letvičasta šema 227
Promena stanja VA1 VA2 MOTOR (M) LAMPA (AL) SIRENA (AS)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
START
L
000 RST 001 LAH
L
002 LAL
003
VA1
012 VA2
013
004
L
005
014
006
L
007
015
008
L
M
MOTOR (M) LÁMPA (AL) SIRENA (AS)
016
Slika 10.11 Električna šema priključivanja elemenata na PLC uređaj U slučaju da se primeni neki drugi slobodnoprogramirajući uređaj logičke veze algoritma bi trebalo programirati primenom nekog simboličnog jezika. Na slici 10.12. prikazan je ovakav program. Adresa programskog koraka
Kod naredbe
000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022
LD OR AND NOT AND NOT OUT OUT LD AND OR AND OUT LD LD CNT 0 LD CNT OUT LD TIM 1 LD TIM OR AND NOT OUT END
Adrese ulaza/izlaza ili stanja brojača 000 012 016 002 012 014 000 002 013 003 013 013 001 15 0 015 012 200 1 016 001 016
Slika 10.12. Program za PLC uređaj u nekom simboličkom jeziku 228
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
10.3 Slobodnoprogramirajući uređaji Slobodnoprogramirajući uređaji su elementi sistema automatskog upravljanja koji se grade od elektronskih elemenata, mikroprocesora (mikrokontrolera) i memorije. Uređaj informacije prihvaćene na ulaznim kanalima transformiše i prenosi na izlazne kanale. Slobodnoprogramirajući uređaji se primenjuju u upravljanju složenim proizvodnim i tehnološkim sistemima. Ulazne signale prihvataju sa tastera ručnih prekidača, fotoćelija, krajnjih prekidača, termostata, presostata itd. Preko relea i kontaktora koji se priključuju na izlazne kanale puštaju u pogon motore, zatvaraju i otvaraju ventile itd. Programi za obradu informacija unose se sa periferija sa tastature. Pri tom je sasvim svejedno da li je ova periferija sastavni deo uređaja ili se kao periferija koristi računar opšte namene. Primena slobodnoprogramirajućih uređaja je uslovljena minimalnim programerskim znanjima, odgovarajućim znanjima iz oblasti automatskog upravljanja i veoma preciznim saznanjima o samom objektu upravljanja. U principu svi slobodnoprogramirajući uređaji imaju istu strukturu.
Programska memorija Interna memorija RAM, ROM
Eksterna memorija
Memorija stanja vremenskih
Procesor za obradu informacija µP
Memorija stanja ulaza i izlaza
čl Memorija stanja brojačkih čl Memorija za međustanja
Jedinica za obradu informacija BUS Jedinica za unos programa
Analogni ulazi
Analogni izlazi
Digitalni ulazi
Digitalni izlazi
Komunikacioni kanal
Brojački ulazi
ulazno/izlazna jedinica
Slika 10.13 Struktura gradnje tipičnog slobodnoprogramirajućeg uređaja
229
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slobodnoprogramirajući uređaji se formiraju od sledećih elemenata: a) jedinica za unos programa (tastatura za unos naredbi programa i ekran) b) jedinica za obradu informacija (mikroprocesor i memorija) c) ulazno/izlazna jedinica Naredbe programa koji može rešiti dati upravljački zadatak se unose u uređaj preko jedinice za unos programa. Centralna jedinica obrađuje naredbe i upravlja radom ulazno/izlaznih jedinica. Upravljačke logičke funkcije koje u klasičnoj realizaciji rešavaju releji, pomoćni releji, vremenski releji, analogni regulatori preko međusobnog ožičavanja u ovim uređajima rešavaju se programski u centralnoj jedinici. U slučaju primene slobodnoprogramirajućih uređaja nije potrebno montirati i galvanski spojiti kontakte različitih releja. Ovaj često veoma zamoran i dugotrajan posao kod ovih uređaja se prenosi u oblast softvera. Eventualne potrebne izmene u programima se mogu vršiti i u hodu tj. pri stavljanju u pogon ili pri eksploataciji uređaja. Promene u radu objekta upravljanja se mogu bez posebnih hardverskih zahvata obaviti sve dok se ne zahteva povećanje broja ulaza i izlaza. Sa jednim tipskim slobodnoprogramirajućim uređajem možemo ostvariti veoma raznorodne upravljačke zadatke. Nakon programiranja isti uređaj se može koristiti jednom za upravljanje presom a zatim za upravljanje glodalicom.
10.3.1 Princip rada slobodnoprogramirajućih uređaja Razlikujemo slobodnoprogramirajuće uređaje koji rade korak po korak i uređaje koji obradu vrše u ciklusima. U slučaju rada korak po korak, sistem je u iščekivanju ispunjenja nekog ulaznog uslova. Sledeći korak tj. aktiviranje nekih izlaza se vrši tek nakon ispunjenja postavljenih uslova. Ovi postupci se ponavljaju u skladu sa unetim programom. Ako se ne ispuni postavljeni uslov u nekom koraku uređaj ostaje u stanju iščekivanja nastanka datog uslova. Kod uređaja sa cikličnim radom ispituju se sva ulazna stanja u ciklusima čije je trajanje reda veličine milisekundi. Ako nastane neka izmena u ulaznim stanjima, nakon obrade programa u toku ciklusa će se uspostaviti novo izlazno stanje. Na slici 10.14. prikazan je osnovni ciklus rada slobodnoprogramirajućih uređaja. START
Učitavanje ulaza
Obrada informacija Postavljan je izlaza
230
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Slika 10.14 Osnovni ciklus slobodnoprogramirajućeg uređaja Na slici 10.15 prikazani su osnovni tokovi informacija unutar slobodnoprogramirajućih uređaja. U prvoj fazi a.) učitavaju se informacije sa ulaznih kanala i smeštaju se u memoriju ulaza/izlaza. Digitalne informacije su jednobitne a analogne informacije su 12-to bitne. a.)
b.)
Memorija ulaza/izlaz a
µP
Memorija ulaza/izlaz a
Ulazi
c.)
Memorija
ulaza/i zlaza
Program Memorija vremenskih
µP
Memorija međurezultata
Spoljašnji vremenski članovi
µP
Memorija ulaza/izlaz a
Memorija stanja brojača
µP
d.)
Izlazi
Slika 10.15 Tokovi informacija u slobodnoprogramirajućem uređaju U sledećoj fazi se ostvaruje obrada informacija b). Izvori informacija u ovoj obradi su memorija ulaza/izlaza, memorija spoljašnjih vremenskih članova i memorije stanja brojača vremenskih članova i memorija međurezultata. Obrada se realizuje primenom jednostavnih logičkih funkcija tipa I, ILI itd. Obrada analognih informacija se vrši prema znatno složenijim algoritmima. Rezultati obrade određuju potrebno stanje analognih i digitalnih izlaza i privremeno se smeštaju u memoriju ulaza/izlaza c). U zadnjoj fazi ciklusa memorisani podaci se prenose u izlazne jedinice. Stalna aktualizacija izlaza na osnovu trenutnih ulaza u veoma kratkom vremenskom trajanju ciklusa stvara kod korisnika paralelnost obrade. Slobodnoprogramirajući uređaji se koriste za upravljanje relativno sporih procesa. U ovom slučaju efekti trajanja ciklusa obrade i rednog principa obrade se ne mogu ni primetiti. Upravljačke akcije u ovom slučaju se realizuju znatno brže od promena u samom tehnološkom procesu.
231
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
11.
Sinteza regulatora
Postupcima sinteze određuju se struktura i parametri takvog regulatora koji će svojim delovanjem obezbeđivati željene kvalitete regulisanog procesa. Projektovanje sistema automatskog upravljanja pored sinteze mora rešiti i druga sistemska pitanja kao što su izbor elemenata, određivanje ambijentalnih uslova, tehnološka, ekonomska ili sigurnosna pitanja itd. Zadatak sinteze u opštem slučaju se može svesti na potrebu određivanja takve funkcionalne promene ulaza u(t) koji će dati objekt upravljanja na koga deluju i smetnje z(t), održavati i prevoditi u stanja koja su po nekom kriterijumu najpovoljnija (optimalna). Pri tom ulaz mora ostati u okvirima tehnički mogućih vredosti, a celo rešenje mora biti ekonomski opravdano. Upravljački signal u(t) se mora ostvariti u realnom vremenu tj. njegovo određivanje se mora zasnivati na raspoloživim informacijama prikupljenim u sadašnjosti i prošlosti. Kod zatvorenih sistema upravljanja upravljački signal se samostalno generiše iz čega sledi da se postupak sinteze svodi na potrebu određivanja strukture i parametara regulatora. Svaki postupak sinteze treba da teži ka ostvarivanju idealnih uslova rada regulacionih krugova od kojih su najznačajniji: a) stabilnost, b) greška ustaljenog stanja jednaka nuli, c) što je moguće kraće trajanje prelaznih procesa pri promenama zadate vrednosti ili smetnji, d) neosetljivost ili robustnost na promene parametara objekta upravljanja ili prisustvo nemodelirane dinamike. Kod realnih sistema greška ustaljenog stanja se u principu nikad ne može u potpunosti otkloniti, ali se pravilnim izborom upravljačkog signala uvek može eliminisati ili ograničiti. Trajanje prelaznih procesa ograničavaju vremenske konstante (polovi koji reprezentuju inerciju sistema) i mrtvo vreme. Efekti prisustva mrtvog vremena se ne mogu otkloniti. Kašnjenja zbog prisustva vremenskih konstanti se mogu svesti na razumnu meru povećavanjem amplituda ulaznog signala. Ovo rešenja se sukobljava sa tehničkim i ekonomskim uslovima primene izvršnih elemenata. Izvršni elementi se projektuju za određene vrednosti signala. Ako se primene u neprojektovanim uslovima tada dolazi do zasićenja, kvarova itd. Primena izvršnih elemenata za velike ulazne signale zahteva i veća materijalna ulaganja s obzirom da su dimenzije izvršnih elemenata funkcije snage i amplitude signala. Ubrzavanje prelaznih procesa će doneti i neizbežna nadvišenja regulisane veličine. Pri projektovanju mora se izvršiti procena mogućih tehnološki dozvoljenih nadvišenja. Zbog konačnog trajanja prelaznog procesa pojavljuje se dinamička greška regulacije čije je vreme smirivanja obrnuto proporcionalno sa presečnom učestanošću otvorenog sistema. Željeno vreme smirivanja znači određuje presečnu učestanost otvorenog sistema. Rezerve stabilnosti tj. karakter prelaznog procesa (asimptotski, sa nadvišenjem ili oscilatorni) i veličina nadvišenja zavise od preteka faze. Pretek faze treba održavati oko 60°. Frekventni prenos objekta upravljanja određuju dimenzije objekta upravljanja a ne željeni kvalitet odvijanja prelaznih procesa. Modifikaciju tj. kompenzaciju nepoželjnih karakteristika frekventnog prenosa otvorenog sistema znači mora obaviti regulator a ne objekt upravljanja. Frekventni prenos regulatora određuje i algoritam obrade informacija u regulatoru. Algoritam upravljanja pri tom određuje proces transformacije signala greške u upravljački signal. Primena elemenata za obradu signala unosi u sistem upravljanja dodatne uticaje kao što su: sniženje nivoa signala, pojačavanje nepoželjnih smetnji itd. Pri sintezi regulatora treba dati odgovor na sledeća pitanja: 232
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
-
kakve elemente i u kojoj sprezi (struktura regulatora) treba primeniti da se ostvari željena obrada signala? kakvi će biti negativni efekti primene odabranih elemenata? U sistemima automatskog upravljanja objekt upravljanja je nezavisna jedinica kojoj se pridružuju različiti elementi sistema automatskog upravljanja (senzori, aktuatori i regulatori). Svi ovi elementi zajedno formiraju regulacioni krug. U inženjerskoj praksi se mogu sresti objekti upravljanja veoma različitih tipova i osobina. Kvalitativni zahtevi vezani za izgradnju i prelazne procese su takođe veoma raznoliki. Iz ovih različitosti prirodno sledi da se za sintezu algoritama upravljanja ne može odrediti jedan opšte važeći analitički postupak već se izbor strukture i parametara regulatora mora rešavati zavisno od tipa i osobina objekta upravljanja tj. od slučaja do slučaja. Teorija upravljanja je razradila niz postupaka za određivanje strukture i parametara regulatora. Stručnjak iz ove oblasti pri proučavanju teorije može sresti veliki broj veoma složenih ali i jednostavnih, praktičnih predloga. Projektant sistema mora za svaki pojedinačni slučaj da izvrši izbor najpovoljnijeg postupka. U daljem će se prikazati neki postupci određivanja parametara i strukture regulatora koji se uspešno mogu primeniti u industrijskoj praksi.
11.1
Podešavanje parametara regulatora
Relativno jednostavni postupci za određivanje optimalnih parametara regulatora, određeni su za one procese koji se mogu aproksimirati prenosnim funkcijama unapred određene strukture. Optimalni parametri su određeni računarskim simulacijama, a izbor se svodi na primenu jednostavnih obrazaca, nomograma itd. U ovim postupcima dat je izbor vrste i parametara regulatora za napred definisani kriterijum kvaliteta (aperiodičnost, 20 % nadvišenje, minimum kvadrata greške itd.). Za podešavanje P, PI, PD, I i PID regulatora mogu se primeniti sledeći postupci:
11.1.1 Chien-Hrones-Reswick - metoda K.L. Chien, J.A. Hrones, i J.B. Reswick su dali postupak izbora regulatora za stabilizirajuću i prateću regulaciju. Metoda se mora primeniti ako se objekt upravljanja može dobro aproksimirati prenosnom funkcijom. W ( p ) = K ob
e −τ ob p Tob p + 1
(11.1)
Za slučaj stabilizirajuće regulacije optimalni parametri odgovarajućih regulatora mogu se odrediti za slučaj aperiodičnog prelaznog procesa i prelaznog procesa sa 20 % nadvišenja primenom izraza datih u tabeli 11.1.
233
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Parametar regulatora Tip regulatora
P
K T 0.3 ob τ ob T 0.7 ob τ ob
TD
∞
0
aperiodičan
∞
0
20% nadvišenje
0.6
Tob τ ob
4τ ob
0
aperiodičan
0.7
Tob τ ob
2.3τ ob
0
20% nadvišenje
Tob τ ob T 1.2 ob τ ob
2.4τ ob
0.42τ ob
aperiodičan
2τ ob
0.42τ ob
20% nadvišenje
PI
0.95 PID
Karakter prelaznog procesa
TI
Tabela 11.1. Za slučaj prateće regulacije optimalni parametri regulatora se mogu odrediti primenom izraza datih u tabeli 11.2. Parametar regulatora Tip regulatora
P
PI
PID
Karakter prelaznog procesa
K
TI
TD
T 0.3 ob τ ob T 0.7 ob τ ob
∞
0
aperiodičan
∞
0
20% nadvišenje
T 0.35 ob τ ob
1.2Tob
0
aperiodičan
T 0.7 ob τ ob
∞
0
20% nadvišenje
Tob
0.5τ ob
aperiodičan
1.35Tob
0.47 τ ob
20% nadvišenje
T 0.6 ob τ ob T 0.95 ob τ ob
Tabela 11.2. Primer: Prenosna funkcija jednog objekta upravljanja je sledeća: e −2 p Wob ( p ) = 5 10 p + 1 234
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Regulacija je stabilizirajuća. Korisnik smatra da je za njega najpovoljnije da se prelazni proces odvija sa 20% nadvišenjem. Treba primeniti PID regulator. Odrediti parametre regulatora. Kružno pojačanje: T 10 K = 0.95 ob = 0.95 = 4.75 τ ob 2 Pojačanje regulatora: 4.75 K Kr = = = 0.95 5 K ob Integralno vreme: TI = 2.4 τ ob = 2.4 ⋅ 2 = 4.8 s Diferencijalno vreme: TD = 0.42 τ ob = 0.42 ⋅ 2 = 0.84 s Prenosna funkcija regulatora: 1 1 WT ( p ) = K r 1 + + TD p = 0.951 + + 0.84 p 4.8 p TI p Širina proporcionalnog područja je: 100 100 = = 105.26 % Xp = K r 0.95
11.1.2 Keslerova metoda C. Kessler je predložio metodu podešavanja regulatora tako da se zadovolji kriterijum minimum integrala apsolutne vrednosti greške. Metoda se može primeniti ako se objekt upravljanja može aproksimirati prenosnom funkcijom: K ob (11.2) W (p) = (T1 p + 1)⋅ (T∑ p + 1) Metoda se može primeniti ako je vremenska konstanta T1 za red veličine veća od svih preostalih vremenskih konstanti koje se zatim sumiraju. Parametri regulatora se određuju na osnovu izraza datih u tabeli 11.3. . Parametar regulatora Tip regulatora TD K TI P
1 T1 2 T∑
∞
0
PI
1 T1 2 T∑
T1
0
PID
1 T1 2 T∑
T1
0.25T1
Tabela 11.3. 235
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Primer: Data je prenosna fukcija objekta upravljanja: 0.2 W (p) = (0.25 p + 1)(0.005p + 1)(0.004p + 1)(0.003p + 1) Odrediti parametre PI regulatora primenom Keslerove metode. Nakon sumiranja malih vremenskih konstanti: T∑ = 0.005 + 0.004 + 0.003 = 0.012 s dobija se aproksimativna prenosna funkcija: 0.2 W (p) = (0.25 p + 1)(0.012 p + 1) Kružno pojačanje: 1 T1 1 0.25 K= = = 0.014 2 T∑ 2 0.012 Pojačanje regulatora: 0.014 K Kr = = = 0.52 0.2 K ob Integralno vreme: TI = T1 = 0.25 s Prenosna funkcija regulatora: 1 Wr ( p ) = 0.52 1 + 0.25p
11.1.3. Ziegler-Nichols – ova metoda Metoda se može primeniti samo za objekte upravljanja koji se mogu dovesti do granice stabilnosti. U prvoj fazi se regulator zatvorenog sistema podesi tako da ima čist P (proporcionalni) karakter ( TI = ∞ i TD = 0 ). Zatim se pojačanje regulatora Kr postupno povećava sve dok u regulisanom kolu ne nastanu neprigušene oscilacije. Ovo stanje se postiže pri pojačanju KKRIT. Izmeri se perioda oscilacija TKRIT. Parametri regulatora se biraju na osnovu ova dva parametra primerom izraza dati u tabeli 11.4. Parametri regulatora Tip regulatora
K
TI
TD
P
0,5 KKRIT
∞
0
PI
0,45 KKRIT
0,85 TKRIT
0
PID
0,6 KKRIT
0,5 TKRIT
0,125 TKRIT
Tabela 11.4. 236
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Parametri regulatora prema Ziegler-u i Nichols-u su određeni dobro ako je svaka naredna amplituda poluoscilacija regulisane veličine jednaka polovini prethodne. Ova metoda se može primeniti u industrijskoj praksi samo ako objekt upravljanja može podneti sve negativne efekte oscilacija regulisane veličine.
11.1.4. Takahashi-jeva metoda Takahashi-jeva metoda je izvedena iz Ziegler–Nichols-ove metode uz smenu τ ob ← τ ob + To 2 . To je vreme uzorkovanja. Metoda se koristi za direktno podešavanje digitalnih regulatora. Metoda se primenjuje za objekte sa aproksimativnom prenosnom funkcijom: Kob e -τ ob p (11.3) W (p) = Tob p + 1 Parametri regulatora se određuju primenom sledećih izraza: PI regulator: Kr =
0.9 Tob 0,135 Tob ⋅ To − τ ob + 0,5 To (τ ob + 0,5 To )2
0.27 Tob ⋅ To To = TI K r (τ + 0.5 To )2 PID regulator: 1.2 Tob 0.3 Tob ⋅ To − Kr = τ ob + To (τ + 0.5 To )2 0.6 Tob ⋅ To To = TI K (τ + 0.5 T )2 ob r ob τ ob 0.6 Tob TD ako je = ≈0 To K ⋅ To Tob r TD
11.2
To
=
0.5 Tob K r ⋅ To
ako je
τ ob >0 Tob
Određivanje matrice pojačanja povratne veze kod sistema opisanih jednačinama stanja
U teoriji sistema automatskog upravljanja predložen je velik broj različitih metoda za određivanje matrice pojačanja povratne veze kod sistema opisanih jednačinama stanja. Metode koje će se u daljem prikazati mogu se primeniti i kod kontinualnih i kod diskretnih sistema. U računarskim operacijama pri ovim postupcima koriste se matrice jednačina stanja a ne vektori stanja. Pri prikazu u daljem neke metode će se ilustrovati na primeru kontinualnih, a neke na primeru diskretnih sistema.
237
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
11.2.1. Podešavanje položaja polova Neka je dat sistem automatskog upravljanja opisan jednačinama stanja: x! = Ax + Bu (11.4) y = Cx za slučaj kada na sistem ne deluju smetnje, gde je y vektor izlaza, a u vektor upravljanja. Ako se vektor upravljanja formira iz vektora spoljašnjih uticaja r i proporcionalne povratne veze stanja kao: u=r−K x tada jednačine zatvorenog sistema dobijaju formu: x! = [A − B K ] x + B K r
(11.5)
(11.6) y = Cx Ako se kvalitativni zahtevi ponašanja zatvorenog sistema odrede preko željenih položaja polova, tada se postupak određivanja matrice povratne veze svodi na rešavanje karakteristične jednačine: α c ( p ) = det[ pI − A + BK ] = ( p − λ1 )(p - λ 2 ) " (p - λ n ) (11.7)
gde su: λ1,λ2, ... λn željeni položaji polova zatvorenog sistema. Jednačina (11.7) ne daje uvek jednoznačna rešenja. U ovim slučajevima se mora primeniti neka dopuna ove metodologije, ili druga metodologija. Primer: Diskretni sistem automatskog upravljanja određen je jednačinom stanja: 1 0.0952 0.00484 x(k + 1) = x(k ) + u (k ) 0 0.905 0.0952
y (k ) = [1 0] x(k ) Odrediti matricu pojačanja povratne veze tako da svojstvene vrednosti zatvorenog sistema leže u λ1 i λ2. U ovom slučaju vektor ulaza će biti određen kao: u (k ) = − K x(k ) = − k1 x1 (k ) + k 2 x 2 (k ) gde je K = [k1 k 2 ] matrica pojačanja povratne veze. Primenom ovog upravljanja jednačine stanja sistema će biti: 1 0.0952 0.00484 x(k + 1) = x( k ) − [k1 x1 (k ) + k 2 x 2 (k )] = 0 0.905 0.0952 1 − 0.00484 k 1 = − 0.0952 k 1
0.0952 − 0.00484 k 2 x 1 (k ) 0.905 − 0.0952 k 2 x 2 (k )
Karakteristična jednačina zatvorenog sistema će biti: det[z I − A + BK ] = z 2 + (0.00484 k 1 + 0,0952 k 2 − 1,905) z + + 0,00468 k 1 − 0,0952 k 2 + 0,905 = 0 S druge strane karakterističnu jednačinu možemo odrediti i preko svojstvenih vrednosti zatvorenog sistema: (z − λ1 )(z − λ2 ) = z 2 − (λ1 + λ2 ) z + λ1λ2 Izjednačavanjem koeficijenata dobijamo: 0.00484 k 1 + 0.0952 k 2 = −(λ1 + λ 2 ) + 1.905 238
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
0.00468 k 1 − 0.0952 k 2 = λ1λ 2 − 0.905 Nakon preuređivanja dobijaju se sledeće jednačine za određivanje elemenata matrice povratne veze: k1 = 105 ⋅ [λ1λ 2 − (λ1 + λ 2 ) + 1] k 2 = 14.67 − 5.34 λ1λ 2 − 5.17(λ1 + λ 2 )
11.2.2 . Ackermann-ova metoda Primenom Ackermann-ove metode može se odrediti matrica povratne veze za sisteme sa jednim ulazom. x ∈Rn (11.8) x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) i ako je karakteristična jednačina zatvorenog sistema određena kao: α c (z ) = (z − λ1 )(z − λ 2 )" (z - λ n ) = (11.9) = z n + α n −1 z n −1 + " α1 z + 1 gde su λ1,λ2, ... λn željene svojstvene vrednosti. Ako sada u karakterističnu jednačinu uvrstimo matricu A objekta upravljanja α c (A) = A n + α n−1 An−1 + "α1 A + I (11.10) tada se matrica pojačanja povratne veze prema Ackermann-ovoj metodi određuje primenom izraza:
[
]
K = [0 0 " 0 1] B BA " A n -1 B α c (A) −1
(11.11)
Primer: Jednačine stanja nekog diskretnog objekta upravljanja su: 1 0.0952 0.00484 x(k + 1) = x(k ) + u (k ) 0 0.905 0.0952 Odrediti matricu pojačanja povratne veze tako da karakteristična jednačina zatvorenog sistema bude određena izrazom: α c (z ) = z 2 − 1,776 z + 0,819 Smenom matrice A dobijamo: 2
1 0.0952 1 0.0952 1 0 0.043 0.01228 α c ( A) = + 1.776 + 0.819 = 0.03075 0 0.905 0 0.905 0 1 0 1 0,952 0,00484 0.0319 AB = = 0 0,905 0,0952 0.0862
[B
AB]
−1
0.00484 0.0139 = 0.0952 0.0862
−1
− 95.13 15.34 = 105.1 − 5.342
− 95.13 15.34 0,043 0,01228 −1 K = [0 1][B AB] α c (A) = [0 1] = [4.52 1.12] 0,03075 105.1 − 5.342 0
239
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
11.2.3. Alternativna metoda Alternativnu metodu je predložio P. Bingulac. Metoda se primenjuje pri sintezi sistema sa jednim i više ulaza. Metoda je primenljiva samo ako su položaji polova otvorenog i zatvorenog sistema različiti za sve polove. Postupak se može primeniti ako su poznati sledeći podaci: 1. Matrice A i B otvorenog sistema 2. 3.
Željeni položaji polova zatvorenog sistema λ*1 , λ*2 , ... λ*n Proizvoljna ne nul matrica K*.
Uvodi se matrica transformacije P kao rešenje matrične jednačine. (11.12) A − Bk = P A* P −1 gde je: A* dijagonalna matrica na čijoj su dijagonali smeštene željene svojstvene vrednosti zatvorenog sistema, a K matrica pojačanja povratne veze: λ1* 0 " 0 0 λ*2 0 $ (11.13) A* = $ 0 # 0 * 0 " 0 λ n Množenjem jednačine 11.12 sa leve strane sa P dobijamo: (11.14) AP − B K P = PA * Ako se uvedu smene: K* = K P (11.15) tj. (11.16) K = K* P-1 tada nakon preuređivanja dobijamo: (11.17) − PA * + AP = BK * Ako se jednačina (11.17) dekomponuje u n jednačina po vektor kolonama matrice P tada dobijamo: λ1* 0 − [ p1 p 2 " p n ] # + A[ p1 p 2 " p n ] = (11.18) * 0 λ n
[
= Bk1*
Bk 2* " Bk n*
]
Jednačina (11.18) se u opštem slučaju može zapisati kao: i = 1,2, ... , n (11.19) − λi pi + Api = Bk i* odavde se dobijaju izrazi za određivanje vektora kolona pi −1 i = 1,2, ... , n (11.20) pi = [− λ i I + A] Bk i* Ako su poznate sve vektor kolone pi tada se matrica povratne veze određuje prema izrazu: (11.21) K = K * P −1 Primer: Jednačine stanja nekog sistema su: − 1 0 1 x! = x + u 2 − 2 0 y = [0 1]x
240
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Odrediti matricu pojačanja K = [k1 k 2 ] tako da zatvoreni sistem ima svojstvene vredosti λ1 = −3 i λ 2 = −4 . Karakteristična jednačina otvorenog sistema je: 1 0 − 1 0 0 p +1 − det[ pI − A] = det p = det = ( p + 1)(p + 2) − 2 p + 2 0 1 2 − 2 Otvoreni sistem ima svojstvene vrednosti –1 i –2 . S obzirom da zatvoreni sistem treba da ima svojstvene vredosti u –3 i –4 metodologija je primenljiva. Za proizvoljnu matricu K* biramo matricu: K * = [1 2] Vektori kolone P matrice su: −1
1 0 − 1 0 1 0.5 + p1 = − λ I + A Bk = − (− 3) ⋅1 = 0 1 2 − 2 0 − 1
[
* 1
]
−1
* 1
−1
1 0 − 1 0 1 0.66 + ⋅ = 2 p 2 = − λ I + A Bk = − (− 4 ) − 0.66 0 1 2 − 2 0 Matrica P je sada: 0.5 0.66 P = [ p1 p 2 ] = − 1 − 0.66
[
* 2
]
−1
* 2
−1
0.5 0.66 − 2 − 2 P = = − 1 − 0.66 3 1.5 Matrica pojačanja povratne veze će biti: - 2 - 2 K = K * P −1 = [1 2] = [4 1]. 3 1,5 −1
11.3. Optimalni regulator stanja Inženjerski problemi u većini slučajeva mogu da se reše na više različitih načina. Dobijena rešenja se mogu međusobno uporediti ako se svakom rešenju pridruži neki funkcional koji brojčano vrednuje kvalitet rešenja. Rešenje koje se oceni kao najpovoljnije je optimalno rešenje. Optimum se odnosi na minimum ili maksimum brojčane vrdosti vrednovanja rešenja odabranog funkcionala. Optimalno rešenje se može najjednostavnije ali istovremeno i najzamornije naći na osnovu niza pokušaja. Pri tom se odrede, uporede i vrednuju dobijena rešenja. Uvođenjem sistematizacije u ove postupke mogu se značajno ubrzati procedure nalaženja optimalnih rešenja (optimalizacija). Posebnu efikasnost u sistematizaciji iznalaženja optimalnih rešenja imaju različite analitičke metode. Za primenu analitičkih metoda između rešenja, ili polaznih diferencijalnih jednačina se moraju uspostaviti određeni relacioni odnosi. Za određivanje optimalnog regulatora stanja predloženo je više različitih analitičkih metoda, od kojih će se u daljem prikazati jedna. Pretpostavimo da se dati objekt upravljanja može opisati jednačinama stanja: x! = Ax + Bu (11.22) y = Cx Zadatak optimalizacije pri tom neka bude: Odrediti matricu pojačanja povratne veze: 241
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
u = − Kx tako da kvadratni funkcional: tr
(
(11.23)
)
J = ∫ x T Qx + u T Ru dτ
(11.24)
to
ima minimalnu vrednost. Matrice Q i R su proizvoljne pozitivno definitne ili pozitivno semidefinitne težinske matrice tj. važi da je: x T Qx ≥ 0 ∀x ≠ 0 (11.25) u T Ru ≥ 0 ∀x ≠ 0 Matrica Q je u vezi sa željenim kvalitetom prelaznih procesa a matrica R sa načinom korišćenja upravljačkih resursa (energije ili materije). Zatvoreni sistem upravljanja će biti stabilan ako u vezi jednačine (11.22) možemo odrediti pozitivno definitnu Ljapunovljevu vektor funkciju. (11.25) V (x ) = x T P x > 0 ∀x ≠ 0 za čiji izvod važi da je: dV (x ) (11.26) = x! T P x + x T P x! < 0 ∀x ≠ 0 dt Matrica P pri tom mora biti pozitivno definitna matrica. Spregu između kriterijuma kvaliteta i uslova stabilnosti Kalman i Bertran su odredili prema sledećem: dV ( x) dJ (11.27) =− dt dt Nakon određivanja izvoda jednačina, odgovarajućih smena i preuređivanja dobija se matrična jednačina: T T (11.28) x T Qx + (− Kx ) R(− Kx ) = −(Ax − BKx ) Px − x T P(Ax − BKx ) Dalja preuređivanja daju: (11.29) x T Q + K T RK x = x T − AT P + K T B T P − PA + PBK x Jednačina (11.29) važi za svaku vektor funkciju x ako je zadovoljena jednačina: (11.30) Q + K T RK = − AT P + K T B T P − PA + PBK Nakon preuređivanja ove jednačine dobija se Rikatijeva matrična jednačina: (11.31) AT − K T B T P + P (A − BK ) + Q + K T RK = 0 Gornja matrična jednačina se može razdvojiti u sistem matričnih jednačina sa po jednom nepoznatom matricom: A T P + P A − P B R −1 B T P + Q = 0 (11.32) K = R −1 B T P Zbog pojave nelinearnih zavisnosti u većini slučajeva gornja Rikatijeva matrična jednačina se rešava iterativnim postupcima.
(
(
)
(
)
)
Primer: Jednačine stanja nekog sistema su: x!1 − 1 0 x 1 1 x! = 2 − 2 x + 0 u 2 2 Odrediti matricu pojačanja povratne veze tako da se minimizira funkcional: tk tk 0 0 J = ∫ x 2 q x 2 + u 2 dτ = ∫ x T x + u T [1]u dτ 0 q 0 0 U Rikatijevoj jednačini se pojavlju matrice: 242
(
)
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
− 1 0 1 0 0 ; B= ; Q= A= ; R = [1] 2 − 2 0 0 q Nakon smene dobijamo Rikatijevu matričnu jednačinu: − 1 0 − 1 2 1 0 0 P + P − P [1][1 0] P + =0 2 − 2 0 − 2 0 0 q p11 p12 Ako je matrica P simetrična matrica P= p12 p 22 tada Rikatijeva jednačina daje sledeći sistem nelinearnih jednačina: − 2 p11 + 4 p12 − p112 = 0 − 3 p12 + 2 p 22 − p11 p12 = 0 − 4 p 22 − p122 = − q Za q = 10 rešenja ovog nelinearnog sistema jednačina su: p11 = 1.27 ; p 12 = 1.04 ; p 22 = 2.23 Matrica pojačanja povratne veze pri tom treba da bude: 1 1.27 1.04 K = R −1 B T P = [1] ⋅ ⋅ = [1.27 1.04] 0 1.04 2.23 Vektor upravljanja kojim se postiže optimalan rad sistema ima formu: u = −1.27 x 1 − 1.04 x 2 11.4. Sinteza observera Za ostvarivanje potpune povratne veze po stanju moraju se meriti sve koordinate stanja sistema. Ako se merenja ne mogu ostvariti, ili su veoma skupa, tada se neke koordinate stanja ili ceo vektor stanja može proceniti primenom observera. Neka su jednačine stanja objekta upravljanja date kao: x∈Rn : u∈Rm x! = Ax + Bu (11.33) y∈Rm y = Cx Za ovakav sistem Luenberg je predložio primenu sledećeg tipa observera: (11.34) x!ˆ = Fxˆ + Gu + Ly gde su matrice F,G i L nepoznate matrice određenih dimenzija, a xˆ procenjeni vektor stanja. Ako se definiše greška procene kao: ~ (11.35) x = x − xˆ nakon diferenciranja, smena i preuređivanja dobija se diferencijalna jednačina: ~ (11.36) x = F~ x + (A − F − LC ) x + (B - G ) u Nepoznate matrice se određuju na sledeći način: 1. G=B 2. Matrica F se bira tako da svojstvene vrednosti matrice F budu nekoliko puta veće od svojstvenih vredosti matrice A. Matrica L se sada može odrediti na osnovu jednačine: (11.37) L = (A − F ) C -1
243
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
11.5.
Sinteza sistema automatskog upravljanja sa minimalnim trajanjem prelaznih procesa
Na slici 11.1. prikazan je sistem formiran od digitalnog regulatora i kontinualnog objekta upravljanja.
yA(z) +
e(z)
D(z)
1 − e − pTo W (p ) z p
u(z)
-
y(t)
Slika 1.1 – Blok šema diskretnog sistema Pri tom je:
U (z ) (11.38) E (z ) diskretna prenosna funkcija regulatora, a 1 − e − pTo (11.39) W (z ) = Z W ( p ) p diskretna prenosna funkcija objekta upravljanja sa kolom zadrške nultog reda. Pri sintezi ćemo pretpostaviti da je poznata prenosna funkcija W(p). Pretpostavićemo da je signal upravljanja konačan. Sintezu treba izvršiti tako da odziv objekta upravljanja u(t) prati skokovite promene zadate vrednosti yA sa minimalnim kašnjenjem. Postupak sinteze treba da odredi sledeće: - vreme uzorkovanja To, - algoritam regulatora D(z). U daljem će se razmatrati sinteze samo za objekte upravljanja čije se prenosne funkcije mogu zapisati u formi: K ob (11.40) W (p) = (T1 p + 1)(T2 p + 1) ... (Tn p + 1) D(z ) =
U cilju pojednostavljenja postupka sinteze pretpostavićemo da je Kob = 1. Impulsna prenosna funkcija objekta upravljanja sa kolom zadrške nultog reda će biti: 1 − e − pTo b1 z −1 + " + b n z − n B(z ) = (11.41) W (z ) = Z W ( p ) = −1 −n p A(z ) 1 + a1 z + " + a n z Odziv sistema za t = ∞ pri skokovitoj promeni zadate vrednosti yA će primiti sledeću konačnu (ustaljenu) vrednost: n
(
lim 1 − z z →1
−1
)
B(z ) z ⋅ ⋅ = A(z ) z − 1
∑b
i
i =1
n
1 + ∑ ai
= 1 = y (∞ )
(11.42)
i =1
Umesto jedinične skokovite promene na ulaz objekta dovodimo diskretnu funkciju: A( z ) z (11.43) X ( z) = n ⋅ z −1 ∑ bi i =1
244
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
A(z )
X (z ) =
n
∑b
z z -1
⋅
(11.43)
i
i =1
Usled dejstva ovakvog ulaza izlaz će se menjati prema sledećoj zakonitosti: b1 z −1 + b2 z −2 + " + b n z − n B(z ) A(z ) z z (11.44) Y (z ) = W (z ) X (z ) = ⋅ n ⋅ = ⋅ n A(z ) z −1 z −1 ∑ bi ∑ bi i =1
i =1
Izlazni signal će redom imati sledeće vrednosti: y (0 ) = 0 b y (To ) = n 1 ∑ bi i =1
b1 + b2
y (2To ) =
n
∑b
i
i =1
$
j
y ( jTo ) =
∑b
i
i =1 n
(11.45)
∑b
i
i =1
$
n
y (nTo ) =
∑b
i
i =1 n
∑b
=1
i
i =1
y ((n + 1)To ) = 1
itd.
Amplitude ulaznog signala se pri tom menjaju nakon isteka vremena T0 prema sledećem: 1 + a1 z −1 + " + a n z − n A(z ) z z ⋅ = ⋅ = u (z ) = n n z −1 z −1 bi bi ∑ ∑ i =1 i =1 (11.46) an a1 1 z z z −1 −n = n ⋅ + ⋅ ⋅ z +"+ n ⋅ ⋅z z −1 n z −1 z −1 ∑ bi ∑ bi ∑ bi i =1
i =1
i =1
tj.: u (0) =
1 n
∑b
i
i =1
u (To ) =
1 + a1 n
∑b i =1
i
245
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
u (2To ) =
1 + a1 + a 2 n
∑b
i
i =1
$ j
u ( jTo ) =
1 + ∑ ai i =1
(11.47)
n
∑b
i
i =1
$ n
u (nTo ) =
1 + ∑ ai i =1
n
∑b
=1
i
i =1
u ((n + 1)To ) = 1
itd..
Amplitude ulaznog i izlaznog signala znači nakon n vremena uzorkovanja se ustaljuju tj. imaju konstantne vrednosti. S obzirom da je n jednak broju akumulatora energije i on se ne može menjati. Prelazni proces se može skraćivati samo smanjivanjem vremena uzorkovanja T0. Smanjivanje vremena uzorkovanje će pri tom zahtevati povećavanje amplitude ulaznog signala. Ako je maksimalna vredost amplitude ulaznog signala ograničena na Umax, tada se najmanje vreme uzorkovanja može odrediti iz uslova: n 1 (11.48) bi (To ) ≤ ∑ U max i =1 Primer: Objekt upravljanja ima prenosnu funkciju: 1 W (p) = (Tp + 1)2 Odgovarajuća impulsna prenosna funkcija će biti: 1 − e −To p b1 z −1 + b 2 z − 2 1 W (z ) = Z ⋅ = (Tp + 1)2 1 + a1 z −1 + a 2 z − 2 p gde je: T − o T T 2 1 − e 1 + o To − T b1 (To ) = 1 − e T ⋅ To To 1 − e − T 2 − e − T To To − − T T e T + o − 1 2 e To T − b2 (To ) = 1 − e T ⋅ To To 1 − e − T 2 − e − T a1 (To ) = −2 e
−
To T
246
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
−2
To
a 2 (To ) = e T Uslov za određivanje vremena uzorkovanja će biti: 2
T − o 1 (1.49) b1 (To ) + b2 (To ) = 1 − e T = U max Odakle je: U max (11.50) To = T ln U max − 1 Impulsna prenosna funkcija algoritma upravljanja D(z) treba da je takva da iz funkcije greške regulacije e(z) može formirati povorku impulsa određenu izrazom 11.46. A(z ) z ⋅ n z −1 bi ∑ u (z ) u (z ) u (z ) A(z ) i =1 D(z ) = = = = = n z B(z ) A(z ) z e(z ) y A (z ) − y (z ) y A (z ) − W (z ) u (z ) − ⋅ ⋅ bi − B(z ) z − 1 A(z ) n z −1 ∑ i =1 ∑ bi i =1
Primer: Za objekt upravljanja određen prenosnom funkcijom: W ( p ) =
1
(10 p + 1)2
i Umax = 10 dobija
se da je T0 = 3.8 s. Impulsna prenosna funkcija objekta upravljanja će biti: 0.0563 z -1 + 0.0437 z -2 W (z ) = 1 − 1.367 z -1 + 0.4675 z - 2 Da bi postigli minimalno vreme trajanja prelaznog procesa impulsna prenosna funkcija regulatora treba da bude. u (z ) 10 − 13.67 z -1 + 4.675 z -2 D(z ) = = e(z ) 1 − 0.563 z -1 − 0.437 z -2 Odavde sledi rekurzivni algoritam: u (k ) = 0.563 u (k − 1) + 0.437 u (k − 2) + 10 e(k ) − 13.67 e(k − 1) + 4.675 e(k − 2 )
11.6.
Regulacija primenom pozicionih regulatora
Formiranje sistema automatskog upravljanja od različitih objekata upravljanja i pozicionih regulatora se može relativno i jeftino izvršiti. Teškoće se javljaju pri analitičkoj obradi matematičkih modela ovih sistema. U daljem će se izvršiti analiza dinamike primene ovih regulatora uz navođenje nekih aproksimativnih obrazaca za procenu kvalitativnih pokazatelja efikasnosti regulacije sa pozicionim regulatorima.
247
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
11.6.1. Upravljanje proporcionalnim članom sa kašnjenjem prvog reda Ako se za upravljanje u zatvorenoj sprezi proporcionalnim članom sa kašnjenjem prvog reda primeni dvopozicioni regulator tada se dobijaju promene signala u sistemu čija je forma prikazana na slici 11.2.
X
X1
Xsd
X2
Y
Yh
Y Yh t
Slika 1.12. Signali sistema upravljanja sa proporcionalnim članom prvog reda i dvopozicionim regulatorom Nakon puštanja u pogon regulisana veličina počinje rasti saglasno prelaznoj karakteristici. Pri tom upravljački signal ima vrednost yn. Kada regulisana veličina dostigne svoju gornju granicu X1 regulator isključuje upravljački ulaz. Regulisana veličina nakon ovog isključenja počinje da opada. Kada se dostigne donja granica X2 upravljački signal se ponovo postavlja na vrednost yn i regulisana veličina počinje ponovo da raste. Regulisana veličina znači, pri stalnoj smetnji, osciluje između X1 i X2. Veličina amplitude oscilacija regulisane veličine je jednaka vrednosti histereze regulatora xd. Dvopozicioni regulator znači regulisanu veličinu može da drži između vrednosti X1 i X2. Tačnost regulisanja je određena vrednošću histereze regulatora. Parametri objekta upravljanja nemaju nikakav uticaj na tačnost regulacije. U funkciji pojačanja (prenosnog faktora) Kob, amplitude upravljačkog signala Yn, zadate vrednosti yz, vremenske konstante objekta upravljanja Tob i histereze Xsd mogu se odrediti sledeći pokazatelji efikasnosti regulacije: Amplituda oscilacija regulisane veličine ∆y = x sd Perioda oscilacija: K obU n T = x sd Tob y z (K obU n − y z ) Odnos između vremena uključenosti TE, i vremena isključenosti TA : TE yz = T A K obU n − y z
248
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
11.6.2. Upravljanje proporcionalnim članovima sa više akumulatora Kod proporcionalnog člana sa kašnjenjem prvog reda amplituda oscilacija regulisane veličine određena je histerezom regulatora. Situacija se menja objektom koji je određen svojim ekvivalentnim mrtvim vremenom τob, ekvivalentnom vremenskom konstantom Tob i pojačanjem (prenosnim faktorom) Kob tj. objektom koji čini redna veza više akumulatora energije. Kao što se to vidi na slici 11.3 u ovom slučaju nakon isključenja ili uključenja upravljačkog signala, regulisana veličina nastavlja još jedno vreme svoj rast ili pad. X
X1
Δx
Th
X2
Th
Y
Yh
T
Xsd
T1
t
Th Y Yh
t Slika 11.3 Signali sistema upravljanja sa proporcionalnim članom sa kašnjenjem n-tog reda i dvopozicionim regulatorom Kada regulisana veličina dostigne vrednost y1 tada regulator isključuje upravljački signal. Regulisana veličina nakon ovog isključenja i dalje raste sve dok se nakon vremena τob ne oseti isključenje upravljačkog signala. Kada regulisana veličina u padu dostigne vrednost y2 tada se ponovo uključi upravljački signal. Bez obzira na ovo uključenje regulisana veličina će nadalje opadati sve dok se nakon vremena τob ne oseti uključenje ovog signala. Na slici 11.4 – prikazane su promene regulisane veličine za različite vrednosti amplitude ulaznog signala.
249
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
X xk xa
X Xk=Xa Th
xtp Th
Th
d)
c) Th
Th
t
t
Y Y h=500
Y
t
t
Tf
Tf
X Xk Xa
e)
xtp Th
Th
Th
t
Y Yh=125 75 t Slika 11.4 – Promene upravljačke i regulisane veličine a) ako je upravljački signal potpuno uključen, b) ako je upravljački signal 125%, c) ako je upravljački signal dvostruk d) ako je upravljački signal petostruk i e) ako se ima 75% -ni stalni signal i 50% regulisani signal Ako je upravljački signal veći od 100%-nog signala, tj. od signala potrebnog za kontinualno upravljanje, tada govorimo o višku raspoloživosti u upravljačkom signalu. Dvopozicioni regulator se može primeniti samo ako ima viška raspoloživosti. Zbog viška raspoloživosti srednja vrednost upravljačkog signala se pomera u odnosu na zadatu vrednost. Amplituda oscilacija takođe raste. Sa stanovišta smanjivanja amplitude oscilacije, celishodno bi bilo raspoloživost držati na što je moguće manjoj vrednosti. U zavisnosti od vrednosti pojačanja Kob, amplitude upravljačkog signala Un, zadate vrednosti yz, ekvivalentnog mrtvog vremena τob, ekvivalentne vremenske konstante Tob i histereze Xxd pokazatelji kvaliteta regulisanog procesa se mogu odrediti na sledeći način: Amplituda oscilacije regulisane veličine: 250
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
τ τ ob K obU n + x sd 1 − ob Tob Tob Odstupanje srednje vrednosti od zadate vrednosti: τ K U x BA = ob ob n − y z Tob 2 Maksimalna vrednost reulisane veličine: ∆x y1 = y z + x BA + 2 Srednja vrednost regulisane veličine: y = y z + x BA Minimalna vrednost regulisane veličine: ∆x y 2 = y z + x BA − 2 Perioda oscilacija: τ ob K obU n T = Tob + x sd Tob 2 y z (K obU n − y z ) yz yz − K obU n K obU n Odnos između vremena uključenosti TE, i isključenosti TA : TE yz . = T A K obU n − y z ∆x =
251