3º E.S.O.
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA
1º) Dado el circuito de la siguiente figura, calcule todas las magnitudes eléctricas del mismo. Circuito
A
I3 I1
R 3= 20
R 4= 4
V3
V4
R 1= 12
R 5= 8
I4 I2
R 2= 12 V1
R 6= 6
I5
V2 I
-
+
V = 21 V
SOLUCIÓN Comenzaremos por calcular la resistencia equivalente de todo el circuito (Req). Inicialmente sustituimos, por un lado, R 1 y R 2 por su equivalente, y por otro, R 3 y R 4 por la resistencia equivalente de ambas. Dado que R 1 y R 2 están en paralelo, su equivalente será: 1
R 1,2
1
1
1
1
1
R 1
R 2
12
6
4
La equivalente de R 3 y R 4, al estar en serie tendremos: R 3,4
R 3
20 4
R 4
24
El circuito simplificado queda de la siguiente forma:
Circuito
B
R 3,4= 24
I3
R 1,2= 4
R 5= 8
I4
V1 R 6= 6
I5
V2 I
+
-
V = 21 V
A continuación calculamos la resistencia equivalente de R 3,4 , R 5 y R 6, y dado que están en paralelo tendremos: R 2a 6
1
1
1
1
1
1
1
1
R 3,4
R 5
R 6
24
8
6
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
3
1
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA
de esta forma el circuito queda de la siguiente forma: R 1,2= 4
C
Circuito
I
R 3a6= 3
V1 +
V2
-
V = 21 V
Finalmente calculamos la resistencia equivalente del circuito, para lo cual sumamos el valor de R 1,2 y R 3a6, puesto que están en serie. R eq
R 1, 2
R 3a 6
4
3
7
El circuito simplifica final es el que se muestra en la figura siguiente: R eq= 7
D
Circuito
I
+
-
V = 21 V
Una vez calculada la resistencia equivalente del circuito, se procederá con el cálculo de tensiones e intensidades de cada uno de los circuitos simplificados, hasta llegar al circuito de partida, donde además, calcularemos las potencias disipadas por cada una de las resistencias, cuya suma deberá coincidir con la potencia total calculada en el circuito de la R eq. CÁLCULOS DEL CIRCUITO D I
V
21
R eq
7
3 A
V * I
P T
21 * 3
63 W
CÁLCULOS DEL CIRCUITO C V 1
R 1,2 * I
4* 3
12 V
V 2
R 3a 6 * I
3* 3
9 V
Observe que la suma de V1 más V2 es igual a la tensión aplicada V, cumpliéndose así la segunda V 1 V 2 V 0 ; V V 1 V 2 ley de Kirchhoff, puesto que: CÁLCULOS DEL CIRCUITO B Dado que R 3,4 , R 5 y R 6 están en paralelo todas ellas están sometidas a la misma tensión (V2). En cuanto a la corriente I, cuando llegue al nudo se dividirá entre las tres ramas en paralelo. I 3
V 2
9
R 3,4
24
0, 375 A ;
I 4
V 2
9
R 5
8
1,125 A ;
I 5
V 2
9
R 6
6
1,5 A
Como se puede observar se cumple la 1ª Ley de Kirchhoff, puesto que: I
I 3
I 4
I 5
CÁLCULOS DEL CIRCUITO A Dado que R 1 y R 2 están en paralelo, estarán sometidas a la misma tensión (V1). La corriente I se dividirá entre las ramas de R 1 y R 2, y su suma debe ser la intensidad entrante al nudo ( I ), según la 1ª Ley de Kirchhoff.
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
2
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA
I 1
V 1
12
R 1
12
1A ;
I 2
V 1
12
R 2
6
nd ose 2 A ; veri f icá
I 1
I 2
I
Nos queda por calcular las tensiones en bornes de R 2 y R 3, para ello: R 3 * I 3
V 3
20 * 0,375
7,5 V ;
R 4 * I 3
V 4
4 * 0,375
1,5 V
Se puede verificar la exactitud de los cálculos aplicando la 2ª Ley de Kirchoff; Así partiendo del nudo del segundo bloque de resistencias del circuito, pasando por la rama donde se encuentran R 3 y R 4, y volviendo al nudo por la rama donde está R 6, tendremos: V 3
V 4
0;
V 2
V 2
V 3
7,5 1,5
V 4
9 V que es el resultado obtenido anteriorme nte .
Tan sólo queda ya calcular las potencias disipadas por cada una de las resistencias, para lo cual, se multiplica la tensión en bornes de cada una de las resistencias del circuito por la corriente que la atraviesa. P R 1
V 1 * I 1
12 * 1
12 W
P R 2
V 1 * I 2
12 * 2
P R 3
V 3 * I 3
7,5 * 0,375
2,8125 W
P R 4
V 4 * I 3
1,5 * 0,375
0,5625 W
P R 5
V 2 * I 4
9 * 1,125
P R 6
V 2 * I 5
9 * 1,5
24 W
10,125 W
13,5 W
Sumando todas las potencias se verifica que : P T
P R 1
P R 2
P R 3
P R 4
P R 5
P R 6
2º) Dado el circuito de la siguiente figura, calcule todas las magnitudes eléctricas del mismo. R 2= 16 I2
A
Circuito
R 1= 4
I1
D
R 3= 10
I3
R 4= 20
V3
V1
V4
E
V5
R 6=24
I6
A
R 5= 18
G
V6 R 7= 12
I7 I5
B
I8
I
R 9= 3
I5
C
F
R 8= 4
V9
V8 +
SOLUCIÓN
-
V = 24 V
Como siempre, comenzaremos por calcular la resistencia equivalente de todo el circuito (Req). Inicialmente haremos dos simplificaciones: Sustituimos R 3 , R 4 y R 5 por su equivalente. R 3,4,5 Sustituimos R 7 , R 8 por su equivalente, que llamaremos R 7,8 Puesto que R 3 , R 4 y R 5 están en serie: R 3,4,5 R 3 R 4 R 5 10 20 18 48 En cuanto a R 7 y R 8 como están en paralelo su equivalente R 7,8 viene dada por al expresión:
R 7 ,8
1
1
1
1
1
R 8
R 7
R 7
R 8
R 7 * R 8
R 7 * R 8
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
R 7
R 8
R 7 * R 8
12 * 4
R 7
12
R 8
4
3
R 7 * R 8
3
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El circuito queda así de la siguiente forma:
Circuito
B
R 2= 16
I2
R 1= 4
I1
I3
D
R 3,4,5= 48
E
V1 R 6=24
I6
A
G
V6
R 7,8= 3
I5
R 9= 3 F
V8
V9
I +
-
V = 24 V
Tomando ahora como punto de partida el circuito B, realizaremos dos simplificaciones: En la rama superior que hay entre los nudos AG, calculamos la resistencia equivalente de R 2 , R 3,4,5 y R 6 que llamaremos R 2 a 6 . En la rama inferior existente entre los nudos AG, calculamos la resistencia equivalente de R 7,8 y R 9 , a la cual llamaremos R 7,8,9. Las resistencias R 2 , R 3,4,5 y R 6 están en paralelo, y por tanto:
1
R 2 a 6
1
1
1
1
1
1
1
R 2
R 3,4,5
R 6
16
48
24
8
Al estar en serie R 7,8 y R 9 su equivalente R 7,8,9 viene dada por la expresión: R 7,8,9
R 7,8
R 9
3 3
6
El circuito queda, de esta forma, de la siguiente manera:
Circuito
I1
C
R 1= 4
R 2 a 6= 8
D
E
V6
V1
A
G
I5
R 7,8,9= 6 F
V = 24 V I +
-
V = 24 V
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
4
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Obsérvese en el circuito anterior, que la resistencia R 7,8,9 está en paralelo con la pila, por lo cual está sometida a su misma tensión, tal y como se muestra en el esquema. La siguiente simplificación resulta evidente, y consiste en sustituir las resistencias R 1 y R 2 a 6 por su equivalente que llamaremos R 1 a 6, siendo su valor: R 1 a 6
R 1
R 2 a 6
4
8
12
El circuito queda así, como se muestra en la siguiente figura: I1
D
Circuito
R 1 a 6= 12
A
G
R 7,8,9= 6
I5 I
V = 24 V
+
-
V = 24 V
Finalmente calculamos la resistencia equivalente de todo el circuito, que a su vez es la equivalente de las resistencias R 7,8,9 y R 1 a 6 . Por otro lado, se puede apreciar que en este caso quedan en paralelo las dos resistencias y la pila, por lo cual, todos ellos tendrán la misma tensión aplicada en sus terminales. El circuito más simplificado del circuito de partida es por lo tanto: R eq= 4
E
Circuito
I
+
-
1
R eq
1
1
1
1
1
R 1a 6
R 7 ,8,9
12
6
4
V = 24 V
Una vez calculada la resistencia equivalente del circuito, se procederá con el cálculo de tensiones e intensidades de cada uno de los circuitos simplificados, hasta llegar al circuito de partida, donde además, calcularemos las potencias disipadas por cada una de las resistencias, cuya suma deberá coincidir con la potencia total calculada en el circuito de la R eq. CÁLCULOS DEL CIRCUITO E I
V
24
R eq
4
6 A
P T
V * I
24 * 6
144 W
CÁLCULOS DEL CIRCUITO D. I 1
V
24
R 1 a 6
12
2A
I 5
V
24
R 7,8,9
6
4A
Como se puede observar, aplicada la 1ª Ley de Kirchhoff, al nudo A se cumple: I CÁLCULOS DEL CIRCUITO C. V 1
R 1 * I 1
4* 2
8 V
V 6
R 2 a 6 * I 1
8* 2
I 1
I 2
16 V
Se puede verificar la exactitud de los cálculos aplicando la 2ª Ley de Kirchoff; Así partiendo del nudo A del circuito , pasando por la rama superior y volviendo al nudo por la rama donde está la pila, tendremos: V 1
V 6
V
0;
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
V
V 1
V 6
8 16
24 V
5
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA
CÁLCULOS DEL CIRCUITO B. Calculamos inicialmente las tensiones en bornes de las resistencias R 7,8 y R 9, y puesto que conocemos el valor de la corriente que las atraviesa (I5), tendremos: V 8
R 7,8 * I 5
3*4
12 V
R 9 * I 5
V 9
3*4
12 V
Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff, se verifica que : V 8 V 9 V 0 En la rama superior AG, únicamente nos queda por calcular las corrientes I2, I3 y I6 . I 2
V 6
16
R 2
16
1 A
I 3
V 6
16
1
R 3,4,5
48
3
A
I 6
V 6
16
2
R 6
24
3
A
Los valores obtenidos verifican la aplicación de la 1ª Ley de Kirchhoff al nudo D, puesto que se cumple que: I I 2 I 3 I 6 CÁLCULOS DEL CIRCUITO A. Inicialmente hallamos las tensiones e intensidades parciales que nos faltan por calcular: V 3
R 3 * I 3
10 *
1
10
3
3
V
V 4
R 4 * I 3
20 *
1
20
3
3
A
V 5
R 5 * I 3
18 *
1 3
6 V
Compruebe que se cumple que: V 3 V 4 V 5 V 6 0 En la rama inferior nos queda por calcular las siguientes corrientes: I 7
V 8
12
R 7
12
1A
I 8
V 8
12
R 8
4
3 A
Compruebe que se cumple la 1ª Ley de Kirchhoff aplicada al nudo B: I 5
I 7
I 8
Finalmente calculamos las potencias disipadas por cada una de las resistencias, para lo cual, se multiplica la tensión en bornes de cada una de las resistencias del circuito por la corriente que la atraviesa. P R 1
V 1 * I 1
8* 2
P R 2
V 6 * I 2
16 * 1
P R 3
V 3 * I 3
P R 4
V 4 * I 3
P R 5
V 5 * I 3
6*
P R 6
V 6 * I 6
16 *
P R 7
V 8 * I 7
12 * 1
12 W
P R 8
V 8 * I 8
12 * 3
36 W
P R 9
V 9 * I 5
12 * 4
48 W
10 3 20 3
16 W
* *
16 W
1
10
3
9
1
20
3
9
1 3
W W
2 W
2
32
3
3
W
Sumando todas las potencias se verifica que : P T
P R 1
P R 2
P R 3
P R 4
P R 5
P R 6
P R 7
P R 8
Puede comprobar que otras formas de calcular las potencias es aplicando, las conocidas, fórmulas: P
R * I 2
y
P
V 2 R
aplicadas a cada una de las resistencias, con sus valores correspondientes.
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
6
P R 9
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3º) Partiendo del circuito de la figura se pide:
a) b) c) d) e)
resistencia eléctrica de cada lámpara tensión a que esta sometida cada lámpara corriente que pasa por cada lámpara Potencia consumida por cada lámpara Potencia suministrada por el generador .
+
L1
VA
L2
VA = 24 V.
L3
L1=L2=L3=24 V/25 W
SOLUCIÓN a) Calculamos inicialmente las resistencias de los filamentos de cada una de las lámparas: R L 1
R L 2
R L 3
V 2 P
24
2
23,04
25
Transformamos el circuito anterior al clásico circuito de resistencias.
A
Circuito
R 1= 23,04
I
A
+
V = 24 V
I3
I2
V1
-
V2
4 0 , 3 2
4 0 , 3 2
R
R
= 3
= 2
B
Llegados a este punto, el circuito se resuelve de la misma forma que los problemas anteriores. Calculamos inicialmente la resistencia equivalente de R 2 y R 3 , que llamaremos R 2,3 , que al estar en paralelo tendrá un valor de: R 2, 3
1
1 1
1
1
R 2
R 3
23.04
23.04
quedando el circuito de la forma: I
Circuito
11,52
1
R 1= 23,04
B
V1
+
V = 24 V
V2
2 5 , 1 1 = 3 , 2
R
Calculamos el circuito simplificado dado por la resistencia equivalente del circuito de partida. Puesto que R 1 y R 2,3 están en serie, la R eq tendrá un valor de:
Circuito R eq
R 1
R 2, 3
23,04 11.52
34,56
C
I
+
V = 24 V
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
R eq= 34,56
7
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA
Ahora calcularemos corrientes e intensidades de cada uno de los circuitos. CÁLCULOS DEL CIRCUITO C I
V
24
R eq
34,56
0,694 A
P T
V * I
24 * 0,694
16,6 W
CÁLCULOS DEL CIRCUITO B V 1
R 1 * I
23.04 * 0,694
16 V
V 2
11,52 * 0,694
8 V
verificándose, por tanto, que: V V 1 V 2 CÁLCULOS DEL CIRCUITO A I 2
V 2
8
R 2
23.04
0,3472 A
I 3
V 2
8
R 3
23.04
0,3472 A
verificándose la 1ª Ley de Kirchhoff aplicada al nudo A La potencia disipada por cada una de las resistencias, y por tanto de cada una de las lámparas es:
P R 1
V 1 * I
16 * 0,694
11,1 W
P R 2
V 2 * I 2
8 * 0,3472
2,7 W
P R 3
V 2 * I 3
8 * 0,3472
2,7 W
verificándose que la suma de las potencias parciales es igual a la potencia total disipada por la resistencia equivalente. b) La lámpara L1 está sometida a 16 V La lámpara L2 está sometida a 8 V c) Por la lámpara L1 circulan 0,694 A y por cada una de las lámparas L2 y L3 circulan 0,3472 A
d) La lámpara L1 consume una potencia de La lámpara L2 consume una potencia de
11,1 W
2,7 W
La lámpara L3 consume una potencia de 2,7 W e) La potencia suministrada por el generador es igual a la potencia consumida por las lámparas, y por tanto, igual a la potencia total. En definitiva 16,6 W .
4º) Dado el circuito de la siguiente figura, calcule todas las magnitudes eléctricas del mismo. Circuito
R 2= 4
I2
A
V2 A
R 1= 4
B
I3
R 3= 20
R 4= 16
V3
V1
I5 I4
V4
I7
R 8= 3 F
V8
R 5= 12 E
D
I6
C
R 6= 4
R 7= 6 V6
V5 I +
-
V = 35 V
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
8
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA
SOLUCIÓN En este circuito, a diferencia de los anteriores, se obtienen resultados no enteros, en estos casos, es aconsejable operar con fracciones, puesto que de hacerlo con números decimales se irá acumulando un error al final del problema que impedirá verificar la exactitud de los cálculos. Como siempre, comenzaremos por calcular la resistencia equivalente de todo el circuito (Req). Inicialmente simplificamos las resistencias R 5 y R 6 por su equivalente (R 5,6), y dado que están en paralelo su valor será: 1
R 5,6
1
1
1
1
1
R 5
R 6
12
4
3
El circuito queda de esta forma como se indica en el siguiente esquema:
B
Circuito
R 2= 4
I2
V2 R 1= 4
A
R 3= 20
I3
B
R 4= 16
V3
V1
I4
D
R 8= 3 F
V8
R 7= 6
E
V5
+
I7
V4
R 5,6= 3
I
C
V6
-
V = 35 V
En el circuito B, podemos haremos dos simplificaciones de forma simultánea: Sustituimos R 3 y R 4 por su equivalente, que llamaremos R 3,4 Sustituimos R 5,6 y R 7 por su equivalente, que llamaremos R 5,6,7 Puesto que en ambas ramas las resistencias a simplificar se encuentran en serie, calculamos sus equivalentes mediante las expresiones:
R 3,4 R 5,6,7
R 3
R 4
R 5,6
R 7
20 16
36
3
9
6
quedando el circuito eléctrico de la siguiente manera:
Circuito
C
R 2= 4
I2
V2 A
R 1= 4
B
I3
R 3,4= 36 VBC
V1
I4
C
I7
R 8= 3 F
V8
R 5,6,7= 9 VBC
I +
-
V = 35 V
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
9
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA
Como se puede apreciar en el circuito C, las resistencias R 3,4 y R 5,6,7 calculadas están en paralelo, puesto que ambas están sometidas a la misma tensión. Esta tensión, que hemos llamado VBC (por ser la que hay entre los nudos B y C), es la suma de V3 más V4, o lo que es lo mismo, la suma de V5 más V6. Para simplificar el circuito C, hallamos la resistencia equivalente de R 3,4 y R 5,6,7 , a la que llamaremos R 3 a 7 , y puesto que están en paralelo aplicaremos la siguiente expresión: 1
R 3a 7
1
1
1
1
1
R 3 ,4
R 5,6 ,7
36
9
324
36
45
5
7, 2
El circuito C simplificado quedará de la siguiente forma:
Circuito
R 2= 4
I2
D
V2 R 1= 4
A
36 R 3 a 7=----5
B
C
I7
R 8= 3
VBC
V1 I +
F
V8
-
V = 35 V
Simplificamos el circuito D, calculando la resistencia equivalente de R 3a7 y R 8, a la que llamaremos R 2 a 8, y puesto que están en serie tendremos: R 2 a 8
Circuito
R 3a 7
R 8
36 5
5
10,2
R 2= 4
I2
E
Sustituyendo la el circuito queda como se indica figura:
51
3
V2 A
R 1= 4
51 R 3 a 8=----B
I7
V1 I +
5
F
resistencia calculada en la siguiente
-
V = 35 V
Se debe observar que la resistencia R 3 a 8 queda en paralelo con R 2, y por tanto ambas quedan sometidas a la misma tensión (V2):
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
10
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La simplificación en el circuito E es obvia, y se procederá calculando la resistencia equivalente de R 2 y R 3 a 8 . A la resistencia equivalente calculada la denominaremos R 2 a 8 : 1
R 2a 8
1
1
204
1
1
1
1
1
5
R 2
R 3a 8
4
51
4
51
2,873
71
5
El circuito queda de la forma:
A
F
Circuito
204 R 2 a 8=-------
R 1= 4
I
V1 +
71
-
F
V2
V = 35 V
Finalmente calculamos la resistencia equivalente del circuito, como suma de los valares de R 1 y R 2 a 8, por estar conectadas en serie: R eq
R 1
R 2a 8
4
204
488
71
71
G
Circuito
6,873
488 R eq= ---------71
I
+
-
V = 35 V
Una vez calculada la resistencia equivalente del circuito, se procederá con el cálculo de tensiones e intensidades de cada uno de los circuitos simplificados, hasta llegar al circuito de partida, donde además, calcularemos las potencias disipadas por cada una de las resistencias, cuya suma deberá coincidir con la potencia total calculada en el circuito de la R eq. Tal y como se ha comentado, todos los cálculo se harán en forma de fracción, no obstante, seguidamente se indicará su valor decimal CÁLCULOS DEL CIRCUITO G I
V
35
35 * 71
2485
R eq
488
488
488
5,092 A
71
P TOTAL
V * I
35 *
CÁLCULOS DEL CIRCUITO F V 1
R 1 * I
V 2
R 2a 8 * I
4*
2485
9940
2485
488
488
122
204 71
*
2485
86975
488
488
178,227 A
20,369 V
2485
506940
1785
488
34648
122
14,631 V
Se puede comprobar que V1 más V2 es igual a V, mediante la aplicación de la 2ª Ley de Kirchhoff.
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
11
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CÁLCULOS DEL CIRCUITO E 1785
I 2
V 2
1785
122 4
R 2
3,6578 A
488
1785
I 7
V 2
122 51
R 3a 8
8925
175
6222
122
1,434 A
5
Aplicando la 1ª Ley de Kirchoff al nudo B se pude verificar que: I=I2+I7 CÁLCULOS DEL CIRCUITO D V BC V 8
R 3a 7 * I 7 R 8 * I 7
3*
36 5
*
175
6300
630
122
610
61
175
525
122
122
10,328V
4,303 V
Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff se puede verificar que: V2=VBC + V8 CÁLCULOS DEL CIRCUITO C 631
I 3
V BC R 3,4
61 36
630
35
2196
122
0,287 A
631
I 4
V B C
61 9
R 5,6,7
630
70
549
61
1,147 A
Aplicando la 1ª Ley de Kirchoff al nudo C se pude verificar que: I7=I3+I4 CÁLCULOS DEL CIRCUITO B V 3
R 3 * I 3
20 *
V 4
R 4 * I 3
16 *
35
700
350
122
122
61
35
560
280
122
122
61
5,738V 4,590V
Por la aplicación de la 2ª Ley de Kirchhoff se puede comprobar que: VBC=V3 + V4 V 5
R 5,6 * I 4
V 6
R 7 * I 4
3* 6*
70
210
61
61
70
420
61
61
3,443V 6,885V
Por la aplicación de la 2ª Ley de Kirchhoff se puede comprobar que: VBC=V5 + V6 CÁLCULOS DEL CIRCUITO A 210
I 5
V 5 R 5
61 12
210
35
732
122
210
105
244
122
0,287 A
210
I 6
V 5 R 6
61 4
0,860 A
Se puede comprobar que aplicando la 1ª Ley de Kirchhoff al nudo D, se verifica: I4=I5+I6
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
12
DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA
Finalmente, ya calculadas todas las tensiones e intensidades del circuito, únicamente queda calcular las potencias disipadas por cada una de las resistencias (se multiplica la tensión en los terminales de la resistencia por la corriente que la atraviesa), y comprobar que la suma es igual a la potencia total calculada en el circuito de la resistencia equivalente del circuito R eq. P 1
V 1 * I
P 2
V 2 * I 2
P 3
V 3 * I 3
P 4
V 4 * I 3
P 5
V 5 * I 5
P 6
V 5 * I 6
P 7
V 6 * I 4
P 8
V 8 * I 7
2485 122
*
1785 122 350 61 280 61 210 61 210 61 420 61 525 122
2485
6175225
488
59536
*
* * * * * *
103,723 W
1785
3186225
488
59536
53,518 W
35
12250
6125
122
7442
3721
35
9800
4900
122
7442
3721
35
7350
3675
122
7442
3721
105
22050
11025
122
7442
3721
70
29400
61
3721
175
91875
122
14884
1,646 W 1, 317 W 0,987 W 2,963 W
7,901 W 6,172 W
Circuitos mixtos de acoplamientos de resistencias
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