sintesis de dipolos





En este tema vamos a ver cómo es posible calcular los elementos circuitales circuitales de una admitanc admitancia ia Y(s), o de de una impedanc impedancia ia Z(s) a partir de su expresión analítica, determinando previamente su realizabilidad. Hasta ahora, hemos venido analizando circuitos: I(s)

L= 1 H C= 1 F

Ls

⎡ Ls + ⎢R ⎣

R

1/Cs V(s)

R= 1 Ω

1 ⎤ LRC s 2 + Ls + R = Cs ⎥⎦ RC s + 1

V (s ) s 2 + s + 1 Z (s ) = = I (s ) s +1 Y (s ) =

I (s ) s +1 = 2 V (s ) s + s + 1

Z(s)=V(s) / I(s)



En este capítul capítulo: o: dados Z(s) Z(s) ó Y(s), deberem deberemos os comprobar comprobar si es realizable, y después deberemos sintetizar el circuito: disponer cada elemento y determinar su valor. Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.2





En este tema vamos a ver cómo es posible calcular los elementos circuitales circuitales de una admitanc admitancia ia Y(s), o de de una impedanc impedancia ia Z(s) a partir de su expresión analítica, determinando previamente su realizabilidad. Hasta ahora, hemos venido analizando circuitos: I(s)

L= 1 H C= 1 F

Ls

⎡ Ls + ⎢R ⎣

R

1/Cs V(s)

R= 1 Ω

1 ⎤ LRC s 2 + Ls + R = Cs ⎥⎦ RC s + 1

V (s ) s 2 + s + 1 Z (s ) = = I (s ) s +1 Y (s ) =

I (s ) s +1 = 2 V (s ) s + s + 1

Z(s)=V(s) / I(s)



En este capítul capítulo: o: dados Z(s) Z(s) ó Y(s), deberem deberemos os comprobar comprobar si es realizable, y después deberemos sintetizar el circuito: disponer cada elemento y determinar su valor. Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.2

3.2. 3. 2.1: 1: Re Re a liza liz a bilidad bilida d ( def) def) 

Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) se dice que es REALI RE ALI ZABLE ZABLE cuando se puede implementar empleando exclusivamente elementos R , L , y C (con valores todos ellos positivos).

3.2.2: Te Teore or em a de Br Br une un e (Ott (Ottoo Brun Brunee en 19 1931 31)) 

Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) es REALIZABLE mediante elementos R , L , y C (todos positivos) positivos) si y solo si Z(s) (o (o Y(s)) Y(s)) es una una FUNC UNCII ÓN RACI RACI ONAL RE REAL PO POSI TI VA en ‘s’; es decir, si: a) Z(s) es función REAL y RACIONAL de ‘s’; es decir, se puede expresar como cociente de dos polinomios de coeficientes reales: a0 + a1 ⋅ s + ... + an −1 ⋅ s n −1 + an ⋅ s n N (s ) Z (s ) = = D(s ) b0 + b1 ⋅ s + ... + bm −1 ⋅ s m −1 + bm ⋅ s m Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.3

b) Si para cualquier valor de ‘s’ con parte real positiva o nula, la parte real de Z(s) también es positiva o nula: Re{s} ≥ 0 ⇒ Re{Z (s )} ≥ 0

Es decir, cualquier punto en el semiplano cerrado derecho del plano ‘s’ se corresponde con un punto en el semiplano cerrado derecho del plano ‘Z’ plano ‘s’

plano Z

j ω

jX

σ

Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

R

T3.4

3.2.3: Condiciones equivalent es La condición b) anterior es poco práctica, pues para una Z(s) dada es muy difícil asegurar si se cumple o no la condición. Por esta razón, enunciamos ahora condiciones equivalentes más prácticas y fáciles de comprobar:







a’) Idéntica a a) b’) Para cualquier frecuencia ω ⇒ Re{Z ( j ω )} ≥ 0 , excepto en los polos (similar a condición b)), pero ahora restringida al eje ‘j ω ’)


T3.5

3.2.3: Condiciones equivalent es ( sigue) c’)

 



c’.1) Todos los polos de Z(s) están en el SEMIPLANO COMPLEJO IZQUIERDO CERRADO (SCIC) (que incluye el eje ‘ j ω’ ) c’.2) Los polos de Z(s) que están en el eje ‘j ω’ son polos simples y con residuos reales y positivos. Como s=0 y s=∞ caen en el eje ‘j ω’ , la condición c’.2) tiene que cumplirse para polos en el origen o en el infinito.


T3.6

3.2.3.1: Form a alt ernat iva de comprobar la condición b’) La condición b’) decía que Re{Z ( j )} ≥ 0, ∀ (excepto en los 

ω

ω

polos). Supongamos un polinomio P(s), que queremos descomponer en sus términos pares (con potencias de ‘s’ pares) y en sus términos impares (con potencias de ‘s’ impares): P (s ) = Par {P (s )} + Impar {P (s )} = P p (s ) + P i (s )





Par: Pp(s) ⇒ 1, s2, s4, s6 … ⇒ (s=jω) ⇒ 1, - ω2, ω4, - ω6 ⇒ reales ⇒ Pp ( s) PAR y REAL Impar: Pi(s) ⇒ s, s3, s5 … ⇒ (s=jω) ⇒ jω, -jω3, jω5 ⇒ imaginarias Pi ( s) I MPAR e I MAGI NARI O ⇒ Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.7

De esta forma, tenemos que:



Z (s ) =

= 

N (s ) D(s )

=

N p (s ) + N i (s ) D p (s ) + Di (s )

=

N p (s ) + N i (s ) D p (s ) − Di (s )

⋅

D p (s ) + Di (s ) D p (s ) − Di (s )

=

[N (s ) ⋅ D (s ) − N (s ) ⋅ D (s )] + [N (s ) ⋅ D (s ) − N (s ) ⋅ D (s )] p

p

i

i

i

p

p

i

D p (s )2 − Di (s )2

Al reemplazar ‘s’ por ‘jω’ las funciones pares quedan reales y las funciones impares quedan imaginarias, con lo que:

Z ( j ω ) =

∈R ∈R ∈ Im ∈ Im N p ( j ω ) ⋅ D p ( j ω ) − N i ( j ω ) ⋅ Di ( j ω ) + N i ( j ω ) ⋅ D p ( j ω ) − N p ( j ω ) ⋅ Di ( j ω )

[D ( j )] − [D ( j )] p

ω

∈R

2

i

ω

2

∈R


T3.8



De forma que: Re{Z ( j ω )} =

N p ( j ω ) ⋅ D p ( j ω ) − N i ( j ω ) ⋅ Di ( j ω )

[D ( j )] − [D ( j )] p



ω

2

i

ω

2

En el denominador, siempre se cumple que:

[D ( j )] p

ω

2

≥0

[Di ( j )]2 ≤ 0 ω

por lo que el denominador siempre será positivo 

De esta forma, para comprobar que Re{Z ( j ω )} ≥ 0 es suficiente con comprobar que: P (ω 2 ) = N p ( j ω ) ⋅ D p ( j ω ) − N i ( j ω ) ⋅ Di ( j ω ) ≥ 0


T3.9



Así, de forma general, la condición b’) puede reformularse como: P (ω 2 ) = N p ( j ω ) ⋅ D p ( j ω ) − N i ( j ω ) ⋅ Di ( j ω ) ≥ 0


∀ω

(excepto en los polos)

T3.10

3.2.3.2: Form a alt ernat iva de comprobar la condición c’) Dado:



Z (s ) =

N (s ) D(s )

c’)

 



c’.1) D(s) debe ser polinomio de HURWITZ (estricto o no), y por consiguiente N(s) y D(s) difieren a lo sumo en un grado c’.2) Si D(s) es Hurwitz, sus ceros en el eje ‘jω’ deben ser simples y con residuos positivos y reales, incluyendo el polo de Z(s) en el ∞, si lo hubiera


T3.11

3.2.3.3: Polinom ios de HURWI TZ 





Polinom io de Hurw it z: Polinomio que tiene todos sus ceros en el semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC) (incluye el eje ‘jω’ ) Polinomio de Hurw it z est rict o : Polinomio que tiene todos sus ceros en el semiplano complejo izquierdo abierto (SCIA) (no incluye el eje ‘jω’ ) Polinomio no-Hurw it z : Polinomio que tiene algún cero fuera del semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC)

H-E H

N-H


T3.12

Condiciones necesarias ( no suf icient es) para polinom ios de Hurw it z 

Polinomio de Hurwitz estricto:  



Todos los coeficientes son positivos No hay términos ausentes

Polinomio de Hurwitz: 

Todos los coeficientes son positivos


T3.13





En este caso, vamos a considerar dipolos LC, con el objeto de determinar las condiciones para que una impedancia o admitancia de un dipolo LC sea realizable. Llamaremos F(s) a la inmitancia (impedancia o admitancia) realizable como dipolo LC.

3.3.1. Condiciones de realizabilidad de dipolos LC 

F(s) será realizable como dipolo LC si y solo si F(s) es F.R.R.P. IMPAR.


T3.14



Por consiguiente, se deberán cumplir las siguientes condiciones: 1) Igual que a) y que a’) 2) Re{F ( j ω )} = 0 ∀ω ; dado que sólo hay elementos LC, la parte real (que se corresponde con la parte resistiva del circuito) debe ser cero. reactancia

⎧F ( j ω ) = jX (ω ) ⎨ ⎩F ( − j ω ) = − jX (ω ) = −F ( j ω ) ⇒ F ( −s ) = −F (s ) ⇒ F (s ) = −F ( −s ) Función impar en ‘s’

3)

3.1) Todos los polos han de estar en el eje ‘jω’ 3.2) Todos los polos deben ser simples, y con residuos reales y positivos Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.15

Consecuencias de las condiciones anteriores:









Si

s → 0,

Si s → ∞,

⎧→ 0 : F(s) debe tener un polo o un cero F (s )⎨ ⎩→ ∞ en el origen ⎧→ 0 : F(s) debe tener un polo o un cero F (s )⎨ ⎩→ ∞ en el infinito

Se cumplirá que:

grado{N (s )} = grado{D(s )} ± 1


T3.16

3.3.2. Expr esión General de F( s) Debe tener un polo o cero en el origen

F (s ) = H ⋅

(s − j ω z 1 ) ⋅ (s + j ω z 1 ) ⋅ (s − j ω z 2 ) ⋅ (s + j ω z 2 ) ⋅ ... (s − j ω p1 ) ⋅ (s + j ω p1 ) ⋅ (s − j ω p2 ) ⋅ (s + j ω p2 ) ⋅ ... polo en ∞ cero en 0

= H ⋅

(s 2 + ω z 21 ) ⋅ (s 2 + ω z 22 ) ⋅ ... (s + 2

2 ω p1

) ⋅ (s + 2

2 ω p2

) ⋅ ...

{

⋅ s ó 1

s

{

⋅ s ó 1

s

}= polo en 0 cero en ∞

}


T3.17



Descomposición en fracciones simples: SÍNTESIS k 1 k 1* k 2 k 2* F (s ) = + + + + ... + ⎧⎨ k ∞s y / ó k 0 ⎫⎬ s ⎭ s − j ω p1 s + j ω p1 s − j ω p2 s + j ω p2 ⎩ polo en s=∞



Como los residuos tienen que ser reales, k i = k i * F (s ) =

=

k 1(s + j ω p1 ) + k 1(s − j ω p1 ) s 2 + ω p21 2k 1s s 2 + ω p21 n

=

∑s i =1

+

2k 2s s 2 + ω p22

2k i s 2

+ ω p2

i

+ ... + ⎧⎨ k ∞s ⎩

+ ... + ⎧⎨ k ∞s ⎩

+ ⎧⎨ k ∞s ⎩

y / ó

k 0

y / ó

y / ó

k 0

k 0

polo en s=0

⎫= s ⎬ ⎭

⎫= s ⎬ ⎭

⎫ s ⎬ ⎭

Que resultará ser por fin la expresión que usaremos para sintetizar el dipolo LC Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.18



Variación de la reactancia X(ω) con la frecuencia F ( j ω ) =

d X (ω ) d ω

n

∑

2 i =1 ω pi

n

=∑

⎧ + ⎨ k ∞ j ω ⎩

2k i j ω

− ω 2

y / ó

−

ω

2k i (ω p2i − ω 2 ) − 2k i ω ( −2ω )

(

2 ω pi

i =1 n

= ∑ 2k i ⋅

2 pi

ω

(

2 pi

n

= ∑ 2k i ⋅ i =1

ya que

− ω 2 + 2ω 2

2 ω pi

i =1

ω

(

2 ω pi

)

2 2

− ω

)

2 2

− ω

+ ω 2

)

2 2

− ω

k 0

⎧ + ⎨ k ∞ ⎩

⎧ + ⎨ k ∞ ⎩

⎧ + ⎨ k ∞ ⎩

⎫ ⎭

j ⎬ = j X (ω )

y / ó

y / ó

y / ó

2

k 0 ⎫ ω

− k 0 ⎫ = 2 ⎬ ω ⎭

k 0 ⎫ ω

2

−

⎬ ⎭

⎬= ⎭

> 0

∀ω

k i > 0 y k i ∈ ℜ


T3.19





Esto significa que X(ω) es creciente con la frecuencia (pendiente siempre positiva). Para que lo anterior se cumpla (que X(ω) sea creciente y que todos los ceros y los polos estén en el eje ‘j ω’), los polos y los ceros deben estar alternados, dando lugar a: X( ω )

ω cero en el infinito

polo en el origen


T3.20



O bien a: X( ω )

ω polo en el infinito

cero en el origen


T3.21



¿Qué sucede cuando dos ceros no tienen un polo entre ellos (figura superior), o dos polos no tienen un cero entre ellos (figura inferior)? X( ω )

dX ( ω ) <0 d ω

ω

X( ω ) dX ( ω ) d ω

<0

ω


T3.22



Se denominan formas canónicas porque las redes sintetizadas contienen el mínimo número de elementos circuitales que cumplen las especificaciones: Número de elementos = Max [N (s ), D(s )]

3.4.1. Prim era form a canónica de Fost er 

Partimos de Z(s) como impedancia de entrada. Si nos dan una admitancia, F(s)=Y(s), la transformaremos a impedancia. n

F (s ) = Z (s ) =

∑s i =1



2k i s 2

+ ω p2

i

+ k ∞s +

k 0 s

Esto supone la conexión de elementos en serie, identificándose el valor de cada elemento con los residuos calculados (siendo éstos todos reales y positivos) Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.23



Se denominan formas canónicas porque las redes sintetizadas contienen el mínimo número de elementos circuitales que cumplen las especificaciones: L∞ = k ∞ Li =

C i =

Z ∞ = k ∞ s

2k i 2 pi

ω

1 2k i

C 0 =

1 k 0

Z 0 =

1 k = 0 C 0s s

Li s ⋅ 1 1 Li s C i s Z i = Li s = = = 2 1 C i s Li s + Li C i s + 1 C i s 1 1 = + C i s 2k i Z L s s i i 2 ω k s 2 pi 1 = = 2 i 2 ⇒ = Z 2k i 1 2 s + ω pi i 1 s 1 ⋅ + 2 + C i s 2k i ω pi Li s Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.24



Conectando todos los elementos en serie, quedará: 2k 1 2 p1

k ∞

1 k 0

2k n 2 pn

ω

ω

1 2k 1

1 2k n

Z(s) Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.25

3.4.2. Segunda forma canónica de Fost er 

Esta forma es válida para admitancias. F (s ) = Y (s )

⎫ ⎪ 1 1 ⎬ ⇒ conexión en paralelo Y (s ) = = Z (s ) F (s ) ⎪ ⎭ L0 =

1 k 0

C ∞ = k ∞

L1 = C 1 =

1 2k 1 2k 1 2 p1

Ln = C n =

ω

1 2k n 2k n 2 pn

ω

Y(s) Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos

T3.26



Con esto, se tiene que: k 1 1 1 = = = 0 1 Z L0 L0s s s k 0 1 1 Z i = Li s + ⇒ Y i = = C i s Z i

Y C ∞ = k ∞ s = C ∞s

Y L0 =

Y i =

1 1 1 s+ 2k i 2k i 2 ω pi



1 Li s +

1 C i s

=

1

1

=

2

ω 1 pi s+ 2k i 2k i s

s

s 2 + ω p2i

=

2k i s s 2 + ω p2i

2k i s

Y así, en conclusión, podemos expresar: Y (s ) = Y L0 + Y C ∞ +

n

∑Y i

i =1


T3.27



Efect o de la ext racción t ot al de polos en el infinit o

Veamos un ejemplo para entender esto: 2s 3 + 9s 5s Z (s ) = 2 s = + = k ∞s + Z 1(s ) 2 2 s +2 s +2

Es decir, extraemos un polo en el infinito, y la impedancia resultante, Z1(s), lo que tiene es un cero en el infinito. Cambiamos el polo en el infinito por el cero en el infinito. Gráficamente, tenemos: 0

2

3

0

2

∞

2


T3.28



a) Prim era form a canónica de Cauer La función tienen un polo o un cero en el infinito. Este método consiste en la extracción sucesiva de polos en el infinito. polo en

polo en ∞

∞

Z (s ) = k ∞s + Z 1(s ) = k ∞s + cero en

∞

1 Y 1(s ) polo en

L

∞

C

Y 1(s ) = k ∞' 1 s + Y 2 (s ) = k ∞' 1 s +

1 Z 2 (s )

Z 2 (s ) = k ∞ 2 s + Z 3 (s ) = k ∞ 2 s + C

Y 3 (s ) = k ∞' 3 s + Y 4 (s )

1 Y 3 (s )

L

Así hasta que se terminan de extraer todos los polos en el infinito


T3.29



De forma que queda: 1

Z (s ) = k ∞s + k ∞' 1 s +

1 k ∞ 2 s +

k ∞ 4

k ∞ 2

k ∞ k ∞' 1



1 k ∞' 3 s + Y 4 (s )

k ∞' 3

k ∞' 5

Si al principio Z(s) 0 cuando s ∞ (no tiene polo en el infinito), empezamos con Y 1(s) y k =0 



∞


T3.30



b) Segunda forma canónica de Cauer Consiste en la extracción sucesiva de polos en el origen. 1/C

polo en 0

polo en 0

Z (s ) =

k 0 s

+ Z 1(s ) =

cero en 0

k 0 s

+

1 Y 1(s ) polo en 0

1/L

k 0' 1

k 0' 1

1 Y 1(s ) = + Y 2 (s ) = + s s Z 2 (s ) Z 2 (s ) = 1/L

Y 3 (s ) =

k 02 s k 0' 3 s

+ Z 3 (s ) =

k 02 s

+

1 Y 3 (s ) 1/C

+ Y 4 (s )

Así hasta que se terminan de extraer todos los polos en el origen


T3.31



De forma que queda: Z (s ) =

k 0 s

+

1 k 0' 1 s

+

1 k 02 s

+

1 k 0' 3 s

1 k 0 1 k 0' 1



1

+ Y 4 (s ) 1

k 02 1 k 0' 3

Si al principio Z(s) 0 cuando s empezamos con Y 1(s) y k 0=0 

1

k 0 4

k 0' 5



0 (no tiene polo en el origen),


T3.32

sintesis de dipolos

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