MATEMATI ČKI FAKULTET BEOGRAD
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA SA PRIMENOM SEMINARSKI RAD
Aleksandra Mitrović 138/97
UVOD U TRIGONOMETRIJU. SINUS I KOSINUS UGLA Trigonometrija je matematička disciplina koja se bavi trigonometrijskim funkcijama i njihovim primenama. Njene korene sre ćemo još u starom veku ( Egipat, Vavilon ). Reč trigonometrija je sastavljena od gr čkih reči TRIGONON (trougao) i METRON (mera), što ukazuje da se ova disciplina u svom po četku bavila problemom merenja trougla pomo pomoću dovoljnog broja datih elemenata, što danas spada KOSINUSNE TEOREME i njihove primene. u domen SINUSNE I KOSINUSNE Da bi se rešio ovaj zadatak, tj. da bi se uspostavile brojne zavisnosti izme đu elemenata trougla (strane i uglova), uvedene su funkcije naro čite vrste koje označavamo sa sinx, cosx, tgx, itd., a koje se zovu TRIGONOMETRIJSKIM FUNKCIJAMA.
DEFINICIJA SINUSNE I KOSINUSNE FUNKCIJE MA KOG UGLA: Neka je u ravni dat Dekartov pravougli koordinatni sistem xOy i neka je k jedinična kružna linija u toj ravni sa centrom u koordinatnom početku. Uzmimo na trigonometrijskom krugu luk α sa početnom tačkom A i krajnjom tačkom M . Neka je projekcija tačke M na x-osu tačka P, a na y-osu Q. Algebarske vrenosti vektora OP i OQ na svakoj od osa nazivaju se respektivno SINUS I KOSINUS ugla α . cos α = OP sin α = OQ
tj. kosinus ugla je apscisa dok je sinus ugla ordinata tačke M , krajnje tačke luka α .
SINUSNA TEOREMA Klasična primena trigonometrije sastoji se u izra čunavanju elemenata trougla. Ona u mnogome počiva na sinusnoj teoremi koja opisuje odnose izmedju stranica i uglova trougla.
TEOREMA 1: Neka je ABC proizvoljni trougao. Označimo sa a , b , c dužine njegovih stranica a sa α , β , γ njima odgovarajuće uglove trougla. Tada važi: a
sin α
=
b
sin β
2
=
c
sin γ
DOKAZ 1: Označimo sa D upravnu projekciju ta čke C na pravu AB. Moguća su 3 rasporeda tačaka:
Na osnovu definicije definicije sinusa u pravouglom pravouglom trouglu, prema prema sl.2a iz ∆ DBC, odnosno ADC ⇒ hc = a ⋅ sin β hc = b ⋅ sin α odnosno a ⋅ sin β = b ⋅ sin α a
sin α
b
=
, α ≠ 0, β ≠ 0.
sin β
Prema slici 2b. iz ∆ DAC, odnosno ∆ DBC ⇒ hc = sin( π- α )· b = b ⋅ sin α hc = a ⋅ sin β odakle sledi ista relacija
a
sin α
=
b
sin β
.
Isto tako, prema sl.2c iz ∆ ADC, odnosno ∆ BDC ⇒ hc = b ⋅ sin α hc = a ⋅ sin (π- β ) = a ⋅ sin β , odakle takodje sledi ista relacija. Na isti način, kada koristimo visinu hb, dobijamo ∆ ABD’, odnosno ∆BCD’ (sl.2a) ⇒ hb hb
⇒
a
sin α
=
c
sin γ
, tako što iz
= a ⋅ sin γ = c ⋅ sin α ,
a ⋅ sin γ
= c ⋅ sin α ,
⇒ a
sin α
=
c
sin γ
, α ≠ 0, γ ≠ 0.
Iz već dokazanih relacija: a
sin α
=
b
sin β
3
i
a
sin α
=
c
sin γ
⇒
a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
tj. rečima
Strane trougla proporcionalne su sinusima naspramnih uglova. Sinusnu teoremu možemo dokazati na drugi na čin, tj. dokazaćemo da je koeficijent proporcionalnosti odnosa stranice trougla prema sinusu naspramnog ugla jednak prečniku opisanog kruga trougla tj. a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
= 2 R
DOKAZ 2: Posmatrajmo ∆ABC (sl.3), neka je O centar opisanog kruga a R polupre čnik tog krug kruga. a. Ako Ako na na stra strani nicu cu BC BC = a povu povučemo normalu OM, onda je u pravouglom ∆BOM a
2
= R ⋅ sin (∠ BOM )
Ako je ugao α trougla ABC oštar (sl.3a), onda je ∠ BOM = α a ako je α tup ugao (sl.3b) onda je: ∠ BOC = 2π - 2 α ∠ BOC = 2 ⋅ (∠ BOM ) 2 ⋅ (∠BOM ) = 2π - 2 α ∠ BOM = π - α U oba slučaja je sin (∠ BOM ) = sin α , pa je
4
a =2·R·sin α
ili
a
sin α
= 2·R
Isto tako je: b = 2·R·sin β
ili
c = 2·R·sin γ
ili
b
sin β
= 2·R
c
= 2·R sin γ DOKAZ 2.(da sinusna teorema važi i za tupougle trouglove):
Iz ∆CBD ⇒ BC = DC ⋅ sin α 1 a = 2 R ⋅ sin α 1 a iz tetivnog četvorougla ABCD ⇒ ⇒
α + α 1 = π
sin α 1 = sin( π- α ) = sin α
⇒
a = 2 R ⋅ sin α .
Prema tome je: a
sin α
b
=
sin β
=
c
sin γ
= 2 R
tj. rečima:
Odnos strane i sinusa naspramnog ugla stalna je veli čina i jednaka pre čniku opisanog kruga oko trougla. Prečnik 2R naziva se i trouglovom konstantom.
PRIMENA SINUSNE TEOREME Da bismo rešili trougao, treba da pomoću tri data osnovna elementa odredimo tri preostala osnovna elementa. Za to su nam potrebne potrebne veze izmedju tih elemenata: elemenata: a α + β + γ = π
i
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
Prvi i osnovni sistem veza elemenata, dovoljan je da iz njega odredimo tražene veličine. Sinusna teorema primenjuje se u sledećim slučajevima: • Data je jedna strana i dva ugla, naprimer a , β i γ . Iz planimetrije je poznato da je taj zadatak mogu će rešiti jednozna čno.
5
REŠENJE: Ugao α nalazimo iz obrasca α = π- ( β + γ ) , strane b i c dobijamo primenom sinusne teoreme iz proporcija: a b a ⋅ sin β = odakle je b = i sin α sin β sin α a c a ⋅ sin γ = odakle je c = . sin α sin γ sin α • Date su dve stranice i ugao naspram jedne od njih. Iz planimetrije je poznato da je taj zadatak rešiv jednozna čno samo u onom slu čaju kada je dat ugao naspram veće stranice. To će pokazati slede ća analiza. Ako je dato a , b i α , onda je: b sin (α + β ) . sin β = sin α , γ = π- (α + β ) , c = a ⋅ a sin α b
Dakle, pomoću formule sin β = sin α , izračunavamo ugao β kad znamo a β
ugao α . Ako je ugao α tup, tada mora biti oštar ugao a ako je α oštar, tada ugao β može biti ili tup ili oštar ili pravougli. Stoga ova formula daje za ugao β u prvom slučaju samo jednu vrednost a u drugom slu čaju dve vrednosti. To će potvrditi i ispitivanje izraza Postavićemo pri tom da je
b
sin α s obzirom na razne vrednosti
a b ≠ a.
a, b
i α .
a >b(
tj. α > β , što zna či da dati ugao α leži naspram veće stranice a i da može biti oštar ili tup, dok ugao β - naspram manje stranice- može biti samo oštar).
Tada je
b a
<1, a kako je sin α <1, to je bez obzira na veli činu ugla α , sin β <1.
Dobijamo jedno rešenje za ugao β (a prema tome i za ostale osnovne elemente γ i c).
( tj. α < β , što zna či da je ugao α , kao ugao naspram manje stranice, oštar). Tada postoje tri mogućnosti:
a< b
o
o
o
b a b a b a
sin α >1, otuda je sin β >1, što je nemoguće. Zadatak nema rešenja. sin α =1, tj. sin β =1, otuda je β =90° (trougao je pravougli). sin α <1, tj. sin β <1. Tada ugao β , koji leži naspram ve će stranice,
može biti oštar ili tup. Stoga dobijamo dva rešenja za β , tj. jedan oštar
6
ugao ( β 1 ) i jedan tup ugao ( β 2 =180°- β 1 ) koji se dopunjuju do 180° i po dva rešenja za za γ i c. Prema tome, ako se znaju dve stranice kosouglog trougla i ugao naspram ve će od njih, drugi ugao je oštar i odredjuje se jednozna čno, a ako se znaju dve stranice i ugao naspram manje od njih, dobijaju se dva rešenja za drugi ugao, jer ovaj može biti oštar ili tup.
PRIMER 1: Veštački satelit kreće se po kružnoj putanji oko Zemlje na visini h iznad Zemlje. Prošao je kroz zenit Zemljine tačke A i posle t sekundi opažen je iz ta čke A pod uglom α prema horizontu. Odrediti vreme jednog punog obilaska satelita oko Zemlje.
REŠENJE: Neka je C središte Zemlje a S položaj satelita u trenutku t (sl.4). U ∆ACS je AC=R SC= R+ h ∠ ASC= δ
∠ CAS=
π
+ α
2 Prema sinusnoj teoremi dobija se R ⎛ π ⎞ R cos α sin δ = sin ⎜ + α ⎟ = R + h ⎝ 2 ⎠ R + h ∠γ =
π
− α − δ
2 Vreme punog obilaska satelita oko Zemlje dobija se iz formule za ugaonu brzinu: 2π , pa je ω = T = T =
T 2 ⋅ π ⋅ t
γ
, odnosno
slika 4
2 ⋅ π ⋅ t π
2
− α − arcsin
R ⋅ cos α R + h
PRIMER 2: Osnova piramide je jednakokraki trougao čiji je krak a, a ugao pri vrhu α . Sve bočne ivice piramide su nagnute na ravan osnove pod uglom β . Izračunati zapreminu piramide.
7
REŠENJE: Ako sa S obeležimo vrh piramide i S’ presek normale povu čene kroz tačku S i osnove, tada su trouglovi ASS’, BSS’, CSS’ podudarni (sl.5) pa je AS’=BS’=CS’ tj. S’ je centar opisanog kruga oko osnove. Prema sinusnoj teoremi, za polupre čnik tog kruga važi: a
R =
⎛ π − α ⎞ ⎟ ⎝ 2 ⎠
2 ⋅ sin ⎜
a
=
⎛ π α ⎞ − ⎟ ⎝ 2 2 ⎠
a
=
2 ⋅ sin ⎜
2 ⋅ cos
α
2
Visina piramide je H = R ⋅ tg β 1 Površina osnove B = a 2 ⋅ sin α 2 Zapremina piramide 2 B ⋅ H a ⋅ sin α ⋅ R ⋅ tg β V = = 3 6 a
2
a ⋅ sin α ⋅
2 ⋅ cos ⇒ V =
6
α
2
tg β a 3 sin
=
α
2 6
⋅ tg β slika 5
PRIMER 3: U pravouglom trouglu ABC čija je hipotenuza AB=2, središta kateta M i N i tačke A i B pripadaju jednom krugu. Izračinati poluprečnik tog kruga.
REŠENJE: Četvorougao
ABNM (sl.6) je tetivni trapez, pa je α + η = 180° i β +η =180°, odakle je α = β . Pošto su α i β oštri uglovi pravouglog trougla, to je α = β =45° i AC=BC= 2 . Sada dobijamo: 1 5 BM= BC 2 + CM 2 = 2 + = 2 2 Pa iz sinusne teoreme za trougao BMA nalazimo 5 BM 5 = 2 = 5 ⇒ R= 2R= sin α 1 2 2
slika 6
8
KOSINUSNA TEOREMA Sinusna teorema rešava direktno ali ne može da se primeni na slu čaj kada su poznate sve strane. Zato ćemo se upoznati sa teoremom koja ove slu čajeve rešava tj. sa kosinusnom teoremom.
TEOREMA 2: Neka su a, b, c dužina stranica i α , β , γ veličine odgovarajućih unutršnjih uglova trougla ABC. Tada važi: 2 2 2 a = b + c − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ a)
b)
slika 7
DOKAZ 3: Iz temena C spustimo na stranu AB visinu CD. Ako su dva ugla α i β oštra, tačka D će pasti između ta čaka A i B (sl.7a); ako je jedan od njih, npr. α , tup (sl.7b) ona će pasti na podnožje podnožje stranice AB. Po Pitagorinoj teoremi iz pravouglog trougla ADC (sl.7a) sledi 2
2
CD = b − AD
2
a iz trougla DBC 2
2
2
(
2
CD = a − BD = a − c − AD 2
2
2
2
2
2
) = a 2 − c 2 + 2c ⋅ AD − AD 2
2
a − c + 2c ⋅ AD − AD = b − AD 2 2 2 a = b + c − 2 ⋅ c ⋅ AD AD ⇒ Kako je cos α = b
2
2
a = b + c − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
Kod tupouglog trougla (sl.7b) iz trougla ACD sledi CD 2 = b 2 − AD 2
a iz trougla BCD 2
2
2
2
2
2
2
CD = a − BD = a − (c + AD ) = a − c − 2 ⋅ c ⋅ AD − AD
a 2 − c 2 − 2 ⋅ c ⋅ AD − AD 2 = b 2 − AD 2
9
2
2
2
2
a = b + c + 2 ⋅ c ⋅ AD AD kako je cos(π − α ) = = − cos α b dobijamo a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α Druga i treća jednakost kosinusne teoreme se dobijaju cikli čnom izmenom oznaka za
stranice i uglove trougla.
Kvadrat jedne strane trougla jednak je zbiru kvadrata dveju strana umanjenom za dvostruki proizvod tih dveju strana i kosinusa ugla koji zahvataju. Ovo je kosinusna ili Karnotova (Carnot) teorema. Može se nazvati i uopštena Pitagorina teorema, naime kada je jedan ugao u trouglu prav, bi će kosinus ovog ugla nula, te dobijamo Pitagorinu teoremu kao specijalan slučaj kosinusne. Kosinusna teorema je posledica teorema o projekcijama, sa kojo m su sinusna i kosinusna teorema u tesnoj vezi čineći međusobno ekvivalentne iskaze. Tako kosinusnu teoremu možemo dokazati i preko teoreme o projekcijama na slede ći način:
DOKAZ 4: Prema slici 2a sledi cos β =
BD a
, cos α =
AD b
; tj. BD = a ⋅ cos β , AD = b ⋅ cos α
Sabiranjem poslednje dve jednačine dobijamo BD + AD = c = a ⋅ cos β + b ⋅ cos α Prema slici 2b sledi cos β =
BD AD a
,
b
= cos(π − α ) ; tj. BD = a ⋅ cos β , AD = −b ⋅ cos α
Oduzimanjem dobijamo BD − AD = c = a ⋅ cos β + b ⋅ cos α Analog Ana logno no se se može može izve izvesti sti za stra strane ne a i b .Tako dolazimo do tri formule: a = b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β b = c ⋅ cos α + a ⋅ cos γ c = a ⋅ cos β + b ⋅ cos α Ovo je teorema o projekcijama strana. Pomnožimo li prvu formulu sa a, drugu sa – b. Treću sa – c i saberemo tako dobijene tri jednakosti dobijamo: 2 2 2 a − b − c = a(b ⋅ cos γ + c ⋅ cos β ) − b(c ⋅ cos α + a ⋅ cos γ ) − c(a ⋅ cos β + b ⋅ cos α ) a 2 − b 2 − c 2 = a ⋅ b ⋅ cos γ + a ⋅ c ⋅ cos α − b ⋅ c ⋅ cos α − a ⋅ b ⋅ cos γ − a ⋅ c ⋅ cos β − b ⋅ c ⋅ cos α a 2 − b 2 − c 2 = −2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α odnosno a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α okazana prva jednako jednakost st ko sinusn nusnee čime je dokazana
teoreme. teoreme. Ostale jednako jednakosti sti se dokazuju dokazuju
analogno. Kosinusna teorema je osnovna teorema kosouglog trougla, jer iz nje proizilaze sve formule ravne trigonometrije i sva svojstva ravnog trougla. Tako na primer: 2 a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α < b 2 + c 2 + 2 ⋅ b ⋅ c = (b + c ) ⇒ a
10
čime smo izveli jedno od
osnovnih svojstava trougla:
zbir dve stranice u trouglu uvek je ve ći od treće stranice. Kao planimetrijski iskaz, kosinusna teorema se nalazila kod Euklida (300 g.p.n.e.) dok u današnjem trigonometrijskom smislu potiče od osnivača goniometrije Vieta (1540-1603).
PRIMENA KOSINUSNE TEOREME Jednakosti: a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α 2 2 2 b = a + c − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β 2
2
2
c = a + b − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
čine
drugi osnovni sistem veza elemenata trougla, koji je dovoljan da se iz datih osnovnih elemenata izračunaju preostali osnovni elementi. Kosinusna teorema primenjuje se u dva slu čaja: 1. Poznate su dve stranice trougla i zahva ćeni ugao. Ovaj zadatak je rešiv jednoznačno, npr. ako je dato a, b i γ .
REŠENJE: Iz jednačine c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ odredjujemo samo jedno rešenje c. Ugao α 2
2
2
odredjujemo iz f ormule a = b + c − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α , gde je cos α =
b2 + c2 − a2
2⋅b⋅c
a
ugao β = 180 °- (α + γ ) 2. Poznate su tri stranice trougla. Ovaj zadatak je rešiv jednozna čno, kao što je to poznato iz planimetrije. planimetrije.
REŠENJE: Primenom kosinusne teoreme dobijamo za uglove α , β , γ jednakosti: cos α =
b2 + c2 − a2
a2 + c2 − b2
cos β = 2⋅b⋅c 2⋅a⋅c koje odredjuju svaka samo po jednu vrednost za uglove α i β , a γ =180°- (α + β )
PRIMER 4: Naći zbir kvadrata stranica trougla ako su mu poznate težišne duži.
11
REŠENJE: 2
b ⎛ b ⎞ a = tb + ⎜ ⎟ − 2 ⋅ tc ⋅ cosτ 2 ⎝ 2 ⎠ 2
2
2
b ⎛ b ⎞ c = tb + ⎜ ⎟ − 2 ⋅ tb ⋅ cos(π − τ ) 2 ⎝ 2 ⎠ 2
2
2
2
2
a + c = 2 ⋅ tb +
b2
2
slika 8 2
2
c ⎛ c ⎞ a = tc + ⎜ ⎟ − 2 ⋅ tc ⋅ cos(π − α ) 2 ⎝ 2 ⎠ 2
a ⎛ a ⎞ b = ta + ⎜ ⎟ − 2 ⋅ ta ⋅ cos ϕ 2 ⎝ 2 ⎠
2
2
2
2
c ⎛ c ⎞ b = tc + ⎜ ⎟ − 2 ⋅ tc ⋅ cos α 2 ⎝ 2 ⎠ 2
2
a ⎛ a ⎞ c = ta + ⎜ ⎟ − 2 ⋅ ta ⋅ cos(π − ϕ ) 2 ⎝ 2 ⎠
2
2
2
a + b = 2 ⋅ tc +
2
2
c2
2
2
2
b +c =
2
2(a 2 + b 2 + c 2 ) = 2(ta 2 + tb 2 + tc 2 ) + a2 + b2 + c2 =
PRIMER 5:
2
2 ⋅ ta +
a2
2
1 2 2 2 (a + b + c ) 2
2 2 (ta + tb 2 + tc 2 ) 3
Sile F 1 i F 2 deluju na čvrsto telo u tački A i njihovi pravci zaklapaju ugao α . Izračunati rezultantu tih sila u funkciji ovih sila i ugla α .
REŠENJE: Primenom kosinusne teoreme na tr ougao ABC (sl.9) dobijamo R 2 = F 12 + F 2 2 − 2 F 1 ⋅ F 2 ⋅ cos β Zamenom cos β = cos(180 − α ) = − cos α u prethodnu relaciju, dobijamo R 2 = F 12 + F 2 2 + 2 F 1 ⋅ F 2 ⋅ cos α o
slika 9
12
•
Ako je α =0°, onda je R=F1+F2, pa rezultanta ima pravac i smer datih sila. • Za α =90° sledi da je R = F 12 + F 2 2 • Ako je α =180°, onda je reultanta jednaka razlici sila F1 i F2 i ima smer sile većeg inteziteta.
PRIMER 6: Osnova pravog paralelepipeda je paralelogram sa stranicama a i b i oštrim uglom α . Manja dijagonala paralelepipeda jednaka je ve ćoj dijagonali osnove. Izra čunati zapreminu paralelepipeda.
REŠENJE: D1 = d 2
V =B·H B=a·h h sin α = ⇒ h=b·sin α b 2
2
2
2
H = D1 − d 1
2
d 2 = D1 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b cos(π − α ) 2
2
2
d 1 = a + b − 2 ⋅ a ⋅ b cos α
⇒ H 2 = 4 ⋅ a ⋅ b cos α H = 2 a ⋅ b cos α B=a·h=a·b·sin B=a·h=a·b·sin α V = a ⋅ b ⋅ sin α ⋅ 2 a ⋅ b ⋅ cos α
slika 10
13
LITERATURA •
Dr. Đor đe Dugošija, Dr. Lazar Milin, Živorad Ivanović- «Trigonometrija»
• Mirko Stojanović-«Trigonometrija» •
Zenon Handžak-«Trigonometrija Handžak-«Trigonometrija u ravnini»
• Vladimir Mićić, Živorad Ivanović, Sr đan Ognjanović-«Matematika 2»- za
drugi razred srednje škole • Ratomir Stefanović-«Trigonometrija» • Milica Ilić-Dajović-«Trigonometrija» •
Desanka Cvetkovi ć i Katarina Kostić-«Trigonometrija»-za srednje škole
• Radmilo Dimitrijević i Milivoje Bojanić-«Trigonometrija»-udžbenik za
tehničke škole
14
