SISTEMA DE TUBERIAS EN SERIE Cuando dos o más tuberías de diferentes diámetros o rugosidades se conectan de manera que el flujo pasa a través de ellos sin sufrir derivaciones se dice que es un sistema conectado en serie. Las condiciones que deben cumplir en un sistema en serie son: 1. La Ecuación Ecuación de Con tinuidad
⋯
Donde , son el área de la sección transversal y la velocidad media respectivamente en la tubería i. 2. La su m a de las Pé rd idas por fricc ión y loc ales es igu al a las p é rd id as d e en erg ía to tal d el s is tem a.
ℎ ℎ + ℎ Las pérdidas por fricción pueden calcularse usando la ecuación de DarcyWeisbach o la de Hazen-Williams, según el caso.
CASO 1: SOLUCION DEL SISTEMA EN SERIE SEGÚN LA L A FORMULA DE DARCY-WEISBAH Un problema típico de tuberías en serie en el mostrado en la figura 1, en el cual: (A). se desea conocer el valor de H para un caudal dado o bien (B) se requiere el caudal para un valor de H dado.
Figura 1
Fig. 1
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B (en los niveles de la superficie de los depósitos) obtenemos la siguiente expresión.
2 + 2 + 2 + + 2 + 2 4 4 2 2 () [ + + + + ] + + ,,
Usando la ecuación de continuidad
Despejando
en función de
, obtenemos
Sustituyendo estas expresiones k en la expresión original, tenemos
(1)
Generalizando
(2)
Donde tuberías.
son constante obtenidas de los valores físico –hidráulico de las
Resolvamos el inciso (A), donde se quiere conocer la carga H, conociendo el caudal. En esta solución, el inconveniente es determinar los coeficientes de fricción, de cada tubería, los cuales dependen del número de Reynolds y la rugosidad relativa correspondiente a cada tramo, a través del diagrama de Moody o por fórmulas de cálculo, donde los valores es una función de los datos del problemas y la solución es en forma directa. Si el valor dado es H, inciso b, aquí se presenta una solución iterativa para la determinación del caudal; despejando la velocidad en la ecuación (2), se representa un proceso para la solución: 1. Suponer valores de los coeficientes de fricción de cada tramo en el intervalo de 0.02-0.04. 2. Calcular la velocidad despejada en la ecuación (6). 3. Calcular la velocidad de los demás tramos a través de la ecuación de continuidad. 4. Calcular los números de Reynolds de cada tramo con sus respectivas velocidades y con sus rugosidades relativas, obtener nuevos valores de los coeficientes de fricción de cada tramo a través del diagrama de Moody o formulas de cálculo. 5. Repetir los pasos 2 al 4, hasta que los coeficientes de fricción de cada tramo converjan a una solución.
0.0.0001 05;; 23;; 1000 800 0. 5 ; 0. 3 1; 1. 0 20; 1∗10−/
EJEMPLO.- Del sistema serie mostrado en la fig. (1). Determine el caudal
SOLUCION
0.0205 0.0025 0.0301 0.00033 2 () (3) 49
Primero hay que calcular las rugosidades relativas de las tuberías.
Por continuidad.
Sustituyendo estos datos en la ecuación (6):
2 1000 800 2 20 2 0.5+0.31+1(3) + 2 + 3 (3) 2 1 20 2 1.01+5001 + 52.672 1.0 1+50035.89 + 52.67 /
Donde resulta
Despejando la velocidad de cálculo
Con los valores de los coeficientes de fricción se obtendrá un proceso iterativo y es conveniente tener expresiones de los números de Reynolds de cada tubería en función de la velocidad de cálculo esto es:
2 103− 2∗10 10− 3∗10
Los cálculos iterativos se muestran en la tabla siguiente
λ₁
λ₂
V
V
R
0.025
0.025
9.32
4.14
1.86*10
1.24*10
⁶
0.025
0.016
9.47
4.21
1.89*10
1.26*10
⁶
0.025
0.016
-
-
-
-
Entonces:
El caudal:
₁
₂
4.97 / 4.21 /
2/29.47 29.75/
R
₁
₂
⁶
⁶
FORMULA ALTSHUL
Formula de SWAUCE
. 68 0.11( + ) → 1 ∗10 < < 5∗10 10.25 5.74 log3.7 D + . ε
→→ 5∗10 1000 < < 1∗ 10 < < 1∗10
CASO 2: SOLUCION DEL SISTEMA EN SERIE SEGÚN LA FORMULA DE HAZEN WILLIAMS Si se utiliza la ecuación de Hazen Williams para resolver el problema de tuberías en serie se obtiene una expresión similar a la ecuación 2 donde la carga necesaria H estaría en términos del caudal. Para obtener esta ecuación se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B (ver figura 1) -
Calculando las pérdidas por fricción en cada tubería:
-
En forma genérica para i-n tramos:
-
Las pérdidas locales se pueden expresar como:
. ℎ 10.647() . . . ℎ 10.647() . . . ℎ 10.647() . .
Para la entrada:
8 ℎ 2 8 ℎ 2
En forma genérica para j-n accesorios:
En el caso de tratarse de una contracción brusca (reducción de diámetro) la pérdida local se expresaría:
8 / 1 ℎ 2 + 0+0 0+0+0+ ∑ + ∑ .
Obsérvese que los son constantes para un sistema de tuberías en serie, por lo tanto de la ecuación de Bernoulli resultara. (3)
En esta ecuación es posible distinguir dos casos: 1) Dado Q, encontrar la carga disponible. Esta solución es directa, si se conoce las características física-geométricas (o sea los diámetros, longitudes, constantes de Hazen-Williams) es posible determinar los valores de las constantes y sustituirlos en la ecuación (3), donde se obtiene el valor de H.
2) Se conoce la carga disponible del sistema en serie y se desea calcular el caudal trasegado. De igual forma se determinan los valores de las constantes ecuación (3), se transforma como:
. + 0
y la
(4)
Lo cual puede ser resuelto por tanteo, o bien utilizando métodos numéricos tal como el método de Newton-Rarbpson.
Utilizando el proceso por tanteo, primero se busca un Q aproximado para comenzar estas; por ejemplo: Como las exponentes son próximos entre sí, pondremos un promedio de estos como
. []
(5)
A continuación se da un ejemplo de aplicación del caso 2.
EJEMPLO 4.- En la fig.1 del sistema en serie, calcúlese el caudal si la carga disponible es de 6.10m y los coeficientes de pérdidas locales son Se obtienen las siguientes características:
0.5, 1. 300; 20; 95; 200; 15; 100. . ℎ 10.67 ( ) . . . 10..6.7.. 9510..670.300 20. 1764.11 2 10010.1.852670.20015. 4341.40 2 9.80.8150.0204 25.82 2 20 8 ( ) 1 15 29.810.154 163.38
SOLUCION
Calculando los
de los tramos 1 y 2 seria:
Para las Pérdidas locales los
seria:
²
9.81.8100.015 163.38 6105.5. + 220. 5 6.10 0 /
La ecuación a resolver resulta:
Donde el Q aproximado seria 0.02703
Resolviendo por tanteos
Q 0.02703
1.06731
0.02400
0.13463
0.02350
-0.10416
0.02370
-0.00916
0.02372
0.00039
Esto indica una discrepancia del 0.11% de la función del caudal. Lo que indica:
0.02372/ 23.71/
.
CASO 3: SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TUBERÍA EN SERIE POR TUBERÍA EQUIVALENTE El método de la longitud equivalente puede ser utilizado para resolver problemas de tuberías en serie, convirtiendo las Pér didas en accesorios y todas las Pérdidas por longitud de otras tuberías a su equivalente a pérdidas de fricción de un diámetro dado. Casi siempre se toma uno de los diámetros del sistema. LONG ITUD EQUIVAL ENTE POR PÉRDIDAS P OR L ONGITUD.
A. Según Darcy – Weisbach
(6)
B. Según Hazen-Williams
. .
(7)
LON GITUD EQUIVALENTE POR PÉRDIDAS L OCA LES.
(8)
En el caso cuando el caudal es desconocido los coeficientes de fricción se calculan por el régimen de turbulencia completa, ya que este coeficiente es constante con cualquier efecto de parte del número de Reynolds, por lo tanto la pérdida es mucho mayor. Según la fórmula de Darcy-Weisbach, en esta zona, las pérdidas son proporcionales a la carga de velocidad, si el diámetro y la longitud son constantes. Por lo tanto solo existe un coeficiente mayor correspondiente a su rugosidad relativa en la zona de turbulencia completa que produzca una perdida mayor, de esta forma aseguramos una longitud equivalente funcionable al sistema original. Después, el método de la longitud equivalente funcionable ocasiona un problema típico simple nuevo, donde el coeficiente de fricción nuevo se calcula por medio de iteraciones o por la ecuación de Coolebrook. Veamos un ejemplo, en el caso de la fig.1 se reducirían las pérdidas de entradas del tanque de la izquierda, la expansión, la salida al tanque de la derecha y la tubería 2 por sus longitudes equivalentes de tubería 1. En este caso se tomo como tubería equivalente la tubería 1, bien se pudiese haber tomado la tubería 2.
EJEMPLO 3.- Resuelva el ejemplo 1, usando tubería equivalente a la tubería 1. Todos los accesorios y la tubería 2 deben sustituirse por su equivalencia de la tubería 1.
SOLUCION Calculo de los coeficientes de fricción de las tuberías:
. 0.11 . 0. 0 05 0.11( 2 ) 0.025
. 0. 0 01 ( 3 ) 0.015 Tuberías equivalentes:
Tubería 1:
Longitud equivalente a la tubería 1.
∝ 0.50 ( ) 0.50(0.0225) 40 0.31 () 0.31(0.0325) 24.80
Entrada:
Expansión:
Tubería 2:
Longitud equivalente la tubería 2
31 1(0.015) 200
Salida:
Longitud equivalente de tubería 1.
800+200 1000 , 3 ()() . 0. 0 15 2 1000(0.025)(3) 79.01
Longitud: (
)
2 , 0. 0 05 , 1000 +79.01+64.80 1143.81. ()2 2 1143. 8 1 1 20 2 232.2 20 8.88 1 1√ .50 / 0. 0 025 2∗ 10
Podemos ahora tratar el problema considerando una tubería típica simple con las siguientes características:
La ecuación de energía se reduce a
De donde:
La rugosidad relativa
Asumiendo un valor de coeficiente de fricción de 0.020 y resolviendo iterativamente.
0.0200
10.60
0.0246
9.55
0.0247
9.55
0.0247
9.55
9. 5 5 /. 30/. Donde la
y el número de Reynolds.
2.12 ∗10 1.91 ∗10 1.91 ∗10 1.91 ∗10
por lo tanto el caudal seria
Este problema puede resolverse por medio de la ecuación de Coolebrook de forma directa.
EJEMPLO 6.- Calcúlese el caudal que pasa por el sistema de la tubería en serie de la fig.1 , sustituyendo la tubería 1 por su equivalente en tubería 2, sin considerar Pérdidas locales. Las características geométricas
1: 15, 120, 150. 2 20, 95, 30. son:
La carga disponible H=10m.
SOLUCION
Según Hazen-Williams
Entonces el sistema de tuberías en serie se sustituye por una sola tubería con las característica de la tubería 2, cuya longitud seria: 30+131.68 =161.68m.
El caudal seria:
. . () () . . 20 9 5 50(15) (120) 131.68
0.2785. . . . . 0.2785950.20 . . (9)
.
LA REGLA DE DUPUIT La regla de dupuit permite calcular la relación longitud-diámetro de la tubería equivalente a un sistema de tubería en serie para flujo turbulento completamente desarrollado (turbulencia completa). A). Según la fórm ula de Darcy -Weisbach
Las Pérdidas por fricción pueden ser expresadas por
8 ℎ ℎ
8
Considerando ahora el sistema de tubería en serie de la figura 6, la pérdida total en el sistema es
ℎ ℎ + ℎ +
En la ecuación anterior se supone que ambas tuberías tienen un mismo valor de K. en forma genérica obtenemos para n tuberías
∑=
(10)
Nótese que se supone que el valor de K es constante tanto en cada una de las tuberías en serie, así como en la tubería equivalente. Esto no es rigurosamente cierto puesto que el valor del coeficiente de fricción, que determina el valor de K, es función de la rugosidad relativa de cada tubería en la zona de turbulencia completa. Sin embargo, la ec. 9 se puede utilizar en cálculos aproximados en los problemas de tuberías en serie.
Fig. 2
La regla de Dupuit, basada en la formula de DARCY-WEISBACH, es por lo tanto solamente una aproximación, siendo exacta únicamente cuando todas las tuberías (incluyendo la equivalente) tienen el mismo coeficiente de fricción.
Una formula más precisa para la regla de Dupuit, basada en la ecuación de DARCY-WEISBACH, debe incluir los coeficientes de fricción para cada tubería del sistema en serie, como
∑=
(11)
Los valores de los coeficientes de fricción serán los correspondientes a la zona de turbulencia completa de las respectivas rugosidades r elativas de cada tubería en el sistema en serie y la tubería equivalente.
B). Según la fórm ula de HAZEN-WILLIAMS.
La regla de Dupuit puede ser utilizada con respecto a la ecuación de HazenWilliams
∑ . . . = .
(12)
EJEMPLO 7 Resuélvase el ejemplo 1, usando la regla de Dupuit. Despréciense las Pérdidas locales. Úsese un diámetro de 2 pies para la
tubería equivalente. ε=0.005 pie y viscosidad cinemática de
1 ∗ 10− /
. Las características geométricas de las tuberías son L =1000 pie, D = 2 pie, L =800 pie, D = 3 pie, H= 20 pie.
₂
₁
₂
₁
SOLUCION
Obteniendo la validez de la regla de Dupuit:
De la ecuación de Bernoulli, se reduce el sistema de tuberías en serie a una tubería simple, obtenemos:
2 10002 + 8003 34.54 1105.35
2 1105. 3 5 20 2 232.2 1.√ 527 2 1. 5 27 2∗10 1∗10− √ √ 1.5272∗ 10 3.054∗10 1√ 0.86 (3.71/ + 2.√ 51) 1√ 0.86 (0.03.0257 + 3. 0542.5∗110) 6.267 0255
Utilizando la ecuación de Coolebrook para determinar el valor del coeficiente de fricción,
El valor del coeficiente de fricción
Por lo tanto, el caudal seria de 30.07 pie³/s.
