Sistemas de Ecuaciones Mixtas
Un sistema de ecuaciones es un sistema mixto si por lo menos una de las ecuaciones del sistema es no lineal.
Por ejemplo:
⎧x ² + 3y = 0 ⎨ ⎩y = 2.x - 1 Estos sistemas pueden resolverse por distintos métodos, por ejemplo, por el método de Igualación o sustitución, los resultados obtenidos los verificaremos gráficamente
Resolución Analítica 1º Debemos despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones:
1 ⎧ ⎪x ² + 3y = 0 → y = − x ² 3 ⎨ ⎪⎩y = 2.x - 1 → y = 2.x - 1 2º Ahora aplicamos igualación: al ser los primeros miembros iguales, los segundos también lo son
y=y
como entonces -
1 2 x = 2.x - 1 3
3º Igualamos a cero (0)
0=
1 2 x + 2.x - 1 3
4º Nos ha quedado una ecuación de segundo grado, la resolvemos mediante la formula
x 1,2
− b ± b2 − 4ac = 2a
x 1,2
1 − 2 ± 4 − 4. .(−1) 3 = 1 2. 3
−2± x 1,2 =
16 3
2 3
De donde obtenemos: Dos raíces
reales distintas….........La distintas….........La recta y la parábola se cortan en dos
puntos Dos raíces reales iguales..……...La recta y la parábola se cortan en un punto Dos raíces complejas…….…………Las graficas no se cortan
x1 ≅
− 2 + 2,3 ≅ 0,45 2 3
x2 ≅
− 2 − 2,3 ≅ −6,45 2 3
5º Reemplazamos los valores encontrados en una de las ecuaciones del sistema para encontrar el valor de y
y = 2.x - 1 para x 1 = 0,45 entonces y 1 = 2. 0,45 − 1 = −0,1 para x 2 = −6,45 entonces y 2 = 2. (-6,45) − 1 = −13,9 De esta manera obtenemos analíticamente la solución de un sistema de ecuaciones mixtas. Recordar siempre que obtenemos 2 puntos por lo que debemos expresar la solución como 2 pares ordenados
Sol (0,45;-0,1) y (-6,45;-13,9)
Resolución Grafica Para comprobar las soluciones encontradas debemos graficar el sistema y para ello debemos identificar lo que vamos a representar
1 ⎧ ⎪x ² + 3y = 0 → y = − x ² 3 ⎨ ⎪⎩y = 2.x - 1 → y = 2.x - 1
(parábola) (recta)
Grafi o de la pa ábola Intersecci ón con el e je y (Dam s a x el va lor cero) 1 y = − 0² = o 3
⇒ i t. con y en el punto (0,0)
Intersecci ón con el e je x (Dam s a y el va lor cero) 0
1 3
− x²
⎛ 1 ⎞ 2 ⎟=x ⎝ 3 ⎠
0 .⎜−
0
x
int. con x en el punt (0,0)
Coorden das del vé tice Las coordenada s del vértic e son x v =
=
−0
0 2. 1 3 1 0² o v = − 3 ertice (0, ) v
−b 2.a
y v = a.x 2v + b.x v + c
→ x = 0 es el eje de imetria
epresent mos gráfi amente
Ahora nos ejercitamos, te damos las respuestas para que puedas ver si vas bien, te sugiero anotes las dudas al lado del ejercicio si se presentan para poder aprovechar al máximo los apoyos
Ejercicios 1.
⎧y = x ² + 4.x + 4 ⎨ ⎩3.x - 2.y = - 16
2.
⎧x ² - x - y = 0 ⎨ ⎩5.x + y = 17
Respuestas
( ) ( ) P (18 ,4 ) 7 P (- 38 ,50 ) 7 P1 10 ,- 12 9 5 P2 29 ,13 3 5 1
2
3.
⎧x ² - 4.x + 4 = y ⎨ ⎩5.x + 4.y = 10
P1(2,0)
4.
⎧x ² = y ⎨ ⎩x = y
P1(1,1)
5.
⎧y = - x ² + x + 6 ⎨ ⎩4.x + y = 14
No pertenece a los
6.
⎧2.x ² - 16.x + 20 = - 6 ⎨ ⎩2.x - 3.y + 1 = - 4
7.
⎧4.x ² + 4.x + 1 - y = 0 ⎨ ⎩4.x - y = 12
No pertenece a los
8.
⎧y = - x ² ⎨ ⎩y = - x
P1(0,0)
9.
⎧- x ² - y = 0 ⎨ ⎩2.x + 3.y + 8 = 0
P1 - 2 ,− 2 3 9 P2 (2,-4)
10.
⎧x ² + 6.y = 0 ⎨ ⎩x + y - 6 = 0
No pertenece a los
(
P2 3 , 25 4 16
)
P 2 (0,0)
reales No es sistema
reales
P2 (1,-1)
(
reales
)
Ejercicios Adicionales 11.
⎧- 2.x ² + 4.x - 5 - y = 0 ⎨ ⎩x - 2.y - 1 = 0
No pertenece a los
12.
⎧x ² - 25 - y = 0 ⎨ ⎩y = 2
P1(5;2,2)
13.
⎧x ² - y - 4 = 0 ⎨ ⎩4.x + y = - 8
P1(-2,0)
14.
⎧6.x - 9 = - x ² - y ⎨ ⎩2.x - 5.y = - 11
P1(-7,83;-5,33)
15.
⎧x ² - 1 = y ⎨ ⎩5.x - 4.y = 2
P1(-0,32;-0, 9)
16.
⎧x ² - y + 8.x - 20 = 0 ⎨ ⎩4.x - 3.y - 1 = 0
P1(2,21;2,62 )
17.
⎧x ² + 8.y = 0 ⎨ ⎩y = 2.x
P1(0,0)
18.
⎧y = - x ² + x - 6 ⎨ ⎩x + y = 1
No pertenece a los
reales
P2 (-5;2,2)
P2 (-2,0)
P2 (1,43;-1,6 3)
P2 (1,57;1,46 )
P2 (-8,88;-12 ,17)
P2 (-16,-32)
reales
1) Plantee y resuelva cada uno de los siguientes problemas
a) Se lanza una pelota hacia arriba y simultáneamente un ave levanta vuelo. la trayectoria de la pelota se describe mediante la función y = −3x + 12x y la correspondiente al vuelo 2
del ave, mediante y = 1,5x + 7,5 . Siendo (x, y)las coordenadas de ambas trayectorias: • Grafiquen en un mismo sistema de coordenadas las graficas de ambas funciones • Encuentren el o los puntos de intersección de las trayectorias de vuelo
b) Desde el momento que sale de la parada, un colectivo se mueve a medida que transcurre el tiempo según la función y = 0,4x . En ese instante una persona observa el 2
colectivo y trata de alcanzarlo, moviéndose según la función
y = 4x − 10 . Siendo “x” el
tiempo transcurrido, e “y” la distancia recorrida, en metros.
• Grafiquen en un mismo sistema de coordenadas ambas funciones • Hallen el tiempo que tarda la persona en alcanzar el colectivo y a que distancia de la parada
