Dezargova Teorema

Matematički fakultet Beograd

Seminarski rad METODIKA NASTAVE MATEMATIKE II

Tema:

DEZARGOVA TEOREMA

Kandidat: Jovičić Gordana 287/80 Beograd, jun 2000.

Da je Dezarg, hrabar pionir 17. veka mogao predvideti do čega će njegova dosetljiva metoda projektovanja dovesti, on bi svakako bio zapanjen. On je znao da je u činio nešto dobro, ali nije imao pojma o tome kako će se to dobro pokazati u budućnosti. E.T. Bell (1883 - 1960)

Matematički fakultet, Beograd

1

Projektivna geometrija je oblast geometrije u kojoj se prou čavaju ona svojstva geometrijskih figura koja se menjaju pri takozvanom projektivnom preslikavanju tj. takvom preslikavanju koje prave prevodi u prave i čuva identitet tačke i prave, a narušava paralelnost pravih i samim tim, podudarnost uglova. Uvo|enje beskona čno dalekih elemenata tj. beskonačno dalekih tačaka, pravih i ravni, omogućava da se u projektnoj geometriji paralelne prave seku, da prava i ravan budu zatvorene, da se npr. kvadrat, romboid i trapezoid posmatraju kao modaliteti jednog istog konveksnog četvorougla, a konusni preseci (elipsa, parabola i hiperbola) kao modaliteti jedne iste algebarske krive drugog reda itd. Stvorena je na radovima Dezarga, Ponslea, [tajnera, [tauta... Tema ovog rada je jedna od najvažnijih teorema projektivne geometrije Dezgarova∗ teorema. Od ostalih teorema i definicija projektivne geometrije koristićemo samo one koje su neophodne za razumevanje primera koje ćemo navesti. DIREKTNA DEZARGOVA TEOREMA

Ako se prave koje spajaju odgovarajuća temena dvaju trouglova seku u jednoj tački tada se odgovarajuće stranice tih trouglova, ili prave kojima pripadaju stranice, seku u tačkama jedne prave. DOKAZ Razlikujemo dva me|usobna položaja trouglova: jedan u kome su trouglovi u različitim ravnima i drugi u kome pripadaju istoj ravni. 1. Prvo ćemo teoremu dokazati pod pretpostavkom da trouglovi ABC i A1B1C1 u različitim ravnima α i α 1 (sl. 1). Neka je s presečna prava ovih

∗

DEZARG ŽERAR (Desargues Gerard 1593 - 1662) Francuski inžinjer i arhitekta koji se, napustivši svoj posao bavio samo geometrijom. Zasnivajući svoja geometrijska istraživawa na sistematskoj primeni perspektive, uveo beskonačno daleke tačke, prave i ravni i postavio osnove projektivne geometrije, koja se tek posle gotovo 200 godina razvila u samostalnu geometrijsku disciplinu i u kojoj je Dezargov stav jedan od osnovnih stavova.


2

Slika 1. ravni i A i A1, B i B1, C i C1 odgovarajuća temena datih trouglova. U teoremi se pretpostavlja da se prave AA1, BB1 i CC1 seku u jednoj ta čki S. Pošto se prave AA1 BB1 seku u tački S, one odre|uju ravan. Ovoj ravni pripadaju prave AB i A1B1 i neka je njihova presečna tačka P. Tačka P pripada ravni α , jer je tačka prave AB i pripada ravni α 1, jer je tačka prave A1B1. Dakle, tačka P pripada presečnoj pravoj s ravni α i α 1. Slično se pokazuje da se prave BC i B1C1 seku u ta čki Q i da se prave AC I A1C1 seku u tački R i da obe pripadaju pravoj s. Dakle, prese čne tačke pravih kojima pripadaju odgovarajuće stranice trouglova, tačke P, Q, R, pripadaju jednoj pravoj s. Ovim je teorema dokazana za slu čaj da trouglovi ABC i A1B1C1 leže u različitim ravnima. 2. Dokažimo dalje istu teoremu pod pretpostavkom da su trouglovi ABC i A1B1C1 u istoj ravni (sl. 2). Neka su trouglovi ABC i A1B1C1 u ravni α i neka je S presečna tačka pravih AA1, BB1, CC1. Na proizvoljnoj pravoj p kroz S koja nije u ravni α izaberimo proizvoljne tačke S1 i S2. Prave AS2 i A1S1 pripadaju istoj ravni i neka je njihova presečna tačka A2. Neka se sli čno prave BS2 B1S1 seku u ta čki B2 i prave CS2 i C1S1 u tački C2. Tačke A2, B2, C2 odre|uju trougao u ravni α 2 različitoj od α . Neka se ravni α i α 2

SLika 2 seku, po pravoj s. Pošto se prave AA2, BB2, CC2 seku u ta čki S2, na trouglove ABC i A2B2C2 u prostoru možemo primeniti dokazano pod 1. pa se prave kojima pripadaju odgovarajuće stranice AB i A2B2, BC i B2C2, AC i A2C2, seku redom u ta čkama P, Q, R na pravoj s. Slično, dokazano pod 1. možemo primeniti i na trouglove A1B1C1 i A2B2C2 u ravni, jer se prave A1A2, B1B2 i C1C2, seku u tački S1 pa se prave kojima pripadaju odgovarajuće stranice A1B1 i A2B2, B1C1 i A2C2, seku u ta čkama prave s.


3

Kako prava A2B2 se če pravu s u tački P, sledii da prava A1B1 se če pravu s u istoj pravoj p. Slično dobijamo da prava B1C1 seče pravu s u tački Q, a prava A1C1 se če s u tački R. Dakle, prave AB i A1B1, BC i B1C1, AC i A1C1 seku se redom u ta čkama P, Q, R prave s. Ovim je Dezargova teorema dokazana. OBRNUTA DEZARGOVA TEOREMA

Ako presečne tačke parova odgovaraju ćih stranica dvaju trouglova, ili pravih kojima stranice, pripadaju jednoj prvoj, tada se prave koje spajaju parove odgovarajućijh temena trouglova seku u jednoj ta čki. DOKAZ U dokazu obrnute Dezargove teoreme tako|e ćemo razlikovati dva me|usobna položaja trouglova kao i u dokazu direktne Dezargove teoreme. Jedan položaj je kada su trouglovi u različitim ravnima, a drugi kada su u istoj ravni. (1) Dokažimo prvo teoremu pod pretpostavkom da su trouglovi ABC i A1B1C1 u različitim ravnima α i α 1 (sl. 1). Neka je s presečna prava ovih ravni i A i A1, B i B1, C i C1 odgovarajuća temena datih trouglova . Pretpostavka obrnute teoreme je da presečne tačke P, Q, R pravih kojima pripadaju odgovarajuće stranice, redom AB i A1B1C1 u različitim ravnima α i α 1, tačke P, Q, R su na prese čnoj pravoj s ravni α i α 1. Prave AB i A1B1 seku se dakle, u ta čki P i obrazuju ravan λ , prave BC i B1C1 seku se u tački Q i obrazuju ravan ν . Ravni λ i imaju zajedničke tačke B i B1, dakle, seku se po pravoj BB1. Slično se ravni μ i ν seku po pravoj CC1, a ravni ν i λ po pravoj AA1. Tri ravni λ , i ν imaju zajedničku tačku S. Kroz tačku S prolaze presečne prave AA1, BB1, CC1. Ovim je teorema dokazana za slu čaj da trouglovi ABC i A1B1C1 leže u različitim ravnima. (2) Neka sada trouglovi ABC i A1B1C1 leže u istoj ravni α (sl. 2). Pretpostavka teoreme je da se prave kojima pripadaju stranice AB i A1B1, BC i B1C1, AC i A1C1 trouglova ABC i A1B1C1 seku redom u tačkama P, Q, R prave s . Neka je α 2 proizvoljna ravan kroz pravu s i neka je A2B2, B2C2, A2C2 pripadaju pravama koje prolaze redom kroz tačke P, Q, R. Pod (1) je dokazano da za trouglove ABC i A2B2C2 koji su u različitim ravnima i čije odgovarajuće stranice pripadaju pravama koje se seku u tačkama jedne prave, postoji tačka S2 u kojoj se seku prave AA2, BB2, CC2. Tako|e za trouglove A1B1C1 i A2B2C2 postoji tačka S1 u kojoj se seku prave A1A2, B1B2, C1C2. Tačke S1 i S2 odre|uju pravu i neka je S tačka prodora prave kroz ravan α . Prave S1A1 i S2A2 seku se u tački A2 i odre|uju ravan koja seče ravan α po pravoj AA1. U istoj ravni je i prava S1S2 pa je presek pravih S1S2 i AA1 tačka S. Na isti način se pokazuje da tačka S pripada i pravama BB1 i CC1. Dakle, prave AA1, BB1 i CC1 se seku u tački S. Ovim je teorema dokazana u potpunosti. NAPOMENA: U iskazu Dezargove teoreme u obliku svojstvenom projektivnoj geometriji umesto pojma trougao korisiti se pojam trotemenik. Dokaz je isti.


4

PRIMENA DEZARGOVE TEOREME Da bi nam vanredni primeri bili jasniji uvešćemo neke definicije.

Slika 3a

Slika 3b

DEFINICIJA 1. Skup tri tačke koje ne pripadaju jednoj pravoj i tri prave koje im pripadaju je trotemenik (sl. 3a). Tačke su temena, a prave su strane trotemenika. DEFINICIJA 2. Skup četiri tačke A, B, C, D od kojih po tri ne pripadaju jednoj pravoj i šest praviih od kojih svaka pripada po dvema ta čkama je potpuni četvorotemenik (sl. 3b). Dve strane koje ne pripadaju istom temenu nazivaju se suprotnim stranama, a tačka koja im pripada naziva se dijagonalna ta čka. Dijagonalna je prava koja pripada dvema dijagonalnim tačkama. DEFINICIJA 3. Za četiri tačke P, Q, R, T jedne prave kažemo da je par S, T harmonijski konjugovan sa parom P, Q i pišemo H (P, Q; S, T), ako postoji četvorotemenik ABCD za koji su P, Q dijagonalne ta čke, a S, T prese čne tačke dijagonale PQ sa parom suprotnih strana kroz tre ću dijagonalnu tačku R (sl. 3b). Tačke P, Q, S, T nazivamo i harmonijskom četvorkom tačaka.


5 PRIMERI

PRIMER 1: Ako su date tri kolinearne tačke P, Q, S, tačka T takva da je H (P, Q; S, T) jednoznačno je odre|ena. DOKAZ

Slika 4 U dokazu ćemo koristiti Dezargovu teoremu. Neka su, dakle, ta čke P, Q, S kolinearne i neka je tačka T = PQ ∩ AC tako da važi H (P,Q; S,T) (sl. 4). Potrebno je dokazati da T ∈ A'C '. Uočimo dva trotemenika ABD i A’B’D’, tako da se prave AB i A’B’, AD i A’D’, BD i B’D’ seku, redom u kolinearnim tačkama P, Q, S pa na osnovu obrnute Dezargove teoreme, prave AA’, BB’ i DD’ su konkurentne, seku se u ta čki O. Uočimo sada trotemenike BCD i B’C’D’, tako da se prave BC i B’C’, CD i C’D’ seku u kolinearnim tačkama Q i P. Prave BD i B’D’ se po prethodno re čenom seku u tački S, kolinearnoj sa tačkama P i Q. Opet možemo primeniti obrnutu Dezargovu teoremu i dobijamo da su prave BB’, CC’ i DD’ konkurentni, odnosno, seku se u ta čki O. Na kraju uočimo trotemenike ABC i A’B’C’. Prave AA”, BB’, CC’ su konkurentne u O pa se na osnovu Dezargove teoreme odgovaraju će stranice ovih trotemenika seku u kolinearnim tačkama, a na osnovu ranije pomenutog važi: AB ∩ A' B'= P BC ∩ B'C'= Q AC ∩ PQ = T , iz čega sledi A'C'∩PQ = T . Dakle, T ∈ A'C ' pa je dokazana i jedinstvenost

harmonijske tačke.

četvrte


6

PRIMER 2: Ako H (A, B; C, D), tada H (C, D; A, B). DOKAZ

Slika 5 IJKL ispunjeno IK ∩ LJ = A, IL ∩ KJ = B, IJ ∩ AB = C, KL ∩ AB = D (sl. 5). Neka je CL ∩ AK = L' i CK ∩ LB = K '. Uočimo trotemenike KLJ i K’L’I’. Prave LL’ , KK’ i IJ seku se u ta čki C. Na osnovu Dezargove teoreme prave LK i L’K’ seku se u ta čki prave AB, dakle, D ∈ L' K '. Sada su C i D dijagonalne tačke potpunog LKL’K’, a četvorotemenika A = L' K ∩ CD, B = LK '∩CD. Time je dokazano H (C, D; A,B). Neka

je

za

potpuni

četvorotemenik


7

PRIMER 3: Prava p pripada ravni trotemenika ABC i ne prolazi ni kroz jedno njegovo teme. Neka je K = BC ∩ p, L = CA ∩ p, M = AB ∩ p, R = BL ∩ CM , S = CM ∩ AK , T = AK ∩ BL. Dokazati da su AR, BS, CT konkurentne prave. DOKAZ

Slika 6 U dokazu ćemo koristiti obrnutu Dezargovu teoremu. Dakle, imamo K = BC ∩ p ⎫

R = BL ∩ CM ⎫ ⎪ S = CM ∩ AK ⎬ * *

⎪ L = CA ∩ p ⎬ * M = AB ∩ p⎪ ⎭

T = AK ∩ BL ⎪ ⎭

Uočimo trotemenike ABC I RST (sl. 6). Iz (*) i (**) sledi: AB ∩ RS = M AC ∩ RT = L BC ∩ ST = K .

Tačke M, L, K pripadaju pravoj p, dakle, kolinearne su pa na osnovu obrnute Dezargove teoreme odgovaraju će prave AR, BS, CT su konkurentne.


8

PRIMER 4: Tačke A’, B’ i C’ su redom na stranicama BC, CA, AB trotemenika ABC. Neka je B'C'∩ BC = F ,C ' A'∩CA = G, A' B'∩ AB = H , FH ∩ BB'= K , FG ∩ CC'= M . Dokazati da prave KG, MH i BC prolaze kroz jednu ta čku. DOKAZ

Slika 7 U dokazu ovog zadatka, tako|e, ćemo koristiti obrnutu Dezargovu teoremu. Iz postavke zadatka znamo da važi: B'C '∩ BC = F ⎫ C ' A'∩CA = G ⎪

⎪⎪ A' B'∩ AB = H ⎬ * FH ∩ BB'= K ⎪ ⎪ FG ∩ CC'= M ⎪ ⎭

Uočimo trotemenike KHB i GMC (SL &). Koristeći (*) dobijamo da važi sledeće: KH ∩ GM = F KB ∩ GC = B' HB ∩ MC = C '

Iz (*) sledi da su tačke F, B’ C’ kolinearne pa su na osnovu obrnute Dezargove teorema prave KG, MH i BC konkurentne.


9

PRIMER 5: Date su tri nekolinearne tačke A, B, C i prava p takva da važi C ∈ p. Ako su P i P’ dve proizvoljne tačke prave p i ta čke X = AP ∩ BC, X '= AP '∩ BC, Y = BP ∩ AC, Y '= BP '∩ AC, tada prave AB, XY i X’Y’ prolaze kroz jednu pravu. DOKAZ

Slika 8 Iz postavke zadatka znamo da važi: X = AP ∩ BC ⎫ X '= AP '∩ BC ⎪ ⎪

⎬*

Y = BP ∩ AC ⎪ Y '= BP '∩ AC ⎪ ⎭ D

1

p ≠ CA, AB : Uočimo trotemenike AXX’ i BYY’ (sl. 8). Iz (*) sledi: AX ∩ BY = P AX '∩ BY '= P ' XX '∩ YY'= C.

Tačke P, P’, C pripadaju pravoj p pa na osnovu obrnute Dezargove teoreme sledi da su prave AB, XY i X’Y’ konkurentne. 2 p = CB: U ovom slučaju za prave važi XY = X’Y’ = BC pa je B njihova zajedni čka tačka (sl. 9). D

Slika 9 3

D

p =CA: Rešenje u ovom sllučaju je analogno sa prethodnim slu čajem.


10

LITERATURA

1. B. ALIMPI], N. STOJKOVI], Z. [NAJDER, Zbirka zadataka iz projektivne i nacrtne geometrije, Nučna knjiga, Beograd, 1988. 2. S. @IVADINOVI], V. SBUTEGA, M. IVANOVI], Nacrtna geometrija II, Naučna knjiga, Beograd, 1988. 3. D. LjUBI], Skripta iz projektivne geometrije 4. H. S. M COXETER, preveo Dominik Palman, Projektivna geometrija, [kolska knjiga, Zagreb, 1977. 5. Z. ]NAJDER, Nacrtna geometrija, Naučna knjiga, Beograd, 1991.

Dezargova Teorema

Recommend Documents